/
Text
ОБ ОСНОВАНИЯХ
rЕОМЕТРИИ
o
СБОРНИК
КЛАССИЧЕСКИХ РАБОТ
по rЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВскоrо
и РАЗВИТИЮ ЕЕ ИДЕЙ
PerJalC!:f,USL
u {/ступumельн.ая статья
А.П. НОРДЕНА
*
ТОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТVРЫ
.A10c'"K.ao-> 195 б
ПРЕДИСЛОВИЕ
в 1893 rоду, к столетнему юбилею со дня рождения Лобачевскоrо,
Кааанское фиаико математическое общество выпустило в свет сБОрНИ1t
«Об основаниях rеометрии». Он содержал переводы тестп важных
работ, посвященных интерпретации rеомеТРИII Лобачевскоrо и раави
ТIIЮ ero идей: две работы Бельтра:ми (об интерпретации нееВКЛIIДОВОЙ
rеометрии и О пространствах постоянной крпвианы), работы Рп;иана,
rелы.п'ольца и Пуанкаре об основаниях rеометрпи и ааиечание Ли
на работу rельмrольца; к ним была приложена переПIIска raycca
с Шумахером. Сборник быстро рааотелся и череа два rопа вытел
вторым иаданием; в нем был дополнительно по;иещен анаменптый
мемуар raycca «Общие исследования о кривых поверхностях». Оба
иадания давно стали библиоrрафичеСRОЙ редкостью; по;иещенные
в нпх работы почти не иадавались 1).
R столетию со дня смерти Лобачевскоrо rосударс,!,венное lIада
тельство технико теоретической литературы повторяет ценное Ha
чинание RaaaHcKoro фиаlIко математическоrо общества п выпу
скает в свет сборник под тем же нааванием, но аначительно расIПИ
ренный.
В сборник включено 22 классические работы по rеометрпп Лоба
чевскоrо и раавитию ее идей. Эти работы сrРУППlIрованы по треи
отделам.
Первый отдел работы caMoro Лобачевскоrо, Янота Вольют
II raycca по неевклидовой rеометрии. Иа работ Лобаче13СR01'0 в
8'1'0'1' отдел включены начальные, самые существенные частп первых
опубликованных им сочинений «О началах rеоме'l'рПП» II «Вообра
жаеиая l'еометрия», представляющих синтеТlIчеСRое и анаЛIIтичеСltое
построение ero rеометрической системы 2), а также аамечательное
вступление к «Новым началам rеометрии с полной теорпей парал
1) Мемуар raycca ВЫХО,;J;ИЛ отдельным изданием в друruм перевuде еще
в 1887 roдy в Петербурrеj работа Римана была включена в русское издание ero
сочинеlШЙ (1948) также в друrом переводе. Эти переводы помещены в настоящем
сборнике.
) Публикуемые З,;J;есь части обоих СОЧИ1IeIШЙ Лобачевскоrо ,;J;oBeneHLI до aHa
литических приложений «в()ображаемой rеометрии» вычислении ,;J;лин, пло
щадей, поверхностей и объемов и основанному на них нахождению значениЙ
определеШIЫХ интеrралов. Этим вопросам посвящена большая часть работ Лоба
чевскоrо. Читатель может получить предстаВJюние об этоЙ С'l'оропе творчества
Лобачевскоrо по ero сuчинению «Панrеометрия» (н. И. л о б а ч е в с к и й, Три
сочинения по rеометрии, :М., 1956, стр. 137 217) или по полному тексту сочи
нений (н. И. л о б а ч е в с к иЙ, ПОЛН. собр. соч., тт. 1 и ПI).
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
леЛЫIЫХ» 1). Творчество .я:ноша Больаи отражено в ero основной работе
«АППeIЩlIКС», по:нещенной адесь полностью. raycc ничеrо по неевклидо
вой rеОJ\1етрпи не опубликовал; об ero открытии уанали только после ero
смерти иа писем к друзьям и черновых набросков. Соответствующие
отрывки И3 ПlIсем и два наброска raycca иомещены в сборнпке j они
публпкуются В п()лном виде на русском яаыке впервые 2).
Второй отдел основы теории поверхностей и интериретации reo
метрии Лобачевскоrо. Он начпнается раБОТal\ПI по теории поверх
IюстеЙ основным мемуаром raycca и четырьмя статьями 1'I1:индинrа
(о внутренней rеоиетрии поверхностей). 8а lIИМИ следует работа
Бельтраии, поиещенная в кааанском иаданпи «Об основаниях reo
l\fетрии», содержащая первую интерпретацию I'еометрии ЛобачевскоrОj
эта работа дополнена статьей rильберта о поверхностях постоянной
I рПВИ3НЫ. Отдел заканчивается иавеСТНЬППI работаии :Кэли и :Клейна
о проективном мероопределенип п проективной пнтерпретацпи неевкли
довой rеоиетрип п работой Пуанкаре о ее конформной интерпретации.
Работы МIпщпнrа, :Кэлп, :Клейна и Пуанкаре Появляются на русскои
языке виервые.
Последний отдел развитпе пдей rеометрии Лобачевскоrо начи
пается иавестными работами Римана, Бельтрами, rельмrольца, Ли u
Пуанкаре об основанпях rеоиетрии, которые были помещены в KaaaH
ском иаJl:аНIIИ сборника; мемуар Рииана дополнен комментария:\ш
Вейля. 8а ними следует анаменитан «8рланrенская проrра:\I:\1а»
:Клейна. Сборнпк не отвечал бы своеиу нааначению, если бы в нем
не былп отражены rрупповой и аI сиоматпческий методы обоснования
l'еометрип, но все работы этих направлений например, «Theorie der
Тl'апsfоппаtiопsgl'uрреп» Софуса Ли, «Grundlagen del' Gеошеtriе»
rпльберта и «Основания rеО:\Iетрпп» RaraHa веЛИК!I, а делать иа них
IIавлеченпя невозможно беа нарушения цельности работ 3). Пришлось
n этих случаях сде"ать псключения и поместить вместо подлинников
отаывы Клейна и Пуанкаре о работах Ли и rильберта, а также краткое
паложенпе акСПОl\штпческой системы В. Ф. KaraHa иа el'o статьи
«Теоретпческие основания матеиатикп». Отдел ааканчивается аамеча
тельной работой :Картаlха «Теория rрупи и rеометрия», в которой
на основе спнтеаа идей Клейна и Римана характериауется новое
наиравление в rеометрпи.
1) Наиболее известное и доступное сочинение Лобачевскоrо «rеометрические
исследования по теории пара:Iлельных лпmш» в сборник не ВКJlючено, так как
оно является лишь позднейшей обработкоЙ ero первых работ; кроме Toro, ()но
в последнее время неоднократно издавалось с обстоятельными комментариями
(два пuследних издашIЯ в 1956 rоду в сборниках «Три сочинения по rеометрии»
и «ИRбранnые сочинения по rеомеТрIПI»).
2) Из сохранивrnихся черновых набросков raycca сюда не включены третиЙ
набрОСOIt «Параллелизм», повторяющиЙ содержание первых двух, и важныЙ
паброеок, посвяшеIШЫЙ сферичеС1ЮЙ и неепклидовои триrонометрии; он изложен
так конспективно, что потребовал бы очень больших комментариев. Свободное
изложение 8Toro наброска имеется в книrе В. Ф. Е а l' а н а «ЛобачевскиЙ и ero
rеометрия», М., 1955, стр. 282 292 и статье А. П. Н о р Д е н а «raycc и Лоба
чевски:И», Историко математичеСRие исследоваН1IЯ, вып. IX, М., 1956, 145 168.
3) Книrа rильберта вышла с подробными примечаниями в 1948 rОДУj з:ш.лю
чительная rлава кннrи В. Ф. KaraHa будет ВКJlючена в сборншt ero rеометри
ческих работ (rотовится к печати).
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Сборник рассчитан на читателя, имеющеl'О математическую под
I'отовку в объеме трех курсов университета или ПОЛНОI'О курса педа
1'0l'ическоl'0 институтаj поэтому в нем имеется лишь неаначительное
число примечаний, поясняющих текст или дающих бибЛИОl'рафическую
ссылку. Эти примечания, сделанные переводчrmом работы или peдaK
тором сборнrmа, отмечены всюду [Рвд.], в отличие от примечаний
c&'\1oI'o автора.
Ф&>1ИЛИИ всех переводчиков работ, помещенных в сборнике,
указаны в содержаНIIИ. Новые переводы сделаны: писем и черновых
набросков raycca B. Ф. RaraHoM и А. П. Норденом, работы Rэли
и первой работы Пуанкаре В. Л. Лаптевым, статей МИНДИНl'а и работы
Rлейна о неевклидовой I'еометрии А. П. Широковым. Все старые
переводы были тщательно сверены с ОРИI'Иналами, и в них внесены
МНОI'ОЧIIсленные исправления.
Rомплектование сборника, составление вступительной статьп и
большеl'О числа примечаний и редактирование переводон осуществлены
А. П. НордеНОИj переводы работ Вельтрами отредактирона.л В. Л. Лаптев,
добаВIIВШИЙ R ним ряд ДОПОЛНIIте;;:rьных примечаний. Сборнrm ПО)J:I'О
товил к изданию И. Н. ВронштеЙНj им же составлено приложение
к «Аппендиксу» Вольаи, ряд примечаний и бибЛИОl'рафические
сведения.
А.П.НОРДЕН
<>З
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо
и ErO МЕСТО
в ИСТОРИИ
...
НаВОИ rЕОМЕТРИИ
*
1. Открытие неевклидовой rеометрии
Со времен первых продолжателей и комментаторов Евклида проблема
пятоrо постулата еро «Начал» и связанная с ней теория параллель
ных линий стали центральной проблемой обоснования l'еО:\IeТРПЛ.
Интерес к ней не слабел в течение двух тысячелетий, и доказатель
ство пятоrо постулата на основе друrих постулатов Евклида счпт3.,тrось
едпнственно приемлемы::и путе:\f решения 8ТОЙ проблеиы 1).
Бурное рasвитие матеиатичеСRОЙ мысли сказалось и в оживлении
пнтереса к вопросаи обоснования rеометрии во Франдии п rериании
XVIII нека. Но если во Франции проблема постулата Евклида pac
С:\fатривалась как проблема методики (Лежандр), то рео:\штры rер:\шнии
связывали ее с вопросами методолоrии или, по выражению raycca,
«метафизпки пространства».
Вопрос о происхождени:и rеометрических истин был ТaItже ОДIIПМ
П"l центральных вопросов теории познания Еанта, оказавшей длитель
ное влияние на преДСТaRите.лей не:\fецкой точной науки XVIII XIX
веков. Утверждая, что основные положения rеометрпи и:\JeЮТ
апрпорное, доопытное происхождение и коренятся н «чистом поз
зреппи», Еант при соединяется, собственно rоворя, к распространен
I10:\1У взrляду, соrласнu KOTOpO:\fY постулаты должны обладать прп
знаком самоочевидности. С 8ТОЙ точки зренпя проблема пятоrо посту
.лата вставала с новой остротой. То.лько 8'1'0'1' постулат явно не
об.пада..л самоочевидностью, а возможность еро дО!tазательства пред
став.:тялась равносильной воз:\южности априорпоrо обоснованпя всей
т'еО:\IeТрИИ.
Именно так ставит вопрос raycc (1777 lb55) в свое:\! ПИСЬ:\fе
Т, Фаркашу Бо.iIьаи от 16 ХН 1799 :J). Однако уверенность в возмож
ностп доказательства постулата Евклида еще долrо не ИОКlIдает raycca:
об 8ТОМ он определенно пишет Фаркашу Больаи еще в 1804 l'ОДУ3),
и только В 1817 роду он первый раз (в ПИСЬ:\fе к Ольберсу) выражает
своп сомнения 4). Важно отметить, что 8ТИ соинения raycc сразу же
распространяет п на воз:\южность априорноrо обоснования l'еО:\IeТрИП,
ОТ:\iечая, что «rеО:\IeТРИЮ приходится ставить в один ран!' не с ариф
метИRОЙ, существующей чисто а priori, а скорее с механикой».
1) См. В. Ф. Е аr ан, Лобачевский и ero rеометрия, М., 1955 (Очерк I «Учение
о параллельных линиях до открытия неевклидовоЙ rеометрии», стр. :П 69).
2) Си. стр. 101 настояшеrо сборника. (В дальнейшем страницы в прИ:\fCчаниях
без указания источника относятся к настоящему и:зданию.)
3) Стр. 102.
4) Стр. 103.
о
'. й-J?
10\.
12
А. П. НОРДЕН
Следующие I'ОДЫ ЯВ.;JЯЮТСЯ переломными в истории взrл.ядов raycca
па теорию пара.плельных, но 'OJ1bKO внешний ТОЛЧОI , связанныЙ
с 1l0лученпем заметки Швейкарта 1 ), заставил ero в первый раз
с достаточноЙ определенностью ВЫCl азать св оп новые взrляды. Дей
ствптельно, в Ппсьме 1 rерлпнrу по поводу :этой заметки, в IЮТОРОЙ
ШнеЙкарт ДОПУCl ает существование Асmралb'lЮЙ (!eo. telllpии, raycc
rоворпт, что все 8'1'0 списано из ero души 2).
С еще Qльшей определенностью raycc утверждает в 1824 rоду
(в ппсь:\rе iН Таурпнусу) 3) что rеометрия, основапная на предпо.тrо
женпп, противореЧaIцем посту.тrату ЕВI лпда, «совершенно последова
телыш» (in siclJ selbst consequent). В 8'1'0 время ему уже известны
1I1НО1'пе из ее основных фактов, и, тем не ыенее, он не тОлько не
ВЫCl азывает пуб.тrпчно своих взr.тrядов. но и определенно проспт
'l'аурпнуса не обнародовать их. :Iишь в 1831 I'ОДУ raycc сообщает
llIуыахеру о своем же.тrании записать своп результаты 4). Сохранплось
неско.тrыlю черновых паброClЮВ raycca по неевклидовоЙ rеоыетрпп 5),
но 8та работа не была им ЗaIюнчена, воз:\южно ПОТО\lУ, что ужf'
В марте 1832 rода он получи.п 8кзеып,тrяр «Аппендикса» .яноша Еольаи 6).
Здесь у:\шстно сделать l раткиЙ обзор тех фактов нееВI ЛИДОВОЙ
rеОll1етрпп, которые былп известны rayccy. Он зна.п, что при переходе
, l новой l'еоыетрии определение парал,пе.тrьных линий, ПРИIIятое в обыч
пой l'еО:\IeТРПИ, нужно замепить более сло:;](ным, но зато не завпсmЦП:\l
от пятоrо постулата ЕВI лида. 3'1'0 определение и основанные на нем
ДОI азательства своП:ств параJlu'lе.тrъных и были изложены им в за:\lеТ1 е
1tJ31 rода').Ему было пзвестно, '1'1'0 в нееВI JIИДОВОЙ rеО:\lетрип СУЫ:\1а
yru"roB треуrОЛЬНIIка ОТJlпчается от 1800 и что мера 8'1'01'0 различпя
Ill JOпо рцпональна ПJroщади треуrольнпка 8 ). Вс.'lедствие fJTOrO не суще
ствует подобных треуl'ОЛЬНИков, но зато сущестпует абсолютная
мера длпны\J). ,Можно счптать ТaIа:;е, что еще в 1819 rоду raycc
владел ОСНОВНЫ:\lИ фОр:\1ула:\lИ rпперболичеCl ОЙ триrоноиетрии; об
8'1'0.\1 свпдете.тrьствуетфор:мула, приведенная пм в письме I rерлинrуl0),
Iюторая выражает площадь асимптотичеС1юrо треуrОЛЬНIII а через
константу Шпейкарта С. Существует ТaI же набросOl raycca:, pac
шпфрованный IIIТeIп еле:\I и ОТНОСП:\lЫЙ ии l 40 M rода:\1, содержашдЙ
вывод фор:\rул сферичеCl ОЙ II rиперболпческой ТРИl'онометрий, OCHO
ванпый на рассмотрении беCl онечно малых фиrур 11).
1) Стр. 103 104.
2) Стр. 104. Тем Не MPHfOf', нельзя утверждать, что сам Швеикарт был пол
Нuстыо СRоБО;J:ен от соынения в 8ТОМ вопросе (стр. 103). rерлипr rовuрит, что
ШвсЙкарт ТО;:JЬКО (шочти убе:iiщеш> в прапильпости свОеЙ точки зреиия. ЭТИl1И
СОl1нениями 110ЖНО объяснить и то, чтu Швейкарт так и не опубликовал cnoero
открытия.
3) Стр. 105.
4) Стр. 106 1117.
5) Стр. 108 1l2.
6) Стр. 113 117 (письмо raycca к Фаркашу Больаи).
7) Стр. 108.
8) Стр. 1117.
Я) Стр. 102, 105 и 106
lU) Стр. 105.
11) :Изложение 8'1'01'0 BblBo,;J;a С,;J;елапо В. Ф. EaraHoM в ero очерке «Строение
нееВIшидовоii rеометрии у Лобачевскоrо, raycca и Больаш> (В. Ф. I\: а l' а н,
Лобачевский и ero rеометрия, Ы., 1955, стр. 282 292).
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО n ИСТОРИИ НОВОЙ rЕОМЕТРИИ 13
В течение своей жизни raycc не ТОЛЬКО не пуб.;ппшва.:I своих
исследований по неевклидовой 1'еоиетрип, но п не отозвался пуБЛП<IНО
о работах Больаи п Лобачевско1'О. Е1'О странная сдержанность 06ычнu
объясняется опасеНИЯ IИ L!стретить непонимание совре 1еННПКfШ. OДHa1 O
нельзя недооценивать еще ОДНО1'О важнOl'О фактора, КО'l'ОРЫЙ объяснпf'Т
и ТО, что период сомнений I'aycca в воз:vIОЖНОСТП существоваппи
неевклидовой l'ео:метрии растяну,лся ПОЧТИ на чеТ13ерть BeI a. ЭТП I
фаI ТОрОМ являлпсь, по наше lУ мненпю, фИ;'IOСОфС1 пе поззреппя
raycca, который был иервоначально уверен в апрпорно),[ характере
всей матеиатики и ОТХОlЦIЛ с позицпй апрпоризиа в I'ео:метрпп Becь [a
неуверенно, непоследовательно II неохотно 1).
С ИНЫХ, чисто материалистпческих позиций ПОДХО"П.:I к теорип
пара.ллельных 1'ениальный творец нееВI ЛИДОВОЙ 1'ео:метрпп I1пко.тШЙ
Иванович Лобачевский. Еще в обозренип преподаванпп 1824 I'ода он
I'ОВОрИu'I, что основания математпки «должны быть неСО Iнптельные
для нас истины, 1 epвыe II01iятия о прпроое вещеЙ, ко'rорые, fiудучи раз
прпобретены, сохраняются навсерда... » \;1). В дальнеi1mе I оп еще
уточняет этот тезис и пряио 1'оворит, ЧТО ПСТОЧНПКОМ прпобретения
этих понятий является опыт. «ПеРВЬНIИ данныии без сомнении буду'!'
все1'да те понятия, которые мы 1 риобретаеu\t в природе 11OCpedClllBOull 'Нa
щих 'Чувств» 3).
Суждение же о всех ДРУ1'их понятпях, которые ЛобачеВСI ИЙ назы
вает составны:ми, должно вытекать u"IОПlчески нз свойств осповпых
нли простых понятий.
ПСХОДЯ из ЭТИХ обш;их принципов, ЛобачеВС1пrй подходнт к выбору
основпых понятий 1'ео reтрни. Оп преДЛaI'ает СЧП'l'ать основным
объектои 1'еОlIетрии .тело, а основным отношением IeЖДУ тела:\IИ
их пpu,r;;oc1ioBe1iue. Все остальные объекты, KaK TO: поверхность, лннпя,
п.JIОСКОСТЬ, пряиая, точка и 1'. д., должны быть определены ч:ерез ''Jтп
основные понятия.
Эту точку зрения Лобачевский прrшодпл во всех свопх раБО1'ах,
начинал с неизданно1'О I ypca лекций 1816 1817 1'ода, и развивает
подробно в lt!35 1'ОДУ в своеи Фунда lента.JIЬНОМ сочиненип «Новые
начала l'еШ\IeТРПИ с полной теорпей параллеЛЫIЫХ» 4). Хотя за),1ысел
JIобачеВСI О1'О перестрои'rь основы l'еоиетрии и не может СЧП1'аться
в ЭТОЙ ее части вполне удавшпися, мы ОТНОСИ 1СЯ с уважеlпrе),[
к сиелой попытке велико1'О I'eoMeTpa преодолеть те трудности в OCHO
ваниях I'еометрии, I оторые бы.'lИ осознаны и разрешены ' начите,льно
позже на основе изучения наиболее цеlПЮ1'О из наследия Л()бачен
CROI'O и, прежде все1'О, е1'О 1'ениальной теории паралле.льных.
Важность ЭТОЙ теории была осознана ЛобачеВСEl];\l еще в первые
1'оды е1'О университеТСI О1'О преподавания. В перПО I из дошедших
до нас обозрений 1822 1'ода он пишет: «;:I:pYI'o1'o рода ТРУДНОСТЬ
в 1'еометрии представляет параллелизи .линий, трудность до сих пор
непобедимую, но между теи зан:лючающую в себе истпны ОЩУТП'l'ельные,
1) ПОдРобнее об этом см. А. П. Н u р Д е н, «raycc и Jlобачевский», Историко
математические исследования, вып. IX, М., 19!16, стр. 145 148.
2) См. .'1. Б. М о д з а л е R с к ий (ред.), Материалы дл.я биоrрафIШ IL 1L Лоба
чевскоrо, М., 1948, стр. 177. Еурсив здесЬ и далее наш.
3) C'l'p. 68 НRС'ш.ящеrо сборника.
4) Н. И. Л о б а 'I е В с к и й, Полное собрание сочинениu, т. П, стр. 168 209.
14
А. П. НОРДЕН
лне всяко1'О сомнения, и столь важные для целой науки, что НИli:аli:
не MorYT быть обойдены» 1).
С общей точки sрения, принятой ЛобачеВСКИ;\-l, пятый постулат
тоже ааНlDшет особое место среди основных положений 1'eO;\-lетрии,
но не по недостатку очевидности, а потому, что оН I'ОВОРИТ О сложных,
«составных» понятиях И не вытекает Пр.!DI0 ИS непосредственно наблю
даемых свойств 1'еометричеCIi:ИХ тел.
Вследствие это1'О Лобачевский присоединяется к общеиу мнению
о том, что постулат Евклида требует проверки, и первонача.'IЬНО
мыслит эту проверку в виде докаsательства, которое и пытается
построить. Однако в отличие от всех своих предшественников он
очень скоро понял бесплодность этих попыток и встал на совершенно
новый путь. «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении
двух тысяч лет, sаставляли меня подоsревать, пишет он в свое;\-l
сочинении «Новые начала rеометрии с полной теорией параллель
ных», что В самих понятиях еще не SЮi:лючается той истины, которую
хотели ДOIi:аsывать и которую проверить, подобно ДРУ1'ии фиsичеСКИ;\-l
аакона;\-1, Mo1'YT лишь опыты» 2).
ОднюtO В соответствии со сложной природой пято1'О постулата
e1'o проверка должна опираться на сложный эксперииент, требующпй
математической баsы. Но эта баsа са;\-lа уже не иожет основываться
на постулате Евклида, она должна быть 1'еометрией, отличной от
1'еометрии Евклида. Эту 1'еоиетрию и раsработал Лобачевский, наавав ее
первоначально «вообра:жае.моu». Сочинение Лобачевско1'О, посвященное
ЭТО;\-lУ вопросу, «О началах I'eO;\-lетрии» было опуБЛИRовано в 1829 1'оду
и содержало пзложение доклада, представленно1'О физико :математиче
СIЮМУ факультету RаsаНСlЮ1'оуниверситета 11 (23) февраля 1826 1'ода 3 ).
В этом сочинении он исходит ИS предположения, что «УI'ОЛ парал
лелиIO.lа» не является прямым, как в 1'еометрии ЕВRлида, а пред
ставляет собой функцию F (а) соответствующе1'О OTpe3Ii:a. Укаsывая,
далее, на то, что на предельной поверхности будет иметь :место
l'eO;\-lетрия ЕВli:лида, он прямо переходит к выводу ОСНОвных фОр;\-lУЛ
ТРИ1'онометрии. Этот вывод ЛобачеВСRИЙ sавершает, определив конеч
ное выражение функции F (а) и покаsав, что оно содержит некоторое
неопределенное постоянное число е, sависящее от выбора единпцы
длины 4). Далее ЛобачеВСltий покаsывает, что для треу1'ОЛЬНИIЮВ,
длина стороны которых мала по сравнению с радиусом кривиsны
пространства, приближенно справедливы фориулы евклидовой 1'eo
метрии; это поsволяет ему впоследствии 1'оворить, что «воображае:\шя
rеометрия обнимает употребительную rеометрию как частный случай,
Ii: КОТОрО:\lУ переходим, принимая линии беСRонечно иалыми» б).
1) Л. Б. 1\1 о Д з а л е в с к и й (см. СНОСКУ на предыдущей странице), стр. 205.
В сборнике материалов Л. Б. Модзалевскоrо это обозрение отнесено к 1825 1'.,
но оно было написано еще в 1822 1'. (см. об этом: И. Н. Б Р о н ш т е Й н, Е истории
«Обозрений преподаваиия чистоЙ математики» Н. И. Лобачевскоrо, Историко
математические исследования, вып. ПI, :М. Л., 1950, 171 196).
2) Стр. 61 62.
3) Основная часть этоrо сочинения приведена на стр. 27 49.
4) Величина, которую называют в настоящее время радиусом крнвизны про
странства Лобачевскоrо, равна 1Jln е.
D) Стр. 59.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО в ИСТОРИИ новой rЕОМЕТРИИ 15
с друrой стороны, свойства фиrур «воображаемой rеоыетрпп»
отличаются от свойств соответствующих фиrур rеометрии ЕВI-\:лида
тем больше, чем больше их размеры. Этот фaI-\:Т предопределяет J\-арaI-\:тер
Toro эксперимента, который должен быть поставлен для оправдания
возможности ПОЛЬЗ0ваться rеометрией ЕВI-\:лида. Рассматриваеиые
фпrуры должны быть наибольшими И3 всех доступных наблюдению,
п поэтому их следует искать в астроноJl,IИИ.
Rосне:vlCЯ теперь тех астрономических фактов, на КОТОРЫХ Лоба
чевский основывается в своих дальнейших рассуждениях.
Наименьший И3 rодичных параллаксов земной орбиты всё же будет
заведомо больше уrла параллелизма, соответствующеrо ее дпаметру.
IIользуясь этим, можно найТи нижнюю rраницу для радиуса кривизны
пространства. Подставив найденное rраничное значение в фОр:\IУЛЫ
l'иперболической триrонометрии, мы можем решать такие треуrоль
ники, сторона которых совпадает с диаметром земной орбиты, а одна
И3 вершин совмещается со звездами больших параллю-\:соВ.
Исходя И3 значений параллаксов, известных в Ю'О время, Лоба
чевский показывает, что отклонения rеометрии УI-\:азанных треуrоль
нИRОВ от rеометрии ЕВRЛида ничтожно малы, и приходит к следую
щему заключению:
«После ЭТOI'О можно воображать, сколько эта разность, на которой
основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех
вычислений обыкновенной Теометрии и дозволяет приняты е начала
этой последней раСС:Vlатривать кю-\: бы cTporo ДOI-\:азанными» 1).
Предложив метод обоснования eBI-\:ЛИДОВОЙ rеометрии, ЛобачевС!-\:пй
не считал, однако что он окончательно решил вопрос о строении
реальнOI'О пространства. Об этом свидетельствуЮТ, наприиер, послед
ние страницы Ю'О «ПаНI'еометрии» 2) .
В «Новых началах rеометрии» Лобачевский допускает также B03
можность ТOI'О, что ero rеометрия осуществляется в «тесной сфере :\ю
Л6I-\:УЛЯРНЫХ притяжений», если «некоторые силы В природе следуют
одной, ДРУI'ие своей особой Теометрии» 3), предвосхищая некоторые
наиболее с:мелые l'ииотезы современной фИ3ИI-\:И 4).
Будучи несомненно уверенным в ЛOI'ической безукоризненности
своей l'еометрии, Лобачевский, тем не менее, ставит вопрос о ДOKa
зательстве ее непротиворечивости во всех своих работах и, в особен
ности, в сочинении «Воображаемая rеометрия». Принимая без вывода
основные уравнения своей триrонометрии, он доказывает, что, с одной
стороны, они не противоречат предложеНИ.fThl абсолютной rеоыетрии,
с друrой же стороны, И3 них вытекает основной факт неевклидовой
rеометрии сумма уrлов треуrольников меньше двух прямых.
Одновременно с этим Лобачевский преДПРИНИJVшет оrромный труд,
направленный отчасти к той же цели: он строит аналитическую и
дпфференциальную rеО:VIeТРИЮ cBoero пространства и вычисляет длины
ч Стр. 48.
2) См. Н. И. Л о б а ч е в с к и Й, Три сочинения по rеометрии, М., 1956, стр. 216
217 и примечашш на стр. 379 380. (Также: Н. И. Л о б а q е в с к и Й, IIолное соб
рание сочинений, т. ПI, стр. 523--------524).
3) Стр. 65 и 64.
4) СМ. А. П. Е о т е л ь н и к о в и В. А. Ф о к, Некоторые применения идеЙ
Лобачевшwrо в мехаИИКС и физике, М. Л., 1950.
16
А. П. НОРДЕН
дуr, п.тrощади, ПОUtJРХНОСТИ и объеиыI. Сравнивая выраженпя этих
величин, полученныIe различными сиособаии, он иолучает мноrочпс
ленньте соотношеиия между оиреде.ленными интеrралаии 1). Проверня
эти соотношения аналитически, Лобачевский находит, таким образои,
новые подтверждения непротиворечивости своей системы.
Полу'шние этих результатов необходимо еще и для друrой цели
Лобачевскоrо: расширения возиожности приложения rеО:\1етрии
к ана.тrизу.
Мы не можеи здесь остановиться подробнее на замечательно:и
«Аипендиксе» Яноша Больаи (1802 1860), который пришел к OTKpЫ
тию неевклидовой rеометрии независимо от I'aycca и Лобачевскоrо
в конце 20 x rодов прошлоrо столетия. ОтмеТИ l только, что эта работа
выдаЮЩel'ОСЯ веиrерскоrо reoMeTpa носит печать ЯРКОI'О своеобразия
и наппсана в ()лестящеи, хотя и иредельно сжатои стиле 9).
Открытия ЛобачеВCIюrо и Rольаи не получили признания при их
жизни. Перелом наступил только в конце 60 x I'ОДОВ прошлOl'О CTO
Лf'ТИЯ. Чтобы описать этот перело:и и те сложньте взаимодействия,
в которые вступила идея нееВКЛIЩОВОЙ rеО}lетрии после СВОШ'О при
знапия, на}1 нужно вернуться к эпохе ее открытия.
2. Теории поверхиостей и I'еометрии Римаиа
в 1827 rоду выIелл в свет зна}IeнитыIй иемуар raycca 3 ), положив
ший начало развiIТИЮ дифференциа,льной rеометрии как са}юстоятель
ной научной дисциплины.
R основным идеяи свош'о сочинения raycc иришел, с одной CTO
роны, обобщая опыт своей практической работы ио высшей rеодеЗИИj
. с друrой же C'l'OpOHbl, неСО:\1ненна и 'l'a роль, которую сыI'ралии при
ero создаНnII разиыIленияя I'aycca об основаниях rеоиетрии. Так,
в письие к Хансену (1825) raycc пишет, что ero исследования о по
верхностях rлубоко проникают в область метафизики прострапства 4).
В своем мрмуаре raycc разрабатывает метод КРИВОЛИНРЙНЫХ KOOp
динат, вводит понятпе сферическоrо отображения, первую и вторую
квадратичныIe формы поверхности, устанавливает понятие наложи
}ЮСТИ и ИЗI'ибания, выIелпетT «абсолютные свойства» поверхности,
составляет ее деривационныIe уравнения, устанавливает понятие
1) Ати вычисления Лобачевский ПрИВОДИТ в своих первых сочинениях по
неевклидовой rеометрии «О началах rеометрии» и «Воображаемая rеометрию)
(в настоящем сборнике они не приводятся; СЬL Н. И. Л о б а ч е в с к и Й, Полное
собрание сочиненИЙ, Т.' 1, стр. 21O 261 и т. ПI, стр. 28 70); иы специально
посвящено большое сочинение Лобачевскоrо «ПРlThlенение воображаеыоЙ rеuыетрии
К некоторым интеrралаы) (т. IП, стр. 181 294); наконец, они приводятся в ero
последнеы сочинении «Панrеоыетрию) (т. III, стр. 465 520); сы. также Н. И. Л о б a
ч е в с к и Й, Три сочинения по rеоыеТРШI, JIiI., 1956, стр. 135 217.
2) Стр. 71 97. ОБСТОЯ'l'ельные примечания В. Ф. H:araHa к атому сочинению
имеются в книrе Н. Больаи, «Аппендикс», М Л., 1950. В настоящеы сБОрIПIке
к сочинению приложено краткое ero содержание (стр. 97 100).
3) Стр. 123 161.
4) Р. S t 11 с k е 1, Gaus9 аlв Geoll1eter (С. F. G а u s в, '\Verke, т. Х, Leipzig, 1923,
стр. 108).
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО в ИСТОРИИ НОВОЙ rЕОМЕТРИИ 17
ПОJIНОЙ кривизны и
бания, и, наконец,
динаты.
Важнейшим иа ВСШ'О переЧИСJIенноrо сдедует считать выдеJIение \
аБСОJIЮТНЫХ свойств поверхности, которые ПОJIУЧИЛИ ВПОС.'lедствии
название ее в'Нутре'Н'НеЙ 2ео.метрии, и доказатеJIЬСТВО Toro, что под
ная кривизна ЯВJIяется инвариантом, принаДJIежаПIИМ этой reo
метрии 1 ).
R работам raycca непосредственно ПРИМЫIЩЮТ работы eru ученика
Фердинанда rОТJIибовича }\t[индинrа (НЮ6 1885). В цеН'J'ре их стоит
проБJIема изrибания и впутренней l'ео;\штрии поверхности. 1\1:ы остапо
вимся на четырех И3 них.
В первых двух работах 2) l'iII-птинr вводит ПОНЯТ1Ш развертившния
лu'Нuu 'На плоС'кость, ItoTopoe БЫJIО ИСПОJIЬЗ0вано ВПОСJIедствип Леви
Чивита и обобlцено H apTaHO;\! ДJIЯ опреДeJIeНИЯ СВЯ3НОСТИ вдодь Itри
вой. J'l1:индинr показывает также, что rеодезичеСItая ltривизна остается
неизменной при изпrба.нии и равна полной кри:визне линпи, paC!Bep
путой на плоскости.
В первой части третьей работы 3) раСС:\IатриваЮl'СЯ Jluверхности
постоянной rауссовой кривизны. J'l1:индинr находит выражение .пиней
НО1'О элемента этих поверхностей и П(JI азывает, что каждая П3 ппх
может быть положена на себя ТЮt, чтобы при этои совместились
.любые ее две ТОЧЕН и любые направлепия, исходящие П3 этих точert.
.в заI лючение он YI 3.3blBaeT Itласс винтовых поверхностей постоянной
крпвизны и поверхностей вращенпя, содержащих RaIC частныii случай
и псевдосфер,у.
Нarюпец, в lluследней за:vreтке 4) l'iIиндинl' за:vreчает, что ФОРИУJIЫ
трпrоно),штрии rеодеаических треуrОJIЬНИКОВ па повеРХНОС'l'ЯХ постоян
ной отрица'J'еJIЬНОЙ КРИВИ3НЫ MorYT быть ПОJIучены Н3 формул сферп're
ClюЙ трпrонометрии за:\leIЮЙ 'J;ействптель ной постоянной Vk на
:МНIПIУЮ.
На эти результаты lY1ИНДllнrа п опнралс.н Э. Бельтрамп (1835 НЮО)
в своей работе 1868 l'ода «Опыт иптерпретацпи пееВItЛДЦОВОЙ rеоыС'J'
рпн» Б). ОН обраТП I ВНИ:\Iаппе па то, что повеРХПОСТII lIоетояппой
I рПВИ3ПЫ MorYT налю'аться на себя с та1tой же степенью свободы,
которая имеет :место Д,'lЯ движенпй ПJIOCIЮСТlI 11 сферы по себе. С дpy
rой стороны, rеодезичеCItпе лпнии атпх ПОВlc\рхностей MorYT быть OTO
бражены на прямые лпнпп ПJIOCIЮСТП, т. е. удовлетворяют (с пзвест
ПЫJ\1И urоворками) те),! ;Ее аIССИОN1ам, что и ПОСJIеднпе. Пользуясь,
1сроме Toro, получонным им видом лпнеЙпО1'О элеМCII'l'а, Бе.пьтрами
доказывает, что она ЯВJIяется инвариантом изrи
вводит полуrеодезические ОР'J'оrона.JIьпые ltOOp
1) После смерти l'aycca среди 01'0 бумаr были обнаружены две :заметюr.
.Первая содср:ш:ит определеIПlе rеодезичеСlСОЙ IЧ1IIВИЗНЫ (названной l'ауссоы
«8еitепkriimmппg») и д()казательства lJe неизменности при изrибанпи:. Во второй
raycc приводи'r уравнение трактриссы, rоворя, что 8'1'0 «Iсривая, lсоторая 'своим
вращением II]ЮИ3ВОДИТ антипоД (Gegenstiick) сферы». Эти слова зас'rавШ1ЮТ
считать, что псевдосФера уже была известна rayccy I aK поверхность постоянноЙ
отрицательной кривизны.
2) Стр. 162 165 и 165 166.
3) Стр. 166 176.
4) Стр. 176 179.
5) Стр. 180 212.
2 3ак. 1164. Об основаниях reометрии
18
А. П. НОРДЕН
{
показывает, что для 1'еодезических 'l'реу1'ОЛЬНИКОВ поверхности постоян
ной отрицательной RРИВИ3НЫ (например, псевдосферы) ииеет место
пропорциональность дефекта и площади и спранедливы формулы
1 ТРП1'оноиетрии ЛобачеВСКОl'О. Все 8'1'0 прпводпт Бельтрами к заклю
чению, что планиметрпя ЛобачеВСКОl'О может быть осуществлена
в евклпдовом простраНС'l'ве как внутренняя 1'ео:метрпя поверхности
постоянной отрица'l'ельной I{:РИШЫНLI.
3'1'0'1' ре3УЛЬ'l'ат Бельтрами СЫ1'рал очень важную роль в процессе
распространения идеЙ Лобачевско1'О; он был воспринят, в сущности
I'ОВОРЯ, KaI{: доказательство неПРОТIIвореЧIП30СТИ нееВRЛИДОВОЙ l'eoMeT
рпп. Правда, в настоящее время мы не може;\! счптать 8'1'0 доказа
тельство вполне строrим. Впоследствии rильберт (1862 1943) пока
зал, что в пространстве трех измерений не существует поверхностей
постоянной отрицательной КРИВИ3НЫ, на которых осуществлнлась бы
1'еометрпя Лобачевско1'О в целом 1). Но мысль о возможности такоl'О
истолкования основных понятпй неевклидовой 1'еометрии в терминах
1'еш.IeТРИII Евклида, при котором аксио:ны первой становятся Teope
мами последней, и об использовании интерпретации для доказатель
ства неПРО'l'иворечивости СЫ1'рала и продолжает И1'рать весьма важ
ную роль в вопросах обосноваШIЯ 1'еометрии и ДРУ1'их дедуктивных
систем :?).
Всеобщий интерес к вопросам обосноваШIЯ 1'еометрии, вызванный
работой Бельтрами, издаШlем ппсем raycca и переводами сочинений
Лобачевско1'О на французский и итальянский языки, заставил обра
тить внимание на речь БеРН1'арда Римана (H326 1866) «О 1'ипотезах,
лежащпх в основании 1'еометрии», которая была произнесена им еще
в 1854 l'ОДУ, но осталась незамеченной i!).
Развивая идею raycca о внутренней rеометрии поверхности, Риман
r рассиатривает простРШl-!ство п uS.ltepenuu как такое МНО1'ообразие "Iле
ментов, каждый И3 которых определяется задание 1 CJOютемы значений п
незаВИСИ 1ЫХ переменных. rеометрия 8'1'01'0 простраНС'l'на определяе'l'СЯ
задаШlем I{:вадратичной формы дифференциалов независимых перемен
ных, определяющей квадрат раССТОЯШIЯ между бесконечно близкими
8лемента."rи МНО1'00бразия. 3адание 8ТОЙ основной квадратичной формы
П03130ляет ввести понятия длины ДУ1'и, кратчайших илп 1'еодезичсских
линий, У1'ла, объема и т. д. Риман наиечает такие ПУ'l'и, по КО'l'орым
:\lОже'l' быть получено обобщеШlе понятия l'ауссовой кривизны I{:aK
'l'aK01'O инварианта, который связан с Rаждой 8лементарной площадкой
e1'o пространства. Тождественное обращение в нуль 8'1'01'0 инварианта
характерпзует пространство, линейпый 8лемен'l' KOTopo1'o :может быть
прпведен I{: сумме Евадратов дифференциалов; TaROe пространство
будет MHo1'oMepHblM анало1'ОМ еВRлидова. Риман определяет таRже
более общий Rласс пространств, допускающих движения по себе
с таким же числом степеней свободы, иак и в еВКЛИДОRО:\1 простран
стве. Ати пространства характеризуются тем, что их I{:ривизна не зави
1) Стр. 21 221.
2) В СУЩНОСТИ rоворя, еще ЛобачевскиЙ дал интерпретацию rеометрии Евклида
КаЕ ВНУ'J'реннеЙ rеометрии предельноЙ поверхности. Однако :эта интерпретация
используется им не для доказательства непротиворечивости, а для получения
новых фактов неевклидовоЙ rеометрии.
3) Стр. 309 325.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО в ИСТОРИИ новой rЕОМЕТРИИ 19
си'1' 0'1' направления площадки и сохраняет во всех '1'очках простран
С'1'ва ПОС'1'ОЯНlIое значение 1).
1Уlы уже отиечали, что в сочинении «Воображаемая rео:ме'1'РПЯ»
Лобачевский положил в основу I-I3ложения своей СПС'1'емы, наряду
с положениями абсолютной rеоме'1'рИИ, свои триrОНОl\fe'1'ричеCItие фор
мулы. Риман осуществил 8'1'0'1' 3Ю1ысел ЛобачеВСItоrо в более 3aEOH
чеННОуI виде, ПОItазав В03МОЖНОС'lЪ ПОС'1'роения rео:ие'1'РИИ на чис'1'О
апа.ЛИ'1'пческой основе. Еще более непосредственная СНЯ3Ь между
СIIС'1'еl\IОЙ Римана и I'еометрией ЛобачевскOI'О была обнаружена Бель
ТрЮIН, КОТОРЫЙ ПОItазал, что '1'рех:мерное ПРОС'1'ранство Римана ПОС1'ОЯН
ной О'l'РИЦШ1'ельной крпвизны совпадает с ПРОС'1'ранством ЛобачеНCIщrо "1).
3'1'НуI было дано В'1'орое и уже, в сущности I'ОВОРЯ, беаУ1ШРII3пенное
доказшrельство непротиворечивос'1'И rео:ме'1'РПИ ЛобачеВCIшrо. Ее поло
женпя получили аналитическое ИС'1'олкование, в силу KO'1'OpOro всякое
противоречие в rеО:УJе'1'РИИ Лобачевскоrо оказалось бы и ПрО'1'иворе
ЧlIeуj в основах ана.лиза.
3. Проективнан lIIетрина и «ЭРJШНI'енскан проrpаlюна»
Переходя к раССМО'1'рению взаимодейс'1'ВИЯ неевклидовой и проек
'1'ИВНОЙ rео:ие'1'РИИ, мы должны отме'1'И'1'Ь неКО'1'орые 8тапы развития
последней. Первая поиытка СИС'1'ематическоrо изложения проеItтивной
I'еО:Уfетрии принадлежи'1' Понселе (178t) НЮ7). Он последовательно
опнрается на ПОНЯ'1'ие бескоиечно удаленных :олементов, ирпнцип
ДIJоЙственнос'1'И и СВОЙС'1'ва ПОЛЯРНОI'О соответс'1'ВИЯ и широко ПО.ЛЬ
зуется ПОНЯ'1'ием мнимых еле ментов, хотя и не дае'1' обоснования их
теории. ПроеЕ'1'ивная rеометрия была приведена в строrую и ЧИС'l'О
спн're'1'пческую СИС'1'ему в 1847 {'оду Ш1'ауд'1'ОМ (179t) 1t)U7). С ДРУI'ОЙ
С'1'ороны, еще в 1827 I'ОДУ в своем «БарицеН'l'рическом исчислении>
Мёбиус (1790 1868) раССМШ1'ривае'1' чаС'1'ные виды однородных коорди
нат. СПС'1'еМШ1'ическое применение 8ТИХ координат II03ВОЛИЛО ПЛЮКItеру
(18(J1 1868) ПОСТРОII'1'Ь анаЛИ'1'ическую rеометрию проективноrо про
страНС'1'на. Ему же принадлежит важная мысль о '1'ом, что за 8лементы
rеОl\lе'1'рИИ J\ЮI'У'1' быть ПРИНЯ'1'ы, кроме точки, и друrие rеомеТРIIче
СIПIe обрasы. РУКОВОДС'1'вуясь 8ТИМИ соображениями, ПЛЮКItер С'1'роит
линейчш1'УЮ rеометрию, 8лемен'1'ОМ которой ..является ирямая '1'pex
MepHol'o проеК'1'ивноrо простраНС'1'ваj с '1'очки зрения '1'aEoro выбора
8лемеН'1'а ПрОС'1'раис'1'ВО оказывается уже че'1'ырехмерным.
К8ЛИ (1821 1895) положил аналИ'1'ическую I'еоме'1'РИЮ проеК1'ИВ
HOI'O ПРОС'1'раНС'1'ва в основу rеоме'1'рическOI'О ИС'1'олкования '1'еории
форм, '1'. е. однородных мноrочленов. Он связывае'1' с бинарной фор
мой СИС'1'еыу вещественных пли МНИМЫХ '1'очек ПРЯМОЙ, однородные
координаты КО'1'орых обрarцают 8'1'У фор:му в нуль. СОО'1'ве'1'С1'венным
обрasо:м тернарная фор:иа преДС'1'авляе'1'СЯ кривой проективной плоCIШС'1'И
И, В частнос'1'П, коническим сечением, если 8'1'а форма RваДРШ1'ична.
1) Впоследствии И. Шур показал, что второе требование является следствием
nepBOl'o. См., например, Э. Е а р '1' а н, rеометрия рима новых ПРОС'1'ранств, М. Л,)
1936, стр. 198.
2) Стр. 342 365.
2*
20
,\. П. НОРДЕI1
1Ia 8ТОМ пути К8ЛИ приходит К фундаментальному понятию пpoe1>
rпU6НЛй лtеrпрu'liU 1). Фиксируя некоторую бинарную квадратичную
форму, он называет абсо.лwтО.lt пару точек, соответствующих ей на пря
мой. ДOl'арифм аНl'армоническOl'О отношения двух произвольных точек
8ТОЙ прямой п точен: абсолюта R8ЛИ называет расстоянием между
..двумя данными точками, показав, что введенная им мера расстояний
'-аддптивна, т. е. подчиняется условию
Dist (АВ) + Dist (ВС) === Dist (АС).
На ПЛОСКОС'fИ абсолют задается кривой второео порядка, которая
'СROIП1 пересечением с каждой прямой плоскости определяет абсолют
ПрОeI ТИВНОЙ метрики на 8ТОЙ пря:иой.
Кани показал, что Уl'ловая метрика евклидова пространства может
рассматрпваться как проективная метрика относительно МНИ:ИОl'О кони
'Ческоrо сеченпя, располо:шеННОl'О в несобствепной плоскости, а метрика
расстоянпЙ на прямой есть проективная меТрlша параболическOI'О типа,
:абсолют l ОТОрОЙ совпадает с дважды взятой несобственной точкой
:зтой прямой. 'l'аКИ:\1 обраЗ0М, евклидопа l'еометрия Оl азывается l'eo
метрией проективнOl'О пространства, в KOTOpO:\f задан абсолют в ви.. Т(е
:\IНИ:\ЮЙ l рИВОЙ BTOpOl'O порядка 2).
Оllпрапсь на результат К8ЛИ, Ф. Клейн (1849 1925) сделал сле
дующий важнт,тй mal'. В своей работе «О так называемой нееВI,ЛИДО
вой I'еоиетрии» 3), он показал, что проективнап метрика, опредеJ1яеl\,ШЯ
'J;ействптелыюЙ I{РИВОЙ RTOpOl'O ПОрЯД1 а, совпадает с метрикоЙ про
странства постоянной отрицате,тrьноii кривизны. 3ти:\;! путем 6 ,т.ла по.лу
чена ПРОeI тпвная интерпретацпя плоскости ДобачевCl Ol'О. ТО'IКИ 8ТОЙ
п.лоскости изобража.лпсь ТОЧl ами, расположенныии внутри кривой,
ПрЯ:\fые ее хордамп, парал.ледьные пряиые хордаМll с общпм KOH
ЦОМ. IIееВI Лllдопа длина отре31 а и уrол между двумя прпиыми оказа
.,пись прп 8'1'0:\1 раRНЫМП проектпвноti :\Хере их изображепия.
В 1872 l'O,.y вышла знаменптан работа Ктrейна, lиторая получила
Б дальнейшем названпе «3рланrенской ПРOI'ра:\Н1Ы» 4). В ней Клейн
-подвел ИТОПI II Ha:\IeTllJ1 пути даJ1ьнейшеl'0 развптпя l'еО:\1е'fрПП.
ЦентраJ1ЫШП пдея 3рлаПl'енской ПрOl'раМJ\IЫ связана с понятием
. pyппы 1lреоораЗ06анлЙ. Обобщая понптпе l'РУППЫ аЛl'ебрапчеСIПIХ подста
НОВOI , Софус дп (HH2 ] 899) созда,тr теорпю непрерывных l'рУПП
.преобраЗ0ванпii с ее ИПOl'ОЧllС.'Iенпы:ии ПРПЛOfr;:еППЯNIИ R теОрllИ диф
фереНЦП3..JJ:ЬНЫХ ураннеппfi и l'еО:\IеТРИII 5). К.лейн обратп;ает внп:иание
на то, что уже двпжеНllЯ, КОТОРi>ТМП ПОЛЬ'3уются В евклпдовой п
неевRЛПДОВОЙ l'еоиеТРlIП длп СОВ:\IeIценип [{опrруэнтных ФП1'УР, под
ЧПНЯlOтся УСЛОВIНПI, характеризующим l'РУППУ: результат последова
ельпOl'О ВЫПо.ilнеппя двух дппженпй есть двпженпе п преобразование
обратное двпженпю также есть двнжение. Те:\[ же условиям подчи
1) Стр. 222 24R.
2) Нужно заметить, что эта кривая шаровоii 1{РУI' раССI\Ш'l'ривалась Пон
селе п JlaI'eppO I, 1{ОТОРЫЙ независимо от Еэли показал, что УI'ОЛ равен лоrа
РИ(),Ш.У аНl'армuничеС1{0I'0 отношения двух данных Прffi.lЫх и двух ИЗ0ТРОПНЫХ
.прямых, направленпых в ТОЧRи шаровоrо крура.
3) Стр. 253 303.
4) C'l'p. 399 434.
:5) Отзыв I-СлеЙма о сочинении С. Ли см. на стр. 43:) 4;)1.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО в ИСТОРИИ новой rЕОМЕТРИИ 21
н.нются п друrие rеометрические преобраЗ0вания, наПРПl\reр цроектив-
ное. uбобщая эти факты, Rлейн приходит к расшп реJcIПОМУ пониманию
rеометрпи, формулируя ее задачу следующим обра3ШI 1):
ДШНО .мпО20orразuе u в пе.н 2руипа 11реобразовапuil; 'НУ;J/С'НО исс.nедовать )
те свойства образов, прu'Надле;J/Cащuх . lпО200браЗU10, 1.0тOp'ble пе uз
.мепЯ10тся от преобразовшнuй 2PYп1t'bt. I
, П3 этоrо обlцеrо определения следует, что сущеш'вую'l' различные
rеоме'l'рИП. Они MorYT отлпча'l'ЬСЯ друr от друrа характером элементов
расшraтривае:моr() мноrообразпя и строение,м rруппы. Последнее раз
личпе является ннп60лее С 'Пс€СТЕенным.
Самая общая rруrша, раСс:\1аТРИRаемая RлеЙном, есть rр)оппа
ПРОСК'l'инпых преоб]:асюrшний 2); ей соответствует ирое1irrlU61ЮЯ 2еО.Аu;трuя
Подrруппа проеr{'l'ИВНЫХ преобра30Еанпй трех:мериоrо пространства
псреR()дящая в себя неrшторую плоскость, есть rруппа, которой COO'l'
ветствует аффuппая 2ео.метРIlЯ. Подrруппа проек'l'ИВНЫХ преобраЗ0ваиий,.
переводящая в себя абсолют, т. е. некоторую ПОRерхность BToporo;
порядка, определяет 2eo.мerпpт0 1'lростра1iсrпва постояп1iОЙ r;рllвu31i'Ь/,. Еслп
абсолют выро:ш дается в кривую BToporo порядка, то мнимой I рНВОЙ
соответствует ев'К.лuдова 2ео.меrприя, а действительной так называеыая
псевдоевклидова rеометрия, или, иначе rOBopH, 2еО.метрuя пpocтpa'К
ства Лореп1(а S).
rеометр:ии MorYT рааличаться между собой и по характеру элемента
Но это ра2личие менее существенно, так н:ак если rруппы этих reo ,
метрий и;юморфны, то каждому факту одной rеометрип будет COOTBeT
ствовать аналоrичный факт друrой и rшждую И3 них иожно изучать
на основе друrой. В это:м сущность 1lрип1(Uпа 11ерепесепuя, KaI ero назы
вает Клейн. Частным случаем этоrо принципа является уже прпнциn
ДВОЙС'l енности проективной rеометрии.
Второй, очень IIuтересный пример, приводимый Rлейном, ЭТО
-так называеыая 2ео.метрuя обрат1i'Ь1Х радиусов или конформная rеометрпя
Мёбиуса, как ее ПРИНЯ'l'О называть в настоящее вре:мя. rруппа этой
rеометрии (в случае двух измеренпй) может быть получена путем
добавления к движениям евклидовой плоскости подобных преобраао
ваний и преобраЗ0ваний инверсии. Эти преобраЗ0вания переводяТ
круrи и прямые в круrи или прямые и сохраняют уrол между ними
К той же rруппе можно подойти и иначе. Rаждой ТОЧI{е TpeXMep
Horo пространства отвечает на сфере окружность, по которой эта
сфера пересекается с полярной плоскостью точки. Проектпруя c'l:epeo
rрафически точки сферы на плоскость, мы получим однозначное
СОО'l е'l'ствие между точками пространства и круrами или прямыми
плоскости. Тоrда самому общему преобраЗ0ванию ПЛОCIюсти, перево
дящему круrи и прямые в круrи или прямые будет СОO'l'ветствовать.
проективное преобраЗ0вание пространства, переводящее в себя сферу,.
т. е. действительную поверхность BToporo порЯДЕа. Таким обраЗ0М,.
1) Стр. 402.
2) Эта rруппа действительно является в известном смысле наиболее общей"
если ее рас(;матривать как rруппу линеЙных под(;тановок над полем матриц или
rиперкомплек(;ных чисел, так как В\якая rруппа допускает, по 1 раЙней мере-
;юкально, линеЙное представление (теорема И. Д. Адо, (;м. стр. 419).
3) См. об этом Ф. Е л е й н, О rеометрических основах лоренцовоЙ rруппы..
«Новые идеи в математике», сборн. 5, СПБ, 1914.
22
А. П. НОРДЕН
rруппа KpyroBblx преобразований плоскости изоморфна rруппе движе
ний пространства Лобачевскоrо. Иначе rоворя, круrовая rеометрия
плоскости дает еще одну интерпретацию rеометрии пространства.
Лобачевскоrо.
Отметим, что известная интерпретация планиметрии Лобачевскоrо,
предложенная А. Иуанн:аре (1854 1912), к которой он пришел неза
висимо от Елейна 1), леrко может быть получена из этой общей схемы.
Аналоrичным образом устанавливается связь между друrими reoMeT
риями: линейчатой и неевклидовой, пространства Лаrерра и простран
ства Лоренца II т. д.
Особое влияние оказала проrрамма Елейна на развитие дифферен
циальной rеоиеТРИII. В н:онце XIX и начале ХХ столетия наряду
с ПРОel\:'l'ивно дпфференциальной rеометрией возникли дuффере'НцuаЛИtые
еео.метрии 'Неев'J1:лuдова, аффu'Н'Ноео и различных 'J1:0'Нфпр.ltНЫХ nростра'Нств 2).
Нес;vlOТРЯ на широту cBoero охвата, проrра:\lма Елейна явно OCTa
вила в стороне то направление развития rеометрии, которое псходило
из пдей Римана. PIB1aHOBO пространство, вообще rоворя, не допускало
такой rруппы преобразований в себя, которое сохраняет ero основной
инвариант, т. е. I\:вадрат линеЙНОl'О эле:\Ieнта. Исключение в "'ТОМ
отношении преДС'l'авляли 'l'олько поверхнос'l'И постоянной кривизны
II еще некоторые узкие спеп;иальные классы римановых ПрОС'l'ранств.
rлубокая связь с понятием rруппы, однако, существовала и здесь,
НО она смоrла быть обнаружена только впоследствии в результате
обоrащения рпмановой rеоиетрии с ПО:\10ЩЫО понятия 1юраллеЛь'Ноео
nере'Несе'Нuя веыпоров (Леви Чивита, 1917). Еаждой точн:е рпманова
пространства можно отнести «касательное» евклидов о пространство,
а параллелъное перенесение векторов позволяет отобразить друr
на друrа пространства, соотвеТСТВУЮЩl1е Двум различным точкам.
Но это соответствие устанавливается не единым способом, а зависит
от '1'01'0 пути, который связывает две данные ТОЧIПI. Всякому изме
нению этоrо путп отвечает некоторое отображение каса'l'ельноrо евкли
дова пространства на себя. l\fожно пон:азать, Ч'l'0 совокупность этих
отображеипй образует rруппу, которая в случае риманова простран
ства будет I'руппой евклидовых вращений.
Э. Еартан (1t;70 1!)53) называет Э'l'у rруппу еруппой еОЛО'НU.ltuu.
С этой же точки зрения он кпассифицирует различные типы про
странств, I\:oTopbIe воаиикли I\:aK обобщение риманова пространства или
были построены, по анаПQI'ИИ с ним, Вейлем, СIюутеном, caMIBl Eap
таном и друrими 3). Так, проективной, КОНфОр:\lНОЙ, аффинной rруп
па:\1, I'руппе подобия и вращения, 'Iистоrо подобия и чистоrо вращения
соответствуют ЩJOсmра'Нства 11роеr.;тuв'НоЙ, 'J1:0'НфОр.н'НоЙ, аффu'Н'Ной, вейлевой,
'J1:вазuевr.;лuдовой и рп. ю'Новой связ'Ностu.
1) C'l'p. 304 306.
2) С. II. Ф и н и 1С О в, Проективно дифференциальная rеометрия, Jlil Л., 1937;
\У. В 1 а s с h k е, Vоrlеsппgеп iiber Differentialgeometrie, Ber1in, 19,И 19J9, 1, П, IП.
В последнее время были предприняты также шаrи и для объединения диф
ференциально rеометрических теориЙ этих пространств. Проективно диФферен
ЦИRльная теория нормализованных поверхностеЙ дает, при своеЙ наддежащей
специализации, теорию поверхностеЙ всех перечисленных rеометрий и rеометрию
некоторых друrих интере"ных подrруrш проективной rРУПIlliI. См. А. II. Норден,
Пространства аффинноЙ связности, Jlil Л., 1950.
3) Стр. 485 5U6.
ОТКРЫТИЕ ЛОБАЧЕвскоrо И ErO МЕСТО в ИСТОРИИ новой rЕОМЕТРИИ 23
МЫ не можем останавливаться здесь на освещении дальнейшеrо
развития rеометрии. Отметим только, что до сих пор оно идет по пути
уrлубления и расширения сочетания rрупповой и дифференциально
rеометрической или более общей ТОПОЛОI'ической точки зрения, xapaк
терной для теории связности. IIMeHHo в этом сочетании состоит reo
метрическая основа теории объектов, СОС1павпых .мпо<?ообразuй, расс.лоентых
прострапств и т. д.
4. Аксиоматическое обосноваиие l'еометрии
Параллельно процессу расширения содержания rеометрии, который
был вызван при знанием идей ЛобачеВСКОI'О, шел процесс ее обосно
вания. Одной из первых в этом направлении была за:иечательная
работа ТеЛЫlrольца (1821 1894) «О фактах, лежащих 13 основании
reометрии» 1). Тельмrольц расс:иатривает пространство КаЕ ЧИСJIOвое
мноrообразие, в I OTOpOM некоторой системой аксиои определено дви
жение. Анализу предпосылок Тельмrольца были посвящены интерес
ные статьи Софуса Ли и Пуанкаре 2).
'l'ребования, сформулированные Тельмrольцем и Ли, давали воз
можность cTpororo обоснования rеометрии, но, те:\l не менее, .предло
женное ими решение вопроса не МOl'ло считаться окоиqатеJ1ЬНЫМ.
Положив' в основу понятие О пространстве и:ак О чпсловом MHOI'O
образии, они приня и за исходный пункт rеоме'!'рии итоr ее ДJ1итель
Horo развития, нашедший свое выражение в создании координатноrо
метода. Более '1'01'0, Тельмrольц и Ли преДПОЛaJ'ают, что движепиям
соответствуют такие преобразования координат, которые выражаются
с помощыo дифференцируе:\fЫХ функций. 8'1'0 требование еще менее
элементарно и ставит начала rеО:\feТРИИ в зависимость от анализа.
Проблема построения такой аксиоматики, которая была бы ДOCTa
точна для обоснования rеометрии и вместе с тем ЭЛС:\feнтарна, стала
преД:\fеТО:\l исследований мноrих reoMeTpoB конца ПрОШЛОI'О вш а. Раз
личные варианты их решения были даны Пашеи (1882), Пеано (1880),
Веронезе (1891), Пиерри (1899), В. Ф. Кarанои (1902). Система
Вениамина Федоровича Karaнa (1869 1953) отличается особой просто
той 3), хотя И не ЯВJ1яется чисто rеоиетрическии: расстояние :\lе:;кду
двумя точи:ами, выражаемое ЧИСЛО:\l, является ОДНИ:\l пз ее основных
понятий. IIзлаrая свою систе:\lУ, В. Ф. КЗJ'ан произвел ис'шрпывающий
анализ ее полноты, непротиворечивости и независимости, основанный
На арифметических интерпретациях.
Решение задачи обоснования rеометрии, которое до сих пор является
НaJIЛУЧШИМ, принадлежит д. Тильберту 4). Опираясь rлавным образом
на систему Паша, ОН значительно упростил ее, сохранив полностью
ее чисто rеометрический характер. В своем замечательном СОЧIlПСНИИ
«Основания rеоиетрии» (1899) Тильберт разбил все аИ:СИО:\lЫ на l'рУППЫ
аксиом соединения, поряди:а, конrруэн'l'НОСТИ, непрерывности и парал
1) Стр. 366------382.
2) Стр. 383 387 И 388 398.
3) Стр. 479 484.
4) Отзыв IIуаНI,аре о работах rильберта см. на стр. 452 478.
24
А. П. НОРДЕН
лельности и выяснил ту роль, которую иrрает каждая И3 !Этих rрупп
в лоrиqеской структуре rеометрпи.
Особенно важны исследования rильберта о том, что необходим()
потребовать для внесения в rеометрию числа. Отказывалсь от аI СИОМ
порядка и непрерывности или части !Этих aIШИОМ, rильберт обосно
нывает такие построения, I оторые облаДaIОТ свойствамп сложения и
умноженпя а.лrебраичеСRоrо ПОJIЯ и ПОЗволяют определить положение
ТОЧIП1 с ПО IOщью ЧIIсел, при надлежащих !Этому полю. Выполнение
всех аRСИО:М l'ильберта влечет за собой обращеппе !Этоrо поля в поле
вещес 'венных чисел, т. е. возможность обоснования обычной анали
ТИ'IеCl ОЙ rеометрии, что и является, в СУПIНОСТИ rоворя, признаком
ПОJ1НОТЫ системы.
Решение задачи обоснования I'еометрии, поставленной со всей
остротой еще ЛобачевCI ИМ, явилось исходным пунктом для исследо
ваний по основаниям друrих разделов математики, которые иrрают
такую важную роль в ее COBpeMeHHO 1 раавитии.
о I
I
I о
rЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕвскоrо
"*
НИIЮ.1IАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБА ЧЕВСRИЙ
о НА ЧАЛАХ I'ЕОМЕТРНИ 1)
[ПЕРВАЯ ЧАСТЬ СОЧИНЕНИЩ
(1829)
!(:ажется, ТРУДНОСТЬ повятий увеJIичивается по :иере пх прибли 7
:женин к начальным истинам в природе; так же, как она возрастает I
:;в друrом направлении, к той rранипе, куда стре:\!ится ум за повыми
познаНИЯ;\IИ. Вот почему трудности в rеометрии должны принадле
жать, во первых, само:\!у предмету. Далее, средства, к Itоторым Ha
добно прибеrнуть, чтобы ДОС'l'IIrНУТЬ здесь последней строrостп, едва
.ли MorYT отвечать цели и простоте cero ученпя. Те, которые хотели
удовлетворить спм требоваНИН:\I, заключили себя в такой тесный
Kpyr, что все усилия их не моrли быть вознаrраждены успехо:\!.
Наконец, скажем и то, что со вре:\Iени Н ь ю т о н а и Д е к а р т а, вся
lIfатематика, сделавшись Ана.литикой, пошла столь быстрыми шаrа:\lИ
вперед, что оставила далеко за спбой то учение, без KOToporo моrла
уже обходи'l'ЬСЯ и которое с ТЮI вместе перестало обращать на себя
ВНИ:\Шние, какое прежде заслужпвало. Е в к л и Д о в ы начала, таким
обра..10:\I, нес:\ютря на rлубокую древность их, несмотря на все бли
стательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор перво
юытные свои недостатки.
В са:\юм деле, кто не соrласится, что никакая Мате;\IатичеСI,ан
наука не ДОJIжна бы начинаться с таких 'l'. ных понятпй, с каких,
повторпя Е в к л и Д а, начинаем мы rеО:\Iетрию, и что ниrде в :M:aTe
.мати:ке нельзя терпеть TaKoro недостатка строrости, какой принуждены
.были допустить в теории параллельных линий. Правда, что против
..ложных заключенпй от неяснос'l'И первых и общих понятий в reo,
метрии предостереrает нас представление са:\!ых пред:\!етов в нашем
воображении, а в справедливости принятых ИС'l'ИН без докавательства
1) Извлечено самим СОЧИНИТ8"тrем из рассуждения, под названием: Exposition
succiпete des priпeipes de la Gеипеtriе etc., читанпоrо им в заседании Отделения
.физико Математических Наук, 12 февраля 1826 rода.
28
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
убеждаемся простотоIO их п опытом, например астрономическими па
блюдения;ии; однако ж все STO нисколько не может удовлетворить
ум, приученный к cTporoMY суждению. R TO 1Y и не в праве прене
бреrать решением вопроса, покуда оно неиавестно и покуда не анаем.
не послужит ли оно еще к чему друrому.
3десь намерен я иаъяснить, каким обрааом думаю пополнить такие-
пропускп в Теометрии. Иаложение всех моих исследований в нмле
жащей свяап потребовало бы СЛИШКО:\1 MHoro места и представления
совершенно в новом виде всей наУltи. О прочих недостатках TeOMeT
рии, менее важных по аатруднению, не почитаю нужным rоворить
подробно. Оrраничус одним только аамечание:\-1, что они относятся
к способу преподавания. Никто не помышляет отделить от, что пс
ключительно припадлежит Теометрии, от Toro rде наука сии CTaHO
вится Y cEe друrою, т. е. АналитИЕОЙ.
( Первые понятия, с которых начинается какая нпбудь наука, должны.
быть ясны и приведены к саио:иу меньшему числу. Тоrда только они
MorYT С.)Iужить прочным и достаточным основанием учения. Такие
1 понятия приобретаются чувствамп, врожденным не должно верить.
Пичеrо не может быть простее Toro понятия, которое служит OCHO
ванием Арифметике. Мы поанаем леrко, что все в ирироде подлежит
иамерению, все может быть сосчитано. Не таковы положения Mexa
ники: человек с помощью однпх ежедневных своих опытов не мор
бы придти к ним. Вечность и одинаковость раа сообщенноrо дви
жеНIIЯ, rде скорость служит мерою oHoro и массы рааличных тел
TaROrO рода истины, которые требовали времени, пособия друrих по
ананий и ожидали rения 1).
Между свойствами, общими всем телам, одно должно нааваться
Тео.метрu'Чесr;;u.м, прикосновение. Словами нельая передать COBep
шенно Toro, что мы под 8ТИМ рааумеем: понятие приобретено чув
ствами, препмущественно арением, и сими то чувствами :мы ero по
стиrаем. Прикосновенпе составляет отличительное свойство тел: ни
в силах или времени и ниrде в природе более ero не находим.
Отвлекал все прочие свойства, телу дают наавание Тео.метрu'Чесr;;о;ю.
Прикосновение соединяет два тела в одно. Так все тела представ
ляем частью одноrО l ростра'Нства. Тело о?ра'Нu'Че'Но, коrда прикосновение.
к нему друrоrо оr;;РУ;Jlсающе?о делает невоаможным ПРИЕосновение
1) После зтоrо вступления Лобачевский переходит к изложению начал reo
метрии. Развернутое изложение зтих вопросов дано Лобачевским в первых rла
вах ero сочинения ((Новые начала rеометрии с полной теориеЙ параллелыIх»
(Н. И. Л о б а ч е в с к ий, Полн. собр. соч., т. II, стр. 200 и след.; там же имеются.
обстоятельные комментарии Б. Л. Лаптева). [Ред.]
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
29
всякоrо TpeTbero. 8то второе будет опРУJlCшющи.м ttpocrnpaпcrneoM, еСJIИ
()но с первым составляет целое пространство. Пустота, занпмае шя
'Те.:rюм внутри пространства, называется .место.м. Два тела оди'Нановы,
,если каждое, без всякой перемены, паtюлпяет .место, т. е. дополняет
пространство. Они равпЪt только, если наполнение места одноrо Tpe
-6ует в друrом рааделения на чаш'и II соедпнелия сих частей R новом
порядв:е 1).
Воображаемое раздеJlение тела на две части будем называть се'Че
fI,иe,M. Rаждап И3 ДВУХ частей СJIУЖИТ дЛЯ назначения сторопы ce
'''шипя.
rеометрические своЙства тел Iюзнае f в ра3ЛИЧНО f делении их
на части. Они служат основанием rеО fетрии и заключаются в сле
J\ующем.
1. Всякое тело южет быть разделено на части, в:оторые не в:асаются
'через одну. ТaI И{' сечеНIIII назовем l/оступатель'liЫ.1Иl; чпсло их не
оrраничено.
11. Вснв:ое тедо може'l' быть разделено на частн, IЮТОРЬЮ все Ra
саются взаИ fНО, и В:ОТОрЫХ число С I аждым новым сечением увеJIП
'пшается ;J;ВУМП. Тат ие се,ченпя lШЗ0ве ! обра.щате.ilЬ'liы.If.U; чпсло их не
.оrраничено.
П1. ВСЯlше тело может бы'lЪ разделено тре,мя сече.НПН П1 на 8 ча
етей, Iшторые все в:асаютсн взаимно; но далее невозможпо уже новы;\!
сечением удваивать число частей. ТaI ие сечения назопе f II/ре.мя
zлав'liЪМtU.
Обращательные СtcJчеНIIЯ MOI'YT увеЛИЧlIвать чпсло частеЙ н однпм
'толыш. 8то будет ТО1'да, I,оrда недостающее число частей НОПО.JIнпстся
присоединенпе>r HOBoro тела п ПрОДО.JIжениеи сюда сеченпй; 'l'aR что
ПрИiJнаI обращательных сеченпfi буде,т собстве.ппо не чпс.;Iо чаC'l'еЙ,
но взаимное прив:основенпе их. Однак() ж :--Jтоrо одноrо недостаточно.
Надобно, чтобы поступательные сече.ния к обонм обращаТРJIЫIЫЫ
в тех двух долях тсла. Еоторые находится на ПРОТlIВОUО,ТЮ'.КНI,IХ CTO
ронах, всеrда отде,лнлu час'l'И в одной, неприИосН()Вt>,н.ныс к . (руrой.
Подобное за;\fечапие относится н к трем l'ЛaI3НLIМ сечеПIIП;\f, Н:3
которых каждые два бывают виесте оБРaIцате.'IЬНЫМП, I] Чl'J'О уже
.довольно, чтоб они были rлаВНLIМII.
Поступательны!' сечения к трем l'.лавным назначают в Te.7Ie ero
три j'tротЯJlсе'н;ия.
Измерять тело значит исчислять одпнаковы части, па ]{оторые
разделяется 8ТО теао и друrое, ПРИIIнтое за меру, в трех протн [;ениях
поступательными сеченияии.
1) Лобачевский употребляет термин оди'IШlfовы там, l'де мы теперь 1'UВОРИМ
,«КОIП'РУЭRТНЫ», и равны там, rде иы l'оворим «(равносоставлены». [РеП.]
зо
Н, И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Соединение двух тел в адна будет нместе сечением в этам аднам..
С;\Iатря па тому, прпкаснавенпе принадлежит аднаму талька, или
нескалькпи абращательным, пли трем rлаВНЫJ\l сеченпяи, ана будет
повер.Т1iосш'Ное, .ли1iей1iое, в тO t1.e. Ваабражаеи тела разделенным тремя'
I'лавнымп сечеНПЯМII на васеиь частей, л:атарые бы 0'1' друrих сечений
прапсхадить не маrли. В такам случае с первым сечением палучим
паверхнастнае ПРlш:аснавение двух частей. Втарым сеченпем праиа ,
веде:\[ две часl'П, катарые, нахадясь на пративапалажных старанах
абапх сечений, касаются линеЙна. С треТЬПJ\I сечением праисхадят
две частп, Iютарые, нахадясь на пративапалажных старанах всех
трех с'ечеНlIЙ, касаются в тачке.
Тела палучает название 1иверХ1iосrпи, карда ана Iеасается друраро
паверхнастна и карда принп:мают в рассужденпе талька взаПl\1на&
прпкоснавенпе спх двух тел; а пата:\lУ дазвалшат атбрасывать вс&
частп аднара, неприкаснавенные к друраму. Та.к унпчтажаетс.п адно
из трех пратяжений, и так атделением ненужных частей паверх
> настп дахадим да тапкасти листа бумаrи или как далеко маже'l' идти
ваабраженпе.
Два тела, катарых прикаснавение здесь рассиатривается, будут
две стараны паверхнастн.
Линией называется тела, катарае касается линейна дрУI'аrа, и ат
.............. ............
катараро дазвалнют атбрасывать части, неприкаснавенные к этаму
дрУl'а:VlУ. Так дахадим да танкастн валаса, черты 0'1' пера на бумаrо
и пр. С абращениеи тела в линию уничтажаются два пратяжения,
пата:\iУ ЧТО' линию абразуют в прастранстве два сечения, к KaTapь
паступательные атделяют аднп излишние части.
( Тела палучает название rпO"t1f.U, карда рассиатрнвают ера прикасна
J вение к друrаиу в тачке, а патаиу 'дазваляют атбрасывать части перваrа,
неПРlпtаснавенные к друраму. Так мажна дахадить да маласти пес
чинки илп та'11П1 0'1' астреп пера на буыаl'е.
Тачка абразуется треия rлавными сечениями в прастранстве,
к Iеатарым паступательные аТДеляют адни лишнпе части: следават('льно
в тачке нет ни аднара пратяжения.
В поверхнаСТII, линии и тачке абращают внимание талька на ири
каснавение двух тел. 31'0' значит, даИУClеают все ИЗ:\-1енения воднам,
катарые бы не лпшаЛll части друраl'а их прикаснавениSI и не ири
дава.сШ бы навых частей, прикаснавенных к 'n:РУl'аму. Ват пачему
при изиереНlIИ паверхнастеЙ и линий дааваляется все паступаl'ельные-
сечения, катарымп назначают пратяжения, заиенять их абращатель
IIЫМИ. Отсюда следует, ЧТО' линия не иаменяет величины паверхнасти,
а тачка линии. Отсюда также видна, ЧТО' линия далжна принмле
жать всей системе абращательных сечений, а патаму для абразавания
лиНии неабхаДllМЫ две паверхнасти, а катарых rаварят, ЧТО' ани пepe
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
31
сеr;аЮ111СЯ в лuuuu. Rаждая из сих поверхностей разделяется линией
на две. части, которые будут двумя сторона:\IИ линии.
Точка принадлежит не только трем rлавным сечениям, но и всем
с ниии обращательным; а потому для образования точки необходимы
две линии, О которых rоворят, что онп пересеr;аются в т0 4 Lr;e. Rаждая
линия разделяется точкой на две части, которые служат для назна
чения двух сторон точки.
Точка не имеет величины, будучп без протяжения, а потому и не
допуская измерения.
!\оrда два тела А, В касаются каждое TpeTbero С в точке, тоrда
относительное положение двух точек или так называемое расстояuuе
их друr от друrа, всякий раз будет определено, как скоро А и В
соединены телом п, неприкосновенным к С, хотя бы при этом в А,
В, D происходили перемены отделениеи, или присоедпнением новых
частей, неПРИI>:основенных к С, или те изменения в А и В, которые
дозволяются в сем роде прикосновения А, В с С. TaI>:, циркуль слу
жит для назначения расстояний.
С таки:ыи ПОНЯТИЯ:VIИ о пространстве и способе измерять ero про (
тяжения, rеометрпя может быть ведена со всею строrостию ДOI>:аза
тельств в том порядке, в каком здесь ниже излаrается, и rде, если
не дается новых определений, названия разумеются уже приня
тые всеми.
Сферой называется поверхность, которой все точки от одпой цeи
тpa находятся в равном расстоянии. Это расстояние будет полупо
1!ере'Ч,UU'К сферы. Вuутреuuяя сторона сферы та, rде ее центр; друrая
в'НеlU'НЯЯ.
Тело, оrраниченное сферою, называется шаром, Iщтороrо центр и
полупоперечник то же, что и сферы.
Шары и сферы одинаковы, коrда их полупоперечв:ики равны.
Одинаковые сферы слuваются, т. е. покрывают друr друrа, коrда
центры их вместе, каково бы в прочем положение их ни было.
Напротив, у сфер одноцентрных при разных полупоперечниках не
может быть ни одной общей ТОЧIПI. Такие сферы представляют по
ступательные сечения в пространстве. Полупоперечник той, которая
помещается внутри друrой, почитается менее. Это служит первым
сравнением расстояний между собою.
Сфера OI'раничивает со всех сторон пространство, потому что дpy
rая, одноцентрная, находясь вне первой, присоединяет такой слой,
который делает уже невозможным прикосновение всякоrо HOBoro тела
к шару первой.
Две сферы около разных центров,
ВЫХОДЯ вон, разделяют пространство
входя одна внутрь дрyrой и
на четыре части: одна А
32
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
принадлежит внутренней стороне той и друrой сферы, ДРУ1'ая В внеш
ней обеих, третья G внешней. стороне одной и внутренней друrой,
а четвертая D наоборот. Новые сферы около тех же центров будут
отделять от А части, неПРИ1 основенные к 13, или обратно; так же от
G неприкосновенные части к D, или обратно. Итак, пересечение двух
сфер дает линию, которую называют 'Круzо.м.
Посему две сферы, пересекаясь, предстаВJIЯЮ'J' два l'лавных или,
что все равно, два обращательных сечения в пространстве. По той же
причине три сферы, если пересекаются, представляют три rлавных
сечения.
П.лОСХОСritb'JО называется поверхность, в которой лежат все l руrи
от пересечения одинаковых сфер 01 O."IO двух точеR чс'н/тров пpoиcxo
.ждсu'Uя. Плоскость может следовательно продолжаться неоrраниченно,
с увеличением полупоперечников одппаковых сфер.
Rpyr, от пересечения одинаковых сфер, покрывает ca:Vl себя,
КaIШЮ стороною и В каком бы ПОЛОЖf'нии ни накладывался, ПОltуда
центры сфер сохраняют СБО€' место, или однн ставится на место
дрyrоrо.
Внутри lJСЯКОI'О ItpY1'a на ПЛОСкости находится ТОЧltа ltCUтp J.pyza,
которой расстояния по.лупопсрс'Ц,uu-к;и от всех точек Rpyra одинаltОВbl.
Всем таltим Kpyra:M, производящим плоскость, одна 1'ШIЬRО 'J'очка может
служить центро:м.
Пря.лtйЯ лuuuя называется та, I оторая ЫtЖДУ двух точек сама себя
ПОltрываст во всех положениях. TaI oBa в плоси:ости ItpYI'a линия,
которой ТОЧI>:Ir остаются на .месте, Iшrда I pyr IIОI рывает eCLM еtoбя
друrою стороной.
Расстояние двух точек может быть опреДСJIСНО прямой линией,
по свойству 1ШТОрОЙ lJсякое расстояние состаВJIнется И3 повторения
ДРУ1'01'О и частей ero.
Прямая линия лежит вся н llЛОС1ЮСТИ, кю св:оро две ее точки
П<:t ПЛОСIЮСТИ.
Через три ТОЧ1\:И, не в прямой ;ППIИИ, MO:'I HO провести одну 'J'U.iIЬКО
ПЛОСIШСТЬ ..
J3С}Jкая 'J'очка вне ПJIОС1ШС'l'И :может БЫ'l'l, припята за центр ирuисхо
ждепия ПJЮСКОСТИ, п тоrда на противоrю.'":IOЖНОЙ CTOpOHf' находи'J'СЯ
друrой соотве'J'СТilУЮЩИЙ центр.
Две П,ЛОСIШСТИ пересerеаются lJ прниоЙ JП1НИП.
J3еЛIрш:на пр,!,С\ЮЙ линии определяе'J'СЯ сравНtoнием се с ДРУ1'ОЙ.
Подобным обраЗО:\-I определяется и веJ1ичина дуrи КРУ1'а по cpa
внению ее с окружностью, которой дуrа будет часть. 31'0 содержание 1)
не зависит от величины полу:поперечника, но от взаИМИО1'0 иоложения
1) Содержа'Нuе..!t Лобачевский назыае'l'' отношеlше. [Ред.]
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
33
тех двух полупоперечников, которые проходят чреа концы дуrи.
Чтобы оставить на произвол, какая дуrа принимается за единицу,
мы будем оаначать 2'ir окружность. Так выраженная дуrа называется
.ли'Неu'Ным У2.lto.м или уrлом тех двух линий, которые, идя чреа концы
дуrи, встречаются в центре Kpyra.
Также будем означать 2т- и сферуl), определяя с нею сравнительно
ее вырезки 2). Rоrда вырезок происходит от двух плоскостей, прове
денных чрез центр, тоrда величина ero будет п.лОС'l>ост'Ноu У20Лj дpy
rиx же вырезков телесuым У2ЛОМ.
Плоскостной и '.rелесный Уl'ЛЫ не завис т от полупоперечника
сферы, но от взаИМНОl'О положения плоскостей, которые идут от центра
сферы. ПЛОСltостной уrол таltже не зависит от места, rде будет центр
сферы на линии пересечения двух плоскостей.
ПЛОСRОСТНОЙ Уl'ОЛ равен линейному между перпендикулами в
плоскостях к линии пеР(jсечения сих последних, и проведенпых
к одной ТОЧltе.
Чтобы линия была перпендикулом [к] плоскости, довольно, чтоб
она была перпендикулярна к двум линиям в ПЛОCItости.
Сумма уrлов прямолинейнOl'О треуrольника не может быть> 'ir;
напротив, суыыа уrлов сферическOl'О треуrОЛЬНИltа ВСШ'да > 'ir.
C TMыa двух Уl'ЛОВ Сф(jрическоrо треУI'ОЛЬНИI;:а бывает вместе с CYM
мою противоположных боков> 'ir, == 'ir, < 'ir.
ЕсJIИ один катет в прямоуrольном сферическом треуrольнике < 'ir,
'It 'It 'It
то друrой вместе с противоположным УI'ЛОМ > 2" == 2' < 2 .
В прямо линейном треуrольнике против большеrо бока лежит Уl'ОЛ
более, и обратно.
Сумма двух боков uрямолинеЙUОl'О треуrольника более TpeTbero.
В сферическом треУI'ольнике Уl'ОЛ против большеl'О из двух боков
более или менее, смотря по тому третий бок < 'ir или> 'ir.
Сумма боков сферическоrо треУl'ольника более третьш'о, если этот
тре'l'I:lЙ < '1t.
S (n 2)'It
Величина телесноrо уrла == ;:1 , rде S сумма Уl'ЛОВ сфе
рическоrо МНОl'оуrольника, п число ero боков.
Полаrаем п число rраней или фиrур, оrраничивающих правильное
тело; т число боков фиrуры; t число l'раней, смыкающихся в один
1) ЛобачевскиЙ во всех своих сочинениях принимает для измерения телесных
)оrлов единицу, вдвое ббльшую, чем обычно (см. об этом Н. И. Л о б а ч е в с к и Й,
Полн. собр. соч., т. П, стр. 115, примечание [2'J]); поэтому он считает суиму
телесных уrлов с общей вершиноЙ, заполняющих все пространство, равной не 4'1t,
а 2'1t. [Ред.]
2) Вырезок сферы часть ее поверхности, оrраииченная двумя ПОJювинами
больших KpyrOB. [Ред.]
з Зах. 1164. Об ОСИО88ННJlХ rеометрии
34
Н. и. ЛОБАЧЕВСКИЙ
2'1t
телесный уrол. Rаждой rрани тела отвечает при центре уrол N' KO
2'1t
Toporo число плоскостных уrлов 1п, а величина их т ; после чеrо,
сравнивая два значения телесноrо уrла, находим
n == 4t. 1 )
21п (т 2) t
3десь т и t не MorYT быть более 5, иначе n делается отрицатель
ным; следовательно, все предположения Moryт быть таковы:
т==3, t== 3, n== 4' тело называется тетраедр.
,
т==3, t==4, п== 8 )} )} о'Ктаедр.
т==3, t== 5, n == 20 » » и'Косаедр.
т==4, t== 3, п== 6 » » 'Куб.
т==5, t == 3, п== 12 ». )} доде'Каедр.
n1п
Число уrлов или остреев на правильном теле == , следовательно:
в тетраедре 4,
» октаедре . 6,
» икосаедре 12,
» кубе. 8,
» додекаедре .20.
Достойно примечания, что выше данное значение n может быть
найдено, не принимая в рассуждение, -каким образом телесный уrол
определяется из ero плоскостных. Действительно, число линий, в KO
пт
торых смыкаются rрани, ясно должно быть 7' а по известному пра
пт
вилу Ейлера 2) оно будет т + п 2; сравнивая то дрyrое Bыpa
тение, снова получим то же п, что и выше.
Все случаи одинаковости треуrольников J\Юl'УТ быть теперь ДOKa
заны без помощи теории параллельных линий.
Прямолинейные треуrольники бывают одинаковы, коrда у них
равны:
1) один бок и два уrлаj
2) два бока и уrол :между ними;
3) два бока и уrол против большеrо;
4) три бока.
Сферические треуrольники коrда у них равны:
1) три бока;
2) два бока и уrол между ними;
1) Вывод этоЙ формулы дан в книrе: Н. и. Л о б а ч е в с к ИЙ, Полн. собр.
соч., т. 1, стр. 63, примечание [7]. [Ред.]
2) Самое. простое доказательство cero предложения сделал rpyпepт (см.
Journal {йт die Mathemat. У. СтеНе, Тот 2, р. 3(7).
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
35
3) два бока и УI'ОЛ против ОДНОI'О, но сумма Уl'лов в обоих Tpe
уroльниках против ДРУI'ОI'О бока не === 71:;
4) один бок и при нем два Уl'лаj
[)) два Уl'ла и бок против ОДНОI'О, но сумма боков ПРO'l'ив ДРУI'ОI'О
в обоих треуl'ОЛЬНИКах не составляет 71:;
6) три Уl'ла.
Два прямолинейных треУl'ольника, КОl'да у них три Уl'ла равны,
MOI'YT бы'lЪ не одинаковы, если предпо.пожить сумму Уl'лов в каждом 71:.
Напротив, они должны быть одинаковы, если в них сумма Уl'лов.
подобно как в сферических, разнится от 71:.
l) bl видели, что сумма Уl'лов прямолинейноl'О треУl'ольника не
может быть > 71:. Остается предпо.паl'а'lЪ 8'l'Y сумму === 71: И.ПИ < 'Ir.
То И дрУl'ое может быть принято без ВСЯКОI'О противоречия в послед
ствии, от чеl'О и происходит две rеометрии: одна, употреоuте.льпая.
до ныеe по своей простоте, СОI'.пашается со всеми измерениями на С3uvЮМ
.,"-,:еле; ДРУl'ая, вооораЗlсае.мая, более общая и потому затруднительная
в своих вычислениях, допускает возможность зависпмости линий от
уrлов.
Если в одном прямолинейном треУl'ольнике почитать сумму Уl'лов 71:,
ТО она будет такой уже и во всех. Напротив, допуская ее в одном
менее 71:, леl'КО доказать, Ч'l'О она уменьшается с возрастанием боков
треуrольника.
ВСЯRиfi раз, следовательно, две линии встречаться на плоскости
не Moryт, коrда они с третьею составляют Уl'лы, которых сумма 71:.
Они MorYT не пересекаться и в том случае, коrда 8та сумма < 71:.
если к 'l'O:l.IY предполоЖИТЬ сумму Уl'лов в треуrольнике < 71:.
Итак, все линии на плоскости в отношении к одной MorYT быть
разделены на сходящuеся и песходящuеся. Пос.педние будут называ'lЪСЯ
паралле.льпы.мu, если они представляют I'раницу, или, иначе сказа'lЪ.
переход ОТ одних к ДРУl'им между всеми, выходящими из одной
точки.
Воображаем из точки опущенный перпендикул а на даннJ'ю линию
и к 8ТОЙ параллельную из той же ТОЧКИ; означаем F (а) УI'ОЛ между а,
1) с этоrо места начинается изложение основ «воображаемой rеометриш)
Оно выполнено очень конспективно, без доказательств. Доказательства IJмеютсл
в сочинениях Лобачевекоrо «rеометрические исследования по теории параллель
ных лиНIIЙ (Н. И. л о б а ч е в с к и Й, Полн. собр. соч., т. 1, стр. 79 127) и в rла
вах VП ХI сочинения «Новые начала rеометрии с полноЙ теорией параллель
вых» (там же, т. II, стр. 267 345). См. также ПРИ1>lCчания . П. Еотельнив:ова.
к сочинению «О началах rеометрии» (там же, т. 1, стр. 262 и сл.). [Ред.]
з*
36
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
и параллельной 1). Леrко доказать, что для всякой линии а yroJ'1
'It
F (а) == 2 ' если сумма уrлов в треуroльнике == '/tj НО В друтом пред
оложении уroл F (а) меняется с а, уменьшаясь до нуля с увеличе
11;
шием линии а и оставаясь постоянно < 2"' Чтобы распространить,
:в сем последне)-I предположении, означение F (а) на все линии й.
.)J:bl будем принимать
'It
F(O)==y, F( a)=='/t F(a).
Тотда для ВСЯRоrо остроro уrла А можно воображать положитель
'ную, а для всякоrо тупоro А отрицательную линию а, такую,
чтоб А == F (а).
Впрочем в том и друтом предположении параллельным линиям
rrринадлежат следующие свойства.
I оrда две линии параллельны, ТО пересечение проведенных чрез
них плоскостей дает также линию, параллельную обеим.
Две параллельные третьей, параллельны между собою.
I оrда три плоскости пересекаются в параллельных линиях, то
YMMa плоскостных внутренних уrлов == '/t.
Предположение суммы уrлов в треуrольнике < '/t ведет к тому,
что крут с уве.личением полупоперечника приближается не к пря
мой линии, а к особенноrо рода, кривой, которую нааовем пределb'liOU
"'pyza. Сфера в таком случае будет приближаться также к кривой
поверхности, которую подобным обрааом нааовем пределb'liOU сферой.
-Эта поверхность в пересечении с плоскостию дает или; крут или пре
.цельную крута.
rеометрия на преде.льной сфере совершенно та же, в каком виде
"JiIbl ее знаем на ПЛОСКОС'l'и. Предельная крута заменяет в последней
прямую линию, а уrлы между плоскостей, в которых предельные
-.'тежат, аступают место уrлов. между прямыми линиями.
Предельные КРУТов тем ближе подходят к прямы линиям, чем
их дуrи менее, так что разность в содержании к длине дуrи можно
сделать как утодно малой. И потому все, что принадлежит одним,
принадлежит и друrим, если принимать те и друrие чрезвычайно
J\Iалыми.
Итак, если в природе существующая rеометрия такова, что две
параллельные линии должны быть наклонены к третьей линии под
уrлами, которых сумма < '/t, то rеометрия употребительная нами
1) F (х) Лобачевский называет в друrих своих сочинениях УМО.!./' параллель-
1ioeтu. Он вводит для Hero обозначения х' (см. «Воображаемая rеометрия , стр.51
настоящеrо сборника) и П (х) (в «Новых началах reoMeTpmr» и «rеометрических
исследованиях»). [Ред.]
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
37
будет rеометрия чрезвычайно малых линий в сравнении с теми, при
которых сумма уrлов треуrольника может приметно разниться от 'It.
Сказано было, что rеометрия на предельной сфере та же, что П
на плоскости. В первой предельная Kpyra заменяет прямую; уrлы
между плоскостями, в которых лежат предельные, заступают место
уrлов между прямыми линиями. Однако ж измерению треуrольников
на предельной сфере должно предшествовать учение о триrономе
трических функциях; а что касается до rеометрическоrо строения,
то с треуrольниками на предельной сфере должно поступать KaIt бы
С сферическими. Плоскости, в которых лежат предельные и которые
можно назвать 'Jюр.маль'Ны.ми, будут представлять плоскости больших
KpyroB сферы; а линии пересечения первых между собою, следова
тельно, 'Нор.маль'Ные ЛU'НUU или оси предельной сферы, будут то же, что-
поперечники обыкновенной сферы.
После этоrо, не делая различия, будем rоворить о прямолинейных
треуrольниКах, разумея под ними также и треуrольники на предель
ной сфере, составленные из ду!' предельной Kpyra.
Означаем в пря:\-юлинейном треуrольнике а, b ItaTeTЫ, А, В про
тивоположные уrлы, с rипотенузу.
а
Содержание в таком треуrольнике изменяется не иначе, как
е
а
с уrлом А. Эту зависимость от А означают
с
::=: sin А
с
II !: называют синус А. Определение sin А распространяют на друrие
с
уrлы, кроме острых положительных А, принимая
sin О ::=: О,
. 'It
Sln 2 ::=: 1,
sin ('Jl'lt+A) ::=: ( 1)'n sinA; sin ('It A)::=: sinA,
'It
rде А уrол от О до 2 ' 'Jl положительное целое число. Наконец,
для всякоrо положительноrо А
sin ( А) ::=: sin А ;
следовательно, и для А отрицательноrо и для А ::=: О.
'It
Talt можно синус ВСЯRоrо уrла привести к синусу нуля, или "2'
или oCTporo положительноrо. 3начения первых двух даны; значения
последних представляют содержание двух линий в прямоyrольном
треуroльнике.
После этоrо леrко видеть, что какой бы уrол А ни был, всеrда
sin ('п + А) ::=: sin А .
38
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
Rршrе триrонометрической функции, нааванной синус, употреби
'1'ельны еще дрyrие: косинус, TaнreHc и KOTaHreHc, которых опреде
.ление и оаначение покааывают следующие уравнения:
совА == Bin (; A),
8i11 А
tan g A == A '
С08
совА
c otA== A '
8111
3начения всех сих триrоно:иетрических функций не иаменнются,
Еоrда к уrлу прибанляем 271:.
В прямоyrОЛЬНО:И треуrольнике находпм
BinA2+ сов А2 == 1 1),
что справедливо и для всякоrо уrла А.
Во ВСНКО:И прнмолинейно:и треуrОЛЬНIIке, KOToporo бока а, Ь, С,
противоположные уrлы А, В, О,
n 8i11 А
т; == 8in В j с == а сов В + ь сов А.
Последнее уравнение с по:иошию первоrо, и так как Bin О ==
== Bin (А +В), дает
sin (А + В) == Bin А сов В + сов А sin В
для всех положительных yrлов А, В, которых сумма < '11:. Леl'RО
видеть, что адесь уrлы А и В Mory:r быть: А == О, В == О, А + В === '11:.
Пусть далее A==п'l1:+a, B==т'it+ j п, т целые положительные
числа; а, положительные уrлы > О, < '11:; тоrда, рааделяя ypaB
нение на ( 1)n+т, находим то же с переменою только А на а,
В на ?, и rде, следовательно, а + < 'it. Но так как уравнение не пере
меняется, коrда вместо а, ставим 'it а, 'it , то а + можем при
нимать и > '11:. Так уравнение докааано для всех положительных
у]'лов А, В; отрицательные же можно представлять проиаведенными
вычитанием 2'11: иа положительных, но такое вычитание не переменяет
вид уравнения.
7t
Полаrан 2 A, B вместо А, В, получим
сов (А + В) == сов А сов В Bin А Bin В.
IIолаrан А == В, потом А === , ; и т. д., находим аначение три
т
rОНО:\Iетрических функций для всех уrлон 2n 1':, rде т, п целые
числа.
Всякий друrой уrол А может быть выражен суммою В + 20), fде
1п
В == 2" 'it С т и п целыми числами, а о) уrол как уrодно :l-Ш;:ТЫЙ. Тоrда
sin А == Bin В + 2 Bin о) сов (В + о) ),
сов А == сов В 2 Bin о) Bin (В + о) ).
.
1) Лобачевский вместо 8i11 2 А И С08 2 А пишет 8i11 А2 И СОБ А2 И ('оответствую
щим образом и в друrих случаях. [Ред,]
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
39
С уменьшением oCTporo уrла в прямоуrольном треyrольнике,
уменьшается противоположный катет и так, что содержание cero
катета к друrому может быть сделано как уrодно малым. Сделавши
tang (1) по желанпю малым, получим sin (1) еще менее, тоrда как
sin (В+ (1)), cos (В+ (1)) не превышает единицы. Итак, разности
sin А sin В, cos А cos В MorYT быть столько малы, чтобы sin В,
совВ принимать за sinA, cosA. Так можно равуметь, что значения
триrонометрических функций для всех уrлов определены в числах.
Теперь займемся измерением треуrольников и решением задачи
о па раллельных.
Принимаем только то предложение справедливым, что перпендикул
на линии параллельной встречает друrую под острым yrлом. Мы
G
в
а.
1t
2"
С
Черт. 1.
условились 0значать такой острый уrол F (а), коrда а перпеНДИRУЛ.
Дрyroе предположение и одно, которое до сих пор допускали reo
:метры, заключается также в этом общем, с тем оrраничением, что
линии должно рассматривать бесконечно малыми, следовательно,
в исчислении пренебреrать их произведениями, вторыми и далее CTe
пенями в сравнении с первыми.
Итак, в прямоуrольном треуrольнике острые уrлы против KaTe
ТОВ а, Ь должны быть F (а'), F (Ь'), rде а', Ь' прямые линии со 3Ha
ROМ + перед числами, выражающими их меру.
Продолжаем катет Ь и rипотенузу с через точку А (черт. 1) их
пересечения. AD, продолжение с, делаем === а' и в lюнце D ставим
перпендикул DE на стороне Аа, продолжения Ь. Ведем от точки В,
вершины уrла F (Ь'), параллельную ВН с Аа на той же стороне.
Три линип ЕН, Аа, DE будут пара..тrлельны также с Ь, которой точку
пересечения с а 0значим С.
40
Н. и. ЛОБАЧЕвскиfi
Здесь
To eCTЬ
L НВА + L АВО === L НВО,
F (с+ а') +F (Ь') === F (а).
(1)
В том же 6.А ВО, если бы а' положили от А Е В по линии с,
в конце D поставили перпендикул пЕ и вели к нему параллель
ную ВН от точки В, следовательно, вместе и параллельную к Ь,
то нашли бы новое отношение между линиями с, а, а', Ь'. Надобно,
однако ж, различать три случая:
Если с>а' (черт. 2), то находим
или
LDBH === LDВО t--- L ОВН
F (c a') ===F (Ь')+ F (а).
(2)
Если с===а' (черт. 3), то
; === F (Ь') + F (а).
Если с < а' (черт. 4), то
тe F (а' c) === F (Ь') +F (а).
Но во втором случае ; === F (О) === ]' (с а'), а в последнем
те F (а' с) === F (с а'); следовательно, во всех трех слуqаях ypaB
нение (2) справедливо.
Соединение уравнений (1), (2) дает
2F (а) === F (c a') +]' (с+а'),
2F (Ь') === F (c a') F (с+ а').
(3)
(4)
Продолжаем еще Ь и с чрез точку А (черт. 5), а чрез точку о;
делаем AI === а', ON === Ь' а; ставим перпендикулы IК, NO к OI и ON,
то IК, AL, ON будут параллельны. Ведем еще им параллельную ОМ;
тоrда
'It
L MON + L MOI === 2" '
To eCTЬ
F(b' a)+F(a'+b)=== ; .
(5)
Означаем теперь а линию, определенную уравнением
И(а)+F(а)=== ; .
Означаем , "(, а', ' подобные линии в отношении Е Ь, с, а', Ь'.
Уравнение (4) может быть иначе представлено:
2F ( ') === F (а' с) + F (а' c),
I ь
ь
18 1!!
а 2с
I в '1>
а С
о НАЧАЛАХ rВОМЕТРИИ
А
41
А
Черт. 2. Черт. 3.
А
Ь
а c
D
Черт. 4.
1]1
2
в
а
Черт. 5.
к
о
1J
42
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
и предnолаrает существование прямоуrольноrо треуrольника, KOTO
роl'О а' rИJ]отенуаа, ' KaTeT, F (с) противоположный ему уrо,л
(черт. 6).
После 8ТОРО должно ааключать, что в уравнениях (3), (4), (5),
KaIt и для всякой предполаrаемой ааБИСИМОСТИ уrлов и боков' прямо
уrольноrо треуroльника, можно не
только переменять а на Ь с пере
меною а' на Ь', но и
'
а на '
а на Ь'
"( ... а'
а' . . . "(
с ... а'
'/;
а' ... с
Черт. 6.
Ь' . ..
' ... а,
оставляя в то же время Ь и беа перемены. Так уравнения (3) и (4)
дают:
2F(a) ===F(c a')+F (с +а'),)
2F(b) ===F(c b')+F(c +Ь'),
2F(b) ===F(a/ a) +F(a'+ а), J
2F(a) ===F(b' ) +F(b'+ );
2F (Ь') === F (с а') F (с + а'), \
2F (а') === F (с Ь') F (с + Ь'), I
2F(c) ===F(a' a) F(a'+ а),
2F(c) ===F(b' p) .F(b'+ );
2F(a ' )===F(a ) F(a + р), }
2F(b')===F( a) F(a + (3).
Уравнение (5):
(6)
(7)
(8)
F (b/ a)+F(a'+b)=== , \
F (а a)+F( +a') .I
F (а' р') + F ( + "() === ; ; J
F (b'+a)+F(a' b) === ; , \
7t I
F (с + а) + F ( а') === Z' }
F (а' + ') +F ( "() === . }
(9)
(10)
Все сии уравнения, представляя в рааличных видах аависимость
боков и уrлов прямоуroльноrо треуroльника, служат вместе для опре
деления аависимости всЯЕОЙ линии а от уrла F (а); но :к решению
этоrо последнеrо вопроса можно придти следующим обрааом.
R плос:кости АВС Toro же прямоуrольноrо треуrольни:ка ставим
в ТОЧRе В перпенди:кул вв' (черт. 7), :к нему от точе:к А и С ведем
параллельные АА', СС'. Сумма внутренних уrлов ПЛОСЕостей, в :кo
торых лежат три параллельные, дает ; F (Ь') уrол при леавее АА'.
Воображаем о:коло А, :ка:к центра,
сферу; пересечение ее линиями
АА', АВ, АС проиаведет сфери
чес:кий прямоуrольный треуrоль
13'
с'
.s
\
в
а
Черт. 7.
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
43
fi
\)' р-.
1, '" I
",'].. '<
...,
с
т;
"2
В
Fta')
Черт. 8.
НИR А'ВС (черт. 8), rде А'О==F(Ь), ,rиnотенуаа, A'B==F(c);
ВО===: F (а') :кaTeTЫ, F (а), ; F (Ь') противоположные уrлы.
Можно адесь мимоходом ааметить, что существование TaRoro
треутольни:ка предпола
raeт прямоуrольный пря
молинейный (черт. 6), rде
1'ИП0тенуаа а', :катеты ', Ь,
им противоположные уrлы
F(c), '''''':'''F(а); следо
вательно, точно тот же
треyrоJIЬНИ:К, EoToporo co
ставление до:кааали вь.ше.
Такая повер:ка ааRлюче
ний необходима, по:куда
остается неиавестным, :которое иа двух предположений истинное.
Воображаем снова сферичес:кий треуrОЛЬНИR А'ВО и центр ero
сферы А (черт. 9). Из А' опус:каем перпенди:кул А'п R АВ. Ведем
R АС параллельные: пм чреа точ:ку D в ПЛQС:КОСТИ АВС; A'L чреа
Черт. 9.
44
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИй
l'ОЧКУ А' в плоскости А' А С. Пусть LMN треуrольник на предельной
сфере, которой A'L, пм, СА оси.
Можно доказать, что содержание боков в 6. А'ве и 6. LMN тем
менее разнится, чем более полупоперечник АС или, что все равно,
лцния а' в ве === F (а'), и что !Эта разность может быть сделана как
уrодно малой. rраницу, к которой приближается содержание двух
линий, мы означим, ставя впереди lim. Так пишем:
. А'С LN . А'В LlИ
lIш ВС === NlИ ; 11Ш ВС === NlИ '
To eCTЬ
Отсюда
lim F (Ь) === 1 . lim F F « a C } ) === tang F (а).
Р(а') cosF(a) ,
. F(b)+F(c) 1
lIш F(a') cosF(a) +tangF(a),
lim F(b) F(c) == 1 tangF (а).
F(a') cosF(a)
Из уравнений (6) и (7):
F (Ь) +F (с) ===F (а' а), F (Ь) F (с) === F (а' + а);
следовательно,
. F(a'+a) 1 . F(a' a) 1
lIш F(a') == tang2" F (а), lim Р(а') === cot"2F (а).
Первое уравнение показывает, что последнее справедливо и для
всех отрицательных линий а. Основываясь на !Этом последнем, заклю
чаем, что для всяких двух линий а,
, F(a' +а) . Р(а' ) 1
11m F (a' + ) .1Iт F(a') === tang2"F (а),
To eCTЬ
1 1 1
tang"2 F (a ) . tang2"F ( ) === tang"2F (а).
8то требует, чтоб
(11)
1
tang"2F (а) === e ,
(12)
rде е неопределенное постоянное число, но под которым можем
разуметь основание Непиеровых лоrарифмов, по причине неизвест
RОСТИ, какая линия берется единицей при измерении прямых.
Помощью уравнения (12) найденные выше (6), (7), (8) дают:
sinF (с) sinF (а) sinF (Ь), 1
tang F (с) === tang F (а) sin F (а'),
Соа F (Ь) === соа F (с) Соа F (а'),
sinF (с) === tang F (а') tang F (Ь'), I
tang F (а') === Соа F (а) tang F (Ь),
sinF (Ь') == sinF (а) cosF (а') J
(13)
и друrие, которые непосредственно отсюда следуют.
О НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
45
Итак, в прямоуrольном треуrольнике, KOToporo
тивоположн е уrлы А, В, rипотенуза с, будет:
в прямолинейном:
катеты а, Ь, про
BinF (с) == BinF (а) Bi:r;F (Ь), \
tang F (с) == tang F (а) BinA, I
сов F (Ь) == сов F ( с) сов А,
BinF.(c) == tang А tang В, j
tang А == сов F (а) tang F (Ь),
Bin В == Bin F (а) сов А ;
(14)
в сферическом:
)
<мg а <аng сео' В, 1
сов с == cotA cotB, I
tang а == tang А Bin Ь,
сов А == сов а BinB J
сов с == сов а сов Ь,
Bin а == Bin А Bin с,
(15'
известные уравнения сферической триrонометрии, и помошию
которых леrко найти для всякоrо сферическоrо треуrОЛЬНIIка, rДf"
бока а, Ь, с, противоположные уrлы А, В, С
сов А Bin Ь Bin с + сов Ь сов с == сов а,.
Bin а Bin В == Bin Ь Bin А,
)
I
cotA Bin С+ сов Ссов b cotaBin Ь == о, f
сов aBinBBinC coBBcOB C совА. J
(16)
Иамерение сферических треуrольников, следовательно, не зависит
от предположения для параллельных. Не таково иамерение прямо
линейных. Подобно, как уравнения (15) дают (16), так с помощью
уравнений (14) находим для всякоrо прямолинейноrо l'реуrольника,
Koтoporo а, Ь, с бока, А, В, С противоположные уrлы:
tang F (а) BinA == tang F (Ь) BinB,
А F ( Ь ) F ( ) + sinE' (Ь) BinF (с)
сов сов сов с sin F (а)
cotA BinB BinF (с) + сов B сов; (c О,
сов (а
BinA BinB
COBC+COBAcOBB . Е'() o.
Bln с
1 == О,
(17)
Еоrда а, Ь, с предполаrаются весьма малы, так что дозволяется
пр.енебреrать степенями и произведениями, которых размер выше,
46
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИй
тоrда можно ставить:
8inF (а) === 1 а 2 , СО8 F (а) === а (1 а 2 ),
чреа что уравнения (17) сделаются:
Ь 8inA === а sinB,
а 2 === Ь 2 + c2 2Ьс СО8А,
8in (А + В) === sin А,
а
сов С+ сов (А +В) === О,
иа которых первые два иавестные уравнения прямолинейной три
rонометрии; а два последние покааывают, что A+B+C==='lt 1 ).
