АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Н.Н.ЛУЗИН
С О Б РА Н И Е
СОЧИНЕНИЙ
ТОМ
I
МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА

КОМИССИЯ ПО ИЗДАНИЮ ТРУДОВ
АКАДЕМИКА Н. Н. ЛУЗИНА
академик М. А. Лаврентьев (председатель), академик А, И. Н ек р асов>
член-корреспондент АН СССР Л'. Н. С р ет енск ий,
доктора фиэ.-мат. наук Я. К. Бари, Л. В. Келдыш,
Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков
ОТВЕТСТВЕННЫЕ РЕДАКТОРЫ 1-го ТОМА
доктора фиэ.-мат. наук Н. К. Бари и Д. Е. М енъшое

ОТ РЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ
Вскоре после кончины Николая Николаевича Лузина, одного из
крупнейших советских математиков, Академия наук СССР приняла
постановление об издании его трудов.
Труды Н. Н. Лузина по богатству содержания, глубокому анализу
основных понятий математики, общности результатов, многообразию
новых методов, изяществу и ясности изложения поставили его в ряд
ученых, заслуженно пользующихся мировой известностью.
Н. Н. Лузин является одним из основоположников современной
теории функций действительного переменного. В этой области он был создав
телем и главой крупной математической школы, в дальнейшем
распространившейся в разнообразных направлениях и давшей советской науке
целую плеяду выдающихся математиков.
Хотя основные интересы Н. Н. Лузина лежали в области теории
функций, однако он с успехом работал и в других областях математики и ее
приложеций.
В настоящем собрании сочинений материал расположен по содержанию.
В первый том включены работы Н. Н. Лузина по метрической теории
функций и по теории функций комплексного переменного. Во втором томе
будут помещены работы по дескриптивной теории функций. В третий том
войдут работы по дифференциальным уравнениям, по дифференциальной
геометрии, по численному решению уравнений и некоторые другие, в том
числе и часть из ранее не опубликованных. Там же будут помещены полный
список трудов Н. Н. Лузина, обзор его научных работ и биографические
данные.
Проблемы, поставленные Лузиным в его работах, его идеи и методы
вызвали большое число исследований советских и иностранных ученых.
В ряде случаев мы сочли целесообразным указывать на эти исследования
в комментариях. Более подробное освещение развития тех вопросов,
которые Н. Н. Лузин поднял в своей диссертации, можно найти в
комментариях ко второму ее изданию (Интеграл и тригонометрический ряд,
ГТТИ, М.— Л., 1951). Обращаем также внимание читателя на серию
статей, посвященных работам Н. Н. Лузина, появившихся в шестом, седьмом
и восьмом томах «Успехов математических наук».

ОТ РЕДАКТОРОВ ТОМА
Некоторые из терминов, которыми пользовался Н. Н. Лузин в своих
ранних работах, в дальнейшем вышли из употребления и заменились
другими (например, «касательные интервалы» в смысле «смежные
интервалы» и т. п.). Сам Н. Н. Лузин в более поздних работах уже не пользуется
этими терминами. В тех случаях, когда сохранение терминологии
подлинника могло вызвать неудобство при чтении, она заменялась на
современную без специальных оговорок.
В остальном, если не считать исправлений описок и опечаток,
помещенные в этом томе работы Н. Н. Лузина печатаются без изменений.
Сокращенные обозначения
Надстрочные цифры в тексте работ Н. Н. Лузина относятся к
примечаниям, сделанным автором и помещенным в сносках в конце страницы.
Цифры в квадратных скобках — ссылки на комментарии в конце тома.
Звездочкой обозначены примечания редакторов, помещенные в сносках.

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ *
Основная проблема интегрального исчисления: «дана функция f(x)m
Определить непрерывную функцию F (х)у имеющую f{x) своею
производного», разрешена введением интеграла Лебега тогда, когда f(x) измерима
и суммируема. Обобщение интеграла Лебега по методу Гарнака
устанавливает существование первообразной функции F (х) в некоторых
случаях, когда суммируемость f(x) не имеет более места.
В общем же случае измеримой, но не суммируемой f(x) вопрос о
существовании первообразной функции F (х) оставался открытым. В
нижеследующем дается построение первообразной функции F (х) для
функции f(x) при одном только условии —ее измеримости1.
Первое, что должно быть приведено в ясность, — это вопрос о
бесконечных значениях производной функции. Существует ли непрерывная
tip
функция F(x), производная которой -j- равна + оо или —оо для
множества точек меры, большей нуля? Ближайшей целью является
доказательство, что такие непрерывные функции не могут существовать.
Пусть F (х) есть непрерывная функция, определенная в области
O^x^l. Пусть все точки, где -т~ существует и равна + оо или —оо,
образуют множество ЯЯ. Множество ЗЙ всегда есть измеримое множество.
Пусть
mesSW>0.
Обозначим множество точек, где
dF .
через Здх и множество точек, где
dF
через 9^2. Имеем
9Й = 5ЯХ + SD?o
* Матем. сборник, 28, вып. 2, 266—294, 1912.
1 Для неизмеримой / (х) проблема не имеет прямого смысла, так как производ *
ная функция есть всегда функция I класса.

6
Н. Н. ЛУЗИН
и
mes SW = mes Шг + mes 9Л2.
Если
mes 2^ = О,
тогда
mes 2Л2 = mes 9R > О,
и, следовательно, непрерывная функция Fx (з), определенная равенством:
F1(x) = -F(x)>
имеет множество точек, где
ах
меры, большей нуля.
Итак, всегда можно допустить, что для F (х) множество ЗЛХ меры,
большей нуля. Кроме того, для определенности предполагаем, что
О < F (х) <; 1 всюду в области 0 <; х <; 1.
Это допущение также всегда возможно, так как для функции
y + aF(s)
можно выбрать постоянное число а положительным и достаточно малым.
Так как mes9)l1>0, то всегда можно найти множество Р,
обладающее свойствами:
1. Р есть совершенное, нигде не плотное множество.
2. Всякий интервал 8, находящийся в области 0<^ж^1, или не
содержит внутри никакой точки множества Ру или содержит часть
множества Р меры, непременно большей нуля1.
3. Р заключено в SD^.
Выбираем такое множество Р раз — навсегда и назовем интервалы,
образующие множество СР «смежными» к множеству Р интервалами.
Значения функции F (х) на Р определяют непрерывную функцию,
построенную только на Р. Интерполируем эту функцию линейно в интервалах,
смежных к множеству Р; если точка х = 0 не принадлежит к Р, даем
в этой точке значение нуль и интерполируем линейно между х = 0 и
ближайшей точкой Р; то же самое делаем и с точкой я = 1.
Таким образом получаем функцию Ф (.г), обладающую свойствами:
1. 0<Ф(я)<1 для 0<я<1.
2. Ф (х) непрерывна в области 0^ж-<1.
1 Всякое совершенное множество меры, большей нуля, содержит часть,
обладающую свойством 2.

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
7
. -jz = + оо для всех точек Р, исключая точки, принадлежащие к
концам смежных к Р интервалов. Таких точек счетное множество.
4. Ф (х) есть линейная функция во всяком смежном интервале.
Возьмем положительное число L, по желанию большое, но
определенное. Пусть £ есть точка Р, не принадлежащая к. концу смежного
интервала. Так как
■gj- = + ОО ДЛЯ X = &,
то существует такое число в, что имеем
д — >£ для |А|<в.
В области, определенной неравенством
?<*<? + *,
существует, по крайней мере, один смежный интервал. Пусть точка 5'
есть левый его конец; аналогично, пусть точка S" есть правый конец
смежного интервала, лежащего в области
5 — е<я<$.
Соединяя две точки
[ж = г, у = ф (Г)] и [* = е\ у = ф (Г)],
лежащие на кривой
У = Ф (*),
прямою, получаем хорду с угловым коэффициентом ^L. Точка
находится внутри проекции этой хорды на ось х.
Наконец, пусть £ есть точка Р, принадлежащая к концу
какого-нибудь смежного интервала; для определенности, пусть £ есть правый
конец смежного интервала. Тогда
1|тФ« + *)-ФЮм + оодмЛ>0.
Отсюда можно найти такую точку £', принадлежащую к левому
концу некоторого смежного интервала, что прямая, соединяющая Две точки
[х = 5, у = Ф(Щ и [х = ¥9 у = Ф(?)},
лежащие на кривой у = Ф (х), имеет опять угловой коэффициент ^Ь.
В этом случае точка & есть левый конец проекции хорды на ось х.

8
Н. Н. ЛУЗИН
Рассмотрим множество проекций всех хорд, построенных этим
способом. Пользуясь методом, употребленным Лебегом в его доказательстве
теоремы Гейне — Бореля, легко видеть, что все множество Р можно
заключить в конечное число таких проекций, не имеющих общей точки
(включая концы)1. Пусть эти проекции, перенумерованные в области 0-<:г«<1
по направлению слева направо суть
х1у #2> хг> • • •> ri (I зависпт от L).
Точки области 0 <х<1, лежащие между ^ и zi+i (z = l, 2, 3, ..., /—1),
образуют смежный к Р интервал, который обозначим через
yi 0 = 1, 2, 3, ..., 1-1).
Так как функция Ф (х) линейна в у% (i = 1, 2, 3, .. ., I — 1), то точки
хорд и точки кривой
У = Ф (*)
для переменного х> находящегося внутри интервалов у% (i = 1, 2, 3, .. ,
* — 1), образуют непрерывную полигональную линию
У = П(я),
состоящую из 21 — 1 звеньев. Пусть угловой коэффициент звена, соот_
ветствующего ач, есть Х$ (i = 1, 2, 3, . . ., I), и угловой коэффициент звена,
соответствующего уъ есть щ(г = 1, 2, 3, . .., /—1). Ясно, что рч зависит
только от смежного интервала у\> но не от числа L (как \i).
Возьмем в области 0<;#^1 произвольный, но определенный
интервал 8 с тем лишь условием, чтобы о содержал внутри хотя бы одну точку
множества Р. Тогда, по свойству 2 множества Р, все точки множества Р,
содержащиеся в интервале S (включая его концы), образуют совершенное
множество меры, большей нуля.
Пусть это множество есть Рг
mes Рг = Рг> 0.
Так как
0<П(*)<1,
то имеем
0<*|Xi<l (i = l, 2, 3, .... /)
и
1 Теорему Гейне-Бореля в обобщении Юнга (Proc» Lond. Mathem. Soc. 35, 387)
здесь отнюдь нельзя приложить, так как теорема требует, чтобы всякая точка £
множества Р была непременно внутри интервала, а не совпадала иногда с концом,
как в данном случае.

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
9
Следовательно, увеличивая достаточно L, можем сделать интервал
Xi (i = 1, 2, 3, . . ., I) как угодно малым.
Пусть
Pi
тогда
Pi
*i<TT (' = 1> 2' 3' ••••Z)-
Отсюда видим, что внутрь 8 непременно попадет по крайней мере
четыре интервала Х{. Пусть попавшие внутрь 8 интервалы суть
х8, х:+и ^з+2, •. •, xt (t > $ + 2).
В силу неравенства:
0<П(х)<1,
имеем (проектируя на ось у)
где
|B|<1.
Отсюда
2 »i(—»Ч)= S^i—B-
Так как Xiki^.1 (i = 1, 2, 3, . . ., Z), то имеем неравенство
Угловые коэффициенты Xt (i = 1, 2, 3, .. ., I) все^-L, поэтому
2yi(—h)>£- 2*i—4>pi-l —4
или
i—f—i
2 yi(-H)>2.
Обозначая наибольшую положительную величину из рялэ
— р*> — Нч+ь — Р«+2> . *., — Pi-i
через Л/, находим
2 2/i(-K)<^- 2 Vi<M.
i—s i—s

10
Н. Н. ЛУЗИН
Отсюда
Д/>2.
Следовательно, среди чисел
найдется хотя одно такое ^> что
Н*< — 2.
Итак, приходим к выводу:
каков бы ни был интервал 8, лишь бы он содержал внутри хоть одну
точку множества Р, всегда найдется внутри 8 такой смежный интервал у*,
что соответственная ему часть кривой у = Ф (х) есть прямая, с угловым
коэффициентом < — 2.
Теперь доказательство теоремы легко может быть доведено до конца.
Нумеруем в каком-нибудь порядке все смежные интервалы к
множеству Р:
У\, Уг, Уз, • • ., Упу ...
и соответственные числа
Рь И*» Р-з, .. ., Рп, . . .
По доказанному в области 0<[я<;1 есть такой смежный интервал уп1,
что
|Чц<-2.
Так как функция Ф (х) непрерывна, то всегда можно найти интервал 8lf
обладающий свойствами:
1. Концы интервала 82 суть точки множества /\
2. Внутри Sjl имеется хотя одна точка из Р.
3. Пусть через Аг обозначена точка кривой 2/=ф (х), соответствующая
правому концу интервала уПх9 и через а обозначена точка этой же кривой,
соответствующая произвольной точке интервала 81# Хорда (аАг) имеет
угловой коэффициент < — 1.
Раз интервал 8Х определен, по доказанному, внутри него содержится
смежный интервал ущ такой, что
!'«,<-2.
Внутри Ьг вблизи интервала ущ определяем интервал 82,
и с теми же самыми свойствами относительно интервала уПг> какие име-

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Ц
ет 8Х относительно уПх. В интервале 82 определяем yn,(fJLn,<— 2) и затем
внутри 82 интервал 83 (8з<Г 2" S2> и т. д.
Ряд интервалов
'ii &2> %z> • • •> К,
таков, что 8П содержит внутри 8^1 и
lim8n = 0.
Отсюда 8Ь 82, 83, . . ., 8Л, ... определяют одну точку £0. Ясно, что 50
принадлежит к множеству Р и не есть конец смежного интервала, так
как £0 есть предел точек множества Р справа и слева (концов 8П, п = 1,
2, 3, ...)
В силу построения ?0 ясно, что мы должны иметь
но ранее имели
Таким образом приходим к противоречию.
Итак, имеем результат:
Не существует непрерывной функции F (х) такой, что
dx
= + оо,
для множества точек меры, большей нуля.
Наоборот, функции F (х), имеющие
dF\ .
для множества точек меры нуль (хотя бы и мощности континуума)
действительно существуют. Легко, в самом деле, дать пример подобной
функции.
Пусть имеем в области 0 ^ х ^ 1 совершенное, нигде не плотное
множество точек Р:
mesP>0.
Пусть все смежные к Р интервалы суть
^1> ^2> ^Зт • • •> иг» • • •
Строим на интервале еп(/г = 1, 2, 3, . . .) как на диаметре половину
окружности в верхней полуплоскости и определяем функцию f (х)
условиями:

12
Н. Н. ЛУЗИН
1# f(x) = 0 для я, принадлежащего к Р.
2. /(я) = ординате соответствующей полуокружности, если х
принадлежит к смежному интервалу.
Ясно, что f(x) есть функция, обладающая свойствами:
1. /(я)>0 для х области 0<£<1.
2. Во всяком интервале есть точки, где /(я)>0.
3. f{x) непрерывна для области 0<^ж<^1.
Рассмотрим теперь функцию F (х), определенную равенством:
F(x) = \f{x)dx для 0<я<1.
Очевидно, что F {х) есть функция непрерывная в области 0<^х<;1,
растущая, не постоянная ни в каком интервале и имеет во всех точках
dF
области 0 •< х <^ 1 производную -г- . Эта производная есть нуль для
всякой точки множества Р. Отсюда уравнение:
определяет у как функцию х:
у=Ф(х).
Легко видеть, что Ф (х) есть функция, обладающая свойствами:
1
1. Ф(х) непрерывна в области 0<^х^у (a) dot..
о
2. Ф (х) растет во всяком интервале этой области.
о. -j— существуют всюду.
, do
4. — =-j-oo во всех точках некоторого совершенного множества гс
меры нуль.
Таким образом видим, что проблема определения первообразной
функции F (х) может быть поставлена только для таких функций / (х),
которые, во-первых, измеримы и, во-вторых, конечны всюду, кроме, быть
может, множества меры нуль. Для таких функций f(x) проблема может
быть вполне разрешена1.
Для получения этого результата необходимо коснуться некоторых
следствий важной теоремы Д. Ф. Егорова об измеримых функциях2»
Согласно этой теореме: Если
1Ъ /2> /з> • • • т/п, • • •
1 Отвлекаясь от множеств меры нуль.
2 Д. Ф. Егоров, Sur les suites des fonctions mesurables. Comptes Rendus,
158, 244—246, 1911.

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13
есть последовательность измеримых функций, сходящаяся в области
O^x^i всюду, кроме, быть может, множества меры нуль, то суще-
ствует в этой области совершенное, нигде не плотное множество Р,
обладающее свойствами:
1. Последовательность Д, /2, /3,.. . ,/л,. . . сходится на Р равно-
мерно.
2. mes P>1 — е, где е>0 и малое по желанию.
Отсюда имеем результат:
Если f(x) есть функция I класса, определенная для 0^"#^1,
то существует в этой области совершенное, нигде не плотное
множество Р, обладающее свойствами: | (С)
1. / (х) непрерывна на множестве Р. |
2. mes jP^>1 —е, где е>0 и малое по желанию. ]
В самом деле, если f(x) есть функция 1 класса, то существует
последовательность непрерывных в области 0<]#<;1 функций
/1> /2> /3» • • • >/л> • • •
такая, что
lim fn(x)=f(x), 0<*<1.
п->оо
Отсюда множество Р9 построенное согласно теореме Д. Ф. Егорова
для последовательности Д, /2, /8, ..., /п,• . •, обладает указанными
свойствами.
Назовем для краткости это свойство функций I класса «(С)-свойством».
Теорема 1. Если всякая функция последовательности
/1> /2» /3> • • • >/П> • • •
обладает (С)-свойством, и
lim /Л(*)=/(*), 0<*<1,
то и f(x) обладает (С)-свойством.
В самом деле, строим согласно теореме Д. Ф. Егорова множество Рф
на котором последовательность Д, /2, /3,.. . ,/Л, • • • сходится равномерно в
mes Р0 > 1 — £ ,
где е>0и малое по желанию.
Далее, строим еще, в силу (С)-свойства, для функции
/Л(п = 1,2,3, ...)

14
Н. Н. ЛУЗИН
множество Рп такое, что /п непрерывна на Рп и
тгзРп>1 — ^2 (п = 1,2,3,...)
Ясно, что точки, общие всем множествам
Pq> Pit Рг> Р$> • • • > Рп> • • • >
образуют измеримое множество П и
тезП> 1 -(£ + £ + £ + ...)= 1 - ^
s
Поэтому в П содержится совершенное, нигде не плотное множество Р
такое, что
mes P >1 — е.
Очевидно, что множество Р удовлетворяет условиям (С)-свойства.
Теорема 2. Всякая измеримая функиия f(x), принимающая в
области О ^ х ^ 1 лишь конечное число значений
2/i, 2/2, Уз, • • •, Ут,
обладает (С)-свойством,
В самом деле, пусть f(x) = yi на множестве Щ (i — 1, 2, 3, . . . m).
Множества 9Jli измеримы и
mesW1+mes2K2 + .. . +mes2)ln = l.
Выбираем в Ш\ множество Р% совершенное, нигде не плотное и такое,
что
mes Pi >(1 — в) mes Щ (£ = 1,2,3, . . ., т).
Множества Pi без общей точки друг с другом. Поэтому /(я)
непрерывна на совершенном множестве
Л + Л + Л> + • • . -Ь Рт-
И так как
i—m i— m
mes 2 ^i =: S mes ^i >
>(1 — e) . 2 mes % =1 — e,
то теорема доказана.
Теорема 3. Всякая измеримая функция f{x), принимающая в
области 0<[а;^1 лишь счетное число значений

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
15»
Уъ У2> Уз> • • • у Уп, • • • ,
обладает (С)~свойством.
В самом деле, пусть / (х) = уп на множестве 93^. Пусть /п (х) есть
функция, определенная условиями:
1. /п (х) = уп на множестве 9Йп.
2. /п (ж) = 0 вне множества Win {п = 1, 2, 3, . ..).
Ясно, что
/(ж) = Нт(/х+/,-г/в+...+/п).
Л—»оо
И так как функция
/l + /l + /s+.-.+/n
обладает (С)-свойством (теорема 2), то и / обладает им (теорема 1).
Теорема 4. Всякая измеримая функция f (x) обладает (С)-свойством*
В самом деле, пусть / (х) — измеримая в области 0*<я^1 функция.
Обозначим множество точек области O^s^l, где
|</(х)<-^- (" = 1,2,3, ...) (i-0,±l,±2,±3, ...),
через Ei (п) и определяем функцию /п условием: /„ (х) = — на множестве
Ei{n) (i = 0,±l,±2, ...)•
По теореме 3 функция /„ обладает (С)-свойством, и так как
f(x) = \im fn(x), 0<я<1,
п—>оо
то по теореме 1 (С)-свойство принадлежит и f{x).
Легко видеть, что имеет место и обратная теорема: .
Теорема 5. Всякая функция f(x)y обладающая (С)-свойством, есть
измеримая функция.
В самом деле, в силу (С)-свойства существует совершенное множество*
РПу на котором f (х) непрерывна, и такое, что
mes/>n>l-i (л =1,2,3, . . .)•
Так как множество Рп совершенное, то существует функция /п (х),
обладающая свойствами:
1. fn{x) непрерывна в области 0^#-<1.
2. \f — fn\ = 0 на множестве Рп (п — 1, 2, 3, . . .)• *
Пусть Нп есть множество точек, не принадлежащих к Рп. Ясно, что
mesRn<± (n =1,2,3, ...).

16
Н. Н. ЛУЗИН
Имеем ряд множеств
/?!, R2) Rsi • • • 1 -Rnt • • •
Пусть R есть множество точек области 0 ^ х ^ 1 такое, что всякая
точка множества R попадает непременно в бесконечное число множеств Я-..
Очевидно:
mes Ж £ + -per + -&РГ + • • •= "^Г Для (* = 2> 3, 4, ...),
т. е.
mes/?= 0.
Но если S не есть точка множества R, имеем
lim/n ($)=/©,
П->00
следовательно, функция / (л:) на множестве точек, не принадлежащих к R,
есть измеримая функция, а, значит, f(x) измерима и во всей области
0<х<1.
Таким образом приходим к результату:
(С)-свойство есть характеризующее свойство для всех измеримых
функций.
Из теоремы 4 легко может быть выведена:
Теорема 6. Для всякой измеримой функции f{x) существует ряд
полиномов
абсолютно сходящийся во всех точках области 0 ^ х ^ 1, кромву быть
может, множества меры нуль, и изображающий f (x) всюду, кроме, быть
может, множества меры нуль1.
Не останавливаясь на доказательстве, переходим к проблеме
первообразной функции [1].
Пусть f(x) — функция, определенная для области 0^з><1, конечная
для всякого х и измеримая. После изложенного выше видим, что на
области O^x^l существует ряд совершенных, нигде не плотных множеств
*1> ^2> ^3 • • • > Рп, • • •
со свойствами:
1. Рт и Рп без общей точки, если тфп (т, п = 1, 2, 3, ♦..).
2. lim mes (Рг + Р2 + Pz + .. . + Рп) = 1.
п-»оо
3. Функция f(x) на Рп непрерывна (л = 1, 2, 3, ...).
1 Мысль о всех этих свойствах измеримых функций была сообщена мне Д. Ф.
Егоровым»

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
17
Так как значения / (х) на Рп (п = 1, 2, 3, ...) представляют
непрерывную функцию, определенную на Рп, то всегда эту функцию на Рп
можно пополнить значениями в точках области О^я-^1, не
принадлежащих к Рп, так, что получим новую функцию
определенную на всей области 0<!а:^1 и обладающую свойствами:
1. /п(х) непрерывна на 0<:я<;1.
2. |/(*)-/п(*)| = 0 всюду на Рп (/г = 1, 2, 3, ...).
к
Рассмотрим функцию \fn(x)dx. Это есть непрерывная функция в об-
о
ласти 0^#<1, имеющая всюду производную, равную /п(з)«
х
Обозначим значения функции \ /Л (х) dx на множестве Рп через
о
Fn(x).
Ясно, что Fn(x) есть непрерывная функция на Рп, имеющая
производную во всех точках множества РПу равную /п(я). В счетном
множестве точек на Рп эта производная существует только с одной стороны—
правой или левой.
Пользуясь функциями
*i(*)> F2(x)t F3{x), . .., Fn(x), ....
определенными на совершенных множествах
М» Ръ Р3» • • • » Рп 9 ♦ ♦ • f
можно построить первообразную функцию F (х) для данной f{x).
Для этого нужен предварительный результат.
Теорема. Если на совершенном, нигде не плотном множестве Р
даны две функции: Ф(х), непрерывная на Р, и функция F(x), непре-
dF
рывная на Р и имеющая во всякой точке Р производную j^ , то су-
ществует на Р функция ^P(tf), обладающая свойствами:
1. W (х) непрерывна на Р и во всякой точке Р имеет производную,
2. -г = / всюду на Р.
dx ах *
3. |Ф (х) — ЧГ(я)|<е во всякой точке Р, е>0 малое по желанию.
В самом деле, Ф (х) и F (х) непрерывны на Р. Поэтому Р можно
разбить на конечное число таких совершенных множеств (без общей
точки друг с другом)
Р'у Р", Р"\ ..., Р{х\

18
H. Н. ЛУЗИН
что колебание (разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции) каждой из функций W (х) и F (х) во всяком
/><*> (i = l, 2, 3, ..., X)
будет < 2 е-
Берем в каждом P{i) (i = 1, 2, 3, . .., X) произвольную, но
определенную точку U к определяем на Р две новых функции
У (х) и Z (х)
условием, чтобы
У = ф(^) на множестве Р(1)»
Z = F (^) на этом же множестве Р(г) (г = 1, 2, 3, .. . , X).
Ясно, что Y (х) и Z (х) непрерывны на Р и во всякой точке Р
dx U> dx u-
Полагая
W (х) = У (#) + 7? (я) — 2 (я), если х принадлежит Р9 видим, что функция
W (ж) обладает свойствами, указанными в формулировке теоремы.
Переходим к построению первообразной функции для данной f(x).
Ряд функций
Л(*), ^W, ^a(4 .... ^nW, ...,
определенных выше, не дает еще возможности непосредственно получить
первообразную функцию для f(x). Ближайшею целью является
изменение этих функций в ряд новых
ЧГЛ*), Vt{x), %(*), -.., ^«(я), ...
так, чтобы их совокупность уже прямо определяла первообразную
функцию для f{x).
Прежде всего полагаем
Ф\ (х) =FX (x), если х принадлежит Рг.
Функция Рг (х) определена только на множестве Рг. Интерполируем
функцию Рг (x) линейно в смежных к множеству Рх интервалах. Если
точка 0 не принадлежит к множеству Pv даем в этой точке
какое-нибудь раз навсегда определенное значение А и интерполируем линейно
между точкой 0 и ближайшей точкой множества Рг. Точно так же
поступаем и с точкой 1, если она не принадлежит к множеству Р1у давая
в ней значение В.
Таким образом получаем из функции Fx (x) новую функцию
Фх (*),
обладающую свойствами:

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
19
1. Фх(#) непрерывна r области 0<^£<^1 и имеет производную всюду,
кроме, быть может, счетного множества точек.
dx ='(х> ВСЮДУ на м» кроме счетного множества точек.
Так как совершенное множество Р2 не имеет общей точки с Р1} то
существует такое S, 8>0, что расстояние любой точки множества Р2 от
любой точки множества Рг больше 8. Отсюда множество Р2 заключено
лишь в конечном числе (пусть рг) смежных к множеству Рг интервалов
(включая два интервала: 1) между точкой 0 и ближайшей точкой Рг и
2) между точкой и 1 ближайшей точкой Р1— если эти интервалы
существуют и содержат точки множества Р2).
Пусть эти интервалы суть
Е'и El El ...,Е^\
и соответственные части множества Р2, заключающиеся внутри них, суть
Р2 (Е[), Рг (Е[), Р2 (Е"[), ..., Pt (E^)-
На совершенном множестве Р2 (-Е^) (i = 1,2, 3,..., рх) функция
Ф^х) непрерывна (линейна). Следовательно, на основании доказанной
теоремы существует на множестве Р2(Е i) функция
обладающая свойствами:
1. ^2г) (х) непрерывна на Р2(Е{^)и во всякой точке этого
множества имеет производную.
j\ir(i) /~\
2. —2diy- = / (х) везде на Р2(Е^).
3. \Фг(х) - ¥21) (х)\ < у • -V всюду на Р2 (Е?) .
(1 = 1,2,3 рх).
Определяем функцию Ф2 (х) на Р2 условием:
W2 (x)=W^ на Р2 (Е?) (i = 1,2,3,. . ., рг) .
Ясно, что W2 (x) непрерывна на Р2 и имеет производную во всякой
точке множества Р2, равную / (х).
Переходим к определению ЧР'зО*)-
Очевидно, что функции: Ф\ (х) на Рг и *F2 (х) на Р2 вместе
определяют непрерывную функцию на совершенном множестве
Pi + Рг,
которая может быть интерполирована линейно [как выше Рг(х)].

20
Н. Н. ЛУЗИН
Обозначим результат этой интерполяция через
Это есть функция со свойствами:
1. Ф2(я) непрерывна в области 0<<2<^1, имеет производную
всюду, исключая, быть может, счетное множество точек.
2. —2 W = j ^ всюду на Рг + Р2, кроме, быть может, счетного
множества точек.
Так как совершенное множество Рь без общей точки с Рг + P2t то Ps
заключено лишь в конечном числе (пусть р2) смежных к множеству
Рг + Р2 интервалов. Пусть эти интервалы суть
Е2, Егг Е2, • • •, Е£% ,
и соответственные части множества jP3, заключающиеся внутри их, суть
Ps (Е2), Ps (E"2), Ps (E'Z) ,...,PS (4P,)) •
На совершенном множестве Р3 (E^l)) (i = 1,2,3,.. ., р2) функция Ф2 (х)
непрерывна (линейна). Следовательно, после доказанной теоремы
существует на множестве PS(E2)) функция
vi4)(*b
обладающая свойствами:
l*Wy(z) непрерывна на PZ(E^) и во всякой точке этого
множества имеет производную.
2. lK =f(x) везде на Р-ЛЕ?).
3. |Ф2 (х) - Ч#> (х)\ < -L- . * всюду на Pz (Е$) .
(1=1,2,3, ..., л).
Функцию
определяем на Р3 условием:
ВД =Ч$> на />, (4iJ) (« = 1,2,3 р2).
Затем переходим к определению ^^(х) и так далее. Вообще, если
процесс дал функции
VxW, «г, (*),¥,(*) ЧГ»(х),
-го

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
21
определяем так: функции ^ на Plt Ч?2 на Р2,.. ., Фп на Рп вместе
определяют непрерывную функцию на совершенном множестве
которую интерполируем линейно. Таким образом получаем функцию
Фп(*),
обладающую свойствами:
1. Фп(х) непрерывна на области 0<^ж^1 и имеет всюду
производную, кроме, быть может, счетного множества точек.
tf Ф
2. —^ = f(x) всюду на Р1 + Р2 + Р3 + . . . + Pnt исключая
счетное множество точек.
Множество Pn+i заключено в конечном числе (пусть рп) смежных к
множеству Рг + Р2 + ^з + • • • + Рп интервалов. Пусть эти интервалы суть
р р" р'п I р\Рп)
-^П» ^Пу &П1 • • •_>-^П »
и соответственные части множества Pn+i суть
Pn+1 [En), Pn+i (Е'п), . Л , Р*+|(4*°).
На совершенном множестве Pn+i {Еп ) (i = 1,2,3, .. . , рп) функция
Фп(х) непрерывна (линейна). Поэтому существует на множестве Pn+i (Е^)
функция
tfnil (X) ,
обладающая свойствами:
1. 4^+1 (я) непрерывна на Pn+i{E{n) и имеет всюду на этом
множестве производную.
dx
3. |ФП (,) - У* (*)|< {Pl + P2 + P3+\.. + Pn_i+i) х
2. " *±1-в/(в) всюду на Pn+i(E*)-
всюду на Pn+i^) (i = 1,2,3, ... ,/>„).
X 2(Pi + Pt + P«H + Pn_i+i,
Функция ЧГп+1 (я) определяется условием:
Фп+1 (ж) = ^it (х) на Рп+, (££>) (г = 1,2,3, ... , рп)
Таким образом получаем ряд функций
Уг(х),У2(х),%(х), ... ,Wn(x), ... ,
определенных соответственно на множествах
^1> ^2: Р$> • • • > Рп* • • •

22
H. H. ЛУЗИН
Первообразная функция F (х) определяется условием:
F (x) =:Urn (я) на множестве Рп (п = 1,2,3, .. .) •
В самом деле, хотя этим условием F (х) определена только на
множестве I категории
Рг + Р2 + Р3 + . . . + Рп + . . .,
всюду плотном на 0<я<С1, можно, однако, по закону непрерывности
определить F (х) и во всех точках области 0 <^ х ^ 1.
Чтобы видеть это, достаточно заметить, что
|Ф„ (X) - Фп+1 (Х)| < -JLf ДЛЯ 0 < X < 1
(« = 1,2,3, ...)•
Следовательно, существует
ИтФ«(х)=Ф(х), 0<я<1
п—>оо
и Ф(х) есть непрерывная функция везде на 0<]я<;1 . И так как
<b(x) = F(x)
на множестве всюду плотном
Л + ^2 + Л> + . . . + Рп + . • • ,
то отсюда следует, что F (х) может быть определена как непрерывная
функция во всей области 0 <! х •< 1.
Функция F(x) есть первообразная для данной f(x).
Чтобы доказать это, рассмотрим систему интервалов, употребленных
выше для построения функций 4Fb*F2, *F3, • • • , ^n, . . . , именно:
Е\ Е\ Е'1 . . . Е[*\
Е2 El Е2 ... Е{£*\
Ег El El ... Е?>\
(Рп)
Еп Еп Еп . . . Е
Всех этих интервалов счетное множество.
Справа и слева присоединяем к интервалу
(i) (1 = 1,2,3, ... урп)
ь* (п = 1,2,3, ... )
по равному отрезку, величина каждого из которых есть
1 ^
9Pi + Pt + - . . + Pn-1 + i

К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
23
Обозначим систему этих двух присоединенных отрезков (включая
четыре их конечные точки) через
#(t)
Таким образом имеем систему:
Hi Hi Н\ ..
Н2 #2 -ЯГ2 • •
#з ^з ^з • •
Нп Нп Нп . .
. #ip'>.
. нр\
. #г-\
Lf(Pn)
Рассмотрим совокупность всех таких точек области 0^я<^1, что
есякая из них попадает непременно в бесконечное количество
отрезков Н{п • Пусть множество всех таких точек есть
Я.
Легко видеть,, что
mesH = 0.
В самом деле, ясно, что Н составляет часть множества:
Нт + Нт + . . . + Нт +
+ Hm+i + ^m+l + #m+t + • • • + Hm+i +
+
где т — какое угодно целое положительное число. Мера же этого аослед-
него множества равна
2
и, таким образом, с ростом т убывает до нуля. Отсюда следует
справедливость сказанного.
Следовательно, удаляя из множества
Л + ^2 + ^з + • • • + Рп + . • .
все точки множества Н, получаем новое множество R и
mes R = 1.
Пусть теперь £ — произвольная, но определенная точка множества Д.
Тогда 5 принадлежит к одному из Рп (л = 1,2,3> . . .)» пусть к Р*.
Имеем
*(5)=Ф*(5)

24
Н. Н. ЛУЗИН
I f(}j+h)-F(Z) Ф* (5 4- h) - Ф* (?) I {/«($+&) —ф*(Е + Л),
| A A I j&l
Если |А| достаточно мало, из определения F (х) следует неравенство:
v 2V v + 1 2V+1 ^ v 2V~* '
где v — число, стремящееся к +оо с убыванием |Л| до нуля.
В то же самое время имеем
|А|>£
для \k\ достаточно малого, так как точка 5 не принадлежит к
множеству Н. Число v в двух последних неравенствах одно и то же.
Отсюда
1 1
**(£ + *) —Ф*($+*)
h
<-*-
2v-i 2
Т = V
2v
для |й| достаточно малого.
Следовательно:
mrn+k)-FM = ИшФ.(с + л)-ФМС) = /(5)
Ь-0 * h-0
Итак, имеем результат:
Для всякой измеримой функции f(x), конечной во всякой точке х об-
ласти 0<х<^1, исключая, быть может, точки множества меры нуль,
существует непрерывная функция F (х) в этой области, имеющая
функцию f(x) своею производною всюду, исключая, быть может, множество
точек меры нуль.
Из теории Лебега следует, что если / (х) не суммируема в
области 0<я<1, то функция F(x) не может быть функцией ограниченной
вариации в этой области. В частном случае, когда / (х) > 0 в области
0<я<1 и не суммируема ни в каком интервале, лежащем в этой
области, тогда F (х) дает нам пример непрерывной функции, имеющей
всюду положительную производную, исключая, быть может, множество
точек меры нуль, и которая в то же время не есть растущая функция
ни б каком интервале области 0^ж<. 1.
Множество
Pi + Р* + Рз + . . - + Рп + . . .
есть множество I категории. Остается, следовательно, открытым вопрос:
существует ли F (х), имеющая f (х) своею производною в точках
множества II категории (хотя бы и меры нуль) [2]?

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ РЯДА ТЕЙЛОРА *
Фату1 и недавно Рисе2 доказали важный результат для теории
рядов Тейлора. Именно: если коэффициенты ряда
/ (z) = а0 + cnz + a2z2 + . . . + anzn + . . .
удовлетворяют условию:
lim | on | = О,
п-*оо
то ряд сходится во всякой точке голоморфности / (z), лежащей на
окружности круга сходимости. Сходимость — равномерная на всякой дуге, не
содержащей особых точек.
Естественен вопрос: условие голоморфности / (z) — существенно ли?
Другими словами, существует ли ряд
<*о + <*iz + а222 + . . . + «п** + . . -
с коэффициентами, стремящимися к нулю, и однако расходящийся во
всякой точке окружности (R = 1)?
В тесной связи с этим вопросом стоит другой: существует ли
тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, и
расходящийся во множестве точек, имеющем меру Лебега, большую нуля?
Последний вопрос был поставлен Фату8, но до сих пор оставался без
решения.
В настоящей заметке даются два примера: один — ряда Тейлора с
коэффициентами, стремящимися к нулю, и расходящегося во всякой точке
окружности (j? = l); другой — тригонометрического ряда с
коэффициентами, удовлетворяющими тому же самому условию и расходящегося вск>
ду, за исключением, быть может, множества меры нуль [3].
Возьмем полином
l + z + z* + ...+iP (/> = (), 1,2,3, . ..)•
* Матем. сборник, 28, вып. 2, 295—302, 1912.
1 P. Fatou, Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Mathematika, 30,
389, 1906.
2 M. Riesz, Ueber einen Satz des Herrn Fatou, Crelle's Journal, 140, 90, 1911.
8 Там же, стр. 398.

26
н. н. лузин
Тогда, полагая
г = е*(0<ср<2тг),
имеем
Из неравенства:
sin (/> + !) -Ту
• Ф
sin-^-
^<
sin а;
ТС ^ | X
получаем для дуги окружности (Я = 1)
тс
<1, где 0 <*<-£-,
/> + !
<?< +
/> + 1
основное неравенство:
sin (/> + !) ^j-
sin-
= (/> + !)
sm(p + l)-|-
(P + Df
2
Ф
siny
>-f (/> + !)•
Делим всю окружность (Я = 1) на (р + 1) равных частей так, чтобы
точка
z = l
€ыла серединой одной из этих частей. Тогда середины всех этих (р + 1)
частей суть
е' р+1 (4 = 0,1,2,3, ... ,п).
Обозначим для краткости
i + z + z2 + ... + *p=e(P)(z) (|z|<i).
Тогда -im* 2
на дуге:
7^T(2A:-l)<(p<7^T(2A + l) (* = «*).
Строим выражение Нр (z) так:
#(р, (г) ={в(р, (z) + z(p+1) в(р, (е_,ТТГ«) +
2я
jp+m
+p»»9we
p + 1
2) + . . .
...+^ + 1>4в(Р)(Г1 >**'*,) +

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ РЯДА ТЕЙЛОРА
27
2л
— г -
..+^(p+,)pe(P)(^p+i •%)}•
1*1 <1.
Видим, что Нр (z) есть полином степени р(р + 2), расположенный по
-степеням z. Развертывая полином Нр (z), нельзя встретить равных
степеней. Все коэффициенты Hv(z) имеют модуль, равный единице.
Полагая для краткости
*?(р) = р(р + 2) 0» = 0,1,2,3,...),
строим ряд чисел
*1» ^2, 'v3> • • • > '-п> • • •
так:
Х1 = ф(0) + 1 = 1а,
Х2 = ф(0) + <1>(1) + 2 = 1Ч-2г,
*з = ф (0) + Ф (1) + 4- (2) + 3 = 1« + 2* + 3*,
*п = ф (0) + 4» (1) + ф (2) + • • • 1- ф (»- 1) + л = I2 + 2* + 3* + .. . + «2,
Тогда ряд
#0 (z) + у=г *• Л о, (2) + -J= г». Я(2) (г) + y=r **• Н3 (г) + . . .
...+-^s*»tf(n) (*) + ...
К п
есть ряд Тейлора, расположенный по возрастающим степеням z. В
самом деле, числа
^1, ^2» ^3> • • • » ^п> ■ • •
подобраны так, что, раскрывая Hn(z) и развертывая ряд, нельзя
встретить равных степеней z. Коэффициенты этого ряда при степенях z
стремятся к нулю. Круг сходимости есть круг (Д = 1).
Ряд расходится во всякой точке круга (Д = 1). В самом деле, если?
есть такая точка, то при делении окружности на (п +1) равных частей
? попадет, по крайней мере, в одну из них. Следовательно, в Нп (z)
найдется такое 0П, что для
z = i
будем иметь
|е(П)| >-!-(»+и,
откуда следует, что
lim
п-*оо
_1 *»+*<»+*> о
(n)
= + оо <* = $).

28
н. н. лузин
т. е. ряд расходится в точке z = 6.
Итак:
существует ряд Тейлора
*0 + °4Z + a2z2 + • • • + «nZn -г . . .
с коэффициентами, удовлетворяющими условию
lim|an| = 0,
п-со
и расходящийся в каждой точке круга сходимости (7? = 1).
Уже построенным только что рядом Тейлора вполне разрешается
проблема Фату о тригонометрическом ряде.
В самом деле, полагая
cf.n = ап + ibn, z = е1*,
имеем
00 СО
2 *nzn = 2 кcos n<f — bnsi& щ) +
n-0 n-0
со
-r i 2 (flnSin no + bn cos дер),
n-0
где lim <2n = 0 и lim. bn = 0.
Wr-^CO П—*CO
Для каждого ф
0<?<2*
один из рядов:
со оо
2j(ancosn<D — 6nsin/icp), 2(anSin/icp + 6n cos тгер),
n-0 n-0
непременно расходится. Точки расходимости каждого из рядов
образуют измеримые множества \ и если мера одного «О, мера другого
непременно ;>тг. Это решает вопрос.
Но можно видеть более, именно, что первый из тригонометрических
рядов расходится всюду, за исключением, быть может, множества точек
меры нуль.
Из равенства:
е(п)«*»)=(4 [1 - cos о,+1) ?]+4- Щ_i"s; i)9}+
+f{-.i-sin(w+1)tp+4-si^'V-cr/1)91)
1 Н. Lebesgue, Sur les fonctions represen tables analytiquement, Joum. deMatb.,
сер, 6, т. 1, 1905.

OB ОДНОМ СЛУЧАЕ РЯДА ТЕЙЛОРА
29
(0<ср<2к),
получаем, полагая z = el*f ср ~ZTT " Ф> ^ + * (л + !•) = Рп,
—i —-г»&
Яее1^г^+к^е(п)(е~ n+1' z) }=
С 1 6
= 7Г = 7ГС08т
зш(л + 1)-|-
cos
К* + .-тг)^ + (» + 1)-1
где
|С|<2.
Для дуги круга {R = 1)
7^т(2А-1)<сР<т^т(2Л + 1)
имеем
и, следовательно:
Reel | • • • }
К"»
>
1*1<тт-1
(« = 1,2,3,...)
Полагая
Y п +
(-!<*< + !),
га = 6т (т = 1,2,3,...),
превращаем предыдущее неравенство в
\**{---}-тг
>
Vn
COS1CX
ы-^+ш
В интервале
точки, где
(4 = 0,1,2,3,....л).
— 1 <а;< + 1
<sin
In п
|«*«[* + (ттт + т-)]
составляют множество меры
Следовательно, на дуге
7rfT(2A-l)<?<irfT(2A+l)

30
H- H. ЛУЗИН
соответственные точки имеют меру
<НГТ--КПГ (*-0,1,2.3,....п)
и на всей окружности (R = 1)
<16- -г^-.
^ In п
Следовательно, вне точек множества меры
<16- yi-
^ In л
имеет силу неравенство
\ReelV ■ ■ J ~ vT К" ' Sin ИПГ ^ X ' "iTn
(A = 0,l,2,3,...,n).
Отсюда, действительная часть построенного выше ряда Тейлора не
может сходиться на множестве точек меры, большей нуля.
Итак:
существует тригонометрический ряд
оо
2j (An cos пх + Вп sin лиг)
с коэффициентами, удовлетворяющими условию:
lim An = 0, lim £п = 0,
71- ^СО 71—^ОЭ
и расходящийся всюду, исключая, быть может, множество точек меры
нуль.

К АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ*
Известно, какую важность имеет понятие меры множества точек для
теории тригонометрических рядов Фурье. Только им пользуясь, можно
сообщить важным свойствам этих рядов законченную форму. Примером
может служить теорема Фишера — Рисса1.
В частном случае предметом особого внимания должна быть связь
между мерою множества всех точек сходимости тригонометрического
ряда и свойствами его коэффициентов. В настоящей заметке имеется в
виду, во-первых, обобщение теорем Г. Кантора и Фату относительно
сходимости тригонометрических рядов и, во-вторых, свойства точек их
абсолютной сходимости, после работы Фату2, занимающих совсем особое
место.
Теорема Г. Кантора
Согласно теореме Г. Кантора,
«Если тригонометрический ряд
оо
2 Дп cos nx -f- bn sin nx
о
сходится со всякой точке какого-либо интервала,
тогда необходимо имеем одновременно:
lim ап = О, Нт Ьп = 0».
п—5»оо п->оо
Легко видеть, что условие сходимости во всякой точке интервала не
существенно, и что имеет место следующая более общая теорема:
* Матем. сборник, 28, вып. 3, 461—472, 1912.
1 Е. Fischer, Sur la convergence en moyenne, ComptesRendus, 144,1022—102/ir
1907; F. Riesz, Sur les systemes orthogonaux de fonctions, Comptes Rendus, 144,
615—619, 1907.
2 P. F a l о u, Series trigonometriques et series de Taylor, These, Acta Mathematics,
30, 398—400, 1906.
|
[(A)

32
H. H. ЛУЗИН
«Если тригонометрический ряд
со
^anzosnx + bnsinnx
о
сходится на множестве меры, большей нуля, тогда
необходимо имеем одновременно:
1101^ = 0, lim6n=0».
(В)
В справедливости этой последней теоремы (В) убеждаются, беря дока-
зательство Лебега1 для теоремы Г. Кантора (А). В самом деле, хотя
Лебег формулирует только теорему (А), однако из его доказательства
следует справедливость и теоремы (В).
Дадим доказательство теоремы (В), упрощая его помощью теоремы
Д. Ф. Егорова о последовательностях измеримых функций2.
Итак, пусть тригонометрический ряд
со
2 о-п cos пх + t>wsin пх
о
сходится на мпожестве 9Я и mes 9Л>0. В силу периодичности членов
ряда множество всех точек его сходимости, лежащих в области
0*<:г<2тс, есть множество также меры, большей нуля.
Пусть это множество есть $Яг:
mesSK^O.
Так как ряд сходится на 9КХ, имеем
lim I ancosnx + bnsinnx\ = О, для я, принадлежащих ЗЯХ.
п—>со | I
На основании указанной теоремы Д. Ф. Егорова множество Шг
содержит в себе совершенное множество Р со свойствами:
1. mesP = /?>0.
2. lim I On cos nx + bn sin nx I = 0, равномерно, если х принадлежит Р.
Напишем общий член ряда в виде pn cos п (х — On). Если не имеем
одновременно
lim ап = 0, lim bn = О,
то можно найти такой ряд целых и положительных чисел пъ п2, щ,.. .
пи ..., что будут иметь место неравенства:
Ртч>Д>0 (* = 1,2,3,...).
1 Н. Lebesgue, Legons sur les series trigonometriques, 1906, стр. 110»
* Д. Ф. Егоров. Sur les suites des fonctions mesurables. Comptes Rendus, 152,
244-246, 1911.

к абсолютной сходимости тригонометрических рядов 33
Отсюда множество всех точек области 0-<x<2ic, для которых имеет
место неравенство
I ?гц cos п{ (х — ощ) | < R sin -£- (i = 1,2,3,...),
имеет меру
i*sin-|- i*sin-g-
4 arc sin < 4 arc sin 5 = -£- .
Следовательно, вне множества меры, меньшей -£-, имеет силу обратное
неравенство
| ft* cos п, (ж — *щ) |>i?sin-|- (1 = 1,2,3,...).
Итак, на совершенном множестве Р всегда найдется такая точка ?0
для которой
ащ cos nfo + Ъщ sin nfo I > Д sin -|- (i = 1,2,3,.. .),
а это противоречит свойству 2 множества i°.
Таким образом, если коэффициенты ряда не стремятся к нулю, ряд
расходится всюду, кроме, быть может, множества меры нуль.
Последняя оговорка необходима, так как такие ряды могут иметь в
оо
точки сходимости. Ряд 2 sin/i!:r, указанный Риманом, сходится для вся-
1
кого х, соизмеримого с тс, следовательно, сходится в счетном множестве
точек. Но можно дать пример другого характера. Так, можно доказать,
что ряд
оо .
2 sin/1^
1
сходится на множестве точек мощности континуума 1 категории, всюду
плотном. Сходимость ряда в точках этого множества абсолютная, более
быстрая, чем сходимость ряда:
1 л- * л. 1 jl о. 1 -4-
Обобщение теоремы Фату
Фату1 впервые доказал следующую теорему об абсолютной
сходимости тригонометрических рядов:
1 Loc. citM стр. 399 (сноска а на стр. 31).

34
н. н. лузин
«Если ряд
оо
21 <*n cos nx + in sin пх |
о
сходится во всех точках какого-нибудь интервала, тогда два ряда
оо оо
О 1
сг/тъ также сходящиеся».
Мы имеем теперь в виду обобщить эту теорему, доказав
следующее свойство тригонометрических рядов:
Если ряд
оо
21 ancos ля + 6nsin ш: |
о
сходится на множестве точек меры, большей нуля, тогда оба ряда
00 ОО
О 1
суть также сходящиеся.
Написав общий член тригонометрического ряда в виде
pnC0S7i(# — On),
допустим, что ряд
оо
2 | pn COS П (X — Хп) |
о
сходится во всех точках множества ЗЛ меры, большей нуля. Как выше,
можем предположить, что множество ЗЙ лежит в области 0-<:г<2тс.
В силу теоремы Д. Ф. Егорова во множестве 5Ш содержится
совершенное множество Р, обладающее свойствами:
1. mes Р = />>0.
оо
2. Ряд ^}pnoosn(x — ап) | сходится равномерно на Р.
о
Полагая
оо
S (х) = 2 Pn| cos л (я — о») |,
о
видим, что S (х) есть непрерывная функция на Р и £ (х) ^ 0.
Поэтому можно взять интеграл Лебега от 5 (х), распространяя era
на все множество Р.

К АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 35
Имеем
оо
2 Pn \ I cos п (х — On) | dx = ]S (x) dx.
Op p
Так как точки области 0^х<^2к, для которых имеет место
неравенство
| cos л (ж— an)|<sin^- [п = 1,2,3,. ..),
образуют множество меры
4 arc sin -J- = -j> >
то множество всех точек множества Р} для которых имеет место обрати
ное неравенство
|cos п (х — ап) | > sin -|- ,
имеет меру ;> -у . Откуда
J | cosп (х — ап)\ dx^>-%- -sin -|-
р
и, следовательно,
оо оо
2 рп$ | сos n (х — вя) | dx > -£- sin -|- • 2 Рп.
О р "О
Значит,
о»
Црп< .fo(s)<fa,
0 !TsiD 8 Р
СО
т. е. ряд 2 Рп сходится, и, следовательно, оба ряда
о
оо оо
2 w.2w
О 1
сходятся одновременно.
Свойства точек абсолютной сходимости
Рассмотрим ряд
оо
/ (х) — 2 a" cos ля; + ^п sin /г#.
о
Пусть £ есть точка, где ряд сходится абсолютно»
Полагая
Ап (х) = ап cos пх + bn sin ля,

36
Н.Н. ЛУЗИН
имеем
Лп{х +А) +An(x-h)— 2Ап(х) = -4 sin2 ^г • Ап (*),
откуда
оо
О
По условию ряд
Q
сходится, следовательно, / (£) есть конечная определенная величина, и ряд
оо
2jAn(fy • sin2-у также сходится. Поэтому, если ряд
о
оо
2 Дп cos л# + bn sin я#
о
сходится для I + к, он также сходится и для 5 — h и, если его
сходимость в £ + h будет абсолютная, такой же будет сходимость и для 6 — А.
Это интересное свойство точек абсолютной сходимости было указано
Фату1 и формулировано им так: «Точки сходимости и расходимости
тригонометрического ряда симметрично расположены относительно точек
его абсолютной сходимости».
Этот результат Фату позволит нам указать еще одно свойство точек
абсолютной сходимости, но для этого необходимы предварительные
рассмотрения.
Прежде всего ясно, что если в области 0 ^ х < 2к имеем счетное число
точек абсолютной сходимости, то множество всех точек абсолютной
сходимости будет всюду плотным.
Рассмотрим в области 0^x<^2tz какое-нибудь измеримое множество
5Ш. Пусть £ есть какая-либо точка этой области и X — интервал, имеющий
своим левым концом точку £. Обозначим меру той части множества SW,
которая заключена в S через ^(8).
1. Если mes ЗЙ > 0, тогда в области 0 <; х < 2% найдется такая
точка S, что
lim М*> _ а
«-о $ ~~ х-
В самом деле, пусть ср (х) функция, определенная в области 0^ж<2гс
условиями:
1) ср (х) =: 1. если х принадлежит к Зй.
2) ср (х) = 0, если х не принадлежит к ЯД.
1 Loc. cit., стр. 398 (сноска * на стр. 31).

К АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
37
Рассмотрим \y(x)dx. Согласно Лебегу, это есть непрерывная функция,
о
имеющая функцию ср (х) своею производною всюду, кроме, быть может,
множества меры нуль. Поэтому, есть такая точка £, что
S+5
\ ф (х) dx
lim-i-^ = 1.
8-0 6
5+*
И так как j cp (x)dx = ^(8), то предложение доказано.
2. Если mes9Jt<2ir, тогда в области 0<^x<^2iz всегда найдется
такая точка S, что
11аД^-0.
В самом деле, согласно предыдущему, существует такая точка 6, что
d г
5^ cp (x) dx = 0 для х = S.
о
Теорема. Если измеримое множество Яй имеет в области 0 <[ х < 2тс
счетное число точек симметрии, тогда или mes3Ji = 0, или mes2X = 2ir.
Пусть мера множества ЗЛ удовлетворяет неравенству
O<mes$0l<2iT.
Тогда, согласно с предыдущим, найдутся Две такие точки ?х и 52 и
такое число S, достаточно малое, что
—s—>ТИ » <Х*
Всегда можно предположить, что S < ~2"^2 — Si!-
Беря точку ог0
видим, что если х0 есть точка симметрии, то
пЛЩ =Н, (8).
Если же #0 не есть точка симметрии, то всегда можно найти такую
точку симметрии xlt которая будет как угодно близка к х0. Отсюда
постоянное число {j^i (S) разнится как угодно мало от постоянного числа
ft5t (S), т. е. всегда имеем
к?. (*) = «.(*).

38
н. н. лузин
что противоречит неравенствам
* >Т И 8 <~3~
Так как точки абсолютной сходимости тригонометрического ряда
являются точками симметрии для множества всех точек его сходимости, то
приходим к результату:
Теорема. Всякий тригонометрический ряд, имеющий в области
0^#<С27г счетное число точек абсолютной сходимости, есть ряд или
всюду сходящийся, за исключением, быть может, множества меры нуль,
или есть ряд всюду расходящийся, исключая, быть может, множество
меры нуль.
Ясно, что если ряд
оо
^ancosnx + bnsinnx
о
имеет две точки абсолютной сходимости Ьг и £2 такие, что разность
$2 — 5Х несоизмерима с ic, то точки абсолютной сходимости будут и во
всяком интервале. Отсюда
Теорема. Если тригонометрический ряд
00
2 Яп cos nx 4- bn sin nx
имеет две точки абсолютной сходимости, расстояние которых
несоизмеримо с тс, то такой ряд или сходится всюду, или расходится всюду,
исключая, быть может, множество меры нуль.
Рассмотрим один частный случай. Пусть имеем ряд
b± sin 2x + b2 sin 22x + bz sin 2zx + . . . + bn sin 2nx + . ..,
где коэффициенты Ьг b2 b3. . . bn. . . произвольны. Ясно, что ряд сходится
абсолютно для х вида
к
А, т — произвольные целые числа.
Отсюда этот ряд, каковы бы ни были его коэффициенты, или всюду
сходится, или всюду расходится, исключая множество меры нуль. Итак,
существуют неполные тригонометрические ряды, которые при любом
выборе их коэффициентов могут только или всюду сходиться, или всюду
расходиться, исключая множество меры нуль.

К АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ*
Чтение заметки Данжуа (Comptes Rendus, 8 июля 1912) навело меня
на мысль резюмировать здесь результаты по сходимости
тригонометрических рядов, уже опубликованные мною в «Математическом сборнике»
(28, вып. 3, 461, 1912), в статье, озаглавленной: «К абсолютной
сходимости тригонометрических рядов».
Я позволю себе сначала воспроизвести одно доказательство общей
теоремы, которое кажется мне проще доказательства Данжуа.
Теорема. Если тригонометрический ряд
со
-у* + 2 ancos.nx + bnsinnx
n-l
абсолютно сходится для всех точек х множества положительной меры,
оо оо
то сходятся и оба ряда 2 \ап\ и 2 l^nl-
n=l n-l
В самом деле, пусть ряд
оо
'У + 2 Pn|cos (пх + ап)\, рп - УЩЛК
сходится для всех точек х множества Е положительной меры. В силу
важной теоремы Д. Ф. Егорова (Comptes Rendus, 158, 244—246, 1911)
существует совершенное и неплотное множество Р, обладающее
следующими свойствами:
оо
1. Ряд -у- + 2 Pn]cos (пх + ап)\ сходится равномерно на этом множестве Р.
п—1
2. Мера множества Р положительна (пусть mesP = р^>0).
Обозначим сумму ряда через S (х). Легко видеть, что для этого
множества Р можно написать
оо
\ S (х) dx = ^р + %оп \ |cos (пх + an)\dx,
Р п-1 Р
где интегралы взяты в смысле Лебега.
* Sur l'absolue convergence des series trigonometriques, Comptes Rendus, 155,
510—582, 1912.

40
н. н. лузин
С другой стороны, мы всегда имеем
\ | cos (пх + ап) | dx > у sin ^ (п = 1, 2, 3, . . .).
р
Следовательно,
Значит, ряд Vpn сходится (что и требовалось доказать).
п-1
Сверх того, можно показать, что наличие точек абсолютной сходимости
оказывает значительное влияние на не абсолютную сходимость
тригонометрического ряда.
Прежде всего, в силу результатов Фату (Acta Mathematica, 30, 398,
1906), точки сходимости, расходимости и абсолютной сходимости попарно
симметричны относительно каждой точки абсолютной сходимости.
С другой стороны, легко убедиться в том, что каждое измеримое
множество точек, расположенных на отрезке [0,2 тс], и имеющее бесконечное
множество точек симметрии, будет или меры нуль, или меры 2тс.
Таким образом мы получаем следующую общую теорему.
Каждый тригонометрический ряд, имеющий на отрезке [0,2тс] счетное
множество точек абсолютной сходимости, или всюду сходится или всюду
расходится, кроме, быть может, точек множества меры нуль.
Если ряд имеет деточки абсолютной сходимости, разность аргументов
которых несоизмерима с тс, мы выведем отсюда существование таких точек
на всяком отрезке. Как следствие, мы получим:
Каждый тригонометрический ряд, имеющий две точки абсолютной
сходимости, расстояние между которыми несоизмеримо с тс, или всюду
вводится, или всюду расходится, кроме, быть может, точек множества
меры нуль.
со
Например, легко видеть, что ряд J\ Ъп sin 2"x всегда имеет счетное
n-i
множество точек абсолютной сходимости.
Следовательно:
Существуют неполные тригонометрические ряды, которые, каковы бы
ни были их коэффициенты, или всюду сходятся, или всюду расходятся,
кроме, быть может, точек множества меры нуль.
Поэтому было бы очень интересно построить пример
тригонометрического ряда, который сходился бы на множестве положительной меры,
меньшей 2тс [1].
Повидимому, если такой ряд существует, то он не будет рядом Фурье
в собственном смысле. Чрезвычайно вероятно, что каждый ряд Фурье
соответствующий функции с суммируемым квадратом, сходится всюду,
кроме, быть может, точек множества меры нуль [2].

О СВОЙСТВАХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ*
Чтение интересной заметки Бореля (Comptes Rendus, 12 февраля 1912)
навело меня на мысль резюмировать здесь результаты об измеримых
функциях, уже опубликованные мною по-русски в Математическом сбор-
нике (т. XXVIII, 2, 1911), в статье, озаглавленной «К основной теореме
интегрального исчисления».
Пусть /х(х)у /2(х),..., fn(x)>~- — последовательность измеримых
функций, которую мы предполагаем сходящейся и стремящейся к
предельной функции / (х) для всех точек х отрезка 0 <^ х <^ 1, за исключением,
быть может, точек множества меры нуль. В силу важной теоремы Д. Ф. Егот
рова (Comptes Rendus, 30 января 1911) существует совершенное и
неплотное множество Ру обладающее следующими свойствами:
1. Последовательность Д, /2,..., /«,... равномерно сходится к / (х) на
этом множестве Р.
2. Мера множества Р больше 1 — е(е>0и сколь угодно мало).
Предполагая, что /п (х) — многочлен (п = 1, 2, 3,...), мы получим
следующий результат: если / (х) — функция первого класса (следуя,Бэру),
определенная на отрезке 0<^#<:1,
то на этом отрезке существует совершенное и неплотное множество Р
со свойствами:
1. Функция f(x) непрерывна на Р (относительно Р)\
2. Мера множества Р больше 1 — е, е>0 и сколь угодно мало.
Назовем это свойство функции / (х) «С-свойствомж Мы получаем
теорему:
Если каждая функция последовательности flt /2,...,/*,... обладает^
«С-свойством», то предельная функция f (x) также обладает «С-свойством»,
В самом деле, следуя теореме Д. Ф. Егорова, возьмем совершенное
неплотное множество Р0, на котором последовательность сходится
равномерно и mes Р0 >> 1 — |j, e>0 и сколь угодно мало. Возьмем далее,
в силу «С-свойства», совершенное неплотное множество Рп (л=1,
2, 3,...), на котором/л (х) непрерывна (относительно Рп) и mes ZV>1—~п+г *
* Sur les proprietes des fonctions mesurables, Comptes Rendus, 154, 1688—
1690, 1912.

42
н. и. лузин
Все точки, общие всем множествам Р0, Pv Р2,--, очевидно, образуют
измеримое множество Е и mes 2?>1 — (-§г+ |г+...) — 1 — ^-.Следовательно,
множество Е содержит такое совершенное неплотное множество Р, что
mes jP>1 — е. Мы видим, что это множество Р удовлетворяет «С-свойству»
(что и требовалось доказать).
Отсюда следует, что «С-свойство» принадлежит не только функциям
первого класса, но и всем функциям классификации Бэра. Но можно
увидеть больше, а именно, что каждая измеримая функция обладает этим
«С-свойством» и, обратно, что каждая функция f(x), обладающая «С-свой-
ством» является измеримой функцией.
Таким образом мы получаем следующую общую теорему:
Если j(x) — измеримая функция, определенная на отрезке 0<^с<Г1,
то на этом отрезке существует совергиенное неплотное множество Р,
обладающее свойствами:
1. Функция f (х) непрерывна на Р (относительно Р).
2. Мера множества Р больше 1 — е, е>0 и сколь угодно мало.
Как следствие, мы получим
Если f (х)—измеримая функция, определенная на отрезке О ^ х ^ 1, то
существует ряд многочленов 2^"(#)> абсолютно сходящийся к функции
(х) для всех точек отрезка 0<]а:><1, за исключением, быть может,
точек множества меры нуль.
Легко видеть, что этот результат является обобщением знаменитой
теоремы Вейерштрасса-Пикара о представлении непрерывных функций.
Эти результаты позволили мне доказать две следующие теоремы:
ЯР
I. Не существует непрерывной функции F (х), длякоторой — = + оо
dF
или -д- = — оо на множестве точек не нулевой меры.
II. Общая теорема. Если f(х) — измеримая функция,
определенная на отрезке 0^х<^\ и конечная всюду, за исключением, быть
может, точек множества меры нуль, то существует такая непрерывная
на всем отрезке 0*<#^1 функция F(x), которая имеет f{x)
обыкновенной производной во всех точках, за исключением, быть может, точек
множества меры нуль.
Таким образом можно сказать, что проблема отыскания примитивных
функций разрешена, если пренебрегать множествами меры нуль.

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛА ДАНЖУА *
I. Хорошо известно, что понятие интеграла Лебега тесно связано с
понятием функции с ограниченным изменением. Кроме того, мы знаем,
что понятие определенного интеграла было расширено Данжуа в
недавней заметке (1 апреля 1912 г.) Цель настоящей заметки — показать, что
понятие интеграла в смысле Данжуа немедленно приводит к новому
классу непрерывных функций, которые естественно назвать функциями
с обобщенным ограниченным изменением,
П. Пусть F (х) — функция, непрерывная на отрезке [a, b] (а<6);
пусть Р — совершенное множество (плотное или нет), заданное на [а, Ь].
Обозначим через 2 систему конечного числа (пусть TV) отрезков
(Е) Дь Д2, Д3, .. . , А*,
которая обладает следующими свойствами:
1. Отрезки Дг и Д3- (гф/) не имеют общих точек.
2. Каждая точка множества Р является точкой одного из этих
отрезков (включая концы).
3. Каждый отрезок Д{ содержит внутри (в широком смысле) хоть одну
точку множества Р.
Обозначим через Mi и mi максимум и минимум функции F (х) на
отрезке Ai (i = 1, 2, 3, ..., N) и образуем сумму v
i-N
v= *2i(Mi—mi).
i-l
Мы скажем, что функция F (х) есть функция с ограниченным изменением-
на совершенном множестве Р, если существует такое конечное число Кч
что мы всегда имеем
v<K,
какова бы ни была система отрезков Е. имеющая указанные свойства.
Из этого определения легко выводится, что число v стремятся к
определенному пределу, когда мера системы 2 стремится к мере множества Р
* Sur les proprietes de l'integrale de M. Denjoy, Comptes Rendus, 155,1475-^1477,
1912.

44
н. н. лузин
и когда максимум длины отрезков Дх, Д2, А3, . . ., Д# стремится к
нулю. Мы обозначим этот предел через Vp (vP<^K) и назовем его полным,
изменением функции F (х) на совершенном множестве Р.
Мы скажем, что функция F (х), непрерывная на [а, Ь), есть функция
с обобщенным ограниченным изменением на [а, 6], если, каково бы ни
было совершенное множество Р> расположенное на [а, Ь], всегда
существует отрезок Д, имеющий следующие свойства:
1. Точки, общие отрезку Д и множеству Р, образуют совершенное-
множество. Обозначим его через Рд.
2. Функция F (х) есть функция с ограниченным изменением на
множестве Рд.
III. Эти весьма элементарные определения позволяют получить
следующие результаты:
Теорема I. Каждый неопределенный интеграл Данжуа есть
непрерывная функция с обобщенным ограниченным изменением.
Теорема II. Каждая функция F (х), непрерывная и с обобщенным
ограниченным изменением на отрезке [а. Ь], имеет конечную производнуюу
за исключением точек множества меры нуль.
Теорема III. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
непрерывная и с обобщенным ограниченным изменением функция F(x) была
неопределенным интегралом Данжуа от своей производной, состоит в том,
чтобы полное изменение vP функции F(x) (предполагаемое существующим)
было равно нулю на каждом совершенном множестве Р меры нуль.
Легко видеть, что интеграл Данжуа и функции с обобщенным
ограниченным изменением представляют аналогию с интегралом Лебега и функциями
с ограниченным изменением.
IV. Можно было бы продолжать эту аналогию до теории
тригонометрических рядов, но в этом случае она неполна. В самом деле, мы имеем
следующую теорему:
Теорема. Если F(x) — непрерывная функция с обобщенным
ограниченным изменением на отрезке [О, 2 тс], то тригонометрический ряд Фурье
для функции F(x) сходится всюду, за исключением, быть может, точек
неплотного множества меры нуль.
Наконец, для применения интеграла Данжуа к теории
тригонометрических рядов достаточно доказать для этого интеграла вторую теорему о
среднем значении:
Теорема. Если f(x) — функция, тотализуемая на [а, Ь], иф(х) —
функция, непрерывная и монотонная на [а, Ь], то мы имеем равенство
ь i ь
J/ (х) Ф (х) dx = Ф (a) J / (х) dx + Ф (b) J / (х) dx,
a a %
где a <!$<; b и интегралы взяты в смысле Данжуа.
Ее доказывают шаг за шагом (см. цитированную заметку Данжуа).
Отправляясь от этой теоремы, можно без труда обобщить понятие ряда
Фурье.

О СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ФУРЬЕ*
I. В настоящей заметке я ставлю себе целью вывести необходимое и
достаточное условие для сходимости почти всюду всякого
тригонометрического ряда Фурье от функции с суммируемым квадратом.
Рассмотрим два сопряженных тригонометрических ряда:
2 #п cos пх + Ъп sin пх
п-1
2 — Ьп cos пх + ап sin nx,
(1)
(2)
П-1
где ряд ^cin + bn сходится. В силу теоремы Фишера^.Рпсса эти триго-
п-1
номстрические ряды являются рядами Фурье от двух функций с
суммируемым квадратом, f(x) и g(x)y что дает место равенствам:
On = — J / (a) cos па йт. = — \g (а) sin na da,
71 о о
Ьп = — } / (а) sin па da = —^ g (а) cos na da:
(3)
Следовательно, обозначая через Sn(x) сумму
2 a.vcos /г# + ^sin kz,
Л-1
мы можем написать
7V
2tg4
>ы>
2 sin •
da.
* Sur la convergence des series trigonometriques de Fourier, Comptes Rendus, 156,
1655—1658, 1913.

46
H. Н. ЛУЗИН
Отсюда, для сходимости почти всюду на (0,2тс) ряда (1) Фурье до-
статочно, чтобы мы имели одновременно:
±h(*+*)-H*-*)da==f{x)
о 218-5-
те
почти всюду, где интеграл определен, как limf;
е
те
II. lim \—— cos па da = О
п->оо о а
почти всюду.
Мы покажем, что оба эти условия, I и II, являются в то же время
необходимыми для сходимости почти всюду ряда (1) Фурье.
2. Рассмотрим сначала природу условия I. Для этого предположим,
что g(x) — непрерывная функция на (0,2ir). Очевидно, что существование
те
интеграла J ——*>~-&х~~*) да эквивалентно существованию интеграла
2tg|
^g(* + «)-*(«-«Jф. Вообще |g(« + «)-g(«-«)|He будет оставаться огра-
ничейной, когда а стремится к нулю. В самом деле, можно построить
такую непрерывную функцию g (x), что
F|g(*+ «)-*(*—«)
с?a = + °°
для множества точек х положительной меры. Мы, напротив, покажем, что
те
i £Ч£—a)—g[x— tt) ^ всегда существует почти всюду, какова бы ни была
о а
функция g(x) с суммируемым квадратом. Следовательно, этот интеграл
обязан своим существованием некоторого рода интерференции бесконеч-
__« х g(x+ °0—£(#—а)
ных положительных и отрицательных значений функции — ——
в окрестности а = 0.
Можно рассматривать эту интерференцию как причину сходимости
всех тригонометрических рядов Фурье.
3. Рассмотрим гармоническую функцию
00
2 рп (Яп cos nx + bn sin nx).
п-1
В силу формул (3) мы имеем тождественно, для 0 <] х <] 2гс и 0 *< р < 1

О СХОДИМОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ
47
2тг 2тг
1 [ 4(„\ * — Р* л * С / \ ^Р Sin (a—s) ,
2S } ^ l-2Pcos(«-*) + P'da = Ж J *W l-2Pcos(a-*) + P»da'
Интеграл в левой части равенства является интегралом Пуассона,
который соответствует функции с суммируемым квадратом; следовательно,
этот интеграл почти всюду стремится к /(х), когда р стремится к
единице. Отсюда, следуя рассуждению Фату (Acta Mathematica, 30, 360,
1906) и применяя «(С)-свойство» функции g(x) (моя заметка, Comptes
Rendus, 17 июня 1912), мы без труда доказываем, что интеграл
— \Л±*—^1—£А£—^i daстремится ночти всюду к /(я), когда в стремит-
2tg-2"
ся к нулю, для каждой функции g(x) с суммируемым квадратом.
4. Так как условие I удовлетворяется для каждой функции / (х) с
суммируемым квадратом, легко видеть, что условие II необходимо и
достаточно для сходимости почти всюду ряда Фурье (1). Чрезвычайно
вероятно, что условие II также выполняется для каждой функции f(x) с
суммируемым квадратом, и, следовательно, что каждый тригонометрический
ряд Фурье, который соответствует функции с суммируемым квадратом,
всегда сходится почти всюду. Здесь следует отметить существенную разницу
между случаем суммируемой функции и случаем функции с
суммируемым квадратом: в самом деле, можно построить такую суммируемута
функцию
оо
/ (х)~ 2 ап cos пх "т" Ьп sin nx9
n-l
что сумма сопряженного ряда
00
2 — Ьп cos nx -f an sin пх
будет функцией несуммируемой ни в каком интервале на (0, 2тг) и,
следовательно, не тотализуемой в смысле Данжуа.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД* [4]
(Диссертация)
ВВЕДЕНИЕ
1. Обычно противополагают классический анализ и теорию функций
действительного переменного. Хотя главный объект, с которым имеет
дело та и другая ветвь математики, один и тот же, именно, понятие
функции, есть, однако, существенная разница в тех способах, которыми
пользуются для изучения функции анализ и теория функций.
В то время как функции классического анализа являются данными
посредством тех или других уравнений, разложений в ряды и т. д., говоря
вообще, являются определенными тою или другою системой аналитических
выражений, формул, в это самое время теория функций действительного
переменного отправляется от самого общего определения понятия функции,
данного Дирихле, понятия функции, как соответствия, совершенно
независимо от того, каким образом это соответствие на самом деле может быть
установлено.
Но понятие функции, ставящееся таким образом, слишком обще,
чтобы быть источником многих предложений. Почти не существует теорем,
относящихся к этому общему определению функции. Поэтому, для того
чтобы можно было идти вперед и строить различные теории, образующие
математические дисциплины, теория функций действительного переменного
вынуждена ограничить поле своих исследований и обратиться к
рассмотрению более или менее широких классов функций.
Каждый такой класс функций определяется посредством некоторого
данного a priori свойства, относящегося к течению величин функции,
к ее строению, структуре. Зная это структурное свойство,
характеризующее класс функций, теория функций действительного переменного выводит
из него другие свойства, которыми обладают все функции
рассматриваемого класса. Таким образом, например, изучаются классы функций
непрерывных, монотонных, интегрируемых, функций с ограниченным
изменением, точечно-разрывных, обладающих в каждой точке производною,
и т. д.
Таким образом, основная разница в методе изучения функции анализом
и теорией функций состоит в том, что классический анализ извлекает свой-
Впервые напечатана в 1915 г., Москва.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
49
ства функции из свойств тех аналитических выражений и формуя,
которыми она определена, тогда как теория функций действительного
переменного выводит свойства функции из того свойства, которое a priori
характеризует рассматриваемый класс функций.
Здесь вполне уместен вопрос: какова применимость результатов теории
функций действительного переменного? Имеют ли результаты теории
функций существенное значение для других математических дисциплин
и, прежде всего, для классического анализа? Нужно иметь в виду, что
при современном состоянии знания метод классического анализа, метод
употребления аналитических выражений лежит в основе почти всякой
математической дисциплины; поэтому та теория, которая не соприкасается,
прямо или косвенно, с аналитическими выражениями, такая теория
неизбежно занимает изолированное положение среди других ветвей
математики.
Поэтому, если не хотят, чтобы теория функций действительного
переменного была теорией замкнутой в себе и не оказывающей влияния на
другие математические теории, нужно поставить в связь аналитические
выражения, с одной стороны, определения и понятия теории функцдй
действительного переменного — с другой стороны. Этим путем естественно
приходим к следующей задаче, связывающей анализ и теорию функций:
Дано структурное свойство функции. Найти аналитические
выражения, изображаюгцие эту функцию.
Решение этой задачи в отдельных частных случаях вполне возможно.
Достаточно указать на известную теорему Вейерштрасса о представимости
всякой непрерывной функции равномерно-сходящимся рядом полиномов
или на то, что всякая функция, непрерывная с ограниченным изменением,
представима равномерно-сходящимся тригонометрическим рядом.
Но легко видетьг что для классического анализа эта только что
поставленная задача не имеет основной важности. В. самом деле, эта задача
отправляется от класса функций и ищет представляющее функцию
аналитическое выражение. Но метод теории функций действительного
переменного есть по преимуществу логический метод, и те классы
функций, которые, следуя этому методу, встречаются первыми, являясь
логически наиболее важными и простыми, могут совсем не играть важной
роли для других математических дисциплин и для классического анализа,
развитие которого, как известно, было в значительной степени обязано
задачам, поставленным естествознанием. Поэтому для анализа
несравненно ббльшую важность имеет следующая вторая задача, обратная
первой:
Дан класс аналитических выражений. Найти необходимое и.
достаточное структурное свойство функций у изображаемых $тп'мг .классом
аналитических выражений.
Возможность решения этой задачи в различных частных случаях
показана важными работами Р. Бэра. В 1898 г. Бэр дал следующий

50
H. Н. ЛУЗИН
замечательный результат: для того чтобы функция f(x) была суммою сходя-
со
гцегося всюду ряда полиномов J\ Pn(z)> необходимо и достаточно, чтобы
п—1
функция f(x) была точечно-разрывной на всяком совершенном
множестве1.
Поставленная общая задача имеет большое значение для анализа.
Всякий раз, как нам удается найти искомое необходимое и достаточное
структурное свойство функций, изображаемых данным классом
аналитических выражений, мы вместе с тем получаем критерий для того, чтобы
судить a priori о том, будет ли представима или нет какая-либо данная
функция / (х) этими аналитическими выражениями. Другими словами,
найденное структурное свойство характеризует данный класс
аналитических выражений и показывает изобразительную мощность рассматриваемых
аналитических выражений.
2. Следуя этому пути, открытому Бэром, можно встретить много
интересных проблем; среди этих проблем наибольший интерес
представляют задачи, связанные с тригонометрическими рядами.
Хотя система тригонометрических функций
-.y,cosz, cos2z, cos3z, ..., cosnx, ...;
sin я, sin2:r, sin За:, ..., sinnx, ...
является лишь частным случаем ортогональной системы функций, однако
изучение этой частной системы функций представляет значительный
интерес ввиду тех особенных свойств, которые присущи именно этой
системе функций2. Так, подобно этому среди всех действительных чисел
представляет особый интерес изучение целых чисел. Нужно заметить, что
теории тригонометрических рядов математическое знание обязано многими
общими понятиями и определениями; между прочим, теория
тригонометрических рядов послужила исходным пунктом для работ Г. Кантора.
Следуя пути Бэра, естественно поставить следующую задачу
относительно тригонометрических рядов:
Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция
f (х) была представима тригонометрическим рядом, т. е. чтобы мы имели
со
/ (х) оэ -^ + 2 апcos пх + bn sinnx 3.
1 R, В aire, Comptes Rendus, 12G, 884—887, 1898; «Sur les fonctions des
variables reelles» (Annali di Matematica, сер. Ill, t. 3, 62, 1899).
2 Дифференцирование и интегрирование тригонометрической системы функций
приводят с точностью до постоянных множителей опять к этой же системе функций.
Интересно было бы знать, существует ли другая ортогональная система функции с этим
свойством [5]..
3 Символ Гурвица; мы пишем / (х) сг>Ц + ^ ап cos пх + Ъп sin nx всякий раз как
71=1
ряд, стоящий направо, суммируем каким-либо процессом к функции / (а?).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 51
Цель предлагаемой работы есть рассмотрение вопросов,
группирующихся около этой задачи.
3. Поставленная таким образом задача эквивалентна задаче изучения
тригонометрического ряда вообще и представляет большие трудности,
так как анализ в настоящее время не обладает достаточно общим методом
для этого изучения. Относительно общего тригонометрического ряда
у нас нет почти ничего, что можно было бы сказать. Поэтому естественно
на первое время стараться ограничить область исследования и
рассматривать классы тригонометрических рядов, наиболее доступные для
изучения. Таким классом является класс тригонометрических рядов Фурье.
Как известно, тригонометрическим рядом Фурье называется ряд
со
7 + ^dncosnx + bn sin nxy
п--=1
коэффициенты которого определены формулами Фурье
ап = i \ f (a) cos па da (п = 0, 1, 2, 3, . . .),
о
Ьп = — \ / (а) sin па da (п = 1, 2, 3, . . .)•
Изучение тригонометрического ряда Фурье представляет несравненно
бблыпую доступность, чем изучение общего тригонометрического ряда,
так как'сумма Sn(x) первых п + 1 членов ряда Фурье может быть записана
в виде
, 2* sin(n + -я-) а
Sn(x) = i$/(* + a) -i f^-rfa,
о 2 sin у
и, таким образом, многие вопросы, например, вопросы о сходимости,
суммируемости ряда Фурье, сводятся к изучению структуры функции f (х),
рассмотрение же коэффициентов ряда делается в этих вопросах излишним1.
Этим путем классической теорией получены многочисленные результаты.
Поэтому естественно желать ограничиться первое время изучением
лишь класса рядов Фурье и искать границы этого класса или признак,
отличающий тригонометрический ряд Фурье от тригонометрического ряда
не-Фурье. Но, следуя этому пути, мы встречаемся с большою трудностью.
4. Понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определенное и
устойчивое, но всецело зависит от понятия определенного интеграла. Пряякмая
в формулах Фурье все более и более общее определение интеграла (Коши,
1 Самое трудное в теории тригонометрических рядов — это исследование закона
течения величин коэффициентов ряда. Проще иметь дело со строением функции, чем
с законом величин коэффициентов.

32
Н. Н. ЛУЗИН
Римана, Дирихле, Гарнака, Лебега, Данжуа), мы расширяем все более
и более класс тригонометрических рядов Фурье.
Формулы Фурье имеют в виду решение следующей задачи анализа:
Зная сумму тригонометрического ряда, определить его коэффициенты.
Но, как бы ни казалось общим определение интеграла, данное Данжуа1,
оно не в силах решить этой задачи анализа, так как можно установить
существование таких, сходящихся тригонометрических рядов, сумма
которых не интегрируема в смысле Данжуа ни в каком интервале, как бы мал
он ни был. И так как, с другой стороны, нет никакого характеристического
свойства, которое отличало бы коэффициенты ряда Фурье от коэффициентов
тригонометрического ряда не-Фурье2, то нужно думать, что деление
тригонометрических рядов на ряды Фурье и не-Фурье не лежит в сущности
вещей, а обязано вообще лишь незнанию в настоящий момент достаточно
общей операции интегрирования [6].
Отсюда естественно желать найти наиболее общее определение понятия
интеграла с тем, чтобы расширить до возможных пределов класс
тригонометрических рядов Фурье. Этим задача о тригонометрических рядах,
их сходимости, суммируемости и свойствах функций, изображаемых ими,
тесно связывается с задачею о нахождении возможно более общего
определения понятия интеграла.
Предлагаемая работа рассматривает вопросы в этом направлении.
5. Укажем вкратце план работы и задачи, которые мы наметили
разрешить.
В первой главе мы делаем общий обзор строению и свойствам измеримых
множеств и измеримых функций. Этот обзор нам необходим для
дальнейшего. Основной результат этой главы, опубликованный нами ранее3,
касается строения произвольной измеримой функции. Согласно этому
результату всякая измеримая функция есть непрерывная функция, когда
пренебрегают множеством меры как угодно малой.
Во второй главе мы приступаем к отысканию примитивных функций.
Так как каждый неопределенный интеграл есть примитивная функция
для данной, то, стремясь найти самое общее определение интеграла, мы
естественно приходим к задаче: найти необходимое и достаточное условие
для того, чтобы данная функция имела примитивную.
Мы даем в этой главе полное решение этой задачи, которое
формулируется так: для того чтобы данная функция имела примитивную,,
необходимо и достаточно, чтобы она была измеримой и конечной почти всюду *.
1 A. D e n j о у, Sur un extension de Tintegrale de M. Lebesgue (Comptes Rendus,
1 апреля 1912 г.) и Calcul de la primitive de la fonction derivee la plusgenerale (Comptes
Rendus, 22 апреля 1912 г.).
* С точки зрения их числовых величин.
3 Sur les proprietes des fonctions mesurables (Comptes Rendus 17 июня 1912). См.
также Матем. сборник, 28, вып. 2, 282, 1912) (В настоящем издании, т. I, стр. 41 и
15,— Ред.)
4 «Почти всюду», т. е. за исключением множества меры нуль»

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
53
В качестве приложения этой теоремы мы даем общее решение задачи
Дирихле о гармонической функции для крута в том ранее нерассматривав^
шемся случае, когда значения этой функции на окружности —
произвольная всюду разрывная неограниченная функция.
В третьей главе мы переходим к отысканию характеристических свойств
неопределенных интегралов. Так как каждая данная функция имеет
бесконечное множество примитивных функций, не отличающихся друг от
друга на постоянную, то естественно возникает вопрос, какая именно из
всех этих примитивных есть неопределенный интеграл, чем именно
последний отличается от всех других примитивных? Мы даем полное решение
этого вопроса для случая неопределенного интеграла Лебега и Данжуа»
Для случая неопределенного интеграла Лебега характеристическое
свойство таково: неопределенный интеграл Лебега есть кривая1 с наименьшей
длиною из всех примитивных кривых. Для того чтобы решить этот вопрос
для неопределенного интеграла Данжуа, мы были вынуждены обобщить
понятие функции с ограниченным изменением.
Конец этой главы посвящен определению интеграла, недавно
предложенному Борелем2. Мы показываем; что это определение менее обще, чем
определение Данжуа.
Вопрос, изучаемый в четвертой главе, далеко не решен нами с тою»
полнотою, с какой решены задачи в предыдущих главах. В этой главе мы
ставим задачу об отыскании в самом общем случае неопределенного
интеграла в семействе всех примитивных для данной функции. Не решив этой
задачи во всей общности, мы ограничиваемся изложением частных
результатов, найденных нами по этому вопросу: именно, мы определяем тот узкий
класс примитивных, в котором естественнее всего искать неопределенный
интеграл.
Далее, мы показываем, что в бесконечном множестве случаев
примитивные, получаемые почленным интегрированием рядов, принадлежат
именно к этому узкому классу примитивных, определенному нами в этой
главе.
В конце главы мы приходим к обобщению понятия о производной,
имеющему значение для теории тригонометрических рядов.
В пятой главе мы изучаем вопросы, на первый взгляд не связанные
с предыдущими, а именно, вопросы о сходимости тригонометрических
рядов. Цель этой главы — подготовка к задаче изображения [функций
тригонометрическими рядами. После краткого обзора найденных нами
ранее результатов о расходящихся тригонометрических рядах 3 мы даем
1 Мы прибегаем к языку геометрии.
2 В о г е 1, Comptes Rendus, 150, 375 и 508,1910. См. особенно: В о г е 1, Le calcul
des integrates defimes, Joura. de Math., 201, 1914.
8 См. нашу статью: Ueber еше Potenzfreihe (Rendiconti del Circolo Matematico di
Palermo, 1911) или Матем. сборник, 28, вып. 2, 295, 1912 (В настоящем издании
т. I, стр. 25.— Ред.).

54
Н. Н. ЛУЗИН
необходимое и достаточное условие для сходимости тригонометрических
рядов Фурье — Лебега.
Это условие приводит нас к новому свойству измеримых множеств, не
выводимому из известных свойств множеств.
Вместе с тем мы получаем решение задачи: зная значения гармонической
функции на окружности, найти на окружности значения сопряженной
гармонической функции. Мы даем формулы, непосредственно решающие
вопрос.
Конец главы посвящен результатам Вейля, Гобсона и Планшереля
относительно сходимости ортогональных рядов п невозможности
обобщения теоремы Парсеваля.
Наконец, в шестой главе мы доказываем основную теорему, согласно
которой всякая данная измеримая функция представима
тригонометрическим рядом, суммируемым одновременно методами Пуассона и Римана
к данной функции.
Так как всякая измеримая функция имеет бесконечное множество
тригонометрических рядов, изображающих ее, то законно поставить
задачу: среди множества всех пригонометрических рядов, изображающих
данную функцию, определить один, наиболее тесно связанный с
изображаемой функцией. Мы не смогли решить этой задачи в общем случае и
ограничиваемся лишь указанием на то, что всякое частное решение этой задачи
дает решение задачи отыскания неопределенного интеграла, и указанием
вероятных результатов. Далее мы даем теорему о возможности
интегрирования почленно тригонометрических рядов ке-Фурье — Лебега. Глава
кончается рассмотрением теории Римана тригонометрических рядов, тесно
связанной с поставленными задачами.
Часть результатов, содержащихся в этой работе, была напечатана в
Comptes Rendus в сообщениях Академии от 17 июня 1912 г., 23 сентября
1912 г., 23 декабря 1912 г., 2 июня 1913 г. и в статьях, помещенных в Ren-
diconti del Circolo Matematico di Palermo, 1911 г. и в Матем. сборнике,
28, 266-294, 295-302, 461-472, 1912.
Николай Лузин
Глава I
СТРОЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
1. Прежде чем приступить к главному предмету исследования, мы
вынуждены предварительно рассмотреть строение и свойства измеримых
множеств и измеримых функций. Мы ограничиваемся классом измеримых
функций и множеств потому, что никогда не встретимся с неизмеримым!

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
55
функцией и множеством1. В силу работ Бэра и Лебега2 всякая
определенная операция анализа, всякое аналитическое выражение приводят в
результате непременно к измеримому множеству и измеримой функции3.
Так, например, множество всех точек, где существует конечная
производная от какой-нибудь непрерывной функции F (х), есть всегда измеримое
множество. Измеримым же множеством будет множество всех точек
сходимости какого-либо ряда, например, тригонометрического; множество
всех точек абсолютной сходимости какого-нибудь тригонометрического
ряда тоже есть измеримое множество и т. д., и т. д.
Никакая определенная операция анализа не выведет нас за пределы
области измеримых функций и множеств. Можно сказать, что границы
области измеримых множеств и функций суть, вместе с тем, и границы
анализа.
Строение измеримых множеств
2. Назовем нуль-множеством всякое множество, мера которого равна
нулю. Во многих вопросах теории функций и анализа можно абсолютно
ь
пренебрегать нуль-множествами. Так, например, интеграл Лебега \ /(a) da
а
не меняет своей величины, если мы произвольно изменим функцию / (х)
на каком-нибудь нуль-множестве. Многие теоремы анализа продолжают
иметь силу, когда пренебрегают нуль-множествами. В дальнейшем, именно
в теории тригонометрических рядов, мы не раз встретимся с такого рода
теоремами.
Строение нуль-множеств не поддается изучецию4. Но если отвлечься
1 Самое существование неизмеримого множества не является общепризнанным.
Всякое построение примера неизмеримого множества необходимо должно употребить
принцип произвольного выбора (аксиома Цермело). А этот последний принцип
вызывает серьезные сомнения, так как, повидимому, он стоит в тесной связи с парадоксами
абстрактной теории множеств.
Никакой частный пример неизмеримого множества не может быть определенным
с тою полнотою, которую Кронекер требовал вообще для всякого математического
определения. См. по этому поводу: Cinq lettres sur la theorie des ensembles (Bull, de
la Soc. math., 33, 261—273, 1905). Lebesgue, Contribution a Tetude des correspon-
dances de M. Zermelo (Bull, de la Soc. math., 35, 202—212, 1907). R u s s e 1, §ur les
axiomes de Tinfini et du transfini (Bull, de la Soc. Math., 1911) и В or el, Le calcul
des integrates definies (Journ. de Math., 159—210, 1914).
2 В a i r e, Sur les fonctions des variables reelles (Annali di Matematica, серия III,
3, 1899). Lebes gue. Sur les fonctions representables analytiquement (Journ. de
Math., серия б, 1, 139—216, 1905).
3 Точнее: к множествам и функциям, измеримым в смысле Бореля [7].
4 Причина этого вполне понятна. Чтобы видеть это, рассмотрим совершенное
множество Р меры нуль, лежащее в области (0<х<1). Известно, что точки множества
Р можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с точками области (0<]у^!1)
столь простым образом, что, зная строение множества У, лежащего на (0^у <1), мы
знаем и строение соответствующего ему множества X, лежащего на Р. Ео в.то время
как множество У может быть произвольным точечным множеством, даже неизмеримым,

.56
Н. Н. ЛУЗИН
от нуль-множеств, изучение строения измеримых множеств легко может
быть доведено до конца. Здесь имеют место следующие два предложения1.
Теорема 1. Во всяком измеримом множестве 9Л меры jj., ц >0г
содержится такое совергиенное множество Р, что
mes Р > р. — е,
еде е > 0 как угодно мало.
Теорема 2. Всякое измеримое иножество 9Й меры, большей нуля,
есть сумма конечного или счетного числа совершенных множеств Ръ Ръ
Рг,...у не имеющих попарно общих точек, и нуль-множества VI.
Следовательно, в силу этой теоремы, можем писать:
т = (Рг + р2 + р^ ...)+%
где mes 91 = 0.
Эта теорема имеет большое значение, выясняя строение измеримого
множества меры, большей нуля. Важность этого предложения заключается
в том, что каждое совершенное множество нужно рассматривать как
абсолютно элементарное множество, понятие и свойства которого столь же
просты, как понятие и свойства отрезка прямой. Множество же, которое
есть сумма счетного числа совершенных множеств, есть множество,
наиболее простое после совершенного. Таким образом, согласно
предыдущему в каждом измеримом множестве 9R меры, большей нуля, всегда
можно выделить простую главную часть (Pi + А + Рз + ...), мера
которой равна мере ЗЛ. Что касается до нуль-множества % то, как было
сказано, во многих вопросах анализа им можно абсолютно пренебрегать.
3. Точки плотности и точки разрежения2. Пусть 9Л есть измеримое
множество, лежащее в области [0,1]. Пусть £ есть какая-нибудь точка,
находящаяся внутри этой области, и пусть 8 есть интервал,
содержащий £ внутри. Обозначим через р.(о) меру множества всех
точек SOT, лежащих на о. Мы говорим, что S есть точка плотности
множества 9Л, если отношение стремится к единице, когда длина о
стремится к нулю. Аналогично, скажем, что I есть точка разрежения
множества SK, если это отношение стремится к нулю вместе с длиной 8.
Чтобы выяснить смысл введенных определений и терминологии,
рассмотрим какую-либо точку плотности £i. В этом случае, начиная с
достаточно малого о, имеем вбегда неравенство
MS)
mes 8
>!-•,
соответствующее ему множество X есть всегда нуль-множество, будучи частью Р.
Отсюда изучение строения нуль-множества эквивалентно изучению произвольного
точечного множества, вообще, неизмеримого.
1 Оба эти предложения легко выводятся из теоремы Ш. Валле-Пуссена, данной
в его Cours d'analyse infinitesimale (второе издание, т. I, стр. 250, § 269). (В русском4
переводе: Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, § 78, стр. 63.— Ред.).
2 См. A. Den jo у, Comptes Rendus, 1913.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 57
где е > 0 как угодно мало. Отсюда заключаем, что всякий достаточно
малый интервал S, охватывающий точку плотности, является настолько
насыщенным точками множества SK, что мера множества их лишь
бесконечно мало отличается от меры всего интервала 8, принимая длину
последнего за единицу. Аналогично, если \2 есть точка разрежения, имеем
mesa ^ '
откуда видим, что интервал о настолько беден точками ЗЙ, что множество
их имеет меру, бесконечно малую относительно длины интервала 8.
Если mes 5W = 1, всякая точка области [0,1] есть точка плотности, и
если mes 2R = 0, всякая точка есть точка разрежения. Относительно же
множеств с промежуточной мерой имеет место предложение:
Теорема. Всякая точка-множества 9№, 0<mes 9Й<1, кроме
нульмножества, есть точка плотности, и каждая точка, не принадлежащая
к 2И, кроме нуль-множества, есть точка разрежения.
В самом деле, пусть f(x) есть функция, равная 1 на 9К, и равная 0 вне 9Л.
X
Интеграл Лебега F (х) = \ /(a) da есть, очевидно, непрерывная функ-
0
ция, имеющая F'(x) = 1 почти всюду1 на SK и имеющая F'(x) = 0 почти
всюду вне 2Я. Пусть £ есть точка, для которой /"((•) = 1. Обозначая через
8= (a, b), a<^b, интервал, содержащий S внутри, видим, что отношение
F(b)-F(a)
Ь-а
стремится к 1, когда точки а и Ъ стремятся к I. Но в силу определения
интеграла Лебега приращение F (b) — F (а) в данном случае есть мера
всех точек множества 9Л, находящихся на (а, Ь); отсюда заключаем, что
отношение -^-^ стремится к 1, когда о стремится к нулю. Следовательно, £
есть точка плотности для Яй. Аналогично находим, что всякая точка £,
для которой F'(%) = 0, есть точка разрежения для ЗИ.
4, Выше (§ 2) мы рассмотрели строение измеримого множества с точки
зрения входящих в него множеств. Теперь естественно спросить, каково
геометрическое расположение измеримого множества на отрезке [0, 1]?
Здесь мы встречаемся с тем интересным фактом, что никакое измеримое
множество ЗЯ меры р., 0<н-<1, не может геометрически быть равномерно
расположенным на области [0, 1]. В самом деле, для такого множества 9Я
в силу предшествовавшей теоремы существует на [0, 1], по крайней мере,
одна точка плотности £х и одна точка разрежения £2- Отсюда заключаем,
что в области [0, 1] имеются два интервала Ьх и 2>2 равной длины и
1 Выражение почти всюду имеет здесь и в дальнейшем точный,- строго,
определенный смысл: мы говорим, что какое-либо явление имеет место «почти всюду* всякий
раз, когда это явление происходит всюду, кроме, быть может, множества меры нуль.

58
Н. Н. ЛУЗИН
неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками 2Й, а другой,
наоборот, беден ими. Таким образом, всякое измеримое множество меры не О
и не 1 не будет равномерно покрывать область [0,1 ], но будет лежать на ней
как бы сгустками, неоднородно, будучи слишком уплотненным в одних
частях этой области и слишком разреженными других *. Это дает
представление о характере геометрического расположения измеримых множеств
на отрезках. Из всех измеримых множеств, лежащих в области [0, 1],
одни только множества меры 0 или 1 являются однородно расположенными
на этой области.
Аналогия измеримых множеств с отрезками
5. Уже из предыдущего параграфа можно отметить сходство
измеримого множества, лежащего в области [0, 1], с конечной системой Е
отрезков, лежащих на этой же области, если их сумма будет меньше единицы.
В самом деле, в этих условиях имеем в области [0,1] частные интервалы
то сплошь покрытые точками системы Е, то совершенно пустые, лишенные
совсем точек этой системы Е. Аналогично обстоит дело и с измеримыми
множествами, как мы видели выше; только в этом случае в области [0,1]
имеются частные интервалы, то почти сплошь состоящие из одних только
точек этого измеримого множества, то почти лишенные этих точек.
Но эта аналогия имеет еще смутный качественный характер и лишена
точного метрического определения. Можно, однако, видеть больше.
Свойства измеримого множества 9R меры jj., р. > 0, представляют почти
совершенную аналогию с свойствами одного целого отрезка той же самой
длины р. Из многих аналогичных свойств мы укажем два главнейших
в следующей схеме:
1) Два лежащих на [0,1]
отрезка Дх и Д2, сумма длин которых есть
S, S>1, пересекаются по отрезку
длины^-S—1.
2)ЕслиД1, Д2,..., Ап,... есть
счетная последовательность отрезков,
длина каждого из которых
превышает а, а>0, то существует на [ОД]
отрезок 8, длины ;> а, каждая точка
которого покрывается бесконечным
числом отрезков Дп(л=1, 2, 3, ...).
1) Два лежащих на [0,1]
измеримых множеств 9Й1 и SDfe, сумма
мер которых есть S, £>1, имеют
общую часть Mepu^S — 1.
2) Если аЛ^ЭЛа, ...,9Яп, ... есть
счетная последовательность
измеримых множеств, мера каждого из
которых превышает а, а > 0, то
существует на [0,1] измеримое
множество т меры ^ а, каждая точка
которого покрывается бесконечным
числом измеримых множеств Шп
(п= 1,2,3,...).
1 На этом именно свойстве и основан пример Ван-Влека неизмеримого множества.
См. Van Vleck, Non-measurable sets of points with an exemple (Trans. Am.
Math. Soc, 9, 237—244, 1908). Lennes, Concerning Van Vleck's non-measurable
set (там же, 14, 109—112, 1913). Пример Ван-Влека неизмеримого множества, как
и всякий другой, требует допущения принципа произвольного выбора.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
59
Эти свойства1 и другие позволяют рассматривать измеримое множество
Utt меры р, ji>0 как отрезок длины р, находящийся, выражаясь образно,
в раздробленном состоянии. В теории тригонометрических рядов мы не
раз встретимся с подтверждением правильности такого взгляда.
Теорема о последовательностях функций
6. Прежде чем перейти к строению измеримых функций, мы должны
рассмотреть теорему Д. Ф. Егорова относительно сходимости
последовательности измеримых функций. Эта теорема имеет большое значение
для многих вопросов анализа (например, в вопросах сходимости
тригонометрических рядов) и для теории функций, в особенности для тех ее отделов,
где пренебрегают нуль-множествами, как, например, в общей теории
интеграла. Эта же теорема позволяет проникнуть почти до конца в строение
произвольной измеримой функции.
Мы ограничиваемся лишь формулированием теоремы, отсылая для ее
доказательства к работе автора.
Рассмотрим последовательность измеримых функций /х, /2, /3, ...,/п» •••>
каждая из которых есть конечная и определенная почти всюду на некото-
тором измеримом множестве WI меры ft, ^ >0 функция. Пусть эта
последовательность сходится к конечному определенному числу / (х) для всякого
х из ЗЯ, кроме, быть может, нуль-множества. В этих условиях имеет
место следующее предложение2.
Теорема Д. Ф. Егорова. Каково бы ни было малое
положительное число е, множество SK всегда содержит в себе такое совершенное
множество Р, mes P>\l— е, на котором последовательность Д, /2, /3, ...,
/п, ... равномерно сходится.
Этот результат сильно упрощает всю сложность сходимости
последовательностей измеримых функций, так как понятие равномерной
сходимости есть наиболее простое понятие.
Как очевидное следствие этой теоремы имеем: Если последовательность
измеримых функций Д, /2, /3,..., /п,... сходится почти всюду на множестве
ЭД, mes 9Я = ft > 0, множество 2Й есть сумма счетного числа
совершенных множеств Ръ P2t ^V-> не имеющих попарно общих точек, и таких,
что на каждом из них в отдельности последовательность сходится
равномерно, и нуль-множества 9£, т. е.
дд = (Рг + Р2 + Р* +...) + % mes» = 0.
1 Доказательства которых можно найти, например, у Ш. Валле-Пуссена, Cours
d'analyse infinitesimale (второе издание, т. I, стр. 251, § 270). (В русском переводе:
Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, § 81, стр. 66.— Ред.).
2 Д. Ф. Егоров, Sur les suites des fonctions mesurables (Comptes Rendus,
152, 244—246, 1911). См. также: W. H. Young, On successions whose oscillation is
usually finite (The Quarterly Journal of Mathematics, 44, 129, 133, 1913); Encyobpi-
die des Sciences Mathematiques, т. II, ч. 1, вып. 2, стр. 223.