2) Иаложенная нами теория параллельных предполаrает линии
с уrлами в такой аависимости, которая, как после УВИДIIМ, находится
или нет в природе, докааать никто не в состоянии. II о) крайней мере
наблюдения астрономические убеждают в том, что все линпи, которые
подлежат нашему иамерению, даже расстояния между небесными
телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории
аа единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямоли
нейНОй Триrонометрии беа чувствительной поrрешности должны быть
справедливы.
Нааываем а поперечник aeMHoro пути BOKpyr солнца; 2р самый
1t
большой rодовой паралакс неподвижной 3Бе3ды: 8ТО аначит 2 2p
будет уrол между а и расстоянием одноrо конца а до авеады, тоrда
как расстояние авеады до друrоrо конца перпендикулярно к а.
Необходимо
1t
F(a) > 2 2p,
отсюда
< l+tangp
е а
l tangp ,
а < tangp+ tangps+ i tаngрб+ .. .,
1) После этой части сочинения, эавершающей ero первую, не доmедшую
до нас работу, по неевклидовой rеометрии (см. следующую сноску примечание
Лобачевскоrо), Лобачевский ставит вопрос о тех основаниях, по которым мы
можем считать rеометрию внешнеrо мира евклидовой. Эта часть сочинения по
дробно ИЗJIOжена и разъяснена Н. И. Идельсоном в ero статье «Лобачевский
астроном», Историко математичеCRие исследования, вьш. 2, :М. Л., 1949,
стр. 137 167. [Ред.]
2) Уравнения (17) и все, что за ними следует, прибавлено уже Сочинителем
после к тому рассуждению, которое было им представлено 1826 rода в Отделение
ФИЗИRO Математическнх наук.
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
47
тем более
а < tang 2р.
Расстояние звезды сделается к а перпендикулярно, если разность
в долrоте звезды с солнцем составит прямой уrол. Это будет именно
то условие, KOToporo должно держаться для выrоды самых наблюде
ний нцд паралаксом.
Rажется, Bcero более можно положиться на способ, придуманный
r M Дacca Moндapдьe (Connaiss. des tem[p]s de 1831). ОН находит
rодовой паралакс звезды Rейды (29 Еридина) 2", Риrеля 1",43,
Сириуса 1",24. Последний дает
а < 0,00000602.
Самый большой
а < 0,000009696.
СROлько ни мало таким образом должно полаrать а, следовательно
и все вообще линии, какие MorYT подлежать нашему измерению,
в уравнениях (17) тем более можем довольствоваться низшими cтe
пенями боков треуrольника, что здесь в функции входят или одни
четные или одни нечетные степени.
Сумма уrлов, даже и в таких треуrольниках, которые теперь
рассматриваем, чрезвычайно мало разнится от двух прямых. Если
означаем 2Ф ату разность, то из последнеrо уравнения в (17), пола
'It 'It
rая В === 2 j А === "2 2р; С == 2р 2Ф, леrко находим
COSF ( ) === Vtangw. tang (2р Ф),
отсюда
sin (р ф)2 === sinp2 соВ 2р . cosF (; )2.
Если р' друrой паралакс, менее р, то
( а ) 2 8inp'2
cotF 7," < 2 ,.
::.. сов 'fJJ
Итак, с тою точностию вычисления, какую здесь нцдобно соблюсти,
можно полаrать
. ( Х ) 2 . 8inp' ( ' С082р
w < 2ps1n 7," ,rде slnX=== .
'" 81ПР С08",Р
Напри:vrер, для Сириуса р' === 0",62; для Rейды р === 1", следовательно,
в треУl'ОЛЬНИRе, который простирается до второй из сих звезд,
2Ф < 0",43.
Если б расстояние до звезды было тоже а, тоrда tang w ===
===cosF ( Y < tangp\!, rде 2р са:vrый малый известный паралаксдляа.
Например, ПОЛal'ая ? === 0",62, находим, что CYMM уrлс;)]; в таком
48
Н. И. ЛОfАЧЕЕ( ИЙ
треУ1'ольнике разнится от двух прямых менее, неЖЫIИ на
0",000003721).
Вообще в ПРЯМОУ1'о.тrьном треУ1'о.тrьнике, KOTopo1'O а, Ь катеты,
1': 2(1) сумма Y1'.тroB,
( еа 1 ) ( еЬ ] )
tang(l)== .
е а +1 е +1
Чем менее, с.тrедовательно, треу1'О.тrьнИR, тем суюш Y1'.тroB e1'O менее
разнится от двух прямых. Пос.тrе это1'О можно воображать, CKo.тrЬKO
эта разность, на которой основана наша теория парал.тrе.тrьных, оправ
дывает точность всех вычислений обыкновенной rеометрии, и Д03BO
.тrяет прин.ятые нача.тrа этой пос.тrедней рассматривать как бы CTpOI'O
докааанными.
Между тем нельзя не УВЛeIеаться мнением r. Лап.тrаса, что види
мые нами звезды и ,м.тrечный п.)'''Ть принад.тrежат к одному To.тrЬKO
собранию небесных свети.тr, подобному тем, которые усматриваем как
слабо M рцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, RозеРО1'а
и проч. Птак, не 1'оворя о том, что в воображении пространство может
быть продо.тrжаемо неО1'раниченно, сама Природа указывает Ha I такие
расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостию даже и
раССТОЯШIЯ нашей зем.тrи до неподвижных звезд.
Пос.тrе 8T01'o не.тrьзя утверждать более, что предпо.тrожение, будто
мера .тrиний не зависит от Y1'.тroB предпо.тrожение, которое МНОI'ие
reoMeTpbl хоте.тrи принимать за стрО1'ую истину, не требующую ДOKa
зате.тrьства, может быть оказа.тrось бы приметно .тrожным еще прежде
неже.тrи перейдем за преде.тrы ВИДимо1'О нами мира.
С ДРУ1'ой стороны, мы не в состоянии ПОСТИ1'ать, какая бы СВЯ3Ь
Mo1'.тra существовать в природе вещей и соединять в ней ве.тrичины
CTO.тrь раанородные, каковы .тrинии и Y1'.тrbl. Птак, очень вероятно, что
ЕВlе.тrидовы по.тrожения одни To.тrЬKO истинные, хотя и останутся на
все1'да недоказанными.
Еак бы то ни бы.тrо, НQвая rеометрия, основание которой уже здесь
по.тrожено, если и не существует в природе, тем не менее может
существовать в нашем воображении и, оставаясь без употреб.тrения
д.тrя измерений на самом дe.тre, открывает новое, обширное по.тrе д.тrя
взаимных применений rеометрии и Аналитики.
[От р е Д а к Ц и и. Да.тrьнейшая, основная часть сочинения Лобачев
СКО1'0 содержит основы аналитичеС1 ОЙ и дифференциальной 1'еометрий
нееВRЛидова пространства, измерени" п.тrощадей, поверхностей и объемов.
Лобачевский по.тrучает для них Форму.тrы В одних с.тrучаях в конечнои ви
1) В тексте Лобачевскоrо ошибочно стоит 0",000372. [Ред.]
о НАЧАЛАХ rЕОМЕТРИИ
49
де, в друrих в виде определенных пнтеrралов. Сравнпвап по.лученные
рС3УJlьтаты, ВblЧПС.ленные ра3ЛПЧНЬНIИ сиособаип, он получает как П3
вестные, TaI JI повые значеНИ5I некоторых определенпых ППТI rра.ТIОВ.
Сочинеппе заканчпвается следующим 3aI люченпеи.]
3аR.JПО'lение
Пос.ле Toro, как IЫ наmли уравненпя (17), которые представляют
заВПСПllIOСТЬ уrлов и боков треуrольнпкаj I оrда, нш онец, да.ТIП мы
общле выражения ДЛ5I элементов .iIПНПЙ, площадеЙ п объе,иа те.л, все
прочее в rеометрип будет уже аналитпкоЙ, rде псчисленпя необходп,ио
до,JIЖПЫ быть соrласны l\Iежду собою и нпчеrо не в состопнип открыть
нам HOBoro, ЧeI'О бы не заключа.пось в тех первых уравнениях, OTl yдa
ДО.пжны быть взяты все отноmенпя rеометрическпх велпчпн друr
к ДР.VТУ. Итак, если надобно предполаrать теперь, что какое нпбудь
противоречпе прпиудпт виоследствпп опроверrнуть начала, ПРИП5Iтые
пами в этоЙ новоЙ rеометрип, то это протпворечпе l\Iожет только
CI1:рываться в С<НIЫХ урав:непиях (11). 3аметпм однш о Ж, '1'1'0 а'l'l!
ура13неппя перехшпяются в (16) сферпчеCIЮЙ ТрпrОНО fетрпп как CI1:0pO
вместо боков а, Ь, с ставпм аУ 1 , Ь У 1 ; сУ 1; по в обыкно
венноЙ rеОхIeТРИП и сферичеCI,ОЙ Трпrопометрпп везде входят однн
содержапия лпниЙ: следовательно, оБЫI новенная Теояетрпя, Трпrо
но,reтрпя и эта новая rеометрия всеrда будут соrласпы :между собоЙ.
ECJ111 теперь аналптпка с новоЙ наЗ0вем вОООРU;Jlсае.ll-O'Й rеометрпеЙ,
в О'fJПIчпе от У1ютреоurпеЛb'fюи соrлаmены уже иежду собою, то можно
ОЖIIДать от тоЙ п друrоЙ взаИ lноrо пособпя. 8'1'0 ОЖПДaIпre кажется
нь бtJ3 uсноваипя после Toro, как, предположпвmп собствыню ДОС1'Пl'
нуть толыш одноЙ цели дать общпе ,правпла для измерения всех
rеометрпческих велпчин, пдя прямо к этоЙ це.'IП и дозволпвmи себе
;ШВЮХОДО:М ТОЛЬБ:О l1еКО1'орые при:менеНl1Я, МЫ были в СОСТОЯНIПI OT
КрЫ1Ъ значенпя определенных пнтеrралов, к позпапиlO которых одной
апа.lIIIТИI е, без пособия rеоиетрпп, трудно было бы ПРОЛОЖII"lЪ lЮрО1'У.
Оставалось бн исследовать, КaIюrо рода перемена пропзойде1' от
введенпя воображае:моЙ rеометрип в ]\;IехаНПI У, II не встретптся .ТIП
здьсь ПРИНЯ1'ЫХ уже п несомнительпых понятпЙ о прпроде веIнеЙ, но
ROTOIJble припудят нас ()1'vанlIЧИl3аТЬ lIЛП СОВСЬМ не допускать за13ПСИ
lIIOСТП лпниЙ и уrлов. ОдпаRО K можно предвиде1Ъ, что переl\lены
в JliIехаипке прп новых нача.тrах rеОl\1еТРПИ будут '1'01'0 же рода, ЕШI не
IШI,айал Т. Лашшс (lV1 саniЧl1е celeste. Т. 1, Liv. 1, СЬ. П), предпо
Лal'3Я возможной ВСЯI УlO зависииость CI орости от силы, плп Bыpa
8Ш\ЕС5I вернее преДIlОЛal'ая спды, изхшряе:мые всеrда СRОРОСТПIO, под
ЧПНtJННЫJ\IИ ДРУJ'О;Ну закону в соедпненип, нежели прпнятоиу, сложе
нпlО пх.
4 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОЕА ЧЕВСКИЙ
ВООБР АЖАЕIIАЯ rEfНIEТРШI
[ПЕРВАЯ ЧАСТЬ СОЧИНЕНИЯ]
(1835)
llред.пожение ХН ЭВR.пидовых начал прпнято в I'ео:метрии ЕаЕ
ощутите.пьная истина, которую cTporo докааать математичеСRП напрасно
труди.ппсь в продолжеIПIИ двух тысяч лет. Особенно аани:ма.ПСЯ этим
пред:метшr Лежандр, и в ааписках француаСRОЙ АRадемии собрал все,
что по ero :мнению Rааалось более удовлетворительным (Reflexions sur
differentes manieres de demontrer la theorie des paralleles ou lе theoreme
sur lа somme des trois angles du triangle, рат Legendre. Memoires de l' Acad.
тоу. d. Sciences de l'Inst. de France, Тоше ХН, an 1833) 1). Кто ни
думал найти решение аатруднительноrо вопроса, все беа исключения
ошибались, будучи предубеждены в справедливости Toro, что не можр-т
еще слеДО13ать прямо иа наших понятий о телах, беа пособин наблю
деIПIЙ, как я, ДyNrаю, ДОRааал это неСО:МIПIтельно в моем сочиненпи
О 'Нд'цдлах reoMeтpuu. llаложив новую теорию параллельных, я YTBep
ждал, что сумму уrлов прямолинейноrо треуrольника, неаависимо от
иамеренпй на самом деле, :можно допускать менее ПОJЮВИНЫ ОRрУЖ
ности 2 ), И на таком предположении основать друrую I'еометрию, EOTO
рую наавал я вообрШJ/саКI!ОЙ, и которая, если .не сут:ествует в природе,
по крайней :мере до.пжпа быть принята в Аналитике. С по:мощиIO одних
rеометрических построений выведены были уравнения, Еоторые пред
станляют ааписимость боков и уrлов прямолинейноrо треуrолыпка;;
наконец даны выражения для еле:ментов ЛИIПIИ, поверхности и объема
1) ЕРИТИI,а дщ,азательств ЛеЖRIЩPа и Бертрана дана ЛобачевCI,ИМ во «BCTY
плении» I, сочинению «Новые начала rеомеТрШI с полноЙ теорией параллельных!>
(в настоящем сборнике зта часть «Вступления» опущена). [Ред.]
2) Имеется в виду отношение ДЛИНЫ полуокружности к радиусу B евклидо
воЙ rеометрии, т. е. ЧИСJIO '/t. Отношение ДJIИНЫ щ,ружности К радиусу в reoMeT
рин Лобачевскоrо зависит от радиуса. [Ред.]
ВООБРАЖАЕМАЯ rЕОМЕТРИЯ
51
те.п; а следовательно воображас::ная Теометрпя, ItaIt новая отрасль
МатематичеСI\ИХ наук, обня'.rа была во всей обширности, чтоб не OCTa
вить более со:инения в справедливых и достаточных ее на"ш.Пах.
Между те:и в тесных пределах повременноrо сочинения не Mor пзло
жить я Moero предмета со всеЙ подробностию. MHoro предложенпй,
по:мещенных без ДОI\азате.пьства, одни выводы из продолжитеJIЬНЫХ
и довольно запутанных вычислениЙ, заставляют меня подозрепать,
'11'0 мое сочинение, казавшись с первоrо RзrJllIда темным, предупре
ждало охоту заняться им с неЕОТОРЫМ впи:иание:м и даже моrло подать
повод усумниться в строrости Moero суждения и в верности BЫBeдeH
ннх заI\лючениЙ 1). Эта причина по нудила меня ИСI\ать друrОl'О спо
соба увериться самому в истине мноЙ ДОI\азанноrо и потом осме.ПIlТЬСЯ
сще раз представить мои исследования на суд ученых. Теперь, OCTaB
ляя rеО Iетрпческие построения и выбирая краткий обратный путь,
намерен я показать, что rлавные уравнения, которые нашел
.!l д.пя зависииости сторон и уrлов треуrольника в воображаемой
rеометрии, :иоrут бы''ьь приняты с пользою в Аналитике и нпв:оrда
не приведут к заI\лючения;vr ложным, в кав:ом бы то ни было
отношении 2).
Пусть е означает основание Непперовых лоrарифмов, 'It содержание'
ОЕрУЖНОСТИ к попереЧНИltу 3), то са:иое число, которое принято в упо
1
требительноЙ Теометрии. Пусть а' ЕакоЙ нибудь уrо.л ::>- О, -<:: "2 'It;
а число, КОl'орое вместе представляет сравнительно прямую линию,
1) Статьи О началах rеометрии помещены были в Еазанском Вестнин:е за
1829 и 1830 rоды. В ;м 41 :JI\:урнала Сын Отечества J 834 rода напечатана критика,
весьма оскорбительная для меня и, надеюсь, совершенно несправедливая. PeцeH
зент основал свой отзыв на том только, что он моей Теории не понял и почитает
ее ошибочноЙ, потоиу что в IIpимерах встречает один nелепий иитеrрал. Впрочем"
l'aIюrо иитеrрала не нахожу я в моем сочинении. В Ноябре месяце проmедшсrо
{'ода послал я к Издателю ответ, которыЙ, однако ж, не знаю почеиу, до сих пор"
в продолжении пяти месяцев, шце не напечатан.
[Текст критики, о котороЙ I'оворит ЛобачевскИЙ в этом примечанни, IIpиведен
в сборнике «Материалы для биоrрафии Н. И. Лобачевскоrш) под ред. Л. Б. Moд
залевскоrо, стр. 358 362; указания об авторе зтоЙ критики СМ.: Н. И. Л о б a
ч е в с к иЙ, Полн. собр. соч., т. 1, стр. 406 407. Ред.)
2) После этоrо вступления ЛобачевскИЙ начинает изложение своей rеометри
ческой системы. В отличие от cBoero первоrо сочинения «О началах rеометрии»
он исходит здесь из новой установки, получая результаты не синтетическим,
а аналитическим методом. Об зтом см. во встуШIтельноЙ статье А. П. Нордена
к сочинению «Воображаемая rеометрия» (Н. И. Л о б а ч е в с к ий, Полн. собр.
соч., T. llI, стр. 12 13). Еомментарии к приводимоЙ здесь первой части
сочинения Лобачевскоrо, сделанные А. П. Норденом, помещены там же,.
стр. 71 80. [Ред).
3) См. примечание 2) на предыдущей странице. [Ред.]
4*
52
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
II которое можно наii:ти ПОNIOЩ1ПО одноrо И3 таrпrх уравнений
1
cot а' == е а
2 '
2е а
sin а' ==
e a+ 1 '
е 2а 1
cos а' ==
e 2a +l'
, 2е а
tang' а == " l '
er:.lI,
1
cota' == 2" (ea e a).
Обратно уrол а' опреДЫ1яется числом а, Бсеrда По.JIожптельным.
Вообще над бун:вой, которая предстапляe'l' подобное чпсло, будем CTa
впть ударение 1), "IТобы 031rачить уrол н тои же ОТIIошеrпrп к первоЙ,
в rеакой завпсимости нреДПО':1arае;vJ а' с а.
В ПРЯМОJ1инеЙНОNl ПРЯМОУ1'ОЛЬНО;v1 'l'реУ1'ольннке пусть l' I'ппоте
нуза, р'и q Ka'l'e'rLl, r II Q ПРОТ:ИВОПОJIOжные пи У1'ЛЫ. В преДIIоложе
1
нип Р + Q < 2" 71:, допускаем
sin 1" == sinp' sin q',
(1)
(2)
(3)
sin 1" == tang' Р tang' Q,
tющ' 1" == tang'p' sin Р
и ПОСМО'l'РIПVI, К каКIIМ заключепиям поведут далее таrепе ураI>НСНПЯ.
Соедппен:ие перпоrо с 'l'ретьим дает
cos 1" sin Р == cos р' sin q'.
[3а]
ВSЯВШII квадрат па обеих сторонах и IIостаl>Я сюда sinp' П3 ypaB
:Rенпя i ), находим
cos q' == cos 1" cos Р
(4)
.без пбоюдпости знаков прп rI3влеченип rшадратноrо !;корня, потоыу
что все уrлы острые.
Исrелючаем 1" П3 ураннепий [3а], (4)
tang' Р == cos р' tang' q' .
(5)
'1'0 же делаем с уравненинып (2), (3).
sin Q == sin р' cos Р.
(5)
Из уравнений (1), (4) ще нахОДIШ [с Y'1eTOl\I (5)]
tang' 1" == tang' q' sin Q.
1) To eCTЬ штрих ('). [Ред.]
ВООБРАЖАЕМАЯ rЕОМЕТРИЯ
53
Это последнее ура13нение в отношенпи :к q', Q то же, что бы:.ло (3)
ДЛ5I р', Р, а следова'fельно, ето соединение с первыми двумя (1), (2)
должно произнести уравнепин, подобные (4), (5), (6), та:к ЧТО число
IIХ будет десять, :которые все в отношении 1{ частя:\[ треуrо.льнпка
илп состав,лены спыыетрпчески, илп без различия принадлежат тому
n дрyrому :катету с ПРОТПВОПОJЮЖНЫ:\lИ УI'ла,'ПI.
Пусть вообще о, Ь, с три стороны прямолпнейноrо треуrольни:ка;
1 1
А, В, О против них уrлы. lIолаrаеи наперед А < "2 те, в < "'2 те (чеР'f. 1),
таЕ: :каЕ подобные два уrла должны всетда найтись в треуrОЛЬПИI{е.
И:J общей точки о, с Ь опус:каем перпендикул х на с, l'де он отреже'.r
[ yrлу А линию У, [{ уrлу В линию c y == Z. ДЛЯ ПРЯl\IоуrОЛЬНОI'О
треУI'ольни:ка с бокаии Ь, х, У,
основываясь на уравнении (3),
с
tang 11' == tang х' sin А.
х
ппшем
Дли ПРЯ'Iоуrольпоrо Tpe
yrольпи:ка П3 о, х, z такии же
образои
tang о' == tang х' sin В;
следовательно
А
у
c y
tang о' sinA == tang 11' sin В. (7)
Черт. 1.
То :I1\:е бы нашли, преДПОЛОЖИБШП [,чТо] одпп из уrлов А, В тупой.
В прямоуrольном треуrольни:ке П3 Ь, х, У, соrласно с ура13нениеы (4)
сов у' == сов Ь' сов А.
Откуда
е 2 у == 1 + сов Ь' сов А
1 сов Ь' сов А .
ТаЮIИ же обраЗ0М в треуrольни:ке И3 о, х, z:
e\Jz == 1 + сов а' сов В
1 сов а' сов В .
Ilотш.I
1 + сов а' сов В
е 2с ==
1 сов а' сов В
1+совЬ'совА
1 COBb'COBA .
(8)
Ес.7:Ш один И3 уrлов, напри;\[ер А, тупой (черт. 2), то перпеНДIШУЛ х
упапет на продолжение бока с в ТОЧI{е, :которой расстояние у ОТ
острея А п z == с + у от В. В такт\-[ случае
сов у' == сов ь' (;ов А, сов z' == сов о' сов n,
54
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
потом
е"у === 1 СОВ Ь' СОВ А
1 + С08 Ь' С08 А '
1 + СОВ п/ СОВ В
e'2z ==
1 СОБ а' ("()В В .
Соедппепие двух последних уравнений 'J;aeT сН(ша уравнение (8),
с
в
Черт. 2.
I OT():roe следовательно принадлежит вообще всю! треУI'О,'IЬНIIЕаи и
может быть еще представлепо пначе
, N (e2C 1) (е 2С + 1) СОБ Ь' СОВ А
cos а cos ===
(е 2С + 1) (e2C 1) СОВ Ь' СОВ А
и.ли, следуя принятоиу 0значению, папише:и
СОБ с' СОВ Ь' СОБ А
cos а' сов В ===
] СОВ Ь' СОВ с' СОБ А .
(U)
Возвысин В квадрат, ставим сюда значение cos В И3 уравненпя (7)
{ СОВ с' СОВ Ь' СОВ А } 2
cos 2 а' Bin 2 а.' sin 2 А cot 2 11' ===
1 СОВ Ь' С08 с' СОВ А .
ОТЕуда находим
. 2 , ( + . 2 А t 2 Ь ' ) . 2 J 1 сов2 Ь' сов2 А
SIn а 1 Sln со Sln с (1 Ь ' , 1) "
. СОБ СОВ с COB. <
Умн()жив па sin 2 ь' п рас!Делив на 1 сов 2 Ь' cos 2 А, наЕонец по.rrучпм
Bin Ь' Bin с'
. , === 1 cos Ь' cos с' сов А.
Бlna
(10)
Пропзведепие 8 TOl'O последнеrо уравнения на уравнение (9) дает таЕое:
cot а' сов В sin ь' sin с' === сов е' cos ь' cos А,
Еоторое, со введепиеи сюда значения cot а' П3 уравненпя (7), пере
меняется в
. ., СОБ с'
cotBBlnA вше +cosA === b"
СОВ
(11)
ВООБРАЖАЕМАЯ rЕОМЕТРИЯ
55
Откуда
сов е'
cos ь'
cot В sin А sin е' + сов А
Уравнение (11) н том же треуrольнике дает еще
t C ' .11 ' ' + совЬ'
со Sln Sln Ь cos 1 .
сов r
ПОСJ1е чш'о
(cotB sin1'l sin с' + cos А) (cot С sin.11 sin ь' +cosA) 1.
Отсюда
t С . Ь ' sin А cot В sin е' сов А
со Sln t В . А . , + А .
со Sln д Sln е сов д
Ilропзведение этоrо уравнения на (11) будет
cot С сов с' tang" Ь' sin А cot В sin.c' cos А.
Ставим сюда значенпе tang ь' И3 уравнения (7), наперед пере:иенив
здесь а', 1 на с', с:
sin с' cos С sin А sin В cos В cos А sin с' .
Это последнее уравнение разделив на sin с' и заменив БУI ВЫ ДРУl'lIЫИ
в том же треуrОЛЬНИI е, получим
sinB sin С
cos.11+cos13cosC . , . (12)
Slna
Уравнения (7), (10), (11), (12) для всякоrо треУl'ольника будут,
следовательно, такие:
сов е'
cot А sin В sin с' + cos в О,
сов а
tang а' sinA tang ь' sin13 О, )
I
\
J
(13)
sin Ь' sin е'
cos А cos ь' cos с' + . , 1 О,
Slna
sinB sin С .
cosA+cos13cosC . , o,
Slna
Bcero четыре и rде а', ь', с' можем переставлять, делая то же COOT
ветственно с А, В, С, покуда произ()йдет 15 уравнений Д.:Iя одноrо
треУ1'ольника с произвольны'МИ бока ПI а, ь, с.' И3 всех этих урапне
ШIЙ стоит выбрать три различнЫХ, чтобы выпести ОТСlOда прочие.
Например можно довольствоваться одним ВТОрЫ i, отнеся ero ко всем
уrла.'l треуrОЛЬНИI а. Чтобы увериться в этом на самом деле, заметим,
ЧТО, поставивши а V 1 , Ь V 1 , с V 1 , вместо а, ь, с и, следова
тельно,
1
V 1 tang а
V 1 sin а,
сов а
вместо
sin а'
c9s а'
cot а' ,
56
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИй
уравненпя (13) переыепяе:и в таI пе:
sin ] sin Ь sin В sill ((. == О, )
cos А s in Ь sin с + cos ь cos с cos а == О, I
cotA sinB+ cos Bcos c cotasinc == О, f
cos А + cos В cos С sin В sin С cos а == О J
(14)
пзвестные УJJ<tвненин Сферическо:1t ТрпrОНО1\ШТРПИ и которых спра
ведливость, CI ажу :МИхЮХОДОЫ, доказал я в Moe I сочинении о нача
лах rеометрпп, независиио от предположения о суыые уrлов прямо
линеiiноrо треуru.льника. Второе из ураВНf\ниi1 (14), как всякиЙ знает,
будучп принято без различия для всех боков и уrлов треуrольника,
заключает уже в себе и oCTa.;rLHLIe три. После этоrо дозволяется
утверждать, что своЙства ПРЯ.\lОлинеЙных ТJJеУI'ОЛЬНИН:ОВ, оправданные
B'.rOpblXI пз уравнениЙ (13), не встретЯ'I' противоречия в трех ДРУПIХ,
а следовательно, и во всех вообще вычнслениях, основанных на
уравн ниях (13).
Теперь посмотрим, удовлетворяют ли уравпепия (13) тем YCJIO
виям, при которых составление всякоrо треуrольника возможно. Тан:нх
условиЙ, независиыо от значения суы:м:ы трех УI'ЛОВ, находится толыш
два: составленuе rпреУ;:ОЛЬ'НlИl;а вСЯl1;U-й раз воз.IЮЗ/СНО, l.o;:8a даны или три
стороны, из 'Которых CY.I'.t-..l!а двух более третьеЙ, или две ст,ороны и у;:ол
.I!сз/сду ни.\/и 11роuзвольныс. 8тоыу последне:му требованию уловлетворяет
второе из уравнениЙ (13), ПОТОЫУ что здесь
8in Ь' 8in с'
sin а' ==
1 С08 Ь' С08 ,,' 1'08 А .
JYlежду тем, каковы два бока Ь, с и уrол А ни будут, всеI'да
1 + 2 sin\! А cos Ь' cos с' > cos (Ь' с').
.
Прикладывая на обеих сторонах cos Ь' cos с', получим
1 cos Ь' cos с' cos А> sin Ь' sin с'.
Пос.ле чеrо sina' < 1 и, следовательно, уrол а' с линнеЙ а деЙстви
тельные числа. Что :касается до друrоrо условия, то иа BToporo ypaB
нения (13) наХОДПJ\I
1 8in а' 8in Ь' 8in с'
cosA== .
8т а' С08 Ь' сов с'
потом lIереходя от ТРИI'онометрпческих фУНI ЦИЙ к их зпачению в ли
ниях а, Ь, с
(е Ь + e b) (е С + e C) 2 (са + e a)
cos А == .. .
(е/ У e b) (ec e C)
ВООБРАЖАЕМАЯ rЕОМЕТРИЯ
57
Пусть а=== b c+d, то
,> 1 (p2ь+a 1)(p2C (1 1)
cos A=== (p b 1)(p2C 1) .
Пусть еще
c2b===1 +?, с 2С ===1+1, е а ===1+0,
так, что необходи:мо , 1, о положите.ЛЬНЫU числа и при 1'0::\1
d>O,
>- 1,
1>0.
После этOI'О значению cos 2 А ::\1ожеи да'l'Ь ДIЮЯКИЙ ВIЩ:
cos 2 А === (1 ) { 1 + (1 6) },
2] A { 1 1 } 02.
COS 2 l o 1 Р(I+0) 1(l+o) '
2 1 А 21 1
первый доказывает, что COS"2 > О, а второй, чтu cos 2"' < 1,
n СJ1едовательпо, YI'o.тr А действительный.
Ище::\1 теперь сумму УI'ЛОВ ВО ВСЯКО::\! треУI'ольнике, чтобы решить,
как она предполаrается с 1'(-)::\1 в::\!есте, Rоrда уравнения (1), (2), (3)
будут приняты для ПРЯМОУI'ольноrо треУI'ОЛЬНlша. Разу::\!ея s === а + ь + с-
и начиная с
,,1 (e8 2a 1)(e' 1)
cos 2 А === (е 2Ь 1) (e C 1) ,
кан: сейчас ВlщеЛ11, не трудно продолжать 11 найти
. " 1 e8 2a(e' 2b 1)(e' 2C 1)
Sln 2 А === (e2b 1) (e2C 1) ,
1 1 e8 1 C " 1
cos 2 А cos 2" в === e C 1 е 2 sin 2 С,
2c
. 1 . 1 е 2 е 2
Sln"2 А Sln 2" В === е 2С ]
. 1 С
Sln ,
2 '
1
. 1 1 _ 28 a e8 2b 1 1
Sln 2 1 cos 2 в с е 2С 1 cos 2 С '
1 1 8 bp' 2a 1 1
СОБ 2" А cos 2 в === с 2 e C 1 cos 2" С,
1 B е' + рС . 1
cos 2 (A+B)===c 2 c+1 sш 2 С,
1
. 1 2вe a+e b 1
SШ 2 (А +В) ===с е С + 1 cos 2 С '
1
COS (A+B+ C) === ( e : \ e b) с 2" sin Ccos С.
-58
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
. 1 С 1
Ставя в это последнее уравнение значения sln 2 ' COS"2 С, получим:
1 . V(e8 1)(e8 2a 1)(e8 2b 1)(e8 C 1)
cos 2 (А+В+С) == (са + 1) (е Ь + 1)(еС+1)
число менее единицы, потому что уrлы А, В, С действительные,
ItaIC мы уже ДOlсазали. Это число вместе положительное, потому что
С < 'It, II HaItOHeII не делается нулем, покуда Itаждые две стороны
треуrольника более третьей; а следовательно, А + В + С < 11:, един
ственпое предположение, которое до сих пор в rеометрии нельзя было
опроверrнуть.
в этом само;\! предположении, чтобы дополнить всё rеометрическut:\
учение, остается теперь указать только способ, каким образом должны
,быть измеряемы линии, поверхности и объем тела. Способ к тому
сам собой уже представляется, коrда заметим, что для весьма малых
C'l'OpOH а, Ь, с в 'l'реуrольнике и коrда можем довольствоваться в при
ближении значениями
., 1 2
юпо' ==l o'
2 '
cos а' == а,
подобным образом ДJIЯ Ь, с; уравнения (13) сделаются
ь sin А а sin В == О,
,
I
>
I
J
(15 )
0,2 == Ь 2 + с 2 2Ьс cos А,
sin (А + В) sinA == О,
а
cosA+ cos (В+ С) == О
уравнениямп для прямолинейпых треуrольников в употребительной
l еометрии 1).
1) Далее, в ЗaI.люченин первоЙ части uuчинения Лобачевский подводит итоrи
полученным ранее результатам, формулируя их в виде пяти':пунктов.' ,
В первых двух пунктах он утверждает, что постулируеJ\fЫе имJ;т риrономет
ричеСRIIe соотношения не противоречат положеНII.ш.I абсолютной' reoметри О
считает, что оБОСНОВ\1Л ЭТу:'снепротиворечивость,;показав, чт тре может
быть -.построен по TeM' же сданным '[и' с)тем;;:жe:iоrраничением' дл я"-:цлиIi ' op ,
что. и I! rеометр Евклида:!.I{:онеч о;' с современноЙ]; очки з ш Z; о .'д ::
тельство нельзя считать строrим.
В третьем пункте ОН['l'оворит, что «Воображаемаяlrеометрия»10бним ает упот
ребительную rеометрию как частный случаЙ,';:;;разумея под. частн ыМ слУч ае.:>.! '.ro,
что мы назвали бы тепер предельным случаем.
В четвертом пункте констатируется вытекающая из TpeTbero пункта общность
отношенИЙ, которые имеют место в бесконечно малом в обеих'irеометриях.)
Наконец, в пятом пункте, снабженном подробным пояснением, он указывает
на то, что ОПЫТ (т. е. астрономические наблюдения) не позволяет заметить отля
"ЧИе reoMeTpmr реальноrо пространства от rеометрии Евклида. На этом основании
ВООБРАЖАЕМАЯ rЕОМЕТРИЯ
59
После всеро 8ТОРО мы в праве утверждать:
1. В теории 'НU'lипо 'Не J tешает cy. b. bY уzлов пря..\юл'u'Не-z{'НОZО треуzоль
ц,ика при'Нимать JИ13'Нее двух пря.иых.
2. О тШIfUJ.t предпОЛО3lсе'Нuе.\t урав'Не'Нuя (13) ЗG..\tC'Няют уравне'Нuя (15)
lЬ 'Не . юzут вести '}f; ЛОJ/С'НЫ.1t За7f:ЛЮ"W'НUЯJ.t.
3. Вооора:J!f;пеJ!tая rеОJиетрuя оо'Ни.пает упоmреоuтель'Ную rеОJИ1311f]JftЮ,
s.:a1i "ШCrJ1'НыЙ СЛУ"ШЙ, '}f; '}f;OтopoJ ty пepexoauJ.t, прu'Нu.\tGЯ лп'Нuu oecr.OHe"тo
J.taЛЫJ.tu: mШf: "ьто в этОJи от'Ноше'Нuu употреоuтель'Ная rео. tе111РUЯ J.ЮJ/сет
бъсщь 'Назвu'На rе().иетрuя дuффсре'Н'Цuаль'Ная.
4. 3'Наче'Нuя ОЛЯ елеJ w'Нтов ЛU'НUU, поверх'Ности U оо'ОеJ Ш тел в обеих
rео.иетр-uях одU'НШf:овы.
5. Пред1ШЛОJlсе'Нuе, "ьто су.,\tJ Ш уzлов mреУZОЛЬ'НUIf:а .ме'Нее двух пРЯJ.tЫХ,
;AWJICCт бить оопуще'Но тОЛЫf:О в прuJ wnе'l-i'ltu 1;;, l'НалuтUIf:е, пoтo.ltY ЧIilО
UЗJнсре'Нuя в природе 'не отlf:ръwают 'На.!>ь в этой Cy.\MIe шt J.шлейшеzо оr/11f:ЛО
нетlЯ от 1шловu'Ни 01f:PYJICnOCтU.
В моем сочинении О началах rео:vrетрии я доказывал 1), осно
13ываясь на некоторых астрономических наблюдениях, что в 'l'pe
уrОJ1ЬНИRе, котороро бока почти таЕОВЫ, кан: расстояние земли до
.солнца, сумиа уrлов может разниться от двух прямых не более
'о",оооооз ) в шеСТи"CJ:ес.я:тичных секундах ррадуса. Предположение упот
рр,f)птельной rеометрии надобно, следовательно, почитать KaIt бы
cTporo ДOItазанным, а вместе быть убеждену и в ТОМ, что независпмо
от опыта, напрасно было бы искать доказательства на таltую истину,
Iтторая еще не ЗaIt.:Iючается са:иа собою в нашем понятии о телах.
Может быть кому нибудь покажется с первоrо взrляда предположение
уравнений (1), (2), (3) столько произвольным, что еро леrко заме
НIIТЬ друrим; однаЕО ж 8ТОРО сделать нельзя, как доказал я в моем
.со'шнении о началах rеометрии. в са;иом деле, выбор здесь OI'paI-ПI
чен таlt ,МИ ус ловиямп , которым иначе удовлетворить IШВОЗl\IOЖНО.
Надобпо, чтобы из псрвых трех положений для ПРЯМОУI'олы-юrо
'треуrолы-шка нроисходили четыре уравненпя для всякOI'О, которые
-бы одпнаково прпменялись ко все),l частя:vr 8ТОРО последнеrо, а сле
дователы-ю, заключали в себе собственно 15 уравнений, единообразно
СОС'l'авленных для сторон и уrЛОR, кш скоро их отношение в Tpey
rо.;rЬНИltе остается то же. Надобно, чтобы в четырех уравнениях для
ВСЯI оrо треуrольникз заI лючались, ItaR частный случай, те три,
которые приняты в употребительной rеометрии. Надобно еще yдo
нлетворить двум требования:vr, чтобы составление треуrольника было
.он утверждает, что «Предложение употребительноЙ rеометрии надобно, следова
'теJ1ЫЮ, почитать как бы cTporo доказанным». [Ред.]
1) См. СТр. 45 48 этоЙ кшП'и. [Ред.]
.:о) См. примечание 1) на СТр. 48. [Ред.]
60
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИй
В03J\ЮЖНО, Ншюнец, прпсоедпняется условпе, Iюторое произво.л выбора'
уже совершенна уничтажает. Суыиа yr.;roB в треуrольнпке дол:ш:на
быть всеrда ыенее двух прямых и увеличиваться с возрастаппем
площадп ПРОIIорционально I недостаТI у в сумме уr;;юв против '11:.
ДtcJЙствптельно, е:ш:ели в треуrОЛЬНlп е сумиа уrлов 'I1: a:, а в дpy
rO)I '11: , И оба 'l'реуrОЛЬИfп а соединяются в ОДЕн, то здесь уже
СУЫ)Iа уrлов будет '11: а: . Это замечание остается верным даже
п в ТО:Н случае, IюrД<1' для составления треуrОЛЬНlп а И3 двух потре
буется делеиие на части и раСПОЛОJ-I ение частеЙ в ново){ ПОрЯДIШ
Па ТaIИИ своЙстве треуrОЛЬНИI ОВ можно бы основать уже полную.
ТtcJорпlU паР<1;а.lltcJЛЫIЫХ п, следовательно, всю Т'еометрию; но я пред
почел способ, IIз.;rO:iКeI1НЫЙ в моем первом сочинении об 8'1'0:М пред
мете, и I'де все ДOI азательства, с одними rеОJ\IетрпчеСI П,\[И постро
еНl1Я;\НI, н естеС'fнш{ним ходе самоЙ наУI И, совершенпо свободны 0'1:'
преДПОJюжения анаJIитичеCI ИХ фУНI ЦИЙ.
3аЙ)lе)!Ся теперь применениями I Аналитике, и в 81'01' раз, OCTaB
ляя способ ['еОJ\IетричеСI ИХ построений, для простоты и поверI И будем
ОСIIовываТLСЯ едпнственно на ОДИНaI ОВОСТИ значения tcJ.лемептuв в той
и друrоЙ rеометрии.
[О т р е Д а It Ц И п. Всю остальную часть cBoero сочиненпя JIоба
чевскпii посвящает вычисленшо площадей, поверхностей и объемов,
суш:ественно дополняя резу.;rЬ'l'аты, по.;rученные им в сочиненпп «О
началах l'еоме'l'РИИ».
СО'lIIнение «ВообраJ'Еаемая rеометрия» заканчпвается следующими
словами: ]
Покуда в воображаемой rеО:Нf\ТРПП дело идет о линиях одиой
крпвизны п площадях, такимп лпниями оrраниченных, ыце вычи
С.1Iеппе может быть понимаемо, кю повторение Toro же, I aI Oe должно
выходпть для Clппий на сфере с прибавлением I величине AYI' MHO
жптеля 11 1. Эту перемепу дозволяет АнаЛИТИI а во ВСЯIшм роде
уравпеппй п приводит всеrда I новым и несомнительно верным за
I лючениям. В измерении же линий двойной I рПВИ3НЫ, поверхностей
и объема тел нельзя более ДОВОЛЬС'l'воваться одним аналитпчеCIНI:\l
изыенением вида; папротпв, еше требуется, чтобы представление
в пространстве было В03J\ЮЖНЫМ дЛЯ нашеrо воображения. Кажется
мне, что излткенное здесь новое rеометрпчеСI ое учение ни в I aI O l
отношепии не протпвно понятию о телах, и переходя в анаЛИТlпtу,
может обещать подобную ПОЛЬ3У той, I aItую В приыененпи OIta3blBae'l
употребпте.1Iьная rеометрия.
НИI ОJАЙ ИВАНОВИЧ ЛОВА ЧЕВCI ИЙ
НОВЫЕ НА .IАЛА rЕОМЕТРПП
с ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕJlЫIЫХ:
(1835)
Вступление 1)
Всем извес'l'НО, что в rео;не'l'РИИ 'l'еорпя параллсльных до сих пор
оставалась неСОRсрrnенноЙ. Напраснuе С'l'арание со времен Евклпда,
в продолжении двух 'lыIячч ле'l', заС'l'авили меня подо: рева'lЪ, Ч'l'О
В самых понятпях еще не заI лючае'l'СЯ 'l'ОЙ ПС'l'ииы, КО'l'орую ХО'l'ели
ДOI а3ывать и которую проверить, подобно друrи:м физическим законам,
1) Во вступлении Ь «Новым началам rtJuметрпи» Лобачевсь иЙ, упомянув ь раТ1Ю
о <;воих предшествующих работах по «воображаемоЙ rеометрии», ь aь он пазывал
построенную им rеометричесь ую систеJ\-ry, ув:азьшает, что настоящее сочинение
являетея подробным изложением ero новой rеометрии.
()н начинает с детальноrо анализа важнеЙПIИХ современных ему попытоь
ДOIшаать пятыЙ lшстулат EBI,mrдa.
Далее он выясняет отношение ero rеометрии 1, rеометрии еш,лидовоil и
рассматривает вопрос опытной провеР1,И приложимости тоЙ или иной rеометрии
Е реальному иространству.
КРИТIШУЯ обычно принятыЙ способ изложепия rеометрип, восходящнii: ещс.
1, «Началам» ЕВRлида, при I,OTOpOM вводимые формально понятия 'fОЧRИ, линии,
ппверхности, протяжения и т. п. не ИJ\-ICют ясноrо содержания, Jlобачевсш-rЙ пола
raeT, что в основу следует положить понятие, ОТРа.1!;;ающее наиболее существен
вые пространственные своЙства материальных предиетuн ОR,ружающеrо нас мира,
понятие rеометричеСRоrо теда.
PaCCJ\-Ш'l'ривая далее роль синтеза и анализа в rеометрии, Лобачевы,иii: Y1,a
.зьшает, что, прежде чем прибеrать 1;; аналитнчеС1,ИМ методам, необходимо YCTa
новить на основанин опытноrо исследования и рассуждениЙ НClштuрые uCHoBHble
положепия, привести их в систе:\IУ и разработать пастолы,о, Чfобы они моrли
служить твердым основанием для введения и применеиия 1ЮОРДI-шатноrо анали
тичеСlюrо метода.
В ЗRI,JIючительном разделе вступления ЛобачеВСI,ПЙ высn;азьшает И<;llовные
положения, на 1,оторые опирается теория измерения длин, уrлов, площадей и
объе],юв.
Подробные прпмечаш-rя 1, «Вступлению», сделанные Б. Л. Лаптевым, поме
.щены во П томе Полн. собр. соч. ЛобачеВС1юrо, стр. 455 465. [Ред.]
62
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
MorYT лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблю
дения. В справедливости моей доrадки будучи наконец убе",1 ден, и
почитая затруднительный вопрос решеННЫ;\,I вполне, писал об Э'1'О;\.l
я рассуждение в 1826 rоду 1). Применение новой теории к аналит:шее
находится также в статьях под названием о 'нд"taлах reo.l!C1пpиU, поме
щенных в Н:азанском Вестпике за 1829 и 1830 ['оды 2). l'лавное заклю
чение, к IeO'1'opoMY пришел я с предположением зависимости линий ОТ'
УI'ЛОВ, допускает существование rеометрии более в оБШИРНО 1 смысле,
неже;;тп как ее представи.;:r нам первый Евклид. В 8TO 1 пространноы
виде Дал я науке назваЮIe Вообра;)/сае"l!ои reo"l-teтpи , rде IeaK частный
СJ1учай входи"1' Употребl/.тель'liaЯ rео.Jttетрия с тем оrраничением в общем
положении, KaKoro требуют измеренпя на са""юм деле. Достаточность.
новых начал предприним&, я докааывать в сочинf'НИИ, КО'1'орое было
недавно напечатано в ученых 3аписках l{азанскоrо Уюшерситета 3).
Желая достиrнуть этой цели хотя не прямым, но са IЫИ кратки:н
обратным путем, я предпочел в тот раа 0'1' оснований предположи
тельных ИДТИ к уравнениям для всех отношений и к выраженпп;н
для всякой l'еометрической величины. Если 6 открытие мое не при
несло дрyrой ПОЛЬ3Ы, кроме пополнения недостатка в начальном
учении, то по крайней мере внимание, кшеое постоянно заслужинал
этот предмет, обязывает уже меня к изложению подробно.иу. Начну
разбором прежних теорий.
Леrко докааать, что две пряиые, НaRлонеIШые под ОДНИ I уrЛО;\,l
к третьей, никоrда не встречаются, делаясь, такии обраЗ0М, перпен
ДИ:КУЛЯРНЫ к одной. Евклид полаrал обратно, что две линип, накло
ненные неодинаково к третьей, должны всеrда пересекаться. qтоб,
уверИ"1'ЬСЯ в справедливости послеДНeI'О предложения, прибеrали
к различным способам, то стараясь наперед отыскать сумму уrлов
в треуrольнике, то сраВЮIвая бесконечные плоскости в отверстии
уrлов и между перпендикулами, то допуская зависимость уrлов только
с содержаЮlем сторон, или, наконец, придавая новые свойства пря
мой ЛИЮIИ В дополнеЮIe к определеЮIЮ. П3 всех этих доказательств
1) Exposition succincte сlев principes de 1а Geometrie, ауес une demonstration
rigoureuse dп theoreme des ратаllе1ев, читано в заседаmпr Физико математи
ческоrо отделения при Еазанском университете 12 февраля 1826 rода, но не было-
НИI'де напечатано.
[Рассуждение «Exposition succincte ...}) было читано Лобачевским не 12 фе
вра. я 1826 rода, как указывает он в этом примечании, а 11 февраля 1826 roдa. Ред.}
2) Первая часть этоrо сочинения помещена в HacTomцeM сборниr_е (стр. 27
49). [Ред.]
3) В книжке 1 Ученых 3аписок 1835 rода под названием Во06ражае ая reo
tе'fl1рия. [Первая час'lЪ сочинения «Воображаемая rеометрия» помещена в Hacтo
ящем сборнике (стр. 50--------(0). [Ред.]]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА rВОМЕТРИИ»
63,
можно некоторые на:авать остроумными, но все вообще ложными,
недос/аточныlVIИ в своих основаниях и без должной СТРО1'ости
в суждении; между ними даже нет тако1'О, которое бы, соединяя
с простотой убедительность, мо1'ло быть одобрено для начинаю
щих.
Лежандр в 1800 1'оду напечатал третьим изданием свою re02\,Ie
трию 1), 1'де поместил предложение, что сум'ма У1'лов треУ1'ольника
не :может быть более 'i1:, двух прямых. Тут же доказывал, что такая
cY:\IMa не должна быть < 'i1:, выпустив однако ж из внmvraния то,
что линии МО1'ут не составлять более треУ1'ольника B:\IecTe с тем,
КО1'да значение суимы, выведенное по ДРУ1'ому способу, представляло
бы какую нибудь несообразность. Не почитаю нужным распростра
Н5IТЬСЯ здесь об этой ошибке, в которой сознался после сам Лежандр,
rОlJОрЯ, что хотя в основание взятые начала не подлежат сомнению,
но встречает, однако ж, затруднения, не будучи в состоянии победить
их 2). В 3аиисках Французской Академии 1833 Т'ода прибавил он еще
предложение; что сумма У1'лов должна быть 'i1: во всех треУ1'ольниках,
если такова в одном только. То же мне надобно было доказывать и
в моей теории, которую писал я в 1826 Т'оду 3). Даже нахожу, что
Ле:ш:ац.т-р неско;;:rько раз попадал на ту ДОрО1'У, которую выбрал я так
удачно; но, вероятно, предубеждения в пользу ПрИНЯТОТ'О всеми IIО
ложеШIЯ заставляли на каждом ша1'У спешить заключением или дo
ПОЛН5IТЬ тем, че1'О бы нельзя было допускать еще в новом предполо
жении. Рассмотрим все то, что напечатал он об этом предмете
в 3amюках Французской АкадеlVIИИ 1833 1'ода.
[О т р е д а к Ц и и. Далее Лобачевский приводит известные «ДOl;:а
зательства» V постулата Евклида и предложений ему равносильных.
Неправильность этих доказательств устанавливается Лобачевским при
помощи соотношений ТРИ1'онометрии в неевклидовом: пространстве.
Элементарное изложение Э'l'ИХ вопросов имеется в очерке В. Ф. Ка1'ана
«Учение о параллельных линиях до открытия неевклидовой 1'eo
меТРИII» (см. В. Ф. Ка1'ан, Лобачевский и е1'О 1'еометрия, И., 1955,
стр. 21 69).]
') А. L е g е n d r с, ElI';ments ае Geometrie, 3 e изд., Paris, 1800, стр. 472.
(I\;ниra 1, предл. 19 и 20, стр. 21 25.) См. В. Ф. I а l' а н, ЛобачеВСЕИЙ и еl'О
l'еометри.я, М., 1955, стр. 54 и след. [Ред.]
2) Вот собственные слова Лежандра: «Nous devons avouer que cette seconde
proposition, quoique le principe ае la demonstration fut bien connu, nous а presente
асв difficultes чие nous n'avons ри entierement тевоиате». (Memoires ае l' Асаа.
u вс. de l'Inst. ае France, Тоте ХН, 1833, р. 371.)
3) Это предложение ЛобачевскиЙ доказывал еще в лекциях по rеометрии"
читанных в 1817 roдy студентам Физико математичеСЕоrо отделения I азаискоrо.
университета. Соответствующий отрывок из записей этих леЕЦИЙ приве;цен на.
стр. 504 Н тома Полн. собр. соч. Лобаче:вскоrо. [Ред.]
64
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
в теории парал.лельных дуиали принять етце за основание, что
.
в треуrольниках уrлы должны зависеть от содержаиип С'l'ОРОН 1).
с nepBoro раза такое положение кажется СТОJ1ЫСО же просты.м,
сколько неоБХОДПМ:Ы:\1; но коrда вникаеи в нашп поиятпя, откуда
берет оно свое начало, то принуждены называть Ю'О тш же ПрОИ3
ВОJ1ЬНЫМ, 1 a1 и все друrие, к которым до сих пор ирпбеr<tJlll.
В прпроде :\1Ы П03IIaем cof)cTBeHHo толыtо движение, без KOTOpOl'O
чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие поннтпя,
напри lCР, rеоиетричеCItие, произведены нашпи У1"lОи нскусстненно,
будучп R3я'lыI в cBo1icTBax движеНПЯj а потоиу пространство, са;\ю
собой, отдельно, для нас не существует. Иослр чеrо в нашем уме
не может быть Нlпсакоrо противоречия, коrда иы допускаем, что
некоторые силы в прирuде с.ледуют одной, друrие своей особой
rеО:\IeТРИИ. Чтобы пояснить 8ТУ иыс.ль, полаrаем, как и мноrие в 8ТОМ
уверены, что силы притяrательиые слабеют от распространения свош'о
деЙствия по сфере. В употреf)Iпельной rеометрии величину сферы
иринпмают 4'11:1,2 для полупоперечника r, от чеrо спла должна уиепь
шаться в содержании к квадрату расстоянпя. В вообраЖШJМОЙ I'eoMeT
рип нашел я nOBe1JXHocTb шара
т.: (e r e r)2,
и та1СОЙ rеометрии, может быть, следуют молекулярные силы, KOTO
рых за тем все разнообразпе будет зависеть от ЧИС.па е, Rсеrда весьиа
большоrо 2). Впрочем, пусть 81'0 чистое нредиоложенпе только, для
подтверждения KOToporo надобно поискать друrих убедительнее ДOBO
дов; но В том, однако ж, нельзя СО:\lнеВ<tТЬСЯ, что силы всё ПрОИ3
водят одни: движение, CI орОС'JЪ, вреия, :массу, даже расстояния и
уrлы. С силами всё находится в тесной СВЯ3И, КО'l'орую не ИОСТНl'ая
в сущности, не можем утверждать, будто в отношеппе разнородных
величин между с060Ю должпы 'l'олыCQ входить их содержапия. До
ПУС1сая заВИСИМОС'JЪ от содера:ания, почему не предпо.тrаrать и зави
симости прямой? Некоторые случаи rоворят уже в ПОЛЬ3У TaltOl'O
мненИЯ: величина притяrательной силы, напрпиер, выражается Mac
сою, разделенной на квадрат расстояния. Для расстояния HYJ1b 81'0
выражение, собственно, НИ'lCrо не представляет. Надобпо начинать
с IсаRU1'u нибудь, большоrо или малоrо, но всеl'да деЙСТRите.1IЬНOl'О
расстояния, п тоrда только сила появляется. Теперь спраппшается,
1) Тшсоrо рода соображения приводил Лежандр н первом издании своих
({E16ments» (1794 r.), статья IV, и в «RеПехiопs...» (1833 1'.). См. В. Ф. IС а r а н,
Лобачевскиii и ero rеометрия, .м., 1955, стр. 65 69. [Ред.]
2) Здесь е обозначает число, связанное с радиусом кривизны пространства
1
.соотношением l' === l . [Ред.]
пе
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА rЕОМЕТРИИ»
65
как же расстояние производит эту силу? кш\: эта связь между двумя
столько разнородными предметами существует в природе? Этоrо,
вероятно, мы никоrда не постиrнем; но коrда верно, что силы зави
сят от расстояния, то липии MorYT быть также в зависимости с уrла
ми. По крайней мере разнородность одинакова в обоих СJIучаях, KOTO
рых различие не заключается собственно в понятии, но только в том,
что мы познаем одну зависимость из опытов, а друrую при недостатке
наблюдений должны предполаrать умственно, либо за пределами
видимоrо мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжениЙ.
Как бы то ни было, но предположение, что содержание только
расстояний может определять уrлы, будет частный СJIучай, к 1ЩТО
pm.fY всякий раз переходим, принииая линии беС1юпечно малыми.
Способ употребительной rеометрии приводит, следовательно, всеrда
к заI лючениям верным, однако ж не в таком обширном виде, в l aIЩМ
дает их общап rеометрическая СИС'l'ема, которую назвал я Boo6pa;)/cae
.мая Тео.\tетрuя. Разность в уравнениях той и друrой происходит от
прибаВJIения HOBoro постоянноrо, которое ДОJ1ЖНЫ бы давать уже
наблюдения, но Iюторое без чувствительной разности находим OT
сюда таIЮВО, что в измерениях на са.\-Ю1>1 деде принятая нсеми
rеометрия БОJIее нежели достаточна, хотя б она сама по себе не
была cTporo верной. Это значит, '1'1'0 в природе такая система либо
находится СJIучali:но, либо все доступные для нас расстuяния в ней
еще бескопечно :\шды. Вообще, всякое положение, KOT poe Вообра
жаемая rеоиетрип допуcri:ает в <JJIeMell"I'aX величины, будучи принято
для JIИНИЙ В большом размере, до,шкно необходимо ПрИRОДИТЬ 1С пра
Вlшаи оБЬПCIювенной rеоме'l'РИИ, ПОТО:\IУ что с таRИi\I преДПОJIожение:\I
удержи13aIOТСЯ тодьь:о первые степени тех чисеJ1, Iюторые предста
вл.шот собою JIИНИИ, а следовательно, везде в уравнениях войдут их
содеРЖaIЛIН. 'l'aRoBbl поло:ш:ения, например, что расстояппя между
ДlJУМП перпеIЩIПi:УJIа:ШI везде равны, что перпеНДПRУЛ описывает
вершиноЙ ПРЯ:\IУЮ линию, что 1{pyr с возрастапием поперечника
переходит в ПРЮIУЮ линию. 1Iз всех известных подобных положений
отдать надобно преииущеСТl!U тому, Еоторое принимает зависимость
содержания линий от уrло13; по Rрайней мере здесь простота в по
нятии БЛИ3Rа даже R первой нашей опытности; но вот и все, что
можно СЕа<ш'IЪ н защищение: ВСЯRое друrое суждение будет ..либо
ложно, либо неосновательно. Так нельзя затрудняться тем, что с He
посредс'mенной завиcrпюстью линий от уrлов войдет одна величина
столыю же произво;rьная, каЕ и выбор единицы. Против этоrо можем
отвечать, что ничто не :мешает предстаВJIЯТЬ себе в уравнениях
содержание линий не R одной И3 тех, которые тут рассматриваются,
но R такой, Rоторая RaIСИМ нибудь образом определена в природе.
Это ПОRаа8Л я в Воображаемой rеометрии, дав уравнения, rде все
5 Зак. 1164. Об основани>lX rеометрии
66
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
.линии входят в содержании к одной только, которую бы треБОВQ
.лось найти иа наблюдений, если б они были к тому достаточны,
Почитаю не нужным подробно разбирать друrие положения, слишком
искусственные, либо проиавольные. Из них ОДНО только ааслуживает
еще некоторое внимание: это переход Kpyra в прямую линию. Не-
достаток виден адесь, впрочем, с первOI'О рааа в нарушении посте-
пенности, коrда кривая, которая не перестает аамыкаться, как бы
ни была велика, должна rрубо превратиться в бесконечную прямую,
потеряв, таким обрааом, существенное свойство. В этом отношении
Воображаемая rеометрия rораздо лучше пополняет промежуток. В ней
увеличивая Kpyr, KOTOpOro все полупоперечники сходятся в одну точку,
приходим наконец к такой линии, rде нормальные [прямые] сближают-
ся в бесконечности, хотя не MorYT уже пересекаться. Такое свойство
не принадлежит, однако ж, прямой, но той кривой ЛИНИИ, которую
назвал я преде.льиои Kpyza в сочинении моем о ишча.лах Тео.метрuu.
Наконец, если затруднительную задачу параллелизма надобно
решить опытом, то предложенный Лежаидром, укладывать шесть
раз полупоперечник по Kpyry, без сомнения должен почитаться
слишком недостаточным. В моих ишча.лах Тео.метрuu, польауясь Acтpo
номическими наблюдениями, показал я, что в треуroльнике, KOToporo
бока равняются почти с расстоянием аемли до солнца, сумма yrлов
не может разниться с двумя прямыми более 0,000003 секунды rрадуса.
:Эта разность увеличивается в rеометрическом содержании к бокам
треуrольника, а следовательно, до сих пор употребительная reoMeT
рия, как я заметил выше, более нежели достаточна в измерениях
на самом деле. R такому заключению можно даже притти с ПОМОIЦЬЮ
предложений довольно простых и приличных началам науки, хотя
полная теория требует уже совершенно переменить порядок в пре
подавании, с присоединением сюда Триrонометрии.
R несовершенству в теории параллельных надобно было при
числять определение ,самой параллельности. Однако ж это HeCOBep
шенство нисколько не зависело, как подозревал Лежандр, от Heдo
статка в определении прямой линии, ни даже от тех недостатков,
прибавлю, которые скрывались в первых понятиях, и которые Ha
мерен я адесь указать и попытаться, сколько Mory сам, их исправить.
rеометрию начинают обыкновенно, придавая телам три протяже
ния, поверхностям два, линиям одно, в точке не допуская НИltакоro.
Называя три протяжения: длина, ширина, высота, и разумея под
этими названиями собственно три Iшордонаты, спешат, таким обра
OM, преждевременные понятия сообlЦИТЬ словами, которым paaro
ВОрНЫй язык придает уже KaKoe TO, хотя для ТОЧНОй науки еще
i) См.. примечание 1) на стр. 48. [Ред.]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА rЕОМЕТРИИ»
67
неопределенное аначение l ). В самом деле, :как можно с ясностью
себе представлять иамерение в длину, коrда не анаем еще, что такое
пря шя линия? Еак можно rоворить о ширине, BblCO'l'e, ничеrо не
сказав наперед о перпендикулах, о плоскости, :как бывают перпен
ДIlltулы в одной И в разных плоскостях? Наконец, если в точке нет
ни одноrо протяжения, то что же в ней остается аатем, чтоб она
моrла быть предметом суждения? Пусть и так, что прямую линиК'
ВСЯЮIЙ ясно себе представляет, хотя не может еще дать отчета в своем
понятии; но спрашивается, каким образом помощию прямой должен
он назначать теперь одно протя:жение в кривой линии, два в кривой
поверхности?
Правда, нет необходимости требовать, чтобы длина, ширина, вы
сота были дрyr к дрyrу перпендикулярны: довольно коrда для них
ваяты линии в различных напрмлениях. Однако ж и в этом случае
встречаются cBoero рода аа'l'руднения. Принимая аа правило прежде
временно не ааимствовать иа тех понятий, которые должно раскрыть
еще впоследствии, как, спрашивается, выразить теперь условие,
чтобы три раамера в телах принадлежали трем прямым в разных
плоскостях? Потом, различное направление двух частей от точки
перелома на линии не должно смешивать с двойным протяжением
в ПЛОCItОСТИ, и наконец, определить вполне, что такое надобно разу
меть под направле:аием и под уrлом. Rороче: пространство, протя
ЖеНl'!е, место, тело, поверхность, линия, ТОЧItа, направление, уrол
слова, ItОТОРЫМИ начинают rео:нетрию, но с которыми никоrда не
соединяют ясноrо понятия.
Между тем, на все такие предметы можно смотреть еще с друrой
СТОрОНЫ. Надобно заметить, что темноту R понятии адесь производит
отвлеченность, которая в прииенении It действительным измеренпям
делается лишнеtl, а следовательно, в са:иую теорию введена напрасно.
Поверхности, линии, точки, ItaK их определяет rеометри.п, суще
ствуют только в нашем воображении; тоrда как измерение поверх
ностей и линий производим, ynотреб.п.пя к тому тела. Вот почеl\IУ
стопт только rоворить О поверхностях, лини.пх п точках, RaIt F;их
в действительном из:нерении разу:иеть должно, и тоrда будем уже
держатьс.п тех самых понятий, ItOTOpble с представлением тел в Ha
ше,\J уме непосредственно соединены, к которым наше воображение
liриучено, которые можем повер.пть в природе пр.пмо, не прибеrая
наперед к друrим, ПСItусственным и посторонним. Но с этими новыми
пон.пТПЯNIИ наука в самом начале получает дрyrое направление,
1) TaKoro рода изложение начал rеомеТрIИI можно найти, наприиер, в рас-
пространеннои в те rоды «Еурсе математики» профессора XapbKoBCKoro универ-
ситета Т. О с ип о в с к о r о (часть 2, изд. 2, СПБ, 1814 r., стр. 338). [Ред.]
5*
68
Н. и. ЛОБАЧЕвскиfi
Ko'ropoMY следуеr, покуда не перейдет в анали'rИКуj так ч'rо способ
преподавания 'rеперь уже принимаеr особенный вид. Пос'rараюсь
объясни'rь, в чем 8та перемена может ааключа'rься.
В Ма'rематике следую'r двуы способам: аналиау и син'rеау. О'rли
чи'rельную принадлежность аналиаз состаВ.ляю'r уравнения, Ko'ropble
служа'r первым основанием всякому суждеНIIЮ и веду'r уже ко всем
заключениям. Синтез, или способ пос'rроениЙ, требуеr Toro caMoro
предс'rавления, которое соединено неПосредс'rвенно с первыми ПОIIЯ
'rиями в наше 1 уме. rлавная выrода в анаЛIIзе 'ra, Ч'rо здесь от
уравнениii идут ВСШ'да прямоlO дороrой к предположенной це.ЛИ.
Син'rез не подчиняется l аКИМ fПIбудь общии праВIIлам, но с Hero
надобно начинать по необходимос'rи, Ч'rобы, IIаконец, отыскав урав-
нения, достиrнуть с 'reM вместе тоЙ чер'rы, за котороЙ все переходит
уже в науку чисел. Например, в rеоме'rрии докааыIаю'r,, что два
перпендикула не пересекаю'rся, что с равенс'rвои некоторых 'rолько
час'rей 'rреyrольники бываю'r уже во всем одинаковы. Напрасно бы
хо'rели 'rакие случаи, как и всю 'rеорию паралле,льных, рассматри
ва'rь аналитпчеСRИ. В 8'rOM никоrда не успеют так же, KaIt не .:.юrут
обоЙтись без син'rеаа в иамерении плоскостей, Ol'рани'юнных пря
мыми линиями, В памер€'пии 'reJI, оrраниченных П,lIОСIШСТНМИ. Само
по себе рааумееrся, что в синтеае даже ДОЛЖНО ПОJ1ЬЗ0ваться пособием
анализаj но 'ro неоспоримо, что в началах rеометрии п Механики
никоrда не може'r ана.,'lиа быть единс'rвенным способо:\!. rео rеТрIlП
до известной с'rепенп всеrда будет принадлежать собственно reoMe1'
рическое, НИRаКИ I обрааом o'r пее неотъемлемое. lVIожно стеснять
кру!' синтеаа, но совсем УНИЧ'l'O:шить ero не.'lЫШ. ДаЖtJ в e>'l'O:\l ста-
рании 3aJ1,юни'rь синтеа аналиаои, не надобно столыю спешп'rь уже,
чтобы допускать всякий раа функции, rде 'rо.'IЫСО заВИCIвюс'rь пред
видеть MO KHO, не аная в чем еще аaI лючается, 'roro иенее, ItaIC
будеr она выражаться. С этим оrраничением в аналиае нааначаем
ис'rинную де.ль и надлежащее место друrому способу 1), который
от ин сперва начинае'r науку с таких поннтий, откуда суждеппе про
иаводи'r уже все прочее, выводя тотчас иа первых Ш'О данных новые,
'raK по'rом и далее расширяя пределы наших поананпЙ во всех Ha
правлениях до беCIюнечности. Первыми данными без сомнения буду'r
всеrда 're понЯ'rия, I oTopble :\Ibl приобретаем в природе посредс'rвом
наших чувс'rв. Ум може'r и должен их приводить к са..'Чому MeHЬ
шему числу, чтобы они служили по'rом 'rвердым основанием науке.
Однако ж обыкновенно СИIIтеrическому способу в 8'roM виде, с соблю
дением всех скааанных здесь правил, ник'rо не следуеr, предпо-
чи'rая, хо'rя бы прежде времени, вводи'rь анализ и преДIIолаrая
1) То ес'lЪ синтезу. [Ред.]
ВСТУПЛЕНИЕ К СОЧИНЕНИЮ «НОВЫЕ НАЧАЛА rЕОМЕТРИИ»
69
развитие, ХО'l'Я бы неполное, тех ПОНЯТИй, которые сост вляют при
родный ум наш и которым остается придать только названия, не
распространяясь MHoro в объяснениях и не затрудняясь точностию
в определениях. Если леrкость и простота заставляют избирать такой
способ преподавания, то на стороне строrой истины всеrда будет
свое преимущество, которым коrда нибудь надобно пользоваться.
Первый опыт ЭТО;\;IУ сделал я с Алrеброй 1) И теперь предпринимаю
то же с rеО;\;Ieтрией.
Чистый анализ, без ВСЯКОй уже примеси синтеза, не прежде
может начинаться в rеометрии, кю, после Toro, коrда всякап зави
симость представлена будет уравнениями и для ВСЯlюrо рода reoMeT
рической величины будут даны выражения. Величину в rеометрии
можем понимать только с измерение:\;!, которое для кривых ЛИНИй
и поверхностей собственно не существует. RaK бы малы ни были
ваяты части кривой, [они] остаются всеrда кривыми, следовательно,
помощию прямой никоrда пе MorYT быть измерены. То же надобно
сказать о кривой поверхности, rде как бы тесно части ни были раз
rраничены, Нlшоrда не будут плоскимн. С друrой стороны, в при
роде нет ни прямых, НИ кривых ЛИНИй, нет плоскостей и кривых
поверхностей: в ней находим одни тела, так что все прочее, coaдaH
ное нашим воображением, существует в ОДНой теории. Лarранж
в основание ПрИНlаlал положение Архимеда, что две точки' на кри
вой Moryт быть всеrда взяты так бли31{О, чтобы дyrа между ними
почиталась уже более хорды, но меньше двух касательных l{ дуrе,
проведениых от ее концов до взаИ;\;IНОй встречи (Theorie des fonctions
allalytiques, рат Lagrange). Такое положение действительно необхо
димо, но с ним уничтожается начальная мысль, мерить l{ривые линии
прямыми. Тот же случай с поверхностями, коrда предполarают мерить
их плоскостями. ]/ITal{, 'вычисление длины КРИвой линии, кю{ и
величину КрИВой поверхности, нисколько не представляет, так
сказать, выпрямление кривизны, но клонится совсем к друrой
цели: сыскать rраницу, к КОТОРОй тем ближе подходит измерение
на самом де,lIе, че;\;I это последнее сделано вернее. Измерение
же полаrают вернее Той цепью, КОТОРОй звенья мельче; самым
верным, наконец, коrда вместо цепи берут тонкую нить, совершенно
rибкую. Вот почему в rеометрии надобно собственно доказывать то,
что сумма касательных уменьшается вместе с тем, как сумма хорд
увеличивается, покуда две суммы пер'естанут приметно рааниться
с rраницей, к КОТОРОй обе приближаются и которую rеометрия
принимает уже за длину I{РИВОЙ линии. Теперь ясно, что вычисление
1) Н. Л о б а ч е в с к и й, Алrебра или вычисление конечных. (Полн. собр. соч.,
т. IV). [Ред.]
70
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
по такому правилу тем соrласпее бывает с иамерением, чем это
последнее вернее. Здесь видно также, на чем основано положение
Архимеда. ПО примеру кривых ЛИIПIЙ должно рассуждать о вели
чине поверхностей, нисколько не утверждая, будто весьма малые
части способны выпрямляться.
Для плоскостей, оrраниченных кривыми линиями, и для тел,
оrРaIш:ченных кривыми поверхностями, также в cTporOM смысле не
существует иамерения, как скоро мерою должны служить в первом
случае I вадрат, во втором куб. Однако ж всеrда предполаrая найти
только rраницу, к которой действительное вымеривание прибли
жается, надобно покааать, что к такой rранице непремыПlО ВСЯКий
раа ПРИХОДИМj потом объяснить, I аким обрааом иамерение должно
себе представлять и как в нем можем Достиrать желаемой точности.
Чтобы удовлетворить всем этим требоваЮ1:ЯМ, нельая адесь обойтись
беа особых вспомоrательных положений, которые принимают уже аа
аксиомы: 1) плоскости равны 1), коrда для составления одной иа
них ДРУ1'ая делится на части, Iюторые соединнются в новом порпдке;
2) плоскость менее той, в которой она вся помещается, не наполняя
при том ее совершенно; 3) величина треуrольника исчеаает с бес
предельным уменьшением одной стороны. П )Следнее положение даже
необходимо в иамереЮ1:И са;\1ЫХ плоскостей. R подобным аксиомам
надобно прибеrать и в иамерении тел.
1) См. примечание на стр. 29. [Ред.]
.анош БОЛЬАИ
АПIIЕНДИКС
ПрилОЗlCеиuе, содержащее иау'Ку о простраистве, абсоллотио uстuииую,
не зависящую от истиииости илu ЛО:J/сиостu XI a'Кcиo.мъt Ев'Клuда (что а priOl'i
Hu'/>ozBa решеио бъ ть ие .может); с прuбавлеиuе.м, 1> слу'Чаю лож'Ностu,
zео.метрu'Чес'Кой 'КвMpaтypъt 'Крую
APPENDIX
scientiam spati'/, absolute veram exhibeпs:
Q veritate aut falsitate Axioтatis Хl Euclide'/, (а priori haud unquaт decidenda)
iпdepeпdeпtemj adjecta ad смит falcitatis quadratura circuli geoтetrica
Auctore Johanne Bolyai de ешlет,
Geoтetraruт in Exercitu Caesareo Regio Austriaco Castrensium Capitaneo
(1832)
Объяснение обозначений
,....
Пусть nЬ совокупность всех точек, расположенных на одной прямой
с точками n, Ь.
»
4b Ta половина прямой nЬ, рааделенной в точке 4 пополам,
которая содержит точку Ь.
,.....,
nЬс совокупность всех точек, которые расположены в ОДНОЙ
плоскости с точками 4, Ь, с (не лежащими на ОДНОЙ прямой).
nbё Ta половина плоскости , рааделенной прямой аЪ попо
лам, которая со.r;ержит точку С.
» nЬс .меиьшая иа двух частей, на которые плоскость аЬс paa
деляется совокупностью прямых Ьа, ЬС; либо уzол, CTOpO
нами KOTOpOI'O служат {1а и ьё.
» nЬсЬ (в предположении, что точка Ь лежит в 4ЬС, а Ьа и сЬ
вааимно не пересекаются) Ta часть nЬс, которая coдep
житсп между bn, Ьс, сЬ; {1nсЬ же обоаначает часть плоско-
сти аЬС, содержащуюся между прямыми Qb и ёь.
»
»
72
Я. БОЛЬАИ
Пусть R обозначает
» аЪ сЬ » ,
» »
» х"",""",а »
» Or »
» 0 r »
прямой уrол.
что саЪ == асЬ.
KOHrpY8HTHO 1).
х стремится к пределу а.
окружность Kpyra радиуса r.
площадь Kpyra радиуса r.
1. (Черт. 1)2). Если прямую ат не пересекает прямая Ъn той же
плоскости, но ее пересекает всякая прямая Ър (в аЪn), то будем это
обозначать так:
Ъn 111 аш 3).
.ясно, что такая Ъn существует и при любой точке Ъ (вне аш) только
одиа, причем
Ъаш + аЪn IЮ > 2Е,
ибо, если вращать Ъс вокру!' Ъ до тех пор, пока станет
оаш + аЪс == 2Е,
ТО в какой либо момент Ьс eltepebte не пересечет аlll и тоrда
ос 111 аш.
Вместе с тем ясно, что оп 111 еш, rде бы ни находилась С на аlll (пред-
полаrая, что во всех 8ТИХ случаях аш > ас).
И если ТОЧЕа С уходит по aUl в бесконечность и при 8ТОМ постоянно
сЬ == со, то всеrда будет:
сЬо == (С{1Ь < nос);
но nос"",""",О; вследствие 8'1'01'0 и аЬо"",""",О.
2. (Черт. 2). Если Ъn 111 аш, то и сп 111 аll1.
Ибо пусть Ь будет rде УI'ОДНО в шасn. Если с лежит на ОП, то оЬ
пересекает ат (потому что Оlllll аll1); вместе с тем и сЬ пересекает ат;
если бы с оказалась на ор, то пусть oq 111 сЬ; тоrда bq падает в аЪп
(8 1) и пересекает тп; вместе с тем II сЬ пересекает aln. Таким об
разом, в том и в друrом случае каJIщая сЬ (в асn) пересекает aln,
между тем I>:aK ёn не пересекает aln. Следовательно, всеrда сп 111 аш.
1) Хотя величайшИЙ reoMeTp raycc обозначил этим знаком 'lfо'Нzруэ'Нт'Н'Ые
числа" им можно обозначать также rеометриqескую конrруэнтность; нет основания
опасаться из за этоrо какоrо нибудь недоразумения.
2) Чертежи помещены на вкладном листе в конце сочинения (стр. 100). [Ред.]
3) В словах «1т есть асимптота а1ll». [Прилtеча,'Ние JIпоuю Больаи в COeтaвM'I/,
'НДМ ил 'Нелr.eЦlr;о.lt тe1r:cme «Anmп&tlr;ca».]
АППЕНДИКС
73
,......,
3. (Черт. 2). ЕСЛ7' 'х;а'х; br, тшх; и et\ 111 аl\l и е "щ лежит иа br, та
ь; п ei дру;! друю 'Не -пересекают.
В саиом деле, если бы br, ei имели общую точку Ь, то (в силу
2) br и b были бы одновременно 111 аl11, b совпала бы с br ( 1)
II точка е лежала бы на br (что противно условию).
i. (Черт. 3). Если 111\111 > шitЬ, то для 'Каждой mO"tf.:u Ь на аЪ сущс
ствует та'х;ОЯ е 'На от, 'Что Ьеш == паl11.
Ибо (в силу 1) существует ьыll> пюп, а вмеС'1'е с тем и IJlЬР ===
=== I11аll, так что Ь падает в паЬр. Если теперь будем передвиrать паl\l
вдоль \1111 до тех пор, пока аl1 совместится с Ьр, то в некоторый ио
мент itп необходимо пройдет через Ь, и потоиу некоторый Ьеlll == ПЮI1.
5. (Черт. 1). Если Ьп 111 аl11, то 'На аlll существует та'х;ая [то'Чка] f,
""то тт J'.... Ьп.
Ибо (в силу 1) существует Ьеl11>СЬП, и если се == сЬ, т. е.
ee Ьe, то, очевидно, Ьеlll < сЬп. Пусть р передвиrается вдоль ес 1);
при этом уrол ЬРI11 будем постоянно обозначать через и, а уrол 1ЬП
через 'и. .ясно, ч'1'о и будет сначала меньше соответствуюш;еrо значения
v, а зате:1I С'1'анет больше Hero. Но и возрастает от Ьеl11 дО I11СО 'Нт реръш'Но.
'1'Щ{ как (в силу 4) 'Нет TaKoro УI'ла между > Ьещ и < ОСI11, KOTO
рому не сделался бы равным и в некоторый момент; равным об
разом и v убывае'1' от еоп до соп непрерывно. Следовательно, на сс
сущеС'1'вует такая Т, что ОТI11 == т11п.
6. (Черт. 1). Если 11п 111 аl\l и е .лежит ;!де ли60 'На аltl, а Ц 2дe
,......,
либо иа 11п, то ЦП == СIll и СI11 111 gn.
Ибо (в силу 1) Ьп 111 СIll, а потому (в силу 2) цп 111 еЩ.
ПУС'1Ъ, далее, fll1 1щ ( 5); тоrда шf(щ == п11тт, а вместе с тем
('1'ак кщ{ 11п 111 fш) fш 111 11п и (в силу предыдущеrо) С 111 111 gn.
7. (Черт. 4). Если 'х;а'К ы1, та'К и ср 111 а111 и С ие .лежит 'На ьn' то
и 11п 111 ср.
Ибо 11п, ср взаимно не пересекаются ( 3); при этои юп, 11п. ср
либо расположены в одной плоскости, либо нет; и в первом случае
либо itl11 расположена в 11I1СР, либо нет.
Если аl11, 11п, и ер расположены в одной плоскости и аl11 лежит
в 11пср, то любая 11'1 (в п11с) пересекает в некоторой точке Ь (потому
ч::о [111111 а1ll); так как, далее, ы1111 ср ( 6), то ясно, что bq пересекает
ер, а вместе с тем 11п 111 ср.
1) Луч 51' на черт. 1 считается ПроIIЗВОЛЬНЫМ и, В частности, ero точка р
считается принадлежащеii ее. [Ред.]
74
Я. БОЛЬАИ
Если же 11n и c расположены по одну сторону ат, то одна иа
них, например ер, лежит .между двумя друrими 11n и ат; любая же
bq (в n(м) пересекает ЮU, а вместе с тем и ca.'\Ioe q;'. Следовательно, 1111 '" c .
Если таЬ, тас обраауют у.ЮЛ, то сыI и а{1n, помимо 11;, не имеют
ничеrо общеrо и таким же обрааом [ничеrо общеrо не имеют] ат
(в abll) с b , а также n{1С с ат. Тоrда ЬсЬ, проведенная череа проиа
вольную 11Б- (в nЬа), пересекает aln, потому что ее пересекает ьБ- (так
как Ьn 111 а1ll). Если поэтому будем вращать ЬсЬ BOKpyr 11с до тех пор,
пока она в первый раз не покинет аlll, то 11сЬ упадет на Ьсn. Но по
той же причине она упадет также на bc ; следовательно, Ьn OKaaы
вается в bc .
, Положим теперь, что 11! 111 ср; в таком случае по той же причине
(так как и а1ll Ш ср) Ь! падает как в b\l 111 , так и в Ьср (так как 11! 111 ср).
Итак, ь; есть общая [прямая плоскостей] lIIаЬ, Nb, но этой линией
пересечения служит ы1; а потому ыlll ср.
Если же ср '" аlll и Ь лежит вне с 11111 , L\1I также есть пересечение
Ьаlll, Ьср, а вместе с тем 1Н1111 как аl1l, так и ср.
8. (Черт. 5). Если Ьn 111 и ер (или, 1>оро'Че, Ьn 111 ..л... c ), а в.месте
с те.м аlll (в nЬср) делит пря.мую 11с ..попола.м и перпен'ди1>УЛЯр1Ш 1> 'Ней,
то Ьn 111 аlll.
В самом деле, . если бы ьn пересекала aln, то и ср пересекала бы
QШ в той же точке (так как JnаЬn== l1lаф); и это была бы также общая
точка самих Ьп и ёр, между тем как blllll ср. Любая же bq (в сЬn) пере-
секает ср; вместе с тем bq пересекает также а Ш. Следовательно, Ьn Ш ат.
9. (Черт. 6). Если Ьn Ш от, map...L таЬ, а уеол, 1>оторый nЬЬ обра-
зует с nЬа (с той сторо'Ны от l1lаыl, еде шар), < R, то тa и nЬЬ вза-
к.м'Но пересе1>шются.
Ибо пусть
11аlll == R,
ас ...L Ьn
(при атом С либо совпадает с Ь, либо нет) и
ce...L Ьn (в пЬЬ);
тоrда (по предположению) асе < R и af (...L се) падает в асе. Пусть ар
будет пересечение аЬ( и отр (имеющих общую точку о); тоrда
11ар == b,tffi == R
(ибо bam...L шар). Е ли, наконец, совместим аЬ[ с аЬт (сохраняя а и Ь),
то ар упадет на аlll, а так как
ас ...L Ьn и af < ас,
. АППЕНДИКС
15
то \1f, очевидно, ОRанчивается в'Нутри ЬN, а вместе с тем bf падает
в аЬп. Но в этом положении ЬТ пересеRает ар (ибо ы1111 юп); поэтому
и в первоишчальиом положении ар и bf взаимно пересеRаЮТСЯj ТОЧRа же
пересечения принадлежит таRже шар и 11ЬЬ; следовательно, шар и пЬЬ
взаимно пересеRаются.
Отсюда леl'RО BblTeRaeT, что тар и 11ЬЬ взаимно пересеRаются, если
сумма внутренних уrлов, ROTopble они образуют с nнtЬn, < 2В.
10. (Черт. 7). Если 'Ка'К 1'11, та'К и ср 111 юп, то и Ьп 111 ср,
Ибо I1Н\Ь и 111\1С либо образуют УZОЛ, либо расположены в одной
ПЛОСRОСТИ.
В первом случае пусть qbf делит прямую аЬ пополам и перпен
дикулярна R ней; тоrда bq l... аЬ, а вместе с тем bq 111 ат ( 8) j равным
.()брааом, если er{\ делит прямую ас пополам и пеРПeIЩI1Rулярна R ней,
ТО е! 111 (1)11, а потому bq 111 е! ( 7). Отсюда леrRО BblTeRaeT (в силу 9),
что qbt и взаимно ресеRаются и сечение будет 111 bq ( 7), .
а (вследствие Toro, что Ьп 111 bq) таRЖе
f 111 Ьп.
Далее (для любой ТОЧRИ прямой )
fЬ fa fc
,....
и f{\ падает в ПЛОСRОСТЬ tgf, пересеRающую прямую Ьс под прямым
ушом В ее середине. Вместе с тем (в силу 7) (TaR RaR f{\ 111 Ьп),
также
gt 111 Ь11.
Таким же обраЗ0М ДОRазывается, что gt 111 ср. Между тем gt делпт пря
мую Ьс пополам и перпеIЩИRулярна R ней; вместе с тем tgbn := tgф
( 1) и
Ьп \11 ф.
Если Ьп, аш, ср расположены в одной ПЛОСROсти, то пусть будет
(лежащая вие этой ПЛОСRОСТИ) прямая f 111 ат; тоrда (в силу пре
дыдущеro) f{\ Ш RaR к Ьп, TaR и R ср, а вместе с тем и Ьп 111 ф.
11. СОВОRУПНОСТЬ ТОЧRИ а и всех тех точеR, Rаждая И3 ROTOpblX Ь
такова, что при Ьп := ат будет таRже Ьп ат, мы будем называть Fj
сечение же F любой ПЛОСROстью, содержащей аП1, будем называть L.
На R .ждой прямой, Rоторая Ш аш, F обладает ТОЧRОЙ и притом
тольRO одной; ясно таRЖе, что L делится [прямой) ат на две ROH
rpyeHTHble чаСТИj будем называть alii ОСЬЮ L; я но таRже, что в Rаж
ДОЙ ПЛОСROсти, содержащей прямую а111, оси ат соответствует ТОЛЬRО
одна L. ТаRИМ обраЗ0М, Rажцую L будем называть L' оси ат
76
Я. БОЛЬАИ
(разумеется, в плоскости, о которой идет речь). Ясно, что вращением L
BOKpyr ат образуется Р; будем называть ат осью Р, а последнюю
будем, обратно, называть F оси ат.
12. Если Ъ лежит zде либо 'НД L [оси] ат и blt ПI ат ( 11), то
L [оси] ат и L [оси] Ъи совпадают.
Будем L [оси] Ъп для отличия обозначать через l; пусть е будет
rде либо на l п пусть ер 111 Ъ11 ( 11); тоrда ер 111 ilШ ( 10) (ибо
и Ъ11111 аш); вместе с тем и е падает на L. И если е находится rде
либо на L и ер 111 ат, то и ер 111 Ън ( 10); вместе с тем е падает
на l ( 11). Итак, L п l совпадают, и каждая bn есть ось той же
L, и все оси L между собой .
Все это, очевидно, таким же образом справедливо относительно Р.
13. (Черт. 8). Если Ъ11111 аш, ер 111 bq и Ьаш+ аЪ11 === 2В, то и
Ьер + ebq === 2В.
В самом деле, пусть са === сЪ и cfm === Ьер ( 4). Тоrда будет
сЪ!,! === cat
(ибо
Ъаш + аЪ11 === 2В === аоn + аон) ;
вместе с тем, если О!'! === af, то
6 СОА == 6. e.1f, ОС!'! === act,
и g падает на fC": Далее, Аfш + fg11 === 2В (так KaI СОО === cfa). Вместе
с тем g11 111 fш (8 6); таким обраЗШI, если 111fr == pebq, то [ 111 g11 (8 7)
и r находится либо на fg, либо вне ero (если только еЬ не == fg, в
каком случае дело ясно).
1. В первом случае fr не > (2В rfl11 === f n), потому что [ 111 fm;
но так как и [ 111 g11, то fr не < fg11; следовательно, fr == f311 и
rfш + fr == gfl11 + fg11 == 2В.
Итак, и Ьер + ebq == 2В.
П. Если r падает вне fg, то 11gr == IЩr; пусть вместе с тем бу
дет 1IIfg11 == 11gf)1 == 1f)ft' и т. д. до тех пор, пока ff не станет == или
в первый раз > fr. Torдa Со 111 f){ 111 fl11 (8 7). Если f падает в [, то Со
совмещается с [ (8 1); следовательно,
rfl11 + fr === ffш + ffo === ffl11 + fH 11 === 2В;
если же r падает внутрь f)f, то (в силу случая 1)
rf)1 + f)r === 2В === rfm + fr == Ьср + eb\l.
9 14-. Если 011111 ащ ер 111 bq и оаl1l + аО11 < 2В, то и Ье).) + cbq < 2В.
В самом деле, если бы [сумма] Ьер+ cbq не была < 2В, то она
была бы==2R (в силу 1); но тоrда (в силу 13) было бы также
оат+ аО11 === 2В (что противно предположению).
АППЕНДИКС
77
15. В соответствии с 13 13 и 14, систему 2еометрии, признающую
справедливой 2U1ютезу Х/ а'Ксиом'Ы Ев'Клида, будем uазывать L; nострое'Нuую
же 'НД 'противоположной 2iтотезе [будем называть] В. Всё то, О 'Чем 'не
будет от'Четливо 020воре'Но, относится ли ОНО % 'L или % В, надлежит
nри"тать абсолютным, т. е. с'Читать справедливым %а'К в L, та% и в В.
16. (Черт. 5). Если аш есть ось 'Ка'Кой либо L, то в L L есть 'пря
_ ая 1... аш.
Ибо пусть blt будет ось той же L, [проведенная] из какой-либо
точки Ъ; ТOl'да в L будет:
rаш + аыt 2 Ъаш 2Е,
а следовательно, Ьаш Е. И если с есть кан:ая либо точка на аЪ и
ер 111 аlll, то (в силу 13 13) e аш, а иотому С лежит на L (13 11).
в [системе] же S ни'Ка'Кие тp7t то'Ч'-ки а, Ь, с одной и той {нсе L или
F ие лежат на одной 1 РЯ.МОЙ.
Ибо одна из трех осей ащ, ыt, e лежит между двумя ДРУI'ИМИ;
пусть это будет, наиример, а1l1; ТОI'да (в силу 13 14) н:ак Ъаш, так и
е(lт < Е.
17. (Черт. 7). В [cucmKlte] S L та'Кже есть . uния, а F' 'поверхность.
Ибо (в силу 13 11) каждая и.лоскость, ироходящая через какую
.ибо точку на F' иерпендикулярно к ее оси am, пересекает F по
ОRРУЖПОСТИ Kpyra, плоскость KOTOpOl'O (в силу 14) не перпенди-
кулярна ни к l{аrщй ДРУI'ОЙ оси Ъп. Пусть F вращается BOH:PYI' Ън;
каждая точка на F' (в силу !3 12) о танетс.п на Р, и сеченпе F П.ло
сrtOстью, не перпеидиКулярной к ОП, опишет поверхность; п ItaKOBLI
бы ни былп на ней ТОЧJtп а и Ъ, поверхность F' можно будет так COB
местить с са.МОЙ собой, чтобы а совпала с Ъ j следоватеJrьно, F есть
однородная поверхность.
ОТСIOда ясно (в силу 13 11 и 12), что L есть однородНl1Я л пнип .
18. (Черт. 7). Се'Ченuе F' л' 60Й 1 . ОСlfостью, l роведенноЙ qtерез тo' '.;y а
этой поверхности На'IfЛОН'НО 'к OCl! ЮН, представляет собоЙ G cиcrпc,lte S
0'КPY;J/CHOCmb 'КрУ2l1.
В са..'\!ом деле, пусть а, Ъ, с будут три точки этоr'о сечения, а Ъn
и ер оси; ащЪn и аl11ер образуют УI'ОЛ, ибо иначе сеr"ущая ПЛОCIисть,
которая (соrласно 13 16) определяется точками а, Ь, С, содержа,ла. 6ы
самое аш (что противно условию). Поэтому плоскости, делюцие пря
мые аЪ и ас пополам и перпепдикулярные к ним, Jшаимно псресе
каются (как покааано в 13 10) по некоторой оси f ([поверxnостпJ Р)
и fb fa fe. Пусть Q9 1... f и пусть fa9 вращается BOKPYI' f ; а опп
тет окружность радиуса 9а, проходюцую через Ь и с ираСllQлож:енн'jЮ
78
Я. БОЛЬАИ
ItaK В Р, так и в АЬС; кроме же О a, Р и аЬс не имеют ничеrо
общеrо ( 16).
Ясно ТaRже, что конечная точка части fa линии L (также служа-
щей радиусом) при вращении BOKpyr t опишет на F ту же О 1)а.
19. (Черт. 5). Перпеuди'КУJlЯР ъt 'К оси lт [лииии] L (раСnОJlожеu
иый в nJlOC1focтu этой лииии L) представJlяет собой в системе S 'Каса'f/UJЛЬ-
uую 'К' L.
Ибо L на Ъ1 помимо Ъ НИ одной точки не имеет ( 14); между тем,
если bq лежит внутри tbn, то центр сечения [поверхности] F той же
[оси] Ъп плоскостью, проходящей череа bq, перпендикулярно к tbn
( 18); очевидно, лежит на bq; и если bq есть диаметр [этоrо сече
ния], то bq очевидно, пересекает линию L той же [оси] Ъп в q.
20. Любыми двумя то'Ч'Ками 'па F опредеJlяется Jlиuия L ( 11 и 18);
вместе с тем (поскольку, в силу 16 и 19, L перпендикулярна КО
всем своим осям) 'Ка:нсдый У20Л L JlUUUU 'па F равеи У2ЛУ ме:нсду n.лОС1fОС
тями, проходящими 'Через е20 cтoPOиъt перпе'Нди'КУJlЯрUО 'К Р.
21. (Черт. 6). Две L образuъtе лииии I1р и ЪЬ 'па одиой и той же Р,
обраЗ'ljющие с третьей L образuой I1Ъ [иа той же Р] вuутреuuие одиосто-
'/Jоuuие У2Лъt, су.м.ма 'КoтOPъtX < 2Е, взаимuо пересе'i>аются (под ар на F
надлежит понимать L, проведенную череа 11 и Р; под I1р TY ее поло
вину, которая, выходя иа а, содержит р).
Ибо, если аlП и Ъп суть оси этой Р, то I1Шр и ЪпЬ вааимно пере
секаются ( 9); вместе с тем F пересекает (в силу 7 и 11) прямую
их пересечения; следовательно, ар и ЪЬ также вааимно пересекаются.
Отсюда ясно, что ХI аксиома и всё, что утверждается в reoMeTpIllI
и (плоской) Триrонометрии, аБСОJlютuо сохраняет свою силу на Р,
если прямые линии ааменить линиями L. В соответствии с этим
впредь мы будем понимать триrонометрические функции в том же
смысле, в каком они появляются в ; окружность Kpyra, Koero L-об
рааный радиус на F есть У, равна 271:r; и равным ()брааом <:)У
(на Р) === 71:r 2 (рааумея под 71:, кап: обыкновенно, + о 1 на Р, т. е.
3,1415926. . .).
2. (Черт. 9). ЕСJlИ есть L [оси] аlП и С Jlежит 'па I1lП и будем
передвИ2ать У20Л саЪ (составленный прямой 11т и L обр3.3ной линией I1Ъ)
uа'ЧаJlа по аЬ, а зате.% по Ъа всё далее}!о бес'Коuе'Чuостu, то путь сь
то'Ч'i>И С составит JlИUUЮ L той :нее [оси] ст.
Ибо пусть Ь будет проиавольная точка на линии сЬ (которую будем
н3.3ывать в последующем l), пусть Ьп 111 СlП и Ъ точ:ка L, лежащая
АППЕНДИКС
79
иа bn; тоrда будет I1n от и ас === I1Ь, поэтому 1:In::':': ст; следователыlO, Ь
лежит на 1. Если ;же 1:1 лежит на 1 и 1:I" Ш ст, а 11 есть точка L в ее
пересечении :с Ь;, то ат Ьп и сlП 1:In; поэтому, очевидно, 111:1 === ас,
Ь лежит на пути точки с, так ,что 1 и СЬ совпадают. Такую 1 будем
обоаначать череа 111 L.
23. <...Черт. 9). Если L обрааная [линия] c1:lflla11e (!:} 22) и аl1===l1е,
а ат, 11п, ('» суть оси, то, очевидно, с1:l === 1:If; и если а, 11, е суть IШ
кие либо три точки на а11, причем 1111 === п. сЬ, то будет также ае === п. cfi
вместе с тем (очевидно, также и для несоизмеримых 011, ас, Ьс)
а11 : с1:l === ае : ctj
[отnошеnие] 011: с1:l, таким образом, 'Не зависит от а11, а впол 'Не oпpeдe
ляется [расстояnие.м] ас. Это отношение, именно 011: с1:l, будем обоана
чать большой буквой (наприиер Х), а [расстояние] ас малой бук
вой Toro же наименования (соответственно х). '
. у
2!. (Черт. 9). Rшковы бы 'Ни были х и У, Bcezaa У === ХХ (!:} 23).
Ибо либо одна (иа х и У) будет кратной друrой (например,
'11 кратно х), либо это не будет [иметь места].
Если У === пх, то пусть х === ас === СIз === {I и т. д., пока (1) не ста-
нет ==У; пусть, далее, будет c1:lllgflll)tj Torдa (в силу!:} 23)
Х === а11 : сЬ === с1:l : gf === gf : tj
а потому
::=: ( ) n
у{ со'
т. е.
1(
У === Х п === ХХ .
Если х, У кратные одноrо и Toro же , скажем
х === mi и У === ni,
то (в силу предыдущеrо)
Х === 1т, у === 1 n ;
следовательно,
J!.
У === Х". === хх.
То же леrкО распространяется и на случай несоиамеримых х и у.
Если, следовательно, q === У x, то, очевидно, Q === У: Х.
И ясно таI же, что в 1: для каждоrо х должно быть Х === 1, а в S
всы'да Х> 1 j и для любых а11, а11е существует такое cbf,l а11е, что
cbf == аЬ; вследствие 8TOI'O ат11l1 === ате)), хотя первое кратно второму.
Это, конечно, обстоятельство странное, но абсурдности систе ы S оно,
рааумеется, не докааывает.
80
Я. БОЛЬАИ
20. (Черт. 10). В 'Каждо.м пря.молиие'Йлш.м треуzоль'Н,ик.е О'КРУЖ'ЖJст'U
'Ifpyzoe, и.меющих радиуса.ми ezo сторо'Н,'ы, от'Н,осятся .между собой 'Ка'К cи
'Н,ycЪL противолежащих и.м уzлов.
В самом деле, пусть аЬс == R и ат 1... Ьас; пусть также Ь11, ср 11 ат;
тоrда саЬ 1... атЬ11, а вместе с тем (так как сЬ 1... Ьа) и сЬ 1... al1lfJn; сле
довательно, СРЬ11 1... атЬ11. Пусть F оси ср пересекает прямые fm" и
(соответственно) в Ь и е, а полосы сры1, ср.Шl и Ь11ат по L образным
[линиям] с'О, се, Ье; тоrда (8 20) с'Ос == уrлу между 11ЬС и п'Ос, а сле
дов'ательно, == Е, и по той же причине сс'О == саЬ.
Но (в силу 8 21) в L линейном треyrольнике ссЬ (предполаrая
радиус всеrда == 1)
сс : Ьс == 1 : sin 'Осс == 1 : аin саЬ.
Вместе с тнм (в силу 8 21)
сс: 'Ос == О сс : О 'Ос (на F) == О ас : О Ьс (8 18),
а потому также
о ас : О Ьс == 1 : sin с\tЬ,
из чеrо утверждение вытекает для всякоrо треуrольника.
26. (Черт. 11). 'Во вСЯ1',о_ t сферu'Чес'Коои' треУZОЛЬ'Н,lШ,е cu'ttyebt сторо'Н,
от'Н,осятся _ tе J/сду собоЙ 'КI1'К с и%усъ! противоле:J/сащих и.А! уzлов.
В самом деле, пусть аЬс == R, а [плоCIЩСТЬ] сс'О пусть будет пер
пеIщикуляр:на I{ радиусу сферы 011; тоrда сс'О 1... аоЬ и (тюс как, сверх
Toro, Ьос 1... Ьоа) с'О 1... оЬ, В треуrольниках же ссо и с'Оо (в силу 8 25)
О сс : О ос : О 'Ос == sin CL'C : 1 : sin соЬ == sin \lС : 1 : sin Ьс j
между тем (8 25) таКЖе
О сс : О 'Ос == sin с'Ос : sin сс'О;
и потому
sin ас : sin [1С == sin с'Ос : sin сс'О;
но с'Ос == II == сЬа, а также сс'О == С\1Ь. Следовательно,
sin ас : sin Ьс == 1 : sin а.
Отсюdа явствует, "tтO GферU"tес'Кая Трuzо'Н,о,метрuя уста'Н,овле'ttа иeзa
вuси.мо от ХI a1,cиo.Mы.
9 27. (Черт, 12). Если ас, Ь'О 1...аЬ 71 саЬ передвиzается вдоль аЬ (и сЬ
оБО3'ttа;шст путь тО'Ч1Иl с), то
сЬ : 0[1 == sin и : sin t'.
Ибо [пусть Ьс 1... са; (тоrда в треуrольниках а'Ос, а'ОЬ (в силу S 25)
ОсЬ: О а'О : О аЬ == sin и : 1 : sin v.
АППЕНДИКС
81
Ес.JIП будем вращать ЬасЬ BOKpyr ас, то О опишет О ао, b O сЬ; путь
УПО:\1Янутой [;;тинии] сЬ обознаЧИ:\1 здесь через (:) сЬ. Пусть, да.Пf)(j,
Б <:) 110 будет вписан какой нпбудь мноrоуrо.льник of!l.. .; тоrда п.по
CIшстп, восставленные через все стороны of, fg и т. д. перпеНДИRУ
лпрно R 0 ао, тан:же образуют в 0 сЬ ::иноrоуrо.пьник со CTO.тrЬK1HI же
ЧIIС.JIШ1 сторон, И иожно доказать (наподобие 8 23), что
а потому
сЬ : ао === bf) : от === f)f : Тн === . .. ,
bf)+ f)f+ . . . : от+тн+ .. . === сЬ : ао.
Ес;:ш Ji:1ыRдая П3 сторон of, fg, ... СТРЮJИТСЯ I\: предепу О, то, очевидно,
of+f\J+'" o ао и bf)+f)f+ ... Ocb.
ПО:1ТО:\IУ также
ОсЬ: О ао === сЬ : аЬ.
Но уже было [показано, что]
О сЬ : О ао === sin и : sin v.
СJlедовате.пьно,
сЬ : ао === sin 1l : sin v.
Ес.JIИ будем ас уда.пять от оЬ в бескопечность, то [отношепие]
сЬ: ао,
а вместе с тем и
sin и : sin v
будет оставаться lюстОЯ/l-///{ЫМj но 'U R (8 1), и ес.ПИ Ьщ 11\ он, то 'v ......z;
отсюда получаем:
сЬ : аЬ === 1 : sinz.
Путь, I\:ОТОрый :мы назваЮI сЬ, обозначим через сЬ 11 ао.
2S. (Черт. 13). Если Ь1111\ :!:= а111, а С лежит па 11т и по.ложz/,м ас === х,
то (8 23) Х будет равпо
sin l : sin v.
Ибо, если сЬ и ас ОН и от 11111, то (KaI\: в 8 27) будет:
О of : О сЬ === вin 1l : sin v.
Но, очевидно, of === I1С; птЭТОi\1У
О са : О Ьс === sin и : sin v.
С друrой стороны, на .F' образных [поверхностях осей] аш и Сl11 (пере
. секаюIЦИХ аЩОl1 по ао и св) будет соrласно 8 21)
О са : О Ьс === «[1 : св === Х.
А ПО.ЭТО:\IУ также
y === sin и : sin v.
6 3ак. 1164. Об основаниях reoMeTpНlI
82
Я. БОЛЬАИ
29. (Черт. 14). Если vащ == R, аЬ == у и Vlt 111 ащ, то в [систе.ме] S
1
У == cot 2 и.
Ибо, ес,ли аЬ == ае и ер 111 ащ (а вместе с тем Ьп III .J\.... ер), а таRЖl
реЬ == qeb, то (в си,лу 19) существует таRая [прямая] Ы3 еЬ, что
Ы3111 ер, а вместе с тем ( 1) Ы Ш еч. Ес,ли, да;l1ее, бе Ь , то ( 7)
Ь{\ 111 Ьп, а вместе с тем ( 6) Ьп 111 е{\ и (так как Ы 111 еч) bq 111 et, сле.
довательно ( 1), еЬп== evq.
Пусть vef представляет часть L [ с осью] Ьп, и fg, ЬЬ, ct и el части
L обра3НLIХ ,линий [осей] ft, Ы, eq и et; тоrда, очевидно, будет ( 22)
1)g == bf == Ы == 1)е,
а потому
eg == 2 (1) == 2v.
Таким Жf' обрasом, очевидно,
vg == 2Ы == 2z.
Но
Ье == vg eg;
а потому
y==z v,
и ( 24)
Y==Z: У.
Наконец ( 28),
Z == 1 : sin и и V == 1 : sin ( R и) ,
и, следовательно,
1
У == cot 2 и.
30. (Черт. 15). Теперь уже ,леrко видеть (И3 25), что для
Рf',шения проблемы Плос,;;;ой ТрUZО'НО.II,етрuи в [систе),1е] S нужно распо.
лаrать выражением [длины] окружности через ее раДПУСj 81:oro можно
достичь путе l спрямления [линии] L.
Пусть буд)"Т а[1, ещ, е'111' ас и Ь rде либо на аЬ, 'fоrда (8 25)
sinu: sinv == Ор: ОУ и sinu': sinv' == Ор : Оу':
отсюда
sin и sin и' ,
sinv оу== sinv' Оу.
с друrой стороны (соrласно 27),
sin v : sin v' == cos и : cos и';
следовательно,
sin и sin и' ,
Oy Oy
cosu cosu' ,
или же
оу: Оу' == tang и' : tаngи==tапgш: tang1v'.
АППЕНДИКС
83
Пусть будет, далее, сп 111 ClО; с'n' 111 ClО, а сЬ 11 с'Ь' L об}Jct<JНЫI:J линии.
перпендику,лярные к ClО; тоrда буде [ иметь таКЖI:J (8 21)
О У : О у' == l' : у',.
а выест!' с те:\1
r : r' == tang w : tang т'.
Будем теперь увеличившrь р, отсчитывая ero от CI до бесконечности;.
тоrда w -"----. z И w'..л...., z'; поэтому также
r : r' == tang z: tang z'.
Постои/н/ное [отношение] r : tang z (1le зависящее от у) обозначим через ij,
коrда 11 -"----. U, ТО
( itan g z ) -"----.1
у у ,
а вместе с тем
у .
-"----.1.
tang z
Па 29 следует:
tanO' ?' == ( У y l ) .
Ь..... 2. ,
поатому
2у
У y l
l,
IЫП "1\:е (8 24)
у
2yI i
2у
I i 1
..л...., 1.
с друrой С'l' роны, известно, что предеЛО:\1 этоrо выражения (коrда у -"----. О)
z
служит 1 t I ; следовательно,
og па
z .
==1
10g nat I
II
I==e== 2,7182818...;
ОТСlOда явствует, что эта величина и здесь имеет очень большое зна
чение. Ес,ли впредь буде:\1 обозначать через i ту прямую, дЛЯ KOTO
poiJ I === е, 'J'O будет r == i tang z. НО :\1Ы уже имели (8 21) О У == 2т.:у;
е,ТIедовательно (в СИJIУ S 24),
( У У )
О I} === 2т.:i taпg z == т.:'i У y l) == 71:1: е i е T == ] 7.у t У (У y l).
. пa
9 31. (Чер'r. 16). Для решения всех ПРЯИОJIинейных IIря:моуrоль
, ш,тх треуrольников (из KOToporo уже немедленно вытекае'l' решение
всех треУI'ОЛЬНИКОВ) в систе 1е S достаточно распола1'ать треия ypaB
пения:ми, а именно (если а и Ь обозначают катеты, с rипотенузу,
се п ПРОТllво.лежащие KaTeTa 1 уrлы) уравнениями, выражаЮJЦIПIИ,.
6*
84
Я. БОЛЬАИ
60 /l.cpвыx, соотношение между а, с, а, вo втopы.x, между а, а, , e тpe
пи,uх, :\Iежду а, Ь, с; ОС1IUUlЬ'Ны.с три уравнения ОТСIOда уже получаются
путе:\i псключения.
1. Иа 8 25 и 30 следует:
1 : sina == (o 0"':1) : (А A 1) == (J: с T): (сТ c T)
{урашreнпе для а, а, с).
П. Па 8 27 вытertает (ес,ТIИ ПРВДПО,ТIожп,И ?Ш 111111):
cos а : sin == 1 : sin 11 ;
:ШВ 9 29 же 110лучае;'\i:
. 1 + t 1
1 : Бlll и == 2" t11 1 );
:а потому
. r 1 1 1 ( !1;. !;. )
C o s а . Slll 1 == С А + ,t ) == с + с z
. I 2 2 '
(уравнение д,;тя а, , а).
III. ЕСJШ аа' al, а ?' и п'!lаа' (8 27) 1I, наконец, 'a'y' аа',
"l'0 ясно (Kalt В 8 27), что
' ==J:. ( A + A l ) п' == ( л + в l )
п' sin и 2 ' ад' 2 '
а Вl\шсте с тем
' == ( 0 + 0 1 ) .
аа' 2. ,
.следователы;rо,
tO+ 0 1) == (А+ A l). (В+ B l)
ll,ШI же
eT+c T .. (cT+c T)(3+c {)
(уравнение ДJIЯ а, Ь, с).
Если положим lао == R и o ао, то будет:
О с : О а == 1 : sin а
:и
О с: О (d == a) == 1 : cos а.
Виесте с тем (обозначая для любоrо х через 0;r.2 ПРOI.J:3ведение
,о х . О х) ясно, что
о a 2 +Od 2 ==Oc 2 .
с друrой стороны (соrласно 8 27 и II),
' :t.
Od==Ob.{ (A+A l)
АППЕНДИКС
85.
П, С,lIсдовательно,
( ) 2 1 ( !!: !!: ) 2 ( ) >! ( !!: ) 2'
e i e i === '4 e i +е i e i e i + e i e i ;.
sтo дpy;:oe уравн.енпе для: а, Ь, ,: ((тlOрои член KOToporo ЛeI'l\.О прп
водится к cu.I1-.l1етрU"tCСКОit и.ли неnЗ,,'1!еняе.М,Оlt форые).
Наlшнец, И3
С Б а == ( А + A l )
sшр 2
и
С Б === Л + в l).
sша 2 ( ,
(П сплу III) ПО,1IучаР:\I:
1 ( )
cot а cпt ==="2 е i + е i
(ура.rшенпе ДJIЯ а, , с).
32. ()стается: вкра'l'цt1 покааать способ }Jешения заU(l"1 в r спстеые 1 :);
выпо;rнпв вто (на В03;\Ю:i-I,ПО БО.)Jсе ясных ПрIП1f рах), МЫ сr,аЖ8:\1 OT
чеТJПIВО, J;шеое зпачение И:\lеет вта теория.
1. (Черт. 17). Пусть ;;Ъ будет ,1Iинпя на ПЛОСЕОСТП п у == r (х) ее
ураRНt'IIпе (н Iшрпендикулярных ЕООрДПIШ'1'ах); Еакое J1ибо ПрIIраще
будеJ\i обознача'1'Ь пчерез dz п прпращения :1: И у И площадп и"
еОO'l'ветствующие втому же а,?;, будем обозпачать соотвеТС'1'веИRп черfOа
ах, ау, аи; пус'1'Ь '1'aIt,!,e будет ()91I c f; выlаarшш (соr;rаспо S 31 п 27)
(11J
через 11 и ра3ые:\II 1!реdел [отношрнпя] , корда ах стреМII'l'СЯ 1, ну,лю
(/,1;
(что lJсеrда буде'м пре;:t:ПОЛal'ать, кOI';Щ буде:\1 разыскивать BTUI'() рол:а
ау
предеJI); отсюда выяснп'l'ся также предел отношрния b ' а fЗместе
с тем tang' (\l; таКIПI обраЗО;\l будет также опредрлена 1,'([СLlтеЛМtrlЯ т: () l
в (, (ибо l1ЬС явно пе может БЫТl> ни> НII < [В], а СJIe;:J:ова'rелыН), === П).
П. 1\'IОЖlIО донааать, '1"1'0
(IZ2
(ly2+ b 2-"----,1.
clz
ТаЕ по;;:rучается предел отпошения ах ' а отсюда пптеI'рирпваllН8:\I
(по х) можно будет наЙти и z.
1VIожно 'l'аюreе наЙти уравнеНИЕ в [систние] S любой %О'Ю,РСШ'IiО ,1a
да'Н'Ной J1ИНИП, наПрIНlер L.
В Са:\IOМ деле, r1CJIH ат Асть ось 8ТОП L, то любая сЬ И3 ЮН перР
CeRakT L (ибо в си.лу S 1!) каЖДаЯ прямая И3 а, кроме ЮН, lIересе
lшет L); по (если Ьп есть ось), то
Х == 1 : sin с1111 (8 28)
86
Я. БОЛЬАИ
II
у ==о cot c1)tt (8 2 )),
ОТ1_уда
У==оХ+ YX-!. 1
пли ЖР
!I х r2X
е'===е'+JI eT l;
8ТО и есть пскомое уравнение. Отсюда
1.
-л----Х (X2 1) 2,
а потому
.Е..2. ==о 1 : sin c1m === Х;
ах
вместе с тем
1
dy -л---- (X2 1) 2;
Ы)
1 + dу2 -л----Х2 ( у2 ) 1
бt)2 1,
dz 2 .л......Х2 ( у2 1 ) 1
бl)2 ,
1.
dz .л...... у ( X2 .1 ) 2
blj
и, l'lакопец,
j
.л......Х 2 (Х;! 1) 2
Отсюда интеl'риропапием находим:
1
Z === i (Х2 1)"2 === ';' cot СЬн
(1{Ш' В 30).
1П. Ясно, что
du I)fсЫ) .
dx л.." dx '
ЭТО нужно вырааить череа у (ибо только от у аависит), откуда IIНl'е
l'риронанием получим и.
(Черт. 12). Пусть аЬ===р, ac===q и cb===t.; пусть также cavbc==sj
l\IU:;Ii:ПО покааать (l,aJ{ в 11), что
ds
dq .л......r,
а 81'0
1 ( !!.. !!.. )
=== 2 Р ei+e i ;
IIН1'еrрируя же, lIUЛУ'Iаем:
s=== Pi(et. e t).
АППЕНДИКС
87
Это можно также по,лучить 11 без интеrрирования.
Выразив, например, уравнение окружности (из 13 31, П1), прямой
(П3 31, 11), коничеСКОI'О сечения, :можно ВЫЧИС.лить п.лоu ал:п, Ol'pa
ничеШlые ЭТИМII линиями.
Ясно, таЕже, что поверхность t, параллельная П.ЛОСЕОЙ фиrуре р
(на расстоянии q), относится к р I aK вторые степени соотве'l'СТВУЮ
ЩПХ .ЛИНИЙ, т, е. как
( q q ) 2
1
"4 e i +е i : 1.
ДаJ1ее, .леrЕО Вl"щеть, что вычисление объема, ПРОПЗВОДП;\luе 'l'eM же
способом, потребущ' двух интеrрированпй (таЕ ЕаЕ в r TOM с.лучаР.
и 'С3JvIЬtЙ дифференциал уже находптся только интеrpпрованием);
и прежде Bcero нужно най'rи оf)ъем те.ла, Еоторое оrраничено [поверх
ностями] р II t и СОВОКУИНОСТЬЮ прямых, перпендику.лнрных к р и
соединнющих концы р и t. Этот объем (который можно наiiти каи:
ИIIтеrрированием, таЕ и без интеrриронанин) ОЕазываетсн равным
1 ( ) 1
SPi e e +;rpq.
В [системе] S можно TaI\Jf e ВЫЧИС.лять поверхности те.л, равно каЕ
1i:jJuвuз'Н'Ы, звО.fиот'Ы и зво.!!ьве'Нты КaIПIХ уrодно линий и т. д. Что Ka
сается кривизны, то она в S определяется либо д.лн L, либо д.лн
окружности по ее радиусу, .либо д.ля .ЛIIНIlIl 11 прнмой по ее рассто.н
нию от этой пр.нмой; из предыдущеrо .lJerItO показать, что, Ероме L,
окружностей и линий 11 x прнмым, в плоскости не существует ника
{;lIX однородных линий.
IV. Длн Epyra (как в П1) паходим:
d0x -"---- о х
dx '
ОТЕуда интеrрированием (по 30) получаем:
<:) х== "i 2 (е Т 2 + е T).
V. (Черт. 9). Длн площади саЪЬс==u (оrpаниченной L оБР<t.3НОЙ
линией а6 == r, 11 й ей линией сЬ == у и прниыми ас, 6Ь == х):
du
dx == -"----У,
,
а так."Ее (13 24)
У == re
х
i .
,
поэтому (интеrрируя) получаем:
11. == ri (1 e T).
8R
Я. БОЛЫ,И
х
RОI'да х возрастает до беСI-;онечности, то в S е T '""""" О, а вместе
с те-м и,"""",, ri. В иос.ледующе.м под величи:ной шаоn мы будем разуметь
именно этот предел.
АпаЛOl'ИЧFlЫМ образом наХОДИ:\1, что если р есть фИI'ура на Р, то
объем пространства, оrраничеШIOI'О [поверхностью] р II СОВОКУlПIостью
. 1
осей, проведенных из l'раниц [фИl'уры] р, равен "2Pi.
VI. (Черт. 10). Если уrол при центре сферическоrо сю'мента z
равен 2/(, длина Оlеружности большOl'О lepYI'a есть Р, а ДУI'а fc
(уrла и) == х, то (13 25)
1 : sin и == Р : О ос,
откуда
о ос == Р sin и.
JliIежду тем
ри
x==
2';['
и
pdu
ах== 2т.: .
Далее,
dz
, О ос
(lx '
а пото-му
dz р2.
11lt '""""" 2'ir Sln и,
откуда (интеrрируя) получае :
sil1 уето;; 7 " 1 )
Z === 2тс р.:.> .
Представим себе [поверхность] F, на которую падает Р (проходя
через среднюю точку f сю' ента); проведеи плоскости fCIl1, сст через
af, ас перпендикулярно к [поверхности] F' и пересекаlOщие ее по
fCH и сс; IIроведем также L образную [линию] сЬ (из с перпендику
лярно к fC!1) и L образную же линию cf; ТOl'да (13 20)
ccf == и
и (13 21)
sil1 ует!:; и
р 2т.:
поэтому
z == fD . р.
Но (13 21)
так что
р == т. . fbg,
z == т. . fb . fbg.
с друrой стороны (13 21),
следовательно,
fb . fbg == fc . fc;
z == т. . fc . fc == <:) fc на Р.
1) sil1 vel'S и 1 СОВ 7t. [Ред.]
АППЕНДИКС
89
(Черт. 14). Пусть, далее, будет bj == cj == '1'; тоща ( 30)
21" == -i (У y 1);
вместе с тем ( 21)
<::) 2'1" (на F') == Т(i 2 (У y 1)2.
Имеем шн:же (IV)
<::) 2у == Т(-i 2 (у 2 2 + y 2);
следовательно, <::) 21' (на F') == <::) 2у; поэтому -поверхность z сфеР1 1 /чес..о?0
ee?.IU!'/-tlnа равна '..ру?у, о'nиСШЮiO.иу хордой fc 'ii:Ш.. радиусо.и. Отсюда ПОRерх
ность всей сферы
р2
== <::) f\\ == fbg . р === ;
K.,tecпze с те.н -поверхности сфер о 'I1l'1iO сятся , 'ii:ШК вторые степени O1;PYJ/C'tto
стей их болыuих 'ii:pY?Oe.
VII. Подобным же обраsоы находи:и, что в [системе] S объе;и сферы
радиуса х
1 .3 ( У 2 "'T 2 ) 2 .2
===27И/ ..L ..Li 7t:.1, Х;
поверхность, получающаяся при вращении ЛИНИII сЬ (черт. l2)
BOKpyr аЪ
1 . (Q 2 Q 2 )
== "2Т('tР ,
а тело, описанное саЬЬс,
1 ,2 (Q Q 1 ) 2
==тТ('tР .
J{а1шс,t образо.и всё зdесь иЗЛОJJсе'Н/I-юе, ишчли-/дя с (IV), с'И:J1сет быть
въmолиено и без и'l-lIпе?рuрованuя, зто cltЪt для '..ратт;;ости oиYC'haeclt.
Ыожно доказать, что 'предел вся..о?о выраJ/сения, содерж:аще?о бу'/.ву i
(и, следовательно, связанноrо с той ?и-потезой, при которой i суще
ствует) , 'при возрас'/l/Ш-/Лtu 'i до беС%О'/-/R'Ч/I-lOсти, 'I1Ю'Ч/I-lО выраз/сает [то з/се]
r;ол'U"tество в систе.ме 1: (т. е. при rипотезе, что 'нлt'l'iШ..о?о i нет), если
толы;;о соответствующие равенства не обращаются в тOJ/cBecтea. Надо,
однако, остереrаться думать, что может изс,tеняться сас,tая система
(которая сu.о1щ -по себе в-полне определена); изменить можно только самую
?uпотезу, что можно делать -последовательно, пока мы не будем при
ведены к абсурду. Если поэто:иу 'приме.м, что имеет место S, то в BЫ
раЖGНИЯХ зто?о рода буква i должна 0значать ту единственную велп
чину, при н:оторой 1 == е; если же в дейетвительност.и иыеет место };,
Hy:;r_HO вместо [каждоrо] выражения взять въt7uеу/;;аЗШ-/;/iЫй -предел; оче
ВIIДНО, такиы обраЗ0М, что все выражения, проистекающие И3 реаль
ности S (в этом смысле), U.1tеют сиесто аБСОЛЮ'l1то, хотя иа-перед и остается,
н.еuзвестНЫ.и, с-праведлuва 1: или нет.
'90
Я. БОЛЬАИ
Так, например, И3 выражения, IIолученноrо в 13 30, леrко (и IIрИ
TO:\I как 1 pп 7ЮJ\tuщu, дифференцирования, так и без nezo) проистекает
известное значение, имеющее место в ,
ох== 27сХ;
И3 1 (13 31) УК8.3анным путе:\1 получаем:
1 : sin (J. == с : а,
Д3 11 же получаем:
cosa l
а следовательно, (J. + == В.
sin ,
В 111 первое равенство обращается в тождество и потому uлtее1ll ,место
JI в , хотя оно ничеrо в ней не устанавливает; И3 RToporo же BFJITe
кает:
с 2 == а 2 + Ь 2 .
Это uзвест'Ные ос'Новн;ые ?/равж'Ния плос:коu rnpllzonOJ\templlU в L.
Далее, И3 П1 (13 32) находим для выражения площади и объема,
1юторые в том II R друrом случаях
==pq;
.п3 1 V
r:\ Q
\.J х == '7!x ;
И3 УН [объем] сферы радиуса х равен
7cx2
3
и т. д.
Точно так же предложения, приведенные в конце V1, очевидно,
БС.1усл()в'Но справедливы.
33. Остается изложить (кш\: это обещано в 13 32), чтО эта теория
имеет ввиду.
1. Имеет ли в dеuствu.rпель'Носпщ место L или З, остается нерешен
пым.
И. Всё, ПРОИСТeIсающее И3 предположения лоЗ/с'Ностu XI аксиомы
(понимал это всеrда в том СJltысле, как это установлено в 13 32), спра
ведливо абсолwт'Но и в этом смысле 'Не отtрается 'Ни 'На 'Ка'Кую ZU1ютезу.
.rrаким оБР8.30М, существует т1fJJuор'Ная плос'Кая триZО'НОJиетрu.я, дЛЯ KO
торой, однако, остается 'Неuзвест'Ноu едu'Нстве'Н'Ная uстu'Н'Ная система,
и потому абсолwт'ныe величины выр:ы-rшний остаются неизвестными;
по заданию од'Ноzо случая, очевидно, устанавливается вся система.
'Сферическал же триrоно:метрия в @ 26 установлена абсолютно (и су-
л ествует rео:метрия, вполне аналоrичнал плоской rеометрии системы L,
iИменно на Р). '
АППЕНДИКС
91
II1. Ес,тrи бы было YCTaHOB,тreHO, Ч'J'О имеет место [систеыа] I, то
в )TOM отношении уже ничеrо больше не оставалось бы неизвестным;
еслп же было lIстшновле'Но, "lтo L 'Не U.и.еет .%CC1IUi, то ( 31) (например)
по сторонам х и 11 И ррямолинейному уrлу, между нпми содержа
ще fУСЯ, '}i;о'Нкрет'Но зада'Н'Ны.м, очевидно, непосредственно непозможпо
абсолютно решить треуrольНIПс, (т. е.) а priori определить прочие
YT,тrы и оптоzaе'НIIС третьей сторо'Ны к двум данным, по Iсрайней :\1ере
до 'J'ex пор, ПОIШ не будут установлены значения y и У; дЛЯ 3'j'oro
необходимо ;О'Н'hрет'Но располаrать каКИ::Й ЛIlбо а, для ROToporo пзвестно
соответствующее значение А; а тоrда i была бы 'Натураль'Ной еJU'Нtщей
(J,l//H (ПОClшлысу е есть основание натуральных лоrарифмов). l юе 81'0 i
ВОЗ:lЮЖНО точнее построить в том случае, коrда будет обнаружепо ее
существование. 8ТО будет ПOIшзапо [ниже].
1У. Совершенно ясно, что всё, относящееся к прос....рансТву, :llOЖНО
псс.тrедовать в том с:иысле, как 81'0 было установлено в 1 и 11, aHa
лптпчеCIПI:lI :lIетодом новых [исследователей] (заслу:;r,ивающпм 13 Haд
ле:жащих пределах бо"тrьшоrо одобрения).
У. Нююнец, блаrожелательным читатеЛЯ:\1 пебезынтереспо бу
__,ет, что в случае, если в действительности имеет место S, а не L,
можно построить прямолинейный отреЗOIе, равный длине OIеруж
ности.
34. (Черт. 12). Пз 'D rvроводuтся Ь1l1111 ап слсоующu.1t образо.ч.
Пз 'D проводим
ЬЬ 1111;
r->
IIЗ I,aIшй либо ТОЧЕи а прямой аЬ восставляем
ас ап (в ЬЬа)
и затем ОПУCIшем
Ье I1С;
'тоща ( 27)
о сЬ : О аЬ == 1 : sш z
в предположении, что 'Dш 111 Ьп.
Между тем sin z не > 1, а потому аЬ не > Ьс. Если П08ТОМУ из 11
'Опишем в Ьас дуrу Iевадранта радиусом, равным Ье, то он будет и::йеть
с ьБ общую ТОЧlсу [и ииенно] либо Ь, либо о. В перпои слуqае, оче
видно, z == Я; ВО втором же случае (соrласно 25) будет:
(О ао == О сЬ) : О аЬ == 1 : sin аоЬ;
:\ потому
z == аоЬ.
Если П08ТОМУ построии Z == а{1Ь, то будет D1lt 111 Ь11.
92
Я. БОЛЬАИ
35. (Черт. 18). Если справедлива S, то nрЯ.ная, перпе1/дШ';lI. пя рнДя
1, од'Ной С'l1Z0ро'Не ocтpozo lIzла и 111 iJpyzou ezo сторо'Не, с/1tр07 тся слеfJlI'ЮЩU.,\1
образО.Аt.
Пусть аш {1с; Воаьые.\1 аЪ === ас насто.ЛЫЮ малым (в силу 1 g) ,
чтобы при lIроведенип Ъп 111 ат ( 34) получился [уrол] \lЪН > данпоrо.
уrла. Далее, проведеы ср 111 а\Н ( 34) и построи [ [уrлы] 11bq, .рсЬ, paH
ные данному УI'ЛУ; ТО1'да Ъ" II сЬ взаи:\пIO пересекутся.
В саИО l деле, [луч] Ъ" (который, 1Ш 1l0С1JlроеНI 'Ю, падает внутрь нос)
переСeI ает [прямую] ср в е; тотда (вследствие '1'01'0, что 1111 ер),
еЪс < есЪ, а потому ес < сЪ. Пусть
ef === сс, cfr === есЬ и f 111 С));
тотда f упадет в ofr. Ибо, так как Ъ11111 с).1, а ПОТШIУ 011111 ер, то II 011111 f{\:
вместе с тем ( 14) будет
fb11 + ofi\ < 2Е === fb11 + lJfr;
следовательно, fJf < lJfr. П08ТОМУ fr пересечет e \, а вмР.сте с тю[ ct
пересечет cq в неRОТОрОЙ ТОЧЕе, Ь.
ПУСТh теперь
Ь\} === Ьс II ЬМ === ЬЦ1 === \1011;
тотда (поскольку сЬ gb) будет
Ъп= gt С).1.
Если L образная ЮIНия [оси] fJn встречает {1q в ТОЧЕе f ( 1!J) п ti
есть ось, то
011 fl,
а потому
fJff === ogt === bc \,
но вместе с тем
H С).1,
П08ТОМУ f, очевидно, совпадает с Я, а [следоватеаьно] gt 111 ОН. Еслп
же 1){\ разделпт fJg перпендпкуаПРОNr попо.:та 1, то 8ТПЫ будет построена
{\ 111 011.
36. (Черт. 10). Пусть будут даны прюшя c \ И ПЛОCI ОСТL llIаО
проведе:м сЪ тао , Ън Ъс (в оср) и щlll оп ( 34); 'l'Oтда :мы наЙде:\-!
1IepeCe" enиe c (если 8та пряиая лежит в fJcq) С 011 (в СЪ11), а следuва
тельно, и ее nересе'Чение С шаЪ.
И еслп даны две плоскости ).1Cq п iilQb и сЪ шао, cr р cq, а TaRJl e
(в ocr) 011 Ъс, с{\ cr, то 011 упадет в шаЪ, а ci\ в \cq; наЙде:\I ТОЧI У
.
пересечения Ъ11 н c (если таковая существуе '), Н3 8ТОЙ точки n ,рсч
проведе:\I перпендикуляр к c ; он, оч!:'нJ'ЩНО, будет 'nepecf!"tenиe.J шаЬ
и ).1CI1.
АППЕНДИКС
93
37 . (Черт. 7). На 111 оп 'Найдем тш;,ую а, 40побы было \111l ОН;
:вне 1I{Н1I (как [ПОКа3ано] в 34) построим gt 111 ОП; проведем ОН gt,
[отложим] gc === йО и ср 111 gt; построим, дa.тree, tgb так, чтобы она COCTa
нн.;та с tgb yro.ТI, равный тому, который })са оБРа3ует с })сЪ; затем
рааЫЩtJМ (по 36) пересечение bq [п.ПОСIщстей] t lb и nоа; наконец,
пропедем оа bq. Вс.педствие подобия L .пинеЙНLIХ треуrо.пьников,
{)бра; уюIЦИХСЯ на [поверхности] F' [оси] ОН [ 21], будет, очевидно,
Ь{1 == Ьа и аш оп.
Отсюда леrко видеть (так как L .пинии впол'Не определяются св()'Н.ми
1iОН1\а.lиt) , что можно построить четвертый и.ПИ средний Ч.пен пропор
цпп; и вообще ьсе построения, которые в выполняются на п.ТIОCIЮ
сти, можно на F ВЫПО.пнить таКИ:\1 же путем без XI а%СUО.;нъt. Так,
например, 4В можно rеометрически ра3делить на .пюбое чис.ПО равных
ча тей, ес.ПИ такое деление можно ВЫПО.ТIнить в [системе] .
38. (Черт. 14). ЕСШI, например, построим (соrласно 37)
1
l11 1 q == 3" R и, предпо.паrая систему З, проведем (как указано в 35)
Е {1q перпендикуляр a11l111 оп, а затем (kaI-\: указано в 37) построим
, . ( I'i. ) v . . 1 R 9
1Ш ,'11 и ПО.пожии 1\1 === х, то 1::1 28 _ 1 . Sln 3" , и отрезок х
{)удет i!eo.Ateтpu"tec%u построен.
Можно также рассчита'lЪ Hoq таким образом, чтобы [отрезок] ja
'ОТ.lJичался от i менее '1е;\1 на заданную величину, в иредпо.пожепии,
1
однако, что sin noq ДО.пжен быть отличен от .
е
39. (Черт. 19). Ес.пи (в плоскости) })q и tll прямой 1I11l ( 27),
:а (\{1 и сЬ суть равные между собой перпеНДIШУ.пяры к 11111, то, оче
видно,
6. Ьсс == 6. ОС\1;
ВСJIедствпе 8Toro Уl'.пы (может быть, смешarпю линейные) сс}) и cat
'lюнrРУ8НТНЫ, а 13месте с тем
сс === са.
Еслп, да.пее, cf === ан, то
6. acf == 6. cag
и ка;нщый из нпх состаВ.пяет по.повину "tстЫРСХУi!ОЛЬ'НUJЬа fagc. Ес.пп
fagc, 9\1gf суть два четырехуrо.пыпша 8Toro рода на ан, [содержащихся]
между Pq и t, то их равенство (как у ЕВБЛИДА), равно, I-\:ак и paвeH
-СТВО треуrо.пьников agc и agf), при.пежащих F.: одной и той же [CTO
роне] а\1 и имеющих вершины на })q,совершенно очевидно. Да.пее,
acf === сап, gcq === С!1а
и
acf + ас!] + gcq === 2В
94 Я. БОЛЬАИ
( 32), а потому ТаЕже
ca +acg+ cga == 2В;
следовательно, в каждом треуrольнии:е I1Cg этоrо рода суима трех
уrлов === 2В.
Пря. taя ag либо совпадает с [линией] ag (которая IIШll), ."Iибо нет;
но равснство nря.ИОJlU'liСй/IiЫХ треуrольников agc и ag 'КШК по площади,
тш. и по Су.М.МС у лов в том и в друrом случае совершенно очевидно.
40. (Черт. 20). Рав'liЫС трСУ ОЛЬ'liи'Ки аЪс, аЪЬ (здссь U eJ peab nРЯ.\1,О
Л1t'liСU'liъtС) , U.МСЮЩUС общую сторо'liу, U.мсют та'Кз/сс одUJЮ$овыс Cy.IMtbl у лов.
В самом деле, пусть т11 делит ПОПОЛМl как ас, так и Ъс, и пусть 1q
(проходя через с) lIтп; в такои случае Ь ляжет на pq. Ибо, если ъ1\
r--J
пересекает т1l в точке С, то линию .pq она встретит [в f] на расстоя
нии cf === сЪ ( 39) j поэтоиу t:-, аЪс == t:-, avf, а по тому t:-, аЪЬ. === t:-, avf ,
и, следовательно, Ь падает в f. Если бы [луч] ЪЬ не пересекал ЩП,
то пусть с будет точка, в которой перпеНДИБУЛЯР, делящий прямую аЪ.
r--J ,...,
пополам, пересекает .pq. 3атем отложII.М g{\ === t ТаЕИМ оБРа30М, чтобы {\t
пересеЕЛа nродОJlЗ/СС'liUС ЪЬ в какой либо точке f (что это В03I\ЮЖНО,
обнаруживается таКИ:\l же способом, как в 4). Иусть, далее, {\1===!,;11,.
10 11 {\t, rде о пересечение линий Ы и тоrда ( 39)
t:-, аЫ === t:-, I1ЪО,
а потому
t:-, аЪс > t:-, аЪЬ
(что противно сделанноиу предположению).
41. (Черт. 21). Рав'liЫС тpCY OJlh'liUri1t аЪс, bcf и.\1-сюm рав'liые ЖС cy.M.Mы
у лов.
Ибо llУСТЬ т1l делит попо:rам как ас, так и ЬС, и .pq таким же
обраЗ0М делит ПОПО IМI 1\:ак bf, так и fc, и пусть r{\ 1111111 и to lI.pq; тоrда
перпендикуляр ай к r{\ либо равен иерпендикуляру b к to, либо
один иа них, напРИ 1ер М), будет больше друrоrо j в тои и в ДРУI'ОМ
случае О bf с центрои а и [еет с йi каИ:УIU либо общую точку f
и ( 39) ·
t:-, аЫ === t:-, I1ЪС === t:-, bcf.
Но тоrда t:-, 11f1J (в сплу 40) имеет с треуrолf.никои bfc и (в силу 39)
с треуr<1льником аЪс одU'liа'Ковую су.М.МУ у лов. А потому и треуrо.льники
оЪс и bef :jIмеют ОДИНаЕовые суммы уrлов.
В S эта теорема может быть также обраЩС'liа. В са юм деле, поло
ЖИМ, что треуrОЛЬНIIКИ аЪс и bcf имеют одинаковые суммы уrлов и
t:-, Ъа{ === t:-,bcfj тоrда (в силу предыдущеrо) они имеют одинаковые CYM
[Ы УI'ЛОВ, а вместе с тем t:-, аЪс и t:-, 11М имеют одинаковую CYM IY уrлов
АППЕНДИКС
95,
поэтому, очевидно,
11сl + Ыс + сЫ === 2Е.
А так как (соrласно 31) в [системе] S СУЫl\Ш уrлов всякоrо Tpe
уrОЛЬНИЕа < 2Е, то точка 1 совпадает с с.
42. (Черт. 22). Еел!/. дОnОЛ'iiе'iiuе cY.AUIЪb уzлов в rпреУZОЛЬ'iiu ,е а11с
до 2Н ecrпb и, а в rпреУZОЛЬ'iiu'Ке bef [эrпо дОnОЛ'iiе'ii!lе ecrпb] v, rпo
6 а11с : 6 bef === u : 1'.
Ибо, если каждый И3 треуrольников acg, AC , c11, bff, ffe === р и
вместе с тем
6 а11с === rпp, 6 bef === пр,
а s есть сумма уrлов каждоrо треуrольника, который === р, то, очевидно,
2E и === 1IIS (rп 1) 2Е === 2E rrt (21l s)
I1
u === т (2R s)j
равным же обраЗ0М
Следовательно,
v === n (2R s).
6 а11с : 6 bef === rп : п === u : v.
Ясно, ЧТО 8'1'0 леrко может быть также распространено и на случай
несоизмеримости треуrольников а11с и bef.
Таким же обраЗ0М докззывается, что треуrольники на сферической
поверхности относятся между собой, как uзбыrп'Кu сумм их уrлов над 21l.
Если два уrла прямые, то третий уrол будет 8ТИМ изБЫТКОМj треуrоль
ник же 8'1'0'1', очевидно, равен
z р2
2;t . 2 ( 32, VI)
(rде р есть окружность большоrо Ер)та); следовательно, всякий Tpe
уrОЛЬНИIt, уrловой избыток KOToporo === z, равен
Zp2
4 2 .
43. (Черт. 15). 'l'еперь уже выразим площадь ПС5ШOl'0 пр.н1\IO.;пI
нейнOI'О треуrольника в S через сумму ero уrлов.
Если а11 неоrраниченно возрастает, то ( 42)
6 а11с : (R u v)
будет оставаться постоянным. Но
6 a11c 11асп ( 32, V) и R и .v..л......z ( 1),
а потому
11асп: z === 6 а11с : (E u v) === 11ас'n' : z'.
'96
Я. БОЛЬАИ
Далее ясно, что
Ы,сп : ьЬ'с'п' == r : r' == tang z : tang z' ( 30).
Но при и' '""---- О
ЬЬ'с'п'
,",,----1
Ьас'п' ,
,а оrаRже
tang z'
,",,----1
z'
СледоватеJ1ЬНО,
{,Ьсп : ьасп == tang z : z.
С ДРУI'ОЙ стороны (8 32).
ьЬсп == ri == i 2 tang' z
и, е.ледовательно,
Ьасп == zi 2 .
Поэтому во всяком 'l'реуrольнике, у KOToporo дополнение суммы уrлов
дО 2Е есть z, площадь в дальнейшем будем об08начать ее чере8 6 Ic;сть
6 == zi 2 . Отсюда леrItО BЫTeKa€T (черт. 14), что если I.ч'lI\ аш и то 111 аЬ,
то площадь, содержащаяся между 01:, М, fC (которая, очевидно, есть
абсолютный предел площадей прямоуrольных треуrОЛЬНИRОВ, Heorpa
Н:ИЧЮJЯО RО8растающих, либо предел 6 при z'""----2R), равна
'iti 2 == <::) i на F.
Если этот ПРlc;дел оБО8начим 'Iерез О, то будем иметь далее
(соrласно 30)
"'1.2 == tang Z2 О == <::) l' на F (8 21)
== <::) s (вследствие 32, VI),
rде s есть хорда Ьс (черт. 15). Если теперь данный радиус s ПЛОСlюrо
1tpyra (или L обра8Ныfi радиус Kpyra па F) ра8делим перпендикуля
ром пополам, ПОСТрОИС\I (соrласно 34) Ьь 111 сп, 8атем опустим
перпендикуляр са на Ьь и, наконец, восставим перпеНДИRУЛЯР С1П
к са, то получим z; отсюда (на основании 37), приняв ПРОИ8ВОЛЬ
ный L обра8НЫЙ радпус 8а едиlПIЦУ, .мо;нсио iiудет о'пределиrпь tang z2
zeo.tteтpU"tecr.;u дву.пя оduородUЪ/.,ttи .лиuиЯ.ми одиuаr.;овоЙ r.;ривuзuЪ/. (Itаковые,
IЮЛЬ скоро даны их КОНЦЫ, по построении осей, очевидно, Mory")'
И8меряться одна дрyrой как ПрЯ:НLIе линии и в этом смысле Mory")'
. считаться ЭltвивалеНТНЬВIИ прямым ЛIIНИЯМ).
(Чер'l'. 23). Далее строится 'IетырехуrОЛЬНIШ, равный О, наприС\шр
правильный, следующ'ИМ обра80J\l. Пусть
1 1
аЬс == Е, Ьас == "2 Е, асЬ == т R и Ьс == Х.
"Тоrда y (соrласно 31, II) можно будет l3ыра8ИТЬ в ItBaдpaTHbIX
ЕОрНЯХ и (соrласно 37) построить; и:нея же Х, можно будет (по 38,
АППЕНДИКС
97
лпбо также 29 и 35) определить и самое х. Вместе с тем вось:микрат
ная п.лощадь аЪс, очевидно, равна О j а 1zoто.му 1IЛОС1>ий 1>РУ(1 радиуса s
zеО.Аlеmрu'ЧеС1iU 1>вадрuруется пря.молu'Нейной ФU(1УРОЙ или однородны.ми линия.ми
111-OZ0 ;нсе тнпа (li:оторые в с_иысле сравнеНltя пх .меJlсду собой З1>вuвале'Нтны
/I}Jя,'иыАI);; F обра.тый ;JlCе 7,РУ;! maKU,,11 ;JlCе образо.м пла'liuруется. IIтar;, либо
и.lreem _иесто YI lШСUО.I/а Ев7,лuда, либо ЗlCе вОЗ_ИО:JlCна (1ео.метрu'Ческ;ая 7';liадра
rllypa крУШj однако остается нерешеННЫ;\1, что И3 двух имеет место.
Далее, если tang z2 представляет собой целое число UЛ7l рацпо
па..'!ЬНУЮ дробь, знаменатель КО"l'ОрОЙ либо есть простое число НlIда
2т+ 1 (Вlшючан с!ода и 2 == 20 + 1), лuбо же произведение произволь
Horo количества простых чисел 8Toro вида, причем каждое И3 них
входит только раз (за исключениеи 2, которое может входить ПрОИ3
вольное число раз), то при 8ТОМ Н только при 8ТОМ условии, блаrо
даря учению о J\Iноrоуrо.пьниках зна;\шнитоrо rAYCCA (8ТОМУ самому
блестяще;\fУ ОТ1ерытию нашеrо вреиени или даже всех времен), можио
таrеже построить прямолинейную фиrуру, которая равна tang z'3 О ==
=== (:) s. Ибо делеШlе четырехуrольника О, очевидно, требует (поскольку
предложение 8 42 леrко распространяется на любые мноrоуrольники)
.дслеНlIЯ 2Н, которое ИСК.лючительно при 8ТИХ условиях выполнимо.
Во всех же таких случаях изложенное всеrда приводит к цели.
И всякая прямолинейная фиrура о 11 сторонах, если только п есть число
ТА УССова вида, может быть преобраЗ0вана в правильный треуrольник.
Наконец, оставалось бы еще только (чтобы совершенно исчерпать
8'1'0'1' предмет) показать, что невозможно (без какоrо либо допущения)
решить, имеет .ли место 1: или какое либо S (и притом кюеое именно).
Это мы, однаrю, ОТЛОЖИ.\-1 до nо.лее иодходящеrо случая.
ЛРИЛОЖЕНИЕ l)
I paTRoe содержание «АППСН1;ИRса»
8 1. Определение асимптоты (в терминах Лобачевскоrо парал
лельной прямой).
8 2. Сохранение OCHOBHoro свойства асимптоты в любой ее точке.
S 3. Две асиМПТОТЫ к одной и той же прн.\-!ой не пересеrеаются.
8 4. Через любую 'l'очку, лежащую внутри уrла, можно провести
прямую, пересекающую ero сторону под равны.\-! ему соответственным
уrло.\-!.
8 5. На пряиой существует точка, соответственная 2) любой '[очке
аспмптоты к 8ТОЙ прямой.
1) Составлено И. Н. БронштеЙном.
2) Болью-\: ,,'еРМIIна «СОО'l'ве'l'С'l'венные точки» не ВВОДИ'l'; вместо Hero он дает
специальное обозначение (t;M. «Объяснение обозначениЙ»). Этот термин введен
fayccOJ\i (C'l'P' 111 настоящеrо сборника).
7 Зак. 1164. Об основаниях rеометрии
98
Я. БОЛЬАИ
8 6. ВзаИNIНОСТЬ параллелизма.
8 7. Транзитивность пара,;-тлелизма.
8 8. Перпендикуляр к отрезку, соединяющему две соответственные
ТОЧКИ на пар3,.тrле.;-тьных прямых, проведенный черА3 ero середину,
параллелен 8ТИМ прямым.
8 9. Если две плоскости пересекают третью по параллеЛЬНL])[
прямым, причем первая п;;rоскость перпендикулярна, а вторая наклонна
к 'rРА'rьей, то они пересекаются со стороны OCTporo уrла.
8 10. 'rри точки лежат по одной на трех параллельных прямых.
Если две II3 них соответственны 'rретьей, то они соответственны
:между собой.
8 11, Определрние rео:метрических обрasов F и L (в тер шнах
ЛобачеВСЕоrо орисферы и орицикла ) и их осей.
8 12. .'lюбая прямая, пара,,;-тлельная оси L или Р, может быть
принята за ее ось.
8 13. Если XI аксиома ЕВR.;-тида справедлива для одноrо случая
располшкения трех прямых, то она справедлива и для любоrо дру-
roro случая.
8 14. Если cYAIMa внутренних односторонних уrлов меньше двух
пряиых для одноrо случая расположения трех пря:мых линий,
ТО 8ТО же имеет :место и для любоrо дрУl'оrо случая.
8 15. rеометрические систеАIЫ :s и S (в терминах ЛобачеВСRоrо
употребительная и воображаемая rео:метрии). Абсолютное в reo-
метрии.
8 16. В систе;\Ie L L есть пря:мая линия; в системе S НИКaRие трп
точки L не .1Iежат на одной ПРЯАЮЙ.
8 17. В системе S F есть однородная поверхность, а L одно
родная линия.
8 18. В системе S сечение поверхности F плоскостью, наЕЛОННОЙ
к ее ОСИ, есть окружность.
8 19. В системе S прямая, проведенная через точку L линии Б ее
п;;rОСRОСТИ, касается 8ТОЙ L ЛIIНИИ или пересекает ее еlце в одной
точке.
8 20. Две точки на поверхности F опредеЛЯЮ'l' лежащую на ней
L линпю. У rол между двумя L линиями на Р.
8 21. На поверхности F справедлива аксиоиа Евклида.
8 22. Если L ЛИНIIЯ СКОЛЬ3IIТ по самой себе, увлекая за собоЙ
ее ось, то каждая точка 8ТОЙ оси описывает L ЛIIНИЮ.
8 23. Отношение Х длин дут L линий, оrраниченных двумя общшш
осями, вполне определяе'l'СЯ расстоянием х между 8ТПМИ ЛИIIп.яМII
(расстоянпе считается по оси).
8 24. Два отношения)[ и У длин дуr L линий, оrраниченных дву)!!!
у
общими осями, снязаны заВИСIIМОСТЬЮ у == ХХ; н системе L Х == 1,
а в CIICTe;\Ie S ,Х > 1.
8 25. 'l'eopeMa синусов для прямолинейноrо 'l'реуrольника Аве:
Оп 1
sin А sin В sin С ).
[) ,..) l' длина окр.:>' '". - '. >" -.'
АППЕНДИКС
99
2б. rrеореиа синусов для сферпческоrо треуrОЛЬНlша имеет абсо'
лютнr.IЙ харш,тер; сФеричеСI,ая триrонометрпя установлена пезаВПСП;\1(
от XI аксиомы Евклида.
27. Отношение дуrп 8КRИДIICтанты к д.лпне ее базы 1). П peдe.тr
ЭТOl'О отношеЮIЯ, коrда база 00, равен 1: П (р) 2). rде p . 1lара
Mf'Tp ЭКВИДIICтанты.
28. Формула для отношения Х д.лип дуТ' L линпН, Ol'раНlIчен
ных двумя оБIЦИМИ осяып.
S 29. Связь между отрезком у п ero уrло;\[ параЛЛАЛЬНОСТП
1
7t == П (у): У == ctg' 2 Il (У величина, определяемая отреЗI\:О:Vl и co
I\тraCHO 23),
S ЗU. Выражепие в системе S длины ОКРУЖНОСТИ через ее радиус:
О у == 7(i (e е i-), rде i некоторый постоянный отрезок 3).
Важные промеЖУ'l'очные результаты:
1) выражение д.тПIНЫ дуrи l' L ЛИЮIИ Через уrо.л параллельностТI
ее высоты: l' == i tg z 4);
2) выра;жение уrла параллелыюсти z отрезка 1/ через функцию У (1/).
R t 1 (} r } ' 1
определенную в 1:1 23: f.!: z == 2 ) ;
3) аналитическое в ыраженпе ф тнкцип У ( !J ) : 2у i'
.] у y l ,
4) значение функции Х (х) (8 23) нри х == i (радиус кривизны
простраНС'l'ва): I == е == 2,7182818. . .
s 31. Основные Формулы прямолинейной триrонометрии в системе S.
АнаJюr '['еоремы Пифаrора.
32. Решение простейпшх задач ДIlфференциальной rеометрии
R СИС'l'еме s:
1) общее указание к опредеа нню касательной в данной точке
КрПRОЙ;
11) выражение эле;vreнта длины плоской кривой; применение к пы
'IIIСШ)ЮIЮ длины L линип по yr.JIY параллельности ero высоты;
111) площадь четырехуrольника, оrраниченноrо дуrой эквидистанты,
ее базы и двумя перпенцикуляра;vrи к последней; указаIПIЯ к вычи
С.лепию объемов, поверхпостеi1 и решению друrпх задач диффереп
циальной rеш.lетрии;
IV) поверхность шара данноrо радиуса;
У) площадь фИI'уры, ОI'ранпченпой двумл L линиями и двумя пх
оБЩИМII осями; следствие: IIЛOlцадь IIО.лосы, оrраниченной дуrой l'
L .ЛИНIIП И двумя ОСЯ;\1П, ПРОХОДЛIЦПЫИ через ее I,ОНЦЫ: 7t == 1'i; анало
I'Пчная фОР:V1ула для объема;
1) 81шидпстанта параме'l'ра р rеометрическое MCt:TO точек, лежащих G одноН
плоскости с прямоit (базоЙ) по одну ее сторону на постоянном расС'l'О.ннии р
В системе S эквидистанта кривая линия. Ни Лобачевский, ни Больаи пе дают
назвавил этой линии; термин введен позже.
2) П (р) yrол параллельности отрезка р (по Лобачевскому).
3) В современной теРJ\пrнолоrии i «rииерболическая посто.ннпая» или «ра.циуt:
кривизны» пространства Лобачевскоrо Больаи.
4) Выс:()той дуrи L лиmIII На2ывается расстояние oДEoro ее коНца от оси,
проведенной через друrоЙ 1юнец (современная терминолоrия).
7*
100
Я. БОЛЬАИ
У1) друрое выражение поверхности шара; следствие: поверхпости
шаров относятся, как квадраты радиусов больших круров;
У11) объем шара радиуса Х; поверхность и объем тела вращения
дуrи 8квидистанты вокру1' ее базы.
33. 3аключение основной части сочинения:
1) вопрос о rеометрии реальноrо пространства;
11) плоская и сферическая триrонометрии в спстемах И з;
1П) необходимость зафИltсировать константу, если справедлива
система з;
1У) применение аналитических методов для решения дальнеЙПП1Х
задач;
У) Уltазание на то, что ниже будет рассмотрен вопрос о 1'еометри
ческом спрямлении окружности.
34. IIостроение прямой, параллельной данной и проходящей
"Iерез заданную точку.
35. Построение R системе S прямой, перпеНДIIКУЛЯРНОЙ к одной
стороне ОСТРОРО уrла и параллельной друrой.
36. Построение ТОЧЕИ пересечения прямой и плоскости; прямых
пересечения двух плоскостей.
37. Построение точкн, лежащей на данной прямой и COOTBeT
ствепной данной точке, лежаll ей на параллельпой ей прямой.
313. Построение oTpe3Ita Х, для ItOTOpOI'O Х == 2.
39. Теорема, подrотовляющая учение о площадях прямолинеitных
фиrур.
40. Равновеликие треуrольники с общей стороной н:\;шют одина
ItОВУЮ сумму У1'ЛОВ.
41. Любые равновеликие 'rреу1'ОЛЬНИКИ имеют одинаковую площадь.
42. Отношение площадей двух прямолинейпых треуrо.пьников
равно О'l'ношению их У1'ЛОВЫХ дефшстов 1); обратная теорема. CpaBHe
ние со СВОЙС'l'ВОМ сферичеСltих треУ1'О.lIЬНИltов.
43. Выражение в системе S площади 6. ПРЯМОУ1'ольно1'О треу1'О.ш,
ника через сумму е1'О У1'ЛОВ: 6. == zi 2 (z уrЛО130Й дефект, i rипербо
лпчеСI{ая постоянная); площадь фи1'УРЫ, оrраниченной сторонами прп
МО1'О У1'ла и прямой, параллельной обепм 8ТИМ сторонам: О == 7Li ;
8та же площадь равна площади крура, радпус KOTOpOI'O s можно
построить.
В заключепие пара1'рафа дается для некоторых случаев способ
построения пра13IIЛЬНOI'О 'IeтыреХУ1'ольника, И:\;IеЮll е1'О ПЛОll адь О;
в 8ТИХ случаях ПЛОСltий кру1' радиуса s 1'еометричеCI{И квадрируется.
Уточняются случаи, КО1'да 8ТО 803МОЖНО.
1) Дефектом треуrОЛЬНИltа в системе S называется дополнение СУИМЫ ero
уrлов дО ДВУХ ПРЯМЫХ.
"""'ёМJtr . t L
r . .1<.'1'. u 1
"'f . 1P" :.
..011>.
.'TII8II Тт""""'" J 'Ч7У "' ..A..L .. J ,
r - J. r ....A.
е
о
J
а
t
.
(lepT. 1.
r nl
р m р
,
f ·
)
"
I
I
I
i
I
I
I
I
,
I
а
Черт. 7.
..
..._tl ... ..LL
r.... l.
Эак 1164. Об основаниях rеометvии
11\
п.
а
а
..
I
m
ь
r
<:
1,
1)
Чер'r. 2.
Черт. 3.
n m р
р
m
n
-q
m 0.П
t
о
Q
\)
с
f f ................... ь
а /" r 9
I
ъ
r
.....
(
'tlepT. 8.
А
... I 1 .. v"
a.L
I 1Jaф..1Iq7 ..... ..r "1
17 .
r
W<I
т 11.....
Д ..............,.... lAI
Ir
t L
n
р
а
IepT. 11.
Черт. 17.
i 1 1
1) {
9 f
..
Ь t
с ...........
,
е
t'
с
,
,
,
,
,
I
I
I
I
I
I
I
, I
, I
,
...... ...... .;.t
Ь'
,
g
а.
ь
Ч РТ. 10.
Черт. 9.
а
I
I
1
I I
I I
411'," l u ,..... > Z
I ..,
,.' I ." ." '- , 1
p ;; ь
,/
n
.............. ...... ......... .......... ----.......
*
n Jn
o
Черт. 12.
4
IIep'f. 13.
(IepT. 14.
I
I
I
о
m'
m
.Р
у
,
(1'
а
ь
.t\ ,
а Ь 1
J 11 Черт. 15. Черт. 16.
I
1117" .. ... l ,
.
ь
N. ".,,1..I..J L
.
""11.
.... . . ............... ... ......,
..... . ....A:Io........79"....... ...... 12) .1 't.3.0 ,.....iI ............. . 1t..1iiII П
17 .
ь
ь
у
и
m
t
f
I
m Ь
9
Черт. 19.
r
m
с
а
l)
g
ь
f
(
@,
а
f
n m
"
ь
11 W .-:w т ...............liliii.i д--_.......... !iL.IiIU_f'
е
1)
с
Черт. 18.
р
t
1)
ь а i(
Ь t t а Ь 1
t>
Черт. 4. Черт. 5. Черт. 6.
".
n
ь
ь
Черт.. 21.
Ч 9'>
ерт. .Oi.I .
""
q
n
Черт. 20.
f
I
q
е
r
х
а
Черт. 23.
. r ..,.: ...... . ...'" r ...... *=-"'L,. ...,....... ....=I L M (r-.. ....,, w... liir"""'.iII . -
ь...
.... .
RАРЛ ФРИДРИХ J1AYCC
q
отрыIRии ИЗ ПИСЕМ И чЕрновыIE НАБРОСRИ
t:JI
ОТНОСЯЩИЕСЯ R НЕЕВRЛИДОВОИ rЕОМЕТРИИ
CARL FRIEDRICH GAUSS
NACНLASS UND BRIEFWECHSEL 1)
J. Отрывки из писем raycca до получения им
заметки веЙRарта
(1799 181 9)
1. R ФарRаIПУ Еольаи (16 деRабря 1799)
«. · . я очень сожалею, что не использовал наПIУ преЖНЮIО близость
для Toro, чтобы узнать БОЛЬПIе о твоих занятиях по основаНИЯl\I reo
метрии; 8ТИl\I я избавил бы себя от некоторых напрасньтх стараний и
стал бы СПОRойнее, чеl\I теперь, Еотда в 8TO I вопросе остаетс.я желать
столь l\IHororo.
Я лично далеRО продвинулс,я в l\IОИХ работах (хотя друrие, совер
тенно не св.язанные с 8ТИМ занятия оставляют l\IHe для 3Toro l\-Iало
вре1vIени) ; ОДНаЕО дороrа, RОТОРУЮ я ВI Iбрал, ведет СЕорее не R же....
лательной цели, а R тому, чтоБJ I сделать сомнительной истинность
rеометрии. Правда, я достиr l\IHOrO, что дл.я БОЛЬПIинства l\Iоrло бы
сойти на до:канательство, но это не ДОRа:зывает в МОИХ rлавах ровно
ttu'Че20; наПрИl\Iер, если бы Rто..либо l\IOr ДОЕа3ать, что ВОЗl\Iожен такой
прямоyrольный треyrОЛЬНИR, площадь ROToporo больrпе любой задан
ной, то .я был бы в состоянии cTporo ДОRазать всю rеОl\Iетрию. Еоль
mинство сочтет это аа aRСИОМУ, .я же нет. ТаЕ, мо ло бы быть, что r
площадь всеrда будет ниже (infrа) HeEoToporo данноrо предела, с:коль ,
у"
1) «Наследие и переписка» ........... название, ПОД КОТОрЫМ объединены эти :матери
алы в VIII томе собрания сочинениti raycca (с. F. GaUSB, WeI.ke, т. VIII, 19UO;
в дальнеЙШем цитируется: Werke, VIII). [Ред].
181.....
102
К. Ф. rAYCC
бы удаленными друr от друrа в пространстве нп были предположены
три вершины треуrольника. Та1 ИХ положений п имею MHqro, но ни
одно ИЗ них не нахожу удов.летво рительным . . .» 1),
2. I ФарЕашу Болъаи (25 ноября 1804)
«. . . Твой :\1етод 2) .меня ,/-/,8 УДОl>.rIeтворяет. Я хочу со всей воз
можпой ясностью обнаружить тот камень преТЕновения, IШТОрЫЙ
я еще нахожу в нем (и ЕОТОРЫЙ принадлежит к той же rруппе под
водных Еамней, на которых терпят I рушение и мои попыТI И). ОднаЕО
я еще надеюсь на то, что :Е\.оrда нибудь, и еlце до Moero Iшнца, эти
подводные I амни позволят еще перебраться через них. . .» 3).
3. I rерлинrу (11 апреля 1816)
«. . .Вас интересует мое .мнение о .лежандровом ДOI d,:З8,телъстве Teo
рии парал.лельных ЛИШIЙ. Я должен признаться, что в моих I'Л&'Jах
ero В1,IВОД не ииеет НИI акой ДOI азательной СИ.ПЫ. ОП зат лючает, что
с == 1] (А, В, С) 4), з'Ншц,uт == числу, что нелепо. Это «з'Ншtит» в дей
ствительности вовсе не следует; равенство с == 'f (А, в, С) rоворит
ТОЛЬЕО, что С определено, ко.ль CIшро задаН1,l А, В, С. Это, однаЕО,
не исключает ТOI'О, что в состав функции ' входит Еакая нибудь по
стоянная линия. Из уравнения С == 9 (А, В, с) сто рона с вовсе не
должпа выпасть; она ,может вполне оставаться, если функция r:p co
держит постоянную Линию, равную т, тю что, собственно,
C==r:p(A, В, ; ).
П:ат леrЕО ДOI азать, ес.НИ еВКЛIЩова rеометрип не есть истинная reo
метрия, то подобных фиrур вовсе не существует; в равностороннем
треУl'олыпп е уrол меняется вместе с НА.НИЧИНОЙ СТОРОНЫ, в чем
я ничеrо абсурдноrо не нахожу. У rо.Л представляет собой в этом
случае функцию от стороны, а сторона фУНЕЦИЮ от уrла, однатш,
естественно, такую фуш цию, iз состав IШТОрОЙ еще входит ПОСТОЯН
, нап линия. 1{ажется Парадокса.тrьным, что ВОЗJ\.южна прямая ЛИШIЯ,
\ как бы задаШlая а priori; но я не нахожу в этом ничеrо ПрО'l'иноре
I чивоrо. Было б1,l. даже желательно, чтобы rеометрия Евклrща
не была истинной, потому что мы тоrда располаrа.ли бы общей
мерой а priori. Например, за единицу длины можно было бы при
нять сторопу pa13HOCTOpoHHero треУ:::'ОЛЬНIIr а, уrол KOTOpOro
== 59°59'59 ",99999 . . .» Б).
1) \Vеr]щ YIII, стр. 159. [Ред.]
2) Ф. Больаи делает ПОПЫТКУ построить rеометрию, не опираясь на XI aI,СИО
иу Евклида. [Ред.]
З) Werke, VIll, стр. 160. [Ред.]
4) To eCTЬ что сторона треуrольника есть ФУНКЦИЯ ero yrJIOB. [Ред.]
5) \Verke, VIII, стр. 168 169. [Ред.]
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
103
4. R Ольберсу (28 апреля 1817)
«. . . я прихожу всё более к убеждению, Ч'l'О необходимоC'lЪ нашей
rеоме'l'РИИ не може'l' бы'lЪ ДOI азана, по крайней мере ''-!слове'Чес%и.М
рассудком и для человеческоrо рассудка. Может бы'lЪ, в друrой J
ЖИ3НИ мы придем к друrим взrЛЯДa;l-I на природу ПрОС'l'рaIIС'l'ва,
КO'l'орые нам 'l'еперь IIeДОС'l'УПНЫ. До 'l'ex пор rеоме'l'рИЮ ПРИХОДИ'l'ся
ставИ'lЪ не в один paHr с арифме'l'ИКОЙ, сущеС'l'вующей 'пIСТО а priori, I
а скорее с механикой...»].).
5. R rеРЛИНI'У (25 aBrycTa 1818)
«. .. я радуюсь, Ч'l'0 Вы имее'l'е мужес'l'ВО высказа'lЪСЯ 'l'aR, КаЕ
если бы Вы признавали ЛОЖНОС'lЪ нашей 'l'еории параллельпых, а BMe
сте с 'l'eM и всей нашей l'еоме'l'рИИ. Но осы, rнездо КО'l'орых -Вы по
треВОЖТI'l'е, поле'l'Я'l' Вам па rолову . . . » 2). }
П. Отрывки из писе J'aycca до получени.я: ШI
«Аппендикса» .я:ноша Больаи
(1819 1A31)
1. н: rерлинrу (16 Map'l'a 1819)
[О 'l' Р е Д а к Ц п и. В нача.;те 1819 rода кениrсберrский aC'l'pOHOM и уче
ник raycca rерлинr прислал ему письмо, в которо:\! сообщал следующее:
«В прошлом rоду я узнал, Ч'l'О мой КОЛЛе1'а Швейкарт (профессор
юриспруденции, а 'l'еперь прорек'l'ОР) давно занимае'l'СЯ ма'l'ема'l'ИКОЙ
и ШlCал о параллельных линиях. Я попросил ОДОЛЖИ'lЪ мне ero I ниrу.
Обещая 8'l'0, он сказал мне, что видит 'l'еперь, почему ero книrа
(1808 r.) содержи'l' ошибку (он принял, например, че'lыIехуrоJIьникии
с равными уrлами за основное ПОНЯ'l'ие); однако он не перестал за
нима'lЪСЯ 8'l'ИМ предме'l'ОМ и 'l'еперь ПОЧ'l'И убежден, Ч'l'О положение
Евклида не може'l' быть доказано без КaRих либо дополнительных
даННЬL'С и Ч'l'О ему не преДС'l'авляе'l'СЯ невероя'l'НЫМ, что наша reoMeT
рия .являе'l'СЯ 'l'олько r.lIавой друrой более общей... ».
Далее, в письме была изложена просьба ШвейRарта к rayccy co
общи'lЪ ero мнение о прилаrаемой заме'l'ке:
«Cym:eC'l'ByeT ДВОЯI ая rfЮlvrетрия: I'еоме'l'РИЯ в У3КОМ смысле слова
е6%лидQ6а и звездное (astralische) учение о величин&'С.
Треуrольники последней rео:ме'l'РИИ И:\IeЮТ 'l'y особенноC'lЪ, Ч'l'О
СУМJ'vШ 'l'pex уrлов не равна двум пря;иым.
Принимая это, можно С'l'рожайшим обраЗ0М доказа'lЪ следующее:
а) что сумма 'l'pex уrлов в 'l'реуrольнике .МЛliьше двух ПрЯ:\IЫХ;
Ь) что сумма Э'l'а 'l'eM меньше, чеи больше площадь 'l'реУ1'ольникаj
с) Ч'l'О ВЫСО'l'а прmюуrольноrо равнобедреНI-Iоrо 'l'реуrольника, по
С'l'оmпю возраС'l'ая с возраС'l'анием боковых C'l'OPOH, не може'l' преВЗ0Й'l'И
lIeКО'l'ОРУЮ линиIO, КО'l'орую Я называю %О'liста'liтои.
1) Wcrke, VIII, стр. 177. [Ред.]
2) Werke, VIII, стр. 179. [Ред.]
104
.
К. Ф. rAYCC
Евадраты имеют по 8ТОМУ следующий вид [черт. 1]:
Черт. 1.
Если 8та Еонстанта для 'Хас равна полуоси 3емли (вследствие ЧeJ'О
ВСЯЕая линия, проведенная в пространстве от одной неподвижной
авеады Е ДРУI'ОЙ, отстоящей от нее на 1:100, была бы Еасательной
w; зе.м'Хо.му шару), то она беСЕонечно веЛИЕа по сравнению с прот.яже
ниями, Еоторые мы встречаем в повседневной жиани.
ЕВЕлпдова l'еометрия имеет место ТОЛЬЕО в том преДIIоложении,
что константа беСЕонечно велика. ТОЛЬЕО в 8ТОМ случае cYM1'<Ia y:I'ЛОВ
ЕаждOl'О треУI'ОЛЬНИЕа равна двуи прямым, и 8ТО леrко докааать,
если принять, что константа бесконечно велика.
Далее приводится ответ Таусса:]
ш вей".арт»
«. . . 3аметка 1' Ha проф. Швейкарта доставила :ине необыкновенн()
мнOl'О удовольствия, и Я прошу ВЫСЕааать ему от меня по 8ТОМУ
поводу ЕаЕ можно больше ХОРОШeJ'О.
Почти все 8ТО списано иа моей души. Только по одному пункту,
ЕОТОРЫЙ начинается словами: "Если 8та Еонстанта для 'Хас равна по
луоси 3емли" и т. д., я должен сделать следующие три аамечания.
1) .я не вижу воаможности ТOl'О, чтобы некоторая постоянная ииела
аначение ТОЛЬЕО дЛЯ нас, а для друrих существ ДРУI'ая. .я не анаю,
таЕ ли понимал 8ТО r. Illв [ейкарт] , но он сам подчерЕНул для 'Хас.
2) Он продолжает: "вследствие ЧeJ'О всякая линия, проведенная
в пространстве от одной неподвижной авеады Е дрyrой, удаленной
от нее на 900, была бы Еасательной Е аемному шару". 3десь paccтo
яние между неподвижными авеада:\IИ считается бесконечно большим
по сравнению с ЕОНСТантой И, несмотря на ClTO, "удаление на 900"
имеет определенный смысл по отношению Е определенному выбору
вершины УI'ла, например, в центре 3е:\IЛИ, что, беа сомнения, },юлча.
ЛИБО предполаrалось r. проф. Шв[ейкартом].
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
105-
3) Без сомнения, это было сказано r. проф. Ш[вейкартом] толыю',
для примера и пояснения, так кав: хотя я И прекрасно Mory мыслить
неверность евклидовой rеометрии, однако соrласно нашим aCTpOHO
мическим опытам ув:азанная константа должна быть неизмеримо.
больше земноrо радиуса.
Я думаю, что r. Ш[вейкарт] без сомнения соrласится со всем
этим, что меня очень обрадует при том полном совпадении, которое
существует между ero и моими взrл.ядами.
3амечу еще, что я развил астральную
rеомерию так далеко, что Mory решить все
задачи, как только мне будет дана KOHCTaH
та=== С 1). Например, недостаток суммыуrлов
плоскоrо треyrольника против 1800 не только
просто тем больше, чем больше площадь
треyrольника, но в точности ей пропорцио ./ ,
нален, так что площадь имеет предел, KO с
Toporo она никоrда не может достиrнуть, Чер'r.2.
и этот предел сам равен площади, заклю
ченной между тремя прямыми линиями, которые СОПРИRасаютсЯ'
асИМIlтотически [черт. 2] j формула для этоrо предела такова:
L . t . 1 . 1 . т.:СС
1mes areae rIangu 1 р ЮН ===
{loghyp(1 + -У2}}2
Также и всяний дрyrой мноrоуrольник с числом сторон === п имеет
предел для своей площади, к которому он может приближаться как
уrодно БЛИ3RО, никоrда не достиrая ero,
(п 2)т.:CC
{log hyp (1 + -У2}}2
Будьте любезны сообщить это r. Шв[ейкарту]» 2).
2. R Тауринусу (8 ноября 1824)
«.. .Допущение, TO сумма трех уrлов треуrольника меньше 180",
приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой)
reомеТрИИj эта rеометрия совершенно последовательна, и я развил
ее для себя (fiir mich se1bst) совершенно удовлетворительно; я имею
возможность решить в этой reометрии любую задачу, за исключением
определения некоторой постоянной, значение которой а priori YCTa
новлено быть не. может. Чем большее значение мы придадим этой
постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой rеометрии, а
1) Н:онстанта ШвеЙкарта в обозначении Лобачевскоrо определяется из условия,
П (С) == 450. [Ред.]
2) Werke, VIII, стр. 181 182. [Ред.]
106
К. Ф. rAYCC
бесконечно большое ее значение приводит обе системы к совпадению.
Предложения !Этой rеометрии отчасти кажутся парадоксальными и
непривычному человеку даже несуразными; но при CTporoM и спо
койном размышлении оказывается, что они не содержат ничеrо He
В08можноrо. Так, наприм:ер, все три уrла треуrольника, можно сделать
сколь уrодно малыми, если только взять достаточно большие стороны;
площадь же треуrольника не может превысить, даже не может дo
стичь HeKoToporo предела, как бы велики ни были ero стороны. Все
мои старания найти в !Этой неевк.лидовой rеоиетрии 1) противоречие
пли непоследовательность остались бесплодныын, и единственно, что
в !Этой системе противится нашему разуму, это то, что в пр()стран
стве, если бы !Эта система бы.ла справедлива, должна была бы суще
ствовать некоторал са.ма 1Ю себе определеnnая (хотя нам и неИ3Iзе
стная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничеrо
не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало
пли даже не знаем пичеrо о сущности пространства; мы не можеи CMe
шивать Toro, что на:\I представляется неестествеННЫ:\I, с аосолютnо nевоз
J.ИЖ1lъt.М. Если бы неевклидова rеометрия была истинна и упоиянутая
выше постоянная находилась бы в определеннои отношении к таким:
величинаи, которые доступны нашему измерению на небе или на зем
Jle, то ее мо:жно было бы определить а posteriori. .я поэтому иноrда в шут
ку высказывал желание, чтобы еВКЛJ'щова rеометрия не была нстинной,
потому что мы тоrда имели бы а priori абсолютную меру ДЛllНЫ . . _» 2).
3. н: Б е с с е л ю (27 января 1829)
«.. . Еще об одной те:\ш, которая имеет у менл уже 40 летнюю дaB
ность, я имею в виду основания rео:\штрии; я не знаю, высказыва.Л ли
я Вам свои взrл.я:ды на них. 3десь тоже я укрепил кое что, и мое
убеждение в том, что мы не иоже:\I обосновать наш:у rеометрию пол
ностью а priori, стало, насколько во3:\южно, еще более твердым. Между
тем я еще долrо не приду к TO:\IY, чтобы обработать для опублико
вания мои веСbJ.ю о{)tиuрnые исследования по этому вопросу, и, может
быть, этоrо никоrда не произойдет в моей жизни, так как я опасаюсь
крика беотийцев, если .я выскажу мои воззрения чеЛUh:О.II» З).
4. н: Шумахеру (17 мая 1831)
« . . . ВОТ уже несколько недель, каи я начал излаrать письменно
IН1которые результаты моих собственных рао:мышлений об этом пред
1) в этом письме, таким обраЗ0М, впервые появляется термин «неевкmщова
I'еометрия». [Ред.]
2) Werke VIlI, стр. 186 187. [Ред.]
3) Werke, VIII, стр. 200. [Ред.]
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
- 107
:мете, заНП:\lаI3шем мtJня уже 40 .лет тому назад и НИRоrда мною не
.;записанных, вследствие чеrо я должен был три или четыре раза
возоБНОВЛЯ"lЪ весь труд в моей rолове, JliIHe не хотелось бы, ОДНаЕО,
'Чтобы это поrибло ВМfЮ"l'е со мноЙ . . .» 1).
5. R Шумахеру (12 июля 1831)
« . . . НееВRлидова rео:метрия не содержит в себе ничеrо противо
'Речивоrо, хотя те, Еоторые знаRОМЯТСН с ней впервые, и считают
парадои:сальныии мноrие ее результаты; но считать их противоречи
ВLIМИ было бы самообианом, происходящим И3 нашей ПРИВЫЧRИ счи
ТЮЪ еВRЛИДОВУ rеометрию crп:p0i10 ИС"l'ИННОЙ.
В нееВI{ЛИДОВОЙ rеометрии нет подобных и BMeC"l'e с тем неравных
фиrур; например, уrлы paBHocTopoHHero треуrОЛЬНИRа не ТОЛЬRО
2
_отличаются от "9 В, но О"l'личаются таRже дру!' от дрУI'а в <зависи
"
МОСТИ от величины сторон [в различныХ треуrОЛЬНИRах] и делаются
'CI{оль уrодно малыми, если стороны возрастают беспредельно. По
этому nOnbI"l'Ra изобразить треуrОЛЬНИR с помощью мепьшеrо являе"l'СЯ
уже BHY"l'peHHe противоречивой; ero можно, собственно rоворя, ТОЛЬRО
r.JБОЗl-/д'tUrпь:
<1
Черт. 3.
Обозначение беСRонечноrо "l'реуrОЛЬНИRа было бы в этом смысле
следующии:
Черт. 4.
в еВRЛИДОВОЙ rРО:.\Iе'l'рИИ нет ничеrо абсолютно БО,Jlьшоrо, в HeeB
в:лидовой же rеометрии есть; это и есть соБС'l'венно ее существенная
особенность, и те, RO'l'OpbIe не ДОПУСRают 8Toro, предnолаrают ео ipso
всю евR.ЛИДОВУ rеометрию; но, ЕаЕ было уже св:азано, по :ноему
убеждению, это есть просто са:\юобиан» 2).
1) vVerke, VIII, стр. 213. 3аписи, о которых I'aycc rоворит в этом письме,
'1IOмещены ниже (наброски на С1'р. 108 112). [Ред.]
) vVerke, VIII, стр. 216 217. [Ред.]
108
К. Ф. rAYCC
111. Наброски от 1831 I'ода 1)
1. Параллельные линии
1. Ес.ли прямые АМ .. ., BN . . . друr друта не пересекaIOТ, между
тем как каждая прямая, проходящая через точку А между АМ . .. и
АВ . . . пересекает BN. . ., то A ! . . . назы
вается парал.ле.льной BN [черт. 5] 2).
2. Если прямая постоянно проходит
через точку А и ВРaJЦением из положения
АВ в сторону, rде расположена BN, при
M ходит в ПО.ложение АС, ПРОТИВОПО.ложное
исходному, '1.'0 она сначала пересекает
[BN], а потом ее не пересекает; поэтому
непременно До.лжно существовать одно
и То.лько одно по.ложение, отде.ляющее'
пересекающие прямые от непересекающих; и именно это будет первая
непересекающая, по нашему опреде.лению, пара.л.ле.льная АМ . .., так
как пос.ледней пересекающей, очевидно, быть не может.
3. В нашем опреде.лении на обеих прямых ваяты опреде.ленные
исходные точки А, В. Однако .леrко видеть, что пара.л.ле.лизм от этоrо.
не зависит, пока сохраняется сторона,
в которую обращены неоrраниченные
прямые. В самом деле, ес.ЛИ вместо В
возьмем друrую нача.льную точку В',
будь то на .линии BN или rде .либо на
ее продо.лжении, то совершенно ясно,
что это разницы не составляет.
Если же, напротив Toro, возьмем
вместо А какую либо друrую точку А'
на .линии АМ [черт. 6] и через А'
проведем в произвольном направлении
прямую А'р между A'.lIf и А'В, а затем через точку Q между А' и Р
проведем прямую AQ, то таковая (по опреде.лению) пере сечет ВИ.
откуда само собой становится ясным, что и QP пересечет [прямую] ВИ.
Ес.ли же возьмем точку А' на [прямой] АМ [черт. 7], продолжен
ной в противопо.ложную сторону, И через точку А' между А'М и А'В
проведем прямую А'Р в произво.льном направ.лении, продо.шким ее
в
N
А
с
)
Черт. 5.
В"""
,
,
N
А
.А'
м
Черт. 6.
1) Werke, VIII, стр. 202 207. Об зтих набросках raycc упоминает в письме
к Шумахеру от 17 мая 1831 rода (стр. 106 107) и в письме к Ф. Больаи от 6 март&.
1832 rода (стр.1l3).Позтому Штеккель, подrотовивший зтинаброски к печати дЛЯ
VIII тома сочинений raycca, относит их к 1831 roдy. [Ред.]
2) В тексте raycca после двух букв, обозначающих луч, всеrда ставятся три
точки. В переводе зто воспроизведено только в настоящем абзаце. [Ред.]
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
109
'Б противоположную сторону И на этом продолжении возьмем точку Q, то
..QАпересечетВN(определение), скажем, в точке Е. [Прямая] А'р BXO
дит, ;аким образом, в замкнутую фиrуру А' АВВ, а потому должна пере
.сечь одну из четырех сторон А'А, АЕ, ЯВ, ВА'; очевидно, она пере сечет
в
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
А'/
N
р
А
м
Q
Черт. 7.
!I;\'ШННО третью сторону ВВ, поэтому [прямая] А'М параллельна BN.
4. Не столь очевидна взаимность параллелизма. Пусть прямая 1
параллельна ;;1 :черт. 8]; из произвольной точки А на [прямой] 2 ()пу
тим перпендикуляр АВ на [прнмую] 1. Пусть 3 будет произвольная
Е
2
Черт. 8.
прямая, проходящая через А ;\.шжду АВ и 2, и АП прямая в тех же
1
rраниuах, но выбранная так, что уrол ВАО == 2" (3, 2).
Теперь нам придется рассмотреть два случая.
1. Если АО пересекает линию 1 в точке п, то отложим ВЕ == вп,
взяв точку Е на 1 с противоположной стороны от D. Через D про
ведем прямую пР таКИ;\.1 образом, чтобы Апр == АЕп. Эта прямая пе
реСt\чет [прямую] 2 в некоторой точке а. U'l'ЛОЖИМ [на 1] ЕН == па
и проведем АН. Треуrольшши Авп, АВЕ будут конrруэнтны,
поэтому АЕ == Ап; вместе с тем будут также KOHrp.Y' HTHbl Tpe
У1'UЛЬНИКП Апа и АНН, а потому ЕАН == пАа. [Следовательно]
аАн==пАЕ==(2, 3); [прямая] АН совпадает с 3; иначе I'ОПОрЯ,
[прямая] 3 пересекает 1 в точке Н, а так как 3 может означать любую
пряыую, расположенную между 2 и АВ, то [прямая] 2 параллельна 1.
1
н
/'
/'
--
--
/'
110
К. Ф. rAYCC
П. Если АС не пересекает [прямоЙ] 1, ТО пусть D будет пропз
вольная точка на 1 [черт. 9]. В этом случае остаются в силе те же
выводы до результата аАН == пАЕ.
Однако в этом случаеDАВ < САВили пАЕ < (2, 3). Следователън(),
(2, 3) > аАН; поэтому [прямая] 3 раСПОЛО:IElcJна внутри намкнутой
фиrуры Анп, а потому пересекает пн. ДальнеЙшее, Rale в случае 1.
А
2
G
н
ЧеР'l'.9.
Чер'l'. 10.
5. 'l'eopeMa. Если прямая 1 параллельна кюе [прямой] 2, так
и [прямоЙ] 3, то [прямые] 2 и 3 параллельны между собоЙ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ПервыЙ случаЙ, Iеоrда [пр,m.шя] 1 лежш
между 2 и 3 [черт. 10]. Пусть А, В будут ТОЧЕи соответственно на
[прямых] 2 и 3; по.:IOЖИ:\I, что С есть ТОЧЕа пересечения АВ с [Пр5I
моЙ] 1. Через А проведем произвольную прямую Ап между 2 и АЛ,
которая поэтому пересечет 1; при достаточном продолжении она пере
сечет также 3. ТаЕ как это справедливо относительно каждоii [пря
:моЙ] Ап, то [прямые] 2 и 3 параллельны между собой.
1 А
2 (' 3
:>
4 L
3 ...........................
........ в 2
:> N
Чер'l'. 1t . Черт. 12.
ВтороЙ случай, Iшrда [прямал] 1 лежи'!' впе [прямыI]] 2 и .'$
[чер'!'. 11J. Положим, что [прямая] 2 лежи'!' между 1 и 3. Если nы
[прямая] 2 не была параллельна 3, то через любую '!'ОЧЕу [прямоЙ] 3
""южно было бы провести дрyrую отличную от 3 прямую, параллельную
[прямоЙ] 2. Эта последняя в силу первоrо слуqая та:к:ше была бы параJI
лельна:.::[пряиоЙ] 1, что абсурдно (см. приведенную выше теорему).
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
111
6. Т е о р е м а. Прямая CL, или 3, которая содержптся между двумя
параллеЛЯ1vlli АМ, или 1, и BN, или 2, и не встречает ни одной ИЯ
них, параллельна им [черт. 12].
Доказательство. Через произвольную точку С прямой 3 про
ведем [прямую] 4, параллельную 2. Если бы эта последняя не СОВШ1
дала с [прямой] 3, то [прямая] 3 должна была бы лежать либо
между 1 и 4, либо между 2 и 4; в первом случае (определение
параллели) она должна была бы пересекать [прямую] 1, во BTOpO l
случае [прямую] 2, что противоречит сделанному предположению.
7. '1' е о р е м а. Две параллельные' линии, будучи продолжены в об
ратную сторону, не мотут друт друта пересечь.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Допустим, что прямые A I, BN пересекаются
на своих продо.лжеНIIЯХ в обратную сторону в точке Р [черт. 13];
I.l
N
Черт. 13.
пусть в этом случае Q будет произвольная точка на продол:л,:ении
[прямой] BN, ле:л,:ащая за точкой Р. Проведем прямую QA, которая
при дальнейшем продолжении встретит РИ в точке Е. Через точки
Q и R должны, таким обрasом, пройти две различные прямые линии
что абсурдно.
2. Соотв етственные точки на параллельных линиях J.
1. ОП Р е Д е л е н и е. Cooтвerпcтвe'Н'Ныe тo'tr;u 'На пара.л.ле.ль'Ных лu'Нuях
определяются равенством уrлов при соединяющей их прямой.
1
в
N
Черт. 14.
2. Если А :и В суть соответственные точки, JJI середпна iLB,
а JIN перпенДIШУЛЯР к АВ [черт. 14], то 1) MN параллельна обеШ,I
ПрЯхIЫМ, 2) каждая точка, лежащая с А по одну сторону пр.ямой ИN,
ближе к А, нежели к В.
. . . . - . . . . . . .. . .
1) Название этоrо наброска ,;J;aHO Штеккелем. [Ред.]
Н2
К. Ф. rAYCC
4. Т е о р е м а. Если А и В суть соответственные точки паралле
.пей 1 и 2, А' и В' такие же точки, то АА' === ВВ' и обратно.
5. Если А, В, С суть точки на параллельных 1, 2, 3 и А есть
точка, соответственная с В, В точка, соответственная с С, то А есть
точка, соответственная с С.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Допуская противоположное, примем, что
уrол С> А [черт. 15] j построи),! АСМ === А; в таком случае СМ BCTpe
в
' '''XM
"
3
'-
,
2
1
А
N
Черт. 15.
-тит AN в точке Nj при этом АУ === CN, но в силу теорем AN < BN
и Вl..т < CN, что приводит, таким обра:зом, к противоречию.
Если предположим, что А === В, А === С и, если бы при этом В не
равнялось С, то пусть В === С'; отсюда следовало бы, что А === С'.
lV. UТРЫВRИ И3 писем raycca после получения им «АппеНДИRса»
Лноша Больаи
(1832)
1. R rерлпнrу (14 февраля 1832)
« . .. На днях я получил П3 Венrрии неБОJIЬШУЮ брошюру о HeeB
Е.лИДОВОЙ rеометрии 1), В которой я нахожу все .мои собствен/ныв ?,/,деи
и резу.л'Ь'mа'mъt, которые изложены с бо.ТIЬШИМ изнщество:VI, хотя
11 в такой форме, которая, вследствие своей концен'rрации, не без
-труда будет воспринята всяким, кому чужд пред reт. Автор o-че'Нь
юный австриЙский офицер, сын друrа моеЙ юности, с которым
я в 1798 rоду часто rоворил об этом предмете, хотя в то времЯ мои
идеи были значительно дальше от Toro ра:звития и зрелости, которое
они получили в результате собственных раамышлениЙ этоrо моло
доrо человека. Я считаю этоrо молодоrо reoMeTpa ф[он] Больаи rением
перnой величины . . .» 2).
1) Речь идет об «Аппендив:се» Яноша Больаи. ОДИН из первых экземпляров
{(Аппендикса» Фарв:аш и Янош Больаи послали rayccy. [Ред.]
2) Werke, VIII, стр. 220. [Ред.]
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
113
2. R Фаркашу Больаи (6 : liapTa 1832)
« . .. Теперь кое что о работе TBoero сына 1).
Если я начну с Toro, "что я эту работу пе дОЛ:Jlсеп хвалить", то
ТЫ, конечно, на мrновение поразишься, но иначе не Mory; хвалить ее
апачпло бы хвалить caMOrO себя: всё содержание сочинения, путь,
по которому твой сын пошел, и результаты, Iшторые Он по.пучил.
ПО'IТП сплошь совпадают с моими собственными достижениямп. 1 01'()
pblt\ частично имеют уже давность в 30 35 лет. .я:, действите.льно, ' 1'Iп.I
в высшей степени поражен. Моим намерением было при ЖИЗIПI IIП
ЧeI'О не публиковать о моей собственной работе, которая, ВПрочем,
ДО настоящеrо времени очень мало нанесепа на бумаrу. Большинство
людей не имеет прави.льных воззрений на те вопросы, О IЩТОРЫх
здесь идет речь; я нашел только неМНОrих людей, которые с особым
интересом отнеслись к тому, что я И;1 сообщал по этому предмету.
Чтобы быть в состоянии это усвоить, нужно, прежде Bcero, весьма
живо прочувствовать то, чеrо здесь собственно не хватает; а это
большинству людей совершенно неясно. Однако я имел намерение
со временем изложить всё это на' бумаrе в такой форме, чтобы эти
идеи по крайней мере не поrибли вместе со мной.
Тав:ии образом, я чрезвычайно поражен, что эта работа с меня
снимается, и я в высшей степени рад, что IIменно сын Moero cTaporo
друrа меня предупредил таким заиечательным образом.
Очень выразительными и полезными для сокращения я нахожу
пбозначения; при всем том я считаю, что было бы хорошо для He
IЮТОрьrx основных понятий установить не ТО.лько знаки или буквы,
по определенные названия; я уже давно размышлял над Некоторыми
ТaJ ИМИ названиями. Пока мы ПРОдумываем предмет непосредственно
'rольв:о в своем представлении, мы не нуждаемся ни в именах, пп
n знаках. Они становятся необходимыми только Тоrда, lюrда мы
хотим объяснить ero дрyrим. Так, напрпмер, поверхность, которую
твой сын называет F, можно было бы назвать парасферой; линию L
параЦИltЛОJ\1: по существу это шаровая поверхность или, COOTBeT
ственно, окружность бесконечноrо радиуса. rиперциклом можно
было бы назвать совокупность всех точек, отстоящих от Пр.f!МОЙ,
с ItОТОрОЙ они лежат в одной плоскости, на одном и том же расстоя
нии; Tal же rиперсфера. Но всё же 8ТО тольв:о небольшие замечания
BTopocTeneHHoro значения: I'лавное составляет материал, а пе el'O
форма. В некоторых частях исследования я шел неСIЮЛЬКО ИНLIМ
путем; в в:ачестве образца я прилаl'aIО (в общих чертах) Доказатоль
ство предложения, что разность между суммой утлов треyrОЛЬника
и 1800 пропорциональна площади треуrоЛьника.
I
1) См.примечание 1) на предыдущей странице. [Ред.]
8 Зак. lIб4, Об основаниях rеометрии
114
К.' Ф. rAYCC
1. Совокупность трех ПРЯМЫХ llЬ, cd, е(, КО'l'Oрые lJаспо.ложены
таким обра30l\f, '1'1.'0 аЬ 11\ dc, cd 11\ (е, ef 11\ Ьа, обрasуют фиrуру, КO'l'орую
я называю Т [чер'l.'. 1 G]. JliIожно показа'l.Ъ, что таковая всеrда располо-
жена в одной ПЛОСI ОСТИ.
11. Та час'l.Ъ ПЛОСКОС'l.'и, которан :rежит .Ite;нcay 1) 'I.'ремя прямыми аЬ,
cd и ef, ииее'l.' определенную конечную площадь. Обозначим ее
через t 2).
а
а
Черт. 16.
Черт. 17.
Т11. Положим, что две прямые аЬ, ас нересекаются в точке а под YI'
лои <р Lчер'l.'. 17]; пусть 'I.'ре'l.ЪН нрпмая de расположена 'I.'ак, '1'1.'0 аЬ 11\ ed,
ас 111 de; тоrда 11 de лежи'l.' в одной ПJIОСКОСТИ С аЬ 11 ас; площадь, coдep
ЖaIцапся :иежду 8'1.'ИМИ прямыми, Iюнечна и зависи'l.' 'I.'олько 0'1.' уI'ла <р.
ОчеПИ;J:НО, в системе S 3) de и Ьас образуют 'I.'ОJIЬКО одну пря:мую
ЛИНlIЮ, если <р == 1800, и следова'l.'е.льно, значение 8'1.'ОЙ п.пощади исчезае'l.'
BMeC'l.'e с разнос'l.ЪЮ 1800 <р; сообразно с 8'1.'ИМ ПОJIОЖИJ\I 8'1.'У площадь
равной f (1800 <р), rде f ес'l.Ъ знак фунюш:ональной зависи;vюс'l.'И.
п ] (; 9
'-" r'a80 qJ1.
с
Черт. 18.
1V. 'l'eopeMa. Всеrда имеет MeC'l.'O paвeHC'l.'BO f<p+f(1800 <p)==t
[чер'l.'. 18].
1) При полном изложении предмета такие слова, как «меЖДУD должны быть
прежде Bcero приведены К отчетливым пО'НЯ11ШЯАi; 1-JTO можно очень хорошо BЫ
полнить, но я не вижу, чтобы это rде либо бьпю сделано. [IТрU,.,liеча'Нu,е raycca.]
2) IСаЮIМИ соображеЮIЯМИ руr оподствовался raycc, считая фиrуры, пришщен
ные на черт. 16 и 17, фиrУРЮШI rщнечпой площади, остается неясным. [Ред.]
3) СистемоЙ S Янош Бо.;rьаи называет в своем «Аппендиксе» нееВIШИДОВУ
rеометрию, а системоЙ евклидопу, См. стр. 77 настоящеrо сборника. [l'ед.)
ОТРЫВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
115
Дон:а3:'tте.льстnо eToro можно видеть на чертеже, rде
lюс == , bad == 1800 , ас 111 (е, ef 111 аЬ, аЬ IIIltg, ad 111 gh
11 !'дt) п.JlОЩНДЬ 8:1писана краСНЫ\ПI черни.лами 1).
Черт. 19.
, I ,
I I I
I I I
// I
/
"" ,
........ а Z ,
:.:-- -: 'А {; "
........... ...... ,
у', '
....................... ..... ...... .
................. ....
......
Черт. 20
V. Теорема. Всеrда имеет место равенство [черт. 19]
f +f' +f(1800 ф) == (.
Доказательство леrко себе уяснить по чертежу, на котором три
части площади 1, 2, 3 имеют 8начения:
1 ==f(18bO 'Ji), !==f , ==f''t,
а их сумма равна (.
VI. С л е Д с т в и е. Таким образом,
откуда следует, что
f +N== t f(1800 ф) ==f( +ф),
(ч> === constans.
'f
и эта ROнстанта равна
t
1800 .
VП. т е о р е м а. Площадь треуrольюша, уrлы KOToporo суть
А, В, С [черт. 20], равна
1800 (A+B+C)
шu о (.
1) Вместо 1,расных черни.т:r обозначения на черт. 18, 19 и 20 подчеР1ШУТЫ.
[Ред.]
8*
116
К. Ф. rAYCC
ДоказатеJIЬСТВО дает чертеж. И;\Iенно:
Т1JIощадь а == { L! == 1 0 t,
'j { ' В В
t) == == 1800 t,
С
'У == (С == 1800 t,
t==a+ +'Y+z== A fC t+Z 1 ).
я даJI здесь ТОJIЬКО основные черты доказательства без ШJIИфОВКИ
П.ПП ПОJIИрОВКИ, ДJIЯ чеrо не И:\Iею теперь времени. Тебе предостав
JIJШТСЯ сообщить все это своему сыну. Бо всяком СJIJ"Чае прошу тебя
передать ему от меня сердечныЙ ПОI JIOН и заверить ero в моем oco
БО:\I уважении. Б:\lесте с теи я ему преДJrarаю заняться задачеЙ:
"ОпредеJIПТЬ оБЪЮl тетра'Jдра (т. е. части пространства, orpaнIl
ченноЙ четырьмя п.поскостямп)".
Так I aK ПJIOщадь треуrольника допускает такое простое BbIpa:ry;tJ
ине, то :можно бы.по бы ожидать, что и ДJIЯ этоrо объема наЙДется
СТОJIЬ же простое выражение; но 81.'3. Н3.ДtJжда, ПОRИДТПIOМУ, обман
чива 2).
Чтобы l'еометрию рНdfПIТЬ в ПОJIНОМ порядке с са:\101'0 начала,
совершенно неоБХОДIIМО доказать существование ПJIOСКОС'l'П. Обыкно
венное определение содержит СJпrшком :\IHoro и, cTporo rOR()pH, aa
' 3
')Lj
1) A1{poMe этоrо пиеы.ш, набрuеuк '1'01'0 же выво.'(а сохранИJIСЯ в ОДНОМ РУIШ'
нодстве, rде';"юн бы;:]' написан, l\шже'1' быть, как черновик этоrо письма (СМ. vVerke,
VIII, стр. 226). [Ред.]
2) Янош Больаи дад четыре вьшо,:Щ объема ТtJтраэ; ра. Все они требуют инте
l'рированИЯj простеilшее из этих интеl'ральных выраJ'кеЕ:ИЙ иы находим и у Ло
бачевскOl'О, которыЙ очень обстоятельно разработал ЭТОТ вопрос.
Среди черновиков raycca находится следующая заметка
отрывок, относящийся вероятно 1_ 1832 roдy (Werke, VIП. C'I'J1. 228):
« убатура тетраэдра
В тетраэ; ре 1,'Ш1 ['рани 121 н 131 взаимно IlерпсндИI_У
лярны [черт. 21]. Объем == t>
Черт. 21.
д!:. == 24 . д 341,
так как уrлы в 3 постоянные, то
аа cotg 3412 ( t g i 24 У == 1
и
а == cutg 431, == cotg 231».
Содержашrе эамеТШI расшифровано Штеккеде М ,(Werke, етр. 228 229). При
веденная формула показывает, что raycc владел формулами l'иперболическоii:
триrонометрии, И, что особенно важно для дальнеiimеl'О, употреблял, как и в He
ЕОТОРЫХ друrих своих черНОВIlI_ах текстах (Werke, С'1'р. 233)', ,для записи формул
триrонометричес кие фУНКЦШI MНlI1\IblX aprYMeHToB. [Ред.]
отрыВКИ ИЗ ПИСЕМ И ЧЕРНОВЫЕ НАБРОСКИ
117
I,JIючает н себе уже теорему. Нужнu удивляться, Ч'l'О все авторы от
Евrtлида до повейших времен TaI, небрежно к ят()му относились. Но
нта 'rрудность совершенно иноrо хараlпера, чем трудность отличения
системы 1: от s, и ее совсем нетрудно устранить. Вероятно уже твоя
I,нпrа :\10НН в 8ТОМ отношении удов.летворит 1).
IЬШlIПО n Н01ЮЮЮ,Ii:IIОСТП решить а priori, имеет лп ::\10СТО 1: Н.ШI S.
аaR.rпочаетсн паиБО;;10е отчетливое докааательство Toro, что Кант БЬЫI
неправ, утверждая, что пространство есть ?пОЛЮЮ фОрУIа нашеrо C03Ha
НlIЯ. ,'Хр;\тое CTOJ1I> ,1i:e сильное основание п Уlшзал в Gottingischen
GelplHten Anzeigen ;за 1831 r., т. 64, стр. 625. Может быть, ты не
пожаJIеешь, ес.лп постараешься достать 8'1'0'1' '1'0:;\1 (который леrко тебе
дuс'ranит ВСЯIПIЙ ToproBen; в Вене и.лн в Офене), так как в й'l'оii статье,
между ПрОЧlаr, на дв)'х странпцах изложена '['акже КВИНТ8ссенция'
Moero ВЗI'ляда на ип1нIые величины. . .» 2).
V. ОТl)ЫВIШ И3 IIИсе 1 raycca IIOсле IIОЛIчеиип И'If
«reO IeTplI'JeCRlIX исслсдuвапии» Н. 11. ДобачеВСRОI'О
(1841 184t\)
1. К 3НЕе (1 фенралн 1841)
«. .. я начинаю довольно успевrно читать по русски и нахожу
в ::JTOM большое удовольствие. Т'. Кнорре прпслал 1He пебольшоЙ
меыуар ЛобачеВСЕоrо (в Казани), написанныЙ IIO pyCCIi:H, и ],ак 8'1'0'1'
мему::р, так :и небольвrая книжка о параллельных линиях на HeMeц
ЕОИ языке (о пей появилась весь'иа нелепая замеТЕа в "Reperto
riuш'е" rерсдорфа) возбудили во мне желание узнать большtJ об 8'1'01'.1
остро;умном математике. Как мне сказал Кпорр( 3 ), в напеча'raнных
на РУССКО::\l языке ,,3аписках КазаНСlюrо унпверситета" пмеетсп MHoro
ero работ» 4).
2. К rерлпнrу (4 феврали 1844)
[О т Р е Д а к Ц и и. В 8'1'01'.1 письме на вопрос rерлинrа () неевКЛИ
ДОВОЙ reO::\-10ТРИИ ra)'cc сообщает ему подробные зarла13ИЯ «Тентамена»
Ф. Больаи и «Аппендикса» 51. Больаи и затем продолжает:]
«. .. Впрочем, в последнее десятилетие по тому же пути повrел и
ОДИН РУССЮIЙ (ЛобачеВСЕИЙ, статскиЙ советник и профессор в Казани).
ОН называет пееВЕЛИДОВУ rеометрпю "воображаемой" (ЕШ, Ваш бывший
l) Речь иде'!' о юшrе «Tentamen» Фарн:аша Больаи. [Ред.]
2) 'Verke, VIII, стр. 220 224. [Ред.]
3) ЭРНС'!' Епорр, профессор фИЗИКИ и физичеСIЮЙ rеОJ:'рафии в ЕазансКОМ
университете. [Реи.]
4) 'Verke, VIII, С'!'р. 232. JPeu.]
118
К. Ф. rAYCC
коллеrаl), астральной) и опубликовал об 8ТОМ на русском языке
мното пространных мемуаров большей частью R "Записках Rазан
сн:ото университета" 2); некоторые выпущены им также отдельными
брошюрами, которые, кажется, я имею все; но тщательное изучение
их я Отложил до тех пор, котда буду располarать досутом, чтобы
вновь заняться 8ТИМ вопросом, и котда мне станет леrче читать pyc
ские Книrп. Если я не ошибаюсь, то одна статья проф. Лобачевскоrо,
'может быть Пf'реводная, из "Записок" 3), помещена в журнале
Rрелля, но сейчас я не имею времени навести 8ТУ спра131еу» 4).
3. К l'ерлинrу (5 февраля 1844)
«БьТ1Ъ может, дороrой друт, Вах! будет приятио, ее.НИ я lJрПСО
единю к литературиым указЯ,нпям, которые я сообщил 13 ПрОШЛО:\1
Письме, еще ОДНУ ДРУI'УЮ спраВlеу: 13 самое существо де.'Ш Я, коиечио,
не имею возможности здесь rлубже входить.
Статья ЛобачеПС1юrо в журнале I{релля помещена в т. 17, стр. 295
и след. Я нахожу, что она представляет собою только своБОl(ПЫЙ пере
вод русской статьи "Воображаемой rеоиетрии" Б), помещенной н "Jrче
пых заппсках Кааанското унпверситета" за 1835 т.; и здесь читате.ЛЯ
остаиовит то же, что и в не:меЦlео:\! издании. Так, Вы наткнетесь,
стр. 296, строка 10, на спова "J'ai demontre etc"; чптате.:rь, IЮТ()РЫЙ
не располаrает ничем кроме 8ТОЙ статьи, мало н :это:\! разберется.
Также обстопт дело на стр. 303 "J'ai prouve аillеlП'S etc" слова,
относптельно которых нужно С;:J:елать то же замечаППА.. Что касается
предшествующей статьи, на Iеоторую сделана 8та ССЫ.jпеа, то 8'1'0, по
ВИДИМОМУ, та же статья, которая упох!янута в pycCIeoM тшесте под
зarОЛОВIЮИ ,,0 нача,тrах rеомеТрlIП"; она по;\!етцепа в "RаааПCIеО:\I BeCT
ш,ше" 6) за 1829 1830 тт. I{ 8ТОИУ сделано уи:азание, что очень рез
кая КРИТlша атой работы помещена в N! 41 друтото РУССlюrо журнала,
"Сын Отечества" ') за 1834 т., который, повидпмоиу, издается в Петер
БУРI'е; ЛобачевскиЙ послал возражение протпв 8ТОЙ КРИТИ1еи, IeoTo
рое, однаIЮ, до начала 1835 т. не было напечатано.
11:0нечно, 8ТП литературные указания нам мало полезны, так как
в rерманпп вряд .лп можно наЙТl1 8кземп.JIЯР "I{азанскоrо вестника"
за 1829 1830 тт. Но зато я моту Вам указать друтое сочинение,
Которое, несо:..шенно, леl'IЮ получить через ь:ипжны:е мarазины и
которое содержпт Толыео 4 листа:
1) Речь Идет о Швейв:арте. [Ред.]
2) Написано rayccoM по русски и по немецки. [РеВ.]
3) Написано по русски. [Ред.]
4) Werke, VIII, стр. 235 236. [Ред.]
5) Написапо ПО русски. [РеВ.]
6) и 7) Написано по русски и по нимецки. [РеВ.]
120
К. Ф. rAYCC
)
IIIвеЙI арт 1) дал Э'l'ОЙ rео:ме'l'РИИ название «Astralgeometrie». Лобачев
Сltпй называет ее "вообраfI ае юй rеометрией"; Вы зпаете, что уже
54 rЬда (с 1792 r.) я разделяю те же взrляды с НeIШТОрЫ 1 разви
тием их, о I OTOpOM не хочу здесь упоминать; ТaItим образом, я не
нашел для себя в сочпненпи ЛобачеВCI оrо ПИЧel'О фaIt'l'ИчеCI И HOBoro.
Но в развптии ПР(J.ц:\шта автор с."шдовал не тому ПУ'l'п, ПО IШТОрОМУ
шел я сам; оно выполнено Лобачевским мастерCI И в истинно reoMe
трlIчеСltО l духе. .я счптаю себя обязанным обратить Ваше внпмание
на это сочипепие, которо,", нав,"рно,", доставпт Ba:\l совершенпо ПCI лю
чительное наслажденпе. . .» 2) .
с!
5. Письмо I Струве (11 деI абря 1846)
« . " В равной степени я очень блаI'одарю Вас за всё прочее,
послапное Вами; за РУСCI ие вещп JIобачеВСlшrо я должен, nероятно,
БЛal'одарить Вашеrо сына, I OTOpOI'O я об ЭТО:\1 проспл неСIЩJIЫЩ лет
тому назад во время ero пребыванпя здесь; я прошу при случае Ha
помнить ему обо :мне приветом. В изучеШ1Il руСCIшrо язьп а я He
CIшлыщ отстал, Talt I aK уже свыше I'ода я не пмел ВОЗl\ЮЖНОСТИ датк6'
ВЗl'ЛЯНУТЬ на русскую букву; но я надеюсь при Пf'рвом свободном
времени наверстать упущенное и тоrда с особенным вниманпем зай
мусь чт,"ни,"м этих интересных работ. JYIалепыч'ю немецн:ую I ПИЖКУ
Лобачевскоrо я имел уже и раньше...» 3).
{i. IIисьмо к Фаркашу Больап (2U апреля 1848)
«Работы РУСCIШl'О l'eoMeTpa напечатаны большей частью в русских
"Записках RазаНCI оrо универспте'l'а". Я ДJ lаю, ОДНaIЩ, что тебе леrче
буде'l' достать маленыще превосходное СОЧПНtJllIlе: GeOlIletrisclle Unter
suchungen zur TIleorie der Parallellinien von Nicolaus IJobatschpwsky,
В,"у lin, 1840, в издательстве ФИНIi:е.. .».
1) Прежде в Марбурrе, теперь профессор юриспруденции в ЕениrсбеРl'е.
[IIр7Мtеча'Ние rayeea.]
2) vVerke, VIII, стр. 238 239.
3) vVerke! Vlп, стр. 239.
о t
II
I о
....
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН
И ИНТЕРПРЕТАЦИИ
rЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕDскоrо
*
КАРЛ ФРИДI)ИХ rAYCC
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
CARL FRIEDRICH GAUSS
DISQUISITIONES GENERALES СШСА SUPF.RFICIES CUHV АН
(lR27)
1
Исштедованип, в КОТОРЫХ рассматриваются направ.пенпя рн'а.лпч
ных прямых в пространстве, вообще rоворя, достиrают бо."Iьшей про
стоты и ясности, ес.ЛИ прибeI'НУТЬ I помощИ шара радиуса раИНОI'О
еДИlПIце, описанноrо BOKpyr HeKoToporo произво.льноrо цептра, прпчнм
отдельные точкп :ЭТOI'О шара ДО.лжны предста13.лять собой папраl3леппя
прямых, парал.лельных радиуса:\l, к ним пр()веденным. 'l'aH: I aK по
ложение всякой 'l'ОЧ1 II в пространстве опреде.iIяется тремя ко()рдп
ната:\1И, т. е. тремя расстояниями от трех неподвижных взаимно пер
пендику.лярных п.ЛОCI остей, то, прежде Bcero, следует рассмотреть
направ.лепие осей, перпендикулярных к :этим П.ЛОСКОСТЯМj мы буде:\!
обозначать точки шара, изображающие :эти направления, знаЧItа:\iИ (1),
(2), (3) j взаимное расстояние l\ШJIЩУ НIIl\1И есть четверть Kpyra. Ha
конец, за направление каждой оси :\lЫ приме:\i то, в I OТOpO:\l COOTBeT
ственные координаты возрастают.
2
Небеспо.пезпо сде.лать I paTKoe перечисление тех пред.ложсппй,
Еоторые часто встречаются в вопросах :этоrо рода.
1. у rол между двумя пересекающимися ПРЯМЬnПI. измеряется ду
I'ОЙ между точкаии на шаре, соответствующими их направлениям.
П. По;тrожеlПIе какой уrодно П.лоскости может быть изображено
бо.льшим KpyroM шара, П.лоскость I oToporo пара.пле.льна ей.
IП. Уrол между двумя П.ЛОСI ОСТЯ:\1И равен двуrранному уrлу
между большими круrами, изображающими плоскости, а С.ледова
тельно, измеряется ДУI'ОЙ, соединяющей полюсы :этих больших I Py
l'ОВ. Таким обраЗ0М, и наК.лонение ПрЯ1\-10Й к плоскости измеряется
дуroЙ, проведенной перпендику.лярно от точки, соответствующей Ha
124
К. Ф. rAYCC
прав.пенпlO данноЙ пряиой, к большому KPYI'Y, изобра:ш:ающему 1I0.тrо
тенне П.ПОСКОСТII.
IV. Обозначив х, у, z:и х', у', z' Rоординаты двух точек, чере;з.,
r расстоянпя J\Iе,жду ними, а через L точку на шаровой поверх
ностп, представ.пяющую направление пря;\юй, идущей от первой.
ТОЧШI 1.0 B'ropotf. будеи иметь:
х' == х+ r cos (l)L,
1/' == 1/ + r cos (2)L,
z' == z+ '" cos (3)L.
\Т. Отсюда следует, что, вообще,
cos(l)L 2+ cos(2)L 2+ cos (3)L 2 == 1,
II если через L' обозначпи какую нибудь ДРУ1'УЮ точку на шаре. т()
cos (l)L cos (1 )L' + cos (2)L cos (2)L' + cos (3)L cos (3)L' == cos LL'.
VI. Т е о р е ы а. Если ооознаОШ.,'t "tерез L, L', L", [/" "terпbIpe то"t'FИJ:
'1Ш шаре 7t 'tерез А Уi:ОЛ, ооразуе.мыЙ Byi:a.AHt LL' и L"L'" в rJlO"t'F,e их
встре"ш, то
cos LL" cos L' L'" сш; LL'" c()s L' L" == sin LL' sin L" L'" c()s А.
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть, ItpOMe Toro, БУlша А () шачает самую
ТОЧКУ встречи п пусть
AL == t, AL' == {', AL" == {", AL'" == {"'.,
Мы Iaree;\1:
cos LL" === cos t Cos {" + sin t sin {" cos А,
cos L' L'" == cos {' cos {'" + sin {' sin {'" cos А,
COS LL'" == cos t cos {'" + sin t sin {'" cos А,
cos L' L" == cos {' со!:> t!' + sin {' sin {" cos А
и, следовате.тrьно,
cos LL" cos L' L'" cos LL'" cos L' L" ==
== cos А (cos t cos {" sin {' sin {'" + cos t' cos {'" sin t sin {"
cos t cos {'" sin {' sin {" cos (' cos t!' sin t sin ("') ===
cos А (cos t sin (' sin t cos (')( cos {" sin ('" sin t" cos ("') ==
== cos А sin (t' () sin (t'" t") ==
== cos А sin LL' sin L" L"'.
Хотя от точки А расходятся по две ДУI'И Itа:ш:дOl'О И3 больших.
KPYI'OB и, следовательно, там образуются: два УI'ла, дополнЯющие-
дрУI' дрУI'а до 1800, но наш анализ указывает, что надо выбирать те-
ДУI'И, направления которых совпадают с направлениями от L к L' и
от L" к L"'. Вместе с этим ясно, что безразлично можно выбрать ту
ОБ1ЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
125
'Или друrую точку пересечения больших KPYl'OB. Вместо уrла А можно
'также взять дуrу между полюсами БОJIЬШИХ KpyroB, частп которых
'суть дуrи LL' и L"L"'. Очевидно, что надо выбирать ПОJIЮСЫ TaIt,
'Чтобы они были О,динаково расположены относительно наших дуr,
т. е. чтобы оба полюса при переходе от L к L' или от L" к L'" ле
Ж3..ЧИ справа или оба слева.
VII. Пусть L, L', L'" обозначают три точки па шаровоЙ поверх
RОСТИ; по,ложим для краткости
c08(1)L ===х,
С08 (1 )L' === х',
со:; (1 )L" === х",
С08 (2)L === у,
cos (2)L' === у',
С08 (2)L" ===у".
С08 (3)L === z,
С08 (3)L' === z',
С08 (3) L" === z"
]и
xy'z" + x'y"z+x"yz' xy"z' x'yz" x"y'z === /;;..
Пусть л есть полюс большоrо Itpyra, часть Iютороrо составляет
Ayra LL', и притом тот, который лежит относительно этой дуrи TaIt,
как точка (1) Jlежпт относительно дуrи (2) (3). Тоrда по ТОЛЫtO что
.доказанной теореме
1/Z' у' z === С08 (1)Л 8i11 (2)(3) 8i11 Ll./
IIШI, TaIt KaI, (2)(3) === !юО,
yz' y'z === С08 (1)1. 8i11 LL',
JI таким же обраЗ0М
zx' z' х === С08 (2»_ 8i11 LL',
ху' x'y === сон (з)), 8i11 LL'.
Умножая эти уравнения соответственно на х", у", z" и СКJlадывая,
получаем, РС.ли принять но внимание вторую теорему п. 2:
/;;. === С08 ),L" 8i11 LL'.
Теперь надо ра3JIИЧПТЬ трп случая. ПервыЙ, коrда L" лежит на
roM Kpyre, часть ItOTOporo составляет дуrа LL'; тоrда лL" === 90° и,
.'lедоватеЛЬIIU, .3. === о. Если же L" JlеЖIIТ вне этоrо большOJ'О т:руrа,
Т{) вmopoil случай есть тот, коrда она лежит с той же СТОРОНН, RaIt
II Лj тperпий если с противоположной. В этих последних случаях
ТОЧШI L, L', L" обрзауlO']' сферический треуrолыппс и ПрИТО:\I НО BTO
рО:\I случае лежа']' в том же пор.пдке, как и ТОЧI,П (1), (2), (3),
:а в третьем случае в обраТНОNl. Если уrлы 3TOl'0 сферическоrо
треуrОJIьника обозначить просто через L, L', L", а перпендикуляр,
.опущенный на шаровой поверхности И3 L" на nOK JJL', через р, то
8111 Р === 8i11 L 8i11 LL" === 8i11 L' 8i11 L' L" и 'лL" === 90° -+- р,
причеы нерхппЙ знак берется 80 ВТОрО'\! СJlучае, а нижний в Tpe'rbeM.
Итак, отсюда получим:
----+--- /;;'===8i11 L 8i11 LL' 8i11 LL" ==8i11 L' 8i11 LL' 8i11 L' L" ==8i11 L" 8i11 LI!' si11 I./L".
126
К. Ф. rAYCC
Очевидно, однако, 'ITO первый случай может быть заключен во
втором и третьем; также без труда видно, что -+- /:). обозначает уше
стерепный объе I ппрамиды, заК.люченной между ТОЧItами L, L', L"
И цeHTpO 1 шара. Наконец, отсюда же очень .леrко заItлючить, что то
1
же самое выражение -+- "6/:). вообще выражает объем .любой пир амиды ,
заключеппой между началом Rоординат и точками, координаты KOTO
рых суть: х, у, z; х', у', z' и х", у", z".
3
rоворят, что криван поверхность имеет в точке А непрерывную
кривизну, ес.ЛИ направлеппя всех ,прямых, проведенных от А к точ
кам поверхности, бесконечно б.ЛИ3Itим к А, бесконечно мало укло
няются от одной п той же п.лоскости, проходящей через А; :эта ж&
П.лоскость есть 'насательпая к поверхности в точке А. Если же в He
которой точке нельзя удовлетворить :этому ус.ловию, 'O непрерывность,
кривизны нарушается, ItaK :это, например, бывает на вершине конуса.
Настоящие псследования относятся к таким кривым поверхностям
пли к таким частям поверхностп, в которых ни в одном месте н&
нарушается непрерывность кривизны. 8десь же мы заметим, что спо ,
собы, служащие для определения положения Rасательной П.ЛОСRОСТИ
в тех особенных ТОЧRах, {'де непрерывность КРИВИ3НЫ нарушается,
теряют свою силу п приводнт R неопределенности.
4-
.
Положение касательной ПЛОСRОСТИ удобнее Bcero определяется по
.лоа:енпем прПМОЙ, перпеНДI-ШУЛЯРНОЙ к ней в ТОЧRе А; :эта же прямак
называется пормалью It са:иой поверхности. Направление :этой норма.ли
обозначим ТОЧRОЙ L на вспо:иоrате.ЛЬНОЙ mаровой поверхностИ и по
ложим
cos(l)L==X, cos(2)L==Y, cos(3)L==Z;
коордпнаты ТОЧКИ А обозначим через х, у, Z. Пусть, далее, x+dx>,
y+dy, z+dz обозначают Rоординаты друrой 'ОЧIПI А' поверхности;
ds бесконечно малое ее расстояние от А; наконец, л точку шаро
вой поверхности, изображающую направление 8леыента АА'. rraRIIМ.
обраЗ0М, получпм:
dx==dscos(l)J" dy==dscos(2)" (lz==dscos(3)1"
и так I,aIt лL должно равняться UOO, то
Х сов (l)J,+ У сов (2)J, + Z сов (3)J, == О.
RО:\1бинируя :эти уравнения, по.лучаем:
Xdx+ Ydy+Zdz==O.
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
127
Ee!'J, два общих способа для изучения свойств, кривых ПОВf)РХНО
стей. В первом пользуются уравнением между координа'1'aI\IИ х, у, z,
Iюторое :мы полаrаем приведенным к в:идуl W == О, l'де W есть функ
цпя llерlc'мепных х, у, z. ПУС'1Ъ полный дифференциал функции W
есть
dW == Рах+ Q dy + R dz;
на данной поверхности будем иметь:
Pdx+Qdy+Rdz==O,
а С..lIедова'1'ельно,
Р cos (I)Л + Q cos (2)), + R cos (3)1, == О.
'Так как 8'1'0 уравнение, равно как и приведенное нами выше,
должно иметь мес'1'О для всевозможных направлений 8лементов ds на
кривой поверхнос'1'И, '1'0 леrко виде'1Ъ, Ч'1'О Х, У, Z должны бы'1Ъ про
порциональны Р, Q, В, и ПО'1'ому, так как хх+ УУ +zz== 1, будем
име'1Ъ или
Р
1[ ==
VPP+QQ+RR'
У== Q
VPP+QQ+RR'
z== R
Vl'P+QQ+RR'
или
P
Х==
У1'Р+ QQ+RR'
Q
У==
VPP+QQ+RR'
R
Z==
V1'P+QQ+RR'
Во втором способе координа'1ыI рассматриваю'1'СЯ как фУIШЦИИ от
двух независимых переменных р, q. Положим, ч'1'о, дифференцируя
эти фуmш,ии, находим:
ах == а dp + а' dq,
dy == Ь dp+ ь' dq,
dz == cdp+ с' dq.