60
H. H. ЛУЗИН
Строение измеримых функций
7. Измеримые функции, которые мы будем рассматривать, мы
предполагаем определенными и конечными почти всюду на [0,1]. Все теоремы,
которые мы имеем в виду здесь привести, легко могут быть обобщены на
тот случай, когда функции заданы не на области [0,1], а на произвольном
измеримом множестве 2Я, mes ЗЯ = р>0. Но мы не станем вводить этого
обобщения, чтобы не усложнить изложения.
Введем для изучения структуры измеримых функций следующее
определение, имеющее для нас большое значение. Мы говорим, что функция
/ (х), рассматриваемая in abstracto, определенная и конечная почти всюду
на [0,1], обладает на [0,1] (С)-свойством, если, каково бы ни было
положительное число е, малое по желанию, существует на [0,1] совершенное
множество Р, обладающее следующими двумя свойствами:
1. Функция / (х) есть функция, непрерывная на Р. 1 ^
2. mes Р>1 -е. J U
В нашей работе, помещенной в журнале «Математический сборник* 1Т
мы доказали следующее предложение:
Теорема. Для того чтобы функция f (х), конечная почти всюду на
[0,1], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы она
обладала (Сусвойством.
Следовательно, (С)-свойство является характеристическим свойством
для класса всех измеримых функций, конечных почти всюду. Таким
образом, принимая во внимание определение (С)-свойства, мы приходим
к следующему основному результату:
Основная теорема. Для того чтобы функция f (х), конечная
почти всюду на [0,1], была измеримой функцией, необходимо и достаточно,
чтобы, как бы мало ни было положительное число е, существовало на
[0, 1] совершенное множество Р, обладающее свойствами:
1. / (х) непрерывна на Р.
2. mes P>1 — е.
Как очевидное следствие этой теоремы имеем: Если f (x) есть измеримая-
функция, конечная почти всюду на измеримом множестве SOT, mes SOT = fi > 0,
множество SOT есть сумма счетного числа совершенных множеств Рг, Р2, Pz,...,
не имеющих попарно общих точек, и таких, что на каждом из них в
отдельности функция f(x) есть непрерывная функция, и нуль-множества У1, т. е~
W={P1 + P2 + P8+...) + %mes$l = 0.
8. Эти результаты2 позволяют глубоко проникнуть в строение про-
1 См. Матем. сборник, 28, вып. 2, 280, 1912. См. также Comptes Rendus: «Sur
les proprieties des fonctions mesurables», 17 июня 1912 г. (В настоящем издании т. I,.
стр. 15 и 41.— Ред.).
2 Мысль об этих свойствах измеримых функций была сообщена пне Д. Ф.
Егоровым. См. Матем. сборник, 28, вып. 2, 282 1912. (В настоящем издании т. I, стр. 16.—
Ред.).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
61
изволъной измеримой функции, конечной почти всюду. Рассмотрим, в
самом деле, какую-нибудь измеримую функцию / (х)} конечную почти всюду
на [0,1]. Пусть Р есть совершенное множество, на котором/(ж) есть
непрерывная функция, mesP>l— е. Пусть оь 82, 83, ..., 8П, ... суть все
смежные1 к множеству Р интервалы. Строим в каждом 8Л (п = 1, 2, 3, ...)
линейную функцию, имеющую в концах 8П те же самые значения, как и
функция / (х). Рассмотрим теперь новую функцию /х (х), определенную на
[О, 1] следующими условиями:
1- fi(x) = Кх)> ^сли х принадлежит к Р.
2. /а (х) равна значению соответствующей линейной функции,
построенной на 8П, если х принадлежит к 8П (п = 1, 2, 3, ...), Очевидно, в силу
построения функция /г(х) есть непрерывная функция на целой области
{0,1]. Отсюда приходим к результату: какова бы ни была измеримая
функция f(x), конечная почти всюду на [0,1], ее значения на некотором
совершенном множестве меры, большей 1 — е, получаются путем взятия значений
от непрерывной на всей области [0,1] функции f1{x).
Это можно выразить еще несколько иначе, сказав, что всякая измеримая
функция / (х), конечная почти всюду на [0,1], получается из непрерывной
на всей области функции f± (x) путем деформации последней на счетном
множестве отрезков, сумма длин которых не превышает е.
Этот результат дает представление о течении значений измеримой
функции в области [0,1]. Но можно пойти и далее.
Рассмотрим совершенное множество Рп (п = 1, 2,3,...), о котором была
речь в конце § 7. Образуя2 для множества Рп только что указанным
приемом непрерывную на всей области [0,1] функцию fn{x), совпадающую
с / (х) на Рп, и линейную на смежных кРп интервалах, приходим, очевидно,
к результату:
Значения произвольной измеримой функции f (ж), конечной почти всюду
на [0,1], получаются всюду, за исключением множества меры нуль, путем
взятия значений от счетного числа функций fl9 /2, /s, ...,.нв которых
каждая непрерывна на всей области [0,1].
Легко видеть, что справедливо и обратное, именно, что всякая, функция
/ (х), получающаяся этим путем, есть измеримая функция, потому что
обладает (С)-свойством.
Таким образом в тех вопросах, где пренебрегают множествами меры,
меньшей е, или нуль-множествами, вместо измеримой функции / (х)
достаточно рассматривать одну только функцию, непрерывную на всей
области [0,1], или счетное число таких функций. Так как понятие и
свойства непрерывной на [0,1] функции суть наиболее простые, то этим
замечанием во многих вопросах анализа и теории функций достигается
значительное упрощение, потому что этим обходят рассмотрение всей сложности
разрывов измеримых функций и сводят дело к рассматриванию только
1 Термин Бэра «intervalle contigu».
2 Принимая за множество WI всю область [0,1].

62
Н. Н. ЛУЗИН
непрерывных, функций. Произвольная измеримая функция, т. е. наиболее
общая и единственно возможная1 функция анализа, оказывается, не
содержит, несмотря на все свои разрывы, ничего в своей структуре кроме
классической непрерывности, если, понятно, пренебрегают нуль-множествами.
9. Дифференциальное свойство измеримых функций* Основная
теорема § 7 об измеримых функциях дает возможность притти к определенным
заключениям и относительно течения произвольной измеримой функции
/ (х) в бесконечной близости с точкой области [0,1].
Рассмотрим для этого совершенное множество Р, mes Р > 1 — е, на
котором / (х) есть непрерывная функция. Пусть £ есть точка плотности
(§ 3) этого множества. Возьмем какой-либо малый интервал 8, содержащий
Е внутри, и будем рассматривать длину о как бесконечно малое первого
порядка. Так как S есть точка плотности множества Р, то сумма длин всех
смежных к Р интервалов, имеющих точки на о, есть бесконечно малое-
порядка выше первого. Отсюда заключаем, что функция / (х) получена из
непрерывной функции путем деформации последней около точки ? на
счетном числе отрезков, общая сумма которых есть бесконечно малое"
порядка выше первого.
Множество всех точек £, обладающих этим свойством, есть множество
меры 1, так как часть этого множества* лежащая на Р, имеет меру Р (§ 3)г
a mes Р > 1 — е, и е мало как угодно.
Отсюда заключаем, что, отвлекаясь от бесконечно малых порядка выше
первого, измеримая функция тождественна с непрерывной функцией в
бесконечной близости со всякой точкой области [0,1], кроме, быть можетг
нуль-множества.
Это дифференциальное свойство измеримых функций позволит нам
впоследствии вывести необходимый и достаточный признак сходимости
тригонометрических рядов Фурье — Лебега для функций с
интегрируемым квадратом.
10* Дифференциальное свойство второго порядка измеримых множеств»
Все рассмотренные до сих пор общие свойства измеримых множеств д
функций, а также только что описанное дифференциальное свойство
измеримых функций, суть в сущности следствие только двух теорем: теоремы
Лебега о его интеграле и теоремы Д. Ф. Егорова. Но обе эти теоремы
доказываются при помощи рассмотрения абсолютных величин некоторых
аналитических выражений. И, повидимому, пользуясь рассмотрением только-
абсолютных величин, нельзя получить еще каких-либо новых свойств
измеримых множеств и функций.
Но, однако, существует еще одно общее свойство, принадлежащее всем:
измеримым множествам без исключения и измеримым функциям с
интегрируемым квадратом. Этому свойству соответствует новое
дифференциальное свойство измеримых множеств и функций с интегрируемым квадратом.
1 Всякая аналитически представимая функция [8] есть измеримая функция.
См. Lebesgue. Sur les fonctions representables analytiquement (Joum. de Math.,
серия 6, 1, 139—216, 1905).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
6$
Это свойство было обнаружено нами1 и доказано лишь при помощи теорем
Парсеваля — Фату и Фишера — Рисса о тригонометрических рядах.
Повидимому, оно не может быть получено путем рассмотрения абсолютных
величин: наши попытки вывести это свойство из теорем Лебега и Д. Ф.
Егорова не имели успеха.
Это свойство имеет большую важность для учения о сходимости
тригонометрических рядов Фурье — Лебега и, вероятно, для единственности
изображения функций тригонометрическими рядами и, следовательно,
для общей теории интеграла. Поэтому было бы важно и интересно доказать-
это свойство непосредственно из определения измеримого множества.
Так как соответствующее дифференциальное свойство измеримых
множеств является более тонким, чем указанное ранее (§ 3), и делающим счет
бесконечно малым порядка выше первого, то его можно назвать
дифференциальным свойством второго порядка. Мы встретимся с этим свойством
в главе V (§ 70, 71).
И. Следствия основной теоремы. Укажем несколько важных следствий
этой теоремы.
Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функции
fi(x)y /2(2), fz(x)>---i сходящейся почти всюду на [0,1], есть измеримая
функция.
В самом деле, как бы мало ни было положительное е, всегда существует
в силу теоремы Д. Ф. Егорова совершенное множество Ру mesP>l — ег
йа которое последовательность flf /2, /3>... сходится равномерно. Но так
как /л (п = 1, 2, 3,...) непрерывна на [0, 1] и, значит, на Р, то
предельная функция lim /n = / есть тоже непрерывная на Р функция, т. е<
П-*СО
обладающая на [0,1] (С)-свойством (§ 7), что доказывает теорему.
Теорема 2. Всякая измеримая функция f(x), конечная почти
всюду на [0, 1], есть предел последовательности непрерывных функций
/i» /2» /з>—> сходящейся почти всюду на [0,1].
В самом деле, обращаясь к следствию основной теоремы (§ 7),
обозначим2 через тгп совершенное множество Pi + Р2 + -Рз + ...+^РЛ; пусть
/п (х) есть функция, совпадающая с / (х) на тгп и линейная в смежных к
множеству тгп интервалах. Ясно, что /п (я)'есть непрерывная на всей области
[0,1] функция. Ясно также, что имеем lim /Л (х) = / (х) почти всюду на
[0, 1] (ч. т. д.).
Теорема Витали3. Для всякой измеримой функции f (x),
конечной почти всюду на [0,1], существует такая функция f1(x)i конечная
во всякой точке х области [0,1] и класса не выше2 по классификации Бэра7
с которой f (х) совпадает почти всюду на [0,1].
В самом деле, обращаясь к следствию основной теоремы (§ 7), обозна-
1 См. Sur la convergence des series trigonometriques de Fourier, Comptes Rendus,
156, 1655—1658, 1913. (В настоящем издании, т. I, стр. 45.— Ред.)
2 Принимая за множество ЗЙ всю область [0,1].
8 См. Schoenflies, Bericht uber die Mengenlehre, т. II.

64
Н. Н. ЛУЗИН
чим через /л(я) функцию, совпадающую с / (х) на Рп и равную нулю вне
Рп. Очевидно1, что fn(x) есть функция класса не выше 1. Ряд /2 (х) + /2(х)+
+ /з(х) + ••• сходится во всякой точке х на [0,1]. Следовательно, его сумма
есть функция класса не выше 2. Обозначим ее через Ф (х). Ясно, что имеем
f(x) = Ф (х) почти всюду на [0, 1] (ч. т. д.).
Эта теорема имеет значение для общей теории интеграла, так как
в последней всегда пренебрегают нуль-множествами. Следовательно, для
указанной теории достаточно ограничиться рассмотрением функций
классов 0, 1 и 2.
Теорема Фреше2. Для всякой измеримой функции /(#), конечной
оо
почти всюду на [О, 1], существует ряд полиномов 2* $п(#), абсолютно
сходящийся к f(x) почти всюду на [О, 1].
В самом деле, пусть /п{х) есть непрерывная функция теоремы 2
настоящего параграфа. Согласно теореме Вейерштрасса существует
полином Qn{x), такой, что
1
i/n(x) — Qn(x)\<-jp для 0<я< 1.
оо
Ясно, что ряд полиномов 2 $п (х), где фх (х) = Qx (x) и $Л+1 (х) =
П-1
= Qn+i(x) — Qn(z) удовлетворяет теореме (ч. т. д.).
Эта теорема имеет значение для теории тригонометрических рядов.
В самом деле, если бы существовала такая измеримая функция f(x)
на [0, 2тг], которая была бы непредставимой никаким рядом непрерывных
функций на [0, 2тс], сходящимся к / (х) почти всюду, тогда относительно
этой / (х) можно было бы заведомо утверждать, что / (х) непредставима
никаким тригонометрическим рядом. В силу же теоремы 2 и теоремы Фреше
видим, что нельзя отвергать a priori разложимость произвольной
измеримой функции / (х) в тригонометрический ряд [9].
Г лава II
ОТЫСКАНИЕ ПРИМИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
Обращение задачи дифференцирования
12. Обычно интегрирование определяют как операцию, обратную
дифференцированию; это есть операция, позволяющая решить следующую
задачу примитивных функций:
1 Применяя основную теорему Бэра о функциях классов 0 и 1. См. В a i г е,
Lemons sur les fonctions discontinues, Paris, 1905, стр. 124—126.
2 M. Frechet, These, Paris, 1905. См. также «Encyclopedie des Sciences Mathe-
caatiques», т. II, ч. 1, вьга. 2, стр. 222.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
65
Найти функцию F(x)t имеющую данную функцию f (х) своей
производной.
Коши первый нашел решение этой задачи для того случая, когда данная
функция f(x) есть непрерывная функция на [0,1]. Он первый дал
регулярный процесс, весьма известный процесс определенного интеграла,
позволяющий, отправляясь от данной непрорывной функции / (я),
получить ее примитивную F (х). Но вскоре же процесс, предложенный Коши,
оказался недостаточным; потребности механики, геометрии (определение
величины площади, заключенной между кривой и ее асимптотой), анализа
(определение коэффициентов тригонометрического ряда в случае, когда
его сумма оказывалась разрывной функцией) и теории функций
(собственно задача отыскания примитивной функции) привели к необходимости
искать примитивную функцию и в том случае, когда данная функция / (х)
была разрывной или неограниченной. Таким образом возник ряд работ,
позволяющих определять примитивную функцию для все более и более
широкого класса задаваемых функций / (ж). Среди авторов,
способствовавших, таким образом, расширению понятия интеграла, мы должны,
прежде всего, привести имена Римана, Дирихле, Дюбуа-Реймона
Гарнака, Лебега и Данжуа.
Этот длинный ряд работх, расширяющих более и более понятие
интеграла, оканчивается в данный момент работами Данжуа2. Данжуа
предложил регулярный процесс интегрирования, названный им тоталиэацией
(la totalisation), позволяющий находить примитивные функции и в тех
случаях, когда все ранее предложенные процессы интегрирования
оказывались неприменимыми; в том же случае, когда оказывается применимым
один из этих процессов, тогда применим и процесс Данжуа. Таким образом
определение интеграла, данное Данжуа, есть самое широкое из полученных
до сих пор, включающее в себя все данные ранее как частные случаи.
Но процесс Данжуа оказывается далеко недостаточным для решения
общей задачи отыскания примитивной функции. Все функции / (х), к кото-
рым применим процесс Данжуа, обладают достаточно частными
свойствами. Так, например, для того чтобы f(x) была интегрируема в смысле
Данжуа во всяком интервале Д, лежащем в области [0, 1], необходимо9
должен находиться интервал 8, на котором / [х) интегрируема в смысле
1 Мы ограничиваемся лишь самыми краткими историческими указаниями.
Полное изложение с исторической точки зрения расширения понятия интеграла могло
бы служить предметом отдельной работы. Относительно упомянутых авторов см.
Lebesgue, Lemons sur ^integration, Paris, 1904, стр. 9, 13—14, 24, 112; Hob-
son, The Theory of Functions of a Real Variable, Cambridge, 1907, стр. 366, 367, 377,
378.
2 D e n j о у, Une extension de Tintegrale de M.Lebesgue (Comptes Rendus, 1
апреля 1912r.);Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus generale (Comptes
Rendus, 22 апреля 1912 г.).
* Это условие необходимо, но далеко не достаточно для интегрируемости функции
в смысле Данжуа.

66
н. н. лузин
Лебега. Уже это одно условие показывает, что класс функций,
интегрируемых в смысле Данжуа, есть лишь небольшая часть класса всех вообще
измеримых функций f(z). И так как существуют, с одной стороны, сходя*
щиеся тригонометрические ряды, сумма которых не интегрируема в смысле
Лебега ни в каком интервале1, и существуют, с другой стороны,
непрерывные функции F (х), производная которых /"(я), будучи конечной почти
всюду на [0,1], опять не интегрируема ни в каком интервале, лежащем
на [0,1], то мы видим отсюда, что процесс Данжуа не в состоянии решить
ни упомянутой выше задачи анализа относительно тригонометрических
рядов, ни задачи теории функций — отыскания примитивной функции
для данной. Поэтому законно искать более общий процесс интегрирования,
более полное решение задачи отыскания примитивной.
13. В этой главе мы имеем в виду дать общее решение
поставленной в предыдущем параграфе задачи о примитивных функциях.
Решение это нам кажется полным и исчерпывающим вопрос.
Прежде чем приступить к этому решению, нам нужно точно выяснить
условия поставленной задачи отыскания примитивной и ввести точную
терминологию.
Пусть F (х) есть непрерывная функция в области [0, 1]. Пусть Е есть
какая-либо внутренняя точка этой области. Рассмотрим теперь
отношение
F{l + h)-F(p
h
Пусть h стремится к нулю, проходя все значения. Здесь могут быть
три случая:
1. Отношение не стремится ни к какому пределу, колеблясь между
конечными или бесконечными границами. Скажем в этом случае, что
функция F (х) совсем не имеет в точке £ производной.
2. Отношение стремится к конечному пределу. Мы говорим, что в этом
случае F (х) имеет производную в точке £, равную пределу этого
отношения, и обозначаем этот предел через F'(b).
3. Отношение стремится к + оо (или к — ос). В этом случае мы также
говорим, что F (х) имеет прозводную в точке £, равную + оо (или равную
— оо)2.
Таким образом мы присоединяем к области всех конечных чисел две
бесконечные величины: + оо и — оо.
Если непрерывная на [0,1] функция F (х) имеет производную почти
всюду в области [0,1], то, обозначая через / (х) эту производную там, где
она существует, мы говорим, что / (х) есть производная функция от F (х)
и F (х) есть примитивная функция для f (x).
1 В главе V мы даем пример такого тригонометрического ряда. См. § 74.
2 Мы рассматриваем, по определению, + оо как число, большее всех конечных
чисел, и соответственно — оо как число, меньшее всех конечных чисел. Введение

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
67
Можно думать, что это определение примитивной слишком обще и
что нужно рассматривать как примитивные функции только такие функции
F (х), которые в каждой бег исключения точке х области [0,1] имеют
производную. Но это мнение было бы ошибочным по следующим основа-
х
ниям: во-первых, неопределенный интеграл1 Лебега \ / (a) da, ценность
о
которого для анализа и теории функций неоспорима, часто есть
непрерывная функция, не имеющая производной в бесконечном множестве точек х
(но всегда, понятно, меры нуль). Можно даже построить2 такую ограни-
X
ченную измеримую функцию / (#), что интеграл Лебега \ f(a)da не имеет
производной на множестве, всюду плотном на [0,1] и всюду категории II8.
Во-вторых, можно построить4 такую функцию / (я), определенную в каждой
точке х области [0, 1], суммируемую на [0,1] и являющуюся производ-
ною в каждой точке х области [0, 1] от некоторой непрерывной функции
х
F (х), что неопределенный интеграл Лебега \ / (a) da есть уже непрерывная
функция, не имеющая производной в бесконечном множестве точек.
этих двух символов очень полезно для многих вопросов теории функций. См. В a i -
г е, Lemons sur les fonctions discontinues, Paris, 1905, стр. 120—121.
1 Слегка уклоняясь от обычной терминологии, мы здесь и в дальнейшем назы-
х
ваем неопределенным интегралом от / (а?), заданной в области [0, 1], интеграл \/ (a)doc,
0
рассматриваемый как функция верхнего предела, независимого переменного х. Эта
терминология для нас удобна в дальнейшем.
2 Мы ограничиваемся указанием на то, что такую функцию можно построить, и
не даем ее построения потому, что действительное построение этой функции взяло бы
у нас много места [10]. Все, кто писали по теории функций действительного
переменного, все те хорошо знают, как трудно в такого рода вещах быть одновременно и
строгим, и кратким. Поэтому здесь и в дальнейшем мы часто ограничиваемся простым
утверждением существования примера такой-то и такой-то функции или
ограничиваемся указанием на справедливость такой-то теоремы (второстепенного значения),
желая возможно сократить размер нашей работы. Построение примеров функций,
о которых идет речь, не требует особого искусства, а лишь технического умения
пользоваться методами теории функций действительного переменного. Опускание
фактического построения примеров различных функций совершенно аналогично тем
пропускам аналитических преобразований, которые часто делаются в работах в области
классического анализа, когда эти преобразования слишком длинны и требуют только
технического умения.
3 Известно, что множество всюду категории II, лежащее в области [0, 1], должно
быть рассматриваемо как точечное образование, черезвычайно сгущенное даже тогда,
когда мера его равпа нулю. Так, всякие два множества Е1 и Е2, оба всюду категории II
на [0, 1], непременно имеют общие точки, образующие опять множество всюду
категории II на [0, 1]. Всякое множество категории II имеет мощность континуума. См.
В а ire, Sur les fonctions des variables reelles, Annali di Matematica, сер. HI, 3T 66,
1889.
4 Относительно этого примера см. еще далее, гл. III, § 22.

€8
Н. Н. ЛУЗИН
Таким образом, даже тогда, когда подинтегральная функция / (х) есть
х
производная в каждой точке, интеграл Лебега \ / (a) da, тем не менее,
о
не имеет в некоторых точках производной, будучи примитивной в данном
х
выше смысле. Но всякий неопределенный интеграл \ f(a)da в смысле
о
Данжуа и в любом другом смысле есть всегда непрерывная функция,
имеющая / (х) своей производной почти всюду. Это вполне оправдывает
нашу терминологию.
Теперь, приняв эти определения, возвратимся к задаче отыскания
примитивной:
A) Найти функцию F (х), имеющую данную функцию f (x) своей
производной.
Эта задача, очевидно, эквивалентна совокупности двух следующих
задач:
B) Найти необходимые и достаточные условия, чтобы / (х) имела при-
миптвную функцию.
C) Зная, что эти условия удовлетворены для f (x), найти примитивную
функцию.
Мы переходим к решению этих задач.
Отыскание примитивных функций
Необходимые условия
14. Найдем сначала необходимые условия для того, чтобы функция
/ (х), определенная почти всюду на [0,1], имела примитивную функцию.
Здесь имеют место два предложения.
Теорема 1. Если f (x) имеет примитивную функцию, то f (x)
есть измеримая функция.
В самом деле, пусть F(x) есть примитивная для / (х). Обозначая через
/п (я) непрерывную функцию
I >
п
видим, что последовательность fx(x), f2(x), fz(x),... непрерывных функций
сходится к / (х) почти всюду на [0, 1], что, вследствие теоремы 1, § И,
показывает предложение.
Теорема 2. Не существует непрерывной функции F (х), имеющей
F'{x) = + оо и F'(x) = — оо на множестве точек меры, большей нуля.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, так как оно уже
было нами опубликовано в журнале «Математический сборник»1.
Эти две теоремы дают нам искомые необходимые условия
существования примитивной. Эти условия можно формулировать в
следующей форме: для того чтобы функция f (x) имела примитивную,
необходимо, чтобы f (x) была измеримой функцией, конечной почти
всюду на [0,1].
Достаточные условия
15. Теперь мы имеем в виду доказать, что эти условия являются и
достаточными*. Чтобы видеть это, мы прямо построим примитивную для
/ (х), предполагая удовлетворенными эти необходимые условия. Этим
мы одновременно решим задачи (В) и (С) §13. Но сначала нам нужен один
предварительный результат.
Лемма. Какова бы ни была непрерывная функция Ф (х), данная на
области [0,1], всегда существует в этой области непрерывная функция
W (х), обладающая свойствами:
1. Ф (х) = 0 почти всюду на [0,1].
2. W(6) = Ф(0) и ЧГ(1) = Ф(1).
3. \Ф(х) — W(x)\<^e на [0, 1], где е>0, малое по желанию.
В самом деле, так как Ф(х) непрерывна на [0,1], то область [0, 1]
можно разделить на конечное число (пусть \) столь малых отрезков Дх> Д2, Аз,.--
..., Ах, что колебание функции Ф (х) на каждом из них есть < ^-.
Пусть концы отрезка Ai суть ait 6i# Строим теперь над отрезком
Ai = [Д| А] монотонную ступенчатую кривую, проходящую через
обе точки:
[х = сц, у = Ф Ы] и [х = Ьи у = Ф(Ь0],
и имеющую касательную почти всюду на [аь £4], параллельную оси х.
Такую ступенчатую кривую легко построить, хотя бы методом Кантора,
деля Ai на три части3.
1 К основной теореме интегрального исчисления, Математический сборник, 28,
вып. 2, 275, 1912. (В настоящем издании, т. I, стр. 5.— Ред.) Sur les proprietes des
fonctions mesurables, Comptes Rendus, 17 июня 1912 г. (В настоящем издании, т. I,
стр. 41,— Ред.) См. также относительно этой теоремы: M-me Young. A Note on
Derivates and Differential Coefficients (Acta Mathematica, 37, 147, 1914).
2 Доказательство достаточности этих условий уже было нами опубликовало в
Математическом сборнике, 28, 293—294, 1912. (В настоящем иэдании, т. I,
стр. 16.— Ред.) Здесь мы имеем в виду дать новое доказательство достаточности
этих условий; это последнее доказательство кажется нам значительно проще
первого.
* Cantor. Acta Mathematica, 4, 386. См. также Scheeffer, Acta
Mathematica, 5, 289,1884.

70
H. H. ЛУЗИН
Совокупность X таких кривых, построенных над Аь Аа, Д3>- •, Ах, дает
непрерывную на [0,1] кривую у = Ф (х); функция W (х), очевидно,
удовлетворяет лемме (ч. т. д.).
Переходим теперь к доказательству главного результата.
Основная теорема. Для всякой измеримой функции / (х),
конечной почти всюду на [0,1], существует ее примитивная F [х).
Доказательство.
а) Элементы построения примитивной. Рассмотрим для
данной функции f (х) совершенные множества Ръ Р.2, Р$,. . .,РПу.. ., на
каждом из которых в отдельности функция f (х) непрерывна. Согласно § 7
множества Рп могут быть предположены не имеющими попарно общих
точек и такими, что
mes(P1 + P2 + P9+ . . . + Рп +..-) = 1.
Далее можно, очевидно, всегда предполагать, что концы области [0,1]
не принадлежат ни одному Рп.
Пусть все смежные к множеству Рп интервалы суть
Выберем число Хп столь большим, что
00
2 mes 8<n>+ i < mes Pn.
i=l
Удалим из области [0,1] интервалы
р(п) ?(п) *(п) £(п)
Оставшиеся точки области [0,1] образуют систему лп—1 отрезков, из
которых длина каждого не равна нулю. Пусть эти отрезки суть
дК а5я)-•-^Lt• (1)
Очевпдно.что^ mes A-n) <2mes.Pn. Пусть длина наименьшего из этих
отрезков есть gn, gn>0.
Определим последовательность измеримых функций f1 (х)} /2(^),/з (х)> • • •
. .., /п(^), . • • условием, чтобы
/п (#) = / (х) на множестве Рп,
/п И = 0 вне Рл.
Далее, пусть функция Фп (х) есть интеграл Лебега от /л (я), т. е. Фл (х) =
X
= 3 /n (a) flfa. Ясно, что Фя (ж) есть непрерывная функция на [0,1], постоян-
о
ная в каждом смежном интервале Ь[п\ о^\ . . ., о£п), . . .

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
71
Пусть, наконец, функция Wn (х) есть функция, обладающая
свойствами:
1. Ч?п(х) непрерывная на [0,1].
2. Wn{x) = Фп (х) на интервалах S[n), 8f}, 8£n), ..., §1л).
п
3. Wn(#)=0 почти всюду на [0,1].
4. |Фп(*)-Тп(з)|<£- для 0<*<1.
Согласно лемме этого параграфа такие Ч?*п(я) существуют.
Полагая
Fn(x) = <*n(x)-Vn(x) (« = 1,2,3,...),
получаем, очевидно, функции, обладающие свойствами:
1. ^п(^) непрерывна на [0,1].
2. | Fn {x) | <?*- на всей области [0,1].
3. Fn(x) = 0 на интервалах 8[п), о£п), . . ., з£}-
4. Fn(x) = f(x) почти всюду на /V
Последовательность построенных таким образом функций
дяелг возможность непосредственно получить искомую примитивную
функцию для данной функции f (x). Для этого полагаем
оо
F(x)= S^n(*).- (2)
п—1
В силу свойства 2 функции Fn(x) (gn <C 1) ясно, что ряд (2)
абсолютно и равномерно сходится всюду на [0,1]. Значит,/7^) есть непрерывная
функция. Мы желаем доказать, что F (х) есть искомая примитивная
функция для данной f (x).
Ь) Свойства системы функций Fx (я), F2(x), ..., Fn (x), . ..
Рассмотрим функции Fn(x). Согласно свойству 4 имеем F'n(x) = /(х)
почти всюду на Рп. Обозначим множество всех точек множества Рп, где
Fn(x)=f=f(x), через Кп:
mes Кп = 0 (л = 1, 2, 3, ...).
Ясно, что вне множества Рп имеем F'n (x) = 0, кроме, быть может,
некоторого нуль-множества. Обозначим это нуль-множество через Ln:
mesLn = 0 (n = l, 2, 3, . ..).
Назовем через S множество
Кг + Lx + #2 + L2 + ... + Кп + Ln+ . • .

72
Н. Н. ЛУЗИН
Имеем
mesS — 0.
Из построения множества S следует, что во всякой точке х, не
принадлежащей к S, каждая из функций Fx (x), F2 (х), .. ., Fn (х), ,...
имеет производную и притом так, что непременно одна и только одна из
этих производных F'i (x), F2(z), . . ., Fn (x), . .. равна /(х), все же
остальные непременно равны нулю.
с) Построение основного множества/?. Возьмем
рассмотренные выше отрезки (1):
д(*) д(п) д(я) л
п
Присоединяем к каждому из этих лп — 1 отрезков два равных отрезка,
справа и слева, длины каждый gn. Обозначим полученную этим образом
систему отрезков (частью, может быть, и пересекающихся) через
и?\ и?\ и?\ ..., ^-1. (3)
Ясно, что
Хп-1 Хп-1
2 mesU[n) <3 ^ mesAin)<3-2mesPr! = 6mesPrl.
Значит, все точки, принадлежащие системе отрезков (3), образуют
множество Mepbi^6mesPn. Обозначим это множество через Еп;
mesEn^.6mesPn. Отсюда видим, что ряд 2j ые$Еп есть сходящийся. По-
этому множество, образованное из всех точек области [0,1],
принадлежащих каждая к бесконечному числу множеств El9 E2, Ez, . .*, ЕПу . «*,
есть нуль-множество1.
Назовем через 5Ш множество всех точек области [0,1], не
принадлежащих к этому нуль-множеству. Ясно, что всякая точка ЭД встречается
лишь в конечном числе множеств Е1У Е2, . . ., Еп, . . .
Имеем
mes9R = 1.
Удалим: наконец, из множества §Й все точки, принадлежащие к по-
1 В самом деле, это множество есть часть множества Еп+± + £п+2+ ^п+з+-**>
каково бы ни было п, а это последнее множество имеет меру, стремящуюся к нулю с — .
Множество, о котором идет речь в тексте, есть верхний предел последовательности
множеств. См. Ch. de la Vallee P 0 u s s i n. Cours d'analyse infinitesimale, т. I, § 270,
стр. 251. (В русском переводе: Ш. Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно
малых, ГТТИ, 1933, т. I, § 81, стр. 65.— Ред.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
7S
строенному выше множеству S. Обозначая полученное этим путем
множество через Д, имеем:
mes R = 1.
Назовем это множество R основным.
d) Существование примитивной функции. Нам
остается теперь доказать, что во всякой точке этого основного множества И
непрерывная функция F (х) имеет производную, равную f(x).
Пусть, в самом деле, % есть какая-либо точка множества R.
Имеем
F(l + h)-F(® _ s<Fn(Z + k)-Fn(Z)
h Zi h *
Так как по условию точка £ принадлежит к R и, значит, к 2Й, то,
самое большее, лишь конечное число множеств Е±, Е<ь, . . ., Еп, . .. содер~
жит эту точку. Следовательно, можно взять целое число N столь большим,,
что % не будет содержаться в множествах Е^+и En+% En+z, • • •
Следовательно, для каждого п^> N точка £ есть непременно внутренняя точка
для одного из интервалов 8in), 82го, ..., 8j£\
Отсюда по свойству 3 функции Fn(z) имеем
*п(Е) = 0, n>N,
и, значит:
у ГпЪ-Г^ — ГпЫ _ у
п-JV+l " п-ЛГ+1
Пусть для какого-нибудь п (п > N) имеем | Fn (£ + К) \ > 0. Это значит,
что точка I + k находится вне интервалов 8in), 82п), .. ., 8^, т. е. внутри
одного из отрезков Ain), Д2П)» . *., Дя^-ь Но точка 5 находится вне
множества Еп, следовательно, вне отрезков U{*\ £72Л), ..., C/^-i. Отсюда
необходимо заключаем, что \h\^>gn.
Поэтому можем писать
2
ln=iV+1
*"„« + Л)
Л.« + *>1 ^ v \Fn& + h)\
< 2 L4P1<2
n=N+l I n I n>N
удерживая в последней сумме только те члены, для которых j Fn (S + Щ\ > 0-
Но так как по свойству 2 функции Fn{z) имеем для всякого п на
области [0,1]
|*.<*>к-£.

H. H. ЛУЗИН
n>W «n n>N sn ■ 2 n>N 2
Отсюда приходим к неравенству:
P(% + h)-F(S) £ Fm(l + h)-Fm(Z) | ^ i
S Zj
m !
m=l
<■?■•
Здесь N есть постоянное число, число же h произвольное. Устремляя
h к нулю, видим из последнего неравенства, что каждое из четырех
производных чисел функции F (х) в точке х = £ отличается от
*i(S)+#(*)+•■■ +F'h®
на величину, меньшую -^-. Число N можно делать сколь угодно великим.
Кроме того, по свойству множества R, к которому £ принадлежит, известно,
что, начиная с определенного достаточно большого числа Nl9 имеем для
N>N±
Отсюда заключаем, что все четыре производных числа от функции
F (х) в точке х = £ равны / (£), т. е.
(ч. т. д.).
Таким образом, найденные в § 14 необходимые условия оказываются
также и достаточными. Этим разрешаются1 задачи (В) и (С) § 13.
Приложения основной теоремы о существовании
примитивной
I. Невозрастающая функция с положительной
производной
16. Пусть / (х) есть измеримая функция, конечная для всякого х
области [0, 1], и такая, что / (х)>+1 всюду на [0, 1]. Пусть, кроме того,
f (х) не суммируема ни в каком интервале S, лежащем на [0,1]. Такие
/ (х) легко построить.
Пусть, согласно основной теореме, F (х) есть примитивная для / (х).
Легко видеть, что F(x) не есть функция, монотонная ни в каком интервале
1 Множество i?, mes R = 1, во всякой точке £ которого имеем F'(Z) = /(C)» есть,
очевидно, множество категории I. Интересно было бы знать, в каких условиях
существует непрерывная F(x), имеющая F'(х) = f(x) в точках множества категории II
(хотя бы и меры нуль) [11 ].

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
75
5 области [0,1], так как в противном случае / (х) была бы суммируемой1
на 8, что противоречит предположению относительно функции / (х).
Следовательно, примитивная F (х) дает нам пример непрерывной
функции, имеющей почти всюду производную > + 1 и не возрастающей ни
в каком интервале Ь области [О,1].
Существование таких непрерывных функций не является очевидным
a priori.
П. Общее решение задачи Дирихле для круга
17. Известно, что интеграл Пуассона
Р (р, х) = 4" [ f (*) 4^ г ^Л ч <*а
хг> ' 2к у х ' 1+р2—2pC0S(a — х)
О
дает решение задачи Дирихле для круга в случае, когда функция / (х)
^сть непрерывная функция. В этих условиях Р (р, х) есть гармоническая
функция, голоморфная внутри круга радиуса 1 и принимающая на
окружности в точке аргумента х значение / (х).
Но случай непрерывной функции / (х) есть лишь частный случай общей
задачи Дирихле, которая должна ставиться следующим образом: дана
на окружности (R = 1) функция f (x), вообще, разрывная, аргумента х.
Найти гармоническую функцию Р(р, х), голоморфную внутри этой
окружности и- принимающую в точке аргумента х значение f (x).
Чтобы поставленная задача была вполне определенной, нужно дать
точный смысл выражению «принимать значение». Скажем, что
гармоническая функция Р (р, х) принимает значение / (х) в точке х окружности, если
число Р (р, х) стремится к пределу, равному / (х), когда точка (р, х)
приближается к точке (1, х), следуя по кривой, не касающейся окружности.
Фату решил2 эту задачу Дирихле для того случая, когда функция
j (x) суммируема на 0<;a;<;27t. В этом случае произведение
fta\ 1-P2
/ W t + p2_2pCos(a — л)
■есть опять суммируемая функция, и Фату доказал, что тогда интеграл
Пуассона, взятый в смысле Лебега, дает решение поставленной задачи.
Заметим еще, что в случае интеграла Пуассона — Лебега
гармоническая функция Р (р, х) принимает значение / (х) для всех х кроме, может
быть, нуль-множества. Во многих случаях это нуль-множество является
необходимым исключением3.
1 Всякая монотонная функция имеет производную непременно суммируемую.
См. Н о b s о п. The Theory of Functions etc., стр. 557.
2 F a t о u. Series trigonometriques et series de Taylor (Acta Mathematica, 30,
363—373, 1906).
3 Легко видеть это a priori. В самом деле, если бы мы имели равенство

76
н. н. лузин
Доказанная нами выше основная теорема дает решение задачи Дирихл*
для того случая, когда данная функция / (х) есть измеримая функции
конечная почти всюду на [0, 2тг].
Условие измеримости функции / (х) есть необходимое условие, так как,
если существует искомая гармоническая Р(р, х), то имеем почти всюду на
[0,2*] lim/>(p, *) = /(*),
и, значит, функция f(x) есть предел последовательности непрерывных
функций, а это доказывает (§ 11) ее измеримость.
Напротив, условие, чтобы / (х) была конечной почти всюду, это условие-
при настоящем состоянии теорип функций комплексного переменного
является еще невыясненным. Неизвестно, в самом деле, существует ли
функция комплексного переменного <р(г), голоморфная внутри круга
(Я = 1), модуль которой | cp(z) [ принимает значение + ос на окружности
круга в точках множества меры, большей нуля. Но существование таких
<p(z) кажется сомнительным [12].
После этих замечаний переходим к общему решению задачи Дирихле.
Теорема. Какова бы ни была измеримая функция / (х), конечная
почти всюду на окружности (R = 1), всегда существует гармоническая
функция Р (р, х), голоморфная внутри этой окружности и принимающая
в точке аргумента х значение / (х) почти всюду на окружности.
Возьмем согласно основной теореме примитивную функцию F (х) для
функции / (х). Рассмотрим выражение
/>(р, а?) = -М^ (*)--« ^р' «fa.
vr> ; 2тс j ч > дх 1 -f- р2 — 2р cos (a — х)
0
Так как функция F (а) непрерывна на [0, 2тг], то написанный интеграл
есть обычный интеграл Коши. Ясно, что Р (р, х) есть гармоническая
функция, голоморфная внутри круга (R = 1). Фату доказал1, что для тех
точек Хо, где существует F'(x0)9 необходимо имеем
limP(p, x)=F'(x0),
когда точка (р, х) стремится к точке (1, х0)у следуя любому пути, не
касающемуся окружности
И так как F'(x) = / (х) почти всюду, то теорема доказана.
Иш р (1 , х) = /(х) для всякой точки х, находящейся на дуге <* окружности (Л=1)г
то ясно, что тогда /(х) есть функция класса 0 или 1 на этой дуге а. А вообще
измеримая функция f(x) не есть класса 0 или 1 и не может быть превращена в функцию»
класса 0 или 1 путем изменения ее величин на каком-либо нуль-множестве. См.
относительно этого гл. III, § 20.
1 Fatou, Acta Mathematica, 30, 348, 1906.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
77
Задача отыскания неопределенного интеграла
18. Понятие регулярного процесса. Ближайшей нашей целью является
изучение примитивных функций F (х), существование которых доказано
в основной теореме. Прежде всего ясно, что если F (х) есть примитивная
функция для данной / (я), то примитивной же функцией будет и F (х) +
+ К, где К — произвольная постоянная. Важно поэтому исключить раз
навсегда эту аддитивную константу, не играющую никакой роли в
свойствах примитивной. Этого достигаем, полагая К = — F (0). Таким
образом, в последующем мы будем рассматривать только такие примитивные
F (ж), для которых F(0) = 0. Этим не уменьшается общность рассмотрений.
Если / (х) есть интегрируемая функция в каком-либо данном ранее
смысле (Коши, Римана, Дюбуа-Реймона, Гарнака, Лебега или Данжуа),
то неопределенный интеграл
X
о
взятый в этом смысле, дает именно примитивную, уничтожающуюся для
х = 0, что соответствует принятому только что ограничению F (0) = 0.
Теперь перейдем к нашей основной теореме. Легко видеть, что ее нельзя
рассматривать как универсальный метод интегрирования. Для этого
достаточно обратить внимание на понятие регулярного процесса. В самом
деле, хотя в каждом методе интегрирования и имеются элементы произвола
(в интеграле Коши, например, деление отрезка [0,1] на малые интервалы),
но эти элементы произвола входят только до завершения процесса
интегрирования. Когда же процесс закончен, эти элементы произвола исчезают
и не оказывают никакого влияния на результат процесса. Таким образом
всякий процесс интегрирования дает всегда одну и ту же вполне
определенную примитивную функцию, от каких бы элементов произвола мы ни
исходили. Это можно выразить, сказав, что процесс интегрирования есть
регулярный процесс.
Совсем другое представляет процесс отыскания примитивной функции,
даваемый основной теоремой. Здесь элементы произвола, которые суть
выбор множеств Р1У Р2, Р*,..., Рп,...и подбор функций W19 W2, Wz, ...,
Wn ,..., не исчезают в конце процесса. Отправляясь от разных систем Р и Ф",
мы получаем в результате разные примитивные F (х), не отличающиеся
на аддитивную постоянную. Это заставляет сказать, что процесс основной
теоремы есть иррегулярный процесс.
19. Задача отыскания неопределенного иптеграла. Рассмотрим две
различные примитивные F^x) и F2(x) для одной и той же данной / (х).
Пусть Fi(0) = 0 и F2(0) = 0. Разность
есть, очевидно, непрерывная функция, уничтожающаяся для х = 0 и

78
H. H. ЛУЗИН
имеющая производную, равную нулю почти всюду на [0, 1]. Обозначим
эту функцию через W (я); F2(x) — ^i(z)=^;(*)> откуда
F2(x)=-F1{x)+4:(x).
Обратно, сумма F^x) +У(х), где Fx (x) есть примитивная для / (х),
уничтожающаяся в х = О, и где Ч\х) есть непрерывная функция, UT (0)=0,
такая, что \F(x) =0 почти всюду на [0,1], есть всегда примитивная
функция для /(ж). Значит, получаем все примитивные функции для данной
f(x), прибавляя к одной какой-нибудь частной примитивной Fx(x)
все функции Щх), имеющие почти всюду 4*'(я) = 0.
Но таких функций Ц" (х) есть бесконечное множество (мощности
континуума). Значит, все примитивные F(x), F(0) = 0 образуют бесконечное
семейство функций, и основная теорема при изменении множеств Р19
Р2, Р3,... дает тоже бесконечное число таких примитивных, но не одну
вполне определенную, как это дает процесс интегрирования.
Выше (§ 12) мы определили процесс интегрирования как операцию,
обратную дифференцированию, т. е. как процесс отыскания примитивной»
Но на практике ценно не то, что интегрирование дает какую-нибудь
примитивную/**(#), F(0) = 0, а ценно то, что интегрирование дает одну только
х
определенную примитивную, \ / (a) da, обладающую особыми свойствами,
о
отличающими ее от всех других примитивных,— примитивную, особенно
тесно связанную с интегрируемой функцией / (х).
Задача интегрирования не возникла исторически из одной только задачи
теории функций — задачи обращения дифференцирования. Правда,
процесс определенного интеграла, который есть отыскание предела сумм,
приводит к особой примитивной функции — к неопределенному интегралу
х
f (a) da, но на практике дело обстоит как раз наоборот: зная эту особую
примитивную, мы именно и находим при помощи нее предел сумм, что
в интересах механики, геометрии и анализа.
Таким образом, хотя задача отыскания примитивной и решена, но не
решена задача отыскания неопределенного интеграла. Эта последняя
задача может быть поставлена так:
Задача А (задача определенного интеграла).
Найти регулярный процессу при помощи которого, исходя из величин
данной функции f (х), мы всегда получаем одну и ту же самую примитивную
F (х).
Эта задача А может быть обращена и заменена другой, ей
эквивалентной. Пусть {F(x)},F (0) = 0, есть семейство всех примитивных для данной
/ (.г). Спрашивается, какая именно из этих примитивных функций есть
неопределенный интеграл? Другими словами, каково то
характеристическое свойство, в силу которого из семейства всех примитивных {F (х)},

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
79
F (0) = 0, можно выделить одну и только одну примитивную F0 (я),
которую следует назвать неопределенным интегралом? Итак, приходим ко
второй задаче:
Задача В (задача неопределенного интеграла).
Зная все примитивные функции {F (x)}> F (0) = 0, для данной функции
/ (х), найти неопределенный интеграл.
Ясно, что задача В обратна задаче отыскания примитивных функций
(§ 12). Там целью процесса интегрирования было определение
примитивной. В задаче В, наоборот, зная примитивные, мы ищем одну из них —
неопределенный интеграл. Следующая глава III будет посвящена этой
задаче: мы постараемся найти те структурные свойства, которые отличают
неопределенные интегралы Лебега и Данжуа от всякой другой
примитивной; мы постараемся найти их характеристические свойства с тем, чтобы
далее, в гл. IV, постараться обобщить их и исследовать этим путем
возможность более общего определения интеграла, чем определение Данжуа.
Глава III
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Точная производная и точная примитивная
20. Мы называем функцию / (х) точной производной от непрерывной
функции F (х), когда / (х) есть производная от F (х), в каждой точке х
области [0,1], без всякого исключения. В этом случае скажем, что функция
F (х) есть точная примитивная для / (х).
Пусть / (х) есть точная производная, конечная для всякого х на [0, 1].
Легко видеть тогда, что среди всех ее примитивных
{F(x)}, F(0)=0.
существует одна и только одна ее точная примитивная функция F0(#),
F0{0) = 0. В самом деле, если бы существовала еще вторая ее точная
примитивная F1(x),F1(0) = 0, то тогда разность F^x) —F0(x) была бы
непрерывной функцией, уничтожающейся для а; = 0и имеющей
производную, равную нулю всюду на [0, 1], т. е. была бы нулем.
Отсюда естественно было бы пытаться всякую данную функцию / (х),
измеримую и конечную почти всюду на [0,1], изменить на нуль-множестве
так, чтобы она стала точной производной f^x), конечной всюду на [0,1],
и после этого выбрать среди всех примитивных {F(x)}, F(0) = 0,
единственную точную примитивную F0 (ж). Если бы это возможно было сделать
всегда, то тогда выбор неопределенного интеграла из семейства всех
примитивных {F(x)}y jF(0) == 0 был бы сделан самым естественным образем

80
Н. H. ЛУЗИН
во всех случаях и, следовательно, была бы построена самая общая теория
интегрирования. Но легко видеть, что эта попытка обречена на неуспех.
В самом деле, всякая точная производная функция fx(x) есть непременно
•функция класса 0 или класса 1 на [0,1], по классификации Бэра, потому что
lim
х +
!)-*<*>
= /l (*)
для всякого х на [0,1], а выражение, стоящее в квадратных скобках, есть
непрерывная функция на [0, 1]. Но всякая функция классов 0 или 1
согласно теореме Бэра1 обладает специальными свойствами. Так например,
всякая функция /i(x), класса 0 или 1, непременно имеет на [0, 1]
бесконечное множество точек, в которых она непрерывна на [0, 1]. Пусть (■
есть одна из таких точек. Так как fx(x) непрерывна для х = 5, то
существует всегда такой малый интервал о, содержащий £ внутри, на котором
fx(x) есть ограниченная функция и, следовательно, суммируемая на о.
Но данная функция/ (х) совпадает с /х(х) почти всюду на [0,1];
следовательно, и / (х) суммируема на о. А вообще говоря, измеримая функция
/ (х) не суммируема ни в каком интервале о области [0,1]. Это обнаруживает
невозможность в общем случае указанной операции.
Кроме того, если даже данная функция / (х) ограничена, вообще, ее
нельзя сделать функцией класса 0 или класса 1 путем изменения ее на
нуль-множестве. Легко можно построить пример такой функции / (я).
Таким образом, приходим к результату: среди всех примитивных
{F ( х)}у F (0) = 0, для данной f (х), вообще говоря, не существует ни одной
точной примитивной F0 (х), F0(0) = 0, даже в том случае, когда данная
/ (х) есть ограниченная функция на [0, 1] и, следовательно, суммируемая.
21. Выше мы видели, что в семействе всех примитивных {F (х)},
F (0) = 0 может находиться лишь одна точная примитивная, имеющая
конечную производную для всякогох на [0, 1]. Интересно отметить, что это
предложение перестает быть верным, когда речь идет о точных
примитивных, имеющих бесконечную производную.
В самом деле, пусть Ф (х) есть непрерывная функция на [0, 1],
имеющая в каждой точке х области [0,1] Ф'(х)>0. Пусть Ф' (я)= + оона
совершенном множестве Р, лежащем на [0,1]. Такую функцию Ф (х)
легко построить2; очевидно, она есть точная примитивная для своей
производной Ф'(я). Согласно теореме 2 § 14 имеем mesP = 0; следовательно,
Р есть нигде неплотное множество на [0, 1]. Пусть olt 8а, 88> • • •, <>п,
суть все смежные к Р интервалы на [0, 1]. Обозначим через W (х)
непрерывную функцию на [0, 1], обладающую следующими свойствами:
1 См. В a i г е, Lecons sur les fonctions discontinues, Paris, 1905, стр, 83 и 125.
2 См. нашу статью «К основной теореме интегрального исчисления», Матем.
сборник, 28, 276, 1912 (В настоящем издании, т. I, стр.11,—Ред.) и добавление к ней
(там же, стр. 544.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
81
1. Ф'(0)=0.
2. W (х) нигде не убывает на [0, 1].
3. W (х) постоянная на каждом 8п(л=1, 2, 3, ...).
4. Ф(1)>0.
Такие функции легко построить х. Рассмотрим теперь новую непрерывную
функцию Фг {x)t определенную равенством
Ясно, что, если $ лежит внутри какого-либо оп, имеем
*i (9 = ^(6).
Но если S есть точка множества Р, тогда
<Pi(S + *)-Qi«) __ ФК + А)-Ф(() , ¥« + *)-Т«)
А Л h л -
И так как первое слагаемое направо стремится к + оо, когда k стремится
к нулю, а второе всегда положительно, то имеем опять
ф;(Е) = Ф'(5).
Итак: существуют непрерывные функции, имеющие равные производные
в каждой точке х области [О, 1] и, однако, не отличающиеся на
аддитивную постоянную.
Этот пример служит ответом на поставленную Лебегом задачу2.
22. Итак, возвращаясь к семейству примитивных {F (x)}y F (0) = О,
видим, что имеют место и такие случаи, когда в этом семействе оказывается
бесконечное множество точных примитивных, уничтожающихся в х — 0.
Это сильно усложняет выбор неопределенного интеграла, если хотят,
чтобы он был точной примитивной. Но можно встретить ещё и бблыпие
затруднения. В самом деле, можно всегда построить такой пример точной
производной / (х)9 суммируемой на [0, 1], для которой неопределенный
интеграл Лебега
X
0
1 О функциях этого рода мы уже говорили. См. главу II, § 15, примечание 3
на стр. 69.
2 Lebesgue, Lemons sur Г integration, Paris, 1904, <угр. 75, строка 7.
Цитируем текстуально автора: «Было бы очень интересно узнать, во всех ли случаях
функция определена с точностью до аддитивной постоянной одним из своих производных
чисел; этот вопрос еще не был разрешен. Следует заметить, что вопрос не решен даже
в случае обыкновенной производной, если допускать, что производная может быть
бесконечной: известно, что две функции, имеющие всегда одну и ту же производную,
различаются лишь на постоянную, когда эта производная конечна; но в общем случае
ничего неизвестно». Построенный нами в тексте пример решает, очевидно, этот вопрос
Лебега.

82
Н. Н. ЛУЗИН
уже не есть точная примитивная, хотя таковая и существует в семействе
{F(х)}, F (0) = 0\
Таким образом требование точности примитивной не служит ни к чему
в отыскании неопределенного интеграла, потому что, вообще, точных
примитивных в семействе {F {x)}yF (0) = 0, не имеется совсем, даже тогда,
когда / (х) интегрируема в смысле Римана, или таких точных примитивных
оказывается в семействе бесконечное множество и притом иногда так,
что неопределенный интеграл Лебега находится вне этого пучка точных
примитивных.
Это делает неизбежным детальное рассмотрение свойств
неопределенных интегралов Лебега и Данжуа.
Характеристические свойства неопределенного
интеграла Лебега
23. Пусть / (х) есть данная измеримая функция, конечная почти всюду
на [0, 1]. Пусть К есть семейство всех ее примитивных, уничтожающихся
для х = 0:
K={F{x)}y F{0) = 0.
Известно2 тогда, что для того, чтобы функция / (х) была суммируемой на
[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы в семействе К была хоть одна
примитивная функция с ограниченным изменением. Следовательно, в случае
суммируемости / (х) семейство К распадается на два класса примитивных
К1 и К2\ к первому классу Кг принадлежат все примитивные F (х) с
ограниченным изменением; таких примитивных всегда бесконечное множество
(мощности континуума); ко второму же классу К2 принадлежат все
примитивные функции F (х) с бесконечным полным изменением на [0, 1]; таких
примитивных тоже всегда бесконечное множество.
х
Так как неопределенный интеграл Лебега \ f (a) da есть всегда функ-
о
ция с ограниченным изменением, то он принадлежит к классу Ki.
Посмотрим, чем он отличается от остальных примитивных класса Кг.
1 Мы не даем построения этого интересного примера точной производной потому,
что это взяло бы у нас много места. О существовании этого примера упоминалось выше.
См. гл. II, § 13. См. также примечание 2, стр. 67.
2 В самом деле, с одной стороны, всякая непрерывная функция F(x) с
ограниченным изменением имеет почти всюду конечную производную F'(z), и эта производная
/'""(а?) есть суммируемая функция. С другой стороны, в сякая суммируемая функция f{x)
имеет примитивные с ограниченным изменением, например неопределенный ин-
X
теграл Лебега у(а)Жх. См. Н о b s о n, The Theory of Functions etc., Cambridge,
о
1907, стр. 557 и Lebesgue, Lemons sur Integration, Paris, 1904, стр. 120.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
83
Теорема 1. Неопределенный интеграл Лебега есть примитивная
функция с наименьшим полным изменением на [0, 1] среди других
примитивных.
Заметим сначала, что согласно теории Лебега полное изменение неопреде-
X
ленного интеграла j/(a)da на каком-либо отрезке [а, 6], а<^Ь, равно
a
Ь
J i/(a) Ida.
a
Возьмем число е, е>0, малое как угодно. Пусть F (х) есть какая-нибудь
примитивная для / (х). Пусть Р есть совершенное множество, mes Р > 1 — е,
такое, что в каждой точке I множества Р имеем F' (5) = / (6) и .при этом
функция f(x) есть непрерывная функция на Р., Согласно (С)-свойству
(§ 7) такие множества Р существуют.
Пусть I есть какая-либо точка Р. Так как F (£)=/(£), то каково бы
ни было малое число % ?)>0, всегда можно найти такой отрезок 8 = [с, d)9
c<^d, заключающий % внутри, что имеем
I PWdzVe) -/e|<*
откуда
|i?(rf)-F(C)|>|/($)|.(<f-C)-V(d-C).
Так как каждая точка 6 множества Р находится внутри
соответствующего ей отрезка [с, d], то все множество Р может быть заключено в
конечное число таких отрезков [с, d], и притом неперекрывающихся, так
как приближение точек с и d к точке £ не изменяет предыдущих
неравенств. Пусть эти отрезки суть
[°\у di\, tc2> *%]> • • • t lc\y dx]-
Строя для каждого отрезка [ci, d\] (/ = 1, 2, 3, . . ., X) предыдущее
неравенство и суммируя, имеем
^i\F(di)-F(ci)\>'2i\f(U)\(di-ci)-rl^1(di-ci).
i«l i=l i=l
Называя через V полное изменение F (х) на [0,1], имеем вследствие свойств
полного изменения
откуда

84
H. Н. ЛУЗИН
так как множитель при % очевидно, <1. Пусть теперь т) стремится к
нулю. Тогда сумма в правой части неравенства стремится, очевидно, к
интегралу Лебега С|/(а)|(йх, распространенному на множество Р. Отсюда
р
V>[\f(a)\da.
Р
Устремляя же е к нулю, имеем окончательно г
F>J|/(a)|da
о
(ч. т. д.).
Теорема 2. .Неопределенный интеграл Лебега есть единственная
примитивная с наименьшим изменением.
В самом деле, пусть F0 (х) есть цримитивная, имеющая полное изме-
1
нение на [0, 1], равное [ | / (a) | den . Тогда, повторяя рассуждения преды-
о
дущей теоремы, легко видеть, что полное изменение функции F0(x) на
a
отрезке [0, а] необходимо равно [ \ f (a) | da.
о
Строим на отрезке [0, а] совершенное множество Р, mesP>a — e,
обладающее свойствами, описанными в предыдущей теореме. Повторяя
те же самые рассуждения, мы приходим к отрезкам [cl9 dj], [c2> d2], . . .,
[сх, dx] неперекрывающимся, заключающим внутри себя точки множества
Р, if таким, что справедливы неравенства
^i)-W
di — c\
ш
<т, (f = l, 2, 3, ..., /.).
Отсюда
/ ft) (di - с{) + 7j (di - a) > F0 (ch) - Fo (a) > / ft) (di - a) - ч (* - a)
и, суммируя,
i=l i=l i=l
Точки отрезка [0, a], не принадлежащие к [<ч, dj (г = 1, 2, 3, . . ., >*)>
образуют конечную систему интервалов, сумма которых меньше е.
Полное изменение функции FQ{x) на каждом из них равно полному измене-
х В силу того что интеграл Лебега есть абсолютно непрерывная функция
(согласно терминологии Витали). См. об этом Ch. delaVallee Poussin, Cours d'ana-
lyse infinitesimale, т. II, стр. 108, строка 7 и стр. 109. [В русском переводе: Ш.Вал-
ле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. I, стр. 74. —Ред.]

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
85
нию неопределенного интеграла Лебега. Пусть а (е) есть сумма полных
изменений функции F0(x) на этих интервалах. Имеем, очевидно,
х х
S /ft) (di-cj+ri + a (e) >F0(a) -Fo(0) >2 /ft) (*-<Ч) -ij- o(e).
Пусть т] стремится к нулю. Тогда неравенства превращаются в
[f(*)da + o(*)>FQ(a)>\f{*)da-o(*)9
р р
так как F0(0) = 0. Но согласно теореме Ш. Валле-Пуссена 1 о (е) стремится
к нулю с е; отсюда имеем окончательно, заставляя е стремиться к нулю:
a
F0(a)=[f(a)d*
(ч. т. д.).
Эти две теоремы вполне характеризуют неопределенный интеграл
Лебега. Именно, если / (х) есть суммируемая на [0,1] функция, тогда среди
всех ее примитивных {F (х)}, F (0) = 0, имеются примитивные с
ограниченным полным изменением, и среди последних существует одна и только
одна примитивная F0(x) с наименьшим полным изменением на [0,1];
эта единственная примитивная и есть неопределенный интеграл Лебега
х
Fo(*) = У (*)**-
о
24# Геометрическая характеристика. Легко дать в соответствии с этим
геометрическую характеристику интеграла Лебега. Рассмотрим семейство
всех непрерывных кривых, проходящих через точку (0, )):
У = Р(*)>
тлеР(х) есть примитивная функция для / (х). Если / (х) есть несуммируе-
мая на [0, 1] функция, все эти кривые будут иметь бесконечную длину
на отрезке [0,*1]. Но если / (х) суммируема на [0, 1], среди этих кривых
непременно имеются кривые конечной длины, и среди этих последних
непременно существует одна и только одна кривая с наименьшей длиной дуги
на [0, 1]. Эта единственная кривая и будет интегральной кривой Лебега
X
у = $ f (a) da.
о
Доказательство этого предложения совершенно аналогично предыду-
1 Ch. de 1а V а 11 ё е Poussin, Coui's d'analyse infinitesimale, т. II, стр. 117%
[В русском переводе: Ш. Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ,
1933, т. I, стр. 282.— Ред.]

86
H. H. ЛУЗИН
щему; нужно только заменить «полное изменение» «длиною дуги», и инте-
1
грал j | / (а) | da заменить интегралом
о
1
О
Таким образом, нахождение неопределенного интеграла Лебега
представляет много общего с задачами вариационного исчисления.
25. Мы должны сказать, что уже теорема DL Валле-Пуссена, на
которую мы ссылались (§ 23), дает решение задачи В (§ 19) для интеграла
Лебега. Формулировка этой теоремы такова: для того чтобы непрерывная
функция F (х) с ограниченным изменением была неопределенным
интегралом Лебега, необходимо и достаточно, чтобы сумма полных изменений
функции F (х) на системе неперекрывающихся отрезков стремилась к нулю
вместе с суммой длин этих отрезков.
Разница между характеристическим свойством Валле-Пуссена и нашим
заключается в том, что первое относится к течению функции F(x) на малых
интервалах, т. е. есть дифференциальное свойство, тогда как второе есть
свойство функции F (х) на целом отрезке [0,1].
Теория функции неоднократно дает примеры подобных эквивалентных
свойств. Так, например, эквивалентны сеойство функции быть
непрерывной в любой данной точке отрезка и свойство равномерной непрерывности
той же самой функции на целом отрезке1.
Характеристическое свойство неопределенного
интеграла Данжуа
26. Интеграл Данжуа. В нижеследующем мы ограничиваемся лишь
определением интеграла Данжуа и кратким описанием процесса, которым
он получается, не приводя доказательства его выполнимости. Для
последнего мы отсылаем к личным сообщениям автора Французской Академии2.
Ввиду сжатости этих сообщений строгое изложение процесса
интегрирования Данжуа потребовало бы от нас полного перевода работ автора.
Мы называем определенным интегралом Данжуа от функции / {х)
на интервале (a, b)> а<6, конечное число V(a, 6), получающееся в силу
следующих определений.
Первое определение. Если / (х) суммируема на (a, b), тогда
ъ
по определению У (а, Ь) = \ / (a) da.
1 См. В о г е 1, Lemons sur les fonctions de variables reelles, Paris, 1905, стр. 149—
150 («Note» Лебега).
2 A. Denjoy, Une extension de Tintegrale de ML Lebesgue (Comptes Rendus,
1 апреля 1912 г.) и Calcul de la primitive de la fonction derivee lap lus generale
(Comptes Rendus, 22 апреля 1912 г.).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
87
Второе определение. Если (а±, а2), (а2, а3),---, (ап_ь ап)
есть конечное число интервалов, примыкающих друг к другу и
неперекрывающихся, и если число V вычислено для каждого из них, то по
определению
V(aly an) = V(al9 a2)+V(a2t a3) + . . . + VK-i, On).
Третье определение. Если / (x) есть суммируемая функция
на совершенном множестве Р, лежащем на (а, Ь); если, обозначая через
h> &2> 83,.-., 8П>-- все смежные к .Рна(а, Ъ) интервалы, число V вычислено
уже для всякого 8П и для всякого интервала 8'п, лежащего на 8П, и если,
обозначая через Wn верхнюю грань всех чисел \V(b'n) |, где S' принимает
оо
все возможные положения внутри оп, имеем ряд 2 Wn сходящимся, тогда
со
по определению V(a> b) = 2j V (Ьп) + j /(a)c?a. В соответствии с этим мы
71-1 Р
говорим, что функция / (х) интегрируема на (а, Ь) в смысле Данжуа, если
она удовлетворяет следующим трем условиям.
Условие I. Каково бы ни было совершенное множество Р (плотное
или нет), во всяком интервале Д всегда есть такой интервал Д', что / (х)
есть суммируемая функция на всей части Pf находящейся в Д'.
Условие II. ЕслиУ(с', d') вычислено для всякого интервала (с', d'),
лежащего внутри (с, d), и если с' стремится к с, a df стремится к d, тогда
число У (с', d') непременно стремится к единственному пределу, который
мы по определению полагаем равным У(с, d): V(c, d) = lim. V (с', d').
Условие III. Каково бы ни было совершенное множество Р,
во всяком интервале Днайдется всегда такой интервал Д',на котором ряд
^Wn (см. третье определение) сходится.
Покажем, каким образом, если f(x) удовлетворяет этим трем условиям
на [0,1], вычисляется интеграл Данжуа 7(0, 1). Сначала в силу условия I
всюду на [0, 1] имеются интервалы, на каждом из которых / (х)
суммируема. Эти интервалы суть смежные интервалы к некоторому замкнутому
нигде неплотному множеству Е. Значит, число V вычисляется согласно
первому определению для каждого из этих интервалов.
Теперь, пользуясь одновременно вторым определением и условием II,
мы можем; удалить изолированные точки у множества Е и вычислить число
V в более широких интервалах, смежных к Е'. Повторяя этот прием
счетное число раз и пользуясь при этом свойствами трансфинитов второго
класса, мы доходим до совершенного множества Р, заключенного в Е.
Числа V являются теперь уже вычисленными в смежных к Р интервалах.
В силу условий I и III существуют такие интервалы, содержащие
внутри точки Р, на которых число V может быть вычислено согласно
третьему определению. Этим препятствующее вычислению У(0, 1)
множество Р уменьшается, лишаясь своей части, и обращается в замкнутое
множество Ег. Повторяя тот же самый процесс счетное число раз и
опираясь опять на свойства трансфинитов второго класса, мы заставляем

S8
H. Н. ЛУЗИН
в конце коццов растаять препятствующее множество и достигаем до
вычисления У(0,1).
Вычисляя V для отрезка [0, х], мы получаем неопределенный интеграл
х
Данжуа У(0, х), который .будем писать, как обычно, j / (a) da. Данжуа
о
х
доказал, что функция \ / (a) da есть непрерывная функция от х, имеющая
о
иочти всюду на [0, 1] функцию / (х) своей производной.
27. Процесс Данжуа есть в сущности остроумная и счастливая
комбинация идей Гарнака и Лебега. Всякая функция, интегрируемая в каком-
нибудь данном ранее смысле, непременно интегрируема и в смысле
Данжуа. Таким образом, определение Данжуа включает в себя как частные
случаи все другие предложенные ранее обобщения интегрирования.
Особую важность дает интегралу Данжуа то обстоятельство, что всякая
точная производная / (х), конечная всюду на [0,1], оказывается непременно
интегрируемой в смысле Данжуа, и неопределенный интеграл j / (a) da
о
дает точную примитивную F0 (#), которая в этом случае единственная.
Если же / (х) есть хотя и точная производная, но принимающая
бесконечные значения, тогда, как мы указали (§ 22), неопределенный интеграл
X
Данжуа \ / (a) da, вообще говоря, не дает точной примитивной, которых
о
в этом случае бесконечное множество в семействе примитивных [F (х)},
F (0) = 0.
X
Вообще интеграл Данжуа j / (a) da не дает, как и интеграл Лебега,
о
точной примитивной и, таким образом, должен быть поставлен вопрос,
чем отличается неопределенный интеграл Данжуа от других примитивных.
Мы теперь переходим к решению этого вопроса.
28. Функции с обобщенным ограниченным изменением г. Известно,
насколько тесно связано понятие интеграла Лебега с понятием функции
с ограниченным изменением. Изучение интеграла Данжуа аналогично
приводит к новому классу непрерывных функций, которые естественно
называть функциями с обобщенным ограниченным изменением. Изучение
этого класса функций даст нам искомую характеристику неопределенного
интеграла Данжуа.
Интересно заметить еще, что, в то время как процесс Данжуа
опирается на свойства трансфинитов второго класса, определение функций с
обобщенным ограниченным изменением и характеристическое свойство
1 Определения и результаты, изложенные в § 28—30, были сообщены нами в Сотр-
tes Rendus:«Sur les propriety de l'integrale de M. Dcnjoy» (23 декабря 1912 г.). (В
настоящем издании, т. I, стр. 43.— Ред.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 89
неопределенного интеграла Данжуа свободны от введения трансфинитов1.
Пусть F (х) есть непрерывная функция на [0,1]. Пусть Р есть
совершенное множество (плотное или нет), лежащее на [0, 1].
Обозначим через (2) систему N отрезков
Ai> Д2> Аз, .... Дл, (Е)
обладающих следующими свойствами:
1. Отрезки Ai и Д,- {гф/) не имеют двух общих точек.
2. Всякая точка множества Р есть точка одного из этих отрезков
(включая их концы).
3. Всякий отрезок Д{ содержит внутри (в широком смысле) по крайней
мере одну точку множества Р.
Обозначим через Mi и гпх максимум и минимум функции F (х) на
отрезке Ai (i = 1, 2, 3, . .., N) и образуем сумму
N
v=y21(Mi-mi).
i-i
Мы говорим, что функция F (х) есть функция с ограниченным изменением
для совершенного множества Р, если существует такое, конечное число К,
что имеем всегда
какова бы ни была система отрезков (2), удовлетворяющая приведенным
выше свойствам.
Мы говорим, что непрерывная функция F(x) есть функция с
обобщенным ограниченным изменением на [0, 1], если, каково бы ни было
совершенное множество Р, лежащее на [0,1], всегда существует отрезок Д,
обладающий двумя следующими свойствами:
1. Точки, общие отрезку Д и множеству Р, образуют совершенное
множество. Обозначим его через Рд.
2. Функция F (х) есть функция с ограниченным изменением для
совершенного множества Рд.
29. Существование полного изменения функции F (х) для
совершенного множества Р. Очевидно, что определение функции с ограниченным
изменением для совершенного множества Р совпадает с классическим
определением функции с ограниченным изменением F{x), когда берут
за множество Р всю область [0,1]. В этом случае число v стремится к
1 В связи с этим было бы интересно дать другое определение интеграла Данжуа,
такое, в котором совсем не встречались бы траясфиниты второго класса. Известен
тот факт, что всякая теорема теории функций, доказанная сперва при помощи
трансфинитов второго класса, получала впоследствии другое доказательство, уже
свободное от трансфинитов второго класса. Таковы, например, теорема Кантора—Бендиксона
о замкнутых множествах (доказательство Линделефа в «Acta Mathematical) и теорема
Бэра о функциях первого класса (доказательство Лебега, см. его «Note» в книге
Бореля «Legons sur les'foactions de variable's reelles», Paris, 1905, стр. 149).

90 Н. Н, ЛУЗИН
единственному определенному пределу, когда длина наибольшего интервала
системы (Е) стремится к нулю. Известно, что этот предел называется в
этом случае полным изменением функции F (х) на области [0, 1].
Но легко доказать, что и в случае произвольного совершенного
множества Р предел чисел v всегда существует, что дает место аналогичному
определению.
Теорема. Если непрерывная функция F {х) есть функция с
ограниченным изменением для совершенного множества Р} тогда число v
стремится к единственному определенному пределу, когда мера системы
(Е) стремится к мере множества Р, в то время как длина наибольшего
отрезка системы (2) стремится к нулю.
В самом деле, пусть функция F {х)у непрерывная на [0, 1], есть
функция с ограниченным изменением для Р. Если имеем на [0,1] только
конечное число всех смежных к Р интервалов, теорема тогда очевидна,
петому что в этом случае определение функции с ограниченным изменением
для Р совпадает с классическим определением функции с ограниченным
изменением. Итак, пусть все смежные интервалы к Р суть Ь19 о2, о3, ...,
8П, ... Назовем максимум F (х) на оп через НПУ минимум же через
К (л = 1, 2, 3, . ..).
а) Мы утверждаем, что ряд с положительными членами
со
S (Hn-hn)
есть ряд сходящийся. В самом деле, пусть этот ряд расходится. Пусть е>0, ма-
со
лое по желанию. Так как ряд 2 meson сходится, то, очевидно, можно
71-1
найти такие два целые числа р и q{p<iq), что будут иметь место
одновременные неравенства:
я.
2mes8i<-|-
i=p
И
Q
где L—положительное число, как угодно большое.
Рассмотрим замкнутые интервалы 8Р, 8Р+Ь 8р+2, • •., 8q. Очевидно,
что они удовлетворяют свойствам 1 и 3 системы (Е). Ясно, что можно
найти такие отрезки в области [0, 1] Ult U2l USi ..., Ur> чтобы система
отрезков
8Р, 8р+1, 8р+2, ... , 8fl, Ult U2, Us, ..., Ur

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
91
была системой (£). Ясно также, что для этой системы (£) имеем
v>L,
где L есть как угодно большое положительное число. Следовательно
функция F (х) не есть функция с ограниченным изменением для Р, и зна-
оо
чит, ряд 2 (Hn — hn) есть сходящийся ряд.
п=1
Ь) Установив это, рассмотрим значения непрерывной функции F(х)
на совершенном множестве Р. Строим в каждом смежном к Р интервале
8п(и = 1, 2, 3, .. .) линейную функцию, имеющую в концах 8Л те же
самые значения, как и функция F(x). Пусть Fx (x) есть новая функция,
определенная на [0,1] следующими условиями.
1. F± (х) = F (х), если х принадлежит к Р.
2. Если х принадлежит к какому-нибудь интервалу 8n, Fx (x) равна
значению соответствующей линейной функции, построенной на 8П.
Ясно, что Fx(x) есть непрерывная на [0, 1] функция. Мы утверждаем
теперь, что F1 (х) есть функция с ограниченным изменением на [О,1], в
классическом смысле.
Пусть, в самом деле, tj есть положительное число, малое по желанию.
Разделим область [0,1] на т делений:
*1> *2> *3» • • • » 1т*
таких, что длина каждого отрезка ilt г2, г3, •. ., im меньше Y). Пусть
колебания функции Fi(x) в этих отрезках будут соответственно
*>1, °>2> ^ • • • i ©m. Образуем сумму
V' = (Ох + 0)2 + 0)$ + . . . + %•
Отрезки ilf г2, г'з> . • •» *т могут быть разбиты на два класса: отрезки i,
не содержащие, включая концы, точек множества Р, и отрезки г,
содержащие точки />. Ясно, что общая сумма колебаний со, соответствующих
отрезкам i первого класса, меньше чем
оо
Рассмотрим отрезки i второго класса. Пусть ir есть один из них. Ясно,
что колебание <ог функции F (х) на г7 будет меньше суммы трех колебаний:
двух колебаний на смежных интервалах к Р, заключающих концы гг, и
колебания на остающейся центральной части отрезка £Г. Отсюда общая
сумма колебаний о>, соответствующих всем отрезкам г второго класса,
будет меньше чем

92
Н. Н. ЛУЗИН
оо
# + 22(#п-Ап),
откуда
оо
т*-1
т. е. есть всегда ограниченное число. Поэтому непрерывная функция Fx(x}
есть функция с ограниченным изменением на [0, 1].
c) Выведем из предыдущего одно следствие. Пусть yj стремится к нулю..
Известно, что тогда число if стремится к определенному пределу, который
есть полное изменение функции Рг (х) на [0, 1]. Обозначим его через W.
Ясно, что общая сумма колебаний со, соответствующих отрезкам i первого*
класса, стремится к определенному пределу. Назовем его через Wx:
оо
п-1
Ясно, что Wi есть полное изменение функции Fx (х) на множестве всех
смежных интервалов оь 82, о3, ..., 8П, ... Отсюда заключаем, что сумма-
всех со, соответствующих отрезкам i второго класса, стремится к пределу
W-Wx.
d) Возвратимся теперь к функции F(x). Рассмотрим какую-нибудь,
систему отрезков (Е)
Д1? А2, А3, . .., Адг. (Е).
Ясно, что эта система отрезков (Е) есть система всех отрезков второго-
класса для функции Рг (х). Называя колебание функции Fx (x) на Ai через-
(0( (* = 1, 2, 3, ..., TV), легко видим, что разность
\N N I
2 (Mi —mO — 20)Ч
li-l i=I |
стремится к нулю, если мера системы (Е) стремится к мере множества Pt
в то время как длина наибольшего отрезка системы (Е) стремится к нулкь
Отсюда заключаем, что сумма
N
v = 2(-Vi-mi)
стремится к вполне определенному единственному пределу
(ч. т. д.).
W-Wlt

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
93
Обозначим этот предел чисел v через т/р и будем называть его полным
изменением функции F (х) для совершенного множества Р.
30. Свойства функций с обобщенным ограниченным изменением на [0,1].
Известно, насколько тесно связаны два понятия: понятие интеграла Лебега
и понятие функции с ограниченным изменением. Теперь мы покажем, что
в таком же точно тесном отношении стоят: понятие интеграла Данжуа
и понятие функции с обобщенным ограниченным изменением. Здесь мы
имеем почти совершенную аналогию, определяемую тремя следующими
теоремами.
Теорема I. Всякий неопределенный интеграл Данжуа есть функция
с обобщенным ограниченным изменением.
В самом деле, пусть / (х) интегрируемое на [0,1] в смысле Данжуа.
Пусть F (х) есть ее неопределенный интеграл Данжуа
X
F(x)=\f(a)da.
U
Рассмотрим какое-нибудь совершенное множество Р, лежащее на [0, 1].
Здесь возможны два случая:
1. Во-первых, множество Р может быть плотным на каком-нибудь
интервале СЛ В этом случае в силу условия I (§ 26) в интервале U
существует такой интервал А, на котором f(x) есть суммируемая функция.
Поэтому на Д функция F (х) совпадает с неопределенным интегралом
Лебега, т. е. F (х) на Д есть функция с ограниченным изменением.
2. Во-вторых, множество Р может быть нигде не плотным на области
[0,1]. В этом случае в силу условий I и III § 26 существует интервал Д,
имеющий свойства:
1. Точки Р, находящиеся на Д, образуют совершенное множество.
Обозначим его через Рд.
2. Функция f(x) есть суммируемая на Рд функция.
3. Обозначая через Ь19 о2, о3, ..., 8Л, f. . все смежные интервалы
к множеству Рд на Д и обозначая колебание F (х) на оп через а)п, имеем
со
ряд 20)* сходящимся.
п-1
Обозначим концы интервала Д через а и J, a<i, и соответственно
концы 8П через а^ и bn, ап<6п. В силу третьего определения (§ 26) имеем
для всякого х, находящегося на Д = (а, Ь), равенство:
X
F(x) = F (а) + X [F (Ьп) - F К)] + \ ? (a) da,
а
где ©(ж)—/(я) для х на РА и ср (х) = 0 вне РА; сумма же 2*РаспР°-
странена на все смежные интервалы оп, заключенные в интервале (а, х),
и на член F (х) — F(ap), если точка х лежит в интервале (ар> fcp)1.
1 Относительно этого равенства см. цитированное сообщение Данжуа, Calcul de
la primitive etc. (Comples Rendus, 22 апреля 1912 г., стр. 1075—1078).

94
H. Н. ЛУЗИН
Так как, очевидно, непрерывная функция от х
^[F(bn)-F(an))
есть функция с ограниченным изменением для совершенного множества РА
и так как, очевидно, ее полное изменение для совершенного множества РА
равно нулю, то полное изменение функции F (х) для совершенного
множества Рд равно полному изменению неопределенного интеграла Лебега
X
о (a) dec для этого множества Рд, т. е. равно конечной величине.
а
В обоих, следовательно, случаях существует для функции F (х)
интервал А, удовлетворяющий определению функции с обобщенным
ограниченным изменением (§ 28) (ч. т. д.).
Теорема II. Всякая функция F (х), непрерывная и с обобщенным
ограниченным изменением в области [0,1], имеет почти всюду конечную
производную.
Допустим обратное. Пусть 5W есть множество всех точек области [0,1],
где не существует F' (х). Множество ЯК есть измеримое множество (§ 1);
пусть mes 2Я>0. В этих условиях существует в SK совершенное
множество Р, mesP>0 (§ 2). Так как F (х) есть фупкция с обобщенным
ограниченным изменением на [0,1], то существует в области [0,1] отрезок А,
имеющий свойства (§ 28):
1. Точки, общие отрезку А и множеству Р, образуют совершенное
множество. Обозначим его через Р±; тевРд^О1.
2. Функция F (х) есть функция с ограниченным изменением для
совершенного множества Рд.
1 Неравенство rnes Рд> О, не встречающееся в § 23, требует пояснений.
Мы говорим, что измеримое множество Е есть приведенное множество, если
всякий интервал $, содержащий внутри точку множества £, содержит часть
множества Е, имеющую меру, бблыиую нуля. Это определение влечет следующие два
предложения:
Теорема 1. Всякое измеримое множество Ш меры (ху ц > О, содержит
приведенное множество Е меры \l.
В самом деле, назовем через Е совокупность всех точек плотности (§ 3)
множества Ш, принадлежащих к множеству Ш. Согласно теореме § 3 имеем mes E =
= mes Ш. Ясно, что множество Е есть приведенное множество.
Теорема 2. Всякое совершенное множество Р меры р, р>0, содержит одно
и только одно приведенное совершенное множество тс меры р.
В самом деле, назовем через к совокупность всех точек плотности множества P
и предельных к ним точек. Так как множество Р есть совершенное по условию, то
множество 7г содержится в Р. Легко видеть, что множество тс обладает всеми
свойствами, указываемыми теоремой.
Таким образом в той теории, где пренебрегают нуль-множествами, всегда можно
ограничиться рассмотрением приведенных измеримых множеств и приведенных
совершенных множеств. В частности, совершенное множество Р текста мы можем
предполагать приведенным. Отсюда следует неравенство mes PA > 0.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
95
Пусть все смежные интервалы к Рд на А суть
8i, 82, 83,.. ., 8^,. . .
Пусть Fx(x) есть функция, совпадающая с F(x) на Р& и линейная в
каждом интервале 8П (п = 1, 2, 3, ...). В § 29, Ь), мы показали, что F^x)
есть непрерывная функция с ограниченным изменением на области [0, 1].
Поэтому F'^x) существует и конечна почти всюду на [0, 1].
Рассмотрим теперь функцию Ф(х):
Ф(х) = F(z)—F1(z).
Все сводится к доказательству, что Ф (х) имеет производную почти
всюду на Рд.
Ясно, что Ф(х) есть непрерывная на Д функция, равная нулю на Рд
и на концах Д. Кроме того, в силу свойств функций F{x) nFx(x) [§ 29, а)],
со
обозначая через \in максимум функции Ф(х) на 8П, имеем ряд 2 №хо^
П—1
дящимся. Поэтому всегда можно найти последовательность
положительных чисел
Нъ Н2, #3,...,#п,...,
стремящихся к + оосл и таких, что ряд
со
0-1
есть ряд сходящийся.
Присоединим к интервалу 8П справа и слева два равных интервала,
каждый длины Нпрп\ пусть полученный таким образом новый интервал
есть Un. Ясно, что последовательность интервалов
ffi, U* U* ..., Un, ...
оо
такова, что ряд ^mesUn есть сходящийся. Отсюда множество Е,
Обрати
зованное из всех точек, принадлежащих каждая к бесконечному числу
интервалов U, есть нуль-множество.
Удалим из Рд все точки множества Е. Пусть образованное таким
образом множество есть Я. Имеем
mes R = mes Рд > 0.
Теперь мы утверждаем, что для всякой точки S, принадлежащей к Я,
мы имеем Ф' (?) = 0. В самом деле, пусть 5 есть точка R. Рассмотрим
Л

96
H. Н. ЛУЗИН
для А, достаточно малого. Прежде всего имеем Ф (£) = 0. Далее, очевидно,
что, если точка S+й принадлежит к Рд, мы имеем
ф(? + А) = 0.
Пусть |Ф (S + А)| > 0. Это значит, что точка £ + А попала внутрь некоторого
интервала 8Р. Тогда
№d + A)i<i*p.
Но так как 5 принадлежит только к конечному числу интервалов С/^, tf2j
#з, • • • j ^n> • • • > будучи вне множества Е, то имеем для достаточно малого h
|А| > #piv
Отсюда
Ф(5 + Л)-Ф(0
<- ***> _ 1
Если А стремится к нулю, число р стремится к + оо. Отсюда
Ф' (5) = 0
(ч. т. д.).
Теорема Ш. Условие, необходимое и достаточное, чтобы функция
F (х), непрерывная и с обобщенным ограниченным изменением, была
неопределенным интегралом Данжуа, заключается в том, чтобы полное
изменение функции F (x), Vp, если оно только существует, для всякого
совершенного множества Р меры нуль было равно нулю.
X
а) Условие необходимо. Пусть, в самом деле, F (х) = \ /(a) da
о
есть неопределенный интеграл Данжуа. Пусть, далее, F (х) есть функция
с ограниченным изменением для совершенного множества Р, mes P = 0.
Обозначим все смежные к Р интервалы на [0,1] через 81э 82, о3, ...
.'. ., ол, ... Пусть колебание функции F (х) на 8П есть Wn. Согласно теореме
со
§ 29, а), ряд 2 Wn сходится. Отсюда в силу третьего определения (§ 26)
имеем равенство1:
X X
\f(a)da^^XV(K) + \o(a)da,
и о
где ср равна / на множестве Р и v = 0 вне Р; сумма же 2*
распространена на интервалы 8П, заключенные в (0, я), и на член V (ар, х), если х
1 Относительно этого равенства см. Den jo у, Calcul de la primitive etc. (Corap-
tes Rendus, 22 апреля 1912 г., стр. 1075—1078.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
97
принадлежит к интервалу 8р=(ор, рр). Ясно, что ^V(bn) есть
непрерывная функция на всей области [0,1], имеющая полное изменение для
х
совершенного множества Р> vpi равное нулю. Член же j cp (a) da всегда
о
равен нулю для любого х> так как mes Р = 0, и, следовательно, <р (х)
равна нулю почти всюду на [0, 1]. Отсюда полное изменение функции
F(x) для Р равно нулю.
Ь) Условие достаточно. Пусть F (х) есть непрерывная
функция с обобщенным ограниченным изменением на [0, 1]. Тогда в силу
теоремы II видим, что F'(x) существует и конечна почти всюду на [0, 1].
Все сводится, очевидно, к тому, чтобы доказать, во-первых, что F'{x)
есть функция, интегрируемая на всей области [0, 1] в смысле Данжуа, и,
во-вторых, что разность
F(b)-F(a).
ь
где 0 < а < Ъ < 1, есть определенный интеграл Данжуа J F'(a) da. Чтобы
а
показать это, мы поступим так: мы докажем, что и функция F'(x)9 и
разность F(b) — F(a) удовлетворяют всем трем определениям и трем
условиям § 26, которые лежат в основе определения интеграла Данжуа.
1. Условие I § 26. Пусть Р есть какое-либо совершенное множество
(плотное или нет) на [0,1]. Тогда в силу определения функции с
обобщенным ограниченным изменением (§ 28) существует на [0,1] такой отрезок Д,
что для части множества Р, заключенной в Д, функция F (х) есть функция
с ограниченным изменением. Назовем эту часть множества Р через Рд.
Из доказательства теоремы II видим, что можем писать
F(z) = Fl{z)+<I>(z),
где Fx(x) есть непрерывная функция с ограниченным изменением (в
классическом смысле) на всей области [0,1], а непрерывная функция Ф (х)
имеет Ф'(:г) = 0 почти всюду на Р±. Отсюда заключаем, что F'{x) равна
почти всюду на Рд производной от непрерывной функции с ограниченным
изменением на [0, 1]. А эта последняя производная есть согласно теории
Лебега суммируемая функция всюду на [0, 1] и, значит, на Рд. Таким
образом видим, что функцияF'(x) удовлетворяет условию I § 26
интегрируемости в смысле Данжуа.
2. Первое определение §26. Пусть F'(x) есть суммируемая
на (а, Ь) функция. Функция F(x) есть примитивная для F'(z); мы теперь
утверждаем, что F(x) есть неопределенный интеграл Лебега от F'(x) на
(а, Ъ). В самом деле, если F' (х) не есть неопределенный интеграл Лебега
от F*(x) на (a, ft), то легко можно доказать1, что существует на (а, 6) такое
1 Ниже (гл. IV, § 48 и 49) мы дадим точное доказательство этого утверждения.

98
H. H. ЛУЗИН
совершенное множество Р, mesP = О, которое обладает следующим
свойством: каков бы ни был интервал Д, лежащий на (а, Ъ) и содержащий
внутри точки Ру функция F (х) или не имеет ограниченного полного
изменения v для части множества Р> заключенной в Д, или это полное
изменение непременно есть число, большее нуля: ?>>0.
Но, с другой стороны, F {х) есть функция с обобщенным
ограниченным изменением на [0,1]. А по определению такой функции (§ 28), каково бы
ни было множество Р, всегда есть такой интервал Д, что F (х) имеет
ограниченное полное изменение для части совершенного множества Р,
содержащейся в Д.
Отсюда выводим, что существует на (а, Ь) такое совершенное множество ^
meS7r = 0, для которого полное изменение 1/я функции F (х) существует и
Это же последнее неравенство противоречит свойству функции F (х)у
предполагаемому теоремой.
Итак, F (х) есть неопределенный интеграл Лебега от F' (х) в интервале
(а. Ь). Следовательно, можем писать
ъ
F (Ь) - F (a) =fr (я) da,
а
что указывает на осуществление первого определения (§ 26).
3. Второе определение § 26. Пусть имеем на [0, 1] интервалы
(av а2), (а2, а3)7. . ., (ап_ъ ап), примыкающие друг к другу и
неперекрывающиеся. Пусть функция F' (х) на каждом из них интегрируема в смысле
Данжуа и пусть имеем
F (<ii+1) - F (а{) = J F (a) da (i =-- 1, 2, 3,.... n - 1),
«i
где интеграл написан в смысле Данжуа. В этих условиях функция F' (х) есть
интегрируемая в смысле Данжуа функция на всем интервале (ях, ап) (§ 26),
и имеем
°n n-l at+l
\F'(a)da= 2 \ F'(a)dz.
Отсюда в силу предыдущих равенств находим
\F'(a)da = F(an)-F(ai),
a,
что показывает на осуществление второго определения § 10.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
99
4. У словие II § 26. Пусть функция F'{x) интегрируема в смысле
Данжуа на всяком интервале (а\ 6'), лежащем вместе со своими концами
внутри интервала (а, Ъ). Пусть, далее, имеем
Ъ'
\F' (a)da = F{b')-F(af).
а'
Ъ'
Тогда в силу непрерывности функции F (х) число J F' (a) da стремится к
а'
пределу F (Ь) — F (а), когда а' стремится к а и V стремится к Ъ. Отсюда
(§ 26) заключаем, что F' (х) интегрируема в смысле Данжуа на (а, 6), и что
имеем
ь
\F{a)da = F(b)~F(a)t
а
а это указывает на осуществление условия II § 26.
5. Условие III § 26. Пусть Р есть произвольное совершенное
множество на [0,1]; пусть 8Х, 82, 83, —, 8П, . .. суть все смежные к нему
интервалы на [0,1]. Пусть, далее, F' (х) интегрируема в смысле Данжуа
на каждом оп, так что, обозначая через (а', V) какой-либо интервал,
лежащий на 8П, имеем равенство:
Ь'
\F'(oi)da = F(b')-F{a').
есть
В этих условиях ясно, что верхняя грань всех чисел \\ F':(a) da\
колебание функции F (х) на 8Л. Обозначим это колебание через Wn- Но
функция F (х) есть функция с обобщенным ограниченным изменением на
[0,1]. Следовательно (§ 28), всегда существует такой интервал А,
содержащий внутри точки Р, что функция F(x) есть функция с ограниченным
изменением для части Рд множества Р, находящейся на Д. Поэтому в силу
теоремы § 29, а), ряд 2 Wn сходится для всех 8Л, находящихся на Д. Это
указывает на осуществление условия III § 26.
6. Третье определение § 26. Нам остается теперь рассмотреть
это определение. Пусть F' (х) суммируема на совершенном множестве Ру
лежащем на интервале (а, £). Обозначим смежные к множеству Р на (а, Ь)
интервалы через 8Х, 82, 83, . .. , 8П, ... Пусть, далее, функция F' [х)
интегрируема в смысле Данжуа на 8Л, так что, обозначая через (а', Ъ')
какой-либо интервал, лежащий на 8Л, имеем равенство:
Ъ'
\F(ti)da = F(V)-F(a9).

100
H. H. ЛУЗИН
\ь
Пусть, наконец, обозначая через Wn верхнюю грань чисел
jj F' (a) J
имеем ряд 2 Wn сходящимся.
п-1
Ясно, что в этих условиях Wn есть колебание функции F (х) иа Ьп и
что поэтому, обозначая через a*, 6Л концы интервала 8П, имеем неравенство:
\FQM-F(*n)\<Wn (n = l, 2,3, ...)-
Рассмотрим теперь следующую функцию 6 (х) переменного х на интервале
(а, 6):
Ь (х) = F (х) - F (а) -2V (Рп) - Р (««)] - \ Т («) Л,
а
где ср (я) = /**' (я) для ж на Р и <р (х) = 0 вне Р; так как ср (х) есть, очевидно,
X
суммируемая на (а, Ъ) функция, то интеграл \ <р (a) do. есть интеграл Лебега;
о
что же касается суммы 2 » то она распространена на все смежные
интервалы ол, заключенные в интервале (а,х)у и на член F(x)—F(ap), если
точка х лежит на интервале (ар, (Jp).
Мы хотим теперь доказать, что ty (х) тождественно равна нулю всюду
на (а, £).
Прежде всего ясно, что <1> (ж) есть непрерывная функция на (а, 4),
ф (л) = 0, сохраняющая постоянное значение внутри каждого интервала
оп(л = 1, 2, 3, . . .)• Так как производная непрерывной функции2 равна
нулю почти всюду на Р1 и так как производные обеих функций: F (х) и
х
^<?(a)da> совпадают почти всюду на Р9 то имеем 6' (х) = 0 почти всюду
а
на (а, 6). Пусть теперь функция ф (z) не равна тождественно нулю на
(а, 6). Тогда существует2 на (а, £) совершенное множество тс, mesTc = 0,
обладающее следующим свойством: каков бы нп был интервал А,
лежащий на (а, Ь) и содержащий внутри точки тс, функция ф (я) или не имеет
ограниченного полного изменения if для части множества тс, заключенной
в Д, или же это полное изменение есть число, непременно большее нуля:
1/>0. Так как ф (я) есть постоянная внутри каждого оп(гс = 1, 2, 3, ...),
то множество тс заключено в множестве Р.
1 См. Den jo у, Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus generate
(Comptes Rendus, 22 апреля 1912 г., стр. 1075—1078). В этом сообщении Данжуа,
желая доказать, что неоыределенныи интеграл в его смысле имеет производную
почти всюду, показывает, что 2* им^т производную, равную нулю почтя
всюду на Р.
2 Далее (глава IV, § 48) мы доказываем справедливость этого.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
101
Но функция F (х) есть функция с обобщенным ограниченным изменением
на [0,1]. Отсюда (§ 28) существует такой интервал Д\ что F (х) имеет
ограниченное полное изменение для части тсД/ совершенного множества тс,
содержащейся в А'. Так как mesrc^ = 0, то в силу свойства функции F (х)у
предполагаемого теоремой, это полное изменение функции F (х) для тгД' есть
нуль. Далее, полное изменение^, для тгд> есть нуль, потому что эта
функция имеет, очевидно, полное изменение для всего множества Р, равное
нулю, а тгд' есть часть Р.
х
Наконец, полное изменение ^ ср (a) da для тсд» равно нулю в силу тео-
а
ремы Ш. Валле-Пуссена1. Значит, полное изменение и функции ф (х)
для гсд' есть нуль, что противоречит свойству множества тс, указанному
выше.
Отсюда заключаем, что имеем тождественно ф(#) = 0 на (а, 6), или
X Х
F(x) = F(a) + 2l lF^n)-F(an)] + \f(a)da,
а
что показывает на осуществление третьего определения § 26.
Итак, мы доказали, что функция F {х) есть функция, интегрируемая
на [0, 1] в смысле Дакжуа, и что разность F (Ь) — F(a) есть число V (а, Ь),
удовлетворяющее определению Данжуа. Отсюда заключаем, что F{x) есть
неопределенный интеграл Данжуа от F' (х) (ч. т. д.).
Доказанная теорема III дает искомое характеристическое свойство для
неопределенного интеграла Данжуа. В самом деле, если данная
функция f (х) интегрируема на [0,1] в смысле Данжуа, тогда в семействе
всех ее примитивных
{F(z)}9 F(0)=0
есть непременно одна и только одна примитивная функция F0 (x), FQ (0)= О
имеющая свойства, указанные теоремой III. Эта примитивная F0(x) и есть
неопределенный интеграл Данжуа.
Анализ интеграла Бореля
31. Почти одновременно с появлением работ Данжуа в математической
литературе опубликовано еще одно общее определение интеграла,
принадлежащее Борелю2. Имея в виду наиболее общее определение интеграла,
1 См. его «Cours d'analyse infinitesimale», т. II, стр. 117. [В русском издании:
Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. I, стр. 282. — Ред.] Теорема,
о которой идет речь, касается свойств функций абсолютно непрерывных (согласно
терминологии Витали).
2 Encyclopedie des Sciences Mathematiques, т. II, кн. 1, вып. 2, стр. 187.

102
Н. Н. ЛУЗИН
мы поставлены в необходимость подробно рассмотреть определение Бореля
и достигнутую им общность.
Определение интеграла Бореля имеется в литературе в двух различных
редакциях: одна дается в статье Монтеля: Integration et derivation,
помещенной в Encyclopedie des Sciences .Vathematiques1; другая содержится
и развивается в интересной работе Бореля: Le calcul d(^ integrates defi-
nies, напечатанной в Journal de Mathematiqacs -. Обо эти редакции, с виду
похожие, приводят после аналива их к совершенно различным результатам;
это нас вынуждает рассмотреть оба определения.
Определение интеграла в Encyclopedic
32. Мы цитируем текстуально отрывок статьи Монтеля:
«\1ы обязаны также Э. Борелю новым обобщением понятия интеграла.
Пользуясь принципами, которые он ввел в мору множеств, и сближая пх
с идеями А. Лебега, он дал определение интеграла, которое для случая
ограниченных аналитически определимых функций и конечного интервала
интеграции дает такие же результаты, как определение Лебега, и приводит
для функции неограниченных или для бесконечного интервала интеграции
к новому обобщению понятия интеграла. Вот это определение: если
функция f(x) определена на интервале (а, &), мы исключаем из этого интервала
счетное множество интервалов (an, pn), сумма длин которых равна а;
образуем сумму Римана S при помощи точек ai и Х{, ложаших вне исключенных
интервалов, заменяя в этой сумме длину интервала (Д{-ь &i) разностью
между этой длиной и суммой длин интервалов (an, ftn), содержащихся
в нем; эту разность мы будем называть приведенной длиной (ai_b aj.
Если суммы S имеют предел, когда максимум приведенной длины (ai-i, uj
стремится к нулю, в то время как интервалы (осп/[Зл) остаются неизменными,
и если этот предел сам стремится к пределу, когда о стремится к нулю,
то мы скажем, что функция / суммируема методом Бореля».
Рассмотрим ближе это определение интеграла. Когда мы удалим из
(а, Ь) все интервалы исключения [(аП} рп), сумма длин которых ость а,
мы получим на ос ласти (я, Ь) совершенное множество Р, mesP =
= irios (a, b) — а. В дальнейшем мы имеем дело только с этим совершенным
множеством Р и со значениями функции f (х) на нем. Получив совершенное
множество Р, мы поступаем так: делим с помощью точек а^ множество Р
на конечное число частей и образуем сумму S:
* = Sfti/(*i),
где hi есть мера части множества Р, содержащейся на делении (ai_i, aj, а х{
есть произвольная точка этой части множества Р. Если сумма S стремится
1 Том И, кн. 1, вып. 2, стр. 187.
2 Серия 6, 8, 201. 19ii.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
103
к определенному пределу Sf, когда, оставляя неизменным множество Р,
мы заставляем все hi равиомерно стремиться к нулю, и если число S'
стремится к определенному единственному пределу S", когда о стремится
к нулю, тогда этот предел S" и есть интеграл Бореля от /(#) на (а, 6).
33, Выбор интервалов исключения. Весьма важно в цитированном
определении интеграла обратить внимание на выбор интервалов
исключения (ад, рп). Этот выбор подчинен только одному ограничению: он должен
быть таков, чтобы существовал предел S' сумм Римана S. В самом деле,
если интервалы исключения (ссп, (Зп) таковы, что не существует предела
сумм 5, когда hi стремятся к нулю, то это отнюдь не доказывает, что / (х)
не интегрируема на (а, Ь) в смысле Бореля, а показывает лишь на то,
что выбор интервалов исключения (ап, (Зл) сделан нами неудачно и что
надо искать другой выбор, при котором бы существовало число *S". Итак,
выбор (ап, [Вп) ограничен существованием предела чисел S. Наоборот,
существование предела S" чисел S' не есть ограничение, налагаемое на
выбор интервалов (an, fJn), но есть уже условие интегрируемости функции
/ (х) в смысле Бореля. В самом деле, если при одном выборе интервалов
fan» £п) число S' стремится к пределу *Slt когда с стремится к пулю, а при
другом выборе (an, Вп) число S' стремится к Sz, и если S[^S29 то мы не
знаем, какое из двух чисел St и 6*2 принять за интеграл Бореля от f(x) на
(а, Ь). Следовательно, существование единственного предела S" чисел S'
есть ограничение, налагаемое на саму функцию /(#), а не на выбор интерг
валов исключения (an, ря). Интервалы (ап, (Зп) должны быть только таковы,
чтобы существовало число S', в остальном же произвольны.
34. Условие существования предела S' сумм Римана S. Здесь имеет
место следующее предложение.
Лемма. Для того чтобы существовал предел S' сумм Римана S,
необходимо и достаточно, чтобы функция f (х) была ограниченной на Р
и непрерывной почти всюду на Р.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этой леммы: оно вполне
аналогично доказательству предложения Лебега1 относительно функций,
интегрируемых в смысле Римана на отрезке. Для доказательства леммы
достаточно лишь заменить отрезок (а, Ь) совершенным множеством Р2.
Заметим, что, когда функция / (х) удовлетворяет условиям леммы на
совершенном множестве Р, предел S' сумм Римана S совпадает с
интегралом Лебега j/(a)dcc, распространенным на множество Р. Этот предел S'
р
можно назвать интегралом Римана от f(x), распространенным на
совершенное множество Р.
1 См. Lebesgue, Lemons sur Integration, Paris, 1904, стр. 29. (В русском
переводе: Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных, ГТТИ, 1934, стр. 32. —
Ред.)
2 Совершенное множество Р мы предполагаем, конечно, приведенным. См.
относительно этого примечание 1 на стр. 94.