Подс'1'аВИВ 8ТИ величины в одну из приведенных выше формул, по
лучаем:
(аХ+ЬУ +cZ)dp+ (а'Х+Ь'У +c'Z) dq== О.
Так как 8'1'0 равенство должно име'1Ъ мес'1'О независимо 0'1' значе..
пий дифференциалов dp, 4q, '1'0, очевидно, имеем:
аХ+ЬУ +cz== О,
а'Х+Ь'У +c'Z== О,
О'1'Rуда находим, что Х, У, Z Должны бы'1Ъ пропорциональны вели
ЧИНaI\1
Ьс' сЬ', са' ас', аЬ' Ьа'.
Полаrая, далее, для кра'1'RОС'1'И
11 (Ьс' cb'),j+ (са' ас'Р+ (аЬ' Ьа')2 == /::;.,
128
К. Ф. rAYCC
получим или
Ьс' сЬ'
х== fj.
у==
са' ас'
fj.
аЬ' Ьа'
z== fj. ,
или
сЬ' Ьс'
'\':'== fj. ,
у == ас' ca'
fj. ,
Ьа' аЬ'
z
fj.
R этим двум способам обыкновенно присоединяют третий, в ROто
ром одна из координат, например z, ВЫРaJII:ается в функции осталь
ных х, у. Очевидно, что этот способ есть не что иное, как частный
случай первоrо или второто; так что, если ПОЛОЖИ:\I здесь
dz== tdx+udy,
то получим или
х==
t
yl +и+ии '
ТО- == и z== 1
yl+tt+ tv, , yl+tt+ии ,
у== и z== l
Уl +tt+ШI, , yl+tt+uu
Б
х == t
Yl + tt+7tu '
или
Два решения, найденные в преДЫДУ1цем номере, очевидно, oтнo
сятся Б двум противолежащим точкам шаровой поверхности или
к двум противоположным направленияи, что и соrласнu с сущностью
вопроса, так как нормаль можно провести I, Itаждой из двух сторон
кривой поверхности. Если хотим различать две прилеrающие одна
к дрyrой стороны поверхности и называть одну внешней, а дрyrую
внутренней, то можно при помощи теоремы, развитой в n 2 (VII) при
дать Еаждой из нормалей соответствующее ей решение, если вместе
с тем установлен будет I\ритерий .J:ля различения UДНОй стороны от
друrой.
При первом способе изображения поверхности II:ритерий э'.rот дается
знюшм 1V. В .самом деле, rоворя вооБI1 е, кривая поверхность OTдe
ляет те части пространства, в IЮТОРЫХ 1V получает положительное
значение, от тех, в IЮТОРЫХ значение f-V ()трицательно. Из упомянутой
теоремы леl'КО убедиться, что если N: Т получает положительные зна
чения по направлению к внешней стороне и нормаль проведена в ту же
сторону, то надо нзять первое решение. Впрочем, в КaJКДОМ случае
леrко решить, на всей J1И поверхности имеет М\с\СТО одно и то же
правило относительно зню.а 1V, или для разных частей различные:
пока коэффициенты Р, Q, R имеют конечные значения и не исчезают
все три сразу, закон непрерывно препятствует изме,нению.
Если мы пользуемся вторы]\[ спосоБО:\l, то можем различать две
системы кривых линий на поверхности: одну, для КОТОРОй p пере
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
129
менное, q постоянное, друrую, для которой q переменное, р по
стоянноеj вааимное положение 8ТИХ линий ОТНОСИ'l'ельно внешней CTO
рОНЫ поверхности должно определить, какое решение следует принять.
Действительно, как скоро три линии, а именно ветвь кривой первой
системы, исходящая иа А по направлению воарастающих р, ветвь
крпвой второй системы, выходящая иа точки А по направлению B03
растaIOЩИХ q, и нормаль, направленная во внешнее пространство,
расположены подоб'Но TO IY, как расположены выходящие иа начала
координат оси х, у, z (например, как лля тех, ТаЕ и для друr'их трех
ЛИПИЙ можно считать первую линию направляющейся налево, BTO
р,ую направо, а третью вверх), то следует принять первое решение.
Если же Baa IHoe положение первых трех линий ПРОТIIВОПОЛОЖНО
вааимному положению осей х, у, Z, то И Iеет место второе решение.
При третьем способе надо посмотреть, совершается ли переход
по направлению к внешней или внутренней стороне, котда z полу
чает положительное приращение, а х, у остаются неиамеННЫl\Ill. В пер
вом случае для направления внешней нормали имеет место первое
решение, а во втором второе.
6
Подобно тому, КаЕ при перенесении направлений нормалей к кри
вой поверхности на поверхность шара, любой данной точке первой
поверхности соответствует определенная точка на второй, так точно
и любая линия или любая фиrура на ней иаобрааится COOTBeTCTBeH
ной линией или фиrурой на шаре. При сравнении двух фиrур,
взаимно друт друту соответствующих, иа КОТОРЫХ одна есть KaH бы
иаображение друrой, можно рааличать два рода вопросов: в одних
рассматривается только величина, в друrих, отрешившись от количе
ственното соотношения, рассматривают одно положение.
Вопросы первоrо рода дают начало некоторым понятиям, которые
нам кажется полеано ввести в учение О кривых поверхностях. А именно,
мы будем rоворить, что некоторая часть кривой поверхности, оrрани
ченная иавестным контуром, имеет пол'Ную 'Кривиз'Ну (cur"vatura integra),
которая выражается площадью соответственной фиrуры на шаровой
поверхности. ОТ 8ТОЙ полной кривианы строто следует отличать кри
виану как бы специфичесн ую (quasi specifica), которую мы будем
нааывать .мерой 'Кривиз'Ны. Эта последняя относится к то'Ч'Ке на поверх
ности и оаначает частное" происходящее от деления полной КРИВИ3НЫ
8лемента поверхности, прилежащеrо к точке, на самую площадь 8ТОТО
8лемента, и, следовательно, указывает отношение бесконечно малЫХ
площадей на шаре и на кривой поверхности, вааимно друт друту
соответствующих. Польаа 8ТИХ нововведений, как мы надеемся, вполне
уяснится тем, что впоследствии будет нами иаложено. Что же касается
9 3ак. 1164. Об основаннях rеометрии
130
К. Ф. rAYCC
до терминоло1'ИИ, то мы думаем, что, прежде все1'О, следует обратить
внимание на то, чтобы избежать всякой двусмысленности, вследствие
че1'О мы и не считаем удобным СТРО1'О придерживаться анало1'ИИ
с теРМИНОЛО1'ией общепринятой (хотя не всеми одобряемой) в учении
о плоских кривых, следуя которой мера кривизны должна попросту
называться кривизной, а полная кривизна амплитудой. Впрочем,
отче1'О и не допустить некоторо1'О простора в выражениях, лишь бы
дело шло о предметах, имеюп их значение, и название не было при
чиной ;;IОЖНО1'О истолкования?
Положение фИ1'уры на кривой поверхности может быть и;;Iи подобно
положению соответствуюп ей фи1'УРЫ на шаровой поверхности, или
противоположно (обратно); первый случай имеет место, КО1'да пара
линий на кривой поверхности, идуш;их И3 одной И той же точки
в различных, но не прямо противоположных направлениях, изобра
жается на шаровой поверхности парой линий, подобно расположенных,
т. е. КО1'да изображение линии, лежап ей направо, лежит направо же;
второй случай, КО1'да имеет :место противоположное. Эти два случая
мы различим з'нд%о.м меры кривизны положительным или отрица
тельным. Но очевидно, что это различие может иметь место только
до тех пор, пока мы на обеих поверхностях выбираем определенную
сторону, на которой должна лежать фИ1'ура. На ВСПОМО1'ательном
шаре мы Бсе1'да за внешнюю стор<?ну будем принимать обращенную
от центра; на кривой же поверхности за внешнюю сторону прини
мается или та, которая рассматривается как внешняя, или лучше та,
от которой начинается восставленная нормаль, так как очевидно, что
по О'fношению к подобию фи1'УР ниче1'О не изменится, если на кривой
поверхности перенесем на противоположную сторону как фи1'УРУ, так
и нормаль, лишь бы изображение фи1'УРЫ все1'да наносилось на одну
и ту же сторону шаровой поверхности.
3нак плюс или минус, ПРИПIIсываемый нами сообразно положению,
бесконечно :\Iалой части поверхности .мере кривизны, мы :\Iожем pac
пр().Странить также и на полную RрИВИ3НУ ltOнечной 'Iасти Itривой
поверхности. Впрочем, если желать разобрать этот предмет во всей
е1'О полноте, то понадобились бы НeIюторые пояснения, которые МЬ1
приведе:\I здесь только вкратце. ПОI:Ш фИI'ура на Itривой поверхности
составлена так, что различным точкам внутри нее отвечают также paв
.ft'U'ч/н/ые точки на шаровой поверхности, определение наше не нуждается
в дальнейшем разъяснении. ВСЯЕий же раа, как это условие не имеет
места, необходимо, чтобы некоторые части фи1'УР на шаровой поверх
ности принимались в счет два или несколько раз, вследствие че1'О"
С:\IОТРЯ по тому, будет ли положение подобное или обратное, части
будут или накладываться одна на дру1'УЮ, или взаимно уничтожаться.
Самое простое в таком случае представить фи1'УРУ на поверхности
ОБUЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
131
разделенною на такие части, чтобы, рассыаТРИllае;\Iые поодиночке, om-r
удовлетворяли вышеУПОМЯНУТО IУ условию, и IlООДИНОЧlее вычпслпть,
для НИХ полную кривизну, определяемую по величине ПJlOIЩ:LДЬШ'
соответственной фиrуры на шаровой поверхности, а по знаку своии
положением, И, наконец, всей фиrуре приппсать полную кривизну,
получаеиую сложением полных ЕрИВПЗН, отвечаЮIЦИХ отдельным
частям. ТаЕИМ образом, полная Еривизна фиrуры вообще == f ktlo,
rде d:; обозначает элемент площади фпrуры, k Mepy ЕРИВП3НLI
в любой ее точке. Что же Еасается rеоиетричеСЕоrо значеНИfl этоrо
интеrрала, то rлавнейш е соображения, ЕасаЮlциеся этоrо предмета,
состоят в следующем. :Контуру фиrуры на ЕРПВОЙ поверхности
при оrраничении, упомянутом в n 3, всеrда будет соответствовать
на mаровой поверхности линия СОМЕнутая. Если она ниrде не пере
секает сама себя (не образует узлов), то делит ЕСЮ шаровую ПОRерх
ность на две части, И3 ЕОТОРЫХ одна соответствует фиrуре на КрПRОЙ
поверхности, и ПЛОlцадь ее, принятая со знаком плюс илп минус
Cll-ЮТрП по тому, лежит ли она относительно СЕuей перифеРПII подобно
ТШIУ, как и фиrура на ЕРИВОЙ поверхности относительно своей, или
обратно выразит полную кривизну последней. Если же эта линия
пересекает себя один или неСКОЛЬЕО раз, то она даст сложную фнrуру,
которой, однаIЮ, может быть также законно приписана известная пло
щадь, как и фиrурам без узлов, и э;rа площадь, правильно пони
маемая, всеrда выразит собой верную величину полной КРИВIl3НЫ.
Впрочем, более полное изложение этоrо предмета относительно фнrур,
взятых в са юм общем виде, мы должны отложить до дрУI'оrо раза 1) .
7
Найдем теперь фОр IУЛУ для выражеНИfl меры кривизны в JIюбо1t
точке на поверхности. Если d:; обозначает ПЛOIцадь элемента ятой
поверхностн, то Z do есть ПЛOIцадь проекции 8Toro элемента на lfЛОС
ЕОСТЬ Еоординат Х, У; равно Еак если d'f. площадь coomeTcTBeHHoro
элемента шаровой поверхности, то Z d'f. есть площадь проеКЦIlИ
на ту же плоскость; положительный или отрицательный знак КО.ли
чества Z укажет положение проеlеции подобное или обратное положе
mIЮ проектированноrо элемента, и очевидно, что 8ТИ проекции lIахо
дятсн между собой в том же отношении - как по 13еличине, так и
по положеНIlЮ как и самые элементы. Рассмотрим треуrольный
элемент на кривой поверхностп и положим, что координаты трех
1) Несмотря на свое обещание, raycc более не возвращался к этому вo
просу. [Ред.].
9*
132
К. Ф. rAYCC
точек, образующих ero проекцию, суть
x+dx,
х+ох,
у,
y+dy,
у+оу.
х,
Удвоенпая площадь этоrо треуrОЛЫПIка выразится формулой
dx оу dy ох
и притом взятой со знаком плюс или минус, смотря по тому, будет ли
положение стороны между первой и третьей точкой относительно
стороны между первой и второй подобно или обратно положеmпo
;координатной оси у относительно координатной оси z.
Точно так же, если координаты трех точек, образующих проекцию
cooTBeTcTBeHHoro элемента шаровой поверхности, отсчитанные от центра
шара, суть
Х,
X+dX,
Х+оХ,
У,
Y+dY,
У+оУ,
"1'0 УДRоенная площадь этой проекции выразится через
dXoY dYoX;
относительно знака этоrо выражения имеет силу ска;шнное выше.
Поэтому мера кривизны в данном месте поверхности есть
k axoY aYox
axoy ayox .
Если еще предположить, что уравнение поверхности дано в третьем
из рассмотренных в n 4 видов, то Х и У будут даны в виде фУIlli
JЦий от величин х, у, откуда
dX == ( : ) dx+ ( ) dy,
X ( dX ) +( ax )
о == ах Ох оу,
dY == ( ) dx+ ( ) dy,
Y ( aY ) +( aY )
о == ах ох оу.
Подстановкой этих значений прежнее наше выражение изменится
в следующее:
k== ( : ) ( ) ( ) ( ).
Положим, KaIt И выше,
t
ах ,
dz
ау == и
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
133.
п, кроме Toro,
ddz == Т
ах 2 '
ddz
==И
с/хау ,
cklz == V
ау2
или
dt== тах+ Иdу, аи== Иdх+ Vdy.
Из прежде данных формул имее:и:
Х == tZ, У == 7tZ, (1 + tt+ 7t7t) Z?: == 1,
и отсюда
аХ == Z dt t dZ,
плп
аУ == Zd7t udZ,
(1 + tt+ ии) dZ + Z (t dt+ 7t d7t) == О
dZ == Z3 (t dt + 7t аи),
аХ == Z3 (1 + U7t) dt+Z 3 t7td7t,
аУ == +Zd tudt Z (1 + tt) аи,
аХ
dX == Z3 [ (1 + U7t) т+ t7tU],
а а Х == Z3 [ (1 + ии) U + tu fl ,
у
аУ
ах == z3 [tuT (1 + tt) U],
а а Т == Z3 [t7tИ (1 + tt) У].
у
п также
Подставив ЭТН значения в предыдущее выражение, получаем:'
k==Z6 (ту ИИ) (1 + tt+'llп) == Z4 (ТУ ии) == (17;;:и )2 '
8
, Соответствующим выБОрО),I начала и осей координат можпо достпчь
Toro, что д.ля данной точки А значения велпчнн t, 7t, U обратятся
в нуль. ()чевидно, что два первых ус.lIОВИЯ будут выполнены, еслп
за плоскость координат х, у принять плоскость, касате.льную в этой
точке. Если, кроме Toro, начало координат иоиестить в са),IУЮ осочку А,
ТО ясно, что выражение для координаты z получи.т такой вид:
1 1
Z=="2 ТОхх+ [JOХУ+2 VOyy+Q,
rде Q порядка высшеrо, чем второй. 3атем, повернув положение
саiVIИХ осей х, у на такой уrол М, чтобы
2rfJ
tang 2j"1 == о о '
T Y
134
К. Ф. rAYCC
леrIto видеть, что получится уравнение TaH:oro вида:
z===- Тхх+ VY!I+ Q ,
и ТaI И1\I ()БР<130М удовлетворяетсн п третье условие. Отсюда леrко
выведем следующее:
Т. Если I ривая поверхность пересечена нормальной П.ЛОCI остью,
ПрОХОДЯJТI;еЙ через координатную ось х, то получается плоскан кри
1
ван, радпус кривизны I О'i'ОрОЙ в ТОЧ1 е А равен т' причем зв:ак плюс
или минус указывает, будет .ли !'ITa криван BorHYTa или выпукла
в '1'0,,1 направлении, в котором координаты z положительны.
1
П. Подобным же onpaso:>'I, V есть радиус КРИВИ8НЫ в ТОЧIШ A плос
кой кривой, происходпщей чере8 пересечение кривой поверхпости
ПЛОСI ОСТЬЮ, проходящей через оси У, z.
T11. Положив х ===- r cos ер, у===- r юп 9, имее:vс
z===- (Tcos 2 ер + Vsin2ep)rr+ ,
откуда следует, что если сделать сечение плоскостью, нормальной
к поверхности в.А и образующей с осью х уrол 9, то получается
ПЛОСЕап кривап, радиус крпвизнr RОТОРОЙ в точке А
1
l' cos 2 'f + V sin 2 'f .
TV. Вспкий раз, коrда ииеем Т===- V, радиусы кривизпы всех HOp
1\Iальных сечспиit равны между собой.
Если же Ти V не равны, '1'0 очевидно, что, так как Tcos 2 ep+ Vsin 2 <p
для любоrо значения уrла 9 лежит между Т и V, радиусы кривизны
rлавных сечений, рассм()тренных в Т и ТТ относятся к предельпым
кривизнам, т. е. один к наибольшей, ДРУI'ОЙ :I наименьшей, ес.ЛИ
и V одноrо 8Ha1 a, и наоборот один к наибольшей ВЫПУI ЛОСТII,
друrой к наибольшей воrнуl'OСТП, если Т и V различных 8НаЕОВ.
Этп заК.лючения содержат в себе почти всё, чеиу впервые научпл
о кривизне 1 рИВЫХ поверхностей 8наменитый Эйлер.
V. 1'I1:epa кривпзны понерхности в точке А получает весьма простое
выражепие k ===- TV, откуда следует
т с о р е 1\1 а. JИера 'Кривuз'Ны в .любой тO"l%e поверхnости равna дроби,
ЧUС..I,ите.ль 'Которой епинuца, з'На.АtC'JШllze.ль .же проuзведеnuе двух z.лав'НъtХ
радиусов %рuвuз'Нъ( в nОр.ма.ль'Нъtх се"lе'Ниях.
Вместе с этим ясно, что :\шра I РИВИ3НЫ положительна для поверх
ностей выпукло выпуклых или BorHYTO BorHYTbIx (это различие Hecy
щественно) и отрицательна для выпукло воrнутых. Если поверхность
ОБlЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
135
состоит И3 частей обоеrо рода, то на rранице их мера ItрИВИ3НЫ
должна исчезать. О свойствах таких кривых поверхностей, мера кри
визны которых повсюду исчезает, будет сказано во мноrих местах
ниже.
9
Общая форму,ла д,ля меры кривизны, пред,ложенпая н кuнце n 7,
самая простая И3 всех, так как она заключает то,лько пять 8,лемеНТОВj
к более с,ложной, а именно зак,лючающей девять 8,лементов, мы IIрИ
дем, если примем первый способ д,ля выражения ПрИрОДLI Itривой
поверхности. Удерживая обозначения n 4, по,ложим, ItpOMe Toro,
ddTV == Р'
dx 2 '
ddИ' == Q'
dy2 '
ddTV == В'
dz 2 '
ddTV == Р"
dy.dz '
ddTV == Q"
dxdz '
ddTIT R!'
dxdy ,
так что будет:
dP == р' dx + В" dy + Q" dz,
dQ == R"dx+ Q'dy+ P"dz,
dR == Q" dx+ Р" dy + в' dz.
р
и так ItaK имеем t == R ' то дифференцированием находим:
ВВ dt == R dP + Р dR ==
== (PQ" BP') dx.+ (рр" RR")dy+(PR' RQ") dz,
или, иск,лючив dz при помощи уравнения
Р dx + Q dy + R dz == U:
R 3 dt== ( BBP' + 2PRQ" PPR') dx+
+ (РВР" + QRQ" PQR' RRЛ") dy.
Далее, таким же образом получаем:
.RJ3du== (РВР" +QRQ" PQR' RRR!') ах+
+ ( RRQ' + 2QRP" QQR') dy.
Наконец, отсюда заключаем:
В3Т== ВВР' + 2PRQ" РРВ',
в з u == РВР" +QRQ" PQR' BBB",
В3 V == RRQ' + 2QRP" QQR'.
136
к. Ф. rAYCC
Подставпв ати величины в формулу n 7, получпм для иеры
RРПВИ3НЫ k следующее СИЫllIетрпчное выражение:
(PP+QQ+RR)2k==
== РР (Q'R' P"P") + QQ (P'R' Q"Q") + RR (P'Q' R"g') +
+ 2QR (Q"R" P'P") +2PR (P"R" Q'Q") + 2PQ (P"Q" R'R").
10
Еще более сложную формулу, а пыенно состоящую И3 пятнадцати
членов, получим, если воспользуемся вторым общим методом для
изучения свойств RрИВЫХ поверхностей. Но именно ату формулу
весьма ва:.-ЕНО получить. Удерживая обозначения n 4, Ероме Toro,
положим:
ddx
a.
dp2 ,
ddx ,
ар dq == а. ,
ddy Р.'
elp elq == 1-' ,
ddz ,
dp dq == 1 ,
ddx "
dq2 == а. ;
eldy == ".
elq2 '
eldz "
dq2 == 1 .
ddy r./
elp2 == 1-"
ddz
dp2 == 1,
Сверх Toro, для СОRращения положим:
Ьс' сЬ' == А,
са' ac' ==В,
аЬ' Ьа' == С.
3амечаеl\j сперва, что имеем А ах + в ау + С dz == О или dz ==
А В
== с ах С ау; таЕ что, если z рассматривается ЕаЕ фунв:ция
от х, У, то имеем:
dz А
dx == t === C'
dz В
dy == и== c,
Далее, ВЫВОДИм И3 ах == а ар + а' dq, ау == Ь ар + ь' dq,
сар == Ь' ax a' ау,
Cdq == Ь ах+аау.
Отсюда получим полные дифференциалы самих t, и:
( dC dA ) ' , ( dA еЮ )
C 3 dt === А dp Ca;p (Ь ax a ау)+ Cd(j Ad(j (bax aay),
( dC dB ) , , ( dB dC )
с з аu== В dp C dp (Ь aX a ау)+ Cd(j Bdq (bax aay).
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
137
Если же в эти формулы подставим
dA
ар
dA
dq
c' + Ь-( c ' Ь'''(,
с'[3' +Ь"(" с;З" b'''(',
dB
а'"I + са' a"l' c'a
ар I l'
dB
"(J;j а'''(' + са" a"(" c'a',
dC
Ь'а + aQ' ba' a' I S
dp t' ,
ь' а' + afJ" Ьа" а'[3'
и заметим, что аначение дифференциалов dt, dи, таким обрааом по
лученных, должны соответственно равняться, неаависи.мо от аначения
дифференциалов dx, dy, веЛИЧИНЮJ Tdx+Udy, Udx+ Vdy, то найдем
после некоторых довольно простых выкладок:
С3Т == аАЬ'Ь' + Bb'b' + "(СЬ'Ь'
2а' АЬЬ' 2 ' ВЬЬ' 2"(' СЬЬ' +
+ а";!ЬЬ + fJ"Bbb + "("СЬЬ,
сзи == аАа'Ь' [3Ва'Ь' "(Са'Ь' +
+ а'А (аЬ' + ba')+ 'B (аЬ'+Ьа')+"('С (аЬ' + Ьа')
а" АаЬ "Bab "("СаЬ,
С3 V == аАа' а' + [3Ва' а' + "(Са' а'
2a'Aaa' Ц'Baa' 2"('Caa' +
+ а"Ааа + [3"Ваа + "("Саа.
Если же для сокращения положим
Aa+B +С"( ==D,
Аа' +ВfЗ' + С"(' == D',
Аа" +ВfЗ" +С"(" == D" 1),
(1)
(2)
(3)
то
С3Т== Db'b' 2D'bb' +D"bb,
сзи == Da'b' + D' (аЬ' +Ьа') D"ab,
С3 V == Da' а' 2D' аа' + D" аа.
1) Эти величины отличаются множителем А2 + В2 + С2 от коэффициен
тов второй квадратичной формы, принятой в современной теории n OBepx
ностей. [Ред.]
138
К. Ф. rAYCC
Отсюда находим, совершив вычисления:
С6 (ТУ ИИ) == (пп" п'п') (аЬ' Ьа')2 == (пп" п'п') СС,
и следовательно, формула для меры кривианы есть
пп" п'п'
k== (АА+ВВ+СС)2 '
11
R только ч'ro выведенной формуле присоединим друrую, которую
-должно причислить к самым плодотворным теоремам в учении о кри
вых поверхностях. Введем следуюшие обоаначения:
аа +ЬЬ +сс ==Е,
аа' + ЬЬ' + сс' == F,
а'а' +Ь'Ь' +с'с' == а,
аа +b +СI ==т; (4)
аа' +Ь?' +СI' ==т', (5)
аа" + b " + СI" ==т"; (6)
а'а +b' +с'l ==п, (7)
а'а' + b' ' +с'l' == п', (8)
а' а" + b' " + с' 1" == п" j (9)
АА + вв + СС == EG FF == /1.
Исключим иа уравнений (1), (4), (7) величины , l' чеrо достиr
нем, умножая их на Ьс' cb', b'C c'B и cB bC и складывая; таю:lМ
обрааом, получим:
[А (bc' cb')+a(b'C c'B)+a'(cп bC)] а==
== D (Ьс' cb') +т (b'C c'B) +п (cB bC);
3'1'0 уравнение леrко преобрааовать в следующее:
Ап == acl+a (пF тG) +а' (тF ,пE) 1).
Подобным обрааом исключение величин а, 1 или а, иа тех же
уравнений дает:
вп == A+ Ь (пF тG) + Ь' (тF пE),
сп == 1/1+ с (пF тG) +с' (тF пE).
Умножая зти три уравнения на а", ;3", 1" и складывая, получаем:
пп" == (аа" + ;3" +11").1 +т" (пF тG) +п" (тF пE). (10)
1) Именно, леrко убедиться, что A(be' eb')+a(b'C e'B)+a'(eB bC)==
==А 2 + В2 + С2 == t:.. Далее, D (bc' b') == Ап; затем т (b'C B) == тЬ' (ab' ba')
те' (a'e ac') == ат (Ь'Ь' + e'c') а'т (ЬЬ' + се'); прибавляя и отнимая таа!а!,
получим: ат (Ь'Ь' +е'е') а'т (ЬЬ' + се') == aтG a'mF; точно так же пайдем и
п(eB bC)==a,пE aпF. [Ред.]
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
139
Равно :ка:к, если рассматри ать уравнение (2), (5), (8), получим:
Ап' == a'tl+a (п'F т'G) +а' (т'P п'E),
вп' == 'tl+ h (п'F т'G) +Ь' (т'P 1 'E),
сп' == l'tl+c (п'F т'G) +с' (1п'P 1{E) 1);
-ес.ЛИ эти уравненпя умножить па а', ', 1" то сложение их дает:
п'п' == (а'а' + ' ' +1'1') tl+т, (п'F' т'G) +1 ' (т'P п'E).
Сопостав.ление ЭТОI'О уравнения с уравнением (10) дает:
пп" п' п' == (аа" + " + 11" а' а' 'p' 1'1') !1 +
+ Е (1 ' п' nп') + F' (nт' 2т' п' + тп") + G (т' т' тт')
Но очевидно, что
_ dE == 2т dE == 2т' dJ/ т' + 1 d d F q - == т' + 1 ' , dG 2п' dG 2 {'
dp , dq , dp ==, ф== , ('[(j== j,
-или
1 dE
т =="2 dp ,
dF 1 dE
п== dp 2di'
, 1 dE
т ==2dq'
, 1 dG
п==2 dp '
" dF ldG
т ==dq 2 dp ,
" 1 dG
п ==2dq'
.
Далее, леI':КО за:ключить, что
аа" + p" + 11" а' 7..' '?' 1'1' ==
dn dп' dт!, а-т' 1 ddE ---L ddF 1 ddG
dq "IJP dp dq 2 dq2 I dpdq 2 dp2 .
Ес.ли же эти выражения подставить в формулу для меры :кривизны,
выведенную в :конце предыдущеI'О ноиера, ТО придем :к с.ледующей
форму.ле, составленной П3 одних ве.личин Е, Р, G и их частных про
нзводных первоI'О и BTOpOI'O поряд:ка:
4 (ЕG F'F)'Чr ==
_==E ( dE . dG 2 dF . dG + ( dG ) 2 ) +
dq dq dp dq dp
+ р ( dE . dG dE . dG 2 dE . dF + 4 dF . dF 2 аР' . dG ) +
. dp dq dq dp dq dq dp dq dp dp
+ G ( dE . dG 2 dE . dF + ( dE ) 2 )
dp dp dp dq dq
2 (EG FF) ( ddE 2 ddF + ddG ) .
dq2 dp dq dp2
1) Эти уравнения называются aepuealfUOHHЪtAtU фОР.;JtулаАtи raycca; коэффи
циенты при а, а', Ь, Ь', с, с' отличаются только множителем !!. от символов Хри
стоффеля BToporo рода основной квадратичноЙ формы. [Ред.]
140
К. Ф. rAYCC
12
Так как имеем вообще
ах2 + ау2 + dz 2 === Е ар2 + 2Р ар dq + Gdq2,
то ясно, что V Е ap + 2Р ар dq + G dq2 есть общее выражение линей
Horo 8JIHMeHTa на поверхности. Птак, исследование, изложенное в пре
дыдущем номере, показывает, что для нахождения меры кривизны
не нужны конечные формулы, выражающие координаты х, у, z как
функции переменных р, q, но что достаточно иметь общее выражение
величины любоrо линейноrо 8лемента. Перейдем к некоторым прило
жениям 8ТОЙ весьма важной теоремы.
Предположим, что наша поверхность может быть развернута на
друrую кривую или плоскую так, что любой точке первой поверх
ности, определяемой координатами х, у, z, отвечает определенная
точка второй поверхности, координаты которой х', у', z'. Тоrда, ОЧ(j
видно, х', у', z' MorYT быть расс матриваемы как функции перемен
ных р, q, отчеrо для 8лемента V ах,2 + ау,2 + dz,2 получается такое
выражение:
УЕ'а р 2+2Р' dpdq+ G'dq2,
rде Е', Р', а' оБОRначают некоторые функции от р, q. Но самое Ha
именование раsвертъишния одной понерхности на друrую указывает,
'lTO соответственные 8лементы обеих поверхнос'.rей необходимо равны
между собой, и ПО8ТО IУ имеем тождественно
Е === Е', F === Р', G === а'.
Итак, формула предыдущеrо но шра сама собой приводит к выдаю
щейся (egregium)
т е о р е м е. ЕСЛ7t 'Кривая поверхность будет разверnута па любую дpy
zую поверхnость, rпo при зтО.Аt мера 'Кривизnы в 'Ка:ж;дой ее то'ч/ке остается
neUS.Atennou.
Очевидно также, что любая 'Коnе"Lnая
после раsвеJYfl'/,ываnuя па дP'iJt!ую поверхnость
'Кривизnу.
Частный случай, которым до сих пор reoMeTpbl оrраничивали
свои исследования, составляют поверхности, развертывающиеся на
плоскость. Наша теория леrко обнаруживает, что мера кривизны
таких поверхностей в любой точке === О. ПО8ТОМУ, если их уравнения
изображаются по третьему способу, то во всех точках
"Lacтb 'Кривой
сохраnит ту
поверхности
:нсе полnу'Ю
ddz ddz ( ddz ) 2 О
dx';!, . ау2 dxdy === ;
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
141
хотя этот критерий и давно известен, однако по большей части, по
:'Крайней :мере на наш взr.lIЯД, он доказывается не с желательной
точностью.
13
То, что :мы изложили в предыдущем номере, имеет связь с oco
,бым способом рассматривания поверхностей, заслуживающим особоrо
ВШ1Мания reOMeTpOB. А именно, коrда поверхность рассматривается
не :как rраница тела, но как сюю тело, одно измерение KOToporo
принимается исчезающим, rибкое, но нерастяжимое, то свойства по
JЗерхности зависят частью от формы, к которой она приведена и
в которой изучается, частью незавпсимы и остаются неизменными,
в какую бы форму она ни изrиба.лась. К этим последним свойствам,
рассмотрение которых открывает новое и плодотворное поле reOMeT
-рии, должны быть отнесены мера кривизны и полная КРИВИ8на в том
-смысле, в каком эти выражения приняты Н3J\.fИ. Далее, сюда же OT
носится учение о. reодезических линиях и о MHoroM друrом, о чем
мы будем rоворить впоследствии. При таком способе рассмотрения
П.лоскость и поверхности, развертывающиеся на плоскости, например,
цилиндрическая, коническая и т. д., рассматриваются как суще
.ственно тождественные, и общий способ для характеристики таким
{)б раЗ0М рассматриваемой поверхности всеrда опирается на формулу
11 Е dp'l. + 2Р dp dq + G dq2 '. выражающую связь линейноrо элемента
поверхности с двумя переменны:ми р, q. Но, прежде чем развивать
'этот предмет далее, следует предпослать начала теории rеодезических
линий на данной кривой поверхности.
н
Кривую линию в пространстве обыкновенно определяют так, что
::координаты х, у, z, отвечаюш;ие отдельны:и ее ТОЧКЮf, выражаются
в виде функций от одной переменной, которую обозначи:м через 'Ш.
.ДJП1на такой линии от произвольной начальной точки до точки, KOOp
.динаты которой суть х, у z, выражается интеrралом
J dшv( :: )2 + ( )2 + ( : )2.
Если положим, что положение кривой линии претерпевает бесконечно
.малое из:иенение, так что координаты отдельных точек получают Ba
риации ах, ау, oz, то вариация всей длины будет
==s
ах . аох + ау . dБу + dz . doz
-у ах 2 + ау2 + dz2
142
К. Ф. rAYCC
8'1'0 выражение преобра8уем в следующее:
дх. 'Ох + ду . ау + dz . az
V dx 2 +dy2+dz 2
S { d dx + \:' dy + d dz )
ох. uy.d < oz. }-
V dx2+dy2+dz 2 V dx 3 +dy2+dz 2 Vdx3+dy3+dz3 J
в '1'0:\1 случае, Еоrда линия есть Ератчайшая :между своими Ерай
ними ТОЧЕами, И8вестно, что Еоличество, Еоторое 8десь находится под
8нан:ом интеrрала, должно исче8НУТЬ. Так ЕаЕ линия должна лежать
на данной поверхностп, дЛЯ I'ЮТОРОЙ Ю\Iеет место уравнение
Pdx+Qdy+Rdz== О,
то также и вариации ох, 011, oz должны удовлетворять уравнению
Pox+Qoy+Roz== О,
ОТЕуда И8вестным путем леrЕО вывести, что дифференциалы
d dx
V d.r2+ dy2 +dz 2 '
d dy
V dx 3 +d y 2+dz 3 '
d dz
V dx 3 +dy2+dz 2
соответственно должны быть пропорциональны величинам Р, Q, Е.
Пусть d-r есть 8лемент ЕРИВОЙ, Л ТОЧЕа на шаровой поверхности,
И80бражающая направление 8Toro 8лемента, L точка на шаровой
поверхности, И80бражающая направление нормали Е ЕРИВОЙ поверх
ности; наконец, пусть Е, 'tJ, С Еоординаты точки Л и Х, У, Z EOOp
динаты точки L относительно центра шара. Тоrда будеJ\! иметь:
dx == Ed-r, dy == 'tJ d-r, dz == Cd-r,
ОТЕуда находим, что диффереIЩиалы, написанные выше, равны
dE, d'tJ, dC. И ТаЕ ЕаЕ величины Р, Q, R пропорциональны Х, У, Z,
ТО свойство rеоде8ичеСЕИХ линий выражается уравнениями
dE dYl d
X == Y == Z '
Далее, леrnо видеть, что -V dE 2 + d'tJ2 + dr. 2 равен дуrе на шаровой
поверхности, И8меряющей уrол между направлениями Еасательных
dr
в начале п в Еонце 8ле:мента dr и равной , если р И80бражает pa
р
диус ЕРИВИ8НЫ reоде8ичеСЕОЙ линии в 8ТОЙ ТОЧЕе; отсюда имеем:
pdE==Xd-r, pd'tJ==Ydr, pdC==Zd-r.
11>
Положим, что на ЕРИВОЙ поверхности И8 данной ТОЧЕИ исходит
бесчисленное множество rеоде8ичеСЕИХ линий, Еоторые мы будем pa8
личать по уrлу, обра80ванному первым 8лементом ЕаЕОЙ либо И8 них
с первым 8лементом одной И8 8ТИХ линий, принятой 8а начальную.
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
143
Пусть <р ЭТОТ уrол, или произвольная фУНRция этоrо уrла, r длина
такой rеодезичеСЕОЙ линии от ТОЧЕИ А дО ТОЧЕП, Еоординаты ЕОТОрОЙ
х, у, z. ТаЕ ЕаЕ определенным значениям переменных т, <р отвечают
определенные точки на поверхности, то Еоординаты х, у, Z MorYT
рассматриваться Еак фУНЕЦИИ от r, <р. Обозначения А, L, е, 71, ,
Х, У, Z удержим в том же смысле, в ЕаЕОМ они были приня'lыI
В предыдущем номере, относя их Е Еакой уrодно ТОЧЕе ЕаЕой либо
И3 rеодезичеСЕИХ линий.
Все rеодезичеСЕие линии длины, равной r, ОЕанчиваются на He
ЕОТОРОЙ дрyrой линии, длину ЕОТОРОЙ, отсчитанную от произвольноrо
начала, обозначим через v. Итак, v может рассматриваться Е:!I,:к фУНЕ
дия переменных r, <р, и если через )/ обозначить ТОЧЕУ на шаровой
поверхности, соответствующую направлению элемента dv, а через
е', 71', ' Еоординаты этой ТОЧЕИ относительно центра шара, то будем
иметь:
ах == е dv ау , dv
а9 а9 ' а9 == 71 а9 '
Отсюда и вследствие формул
dz r' dv
а9 .. d9'
dx
dr ,
ау
ат == 71,
dz y
aT "
следует:
ах . ах + ау . ау + dz . dz == ( tt' + , + УС' ) dv , " dv
dr а9 ат а9 dr а9 7J'j ".' а9 == соs,-л . а9 '
Обозначим первую часть этоrО уравнения, Еоторая есть фУНЕЦИЛ
от r и <р, через з; дифференцирование ее по r даст нам
аВ == аах . ах + аау . ау .L ddz . dz + d [( y + (ifY + ( YJ
ат ат 2 а9 ат 2 а9' I dr 2 а9 2 а9
== a . ах, + аУ) . ау + . dz + d(Е +YjYj+Щ
ат d9 ат а9 ат а9 2 d9 .
Но ее + 7171 + == 1 и поэтому еро дифференциал == О, и по пре
дыдущему номеру имеем, если и здесь р обозначает радиус КРИВИ3НЫ
линии r:
a х
ат == р ,
ТаКИl\I обраЗ0М, получим:
аВ 1 (X t ' + .l ' ' + Z ,, ) 'dv 1 L " dv
ат == р '1j .. а9 == р сов Л . а9 == U,
d"tj Y
ат р ,
a z
ат == р
так каЕ, очевидно, )/ лежит на большом н:руре, полюс EOToporo L.
Итак, отсюда заЕлючаем, что S не зависит ОТ r и поэтому есть фУНЕ
дия одноrо <р; но для r == О, очевидно, v == О, а потому и dv == О и
а9
144
К. Ф. rAYCC
.s == о независимо от ер. Следовательно, необходимо должны иметь
всеrда S == О, и следовательно, cos лл: == О, т. е. лл' == 900. Отсюда
получается
т е о р е м а. Если 'НД 'Кривой поверхиости от иекоторой uшчальuой тO"L'X:U
провести беС'Числеuuое .м,Uожество 'Крат"Lайших лиuий равиой длиuы, то 'Кpи
вая, соедиuя'Ющая их 'Кои'Цы, uор.мальuа 'к 'Каждой из иих в отдеЛhuости.
Мы считали стоящим труда вывести эту теорему И3 OCHoBHoro
-свойства Rратчайших ливий; но истина ее даже без вычислешIЯ
может быть понятна с помощью следующеrо рассуждения. Пусть АВ,
АВ' две Rратчайшие линии одной и той же длины, образующие
в вершине А беСRонечно маJ!ЫЙ уrол; положим, что оба уrла эле
мента ВВ' с линиями ВА, В' А отличаются на Rонечную величину от
прямоrо уrла, ОТЕуда по заRОНУ непрерывности один больше, друrой
меньше прямоrо. Положим, что уrол при В== 900 (O; возьмем на
линии ВА ТОЧЕУ С таЕ, чтобы ве == ВВ' cosec (о; отсюда, тав: Еак бес
Rонечно малый треуrОЛЬНИR ВВ' С можно рассматривать Еав: плоский,
имеем СВ' == ве cos (о и, следовательно, АС + СВ' == АС + ве cos (о ===
== АВ Ве (1 cos (о) == АВ' Ве (1 cos (о), т. е. переход от точки
А R В' через ТОЧRУ С Rороче Rратчайшей линии, что невозможно.
16
R теореме предыдущеrо номера мы при соединим еще следующую,
RОТОРУЮ выражаем таЕ:
Если 'па 'Кривой nоверхиости uаходится лиuия, от отдельuых то'Ц,е'Х:
1>оторой uаnравля'Ются под nря.мы.ми Уi?ла.А-!7t в одиу и ту же стороиу бес
"Lислеuuые 'Крат"Lайшие лиuии равиой длиuы, то 'Кривая, соедиUЯ'lтцая их
apYi?UC 'Кои'Цы, nересе'Кает 'Кажду'Ю из иих под пря.мым Уi?ЛО.м. ДЛЯ ДОRаза
тельства не надо ничеrо изменять в предыдущем анализе, Ероме
Toro, что ер должно обозначать длину даииой кривой, отсчитанную от
произвольной точRИ, или, если уrодно, фУНRЦИЮ от этой длины.
ТаRИМ обраЗ0М, все рассуждения и для этоrо случая останутся спра
ведливы с той переменой, что справедливость уравнения S == о при
r == О теперь содержится уже в самом условии. Но эта новая теорема
.общее предьщущей, потому что та может СЧIIтаться заRЛюченной в этой,
если принять за данную ливию беСRонечно малый Rpyr, описанный
BOKpyr центра А. НаЕонец, мы напоминаем, что и здесь rеометриче
СRие соображения MorYT заменить аналитичеСRие; но мы не останав
ливаемся на них, тав: кав: они довольно просты.
17
ВозвраТИl\IСЯ R формуле -V Е dp:!+ 2F dp dq + G dq'J, Быража ющей
вообще велиЧIIНУ линейноrо элемента на RРИВОЙ поверхности, и
.пр ежде Bcero рассмотрим rеометричеCIеое значение Rоэффициентов
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
145
Е, Р, а. Уже в n 5 мы упомянули, что на кривой поверхности можно
различать две системы линий: одну, для каждой отдельной линии в
которой только р переменнан, а q постоянная; друrую, в которой
только q пере;vшнная, а р постоянная. Любая точка поверхности может
рассматриваться как пересечение .'1инии первой систе,мы с .lJинпей
второй; и тоrда длина элемента нервой линии, прилежащеl'О к этой
ТОЧЕе и соотвеТСТВУЮЩeI'О изменению dp, будет равна у:Е (ll J ,
а длина элемента второй .ТIинии, соответствующеrо изменению (lq,
равна уа (lq; наконец, обозначая через ш уrол между ЭТИМИ 'j.rleMeH
F
тами, леrко vвидеть, что сов ш == r ' Площадь же элементарнOl'О
V r EG
параллелоrрамма на кривой поверхностп ме:ш:ду двумя ЛИНИЯl\НI Пер
вой системы, IЮТОРЫМ соответствуют q и q + (lq, и двумя липия,ми
вто рой сис темы, которым соответствуют р и р + (lp, будет равна
V EG FF(lp(lq.,
Любая ЛИНIIЯ на кривой поверхности, не прпнадлежащая пи к одной
ИЗ этих систем, получится, если р и q СЧIIтать функция:ми некоторой
новой переменной или одну из них фуюецией друrой. Пусть 8
длина (принимаемая за положительную) такой Iеривой, отсчитанная
от ПРОИЗВо.rIьноrо паЧaJIа по какому уrодно нап равлению. ОБО31Iачим
через О УI'ОЛ, образованный элементом (18 == У Е (lp-A + 2)!' dp dq + (} dq-A
С ЛИlUlей первой системы, проведенпой через начало эле:мепта, и при
том, чтобы не оставалось НИIеакой дВусмысленности, положим, что
этот уrол всш'да uтсчитываетс.н от той ветви этой линии, по КО'l'uрой
значения р растут, н принимается положительным в ту сторону,
в которую значения q растут. РН,зумея это так, леl'IЮ Вlщеть, что
( E +P
сов (j (18 == 1 Е (lp + у.. G сов ш (lq == V '
.Ь]
, ..., . VEG 1/1./
вт fj (18 == У Gsш шdq == V (lg.
В
l
Посмотрим теперь, каковы условия, чтобы эта линия была EpaT
чafiшая. Тюе как длина 8 выражается Интеrралом
8 == fV Е IIp-A+ 2Р (lp (lq + G (lq-A,
то условие минимума требуе'l', чтобы вариация этоrо интеrрала, про
исходящая от беСЕонечно MaJIOl'O изменения формы этой линии, paB
нялась Нулю. Вычисление в этом случае произведется Bcero удобнее,
если рассматривать р как функцию от q. При этом условии, если
10 3'8К. 1164. Об основаннях rеомеТРИ1:
146
К. Ф. rAYCC
вариация хара териауется обоаначением а, мы имеем:
f ( дЕ дР dG ) .
тар2 + 2([" dpdq+ d dq2 op+(2Edp+2Fdq)dop
а8 === р р р
tds
f (dE 2 dF dG 2 \
Edp+Fdq о + а { apd p + 2 dpdq + ар dq d Edp+Fdq
ds Р lfJ {2ds ds J.
Иавестно, что подинтеl'ральная величина должна равняться нулю He
зависимо от ар. Таким образом,
dE d 2 + 2 dFd d + dG d 2===
dp Р ар Р q dp q
2d8d EdP"tFdq === 2d8dVEcos 6
.
ds дЕ сов В
-УЕ
(Edp+Fdq) dE
}I]
2 ds dOVE sin 6 ===
2У EG FFdqdfJ ===
=== ( Е dp t F d q )( ; ар + :: dq) 2 V EG рр dq dfj .
Итак, отсюда мы получаем следующее условное уравнение для
rеодеаической линии:
'1r 1 F дЕ 1 F dE 1 дЕ dF 1 dG
УШ " === Е. + Е + . .
которое можно писать еще так:
- V m === F + d d Ш d
2 Е t dq Р dp Р 2 dp q .
с помощью уравнения
t fj Е dp + F
с g VEG 1!'1f . dq VEG 1f'F
можно иа нашеrо уравнения исключить уrол б, и таким обрааом по
лучится дифференциальное уравнение BToporo порядка между р и qj
оно, однако, будет сложнее и для приложений окажется менее полез
ным, чем предыдущее.
19
Общие формулы, выведенные нами для меры кривианы и дЛЯ И3
менения направления rеодезической линии в nn 11, 18, становятся
rораадо проще, если величины р, q подобраны так, что линии первой
системы повсюду пересекают линии второй системы под прямым
уrлоМ, т. е. так, что повсюду имеем w === 900 или F === О. Тоrда, оче
ОБlЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
147
ВИДНО, для меры :кривизны получим:
4EEGGk==
== Е (ТЕ (та + Е ( аа ) 2 + а аЕ аа + G ( (ТЕ ) 2 2Еа ( ааЕ + aa )
dq dq ар (Тр ар dq dq2 dr
И для изменения уrла (}
...r 1 аЕ 1 аа
... EGd(} == "2 dq dp "2 ар dq.
Между различными случаями, в :которых это условие ортоrональ '
ности выполняется, первое место занимает тот, :коrда все ЛИНИИ
одной из систем, например первой, суть rеодезичес:кие. Тут при по
стоянном q yrол (} == О, от:куда толь:ко что написанное уравнение из'
аЕ
менения уrла (} по:казывает, что dq должно быть равно нулю или
что :коэффициент Е не зависит от q, т. е. что Е должно быть ИЛИ
постоянным или фун:кцией от одноrо р. Самое простое принять за р
длину :каКОЙ Jlибо линии первой системы, и притом в случае, :коrда
все линии первой системы сходятся в одной точ:ке, отсчитанную от этой
точки или, если нет общей точ:ки пересечения, от любой из линий
второй системы. Принимая это, ясно, что р и q обозначают то же,
что в пп 15, 16 мы обозначали через r и ер, и что Е== 1. Тоrда две
предыдущие формулы переходит в следующие:
4 аа k == ( (та ) 2 2а (T(T
ар ар2 '
... ra dfj == 2. (та d
... ;:1 ар q,
или, положив 11 G == lп,
k == 2. (l(lm
тdp2'
dfj == ат dq.
ар
rоворя вообще, lп фУН:КЦИЯ от р, q, и lпdq есть выражение эле
мента не:которой линии второй системы. В частном же случае, :коrда
все линии р выходят ИЗ одной и той же точки, очевидно, что для
р == о должно быть и 1п == о; далее, если в этом случае за q примем
уrол, обравованный первым элементом любой линии первой системы
и элементом не:которой из них, по произволу выбранной, и заметим,
что для бес:конечно малоrо значения р элемент линии ВТОрОЙ системы
(которая может рассматриваться :КаЕ EPYl' радиуса р) равен pdq, то,
для бесконечно малоrо значения р, 11l == р, и, следовательно, для р == О,
вместе и 1п == О И ат == 1.
ар
20
Остановимся еще на том же предположении, а именно, что р
оБО8Начает длину rеодезичес:кой линии, проведенной от определенной
точки А :к любой точ:ке поверхности, и q уrол, образованный пер
10*
i48
К. Ф. rAYCC
вым элементом этой линии и первым элементом какой нибудь данной
rеодезической линии, исходящей из А. Пусть В определенная точка
на этой линии, для которой q == О, и С друrая определенная точка
поверхности, для которой значение q обозначим просто через А. По
ложим, что точки В, С соединены rеодезической линией, неопреде
ленную длину которой, отсчитанную от ТОЧ1{;И В, обозначим, как
в n 18, через s и, так же как и там, обозначим через fJ уrол, обра
80ванный любым элементuм ds с элементом ар; наконец, пусть 00,
fJ' значения УI'ла О в точках В, С. Птак, имеем на I{;РИВОЙ поверх
ности треуrОЛЬНIП{;, образованный rеодезическими линиями, уrлы
которото при В и С, обозначенные просто этими же бyRвами, равны
один дополненпю уrла (j0 до 180", друrой самому уrлу fJ'. Но так
l{;aK наш анализ леrко указывает читателю, что все уrлы принимаются
выраженными не в традусах, а в числах, TaI{; что уrол 57014'45", KO
торому отвечает дута, равная радиусу, принпиается за единицу, то
следует поло:жить, обозначан через 27t окружность I{;pyra,
(j0 == 7t В, fJ' == С.
UбраТП:\1СЯ теперь к полной I{;ривизне этоrо треуrольника, которан
равна f k d:J, тде ао обозначает эле:\шнт поверхности треуrольника;
поэтому, так I{;aK этот элемент выражается через т ар dq, надо для
всей поверхности '.rреуrольника вычислить интеrрал f f Ъп ар dq. Нач
1 d(1т
нем с пптеrрпрования по р, Iюторое, вслеДСТI3ие тото, что k == d2 '
( dm ) 9п 'р
дает dq пост. ар для полной кривизны площади, лежащей между
двумя ЛИНИЯ:\1И первой системы, которым отвечают неопределенные
8начения второй q, q+dqj так кщ->: эта кривизна должна равннться
нулю для р == О, то постоянная величина, введенная интеrрированием,
dm
должна равняться значению d при р == О, т. е. единице. :Итак, имеем
( (1т ) ат 'Р
dq 1 dp , тде Д<ТIя ар следует принять значеНИtj, отвечающее концу
этой площади на линии СВ. На этой же линии, по предыдущему
ат
номеру, ар dq == ао, отчеrо наше выражение примет вид dq+dO.
При вторО:\1 интеrрировании от q == о до q == А получаем полную
кривизну треуrольника равной А + О' (j0 == А + в + с 7t.
Полная кривизна равна площади той части сферпческой поверх
ности, Iюторая соответствует треуrольнику, взятой со знаком плюс
или минус, смотря по тому, будет ли поверхность, на которой лежит
треуrольник, BOTHYTO nOTHyтaH или воrнуто выпуклаЯj за единицу
площадп надо принять квадрат, сторона которото равна единице
(радиусу шара) j при !:JTOM условии вся поверхность шара == 47t. :Итак,
часть шаровой поверхности, соответствующая треуrольнику, относится
R полной поверхности шара, KaK (A+B+C 7t) к 47t. :Эта теорема,
ОБ1ЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
149
которая, если мы не обманываемся, должна быть отнесена к иаящ
нейшим в теории кривых поверхностей, может быть выражеl,lа следую-
ЩИМ обрааом:
f[з{)ъtто'l> суммы уzлов треуzоль'Ни'l>а, образова'Н'Ноzо zеодези'Чесхu.ци ли'Ниями
ха eoz11,ymo eozxymou 'l>pUBOU поверх'Ности,'Над 1800, или xeaocmamo'l> до 1800
суММ'Ы уzлов треуzоль'Ни'l>а из zеодези'ЧеС'/'iUХ лu'Нuu'На воz'Нуто выпу'l>ЛОЙ 1Ю
верх'Ностu, измеряется площадыо той 'Части шаровой поверх'Ности, 'l>оторая
соответствует да'Н'Ному треуzол , ь'Ни-ку по'НаuраВЛС'1iuя. t'Нор.цалей, если 1ЮЛ-
'Ная ооверхпость (шара) прт,tЯта равной 720 zpaaycaM.
Общее: в любом мноrоуrольникз с п сторонами, иа которых Itаж
дая есть rеодезическая линия, изБЫТOIt суммы уrлов над 2п -!
прямыми, или недостаток до 2п 4 прямых (смотря по знаку Itри
впзны поверхности), равняется ПЛOIцади соответствующеrо МIIОТО
уrольника на шаровой поверхности, ес.ЛИ вся поверхность шара при-
нята равной 720 rрадуса-и; это летко вывести с по;\ющью предыду
щей теоремы череа разделение мноrоуrольника на треуrольники.
21
ДаДИ;\I снова аначка-:V1 р, q, Е, F', а, (J) те оБII ие аначеШIЯ, которые
они IIмелп раньше, и положи;\!, что вид кривой поверхности опредр
ляется, кроме тото, друrи-и подобным же образом при помощи друrих
переменных р', q', котда неопределенный линейный элемент Bыpa
жается череа
11 Е' ap' + 2j!"' (lp' (lq' + а' dq'-l..
Тотда любой точке поверхности, определенной данными аначениями
переменных р, q, будут соответствовать определенные анаqениSI пере
меIПIЫХ р', q'; ПОЭТО:\IУ последние будут функциями от р, q, и диф-
ференцировашшм их получим:
(lp' == а ар+ dq,
dq' == 1 ар + о dq.
Предложим себе исследовать теперь rеометрическое аначение этих
К08ффициентов а, , 1, О.
Мы можем рассматривать на кривой поверхности 'Четыре системы
ЛIШИЙ, для которых соответственно q, р, q', р' постоянны. Если мы
положим, что череа данную точку, которой отвечают аначения пере
менных р, q, р', q', проведены четыре линии, принадлежащие каждая
к одной из этих систем, то элементы их, соотвеТСТВУК!Iдие положп
тельным приращениям ар, dq, ар', dq', равны соответственно
r Edp r G d У Е ' ар ' , Y G ' dq ' .
t' " t' ,q,
150
К. Ф. rAYCC
у rлы, образованные направлениями этих элементов с неподвижным
произвольным направлением, обозначим через М, N, М', N', отсчитывая
их в том направлении, в каком вторая линия лежит относительно первой
так, чтобы sin (N M) была величиной положитеЛЬНОЙj предположим
(что всеrда возможно), что и четвертая расположена относительно третьей
так, 'что и sin (N' М') величина положительная. Если, установив
это, рассмотрим друrую точку, бесконечно близкую к первой и COOT
ветствующую значениям пере fенных p+dp, q+dq, р' +dp', q' +dq',
то леrко за fетим, что вообще, т. е. независимо от значений прира
щений dp, dq, dp', dq',
УЕ dp sin М + у G dq sin N == V Е' dp' sin м' + уа' dq' sin N',
так 'как оба эти выражения не что иное, как расстояние новой
точки линии, от которой отсчитываются уrлы. Но мы имеем, соrласно
ранее введенным обозначениям, N M == О); по аналоrии положим
N' 11{' == 0)' И, св \] Х Toro, N М' == , . Толыtо что найденное ypaB
нение может быть 1 ,rда выражено в следующем виде:
Y E dpsin (М' O)+' ) + у G dqsin (М' +у) ==
== VE' dp' sin м' + y G' dq' sin (М' + 0)'),
или так:
V Е dp sin (N' о) 0)' + , ) + V G dq sin (N' 0)' + у) ==
== У Е' dp' sin (N' O)') + V G' dq' sinN'.
А так как очевидно, что уравнение не ДОЛЖно зависеть от нача.ль
Horo направления, то это направление можно выбрать по произволу.
Положив во второй формуле N' == О или в первом м' == О, найдем
следующие уравнения:
У Е' sinO)' dp' =='V E sin (0)+0)' . ) dp+ VGsin (0)' y) dq,
V G' sinO)' dq' == VEsin (, O)) dp+ V G sin' dqj
так как эти уравнения должны быть тождественны со следующими:
dp' == а dp+ dq,
dq' == 1 dp + Q dq,
то они дадут выражение коэффициентов а, , l' 3, а именно:
r Е sin (О) + 0)' 0/)
а == V Е' sin ю' ,
r (} sin «(О' 0/)
p V Е' sinw' ,
r""E siп(ф (О)
1== V а' sinw' ,
V (} sin 0/
3== O ' '
Sln w
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
15i
Сюда надо присоединить уравнения
F
cos о) ===
У Еа '
, Ь', ., r E'G' Ь"Ь"
cos о) === у Е'а' , . sln о) === V Е'а' ,
. (' Ea ь'ь'
sшо) V Еа'
вследствие которых четыре предыдущих уравнения Moryт быть BЫ
ражены еще так:
аУ Е'а' F'F' === У Еа' sin (0)+ 0)' <Ji),
У Е'а' F'F' === У аа' sin (0)' , ),
1 У Е' а' F' F' === V ЕЕ' sin (. 0)),
о у Е'а' F'F' === У аЕ' sin , .
Так как подстановки dp' === а dp + dq, dq' + 1 dp + О dq переводят
трехчлен Е' dp'2 +- 2F' dp' dq' + а' dq,2 в Е dp<J + 2F dp dq + G dq2, то мы
леI'RО получим:
EG FF=== (Е'а' F'F') (aO 1)2,
и так как, наоборот, второй трехчлен обратно должен перейти в пер
вый при подстановке
(аО 1) dp === а dp' dq', ( аО 1) dq === 1 dp' + а dq',
то :МЬI находим:
Т:ТI>" F " +а EG FF Е ,
oo 2 10 11 === Е'а' F'h" ' ,
ща F(аО+ I)+Gаl=== :::= F, F',
Еа Ь'Ь'
E 2Fa + ааа === ИG' Ь"Ь" а'.
22
От вполне общеrо исследования предыдущеrо но-мера переходим
к весьма мноrообъе-млюще ry приложению, в которо-м, оставив за р
и q общее их значение, за р' и q' принимае-м величины, обозначен
ные в n 15 через r и <Р; этими обозначениями мы будем пользоваться
и здесь, TaIt что для любой точки поверхности r есть наимень
шее расстояние от определенной точки, а <р уrол при этой точке
между первым элементо-м r и некоторым неподвижным направле
нием. Таким образом, мы имеем Е' === 1, F' === О, 0)' === 900; кроме Toro,
положи-м у а' === т, так что любой линейный элемент === у dr 2 + тт d'.p .
Отсюда четыре уравнения предыдущеrо номера, выведенные для
152
К. Ф. rAYCC
определения а, , " О, дадут:
Y ат
Есов «(j) '.J;) == ар ,
(1)
Y ат
асов.!; ==
1 (lq'
(2)
Y d'f
Esin ( ш ) == т
, ар'
V G sin . == т : .
Последнее же и предпоследнее уравнения [п 21] дадут:
(3)
(4)
EG FF==E ( ar ) 2F dr ат + а ( ат ) \!
dq ар dq ар'
( Е ат F i}:! ) d'f == ( F i}:! G dr ) d'f .
dq ар dq dq ар ар
(5)
(6)
И3 этих уравнений надо определить величины т, qJ, '.} и (если
понадобится) т через р и q; очевпдно, интеrрпрование уравнения (5)
даст т; коrда оно найдется, интеrрирование уравнении (6) даст qJ и
одно И3 двух уравнений (1), (2) даст . ; наконец, т определится одним
И3 двух уравнений (3), (4).
Общее интеrрирование уравнений (5), ( 6) необходимо должно
ввести дne произвольные функции, значеmте которых леrIЩ поймем,
если за;иетим, что эти уравнения не оrраничиваются тем случаем, KOTO
рыЙ мы здесь рассматриваем, но одинаково имеют место и тоrда, Itоrда r
и qJ принимаются в более общем смысле n 16 так, что r есть длина
rеодезической линии, проведенной нормально к определенной, но ПрОИ3
вольной линпи, а 9 произвольная функция длины той части линии,
которап заключается ме:н;:ду rеодезической JП1нией и произвольно
выбранной точкой. Общее решенпе должно оставить всё это неопре
деленным, и произвольные функции тоrда только опреде,lIЯТСП, коrда
назначим ту произвольную линию И ту функцию от ее дуrи, KOTO
рую представляет qJ. Для нашеrо случая можно взять бесконечно
малый Kpyr, имеющий центр в той точке, от IШТОРОЙ отсчитываются
расстоянпя т, а ер будет обозначать дуrи этоrо Kpyra, отделяемые
радиусами; отсюда леrко понять, что уравненип (5), (6) для нашеrо
случая вполне достаточны, лишь бы то, что остается неопределенным,
моrло быть определено при условии надлежащеrо выражения r и qJ
в начальной точке и точках, бесконечно близких к ней.
Что же касается до caMoro интеrрирования уравнений (5), (6), то
известно, что оно может быть приведено к интеrрированию обыкно
венных дифференциальных уравнений; но по большей части эти урап
ненип оказываются столь Сложными, что от них получаем мало BЫ
rоды. Напротив, разложение в ряды, достаточное для практическоrо
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
153
употребления всякий раз, коrда дело идет о малых частих поверх
ности, не подвержено никаким затруднениям, и таким образом при
веденные формулы открывают обильный источник для решения MHO
rих очень важных вопросов. 3десь мы приведем один пример для
уиснения сущности метода.
23
Рассмотрим тот случай, коrда все линии, для которых р постоин
по, суть линии rеодезические, ортоrонально пересекающие линию,
для которой <р === о и которую мы можем рассматривать как ось абсцисс.
Пусть А точка, дли IИТОРОЙ r === О, D неопределенная точка на
линии абсцисс, Ап === р, в неопределенная точка на rеоде3lIческой
линии, перпендикулирной к Ап в п, и вп === ч, тю что р иожет
рассматриваться как абсцисса, ч как ордината ТОЧI И В; положи
тельные абсциссы мы отсчитываем на той ветви линии абсцисс, на
которой 9 === О, причем r всеrда рассиатривае:и I aK положительную
величину; положительные ординаты будем считать в ту сторону, в
которую <р изменяется от О до 1800.
Вследствие теоремы n 16 имее:и w === 900, F === О и G === 1; кроме
тoro, ПОJIОЖИМ V Е === п. Итак, п есть функция от р, q и притом такая,
которая при q === о равпяется 1. Приложение формулы, выведеппой
в n 18, к наше:иу СЛУ'Iаю ПОКа3ывает, что на всялщй rеодезической
dn
линии должно быть d(j === d dp; rде (j обозначает уrол между эле
, q
ментом этой линии и элементом той линии, для которой q постоянно;
TaI как сама линия абсцпсс здесь есть rеодезическая и для нее по
dn
всюду (j === О, то ясно, что для q === о повсюду должно быть dq === О.
Итак, отсюда находим, что если разложить п по возрастающим CTe
пеняы Ч, то оно должно иметь следующий вид:
п=== 1+fqq+gq3+' щ 4+...,
rде {, у, ' , ... функции от р; положим, что
{=== {О + {'р + {"рр +
g === уО + у'р _+ у"рр +
l === ' O+'{p+ l/'pp+
.. -,
.. .,
.. .,
и будем иметь:
п === 1 + {Очч + {'Рчч + {"ррчч +
+ уОч3 + у' рч 3 +
+ 1 Oq4 +
154
К. Ф. ('АУСС
24
Уравн ния n 22 дают для нашеrо случая
. , dr , dr а", . , а",
п Sln If ар' сов If iiq' псов '-\1 === т ар ' вш If === т dq ,
пп === пп (:; ) + ( y , пп : :; + ; ; === О.
С помощью этих уравнений, И3 I OTOpblX пятое и шестое уже заклю
чаются в остальных, MorYT быть разложены в ряды r, ер, '-\1, т или
, какие yroДEo функции этих величин. Приведем здесь наиболее заме
чательные И3 этих рядов.
Так как для бесконечно малых значений р, q должно быть rr ===
===pp+qq, то ряд для разложения rr начинается членами pp+qqj
члены высших порядков получим по методу неопределенных коэф
фициентов 1), пользуясь уравнением ( a;; )'J + ( а;; )\! === 4rr, а имеmю:
rr === рр + {Oppqq + f'p3qq + ( {" :5 fOf o )p4 qq +
+ 1 2
+ qq 2" gOppqS +"5 g'p3q3 +
+ ( hO :5 fOfO) 'JYPq4 +
(1)
3 Ф ., 1 drr.
атем мы имеем при помощи ормулы r Sln If === 2п dp .
r Bin '-\1 === р fOpqq { f'ppqq ( {" + :5 fOf O )p3 qq +
1 О (1 2,..
2g'Pq 7)gppq" +
( 3 hO 8 f O f O ) 4
7) 45 pq . . ..
1 drr
и вследствие формулы r сов '-\1 == 2 dq :
r сов '-\1 === q + fOppq + ; (' p3q + ( (" 4 fOfO) p4q +
3 3
+"4 qOppqq + 11 g'p3qq +
+( : hO fOfO)Ppq3+
(2)
(3)
Отсюда определится и уrол '-\1. Далее, для вычисления уrла ер удобнее
употребить разложение в ряд r сов ер и r Bin ер, для чеrо послужат
дифференциальные уравнения в частных производных
d (rcosq» . . а:р
ар == п сов ер Sln '-\1 r B1n ер d:p ,
d(rcosq» . а",
== сов (/) сов .!; r B1n (
dq . т Tdq'
1) Мы считаем излишним здесь выписьшать вычисление, которое с помощью
некоторых выкладок леrко может быть упрощено.
ОБLЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
155
d(T8in'f') .. d'f' d(TSin'f') . d'j>
dp ==: п sш sш т COS? dp , dq ==: Sln cos Ф r cos dq ,
ncos'.Ji d'f' +sin!!J d'f' == О
dq т dp ,
Rомбинирование которых дает:
тsinф d(TCOS'!') + ' d(rcos'f')
d TCOS\:J d ==:rсоsФ ,
п rp . q .
rsiпф d(rsin'р) + , d(rsin'f') .
d т соsш d ==: т SlnФ.
п 'р т q , .
()тсюда леrко разложить в ряды т cos?, r sin , первые члены которых,
()'lевидно, должны равняться р и q, а именно:
2 5, ( 3 8 )
rcos == p+ fOpqq + f ppqq + {" fOf o p3qq +
3 н lо 45
1
+ 2" gO pq 3
+ 7, 3
20 g ppq
( 2 7 )
+ 5" hO 45 fOfo pq' + ...,
. 1 О 1,з ( l f " 7 00 )
r sш == q 3 f 'PPq 6 { р q ]й 90 f f p4q ...
1 О 3 , 3
4g'PPqq 2u g Р qq
( hO+ forO)ppq3 '"
+
(4)
(5)
Rомбинированием уравнений (2), (3), (4), (5) можно вывести ряд
для rr cos ('.Ji + ер) и отсюда по разделении на ряд (1) ряд для
cos ( + ер) j от eToro же ряда можно перейти к ряду для caMoro уrла
+ . Однако изящнее получить ero следующим образом. Дифферен
цируя первое и второе из уравнений, приведенных в начале eToro
номера, получаем:
. dn d.Ji. d.1
sш Ф dq + п cos '.Ji d + sш у d; == О j
комбинируя ето выражение со следующим:
d:p d'f'
п cos dq + sin у dp == О,
ВЫВОДИМ:
rsiпфdп + rsiп ф d(ф+'f') + ' d(<jI+'f') O
d d r cos lJi d .
п q п rp q
Прилаrая к етому уравнению метод неопределенных коэффициентов,
леrко получить ряд для ер+у, если заметим, что первый член дол
1
жен равняться 2"'I'C, rде за единицу принят радиус и 2'I'C обозначает
156
К. Ф. rAYCC
ОН,ружность Н,рута:
'\J+<p == 'It fOpq {'Р1зq ( (" fOfO)pSq ...
О 3 ,
y pqq "4 у ppqq
(hO ; fOfO)pqS (6)
Нам н,ажется стоящим труда разложить в ряд таI же и площадь
треуrОЛЬНlша ...1вп. Для атото разложения послужит следующее ypaB
нение, Iщторое леrI О получается с помощью довольно простых Teo
метричесних соображений и в котором 8 означает ИClщмуIO площадь;
r Bin '" (18 + ,d8 r Bin <1' f d
dp rcoS'rdq== 12 q,
тде интеrрал взят от q == О. Отсюда мы получаем по методу неопре
деленных Iщаффициентов:
8 == }pq 1 1 ;!, fo p 3 q ;0 f'p4q ( 3 (" 6 fОfО)р'б q
l f O:3 303 1'4
l;!, pq 4OYP qq ;?,И ур qq
1 f'ppq3 ( 1 h O + (" + 6 fOf O )pSq3 . . .
1 3
10 yO pq 4 40 y'pp q 4
( hО fОfО ) рq'б (7)
lU ЗU
25
От формул предыдщеrоo номера, относящихся R пр.ямоуrольному
треуrОЛЬНИI У, образованному из rеодезичесних линий, перейдем
I общим. Пусть С друrая точна на той же rеодезичеСIЩЙ линии пв,
для I ОТОрОЙ при прежнем р БУI ВЫ q', т', <р', ,у, 8' обозначают то же,
что q, т, <р, , 8 для ТОЧI и В. Таним образом получается треуrоль
НИI между ТОЧI ами А, В, С, уrлы ноторото обозначим через А, В, С,
противолежащие стороны через а, Ь, с, площадь через а, а меру
RРИВИЗНЫ в ТОЧI ах А, В, С обозначим соответственно через а, , 1.
ИТaI , положив, что [всетда] возможно, величины р, q, q q' поло
жите"'1ЬНЫМИ, имеем:
A==<p <p', B== , C=='It ', a==q q', b==r', с==т, a==8 8'.
Прежде всето, Выразим площадь а при помощи ряда. 3аменив
в формуле (7) все величины, относнщиеся R В, теми, Iщторые OTHO
сятся I С, получим формулу для 8', а оттуда с точностью до вели
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
157
чин шестоrо порядка имеем:
1 f 1 {О (рр + qq + qq' + q' q') 1 )
o===2P(q q'){ 6О ('p(6pp+7qq+7qq'+7q'q')
I 1
t 2U qO (q+q') (3рр+ 4qq+ 4qq' +4q'q').
Ta формула с помощью ряда (2), а именно:
csinB===p(1 {Oqq ('pqq gOq3 .. .),
переходит в следующую:
f 1 {О (pp qq+ qq' + q'q') \
1 I 1 I
==="2асsiпВ{ 6О ('p(6pp+8qq+7qq'+7q'q') / 1
I 1 3
t 2О уО (3ppq + 3ppq' 6 q 3 + 4qqq' + 4qq' q' + 4q' ).
Мера кривизны ДJIЯ Jlюбой точки поверхности (по n 19, rде т, р, q
бозначали то, что теперь п, р, q)
1 ddn 2f+ 6gq + 121tqq+ 'н 2{' бgq (12/L 2f{)qq ...
п dq2 1+fqq+ '"
Отсюда, если р, q относятся к точ е В:
=== 2{0 2{'p 6g0q 2!"pp 6g'pq (12hO 2(0(0) qq+ . ..
и
"( === 2fo 2f'p 6g0q' 2f"pp 6g'pq' (12hO 2fofO) чч . . .;
а === 2{0.
Введя эти меры кривизны в ряд для а, ПОJlУЧИМ следующее BЫ
ражение, точное до величин шестоrо (исключая) IIорядка:
f 1 + 1 O а (4pp 2qq+ 3чч' +3q'q') + 1
1 I 1 I
cr === 2 ас sin В { + 12О (3рр fi'1q + 6qq' + 3q' q') +
I 1 1
l + НО "( (3рр 2qq+ qq' + 4q' q').
rочность останется той же, если Б:\-IeСТО р, q, '1' подставить с" i n В,
.ccosB, с cosB a, причем получается:
f 1 + 1 O а (3aa+4cc UaccosI3) + ,
0=== acsinB + 1 O (3aa+3CC 12accosB)+} (8)
I ] I
l + 12О "( (4aa+3cc 9accosB). J
Так как из этоrо уравнения исчезло все относившееся к линпп Ап,
Ероведенной нормально R ве, то и точки А, В, е с относящимися
158
К. Ф. rAYCC
к ним величинами можно переставлять, вследствие чеrо получиы
с той же точностью:
/ 1 + 1 0 а (3ЬЬ+ 3cc 12ЬссоаА) + ,
1 1 I
а== 2 bcsinA + НО (3bb+4cc gbccosA)+}
I 1 I
t + но "\' (4ЬЬ+ 3cc gbccosA), J
/ 1 + 1 0 a(3aa+4bb gabcosC)+'
1 1 I
а=="2 аЬ sinC I + 120 (4aa+3bb gabcosC)+}
t + 1 "\' (3аа + 3ЬЬ 12аЬ соа С). J
(g)
(10)
26
Весьма полезно рассмотрение плоскоrо прямолинейноrо треуrоль
ника, стороны KOToporo равны а, Ь, с, уrлы же, которые мы обозна
чим через А *, В*, С*, отличаются от уrлов треуrольника на кривой
поверхности, т. е. от А, В, С, на величины BToporo порядка, и He
бесполезно будет обстоятельно произвести разложения этих разностей.
Однако достаточно будет только наметить важнейшие моменты вычи
'слений более длинных, чем трудных.
3аменив в формулах (1), (4), (5) величины, относmциеся к B
относящимися К С, мы получим формулы для r'r', r' соа <р', r' sin <р'.
Тоrда разложение выражения rr == r'r' (q q')\! 2rco8 <р . r' соВ <р'
2r sin <р . r' sin 9', paBHoro bb+cc aa 2bc соаА ===2Ьс (соаА * coaA)
и комбинирование ero с разложением выражения r sin <р . r' соа <р'
r соа <р . r' sin <р', paBHoro Ьс sinA, дают следующую формулу:
coaA* coaA ==
f fo+ f'p+ gO(q+q')+ \
I 3 6 4 I
== (q q')p sinA + [1 {" 4 fOfO] рр+ :0 у'р (q + q') + 1
I I [ 1 7 J
t т "5 hO 90 fOfo (qq + qq' + q' q') + . . .
Далее, отсюда получим с точностью до величин пятоrо порядка:
1 1 1 1 J \
'"3 {О "6 {'р + "4 уО (q + q') + w {''рр +
A* A == (q q')p + . {u у'р (q+q') + hO (qq+qq' +q,q') l
t 90 fOfo (7рр+ 7qq+ 12qq' + 7q'q'). .
ОБUЦИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
159
Комбинированием этой формулы со следующей:
20 == ар ( 1 ( О [рр + qq + qq' + q' q' . . .] ) ,
и со вначениями величин а, , "(, приведенными в предыдущем
номере, мы получаем с точностью до величин пятоrо ПОРЯДRа:
r
I
А*==А o{
I
t
1 1 Q + 1 + 2 f " + 1 , ( + ' ) + \
"6 а + -п- t' 12 "( 15 рр '5 q р q q I
1 I
1 +5hO(3qq 2qq'+3q'q')+ f
+ oofOfO (4pp l1qq+ 14qq' 11q'q'). J
(11)
Подобным же обравом получаем:
( 112 а+ + 112 "( + 1 .r "PP+ 1 и'р (2q+ q') +)
B*==B o{ + hО(4qq 4qq'+зq'q') } (12)
I 1 5 I
t 00 fOf o (2рр + 8qq 8qq' -+ q' q'), J
I 1 СЕ + 112 + "( + {"рр + 1 и'р (q + 2q') + \ /
С* === С о + hO (3qq 4qq' + 4q'q') (13)
I 1 5
t oorOfO (2рр+ 11qq 8qq' + 8q'q').
Вместе с тем отсюда выводим, так как сумма А * + В* + С* равна
двум прямым, ивбыток суммы А + В + С над двумя прямыми,
а именно:
А+В+ С== тс+о { а+ + "( + {"рр+ и'р (q+q')+
+ 2 ( hO fOfO) (qq qq' + q' q') }. (14)
Это последнее уравнение может также быть выведено ив формулы (6).
27
Если кривая поверхность есть .шар радиуса == R, то а == == "( ==
== 2fO == iB ; {" == О, и' === о; 6ho fOfo == О, или hO == t4 ' OT
сюда формула (14) дает:
А+В+С==тс+ ;:В '
'160
К. Ф. rAYCC
справедливую с абсолютной точностью, формулы же (11) (13) дадут:
А * А а а (2 + 4 , , ' )
3НН 180Н4 :pp qq qq q q ,
В* == В 3 B + 1Б:;R4 (рр 2qq + 2qq' + q' q'),
С* == C 3 B + 18 Ш (pp+qq+2qq' 2q'q'),
или с ТОй же точностью
А * == А 3 B 18 Ш (ЬЬ + cc 2аа),
В* == B 3 B 1Б:;ш (аа+ cc 2ЬЬ),
С*== C 3 H 1 Ш (aa+ЬЬ 2cc).
Если пренебречь величинами четвертOl'О порядка, получится извест
ная теорема, впервые предложенная знаменитым Ле:JlCшндро.м.
28
Наши общие Фор;нулы, если отбросить члены четвертOl'О порядка,
ОItажутся очень простыми, а именно:
A*==A 112. a(2.a+ +1'),
В* == В 112 cr (а + 2 + 1'),
П*== C 112 a(a+ +21')'
Итак, к уrлам А, В, С на шаровой поверхности должны быть
приложены неравные приведения, чтобы после изменения их синусы
стали пропорциональны противоположным CTopOHa 1. Вообще rоворя,
разность между этими произведениями третьer'о ПОрЯДIШ, a если
поверхность мало отличается от шара, то эта разность будет высmеI'О
ПОрЯДItа. В тре;vrольниках на поверхности Земли, даже са IЫХ боль
ших из тех, в которых можно измерить УI'ЛЫ, разность ята всщ'да
может считаться нечувствительной. 'Рак, например, в самом больmО 1
иа треуrольников, которые мы измеряли в предыдущие I'ОДЫ, а именно
между точками ХОУЭХRl'ен [Hohehag'en], Ероккен, ИнзельбеРI', 1'де
иаБЫТOIt суммы УI'ЛОВ был == 14",85348, вычисление дало следующшо
величины для приведения УI'ЛОВ:
rOl'еrю'ен .
Ероккен
ИнаельбеРI'
4",95113,
4",951U4,
4",9513] .
ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ О КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
161
29
в заключение мы добавим еще сравнение площади треуrольника
на кривой поверхности с площадью прямолинейноrо треуrольиика,
стороны KOToporo суть а, Ь, с. Площадь последнеrо обозначим через а*;
она равна
Ьс sinA * === ас sinB* === аЬ sin С*
Мы имеем с точностью до величин четвертоrо порядка:
sinA * == sinA 112 а cos А (2а: + + 1),
или с той же точностью
sinA===sinA*(l + ;4 bCCOSA(2a:+ +I)),
Под ставив 8ТУ величину в формулу (9), получим с точностью до
величин шестоrо порядка:
а === Ьс sinA * {l + l O а: (3ЬЬ + 3cc 2Ьс cosA) +
1 1 }
+ 120 (3bb+4cc 4bccosA)+ 120 1 (4bb+3cc 4bccosA)
или, с той же точностью:
. 1 1
a==a*{l+ 120 а:(аа+2ЬЬ+2сс)+ 120 (2aa+bb+2cc)+
+ 1 0 1 (2аа+2ЬЬ+сс)}.
Для шаровой поверхности 8та формула примет следующий вид:
a==a*(l + 2 а: [аа+ьь+сс]);
виесто нее, как леrко убедитьс я, можно с той же точностью принять:
* r s:iд.AsinBsinC
а а V sin А'" sin В* sin С* .
Ест! ту же формулу применить к кривой на шаровой поверхности,
то, вообще rоворя, ошиБI а будет пятоrо порядка инечувствительна
для всех треуrольников, какие можно измерять на поверхности
Земли.
ФЕРДИНАНД IИНДИНI'
О ВНУТРЕННЕЙ rЕО:М:ЕТРПП ПОВЕРХНОСТЕЙ
FERDINAND MINDING
[О '1' Р е Д а к Ц и и. Под 8'1'ИМ общим заrоловком здесь помещены
целпком и в выдержках че'1'ыре С'1'а'1ЪИ Jlilиндинrа, КО'1'орые по coдep
жапию пепосреДС'1'венно примыкают к исследованиям Таусса.
В первой И3 них Миндиr вводи'1', пе называя ее, величину, ItO'1'O
рня ВПос.ледс'1'ВИИ получила название zеодези"iес%ои 'Кривиз'Ны, И ДOKa
зывае'1', что она не изиеняе'1'СЯ при изrибании поверхнос'1'И.
Во В'l'ОрОЙ ОН вводи'1' ПОНЯ'1'ие развеР'1'ывания кривой на П.лоскос'1Ъ
и ПОКа3ывает, Ч'l'0 rеодезическая кривизна кривой на поверхнос'1'И
равна Rривизне разверну'1'ОЙ кривой. С помощью '1'aKOrO pa3Bep'1'ЫBa
ния ВПОС.леДС'1'RИИ ЛеВИ ЧИВИ'l'а ввел ПОНЯ'1'ие параллельноrо перене
сенпя веК'1'ора по поверхнос'1'И.
П3 '1'ре'1ъей С'1'а'1ЪИ помещена ТО.лько первая ее час'1Ъ. В ней :МnH
динr находи'1' линейный 8.лемен'1' поверхностей ПОС'1'оянпой КРИВИ3НЫ,
прпподи'1' к Itвадра'1'урам опреде,ление ВИН'1'овых повеРХНОС'1'ей и поверх
НОС'1'ей вращения 8'1'OrO класса И, в час'1'НОС'1'И, указывает на псевдо
сферу KaIt на поверхнос'1Ъ ПОС'1'оянной О'1'рица'1'ельной кривизны.
В ПОС.ледней заме'1'ке Jlilиндинr О'1'ме'чае'1', '1'1'0 на поверхностях nu
С'1'оянной О'1'рицате.льной КРИВИ3НЫ справедливы '1'риrономе'1'рические
форму.лы, по.лучающиеся И3 формул сферической '1'риrономе'1'рИИ с за
меной '1'риrономе'1'ричеСКIIХ функций С'1'орон СОО'1'ве'1'С'1'ВУЮЩИМИ rипер
болпчеСКИ:ШI. На 8'l'У C'l'а'1ЪЮ и ссылае'1'СЯ Бельтрами (ш'р. 194 Hac'1'O
ящеrо сборника), отмечая, Ч'l'0 8'1'И '1'риrономе'1'рические СОО'1'ношенпя
совпадаю'1' с форму.ЛaJ\ПI '1'риrоноие'1'рИИ Лобачевскоrо.]
1. 3амечание о развертывании кривых линий,
прина'J;лежащих поверхностям
ВЕJ\fEНЮ'NG ПВЕН ШЕ ABWICKELUNG KHUl\IМEH LINIEN VON FLACHEN
(1830)
cosi
ВtJ.'IIIЧlIна -----В' преДС'1'авляющая в обозначениях С'1'а'1ЪИ 22 пре
дыдущеrо '1'ома 1) обратное значение радиуса кривизны р кривой,
развернутоЙ на П.лоскос'1Ъ, може'1' бы'1Ъ выражена подобно '1'ому, кш,
1) Име('тся в виду статья «ПЬеr die Cllrven des kiirzesten РtJriшеtеrs аш
krllшшеn FHichen», JOllrnal fiir die reine l1nd angewandte l\lаthешаtik, т. 5 (1830),
стр. 297 304. [Ред.]
О ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
163
была предстаплена мера кривизны (rnensl1ra cl1rvatl1ra) в «Disql1isitiones,
generales ci1'ca Sl1 perficies Cl1rvas» Таусса 1). Считан коорлина
ты х, у, z данными фуюtци.ями Д13ух пере:\fенных р и q, положим,.
как В 8TO;VJ сочинении,
dx == а llр + а' dq, dy == Ь dp + Ь' dq, dz == с ар + с' dq;
тоrда
N +b n + n Е ' +ЬЬ ' + ' Р (. .,2 +b '2 +c ,2 c,
a С" == , аа сс == , " ==
и мы ПОltажем, что р ;зависит от Rеличин Е, F, G и пх диффереff
dp d'6p
циалов, а также от нроизводных 7ii' dq2 ' определяющихся ypaB
нением кривой.
Ес.ли дифференциальное уравнение поверхности будет
Х dx+ Ydy+ Zdz== о,
то мы получи-м::
....у: 1 : Z == сь' Ьс' : ас' са' : Ьа' аЬ';
следовательно, уравнение касательной плос.костп будет:
(сЬ' Ьс') х+ (ш;' ш') у + (Ьа' ab') z+ а == О.
rоприкасающС1ЯСЯ плоскость имеет уравпение
А:.с+Ву+ Cz+ == о,
rде
А == dzd2y dy d\!z, В == ах d\!z dzd\!x, (] == dy d\!x dxd\!y.
Выражая координаты через р и q, получи;vr:
А == (саЬ ь dc) dp\!+ (с' db' ь' ас') dq2+
+ (cdb' + с' db Ь dc' ь' dc) dp dq + (сЬ' ьс') (dp d\!q dq d 2 p),
В== (adc с da) dp\!+ (а' dc' с' da') dq\!+
+ (а dc' + а' dc с da' с' da) dp dq + (ас' са') (dpd 2 q llq IРР),
С == (Ь da allb) dp\!+ (Ь' аа' а' аЬ') dq2+
+ (Ь da' + Ь' da пrlb' а' dlJ) ар dq + (Ьа.' ab') (dp d\!q dq (l2 р ).
Используя нти выражения, по.лучаем числитель Z в формуле
для cos i:
z== (сЬ' Ьc') А + (ас' ca') В+ (Ьа' ab') с==
== {(Еа' Fa) da+ (ЕЬ' Fb) db + (Ес' Рс) dc} dp\!+
+ {(Fa' Са) da' + (Fb' СЬ) d// + (Fc' ar') dc'} dq2+
+ {(Еа' Fa) da' + (Fa' Са) da+ (ЕЬ' Fli) аЬ' + (Fb' сь) аЬ+
+ (Ес' Fc) dc' + (Fc' ас) dc} dp dq + (Ее FF) (dp d\!q dq d 2 p).
1) Мемуар raycca помещен на C'l'p. 123 161 Н>1t'то.ящеrо сБОРНИItа. [Ред.]
11*
164
Ф. миндинr
СОI'ласно самому смыслу величин а, Ь, с, а', Ь', с' мы ID1eeM:
аа
(lq
(la'
(lp ,
аЬ (lb'
d(j (Тр ,
ае (le'
(lq == (lp ,
.откуда
1 (lE ( (lF 1 аа )
acla'+bdb'+cclc'==2d(jcl p + d(j "2 (тр clq,
, + ' + ' 1 (Ю ( (lF 1 (lE )
а cla Ь clb с clc =="2 (lp clq + (lp "2 '([(j clp.
Поэтому мы получаем в итоrе следующее выражение для z:
{ , ( 1 аа (lF 1 (lE ) 1 } +
Е clq+ clp clp FclE clp2
3 (тр (тр 2 (lq 2
{ 1 ( 1 (lE + (lF 1 (lG )} +
, + FclG G clp (lq clq clq2
2 2 (lq (lq 2 (lp
{ 1 1 ( (lF (lF (lG (lE )}
+ Е dG G сШ + F clp clq + clq (lp clp clq +
2 2 (lp (lq (тр (lq
+ (EG FF) (clpd2q clqcl2p).
Мы пмеем также
. z
сов == .
-YEG FF -У А2+В2+ 02
Далее, радиус крипизны R равен
R == аРз
-У А2+В2+ С 2 '
тде
Clp2 == Е clp2 + 2F clp dq + G clq2 == clx 2 + cly2 + clz 2 .
Следовательно,
008 i 1 Z
==p== -YEG FJ!'(lP3'
Если считать р и q полярными координата.'\fИ на поверхности,
т. е. в соответствии с прежними 060значениями положить Р == s, q == ,
то получим:
Е==l, F==O, а==ср2, clp2==cls2+cp2d, 2.
,Отсюда, полаrая d2 == О, получим:
+cpd d2S cl cls2 cl 2cls cp2 d'!J3== О.
Р d8 (1<1' d8 '
Далее имеем:
а:!4- + a
(lP q (lP
(lx -Уl +р2+ q2
1
Р
1
И3 сравнения двух этих выражений для следует,
р
.s == cOnBt справедливо также следующее соотношение:
d(ly + a
(lP q (lP
(lx -Уl + р2 + q2
что для кривой
(11) 1
(18 .
(А)
О ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
165
Выражение, стоящее в правой части, в общем случае содержит
наряду с переменной величиной также координаты центра кривой;
их еще следовало бы исключить с помощью уравнений s '==' const и
ds === О, еслп бы (А) было общим дифференциальным ур<:\вненпем
кривой постоянноru радиуса на поверхности. Однако для поверх
ностей постоянной меры кривиsны ато выражение, раsумеется, не
содержит величин а, 13, у.
Если обоsначить меру кривиsны череs k, то ИS n 1IJ вышеупомя
HYToro сочинения raycca следует, что
d 2 'fi
ds 2 + kcp '==' О.
Функция ер (обоsначенная там череs т) должна быть выбрана TaI ,
cl'fi
чтобы для s '==' О было ер '==' о и т === 1. Если k постоянна, то отсюда
1 (8
сле ду ет ф '==' sin s r k. В этом случае, следовательно, уравнение (А)
. -Yk V
переходит в
d cly +q
clP clP r k r k 1 )
V cot s V .
clx -Уl +р2 + q2
2. ДовазатеЛЬСТЕО ОДНОЙ l'еО111етричесrшй теоре111Ы
BE\VEIS EINES GЕШvIEТRISСНЕN SATZES
(1837)
Пусть вдоль кривой А на поверхности описана раsвертывающаяся
поверхность и таким обраsом кривая раБвернута. Пусть тl радиус
кривиsны кривой А в неrюторой точке, i уrол между касательной
плоскостью поверхности и соприкасающейся плоскостью, р радиус
КРИВIlSНЫ раsвернутой кривой в соответствующей ТОЧI е; ТО1'да, как
Иdвестно, между тремя укаsанными величинами имеет место очень
простая sависимость, именно р cos i '==' R. Это интересное пред.пожение
может быть cTporo докааано следующим обраsом.
Пусть будут аЬ '==' ас ['==' ds] (черт. 1) два следующих друr аа дpy
rOM бесконечно малых элемента кривой А, так что П.;IОСКОСТЬ bac
соприкасающаяся; пусть далее, аd прямая пересечения касательных
плоскостей поверхности, проходяших череs оба элемента аЬ и ас; эти
1) ПоследниЙ абзац этоЙ статьи: «Daher gilt auf diesen Flacllen der Satz,
welcllCn allgemein aufzustellen icll durcll seine Voraussetzung verleiclltet ward,
deren Grund тап Seite 303 des vorigen Bandes kurz angedeutet findet», не вполне
ясен по своему смыслу. Е тому же он содер:ш:ит ссылку на ошибочную теорему
статьи упоминавшеЙся вначале, соrласно котороЙ на любоЙ поверхности кривые
постоянноЙ rеодезическоЙ кривизны совпадают е rеометриче(;кпми иестами 'o
чек, находящихся на постоянном rеодезическом расстоянии от неIштороrо
центра. [Ред.]
касательные плоскости Ьаd и аае. IIРОДОЛЖIThI Тю за !L; пусть
L аае == (х, аае == cl +е, еае == . Так ItaK есть уrол между ДВ Т]\IЯ сле
дуюштШI друr аа друrои касатель
нЫ;\IИ крпвой А, то, ItaK известно,
B == ds. В плоскости Ьаа возьмеи
L 11п{ == аае == (Х, тоrда (ае == е есть
уrол между двумя следуlOЩИ:ИП друr
за ДРУI'ОМ касательными разверн ттоЙ
крив()й И, следовательп(), ре == ds.
Если BOKpyr точкн а описать сферу,
-то трп радпуса аа, ае, ас определяют сферический треуrОЛЬНИlt аее,
в котором стороны ае == (х, ае == cl + е, ее == , L аее == i. Следова
166
PL
ь
с
а
Черт. 1.
-те.лт,по, иир,ем:
Ф. миндинr
cos cl == cos ( cl + е) cos + cos i sin cl + е) sin р,
и.лп, pa3.ТIaraH по степеням бескопеЧIlО Ma.тrыx веЛПЧIlН е и , yдep
живая лишь первые члены:
О == е sin cl + р sin а . cos i;
{)тсюда
е == cos i,
ав O
ЕО так как е == р' [) R ' то
1 COS 'l
Р R
что п требовалось доказать.
'3. ItaI; yCTaHOBJITJ>, наЛОЖИnIЫ друr на друrа две Rривые поверхности
или нет; с 3ЮlечаНJUШИ о поверхностях постоянной nrepbl срJlвп3ны
\УШ ЫСН ENTi::3CНEIDEN LAi::3 T, ОВ ZvYEI GEGEBENE КRеJl.ПVIЕ FI,ACHEN
АР}' EINANDER ABvVICКELEAR RIND ODEI NICHI'; NEBRT ВЕМЕRЮJNGЕN
UBER ШЕ FLACHEN VON UNVERA:NDERLICHEN KROJI.IJI.lGNGSl\IAASSE
(1839)
Исследование об изrибании кривых поверхпостей с необходиио
стJ,ю нриводит к задаче: найти условия, при которых данпая по
верхпость (А) может рассматриваться как изrибание друrой HOBepx
ностп (В). ДЛЯ решения этой задачи не требуется знать все изrибания
данной поверхности, чтобы пото:и решить, содержится ли среди IIIIX
вторая поверхность; надо лишь решить, МОЖНО ли поставить в COOT
ветствие точка:и (В) точки (А) так, чтобы линейные элементы :между
кажды:мп двумя парами бесконечно близких соответственных точрк
былп равны; это можно сделать с помощью прекрасной теоремы,
установленной Тауссом в знаменитом сочинении о кривых поверх
О ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
167
ностях 1), а именно, что при изrибании поверхности остается неиз
менной мера кривизны в RaJI;:ДОЙ ТОЧЕе (т. е. Ч-ИС.ловое а1I<1чение cpeд
Hero l'еометрическоrо из кривизн обоих rлавных сечений в 8ТОЙ точке).
Данное Ta I (в n 12) ДОRазательство 8ТОЙ теоремы основывается на
том положении, что ВЫРaJкение меры r;:ривизны зависит .ЛИШЬ от
К08ффициентов Е, F, G в обще I выражении ЛИНРйноrО 8лемрнта;
отсюда теорема и следует непосредственно, таI{ как по самому опре
делению И3I'ибания значения Е, F, G при нем пе иаменяю'rся. Хотя
8та теорема предполаrается здесь изнестной, я не считаю лпшним
дать ей еще неЕоторые истолкования.
Прежде Bcero, только что сформулированную теорему Л8J'КО уяс
нить себе rеометрически, если ИСПОЛЬЗ0вать СВЯ3Ь между п.лощаДLЮ
сфеРИ'lесь:оii фПI'УРЫ и длиной контура ей полярной фпrуры, которая
уже была так успешно применена SIкобп в «Dешuпstrаtiо et alllplifi
catio nova etc.» Е ДРУI'О:МУ, хотя и родственному данному, пред reту
(том 16, стр. 344). Для 8Toro верне:ися Е основному определению
меры 1tри13И3ИЫ, Ra1;: оно установлено в «DisquisitiontJs generaltJH circa
superficies cUI'vas» 2). Если ТОЧRИ сферы радиуса 1 сопос'rавлены
точка I 1;:РИНОЙ поверхности ТаЕ, что в соответственных то'иtах нориали
обеих поверхностей параллельны, то ЯСlIО, что Rаждой фИI'уре на
поверхности отвечает определенная фиrура на сфрре. Еслп w и ш'
два соответственных беCIшнечно м&'!ых 8лемента поверхности п сФеры,
ш'
то отношепие их площадей v; называется мерой кривизны иоверх
ности в ТОЧ1;:е 8ле:>L8нта Ш. .псно, что при изrнбании иоверхности
площадь 8лемента 1Л не изменяется; одна1{О можпо леrltо поь:азать,
что и площадь у" также не изменяется. Пменно, если пррдста13ИТЬ
верпrnну 1t 1'paHHOI'o У1'ла в центре сферы, то ero rрапи вырежут на
сфере мноrоуrОЛЬН1пt а, ИО.'lярпый МНOI'оуrольник KOToporo обознаЧИ 1
через ; тоrда известно, что длина контура а+площадь ? == 4 пря
мым уrлам. Если , больше трех, то МНOI'оуrольник И3I'ибаем; но при
изrибании длина 1{OHTypa а, а значит, и площадь не из:иеняются.
Это за reчание IOжнЬ тотчас же при reнить к изrибапию кривой по
верхпости. Действительно, произвольную ТО'1КУ впутрп '1/' можно взять
за вершину уrла с бесконечны:и ЧИСЛО I ребер, ОПIlсанноrо около
8Toro 8лемента, в 1ЮТОРОМ сум:иа уrлов между ребрами, т. е. длина
контура СфtJРИЧtJскоrо полиrона а, сколь yro.=\Ho близка l четырем
прямым уrла:и. 'l'оrда, очевидно, контур обозначенноrо выше через ш'
;,шемента сферы будет полярной фиrурой для а, тю;: как диаметраль
ные плоскости, проходящие qерез 1tOHTYP /О, параллельны нор:иалям
в ТОЧRах контура Ш; в пределе они будут перпеНДIIКУЛЯРНЫ I;: rраням
1) Ме.муар raycca помещен на етр. 123 161 настоящеrо сборника. [Ред.]
2) ЛаТИИCIсое название мемуара raycca. [Ред.]
168
Ф. миндинr
уrла Шj но так как изrибание уrла w не изменяет длину контура 0:,
то оно не изиеняет и площади w', что и требовалось доказать.
Не так npoc'l'o вывести указанную теорему путем вычислеШIЙ из
формулы для линейноrо элемента. Но так как настоящее исследова
ние существенно исходит из атой формулы, то нельзя обойти вни
манием ее связь с теореМОЙj поэтому я привожу еще следующее
аналитическое доказательство, отличающееся от доказательства в упо
мянутом исследовании о кривых поверхностях только тем, что здесь
используются лишь прямоуrольные координаты.
Пусть х, у, z координаты поверхности А; х', у', z' координаты
поверхности В, и пусть
dz == t dx+ и dy, dz' == t' dx' + и' dy'.
(1)
Так как, по предположению, А и В наложимы, т. е. х', у' можно BЫ
разпть через х, у, причем удовлетворится уравнение
dx2 + dy2 + dz 2 == dx,2 + dy,2 ,+ dZ,2 или ds 2 == ds,2, (2)
то пушъ дифференциалы
образом:
dx' == а dx + а' dy,
х', у', z' выражаются через х, у следующим
dy' == Ь dx+ ь' dy, dz' == с dx+ с' dy. (3)
Отсюда мы имеем также
с == at' + Ьи', с' == a't' + b'zt',
а если ввести обозначения
А ==bc' b'c, B==ca' c'a, C==ab' a'b,
то
Ct' == A, Си' == B, А 2 +В2+ С2 == С2 (1 + t,2 + и,2).
Если положить, далее,
Е == 1 + t 2 , F == tu, G == 1 + и 2 ,
то ПОЛУЧIThI:
ds 2 ==Edx 2 + 2Fdxdy+ Gdy2. (4)
Из уравнений (2), (3), (4) следует также, что
а 2 +Ь 2 +с 2 ==Е, aa'+bb'+cc'==F, а,2+ ь ,2+ с ,2==а; (5)
следовательно, A2+B2+C2==EG F2== 1 +t 2 +и 2 , и
С2 (1 + t,2 + и,2) == 1 + t 2 + и 2 . (6)
ПОЛОЖIThI, далее,
da == о: dx+ 0:' dy,
da' == 0:' dx+o:" dy,
откуда
db == dx+ ' dy,
db' == ' dx+ " dy,
dc == "( dx + 'r' dy,
dc' == "(' dx+i' dy"
d 2 x' == о: dx 2 + 20:' dx dy + 0:" dy2 + а d 2 x + а' d 2 y,
d 2 y' == dx 2 + 2 ' dxdy + " dy2+ Ь d 2 x+ b'd 2 y"
О ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
169-
Так как х' и у' можно рассматривать как независимые
'1'0, полаrая стоящие слева значения d 2 x' и d 2 y' равными
ражая d 2 x, d 2 y, получим:
Cd 2 x == (a' Ь'а) dx 2 + 2 (a' ' Ь'а') dx dy + (a' " Ь'а") dy'.J,
Cd 2 y == (a Ьа) dx 2 + 2 (a ' Ьа') dxdy + (ар" ba") dy2.
переменные,
нулю и BЫ
Далее, имеем:
d 2 z' == 1 dx 2 + 21' dx dy + 1" dy2 + с d 2 x + с' d 2 y j
если же подставить для d 2 x, d 2 y их прежние выражения и ввести
следующие обозначения:
D ==Aa+B + СI, п' ==Аа' +B ' +СI', п" ==Аа" +Вр" +СI",
то получим:
С d 2 z' == D dx 2 + 2п' dx dy + п" dy2.
Но d 2 z' можно еще выразить Д'Руrим способом. Так как, если
dt' == т' dx' + и' dy', dи, == и' dx' + V' dy',
(7)
то отсюда следует:
d 2 z' == Т' dX,2 + 2 И' dx' dy' + v' dy,2. (8),
Сравнивая значения d 2 z' И3 (7) и (8) и учитывая (3), получим:
С (Т'а 2 + 2И'аЬ + V'b 2 ) == п,
С (Т'аа' + и' (аЬ' +а'Ь) + V'bb') == п',
С (Т' а,2 + 2 и' а'Ь' + V'b,2) == п".
Отсюда следует:
С4 (T'V' И'И') == пп" п'п'.
(9)
Используя значения п, п', п", данные в (7), получим путем разло
жения:
DD" п'п' == (А2+В2+ (2) sл ,
rде
, ====-аа" + " + п" а' а' p' ' 1'1"
sл == (ВI C ) (ВI" C ") (ВI' C ')\!,
== (Са AI) (Са" AI") (Са' A1')\!,
== (A Ba) (A " Ba") (A ' Ba')\!.
Веря от выражений
а 2 + Ь 2 +с 2 == 1 + t\!, аа' + ЬЬ' +сс' == tи, а,2+ ь'2+ с ,2 == 1 +и2:
производные по х и у, получим:
aa+b +СI == tT,
аа' + b ' + СI' == tИ,
аа" + Ьр" + СI" == t V,
a'a+b' +с'l ==иТ,
а' а' + Ь'р' + с'l' == иИ,
а' а" + Ь'р" + с'!" == и V.
170
Ф. миндинr
ИСRлючение"( на двух первых формул дает нам Ba A[3 == (cи c't) Т;
подобным же образом получатся следующие уравнения:
Ba A == (cи c't) Т,
Ва' A ' == (cи c't) и,
Ba" A[3"==(C7 c't) У,
пз ЕОТОРЫХ найдется значение ; точно таЕ же напдем sл и iS:
sл == (aи a't)2(TV и 2 ),
iS == (Ьп b't)2 (TV и 2 ),
== (cи c't)2(TV и 2 );
следовательно,
SЛ+iS+ == (t2+и2)(TV [J'J).
Далее, путем простых преобразований, получим:
st == d (tV) d (tИ) == ТУ и 2
dx ау
и, Ероме Toro,
А2+ B2+C2==E(} p2== 1+t 2 +и 2 j
отсюда следует
пп" п'п' == ТУ си,
т. tJ. Н силу (9)
с (Т'У' и'и') == ТУ ии.
ИCI лючая С отсюда и из (6), находим формулу
T'V' И'И'
(1 + t't' + 7 '7/)2
TV ИИ
(1 + tt+ и.)2'
(10)
:которая и содержит в себе ДОRазываемую теорему, таЕ ЕаЕ оба ее
члена выражают меру RРИВИЗНЫ поверхностей В и А.
ИТaI , если выполняется уравнение (2), то между х, у, х', у'
должно иметь место уравнение (10), иа ROToporo посредством ypaB
нений обеих поверхностей можно в простейших случаях по.JlУЧИТЬ
представление z и z'. Следует различать два случая: уравнение (10)
выполняется либо тОJlсдествеппо, либо нет.
Иервый случай
ТаЕ ЕаЕ в уравнении (1 о) в левую часть входят лишь х' и у',
а в правую лишь :1: и У, то оно может выполняться тождественно
лишь тоrда, Rоrда находящпйся слева член не зависит от х', у',
а находящийся справа не зависит от х, у, т. е. друrими словами,
если меры Rривизны обеих поверхностей постоянны и равны друr
друrу. ИОRажем, что две поверхности ПОСТОЯIlliОЙ и равной меры
RРИВИЗНЫ всеrда наложимы одна на друrую.
о ВНУТРЕННЕй rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕй
171
llireHHo, выражение для линейноrо 8лемента на одной П3 кривых
поверхностей
ds'J === Е dp'J + 2Р dp dq + G dq'J
всеrда может быть подоба:ющии выбором переиенных р, q преобра
З0вано так, чтобы Е === 1 и F === о. в обпrе:м случае 81'01'0 можно дo
стпчь, если взять за р и q полярные координаты на поверхности;
П:\Iенно, за р взять длину кратчайшей ЛПНIПI на поверхности, отсчи
тыпае:ную от фпксированной начальной точки А, а аа q уrол, KO
ТОРI,IЙ образует касательная R р В А с произвольным исходным Ha
правлеппеи, паралле.;тьны:vr касательной плоскости в А Если еще
поло:ашть G === <p'J, ТО получим ds'J === dp'J + ер'}, dq'J. Но мы имеем вообще
;;: + k<p === О, 1'де k обозначает меру кривизны; следовательно, если
k постояино, то тоrда, как 81'0 у:;ке было от:vreчено в 6 и томе 81'01'0
. 1 . Y
журнала, стр. 1 tН 1), получается <р === уТё Slll Р k, так как при р === о
d"P
должпо быть <р === о и T === 1. ДЛЯ отрпцательноrо k 81'0 выражение
up
1I3BeCTHbI:VI обра..'ю:vr преобра:зуется в rИl1ербо.личеСRИЙ синус.
Итак, для лпнейноrо 8ле:VIента поверхности постоянной меры кри
шыны k мы получаем формулу
ds'J === dp'J + ( ;k sin р V'k) 'J dq'J.
Для второй поверхности той ,ке НОСТОJIНIIОЙ :vreры кривизны полу
чается аналоrичпо:
,2 2 ( 1 . V ) 'J'2
ds === dp' + .V"k Slll р' k dq ,
r e р' и q' имеют те Же значения, что р и q, прпче:VI центр, П3 KOTO
pOI'O исходят кратчайшие линии, обозпаченные через р', остается
ПРОИ3ВОЛЬНЫ:VI. Если по.;тожить р === р' и q === q' + const, то в COOTHeT
ственных точках мы ПОЛУЧП:V1 равные линейные 8лементы, что и Tpe
бова..лось доказать.
Следовательпо, две поверхности равной постоянной меры кри
ВШШbl MOI'YT быть паложены одна на дрyrую и притом беСRонечным
число:\! способов, так как две произвольные точки одной можно по
ставить в соответствие ДВУ.\I произвольны:vr l'O'II a:VI второЙ, если ТО,ПЬЕО
ДЛIIНЫ кратчайших лпний на поверхности между обеимп пара..vrи то'шк
равны друr дрyrу. Отсюда вытer ают такие следствия:
Rаждая поверхность, мера кривизны которой равна нулю, есть
IIзrибauие плоскости, что известно.
1) Ссылка на работу «3амечание о развертывании ь:ривых линиЙ, принадле
жащих поверхностям». См. стр. 162 165 настоящеrо сборшша. [Ред.]
172
Ф. МИндинr
Каждая поверхность, мера кривизны которой (k) постоянна и по
1
ложительна, может быть наложена на шар радиуса Vk '
.я используIO это обстоятельство для Toro, чтобы присоединить,
некоторые замечания о поверхностях постоянной меры кривизны.
3адача нахождения всех поверхностей этоrо рода требует интеrриро
ТУ ИИ
вания уравнения (1 + f;2 + и 2 )2 === k ИVIи
: 2:: ( a 2;y )2 ==k[l +,( :: у +( : Y]2. (11)
Это интеrрирование, за исключением случая k == О, до сих пор не
произведено. :М:ежду тем, принимая во внимание rеометрическое 3Ha
чение этоrо уравнения, представляет интерес даже нахождение част
Horo случая ero интеrрала; этоrо Bcero проще достичь путем BBeдe
ния полярных координат.
Действительно, если положим х == r сов 1Ji; и == r sin , , то
dr == coslJidx+sin 'fdy, rdф == sin' dx+ cosydy.
Пусть, далее, dz == t dx + и dy === т dr + 'п dlJi; тоrда
t == т сов у !!.... sin ,!/ 7! == т sin O!J + !!.... сов .!J
r l' I r I
и также
dт == fL dr +" d' , d1Z ==" dr +р dy.
Отсюда следует:
d 2 z == Т dx'J + 2 и dx dy + V dy2 == fL dr 2 + 2" dr d' + р dф2 + т d 2 r + п d2 .
Но
xdx+y dy == rdr, dx 2 +dy2== dr 2 +r 2 d'f2, xdy y dx== r 2 d'f;
отсюда, дифференцируя и полаrая d 2 x == О, d 2 y == О, леrко rrОМУЧИJV1:
d 2 r == r d1Ji2, r d 1l y == 2 dr d'f.
Поэтому
d 1l z== fLdr 2 + 2 (,, '; ) drd' + (р +тr) d'f'J.
Сравним это значение d'J z с предыдущим:
Tdx 2 + 2Udxdy+ Vdy2.
Так как d 2 z должен переходить в это выражение после подстановки
значений dr, d'f, то отсюда следует, что
ТУ U2== {fL (p+тr) (,, ; )2} T .
п 2
Так как одновременно 1 + t 2 + и 2 == 1 + т 2 + т 2 ' то после BBeдe
ния полярных координат r и Ф уравнение (11) превращается R
о ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
113
-следующее:
d2Z ( d2? dZ ) ( d2z 1 dz ) 2
a;r2 +rdr rJ.}
r 2 { 1 + ( dZ ) 2 + ( dZ ) 2 } 2
dr r 2 d<{i
rде т, п, !L, '1, Р заменены их равноправными выражениями. :Это ypaв
нение, хотя и более сложное, чем (11), позволяет, однако, леrче
усмотреть вышеупомянутый частный интеrрал. Именно, положим:
==k,
(12)
dz
d'f === constans == l ;
тоrда предыдущее уравнение превращается в следующее:
ldu h 2
r
2 dr r 2 ==k
h2 2
r 2 {I+U + r 2 }
или
du 2h2 { h2 } 2
dr 1=3 == 2kr 1 + и + r 2 '
( dz ) 2
rде для сокращения dr
интеrрируется; именно, мы
обозначено через и. :Это уравнение леrко
получаем:
h 2 1
l+и+ 2 == k 2 '
r a r
rде a KOHCTaHTa; учитывая значение
щий интеrрал уравнения (12):
dz == h df1,; -+- r , 1
. У a kr2
и, получаем отсюда следую
h 2
1 dr
r 2 '
(13)
в котором h и а произвольные константы. Получающиеся таким
образом поверхности при h == О являются поверхностями вращения;
вообще же они по рождаются движением неизменной плоской кри
вой, уравнение которой получится, если в предыдущей формуле
положить d<jJ == О и рассматривать z как абсциссу, а r как ординату.
3та кривая вообще не пересекает ось z, потому что при r === О под
Еорнем будет находиться отрицательная величина; исключения имеют
место, если h == О и, далее, если одновременно h не равно нулю,
k отрицательно и а == О. :Кривая порождает поверхность так же, как
прямая порождает :винтовую пове-рхность: путем вращения вокру!'
оси z, в то время как одновременно все ее точки совершают общее
движение параллельно оси z. При более близком рассмотрении сле
дует различать два случая, смотря по тому, будет ли k положительно
или отрицательно.
А. Пусть k положительно; тоrда для краткости можно тотчас же
положить k == 1. Так как а теперь тоже должно быть положительно,
r 1 h 2
R == -+- у a2 r2 r 2 1,
то, записывая а 2 вместо а и обозначая
174
Ф. миндинr
получим из (13):
dz ===], d + R dl'.
(14 )
Отсюда для линейноrо 8лемента находим выражение
ds 2 === (r 2 +J I 2) dy2+ 2],Rdrd! + (Ш+ 1) dr 2 ,
илп
2 2 2 ( 1 hR dr ) 2 у2 dr 2
ds (r +],) d'f+ r 2 +h 2 + (a2 r2)(r2+h2)
Пусть
d ' + hRdr === dq Vr:!+'7,2===Va2+h2sinp; (15)
'f r2+h2 У Ю+а 2 '
тоrда выражение для ds 2 преобразуется в
ds 2 === sin 2 pdq2+dp2.
Среди изrибаний шара, содержащихся в формуле (14), находятся
также и те, которые уже были представлены на стр. 367 18 ro тома
8Toro журнала 1); они получаются в предположении ], === О. Если еще
положить а === 1, то получается уравнение шара
х === Slnp cos q, у === Slnp Sln q, z === COsp.
Однако сравнение 8Toro выражения с фориулой (15) nOl a3blBae'1', что
за ИСI лючением случая ], === о уравнение (14) представляет изrибанпе
лишь определенной части шаровой поверхности, или, пыражапоь
яснее: если развернуть поверхность, определенную посредством (14),
на шар, то она покроет зону шара между двумя параллеЛЬНЫl\IИ
круrами, отвечаюшими определенным значениям р (р' и 1t p'). Это
ПOl рытие неоrраниченно повторяется, в то время как поверхность
делает неоrраниченное количество завитков. rраницы 8ТОЙ зоны Ha
ходятся решение:\! уравнения п2 === О, которое дает наименьшее допу
стпмое значенпе (r') для r; IBleHHo,
r,2 == + V],2 a 2+ (1,2 + 1 a2)2 h 2 + a2 .
(16)
Леrко дuкаS<tТЬ, что всеrда r,2 < а 2 ; П08ТО:МУ значение r растет от r'
до а и затем снова убывает от а до r'; значение р' получается зате:\!
посредство:\! подстанОВI и значения r' для r в (15). Rривая, движе
нием которой будет порождена поверхность (14), определяется ypaB
нением dz === R dr; если раССМО'l'реть ее ближе, то она состоит из бес
конечноrо числа конrрУ8НТНЫХ дуr, касающихся друr друrа в ТОЧRах,
rде r === r'; однако достаточно рассмотреть лишь одну из них. Такая
дуrа BorHYTa к оси z, перпеНДИI улярна к ней в своих крайних
1) Имеется в виду работа Миндинrа «Ueber die Biegllng krllmmer Flaсhеш).
[Ред.]
О ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
175
ТОЧI ах, rде r === r', и параллельна оси z в середине, rде r === и;
в остальном ее обраа не имеет НИI aI ИХ бросающихся в rлааа особеU7
ностей. Она обрааует поверхность ПY'l'ем вращения BOI pyr оси z п
одновременноrо параллельнО1'О перемещения вдоль z.
В, Если k отрицательно, то положим:
k=== 1, R=== -{ r'.! a :: 1.
ТOI'да иа (13) получается:
dz === h d' + R dr.
Отсюда следует, если положить d<JJ + llВ ат === dt:
, т 2 +1ъ2
d 2 ( 2 + 12 ) 2 + т2 ат 2
,8 r dt (т 2 + 112) (т2 + а 2 )
(17)
Если еще ввести обоаначение v 2 === т 2 + а, то предыдущее уравнение
превращается в следующее:
dv 2
d8 2 === ( v 2 + l 2 и ) dt2 + .
v2+112 a
(JTO уравнение содержит три рааличных случая, смотря по то:иу,
будет ли l 2 U положительно, нуль или отрицательно; ОДНaIФ, пере
ходя I перечислению этих случаев, я выберу лить 'Iюверх'Нuсtnll вpa
ще'Нuя постоянной отрицательной меры I ривианы. lliшнно, если в пре
ДЫДУIЦИх формулах положить 11 === О, то, ааписывая еще а 2 вместо а,
получим::
d r 1
z v r 2 ::t а 2 1 dr.
Если ваять сперва а 2 с положительным aHaI OM и
положить r === а 6in ер (я обоаначаю rиперболичеСI ие
фуш ции по способу, предложенному в этом :;I;:урнале
проф. rудеР:ИaRОМ), то получается следующее Bыpa
жение ДЛЯ пов ерхнос ти, в котором, как обычнu, uбо
значвно r .. V x + у2:
r===u6inep, z=== S V1 u2(fc 2epdep.
3десь должно бы'lЪ а 2 < 1. Цоверхность воаНИ1шет
от вращения BOI pyr оси zz кривой, состоящей П3
беСI{онечноrо числа IФнrруэнтных дуr, вроде пАЕ,
2"
F
Е
D
z
Черт. 1.
EBF (черт. 1).
Если ваять 0,2 с отрицательным анаком п- ПО.::ю:rъ:пть r === U (fc{\ ер,.
то получается:
r === u (fc{\ ер, z === f v 1 а 2 Eiin 2 ер dep.
Поверхность возникает от вращения BOKpyr оси zz кривой, состоящей
из дуr вроде Еве, eDG (черт. 2).
1
Если ваять а === О и положить == <fO{j q:;, то получится:
r
1
r === <2oiJ <р ' z === q:; :rсшg q:;.
Поверхность возникает от вращения кривой вроде.. . еВЕ. .. (черт. 3)
BOKpyr оси ZZ, к которой кривая приближается асимптотически.
Дуrи \Этих кривых, вычисленные
соответственно от точек А, В, В
равны q:;, q:;, log <fO{j q:;.
Все \Эти поверхности с мерой
кривизны 1 должны налаrаться
одна на друrую; несмотря на \Это,
их линейные \Элемент ы трудно при
вести к форме -V dp2 + <5in 2 р dq2,
которая леrко получается для пер
вой поверхности, но которая должна
была бы получиться для всех, если
бы удалось выразить их координаты
через длины (р) кратчайших линий
с оБЩИJ'vl началом и уrол q, опреде
ляющий направление р в начальной
точке. Однако вывод конечных фор
мул для кратчайших линий и их длин в координатах приводит здесь
'Е очень сложным дифференциальным уравнениям; \Это не удиви
. тельно, так как подобное положение является обычным уже при
изrибании плоскости 1).
176
z
G
с
z
Черт. 2.
z
Ф. миндинr
в
4. Дополнения R теории Rратчайших линнй на RрИВЫХ
поверхностях
BEITRAGE ZUR ТНЕОШЕ DER KURZESТEN LINIEN AUF KRUММEN FLACHEN
А
z
Черт. 3.
(1840)
Пз фОр \lУЛЫ линейноrо \Элемента
ds 2 === Edp2+2Fdp dq + Gdq2
получается следующее дифференциальное уравнение BToporo порядка
между р и q для кратчайшей линии на кривой пове.рхности:
dE d 2 + 2 dF d d + dG d2 === 2 d d ( EdP+Fd<i )
dp Р dp Р q dp q S ds .
(1)
1) Окончание работы (<<BTOpo случай») не воспроизводится. [Ред.]
о ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
177
Это общее уравнение будет здесь, прежде всы'о, применено к развер
тывающимся поверхностям в обычном смысле 8Toro слова. Если
и, V, W координаты и ер длина дуrи' ребра возврата такой поверх
ности являются функциями переменной р, то с помощью второй пе
ременной q координаты точки поверхности можно выразить следую
щим обраЗ0М:
d'u dv dw
х === и + q d'f ' 1/ === v + q d<p ' z === w + q а<р .
Положим
( d аи ) 2 + ( d dv ) 2 + ( d dШ ) 2 === dp'!
d<p а<р а<р
и заметим, что
аи 2 + dv 2 + dw 2 === dep2;
тоrда для линейноrо влемента получается формула
ds 2 === q2 dp2 + (dq +dep)2,
или
ds 2 === (Q ер)2(lР:! +dQ2,
(2)
rде
Q===q+ep.
Если в (1) записать Р вместо р, Q вместо q и положить Е === (Q ep) ,
F == О, G === 1, то, заметив еще, что ер зависит лишь от Р, мы полу
чим следующее дифференциальное уравнение кратчайшей лииии:
d2Q ( d Q ) 2 d<p dQ 2
(Q ep) dP2 2 dP + dPdP (Q ep) ().
(3)
И3 иеrо, проще Bcero с помощью rеометричеСltИХ рассмотрений, ;\южно
получить следующий интеrрал:
(Q ep)cos(P a)+ f (l'-Рсоs(Р а)==k,
(4)
rде а и k произвольные константы, ДЛIIпа дуrи G кратчайшей JIИ
нии выражается следующим обраЗ0М:
G == q sin (Р а) + f d'-P sin (Р а) + const,
rде вместо Q ер снова подставлено q.
Для кривой наименьшеrо охвата 1) на развертывающейся
ности справедливо следующее дифференциальное уравнение:
поверх
(l2Q ( d Q ) 2 dQ d<p 2 1 ( dB ) 3
(Q ep) dP2 2 dP + dPdP (Q r.p) ==h dP .
(5)
1) Под кривой наименьшеrо охвата Миндинr понимает замкнутую линию наи
меньшей длины, оrраннчивающую данную площадь. См. Jопrпаl fiir die reine an
gew. Math., т. 5 (1830), стр. 297 304. [Ред.]
12 Зак 1164. Об основаннях rеометрни
178
Ф. м индинr
Обозначим для l:раткости
11
т+ f dep cosp == и,
11
п+ f depsinp== V
(т и п произвольные константы). Тоrда интеrрал (5) содержится
в следующем уравнении:
(q+ Ucosp+ Vsinp)\!+ (Usinp Vcosp)1J== h 1J .
(6)
аР а<р
Так как Р и ер зависят только от переменной р, а dp ' ар заданы как
функции от р, то проблема кратчайших линий и кривых наименьшеrо
охвата на развертывающихся поверхностях приведена с помощью пре
дыдущих формул к квадратурам и тем самым решена.
То, что на каждой поверхности постоянной положительной меры
кривизны для соотношений между сторонами и уrлами произвольноrо
треуruльника, образованноrо кратчайшими .линияии, справедливы
формулы сферической триrонометрии, следует тотчас же, если заме
тить, Чl'О каждая поверхность этоrо рода может быть наложена на
шар. Если мера кривизны отрицательна, то справедливы те же фор
мулы с тем лишь изменением, что вместо триrонометрических входят
rиперболические функции сторон. Действительно, если а, Ь, C CTO
роны треуrольника, А уrол, противолежащий а, и k ПОСТОЯIПШЯ
мера кривизны, безразлично положительная или отрицательная, то
нетрудно доказать справедливость следующеrо з т равнения:
cos а Vk == cos Ь Vk" cos с Vk + sin Ь Vk" sin с Vk cos А.
В 1V M 'l'OMe этоrо журнала, стр. 3791), можно найти rруппу по
верхностей постоянной отрицатеЛЬНQЙ кривизны (k == 1), линейный
элемент которых представлен там в форме
d 1J ( 1J + h 2 ) dt \! + dv2
s == V a " +h ')'
Vu а
Возьмем на такой повеРХНОСТJI произвольную точку А, арrументы
которой пусть будут v == v', t == t', и проведем на поверхности из А
во вторую ее точку В, отвечающую значениям v и t, кратчайшую
линию j если ввести длину ее дуrи АВ == о и обозначить через (j yrол,
под которым она пересекает в точке А кривую постоянноrо v, то
1) Работа:М и н д и н l' а «Нак установить, наложимы дрУ!' на друrа две кривые
поверхности 1!ЛИ нет» помещена на стр. 166 176 настоящеrо сборника. Указан
ное место соответствует стр. 175 сборника. [Ред.]
о ВНУТРЕННЕЙ rЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
179
nеременные v, t, о , rj свяааны следующими уравнениями, в которых
положено -V а h 2 === Ь:
b1J' ctg- A h 2 tg Ь (t t') cos 1) -V v' Ь 2 (v' + S:аt1й с; sin eY
()+v'l;tglJtgbtt t') sinl) -Vv,-J b2+v'%at1gc; ,
v === 6il1 о sin fJ -V V,2 b + v' (10 О.
t(7)
I
J
Эти формулы справедливы неаависимо от предположения о том, будет ли
величина ы J == a h 2 положительна, нуль или отрицательна. С помощью
этих формул приведенное выше аначение ds IJ превращается в
ds 2 == do lJ + 6i11'J о dfJ 2 , как и требуется. Эти формулы можно также
леrко привести к более простому виду; действительно, если, например,
a h 2 отрицательно, то положим:
v== y 6i11q, V h2 a t===p,
v' == -v h2 а 6i11 q', -v h2 а t' == р',
a11g w == cotg fJ 6i11 q',
"" S:at1g q'
)t I11 и === sin 1) ,
rде вспо::vюrательные величины w и и Moryт иметь мнимые части,
которые аатем снова выпадают в процессе вычислений. Посредством
этих фориул уравнения (7) переходят в следующие:
(l11j (p p' + w) == cos fJ (10 q' Н1!1 (о +и),
6i11q 6i11U === 6iп q' 6il1 (о +и),
(1:) q (10 (р p' +w) === (10 (о + и),
причем последнее является следствием двух первых. Если a h2===(\,
то получим:
v (t t') === 6i11 о cos fJ, v == v' ( (1 о + 6i11 о sin fJ) 1).
1) Последняя часть работы, посвященная линиям кривизны на еллипсоиде,
здесь опущена. [Ред.]
ЭУДЖЕНИО БЕЛЪТР АМИ
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
EUGENlu BELTRAМI
,
, S GGIO DI lNTERPETRAZIONE t) DELLA GEOJ\rIEТRTA NON EUCIJDEA
(1868)
n последнее время математический мир начал зан:иматься новыми
идеями, которым, ПОВИДIThЮМУ, суждено в случае, если они BOCTOp
жествуют, rлубоко изменить все основы классичеCIШЙ rеометрип.
ИДеи эти появились не совсем недавно. Великий Таусс постиrал
их с первых своих шаrов на научном ПОПРlIIцеj хотя ни в одпом из
ero сочинений не заRлючается явноrо их изложения, но на писем ero
мы видим, наСRОЛЬКО он был предан этим идеям, всеrда их разви
ван, и може:и удостовериться в ero полном соrласпи с ученпем Ло
бачеВСlшrо,
Подобные ПОПLIТRП RopeHHoro обнов.ления принцппов встречаются
нереДIШ в исторпп науки. В настоящий момент они являются ecтe
ственным результатом Toro Rритпческоrо духа, которым совершенно
,основательно ()олее и более проникаютсн научные псследования.
оrда таRие ПОПЫТRИ являются плодом добросовестных ПЗЫСRаний
и искренних убеждений, коrда они находят поддержку в П:VПЮНIIРУЮ
щем и даже неоспоримом авторитете, долr людей науки обсудить их
спокойно, одинап:ово удерживаясь как от энтузиазма, так и от пре
небрежения. С друrой стороны. в историп математпческой наУЕа
торжество новых попятпfr не может пошатнуть истин, уже приобре
тенных, оно ,может пзменить только их полшкение в науке п.нп
,;'юrический смысл, увеличить или уменьшить их ценность и прrп.re
нимость. rJ1уБОRая КРИТИRа принципов не :может НИRоrда повредпть
прочности научноrо здания, даже и в тех случаях, коrда она не прп
JЗодит к открытию И лучшему познанию ero ИСТИННI,IХ основаппй.
Движимые аТIПIП соображениями, мы стара.пись, haCK-О.ЛЬRО позво
.ляли наши СИJIЫ, дать себе отчет о результатах, R которым ПрПRОДИТ
1) Слово 1 'Н?перпрС?пация (т. е. истолкование; объяснение) 11O пталыIНСКИ про
;износится и пишется двояко: intC1-рrеt\.l,ziопе и interpetrт:ione; в :мемуаре Бельтрамн
принят второй вариант. [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕвклидовоf1 rЕОМЕТРИИ
181
учение ЛобачеВСКОI'О, и за'l'е r, следуя приему, вполне, по нашему
мнению, соrласному с хорошими 'l'радициями научноrо исследования,
мы ПОПЫ'l'ались О'l'ыска'l'Ь реальное основание для Э'l'оrо учения,
прежде Bcero, Ч'l'обы призна'lЪ Э'l'им самым неоБХОДИJ\ЮС'lЪ HOBoro
порядка вещей и идей. Думаем, что Э'l'О удалось нам для плани
метрической час'l'И этоrо учения, но Ha ! Еажется невозможным сделать
то же для ОС'l'альной час'l'И 1).
Нас'l'ОЯЩИЙ ме:муар имее'l' целью преимущеС'l'венно ра3ВИ'l'ие пер
Boro И3 Э'l'ИХ положений; что касае'l'СЯ B'l'OpOro, мы УДОВОЛЬС'l'вуемся
в настоящее время несколькими укruзанпями, чтобы было возможно
более правильно е суждение о смысле нашей ПН'l'ерпретацпи.
Ч'l'обы не прерыва'lЪ СЛИШКО.\I часто изложепия, мы поместилп
в отдельных примечаниях в конце мемуара объясне-;rия, О'l'носящиеся
к некоторым анаЛИ'l'JlчеСКИ l ре3У.'lьтатам, на КО'l'орые мы должны
оппра,'1ЪСЯ.
Основной прием доказа'l'ельств элемеН'l'арпоЙ rеоме'l'рИП СОС'l'ои'l'
в '1ШЛ,О;J/сетlU равпых фuzур.
3'l'OT прием приложим не 'l'олько к ПЛОСIЩС'l'П, но 'l'акже ко всем
поверхнос'l'Я:М, на которых равные фиrуры Mory'l' сущеС'l'вова'lЪ в рruз
личных положениях, 'Х'. е. IЩ всем поверхностям, КО'l'орых произволь
ная час'lЪ може'l' бы'lЪ 'l'очно приложена посредс'l'ВОМ ПрОС'l'оrо изrпбаппя
к друrоЙ ПРОИ3ВОЛЬНОЙ чаС'l'II 'l'оЙ же поверхпос'l'И. ДеЙС'l'ВИ'l'ельно,
мы ВIЩИМ, что неизrибаемос'lЪ поверхностеЙ, на которых мыслятся
фиrуры, не есть сущеС'l'Венное условпе приложения этоrО прпема;
например, правильность ДОI аза'l'еЛЬС'l'Ва плоскоЙ еВI ЛИДОВОЙ rеоме'l'рИИ
не была бы ни в чем нарушена, если бы ста.ли рассма'l'Рlша'lЪ фиrу
ры, сущеС'l'вующие на поверхнос'l'И цилиндра или I oHyca, а не на
ПЛОСКОС'l'и.
ПовеРХНОС'l'lI, дЛЯ IЮ'l'ОРЫХ без оrранпчения оправдывае'l'СЯ свой
ство, о котором иде'l' речь, ЯВЛЯЮ'l'ся, по знамени'l'ОЙ 'Х'еореме raycca!
поверXnОС'l'ffirи, имеЮIIIIllПI в каждоЙ П3 своих 'l'очек ПОС'l'ОЯRное про
изведение двух rлавных радиусов 1 рПВИ3НЫ, пли, иначе выражаясь,
поверхнос'l'ЯМИ ПОС'l'оянноЙ сферической КРИВИ3НЫ 2). Друrие поверх
ПОС'l'И не допускаю'l' неоrранпченноrо приложения принципа наложения
для сравнения начерченных на них фиrур, вслеДС'l'Вие чеrо фиrуры
эти не Mory'l' име'lЪ С'l'роения, совсем не зависящеrо O'l' их положения.
СамыЙ сущеС'l'венный элемен'l' фиryр и построениЙ эле;\;lеН'l'арноЙ
rеометрии ес'lЪ прямая линия. Специфическое СНОЙС'l'ВО э'l'ОЙ линии
есть 'Х'О, Ч'1'0 она вполне определяе'l'СЯ толыщ двумя своими 'l'ОЧI ами,
1) To eCTЬ для случая стереометрии. [Ред.]
2) Териин «сферическая кривизна» соответствует современному «rayccoBa»
или «полная кривизна». ]Ред.]
182
Э. БЕЛЬТРАМИ
taI-\: что две прямые не MOI'YT проходить через две данные точки про
странства, не совпадая на всем CBoe l протяжении. Между тем в I'eo
метр ии на плоскости это свойство не применено во всей широте,
потому что, ВС lатриваясь в дело ближе, мы видим, что прямая введена
Б рассуждение плаНИ lетрии только помощью следующеl'О 770стулата:
«при совмещении двух плоскостей, на каждоЙ из I-\:ОТОрblХ есть прямая,
достаточно обеим прямым совпасть в двух точках, чтобы они слились
на Bce l своем протяжении».
Однако это свойство, определенное таким обра.зом, не принадлежит
ИСI-\:лючительно прямым линиям по отношении к плоскости; оно имеет
место, вообще I'ОВОРЯ, для l'еодезичеСRИХ линпй на поверхности
постоянной крпвизны по отношению к этой поверхности. rеодези
ческая линия всякой поверхности имеет уже свойство определяться
вполне (вообще 'оворя) двумя снои;\ш ТОЧКЮПI. НО для поверхностей
постоянной I рПВИЗНЫ, и только для них, осуществляется СRОЙСТВО,
ана.ПОI'ичное своtiству прямой на плоскости, т. е. «если имеются две
поверхности, крпвизна которых в каждой точке постоянна и одина
ков а для обепх поверхостей, и если на каждой пз них взяты l'еоде
зпческие линии, то при СОВ:VIещении поверхностей таким образом,
чтобы l'еодезические линии И Ie.ПИ две общие точки, эти линии совпа
дут (вообще) па всем свое;\I протяжении».
11з CJTOl'O следует, что, КрО;\lе случаев, в которых это свойство под
чинено Оl'раничению, теоремы планиметрии, доказываемые для фИI'УР
на плоскости посреДСТВО l принципа наложения и постулата о прямой,
имеют место равным обраЗО l для фИI'УР, образованных аналOI'ИЧНО
rеодезическпми ЛПНИ.5ThlИ на поверхности постоянной крпвизны.
На этом И:VIенно основаны МНOI'очисленные ана.пOI'ИИ между ['eo
метрпей сферы и rеО Ieтрией плоскости (считая, что прямым линиям
последней соо'rветствуют l'еодезические линии первоЙ, т. е. окруж
ности больших KPYI'OB), аналOI'ИП, которые уже давно были замечены
rеометра lИ. Если иные аналOI'ИИ друrOI'О рода, но TOI'O же ПрОIICХО
жденпя не были подоБНЫ 1 обра.90М сразу за lечены, то это надо при
писать тоыу, что понятие о поверхностях, И31'ибаемых и на.пожимых
одна на ДРУI'УЮ, вполне усвоено только в последнее время.
Мы сделали Ha IeK на исключения, моrущие разрешить или orpa
ничить указанную ана.поrию. Эти исключения действительно суще
ствуют. На сферической поверхости, например, две точки перестают
определять однозначно окружность большOI'О KpYI'a, КOI'да они диа
метрально иротивоположны. П08ТОИУ некоторые теореиы планиметрии
не имеют себе аналOI'ИЧНЫХ на сфере, KaI , например, теорема: «две
прямые, перпендикулярные к третьей, не MOI'YT встретиться».
Эти соображения послужили исходной точкой наших ИЗЫСI аний.
''1ы начали с TOI'O, что заметили, что заключения каКOI'о нибудь ДOKa
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕвклидовоfi rЕОМЕТРИИ
183
аательства обнимают необходимо целую катеrорию сущностей, для
КОТОрЫХ выполняются все неоБХОДИ:\lые условия ааконностп :этоrо
доказательства. Если при изложении доказательства ииелась в виду
определенная катеrория сущностей II если при :этом пе было введено
определений, обособляющих рассматриваемую l атеrорию от катеrории
более обширной, то ясно, что заключения ДOlшзатеЛLства приобретают
общность, большую той, которую искали. В :этом СJ1учае леrко может
случиться, чт() ншсоторые заключения покажутся несоrласными с приро
дой тех сущностей, которые первонача.льно имелись в виду, потому
что определенные свойства, существующие вообще для дапн()й KaTe
rории сущностей, MorYT значительно видоизмениться или даже пвовсе
ИСЧGЗНУТЬ дЛЯ He1 OTOpыx из этих сущностей, в частности. В таком
случае результаты изысканий предстаВЛI1ЮТ ВИДИ;VIые ПрОТИRОjJечия,
которых Yl\I не может понять, если не заиетит слишкои обlЦИХ OCHO
Баний, принятых ири исследовании.
Учитывая :эти предпосылки, рассмотрим доказательства плани
метрии, ОСН()13ываЮlциеся единственно на пользовании принципом нало
жения и на постулате о прн;vюй, каIШВЫМИ являются и ДОI азательства
нееВI ЛИДОВОЙ плаНIПШТРИИ. РеЗУJ1ьтаты :этих доказательств сохраняют
силу безусловно во всех случаях, дЛЯ IШТОРЫХ существуют :этот прпнции
и :этот постулат. Все :эти случаи необходи:\ю заключены, по сказан
ному выше, в учрнии о поверхностях ПОСТОI1ННОЙ кривизны; но пра
вильные выводы Б :этих случаях MorYT существовать только для тех
иа :этих поверхностей, на КОТОрЫХ rипотеаы, принятые в :Э'!'ИХ ДOKa
аательствах, не подвеРI'аюся никаким исключениям.
Существование принципа наложения не подверrается исключению
:Ни на одной из :этих поверхностей. Но, что касается постулата
о прямой (или, лучше сказать, о rеодеЗИ'Iеской линин), то мы уже
а3J\.I8ТИЛИ, что встречаются исключения на сфере и, следовательно,
на всех поверхностях постоянной положительной IСрИВПЗНЫ. Суще
ствуют ли теперь такие исключения на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны? ДруrИ:\IИ словаии, может ли на ;этих послед
mlx поверхностях проиаойти, что две точки не опрецеляют единствен
ной проходящей череа них rеодезической линии?
8'1.'0'1.' ВОПjJОС, насколько мне известно, не был еще рассмотрен.
Если бы можно было доказать ненозмОЖНОСТЬ таких ИСI лючений, то
стало бы а priori ясно, что теоремы нееВIСЛИДОВОЙ планиметрии суще
ствуют без ()rраиичения для всех поверхностей постоянной отрица
тельной кривизны. Тоrда И3Вfютные результаты, lсоторые l ажyrся
несовместными с rипотезами, характеризующиии плut)КОСТЬ, моrли бы
стать примени:\1Ъ1 I поверхности YlcaaaHHoro рода, и моrли бы получить
с помощью :этой поверхности ()бъяснение и простое, и удовлетвори
тельное. В то же время определения, БЬ13ывающие переход от
184
.
Э. БЕЛЬТРАМИ
неев:клидовой планиметрии :к ев:клидовой, моrли бы быть объяснены
теми определениями, :которые обособляют поверхности с нулевой :кривиз.
ной из СОВOItуПНОСТИ поверхностей постоянной отрицательной :кривизны.
Та:ковы соображения, :которыми мы ру:ководились в нижеследую.
щих И3blс:каниях.
ФОР Iула
W + +
(a2 u2 v2)2
(1)
представляет :квадрат линейноrо элемента поверхности, сферичес:кая
1
:кривизна IШТОРОЙ везде постоянна, отрицательна и равна B2 . Вид
ЭТОI'О выражения, хотя менее простой, чем вид друrих э:квивалентных
выражений, Iшторые можно было бы получить, вводя иные перемен.
ные, имеет то препмуш:ество (весьма важное для нашей настоящей
цели), что вся:кое уравнение, линейное относительно 7t и v, предста.
I
вляет rеодезичес:кую линию и что, обратно, вся:кая rеодезичес:кая
линия представ.lIяется линейным уравнением между :этими перемен.
НЫМII (см. прпмечание 1 в :конце статьи).
В частности, и две системы :координатных линий
u const, v const
образованы I'еодезичес:кими линиями, взаимное положение :которых
леr:ко узнать. Действительно, называя (j уrол между двумя :координат.
ными :кривыми в точ:ке (и, v), имеем:
( '1 иv . (j а V a2 7t2 V2 1 )
сов J , вт ,
v (а 2 и2) (a2 v2) VtШ: 7t ) ta v2)
(2)
от:куда получаl:JМ (j 900 :ка:к для 'lt О, таЕ и для v О. Следовательно,
l'еодезичеCl;:ие линии, составляющие систему u const, все пересе:кают
под прямым уrлом rеодезичес:кую линию v О друrой системы, и все
rеодезичеCltие линии СИСТI:JМЫ v == const пересе:кают под прямым уrлом
rеодезичес:кую линию u О первой системы. Друrими словами,
в точ:ке (и v О) встречаются две I'еодезичес:кие линии взаимно
ортоrональные,
и O, v O,
:которые мы назовем OCиOBиЪt,Mи, и :каждая точ:ка поверхности опре
деляется :ка:к точ:ка пересечения двух rеодезичес:ких линий, проведен.
ных через нее перпенди:кулярно :к ДB I основным линиям; это,
очевидно, составляет обобщение обы:кновенноrо де:картова метода.
1) в ориrинале вместо sin соrласно принятым в И'l'алии обозначениям
стоит sen. [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕвкцидовоfi rЕОМЕТРИИ
185
Из формул (2) видно, что значения, принимаемые переменными и, v.
оrраничены соотношением
u2+v2 а 2 .
(3)
Между этими пределами функции Е, F', G 1) вещественны, одпо
значны, непрерывны и Iюнечны и, сверх '1'01'0, количества Е, G.
EG F'2 положительны п отличны ОТ нуля. Следовательно, на OCHO
вании '1'01'0, что нами установлено в начале мемуара «О комплексных
переменных на какой УI'ОДНО поверхности» 2) часть поверхности.
оrранпченная КОНТУРОМ, уравнение KOToporo
и 2 +v 2 == а 2 ,
(4}
односвязна, и сеть, образованнан на ней координатными ['еодези
ческими линиями, представляет около ltаждой точки нечто вроде той
сети, которая образуется на плоскости двумя системами параллель
ных прямых, т. е. две rеодезические линии одной и той же системы
не И:lf8ЮТ ни одной общей ТОЧЕи и две l'еодезпческие линии разпых
систем никоrда друр друrа не касаются. Отсюда следует, что R pac
сматриваемой области каждой паре вещественных значенпй и и и,
удовлетворяющих условию (3), соответствует вещественная ТОЧIШ"
единственная и определенная; и обратно, каждой точке соответствует
единственная и определенная пара вещественных значенпй и и v,
удовлетворяющих указанному условию.
Итак, если мы обознаЧIПf БУItвами х и у прямоуrольные IЮОрДИ
наты точек вспомоrательной ПЛОС1ЮСТИ, то уравнения
х == и , У == v
определяют изображение рассматриваемой области, в котором каждой
точке этой области соответствует единственная и определенная ТОЧItа
плоскости, и обратно; и вся область оказывается изображенной внутри
Kpyra радиуса а с центром в начале координат, который мы назовем
предельным 'JfpYZO.M. Н этом изображении rеодеЗIIчеСItИ:lf лиииям поверх
ности соответствуют хорды предельноrо Kpyra и, в чаСТllОСТИ, коорди
натным rеодезичеCItим линиям соответствуют хорды, параллельные-
осям координат.
Посмотрим теперь, Ka1t ш'раничена на поверхности область.
R которой относятся предыдущие рассуждения.
1) Еоэффициенты в выражении линейноrо элемента поверхности cls2 == Е dи2 +
+ 2F du dv + G dv 2 , введенные Тауссом в Disquisitiones generales circa superficies
сшуав. (См. настоящиЙ сБОРНИIt, стр. 138.) [Ред.]
2) Delle variabili Cl:Jmplesse in llпа superficie qualunque. Annali di matematica.
2 серия, 1, 1867, стр. 329. [Е. В е 1 t r а m i, Opere matematiche, т. 1, Milano, 1902.
стр. 318, Ред.]
186
Э. БЕЛЬТРАМИ
rеодезическая линия, выходящая из точки (н == о, v == о), может
быть представлена уравнениями
u == r cos !-L, V == r sin !-L,
(5)
тде r и !-L обычные полярные координаты точки, соответствующей
точке (Н, v) и лежащей на прямой линии, которая изображает на
вспомоrательной плоскости рассматриваемую rеодезическую линию.
Для таких значений можно получить из (1), так Kalt !-L постоянно,
следующее 1) :
adr
ap==E ,
a" ru
ОТltуда
R a+r
р == 2 log ,
a r
тде р есть дута rеодезической линии, отсчитанная от точки (н == v == о).
Можно написать также
R /1,+ V u2+v2
Р == lo g
2 ..r .' + 9 '
a r н" v u
(6)
тде и, v координаты второто конца дуrи р. Еорень vu:\+v:\ должен
быть взят здесь со знаком +, если же<Iают получить абсолютную
величину расстояния р.
Величина :эта равна ну лю дл я r == о; она возрастает неопределенно
при возрастании r или V н:\ + v:J от нуля до а., становится бесконечной
для r == а., т. е. для значений u и v, удовлетворяющих уравнению (4),
и делается мнимой, котда r> а.. Поэтому ясно, что IЮНТУР, выражен
ный уравнением (4) и представленный на вспомоrательной плоскости
окружностью оrраНИЧIIвающеrо крута, есть не что иное, как rеометри
ческое место бесконечно удаленных точек поверхности, которое можно
рассматривать как rеодезическую окружность с центром в 'I.'очке
(н == v == о), rеодезический радиус которой беClюнечно велик. Вне :этоrо
rеодезическоrо крута бесконечно большоrо радиуса существуют только
мнимые или воображаемые области поверхности, TaIt что paCCMOTpeH
ная выше область простирается tffi-cI{Онечно II непрерывно во всех
направлениях и обнимает всю JOвокупность действительныХ точек
поверхности 2). 'l'аI\ИМ образом, внутри предельноrо крута пред
1) Элемент дуrи rеодезическоЙ ЛИШIП (5) обозначен dp. [Ред.]
2) В 1901 rоду rильберт установил, что не существует поверхности постоянной
QтрицательноЙ кривизны, реrулярной на всем протяжении и простирающеЙся
неоrраниченно во все стороны (мемуар r и л ь б е р т а «О поверхностях постоян
ноЙ rауссовоЙ 1СРИВИЗНЬП>, помещен на стр. 213 221 настоящеrо сБОРНИIса). Таким
Qбразом, в интерпретации Бельтра!'.ш может быть реализована лишь некоторая
часть неевклидовоЙ плоскости Лобачевскоrо, как 8'1'0 обнаруживает для KOHKpeT
IIЫХ случаев поверхностеЙ вращения и сам Бельтрами. [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
187
<Jтавлена вся веп ественная область нашей поверхности; при этом са:\ш
()кружность предельноrо Kpyra соответствует ее точкаи, расположен
ным в бесконечности; окружности же, концентрические и лежап ие
внутри предельноrо Kpyra, соответствуют rеодезическим окружностям
поверхности, И:\IеЮП И:\l центр в точке (и == v == о).
Если в уравнениях (5) рассматривать r как постоянное, а :.1 как
переменное, то эти уравнении соответствуют rеодезической окруж
ности п фор:vxула (1) дает:
RrfJ'
а== ,
V a2 T2
(7)
rде cr есть дуrа rеоде:зической окру:щ;ности, представлепная на ВСПО:\fоrа
тельноii плоскости дуrой окружностп, радиус которой есть r п цeH
тра.льныii уrол f-L. Тю( как а пропорционально f-L при каКО:\1 уrодно r,
то можно леrltо видеть, что rеодезические линии р составляют в обще:\!
начале такие же уrлы между собой, как радиусы, соответствующие
им на ВСПО:\Iоrательной плоскостп, и что малейшая часть поверхности,
Rоторая непосредственно OItружает точку (и == v == О), подобна своему
ПЛОClю:\!у изображению, свойство, KOToporo не имеет пикаltая дpy
rая точка.
И3 уравнения (6) получается:
r == 11 и 2 + v 2 == а th '
сЬ JJ..... == !!...
R w'
(7')
rде w есть положительное значение радикала 11 а 2 и'" v 2 . В силу
предыдущеrо значения r уравнение (7) может быть написано так:
а== '.1Rsh
, Е'
так что для иолупеРИ:\lетра I'еодезической окружности радиуса р
получается формула
т.:Rsh или <cB( e e --k).
(8)
И3 предыдущеrо следует, что rеодезические линип поверхности
представлены во все:\! их протяжении (вещественном) хорда:\1I1 пре
дельнOI'О Kpyra, между тем кю( продолжения этих хорд впе Kpyra
не имеют НИКaIюrо представления (Ben ecTBeHHoro). С друrой стороны,
две веп ественные точки поверхности изображаются двумя 'l'очка:\!и,
равным образом веп еСТ8енными, лежап и:\!и внутри предельноrо Kpyra
и определяющими одну хорду этоrо Kpyra. Итак, видим, что две
веп ественные ТОЧЕИ поверхности, вЪUJра1-f/ные i>a'h: Уiюд'Но, определяют
всеrда едu'Нстве'Н'Ную u оn,.vеделе'Н'Ную i?еодезu'ЧеСtr:УЮ лu'Нuю, которая на
вспомоrательной ПЛОСкости изобра'I\:ается хордой, Проходящей через
соответствующие им ТОЧltи.
188
9. БЕЛЬТРАМИ
Таким образом, поверхности постоянной отрицательной кривизны
ие представляют uс'Клю'Ц,еиuи, имеющих место в этом отношении на
поверхностях постоянной положительной кривизны, и, следовательно,
к ним приложи;иы теоремы неевн:лидовой планиметрии. Более Toro,
эти теоремы, в большей их части, доступны конн:ретному толкованию
толы,о тоrда, lюrда будем их относить именно к этим поперхност.ям,
а не к ПЛОCIюсти, I,al, :это мы ДOltажем ниже подробно. Для ItpaT
IЮСТИ мы позволим себе назвать псевдосфери 1 tеС1иt.ltи поверхности по
стоянноЙ отрипательной кривизны и сохраНИ:\I название радиуса для
постоянноrо количестпа R, от KOToporo зависит веЛIlчина их KpH
визны.
Найдем, прежде Bcero, общее соотношение между уrлом двух
rеодезичеCI,ИХ линиЙ и yrJIOM представляющих их хорд.
Пусть (и, v) ТОЧRа поверхности, (И, V) произвольнан точка
одн()й из rеодезичеCI,ИХ линий, выходящих из первой точкп. Пусть.
уравнения двух пз этих rеодезичеСRИХ линиЙ Tal,oBbl:
V v===т(U u), V v===п(U u).
Называя а; уrол rеодезпчеCI,ИХ u'lиний В ТОЧltе (и, t,), имеем ПО>
известноЙ формуле
(п ?п) VEG F2
tg а; === E+(п+т)F+тпG '
или для наст()нщих ;шаченпЙ Е, F, G 1)
.
t а; === а (п m)ш
g (1 +тп) a2 (v mu)(v пu)
[*1
Обозначая. через а;' уrол дпух хорд, а через 11- и ,, уrлы этих
хорд с осью Х, имее:\I:
т === tg 11-, 11 === tg ", а;' === '1 11 ,
и потому
tg а; ===
а 2 С08 а' (v COS fJ- и 8in fJ-) (v С08 " и 8in ,,)
аш sin а'
3наменатель второй части равенства остается Iюнечным во всЯlЮЙ
вещественной ТОЧI,е поверхности; следовательно, уrол а может быть
равен нулю толыю в случае, если числитель равеп' нулю. Но sin а.'
не нуль; действительно, две хорды пересеltаются внутри предельноl'O'
I,pyra и не сливаются в одну прямую; поэтому а; есть нуль только>
для w === О, т. е. толыю тоrда, lюrда ТОЧIЩ встречи двух rеодезических
линий уходит в беCIюнечность.
1) Е == R2 (а 2 v 2 ) F Wu'v
w 2 J === w 2 J
G== Ю(а2 u2) . [Ред.]
ш
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
189
Итак, можно сформулировать следующие правила:
1. Двум различным хордам, пересекающимся внутри rраничноrо
1tpyra, соответствуют две rеодеЗIIческие линии, пересекающиеся на
конечном расстоянии под уrлом, отличном от 00 и 1800.
П. Двум ра8ЛИЧНЫМ хордам, иересекающимся на окружности rpa
ничноrо Kpyra, соответствуют две rеодезические линии, сходящиеся
R тотше на бесконечно большом расстоянии и образующие R етой
-точке уrол, равный нулю.
ПI. Наконец, двум различным хордам, пересекающимся вне rpa
ничноrо Kpyra пли параллельным, соответствуют две rеодезические
линии, которые не имеют ни одной общей точки на все,,! протяжении
вещественной поверхности.
Пусть теперь pq (черт. 1) будет
'Kpyra, r точка внутри Kpyra, не
,соответствует на поверхности rеодезическая
линия р' q', проведенная между бесконечно
удаленными точками р' п q' (соответствую
ЩИI\IИ точка I р и q); точке r соответствует
тотша 1", лежа1цая на конечном расстоянии
и вне rеодезической линии р' ч'. Через ету
тотшу можно провестп бесчисленное множе
.ство rзодезических линий, из которых одни
встречают rеодезическую линию р' q', друrие
не встречают. Первые представлены пря
мыми, идуш;ими из точки r к раЗЛИЧИЫ 1
точкам дуrи pbq « 18()0) 1), вторые пред
.(;тавлены прямыми, идушдми от той "l,е
тОЧI{И к различным ТОЧIЩМ дуrи pcq (> 1800). Две rеодеЗIIче
.сшrе линии специальноrо положения оnразуют переход от одной из
19ТИХ катеrорий к друrой: ето 'i'e, которые представлены прямыми
"Р, rq, т. е. те р:ве I'еодезические .-rrиини, н:оторые выходят ин т' и
"сход.ятся с р' q' в песконечности, одна с одпой стороны, друrая
с друrой. 'l'aK IШК IIРЯ ЮJ1инейные уr.lIЫ l-pq, 1'qp Пl\IeЮТ вершины на
(ШРУЖIIОСТИ l'раничноrо Kpyra, то из Э'i'оrо спедует (11), что COOTBeT
.ственные rеодезичесш:ш уr",ы r'p'q', r'q'p' равны пулю, хотя первые
конечны. Наоборот, так как l' точка внутри пределыюrо Kpyra и
расположена вне хорды pq, то УI'ОЛ p1'q отличен от 00 II 1800, а по
тому (по 1) соответственные rеодезические лппип 1"Р', 1.1 q' образуют
в точке т' yrOJI, отличный от 00 и 1800. Итак, если rеодезпческие
"линии т'р', r'q' назвать параллельпЫ.ми линии p'q', так как ими
н:акая нибудь хорда rраничноrо
лежащая на хорде. ЭтоЙ хорде
ro х
Черт. 1.
1) Указание, что дуrа pbq < 1800 соответствует KOНIcpeTHoMY случаю IIO,юже
iНИЯ точек р, q, 1", изображенному на черт. 1. [Ред.]
190
Э. БЕЛЬТРАМИ
обозна Т lен переход от линий, встречающихр'q', к линиям, не встречаю
щим p'q', то можно выразпть результат, к которому мы пришли.
следуюшии образои: «Через всякую ТОЧRу (вещественную) поверх
ности все1'да можно провести две 1'еодезичеСКlre линип (вешественные),.
параллельные одной и той же 1'еодезической .линип (вещественной),
не проходяшей через эту точку, и эти две 1'еодезические линии обра
зуют между собой У1'ол, отличный от 00 и 1800».
31'01' результат СО1'ласуется, за исключение:\! раз,личия в употреб
ленных выражениях, с тем, что составляет основу нееВКЛIЩОВОЙ
1'еоиетрии. Чтобы сразу получить в псевдосферической 1'еоиетрии
интерпретацию ДРУ1'их предложений неевR.,тrидовой 1'еоиетрии, pac
сиотри:и 1'еодезический треу1'ОЛЬНИК. Известно, что КО1'да изучают
фП1'уры на поверхности, не развертываемой на плоскость, часто бывает
удобно для облеrчения понимания чертить на плоскости ДРУ1'ую
фИ1'уру, которая, хотя и не выведена из первой по определенному
1'еометричеСIШ:МУ заltOну, но служит все таки дли приб.тrиженно1'О-
уr.азаuuя обще1'О расположения фИ1'уры, воспроизводя наиболее суще
ственные отношения положения [relationi di sito]. Для. 1'01'0 чтобы
указыпающап фИ1'ура 1) ВLIполняла это назначение, нужно, чтобы BC
величины данной фИ1'уры, линейные и У1'ловые, были в указываю
щсй фИ1'уре заиенены величинами 1'01'0 же рода ( coo'rneTcTBeHHo )
далее, требуется, чтобы длины двух соответственных линий и синусы
двух соответственных У1'лов имели между собой все1'да конечное
отношение; впрочем, неважно, если это отношение произвольно изме
няе'l'СЯ с переходом от одной части фИ1'УРЫ к дру1'ОЙ, лишь бы оно-
не обращалось НИКО1'да ни в нуль, ни в бесконечность. НаЕонец.
очевидно, что при таком широком выборе следует стараться, чтобы
в Уlеазывающей фИ1'уре отношение величин не удалялось слишком
от изпеСТIIО1'О средне1'О значения.
у становив это, имеем, что если у 1'еодезическо1'О треУ1'ольника.
о IШТОрО:\I мы раньше 1'оворили, все вершины находятся на конечных
расстояниях, то ясно, что какой у1'ОДНО плоский треу1'ОЛЬНИК может
служпть e1'o указателем. 3тим плоским треyrОЛЬ IИКОИ Mo1' бы даже
быть ТОТ прямо линейный треyrольник, который служит изображением
rеодезическо1'О на ВСПОИOl'ательной плоскости; этот прямолпнейный
треyrОЛЬНIIК лежал бы весь внутри 1'ранrrчно1'О Kpyra. Можно было бы
еще, С:\IОТрЯ rro обстоятель('тва 1, rrредпочесть криволинейный Tpe
Уl'ОЛЬ1ппе, У1'лы KOTopo1'o были бы, наrrример, равны У1'ла:и 1'еодези
ческо1'О треУl'ольника. Но если rrредноложrrть, что вершины 1'еодези
ческо1'О треУ1'ОЛЬНlша бесконечно удаляются и уходят на беСIшнечное
расстоянrrе, то ясно, что в то время Kare 1'еодезический треyr'ОЛЬНПR
1) To eCTЬ индиrеатрIIса. [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
191
продолжает быть фиrурой, существующей на поверхности и имеющей
все точки, исключая вершин, на конечных расстояниях, объясни
тельная фиrура не моrла бы быть конечна во всех направлениях,
не нарушая каких либо И3 тех условий, которые были нами фОр:\1У
лпроваиы. Например, прямо,пинейный треуrОЛЬНИI{, изображающий
на ВСПО:\10rательной плоскости rеодезический треуrо.пьник, И:\1ел бы
конечные уrлы, между те:\! как уrлы rеодезическоrо треуrольника
БЫJпr бы равны нулю; r риволинейный треyrольник, стороны Iитороrо
были бы друr к друrу касательны в вершинах, нарушал бы подоб
Hым :ш:е обршюм условия, установленные на:\ПI: если бы взять две
точки Ь, с (черт. 2) на сторонах,
встречающихся в вершине а, то
fl
Черт. 2.
Черт. 3.
получились бы расстояния аЬ и Ьс, отношение которых было бы
конечно в вспо:\юrательном треуrольнике и бесконечно в треуrольm-rке
rеодезическом. Чтобы устранить 8ТО несоrласие, следовало бы, чтобы
все расстояния, аналоrичные Ьс, были равны нулю в объясm-rтельной
фпryре, что можно было бы осуществить только тем, что дать 8ТОЙ
фпrуре расположение как на черт. 3, rде точка О соединяет подной
себе изображение всех точer , расположенных в I'еодезичеСК():\1 Tpe
yrольm-rке на конечном расстоянии. Такой фиrурой представился бы
rеодезический треуrольник при рассматриванип ero сквозь линзу,
II:\1еющую свойство (воображае:\10е на:\пr) производить ()еСIинечн()е
уменьшение. В са:\10:\! деле, при TaI oM предположении псе Iинечные
расстояния представлялись бы равными нулю, а беCIинечные pac
стояния конечными.
Это, в сушности, соrласуется с тем, что raycc заметил в своем
письме к Шумахеру от 12 июля 1831 rода 1) (см. приложение к пере
воду У 8ЛЯ 2) «Теории параллелей» Лобачевскоrо 3)); в H M он
1) Письмо помещено на стр. 107 настоящеrо сборника. [Ред.]
2) В русскоЙ литературе встречается таI{же сдедующая траНСКрIШЦIШ: rУЭJIЬ
шит rоюэль. [Ред.]
3) AB'rop ссылается на
ваннй» Jlобачевскоrо: N.
сделанный У элем перевод «rеометрических исследо
J. L о Ь а t в с h е 'w в k у, Еtпdев gеоmеtriqпев впr la
192
Э. БЕЛЬТРАМИ
прибавляет еще, что полупериметр неевклидовоrо Kpyra радиуса р
равен
1 ( .f.. J:.. )
2" 'itk е k е k ,
I'де k постоянное. Это постоянное, которое, пu CJIORaM raycca, имеет,
I aK указывает наш опыт, весьма большое значение сравнительно со
всем, что доступно нашему измерению, с нашей настоящей точки
8рения и в силу формулы (8) есть не что иное, как радиус псевдо
сферической поверхности, которую мы без нашеrо ведо;\ш вводим
в планиметрию вместо еВR,ЛИДОВОЙ плоскости R,аждый раз, коrда наши
соображения основываются только на предпосылках, И;\1еЮIЦИХ место
одновременно как для плоскости, так и д,ля всех поверхностей YKa
<JaHHoro класса.
Желая теперь приступить к установлению более конкретиым об
разом соrласопания псевдосферичеСR,ОЙ rеометрии с неевклидовой
планиметрией, мы должны ВНlli ательно исследовать аналитическое
выражение, употребленное на;\IИ для представления линейноrо эле
мента псевдосферической поверхности. И прежде Bcero рассмотрим
следуIOН ИЙ вопрос: «должны ли две названные нами ос'Нов'Нымп l'еоде
<JичеCl ие линии бы'l'!> избраны каКИ:\i J1ибо особенным образом, чтобы
.,'ПIнейный элемент имел указанную выше форму». Rазалось бы,
в самом деле, что их можно избирать ПРОИЗ130ЛЬНО, потому что еслп
ВСЯII:ая част!, поuерхности может быть ;,ак У1'ОДНО наложена на ту же
поверхность, то ясно, что две какие уrодно ортоrопально rеоде3ИЧ(j
ские лннии, расположенные на этой части, можно привести к совпа
дению с двумя КaII:И;\IИ уrодно друrиии тю,же ортоrона;;rЬНЬПШI 1'eoдe
зи'шскиии линиями. Так к,ак поднятый на;\IИ вопрос СУlцеСТ13енпо
важен для нашей цели, то наи казалось подоuаЮ1ЦПМ посвятить СМУ
«Примечание 11», 13 котором, ДURазывая прямо, что основные rеоде
зичсские линии произвольны, мы В то же время обнару:ш:иваем, чтu
ВСЯ1I:ая часть поверхности может быть наложена ван: уrодно на ту же
поверхнuсть, причем нет нужды в Rаких либо предварительных допу-
1цениях по этому предмету.
Вследствие этоrо и изложенных уже основаниЙ теоремы нееВI\JПI
допuй планиметрии, относящиеся 11: H OCIHIM прямолинеЙНЫ11 фИI'урам,
uеобходимо имеют место также для ана.чOl'ИЧНЫХ 1'еодеЗIРШСВIIХ фиrур,
существующих на псепдосферичесвой ПОВСРХНОС'l'и. Таковы, нанример,
theorie аев paralleIes, sllivis а'ип extrait ае Ia cOlTespondance ае Gauss et ае Sclшmа-
'Cher. Traduit par HoiieI (Memoires ае Ia Бос. ае ве. рЬув. et natur. ае BOl-dеаuх,
1866, 4; отд. изд.: Paris, Gallthier Villars, 18(6). [Ред.]
опыт ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОП rЕОМЕТРИИ
193
теоремы пп. 3 10, 16 24, 29 30 и т. д. «rеометрических исследо
вапий» Лобачевскоrо.
Рассмотрим теперь две rеоде8ические линии, проведенные ин дaH
ной точки параллельно данной rеоде8ической линии. Пусть а есть
длина rеодеаической нормали, опущенной И8 Этой точки на данную
rеодеаическую ,ЛИНИю. Эта нормаль делит пополам уrол, состав,лен
ный двумя параллельными. Действительно, ес,лп отделить полосу
поверхности, 8аключенную между rеоде8ической нормалью, одной И8
параллельных и соответственной половинной данной rеодеаIIческой
линии, перевернуть ее и наложить снова на поверхность Tт , чтобы
нормаль совпала сама с собой, между тем I aк одна ПОловина rеоде
8ической линии пошла бы по направлению друrой ее ПОJIОВИНЫ, то
.ясно, что параллель, оrраничивающая полосу, должна упасть на
друrую параллель: :иначе чере8 данную точку можно было бы про
вести более двух линий, параллельных данной rеодеаической линии.
Нааовем уzло.м параллеЛb"lюстu уrол, обра80ванный каждой И8 парал
ле.i'IЬНЫХ с нормалью, и обоаначим ero д. Для вычисления этоrо уrла
применим наше аналитическое решение, помещая начало (и == v == О)
в данную точку и направлпя основную rеодеаическую линию v == О
нормаJПэНО к данной rеодеаической линии, так что эта последняя
представится уравнением
о
u==ath R ,
что леrко выводится И8 формулы (7').
Этой rеоде8ической линии соответствует на вспомоrательной пло
скости хорда, перпендикулярная к оси х, рааделенная этой осью
а 1)
пополам и один И8 концов которой имеет ординату, равную
сЬ R
Эта точка предельноrо Kpyra определяет радиус, уравнение KOToporo
х
Y==
Bb
R
и которому
l/
соответствует на поверхности одна И8 рассмотренных
параллелеЙj и так как уrлы вокру!' начала равны
на поверхности и на вспомоrательной плоско
сти, то, очевидно, мы должны иметь:
о
tg Д 8h R == 1
(9)
Черт. 4.
формулу, представляющую искомое соотноше
ние между нормальным расстоянием а и уrлом
параллеЛИ8ма д. Она совпадает с выражением,
1) См. черт. 4. [Ред.]
13 3вк. 1164. Об Основаниях reо..етрии
194
9. БЕЛЬТРАМИ
найденным Еаттальини (см. том 5 настоящеrо журнала, стр. 225) 1).
Для сравнения ее с формулой ЛобачеВСRоrо достаточно написать ее
в виде
2
e B + 2e B сtgД 1 ==0
и получить отсюда
11
coB/!:' + 1
е В ==
sin/!:'
Нижний знаЕ нельзя допустить,
ственно; итаR,
о
ТаЕ ЕаЕ Rоличество R веще
t g Д == e B
<:1
формула, отличающаяся от формулы ЛобачеВСRоrо (<<rеометриче
СRие исследования», п. 36) ТОЛЬRО обозначениями и выбором единицы.
Обозначая П (z), ItaE это делает ЛобачеВСRIIЙ (п. 16), уrол парал
лелизма для взятоrо по нормали расстояния z, мы получим посред
ством уравнения (9) следующее:
ch"'::'"
R
1
sin 11 (z) ,
z
sh R == ctg П (z) .
(10)
И3 замечания Миндинrа (Journ. Crelle, т. ХХ, стр. 325) 2), nOk
робно развитоrо Rодацци (Annali Tortolini, 1857, стр. 254 и след.),
известно, что оБЫRновенные формулы, относящиеся R сферичеCl1:ИМ
треуrОЛЬНИRам, превращаются в формулы для rеодезичеСRИХ треуrоль
НИRОВ поверхностей с постоянной отрицательной RРИВИЗНОЙ, если
умножить на V 1 отношение сторон R радиусу и оставить без И3
менения уrлы, что сводится 11: замене круrовых ФУНRЦИЙ сторон
функциями rиперболичеСRIIМИ. Например, первая формула сфернче
СRОЙ триrонометрии
а Ь С + .ь.с А
СОБ R == СОБ В СОБ 7I Б1ll R SШ ]j СОБ
обращается в
а Ь с Ь с
ch]j== chRch]j sh ]jsh 7I СОБА.
Если ввести посредством формул (10) 13место сторон а, Ь, с COOT
ветственные уrлы пара.ллелизма, то ЭТО соотношение превращается
в следующее:
sin П (Ь) sin П (е)
соsАсоsП(Ь)соsП(с)+ sinll(a) ==1
1) G. В а t t а g 1 i n i, 81111а geometria immaginaria di Lobatchewsky. (Giorllale
di Matem., 5, 1867, 217 231).
2) См. стр. 178 настоящerо сборника. [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
195
одно иа основных уравнений неевклидовой планнметрии (<<TeOMe
трпческие исследования», п. 37). Друrие получаются подобным же
обра'JОИ. (Обратный переход от этих уравнений к уравпеНИ!1М сфери
ческой триrонометрии был ;укман Лобачевским (п. 37), но просто как
аналитический факт.)
Из предыдущих результатов, наи кажется, вполне выясняется
соответствие, существующее между неевклидовой планиметрией и
.
псевдосферической rеоиетрией. Для Подтверждения Toro же с друrой
точют зрения мы установии шце прямо посредством нашеrо анализа
теорему о сумме трех уrлов треуrольника.
Рассиотрим ПрJL.\1:0уrольный треуrольник, образованный основной
reодезпческой линией v === О, одной из перпендикулярных rеодезиче
ческпх линий и === const п rеодезической линией, ВЫходящей из Ha
чала под уrлом fL и имеющей уравненпе
v == и tg [1-.
Назовем fL' третий уrол этоrо треуrоЛьника. Уrол, соответствую
щпй e;\IY на плоскости, есть 900 fL, и потому соотношение, YCTaHO
влепное ранее между соответственными уrлами на поверхности и на
плоскости 1), дает:
, wcosfJ.
tg fL ==
asiufJ.
откуда видно, что прп fL острои fL' также острый. Так как v == и . tg [1-,
то эту формулу можно написать, принимая радикал положительным,
так:
, v a cos':/J. u2
t g '.1 ===
, asinfJ.'
откуда
' а sin 11, . 1./, du
d;.1 === r
(a2 u2) Va2co<jjfJ. U ,
выражение прпращения, получаемоrо fL', коrда, сохраняя fL ПОСТО
явным, будем перемещать катет, ПРОТИВОположный уrлу fL.
Если теперь интеrрпропать по v элемент поверхности
-v БG F-2dи dv === В 2 а
dudv
3
(a2 7l2 v2) 2
между пределамп v === О в 1) === 11 tg [1-, что дает
R 2 a sin fJ. 71. d71.
(a2 и2) Va cos2fJ. W! '
или R2d'l',
то мы имеем приращение площадп
получаеi\ше ею, еслп перемещать
расс:матриваемоrо треуrольника,
катет, противоположный уrлу fL.
1) СМ. стр. 188, формула r * J. [Ред.]
13*
196
Э. БЕЛЬТРАМИ
Интеrрируя снова между 1-11 === 900 1-1 и 1-11 === 1-1' (иа етих значений
первое, очевидно, соответствует и === О), находим:
ш (; 1-1 1-1')
выражение всей площади прямоуrольноrо треуrольника. От fJTOrO
выражения леrко перейти к выражению площади KaKoro уrодно
rеодезическоrо треуrольника АВО, разделяя ero на два прямоуrоль
ных треуrольника rеодезической линией, проведенной через одну иа
вершин перпендикулярно к противоположной стороне; таким образом,
находим:
Ю('it А В О).
Так как это выражение должно быть положительно, то оно пока
зывает, что сумма трех уrлов KaKoro уrодно rеодезическоrо треуrоль
ника никоrда не может превосходить 1800. Если бы эта сумма равня
лась 1800 в каком нибудь треуrольнике конечных размеров, то R
должно бы было равняться 00, и тоrда во всяком конечном треyrоль
нике было бы также А + В + 0=== 'it. Но для R === 00 уравнение (9)
дает !1 === ; ПОЭТО fУ уrол параллелизма был бы необходимо прямой,
и наоборот. Это те же ааключения, к которым приходит и неевкЛИ
дова rеометрия.
Треуrольник, образованный rеодезической линией и двумя rеоде-
зическими линиями, проведенными парал.пельно первой через внепшюю
точку, имеет два уrла, равных НУЛЮ, и третий, равный 2/1; поэтому
.площадь ero конечна и определяется формулой
ш ('it 2 )
J1'Iли, по уравнению (9),
2R2 arctg (sh ),
II'де 1) есть расстояние точки от rеодеаической линии. Для R очень
.большоrо это количество почти равно 2oR, и потому для плоскости
,оно бесконечно, как известно, но бесконечно единственно в этом
.случае.
rеодезический треуrоЛЬНИК, все вершины KOToporo в бесконеч-
!НОСТИ, имеет площадь конечную и определенную, значение которой 1tR2
.не аависит от ero формы 1).
rеодезический мноrоуrольниК с 11 сторонами, внутренние yrлы
IROTOpOro суть А, В, О, ..., имеет площадь
Ю [(п 2) 1t A B O .. .].
1,) Подразумеваемая форма треуrольнин:а на вспомоrательпОЙ плоскости. [Pell.)
опыт ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
197
Если все вершины мноrоуrольника в бесконечности, то площадь
ero, остающаяся конечной, приводится к (п 2) 7СВ'2 и, следовательно.
па аависит от ero формы 1).
Перейдем теперь к изучению кривых, которые мы назвали, как
это уже принято, rеодезическими окружностями.
В конце примечания II мы находим, что rеодезическая окружность,
имеющая центром какую нибудь точку (и о , )o) и rеодезическим pa
диусом р, представляется уравнением
a2 ииO Vvп h р
==: С Jj'
V(a2 и2 v2) (a2 v )
:Это общее уравнение будет нам полезно далее; но теперь мы
можем воспользоваться упрош:ениями, которых достиrнем, предполо
ЖИВ, что начало (и ==: V ==: О) помещено в центре рассматриваемой
О:КlJУЖНОСТJJ. Давая выражению линейноrо элеме:нта (как в приме
чании II) вид
(11)
. ш 2 «(lи 2 + (lv 2 ) + (и аи + v (lv)2
ds'2 ==: В'2 w«
и полarая
и==: l' СОВ ер, V == l' sin ер,
получаем для этоrо линейноrо элемента э:квивалентное выражение
ds'2 ==: В'2 [( . а (lr. ) '2 + 2 (1'1'2 ] .
a;!. r2 a2 r2
Но, называя р rеодеаическое расстояние точки (и, v) или (1', ер) от
начала, имеем, как известно,
adr 1.2 sh'2.!!......
а2 r 2 R' а 2 r 2 R '
поэтому
ds 2 ==dp'2 + (Rsh )'2 dcp'2
уже иявестное выражение линейноrо элемента псевдосферической
поверхности.
:Это выражение входит в каноническую форму линейноrо элемента
поверхности ВРaJЦения. Но нужно заметить, что в настояшем случае
нельзя было бы наложить -на самом деле на поверхность врашеhия
псевдосферический вырезок, о:кружакший точку (и ==: V ==: О), не Ha
рушая непрерывности, посредством HeKoToporo разреза, сделанноrо
в этом вырезке, начиная от точки (и ==: V ==: о). Действительно, если бы
предположенная поверхность вращения существовала без этоrо усло
БИЛ, она встречала бы свою собственную ось в общем центре (р ==: О)
(12)
1) Здесь 'l'Oже, подразумевае'l'СЯ форма мноrоуrольника на вспомоrа'l'ельной
ЩЮCRо(;'fи. [Ред.]
198
Э. БЕЛЬТРАМИ
всех rеодезических окружностей р === const и потому имела бы в 8ТОЙ
точке обе свои кривизны одноrо знака, что невозможно, ПОТО:\1У что
у псевдосфеРИ'I8СКОЙ поверхности все точки i!uперболи,4Lес'Кuе. Та же
невозможность обнаруживается иС' рассиотреНIIЯ Toro обстоятельства,
что, если бы не производить ра'1реза, о которои мы только что rOBO
рилп, пере:Vlеннап cf' представляла бы долrоту пере:vrенноrо меридиана
и пото:vrу рз,п:иус параллели, соответствующий дуrе меридиана,
был бы R sh l ' Измененпе 8Toro радиуса было бы, следовательно,
cll dp, т. е. > dp, что нелепо, так как изменепие, о котором И,п:ет
речь, равняется проекции dp на плоскость пара.л.тrели.
Выраженпе (12) линейноrо 8лемента хотя и лпшено удобств, свя
заНН:,IХ с употребление:vr наших переменных 7L II V, но может быть
иноrда полезно вследствие ero простоты. 01'10 при:vшпяетсп, например,
для определения танrенциальной крПRИЗНЫ l'еодеЗJIчеСIПIХ окружиО
1 .
стей, которая для окружности радпуса р равна , птar , 8та
RthJ:....
R
КРИ13изна постоянна ВДШIЬ всей перпферии rеодезпческоrо I pyra и
за13ИСИТ только от радиуса. Это свойство можно заиетить а priOl"i,
наб.людая, что часть поверхности, оrраниченная rеодезическим круrои,
может быть паложена Kaт уrоДНО на ту же поверхность, причем
контур ее никоrда не перестает быть rеодезическим I pyroM, имеющим
центр в той точке, в которую был ПО:VI6Iцен первоначальный центр
наложеиноrо rеодезическоrо I pyra.
'l'eopeMa «rеодезические линии, восстаВJlенные нормально н cepe
динах хорд rеодезичеСIШЙ окружности, пересекаются все в ее центре»
доказывается I aI соответствующая Teope:Vla обыкновенной ПЛaJIИ
метрпи, И3 чеrо заключают, что построение центра окружности, про
ходящей чере8 три точки, не лежащие на одной и той же rеодезиче
ской линии, вполне аналоrпчно обыкновенному построению, так что
эта окружность всеrда единственна и определенна.
Но здесь появляется затруднение. Так как три точки поверхностИ
выбраны произвольно, то может случиться, что rеодезические линии,
вос'ставленные перпендикулярно к линиям, соединяющим три взятые
точки, в пх серединах, не пересекаются ни в какой веществетюй
точке поверхности; и пото:vrу, еслн присваивать название rеодезиче
скпх окружностей только Te:VI кривым, которые описаны концом He
изыеняющейся rеодезичзской дуrи, вращающейся BOKpyr вещестзен'Ной
ТОЧI И поверхности, то необходимо признать, что нельзя всеrда про
вести reодезичеCI УЮ окружность через трп точки поверхности, выбра'Н
'Ные 1lроuзволь'Но. Это mutatis mutandis 1) есть соrласие с ПРИНЦИП:kV!:И
l) с соответственными изменениями (лат.). [Ред.]
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕвклидовоfi rЕОМЕТРИИ
199
Лобачевскоrо (<<rеометрические исследования», п. 29). Но тем не менее,
Talt как rеодезические линии поверхности всеrда изображаются xop
даr-ш предельноrо Kpyra, то, если какие либо хорды, будучи продол
жены, пересекаются в точке, паходюцейся вне Kpyra, ПО3ВОЛIIтельно
считать, что соответственные rеодезические линии имеют ншеоторуlO
идеальную оБIЦУЮ точку и что их ортоrональные траектории в He
КОТОроЙ степени аналоrичны rеодезичеСКИ:\I ОItру.tlПIOСТЯМ в собствен
ном смысле слова.
Найдем ПрЯМО уравнение этих траекторий.
Уравнение
v vo == k (и /(0)
представляет систему reодезичеСltих линий, выходшцих И3 ТОЧКИ (и о , v o ),
вещественной или идеальной, сиотря по тоиу, будет ли и + 'c менее
или более a\J. Дифференциальное уравнение этой системы еС1'Ь
[Тп [l'v
== ,
п пo v vo
и потому дифференциальное уравнение ортоrональной систеиы будет
[Е (и иo) + F (v vo)] ult+ [F(u 7to) + G (v vo)] dv == О,
т. е. для значений Е, F и G в наСТОЯlцеи случае
d а2 1[U,о v'vo
==0,
-v a2 WJ v2
откуда
a2 uпO V1JQ == G
-v a2 u2 v2
есть конечное уравнение reодезических окружностей, понииае:\IЫХ
в более общеи смысле, т. е. при како:\! уrодно центре (и о , 1'0)' веще
(13)
ствеmюи или идеаЛЬНО:\I.
Rоrда этот центр вшцествен, ero расстояние от кривой ПОСТОЯННО
в силу хорошо известной '.rеоремы; в са:\юи деле, обозначая это pac
стояние буквой р, имеем, сравнивая с уравнением (11):
С
ch
R Va2 u v .
в втом случае ясно, что среди значений, которые можно допустить
для постоянной О, не включено значение, равное нулю, пото:ну что
I'еометриqеское место, соответствуЮlцее этому предположению, будучи
представлено на вспо:\юrательной плоскости прЯИОЙ, лежащей вне
предельноrо Kpyra, приходится целикои в идеальной области по
верхности.
Rоrда же, наоборот, цеF.rр идеален, то понятие rеодезиqескоrо
радиуса не существует; но постоянная G может получить нулевое
значение, потому что уравнение, вытекаЮlцее дЛЯ ЭТОI'О слуqая,
a\! uuo vvo== О,
200
Э. БЕЛЬТРАМИ
представляет на вспомоrательной ПЛОClсости хорду предельноrо RрУI'з,
и именно поляру внешней ТОЧRИ (и о , V o )' :Это уравнение определяет
вещественную rеодезичеСRУЮ линию повеРХНОСТИj СJIедовательно, можно
иа этоrо заключить, что между бесчисленным множеством rеодеаиче
СRИХ окружностей, имеющих один и тот же идеальный центр, всеrда
существует вещественная rеодезическая линия, и притом только одна,
так что rеодезические окружности с идеальным центром Moryт быть
также определяемы как кривые, параллельные (rеодезически) веще
ственным rеодезическим линиям. :Это последнее свойство было уже
отмечено Баттальини, но выражено иначе 1). Итак, мы видим, что
между тем как на сферической поверхности понятие о rеодезической
окружности и понятие о кривой, параллельной rеодезической линии,
совершенно совпадают одно с друrим, на поверхности псевдосфе
рической они, наоборот, представляют ра.зличие, зависящее от Toro,
будет ли их центр вещественным или идеальным.
Так КаЕ всякая rеодезическая ОI рУЖНОСТЬ с идеальным центром
равно отстоит во всех своих ТОЧI ах от определенной rеодезической
линии, то допустим, что этой последней служит сама линия v == О,
что всеrда можно предположить, и назовем Е rеодезическое расстоя
ние точки (и, v) от этой основной rеодезической линии. :Это расстоя
ние измеряется вдоль rеодезической линии из системы u === const и
дается формулой
R -V a и2+v
E== log .
2 -v a2 и2 v
Предполаrая Е постоянным, получии отсюда уравнение между и
и v для произвольной rеодезической окружности, имеющей центр
в воображаемой точке встречи всех rеодезических линий, нормальных
R линии v == О.
Назовем '1J дуту rеодезической линии v == О, ЗaI люченную между
началом и нормалью Е; ее величина определяется уравнением
R а+и
'1J== ;rlog a и.
Из двух последних уравнений получаем:
th
и a В'
е
atbf[
v=== ,
сЬ .2!.
R
откуда
а 2
w'J === а'.!. и 2 v'J === е .
сЬ 2 сЬ2 2L
R R
1) См. работу, цитированную в сноске на стр. 194. [Ред.]
опыт ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕвклидовоfi rЕОМЕТРИИ
201
Таким образом, при аамене переменных и и v переменными Е и 't)
выражение (1) обращается в
е
d.: 2 === dE2+ ch 2 R d"fj2,
(14)
т. е. в выражение, соответствующее поверхности вращения.
Обозначая буквой То радиус наименьшей параллели :этой поверх
ности, соответствующий, очевидно, е === о, и буквой r радиус napaJI
лели Е, имеем:
r==roch
и потому
ат То h е
de === R s Е '
Следовате.тrьно, пояс. псевдосферической поверхности, который
может быть вещественно преобразован в поверхность вращения, опре
делен условием
( То е ) 2
R sh R < 1,
т. е. он заключен между двумя rеодезическими ОКРУЖНОСТЯМИ, paвHO
отстояш;ими от rеодезической линии е === О, которая располarается по
наименьшей параллели. Ширина :этоrо пояса зависит от радиуса,
который желают назначить для наименьшей параллели, и имеет тем
большую веJIИЧИНУ, чем :этот радиус меньше. Длина пояса неопреде
ленна, и потому он навертывается бесконечное число раз на поверх
ность вращения; при :этом следует заметить, что ТОЧЕИ, налаrающиеся
таким образом одна на друrую, должны быть всетда рассматриваемы
как различные точки; иначе теорема, что через две точки поверхности
проходит только одна rеодезическая линия, перестала бы быть спра
ведливой. Иными словами, придется поверхность вращения paCCMaT
ривать как предел rеликоидальной поверхности, шаr котор ой CTpe
мится к нулю. Обе крайние параллели имеют радиус, равный V R:j + т:!,
и плоскости их суть омбиликалыlеe касательные к поверхности 1).
Между rеодезичес:кими окружностями с вещественным центром и
rеодезическими окружностями с центром идеальным находятся как
переходные фиrуры rеодезические окружности, имеющие центр в бес
конечности; :эти окружности заслуживают изучения вследствие своих
весьма замечательных свойств.
Общее уравнение :этих о:кружностей сохраняет форму (13), потому
что рассуждение, которое нас привело к уравнению (13), имеет место
для всех положений центра. Но, если ср авнить :это уравнение с ypaB
нением (11), в котором :количество V a:! u v или W o стремится
R нулю, котда центр уходит в бесконечность, между тем как при
том же предположении второй член безrранично возрастает, то видно,
1) См. черт. 4 на стр. 193. [Pea.J
202
Э. БЕЛЬТРАМИ
что произведение 700 ch стремится к конечному значению, к KOТO
1 1'..
рому, очевидно, стремится также произведение 700e R Если же
вместо р подставить р' p, то уравнение (11) можно написать так:
a2 ии vv UJ 1'.. UJ p! f.
о о ===.д.еВе B+ e ВеВ;
-,r а 2 !2 v2 2 2
следовательно, оставляя р lсонечным и заставляя р' безrранично B03
растать, между тем как 700 стре:иится к нул о, получим В пределе
а 2 шо v'vo 1 B P
== /се
-,r a2 и2 ш2 '
rде k постоянная. При таком представлении системы rеодезических
OItружностей, имеющих центр в бесконечно удаленной точке (и о , v o )'
параМе"1'Р р выражает постоянное расстояние между Itаltой либо одной
И3 8"!'ИХ окружностей и некоторой определенной и, оставая:сь положи
тельным, возрастает, пачиная: от этой последнзй окружности, по напра-
влению It бесконечно удаленному центру. При k == а окружноС"1'Ь р == о
обращается в окружность, проходящую через точку (и == v == о).
Если с пол оченным таItим обраЗ0М уравнением
а2 иио vvo Р
=== ас B'
-,r a2 u2 'v2
(15 )
комбинировать уравнение
7!0'V uvo cr
а 2 и !o 'vv o === R
:и если учесть соотношение и + v == a'J, то найдем, что линейный :эле
мент (1) принимает вид
(16)
2р
ds'2, == d?'2, + e R d:;'!.,
(17)
IЮТОРЫЙ снова соо"!'ветствует поверхности вращения.
Называя буквой ro радиус параллели р == О, дуrа которой есть о,
:и БУltвой r радпус параллели р, получаем:
Р
r == roe R,
а потому поверхность вращения вещественна только между преде
лами, определенпыми соотнuшением р > 1l log , так что окружность
р == о может обратиться вещественным обраЗ0М в параллель толыш
при ro -<:: 1l. Радиус наибольшей параллели есть 1l, соответствующий
значению р == 1llog ; следовательно, при надлежащем выборе r о эта
параллель может быть покрыта какой либо И3 рассмотренных окруж
ностеЙj например, при ro === 1l мы имеем c3u.'\1Y начальную окружнос"!ъ
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ I-IEЕвклидовоft rЕОМЕТРИИ
203
р === о. Наименьшая параллель соответствует р === 00, и радиус ее есть
нуль, та:к что поверхность вращения приближается, с одной стороны,
асимптотически :к сноей оси, :иежду тем I aR с друrой О1'раничена
плос:костью наибольшей параллели, :которой она и :касается. На эту
поверхность навертываетсн бесчисленное множество рав псевдосфери
чес:кан поверхность, :кончая ЛИНИf\Й р === О, если 1'0 === Е.
ТаН1'енциальная :крививна I а:кой У1'одно параллели OI азывается
1
равной Н ' т. е. она одина:кова для всех параллелей. Радиус же TaH
reнциальноii крививны параллели есть не что иное, I aI часть I aca
тельной :к меридиану, ва:ключенная J\Iежду точ:кой :касания (на pac
сматрпваемоЙ паралле.ли) и осью. Следовате.льно, для поверхпости
вращения, о :которой идет речь, эта часть :касательной посто\Тннаj
меридиональная :кривая есть известная линия равных r;;асательных 1),
а ПРОllвведенную ею поверхность сбы:кновенно расс-матривают RaI тип
поверхностей с постоянной отрицательной :крививной. (C I. lI]Jи-мечание
Лиувилля :к соч. :М:онжа 2).) С друrой стороны, 1'еодевпческие OI руж
ности с бес:конечно удаленным центром соответствуют, очевпдно, opи
Iиr;;ла.м, 3) rеОl\I8ТРИИ Лобачевско1'О (<<rеометрпческие исследшщния)},
пп. 31 и 32). Удерживая это наввание, JYIЫ можем поэтому СI авать,
что система :концентрических орици:клов превращается посредством
надлежаще1'О ИВl'Ilбания поверхности в систему параллелей поверх
ности вращения, проивведенной линией равных I асательных.
Чтобы до:кавать соответствие наших орици:клов с ОРИЦИI лами
а
Лобачевс:ко1'О, ваметим, что ДВУI'ранному У1'лу R двух меридиональных
плос:костей соответствуют на параллелях Р1 и Р2 две ДУ1'и 81 и 82' опре
деляемые уравнениями
р,
81 === ае Л,
р.
'<;2 === ае Л,
OТRyдa, навывая 'i: расстонпие P2 Pl' получаем:
1:
82 === 8 1 е Л,
формулу, совпадающую с формулой Лобачевсr;;о<!о (п. 33), ва ИСRЛю
чением обычно1'О равличия в выборе единицы.
Выражение (17) линейно1'О элемента не вависит от :координат (и(» v o )
центра рассмотренных орици:клов; сверх 1'01'0, мы видели, что каждый
ив орици:клов данной систе:\IЫ может прини шть положение наиболь
шей параллели. Поэтому можно отсюда за:ключить, что два произволь
ных ОРИЦИI ла поверхности Mo1'YT быть всеrда наложены один на ДРУ1'ой.
1) Называемая тpa1i:тpueoit. [Ред.]
2) G. 1\1: о n g е, Application de l'analyse а la g{)Qmetrie, Paris, 1850; примеч. IV.
1!) To eCTЬ nредельныlll линиЯЛl. [Ред.]
204
9. БЕЛЬТРАМИ
Через две точки псевдосферической поверхности проходят всеrда
два ОРИЦИRЛа, которые определяютсЯ, если через середиНУ rеодези
ческой линии, соединяющей эти точки, провести перпеIЩИКУЛЯРНУЮ к
пей rеодезическую линию, две бесконечно удаленные точки которой суть
центры искомых орициклов. Дуrи этих орициклов, заключенные между
данными точками имеют одну и ту же длину, зависящую ИСRЛючи
тельно от rеодезическоrо расстояния между данныМИ точками. Назы
вая буквой р это расстояние и буквой ci длину этих дуr, можно леrRО
найти при помощи уравнений (15) и (16) (здесь р имеет, однако.
друrое значение) формулу
ci == 2Rsh ;R '
представлнющую замечательную аналоrию с хорошо известной фор
мулой, дающей хорду в фУНltЦИИ дуrи, стяrиваемой ею в Kpyr8
радиуса В1).
Вышеизложенное, нам кажется, подтверждает во всех отношениях
обещанную интерпретацию неевклидовой планиметрии посредство...'i
поверхностей постоннной отрицательной кривизны.
Сама природа этой интерпретации позволяет без труда предвидеть.
что не может быть аналоrичноrо объяснения, столь же реальноrо,
для неевклидовой стереометрии. В самом деле, чтобы дойти до только
что изложенноrо объяснения, потребовалось заменить плоскость по
верхностью, линейный элемент которой НИКОИ1\I обрааом не может
быть приведен к виду
V d x1!+dy;!,
существенно характеризующему плоскость. Следовательно, если бы
у нас не было сведений о поверхностях, не совмещае1\IblХ с пло
скостью, нам было бы невозможно придать настоящее rеометрическое'
значение изложенному построению. Аналоrия, естественно, заставляет
думать, что, если может сущесЧ'вовать подобное построение для HeeB
КЛИДОВОЙ стереометрии, построение это должно быть выведено из pac
смотрения пространст ва, линейный элемент KOToporo не Mor бы быть
приведен к виду V dx:!' + dy:!' + dz1!, существенно характеризующему
евклидово пространство. И так как до сих пор у нас, кажется, нет
понятия о пространстве, отличном от евклидова, или по крайней мере'
понятие о нем выходит из области обыкновенной rеометрии, то есть
основание предполаrать, что, если бы даже аналитические соображе
ния, на которых основываются предьщущие построениЯ, были доступны
1) См. вышеуказанную статью Баттальини, стр. 229, а также нашу заметку.
помещенную в Annali di Matematica, 6, 1864, стр. 271.
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
205
распространению их от случая двух переменнЫХ к случаю трех пере
менных, результаты, при атоМ получающиеся, не моrли бы, однако,
6ыть построены обыкновенной rео:метрией.
:Это предположение приобретает степень вероятности, весьма близ
кую к достоверности, если на самом деле попытаться распространить
предыдущий анализ на случай трех переменных.
Действительно, если положить
В2
ds Я == [(аЯ uЯ v2) dt Я + (а2 vЯ ( 2 ) du 2 +
(a2 t2 u2 v 2 )2
+ (аЯ t2 u2) dv 2 +2MVdudv + 2vtdv dt+ 2tMdtdu], (18)
что представляет формулу, составление которой а priori при помощи
-трех переменных t, и, v вытекает И3 рассмотренип формулы (1) для
двух переменных и, v, то леrкО убедиться, что аналитические выводы,
которые можно было получить И3 выражения (1) полностью, суще
ствуют для новото выражения и что значение ds, даваемое атим
последним, есть на самом деле .значение линейноrо 8лемента тото про
.странства, в котором неевклидова стереометрия находит себе Ha
.столько же ПО.лное толкование, rоворЯ аnалuтu'Чес",u, как и ТОЛltование,
данное выше для планиметрии.
Но если переменные t, и, v заменим тремя новыми р, Р1' Р2' положив
t == r сов Р1' u == r Sln Pl сов Р2' V == r Bin Pl Bin Р2'
Ва. dr d
a2 T2 р,
-то получается формула
ds Я == dp2 + (R sh У (dp + sin Я Р 1 ap ),
показывающап, что Р, Р1' Р2 суть криволинейные ортоrональные KOOp
динаты рассматривае:моrо пространства.
Но Ламе дока:зал 1), что если принять за криволинейные коорди
наты точек пространства параметры р, Р1' Р2 трех семейств ортоr()наль
ных поверхностей, причем квадрат расстояниЯ двух бесконечно близ
RИХ точек представляется выражением вида
2222222
ds ==Н dp +П 1 dРl+ П 2 d Р2,
-то три функции Н, Н 1 И Н 2 переменнЫх р, Р1' Р2' вхОдПЩIЮ 11 это
выражение, непременно удовлетворпют двум различНЫМ тройка:\1 ypaB
нений с частными производны:ми, тип которЫХ дается слеДУЮIЦИМИ
1) G. L а m е, Le';OnB sur les сооrdопш'iеs curvilignes et leurs di vers apl'Iicationa.
PariB, 1859 (стр. 76 И 78).
206
Э. БЕЛЬТРАМИ
двумп уравнениями:
а 2 Н 1 ан ан 1 + 1 ан аН 2
аР1 dP2 == Н 1 ([(1 . dP2 Н 2 (lp2 . ([Р1 '
( ан", ) + ( аН1 ) + аН 1 . а1I 2 == о.
аР1 Н! аР1 аР2 Н 2 ([Р2 Н2 dp (Ip
В настоящем случае
П == 1, Н 1 == R sh , П == R sh sin Р1
и ДJIЯ 8ТИХ значений три первых уравнения УДОВJlетворены тожде
ствеНIЮ; по три последних удовлетворяются толыш прп R == 00. Итак,
выражение (18) не. может принадлежать линейному 8лементу обыкно
BeHHoro евклидов а пространства, п формулы, основанные на 8ТОМ
выражении, не MorYT быть построены посредством фпrур, которые
дает нам обыкновенная rеометрип.
Чтобы пополнить докаsательство невозможности дойти до построе
нип нееВКJIидовоfi стереометрии, не покидая области обыкновенной
rеометрии, нужно было бы быть в состоянии исключить возможность дo
СТИI'ПУТЬ 8Toro иначе, чем распространением метода, примененноrо к пла
ниме'l'Р1пi. JliIf,] не беремся утверждать, чтобы 81'0 было абсолютно HeB03
можно; мы rоворим только, что 81'0 кажется нам весьма невероятным.
Мы заметили МIDЮХОДОМ, что выражение (18) служит основанием
ПОJIНОМУ аналитическому толковапию неевклидовой С'l'ереО 1етрпп. Это
истолковапие будет И3JIOжено в друrом месте [). 3десь мы обратим
внимание ТО.лько на то, что, полаrая в формуле (18) t == const, полу
чаем выражение JIинейноrо 8лемента действительной поверхности
постоянной отрицательной кривизны, TaIt что 8ТУ поверхность, на
KOTOpoit, как мы видели, оправдываются теоремы неевклидовой плани
метрии, можно рассматривать существующей одновременно KaIt в оБLIE
новенном пространстве, так и в пространстве неевклидовом.
Прим:ечаНllе 1
Прпведение JIинейноrо 8Jlеиента поверхности постоянной отрица
тельной кривизны к виду, который Mы употребляли в предыдущих
изысканпях, основано на ре3УJIьтатах мемуара, напечатаннOl'О нами
1) в работе [см. наст. сборн., стр. 342 365. Ред.], которая дол:ш:на пuявиты;!
В Annali tli JliIatematica и rде самые общие принципы неевклидовоЙ rсометрии
рассмотрены независимо от их возможных отношениЙ к действительныы фиrураы
обьшновенноЙ rеометрии. В настоящей раБО'l'е мы имели в виду rлавным образом
пробудить некоторый интерес к нодобным изысканиям, предлarая исследоnание
случая, в котором абстрактная rеометрия встречается с конкретной; считаем,
однако, нужным заметить, что значение HOBoro lIорядка идей вовсе не подчипеиО
Б03МОЖНОСТИ указанной встrечи или ее отсутствию.
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
207
в VII томе «Annali di l\i[atematica» (Рим, 1866) ПОД заrлавием «Реше
ние задачи о перенесении точек поверхности на плоскость таким образом,
чтобы rеодезические линии были представлены прямыми линиями» 1).
Принцип на основании которото мп решили :эту задачу, следую
щий: котда устанавливают соответствие по пекоторому закону точек
какой либо поверхности с ТОЧI ами плоскости, можно всетда за две
независимые переменные и и v, которые должны бы были определять
точку поверхности, принять прямоуrольные коордпнаты х и у COOT
ветствующих точек плоскости. В тако:и случае, если требуется, чтобы
rеодезическим ЛИНИЯJ\; поверхности соответствовали ПРЯ;\lые линии на
плоскости, нужно, чтобы дифференциальное уравпение второто порядка
rеодезичеСЕИХ линий имело полным интеrралом линейное уравнение
ме:нщу и и v, а потому нужно, чтобы :это дифференциальное ypaBHe
ние приводилось просто к следующему:
dиd2V dvd2и === о.
Из общеrо же вида упо:мянутоrо дифференциальноrо уравнения
заключаем, что :это возможно только тотда, котда функции Е, F, а,
входящие в выражение линейноrо :элемента
ds === -V Edи:J+ 2Pdиd'v+ Gdv-J,
удовлетворяют четырем соотношениям, JIРИВОДЯЩИМ нас к заI лючению,
что :этот самый линейный :элемент может быть представлен в виде
ds === R -у«(,2 + v 2 ) (1712 2ItV (In (lv + (а 2 + 712) (lv 2
a 2 +и 2 +v 2 '
тде R и а произвольные постоянные. Для определепи.н природы
поверхностей, содержащихся в :этой форме, было ВЫЧllслено выраже
юш сферической кривизны (величина, обратная прои,НJ\щеннlO двух
1
rлавных радиусов I РИВИЗНЫ) и найдено, что оно lllI8eT значение 1-{2 '
из чеrо выведено заключение, что поверхности, о которых идет речь,
имеют сферическую кривизну постоянную и потому только I:JТИ поверх
ности допускают представление на плоскости, подчиненное указан
ному выше условию.
В упомянутом мемуаре мы предполаrали веществеНIIЫМИ постоян
ные R и а, потому что цель, для которой наши изыскания были
предприняты, естественно приводила к TaI OMY предположению. Дей
ствительно, мы заиетили, '1'1'0 :этот :элемент, в частнос'1'И, принадлежит
сферической поверхности радиуса В, касательной к плоскости
изображений в начале координат и представленной на :этой плоскости
1) Risoluzione del ртоЫеmа: di riportare i punti di una superficie ворта un piano
in modo che le linee geodetiche vengono representate da linee rette. Annali di Mat.
(1), '; (1866). [Ред.].
208
Э. БЕЛЬТРАМИ
центральной проеltциеЙj в таком случае переменные и, v суть в точ
ности прямоyrольные координаты проекции ТОЧRи, к которой эти пере
менные относятся.
Но так как значения постоянных R и а на с&'\юм деле произвольны,
то позволительно предположить их мнимыми, если находим :это нуж
ным. Действительно, если изменить :эти постоянные в R V 1 и
а V 1, то линейный :элемент, полученный в таIЮМ предположении,
соответствует поверхности постоянной отрицательной кривизНЬ1
1 '
=== R3 ' I'еодезические линии IШТОрОЙ, ItaIt В предыдущем случае, не
переС'l'ают изображаться на ПЛОСКОС'l'и прямыми линиями и, следова
тельно, задаваться линейными уравнениями между 7t и V. ТaItим
именно образом можно перейти от формул цитированноl'О мемуара
'к формулам настоящей работы. Единственная существенная разница
между обоими случаями та, что в первом переменные и и v MOI'YТ
принимать все вещественные значения, между тем ItaK во втором :эти
переменные заключены в известных пределах, которые леl'IШ опре
делить.
Примечание 1I
Если написать выражение линейноl'О :элемента в виде
d '6 R2 w2 (du2 + dv 2 ) + (иdи+vdv)2
s w4 '
(1)
то можно непосредственно видеть, что для перехода от первоначаль
ных основных I'еодезических линий к ДВу>\1 ДРУl'им, проведенным
через то же начало и взаимно ОРТОl'ональным, нужно пользоваться
обыкновенными формулами преобразования ПрЯМОУl'ольных координат
на ПЛОCltости, ItОl'да начало остается неизменным, т. е. формулами
и === и' cos !-,- v' sin!-'-,
v === и' sin fJ. + v' cos 11-,
I'де и', V' новые Iшординаты и fJ. Уl'ол новой основной линии
V' === О со старой V === о. в самом деле, из :этих формул имеем:
и2 + v'6 === и,2 + v,2, dи'6 + dv'6 === dи,2 + dv,2,
И потому формула (1) обращается в
ds'6 === W w,2 (аи,2 + dv'2) + (и' аи' + v' dv')2
иI4 '
(1')
сохраняя первоначальный свой вид 1). Длина I'еодезичеСЕОЙ ДУI'И,
1) Из BToro видно, что rеодезическиз ЛИНИИ, Ор'l'оrональные к выхоДЯЩ1I)[
из начала, представляются хордами предельноrо Kpyra, перпендикулЯрНbllП[
ОПЫТ ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛИ1l.0ВОЙ rЕОМЕТРИИ
209
Rыходпщей И3 нача.па, тю.;:же сохранпет во второй системе вид, который
она имела в первой системе, потоиу ч то она о пределяется уравнением
R а+ V и,2+ v,2
р == log .
2 a 11 и,2+ v,2
(2)
Рассмотрим теперь влияние перемены начала.
Возьием для этоrо как:\тю нибудь точку (и о , V o ) и предположим,
Ч'Ю основная линия v' == О второй систеиы проходит 'через эту точку,
Uo' v
т. е. положим, что сов u. == , sin fI' ==Д и потому
I 1'0 1'0'.
Uoи' vov'
1/.== ,
1'0
vou' + Uov'
v 1" ,
О
(3)
I'де 1'0 == V u '+v . Образуем теперь третью систеиу коо})динап' и", v",'
ОСНОВНыии лиНиями которой были бы rеодезическая .ц:иния v' == u и
друrан rеодезичеCI.;:ая л;ини.н, проведенная через точку (и о , V o ) HOp
мально к v' == о.
Проведем через произвольную точку (и', v') rеодезичеCI.;:ую .пиннIO,
перпеЦЦИI';:УЛЯРНУЮ к v' == (); наЗ0вем q ее длину и Р ее расстояние
СУТ прежнеrо начала (изиеренное на .пинии v' == о). Форму.па (2) дает
непосредственно
R 1 ' а+и'
p== og a и"
(4)
между тем Ral П3 фОр:\IУЛЫ (1) л еrко м ожно найти, ПО.паrая (Ти' == О
R V'a2 U"!+v'
q == l og
2 -.F . .
v a2 и''':!. v'
р)
rеодезическое раССТОПIIие РО обоих начал Си == v == о), (и о , '/,'0) Iншет
значеlше
!i 100" а+то
Ро 2 ь а 1'0 '
ВСJreдстви '1еrо I'еО.;J:е::ПI'1еСI\:ая дуrа, зак.:поченнан на основной Peoдe
зической JIИНИИ v" == () третьей спстеиы (Rоторап тожественна с v' == О)
межд;\. точкой (и о , v o ) и нориа.пью q, опреде.пяется уравнениеы
', ' == R 100" (a+u')(a 1'o)
р Ро 2 б(а и')(а+1'о)'
(В)
Но, обозначая а о постоянн;ро, аналоrичную постоянноЙ' а. в 'l'ретьей
системе, и замечая, что в этой системе количества, ана.;rоrичпые
R диаметрам, l1!JtJдставл.нющим 8ТН последние rеодезичеСRие линии. Обра'пro, ,;J;;IЯ
'1'01'0 что?ы две rеодезическне ЛИНIП1, пересекающиесн ортоrоналыIo D то'Ц'е (и, v),
были представлены на вспомоrательноЙ плоскости двумя ортоrональными пря
мыми, нужно, чтобы одна из 8ТИХ rеодезичеСRИХ: ЛИIOlii ПрОХОДИJIa через начало
(и == v == О), кш;: нто леrRО вывести из формулы, дашюй в тексте для преобразо
вання уrЛОЕ. Это своЙство становится очевидным в центральноЙ IlроеRЦIЛI сферы.
14 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
210
Э. БЕЛЬТРАМИ
количествам р, q второй СИС'l.'€мы, суть p po и q, мы приходим К за
ключению, что по аналоrии с (4) и (5) должно быть
R ао + 7t"
P P lo g
о o.o " ,
R 11 o. "-!.+v"
q ===;[ log "1/ .
V o.6 "-!. 'и"
ПрправlПIВан 8ТИ выражения к выражениям (6) и (5), получаем
два соотношения, даЮIцие следующее:
d' == о.оШQv'
a 1'o '
(w o == 11 a:A T6)'
" 0.0.0 ( { 1'0)
и ==
OJ. 1'01 ' ,
('1)
lIостоянная 0.0 остаетс.н, собстве1;IНО rоворя, неопределеlПЮЙ,
{ v'
кат;: мы имеем уравнения только между отношени ми а' а и
и" v"
ношенпями , . Поэтому естественно определи'lЪ 0.0 условием,
llо llо
для 7("==U, т. е. для u'==r o , v' ра вняется v", и тоrда находим:
"1/ >! 2
0.0 ' w o == V а 'Uo vo.
так
O'l'
что
Приняв это значение для 0.0' ПOJIУЧИМ И3 преДЫДУЩIIХ формул
, а (о.оТо + a? ")
и ==
о.llо + тои" .
, ao.f\v"
v== .
o.o.o+To " ,
эти же значения, будучи ПОДС'l'авлены в (1'), даю'l':
( 0.2 v"'l ) ша,,2 + 2 "'и" d " dv" + ( 0.2 ,,2 ) dv":?'
ds 2 == В2 v "
(o. и">! v"2):?,
И'l'ак, перенесение начаJIа точно так жtJ не из:vrеняет формы линей
Horo элемента, которая ОТJIичается от прежней ТОЛL!{О Ilодстановкой а о
вместо п, 'IТo не представляет НИI{акOI'О суш;ествеННОI'О изменения.
Чтобы получить, НaItонец, четвертую еистему, llполне незаписимую
QT первой, заменим обе основные линии и" == О v" == О дпу:vrя новыми
ОРТО1'ОНaJ1ьны:vrи I'еоде3ИЧtJС:КИМИ линиями, имеющими то же начa.JIO
(7(0' v o )' чеrо мы ДОС'fиrаем, ПОЛaI'ая
и" == и'" сов ,, v'" 8in ", v" == и'" sin + v'" еов ",
а мы знаем, 'l'fO подоб ан ПОДС'l'аНОВI,а ни в чем не из;\шняе'f формы
линейнOI'О элемента. СледопатеJIЬНО,' ;\lЫ видим, что ФUР;\l<L, приннтап
. I ' . : .
Пf'Рllоначально' ДЛ51 ЛИНtJЙНUL'U алемеН'fа, вовсе не пре,:J:етаВJIяет 'Iero
либо спецпально СПОЙС'l.'веННО1'0 опре,:J:еJIf'ННОЙ паре OCH013HI'IX I'еодези
',ItJC-1(ИХ линий; ТОЧ1{а (п == v == О) l\южет (,ыть, наоборот, Ю1КОЙ У1'ОДНО
точкой поверхности, :и оснuвная I'еОДЕ'3И'IеСRан линии 'и == U ;\южет
быть I;:аJ\:ОЙ ут'одно И3 l'еодезичеС1ПIХ JпrIПIЙ, проведеlПIЫХ '1ерез fJTY
ТОЧltу.
опыт ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕБКЛИДОБоtl rЕОМЕТРИИ
211
Принпман в соображение соотношеmIЯ, Iюторые мы наш,ли между
коордпнатами последовательных систем, и иолаrая д,ля краткости
аио V o . - avo + 'И'о .
p== COS'I Slll'l, q== COS'I Slll'l,
аото т.о аото То
а'Ип' + Vo avo. 710
Рl == юп '1 COS'I, ql == юп '1 COS'I,
аот о 1'0 а 0 1' 0 т 11
мы найдем с.педующпе OItончатеЛL1п,те соотношения
11' '"
"fами 71, v и Itоординатами и , v :
11 + rm'" PjV'" 1)0 + чи'" 'l,V'"
u == 1 Т ти'" Tl v '{1 ,v == 1 + ти'" Tl v '" .
Если раСС:\iатривать u и v, а татtже и'" и v", Itaтt ПРЯ:\iоуrо.льные
коордипаты соответственных точеlt двух ПЛОСltОСтей, то эти форму,лы
выражают rо:\юrрафпчеСltую завПСИ:\iОСТЬ между саИИ:\iИ ПЛОСltОСТill1И,
о че:\1 было Сltазано в мемуаре, питироваННО:\f в прпиечании I.
Ес.пп сравнить первоначальное выражение ,линейных элементов
в фУНltцип и иv с OItончательным выражением в фУНltции и'" иv"', то
найдем, что 8ТП оба выражения можно сделать тождественными, полат'ая
и и'" v '11" и v", v и'"
==: -+-- , == -+-- или, иначе, ==: -+-- , ==: -+-- ,
а ао а а о а 00 а ао
причем выбор 3Halta произволен в Jtаждой формуле. Это ДOItазывает,
что псевдосферичеСltая поверхность, расс:\штрпваемая Italt rибltап и
нерастяжимая, может быть наложена сама на себн Talt, чтобы каltая
уrодно иа ее точеlt (uo,v o ) занЯ:ла положение ЮlJtой уrодно друrой
ТОЧltи (и ==v === О) и чтобы I\аl\ая уrодно П3 rеоде:спчеСIШ:Х линий
выходящих иа первой ТОЧIПI (например, ,линия v", == о), совиадала на
всем своем протяжении с Itаltой уrодно И3 rеоде3IJчеСIПIХ ,линий,
выходящих И3 второй ТОЧIПI (например, с линиейv == о). Более Toro,
двойственность aHaltOB Ylt82HBaeT, что наложеппе двух rеодезичеCItих
уrлов одной и той же веЛИЧIIНЫ, И:\iеюш;их Вf',ршппы в 8'l'ПХ двух
точках, можно производить или пряиым илп обратныIM образом. Ha
ПрШv1ер, прямой уrо,л rеодезичеСltИХ лпнпй и'" == O,v'" == О может быть
наложен на уrол ,линий u == О с v == О или же ппсредствп:\1 СОВ:\i€тценпя
и'" == О с u == О и v", == О С V == О. JITalt, Itаждап часть поверхности
может быть наложена Itaтt ПрЯ:\iLl:\i, 'l'aтt и обратныи обрааои па I aEYIO
yroДEo часть той же поверхности; следовательно, если 11а 8ТОЙ части
существует I artая либо фиrура (папрпиер, rеодезичеCIШЙ треуrо.тrыпш)"
то она может подперrнутьсп на поверхпостп nce:vr lIер,":vюuтпrПlvl
IШltим может подверrаться ПЛОСIШЯ фиrура па своей п.)IOCIЮСТИ
оставаясь ппстоянно равной са \10Й себе. Естествепно, что 8'1'0 ра13енство
до,лжно относиться толы,о It длине лпнпй и It величине ут'лов, потому что
абсолют'Ноя Itрпвнзна линпй вовсе не входит здесь в рассмотрение 1).
r'== TOCOS'I
аа о
Tosin '1
т 1 ==
аа о
между I\оордина
1) 01n'Ностnе.lb'Н.ое ра:яенство, о котором Iще1' речь, было бы раВШIСТВОМ абсо
Л'lот'Н.1,t,Jt для ('УIцеетва, rР()J\!ртричеекие нредета:ялрния KOToporo не выходили бы иа
области двух измерений рассматриваемоЙ поверхности, подобно TO JY J{Ю, паши IIред
ставлеНIIЯ не выходят из области трех измерениЙ обьшновеппOl'О n{1oC'i'paHcTBa.
14*
21-2
Э. БЕЛЬТРАМИ
СвойСТВО, только что нами доказанн()е, было уже пзвестно, по
изложеI!ное выше доказательство, нам ItaJItется, обладает строrостью,
которой требует характер нашеrо вопроса. Впроче:\I, теоре:\ш raycca
устанавливает, что, еслп свойство, о которои мы rоВорИ:М, :\Iожеr при
надлежа'IЬ какой либо поверхности, эта поверхность неоБХОДIВЮ есть
одна из имеющИХ постоянную сферическую кривизну.
Не упустпм оТ:\IeТИТЬ полезный результат, который леrIЩ BЫBO
дится ИВ некоторых предшествующих фОР:\IУ.;r. rеоде;шческая окруж
ность, цеIПр KOTOpO есть точка (и о , v o ) п раДйУС р, предсоrавлена
Б третьей систе:\IР ,уравнением
7(,,2 + v,,2 == a th 2 '
ItaK ;-J'fО следует И3 формулы (6) TeltCTa . Но п з фОр:\IУ.лы (7) HaCTO
ящеrо прн.\Iечаuпп, так как а о == т о == V a2 r , получае:.\I:
-u,,2+ v ,,2 == ( a Tnи' ) {а 2 [(и' ro)\!+ v,2] , (rov'))'\
и, ItpO:\Ie °r()ro, фор:\1улыI (3) дают:
, lШ о + vV o
и== ,
То
v' == -uov 7Шn
t.
о
откуда
, 710 (п 7(0) + 'o (v 'o)
п 'f'O== ,
То
,1" == -но (v vo) vn (и 7i'()
10
а ПОТО:\IУ, пютнед, имее:\!:
аЗ [(и lo)3 + (v ,o)2-] ( 71 0V iVо)З Н'.!. L
(а 2 1[1[0 v/'o): ,1 В .
:+ro уравнеппе дает I'еО,J:еанчее о расстояние Р двух пропзво.лыIхx
то'шк (и, v), (и о , vo). IСоrда этн точки бесконечно БШI3It I, то это ypaв
нение возвращает нас непосредствеННQ к выражению линейноrо 8ле
:мента, И3 KOToporo :\Ibl ИСХОДИ,lJН.
Еслп ввестп B:\IecTo tll ФУНIШДЮ ch, ТО п )Jt'дыдущее уравнение
ПрИIlп:.\rаст более пзящный вид:
аЗ 7t7tо VVо 1 Р
Cl .
-Y(a1! u2 v'.!.) (a:! 71 ' ) R
ДАВИ,:I; I'ИЛЬЕЕРТ
о IIOВЕРХ1IOСТЯХ 11ОСТОШIНОЙ rА1 Т ССОВОЙ RРIIВП3НЫ
ПА VID HILBERT
-ОВЕН FI,,\CHEN VON CONSTANTEH GAUSS'SCHEN КRйММUNG
(1903)
О поверхностях постоянной отрицатедьнои IЧНIВИ3НЫ
Соrласно Бельтра:ни 1), поверхпость постоянной отрицательной
кривизны осуществляет ItYCOK плоскости ЛобачеВCItоrо (неевклидовой
плоскостн), если иринять за прямые плоскости Лобачевскоrо rеоде
зические линии поверхности постоянной отрица'l'еJIЬНОЙ кривизны,
а за длины н уrлы плоскости Лобачевскоrо настоящие длины 11
уrлы на этих поверхностях. Среди исследованных до сих пор поверх
ностей постоянной отрицательной кривизны не нашлось ии одиой,
которан простиралась бы неярерывно и ииела бы непрерывно меняIO
щуюся Itасательную плоскость в ОI{рестности любой своей точки; Ha
против Toro, все известные до сих пор поверхности постоянной отри
цателыIйй Itриви3нЫ обладают особыми линиями, за которые HeB03
можно продолжать эти поверхности непрерывно II с непрерывным
изменением Itасательной плоскости. Вследствие этоrо не удается
с ПО:\10IЦЬЮ ни одной И3 шшестных до сих пор поверхностей постоян
ной отрицательной кривизны осуществить цеЛИКО:\1 всю плоскостъ
Лобачевскоrо, и нам кажется, что прёдставляет принципиальный IIН
терес вопрос о '1'0:\1, .м'ОЖНО ли вообще 1Ulocr;;ocтb Jlоба:чевско?о в 'z{ело.ц
представить 1Ю способу Вельтра.М,и с nО.м'ОЩЬЮ а:ндлитu'ЧеСJiОЙ 2) поверх'Ности
nостОЯ1iUОЙ отрицатеЛЬ1iОЙ r.ривиЗ1i'Ы.