104
H. Н. ЛУЗИН
Ясно, что условия леммы удовлетворены, если /(.г) есть непрерывная
на совершенном множестве Р функция.
35. Эквивалентность интеграла Бореля, определенного в
Encyclopedic, и интеграла Лебега. Пусть f(x) есть несуммируемая функция на
[0, 1]. Пусть Е+ есть совокупность всех точек области [0, 1}, где
/(з)!>0, и ЕГ есть совокупность точек [0,1], где f(x)<^0. Так как по
условию \f{x)\ есть несуммируемая на [0, 1] функция, то, но крайней
мере, один из интегралов Лебега
\\f{a)\da* [\f(*)\d*
Е* Е-
есть + ос.
а) Допустим сначала, что только один из этих интегралов равен + оо
(например, первый), а другой есть конечная величина. Ясно, что в этих
условиях имеем: mesJ?+>0. Так как f(x) есть функция, измеримая на
Е+, то (§ 7) всегда можно найти в ^совершенное множество Ръ
обладающее свойствами:
1. mes (i?+ — Рг) = а', где а'>0 малое как угодно.
2. Функция f(x) есть непрерывная на Рх функция.
Точно так же, если mes i?">0, в множестве Е~ содержится
совершенное множество Р2, mes (Е~— Р2) = о", на котором / (х) есть
непрерывная функция. Если же mes Е" = 0, мы совсем но рассматриваем
множества Р2, полагая в дальнейшем Р2 = 0.
Рассмотрим теперь совершенное множество Р:
р=р1 + рг.
Ясно, что f (х) непрерывна на Р\ кроме того, имеем
mes Р = mes Рг + mes Р2 = 1 — (о' + а").
Полагая о + а" = о и обозначая все смежные интервалы к Р черев
00
(«я, Рп), ВИДИМ, ЧТО 2 m*S («п, Pn) = <*•
Примем теперь эти интервалы (ап, рл) за интервалы исключения,
употребленные в цитированном выше (§ 32) определении интеграла. Так
как f(x) есть непрерывная на Р функция, то в силу предыдущей леммы
предел £" сумм Римана S существует и равен
\ f(a)da=\f(a)da+[f{a)da.
Р Рг Pt
Если с стремится к нулю, ясно, что первый интеграл правой части
стремится к + оо, второй же имеет своим пределом \f(a)da величину конеч-

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
ную. Значит, } f{a)da стремится к + оо, когда а стремится к нулю.
р
Следовательно, f(x) есть неинтегрируемая в цитированном смысле-
функция.
b) Переходим теперь ко второму случаю, когда имеем одновременно-
$|/(<x)|da= + оси Sl/fa)|da= + oo.
В этом случае имеем, очевидно, mes£+>0 и mes E~^>Q.
Строим, как выше, совершенные множества Рг и Р2. Очевидно, что-
интеграл j/(a) da стремится к + оо, когда а' стремится к нулю, и,.
Рг
равным образом, интеграл } / (a) da стремится к — оо, когда а" стремится
к нулю. Но выбор множества Рг не зависит от выбора множества Р2-
Следовательно, мы можем заставить стремиться числа о' и о"
одновременно к нулю, так что сумма
\f(a)da+ J/(a) da
Рг Pi
будет колебаться между + оо и — оо так, как это нам будет угодно-
Обозначая через Р сумму Рг + Р2 и через (an, j)n) смежные интервалы к
множеству Р, находим, что предел 6" сумм Римана S есть
S/(a)efo= [f(a)da+ J /(a) da.
Р Рг Рг
Отсюда этот предел колеблется между +оои — оо, когда a = о' + а"
стремится к нулю. Следовательно, / (х) неинтегрируема в цитируемом
выше смысле.
c) Обратно, легко можно было бы доказать, что если / (х) есть
суммируемая на [0, 1] функция, то тогда / (х) всегда интегрируема в данном
в Encyclopedie смысле. Отсюда данное определение интеграла Бореля
эквивалентно определению Лебега.
Таким образом, если хотят указанным выше путем получить
определение интеграла более общее, чем определение Лебега, необходимо ограничить
произвол выбора интервалов исключения (ani бп), наложив на них еще
дополнительные условия, кроме того, что их сумма а стремится к нулю. Это
ограничение должно быть формулировано в виде точного закона, не
допускающего никакой неопределенности, дабы процесс интегрирования был
регулярным процессом. Попытка подобного ограничения имеется в
определении интеграла Бореля, опубликованном в «Journal de Mathemati-
ques»; мы теперь переходим к нему.

106
Н. H. ЛУЗИН
Определение интеграла в «Journal de Mathematiques»
36. Цитируем это определение текстуально: «Пусть / (х)—
неограниченная функция, не интегрируемая в смысле Римана; допустим, что мы
можем определить на области интегрирования счетное (enumerable)
множество1 точек Av -А2,..., in,-, обладающих следующим свойством: если мы
окружим точку Ап интервалом исключения БпСп такпм, что ряд 1>ВпСп
сходится и имеет сумму е, то обобщенные суммы Рлмана стремятся к
пределу, каковы бы ни были интервалы, и этот предел сам стремптся к пределу,
когда е стремится к нулю; этот последний предел есть по определению
обобщенный интеграл в смысле Римана. Обобщенные суммы Римана это —
суммы
2'*/&).
в которых по предположению
1. точки деления #* не принадлежат интервалам исключения,
2. hi равно xt— Zi_i, из которого вычитается, если это нужно, длина
интервалов исключения,
3. ^ лежит между x^i и xi9 но также не принадлежит интервалам
исключения.
Предел этих сумм Римана ищется в предположении, что /устремится
к нулю, а затем стремятся к нулю интервалы исключения».
Относительно этого определения интеграла Бороль утверждает, что
оно более общее, чем определение Лебега. Мы хотим теперь исследовать
степень общности данного определения.
37. Выбор интервалов исключения. Рассматривая данное определение
интеграла, мы замечаем, что оно в главных чертах тождественно
предыдущему. Существенное отличие заключается лишь в выборе интервалов
исключения. В предыдущем определении интервалы исключения были
такими, чтобы, во-первых, их сумма была равна з и, во-вторых, чтобы
существовал предел S' сумм Римана S; в остальном же эти интервалы были
произвольны. В данном же определении интеграла интервалы исключения
ВпСп должны, во-первых, иметь сумму, равную е, и, во-вторых, должны
содержать некоторую счетную строго определенную систему точек
1 Борель называет «ensemble enumerable» всякое множество Е, для которого
мы действительно знаем соответствие между элементами множества и натуральными
числами. Это соответствие должно быть нам известно в форме точного закона, не
допускающего никакой неопределенности и формулируемого при помощи конечного числа
слов и конечпого числа вполне определенных логических операций. Другими
словами, это соответствие должно быть установлено без помощи принципа произвольного
выбора (аксиомы Цермело). Термину «ensemble enumerable» Борель противополагает
термин «ensemble denombrable non effectivement enumerable» (см. его Paradoxes de
la theorie des ensembles, Annales de l'Ecole Normale, 1908). Присоединяясь к мысли
Бореля о необходимости различения этих двух понятий, мы удерживаем, однако,
в этой работе прежний термин «счетное множество» (ensemble denombrable), так как
это не приведет здесь к принципиальным неудобствам.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
107
А19А2,...,Лп,... Эта система точек Ап(п=1, 2, 3,...) является строго
определенной для данной функции / (х), является тесно связанной с природой
этой функции; точки Ап играют роль особых точек для функции f (х).
Назовем систему точек Ап базисом интегрируемости функции f (х).
Никаких других условий данное определение интеграла не налагает на
интерналы исключения ВпСп\ удовлетворяя двум перечисленным условиям,
эти интервалы ВпСп являются в остальном произвольными. Что же
касается до существования предела *S" сумм Римана «S, то данное
определение интеграла категорически требует, чтобы этот предел 6" всегда
существовал, каковы бы ни были интервалы исключения ВпСп,
удовлетворяющие двум перечисленным условиям. Следовательно, это есть условие,
налагаемое не на выбор интервалов ВпСП: а на строение самой функции
f(x). Условимся называть этот выбор интервалов исключения выбором (В).
Это ость выбор, указанный Борелем в только что цитированном
определении интеграла.
Условимся, далее, называть выбором (&) такой выбор интервалов
исключения ВпСп, при котором к двум перечисленным только что
условиям присоединяется требование существования предела S' сумм Римана S.
Хотя этот выбор интервалов исключения не указан Борелем, однако
рассмотрение его является наиболее естественным.
Мы хотим теперь исследовать общность данного определения
интеграла при выборах (В) и (В7).
38. Общность определения интеграла Бореля. Рассмотрим область
[0, 1]. Пусть Е ость измеримое множество на [0, 1], обладающее
следующим свойством: каков бы ни был интервал А, лежащий на [0, 1], точки
интервала Д, принадлежащие к Е, и точки интервала А, не
принадлежащие к Е, образуют два множества, мера каждого из которых - больше
нуля. Можно многими способами построить1 такое множество Е.
Пусть, далее, f (х) есть функция, равная единице на -Б и равная нулю
вне Е. Ясно, что f(x) есть измеримая функция; мы всегда можем
предположить ее функцией класса 2, следуя классификации Бэра (§ 11).
Мы хотим теперь доказать, что / (х) есть неинтегрируемая функция в
смысле Бореля.
В самом деле, пусть f(x) интегрируема в смысле Бореля на [0, 1].
Пусть Аъ Л2, ..., Ап, . .. есть базис интегрируемости функции/(ж).
Так как /(.г), очевидно, не интегрируема в классическом смысле Римана
ни на каком интервале А, лежащем на [0, 1], то поэтому базис
интегрируемости Аъ А29 ..., Ап, ... есть множество, всюду плотное на [0, 1].
А в этих условиях легко можно построить совершенное нигде неплотное
множество Р, обладающее свойствами:
1. Р не содержит ни одной точки базиса {Ап}.
2. mes Р = 1 —s.
1 Одно пз построений таких множеств Е было указано И. И. Приваловым в
заседании Московского математического общества.

108
Н. Н. ЛУЗИН
3. Функция f(x), рассматриваемая на Л имеет множество точек
разрыва меры, большей нуля.
Согласно свойствам 1 и 2 множества Р смежные интервалы к
множеству Р всегда можно рассматривать как интервалы исключения ВпСп.
С другой же стороны, согласно лемме § 34 не существует предела Sr
сумм Римана S; это же противоречит свойству функции f (х), которое
требуется выбором (В) интервалов исключения ВпСп (§ 37).
Итак, существует ограниченная функция f (х), интегрируемая в
смысле Лебега и не интегрируемая в смысле Бореля.
39. Чтобы исследовать до конца общность определения интеграла
Бореля, введем одно понятие. Мы говорим, что функция / (х)
несуммируема в точке S, если f(x) несуммируема во всяком интервале о,
содержащем внутри точку Ъ, как бы мал он ни был1. Из этого определения
непосредственно следует, что множество всех точек, в которых f (х)
несуммируема, есть всегда замкнутое множество на [0, 1].
Если функция / (х) суммируема на всей области [0, 1], то не
существует ни одной точки £, в которой f (х) была бы несуммируемои.
Наоборот, если f(x) несуммируема на [0, 1], тогда непременно должна
существовать хотя одна точка S, в которой / (х) несуммируема. Эти предложения
непосредственно следуют из только что данного определения.
Пусть теперь f(x) есть функция, интегрируемая в смысле Бореля на
[0, 1]. Предположим f(x) несуммируемои на области [0, 1J и обозначим
через F множество всех точек £, в которых / (х) несуммируема. Согласно
предыдущему F есть замкнутое множество. Так как / (х) по
предположению интегрируема в смысле Бореля на [0, 1], то существует хотя один
базис интегрируемости. Пусть счетная система точек А19 А2, Л3, ...,.
Ап> ... есть один какой-нибудь из базисов интегрируемости функции/(а;).
Мы теперь утверждаем, что множество F содержится всеми точками
в базисе интегрируемости А1У А2, ...,-Ап>- -♦ В самом деле, если
какая-либо точка S, в которой / (х) несуммируема, не принадлежит к
базису А1у А2, ..., Ап, .. ., тогда можно корректно показать, что
существует совершенное множество Р, содержащее точку £ и обладающее
свойствами:
1. Р не содержит ни одной точки базиса {Лп}-
2. mesP = 1 — е.
3. Функция f (х), рассматриваемая на Ру есть несуммируемая на Р
функция2.
Согласно свойствам 1 и 2 множества Р смежные интервалы к Р
удовлетворяют всем требованиям выбора (В) интервалов исключения.
С другой же стороны, функция f(x) есть функция, не суммируемая на Р
1 Понятие, введенное Данжуа; см. его Une extension de rintegrale de M. Lebes-
gue (Comptes Rendus, 1 апреля 1912 г.).
2 Такое множество Р легко построить, пользуясь методом, употребленным в
§ 35, Ь). Множество Р всегда можно предположить приведенным: см. примечание 1
на стр. 94.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
109
и, следовательно, неограниченная. Поэтому (§ 34, лемма) не существует
предела S' сумм Римана S, что противоречит свойству функции /(я),
которое требуется выбором (В) интервалов исключения (§ 37).
Следовательно, множество F содержится в базисе А1У А2, . . ., Ап, . . ., и
поэтому F есть счетное множество. Но F есть замкнутое множество; отсюда
выводим, что F есть приводимое множество \ следовательно, нигде не
плотное на [0, 1].
Таким образом мы оказываемся в условиях применимости метода
интегрирования Дирихле2 к нашей функции /(.г); только нужно
пользоваться для этого не интегралом Коши, а интегралом Лебега. Отсюда
приходим к предложению: всякая функция } (х), интегрируемая на [0, 1]
« смысле Бореля, непременно интегрируема методом Дирихле—Лебега и,
следовательно, методом Данжуа*
40. Общность определения интеграла при выборе (22') интервалов
исключения. Определение интеграла, данное Борелем, становится
значительно шире, если мы будем пользоваться выбором (В') интервалов
исключения. Так, легко можно было бы показать, что всякая суммируемая
функция /(х) непременно интегрируема в смысле (В*). Однако общность
этого последнего определения интеграла является значительно меньшей
общности определения интеграла Данжуа. Это мы теперь хотим показать.
Теорема 1. Если f(x) есть функция, интегрируемая на [0, 1] в
смысле (В*), и если базис интегрируемости Аъ А2, .. ., Ап, ... есть
множество, всюду плотное на [0, 1], то функция f(x) непременно
суммируема на [0, 1].
Допустим, в самом деле, обратное. Обозначая попрежнему (§ 35)
через Е* множество всех точек [0, 1], где /(я)^0, и через Е~ —
множество всех точек, где / (х) < 0, видим, что, по крайней мере, один из
интегралов Лебега-
J |/(а)|&и$|/(а)|&
Е+ Е—
обращается в + оо. Поступая, как в § 35, видим, что легко построить
последовательность совершенных нигде не плотных, не содержащих точек
базиса А19 А2, .. . v Ап, .. . , множеств
Л> ^2> -Рз, • • • , Рх, • •
обладающую свойствами:
1. limmes /\ = 1.
1 То-есть такое, что одно из производных от него множеств F^ не содержит
ни одной точки. Термин «приводимое множество» не имеет ничего общего с данным
нами выше (примечание 1 на стр. 94) термином «приведенное множество».
2 См. Lebesgue, Lecons sur l'mtegration, Paris, 1904, стр. 13—14. [В русском
переводе: Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных, ГТТИ, 1934, стр. 17—
18.—Ред.]

110
Н. Н. ЛУЗИН
2. Функция f(x) непрерывна на />л(л = 1, 2, 3, . . .).
3. Интеграл Лебега \f(a)da, распространенный на множество Рх>
когда л беспредельно возрастает, пли стремится к + оо, или стремится
к —ос, или колеблется между + оо и — оо так, как нам угодно.
Очевидно, что совокупность всех смежных к множеству Р\ интервалов
удовлетворяет всем трем условиям выбора (В') интервалов исключения
(§ 37); и так как предел S' сумм Римана S есть, очевидно (§34),
\ f(a)da, то теорема доказана (ч. т. д.).
Приложим эту теорему к одному частному случаю. Рассмотрим две
функции
(rsini) *(*)и i'sin^+ *(*)>
где х(х) есть известная функция Дирихле, равная нулю для х
рационального и равная единице для х иррационального. Каждая точка х
области [0, 1] есть, очевидно, точка разрыва обеих этих функций. Отсюда
(§ 34), если эти функции интегрируемы на [0, 1] в смысле (В'), их базис
интегрируемости Аг> А2, А3, . .. , Ап, . .. есть непременно множество,
всюду плотное на [0, 1]. И так как обе эти функции несуммируемы на
[0, 1], то согласно предыдущей теореме они не могут быть интегрируемы
в смысле {В') на [0, 1]. Отсюда: существуют функции, не интегрируемые
в смысле (В'), но интегрируемые методом Дирихле — Лебега, и,
следовательно, методом Данжуа.
Теорема 2. Если f(x) интегрируема на [0, 1] в смысле (В*),
множество всех точек, в которых f(x) несуммируема, нигде неплотно на
[0, 1].
В самом деле, в противном случае существовал бы на [0, 1] такой
интервал (а, Ь), в каждой точке х которого f(z) была бы несуммирусмой.
Следовательно, f(x) разрывна в каждой точке интервала (а, Ь); отсюда
базис интегрируемости А1% А2, ..., Ап, ...должен быть всюду плотным
на (а, Ь). Но /(х) есть иесуммнруемая на (а, Ь) функция, следовательно,
согласно теореме, f(x) не пнтегрпруема в смысле (В') на (а, Ь), что
противоречит допущению интегрируемости в смысле (В') на [0, I] (ч. т. д.).
Из этой теоремы видим, что если f(x) интегрируема в смысле {В') на
[0, 1], во всяком интервале Д, лежащем на [0, 1], имеется такой интервал
Дь на котором f(x) есть суммируемая функция. Отсюда все функции,
интегрируемые в смысле {И), обладают весьма частными свойствами.
Пользуясь приемами, аналогичными употребленным выше, можно было
бы корректно доказать следующее общее предложение: всякая функция
f(x), интегрируемая в смысле (В') на [0, 1], непременно интегрируема
на [0,1] в смысле Данжуа, причем числовые величины интегралов (В*) и
Данжуа совпадают.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
111
Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения.
ii. Расширение предыдущего определения Борелем. Возьмем функцию
-sin-+x(*),
рассмотренную нами в § 40. Каждое слагаемое этой суммы, очевидно,
интегрируемо в смысле Бореля на [0, 1];вся же сумма, как мы показали,
не интегрируема в смысле Бореля на этой области. Предвидя это
неудобство и желая расширить свое определение интеграла, Борель дал1
следующее обобщение своему определению: функцию f (х) он назвал
интегрируемой на ГО, 1], если / (х) может быть написана в виде суммы
/ (*) = Ш + Шк+ • •. + /ж (х)
конечного числа слагаемых, из которых каждое интегрируемо на [0, 1] в
смысле, данном им рьнее. При этом он полагает по определению, что
интеграл суммы равен сумме интегралов. Легко показать, что это новое
расширение понятия интеграла не выведет нас за пределы класса
функций, интегрируемых в смысле Данжуа. В самом деле, если f{ (x)
интегрируема в смысле Бореля, то f{(x) непременно интегрируема и в смысле
Данжуа. Но сумма конечного числа функций, интегрируемых в смысле
Данжуа, есть функция, также интегрируемая в смысле Данжуа.
Следовательно, / (х) = ^ /«(х) интегрируема в смысле Данжуа, и определение
i
Бореля яе приводит к новому расширению понятия интеграла.
42. Задача общего выбора интервалов исключения. Хотя процесс
интегрирования, предложенный Борелем, и не расширяет интеграл Данжуа,
однако, он представляет большой интерес, так как приводит к ряду
новых задач.
Заметим прежде всего, что употребление сумм Римана в процессе
Бореля не имеет внутренней необходимости в теоретико-функциональном
отношении, но имеет лишь методологический интерес, как стремление
получить расширение интеграла приемом, напоминающим классические приемы
Копти и Римана. Если отказаться от этой аналогии, то можно немного
обобщить определение Бореля, что естественно сделать следующим образом.
Условимся называть выбором (В") такой выбор инервалов исключения
ВпСП) который удовлетворяет следующим требованиям:
1. Интервалы ВпСп (л = 1,2,3, . ..) содержат все точки базиса
интегрируемости А1: А2, AZt ..., Ат, . ..
2. 2mes5nCn = e, где е>0, малое как угодно.
3. Функция / (х) суммируема на совершенном множестве Р,
образующемся по удалении из [0, 1] всех интервалов ВпСп-
1 В цитированной работе: «Le calcul des integrales definies» (Joum.*, de Math.,
серия 6, 8, стр. 203, 1914).

112
Н. Н. ЛУЗИН
Обозначим через Т интеграл Лебега:
Г = \ f(a) da.
Р
Мы говорим, что данная функция / (х) интегрируема на [0, 1] в смысле
(В"), если число Т стремится к единственному вполне определенному
пределу Т\ когда г стремится к нулю; этот предел Т" мы называем
интегралом (В") от f(x) на [0,1].
Легко видеть, что хотя это определение интеграла значительно шире
определений (В) и (В7), однако оно также не приводит к расширению
интеграла Данжуа. Тем не менее это определение интеграла представляет
интерес, так как, повидимому, оно эквивалентно определению Данжуа.
Повидимому, всякая функция, интегрируемая в смысле Данжуа,
интегрируема также и в смысле [В"). Если так1, то определение {В") дает
нам интеграл Данжуа без помощи трансфинитов второго класса. Это
же может представлять интерес 2.
Но несравненно больший интерес представляет вопрос о том, можно
ли найти такой выбор интервалов исключения ВпСПу который давал бы
возможность выйти за пределы класса функций, интегрируемых методом
Данжуа. Некоторые факты указывают, что, повидимому, такой выбор
существует.
Рассмотрим, например, два ряда
оо
F (х) = 2 Ап Г (х - rny sin ' ,1 (I)
И
оо
/<*) - 2 4»а?[<* - г»>2sinW^r\' (II>
где rv r2, r3, . . ., rn, ... суть все рациональные числа на [0, 1].
В следующей главе (§ 52—57) мы докажем, что если ряд с положитель-
оо
пыми членами 2 1^| есть ряд, достаточно быстро сходящийся, то тогда
ряд (II) сходится почти всюду на [0, 1], и функция / (х) не суммируема
ни в каком интервале А, лежащем на [0, 1], и, значит, не интегрируема
о смысле Данжуа; что же касается непрерывной функции F(x), то она
является в этих условиях всегда примитивной для / (х).
1 Во время просмотра корректур этой работы Д. Е. Меньшовым был указан на
заседании Московского математического общества (1914 гм декабрь) пример
функции, интегрируемой методом Дирихле и, однако, неинтегрируемой в смысле (В").
Этот пример решает, очевидно, вопрос текста в отрицательном смысле. (Этот
результат Д. Е. Меньшова опубликован: см. Д. Е. Меньшов. Взаимоотношение
между интегралом ВогеГя и Denjoy, Матем. сборник, 30» 288—295, 1916. —Ред.)
2 См. примечание 1 на стр. 89.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
113
Естественно спросить, какая это примитивная. Является ли эта
примитивная F {х) особенно тесно связанной с функцией / (х) в структурном
отношении, отвлекаясь от аналитического выражения? Аналитическая
связь функций F (х) и / (х) состоит в том, что одна функция получается
из другой при помощи дифференцирования почленно ее аналитического
выражения. Эта аналитическая связь отражается ли в чем-либо на их
строении, переходит ли она в сродство их структур? Или, наоборот,
любая другая примитивная Fx (x) может быть связана с / (х)
аналитическими выражениями указанного типа?
Повидимому, существует органическая связь структур f (х) и F(x),
и, таким образом, примитивная F (х) является особенной для /(#). Далее,
повидимому, примитивная F (х) может быть получена из функции / (х)
путем надлежащего выбора интервалов исключения ВпСп при
базисе rlf r2, rs, . . . , rn, . . . Но действительно указать такой выбор
интервалов исключения ВпСп является задачей значительной трудности.
Глава IV
СВОЙСТВА ПРИМИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
Несуществование общего процесса интегрирования
43. После того как нами были рассмотрены свойства процессов
интегрирования, предложенных до настоящего времени, мы переходим к
вопросу о существовании общего процесса интегрирования*
То общее, что мы замечаем во всех этих процессах, это есть следующее:
каждый процесс интегрирования выделяет из совокупности всех
примитивных {F(x)}> F(0) = 0, одну примитивную F0(x), обладающую особыми
свойствами, особенно тесно связанную с данной функцией / (я),—
примитивную, называемую «неопределенным интегралом». Тогда определенный
интеграл вычисляется как разность двух значений этой примитивной,.т. е.
ь
^f(a.)da=Fo(b)-F0(a).
а
Хотя в силу основной теоремы для всякой / (х), измеримой и конечной
почти всюду, существуют примитивные {F(x)}9 F(0) = 0, однако легко
видеть, что не для каждой / (х) возможно выделение из семейства
примитивных неопределенного интеграла F0 (x), если хотят, чтобы была какая-
либо аналогия между этим интегралом и интегралом в смысле Коши.
Пусть, в самом деле, / (х) есть положительная функция на [0,1],
не интегрируемая на [0,1] в смысле Лебега. Пусть F0{x) есть какая-нибудь
примитивная для / (х). Ясно, что F0(x) не может быть монотонной функцией

114
Н. Н. ЛУЗИН
на [0,1], так как в противном случае / (х) была бы интегрируемой в смысле
Лебега1. Отсюда на области [0,1] имеется такая пара точек а и 6, a<^bt
что F0(b) — .Ро(а)<0. Следовательно, имеем
ь
[f(a)da<Oya<b,f(x)>0}
а
что является противоречием главному свойству определенного интеграла,
так как здесь все его элементы положительны.
Правда, / (х) есть функция, определенная на [0,1] всюду, кроме
нульмножества; можно поэтому думать, что отрицательная величина опреде-
ъ
ленного интеграла \/ (a) da обязана отрицательным значениям функции
а
/ (х) на каком-либо нуль-множестве. Но эта мысль становится в
противоречие с принципом пренебрежения нуль-множеством, на который мы
систематически опирались все время. Нет никаких оснований думать, чтобы
теория, в которой величина определенного интеграла изменяется при
изменении интегрируемой функции в одной только точке, или на счетном
множестве точек, или на нуль-множестве, представила бы научную
ценность, была бы естественной и полезной для каких-либо вопросов анализа;
напротив, мы знаем, что все теоремы теории функций, связанные с
метрической характеристикой множеств, всегда не зависят от привходящих
нуль-множеств.
Таким образом вышеприведенная функция / (х) является примером
функции, абсолютно не интегрируемой на [О,1] ни в каком возможном
смысле2.
44. Но кроме этого класса абсолютно не интегрируемых функций можно
указать примеры другого рода, из которых ясно, что если мы настаиваем
на получении самого общего процесса интегрирования, то мы, на известных
стадиях общности, должны искать неопределенный интеграл уже не
в семействе примитивных {F (#)}, F(0) = 0, а среди разрывных
измеримых функций.
Рассмотрим отрезок —у, + у длины 1. Пусть f(x) дана на нем
формулой
ь
Если интервал (а, Ь) не содержит точки х = 0, интеграл \ / (a) da есть
а
обычный интеграл Коши. Но если (а, Ь) содержит внутри точку х = 0, то
приходится или объявить функцию f(x) не интегрируемой на {а, Ъ), или
1 См. Hobson, The Theory of Functions, etc., Cambridge, 1907, стр. 557.
2 При удержании операцией интегрирования ее основных свойств.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
115
дать какое-либо другое определение интегралу. Такое определение может
быть дано на основании принципа симметрии.
Действительно, рассмотрим какой-либо интервал (— с, -f с), 0^с^4- .
Так как интеграл
S /(*) da
—с
имеет все свои элементы симметричными и попарно уничтожающимися, то
единственная величина интеграла, которая может быть приписана ему
каким-либо методом, есть нуль. Если мы примем это определение, тогда
X
ясно, что неопределенный интеграл ^ f(a)da есть функция, определенная
2
и конечная для всякого х в интервале ( — у, ~^т)> W0Me я = 0. Но в
этом случае неопределенный интеграл есть уже разрывная функция от х
в точке х = 0.
Легко построить аналогичные примеры, где неопределенный интеграл
(получаемый по принципу симметрии) есть функция от я, разрывная в
конечном числе точек; пользуясь же методом сгущения особенностей Кантораг
легко получить такую функцию f{x), для которой единственно возможным
х
пониманием неопределенного интеграла \ / (a) da является рассматривание
о
его как функции переменного х, разрывной в каждой точке области [0, 1].
ь
В этом случае определенный интеграл j / (a) da есть величина, конечная
а
для всякой пары точек а и b некоторого вполне определенного множества
Е меры единица.
Мы увидим далее, что многие факты из теории сходящихся рядов
функций и, особенно, все факты из теории тригонометрических рядов
приводят к мысли искать неопределенный интеграл именно среди
разрывных измеримых функций. Но, как и в случае примитивных, нужной здесь,
чтобы «неопределенным интегралом» была названа функция, хотя и
разрывная, однако особенно тесно связанная с природой и свойствами
данной функции f(x).
Недостаточность аксиом Лебега
45. Известно, что Лебег после того, как конструктивным путем получил
свое определение интеграла, дал еще второе, чисто логическое'
определение своего интеграла как системы чисел, удовлетворяющих известным
1 Относительно этого метода см. Hob son. The Theory of Functions, etc.,
Cambridge, 1907, стр. 618.

116
Н. Н. ЛУЗИН
аксиомам1. Естественно желать применить эту систему аксиом к отысканию
более общего определения интеграла. Однако этот путь не может привести
к цели; мы хотим теперь показать это.
Определение интеграла посредством аксиом заключается в следующем.
«Всякой функции / (х), определенной на интервале (ау b), а^Ь, мы
ь
ставим в соответствие конечное число J / (я) da, которое мы называем
а
^определенным интегралом» от f (х) на (а, Ь) и которое удовлетворяет
следующим аксиомам:
ь ъ+ь
1. \ f(a)da — \ f(a — h)daf где a, b и А —любые числа;
a a+h
Ь с а
2. }f(a)da + ^ /(a) da + j /(а) da = О, где а, Ь, с — любые числа;
а Ь с
ъ ъ ъ
3. J [/(ос) + ср (a)] da = J /(а) da + \ о (a) da;
а а а
Ъ
4. $/(а)Жх>0, если /(а)>0, а<6;
а
1
5. Si da = l.
и
6. Если /п(я) стремится к / (х) возрастая, то интеграл от/п (х) стремится
к интегралу от /(я)».
Заметим, прежде всего, что эта система аксиом указывает
одновременно со свойствами интеграла еще и свойства класса интегрируемых
функций; назовем последний через К. С этой точки зрения вся система аксиом
Лебега делится на две качественно различные группы.
Группа I (аксиомы 1, 2 и 4) суживает определение интеграла,
ь
указывая, среди каких именно чисел нужно искать число ^ /(a) da.
а
Группа И (аксиомы 3, 5 и 6) расширяет класс К, заявляя, что 1
принадлежит к классу К (аксиома 5), что сумма /+ ср принадлежит к К,
если / и ср входят в К (аксиома 3), и, наконец, что при известных
условиях предел /п принадлежит к К, когда функции /ь /2, . . ., /п, •♦*
входят в К2 (аксиома 6).
1 Lebesgue, Lecons sur rintegration, Paris, 1904, стр. 98—100. [В русском
переводе: Лебег, Интегрирование и отыскание примитивных, ГТТИ, 1934,
стр. 91—92. —Ред.]
2 Мы должны сказать, что лишь в общих чертах мы намечаем в аксиомах
Лебега эти две группы. Некоторые аксиомы Лебега носят смешанный характер,
не позволяющий отнести их только к одной группе. Так, например, аксиома 3 не

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
117
Таким образом класс интегрируемых функций К в силу аксиом
Лебега обладает следующими свойствами:
1. 1 принадлежит к К.
2. Если / входит в К, то функция X/, где X есть постоянное число,
тоже принадлежит к К1.
3. Если / и ср принадлежат к К, то и сумма /+ © войдет в К.
4. Если /lf /2, /3, . .., /п, .. . суть функции из ^ и если /п</п-и
(л = 1, 2, 3, . . .)» то и lim /n войдет в £*.
п->оо
Уже сейчас можно заключить, что система аксиом Лебега не дает
возможности расширить класс К за пределы того класса функций /, которые
Лебег назвал суммируемыми функциями (fonctions sommables).
Действительно, если К есть класс всех суммируемых функций, то известно, что
*/» / + ? и 1*т /я СУТЬ опять суммируемые функции **. Следовательно,
п->оо
все операции, указанные в системе аксиом Лебега, не расширяют класса
суммируемых функций, и для расширения его, таким образом, нужны
еще новые аксиомы.
только говорит относительно интегрируемости суммы / -f <p, что вынуждает записать
ее в группу II, но, вместе с тем, дает точную величину интеграла от этой суммы
/ + 9, что тесно связывает рассматриваемую аксиому с группой I. Но какова бы
ни была неопределенность очертаний той или другой группы, остаются в силе
указываемые нами два момента, именно: момент сужения определения интеграла
путем выбора его значений из определенной категории чисел и момент расширения
класса К интегрируемых функций.
Следует еще заметить, что указанная неопределенность групп сильно зависит
от неясности, присущей самой системе аксиом Лебега и вовлекшей ее автора в
неточные утверждения. Так, неточным является утверждение Лебега, что система его
аксиом влечет существование равенства
ь ь
[ X/ (а) doi = X [ / (ос) d<x,
а а
1
где X есть постоянное число. Действительно, даже в простом случае X = -^ из
1
аксиом Лебега можно вывести лишь только то, что, если функция -<>f(x)
интегрируема, ее интеграл должен определяться равенством
ь ь
$т/(в)~"Н/(а)Лс"
а а
1
Но самый факт интегрируемости функции -=- / (х) не может быть выведен из
интегрируемости данной функции / (х) при посредстве аксиом Лебега и должен быть
содержанием дополнительного утверждения.
Вероятно логический анализ лебеговой системы аксиом должен привести к
внесению в нее дополнительных утверждений или к распадению некоторых аксиом на
более простые аксиомы, между собой независимые.
1 См предыдущее примечание.
* Если только интегралы от функций fn(x) стремятся к конечному пределу.—
Ред.
** При ограничениях, указанных в предыдущем примечании.—Ред.

118
Н. Н. ЛУЗИН
Это же самое можно показать другим способом, более выясняющим
вопрос о системе аксиом Лебега.
Возьмем какую-нибудь определенную функцию <d (я), измеримую и
конечную почти всюду, обладающую следующим свойством: какова бы
ни была конечная сумма а (х) вида
°{*) = 2***Ф + h) ,
где />i и h{ суть какие-нибудь постоянные числа, лишь бы Л$ были разные
и Х{ не равные нулю, обе функции
\а(х)\ + о (х) и | а (х) | — а (я)
ь
имеют интеграл Лебега \ равным + оо в любом интервале (а, £), а < 6,
а
лежащем на [0,1].
Функции (о (х), обладающие этим свойством, существуют; ряд
S^ri[(*-|,-),elnF^]'
n-i д
где гх, г2, г3, ..., гп,... суть все рациональные числа оси я, есть ряд,
абсолютно сходящийся почти всюду на [0, 1], и его сумма обладает свойством
функции й>(х)х.
Назовем через К0 класс всех функций / (х), обладающих следующим
свойством: всегда можно разделить область [0,1] на конечное число таких
интервалов:
A1 = {a1,bl), А2 = (а2, £2), . .., AN={a>N,bN),
что в каждом из них, пусть в Д{ (i = 1, 2, 3, . . ., TV), имеем
тождественно:
/(z)=/i(*) + 2/.(*)a)(;c + 4>)
V
(<и<*<гч), i = i, 2, з,..., n,
где fi(x) есть суммируемая функция на Ai, числа \^\ /г(р суть
постоянные, причем h!{\ A2l), Ь>з\ . . . все разные, сумма же 2 распространяет-
р
ся на конечное число слагаемых.
Можно без труда убедиться в том, что класс К0 удовлетворяет всем
требованиям, налагаемым аксиомами Лебега на класс интегрируемых
функций К.
Выберем для нашей функции со (х) произвольно одну какую-нибудь
ее примитивную Q(x), уничтожающуюся в х = 0. Ясно, что разность
Q. (Ь) — £2 (а) есть вполне определенное конечное число, зависящее только
от а и Ь.
1 Относительно таких рядов см. дальше, § 52—55.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
119
Пусть теперь f(x) есть какая-нибудь функция из класса К0 и (а, Ь) —
какой-нибудь интервал на [0, 1]. В силу свойств функций, составляющих
класс К о, интервал (а, Ь) можно разделить на конечное число N таких
интервалов
д1 = К, *i), А2 = (а2, Ь2)у . . ., AN (aN, bN),
что на каждом из них, пусть на At (i = 1, 2„ 3, .. ., N)t имеем
тождественно:
/(*)=/, ф + ЗХ^ а, (* + /#')
р
(ai<x<6i), i = l, 2, 3, ..., ЛГ,
где /i (я) есть суммируемая функция на Д{, числа же lp\ h^ суть по-
стоянные, причем h%\ h%\ h^\ ... все разные.
Полагая по определению1
If (a) da « 2{ /f W & + У Х^ Г Q (Ар+ Ъ{) - Q (/£+ oj \\ ,
убеждаемся без труда, что построенные таким образом класс KQ функций
ь
f (х) и числа \ / (a) da удовлетворяют всем аксиомам Лебега, и так как
а
примитивная функция С1(х) была выбрана произвольно, то приходим
к следующему результату: существует такой класс К0 функций f (х) и
ь
такая система чисел \/ (a) da, которые удовлетворяют таблице аксиом
а
Лебега и притом так, что для одной из функций класса К0, именно для
х
«> (я), неопределенный интеграл \<d (a) da есть произвольно выбранная ее
о
примитивная Q (#), уничтожающаяся для х = 0.
Отсюда ясна недостаточность аксиом Лебега для дальнейших
обобщений понятия интеграла.
Таким образом, если желают идти дальше, представляется два пути:
или пополнить таблицу аксиом Лебега, введя новые аксиомы,
расширяющие класс К] такой аксиомой может, например, служить упомянутый выше
(§ 44) принцип симметрии) или, оставив на время аксиоматический метод,
искать конструктивным путем наиболее «естественное» расширение
интеграла.
1 Интегралы \ , стоящие в правой части этой формулы, суть интегралы'Лебега.
Ч

120
н. н. лузин
Функции, имеющие производную, равную нулю
почти всюду
46. Найденные нами в § 23, 24, 30 (теорема III) характеристические
свойства неопределенных интегралов Лебега и Данжуа являются
эквивалентными этим определениям интеграла и не дают возможности сделать
выбор особенной примитивной F0(x) из семейства {F(x)}, F (0) = О,
в случае, когда / (х) не интегрируема в смысле Данжуа. Для того чтобы
осуществить такой выбор в более общих случаях, мы должны снова
обратиться к изучению примитивных функций и искать более общие свойства,
отличающие неопределенный интеграл Лебега и Данжуа от всякой другой
примитивной,— свойства, которые не были бы эквивалентными этим
определениям интеграла.
Для этого рассмотрим сначала свойства непрерывных функций ф (я),
ф(0) = 0, имеющих Y(x) = 0 почти всюду на [0,1]. Это рассмотрение
является тем более уместным, что каждая примитивная функция F2(x)
для / {х) может быть получена из всякой другой примитивной F^x) для
/ (х) по формуле
где, очевидно, ф(з) есть непрерывная функция, имеющая
ф'(а;)=0
почти всюду на [0,1].
Итак, ставим вопрос: чем именно по своему строению отличается
функция 0 от всякой непрерывной функции ф (х), ф (0) = 0, имеющей ф'(х) = О
почти всюду на [0, 1]?
Теорема 1. Если ф (x) есть непрерывная функция, имеющая У(х)= О
почти всюду на [0,1], тогда существует на [0, 1] такое множество £,
mes Е = 1, что совокупность всех значений функции ф (х) на Е есть
множество меры нуль.
В самом деле, пусть Е есть множество точек, где ф'(я) = 0. Имеем
согласно условию mes Е = 1. Пусть £ есть какая-нибудь точка множества Е,
а) Свойство колебаний функции ф (х). Мы хотим
сначала найти свойство функции ф (х) вблизи точки 6. В силу равенства
ф' (Е)=0 существует такое малое число #, #>0, что для |й|<#
имеем
| ф№ + А)-ф«) 1 ^
I 5 |<Y''
где т]>0, малое как угодно. Пусть 8 есть какой-нибудь интервал,
содержащий точку £ и заключенный в (Е — Н, 1-\-Н). Обозначим через
<о колебание функции ф (х) на интервале о.
Имеем
<о = ф(я")-ф(*г

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
121
где х" и х' суть некоторые точки, находящиеся на о. Отсюда
«<1Ф(*")-Ф№)| + |Ф(^)-Ф(5)|.
Но х" и х' суть точки на 8 и, следовательно, лежат на интервале-
(5 — Hf !; + #). Поэтому имеем неравенства:
Ф(аО-ФК) 1 ^.1
откуда
|ф(^)-ф(Е)1<ч1^-б| и |Ф(*')-ф(«)Кч1*'-«|.
Следовательно,
»<ч1*"-е| + ч|*'-е|.
Так как ж* и #' лежат на о и этот интервал содержит точку S, тег
получаем окончательно
<о<2т)* длина о,
т. е. колебание функции ф (ж) на достаточно малом интервале 8,
содержащем точку £, меньше произведения у\ на удвоенную длину
интервала 8, где т)>0, малое как угодно.
Ь) Возвратимся к множеству Е. Так как согласно предыдущему
можно каждую точку $ множества Е заключить внутрь интервала 8,
соответствующего неравенству о>^2у)- длина о, то отсюда следует гг
что все множество Е можно заключить в конечное или счетное множество-
открытых интервалов
8i, 82, 83, .. ., 8П, . . .,
не имеющих попарно общей точки и соответствующих неравенствам:
<on<2i)- длина 8П (/г = 1, 2, 3, . ..)»
где (оп есть колебание ф (х) на 8П. Складывая эти неравенства, имеем
2<*>п<2т] . 2длина sn = 27j,
так как mes E = 1."
Полученное неравенство показывает, что множество значений функции
'Ь(х) на множестве i? можно заключить в систему интервалов, сумма длин
которых <2т]. И так как т] можно сделать произвольно малым* то множество
значений функций <j> (я) на £ имеет меру, строго равную нулю (ч. т. д.).
Теорема 2. Если <Ь(х) есть непрерывная функция на [О, 1], к е
тождественная постоянной и имеющая ф' (х) = О
почти всюду на [О, 1], тогда существует на [О,1] такое множество G
1 В силу теоремы Юпга (Ргос. Loud. Math. Soc, 35, 387).

122
H. H. ЛУЗИН
меры нуль, что совокупность всех значений функции ^{х) на G есть
множество меры, больше й нуля.
В самом деле, пусть попрежнему Е есть множество точек, где ф'(#) ~ 0.
Обозначим через G множество, дополнительное к Е.
Функция ф (х) непрерывна на [0,1] и не тождественна постоянной.
Поэтому значения функции ф (х) на всей области [0,1] образуют интервал,
длина которого равна колебанию функции ф (х) на всей области [0,1];
обозначим через £1 это колебание. Имеем
Q>0.
Так как значения функции ф (х) на множестве Е образуют множество
меры нуль, то отсюда следует, что значения функции ф (х) на множестве G
образуют множество меры £У>0 (ч. т. д.).
Теорема 3. Если ф (х) есть непрерывная функция на [0,1] не
тождественная постоянной и имеющая ф" (х) = 0 почти всюду на [0, 1], то
существует на [0, 1] такое совершенное множество тс меры нуль,
что значения функции ф (х) на тг образуют множество меры, как угодно
близкой к колебанию П функции ф (х) на всей области [0,1].
В самом деле, возьмем систему открытых интервалов
8ц §2> 88, * * * ,^л> " • * '
о которой шла речь в предыдущей теореме 1. Удаляя все эти интервалы
6Л (п = 1, 2, 3,...) из области [0,1], получим, очевидно, некоторое
замкнутое множество g.
В силу неравенства
2 «>п < 2?)
значения функции ф(я) на интервалах 8П (п = 1,2, 3,...), смежных к
множеству g, образуют множество меры, меньшей 2-у). Отсюда значения
функции ф (я) на самом множестве g образуют множество меры > й — 2tj, т. е.
множество меры не нуль, так как т] малое по желанию. Поэтому множество
g не может быть счетным. Значит, оно есть сумма некоторого счетного
множества точек е и совершенного множества it, т. е.
g = e + iz.
Имеем, очевидно,
mesrc = 0,
что доказывает теорему (ч. т. д.).
Эти предложения показывают, что в наиболее простом случае, когда мы
имеем тождественно
/(z) = 0, 0<*<1,
X
неопределенный интеграл \ 0 dx отличается от всякой другой примитив-
о
х
ной ф (г), ф (0) = 0, тем, что значения неопределенного интеграла \ 0 dx

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
123
ра любом нуль-множестве образуют опять нуль-множество, тогда как
для всякой другой примитивной ty (х) всегда существует такое
нульмножество Е> на котором значения примитивной функции ф (х)
образуют уже измеримое множество меры, большей нуля. Это дает нам мысль
изучать вообще непрерывные функции на множествах меры нуль и
классифицировать их соответственно их свойствам на нуль-множествах.
Свойства непрерывных функций на множествах
меры нуль
47. Пусть F (х) есть какая-нибудь непрерывная функция на области
[0,1]. Мы говорим, что F (х) обладает на [0,1] N-свойством
(«нуль-свойством»), если, каково бы ни было множество 2R меры нуль, лежащее на
[0,1], значения функции F (х) на ©образуют множество непременно меры
нуль.
Прежде всего ясно, что не все непрерывные функции F (х) обладают
TV-свойством: в самом деле, функции ^ (х), имеющиеУ(х) = 0 почти всюду
на [0,1] и не тождественные постоянной, уже не обладают TV-свойством,
как это мы видели в предыдущем параграфе.
Относительно непрерывных функций F (х), не обладающих
TV-свойством, имеет место следующее общее предложение.
Теорема. Если непрерывная функция F (х) не обладает на [0,1]
N-свойством, всегда существует на [0,1] такое совершенное множество тс
меры нуль, что значения функции F (х) на тс образуют множество меры,
большей нуля.
В самом деле, пусть непрерывная функция F (х) не обладает на [0,1]
TV-свойством. Это значит, что существует на [0,1] такое множество ЗЛ меры
нуль (в смысле Лебега), что значения функции F (х) на 9Я не образуют
множества меры нуль. Обозначая через те внешнюю меру этого множества
значений функции F (х) на 3R, имеем тпв>0.
Заключим множество 9Л в счетное множество замкнутых отрезков
оо
К> 82> &з>---> &п,..., не имеющих общих точек, и таких, что 2 Длина 8n<ei>
где ех > 0 малое как угодно.
Среди этих отрезков 8П должен иметься, по крайней мере, один, пусть 8$,
такой, что множество значений функции F (х) на части множества ЯЛ,
содержащейся в biy имеет внешнюю меру, большую нуля. В самом деле,
в противном случае множество значений функции F (х) на ЯК имело бы
меру, равную нулю.
Теперь мы утверждаем, что можно выбрать число ех столь малым, что
в последовательности Ъ19 82, о3,... ,8П,... у нас будет иметься не один отрезок Ь{>
обладающий этим свойством, а, по крайней мере, два. Действительно,
функция F (х) есть непрерывная функция; поэтому всегда можно найти
такое малое число в19 что колебание функции F (х) на всяком интервале
(а, 6), лежащем на [0,1], длина которого не превышает ei, будет меньше

124
H. Н. ЛУЗИН
^-. Выбрав ег именно таким, заключаем немедленно, что в последователь-
ности 81э 82, S3,..., 8m... имеется, по крайней мере, два отрезка, таких, что
совокупность значений функции F (х) на части множества 9Я, заключенной
в каждом из них, имеет внешнюю меру, большую нуля.
Возьмем число ei именно таким и обозначим через
8V 8V 5V • • • > 4v> • • • (N>2)
совокупность всех отрезков, содержащихся в последовательности о1,о2,33>...,
оп, . . . и обладающих упомянутым свойством. Если этих отрезков имеется
лишь конечное число, пусть N1 (N1^2)t берем их все и обозначим их
новыми символами, именно, через кФ, иФ, и™, . . . , иФ. Если же этих
отрезков h{N бесконечное множество, тогда ясно, что можно выбрать
число N1 столь большим, чтобы совокупность всех значений функции
F (х) в точках множества 5И, содержащихся в системе Nx интервалов
«\ <\ «ч «N
<V oif, ot3, ...,oWi,
имела внешнюю меру >me— ^-. Обозначая и теперь эти отрезки через
и¥> и(У> и з}> • • • у и/}\ видим, что в том и другом случае имеем систему
(1^) N± отрезков:
обладающую свойствами:
1. 2 Длина и^<ei» r^e ei>0, малое как угодно.
1
2. Совокупность значений функции ^(я) на части множества ЗЛ,
содержащейся в иФ, имеет внешнюю меру, большую нуля.
Обозначим эту внешнюю меру через рФ, р.Ф>0.
3. Совокупность значений функции .F (г) в точках множества 9Й,
содержащихся в системе (Ех) отрезков, имеет внешнюю меру > /пе — ;-^-.
Теперь мы можем оперировать с каждым отрезком иФ и с частью
множества 9Л, заключенной в нем, таким же точно образом, как мы
оперировали с областью [0,1] и со всем множеством ЗЛ. Значит, мы
можем всегда найти в цФ такую конечную систему отрезков (по крайней
мере два), которая по отношению к кФ и к части множества 9Я,
заключенной в иФ, обладает теми же тремя свойствами, какими обладает
система (1^) по отношению к области [0,1] и множеству 9Л. Только в этом
случае число ех мы заменяем числом е2, е2<^, и разность тпв—^г

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
125
заменяем разностью рФ — ^-, что всегда возможно согласно
предыдущему. Обозначим систему всех образованных таким образом отрезков
для различных uW через
»?>, и<|>, и<|>, ..., »(*>, N2>2*. (Е2)
Из этой системы (Е2) таким же точно образом мы образуем новую
систему (Е3) отрезков
и<з>, uf, гг(|>, ..., «W, 7V3>23, (Еэ)
только для этого образования мы заменяем число ег числом е3, е3<
(2)
<27^~ t и разность те — Щ- заменяем разностью ^f— ^3- • Затем
мы образуем последовательно системы (Е4), (Е5) и т. д.
Процесс образования систем, очевидно, не закончится на конечном
числе шагов, и таким образом мы получим последовательность
(SO, №,), (S3) (2л), • • -
систем отрезков.
Обозначим теперь через ъ совокупность всех точек области [0,1],
принадлежащих одновременно ко всем этим системам отрезков (En)
(я=1, 2, 3, ...). Мы утверждаем, что тг есть искомое совершенное
множество, оправдывающее теорему.
Действительно, в каждом отрезке системы (En) содержится, по
крайней мере, два отрезка системы (En+i); и так как система (En+i),
рассматриваемая как множество точек, есть часть системы (En), то отсюда
следует, что множество « существует и есть совершенное множество1.
Но сумма длин отрезков, образующих систему (En), меньше чем уп- •
Отсюда mesir = 0.
Наконец, обозначая через Qn совокупность всех значений функции
F(х) во всех точках системы (En), видим, что
mes Qn>me g ^ • • • = ~>°*
И так как множество Qn содержит, очевидно, множество ^п+1(м=1, 2,
3, .. .), то совокупность значений функции F (х) на совершенном
множестве it, будучи общею частью множеств
Qiy Qii Qb • • •» Qn* • • • >
имеет меру >-^—>0 (ч. т. д.).
1 Так как оно, очевидно, получается путем последовательного удаления из
области [0, 1] интервалов, не имеющих общих точек, включая концы.

126
Н. Н. ЛУЗИН
Легко видеть, что доказательство этой теоремы дает больше, чем то, что
содержится в ее формулировке. Дабы показать это, введем одно понятие.
Мы называем порцией множества ЗЯ совокупность точек множества 5R,
содержащихся внутри какого-нибудь интервала (а, Ь). В силу этого
определения легко видеть справедливость следующего предложения.
Значения функции F (х) на любой порции множества г. образуют
множество меры, большей нуля.
Действительно, всякий интервал (а, &), содержащий внутри точку
множества it, должен, очевидно, содержать внутри отрезок системы (Ип)г
когда п есть достаточно большое число. Пусть этот отрезок есть и^\
А из доказательства предшествующей теоремы ясно, что значения
функции F (х) на части множества ic, содержащейся в и^\ образуют множе-
(п)
ство меры!> iLJL->0, так как в этом доказательстве вся область [0,1]
и число те играют ту же самую роль, как отрезок uW и число pty
(ч. т. д.).
Эти предложения имеют то значение, что сводят изучение
непрерывных' функций на самых общих множествах меры нуль к изучению этих
функций на совершенных множествах меры нуль, что во многих
вопросах представляет существенное упрощение.
Было бы весьма интересно изучить более подробно класс всех
непрерывных функций F (х)у обладающих -/V-свойством, поставив, например,
вопрос о том, когда сумма двух функций Fx (x) + F2 (x) обладает iV-свойст-
вом, если им обладают Fx {x) hF2(i), или ставя вопрос о существовании
производных у таких функций F (х) [13].
Не останавливаясь на этом изучении, мы переходим к рассмотрению
другого интересного класса непрерывных функций, заключенного в
классе функций, обладающих УУ-свойством.
48. Функции с нулевым изменением. Мы говорим, что непрерывная
функция F (х) есть функция с нулевым изменением на области [0, 1], если,
каково бы ни было множество 2Я меры нуль и как бы мало ни было
число £, е > 0, всегда можно заключить множество ЗЛ в такую последова-
тельность отрезков ох, о2, о3, ... , оп, . . ., 2 Длина оп < е, что, обозна-
j
чая колебание функции F (х) на оп через <оп, имеем
оо
1
Для того чтобы сделать ясным смысл данного определения, введем
несколько понятий.
Пусть на области [0, 1] имеем некоторое измеримое множество 9К.
Будем обозначать через (Е) всякую счетную систему отрезков, не
имеющих попарно общих точек и лежащих на [0,1].

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 127
Мы. говорим, что последовательность (S) систем
(Si), (^), ..., (En), ... (S)
эквивалентна множеству 2Л, если множество ЗЛ содержится в каждой
системе (Ху и если
iim mes (En) = mes 2Л.
n->oo
Пусть F (а:) есть непрерывная функция на [0, 1]. Обозначая через
8(?>, *<S>, 8<}>, ..., 8<J>, ...
все отрезки системы (Ел) и через <о<£> колебание функции ^ (а?) на
отрезке 8<у>, видим, что каждой системе (Еп) соответствует положительное
число (конечное или бесконечное) Yn:
со
Вследстие этого каждой последовательности (S), эквивалентной
множеству Эй, соответствует последовательность чисел
Обозначим через 2/(S) нижний предел этой последовательности чисел.
Ясно, что y(S) есть положительное число (конечное или нет), зависящее
от S. Меняя S, мы получаем, вообще, различные числа у(8К Обозначим
через w<$i нижнюю грань всех чисел y(S), получающихся при
рассмотрении совокупности всех систем S, эквивалентных данному множеству Эй.
Это число Wyfc, зависящее, очевидно, только от функции F (х) и
множества 2Д, мы будем называть минимумом изменения функции F (х)
для множества SK.
Из этого определения следует, что функция с нулевым изменением
есть функция, имеющая минимум изменения для всякого
нуль-множества равным нулю.
Относительно непрерывных функций F(x), не обладающих нулевым
изменением, имеет место следующее общее предложение.
Теорема. Если непрерывная функция F(х) не есть функция с
нулевым изменением на [0, 1], всегда существует на [О, 1] такое
совершенное множество гс меры нуль, что минимум изменения функции
F (х) на любой порции множества тс есть число, большее нуля.
Доказательство этого предложения совершенно аналогично
доказательству теоремы предыдущего параграфа. Достаточно, в самом деле,
заменить там термин «внешняя мера» термином «минимум изменения»,
оставив все остальное без перемен.

128
Н. Н. ЛУЗИН
Отношение класса всех функций с нулевым изменением к
TV-свойству характеризуется следующим предложением.
Теорема. Всякая функция F (х) с нулевым изменением на [О, 1]
обладает N-свойством.
Действительно, пусть 9Л есть какое-нибудь множество меры нуль на
[О, 1]. Пусть Q есть множество значений функции F (х) на 9И. Так как
по предположению F (х) есть функция с нулевым изменением на [0, 1], то
множество ЗГО можно заключить в такую систему отрезков о^ о2, 83, ... ,
оо
8Я, ..., что имеем 2а)п<£, где а>л есть колебание функции F (х) наоп.
i
Пусть Мп и тп суть максимум и минимум функции F (х) на оп.
Обозначим на оси У отрезок (тп, Мп) через АЛ- Ясно, что все множество Q
заключено в системе отрезков Д1э Д2, Д3, .. . , Дп> ... И так как
оо оо
2 длина Дп =2<|>п<Се> то имеем точно: mes^ = 0, т. е. F (х) обладает
1 1
на [0, 1] iV-свойством (ч. т. д.).
Следствие. Никакая непрерывная функция $(х), имеющая 6' (х) =0
.почти всюду и не тождественная постоянной, не есть функция с
нулевым изменением.
В самом деле, обращаясь к теореме 2 (§ 46), видим, что ф (х) не
обладает на [0, 1] TV-свойством; поэтому в силу предшествующего
предложения она не может быть функцией с нулевым изменением (ч. т. д.).
Было бы весьма интересно изучить более детально свойства функций
F (х) с нулевым изменением, ставя хотя бы те же вопросы, которые были
формулированы выше,! по поводу УУ-свойства. Мы не будем останавливаться
на этом изучении; теперь мы имеем в виду только показать значение этих
двух классов непрерывных функций для общей теории неопределенного
интеграла. В главе VI мы покажем, какую роль играет aV-свойство для
общей теории* тригонометрических рядов.
О выборе неопределенного интеграла
49. Общее свойство неопределенных интегралов Лебега и Данжуа.
Рассмотрим какое-нибудь совершенное множество я, mes ic = 0, лежащее
на [0, 1]. Пусть F (я), F (0) = 0, есть непрерывная функция на [0, 1],
неубывающая, постоянная внутри всякого интервала, смежного к
множеству it, и не тождественная нулю1. Ясно, что F (х) есть примитивная
функция для / (х) = 0, 0 < х < 1.
Первый пример подобной функции F (х) был построен Кантором;
свойства таких функций F (х) достаточно хорошо известны.
Множество значений функции F (х) на множестве тс образует на оси
Y отрезок длины F (1) > 0. Эту примитивную F (х) можно рассматривать как
1 Относительно таких функций см. примечания к § 15.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
129
получившуюся из неопределенного интеграла \ 0 da путем резкой деформа-
и
ции последнего на нуль-множестве тг, тогда как в смежных к множеству тс
интервалах примитивная F (х) имеет то же самое строение, как и
неопределенный интеграл
[ 0 da.
Вообще в силу теорем § 46 всякую примитивную <Ь (х), Y(x) = 0> почти
всюду на [0, 1] можно рассматривать, как образовавшуюся путем резкой
х
деформации неопределенного интеграла \0 da на множестве G меры нуль.
о
На этом множестве G значения функции ф (х) образуют множество меры,
равной колебанию функции <1> (х) на целой области [0, 1]. И на этом же
множестве G функция ty (x) уже не имеет нулевого изменения согласно
теореме § 48.
Это, естественно, наводит на мысль рассматривать любую примитивную
функцию F (x), F (0) = 0, для / (#), как образовавшуюся путем резкой
х
деформации неопределенного интеграла \/ (a) da (когда таковой есть)
о
на некотором нуль-множестве, на котором примитивная F (х) вследствие
этого уже не имеет ни TV-свойства, ни нулевого изменения. Отсюда
естественно приходим к мысли выбирать неопределенный интеграл только
среди тех примитивных, которые суть функции с нулевым изменением.
Эта мысль совершенно подтверждается предложением: х
Теорема. Неопределенный интеграл Лебега или Данжуа есть
единственная из семейства {F (я)}, F (0) = 0, примитивная функция,
обладающая нулевым изменением.
а) Рассмотрим сначала случай неопределенного интеграла Лебега.
Пусть / (х) есть суммируемая функция на [0, 1]. Ясно, что неопределенный
X
интеграл Лебега \/ (a) da есть непрерывная функция с нулевым изме-
нением на [0, 1]. Действительно, в силу теорем Витали и Валле-Пуссена1
о функциях «абсолютно непрерывных» сумма колебаний j£ wn функции
i
х
\/(a)rfa на счетном множестве интервалов Si, 82, §s,..., om... стремится
о
оо
к нулю, когда сумма длин этих интервалов, j^ длина ол, стремится к цулю.
1
х
Отсюда следует, что \ / (a) da есть функция с нулевым изменением.
1 См. примечания к § 23.

130
Н. Н. ЛУЗИН
Мы теперь утверждаем, что \ / (a) dec есть единственная примитивная
о
функция с нулевым изменением из семейства всех примитивных {F(x))t
^?(0) = 0, функций для данной /(я). В самом деле, всякая примитивная
х
F (х), отличная от ^ / (a) doc, имеет форму
о
х
где непрерывная функция 0 (х), Ь (0) = 0, имеет »У (х) = 0 почтп всюду на
[О, 1] и не тождественна постоянной. Отсюда в силу теоремы 2 (§ 46)
существует такое множество G меры нуль, на котором значения функции
ф (х) образуют множество меры Q, где О. есть колебание функции ф (г)
на целой области [0, 1], т. е. £}>0. Отсюда следует, что, в какую бы
систему интервалов ох, о2, о3, . . ., оп, ... мы ни заключали наше
множество G, сумма 2е0*, где (£>п есть колебание ф (х) на оп, всегда превы-
1
шает или равна D.
X
С другой стороны, обозначая через <о'п колебание функции j/(a) da на
о
оо
оп, получаем, что сумма 2ю* стремится к нулю, когда сумма длин ин-
1
оо
тервалов, 2длина &п> стремится к нулю в силу упомянутой теоремы
i
Витали — Валле-Пуссена.
Обозначая, наконец, через <оп колебание примитивной F (х) на оп,
имеем, очевидно, <on ^ а>п — а>П9 откуда
оо со оо
2о)п>2о>п —2^.
1 1 1
Так как первая сумма, стоящая в правой части, всегда превышает
со
П>0, вторая же сумма стремится к нулю с 2 Длина °п, то отсюда
со со
следует, что 2 шп не может стремиться к нулю, когда 2 Длина 8П стре-
1 1
мится к нулю, т. е. что примитивная F (х) не есть функция с нулевым
изменением.
Ь) Обратимся теперь к случаю неопределенного интеграла Данжуа.
Пусть f(x) интегрируема на [0, 1] в смысле Данжуа и пусть неопреде-

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
131
ленный интеграл Данжуа \ f (a) d<x. есть функция, не обладающая нулевым
о
изменением. Тогда в силу теоремы § 48 существует такое совершенное
X
множество те, meS7t = 0, что минимум изменения функции \ / (a) tfa на вся-
о
кой порции множества те не есть нуль. А из теоремы III, а) § 30
(глава III) мы, напротив, знаем, что, каково бы ни было 'совершенное
множество те меры нуль, всегда существует такая порция тех множества те,
х
для которого «полное изменение» vKl функции \ f (a) da существует и рав-
о
но нулю. И так как минимум изменения для множества меры нуль
совпадает, очевидно, с «полным изменением», когда последнее существует1,
х
то отсюда следует, что j / (a) dct. есть функция с нулевым изменением.
о
Мы теперь утверждаем, что неопределенный интеграл Данжуа есть
единственная примитивная функция с нулевым изменением из семейства
всех примитивных {F(x)}f /?(0) = 0. Действительно, представив попреж-
X
нему примитивную F (х), отличную от \/(a) da, в форме
о
х
о
видим, что существует (§ 48) такое совершенное множество те, mesir = 0,
что минимум изменения функции d> (x) на всякой порции множества те
отличен от нуля. И так как, с другой стороны, существует [§ 30, теорема
III, а)] такая порция тех множества те, для которой «полное изменение» vnt
х
функции \/(a) da равно нулю, то таким же точно образом, как и для
о
интеграла Лебега, мы убеждаемся в том, что минимум изменения
примитивной F (х) на тех больше нуля (ч. т. д.).
В главе III мы дали свойства, названные нами «характеристическими»,
принадлежащие всем неопределенным интегралам Лебега ги Данжуа.
Свойства эти «эквивалентны» указанным определениям интеграла, так как
всякая примитивная F(x), обладающая ими, является, как мы
показали там, неопределенным интегралом Лебега или Данжуа. Найденное
же теперь общее свойство интегралов Лебега и Данжуа уже не является
эквивалентом этих определений интеграла, потому что, и это самое
интересное, существуют примитивные функции F(x) с нулевым изменением,
производная которых F'{x) не интегрируема ни в смысле Лебега, ни в
1 О полном изменении см. § 29.

132
Н. Н. ЛУЗИН
смысле Данжуа ни в каком интервале (а, Ь). Существование таких
примитивных F (х) далее будет обнаружено.
50. Выбор неопределенного интеграла. Согласно
предшествовавшему естественно воспользоваться определением функции с нулевым
изменением для расширения понятия неопределенного и определенного
интеграла.
Пусть f(x) есть измеримая функция, данная на области [0, 1].
Обозначим, как прежде, через {F (*)}, F(0) = 0, пучок всех ее примитивных,
уничтожающихся в х = 0. Если в этом семействе примитивных находится
одна и только одна примитивная функция F0(.r) с нулевым изменением,
скажем тогда, что f(x) есть интегрируемая функция и что FQ (x) есть щ
неопределенный интеграл, и условимся писать
X
*■»(*)=*$/(a) cfa.
о
ь
Что же касается определенного интеграла \/(a)rfa, то его мы определяем
a
как разность двух значений неопределенного интеграла FQ (x)t т. е. по
формуле
ь
\f(a)da = F0(b)-F0(a).
а
В силу всего того, что предшествовало, это определение интеграла
является наиболее естественным. В самом деле, если в семействе всех
примитивных {F (х)} примитивная F0(x) есть единственная примитивная
с нулевым изменением, мы тогда вправе ожидать, что эта примитивная
F0 (x) особенно тесно связана со своей производной / (х), что F0(x) наиболее
полно отражает в себе строение функции / (а), и что поэтому разность
F0(b)—F0(a) является числом, характеризующим только свойства функции
/ (х) на отрезке (a, b).
Это вполне подтверждается тогда, когда / (х) интегрируема в смысле
Лебега или Данжуа, так как тогда разность F0(b) — F0(a) совпадает с инте-
ъ
гралом Лебега или Данжуа J f (a) do..
a
Это же подтверждает еще и следующее предложение.
Теорема. Если / (х) есть положительная функция, не
интегрируемая на [0,1] в смысле Лебега, тогда в семействе всех ее примитивных не
существует ни одной примитивной с нулевым изменением.
В самом деле, допустим обратное. Пусть F0(x), F0(0) = 0, есть
примитивная функция для / (х), обладающая нулевым изменением. Пусть, далее,
множество SW есть совокупность всех точек х, где нет производной F0' (х)
или где не имеем равенства F0'(х) = / (я). Согласно определению
примитивной mes SR = 0.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 133
В силу нулевого изменения функции F0(x) множество SW можно
заключить в такую счетную систему интервалов 82, $2, о3,..., оп,..., что,
обозначая колебание функции F0(x) на оп через а>п, имеем одновременно
неравенства:
2 длина 3П<6
1
с»
2 о)п < е>
где 8^>0 малое по желанию.
Назовем через Р множество, остающееся от области [0, 1] после
удаления из нее интервалов 81э о2, 83, ... ,оп, ... В каждой точке х
множества Р имеем равенство F0'(x) =/(x), f(x) >0. Это нас немедленно
приводит к неравенству1
<х>
р i
где ] есть интеграл Лебега от / (я), распространенный только на множе-
р
ство Р. И так как этот интеграл стремится, очевидно, к +оо, когда е
00
стремится к нулю, а сумма ^>п стремится к нулю, то отсюда выводим, что
1
[F0(l)| есть бесконечно большое число, что невозможно (ч. т. д.).
Выше (§ 43) мы назвали такие функции / (х) функциями, не
интегрируемыми ни в каком возможном смысле. Теперь мы видим, что это
соответствует несуществованию примитивной F0(x) с нулевым изменением.
В силу предшествовавшего естественно спросить, насколько это
определение интеграла шире определения Данжуа? К сожалению, мы не можем
дать исчерпывающий ответ на этот вопрос. Все, что нам удалось установить,
это то, что, во-первых, в каждом семействе примитивных {F (x)}y F (0) = О,
для всякой / (х) непременно содержатся примитивные, не обладающие
нулевым изменением, и, во-вторых, что существуют / (я), не интегрируемые
нигде в смысле Данжуа, но обладающие примитивной F0(x) с нулевым
изменением. К сожалению, мы не знаем, единственная ли эта примитивная с
нулевым изменением.
Далее, существует широкий класс рядов, почленное интегрирование
которых приводит нас именно к примитивным с нулевым изменением, что
говорит в пользу рассмотрения примитивных с нулевым изменением. Мы
рассмотрим немного ниже этот интересный класс рядов.
Наконец, легко установить, что данное определение интеграла
удовлетворяет всем аксиомам Лебега, кроме, может быть, аксиомы 3,
относительно которой ничего неизвестно.
1 Это неравенство вытекает из леммы Данжуа; см. его Calcul de la primitive etc.
(Comptes Rendus, 22 апреля 1912 г., стр. 1078).

134
H. H. ЛУЗИН
51. Тригонометрический выбор неопределенного интеграла. Для того
чтобы показать связь теории интеграла с теорией тригонометрических
рядов, мы теперь же сообщим результат, к которому мы приходим в главе
VI относительно выбора неопределенного интеграла.
Заметим сначала, что вместо области [0, 1] мы можем рассматривать
область [0, тг], так как размер областей не имеет значения.
После этого замечания результат, который мы имеем в виду, может
быть формулирован следующим образом: в семействе всех примитивных
{F (x)}, F (0) = 0, для данной функции / (х) следует назвать «н е о п р е-
X
деленным интегралом» и обозначить через ^ f (a) da my прими-
тивную F0(:k), для которой справедливо равенство
lim [ FQ (a) n cos md(x. = 0.
п-*а> J
0
К сожалению, мы не знаем, содержится ли в семействе примитивных
только одна такая примитивная F0(x) или же таких примитивных может
быть несколько; однако чрезвычайно вероятно, что такая примитивная
F0(x) единственна [14].
Если примитивная FQ(x), удовлетворяющая предыдущему равенству,
действительно единственна, тогда, как мы увидим далее, понятие
интеграла приобретает чрезвычайную общность вместе с понятием
тригонометрического ряда Фурье.
Это выдвигает следующую важную задачу: найти структурное
свойство всех непрерывных функций FQ (x), удовлетворяющих предыдущему
предельному равенству.
В самом деле, если бы удалось найти искомое структурное свойство
функций F0(x), удовлетворяющих этому равенству, тогда мы имели бы
возможность сделать выбор неопределенного интеграла, не прибегая к
данному выше аналитическому условию, по природе чуждому задаче
определения интеграла.
Заметим, наконец, что иногда в семействе примитивных {F (x)}, F(0) = О,
совсем нет примитивной F0(x)> удовлетворяющей этому равенству, но зато
имеется разрывная суммируемая функция F0(x), удовлетворяющая этому
равенству и особенно тесно связанная с данной функцией / (х).
Оказывается, что тогда можно так обобщить понятие производной, что разрывная
функция F0(x) продолжает иметь / (х) своей производной (в обобщенном
смысле) и, следовательно, есть для / (х) примитивная в обобщенном смысле.
Случай этот наиболее обычен для теории тригонометрических рядов. Это
показывает, что на известных стадиях обобщения понятия интеграла
приходится его искать не среди непрерывных примитивных, а уже среди
разрывных, что вполне согласуется с тем, что нами было сказано
и начале этой главы (§ 44).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
135
Таким образом задача обобщения понятия интеграла и понятия
тригонометрического ряда Фурье тесно связана с задачей обобщения понятия
производной. Мы рассмотрим эту последнюю в конце этой главы.
Об одном классе рядов
52. Рассмотрим ряд
со
F(x) = % An(x-rJ*sin (7^ (0<*<1), (1)
где числа Ап(п = 1, 2, 3, .•.) суть постоянные, такие, что ряд V ]Ап\
1
сходится, а гх, г2, г3, ... , гп, ... суть все рациональные числа области [0,1].
Ясно, что в этих условиях ряд (1) сходится и его сумма F (х) есть
непрерывная функция.
Обозначая через Sn (х) сумму п первых членов ряда (1) и через Rn (x)
остаток, имеем
F(x)=Sn(x)+Rn(x). (2)
Допустим теперь, что ряд 2 |^п| есть чрезвычайно быстро сходящийся
ряд. Тогда функция !-йп(я)| становится чрезвычайно малой для всякого
х на [0, 1]. Поэтому мояно предвидеть, что вследствие чрезвычайной
малости коэффициентов |-An+i|, Цп+г], ••• добавочный член Rn (x) в формуле
(2) очень мало изменяет («возмущает») функцию Sn(x) таким образом,
что у непрерывной функции F (х) сохраняются почти все индивидуальные
структурные свойства функции Sn(z) на области [0, 1].
Но непрерывная функция Sn (x) есть неопределенный интеграл от
своей производной Sn (z), и эта производная Sn (x) не суммируема в
соседстве с точками rl9 г2, г3, . .., гп. И так как точки гъ г2, г3, . . ., гПу .. .
суть всюду плотны на [0, 1], то можно предвидеть, что при чрезвычайно
оо
быстрой сходимости ряда 2 И*|-функция F (х) имеет производную F' (х),
1
не суммируемую ни в каком интервале 8, лежащем на [0, 1].
Далее можно предвидеть, что эта производная F' (х) получается
почленным дифференцированием ряда (1), потому что отношение
чрезвычайно мало при большом п.
Таким образом можно предвидеть, что чем быстрее сходится ряд коэф-

136
H. H. ЛУЗИН
фициентов 21-^*1» тем Резче выступают и сохраняются инвариантными
1
какие-то определенные структурные свойства непрерывной функции F (х),
или, еще иначе, можно предвидеть, что существует такой «предел сходи-
ОО 00
мости» рядов 2l^n|, т. е. такой быстро сходящийся числовой ряд ^Bnt
1 1
что всякий раз, как коэффициенты Ап(я = 1, 2, 3, . . .) удовлетворяют
неравенствам
\Лг\<В19 \Ай\<В* .... !ЛП;<ДЯ1 ....
функция F (х), представленная рядом (1), имеет шюлне определенные
инвариантные структурные свойства/уже не зависящие от Аг, Аъ ..."
АПу • • •
Мы хотим найти эти инвариантные свойства, и для этого мы обоб-
щаем ряд (1), отбрасывая индивидуальность функции (z—rn)2 sin-p Л
\х — гп)
как таковой.
53* Возьмем область [О, 1]. Пусть последовательность
Xiy т2, х$, . . ., хПу ... (X)
есть множество точек, всюду плотное на [О, 1]. Пусть последовательность
Л(*)> F2l(x), .... Fn(x), ... (F)
есть последовательность функций, обладающих свойствами:
1. Fn(x) непрерывна на [О, 1].
2. |Fn(s)|<l на [О, 1] (л = 1, 2, 3, . . .).
3. Как бы мало ни было е, е>0, в обеих областях [0, хп — е] и
[хп + еп, 1] функция Fn(x) имеет непрерывную производную F'n(x).
1
4. \\Fn(*)\d%=+oo.
о
Обозначим производную Fn(x) через fn{z). Ясно, что функция |/n(s)|
есть непрерывная функция всюду, кроме одной только точки х = хя.
Пусть Мп(в) есть максимум функции |/п(я)| в обеих областях [0, хп—в]
и [хп + е, 1]. В силу свойства 4 имеем, понятно,
lim7l/n(e) = + оо.
Возьмем последовательность положительных чисел е2, е2, ..., еп, ...
со
с одним только условием, чтобы ряд 2еп был сходящимся, и опреде-
1
л им последовательность постоянных чисел
В1у В2, 2?з> • • •, Вп, . ..

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
137
равенствами:
В»= 1+мпЫ ■&' i"«n (« = 1.2,3, ...).
Рассмотрим, наконец, два ряда:
00
2 АпРп (X) (Rx)
И
оо
2^п/п(*), (Д2)
где коэффициенты Аи Аъ . .. , 4П, .. . удовлетворяют одному лишь условию
\Ап\<Вп (;г = 1, 2, 3, . . .).
Формально ряд (Дх) имеет смысл везде на [О, 1] и ряд (Д2) везде на
[О, 1], кроме счетного множества точек (X). Изучимближе эти два ряда.
оо
54, Сходимость ряда (Rx). Ясно, что ряд 21 Ап\ сходится. Так
1
как Fn(x) есть непрерывная функция на [О, 1] и, кроме того, | Fn (х) \ <J
-<1, то ряд Ях есть абсолютно и равномерно сходящийся всюду на [О, 1]-
Пусть F (х) есть его сумма. Имеем
оо
F(x)= ?jAnFn(x)t
i
и функция F (х) непрерывна на [О, 1].
Сходимость ряда (Л2)- Назовем через ол интервал длины 2^, имею-
оо оо
щий центром точку хп. Имеем 2 длина оп = 2 28л- В силу сходимости
п=1 1
этого последнего ряда, каково бы ни было малое число •*], *]>0, всегда
найдется такое число N, что
оо
2 длина ол<т].
п=ЛГ+1
Удалим из области [О, 1] все точки интервалов 8^+ь S/v+2, Sjv+з, • • •
и все точки (X). Тогда останется измеримое множество ЯЛ, mes ЗЯ>1 — ij.
Пусть £ есть точка множества ЗД. Так как S находится *«г каждого из
интервалов о#+ь <W+2, <W3, ..., то имеем
|/пй|<*пЫ Для л>ЛГ,

138
H. H. ЛУЗИН
откуда
|^n/n(5)|<i?n-|/nft)|<5n.A/n(en)<^- Yeen Д™ "Ж-
Следовательно, ряд (Л2) есть абсолютно сходящийся в каждой точке?
множества ЯЯ. И так как г\ может быть сделано малым по желанию, то
ряд (7?2) есть абсолютно сходящийся почти всюду на [О, 1]. Называя
через f(x) сумму ряда (7?2), имеем
со
почти всюду на [0, 1].
55. Несуммируемость функции/(ас) ни в каком интервале. Выше мы
не сделали никакаго предположения относительно чисел 8Х, е2, е3, ...,
со
sn, ..., кроме сходимости ряда 2 еп- Теперь для доказательства несум-
1
мируемости функции /(х) всюду мы налагаем на числа е1э е^ е3, ...,
€п, ... еще одно условие.
Точки xl9 х2, xz, .. ., хПу . .. мы предполагаем геометрически
различными друг от друга. Отсюда функция
есть непрерывная около точки arn+j. Поэтому можно выбрать число en+i
столь малым, дабы эта функция была непрерывной на интервале оп+1 и
чтобы одновременно с этим мы имели
\ (|/1(«)| + 1Л(а)| + ... + |/п(«)|)Л<^:11
sn+l
где J есть интеграл Коши, распространенный на весь интервал оп+1.
Допустим, что выбор чисел ех, е2, е3, . . . сделан именно таким. Пусть
теперь А есть любой интервал, лежащий на [0, 1]. Так как множество
#i> х2> *з> • • • 1 ^п, • • • всюду плотно на [0, 1], то всегда найдется
такое N> что, по крайней мере, одна из [точек х1у т2, . .. , xN будет
внутри А.
Обозначая через сп(х) сумму п первых членов ряда (i?2) и через
рп(^) остаток, имеем
f{x) = oN(.c) + pN(z).
Удалим из интервала А интервалы о^+1, 8#+2> Sjv+з» • • • . мы
получаем тогда на А некоторое измеримое множество е и имеем
l\f(*)\da>\\3N(a)\da-\\pN(*)\da,
ее е

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
139
где\ есть интеграл Лебега, распространенный на е. Но мы имеем на
е
множестве е
Hn/n(*)i<^-^'Bn (*>ЛГ),
откуда
то 1 1
) | r,N (ос) | da < ^ 2П ' п" 6л = }^У'
где Адг стремится, очевидно, к нулю с ^-. Значит,
$|/(a)|efa>S|c*(a)|Ax — **.
е р
С другой стороны, имеем
оо
\\oN(a)\da=\\GN(a)\da— ^ J I °N (а) I da,
или в силу выбора чисел бх, е2, е3, . . ., еп> • • •
" 1
(|aN(a)|rfa>S|0iV(a)|rfa- 2 ^= + 00'
е д п=ЛГ+1 "
так как функция on И не суммируема на Д, Потому что Д содержит хотя
бы одну точку xZi х2, .. . , xN внутри.
Итак,
J |/ (а) | da > \ |/ (а) | da = + оо - lN = + оо,
Д е
что доказывает несуммируемость функции f (х) нигде на [О, 1].
56. Дифференцируемое™ функции F(x). Мы знаем, что функции F (х)
и f{x) суть суммы рядов (i?x) и (Л2), из которых второй образован по-
членным дифференцированием первого. В этом состоит аналитическая связь
функций ^(ж) и /(ж) друг с другом.
Это аналитическое отношение функций F(х) и f(x) друг к другу,—
сопровождается ли оно каким-нибудь глубоким структурным отношением,
или же, наоборот, оно есть чисто формальное, так что любая пара
функций F(x) и f(x) может быть связана таким аналитическим отношением?
Мы желаем показать, что глубокое структурное отношение
действительно существует, и именно, непрерывная функция F (х) имеет своей
производной функцию f(x) почти всюду на [0, 1].
Чтобы обнаружить это, строим на области [0, 1] последовательность
интервалов
д1г д2, д3, ..., Дп, ...,

Ш
H. H. ЛУЗИН
таких, что Дп есть интервал длины 6еп с центром .гп. В силу сходимости
00
ряда ^, длина Дл, существует такое N, что
1
со
У} длина ДЛ<*|.
где 7]>0, малое как угодно.
Удаляя из [0, 1] интервалы ДЛЧ-ь Ддг+2, Длг+з> ... и точки хъ х2г
3*3» • • • > xn> мы получаем измеримое множество Е такое, что
mesi?>l — г,.
Пусть с есть точка множества Е. Имеем
F(l + h)—F(?,) _ 41 - ^(S-J-ZQ-^U)
Обозначая, как прежде, через оп интервал с центром хп и длины 2^,
видим, что интервалы
£.V+1> 5/v+2, ^iV+3, - • •
не содержат точки I и делятся по отношению к интервалу (;, \ -f А) на
два класса:
I класс: интервалы оп< (я'>7У), целиком внешние к интервалу
(5, 5 +А).
II класс: интервалы оя-(л">ЛГ), содержащие точки интервала
(?,5 +Л).
Рассмотрим интервалы II класса; пусть 3Л—один из них. Так как
точка 6 находится вне интервала оп-, а этот последний содержит точки
интервала (£, £ + А), то отсюда следует, что расстояние точки £ от
интервала Зп- меньше |Л|. С другой стороны, точка 6 находится вне
интервала ДП", имеющего ту же самую середину, что и интервал оп», а длину —
втрое большую. Поэтому имеем
длина оп. <| А|.
Рассмотрим теперь
V л ^n(^ + A)-^n(g)
Zj лп h .
В силу абсолютной сходимости ряда (RJ можем писать

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
141
Но имеем, очевидно,
II КЛ.
Пнл. •*! 1*1 пил.
И так как |4л[ <15п, то вследствие значения Вп и вследствие
неравенства |А|^длина Sn- = 2sn-, имеющего место для II класса, находим
II кл.
II КЛ.
Но £ есть внешняя по отношению к оп точка (л > TV); поэтому с
убыванием |Л| до нуля наименьшее из чисел п" стремится к -f-оо. Значит:
lim
П-.00
2j Ал л
| II ил.
Рассмотрим, наконец,
= 0.
Zj лп л •
I кл.
Так как теперь интервал (£, £ + Л) есть уже внешний к 8П', то
где ЕП' есть точка, лежащая на (£, £ + h) и внешняя к оП'. Отсюда
I кл.
I кл.
Ряд, стоящий направо, таков, что
1^/"^)К1+мп.М2Лт'^'^(еа4<^
Поэтому ряд
2 д *'/»'(?;.)
1 кл
сходится быстрее ряда 2Т>ПТ>И ^п' есть ФУНКЦИЯ переменного /г, такая,
что limS', = Е
Значит, в силу равномерной сходимости этого ряда1, имеем
F(S)=24n/n(S).
п=1
1 Относительно переменного Л.

142
Н. Н. ЛУЗИН
Но точка S есть любая точка множества £, и mes £>1 — г„ где y)>0
как угодно мало.
Отсюда] приходим к результату: непрерывная функция F (х) имеет
/ (х) своей производной почти всюду на [О, 1], т. с. есть ее примитивная.
57. Основное свойство примитивной F (х)Мы хотим теперь показать,
что F (х) есть примитивная функция с нулевым изменением. Для этого мы
нуждаемся в предварительном предложении.
Лемма. Если непрерывная функция F (х) имеет ограниченную про-
изводную F'(x) во всех точках множества 2Я меры нуль, тогда минимум,
изменения функции F (х) для множества ЗЛ равен нулю.
В самом деле, пусть непрерывная функция F (х) имеет производную
F"(b) во всякой точке ? множества 9Л, mes 9Л = 0. Далее, пусть эта
производная на множестве 9Я ограничена, т. е. пусть имеем неравенство
\F(t)\<U
всюду на множестве 9К.
Заключим все множество SR в счетную систему (Е) открытых
интервалов
Д17 Д2, Д3, . . . , Дл, . . ., (Е)
ен имеющих попарно общей точки и таких, что
00
2 длина Дп<е,
п -1
где е>0 как угодно мало.
Рассмотрим какую-нибудь точку S множества 9Л; эта точка находится
внутри одного из интервалов системы (Е). Пусть этот интервал есть Д{.
В точке 6 имеем |F(J)|<A/; поэтому для достаточно малого
интервала 5, содержащего £ внутри, мы имеем неравенство
o>s<4il/- длина о,
где cos обозначает колебание функции F (х) на интервале 8.
Этот интервал о мы, очевидно, всегда можем взять достаточно малым,
чтобы он целиком заключался в интервале Д^, и кроме этого мы можем
предположить, что его концы суть рациональные точки. Выбрав именно
таким образом интервал о, обозначим его через 8$.
Множество таких интервалов 8с, построенных для всех точек £
множества SK, есть счетное, потому что счетной будет совокупность всех
пар рациональных точек. Отсюда, отбрасывая те из интервалов 8$,
которые целиком содержатся в других интервалах о^, мы легко, в конце
концов, приходим к счетной системе (а) неперекрывающихся интервалов:
«\ <\ <ч <\ / \
°1, й2> °3> • • • у °v, ♦ • ., (3)
заключающей множество SD? и содержащейся всеми точками в системе (£)•

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 143
Так как в системе (о) нет перекрывающихся интервалов, то, очевидно,
00
2 длина ov<s. (1)
v- 1
Далее, обозначая через u>v, колебание функции F (х) на интервале 8V,
имеем
шу<4Л/-длина ov (v= 1, 2, 3, . . .).
Суммируя все эти неравенства, получаем
со
2<0v<4ilfe; (2)
V- 1
неравенства (1) и (2) доказывают нашу лемму (§48) (ч. т. д.).
Установив это, возвратимся к примитивной функции F(x). Обозначим
следуя § 54, через оп интервал с центром хп и длины 2ел, причем числа
elt e2> es, . . . , вп, . .. , мы предполагаем выбранными согласно указанию § 55.
а) Докажем сначала, что колебание примитивной F (х) на интерва-
4
ле on+ i не превышает t .
Действительно обозначая через Sn (я) сумму п [первых членов ряда
оо
F(x)= 2 AnFn{x)
п через Rn(z)—остаток, имеем
F(z) = Sn(z) + Rn(x).
Отсюда видим, что колебание функции F (х) на o^j меньше суммы
колебаний на этом интервале двух функций: Sn(x) и Rn{z)-
Но для интервала оп+ч имеем в силу §55 неравенство
\ (|/i(a)| + l/i(«)l + -.. + l/nWI)&<-5STT.
8
п+ 1
откуда, помня, что все числа Bi(i=l, 2, 3, . . .) меньше единицы,
получаем
n + i
а это показывает, что колебание функции Sn(x) на on + i не превышает
1
2П+1 '

144
Н. Н. ЛУЗИН
С другой стороны имеем, очевидно,
\Яп(*)\<-2ПТ
всюду на области [0, 1]. Следовательно, колебание функции Rn{x) на
интервале on+ \ не может превысить ~+1 . Отсюда выводим, что колеба-
ние примитивной F (х) на интервале оп+1 не превышает 9П+1 .
b) Возьмем теперь число rit ^>0, малое как угодно. Выбрав целое
число N настолько большим, чтобы
, Г 1_ , 1_ , ~\^2L
* 2w+i 2^+2 * * * J ^ 3 '
видим, что сумма колебании примитивной F (х) на интервалах о^+ ь Sjy + 2,
8дт + з, ... не превышает —-.
С другой стороны, N точек j2, :г2, . .., xN можно заключить в N
столь малых интервалов и17 и2, Щ, • • •, и л*, чтобы сумма колебаний
примитивной F (х) на этих интервалах не превысила опять ^ .
Следовательно, на системе интервалов
ul, u2, w3' • • • у UN, Sjv + 1, *JV +2- S/v + 3? • • • (*)
2
сумма колебаний функции F (х) не превышает 3 г,. При этом ясно, что
сумма длин всех интервалов этой системы (т) может быть взята сколь
угодно малой при достаточном увеличении числа N и при надлежащем
выборе интервалов и.
c) Удалим из области [0, 1] систему интервалов (т) и обозначим
оставшееся множество через Е. Мы теперь утверждаем, что функция F(x)
имеет ограниченную производную F' (х) всюду на множестве Е.
В самом деле, функция S^ (x) имеет ограниченную производную на
множестве Е. Достаточно поэтому обнаружить это для функции Rn(x).
Но в силу §56 во всякой точке £ множества Е функция RN (x) имеет
производную RN (S) и, кроме того,
00
N + 1
1 В § 56 при построении множества точек, в которых существует производная
F' (х) от функции F (х), мы употребили для удобства систему интервалов Ап,
имеющих центрами точки хп и длинами 6еп (п = 1, 2, 3, . . .)• Но легко заметить, что
1
замена числа еп числом v en не изменяет ничего в рассуждениях § 56, что
приводит к возможности заменить интервалы Дп интервалами 8п. Это замечание
доказывает существование производной Я^(£) п справедливость рассматриваемого
равенства.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
145
откуда согласно § 54 находим для всякой точки i множества Е
оо
iV-f-lZ
что доказывает ограниченность производной для RN (х) и, следовательно,
для F (х) на множестве Е.
d) Теперь исследование примитивной F (х) легко доводится до конца.
Действительно, возьмем произвольное множество SK моры нуль, лежащее
в области [0, 1].
Тогда вся часть множества 9Й, лежащая на множестве Е, согласно
предшествующей лемме может быть заключена в счетное множество
таких интервалов, что, во-первых, сумма длин их мала по желанию и,
во-вторых, сумма колебаний примитивной F (х) на них не превышает -^ .
Отсюда, принимая во внимание свойства системы (т), видим, что все
множество 9Л можно заключить в систему интервалов, удовлетворяющих
определению функции с нулевым изменением (§48).
Итак, примитивная функция F (х) есть функция с нулевым изменением.
К сожалению, мы не знаем, единственная ли это такая примитивная
в семействе {F (х)} .
Расширение понятия производной
58. Задача обобщения производной. Рассмотрим снова ряд
F (х) = 2 ^ J" (* - rny sin Щ—ГУ ■ (°)
n-l v n J
со
Мы видели (§54), что при достаточно быстрой сходимости ряда 2 1-4.* i
1
будет сходящимся и ряд
Fli](x)= 2 Ani\(x-rn)*sin &=rw], (1)
71=1 L
образованный формально из ряда (0) почленным дифференцированием.
Далее, мы доказали, что функция FM (х) есть производная от
непрерывной функции F(x) почти всюду на [О, 1]:
F[U(x) = F'(x).
Пользуясь методом, употребленным в §54, легко точно та*.же пока-,
00
зать, что при достаточно быстрой сходимости ряда.2^ |-*n| не только
1
ряд (1) сходится, но будет сходящимся и всякий ряд (X):

146
Н. Н. ЛУЗИН
п =■ 1
образованный формально из ряда (0) почленным \-кратным
дифференцированием, каково бы ни было целое X.
Так как каждая из функций
Flii х), *« М, ...,FMH, ...
не суммируема нигде в области [0, 1]. vo нет на области [0, 1] ни одной
точки, где бы Flx] (х) была непрерывной. Отсюда нельзя пытаться
доказывать, что функция р^ + ^х есть производная от функции F^x^(x).
Это естественно приводит к вопросу: существует ли связь между
структурными свойствами обеих функций F[X] (x)n F[x^l]{x)? Или же, наоборот,
такой связи структур нет, и любая пара функций &{х) и »1> (х) может быть
связана аналитическим соотношением, имеющимся у F[x](x) и Flx*]\x)?
Ближайший анализ вопроса обнаруживает, что функции F[x] (x) и
F[x*l][x), рассматриваемые независимо от представляющих их
аналитических выражений, тесно связаны между собой. Именно, можно дать такое
расширение понятию производной, при которой функция F[X*1](x)
является производной от функции F[Vl(x) почти всюду на [0, 1]. Таким
образом мы приходим к задаче расширения понятия производной.
Задача обобщения понятия производной была поставлена в
математической литературе недавно Борелем1. Эта же самая задача ранее была
точно формулирована Б. К. Млодзеевским2 следующим образом:
данной недифференцируемой функции F (х) и данному значению £
переменного х лоставить в соответствие число F[l] (£), обладающее
основными свойствами обыкновенной производной.
Мы имеем в виду дать решение задачи Б. К. Млодзеевского для
широкого класса недифференцируемых функций; решение это является
наиболее естественным. Но сначала мы хотим рассмотреть одно обобщение
производной, ставшее классическим, именно, понятие производного числа
Динп3; мы сейчас покажем, что, гкогда пренебрегают нуль-множествами,
понятие производного числа Дпни совпадает с понятием обыкновенной
производной.
59. Производные числа Динп. Докажем следующее предложение.
Теорема. Всякая функция Ф(*г), имеющая все четыре производные
числа Дини конечными, в каждой точке множества 9К, mos 9Л>0, необ-
1 Compies Rendus, 29 апреля 1912 г.
2 В одной из лекций по теории функций действительного переменного,
читанных в Московском университете в 1904 г.
8 О производных числах Дини см., например, Lobes^ue, Lemons sur
Integration, Paris, 1904, стр. 63—73. [В русском переводе: Лебег, Интегрирование и
отыскание примитивных, ГТТИ, 1934, стр. 65—66. — Ред.] илч Hobson, The
Theory of Functions, Cambridge, 1907, стр. 265, 283, 283—293.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
147
ходило имеет в каждой точке множества Зй обыкновенную производную^
кроме, быть может, множества меры нуль.
В самом деле, обозначим через р меру множества 331; имеем mes 3Ji = ц>0.
а) Пусть £ есть какая-либо точка множества SR. Обозначим через
Xj/ (£)> Лд (£), Xd(S), Ad (6) четыре производных числа Диних от функции Ф(х) в
точке 6. Пусть L (£) есть наибольшее из четырех чисел
!>*№)!, 1^(6)1,1^(6)1, |Ad(S)|.
Ясно, что L(£) есть измеримая функция, конечная в каждой точке
множества ЗК. Отсюда, как бы ни было мало число е, е>0, всегда существует2,
такое совершенное множество Ру содержащееся в9Л, mes Р>\ь—|-,
на котором функция L(i) есть непрерывная и, следовательно,
ограниченная функция. Обозначим через М верхнюю грань функции L(i) на Р.
Из определения числа М следует, что для любой точки I множества
Р мы имеем неравенство
Ф(5 + Л)_Ф(«
<М + 1,
лишь бы |/г| было достаточно малым. Поэтому величины \h\, для
которых это неравенство не удовлетворяется, не могут стремиться к нулю
и, значит, имеют нижнюю грань, отличную от нуля. Назовем ее через #(£);
имеем //(£)>0. Ясно, что для |Л|<#(£) предыдущее неравенство
удовлетворяется.
Число #(£) есть, очевидно, измеримая функция на Р. Отсюда всегда
можно найти такое совершенное множество тс, содержащееся в Р, mes тс >
> mes P —^- > р. — е, на котором функция if (?) будет непрерывной. И так
как имеем всегда Я (?) >0, то отсюда следует, что минимум функции Я(6)
на множестве тс отличен от нуля. Назовем его через 6, б^>0.
Из определения числа б следует, что неравенство
|Ф« + *)-Ф(Р|<ЛГ + 1
удовлетворяется равномерно для всех точек S множества тс, лишь бы
1й|<е.
Мы хотим теперь показать, что данная функция Ф (х) имеет
производную Ф' (х) почти всюду на тс.
Ь) Из предыдущего неравенства видно, что функция Ф(х) непрерывна
во всякой точке \ множества тс.
Назовем *~рез Ьг, 82, о3,..., оп>..., все смежные интервалы к множеству тт.
1 Обозначения, употребляемые Лебегом; Гобсон пользуется обозначениями D+,
D+, D~> D_, предложенными Шеффером (Acta Mathematica, т. 5, 1884).
2 В силу «С-своиства», § 7.

148
H. H. ЛУЗИН
Пусть Фх (х) есть функция, совпадающая с Ф (х), когда х находится
на те, и линейная на каждом смежном интервале оп (п = 1, 2, 3 .,.),
Ясно, что. Фг(х) есть непрерывная функция на всей области [0,1]. Мы
желаем теперь показать, что Фг{х) есть функция с ограниченным
изменением, на целой области [О, 1].
Действительно, среди интервалов 8Х, о.>, о3, . . ., оп, ., . имеется только
конечное число таких интервалов, длина которых превосходит 6. Пусть
эти интервалы будут 8*»» <*Пй, 8П|, . .. , 8Пр. Функция Фх(х) на них линейная,
следовательно, с ограниченным изменением.
Точки области] [0, 1], не принадлежащие к этим р интервалам,
образуют, в свою очередь, конечное число отрезков. Обозначим их через
UuU2,...,Uq (p + i>g>p-i).
Рассмотрим какой-нпбудь из этих отрезков, например, U{. Пусть х0 есть
точка, принадлежащая к U4. Возможны два случая:
1. Точка х0 находится на множестве те. В этом случае абсолютные
величины всех четырех производных чисел Дпнп от функции Фг(х) в
точке х0 не привосходят М + 1. В самом деле, это справедливо для
функции Ф (х) согласно определению множества те. А функция Ф^х)
совпадает с Ф (х) на множестве те и есть линейная вне те. Отсюда следует
справедливость утверждения.
2. Точка х0 не принадлежит к те. В этом случае точка xQ находится
внутри какого-нибудь интервала 8j, смежного к те. Ясно, что длина
этого интервала о3- не может превзойти 6, так как 3; не совпадает ни с
каким 8Л1, 8Па, ..., оПр. Называя через с^и р; концы интервала 8^, имеем
поэтому
ф^ЬМ
fc-a.
<Л/ + 1.
И так как функция Фг (х) есть линейная на интервале 8; и, кроме того,
Фх (aj) = Ф (а/) и Фх ($j) = Ф (pj), то отсюда следует, что производная ar
функции Фг (х) в точке х0 не превосходит М + 1 •
В обоих, следовательно, случаях все четыре производные числа Дини
от функции Фг(х) всюду в интервале U4 не превосходят М + 1 .*Но всякая
функция с ограниченными производными числами есть функция с
ограниченным изменением1. Отсюда заключаем, что функция Ф2 (х) есть
функция с ограниченным изменением на каждом интервале U4 (г=1, 2, 3, . •.,})
й, следовательно, на всей области [0, 1]. Поэтому непрерывная функция
<DX (x) имеет во всякой точке области [0, 1} конечную вполне
определенную обыкновенную производную Фг' (х), исключая, быть может, некоторое
множество меры нуль.
с) Рассмотрим, наконец, разность
Ф{х) — Ф1(х)9
1 См. Lebesgue, Lemons sur 1'integration, Paris, 1904, стр. 73.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 149
обозначив ее через Ь(х). Ясно, что ф (х) есть функция, непрерывная в
точках множества те и равная нулю на этом множестве.
Возьмем какой-нибудь интервал 8^ смежный к множеству те.
Обозначим через <о4 колебание функции ср (х) на интервале- о, и рассмотрим
величину этого колебания. Если длина интервала 8^ не превосходит числа 6*
тогда, называя через а{ и Bt. концы интервала 5,, имеем одновременно оче*
видные неравенства:
Ф(х) — Ф(щ)
х — оц-
<М+1, I Ъ(*)-*гЫ
X — <Ц
<М + 1
для всякого х, расположенного на Ь{. Отсюда заключаем, что колебания
функций Ф (х) и Фг (х) на интервале 8^ не превосходят 2 (М + 1) • к- Поэтому
колебание функции <1> (х) на о,, не превосходит 4 (Д/-(-l)*8f-.
Таким образом, имеем неравенство
«)<<4(Л/ + 1)Л
всякий раз, как длина интервала 8t. не превосходит постоянного числа 6,
И так как среди последовательности olt 82, 83, >.., оп, ... имеется только
конечное число интервалов, длина которых превышает 6 (в силу сходимости
оо
ряда 2^)> т0 отсюда выводим, что будет сходящимся и ряд колебаний
о
00
1
функции ф (х).
d) Легко видеть, что теперь мы находимся в условиях применимости
метода, употребленного нами при доказательстве теоремы II § 30 (стр. 94—
96). Действительно, функция ty(x) непрерывна и равна нулю в точка*
совершенного множества те; кроме того, ряд колебаний этой функции на
смежных к множеству те интервалах есть ряд сходящийся. Отсюда заключаем
(как в упомянутой теореме), что функция ф (х) имеет обыкновенную
производную, равную нулю во всякой точке множества те, кроме, быть может,
некоторого множества меры нуль.
С другой стороны, непрерывная функция Фх {х) имеет, по доказанному,
производную Фг(я) всюду, кроме, быть может, нуль-множества. Отсюда
в силу равенства
Ф(х) = Фг(*) + *1(*)
заключаем, что данная функция Ф (х) имеет обыкновенную производную
Ф' (х) почти всюду на те.
И так как
mes7t>mes9K — е,

150
H. H. ЛУЗИН
где е>0, малое по желанию, то отсюда выводим, что данная функция
Ф (х) имеет конечную обыкновенную производную всюду на данном
множестве 8Л, кроме, быть может, множества меры нуль (ч. т. д.).
Следствие1. Всякая функция Ф (х), имеющая четыре производных
числа конечными почти всюду на [0, 1], необходимо имеет почти всюду на
[0, 1] обыкновенную конечную производную Ф'(х).
При доказательстве общей теоремы мы предполагали все четыре
производные числа Дини конечными. Ближайший анализ показывает, что нет
необходимости делать столь сильное допущение. Оказывается, что
достаточно допущения конечными двух правых производных Дини ld (с) и Ad (£)
или двух левых производных Дини lg($) п Л^(;), чтобы имела место та же
самая теорема о существовании обыкновенной производной.
Доказательство этой более общей теоремы остается в общем тем же самым (за
несущественным изменением).
Эта теорема о производных числах Дини позволяет проникнуть
несколько глубже в строение непрерывных функций, не имеющих
производной. В самом деле, пусть F (х) есть непрерывная функция, нигде не
имеющая производной на [0, 1]. Тогда в силу только что доказанной теоремы
в каждой точке х (крбме нуль-множества) одна из правых производных
бесконечна, и одновременно с этим одна из левых производных также
бесконечна. Более точно, в силу теоремы о бесконечных производных,
доказанной нами ранее2, в каждой точке х (кроме нуль-множества) имеем
одновременно:
I. Или \д (х) = — оо и Ad (х) = + оо.
II. Или Ад(х) = + оо п ).а (х) = — оо.
Легко можно было бы построить примеры функций F (х)>
соответствующие только случаю I или только случаю II, или, наконец, совмещающие
сразу оба случая I и II.
Доказанная теорема о производных числах Дини обнаруживает
ненужность введения производных чисел Дини в те теории, в которых
пренебрегают нуль-множествами. Действительно, или мы имеем почти всюду
производные числа Дини бесконечными; в этом случае из них нельзя извлечь
никаких интересных количественных соотношений; или мы имеем
производные числа Дини конечными на каком-нибудь множестве. Но в этом
последнем случае почти всюду на этом же множестве существует и
обыкновенная производная, и, значит, рассмотрение производных чисел
Дини является излишним, так как достаточно обычного понятия
производной.
1 Этот частный случай общего предложения был получен ранее Моптелем (Сошр-
tes Rendus, 1912 г.)- Метод Монтеляне позволяет доказать общей теоремы о
производных числах Дини, изложенной нами в тексте.
2 Матем. сборник, 28, 275, 1912 (В настоящем издании, т. I, стр. П.— Ред.).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
151
60. Общее понятие производной. Перейдем теперь к решению
поставленной выше (§ 58) задачи Б. К. Млодзеевского относительно
общего определения производной. Мы даем это решение, следуя мысли
А. Я. Хинчина1.
Мы говорим, что данная функция непрерывная или разрывная, Ф (х),
имеет обобщенную производную в точке х0, если существует измеримое
множество Е, имеющее точку х0 точкой плотности, и такое, что отношение
Ф (а?) — Ф (ж0)
х — х0
стремится к вполне определенному единственному пределу, когда точка х
стремится к х0, оставаясь все время на множестве Е. Этот предел мы
называем обобщенной производной * функции Ф (х) в точке х0 и обозначаем его
через Ф^(х0).
Для того чтобы сделать это определение корректным, мы обязаны
показать, что число Ф[1](^о) не зависит от того или другого выбора множества
Е и, следовательно, выражает свойство строения данной функции Ф (х)
в бесконечной близости с точкой х0. Это действительно имеет место,
В самом деле, пусть существуют на области [0, 1] два множества Ег
и Е2, оба имеющие точку х0 точкой плотности и такие, что отношение
Ф (а?) — Ф (ж0)
х~х0
стремится к пределу Ьг, когда х стремится кх0, оставаясь на множестве 2?!,
и стремится к пределу Ь2, когда х стремится к х0, оставаясь на множестве
Е2. Покажем, что Ь± = Ь2, Рассмотрим для этого множество точек,
принадлежащих одновременно к множествам^ и Е2. Обозначим это множество
через Е. Из свойств измеримых множеств и из определения точки плотности
(§ 3) следует, что Е есть измеримое множество, также имеющее точку xq
точкой плотности.
Пусть теперь х стремится к я0, оставаясь на Е. Тогда написанное выше
отношение стремится к единственному пределу, потому что множествоЕ есть
часть Е19 а когда точка х находится на множестве Е19 отношение стремится
только к одному пределу в силу определения обобщенной производной.
Этот предел, соответствующий множеству Е, должен быть равен Ll9 так
как Е есть часть Е19 и в то же самое время должен равняться Ь2У так как Е
есть часть Е2. Отсюда
Ьг = L2.
1 Предложенной им в сообщении студенческому Математическому кружку
6 ноября 1914 г.
* По современной терминологии эта производная называется асимптотической
или аппроксимативной.—Ред.

152
Н. Н. ЛУЗИН
Основные формулы, устанавливаемые дифференциальным исчислением
для обыкновенной производной, имеют силу и для обобщенной
производной. В самом деле, при выводе какой-нибудь формулы дифференциальное
исчисление предполагает, что точка х стремится к х0, пробегая все
положения. Но заставляя х стремиться к х0 не путем пробега через все значения,
а принуждая х оставаться во время стремления к х0 на множестве Е,
имеющем xQ точкой плотности, мы, очевидно, сохраним те же самые
формулы, только вместо обычной производной мы теперь имеем право писать
обобщенную производную. Таким, например, образом легко доказываются
формулы
[С.о{х)]М = С<?М(х)7
[о (х) + Ь (*)]ГП = 6tn (д) + иДП (.г),
[ср (х) -ф {х))М = с? (х) .^1 (х) + ©Ш (х) -6 (х)
и т. д.
Единственное сомнение возникает при рассмотрении производной
«функции от функции», так как здесь дело идет о преобразовании
переменного. Но и здесь легко показать, что имеем опять почти всюду на (0<я<1)
{?[4>(а)]}[1] = ¥т^[1],
если только обобщенная производная ^1J (х) неравна нулю. Что будет в этом
последнем случае — неизвестно.
Понятие обобщенной производной включает в себя как частный случай
обычное понятие производной п не эквивалентно этому последнему.
Действительно, легко построить сколько угодно примеров непрерывных
функций Ф (#), не имеющих нигде обыкновенной производной и, напротив,
имеющих почти в каждой точке конечную обобщенную производную
ФШ (ж).
Понятие обобщенной производной решает вполне вопрос, поставленный
нами в § 58. Именно, ближайший анализ обнаруживает, что рассмотренная
там нами последовательность функций
Ft4(x), РЫ{х), ..., FW{x), ...
-такова, что функция Р^п+1Цх) есть обобщенная производная от функций
FW (х), каково бы ни было п. Это решает вопрос о связи строений пары
функций FLn+W(x) и FW (x). Мы не будем останавливаться на доказательстве
этого предложения, так как это вовлекло бы нас в детальные
рассмотрения. Заметим только, что понятие обобщенной производной влечет за
собой соответственное понятие обобщенной примитивной.
Понятие обобщенной производной очень полезно для теории общего
тригонометрического ряда, будучи тесно связано с римановой теорией
этих рядов. По этой причине мы коснулись в настоящей работе этого
понятия.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
153
Глава V
СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Расходящиеся тригонометрические ряды
61. Мы ограничиваемся рассмотрением тригонометрических рядов вида
оо
-тг + ^. Дп oosnx + bn sin пх, (1)
n-l
где а0, ап и Ьп (п = 1, 2, 3, ...) суть постоянные числа.
Первая задача, представляющаяся вниманию, естественно есть
следующая:
узнать, есть ли ряд (1) сходящийся, и определить множество точек его
'сходимости и его меру.
Вопрос о мере множеств, так или иначе связанных с
тригонометрическими рядами, имеет очень важное значение. Почти все общие теоремы
теории тригонометрических рядов говорят только о мере множеств и
остаются верными, когда пренебрегают нуль-множествами. Законы, которые
управляют общими свойствами тригонометрических рядов, касаются не
индивидуального строения множеств, а лишь его меры. Лишь очень редко
встречаются теоремы, касающиеся еще и категории множеств, и совсем
нет теорем, связанных с мощностью множеств.
Ранее (§ 5) мы видели почти полную аналогию измеримого множества
меры р, р>0, и отрезка длины ji. Естественно поэтому всегда искать
законы, касающиеся множеств меры, большей нуля. В частности, прежде
всего, следует поставить вопрос о том, когда ряд (1) сходится на множестве
меры, большей нуля.
До сих пор еще не найдено условия, необходимого и достаточного для
того, чтобы ряд (1) был сходящимся на множестве меры, большей нуля;
известно лишь общее необходимое условие для этого. Оно дается
следующим предложением1:
Теорема. Если тригонометрический ряд сходится на множестве
меры, большей нуля, то необходимо имеем lim an=0 и одновременно lira bn=0.
n-»co n-*>oo
Что, напротив, существуют тригонометрические ряды, сходящиеся
в бесконечном множестве точек и не имеющие ап, Ъп стремящимися к нулю,
это обнаруживает пример ряда
2 sinnnx.
1 См. нашу статью: «К абсолютной сходимости тригонометрических рядов» (Ма-
тем. сборник, 28, 462, 1912), см. также: Ch. de la V а 11 6 е Р о u s s i ъ, Cpurs d'ana-
lyse infinitesimale, 1912, т. II, стр. 169. [В русском переводе:- Ш. Валле-Пус-
с е н, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, стр. 158.— РедЛ.

154
Н. Н. ЛУЗИН
Этот ряд, как можно легко доказать, сходится абсолютно на некотором
множестве точек Е, всюду плотном в области [0, 2т:] и всюду мощности
континуума; но мера этого множества равна нулю, п это множество Е
есть множество лишь категории I.
В качестве редкой и интересной теоремы, касающейся категории
множеств, мы должны упомянуть о следующем результате Юнга1:
Теорема Юнга. Если тригонометрический ряд сходится на
множестве точек категории II (хотя бы и меры нуль), тогда необходимо
имеем одновременно lim ап = 0 и lim bn— 0.
Ti—>оо п—^оо
Тригонометрические ряды, сходящиеся только в одной точке области
[0, 2т:] или только на счетном множестве точек этой области, или, наконец,
сходящиеся только на нуль-множестве, такие ряды мы рассматриваем,
как вообще расходящиеся. Наоборот, тригонометрические ряды, сходящиеся
во всякой точке х какого-нибудь интервала (a, b)t лежащего на [0, 2тс],
мы рассматриваем уже как сходящиеся и определяющие на этом интервале
сумму-функцию f(x). Равным образом, в силу полной аналогии измеримого
множества меры ji, p>0, с интервалом длины {«., мы рассматриваем всякий
тригонометрический ряд, сходящийся на этом множестве, вообще уже как
ряд сходящийся и определяющий сумму-функцию / (х) на этом измеримом
множестве.
Таким образом, всякий тригонометрический ряд (1), у которого
коэффициенты ап, Ьп не стремятся к нулю с --, должен быть рассматриваем как
ряд, вообще расходящийся и непосредственно не могущий быть
употребленным для вычислений. Для того чтобы и такие ряды можно было вводить
в вычисления, необходимо каким-нибудь определенным приемом приписать
им вполне определенную сумму, хотя бы на множестве меры, большей нуля.
Классическими приемами суммирования расходящихся
тригонометрических рядов являются известные методы Пуассона, Рпмана и Фейера2.
После вышеприведенной теоремы о необходимости lim ап = О и lim bn =0
для сходимости вообще тригонометрического ряда естественно возникает
вопрос: условие lim ап = 0 и lim bn=0 не есть ли вместе с тем и достаточное
условие для сходимости почти всюду на [О, 2т:] триго?(Ометрического ряда (1)?
Эта задача была впервые поставлена Фату в ого известной работе:
«Series trigonometriques et series de Taylor»3. В ней Фату указывает на то,
что все построенные примеры тригонометрических рядов с коэффициен_
тами, стремящимися к нулю, были расходящимися лишь на
нуль-множествах. К тому же Фату доказал в этой же работе4, что если lim nan= 0
1 Messenger of Mathematics, 38, 44—48, 1909.
2 Об этих методах см. Lebesgue, Lec^ons sur les series trigonometriques, Paris,
1906, стр. 89—96.
3 Acta Mathematica, 30, 398, 1906.
4 Стр. 379.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
155
и Yimnbn— 0, то тригонометрический ряд (1) непременно сходится почти
п-»оо
всюду на [0, 2тг]. Эта теорема вместе с отсутствием соответствующего
примера расходящегося тригонометрического ряда и побудила Фату
предложить вышеприведенную задачу.
Нам удалось ответить на вопрос Фату построением (в статье «Ueber
eine Potenzreihe»)x примера тригонометрического ряда, имеющего lim an—
Т1->00
= 0 и lim bn=0 и, однако, расходящегося почти всюду в области [0, 27г]*.
п—>оо
Именно, мы построили ряд Тейлора
оо
О
имеющий lim an = О и расходящийся всюду, без исключения, на периферии
круга радиуса 1. Если положить z = eix, 0<!я<:27г, то действительная
и мнимая части этого ряда Тейлора дают искомые примеры
тригонометрических рядов, имеющих lim ап = О и lim6n = 0 и расходящихся почти
71—>00 П-»00
всюду на области [0, 2ъ).
Штейнгауз, преобразуя этот пример2, достиг получения такого
тригонометрического ряда (1), который, имея liman = 0 и limfcn = 0, рас-
ходится во всякой точке области [0, 2тг].
Абсолютная сходимость тригонометрических рядов
62. Среди элементов тригонометрического ряда (1) особенный интерес
представляют точки его абсолютной сходимости. Фату в цитированной
работе доказал3, что, если тригонометрический ряд абсолютно сходится
во всякой точке интервала А, лежащего на [0, 2тг], то, как бы мал этот
интервал ни был, необходимо сходятся одновременно два ряда
оо оо
1 1
и следовательно, тригонометрический ряд (1) абсолютно сходится всюду
на [0, 2?г], и его сумма есть непрерывная периодическая функция.
Пользуясь теоремой Д. Ф. Егорова, легко доказать следующее более
общее предложение.
Теорема 1. Если тригонометрический ряд абсолютно сходится во
всякой точке множества меры, большей нуля, тогда необходимо
1 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 32, 1911.
* См. стр. 27 настоящего тома.— Ред.
2 Steinheus, Sur une serie trigonometrique divergente (Comptes Rendus de la
Soc. Scientifique de Varsovie, 1912 г.).
a Стр. 398. См. также его работу «Sur la convergence absolue desseries trigone
metrrques» (Bull, de la Soc. Math, de France, 41, 47).

156
Н. Н. ЛУЗИН
сходятся одновременно оба ряда 2lan| и 2j\bn\,uy следовательно, тригоно-
метрический ряд абсолютно сходится всюду на [0, 2тг].
Для доказательства заметим сначала, что тригонометрический ряд (1)
может быть написан в форме
оо
-V + 2 p*cos (nx + *»)>
71 = 1
где рп и tin суть постоянные числа, р£ = a£ + i* .
Допустим теперь, что ряд
со
Ц?-' + 2pn| cos (тгя+ ап)| (2)
71=1
сходится на множестве точек Е, mes Z? > 0. Тогда в силу теоремы Д. ф.
Егорова в множестве Е содержится такое совершенное множество Р,
mes P = р>0, на котором ряд (2) сходится расномерно. Пусть S (х) есть
сумма этого ряда на -Р. В силу равномерной сходимости ряда (2) мы
имеем право писать
со
\ S (a) da = -2°—Р + 2 Рп* \\ cos (пх + ап) | <£г,
Р n-i jp
где интеграл ] взят в смысле Лебега и распространен па множество Р.
р
С другой стороны, имеем
\ | cos (nx + On)] dx >-£-sin -|- (/i= 1, 2, 3, .. .)•
р "
Следовательно,
со
2 Pn< ' S «S (a) «fe,
откуда видно, что ряд 2рп сходится, а это доказывает теорему.
Теорема 2. .Если тригонометрический ряд сходится абсолютно на
множестве точек категории II (хотя бы и меры нуль), тогда необхо-
со со
димо сходятся одновременно оба ряда 2W и 21^1*
1 1
В самом деле, пусть тригонометрический ряд .(1) сходится абсолютно
Гоо
на некотором множестве точек Е. Далее, пусть ряд 2l5*l~H^n| Расх0"
1
дится. Покажем, что в этом случае множество точек Е есть непременно
множество категории I.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 157
Для этого обозначим попрежнему через S (х) сумму ряда (2) для х на
Е и через Sn (х) сумму п +1 членов этого ряда. Пусть Ем есть
множество точек ху для которых имеем S (х) *< М. Ясно, что Ем есть часть
множества Е*
Множество Ем есть замкнутое множество. Действительно, обозначая
через Е$ множество точек х, для которых соблюдается неравенство
£«(*)< ЛГ,
видим, что множество Ем есть общая часть множеств
ЕЩ, Е$,Е%\ ££>,...
Но функция Sn(x) непрерывна на [0, 2тг]; поэтому каждое из множеств
#(п) (п = 0, 1, 2, ...) есть замкнутое. Отсюда будет замкнутым
множеством и общая часть этих множеств, т. е. множество Ем-
Множество Ем нигде не плотно на [0, 2тг]. В самом деле, если бы
оно было всюду плотным на каком-нибудь интервале (а, Ь), то всякая
точка интервала (а, Ь) принадлежала бы к Ем* потому что множество
Ем есть замкнутое множество. Отсюда следует, что ряд (1) сходился бы
абсолютно всюду на интервале (а, 6), т. е. в силу предыдущей теоремы
оо
сходился бы и ряд^ I ап\ + | Ъп\, что противоречит допущению.
1
С другой стороны, ясно, что все множество Е точек абсолютной
сходимости ряда (1) есть сумма множеств Ем* где М пробегает целые числа:
Е = Е1 + Ег + #з + • • • ~\-Ем + • •.
и так как множества ЕМ(М = 1,2, 3, •..) нигде не плотны на [0, 2«],
то множество Е есть множество категории I, что доказывает теорему.
63. Точки абсолютной сходимости тригонометрического ряда, даже
рассматриваемые каждая в отдельности, обладают совершенно
исключительными свойствами. Одно только их присутствие оказывает огромное влияние
на сходимость и расходимость тригонометрических рядов.
Рассмотрим, следуя Фату \ формальное равенство
/ (х) = -2°- + 2 ап cos w + bn sin пх.
Отсюда, полагая Ап = ancosr£ + bnsinn£} можем написать формально
00
/ (Ц + h) +1 (* - К) -2/ (5) = -4 2 Ansm^.
П*1
1 Acta Mathematica, 30, 398, 1906.

158
H. Н. ЛУЗИН
Если теперь тригонометрический ряд (1) абсолютно сходится для
х = 6, тогда ряд, стоящий в правой части последнего равенства, сходится
абсолютно и равномерно относительно /г, а /(;) есть конечное число.
Отсюда выводим, следуя Фату, что точки непрерывности суммы ряда,
точки расходимости, сходимости простой и сходимости абсолютной
тригонометрического ряда суть попарно симметричные относительно
каждой точки абсолютной сходимости тригонометрического ряда.
Из этого простого замечания Фату можно извлечь интересные
следствия. Докажем для этого сначала следующее общее предложение
относительно измеримых множеств, лежащих на окружности круга радиуса
единица.
Лемма. Всякое измеримое множество ЭД, лежащее на области [О, 2ъ]
и имеющее бесконечное множество точек симметрии, есть множество меры
или нуль или 2тг.
В самом деле, если на [0, 2тг] лежит бесконечное множество
геометрически различных точек симметрии, тогда легко видеть, что точки
симметрии множества 5Ш всюду плотны на [0, 2тг]. Пусть теперь
0<mes2»<27r.
Тогда, как мы видели в § 4 (глава 1), множество 9Й расположено на [0,2я]
не однородно, но «сгустками», таким образом, что существуют на области
[О, 2тг] два интервала 8Х и 82 равной длины (пусть 1)у таких, что, обозначая
через тх меру всей части множества 2Л, содержащейся в о^ и через т%
меру всей части множества 2Й, лежащей на о2, имеем одновременно
лг2>(1 — e)-Z,
где е>0, малое как угодно. Но это невозможно, ибо точки симметрии
множества SW всюду плотны на [0, 2-], и значит, существует точка симметрии,
близкая как угодно к середине расстояния между обоими интервалами
\ и о2, что влечет точное равенство
противоречащее двум неравенствам, написанным выше.
Так как множество точек сходимости и множество точек расходимости
тригонометрического ряда (1) симметричны каждое в отдельности
относительно всякой точки абсолютной сходимости этого ряда, то приходим
к результату:
Теорема. Если .тригонометрический ряд имеет на [0, 2^]
бесконечное (хотя бы счетное) число точек абсолютной сходимости, тогда мера
точек сходимости тригонометрического ряда равна или О, или 2тг.
Пусть теперь тригонометрический ряд (1) имеет две точки абсолютной
сходимости £i и £2, расстояние между которыми \t>—ij несоизмерима
с тт. Тогда, очевидно, точек абсолютной сходимости будет бесконечное мно-

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 159
жество на [0, 2тс], так как они попарно симметричны относительно друг
друга, откуда
Теорема. Если тригонометрический ряд сходится абсолютно
в двух точках, расстояние между которыми несоизмеримо с it, тогда он
или сходится почти всюду на [О, 2тг], или расходится почти всюду на [О, 2тт].
Рассмотрим один пример. Возьмем тригонометрический ряд
оо
2 bnsin2nx.
n=l
Ясно, что этот ряд имеет всегда на [0, 2тг] бесконечное множество точек
абсолютной сходимости. Отсюда
Существуют неполные тригонометрические ряды такие, что они,
каковы бы ни были их коэффициенты, суть всегда или сходящиеся почти
всюду на [О, 2тг], или расходящиеся почти всюду на [О, 2тс].
Это предложение побудило нас поставить задачу1:
Найти тригонометрический ряд, сходящийся на множестве точек
меры не нуль и не 2тг.
Задача эта представляла интерес ввиду того, что все ряды, построенные
до того времени, были, или сходящимися или расходящимися почти всюду
на [0, 2т:], и совсем не было рядов с промежуточной мерою между нулем и 2тс.
Исчерпывающее решение этой задачи было дано Штейнгаузом в
работе2: «Sur une probleme de MM. Lusin et Sierpinski», построившим
тригонометрический ряд, сходящийся во всякой точке некоторого интервала
ох и расходящийся во всякой точке другого интервала о2, лежащего на
[О, 2«].
Тригонометрические ряды Фурье
64. Мы называем вообще рядом Фурье от функции / (х) всякий
тригонометрический ряд
оо
~ТГ + 2 а^ C0S ПХ + ^n sin ПХ* 0-)
коэффициенты которого а0, ап и 6л(п=1, 2, 3, . . .) даны формулами
Фурье
1 I*
ап = — \ / (a) cos no. da (п = 0, 1, 2, 3, . . .)
о
и { f
bn = — \ } (а) sin m da {п = 1, 2, 3, .. .).
о
Смотря по тому, в каком смысле принимается символ интеграла [, стоящий
в правых частях формул Фурье, т. е, будет ли это интеграл в смысле
1 «Sur l'absolue convergence des series trigonometriques», Comptes Rendus, 23
сентября 1912 г. (В настоящем издании, т. I, стр. 41.— Ред.)
2 Bull, de TAcademie des Sciences de Cracovie, июль 1913 г.

160
Н. Н. ЛУЗИН
Римана, Лебега, Гарнака и т. д., соответственно этому мы будем называть
тригонометрический ряд (1) рядом Фурье — Римана, Фурье — Лебега,
<Dypbe — Гарнака и т. д. Таким образом тригонометрические ряды Фурье
делятся на группы, соответствующие тому или другому определению
интеграла; группа рядов тем шире, чем более общ смысл интеграла, стоящего
в формулах Фурье.
Среди этих групп рядов Фурье особого внимания заслуживает группа
рядов Фурье—Лебега вследствие свойства их коэффициентов. Для этих
рядов Лебег доказал, что коэффициенты апи Ьп непременно стремятся к нулю,
когда п возрастает до бесконечности. Таким образом ничто не препятствует,
по крайней мере формально, тому, чтобы всякий ряд Фурье — Лебега
•был сходящимся почти всюду на [0, 2^] [15]. При этом известно, что если
ряд (1) Фурье — Лебега сходится на множестве точек Е меры, большей
нуля, его сумма S (х) на этом множестве совпадает почти всюду именно
с той самой суммируемой функцией / (х), которая образует ряд (1) при
помощи формул Фурье.
Указанное свойство коэффициентов рядов Фурье — Лебега уже не
сохраняется при употреблении в формулах Фурье интеграла Гарнака.
Можно, в самом деле, корректно построить пример такой функции / (х),
интегрируемой в смысле Гарнака (и даже в смысле Дирихле), которая уже
не приводит к равенствам lim ап = 0 и limbn = 0. Таким образом, в силу
теоремы § 61, тригонометрические ряды Фурье — Гарнака суть, вообще,
ряды, расходящиеся почти всюду на [0,2тс]. И тем более это справедливо
для рядов Фурье — Данжуа. Остановимся немного на этой группе рядов
Фурье.
Говоря строго, мы не можем употреблять термин «ряд Фурье —
Данжуа» до тех пор, пока не показана интегрируемость в смысле Данжуа
обеих функций
/ (х) cos пх и / (х) sin пх
при условии интегрируемости в смысле Данжуа функции / (х), так как
в противном случае формулы Фурье не имеют смысла.
Но эти две функции действительно интегрируемы. В самом деле, легко
доказать1 для интеграла Данжуа вторую теорему о среднем значении:
Теорема. Если / (х) есть функция, интегрируемая на (а, Ь) в смысле
Данжуа, и Ф (х) есть непрерывная монотонная функция на (а, Ь), тогда
имеем равенство
ь 5 ь
$/(й) Ф (a) da = Ф (а) j/(a) da + Ф (Ь) J/(а) dd,
а а 5
где а^Л^Ь, интегралы же взяты в смысле Данжуа,
Разбивая область [0, 2тг] на An равных частей и применяя предыдущую
теорему, видим, что обе функции /(х) cosnx и /(х) sin пх интегрируемы
1 См. нашу заметку: «Sur les proprietes de l'integrale de M. Den joy» (Comptes
Rendus, 23 декабря 1912 г.) [В настоящем издании, т. I, стр. 43.— Ред.]

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
161
в смысле Данжуа. Таким образом группа рядов Фурье — Данжуа
оказывается существующей.
Выше мы сказали, что ряды Фурье — Данжуа суть, вообще,
расходящиеся почти всюду на [0, 2тг], так как их коэффициенты не стремятся
к нулю с —. Напротив, чрезвычайно вероятно, что всякий
тригонометрический ряд Фурье — Данжуа от данной функции / (х) суммируем методом
Пуассона к / (х), т. е. что для рядов Фурье — Данжуа мы имеем следующее
равенство:
f(x) =lim\-Т + %рп(апcosnx + bn sinrtx)~] ,
р-м L n=i J
справедливое почти всюду на [0, 2^] [16]. Действительно, можно корректно
показать, что ряд, стоящий в правой части этого равенства, есть не что
иное, как интеграл Пуассона — Данжуа:
2тг
U(p,x)= 4^\f(*)
1-р*
1+ р*— 2(3 cos (а— х)
da (р<1),
имеющий смысл согласно указанной второй теореме о среднем значении
для интеграла Данжуа. Следовательно, если хотят доказать
суммируемость рядов Фурье — Данжуа методом Пуассона, нужно исследовать
свойства гармонической функции U (р, х). Чрезвычайно вероятно, что
£/(р, х) имеет все классические свойства интеграла Пуассона — Лебега,
т. е. что U (р, х) стремится почти всюду на [0, 2тг] к данной функции / (#),
когда точка (р, х) приближается к точке окружности (1, х).
Одной из главнейших целей обобщения понятия интеграла является
расширение идеи ряда Фурье. Выше мы заметили, что, принимая в
формулах Фурье все более и более общее определение интеграла, мы все более и
более расширяем класс тригонометрических рядов Фурье. Отсюда
естественно приходим к вопросу: существует ли столь общее определение
понятия интеграла, при котором класс рядов Фурье совпадает с классом всех
тригонометрических рядов? В дальнейшем мы увидим, что на этот вопрос
нужно ответить отрицательно; именно, мы покажем1, что существует такой
класс Т тригонометрических рядов, дальнейшее расширение которого
(в смысле понятия «ряда Фурье») неминуемо сопровождается нарушением
какого-либо основного свойства определенного интеграла. Отсюда задача
общего определения интеграла соответствует отысканию границ этого
класса Т или свойства коэффициентов рядов, образующих класс Г. В главе
VI мы возвратимся к этим вопросам.
Необходимый и достаточный признак сходимости
65. Среди всех рядов Фурье — Лебега особенного внимания
заслуживает группа рядов Фурье для функций с интегрируемым квадратом, т. е.
1 См. § 85.

162
H. H. ЛУЗИН
для таких функций / (х), для которых интеграл Лебега \ /2(а) da есть
и
конечная величина. Роль этих функций очень важна не только в теории
тригонометрических рядов, но и вообще в теории разложения по
ортогональным функциям, столь выдвинутой в последнее время интегральными
уравнениями.
Важность класса функций с интегрируемым квадратом вытекает из
следующего предложения1.
Теорема Фишера — Рисе а. Для того чтобы тригономет-
со
рический ряд т + 2 ancos nx ■+■ bn sin nx был рядом Фурье — Лебега от
п=»1
функции с интегрируемым квадратом, необходимо и достаточно, чтобы
со
ряд V Д^+££ был сходящимся,
п=1
Это предложение дает критерий для суждения о том, представляет ли
данный a priori тригонометрический ряд именно ряд Фурье — Лебега от
функции с интегрируемым квадратом. Пользуясь этим предложением, мы
можем дать необходимое и достаточное условие для сходимости почти всюду
всякого тригонометрического ряда Фурье — Лебега от функции с
интегрируемым квадратом. Перейдем к выводу этого условия2.
Возьмем произвольную функцию / (х) с интегрируемым квадратом.
Пусть ряд
со
"У~+ 2 °п cos nx + Ьп sin nx
п=1
есть соответствующий ей ряд Фурье — Лебега; согласно только-что
указанной теореме Фишера — Рисса ряд V а£+Ь^ сходится. Имея вви-
71-1
ду вопросы о сходимости и расходимости тригонометрического ряда, мы
всегда можем положить а0 = 0. Итак, пусть
со
/ (х) оэ 2 <*n cos nx + bn sin пх. (1)
Рассмотрим сопряженный тригонометрический ряд
1 Г i s с h е г, Sur la convergence en moyenne (Comptes Rendus, 144, I, 1022-1024,
1907). F. R i e s z, Sur les systemes orthogonaux de fonctions (Comptes Rendus, 144,
T, 615—619, 1907).
* Мы дали его в Comptes Rendus (сообщение Академии от 2 июня 1913 г.) в
заметке: «Sur la convergence des series trigonometriques». (В настоящем издании, т. I,
стр. 45.— Ред.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 163
Zj — ^n cos пх + ап sin пх.
В силу приведенной теоремы Фишера — Рисса этот ряд есть также ряд
Фурье — Лебега от некоторой функции g (x) с интегрируемым квадратом,
сопряженной данной функции / (х). Следовательно, имеем право писать
оо
g (х) со 2 — bn cos пх + ап sin пх (2)
2тх 2к
ап= — \/ (о) cos лес da = — J g (a) sin nada,
о о
1 l' IP
bn= — j / (a) sinnada = ——\g (a) cosrcada.
(3)
Отсюда, обозначая через Sn (x) сумму п членов данного ряда (1), легко
после нетрудных вычислений видеть, что имеем
тс о 2t8~2~ 2sm~2"
Эта формула (4) приводит нас к искомому необходимому и достаточному
признаку сходимости почти всюду данного ряда (1).
Теорема. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье—Лебега
от данной функции f(x) с интегрируемым квадратом был сходящимся
почти всюду на [О, 2тс], необходимо и достаточно, чтобы почти всюду
на [О, 2тг] имело место
lim f *(« + «)-*(*—) costtada=0,
П->оо J a
где g (x) есть функция, сопряженная с / (х), и интеграл определен как lim \ .
Для доказательства рассмотрим гармоническую функцию
оо
U(p, x)= ^"(ancosnx + bnsinnx),
П=э1
голоморфную внутри круга (Я = 1). В силу формул (3) эта
гармоническая функция J7(p, s) может быть представлена в двух видах: в форме
интеграла Пуассона — Лебега
271 4 2
1—Р2
U'(Р, *)=2^у^ l + p*-2pcos(a-a:)
da (5)

164
Н. Н, ЛУЗИН
и еще в форме следующего интеграла:
27t
тт / ч 1 Г / ч 2psin(oc — х) ,
U(p, *)=ъ\*М 'I—*—2Pcos(a-x) rfa' (6)
Тождества (5) и (6) имеют силу для (0<гс<2тг) и (0<р<1).
Последнее тождество (6) имеет для нас существенное значение, так как
оно приводит к искомому результату; рассмотрим его ближе. Интеграл,
стоящий в правой части этого тождества, может, очевидно, быть
написан в виде
тс
1 Г г / . \ / \i 2psina
da.
И так как имеем тождественно
2р sin a I (1 ^p)^
1 + p2— 2c COS a a ' 1 -r p2— 2p cos a 1 — cos a *
то тождество (б) можно написать в виде
е
ff(p, x> = ^Jfe(* + a)-*(*-a)J^
eJ tg-2
i 1 fg(y + «) + ^-a) (^P)! since
^ 2тг J 1 1 + p2~ 2p cos a * 1 — cos a ~
e
s/iW + /2W + /,(x). (7)
Полученное тождество (7) имеет силу для (0<г<2тг) и (0<р<1).
Выберем теперь о так, чтобы
1 — р = s,
и рассмотрим по очереди оба интеграла J^x) и У3(-г)-
Мы хотим доказать, что они стремятся к нулю, когда е стремится
к нулю для всякого х области 0<г<;27г, кроме, быть может,
множества меры нуль,
а) Имеем для первого интеграла Jx(x) неравенство

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
165
так как в интервале (0<а^е) величина выражения psino
1 -f p2— 2p cos a
не превосходит --.
функция g(x) есть измеримая на [0, 2гс] и, следовательно, (§ 7)
обладает (С)-свойством; поэтому, как бы мало ни было число % ?)>0,
всегда существует на [0, 2те] такое совершенное множество Р, mes Р > 2п — г\9
на котором функция g (x) есть непрерывная функция. Рассмотрим теперь
две функции, определенные ^на всей области [0, 2тс]: функцию \g{x)\ и
еще другую функцию о (х), равную \g[x)\ на Р и равную нулю вне Р.
Обе эти функции суммируемы на [0, 2к].\
В силу определения функции ср (х) ясно, что во всякой точке £
множества Р9 кроме нуль-множества, обе непрерывные функции
\ | g (а) | da и \ <р (а) da
имеют производную, равную |#(S)|. Отсюда для каждой такой точки
множества Р имеем равенство
5+в
lim-1 \{\g{a)\-9(a))da = 0. (9)
Пусть множество всех таких точек Ь, лежащих на Р, есть Q;
mes Q = mes P > 2тг — г[. Кроме того, всегда можем допустить, что
множество Q состоит из одних только точек плотности множества Р, так
как (§ 3) множество последних имеет меру, равную мере Р.
Пусть теперь 5 есть точка множества Q. Из неравенства (8) следует
более сильное неравенство
е
|А(*)|<-1 •■\-\\g(l + *)-g®\d* +
О
е
+ ^-i-\\g(t)-g(l-0L)\d*. (10)
О
Покажем, что оба интеграла этого неравенства стремятся к нулю-
Рассмотрим для этого первый интеграл.
Называя через р часть множества Р, находящующея в интервале
(Е, S + е), и через а дополнительное множество к р на этом интервале,
имеем
-~5l*($ + «)-*(S)l<fa= ;$|*(5 + e)-$S)l«k +
о р

166
Н. Н. ЛУЗИН
Первый интеграл, стоящий в правой части этого равенства, стремится
к нулю в силу непрерывности функции g(x) на множестве Р. Все дело
сводится, следовательно, к рассмотрению второго интеграла, стоящего
направо в равенстве (11). Но для этого интеграла мы имеем неравенство
7$ U(^ + «)-?(S)!^< j[\g{l+*)\da + l[\g(l)\dz,
о о о
которое, пользуясь определением функции <р (а:), можно написать в виде
-1, $l*ff + «)-*(*)!<fo<
а
<7$ {|sM|-?(«)}<k + !*(*)i- -]$!•<**• (12)
Первый интеграл в правой части этого неравенства стремится к нулю
в силу формулы (9); второй же интеграл стремится к нулю в силу того,
что точка Е есть точка плотности множества Р. Отсюда следует, что
первый интеграл неравенства (10) стремится к нулю.
Таким же точно образом легко доказать, что и второй интеграл
неравенства (10) стремится к нулю, откуда
limJr1(?) = 0.
е-»0
Но множество таких точек I имеет меру > 2х — 7j, где **] > 0, малое
по желанию. Отсюда заключаем, что
lim/1(:r) = 0
€->0
почти всюду на [0, 2я].
Ь) Перейдем теперь к исследованию интеграла /3(^) формулы (7).
Мы хотим показать, что и он стремится к нулю почти всюду на [0, 2я].
Для этого мы докажем, что почти всюду на [0, 2гс] оба интеграла:
V, (е, х) =\g{z+a). A (1Г? /ina da
iv * ) ъь\ -г / i + p« — 2 cos a l— cos a
\ (13)
)
стремятся к одному и тому же конечному пределу, когда е стремится
к нулю. Чтобы доказать это, упростим множитель при функции g под
знаком интеграла. Помня, что 1 — р = е и обозначая через А выражение
1 + р2— 2р cos a, имеем тождественно
А = в»+ р (2 sin-J)*,

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
167
откуда
Fx(e, x) = \g(x + a)
e2+p[2sin|^2 'i-cosa
da.
Ho имеем тождественно
sin a 2
где $ (a) есть функция, голоморфная около а — О. Отсюда
V^,x) = \g(z+a) ■ J • \da+ \g(x+ a) • J : $ (a) da.
le21 e2
Так как д- <1 и так как -- стремится к нулю для всякого постоянного
а, не равного нулю, когда е стремится к нулю, то второй интеграл в
правой части последнего равенства сам стремится к нулю, и поэтому
^(е, х)счэ \g(х + а)
£2+ р
(2sinf)2 '
2
где знак счэ обозначает равенство пределов у Vx и у интеграла.
Теперь после нетрудных вычислений находим тождественно
pa* " e1
/ . а \8 е2 + pa2 v е2 -f pa2 , / . a V
£2-fp(^2sin2J H ' C2-hp^sinyJ
где $ (a) есть голоморфная функция, не зависящая от е и р.
Отсюда
<К,
-8 • »(*),
/ aV
е2 -f р ( 2 sin у )
а\2 с2н-ра2
где -ЙГ есть абсолютно постоянное чясло, не зависящее от е, р, а. Поэтому
1
при замене под интегралом -f —^2 более простым выражением
е2+ р
(2sinj)
—2——г , мы получаем число, разнящееся от первоначального менее чем на
? 2е2
е
что, в свою очередь, меньше чем
S I g (* + в) | • 2е iiTrfa;
S
это же последнее число явно стремится к нулю с е.

168
H. H. ЛУЗИН
Значит,
^(е, x)**\g(x + *)- *+?л* •4Лх'
Делаем теперь последнее упрощение, заменяя е2 + рос2 через е2 -f а*.
Мы имеем
1 1_ __ а2 е2 . 2е_
е2 + ра2 с2 + а2 — с2 + ра2 # £2 + а2 <• £2 + ^ •
Отсюда указанная замена дает число, отличающееся от
первоначального менее чем на
1
4 Si* (* + «)!• /+ аз • а <**>
что меньше чем
Г С2
4 J | * (* + а) | • pTj^Tt **•
с
Но множитель при | g (# + а) | меньше чем 1 и стремится к нулю с е,
когда а отлично от нуля. Поэтому и весь этот интеграл стремится к
нулю с е. Значит, имеем окончательно
Vi (е> *) = \ S (* + «) • ^Ttf" '«*« + • (в),
е
где со (е) стремится к нулю с е.
Возьмем теперь 5 такое, что для х = £ неопределенный интеграл Ле-
бега G (#) = J g (a) da имеет производную, равную g ($), и рассмотрим но-
о
вое выражение:
тс
WA*,t) = \lG(l + *)-G®].l{^-l}d*. (14)
Мы желаем найти предел этого интеграла, когда е стремится к нулю.
Имеем
A f g2 '1\ — _ О Зе*а* + е4
da U* + а2 ' a J ~~ а2 (с2 + а2)2 '
(е2 + а2)2
т. е. есть величина всегда отрицательная. С другой стороны, -легко
проверить, что интеграл
\ d ( е2 2 \ ,
е.
стремится к— (1 +1п2), когда е стремится к нулю.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
169
Отсюда без труда заключаем, что интеграл Wx (e, $), который можно
написать в виде
е
стремится к — (1 + ln2)-g(E), когда е стремится к нулю.
Совершая интегрирование по частям1 в выражении (14) для W1(e. £),
имеем
яг,(.. I) -\{°&±А=т.,Ь. l)-vA,,«> + .«.,.
S
что дает искомый предел:
limF^e, 5) = (l + ln2).g(£)-g(6) = g(6).ln2.
e-»0
Таким образом, первый интеграл V1(e) $) формул (13) стремится к
£(£).1п2, когда е стремится к нулю; точка £ есть любая из точек, в ко-
х
торых производная интеграла j g(a)da равна g(x).
о
Все рассуждения, относящиеся к интегралу V1{ei £), применимы,
очевидно, и ко второму интегралу V2 (e, £) формул (13); в каждой из
указанных точек 5 этот интеграл 72 (е, £) стремится к g($)«ln2, когда е
стремится к нулю. И так как множество таких точек ? имеет меру 2z, то
отсюда следует, что имеем для интеграла Js (х) тождества (7) равенства
lim/3(#) = О,
£->0
справедливое почти всюду на [0, 2«].
с) Возвратимся теперь к тождеству (7). Имеем
U (р, *) = l\ g(« + «)-g«(»-«> rfa + 7l (*) + /3 (*). (Г)
е tg2
Заставим е стремится к нулю; в силу равенства 1—р = е р стремится
к 1. Мы уже знаем, что гармоническая функция U (р9 х) может быть
написана в виде интеграла Пауссона— Лебега (5) для функции f(x), а
таковой вследствие теоремы Фату2 стремится к f{x) почти всюду на [0, 2я],
когда р приближается к 1. Отсюда из тождества (7') заключаем, что
имеем
lim 1 С *<« + «>-*(»—) da = f(x) (15)
почти всюду на [0, 2ic].
1 Что всегда возможно, так как ингеграл (14) есть интеграл Лебега.
2 Acta Mathematica, 30, 373—378, 1906.

170
H. Н. ЛУЗИН
d) Полученная формула (15) легко приводит к доказательству
предлагаемой теоремы. Действительно, выражение (4) для Sn{x) можно
написать в виде
п [ 1 cos [л 4- ^-J ]
Sn(x) = lim±\[g{z + a)-g{z-a)].\ * ^-»
da
для всякого х области [0, 2*]. Отсюда в силу формулы (15) приходим к
равенству
Sn{x)=f(.r)-^*{*-«)-*{*-*) -^^dz, (16)
О 2 sin '2
справедливому почти всюду в области [0, 2г.]; в этом последнем равен-
стве интеграл, стоящий в правой части, определен как lim \.
«о*
Так как тригонометрический ряд (1) есть ряд Фурье — Лебега от
функции /(#), то если он сходится почти всюду на [0, 2т], его сумма
непременно должна быть равна f(x) почти всюду на [0, 2тс]. Обращаясь к
равенству (16), видим, что, для того чтобы тригонометрический ряд Фурье —
Лебега (1) был сходящимся почти всюду на [0, 2^], необходимо и
достаточно, чтобы
( * Vх
п i i ч COS Л т- л
\ *(« + «)-*(«—) \_Uda = 0 (17)
lim
n->oo
о 2
почти всюду на [0, 2т].
е) Теперь для окончательного доказательства предлагаемой теоремы
нам остается только слегка преобразовать выражение (17).
Имеем тождественно
<"+;г
£ cos пес en / \ sin/га
= + cos/га-ЗВ (а)— ——
л . а а i" \ / £
2 sm >,
где $ (а) есть голоморфная функция около а = 0, не зависящая от п.
Отсюда в силу теоремы Лебега о коэффициентах тригонометрических
рядов Фурье — Лебега видим, что равенство (17) эквивалентно равенству
limf g(« + a)-g(«-«) cosmda = 0 (18)
это же доказывает теорему.
66. Можно думать, что только что полученный необходимый и
достаточный признак сходимости рядов Фурье —Лебега есть лишь чисшв фор-

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
171
мальное преобразование определения сходимости ряда Фурье — Лебега,
Действительно, после классических работ Дирихле и Лебега известно, что
сумма Sn(x) первых (л +1) членов ряда Фурье — Лебега от функции f (х)
может быть написана в виде
Sn(х) = I] /(*-») + /(*-«) sinmda + Юп{х)> (19)
О
А
где <оп (х) равномерно стремится к нулю с — на всей области [0, 2^].
Интеграл формулы (19) по внешнему виду похож на интеграл
формулы (18), и поэтому может казаться, с первого взгляда, что
исследование предела интеграла (18) столь же трудно, как и
исследование предела интеграла (19), представляющего в сущности лишь
определение сходимости ряда Фурье — Лебега. Можно поэтому думать, что
полученный интеграл (18) не может прибавить ничего существенно нового
к известным уже результатам.
На самом деле это не так: есть глубокая внутренняя разница между
интегралом (18) и интегралом Дирихле (19). И формулировка предыдущей
теоремы и ее доказательство содержат существенно новые элементы,
которых нет в интеграле Дирихле (19). Исследуя доказательство полученной
теоремы, мы придем не только к некоторым интересным ее следствиям, но,
во-первых, получим формулу, непосредственно определяющую значения
сопряженной функции g (x) по значениям данной / (х), и, во-вторых, мы
придем к новому общему метрическому свойству всех измеримых мн • жесте
и измеримых функций с интегрируемым квадратом.
Формула для сопряженной функции
67. Рассмотрим функцию комплексного цеременного Ф (z),
голоморфную внутри круга (Я = 1). Пусть
Ф (*) = #(*, y) + iV(z, у),
где U и V суть две сопряженные гармонические функции, голоморфные
внутри круга (R = 1). Допустим, далее, что Ф (0) = 0.
Известно, что имеем тождественно
V(x,y)=X\-f-dx + l'dy, (20)
0,0 *
где точка (х, у) лежит внутри круга (Я = 1), а интеграл в правой части
есть криволинейный. Этой формулой определяется внутри круга (R = 1)
гармоническая функция V (х, у), сопряженная к данной гармонической
U (х, у).
. Допустим для простоты, что обе эти гармонические функции U и V
непрерывны на окружности круга (Я = 1). Тогда, зная величины функции

172
H. Н. ЛУЗИН
U только на окружности (R = 1), мы согласно принципу Дирихле знаем
функцию U (х, у) и внутри круга (R = 1), и значит, в силу формулы (20)
нам становится известной внутри круга (R = 1) функция V (х, г/),
сопряженная к функции U (я, у). Но функция V(x, у) по условию непрерывна на
окружности (R = 1); отсюда заключаем, что одни только значения U (6)
на окружности (i?= 1) вполне определяют значения V(b) на этой же
окружности. При этом ясно, что классическая формула (20) не дает У(Ь) прямо
через U(b).
Таким образом, мы приходим к задаче:
Зная значения U(b) на окружности (R = 1) гармонической функции
U(x, г/), найти значения V(b) на этой окружности сопряженной гармоничен
ской функции V(xy у).
Доказательство предшествующей теоремы дает полное решение этой
задачи, когда данная функция U(b) есть функция с интегрируемым
квадратом. В самом деле, тогда можем писать
оо
U (6) сю 2 fln^os nb + bn sin nb
n-i
и
oo
V (6) cnd 2—bncosnb + ans\n nby
oo
где ряд 2 ^n+^n сходится. В доказательстве предыдущей теоремы мы
п=1
предполагали, что функция / (х) есть произвольная функция с
интегрируемым квадратом, и тогда сопряженная функция g (x) оказывалась
определенной через / (х). Но ничто не мешает нам считать, наоборот, функцию
g (x) произвольно данной функцией с интегрируемым квадратом, и тогда
уже функция / (х) окажется определенной через g (х). Заметив это, на
основании формулы (15) мы можем писать
Vlb)- i;g« + .)-g«-«)rf, |
2*J tg4-
И I
где интегралы определены как Пш \ ; согласно предыдущему эти
формуемо;
лы (21) имеют смысл и справедливы почти всюду на (0<;б<^2тс), каковы
бы ни были сопряженные функции U (6) и V (б) с интегрируемым квадратом.
Эти формулы (21), очевидно, решают поставленную задачу.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
173
Следствия общей теоремы
68. Рассмотрим снова два сопряженных ряда Фурье — Лебега:
00
ап cos пх + bn sin nx
S {*) с40 2 — ^n cos nx + an sin
ш:,
где 2j an + ^п есть ряд сходящийся. В силу общей теоремы § 65 для схо-
димости первого из этих рядов почти всюду на [0, 2ir] необходимо и
достаточно, чтобы равенство (18)
Hm \ *<*+«>-*(*—) . cos па. da = 0 (18)
имело место почти всюду на [0, 2тс].
Допустим теперь, что функция £ (х) удовлетворяет условию Дини 1
почти всюду на [0, 2тс], тогда интеграл Лебега
Г *(* + *) — £(* — *) rfa
J a
о
-есть конечная величина для всякого х области [0, 2тг], кроме
нуль-множества. Ясно тогда, что равенство (18) справедливо почти всюду на [0, 2т:].
Отсюда
Следствие 1. Если сумма ряда Фурье — Лебега есть функция
с интегрируемым квадратом, удовлетворяющая почти всюду условию
Дини, сопряженный тригонометрический ряд непременно сходится почти
всюду на [О, 2тг].
И наконец, заметив, что существование производной влечет за собой
осуществление условия Дини, получаем
Следствие 2. Если сумма ряда Фурье — Лебега есть непрерывная
функция, имеющая почти всюду производную, сопряженный
тригонометрический ряд непременно сходится почти всюду на [О, 2ти],
Общее метрическое свойство измеримых множеств
и измеримых функций с интегрируемым квадратом
69. Рассмотрим формулу (15):
*\ ч~ (15)
о 1
1 Об условии Диии см. Lebcsgue, Lecons sur les series trigonometriques, Paris,
1906, 66.

174
H. H. ЛУЗИН
Как мы уже сказали выше (§ 67), мы можем здесь предполагать
функцию g(x) произвольной функцией с интегрируемым квадратом.. Ин-
теграл в этой формуле (15) определен как lim \ и дает конечную
Велико е
чину почти всюду на (0-< z <! 2тг). Так как разность
2tg—
есть голоморфная функция около а = 0, то можем писать
О
где Ф (х) есть непрерывная функция1 на [0, 2тг]. Отсюда приходим к ре.
зультату2.
Теорема. Какова бы ни была функция g (x) с интегрируемым
квадратом, интеграл
| g(*-r«)-g(*-«) ia> (22)
о
определенный как lim \, есть конечная величина почти всюду на [О,2я]
е
и представляет функцию с интегрируемым квадратом переменного х.
70. Рассмотрим немного ближе природу интеграла (22) этой теоремы.
Допустим для простоты, что g (х) есть непрерывная функция на [0,2я]
с периодом 2т:. В этом случае, когда а стремится к нулю, числитель подин-
тегрального выражения
g (х 4- а) — g (х — а)
а
также стремится к нулю, но, вообще, числитель есть бесконечно малое
порядка низгиего, чем порядок а. Таким образом, вообще, выражение
g(a:4-a)-g(^- a)
а
при приближении а к нулю не остается ограниченным, но колеблется
между —оо и +оо.
Чтобы показать, что это действительно так, достаточно заметить, что
рассматриваемое подинтегральное выражение есть, вообще говоря, не-
суммируемая функция переменного а вблизи точки а = 0. В самом деле,
1 См. по поводу непрерывности функции Ф (х) Ch. delaVallee — Poussin,
Cours d'analyse infinitesimale, 1912, т. II, стр. 163, § 15. [В русском переводе: Ш. Вал:
ле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. II, § 141, стр. 152.— Ред.]
2 Comptes Rendus, 2 июня 1913 г. (В настоящем издании, т. I, стр. 45.— Ред.)

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
175
легко построить корректный пример такой непрерывной функции g (х),
для которой интеграл Лебега
(.+.)-,(,-.) ,л_+оо
почти всюду на(0<^х^2ъ).1& так как даже для такой непрерывной
функций g (х) интеграл
О
определяемый как lim ^, есть конечная величина почти всюду на (0<^х^2к)у
то это значит, что интеграл (22) обязан своим существованием не малости
абсолютной величины подинтегрального выражения, а своеобразной
интерференции положительных и отрицательных величин выражения
8 (* + <*) — g (х — а)
а '
которые оно принимает вблизи точки a = 0. Факт существования интеграла
(22) не очевиден а priori, потому что можно построить пример такой
непрерывной g (x), для которой интеграл (22) действительно не имеет смысла
на множестве точек Е, всюду плотном на (0^х<^2тс) и всюду
мощности континуума, но меры нуль.
Упомянутую интерференцию положительных и отрицательных
величин выражения
g(x + a) —g(x — a)
нужно рассматривать как истинную причину сходимости рядов Фурье —
Лебега. Все исследования, делавшиеся до сих пор о сходимости рядов
Фурье, основаны на рассмотрении лишь абсолютных величин тех или
других выражений; нужно поэтому рассматривать эти исследования, как
достаточно грубые и как не входящие в сущность сходимости рядов Фурье.
К сожалению, факт существования определенной конечной величины для
интеграла (22) глубоко скрыт в теореме Фишера — Рисса, следовательно,
обнаружен, скорее, теорией комплексного переменного, чем
действительного. Было бы важно получить прямое доказательство существования
определенного значения интеграла (22), основанное на методах
действительного переменного [17].
Заметив, что интеграл в равенстве (18)
Ит\
six -f a) — £ (х — a) 7 A
i-i—-—'- — COS 7Ш da = 0
a
0

176
Н, Н. ЛУЗИН
отличается от интеграла (22) лишь множителем cos па, который принимает
положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся
на области [0, 2тс], когда п стремится к + оо1, мы приходим к вероятности
того, что всякий ряд Фурье — Лебега от функции f (х) с интегрируемым
квадратом есть всегда ряд, сходящийся почти всюду на [О, 2тс]. Все
результаты, полученные до сих пор в теории тригонометрических рядов,
подтверждают вероятность этой гипотетической теоремы.
В связи с этим Лебегом была поставлена следующая задача2:
Указать такое свойство непрерывных функций, которое бы всегда имело
место почти всюду на области независимого переменного, но
которое не осуществлялось бы непременно всюду на этой области.
Задача эта вызвана вопросом о сходимости рядов Фурье для
непрерывных функций3 и еще тем особенным характером, который присущ всем
без исключения найденным до сих пор свойствам непрерывных функций:
каждое из этих свойств или имеет место для всякой точки х, или же
существуют непрерывные функции g (x)> совсем лишенные этого свойства.
Существование интеграла (22), доказанное выше, дает, очевидно,
пример свойства, решающего задачу Лебега. К сожалению, это свойство
выражено аналитически и неясно в отношении строения функции.
71. Общее свойство измеримых множеств. В начале нашей работы,
говоря о строении измеримых множеств, мы изложили общее свойство,
принадлежащее всем измеримым множествам и выражающееся в понятиях
«точки плотности» и «точки разрежения» (§ 3). Свойство это4 является
следствием теоремы Лебега о существовании производной у его
неопределенного интеграла. Вспомним, в самом деле, каким образом выводится
указанное свойство измеримых множеств.
Пусть ЗЛ есть некоторое измеримое множество меры, большей нуля,
лежащее на [0,2::]. Определим функцию g (x) следующим условием:
g (х) = 1 на ЗИ и g (х) = 0 вне ЗК, и обозначим через G (х) неопределенный
интеграл Лебега
.X
G(x) = \g(ct)dz. (23)
о
В силу упомянутой теоремы Лебега функция G (х) есть непрерывная
функция, имеющая производную G'(x), почти всюду равную g (rr). И так как,
с другой стороны, интеграл (23) по самому определению функции g (х)
является распространенным лишь на элементы множества 9И, то отсюда
1 Коэффициенты тригонометрических рядов Фурье— Лебега стремятся к нулю
именно вследствие этого равномерного распределения положительных п отрицательных
значений функций cos пес и sin па.
2 Знанием этой задачи Лебега я обязан Штейпгаузу, сообщившему мне ее.
3 Легко видеть почему: если ряд Фурье для непрерывной функции всегда
сходится почти всюду, тогда должно существовать какое-то свойство, которьш обладает
почти каждая точка непрерывной кривой, но не абсолютно каждая, так как в отдель
пых точках ряд Фурье может действительно расходиться.
4 Указанное Данжуа (Comptes Rendus, 1914).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РДД
177
заключаем, что существование производной G'(x) выражает некоторое
свойство строения самого множества 5К. Это свойство мы охарактеризовали
в терминах «точка плотности» и «точка разрежения» и показали", к каким
оно приводит заключениям геометрического характера. Все известные
метрические свойства измеримых множеств приводимы к только что
указанному свойству, являющемуся поэтому основным.
Теперь мы хотим, исходя из теоремы § 69, указать другое свойство всех
измеримых множеств, не приводимое к предыдущему.
Пусть попрежнему 2R — какое-нибудь измеримое множество на
[О, 2я] меры, большей нуля, и g (х) — функция, равная единице на 9Я
и равная нулю вне 9Л. Функция g (x) есть, очевидно, функция с
интегрируемым квадратом; поэтому в силу теоремы § 69 интеграл
^<« + .)-у(«-«)ф| (22)
о
определенный как lim j, есть конечное вполне определенное число почти
всюду на (0^x^2v:). Так как интеграл (22) по самому определению
функции g (х) является распространенным лишь на элементы множества 9Я,
то отсюда заключаем, что существование интеграла (22) выражает некоторое
свойство строения самого множества 5Л.
Та причина, в силу которой интеграл (22) имеет конечную величину
почти всюду,— эта причина лежит, без сомнения, в каком-то определенном
геометрическом свойстве, принадлежащем всем измеримым множествам.
Повидимому, трудно со всею строгостью формулировать это
геометрическое свойство. Можно, однако, если отказаться от абсолютно точной
формулировки, выяснить в общих чертах, в чем именно заключается это свойство.
Прежде всего ясно, что на интеграл (22) не оказывают никакого влияния
те точки множества 9Й, которые расположены симметрично относительно
точки х, так как для таких точек подинтегральное выражение есть точный
нуль. Значит, интеграл (22) является распространенным лишь на те
элементы множества ЗЛ, которые не симметричны по отношению к точке х.
А совокупность таких точек, как легко видеть, всегда имеет точку х
точкою разрежения. Таким образом, в конечном счете, интеграл (22) является
распространенным на множество точек, чрезвычайно разреженное около
точки х\ обозначим это множество через $ЛХ. Элементы множества 3RX
подходят к точке х справа и слева, образуя ряд сгустков1, меры которых
бесконечно малы сравнительно с их расстояниями от точки х.
Существование интеграла (22), однако, не обязано разреженности
множества Wlx вблизи точки х, но имеет причину совсем в другом.
Действительно, можно построить такое множество 9Л, для которого будем иметь
Г I *(* + «)-*(*-«) \da= + OQ
J I a I
о
1 Cm. § 4.

178
H. H. ЛУЗИН
почти всюду на (0 <! х <С2ъ). Отсюда заключаем, что, вообще, несмотря на
разреженность множества $ЯХ вблизи точки х, оно подходит к точке а:
частями, достаточно массивными (по мере), чтобы сделать бесконечным
только что написанный интеграл. И так как, с другой стороны, интеграл
(22) имеет конечную величину, то отсюда следует, что его существование
обязано аналитически чередованию положительных и отрицательных
величин подинтегрального выражения. Геометрически это значит, что
каждому сгустку множества 9ЛХ, бесконечно близкому к точке х,
соответствует сгусток этого же множества, расположенный относительно точки х
симметрично, если понимать симметрию не абсолютно, а пренебрегая
бесконечно малыми расстояниями порядка выше первого.
Установив это свойство множества 9RX» возвратимся к данному
множеству 9Л. Согласно предыдущему оно состоит из множества SKX и из
множества пар точек, абсолютно симметричных относительно точки х. Отсюда,
принимая во внимание обнаруженное свойство множества 9ЙХ, приходим
к результату, который в общих чертах можно формулировать так:
всякое измеримое множество всеми своими частями, включая части меры
бесконечно малой порядка выше первого, расположено симметрично
относительно почти каждой точки области, если пренебрегать бесконечно малыми
расстояниями порядка выше первого.
Найденное свойство, общее всем измеримым множествам, не приводимо
к ранее указанному свойству плотности и разрежения измеримых множеств.
Действительно, можно построить сколько угодно таких измеримых
множеств Зй, для которых интеграл (22) не имеет смысла в некоторых точках
плотности и в некоторых точках разрежения этих множеств. Это указывает
на то, что не всякая точка плотности или разрежения множества обладает
найденным свойством симметрии.
Сходимость рядов Фурье — Лебега сильно зависит от этого свойства
симметрии множеств.
Функции, сопряженные суммируемым функциям
72. Просматривая доказательства теорем § 65 и 69, мы замечаем, что
обе эти теоремы имеют силу не только для функций с интегрируемым
квадратом, но и вообще для всякой пары сопряженных функций / (х) и g (х):
со
/M^S anCO$nx +bnsinn.c, (1)
п-1
со
g(z)oo2 — bncosnx + ansinnx, (2)
одновременно интегрируемых на [0, 2тс] в смысле Лебега. Эта
одновременная суммируемость сопряженных функций всегда ли имеет место? Другими
словами, если / (х) суммируема на [0, 2тг], является ли сопряженная фун-

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
179
кция g (х) также суммируемой? Мы желаем теперь показать, что этого,
вообще говоря, нет и что поэтому является вопрос относительно даже
существования сопряженной функции g (х)> так как; хотя сопряженный
ряд (2) и написан, но лишь формально, потому что мы не знаем ни того,
сходится ли он, ни даже того, соответствует ли он вообще какой-либо
функции g (х). Таким образом, в обобщении теорем § 65 и 69 мы
встречаемся с новым затруднением, непреодолимым, если не расширять понятие
интеграла Лебега.
Ближайшее рассмотрение поставленного вопроса о суммируемости
функции g (x) приводит к интересной формуле общей теории
тригонометрических рядов.
73. Пусть f(x) есть суммируемая функция на [0, 2тг]. Положим для
простоты ^/(cc)da = 0 и рассмотрим два сопряженных ряда:
о
00
f (x)co ^j an cos пх + Ъп sin nx (24)
П-1
и
с»
2 — ^n cos пх + ап sin nx . (25)
Мы не знаем, будет ли ряд (25) рядом Фурье —Лебега и соответствует
ли он какой-либо функции. Рассмотрим теперь в соответствии с этими
двумя рядами еще два других ряда, получающихся от почленного
интегрирования первых:
оо
2 i cos nx + ^ sin nx (26)
п-1
И
оо ,
y.-S-cosnx-^sinnx. (27)
П-1
Эти ряды — сопряженные. Так как ряд (24) есть ряд Фурье —Лебега,
то имеем lim a*. = 0 и lim bn = 0. Отсюда в силу теоремы Фишера — Рисса
п—> оо п—>• оо
ряды (26) и (27) суть ряды Фурье — Лебега от двух сопряженных функций
F (х) и G (х) с интегрируемым квадратом. Кроме того, вследствие теоремы
еп
Фату1 о тригонометрических рядах с коэффициентами вида — , где
limen = 0, оба ряда (26) и (27) суть сходящиеся почти всюду на [0, 2tc].
Поэтому имеем право писать
оо ,
F (х) = У, cos пх + — sin nx (28)
П-1
1 Acta Mathematica, 30, 379, 1906.

180
Н. Н. ЛУЗИН
00 J.
G (х) = 2 — ~п' cos пх Г sin ,мс (29)
n-i
почти всюду на [0, 2гс]. Так как ряд (24) есть ряд Фурье — Лебега, то
его можно интегрировать почленно; следовательно,
F(x) = C + \f(a)da,
где С есть определенное постоянное число. Поэтому F (х) есть
непрерывная функция, периодическая, с ограниченным изменением, и ряд (28) схо~
дится равномерно на всей области [0, 2^].
Ближайшей нашей целью является выражение функции G (х) через
f(x). Применив формулу (21) § 67, имеем равенство
cw—■a!/'(>+')~/(*~a)<fa>
° tg о
справедливое почти всюду на [0, 2*]. Следует заметить, что в этой форму-
ле интеграл определяется не только как lim \, но его можно понимать
«-»о ;
как интеграл Лебега, потому что F (х) имеет производную почти всюду,
и, значит, почти всюду на (0 <! а; <J 2it) подпнтегральпое выражение есть
непрерывная функция от а на (O^a^it).
Интегрируя по частям интеграл
что всегда законно, находим для этого интеграла выражение
_ i la sin -*- + w \[f(x + a)+f(x — a)].lnsin \ do..
e "
Отсюда в силу дифференцируемости F (х) находим окончательно
G {x) = ~\ /(*+a)-ln|sin"| Ах. (30)
Формула (30) имеет силу почти всюду на (0<><2тс), и интеграл нужно
понимать, как lim J + j . Но можно видеть и больше, приняв во внимание

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
181
интересную теорему Юнга1. В силу ее, если ]1{х) и /2 (х) суть две
какие-нибудь суммируемые функции, тогда произведение Д (з + сф/г (*),
рассматриваемое как функция переменного а, непременно суммируемо для
всех значений переменного х, кроме нуль-множества, и интеграл Лебега
lf1(x + a)'f2{o)da есть суммируемая функция переменного гг. Применив
это предложение Юнга, видим, что интеграл в формуле (30) есть
обычный интеграл Лебега почти всюду на (0<я<2тс).
74. Формула (30) позволяет решить вопрос о суммируемости функции
g (х). Рассмотрим, в самом деле, ряд
/м = 2-
sin —9-п
ln
sin -2-"
(31)
где все Ап^>0 и г1У г2, г3, . . ., гп, ... есть множество, всюду плотное
оо
на [0, 2«]. Если ряд коэффициентов ^Ап достаточно быстро сходится, то
ряд (31), как легко видеть, обладает следующими свойствами:
1. Ряд (31) сходится почти всюду на (0<z<;2it), и его сумма —
функция / (х) — суммируема на [0, 2тг].
2. Ряд Фурье—Лебега от / (х) сходится почти всюду на [0, 2гс];
сопряженный к нему тригонометрический ряд также сходится почти всюду в
этой области и определяет, следовательно, некоторую измеримую
функцию g (ж).
3. Интеграл (30) изображает функцию G (х), не ограниченную на всяком
интервале (а, Ъ) даже тогда, когда пренебрегают нуль-множествами.
Последнее свойство и показывает, что функция g(x), сопряженная к
суммируемой функции / (я), есть функция, не суммируемая на [0, 2гс], так как
в противном случае функция G (х) была бы неопределенным интегралом
Лебега
А.
G(x)=C + ^g(a)da
и, значит, была бы всюду ограниченной функцией. Легко, кроме того,
показать, что g (x) не суммируема на всяком интервале (а, Ъ) области
[0, 2тс]. Итак, приходим к результатам:
1) непрерывная функция с ограниченным изменением F (х) имеет со-
пряженную функцию G(x), вообще, всюду разрывную и всюду
неограниченную;
2) суммируемая функция / (х) имеет сопряженную функцию g (x),
вообще, всюду несуммируемую.
1 Young, Sur la generalisation du theoreme de Parseval (Comptes Rendus,
155, 30).

182
H. H. ЛУЗИН
Признаки сходимости типа Вейля. Результаты Юнга
75. Изучать тригонометрические ряды
оо
4г + 2 ап cos пх + ^nSin пх
1 п-1
можно, вообще, с двух точек зрения: можно, во-первых, изучать вопросы
сходимости и расходимости рядов в непосредственной зависимости от
числового характера коэффициентов ап, Ьп (п — 1, 2, 3, ...) ряда, например,
в зависимости от характера их малостп при возрастании п. Эту точку
зрения часто принимает классический анализ. Во-вторых, можно в
изучении этих вопросов совершенно исключить числовой характер
коэффициентов тригонометрического ряда, выражая эти коэффициенты непосредствен*
но через функцию, например, определяя их по формулам Фурье:
Tt ТС
ап = —- \ / (a) cos па da, bn = — \ / (а) sin na da.
о о
При такой точке зрения вопросы о сходимости, расходимости
тригонометрического ряда или другие аналогичные вопросы относятся уже не к
свойствам коэффициентов, а к свойствам самой функции / (х). Рассмотрение
числовой величины коэффициента является теперь уже исключенным. Эта
точка зрения есть по преимуществу точка зрения теории функций. Она
имеет за собою неоспоримые преимущества ввиду того обстоятельства, что
классификация функций является гораздо более подвинутой вперед
в науке, чем классификация числовых характеров последовательностей
чисел.
Обе эти точки зрения почти сливаются, когда мы ограничиваемся
рассмотрением функций / (х) с интегрируемым квадратом. В этом случае
единственной необходимой и достаточной числовой характеристикой
коэффициентов является сходимость ряда
n-i
Ранее мы стояли на второй, теоретико-функциональной, точке зрения при
изучении тригонометрических рядов и видели большую вероятность того,
что всякий ряд Фурье — Лебега от любой функции / (х) с интегрируемым
квадратом сходится всегда почти всюду на [0, 2т:]. Эта же вероятность
указанного гипотетического предложения становится ясной при
рассмотрении вопроса с первой точки зрения.
76. Ряд достаточных признаков сходимости почти всюду, более и
более общих, установлен в последние годы для тригонометрических рядов.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
183
Мы перечислим их, отсылая для доказательств к работам самих авторов1.
1. Признак Фату: lim па* = 0, lim /iin = 0,
п—>со п->оо
2. » Ероша л*-|дп|<1, пГ.\Ьп\<1,
Kl7 —1
где т = vllA = 0,7807 . . .;
3. Признак Фату: сходимость ряда
со
П=1
4. Признак Вейля: сходимость ряда
со
2 fa. («* + **);
П=1
5. Признак Гобсона: сходимость ряда
со
2 »••(<£ + #), s>0;
П-1
6. Признак Планшереля: сходимость ряда
00
7. Признак Харди: сходимость ряда
00
2 in2 «•(<£ + #)•
n=i
Рассматривая эту таблицу признаков сходимости, мы видим,.что
общий тип их есть сходимость ряда
00
2 гвг(п). (<£ + #),
П-1
тде w (п) есть положительная возрастающая функция. Такие признаки
сходимости мы назовем признаками типа Вейля, так как Вейль первый
привлек внимание к признакам сходимости этого рода. Функцию w{n),
положительную и неубывающую, такую, что сходимость ряда
оо
2 да (п)-(al+bl)
П-1
влечет сходимость почти всюду соответствующего тригонометрического ряда
1 Fatou, Acta Mathematica, 30, 379, 1906; J e г о s с h, Mathematische Anna-
leii, 66, 68,1908; Weil, Mathematische Annalen, 67, 225, 1909; Hobson, F*oc
London Math. Soc, сер. 2, 12, 297, 1903; Plancherel, Comptes Rendus, 156, 2 икшя
1913 г.; Hardy, Proc. London Math. Soc, сер. 2, 12, 365, 1913.

184
H. Н. ЛУЗИН
~ + 2 Яп cos пх + 6nsin пх ,
П-1
будем называть функцией Вейля.
Чем медленнее возрастает функция ВеПля w (n), тем тире класс
тригонометрических рядов, сходящихся в силу этого признака, и,
следовательно, тем более общ этот признак сходимости. Отсюда задача о
сходимости тригонометрических рядов Фурье—Лебега от фукций f(x) с
интегрируемым квадратом приводит к задаче отыскания наименьшего
возрастания функций Вейля.
Это наименьшее возрастание — существует ли? Легко заметить, что
если всякая возрастающая функция о (л), ср (оо) = оо, есть функция Вей-
ля, тогда каждый ряд Фурье от функции с интегрируемым квадратом
сходится почти всюду.
с»
Действительно, если ряд 2 а* + &*• сходится, тогда всегда можно
определить столь медленно возрастающую функцию ср (л), <р(х>) = оо, что
со
будет сходиться и ряд 2 ? (п) * (а* + ^п)• Отсюда, если существует хотя
бы одна функция / (х) с интегрируемым квадратом, для которой ряд
Фурье не сходится почти всюду, то медленность возрастания функций
Вейля w(n) не может переступить за известный порог; все сводится,
следовательно, к фактическому определению этого порога1. Поэтому
было бы интересно понизить множитель Харди In2 л [18].
Заметим еще, что все указанные признаки, кроме, может быть, признака
Харди, имеют силу не только для тригонометрических рядов, но и вообще для
рядов по ортогональным функциям. К тому же легко доказать, что для
рядов по ортогональным функциям множитель Планшереля In3 л можно
бесконечно понизить; но остается неизвестным, можно ли понизить его
вплоть до множителя Харди In2/г [19].
77. Из предыдущего мы видим, что в частных случаях
асимптотический закон коэффициентов тригонометрического ряда обусловливает
свойства этого ряда — его сходимость. Но влияет ли асимптотический закон
коэффициентов ряда на свойства самой функции / (#), изображаемой рядом,
помимо влияния на сходимость этого ряда? Например, зная
асимптотический закон коэффициентов, что можно сказать о характере
неограниченности функции? И, наоборот, зная характер неограниченности
функции, что можно сказать о коэффициентах тригонометрического ряда?
Эти вопросы, одни из наиболее трудных, в последнее время несколько
освещены интересными работами Юнга 2. Мы ограничиваемся лишь
формулированием его результатов.
1 Этот порог может оказаться «идеальной функцией» в смысле Дюбуа-Реймона.
2 Young, Sur la generalisation du theoreme de Parseval (Comptes Rendus, 155,
30, 1912); Sur la sommabillte d'une fonction dont la serie de Fourier est donnee (Comptes
Rendus, 155, 472, 1912).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД [S5-
2г
Теорема I (Юнга). Если функция \f(x)\ «r-i, где г есть целое по-
00
ложительное число, суммируема, то ряд 2 а% + Ь% сходится.
П—1
оэ 1 1
Теорема II (Юнга). Если ряд ^ап р + bn p ,где р есть нечет-
ное положительное число, сходится, то функция |/ (#) |1+*>суммируема.
Мы видим, что первая теорема Юнга является обобщением теоремы
Парсеваля, вторая же — обобщением теоремы Фишера — Рисса в
точном смысле. Но в то время как теорема Фишера — Рисса есть полное
обращение теоремы Парсеваля, ни одна теорема Юнга не является
обратимой.
Чтобы видеть зто, достаточно положить г=2ир = 3. В этом слу-
_! "*
чае в силу теорем Юнга, «если |/(ж)| 3 суммируема, ряд 2 ап+&п схо-
П-г1
оо 4 _4_
дится» и «если ряд jj an+^n сходится, функция j*{x) суммируема».
Ни одно из этих предложений не может быть обращено, так как, с одной
стороны, легко построить такой тригонометрический ряд, для которого
00
2 ап + Ьп сходится, но сумма которого не есть суммируемая функция; и
П-1
с другой стороны, легко построить такую функцию / (х), для которой
со _4_ J
/4 (х) суммируема, но для которой ряд 2ап3 +^п3 расходится.
Таким образом, только теоремы Парсеваля и Фишера — Рисса дают
полную характеристику неограниченности функпии через
асимптотический закон коэффициентов, и обратно.
К тому же не существует никакого закона, выраженного в
абсолютных величинах коэффициентов, который характеризовал бы суммируемость
функции. Действительно, если бы такой закон существовал, тогда сумма-
тригонометрического ряда, сопряженного ряду Фурье—Лебега, была
бы всегда суммируемой функцией. Но этого нет в силу результатов:
§ 74. *
Глава VI
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ
Методы суммирования тригонометрических рядов
78. Для того чтобы сделать ясной связь общей теории интеграла
с теорией тригонометрических рядов, мы должны предварительно
рассмотреть задачу об изображении данной функции тригонометрическим рядом.

186
Н. Н. ЛУЗИН
Мы говорим, что тригонометрический ряд Т
со
-°. + Zj ancosnx -\- bns\nnx
2 n-i (Т)
изображает функцию f{x) на области [О, 2^], если он сходится к функции
f(x) почти всюду на [0, 2^г]. В этом случае функция / (х) является
изображенной тригонометрическим рядом 2\
Может случиться, что данный тригонометрический ряд Т расходится
на множестве меры, большей нуля. В этом случае нельзя ряду Т поставить
непосредственно в соответствие какую-нибудь функцию / (х), и нужны
особые методы, чтобы суммировать ряд Т и, несмотря на его расходимость,
говорить и в этом случае, что он изображает известную функцию / (х).
Современный анализ, признавая ценность расходящихся рядов, дает
целый ряд таких методов суммирования, из которых на первом плане по
своей мощности и простоте стоят следующие три метода суммирования1.
a) Метод Фейера. Обозначив через Sn (х) сумму п + 1 членов
ряда Т, рассматриваем выражение
, _ s0(x) + Sx(x) + ■?,(*) + ■■■ + Sn(x)
*п [X) - ^-j .
Если оказывается, что lim еп(х) существует почти всюду на [0, 2т:], то, обо-
значив его через / (х), мы говорим, что / {х) есть сумма ряда Т и что функция
/ (х) изображена тригонометрическим рядом Т.
Этот метод Фейера с успехом применим к рядам Фурье — Лебега.
Всякий такой тригонометрический ряд Т оказывается суммируемым
методом Фейера и да$т ту именно функцию / (х), которая образовала ряд
Фурье — Лебега Т.
b) Метод Пуассона. Рассматриваем в соответствии с рядом Т
гармоническую функцию Р (р, х):
со
Р (piх) = ~У + 2 Рл (an cos nx + bn sin nx)y [P)
n-i
рф-
которую предполагаем голоморфной внутри круга (р = 1). Эта голомо
ность в большинстве случаев имеет место, так как обычно числа — и
I n I
не превышают постоянного числа К. Если теперь оказывается, что
-Р(р> х) существует почти всюду на [0, 2гс], то, обозначив его через
f(x), мы говорим, что / (х) есть сумма ряда Т и что / (х) изображена
тригонометрическим рядом Т.
lim
1 Об этих методах см., например, Lebesgue, Lemons sur les series trigonome-
triques, Paris, 1906, стр. 89—96.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
187
Метод Пуассона всегда применим к рядам Фурье — Лебега, так как
в этом случае гармоническая функция Р (р, х) есть не что иное, как
интеграл Пуассона — Лебега
2тг
л2
свойства которого исследованы Фату1. Вероятно, метод Пуассона
применим также и к рядам Фурье — Данжуа.
с) Метод Римана. Для метода Римана существенна гипотеза
ограниченности чисел \ап\ и |6П,|» т. е. что имеем
\ап\<К и \Ьп\<К (« = 1,2,3, ...),
где К есть постоянное число. При этом условии функция R (х)
я(,) « сг + с* + ь*- |ч<»»" + ».*»~ (я)
п=1
есть непрерывная функция [0, 2тс], так как ряд правой части абсолютно
и равномерно сходится. Если теперь оказывается, что выражение
R (х + 2k) 4- R (ж — Щ — 2R (х)
стремится почти всюду к / (х) когда h стремится к нулю, то называем по-
прежнему / (х) суммой ряда Т и говорим, что/(я) изображена
тригонометрическим рядом Т. Метод Римана приложим к рядам Фурье — Лебега, так
как в этом случае R(x) имеет обыкновенную вторую производную, равную
почти всюду / (х). Повидимому, метод Римана применим также и к рядам
Фурье — Данжуа [20].
В случае, когда данный тригонометрический ряд Т сходится в точке х0,
имея суммой число / (х0), тогда к ряду Т одновременно применимы все
три указанных процесса суммирования и дают в силу теорем Чезаро, Абеля
и Римана в результате то же самое число / (х0).
Современный анализ еще не установил в точности взаимоотношение
этих трех методов суммирования: еще неизвестно, какой из них является
наиболее общим и сильным. Было бы интересно, например, построить
такой тригонометрический ряд 7\ к которому применим метод Римана
и который не был бы суммируем методом Пуассона. Но, повидимому,
самым слабым является метод Фейера и самым сильным метод Пуассона.
Указав главнейшие методы суммирования тригонометрических рядов,
условимся о терминологии. Всякий раз, как тригонометрический ряд Т
Ц + 2 а* cos nx + bn sin nx
п=1
1 F a t о u, Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Mathematica, 30»
373, 1906.

188
Н. Н. ЛУЗИН
оказывается суммируемым одним из трех указанных методов почти всюду
к функции / (х), мы будем говорить, что функция / (х) изображена
тригонометрическим рядом Ту и будем писать
оо
/ (х) СЧЭ ?>° + 2 Д» C0S ПХ + ^л SlVi ПХ>
п=1
заменяя символ соответствия ess знаком равенства =, если дело идет о
простой сходимости почти всюду тригонометрического ряда Т.
Изображение произвольной измеримой функции
тригонометрическим рядом
79. Мы переходим к вопросу о том, какие именно функции / (х) можно
изобразить тригонометрическим рядом. Прежде всего ясно, что функция
/ (х) непременно должна быть измеримой на [0, 2^], так как во всех методах
суммирования функция / (х) является, очевидно, пределом
последовательности непрерывных функций (§ 11). В остальном же функция / (х)
произвольна, как показывает предложение.
Основная теорема. Всякая данная измеримая функция f(z)>
конечная почти всюду на [О, 2тс], изобразима тригонометрическим рядом
00
f(x)oo^ 2 ап cos пх + bn sin nxy
суммируемым одновременно методами Пуассона и Римана к данной
функции / (х).
Доказательство. Пусть / (х) есть измеримая функция на
[О, 2ir], конечная почти всюду. В силу основной теоремы § 15 для нее
существует ее примитивная функция F (х). Функция F (х) непрерывна и,
следовательно, есть функция с интегрируемым квадратом. Поэтому для нее
существует ее ряд Фурье — Лебега
F(x)co^+ ^Апсо&пх + Bns\nnxt
п-1
со
где ряд дАп+Вп есть сходящийся ряд. Так как непрерывная функ-
П-1
ция F (х) почти всюду имеет производную, то ее ряд Фурье — Лебега
сходится почти всюду х, что дает право писать более точно
оо
*»= 4^ + %Ancosnz + BnsiTinz. (1)
n-i
1 Lebesgue, Lemons sur les series trigonometriques, Paris, 1906, стр. 66.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
189
Дифференцируя формально ряд (1) почленно, мы получаем
тригонометрический ряд
00
Y+ 2anCos^r+ 6nsin/iz, (2)
n-i
где й0 = Оийп = пВп, Ьп = — пАп.
Мы теперь утверждаем, что полученный тригонометрический ряд (2)
изображает данную функцию /(я), будучи суммируем к ней методами
Пуассона и Римана.
1. Применим, в самом деле, к ряду (2) метод Пуассона. Пусть
Р (р, х) есть гармоническая функция
оо
Р (р, х) = |° + 2?n(an cos/га: + bnsinnx).
Полученная гармоническая функция Р(р>х) голоморфна в круге (о = 1),
так как имеем
ап = пВп и Ьп = — пАп,
где
lim Ап = lim Вп = 0 .
П-»00 П-^00
Заметив, что
an = п- - j^(a) sinrcatfa и bn = —n-—]F(a) cosnada ,
о о
видихМ, что функция Р (р, х) может быть написана в виде
р(?, *)~i\F(«)k i + e*-^L(u-X) da-
Так как непрерывная функция F(x) имеет функцию f(x) своей
производной почти всюду на [0, 2тс], то согласно теореме Фату1
гармоническая функция />(р, х) стремится к f(x) почти всюду на (0 <1 а; < 2тс),
когда р стремится к 1. Это показывает применимость к ряду (2) метода
Пуассона.
2. Применим теперь к ряду (2) метод Римана. Имеем
Д(х)-С, + С1« + **'- f) a"cos"* + 6n8inn* . (Я)
Вследствие равенств
а0 = 0, ап = пВп и 6П = —яЛп
1 Acta Mathematica 30, 345, 1906.

190 Н. Н. ЛУЗИН
получаем
R (х) = С2 + Сгх + % — -*cosnz+'-fsin>u . (3)
В силу неравенств
ц<№+$ - i£i«j(i+«:
ряд (3) сходится абсолютно и равномерно, и функция R (х) есть
непрерывная. С другой стороны, ряд (3) можно получить, интегрируя
формально ряд (1) почленно. Но ряд^(1) есть ряд Фурье —Лебега, откуда
согласно теореме Лебега о возможности почленного интегрирования
рядов Фурье имеем тождественно всюду на [0, 2тг]
д(х)=С2 + С[х+ \F{a)da.
Отсюда видим, что непрерывная функция R (х) имеет обыкновенную
вторую производную, равную почти всюду / (х). Следовательно, имеем
lim я (« + »)+*<«-»>-**<«> . т
почти всюду на [0, 2тс] (ч. т. д.).
Только что доказанная теорема является почти полным решением
задачи изображения функций тригонометрическими рядами. Для
совершенно полного решения этой задачи следовало бы дать изображение
суммируемыми тригонометрическими рядами измеримых функций / (я),
принимающих значения +оо и —оо на множестве точек меры, большей нуля.
Мы не смогли ни найти такие ряды, ни доказать их несуществование [21].
Сделаем последнее замечание: решающий вопрос тригонометрический
ряд (2) построен при помощи примитивной F (х). Но, как мы знаем, всех
примитивных {F (z)}, F (0) = 0 для данной / (х) бесконечно много.
Отсюда заключаем, что одна и та же данная функция / (х) может быть
изображена бесконечным множеством тригонометрических рядов.
Задача Фурье
80. Классические методы суммирования, изложенные в начале этой
главы, дают более или менее полное решение следующей задачи анализа:
Дан тригонометрический ряд; определить значения функции,
изображаемой им.
Эта задача, выдвинутая в анализе сравнительно недавно, в связи
с теорией расходящихся рядов, обратна другой задаче, поставленной
давно, при первых шагах классического анализа, когда понятие
«произвольной функции» не было еще сложившимся:
Задача Фурье. Дана функция своими значениями; определить
коэффициенты тригонометрического ряда, изображающего ее.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
191
Понятие произвольной функции
81. Историческое значение задачи Фурье1. Известно, каким образом
эта задача была связана с понятием «произвольной функции». В 1747 г.
Даламбер проинтегрировал уравнение звучащей струны, и этот его
результат послужил началом целого ряда работ, раскрывших
содержание понятия произвольной функции. Из геометров, выяснивших это
понятие, должны быть упомянуты прежде всего Эйлер, Клеро, Даниил
Бернулли, Лагранж, Риман и Дирихле,
Вопрос, который ставился сначала, был вопросом об отношении между
аналитическим определением функции и определением, до некоторой
степени физическим: если отклонить произвольно струну от ее положения
равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное
положение этой струны?
На долю Фурье выпало дать утвердительный ответ на этот вопрос:
Фурье дал метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда,
изображающего «произвольную функцию». Открытие Фурье, сначала
облеченное в неточную форму, было удостоверено строгим анализом,
данным Лежен-Дирихле.
Это открытие Фурье опрокидывало все понятия и взгляды той эпохи;
в то время все, включая Эйлера, думали, что каждому определенному
аналитическому выражению соответствует кривая, последовательные части
которой зависят друг от друга: именно, для того чтобы выразить эту
взаимную зависимость частей кривой, Эйлер и изобрел термин {(непрерывная
функция»: смысл этого термина в настоящее время совершенно изменен.
Под влиянием этих же самых взглядов Лагранж в своей «Theorie dcs
fonctions analytiques» делал попытки доказать, что всякая непрерывная
функция разложима в ряд Тейлора. Тяготение к ряду Тейлора вполне
понятно; именно, тейлоровские разложения и дают наиболее осязательно
казавшуюся в то время таинственной связь различных частей непрерывной
кривой: знание малого участка кривой давало знание всей кривой. Но
Фурье доказал, что такое понимание произвольной кривой иллюзорно и
невозможно, так как физик, чертящий кривую, в любой момент свободен
изменить течение кривой; и раз кривая начерчена, всегда возможно ее
изобразить одним аналитическим выражением.
Таким образом пришли к тому парадоксальному результату, что нет
никакого логического основания рассматривать два отрезка одной и той же
прямой или две дуги одной и той же окружности, как соответствующие
одной и той же функции, потому что всегда возможно рассматривать как
единую функцию ординату кривой, составленной из двух отрезков
различных прямых или из двух дуг различных окружностей. Правда, пытались
говорить, что формула, изображающая кривую, более проста для случая
1 Для этого параграфа мы воспользовались интересной речью Бореля на 5-м
Международном математическом конгрессе; см. Ргос. of the Fifth, International
Congress of Mathematicians (Cambridge 22—28 августа 1912 г.), Cambridge, т. I, 1913,
стр. 133.

192
Н. Н. ЛУЗИН
двух отрезков одной и той же прямой, чем для случая двух отрезков двух
различных прямых; но критерий «простоты» не явился ценным, потому
что он, дозволяя употребление алгебраических функций, запрещал
пользоваться разложениями в ряды, а между тем важность последних
становилась очевидной со дня на день,
82. Современное понятие произвольной функции. Дальнейшие судьбы
понятия «произвольная функция» всем известны: развитие самого понятия
•функции совершалось в двух различных направлениях.
С одной стороны, стремление удержать взаимную зависимость частей
кривой вылилось в теорию функций комплексного переменного. На этом
пути предстояло отделить понятие функции от ее аналитического
изображения; это было сделано Вейерштрассом в понятии «аналитическая
функция» (= «голоморфная функция»). Но определение Вейерштрасса,
практически достаточное, еще сильно прикреплено к частному классу
аналитических выражений — классу рядов Тейлора — и вследствие этого
иногда искусственно ограничивает область существования функции.
Желание освободиться от этого привело недавно Бореля1 к более общему
понятию «моногенной функции».
С другой стороны, результат Фурье и изучение значений аналитических
выражений разрушали всякую связь между различными частями кривой.
Казалось, что значения аналитического выражения обладают лишь одним
свойством: быть определенными, в остальном же совершенно произвольны,
будучи абсолютно независимы друг от друга. В этом, именно, смысле и
было определено понятие функции, данное Дирихле; это определение
функции явилось основным для современной теории функций
действительного переменного. Лишь в последнее время, с одной стороны, работами
Бэра и Лебега обнаружена постоянная связь между значениями
аналитического выражения, не меняющаяся от выражения к выражению,
следовательно, инвариант всех аналитических выражений2. Будучи
подчинены этому инвариантному свойству, значения аналитического выражения
не абсолютно произвольны; таким образом, понятие функции, данное
Дирихле, является более общим, чем то, которое можно извлечь,
рассматривая одни только аналитические выражения. С другой стороны, спор,
поднятый относительно принципа произвольного выбора (аксиомы Цер-
мело), поставил под сомнение ясность определения Дирихле, бывшую
прежде вне вопросов.
1 В его лекциях по теории функций, читанных в Сорбонне в 1914 г.; см. также
цитированную выше речь Бореля на конгрессе.
2 «Всякая аналитически изобразпмая функция точечно разрывна на всяком
совершенном множестве, если пренебречь множествами первой категории по отношенюо
к этому совершенному множеству» (Lebesgue, Sur les fonctions representables
analytiquement, Journ. de Math., 1, 188, 1905). He всякая функция в смысле Дирихле
обладает этим свойством. К сожалению, это свойство, будучи необходимым, далеко
не достаточло для аналитической изобразимости; см. по этому вопросу наше
сообщение Академии от 4 мая 1914 г.: «Sur un probleme de M. Baire» (Comptes Rendus, 158,
1258, 1914).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
193
Непредставимая аналитически функция [22] не может быть дана,
определена индивидуально так, как, например, sin а;. Когда мы пытаемся
говорить об одной из таких функций, мы на самом деле всегда говорим о классе
таких функций. Самый класс может быть определен сравнительно простым
свойством (например, «ван-влековский класс» неизмеримых функций);
но ничто не отличает внутри этого класса одну аналитически
непредставимую функцию от всех остальных. Математик, рассматривающий этот
класс, не характеризует — даже для себя самого — ничем объективным,
никаким свойством отличия одной какой-нибудь функции этого класса от
всех остальных; его уверенность в том, что он в различных местах своего
рассуждения говорит об одной и той же функции, всецело субъективна
и недоступна другому интеллекту, в противоположность тому, когда дело
идет, например, о числе тс или е. Когда хотят доказать существование
неизмеримой функции, обычно поступают так: каждой величине х
независимого переменного заставляют соответствовать подобранное надлежащим
образом бесконечное множество чисел Ех, затем, произвольно выбирая из
этого множества Ех одно число, обозначают его через f{x) и, наконец,
доказывают без труда, что построенная таким образом функция / (х)
неизмерима. Легко, однако, заметить, что не существует закона, в силу
которого был бы осуществлен выбор в каждом множестве Ех одного числа f (х):
если бы такой закон существовал, тогда, по крайней мере, один выбор
приводил бы к аналитически изобразимой функции и доказательство
существования было бы несостоятельным; между тем вся сила подобных
доказательств именно в том, что никакой выбор не дает аналитически
изобразимой функции. Отсюда, если х2фхг, ничто не связывает выбора числа
/ (х2) из множества EXi с выбором/^) из ЕХх; эти выборы абсолютно
независимы; таким образом, мы имеем дело с континуумом абсолютно
независимых выборов. Но это еще не все. Элементы множества Ех неотличццы
друг от друга; ничто внутри каждого множества Ех не отличает один
элемент от всех других, ничто не заставляет нас предпочесть один элемент
всем прочим, ничто не останавливает внимания на одном каком-либо.
Отсюда то, что происходит внутри каждого в отдельности множества Ех,
не имеет ничего общего с выбором в точном смысле этого слова. Выбор
есть нечто, зависящее от нас. Таков, например, выбор числа из пары (5, 7);ч
но внутри множества Ех никакое число не останавливает нашего внимания;
поэтому мы не можем говорить о «выборе элемента», всегда зависящем от
нас, мы можем лишь говорить о выпаде элемента, уже абсолютно не
зависящем от нас. Таким образом в последнем анализе определение
индивидуальной аналитически непредставимой функции есть не что иное, как
определение значений функции бросанием монеты1 для каждого
специального значения х. Значение аналитически непредставимой функции
для индивидуального значения независимого переменного определяется
только случаем и, значит, связано с коэффициентом вероятности события,
1 Идеализируя, понятно, это явление так, как делает теория вероятностей.

194
Н. Н. ЛУЗИН
определяющего значение этой функции1; но мы абсолютно не знаем, как
совершится это событие. Все это побудило в последнее время поставить
вопрос: что именно хотят сказать, говоря: «рассмотрим аналитически
непредставимую функцию», «возьмем неизмеримую функцию».
В настоящее время концепция произвольной функции различна. Для
тех, кто принимает прийцип произвольного выбора, произвольная
функция есть соответствие между х и / (я), мыслящееся совершенно идеально.
Для отрицающих указанный принцип, т. е. для тех, кто признает
возможность оперировать лишь с такими математическими объектами, каждый из
которых может быть индивидуально определен,— для тех произвольная
функция есть функция какого-нибудь класса а классификации Бэра [23].
Наконец, в теории, где пренебрегают нуль-множествами (какова вся
теория интеграла), произвольная функция есть функция классов 0,1 и 2
классификации Бэра.
Характер задачи Фурье
83. В начале этой главы (§ 79) мы доказали, что для всякой измеримой
функции / (х) существует класс {T}f тригонометрических рядов,
изображающих ее. Легко видеть, что эта теорема существования не дает решения
поставленной выше задачи Фурье, так как последняя по самому существу
дела требует изображения данной функции / (х) не классом
тригонометрических рядов, а лишь одним тригонометрическим рядом, и притом не
каким-либо, а вполне определенным. Чтобы видеть это, возвратимся к
задаче о звучащей струне.
Даниил Бернулли показал, что если начальное положение звучащей
струны в момент времени t = 0 дается тригонометрическим рядом
со
2 ^п sin ляг. (4)
п-1
то положение этой струны в произвольный момент времени t определяется
рядом
со
2 bn sin nx cos knty (5)
71-1
где к есть коэффициент, зависящий от струны. Пусть теперь одно и то же
начальное положение струны изображено двумя различными
тригонометрическими рядами (4). Для того чтобы не придти к физическому парадоксу,
нужно быть уверенным в том, что оба ряда (5), выведенные из этих двух
рядов (4), изображают при любом t не два различные, но одно и то же
положение струны. А, вообще, этого нет: вообгце., оба .ряда (5) имеют разные.
1 См. В о г е 1, Les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiqnes
(Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27, 247—271, 1909).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
195
суммы для континуума значений аргумента я. Отсюда, задача о звучащей
струне естественно приводит к мысли искать изображения функции
единственным тригонометрическим рядом (4) с тем, чтобы, приняв этот ряд за
изображение начального положения струны, следить за дальнейпшми ее
вибрациями при помощи ряда (5).
Таким образом все дело сводится к тому, чтобы выбрать из класса
{T}f тригонометрических рядов, изображающих одну и ту же / (я),
единственный ряд, наиболее полно изображающий течение этой функции;
нужно, следовательно, суметь выбрать, отличить в классе рядов {T}f
один, обладающий особенными свойствами, которых лишены все другие
ряды этого класса. Задача Фурье и состоит в определении коэффициентов
именно этого единственного ряда, а не какого-либо другого из класса
{Т}е
Небольшое сравнение не будет излишним: всякое иррациональное число^
£ области [0,1] может быть определено, отправляясь от единицы,
бесконечным множеством формул (например, число -); но в классе К% всех
изображений данной иррациональности 5 существует только одно изображение,
отличающееся от всех других,— алгорифм непрерывной дроби.
Таким образом задача Фурье приводит к отысканию регулярного алго"
рифма, позволяющего, отправляясь от значений функции, определять,
единственным образом коэффициенты тригонометрического ряда,
изображающего ее. Одной из главных целей общей теории интеграла является
построение этого регулярного алгорифма.
Решения задачи Фурье
84. Классические решения. Решение задачи Фурье получается немед^
ленно, если мы предположим, что данная функция / (х) допускает
тригонометрический ряд, сходящийся к ней равномерно. В эт<?м случае сама
функция / (х) есть, очевидно, непрерывная, т. е. интегрируемая в смысле
Коши функция. Законное интегрирование ряда почленно по умножения
его на cos no. и sin na тотчас же приводит к формулам Фурье:
ап = \ / (a) cos na da,
о
2тг
Ьп = — } / (а) sin ш da,
обнаруживающим единственность такого тригонометрического ряда,
изображающего функцию, и позволяющим определить его коэффициенты»
К такому же ааключению приходим, * делая предположение гораздо более
общее. Обозначим через Sn (х) сумму п + 1 членов тригонометрического
ряда
оо
Ч + 2 anCos nx + bnsinnx (6)
п»1

196
Н. Н. ЛУЗИН
п через Y (х) верхнюю грань чисел
|£о(*)1> \SiHl \St(x) , ..., SnH
т. е. пусть
У (х) = Ш Sn И .
В силу этого определения всякому тригонометрическому ряду (6)
соответствует положительная измеримая функция Y(x), конечная или
бесконечная. Валле-Пуассен1 показал, что если функция / (х) допускает
изображение ее таким тригонометрическим рядом, для которого Y[x)
есть конечная суммируемая функция на [0, 2т:], то тогда необходимо:
1) функция / (х) суммируема и 2) этот тригонометрический ряд есть ряд
Фурье — Лебега. Во всех этих случаях в классе [T]f всех
тригонометрических рядов, изображающих данную / (х), существует только один ряд
с определенным свойством, касающимся изменения сумм S1t(x) в
зависимости от л.
Эту же самую единственность мы получаем, исходя из другой точки
зрения. Допустим, что в классе {Г}/ мы ищем ряды с достаточно малыми
коэффициентами для больших значений л, например, с такими
коэффициентами, чтобы ряд
был сходящимся. В этом случае мы не делаем никаких предположений
относительно сумм5п(я): функция Y (х) может быть равной +оо для всякого?.
Мы знаем в силу теоремы Фишера — Рисса, что если тригонометрический
оо
ряд имеет ряд 2 ап + Ьп сходящимся, то тогда необходимо: 1) изображае-
71 = 1
мая им функция f(x) суммируема и 2) рассматриваемый ряд есть ряд Фурье-
Лебега. Отсюда в классе {T}f может существовать только один такой ряд2.
Таким образом обе точки зрения: и характер изменения сумм Sn{x)
в зависимости от п и критерий малости коэффициентов приводят к тому,
что в классе {Т7}/ может существовать только один тригонометрический
ряд с указанными свойствами. Этот ряд есть ряд Фурье; его коэффициенты
определяются по формулам Фурье. Следовательно, в этих случаях решение
задачи Фурье дается теорией интеграла.
1 Sur i'unicite du developpement trigonometrique (Comptes Rendus, 160, 951).
2 Было бы весьма интересно, если бы эта единственность тригонометрического
оо
ряда со сходящимся ^ fl£ + ^ была доказана до изобретения интеграла Лебега;
в этом случае необходимость расширения римановского определения интеграла
представилась бы сама собой.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
197
85. О решении задачи Фурье в общем виде. Согласно сказанному
задача Фурье приводит к выбору из класса {T}f единственного
тригонометрического ряда; поэтому естественно стремиться осуществить этот
выбор в самом общем случае. Рассмотрим для этого состав каждого класса
[T}f] с этой целью введем одно определение.
Назовем нуль-рядом всякий тригонометрический ряд т, изображающий
функцию 0, т. е.
со
О ос *° + 2 «ncos nx -f £nsin пх. (т)
71=1
Рассмотрим теперь какой-нибудь класс {T}f. Пусть ряд Тх
принадлежит к этому классу. Так как в указанные методы суммирования
коэффициенты тригонометрических рядов входят лишь линейным образом, то
сумма ряда Тг и какого-нибудь нуль-ряда т, Тх + т, есть ряд, входящий
в класс {T}f, Обратно, если Т2 и Тх входят в {Г}/, их разность Т2—Т1
есть нуль-ряд, т. е. Т2 = 7\ + с . Отсюда все ряды класса {T}f
получаются из одного какого-нибудь прибавлением к нему нуль-рядов т.
Теперь, если мы хотим осуществить выбор одного ряда из класса {7}/,
мы должны иметь такой критерий х, выраженный в конечной форме, без
помощи принципа произвольного выбора, чтобы в классе {Г}/ ему
удовлетворял только один ряд; обозначим этот ряд теперь Т*. Далее,еслимы хотим,
чтобы была какая-нибудь аналогия между рядом Т* и рядом Фурье в смысле
Коши, мы должны подчинить критерий х следующим двум аксиомам:
I. В классе {Г^всех нуль-рядов критерию х удовлетворяет лишь ряд
с коэффициентами, тождественными нулю.
II. Если ряды 7\ и Т2 удовлетворяют критерию х, разность их
Т2—7\ также удовлетворяет х.
Обратно, каждый критерий х, подчиняющийся этим двум аксиомам,
есть критерий единственности. Действительно, если в каком-либо классе
{T}f этому критерию х удовлетворяют два различных ряда Т1 и Т2, тогда
их разность Т2 — 7\ согласно аксиоме II удовлетворяет х, что невозможно
в силу аксиомы I, так как Т2— Тг есть нуль-ряд с коэффициентами, не
тождественными нулю.
Таким образом все сводится к отысканию наиболее общего критериях,
выраженного в конечной форме и подчиненного двум указанным аксиомам
I и II. Но здесь мы встречаемся с основной трудностью: ничто не
доказывает, что существует только один такой общий критерий; отыскивая его,
мы можем придти к двум различным критериям хх и х2.
Соответственно им в классе [Т}1 окажутся выделенными два ряда Т** и T*z, и ничто
не доказывает совпадения этих двух рядов. Таким образом приходим к
многозначности.
Для того чтобы освободиться от этой многозначности, представляется
два пути. Во-первых, можно избрать аксиоматический путь и пытаться
пополнить указанные две аксиомы I и II новыми так, чтобы все критерии

198
Н. Н. ЛУЗИН
х, удовлетворяющие этой полной таблице аксиом, выделяли бы в классе
[T}f один и тот же ряд1. Во-вторых, можно идти конструктивным путем,
ища наиболее естественное расширение указанных критериев Валле-
Пуссена и Фишера—Рисса.
86. Вероятные критерии выбора. Возьмем класс {T}f. Из всех рядов
этого класса естественно рассматривать ряды, сходящиеся почти всюду
к / (я), как ближе изображающие функцию / (х)> как более для нее
характерные, чем расходящиеся ряды этого класса, которые лишь суммируемы
к функции / (я). Отсюда естественно выбирать в классе {T}f единственный
ряд только среди сходящихся рядов этого класса, если они там есть. Такой
выбор является тем более естественным, что, вероятно, в классе {T}f
может существовать лишь один ряд, сходящийся почти всюду к / (х).
Действительно, если бы в классе {71}/ существовали два различных таких
ряда, тогда разность их давала бы тригонометрический ряд, сходящийся
к нулю почти всюду и имеющий коэффициенты, не равные нулю. Это же
маловероятно в силу предложений:
Теорема Кантора. Если тригонометрический ряд сходится
к нулю всюду, все его коэффициенты равны нулю.
Теорема Юнга2. Если тригонометрический ряд сходится к нулю
всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, все его
коэффициенты равны нулю.
Если предложение остается верным, когда возможным множеством
точек исключения будет какое-нибудь нуль-множество, тогда в классе
{T}f находится только один ряд, сходящийся почти всюду; в этом случае
выбор ряда осуществляется самым естественным образом [24].
Этот критерий сходимости есть, в известно!! степени, обобщение
критерия Валле-Пуссена, так как в этом случае функция Y(x), вообще,
нигде не суммируема.
87. Если в классе {7}/ нет сходящихся рядов [25], тогда естественно
выбирать ряд среди таких рядов, коэффициенты которых изменяются
наиболее правильно, когда п стремится к оо. Такими рядами являются
ряды с коэффициентами, стремящимися к нулю, когда п стремится к оо.
Этот критерий малости коэффициентов есть обобщение критерия Фишера-
Рис са.
Интересно заметить, что легко указать нуль-ряд с ограниченными
коэффициентами: таков, например, нуль-ряд
1
— + cos х + cos 2х + . . . + cos пх +...
Напротив, до сих пор еще не построен нуль-ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю. Возможно, что таких нуль-рядов совсем нет (кроме
Д0 = 0> ап =-* Ьп =0) [26]. Если это так, тогда в классе {T}f существует
1 Эта полная система аксиом, понятно, должна быть согласованной с системой
аксиом для интеграла Лебега, рассмотренной в § 45.
2 См. Messenger of Mathematics, 1909.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
199
только один ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю; в этом случае
выбор в классе {T}f такого ряда наиболее естествен.
Наконец, в силу результата § 74 можно в классе {Т}1 искать такой ряд,
который был бы сопряженным ряду Фурье — Лебега. Согласно § 74 этот
выбор более общ, чем тот, который дает интеграл Данжуа.
Интегрирование как операция определения
коэффициентов тригонометрического ряда по его сумме
88. Мы видели, что задача Фурье распадается на две задачи: 1) задачу
выбора из класса {T}f единственного ряда, наиболее тесно связанного
с функцией / (х), и 2) задачу определения коэффициентов этого
единственного ряда, исходя непосредственно из значений функции /(#). В
предыдущем мы указали наиболее вероятные решения первой задачи. Теперь мы
хотим показать, что вторая задача приводит к общему формальному
определению интеграла. ^
Допустим, что для функции / (я), вообще говоря, не интегрируемой ни
в каком данном ранее смысле, мы выделили в классе {T}f единственный
тригонометрический ряд 7\ наиболее тесно с нею связанный. Допустим
для простоты, что этот ряд Т есть сходящийся почти всюду к / (х), т. е.
оо
/(гг) = у.+ 2 ancos ля + bnsinnz.
n=.l
Назовем этот ряд Т рядом Фурье от функции f (x).
Согласно сказанному ряд Фурье играет роль особого ряда в классе
{Г}/, являясь наиболее характерным для данной функции / (я). Поэтому
нужно рассматривать его коэффициенты а0, ап и Ьп как полученные
непосредственно из самой функции / (х) некоторым процессом, который для
первого коэффициента а0 можно назвать процессом интегрирования и
в соответствии с этим писать
2п
где \ есть по определению символ неизвестной операции интегрирования.
Здесь мы знаем, каков должен быть результат этой операции: число тт0
нам известно; все сводится, следовательно, к действительному построению
этой операции. Таким образом мы приходим к понятию определенного
интеграла.
89. Данное определение интеграла продолжает представлять одно
неудобство: мы знаем числовую величину определенного интеграла от
функции / (х) для целой области [0, 2«], но нам неизвестна величина определен-
ь
ного интеграла [ f{x)da для какого-нибудь отрезка [а, 6], лежащего на

200
H. H. ЛУЗИН
[0, .2гс]; мы не имеем пока и неопределенного интеграла.
Чтобы устранить это неудобство, рассмотрим a priori в соответствии
с рядом Фурье Т следующий ряд F:
ос
С + %?х + Е — >neos пх + а" sin п.г,
n=i
полученный формально из ряда Фурье Т почленным интегрированием;
С — здесь произвольная постоянная.
Ряд Фурье Т по условию сходится почти всюду; поэтому lim ап = 0 и
lim bn = 0. Отсюда в силу теоремы Фату1 ряд F сходится почти всюду
на [0, 2ir], и его сумма F (х) есть функция с интегрируемым квадратом:
F (х) = С + £ х + 2 — 7C0S ^ + itsin nx- №
n-i
Хотя функция F (х) получена через посредство тригонометрического
ряда, ничто не препятствует рассматривать ее подобно ряду Фурье Т как
образованную непосредственно от значений данной функции / (х). В случае,
когда / (х) интегрируема в смысле Лебега на [0, 2тс], функция F (х)
совпадает с неопределенным интегралом Лебега. Назовем и в более общем
случае эту функцию F (х) попрежнему неопределенным интегралом и по
определению будем писать
F(x) = \f(x)dx.
ъ
Теперь легко дать определение символу J/ (a) da. Пусть Е естьмноже-
а
ство точек области [0, 2тс], в которых ряд F сходится; mesi? = 27г. Пусть
а и b — две точки множества Е. Назовем по определению разность F(b) —
—F (а) определенным интегралом от данной функции / (х) между а и b и
напишем
ъ
\f(a)da = F(b)-F(a);
а
здесь J есть символ операции, которую нужно выполнить над значениями
данной функции / (х) на отрезке [а, 6], чтобы получить число F (b) — F(a).
Возможность почленного интегрирования
тригонометрических рядов не-Фурье—Лебега
90. Чтобы сделать вполне корректным данное определение интеграла,
мы должны были бы показать, во-первых, что число F (b) — F (а) зависит
только от значений функции / (х) на отрезке [а, 6] и совсем не зависит от
1 Acta Mathematica, 30, 379, 1906.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
201
значений этой функции вне отрезка [а, Ь] и, во-вторых, что данное
определение интеграла никогда ни приведет к противоречию с определением
интеграла Лебега, ставшим в настоящее время классическим.
Относительно первого пункта мы не имеем' точных доказательств; остановимся на
втором вопросе.
Все сводится к доказательству того, что если / (х) суммируема внутри
отрезка [а, 6] и если а', Ь' есть пара точек, внутренних к [а, й], тогда число
Ь'
F (Ь') — F (а') есть непременно интеграл Лебега \ f(a)da.
а'
Легко видеть, что данное определение интеграла совпадает с лебеговым
в том случае, когда функция / (х) суммируема на всей области [0, 2гс].
Действительно, мы знаем, что имеем право интегрировать почленно всякий
тригонометрический ряд Фурье — Лебега Т между любыми точками а' и
Ъ' области [0, 2т:]. Число же F (bf) — F (а') есть, очевидно,
проинтегрированный почленно ряд Т между точками а' и Ь'. Следовательно, теперь мы
должны поставить вопрос о возможности почленного интегрирования
тригонометрических рядов не-Фурье — Лебега. Эта возможность
оправдывается в широком классе случаев в силу предложения:
Теорема. Если тригонометрический ряд (вообще, не-Фурье —
Лебега)
со
Ц* + 2 йп cos nx + ^n sin nx (T)
сходится во всякой точке отрезка [а, Ь] к функции / (х), непрерывной на
[а, Ь], его можно интегрировать почленно внутри [а, Ь].
Заметим сначала, что, предполагая ряд Т сходящимся на [а, Ь] к
непрерывной функции, мы не делаем никаких предположений относительно
сходимости ряда вне отрезка [а, й]:ряд Г там может не изображать
никакой функции или же изображать несуммируемую функцию. Поэтому ряд
Т не есть, вообще, ряд Фурье — Лебега.
Заметив это, интегрируем формально дважды почленно ряд Т\ получаем
два ряда:
со
F (х) = С + *> + 2 - Jcosn* + 751пш«. (F)
Ф (.,•) = С + Ст. + 1° х* + 2 - 5cosru - n"sin их. (Ф)
n«-i
Ряд Т по предположению сходится на [а, &]; поэтому lim ап = 0 и lim bn=
= 0. Отсюда в силу теорем Фату и Фишера — Рисса
тригонометрический ряд, входящий в F, есть сходящийся почти всюду на [0, 2я] ряд
Фурье — Лебега от функции с интегрируемым квадратом; поэтому F (х)
есть функция с интегрируемым квадратом на [0, 2тг]. Второй же ряд Фг
очевидно, равномерно сходится к непрерывной функции Ф (х).