1) Giornale сН Matematiclle, '1'. 6, 1868
2) Ради npoc'l'o'loыI изложения я предпо.тrаrаю здесь, что рассматриваемые по
верхности пмеют а;налитичеС1 ВЙ xapa1 Tep, ХО'l'Я 1 Ю способ доказа'l'еЛЬС'l'ва, 'l'aK и
полученныЙ резуль'l'RТ (см. стр. 218) ОС'l'RIО'l'СЯ в силе и при предположении, что
функция \j3 (х, у) в уравнении (1) является достаточно далеко дифференцируемой
неанаЛИ'l'ической функцией. TO'l' фаК'l', Ч'l'О деЙС'l'ВИтельно сущеС'l'ВУЮТ неанали
тические, но в смысле 'l'еории повеРХНОС'l'ей реrулярные повеРХНОС'l'И постоянной
отрица'l'ельной кривизны (KO'l'opble, в СОО'l'веТС'l'ВИИ с доказанноЙ дальше теоремой
214
д. rИЛЬБЕРТ
Чтобы дать ответ на этот вопрос, мы буде:и исходить из предпо
,ложения, что существует ана.литпческан поверхность постоянной OT
рицателыюй крпвизны 1, которая в конечном повсюду реrу,лнрна
11 не имеет особых точек; мы покажех[, что это преДПО,ТIOженпе прпво
дит 1е протпвореЧIIЮ. Чтобы Olюичательно характерпзовать поверхность,
существование которой мы предпо.лаrаех!, не бходимо приппсать ей
еще сдедующее свойство:
:к а ж Д а я т о ч к а, л е :;1> а Щ а я в
дл я точек этой поверхности,
этой поверхности 1 ).
Ес,ли О есть неIюторан точка этой поверхности, то всеrда можио
выбрать прш,юуrольные осн координат х, у, z так, чтобы ТОЧIеа О
служи,ла началох! коордпнат п чтобы уравнение поверхности в Olepe
стности Э'l'ой ТОЧЕН О имело вид
конечно:и п предельная
таКЖе явлнется точкой
z === a.r;'2+ Ьу'2+ (,)', у),
(1)
['де (]. п h постоянные, связанпые Соотношепием
4аЬ === 1,
а степенной рид (х, у) содержпт члепы не ниже третьеrо порядка
ОТПОСИТeJIЬНО х II у. Очевидно, что ось z будет в даНlIO 1 случае с.лу
жить норхш,лью Ie поверхностн, а осп х и у будут давать те направ
ленпн, по которым ()преде.;;ппотс5Т I'.'Iавные Iеривизны.
у раш-rение
ах'?, + Ьу'2 === U.
опреДР.JIяет две аСII:иптоrпчеCI пе касате;:Iьные к повеРХНОСТII в точке О,
,лежащие в П,ЛОСIеОСТII ху; с,ледовате,льно, этн две касате,льные
J;IIIкоrл:а пе сливаются п дают напраВ.'IeИПН, по КОТОрЫМ проходят
а,спмптотпчеСIПIе ,ЛПНИII к поверхности в IIсс.ледуе:иой точке. Rаждан
1,1З этих аСПJ\1птотпчеСRИ:' ,линий' прпнад,лежпт пеКОТОрО IУ однопара
метрическому сеиейсту аСИ;\lптотическпх ,лпнпй, заполннющпх окрест-
ность ТОЧIеп О реrулярно и без пробе,лов. Поэтоыу если мы под и. и 11
будем IIO'нпмать достаточно :\1а,лые чпсла, то можно сделать с,тreдую
не MorYT прu'-'тираТLен пuпеюду непрерьшно с непреРLШffi,ТМ из:менение 1 KaeaTeJIL.
ной ПJIOСКОСТИ), был по J\щему предложеюпо показан r. Лютке1\re:Й<JрО 1 в ero ДИС,
сертации: G. 1. ii t k е ш е у е т, «Ueber йеп an?1ytischen Charakter der InteJ:!;rale уоп
partiellen Differentialgleiehllngen», G6ttingen, 19U2.
. 1) Смыел этоrо ус;;товия заключается в том, что запрещается раеематриваТL
оrраниченныЙ кусок поверхности без rраничпоЙ линии. Если j1,e раеематривать
коЙ 1tYC01t вмеете е rраницей, то это ПрОТИВОрUЧИJIО бы требованию рeI'УЛЯр
постк в окреСТIIОСТИ J1юбоЙ точки (если прпменить ero к ТОЧR:'J\! rрающы). В pe
зультате запрещено рассмотрение Оl'раниченных кусков, чеrо и нужно было дo
биться, тше как :иначе доказываемая теорема была бы, копечно, очевц,'J;НЫJ\! обра
:Юм неверна. [Ред.]
() ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ r АУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
215
щее построение. Отложии на одной И3 двух асимuтотичеСIПIХ лпний,
проходящих через точку О, дуру, д,лина н:оторой равняе'l'СЯ значению
параиетра и, через Е()нец эт()й ДУI'И проведем вторую аСИМП:l'Oтиче
СI\:УЮ линию и ОТЛОЖИi\I на ней ДУI'у, длина RОТОРОЙ равн,ПетСН 3Ha
чеНIIЮ пара Ieтра 7'; полученнан та:ким обраЗ0М точ:ка RОlIeЦ второй
дуrи однозначво оnредел,Пется ;значениями параметров и и 7). Если
мы в соответствии с ЭТИ:V1 буде:V1 рассматривать ПРЯМОУI'ольные EOOp
динаты х, у, z точеR поверхностп :как ФУНRЦИИ и п 7), ПОJlаран
х==х(и,1)) у==у(и,7)), z==z(и,7)),
то эти последние 'д.ЛЯ достаточно ма.ЛЫХ звачений и и 7) будут также
рерулярными аналитическими Фун:кциями и 11 7).
1Тз теории поверхностей ПОС'l'о.янной отрицательной I!:РИRИ3ПЫ!,
равной 1, известны СJIeдующие положения.
Если БУRВОЙ ер' мы обознаЧИ:V1 уrол между двумн асимптотичеСRИМИ
ЛИНIlНЫИ, проход.яЩИ:VIП через ,ТОЧIСУ и, 7), то для трех I{оэффицпентов
первой основной квадратичной фОр:V1Ы МЫ получим следующие 3Ha
чени.я:
е == ( дХ ) 2 + ( и У ) 2 + ( dZ ) 2 == 1
ии . n ! И ! '
, .
д:.с дх ду ду iJz az
r == ии О'и + ои О'и + и7! и'и == COS ер,
(, == ( дХ ) 2 + ( дУ ) 2 + ( aZ ) 2 == 1
.7 и'и и'и и'и '
' 1
И следоватеJfЬНО" :квадрат ПРOlI3водной от ДЛИНЫ дури произвольной
:КрIШОЙ, лежащеЙ на этой иоверхности, по КaIШ:VIу ни6удь па'раметру t
выра3 l1i Щ так:
( a, . ) 2 == ( а7 . ! ) 2 + 2 . d7t а . 'и + ( а . 'и ) 2
dt dt COS ер llt dt dt'
(2)
УI'ОЛ ер, рассматриваемый кш!: ФУНI{ЦИЯ от и и 7), должен удоплетво
р.ять уравнению в частных производных
д 2 ", . 1
дии'и SШ ер ).
(3)
1) Первоначально я доказа;;т невозможность существован'и,5'i поверхности по
стоянноЙ отрицательной кривизны, не имеющеЙ особых, точеR, на основании этой
формулы (Transactipns of tдe, Americain JIi1atll. Society, 'Т. 2, 1901). 3 TeM Хольм
rpeH (Е. Н о 1 m g r е п) дал более апалитическu!cJ .1;\оказательство '1'01'0 же фmcта,
также опираясь на ФОРМУJ1У (3) (Colllptes rcndlls, Paris, 1902). Принедснная здесь
переработка доказательства Хольмrрена примыкает IC тому изложению этоrо' дo
IсззатеЛЬства, которое было дано В. Бляппсе в ero «ДифференциальноЙ rеоме.rрии»,
т. 1, 9 96. В свя:зи е моим первоначаЛЬНЫJ\1 доказательством см. также и:зложение
Л. Бибербаха (Acta lllatllCmatica, т. 48).
216
Д. rИЛЬБЕРТ
Если отказаться от однозначнOl'О отнесения каждой точке повер
хности пары чисел и, v, то :можно сделанное построение распростра
нить на любые значения и, v. Вообще rоворя, и линия, про одяща.я
через точку О, может оказаться замкнутой; но всё же на основании
предположения, сде.ланноrо НМIИ относительно поверхности (стр. 214),
на ней можно откладывать по обе стороны от точки О CIюль УI'ОДНО
большие длины. Таким обраЗ0М, 1i:aЖДОМУ значению и соответствует
ТОЧ1 а на асимптотической линии.
В каждой такой точке Р рассмотрим проходящую <{ерез нее друl'УЮ
асимптотическую линию. Ifa 8Т()Й линии :мы примем в качестве па
раметра v, длину дуrи (со знаКО.\l), отсчитываемую от ТОЧ1>:И Р; CHOB1:t
по обе стороны от Р на асимптотической линии мuжно ОТКJ1адывать
рколь уrодно большие длины.
Rаждой паре значениЙ и, v соответствует, таким обра30l\1, OДHO
значно но, вообще rОlJОрЯ, отнюдь не взанмно ОДнозначно нюi:O
торая ТОЧ1>:а нашей поверхности. Ита1>:, иы получили то, что на Peo
метрическом яоьше называетс.я- отображением евклидовой ПЛОCIщсти
(и, v) в целом на некоторую накрывающую поверхность нашей задан
ной поверхности или на ее часть.
Теперь надо, прежде всето, показать, что каждая и линия нашей
поверхности .является асимптотическоЙ линией и что параметр и на
!Этой линии представляет длину ее дуrп.
Для линии v == О мы !Это уже знаем. Далее, на Основании формулы
(2), дающей представление линейноrо !Элемента, !Это имеет :место для
кусков и линий, которые прпнадлежат окрестности точки (и, О).
ДЛЯ общеrо доказательства достаточно убедиться в правильности
следующеrо утверждения.
Если а Положительное число, а Ь любое вещественное число,
то образ каждоrо ртрезка
a -< и -< +a, v== Ь
представляет на нашей поверхности кусок асимптотичеCIЩЙ линии
или последовательность ее КУСIЩВ, а параметр и при !Этом представ
ляет длину дуrи на !Этой линни.
При Ь == О !Эта теорема справедлива, Следует, далее, показать, что
, 1) если !Эта теорема справедлива при Ь == Ь о , то она справеД,JIива
также и при любом Ь, достаточно мало отличающе:мся от Ь о ;
2) если !Эта теорема справедлива дЛЯ Ь 1 < ь < Ь 2 , то она справед
лива также и при Ь == Ь 1 , И при Ь == Ь 2 .
Доказательство 8'1'0 получается путем ИСПОЛЬЗ0вания непрерывно
,сти и применения теоремы rейне Боrеля о конечном ПOI рытии.
Итак, справедливость !Этой теоремы Доказана для всех 8наЧI;\
ний Ь.
о ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ J'АУССОВОй КРИВИЗНЫ
217
Пусть теперь ер == ер (и, v) означает (как и на стр. 215) УI'ОЛ между
двумя l1сиыптотпчеCI{ПМИ ли:ни.нми, проходящими через точ!{у поверх
ностп (и, v), причем пусть 31'01' УI'ОЛ отсчитывается от положи
теЛЬНОI'О u направлепия к положительному v направленпю. Эта
функция ер (и, v) должна быть определена и непрерывна для всех
значений и, v и обладать непрерывными частными ПРОИ3ВОДIIЫМИ,
удовлетворшощими дифференциальному уравпеппю (3).
С помощью соответствующеrо выбора положпте.lIЬНЫХ 'I/ и и Ha
правлений :мы' можеи во всяком случае 'ДОС'l'И'1Ь '1'01'0, Ч'l'обы В т о ч I,!c'
и === v == О имели :\ItjC'l'O, неравенства
О<ер<'"
и
д:р .
и =>- О.
и
'l'aK Ь:Ш, ер ниrде не равно IП1 U, ни "', то вследствие непрерыв
насти фУНКЦIПI ер (и, v) для всех значений 7l, v должны иметь место
нераШЧIства О < ер (и, v) < 'i1:, а следователr,но, п неравеНСТIIО
sin ер > О.
Однако Функцпи ер (и, v), обладающей еТИl\ПI свойства \IИ, не суще
ствует.
Действительно, из дифференциаЛЫЮI'О уравнеппя
д 2 :р .
ии uv ==: Б1П ер
получнlOМ, 'по и'п dv > О, и следовательно, функция ии при увеличе
нии v растет.
В частности,
и:р . д:р
ии (О, 1) > ии (О, О) =>- О,
а потому можно найти такое положительное ЧИСJIО 1/, для [{оторО1'О
при О -<: и -<: 3а имело бы место неравенство
д:р
;JU(u, 1) > О.
Пусть т означает положительный минимум ФУНI{ЦИИ
д:р
и (и, 1) при О -<: и -<: 3а.
'
в таком случае при v =>- 1
ер(а, v) ep(O, v)== : (На, v). а =>- : (Па, 1). а =>- т. а,
(О « {} < 1)
и анаJ1UI'ИЧНО
ер (3а, v) ер (2а, v) =>- rп . а;
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПО ТаянНОЙ rАУС аВаЙ КРИВИЗНЫ
219
о поверхностях постоянной IIОДОЖИ'l'СЛЬНОЙ I(])ИВИ3НЫ 1)
в начале 8'1''01''0 исследавания мы исхаДИJ1И И3 вапраса а паверх
насти пастаяннаi1 атрицательнай I{РИВИ3НЫ, котарая R конечнам
павсюду была бы реrулярна анаЛИТIIческой, п пришли I{ вываду,
чта падабнай паверхнасти не существует. ]\i[ы хатим теперь с наиащью
саатветствующеrа метада исследавать апалаrичный вапрас д,ля за:\I
кнутай, не и;иеюшей асабеннастей паверхнасти паСТOJIННОЙ палажп
тельнай кривизны. Очевидна, сфера есть за:\fкнyrан паверхность па
,станннай паЛOJlапе.ЛLнай кривизны, и без асабеннастей. СOl'.ласна
.даказате;;тьству, праведеннаиу, па Mae:\fY ПРtJД.пажению, Х. Лпбман
наи 2), не существует нпкакаН друrай за:\IКНУТОЙ паверхнасти, абла
.дающей 8ти.vI свайствш{. Эта пала:а.'еНIIе мы хаТП:\1 палучпть I{aK
()ледствие И3 теаремы, катара я справедлив/;\, для любаrа, не имеюшеrа
асабенпастей куска паверхнастн пастаяннай палажительной КРIIШЫНЫ !!);
(JHa састаит в с.ледующем:
Пусmь 'На ,пveepxnocrYtи С 1IОсmоя'Н'Ной по.до.?{С/,lmе.;7Ь'НОЙ 1,PU61t.moit + 1
' -ыделе'На O(}'НO илu .м'Ноzосвяз'Ная оzра'Нц'ЧеЮiaЯ облаеmь без особых mо'Че1i:j
1'!редстав//.А/ себе, .ШЮ в 1.а:Jlсдой тО'Ч'/i;е этой облаетu, а ma'/i.J/ce 'На ее zpa
1tulIax 1IОстрое'Н-ы zлав'Ные рад'иуе-ы 1.ZJuвuз'Н-ы nоверх'Ноети; в тако.м с.flу'Чае
(j6ЛbZuий 'uз zлав'Н-ых рад'иусов крuвиз'НЪ/ 'Не aocmuzaem ceoezo .ца'кси.му.ма и
следоваrпелыiO, .меIЦ,Ш'UЙ ceoezo .м'Н'Н'Н.А/у.ма 'Ни в од'НоЙ в'НутреннеЙ rпо'Чке
(Jбласmu, еслп 1110.7(,1,0 'Наша поверх'Ность 'Не 11редстШiJlяеm собоЙ сферы с pa
юиу со.м , paenU"If. 1.
Для даказательства вспамним сначала, чта в СIIЛУ наПIеrа пре.n:
палажепия ПРОТI3веденне 'Обоих rлавных радпусов [{рпвпзпы па
всюду == 1, а патаиу больший И3 rлавных радиусав ЕрИВП НЫ далжеп
быть >-- 1. Отсюда непасредственна следует, чта l\cШI{CII:\IУМ балыпеrа
из rлавных радиусав I{РИВИ3ПЫ == 1 талька в таи случае, коrда 'Оба
радиуса КРИВИ3НЫ в каждой тачке jшс-с:\пiтривае:\юrа на:\IИ I{ycKa па
верхнасти 1. В 8там аGабам с;;тучае каждан тачка 8Tara I{Y<;Ka паRерх
1) Вопрос о '1'0:\1, можно ли осуществить эллиптическую неевклидову l'eOMeT .
рию с помощью ТОЧeI{ повсюду непрерывно искривлённоii поверхноеПI, по моему
чредложению l1ее.,шдован В. БоЙ: VV. В о у, «Ueber die Спrvаtпrа integra llшl
die Topoloj:(ie geschlossener Flachen», Iпапgш'аЫissеrtаtiоп, Gбttiпgеп, 1901 и JliIath.
Апп., т. 57, 1903. В. БоЙ построил в этоЙ работе 'l'опо;юrически очень интерес
ную, цеJIIlRОМ лежаIЦYЮ в конечном, однос'rороннIOЮ замкну'rую поверхнос'lЪ, I{O
'I'орая, ес.тrи ОТRлечьс я от одноЙ зю\шнутоЙ двойноЙ I{РИВОЙ С троЙной особоЙ
'I'ОЧКОЙ, в котороЙ пересшсаются полости поверхности, не имеет НИfсаIСИХ друrих
()собеmюстеЙ и обладает СВЯЗностью неевклидовой эллиптической ПЛОСКОС'ПI.
2) Gбttingеr Nacllrichten, 1899, erp. 44. p. т кже. интересные работы Toro же
автора в Math. Апп., т. 53 и '54. '
3) r. ЛюткемеЙеру в ero дисеСIJ'ПЩИИ, цитированной на еТр. 21!, и Е. XOJbM
трепу В 11:ath. Ann., 'т. 57 удалосiь доi{аза,iь аналИтическиЙ xapaIC'rep поверхностеЙ
постоянноЙ положительноЙ кривизны.
220
Д. rИЛЬБЕРТ
ностп есть омбилпческая точка, потсюда ;\ЮЖ110, КаК пзвестно, заRЛЮ
чить, что рассматриваемый KYCOI поверхности принадлежит сфере
радиусои 1.
Пусть теперь максймуи б6льше1'О П3 обопх I'JIaBHHX радиусов
крпвпзпы нашей поверхности > 1 j в тюеом случае 'МЫ предположим.
что, вопрекп иаmеиу утверждепию, в н у т р и это1'О куска поверх
ности существует ТОЧlеа О, в которой ДОСТП1'аетсп <'1'1'0'1' иаlесимум..
'l'aK IeaK эта точка О О:\lБПJIической заведоио быть пе может и, кроме'
'1'01'0, 5ШJIяется ре1'УЛЯРНОЙ ТОЧI ой нашей поверхности, то окрестность,
<'Iтой точь:п будет ПOIерыта каждыи из сеиейств .n:пнпй кривизны
ОДНOIератно п без пробелов. ЕСJIИ мы приием лпннн крнвизны 33:
координатные линпп, а саиую точку О за нача.ло этой коордипатной
системы, то, как ПЗВАСТНО из теорип поверхностп постоянной поло
жителыюй кривпзпы, будут справедлТlВЫ с.ледующпе ПОJIоженпя 1).
Пусть r 1 означает БОJIЬШИЙ из 1'.лавных радпусов КРИВП3НЫ ТОЧШI
(и, v), лежащей в окрестности начаJIa координат О == (О, О); в этоft
окрестности пмее:\1 r 1 > 1. Положии
1 r1 + 1.
Р == 2 10g 1 '
r1
положитеJIьпап вещественнан ве.n:ичина р, рассмаТРlшаеман как функ
ция и и v, удовлетворяет следующему уравнению в частных ПрОИ3
водных:
д"'р д 9 р e 2p е 2р
ди 2 + дV 2 == 4 .
(4),
'raK как с уменьшением r 1 функцпя Р возрастает, то она, БУДУЧIf
рассматриваема как функция переменных U Il v, должна в ТОЧI е'
и == О, v == О пметь наименьшее значение, а потому разложение !>
в степенной ряд по u и v должно иметь вид
p==a+au?'+2 UV+"(1)?'+.. .,
1'де а, а, , "( СУ'lЪ иекоторые константы, приче:и Iшадратичная форма.
аи 9 + 2?uv + "('и?
ни при каких вещественных значениях и II v не принимает отрпца
тельно1'О значенпя. Из ято1'О последне1'О обстоятеJIьства ДJIЯ постоян
иых веЛПЧIIН а п "( вытекают следующие неравенства:
а =>- О п "( =>- 0.
(5)
Подставим, с дру1'ОЙ стороны, ра3JIожение р в дифференциальное
уравнение (4); в такои случае при u == О и v == О мы ПОЛУЧИl\f:
e 2a e2a
2(а+"()== 4
1) D а r Ь о u х, Lecons вщ la thf;orie gешэrаlе des surfaces, т. 3, 776; В i а n с h i
Lezioni di geometria differenziale, S 264.
о ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ rАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
221.
'faK как постоянная а совпадает со значениеи р R точке О === (О, О)
и, стало быть, эта постоянная положительна, то выражение, стояп ее
в правой части 8Toro равенства, во всяком случае < о: следовательно,
из 8Toro равенства nH'l'eKaeT, что
а+1 < О,
'Что противореЧИ'I' неравенствам (5). Итак, мы убедились в несостоя
-тельности Hamero предположения, соrласно которому ТОЧltа, в KOTO
рой достиrается максимуи больmеrо па радиусов кривизны лежит
внутри рассматриваемоrо куска поверхности; ';I'e 1 самым справеДЛIl
вость выскааанпоЙ выше Teope IJJI доказана.
Отсюда, как уже БЫJЮ УПО IЯНУТО, непосредственно следуе'r Teu
рема о том, что за.IИi'nутая, ие и.ме-ющая uшп:шких особе'n'nостсtl 1LO
еерх'nость с 1LOЛОJlситсль'nой постояnuой 'Jiривuз'nой, рав'nой 1, есть
lJфера ра(}иуса 1. Этот результат указывает вместе с тем на то, Ч'l'u
сферу нельзя изrибать ItaK целое без Toro, чтобы на ней не I303ПИК.па
какая либо особеНХIОСТЬ.
Наконец, для за:\ш:нутой поверхности 8ТИ ИССJедоваппя привuдят
R следующему результату: если вырезать из сферы ПРОИЗ130JЬПЫЙ
кусок и затем этот кусок KaIt уrодно изоrнуть, то максимум БОЛЬШeI'О
из двух rлавных радиусов RрИВП3НЫ, полученных такпм обра:3ШI,
JJсеrда будет лежать на rранице 8TOI'O Kyclta поверхнос'rи.
АРТ1'Р R3ЛИ
ШЕСТОЙ ME IYAP О ФОРМАХ
.
ARTHL'R CAYLEY
А SIXTH MEMOIR UPON QUANTICS 1)
(1859)
в настоящем мемуаре я предполаrаю рассмотреть rеометрическую
теорию; я каса.ЛСЯ этой части темы в 3 M и '4 M параrрафах «BBOД
Horo мемуара» 2). Настоящий мемуар рассматривает rеометрии одноr()
и двух измерений, соответствующие аналитическ м теориям бинар
ных и тернарных форм. Причем теорпя бинарных форм рассматри
вается сама по себе, так как rеометрия одноrо измерения является
настолыи непосредственной интерпретацией теорпи бинарных форм,
что нет необходимости рассматривать эту rеометрию отдельно: она
рассматривается в связи С rеометрией двух измерений.
rлавным объеКТО:\1 настоящеrо мемуара является установленпе на
чисто проективных принципах понятия расстояния. .я И:\1ел иамере
ние дать в этом вводном параrрафе очерк этой теории, но нахожу,
что для Toro, чтобы быть понятным, необходимо повторить большую
часть содержания, касающеrося этой темы, и поэтому я отка3f.lваюсь.
от 8Toro. Параrрафы настоящеrо мемуара пронумерованы как иро
долженпе параrрафов моих предшествующих мемуаров О формах :З)
1) ПринадлежшциЙ Rали термин «qllantic» (кваНТИRа) мы перевЕ'nП R C()OT
ветствии с установившеЙся терминолоrиеii словом «форма». Слово qllantic про
изведено от .'IатинскоI'О прилаrательноrо, оаначающеrо (i'ка оЙ то ('тепени», при
чем в 1tачестве существительноrо подразумевается Функция. Термин <iквантикш>
Еали прпмецяет не только для обозначения всеЙ СОВOItуПНОСТИ алrебраичеСRИХ
целых однородных ФунициЙ, но также и для уравнеmIЙ и rеометрических МЕ'СТ,
ими порождаемых. [Ред.]
2) См. библиоrрафию на стр. 518. [Ред.]
3) Нумерация параrрафов начинается в настоящем мемуаре с п. 147. Первые-
из них, пп. 147 148, BBOДHыe, далее, пп. 149 168, посвящены rеомеТРШI oДRoro
измерения, пп. 169 208 rеометрии двух нзмерениЙ. Теория проективной Me
'1'рики рассматривается в пп. 209 229. Здесь приводится полныЙ перевод только тоИ-
ШЕСТОЙ MEMYAR О ФОРМАХ
223
14-7. в настоящем :мемуаре rеометрии одноrо и двух измерений
рассматрпваЮ'fСЯ как rеомет'рия точек на прямой, так п соответственно
rеометрия точе'к и прямых на плоскости. Однако :эту тра.ктовку не
следует понимать в узком смысле. Так, в СИJIУ ПРОeItТИВНОЙ двой
твенности на плоскости и в пространстве прямолинейному точечному
ряду взаимно соответствуют множество прямых, проходящпх через
одну точку и ле:ш:ащих в одной ПЛОСЕ СТИ (пучок рямых), И множество
плоскостей, проходящих через о.цну прямую (пучок плоскостей).
Поэтому в обычную формулировку теорем следует считать включен
ными и двойственньте теоремы и считать, что rео:метрия трактована в
абсолютно обще:\.I виде. В rеометрию двух измерений включена, в част
:Ности, и сферическая l'еометрия; слова плоскость, прямая и точка озна-
ают в этом случае сферичеСltую поверхность, ДУI'у большоrо Kpyra
и точку, т. е. пару противоположных 'fочек сферичеCIЮЙ поверхности.
148. Переменные х, '!J в rеометрип одноrо измерения и х, у, z
или 1;, '1"1, (, В rеометр:и.и двух измереНI!Й ЯВЛЯЮ'l'СЯ однородными
(проективными) координатами точек или соответственно прямы.х и,
следовательно, являются определенными лишь с точностыо до общеrо
ненулеВОI'О множителя.
u rеометрии одиоrо измереиия, НП. 149 168
]49. В rеометрии одноrо измерения пряиая рассматривается как
пространство или loc//s in qиo 1), образованное точками. Индивидуаль
:ЁIыe точки прямой определены коордипатаии (х, у), а именно, путем,
ридания им конкретных значений, т. е., написав х, у == а, Ь, мы
получаем ко кретную точку прямой. . Мы можем также rоворить, что
прямая есть locиs 'i'll qttO координат (х, у):
. lБО lБ3. В дальнейшем употребляются введенные в предшес'l'13УЮ
щих мемуарах сокращенные обозначения' для бинарной н:вадратичной
фориы
(а, Ь, сЗi. х, y)" == ах 2 + 2Ьху + су2
и для полярной ее БИЛИJ;Iейной формы
(а, Ь, сях, уях', у') == ахх'+Ь (ху'+х'у)+суу'.
части мемуара, rде строится теория расстояния, т. е. ии. 209 229. ПjJсдтсстную
щая частЬ мемуара, I{RK содерж.ащая большеЙ частью уже и:звестпые ре:ЗУЛLтаты,
ИЗЛОО1,ена, за немноrими ИСltлючепиями, в сокращеНIIОМ виде. Сокрюцение COCTa
влево Б. Л. Лаптевым, в отличие От подлинноrо текста Еэли, СOItращенныЙ текст
QТJ\!ечен веРТИItaльной чертоЙ слева. [Ред.]
1) Лат., rеометричеСlше место, носитель (буквально «место, в КОТОрОМ»).
[Ред.]
224
А. КЭЛИ
АнаЛOI'ичные обозначения применнются I дЛИ форы С большим чис
лом переменных и более высокой степени. Приведем в Itачестве при
:мера обозначения для тернарной квадратичн()й формы:
(а, Ь, с, {, у, hях, У, z)'3==ax<;!+by<;!+cz'2+2fyz+2gzx+21 xy.
Применяются также и еще более сокращенные оБОЮlачения без УIШ
зания :коэффициентов. Например, для тернарной формы т й степени
имеем:
(* я х, У, z)""
и т. н.
Уравнение (* Я х, у)1n == О онределяет СИШ'I::ШУ rп точt\Б. СисТt\ма
точек , единствеlПIая фиrура в rеометрии одноrо измеренин. Совпа
дение пары ТОЧeIt системы характеризуется обраЩРНlIeМ дискрими
нанта в нуль. И вообще, обращение в нуль инвариантов наRлады
вает неЕоторые условия на расположение точек систеЛIЫ или систем.
В частности, для двух пар точек, определенных ураннения;\[и
(а, Ь, сях, .11)2==0,
(а', Ь', с'ях, .11)2==0,
обращение в HYJIb БИ.Т1ннейнOI'О Iпшарианта
ас' + 2ЬЬ' + са' == О
является хаРaI 'fеРИСТИRОЙ l'аРЛЮНИЧfЮКОI'О расположения C--lТИХ нар
ТОЧeIt. АнаJIИ'fнчеСI ая теория rарЛЮНIIзма, ВIt,ТIючая понятне aIIl'apMO
ничеCIщrо отношрния и IIНВОЛЮЦПН, развррпута в «rI\1T() l "шмуарс
о формах».
154 164. Нонн'сне l'армоническOI'О раUJIО;lO;Ъ;\::ШПН ПVПВОДlIТ 1.... 'Пю
рии пнволюцип. Две данные пары точек, находюциеся в l'арлIOПИ
чеCIЩМ расположении к тре'fьей, образуют, как rоворят, lIННОЛЮЦИЮ
четырех 'l'ОЧf'R. ТОЧЕН пары, rармоническоit с данными, на:![,Iнаются
самосопряжеННL1ЛШ (или ДВОЙНЫМI ) точка:VlИ ННВОJIЮЦПН. JYloa;Ho pac
сматривать систему, СОСТОЯПJ:УЮ из БОJIьmеl'О чнс,"ra пар в ИНRО.7IЮТЩlI.
Две точки I акоЙ лпб() одноЙ пары ТaI ОЙ СПС'fеМf,1 назы аЮТС\1 взаТНIПО
сопряжеНПЫ;\ПI. Rаждая И3 точек пары, rарМOIПI'IеСRОЙ с данныып,
может расшraтриваться кю сопряженная самоЙ cciJe, что объпсняt'т '
'l'ермпн «са:носопряженная». 'Условие, чт() три Ш:LVЫ 'ЮЧШ;:, OHpeдp
ленные RваДРИRами и == О, и' == О, и" == О, находятся в ИНRОJlJOJППI.
заключаf"l'СfJ в линейной зависимости ИJIИ СИЗИI'ИП атих l надрJН'
j,u+ л'/t' + л"и' == О,
или
а Ь с
а' Ь' с' == О.
а" Ь" С!'
АIll'аРМОШIческое отношение четверltи ЭJlелreптов Н проешrивное
соответствие (rо:моrрафия) двух пространс'.l'В, И:\'Iеющих одно измере
ние, аналитичеСRИ связаны с 'l'еорней бн.линсйных бинарных форм.
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
225
Условие проективности (проективноrо соответствия) двух четверок
точек (а, 1), (Ь, 1), (с, 1), (а, 1) и (а, 1), ( , 1), (., 1), (о, 1)
1 а а аа
1 Ь Р b === О
1 с . с.
1 d о ао
может быть также выражено в виде равенства анrармоничеСltих
отношений этих четверок точек. Если две четверки проективны, то
может быть установлено четыре различных проективных соотrзетстви.я
между точками этих четверок.
Если два пространства одноrо измерения, между точками которых
установлено про ективно е соответствие, совпадают, т. е. являются
той же самой прямой, то, вообще rоворя, существуют две точки
одной системы, совпадающие с соответствующими ТОЧltами второй
системы. Это так называемые сопр женные или двойные точки
nPОeItтивноrо соответствия. Двойные точки Moryт, в чаСТНОСТII, и
совпасть. В виде примера проективных систе;>;t на одной пряиой
может быть приведена инволюция А, А', В, В'. В случае инволюции
npоективны не только четверки (А, В, О, п) и (А', В', О', п'), но и
четверки (А, В, О, О') и (А', В', О', О).
Если на прямой задана инволюция и каhие JIибо две произволь
ные точки, то система точек, rармонически сопряженных первой
точке относительно пар точек инволюции, будет проективна системе
точек, rармонически сопряженных второй точке относительно тех же
пар точек. На этом свойстве основано введение понятия проеltтив
Horo соответствия двух инволюций, заданных на различных прямых.
В 1tачестве определения требуется, чтобы на одной прпмой система
точе1t, rармоничеCItи сопряженных какой либо ТОЧ1tе относительно
пар точек инволюции, была проеltтивна аналOI'ИЧНОЙ системе на дpy
roй прямой.
.Можно также ввести понятие ПрОeItтивноrо соответствия четырех
и более четверок точек одной прямой и тем же числом четверОR
дрyrой, если потребовать проективной зависимоd':rи анrармоничеCItих
отношений для соответствующих четверок.
165. В предшествующей теории rармонизма ПOItазано, что если мы
имеем какую либо пару точек
(а, Ь, eJ!:x, у)2===0,
то уравнение любой друrой пары точек может быть представлено,
и притом двумя различными способами, в форме
(а, Ь, с J!: х, у)2 + (lx + ту)2 === О,
причем точки
lx+тy === О,
соответствующие двум допустимым значениям l, т, являются rapMo
нически сопряженными как относительно первой, так и относительно
15 За". 1164. Об основаниях rеометрин
226
А. КЭЛИ
второй пары точек, т. е. являются двойными точками инволюции,
образованной двумя данными парами точек (см. «Пятый мемуар»,
.п. 1051».
Пара точек, представленная вторым рассматриваемым уравнением,
совсем не должна находиться в какой либо особой связи с первой
парой точек
(а, Ь, с)[х, у)2===0;
но коrда вторая пара таким образо;и представлена, будем rоворить,
что она вписана в данную пару, и точку
lx+тy === о
буде"'I называть осью вписывания, тоrда как точку, rармоНически
сопряженную оси вписывания относительно данной пары точек (т. е.
вторую из самосопряженных точек инволюции двух данных пар
точек), назовем центром вписывания 2).
166. Мы можем," если yrодно, представить уравнение вписанной
пары точек в следующей форме:
(а, Ь, с)[х, у)2(а, Ь, с)[х', y')2sin26 (ac b2)(xy' x'y)'J===0,
rде (х', у') и 6 постоянные, причем ось и центр вписывания опре
деляются соответственно уравнения;ии
ху' x'y === О,
(а, Ь, с)[х, у)[х', у')===о;
или ero можно представить в зквивалентноа форме
(а, Ь, с)[х, у)2(а, Ь, с)[х', y')2cos26 {(a, Ь, с)[х, у)[х', у')}2===0,
rде для оси и центра вписывания имеем соответственно уравнения
(а, Ь, с)[х, у)[х', у')===о,
ху' x'y === о.
167. Эквивалентность обеих форм уравнения вытекает из ТОЖ
дества
(а, Ь, с)[х, у)2(а, Ь, с)[х', y')2 {(a, Ь, с)[х, у)[х', у')}2===
=== (ac Ь 2 )(ху' x'y)2,
которое является уравнением, приведенным в «Пятом мемуаре»,
п. 95 3).
1) Текст п. 105 пятоrо мемуара помещен в приложении (стр. 250 252). [Ред.]
2) Слова впиеа'Н'Ныи, впиеъша'Ние не противопоставляются, а наоборот, иден
ТllЧны словам описа'Н'Ныи, onиеыва'Ние; и подобным образом ДJIЯ коник (см. далее,
п. 203 и следующие).
3) Текст п. 95 пятоrо мемуара помещен в приложении (стр. 252). [Ред.)
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
227
Если для краткости мы обозначим
(а, Ь, с 3!: х, у)9 == 00,
(а, Ь, с3!:х, у3!:х', у')==01==10
и т. д., то 81'0 уравнение может быть представлено в следующей
форме:
00
10
01 I I х
== (ac Ь 2 )
11 х'
у 1 2
у'
168. Существует аналоrичное уравнение для трех рядов
(х, у), (х', у'), (х', у");
правая часть здесь исчезает, так как уже не имеется достаточноrо
числа колонн, чтобы образовать детерминант, и получается следую
щее уравнение:
00 01
.10 11
20 21
02
12 == О,
22
причем оно может быть записано также в такой фор:ме:
arccos
01 + 12 . 02 1)
,r ,r al'ccos arccos
r 00 r 11 У11 y you y 2
в чем леrко убедиться, приводя 81'0 уравнение к алrебраическому
виду.
Разнообразные фор:иулы выводились нами для приложений к YCTa
новлению понятия расстояния в rеометрии одноrо из:иерения, но здесь
уместно при остановить рассмотрение rеометрии одноrо измерения,
чтобы обсудить ее в связи с rеометрией двух измерений.
о rеом:етрии двух юшерений ИИ. 169 208
169. Плоскость в rеомеТрПII двух измерений рассматривается с двух
точек зрения, а именно, или как образованная точками, или как обра
зованная прямыми, т. е. пли как locus in quo точечных координат
(х, у, z), или как locus in quo линейных (танrенциальных) координат
(" '1], 1;,). Достаточно рассмотреть как одна из fJТИХ систем приме
няется при расс:иотрении образов, uорожденных п точка:ии и прямыми,
еСJПI указать еще взаимную связь между обеими системаим KOOp
динат.
1) в ориrинале в соответствии с анrmmскими традициями обозначения обрат
ных триrонометрических функций вместо arccos употребляется символ COB l; aHa
лоrично arcsin и arctg соответственио обозначены sin l и tg l. [Ред.]
15*
228
А, I<ЭЛИ
170 176. Линейное уравнение в точечных координатах
(*ях, у, z)==o
определяет прямую как место точек, координаты которых удовлетво
ряют этому уравнению.
Уравнение второй степени
(*ях, у, z)\!==O
определяет конику и т. д.
Рассмотрено понятие о распавшейся форме,
В случае линейноrо уравнения
(е, '1J, 1:я х , у, z) == О
'Коэффициенты (;, '1J, 1:) называются координатами (линейными или
танrенциальныии) этой прниой. Травнение выражает, что ТОЧI а (х, у, z)
лежит на прямой (;, '1J, 1:). Если (е, '1J, 1:) фиксированы, это уравнение
прямой I aK места, образованноrо точкаии, иначе rоворя, текущиии
точечными коордипатами (х, у, z). Если (х, у, z) фиксированы, это
уравнение тОЧlеи как места (оrибающей}, образованноrо пр ямыми ,
иначе I'ОПОрЯ, теlеущиии линейными координатаии (е, "(1, 1:).
117 184. Рассиотрены: уравнение прямой, проходящей через две
точки; Iшординаты тОЧIеи пересечения двух пряиых; условие распо
.ложеншт трех точек на одной прямой; параметрические уравнения
прямолииейноrо точечноrо р;ща; условия пересечения трех прямых
в одноfI ToтrKe; парамеrрпческпе уравнения ПУЧIеа пряи:cJХ; уравнение
прямой ПУЧIеа, проходпщей через фIшспрованную точку; ТОЧIеа пере
сечеНiIЯ ПР;П1О'Iинейноrо точечаоrо ряд)" определенноrо двумя точ
ка)IИ, с фпксироваппой прямоi1; уравнение прпмой, проходящей через
две точки, заданные как пересечения прямых; условие расположения
'на ОДНОЙ прпмой трех ToтreK, заданных I aK пересечения прпмых.
185 187 rrО'18чное уравнение .1IИНИИ это уразнеиие, связываю
щее тОчечные координаты u'Iюбой ее точки. Уравнение линии в линей
ных координатах, и.тПI тапrепцпальное уравнение, 8ТО уравнение,
связывающее линейные (танr нциаЛ Н:>I8) КОЗРЦIIнаrы каждой Kaca
тельной пряиой к линии.
Подобно понятию порядка линии, определенной точечным уравпе
. нием, вводится класс линии, а именно, степень ее танrенциальноrо
уравнения. Так, прямая линип первоrо порядка и нулевоrо класса;
точка ,ЛИНИЯ HYJ1eBOrO порядка и перв6rо класса; собственная: IШ
НIIка коника BToporo порядка и BToporo класса; но если коника pac
падается на пару прямых, то снижается до нуля ее класс; если же она
распадается на пару точеlе (пучков), то снижается до нуля ее порядок
188. У казано число точек пересечения двух линий и число общих
'Iеасательных I двум линиям, ЧИСJ10 точек пересечения касательной
'Е некоторой линии с этой линией и число касательных к линии,
проведенных через одну из ее точек.
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
229
189 192. Уравнение касательной к линии И === О получено как
уравнение ПРЯМОй, проходящей через две соседние точки (х, У, z) и
(x+dx, y+l1:y, z+dz), принадлежащие линии
ХдаР+ YDyU+ZDzU=== О.
Отсюда таНI'енциальное уравнение линии получается IIСI\лючеВIIем
х, у, z, ), из системы уравнений
даР + ц === О,
дуU + ),Тj === О,
DzU + Л === О,
X +Тjy + z === о.
в частности, для коники
(а, Ь, с, [, У, 1 ях, у, Z)2===U
танrенциальное ее уравнение имеет следующий вид:
о тj
а 1 9
1 Ь t' === О,
тj
r 9 f с
'о
или
( , !В, , , G), .р Я , Т:, )2 === О,
rде , , ... алrебраические дополнения :элементов а, Ь, ...
в матрице
(;
h
Ь
f
У,
/
Указаны заВIIСИМОСТИ между елементами :ЭТОй матрицы и матрицы
ее алrебраических дополнений. В частности, между ДJlскриминан
тами К и st' зависимость такова:
=== К2,
Т. е.
.р G) а ' 9 2
.р !8 1 Ь f
G) f .
9 с
19a 196. Теория проективнOl'О соответствия (rомоrрафип) в reo
метрии двух измерений строится, исходя из npOeKTJlBHOrO COOTBeT
ствия в rеометрпи ОДНОI'О измерения, т. е. исходя из соответствия
пр.я.молинейных точечных рядов и пучков прямых. Проев:тивное COOT
ветствие между двумя пространствами двух измерений устанавли
вается, если заданы две соответствуюшде четверки точек или прямых.
В аналитической трактовке проективноrо соответствия координаты
(Х, У, Z) одной плоскости являются линейными фУНIЩl!ЯМИ коорди
230
А. КЭЛИ
нат (х, У, z) соответствующих точек друrой плоскости. Слова точка,
прямая, порядок, класс MorYT здесь иметь и взаимный смысл, т. е.
в рассмотрение можно считать включенными не только.коллинеации,
но и корреляции.
197 199. Рассмотрено J роективное соответствие фиrур, находя
lПИХСЯ в одной плоскости.
В случае коллинеации здесь, вообще rоворя, существуют три двой
ные ТОЧl И, образующие треyrольник, стороны KOToporo двойные
прямые (самосопршкенный треуrольник). Если известны этот Tpe
уrольник и пара соответствующих точек, то коллинеация определена.
Самосопряженный треуrольник может быть полностью или частично
неопределенным. В случае корреляции точки, лежащие на COOTBeTCTBY
ющих прямых, и прямые, проходящие через соответствующие им точки,
образуют две коники, полюсную и соответственно полярную, имеющие
соприкосновение BToporo порядка. Если эти коники совпадают, то
получаем обычное подярное соответствие относительно коники.
200 201. Подяра данной точки введена как rеометрическое место
точек, rармонически сопряженных данной точке относительно коники
(т. е. относительно точек пересечения коники с любой прямой, про
ходящей через данную точку). ДвойствеНН,>IЙ образ полюс. Поляры
точек, расположенных на некоторой пря.\10Й, оrибают точку, являю
щуюся полюсом данной прямой.
Уравнение поляры данной точки (х', у', z') относительно коники
(а, Ь, с, {, у, hях, у, z)\J===o
имеет следующий вид:
(а, Ь, с, (, у, ' ях, у, z)[x', у', z') ===0.
Уравнение полюса данной прямой (е', т{, /;,') относительно коники,
заданной танrенциальным уравнением
(121, , .. . я Е, '1J, 1:)>! === О,
IIмеет следующий впд:
(121, , ... яЕ, '1J, /;,яЕ', '1J', /;,') === о,
т.' е. ero точечные координаты таковы:
I21E' + { ,.,{ + ф:', .р;' + '({ + :o, ф;' + "fj' + (Б, '.
.
202. Если U === О, V === о уравнения двух линий одинаковоrо по
рядка в точечных координатах, то, если л, :.1 произвольные коэф
фициенты, уравнение
лU+:.1v===о
является уравнением линии Toro же порядка, проходящей череа точки
ересечения (общие точки) обеих линий; такую линию называют Ha
ходящейся в инволюции с данными. Рассмотрение общей теории ин
волюции отложим до друrоrо случая.
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
231
203. В частности, если И == О уравнение I{ОНИI{И, а р== о, Q == o
уравнения двух прямых, то
и + лРQ == о
.является уравнением IЩНИIШ, проходящей через точки пересечения
данной IЩНИI{И с ДВУ:\IЯ ПрЯМЫМИj если :эти две прямые совпадают, то
u + лр2 == о'
будет уравнением IШНИI{И, имеющей СОПРИIщсновение BToporo порядка
с IШНИКОЙ И == О в ТОЧI{ах ее пересечения с прямой Р == О. ТaI{УЮ
КОНИI{У назовем вписанной в IШНИКУ И === О. Прямая Р === О называется
осью вписываНИЯj :эта прямая имеет общий полюс относительно обеих
IШНИК, и :этот полюс называется центром вписывания.
Связь между двумя кониками будет полностью выражена, если
сказать, что четыре общих ТОЧI{И :этих I{ОНИI{ совпадают попарно на
оси вписывания и что четыре общих касательных совпадают попарно,
проходя через центр вписывания. Следовательно, подобная связь
существует взаимно I{aK для точек, так и для пр.нМЫХj и можно
а priori сделать вывод, что если Т === О .нвляется танrенциальным
уравнением КОНИI{И И === О, а n === о таНI'енциальным уравнением
центра вписывания, то танrенциальное уравнение вписанной коники
будет
r + П2 === О.
201:. Чтобы убедиться в :э'rом, я замечу, чrо если уравнение оси
вписывания будет
t'x+'1j'Y+1;.'z=== о,
то (см. ранее, п. 201) уравнение центра вписывания в координатах
пр.нмой будет
п === (12(, ... A , 'ij, 1;. 3z ;', т(, 1;.') === О.
Танrенциальное уравнение вписанной коники получаем сначаJIа
в таIШЙ форме 1) :
(1}{, ... A , '1j, 1;.)2 + л (а, '" 3z '1j:' '1j'1;., 1;.;' 1;.' , t'1j' t''1j)2 == о;
1) Исходя из уравнения вписанноЙ коники в точечных координатах
(а, ... 3z х, у, z)2 + /.. ( 'x + т{у + r.'z)2 == О,
можно наЙти КОЭффlщиенты уравнения этой КОНIIltи в .танrенциальных коорди
натах как алrебраические дополнения (миноры) элементов соответствующеil дaH
ному уравнеfIIПО матрицы
( а + /..(;,2
h + ), ,2
9 + ),Е,2
h + лЕ'1j' 9 + ц'с' )
ь + )' '1j' f + ц'с' ,
f + лЕ'1j' с + ),Е'С'
что и приведет к следующему далее уравнению. [Ред.]
232
А. КЭЛИ
НО мы имеем тождественно
( , ...яЕ, "IJ, r:)2( , ...яЕ', "fj', 1:')2 {( , ...я Е , "fJ, 1:яЕ', "fj', 1:')}2==
:=::К(а, '" Я"fj:' "fj'с', 1:E' 1:'E, E"fj' E'''fj)2,
так что уравнение приобретает искомую форму
[К+л( (, ...яЕ', "fj', 1:')2]( , ...я Е , "fj, 1:)2
A{( , ... яЕ', 7(, 1:'я Е , "fj, 1:)}2:=::0.
205. Если (х', у', z') точечные координаты центра вписывания,
то уравнение оси вписывания
(а, Ь, с, (, у, h Я х, у, z Я х', у', z'):=:: О,
и мы можем, если утодно, представить уравнение вписанной коники
в следующей форме:
(а, ...ях, у, z)2(a, ...я х ', у', Z')2cos2fj
{(a, ...ях, у, zях',у', z')}2:=::0,
тде fj постоянная. Это уравнение можно записать и в таком виде
(а, ... ях, у, z)2(a, '" я х ', у', z')2sin2fj
( , ... яуz' y'z, zx' z'x, ху' x'y)2:=:: О,
причем обе формы 8квивален'l'НЫ вследствие тождества
(а, ...ях, у, z)2(a, ...ях', у', z')2 {(a, ...я х ', у', z'я х , у', Z)}2==
:=:: (1l1., . . . яуz' y'z, zx' z'x, ху' x'y)2.
206. Танrенциальные координаты (Е', "fj', 1:') оси вписывания Ta
ковы:
ах' +hy' + gz', hx' + Ьу' +fz', ух' +fy' +cz',
а отсюда мы выводим соотношение
( , '" я Е', "fj', 1:')2 == К (а, . . . я х', у', Z')2.
Чтобы форма
(а, ... ях, у, z)2(a, '" я х ', у', Z')2cos2fj
{(a, ... ях', у', z'я х , у, z)}2
соответствовала первоначально принятой форме
(а, ... ях, у, z)2+ л (E'x+1J'Y+1:'Z)2,
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
233
или, что то же,
(а, ... ях, у, z)2+л {(а, ... ях, у, zях', у', Z')}2,
мы должны имет:q
, 1
A==
(а, ... я х', у', z')2 сов 2 (j ,
что может быть Н<tписано также в следуюшем виде:
, к
л==
( , ... я е', т{, /;")2 сов 2 (j ,
или, что то же,
к + л ( , ... я Е', 'fj', 1:')2 Л ( , ... я Е', 71', 1:')2 sin 2 fJ == о.
ТOI'да по ранее полученной формуле 1) мы получим таНI'енциально
уравнение вписанной I ОНИКИ в следующем виде:
( , ... яЕ, 71, 1:)2 ( , ... яЕ', 71', (')2sin2fJ
{ , ...яЕ, 1/, 1:я ', 71', 1:')}2==О2).
207. ПОСI ОЛЫ У точечное уравнение
(а, ... ях, у, Z)2 (а, ... ях', у', z')2cos20
{(a, ...ях, у, zях', у', Z'»)2==O
вследствие тождеС'l'ва
(а, ...ях, у, z)2(a, ...ях', у', z')2 {(a, ...ях, у, zях', у', z')}2==
== ( , _.. яуz' y'z, zx' -z'x, ху' x'y)2
эквивалентно уравнению
(а, ...ях, у, z)2(a, ...ях', у', z')2sin2fJ
( , .,. яуz' у'z, zx' z'x, xy' x'y)2==O,
то соответствующие формы 'l;анI'енциальных уравнений
( , ...яЕ, 'fj, 1;.)2( , ...яЕ', 'fj', 1:')2sin2(j
{( , .., я Е, 'fj, 1: Я Е', 'fj', 1:')} 2 == О
и
( , ... яЕ, 'fj, 1:)2( , ... яЕ', 'fj', 1:')2сов2б
K(a, ",Я'fj1:' 'fj'1:, 1:E' 1:'E, E-tJ' Е''fj)2==о
эквивалентны в силу ранее УI азаннOI'О тождества
( , ...я Е , 'fj, 1:)2( , ...яЕ', 'fj', 1:')2 {( , ...яЕ, 71, 1:яЕ', 71', 1:')}2==
== К (а, ... я 'Yj1:' 'Yj'1:, 1:Е' 1:' , E'fj' E'7J)2.
1) Приведенной в конце п. 204. [Ред.]
2) В ориrинале это уравнениэ отсутствует. [Ред.]
,
234
А. I{ЭЛИ
.
208. Обо;;начим для краткости
(а, ...)[х, у, z)2==00,
(а, ...)[х, у, z)[x', у', z')==01==10
и Т. д.
Тоrда имееы тождественно
00 01
10 11
20 2]
02 х У z 2
12 ==К х' у' z'
22 х" у" z"
если детерминант в правой части обращается в нуль, т. е. если
(х, у, z), (х', у', z'), (х", у", z") .являются точками, лежаЩИlVIИ на ОДНОЙ
прямой, ТО мы имеем уравнение
00 01
10 11
20 21
02
12 == О,
22
которое, как было уже отмечено, I'JRвивалентно уравнению
01 I 12
arccos -уоо -у 11 --т arccos -уп -у 2
02
arccos -. r -. r .
t' ии t' 22
п редшеСТВУЮlцие исследования, относ.ящиеся к вписанной КОНИI{е,
даны с целью их приложений к теории расстояния, rде необходимо
исПользовать довольно сложные аналитические формулы, которые и
были введены на их естественном месте.
о теории рассто.аиим, IIII. 209 230
209. .я возвращаюсь к rеометрии одноrо измерения. Вообразим на
ПРЯМОЙ линии, рассматриваемой как [осив in qиo 1) ряда точек, пару
точек, которую я назову Абсолютоы. :Каждая произвольная пара точек
может быть рассматриваеыа как вписанная n Абсолют, причем центр
и ось вписывания 2) .являются самосопряженными 3) точками инволю
ции, определенной ТОЧЕами данной пары и точками Абсолюта; центр
и ось вписывания, являясь самосопряженными точками, будут rap
моничеCl{И сопряженными относительно Абсолюта.
:Какая либо пара точек, рассматриваемая как вписанная в Абсолют,
называется двуточечныы KpyroM (а poi1 t pair circle) или просто KpyroM;
центр вписывания и ось вписывания называются центроы и осью.
Любая из двух самосопряженных точек может быть рассматриваема
1) См. примечание 1) на стр. 223. [Ред.]
2) См. п. 203 [Ред.]
3) To ecTЬ двойными. [Ред.1
.
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
235
"ак центр, но, Rоrда выбор сделан, нуж о ero придер'шиваться. Cдe
.дует отметить, что если дан центр и одна И3 ТОЧeI, Rpyra, то друrая
'J'ОЧI,а I,pyra определяется однозначным обраЗ0М. Действительно, ось
['армоничеCl,И сопряжена центру относительно Абсолюта и, да.лее, дpy
rая ТОЧI,а пары rармоничеСIПI сопряжена данной ТОЧRе относительно
.центра и оси.
210. Мы принимаем в I,ачестве определения, что обе ТОЧRИ I,pyra
равноудалены от центра. Вообразим теперь две ТОЧI,И Р и Р'; возьмем
'J'ОЧI,У Р" таЕ, что Р, р" образуют Rpyr, имеющий своим центром Р';
БО3Ь:.\fем подобным обраЗ0М ТОЧRу р 1II таЕ, что Р', р1ll образуют Rpyr,
имеющий р" своим центром; и будем продолжать это построеиие; и
вновь в противоположном направлении возь:vrем ТОЧRу р' таЕ, ЧТ() р' ,Р'
<Jбразуют Rpyr, имеющий своим центром Р; далее, возьмем то<шу р"
'Так, что Р", Робразуют Rpyr, IIмеющпй р' своим центрD:\f; буде:\!
продолжать это построение. Мы И:vIее:\!, таRИМ обраЗ0М, ряд точеR;
.... Р", Р', Р, Р', р", ... с интервалами, имеющими равное расстонние
'и если мы возьмеи ТОЧRИ Р, р' беСRонечно БЛИ3RИ:vIИ одну R друrой,
'ТО вся линия разделится на ряд равных ИНФИНIIте3И:vIа.льпых элемен
'Тов; число таRИХ элементов, заRлюченных между RаI,И:vIи лпбо ДВУ:vIя
'J'очка:\!и, измеряет расстояние между этиии двумя ТОЧRЮПI. Очевидно,
что в соответствпи с определенпем, еслп Р, Р', р" RaI\:пе лнбо три
'J'ОЧI,И, вs.ятые в опреде.ленном ПОрЯДRе, то
Dist(P, P')+Dist(P', PIl)==Dist(P, Р")l),
"ITO соответствует обычному понятию расстояния..
2]1. Чтобы показать, RaI\: предшествующее определенпе приведет
R аналитичеСRОМУ выражению для расстояния между двумя точками
чере их Rоординаты, примем
(а, Ь, с Я х, y) == о
-Ба уравнение Абсолюта. Уравнение Rpyra, имеющеrо центром точку
(х', у'), будет
(а, Ь, сях, y)'.J(a, Ь, сях', у')'.JсоsЧj {(а, Ь, сях, уях', y')}2==O'.J)
И следовательно, если (х, у), (х', у') ДBe ТОЧRИ Rpyra, то уравпение
«(1., ь, с Ях, у 11 х', у')
У(а, Ь, еЯх, у)2У(а, Ь, сЯх', у')2
(п, Ь, с 11 х', у' Я х", у")
V (а, Ь, с Я х', у')2 У(а, Ь, с Я х", у")2
1) Dist расстояние [начало слова distantia (лат.) или distance (анrл.)]. [Ред.]
2) Если е есть величина постоянная, то, соrласно п. 166, приведенное в тексте
уравнение выражает пару точек, вписанную в абсолю'J', причем пентр вписывания
имеет коордииаты (х', у'); следовательно, это и есть искомое уравнение Kpyra
с цеН"J'ром (х', у'). [Ред.]
236
А. КЭЛИ
выражает, что ТОЧRи (х, у) И (х', у") равноотстоят от ТОЧRИ (х', у').
Ясно, что расстояние точеR (х, у) и (х', у') должно быть ФУНRЦIШЙ ОТ
(а, Ь, с )f х, уЗf х', J/)
V(a, Ь, сЯх, y)2V(a, Ь, сЯх', у')2 '
причем форма ФУНRЦИИ определена ранее УЕааанныи свойством,
а Иll-1енно, если Р, Р', Р" RаRlш либо три ТОЧRи, вsятые в опреде
ленном ПОрЯДRе, то
Dist(P, P')+Dist(P', P")==Dist(P, Р").
Это приводит It sаRлючению, что расстояние между ТОЧRаМII (х, у)
(х', у') равно, с точностыо до множителя, дуrе, RОСИНУС RОТОрОЙ аадан
УЕааанным выше выражением (см. ранее, п. 168) 1), и мы можем
вообще положить, что расстояние равно рассматриваемой дуrе,
а Иll-1енно, что расстояние раВIIО
(а, Ь, с )f х, у )f х', 1/)
arccos V
(а, Ь, с Ях, y)2 V (а, Ь, с Ях', у')2 '
или, что одно п то же,
arcsin V (ас Ь 2 ) (ху' х'у)
(а, Ь, сЯх, y)2V(a, Ь, сЯх', у')2
ОТСlOда следует, что Rаждая иs двух фори уравнения Ерура
(а, Ь, сях, у)2(а, Ь, сях', y')'3cos2e f(a, Ь, сях, уях', 1I')}2==0,
(а, Ь, с Я х, у)2 (а, Ь, с Я х', у')2 sin 2 !J (ac b'3) (ху' ;:c'y)2 == О
выражает, что расстояния точеR от центра соответственно равны дуре 6,
или, если уrодно, что е является радиусо:и Rpyra,
212. Если !J == О, то
ху' x'y == О.
Это уравнение выражает, что (х, у) и (х', у') является одной и той же
1
ТОЧRой. Если О =="2 т.:, 1l-1bl имеем:
(а, Ь, сях, уях', у') ==0.
Это уравнение выражает, что ТОЧRИ (х, у) И (х', у') являются rapMo
ничеСR:И сопряженны:ии относительно Абсолюта. Следовательно, pac
стояние между любыии двумя ТОЧRа:ии, rар:ионичеСR:И сопряженными
1) Действительно, в п. 168 установлен аддитивныЙ закон для
(а, Ь, с 11 х, уЗf х', у')
arccos [Ред.]
V (а, Ь, с Я х, у)2 V(a, Ь, с Я х', у')2
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
237
относительно Абсолюта, равно :квадранту 1), и такие точ:ки MorYT быть
нааваны взаимно :квадрантальными. Квадрант является единицей pac
стояния.
213. В предшествующем рассмотрен общий случай, но необходимо
рассмотреть и частный случай, :коrда Абсолют является парой совпав
тих точе:к. 3десь точка, rармоничес:ки сопряженная относительно
Абсолюта любой точке, является точ:кой, совпадающей с самым Абсо
.лютом; следовательно, определение Rpyra упрощается, а именно,
Rаждая пара ТОЧeIС может быть рассмотрена КаЕ Icpyr, имеющий цeH
'Тром точку, rармонически сопряженную Абсолюту относительно pac
сматриваемой пары точек; мы можем, :как и ранее, разделить прямую
на ряд равных инфинитезимальных элементов, и тоrда число элемен
'Тов, ЗaRЛЮЧeIПIЫХ между каКИJ\П1 либо двумя точками, измеряет pac
стояние между этпми двумя точка:ни. Что :касается аналитичеСКОI'О
выражения в рассматриваемом случае, то ас Ь 2 обращается в нуль
и расстояние дается дуrой исчезающеrо 2) синуса. 3з..vшняя синус ду
I'ой И отбрасываи обращающпйся в нуль множитель 3), мы получим
Rонечное выражение для расстояния. Предположим, что уравнение
Абсолюта имеет вид
(qx py)2== О,
или, что означает то же самое, Абсолют (рассиатриваемый IcaK един
С'l'Венная точка) будет точкой (р, q); тоrда мы получим для расстояния
точе:к (х, у) и (х', у') выражение
ху' х'у
(qx py) (qx' py') ,
яли, вводи произвольный :м:ножитель qa p , ПОЛУЧИ!\!:
(q,, p ) (ху' x'y)
(qx py) (qx py') ,
что можно представить так:
x ау
qx ру
x' ау'
qx' ру' .
Необходимо отметить, что в настоящем случае понятпе :КBaдpaH
талыюrо расположения двух точе:к полностью исчезает и ПО::JТО,IУ еди
иица расстояния произвольна.
214. Переходя теперь :к rеометрии двух измерений, следу<'т pac
смотреть определенную :конику, которую я называю Абсолютом. Любая
прямая вместе с Абсолютом определяет две точки (пересеJтрт ero
1) Под Jсвадрантом здесь подразумевается прямой уrол
2) To eCTЬ обращающеrося в нуль. [Ред.]
З) To eCTЬ отбрасывая множитель ac Ь 2 . [Ред.]
т.:
2"' [Ред.]
238
А. «эли
в двух точках), которые служат Абсолютом для этой прямой, paCCMaT
риваемой как пространство одноrо измерения, или locus i1 quo ряда
точек; подобным обраЗ0М любая точка вместе с Абсолютом опредеЛfJет
две пря:иые (с.тrужащие касательными к Абсолюту И3 ТОЧЕИ), КОТОРЫ&
являются Абсолютом для этой точки, рассма'l'риваемой как простран
ство одноrо измерения, или locus i1 quo ПУЧItа прямых. Предшествую
щая теория rеометрии одноrо измерения устанавливает понятие pac
стояния относительно каждоrо И3 этих рядов или пучков, рассмаТРII
ваемых в отдельности, самих по себе; чтобы установить взаииную,
связь между различными рядами и пучками, необходпмо допустить,
что квадрант, который служит единицей расстояния для этих отдель
ных систем, будет иметь одно и то же расстояние в каждой системе.
-Конечно, Iюrда в анаЛИ'lической теории мы представляем квадрант
]
обычным символои 2 11:, вышеуказанное допущение делается неявно;'
но, пользуясь только определением и рассматривая квадрант прос
как расстояние между двумя точками (или в друrом случае между
прямыми), rармонически сопряженными относительно пары точек (или
в друrО;\J случае относительно пары прямых), образующих Абсолют,
мы видим, что допущение, является действительно допущениеи, и ero>
требуется сделать явно. Но коrда допущение сделано, предшествую
щая теория расстояния в rеометрпи одноrо измерения делает возмож
ным сравнение не только расстояний между точк&'I1:И, лежащими на.
разJ'J:ИЧных прямых, или расстояний между прямыми, ПРОХОДЯЩIThfИ
через различные точки, но и расстояний между точк&'I1:И, лежащими
на прямой, и ПРЯМLIМП, проходящими через точку. Полюс любой пря
мой относительно Абсолюта может быть назван просто полюсом, и
подобным обра;юм поляра любой точки относительно Абсолюта может
быть названа просто полярой. Мы имеем тоrда теорему, что расстоя
ние между двумя точками или пря:мыми равно расстоянию между их
полярами или полюсами; ИjIИ, что является тем же самым, что pac
стояние между двумя полюс&'I1:И равно расстоянию между COOTBeT
СТВУЮIЦпми им полярами. И мы можеи в качестве определения yCTa ,
НОВИТh понятие расстоянпя от точки до прямой, а именно, положить.
ero равным дополнению 1) к расстоянию между полярой рассматри
ваемой ТОЧItи и прямой, И.тrи же, что является тем же C&'I1:blM, принять
ero равным дополнению к расстоянию Jежду рассматриваемой ТОЧКОЙ
и полюсом прямой. Расстояние между полюсом и полярой является,
следовательно, дополнением к нулю, т. е. оно есть квадрант.
215. С помощью предшествующеrо допущения о Itвадрапте OEa3a
лось возможным установить понятие расстояния, не привлека.я Rpyr.
1) До квадранта [РеВ.]
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
239
но теперь следует рассмотреть и эту фиrуру. Rоника, вписанная 1)
в Абсолют, будет Н32ываться KpyrOMj центр ВПИСЫВ3JIия (т. е. точка
пересечения общих касательных) и ось вписывания (т. е. прямая,
соединяющая точки, общие у коники и Абсолюта) являются центром
и осью Kpyraj все точки Kpyra равноотстоят от центра; все касатель
ные равноотстоят от оси, и их расстояние является дополнением
к предшествующему расстоянию.
216. :Эти свойства H:pyra приводят не.медленно к аналитическим
выражениям для расстояний точек или пря.мых череа координаты.
Действительно, при:мем
(а, Ь, с, {, У, h 3!: х, у, z)'2 == О
аа точечное уравнение Абсолюта; ero танreнциальное уравнение пусть
имеет следующий вид:
(12!, !В, , , , .р 3!: Е, 1j, 1:)'2 == о.
Точечное уравнение Kpyra, и.меющеrо точку (х', у', z') своим центром,
таково 2):
(а, '" 3!:х, у, z)'2(a, ... 3!:х', у', Z')2COS20
{(а, ... '3!: х, у, z 3!: х', у', z')}2 == О
или
( )( ) '2 ( )(" , ) 2' '2 ( ' I
а, ... х. х, у, z а,. . . Х. х, у , z юn J
{(Il{, ... 3!:yz' y'z, zx' z'x, ху' x'y)}'2== О,
откуда (на основании тех же соображений, кш. в случае rеометрии
одноrо иамерения) следует, что расстояние между точками (х, у, z)
и (х', у', z') равно
(а, ... 3!:х, у, z 3!:х', у', z')
arccos V
(а, ... 3!:х, у, z)2 V(a, ... 3!:х', у', Z')2'
или, что является тем же самым,
. V( [,... 3!:yz' 'Ij'z, zx' z'x, x!/ x'y)
arcSln .
У(а, ...3!:x,y,z)2V(a, ... 3!:х', у', z')2
и иа формулы косинусов явствует (см. aпte [ранее] п. 208), что
если Р, Р', Р" точки одной прямой, то мы имеем, как и следовало
ожидать:
Dist (Р, Р') + Dist (Р', Р") == Dist (Р, Р").
1) См. п. 203. [Ред.]
2) Если В есть веЛНЧlmа постоянная, то СOl'ласно п. 205 каждое из приведен
ных далее в тексте уравненИЙ выражает вписанную в абсолют Itонику, причем
центр вписывания имеет коордииаты (х', у', z')j следовательно, это и есть Kpyr
с центром (х', у', z'). [Ред.]
240
А. КЭЛИ
217. Подобным образом танrенциальное уравнение Toro же Kpyra,
имеющеrо осью прямую с координатами (е', т(, 1:'), будет ТаЕОВО:
(12(, ... я е, "fj, 1:)2 (12(, ... я е', т(, 1:')2 sin 2 О
{(12(, ...я ,"fj, 1:яе', "fj', 1:')}2==оl)
или
( , ... я!;, "fj, 1:)2( , ... яе', "fj', 1:')\!cos2fJ
K(a, ... Я"fjr.' Тj'1:, 1:e' 1:'e, eТj' e'Тj)2==O,
откуда следует, что расстояние между прямыми (!;, 71, :) и (!;', 71', С')
равно
( , ... я 1;, "1), 1;; Я 1;', "1)', 1;;')
aI'CCOS r
у ( , ... я 1;, "1), 1;;)2 y( , ... я 1;', "1)', 1;;')2 ,
или, что то же самое,
. V К(а, ... я "I) ' "I)' , 1;; ' 1;;'I;, 1;"1)' 1;'"I)2
al"CSln
y( , ... я 1;, "1), 1;;)2 y( , ... я 1;', "1)', 1;;')2
218. И мы можем из первой. фориулы Toro или друrоrо ряда 2)
вывести для расстояния ме:шду точкой (х, У, z) и прямой (!;', 71', 1:')
выражение
ух (l;'x+"I)'y+1;;'z)
al"CSln r
у (а, ... Ях, у, z)2 y( , ...Яl;', "1)', ')2 '
что леrко видеть, написав !;' +ф"fj' +GJ:', ... вместо х', у', z' или
ах + hy + gz, .., вместо е, "fj, 1: и заменив al"CCOS на al"csin.
219. Следует заиетить, что существуют определенные прямые,
а имснно, касательные к Абсолюту, дЛЯ IЩТОРЫХ, если рассиатриваТL
их как пространство одноrо измерения, Абсолют является парой COB
павших точек; подобным :iI,е образом существуют такие ТОЧIП1, а именно
ТОЧI,И Абсолюта, для IЮТОрЫХ, если рассматривать их Kar, простран
СТВО одноrо измерения, Абсолют является парой совпавших прямых
220. В частности, мы можем предположить, Ч'I'О Абсолют BMec'ro
собственной коники является парой точек Прямая, проходяшан через
обе эти точки, может быть названа Абсолютной прямой; ТаЕан прямая
должна быть рассматриваема как пара совпавших ПРЯ:\fЫХ.
Произвольная ТОЧI,а определяет вместе с Абсолютои две ПРЯМЫtJ,
а ИМeIПIО, прямые, соединяюшие эту ТОЧI,У с двумя точками Абсолюта;
эта пара Прlli'VfЫХ является Абсолютои длн точки, рассматриваемой
1) См. пв. 206, 2U7. [Ред.]
2) To eCTЬ из рядов формул в п. 216 и в п. 217, содержащих по паре фuр-
мул. [Ред.]
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
241
как пространство одноrо измерения или lOC1CS i1L qno пучка прямых,
и поэтому теория расстояний для прямых, проходящих через эту
точку, точно такая же, как в общем случае. Но произвольная прямая,
пересекаясь с Абсолютом, определяет пару совпавших точек, которая
является. Абсолютом для этой прямой, рассматриваемой как простран
ство одноrо измерения или locus i1Z quo ряда точек, и теория расстоя
ния между точками на этой прямой будет поэто:му теорией, изложен
ной выше для этоrо специальноrо случая.
Но мы не можем уже тем же путем, как ранее, сравнивать pac
стояния на различных пряиых, так как в настоящеы случае у нас
нет квадранта как единицы расстояния. Сравнение должно быть cдe
лано с помощью Kpyra, а именно, в настоящем случае каждая коника,
проходящая через две точки Абсолюта, называется I{pyrolvI, а точка
пересечения касательных к Kpyry в двух точках Абсолюта (или, что
то же самое, полюс Абсолютной пряхюй относительно Kpyra) является
центром Kpyra. Сама Абсолютная прямая может быть рассматриваеыа,
если это необходи:;.: , KaIt ось Kpyra. Допускается, что точки KpYI'a
все равноотстоят от центра, и вследствие этоrо мы в состоянии cpaв
нивать расстояния на различных np5Th1blx.
Действительно, мы можем с помощью построения, совершенно сход-
Horo с построением Евклида, книrа I, предложение 2, И3 данной точ-
Kи А провести отреЗ0К пряиой, равный данно:му отрезку Ее, и, таким
обраЗ0М, на данной прямой, проходящей через А, определить OTpe
З0К Ап, равный данному отрезку Ее. Поскольку единица расстоя
ния для точек на пряиой произвольна, мы не можем, конечно, cpaв
нивать расстояния между точками с раССТОЯНИ5'ThIИ между прямыми.
Расстояние точки от прямой, однако, допускает сравнение с pac
стояние:м между двумя точка:\1И; нужно лишь допустить в качестве
определения, что расстояние точки от прямой равно расстоянию этой
точки от точки пересечения прямой с квадрантальной прямой, про
ходящей через рассиатриваеиую точку.
221. Что касается ана."'IитичеСRОЙ теории, то предположим, что TO
чечные Rоординаты пары точек Абсолюта будут (р, q, т), (ро' qo, то);
тоrда уравнение Абсолюта в танrенциа.'1ЬНЫХ Rоординатах будет
2 (p +q'1J+1' ) (Po +qo"IJ+/'or:) == О,
так что мы имеем == 2рро; !8 == 2qqo; == 21'/'0; i5 == QTo + 1'qo;
G) == 1])0 + рто; .р == pqo + qpo, откуда J( == о; но
х у z 'J
К(а, Ь, с, (, у, h3f.x, у, z)2== Р q l'
ро qo то
16 3ак. 1164. Об основаниях rеометрин
242
А. КЭЛИ
п, очевидно,
1; у z
q r ==0
I ро qo l'
О
является уравненпем Абсолютной пря:ной.
222. Выражение для расстояния между ДВУ:МЯ ТОЧЮk'VIИ (х, у, z),
(х', у', z') дается IШК дуrа исчезающеrо синуса; но, за:меняя дуrу
спнусом и отбрасывая исчезающий Iнткитель 1), по,пучим В резуль
тате выражение
Ji/2 х У z х у z х у z х' у' z'
х' у' z' х' 1/' z' + р q r р q r
р q r ро qo '1'0 ро qo ro ро qo ro
11 для расстояния между двумя llрКИLIМП (е, '1J, 1;;), ( ' т;' r')
.", ,
(рЕ + IJYJ + T ) (роЕ' + IJoYJ' + To ') + (рЕ' + IJYJ' + T ') (р()Е + IJoYJ + T() )
Ш'ССОS
-У 2 (рЕ + IPJ + r ) (роЕ + IJoYJ + ТОО -У 2 (рЕ' + (['/1' + T ') (Pof;;' + !JoYJ' + To ') ,
плп" что то же самое,
. (IJro rIJo) (YJ ' YJ' ) + (тро РТо) ( E' ' ) + (PIJ() IJpo) (EYJ' E'YJ)
Ш П ,
-У 2 (рЕ + (['/1 + T ) (роЕ + IJoYJ + То!;,) -У2 (p ' + IJYJ' + 1'1;') (роЕ' + IJoYJ' + To ')
п, наконец, для расстояния точки (х, у, z) от прямой (е', '1J', 1;;') по
лучии, заменпв дуrу синусом и отброCIШ исчезающий множитель 2)
сnедующее выражение:
х у z
(e'x+'1J'y+Cz)+ р ч '/" V2(p;'+q'1J'+r1:')(poe'+qo'1J'+ro1;;').
ро qo То
223. Если в предшествующей формуле положим
(р, q, r) == (1, i, о), (ро, qo, ro) == (1, i, о).
rде, как обычно принято, l' == V 1, то танrенциальное уравнение
Абсолюта будет Е 2 + '1J2 == о, или, что то же, Абсолют состоит И3 двух
точек, в которых прямая z == О пересекает пару прямых х 2 + у2 == о;
ТОЛЬКО что упо:мянутая пара прямых, как про ходящая через Абсолют,
является по определенпю Kpyroxr; действительно, это I PYI' радиуса
нуль или исчезающий Kpyr. Если :мы положим координату z равной
еДllнице, то предшествующее допущение о координатах точек Абсо
,'Iюта должно быть понимаемо как 0значающее, что х: у : 1 == 1 : i : О,
1) To ecть, отбрасывая I{. [Ред,]
2) См. предыдущее примечание. [Ред.]
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
'243.
или 1: i: о; т. е. мы должны иметь для х и у бесконечные зна
чения, и, как ранее, х 2 + у2 ;== О j друrими словами, Абсолют будет
состоять из точек пересечения бесконечно удаленной прямой с исче
зающим KpyroM х 2 + у2 == О.
224. В рассмотреннои случае выражение для расстояния между
точка:ми (х, у) и (х', у') имеет вид
Y(x x')2+ (у y')2,
так что расстояние между пря:мыми ( , '1J, 1;,) и ( ', '1J', ') таково:
ЕЕ' + YjYj' EYj' Е'у!
al'CCOS == al'csin
УЕ2 + Yj2 -v Е,2 + -i1'2 У Е2 + Yj2 -v Е,2 + -.(!. '
приче:м оно :vюжет быть написано и так:
Е Е'
== al'ctg al'ctg , .
yj yj
а выражение для расстояния точки (х, у) от пря:иой ( ', '1J', 1:') П;\fеет
впд
Е'х + Yj'y + '
-v Е,2 + Yj,2
3ТП выражения, очевидно, являются формулаии обычной плоокоЙ
reомеТРИIJ, Rоrда (х, у) обычные прямоуrольные коордпнаты 1).
225. Общие формулы не получают существеннOl'О иаменения, но
вато сильно упрощаются по форме, если за точечное уравнение Абсо
люта взять:
X 2 +y2+z2== о,
илп, что является те:и же са:VIЫИ, за танrенпиальное уравнение прп
иять:
2+'1J2+1;,2== О.
Действительно, мы тоrда имеем для расстояния между двумн
точками (х, у, Z), (х', у', Z')
хх' + уу' + zz'
arccos ,
у x2+y2+z2 -v x,2+ y ,2+z'2
1) ПроективныЙ смысл евклидовоЙ метрики для уrлов между прямыми был.
ранее Еэли установлен Лаrерром (L а g 11 е l' l' е, 8111' lа theo1'ie des foye1's, N011V.
Апп. de Mathem. 12, 1853, 57 (6). Лarерр опирался на понятие анrармоническоrо
отношения и выбрал в качестве фундаментальноrо образа те же самые прямые
(два пучка изотропных прямых), которые получаются ЕМ двойственный образ"
точечному абсолюту, указанному Еэли в п. 223. [Ред.]
16*
244
А. КЭЛИ
ДШI расстояния между прямыми (Е, "Ij, ), (Е', "Ij', ')
arccos ЕЕ' + 1р{ + C '
-у Е2 + 1)2 + С 2 V Е,2 + 1),2 + с,2 '
а д.пя расстояния точки (х, У, z) от прямой (Е', "Ij', ')
. Е'х + 1)'У + C'z
arCSlll .
-у х2 + у2 + z2 УЕ,2 + 1),2 + ,,2
226. Предпо.пожим, что (х, У, z) обычные 'прямоуrо.пьные кoop
динаты в пространстве, удов.петворяющие ус.повию
X 2 +y2+Z2== 1;
-тоrда точка, имеющая координаты (х, у, Z), будет точкой сфериче-
ской поверхности и в предпо.пожении, что предшествующее ypaвHe
ние выполняется, уравнение Ех + "ljY + Z == О будет уравнением бош,-
шоrо Kpyra 8ТОЙ сферы. Поско.пьку мы имеем дело ТО.пько с отноше-
;ниямп Е, "Ij, , мы можем также положить:
E2+"lj2+ 2== 1.
Отметим, что мы можем сохранить в фор:ну.пах выражения x2+y2+Z
п E2+"lj2+ 2, не подстав.пяя вместо них единицу, так как действп-
тельно удобно сохранить таким образом Rce форму.пы в их первона
ча.ПЬНОМ (ориrина.пьном) виде. Таким образом, мы имеем систему
сферической rеометрии; и здесь выяв.пяется, что АБСОЛЮТО),I в ТaRОЙ
'Системе ЯВ.пяется (сферическая) КОНИIШ, представ.пяющая собой пере
сечение сферы с конnентричеСКШI конусом и.пи исчезающей сферой.
То обстоятельство, что Абсолют ЯВ.пяется собственно коникой, а не
парой точек, служит действите.ПЬНОЙ причиной ра3личия между сфе-
рической rеометрией и обычной плоской rеометрией, а также прпчи-
ной полной двойственности теорем сферической rеометрии.
227. в предшествующем я дал ана.питическую теорию расстояния
ларал.пе.пьно с rеометричеСRОЙ теорией кав: с це.пью и.плюстрацИII,
тав: и вс.педствие важностп И),f8ТЬ ана..:IИТIIчеCIюе выражение д.пя рас-
стояния через координаты; однако я расс:натриваю rеометрпчеCI УЮ
теорию кав: совершенно полную caJ>IY по себе. r.павный резу.пьтат
таЕОВ:
Допустив на П.поскости (т. е. в пространстве rеD:\Iетрип двух
лзмерений) КОНИRУ, названную Абсолютом, мы можем с ПQ:\ЮЩЬЮ
.этой конnки проеRТИВНЫМИ построенnямп разделить любую ПРЯМУЮ,
-т. е. ряд точеR, или .пюбую точку, т. е. любой ПУЧОR прямых, в бес
-конечный ряд пнфинитезимальных 8.пементов, которые (соr.пасно
(шределенпю расстояния) считаются равными; чпс.по 8лементов между
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
245
двумя точками прямолинейноrо р.яда, или двумя прямыми пучка,
измеряет расстояние между двумя точками или двумя ПрЯМЫМИj И
С помощью квадранта как единицы расстояния, который существует
как для прямых, так и для точек, мы в состоянии сравнить pac
стояние между двумя прямыми С расстоянием между двумя точками;
также и расстояние от точки до прямой может быть представлено
безразлично или как расстояние между двумя точками, или как pac
стояние между двумя прямыми.
228. В обычной сферической rеометрии общая теория не подвер
rается какой либо модификаЦИИj Абсолют является собственной кони
кой, представляющей собой пересечение сферы с концентрической
исчезающей сферой.
229. В обычной rеометрии плоскости Абсолют вырождается в пару
точек, а именно, в пару точек пересечения бесконечно удаленной
прямой с исчезающим KpyroM, или, что то же самое, Абсолют является
двумя круrовыми точками в бесконеqности. Общая теория COOTBeT
ствующим образом модифицируется, а именно, здесь для точек уже
не существует расстояния, подобноrо квадранту, и расстояние между
ДВУ:\fЯ прямыми не может быть никаким путем сравниваемо с pac
стояние;\f между двумя точками; расстояние от точки до прямой
:\южет быть представлено только как расстояние между двумя точ
ка:ЮI.
230. В заключение я замечу, что с моей собственной точки зрения
наиболее систематический ход изложения в настоящем мемуаре, BBO
дящем в rеометрическую часть теории фори, должен полностыо
иrнорировать понятия расстояния и метрической rеомеТрИИj поскольку,
в самом деле, сущность теории заключается в том, что метрические
свойства фиrуры не являются свойстваии фиrуры, рассматриваемой
рС1' se 1), отдельно от чеrо либо дрyrоrо, но :это свойства фиrуры.
рассматриваемой в связи с друrой фиrурой, а именно, с коникой,
названной Абсолютои. Исследуемая фиrура может включать в себя
конику; так, мы ;\fожем рассматривать свойства фиrуры, образован
ной двумя или более кониками, и мы тоrда наХОДИ;\fСЯ в области
чистой проективной rеометрии; мы переходим в область метричеClШЙ
rеометрии, фиксируя одну из коник фиrуры как стандарт референ
ции 2) и называя ее Абсолютои. Метрическая rеометрия является,
таким образом, частью проективной rеометрии, и проективная
1) Латинское выражение, означающее «сам по себе». [Ред.]
2) To eCTЬ отнесения, сравнения. [Ред.]
246
А. КЭЛИ
rеометрия представляет всю [all] rеометрию, и обратно; но даже если
это допущено, все таки еще нет оснований для иsложения во BBOk
:ном мемуаре Bcero специальноrо предмета метрической rео reТрIIП.
Однако, поскольку понятия расстояния и метрической rеометрии не
MorYT беs объяснений быть опущены, было необходимо обратитьсн
Е ним, чтобы покааать, что они, таКИJ'vI обраsом, включены в проеR
-тивную rеометрию.
llРИJIlечание 1)
Понятие «Абсолюта», KaIt Я полаrаю, было введено впервые в на-
стоящем мемуаре. Что касается теории расстояния, на нем OCHOBaH
пой и адесь раsвернутой, то я отсылаю к работам:
:к л е й н, О TaIt наsываемой неевклидовой rео:метрии (К 1 е i n F.,
LJebel' die sogennante Nicht Euclidische GeometI':ie, Math. Апп. 4, 1871,
!J 73 (25) 2).
:к э л и А., О неевклидовой rеометрии (С а У 1 е У А., Оп the N on-
Euclidian Geometl'y, Math. Апп. 5, 1872, 630 (34).
:к л ей п, О так наsываемой пеевклидовой l'еометрии (К 1 е i n F.,
Uebel' die sogennante Nicllt Euclidische Geometl'ie, Math. Апп. 6, 1873,
112 145).
В своей первой работе I{лейп подставляет вместо Moero выраже-
:нин расстояния между двумя точка ми череs aI'CCOS выражение через
лоrарифм, а именно, если в reOMeTpnn пря юй линии две фlпtСИрО
ванные точки будут А п В, то выражение расстояния между двумя
пропsвольными точками Р, Q будет
. AP.BQ
D1St (PQ) == с log AQ. вр
это является существенным улучшением, так как мы сраау ВПДIШ,
что фундаментальное соотношение
Dist (PQ) + Dist (QR) == Dist (Р В)
удовлетворяется; действительно, мы имеем:
. дQ.ВR
D1St{QR) == clog AR.BQ ,
и отсюда
Dist(PQ)+Dist(QR) == clog : ; Dist(PR).
Но воsникает вопрос, чтО подрааумевать в моем «Шестом мемуаре»
под «координатами»; если в rеометрии прямой линии (х, у) являются
Еоординатами точки Р, то должно ли это оsначать, что х: у есть
1) При'мечание было опублИlШВRНО ЕЭJIИ В 1889 rоду при издании «ШеС'l'ОI'О
мемуара» В Собрании иатеиатических работ Rэли (т. П, 1889, стр. OO (06). [Ред.]
2) Эта работа RлеЙна помещена в настоящем сборнике на стр. 253 303. [Ред.]
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
247
отношение расстоянпй, расс:\штриваемых в оБЫЧНО:\1 С:\1ысле слова,
от ТОЧЕи Р до двух фиксированных точек А и В; а если так, то по
нятие расстояния в новом С:\1ысле будет ли в птоrе завпсеть от по
нятия расстояния в обычно:\! смысле? Аналоrично, в определенпп
КlIейна должны ли АР, BQ, AQ, JJP обозначать расстоянпя в обыч
ном смысле с,лова, а если так, то будет лп понятие расстояния
в новом смысле слова зависеть в птоrе от понятия расстоянпя в обыч
ном смысле слова? .
Что Itасается Moero :ме:\1уара, то здесь ТОЧЕа зренпя была такова;
я рассиатрпвал «коордпнаты» не каи: РIИ СТОЯНПЯ илп отношения
расстоянпй, но как прпнятое фундаиентальное понятие, не требую
щее и не допускающее ТОЛltованиil:. Недавно я пришел к мыслп, ЧТО
IIX можно расс:иатрпвать как чпсленные значенпя, пропзвольно OT
несенные ТОЧЕе ТaItп:\! образо:и, ЧТО дЛЯ каждой данной ТОЧIПl OTHO
шеШ-Iе х: у пмеет определенное чпсленное значенпе, п что каждому
данному численному значенпю х : у соответствует едпнственная ТО'ПШ.
И я пришел к следующей интерпретацпп формулы Еzшйна. Буде:\!
рассиатривать А, В, Р, Q как точкп, пропзво.lIЬНО связанные с опре
де,lIеННЫ:\IИ численнымп значенияии а, Ь, р, qj тоrда лоrарПф:\l, BXO
дящпй в фОр:>1УЛУ, будет лоrарифмом от
(a p) (b q)
«(l q) (b p)
НО проф. Rдейн обратил мое ВНII:\Iaнпе на связь (стр. 132 ero второй
работы) с теорией, развернутоЙ в «rеоиетрии положенпя» Штаудта
(8 t а U d t, Geometrie del' Lag'e, 1847), более полно в ero «;J,ополненп.нх
К rеоиетрии положения», тетрадь вторая (Beitl'agp ZUl' l1-eometrie
del' Lage, 2. НеНе, 1857). ЛоrарПф:\l, входящий в формулу, это
10g(A, В, Р, Q), а соrласно теорип Штаудта (А, В, Р, Q), aHrapMu
ппческое отношенпе каКПХ ЛIIбо четырех точек, пмеет независи:\!о от
ШIJtоrо либо понятия расстоянпя свойство численной велпчпны,
а ииенно, любые два таких ота:ошеНIlЯ имеют СУЫ:\IУ п произведенпе
и каждая такая СУ"'1ма плп произведение равны отношению четырех
'l'очек, определяе:>lЫХ чисто проектпвными построенпямп. ДOI азатель
СТЕО является более леrкии для произведенпя: пусть отношенпя
будут (А, В, Р, Q) и (А', В', Р', Q')j тоrда, рассматрпвая указанные
'l'ОЧЕИ как данные, мы можем построить R Talt, что (А', В', Р', Q') ===
===(А, В, Q, В); тоrда рассматриваемые отношения будут ( 1, В, Р, Q)
и (А, В, Q, В) и их произведениеи мы называе:>l (А, В, Р, В). {3a
MeTIL'\l, что, вводя понятие расстояния, :\IЫ ПОЛУЧIIЫ, что множптелп
AP.BQ AQ.BR .1Р.ВВ
будут AQ. Br и АВ. B(J , так что пх пропзведенпе li aBHo 11В . ЕР ,
'l'. е. (А, В, Р, В), как и положено в основу определения}. Далее,
дл.н У1\IJ\1Ы строится точка Ql такан, что (А', В', Р', Q') === (А, В, Р, Ql);
248
А. КЭЛИ
тоrда сумма ПРИВОДИТСЯ Е (А, В, Р, Q)+(A, В, Р, Q1), и если мы
построим S таЕое, что (А, А), (Q, Q1), (В, ff) являются парами одной
пнволюции, то мы rоворим, что
(А, В, Р, Q)+(A, В, Р, Q1) == (А, В, Р, S).
{3аметим, что опять, вводя понятие расстояния, мы получим, что
последнее уравнение при reт вид
т. е.
AP.BQ AP.BQl АР.ВВ
AQ.BP + AQl.BP == АВ.ВР ,
BQ BQl ВВ
AQ + AQl == АВ '
что и выражает УЕазанное выше определение.
Действительно, уравнение
b q + b ql b B
a q a ql a B '
I"aE леrЕО впдеть, ЭRвивалентно
1 b+s bs
1 2а а 2 ==о}.
1 q+q1 qq1
ОднаЕО следует за lетить, что приложение этой теории Штаудта
R теории расстояния имеет видимость порочноrо Rpyra, ПОСЕОЛЬRУ
построение произведения двух отношений является, по существу,
допущением соотношения
Dist PQ + Dist QP == Dist PR.
Я Mory таЕже сослаться на Me lyap Болла «О теорип протяжеНIIЯ»
(R. В. В о 11, Оп the theory of the Content, Trans. R. Irich Acad. 29,
1889, 123 182), rде обсуждается это же затруднение. Вступительны&
рассуждения там таЕОВЫ: «В этой теории [нееВЕЛИДОВОЙ rеометрии]
ЕаЕ будто мы пытаемся за reнить наше обычное понятие расстояния
между двумя ТОЧЕами лоrарПфМО:\1 определенноrо анrармоничеСRОI'О
отношения. Но это отношение само содержит понятие расстояния,
И8меренноrо оБЫЧНЫ:\l обраЗ0М. ЕаЕ же мы :можем тоrда 8аменить
старое понятие расстояния нееВЕЛИДОВЫМ понятием, ПОСЕОЛЬЕу дей
ствительное определение последнеrо содержит предыдущее ?».
Подробный спи СОЕ работ дан rальстедто:м (Н а 1 s t е d t, Bibliography
of Hyper Space and of Non Euc1idean Geometry, Amer. Math. Journ. 1,
1878, 261 276; 384 385; 2, 1879, 65 70» 1).
1) Еак видно из зтоrо примечания Езли, он стоял на точке зрения, весьма.
близкой к трактовке проективноrо пространства в конкретной форме аналити-
ческой реализации. Хотя аксиомы проективноrо пространства не были им сфор,
ШЕСТОЙ МЕМУАР О форм\х
249'
I1Рl1ЛОЖЕНИЯ1)
1. О работах Кэли по иееВR.тrпДОВОЙ rеометрпп
Вопросов неевклидовой rеометрии А. Еэли после рассмотренното
«Шестоrо мемуара» касался еще в четырех своих работах:
10. Note оп Lobatchewsky Imaginal'y Geometry, Phil. Mag., London
(4), 29, 1865, 231 233 (СоН. Papers, 5, 471 472).
20. Оп the non euclidian Geometry, Math. Annalen 5, 1872, 630 634
(СоН. Papers 8, 409 413).
з0. Оп the non euclidian plane Geometry, Proc. оЕ the Math. 80с..
London 37, 1884, 82 102 (СоН. Papel's, 12, 220 238).
40. Non Euclidean Geometry (Read Jan. 27, 1890), Tl'ansactions of
the Cambridge Philosoph. 80с. 15, 1894, 37 61 (СоН. Papers, 13,
480 504).
ОДlj:ако в этих работах существенно новых идей в раавитие He
евклидовой rеометрии он не внес.
В а а м е т к е 1 о Еэли выписывает соотношение, свяаывающее
в сферической rеометрии косинус стороны треуrольника с тремя ето
уrлами А, В, С и укааывает, что если сумма уrлов А, В, С больше 'it,
то уrол, определенный по косинусу, веществен; если же срп,ш
утлов меньше 'it, то этот уrол чисто мнимый, аато уrол, определен
ный по косинусу, имеющему обратное аначение, будет веществен.
При этом рассматриваемая формула сферической rеометрии переходит
в формулу rеометрии Лобачевскоrо с той рааницей, что вместо уrла
параллельности стороны треуrольника введено дополнение к этому
1t
утлу до "2' О работе Лобачевскоrо он выскааывается следующим
обрааом: «.. . Эти уравнения являются уравнениями, даННЬThiИ в менее
CIThiметрической форме в любопытной работе "Geometrie imaginaire"
Н. Лобачевскоrо, ректора Еааанското университета (CreHe, т. XVH,
1837, стр. 295 320). Их рассмотрение авторо:\! трудно понимаемо.
ОН ссылается, что в работе, опубликованной пять лет тому нааад
в Еааанском научном журнале, он, раавив новую теорию паралле
лей, предпринял докааательство тото, что только опыт ааставляет нас
прианать, что в прямолинейном треуrольнике сумма уrлов равна
двум прямым уrлам, и что может существовать rеометрия, если не
в природе, то по крайней мере в ана.лиае, основанная на rипотеае:
Cpi:\ia этих уrлов меньше двух прямых; соответственно этому он
пытается установить эту rеометрию, а именно, если а, Ь, e CTO
роны прямолинейноrо треуrольника, в котором сумма уrлов А + в + с
меньше 'it и уrлы а', Ь', е' вычислены по сторонам с помощью
формул
.
, 1
cos а === сов ai '
Ь ' 1
cos === b "
сов z
, 1
cose ===
сов С'"
(я, как укааано выше,
пх дополнениями), то
ааменил величины а',
соотношение между
Ь', е' Лобачевскоrо
yrлами А, В, С и
мулированы, однако приведешmя в примечании арrументация и материал текста
Сal\юrо мемуара убедительно показывают, что Rэли не находился в порочном
Kpyre, а определял понятие расстояния через -чисто проективные понятия. [Ред.]
1) Составлены Б. Л. Лалтевым. [Ред.]
250
А. КЭЛИ
вспомоrательныJии
дается формулами
величина:ии а',
Ь'
,
с'
,
ЗaJYIeНЯЮЩИМИ
стороны,
1 совА+совВ.совС
сов а' == sin В . sin С
1
сов Ь' ==
совВ+совА.совС
sin А . sin С
совС+совА.совВ
sin А . sin В
1
сов е' ==
я не понимаю 8Toro; но было бы весыиа интересно найти р е а л ь
н у ю rеометрпческую ПНТf\рпретацию ука3ЮIНОЙ систе:иы уравнений,
которая (если только А, В, С положительные вещественные ве.:пI
чппы, ТaI ие, что А + в + с < 11:; тоrда как условие А, В, С каждое
1
< 2" 11: lOжно отбросить) содеР,ШIТ только Р е а л ь н ы е величпны
А, В, С, а', Ь', с' и является системой, соответственной уравнев:пяи
обыкновенной сферической триrонометрии».
В р а б о т е 20 рассматривается вывод соотношений между длинаl\1П
сторон и уrлами прямолинейноrо треуrОЛЫПIка в плоской rиперболиче
СRОЙ rеометрии, основанный на расс:иотрении проективной ее интерпрета
цпп. ИСПОЛЬЗ0ваны метрические в евклидов ом смысле и проеI{тивные Be
лпчины п связи между 8ле:иента:ии фиrур, и с их ПОМOIцью найдены СВЯ3П
между величинами метрическими в смысле rипербо.лической :иеТРIП{И.
В р а б о т е з0 rеометрия Лобачевскоrо раССМа1'рпвается I aR reo
метрия на сфере мнимоrо радиуса, которую можно 1I30rнуть без
растяженпй илп сжатпй в псевдосферу Бельтра:ии вещественную
поверхность, обраЗ0ванную вращенпе:м трактрпсы BOKpyr ее аси:нптоты.
Прямым Лобачевскоro соответствуют большпе круrи МIП:C\IОЙ сферы и
rеодезпчеСI пе липии псевдосферы.
Расс:\ютрены формулы изrибания, уравнения rеодетпк на псевдо
сфере, расстояние между двумя точками, соотношенпя между CTOpO
нами п уrлами треуrольника и формулы днижения. -Исследовано
поведение rеодетик на псевдосфере.
В р а б о т е 40 изучается трехмерное пространство с 8ллиптичеСRОЙ
метрикой, 1{оторое уже подверrалось ранее исследованию RЛИффОРДОJ\I
(CliffOl'd 'У. К.) (с ПШlOIЦЬЮ БIшватернионов) и ДРУrIВШ авторамп.
Аналитическпми методами исследуется вопрос о кратчайшем раССТОЯНИII
между ДВYJYIЯ пря:иыми. Найдены выражения через момент и ко:\ю
мент для величин двух общих перпендикуляров к данным ПРЯl\IЫЫ.
2. Извлечении из «ПИТОI'О мемуара» А. Ез.'lИ
а) П. 105 «пятоrо ме.муара» (к стр. 226).
105. Уравнение .
а Ь с
а' Ь' с' == О,
а" Ь" с"
очевидно, является условием, которому должны быть подчпнены
R08ффициенты трех квадрик, чтобы сyrцествовала сизиrия
лИ + }1и' + vИ" == О,
ШЕСТОЙ МЕМУАР О ФОРМАХ
251
или, что то же, чтобы :каждая из ЭТИХ :квадрик являл ась промежу
'ТОЧНОЙ 1) для двух друrих, или, наконец, чтобы три :квадрики Haxo
дплись в инволюции. Выраженное через корнп 2), это соотношенпе
получает следующий вид:
1 а + аЗ
I
1 а' + ' a' ' == о,
1 а" + " а";3"
и если это уравнение удовлетворяется, то три пары, или, как обычно
выражаются, шесть количеств а, ; а', '; а", ", называют паходя
ЩИИIIСЯ в пнволюции, или обраЗУЮЩИlVIИ инволюцию. О двух COBep
шенно произвольных парах а, ; а', ', рассиатриваемых как прп
надлежащие к такото рода системе, можно также rоворить как об
образующпх инволюцию. Если два члена пары равны, т. е. еслп
п." == " == 6, то соотношение становится следующпм:
1 2 r j 62
1 a+ a ==0,
1 а' +;3' a' '
и TaE:OI'O рода систему иноrда называют пятичленной ):mволюцией.
Расс-чатривая пары (а, ), (а', ') как данные, получаем, что су:ще
С'i'Вуют, вообще rоворя, два значения 6, удовлетворяющих предше
ствующему уравнению; обозначим их 61 II 611' ТОТДа 61 и 011 наsывают
са:VIOсопряжеННbllVIII в инволюции а, ; а', '. Летко видеть, что 61 II
611 являются корнямп уравнения ]1==0, тде Н ' ,ЯI обпан двух KBaд
рик И И И', корни :которых (а, ), (а', ').
Действительно, квадрика, обладающая корнямп 61 п 611' ПJ\Iеет впд
y<J 2ху x<J
1 a+ а;3
1 а' + ' a' '
:а вто, как было покаsано, и есть якобиан данных ЕваДРИЕ. ЭТО МОЖJ.Ю
пояснить следующим образом. Если мы вообраSШI, что Л, !-'- опреде
лены так, что промежуточное лИ + !-'-И' является точным квадратом,
то мы должны иметь:
j, и + }1И' == а" (х Оу)2,
УДе 6 обозначает одно или друтое из самосопряженных 01, 011 В ин
волюцип. Но условие, чтобы лИ + !-'-И' было квадратом, 'faкOBO:
(ac b<J, ac' 2bb'+ca', а,с, ь,<Jял, }1)2;
н, ЗalVIeчая, что уравнение л:!-'_ == U' : И дает
лИ + }1И' == о == а" (x 6y)2,
1) Евадрика U о называетс.я промежуточноЙ для квадри и' о и [Тff О,
если U Аи' + 1.1и" [Ред.]
2) Еорни квадрик обозначены (а, 1) ( , 1); (а', 1) ( ', 1); (а", 1) ( ", 1). [Ред.]
252
А. КЭЛИ
очевидно, имеем, что функция
(ac Ь 2 , ас' 2ЬЬ' + са', а'с' Ь' U', И)2
с точностью до множителя совпадает с произведением
(X б1у)2(х бllу)2.
Но мы пмеем тождественно
(ac b2, ac' 2bb'+ca', а'с' ь'2яu', ,И)2==
== {(аЬ' а'Ь, а' c ас', Ьс' Ь' с Я Х, у)}2,
и отсюда в:rщим, что
(х (j1уях (jllУ)
являются множителяии якобиана.
б) П. 95 <<пятоrо мемуара» (к стр. 226).
95. Проблема решения квадратичноrо уравнения это проблема
отыскания линейных множителей квадрик, Чтобы получить такой
линейный множитель в симметрической форме, необходимо ввести
произвольные количества, которые в решение реально не войдут, и
получаемая форма в некотором отношении будет более сложной, чем
в случае Ilодобной проблемы для кубики или Itвартики. Решение
находим с помощью линейноrо преобразования квадрики, а именно,
если мы напишем:
(а, Ь, СЯЛХ+!l-У, vx+py)2==(a', Ь', с'ЯХ, у)2,
а'==(а, Ь, СЯЛ, v)2, Ь'==(а, Ь, СЯЛ, VЯ!l-, р), с' == (а, Ь, СЯ!-'" р)2
и
а' с' ь,2 == (ас Ь 2 ) (ЛР !-"v)2.
Последнее уравнение можно записать в дрyrом обозначенин
(а, Ь, СЯХ, у)2(а, Ь, сяХ, Y)2 {(a, Ь, СЯХ, уяХ, У)}2==
==(ac b2)(Yx Xy)2,
в котором оно является теоремой о квадрике и ее первой и второй
производных (eтaUa1zt). Это уравнение показывает, что линейный
множитель
(а, Ь, СЯХ, уяХ, У)+ Yb2 ac(Yx Xy),
rде (Х, У) трактуются как избыточные произвольные постоянные.
.является искомым л:rmейным множителем формы (а, Ь, с Я Х, у)2.
ФЕЛИКС КЛЕЙН
О ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
FELIX КLEIN
OBER ШЕ SOGENANNTE NICHT EUKLmISCHE GEOMETEIE 1)
(1871)
Настоящее иsложение относится Е таЕ наsываемой неевклидовой
rеометрии raycca, Лобачевскоrо, ЕольаИj оно sатраrивает также poд
ственные исследования об основах наших rео:метрических представ
лений, предпринятые Риманом и rельмrольцем.
Цель ero sаЕлючается не столько в исследовании философских
построений, приведших к этим теориям, сколько rлавным обраSОl\I
в том, чтобы дать иовое иаитдиое изложеиие .мате.мати'ЧеС1fих результа
тов работ, отиОСЯ1lfUХСЯ 1. теории параллельиых, и сделать их доступиы.ми
ЯС'lW.му поипманию.
Путь к ЭТО:\IУ ведет череs проеЕТИВНУЮ rео:нетрию. Действительно,
можно вслед аа Rэли 2) построить в пространстве проективное Mepo
определенпе, испольsующее проиsвольную поверхность BToporo порядка
в качестве так наsываемой фундаментальной поверхности. Это Mepo
определение в S8ВИСИl\IОСТИ от вида соответствующей поверхности
Bтoporo ПОрЯДЕа дает картину раsличных теорий О параллельных,
выдвинутых в вышенаsванных работах. Оно не только является их
иsображением, но, ЕаЕ будет покаsано, : ВСЕрывает их внутренню:,?
сущность.
Я начинаю с TOro, что вкратце устанавливаю свяsь между УIIО
мянутЬL.'\i[И теориями параллельных ( 1). 3атем обращаюсь к Mepo
определению Rэли, которое раsвиваю, чтобы пметь воsможность свяsать
ero с раsлпчными теориями паралле.lIЬНЫХ. При этом я вхожу
1) Ср. заме:rRУ под таRш,,1 же названпем в G6tt. Nachrichten, М 17, 1871.
2) В «Sixth Memoir llРОП Quantics», Phil, Transactions, т. 149, 1859. Ср. пере
вод Фидлера «Еонических сечений» С а п: ь м о н а, 2 e изд. (Leipzig, 18(6), а также
Ф и Д л е р, «Элементы новон rеометрии и алrебры бинарных форм» (I,eipzig, 18(2).
(Мемуар Езли помещен на стр, 222 248 настоящеrо сБОРШIRа. Ред.]
254
Ф. КЛЕЙН
в подробности не ТОЛЬЕО потому, что исследования Кэли недостаточно
известны, но rлавным обраЗ0М потому, что ето исходная ТОЧЕа зрения:
отлична от предлаrаемой здесь. У Кэли дело сводится к ДОКа3атель
ству тото, что обычную (евклидову) метрическую rеометрию можно
рассматривать как особую часть проективной rеометрии. Для этой
цели он строит общее проективное мероопределение и затем п()казы
вает, что И3 ето формул получаются формулы обычной метрической
rеометрпи, если фундаментальная поверхность вырождается в HeEO
торое Iюническое сечение бесн:онечно удаленную lVшпмую окруж
ность. Здесь, напротив, дело состоит в том, чтобы возможно отчет
ливее изложить ?eOoHeтpU"lecr;;oe содер;)Jсшнuе общеrо мероопределения
Кэли; мы выясняе 1 не только то, что оно дает при соответствующей
специализации евн:лпдову метрическую rео:метрию, но и rлавным
обраЗ0М то, что оно пмеет точно такое же отношение к ра3ЛИЧНЫ I
ыетрическим rеО 1етриям, соответствующим вышеупомянутым теориям
параллельных.
При этих истолкован иях открываются некоторые новые точки
зрения. Я показываю, отвлекаясь от деталей, как можно обосновать
:мероопределение Кэли, рассматривая мнотократно повторяющиесн
пространственные преобраЗ0вания. Затем я обращаю ВНИ1\Iaние на
форму, приданную в 7 и 14 понятию меры кривизны.
Кроме тото, определение, которое я даю для проективной метрики,
несколько обобщает определение, данное Кэли. Для TOl'O чтобы опре
делить расстояние между двумя точка:ни, я представляю их соеди
неннымп прямой линией. Она пересекает фундаментальную поверх
ность в двух друrих точках, находящихся с двумя данны:ми в опре
деленнои двойном отношении. Л 'Назывш/О расстоя'Нuе.м . !еЗJсду обеZ!.А!7!
тО"lr;;аоиu ло?арuфоИ 9JпO?O двой'Но?о ОJп'Ноше'Нuя, УоИ'НО;)Jсе'Н'Ныu 'На проuзволь'Ную,
'НО Раз U 'Навсе?да выбра'Н'Ную r;;oucJпaUJпY с. Для тото чтобы определить
уrол между двумя плоскостями, я провожу через линию их пере
сечения обе касательные плоскости к фундаментальной поверх
ности. Они определяют с двумя данными плоскостями некоторое
двойное отношение. Л 'Называю У?ЛОоИ оие;)Jсду двуоия да'Н'Ны.ми плосr;;о
СJпяоии ло?арuфоИ 9JпO?O двой'Но?о ОJп'Ноше'Нuя, УоИ'НО;)Jсе'Н'Нъzй 'На дру?ую
проuзволь'Ную, 'НО Раз ! 'Навсе?да выбра'Н'Ную r;;oucJпaUJпY с'. У CTaHOB
ленные таким обраЗ0М rеометрические определения совпадают с aHa
лптическими, данны:ми Rэли, если толыю придать С и С' частные
V l 1)
значения, положив обе равными
ОДНаЕО для дальнейшеrо
1 :Кали случаЙно берет «квадрант» за единицу. Это получается, если с и е'
V l
положить равными
'It
О ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
255
существенно сохранить константы с и с', потому что, например, с кат{:
раа соответствует характеристической константе, входящей в неевкли
дову rеометрию (ср. таЮЕе S 4).
1. Различиые теории параллельпых
Еат\: иsвестно, 11 я аксиома Евклида равносильна предложению
о том, что сум:на yrлов треyrольника равна двум ПРЯМЫThI. ЛеJIШН
дру удалось докааать 1), что СУJ\ThШ уrлов в треyrОЛЬНIlliе не может
быть бо.льше двух ПРЯМЫХ; он покаsал далее, что если хотя бы
в одном треyrольнпке сумма yrлов равна ДВYThI прямым, то это же
справедливо для любоrо треуrольника. Но Лежандр не cMor покаsать,
что су:мма уrлов не .может быть меньше двух прямых.