202
Н. Н. ЛУЗИН
Вследствие теоремы Римана непрерывная функция Ф (х) имеет всюду
внутри [а, Ь] вторую обобщенную производную Шварца, равную / (х).
Отсюда разность
х 0
<b(x)-\dp\f(a)da,
е е
где 6 находится внутри [a, й], есть непрерывная функция, имеющая вторую
производную Шварца, равную нулю всюду внутри [а, й]. Поэтому эта
разность внутри [a, й] есть линейная функция и, значит, внутри [а, й] имеем
тождественно
х 3
ф (х) = J dB J / (а) da + А + Вх7
в б
где А и В суть постоянные числа. Отсюда заключаем, что функция Ф (х)
имеет всюду внутри [а, й] производную Ф'(я), определяемую равенством
V(x)=B+\f(a)da. (7)
е
Равенство (7) показывает, что эта производная есть непрерывная функция
с ограниченным изменением всюду внутри [а, й].
С другой стороны, ряд F мы имеем право почленно интегрировать,
так как входящий в него тригонометрический ряд есть ряд Фурье — Лебега.
Поэтому функция Ф (х) есть неопределенный интеграл Лебега от функции
F (х); значит, имеем
Ф'(х)=Р(х) (8)
почти всюду на [0, 2те].
Сравнивая равенства (7) и (8), видим, что входящий в F
тригонометрический ряд изображает внутри [а, й] непрерывную функцию с ограниченным
изменением; и так как этот ряд есть ряд Фурье — Лебега, то отсюда
заключаем, что ряд^ сходится равномерно внутри [а, й] к Ф' (г).
Следовательно, имеем тождественно всюду внутри [a, й]
х
F(x) = B + \f(a)da.
е
Наконец, давая в этой формуле переменному х значения а' иУ,
внутренние к [д, й], и вычитая, приходим к желаемому равенству
F(b')-F(a') = \f(a)da
а'
(ч. т. д.).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 203
Этот результат показывает, что во многих случаях число F(b) — F(a)
совсем не зависит от свойств функции / (х) вне отрезка [а, 6]. Вероятно,
это и всегда имеет место1.
Свойства неопределенного интеграла
91. Рассмотрим свойства неопределенного интеграла F (х),
формальное определение которого мы дали выше (§ 89). Мы уже заметили, что
F(x) есть функция с интегрируемым квадратом. Следует думать, что
в общем случае F (х) есть разрывная функция аргумента х: в самом деЛе,
в § 74 мы видели, что, вообще, почленное интегрирование сходящегося
тригонометрического ряда приводит к разрывной функции. Эта
разрывность неопределенного интеграла не противоречит ничему; напротив, мы
уже заметили в § 44, исходя из других соображений, что на известных
стадиях общности неопределенный интеграл следует искать среди разрывных
функций.
Сказанное, естественно, приводит к вопросу: существует ли связь между
структурными свойствами данной функции / (х) и ее неопределенного
интеграла F (х)? В силу определения функция F (х) есть сумма ряда,
полученного от почленного интегрирования тригонометрического ряда,
сходящегося к / (я). В этом состоит формальная, аналитическая связь функций
/ (х) и F (х) друг с другом. Это аналитическое отношение функций / (х) и
F (х) друг к другу,— сопровождается ли оно каким-либо глубоким
структурным отношением?
Ближайший анализ обнаруживает, что такое структурное отношение
действительно существует, именно, здесь имеем предложение:
Теорема. Если тригонометрический ряд
оо
/ (х) = Ц + 2 ап cos nx + bn sinnx (T)
сходится почти всюду к функции f (x)> тогда сумма F (х) ряда
оо ,
F(x)=C+^x + % --\-osnx + a-?sinnx (F)
71=1
имеет обобщенную производную FM (х), равную почти всюду f {x).
В силу этого предложения2 данная функция / (х) является обобщенной
производной от своего неопределенного интеграла F (х).
1 Просматривая корректуру, я заметил, что эта теорема уже доказана Валле-
Пуссеном; см. его Cours d'analyse infinitesimale, 3-е изд., т. I. [В русском переводе:
Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ, 1933, т. I, стр. 309.—
Ред.]
2 Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения, так как это
вовлекло бы в слишком детальные рассмотрения и взяло бы много места; вопросы,
связанные с этой теоремой, мы имеем в виду сделать предметом другой работы.

204
H. H. ЛУЗИН
92. В начале нашей работы мы определили интегрирование как
операцию, обратную дифференцированию; это определение привело нас к
понятию неопределенного интеграла как примитивной функции и к задаче
отыскания свойства, отличающего неопределенный интеграл от всякой другой
примитивной. В настоящей главе мы определили интегрирование как
операцию отыскания коэффициентов тригонометрического ряда по его сумме;
из предыдущего параграфа мы видим, что это определение приводит
попрежнему к понятию неопределенного интеграла как примитивной
функции (обыкновенной или обобщенной). При этом определении основным
свойством неопределенного интеграла является свойство быть суммой
ряда вида
оо
С + -Jх + 2 - f cos пх + ~sin ш; {р}
71=1
где ап и Ьпстремятся к нулю с —. Не всякая примитивная функция F (х)
обладает этим свойством; отсюда важно найти, к чему приводится это
свойство.
Заметив в области [0, 2*] тождество
£-«-2
sin пх
видим, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы функция
F(x) была суммой ряда F, является осуществление одновременно двух
предельных равенств:
lim n\F (a) cos па da = 0,
I | (и)
lim n\F (a) sin na da = A,
n-*oo 0 J
где k есть постоянное число, равное ъа0. Классические неопределенные-
интегралы F (х) Римана и Лебега удовлетворяют этим предельным
равенствам (м). Отсюда задача отыскания характеристического свойства
неопределенного интеграла приводит к задаче:
Найти структурное свойство всех функций F (г), удовлетворяющих
предельным равенствам (и)1.
Можно несколько упростить условия (и), ограничиваясь
рассмотрением области [0, тг]. В этом случае всегда можно предположить данную
функцию / (х) нечетной, что дает а0 = 0, ап= 0. В силу этого функция
1 Заметим, что свинства функций, аналогичные свойствам (и), встречаются в
математической литературе; так, Адамарназывает fonction a ecart fini всякую
непрерывную функцию f(z), для которой оба интеграла nj7(6) cos лО db ил J /(0) sin n e dft, взятые
между любыми числами а и 6, остаются ограниченными по абсолютной величине,
когда 7i->oo («These», стр. 65).

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
205
F (х) есть четная функция, и, значит, второе условие (и) удовлетворено
само собой. Остается лишь первое условие, которое можно написать в виде
lim n \ F (a) cos па do. = 0.
п-»оо ()
Именно этот выбор неопределенного интеграла из семейства примитивных
{F(x)} и был нами указан в первой части работы, в § 51.
Заметим, наконец, что если данная функция / (х) имеет суммируемую
сопряженную функцию g (х), тогда согласно § 73 сумма ряда F напишется
в виде интеграла Лебега:
F(x) = l $$(* + a)ln|sinj|da. (9)
—it "
В этом случае выбор неопределенного интеграла приводит к отысканию
структурных свойств функций F (х), могущих быть написанными в
форме (9).
93. Теорема, указанная в § 91, сближает результаты главы IV с
выводами этой главы. Пусть имеем тригонометрический ряд т, сходящийся
почти всюду к нулю и имеющий коэффициенты, не равные нулю:
со
Интегрируя почленно ряд х, приходим к функции ф (х):
со
имеющей согласно § 91 обобщенную прозводную $[i\x)y почти всюду
равную нулю. Допустим, что функция ф (х) непрерывна. Так как все теоремы
§ 46 справедливы и для обобщенной производной \ то отсюда следует, что
функция •!> (х) не обладает N-свойством. Это показывает полную аналогию
обычного определения примитивной и определения примитивной при
помощи тригонометрического ряда.
Теория тригонометрических рядов Римана
94. В своей известной работе2 «Ueber die Darstellbarkeit einer Funk-
tion durch eine trigonometrische Reihe» Риман поставил целью решение
1 Для обобщенной производной приходится лишь незначительно изменить
доказательства теорем § 46.
2 Опубликованной в 1854 г. в Abhandlungen.d. К. Ges. d. Wissenschaft zu Got-
tingen,T. 13.См. также R i e m a n n, Gesammelte Werke, 2-е изд., стр. 227. [В русском

206
H. H. ЛУЗИН
следующей задачи: каким необходимым и достаточным условиям должна
удовлетворять функция / (я), чтобы быть суммою сходящегося
тригонометрического ряда? Результат, к которому пришел Риман, пользуясь
терминологией теории функций, можно формулировать так:
Для того чтобы функция f (х) была суммой тригонометрического ряда
сходящегося к ней почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы
существовала функция Ф(я), обладающая свойствами:
1. Функция Ф(х) имеет вторую обобщенную производную Шварца,
равную почти всюду f (x) + С, где С есть постоянное число1.
2. Функция Ф (х) удовлетворяет двум предельным равенствам:
2к
lim п2\Ф (a) cos па da = 0,
п->оо 0
lim n2 j Ф (a) sin па da = 0.
3. Предел
¥ d* Sin (Л + 2") а
lim Ф(* + «)-^ ,. « ф
i-*°° о 2sm-2
существует почти всюду на (0<Сх^2ъ).
Относительно теории Римана могут быть сделаны два замечания.
Во-первых, мы видим, что свои условия Риман дал в аналитической
форме, а не в форме структурных свойств. Без сомнения, структурные
свойства были известны и во время Римана, но то, что аналитические факты
можно с совершенной полнотой выражать в терминах структурных свойств,
это — приобретение новейшего времени, нашедшее себе наиболее яркое
выражение в теореме Бэра о функциях класса 1. Вследствие этого,
оставаясь в кругу идей современной теории функций действительного
переменного, решение задачи, поставленной Риманом, нужно искать не в
аналитической форме, а в форме структурных свойств или самой функции
/ (я), или других функций, так или иначе связанных с ней.
Во-вторых, нельзя не заметить, что самое привлечение функции Ф (х)
к решению вопроса не лежит в существе дела, а более или менее случайно*
Известно, что непрерывную функцию Ф (х) мы получим, интегрируя
дважды почленно тригонометрический ряд, сходящийся к / (я). Это дву
кратное интегрирование было нужно Риману только для того, чтобы до-
издании Полного собрания сочинений Римана (ОГИЗ, ГТТИ, 1948) см. часть 1г
статья XII «О возможности представления функций тригонометрическим рядом* г
стр. 225.— Ред.]
1 Константа С равна а0.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
207
лучить из данного тригонометрического ряда другой, сходящийся абсолютно
и равномерно: во время Римана употребляли преимущественно только такие
ряды. Тот факт, что однократное интегрирование почленно данного
тригонометрического ряда дает в результате ряд, сходящийся почти всюду,—
это не могло быть обнаружено методами времени Римана: теорема Фату,
устанавливающая его сходимость, предполагает знание теории меры и
интеграла Лебега1. Вследствие этого естественно желать изложить
условия Римана, прибегнув лишь к однократному интегрированию.
Теорема, указанная в § 91, дает возможность это сделать. Легко видеть,
в самом деле, что результат Римана можно представить в следующем
виде:
Для того чтобы функция / (х) была суммой тригонометрического ряда,
сходящегося к ней почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы
существовала функция F (х) с интегрируемым квадратом, обладающая
свойствами:
Г. ФункцияF (х) имеет первую обобщенную производную, равную почти,
всюду f (х) + С, где С есть постоянное число,
2'. Функция F (х) удовлетворяет двум предельным равенствам:
lim n \ F(a)cos nadoL=0, lim п \ F (a) sin па do. = 0.
п->со п->оо д
3'. Предел
2п sin(n +.-2")а
lim $-F(3 + «).-2£-■ а— da
n-x» 0 2 sin у
существует почти всюду на (0<jr<2i:).
Рассмотрим условдя Римана с точки зрения структурных свойств.
Первое условие 1 указывает лишь на то, что данная функция / (х)
должна быть измеримой. Действительно, мы знаем (§ 15), что всякая
измеримая функция / (х) имеет непрерывную примитивную, и значит,
всякую измеримую функцию /' (х) можно рассматривать как вторую
обобщенную производную Шварца от некоторой непрерывной
функции Ф (х).
Второе условие 2, рассматриваемое с аналитической точки зрения,,
выражает требование, чтобы коэффициенты тригонометрического ряда,
сходящегося к / (х), стремились к нулю с — . В структурном же отношении
1 Вообще, если какой-нибудь ряд, сходящийся почти всюду, действительно
расходился на всюду плотном множестве точек (хотя бы счетном), методы времени Рима-
на» будучи применены к такому ряду, не могли обнаружить ни его сходимости, ни
его расходимости, так как все зависело от точки, на которую попадали; для таких
рядов необходима теория меры.

208
Н. Н. ЛУЗИН
оно неясно. Несомненно, что оно налагает весьма существенные
ограничения на строение функции / (зг), потому что не всякая измеримая функция
/ (х) допускает функцию Ф (а), удовлетворяющую предельным
равенствам 2. Рассматривая эквивалентное условие 2' и приняв во внимание
значение постоянной С, мы замечаем, что второе условие Римана есть условие
(и) существования интеграла (§ 92).
Третье условие 3 представляется наиболее сложным. По, повидимому,
оно не независимо, а является следствием двух первых. Если бы это
оказалось верным, тогда всякий тригонометрический ряд, имеющий
коэффициенты, стремящиеся к нулю, и суммируемый методом Римана, был бы
сходящимся почти всюду. Есть некоторые основания думать, что это
предложение справедливо [27].
В тесной связи с вопросом о третьем условии Римана стоит так
называемая «задача обращения теоремы Абеля». Пусть функция
/ (2) = v0 + олг + a.2z2+ . . . + avzn + ...
голоморфна внутри круга (R = 1). Согласно теореме Абеля, для того
чтобы написанный ряд Тейлора сходился в индивидуальной точке z = eib
окружности, необходимо, чтобы
1) lim an = 0
п->оо
И
2) существовал предел lim / (pei0).
Эти условия необходимы, но далеко не достаточны для сходимости ряда
Тейлора в данной точке eib окружности. Следовательно, для
индивидуальной точки теорема Абеля необратима, и для того, чтобы осуществление
второго условия Абеля в данной точке eib влекло сходимость ряда в этой
точке, на коэффициенты ряда ап нужно наложить еще дополнительные
условия. Простейшим из них является условие Фату: lim пап = 0. Наибо-
лее широкое условие обратимости в индивидуальной точке теоремы Абеля
получено недавно Литтлвудом в его весьма интересной работе «The
Converse of Abel's Theorem on Power Series»1.
Но будучи необратимой в индивидуальной точке, теорема Абеля,
повидимому, обратима «почти всюду», т.е. осуществление второго условия
Абеля почти всюду на окружности (R = 1), повидимому, влечет
сходимость ряда Тейлора почти всюду на этой окружности. Если это
предложение окажется верным, тогда всякий тригонометрический ряд с
коэффициентами, стремящимися к нулю, раз он суммируем почти всюду
методом Пуассона, будет сходящимся почти всюду [28]. Противоречащих
этому примеров пока не найдено.
J Proc. London Math. Soc, сер. 2, 9, 434, 1911.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
209
ЛИТЕРАТУРА
Предлагаемый список содержит мемуары, появившиеся с 1900 г. по вопросам,
близким к изучаемым в настоящей работе.
Измеримые функции (В) и (L)
В a i г е. Sur les fonctions de variables reelles, 1889, Annali di Matematica, сер. IIIa, 3,
1—123.
Lebesgue. Sur les fonctions representables analytiquement, 1905; Journal de mathe-
matiques, сер. 6, 1, 139—216.
Егоров. Sur les suites de fonctions mesurables, 1911;ComptesRendus, 152,244—245.
Tardini. Sulle funzioni misurabili, 1911; Giornale di Matematiche di Battaglini,
49, 23—32.
Лузин. Sur les proprietes des fonctions mesurables, 1912; Comptes Rendus, 154,
1688—1690.
V i t a 1 i. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, 1905; Bologna.
Lebesgue. Contribution a l'etude des correspondances de M. Zermelo, 1907;
Bulletin de la Societe Mathematique de France, 35, 202—212.
В о г e 1. Lecons sur la theorie des fonctions, 1914; Paris, 2-е издание, стр. 135—256
(критические статьи).
Теории интегрирования
Lebesgue. Integrale, Longueur, Aire, 1902; Annali di Matematica, сер. IIIa, 7, 231—
359.
Vit a 1 i. Sulle funzioni integrali, 1905; Atti della R. Accademia delle Sclenze di
Torino, 40, 753—766.
V i t a 1 i. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali, 1908; там же, 43, 75—92,
С о n г а п. The Riemann integral and measurable sets, 1912; Proceedings of the Royal
Irish Academy, section A, 30, 1—15.
Young. On upper and lower integration, 1905; Proceedings of the London
Mathematical Society, сер. 2, 2, 53—66.
Young. On a new method in the theory of integration, 19И; там же, сер. 2, 9,
15—50.
Young. On the General Theory of Integration, 1905; Philosophical Transactions of
the Royal Society o* London, 204, A, 221—252.
В о r e 1. Sur la definition de Tintegrale definie, 1910; Comptes Rendus, 150, 375—377.
В or el. Sur une condition generale d'integrabilite, 1910; там же, 150, 508—511.
Лузин. К основной теореме интегрального исчисления, 1911; Матем. сборник, 28,
266—294.
D e n j о у. Sur une extension de Tintegrale de M. Lebesgue, 1912; Comptes Rendms,
154, 859—362.
D e n j о y. Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus generale, 1912; там же,
154, 1075-1078.
Лузин. Sur les propriety de Tintegrale de M. Denjoy, 1912; там же, 155, 1475—
1478.
В о г е 1. Le calcul des integrates definies, 1914; Journal de mathematiques, сер. 6, 8,
159—210.
Расширение понятия производной
S с h e e f f e r. Allgemeine Untersuchungen iiber Rectification der Curvcn, 1884; Acta
Mathematica. 5, 52.
Mont el. Sur l'existence des deriv6es, 1912; Comptes Rendus, 155, 1478—1480.

210
Н. Н. ЛУЗИН
В or el. Modeles arithmetiques et analytiques de Tirreversibilite apparente, 1912-
там же, 154, 1148—1150.
W&e Young.A Note on Derivates and Differential Coefficients, 1914; Acta Mathema-
tica, 37, 141—154.
Общая теория тригонометрических рядов
Lebesgue. Sur les series trigonometriques, 1903; Annales de l'ecole Normale Supe-
rieure, сер. 3, 20, 453—485.
Lebesgue. Sur les integrales singulieres, 1911; Annales de la Faculte de Toulouse,
сер. 2, 10, 25—117.
F a t о u. Series trigonometriques et series de Taylor, 1906; Acta Mathematica, 30,
335—400.
F a t о u. Sur le developpement en serie trigonometrique des fonctions non integrables,
1906; Comptes Rendus, 142, 765—767.
Lichtenstein, Ueber das Poisson'sche Integral und uber die partiellen Ablei-
tungen rweiter Ordnung des ldgarithmischen Potentials, 1911; Journal fur die reine
und angewandte Mathematik, 141, 12—42.
F e j e r. Untersucbungen uber Fouriersche Reihe, 1903; Mathematische Annaleii, 58,
1—50.
F e j e r. Ueber die Founersche Reihe, 1907; там же, 64, 273—288.
F e j e r. Ueber die Bestimmung des Sprunges der Funktion aus ihrer Fourierreihe, 1913;
Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 142, 165—188.
Сходимость тригонометрических рядов
Lebesgue. Recherches sur la convergence des series de Fourier, 1905;
Mathematische Annalen, 61, 251—280.
Ch. de la Vallee-Poussin. Un nouveau cas de convergence des series de
Fourier, 1911; Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31, 296—299.
F e j e r. Sur les singularites de la serie de Fourier des fonctions continues, 1911;
Annales de TEcole Normale Superieure, сер. 3, 18, 63—104.
F e j e r. Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen, 1910; Journal fur die
reine und angewandte Mathematik, 138, 22—53.
Feje. r. Beispiele.stetiger Funktionen mit divergenten Fourierreihen, 1909; там же,
137, 1—5.
F e j e г. Ueber konjugierte trigononietrische Rejhen, 1.914; там же, 144, 48—56.
И о b s о п. On the failure of convergence of Fourier's series, 1905; Proceedings of the
London Mathematical Society, сер. 2, 3, 48—62.
Young. On the convergence of a Fourier series and its allied series, 1.911; там же,
сер. 2, т. 10, стр. 254—272.
Young. Konvergenzbedingungen fur die verwandte Reihe einer Fourierschen. Reihe,
1911; Sitzijngsberichte der k4 b, Akademie der Wissenschaften zu Munchen,' 1911,
361—371.
Hardy. On the summahility of Fourier's series, 1913; Proceedings of the London
Mathematical Society, сер. 2, 12, 365—372.
Pal. Sur des transformations, de fonctions qui. font converger leurs. series de Fourier,
1914; Comptes Rendus, 158, 101—103.
Лузин. К абсолютной сходимости тригонометрических рядов, 1912; Матем.
сборник, 28, 461—472.
D e n j о у. Sur l'absolue convergence des series trigonometriques, 1912; Comptes
Rendus, 155, 135—136.
Лузин. Sur l'absolue convergence des series trigonometriques, 1912; там же, 155,
580—582.

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
211
F a t о u. Sur la convergence absolue des series trigonometriques, 1913; Bulletin de la
Societe mathematique de France, 41, 47.
Бернштейн. Sur la covergence absolue des series trigonometriques, 1914;
Comptes Rendus, 158, 1661—1663.
Бернштейн, Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов, 1914;
Сообщения Харьковского математического общества, сер. 2, 14, 139—144.
Лузин. Ueber eine Potenzreihe, 1911; Rendiconti del Circolo Matematico di
Palermo, 32.
Steinhaus. Sur une serie trigonometrique divergente, 1912; Comptes Rendus
de la Societe Scientifique de Varsovie, 1912, 223—227.
Steinhaus. Sur un probleme de MM. Lusin et Sierpinski, 1913; Bulletin de PAca-
demie des Sciences de Cracovie, 1913, 435—450.
Лузин. Sur la convergence des series trigonometriques de Fourier, 1913; Comptes
Rendus, 156, 1655—1657.
Единственность изображения тригонометрическим
рядом
Young. A note on trigonometrical series, 1909; Messenger of Mathematics, 38,
44—48.
Ch. de laVallee-Poussin. Sur Punlcite du developpement
trigonometrique, 1912; Bulletin de PAcademie Royale de Belgique, Classe de Sciences, 1912,
702—718.
F. R i e s z. Sur les series trigonometriques, 1907; Comptes Rendus, 145, 583—586.
M. Riesz. Ueber summierbare trigonometrische Reihen, 1911; Mathematische Anna-.
len, 71, 54—75.
Ряд Тейлора на круге сходимости
Pringsheim. Ueber das Verhalten von Potenzreihen auf dem Convergenzfcreise,
1900; Sitzungsberiohte der k. b. Akademie der Wissenschaften zu Munchen, 30^
37—100.-
Pringsheim. Ueber die Divergenzgewisser Potenzreihen an der Convergenzgrenze,
1901; там же, 31, 505--524.
F a t о u. La serie de Fourier et la serie de Taylor sur son cercle de convergence, 1904;
Comptes Rendus, 139, 850—852.
M. Riesz. Ueber einen Satz des Herrn Fatou, 1911; Journal fur die reine und ange-
wandte Mathematik, 140, 89—99.
F e j e r. La convergence sur son cercle de convergence d'une serie de puissance effectuant
une representation conforme du cercle sur le plan simple, 1913; Comptes Rendus,
156, 46—49.
Коэффициенты рядов
Young. On the nature of the succesions formed by the coefficients of a Fourier
series, 1911; Proceedings of the London Mathematical Society, сер. 2, 10, 344—
352.
Young. On the Fourier Constants of a Function, 1912; Proceedings of the Royal
Society of London, A, 85, 14—24.
Young. Sur la generalisation du theoreme de Parseval, 1912; Comptes Rendus, 155,
30—33.
Young. Sur la sommabilite d'une fonction dont la seTie de Fourier est donnee, 1912;
там же, 155, 472—^475.
Toeplitz. Ueber die Fouriersche Entwickelung positiver Funktionen, 1911;
Rendiconti del. Circolo Matematico di Palermo, 32, 191—192.

212
н. н. лузин
Caratheodory. Ueber den Variabilitatsbereich der Fourierscben Konstanten
von positiven harmonischen Funktionen, 1911; там же, 32, 193—217.
Caratheodory und F e j e r. Ueber den Zusammenbang der Extremen von
harmonischen Funktionen rait ihren Koeffizienten und uber den Picard-Landauschcn
Satz, 1911; там же, 32, 218—239.
Сходимость рядов по ортогональным функциям
Young and Mme Young. On the Theorem of Riesz-Fischer, 1912; The Quarterly
Journal of Pure and Applied Mathematics, 44, 49—88.
J e г о s с h und Weyl. Ueber die Konvergenz von Reihen, die nach periodischen
Funktionen fortschreiten, 1908; Mathematische Annalen, 66, 67—80.
Weyl. Ueber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen
fortschreiten, 1909; там же, 67, 225—245.
H о b s о п. On the convergence of series of orthogonal functions, 1913; Proceedings
of the London Mathematical Society, сер. 2, 12, 297—308.
Plancherel. Sur la convergence des series de fonctions orthogonales, 1913; Comptes
Rendus, 156.
Конечные тригонометрические суммы
Lebesgue. Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfai-
sant a une condition de Lipschitz, 1910; Bulletin de la Societe Mathematique de
France, 38, 184—210.
J а с k s о n. Ueber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze
rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener
Ordnung, 1911; Dissertation, Gottingen, 1911.
Jackson. On approximation by trigonometric sums and polynomials, 1912;
Transactions of the American Mathematical Society, 13, 491—515.
F e j e r. Sur les polynomes harmoniques quelconques, 1913; Comptes Rendus, т. 157,
506—509.
F e j e r. Sur les polynomes trigonometriques, 1913; там же, 157, 571—574.
F. Riesz. Sur les polynomes trigonometriques, 1914; там же, 158, 1657—1661.
Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством
многочленов данной степени, 1912; Харьков, 1912, стр. 23.

ОБ ОТЫСКАНИИ ПРИМИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ*
1. Я хотел бы, с разрешения Академии, изложить результаты моей
русской диссертации—«Интеграл и тригонометрический ряд» (Москва,
1915).
В заметке1, представленной в 1912 г., я высказал следующие теоремы:
1. Никакая непрерывная функция F (х) не имеет -г- = + 00 или -*- =
= — оо на множестве ненулевой меры,
II. Если f (х) измерима на отрезке и конечна всюду, за исключением,
быть может, точек, составляющих множество меры нуль, то
существует непрерывная на всем отрезке функция F (х), имеющая функцию f (x)
своей производной, в обычном смысле, всюду, за исключением, может быть,
множества точек меры нуль.
Доказательства этих теорем появились в печати по-русски (Матем.
сборник, 1911). Первая из них была передоказана Данжуа в его весьма
интересном Memoire sur les nombres derives (Journ. de Math., 1915).
Задачей настоящей заметки является доказательство второй теоремы.
2. Лемма. Если Ф(х)—непрерывная на отрезке [а, Ь) функция, то
существует также непрерывная на [а, Ь] функция ¥ (х), удовлетворяющая
условиям:
1. W (х) =0 почти всюду на [а, 6].
2. ¥(а)=Ф(а),¥($) = Ф(*).
3. \Ф{х) — Ф(а")|<е, как бы мало ни было (наперед заданное) е>0.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы II.
3. Определение примитивной. Если дана измеримая (L) и почти всюду
конечная на отрезке [0,1] функция /(#), то, в силу «С-свойства»
измеримых функций (цитированная заметка, стр. 1688), существует
последовательность совершенных нигде не плотных множеств Рг, Р3> • • • » Рп> ...,
обладающих следующими свойствами:
1. Множества Pi и Pj {1ф[) не пересекаются.
2. mes {Рг + Р2 + ...+Рп+...) = !.
3. Функция f(x) непрерывна на Рп (относительно Рп), п = 1, 2, 3, ...
* Sur la recherche des functions primitives, Comptes Rendus, 162, 975—978, 1916.
1 О свойствах измеримых функций, Comptes Rendus, 154, 4688—1691 f 1912.
[В настоящем издании, т. I, стр. 41.—Ред.]

214
Н. Н. ЛУЗИН
Обозначим через 8(хп) (X = 1, 2, 3, ...) смежные интервалы к Рп\ пусть,
далее, /т столь велико, что, при заданном гг,
00
2 mesoin)<mesPn.
Удалим из [0,1] интервалы 8<п>, 8<">, ..., 8jj*>; оставшиеся точки
составляют отрезки Д(1П),Д£°,..., Д^-i » o6n*eS Длины меньше 2mes Pn.Пусть
£п>0 есть наименьшее из положительных чисел mes Ai , ..., mes Д^ .
Рассмотрим функцию /п(я)> равную f(x) для х, входящих в Рп, и рав-
х
ную нулю в других точках. Обозначим Фп (х) = } /n {x) dx (в смысле Л е-
о
бега); Фп (х) непрерывна на [0,1] и постоянна в каждом интервале 8{п).
Наконец, построим (см. предыдущую лемму) функцию Wn(a:),
непрерывную на [О, 1] и обладающую следующими свойствами:
1. Wn(x) =Фп{х) на К интервалах 8in), 8^л), ..., 8£>.
2. V'n{x) = 0 почти всюду на [0,1].
3. \Урп(х)-Фп(х)\<^ш [0,1].
Положим теперь Fn (х) = Фп {х) — Wn (x); очевидно, F1 (x), F2(x), ...,
Fn(x), . .♦, обладают свойствами:
1. Fn(x) непрерывна на [0,1].
2. |Л(*)|<£на [0,1].
3. Fn(x) = 0 на интервалах Ь^\ &<п>э # # # ? g<*>.
4. Fn(x) =f(x) почти всюду на множестве Рп.
5. Fn(x) = 0 почти всюду вне Рп.
Установив это, определим функцию F (х) при помощи следующего
равенства:
F(x) = ^Fn(x). (1)
П-1
F (х) непрерывна на [0,1] вследствие свойств 1 и 2. Мы покажем, что
эта функция F (х) является примитивной для f(x) (почти всюду).
4. Производные Fn(x). Имеем (свойства 4, 5): на Рп, за исключением
точек множества Кп меры нуль; Fn (х) = 0 вне Рп, за исключением точек
множества/^ меры нуль. Обозначим через б1 множество — сумму V (Кп+ £п);
п
mesS = 0. В каждой точке х, не принадлежащей £, функции F1(x)1...
.. • > Fn (x), . .. имеют производные, которые все равны нулю, кроме одной,
равной / (х).

ОБ ОТЫСКАНИИ ПРИМИТИВНЫХ ФУНКЦИИ 215
5. Основное множество R. Пусть £^п)— интервал с той же серединой,
что и Ai , и длиной 3mesAi . Пусть Еп— множество точек,
принадлежащих хотя бы одному из интервалов £/"jn), £/£n), ..., U" _i . Имеем
i=Xn-l
mes £п< 3 2 mes Д^ < 6 mes ^n* ПУСТЬ т — верхний предел последова-
oo
тельности множеств £1э Е2, ... , 2Sn,. . . Так как ряд 2 niesi?n сходит-
ся, то mesr = 0. Удалим из отрезка [0,1] все точки множестве и Г и
яьзовемосновным множеством оставшееся множество Д.Очевидно,тезЯ = 1.
6. Существование примитивной. Все сводится к доказательству того,
что F(x) имеет своей производной f(x) в каждой точке £ множества Л.
Но
f(l+h)-F(Q ~ rn(Z + h)-Fn(Z)
h 2л h
Так как £ лежит вне Г, то £ принадлежит лишь конечному числу
множеств Е\. Значит, Можно найти такое число N, что S не
принадлежит множествам 2?#, Ен+\', .. ., т. е. принадлежит одному из
интервалов 8in), 82П)» •••> о^ Для всякого n^>N) поэтому (в силу
свойства 3) Fn(5) = 0 при и>N, и
n=N+l n—JV+1
Предположим, что |^л(5 + А) ]>0 для какого-то n>7V. Б этом
случае (свойство 3) точка £ + h не принадлежит интервалам 8<п>, 8<Л), , •.,
8<£), т. е. принадлежит одному из отрезков Д!Л)> A£n\ •••> ^£?-ь Но £ не
принадлежит ЕП1 т. е. не содержится ни в одном из U\ , J7J , • • • > C^aJJ—i-
Поэтому |A|>gn- С другой стороны, имеем |Fn(?) | >§п/2Л. Отсюда
^Л(5+Л)
S
п—JV+1
Таким образом получаем
k 2j A
m-1
J.
21
^«N
для фиксированного TV и произвольного Л. В пределе при А,
стремящемся к нулю, получаем, что все четыре производные числа F (х) в точке \
N
отличаются меньше, чем на -^, от суммы 2^m(^)> P точности равной
/(£) для достаточно большого N. Следовательно, все эти производные
числа равны /(5), т. е. F' (?) = /(£).

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
О ПЛОТНОСТИ МНОЖЕСТВ*
Цель этой заметки состоит в элементарном (т. е. не использующем
понятие интеграла) доказательстве следующей теоремы Лебега:
Все точки произвольного измеримого множества, кроме, может быть,
точеку составляющих подмножество меры нуль, являются точками
плотности данного множества.
Обозначим через Еа, ъ порцию множества Е, содержащуюся в
интервале /=(а, Ь) (т. е. пересечение E-J). Точку х множества Е называют
точкой плотности этого множества, если
lim mes (£x-c, x+t) __
с-м) 2с
[mes(.P) обозначает, как обычно, лебегову меру множества Р].
Лемма. Пусть Е — измеримое множество, Jl9 /a, ..., Jn
—конечная совокупность интервалов, Н — сумма этих интервалов Jx + /2 +
+ ... +Jn> р — положительное число <1; тогда из неравенств
mes (.£/*)< pmes (/*) (к = 1, 2, ..., п) (1)
следует неравенство
mes (EH) < -Ц^-тев (Я). (2)
Доказательство. Множество H = J1-{rJ2 + ...+Jn состоит,
очевидно, из конечного числа попарно непересекающихся интервалов Db
D2, ..., Dp {p^n). Ясно, что достаточно доказать неравенства:
mes (EDk) < -+-*- mes (Dk) (к = 1, 2, ..., р),
суммирование которых и даст неравенство (2). Докажем же, например,
неравенство
mes [EDX) < -Ц-£ mes (Dx). (3)
Пусть Jlf /2, . . ., Jm суть те из интервалов Jl9 ..., /п, которые
составляют D±. Обозначим через аг левый конец интервала Лг; это бу-
* Demonstration elementaire du theoreme fondamental sur la densite des
ensembles, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 42, 167—172, 1917. Совместно
с В. Сер пинским.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ПЛОТНОСТИ МНОЖЕСТВ 217
дет в то же время и левый конец, по крайней мере, одного из
интервалов Л, . .., J га] если таких интервалов больше, чем один, то пусть Jx —
самый длинный из них и пусть bx — его правый конец. Если bx не
есть правый конец Dx, то Ьх принадлежит, по крайней мере, одному из
интервалов /2, /з> . ..,«/"п, если таких интервалов больше одного, то
возьмем из них тот, — пусть это будет /2 — (а2, Ь2), чей правый конец Ъг
наиболее удален от Ьг.
Имеем, очевидно, al<Ca2<^b1<^b2. Если Ь2 не является правым
концом Dl9 то Ь2 принадлежит, по крайней мере, одному из интервалов
/з> • • •» Jn', пусть /3 = (аз, ^з) — тот из них, для которого его правый
конец bs наиболее удален от 62. Очевидно, что а3<^62<63.
Я утверждаю, что b1<^az. Действительно, если бы было a3^blf то
из неравенства Ьх<^Ь2<^Ьг следовало бы, что интервал /3=(л3, ^з) с°-
держит Ьх и обладает тем свойством, что его правый конец £3 более
удален от bl7 чем правый конец интервала /2, что противоречит выбору
последнего. Если теперь 63 не является правым концом Dlf то мы
рассуждаем относительно bz точно так же, как мы рассуждали относительно
£2, и так далее, до тех пор, пока для какого-то индекса s(s^m)
точка bs не совпадет с правым концом D±.
Мы получим
ai < Д2 ^ *i < дз < h < Ч < *з < • • • < <>>$ < ^*-1 < 6s,
и интервал Ог можно представить в виде суммы интервалов, не имеющих
попарно общих внутренних точек:
Dx = (а1э bs) = (alf a2) + (а2, 6Х) + (62, а3) + ... + (6,-Ь *•) (4)
(здесь интервалы (а2, bj), (а3, ^г)> • • • > (а«> &«-х) могут сводиться к точкам).
Обозначая через Еа,ъ порцию множества Е, содержащуюся в
интервале (а, 6), имеем в силу (4)
EJX= Eaita2+ ^a*> ь2>
EJk = Еакщ Ък-г + ЕЬк^гак+1 + Еак+Х§ Ьк (к = 2, 3, . . . , $ — 1),
EJ8 = EaSf bs_t + Eb8_h bSt
что дает нам
mes (EJJ + mes (EJ2) + . .. + mes (£/.) =
= mes (Eai. a2) + 2 mes (E^ b{) + mes (£bl, a3) + 2 mes (Д^. b2) + • '• •
... + 2 mes {Еа^ь^ ) + mes (Eb$__it b$) =
= 2 [mes (E^, b%) + mes (E4, b2) + • • • + mes (Ea$. ь^)] +
+ [mes (Eai9 02) + mes {Ebl.az) + mes (ЕЪъ в4) + ■ • • + mes (Я^, be)]. (5)
Кроме того, очевидно, имеем
mes (Eav<L2) + mes (E^ bj) + ... + mes (Eb$^u J = mes (£a, b) = mes+EDJ,

218
Н. Н. ЛУЗИН
mes {Еаи а2) + mes (ЕЪи аз) + • • • + mes (Еъ$-Ь О <
< (л8 — аг) + (а8 —&i) + К — *i) + . . • + (*. —ft.-i).
С другой стороны, вследствие (5) при р ^ 1 имеем
mes (Е1г) + mes (EJ2) + ... + mes (£/e) < p [mes (/J + ... + mes (/,)] =
= P [(*£ —«i) + 2 (6X - <ц) + (a8- 6X) + .. . + (ft.- ft.-i)]<
< p (*. - *i) + [(6i — «2) + (ft* — *з) + • • • + (ft,_i - a8)].
Поэтому, исходя из (5), получаем
2 mes (EZg < p (Ьг — ax) + [(ftx — at) + (ft* — a8) + ... + (ft5__i - a$)] +
+ [(«2 - <*i) + («8 - *i) + («« — &а) + • • • + (ft. — fts-i)] =
= P (ft. - *i) + (ft. — fli) = (P + 1) mes (A),
что и дает неравенство (3). Лемма доказана.
Следствие. Пусть Е — измеримое множество, Jx, /2» ^з> •..
— бесконечная последовательность интервалов, Я = J1 + J2 + /3+ • ♦
— множество, являющееся суммой всех этих интервалов,
р—положительное число, р<!1; тогда из неравенств
mes (EJ*)<рmes (/*) (4 = 1,2,...) (6)
следует неравенство
mes (£#) < IJi- mes (Я). (7)
Доказательство. Положим Нп = /i + /2 + • • • + Jm\ EHn
является, очевидно, подмножеством ЕНп+ъ а JSLfiT есть объединение всех
ЕНп (л = 1, 2, 3, . ..), поэтому из хорошо известной теоремы теории
меры следует:
mes (EH) = lim mes {EHn). (8)
П—>оо
Но, в силу (6) и нашей леммы, мы имеем
mes (ЕНп) < 1^- mes (Яя) (л = 1, 2, . ..),
а так как Нп есть подмножество Н, то
mes [ЕНп) <—^mes (Я) (п = 1, 2, . ..),
что и дает, вследствие (8), неравенство (7),
Итак, следствие доказано.
Пусть теперь Е — произвольное измеримое множество. Из определения
точек плотности легко следует, что если точка х не есть точка .плотности

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ПЛОТНОСТИ МНОЖЕСТВ 219
множества Е, то существуют натуральное число п и стремящаяся к нулю
последовательность е* (А = 1, 2, ...) такие, что
sf -<4--Г (А = 1. 2, ...)• (9)
Обозначим через Р множество всех точек из Е, не являющихся
точками плотности множества Е9 и через Рп — множество всех тех точек х
из Е, для которых существует стремящаяся к нулю последовательность е*
такая, что выполняется неравенство (9). Имеем, очевидно,
Р = РХ + Р2 + ... (10)
Пусть теперь л— какой-либо определенный номер, я —точка из
множества Рп и 8 = (а, р) — некоторый интервал, такой, что
*<*<Р. (И)
Я утверждаю, что существуют два рациональных числа а и b такие,
что
а<а<*<*<р и ™*<5«.ь) <t_ ^ (12)
Действительно, так как последовательность {гк} стремится к нулю и
состоит из положительных чисел, то найдется такое е*, что
е*0~а и е*<р— я. (13)
Пусть теперь а и Ь — рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам:
*-«*<«<*-!™1в*. * + e=ie*<6<* + e*- . <14)
Таким образом интервал (а, Ь) содержится в интервале (х — е*, х + ч)>
что влечет за собой, в силу (9),
mes (Ea. ь) < mes (E^k9 *+.*) < 2 в* (l - -j") • (15)
Но из (14) следует
поэтому на основании (15)

220
Н. Н. ЛУЗИН
Наконец, из (14) и (13) получаем
s>a>:r— e*>a и я<&0 + е*<Р,
поэтому
a<a<*<i<p.
Следовательно, рациональные числа а и Ь удовлетворяют
неравенствам (12).
Докажем теперь, что mes (Рп) = 0 (п = 1, 2, 3, . ..).
Пусть л фиксировано; положим mese [Рп) = Рп-
Из определения внешней меры множества следует, что для любого
положительного е найдется такая последовательность интервалов
Ьи §2, 83, • • •, (16)
что каждая точка Рп принадлежит, по крайней мере, одному из этих
интервалов и что
mes (8Х) + mes (82) + ... < цп + е. (17)
Пусть х — точка множества Рп; х принадлежит, следовательно, хотя бы
одному из интервалов (16); пусть 8Р=(а, (3)—первый из таких
интервалов (содержащих х). Имеем а<#<(3.
Но мы доказали, что если х принадлежит множеству Рп и
удовлетворяет неравенству (11), то найдется такой интервал / = (а> Ь) с
рациональными концами, что выполняется неравенство (12); отсюда имеем, в
силу (12),
mes (EJ) <Г 1 — -2V)mes О-
Множество всех интервалов / = (а, 6), соответствующих точкам х
множества Рп, счетно (ибо а и Ь — рациональные числа); пусть
совокупность этих интервалов есть
А, /а, /з, • • • (18)
Имеем, таким образом,
mes (EJk) < (l - ±^j mes (/*) (к = 1, 2, 3, ...). (19)
Каждая точка х множества Рп является внутренней точкой, по
крайней мере, одного интервала /*, удовлетворяющего неравенству (19).
Обозначим сумму всех интервалов (18) через Я; вследствие (19) и в
силу следствия из нашей леммы имеем
mes {ЕЙ) <(l - -i- ) mes (Я). (20)

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ О ПЛОТНОСТИ МНОЖЕСТВ 221
Но каждый из интервалов /* содержится, по крайней мере, в одном
из интервалов (16); поэтому имеем в силу (17)
mes(ff)<|*n + e. (21)
С другой стороны, так как Рп является, очевидно, подмножеством ЕН,
то
jin = mese (Рп) <mese {EH) = mes {EH).
Отсюда и из (20) и (21) получаем
Нп<(1--Ег)(Рп + е). (22)
Так как е — произвольное положительное число, то из неравенства
(22) следует
что возможно (учитывая, что рл^0) лишь при уп = 0. Таким образом
имеем
mese {Рп) = ^п = 0,
что и показывает, что Рп имеет меру нуль.
Итак, мы имеем mes {Рп) = 0 для п = 1, 2, 3, ..., и формула (10)
дает mes {P) = 0. Теорема доказана.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА*
ВВЕДЕНИЕ
1. Понятие интеграла обязано своим происхождением проблеме
отыскания примитивных функций: найти такую функцию F (х), производная
которой была бы заданной функцией / (х).
Коши принадлежит разрешение этой проблемы в случае, когда
заданная функция/ (х) непрерывна. В самом деле, именно он построил в первый
раз регулярный процесс исчисления, названный им определенным
интегралом, применимый ъ( каждой непрерывной функции / (х) и приводящий,
в конце концов, к искомой примитивной функции F (х).
Известно, что после Коши понятие определенного интеграла,
рассматриваемого как регулярный процесс, приводящий к искомой примитивной
функции, довольно часто являлось предметом изысканий, что приводило ко
все более и более общему понятию определенного интеграла. Среди
математиков, которые пролили свет на понятие интеграла, в первую очередь,
надо назвать Римана, Дюбуа-Реймона, Гарнака и особенно Лебега.
Но как бы ни было обще понятие интеграла, данное Лебегом, ни этот
интеграл в собственном смысле, ни интеграл Гарнака — Лебега не дают
окончательного разрешения проблемы отыскания примитивных функций.
В самом деле, существуют непрерывные функции F (х), допускающие
для всех значений х [0<jz<<1] конечную производную F (х), не
интегрируемую в [0, 1] в смысле Гарнака — Лебега.
Данжуа принадлежит недавно опубликованное1 разрешение проблемы,
обратной дифференцированию, почти во всей ее общности. В самом деле,
Данжуа построил регулярный процесс, применимый ко всякой
производной функции F'(x), существующей и конечной для всех значений х
[0<jr<;i], и приводящий, в конце концов, к искомой примитивной
функции F (х).
Таким образом эволюция понятия интеграла сделала после Лебега
новый шаг вперед в изысканиях Данжуа. Мы естественно приходим к
вопросу — закончена ли раз навсегда эволюция понятия интеграла работой
Данжуа? или можно продвинуть дальше обобщение интеграла, данное
Данжуа?
* Sur la notion de Tintegrale, Annali di Matematica pura ed applicata, serie 3, 26,
fasc. 2—3, 77-127, 1917.
1 Comptes Rendus, 1 и 22 апреля 1912 г.

0 ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
223
С другой стороны, вопрос ставится так: не может ли сама проблема
примитивных функций быть поставлена более общим образом и нельзя ли
ее разрешить окончательно? Настоящая работа является попыткой
разъяснить эти вопросы.
2. Производные функции. Рассмотрим ближе проблему отыскания
примитивных функций. Сперва надо установить различие между
функциями / (х), рассматриваемыми как производные функции. Возможны
только два случая:
1. В первом случае функция / (х), определенная для всех значений х
отрезка [0, 1], является производной некоторой непрерывной функции
F (х) для всех значений х этого отрезка. В этом случае мы скажем, что
/ (х) является точной производной функции F (х) на отрезке [0, 1] и что
F (х) -является точной примитивной функцией для / (х) на [0, 1].
2. Во втором случае функция / (я), определенная для всех значений х
отрезка [0, 1], не является производной непрерывной функции F {х)
в некоторых точках этого отрезка, что может произойти в двух случаях:
или / (х) не совпадает с производной функции F (х) в этих точках, или же
Fix) не допускает производной в этих точках. Если функция F (х)
такова, что функция F'(x) существует во всех точках отрезка [0, 1], кроме,
быть может, точек множества меры нуль, и равна данной функции / (х)
всюду, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то в этом случае
мы скажем, что / (х) является производной функции F (х) и что F (х) .
является примитивной функцией для / (х).
• Таким образом, когда функция / (х) предполагается производной функ-'
ции F (х) для всех значений х [0<я<1], мы будем употреблять
выражения точная производная и точная примитивная функция, оставляя за
выражениями производная и примитивная функция более общий смысл,
т. е. предполагая возможным исключение множества меры нуль.
Установив эти определения, мы видим, что каждая точная производная
функция / (х) на отрезке [0, 1] необходимо является функцией первого
класса по классификации Бэра, и что каждая производная функция / (х),
очевидно, измерима на [0,1]- Следовательно, при отыскании самого общего
решения проблемы примитивных функций достаточно предполагать
данную функцию / (х) измеримой. Но можно пойти дальше- .
Известно, что в теории интегрирования Лебега всегда пренебрегают
ьшожествами меры нуль. Две измеримые и ограниченные функции f^x)
и /2(#), значения которых совпадают во всех точках отрезка O^a^l,
кроме точек множества меры нуль, рассматриваются как тождественные,
так как для каждого интервала (а, £), расположенного внутри отрезка
[О, 1], мы имеем
ь ь
\ /х (х) dx=\f2 (x) dx,
а а
где интегралы взяты в смысле Лебега.

224
Н. Н. ЛУЗИН
Так как теория Лебега полностью разрешает проблему отыскания
примитивных функций для всех ограниченных функций / (я), мы
естественно вынуждены распространить и на общий случай принцип: всегда
пренебрегать множествами меры нуль. Легко видеть, что этот принцип,
по крайней мере теоретически, сильно упрощает проблему отыскания
примитивных функций. В самом деле, согласно теореме Витали1, какова бы
ни была измеримая функция f(x), определенная на отрезке [0, 1], всегда
существует такая функция }г{х), определенная для всех значений х этого
отрезка [0, 1] и второго класса по классификации Бэра, что равенство
f (х) = fx(x) имеет место для всех точек отрезка [0,1], кроме точек
множества меры нуль. Таким образом мы приходим к результату: мы получим
самое общее решение проблемы отыскания примитивных функций, взяв
функцию f (х) функцией первого или второго класса на отрезке [О, 1].
Вернемся теперь к интегралу Данжуа. Известно, что регулярный
процесс Данжуа применим к каждой точной производной функции, но он
далеко не всегда применим к каждой функции / (х) даже первого класса.
Можно даже построить такую функцию f(x) второго класса на [0, 1],
что процесс Данжуа не будет применим к этой функции ни в каком
интервале (а, Ь), внутреннем к отрезку [0, 1]. Следовательно, интеграл Данжуа
далек от того, чтобы разрешить проблему отыскания примитивных
функций для неограниченных функций / (я) с той же полнотой, с какой
интеграл Лебега разрешает эту проблему для ограниченных функций / (я).
Но можно увидеть и более, а именно, что интеграл Данжуа не дает и
полного решения проблемы, обратной дифференцированию, даже в случае,
когда данная функция / (х) является точной производной. А именно, это
имеет место, когда точная производная функция / (х) в некоторых точках
отрезка [0, 1] имеет бесконечные значения определенного знака.
Следует отметить два случая.
1. Легко построить пример такой точной производной функции / (х),
имеющей в некоторых точках бесконечные значения определенного знака,
что процесс Данжуа, примененный к функции / (х)> дает, в конце концов,
не точную примитивную функцию F (х) (которая, однако, существует),
а только примитивную функцию Fx{x), не имеющую производной в
некоторых точках. Таким образом нельзя придти к точной примитивной
функции процессом интегрирования Данжуа, который в этом случае дает
только неточную примитивную функцию.
2. Легко построить точную производную функцию / (я), для которой
существует бесчисленное множество точных примитивных функций,
отличающихся не на константу. В этом случае процесс Данжуа не дает всех
точных примитивных функций F (х) для данной точной производной
функции / (х), а дает только возможность получить одну из них.
Какова же точная примитивная функция, которую дает в этом случае
процесс Данжуа, каковы ее характеристические свойства? Поставив этот
1 Rendiconti Institute Lombardo (2), 38, 603, 1905.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
225
вопрос, мы ставим, очевидно, проблему соотношения между понятием
интеграла и понятием точной [примитивной функции. В дальнейшем мы вер-
немея к этой проблеме, дав ее решение для интеграла Лебега и
интеграла Данжуа. Теперь мы дадим сначала решение общей проблемы
отыскания примитивных функций, решение, которое нам кажется полным.
Глава I
ОТЫСКАНИЕ ПРИМИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
После всего предшествующего мы видим, что проблема отыскания
примитивных функций может быть сформулирована следующим образом:
(а) Дана измеримая функция / (х), определенная для всех значений х
отрезка O^x^l; найти для f(x) примитивную функцию F(x).
Эта проблема, очевидно, эквивалентна двум следующим проблемам,
которые ставятся одновременно.
(Р) Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы
измеримая функция f(x), 0^ж^1, была производной функцией.
(?) Если дано, что измеримая функция f(x), 0<х<;1, является
производной функцией, найти соответствующую примитивную функцию F (х).
Рассмотрим сначала проблему (р).
Необходимые условия
Рассмотрим измеримую функцию f(x), определенную для всех
значений х отрезка 0 «< х ^ 1. Все точки этого отрезка могут быть разделены
на два класса: к первому классу принадлежат все точки х отрезка [0, 1),
где функция / (х) имеет конечное значение; ко второму классу
принадлежат все точки [0, 1], где функция f(x) имеет бесконечные значения,
положительные и отрицательные.
Докажем, что если функция / (х) является производной функцией
(точной, или нет), точки второго класса необходимо образуют множество
меры нуль. Мы получим искомое необходимое условие.
Итак, докажем следующую теорему:
Теорема. Не существует никакой непрерывной функции F(х), до-
dF dF -
пускающей -т- = + оо или -г- = — оо для множества точек
положительной меры.
В самом деле, допустим, что эта теорема не имеет места. Пусть F (х) —
dF
непрерывная на [0, 1] функция, и предположим, что все точки, где ^~
существует и равна + оо или — оо, образуют множество Е. Множество Е —
всегда измеримое множество. Пусть mes.fi>0. Обозначим через Et

226'
И. И. ЛУЗИН
множество точек, где -у- = + оо, а через Е2 — множество точек, где — =
ах ах
= — оо. Мы имеем Е = Е1 +[Е2 и
mes Е = mes 2?х + mes 2?2.
Если mes£'1 = 0, то mesi?2 = mesi?>0. Следовательно, для
непрерывной функции Fx (x), определенной равенством
Fl(z) = -F(x), 0<*<1,
мы имеем -т1 = + оо на множестве точек положительной меры. Таким
образом всегда можно допустить, что множество Е1 для F (х) имеет
положительную меру.
Предположим, для определенности,.что 0<-Р(а:)^1 всюду на отрезке
0<о;<;1. Это предположение всегда возможно, так как вместо F (х) мы.
можем рассмотреть функцию' y + ai? (re)', где положительное число а
можно выбрать сколь угодно малым.
* Имея mes ./??!>• О, всегда можно найти совершенное нигде неплотное
множество Р, обладающее следующими свойствами:
11 Р заключено в J?x.
2. Каков бы ни был интервал 8 внутри отрезка [0, 1], или 8 не
содержит внутри (в узком смысле) ни одной точки множества Р, или же 8
содержит часть множества Р положительной меры1.
Выберем раз навсегда такое множество Р. Значения функции F (х) на
Р определяют непрерывную функцию, определенную на совершенном
множестве Р. Дополним эту функцию линейно на интервалах, смежных к
множеству Р. Мы получим функцию Ф(я), обладающую следующими
свойствами:
1. 0<Ф(я)<1.для 0<*<1.
2. Ф(х) непрерывна на отрезке [0, 1).
3. Ф {х) является линейной функцией на каждом интервале, смежном
множеству Р.
/ <*Ф п
4. — =-Ь оо для всех точек Ру кроме концов смежных интервалов
множества Р.
Возьмем сколь угодно большое положительное число L. Пусть S —
точка множества Р, не принадлежащая концу смежного интервала. Мы
имеем
do , t
Тх = + оо для х = S.
Стало быть, существует такое число е, что
Ф (I + К) - Ф ($) т ....
jr — >£ для |А|<е.
1 Каждое совершенное множество положительной меры содержит часть,
обладающую свойством 2.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
227
В интервале (?, ? + е) существует, по крайней мере, один интервал,
смежный] множеству Р. Пусть S' — его левый конец; аналогично, пусть
£" —правый конец некоторого смежного интервала, расположенного в
(£ — е, ?). Проведем прямую через две точки
[Х = \\ у==ф(р)]и [х = ^> у = ф(?)]у
расположенные на кривой г/=Ф(г); мы получим хорду, угловой
коэффициент которой ^ L. Точка S лежит внутри (в узком смысле) проекции
этой хорды на ось х.
Наконец, пусть S — точка множества Р, являющаяся кондом
произвольного смежного интервала; пусть, для определенности, 6 —правый
конец некоторого смежного интервала. Тогда
11шф«^)-ф«), + 00 (А>0)>
Отсюда следует, что можно найти такую точку £', принадлежащую
левому концу некоторого интервала, смежного множеству Р} что прямая,
проведенная через две точки
[x = it »=Ф(*)] и [х = Г, у = Ф(Г)],
расположенные на кривой у=Ф(х), также имеет угловой коэффициент
^>L. В этом случае точка S является проекцией левого конца хорды на
ОСЬ X.
Рассмотрим теперь множество проекций всех построенных таким
образом хорд. Повторяя рассуждение Лебега1, употребленное им в
доказательстве теоремы Бореля, нетрудно убедиться, что все множество Р может
быть покрыто при помощи конечного числа таких проекций, не
имеющих общих точек (включая концы). Пусть
#1» #2» ^з» • • • > xi (^ зависит от L)
— эти проекции, перенумерованные слева направо на отрезке [0, 1]. Точки
отрезка [0,1], расположенные между х% и яч+ь образуют смежный
интервал множества Р> который мы обозначим через yi (i = 1, 2, 3, ..., I— 1).
Так как функция Ф (х) линейна на yif точки хорд и точки кривой
у = Ф (х) (х принадлежит у и г = 1, 2, 3, ..., I — 1)
образуют, очевидно, непрерывную на [0, 1] полигональную линию, имею*
щую 2/ — 1 звеньев. Пусть
у=П(х), 0<«1
— эта полигональная линия. Пусть Xt. (i = 1, 2, 3, ... , I) — угловой
коэффициент стороны, соответствующей xif и ^ (i = 1, 2, 3, .. ., /) — угловой
1 См. «Leqons sur l'integration», Paris, 1904, стр. 105. Сама теорема Бореля—
Лебега и более общая теорема Юнга (Ргос. L. M. S., 35, 387) не могут быть здесь
применены.

228
Н. Н. ЛУЗИН
коэффициент стороны, соответствующей у{. Очевидно, что ^ зависит
только от смежного интервала у{> а не от числа L (как )ч).
Возьмем на отрезке [0, 1] произвольный отрезок о при единственном
условии, что 8 содержит внутри хоть одну точку множества Р. Тогда,
в силу свойства 2 множества Р, точки множества Р. расположенные в
о, образуют совершенное множество положительной меры. Пусть Р2
это множество
mes Рг = Pi > 0.
Мы имеем
0<П(г)<1, 0<ж<1,
значит,
0<*Л<1 (i = l, 2, 3, ..., I)
и
Следовательно, достаточно увеличив L, можно сделать интервал х{ сколь
угодно малым.
Теперь мы положим L = —. Мы имеем х{ ^ -Q (i = 1, 2, 3, ..., /),
следовательно, внутрь 8 попадут, по меньшей мере, четыре интервала
х4. Пусть
%s> Я$+Ь ^s+2, .••> Xt (*>S + 2)
— эти интервалы, расположенные внутри о. Ввиду неравенства
0<П(*)<1, 0<*<1,
мы имеем (проектируя на ось х),
2 (*М + У#4)=В, |5I<1.
i—s
Следовательно
i=t—l i=f-l
S%(-^)= 2 XiU-B.
Ыз i-з
Так как x^^l, мы имеем неравенство
i=t-i i-t + i
2 У«(~1ч)> 2 «iXi + 4.
Угловые коэффициенты X* (i = l, 2, 3, . .., /) все >L, откуда мы
получаем
2 Ус(-!Ч)>£- 2 *i-4>Pl£-4.

0 ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
229
Значит, в силу равенства L = —.
Pi
2 У|(~*ч)>2.
i=»s
Обозначив через Л/ наибольшее из чисел
— V*> — Рв+1, — ^s+2> • • . > — *Ч-Ь
мы находим
откуда, в силу предыдущего неравенства,
М>2.
Следовательно» среди чисел р$} р.в+1, . .., pt_t существует хоть одно
такое число ja*, что р*< — 2.
Таким образом мы приходим к следующему результату:
каков бы ни был отрезок 8, содержащий внутри хоть одну точку
множества Р9 внутри 8 всегда существует такой смежный интервал у*,
что часть кривой у = Ф (х), соответствующая этому интервалу, будет
прямая, угловой коэффициент которой меньше чем —2.
Установив это, мы можем теперь легко закончить доказательство
теоремы.
Перенумеруем в произвольном порядке все смежные интервалы
множества Р:
Уг> Уг> ysi • • •, Уп, . . .
и соответствующие числа:
F-i> Нг> V-3* • • • > Рп,
Как мы показали, в 0<;я<;1 существует такой смежный интервал у^,
что р.П1 будет меньше —2.
Так как функция Ф (х) непрерывна на [0,1], всегда можно найти
отрезок 8Х, обладающий следующими свойствами:
1. Концы отрезка 82 являются точками множества Р.
2. Внутри Ьх найдется хоть одна точка множества Р.
3. Обозначим через Лг точку кривой у = Ф (ж), соответствующую
правому концу интервала уПх, и через а — точку той же кривой,
соответствующую произвольной точке интервала 8Х. Угловой коэффициент хорды
(а, Ах) меньше чем —1.
После того как отрезок 8Х определен, согласно предыдущему
результату, внутри этого интервала найдется такой смежный интервал уп^ что

230
н. н. лузин
1
jtnt меньше чем —2. Определим внутри 81 отрезок 82 (о2<2 8i)> обладающий
теми же свойствами относительно интервала уп%, как ог относительно уп.
В отрезке Ь2 определим у^ (н-п.< — 2), а потом 83 внутри 82 (83<А&2)
и т. д. Последовательность отрезков
сч t\ <s £
°1> °2> °8> • • • » °П»
такова, что 8n+i расположен внутри оп и limon = 0. Следовательни, щ-
следовательность о1? о2, 83, . . . , 8Л, ... определяет точку £0. Очевидно,
что Е0 принадлежит множеству /> и не является концом интервала,
смежного множеству Р, так как £0 является пределом точек множества Р
справа и слева (концы отрезка 8П, л = 1, 2, 3, ...).
Из построения точки £0 очевидно, что мы должны иметь
Но мы имеем
Таким образом мы приходим к противоречию, и высказанная теорема
доказана.
Напротив, функции F(z), имеющие -г- = + оо на множестве точек меры
нуль (даже мощности континуум), действительно существуют. В самом
деле, легко построить пример такой функции. Этот пример будет нам
необходим в дальнейшем.
Пусть Р — совершенное нигде неплотноэ на 0 <^ х <! 1 множество и
mes/>>0.
Пусть
^1> е2> ^3> • • • у €п> • • •
— все смежные интервалы множества Р. Опишем на интервале вп (л =
= 1, 2, 3, . . .), как на диаметре, полуокружность в верхней
полуплоскости и определим функцию / (х) следующими условиями:
1. /(я) = 0 для х, принадлежащего множеству Р.
2. f(x) равна ординате соответствующей полуокружности для х,
принадлежащего смежному интервалу.
Очевидно, что функция f(x) обладает следующими свойствами:
1. /(s)>0 на [0, 1].
2. В каждом интервале существуют точки, для которых /(#)>0.
3. f{x) непрерывна на [0, 1].

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
231
Рассмотрим теперь функцию F(z), определенную равенством:
х
F(x) = \f(x)dx, 0<*<1.
о
Очевидно, что F (х) непрерывна на [0, 1], возрастает, не постоянна ни в
каком интервале и имеет ароизводную в каждой точке х\ эта
производная равна нулю для каждой точки множества Р. Уравнение
x = F(y)
определяет у, как функцию х
у = Ф (х).
Легко видеть, что функция Ф (х) обладает следующими свойствами:
1
1. Ф (х) непрерывна на [О, J f(x) dx].
о
2. Ф {х) возрастает на каждом интервале внутри этого отрезка.
3. -т- существует всюду.
4. -j- = + оо во всех точках некоторого совершенного множества меры
нуль.
Таким образом мы получили пример точной производной функции
d<t> ,
-г- у которая равна + оо во всех точках совершенного множества меры
нуль.
Резюмируя все предыдущее, мы видим, что необходимое условие для
того, чтобы измеримая функция / (х), определенная для всех значений х
на отрезке 0<$^#>^1, была производной функцией, состоит в том, что
точки, для которых f (х) = + оо и f (х) = — оо, должны образовывать
множество меры нуль.
Достаточные условия
Мы покажем, что необходимое условие, данное выше, является в то
же время и достаточным. Для этого мы докажем, что для каждой
измеримой функции /(#), удовлетворяющей этому условию, всегда можйв
построить примитивную функцию. Мы получим в fto же время расширение
проблем (Р) и (7).
Но сначала нам понадобятся два предварительных результата.
Лемма 1. Какова бы ни была непрерывная на [0, \] функция Ф(х),
на этом отрезке [О, 1] всегда существует функция Ф (х)> обладающая
следующими свойствами:
1. W(x) непрерывна на [О, 1] и Т(0) = Ф(0), ¥(1) = Ф(1).
лиг
2.-т-= 0 всюду на [О, 1], кроме множества меры нуль.
3. J W (х) — Ф (х) | < е, где е > 0 и сколь угодно мало.

232
H. H. ЛУЗИН
Лемма 2. Если / (х) — измеримая на [О, 1] функция, конечная для
каждого х, кроме, быть может, множества точек меры нуль, то всегда
существует счетное множество совершенных нигде неплотных множеств.
*li * 2» * 3> • • • » ■* П» • • • >
обладающих следующими свойствами:
1. /^ «е илебет общих точек с Pj (гф/) {i, / = 1, 2, 3, ...).
2. mes(Л + Р2 + Ps + ... + Рп +...)= 1 •
3. Функция f{x) ограничена на Рп (л=1, 2, 3, .. .).
Докажем эту лемму. Пусть Ем — множество всех точек х отрезка
[О, 1], для которых
|/(*)|<Л/,
где М — произвольное положительное число. В силу наложенного на
функцию f(x) условия, очевидно, что
llimmesi?M = 1.
М->оо
Возьмем число Мг достаточно большим для того, чтобы
mesEMl> у.
Так как Емг — измеримое множество, на Емх можно найти такое совершенное
неплотное множество Рг, что
mesP^-g-^
Очевидно, что в каждой точке множества Рг
|/(*)|<Л*1.
Удаляя из отрезка [0, 1], все точки множества Рг, мы получаем
измеримое множество Qi и mes^1<-^ . Поступая с полученным множеством
Qx так же, как мы поступали раньше со всем отрезком [0, 1], мы можем
получить из множества Qx такое совершенное неплотное множество Р2> что
в каждой точке множества Р2
|/(я)|<Л/2, где М2 конечно,
и что, обозначая через Q2 множество, которое остается от Q1 после
удаления всех точек множества Р2, мы имеем

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
233
Поступая с Q2 так же, как мы постудали раньше с Qv мы получаем
совершенное неплотное множество Pz и остаток от Q2 — множество Qz>
таким образом, что
f{x)\<Mz
А
в каждой точке множества Pz и mes Qz < -^ » и т- Д-
Вполне очевидно, что этот процесс не может быть закончен на
конечном числе шагов, и, в конце концов, мы получим счетное множество
множеств
Р 1> -*2> ^3» • • • > *п» • • •
с желаемыми свойствами (ч. т. д.).
Очевидно, можно выбрать множества Рх, Р2, Pz, ..., Рп, ... так, что
точки гг = 0иж = 1не принадлежат ни одному множеству Рп. В
дальнейшем мы будем предполагать множества Plt Р2, PZl . *., Рщ • • •
выбранными именно таким образом.
Переходим теперь к доказательству основного результата.
Основная теорема. Если f(x) — измеримая функция,
определенная на отрезке [О, 1] и конечная всюду, кроме, быть может, точек
множества меры нуль, то всегда существует такая непрерывная на
всем отрезке [0, 1] функция F(x), которая имеет f(x) обыкновенной
производной во всех точках отрезка [О, 1], кроме, быть может, точек
множества меры нуль.
В самом деле, построим для функции f(x) множества Рг, Р2, Pz, . ..,
Рп, ..., обладающие свойствами предыдущей1, леммы. Пусть 8^П),02Л)#
83п), ..., 8[л), ... — все интервалы, смежные множеству Рп. Возьмем число
Хп достаточно большим для того, чтобы
оо
2mes8in)+i<mes/>n.
i-i
Удалим из отрезка [0, 1] интервалы 8{п), 8^п), ..., oj^ . Оставшиеся
точки образуют систему таких ХЛ—1 отрезков, что длина каждого из
них не равна нулю. Пусть
дГ\ дГ, № a£U (1)
— эти отрезки. Очевидно, мы имеем
2 mesAin)<2mes/>n.
i-i
Пусть gn — минимум длины этих отрезков
Определим на [0, 1] последовательность таких измеримых функций
/i(s). M*)» /s(s). - . • . /п(я), • • .,

234 Н. Н. ЛУЗИН
что
/л (х) = f (х) на совершенном множестве Рп и
/п(#) = 0 вне множества Рп>
Далее, пусть функция Фп (я) — интеграл Лебега от /п{х):
X
On(x) = \fn{x)dx.
о
Функция Фп(я)> очевидно, непрерывна на [0, 1] и постоянна на каждом
*(п) <s(n) fc(7l) fc(fl)
из интервалов 8*, о2 , оз , ..., 6Х , ...
Пусть, наконец, ^(гг)—произвольная функция, обладающая
свойствами:
1. Wn(x) непрерывна на [0, 1].
2. Уп{х) = Фп(х) на интервалах 8?°, ^п), . . ., 8^.
dV {X)
3. —£— = 0 всюду на [0, 1], кроме, быть может, точек множества
меры нуль.
4. |Фп(я) — ЗДп(я)|<|£ для всего отрезка [0, 1].
В силу первой леммы такая функция ЧГл(я) существует.
Положим
Рп(х) = Фп(х)-ЧГп(х) (л=1, 2, 3, ...).
Легко видеть, что Fn {x) — функция, обладающая свойствами:
1. Fn(x) непрерывна на [0, 1].
2. |^п(я)|<|£ для всего отрезка [0, 1].
3. Fn {х) = 0 на интервалах 8[п), 8£п),.. ., о£}.
4. 2 = / (х) во всех точках совершенного множества РП1 кроме,
быть может, точек множества меры нуль.
Образовав таким образом последовательность функций
•'Fii*)> Fu{*)f'F*(*)> •••> Fn(x), ...',
мы можем немедленно no'cfроить искомую примитивную функцию для
данной функции f{x).
В самом деле, положим
оо
Р{х)= 2 *»(*)♦ (2)
Легко видеть, в силу свойства 2 (gn<^l)> что этот ряд сходится
равномерно и абсолютно всюду на [0, 1]. Следовательно, F (х) — непрерывная
на [0, 1] функция. Мы Докажем, что F{x) является искомой
примитивной функцией для /(#)..
dF
Рассмотрим функцию Fn{x). В силу свойства 4 мы имеем -^ = /(*)

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА 235
для всех точек множества Рп, кроме, быть может, точек множества меры
нуль. Обозначим через Кп множество всех этих точек исключения;
mesKn = 0 (/1 = 1, 2, 3, . . .)• Очевидно, мы имеем Ц-П = 0 всюду вне
Рп> кроме, быть может, точек множества меры нуль. Обозначим через
Ln это второе множество точек исключения; mesLn = 0 (л = 1, 2, 3, . ..).
Следовательно, множество-сумма S,
S = K1 + L1 + K1 + L%+... + Kn + Ln+.'..
имеет также меру, равную нулю; mes ^У ^ 0.
Из определения множества S вполне очевидно, что каждая из
функций последовательности
*i (*). ?%(*), -№), .... Fn{x),...
имеет конечную производную в каждой точке х, не принадлежащей:
множеству S, и все эти производные Рг' (z), F2' (z), .. ., Fn' (х), ... равны
нулю, кроме одной, которая равна f{x).
Установив это, рассмотрим отрезки (1)
д^.дГиГ, .... Д&1, .
Обозначим через 1/{п) (г = 1, 2, 3, ... , Хп — 1) отрезок, образованный
прибавлением справа и слева к отрезку д£л) двух отрезков длцвд gn.
Пусть Еп—множество точек, образованное соединением отрезков U^,!/^,..
Мы имеем
mes^n<| ^ mes^n)<3 ^ mesД(л)<3-2тез />n = 6mesPn.
i-l i-i
oo
Так как ряд 2 mes£n сходится, то множество точек, которые принад-
лежат бесконечному множеству из множеств Elf Е2, ^з» •••> -^*> • ••>
должно иметь меру нуль. Пусть Т — это множество;
mesT = 0.
Удалим, наконец, из отрезка [0, 1] все точки, которые принадлежат
множеству S и Т. Пусть R — образованное таким образом множество;
mesjR = l. Очевидно, что каждая точка х множества R принадлежит
только конечному числу множеств Ег, Е2, Ев, ..., Еп, ... Мы
покажем, что производная функции F (х) существует и равна / (х) в каждой
точке х множества R.

236
Н. Н. ЛУЗИН
В самом деле, пусть S — произвольная точка множества В. Мы имеем
h ^ h *
Так как точка £ принадлежит множеству R и, следовательно, лежит
вне Г, то она принадлежит самое большее конечному числу множеств
Elf Е2, Es, .. ., ЕП9 ...; значит, можно взять число N настолько
большим, чтобы £ была вне множеств En+\> En+2, . . ., EN+i, ... Для всех
этих значений п, п>ЛГ, точка % необходимо будет внутренней для
одного из интервалов
*(п) ?(п) ?(п)
01 , 02 , . . . , 0^ .
Отсюда, в силу свойства 3 функции Fn(z), мы получаем
и, следовательно,
Пусть для произвольного л (п > iV)
|^п(5 + Л)|>0.
Отсюда следует, что точка $ + h не принадлежит интервалам &in),
02П), . .., 8J£\ т. е. находится внутри одного из отрезков Д(1Л), Д2Л),...
..., AJ£L 1. Но точка 5 не принадлежит множеству ЕП1 следовательно, ? не
принадлежит отрезкам £/"in), U^K .. ., #j£-i-
Отсюда мы необходимо выводим, что
\h\>gn>
и мы можем написать
00
S
^п(5+Л)
. Y 1 ^ g + Л>! ^ V 1 *W ff + *) 1
^ ^ ГлП—^ ^J i~ »
сохраняя в последней сумме справа только те члены, для которых
1^п(6 + Л)|>0.
Но в силу свойства 2 мы имеем для каждого n(n^>N) на всем
отрезке [О, 1]
следовательно, мы имеем
\1 'Л|(6 + Л)| ^ V ^п ^ V 1 *
n>7V бя n>N*n n>N+l

0 ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
237
я мы приходим к следующему неравенству:
-2
тп-ЛГ
тп—1
^2* '
здесь N — фиксированное целое число, h — произвольное число.
Заставляя | h \ стремиться к нулю, мы получаем из последнего
неравенства, что каждое из четырех производных чисел функции F (х) в
точке х = £ отличается от суммы
^i© + Fi (S)+...+ ^(5)
меньше чем на —^. Число N может быть сделано сколь угодно большим.
Кроме того, в силу свойства множества S, к которому принадлежит точка
5, мы знаем, что можно найти такое достаточно большое число Nlt что для
iV>iV1 мы имеем
Мы видим, что все четыре производных числа функции F (х) в точке
х = 6 равны / (х), т. е.
^ ($) = /№)
(ч. т. д.).
Таким образом необходимое условие для того, чтобы / (х) была
производной, является в то же время достаточным. Мы имеем разрешение
проблем (р) и (т).
Заметим, что множество R является множеством первой категории. Мы
знаем, что каждое множество второй категории, даже меры нуль, должно
быть рассматриваемо как гораздо более компактное образование точек,
чем произвольное множество первой категории. Следовательно, вопрос
о существовании функции F (х), которая имеет / (х) производной во всех
точках множества второй категории, остается открытым [29].
Применим доказанную основную теорему к одному частному случаю.
Пусть / (х) — измеримая функция, конечная для всех значений х отрезка
[О, 1] и не интегрируемая в смысле Лебега ни в каком интервале (а, Ь)у
расположенном на [0, 1]. Пусть, кроме того, / (я)>1 всюду на [0, 1].
Такую функцию / (х) очень легко построить. Очевидно, что примитивная
функция F (х) для / (х) дает нам тогда пример непрерывной функции,
имеющей производную >1 всюду, кроме точек множества меры нуль, и
которая в то же время не возрастает ни в каком интервале (а, Ъ) на отрезке
[О, 1].
Понятие регулярного процесса
Легко видеть, что невозможно рассматривать вышедоказанную
основную теорему как универсальный процесс интегрирования. Для этого
достаточно фиксировать внимание на понятии регулярного процесса. Легко
видеть, что произвольные элементы, входящие в каждый метод

238
н. н. лузин
интегрирования (например, в интеграле Римана разбиение отрезка [0,1] на
частные интервалы), остаются произвольными только до окончания
процесса интегрирования. После того как процесс интегрирования закончен
эти произвольные элементы исчезают и не оказывают никакого влияния на
результат процесса. Каждый процесс интегрирования всегда дает одну
и ту же вполне определенную примитивную функцию, каковы бы ни были
произвольные элементы, которые служат нам точкой отправления. Это
можно выразить, сказав, что процесс интегрирования есть регулярный
процесс. Нечто совсем другое представляет процесс отыскания
примитивных функций, данный нашей основной теоремой. Здесь произвольные
элементы, которыми являются множества Pv P2, Рз>---> Рп>--- и функции
^ri> ^2» ^з,---1 ^п,---, не исчезают в конце процесса. Отправляясь от
других ? и ¥, мы получим, в конце концов, разные примитивные функции
Р(х).
Это заставляет нас сказать, что процесс, вытекающий из нашей
основной теоремы, является нерегулярным процессом. Следовательно, хотя
проблема отыскания примитивных функций разрешена, но проблема
отыскания интеграла не разрешена, ^та последняя проблема может быть
сформулирована так:
Проблема А (проблема регулярного процесса).
Найти регулярный процесс, который для каждой функции f (x) первого
или второго класса всегда дает одну и ту же примитивную функцию F(x).
Эта проблема А может быть заменена другой проблемой, эквивалентной
и обратной.
Как мы видели, основная теорема дает не одну определенную
примитивную функцию F (х), но бесконечное множество примитивных функций
{F(x)}y F(0) = 0. Которая из этих примитивных функций будет
интегралом? Другими словами, каково характеристическое свойство, в силу
которого из множества всех примитивных функций {F (x)}, F (0) = 0 можно
выбрать одну и только одну функцию F0(x), которую можно назвать
интегралом? Таким образом мы приходим ко второй проблеме:
Проблема В (проблема отыскания характеристических свойств
интеграла).
Зная для данной функции f (х) все примитивные функции {F (x)}\t
F (0) = 0, найти интеграл.
Мы видим, что проблема В оьратна проблеме отыскания примитивных
функций. В этой последней проблеме интеграл появляется как процесс,
позволяющий вычислить примитивную функцию; в проблеме В, наоборот,
зная все примитивные функции, мы ищем одну из них, которую называем
интегралом.
Проблема В немедленно разрешается в случае, когда данная функция
/ (х) является точной производной функцией, конечной для всех значений х
отрезка 0<jr<;i. В самом деле, известно, что при этих условиях существует
только одна точная примитивная функция F (х), которая становится
равной нулю при х = 0.

0 ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
239
Но, оставляя в стороне случай не точной производной функции / (х),
даже в случае точной бесконечной производной / (х) существует, вообще,
бесконечное множество (мощности континуум) ее точных примитивных
функций- {F (х)}, которые обращаются в нуль при х = 0. Следовательно,
становится необходимым более близкое рассмотрение проблемы В.
Глава II
ОТЫСКАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ИНТЕГРАЛА
Случай бесконечной точной производной
Мы построили выше1 пример такой точной производной -т- ,
положительной в каждой точке отрезка [0, 1], что —т— = + оо во всех точках
некоторого совершенного нигде неплотного множества. Обозначим это
множество через П. Пусть
<ч л сч «\
<>1> 02, 03, . . . , Ол, ...
—все смежные интервалы множества П на [0, 1]. Легко видеть, что можно
построить бесконечным множеством способов функции ЧР (я), неравные
тождественно нулю и обладающие следующими свойствами:
1. ¥ (х) непрерывна на [0, 1].
2. W (х) никогда не убывает на [0, 1], ¥(0) = 0.
3. ¥ (х) постоянна на каждом смежном интервале 8П (п = 1, 2, 3, • ..).
Очевидно, что функция
Ф (х) + У (х)
допускает в каждой точке х отрезка [0, 1] ту же производную, что и
функция Ф (х).
Следовательно, существует точная производная функция, имеющая
бесконечное множество различных точных примитивных функций {F (х)}>
обращающихся в нуль при х = 0.
В цитированном примере точная производная / (х) интегрируема в
смысле Лебега, и неопределенный интеграл от f(x) является одной из
бесконечного множества точных примитивных функций для /(#),
следовательно, эта примитивная еще не обладает специальным свойством. Но
можно дать пример другого рода: можно построить такую точную
производную функцию f(x), интегрируемую в смысле Лебега, что ее
неопределенный интеграл в смысле Лебега не имеет производной в
бесконечном множестве точек.
1 Стр. 230.

240
H. Н. ЛУЗИН
В этом примере1 неопределенный интеграл Лебега (и, следовательно
интеграл Данжуа) уже не является точной примитивной функцией, хотя
функция /(я), подлежащая интегрированию, является точной производной.
Таким образом свойство точности примитивной функции не является
характеристическим свойством интеграла, так как это свойство дает
иногда вместе с интегралом бесконечное множество паразитных
решений; но иногда оно дает только паразитные решения, и среди них
не дает интеграла. Установив все предшествующее, переходим к
разрешению проблемы В для интегралов Лебега и Данжуа.
Разрешение проблемы В для интеграла Лебега
Пусть /(я) — данная функция, измеримая и конечная всюду на [0,1],
кроме, быть может, точек множества меры нуль. Пусть К —
множество всех ее примитивных функций F (х), обращающихся в нуль при
х = 0. Для того чтобы f(x) была интегрируема в смысле Лебега,
необходимо и достаточно, чтобы среди ее примитивных функций F (х) была
бы хоть одна с ограниченным изменением. Следовательно, в случае,
когда f(x) интегрируема в смысле Лебега, множество К распадается на
два класса К1 и К2: к первому классу Кг принадлежат все
примитивные функции F (х) с ограниченным изменением; ко второму классу К2
принадлежат все примитивные функции F (х) с бесконечным полным
изменением на [0, 1].
Применяя теорему Валле-Пуссена2, легко доказать, что в классе Кг
необходимо существует одна и только одна примитивная функиияР0(х)
с наименьутм полным изменением*, эта функция F0 (x) в точности и
совпадает с интегралом Лебега:
'х
^о(*)= \ 1(x)dx.
о
Таким образом мы видим, что понятие функции с ограниченным
изменением дает полное разрешение проблемы В1 отыскания
характеристических свойств в случае интеграла Лебега. Не останавливаясь вовсе
на доказательстве высказанного предложения, которое очень легко
провести, переходим к разрешению проблемы В в случае интеграла
Данжуа. Здесь мы вынуждены обобщить понятие функции с ограниченным
изменением.
Разрешение проблемы В для интеграла Данжуа
Функции с обобщенным ограниченным изменением3. Пусть F (х)
—функция, непрерывная на O^s^l. Пусть Р—совершенное множество (плот-
1 Мы не останавливаемся на доказательстве существования таких функций/(х).
2 Cours d'analyse infinitesimale, т. I, стр. 269—272. (В русском переводе «Курс
анализа бесконечно малых», ГТТИ, 1933, стр. 282.— Ред.)
8 См. мою заметку в Comptes Renclus, 23 декабря 1912 г.

0 ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
241
ное или нет), заданное на отрезке [0, 1]. Обозначим через (£) систему
конечного числа N отрезков
Д1э Д2, Аз, . .. , А*, (Е)
которая обладает следующими свойствами:
1. Отрезки А4 и Д^ (i=f=j) не имеют общих внутренних точек.
2. Каждая точка множества Р является точкой одного из этих
отрезков (включая концы).
3. Каждый отрезок At- содержит внутри (в широком смысле) хоть
одну точку множества Р.
Обозначим через М% и mi максимум и минимум функции F (х) на
отрезке At- (z = 1, 2, 3, . .. , N) и образуем сумму
v = 2 № — mi).
Мы скажем, что функция F (х) является функцией с ограниченным
изменением для совершенного множества Р, если существует такое
конечное число К, что мы всегда имеем
v<K,
какова бы ни была система отрезков (Е), обладающая указанными
свойствами.
Мы скажем, что функция F(x), непрерывная на [0, 1], является
функцией с обобщенным ограниченным изменением на [О, 1], если, каково бы
ни было совершенное множество Р, расположенное на [0, 1], всегда
существует отрезок А, имеющий следующие свойства:
1. Точки, общие отрезку А и множеству -Р, образуют совершенное
множество. Обозначим его через Рд.
2. Функция F (х) есть функция с ограниченным изменением для
множества Рд.
Очевидно, что определение функции с ограниченным изменением для
совершенного множества Р полностью совпадает с обычным
определением, если взять за множество Р весь отрезок [0, 1]. В этом случае числом
стремится к вполне определенному пределу, когда максимум длины
отрезков системы (L) стремится к нулю. Известно, что этот предел
называется полным изменением функции F (х) на отрезке [0, 1].
Но нетрудно показать, что существует вполне определенный предел
чисел v в самом общем случае, что приводит к аналогичному определению.
Теорема. Если непрерывная функция F (х) является функцией с
ограниченным изменением для совершенного множества Р, число v
стремится к вполне определенному пределу, когда мера системы (£)
стремится к мере множества Р, и в то же время максимум длины отрезков
системы стремится к нулю.

242
H. Н. ЛУЗИН
В самом деле, пусть F (х) — непрерывная функция на [0,1) и с
ограниченным изменением для множества Р. Теорема очевидна, если
смежных интервалов совершенного множества Р — конечное число, так как
в этом случае определение опять совпадает с обычным определением.
Итак, пусть
&1> 52, о3, . . . , оп, . . .
— все смежные интервалы множества Р, к каждому из которых
присоединены его концы. Обозначим через Вп макспмум функции F (х) на оп и,,
соответственно, через h^ минимум F (х) на оп (1, 2, 3, . . .).
а) Теперь я утверждаю, что ряд с положительными членами
со
2 (#n-/g
71=1
сходится. В самом деле, предположим, что этот ряд расходится. Пусть
со
е — положительное сколь угодно малое число. Так как ряд 2mes^iCxo-
n=»i
дится, то можно найти два таких целых положительных числа р и q
(p<Cq), чтобы мы имели одновременно
2 mes ?H = *-
i—/j
If
2 (Hi-hi)>L,
где L — сколь угодно большое число.
Рассмотрим отрезки ор, оР+1, . . . , oq. Очевидно, что эти отрезки
удовлетворяют условиям 1 и 3 системы (£). Кроме того, можно найти на
[О, 1] такие отрезки
чтобы система отрезков
Зр> 8p+i> • • • > 3g, Ul9 U2, . . . , Uг
была системой (£). Очевидно, для этой системы (Е) мы имеем
v>L,
где L сколь угодно велико. Значит F (х) есть функция с
неограниченным изменением для Р, что противоречит нашей гипотезе, и. следо-
оо
вательно, ряд 2 {Hn — hn) сходится.
П-1

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
243
б) Установив это, рассмотрим значения непрерывной функции F (х) на
совершенном множестве Р. Построим на каждом смежном интервале 8П
множества Р линейную функцию, которая принимает в концах
интервала оп те же значения, что и функция F (х) в этих точках. Пусть Рг (х) —
новая функция, определенная на [0, 1] следующими условиями:
1. ^i М = ^ (я), если х принадлежит множеству Р.
2. Если х принадлежит смежному интервалу on, F1(x) равна значению
линейной функции, построенной на ол:
функция F1(x)1 очевидно, непрерывна на 0<я<1. Теперь я
утверждаю, что F1 (х) есть функция с ограниченным изменением на [0, 1]
в обычном смысле.
В самом деле, пусть т]>0 и сколь угодно мало. Разделим отрезок
[О, 1] на т таких отрезков
чтобы длина каждого из них была меньше г{. Обозначив колебание
функции Fl(x) на отрезках г„ г2, i8> - •-, im через а>2, <о2, а>3, . .., сот,
образуем сумму
V' = ©1 + «h + 0)3 + • • • + <°т.
Отрезки г\, г2, г3, . . . , im разбиваются на две категории. Одни
содержат (включая концы) точки множества Р} другие их не содержат
(даже на концах).
Очевидно, что сумма колебаний, соответствующих всем отрезкам
второго класса, самое большее равна
оо
2(Яп-/гп).
П=1
Рассмотрим отрезки первого класса. Пусть iT — один из них.
Колебание щ функции Fx (x) на ir меньше суммы трех колебаний: двух
колебаний на смежных интервалах множества Р, содержащих концы
отрезка irt и колебания на остающейся центральной части отрезка ir. Отсюда
следует, что общая сумма колебаний, соответствующих всем отрезкам
первого класса, самое большее равна
оо
К+ 2 2(#» —An).
П=1
Итак,
оо
v'<K + 3 2 (Нп — An),
n-l

244
Н. Н. ЛУЗИН
т. е. v' — ограниченное число. Следовательно, непрерывная функция/^ (х)
имеет ограниченное изменение на [0, 1].
Пусть т] стремится к нулю. Известно, что число v' стремится к
определенному пределу, который является полным изменением
функции FY{x) на [0, 1]. Обозначим его через W. Очевидно, общая сумма
колебаний, соответствующих всем отрезкам второго класса, стремится
к определенному пределу. Обозначим его через Wt:
оо
и^< 2(#«-лп).
П-1
Очевидно, что Wx является полным изменением функции Fx (x) на
множестве всех смежных интервалов olt В2, о3, ... , 8П, .. .. Отсюда
следует, что общая сумма колебаний, соответствующих отрезкам первого
класса, стремится к
W — Wj.
в) Установив это, вернемся к функции F(x). Рассмотрим
произвольную систему (Е) отрезков
Дх> Д2, Д3, .. . , А*, (Е)
обладающую указанными свойствами. Очевидно, что эта система (Е)
является системой всех отрезков первого класса для функции F1(x).
Обозначив через о>! колебание функции F1 (х) на отрезке Д» (г = 1, 2, 3, ..., iV),
легко видеть, что разность
| п i = N I
5] (/Wi — mO — 2 «i\
I i—1 i«l I
стремится к нулю, когда мера системы (Е) стремится к мере
множества Р, и в то же время максимум длины отрезков Д1э Д.,, . .., AN
стремится к нулю. Отсюда следует, что сумма
i-JV
^=2 [Mi —mi)
стремится к вполне определенному пределу W — W1 (ч. т. д.).
Мы обозначим этот предел чисел v через Vp и назовем его полным
изменением функции F (х) для совершенного множества Р.
Свойства функций с обобщенным ограниченным изменением. Хорошо
известно, что понятие интеграла Лебега тесно связано с понятием
функции с ограниченным изменением. Теперь мы покажем, что такая же
тесная связь существует между понятием интеграла Данжуа и
понятием функции с обобщенным ограниченным изменением. Мы имеем
здесь почти полную аналогию, определенную тремя следующими
теоремами.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
245
Теорема I. Каждый неопределенный интеграл Данжуа является
функцией с обобщенным ограниченным изменением.
Пусть / {х) — функция интегрируемая на [0,1] в смысле Данжуа.
Пусть F (х) — интеграл от / (х):
X
F{x) = \f{x)dx.
О
Рассмотрим произвольное совершенное множество Р, расположенное
на [0, 1]. Следует различать два случая:
а) Совершенное множество Р всюду плотно на некотором интервале U
отрезка [0, 1]. В силу одного свойства функций, интегрируемых в
смысле Данжуа, в интервале U существует такой интервал Д, что
функция f(x) суммируема на Д. Следовательно, функция F (х) есть функция
с ограниченным изменением на Д.
б) Совершенное множество Р нигде не плотно на [0, 1]. Тогда, в силу
свойств тотализуемых функций, всегда существует интервал Д,
обладающий следующими свойствами:
1. Точки множества Р, расположенные в Д, образуют совершенное
множество. Обозначим его через Рд.
2. Функция / (х) суммируема на Рд.
3. Если все смежные интервалы множества Р& обозначены через
\> 32, §з> • • • > 8Л, • • • а колебание функции F (х) на 8П — через а>п, то ряд
00
2 «>п СХОДИТСЯ.
п-1
Обозначим через а и Ъ (а<^Ь) концы интервала Д и, соответственно,
через ап, ЬПУ (ап < Ьп) — концы интервала 8Л. Следуя Данжуа, для
каждого х отрезка [а, Ъ) мы имеем следующее равенство
X
F(x) = F (a) + 2V (*п) - F Ы] + \ <Р (*) <**»
а
где <р (х) = f(x) на Рд и ср (х) = 0 вне Рд, а сумма 2 распространена
на смежные интервалы оЛ, заключенные между а и х, и на член
F(x) — F(ap), если х принадлежит интервалу (ар, Ьр).
Полное изменение непрерывной функции от х 2 W (**) ~~ & (а*)] для
множества Р> очевидно, равно нулю. Значит полное изменение функции
F (х) для множества -Рд равно полному изменению интеграла Лебега
X
ср (х) dx для этого множества, т. е. равно вполне определенному конеч-т
а
ному числу.
Следовательно, в обоих случаях существует интервал Д,
удовлетворяющий определению функции с обобщенным ограниченным изменением
(ч. т. д.).

246
H. H. ЛУЗИН
Теорема II. Каждая непрерывная и с обобщенным ограниченным
изменением на отрезке [0, 1] функция F (х) имеет конечную производную,
кроме точек множества меры нуль.
Предположим, что это предложение не имеет места на отрезке [0, 1].
Пусть Е — множество всех точек отрезка [О, 1J, где производная _ не
существует; mes £>0. При этих условиях существует совершенное
нигде не плотное множество Р, обладающее следующими свойствами:
1. Множество Р содержится во множестве Е.
2. Каков бы ни был открытый интервал о, или о не содержит ни
одной точки множества Р, или же 8 содержит часть множества Р
положительной меры.
Так как функция F (х) — с обобщенным ограниченным изменением,
на [0, 1] существует интервал Д, обладающий следующими свойствами:
1. Точки множества Р, расположенные на Д, образуют совершенное
множество. Обозначим его через П.
2. Функция F (х)— с ограниченным изменением для множества П.
Пусть olt 82, 83, . . . , ол, ... — все смежные интервалы множества П на Д.
Пусть Fl(x)— функция, равная F (х) на П и линейная на каждом из
интервалов ох, 32, 33, . . . , 8П, ... . В силу предыдущей теоремы легко
видеть, что функция Ег (х) есть функция с ограниченным изменением
на Д в обычном смысле, и, следовательно, имеет конечную производную
почти всюду на Д. Рассмотрим функцию Ф]{х)
9(x) = F(x)-Fl(x).
Все сводится к доказательству того, что функция Ф (х) имеет
конечную производную во всех точках множества П, кроме, быть может, точек
множества меры нуль.
Вполне очевидно, что функция Ф (х) непрерывна на Д и равна нулю
на П. Кроме того, в силу определения функции Ф (х) мы видим, что
если обозначить верхнюю грань Ф (х) на интервале 8Л через цп, то ряд
2j f*n сходится. Следовательно, можно найти последовательность таких
положительных чисел
#!, #2, #3, • • • > Нп, ....
возрастающих до бесконечности, чтобы ряд
оо
71 = 1
сходился.
Присоединим к интервалу оп слева и справа два равных интервала,
каждый длины Нп\*.п. Обозначим полученный таким образом интервал
через Un. Очевидно, что последовательность интервалов
Ult Ut, U3, ..., Un, ...

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
247
.такова, что ряд 2j mes ип сходится. Отсюда следует, что множество L,
образованное точками, которые принадлежат бесконечному множеству
интервалов
Ul9 U2i Uz, ..., Un, ...,
является множеством меры нуль. Удалим из П все точки множества L
и обозначим множество оставшихся точек через R. Мы имеем
mes# = mesII>0.
Я утверждаю теперь, что для каждой точки S, принадлежащей
множеству R, мы имеем
Ф' (Е) = 0.
В самом деле, пусть <; — точка множества Л. Рассмотрим
Ф (Е -f h) — Ф (g)
h
для достаточно малого /г. Мы имеем Ф (S) = 0. Кроме того, вполне
очевидно, что если точка 5 + h принадлежит множеству П, мы имеем
Ф (S + А) = 0. Пусть | Ф (S + /г) | >0. Следовательно, точка £ + h
находится внутри некоторого интервала 8Р.
Тогда мы имеем
|Ф(6 + а;|<нр.
Так как точка $ принадлежит только конечному числу
интервалов Ulf U2, U3i . . . , Un, . . ., то для достаточно малого к мы имеем
|й|>Я>р-
Отсюда
Ф(5 + Л)-Ф«)
<■" '
Если h стремится к нулю, число р стремится к бесконечности.
Следовательно
Ф' (8) = 0
<ч. т. д.)/
Теорема III. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
непрерывная функция F (х) с обобщенным ограниченным изменением была
неопределенным интегралом в смысле Данжуа от своей производной,
состоит в том., чтобы полное изменение Vv функции F (х) (если оно
существует) равнялось нулю для каждого совершенного множества меры
нуль.
Условие необходимо. В самом деле, пусть
F(x)=\f(z)dz,

248
H. H. ЛУЗИН
где интеграл взят в смысле Данжуа. Пусть F(x) есть функция с
ограниченным изменением для совершенного множества Р, mes Р = о.
Обозначим через о1э о2, о3г •. . , оп , . .. все смежные интервалы
множества Р.
Следуя Данжуа1, мы имеем
\f(x)dx = 2)XV(bn)+\*(x)dx,
о о
где <р (ж) = / (х) на Р и = 0 вне Р9 V (оп ) — тотал функции f(x) на
интервале 8Л, а сумма 2 v (M распространена на интервалы оЛ,
заключенные между 0 и х, и на член V (ару х), если х принадлежит
интервалу 5Р = (ар, Ьр).
Легко видеть, что 2 V (8») — непрерывная функция на [0,1], и ее
X
полное изменение для множества Р равно нулю. Но член j cp (х) dx всег-
о
да равен нулю, так как мера множества Р равна нулю.
Условие достаточно. Пусть F(x) — функция с обобщенным
ограниченным изменением на [0, 1]. Из доказательства теоремы II мы видим,
что каково бы ни было совершенное^множество Р, расположенное на [0, 1],
dF п
множество точек, в которых -т~г не суммируема на Pf нигде неплотно
на Р. Примем сначала за множество Р весь отрезок [0, 1]. Точки
отрезка [0, 1], в которых -г— не суммируема на [0, 1], образуют замкнутое
множество Elt нигде не плотное на [0, 1], Ег является суммой
совершенного множества Р1 и счетного множества Пх.
Примем затем за множество Р множество Рг; точки множества Ри
в которых —.— не суммируема на Р19 образуют замкнутое множество Еъ
нигде неплотное] на Рг'\ Е2 является суммой совершенного множества
Р2 и счетного множества П2.
Продолжая таким образом, мы получим счетное множество множеств
Е1У E2t 2?3, ..., Еау ..., Es-u Es,
где 8— такое вполне определенное конечное или трансфинитное число
AF
второго класса, что или i?$-i приводимо, или —z—суммируема на Ps—i2*
Пусть теперь F(x) такова, что ее полное изменение Vp (если оно
существует) для каждого совершенного множества меры нуль равно нулю.
1 Comptes Rendus, 22 апреля 1912 г., стр. 1076.
2 Comptes Rendus, 1 апреля 1912 г., стр. 862.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
249
Пусть U (A, I) (&</) — интервал, лежащий внутри (в узком смысле)
произвольного смежного интервала замкнутого множества Ev Так как
— суммируема на U, то в силу предполагаемого свойства функции
F(x) легко видеть, что мы имеем
i
F(l)-F(k) = \d£dx,
к
где интеграл взят в смысле Лебега. 'Следовательно, изменение функция
F(x) на интервале U является тоталом от функции -г-, вычисленным
для этого интервала U. В силу непрерывности функции F(x) мы видим,
что это свойство ее изменения . на интервале U сохраняется, если мы
сначала предполагаем U смежным интервалом множества Е19 потом —
внутренним для некоторого смежного интервала множества Е{,
являющегося производным от множества Elf и так далее.
Продолжая подобным образом, шаг за шагом, мы находим, что это
свойство функции F(x) имеет место, если U является произвольным
смежным интервалом множества /\.
Так как функция F(x) есть функция с обобщенным ограниченным
изменением, то существует такой интервал Д, Д = (A, Z), что F(x)
является функцией с ограниченным изменением для части множества Р19
содержащейся в Д. Пусть Рд — эта часть. множества Рх; всегда можно
предполагать множество -Рд совершенным. Пусть Ul9 U2, Us, ..., Un, .. . —
все смежные интервалы множества Рд на Д. Пусть Un = (кп, In) {кп <Л).
Сумма
2Ггао-*№оь
распространенная на смежные интервалы Un, за к л юченные между к и ху
и на член [F(x) — F{kp)}9 если х принадлежит интервалу Up9 Uv = (kp, lv),
является непрерывной функцией х на Д. Разность
F(x) - F(k) - 2* №) - ^(Агп)]
непрерывна на интервале Д и постоянна на каждом смежном интервале
множества Рд . Обозначим эту функцию через F^x). Легко видеть, что Fx(x)
есть функция с ограниченным изменением в обычном смысле на интервале Д.
Но в силу свойства функции F(x), полное изменение функции F^x)
для каждого совершенного множества Р меры нуль равно нулю.
Поэтому мы имеем
х
Fi{x) = \ ср (х) dx9
к

250
Н. Н. ЛУЗИН
где с? равна -т- на Рд , и равна нулю вне его, а интеграл взят в смысле
Лебега. Отсюда х
F(x) - F(k) = 2X [F(U) ~ F(kn)] + \<?dxt
к
т. е. изменение функции F(x) па интервале А есть опять тотал от функции
■dF
-,- , вычисленный для А.
Продолжая шаг за шагом, мы дойдем до смежных интервалов
множества Е2, потом —до смежных интервалов множества 2?8, п так далее,
и, в конце концов, до всего отрезка [0, 1].
dF
Таким образом доказывается интегрируемость функции — в смысле
Данжуа и тождественность функции F (х) с неопределенным интегралом
Данжуа (ч. т. д.).
Теорема III является искомым характеристическим свойством
интегралов Данжуа. В самом деле, если данная функция / (х) интегрируема
на [0, 1] в смысле Данжуа, то всегда существует только одна
примитивная функция F(x), обладающая свойством, указанным в формулировке
теоремы III. Эта единственная примитивная функция является
неопределенным интегралом Данжуа.
В случае, когда функция f(x) не интегрируема в смысле Данжуа,
у нас нет никакого общего решения проблемы В отыскания
характеристических свойств интеграла. Чрезвычайно мало вероятно, чтобы такое
общее решение могло существовать. В самом деле, если / (х) —
положительная функция на [0, 1] и не суммируемая ни на каком интервале (а>Ь)
отрезка [0, 1], невозможно ожидать, чтобы существовала одна и только
одна примитивная функция F(x), самым тесным образом связанная с
данной функцией f(x). По поводу всего, что относится к этому вопросу,
я отсылаю к интересной заметке Д. Ф. Егорова (Comptes Rendus,
23 декабря 1912 г.).
Глава III
ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
Интеграл Бореля
В своей очень интересной работе х «Вычисление определенных
интегралов» Борель дал новое обобщение понятия интеграла. В дальнейшем
мы подробно рассмотрим это определение.
1. Определение интеграла Бореля таково:
«Пусть /(х)— функция, не интегрируемая в смысле Римана;
предположим, что в области интегрирования можно определить счетное
1 Journ. de MatJi., 8, 201—202, 1912.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
251
множество точек Aly А2, Аг, . . ., Ап, . .., обладающих следующим
свойством: если окружить точку Ап таким интервалом исключения
ВпСп, чт0 РЯД 2впСп сходится и имеет сумму, равную е, то
обобщенные суммы Римана стремятся к пределу, каковы бы ни были интервалы,
и этот предел сам стремится к пределу, когда е стремится к нулю;
этот последний предел и является, по определению, обобщенным
интегралом в смысле Римана. Обобщенные суммы Римана это суммы
в которых мы предполагаем:
1) что точки деления Х{ не принадлежат интервалам исключения;
2) что hi равно разности xi — xi-iy уменьшенной, если это нужно,
на длину интервалов исключения;
3) что £{ расположено между Я{_1 и xif но также не принадлежит
интервалам исключения.
Мы изучаем предел этих сумм Римана в предположении, что hi
стремятся к нулю, п заставляем стремиться к нулю интервалы исключения».
Мы немедленно убеждаемся, что определение Бореля применимо к
функциям, не интегрируемым в смысле Лебега. Простой пример,
данный Борелем:
1 . 1
— sin — .
х х
В силу этого определения интеграла, существование предела
обобщенных сумм Римана имеет место для каждого допустимого выбора
интервалов исключения ВпСп; следовательно, это является ограничением,
наложенным как на интегрируемую функцию f(x), так и на интервалы
исключения. Значит, ограничение, явно наложенное на выбор интервалов
исключения, состоит только в том, что они должны содержать счетное
множество точек Alt Аъ А3> . .., Ап, . .., заданное a priopi, и что их
сумма е должна стремиться к нулю1.
Мы покажем, что это ограничение, явно наложенное на выбор
интервалов исключения, еще недостаточно, и что можно построить
ограниченную функцию / (х) второго классакпо классификации Бэра и не
интегрируемую в данном смысле.
Для этой цели возьмем на [0, 1] измеримое множество 2?, обладающее
следующим свойством: если (а, Ь) — произвольный интервал на [0, 1],
точки множества Е, расположенные на (а, Ъ), образуют множество
положительной меры, и точки интервала (a, £), не принадлежащие множеству
Е, также образуют множество положительной меры.
Пусть / (х) = О для каждой точки х множества Е и / (х) = 1 для точек,
не принадлежащих Е. Можно построить бесчисленным множеством
1 Для того чтобы не поняли неправильно мою мысль, я считаю полезным
уточнить, что Боре ль неявно ввел другое ограничение, о котором я скажу позже.

252
H. H. ЛУЗИН
способов такие функции f(x) второго класса на [0, 1]. Мы назовем систему
точек А19 А2, А39...9 АП9...9 удовлетворяющую определению интеграла
Бореля, базисом интегрируемости функции / (х).
Покажем, что выбранная функция / (х) не имеет никакого базиса
интегрируемости. В самом деле, пусть А19 А2, Л3,..., ^п,... — базис
интегрируемости функции / (х) на [0, 1]. Очевидно, что в этом случае множество
Av A2i А39...9 АП9... всюду плотно на [0, 1]. Легко видеть, что можно
построить на [0, 1] бесчисленным множеством способов совершенное
нигде неплотное множество Р9 не содержащее нп одной точки базиса
А19 А2, А39...9 АП9... и обладающее следующими свойствами:
1. mesP = 1 — е.
2. Каков бы ни был интервал А на [0, 1], или Д не содержит внутри ни
одной точки множества Р9 или же Д содержит часть множества Р
положительной меры.
3. Каков бы ни был интервал Д на отрезке [0, 1], содержащий внутри
точки множества Р9 множество точек Р9 расположенных на Д, для
которых / (х) = 0, а также множество тех, где / (х) = 1, являются оба
несчетными.
Приняв смежные интервалы множества Р за интервалы исключения
ВпСП) мы видим, что предел обобщенных сумм' Римана ЕЛ,/(У, когда h{
стремятся к нулю, не существует. Следовательно, / (х) является
ограниченной функцией, неинтегрируемой на [0, 1] в указанном смысле.
Итак, если мы ставим себе целью получить более общее определение
интеграла, чем определение Лебега, необходимо ограничить выбор
интервалов исключения, наложив новые условия.
Но это ограничение нужно установить, следуя некоторому точному
закону, для того чтобы процесс интегрирования был регулярным
процессом. Легко дать такое ограничение. Например, в определении интеграла
можно рассматривать только такие системы интервалов исключения,
что предел обобщенных сумм Римана существует a priori.
После наложения этого ограничительного условия каждая функция
/ Or), суммируемая в смысле Лебега, становится интегрируемой в
рассматриваемом смысле.
2. Рассмотрим теперь область применимости определения Бореля, и
оставим сначала в стороне указанное выше добавочное ограничительное
условие.
Рассмотрим множество точек отрезка [0, 1], в окрестности которых
|/ (я) | не суммируема на [0, 1]. Эти точки всегда образуют замкнутое мног
жество. Докажем следующую теорему относительно этих точек:
Теорема. Каждая точка несуммируемости функции f (х) на
[О, 1] необходимо принадлежит каждому базису, интегрируемости
В самом деле, пусть ] / (х) | не суммируема на [0,1] в точке ?.
Предположим, что точка 6 не принадлежит базису интегрируемости Alt Аг, АЛ,.--
Ап>...

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
253
Из определения точки 5 следует, что на [0,1] всегда можно определить
счетное множество отрезков
Дх, Д2, Д3> . . . , Дт,
обладающих следующими свойствами:
1. Концы отрезков Д7П (т = 1, 2, 3, .. .) не являются точками базиса
Av Л21 -A3, • • •> Ant • • •
2. Отрезки Дтг и Дт, {т1фт2) не имеют ни одной общей точки.
3. Длина отрезка Дт стремится к нулю, когда т стремится к
бесконечности, а сам отрезок Дт стремится к точке Е.
4.
S |/(*)|cte>m.
Am
Обозначим теперь через gm множество точек базиса, принадлежащих
отрезку Дт (т = 1, 2, 3, . . .)• Можно выбрать интервалы исключения,
соответствующие точкам множества gm, таким образом, чтобы каждый
из них содержался в Дш и чтобы сумма их длин была не больше
т+1 . Удалим точки этих интервалов исключения из отрезка Дт и
обозначим множество оставшихся точек отрезка Дт через £т. Очевидно,
что можно взять .сумму этих исключенных интервалов достаточно малой
для того, чтобы мы имели
\.\f(z)\dz>m—^.
Итак, мы поставили в соответствие каждой точке базиса А19 А2,
А3> •••> -An, • • •> содержащейся в одном из отрезков Дт, некоторый
интервал исключения. Сумма длин этих интервалов исключения самое
большее равна
22 "г 2« "г 24 * * * * ' [>т "» ' ' ' 2 *
Что же касается точек базиса, не принадлежащих никакому из отрезков
Дх, Д*, Д3, . . ., Дп, .. -, то очевидно, что для этих точек всегда можно
определить систему таких интервалов исключения, чтобы каждый из
них лежал вне всего множества отрезков Дх, Д2, Д3, .. ., Дт» . •. и чтобы
сумма их длин была также самое большее равна — .
Обозначим через (Вп> Сп) (л = 1, 2, 3, . ..) систему всех интервалов
исключения, полученную таким образом; мы имеем 2mes (^n, Сп) =
п-1
= с<е. Удалим из [0, 1] все интервалы (5П, Сп) (л=1, 2, 3, . . .) и
обозначим множество оставшихся точек через Е. Мы имеем

254
H. Н. ЛУЗИН
\\J(x)\dx^\ \f(x)\dz>m J-
Е' Em
и, следовательно,
\\f(x)\dx= + oc.
Отсюда мы немедленно выводим, что предел обобщенных сумм Римана,
построенных при помощи интервалов (ВП1 Сп), не существует.
Следовательно, функция / (х) не интегрируема на [0, 1] в рассматриваемом
смысле (ч. т. д.).
Как следствие этой теоремы, мы имеем: если f(x) интегрируема на
[О, 1], множество всех точек несуммируемости функции /(х) на [0, 1]
необходимо является счетным замкнутым множеством, т. е. ?гриводимым
множеством. Отсюда: каждая функция / (х), интегрируемая на [О, 1] *
указанном смысле, является функцией, интегрируемой процессом Дюбуа-
Реймона — Лебега и a fortiori процессом Данжуа, и значения всех
этих интегралов равны.
3. Рассмотрим теперь определение интеграла Бореля, вводя ограничение,
о котором мы говорили выше (1) (стр. 254), т. е. рассматривая только
такие системы интервалов исключения (ВП) Сп) (п = 1, 2, 3,...), для которых
a priori существует предел обобщенных сумм Римана.
Прежде всего легко проверить следующие две теоремы:
I. Если / (х) интегрируема на [0, 1] в смысле Бореля, то / (х)
интегрируема в том же смысле на произвольном интервале (а, Ь)> расположенном
на [0,1]; кроме того, базис интегрируемости функции / (х) на (а, Ь) является
частью базиса интегрируемости / (х) на [0, 1], содержащейся в (а, Ь).
II. Если / (х) интегрируема на [0, 1] в смысле Бореля и интеграл
Бореля от / (х) по интервалу (0, х) обозначен через В {х)у функция В (х)
является непрерывной функцией на [0, 1] бесконечно малой вместе с х.
Теперь докажем следующее предложение:
Теорема. Если f (х) интегрируема на [0, 1] в смысле Бореля к,
кроме того, базис интегрируемости Av Л2, A3,...f ЛП1... является
множеством точек, всюду плотным на [О, 1], функция / (х) необходимо
суммируема на [0, 1] в смысле Лебега.
Предположим, что это предложение не имеет места. Пусть / (х) —
измеримая функция, конечная почти всюду на [0, 1] и не суммируемая на
[О, 1] в смысле Лебега.
Пусть Е+— множество точек отрезка [0, 1], где / (я)^0, и Е~—
множество точек, где / Ог)<0. Так как функция |/(г)| не суммируема на
[О, 1], то хоть один из двух интегралов Лебега
S \f{x)\dxt [\f(x)\dx
равен + со.
а) Предположим сначала, что только один из этих интегралов равен
+ оо (например, первый), а другой имеет конечное значение. Так как функ-

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
255-
ция \f(x) \ является измеримой функцией на [0, 1], то всегда можно найти
совершенное нигде неплотное множество Plt содержащееся во множестве-
Е+ и обладающее следующими свойствами:
1. mes (Е+— Рх) = а\ а'>0и сколь угодно мало.
2. Функция /(х) непрерывна на Рг.
3. Рг не содержит ни одной точки базиса Аг, А2, Az, . . . , АП1 . . .
Точно так же, если mes E~^>0, всегда можно найти такое
совершенное нигде неплотное множество Р2, содержащееся во множестве Е~
и не содержащее ни одной точки базиса, чтобы функция / (х) была
непрерывна на P2f и mes (2?~ — Р2) = а". Если мы имеем mes E~ = О,
мы положим в дальнейшем Р2 = 0.
Рассмотрим теперь совершенное множество Р
Р = Рг + Р2.
Очевидно, что f(x) есть функция, непрерывная на Р; кроме того, мы
имеем
mes Р = mes Рг + mes Р2 = 1 — (а; + О-
Положив о7 + z" = о и обозначив через {Вп, Сп) все смежные интервалы
множества Р, мы имеем
оо
2 mes (Bn, Сп) = о.
Мы возьмем теперь эти интервалы (5П, Сп) за интервалы исключения,,
употребленные в определении интеграла Бореля. Так как функция / (х)
непрерывна на Р, обобщенные суммы Римана, построенные при помощи
интервалов исключения (5П, Сп) согласно правилам определения интеграла
Бореля, обязательно стремятся к некоторому пределу, когда h\ стремите»
к нулю. Этот предел есть, очевидно,
\f{x)dz=\f(z)dx+\f(x)dx.
Р Рг Рг
Когда j стремится к нулю, первый интеграл в правой части равенства
стремится, очевидно, к + сх>, а второй стремится к J f(x) dx, т.е. стре-
мится к конечному значению.
Следовательно, \ f(x) dx стремится к + оо, когда а стремится к нулю.
р
Этот выбор интервалов исключения является специальным выбором,,
но нетрудно видеть, что любой выбор интервалов исключения всегда
приведет к 4- оо. Следовательно, функция f (х) не интегрируема в смысле-
Бореля, что противоречит нашему предположению.

256
Н. Н. ЛУЗИН
б) Рассмотрим теперь второй случай, когда мы имеем одновременно:
\ \f(z)\dz= + ooR\\f(x)\dx=+oo.
В этом случае мы имеем, очевидно, mes.fi4";> 0 и mes £~>0. Построим,
как в предыдущем случае, совершенные множества Рх и Р2. Очевидно,
интеграл \f{x)dx стремится к -f oo, когда о' стремится к нулю,
что
S f(x)di
и точно так же ) f (x)dx стремится к — со, когда о стремится к нулю.
р%
Но выбор множества Рх независим от выбора множества -Р2.
Следовательно, мы можем заставить числа о и а" одновременно
стремиться к нулю таким образом, чтобы сумма
\ № dx + \ f(x)dx
Рх Pt
колебалась как угодно между +оо и —ос.
Обозначив через Р сумму Рг + Р2 и через (Вп,Сп) (л = 1, 2, 3, ...)
все смежные интервалы множества Р, мы находим, как и в
предыдущем случае, в силу непрерывности f(x) на Р, что предел обобщенных
сумм Римана, построенных при помощи интервалов исключения (ВП) СЛ),
•есть
\f{x)dx = \ f(x)dx + \j(z)dz.
Рх Pt
Следовательно, этот предел колеблется между + оо и —оо, когда
а = о' -\- а" стремится к нулю. Мы можем выбрать последовательность
систем интервалов исключения таким образом, чтобы она привела к
какому угодно числу1. Следовательно, f{x) не интегрируема в смысле Бо-
реля, что противоречит нашему предположению (ч. т. д.).
В качестве следствия предыдущей теоремы мы заключаем, что обе
функции
(i-sini-)-x(*) и (ts1u *) + *(*)>
где х(х)—функция Дирихле, равная нулю для рационального х и
единице для иррационального х, не интегрируемы на [0, 1] прямым процес-
1 В определении интеграла Бореля в Encyclopedie des Sciences Mathematiques
(ч. II, т. 1, кн. 2, стр. 187) нехватает одного пункта: не уточнен выбор интервалов
исключения. При помощи данного выше рассуждения легко видегь, что без этого
ограничения определение интеграла, данное в Encyclopedie, становится эквивалентным
определению Лебега.

0 ПОНЯТИЙ ИНТЕГРАЛА
257
сом Бореля; однако оци интегрируемы методом Дюбуа-Реймона — Лебега
и a fortiori методом Данжуа.
Теорема. Если f (х) интегрируема на [О, 1] в смысле Бореля, то
точки несуммируемости функции / (х) на [0, 1] образуют нигде не плотное
множество.
Предположим, что предложение не имеет места. В этом случае
существует такой интервал (а, Ь), на котором / (х) нигде не суммируема в смысле
Лебега, и на котором каждый базис интегрируемости функции / (х) всюду
плотен. Следовательно, / (х) не интегрируема в смысле Бореля на (а, £),
что невозможно (ч. т. д.).
Отсюда видно, что функции / (х), интегрируемые процессом Бореля,
образуют класс функций, имеющих довольно специальные свойства.
Отправляясь от предыдущих соображений, можно без труда доказать
более общее предложение:
' КаэнЯая функция f (я), интегрируемая на [0, 1] в смысле Бореля,
необходимо тотализуема на [О, 1], и численные значения интегралов Бореля и
Данжуа равны.
Мы не останавливаемся на доказательстве этой теоремы.
4. Обобщенная производная. Хотя функции / (я), интегрируемые
в смысле Бореля» обладают довольно специальными свойствами,
определение интеграла Бореля представляет большой методологический интерес;
в частности, следуя пути Бореля1, мы находим другие интересные
проблемы.
Рассмотрим, например, непрерывную функцию F (х), определенную
следующей формулой:
00
F(x)= ^An(x-rn)*sm * t,
n=l {X Гп)
где г19 г2, г3, . .. ,гп, ... — рациональные числа отрезка 10, 1], а
коэффициенты Alt А2, Аг>«.., Ап,... — действительные^1 числа,
удовлетворяющие неравенству
Легко показать, что при этих условиях мы будем иметь:
а) Каково бы ни было целое число \ (Х;>1), ряд
со .
/х (*) =2А»-Вг [(Х- Гп)2 Sin li^p]
абсолютно сходится всюду на [О, 1],.кроме, быть может, точек множества
меры нуль.
1 См. в особенности сообщение Бореля на 5-м интернациональном конгрессе
математиков в Кембридже: «Определение и область существования однозначных
моногенных функций». Определение производной данное Борелем для функций
комплексного переменного, применимо и к функциям действительного переменного.

258
H. H. ЛУЗИН
б) Непрерывная функция F (х) имеет функцию Д (х) своей производной
всюду, кроме, быть может, точек множества меры нуль.
Кроме того, можно было бы показать, что можно выбрать бесконечным
множеством способов такие коэффициенты Al7A2,Az, ... ,Ап>..., чтобы
измеримая функция Д(:г) была не суммируема ни на каком интервале (а, Ь),
расположенном на [0, 1]. При этих условиях производная функция f^x)
не интегрируема на [0, 1] ни в смысле Бореля, ни даже в смысле Данжуа
и одна из ее примитивных функций дана формулой
F(z) =2 лп (я — Ы2 sin (JZ^rji .
n«*l
Таким образом мы, естественно, приходим к постановке следующих
вопросов: является ли эта примитивная функция F (х) примитивной
функцией, наиболее тесно связанной со своей производной функцией fx(x)?
Существует ли такой регулярный процесс, который, если его применить
к значениям функции Д(я)» Дает> в конце концов, эту примитивную
функцию F(x)?
Повидимому, если такой регулярный процесс существует, то он
применим к функции fx(x) и дает, в конце концов, функцию /x_i(s). Взятый в этом
смысле неопределенный интеграл оказался бы разрывной функцией своего
верхнего предела.
Следуя идеям Бореля и отправляясь от предыдущих рассмотрений, мы,
естественно, приходим к обобщению понятия произодной функции.
Пусть F (х) — данная на [0, 1] измеримая функция, вообще,
разрывная. Возьмем совершенное нигде неплотное множество Ру на котором
F (х) непрерывна (относительно Р). Пусть Ф (х) — функция, непрерывная
на всем отрезке [0, 1], равная функции F (х) на множестве Р и
изменяющаяся линейно на каждом смежном интервале множества Р. Может
случиться, что функция Ф (х) имеет производную функцию всюду на [0, 1],
кроме, быть может, точек множества меры нуль. Предположим, что для
функции F (х) сутцествует такая последовательность совершенных нигде
неплотных множеств
* 1» *2> *3» • • • » -<п> • • • ,
что lim mes Pft=l и что последовательность соответствующих функций
Ф' (предполагаемых существующими)
Фь ©2, Фа, • • • ,Фп' . . .
стремится к предельной функции всюду на [0, 1], кроме, быть может,
точек множества меры нуль. Обозначим эту предельную функцию через/ (х)
ц назовем ее обобщенной производной функцией от данной функции F (х).
При этих условиях вероятно, что функция

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
259
является обобщенной производной функцией от функции
с точностью до множества меры нуль.
Тригонометрическое определение интеграла
Пусть f(x) —функция, интегрируемая в смысле Римана на [0, 2те].
Рассмотрим тригонометрический ряд
со
у+ 2j Ontosnx + bnsinnx9
где коэффициенты определены формулами Фурье:
ап = — )f{a)cosnada (п = 0,1,2,3, .. .)>
о
2л
bn= — j /(a) sinлаda (гс = 1, 2, 3, . . .)•
Таким образом мы ставим в соответствие каждой функции / (#),
интегрируемой в смысле Римана, ее собственный тригонометрический ряд
Фурье
оо
/ (х) ~ -у + 2 an cos /w; + in sin /га:.
Если мы не берем определения интеграла Лебега, то существуют
тригонометрические ряды, сходящиеся всюду на [0, 2те],
/ ОО
^1 _|_ 2 Лл cos дд: + ^л s*n п:с >
П-1
которые не являются рядами Фурье в смысле Римана. Но если
принять определение интеграла Лебега, то бесконечное множество
таких тригонометрических рядов становится рядами Фурье. Таким
образом класс сходящихся всюду тригонометрических рядов разделяется
на два класса:
I класс: ряды Фурье,
II класс: ряды не-Фурье,
и легко видеть, что класс I расширяется по мере того, как мы берем все
более и более общее определение интеграла.

260
H. И. ЛУЗИН
Можно сказать, что идея ряда Фурье изменяется вместе с эволюцией
понятия интеграла. Но если принять определение интеграла Данжуа, мы
все еще не сделаем ряда Фурье из каждого сходящегося всюду
тригонометрического ряда: в самом деле, существует бесконечное множество
тригонометрических рядов, сумма которых конечна для каждого значения
х отрезка 0<^ х < 2гс и не интегрируема в смысле Данжуа. Так как
невозможно найти характеристическое свойство, которое определяет разницу
между первым и вторым классом тригонометрических рядов, то отсюда
следует заключить, что эту разницу между рядами Фурье и рядами не-
■Фурье составляет только отсутствие достаточно общего определения
интеграла [6].
Это наводит на мысль — воспользоваться теорией тригонометрических
рядов для обобщения понятия интеграла.
Рассмотрим тригонометрический ряд
оо
fy(x) = ^ + 2 ап cos пх + Ъп sin пх, (1)
п-1
сумма которого f(x) конечна в каждой точке х отрезка [0, 2тс] и, вообще,
не интегрируема в смысле Данжуа. В силу знаменитой теоремы Кантора,
не существует никакого другого тригонометрического ряда, сумма
которого тоже равнялась бы / (х) в каждой точке х. Следовательно, ряд (1)
является единственным тригонометрическим рядом, представляющим
функцию / (х) для каждого х. Поэтому мы с полным правом можем
рассматривать функцию / (х) и ряд (1) как наиболее тесно связанные друг с другом,
а ряд (1) — как характеристический ряд для единственной функции / (.г).
Поэтому мы можем рассматривать коэффициенты ряда (1)
а0, ап, Ьп [п = 1, 2, 3, ...)
как получаемые из функции / (х) применением неизвестного процесса
[30], который для первого коэффициента а0 мы можем также назвать
процессом интегрирования и написать
о
где символ ] является, по определению, символом неизвестной операции
интегрирования.
Но эта точка зрения дает определение интеграла только на всем отрезке
ь
[0, 2к] и не дает возможности определить \ /(су.)da, где интервал (а,Ъ)
а
является произвольным интервалом на [0, 2тг]. Чтобы избежать этого
затруднения, сделаем следующее.

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА 261
Рассмотрим a priori в соответствии с рядом (1) следующий ряд
п=1
Ь
с + -^ х + 2 — vcos nx + ~тsin nx' (2)
где С — произвольная константа.
Так как ряд (1) сходится на множестве положительной меры, коэф^и-
циенты ап, Ьп стремятся к нулю вместе с —. Следовательно, согласно
теореме Фату1, ряд (2) сходится всюду, кроме, быть может, точек
множества меры нуль. Пусть Е — множество всех точек сходимости ряда
(2) на [0, 2тг]. Мы имеем
mes Е = 2* .
Обозначим через S (х) сумму ряда (2); х принадлежит множеству Е.
Пусть ^ и ?2 — Две точки множества Е. Назовем, по. определению,
разность
s (У - s (у
определенным интегралом от / (х) на интервале (?х, Е2) и напишем
£(«-£&) = j/(a)cfaf
где символ \ является, по определению, символом неизвестной операции
интегрирования.
Но это определение интеграла заставляет нас показать, что мы
никогда не придем к противоречию с определением интеграла Лебега,
ставшего теперь классическим. Другими словами, мы должны показать,
что если f(x) суммируема внутри произвольного интервала (а, Ь),
расположенного на [0, 2тс], и точки 5Х и £2 лежат внутри (a, b)> то число
S (S2) — S (Si) всегда равно интегралу Лебега
е»
\f(a)da.
St
Эта тождественность обоих определений несомненно имеет место,
когда f(x) суммируема на всем отрезке [0, 2тс]. В самом деле, согласно
классической теореме, мы можем интегрировать ряд (1) почленно между
произвольными точками £х и ?2. Нетрудно видеть, что число S (S2)—S (Si)
представляет ряд (1), проинтегрированный между £х и £2.
Следовательно, мы должны теперь обобщить эту теорему и доказать
возможность интегрировать почленно произвольный тригонометрический
ряд.
1 Acta Mathematica, 30, 379, 1906.

262
н. н. лузин
Теорема. Если тригонометрический ряд {вообще, не-Фуръе—Льбега)
со
ТГ "Ь 2 #nCOS>i£ + bnsin пх m
п-1
сходится в каждой точке х интервала (а, 6) и имеет суммой функцию
f(x), суммируемую на (а, b)t то можно интегрировать ряд (1) почленно
внутри (а, Ь).
Пусть S2 и £2 (?1<У — две точки, внутренние для интервала (а, 6).
Возьмем две другие точки ?1и$2, такие, что а<^<^ и S2<^2<6.
Определим функцию Д (я) так, чтобы Д(я)=/(*) Ддя ?1<^<^и
Д(#)=0 вне интервала (?ь Ег). Функция Д (я) суммируема на [0, 2я].
Пусть
/i (я) y~ + 2 а* cos пх + b'n sin ля (3)
— ряд Фурье —Лебега, соответствующий функции Д(#).
Так как сходимость произвольного тригонометрического ряда,
представляющего функцию, зависит только от поведения этой функции в
окрестности рассматриваемой точки, ряд Фурье (3) сходится в каждой
точке х, внутренней для (£ь ^)> и его сумма равна / (х) на (£i<£<£2).
Ряд (3) есть ряд Фурье — Лебега; следовательно, мы находим, что ряд
С + 4г-а+ 2 ^vo$nx + —sinnx (4)
X
равномерно сходится внутри [0, 2тс] и представляет j Д (a) da, т. е. непре-
о
рывную функцию я и с ограниченным изменением. Рассмотрим теперь два
следующих ряда:
оо
F1(x)=A+Bx+-^-x*+ 2->-cos«* + i=-sinns (5)
П—1
F2(x) = C' + C'x + -^x> + fj ^-совлж+i-sinw:. (6)
n-l
Коэффициенты a*, bn и ал, tn стремятся к нулю вместе с —, так как
ряд (2) сходится на множестве положительной меры, и ряд (3) есть ряд
Фурье — Лебега. Следовательно, ряды (5) и (6) равномерно сходятся на
[О, 2тс], и функции Рг(х) nF2(x) непрерывны на [0, 2*]. Так как суммы
рядов (2) и (3) равны внутри (Si,^), то непрерывные функции Fi{x) и

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
263
F2(x) имеют, согласно хорошо известной теореме Римана, равные
обобщенные вторые производные внутри (Si', Si). Отсюда следует, согласно
теореме Шварца, что разность F1(x) — F2(x) является линейной функцией
ва (Si, 5г), и, следовательно, на (Si, Е^мы имеем равенство
ЛИ =**>(*) *** + £, (7)
где К я L — константы.
Тогда на (Si, h) мы получаем равенство
2 —sT cos га H—г sin ад =
п=1
00 / ,
= А1 + В1х + С1х*+ 2 ^cosra + -^-sia"*> (8)
n-l
где Сх = 4"+— •
В силу предыдущего, правая часть равенства (8) имеет на [0, 2к]
непрерывную производную с ограниченным изменением.
Ряд
~ п2 ' л2
является результатом почленного интегрирования ряда Фурье — Лебега
со
cos пх Н sin пх. (9)
Ряд (9) сходится всюду на [0, 2к], кроме, быть может, точек
множества меры нуль (согласно цитированной теореме Фату), и его сумма
является функцией с суммируемым квадратом. В силу равенства (8) мы
видим, что сумма ряда (9) равна почти всюду на (Si, S2) непрерывной
функции с ограниченным изменением. Обозначим через Ф (х) сумму ряда
(9) там, где она существует. Очевидно, что значения функции Ф (х) на
{Si, S2) являются почти всюду значениями непрерывной функции с
ограниченным изменением на (Si, £2)- Я утверждаю теперь, что ряд (9)
равномерно сходится внутри (Ei, 62) к этой непрерывной функции с
ограниченным изменением. В самом деле, возьмем новую функцию /2(#),
которая в точках, внешних к (Si, S2), равна сумме ряда (9) там, где она
существует, а на (Si, S2) равна рассматриваемой непрерывной функции с
ограниченным изменением. Мы видим, что функция /2 (х) с суммируемым
квадратом и ее тригонометрический ряд Фурье — Лебега
// 00
h (х) ~ Ц- + 2 an cos пх + Ьп sin пх (10)

264
Н. Н. ЛУЗИН
00
равномерно сходятся внутри (?i, 2г)- По теореме Парсеваля ряд2Дяп)2 +
n-«i
+ (Ьп)2 сходится. Отсюда следует, что разность тригонометрических
рядов (9) и (10) является тригонометрическим рядом
оо
2" + 2 а* cos пх + №n s*n nx (И)
п-1
Фурье — Лебега от функции с суммируемым квадратом, так как ряд
00
2ап+ Рп сходится; кроме того, эта последняя функция равна нулю поч-
п=-1
ти всюду на [0, 2ir]. Следовательно, мы имеем тождественно о0 = О, ап = О,
рл = 0 (/г = 1,2,3; . . .) и, следовательно, ряд (9) равномерно сходится
внутри [Si, £2]-
Установив это, мы выводам без затруднения из равенства (8)
следующее равенство для каждой точки х, внутренней для интервала (£ь £2)
00 00 /
•^-1+ 5j ~ cos nx + -n- sin nx = -£-x -f У\ -cosnx+ — sinnx+L,
n=l n—1
где Lx — константа.
Если обозначить левую часть через S (#), то в конце концов мы
имеем желаемое равенство:
*(«-*&) = J/(«)«**
Si
(ч. т. д.).
Таким образом мы доказали возможность интегрирования в смысле
Лебега произвольных тригонометрических рядов и, следовательно,
соответствие тригонометрического определения интеграла с интегралом
Лебега. Весьма вероятно, что тригонометрическое определение интеграла
не противоречиво также и с определением Данжуа.
Существенным пунктом в определении интеграла является
предположение сходимости тригонометрического ряда
/ (х) = -г- + 2 ап cos nx + bn sin nx (1)
Z п-1
в каждой точке отрезка [0,2гс]. Это предположение необходимо для
утверждения, что существует только один тригонометрический ряд,
представляющий функцию / (х). Очевидно, можно расширить это предположение,
предполагая ряд (1) сходящимся всюду, кроме, быть может, счетного

О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА
265
множества точек отрезка [0, 2гс]. В самом деле, можно утверждать, как и
выше,' что мы имеем только один тригонометрический ряд1,
представляющий функцию f (х). Определение интеграла от / (х) так же, как и все
предыдущие рассуждения, остается без изменения.
Было бы очень интересно узнать, можно ли допустить, что ряд (1)
сходится всюду, кроме, быть может, множества меры нуль, так как тогда
определение интеграла получило бы большую общность. Но для этого
необходимо доказать, что тригонометрический ряд, сумма которого равна
нулю всюду, кроме множества меры нуль, всегда имеет все коэффициенты
тождественно равными нулю. Следовательно, нужно обобщить теорему
Кантора о единственности разложения в тригонометрические ряды. Но
нам не удалось ни доказать эту важную теорему, ни построить
противоречивый пример 2. Во всяком случае очевидно, что данное определение
интеграла применимо к каждой функции / (х), пред ставимой
тригонометрическим рядом, сходящимся всюду, кроме, быть может, счетного множества
точек.
Нужно указать особенность данного определения: здесь, вообще,
интеграл не является' больше непрерывной функцией своего верхнего
предела; вообще, это — разрывная функция. Но мы немедленно видим, что
интеграл является функцией с суммируемым квадратом от своего
верхнего предела. Таким образом при дальнейших обобщениях понятия
интеграла за пределами интеграла Данжуа понятие неопределенного интеграла
и понятие примитивной функции станут, вероятно, совершенно
различными.
Замечание
Настоящий мемуар был написан в 1914 г., но не мог быть напечатан
ранее в силу некоторых обстоятельств. Вот почему я не мог упомянуть
ни о работах G. С. Young (A note on derivates and differential coefficients,
Acta Mathematica, 37, 144, 1912; Sur les nombres derives d'une fonction,
Comptes Rendus, 162, 380, 23 марта 1916); W. H. Joung (Sur les fondements de-
latheorie de 1'integration, Comptes Rendus/162, 909,43 июня 1916), ни о
чрезвычайно важных работах Данжуа (Memoire sur les nombres derives des
1 Young, A Note on Trigonometrical Series, Messenger of Mathematics, 38, 44,
1909.
2 Если существуют тригонометрические ряды, сходящиеся почти всюду к нулю,
коэффициенты которых не все равны нулю [31], надо наложить дополнительные
ограничения на ряд (1). Например, можно рассматривать только такой ряд (1), что
сопряженный тригонометрический ряд является тригонометрическим рядом Фурье —
Лебега от суммируемой функции /(*). В самом деле, легко построить такую
суммируемую функцию g(z), что тригонометрический ряд, сопряженный ряду Фурье —
Лебега функции g(x), сходится почти всюду к функции /(я), не суммируемой ни на
каком интервале (а, Ь), лежащем на отрезке [0, 2те]. Очень вероятно, что для
данной функции / (х) существует только один тригонометрический ряд такой
природы [32].

266
Н. Н. ЛУЗИН
fonctions continues, Journal de Mathematiques, 105—240, 1915; Sur les
fonctions derivees sommables, Bulletin de la Societe Mathematique 'de
France, 43, 161—248, 1915), так же как о моих последующих результатах
напечатанных в моей диссертации (Интеграл и тригонометрический ряд
Москва, 1915)*.
Некоторые из результатов этого мемуара были мною опубликованы
в Gomptes Rendus (Sur les proprietes des fonctions mesurables, C. R., 154
{1912); Sur les proprietes de Tintegrale de M. Den joy, C. R., 155 (1912))**.
* Настоящий том, стр. 48.— Ред.
'* Настоящий том, стр. 41 и 43.— Ред.

О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ*
1. Я ставлю себе здесь целью получить одно общее свойство
конформного отображения области, ограниченной самой общей простой
спрямляемой кривой R, на круг С.
Известно, что Каратеодори доказал замечательную теорему, в силу
которой при конформном отображении области, ограниченной простой
кривой Жордана /, на круг С соответствие между границами / и С
является взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Возникает вопрос: будет
ли это соответствие в случае, когда кривая / является спрямляемой
кривой R,таково,что каждому множеству точек кривой R,имеющему меру нуль,
соответствует множество точек периферии С также меры нуль, и обратно.
Поставленный вопрос допускает точный и утвердительный ответ, но
доказательство этого факта трудно. Цель этой заметки — дать некоторый
неполный результат, который, однако, необходим для окончательного
разрешения поставленной проблемы.
2. В качестве исходной точки возьмем следующую теорему, которая
строго доказана:
Обобщенная теорема Фату. Каждая аналитическая
функция, голоморфная и ограниченная внутри области, ограниченной
простой спрямляемой кривой R, во всех точках кривой R (кроме, быть
может, точек множества меры нуль) принимает вполне определенное
значение, если стремиться к каждой из этих точек по любому пути, не
касательному к кривой Я.
Эта теорема кажется сначала легким и немедленным расширением
теоремы Фату (сам Фату доказал ее для случая круга); но строгое
доказательство этой теоремы представляет некоторые трудности: единственный метод,
который обобщает рассуждение Фату,— метод конформного отображения;
но метрические свойства конформного отображения на периферии в общем
случае неизвестны. Строгое и прямое доказательство этой теоремы, данное
В. В. Голубевым1, несколько тяжело по причине длинных
предварительных вычислений. Но важно отметить, что это доказательство вовсе не
* Sur la representatioD conforme, Изв. Ивано-Вознес. политехи, ин-та, 2,
77—80, 1919.
1 В. В. Голубев, Однозначные аналитические функции с совершенным
разрывным множеством особых точек, Москва, 1916, стр. 47.

268
Н. Н. ЛУЗИН
использует конформного отображения. Мы будем следовать обратным
путем и, опираясь на эту теорему, рассматривать метрические свойства
конформного отображения.
3. В этой заметке мы установим следующий результат:
Теорема. Конформное отображение области Dy ограниченное
простой спрямляемой кривой R, на круг С ставит в соответствие каждощ
множеству точек £ положительной мери на контуре R множество точек
Е на окружности С, мера ноторого также не равна нулю.
В самом деле, допустим, что mes £ > 0, a mes E = 0. Допустим
существование такой функции / (z), голоморфной и ограниченной внутри круга С,
которая не стремится ни к какому пределу в каждой выбранной точке z0
множества Е, если приближаться к этой точке по любой кривой Жордана,
расположенной внутри круга С и заканчивающейся в z0. Пусть z = cp(Z)—
преобразование, осуществляющее конформное отображение круга С на
область D. Функция f[v{Z)] голоморфна и ограничена внутри R и
такова, что она неопределенна в каждой точке z0 множества £, каков бы
ни был путь, заканчивающийся в z0. Но mcs^^>'k0, что противоречит
обобщенной теореме Фату (ч. т. д.).
4. Итак, мы пришли к необходимости доказать существование
функции f(z) для каждого данного множества Е моры нуль. Переходим к
построению этой функции.
а) Функция, соответствующая точке. Мы предположим,
что окружность С имеет центр в начале координат и радиус единица.
Пусть а — точка окружности С, a = ei0. Этой точке а поставим в
соответствие функцию
обладающую следующими свойствами: 1. Ф (z\a) голоморфна всюду,
кроме полюса а. 2. Внутри С мы имеем ReelO (z\a) >0. 3. Если ? —
произвольная окружность, внутренняя к периферии С и касающаяся ее в точ-
ке а, мы имеем вдоль 7 равенство: ReelO (z\a) = — , где d —диаметр у,
р) Функция, соответствующая совершенному
множеству. Пусть р — совершенное множество иа окружности С, определенное
смежными дугами (аПу Ьп)у п = 1,2,3, ... ; пусть an — длина дуги (an, Ьп).
Этому^ множеству р соответствует функция
со
«(ф)=Зап[Ф(фп)+Ф(#п)],
П-1
обладающая, в силу а), следующими свойствами: 1. ty(z\p) голоморфна
всюду, за исключением точек множества р. 2. Мы имеем, внутри С7
Reelty (2|р)>0. 3. Пусть f и т""- Две окружности, внутренние к С,
касающиеся периферии С в точках ап и Ьп и соприкасающиеся друг

0 КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ 269
с другом; их диаметр, очевидно, меньше оп; обозначим через Гр
соединение точек, внутренних кругам ?, когда л = 1,2,3, . .. ; в силу
свойства 3, а) мы имеем, в Гр, Reel 6 (z\p) > 1. С другой стороны, проведем
круги, описанные на радиусах (0, ап) и (О, ЬЛ), п =1,2,3, ... , как на
диаметрах; обозначим через Dv соединение точек, внутренних этим кру-
оо
гам; в силу свойства 3, о) мы имеем Reel ty (я|£)< 2 ^ <*n для всех то-
п-1
чек z, внутренних к С, которые не принадлежат Z>p. 4. Пусть Д —
область, расстояние которой от совершенного множества р равно d, d^>0;
мы имеем в Д очевидное равенство:
|*(*ик-т2«п.
1
^Выведенное совершенное множество. Пусть е — данное
положительное число; пусть р — совершенное множество на С, не
содержащее ни одной точки множества Е. Выведем из р другое совершенное
множество рх. Для этого поместим на каждой дуге (ап, Ьп), смежной
множеству р, совершенное множество gn, содержащее обе точки ап и Ьп
и не содержащее ни одной точки множества Е. Соединение Q = р + qL+
+ Q2 + • • • + Яп + • • • является совершенным множеством; пусть slt
s2> . . • , Sm* • • • — Дуги, смежные множеству q. Ясно, что расстояние
от дуги sm до множества Dp не равно нулю; обозначим его через dm,
dm^>0. Так как mesE = 0, мы можем заключить (в узком смысле) все
точки множества Е1 расположенные на sm, в систему дуг, не перекры-
вающихся (и даже без общих концов), сумма длин которых <^е
—.Рассмотрим совершенное множество рг, которое получается исключением из
С всей этой системы дуг; мы скажем, что это множество рх есть
множество, выведенное из р посредством числа е. Ясно, что множества ГР1 и
Dp не имеют, ни одной общей точки; легко видеть, что мы имеем
IФ (z\Pi) I <С е* Для каждой точки множества Dp.
8) Существование искомой функции. Пусть ех + е2 -J- . ..
•..+ ел + . . . <С —, где еп> 0. Возьмем совершенное множество, не
содержащее ни одной точки множества Е, и обозначим его через р0. Пусть
Рх — совершенное множество, выведенное из р0 посредством eL; пусть,
вообще, pj—множество, выведенное из рп-\ посредством ел.
Очевидно, что функция
CI (z\E) = 6 (z\p0) + Ъ (z\Pl) + . . . + ф (z\pn) + . . .
такова, что ReelQ>0 внутри С и ReelQ становится бесчисленное
множество раз равной х/3 и 1 на каждой кривой [Жордана, расположенной
внутри С и заканчивающейся в любой выбранной точке z0 множества Е.
Следовательно, функция е~а^Е^ является искомой функцией . (ч. т. д.).

О СУЩЕСТВОВАНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,
РАВНОМЕРНО БЕСКОНЕЧНЫХ ВБЛИЗИ КУПЮРЫ*
1. Задача ставится так:
HyoiCHO установить {или опровергнуть) существование аналитической,
функции / (z), голоморфной по одну сторону спрямляемой кривой L и такой,
что равномерно \f(z) \—* +°°, когда переменное z описывает
последовательность спрямляемых кривых Ll7 Z,2, L3,..., Lni..., равномерно
приближающихся к L.
Известно, что на несуществовании таких аналитических функций
И. Пенлеве основал вывод интересных свойств, присущих интегралам
дифференциальных уравнений 2-го порядка. В настоящей заметке мы имеем
в виду установить существование указанных функций и, следовательно,
необходимость пересмотра упомянутых свойств интегралов уравнений
2-го порядка.
2. Рассмотрим степенной ряд
?(z)= fjXnA*. (*>
где
°> 2> ^ j^ j> > —натуральные числа.
Полагая
71 2
?n(Z) = 2>^x^,
мы имеем
Очевидно, что в круге С с центром z = 0 и радиусом единица, мы
имеем неравенство
|?п(*)|<Ьо + Х1 + *а + ...+>•»
для /1 = 0,1,2, 3, ...
* Изв. Иваио-Вознес. политехи, ин-та, 5, 20—26, 1922.

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ РАВНОМЕРНО БЕСКОНЕЧНЫХ ВБЛИЗИ КУПЮРЫ 271
Отсюда
|срп(2)|>Хп|2|лп-п_(х0 + х1 + ...+Хп.1). (2)
*^и«
В дальнейшем, часть плоскости, заключенную между двумя
концентрическими окружностями с центром г = 0 и радиусами р' и р", р' < р", мы
будем называть «коронкой» и будем обозначать символом [р', р"].
Из неравенства (2) следует, что в коронке [i -—) , ll мы имеем
неравенство
|?пН|>Хп(1--1г)Хл1Хл-(Х0 + Х1+...+Хп_1). (3)
3. В качестве вспомогательного рассмотрения возьмем
последовательность положительных чисел
^1» ^2> *^8> • • • » Хт, • • ♦ 9
где
хт = \1 —j для т = 1, 2, 3, ...
Известно, что
1
хт —> — , когда т -» -|- оо.
Так как
lnxm = mln(l-^)=-(l+4~ + -T'^ +T-^ + '--) для
т=2, 3, 4, . . ., то отсюда заключаем, что хт стремится к своему пределу
— =р-^7— возрастая. Поэтому мы имеем неравенство
(l - "УЧ-г Д^ т = 1, 2, 3, . .. (4)
1 1
С другой стороны, так как#5 < -у- и яв>-о- > то имеем неравенство
(i - ^)m>4 для m = 6, 7f 8f ... (5)
4. Из неравенства (5) мы заключаем, что неравенство (3) может быть
переписано так:
\on(z)\>^-(k0 + h + -.> + K-i), * =6, 7, 8, ... (6)
Оно имеет силу в коронке (1 -—) ,1 .
5. В целях обнаружения свойств функции <?(z)> обозначим через Си

272
Н. Н. ЛУЗИН
А
окружность радиуса 1 2— и с центром 2 = 0. Очевидно, что внутри
2Хпцп
Сп мы имеем неравенства
Я2 а
<хл+1 (l
2Х:
nV-n,
лп^л+1
Итак, имеем
An+lz
<>Ц^} ^ ^ ДЛЯ/г = 1>2> 3>
(7)
внутри окружности Cn.
6. Мы теперь определяем последовательности натуральных чисел
*1<>2<>3< ..<>П<. .,
1*1 < ?2 < Н < • • • < V-n < • • • ,
полагая
Хп = а*,
где а есть постоянное натуральное число, не меньшее пяти; а ^.5. Кроме
того, полагаем
Vn = n\
В связи с этими определениями неравенства (6) и (7) дают
|м«>|>£-<1 + « + «' + ... + «—) = тг-£т>
Следовательно, при а ^5, мы имеем
|?»(*)|>-£, »=6, 7, 8, ... (6*)
в коронке [(l —-^—) , 1 ]•
С другой стороны, в силу (7) находим
122 j

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ РАВНОМЕРНО БЕСКОНЕЧНЫХ ВБЛИЗИ КУПЮРЫ 273
Следовательно, ири а ^ 5, имеем
22
откуда
Хп+12Х*+1"Л+1
/ 1 \ n+1
<( —1 для /i = lf 2, 3, ...
(7*)
внутри окружности Сп.
7. Сопоставление неравенств (6*) и (7*) нам указывает, прежде всего,
что рассматриваемая функция ср (z)
?(2)- S^^1
(1)
n=»0
есть функция голоморфная внутри круга С радиуса единица, так как,
каков бы ни был круг т с центром 2 = 0 и радиусом р, р<1, он,
начиная с достаточно большого числа п, будет расположен внутрл окружг
ностей Сп, СЛ+1, Сл+2» —.и, значит, члены ряда (1) будут по абсо-
лютнои величине меньше членов прогрессии -j~ + ~о~ + "от + • • •» Щ30
достаточно большом их номере.
Затем, внутри коронки Г(1 —) , (1 ——г—)|, в силу неравенств
(6*) и (7*), мы будем иметь
откуда
C?(Z)
ср (z)
?n (Z) + 2 **Z
A-n+1
4**
>
9n(z)
-2
U» ***
!?(«)1>-п—sr- <8>
В частности, при а = 5 имеем
I i sn
|?(2)|>-^-1
в указанной коронке.
Таким образом функция <p(z), будучи голоморфной внутри
окружности С, равномерно стремится по абсолютной величине к + оо: | ср (z) | ->
-*+оо, когда точка z стремится к периферии С, описывая бесконечную
последовательность неперекрывающихся круговых коронок хх, хг> Хз»~-
• • • >*п, . . ♦, равномерно стремящихся к периферии С.

274 •
Н. H. ЛУЗИН
Здесь мы обозначаем через Хп коронку
8. Легко видеть теперь большее, именно, что имеем | © (z) |-* + х
когда точка z движется к периферии С по всякому радиусу,
наклоненному к положительной части действительной оси под углом
2«
ХжИ-т
где кит суть произвольные натуральные числа:
к, т = 1, 2, 3, ...
Важно отметить, что множество этих радиусов всюду плотно в
круге С.
Для доказательства указанного свойства радиуса, принадлежащего
к этому множеству, мы пишем
откуда
т. е.
о {z) = cpn-i (z) + 2j*vZ ,
I °°
1?(*)|>|Е^
!?(*)!>
ХЯ
— |?n-i(z)|,
-(>ч) + Х1 + ... + )^-1).
(9)
Но так как z, согласно условию, движется к периферии С, следуя
радиусу, наклоненному под углом
X:
Ит
и так как, при определениях Хп = ап, \хп = п\, числа X*pv без остатка
делятся на число X£^m, если v>m, то мы видим, что все члены ряда
со -2
7 iXv
суть положительные числа, когда z следует рассматриваемому радиусу
и когда п^>т.
Отсюда, вдоль этого радиуса неравенство (9) можно написать
I ? (*) I > 2i^ "*- (>-о + *i + ■ • • + X»-!)

ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ РАВНОМЕРНО БЕСКОНЕЧНЫХ ВБЛИЗИ КУПЮРЫ 275
и тем более, ввиду положительности членов суммы:
| ср (г) | >KzX« "*- (Х0 + X, + . _ + Хп.0
или, что то же самое,
\9 (z)\>K\z\X* »»- (к* + \г + .. . +К-1), (10)
следуя всему рассматриваемому радиусу.
Замечая, что правая часть неравенства (10) есть та же самая, какую
имело неравенство (2), мы сразу отсюда заключаем, что имеем неравенств
1?(*)1>-п- (И)
на той части нашего радиуса, которая протекает в коронке
Отсюда ясно, что имеем
1?(*)|-*+<*>. когда |г|-*1,
следуя рассматриваемому радиусу.
9. Из всего сказанного следует, что построенная функция ср (z), в
частое
ности ряд 25*3 *п\ Дает пример функции, голоморфной внутри круга С,
такой, что если из круга С удалить счетное число частей плоскости,
ограниченных полигонами, не пересекающимися и не соприкасающимися ни
между собой, ни с окружностью С, причем эти полигоны имеют
диаметры тем меньше, чем они ближе к С, стремящиеся к нулю, по мере
приближения к С, — то, заставляя двигаться точку z no оставшейся от
круга С части к его периферии, мы имеем равномерное стремление
абсолютной величины функции ср (z) к + ос, т. е. |ср (z) \—> + оо.
10. Отметим, мимоходом, что функция
f(*)=2^k*X"*n (12)
П-0
есть непрерывная функция внутри и на окружности С, так как ряд (12)
есть абсолютно сходящийся ряд всюду на периферии С.
Так как имеем
n*)=4z)-
с определением функции ср (г), данным выше, то отсюда следует, что
производные непрерывных функций f (z) внутри и на периферии С могут
иметь вышеуказанное течение.

276
H. H. ЛУЗИН
Так как ряд
n-0 TV—О
есть ряд сходящийся (у.л = л!), то мы видим, что интеграл
sii/'(*)i2<K
с
распространенный на площадь круга С, есть конечная величина. Отсюда
обратная функция z (w)
w = / (z)
имеет риманову розу конечной площади.
Это обстоятельство связано с многими другими свойствами
аналитических функций, к которым мы имеем в виду вернуться в других
заметках.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
Цель этой заметки — дать очень короткое резюме главных
результатов нашего мемуара под тем же названием, который появится в другом
журнале**. Мы будем опираться на следующий результат1:
Теорема I. Конформное отображение области, ограниченной
спрямляемой кривой, на круг |г|<1 ставит в соответствие каждому
множеству точек меры нуль на окружности \z\ = 1 множество меры
нуль на спрямляемой границе.
Эта теорема может быть применена к разрешению следующей проблемы:
Теорема II. Пусть f (х) — аналитическая функция, голоморфная
внутри круга \ z | <1, и М — множество точек, mes M >0, расположенное
на окружности \z\ = 1. Если f (z) стремится к нулю (или к
бесконечности), когда z стремится к произвольной точке множества М по любому
пути, не касательному к периферии, то функция f (z) тождественно равна
нулю (или бесконечности).
Из каждой точки z0 множества М проведем внутрь круга две прямых,
составляющих каждая угол ~ с касательной в z0, и дугу круга с центром
z0 и радиусом —. Обозначим через /n (z0) = max \f(z) | максимум модуля
значений функции / (z) в построенном секторе.
Функции /п(^о) конечны и измеримы на М\ они сходятся к нулю в
каждой точке множества Л/.
В силу теоремы Д. Ф. Егорова2, существует совершенное множество Р,
mesP>0, на котором последовательность /nW сходится к нулю
равномерно. После того как такое множество выбрано, проведем спрямляемую
кривую следующим образом: она содержит целиком множество Р и,
* Sur Tunicite et la multiplicite des functions analytiques, Comptes Rendus, 178,
456—459, 1924. Совместно с И. И. Приваловым.
** Ann. de l'Ecole Norm. Super., Paris, serie 3, 42, № 6, 1925. (В настоящем
издании, т. I, стр. 280,— Ред.)
1 И. И. Привалов, Интеграл Копш (Диссертация), Изв. Сарат. ун-та, 1918.
Эта диссертация содержит часть результатов, изложенных в другом месте более
полным образом.
2 Д. Ф. Егоров, Comptes Rendus, 30 января 1911.

278
н. н. лузин
кроме того, бесконечное множество пар отрезков прямых, проведенных с
обоих концов каждой дуги, смежной множеству Р, внутрь круга и
составляющей углы -^- с соответствующими касательными.
Обозначим через К область, границей которой является эта
спрямляемая кривая. Отобразим конформно область К на круг 'я|<;1. Пусть
Р1 — множество на окружности |#| = 1, соответствующее множеству Р.
Множество Рг — совершенное и положительной меры (теорема I). При
помощи этого конформного отображения функция / (z) преобразуется в
функцию <Ь(я), обладающую следующими свойствами:
1. <1> (х) голоморфна внутри круга |я|<1.
2. ty (х) непрерывна в замкнутой области |я|<1.
3. 6 (х) равна нулю на совершенном множестве Рг окружности \х\ = 1,
mes Рх > 0.
В силу условия 2 можно взять 16 (х) К1.
Изучение функции ^(х). Легко доказать неравенство:
In |« (Ро^е ) |< -s j In|♦ (?е«)[р^р2Д~соз(е-ео) d6>
где р0<р<1.
Заставим р стремиться к единице; мы видим, что правая часть
стремится к — оо, что дает нам |tb(#)| = 0. Случай, когда f (z) стремится
к бесконечности, сводится к доказанному случаю.
С другой стороны, можно построить функцию f(z), обладающую
следующими свойствами:
1. / (z) голоморфна внутри круга \ z | < 1.
2. Когда точка z стремится к точке некоторого множества Е
второй категории, mes Е = 0, / (z) равномерно стремится к нулю (или к
бесконечности).
Можно построить функцию f(z), обладающую следующими свойствами:
1. f(z) голоморфна внут,ри круга |z|<l.
2. /(z) стремится к нулю (или к бесконечности), когда точка
стремится по радиусу к произвольной точке множества Е окружности,
mes Е = 2тг.
Множество Е — необходимо первой категории.
С другой стороны, существует функция f (z) с такими же свойствами
по отношению к множеству Е второй категории и меры положительной,
но <2тс.
Теорема III. Пусть Е — множество точек на дуге с
окружности |z|=l, положительной меры в каждой порции дуги а, и второй
категории. Если функция f(z), голоморфная внутри круга |z|<l,
стремится к нулю (или к бесконечности), когда точка z стремится по
радиусу к произвольной точке множества Е, то f (z) тождественно раено
пулю (или бесконечности).

0 ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 279
Положим fn(z)=fl—-—z\. Последовательность функций /n(z),
голоморфных в круге | z | < 1, сходится к нулю в каждой точке С множества Е.
Следовательно, если п > п (С), то |/п (С) |< е [п (С) — первое такое целое
положительное число, что для каждого W >л(С) мы имеем |/w(t)|<0]-
Обозначим через Ек множество точек С, для которых п (С) = А. Мы
<будем иметь
Е = Ег + Е2 + .. . + Ек + ... [Ег с Е2 с £3 с ...].
В силу условий, наложенных на £, существуют дуга d', о7ста, и
множество Ek такие, что это множество всюду плотно на а7, и его мера на
-этой дуге положительна. Обозначим через Мм множество а' х Ек. Если
С принадлежит множеству Л/*, мы имеем
! /п (С) |< е для п > к .
Следовательно, 1/п(С)|<С для всех значений п и для каждой точки С,
CcJf*.
Так как функция /л (г) непрерывна на а', и множество точек М* всюду
плотно на этой дуге, мы имеем
!/п(ж)|<С для каждого п и для хао'.
Отсюда следует, что |/(z)|<C в окрестности дуги а'. В силу теоремы
Фату1 и в силу нашей гипотезы, функция / (z) стремится к нулю почти
•в каждой точке множества М*, когда z стремится к этим точкам по
произвольным путям, не касательным к периферии. Отсюда следует
(теорема II), что f(z) тождественно равна нулю.
Можно построить аналитическую функцию f(z), обладающую следую-
(Щими свойствами.
1. /(z) непрерывна внутри круга |zj<4.
2. f(z) равномерно стремится к нулю (или к бесконечности), когда
\z\ стремится к единице.
Особые точки этой функции образуют совершенное множество, всюду
разрывное внутри круга | z | < 1.
1 Acta Mathematica, 30, 389, 1906.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что проблема единственности аналитических функций
чрезвычайно важна как в теории функций, так и в ее многочисленных
приложениях. Эта проблема, изучавшаяся еще в XIX веке, не имела полного
разрешения до настоящего времени.
Классические случаи этой проблемы были разрешены во времена
Вейерштрасса. Это были случаи, когда две аналитические функции /а (z)
и f2(z) совпадали или в общей области, или на некотором бесконечном
множестве точек, принадлежащем их общей области существования, включая
и предельную точку. Эти две вышеуказанные задачи являются
внутренними задачами. Пенлеве первый разрешил проблему единственности
в случае, когда две аналитические функции fi(z).и f2(z), голоморфные по одну
сторону линейного континуума, равны на этом континууме. Только эти
результаты мы и имеем до настоящего времени. Фату в своей
замечательной работе: «Series trigonometriques et series de Taylor»1 поставил
следующую задачу:
Существует ли не тождественно равная нулю аналитическая функция
f (z), голоморфная внутри круга | z|<1 и стремящаяся к нулю на
множестве точек Е, mesi?>0> расположенном на окружности \z\ = 1, если z
стремится к этим точкам по некоторому пути, не касательному к
окружности?
Целью настоящей работы является разрешение этой проблемы, так же
как и других, с нею связанных2.
Анализируя эти проблемы, мы естественно приходим к более общему
вопросу: Дано множество точек Е на окружности \ z | = 1. Какова должна
быть структура этого множества, чтобы аналитическая функция f(z),
голоморфная внутри круга \ z | <^1 и стремящаяся к нулю в точках Е, когда
z стремится к этим точкам по радиусам, была тождественно равна нулю?
* Sur Punicite et la multiplicite des functions analytiques, Ann. de 1'EcoIe Norm
Super., serie 3, 42, «Ns 6, 1925. Совместно с PI. И. Приваловым.
1 Acta Matematica, 30, 389, 1906.
2 Ср. И. И. Привалов, Интеграл Копти 'Изв. Сарат. ун-та, 1918).

0 ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 281
Согласно вопросам, изучаемым в этой работе, мы разделяем ее на
четыре части.
В первой части мы разберем вопросы единственности и
множественности, предполагая, что переменное z равномерно стремится к точкам
границы» Во второй части, разрешив в положительном смысле
вышеупомянутую проблему Фату, мы разберем аналогичные проблемы. Третья
часть посвящена изучению обобщенной проблемы, о которой мы говорили
выше. Наконец, в четвертой части мы разберем проблемы, возможно,
отличные от тех, которыми мы занимались до сих пор, но тесно связанные
с ними* Основной вопрос этой главы — следующий: существует ли не
тождественно равная нулю аналитическая функция / (z), однозначная и
непрерывная внутри круга \ z |<1 и стремящаяся равномерно к нулю во
всех точках окружности | z \ = 1?
Некоторые результаты настоящего мемуара были опубликованы нами
в предшествующих работах1.
Глава I
ЕДИНСТВЕННОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
1. При изучении аналитических функций вблизи особой линии
существенно рассмотреть структуру множества точек этой линии, полностью
определяющего аналитическую функцию ее предельными значениями.
Рассмотрим сначала наиболее простой случай, а именно, случай
аналитической функции, регулярной внутри круга и равномерно стремящейся
к конечным и вполне определенным значениям на некоторой дуге а
окружности. Легко видеть, что эти значения определяют вышеуказанную
функцию единственным образом. Действительно, достаточно доказать, что
всякая функция f (z), голоморфная внутри круга и равномерно стремящаяся
к нулю в точках а, тождественно равна нулю. В силу принципа Шварца
функция / (z) продолжаема за дугу о; следовательно, будучи голоморфной
и равной нулю в каждой точке а, она равна нулю всюду. Итак, в этом
случае проблема единственности имеет тривиальное разрешение. Используя
конформное отображение областей Жордана, мы можем свести самые
сложные случаи нашей проблемы к только что изложенному случаю.
1 И. И. Привалов, Интеграл Копт (Изв. Сарат. ун-та, 1918). Н. Н.
Лузин, О конформном отображении (Изв. Иваново-Вознес. политехи, ин-та, 1919).
Н. Н. Л у з и н, О существовании аналитических функций, равномерно бесконечных
вблизи купюры (там же, 1922; Москва, июль 1923). [В настоящем издании т. I»
стр. 267 и 270.-Р*9.]

282
Н. Н. ЛУЗИН
Пусть f (х) — функция, регулярная только по одну сторону кривой
Жордана J и равномерно стремящаяся к нулю в точках /. Присоединяя
к этой кривой / другую кривую таким образом,чтобы внутри построенной
области D функция / (z) была всюду голоморфна, отображаем конформно
область D на внутренность круга. Очевидно, что функция / (z), голоморф,
ная в Z), будет и после конформного отображения голоморфна внутри
круга и будет равна нулю в каждой точке дуги а его периферии,
соответствующей; кривой / (этот результат является немедленным следствием
теоремы Каратеодори).
Но преобразованная функция равна тождественно нулю в силу
вышеупомянутой теоремы, следовательно, функция f (z) также тождественно
равна нулю.
При помощи аналогичных рассуждений можно показать, что всякая
функцияуголоморфная в окрестности кривой Жордана J и стремящаяся
равномерно к бесконечности во всех точках этой кривой, равна бесконечности
всюду.
Действительно, предположим, что теорема неверна; тогда функция
/ (z)> удовлетворяющая условиям этой теоремы, может иметь только
конечное число нулей в окрестности /, так как в противном случае
множество этих нулей непременно имело бы хоть одну предельную точку на 7,
и,следовательно, f{z) не могла бы стремиться равномерно к бесконечности
в окрестности линии/; значит, в окрестности/ функция/ (z), будучи
голоморфной, никогда не обращается в нуль.
Применяя тогда к функции тгт рассуждения, использованные выше,
1\z)
мы убедимся, что тт-гтождественно равна нулю,и, следовательно, /(z)=oo,
]\z)
что противоречит нашему предположению.
Те случаи единственности, которые мы изложили, являются
классическими. Мы покажем, что к этим случаям можно свести и такие проблемы,
где аналитические функции удовлетворяют аналогичным,но менее
ограничительным условиям.
2. Пусть / (z) — функция, голоморфная внутри круга | z\ <1 и такая,
что, если вырезать из |z|<l круги fi, 7г»--м 7*»"« без общих точек, она
равномерно стремится к нулю в оставшемся связном множестве Д, когда
точка z стремится к произвольной точке периферии С круга (оставаясь
в R).
Мы покажем, что в этом случае f (z) тождественно равна нулю. Для
этого достаточно показать, что / (z) равномерно стремится к нулю в
каждой точке С, когда z стремится к этой точке по произвольному пуш,
целиком принадлежащему кругу |я|<1. Предположим, что это неверно.
Тогда существует последовательность точек
Zi, Z2, . . . , Zn, . ♦ . ,
стремящаяся к некоторой точке zQ окружности С, и такое число а>0,
чт0 l/N|>«.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 283
Эти точки zit при достаточно большом i, необходимо принадлежат
кругам ух, у2, -.., уПу •.♦ Но если | f(zi)\ > а, где zt принадлежит кругу ?*, то
необходимо существует некоторая точка в Я, сколь угодно близкая к yif
В КОТОрОЙ | T\Zi) | >«.
Для определенности обозначим эту точку через з(*). Итак, существует
такая последовательность точек
[*<*>, z<*>, . . ., z(i), . . . (Zd) 6 R) limz^) = z0),
что |/(z(i)) I >cu Мы пришли к противоречию.
Легко видеть, что доказательство останется в силе, если мы
предположим, что функция f (z) равномерно стремится к нулю, когда z стремится
к точкам некоторой дуги о окружности, оставаясь все время в R.
Также очевидно, что теорема останется верной, если вместо кругов
li>T2>'"> Tn>-" пользоваться произвольными жордановыми областями.
Доказанная теорема может быть обобщена следующим образом:
Пусть f (z) — функция, голоморфная внутри онюрдановой области D,
ограниченной кривой J. Мы предположим, что эта функция равномерно
стремится к нулю, когда точка z стремится к некоторой дуге о кривой J,
оставаясь все время в R.
(Мы получим множество R, вырезая из D точки, принадлежащие
замкнутым Областям Tl> Т2>---1 Ym'-O-
fi этих условиях функция f (z) тождественно равна нулю.
Мы опускаем доказательство этой теоремы, заметив, что
рассматриваемый случай приводится к предыдущему при помощи конформного
отображения области D на внутренность круга.
В предыдущих рассуждениях мы всегда предполагали, что пути, вдоль
которых меняется переменное z, абсолютно произвольны, при
единственном условии — принадлежать области или удовлетворять дополнительным
условиям. Тем самым анализ связанных с ними проблем был совершенно
классическим. Заканчивая эту главу, мы устремим наше внимание на
некоторые примеры аналитических функций, для которых проблема
единственности имеет отрицательное решение. Эти примеры тесно связаны
с вопросом, который нас занимает.
3. Существует аналитическая функция f (z)9 регулярная внутри круга
\z\<Ci, модуль которой равномерно стремится к бесконечности, когда
переменное z стремится к периферии по концентрическим окружностям
\г\ =рп, Рп->1, п-юо1.
Рассмотрим ряд
ср(2)= 2xnzx^\ (!)
п=0
где Х0 < Хх < >^< . . ., (л0 < j*! < из < • • • — Целые положительные числа.
1 Н. Н. Л у з и и, О существовании аналитических функций, равномерно
бесконечных вблизи купюры (Изв. Ивано-Вознес, политехи, ин-та, 1922). [В настоящем
издании, т. I, стр. 270.— Ред.]

284
Н. Н. ЛУЗИН
Положив
мы имеем
срл(2) = ?п_1(2)+Хл2л1Хл.
Очевидно, что в круге |z|^l
I «n(2) |<)-о + Ai H Ь К (2)
для п = О, 1, 2, ...
Отсюда следует, что
В дальнейшем мы будем называть кольцом часть плоскости,
расположенную между двумя концентрическими окружностями |z| = р' и |z\ = р",
и будем обозначать это кольцо символом [р', р"].
В силу неравенства (2) очевидно, что в кольце
имеет место неравенство
1<Р« (*) I > >■* 11 J-) Я^я - (>-о + Хг+ • • - + >.n-i) • (3)
С другой стороны, известно, что (1 ) стремится к своему пределу — ,
все время возрастая. Значит
ml ^ Ъ
1-=гГ>т (« = 6,7, ...)• (5)
Применяя неравенство (5) к (3), мы без труда убеждаемся, что
неравенство
|?п(2)|>^-(Х0 + Х1+.-. + ХЯ_1) (6)
имеет место в кольце
[О-^гИ

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 285
Обозначая через Сп окружность | z \ = 1 — 7-^— y щ^ немедленно
усматриваем, что внутри этого круга Сп
К*п
X2 и.
< \ [\ 1 \Xn+l*Si-K
(/i=l,2,....)
Итак, внутри Сп
о 1/ *П+1
( *П+1 V «**+!
(л = 1, 2, 3, ...)•
Xn+l*n+i!
<>
П+1
W-
0)
Во всем предшествующем числа Xi и рч, будучи произвольными,
удовлетворяли только вышеуказанным условиям. Теперь мы определим их
значения более точно.
Положим Хп = яп, где а — целое число: а ;> 5 и у-п = л!.
Тогда неравенства (6) и (7) преобразуются в следующие:
(cpn(z) | > -i— (1 + а + а2 +... + а—*) =
'12
а
~3~
а —1
ал— 1 . ЛМ 1 \^ ап
3 а —1
(6*)
(л = 6, 7, ...)
и имеют место в кольце /1 -— \, 1 .
Далее, в силу (7) внутри Сп мы имеем
Xn+j.Z^n+l^n+l
. _.. , 1 %а»(п+1)
?№
1 \ п+1
(7*)
(и = 1, 2,...)-
Закончив эти предварительные операции, приступаем к основной части
нашего примера. Мы покажем, что ряд (1)
со 2
сходится в круге | z | < 1 .
В самом деле, каков бы ни был круг |z|<p, р<1, несомненно
существует такое достаточно большое число я, что этот круг целиком
расположен внутри кругов Сп, Сп+г,... Но в таком случае, в силу не-

286
Н. Н. ЛУЗИН
равенства (7*), все члены ряда (1), индекс которых достаточно велик,
по абсолютной величине меньше членов ряда
1 +- + -1 +
Следовательно, ряд (1) сходится и представляет функцию, голоморфную
внутри круга | z К1.
Остается показать, что эта функция удовлетворяет искомым условиям.
Применяя неравенства (6*) и (7*) к кольцу
[(* чм.)'!1 **0
мы получим
|cp(z)| =
и a fortior
ТпО
i
о + 2^л
*=п+1
>!?«(*) 1-
оо |
2 М
Л-п+1 1
**»*
>!!-* (8)
1<Р(*)1>?2-1
(так как а ]> 5) .
Построенная таким образом функция ср (г) удовлетворяет всем
вышеупомянутым условиям.
Ее модуль равномерно стремится к бесконечности, когда переменное г
стремится к окружности, оставаясь в кольцах
(* Чч.И1 4и
4. Можно доказать, кроме того, что модуль \ © (z) \ также стремится к
бесконечности у когда переменное z стремится к окружности \ z | = 1
вдоль радиуса, угол которого 9 с положительным направлением оси ОХ
равен k ~y—, где кип — произвольные целые положительные числа
(множество этих радиусов всюду плотно в |z|<]l). В самом деле,
>
Ф (Z) | >
оо 2
2^V
v—n
00 2
v—n
lv.
-(*o +
— |cpn-i(z) | >
x^... + х^)
(9)

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 287
В силу нашей гипотезы ъ стремится к окружности \z\ = l вдоль
радиуса, угол которого Ъ = к —— и Х« = ап, |хп = л!. Но частное
Xnf*n
Фу: *&п бУДет Целым числом, если v > п .
Отсюда следует, что все члены ряда
00 2
2jXv2
— целые числа, если z все время стремится к окружности вдоль одного
из вышеупомянутых радиусов. Тогда вдоль этого радиуса неравенство
(9) выражается так:
00 2
I <Р (*) I > 2 >-vZVv - (Хо + Хх + ... + Хп-0
и a fortiori
| ? (2) !>XnzXtlJIn- (Хо + Хх + . -. + К-г)
или
|<р (z) | >ln\z\Xnlln- (Хо + Хх Ч + Х^) (10)
вдоль рассматриваемого радиуса.
Правая часть неравенства (10) равна правой части неравенства (2),
откуда немедленно следует, что для всех точек нашего радиуса, которые
принадлежат кольцу
±У]
мы имеем
1?(*)|>Г2- <")
Отсюда следует, что | ср (z) | —*> оо , когда | z | —>1 вдоль рассматриваемого
радиуса.
5. Из всего сказанного следует, что построенная функция cp(z), в
частности, ряд
2>
25п-п!
п-»0
дает пример функции, голоморфной внутри круга С, такой, что
если из круга С удалить счетное число частей плоскости Du
каждая из которых ограничена полигоном, не пересекающихся и
не соприкасающихся ни между собой, ни с окружностью С, причем
эти полигоны имеют диаметры, тем меньшие, чем ближе они к С, и
стремящиеся к нулю, по мере приближения к С, —то, заставляя двигаться
точку z по оставшейся от круга С части к его периферии, мы имеем рав-

288
Н. Н. ЛУЗИН
номерное стремление абсолютной величины функции о (z) к + оо , т. е.
| © (z) | -» -f оо .
Обозначим семейство областей А через S, а множество, остающееся
после выкидывания из круга С всех А, — через R.
Множество R — связное множество. Можно построить такую область
R, Rz>R, что |<?(z)| равномерно стремится к бесконечности, когда z
стремится к |z| = l, оставаясь все время в R .
Для этого достаточно только вырезать из |z|<l области D{
семейства «S, {0{}с:{А}, которые заключают нули <?(z); оставшееся
множество R будет областью, и функция <р (z) удовлетворяет в ней
вышеупомянутым условиям.
В самом деле, функция
голоморфна в R, за исключением, может быть, конечного множества
точек, в которых о (z) = 0. Нам остается показать, что ох (z) равномерно
стремится к нулю, когда z стремится к окружности круга |z|<l,
оставаясь все время в R. Предположим, что это неверно. Тогда в R
существует такая последовательность точек
Zi, Z2, . . . , Zn> . . . ,
стремящаяся к некоторой точке z0 окружности | z | = 1 , и такое число
<х>0, что |?i(ztt)|>a.
При достаточно большом п эти точки Zn принадлежат областям {Dm}-
Но, если | срх (zn) | > а, где zn принадлежит области 2)*, то обязательно
существует такая точка области R, столь угодно близкая к Dk> в
которой | cpi (z) | >a. Для определенности обозначим эту точку через z(n>. Итак,
существует такая последовательность точек
zW, z<2), ..., zW, ... [2^6 R), lim *<*> = z0,
что I cpx (z<n>) [ > a. Мы пришли к противоречию.
6. Положив
мы получим функцию, мероморфную внутри круга |z|<l и равномерно
стремящуюся к нулю у когда z стремится к |z| = l, все время
оставаясь в R.
7. Очевидно, что всякая аналитическая функция /(z), мероморфная
внутри круга |z|<l и стремящаяся к нулю [или к бесконечности),
когда z стремится к некоторой дуге а окружности \ z | = 1 вдоль
произвольного пути, не пересекающего полюсов, тождественно равна нулю
(или бесконечности).
Достаточно доказать первый случай нашей теоремы, так как второй
к нему приводится, если рассмотреть функцию -тут •

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 289
Предположим, что теорема неверна. Функция / (z), отличная от нуля,
будучи голоморфна в окрестности а, стремится к нулю в каждой точке а:
мы пришли к противоречию (§ 1этой главы).
8. Все вышерассмотренные функции были голоморфны или мероморфны
внутри круга | z | <1, поэтому естественно возникает вопрос, существует ли
аналитическая функция f (z), f(z)=fc 0, однозначная и непрерывная в круге
И<1, равномерно стремящаяся к нулю, когда \z\ стремится к единице?
Мы разберем эту проблему и ей аналогичные в главе III*
Глава II
ЕДИНСТВЕННОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
СЛУЧАЙ НЕКАСАТЕЛЬНЫХ ПУТЕЙ
9. Проблема единственности аналитических функций, изучаемая в этой
главе, ставится так:
Пусть даны круг С с центром z = О и радиусом единица и множество М
точек, расположенных на периферии С. Предположим, что данная
аналитическая функция / (z), голоморфная внутри С, стремится к определенным
значениям в каждой точке z0 множества Мi когда z стремится к z0 по
путям, не касательным к периферии С.
Какова должна быть структура множества М> чтобы функция f (z)
была определена единственным образом своими предельными значениями
на этом множестве?
Характеристическими свойствами множества М могут быть его
мощность, категория и мера. С этих трех точек зрения главным образом мы и
будем вести наше исследование.
10. С точки зрения мощности вопрос изучался Фату1, который дал
пример функции / (z) со следующими свойствами:
1. / (z) голоморфна внутри круга | z|<l и Reel / (z)>0.
2. / (z) равномерно стремится к бесконечности, когда z стремится
к точкам некоторого множества Р на периферии круга \z\ =1, причем
это множество Р всюду плотно и каждая его порция имеет мощность
континуума.
Полагая fx{z) = е~*(г\ мы получаем пример функции со следующими
свойствами:
1. f±(z) голоморфна в круге |zj<l и непрерывна на его периферии.
2. /x(z) равномерно стремится к нулю, когда z стремится к точкам *
вышеупомянутого множества Р.
1 Fa t ou, loc. cit.
* Здесь имеется в виду, что для каждой данной точки г0£Р стремление
равномерное по всем путям, т. е. каково бы ни было е > 0, существует $>0 такое,
qT0 J / (г) - / (з0) |< е при | z — z01< 8 и \ г ] < 1.- Ред.

290
Н. Н. ЛУЗИН
В указанных, примерах множество Р — первой категории и меры нуль.
11. Так как Р — первой категории, то, естественно, возникает вопрос
существуют ли аналитические функции, для которых множество нулей
*стъ множество второй категории, или, обратно, всегда ли в этом случае
верна теорема, единственности?
Мы разрешим этот вопрос в настоящем параграфе, построив пример
функции со следующими свойствами1:
1. / (z) голоморфна и ограничена в круге \z | <1.
2. / (z) равномерно стремится к нулю, когда z стремится к точкам
некоторого множества Е окружности \z\ = 1, причем это множество Е —
второй категории.
Для этой цели мы используем пример, принадлежащий Витали: пусть
G (а) — непрерывная и возрастающая на интервале (0, 2ъ) функция,
имеющая в каждой точке положительную производную g(а), равную + оо
на множестве Е1 второй категории и меры нуль. Очевидно, что
функция g(a), производная возрастающей функции, суммируема в (0, 2тг).
Установив это, образуем теперь интеграл Пуассона
Р(Р, 9) = 45JW) l+P»-27cos(6-g)^
представляющий положительную гармоническую функцию, регулярную
внутри круга р<1. Легко видеть, кроме того, что Р (р, 6) равномерно
стремится к бесконечности, когда точка (р, 0) приближается к точке
некоторого множества Е второй категории, лежащего на перпферии.
В самом деле, это имеет место в каждой точке Ех, в которой функ-
1 гг 1
ция —j-r , равная нулю, непрерывна. Так как —рг является, по
классификации Бэра, функцией первого класса, то множество точек
непрерывности Е2 всюду второй категории. Произведение множеств Ех и Е2
будет также второй категории, и оно является искомым множеством Е.
Обозначим через Q (р, 6) гармоническую функцию, сопряженную сР(р, 8),
и положим
<o(z) = i>(p, b) + iQ(p, 6), z = pe«.
Таким образом мы получили пример функции <»(z), обладающей
следующими свойствами:
1. <d (z) голоморфна в круге |з|<1 и Reel/(z)>0.
2. a) (z) равномерно стремится к бесконечности, когда z приближается
к точкам окружности, принадлежащим множеству второй категории.
Аналитическая функция / (z) = е-<* (2>, очевидно, удовлетворяет
условиям 1 и 2.
Множество Е этого примера имеет меру нуль.
12. Для того чтобы изучить поставленную проблему с метрической
точки зрения, предполагая множество М множеством положительной меры,
1 И. И. Привалов, loc. cit.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 291
мы приходим к необходимости доказать одно существенное свойство
множеств, которое остается неизменным дри конформном отображении круга
на область, граница которой есть спрямляемая кривая. Это свойство
геометрически может быть выражено следующим образом: При конформг
ном отображении круга на область, ограниченную спрямляемой кривой,
каждому множеству меры нуль на периферии круга соответствует
некоторое множество меры нуль, расположенное на этой кривой г.
В самом деле, предположим, напротив, что конформное отображение
области D, ограниченной простой спрямляемой кривой R на круг С,
ставит в соответствие множеству точек Е не нулевой меры контура R
множество точек £ окружности "С/ мера которого равна нулю. Допустим
существование функции f(z), голоморфной и ограниченной внутри С,
и такой, что для любой точки z0 множества £ функция / (z) не стремится
ни к какому пределу, когда z стремится к z0 по какому угодно' жорда-
новому пути, лежащему внутри С и имеющему конец в z0.
Пусть z = о (Z) — функция, осуществляющая конформное отображение
области D на круг С. Функция f[<?{z)] голоморфна и ограничена
внутри D, причем она неопределенна в каждой точке z0 множества Е, каков
бы ни был путь, заканчивающийся в z0. Но мы имеем mes£>(),.что
противоречит теореме Фату, обобщенной В. В. Голубевым2.
Итак, мы пришли к необходимости доказать существование функции
f(z) для любого данного множества <§ меры цуль. Переходим к построению
этой функции.
13. а) Функция, соответствующая точке. Мы предполагаем, что
окружность С имеет центр з начале координат и радиус, равный единице.
Пусть а — точка С, а = eie. Этой точке а соответствует функция
обладающая следующими свойствами:
1. <p(zla) голоморфна всюду, кроме полюса а.
2. Внутри С имеем Reel © (z | а) > 0.
3. Если ^ — произвольная окружность, внутренняя к С и касающаяся С
в точке а, то вдоль т имеем следующее равенство: Reel cp (z \ a) = -j\, где
d—диаметр f»
Р) Функция, соответствующая совершенному множеству.
Пусть р — совершенное множество на окружности С, определенное
смежными дугами (аП1 Ьп), п = 1, 2, 3, ...; пусть ап — длина дуги
(ап, Ьп). Этому множеству р соответствует функция
1 Н. Н. Л у з и н, О конформном отображении (Изв. Ивано-Вознес. политехи, ин-та,
1919). [В настоящем издании, т. I, стр. 267. — Ред.] См. также И.И. Приавлов,
loc. cit.
2 В. В. Голу б ев, Однозначные аналитические функции с совершенным всюду
разрывным множеством особых точек (Изв. Моск. ун-та, 1917).

292
Н. Н. ЛУЗИН
оо
<И*1/>)= 2М?(*1ап) + <f(z\bn)],
n=l
обладающая, вследствие а), следующими свойствами:
1. ty(z\p) голоморфна всюду, кроме точек р.
2. Внутри С имеем Reel ф (z \ р) > 0.
3. Пусть 7лиТп~Две окружности одинаковых радиусов внутренние к
С, касающиеся С в точках ап и Ьп и касающиеся друг друга; их
диаметр, очевидно, Меньше ап; обозначим через Тр совокупность точек,
внутренних кругам тсл и f^, когда л = 1, 2, ... В силу свойства 3(a), в Тр
мы имеем fteelty {z\p) > 1.
С другой стороны, проведем круги, описанные на радиусах (0, ап) и
(0, 6П), л = 1, 2, . .., как на диаметрах; обозначим через Dp
совокупность точек, внутренних этим кругам; в силу свойства 3 (а), мы имеем
оо
Reel ф (z | р) < 2 2 а* для всех точек z, внутренних к С, которые не при-
надлежат Dp.
4. Пусть Д — область, расстояние которой от совершенного множества
р равно 5>0; в Д мы имеем очевидное неравенство
оо
1<К*И!<|-2°п.
у) Выведенное совершенное множество. Пусть е — данное
положительное число, up — совершенное множество на С, не содержащее ни одной
точки £. Выведем из р другое совершенное множество рх. Для этой цели
построим на каждой дуге (an, bn), смежной к р, совершенное множество
qn, содержащее обе точки ап и Ьп и не содержащее ни одной точки <$.
Сумма Q = p + qi + V2 + --- — совершенное множество; пусть sv
^2> • • • —дуги, смежные к Q.
Ясно, что расстояние дуги sm от Dp не равно нулю; обозначим его
через dm, a?w>0.
Так как meS(§ — 0, то мы можем покрыть (в узком смысле) все точки
.£, расположенные на sw, системой неперекрывающихся дуг (и даже без
d
общих концов), сумма длин которых <е-^- Рассмотрим совершенное
множество р19 которое получается исключением из С всех этих систем
дуг; мы скажем, что это множество рг есть множество, выведенное из р
при помощи числа е. Ясно, что множества TPl и Dp не имеют, ни одной
общей точки; легко усмотреть, что | ф (z| рх) |<е для всякой точки z в Dp.
8) Существование искомой функции. Пусть
ei + Ч + • .. + £п + . . . < 2 > гДв £п> 0.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 293
Возьмем совершенное множество, не содержащее ни одной точки £у
я обозначим его через />0.
Пусть рг — совершенное множество, выведенное из р0 при помощи е^
пусть, вообще, рп — множество, выведенное из рп^{ при помощи ел.
Очевидно, что функция
a(z\E)=^(z\p0)+Ci{z\p1) + ...+^(z\pn) + ..,
такова, что ReelQ>0 внутри С и Reel Q становится бесконечное
множество раз равным у и 1 на всякой кривой Жордана, расположенной
внутри С и имеющей конец в любой выбранной точке zQ множества Ef
Следовательно, функция
будет искомой.
14. Предположим, что аналитическая функция f(z), голоморфная в
круге |zj<l, стремится к конечным и вполне определенным значениям,
когда z стремится к точкам множества М, mesAf>0, по некасательным
путям,
Мы докажем, что при этих условиях функция / (z) определяется
единственным образом своими значениями на М1. Очевидно, достаточно
доказать, что функция f(z), принимающая значение нуль в каждой точке
Му следуя некасательным путям, тождественно равна нулю.
Предположим, напротив, что существует функция /(я), голоморфная
в круге | z К1, отличная от нуля и обращающаяся в нуль в точках М
в вышеопределенном смысле. Эта гипотеза приведет нас к противоречию.
Упростим нашу проблему. Из точки z0, принадлежащей М, проведем
внутри круга две прямые, составляющие каждая угол в 45° с касательной
1
в Zq, и проведем, кроме того, дугу круга с центром в z0 и радиусом — .
Таким образом мы построили сектор с вершиной ц. Обозначим через
/Л (z0) = max | / (z) | максимум модуля значений f(z) в этом секторе.
Полагая п = 1, 2, 3, , мы получим последовательность функций
/i(*o)> /a(*o)> •••> Mzo)> •••
определенных в каждой точке М. Согласно определении), функции этой
последовательности, конечные и измеримые на М, сходятся к нулю в
каждой точке Л/. По теореме Д. Ф. Егорова2, существует совершенное
множество Р, mes/)>0, равномерной сходимости к нулю
последовательности /n(z0). Зафиксировав это множество Р, проведем спрямляемую
кривую следующим образом: она содержит целиком Р и бесконечное
множество пар отрезков прямых, проведенных внутри круга из обоих
концов каждой дуги, смежной к Р, и составляющих углы в 45° с соответ-
1 И. И. Привалов, loc. cit.
2 Д. Ф. Егоров, Comptes Rendus, 30 января 1911 г.

294
H. H. ЛУЗИН
ствующими касательными. Обозначим через К область, границей
которой является эта спрямляемая кривая. Осуществим конформное
отображение области К на круг |я|<1. Пусть Рг соответствует Р на окруж-
ности.^| = 1. Тогда Р1 совершенное множество и положительной меры
(см. § 12). При помощи этого конформного отображения функция f(z)
преобразуется в функцию ф (х) со следующими свойствами:
1. ф (х) Голоморфна внутри'круга |ж|<;1.
2. ф (х) непрерывна в замкцутой области |#|^1.
3. ф (х) равна нулю на совершенном множестве Рг окружности \х | = 1,
mes Рг > 0. В силу условия 2 можно считать [ ^ (х) | < 1 в круге | а | < 1,
так как, в противном случае, умножаем 6 (х) на константу, что не
меняет условий 1 и 3.
Изучение функции ф (х). A priori возможны только две гипотезы о
природе ф (х): 1) или ф (х) нигде не обращается в нуль внутри круга |я|<1;
2) или в этом круге существуют нули этой функции.
Рассмотрим первую гипотезу. Действительная часть функции 1пф (о;)
является гармонической функцией в круге '|a;j<l, принимающей
значение — оо на множестве Рх окружности | х j = 1. Эта гармоническая
функция отрицательно в круге ]а:|<1, так как модуль функций ф(#)
меньше единицы. Пусть U — эта функция. Начертим вспомогательный
круг, концентрический кругу |г|<<1 и радиуса р, р<1- Значение U0
рассматриваемой гармонической функции в точке (г0, 0о) этого круга
дается интегралом Пуассона Uр\
Up = \- \ U (р, а) —1—^ da, (I)
U0 = UPf (1)
Пусть р стремится к единице. U (р, а) равномерно стремится к —оо
на множестве Pli.mesP1^>09 оставаясь все время отрицательной.
р2— Г2
Множитель '■ интеграла Пуассона остается
подери-F г* - 2Pr0 cos (а - 60)
жительным и больше^ некоторого ч фиксированного числа, отличного от
нуля. Мы можем отсюда заключить, что Up стремится к — оо, что
приводит нас к противоречию с равенством (1). Проанализируем таким же
образом вторую гипотезу. Заметим сначала, что нули функции ф (х) изои
лированы в круге |#|<1. В самом деле, если бы они имели
предельную точку внутри круга, функция ф (х) тождественно равнялась бы
нулю. Следовательно, в рассматриваемом случае гармоническая функдия
U•> будучи отрицательной, становится бесконечной на множестве
изолированных точек, расположенных внутри круга |ж|<1, и на множестве
Рг окружности.
Начертим вспомогательный круг, не содержащий на своей периферии
нулей функции О (я). Это всегда возможно'при р, сколь угодно близком

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 295
к единице, так как множество нулей функции ф (х) изолировано.
Гармоническая функция U отрицательна на этой окружности. Образуем
интеграл Пуассона #р(1) и положим
U0 = o'p + D,. (1')
Очевидно, что функция Z>p является гармонической функцией внутри
круга .радиуса р, равной нулю на его периферии и — оо в .конечном
множестве точек, расположенных внутри этого круга. Тогда получаем
Д><0. Так как Up стремится к — оо, когда р стремится к единице,
формула (1') приводит нас к искомому противоречию.
.. 15. Предыдущие рассмотрения неприменимы к случай), когда
аналитическая функция f(z), голоморфная внутри круга jz'|<l, стремится
"к определенному пределу, равному бесконечности, на множестве точек.
М, mesAf>0, окружности.
Однако при помощи некоторых вспомогательных рассмотрений легко
свести этот случай к предыдущему и решить проблему, которой мы'
занимаемся, в положительном смысле1.
Итак, предположим, что существует функция f(z), голоморфная в
круге | z | < 1 и стремящаяся к бесконечности на множестве точек М',
mesil/>0, его периферии, следуя некасательным путям. Требуется
доказать, что при этих условиях мы придем к противоречию. Повторим
построение § 14, т. е. проведем из точки z0, принадлежащей М, два
отрезка, составляющие каждый угол в 45° с касательной в z0, и проведем,
кроме того, дугу круга с центром в z0 и радиуса — . Обозначим через
fn (z0) = min | / (z) J в построенном секторе. Последовательность функций
AW» AW, •••> Mzo)> •••
конечных и измеримых на М, сходится к бесконечности2 в каждой*
точке М. Очевидно, кроме того, что все эти функции неотрицательны и
удовлетворяют условию
А Ы < h (20) < . . . < /п (20) < • •
Рассмотрим другую вспомогательную последовательность функций
?l(z°) = M^i' ?,(*)e/7(^Ti' •••■ ^(Zo)=7^)TT--
Функции cpn(z0), очевидно, конечны и измеримы на М. Они сходятся к
нулю в каждой его точке. Следовательно, иа уже цитированной теореме
Д. Ф. Егорова, существует совершенное множество Р, mesP^>0,'
равномерной сходимости последовательности vn(z0).
Тогда последовательность /n (z0) равномерно сходится к бесконечности
1 И. И. При в а л о в, loc. cit.
2 Сходимость в смысле Бэра.