Повидимо:му, подобное же соображение обраsует исходный пункт
псследованпй raycca по это.му пред.мету. raycc считал, что в дей
ствительности невоs;\южно докааать теорему о равенстве С ПIЫ y:I'ЛОВ
ДВYThI ПрЯМLВlj более Toro, что на основе ааранее выбранной аксиомы
можно построить непротиворечивую в себе rеометрию, в которой
сумма yrлов окажется .меньше. raycc наsвал эту rеометрию неевкли
довой \J); он MHoro sаНИ Iался ею, но, к сожалению, ничеrо не опуб
лпковал о ней, кроме некоторых намеков. В этой неевклидоnой reo
меТрlШ встречается пекоторая определенная КОIIстанта, характерная
Д.;Ш пространственнOl'О :мероопределения. Еслп ПРlщать ей беClшнеч
ное sначение, то мы ПОЛУЧIThI обычную еВRЛИДОВУ rеометрию. Но
ес.'IИ константа конечна, то налицо иная I'еометрия, для которой,
в частности, справедливы следующие ааконы.
Сумма уrлов в треуrольнике меньше двух пряиых п тем больше
отличается от них, чем больше площадь треуrольника. Для Tl>IcJ
уrольника с беСRонечно удаленными вершинами СYThП\Ш yrлов будет
равна нулю.
Череs точку вне прямой можно провести R прямой две пара.л
леЛII, т. е. пря:ные линии, пересекающие прямую в тои плп друrом
направленпп в бесконечно удаленной точке. Прямые, проходя:rцие
Череs точку и sаключенные между обеIПIИ параллелями, совсем не
пересеI\:ают данной прямой.
1) Это доказательство, как и доказательство Лобачевсл:оrо, относнщееся
к этому же вопросу, преДПОЛRI'ает бесконечную длину прямой. При отказе от
этоrо предположения (см. дальнейшИЙ текст) отпадают и доказательства, так
1ШК иначе они точно таким же образом осуществлялись бы и в rеометрпи на
сфере.
2) Ср. S а r t о r i II S У. 'У а 1 t е r S h а II S е п, Gallss ZlШl Gedachtnis::;, стр. 81,
а также некоторые письма в переписке raycca и Шумахера [См. стр. 106 107
настоящеrо сборника. Ред.]
256
Ф. КЛЕЙН
к этой же неевклидовой rео:иетрии пришли Лобачевский 1), про
.фессор математики Rазанскоrо университета, и, несколькими I'ОДЮ1П
позже, венrерский математик Я. Больаи '2) и опубликовали обстоятель
ные изложения этоrо же предмета. Тем не менее, эти работы OCTa
'13ались почти неизвестными до тех пор, пока на них не обратили
f!нимание в связи с изданием в 1862 rоду переписки между rаУССШf
яШумахером.
С тех пор стало распространяться мнение, что отныне теория па
;раJ1лельных, при ее нереальности, познана.
Однако это мнение претерпело очень серьезное изменение с тех
пор, как в 1868 rоду после смерти Римана появилась ero встynII
тельная лекция «О rипотезах, лежащих в основании rеометрпп»,
а вскоре и rельмrольц опубликовал в G6ttinger Nach1'ichten (;М 6,
1868) свое исследование «О фактах, лежащих в основаниях rеометрии» 3).
В сочинении Римана указано на то, что неоrраниченность простран
ства не влечет за собой с необходимостью ero бесконечность. Более
'Toro, можно мыслить, не впадая в противоречие с нашим воззреНИЮf,
Бсеrда относящимся к конечной части пространства, что пространство
конечно и замкнуто в себе: rеометрия нашеrо пространства имела бы
'тоrда такое же строение, как reометрия на трехмерном шаре, вложен
ном в четыреюvшрное мноrообразие. Это представление о пространстве,
которое имеется также у rельмrольца, повлекло бы за собой то, что
сумма уrлов треуrольника была бы (как и в обычном сферпческоы
треуrольнике) больше двух прямых и отличалась от двух пряиых
'тем больше 4), чем больше площадь треуrольника. Прямая линия
вовсе не имела бы бесконечно удаленных точек, и через данную точку
нельзя было бы провести вообще ни одной параллели к данной
прямой.
rеометрия, основанная на таких представлениях, встала бы в ряд
'с евклидовой rеометрией, так же как только что упомянутая rео:\шт
1) В Еазанских известиях 1829. 3аписки Еазанскоrо университета, 1835
1838. Crelles Jопrпal, т. XVII, 1837 (Geometrie imaginaire). «Geometriвche
Uпtеrsпсhппgеп Zltr Theorie der PaTallellinien», 1840, Берлин. «Pangeometrie»
Еазань, 1855. (Пaнrеометрни есть в итальянском переводе в Giornale di Matema
tiche, т. V, 1867.) [Сочинения Лобачевскоrо «О началах rеометрию) и «Воображае
иая rеометрия» (первые части) помещены на стр. 27 49 и 50 60 настоя
щеrо сборника. Ред.]
2) В приложении к сочинению 'У. В о 1 У а i, «Tentamen jпvепtпtеm...», Maros
'Vasarhely, 1832. Ero итаЛЬЯНСRИЙ перевод есть в Giomale di Matematiche, т. VI,
1868. [«Аппендикс» Н. Больап поиещен на стр. 7l 97 настоящеrо сБОРНИRа.
Ред.]
3) См. стр. 309 325 и 36 387 настоящеrо сборника. [Ред.]
4) ЕаЕ уже отмечалось, аналоrичные доказательства Лежандра и Лобачевскоl'О
предполаl'ают беСRонечность пространства.
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
257
рпя raycca. Лобачевскоrо, Больаи. В то вречя как ПОС,ТIедняя Haдe
ляет пряыую двумя бесконечно удаленными точкаии, :эта не дает пря
мой вообще ни одной бесконечно удаленной ТОЧIПJ (точнее дне мнимые).
l\1:ежду ниии евклидов а rеоиетрпя занимает переходное место: она
ПРIШисывает пряиой две совпавшие бесконечно удаленные точки.
В соответствии с обычной теР:\Iиноаоrпей новой rеометрп:и 1) :эти
три rеометрии в дальнейшем называются пcnеР(JОЛlРtесr.;ой, ЗЛJшптU.tес-х;ои
II параболu.tеСfCои rеоме'J'рией, смотря по тоиу, будут ли обе бесконечно
удаленные точки прямой вещественнымп, мнп:иыми пли совпадаЮЩИ],1П.
В дальнейшеи :эти три типа rеО],IeТРПЙ окажутся осоБЬП\IИ случаями
общеrо мероопределения К:элп. К параболической (обычной) l'еOJ\Iетрии
мы придеи в случае вырождения ФУН,;J;а:нентааьной поверхностп Н:8;orиев
cKoro мероопределения в мнимое конпческое сечение. Еслп за фунда
ментальную поверхность взять собственную, но мнимую поверхность
Bтoporo порядка, '1'0 получим :эллпптическую rеометрию. Наконец,
rпперболическая rеоиетрия получается, еслп взять за фундаменталь
ную поверхность вещественную, но не линейчатую поверхность BTO
poro ПОРЯ,;J;ка и оrраничиться раСС lOтрением ее внутренних точек.
Теперь я возвращаюсь к установ;orению общеrо иероопределения
Кали сначала для основных образов первой ступени. Прп Э'1'ом я
каждый раз исследую, каким образои представления эалиптической.
II I'Иперболпческой rеометрий подчинены проективным представления:н.
Кроме Toro, здесь следует подумать о связи пзлаrаемых rеометри
ческих объектов с соображенияии, касающпиися мероопределения
в произвольно протяженных аналптических мноrообразиях.
Бельтрами показал 2) впервые, юJ,R планиметрия rиперболичеcrюй
(неевклидовой) rеоиетрии нахо,;J;ПТ свою интерпретацию в обычной MeT
рпке поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Следова
тельно, ПЛОСRОСТЬ в rиперболической rеометрии является Еак бы MHoro
образием двух измерений постоянной отрицательной КРlIВПЗНЫ. 3атем,
коrда ПОЯВИ.'Iась УПО],Iянутая работа Рииана, в которой ПОНЯ'1'ие кри
вланы было впервые установлено для высших мноrообразий, Бель
трами распространил свои иссле,;J;ования на пространства пропзволь
Horo числа измерений 3). Он ПOIшзал, что в rиперболической l'еометрпи
1) Нанример, точки поверхности называют rиперБО;1ИчеСКП Ilr, ЭШ1иптичесн:ими
и:ш параболическими в зависимости от Toro, будут ли аСИJ\штотичесr,ие Rасатель
ные вещественными, МНИJ\rыми или совпадающими. ШтеЙнер называет ИНВОШОЦИЮ
rипербошrческоЙ, Э.:I.;JиптичеСRОЙ И.:IИ параболическоЙ в зависимости от Toro, будут
ЛИ двойные элементы вещественными, мнимыми ИJШ совпадающими и т. д.
2) :::;aggio di interpretazione della Geornetria non ellclidea, Giornale di Materna
tiche, 1868. [См. стр. 180 212 настоящеrо сборника. Ред.]
3) 'l'eOl'ia fondarnentale degli spazii di спrvаtпrа costante, Ann. di :\!at., сер. 11,
т. П, 1868. [См. стр. 3!2 365 настоящеrо сборника. Ред.]
1 7 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
258
Ф. КЛЕЙН
обычному (трехмерному) пространству снова относится постоянная
отрицательная мера кривизны, п обратно, предположение постоянства
отрицательной меры кривизны равносильно допущению Toro, что I'eo
метрия rиперболичесв:ая. Напротпв, 8ллиптическая, или, <как он ее
называет, сферическая 1), rеоиетрпя (так как обычная сферическая
rеометрпя относится сюда же) относила бы пространству постоянную
положнтельную меру RРИВПЗНЫ. Наконец, в случае параболичеСЕОЙ
rеометрии иера кривизны была бы тоже постоянна, но равна нулю.
Поскольку, как будет показано в дальнейшем, общее мероопреде
леиие R8ЛИ в пространстве трех изиереиий охватывает как раз rипер
болическую, 8ллиптичеСRУЮ и параболическую rеометрии, т. е. совпа
дает с предположением о постоянстве меры кривизны, то можно думать,
что и при произвольно большо:и числе измерений общее мероопреде
ление R8ЛИ равносильно предположению о постоянстве меры ЕрИ
вианы. Это, действительно, и:иеет место, хотя и не будет здесь ПОЕа
зано. Следовательно, для пространств с постоянной мерой кривизны
иожно непосредственно использовать те же фориулы, которые в даль
нейшем будут установлены в предположении двух и трех иамерений.
Отсюда можно заключить, что в таI ИХ пространствах кратчайшие лпнии
MorYT быть, KaI и ПРЯ:\Iые линии, представлены линейными ypaBHe
ни:ями 2); что бесконечно удаЛeIПIые 8лементы образуют поверхность
BToporo порядка и т. д. Это результаты, которые уж€ установил
Бельтрами, исходя иа друrих соображеннй 3); такии же образом и для
перехода от формул Бельтрами к фориулам R8ЛИ достаточно сде.чать
J:!cero один шаr_
Укажем также на Связь между всем нижеследующим и исследо
вашIЯМИ Христоффеля 4) II Липшица 5) о ди:фференци:а.льных формах.
2. Общие 3ЮIeчанин о пространственном мероопределении
Еак известно, все пространственные измерения сводятся к двум
основным задачам: к определению расстоя'Нuя .ме:жду дву.мя тО'Ч1>амu и
к определению Уi!ла .ме:нсду дву.мя llересе1>ШIOщи.мися 'llря.мъt.мu; действи-
тельно, инструменты, с КОТОРЫМИ работает практический reoMeTp"
1) в противоположнос'l'Ь этому, rипербошиескую rеометрию он называет'
<шсевдосферической».
2) В частности, следовательно, для пространств постоянной кривизны будет
иметь место проективная rеометрия. Ср. S 17 текста.
3) Сперва для поверхностей постоянной кривиэны в статье: Risoluzione del
рrоblеша di riportare i punti di пnа superficie etc., Annali di Маteшаtiса, сер. J,
т. VH, 1866, эатем в общем виде в вышеупомянутом сочинении: Teoria generale etc.
4) Borchardt's Jопrnаl, т. 70, 1869, стр. 46,
5) Borchardt's Journal, т. 70, 1869, стр. 71; Т, 72, 1870, стр. 1.
О ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
259
измеряют вообще лишь отреЗRИ и уrлы, всё же остальное, подлежа
щее определению, может быть найдено из них с помощью вычислений.
В смысле проеRТИВНОЙ rеометрии обе 8ТИ основные задачи можно
охара:ктеризовать Еав: пробле,му ,мероопределе'Нuя в ос'Нов'Н'Ых образах первой,
етупе'Ни. Измерение расстояния между двумя ТОЧRами соответствует'
мероопределению в прямолинейном то ечном ряде, измерение уrл3/.
:между двумя пересеRающимися прямыми мероопределению в пло
СЕОМ ПУЧЕе прямых. НаЕонец, мероопределение в пучв:е ПЛОСRостей
не отличается от мероопределения в ПУЧRе прямых, так Еав: в Rаче
стве уrла между двумя ПЛОСRОСТЯМИ рассматривается уrол между
таЕИМИ двумя пересеRающимися прямыми, по ЕОТОРЫМ обе ПЛОСRОСТИ
пересеRаются третьей ПЛОСRОСТЬЮ, перпеНДИRУЛЯРНОЙ R линии их
пересечения. ТаRИМ образом, остается лишь рассмотреть мероопреде
ление в прямолинейном точечном ряде и мероопределение в ПУЧКА
прямых; О них 8десь прежде всето и будет итти речь.
ПОСRОЛЬRУ точечный ряд и ПУЧОR прямых рассматриваются распо
ложенными в плоскости, ТО они связаны принципом двойствеНlIОСТИ
ОднаЕО, мероопределения в 8ТИХ образах существенно ра8ЛИЧНЫ;
таЕ, например: .расстояние между двумя ТОЧRами является.lалrебраи
ческой, уrол же между двумя прямыми трансцендентной (Rруrовой)
функцией Rоординат; длина неоrраниченноrо точечноrо ряда беСRО
нечно веЛИRа; напротив, сумма уrлов в ПУЧRе прямых Rонечна; OTpe
ЗОЕ определяется единственным способом (с точностью до знаRа)"
уrол же лишь с точностью до уrла; Ератното периоду. Соответственно
этому отреЗОR может быть очень просто разделен на произвольное
число равных частей; для уrла же, вообще rоворя, удается лишь
деЛeIше пополам и т. д.
Несмотря на 8ТО различие, оба вида мероопределений имеют нечто,
родственное и в силу 8ТОТО ВRлючаются в неЕоторое более общее,
:\reроопределение. Это родство двух видов.
Bo пepвЪtx, для обоих мероопределений справед лив заRОН аддитив ,
ности разностей мер 1); 8ТО значит, что разность мер 12, сложенная с раз
ностью мер 23 , равна разности мер 13 , или символичеСRИ 12+23 13 .
Эта aддитив'Нocrпb раз'Ностей ,мер является общим зако;ном, заданным
наперед при всех мероопределениях в мноrообразиях одното измере
пия 2). Этот закон равносилен заданию ФУlШциональноrо уравнения
для определения той функции от Rоординат, которая должна пред
ставлять разность мер. С 8ТОЙ аддитивностью разностей мер мы можем
сразу же соединить дальнейшее свойство, также обнаруживающееся
1) При измерении уrлов это, конечно, будет справедливо ЛИШЬ тоrда, если
мы прибавим для уrлов 12 и т. д., независимо друr от друrа, кратности 21t.
2) То же самое имеет место, например, при измерении времени, веса или
плотностен.
17*
260
Ф. КЛЕЙН
прп всех мероопределениях в МНО1'ообразиях одно1'О измерения,
:а именно, что расстояние элемента от caмo1'o себя равно нулю: 11 == о.
Отс юда и и только что сформулированно1'О свойства следует еще,
'Что 12 === 21.
Bo втopыx, рассматривае:иые здесь мероопределения обладают еще
ДРУ1'им свойством, которое позволяет с удобством применить их
к из:иерению в пространстве, Это свойство оставапи,ся 'Нвuз.ме11/Н,Ы.А-t при
двUЭIСС'Н,UU в простра'Н,стве. В частности, у1'ОЛ между двумя ПрНМLIМИ
пучка не изменяется, если вращать этот пучок в e1'o плоскости BOKpyr
e1'o центра; точно таи: же не изменяется расстояние между двумя точ
Еами, если перемещать прямую вдоль себя.
Двух отмеченных свойств достаточно для To1'o, чтобы хаРaI,тери
;зовать оба мероопредеЛeIlliЯ; их можно также отчетливо обнаружить
там, 1'де ироизводятся действительные измерения. Еак при измерении
У1'лов, так и при измерении отрезков пользуются шr.;алой рав'Ноотстоя
ЩUХ э.пе.ме'Н,тов, которую наносят с известным произволом на измеряе
мом объекте 1).
Чпсло частей шкалы, лежащих между обои:ми элементами, раз
ность мер которых нужно определить, и дает искомую разность мер.
При этом мы не будем останавливаться на том, что число этих частей
шкалы 8IOжет вообще не яв.ляться цеЛЬПl и даже рациональны:и и что
-в связи с эти:м разность мер двух Э.лементов сможет быть определена
не точно, но лпшь приближенно. Напротив, мы рассмотрим подробно,
'Еак оба названных свойства мероопределения сопутс-твуют описы
аемой операции измерения.
Первое свойство, аддитивность разностей мер, выражается в TQ:\I,
что В качестве расстояния между двумя элементами мы бере 8 1 просто
число находящихся между ними частей шкалы. Второе свойство обна
руживается в том, что 81Ы получаем для разности мер одно и то же
'число, независимо от способа, какИ81 81Ы нанесли шкалу на измеряе
мом предмете. ДЛЯ ЭТО1'О шкала должна обладать свойством COBMe
'щать.ея сама с собой при произвольном наложении ее на себя. 1J,py
I'П:\1П .-словами, если подвер1'НУТЬ шкалу движению, при КОТОРОМ остается
'-неПЗ8ШННЬПI ее носитель (пря:иолинейный точечный ряд п.;rп пучок
'прямых), и ес.:IИ при ЭТ081 движении одна часть шка.лы переходит
B следующую, то п каждая часть шкалы перейдет в с.ледующую.
1) При измерении отрезков, в соответствии со сказанным в тексте, исполь
зуют шкалу равно отстоящих точек на прямоЙ, И.;IИ .ltaC7uтao. Напротив, при изме
рении yrлов обращаются не к шкале уrлов, но к разделе'Н'НО.А-tу п:pyzy, который
заменяет шка.ну уrлов. Однако в тексте иы придерживаемся представлеИIlЯ
о шкаJlе yrлоl'!, так как круr не является основным образом в смысле проектив
ной rео re.триц:.
О ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
261
Это последнее свойство шкалы поаволяет uszOтOeUтb ее с по.мощь7О>
.м//iоzо'Кратио повторяющеzося двuжеиuя.
В частности, чтобы построить шкалу в прямолинейном точечном
ряде, воаьмем две точки (1) и (2) в качестве rраничных точек первой.
части шкалы. 3атем станем передвиrать прямую вдоль себя до.
тех пор, пока (1) не совместится с (2). Тоrда (2) перейдет в точку (3),
которая и будет третьим делением шкалы. Если проиавести еще одно
перемещение на такой же отреаок, то (1) перейдет в (2), (2) в (3) и,
наконец, (3) B новое деление шкалы (4) и т. д.
Аналоrично, чтобы построить шкалу в пучке прямыI,, воаьмем
сначала две прямые (1) и (2) в качестве rраНИЧНLIХ прямых первой
части шкалы 1). ПУС'lЪ вращение пучка в ero плоскости BOKpyr Ш'О
центра переводит (1) в положение (2); тоrда (2) примет положение (3),
которое и является третьей прямой шкалы и т. д.
Перемещение точечноrо ряда или вращение пучка прямых в себе
подпадают оба, с точки арения проективной rеометрии, под более'
общее понятие лuиеuиоzо преобрпЗОliШН;UЯ, 1 ереводящеzо в себя P([cc.мтпpи
вае.ltыu ос'Нов'Ной образ. Вслед аа тем тотчас же намечается более общее
построеиие ш'Калы для прямолинейноrо точечноrо ряда или пучка пря
мых И тем самым более общее .меРОО1 ределение в этих основных обрааах,
содержащее действительно употребляемые построения и мероопреде
ленин как частный случай. Действительно, как для 'l'очечноrо ряда,
так и для пучка прямых можно построить шкалу, мноrOl ратно при
:ненян к элементу рассматриваемоrо обрааа проиавольное линейное
преобрааование, при котором этот образ переходи'l' в себя. lIepBOHa
чально выбранный элемент порождает при этом ряд элемен'l'ОВ, KO'l'O
рый и является шкалой. Рааностью мер двух элементов служит чпсло
частей шкалы, находящихся между обоими элементами 2). Если при
атом вначале определена рааность мер лишь таких элементов, которые
ОТСТОЯ'l' друr от друrа на целое исло частей шкалы, то путем даль
нейшеrо подрааделения частей шкалы (ср. следующие параrрафы)
м()жет быть установлена рааность мер элементов, рааличающихся на
рациональное число частей шкалы; наконец, испольауя понятие ирра
циональноrо предела, можно rоворить о рааности мер двух любых
елеыeтQв..
1) Практически за часть шкалы берется такой уrол, чтобы прямоЙ yro:r Bыpa
жался целым числом частей шкалы, но это адесь не принимается во внимание.
2) Это накладывает оrраничение на вид испольэуемоrо линеЙноrо преобразо-
ванил. Прежде Bcero, линеЙное преобраэование должно быть вещеС'l'Венным, перэ
водящим первый вещественныЙ элемент во второй вещественныЙ. 3атем следует
также потребовать, чтобы элементы шкаiIЫ в процессе их ВОЗНIIRновения следо
вали дру!' за друrом так, чтобы, например, первыЙ и второЙ элементы не разде
лллись БыI третьим и четвертым (ср. дальнейшиЙ текст).
262
Ф. КЛЕЙН
Этот бо;;rее общий вид мероопределения в основных образах первой
ступени будет подробнее исследован в последующих параrрафах. При
этом будет получено CTOJIЬEO существенно различных мероопределе-
ний, СRОЛЬRО имеется существенно различных линейных преобраЗ0ва-
ний в основных образах первой ступени. ОДНаЕО имеется лишь два
рода таRИХ преобразований:
1) таRие, при ЕОТОРЫХ остаются неизменными два (вещественных
или мнимых) элемента OCHoBHoro образа (общий случай);
2) таRие, при ЕОТОРЫХ остается неизменным ТОЛЬRО один (дважды
взятый) элемент OCHoBHoro образа (специальный случай).
Соответственно этому имеются таRже лишь два существенно раз-
личных вида проеRТИВНЫХ мероопределений в основных образах пер.
вой ступени: общее, использующее преобразования первоrо рода, п
Сllelt uаль uое, использующее преобразования второro рода.
Обычное мероопределение в пучке прямых есть ;\,Iероопределеште
первоrо рода, ПОСRОЛЬRУ при вращении пучка BORpyr ero центра в ero
ПЛОСRОСТИ остаются неизменными две различные прямые ПУЧRа, направ-
ленные R бесконечно уда.,'Iенным мнимым Rруrовым точкам.
Напротив, обычное ;\,Ieроопределение на прю,юй есть мероопреде-
ление BToporo рода. Действительно, в обычной параболической reo.
метрпи при перенесении прmvюй вдоль нее самой на этой прямой
остается неиs:иенной только одна точка беСROнечно удаленная
точка.
31.'0 уже указывает на то, что в rиперболической и эллиптической
rеО:\Iетрии мероопреде.'Iение на пря.vюй теряе1.' тот специальный харак-
тер, который ему придает параболическая rеометрия.
rиперболическая rеО;\,IeТРИЯ наделяет прямую двумя веществен-
ны:ии, эллиптическая двумя мнимЬThЦI бесконечно удаленными точ-
Rами. Соответственно этому она рассматривает движение прямой вдоль
себя как общее линейное преобразование, оставляющее неизменными
обе различные бесконечно удаленные ТОЧRИ. В дальнейшем это будет
рассмотрено детальнее.
3. Общее проеRТllВное мероопре,'l;еление в основных образах
первой ступени
Оrраничи;\,юя сначала расс;\,ютрение;\,I общеrо случая только что
установленноrо проеRтивноrо ;\,Iероопределения, полаrая, что суще-
ствуют два раздельных элемента [инвариантных] при линейном пре-
образовании, порождающем шкалу. Они MorYT быть названы фу'Нда-
.меurпальuъt.ltU 9ле.меurпа.МU. Мы перенесем в них оба основных элемента
Rоординатной системы, определяющей каждый друrой элемент отно-
шением двух однородных переменных Х 1 : Х 2 . 3начение этих отноте-
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВ ЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
263
нпй мы буде:м в:оротв:о обозначать через z, тав: что равенства z === О п
.z == 00 харав:теризуют оба Фунда:\IентR,.,тrьных эле:мента. Тоrда линейное
преобрааование, от RoToporo мы псходилп при построенип ШВ:R,.,тrы,
.задается уравнение:vr вида
z' === },z,
тде А константа, определяющая это преобразование 1). Если мы
мноrократно применим это преобразование к произвольно взятому эле-
JYIенту z == zl' то получи:м ряд элементов
z1> лz 1 , }, Zl' Л 3 Z1>
.. .,
л этот ряд эле.ltе'Н11l0в образует 'Нашу ш'Калу. Очевидно а priori, что она
переходит в себя при порождающе:vr ее преобразованпи.
Если мы при:ме:vr taC11lb ш'КалЪt за едzI'НZЩУ раСС11l0Я'Н7tя, то расстоянпf'
-от элементов z1> },z1> л 2 z 1 , )'3 Z 1> до элемента Zl равно COOTBeTCT
венно О, 1, 2, 3, ...
Теперь, чтобы И3J\Iерить тав:же расстояние друrих 8леМ6ПТОR от
элемента zl' иы будем подразделять элементы ШВ:R,.,тrы на п (равных)
1астей. 8Toro можно достичь, при:vrеняя к элементу нев:оторой части
шкалы (11 1) раз такое линейное преобразование, которое после
1! EpaTHoro повторения дает преобраЗ0ванпе z' === }.z, т. е., следова
'Тельно, преобрааование
z' === ) Jп z .
При 8ТОМ в:орень 11 Й степени следует выбрать таЕ, чтобы эле reнт
1
л п Z лежал между 2) z п ).z 3).
1) Это A B силу сделанных выше замечаниЙ не может быть совершенно произ
вольным, так Еак при построении шкалы мы рассматриваем ЮШIЬ вещественные
элементы OCHoBHoro образа. Прежде Bcero, выбор /, должен быть оrраничен тем,
чтобы при преобразовании z' /,z вещественные злементы переходили в вещест
:венные (неаавцсиио от Toro, вещеСТЕенны или мнимы оба фуидаментальных зле
мента z О, z == со). 3атем А должно быть положительным в случае веществен
.ных фундаментальных злементов (ср. дальнеЙший текст).
1
2) To eCTЬ пара z, },z должна разделять пару /, 'п z и /,2z. [Ред.]
3) Почему дается ииенно 'raKoe определение, чше Bcero убедиться на при
мере делення Kpyra. Если требуется подразделить часть шкалы Kpyra, например
один' rpaдyc, то зта задача сначала является еще неопределенноЙ, так как дaH
ная часть шкалы задана лишь с точностью до слаrаемоrо, R,paTHoro пеРИQДУ 2'it.
.:эта неопределенность будет в дальнеЙшем устранена с помощью определеlПIЯ.
1
В случае вещественных фундаментальных злементов достаточно определить А 'п
просто как вещественныЙ корень 11 Й степени из А. Но, чтобы имелся такоЙ корень,
}, должно быть положительным, что уже было oroBopeHo выше. При отрицатель
ном А для шкалы получился бы РЯ,;J;, злементы KOToporo следуют друr за
.друrом не в поряцке их возн кновения.
264
Ф. КЛЕЙН
Если это подразде.ление произведено, то можно сразу же ув:аЗRТЬ
расстояние от элемента Zl до :каждо1'О элеиента, :координата RoToporo
приводится :к виду
«+1..
z==л nZ 1 ,
1'де а,
целые числа. Это расстояние равно ио:казате.ЛЮ а + 1.
п
Если представить себе, что подразде.ление ш:калы продолжено He
О1'раниченно, то очевидно, что вообще за расстояние элемента z от
Э.леиента Zl следует принять тот по:казатель степени а, в которую
надо возвести л, чтобы Л"Zl == Z. При этом а есть не:которое рациональ
ное и.ли иррациона.льное число.
z
Очевидность равенства а == log
: log' л позволяет нам дать сле
zl
дующую формулиров:ку:
z
Расcrпояпuе эле.мента z от .9ле.ltе-тnа Zl рав'Но ЛОi!арuф.му отношенuя
Zl '
деленно.му па %онстанту log л.
При этом элемент Zl лишь случайно был принят за нач3.льный,
не отличаясь ничем lПIым от ДРУ1'их э.лементов; поэтому e1'o можно
перевеСТII в .любое положение ;iIинейным преобразованием, остав.ЛЯЮ
ЩITh1 неизменными оба фундаментальных э.лемента, а значит, и всё
мероопределение.
Ита:к, рассrпоянuе .меЗlсду двумя 1ъроuзвольны.МU эле.ментами z u z' рави()
z
log z' : log' л,
:ка:к в этом можно еще убедиться, вычитая дру1' из дрУ1'а расстояния
z z'
обоих Э.лементов z и z' от Э.лемента Zl' именно log
: log л и log'
: log л.
1 zl Zl
Вместо :константы 100- л. мы будем теперь писать :короче с 1), no
ь
стоянно испо.льзуя это обозначение в да.льнейшем.
'Toi!aa, следовательно, расстоянuе .меЗlсду дву.4tЯ 11роuзвольнымu эле.меu
, 1 z
тa.llU z U z равно с og z' .
ЛеI'RО видеть, что это выражение д.ля разности мер двух Э.лемен
тов об.ладает теми свойствами, исходя из :которых мы 61'0 построили.
Ирежде Bce1'o, И""lеет место аддитивность разности мер
z z z'
clcg,,== clog',+clog У'
z z z
3атем расстояние от Э.лемента до ca:Mo1'o себя равно ну,лю:
z
clog'
:"""", О.
z
1) Оrраничения, наложенные на константу л., приводят К оrраничениям и на,
константу с. Они состоят в том, что с должна быть вещественной или чисто
мнимоЙ в зависимости от Toro, вещественны или мнимы фундаментальные эле
менты. Если бы с была выбрана иначе, то полученное здесь аналитическое вы-
ражение всё еще иоrло бы быть названо расстоянием, но расстояние иежду двум.я.
вещественными элемента]',ш было бы тоrда МНИМЫМ.
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
265
Наконец, расстояние между двумя 8леиентами
z
с log..,
z
остается неиз:\шнным, если применить одновременно к z п z' линей
ное преобраЗ0вание, оставляющее неизменными оба фундаментальных
элемента
z === О, z === 00,
т. е. преобраЗ0вание, одновременно пзиеняющее кратно z и z'.
Полученное здесь аналитическое выражение для мероопределени.я
:может быть просто интерпретировано rеометрически. Пак известно,
z
отношение z' равно двойному отношению 8лементов z, z' и обоих
фундаыентальных элементов z === О, z === 00.
Следователь'Но, 1 pll 'НаИlе.А1 .АlерОО1 ределе'Н7t7t расстоя'Нuе .ме;нсду дву.мя
9ле.flC'Н//Ul.II,U ocXOexozo образа рав'Но лоzариф.му aeouxozo от'НОluе'Нltя, образо-
eaxxozo 71"IIU с обоlt..IIU фу'Нда.lflе'Нталь'Нъzмu эле.lflе'Нта.IflU, У,},I'Ноз/се'Н'Но.му 'На ue1fo
тОJYIJ'Ю 'Ко'Нста'Нту.
Неизвестная константа с при этои не определена п может быть
выбрана произвольно.
4:. Переход к БOJшлексным элемеНТaJI. Обобщение снстемы
коордннат
При построении шкалы и, следовательно, при определении раз
ности 18Р двух 8лементов мы рассматривали до сих пор лишь веще
ственные 8ле 18НТЫ основното образа. Но после введения аналитиче
ското выражения для разности мер двух 8лементов
z
с log z'
:мы можем rоворить также о разности мер двух комплексных элемен
тов основното образа, При 8ТОМ, вообще rоворя, возникает явление,
с которым мы сталкиваемся при измерении уrлов и которое (как 8ТО
выяснится в ближайших параrрафах) всетда имеет место при pac
смотрении вещественных 8лементов в случае мнимых фундаменталь
ных элементов. Дело в том, 'Что раз'Ность ,},шр двух эле,},lC'Нтов является
'Не од'Ноз'На'Ч'Но О11:ределе'Н'Ноu, а бесr;;о'Не'Ч'Но ,},1'Ноzозuа'Ч'Ноu ФУ'Н1fчuей с oпpeдe
ле'Н'Нъt,},1 .Iflодуле.},l lщрuодu'Ч'Носrпu.
Этот модуль периодичности равен 2ст.i, так как лоrарифмическая
ФУНКIIИЯ ИJ\Iеет период 2т.i.
Так каЕ, далее, ЛО1'арифм становитс.я беСБонечно БОЛЬШIOl, если
е1'О аР1'умент принимает значение О или 00, то таБие 8лементы, для
z
ЕОТОРЫХ ,. === о пли 00, очевидно, бесконечно удалены дру!' от друта.
Z
.
266
Ф. КЛЕйН
.:это и:ыеет место тоrда и только тоrда, если один из двух элементов
совпадает с ОДНIIJ.I,I из фундаментальных элементов. Итак,
При uаше.м .мероопределеuии ОС1WвWJU образ содержит два (веществе'Н'Ных
или Mmt.ltMX) беС1fO'l-/R'ЧWJ удалеUUЪtХ эле.меuта: оба фуида.меuтаЛhUМХ эле.менmа.
Расстояние TaKoro элемента от произвольноro друrоrо бесконечно
велико, так же как и log О или log 00.
Оба фуида.меuтаЛЬUЪtХ эле.меuта являются Л02арuф.ми'ЧеС1fи беС1fо'Не'Ч'Но
удалеuuм.ми.
Мы можем также отбросить оrраничительное предположение о си-
,cTeJ\Ie координат, которое делали до сих пор. Иусть оба фундамен
тальных элемента не совпадают больше с основными элеыентами
систеыы координат, но задаются с помощью общеro травнения BTO
рой степени
Q == az 2 +2bz+c === О,
или в однородной записи
2 + 2
аХ! 2bXtX2 + СХ2 == О.
Для TOro чтобы задать разность мер. двух элементов с OДHOpoд
ныыи координатами Х 1 , 'Х 2 и У1l У2' нужно лишь образовать пх
-двойное отношение с обоими элементами Q === О. Однако это послед-
нее вычисляется по известному правилу:
Q + Q у Q Q
ху хх уу
Q -VQ , Q Q
Х1/ '" хх уу
rде Qxx, Qa:y, Qyy обозначают следующее: Qxx, Qyy получаются из Q,
.если :вместо переменных подставить соответственно Х 1 , Х 2 И'У1' У2'
"Т. EJ.
f) 2 2 .
xx== аХ! + 2ЬХ 1 Х 2 + СХ2,
Qyy == ay + 2ЬУ1У2+ cy .
.затем QXY обозначает выражение
QXY === аХ 1 У1 + Ь:(Х 1 У2+ Х 2У1)+ СХ 2 У2'
Ири использовании этих обозначеШIЙ разность мер двух элементов
.будет равна
Q + -VQ Q Q
с log а:у у ХХ уу .
Q V Q , Q Q ,
ху '" хх уу
тО и есть общее аuалитu'ЧеС1fое вЪtраже'Ние для раз'Ности .мер.
Иноrда мы будем вместо лоrарифиа вводить ::"рккосинус. Известно,
'ITO
1 . a+l
с og а === 2 c al'ccos "r::; '
. 2 r а
О ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
267
Следовательно, наша разность мер равна также
Qxy
2ic arccos 11 .
3)x yy
Это та самая фор:vra аналитическоrо выражения, которая встречается
у RЭЛИj только Rэли, как уже rоворилось, ПР:fщал константе частное
i
.значение 2' так что у Hero расстояние просто равно арккосинусу.
5. Особое рассмотрение вещественных элементов
OCHOEHOI'O образа
Рассмотрим теперь подробнее, как выrлядит построенное в обопх
предыдущих параrрафах мероопределение в основных образах первой
-ступени для вещественных элементов образа. При этом следует раз
.личать два случая в зависимости от TOro, будут ли фундаменталь
вые элементы вещественными ИJIИ мнимыми. Ради определенности
J,lbl будем иметь в внду преимущественно мероопределение в прямо-
.линейном точечном ряде j для пучка прямых, разумеется, имеют
место аналоrичные положения.з
Пусть в первую о'Чередь на прямой даны две вещественные фунда
.ментальные ТОЧI{И о, о'
Тоrда, если х и у вещественные точки прямой, то х, у опреде
ляют с о, о' отрицательное или положительное двойное отношение
С:\fОтрЯ по тому, будет отрезок ху разделен отрезком 00' или нет.
Итак,'" в первом случае лоrарифм двойноrо отношения МПIIМЫЙ, во
втором вещественный (с точностью до мнимоrо периода). Следова
'те.льно, если мы потребуем, чтобы расстояние между двумя последо
вательными ТОЧI{ами прямой было вещественным, то мы должны брать
вещественной также и Еонстанту С, на котору.ю УThшожается J:<оrарифм.
'Тоrда справедлива теорема:
Расстояиие .между двУ.J\tя тО'Ч'I>а.ми х, у является .м,щt.IЮЙ или веще
-ствеииой eMUOtUUOи, с.м,отря по тO"'ty, разделяется или ие разделяется oтpe
-30'1> ху отрез'l>О.м 00'.
Естественно, можно было бы придать с (как это имело место
у Rэли) чисто мнимое значениеj тоrда в предьщущей теореме слова
«вещественный» и «мнимый» переставились бы местами 1). Первона
чально это допустимо совершенно таЕ же, как и друrое предположе
ние. Только при этом для вещественных элементов мероопределение
приобрел о бы совершенно иной характер, :чем обычно используемое
:мероопределение. Например, если бы :мы хотели построить шкалу
1) Выражение не точно. При выборе комплексноЙ (не обязательно чисто мни
мой) константы расстояние будет вещественным тольRO для некоторых из пар
очек, разделяющих 00'. [Ред.]
268
Ф. КЛЕЙН
таких точек 1, 2, 3, ..., которые отстоят друr от друrа на единицу
расстоянпя, то 2 была бы отделена от 1 и 3 посредством 00' и pac
стояние 13 равнялось бы" двум единицам лишь постольку, поскольку
мы переходпм от 1 сперва к 2, а аатем от 2 к 3, в то время как 13,
пsмеренное непосредственно, дает мнимое sначение и т. д. По этой
причпне допущение мнимоrо с должно быть адесь псключено.
При вещественном с мы имеем только что приведенную теорему.
Соответственно ЭТОИУ мы оrраничимся рассмотрением одноrо иs двух
отреаков, на которые пряиая разделяется обеими фундаментальными
точкамп. Н аждыii: пs этих двух отреаков бесконечно длинен, поскольку
обе ero rранпчные ТОЧЕН, фунда:иентальные точки, бесконечно yдa
лены от всех друrпх точек.
Представпм себе, что мы находимся в точке рассматриваеJ\ЮI'О
отреака 00' и что на прямой можно перемещаться лишь с помощью
таких линейных преобраsований, которые оставляют ТОЧЕИ ои', а ана.
чпт и само мероопределенпе, неиsменными. Будем rоворить saTe:li
также О CltОрОСТП движения, понимая под ЭТИ:\i отношение пройден
поrо пространства (иsмеренноrо в нашем мероопределении) к протек
ше:liУ времени. Тоrда, перемещаясь по прямой в том или ином Ha
правлеНПlJ с постоянной скоростью, мы будем постоянно прибли
жаться к ТОЧЕе о пли о', однаltО никоrда не достиrнеи ее, Talt как
она находптся бесконечно далеко. Но .мы 'Нuu;о?да 'Не попаде.м во второй
оrпрезоu;, 'На u;oтopo. ( ,мы 'не 'НаходUJИtсь перво'Ншчдль'Но, u 'Не С.мо:нсе.М убе
дuться в с?о сущсствова'Нuu.
Это п есть как раа то са:lюе представление, которое воsцикает
в zuперболu'Чссu;ой rеО:\Iетрпп прп пsмеренпи на прямой линии. rипер
болпчеCltая reO;\-Iетрия наделяет ПРЯ:liУЮ двумя бесконечно удален
НЫ:\iИ ТОЧЕамп. О том, существует ли по ту сторону обеих бесконечно
удаленных точек еще один участок прямой, дополняющий до aaMK
нутой линии участок, лежащий в конечной области, скааать ничеro
нельsя, Talt Kalt наши движения никоrда не доводят нас до беско
нечно удаленных точек, не rоворя уже о том, чтобы вывести аа их
пределы. Во всяком случае можно при соединить таltой участок как
мысленную, идеальную часть прямой линии.
Теперь мы будем предполаrать, вo втopыx, что обе фундаменталь
ные точки, положенные в основу мероопределения на прямой, мнимы
(комплексно сопряжены). Тоrда двойное отношение обеих фундамен
тальных точек и двух проиsвольных вещественных точек х, у по
абсолютной величине равно 1; следовательно, лоrарифм чисто МIIИ
мый. Значит, для Toro чтобы расстояние между двумя веществен
ными точкаии было вещественным, мы должны придать с чисто мни
мое sначение ic 1 . Но тоrда одновременно будет вещественным и pac
стояние между все:lПI вещественныии ТОЧЕами. Бесконечно удаленных
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
269
'Вещественных точеR не существует. ПРЯi\ШЯ СМЫRается ЕаЕ ааi\1Rнутая
линия. Вещественное расстояние между двумя ТОЧRаии определено
не полностью, но лишь с точностью до Rратности вещественноrо пе
риода, представляющеrо собой полную длину прямой. Она равна
'2iт.:с == 27tC1' ИТaR, мероопределение на прямой совершенно ТаЕое же,
"ЕаЕ обычное мероопределение на ОRРУЖНОСТИ радиуса С 1 .
Описанное мероопределение на прямой совершенно ТаЕое же, Ea
!Кое испольаует 9лл тти'Ц,еская rеометрия.
То, что мы сейчас осуществили для пряиолинейноrо точечноrо
ряда, мы можем аналоrичным обрааом ВЫСЕааать для пу'Ц,ка 1lрЯ"I!,ЫХ.
Если обе фУlЩаиента.тrьные прямые, лежащие в основе мероопре
деления в ПУЧRе прямых, вещественны, то ПУЧОR имеет две прямые,
.обршзующие беСRонечно большой уrол со всеми остальными. ВраIП:е
aIие прямой в ПУЧRе, определенное ТаЕ же, ЕаЕ и движение ТОЧRИ
на прямой, НИRоrда не доводит прямую до обеих 8ТИХ rраничных
прямых и не выводит ее аа их пределы. Rонечно, тarше мероопреде
ление не лежит в основе нашеrо обычноrо определения уrла, таЕ ЕаЕ
врarцение прямой BORpyr одной иа лежarцих на ней точеR аа ItOпеч
'ное вреия переводит прямую обратно в ее исходное ПО.ложение.
Более Toro, 8ТОТ фаItт требует МНПi\1ЫХ ФУlЩаментальных uрямых.
Действительно, ЕаЕ мы уже видели в 2, обычное определение уrла
-испольаует две мнимые фундаментальные прямые, именно те прямые
пучка, Еоторые проходят череа беСRонечно уда.иенные мнииые Rpyro
вые точки. В rиперболичеСRОЙ и 8ллиптичеСRОЙ rеометрии определе
ние уrла в ПУЧЕе прямых остается оБЫЧНЬJ]\;1; ТОЛЬRО обе фундаi\1ен
тальные прямые будут теперь охаРaRтериаованы уже не ЕаЕ ТaRие
две прямые, Еоторые ПРОХОДЯТ череа RpyroBble ТОЧЕи, но ЕаЕ таRие,
Еоторые Rасаются определенноrо RоничеСRоrо сечения, именно суще
<Jтвующей в 8'l'ИХ rеометриях беСRонечно удаленной ОRРУЖНОСТИ
(ср. 8).
Еонстанту С, остающуюся неопределенной в общей фОР:\Iуле 4,
-v l
<следует положить равной ---r , чтобы 8та фОР lу.;rа бы.;rа I'одна
для определения уrлов. Прежде Bcero, в силу рассуждений, прове
денных ранее для ПРЯ:\ЮJПIнейноrо точечноrо ряда, она должна быть
чисто инимой, равной ---r c 1 i. После 8Toro сумма уrлов в ПУЧItе пря
мых будет равна 27tc 1 , и ТаЕ ЕаЕ при обычном определении она
1
равна 7t 1), то. следует ваять С 1 == 2' При 8ТОМ предположении ФОР
1) Под сум:моЙ yrлов в ПУЧ1 е прямых здесь следует пони:\шть наlпreньшиЙ
уrол, которыЙ доджна описать прямая, вращающаяся ВОКру!' одноii из своих TO
чек, чтобы совпасть со своим исходным положением. Это половина Toro yr.rra,
который должна ОIИIсать точка на периферии Kpyra, чтобы возвратиться в исход
пое положение.
270
Ф. КЛЕЙН
мула 4 действительно дает обычную формулу, испольауемую прп
определении yrлов. Пусть х И у пр.нмоуrольные Еоординаты в пло
СЕОСТИ. Пусть центр рассматриваемоrо нами пучка прямых находится
в начале Еоординат. Тоrда обе прямые, :идущие Е Еруrовым точкам
определяются уравнением
х 2 +у2== О.
Пусть аатем две пр.ffil,1ые ааданы однородными Еоордината:ми х, у и
i
х', у'. Тоrда по формуле 4, в ЕОТОРОЙ мы примем еще С==2"'
yrол между ними равен
хх' + уу '
аl'ССОВ
Vx 2 +V 2 VX,2+ y ,2 '
а это является, очевидно, обычным определением yrла.
ИтаЕ, в смысле проеЕТИВНОЙ rеометрии yrол между двумя пря
Y 1
МЫ lИ должен быть определен 'КШК у.uuожеu'н:ый 'На ло арuфм тo o,
двoйиo o отuошеuuя, 'Которое эти nрямuе образуют с nрям'Ы,мu, nроведеиии.мu
uз то'Ч'Кu их nересе'Чеuuя 'К обеи. ! бес%оuе'Чuо удалеuuu.м .мии. !и.м 'Кpy oв'b!.м
то'Ч'Кам.
В qастности, прямые линии обрasуют прямой yrол, если это двой
ное отношение сводится Е rармониа ry. В дальнейшем мы будем ино
rда и в случае общеrо мероопределения называть такой yrол (или
также соответствующий отреаОЕ) пр.ffil,1Ым:.
6. Специальное м:ероопределение при совпавших
основных элементах
ДО CIIX пор мы He 'принимали во внимание осоБЫй случай, B08
НИЕающий при совпадении обоих фундаментальных элементов Mepo
определения. Наша общая формула .
Qx
2ic аl'ССОВ V у
Qx qyy
дает тоrда для расстояния между двумя элементами нуль, неаависимо
от <значений, Еоторые принимают х и у. Но всё же мероопределение
попрежне lУ возможно, iTaE ЕаЕ при совпадении фундаментальных
элементов расстояние между рasличным:и элементами обращается
в нуль вполне определенным способом. Очевидно, мы имеем:
QxxQyy Q;'y == (x 1 Y2 Yl )2 /1,
rде .\ ДИСЕриминант (ac b2) Евадратичной формы Q. Поэтому мы
можем записать общую формулу для мероопределения и таЕ:
. . ( Х lУ2 Х2 Уl) vк
2zc al'CSln .
V xxQyy .
.
о ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
2П
Если теперь оба фундаментальных ;элемента совпадают, то Q будет
полньш квадратом линейноrо выражения Р1Х1 + Р2Х2 == рх И t:J. обра
ТIIтся в нуль. По ;этой причине мы можем сперва положить arcsin
равным самому синусу, т. е. записать раССТОЯШlе в виде
2ic уХ XtY2 X2Yt
-v l:r::r: lyy ,
или, обозначая еще Q:r::r:, QlIlI соответственно через p , р;:
2icY XtY2 X2Yt
(P1xt + P2X:J) (PtYt + Р2У2) .
Объединим в одну константу k обращающийся в ну ль множитель.
t:J. и :константу 2ic, которой мы можем приписать произвольно большое
;значение. Та'Ки.м образом, мы полу'Чаем формулу для раз'Ности мер 1):
')k Х1У2 Х2У!
. (Й Х 1 + Р2 Х 2) (PtYt + P2lJ2) ,
рде р == о представляет дважды взятый фундаментальный ;элемент.
Леrко проверить, что ;это выражение, найденное нами с помощью
предельноrо перехода, действительно удовлетворяет требованиям.
:которые мы предъявили :к нему в 2.
3anише;н еро в несколько иной форме:
qtXt + q2 x 2
P1xt + Р2Х:!
qtY1 + Q&'IJ2
PtY1 + Р<;Й2. '
рде q1' q2 удовлетворяют условию
q1P2 q2P1 == k,
а в остальном произвольны. В ;этой форме адцитивность разности мер
становится вполне очевидной.
3ате;\! отсюда следует и ее неизменность при специальных линей
ных преобрааованиях, оставляющих неизменным дважды взятый
фундаментальный алемент р == О. :Эти преобраЗ0вания переводят р'
в :кратное ему; каждое друрое линейное выражение, следовательно
п q, онп переводят в сумму величин, кратных р и кратных q:
р' == рр,
q' == pq+crp.
Следовательно, отношение J.... изменяется при ;этом на константу а, и
Р
расстояние между двумя ;элемента;\1И, являющееся разностью двух
т3J их отношений, остается неизменным, что и требовалось доказать..
Найденное здесь мероопределение rеометричес:ки характеризуетря
СJlедующим обра30),I. Еак известно, отношение рх представляет двойное
Q:r:
1) Rали получает ату формулу совершенно подобным же образом.
272
Ф. КЛЕЙН
отношение точки х п ТОЙ точки, для которой !!... ИРИНIIl\Iает 3Ha
q
чение 1, с обеими точками р === О, q === О, т. е. с задаННЫ;\I двойньш
фундаментальным элементом п ироизвольно выбранным эле:\IеНТО:\l.
Раз1tосrпь з'На'че1tuu этuх двойиых отиOlиеиии, образова1t1tых для двух эле
,.меитов, дает расстОЯ1tuе .ме;JlС(}У обопvltu эле.ме1tIlЮJ',tu.
Это мерООlIределение, ОК32ывающееся иредельным случаем общеrо,
будет отныне, в отличие от IIоследнеrо, названо спеl\1ЮЛЬ1tЫ.lt _Itepooпpe
оеле1tuе.м. В иротивоиоложность общему оно обладает слеДУЮЩIВШ
двумя свойствами.
Оно оиределено уже не ;\1ноrозначно, а однозначно.
Оно обладает не двумя лоrарифмически бесконечно уда.'Iенныып
влементами, но лишь одним алreбраически бесконечно уда;;:rеННЬПl
влементом (дважды взятый фундаментальный элемент).
В частности, как уже было отиечено в 8 2, к числу специальных
мероопределений принадлежИ'l' обычное (евклидово, параболпческое)
мероопределение на прямой линии. Поэтому соrласно обычному B03
врению прямая также имеет лишь одну беси:онечно удаленную то'шу.
R этой точке можно беспрерывно приближаться с той или дрУl'()fi
стороны, разумеется, НИЕоrда ее не достиrая. Прямая линия в пара
болической rеометрии, в противоположность эллиптической, беско
дечно длинна. Но она уже не обладает lщеальным участком, как
в rиперболической rеометрии; она смыкается в бесконечности.
7. Специальное меро()пределение, СОПрИI:асаIOщеес.я:
в не:котором элементе с оБЩИllI мероопределением.
Кривизна последнеrо
Представим: себе, что в основном обр32е первой ступени заданы
два мероопределения: общее и специа.льное. Они Moryт находпться
в особой взаимосвязи, называе:\IОЙ СОllрш,ос1tове1tие_1t обоих . -tероопределе
иии в эле. tе1tте. RaKoro рода эта СВЯ3Ь, лучше Bcero выяснпть на прп
мере.
Пусть на прямой линии дано обычное мероопределение, исполь
вующее в качестве двойноrо эле reнта бесконечно удаленную точку
прямой. Пусть ТОЧКИ пряиой представ.'Iены посредством неоднород-
ной коордпнаТLI Z, rде z есть расстоянпе от нача..а координат.
3атем построим на ПрЯ:\IОЙ общее мероопределенпе слеДУЮЩШI
обраЗ0М. Пусть на расстоянпп 1 от данной прямой и на перпендп-
Еуляре, восставленном к прямой в начале ь:оординат, расположен
центр пучка ПРЯ IЫХ. Пусть для этоrо пучка прямых снова задано
обычное мероопределенпе, т. е. на этот раз обычный способ опреде
ления TJra в пучке прямых. Это мероопределенпе можно перенестп
на данную прямую, определяя расстояние между двумя ТОЧRaJ\Ш
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rВОМЕТРИИ
273
уrлом, который образуют проходящие через них прямые
Если z координата одной из точек, то уrол, образованный
дящей через нее прямой пучка с прямой, проходящей через
щюрдинат, равен al'ctg z; следовательно, расстояние между
влементами z и z' в это:\{ мероопределении равно
arctg z arctg z'.
пучка.
прохо
начало
двумя
Фундамента.тrьные ЭЛЩ1:еНТЫ 8ТОТО М9роопределения мнимы, точнее,
равны z == i.
Между исходным специальным мероопределением и построенным
общим существует связь, ЗаЕ.тrючающаяся в том, что они приближенно
совпадают для значений z, весьма мало отличающихся от z == О, так
IШК при очень малых значениях уrла разница между уrлом и ето
тантенсом исчезает.
Это обнаруживается всето отчетливее, если мы возьмем Д.ля
Z z5
arctg z ето разложение в ряд: z 3 + 5 . .. Итшк;, 06п .Mcpooпpe
Оеле'Нuя с тO"luocтblO до ве.!lЛt"lU'Н тpeтbezo поряд'ifО. тОЗlсдестве'Н'Ны в OKpecт
пости z == О. Эта связь между обопми мероопределениями и назы
вается их COпpU'ifocuoeeuue.M.
Если, как в предыдущем примере, общее и специальное Mepo
определения соприкасаются, то ясно, что точка соприкосновения
является четвертой rармонической точкой lt обеим фундаментальным
точк&'\{ общеrо и двойной фундаментальиой точке спецпальнOl'О Mepo
определения. Итак, если для общеrо мероопределения, заданноrо
в основном образе, нужно построить специальное мероопределение,
соприкасающееся с данным в некотором определенном элементе, то
сначала следует найти четвертый rармонический элемент It нему и
I{ оБОК"I фундаментальным элементам. Он должен быть использован
RaIC двойной элемент искомоrо мероопреде.?Iения. 3атем остается лишь
определить абсолютное' значение входящей в это мероопределение
константы так, чтобы в окрестности даННОl'О элемента имело место
совпадение обоих мероопределений. Тотда в силу особоrо положения
дважды взятоrо фундаментальноrо элемента это совпадение имеет
песлучайный характер и является СОПРИIисновением.
Имеется xapaItTepHoe различие между общим мероопределением
с мнимыми фундаментальными элемента:\IИ и общим мероопределе
пием с вещественными фундаментальными элементами.
Если оба Фунд&'\{ентальных элемента мнимы, то специальное
мероопределение, соприкасающееся с общим внекоторой ТОЧItе, об
rоняет [eilt voran] общее мероопределение. В только что разобранном
примере это означает, что расстояние от точки z до нулеliОЙ ТОЧltи,
измеренное в СОПРИIсасающемся специальном мероопреде.лении, ВСС1'да
больше расстоянпя между этими же элементами, измеренноrо в данном
18 3ак. 1164. Об основаниях reометрии
274
Ф. КЛЕЙН
общем мероопределении. 8'1'0 можно пояснить, заметив, что вся пря-
мая имеет в специальном мероопределении беCIюнечную длину,
в то время кю\: в данном общем мероопределении она является ли-
нией конечной длины. Оба мероопределения совпадают только для
ТОЧeI , расположенных бесконечно БJ1И3КО к точке соприкосновения
(z === о).
Напротив, если оба фундамептальных элемента данното общеrо
мероопределения вещественны, то соприкасающееся в НЫЮТОрОЙ
Точке специальное мероопределение отстает [bleibt zuriick] от даннOl'О.
Действительно, отреЗ0К, оrраниченный обоими фундаментальными
элементами, уже бесконечно велик в данном мероопределении, в то
время как в СОПРИI'шсающемся мероопределении он еще конечен.
8'1'0 отставание или опережение общеrо мероопределения по cpaB
нению с соприкасающимся специальным я называю 'Кривизной общеzо
.мероопределения, сначала в элементе соприкосновения. Кривизну сле-
дует назвать пОЛОJlсительнои, если фундаментальные элементы мнимы,
отрицательнои, если они вещественны. 3а .меру 'Кривизны я принимаю
просто величину отставания, соответственно опережения. Как я теперь
покажу, мера кривизны сохраняет одно и то же значение для всех
1
элементов образа. 8'1'0 значение можно принять равным 4с 2 ' rде
с характеристическая константа общеrо мероопределения.
Пусть фундаментальные элементы расположены, I{aK в вышепри-
веденном примере, rармонично по отношению к z === О и z === CXJ,
пусть они определены уравнением
Z2 === а.
ТOI'да, если с есть характеристичеСI{ая константа мероопределенп,и
o расстояние от элемента z до элемента, служащеrо началом I{OOP-
динат, равно
. t z
2C2arc g
Y a
или, разлаrая в ряд,
2ei
z
Y a
2ei 3 + 2ei <
Z zo ...
3Y a3 5V аб
Специальное мероопределение, СОПРИI{асающееся в элементе z == О,
использует в I{ачестве расстояния от элемента z до элемента z == О
первый член разложения в ряд, т. е. выражение
2ei
,r z.
r a
Тотда за отклонение общеrо мероопределения от СОПРИI{асающеrосщ
специальноrо, или за меру кривизны первото, жно ваять отноше
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
275
ние y.TpoeHHoro BToporo члена разложенпя, взятоrо с обра'l'НЬJМ зна
ком, к третьей степени nepBoro члена. Но 8'1.'0 и дает УItа3aIПIое выше'
выражение
1
4с 2 '
Полученное выражение для меры кривизны имеет также указан
ный знак. В случае вещественных фундаментальных 8лементов нужно
ваять постоянную с положительной ( 4), так что мера КРИВИ3НЫ
будет отрицательной; напротив, в случае инимых фундаментальных
элементов с Должна быть взята чисто мнимой, так что мера кривизны
будет положптельной. Мера кривизны специальноrо мероопределе
ния равна Нулю. В самом деле, чтобы с помощью предельноrо пере:
хода Прийти к специальному мероопределению, мы вынуждены бы
ли в предыдущих параrрафах прпдать с бесконечно большое 3Ha
чение.
Наконец, во всех 8лементах кривизна одна и та же, поскольку с-
имеет одно и то же значение для всех 8лементов.
Установленная мера кривизны общеrо мероопределения может
быть еще охарактеризована следующим обраЗ0М.
В 5 было покшзано, что в случае мнимых фундаментальных
элементов и константы c 1 i длина всей прямой будет равна 2с 1 1':. Но
обратное значение квадрата 8Toro выражения, умноженное на 1':2,
есть мера кривизны. Мера кривизны равна умноженной на 1': ILПО
щади обычноrо Kpyra, радиус KOToporo равен обратному значению
кажущейся длины всей прямой.
В случае вещественных фундаментальных 8лементов можно заме
тить следующее. Расстояние между обоими фундаментальными эле
ментаJl.Ш: z == y , измеренное в соприкасающемся специальном
мероопределении, равно 4с. Следовательно, мера н:ривизны равна.
обратному значению квадрата расстояния между обоими фундамен
тальными 8лементами (измеренноrо в соприкасающемся специальном
lfероопределении), умноженно:му на 4.
Наконец, заметим еще, что три типа Jl.юроопределений, охватываю
щих 8ллиптическую, rиперболическую и параболическую rеометрии
на прямой, находятся в отношении соприкосновения друr с друrом.
Соприкосновение имеет место каждый раз в той точке, которую мы
рассматриваем и от которой производим измерения в смысле rипер
болической, эллиптической или параболичеCltoй rеометрии. ]l.fepo
определение параболической rеометрии является специальным Mepo
определением, соприкасающимся с общим мероопределением 8ЛЛИП
тической и rиперболической rеометрий. Поэтому оно может заменить
эти мероопределения во всех точках, незначительно удаленных o'r
рассматриваемой точки.
18*
276
Ф. КЛЕЙН
8. Общее проективное мероопредедеНllе в плоскости
После Toro как проективное иероопределение в основных образах
первой ступени истолковано, мы мо:ш:ем перейти R ПрОС1\:тивным
:мероопределениям в основных образах двух, а затеи и произвольноrо
числа измерений. Тоrда мы приходим к более общему мероопределе-
нию, охватывающему не ТОЛJ,IШ reр()определения, обычно используе-
мые для этих основных образов на пракТИRе, но и мероопределения,
устанавливаемые для них эллиптической и rиперболической reoMeT-
рпей. Это мероопределение будет здесь установлено сначала для
п,лоскости. Для точки (как связки прям:ых п плоскостей) оно строится
совершенно аналоrично; это будет рассмотрено подробнее в 10.
Подобно тому кю\: при проективном мероопределении в основных
образах первой ступени два элемента используются в качестве фун-
даментальных, так и проективное мероопределение в плоскости кладет
в основу Rонпческое сечение, которое следует назвать фу'Нда.Аte'Нталь
пы.м 'J>о'Нu'ЧеС-КU.lt се'Ченuе.Аt (по R8ЛИ «the Absolllte»). Прежде Bcero, с этим
фундаментальным коничеСI ИМ сечением связывается мероопределение
в() всех основных образах первой ступени, принадлежащих плоскости
(т. е. мероопределение на ПрЯ fЫХ п в пучках прямых плоскости).
J{ аждая прямая пересекает ФУIЩаментаЛJ,ное коническое сечение
в двух (вещественных, мнимых или совпадающих) точках. От!
должны быть фундаментаЛЬНЫ П1 ТОЧRfu\1И для мероопределения на
Этой прямой. Среди прямых I\:аждоrо пучка находятся две (веще
ственные, мнимые или совпадающие) касательные к коническому
сечению. Их следует взять за Фундамент3.тrьные прямые для Mepo
определения в пучке. 3атем мы наложим еще одно требование на
применяемые константы с. Для мероопределения 80 всех прямоли
нейных точечных рядах мы будем использовать одну и ту же,
в остальном произвольную, константу с; точно так же для мероопре-
деления в пучках лучей одну и ту же, 8 остальном произвольную,
константу с'.
Теперь мы установим аналитичес)Кое выражение для введенноrо
мероопределения.
Пусть уравнение фундаментальноrо коническоrо сечения в точеч
ных координатах будет:
Q==o.
3атем пусть череR
Qa:a:, Qyy
обозначены выражения, возникающие при подстановке в Q IИОРДИ-
нат х 1 , х 2 , ;1':3 точки (х), соответственно координат У1' Y'j, У3 точки (у).
Наконец, пусть
Qa:lI
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
277
оаначает результат подстаноВlШ координат у в уравпение ПО,ШlРЫ (х),
или, что то же самое, коордипат х в уравнение по,ляры (у). Тоrда
двойное отношение точек (х) и (у) и точек пересечепин соединяющей
их прямой с фундамента.льным конически:\! сечение:\i равно отноше
нию корней с,ледующеrо уравнения, KBaдpaTHoro относите,льно л:
л2Qхх+ 2лQху+ Qyy == о.
Следовательно, двойное отношение равно
() + "1 r 02 О Q
-- ху JI -- Хl' -. хх -1111
О "1 r 02 O ) ,
-.ху JI - xy - xx -уу
и расстояние .ме:!lсду обеи..!ш то'ч//;;а.ми будет:
QX1l + 11 Q y QXXQ11Y
"1r 2 '
xy JI Qxy QxxQyy
c1ng
или, 'Что то же са.мое,
Qx,!
2ic arccos у .
QxxQyy
Итак, в принятых здесь обозначениях это те са-мые выраженпя,
:которые уже вводи,лись д,ля основных обрааов первой ступепи.
Совершенно ана.лоrично, ес,ли уравнение фундаментальноrо кони
ческ()rо сечения в танrенциальных координатах будет
Ф==о,
то уrол между двумя прямыми с координатами и 1 , и 2 , и;! и V 1 , V:!> t'з
дается следующей формулой: УZОЛ .между обеи.м u пря.м'Ыми равен
'1 Ф.... + 11 Ф;", Ф,ш Ф .."
С og "1 r 2 .
Ф JI Ф Ф Ф
иv. и" ии 1)'V
или, "то то же са.мое,
2ic' arccos
Ф"."
УФ"'.Ф"t!
.
Прежде Bcero, ВО3ШIкает вопрос: rде ,лежат те точки (у), которые
равноуда.лены от точки (х)? Так как расстояние ху зависит лишь от
Q"'11
-.r '
у - xx--yy
то мы получаем уравнение rеометрическоrо места точек (у), прирав-
нпвая это выражение константе, и,ли, что то же, по,лаrая
02 12 9 9
--ху '; хх уу'
Но это уравнение !tоническоrо сечения, касающеrося фундамепталь-
HOro коническоrо сечения Qyy == о в обеих точках пересечения с
'278
Ф. КЛЕЙН
прямой QXY == о, полярой (х) относительно фундаментальноrо кониче.
'сл:оrо сечения.
от mо'ч/ки (х) равnоудалеnы те то'ч/ки, 'Которые nрu'/-Шдле:нсат ?l:о'Нuче-
.с'КО.Аtу се"tеnию, 'Касающе.муся фуnда.меnтаЛЬnОi!О 'Коnи"tеС'КОi!О се"tеnия 8 обеих
тО"t'Ках n,ересе'ЧRпuя с n,олярой (х).
Следуя обычной терминолоrии, мы должны назвать эти кониче.
ские сечения О'КРу:нсnостя.ми. Точка (х) служит 'Цеnтром окружности.
Под радиусом окружности мы должны понимать расстояние от про-
извольной ее точки (у) до центра (х), т. е. выражение
2ic arccos k.
Среди этих окружностей, описанных вокру!' центра (х), находится,
в частности, та, для которой k == О, т. е. поляра точки (х), соответ-
ствующая радиусу тr:ic. Далее, среди них находится (при k == 1) ОК-
ружность радиуса нуль. Она состоит из лары касательных, прове-
денных из точки (х) к ФУlЩаментальному коническому сечению. Дей-
ствительно, расстояние между двумя точками, лежащими на одной
из таких касательных, всеrда равно нулю, так как они образуют
двойное отношение + 1 с точками, в которых соединяющая их пря-
мая пересекается с фундаментальным коническим сечением. Чтобы
это расстояние было отлично от нуля, нужно было бы придать кон-
станте с бесконечно большое значение; однако это недопустимо, TaIt
как иначе расстояние между всеми точками, не лежаIЦИМИ на одной
из касательных к коническому сечению, было бы бесконечно велико.
.можно, конечно, особо приписать с бесконечно большое значение ДЛЯ
мероопределения на касательных к коническому сечению. ОднaIЮ
это мероопределение уже нельзя больше сравнивать с общим Mepo
определением. Наконец, среди Itонцентрических ortружностей, о KOTO
рых идет речь, имеется (отвечающая k == (0) окружность с бесконечно
большим радиусом. :Это само фундаментальное ltOническое сечение;
так Kalt на каждой прямой, проходящеfi через точку (х), обе точки
пересечения с фундаментальным коническим сечением являются бес-
конечно удаленными точками, то фуnда.меnтальnое 'Коnи"tес'Кое ce"te'Нue
является .место.м то'Ч,е'К, бес'Ко'/W'Ч,nо удалеnnых от 1 роизвольnои то"t'Ки.
COBep eHHO такие же рассуждения, как для точек плоскости,
можно непосредственно провести и для ее прямых.
Пря.м'ые, образующие одиn и тот ;нсе Уi!ОЛ с фu'Ксироваnnои пря.иои (и),
Оi!ибаюm 'Коnu"tес'Кие се'Ч,е'Нuя, 'Касающиеся фуnда.меnталЬnОi!О 'Коnи'Ч,есt>Оi!О
се"tеnия' в обеих то'Ч,'Ках nересе"tеnия с (и); среди nих nаходится, в -чает1l0
сти, полюс nря.мой (и) (расс.матрuвае.Аtъ й 'Ка'К n,У'Ч,О'К nря.мых). ПРЯJиые.
проходящие "tерез то'Ч,'Ки nересе"tеnuя фуnда.меnтаЛЬnОi!О 'Коnи"tеС'КОi!О се'Че'Ния
с (и), образуют с (и) пулевой Уi!ОЛ. Rасательnъtе 'К фуnда.меnmальио.му 'КO
И''tес'Ко.му се"tеnию образуют с (и) бес'Коnе"tnо большои Уi!ОЛ.
280
Ф. КЛЕйН
о (Рl' Р2' Р3' .. .), о (p , p , p , ...) ПрОeJ-I:ТИВНЫ, то они ииеют два луча
071:1 и 071:2, соответствуюп пе сами Сt:\бе, 'I.'Ю" что имеются две точки 111'
'11:2 коническото сечения, остающиеся непз:\шнныии.
Но если остаются неизменными две точки Фундаментальното ЕО-
ническоrо сечения, то остаются неи; ыеНПЫ:\IИ также соединяющая их
ПРЯ:ШЫI, касательныIe в 8ТИХ ТОЧ1{ах и точка пересечения 8ТИХ каса-
тельных, т. е. треутольник, обраЗ0ванный соединяющей прямой и
касатеЛLНЫИИ. Если 8'1.'0'1.' треУТОЛЬНИI ,является Rоординатным тре-
уrОЛЬНИIЮ:\I, то уравнение коническоrо сечения имеет вид
:1
XIX2 Xu === о.
ПОCIюльку линейное преобраЗ0вание, при IЮТОрО:\1 коническое
сечение переходит само в себя, оставляет непзменным 'I.'реуrОЛЬНИR.
то 8'1.'0 линейное преобравование должно иметь вид
Х 1 === (1.1Уl' Х 2 == (1.2У2' Х 3 == (1.3У3'
Условием '1.'01'0, '1'1.'0 прп 8ТОМ преобраЗ0ванип ОС'l.'ается неизменнЬ!м
коническое сечение, будет
2
(1.1(1.2 (1.3 == О,
и так кю{ 8'1.'0 есть условие для трех однородных (1., то имеется 001
линейных преобраЗ0ваний, остав.ляющих неизменным треутольнИI
и коническое сечение.
При 8ТИХ преобраЗ0ваниях отношение Xl 2 остается неизменным
.1::3
независиио от своето значения. Итак, при 8ТИХ преобраЗ0ваниях пе
реходят в себя все конические сечения вида
XIX2 kx === 01).
Здесь нужно делать различие между вещественными 2) I-I:оническими
сеченияии с вещественными точками и вещественными коническими
сечениями без вещественных точек 3).
В первом случае вещественные линейные преобравования плоско
сти, переводящие в себя коническое сечение, распадаются на два
1) Между прочим, отсюда следует: не всякое линеЙное преобраЗ0вание пере
водит в себя некоторое коническое сечение; но если преобразование обладает
таким своЙством по отношCl-ШЮ К одному коническому сечению, то одновременно,
оно обладает этим своЙством и по отношеншо к бесчисленному множеству кони-
ческих сечении.
2) 'fo-есть коническими сечениями, определеННЫ П1 уравнением с веществен-
ными коэффициента.ми. [Ред.]
3) На необходиыость этоrо различия указал Штуди в Math. Ann. 39 (1891).
В соответствии с этим изменено изложение нижеследующих абзацев. [Примеча-
ние ЕлеЙна в собрании ero сочинений, т. 1. Ред.]
о ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
281
класса. Преобразова'Нuя пepeOi!O 'Класса .мО:)lС'НО полу'Чuть MnOi!O'hpaтn'btM
nовmоре'Нuе.iИ веществе'Н'НОi!О бес'Ко'Не'Ч'Но .маЛОi!О преобраНО(Ja'НUЯ тOi!O :исе рода,
nреобразова'Нuя eтOpOi!O 7iельзя.
Напрпмер, если обе не;подвижные точкн 71:1 И 71:2 на коническом
сечении веlцественныI, то имеем преобраЗ0вание перRоrо или BToporo
рода, смотря по тоиу, будет ли 0:з === V 0:10:2 или 0:з == V 0:10:2' В по
следнем случае двойные точки 71:1 и 71:2 разделены каждыми двумя
соответственными точками коническоrо сечения, в первом нет.
В рассиатриваемом нами случае преобраЗ0вания первоrо класса
.являются темп преобраЗ0ваниями, которыIe следует назвать двU:)lCе'Нuя.мu
ПЛОCIюсти. Именно эти преобраЗ0вания переходит в совокупность дви
жений плоскости, если мы специализируем фундаиентальное кони
чеСROе сечение так, чтобы основанное с ero помощью Ieроопределение
перешло в действительно употребляемое 1).
Но если фунда:\Iентальное коническое сечение, заданное веще
ственным уравнением, не имеет веIпественных точек, то уже псе ли
нейные преобрasования, переВОДЯlцие ero в себя, должны быть Ha
;шаны движени.ями 2).
Это определение позволяет uледующим обрasО:V1 сформулировать
доказанную выше теорему о том, что при каждом линейном преоб
ра.зовании, переводяш:ем в себя данное коническое сечение, остается
неизменным бесчисленное множество конических сечений.
При двu:исе'Нuu плоск;остu переходит в себя 'Не толь'Ко фу'Ндаме'Нталь'Ное
'1юиu'ЧеСlюе се'ЧС'Нuе, 'НО и 'Каждое 'Ко'Нu'Чес'Кое се'Че'Нuе ('Каждая о'Кру:ис'Ность),
mсающееся ei!O в то'Ч'Ках, остаЮllfUХСЯ 'Неuзме'Н'НЪkЦU.
Среди этих конических сечений находится также точка Х 1 == О,
х. з === О, являющанся общим центрои окружностей. :М:ы будем rоворить
о движении как о враще'Нuu плосr;;остu во'Кру;! этОi!О це'Нтра.
Тоrда мы имеем теорему:
Rа:исдое двu:исе'Нuе плоск;остu является враще'Нuе.м eO'hpYi! то'Ч'Кu. Все
дpyi!UC то'Ч'Кu опuсъиают о'Круж'Ностu во'Кру;! этой то'Ч'Кu 'Ка'К 'Цс'Нтра.
Едва ли следует подчеркивать, что при движении поляра центра
вращения иrрае'l' двойственно ту же роль, что и центр, так что в Ha
юем мероопределении движение является понятие;-'1, двойственным
самому себе. Эта двойственность исчезает только в том случае, если
1) ДрyrоЙ класс преобразований коническоrо сечения. в себя дает те пре()б
разования. плоскости, которые переводят произвольно расположенные фиrуры
в веркально конrрузнтные фиrуры. [То же. Ред.]
2) Различие прямой и обратной Iшпrруэнтности при этом исчезает, таlС как
неоrраниченная проективная и эллиптическая плоскость является односторонней
поверхностью. Ср. разъяснения во втором 'l'OMe этоrо издания [То же. Последнеf'
указание относится IC Собранию сочинений Елейна; см. таlсже книrу Елейна
«Неевклидова, rоометрия», М. Л., 1 36, Ред.]
282
Ф. КЛЕЙН
мы (с целью получить параболичеСRУЮ rеометрию) специалиаируем
недвойственно фундаментальное RоничеСRое сечение.
Имеется еще один ИСRлючительный случай движений ПЛОСRОСТИ,
воаНИRающий при удалении центра вращения в беСRонечность, т. е. на
.фундаментальное RоничеСRое сечение.
ОRРУЖНОСТИ, Описываемые отдельными 'l'ОЧRами ПЛОСRОСТИ, ЯВ
,ляются тоrда Ь'оничеСRИМИ сечениями, Rасающимися фундаментальноrо
RоничеСRоrо сечения в центре в четырех слившихся ТОЧRах. Этому
виду движения в обычном мероопределении соответствует тpa'liC
"ля'Ция 1).
Очевидно, что если определить движения ПЛОСRОСТИ Talt, ЕаЕ это
сделано выше, то справедлива теорема:
IIpu двu;же'Нuях плосrюсти Meтpu"lecnue соот'Ноше'Ния остаются 'Неиз.ме'tl
Iн/ыми.
Действительно, таЕ ЕаЕ при движении фундаментальное RоничеСRое.
сечение переходит в себя, то сохраняется двойное отношение двух
точеR с обеими ТОЧRами пересечения соединяющей их прямой с фун
даментальным RоничеСRИМ сечением. А аначит, сохраняется и лоra
'рифм двойноrо отношения, умноженный на неRОТОРУЮ Еонстанту,
т. е. расстояние между обеими ТОЧRами. Подобное же справедлива
,для уrла между двумя прямыми.
Это справедливо не ТОЛЬRО дЛЯ движений ПЛОСRОСТИ, но также
.(И на том же основании) для преобрааований BToporo рода, перево
дящих фундаментальное RоничеСRое сечение в себя.
Далее, нечто подобное имеет место для тех вааим:ных (двойствен
ньд) преобрааований, Еоторые переводят в себя фундаментальное
RоничеСRое сечение (в частности, для полярноrо соответствия, оире
деляемоrо этим RоничеСRИМ сечением). Действительно, двум ТОЧI а.'1
и ТОЧRам пересечения соединяющей их прямой с фундаментальным
RоничеСRИМ сечением, образующим определенное двойное отношение,
при этих преобраЗ0ваниях отвечают две прямые и две Rасательные
R фундаментальному RоничеСRОМУ сечению, проходящие череа их
ТОЧRУ пересечения, и они образуют дру!' с дрyrом то же самое двой
ное отношение. Следовательно, если мы воаьмем Еонстанты с и с'
(8 8) обоих мероопределений равнымп дру!' друrу, то получим теорему:
Расстоя'Нuе .меЗlсду двумя тO"lnaMU рав'Но уzлу .между соответствуюш,и.МU
и.м прЯ.\tъt.мu, и 'Наоборот.
В частности,
рассmoя'Ние .между дву.мя тO"lKaMU рав'Но уzлу .между их полярами.
1) в параболической rеометрии трансляции образуют замкнутую систем} и
,каждые две 'рансляции перестановочны; эта особеннос'l'Ь свяэана со специали
,нацией фувдаментальноrо коническоrо сечения.
о ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
283
Мы не будем в дальнейшем использовать эти теоремы, и ТОЛЬRО
В следующем параrрафе вернемся R последней И8 них. Именно с ней
СВЯ8ана теорема сферичеСRОЙ rеометрии, что стороны и уrлы сфери
чеСRоrо треуrОЛЬНlша В8аиино заменяются при переходе R полярному
треуrольюшу 1).
10. Общее пр()еItтивн()е мер()()пределение в св.юше прямых
и пл()ск()стей
Совершенно подобно тоиу ЕаЕ в двух предыдущих параrрафах
было построено общее проеRтивное мероопределение дЛЯ ПЛОСRОСТИ,
можно построить таЕое мероопределение и для друrоrо OCHoBHoro
обрааа второй ступени, тоЧЕИ (рассматриваемой каЕ СВЯЗRа ПЛОСRостей
и прямых). Вместо фундаментальноrо RоюrчеСRоrо сечения для этоrо
мероопределения будет ИСПОЛЬ80ван фу'Нда.ме'Нталь'Ный r;;ouyc Bтopozo
порядr;;а. В Rачестве уrла между двумя прямыми, пересеRающимися
в вершине Еонуса, нужно рассматривать умноженный на Еонстанту с
лоrарифм двойноrо отношения обеих прямых с обеими образующими
Еонуса, лежащими с ними в одной ПЛОСRОСТИj В Rачестве уrла меJRДУ
двумя ПЛОСRОСТЯМИ, проходящими через верШИНУ, умноженный на
(друrую) константу с' лоrарифм двойноrо отношеюrя обеих ПЛОСRО
стей и двух Rасательных ПЛОСRостей фундаментальноrо Еонуса, прохо
ДЯIЦих через линию их пересечения.
АналитичеСRое выражение этоrо мероопределения совершенно
ТаЕое же, ЕаЕ и построенное выше выражение цля мероопределения
в ПЛОСRОСТИ. Нужно ТОЛЬRО придать Rоординатам (х), (у), cooтвeT
ственно (и , (v) в ПЛОСRОСТИ, значение Rоординат прямых и ПЛОСRО
стей В ТОЧRе. Оrраюrчимся УRазанием, что и все друrие положеюrя,
установленные дЛЯ ПЛОСRОСТИ, MorYT быть непосредственно перенесены
на тоЧЕУ.
ЛеrRО видеть, что обычное мероопределение в ТОЧRе \1), т. е. обычный
способ изиереюrя уrла между ПРЯМblМИ и ПJlOСRОСТЯИИ, проходнщими
через одну ТОЧRУ, является частным случаем этоrо общеrо Mepo
1) Ср. цитированную работу Еэли. [См. стр. 244 настоящеrо сборника. Ред.]
2) Обычно rоворят не о мероопределенИII в точке, но о мероопределении на
-сфере (радиуса 1), описанной около нее как около центра. В тексте отдано
предпочтение первому способу выражения, так как точка является простым oc
новным образом, с которым имеет дело проективная rеометрия. Ероме Toro, не
следует упускать из виду отличие, выступающее уже тоrда, коrда вместо Mepo
.определения в пучке прямых rоворят о мероопределении на окружности. ЕаждоЙ
прямой, проходящей через точку (каждой прямоЙ пучка), отвечают две точки
сферы (окружности). Тем саиым возникает еще одно отличие для мероопреде
ления на сфере (окружности), которое здесь привело бы только к излишней
путанице.
284
Ф. КЛЕЙН
определения. О'НО использует 6 'Кшчестве фу'НiJа.ме'Нталь'Ноzо 'КОПУ са tJтopo
ZO поряд'Ка 'Ко'Нус, проведе'Н'Ный из то'Ч'Ки 'К беС1>о'Не'Ч'Но удале'Н'Ной MUUMcrU
о'Круз/с'Ности 1); 'Кро.ме тozo, О'НО предполаzает обе 'Кo'Нcтa'Нтъt с и с' paв
-Y 12 )
'Ны.uи .
Действительно, при отнесении к пря.:lюуrольной системе коорди
нат конус, проведенный И3 точки К бесконечно удаленной мнимой
окружности, вырroкается уравнение VI
x +Y +Z2== О,
или в плоскостных координатах
и 2 +V 2 +W<;!== О.
Следовательно, по формулам 8, в которые мы еще подставляем
-v 1
с == с' == , мы получаем для уrла между двуия прямыми с KO
ординатами (х, у, z), (х', у', z'), соответственно между двумя плоск()
стями (и, v, w), (и', v', w'), следующие выражения:
хх' + уу' + zz'
arccos
-v x2+y2+z2 -Va!2+ y ,2+ z ,2
и
ии' + т" + U)Ш'
arccos ,
-V и 2 + v 2 + ш 2 -V и,2 + v':!. + ш''''
а это и есть обычное определение уrла. Поляра плоскоСти (проходи
щей через точку) относительно фундаментальноrо Конуса является 00
перпендикуляром. Следовательно, последнее предложение предыдущеrо
параrpафа переходит в теорему: уrол между двумя плоскостями равен
уrлу между их нормалями. На этой теореме основывается принцип
сферической rеометрии, соrласно которому метрические соотношени.я
в сферическом треyrольнике и в полярном ему треуrольниlOO ДВОй
ственны, т. е. одинаковы, если поменять местами стороны и уrлы.
11. Мероопределение n ПЛОскосТи n случае IIIнимоrо
Ф!нда.ментальноrо RоничеСRоrо сечения. ЭллиптичеСRан rеО'lетрIШ
Обычное мероопределение в точке дает картину проективноrо Mepo
определения в точке (или плоскости), для KOToporo фундаментальный
конус (или фундаментальное кониqеское сечение) является мнимым.
Единственной специализацией обычноrо мероопределения в точке
1) в случае ЭIIЛиптической и rиперболической rеометрий ero нужно эамеНIIТЬ
касательным конусом, проведенным из точки к бесконечно удаленноЙ поверхно
сти BToporo порядка.
2) Это то самое предположение о константах, KOToporo всеrда придержи
вается .кэли.
о ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
285
является та,
Y 1
что обе константы с и с' полаrаются равными
' V
сl 1,
Если бы мы, более обще, положили их равными С 1 V 1 и
,
то рааности мер умножились бы лишь на множители 2С 1 и 2Сl,
жениями
а с Bыpa
хх' + уу' + zz'
2С 1 arccos '
V х 2 + у2 + z2 -v х'2 + у,2 + z,2
и
, ии' + vv' + 7Оw'
2Сl arccos
Vи2+v2+7О2 V и,2 + v,2 +70,2
..
можно свяаать те же выводы, что и спервоначальными.
Следовательно, если в плоскости дано мнимое коническое сечение,
то длина каждой вещественной прямой линии конечна, так же как
и сумма всех уrлов в пучке прямых. Если мы сохраним об08начения
, .
ОС} И сl для поделенных на констант с и с' 1), то длина пря:\юй
,
равна 2С}11:, а сумма всех уrлов в пучке равна 2Сl11:.
Не существует вещественных бесконечно удаленных точек и веще
ственных прямых, обрааующих с друrими бесконе'IНО большой уrол.
Ероме Toro, все соотношения для уrлов между прямыми и плоско
стями, проходящими череа одну точку, будут справедливы для pac
стояний между точками и уrлов между прямыми в плоскости, если
,
только предварительно рааделить расстояния на 2с}, а уrлы на 2Сl'
Ита'К, 1МОС'к:ая три оnо.метрия, осnоваnnая па этом мероопределеnии, coвпa
оает со сфери'ЧеС'к:ои, отличаясь от нее только тем, что вместо сторон
треyrольника и ero уrлов в формулы надо будет ввести стороны;
,
деленные на 2с 1 , и уrлы, деленные на 2Сl'
Указанное мероопределение в плоскости совпадает с мероопреде
лением, испольауемым эллиnти'ЧеС'к:ои rео:\reтрией. Только для нее,
,
IЩR и для обычноrо мероопределения в точке, константу Сl надо поло
. 1
жить равной 2"' чтобы сумма уrлов в пучке равнялась 11:. Тоrда, как
и для сферическоrо треуrольника, CYM:\I3. уrлов в треуrольнике
больше 11: 2) И равна 11: только в случае бесконечно малоrо треуl'ОЛЬ
ника и т. д.
Поэтому мы получаем модель эллиптической планиметрии, если
аадаем в плоскости проиавольное мнимое коническое сечение и строим
с еro помощью проективное мероопределение. Выберем, например,
коничеСЕюе сечение, по которому плоскость пересекается конусом,
1) ДеЙствительно, с и с' нужно вз.н-rь чисто ИНИМЫМИ по тоЙ же причине,
по каrсой в 5 выбиралась мнимоЙ KOHCT,tHTa с, коrда были мнимы фундамен
тальные элементы.
2) 3десь и в 12 исправлена опечаТIса Tel.CTa, перешедшая ТaIсже во второе
издание работы ЕлеЙна и зак::rючающанся в том, что сумма уrлов евклидова Tpe
yrОЛЬНИICа обозначена через 211:. [Ред.]
286
Ф. КЛЕЙН
проведенным иа некоторой определенной точки пространства к бес
:Конечно уда ленной Мнимой окружности. Положим аатем с и с' paB
Y 1
ными . Торда расстояние между двумя точками или уrол между
двумя прямыми плоскости будут равны уrлу, под которым видны обе
точки или обе ПрЮШ'>lе иа ваятой точки. С друrой стороны, если дей-
ствительно данное нам мероопределение эллиптическое, то бесконечно
удаленные точки плоскости обраауют мнимое коническое сечение, :и:
Эллиптическая rеометрия совпадает с проективной метрикой, опреде
ленной этим коническим сечением.
tI
12. МерООIIре,'J;еление в IIЛОСКОСТИ В случае вещеетвеннOl'О
ФУН1;аментальноI'О RониqескOl'О сеqениа.
rИIIерболиqескаа I'еометрин
Допустим теперь, что в ПЛОCIюсти аадано вещественное фундамен
тальное коническое сечение. Это приводит нас к такому мероопреде
лению для точек внутри фундаментальноrо коническоrо сечения"
которое соrласуется с представлениями l'иперболичесн:ой rеометриИ'.
Если фундаментальное коническое сечение вещественно, то веще
ственные точки и прямые плоскости распадаются пороань Н8: два
RЛасса. Имеются такие точки, иа которых можно провести к кониче
скому сечению две вещественные н:асательные, и такие, иа Н:ОТОрЫХ
нельая провести ни одной такой касательной. Первые называют внеш
ними, последние внутренними точками коническоrо сечения. AHa
лоrично и прямые распадаются на две rруппы: такие, которые пере
секают коническое сечение в двух вещественных точках, и такие,
л:оторые пересекают еро в двух мнимых.
Чтобы установить свяаь с rиперболичесн:ой rеометрией, мы oppa
НИЧIIМСЯ рассмотрением точек внутри lюпическоrо сечения и прохо
дящих череа НIIХ прямых.
ПучIOl прямых С цеНТРaJ\;IИ в рассматриваемой области не имею'r
вещественных бесконечно удаленных элементов. Соответственно этому
, '. С
константу с следует ваять чисто мнимой: Cl ' умма уrлов в проиа-
вольном пучке с центром внутри фундаментальноrо н:оническоrо сече
,
ния равна ТОРда 2Cl'it.
Напротив, каждая прямая, пересекаlOщая рассматриваемую область,
имеет две вещественные лоrарифмически бесконечно удаленные ТОЧI и:
точки пересечения с ФУНДaJ\;1ентальным коническим сечением. ПО 8 'ОЙ
причине мы будем придавать константе с вещественное значение.
При таком соrлашении о константах с и с' расстояние между всеми
точками внутри К'оническоrо сечения вещественно; точно так же все
прямые, пересекающиеся внутри коническоrо сечения, образуют между
собой вещественный уrол. Но расстояние между двумя точками, pa3
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВНЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
281'
деленными коническим сечением, ъшимо. Фундаментальное Rонnческое
сечение служит местом бесконечно удаленных точеlt. Две прямые,_
проходящие через внутреннюю область коническоrо сечения, но пере
секающиеся вне 61'0, образуют мнимый уrол. Переходный случай между
этими прямыми и прямыми, пересекающимися внутри коническоrо
сеченnя, обраауют те, точка пересечения которых принадлежит фун
даментальному коничесROМУ сечению, т. е. находится бесконечно
далеко; это параллельные прямые ( 8). Уrол между ними равен
нулю.
Представим себе теперь, что :\-IЫ находи:\-ICЯ rде то внутри фунда
ментальноrо конnческоrо сеченnя и можем перемещаться в плоскости
лишь с помощью линейных преобразованnй, оставляющих неизмен ,
ным фундаментальное коническое сечение (ср. 5, 9). Тоrда мы
можем, KaIt и при нашем обычном мероопределении, вращаться BOItpyr
точки и после конечноrо вращения вернуться в первоначальное поло
женnе; мы можем также, как и при обычном мероопределенnи, Heorpa
ШlЧelПЮ идти по прямой линии в ту или друrую сторону. ОдиШIfО.мм
'Н,ИК02да ие С.lю;нсе.м достu'Чь фуида.меитальи020 KoUU teCr;;020 се tеиuя, тем
более, пepeйrпи tерез 'Не20. Следовательно, мы заточены внутри кониче
cKoro сеченnя;. коническое сеченnе оrранnчивает для нас ПЛОCIюсть;
мы ничеrо не можем сказать о том, существует ли вне ero еще кусок
плоCIЮСТИ. Наблюдателю, снабженному обычным мероопределением и
смотрящему, как мы движемся к фундаментальному конnческому
сечени.ю с постоянной cKopocTыo соrласно новому мероопределению,.
покааалось бы, что мы (начиная с определенноrо места) заметно дви
жемся все медленнее и никоrда не достиrаем установленной нам rpa
ницы фундаментальноrо коничеСКОI'О сеченпя.
. Описанная метричеCItая I'еометрия вполне отве'юет предсшавлеиuя.м
i!tтерболи tесr;;ой 2ео.ме-трии, если только мы еще положим остававшуюс.я.
I 1 r
неопределенной константу С1 равной "2' чтооы сумма УI'ЛОВ в пучке
прямых БыJa равна то:. Чтобы убед'\сIТЬСЯ в этом, рассмотрим подробнее
некоторые преДJIOжения rиперболической rеометрии (они будут аа:клю
чены в каВЫЧltи).
«Через точку плоскости можно провести к данной прямой две па
раллели, т. е. имеются прямые линии, пересекающие данную прямую.
в бесконечно удаленных точках». 8то прямые, соединяющие точку
с двумя точками пересечения данной прямой и фундам:ентальноrо.
коническоrо сечения.
«У1'ОЛ между обеими параллелями к. прямой, проходящими через.
точку, возрастает при воарастанnи расстояния от точки до прямой.
Если точка отодвиrается бесконечно далеко, то он становится равен то:,
т. е. при ином отсчете УI'ла обе параллели образуют yrол, paBHbI1t
288
Ф. КЛЕйН
нулю». Действительно, если ТОЧltа оказывается на фундаментальном
коническом сечении, то обе параллели, как вообще две прямые, пере
секающиеся на фундаментальном коническом сечении, образуют уrол,
равный нулю. Отсюда также теорема: «Уrол между прямой и каждой
из ее параллелей равен нулю». То, что И для не бесконечно удаленной
точки «уrол параллелизма», устанавливаемый rиперболичесROЙ reoMeT-
рией, равен соответствующему уrлу в нашем проективном мероопре
делении, следуе'l' из совпадения триrонометрических формул в обоих
случаях (это будет показано ниже).
«Сумма уrлов в треуrольнике меньше 'it; для треуrольника с бес-
Iюнечно удаленными вершинами сумма уrлов равна нулю». Это сле
дует из Toro, что такие вершины треуrольника неизбежно лежат на Фун-
да reнтальном коническом сечении, а каждые две ПРЯ lые, llересекаю
Iциеся в точке фундаментальноrо Rоническоrо сечения, образуют уrол,
равный нулю. Полная справедливость первоrо предложения (становя
щаяся вероятной уже потому, что для беCIюнечно большоrо треуrоль
НИltа сумма уrлов равна нулю, а для бесконечно малоrо равна 71)
следует из ТРИI'онометрических формул, ltoTopble нужно лишь pac
смотреть подробнее.
«Два перпендикуляра, восставленные к одной прямой, не пересе
каются». У нас они, разумеется, пересекаются, именно в полюсе
прямой. Но он лежит в облаСТII вне коническоrо сечения, о сущест-
вовании которой ничеrо нельзя узнать с помощью наших движеШIЙ.
Однако мы можем и это справедливо также для rиперболической
rеометрии при соединить условно такую область в качес'.rве идеаль
пой области 1), СОВtJршенно в том же смысле, Kalt в параболической
rеометрии присоединяют к действительно существующим элемент&
плоскосТи бесконечно удаленную (несобственную) прямую. При 8ТОМ
О существовании идеальной области совершеН:fЮ ничеrо не rОВОРИТСЯj
мы употребляем 8'1'0 выражение лишь как непротиворечивый и удоб
ный термин.
.
«Окружность бесконечно большоrо радиуса отлична от прямой».
Окружность бесконечно большоrо радиуса означает у нас коническое
сечение, касающееся фундаментальноrо RоническOl'О сечения в четы
рех слившихся ТОЧltaх. Напротив, прямая, т. е. прямая, проходящая
через рассматриваемую внутренность коническоrо сечения, была бы
окружностью, IЩН'l'Р которой (полюс прямой) попал бы в идеальную
область п.1I0СКОСТИ, а радиус имел бы МНLLvюе значение.
Постараемся еще преДС'l'ашIТЬ, как преобразуется плоскость, если
она вращается BOKpyr беСlto:А:ечно удаЛtJННOl'О или идеальнOl'О цвнтра
[) Сравни с ЭТИМ пояснения, которые дал r-H Баттальини (В а t t а g 1 i n i):
«81111а geometria ima6inaria di LObatL:htJfski , Giornale di Matemati<.:htJ, т. V,
1867.
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
289
(9 9). В первом случае все точки описывают коническпе сечения
имеющие в бесконечности четырехкратное СОПРИltOсновенпе 1). Во
BTOpO I случае они описывают конические сечения, касающпеся фун
даментальноrо коническоrо сечении в двух вещественных точках.
Среди них находитси проходнш;ая в конечной области прямая, поляра
иде&'1ьноrо центра врa:rцения. Эта Пр.!L"vIaЯ смещаетси вдоль С8ii\10Й
себя; однако остальные ТОЧlеп описывают не параллельные прямые
(соответственно преДСТaJ3лениям параболической rеометрип), но конп
ческие сечения, стелющиеся вдоль примой в. ее окрестности п касаю
щпеся фундаментальноrо коническOI'О сечения в обеих точках пере
сечении с выделенной Пр.fL.\10Й.
Что касается тр'tl20'Но.метри'Чес'Кuх фОР. IУ.л, справедлиных при изу
чаемом мероопределении, то МЫ получим пх непосредственно из сле
дующих соображений. В 9 11 МЫ видели, что если взять за основу
мнимое коническое сечение в плоскости и использовать IeoncTaHTbl
, , -Y 1
с == c 1 i, с == C1i == , то для ПЛОСltОСТИ оказывается Сllраведлива
триrонометрня, ФОРМУЛЫ которой получаются из формул сферической
триrонометрии при замене сторон сторонами, разделенными на 2с 1 .
Но то же самое будет справедлпво, если положить в основу веще
ственное коничеCIюе сеченде. В самом де.ле, справедливость формул
сферической триrонометрии основывается на аналитических тождествах,
не зависящих от вопроса о виде фунда Ieнтальноrо коническоrо сече
нии. Единственное отличие от предыдущеrо случая заключается в том,
с
ЧТО С 1 == Z теперь JШПIма.
Три20-но.метри'Чес'Кие ФОР.АI,У.лы, справед.ливые при а/tlе.А! .Аlероопреде.ле-нии,
по.лу'Ча!ются из ФОР.АIУ.л сферu'Чес'КоЙ mP1f.20-но.меmршt, если в.J1cшсmо сторо-н
ввести сторо-ны, де.ле-н-ные '1Ю .
z
Но :это и есть то самое прaJ3ИЛО, по ltOTOPOMY в rиперболпческой
rеометрии устанавливают rеометрпческие ФОРМУЛЫ. Константа с есть
характеристическая константа rиперболической rеометрпи. J\1uжно CKa
зать, что rиперболическая планиметрия построена как rеометрия на
с
сфере мнимоrо радиуса ....,...
, z
Соrласно предыдушему МЫ получаем картину, представляющую
rиперболическую rеометрию, кше только фиксируем HeltuTOpoe веще
ственное коническое сечение и строим соответствующее проективное
мероопределение. Обратно, если фактически данное мероопределение
является мероопределением l'иперболической rеометрии, то бесконечно
1) To ecть пересекают фундаментальное коническое сеЧeIше в четырех слив.
шихся точках и, следовательно, имеют с ним соприкосновение TpeTbero по
рядка. [Ред.]
19 3ак. 1164. Об основаннях rеометрни
290
Ф. КЛЕЙН
удаленные точки плоскости обра8УЮТ вещественное окружающее нас
коническое сечение, и rиперболическая rеометрия является не чем
иным, как проективным мероопределением, установленным с помощью
этоrо коническоrо сечения.
13. Специальное мероопределение в плоскости.
ПараБОЛИ'Iеская rеОПIeТрИЯ
Средп рассматривавшихся до сих пор мероопределений не coдep
жалось мероопределения параболической rеометрии, так как оно не
ИСПОЛЬ8ует никакоrо собственноrо коническоrо сечения в I-\:ачестве
фунда:нентальноrо обра8а. Более Toro, оно соответствует rраничному
случаю рассматривавшеrося до сих пор общеrо мероопределения, ВО8-
никающему при распадении фундаментальноrо коническоrо сечения в
пару точек. В случае параболической rеометрии эта фундаментальная
пара точек мнима; это обе беС%О'IШ'1f!IЮ удале'н/ные .м/ни.мые 'Ifpyzoeиe то'Ч%u.
Отметим, что мнимая пара точеR. может рассматриваться как пере.
ход от вещественноrо коническоrо сеченпя к мнимому, и соответ-
ственно этому параболическая I'еометрия также является переходным
случаем IeЖДУ rиперболической и 8ллиптической rеометриями. Напри
мер, пусть дана rипербола, мнимая полуось которой имеет фИIЮИрО-
ванное значение, в то время как вещественная полуось постеПeIШО
убывает от некоторой данной величины до нуля и затем принимает
мнимое значение. На rранице нуль обе ветви I'иперболы сливаются
в дважды взятую прямую, мнимую ось. Эта линия заменяет коническое
сечение, поскольку оно рассматривалось как rеометрическое место точек
Но как оrибающая прямых линий оно выродилось В две МНИМо со
пряженные точки, лежащие на дважды взятой прямой на расстоянии,
равном оставшейся постоянной мнимой полуоси. Все касательные
коническоrо сечения становятся при предельном переходе мнимыми,
кроме одной прямой, которая теперь преДС'J'авляет всё коничеСRое
сечение и должна рассматриваться I-\:ак 61'0 двойная касательная. Если
затем вещественная полуось принимае'l' мнимое значение, то кониче-
ское сечение вообще уже не содержит больше никаких вещественных
8лемеНТОl;l .
Однако мы рассмотрим сначала такое мероопределение в пло-
скости, KO'l'OpOe использует вместо фУНДal\Ieнтальноrо коническOI'О
сечения произвольную пару точек. Такое мероопределение должно
быть названо специальным мероопределением в противоположность
рассматривавшемуся до сих пор общему. Ра8умеется, вместо выро-
ждения Iщническоrо сечения в пару точек можно было бы рассмат-
ривать также 61'0 вырождение в пару прямых линий; если мы orpa-
ничиваемся здесь первым случаем и даШ1 ему особое название, то
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
291
мы делаем 8ТО толь:ко потому, что именно 8ТОТ случай содержит в се ба
параболичес:кую rеометрию.
Если фундаментальное :коничес:кое сечение ВЫРО:Jlщается в пару
точе:к, то определение yrла остается совершенно таким же, :ка:к в общем
случае. Rаждый пучо:к прямых, центр RoToporo не попадает на пря
мую, проходящую череа обе фундаментаJIьные точки (т. е. на фунда-
ментальное коничес:кое сечение), имеет две рааличные фУНДfu'dенталь-
ные пря_мые, проходящие череа фундаментальные точки. Напротив,
определение расстояния между двумя точками теперь будет сущест-
венно отличным от общеrо случая. Так :ка:к фундаментальное Iшниче-
ское сечение теперь состоит иа ОДНой дважды ваятой ПРЯМОй, то все
прямые пересе:кают ero в парах совпавших точе:к. Следовательно,
июшряемое на них расстояние будет равно нулю, если толыш :кон-
станта с не принимает бес:конечно большоrо аначения. Для Toro чтобы
расстояние было :конечным, мы должны приписать с бес:конечно боль-
шое аначение. Тоrда расстояние станет одновременно алrебраичеCIi:OЙ
фушщией :координат. Однако сравнимость отреа:ков и уrлов, :которая
имела место до сих пор, исчеаает; правильнее с:казать, что отреа:ки
сравнимы толь:ко с бес:конечно малыми уrлами. Несмотря на то, что.
мы придаем с бес:конечно большое аначение, расстояние ме:шду точ-
ками, лежащими на ПрЯмой, проходящей череа фундаментальную
точку, равно нулю. Дело в том, что 8ТИ прямые соответствуют :каса-
тельным прежнеrо :коничес:коrо сечения. J-T rол, равный нулю, обра-
зуют прямые, пересе:кающиеся в точке ПРЯМОй, проходящей череа обе
фундаментальные точ:ки.
О:кружностями мы нааовем та:кие :коничес:кие сечения, Iшторые
:чроходят череа фундаментальные точки; :концентричес:кими OItружно
стями являются те иа них, которые :касаются дрyr друrа в обеих
ФУlЩаментальных точках. В :каждой системе копцентричес:ких OItруж-
ностей находится о:кружность с радиуса 00. Она вырождается в
дважды ваятую прямую, проходящую череа обе фундаментальные
точки. ИтШIf, оеС'lf;оие'члю удале'Н/н'ме то'Ч,'If;'U образуют ттъерь два;Jlсды взятую
пря.МУЮ. О:кружностям нельая дать, :КаЕ раньше, определения, ДВОй-
cweRИoro самому себе. ПРЯJ\fые, пересе:кающие данную прямую под
постоянным уrлом, оrибают теперь не собственную о:кружность, но
бесконечно удаленпую точку. О:кружности с бес:конечно удаленным
центром :касаются в нем фундаментальноrо :коничес:коrо сечения в четы-
pex слившихся точках и распадаются на бес:конечно удаленную пря-
мую и друrую прямую и т. д. Все 8ТО получается иа ранее устано-
вленноrо с помощью предельноrо перехода.
Подобно тому :КаЕ, ваяв аа основу :коничес:кое сечение, мы смоrли
назвать двu;нсе'Н/UЯ.АL'U преобрааования иа семейства 003 линейПЫХ пре.
обравований плоскости, мы :можем поступить и адесь. Толыш тепеРLс.
19*
292
Ф. КЛЕЙН
уже неДОС1'а1'ОЧНО опредеЛИ1Ъ движения кап: 1'акие линейные преобра-
80вания (или, лучше ска:за1Ъ, как класс 1'аковых), К01'орые ОС1'авл.яют
неизменным ФУlЩаментальный обра:з. Дело в том, Ч1'0 пара 1'очек пере
ХОДИ1' в себя не 1'ОЛЬКО при 1'рехкра1'НОЙ, но при четырехкра1'НОЙ бес-
конеЧНОС1'И линейных преобразований ПЛОСКОС1'И. Однако среди них
выделяе1'СЯ совокупность 003 1'аких линейных преобразований, каждое
из К01'ОРЫХ ОС1'авляе1' неизменны:ии окружности HeI 01'Oporo КOIщентри-
ческоrо пучка. Эти преобра:зования саии распадаЮ1'СЯ на два 1'рех-
Ера1'НО бесконечных класса. Один в:ласс охва1ъшает движения, дру_
rой преобра:зования ПЛОСItOсти, переводящие плоские фиrуры в зер-
кально конrРУ8нтные. Оба класса можно ПрОС1'О раЗЛИЧИ1Ъ 1'ем, что
Движения ОС1'аВЛЯЮ1' неизменной каждую 01'дельно взятую Фуидамен-
1'альпую точку, в 1'0 время как друrие преобразования меНЯЮ1' фун-
да:иентальные точки меС1'ами. Каждое движенпе П.лоскостп состоит па
вращения BOKpyr точки. Если движение является 1'рансляuией, 1'. е.
UeIl'l'p вращения УХОДИ1' в беCI онечность, 1'0 все 1'ОЧКИ ПЛОСКОС1'И опи
сываlOТ иарал.лельные прямые, 1'. е. прямые, пересекающиеся в одной
и 1'ОЙ же бесконечно удаленной 1'очке. Теперь сущеС1'вуе1' ПОНПТПС
uаn:равлеuия; параллеЛb'l-tые пРЯ.ltые п. te70т одшншковое Uа17равле'пие. Движе-
ние П01'еряло ДВОЙС1'венный самому себе хараК1'ер, который оно имело
в общем случае. Наряду с пря.4Шй и обрат'но'Й 'КоuzрУfп-tт1WСm.ыо, YCтa
навливаемой каждым пз 003 движений и каждым из 003 преобразова
ний В1'ОрОЙ rруппы, 1'еперь возникае1' сродство 11:ря.моzо и otYpaтnozo
1юдобия, соотве1'С1'венно СОВОКУПНОС1'И 004 линейных преобра:зоваштtt,
допускаемых ФУlЩамеН1'альным образом. Подобие БУДе1' прямым, если
ФУlЩа:иептальные 1'ОЧКН ОС1'аЮ1'СЯ неизменными; оно буде1' обратным,
если обе 1'ОЧI П пер еС1'авл ЯI01'СЯ. При подобии сохраНЯЮ1'СЯ все уrлы,
в 1'0 время как раСС1'ОЯПИЯ ИЗ;\,IeНЯЮ1'СЯ пропорционально. 3а:иетим
еще, что 1'еперь мы можем с по:иощыo движений ДОС1'ИЧЬ всех 1'очеТt
ПЛОСКОС1'И, за исключением 1'очек бесконечно удаленной пря:иой.
:ИДеальной облаС1'И, кю в с.лучае вещественноrо фУIща:иентальноrо
Rоническоrо сечения, 1'еперь уже больше не1'; можно 1'ак-Atе СК32ать,
Ч1'О она С1'янулась в свою дважды взятую rраниuу.
Формула, преДС1'аВЛяющая раСС1'ОЯНlIe между двумя точками, ПрII
!Ннмает следующий вид. ПУС1Ъ Р х == Р1 Х 1 + Р2Х2 + РЗХ3 == О есть ypaBHe
ние бесконечно удаленной прямой; ПУС1Ъ далее Р ху == О являе1'СЯ усло
вие:и, при К01'ОРОМ прямая, соединяющая (х) и (у), проходит череа
одну из обеих ФУlЩамеН1'альных 1'очеR. Тоrда раСС1'ояние мелщу обешш
точками будет равно
cy
РхРу
Следова1'ельно, расстошпие .между дву.мя тО'ЧI.а.мu будет алzебраи'ЧССt;ой
фуu'К uей их 'Коордииат.
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
293
Эту фориулу иожно получить иа общеrо выражепия для расстоя
ния с по ющью предельноrо перехода. uбщее выражение можно аапп
сать таким обрааои:
2ic arcsin
-.r()2 () ()
v ""ху ""хх-"уу
rlJ о
r -"хх-"уу
2
Если Q == о распадается в пару точек, то Qxy QxxQyy тождествеНIlО
равно нулю, хотя бы, потоыу, что это выражепие содержпт равный
нулю постоянный множитель (дискримпнант). Если ero отбросить, то
2
оТ QXY QxxQyy останется как раа Р ху' т. е. выражение, которое,
будучи приравпено нулю, дает условие Toro, что пряиая, проходящая
череа (х) и (у), касается выродившеrося конпческоrо сечения. Но
б':Ш1'одаря обращающемуся в нуль множителю мы :можем aaмeHIIТЬ
арксинус саМИ I синусом, и если аатем :мы объединим обращаюш;ийся
в нуль множитель с 2ic в новую константу С и, наконец, аaIIпшем
вместо Qxx и Qyy соответственно Р;' и P (так кап; р2 == О есть уравпе
ние вырОДИВШeI'ОСЯ коническоrо сечения в точечных коордипатах),
то прпдем к вышеприведенному выражению.