296
Н. Н. ЛУЗИН
на Р. Э.то означает, что, каково бы ни было положительное число С,
можно найти такое число т, что для всякого и>т |/п(з0)|>С, где z0
произвольно выбрано на Р. Определив множество Р, повторим построение
спрямляемой кривой § 14 и обозначим опять через R область, границей
которой является эта кривая. Из самого определения этой области
вытекают следующие свойства:
1. f(z) голоморфна в К.
2. f(z) стремится к вполне определенным значениям в каждой точке
своей границы, когда z стремится к этим точкам по любым путям,
расположенным в К.
3. Значения f(z) в каждой точке Р равны ос.
Покажем, что / (z) может иметь лишь конечное число нулей внутри К.
В самом деле, в противном случае существовала бы хоть одна
предельная точка этих нулей. Эта точка лежала бы или внутри области Rt
или на ее границе. Первое предположение невозможно, так как функция
/(z), будучи голоморфной, была бы тождественно равна нулю. Остается
второе предположение. Все точки границы разделяются на два класса:
точки Р и точки, внутренние для круга. Предельная точка не может
принадлежать ко второму классу, так как функция f(z) голоморфна
внутри круга.
Остается рассмотреть случай, когда эта точка принадлежит
множеству Р. Но это невозможно, в силу условия 3. Итак, мы получили условие:
4. Множество нулей функции f (z), расположенных внутри К, конечно.
Отобразим теперь конформно К на круг в плоскости х. Множеству Р
будет соответствовать совершенное множество Рх, mesPj^O (§ 12).
Функция / (z) преобразуется в функцию ф (х) со следующими
свойствами:
Г. <1> (х) голоморфна внутри круга.
2'. ф {х) стремится к определенному пределу в каждой точке
окружности, когда х стремится к этим точкам по произвольным путям,
проведенным внутри круга.
3'. В каждой точке Рх имеем: ф (х) = оо.
4'. ф (х) имеет конечное число нулей внутри круга.
Обозначим через ъ(х) многочлен, имеющий те же нули, что Ф(я), и
образуем функцию
W (х) = р£ .
v ' ф(я)
Очевидно, что W (х) удовлетворяет условиям f и 2'. Что же касается
условий 3' и 4', то они преобразуются в следующие:
3". Значения Ф* (х) в каждой точке Ра равны нулю.
4". ¥ (х) не обращается в нуль внутри круга.
В силу § 14, Ф (х) тождественно равна нулю, что противоречит
гипотезе.
16» Мы резюмируем § 14 и 15 так1:
1 И. И. П р и в а л о в, 'ос. сЧ.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 297*
Если аналитическая функция /(z), голоморфная внутри круга,
стремится по некасательным путям к определенным значениям (конечным
ила бесконечным) на множестве М, mes/W>0, окружности, эта
функция / (z) — единственная.
Глава III
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВЕННОСТИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
17. Прежде, чем перейти к изучению проблем, поставленных в конце-
главы I, нужно построить некоторую кривую Z и разобрать ее свойства.
Разделим окружность | z | = 1 на 60 равных частей и из каждой точки
деления проведем часть радиуса длины ^ • Разделим потом каждую из-
этих 60 частей опять на 60 равных частей и из каждой точки деления
1
проведем часть радиуса длины -«.- , и так далее.
Обозначим через Z кривую Жордана, образованную окружностью*
|z| = l и всеми частями радиусов, определенными выше. Пусть G —
область, ограниченная этой кривой. Заметив, что часть радиуса, исполь-
зованная в (п — 1)-м делении, равна —, т. е. бесконечно малому
низшего порядка, чем дуга соответствующего разбиения окружности, длина
которой равна ——j, мы получаем свойство:
Какова бы ни была точка М, принадлежащая окружности \ z | = 1
и не совпадающая ни с каким ее делением, всякий путь L,
заканчивающийся в этой точке и расположенный внутри G, необходимо касается
радиуса ОМ.
Отсюда следует, что если Lx и L2 — два произвольных пути,
расположенные внутри круга |z|<l, заканчивающиеся в точке М и
образующие между собой угол, больший нуля, то хоть один из этих путей
необходимо пересекает бесчисленное множество частей кривой Z,
расположенных внутри круга |2|<1.
18. Пусть z — о (и) — функция, осуществляющая конформное
отображение звездообразной области G на круг |а|<1.
Рассмотрим свойства ср(ц). Очевидно, что <р(ц) непрерывна, если
|в|-^1. Пользуясь полярными координатами, мы получим
следовательно,
з = Яе">, M = Peie,
Ле«ф-9(ре1в)

298
Н. Н. ЛУЗИН
— i In ср (и) — Ф — i In R.
Легко видеть, что функция
А (р, 6) = Ф (р, 6) - 8
есть гармоническая функция, регулярная внутри круга |и|<1. Эга
функция непрерывна и с ограниченным изменением на окружности | и | = 1,
так как Ф все время возрастает вместе с 6. Функция Л (р, 6) может быть
определена посредством интеграла Пуассона, предельные значения
которого имеют конечную производную почти всюду. Следовательно, по теоре-
^ - дА (р, 0)
ме Фату х —л а стремится к конечному и определенному пределу
почти в каждой точке периферии круга, когда и (о, 6) стреми!ся к этим
точкам по произвольным путям, некасательным к периферии.
Пусть В (р, б) — гармоническая функция, сопряженная функции А (р, в).
В силу теоремы, доказанной в работе2, функция ^ , будучи сопряженной
дА
-tq-, также стремится к. конечному и определенному пределу почтив
каждой точке окружности |и| = 1, когда и (р, 6) стремится к этим точкам
по произвольным путям, не касательным к окружности.
Отсюда следует, что производная О! (и) аналитической функции
0.(в>=Л(Р,в) + *Я(р,в)
стремится к конечному и определенному пределу почти в каждой точке
окружности |и| = 1, когда и стремится к этим точкам по произвольным
путям, некасательным к окружности. Итак,
или, если угодно,
и, следовательно,
С1 (и) == — i In ср (и) + Пп и
х ' и
с? (и) = иеШ(и\
Дифференцируя эту функцию, мы получим
<?\(u) = ei*u) + uiei*u).a(u);
отсюда следует теор ема :
Производная ср' (и) стремится к конечному и определенному
пределу ср' (щ) почти в каждой точке окружности \ и | = 1, когда и стремится
к этим точкам щ по произвольным путям, не касательным к окружности.
1 Fatou, loc. cit.
2 И. И. Привалов, loc. cit.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 299
В силу всего вышеизложенного, очевидно, что вышедоказавная теорема
приложила к каждой функции ср(и), осуществляющей конформное
отображение круга \ и|< 1 на звездообразную область.
Легко видеть, что число о' (и0) = Km с?' (и) выражается так:
о' (щ) = lim '.Ф("о + Аи)-Ф(ц0)
где точка щ + Дк стремится к точке и0 по произвольному пути,, целиком
принадлежащему кругу | в |< 1 п не касательному к периферии | и |,= 1.
19. Каково бы ни было множество точек Е, mesi?>0,
расположенное на окружности | и j = 1, по теореме единственности (§ 14) непременно
существует такая точка щ .множества Е, что
Пусть X и Хх — два произвольных пути, расположенных внутри круга
) и |<1, заканчивающихся в точке и0 и не касательных к периферии | и|=1.
Эти пути, посредством функции z = c?(«), преобразуются в Ln Lly
'принадлежащие области G и заканчивающиеся в точке zQ.= ср (и0) ее границы.
Легко видеть, что угол, образованный путями X и \lf будет равен углу
'между L и Lly т. е. при конформном отображении круга I'liK'l на
звездообразную область имеет место сохранение углов на границе, если
пренебречь множеством точек меры нуль на окружности |и| = 1.
20. При конформном отображении области G на круг \\и \ < 1
окружность |zj = l, будучи частью Z, соответствует совершенному
множеству Ру mesP = 0, расположенному на окружности |и| —1.
В самом деле, если бы это было неверно, то существовала бы хоть
одна такая точка М0 окружности ]z| = l, что можно было бы начертить
два пути, целиком принадлежащие G, не проходящие ни через одну
точку кривой Z п образующие в точке Л/0, где эти пути пересекаются,
угол, отличный от нуля, что невозможно (§ 17).
21. Пусть и = W (z)—функция, осуществляющая конформное
отображение звездообразной области G, построенной в § 17, на внутренность
круга ^ (|и | <С 1), иР — совершенное множество, mes Р = 0,
расположенное на периферии круга т, соответствующее окружности \z\ — 1,
Требуется построить такую мероморфную внутри круга С (| z |< U функцию / (z),
чтобы после исключения всех ее полюсов, внутренних для С, при помощи
замкнутых аналитических кривых fx, 72» • • • > 7п> не имеющих ни между
собой, ни с периферией С общий точек, \ f (z) \ равномерно стремился к
бесконечности в оставшейся области Я, когда \z\ стремится к единице.
Возьмем функцию Фату1 F(u)y голоморфную внутри 7, ReelF (и),
будучи положительной, равномерно стремится к бесконечности, когда и
стремится к произвольной точке множества Р\ в остальных точках
периферии т функция F {и) голоморфна. Функция Ф (z) = F [W (z)] голоморфна
1 F a t о u, loc. cit.

300
Н. Н. ЛУЗИН
в области G; ReelO(z), будучи положительной, равномерно стремится к
бесконечности, когда z остается в области G, и его модуль стремится
к единице.
Вдоль сегмента радиуса, если его рассматривать, как двойной,
функция Ф (z) принимает непрерывную последовательность значений, если
исключить концы этого сегмента. Сверх того, значения Ф {%) справа и
слева от этой части радиуса образуют две последовательности значений,
голоморфных и различных между собой. В конце сегмента, более близком
к точке 2 = 0, эти две голоморфные последовательности значений
совпадают. Что же касается значения Ф (z) в конце сегмента радиуса,
находящегося на периферии С, то оно равно бесконечности. Преобразуем эгу
функцию Ф {z).
Назовем сегменты радиусов шглами». Мы имеем счетное множество
игл. Поместим на каждой игле счетное множество сегментов, которые мы
назовем «Ъ-купюрами». Все «о-купюры» образуют счетное множество и на
каждой игле удовлетворяют следующим четырем условиям:
1. Они не имеют общих точек.
2. Их единственная предельная точка есть конец иглы,
расположенный на периферии С.
3. Обозначая через v-ую купюру на А-й игле и через М^ —
максимум модуля Ф (z) на обеих сторонах Ь[к\ мы имеем
длина 8<*>< (л4*> + 1)(И)«(у!)» '
Это всегда будет верно, если достаточно уменьшить купюру b[k\
зафиксировав предварительно ее центр.
4. Первая о-купюра на А-й игле, о[\ не содержит конца этой иглы.
Рассмотрим ряд
где интеграл берется по 8-купюре в положительном смысле относительно
области G.
~ 1 [ 0(z)dz „ .
Этот интеграл -^. ) ^__^ ■, взятый по двум сторонам 8-куторы,
V
является функцией, голоморфной всюду, кроме самой купюры.
Если переменное х находится на расстоянии, большем, чем г»—р , от
к\ v!
о^-купюры, мы имеем
1 Г Ф (z) dz
2т J z — х
М[к) 1 1 1
^2 v ^
2тг * # *! v! • Af(*)+i^ *! v! #

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 301
Отсюда следует, что если точка х находится в области Glf целиком
принадлежащей G, так же, как и ее граница, ряд (1) сходится
равномерно и абсолютно. Следовательно, сумма ряда (1), которую мы
обозначим через S (х), будет функцией, Голоморфной в области G. Изучим
структуру разности Ф (х) — S (х) на о-купюре; эта разность голоморфна
в G. Рассмотрим для этого произвольную 5-купюру, например 8(v*\ Пусть
х1 и х2 — две переменные точки, достаточно близкие к некоторой точке S
нашей купюры 8v \ расположенные одна справа, другая слева от £ и
стремящиеся к S. Как мы уже отметили выше, Ф (хг) и Ф (х2) образуют
две голоморфные последовательности значений с обеих сторон 8$А)-купюры.
С другой стороны, мы имеем
оо
с , ч V 1 f 0>(z)dz If Ф (z) dz ,
°V V
Очевидно, что E' (х), которая является функцией, голоморфной в G,
остается голоморфной на Ь[ ^купюре и, следовательно, принимает
одинаковые значения с обеих ее сторон: Е' (хх) = Е' (х2). Таким образом
мы имеем
Щн4^Н(^р^^<4
где через Фх (z) и Ф2 (z) мы обозначаем соответственно значения Ф (z)
на сторонах хх и x2f через аир — концы о[к)-
Отсюда мы легко получаем
S Ы - S (х2) = -^ [Фх (6) - Ф2 (6)] - Ф (*х) - Ф (*,).
Таким образом функция Ф(х)—$(х) принимает на купюре
одинаковые значения с обеих сторон, т. е. эта разность является голоморфной
и однозначной на о(,к) функцией, и, так как 8^ выбрана произвольно
на всех 8-кушорах, прибавим к четырем вышеупомянутым условиям еще
одно.
5. Обозначив через р£%) расстояние центра купюры о^ от перифе-
рли С, мы имеем
длина Sv < (Mw +!) , к] i
что всегда имеет место при уменьшении b[k\ если ее центр фиксирован.

302
Н. Н. ЛУЗИН
Пользуясь этим условием, мы получаем для интеграла
1_Г Q(z)d
ш \(k) z — x
dz
2ni J(A)
на периферии С следующее неравенство
1 1 С Q(z)dz\ ^ 1 Щ' Pv ' ^ 1
| 2т ) z-x |^Z ' 2тг (^) + 1)А! v! pW ^ к[ v! '
Таким образом на периферии С мы имеем
оо
|^й1<2 ttV-
к, v=l
Значит разность Ф (х) — S (х) равна бесконечности, когда переменное х
находится на периферии С. Но отсюда нельзя сразу прпдти к заключению о
равномерной сходимости этой разности к бесконечности, когда х
стремится к периферии С, даже если оно остается внутри С Нужно продолжить
исследование. Для этого нужно наложить новое ограничение на о-купюры,
6. Обозначая через &к) центр купюры 8V*\ а через [d[k)— расстояние
точки Cv^ от самой близкой из о-купюр, мы имеем неравенство
длина oi' \ —ттт -*-=—• -т- >
(jlfW + l)Jt!v! 3 2 '
что получается аналогично условиям 3 и 5.
(к\ d(V
Описав из точки U , как из центра, круг радиуса _v- , мы видим, что
°v -купюра целиком расположена внутри этого круга. Тогда, поместив
точку х вне построенного круга, мы получим
1 Г Ф (»)<** 1^ 1 0 w 3 Р<*} ^ 9 1 . 1_
2ти } z—x \^2n' 2^ * d(%) (j|f(*> + i)v! и * 3 '^"Т^ЛЫ.
8(*)
Таким образом, если точка х расположена вне всех построенных
кругов, или их периферий, мы имеем неравенство
\s(x)\< 2 1лт<*<в.
к, v=l
Наоборот, если точка х расположена внутри круга, построенного для
купюры

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 303
где
■ |2(*)|<9.
Считая, что переменное х остается внутри этого круга, изучим инте-
грал ^TJ) z_x • Мы имеем
1 С OWdz = 1 ('Ф,(г)-Ф,М д
27гг j z — х 2-xi \ z — %
Обозначим, для сокращения записи, через Ф(г) разность Фг (z)—Ф2 (z):
Ф (Z) = Ф, (Z) - Ф2 (2),
применяя интегрирование по частям, мы получим
М ^^=М*{2)Ы(*-х)-Мы{*-х)ф'{2)
dz,
где функция Ф(2) является функцией голоморфной вдоль о^-купюры. Что
же касается последнего интеграла, мы имеем
<^rmax|0'(z)|2^ 2 In-U* = -lmax| Ф' (z) | -у- (l + In -^J .
о
Это неравенство показывает] нам, что модуль этого интеграла может
быть сделан сколь угодно малым, если длина Ov ^купюры также
достаточно мала. С другой стороны, проинтегрированная часть
^|Ф(в)Ь(£-«)=^Ф(«)1п^ + ^[Ф(Р)--Ф(а)]1п(р-я:).
(*)
Пусть х — точка перпендикуляра к 8S, '-купюре, проходящего через
точку Ci , расположенная внутри круга. Мы имеем
^1ф(Р)_Ф(«)]||1п(р-*)|<-1|ф(р)-Ф(а)
In
Р-а
Но это выражение стремится к нулю вместе с расстоянием между a v.
(J. С другой стороны, выражение
4фм1пт=
X
7.
е zr
равно 2ЙФ (")> r^e б-угол «ср.

304
H. H. ЛУЗИН
Ф (а), по определению, есть разность двух значений функции Ф (z) в
точке а. Так как функция Ф (z) равна F[ty(z)]y отсюда следует, что Ф(а)
есть разность двух значений функции Фату F (и) в двух точках
окружности |и| = 1, соответствующих двойной точке а. Это значение Ф (а)
является мнимым числом Ni, так как мы всегда можем предположить, что
действительная часть F (и) имеет одинаковые значения в соответствующих
точках. Резюмируем сейчас все, что мы доказали относительно
функции S (х). Эта функция, будучи равной
М 4^+* w.
е>
удовлетворяет условию |£(#)К9, если х не расположено внутри
кругов, построенных для З^-купюр. Если же х внутри круга, построенного
для 8М -купюр, то необходимо Е|'(я)|<9. Наконец, внутри круга,
построенного для S^-куторы, и в окрестности перпендикуляра,
проходила) ~ If Oiz)dz
щего через центр о;, -купюры, действительная часть я-.- \ -__- произ-
т *р z
вольно мала, если длина 8<*> также достаточно мала.
Итак, функция
Q(x) = <b(x) — S(x),
голоморфная внутри G, вне кругов, построенных для о^-купюр,
стремится равномерно к бесконечности, когда |х|—>1. П(#), сверх того,
голоморфна и однозначна на о-купюрах. Мы приходим таким образом к
построению в круге |ж|<^1 счетной системы таких замкнутых
аналитических контуров fi, ^2, .. ., ^п, ..., что вне этих контуров функция Q (х)
голоморфна и равномерно стремится к бесконечности, когда |я|—»1.
Мы можем предполагать | О. (х) | ]> 0, когда х находится вне этих
контуров, так как функция С1 (х) остается голоморфной на самих контурах.
Рассмотрим интеграл
1 Г Cl(z)dz
2та J z — x '
взятый по Ym в положительном смысле относительно области Q, которая
остается после исключения замкнутых областей, ограниченных контурами
Ti» T2> • • • у Тп> ♦. • Этот интеграл является функцией, голоморфной вне
Хт и равной нулю для х в бесконечности.
Разность £2 (х) =—г- \ — z- является, очевидно, функцией голо-
морфной в Q. Покажем, Зто эта разность остается голоморфной на fm и

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 305
внутри этого контура. В самом деле, возьмем контур *(т, содержащий
внутри себя контур Ym, больший 7т и находящийся вне всех контуров
Тп, пфт.
Мы имеем равенство
w 27tz J z —Z • 2™ J * — ж »
где ж находится между тт и r^.
Это равенство показывает голоморфность рассматриваемой разности,
равной -gj ^ 2_х , внутри и на контуре Тж.
Возьмем такой контур y^, меньший, чем rm, что кольцо TmTm и его
граница не содержат особых точек С1 (х).
Тогда мы имеем
1 Г fl(z)tfz _ 1 Г П (г) is
2m J 2 — ar 27rt J z —x
Ym Ттп
Выберем, по методу Рунге, рациональную дробь Rm(x) таким образом,
чтобы на fm и вне Tm(l#!<l)
Ym
Обозначим разность ^Г\ z--x ^m(#) через0т(ж) и.положим
Ym
оо
f(x)=Cl(x)- 2в«(«).
mei
Это — функция, голоморфная в области Q и на всех контурах *[т.
Сверх того мы имеем
оо оо
|/(*)|>|П(«)|-3|втИ|>|0(*)|-Е^>|0(*)|-3,
т! *
1
т. е. |/(я)| равномерно стремится к бесконечности, когда \х\ стремится
к единице, оставаясь все время в области Q. С другой стороны, мы
имеем
/(*)=o(*)-em(*)-2 (*).
или
/(Z)eft(«)_^rS-^.+flm(*)-s'w.
2wt J z
Ym

300
Н. Н. ЛУЗИН
где Е' (х) голоморфна внутри и на fm. Так как, в силу предыдущих
доказательств, разность
является функцией голоморфной внутри и на *{т, u /?m(s) имеет
конечное число простых полюсов внутри ifm, функция / (х) является
функцией мероморфной в круге |#К1, имеющей простые полюсы внутри
контуров *)fm.
22. Итак, проблема, поставленная в предыдущем параграфе,
разрешена. Можно взять контуры fi, Y2> • • • у Тп> — > окружающие остатки
игл, как угодно близкими к иглам. Для этого надо взять S-купюры
достаточно малыми. Отсюда следует, что можно построить две кривые Z
и Z', не имеющие ни одной общей иглы, и две функции f1{z) и Д (z),
для которых замкнутые области, ограниченные контурами ^, ?,, ... ,
f2, • • • » не имеют общих точек,
23. Положив Д (z) = ,, . , мы получим функцию Д (z), мероморфную
внутри круга |z| <1 u стремящуюся равномерно к нулю, когда z
стремится к | z | = 1, оставаясь все время в области Q.
24. Цель этого параграфа — разрешить проблему, поставленную в
конце главы I, т. е. построить аналитическую функцию о> (z),
непрерывную и однозначную в круге |z|<l, и стремящуюся равномерно к нулю,
когда z стремится к периферии \ z | = 1.
Пусть Д (z) и /2 (z) — две функции, мероморфные внутри круга
|z|<l, уже построенные в § 22, имеющие свойства:
1. Все полюсы функции Д (z) расположены внутри контуров -ji»
72» • • • » 7*i» • • •
2. Д (z). стремится равномерно к бесконечности, когда z стремится к
периферии, оставаясь все время вне Yi> Тг> • • • > 7п> • • • (т- е- z все
время в Q ).
Свойства функции /2 (z) аналогичны свойствам функции Д(г), т. е.
все ее полюсы расположены внутри контуров 7ь 72> ••• > 7л> ••• и
/2 (z) равномерно стремится к бесконечности, когда z стремится к
периферии |z| = l, все время оставаясь в Q\ ф — связное множество,
внешнее ко всем замкнутым областям, ограниченным контурами ^ь 72, • • • >
*fn, ... Каковы бы ни были пит, контуры ^п и ^'т никогда не
имеют общих точек и попарно внеположны.
Рассмотрим в плоскости^ всюду разрывное совершенное множество Е,
mes £>0, и функцию Данжуа
1 Q — связное множество, внешнее ко всем замкнутым областям, ограниченным
контурами ух. Ys»--«» Yn,...

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 307
Известно, что эта функция является аналитической функцией,
голоморфной вне Е, непрерывной на всей плоскости и равной нулю в
бесконечности. Предположим, для определенности, что множество Е
расположено внутри области, ограниченной контуром К. Пусть теперь
^(z) = D[f1(z)].D[f2(z)].
Очевидно, что во всякой точке z, |z|<l, функция о> (z) определена
и |(o(z)|<M2 при | z |< 1, если \D (w) | < М. Мы всегда можем
предположить, что для всякой точки множества Q | /x (z) | > т ъ для всякой
точки множества Q |/2(z)|>>w, где т> 0 — некоторая константа, так
как мы можем заключить все нули этих функций внутрь
соответствующих контуров. Если К расположен внутри круга радиуса т, функция
<о (z) голоморфна во всякой точке z, |z|<4, внешней одновременно и
к fi, и к Т*; следовательно, все ее особые точки расположены внутри
этих контуров и образуют совершенное всюду разрывное множество. Мы
покажем, что | <о (z) | равномерно стремится к нулю, когда \z\ стремится
к единице. В самом деле, в противном случае существовала бы такая
последовательность точек
zl> z2> • • • > 2n> • • • i I Zn | "*■ 17
ЧТО
|o>(zn)|-*ii, A>0.
Ho это невозможно, так как контуры ? и т' попарно внеположны, и,
следовательно, если один из множителей D [f1 (z)] или D [f2 (z)] по
модулю меньше М, другой необходимо [стремится к нулю.
Сверх того, очевидно, что со (z) — непрерывная функция, если |z[<l.
25. Мы покажем, далее, что можно изменить функцию cd(z),
построенную в предыдущем параграфе, таким образом, чтобы ее
действительная часть была положительна, когда |z |< 1 (предполагая при этом,
что все остальные свойства сохраняются). Для этого рассмотрим свойства
функций Данжуа.
26. Пусть
Е ъ ч
где Е — совершенное всюду разрывное множество, mesi?>[0,
расположенное внутри области, ограниченной контуром К.
Когда переменное С изменяется во всей плоскости, переменное и
всегда остается внутри некоторого круга с центром в точке и = 0, так
как функция D (С) ограничена. Так как функция D (С) всюду
непрерывна, множество ее значений образует континуум, ограниченный в
плоскости переменного и. Внешняя граница этого континуума является
замкнутой жордановой кривой / без кратных точек. Точка и = 0
расположена внутри области, ограниченной кривой /. Пусть v=y{u) —
функция, осуществляющая конформное отображение области,

308
Н Н. ЛУЗИН
ограниченной кривой 7, на внутренность круга |z>Kl. Известно, что
в таком случае сущэствует взаимно однозначное соответствие между
точками кривой / и окружности | v |= 1. Мы всегда можем предположить, что
cp(0) = 0.j Функция /)(С) непрерывна; следовательно, какова бы ни
была точка кривой J, непременно существует хоть одно такое значение С,
что D (С) является аффиксом этой точки. Очевидно, что эта точка С
необходимо принадлежит множеству Е. Заметив это, рассмотрим функцию
w = <p [D (С)] = Ф (С).
Легко видеть, что однозначная аналитическая функция Ф (£) всюду
непрерывна и голоморфна в каждой точке С, не принадлежащей
множеству Е. Множество всех ее значений представляет континуум в
плоскости w, внешняя граница которого является окружностью с центром
w = 0 и радиусом единица. Следует отметить, что w находится внутри
круга | w К1 каждый раз, когда С — вне множества Е, и что w
находится или внутри круга |-о/К1, или на окружности |-о/| = 1, в
противном случае, и что всякой точке окружности | w | = 1 обязательно
соответствует точка множества Е. Отсюда следует, что уравнение
Ф (С) = - 1
необходимо имеет корни, и что эти корни образуют замкнутое
множество <$, £ с Е. Пусть L — круг, содержащий все точки множества <$, на
периферии коюрого необходимо расположена хоть одна точка i
множества (/>. Пусть Lx—другой круг, симметричный с L относительно
касательной в точке ?. Очевидно, что для построэния этого круга Lx
достаточно повернуть плоскость переменного С на 180° вокруг точки 6, т. е.
сделать замену
d = 2S -;.
Пусть множество <§ преобразуется в £х. Функция
Фг (С) = Ф (2? - С)
всюду непрерывна и голоморфна вне множэства Е1 (Ех — множество, в
которое преобразуется Е посредством рассмотренного вращения).
В каждой точке множества Е : Фх (С) = — 1.
Множества £ и £х имеют только одну общую точку ?. Рассмотрим
теперь функцию
^(С) = Ф(С) + Ф1(Сь
Очевидно, что (S (*) |< 2, и уравнение S(l) = — 2 имеет только один
корень С = £.
Итак, S (5) = — 2, Reel S (С) > -'2, если С ф 5.
Функция S (С) всюду непрерывна, готоморфна вне множества Е + Ег
и равна нулю в бесконечности.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 309
Рассмотрим, наконец, функцию
Свойства функции Т (С):
1. Tj(C) — однозначная аналитическая функция, непрерывная всюду,
2. Т (С) голоморфна в каждой точке, не принадлежащей
совершенному всюду разрывному множеству.
3. Нее1Г(С)|>0.
4. Reel 71 (С) = 0 имеет место только в случае С = £. В этом случае
Т (С) - 0.
27. Пусть /(z) — 'мероморфная внутри круга |z|<l функция
(построенная в § 21), все полюсы которой расположены внутри замкнутых
контуров 7i> 72» • • • у 7п, .. ., и равномерно стремящаяся к
бесконечности, когда z стремится к периферии круга |z| = l, оставаясь вне
контуров ъ, 72, • • > Тп>
Рассмотрим функцию
U{z) = t\*+J1zt)' где1г1<1-
Если z не является полюсом для f{z), функция U (z) имеет
определенное значение, отличное от нуля. Если же z является полюсом для
/(z), функция U (z) равна нулю. Следовательно, внутри круга |г|<1
существует лишь счетное множество точек z, в которых U (z) = 0, и
все предельные точки этого множества необходимо принадлежат
окружности | z | = 1.
Эти нули являются особыми точками для функции U(z). Легко
видеть, что функция U (z) непрерывна и равномерно ограничена внутри
круга | z К 1; множество ее особых точек является совершенным
множеством, расположенным в круге \ z | <; 1 и имеющим окружность \ z \ — 1
в качестве предельного множества. Кроме того, если z лежит внутри
области Q (вне всех 7i) и |z|->l, модуль U (z) равномерно стремится
к нулю. Наконец, Reel {7(z)!> 0.
28. Пусть теперь /2(z)—мероморфная функция, полностью
аналогичная Д (z), и 7ь 72> • • • > ?п> . .. —последовательность
соответствующих контуров. Мы только предположим, что контуры ^i и Ъ* попарно
внеположны.
Обозначим соответственно через Q и Q связные множества,
образованные точками круга |z|<l, внешними к контурам 7i> 72» ••>
7п, ... или к контурам 71, 72>- • • > Тп > • • • Пусть
^(*)=7(e + w)HtMz)=r(*+w)-
Мы показали, что эти функции непрерывны и равномерно
ограничены внутри круга |zl<l и равномерно стремятся к нулю, когда z
стремится к периферии |z| = l, оставаясь все время в Q для первой функции

310
Н. Н. ЛУЗИН
и в Q— для второй. Первая из этих функций имеет счетное
множество особых нулей внутри контуров -ji, Т2> • • • > Тп, • • •, а вторая —
внутри ifi, 72, • • • , Тп, • • • Произведение
7г (z) = иг (z) U2 (г)
является однозначной аналитической функцией, непрерывной в круге
|z|<l и равномерно стремящейся к нулю, когда z стремится к
периферии |z| = l. Все нули этой функции образуют счетное множество и
расположены внутри контуров f u f.
Функция
w it {г)
равна бесконечности в счетном множестве точек Z{, |zi|<[l. Это
множество не имеет ни одной предельной ^точки внутри круга, но каждая
точка окружности |z| = l является его предельной точкой. Множество
особых точек функции R (z) — совершенное множество, всюду разрывное
внутри круга, и его предельной линией является окружность |z| = l.
Существенно заметить, что R (z) никогда не равна нулю, если |z|<l.
Наконец, R(z) равномерно стремится к бесконечности, когда \z\
стремится к единице,
29. Установив это, рассмотрим функцию
V {z)—однозначная аналитическая функция, непрерывная в круге |z|<l
и такая, что \V (z)\ равномерно стремится к нулю, когда \z\
стремится к единице. Уравнение V (z) = 0 имеет внутри круга \z |< 1 счетное
множество корней Zi, не имеющее ни одной предельной точки внутри
круга |z|<l. Каждая из этих точек является особой точкой для
функции V(z). В каждой точке z, не принадлежащей этому счетному
множеству z^ мы имеем ReelK(z)>0, где |z|<l.
Рассмотрим вращение круга jz|<l вокруг центра z = 0 на такой
угол 8, что ни одна из преобразованных точек
zxeib, z2eie, .. . , zneib, . . .
не совпадает с точками
Zj.» Z2, . . . , Zn, . . .
Следует заметить, что при этом преобразовании мы предполагаем,
что точка z = 0 не принадлежит счетному множеству z<; в противном
случае мы сделаем сначала конформное отображение круга | z | < 1 на
самого себя таким образом, чтобы центр z = 0 преобразовался в точку,
где V (z) отлична от нуля. После вышеуказанных преобразований
рассмотрим функцию

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 311
Vi (*) = V {ze-™) .
Эта функция непрерывна в круге |z|<l, равномерно стремится к нулю,
когда \ z \ стремится к единице, и действительная часть V1 (z)
положительна для всякой точки z, |z|<l, не принадлежащей
множеству zneie, в котором VY (z) = 0.
Сумма
» (z) = V (z) = Vl (z)
представляет однозначную аналитическую функцию, непрерывную в
круге |z|<l, с совершенным множеством особых точек, и равномерно
стремящуюся к нулю, когда \z\ стремится к единице. Кроме того, для
каждой точки z, |z[<l, Reela)(z)>0.
30. Положив
о (л)
мы получим пример аналитической функции, непрерывной внутри
круга |я|<1 и такой, что |Q (z)\ равномерно стремится к бесконечности,
когда \ z \ стремится к единице. Кроме того, для каждой точки z,
|z|<l, ReelQ(z)>0. Множество ее особых точек является совершенным
множеством, расположенным в круге |z|<[l и всюду разрывным внутри
круга |z|<l.
31. Можно преобразовать функцию <o(z), построенную в § 29, таким
образом, чтобы отношение мнимой части преобразованной функции q> (z)
к ее действительной части равномерно стремилось к нулю, когда \z\
стремится к единице [(само собой разумеется, что остальные свойства
функции со (z) остаются неизменными и после примененного
преобразования) . _
В самом дело, пусть и (х, у) — действительная часть функции <o(z).
В силу построения о> (z) очевидно, что гармоническая функция и(х, у),
и (х, у) >0 непрерывна в круге- \ z |< 1 и равномерно стремится к
нулю, когда \ z | стремится и, единице. Совершенное множество ее особых
точек, будучи расположено в круге |z|<. 1, всюду разрывно внутри
этого круга. Пусть wr = о (w) — функция, осуществляющая конформное
отображение простой области, образованной точками w = <o (z), на
какую-нибудь область плоскости w'> расположенную справа от мнимой оси
симметрично относительно действительной оси и ограниченную кривой,
имеющей в точке wf = 0 соприкосновение бесконечного порядка с
действительной осью. В качестве примера искомой функции можно езять
функцию
(О (z) = Ср [(!) (Z)].

312
Н. Н. ЛУЗИН
32. Положив
ом- 1 1 - P~iQ
[)~ 5(1) ~" P + 'Q ~~ ^2+<?2 '
рассмотрим действительную часть функции Q (z):
U (xv) Р(Х'У) ~ -
Очевидно, что U (х>у) обладает свойствами:
1. U — однозначная гармоническая [функция, непрерывная внутри
круга |z|<$l.
2. U — положительна, если |z |< 1.
3. U равномерно стремится к бесконечности, когда \ z \ стремится
к единице.
4. Совершенное множество ее особых точек расположено в круге
z\ ^1 и всюду разрывно внутри этого круга.
Глава IV
ЕДИНСТВЕННОСТЬ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
СЛУЧАЙ РАДИАЛЬНЫХ ПУТЕЙ
33. В этом параграфе мы покажем, что существует аналитическая
функция <b(z)y голоморфная внутри круга |z|<l и стремящаяся к
бесконечности в каждой точке множества Е, mes Е = 2тс, окружности
\z\ =1, когда z стремится к точкам Е по радиусам.
Пусть Z— кривая, построенная в § 17, и
и = <р (z)
— функция, осуществляющая конформное отображение области g,
ограниченной кривой Z, на внутренность круга |ив|<1. После этого
преобразования точки \z\ = 1 соответствуют точкам |и| = 1, принадлежащим
некоторому совершенному множеству Р, mesP = 0 (§ 20).
Рассмотрим теперь функцию Фату F (и), голоморфную внутри круга
|h[<1> действительная часть которой, будучи положительной,
равномерно стремится к бесконечности, когда и стремится к точкам Р по
произвольным путям. Преобразованная функция
<b(z) = F [<p (*)]
голоморфна внутри g, и ее действительная часть, оставаясь
положительной, равномерно стремится к бесконечности, когда z стремится к
периферии | z | = 1 по произвольным путям, возможно, пересекающим иглы
кривой Z. Эти иглы являются купюрами для функций Ф (z). Пусть \z |=Дт

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 313
^<i?2<... (limi?m = l),
m->oo
— множество окружностей, целиком принадлежащих кругу |z|<l. Мы
предполагаем, что Яд^-^- и что концы игл не принадлежат этим
окружностям. Очевидно, что все иглы делятся окружностями на счетное
множество частей. Пусть
01у 02, . . . , Оп, ...
— множество этих частей. Каждая из этих частей Ьп имеет два конца;
мы обозначим через ап тот, расстояние которого от периферии | ъ | = 1
является наибольшим. Пусть С'п — круг радиуса рп с центром в ап, и
Сп — круг радиуса р^ с центром в точке пересечения этой иглы с
окружностью |z| = l. Пусть >>п — выпуклый контур, образованный: 1) частью
СЛ; 2) двумя общими касательными к Спи С'п, продолженными до
точек пересечения с |z| = l и 3) частью окружности |z| = l, целиком
принадлежащей кругу Сп. Числа рЛ и р'п были до сих пор
произвольными; выберем их таким образом, чтобы каждый контур Хп целиком
принадлежал областям, ограниченным предыдущими контурами, и содержал
со оо
бы все последующие. Мы предположим, кроме того, что ряды 2 РЛ и 2 Рп
1 1
сходятся. Рассмотрим функцию
К (z\- М °{z)dz
К
предполагая, что у оп две стороны. Эта функция голоморфна вне 8П и
равна нулю в бесконечности. Пусть рп (z) —т акой многочлен, что для
каждой z, принадлежащей кругу | z |< 1 и внешней к области,
ограниченной контуром Хп,
\Kn(z)-pn(z)\<±.
В силу проделанного построения разность
<b(z)-Kn(z)
представляет функцию, голоморфную внутри g и на сегменте 8Л-
Но функция
00
П=1
голомфорна в g; следовательно, функция
n(z) = <u{z)—L(z)

314
Н. Н. ЛУЗИН
также голоморфна в g. Эта функция <о (z), будучи голоморфной в /,
голоморфна также и на всех иглах кривой Z, и, следовательно, она
голоморфна в каждой точке z, |z|<l. Нам остается показать, что co(z)
удовлетворяет искомым условиям. В самом деле, так как ряды 2 р^ и Ер"
сходятся, то на окружности |z| = l существует такое множество Е первой
категории, mesE = 2к, что для каждой точки а этого множества радиус
Оа пересекает лишь конечное число контуров Хп. Значит, если z лежит
на. Оа, модули всех членов ряда L(z), начиная с некоторого, меньше чем
—р. Следовательно, функция L(z) ограничена на Оа, откуда вытекает,
что Reel со (z) стремится к бесконечности, когда z стремится к а по
радиусу Оа.
34. Полагая
Q(z)=e-^),
мы получим аналитическую функцию, голоморфную внутри круга \ ъ | < 1
и стремящуюся к нулю, когда z стремится к произвольной точке
множества Е по радиусу. Это множество Е окружности \ z | = 1 — первой
категории и меры 2тс.
35. В этом последнем примере множество Е было множеством первой
категории и меры 2тг. Естественно возникает вопрос, существует ли
аналитическая функция, голоморфная внутри круга \ z | < 1 и стремящаяся
к нулю в каждой точке множества Е1 — второй категории, mesl?>0^
когда z стремится к этим точкам по радиусам.
Ответ положителен, и вот пример такой функции. В § 34 мы
построили аналитическую функцию Cl(z), голоморфную внутри круга |z|<l
и стремящуюся к нулю почти в каждой точке периферии |z| = l, когда ъ
стремится к |z| = l по радиусам. Очевидно, что тем же методом можно
построить; функцию С1г (z), голоморфную внутри круга |z|<l, так же,
как и на полуокружности, расположенной под осью Ох, которая
стремится к нулю в каждой точке множества Ег, расположенного на
окружности | z | = 1 над осью Ox, mes Ег = к 2/
С другой стороны, пусть Q2 iz) — функция, голоморфная и
ограниченная внутри круга \ z \ < 1 и стремящаяся к нулю в каждой точке
множества Е2, сторой категории, mes Е2 = 0, расположенного на
полуокружности под осью Ох, когда z стремится к этим точкам по
произвольным путям (§ 11).
Легко видеть, что функция
n(z) = Cl1{z)-Cl2(z)
является искомой.
В самом деле, она голоморфна внутри круга |z|<l и стремится к нулю
в точках множества £ = Е1-\- Е2 второй категории, расположенного на
1 Само собой разумеется, что Е лежит на окружности \z\ =1.
2 Когда г стремится к этим точкам попрежнему л о радиусам.

0 ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 315
окружности |z| = l, когда z стремится к этим точкам по радиусам.
Мера множества £ равна тс.
36. Пусть о)2 (z) — аналитическая функция, голоморфная внутри круга
]z|<4 и стремящаяся к бесконечности почти в каждой точке
полуокружности, расположенной над осью Ох, когда z стремится к этим точкам
по радиусам (§ 33). Мы предположим, что наша функция <ог (z)
голоморфна в каждой точке окружности |z| = 1, расположенной под осью Ох.
С другой стороны, пусть со2 (z) — аналитическая функция, голоморфная
внутри круга | z \ < 1, причем действительная часть а>2 (z) больше единицы,
и равномерно стремящаяся к бесконечности в каждой точке множества Ег
второй категории, 'mes Ех = О, расположенного на полуокружности под
осью Ох, когда стремится к этим точкам по произвольным путям (§ 11).
Рассмотрим произведение
c{z) =o)1(z)-a>2(z).
Очевидно, что о (z) — аналитическая функция, голоморфная внутри
круга | z К1 и стремящаяся к бесконечности в каждой точке
некоторого множества второй категории и меры тг, расположенного на
периферии |z| = l {когда z, само собой разумеется, стремится по радиусам).
37. Множества Е и £, определенные в построенных примерах (§34
и 35), или были приведенными 1 и первой категории, или же второй
категории, но тогда не существовало ни одной дуги окружности, на
которой это множество было бы одновременно приведенным и второй
категории. Мы покажем, что если множество Е — одновременно приведенное
и второй категории на некоторой дуге окружности, то всякая
аналитическая функция, равная на этом множестве нулю или бесконечности
(в вышеопределенном смысле), тождественно равна нулю или
бесконечности.
38. В этом параграфе мы докажем следующую теорему:
Если Е — приведенное множество второй категории, расположенное
на дуге с периферии |z| = 1, и f(z) — аналитическая функция,
голоморфная внутри круга | z |< 1 и стремящаяся к нулю в каждой точке
множества Е, когда z стремится к этим точкам по радиусам, то эта
функция тождественно равна нулю.
Предположим, что теорема неверна, и пусть f(z) — функция,
удовлетворяющая всем условиям теоремы. Положим
Последовательность функций
/l (Z), h (*), ..., fn(z), ...
1 Мы говорим, что множество Е является приведенным на интервале, если
каждая его порция имеет положительную меру.

316
H. H. ЛУЗИН
голоморфна в круге | z | -< 1 и сходится к нулю в каждой точке С
множества Е.
Следовательно, если
*>*(С), |/п(С)|<е
[тг(С) — наименьшее целое число такое, что для всех п, превосходящих
это число, |/п(С)|<е].
Обозначим через Ек множество точек С, для которых п (С) = к. Мы
получим
Е = Ег + Е2 + ... + Ек + ...
Очевидно, что Еха Е2аЕ3а .. .
Так как множество Е — второй категории на с, то существует
некоторое множество Ei, которое тоже второй категории па о.
Значит, существует дуга с', о' cz а, на которой множество Е\ всюду
плотно. В силу нашего построения множества Ei+l, i?i+2, ... также
всюду плотны на о'. Если mes (o'-Ei) = О, то несомненно существует
такое множество 2?э (/>[£), что mes (а' • Ej) > 0 (в противном случае
множество </•£ было бы меры нуль). Итак, всегда существует множество
Ек, всюду плотное на а' и положительной меры на этой дуге. Мы
обозначим через Мк множество о -Ек. В силу предшествущего множество Мк
всюду плотно и mesil/fc>0.
Если С принадлежит Мку
1/п(С)|<е длял>Аг.
Пусть ех — положительное число, большее чем
1А(С)!, |/«(С)|, ..., |/*(С)|,
где С с Мк.
Обозначим через с наибольшее из двух чисел ег и е.
Очевидно, что
!/п(0|<с
для всех п и всех С cz Mk.
Так как функция fn(z) непрерывна на а', и множество точек Мк
всюду плотно на этой дуге, мы имеем
1/«(*)|<е
для всех п и х с а'.
Сделав замену переменного z = —— х, мы преобразуем дугу а' в
дугу о радиус которой равен 1 .
п
В силу этого преобразования мы имеем
f(z)=fn(x).

О ЕДИНСТВЕННОСТИ И МНОЖЕСТВЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 317
Отсюда следует, что | /(z) |<с для всех z, z с о^.
Пусть а и Ъ — концы дуги о'. [Мы всегда можем предположить, без
всякого ограничения, что эти точки принадлежат множеству Af*.
Функция / (z) ограничена на радиусах'Оа и Ob, так как она стремится к нулю
вдоль этих радиусов. Следовательно, функция / (z), будучи ограниченной
на контуре Оа^р'пО при любой п (где а'п и Ъ'п — концы дуги а^), будет
также ограничена в секторе ОаЬО. В силу теоремы Фату1 функция /(z)
стремится к определенному пределу почти в каждой точке периферии
этого сектора, когда z стремится к этим точкам по произвольным путям,
некасательным к периферии. Пусть К — множество этих точек: mesK = а'.
В силу всего предшествующего очевидно, что в каждой точке множества
(Мк К) этот предел равен нулю. Тогда, так как mes (Mjt К)
положительна, в силу уже доказанной теоремы (§ 14) /-(z) тождественно равна нулю,
что невозможно.
Замечание. Очэвидно, что теорема остается верной, если
предположить, чго функция f (z) голоморфна только в окрестности некоторой
дуги о окружности \ z \ = 1.
39. В этом параграфе мы покажем, чго всякая аналитическая функция
/ (z), голоморфная внутри круга \ z \ < 1 и стремящаяся к бесконечности в
каждой точке приведенного множества Е второй категории на некоторой
дуге о окружности\г\ = 1, когда z стремится к этим точкам по
радиусам, тождественно равна бесконечности. Предположим, что теорема
неверна. Пусть /(z)—функция, удовлетворяющая условиям теоремы.
Обозначим через i?! порцию множества-Б, всюду второй категории,
расположенную на о', а'сс Очевидно, что каждая точка дуги а' необходимо
является предельной точкой для нулей функции / (z), иначе существовала
бы хоть одна такая дуга а19 агс: а', что в окрестности ох функция /(z)
не имела бы нулей.
Тогда функция
бьма бы голоморфна в окрестности этой дуги. Функция /х (z) стремится
к нулю в каждой точке множества Oi*El9 когда z стремится к этим
точкам по радиусам; следовательно, она тождественно равна нулю, в силу
теоремы § 38, так как множество с1-Е1^ приведенное и второй
категории на о1# Но это невозможно.
Пусть гх < г2 < г3 < . . . — модули нулей функции / (z), | z | = гп —
концентрические окружности и /n (z) — последовательность функций
/n(z)=/(rnZ).
Эга последовательность функций /n(z), голоморфных в круге |z|<l,
1 F a t о u, loc. cit.

318
Н. Н. ЛУЗИН
сходится к бесконечности в каждой точке С множества Elt
следовательно, для
п > п (С), \fn (С) | > с, где с > О
[п (С) — наименьшее целое число такое, что для всех п, превосходящих
это число, | /п (С) | > с].
Пусть Е\ — множество точек С, для которых п (С) = к; очевидно, что
где Е\ с Е\ а ...
Так как множество Ег — второй категории на о', то существует
множество^, также второй категории. Следовательно, существует дуга о",
а"со', на которой множество Е\ всюду плотно. (Множества Е{, где />z,
также всюду плотны на оп.) Теперь, ec;inmes (е"-Е\) =0, то необходимо
существует такое множество Е[ (/>*)» что mes(o"-iJj) >0, так как
в противном случае мера множества 2?х равнялась бы нулю на а". Итак,
всегда существует множество Е\у всюду плотное на а", и мера которого
на этой дуге положительна. Мы обозначим через М% множество с"-Е\
[mesMk>0, Mjt всюду плотно].
Если С принадлежит МъУ
|/п(С)|>с для л>*.
Так как функция /n (z) непрерывна на z" и множество точек Mjc
всюду плотно на этой дуге, мы имеем |/п(#)|>с для п^>к п жсо",
Сделав преобразование переменного z = rnx, мы преобразуем дугу а"
в дугу а"п> радиус которой равен гп. В силу этого преобразования мы
получим /(z)=/n(x). Отсюда следует, что |/(z)|>c для всех z, zdcn>
если л>А.
Так как дуга о" является предельной дугой для нулей функции f(z),
то при достаточно большом п ап должна содержать хоть один нуль
функции /(z), что приводит к противоречию.
Замечание. Очевидно, что теорема остается верной, если
предположить, что функция f (z) голоморфна только в окрестности некоторой
дуги окружности \ z \ = 1.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИЙ
С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ *
В настоящей заметке я хотел бы указать свойство, которым каждая
функция /(6) с суммируемым квадратом обладает почти всюду, но, быть
может, не всюду. Это свойство, новидимому, не тривиально, так как
имеется бесконечное множество таких непрерывных функций /(6), для
которых множество меры нуль исключительных точек б действительно
существует.
I. Рассмотрим функцию/(6), определенную на интервале (0 < 6 << 2тс)
и с суммируемым квадратом, т. е. такую, что интеграл
$/1(в)Л>
О
конечен.
Пусть
оо
"Tf + 2 anCOStt8 + 6Л Sill 710
— разложение функции /(6) в ряд Фурье — Лебега.]Так как /(б) —
функция с суммируемым квадратом, то числовой ряд с положительными
членами
1 4 + Й
n-i
сходится.
Установив это, обозначим через сп число On — ibn и рассмотрим ряд
Тейлора
F(z) = > + cxz + c2z* + c3z3 + . .. + cnzn + .:. .,
где b0 — произвольное действительное число. Так как ряд с
положительными членами
* Sur une propriete des fonctions a carre sommable, Bull. Calcutta Math. Soc. 20.
139-154, 1930.

320
н. н. лузин
сходится, мы имеем
limrn= 0.
п—оо
Отсюда следует, что функция F (z) голоморфна внутри круга C(|z| = l).
Кроме того, известно, что эта функция F (z) определена почти всюду на
периферии круга С. Мы определяем функцию F (z) в точке С = eie
периферии Cf заставляя z стремиться к С по пути L, внутреннему для круга
С и не касательному к его периферии: если предел F (Q функции F (z)
не зависит от этого пути L, мы возьмем F (С) за значение функции F (z)
в точке С.
Кроме того, известно, что действительная часть функции F (£)
совпадает почти всюду с данной функцией / (6), а мнимая часть функции F (С)
является сопряженной функцией с суммируемым квадратом g (б),
определенной сопряженным разложением Фурье — Лебега:
оо
gr(8) *• + У> -bncosnb + On sin лв.
71=1
II. Мы сделаем теперь замечание, относящееся к ряду Тейлора
■у + сгг + c2z* + ... + cnzn + . . .
Прежде всего, функция
w = F{z)
комплексного переменного z, определенная этим разложением, в общем
случае не может быть продолжена за окружность С ни в одной точке.
Следовательно, в общем случае периферия круга С является границей
естественной области существования функции F(z).
Если мы будем изменять z внутри круга С, точка w опишет рима-
нову поверхность S. Известно, что вся площадь этой римановой
поверхности S дается интегралом
\\\F'{z)\4w,
с
распространенным на круг С, и что значение этого интеграла есть
\Cl\* + 2\c2\* + 3}c3\*+...+n\bnl*+...
Следовательно, если этот ряд расходится, вся площадь римановой
поверхности S бесконечна. Это — общин случай.
Возьмем теперь малую часть а' круга С, ограниченную малой дугой
(а, р) окружности С. Если мы будем изменять z в а', комплексное
переменное w опишет соответствующую часть S' римановой поверх-

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИИ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ
321
ности S. Так как окружность С является, в общехМ случае, существенно
особой линией функции F(z), часть <5" поверхности S имеет бесконечную
площадь. Следовательно, в общем случае интеграл
\\\F(z)\*dw,
о'
распространенный на а', бесконечен, какова бы ни была малая дуга (а, р)
окружности С.
Установив это, можно так
сформулировать рассматриваемое
свойство функций /(6) с суммируемым
квадратом: почти для каждой
точки С = £ie окружности С можно
начертить внутри круга С такую
кривую Г, замкнутую и касательную
к С в точке С, что интеграл
\\\F'{z)\4w,
V
распространенный на внутренность
Г, имеет конечное значение.
Множество исключительных точек
Ь-е*
г pie
Рис. 1
окружности С есть всегда множество
меры нуль. При этом имеется
бесконечное множество случаев, в
которых множество исключительных точек действительно существует, даже
если данная функция /(6) непрерывна всюду на окружности С.
III. Чтобы доказать это предложение, возьмем сначала производную
функции F (z)
F' (z) = 2 ttV-1 >
n-1
и положим
z = р*1"*.
При р, меньшем единицы, мы имеем
rw \ _ "v yi-i|[a"cos(w — *)? + 6nSin(rt —1)©]+ I
(2)"^/ф l+*[ar.sin(/i-l)a)-6nC08(n-l)<p] J
и, следовательно,
!^ (*) !2 = (5 "r^1 [fl*cos(Л -1) ? + 6»sin(д " 4) ?1) +
+ ( Е и.0'1""1 [*«sin (л - 1) ? — *n cos (л - 1)ф] J .

322
H. H. ЛУЗИН
Так как р меньше единицы, предыдущая формула может быть
записана в виде двойного ряда:
mTn \-(<Lmbn — an6m)sin(m — п)* \ '
сходящегося абсолютно и равномерно.
Пусть Ге — замкнутая кривая, расположенная в круге С п
проходящая через точку C = eie окружности С. Пока мы не уточняем вида этой
кривой, но мы предполагаем ее определенной.
Если мы заменим в предыдущей формуле р через tp, где t —
фиксированное положительное число, меньшее единицы, мы можем
интегрировать почленно предыдущий двойной ряд внутри кривой Ге.
Полагая
dw = р dpflkp,
мы имеем
-1, +оо ' [ОтОп+ЬтЬп) ] ) p™+n-l COS (m —/l)©dpcfe — ]
\\\F'(z)\*dw= У m/itm+f|-2{ T\?
Ге m,n — (ЯгА-Мт) J У"+П- ' sin (m-/l)<pdpd<p
Если в интегралах двойного ряда мы заменим о через 6 + ср, мы
можем ограничиться рассмотрением единственной замкнутой кривой Г0,
не зависящей от 9, расположенной в круге С и проходящей через точку
(з = 1, у = 0).
Таким образом мы имеем
\\\F{z)\*dw =
(Г (amdn+bmbn)cos{Tn—д)6] f \ . , , i
ЛГ [-(am6n-anim sin(m-n)6 J1 r+^os(m-n)odPd9+
I L~(am^n—<zn6m)cos(m—/i)0J JpJ» v ;. i ij
Наконец, не забудем отметить, что двойной ряд сходится равномерно
относительно 6, так как положительное число t фиксировано и меньше
единицы. Следовательно, мы можем интегрировать этот двойной ряд
почленно по б во всем интервале (0 < б <С 2тг).
Итак, мы окончательно получим
) (\ )\ F{z) ;2 dw) db= 2 *2*2П -2(яп2 + М S Jp*-1 ф *p. (1)
и Ть n-l Г.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ
323
IV. Определим теперь контур Г0: мы предполагаем его выпуклым,
симметричным относительно действительной оси ОХ, содержащим внутри
себя начало координат и имеющим точку (х = 1, у = 0) угловой точкой с
различными касательными. Пусть 2- — угол между этими двумя
касательными 0 < 7 < -у .
При этих условиях я утверждаю, что величина
г„
остается ограниченной при
неограниченном возрастании п.
Прежде всего, выполняя
частное интегрирование относительно
р, мы имеехМ
Ч-ге
4 J P*»d*.
С другой стороны,
радиус-вектор р (?) для точек контура Г0
заведомо меньше соответствующего
радиуса-вектора для обеих
касательных к контуру Г0, выходящих
из точки (х = 1, у = 0), как
только ср остается меньше некоторого положительного числа ср0.
Следовательно, мы имеем
Рис. 2
Р (?)< 1 — т^
(2)
ДЛЯ |?|<<ро-
И так как точка (# = 1, у = 0) является единственной точкой
контура Г0, принадлежащей окружности С, мы можем найти положительное
число срх, ©!<?<)> достаточно близкое к нулю, таким образом, что)5ы для
радиуса-вектора р на контуре Г0 мы имели
p(?)<p(?i)>
каково бы ни было ср, остающееся вне интервала (—c?i> +?i)«
Заметив это, разобьем предыдущий интеграл на две части
4-Ф1
т(5 + 5)-.-И""*-
-тг -Ьф, —ФХ
Первая часть необходимо стремится к нулю, когда п неограниченно

ъг\
H. H. ЛУЗИН
растет, так как ее значение не превосходит той величины, которую мы
получим, заменяя р(ср) через р (<?i)> что Дает нам
и, следовательно, начиная с п, превосходящего некоторое целое число
мы будем иметь
так как положительное число р(ог) фиксировано и меньше единицы.
Остается только оценить вторую часть предыдущего интеграла.
В силу формулы (2)
P(?)<1~T57. (2)
мы имеем
^р-*<*-*-Т(1-£Г*-
В конце концов, величина
г.
остается ограниченной, когда п неограниченно растет (ч. т. д.).
V. Закончив эти предварительные подсчеты, мы вернемся к равенству (1)
5 (5J \F(z)*dw) аь= Si^-t^+^j/it 5S p1"-1**?. (i)
О Ге »i«t Г„
Заметим сперва, что двойной интеграл
\\\F'(z)*dw
**е
распространен на внутренность замкнутого контура Г0, описанного
точкой tz9 где положительный параметр t фиксирован. Для получения Ге
производим гомотетическос преобразование рассматриваемой выпуклой кривой
Г0, взяв начало координат О за центр и / — за отношение гомотетии, и
поворачиваем затем эту преобразованную кривую на фиксированный
угол 6 вокруг О.

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ 325
Так как начало координат О расположено внутри Г0, отсюда следует,
что если мы заставим параметр t возрастать и стремиться к единице, то
площадь, выметаемая контуром Ге, все время растет. Следовательно,
значение рассматриваемого двойного
интеграла возрастает вместе с t.
С другой стороны, ряд в правой
части формулы (1) но может
возрастать неограниченно при возрастании
/, так как множители
/г2 \\р2п'Ы^
г.
остаются ограниченными и ряд
00
У,ап + Ь~Ну наверное, сходится.
П"»1
Следовательно, ряд в формуле (1)
стремится к конечному пределу,
когда t стремится к единице.
Отсюда мы немедленно
заключаем, что простой интеграл с положительными элементами
Рис. 3
\(\\\F{z)\*dw)db
о ге
конечен для / = 1. Отсюда следует, что двойной интеграл
\\\F'{z)\*dw,
гв
рассматриваемый как функция переменного 6, является суммируемой
функцией, следовательно, конечной почти всюду, когда мы полагаем * = 1.
Таким образом мы приходим к следующему частному предложению:
Каждому положительному числу 7> меньшему 2гс, можно поставить
в соответствие такое множество Еу точек окружности С, mesl?Y = 2TC,
что для каждой из его точек £ = eib двойной интеграл
\\\F' (z)\*dw
ге
остается конечным, где Ге означает равнобедренный треугольнику
вписанный в окружность Ct равные стороны которого образуют в точке С
угол, равный ?.
Установив это, заставим стремиться угол ] к itno счетному множеству
значений
Ti<T2<Ta< <Тп< ,

326
Н. Н. ЛУЗИН
где
lim fn = тс.
Пусть ЕГп— множество точек, расположенное на окружности С,
которое соответствует углу ^п.
Мы всегда имеем
mes ЕУп = 2* .
Так как общая часть счетного множества множеств ЕУп, каждое из
которых имеет меру 2тс, есть множество Е тоже меры 2тс, мы приходим
к следующему результату:
На окружности С можно определить такое множество точек Е
меры 2я, что какова бы ни была кривая Гв, расположенная внутри
круга С и не касательная к его периферии, проведенная через точку
С = eie множества Е, двойной интеграл
\) | F' (z) !2 dw,
гл
распространенный на внутренность кривой Ге, имеет конечное значение.
Теперь легко доказать формулированное свойство функций с
суммируемым квадратом»
В самом деле, возьмем точку С = eib множества Е. Пусть Тп — такой
треугольник в круге С, угол которого при вершине С равен тг , а
двойной интеграл ^ | F' (z) |2 dw , распространенный на внутренность Тп,
со
имеет значение е^ Мы предполагаем ряд 2 еп сходящимся.
П-1
Обозначим через Л площадь, покрытую соединением треугольников Тп,
я = 1, 2, 3,... Вполне очевидно, что можно провести в А кривую Г,
касательную в С к окружности С.
Двойной интеграл
\\\F(z)\*dw,
распространенный на внутренность Г, имеет, очевидно, конечное
значение (ч. т. д.).
VI. Было бы чрезвычайно интересно обобщить полученное свойство
рядов Тейлора
Р(*)= Ё'п*л,
71-0

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИИ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ 327
для которых ряд
оо
п—о
сходится.
Для того, чтобы лучше объяснить, в чем может состоять такое
обобщение, будем руководствоваться другим свойством этих рядов Тейлора,
которое мы уже цитировали:
На окружности С можно определить такое множество точек Е
меры 2тс, что каков бы ни был треугольник Т, расположенный в круге С
и имеющий точку С множества Е
вершиной, функция F (z) стремится к
определенному пределу F (С), когда z
стремится к С, оставаясь внутри Т.
Известно, что в общем случае
функция F((>) разрывна в каждой точке
окружности Су причем эта разрывность не
может быть уничтожена никаким
изменением функции F(Q на множестве
меры нуль. И тем не менее из
цитированного свойства функции F (С) можно
вывести существование такой
спрямляемой замкнутой кривой L,
расположенной в круге С и имеющей с окружностью Рис. 4
С множество общих точек меры, сколь
угодно близкой к 2к, что функция F(z) равномерно непрерывна на L
{включая контур).
Вопрос теперь состоит в том, чтобы выяснить, можно ли доказать
аналогичным образом существование такой спрямляемой замкнутой кривой L,
расположенной в круге С и имеющей с окружностью С множество общих
точек положительной меры, что двойной интеграл
\\\F{z)l*dw,
L
распространенный на внутренность кривой L, имеет конечное значение?
Это вопрос, который кажется заслуживающим внимания, несмотря на
сомнение в положительности ответа.
VII. Поставленная проблема близка в изучению сходимости рядов
Тейлора на периферии круга сходимости.
В самом деле, в силу работ Фейера, если ряд
оо
сходится, значит, если двойной интеграл
5S if (*)!■<*»,
о

328
H. H. ЛУЗИН
распространенный на весь круг С, имеет конечное значение, ряд Тейлор;
сходится почти всюду на окружности С.
Но, как мне указал Марсель Орбок, очень вероятно, что это свойство
1
локально-, это означает, что если ап стремится к нулю вместе с- и
л
если функция F(z), представленная рядом Тейлора
имеет двойной интеграл
\\\F(z)\*dw
г
конечным, где область Г — часть круга С, ограниченная сколь угодно малой
дугой (а, гр) окружности С, ряд Тейлора
сходится почти всюду на (а, [*)[33].
Вот причина, по которой очень интересно узнать, имеется ли прямая
или косвенная связь между существованием конечного двойного интеграла
\\\Ff(z)^dwy
г
распространенною на внутренность спрямляемой замкнутой кривой,
имеющей с окружностью С множество общих точек положительной меры,
и сходимостью ряда Тейлора почти всюду на этом множествех.
VIII. Среди вопросов такого рода многие еще ожидают своего решения.
Если F (z) — функция, голоморфная в круге С и равномерно
непрерывная в С (включая контур), уравнение
w = F (z)
определяет в плоскости комплексного переменного -и; область А, на которой
изменяется w, когда z изменяется в круге С. Эта область Л ограничена
кривой Жордана L, и мы получим все точки кривой L, заставляя z пробе-
1 Мы не настаиваем на этом пункте, так как, не отрицая его интереса, мы должны
констатировать, что в пастоящее время очень вероятно, что полное разрешение
проблемы сходимости рядов Фурье придет из теории чисел или из какой-нибудь теоремы
математического анализа, тесно связанной с теорией чисел-

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИИ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ 329
гать некоторое совершенное множество />, расположенное на окружности С.
Но неизвестно, какова мера множества Р.
В общем случае, когда предполагается только сходимость ряда
оо
2 К!2,
о
можно доказать существование таких спрямляемых путей L,
заканчивающихся в некоторых точках I окружности С, что мы получим опять
спрямляемую кривую в плоскости w, заставляя z пробегать L. Но неизвестно,
какова мера множества Е точек окружности С, которые соответствуют
точкам римановой поверхности S, достижимым спрямляемыми или
прямолинейными путями, или углами определенной величины.
IX. Однако можно констатировать отрицательный факт: даже если
функция w = F (z) осуществляет конформное отображение круга
C('z\ = l) на область, ограниченную кривой Жордана, в общем случае
в круге С не существует замкнутой и спрямляемой кривой L, имеющей на
окружности С множество точек положительной меры и преобразуемой
при помощи уравнения w = F (z) также в спрямляемую кривую.
Для того чтобы это увидеть, возьмем.на окружности \w\ = 1 счетное-
и всюду плотное множество точек. Каждая из этих точек будет началом
прямолинейного сегмента, направленного к центру круга \w\ = i. Мы
назовем эти сегменты сегментами первого ранга и выберем их длины таким
образом, чтобы их соединение, вместе с окружностью \w\ = 1, образовало
кривую Жордана, неспрямляемую между любыми двумя точками
окружности \w\ = 1.
Потом мы возьмем на каждом сегменте первого ранга счетное и всюду
плотное множество точек и восставим в этих точках симметричным
образом перпендикулярные сегменты. Это будут сегменты второго ранга.
Выбирая надлежащим образом их длины, мы сумеем получить соединением
сегментов второго ранга, первого ранга и окружности |зд/[=1 кривую
Жордана, которая опять не спрямляема между любыми двумя точками
сегментов первого ранга, и так далее.
Повторяя эту операцию, мы образуем таким образом сегменты всех
конечных рангов, причем сегменты каждого ранга не имеют попарно-
общих точек.
Легкий подсчет показывает, что если мы присоединим к окружности
\w\ = 1 все построенные сегменты, а также и все предельные точки этого
соединения, мы получим в плоскости переменного w такую замкнутую
кривую Жордана L, что внутри L (в широком смысле) не существует
никакой спрямляемой замкнутой кривой X, которая имела бы с кривой L
множество общих точек положительной меры1.
1 В. Н. Вениаминов первый установил существование кривых Жордана,
имеющих указанное свойство (см. Математический сборник, 1924).

330
Н. Н. ЛУЗИН
Конформное отображение области, ограниченной построенной кривой
L, на круг | z\ = 1 дает нам искомую аналитическую функцию F (z), так
как каждая спрямляемая кривая, расположенная в круге \z J = 1 и
имеющая с окружностью | z | = 1 множество общих точек положительной меры
преобразуется в неспрямляемую кривую X.
Плоскость W
iilii п||| n|nm|ii
Рис. 5
В самом деле, предположим кривую X спрямляемой. Так как
конформное отображение областей, ограниченных спрямляемыми кривыми, друг
на друга сохраняет на их границах множества меры нуль, мы отсюда
выводим, что множество точек z, принадлежащее окружности |z| = l,
преобразуется в множество точек положительной меры, что невозможно,
в силу указанного геометрического свойства построенной кривой L.

ОБ ОДНОМ ВИДЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ *
1. Известно, что сходимость тригонометрического ряда Фурье для
суммируемой функции F (х) сводится к сходимости интеграла Дирихле
1
л + ■« Sm (* + у) а
*пЫ = - \ F&0 + а) ^— da (1)
-сх 2 sin 2-
при п стремящемся к бесконечности; здесь ех и е2 — Два положительных
числа, отличных от нуля и как угодно малых.
Разобьем этот интеграл на две части
1
A J Sil1 (П + 'О}*
1п{хъ) = М F (х0 + а) jp- da +
2sin2-
, ** sin (n -f ^-)a
+ ±\F{x» + a) ^- doL = I-(x,) +I$(xQ) (2)
о 2 sin-j
и рассмотрим одну из них, например интеграл It (xQ) .
Известно, что если F (х) есть функция с ограниченным изменением
на интервале (х0у х0 + т}), где ?]>0 как угодно мало, то
интеграл It (#о) стремится к ——°2—-, когда п стремится к бесконечности.
Кроме того, известно, что если F (х) интегрируема по Лебегу на (0, 2ти),
то последовательность /+ (^ /+ (^ ...,/+ (s0), .. . всегда суммируема
процессом средних арифметических (Фейера) и имеет своим пределом
F (х )
—g-^ почти всюду на (0 <; х0 <; 2тг).
Поэтому возникает вопрос, для всякой ли функции F (х) непрерывной
и периодической на (0, 2тг) интеграл It (#о) всегда стремится почти
всюду к —4-^ , когда п стремится к бесконечности.
Мы дадим отрицательный ответ на этот вопрос.
2. С этой целью возьмем непрерывную периодическую функцию
со
F(z)= 25nSinXn*> (3)
* Sur une mode de convergence de l'integrale de Dirichlet, Изв. Физ.-мат. об-ва
Казанск. ун-та, 6, сер. 3, 1—4, 1934.

332
Н. Н. ЛУЗИН
где
8n=-L, лп==„»" (» = 1, 2, 3, ...),
п рассмотрим интеграл
Имеем
откуда
А " /'(/7*)-/,(^*) Sill ^А,,-г .)у*
J l 2<in
J? (х + а) — -F (.г — о) = У 2о„ res л„х- sin л„а ,
^ Я* cos V Г м» ХАа Sin ( *» ^ "' ) "
(4)
с/а
+
Г Sill A
•rfcc-f
+ ;h 2ол cos /** sin лАа —V fl-da = L^H + ^W
п*.«ы.1 2 Sin 4Л
oA-n+1
В силу форму.чы
(5)
J » •) si„ * \ А„ - Ч - ' \» ~ >•* "5- - Ч. + V
первый член Un] правой части равенства (5) по абсолютной величине
меньше, чем
*к\ £j* 2 х* ^ \\ ^ х«-1 __ А
k**\
ЛТ1 ЛЛ
*-1
'vn "n-i
1 ^-. *
"П-1
— 1 *-1
Но lim n = оо, значит, [/$ (.г) стремится к нулю, когда л->оо .
Третий член Un] равенства (5) по абсолютной величине меньше, чем
7Г ОО
is* 2
о*
sin
(>.+ !■)<
что можно записать также в виде:
2 sin -..
da,

ОБ ОДНОМ ВИДЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ 333
1
где fin стремится к нулю вместе с - .
Но мы имеем
со
2л г^<2оГ7+1<-^т.
Следовательно,
а потому {/£ ) (х) стремится равномерно к нулю вместе с - . Теперь
нужно вычислить Ul£(x). Имеем
2
+ Yin>
где r<n стремится равномерно к #нулю с - . Кроме того, имеем
*n\gK= -nnnlgn=*\gn.
71
Из этого вытекает, что весь интеграл (4)
sin
** 9 cir»
2
не стремится ни к какому определенному пределу, когда п стремится
к бесконечности, но колеблется таким образом, что мы имеем почти
всюду на 0 <:#<,<! 2* следующие равенства
Ш^ип(хо) = + оо, Hm^n(«о) = — оо .
п—>оо п—з^оо
Так как функция F (х) определяется своим тригонометрическим
рядом Фурье (3), равномерно сходящимся на 0<><;2гс, то интеграл
Дирихле
,. , , _ 1 ? ЛК».+ «) + *(«.-«) sin(Xn+-2)g

334
Н. Н. ЛУЗИН
Р ('Г \
стремится равномерно к *' при п, стремящемся к бесконечности.
Составляя сумму Un(x0) + Vn(z0), мы, очевидно, приходим к следующему
результату:
Существует непрерывная периодическая функция F(x), для которой
интеграл Дирихле
1 С т? / , \ sin/га
da
стремится равномерно к F (х) на (0 -< х <С 2^) при п, стремящемся к
бесконечности, тогда как каждый из интегралов
*п (х) = - \ F(x + o) da,
2 sin 2
Ц(х) = У\ F(x + a)^^da
2sin 2
расходится, и мы имеем почти всюду на 0<^х<^2т.
lim ^Г (х) = limit (х) = + оо и Ига Гп (х) = limit (х) = — ос.
3. Вот одно из приложений предыдущих рассмотрений. Известно, что
образование непрерывной функции, у которой ряд Фурье расходится в
одной точке, представляет некоторые трудности. Но изменяя слегка
изученную непрерывную функцию F(x), мы мгновенно получаем функцию
ср (х), у которой тригонометрический ряд Фурье расходится в одной точке.
В самом деле, пусть Е — множество точек (0, 2тг), в которых каждый
из интегралов In {х) и it (х) колеблется между — оо и + оо. Возьмем
какие-либо две точки хх и х2 на Б и, не изменяя F (х) вне интервала
(xl7 x2), проинтерполируем ее линейно на этом интервале.
Я теперь утверждаю, что полученная таким образом функция <? (х)
имеет тригонометрический ряд, который непременно расходится в xY и хг.
Чтобы увидеть это, достаточно заметить, что в точке хх интеграл
In (х) колеблется между -оо и +оо, тогда как интеграл it (х)
сходится к—^, потому что ©(#), будучи линейной на (х1У х2), имеет
ограниченное изменение на этом интервале.
Следовательно, сумма In (x) + It (x) не может сходиться в точке
хг. То же самое место в точке x.2l но роли интегралов In {x) и lt{x),
очевидно, меняются. Таким образом, интерполируя линейно в некотором
интервале непрерывную периодическую функцию F(x), у которой ряд
Фурье абсолютно сходится, мы получаем непрерывную функцию, у
которой ряд Фурье обязательно расходится в концах этого интервала.

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ *
1. Последовательности измеримых множеств
1. Пусть El9 Е2,..., Еп>... есть бесконечная последовательность
каких-нибудь множеств, образованных из 'точек.
Борель всякой такой последовательности заставил отвечать два
замечательных множества, тесно связанных с нею и названных им предельными
множествами. Одно из них, согласно его терминологии, есть полное
предельное множество: оно определяется как множество всех таких точек х,
каждая из которых содержится в бесконечно многих множествах
последовательности El9 i?2,...,i?n,...; другое им названо узким предельным
множеством и определено как множество всех таких точек х9 каждая из которых
входит во все множества последовательности El9 £2,...,£л,..., кроме,
возможно, лишь конечного числа их.
Из самого определения следует, что полное предельное множество
содержит узкое предельное множество и что оба этих предельных
множества определяются самой последовательностью El9 E2t...t ЕП9...9 так как
они, очевидно, не изменяются, если станут переставлять члены этой
последовательности, не выбрасывая ни одного из них и не вводя новых.
Является целесообразным изменить терминологию Бореля для его
предельных, множеств и попутно ввести для них подходящие символы.
В дальнейшем мы будем полное предельное множество Бореля называть
просто верхним пределом последовательности^, 2?2,...,i?n,... и обозначать
символом limEn; аналогично узкое предельное множество будем называ ть
п-+са
нижним пределом и обозначать через ИтЕп.
п~*оо
Если вспомним определение суммы S = Ех + Е2 + ...+ Еп +... и
произведения Р = Ег-Е2-...*Еп-... последовательности множеств, то,
очевидно, всегда будем иметь соотношения PalimEn(ZlimEnczS, где знак с
обозначает просто то, что одно множество содержится в другом, совпадая
с ним в частном случае.
Особенно интересен тот случай, когда оба предельных множества
совпадают, т. е. когда limi?n= limEn. В этом случае мы скажем, что
последовательность El9 E2i 7УТ7 Еп, ... есть сходящаяся, и единственное в этом случае
* Прибавление к книге Лебега, Интегрирование и отыскание примитивных,
ГТТИ, М.—Л., 1934, 283—290.

336
Н. Н. ЛУЗИН
множество Бореля мы будем называть пределом последовательности,
обозначая его символом lim En.
Не всякая последовательность множеств сходится.
Последовательность, у которой верхний предел не совпадает с нижним пределом,
называется расходящейся. Расходящаяся последовательность не имеет предела,
но всегда имеет верхний предел и нижний предел.
Для того чтобы последовательность Е1У Е2,..., Еп,... была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х, лежащей на прямой,
представились только две возможности: или она входит во все ее члены,
кроме, возможно, конечного числа их; или она не входит во все ее члены
с тем же самым возможным исключением конечного числа ее членов. Когда
это выполнено, точки .г, осуществляющие первую возможность, образуют
предел ИтЕп.
2. Понятия верхнего предела и нижнего предела последовательности
множеств тесно связаны с понятиями верхнего предела и нижнего предела
последовательности функций.
Пусть Е есть какое-нибудь множество точек оси ОХ. Функцию 0 (я),
равную единице на Е и равную нулю вне Е, мы назовем
характеристической функцией для множества Е (Валле-Пусеен). Это название ясно
само собой, так как если бы мы знали функцию »Ь {х) ранее того, как ввели
в наши рассуждения множество Е, то значение ее вполне определило бы
это множество как совокупность корней уравнения *Ь (х) = 1.
Пусть теперь нам дана последовательность каких-либо множеств
Е1Е2,..;Еп,... Строя для них соответствующие характеристические
функции фх(л?), ф2(я)> •.•,,t>n(#)»»»M мы имеем последовательность функций,
превращающуюся в бесконечную последовательность чисел всякий раз, как
переменное х получает определенное числовое значение.
Но всякая бесконечная последовательность чисел имеет верхний
предел и нижний предел1. Когда они различны, последовательность чисел
1 Пусть последовательность чисел х1, х21 ..., хп> ... есть ограниченная сверху.
Имеются тогда такие числа В, которые превосходят все числа хп> кроме, возможно,
конечного их числа. Нижняя грань Ъ таких чисел В и называется верхним пределом
последовательности чисел х1% #.>, ..., хп, ... и обозначается через lim хи= Ь. Ясно, что
N-00
для всякого е >0 имеется лишь конечное число членов последовательности xv x2) ...
.♦., хп, ..., превосходящих Ъ + е, и что, напротив, имеется бесконечно много членов
ос, превосходящих Ь — г.
Аналогично определяется нижний предел lim хи; это есть верхняя грань а таких
и -*оо
чисел .4, каждое из которых превзойдено всяким числом хГ1, кроме, возможно,
конечного числа их. Ясно, что число а — с превзойдено всеми числами хп, кроме, быть
может, конечного числа их, и что, напротив, число а + t превосходит бесконечно много
членов хп. Если последовательность хг, х2, ..., хП1 ... не ограничена сверху, полагают
lim хп = +ос; если она не ограничена снизу, пишут lim хп = —оо. Очевидно, что
)1 ОО
имеем всегда:
lim xn ^ lim.rn .

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ 337
называется расходящейся; последовательность сходится, когда эти
пределы совпадают между собой, и тогда общая их величина называется
пределом последовательности.
Применяя сказанное к последовательности чисел ^(я), фг^),—,^^),*..,
мы получим два новых числа:
ш (х) = Urn tyn (х) и Q (х) = Йт <1>п (х),
зависящих от х, т. е. являющихся функциями х. Ясно, что обе эти функции»
принимая лишь значения 0 и 1, суть характеристические функции для
некоторых двух множеств. Легко видеть, что уравнение <о (х) = 1
определяет именно множество lim Еп, и уравнение О, (х) = 1 определяет
множество limi^n-
Для того чтобы последовательность функций ^(я),^ (з), •••» ^п(#)>--
была сходящейся в каждой точке, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность множеств Е1У Е2,...,Еп,... была сходящейся; пусть Е есть
ее предел Е = lim Еп. В этом случае функция ty (ж) = lim tyn(z) есть
характеристическая для Е. В общем же случае последовательность ^(х), ф2(ж)»««»
...,^л(а;),... сходится на множестве lim i?n и вне множества limi?n, в точках
же, принадлежащих к множеству-разности
lim Еп — lim Еп,
она всегда расходится.
Если множество Е измеримое, характеристическая функция <Ь (х) для
него также измерима; обратное также верно.
3. Последовательность множества Ег, Е2,...,Еп,... называется
монотонно возрастающей, если имеем E1<zE2cz..*czEn(Z...\ она называется
монотонно убывающей, если Е^Е2^> ...Z)EnZD... Монотонные
последовательности всегда имеют предел; в случае возрастающей
последовательности ее пределом является сумма ее членов:
limЕп = Ег + Е2 + . . . + Еп+ .. .;
в случае убывающей последовательности ее предел есть произведение ее
членов:
lim Еп = Е1 • Е2 • . . • • Еп • ...
Если последовательность Ег,Е2,...у Еп ,... есть последовательность
измеримых множеств, ее верхний предел и нижний предел также суть
измеримые множества вследствие формул:
ПтЕп= (Ег.Еъ-Ег* ...) + (Е2-Ег ...) + №г ...) + .. Л
1 В самом деле, если точка входит в множество lim En, то она принадлежит всем
скобкам, стоящим в правой части, начиная с некоторого индекса п, и обратно, если она
принадлежит правой части, то принадлежит одной из скобок и, значит, входит во всо
множества Еп, начиная с некоторого п, т. е. входит в lim En.

338
Н. Н. ЛУЗИН
limEn= {Ег + Е2 + Е3+ . ..) X
X (Е% + ЕЛ+...).(Е3+...). -.-1
Для монотонных последовательностей измеримых множеств
Е1)Е21... ЕП1„. справедлива теорема о мере предела, выражающаяся
равенством mes \imEn = lim mesi:„. Расширим это предложение на всякую
сходящуюся последовательность. В нижеследующем рассматриваются
лишь последовательности множеств, лежащих на конечном сегменте
[а, Ь].
Лемма. Для всякой последовательности измеримых множеств Е1у
E2i... Еп,.„, существуют два таких измеримых множества е и g, из которых
первое содержится в каждом из множеств данной последовательности,
а второе содержит каждое из них, кроме конечного числа их, что меры mes e
и mes g сколь угодно мало отличаются соответственно от мер mes limi?n
и mes lim Еп.
В самом деле, слагаемые в формуле разложения нижнего предела lim En
в сумму образуют монотонно возрастающую последовательность, и
аналогично множители в формуле разложения верхнего предела lim En в
произведение образуют монотонно убывающую последовательность. Отсюда,
каково бы ни было малое положительное е, имеется такое А*, для которого
mes (Ejt-Ejt+i- . ..) >mes limEn — e
и
mes (Ek + Ек+\ + ...)< mes lim En + e.
Полагая e — Ej^Ek+v... и g = Ek + Ек+г + . . ., имеем лемму
доказанной.
Следствие. Для всякой последовательности измеримых множеств
Еъ Еъ . .. , Е1и .. . имеем
lim mes En !> mes lim En\ lim mes En <; mes lim En.
В самом доле, мы имеем
Еп z) Ek-Ek+i*... и Encz Ek + Ek+i + ...
для всякого n^>k. Отсюда
mes En > mes lim En — г и mes En < mes lim En + s
для любого положительного е и любого п, превышающего некоторое число к,
зависящее только от е.
1 В самом деле, точка множества lim En принадлежит всем множителям правой
части, а значит, и произведению; обратно, если точка принадлежит правой части, то
принадлежит бесконечному множеству из множеств Еп и, значит, входит в lim Bn.

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
339
Если данная последовательность Еъ Еъ . .. , Еп. .., есть сходящаяся,
тогда
lim En = \imEn,
откуда
limmes En = lim mes En,
и значит, справедливо предложение:
Теорема. Если последовательность измеримых множеств Ех, Еъ . . .,
Еп, • • • , лежащих на конечном сегменте, сходится и множество Е есть
ее предел, то mes Е = lim mes En.
Заметим, что теорема может перестать быть верной для множеств Еъ
Е2, .. . , совокупность которых нельзя заключить в конечный сегмент;
в этом убеждаются надлежащим примером.
Из изложенного следует, что если мера множества Еп
стремится к нулю, когда п безгранично возрастает, то
необходимо имеем meslimi?n = 0. Напротив, отсюда еще не следует, что
верхний предел lim-En не может оказаться положительной меры. Легко
строятся примеры, где при limmcs£n = 0 имеем mes limi?n>0.
Есть, однако, случаи, когда необходимо имеем mes limЕп — 0.
Этот важный случай, часто употребляемый в практике теории
функций, дается предложением:
Теорема. Если последовательность множеств Еи Еъ ..., Еп>. ..
такова, что ряд mes Ег + mes Е2 + . . . + mes En + .... сходится, тогда
необходимо имеем mes limi?n = 0.
В самом деле, Tun Еп cz Ek + Ек+г + . .., где к — любое. Но
mes (Ek + £/;+i + . • •) < mes Ек + mes Ек+1 + ..., и значит, раз остаток
сходящегося ряда стремится к нулю, когда n->oct то имеем
mes lim£n = 0.
2. Последовательности измеримых функций.
Теорема Д. Ф. Егорова
4. Пусть Д (х)у /2 (я), .. . , /n(s), . . . есть последовательность измеримых
функций, всякая из которых определена в каждой точке х конечного
сегмента [а, Ь].
Пусть о) (х) = lim /n (х) и Q (z) = ШгГ/п (х). Если данная последователь-
ность функции расходится в точке x0i имеем со (я0)<Q (20); если,
напротив, она сходится и имеет пределом некоторое число, которое мы
обозначим через / (я0), тогда со (я0) = Q {х0) = f(x0).
Мы знаем, что когда все функции fn(x) измеримы, то и обе
функции со (х) и П (х) также измеримы. Отсюда множество точек х, где имеем

340
H. H. ЛУЗИН
строгое неравенство со (£)<& (х), есть также измеримое множество, как
и его дополнение, где имеем со (х) = Q (х). Значит:
Множество Е всех тех значений ху е которых последовательность из-
меримых функций Д(я), /2(а), . .. , /пМ, • • • сходится, есть измеримое
множество, причем предел f (x) последовательности есть измеримая
функция, определенная на Е.
5. Для того чтобы в дальнейшем охватить сразу все возможные
случаи, как те, в которых функции принимают лишь конечные значения,
так и те, в которых значения функции могут быть и бесконечно
большими (но всякий раз определенного знака, т. е. + оо пли — оо),
удобно условиться писать при любом положительном е:
ОО — 6 = — ОО, — ОС + £
+ оо— е = —, +oo+s
С этим соглашением мы говорим, что последователыюсть функций
fx(x), /2(я), • •., /п(#), .. • есть равномерно колеблющаяся на
каком-нибудь множестве Е, если для любого малого положительного е имеется
такое целое положительное N, что неравенство
co(*)-e</n(*)<Q(*)+e
удовлетворено для всякого х на Е, лишь бы л > N.
В том случае, когда рассматриваемая последовательность функций
Л (я), h (х)> • • • 9 /п (я) , • • • , равномерно колеблющаяся на множестве Еу
оказывается сходящейся в каждой его точке х, т. е. когда со (х) =Q (я),
тогда такая последовательность называется равномерно сходящейся на
множестве Е.
Это определение равномерной сходимости совпадает с классическим,
когда за множество Е берут сегмент и когда дело идет о функциях, имеющих
конечное значение в каждой точке сегмента.
Понятие равномерно колеблющейся последовательности функций на
множестве имеет значение ввиду справедливости следующего общего
предложения:
Теорема. Всякая последовательность измеримых функций f1 (х)>
А (#)>•••» /n(s), ..., определенных на сегменте [а, Ь], есть
равномерно колеблющаяся на множестве Е, мера которого как угодно близка к
длине сегмента [а, Ь].
В самом деле, пусть со (х) = lim_/n (х) и О. (х) = lim"/n(x), и пусть
Е^ есть совокупность точэк я, для которых имеем
<o(x)-e<fn(x)<Cl(x) + s;
здесь е есть фиксированное положительное число.
= + °°

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
341
Ввиду того что <о (я) и Q (х) суть верхний и нижний пределы
последовательности функций fx(x), /2 (я), ... , fn(x),. .., всякая точка х
сегмента [а, Ь] начинает принадлежать к множеству Еп\ лишь только п
становится достаточно большим. Следовательно, lim Е^ = [а, Ь]. Отсюда
согласно лемме § 3 для всякого положительного у] существует
множество Е^ меры > (b — a) — yj, содержащееся во множествах Е^ (п = 1, 2,
3, . . .), лишь только п станет достаточно велико.
В предыдущем числа s и т| были произвольные; полагая е = -г- и
к
т) = -р-, где к — целое и положительное, обозначим множество Е{$ через
Согласно изложенному (gt входит в множества £х , £2 , ...,
(г)
Еп , .. . , лишь только п^ Nk, где iV* есть достаточно большое чис-
ло; кроме того, mes С@а<-^г *.
оо
Отсюда следует, что ряд 2 mes С®а сходится, и значит, meslimCS^=
= 0; поэтому в силу равенства
СПтС(£л = limgA
находим mes lim (£* = & — Д- Это же равенство в силу леммы § 3 позво-
к—>оо
ляет заключить, что для любого малого положительного 8 существует
множество i? меры>(6 —а) —о, принадлежащее всем множествам glf
62, • • • , ©*> • • • > начиная с достаточно большого к.
Нетрудно видеть, что на этом множестве Е данная
последовательность функций fj (г), /2(я), • • • е°™>ь равномерно колеблющаяся. В самом
деле, раз Е с Й* Для к достаточно большого и раз (£* принадлежит
множествам
(1-) (--) (-)
7?V к) ЕКъ; ЕУк'
то отсюда следует осуществление неравенства
если только п достаточно велико. Так как число к может быть взято
произвольно большим, то последовательность Д(я), U(x),...,U (»)••.. есть
равномерно колеблющаяся на Еш
1 Через СЕ обозначается множество, дополнительное к Е.

342
Н. Н. ЛУЗИН
6. Предположим, что данная последовательность измеримых функций
/i(*)> /2(2), •♦• есть сходящаяся почти всюду к конечному пределу на
сегменте [а, Ь]. Тогда, удаляя из множества Е, на котором последовательность
равномерно колеблется, точки расходимости ее (необходимо образующие
здесь множество меры нуль), мы приходим к весьма важному предложению:
Теорема Д. Ф. Егорова. Если последовательность
измеримых функций сходится почти всюду на сегменте [а, 6], всегда из этого
сегмента можно вынуть такое множество меры гь малой сколь угодно
что на оставшемся множестве [меры^>(Ь—а) —у,] последовательность
есть равномерно сходящаяся.
Это важное предложение1 имеет фундаментальное значение для
математического анализа, будучи применяемым во многих его отделах. Причина
этому лежит в том, что именно лишь с равномерно сходящимися
последовательностями мы по преимуществу и встречаемся в математическом
анализе, так как только для них имеются простые и постоянно употребляемые
предложения. В частности, эта теорема встречает частое употребление
в теории интегральных уравнений, теории функции комплексного
переменного, теории интеграла, теории производных чисел и др. и влечет
быстрые доказательства многих ценных общих предложений.
Как следствие предыдущей теоремы, укажем: если ря<)
<х>
2 й* и
п=1
измеримых функций сходится почти всюду на сегменте [а, Ь\, можно, не
изменяя порядка его членов, так их сгруппировать, чтобы новый ряд был
уже абсолютно сходягцимся почти всюду на [а, Ь].
1 Доказанное в 1911 г.: Д. Ф. Егор о в, Sur los suites des fomtions mesurables
(Comptes Rcndus, 30 января 1911 г.).
Вейль (Math. Annalen, 67, 225) полагал, что не все последовательности измеримых
функций обладают этим свойством, и ввел для последовательностей, обладающих
им, термин «wesenUieh gleichmassig», оказывающийся, таким образом, излишним.

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ *
1. Строение измеримых множеств
1. Мы не станем останавливаться на рассмотрении строения множеств
меры нуль. В известном отношении задача изучения множеств меры нуль
представляется a priori безнадежной. Причина этого лежит в том, что
всякая часть множества меры нуль есть опять множество меры нуль,
а строение этой части может быть как угодно сложным1.
Однако несмотря на сложность своего строения, множества меры нуль
в метрическом отношении суть весьма простые множества: употребляя
операции сложения и умножения (пересечения) множеств в конечном или
счетном числе и выполняя их над множествами меры нуль, мы получаем
в результате всегда множества меры нуль. Во многих вопросах
метрической теории функции, какова, например, вся теория интеграла Лебега,
совсем пренебрегают множествами меры нуль; изменение интегрируемой
функции / (х) на множестве меры нуль не влечет изменения интеграла от
нее. Поэтому является целесообразным изучить строение измеримого
множества до множества меры нуль. Эта задача допускает полное решение.
2. Прежде чем приступить к ее решению, дадим одно определение.
Мы говорим, что какое-нибудь измеримое множество есть приведенное
множество2, если всякий интервал 8, содержащий хоть одну точку
* Прибавление к книге Лебега, Интегрирование и отыскание примитивных
ГТТИ, М.—Л., 1934, стр. 290—310.
1 Более точно: пусть Q есть множество меры нуль и подобное сегменту [0, 1];
пусть 9 есть соответствие подобия. В силу соответствия ср всякому точечному
множеству Е, лежащему на Ю, 1], отвечает определенное множество Ф на Q, имеющее меру
нуль. По соответствие подобия не изменяет строения множества, поэтому Е и (£
обладают тождественным строопием. Поэтому задача изучения строения множества© меры
нуль равносильна задаче изучения строения произвольного точечного множества Е,
даже неизмеримого.
Получают множество Q так: берут совершенное множество Р меры нуль и удаляют
из него левый конец всякого смежного к нему интервала: оставшееся множество Q
подобно сегменту [0, 1].
2 Следует отличать этот термин от термина приводимое множество; этот последний
имеет совершенно установившийся смысл, обозначая всегда всякое замкнутое счетное
мноокество. Термины приведенное множество был мною употреблен ранее в книге
«Интеграл и тригонометрический ряд», 1915, стр. 69 (в настоящем издании, т. I,
стр. 94. — Ред.).

344
Н. Н. ЛУЗИН
множества Е, содержит часть множества Е положительной меры.Жг этого
определения следует, что приведенными множествами могут быть только
множества положительной меры.
Лемма. Всякое измеримое множество Е положительной меры
содержит в себе приведенное множество ® равной меры: mes @ = mesi?.
В самом деле, пусть измеримое множество Е меры mes i?>0 лежит на
сегменте [а, Ь]. Удалим из этого сегмента всякий интервал 8 = (г, г')
с рациональными концами т и г', содержащий часть множества Е,
имеющую меру нуль. Всех интервалов, имеющих границы рациональными,
существует лишь счетное множество, каждый из удаленных интервалов
уносит из множества Е лишь множество меры нуль. Следовательно,
указанное удаление таких интервалов удалит из множества Е лишь
множество меры нуль; пусть (£ есть оставшееся от Е множество; имеем gci? и
mes® = mesE.Множество®есть приведенное. В самом деле, пусть х0 есть
точка множества © и, значит, множества Е. Раз точка х0 входит в ©, она
не удалена. Значит, всякий интервал о, содержащий ее, содержит часть
множества ® положительной меры; но QczE, и mes® = mes E. Отсюда
интервал 8 содержит часть множества Ё также положительной меры.
Следствие* Всякое замкнутое множество F положительной
меры содержит в себе совершенное приведенное множество Р равной меры.
В самом деле, беря доказательство предыдущей леммы, мы замечаем
немедленно, что в случае замкнутого данного множества F найденное в нем
приведенное множество есть также замкнутое, а значит, вместе с тем и
совершенное, так как оно, будучи приведенным, не может иметь
изолированных точек (ч. т. д.).
Установив это, условимся называть приведенное совершенное
множество Р, содержащееся в замкнутом множестве F и равной с ним меры,
приведенным ядром множества F.
3. Рассмотрим ближе совершенные нигде не плотные множества, но
не с точки зрения их меры, а в отношении их дескриптивных свойств.
Сделаем прежде всего таксе замечание: часть совершенного нигде не
плотного множества Р, находящаяся на каком-нибудь интервале Д, есть
либо совершенное MHOdfcecmeo, либо сумма счетного числа совершенных не-
пересекающихся множеств.
В самом деле, если часть множества Р, находящаяся на интервале1 Д,
не есть совершенное множество, то это возможно лишь тогда, когда
множество Р имеет точки, принадлежащие к Д и сколь угодно близкие к его
границе (или границам). Но тогда рассматриваемая граница (или
границы) интервала Д есть предельная точка для бесконечного множества
смежных к Р интервалов, содержащихся в Д. Возьмем бесконечную
1 Мы предупреждаем читателя, что согласно предложению А. Данжуа интервал
мы всегда считаем открытым с обоих концов; сегмент же мы всегда считаем замкнутым
с обопх концов. Интервал обозначается через (а, Ъ), сегмент же обозначается через
[а, Ъ].

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
345
последовательность этих интервалов, имеющую рассматриваемую
границу (или границы) интервала А в качестве единственной предельной
точки. Ясно, что центрами этих интервалов часть совершенного
множества Р, принадлежащая к А, разбивается на счетное число
непересекающихся совершенных множеств (ч. т. д.).
Отсюда следует, что разность двух совершенных нигде не плотных
множеств Рг и Р2, где P1zdP2, есть сумма конечного или счетного числа
непересекающихся совершенных множеств.
В самом деле, эта разность Рх — Р2 состоит, очевидно, из частей
совершенного множества Plt находящихся в смежных к Р2 интервалах. Но
всякая такая часть есть сумма конечного или счетного числа
непересекающихся совершенных множеств, как мы только что видели, и всех таких
частей имеется конечное или счетное множество.
Из сказанного немедленно заключаем о справедливости предложения:
Лемма. Всякая сумма Рх + Р2 + ...+ Рп-{-**. счетного числа
пересекающихся совершенных нигде не плотных множеств может быть
представлена в виде суммы т:1+^2~Ь--~Ь'тгп+-- счетного числа
непересекающихся совершенных нигде не плотных множеств.
В самом деле, пусть Q = Р1 + Р2 + ... + Рп+ ..., где Рп суть
какие-нибудь совершенные нигде не плотные множества. Вводя обозначения
Sn = Рх + P2+...+Pn, мы можем писать
Q = S1 + [S2- 5J + [S9 -S2] + ...+ [Sn-и - Sn] + .. .
Здесь Sn есть совершенное нигде не плотное множество, и
последовательность Slf S2,...f *Sn?... есть'монотонно возрастающая.
Отсюда слагаемые, стоящие в правой части только что написанной
формулы для Q, попарно не имеют общих точек, и каждое из них, исключая
первое Sl9 есть разность двух совершенных нигде не плотных множеств.
Значит, всякое слагаемое Sn+i— Sn (п = 1, 2, 3,...) разложимо на сумму
счетного числа непересекающихся совершенных множеств; соединяя их
все, мы имеем окончательно
[Q = пг + п2 + . . . + хп + . . .
Заметим, что если бы оказалось в предыдущем доказательстве, что
множество Q есть совершенное (и, значит, нигде не плотное), то,
раздробляя его на в точности счетное число совершенных множеств, не
пересекающихся попарно, мы имеем лемму немедленно доказанной1,
1 Это раздробление совершенного множества Q можно выполнить так: нужно-
взять точку £ на Q, не являющуюся концом какого-либо смежного интервала ко
множеству Q, и взять счетное множество смежных к Q интервалов, лежащих вправо от
точки ^ и имеющих точку 5 своею единственною предельною точкою. Эта система
смежных интервалов и даст желаемое разбиение множества Q.

Vi6
H. H. ЛУЗИН
Если множество Q не есть совершенное, то число множеств тгп, ц0-
строенных в доказательстве, необходимо должно быть в точности
счетное, что во всех случаях удовлетворяет лемму.
4. Сделав эти предварительные рассмотрения, возвратимся к
вопросу о строении измеримых множеств положительной меры.
Пусть Е есть измеримое множество, лежащее на сегменте [а, Ь], и
пусть mes £>>0. Дополнительное к нему множество СЕ также
измеримо. Значит, можно заключить множество СЕ в такую последовательность
непересекающихся интервалов olf о2, . . . , оп, . .. , сумма длин которых,
превышая меру mes СЕ, будет сколь угодно мало отличаться от нее; пусть
с»
y,Gn<mesCi? + s. Удалим из сегмента [а, Ь] интервалы о1э о2, ...у
оп, . . . ; мы получаем замкнутое множество F, содержащееся в данном
множестве Е и имеющее меру больше mcs£ —s. Беря в замкнутом
множестве F его приведенное ядро Р, mesP = mesF, мы имеем:
Всякое измеримое множество Е положительной меры содержит в
себе приведенное совергиенное множество меры, сколь угодно близкой к
мере Е.
Чтобы итти дальше, возьмем какое-нибудь целое положительное число п и
построим приведенное совершенное множество Рп, содержащееся в Е и
имеющее меру mesPn>mes£ . Заставляя число п принимать
последовательно значения 1, 2, 3, . . . , мы получаем последовательность
приведенных совершенных множеств Р11 Р2, . . . , РПу . . . , содержащихся
в Е. Их сумма Q = РЛ + Р2 + . . . . +Рп + • • • также содержится в Е
1 1
ввиду неравенства mes Рп > mes Е имеет меру mes Q ^ mes E .
Так как здесь число /? можно сделать произвольно большим, то
mrs Q = mes E.
Обозначим через R совокупность точек, принадлежащих к £ и не
входящих в Q, т. е. пусть R = Е — Q. Имеем Е = R + Q; ввиду
равенства мер множеств Е и Q имеем mes R = 0.
На основании леммы пункта 3 видим, что множество Q есть сумма
счетного числа непересекающихся совершенных множеств т:1, тг2, . . .,
ъп, . . . , каждое из которых всегда можно предположить нигде не
плотным', в самом деле, дополнительное множество СЕ всегда можно
предположить всюду плотным, так как всегда можно удалить, например,
из данного множества Е все рациональные точки и причислить их к СЕ,
что не уменьшит меры множества Е. Кроме того, всегда можно
предположить всякое совершенное множество ъп приведенным, заменяя всякое
множество т:п положительной меры через его приведенное ядро, а
остальные точки множества г.а относя в R, ибо они образуют множество меры
нуль.
Все сказанное приводит к предложению 1:
1 См. «Интеграл и тригонометрический ряд», стр. i'l (в настоящем издании, т. 1,
стр. 56. -Ред.).

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
'Ml
Теорема. Всякое измеримое множество Е положительной меры
распадается на счетную сумму непересекающихся приведенных
совершенных множеств ъ1у тс2, . . . , кПу . . . , и на остаточное множество R
меры нуль:
Я == («1 + *2 + . . . + *»< + . . .) + #, mcsR = 0.
Таким образом, в вопросах, где пренебрегают множествами меры
нуль, всякое измеримое множество Е положительной меры можно
заменить суммою счетного числа непересекающихся совершенных множеств
1ч + *2 + • • • + ^п + . . . , т.. е. множеством, измеримым В и даже не
слишком сложной структуры. Эта сумма пг + тс2 + . . . + 7гп + • • • > имея
меру, равную мере Е, играет роль главной части данного измеримого
множества Е, обусловливая все его метрические свойства.
5. Приближения измеримого множества. Предыдущее предложение
можно рассматривать как дающее приближение данного измеримого
множества Е, измеримое В по недостатку с точностью до меры нуль.
Легко дать такое же приближение по избытку.
В самом дело, cent mcsCT^O, находим в множестве СЕ сумму
Q' = тс\ + т/2 + . . . совершенных множеств, имеющую меру, равную
мере СЕ, mes Q' = mes СЕ. Тогда дополнение CQ' есть множество,
измеримое В, содержащее Е и равной с ним меры. Если же mes СЕ = 0,
принимают за CQ' сегмент \а, Ь]. Эти множества и можно рассматривать
как приближение по избытку, измеримое В, с точностью до меры нуль.
Итак: Для всякого измеримого множества Е имеются такие два
множества е и g, измеримых В, имеющих оба равную с ним меру, из
которых одно, е, содержится в Е, а другое, g, его содержит: е cz E с S
mes e = mes © (Борель).
Если пренебрегают не множествами меры нуль, а множествами меры,
меньшей е, можно итти дальше. Мы уже видели, что измеримое
множество Е, mes Е^>0, содержит в себе приведенное совершенное множество Р
меры mesP>>mesis ^- . Это совершенное множество Р можно
рассматривать как приближение данного множества Е по недостатку с
точностью до меры £. Но по пути упрощения приближения можно пойти
еще дальше.
оо
Пусть Oj, о2, ... суть интервалы, смежные к Р. Ряд^оп сходит-
i
ся и имеет суммою число {Ь — a)— mes P. Выбросим из сегмента [а, Ь]
первые А: интервалов olf о2, • • • » *ь мы получим конечное число v (где
v равно одному из трех чисел к — 1, к, А + 1) сегментов о1э с2, .. . , ov,
содержащих Р, и общая сумма длин их превосходит меру Р на вели-
оо
чину ^ Од. В силу сходимости ряда величина может быть сделана мень-
*+i
ше -^- . Отсюда:

348
Н. Н. ЛУЗИН
Для всякого измеримого множества Е положительной меры можно
найти конечное число v таких сегментов с1э а2, .. . , av, что точки
множества Е, не попавшие в них, и точки его дополнения СЕ, попавшие
в них, образуют все вместе множество меры, меньшей е, где е — как
угодно малое положительное число (Борель).
Таким образом, когда пренебрегают множествами меры, меньшей г,
можно заменить данное измеримое множество конечным числом сегментов.
Это приближение, как идущее в обе стороны (по недостатку и по
избытку), можно назвать средним приближением; оно предложено Борелем
для изучения свойств измеримых множеств.
6. Точки плотности и точки разрежения. Выше мы указали общук>
форму измеримого множества положительной меры, т. е. свойства
измеримого множества, рассматриваемого в целом. Эти свойства можно назвать
интегральными (тотальными).
Имеются, кроме них, еще и другие важные свойства измеримого
множества, относящиеся уже к строению измеримого множества в его
бесконечно малых частях и, следовательно, могущие быть названными
дифференциальными свойствами измеримого множества.
В настоящее время приведены в ясность, невидимому, еще не все
дифференциальные свойства измеримых множеств. В этом прибавлении мы
укажем лишь наиболее изученное дифференциальное свойство.
Пусть Е есть измеримое множество, лежащее на сегменте [а, Ь]. Пусть
х0 есть какая-нибудь точка этого сегмента, не обязательно
принадлежащая Е. Охватим точку х0 интервалом о и обозначим через ц(8) меру части
множества Е, находящейся на 8. Рассмотрим отношение ^Д и заставим
длину 2 интервала о стремиться к нулю.
Мы говорим, что точка zQ есть точка углотности множества Е, если
предел этого отношения равен единице, каким бы образом интервал 8 ни
стремился к нулю, лишь бы он все время охватывал точку х0; аналогична
мы называем точку х0 точкою разрежения множества Е, если это отношение
стремится к нулю.
Смысл терминологии ясен; в точке плотности мы имеем 14г^> 1 — е„
о
где е есть произвольно малая положительная величина, если только длина
интервала о достаточно мала. Отсюда заключаем, что всякий достаточно
малый интервал, охватывающий точку х0, является настолько насыщенным,
точками множества Е, что мера совокупности их лишь бесконечно мало
отличается от длины целого интервала 8, если считать ее за единицу, так
как н(8)>о — е8; аналогично, если х0 есть точка разрежения, имеем ^Г<Се
или fi(oXeo; это значит, что интервал 8 настолько беден точками Е, что
множество их имеет меру, бесконечно малую сравнительно с длиною
интервала 8.
Ясно, что всякая точка плотности для множества Е есть в то же самое
время точка разрежения для его дополнения СЕ. Если mes Е = b — аТ

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
349
всякая внутренняя точка сегмента [а, Ь] есть точка плотности для Е;
если mes E = О, всякая точка есть точка разрежения. Для множеств же
промежуточной меры имеем:
Теорема. Всякая точка измеримого мноокества Е, 0<mes<6—а,
есть его точка плотности, исключая мноо4сестеа меры нуль; всякая точка,
к нему не принадлежащая, есть его точка разрежения, исключая
множества меры нуль.
В самом деле1, пустьй (х) есть характеристическая функция2 для Е.
х
Интеграл Лебега/1 (х) = ^ (a)do. есть непрерывная функция, имеющая,
о
F'{x) = 1 почти всюду на Е и F'(x) = 0 почти всюду на СЕ. Пусть х0
есть точка, где F'{x ) = 1. Обозначим через 8 = (а, В), а < В, интервал,
F(S) — /7а)
содержащий #0; мы видим, что отношение ' v Стремится к единице,
когда концы а и $ стремятся к точке х0. Но согласно самому смыслу
интеграла Лебега для характеристической функции приращение F(S) — F(a)
есть не что иное, как ji (8), т. е. мера части Е, содержащейся в 8.
Следовательно, имеем lim -^ = 1, т. е. х0 есть точка плотности для Е. Аналогично
находим, что точка хи где имеем ^'(а^) = 0, есть точка разрежения для Е.
Эта теорема указывает на тот интересный факт, что никакое измеримое
множество промежуточной меры, т. е. 0<mes E<^b — а, не может
геометрически быть равномерно распределенным по сегменту [а, Ь].
В самом деле, для такого множества Е в силу предыдущей теоремы
существует на [а, Ь], по крайней мере, одна точка плотности х' и, по
крайней мере, одна точка разрежения хп. Отсюда имеются на [а, Ь] такие два
интервала 8' и 8", непересекающихся и равной длины, из которых один
насыщен точками множества Е, другой же, напротив, беден ими. Значит,
никакое измеримое множество меры не нуль и не b — а неспособно
равномерно покрывать сегмент [а, Ь], но будет лежать на нем как бы сгустками,
т. е. неоднородным образом, будучи слишком уплотненным в одних местах
и слишком разреженным в других3. Это дает представление о характере
геометрического расположения измеримых множеств на сегментах. Из
всех измеримых множеств, лежащих на [а, Ь], одни лишь множества меры
нуль или b — а являют однородное распределение своей массы по этому
сегменту.
1 Предлагаемое доказательство опирается на свойства интеграла Лебега и,
следовательно, есть доказательство в известном смысле трансцендентное. Интересные
совершенно элементарные доказательства этого предложения даны проф. Серпинским
и А. Данжуа.
2 Относительно термина см. статью «О последовательностях измеримых функций»
[В настоящем издании, т. I, стр. 336.— Ред.].
3 Именно на этом свойстве и основано «доказательство» Ван-Влека (Van-Vleck)
существования неизмеримого множества (Trans. Amer. Math. Soc, 1908, 1913). Прием
рассуждения, употребленный Ван-Влеком, манипулирует с несчетным множеством
актов произвольного выбора (аксиома Цермело) — прием, встречающий
отрицательное отношение со стороны многих математиков.

350
Н. Н. ЛУЗИН
Из определения точки плотности измеримого множества немедленно
следует предложение:
Два измеримых множества Ех и Е2, имеющих точку х0 своею точкою
плотности, пересекаются по измеримому множеству Е1*Е2, имеющему
точку х0 также своею точкой плотности.
Это важное свойство точек плотности послужило А. Я. Хинчину и
А. Данжуа для расширения понятия производной (см. в этой статье § 18).
7. Аналогия измеримого множества с сегментом. Уже из предыдущего
можно было отметить сходство измеримого множества Е, лежащего на
[а, Ь], 0 <mesi?< b — а, с системою £ конечного числа сегментов, если их
сумма будет меньше b — а, так как в этом случае система I представляет
такие же «сгустки» и «пустоты», как и измеримое множество Е, только еще
более отчетливые и резкие.
Эта качественная аналогия поддается точной метрической
характеристике: свойства измеримого множества Е меры \i, р>0, представляют
совершенную аналогию со свойствами одного целого сегмента той же самой
длины \i.
Из многих параллельных свойств укажем хотя бы на одно:
«Два сегмента Да и Д2, лежащих на \а, Ь] и имеющих сумму длин S
превосходящей b — а, непременно пересекаются по сегменту длины, не
меньше чем S — (Ь — а)».
«Два измеримых множества Ег и Е2, лежащих на la, b] и имеющих сумму
мер S превосходящей b — а, непременно пересекаются по измеримому
множеству меры, не меньшей чем S — (Ь — а)».
Это и другие свойства позволяют рассматривать измеримое множество
Е меры {1, [а>0, как сегменты длины jx, находящейся в раздробленном
состоянии.
Теория интегрирования и теория тригонометрических рядов
подтверждают правильность такого взгляда.
8. Имеются, повидимому, еще и другие, более тонкие
дифференциальные свойства измеримых множеств положительной меры. Но в настоящее
время они еще не выкристаллизовались в простую формулировку. Поэтому
мы их не станем касаться здесь.
Равным образом мы не будем здесь рассматривать имеющуюся еще
третью группу свойств измеримого множества — свойств уже
теоретико-числового характера, касающихся массовой арифметической природы
тех иррационалов, которые содержатся на данном измеримом множестве
положительной меры. Свойства эти, вытекающие из арифметики иррацисна-
лов и приближений их рациональными числами, обещают, повидимому,
многое для аналитической теории чисел. Мы не будем рассматривать их,
так как изучение их предпринято лишь сравнительно недавно (Харди и
Литтлвуд, А. Я. Хинчин).

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
351
2. Неизмеримые множества
9. Вопрос о «существовании» неизмеримых множеств есть один из
самых глубоких вопросов современной теории функций. Этот вопрос
дебатировался не раз, но до сих пор (с 1902 г.) его обсуждение не привело
ни к какому определенному заключению, с которым были бы согласны все
математики.
Вопрос был бы разрешен раз навсегда, если бы кому-нибудь удалось
дать конструкцию индивидуального такого множества, вроде того, как,
например, решающая конструкция, данная Вейерштрассом
индивидуальной непрерывной кривой, лишенной всюду касательной, раз навсегда
прекратила всякие споры о существовании кривых подобного сорта и
пресекла попытки найти на каждой непрерывной кривой точку с касательной.
Именно такая решающая конструкция неизмеримого индивида и не была
до сих лор никем осуществлена, несмотря на многие попытки, делавшиеся,
повидимому, в этом направлении и нашедшие отражение в печати. Но
вместе с тем и не было дано ни одного доказательства того, что вообще
такая конструкция невозможна.
Доказательство невозможности той или иной конструкции (трисекция
угла, квадратура круга и т. д.) принадлежит к типу наиболее трудных
достижений в математике, и реализация такового всякий раз знаменует
существенное продвижение в науке. И если все-таки вопреки их трудности
такие доказательства невозможности временами и удавались, то успех
в этом многим был обязан тому обстоятельству, что всегда речь шла не
о невозможности конструкции вообще, а о невозможности конструкции
определенного рода (циркуль и линейка и т. д.). Совсем в ином положении
оказываемся мы, когда речь идет о конструкции неизмеримого индивида,
с целью установить вообще самое существование таковых. Здесь у нас нет
и не может быть по самой постановке проблемы никакого ограничения
на тип или сорт могущих быть употребленными для этой цели конструкций;
всякая конструкция хороша, если она приводит к неизмеримому индувиду,
и значит, нужно подвергнуть испытанию все вообще типы конструкций
индивидуальных точечных образований, чтобы показать, что ни один из
них не приведет к цели. Итак, сначала дело должно итти о реализации
каталога всех уже известных и могущих когда-либо быть изобретенными
типов конструкций точечных индивидов, каталога исчерпывающей
полноты, и уже затем — о доказательстве того, что никакой тип конструкции не
приведет к искомому построению.
Таким образом и случайные пробы того или иного рода конструкции
не достигали цели потому, что всякая такая проба всегда приводила
к измеримым множествам и чаще всего [почти всегда) приводила даже
к множествам, измеримым В, и, с другой стороны, самая мысль
осуществления доказательства невозможности построения неизмеримого
индивида в настоящее время представляется, повидимому, слишком смелой,
чтобы начать производить исследование в этом направлении.

352
H. Н. ЛУЗИН
10. Ввиду того что, с одной стороны, появление благоприятной
конструкции неизмеримого индивида фактически до сих лор задерживается,
а с другой стороны, и доказательство невозможности такой конструкции
не представляется близким к осуществлению, будучи намеченным, скорее,
лишь как программа будущего исследования, ввиду всего этого мысль
исследователей потекла по другому руслу и естественный (хотя
математически и трудный) вопрос о конструкции был подменен другим,
представляющим, может быть, и соблазнительную легкость для размышлений,
но зато более неопределенным и выводящим далеко за пределы самой
математики:
Можно ли установить существование или несуществование
неизмеримых множеств (или вообще класса каких-либо математических суждений),
не прибегая ни к какой конструкции индивида и не задаваясь вопросом о
возможности таковых конструкций.
Нет сомнения, что если бы такая конструкция удалась, существование
неизмеримого множества было бы установлено, будучи просто
математическим фактом.
Но из того, что такой конструкции сейчас нет, или даже из того, что
вообще такие конструкции невозможны (если бы это было установлено),
следует ли отсюда непременно заключить, что неизмеримые множества
вообще не существуют? Вопрос, следовательно, был поставлен более
философским образом, чем математическим: спрашивалось о существовании
неизмеримых множеств, каждое из которых может оказаться и
недостижимым никакой конструкцией индивида.
И. Уже давно (Витали, 1905 г.) было замечено, что, признавая
допустимость употребления в математических рассуждениях несчетного
множества независимых друг от друга актов произвольного выбора, не
направляемых никаким законом, не определяемых никаким правилом, мы вынуждены
признать существование неизмеримых множеств.
Эта допустимость несчетного множества актов произвольного выбора
в настоящее время носит в науке название аксиомы Цермело, или
принципа произвольного выбора.
Чтобы убедиться в том, что признание аксиомы Цермело влечет
существование неизмеримых множеств, наиболее просто будет рассуждать
так: пусть С есть окружность длины единица. Пусть £ есть какая-нибудь
точка на ней. Обозначим через S% систему всех точек окружности С,
отстоящих от точки ? на дуговое расстояние (меряя его по окружности С),
соизмеримое с единицею. Так как всех рациональных чисел только
счетное множество, то и система S% есть счетное множество, содержащее
притом самую точку &, так как она находится на нулевом (или
единичном) расстоянии сама от себя; ясно, кроме того, что множество Si всюду
плотно на С. Назовем точку 6 ядром системы S$.
Пусть теперь -q есть какая-нибудь другая точка окружности Си^
ость система, построенная для нее, ядром которой она служит.
Возможны лишь два случая:

0 СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
353
1) Либо новая точка т) не принадлежит к системе S^ Это значит,
что длина дуги (?, tj) иррациональна. Но тогда системы SK и *У„ совсем
не могут пересекаться, ибо если бы нашлась точка я, входящая и в S^
и в Sn> то, будучи тогда на соизмеримом расстоянии и от £, и от tj, она
сделала бы и расстояние между самими точками {ит| рациональным.
Итак, в этом случае системы S^ и S^ не имеют общей точки.
2) Либо новая точка т) принадлежит к системе 55. Это значит, что
расстояние точек 5 и у есть рациональное. Но тогда ясно, что всякая
точка ху отстоящая от точки £ на рациональном расстоянии, будет отстоять
и от точки т) также на рациональном расстоянии, и обратно.
Отсюда следует, что система £с содержится в системе S^ и, обратно, S$
содержится в 6^. Значит, в этом случае системы S$ и 5„ тождественны:
Из сказанного следует, что всякая точка какой-либо системы S может
быть взята за ее ядро и что две системы S' и 6"', лежащие на
окружности С, либо геометрически тождественны, либо совсем не
пересекаются.
Сказанного достаточно для того, чтобы заключить, что указанным
законом вся окружность С автоматически разбивается на совокупность
отличных друг от друга непересекающихся попарно систем S, т. е. С = {£}.
Эта совокупность {S} есть несчетная, так как всякая система S счетна.
Применим теперь к этой совокупности {S} аксиому Цермело, выбирая
как-нибудь по одной точке в каждой системе S. Пусть Z есть
множество всех выбранных таким образом точек; множество Z
несчетно. Повернем теперь окружность С около её центра на какой-нибудь
угол б', соизмеримый с тс. Тогда множество Z будет двигаться как
твердое тело и займет некоторое новое положение Z'. Но поворот окружности
С на угол, соизмеримый с 7г, вызывает сдвиг всех ее точек на
рациональное расстояние. А так как множество Z в каждой системе S имело
по одной точке, то после этого сдвига (если только он, разумеется, не
сообщает полного поворота окружности на 2п) оно займет существенно
новое положение Z', не имеющее с прежним ни одной общей точки.
Итак, множество Z' конгруентно с Z и не имеет с ним общей точки.
Сообщим, наконец, окружности С все возможные различные повороты
на углы, соизмеримые с тс. Пусть это будут углы 6', 6", ..., 6<п>, ...
и пусть Z', Z", . .. , Z<n>, ... — соответствующие положения множества Z.
Ясно, что все эти множества не пересекаются попарно, конгруентны с
множеством Z и что их совокупность Z', Z", ..., Z<n\ ...,
присоединяя сюда и само множество Z, заполнит всю окружность С, т. е. С =
= Z + Z' + Z" + ... + Z(n) + . . .
Теперь, если бы множество Z было измеримым, то оно имело бы
определенную меру ц, mesZ = ^. В силу конгруентности множеств мы
имели бы тогда также mesZW = f* (л = 1, 2, 3, . ♦.).
В силу же равенства С = Z + Z' + Z" + ... имеем mes С == mes Z -f

354
H. Н. ЛУЗИН
+ mesZ' + — или l = jt + p. + p + ..., что невозможно, так как ряд
должен сходиться, т. е. мы должны иметь \i = 0.
Итак:
если законно применять в математических рассуждениях несчетно
много актов произвольного выбора, не давая для этого никакого правила
то существуют неизмеримые множества.
12. Только что указанное рассуждение ставит вопрос о существовании
неизмеримых множеств в связь с вопросом о признании или отрицании
аксиомы Цермело. По этой причине эта аксиома явилась центром острого
внимания и послужила предметом оживленного обмена мнений среди
математиков, вызывая сильные нападки у одних и находя стойкую защиту
у других1.
13# Если теперь сойти с принципиальной почвы п перейти к практике
текущей математической работы, то, с одной стороны, в пользу аксиомы
Цермело говорит ее «очевидность», величайшая простота ее применения
в математических рассуждениях, чрезвычайная легкость получения при
ее помощи самых разнообразных примеров, носящих хотя иногда
исключительно парадоксальный характер, но все же не повлекших до сих пор
ни к какому противоречию. (Например, Хаусдорфу удалось разделить
шар радиуса R на такие четыре непересекающиеся попарно части А, В, С
и/), что, двигая, как твердые тела, части А и В и прикладывая надлежащим
образом их друг к другу, он получил опять шар радиуса Л, и двигая так же
точно и прикладывая части С и D друг к другу, он получил второй такой же
шар радиуса R. Множества А, В, С и Z) суть неизмеримые и образованные
Хаусдорфом при помощи аксиомы Цермело.) С другой же стороны, против
нее говорит именно эта самая чрезвычайная легкость ее применения и
немедленность даваемых ею ответов, так как математические сущности,
сформированные при помощи ее, не крепки, не обладают устойчивостью,
имея слишком расплывчатые, неопределенные свойства, чтобы практически
служить затем точкой опоры для математических рассуждений,
направленных уже на классические математические предметы. Напротив,
образование математического предмета без аксиомы Цермело часто представляет
чрезвычайные трудности, зато такой математический предмет, будучи
построен, почти всегда имеет большую ценность для дальнейших изысканий.
Ввиду того что вопрос об аксиоме Цермело до сих пор еще разделяет
математиков, проф. Серпинским было произведено фундаментальное
исследование, имевшее целью выяснить, какие именно предложения
классического анализа зависят от нее и какие могут быть доказанными без ее
помощи. В настоящее время наблюдается молчаливое соглашение среди
математиков стараться, где возможно, обходиться без этой аксиомы или,
употребив ее, непременно указывать на это обстоятельство и, таким
образом, делать счет тем предложениям, которые от нее зависят.
1 См. Е. В о г е 1. Legons sur la theorie des fonctions. Note IV. Les polemiques su*
le transfini. Cinq lebtres sur la theorie des ensembles, стр. 150.

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
355
14. Весьма существенной для сторонников аксиомы Цермело является,
повидимому, новая заметка Гильберта, недавно появившаяся в Math.
Annalen (декабрь, 1922 г.).
В ней автор утверждает, что им доказана непротиворечивость аксиомы
Цермело при помощи особой, новой дисциплины, созданной им и
называемой им метаматематикой, которую он в этой заметке рисует лишь в самых
общих чертах, не давая доказательств.
Вопрос об умении доказывать непротиворечивость той или иной системы
аксиом не нов для математики: он возник уже давно, в связи с
необходимостью иметь уверенность сначала в непротиворечивости геометрии
Лобачевского, а затем и самой геометрии Евклида.
Уже давно Гильбертом же вопрос о непротиворечивости системы
геометрических аксиом был сведен к непротиворечивости арифметики
действительных чисел.
В настоящей заметке он указывает в общих чертах идею доказательства
непротиворечивости системы аксиом арифметики и даже самой логики при
помощи особого формального аппарата, в которомд самое противоречив
является также формализованным. Ввиду отсутствия в этой заметке
указаний на исходные пункты рассуждений автора является затруднительным
восстановление этих рассуждений, и поэтому для оценки значения теории
Гильберта следует подождать более полного мемуара1.
3. Строение измеримых функций
15. Прежде чем приступить к изучению строения общей измеримой
функции, данной на сегменте [а, Ы, следует рассмотреть понятие функции,
определенной на совершенном множестве.
Пусть Р есть какое-нибудь совершенное множество,, находящееся на
сегменте [а, Ь]\ функция / (х) называется определенной на множестве Р,
если всякому х на Р отвечает определенное число / (я), конечное или
бесконечное (в последнем случае определенного знака). Ввиду того что
сегмент и совершенное множество обладают почти одинаковыми свойствами
(будучи оба замкнуты, только сегмент всегда непрерывен, совершенное же
множество, вообще говоря, разрывно), все определения для функций,
заданных на сегменте [а, Ь], сами собою переносятся и на функции,
определенные на совершенных множествах, например, определение измеримости
функции и др.; мы остановимся лишь на понятии непрерывности. .
1 Со времени, когда эти строки были написаны, Гильбертом было опубликовано
несколько статей, касающихся его нового метода. С присоединением сюда статей его
учеников и последователей, а также работ критиков этих идей, можно считать, что
возникшая дисциплина имеет уже заметную литературу. Однако вопрос о
непротиворечивости аксиомы Цермело в полном ее объеме остается совершенно не выясненным.
Главное затруднение лежит в вопросе, какое поле законов считается предварительно
допущенным, так как в зависимости от объема этого поля, повидимому, должно сильно
изменяться и самое доказательство непротиворечивости [34].

356
H. H. ЛУЗИН
Функция / (х), данная на совершенном множестве Р, называется
непрерывной на Р в его точке х0, если для всякого положительного е имеется
положительное число •*], такое, что неравенство \х — х0\, где х
принадлежит к Ру влечет неравенство \/(х) —/(я0)|<е. Иначе говоря, / (х) непрерывна
на Р в его точке х0, если lim / (х) = / (я0), когда х стремится к х0, не
покидая множества Р. Функция / (х) называется непрерывной на Р, если она
непрерывна в каждой точке множества Р.
Непрерывные функции на совершенном множестве обладают всеми
теми же свойствами, что и непрерывные функции на сегменте: они
ограничены, достигают максимума, их непрерывность равномерная.
Единственное свойство, которое вообще не наблюдается, это следующее:
непрерывная на Р функция, вообще говоря, не принимает всех значений,
лежащих между ее наибольшим и наименьшим значениями. Это пробегание
обязательно для функций, непрерывных на сегментах, но для разрыв-
ных множеств вообще не соблюдается.
Функции, непрерывные на совершенном множестве Pt суть самые
простые из всех функций, могущих быть данными на Р. Поэтому имеет
смысл, обладая данной функцией f(x), определенной на сегменте [а, 6],
искать такое совершенное множество Р меры, по возможности близкой
к длине сегмента [а, 6], на котором значения данной функции f(x)
образовали бы функцию, определенную и непрерывную на Р (относительно
точек множества Р).
В связи с этим введем следующее определение: мы говорим, что
функция /(#), определенная на сегменте [а, Ь) и конечная почти всюду
на нем, обладает на сегменте [а, Ь] свойством (С), если для любого е,
8>0» существует на [а, Ь] такое совершенное множество Р, которое
обладает двумя свойствами:
1. Функция f(x) непрерывна на Р.
2. mesP>(6 — а)— е.
Относительно функций, обладающих свойством (С), справедливо
предложение:
Теорема. Всякая функция f(x), обладающая на [а, Ь] свойством
(С), есть измеримая функция.
В самом деле, пусть Pl9 Р2, . . . , Рп, . . . есть последовательность
совершенных множеств, лежащих на [а, Ь] и удовлетворяющих в силу
свойства (С) условиям:
1. f(x) непрерывна на Рп.
2. mes/>n>(ft — a) — 1.
Пусть Q = Рг + Р2 + ...-(- рп -|- . . . Пусть R есть дополнительное
к Q множество. Ясно, что имеем mes(? = 6 — а; mes/? = 0. Обозначим
через тгп совершенное множество Рг + Р2 + . .. + Рп- Функция / (х) на
icn непрерывна. Введем теперь новые функции: пусть <рп(#) есть функция,
равная f(x) на гсп и равная нулю вне кп; пусть ф (х) есть функция,
равная f (х) на Л и равная нулю на Q. С этими обозначениями является

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
357
очевидным, что имеем lim оп(х) =/(ж) всюду на Q и lim<pn(z) = 0 на Д.
П">0° 71->0О
Значит, имеем
/(«) = lim?n(«) + t(«). (1)
Функция '!>(#), как равная нулю почти всюду, есть, очевидно,
измеримая функция.
Переходим теперь к рассмотрению функции срп (х); она непрерывна
на ъп и равна нулю вне его. Пусть 8in), 8^п), . .. , ${*\ ... суть
смежные интервалы к тгп. Предполагая число v выбранным, построим новую
функцию срп) (х), определяемую следующими условиями:
1. Функция <?{п (х) равна функции <fn{x) в 2v концах смежных
интервалов Ъ{п\Ъ?\ ..., &(Д
2. Функция cpnv) (х) равна нулю в 2v концах интервалов <$Л), с?2П)> • • • ,(№ >
концентрических соответственно с интервалами $in), $2П), .. . , §!п)
и имеющих соответственно длины v~~ Sin), v~" S^, . .. , ^T~-L$'n) .
V V V
3. В остальных точках сегмента [а, Ь] функция ср^я) получается
линейной интерполяцией указанных в пунктах 1 и 2 ее 4v значений.
Ввиду непрерывности ®п (х) на кп имеем для всякого я,
принадлежащего к тсп, равенство lim ср^ (я) = <рп (я) и для ж, не принадлежащего к
7сп, равенство lim <рп* (я)=0. Отсюда равенство lim cpnv)(x) = cpn(x) справедливо
для всякого х, находящегося на сегменте [а, Ь]. Но функция cpnV) (х)
есть, очевидно, непрерывная на сегменте [а, 6]. Значит, функция оп(х)
есть измеримая функция. Следовательно, ее предел lim <pn (я) есть так-
же измеримая функция. Оба слагаемых формулы (1) измеримы, что
приводит к измеримости и f(x).
Лемма. Если всякая функция последовательности fi(x), /2(s), ...,
fn(x)t ... обладает свойством (С), то предельная функция lim/n(z)
также обладает свойством (С).
Иначе говоря, свойство (С) сохраняется в пределе. В самом деле,
раз fn(x) обладает свойством (С), существует совершенное множество Рп,
mesPn>(4-a) ~, на котором f(х) непрерывна. С другой
стороны, в силу теоремы Д. Ф. Егорова1 о последовательностях измеримых
функций существует измеримое множество Еу mes E^>(b— а)—-^ , на
котором последовательность сходится равномерно. Возьмем в этом
множестве совершенное множество Ру mes P >(6 — а) —^ , что всегда
возможно.
1 См. статью «О последовательностях измеримых функций». [В настоящем
издании, т. I, стр. 342.— Ред.]

358
H. H. ЛУЗИН
Пересечение множеств Р-Р1-Р2^ ... Рп- • . . есть замкнутое множество.
со
Ясно, что его мера превышает число b — а — 2 -т^п *г= (b — a) — е .
п-1 2
Пусть совершенное множество тс есть его приведенное ядро (см. пункт 2
этой статьи). Имеем mes тс > (b — а) — е. Но на множестве тс всякая
функция последовательности /г (я), /2 (я), .. ., /л (z) непрерывна, и кроме этого
последовательность сходится равномерно. Значит, предел lim /п (х) есть
непрерывная функция на тс. А это и есть свойство (С).
Теорема. Всякая измеримая функция f (x) обладает свойством (С).
Доказательство этого предложения разобьем на следующие пункты:
а) Сумма двух функций, обладающих свойством (С), также обладает
$тим свойством (С). В самом деле, пусть функции о (х) и Ф (х) обладают
свойством (С). Существуют совершенные множества Р п Q, на которых
эти функции соответственно непрерывны, причем mesP>(6 — а) — у и
mes@X& — а)—4. Пересечение -Р-ф есть замкнутое множество меры,
большей (Ь —а) — е. Обозначая через тс приведенное ядро множестваP-Q,
видим, что mes тс > (Ь — а) — е и что на тс сумма ф (х) + ф (#)
непрерывна, так как непрерывны оба слагаемых.
б) Всякая двузначная измеримая функция f (x) обладает свойством (С).
В самом деле, пусть / (х) есть двузначная функция, т. е. принимающая
лишь два значения А и В. Пусть / (х) = А на множестве Е\ тогда
/ (х) = В на СЕ. В силу предположенной измеримости функции f(x)
множества Е и СЕ измеримы. Если mesis>J0, берем совершенное
множество Р, содержащееся в Е и меры mes-P>mes2? — у.
Если mes CE^>Q, берем совершенное множество Q, содержащееся
в СЕ ж меры mes Q >> mes СЕ 1- .
Пусть тс = Р + Q. [Ясно, что тс есть совершенное множество меры
>(6 — а) — е и что на нем /(х) непрерывна.
в) Всякая счетно-значная измеримая функция обладает свойством (С).
В самом деле, пусть f (х) = А% на множестве Ек, где к= 1, 2, 3, .. .;
множество Я* измеримо, раз /(я) измерима.
Пусть <рА («) есть функция, равная Ад на 2?* и равная нулю вне Ек.
В силу предыдущего пункта 5) функции ср1(гс), <?2(я), ..., <р*(я)> •••
ооладают свойством (С) и, значит, в силу а) обладают свойством (С) и
функции о^х), ?1 (х) + ср2 (я), .. ., cpi (г) + <?2 [х) + . . . + ©а (ж), . . .
По предыдущей лемме их предел также обладает свойством (С). Но
этот предел есть, очевидно, данная функция /(#).
г) Всякая измеримая функция обладает свойством (С).
В самом деле, пусть неравенство —<; / (х) << определяет
множество Е^ точек я. Ясно, что Е^ измеримо. Пусть /Л (х) есть функция,

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
359
равная — на для к = О, 4:1, ч-2, ±3, ... и равная +оо и —оо
там, где соответственно равна +оо и —оо данная функция f{x). Ясно,
что /п (я) есть счетно-значная измеримая функция, причем lim/n (х) = f(x).
П->00
В силу в) и предыдущей леммы функция /(х) обладает свойством (С).
Соединяя все полученное, мы имеем предложение:
Теорема. Для того чтобы данная функция f(z) была измеримой
на сегменте [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы для всякого
положительного е имелось такое совершенное множество Р меры mesP^>
>(6 — а) — s, на котором /(х) есть непрерывная функция1.
16. Критерий измеримости функций. Можно указать два
интегральных (тотальных) критерия для того, чтобы данная функция f{x) была
измерима.
Теорема. Для того чтобы данная функция f(x) была измеримой
на сегменте [а> Ь)у необходимо и достаточно, чтобы существовала
такая функция ср(я), измеримая В и класса <;2 на сегменте [а, Ь),
которая отличалась бы от f (x) только на множестве меры нуль.
В самом деле, указанное условие необходимо. Действительно, если
f(x) измерима, она обладает свойством (С). Но тогда, рассматривая
доказательство первой теоремы предыдущего пункта, мы видели, что
данная функция может быть написана в виде / (х) = lim cpn(z) +ф (х), где
<рп(я), в свою очередь, дается равенством оп(х) = Итсрп^я), причем
функция ср^ (х) есть уже непрерывная на сегменте [а, Ь). Отсюда
следует, что срп(#) есть измеримая В и класса <!1, и значит, функция
<р (х) — lim <рп(я) есть измеримая В и класса <J 2 2. Что же касаетсяф (х),
Пг->00
то она равна нулю почти всюду на [а, Ь).
Условие достаточно. Действительно, если разность / (х) — ср (х) не
равна нулю лишь на множестве меры нуль, то эта разность есть
измеримая функция. Обозначая ее через ${х), имеем f (х) = ср (х) + ф (х).
Но раз <р (х) измерима Ву то и f{x) измерима.
1 Мысль о справедливости свойства (С) для всех измеримых функций и о
критериях измеримости принадлежит Д. Ф. Егорову (см. мою заметку «К основной
теореме интегрального исчисления». Матем. сборник, 28, 282, 1911). [В настоящем
издании, т. I, стр. 16.— -Рее).] Название «свойство (С)» происходит от термина «1а
propriete ((7)» (propriete de la Continuity — свойство непрерывности), употребленного
мною впервые в заметке «Sur les proprietes des fonctions mesurables» (Comptes Ren-
dus, 154, 1688, 1912) (в настоящем издании, т. I, стр. 41. — Ред.); его пришлось
сохранить в русской литературе, чтобы остеречься многообразия терминов для
одного и того же понятия.
2 Следуя Бэру, называют всякую непрерывную функцию / (х) функцией класса 0;
далее, если / (х) есть разрывная функция, но является пределом непрерывных
функций /n(s), тогда f(x) называется функцией класса 1; всякая функция /(ж), являю-
щаяс* пределом функций класса 1 и не являющаяся ни функцией класса 0, ни
функцией класса 1, называется функцией класса 2 и т. д.

360
H. Н. ЛУЗИН
Теорема Для того чтобы данная функция /(х) была измеримой
на сегменте [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы существовал ряд
со
многочленов ^Рп{я), абсолютно сходящийся к f (x) почти всюду на[а, Ь].
п=1
Условие необходимо. В самом деле, в силу свойства (С) измеримой
функции / (х) для любого целого положительного п имеется совершенное
множество Рп меры mesPn>(6 — a) ~, на котором / (х) непрерывна.
Пусть теп = Рг + Р2 + . • . + Рп- Ясно, что теп есть совершенное мно-
жество меры>(6 — а) ; /(х) на нем непрерывна.
Последовательность тех < те2 < . . . < теп < . . . есть возрастающая. Пусть оп (х) есть
функция, равная f(x) на теп и линейная на сегментах (замкнутых), смежных
к те^ Ясно, что определенная таким образом функция оп (х) есть
непрерывная на целом сегменте [а, Ъ]\ на теп она совпадает с /(я). Пусть
Оп(х) есть многочлен, для которого неравенство | <?п{х) — Qn(x) |<-?
п
справедливо всюду на [а, Ь]\ в силу известной теоремы Вейерштрасса
всегда можно найти такой многочлен Qn{x) Для всякой непрерывной
функции <?п(я). Теперь на множестве теп мы будем иметь
< I <?п+1 (X) — ©n+lfr) | + | ©я+1 («) — <?п (X) | =
= I <?п+1 («) — ?п+1 (X) | + I <?п («) -<?nW|<4.
п
Вводя обозначения: Рг (х) = (?х (я); Рп+г(х) — Qn+i(x) — #п (х),
заключаем, что ряд многочленов Рг (х) + Р2 (х) + • • - + Рп {х) + . .. есть
абсолютно сходящийся на множестве 2? = те2 + те2 + . . . + теп + . .. меры
mcs Е = £ — а и имеет на этом множестве своею суммою данную
функцию f(x).
Условие достаточно. Пусть для некоторой данной функции /(ж),
подлежащей испытанию, существует ряд многочленов Рг (х) + Р2 (х) + . . .,
сходящийся к ней всюду, кроме множества R меры нуль, mes2? = 0.
В силу теоремы Д. Ф. Егорова существует измеримое множество Е
меры mes2?> (b — а) —^~, на котором этот ряд сходится равномерно.
Пусть Ег есть множество точек 2?, не принадлежащих к R. Ясно, что
Ег измеримо и mes 2?2 = mes 2?. Отсюда всегда можно найти в
множестве Е1 совершенное множество те меры mesTC> (b — а) — е. На этом
совершенном множестве те ряд сходится равномерно, и, значит, его сумма
f(x) есть непрерывная функция на те. Следовательно, / (х) обладает
свойством (С), что влечет ее измеримость.
17. Установленные предложения достаточно глубоко вскрывают
строение произвольной измеримой функции. Из самых доказательств этих
предложений следует, что, какова бы ни была измеримая функция /(#),

О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
361
ее значения на некотором совершенном множестве Р, мера которого
превышает (Ь — а) — е, получаются путем взятия значений от
непрерывной на целом сегменте [а, Ь] функции <р(я).
Иначе говоря, всякая измеримая функция f (х) получается из
непрерывной на целом сегменте функции ср (х) путем деформации этой
последней на счетном множестве интервалов, общая сумма длин которых
меньше е.
Полагая е = — и заставляя целое п бесконечно возрастать, мы
получаем последовательность совершенных множеств Pl9 P2f . . . , Рп.
где mes Рп^>{Ь — а) , и последовательность непрерывных на целом
сегменте [а, Ь] функций ср^я), о2(х), . . . , оп(х)} . . . , таких, что f(x) =
= фл (х) на Рп. Так как мера множества Рх + Рг+ .. . + Рп+ * - - есть
b — а, то значения произвольной измеримой функции получаются почти
всюду на [а, Ь] путем взятия значений от счетного числа непрерывных
на целом сегменте функций срх (х), ср2 (х), . . . , ®п (х), . . .
Таким образом в тех вопросах, где пренебрегают множествами меры,
меньшей е, вместо измеримой функции / (х) можно ограничиться
рассмотрением одной непрерывной функции ср(з); там же, где пренебрегают
лишь множеством меры нуль, там вместо измеримой функции f (х)
достаточно рассматривать счетное множество непрерывных функций cpi (x)y
Ъ(х)> • • •, ?п(з),
Так как непрерывные функции суть самые простые функции анализа, то
приведением к непрерывным функциям достигается значительное
упрощение, потому что этим обходят рассмотрение всей сложности разрывов
измеримых функций и сводят дело к одним только непрерывным функциям.
Произвольная измеримая функция, т. е. наиболее общая и, повидимомуг
единственно возможная функция анализа, оказывается, не содержит
в своем строении ничего, кроме классической непрерывности, если,
понятно, пренебрегают множеством меры нуль.
18. Дифференциальные свойства измеримых функций. Выше мы
изложили интегральные (тотальные) свойства измеримых функций. Можно
также указать и некоторые дифференциальные свойства их.
Мы уже заметили раньше (п. 6), что точка х01 являющаяся точкой
плотности одновременно для каждого из двух множеств Ег пЕ2, есть точка
плотности и для пересечения их, Ег-Е2. Отметим еще, что если х0 есть
точка плотности для измеримого множества Е, тогда в Е содержится
совершенное множество Р, имеющее точку х0 также точкою плотности.
Заметив это, введем следующее определение: какая-нибудь функция
действительного переменного / {х) называется асимптотически
непрерывною в точке я0, если существует такое совершенное множество Р, имеющее
точку х0 точкою плотности, на котором функция / (х) непрерывна в точке х.
В силу справедливости свойства (С) для измеримых функций
немедленно заключаем, что:

362
H. H. ЛУЗИН
Всякая измеримая функция f (х) асимптотически непрерывна почти
всюду на сегменте [а, Ь]1.
Обратное предложение: всякая асимптотически непрерывная на
сегменте [а, Ь] функция f (х) есть измеримая функция, также справедливо;
мы ограничимся здесь лишь его формулировкой, не давая доказательства.
Вот еще одно определение: функция / (х) называется имеющей
асимптотическую производную в точке х0, если существует такое совершенное
множество Рч имеющее точку х0 точкою плотности, что отношение
/(*)-/(*о)
х — х0
стремится к определенному пределу, когда точка я стремится к точке ж0,
не покидая множества Р.
В этом случае предел этого отношения называется величиной
асимптотической производной функции f (r) в точке х0 и обозначается символом
В силу сделанного выше заключения о том, что точка плотности х0
для двух множеств есть точка плотности и для их пересечения, немедленно
следует, что асимптотическая производная, если она существует, есть
единственная и, значит, характеризует своею величиною некоторое
дифференциальное свойство функции / (х) в точке х0.
Определение асимптотической производной принадлежит А. Я. Хин-
чину и положено в основу его важной работы по расширению интеграла
А. Данжуа.
Непрерывная функция может почти всюду не иметь обыкновенной
производной и в то же время может почти всюду иметь асимптотическую
производную. Она может, наконец, не иметь ни той, ни другой. Но если она
нигде не имеет правосторонней производной, она должна тогда иметь
бесконечно много точек с асимптотической производной (А. С. Безикович и
позже В. Н. Вениаминов). Мы ограничимся лишь формулировкою этих
интересных предложений о непрерывных функциях.
1 Целесообразность введения асимптотической непрерывности вытекает хотя бы
из следующего легко доказываемого предложения: если f (х) есть ограниченная иаме-
X
римая функция, тогда неопределенный интеграл Лебега F(x) = \ / (x) dx имеет обык-
О
новенную производную Ъ* (х0) во всякой точке х0 асимптотической непрерывности
под интегральной функции f(x)f причем F* (xQ) = /(х0).

О ЛОКАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА КОНЕЧНОЙ ПЛОЩАДИ*
Этот принцип, ведущийся еще от Фейера и относящийся к рядам
Тейлора, формулируется следующим образом:
Всякий ряд Тейлора
Z = f{z) = a0 + a1z + a2z*+ ..., (1)
сходящийся внутри единичного круга, сходится почти всюду па его
периферии С, если площадь поверхности Римана 5, пробегаемая точкою Z
при изменении z внутри С, имеет конечную величину.
Здесь речь идет о некотором глобальном (а не о локальном) свойстве,
потому что ничего не известно о сходимости ряда (1), если площадь,
покрываемая точкою Z, конечна при перемещении z вблизи какой-либо
дуги окружности С без того, чтобы описывать всю ее внутренность, и
если при этом не делается никакой дополнительной гипотезы
относительно коэффициентов а^,.
Полную аналогию являет известное классическое предложение о
равномерной сходимости ряда (1) на всей периферии С единичного круга,
если функция f(z) повсюду продолжаема за окружность С;
коррелятивное локальное предложение есть знаменитая теорема Фату о равномерной
сходимости ряда (1) на всякой дуге окружности С, через которую
продолжаема функция /(z), если только коэффициент а* стремится к нулю
с возрастанием его индекса п.
Таким образом, дополнительная гипотеза
lim an = 0 (2)
п—>оо
узаконивает переход от классического глобального предложения к
локальной теореме Фату.
Цель настоящего сообщения показать, что та же самая
дополнительная гипотеза (2) узаконивает переход от глобальной теоремы Фейера к ее
локальной форме.
1. Пусть аОЬ — какой-нибудь фиксированный круговой сектор, а = е{«
и b = е{&, а<[3. Мы предполагаем, что площадь, покрываемая точкою Z,
* ДАН СССР, 56, 447-450, 1947.

364
H. H. ЛУЗИН
конечна, когда z описывает некоторый объемлющий круговой сектор АОВ
содержащий сектор аОЪ внутри в строгом смысле (пренебрегая началом О).
Вводим следующие обозначения: d2<$ (z) / dz2 = /(z) внутри единичного
круга, Р (z) = (z - a)2 (z - Ъ)\ Ф* (z) = Ф (z) Р (z), /* (z) - / (z) P (z),
5* (z) есть сумма первых л членов разложения функций /* (z) по
степеням z, я0 = *ie° есть неподвижная точка, содержащаяся внутри дуги ab
окружности С (исключая границы ее: а<0о<Р) п, наконец, х = peie«,
где р = 1 при я целом положительном, есть точка внутри
окружности Су лежащая на неподвижном радиусе Ох0 и стремящаяся к его
концу xQl когда п безгранично возрастает.
Так как площадь, покрываемая точкою Z, когда z описывает сектор АОВ,
имеет конечную величину, всегда можно выбрать неподвижные точки а
и b так, чтобы функцпи /(z) и d<b{z)ldz были равномерно
непрерывными на всякой правильной дорожке, содержащейся внутри единичного
круга, примыкающей к точке а или к b и не касательной к его
периферии С.
Начертим внутри единичного круга отрезок Ох радиуса Ох0,
содержащийся между точками Оих.а также замкнутую кривую без кратных
точек Г, содержащую этот отрезок внутри. Если Г состоит из конечного
числа правильных дуг, мы можем писать равенство
Г И - s-n (хо) = i \ 1* (z) [_L_ _ _1_ + (&)* _L_] dz. (3>
Чтобы оценить эту разность, возьмем кривую Г, составленную так:
во-первых, из дуги уг, (аг, 6Г) окружности Сг центра О и радиуса г, р<г< 1,
находящейся внутри сектора аОЬ и имеющей своими концами точки аг
и br на неподвижных радиусах Оа и <9£; во-вторых, из двух отрезков
За = [дг, л] и а5 = [6Г, £] этих радиусов и, в-третьих, из некоторой
правильной дуги 7, уже независимой от п, у которой только одни концы а
и 6 находятся на окружности С, не являясь, однако, точками
прикосновения. Итак, согласно (3), мы имеем
/*(*)-^(*0)=-2М+*Н +-5г5+-ЯГ$.
У аа аЪ У г
Здесь, прежде всего, оба интеграла \ и \ , очевидно, стремятся к
нулю с возрастанием целого п и, притом, равномерно, когда точка х^
движется вдоль дуги ah окружности С.
С другой стороны, мы имеем
i-S/*wfdr-.nh:]*+j/*w(*-)'Tb*-

О ЛОКАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА КОНЕЧНОЙ ПЛОЩАДИ 365
Первый интеграл явно стремится к нулю при возрастании п и также
равномерно на дуге ab. Второй интеграл тоже обладает этим же
свойством, но, чтобы обнаружить это, необходимо, после двухкратного
интегрирования по частям, ввести вспомогательную гипотезу (2), что является
излишним для других интегралов.
Остается оценить лишь последний интеграл. Здесь мы явно имеем
J = J /* (z) dK (z), положив Xn (z) = log (l-j) + 2j {^f)k . Интегри-
рование по частям дает
\ =[f*{z)K{z))bar,-\ f*'(z)ln(z)dz.
Но проинтегрированная часть бесконечно мала в пределах для л = + оо.
Поэтому
/* (х) -SI (х0) = sn(*0) - -1. S /*' (z) К (z) dz, (5)
Yr
где бп (х0) равномерно на дуге ab стремится к нулю, когда п возрастает.
Так как z = ге{ф, р < г < 1 и а^ср<^р на дуге -*г> то
з
|/* (x)-SU*o)\<\ *п(х0) | + ±\ |/«" (z) | |Xn(z) \r c*p. (6)
a
Интегрируя это неравенство по г между пределами р и 1, имеем
1/*(*)-^(*0)1(1-р)<
< I ея | (1 - р) + -*-\\ | /*' (z) | | Xn (z) | do,, ( ]
D
где do> есть элемент площади, а двойной интеграл распространен на
область, ограниченную окружностями Ср и С и неподвижными
радиусами Оа и Ob.
Применение неравенства Шварца нам дает
—(Т=7)<—
(/* (*) - Л (*ь) К I «п 1+ "ST / й \Г (z) | Л 1/ —(Т=7>*— (8)
Величина первого двойного интеграла в точности равна площади,
покрываемой точкою Z* = /*(z), когда z описывает область D; значит, он
стремится к нулю при возрастании целого п.
С другой стороны, р = 1 , и произведение л2 jjj |Xn (z) ]2 da> явно
п d
остается ограниченным при увеличении целого п. Значит, разность

366
Н. H. ЛУЗИН
/* (х)—Sn{%o) стремится к нулю при возрастании п. Важно заметить
что f[z) равномерно непрерывна на всякой правильной дорожке,
лежащей внутри единичного круга и примыкающей к точке х0 его периферии С
без прикосновения к ней, причем это имеет место для всех точек х0
дуги аЪу кроме множества х0 меры нуль. И так как х = рх0 и p = l — L
п f
то ясно, что разность /* (х0) — Sn (s0) стремится к нулю для л = + оо.
Следовательно, разложение Тейлора функции f*[z)=f(z)P(z)
сходится в точке z = х0. Отсюда заключаем о сходимости разложения
Тейлора в точке х0 самой заданной функции /(z), что и доказывает
локальность принципа конечной площади1.
2. Целью исследования является изучение поведения разложений
Тейлора ограниченных аналитических функций] f(z) на периферии их
круга сходимости. Эта проблема была поставлена П. дю Буа-Реймоном
еще в 1876 г.
Здесь прежде всего нужно знать, можно ли взять рассмотренные
точки а и Ь внутри единичного круга зависящими от целого п и
стремящимися к неподвижной точке х0 его периферии С при возрастании п.
Смысл вопроса поясняет предложение:
Для всякой заданной ограниченной аналитической функции Z = f (z)
внутри единичного круга С можно начертить выпуклую замкнутую
кривую Тх, лежащую внутри С и прикасающуюся к его периферии в ее точке
х0, такую, что площадь, покрываемая точкою Z при перемещении точки г
внутри Гх#, заведомо конечна; это справедливо для всех точек х0 окружности
С, кроме, может быть, множества меры нуль.
Однако порядок прикосновения >1 кривой ГХ9 к окружности С остается
неизвестным. Поэтому было бы интересно иметь пример ограниченной
аналитической функций Z = / (z), для которой площадь, покрываемая точкою
Z при движении точкл z внутри любого круга Г, прикасающегося к
периферии С единичного круга, всегда бесконечна.
Как весьма вероятнее является предложение: если производная f(z)
ограниченной аналитической функции / (z) не принимает внутри
единичного круга какого-нибудь фиксированного значения, разложение Тейлора
функции / (z) сходится почти всюду на его периферии С.
Заметим, что в изучении рядов Тейлора можно сперва
удовольствоваться лишь автоморфными ограниченными функциями, потому что
аналитическая ограниченная функция может быть рассматриваема как
ограниченная автоморфная функция слегка деформированная.
1 Вероятность локализации принципа конечной площади былаувысказана в 1930 г.
Марселем Орбек [35] (Н. Лузин, Bull. Calcutta Math. Soc. 20, 141, 1930).
[В настоящем издании, т. I, стр. 328.—Ред.]

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ [36]
§ 1. Функции, с которыми имеют дело
Мы предполагаем рассматриваемые нами функции f(z), g(z), ...
определенными на всей оси ОХ и с интегрируемым квадратм на ней.
+ 00 +ОЭ
Это означает, что определенные интегралы j f2(x)dz, \ g* (x) dx, ,««
— 00 —00
суть конечные числа.
Классические предложения, относящиеся к этим функциям, таковы:
Лемма I. Произведение f(x)g(x) есть суммируемая функция на всей
+ 00
оси ОХ, т. е. интеграл j f{x)g{x)dx есть конечное число.
—оо
Это вытекает из очевидного неравенства
2\f(*)\-\g(x)\<f4*)+g2(x). (1)
Лемма II. Имеем неравенство
+ 00 +СО -|-СО
( S f(x)g(x)dx)2< \ 1*{x)dx- \ g*(x)dx. (2)
—оо —оо —оо
Это вытекает из известного неравенства Шварца.
Лемма III. При всяких постоянных а и b, а<&, интеграл
ъ
\f(x)g(x-\-1) dx, рассматриваемый как функция переменного t7 есть не-
а
прерывная функция в каждой конечной точке t оси ОТ.
Доказательство см. у Валле-Пуссена (Cours d'analyse infinite simale,
т. II, стр. 163*).
+оо
Лемма IV. Интеграл } f (x) g (x + t) dx, рассматриваемый как
—00
функция переменного t, есть ограниченная функция на всей оси ОТ.
Доказательство. Это следует из неравенства (1), ибо имеем
2 \f(x) | \g (x + *) |</2 (x) + g2(x + t).
* В русском переводе Курс анализа бесконечно малых, ГГТИ, 1933; т. II,
стр. 152.— Ред.

368
Н. Н. ЛУЗИН
Интегрируя это неравенство по всей оси ОХ, имеем
+со f+oo
| S f(x)g(x + t)dx\<C \ \f(*)\\g(* + t)\dz<£
—оо
4-оо +оо
<i-J f*(x)dz + ±- J g*(x + t)dz =
—со —00
-f-OO +00
= \ \ f*(z)dx + ± \g*{z)dx
{ч. т. д.). Это также следует из неравенства (2), ибо имеем
+оо 2 +оо —оо
( \ f(x)g(x + t)dx)K \ f*(x)dx- \ g*(x)ds,
^ —00 ' — ОО + 0О
значит,
\\j(x)g(x + l)dx j< /^(*)*Т g4x)d£
—ОО —00
(Ч. Т. Д.).
+оо
Лемма V. Интеграл ] /(я)#(я + t)dz, рассматриваемый как фунл
ция переменного t, есть непрерывная функция в каждой конечной точке
t оси ОТ.
Доказательство. Имеем
-f-oo —П
\f(x)g(x + t) dx= \f (х) g (х +t)dx+
—оо —оо
+ П +ОЭ
+ \ f{x)g{z + t)dx+ \f(z)g(x + t)dx.
+n
Средний интеграл в правой части есть согласно лемме III
непрерывная функция во всякой конечной точке t оси ОТ. Пусть теперь функция
/п (z) определена следующими условиями:
fn{z)=f(z) вне сегмента [— /&-<£< +я],
= 0 на этом сегменте.
Ясно, что можем написать равенство
—П ОО
\ f(x)g(x + t)dz+ \ f(x)g(x + t)dx =
—00 +П
+оо
= \ fn(z)g(z + t)dx.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
369
Согласно лемме II имеем
+00
\ fn{x)g{x+t)dx\<C\/ \ fn{x)dx \g2(x + t)dx =
+оо
-н»
У \fl{x)dx \g*(z)dr.
(3)
С другой стороны, имеем согласно определению функции /л (х) равенство
+ со —п оо +оо -fix
\ fn(x)dx= \ f2{x)dx + \ f*(x)dx= \ f*(x)dx-\f*(x)dx.
—оо —оо -fit —оо —п
Так как имеем, очевидно,
^oa\f4x)dx= \f»(x)dx,
то для всякого е>0 имеется столь большое натуральное число N, что
при я> N имеем
+п
0< J f*{z)dz — \f*{x)dx^e.
Отсюда для всякого натурального числа п, превышающего Nf имеем
+оо
0< S fl(z)dz^t.
Значит, неравенство (3) нам дает
\jn(x)g(z + t)dx\<y е\
g* (x) dx.
Следовательно, имеем
-оо +п Г +00
\ fn(x)g(x + t)dx- \ f{z)g{z + t)dz\^y e J g*(z)dx.
Это показывает, что последовательность функций
+ 1 +2
(4)
\f{x)g(x + t)dx,\f(x)g(x+t)dx, ...
—2
+п
.., \f(x)g{x + t)dx, ...
(5)

370
Н. Н. ЛУЗИН
равномерно стремится к предельной функции
+ 00
\ f(x)g(x + t)dx
—оо
на всяком сегменте [а<;г<^6] оси ОТ.
А так как все члены последовательности (5) согласно лемме III
непрерывны на сегменте [а <<£<:£], то отсюда заключаем о непрерывно-
+оо
сти предельной функции ^ / (х) g (x + t) dx на [a <J t < b].
—оо
Лемма VI. Каково бы ни было измеримое множество Еу лежащее на
оси ОХ, имеем неравенство
(\f(x)g (х) <fo)2< J р (х) dx J g* (х) dx. (6)
E ЕЕ
Доказательство. Пусть функции /* (х) и g* (x) определены
условиями:
/* (*) = / (х) и g* (х) = g (x) на £\
/* (х) = 0 и g* (х) = 0 вне Е.
Неравенство (2) нам дает
+ оо + со +оо
( \ Г (х) g* (х) dx) 2< S [/* (х)]* dx \ [**(*)]« dx,
—со —оо —оо
ибо, имея везде \ /* (х) |<[ | / (х) | и | g* (х) |<; | g (x) |, мы замечаем, что
функции /* (.г) и g* (x) суть функции с интегрируемым квадратом на
всей оси ОХ.
Но ясно, что
+ оо
\f*(x)g*Xx)dx = \f(x)g(x)dx,
—оо Е
+оо
J [f*(z)]*dz = \f*(z)dz
—оо Е
И
+оо
S [g*(a:)]2dz=Sg2(a:)rfa:.
-оо £
Поэтому предыдущее неравенство переписывается в виде неравенства (6)
(ч. т. д.).
ь
Лемм а VII. При всяких постоянных aub, a<bt интеграл J / (x)g(x+t)dxf
а
рассматриваемый как функция переменного ty стремится к нулю, когда
t —> + оо и когда t-> — оо.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
371
Доказательство. При фиксированном t неравенство (6)
переписывается в виде
(S /(*)*(* + *) dx )2< S /2 (х) dx \g2(x + t) dx.
E E E
Делая Е тождественным сегменту [а<£-<6], имеем
ь ь ь
(\f(x)g(x + t)dx)*^\f*(x)dx\g*(x + t)dx,
в а а
ИЛИ
Ь b b+t
() f (x) g(x + t) dx )2< J /2 (*) <te \ g2 (*) Ac.
a a a+1
В силу того, что функция g(x) есть функция с интегрируемым
квадратом на всей оси ОХу для всякого е > 0 имеется такое натуральное число п,
что будет соблюдено неравенство
—оо —тг
которое можно написать в виде
— П +0О
\g*(x)dx + \ $*(*)<&< е.
+ п
Отсюда ясно, что когда сегмент [а + ty b + t] попадает внутрь
интервала (—оо, —п) или внутрь интервала (+п, +оо), мы а fortiori
должны иметь
\ g2{x)dx^e.
Но первое случится, когда t < — п — Ьу а второе произойдет, когда t > п — а.
Поэтому при 111, достаточно больших, мы имеем
\\f(z)g(x + t)dx\<Y e\f2(x)dx, (7)
а о
b
что и доказывает стремление к нулю функции J/ (а:) g (ж + t) dx при а и 6,
a
а<^Ъу фиксированных, когда г->+оо и когда *->— оо.
Лемма VIII. Интеграл \ f {x) g(x + t) dxy рассматриваемый как функ-
—00
ция переменного ty стремится к нулюу когда |*|-» + оо.

372
Н. Н. ЛУЗИН
Доказательство. Мы уже видели, что для всякого е>0 имеется
натуральное число п столь большое, что будет справедливо неравенство (4):
4-оо +п I /~+S
\f(z)g(z+t)dz- \f(x)g(x + t)dx\^y e \g\x)dx.
С другой стороны, при фиксированном п для достаточно большого \t\ мы
ямеем (7)
\f(x)g(x + t)dx\^y ej
/2 (х) dx
и тем более
+ 71
/"+?
$/(x)g(x+*)dx|<|/ e J /»(«)(&.
-п _эо
Сопоставляя (4) и (8), имеем для \t\, достаточно большого
Т I ./^
(8)
Уф"
(я) dx
(ч. т. д.). Как следствие имеем предложение:
+ 00
Теорема 1. Интеграл \ f (x) g (x +t) dx, рассматриваемый как
—00
функция переменного t, есть ограниченная равномерно непрерывная
функция на всей оси ОТ, стремящаяся к нулю, когда t-+ — оо и когда t -> + оо,
удовлетворяющая неравенству
+оо
\<V~\
+ 0О
Р (х) dx J ё2 («) dx.
\f{x)g{x + t) dx
—ОО
В частности, имеем
| + 00
5 f{x)f{x + t)dx |< J /*(*)cfe
+оо
(2)
(9)
Так как левая часть неравенства (9) совпадает с правой, когда
делаем t = О, то неравенство (9) не может быть улучшено.
Частный случай. Мы делаем теперь предположение, что / = £»
Полагая в этом случае
+ 00
^№= \f(x)f(x+t)dx, (10)
мы хотим указать свойства функции F{t).

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
373
Из теоремы 1 мы знаем, что:
1. F (t) равномерно непрерывна вдоль всей оси ОТ.
2. F(t)->09 когда |г|-» + оо.
+ 00
3. | /■(') К \f2(x)dx.
—со
Мы хотим указать еще некоторые свойства функции F (t):
4. F (t) есть четная ф у нкци я, т. е. имеем F {—t) = F (t).
Действительно, мы можем писать
-foo -j-oo
J f(x) f(x + t) dx = \ f(x + t - t) f(x + t) d(x + t) =
— 00 —OO
+ 00
= J f(x*—t)f{x*)dx*,
—00
где x* = x +1. Итак, изменяя x* снова на x, имеем
+ 00 -fOO
\f(x)f(x + t)dx= \f(x)f(x-t)dx,
—OO —OO
т. e.
F(-t) = F(t)
(ч. т. д.).
Введем удобные обозначения:
+оо
F(t)= \f(x)f(x + t)dx,
—OO
+оо
<?(') = \g(x)[g(x + t)dx
— Of»
для смешанного выражения
+ CO
#W= \f(x)g(x + t)dx. (12)
(11)
В теореме 1 мы дали первоначальные свойства функций Н(t) и F{t),
G(t),. .. и теперь хотим выяснить вопрос, имеет ли функция Н (t)
интегрируемый квадрат на всей оси ОТ.
Пример. Пусть f(x) = -^j для я>1 и /(я) = 0 для я<1. Ясно,
что мы имеем / (х) > 0 на всей оси ОХ; мы предполагаем, что s > 0 и что
2^ = 1 +е, е>0.
Имеем
Т Г 1 Т d* г *-г~*+1
) f2(x)dx = \ — dz=]-^T = l_i_z+ i
-со 1 Ж 1
= L^7Ji=[^r]+co=="T-
+<D
1

374
Н. Н. ЛУЗИН
Итак, / (х) — функция с интегрируемым квадратом на всей оси ОХ.
Теперь имеем
F(t)= \f(x)f(x + t)dx=\±—±-—dx., где*>0.
Мы знаем, что F (t) конечна для всякого фиксированного t.
Полагая х = tay мы имеем
F (t)= \-1-——* -Ida.
Х ' [ tbOLs *s(l + a)s
T
Вычисляем:
F lt\ — — \
U~ Г-$ } [a(l+a)]s
t
t 1
Так как —- = oe _ = - - , то
t2s r2s_1 f
Вспоминая, что 1>0и большое, мы имеем—<1. Значит,
■foo +оо +оо
U Ге J (a4a)$ ^ lz \ (2a*)s 2V { a2s
2s l* J a1+e "" 2s*e L— 1 — e + 1 Ji ""
l
_ 1 Г a~c 1+Qo 1 Г 1 "11 __ 1
— 2sre [ -e Jx "" 2V"L"^rJ+oo"" ^Ts "
Отсюда
и, значит, при 0 < e < -у- имеем
-00 1 lE4t
Итак:
имеются f(x) с интегрируемым квадратом на всей оси 0ХУ такие,
+со
что функция F (t) = j / (s) / (а: + £) cfo уже «е естб функция с интегри-
—со
руемым квадратом на всей оси ОТ.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
375
Мы видели, что если обе функции f(x) и g (x) суть функции с интегри-
руемым квадратом на всей оси ОХ, то тогда функция Н (t) = \ f (x) g(x+t) dx
—оо
переменного t есть равномерно непрерывная, ограниченная на всей оси
ОТ, стремящаяся к нулю, когда |£|-» + ос, функция.
Но при этом Н (t) вообще не имеет интегрируемого квадрата на всей
оси ОТ. Этому мы видели убедительный пример.
Однако при более частном предположении относительно функций f
или g интегрируемость квадрата функции Н по всей оси ОТ делается
неоспоримой. Именно мы имеем предложение:
Теорема 2. Если обе функции f(x) и g(x) суть функции с
интегрируемым квадратом на всей оси ОХ и если хотя одна из них суммиру-
+<»
ема на этой оси, тогда функция Н (t) = J / (x) g (x + t) dx есть функция
—оо
с интегрируемым квадратом на всей оси ОТ.
Доказательство. Так как /(х) и g(x) имеют интегрируемый
квадрат на всей оси ОХ, произведения f(x)g(x + t) и f{x — t)g{x) суть
суммируемые функции для каждого t оси ОТ. Поэтому интегралы Лебега
+ СО + 00
\ f (x) g (х + t) dx и \ f {х — t) g (x) dx
—со —оо
суть конечные числа. Но ясно, что оба эти числа равны друг другу:
+ СО +ОЭ
\ f(x)g(x + t)dx= \f(x-t)g(x)dx.
—оо —оо
Отсюда следует, что функцию Н (t) можно писать безразлично в
каком виде:
-f со
#(*)= \f(x)g(x + t)dx
—СО
ИЛИ
+ 0О
#(-*) = \ g(x)f(x + t)dx.
—со
Поэтому при дальнейшем изучении свойств функций Н (t) мы имеем
право предполагать, что функция / (х) есть суммируемая на всей
оси ОХ. Сделаем же это предположение, написав предварительно
+ СО
H(t) = \ f(x)g(x + t)dx,
— 00
+ 00
я (0= S f(y)g-(y + l)dy
—оо

376
H. H. ЛУЗИН
-Ьоо
K2(t) = \\f(x)f(y)g(x + i)g(y + t)dxdy.
—со
При любых а и b а<6, мы имеем
ь ъ ч-оо
\H*(t)dt = \dt \\f(x)f(y)g(x+t)g(y + t)dxdy =
а —оо
+оо Ъ
Но имеем
Значит,
= \\f(x)f(y)\g(x + t)g(y + t)dtdxdy.
—со а
\g(x + t)g(y + t)\^±[g*(x + t) + g*(y + t)).
Ъ I Ь
\g(* + t)g(y + t)dt \<\\g(x + t)g(y+t)\dt^
а \ а
Ь Ь
<Y\82(x + t)dt + ±\g*(y + t)dt^
а а
+со -fco
<J \ g2(x + t)dt + ± \ g2(y + t)dt =
—оо — оо
+со +СО +со
= у \ g2{x)dX+± \g*(z)dx = \g*(ll)du.
Следовательно,
Ъ +со +оо
\H*(t)dt^\\\f(x)\\f(y)\ \ g*(u)dudxdy =
-fco +co
—CO I —CO I
(13)
Так как правая часть не зависит от а и 6, то мы можем сделать а-*
--* — оо и i-» + oo без изменения правой части. Отсюда видно, что
интеграл
+СО
J № (0 dt
—со
есть конечное число, т. е. Н (t) имеет интегрируемый квадрат на всей
оси ОТ.
Делая в равенстве (13) а-» — оо и Ь—* + оо, мы, очевидно, имеем
-fco
+СО
+0О
\ H*{t)dt = \\f{x)f{y) J g(x + t)g(y + t)dtdxdy.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
377
Но
+оо +со
\ g(* + t)g(y + t)dt= \ g{u)g{y-x + u)du = G(y-x).
—со —со
Поэтому
-fco +оо
\ № (*) dt = \ \ f (х) f (у) G(y- x) dx dy. (14>
—со -co
Вспомним, что функция G (t) определяется равенством
+co
G(0= \ g(x)g(x + t)dt
—CO
и что, ввиду того что g(x) есть функция с интегрируемым квадратом
по всей оси ОХ, функция G (t) есть равномерно непрерывная по всей
оси ОТ функция, стремящаяся к нулю при |*|-> + оо.
Большего мы о функции G (t) ничего не знаем, не делая никаких иных
предположений о функции g(x), кроме того, что g(x) имеет
интегрируемый квадрат на всей оси 0Х> ибо мы знаем, что G (t) может иметь
убывание порядка — ? где е ^> о малое, как угодно постоянное число.
В этих условиях G (t) может оказаться не суммируемой на всей оси ОТ и
иметь одновременно не суммируемый квадрат на этой оси.
Сделаем, впрочем, тривиальное замечание: ввиду того что G(t)—>0,
когда |*| —> + °о> ясно, что если G-(t) суммируема на всей оси ОТ, то-
G2 (t) тоже, т. е. суммируемая на ОТ функция G (t) имеет интегрируемый
квадрат на этой оси.
Лемма. Если функция g(x) суммируема на всей оси 0Х} тогда G (t)
суммируема на всей оси ОТ.
Доказательство. Имеем по определению
+<х>
G(0= \ g(x)g(x + t)dx.
—со
Поэтому
+оэ
\G(t)\< S |*(*)||*(* + *)l<k.
—со
Отсюда
Ь +со Ь -Н» -Н»
S|G(*)|<U<S \g(x)\\\g(x + t)\dtdx^ S \g(x)\ \ \g(x + t)\dtdx.
a -co a —oo -co
Но ясно, что
-fco +oo
J \g(x + t)\dt= \ \g(x)\dx.
—oo —со

378
H. H. ЛУЗИН
Следовательно,
Ъ /+оо » j
S|C(0[*<( \ \g(z)\dx\
о \—со '
Так как g (x) предположена суммируемой на всей оси ОХ, то левая
часть этого неравенства остается меньше, чем фиксированное
положительное число при любых а и Ь. Делая а->— оо и Ь—> + оо, имеем
-J-oo /+оо
$|G(0|*<($ k(x)l^)2,
—оо \— оо /
что доказывает суммируемость функции G (t) на всей оси ОТ.
Замечание. Доказанный критерий есть лишь достаточный для
суммируемости функции G (t) на оси ОТ. Но он вовсе не есть
необходимый, ибо G (t) может оказаться суммируемой на оси ОТ без того, чтобы
производящая функция g (x) была суммируемой на оси ОХ.
§ 2. Основное неравенство
Имеем важное предложение:
Теорема 3. Если обе функции f(x) и g (г) имеют интегрируемый
квадрат на всей оси ОХ, если к тому же f (x) суммируема на этой оси,
а функция G(t) суммируема на всей оси ОТ, то тогда мы имеем основ-
нов неравенство:
+оо —со +то
J fr»(*)flte< J f*(x)dx \ \G(u)\du.
—CO —CO —CO
Доказательство. Обратимся к равенству (14):
+со +оо
S №{t)dt= \\f(x)f(y)G(y-x)dxdy,
—CO —CO
доказанному в предположении суммируемости функции / (х) на всей оси
ОХ, причем обе функции / (х) и g (x) имеют на ней интегрируемый
квадрат.
Вводим теперь гипотезу о суммируемости функции G (t) на оси ОТ.
Имеем из равенства (14) неравенство
-Н» +со
[ Ю (t)dt^ \\\ f (x)\\f (y)\\G (у - x)\dxdy ^
— СО —СО
-fco
—со
= \\jf4x)\G(y-x)\dxdy+ \\{-f*(y)\G(y-x)\dxdy.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
379
Переменим местами буквы г и у в правом интеграле. Так как
функция G{t) есть четная, т. е. G{—t)=G{t), то мы имеем
+оо
+~
+со
5 H*(t)dt^\\f*{x)\G(y-x)\dxdy = \ f*(x)dx \ \G[y-x)\dy =
—со —оо —со
-|-со -fco
= \ P(x)dx \ \G(u)\du (15)
<ч. т. д.)-
Сделаем важное приложение теоремы 3.
Мы предполагаем для этого:
1° что f (х) есть какая-нибудь суммируемая функция на оси ОХ,
2° что / (х) имеет на оси ОХ интегрируемый квадрат,
3° что производящая функция gc (x) определяется условиями:
ge (х) = 0 на интервале ( — е<х< + е), е>0,
gt(x) = — вне этого интервала.
Геометрическое изображение функции gt(x) дано на рисунке 1.
Мы видим, что производящая функция gc (x) имеет свойства:
а) ge(#) есть ограниченная функция на всей оси ОХ, ибо
|jt(x)|<- для всякого х,
б) gt(x) есть функция с интегрируемым квадратом на оси ОХ.
О е
Рис. 1.
Вычислим функцию Gt(t), порожденную производящей функцией gt{x).
Имеем по определению
+00
GeM= \ g<(x) g* (* + *)**•
Так как Gz (t) есть функция четная, достаточно вычислить ее для
г>0.
На рис. 2 кривая у = gt (x) сплошная, а кривая y = gt(x + t)
пунктирная.
Сообразно самому определению производящей функции g* (x) нам
приходится рассматривать два случая.

380
Н. H. ЛУЗИН
Случай I, когда г>2е. В этом случае —£<2е, и мы видим, что
защитные интервалы (— t~ е, —t + е) и (—е, + е) не перекрываются
причем первый из них лежит налево от второго (рис. 2).
Следовательно, мы в этом случае имеем
-*-е
-co — f+e +c
Для вычисления имеем
1
z(x + t)
t \ X X + t J
Пусть а чрезвычайно большое отрицательное число, а Ь — чрезвычайно-
большое положительное число. Впоследствии мы сделаем а—>— оо и 6-»-f оо.
^тгм
Рис. 2.
— f-e
Первый интеграл \ , сначала пишем в виде
—оо
-t-t
S
* (Ж + Г) *
или
-f-e
['Wi L-\d~=± \'*(-*) 1 V ^ ( — t — а:) _
a
-t-e
= J_ [in (-«)].' '_J-[ln(-«-яг)].
-T"(,+?.l^-)-S-4^f-)+4b^.
Делая a-»— oo, имеем
3 ^тту==-1п-г->°-
(16)

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
381
Второй интеграл
— *
Г dx
-ticх (аг + г)
Его пишем в виде
=l[inH,)]:;+-|[in(,+o]:;+c=
—с —е —е
1 , £ 1 , I — £
= — 1п -1П
t t — е t с
= Un-^.-l- = Un(rl-)2 = ^lnT^<0. (17)
г £ — е t — е t \t—ej t t — e ^ x '
SI 1
—- dx. Пишем его в виде
TH4-ib)*
+ 00
и заменяем интегралом
J t \ х x-rtj 9
ИЛИ
Ъ
+ е +*
Делая £-> + оо, имеем
Tj^=i|n-i±i>0. (18)
J х (х + г) г с ^ v
+ е
Складывая первый, второй и третий интегралы, согласно формулам
(16), (17) и (18) мы получаем
==Aln-LLL>0 для f>2e. (19)
t I ~~— £
Случай II, когда 0<2<2е. В этом случае защитные интервалы
(__ t—ef — г + е) и (—е, -fe) перекрываются, и средняя часть интег-

382
Н. Н. ЛУЗИН
рала Gt (t) = J gc [x) gt (x + t) dx перестает существовать. Значит, имеем
—00
ЛИШЬ
G (л _ V \ dx 4- { dx.
tK > J x[x + 0 ^ J x [x -tt)
—00 +6
Итак, в этом случае второго интеграла уже нет. А первый интеграл
уже вычислен по формуле (16), третий же вычислен по формуле (18).
Поэтому, складывая (16) и (18), сразу находим
Gc(t) = Un^ + Unl^ = ±^±±^>Q (20)
для 0 < t < 2s.
Заключение. Четная функция G&(t), равномерно непрерывная на
всей оси ОТ и стремящаяся к нулю, когда U | —> 4- со, ость функция
положительная на всей оси 0Т} ибо мы имеем
2 t t с
G6 (/) = — In на сегменте [0<!/^2г],
Gz(t) = —In ——— вправо от него, т. е. на (2е<$г<; + сс). Очень
важно увидеть, что G% (t) есть функция, суммируемая на .всей оси ОТ. Ввиду
положительности Ge(0> вычисляем прямо ее интеграл
+00 +=0
\ Gt (t) dt=2 \ Gz (t) dt =
-00 0
ибо Gt(t) есть функция четная]
2е +со 2е +оо
= 2 \ Gc(t)dt + 2 \ Gt{t)dt = 2 \ i- In_L±l^+2 J -|In ±±± dt.
0 2c 0 -c
Полагая в обоих интегралах
t = s • и,
имеем
\ Gt(l) dt =2 (iSIn ^i cfc + 2 fil In e-^±-e du =
-co 0 2
2 -foo
= 4 j-Lln(tt + l)tftt+4 \ l-\n!L±-±du^A,
0 2
где А есть абсолютная константа, положительная и совергаенно не
зависящая от е.
Таким образом, положительная функция Gt (t) оказывается
суммируемой на всей оси 0Т} причем определенный интеграл от нее, взятый по
всей оси ОТ, оказался не зависящим от е.

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
383
Обращаясь к теореме 3, мы получаем важное предложение:
Теорема 4. Если f(x) есть суммируемая на всей оси ОХ функция
с интегрируемым квадратом на ней, тогда, обозначая через gz(x) функ-
цию, равную нулю на [— е-<#<; + £] и равную — на (— с», — е) и на
(е, + оо), мы имеем
+ О0
S
+ СО
\ f(x)gt(x+t)dx
+»•
dt<A \ f*(x)dz,
(21)
где А есть положителънаяу абсолютная константа, совершенно не
зависящая от е и от функции f (х).
% 3. Теоретико-функциональная часть
До сих пор мы вели рассмотрение чисто аналитического характера у
т. е. в духе тех рассуждений, на которых строят классический
математический анализ. Теперь мы переходим к методам, образующим
существенную часть теории функций действительного переменного.
Целью является предложение: если f(x) суммируема и с
интегрируемым квадратом на всей оси ОХ, то тогда почти всюду на оси
ОТ имеется предел:
+ оо
JS \ f(x)gt(x-t)d%.
Примечание. Мы пишем не gz(z + t)y a gt{x — t), потому что при
изменении по всей оси ОТ переменного t это безразлично.
1. Мы исходим из неравенства
+ 00
\ \ f{x)gz{x — t)dx \dt<Adt\ f*(z)dz,
+со
(21)
где А есть абсолютная константа, положительная и совершенно не
зависящая ни от е, ни от функции f(x).
Из этого неравенства следует, что неравенство
+ СО
\ f{z)gz{z — t)dz
Ж
(22)
может осуществляться лишь на замкнутом множестве Е, лежащем на
оси ОТ у мера которого mesi? удовлетворяет неравенству
+»
K*mesE<A \ f2(x)dxy

384
Н. Н. ЛУЗИН
т. е. имеем
Л I /2 (r) dx
mes E < -
В целях дальнейшего мы берем положительное число К равным
k-i/Vt
/* (Ж) <& = |/ J Я (Я) «/Ж.
—С
Отсюда
= У \Р (х) dx,
и, значит, вне замкнутого множества Е на оси ОТ мы имеем
неравенство
$/(*)&(*-0 <**<)/ $/*(«)</«, (23)
—оо —оо
причем мера mes Е замкнутого множества Е удовлетворяет неравенству
mes Е < А |/ J /2 (.r) dx. (24)
—со
В справедливости того, что Е есть именно замкнутое множество, а
не какое-нибудь иное, легко убедиться, приняв во внимание, что интег-
+<х>
рал \ / (х) ge (х — t) dx есть равномерно непрерывная функция перемен-
—со
ного t на всей оси ОТ.
2. Мы отправляемся от предположения, ложность которого обнаружим
в дальнейшем, что существование конечного предела
+со
lim \ / (х) gt (x — t) dx
не имеет места на некотором множестве М меры ji > 0, лежащем на
оси ОТ.
Если х есть точка этого множества, тогда функция переменного г
+со
\f(x)gt{z-<z)dx (25)
—со
есть либо стремящаяся к бесконечности, либр колеблющаяся, когда е->0.
Обозначим через <о (х) колебание этой функции, когда положительное s
стремится к нулю. Имеем
<о(х)>0. (26)

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
385
Функция со(х) определена в каждой точке х измеримого множества М.
Поэтому, приняв во внимание, что функция а> (х) входит в класси-
фикацию Бэра, множество М точек х, где имеем
<о (х) ;> 28 (б > 0 — фиксированное число),
есть множество измеримое, составляющее часть множества М:
MczM.
Если б достаточно мало, измеримое множество М будет положителъ-
ной меры, т. е. mes M > 0.
В результате мы можем найти такое совершенное приведенное
множество Р положительной меры
mes Р > 0,
в каждой точке х которого имеем
о (т) > 26, где 8 > 0 — фиксированное число.
Отсюда следует, что каково бы ни было малое положительное число r\f
7]^>0, существует такой сегмент Дт, имеющий центром точку т, и
длины, меньшей чем т), что имеем
./(*)&(* —*)<**
а,
>е, (27)
где интегрирование совершается над переменным х по сегменту Дт.
Здесь число е, е>0, очень мало сравнительно с tj, так как у] можно
произвольно задать, а е подбирается е<С^ (рис. 3).
Заметим, что точка х, для которой удовлетворяется неравенство (27),
есть произвольная точка совершенного приведенного множества Q, явля-
At
Л л k
— ^zt^ —
2е
Рис. 3.
ющегося частью совершенного множества Р и имеющего меру mes Qy
сколь угодно близкую к мере mes P совершенного множества Р.
Все дело в том, что мы можем взять фиксированное число в
достаточно малым, е > 0.
3. Сопоставим неравенства (23) и (27). Законность такого
сопоставления будет явствовать из того, что, не изменяя ни фиксированного
множества Q, ни фиксированного числа 8, мы можем предположить интег-
рал \ f*(z)dz сколь угодно малым. В дальнейшем, это будет доказано

386
H. Н. ЛУЗИН
строго. Пока же зная, что неравенство
+со I 4 f +00
\f(x)ge(x-r)dx <|/ \f*(x)dx
(23)
соблюдается всюду вне замкнутого множества Е меры mesi?,
удовлетворяющей неравенству
mes E<^A
/+со
(х) dx,
(24)
и зная, что на фиксированном совершенном приведенном множестве Q
всюду соблюдается для всякой его точки х неравенство
\Н*)ёЛ* — *)Лх
>Ь,
(27)
мы выводим заключение, что на множестве Q вне замкнутого
множества Е имеем одновременно
\f(x)g.(x-z)dx\<\/ \f*{x)dx I
—со | —00 I
f (28)
\ /И^(х-т)сь|>е, I
I j
где т принадлежит к множеству-разности Q — E, будучи любой его
точкой.
At
Рис. 4.
Из неравенств (28) следует, что, выбросив из оси ОТ сегмент Дт
(рис. 4) и обозначив оставшуюся часть (пунктирную) через СДТ, мы
имеем
/Чо
f{z)gc(x-x)dx >б — |/ \/2(ж)^а;;
(29)
где значок СДТ внизу интеграла обозначает область, пробегаемую
переменным интегрирования х, а т обозначает любую точку
множества-разности Q ~ Е.
4. Мы имеем право предположить суммируемую функцию f(x)
положительной, ибо всякая суммируемая функция есть разность двух

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
387
неотрицательных суммируемых функции, из которых по крайней мере
одна уничтожается в каждой точке. Поэтому имеем право предполагать
квадрат функции f(x) тоже суммируемым по всей оси ОХ. Рассмотрим
интеграл
] f{z)gt(z — l)dz,
где переменное t движется по сегменту Дт. Это есть непрерывная
функция, определенная на этом сегменте; е — число фиксированное. Ясно,
что эта функция есть монотонная и возрастающая функция переменного
t на уменьшенном сегменте Дт, полученном отрезанием от сегмента Дг
справа и слева частей длины е.
Рис. 5.
Отсюда следует, что раз мы в центре *: сегмента Дс имеем
неравенство (29):
-|/ \f*{z)dx,
><
(29)
то для t, находящегося в одной из половин (правой или левой) сегмента
Д,, мы и подавно имеем неравенство
) f(x)gt(x — t)dx
4/+^
\>ь-у J/»<*)<**.
—оо
А так как всюду вне Е мы имеем неравенство
У \.f*{x)dz,
+ ОЭ
\f(x)g*{x-t)dz\<
(30)
(23)
что отсюда следует, что имеем
\f(z)gt{z-t)dz\>b
к/ +оо
-2]/ \Р(х
)dz
(31)
для всякого t на одной из половин сегмента Дт вне множества Е.
5. Неравенство (31) замечательно вот в каком отношении: оно
не.изменится, если мы сделаем функцию f (х) равной нулю вне сегмента Дтг
+0О
ибо мы, как увидим дальше,, можем предположить \ f*(x)dz очень

338 Н. Н. ЛУЗИН
малым, так что будем иметь
1-21/ J /ч*
г —оо
1
■)£&>те. (32)
+оо
Итак, предполагая J /»(*)«& малым настолько, что соблюдается нера-
—ОО
венство (32), мы можем писать неравенство (31) в виде
S f{*)g*(x-*)dz\>±. (33)
Дт I
И так как телерь мы предполагаем / (х) равной нулю вне сегмента Дт, то
Г (J / (х) g< (x -1) dx) dt<A\ f* (x) dx. (34)
Отсюда следует, что неравенство (33) возможно лишь на множестве меры
А\ f(x)dx
<—% ^5 /Hx)dx. (35)
T
Этот неожиданный результат показывает, что неравенство (31),
идентичное неравенству (33), соблюдаясь на множестве-разности
[X] -Е,
где [Дт] обозначает половину сегмента Дт, обязано иметь мерой этого
множества-разности самое большее
£$/*(*)**.
А
6. Итак, мы пришли к заключению, что мера множества-разности
[Дт]—Е, т. е. [Дт] — 2?. [Дт], удовлетворяет неравенству
mes {[Дт] - Е . [Д,]} < ^ \ р (х) dx. (36)
Заметим теперь, что в этом неравенстве точка т пробегает все
множество-разность Q — Е, где Q есть фиксированное приведенное
совершенное множество, а Е есть замкнутое множество меры mes E,
удовлетворяющей неравенству
mes E < А
y*\f*(z)dz.
(24)

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ
389
Заметив это, применим теорему Гейне —Бореля: всякая точка т
приведенного совершенного множества Д, содержащегося .в
множестве-разности Q — Еъ имеющего меру mes i?, сколь угодно близкую к мере
множества Q—Е и, следовательно, заведомо удовлетворяющую
неравенству
mes R > mes Q — 2 mes E > mes Q — 2 A 1 / f п ix\ dx
(37)
есть центр сегмента Дт. Отсюда все множество R может быть покрыто
конечным числом таких сегментов Дт. По теореме Данжуа три сегмента,
имеющие общую внутреннюю точку, таковы, что один из них содержите*?
в сумме двух других.
Отсюда следует) что система неперекрывающихся сегментов Дт может
быть выбрана так, чтобы она покрыла часть совершенного множества Ry
имеющую меру, заведомо превышающую (или равную) половине меры
mes Я самого множества Д.
Но, переписывая неравенство (24) в виде
mes [Дт] < ~ \ P (х) dx + mes {E > [ДJ}, (38)
At
мы видим, что
Дт
где знак суммы 2 распространяется на все неперекрывающиеся сегментй
Дт рассматриваемой системы.
Так как ясно, что
2\ 1*{z)dz< \ f*(z)dx,
и так как
/1
mes£<A|/ [ f2{z)dx, (24)
то мы заключаем отсюда ввиду произвольной малости числа
\ Г (*)**,
что
mes Я
есть число сколь угодно малое.
Значит, имеем

?№
Н. Н. ЛУЗИН
mes# = 0,
откуда следует, что
mesAf= О,
и значит, имеем предложение:
Основная теорема. Если f (х) есть суммируемая функция на
qcu ОХ с интегрируемым квадратом на ней, то интеграл
+»
J f{^)gc{x — t)dx
—со
стремится к определенному пределу, когда е->0, и это почти всюду на
оси ОТ.
Следствие. Если f{x) есть функция с интегрируемым квадратом,
Определенная только на сегменте [а<^х<^Ь), тогда предел
ь
lim \ / (х) gt (х — t) dx
существует почти всюду на [а <^ t ^ Ь] (ибо функцию / (х) можно
пополнить определением на всей оси ОХ, полагая /(я)=0 вне сегмента
7. Нам осталось лишь доказать, что без изменения множества М и
числа 8 мы имеем право предполагать число ^ /2 (х) dx сколь угодно ма-
—со
#ЫМ.
Доказательство. Мы отправляемся от заданной f(x), для кото-
+ 00
рой число ] f2(x)dx может быть значительным. Постараемся найти та-
—00
кую функцию Ф (х), чтобы разность
/(х)-Ф(г)
не изменила ни множества М, ни числа 8 и чтобы интеграл
+оо
J [f(z)-<l>(z)]*dz
—со
оказался сколь угодно малым.
Ясно, что этого мы сразу же достигли бы, если бы функция Ф(х),
нужная нам для наших целей, оказалась бы постоянной величиной на
отрезках, на которые разбилась надлежащим образом вся ось ОХ. Но
как раз это можно сделать, ибо это —вещь вполне тривиальная.
Прежде всего строим совершенное множество L, такое, на котором

ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ 391
измеримая функция f(x) непрерывна и чтобы интеграл Лебега по его
дополнению CL
\ f-(x)dx<o
CL
был бы меньше наперед заданного числа а. Сделать это очень легко.
Далее, найдя такое нужное нам совершенное (нигде не плотное)
множество L, охватываем его системой попарно непересекающихся сегментов
Alf Д2, Д8, ..., А*,
уходящих с безграничным возрастанием индекса к в бесконечность•
Каждый из этих сегментов содержит точки множества L; берем
сегмент А* и обозначаем ^ какую-нибудь содержащуюся в нем точку
совершенного множества L.
Определяем теперь Ф (х) следующим образом:
1. Ф (х) = О вне сегментов Д1? А2, Д3, — , А*, ...
2. Ф (х) = /(£*) на сегменте А*, где к = 1, 2, 3, ...
Ясно, что сегменты Alf Д2, ..., Д.ь ... можно выбрать столь
мелкими, чтобы интеграл
J [f(x)-0{xypdx
—оо
оказался сколь угодно малым. Обозначая
/*(*)=/(я)-Ф(я),
мы и ведем далее над /* (х) все наши рассуждения (ч. т. д.).

КОММЕНТАРИИ

К СТАТЬЕ «К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»
[1] На стр. 34 своей диссертации (настоящий том, стр. 71) Н. Н. Лузин дает другое
доказательство существования первообразной у измеримой функции конечной
почти всюду. При этом он указывает, что доказательство, приведенное я
диссертации, проще того, которое помещено в настоящей статье.
[2] Отрицательный ответ па поставленный здесь вопрос дан Г. П. Толстовым (Sur
quelqaes proprietes des fonctions approximativement continues. Матем. сборник
5(47), 637—646 (1939)). Полное решение вопроса, для каких /(яг) существует
F (х), имеющая / (х) своей производной в точках множества второй категории,
принадлежит Е. М. Ландпсу. См. примечание 27 ко второму изданию
диссертации Н. Н. Лузина.
К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ РЯДА ТЕЙЛОРА»
13] С. Б. Стечкин доказал, что построенный Н. Н. Лузиным тригонометрический ряд
расходится в каждой точке.
К ДИССЕРТАЦИИ «ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД»
[4] Эта работа была представлена Н. Н. Лузиным в качестве диссертации на
соискание ученой степени магистра чистой математики.
Защита ее в Учевом Совете физико-математического факультета Московского
университета состоялась 21 февраля 1916 г., и Н. Н. Лузину была присуждена
ученая степень доктора чистой математики, минуя степень магистра.
Отзыв об этой диссертации официального оппонента Д. Ф. Егорова
опубликован недавно в журнале «Успехи математических наук», т. VIII, вып. 2(54), 1953 г.
[5] Ответ на поставленаый здесь вопрос дан Б. М. Гагаешм (Sur l'unicite du systeme
de fonctions orthogonales invariant relativement a la derivation. Comptes Rendus
188, 222—225 (1929)) и уточнен Б. В. Гнеденко (О единственности системы
ортогональных функций, инвариантных относительно дифференцирования, ДАН, 14,
159-162 (1937)).
[6] В настоящее время ясно, что существуют ряды, которые не могут быть рядами
Фурье im при каком определении интеграла. Таковы, например, ряды сходящиеся
к нулю почти всюду (см. примечание [24]).
£7] Замечание о том, что всякая определенная операция анализа приводит непременно
ко множествам и фунтщиям измеримым в смысле Бореля, через несколько лет
после появления диссертации Н. Н. Лузина было опровергнуто его же работами
и работами его учеников. См. об этом круге вопросов т. II сочинений
Н. Н. Лузина.
[8] См. примечание [7].

КОММЕНТАРИИ К РАБОТАМ Н. Н. ЛУЗИНА 395
[9] См. примечание [25].
[10] Построение всех примеров, которые были опущены Н. Н. Лузиным, дано
в комментариях ко второму изданию его диссертации. См. «Интеграл и
тригонометрический ряд». Библиотека русской науки, ГТТИ. Москва — Ленинград,
1951.
[11] См. примечание [2].
[12] Высказанная здесь Н. Н. Лузиным гипотеза вполне оправдалась. См. статью
Н. Н. Лузина и И. И. Привалова (в настоящем издании стр. 282).
113] По поводу поставленных здесь проблем см. С. Банах, Sur une classe de fonctions
continues. Fund. Math., т. VIII, 166—172 (1926) и Н. К. Бари, Memoire sur la
representation finie des fonctions continues, Math. Ann., 103, 145—248: 598—653,
1930.
[141 В настоящее время можно ответить на этот вопрос отрицательно именно можно
построить непрерывную функцию F (x)t для которой ^(х) = 0 почти всюду и
2к
lim [ F (x) cos-nx dx = 0.
rwcoJ
См. Д. Е. Меньшов, Sur Tunicite du developpement trigonometrique. Comptes
Rendus, 163, 433—436, 1916.
[15] В настоящее время, однако, известно, что существуют ряды Фурье— Лебега,
расходящиеся даже в каждой точке. См. А. Н. Колмогоров, Sur une serie de
Fourier — Lebesgue divergente partout. Comptes Rendus, 183, 1327—1329, 1926.
[16] H. H. Лузин рассматривает здесь, как и везде в своей диссертации, интегралы
Данжуа в узком смысле. Для них высказанная им гипотеза оправдалась. См.
Ж. М а р ц и н к е в и ч, Sur les series de Fourier. Fund. Math. XXVII, 38—69,
1936.
[17] Такое доказательство было впоследствии дано Н. Н. Лузиным. См. его статью
«Об одном особом интеграле» (стр. 370 настоящего издания).
[18] Возможность понизить множитель Вейля до In n была доказана А. Н.
Колмогоровым и Г. А. Селиверстовым (Sur la convergence des series de
Fourier, Comptes Rendus, 178, 303—306 (1924)), а также А. И. Плесснером
(Ueber Konvergenz von trigonometrischen Reihen. Journ. f. reine u. angew. Math.,
155, 15—25, 1925).
[19] Д.Е. Меньшов доказал, что для любых ортогональных систем \g2n есть множитель
Вейля, и для некоторых ортогональных систем этот множитель понизить нельзя.
См. Д. Е. Меньшов, Sur les series de fonctions orthogonales, Fund. Math.,
IV, 82—105, 1923. Sur les multiplicateurs dc convergence pour les series de poly-
names orthogonaux, Матем. сб. 6 (48), 27—52, 1939.
120] Эта гипотеза Н. Н. Лузина оправдалась. Доказательство может быть выведено
из результатов КЗ. Б. Гермейера(0 симметрических производных числах.
Матем. сборник 12 (54), 121—145 (1943)).
[21] Поставленная Н. Н. Лузиным проблема изображения тригонометрическими
рядами функций, принимающих значение + оо или — со на множестве
положительной меры, решается различно в зависимости от того, как понимать слова «функция
изображается тригонометрическим рядом». Если их понимать в смысле сходимости
этого ряда, то проблема не решена и до сих пор; если иметь в виду суммируемость
ряда методом Римана, то вопрос решается отрицательно (см. Гермейер,
Производные числа Римана и Валле-Пуссена и их применение к некоторым.вопросам
из теории тригонометрических рядов. М. Диссертация (1946)), наконец,, если рас-

396
КОММЕНТАРИИ К РАБОТАМ Н. Н. ЛУЗИНА
сматривать суммируемость методом Пуассона,то проблема решается положительно.
Сам Н. Н. Лузин в совместной работе с И. И. Приваловым (см. стр. 282 настоящего-
издания) получил результат, из которого вытекает существование
тригонометрического ряда, суммируемого к + оо почти всюду методом Пуассона (см. об этом
примечание 137 ко второму изданию диссертации Н. Н. Лузина). Наконец,
изображение функции тригонометрическим рядом можно повпмать в смысле
«сходимости этого ряда по мере» к данной функции. Этот вопрос для любой измеримой
функции решен в положительном смысле Д. Е. Меньшовым (см. О сходимости
по мере тригонометрических рядов. Труды Математич. пн-та им. Стеклова, вып. 32,
1950).
[22] Самим Н. Н. Лузиным впоследствии было обнаружено существованпе функций,
определяемых без принципа произвольного выбора и, однако, не являющихся
измеримыми по Борелю (следовательно, они не являются аналитически пред-
ставимыми в том смысле, в каком эти слова употребляются автором).
[23] См. примечание [22].
[24] Д. Е. Меньшов (Sur l'unicite de developpement trigonometrique, Comptes Rendus
163, 433—436, 1916) доказал в 1916 г. существование тригонометрического ряда,
сходящегося к нулю почти всюду,
[25] Д. Е. Меньшов (Sur la representation des fonctions mesurables par des series trigo-
nometriques. Матем. сб. 9 (51), 667—692 (1941)) доказал в 1940 г., что для любой
измеримой функции, конечной почти всюду, существует почти всюду сходящийся
к ней тригонометрический ряд.
[26] Такие ряды существуют (см. примечание [24]), так как у почти всюду сходящегося
ряда коэффициенты должны стремиться к нулю.
[27] См. примечание [28].
[28] Эта гипотеза, как и гипотеза о методе Римана, не оправдалась, так как
существуют всюду расходящиеся ряды Фурье (см. примечание [15]).
К СТАТЬЕ «О ПОНЯТИИ ИНТЕГРАЛА»
[29] См. примечание [2] к статье «К основной теореме интегрального исчисления».
[30] В настоящее время известно такое обобщение понятия интеграла, при котором
каждый раз, как ряд сходится всюду к некоторой конечной функции / (а:), его
коэффициенты определяются по формулам Фурье, отправляясь от этой функции
и понимая интеграл в указанном обобщенном смысле (см. Дапжуа, Legons sufr
le calcul des coefficients d'une serie trigonometrique. Paris, Gauthier-Villars, 1941—
1949, стр. 1—715).
[31] В настоящее время существование таких рядов уже известно; см. примечание
[24] к диссертации Н. Н. Лузина.
[32] В настоящее время известно, что если ряд, сходящийся почти всюду к / (х),
является сопряженным к ряду Фурье от некоторой g (х), то / (х) есть функция
сопряжения к g (х); в этом случае коэффициенты ряда определяются через / (х)
однозначно. Таким образом высказанное Н. Н. Лузиным предположение
оправдывается.
К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ»
[33] Справедливость высказанной гипотезы была доказана А. Зигмундом [Bull. sem.
Math. Univ. Wilno, 2, 3—12, 1939] и независимо от него, другим способом, самим
Н. Н. Лузиным (ДАН, 56, №5, 1947, 447—450. В настоящем томе, стр. 366).

КОММЕНТАРИИ К РАБОТАМ Н. Н. ЛУЗИНА
397
К СТАТЬЕ «О СТРОЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ»
[34] В настоящее время известно, что Гильберт только наметил пути такого
доказательства, но самого доказательства ему привести не удалось. Последний
результат в этом направлении принадлежит Геделю (Совместимость аксиомы
выбора п обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств (перевод
А. А. Маркова). Успехи Матем. наук, 3, вып. 1, стр. 96—149, 1948), который
доказал, что в некоторой чрезвычайно мощной системе аксиом теории множеств
аксиома Цермело не стоит в противоречии с остальными аксиомами, если считать,
что они без нее не противоречивы. Система аксиом теории множеств, рассмотренная
Геделем, такова, что все положения, составляющие объем современной
математики, могут быть выведены из аксиом этой системы.
К СТАТЬЕ «О ЛОКАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА КОНЕЧНОЙ ПЛОЩАДИ»
[35] См. комментарий [33] к статье «Об одном свойстве функций с суммируемым
квадратом».
К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ»
[36] Эта статья Н. Н. Лузина никогда не была опубликована им самим. Из личных
бесед с Н. Н. Лузиным известно, что она написана им после появления работы
А. С. Безиковича (Об одном структурном свойстве функций и ансамблей. Матем.
сборник, 31, 128—147, 1922 и Sur la nature des fonctions a carre sommable et des
ensembles mesurables, Fund. Math., IV, 172—195, 1923), вызванной'проблемой,
поставленной H. H. Лузиным на стр. 177 его диссертации. Статья публикуется без
всяких изменений по рукописи Н. Н. Лузина, найденной в его бумагах после его
смерти (она уже была опубликована нами в приложениях ко второму изданию
диссертации Н. Н. Лузина).

СПИСОК РАБОТ Н. Н. ЛУЗИНА
ПО МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ и ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
t)ber eine Potenzreihe (Об одном степенном ряде). Rendiconti Circolo Matematico-
di Palermo, 32, 386—390, 1911.
К основной теореме интегрального исчисления. Матем. сборник, 28, в. 2,
266-294, 1912.
Об одном случае ряда Taylor'a. Там же, стр. 295—302.
К абсолютной сходимости тригонометрических рядов. Матем. сборник, 28, в. 3,
461—472, 1912.
Sur l'absolue convergence des series trigonometriques (К абсолютной сходимости
тригонометрических рядов). Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 155, 580—582, 1912.
Добавление к статье «К основной теореме интегрального исчисления» (Матем.
сборник, 28, в. 2, 266—294, 1921. Матем. сборник, 28, в. 4, 544, 1912).
Sur les proprietes des fonctions mesurables (О свойствах измеримых функций).
Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 154, 1688—1690, 1912.
Sur les proprietes de Tintegrale de M. Denjoy (О свойствах интеграла Данжуа).
Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 155, 1475—1477, 1912.
Sur la convergence des series trigonometriques de Fourier (О сходимости
тригонометрических рядов Фурье) Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 156, 1655—1658, 1913.
Интеграл и тригонометрический ряд. М., тип. Лисснера и Собко, 1915, 242 стр.
Диссертация.
Интеграл и тригонометрический ряд, Матем. сборник, 30, в. 1, 1—242, 1916.
Sur la recherche des fonctions primitives (Об отыскании примитивных функций).
Comptes Rendus Acad. Sci Paris, 162, 975—978, 1916.
Demonstration elementaire du theoreme fundamental sur la densite des ensembles:
(Элементарное доказательство основной теоремы о плотности множеств). Rendicontii
Circolo Matematico di Palermo, 42, 167—172, 1917. Совместно с В. Серпписким.
Sur la notion de Г Integrate (О понятии интеграла) Ann. Mat. pura, appl., serie 3,
26, fasc. 2-3, 77-127, 1917.
Sur la representation conform^ (О конформном отображении). Изв. Нвано-Вознес.
политехи, ин-та, в. 2, 77—80, 1919.
О существовании аналитических функций, рагномерно бесконечных вблизи
купюры.—Изв. Ивано-Вознсс. политехи, ин-та, вып. 5, 20—26, 1922.
Sur l'unicite et la multiplicitc des fonctions analytiques (О единственности и
множественности аналитических функции) Comptes Rendus Acad. Sci. Paris,
178, 456—459, 1924. Совместно с И. И. Приваловым.
1 В настоящий список не включены те работы Н. Н. Лузпна, которые лишь ча
стично касаются метрической теории функций и теории функций комплексного
переменного, а по основпому содержанию должны быть включены во второй или третий*
том его сочинений.

СПИСОК РАБОТ Н. Н. ЛУЗИНА
399
Sur Tunicite et la multiplicite des fonctions analytiques (О единственности и
множественности аналитических функции). Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. Paris, serie
3, 42, № 6, 143—191, 1925. Совместно с И. И. Приваловым.
Sur une propriete des fonctions а carre sommable (Об одном свойстве функций с
интегрируемым квадратом). Bull. Calcutta Math. Soc. 20, 139—154, 1930.
Sur une mode de convergence de Г integrale de Dirichlet (Об одном виде сходимости
интеграла Дирихле). Изв. Физ.-мат. об-ва Казанск. ун-та, сер. 3, 6, 1—4, 1934.
О последовательностях измеримых функций. В кн. Л е б е г А. Интегрирование
и отыскание примитивных функций. ГТТИ, М.— Л., 1934. стр. 283—290.
О строении измеримых функций. Там же, стр. 290—310.
О локализации принципа конечной площади. ДАН СССР, 56, № 5, с. 447—450.
1947.
Интеграл и тригонометрический ряд (второе посмертное издание диссертации),
ГТТИ, М.—Л., 1951.
Об одном особом интеграле (Приложения ко второму изданию диссертации,
стр. 287—319; опубликовано посмертно).

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От редакционной коллегии 3
От редакторов тома 4
Сокращенные обозначения 4
К основной теореме интегрального исчисления 5
Об одном случае ряда Тейлора 25
К абсолютной сходимости тригонометрических рядов 31
К абсолютной сходимости тригонометрических рядов 39
О свойствах измеримых функции 41
О свойствах интеграла Даыжуа 43
О сходимости тригонометрических рядов Фурье 45
Интеграл и тригонометрический ряд (Диссертация) 48
Об отыскании примитивных функций 213
Элементарное доказательство основной теоремы о плотности множеств .... 216
О понятии интеграла 222
О конформном отображении 267
О существовании аналитических функций,равномерно бесконечных вблизи купюры 277
О единственности и множественности аналитических функций 277
О единственности и множественности аналитических функций 280
Об одном свойстве функций с суммируемым квадратом 319
Об одном виде сходимости интеграла Дирихле 331
О последовательностях измеримых функций 335
О строении измеримых функций 343
О локализации принципа конечной площади 363
Об одном особом интеграле 367
Комментарии к работам Н. Н. Лузина, помещенным в т. I 393
Список работ Н. Н. Лузина по метрической теории функций и по теории функций
комплексного переменного 398
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Академии Наук СССР
гедактор ивдательства В. Я. Арсенин. Технический редактор Т. А. Землякова
Обложка художника А. С. Эрман
РИСО АН СССР. М 3284. Т-04240. Издат. М 3924. Тип. вакаэ № ИЗО. Подп. к печ. 10/VI 1953 г.
Формат бум. 70xl087ii Печ. л. 34,25+2 вкл. Уч.-иэд. л. 28,6 + 0,1 (вкл.). Тираж 3000.
Цена по прейскуранту 1952 е. 22 руб.
2-я тип. Ивдательства Академии Наук СССР. Москва, Шубинскии пер., д. 10

ОПЕЧАТКИ II ИСПРАВЛЕНИЯ
Стр.
19
45
74
142
231
313
36S
373
394
397
397
398
Строка
8 сн.
7 сн.
1 св.
20 сп.
9 сн.
13 сн.
6 св.
2 сн.
4 св.
1 3 св.
4 сн.
1 14 св.
Напечатано
^а(*)
2я
\ § (а) cos /га ^а
и
2<^
n>N *•
•:сн
расширение
Г Ф (Г) £/2
i ^~z
—СО
J §*(x)dx
+ 00
f —- dx
1
прпвестп
стр. 177
1921
Должно быть
*.(*)
о—
\ £ (a) cos ла ^ а
0
У ±< 1
--J on VJV
пе
разрешение
5n
+ oo
^ ** (*)<**
— OO
°° 1
J?*
1
У
провести
стр. 175
1912
Ы. Н. Лузин. Собр. соч. т. I.

Ъ^Л;

Н. Н. Лузин в 1925 г.