На Hero леI'RО получить обычпое в параболической rеометрпп
выраженпе для расстояния между двумя точками, если представпть
обе фундаментальные т()чки так, как ()бычно принято для круrовых
точек. В обычной ааписи бескопечно удаленпая прямая имеет
уравнение: константа == 01); следовательпо, Рх == Ру равно некоторой
:константе k. Rруrовые точки на беск()нечно удаленной прпмой пред
ставляются в прямоуrольпых координатах как пересечение ее с парой
пряиых
х 2 +у2 == О.
Тоrда условие расположения двух точек (х, у) и (х', у') на пря-
мой, проходящей череа круrовую точку, будет
(x x')2+,(y y')2 == О.
Следовательно, расстояние между обеи:.\iИ точка:lПI равно
-. r ( .x: . х')2 + ( У y')"l.
lc 2 У
Наконец, если вместо х и у подставить ПРОПОРЦIIональпые им велп
чины, чтобы расстояние иежду ДВУ:\IЯ точка 1И на оси х, COOTBeT
C'fBeHHo оси У, равнялось равности их Еоординат, то получим обычное
выражение для расстоян ия в пря:\юуrольных координатах:
V (x x')2+(y y')2.
Хl
1) Имее'fСЯ в виду то, что после введения однородных координат х == ,
Х3
У == беС1;:онечно удаленная прямая имеет уравнение СХ3 == О. [Ред.]
Х3
294
Ф. КЛЕЙН
:Ыы не будем исследовать дальше, шiк представления параБО.1III
ческой rеометрии с ее мнпмыми основными точка:\.fИ включаются
в предшествовавшие общие расс:\.ютрения 1). Мы лишь отметим, что
в случае мнимых фундаментальных точек триrонометрическпе ФОР
мулы переходят в сооТ'В етствующие формулы параболической l'еомет-
рип, так что сумиа уrлов в треуrОЛЫПIке равна 'ir, в то времн кш,
в случае вещественноrо коническоrо сечения она была меньше,
а в случае мнимоrо больше.
. 14. Специальное мероопреде.JIение в ПЛОСI ОСТИ, соприкасающееса
с оБЩИПI В Т()ЧI е. I'ривизна llOследнеl'О
Подобно TO:\.fY как в 8 7 :\.fЫ моrли указать на прямой спещra.1IL
ное Ieроопределение, совпадавшее с данныи общим мероопределениеы
вблпзи пеltоторой точки (rоворпли, что оно соприкасалось с данныы
мероопредеJ1енпеи в точке), тше И В плоскости мы можеи rоворпть
о спецпальнои мероопределении, соприкасающемся с данным оБЩIIМ
внекоторой ТОЧ1tе. Оно будет использовать в качестве беCltOнвчно
удаленной прямой пол,яру данной ТОЧRи ОТlIосительно фунда:м:енталь-
Horo ltOЮlческоrо сечения общеrо мероопределения, в качестве ФУН-
даиентальных точек обе точки прикосновения касательных, прове
денных из этой точки в: фундаментальному коническому сечению (13 7).
1'оrда при наДЛe:JI..ащем выборе констант оба мероопределения приво
дят к одинаковому из:\.reрению уrлов в данной ТОЧRе; с точпостью до
величин высшеrо ПОрЯД1tа малости совпадают и расстояннп между
все fП близкими к ней ТОЧ1tами. Окружности, описанные в обще [
мероопределении около данной ТОЧЕИ (т. е. конические сечеЮ1Я, ка-
сающпеся фундаментальноrо коническоrо сечения в обеих фундамен
-тальных точках СОПРИltасающеrося специальноrо мероопределенип),
будут ТaItже окружностями относительно последнеrо. В частно, стп
само фУIЩаментальпое КОЮlческое сечение, являющееся в общео[
мероопределенип окружностью бесконечно большоrо радиуса, будет
OItружностью и в соприкасающемся спецпальпом мероопределеНIIII,
по окружностью конечноrо радиуса. Для величины 8Toro радиуса
наХОДII:\.! констапту 2с. Действительно, на каждой прямой, проходящей
через точку соприкосновения, данное общее и соприкасающееся сие-
ЦИ8,.тrьное мероопределепия определяют два ТalШ:Х же мероопреде.1Ю
ния, тоже находящиеся в отношении соприкосновения. Но фунда
ментальпые ТОЧltи общеrо мероопределения на пр,mюй являются
ТОЧI..а ПI пересечения с ФУIЩаментальным коническим сечеЮlем. Рас-
стояние между НИ:\.fИ, измеренное в соприкасающемся специальном
мероопределении (13 7), равно 4с; отсюда ИС1tOмый радиус ранен 2с.
1) Ср. цитированную работу н:эли.
о ТАК НА3ЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
295
Мы рассмотрим особо те два случая общеrо мероопреде;rrения,
которые были иаучены в 89 11 и 12 и дают модели для 8ллиптиче
ской и rиперболической rеометрии: коrда фундаментальное Rониче
ское сечение либо мнимо, либо вщдественно и охватывает нас.
Специальное соприкасаюrдееся мероопределение в обоих случаях
обладает мнимыми Фундаментальными точr ами, так как поляра точки
соприкосновения не пересекает фундаментальное коническое сечение
в вещественных точках. Однако между обоими видами обrдеrо Mepo
определения имеется рааличие, аналоrичное различию, имевшему
место в отношении мероопределений на пряиой JIИНИИ (9 7). Если фунда
ментальное коническое сечение мниио, то специальное мероопределе
иие опережает обrдее, т. е. расстояние от точки ДО точки соприкосно
вения, иаиеренное в специальном ;vreроопределении, всеrда бо;::rьше,
чем расстояние, иаиеренное в данном общем мероопределении. В слу
чае вещественноrо фундаментальноrо коническоrо сечения 1), наобо
рот, специальное мероопределение отстает от общеrо. Это опережение,
соответственно отставание, общеrо мероопределения мы нааовем 'Кpи
вuз'Ной общеrо мероопределения, и в первом случае нааовем кривиану
пОЛО;J/Cuтель'Ной, во втором отрu'ЦаrJZель'НоЙ. В качестве .меры 1Ьрuвuз'Н'Ы
следует ваять то С&'1:0е выражение, которое соrласно 9 7 дает кри
визну общеrо мероопределения на одной иа пря::иых, проходшдих
1
череа точку соприкосновения, именно 4е 2 . Это выражение не 8a
висит от первоначально выбранной точки соприкосновения и от про
ходящей череа нее прямой. Итак, мы имеем теорему:
Rрuвuз'На общею .мероопределе'Нuя од'На u та :JlCе во всех то'чд;;ах и paв
1
'На 4с 2 .
О'На пОЛОЗICU1Ylель'/u], R слу'Ц,ае MnU.ltOi?O фу'Нда.lсе'НтаЛЬ'НОi?О 'Ко'Нu'Ц,еС1\,Оi?О
се'Ц,е'Нuя (т. е. для эллuптu'Ц,ес'Кой i?eOcиeтpuu) u отрu'Цатель'На в слу'Ц,ае
веществе'Н'Ною фу'Ндалю'НтаЛЬ'НОi?О 'Ко'Нu'Ц,ес/.ою се'Ц,е'Нuя (для i?uперболu'Ц,еС'Кой
i?eo.,lceтpuu) .
Для переходноrо случая, коrда фундаментальное коническое сече
вие вырождается в мнимую пару точек (в частности, для параболи
ческой reометрии), мера кривианы равна пулю.
Теперь покажем, что установленное адесь определение меры кри
вианы плоскоrо 'мероопределения совпадает с тем определением, KO
торое установил raycc для меры кривианы дважды протяженных
мноroобрааий. Между определения;vlИ меры кривианы здесь и у raycca
сутдествует только то рааличие, что у raycca мера кривианы является
1) Это справедливо только для точек внутри Фундаментальноrо коническоrо
сечения; для внешних точек имеет место как опережение, так и отставание,
в зависимости от направления, в котором мы смещаемся.
296
Ф. КЛЕЙН
неизм нным свойством данноrо rеометрическOl'О образа, в то время
кап: здесь она является лишь свойством случайно выбранноrо меро-
определения в данном образе, плоскости.
rayccoBa мера кривизны известным способом подсчитывается из
выра:жения для квадрата эле:нента дуrи
ds 2 == Е dи 2 + 2Р' dи dv + G dv'J.
Прежде Bcero, нам надо построить такое выражепие. Пусть Q == о
как всеrда является уравнением фундаментальноrо коническоrо
сечения. Пусть Qxx имеет прежнее значение, а Qx. ах, Qdx, dх:обозначают
выражения, получаемые И3 QXY и Qyy подстановкой вместо у диффе
ренци8.,тrов dx. Расстояние между точка 'па (х) и (у) было равно
2ic arcsin
,r o о 02
V ""хх""уу ""ху
V QxxQyy
Еслп подставить Уа == Ха + dx a , то после отбрасывания величин ,выс
шеrо порядка малости получим отсюда:
v Q QA A Q2 d
2 . . ХХ иw, иw Х, Х
c arCS1n о ,
......хх
или, за reняя арксинус малоrо aprYMeHTa Са1\ШМ синусом,
, r о п 02
. V ""ххО"ах ах ""х ах
2 c . ,
Qxx .
Следовательпо, квадрат элемента дуrи будет:
02 o О
ds2 == 4с 2 ......х, dx ......xx......dx, dx
Q;x
Выбирая специальные координаты, мы приведе.\I это выражеШ1е
к более простому виду. Действительно, фундаментальное коническое
сечение для соприкасающеrося специальноrо мероопределения является
окружностью, и в рассматривавшихся здесь случаях фундаментальные
точки последнеrо, как и в обычном параболическом мероопределешIИ,
МНIIМЫ; поэтому мы можем написать уравнение фунда.\шнтальноrо
коничеClЩl'О сечения в обычной форме уравнения окружности
х 2 +у'2== 4с 2 .
:Это уравнение записано в координатах х, у, измеренных в соприка
сающемся специальном мероопределеНИИj действительно, радиус
фундаментальной Oltружности, измеренный в том же мероопределении,
ранен 2с, как это и принято в предыдущем уравнении.
Теперь мы будем иметь:
Qxx == x2+y2 4c2, Qdx, ах == dx 2 +dy'2, Qx,d{D == xdx+ydy. '
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
297
Следовательно, выражение для Евадрата элемента дуrи будет:
ds 2 === 4с 2 (хах+ у ay)2 (x2 +y2 4e2) (ах 2 + ау2)
(х 2 + y2 4c2)2
2 (yax xay)2 +4е 2 (ах2+ ау2)
=== 4с ) '
(x2+y2 4e2 2
Если теперь ввести новые переменные (полярные координаты спе
циальноrо мероопределения), полаrая
х === r cos <р, у === r sin <р,
w получим выражение
16с 4 dr 2
ds 2 ===
(r2 4e2)2
4c2r2 аср2
r2 4e2 '
Еоторое переходит в обычное выражение для лемента дуrи в поляр
ных Rоординатах, если с становится беСRонечно большим 1). Если
сравнить ero с формулой, положенной в основу rayccoM,
ds 2 === Е dи 2 + 2F' dи dv + G dv 2 ,
ТО мы видим, что F' обращается в нуль, а Е и G 8ависят лишь от
одной переменной и. Но при этом предположении rayccoBa мера RрИ
ви8вы К равна 2)
4E2G2K===E ( G ) 2 + G E G 2Ea a 2 G .
ди d'u du ди 2
1) Если положить r постоянпым, то получим:
ав == 2cr d!p.
V4e2 r2
4cr1t
Следовательно, периметр Kpyra радиуса r равен . Но это r 0608Ha
V4c2 r2
чает радиус Kpyra, измеренныЙ в специальном мероопределении, соприкасаю
щемся в центре. Радиус р, измеренный в общем мероопределении, получается
из формулы осиовноrо текста, если вместо ав написать ар и положить аср равным
нулю, т. е.
4с 2 dr
ар ==
r2 4c2 '
или
е С 1
r == 2е
е С +1
Если поставить для r это выражение, то подучаем, что периметр Kpyra радиу
са р равен
2C1t ( е%С e :С ).
Это формула, которую приводит raycc в письме к Шумахеру. Еонстанта k,.
которую он там использует, как раз отвечает использованноЙ эдесь константе с.
2) Выражение для rауссовой меры кривизны: можно найти в сочинении
raycca на стр. 147 настоящеrо сборника. [Ред.]
298
Ф. КЛЕЙН
31'tменяя Е, G их аначенияыи
16с 4
Е==
(и2 4c2)2 '
G == 4с 2 и 2
и2 4c2 '
пол учиы :
;
1
K== 4е 2 '
т. е. то са.мое з'нд'Ц,еuuе, 'Которое .ИЫ посrпроuлu 1lpe:JICae.
Теперь, понимая меру кривизны в смысле Таусса, ыы можем BЫ
сказать теорему:
ПЛОС1ЮC'f/lЬ является поверхиостыо поC'f/ЮЯUUОЙ 1юложuтельuой, постоян
иой оrtIpU 'а1пельuой илu uулевой 1.рuвuзuы в завuси.ltDсJ/tu от тозо, 17:рини
.мае.м лu .мы ЭЛЛU1тlu'Ц,ес'Кую, зuперболu'Ц,еси;ую илu 1юраболu'Ц,еси;ую i!eo
.АtertIpUЮ.
Поэтому в параболическом мероопределении эллиптичеCIШЯ reo
метрия находпт свою интерпретацию на сфере и на поверхностях,
полученных иа нее иаrибанием, а rиперболичеСI ая rеометри.!1 на
поверхностях постоянной отрицательной меры ",ривизны (как это
,было упомянуто в 1).
15. ВзаИlIIоотиошение lIIежду Эol'IлиптичеСБОи, rиперболичеСБОЙ
И параболичеСБОЙ rеопетринми В ПЛОСБОСТИ
Мы уже видели, что в общем плоскоы мероопределении coдep
жится в виде частных случаев как мероопределение параболической
rеометрии, так и мероопределение эллиптической и rиперболической
rеометрий. Параболическая rеометрия исnользует в качестве фунда
ментальноrо коническоrо сечения мнимую пару точек (так Ha3ЫBae
мые бесконечно удаленные 1) :мнимые KpyroBble точки). Местом беско
нечно удаленных точек служит дважды взятая пряыая. 3ллиптиче
ская rеометрия соответствует собственному, но мнимому фундамен
тальному коническому сечению. Наконец, rиперболическая rеометрия,
как и эллиптическая, имеет собственное фундамеН'l'альное коническое
сечение, которое однако вещественно (и окружает нас).
Независимо от Toro, буде.т ли фактически данное мероопределение
параболическим, эллиптическим или rиперболическим, в окрестности
рассматриваеиой ТОЧЕи все три rеометрии ..приходят в совпадение
дру!' с друrои. Следовательно, они соприкасаются в рассматриваемой
точке; параболичеСIШЯ rеометрия дает специальное соприкасающееся
1) Собственно, несправедливо называть зти точки бесконечно удаленными:
их расстояние от произвольной точки, лежащеЙ в конечной области, не беско
нечно, а неопределенно, потому что все окружности, описанные около такои
точхн, проходят через них.
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
299
мероопределение как для 8ллпптичеCIШЙ, так и для rиперболп
чеCItой rеометрии.
IIтак, если нам фактически дана параболическая rеометрия, то
мы можем сейчас же построить rео reтрию, служащую моделью для
представлений rиперболической rеомеТрИИj дЛЯ 8ТОТО достаточно по
стропть общее мероопределение с вещественным фундаментальным
Rонпческим сечением, соприкасающееся с данныIM специальным в pac
сматриваемой точке. Мы достиrнем 8ТОТО, если опишем около расс:иа
трпваемой ТОЧЕИ окружность радиусом 2с п построим соответствующее
ей проективное мероопределеШ1е с константой с для определенпя
-V 1
расстояния между двумя ТОЧЕами и константой с' == для опре
деленпя уrла между ДВ IЯ прямыми. Это общее мероопределение
тем точнее приближается к дaHHO IY параболическому, чем больше С;
оно полностью совпадет с нпм, если с будет бесконечно велика.
Совершенно аналоrично мы можем построи'IЪ rеометрию, показы
вающую, ш:1к представлялась бы 8ллпптпческая rеометрпя вблизи
данной ТОЧЕи. ДЛЯ 8ТОТО достаточно придать только что использо
ВaJ3шейся константе с чисто МШ1мое значеШ1е == c 1 i. Мы осуществим
это, если зафиксируем точку на расстоянии 2С 1 от ТОЧЕп соприкосно
венпя и примем за расстоянпе между двумя ТОЧЕа..'\iИ плоскости
У).1ноженный на С 1 yrол, под KOTOpЫ 1 ОШI видны из фпксированной
rОЧItп. 3а уrол между двумя пря:мыми на плоскости нужно взять
просто уrол, под КОТОРЫМ 8ТИ' прямые видны из фпкспрованной
ТОЧКИ J). Построенное :мероопределеШ1е снова тем точнее приближается
к данному параболическому, чем больше с 1 , и котда С 1 становится
{)есконечно велика, оно переходит в параболическое мероопределеШ1е.
Точно так же, если бы фактически данная rеометрия была 8ЛЛИП
тической или rиперболической, то мы моrли бы подобным образом
построить :модель для представлеШ1Й параболической илп COOTBeT
TBeHHO ll1перболической и 8ллиптической rео:метрий.
Нам остается перенести на пространство всё вышесказанное об
основных образах первой и второй ступеНИj 8ТО и будет сделано
..с воююжной краткостью.
э 16. ПроеJ\тивное l\lероопре1;еление в пространстве
в основу общеrо проективноrо мероопределения в пространстве
Еладется произвольная фуида..Jltеnmальnая юверхnосmь втОрО20 юрядJШ.
Чтобы определить раССТОЯШ1е между двумя точка П1, их соединяют
прямой линией. Она пересекает фунда reнталъную поверхность в двух
1) Имеется в виду двyrрапныЙ уrол между плоскостями, проходящими через
данные прямые и фиксированную точку. [Ред.]
300
Ф. КЛЕйН
новых точках, которые образуют с обеп:мн данпымн определенное
двойное отношение. ЛО2арuф.м этО20 двОй'НО20 от'Н07uе'Нuя, у.м'НО:JIсе'Н'Н'ыu 'На
1 роuзволь'Ную %о'Нста'Нту С, u дает то, "tтo следует 'Назвать расстоя'Нuе.и
.меЗlсду да'Н'Н'Ы.ми тo"t'1\;a. tu.
Аналоrично определяют уrол ме:жду двумя плоскостями. Нужно
провести через прямую их пересечения обе касательные плоскости
к фундаментальной поверхности. Они определяIOТ с даННЫМll плоCI О
стямн некоторое двойное отношение. У20Л .между 1zлос%остЯJ tu равеи
ЛО2арUфJ tу этО20 двОй'НО20 от'Н07uе'Нuя, у.м'Ноже'Н'Но.му 'На 1zроuзволь'Но в'Ыбра'Н
'НУЮ '%о'Нста'Нту с' .
Под двuже'Нuя.мu пространства понимают совокупность линейных
преобраЗ0Ваний, остав.ЛЯЮЩИХ НeII3менной фундаментальную поверх
ность. Поверхность BToporo порядка остается неизменной при 006
лпнейных преобраЗ0ваний. Но они распадаются на два класса, из
которых один образует замкнутую систему, друrой нет. Оба класса
мошно охарактеРИЗ0вать поведением прямо линейных образующих по
верхностп под воздействием преобраЗ0ваний И3 этих классов. При
преобраЗ0ваниях первоrо R;;Iacca их мы наЗ0вем движениями 1)
пространства обе системы прямолинейных образующпх остаются,
как таковые, неизменными; при преобраЗ0ваниях BToporo класса они
переходят одна в друrую. Пмеется со 6 движений; они оставляют He
пзменными метрические соотношения.
Под сфера.мu понимают такие поверхности BToporo порядка, I OTO
рые касаются фундаментальной поверХностп по плоской кривой.
Центр сферы яв.цяется полюсом плоскости, содержащей кривую co
прикосновения. Саму фундаментальную поверхность можно paCCMa
тривать как сферу радпуса со, описанную около произвольноrо
центра, и т. д.
ЕС;;IИ обращать внимание преимущеС'l'венно на вещественные эле
менты пространства, то следует различать, является ли фунда:иен
тальная поверхность мнимой или вещественной, и в последнем слу
чае является она линейчатой или нет.
Еслп фундаментальная поверхность .м'НUNа, то все прямые ЛIIНШI
имеют конечную длину, каждый пучок ПЛОСRостей конечную сумыу
уrлов, R этому случаю относится эллиптическая I'еометрия (ecmI
сумма уrлов в пучке
-v 1
определении уrлов взята равной
плоскостей равнял ась 1t).
чтобы
только константа с' в
1) Эти положения я уже разъяснил в более раннеЙ работе «О механике ТБер
доrо тела», Math. Annalen, т. IV, 3. .н должен прибавить, что уже r H Шеринr
(Schering) рассмотрел движения пространства в смысле rиперболическоЙ reoMeT
рШI в статье «Сила тяжести в пространстве Таусса» (Gбtt. Nachrichten, 15, 1870).
о ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
301
Мы не будем исследовать случай, коrда фунда.'\1ентальная поверх
насть веществе'Н'Ная и лu'Ней'члтая (как однополостной rпперболоид), по
тоиу что 8ТОТ случай НИКaR не свяаан с расс:vrатриваемыми адесь Tpe
мя rеометриями (8ллиптической, rиперболической, параболической).
НаЕонец, если фундаментальная поверхность веществе'Н'Ная и 'Не
Л'/tжй'члтая, то для внутренних точек поверхности l\lbl получим Mepo
определение, включающее мероопределение ZU1 ерболu'Ц,еС'IfОЙ rеометрии,
, -У 1
еС.lIИ снова положить константу с' равной .
ПараболшчеС1ЩЯ rеометрия содержится в спецпально:vr случае общеrо
мероопределения; 8ТОТ случай возникает, если фундаментальная по
верхность специализируется (вырождается) в мнпмое коническое
сечение. фУНДaJ\,lентальное коническое сечение параболической reo
метрии является так называемой бесконечно удаленной мнимой
окружностью. Недвойственные свойства параболическоrо мероопреде
ления находят свою основу в недвойственном характере специалпза
ции, которую претерпела фундаментальная поверхность.
Можно снова rоворить о 'lfрuвuз'Не общеrо мероопределения и т. д.;
()днако ради краткости все 8ТИ вещи не будут адесь расс:vrатриваться.
17. Независимость проеRТИВИОЙ rеометрии
от теории параллельиых
Можно было бы сделать возражение против Bcero вышеСКа3анноrо;
это возражение не лишено оснований, если придерживаться приня
Toro до сих пор способа иаложения, и тем не менее оно тотчас же
устраняется.
При обосновании общеrо проективноrо мероопределения мы CHa
чала действовали rео;vrетрически, определив расстояния между ДВУ lЯ
тачка;vrи и т. д. как лоrарифмы определенных двойных отношений;
:затем мы прибеrли к аналитическому аппарату, Jlспольаовав OДHO
родные координаты. Оба понятия двойных отношений и однородных
координат предполаrают (при их обычном обосновании) наличие
параболическоrо мероопределения, rде двойные отношения и OДHO
родные координаты понимаются КаЕ иавестные отношения отреаков.
Следовательно, если бы фактически данное мероопределение не было
параболическим, то уже нельзя было бы пользоваться 8ТИМИ поня
тиями, и все предыдущие пояснения потеряли бы их значенпе.
Тем не менее можно убедиться, что проективная rеометрия спра
ведлива независимо от вопроса О виде мероопределения.
Доказательство 8Toro можно провести так: сначала построить про
ективную rеометрию, взяв аа основу 8ллиптическую, аатем rипербо
лическую метрическую rеометрию. Это выполнить нетрудно, и убе
диться в 8TO 1 можно из Toro, что для точки, как связки прямых и
.
302
Ф. КЛЕЙН
плоскостей в пространстве, бесспорно справедлива проективная reo
метрия (отметим, что и в параболической rеометрии для точки ири
мепяется ЭЛЛиптическое мероопределение).
Но существеннее ааметить, что nрое'Кrпuвnая i1еО.меrпрuя .MO;JfCerп оыть-
пocrпpoena вообще nезавUСU.lto тп вопроса о .i1'tероопреде.леnuu.
Действительно, чтобы обосновать проективную rеометрию в произ
вольной оrраниченной области пространства, достаточно проиаводить.
в ЭТОМ пространстве построения, свяаанные лишь с так нааываеМЫJ\Ш
отношеНИЯlVIИ раСПоложения и не выводящие аа пределы Простран
ства. При этом ДВОЙные отношения, рааумеется, не MorYT быть опре
делены как отношения отреаков, так как ЭТО предполаrало бы анание-
HeKoToporo мероопределения. Но в статьях Штаудта по rеомеТРШI
положения 1) дан необходимый материал для Toro, чтобы опреде
лить двойное отношение как чистое число. Затем мы можем перейти
от двойных отношений к однорОДНЫi\I точечным и плоскостным KOOp
дината.'II, которые также ЯВЛЯются не чем иным, как ОТНоситеЛЬНЫJ\IИ
аначениями определенных двойных отношений (ЭТО тоже покааал
Штаудт 2) и недавно Подтвердил снова Фидлер 3)). При ЭТОМ остается
невыясненным, найдутся ли для совокупности вещественных аначе
ний координат также соотвеТСТВующие пространственные элементы.
Если это не так, то ничто не мешает присоединить к истинным про-
странственным элементам несобственные элементы, соответствующие
этпм аначениям координат. :Это имеет место в параболической reo
метрии, если мы rоворим о беСконечно удаленной плоскости. Полarая
в основу rиперболическую rеометрию, пришлось бы присоединять
це"'IУЮ часть пространства. Напротив, в случае ЭЛЛИПтической reo
метрии при соединение несобственных элементов было бы иалишне 4).
18. ВЫВОД трех rеометрий (эллиптичеСRОЙ, rиперболичеСRОЙ
И параболичеСRОЙ) ИЗ ПрОРБТИВНОЙ
Если установлена проективная rеометрия, то, как покааано Выше,
:мОЖНО построить мероопределение Rэли. Оно остается неиаменеННЫ l
при шестикратной бесконечности линейных преобразований, которые-
мы нааывали движениями пространства, и может считаться порожден
HыlvI совокупностью этих линейных преобрааований (88 2, 3).
Теперь вернемся к рассмотрению фактических движений в про
странстве и к мероопределению, основанному с их помощью. Очевидно.
1) «Geometrie der Lage», S 27, п. 393.
2) Beitrage, S 29, п. 411.
3) Vierteljahrsschrift der паtпrfоrsсhепdеп GeselIschaft in Ziirich. XV, 2 (1871).
Die darsteIlende Geometrie von F i е d 1 е r. Leipzig, 1871.
4) Введение проективных координат, независимое от метрики, рассмотрено.
в КНИI'е Елейна «Неевклидова rеометрия», rл. V, И. Л., 1936. [Ред.]
О ТАК НАЗЫВАЕМОЙ НЕЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
303
что шестикратная бесконечность движений представл.я:ет такое же
число линейных преобразований. Кроме Toro, движени.я: оставл.я:ют
неизменной некоторую поверхность, поверхность бесконечно удален
ных точек. Но леrко доказать, что, кроме поверхностей BToporo по
рядка и их вырождений, не существует друrих поверхностей, пере
ходящих в себ.я: при шестикратной бесконечности линейных преобра
зований. Поэтому мероопределение, заданное посредством движений
(фaRтическое мероопределение), также .я:вл.я:етс.я: частным случаем
общеrо проективноrо. В то врем.я: как последнее относитс.я: к произ
вольной поверхности BToporo пор.я:дка, для nepBoro мероопределения
эта поверхность задана раз и навсеrда.
ВIЩ этой поверхности BToporo пор.я:дка, положенной в основу
фактическоrо мероопределения, может быть определен точнее. 3аие
тим, что ПЛОСRОСТЬ Бозвращаетс.я: Б исходное положение в результате
непрерывноrо вращени.я: вокруТ' ее оси, лежащей в конечной области.
Это означает, что обе касательные плоскости к фундаментальной
поверхности, которые можно провести через пр.я:мую, лежащую в KO
нечной области, мнимы. В самом деле, если бы они были вещественны,
то в данном пучке плоскостей находились бы две вещественные
бесконечно удаленные nЛОСRОСТИ (т. е. плоскости, образующие бесIOO
нечно большой уrол со всеми дрyrими), и тоrда никакое вращение,
продолженное Б некотором направлении, не моrло бы возвратить,
плоскость пучка обратно в исходное положение.
Дл.я: Toro чтобы обе эти плоскости были мнимы, или, что то же'
самое, чтобы был МНИ:\fЫМ Rасательный конус R фундаментальной по
верхности, исходящий из произвольной точки пространства (достyn
HOI'O движенmо), мыслимы три и только три случа.я::
1. ФуидаJl!еитальиая поверхность .ЛlUи.ма. Это дает эллиптическую
rеометрию.
2. Фу'НiJаJltе't!тальиая поверхность веществеииа, не линеЙ"!атая и 01;7PY
жает иас. Допущение rиперболической rеометрии.
3. (Переходный случай). Фуида.меитальиая поверхиость 6ыродилась 6
J\t'IШ.МУЮ плос'Кую 'Кривую. Допущение обычной параболической rеометрии.
Итак, мы пришли как раз к тем трем rеометри.я:м, которые были
установлены из совершенно иных соображений (как это изложено в 1).
о I
111
'о
РАЗВИТИЕ ИДЕЙ
rЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕвскоrо
*
БЕРнr АРД РИМАН
О rIШОТЕ3АХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВАНИП rЕШIЕТРIlИ
BERNHARD RIEИАN:N
UBER ШЕ HYPOTHESEN, WEI,CHE DER GЕОl\IEТRШ
ZU GRШШЕ IXI' GEN
(1855) 1)
План исследования
Общеизвестно, что rеО Iетрпя пре,::Що.J:аrаст за7J;аннт,пПI заранее RaR
IIонятне пространства, тю и первые основные понятия, которые
нужны Д.ТIЯ выполненпя пространствепнr,тх построептrЙ. Опа даст
но шна;;rьные определеппя попятпй, TOI','ra r ar, существенпые свойства
опреде.ляеыых объектов входят в фор IC ar,cJТO r. Прп ЭТО I ВёатвIOОТ-
ноrnснпе rcжду этrп!И пре;J:посы.ПRа ПI остается lIеlJыпснеПП[.I [: не
ВIJДНО, ЯВJlяетсн Jпr, II в r аrщй степепп, СВЯ3Ь между нrВIП пеобхо
;щыой; не видно тю а;:е а priori, ВОЗ IOжна ли такая связь.
Начиная от Евr;:лида и кончая Лежандро r (п называю напбо;;rее
выдающеrосп из новейшпх исс;;rедователей основ rеолrетрпп), нп ш
тематrша пr, нп фплософюпr пз чис;;rа заппыавшихсп пнтеРССУЮЩИ I
нас ВОПрОСО r упоыянутые неясности не бы;;rп устрапепы. Причина
этюrу обстопте.:rьству, каь: я полаrаlO, зак.:rючается в тои, что общая
Бонцепцпя IHoror;:paTHo протяженных пеПIIЧИН, J;: rщторым относятсп
пространстпеппые велr-l'IИНЫ, оставалась вовсе не разработанноЙ.
В связи с этим я поставил перед собой задачу псходя пз общеJ'О
понятия о велпчине, СRонструировать понятие IIIHOror;:paTHo протяжен
ной величины. lHu прпдеlI к зак.ТIIочеrппо, что в MHoror;:paTHo протя
женной велпчине возиожны раз.ТIпчные мероопределеrпrя и что про
странство есть не что иное, J;:aK частный с;;rучай трижды протя:женной
величины. НеобходrВI!>l I слеДСТВИЮI oTcIO;J:a явнтся то, что предложе-
]ШЯ rеоиетрии не выводятся пз общпх свойств протяженных пеличпн
n что, напротив, те свойства, KOTopr.re выделяют пространство из
[) Вступительная лекция, прочитанная Риманом 10 июня 1854 rода, [Ред.]
310
Б. РИМАН
друrпх :lfЫС 'IП:lП,1Х трпжды протпжспнr,тх ве.'IJ1ЧНН, ЫOI'У1' 61,11'1, по.
черпнутr,1 не пначе, H:aIi: IВ ОПI,rта. В таlИ:\1 c."1Y'1ac ВО:j]ПIlШО'l' аа;щча
устаНОВlI1Ъ, па J,aT01X простеiiПIПХ ;J:опущеппil ВI,rтеl,ают :\IСТрllчеСЮlе
свойства ПрОС'l'раНС'I'па, задача, естественно, не впо, [][е O!lpe,'re,lea.
нан, 1'::1$ 1,a1, пе ПСЬ:,"1IOчено, что no3:\r01T':HO нест,оаьпо crтCTC:\1 npOCTr1X
допутценнН:, ПОЗ J,OTOpl,JX пажл:ап д:остатоттпа Д:.'IП устаПОП:1ешrп :\ЮТРII'
чесютх своЙств ПрОСТрЮICтва; ваа,:нейmап cpe; J:1I нпх, с To'rIi:lr арСIIIIЯ
ПостаВ,"1енноЙ па:llIl т[е.ТIП, ес'!'!> CllCTe:lla, ПО."Jожеппап n ОСПОВУ 1'00)Iет,
рНII Ebt,.-ТIIДО:l1. ДопущеП!IП, о У,ОТОРТ,1Х пде'f ро'ть, по лrз,'rНIO'I'СН (I\ак
п пслюrе JJ:опущеппн) пеоБХО,'[П:\I1>l:Il!I; ДОСТOJЗ0РllOСТЬ Irx HOCII']' :'ШШРII'
чеСШlii хараЕТ'СР; ОНП пе что ПНОС, Еат, rIтпотезr,т. Их праВ, r()пrц()бпе
(Еоторое, 1,al, 6ы то нп бr,1:-Т0, отюнr, :1па т птте,-Т1,ПО n про"е,.я,х шtО,llО'
денr] н) н ад,'1 е ,1" 11' ПО;J:нер1'НУ'IЪ псс..е"опанпю 11 зате:lr C o,'I]ll'!> () 1'0)[,
:1.101)'1' ан онп or,1Tl> распространенr,l ;за пре"е.'Н,1 lIa6:1IO:reIllIH [\аК
в сторопу неП3:\fерП:lIO ОО.'IЬШOI'О, тап: П п сторопу пеll:5:lrОРl!)[О :IIa:rnfo,
1. ПОНЯТIIС ll J.paTHO НрОТlIженной веЛIIЧIШЫ
я обращаюсь У, первоit II,З УI,азанных :lrпою за;Щ'I, а 11)10111111, " IЩ.
исненпю ПОНПТПП :I]поrО1:раТIfО протпжспноit ве:rп'[lrШ,I; IIpll ;'YI'())I С'I1I'
таю ;J::1П сеоп OOHaaTe.'II,III,1:11 проспТI, об П31ЗОСТПО:l1 С1пrсхтl':;rСШIJr, ТЮI
бо. lее, '1'1'0 в относнщпхся СIO;(а ра60тах фlJ."10СОфС1'0I'О СО;rор;r;ашщ
ТРУ,'rПОСТЬ 1':OTOPJ.lX за1:.:Jючепа C1{OpeC в апа."1п:зе JlОНП'1'11i'j, '1(')[ I1 "ате.
:llaТ!lчест 'Х I10строеIIПНХ, и не об."1адаю БО:1ЬПIоfi освеД():\[.'[(НI!ЮСТJ.IO.
Rpo:lle очень I,:ра'1'Ю1Х У1шзанпit, EOTopr,r6 r. таЙнr,тii СОIЗС'I'ШН': faycc
дал во 13TOpO:lI :lle:lryape, посвящеППО:ll (j1П,ва"ратпчеСЮI:lI ]ш'rСТЮI
(п rеТТПНI'еНСЮ1Х Y'1elIJ,1X заппстшх), JI n clloeti ю(jlшеliпоii paiJoTe,
а так:п,е ие],0'1'орr,rх rf>Ir. [()СОфСЮ1Х ПСС"О,J,Оlзашrii rорбарта, н НО ШIС,l
ВОЗ:lIOЖПОСТП ПСПО.]]Ъ;Ю паТL 1,a1':IIe <!l1(j0 .'IптераТУРНI,1 е IIСТО '] IIII ЮJ.
11)
Образованпе понятпя uе.,"11РП1ПJ,1 В03:1Ю<IП10 .,пrпь в 1'0:\[ С:lучас,
ес"'IИ преДПОСс"1aJIO HeIi:OTopoe общее понптпе, связанное с JrОIlУЩСl!llе)1
рада разлпчных СОСТОШII1Й 2). В заВПСП:lIOСТП 0'1' '1'01'0, существу('т ,111
1) Содержание Юlж: оrо параrраспа дапо Ри raно [ в об'юре работы (стр. З
325 настоящеrо сборника). [РеО.]
2) «Состояние» Всstiшпншgs\уеisе. Под МНОl'ооGра<lием Риыан ПОНИ1!ает пе
только rеометрнчеСltИО протяженности (это явствует, например, из конца абзац ,
I'де РIНШН rоворит об ощущопинх и цветах). По:это у позволительпо воспользо-
ваться, за неи !Спиеы лучrпеrо, общеПОИН'l'НLI [, хотп и пе вполне l'ОО 1етричеСКШd
термином «состояние» ддп обозначения Э;ICыопта [ПОI'ообразия, соответствую-
щеl'О СОВО1tуПНОС;ТИ Н01ИТОрЫХ опре"еiIеипых чИ(;ловых зпачепий параыетров (КО.
ординат). В с;лучае rеометрическоil протя:жешюсти «СОС1'ОНIIие» 'fO же, ЧТО
«точка». [РеО,]
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
311
Л,Т!! не существует пепрерывный переход от ОДНОJ'О состошшя l дpy
rO IY, ILI И lею[ де.:'IО с lIеJlрерЫВlIl,I I П.:'III с преРl,IВIIЫ I 1Н01'006pa
8[[e I; отдельпые СОСТОЯ1ПН1 называются в нерпо.\! c;1Y'Iae то'п,а [ll, ВО
второ.\! Э<:'Iе lеlIта.\llI lПОl'ообраЗIIН. Ве;l1РПIНЫ, 1{OTOpl,le образую'l'
;ЩСI-.:реТIIое IHO:tl,eCT130 состояниЙ, НС'l'ре'шются столь часто, '11'0 но
I\раЙпеЙ шре в более развптых язт,н.:ах Д.7IЯ СООТНЕ'ТС1'ВУIOЩIIХ IIOПНТl1ii
вснда П.\IeЮТСJI ос06ые harHler-IOнашш (в II.\ЮНIIО ПОТО IУ ПрJI построс
пнп ученпя о ДIIС1,РСТIII,1Х ВС.:'IIIЧ1IlНIХ щтс щтнют I01'. III I1СХОДИТЬ 1Е!
допущенпя О;:ЩОрОДПОС1'II ,' aHHЫX 06T>CI-':TOB). Напро'l'ВI3, надоБНОСТJ,
в образованнп ПОIIЯТПЙ, СООТНUТСТНУIOЩIIХ С,:'Iу'шю НСПРСРЫВНI,IХ lIIoro
образпЙ, нстрс'щетсп срапшIТU,:'IЫIO рСД1-.:о; IIЗ IIЮIНО1'ОЧlIС,ТIЕ'lП1I>IХ I1рП
)Iepon IIIOr01 paTIIO lIротпа-.:еlIПЫХ ПI01'00браЗIIЙ, пст'речающпхсн в обы
деппой ;'Ю1ЗНII, Уl-.:ажс.\[ JIOl-.:а;llIзовarП1ые ОIЦУЩСIIПП 11 1(11E"I'a; l'ораа,'Ю
чаще ПрПХОД1I'l'СН прпбеrать 1{ расс !Отренпю п IIсс:н доваlII1Ю Ilо;(об
1101'0 pO;la ПОIIН'l'иit в 1Н,[СШIIХ раздс;шх :\rа1'е.\Ш'1'IШП.
Отде:IЫ1ЫС '!аСТН IHOJ'006pa3I1i1 ЧОРУ'I' 61Л'Ь 1JI,1ДС,:1СIII,I с 1[().\IOII(I,1O
НСI;QТОрых ПрIIЗl1ЮЮI3 пап ;,т-,:(} I':О,:'IIl'lСС1'IIСIIИJ.lХ (ЮJа1И'II'l'Н'I'11 1\111,1 х) pa:l
,1II'ШЙ. С l-;О,:'IJl'lСС'l'В('IlIlоiI TO'IтI ;зрснпн сравпенпе ОСУЩССТII:IНU'I'СН
В С;1у'ше ,'(псr-;РС'l'][I,IХ :\IIIОl'ообраЮ1ii ПОСрС.J;С'l'lЮ.\J счета, в с.'lУ'Шl' ПС
ПРСР1,IIШ1,IХ ПОСР(':[СТlЮ.\1 1 1; l.\1ерсш Ш. II3.\1среппс ;за 1-':;lЮ'faСТСП 11 11O
С:Jс;твате;ll,lЮ.\1 llРПI-;;ra,J:ывarПП1 сраlш][т1С:\II,IХ Be;llI'IIIH; ]](ЙТО.\IУ !НЯ
)1O,1iIТОС1Ъ Jl:3 lep('lllIii оБУС;IOIJ, Iепа IIа. Пr'ПJе:\[ пer-':О'I'Oj1OJ'О CJloc()!ia IICpC
JlОС!['lЪ O,J:IIY ПU;IIl'llJПУ, НРIIПН'I'УЮ за C:f.[Jlllll( :\Ia.CIlI'l'a!ia, 110 ДРУ1'оtt
ВС;Ш'lI1НС. Еслп 1'arюН способ П(' '1;а;заll, 'l'() CpaI\IIIII\HTI, .'(IЮ I!U,'1II'IIIIII,1
)IO,ЮЮ JIПШЬ Н '1'0:\1 C:1y'ra,u, Е01'да о;[па 11;) 1ПIХ НIJ:IЩ'ТС:I 'I<1C'I'I,1O ,'[p
rol1, п ТО1'да рс'п, :\IШl,СТ II'I'"J'II . 1[l][JI, О «i)О:ll,lПС» 11;111 <ОI('ПI,IIН'», а IIl
о «СI,О;IЫ,О». IIсс.ПU,'IOI\ННIТН, I;OTOpr,JC II.\ICIOT СВОН.\! llpC:( ICTO.\l BC;I1l
'пшы 1'шюrо рода, обра3УЮ'l' 0611(U1'0 xap Ы,Tepa, пс;заППСII IУIO ОТ .\ICpO
опред(тсппя, часть Y'IeUII5I о ве.:rП'Пlпах: 11 нсй ВС,'IIРП1П1,1 НС :\ll,1СЛНТСЯ
с 'щес'rr3УЮЩП:\П1 нсзаппсп.\ю ОТ НХ 1lO, 10 Юc'l1llН Jl ВI,lра l;lтПl,I.\[J[ 'lСРС;З
СДШПII[У ПЗ.\IерСIIИЯ, а ;J:O,:'I,J-':HT,J ()r,]"!or, п p(','(('T<1I\;r5le\II,1 1-;ar-; O().'J:l(:'I'lI в lIC
[;Оl'ОРo:\! :\П1оrообра3I1П. rra1,Ol'O pO:J:a ПСС, ll':(Оl\аШIН CT[I,'III l,paiill(' 11('O!i
ХОДП lЫ:\П1 д<'IЯ lП01'ПХ отраС;1еН :\lhte.\IHTIIJ-:I1, в 'Iac'l'lIOCTII, 11 'I'l'OpIIl1
МНО1'озна'IНЫХ апа;1птп'тсст1Х ФУ1П;Цllii; IIC,'(OC'l'aTO'1110U llX ра:И!lIТIIС,
HeCO.\IHeHHO, ()C'l'l> Ilрll'1ПIl 1 '1'01'0, '11'0 ;31Н1\IСlIIIТШ1 'l'UOP('.\[:[ .\Gс;тя,
а таЮ1-.:е pC;JY,:'IT,I'HTI,I, llO:lY'lU11111,!l) '::Iar'l)tJП I;е.\r, IIфафф():\I, Il-.:06п 1\ общеii
теорпп ,' IIФФСРUI1цпа.:'IЫП,IХ ураllНСШ1ii, ,'щ,'п'ое ВрU.\lЯ не ;J,aBH.'lIl СIЮПХ
шro;:\ОIJ.
С 'I'О'П-':П ЗрСlIПН це, IП, ЕОТОРУЮ :\I1,I :1,'('СТ, IIНСС\! I! 1\11,'(.\', II;J 'п'оН
общ()il 'пtСТlI ученпп о II рО'1'а l-.:еНIlJ,lХ l;е,'lll'lIПНtХ (I',' (l ' НС) ,'(';ШСТС51
lIIшаЮ1Х допущенпЙ, 1;OTop1,le не СОДСР Юl:IПСI, (iI,1 I! са.\[().\1 1I011НТШl)
достаТОЧIО особо ВН,'J,U:1ПТ1> два ПУП1етн: Jll'РIJI,IП OTHOCIl'l'CH 1{ способу
введеШ1Я IIОНЯТПЯ .\lII01'01,paTHO протя/ь:еНlIоti ВС,'!II'П1III'!, второй
312
Б. РИМАН
lшсаетсн TOI'O, Kal": опредео'lенпе ыестонахожденпн в :\IПОl'ообразнп сво-
,--:(птся 1": е;rаНОRсТ[енпlO ря;щ колпчественных (Iшантптатпвных) даюшх,
ПРП'JС:\! выяспено будет п то, каlЩ:\IУ ЫНОI'ообразпlO ПрllIlIIСIJвастся
п l,ратпая протяженность.
2
1 r ре;що,тIОЖIОI, '11'0 неIЩТОРО:\IУ понятпlO сопостаНJlено непрершшое
!llпо:rI":ОСТВО СОС'l'ояппil, прпче:\I от ОДНОl'О состоянпя опредеJlеШIШ1
спосоБО:\I :\lOiЮIО переходпть 1,0 ВСЯКО:\IУ ДРУl'О:\IУ; TOl'.'(a все 8ТН со'
CT051l1IlH 06рuзуlOТ IIpoc'ro протнженное плп О;ЦIOI..:ратно протяшеШlOе
!l11l01'006pU3HC, от,тПlчпте,ТIЬПЫ:\1 ПрПЗlIalЮ:\1 l":OTOpOI'O слу:rь:пт В03:\Ю;IШОСТЬ
HeHpepbI13II01'0 С:\IеЩСIПIП па l,а;I":;Щ.\1 ,'(ЮI1l0.\1 ;,)тапе ;IfIШL в две сто-
ропы нпере; 11 IШ3UД. ПреДIIО;IО;Ю [.\1 ;Щ.'U,1IЮ, '["1'0 ;')1'0 :\IПОI'ообра:JlIе
n свою О'IереДI. :\1O:rr":c'r 61,1'1'1, IIсреВС;\СlIО н ДРУl'ОС, впо,тПlе отличное
от пеРВОI'О :\IНОl'ообраЗIIЯ, ПрПТО.\I 'l'aI..::rь:е сонершенно определеШIЫЫ
06разо.\1, т. е, Tal';, '!то I,а;-н:дая "l'о'ша пеРПОI'О :\IНОI'006раЗ1lП перехо:щт
в ОПрСДС ICпнуlO то'н,,:у ВТОрО1'0; I3се СОС'l'ОЯНПЯ, Ii:оторые "IOl'ут быть
ПО:IУ'llШЫ ПрII под06IIОl'0 рода операпдпх, образуют дважды протя-
жснное :\IНОl'ообразне. 'l'al'; же образуется н трп:rт.;; ы: протяженное
!IlПОl'ообразне: достаТО'НIО предстаШI"lЪ себс, '!то Дlзажды протяженное
ЫПОl'ообlJ азпе опредеаСНП1,l.\1 обраЗО:\1 перенодп'rся в ппое, вполне
ОТЛП'Iное .\lНОl'ооGразшс. :Icl'l,o попятr" l;Lil": .\ЮЖНО lIРОДО;I;ЮI'rЬ :это
постросппе, ЕСJПI усаОНII.\IСП ТСр:\11lПУ «ОlIре.:.\е,'lСПНЫЙ» протшюпо,
CTaBJI51'lOЬ в l,а'ЮСТ13е протнвополо:rr":НОl'О теlJ.\lпна «П3:\lеПЯС.\Iыit», то
:\1Ожно харю,теРIIЗ0вать паше построеIIпе ъ:ан: СОС'l'аlщсппе П3.\IШIНU.
:\IОСТИ п + 1 Ш1:\[среппit НЗ одноЙ II3.\IСНПС:\IОСТП п ПЗ,\IереппЙ 1I о;щuJt
Il3:\lеНЯG:\IOСТП О.:.\ПOl'О П3.\Iереппя 1).
3
Теперь 51 ПOIШЖУ, ЕЮ';, обратно, IIзыеняююсть, связанная с НШ,О-
торой данной обсТ[астью, .\Iожет быть разложена на ИЗ.\lеняС:\!Ость ОДllоrо
П3:\Iерепия п ИЗ.\IеПЯС:\IОСТЬ :\lеньшеI'О чпс"ча пз:\reреппй. Д,;JЯ ;;той I(СЛП
предстаВlо.I себе пеРС:\Iенную точку на ню,ОТОРО:\I :\IПО1'ообразии ОДlIОI'О
измерения (на 3'1'0:\1 посаеднеы отсчет ведется от определенной началь-
ной точкп, и раЗЛIl'lные резусТ[ьтаты И3:\lеренин сраВПИ:\1Ы мсжду со-
бою) и во06раЗИ:\1, QTO д"'lЯ I;:аждой ТОЧЮ-I даннOI'О ),IНОI'00бра3IIЯ У1,а-
зываетсп ны;:оторое ПО..'Iожение УПО:\15IНУ"l'ОЙ перС:\Iепной точн:и с coxpa
неНПЮI непрерывностп; .:.\р,)ТИ!lШ спова.\lII, на даппо:\[ МНOI'ообразпп
указываетсп неli:оторая непрерыннап ФУНI":ЦИЯ то'шп и ПрИТО:\1 таlШ!I,
которая на пer":оторой 'IaСТИ даннOl'О :\[НОI'ообразия не может оставаться
1) «Пзмешншосты> Veranderlichkeit, Этот тер шн Риман УlIотреблнет IШК
СИНОНИ.\I :\Iannigfaltigkeit, с цеJIЬЮ облеrчения правнльноrо пониманин. [Ред.]
о rИ'10ТЕ3АХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
313
постоянной 1). В TaI O 1 случае всякая спсте fа ТОЧeI , в l O'l'OpЫX фУIП
цпн сохрапяет постоянное значение, обраауе1' непрерывпое ШО1'00б
разпt) fеньше1'О чпсла ПЮIеренпй, че I данное. 3тп ПЮI'ообраЗIНI IIрП
пзЛ!еиенпп зпачепия фУН1 ЦПП непрерывно переходит одпо в ;\р;)тое;
ПОЭТО IУ :IIОЖПО считать, что из одпо1'О ПЗ нпх получаются псе OCTa.,[,
ные, ПрПЧЮI ПРОIIСХОДПТ :это, вообще 1'оворя, так, что I,аждан то'ш:а
0;:])101'0 переходит в определенную то'п у дрУ1'О1'О (С,сIучап ПСI,люченпн,
ПСС;Iе, \ование которых сущеСТl1енно, здесь остаl3.'1ПЮ'l'СЯ в ;стороне).
В HTore, опреде.тrенпе положенпя на .::IaHHO r ПЮl'006разнп ПрIШОДПТСП
1; опредеаепию ЧИС;JОВО1'О значения просто прО'l'н:.-r;енной llе. ,IIЧППЫ п
опре"ео'1ению ПО<'10жеппя па ;\ПIО1'006разпп, нротя:жеппость I OTOpO 1'0
Iеньшей I раТIЮС'l'П. Ле1'lЮ ПОI,азать, что : TO ;\ПIОI'ообразие бу,'\ет пл]t)т[,
Ji 1 пюrереипй, ес.'1П данное ;\Пlоrообразпе пх IIMee'l' 1!. lIовторян
Уlшзанную опера11ПЮ п раз, ;\[Ы С130,'IП I опреде.'1еIПIС ПО;Iожеппн на
Л!НО1'о06разпп )1 EpaTHOЙ ПРОТ51fI;еппостп 1, опре.::Iеленпю чпе.тrовых зна
чений п просто ПРОТЯЖЮIlIЫХ велпчип, т. е. опредео'1епие по"о:шенпя:
на дaHHO T IНОl'006разпп (ес.'1П ТОJIЫШ l'а[,ое опре"елеппе 1303ЛIОЖНО)
1, указанпю ь:онечно1'О чпс.тrа ЧIIС;JОВIJХ данных. I3ПрО'lс r, существуют
н таЮlе ПIОl'ообразия, до,н I,ОТОРЫХ опреде<'1eIПIС ПОJlожеНlIП треБУt)'l'
У1,азанпп беСIшнечпо1'О рнда П':ПI даже пеПрt)РЫ13ПОI'О множества чпс"о
вых даппых. ПрП fерО.\l 'l'Ю,ОI'О рода MOI'Y'l' С,'IУЖ.и'l'Ь ;\fПОl'ообра:зпн,
06раЗОl3аIlНLIе ФУIШI\ППЫП в ;:\апной облаСl'П, ШОl'оuбразпя, обраЗОl\аIl
ные I,ОIl'rураЛIII l'еоыеТрП'IССЮIХ фПI'УР, п т. П. ).
П. 3IерооиреДСJIение, ПОЗl\lOжпое на мюн'ообразии
в иреДlIодожеиии, что .1JИНIIП имеют ! JIИИЫ,
незавиепмые от пх ПОJIOжения, TaR что RаЖ,' ан
.'ШИИЯ И3 lерЮIa посредством I,аждои
ПОС.lе '1'01'0 I{aK построено поинтие 1! I;;paTHo ПРО'1'5IЖСНПОl'0 ЫПОJ'О
образин п установлено в качестве существеННОl'О прпзпа1\:а 1t [ерпос1'И,
что определение ПОЛО:;I;;ения на МНОl'ообразии ПРИВО,:J,И1'СЯ 1\: OHpCДCo'C
ипю чпс.,ОI3ЫХ значенпй п просто протяженных веJПI'lПН, ыы персilде:н
теперь 1,0 птороиу пз постав;;:rеНИI>lХ выше вопросов, а ПЛIСППО, 1;; ис
следованпIO ЫС'l'ричеСI,ПХ отношений, воююжиых на 1'а1;;О:l1 ЫНОJ,оос,ра3IШ,
1) Нужно IШПОМНИ1Ъ, что У Риыап:t «точка» не есть часть «н:рнвой» и.11и
«поверхности», «кривая» не есть часть «поверхности» и т. д. Вообще, ПО;J: «чаС1ЪЮ»
мноrообразия по"разумеваетсн принадлежащее ему мноrообразие Toro же изме
рения. [Pe!I.]
2) :\Iожпо СI{:tза1'Ь, что Римаи здесь имеет в виду «фуикциона,'lьные MlIoro
образшп: неудобно сказать «фУИI{циоиа.'lьные lIростраиства , так как ЮlрОС1'ран
С1'ВО» у Римаиа имеет БО.11ее узкий смысл, чем в наше время. (См. «1IJIaH иссле
дов:tния».) [Ред.]
О rИПОТЕ3АХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
315
беС1инечно :\-1ae'10e пеРЮ1ещенпе; 01'сюда, в чаСТIIОСТП, I31.ттен:ает, 'ПО,
1\Оl'да все веЛIIЧIIНЫ (lx уве,;rПЧIIваются в одно II то же чrrс.'1О ра;з,
то п ЛIIнейпый элемент (ls уве,:П1чивается во CTOo'1Ь1-:0 а,е ра:з 1). lIрп
СДС.лапш,тх допущепппх .:rппе1tиыЙ элеиент С IOжет быть проJI:J130лыIйй
одиоро..:цюй Фуню\исй первой С1'ОПСШ1 от ВС.Ш1ЧIIП (Т..с, Еоторан но П:J
Ierшетсп, 1,Ol'да все ПС, 1IIЧIIIIЫ dx ыеншот зпакп, п в 1ЮТОрОЙ 1,О:ЗФ
ф1щпенты 5Ш,'1ЯЮТСП IIепреРЫВНI,ПIII ФУ1П,ЦIIП Ш НО.'IПЧПlI ;Х:.
Чтобы ПрИД.'l'II 1{ IIростеЙШII:\-I В03 lOfЕШJП[ С,ПУ'IаП I, 51 СlIача.>Н1 па
хол.;у фор rу.;rу lРН (п l) 1-:paTHO ПРОТШ1.;еНШ.IХ :\-ШО1'ообра:шЙ, OTOTOH
ЩlIХ от пача.'1ЫIОЙ: ТОЧI,И линеt'1II01'О ЭJIЮIeнта повсюду па одно п то а,о
раССТОННIIе, Т. е. пщу непрорывную 2) ФУ1ШЦIIЮ ТОЧЮ1, Еотораа О"l'.тп1
чает 0,.:J,1I0 П3 1'aIЩХ шоrо06ра3IIЙ от ДРУl'OI'О. 'l'а1,ап Функцшт ДО:1fюra
6y.10T во ВСО СТОРОIIl,Т 01' начальной ТОЧЮ1 П:П1 ;У Iопьшатьсп, II,'1II ;YBC
:ШЧIIваТLСП; п преДПО;10fI';У, ЧТО она но все стороны УПО,'1IIЧIIваетсн Н,
:тедоватольно, н сю,lОЙ ТОЧ1{О Iпrоот IIIНlI lУ 1. TOl'.'J:a, еС,Ш1 "l'О.:IЫ,О се
первые н втор[,те ПРОIIаВО:IIlТ,1е н:опеЧIIЫ, дпффереПЦIIа.'1 J1epBOJ'O по
рПДIШ ДО.:тл,;он 06ращатьсн 13 HY, IIJ, а ;lпФФеренцна. 1 1 НТОрО1'О IIОР5Цl,а
110 ЫОlI,ет стаповнтьсп ОТРIIп:ате.'JЬНI,ПI; н преДПО:1ОfТ,У, '11'0 он нсе]'да
I10.'IOf/{п']'е.'1ЫII,IЙ. Это дпфференцпа,'lЫЮО ВJ.траf1.;енпс B1'OPOl'0 JIОРП,'Iт,а
остаетсн ПОС'l'ОНППI.тм, Т{ОТ'",а (ls остается IIОС'l'ОНППI,JЛI, п rю:]растает
в юзадра1'НО I отношонтпr, ттт'да веJПРПТТII,[ (ТоХ' П, c.'1o.'\o в ато,'] Ы1О, 'l'al, l,e
1) iiTY мысль У,;J;ается раСIПиФrюпать, если с;,елать допущение, что I'имап
молчаливо предполаrает, что «ДЛIПIf'Р) линеЙноrо элемента, т. с. расс'rояпнс р ,,113
:между ero I,онечными точка rи Л и J3, удоплетпоряет требованию
Р .113 РАС + РСВ'
Об03ШIЧИМ через F (:х:, ilx) расстояние между ТОЧIИ:\!И х и Х + (l.c; ТOl','\а с:оr.rrаспо
с;,елаП[Ю IУ шзпо преДПОJюженшо, С точностыо ДО вслпчин ВЫСIIIПХ IIopJC1:r-: оп ,
бу:,см иметь:
F (;:с + ох, dx) F (х, (lx).
Отсюда следует при 11, целом
п
F (.1::, 11, (lx) F (х + 1п 1 (lx, (lx) 11 в' (х, (/.1.:),
т l
п ;щльше, по непрерывпости, по;rучается для всех положительных А
F (х, /, (lx) /. F (х, (1.1.').
Точно так же, дальше, И3 требования
Р АВ Р 13А.
пытет,ает:
р (:1.', Ilx) F (.1' (lx, ilx) F (.,;, (/х). [Ред.]
2) «Непрерывнuсть» Риман 3;:J:ecb понп щет в смысле ЭЙлера и, {-::н-: :\южпо
судить на да:rI,не:tiшеI'О Н3Jlожепи>!, представляе'l' рассматриваемую и"I ФУНЮЦПО
разло"r;енпоti в с'rепснпоИ ряд, Об этом "I;e СВИ;:J:етеJlьстпует упоминание (см. He
сIюлыи выше) о коэффипиеитах. [Ред.]
316
Б. РИМАН
п ds уве.личпваются в одно п то же число раз; по:этоыу оно == const . ds 2
и, значпт, ds == 1 BaдpaTHO [Y корню П3 Rсеrда поло:;rП1те.лыюй neJlolt
одпорол:ной фУН1 ЦНИ второй степени величпн dx с КО::}ффИЦIIептюIИ
непрерывныып функцнямп ве.ЛПЧПП х. В частностп, Д.::IЯ прострапстт\,
еС.:rп опреде.:rять по.;rож енпе ТОЧ1 II ПрЯ lОуrО.1Ьны rп КООРДIIнатюш,
мы пмеем: ds == V L(dx)2; пространство, следоватепьно, подпадает по
:этот простеЙmпЙ с.rrучаtt. Случай, который мОжно было бы на.зпа'fЬ
слеДУЮЩ1П[ по простоте, соответстnует ТЮ1 ыноrообразиям, в 1ЮТОРJ,JХ
.:rпнейныtt ::}.:rюrепт представляется n nпде корня чеТlзi:\ртоЙ степепп
П3 дпфферепцпальноrо пыражения четвертой степенп. Исследоваппе
31'01'0 бо.лее общеrо тппа rноrообразий, правда, не потребовало бы
ппеДeIПJП Rаr;:нх .:rпбо существенно нопых ПРИП1Ц1поrз, по снп:заlJО
бы.:rо бl,[ со значпте":rьноЙ ПотереЙ вреыенп п едва .сн Н03ВОЛИ.:rо БJ,[
представнть ученпе о мноrообразиях в особо СI30собраС1НЮ[ оснещеппп;
прнто r результаты пс с ror.ТШ бы быть СфОР 1у.;rиропаны 1'еОЫСТрП'Iес!ш,
По:этщrу я ПОзво.:rяю себе оrраничпться МНОI'00бра3ПЯ П1, Д.ля П:ОТОРI,IХ
.:rпнеЙныit :элю[епт задается IЩI шзадратный Еорень И3 дифферон-
циа.:rьноrо вr,lражения второй степепп.
.J:ифференrщальное выражение расс raтривае lОrо тппа мОжет быть
преобразопarro в друrое выра;.r;:енпе подобноrо тпна, ес.;IП 17. заППси rых
перо rcииых приравнять ню оторым фУНRЦИЯ [ от 17. НОвых незаписrr-
мт,тх пере fенных. По, таювr обра30 1, нет ВОЮlОfIП1ОСТП прообраЗ0ватr,
ВСJCшое дпфференциальное пыражение по псшие: деЙСТRIIТе.лыю, пашо
17.+1
выра:1,ОНПО содера,нт 17."""""2 1,озФФицнентов, яп",яющихся ПРОИ3ПОШ,
ныып фУН1 ЦНЯ:\fП не.заВПС[В1Ы:S: пере fGНПЫХ; при введении же новых
перюrепны:s: мы С [О;1,еы удов.тrеТRОРИТЬ только 17. соотноше:Ш1ЯИ, тщ,
что . rпmъ 17. Rо:эффпцнентов прииут даннне заранее значения. Поэтому
п l
17."""""2 OCTa.тrЬHЫX Rо:эффицпептов зависят от природы исс":rедуе юrо
мноrообразпя, п д.тrя установления Отношений между ниии требуются
п l
еще п"""""2 ФУН1 циil l'ОЧRI1 на мноrообразии.
Те rIIоrообразия, для которых, 1 aK для ППОС1ИСТП II простраПства,
.;rпнеЙНl;lfi :э.;rюrент может быть припеден к виду V (dx)'J, образуют
частный случай изучаЮfЫХ НЮIИ 1ноrообразий; онп, без со [не1ПШ,
заслужппают особоrо наи [еноваrrия п ПОТО 1У 'Я буду мноrообразил,
для 1 OTOpbТX 1 BaдpaT линеЙноrо :Элемента приподится к СУИ [е 1 Ba.
дратов независиыых дифференциалов, назьшать ПЛОСКИ IИ.
ДЛЯ Toro чтобы быо'"lО .;rеrче обозреть существенные особенности
разо:rичных мноrообразий, представи rых в У1,азанной форые, необходимо
устранить особенпости, В03fпшающие И3 форыы представления, что
достпrается над":rежащпы выбором переыенных, совершаемым ПО опре.
де"леннону прппцппу.
о rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
317
2
Именно, вообра3П I, что построена спстема I,ратчайшпх JППIIrН,
выходящих П3 пропзво -тьной начальной 'fочюr; тоrда положепие pac
ШТРIIваю.1ОЙ пеРЮIепноЙ точки определится, если будут уrшзаны
начальное паправлепие r,ратчайшей линии, ,на I,ОТОРОЙ она ,не/юIТ, II
расстояние ое от начальной точки, отсчитывае IOе по этой I,paT'Iatt
шей -тинии; достаточно, следовательно, задать отношенпя велпчпн dxO,
т, е. величин dx R начале кратчайшей лпнии, и длппы 8 этой липип.
Но B leCTO dx 1Ы введе:>! линейные комбинации da, состав -тенпые П3
ннх таюп.1 образт.1, чтобы в начальной точке rшадрат лпнейноrо :э -те
leHTa равнялся cY l Ie IIХ т,вадратов; независимьпшr перемеНПI,епr
1'оrда будут: веJпrчппа 8 п отношенпя величин da; II, наr{опец,
B IecTo da введем такпе пропорцпональные им величпны х 1 , х 2 , . . ., х,р
чтобы сумма нх I,вадратов равнялась 82. После введенпя :этпх пере
leHHblX для бесконечно Iалых значенпй х I,вадрат лппейноrо Э,;1е
ыента ПРlп[ет впд L dx 2 , ПрПЧЮl 'Ыlен с,:тедуroщеrо ПорПl ка будет
п l
однородныи выраженпем степенп от п велп'IПП (Х'l dX 2 Х 2 а,1: 1 ),
(Х 1 dх з Х 3 dx!), . , ., т. е. этот член будет у/ъ:е бесконечно малой Be
личиной четвертоrо порядка. ОТСIOда с,ттедует, что мы получим I,онеч
ную величпну, если раЗДQ.1пrм эту ве,ттпчину на т,вадрат площадп
бесконечно мапоrо треуrольнrша, в вершпнах KOToporo пере lенные
Ir:\rеют значения (О, О, О, .. .), (х 1 , х 2 , Х 3 ' .. .), (dX l1 (lx 2 , dх з , .. .).
Эта величина сохраняет HeTЫ 1eHHOe значенпе, пооr{о,'1ЬКУ веЛИЧПИЫ:1;
п ах содержатся в однпх и тех а,е бпнарных линейных фор шх,
пли же поскольку обе I,ра'rчайшпе -тинип от значенпй О т, значениях[ :!:
п от значений О т, значеНПЯ I (lx .-тежат в однои и TO 1 п,е П '10СЕ:о r
Э,'IЮIенте, и завпсит, с,ттедоватепьно, то,тты,о от местонахождения и
наирав.;тенпя этоrо ЭЛЮ1ента. Она, очевидно, равна HY.'ILO, еслп pac
сиатривае IOе МНОI'ообра:зпе п,-тоское, т. е. ес,тти юзадрю' ,'1Т1неt1иоrо
эле rента прrшодится т, впду L dx'J, п южет ПОТохlУ С,'1У;ЮI1Ъ [ероЙ
1'01'0, hacr-;о,'1ЬКО П[Qrообразие по даННО IУ п..rIOСКОСТПО [У напраН:lеПlIlO
3
ОТI{лопяется o'r П.-тосr,оrо !Ноrообразия, Будучп У:VLНожеrIa па 4"'
она становптся равной той в ,тпrчине, которую 1". Tat\II1,lti совстппr{
raycc назва,'1 lероЙ I,РПВПЗПЫ поверхностп, Уже раньше 61,Т:1О OTx[e
'ЮНО, что д,-тя введеппн rероопределенпн на l1 T,paTHo протя;r,СП![О:lr
:vшоrообразпп, пре,;J;с'rаШП1О 1 в уr-;азанпой выше форме, не06ХОДIl:l!О
п l
задать п ФУIШЦПЙ точкп; ПО:ЭТО IУ, еС:IП в
мера КРПВПЗНl,r, соответствующая r-;а;ЕДО lУ П3
r,aiI-;доtt ТОЧI,е задаотсн
п l
11 п,;rосrЮСТIII,rх Ha
прав,-тенпtt, то ТЮ1 са 1ьпr опредедяются п [етрпчесr,пе отпошения па
IНоrо06разпп. Исr-;,'1ючпте,'1ЫП,ПI представ,'1ЯСТСЯ лпшr, тот сду'шЙ,
IЮ1'да lе ду тера:\1II r-:рпвизны И IеlОТС}l тождеСТl!еПIlые СОО'l'1l0шенпн
318
Б. РИМАН
(что, вообще rОRОрЯ, не п:\!еет :неста). Таюr1f обраЗ01f, на 1fноrообра-
зпях, .lfпнейный lэле1Iепт которт,тх предстаВсlfяется кат, квадраТI!ЫЙ
корень НЗ дпффереuцпа.тrЫI01"0 вr,lраженпя второй степепп, 1rероопре-
;(е,iенпе может быть введепо совершенно иезавпстпю от выбора пере-
1юнпr,тх Rе,if[ЧПП.
По совершенно апа,iоrПЧН01rу пути 1fОЖПО ПТТLI 1': постав.;rепной
Тlе.'ТП н н Т01[ Ссiучае, еС,iП ,;rпнеitный f)."Iеыетп 1[lIоrо06разпп задается
1юпее ПРОСТI,ТЫ выра т.:еППе:\f, папртпюр тз впде I,OPI!H четвертой СТС-
пенп. В :-)'1'ОЛ[ с.тrучае, вообще rоворп, ,тrппеНШ,IЙ зстrелrепт не ЛIOiТ.ст
6 [,l'1'r, ПрIТIJС,',еп 1': ВIцy т\орпя I,вадраТТI01'0 Н3 СУЛIЛfLI KBa;J:paTOB ДlIф-
Фереппла.тrЫ-I1,ТХ ВI,lра:iт\еш[ii:, п в пr,тражеппп д,:rя т.:вадрата ЛlпrеЙПОl'О
:-':телюпта ОТТ\,iОПСНТЮ o'r П.'Тост,:остп было бт,т бестщне'1ПО :lfа.лоii ВС:!I!-
'1IIпоii BTOpOl'O порн;:ща, тоrда у:ат, д.;rя ранее раСС.\IO'1'реппr,тх .\пrо]'()-
06ра;тН опо че'1'вер'1'ОТ-О порядrш. Уыестно 6r,T,;r0 6r,1 стшза'lЪ, 'Т'1'О по-
е.'ТС,'ЩIIС УПОЛ1япутr,[е :'ПТOl'о06ра;зпя ЯfJ.lfЯЮ'1'СЯ «П.iоет,нлпr в беСl\Оl!СЧI!О
лш:rl,IХ '1астнх}). По паlI()о:rес Ш1iRпое с устаноплеlIПОЙ Iш.\пr ТОЧIШ
:1реш 1 п СВОНС'1'ВО :-Y1'IIX ЛIIIOl'ооGралrй, 06УС:lоп.тrпваlOlllее то, поче rу
JIст::тю'пrте.:IЬПО онн ОДПП з;.(ест, IIсе,'Тедуются, 3aJ\.тючае"1'СП в 'ro r, что
:\[С'1'РП'1есшю ОТПОIПенпн в С:Т.)Пfае ДПУ1ч)атной протпжеппостп .,orту-
ст\ают l'еО.\ll'"l'рП'fсст\ое ПС'I'о.'Т1':онаште посреДС'l'ВО.\[ поверхпостеЙ, а n C,;I.\"-
час лrllOl'от.:rа"l'ПОЙ ПРОТЯiI;епностп :\IOrYT 6Т,1ТЬ Сlзедеш,[ т, раССЫО'l'ре-
IlllLO .\lСТРП'ТССКИХ о'rношеНII:i:i на СО,J;еРJт.;ащпхсSI в ПIIХ ПUIJерхпостнх.
I\ 1!ос:[с;ще:\IУ зюrетraппю пеобхоцпЛlО 'rеперь ;,a'l'l, 1lет.;о'rорые EpaTr>:Ile
1I051СIlсrпrп.
3
Прп раСС:\IО'1'ренпп поверхпостеЙ Ссiедует раз.'Тпча'l'Ь ВПУТРСШIIlО
л[е'l'рП'Iсст\не О'l'IIОПIСППП, n r,;oTopr,le входят ,ЛПШh ;рнпы ПУ'1'сii па
салюil ПО!ЗСрХIIОСТП, II о'rношенп.я, хараr\Т0рпзуroщпе нзаП:\fное НОJfOШС-
Пlf0 ПОIJСРХПОС'l'еЙ П ТО'1ет,:, сiежащпх ВIIе пх. 0"1' :iТПХ ПОс.:Iедппх «впсш-
ПIIХ}) отношеппi:t :\IОЖНО ОТ13.;'1е'1I,СЯ с:rедующнлr образо:.r: С'1'ЮЮ [ П3.\IC-
IIП"lЪ понерхнос'rн тат.:, ТI'l'обы Д<'ТППLI с"Iпппй, па нпх ,Тfсжатцпх, остава-
,'ТПСЬ нензлrеппылrп, т. е. тат\, ч'rобы, 6УДУ'IП I,ar.: У1'о;цrо 'П31'пбае.\I1,I,
поверхпостп НС подверт'а::rнст, растяжешrЯЛf п,шr са.;а'rПН:'f, п все но-
П,У'lаеЛ(f,те н рсау.ш,'rа'l'С П3l'поапий О:J;па пз ДРУ1'ОЙ поверхнос'rн пусть
раСС:lla"1'рШJaютен т\а" о;.(пнаl{овые,
Tar\, напрн.\[ер, rцr:fпн,:,рпчесюте IIЛII коничесr.;пе поверхпостп СУЩС-
С'l'в()ппо не ОТЛП'fНЫ от П,lfОСI\ОСТП, тат.: T,ar.: ыот'ут бытr, ПО,ЛУ'ЮП/'! НЗ
П:I0Сl\ос'rн посре,-J;СТI30:lr ;0;,НО1-0 "iишь lIзrпбания, ПРТI'Ie.\[ внутрешше
:llРЧ 1Ir 'Iесюrе отношеНIIН остаются неизыенныыи н все теоре.\fЫ, т.;асаю-
ЩНСС5I этпх отпошений, т. 0. вся IIсiаНП:\fе"1'рПЯ, остаютсн в СIIЛС; па-
п рО'l'IШ, назваппые поверхпос'rп сущеСТl3енно ОТЛII'rны 0'1' сферы, 1-;0-
торую ()ез раСТШI.;енпй нестrьзп пренратп'rь в П."Iоскость. СОl'ласпо ире-
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
319
.J:ыл:уще:\IУ, в I,а:-RДОЙ тотп,е внутреuппе ыетрпчеСЮIе отношеlIlIЯ дваЖ,'IЫ
протяженной нелитш:пы (ес""IП толыш лпнейный эле:\lепт ;\Iожет быть
предстаG""Iен II впде н:вадратноrо IИрНЯ Н3 дпффсреНЦШIЛЫIО1'0 nыpa
жения второй степепп, что и:vrеет :често в случае U013epxIlocTeit) xapal,
терпзуютсп :черой ъ:рпвпзны. ОI азывается, что n слутшс ПОI1С[JХllостеit
это1t 13е.'IП'ППIO :\Ю:-I-':НО дать наl'""Iпдное ПСТО.-:п-.:оваппе: она раIШПСТС}[
ПрОПЗl3е'::IенпIO ;Il3YX I'.'laJ3ULIX н:рпвпзн в раСС:'vlаТрJшае:\юrt TO'IJ<:C; :\IО,ЫJO
тar;шс СI;азать, Т!ТО uропзведеНIIе ее па П.'IОllЩДI, БССl{ОПС'ШО ,la:IOl'()
треJто.'IЫППШ, cocTa13.'leHHOrO из l{рат'rattшнх JIПIIп1t, ра13ШШТСП lI() TO
ВIIне ра,шостп :\1ежду СУ:\I:\IОЙ CI'O У1"НОВ П ;(I1YЛlJI ПРН:\[l,I:\IП :УТ.1а:\IП
(13 ,i,О.'IЯХ ра,'щуса). Первое онреде."IС1ШС подраЗУ:\ЮШl,тro бы ТСОРСНУ:
ПрОПЗ13едсппе l,,'ra13пr,lХ ра,'ЩУСОВ I{РIII1ПЗll\,f ПрII 1I31'нбаШПI ПОВСРХПОСТП
остается аеНЗ:\Ieппr,I:\I; втор ОС ДРУl'УЮ 'rcope:\IY: 11 о,'(ПОЙ ][ той ,I-':C
TO'II{(' ПОI\СрХПОСТП раЗПОС1Ъ :\lежду СУ:\I:\ЮЙ У1'ЛОl1 бесr';Оllt)'IJlO :\lа.'ЮI'О
трсJто;rr,IIlша 1I Д13У:\IЯ ПрП:\IЫ:\ПI Уl"ТШ:\Ш lIРОПОРI(ПО1ш.'ll,llа 11;ЮII(а,'(11
TPCY1'O 1i>111Il{a. Чтобы даТ1, J'eo:\leTplPICCr;QC исто,'шоваппс :\Iepc l;pII
впзны Jt l{ратпо ПРО'l'яа-.:епrIOl'О :\ШОl'ооораЗIJН в ;щшюit 'l'O'Ij{{) OTII<)CII-
TC,'Ii>1IO ,'IюrПОI'О 'Iсрез пес ПРОХОДПIЦ()l'О п.;rОСI{ОI'О :'), IC:\H'llTa, lIY,I{11O
IIСХО,'ЦIТI, пз 1'01'0, '1'1'0 1,ра'r'Iайшап ЛIJППП, ВJ.rХО,'(нщан 113 ,-(<LllllOj[ 1la
тra. I1.поЙ ТО'IЮ1, О.IIре,'(сляе'l'СЯ ПО.'IIIOСТЫО, еС,;П1 уr{азuдо СС lIа'I<1:IЫIOС
направ.'IСIlПС. Отсю.-(а с""IЕ'дует, что :\1bl IIо;rУ'Ш:\I СОВСрШСННО ОПрl','],с
;1СllI1УlО повеРХJIOС'l'l" еСЛII ПРОДОЛ,J-':П:\1 нсе l,ра'l"ШilIПrн) .:IПIНIII, BI.IX(J
,'rЯЩ[J( н;, ,'J,апноЙ TO'.ll{II II П:\lеющне пача.'II.пr,[() папрап"'IСППП, .ilСЖaJl(IН)
в даППО:\1 П.'IОСI,О:\1 Э.'Iе:\1ентс. Эта повеРХlIостr, п:\юс'r 11 ,'(аппоЙ 'l'О'ШС
ОlIрсде.;шпную :\1Cpy r;РII13ПЗНЫ, J,аr,овая 11 eCTI, :\ll'pa l'lJIIl!II3IIЫ п l{paTII(J
ПрОТШRСJПlOI'О :\ШО1'ооGразпя 13 данпоЙ 'l'О'П{С OTlIOCJlTCJII,.lIO ,(aIlILO 1'0
ll:rOC1{Ol'O ;,)лс:\rснта.
4,
IIреfJ,де че:\r ЫЫ C,'(c.'lae:\I ПРП:\lепеппс пашеЙ тсорпп T СJ1У'ШЮ JlP()
странстпа, ПСООХО,'(!1:\1O еще ПЗ""Iожпть рпд соображсппй, I,асаlOЩJlХUН
ООЩСl'О с;r;у'1НП 1I.'10СЮIХ :\IНО1'ообразпЙ, т. е. тar,пх :\IНОJ'ообразпit, ,'rЛЯ
[{OTOPI,I:\: lтадра'1' ,'IIПlеЙНОJ'О ЭЛС:\1ента пре,,!стаВJISIется J3 впде CY:\I:\J[,T
]тa,'rpa'1'OB по;шых , (пффсренцпалов.
В c,'Iy'rae П.'IОСJЮJ'О п I<:paTHo uротяжеНIJОТ'О :\ПIOJ'ообразня мера I;РП
13ПЗIlI,1 13 IШЖДОЙ то'п,е ОТJIOспте.'lr,по :rЮnОI'О папраl\.;rепия равпа ПУ:llО;
COr:raCHO пре,i,шеСТВУЮЩС:llУ IIсс.'Iе,'IОIШПIIЮ, ,'ЩН '1'01'0 'lто()ы MC1'lJII'le
сюю О'l'ношеНIIЯ бы.'lП опреде.'IеJ-J[,l, достаТО'lIIO зпаТI" '11'0 в l{аж,'(ОЙ
п l
то'ше относлте.'IЫ10 п П."IОCI ОСТПЫХ паправлснпЙ (таЮIХ, '1'1'0 COOT
вс'rствующне :\1epl,J J<:рПВПЗПЫ незаНИСП:\1Ы :\Iежду собоЙ) :\1cpa l-':РПВIlЗ'НЫ
ра,Вна JlY.-:110. JНПОl'ооGразпн, дЛП IШТОРЫХ :\1сра НрПВIIЗПЫ ве:це равпа
ну.ло, представляют собой тraстный СЛУ'Iай :\IПОI'ообразнЙ, ,'рн I{OTO
рых :\1epa r;РJШПЗПЫ I3СЮДУ постоянна. Jl.tIПО1'ообразпн с ПОСТОНIl1ЮЙ
320
Е. РИМАН
мерой крпвпзны ыоrут быть хараRтерпзопаны тают..:6 :тем СВОЙСТlJо r,
что фиrуры :vrory'r в них пеРЮ1ещаться бсз растпженпй п сжатпfi.
В сюrо r деле, очевпдпо, что фПl'УРЫ не с rОl'"'IП бы бы'rь как уrодно
перe:vrещае lЫ и вращае:vrLТ в мноrообразип, есо'IИ бы :vrepa КРПЕ3изпы
не оставалась неПЮlенной в l аждой точке по "'Iюбт.rу напраВ"'Iенпю.
С друrой стороны, ыетрическпе отношенпя на мноrообразпп полностью
определяются мсрой I,РПВПЗНЫ; поэтоыу, еслп в одпой точке по Bce !
направлениям ыера кривизны остается той же, что п ВО всякой дpy
rой точке, то во всяь:ой точке иожно ВЫПО"'IТПIТЬ 're :ш:е построенпя,
что п в начальпой точт е, тат, что на ИНОI'ообразпп с постоянной ые-
рой I рИВИЗНЫ фиrуры способны занимать совершенно пропзпольные
положения. Метрпчестпте отношения на таких :vrНОl'ообразпях записят
толыщ от ЧИСЛОВОI'О значения меры I РИВИЗНЫ; по поводу анао'Iитпче
стщrо представленпя я позволю себе за lетить, что, еслп это чпсловое
-значенпе обозпачено через а, выражение ;ря лпнейноrо ЭоlIе:vrента
может быть прпведено к виду
1 V
а dx 2 .
1+4 x2
5
Чтобы дать rеоыетрическую иллюсТрацпю, расс:vroтрп:vr повеРХНОСl'I!
ос постоянной мерой т рпвизны. Леrко убедитьсп, что поверхностп,
у которых кривизна положите"'Iьная, всы'да разворачпваются на сферу,
радиус которой равен единице, дытенной на корень квадратный из
меры крпвизны. Чтобы обозреть всё множество этих поверхностей,
прпдаДИl\I одной из них впд сферы, а остао'Iьньпr впд поверхностей
вращения, которые касаются этой сферы по экватору. Поверхности,
у IЩТОРЫХ :vrepa кривпзны больше, че:Vl у сферы, будут т,асаться сферы
изнутрп и будут и:vrеть татщй втц, т,ат, внешняя (отвернутая от оси)
часть поверхности тора: пх :vюжно было бы развернуты1аa зоны сфер
меньшCl'О радиуса, но при разворачпваНИII они ПОКРЫ"'IИ бы зоны
сфер БО"'Iьше ОДНОI'О раза. Поверхности с :V1ерой крпвпзиы :vreпьше1t,
чем :V1epa н:рпвпзны начао'IЬНОЙ сферы, ПОо'Iучаются, ес"'IП из сфер
БО';1ьшеl'О ра..J;иуса вырезать т,усот" ОI'ранпченпы1t Дl1у:vrя боо'IЬШТТ:VШ
ПОЛУЬ:РУl'а:vпт, II сое..J;ПНПТЬ о'Iпнпи разреза. Поверхность с :vrерой кри-
визны HY,'Ib бу.J:ет цп.:тиндр, ь:асающпйся сферы по ЭRватору. Поверх
ности с отрпцате"'IЬНОЙ :V1epoi:i КрПВIIЗНЫ бу..J;УТ ь:асаться этоrо ЦIИП:н;Jра
извне и и:vrеть таь:ой впд, т,аь: внутренняя (повернутая ь: осп) часть
поверхности тора.
ЕсаII захотп:vr по Bce:vr ::Н'ТП! поверхностя:vr перюrещать 1,УСЮ ио
верхпосте1t (ЫlI, теаа пере:vrещаются в пространстве), то оrщ;.r,ется:, '!то
О I'ИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
321
ДШf всех поверхпостеЙ 1'аШlе пеР lсщеПIIЛ ВО;З IOжпы 6ез раСТЯЖСIfIJЙ
J! с;r,атпtt. lJовеРХНОС'fП с ПО"'Iожпте,ТIЬНОЙ мерой т,рпппюп,т lOiЮЮ IJ;ЗО
rпУТI, ТЮ" что пропзтзо,'!!,ные псре ющеПJIЯ т,устшп поверхностеН C lOf'Y'J'
ПОС.,е :'JToro осущсствляться y T,e 6(';з П31'п6аППii: достаточно pa:jJ)cpl!YTI,
JlХ па СООТJ3еТСТВ.\ОJOщие сфер!,!. Д.:тя поверхностсЙ с ОТРJIцате:JI,I!ОЙ
\Iepoti I\РIШП3П!,[ нто пеВО;l Ю ШIО. TCpO 1C ОТ\lсчеIIпоJi IIСШЫЗJ1СJ1\lOСТI1
КУСН;О13 поверхпостеit от 1I0.,ОiЮ:ШI!Я, в случае потзеРХПОСТII с :мерой
КрПВПЛIЫ пуль H.\ICCT \lесто еще ос0601'0 рода пеJаВПС1ВlОСТТ, панра
R.1теШlii O'f 1I0.1IОiI\СП!IН, че1'0 пет для .'1PYI'IIX повеРХIlостеН.
ПI. ПрИllенепие I щюстрапстн)"
1
у CTaHOНJI,\1 ТСШ=РJJ ус.'lOВIIЯ, J1 обхо,;J;П\[[.н II ,'щстаТО'1111.!С .' ЛН OJ!I)('
де"1fеппя IeTpJI'1CC];IfX отношеппй н пространстве, Прп ;'JTU\I иудсм
ПСХО!(П1Ъ П3 Н;З.'IОiт,еIlПI.[х ВI,Iше обт:IIХ РС3У.1fтлнтов, ]цtсаЮI](I[хел С\юро
опрс!(с.:Н,ШJ!Я J3 lI ],paTJIO НРО'I'НЖСНllоii не.lIl'lJПIС, и ;rОllУСТП\1 Jl( ;ШВII
СТШОСТI, :11ТННН 0'1' JlО.'10i]{еПIIН п npc,'rCTaIJJ1\IO('TI, :11!l1l'iiJlOТ'O ;').Ill',\1l'пта
n HJТ,'(e [;Ba; paTIlOJ'o Т{ОРПП па .'ЩФФСРl'шща,Ш,IIОI'О 1JI,lра;I{СlIIIЯ второЙ
СТСНСВ)!, Т. (', ,;(О!lУ::'Л!\!. 'ITa rrpoC"I'paIJ('.'I'BO {(!l:IOCI;O l! GССJ;О!lР'JПО
\Ш,'IO\!» .
I3o IlepНJ,JX, J;;н,: НС!ll) Н3 l1]Jl\'rЫДУЩСI'U, T]JeG Oe\I].j(' 'ус:roвнн СIЮ;ЩТС51
]; ТШIУ, чтобы чсрн 1 рПВII311j,[ 13 1\аi1{ДОЙ ТОЧl,С O'J'IJOCJlTl'.'!I.][O 'I'P('X 1J:IO
СIюстш,rх паНРШJ:Н'JlI!iI РШJПЯ:lасr, И;V','IЮ. lIo;')'I'O,\!y нужно C'IIITH'I'[" 'j'1'O
\IСр<JоПрС;rс.i1СПJll' 1; lI]1oC'l'palICTHl' ;щдаТIО, ес.,!! УСТНПОН.:j('!lО, 'ITO (';I',\I\IH
T.:ТOB JlСН!\О]'О ТР(';VТО, !l,IIш,а Р,ШIJa ДНУ,\! IJpJI\!i,J\[,
ВО ПТОР!,1Х, C:H','I.\'H Ет,:I1!.'!:V', ,'(OJf.\!C'I'II\!, 'j'I'U IJl' 'I'О:JЫ,О :!lllflIIТ, 110
п теа<1 C}JHCCTIJYlOT lIе;заПI1СЛ\jО от НХ [Н),71Oi"('lIIIН Н JlIЮС'I'раJlСТВ(', от.
ку;(а Н!,['J'l' J{aCT, что \Ie ра T\pJlIJJl311 1 ,[ n ростраlIСТНа. не 10:1,\' ПОСТШIIlШL,
В ТЮ\О\I c.тr;V"1<1C С;-"\!;,Ш ,\Т:IОЛ J: :IЮUО\I ТРСУ1'U:fЫflII\С ОПрР;rl'"'Н',II,t, ('C:I][
OlIpC;rC.;ICJ!H в IЩ(;ОЧ IIПU:V'.'(!, O; I!o\r,
rr Ю,ОПСJr, В'ТР('ТЫТХ, .\IOiЮfO бы.:то \)] ,1, H ICCTO '1'01'0 ЧТО() 1 ,[ :(Oll,\' (' J;HTI,
не;ШI\lН:JJ:\IОСТI, :РПI1I,! .:JIП1пii О'!' \feeTa паправ.:тСIlIISl, :(ОПУСТIIТI, "('3Н
BIICI! IOC"l'" I1Х ;рПJIiJ I! !!arrpaIJ.'Il'JТIIH от \JeC'l'a. ПРТНf5Ш ::YfY '1'о'шу ;Jpe
ШШ, \[1,1 ПРJIХ(J,: II,I т; TO 1Y, что I1РрР\!СJJl:РJII!П пап П3 [СIIШIПП "\Il'e'l'O
110.:.rОЖСПIIП .пВ,:l5потен I\О\IlI:I()J;:СПI,I\IIi ве.:ти'птпа\IП, выраj]\,НН)]]!lI\!ТIС51
'Jер з трп lle::JaBJIC'J!,lI,re е;rIПIПll)J!.
2
И3ZIаJ'ШI Jlр дm стнуlOЩИ() соображения, fbl начаZJП С '1'01'0, 'ITO
отделили отношения протяжепности (пли отпошенпя В3ЮI\IНОI'0 pae
положеппп) от ме'l'рИЧССКИХ отпошеппй, и пришли 1, заI,ЛIOЧ('I!IТЮ,
21 Зак, 1164, Об ОСllопа,шях ,'сомстрнн
322
Б. РИМАН
что при ОДIIИХ И тех же отиошеIIИПХ протпженности i>!Т,1СJIJВfЫ раа.
ЛИ'1lIЫС lIстричеСfП1е отпошеПIIП; зате:\1 уста[[ОВIIЛII спсте:\[[,[ IIpOCTIH
месl'Р[['fеСЮ1Х отношенпЙ, 1{ОТОрЫ:\ТП IlО.;II1ОСТI,Ю Оf[рс; еJшетсп :\ютр[ша
простраlIС"l'l;а п неоБХОД1НfЬп,[ Сс'1сдствне:,! 1Щ1'ОРЫХ Н:J,;[ПЮТСН все тео.
ремы l'eO:\leTpIIII. Остастсп еш:е ВЫ5lСН1l'lЪ, обеспе'П1!;аIOТСП J[П ОП;,IТПОЙ
проверн:оJt UI'П простые ОТПОШСIIПП, II ССс'П1 оGССПС'lIlВarотсн, '1'0 в тш[(ой
степспп п в 1;:arЮ:\f объс:\!С? IcH;:;(Y О'l'I!ОШС1П1Н:\JП ПРОТШI;:еШ1оеТJ[ I!
l\fСТРП'JСШ;Н:\IП отпошеППН:\IИ с ;,)тоЙ то'[[;:п зрсния П:\1естсн сущеСТI!СН'
нос Р:l3с'1П'1пе: IН1СПIIО, IlОС1ЮЛЫ;:У _',(ЛЯ 01'IIОIlIСППЙ llРОТН;,J;:СIIllОСТП В03-
:\IШI;IIO J1IIШЬ ДIIСI{рСТlIое lIпоа.:ес'rво раЗи'1II'ПIfАХ CJIY'laeB, реЗУJII.таты
ОII1,lтпоii НрОВСрШ1 НС :\101'y'r не 61,11Ъ lJполпе ТО'1НЫ:\П1 (ХОТЯ, с лр той
C1'OP01If,[, не :\IOI'YT быть ппоапе достоперИЫ:\III), ТОI'Д?, 1.:ar;: Д,'1Я :\[етрп,
ЧССЮ1Х отношеIIИЙ :\П1О;l;:еСТlJО ПОЗ:\IO,1{ИЫХ Си'1учасв иепреРЫilНО, II IlO'
l'O:\lY реЗУ.'1Lтаты опытной ПрОl;ерЮI непзбежно Ш:)l'О'lI{f,1е, 1..:ar":OI;a бы
ип 61,IJra J;ероятность 1'01'0, что ОIIИ прпби'1l1;КСНIIО ТОЧIIЫ. Это обстон,
l'eJIIJcTBO П:\IСС1' большое зна'1еIIие, 1{О1'да pe'!I, пдет о распростраПСIlIII!
т,НII1РИ'ЮСI":ОТ'О опыта за предеJ1Ы lIеносредстнеИIIО иаUс'IIодаС:\IОl'О
в напршзлеппп неП3:\lCр1НlO БО,'1LШОI'О ПЛII IIеIIЗ:\JерII:\1O :\IaJlOl'O: за ПРС-
дела:\[и непосредственно иаби'1юдае:\IОl'О МСТРИ'lеСЮ1е отпошеПIIН стано.
ВЯ'l'СН нсё менее 1'0ЧНЫ;\fП, чеl'О неЛLЗЯ сr;:азать об отношенпнх про-
l'ЯЖСПIIОСТИ.
lIрп распространении прострапстпеIIНЫХ постросниЙ в направ'тю-
нпп неII3:\fерП:\IО БОЛЫI1ОI'О C<'1c ye'[ 'раЗЛП'laТЬ свойства неOl'раНIIчен'
НОС'l'П II беС1,,:оне'lНОСТП: первое из них есть свойство ПРО1'яжеIIIIОСТП,
второе :\IеТРИ'lСС1ще свойс'rво. 'ro, что пространство есть неOI'рани-
чсппос ТРIIЖ_' LI ПРО1'яженпое :\[НОI'ооGразие, $шлпется )(опущение [,
ПрП1ПВIaе;\IЫ:\I в любой r;ОIП1,СПЦИП l3ПСШIIСI'О мпра; н ПОЛ!IО:\I COI'JIaClIl!
С ЭТП:\J ДОПУЩСНПС;\J оби'1асть 1Н1еШIП1Х ВОСПРИП1'ПЙ постонпно расши-
рястся, IlрОПЗl30дп'rсн l'еО;\IС1'р1РIСС1..:пе построенпн 13 ПОИСЮ1Х тех lIДИ
ИШ,1Х объеl;:ТОВ, и допущенпс НСOl'рarПl'НШНОС1'П ИII разу пс Gr,lJIO
ОПРОIН',РI'ИУТО. Поэто:\[у пеО1'раПII'[енностп простраНСТIЩ сноЙственна
1'ораэ_'(о 60.'1r,шая ;')ЫПИРII'1еСЕая ОСТОПСрПОС1'I" '1С:\1 1{ar;ол[у 6r,1 'ro ни
БI.IJ1О ;(PY1'0:\IY ПрОДУ1":ТУ ВНСШIIСI'О НОСПРПН'l'ПН. По ОТСIO;(а IlIII\ОШ\
образол[ не следует БUС1-:опечпость прос'rРШ1С'l'ва; наlIРОТ1Ш, ССЛII ;(опу.
стп:\[ IIезаШ1СИ:\JОСТЬ тсл от :\[сста пх наХО,1,,'(СППП, Т. С. НрПШ1Ше:\I про.
c'l'paHC'I'HY постопнпую :\lеру I;РПВПЗПЫ, то прп;(етсн )(OIIJ'C'I'IITL 1,ОНСЧ,
ность простраНС1'ва, 1..:al{ бы лraJIa нп БЫи'1а :\Iepa I\р1ШП3Ili>!, J1ПШТ. бы
она бr,rла ПОJlо:а':Иl'ельноЙ. Еслп бы :\[[,[ про;(ои-т;1;:П,;1П 1..:ра'l''!аi'rmпс шшrrи,
1Iaчаи"l1,II1.Ю ll:lпраП,;rснпп lШТОрЫХ лежат в ПС1;:Оl'ОРО:\[ плосrШС'l'llО:\J CJ.'IC-
:\IСП'l'С, 1'0 I10ЛУ'IИJП1 бl.[ пеOl'раПИ'lепную ПОВСрХlIOС'l'Ь С lIOС1'ОНlШОЙ
ПОЛОЖИ'rf лЫIOЙ мерой 1":рИl3IIЗПЫ, т. с. тщ;ую поверХllОС1Ъ, которая
в ПЛОС1{Щ1 трижды протяжеННО:\J МПОl'ообра:зпи приняла бы вид сферы
и, следопате.льно, япляетсн I\онечной.
о rИПОТЕ3АХ, ЛЕЖАЩИХ IJ ОСI ОIJАIIИИ rЕОМf,ТРИI1
323
а
Д,Т[П 06ъпспеппп ЛрПрО,'(J,l ЛОflРОСl,] о Пl'113 lсрп rо 60i'1J,11l0 [ no
просы ЛРftс\/ЩI,:('. Ппft'1С O(.CTOllT Дс.:то с 1 OllpOCa:l1Il о ПСIЕJ:llсrll IО :l1a.:IO:I[.
От тоН ТО'l1rостп, с 1тTOpoit 1ra [ У,ТJ:ас'l'СП прос.т-rс,т[IIТТ, HB:I( I!IfH в (.CCI,O
нr'I1Ю :lra:[O r, СУП[ССТIЮППО ;Jf1,!1I[СПТ НaJПО зпаппс IIРII'пrl!l!I,rх СШlзсtt.
J Т СПQХl1 п IIО:НJftП!IП :llсхаПJlЗ:,lа ппеrIП[Сl'О llrpa, ,'l,OC'l'III'l1y']'r,1C па IlpO
ТЛ;"('1пrп IIОС.'rl';Пllrх c'l'o.'1eT!lii, оuус,'[оп.'1СНI,l IIО'['1'Н ПС1,.'[!()'П!ТС.'11,ПО u,:la
['одар}[ ТО'[[[ОС'l'П 1'01'0 тrОС'l'рООJlПН, 1,O'l'OPOC С'l'а.:ТО В03 IО;ЮЮ п рсзу,Т]ь
татс ОП;Рl.IТIIН ана.'!lтС\а (.OCEOllO'1IfO :IIa;[I,rx п Ifрп rопоппн осповпr,lХ
простr,IХ ПОJlПТlfii, 1,oTopr,ro (.r,I:Ш J31Ю"ОПI.J АРХll:lIОДО:lr, rаЛП,:lеО:l[ п
Пыотонт[ п 1;оторт,r 1П JlО;[Ь:ЗУl'ТСЯ СОПрО lоппап фП;JJша. n тех же
об;1астпх естоствозпаппн, rдо ещо отс ттствуют ОСПОВl!r,10 ПОПНТ!lЯ,
поторт,;о позпо;пr,'111 61.[ ПрOll<ШОСТП апа.IОrIl'IНi.lО ПОСТрООПJlП, 5lВ,ттенпя
с це.т[ыо устаПОП,'10ППП Лр!!чпннr.IХ С13пзсit JlСС:fC),УЮ'l'С51 в простран
CТEeHHO 1 6ССl{опечпо Mft.IOM, 1ШС1ЮЛЫ,О ;:)']'0 ОСУЩССТВ!] IО ПОСРСДСТПОМ
МJШРОС1,ола. IrОЭТО:llУ полрос[,т о IОТр1I'!ССЮIХ ОТПОllIСПП51Х HpOCTpaH
ства в пеJlюrерПlIО I a,'10 [ НО ПРJlпад.:ТС;Ю1Т 1, чпс,-ту n ра;JД1П JX.
ЕСЛJI ДОПУСТП:lr, что те.'1а СУЩОСТВУЮТ позаВJIСJI 1O 0'1' [eCTa пх па
ХОjЕдеНJJ5I, тю, что [epa 1,рпвпзнr,1 ne3;J:0 ПОС'1'ояппа, то па аСТрОJ[О IП
чеСЮ1Х па6,'1юдепнЙ с.педуе'l', что опа нс :l10,1,e1' 6r,r1'[J О'l','1II'ПШ от пу.лн;
I!.:JП, еС.'11! опа О'l'.'1J1чпа от ПУ.i5Т, ТО по lеП1,Пlоit :lrcpo :IIО;Ю1О С1,а;щть,
что часть псеJIсппоii, ДОСТУПJJап те.'1еС1{опюr, JlП'IТО,Ю1а 110 сравпснпю
со сфероЙ то ii ;[,е I,Р1ШП3НЫ. ЕС.,l1 ;'1,0 тю,о['о pO:ra псааВJJСJJ:I10С'lЪ те.л
от leCTa пх паХОЖДОПJJП но отвечаст ДОЙСТВlIТо:rьпостrr, то пз rотрп
чеСЮIХ отношенпй n ()О.'1LПlО [ ПС. Т [L3Н за1,.'1Ю'Ш1'Ь о :lrО'l'РП'lеС1,ПХ отпо
шепппх в 6ескопе'II1О la.IO:Ir: в 1'а1Ю:l[ C;[Y'Iae в 1щ;""оj( 1'о'шо Iepa
ПрПI31тзпы ro,I,ОТ по TpO I паlfрав.;rСПfJН [ п [е1'I, 1;а1,ПО Уl'О.,по 31Н!"[СПIlН,
ЛППlЬ 61,/ П ЦO.'10 [ 1\рПВllaIШ доступпых па rерОПJJЮ частой I!рОС'l'рШ1
ства за [етпо не ОТJ[[[ча.lась 01' пу:rн. Еще 60:1ес ('.IО;Ю[I,rе ('ОО'l'ПОПIО
ппп l! [е..п 6ы ]eCTO, СС:III 6r,1 Ыl,l отка:за.'1ПСL от ;[ОIfУJIl:ОППН о прсл>
статп[остп .;rппсiiпоrо '-).Iе [ента п ППДО 1,BD;rpaTlloT'o ]\ОРПН 1т дпф
ферепцпаJ!LJЮ['О lll,ТРЮ1,СППП второЙ степоп!!. 3 11!J1р1f'[ССЮЮ lfО[[}ПIIЯ,
па 1,OTOPT,lX ОСПОl3ылае1'С н устаПОlз.:rотшс ПрОС1'раПСТlJеппых :llСТрП 'IOC1\I!X
отпопюппrt, lfОIlНТПН ТВОР.'[OI'О то;щ JI CBCTonoro :[уча, - !lОI3ПJ[I! lо rу,
тертот ВСНI\ую 01!родс. reПIЮ('lЪ н БОС1,ОI!С'1ПО "a.'1() [. J [0"'1'0:11 У B1fOJ1He
11,rс,'1П Ю, что :lf01'рll'rос[\по отпотОПIlП простраПС1'l!а в 60С1\ОJJОЧПО
rа.ТЮ 1 пе О'l'IЮ'1аlO1' l'со rС1'РП'[ССl"О[ ;[ОПУП[ОППП:ll; I1.1 :.rСiiстrН['l'l'.'[LПО
;[О;J;ЮIl.r 6r.I,:П[ бr,] l!рПППТЬ это по:ю;"сппо, ОС:[Il бr,l с e1'O l!O:II()ЩЬЮ
бо.;rсс просто ()Ы:IП об'LпспеП[,1 паб'l[()дао [r.те 5!НJIОПШ[.
Вопрос о '1'0:11, спраI30ДJ'1ПШ;[ ан допущеШJЯ 1'СО:llе'l'рl]П 13 (.ОС1\Онечпо
ыаЛО:II, тоспо С13Н3ШI с НОПрОСО [ О ппутрсппей ПРП'IlТПО П031П1ююпения
ИСТрН'IеСЮIХ отношеппН в пространстве. Этот ВОПрОС, 1,тle'JHO, также
21*
324
Ь. РИМЛН
ОТНОСIIТСН т, об. тастr[ У'ТСППП о IJpOCTpaHC'l'BC, JТ "рп раСС\lOтренпп cro
C,'1e; yeT ПРННН'lЪ ВО IJIПl\1аПlJО с; о,'IаIПlое пr,IllIO за\1ечанпе О то", ЧТО
в случае ,т пс"rетнот'о \ШОI'ообра:НIН ПрШIЦПТI \,еТРП'IОСIтх ОТIIоmснпй
еО, (ер;ю!Тсн ул;о в са\IO.\1 ТIOIIНТШI ЭТОl'О \[поrообра:зпн, '1'0[',,<1 !(ак
н с.тrу'шо JIРI[рерЫВНОI'О .\1ПОI'ооБРН3IIН ет'о C.'Ie,' yeT JIСIЩ'IЪ l'ДО ТО 13 цру_
l'ОЧ меет('. О'I'СЮ,'Щ С:1едует, что н.--тп ТО рсn:[ыroе, ЧТО CO 1дaCT ПДСIO
npOCTpal[CTBa, обра:зует дпс!<ретпое .\ПIOI'о06разпе, 1I:1l[ же lI)О,тщо !ТЫ-
'['атьен оGЪНСl1II'lЪ ВО:3Н[I!,попсппе \[еТРП'IеСЮIХ ОТПOJlIСlIпit '!O\[ 'I'O ВПСШ-
НИ\[ СН, Н1\IП снн:!]т, деttСТВУЮЩ[I\ПI на :')ТО ppa;[r,lroe.
1'епrеlтrrс "J"!'ПХ ВОПРОСOIJ .\[O;I;I[{) наДСНТI,СН наiiтп , [Iш[r. в '1'0\[ С:IУ-
чао, ос;п[, IIСХО;(Н IП ШПIС СУЩАС'1'13ующей II IIропеРf'ппott О[[[,]ТОМ
Itorп е 1 П([!1[, ОШlO ШL ЕОТОрО [1 т [(),--тожепа IIr,ютоно.\l, стано\[ 1 [()стспешro
ее СОПСРШ('!l('ТlюпаТI.. РУIЩI\О.: нсr. ФаI,та\lН, EO'l'OpT.I(' (НО ОU'I.нспеПLI
бы'lъ IНJ .\101'У'1'; таЮIО ,;T e l!('c,--теДОIЩИIlН, тH I1ропавс.' еппоо в ШLСТОJ!-
щей работе, П\I()llТIО, 1[\Iсющпе псхо; нr,п[ HYII[;TO [ общпо попнтпя,
спу"[,ат .JIIIШI, .'(:[я 'l'()l'O, 'п061,[ ,'l:I3!IжеПIIЮ Пl!ерс, 11 'Cllexa\[ в позпа
ипп СIШШI вещеЙ lHJ преППТС'l'lюва,;тrт от'раПП'10ППОС'lЪ llOпнтпti п 'KO-
РСШШПШ6СН J[po, r,pacC'Yo]:r,II.
3;т:ес[. \[1.1 CTOI[\[ па ПО!ЮI'() оС.'!<1СТII, пршш:(:те;[,ащеЙ :rРУl'()И пау[(е
ФП:1П[,С. ][ ПОРl'("")'IЩ'I'I. ('1'0 нс , ншт па\т [[Оlю:т:а сеТ'ОДПЯJ[[ш[tt :(еI!I,.
ОЕЗОРI)
11.пап IIсс:ro:(ОIJШПШ
зоg
310
Т, IIопнтпе п T{paTHO протюr,СПllоjt I Н',:ПТ'[J[Пr;r ,)
s 1. IIel[popl>llJтrr,Tc- II "IIСТ,РСТШ,rс \[IIO,T,GCTIJa. ПЫ.:rе.'](ШI[(J 'та.
стеН \[[[();[,l'CTIHL на OCllOl1C Т lJаrIТIIтаТПI3НI,IХ ПР[J;3пft[ЮВ.
1'ft'1;(e. j('IlI[(' ,"'ТС\IТIIН О ПСПРСРI.IВl!I.IХ пе:[П'[I[IIftх па
У'ЮНIЮ
1) об O:(IIII:\. '('O:[I,I\:O ОТIТОIШ'IТППХ rrpOTH;l;:l lТr[OCTI[. [':Т:С I1ре:(
IIO:"tI'alJTCH ][(Чn'НI[сr[\[()СТI. ве:тп'rПII ()'I' нсс','а J[X нахо.
;":(l' ПIIП,
) о .\rl "l']}[Т'IСl'Ю[Х ОТIIOшt\II![НХ. 1','((' :r,O,T,r;:r[() :1.l)J[ 'CJ,a'I'I. 'I',l
Т;ОТ'О po; a ш ;заВlrсп\[ост[, . :\10
2, 06ра:ЮIНtrL11O I[ОШТТlIН НРОС'1'О, ,:(IШ;I;,'т:I.r,
протп;["епТlО['О ,\[ПOl'ооб ра:JПН
1I [ paTIIO
:и 2
:\. Онрсо'(оасппl' ПО:ТО,[,l l!rи, н .\1II()['оо()ра: I11l ПРШЮ:(II'l'СН
1; УI,аааш[ю Т;:ТШП'l'II'1';1'I'IIIШI.IХ ; a[[ТII.lx. С ощеСТlJе![ш,тii
1 [РИ3IШТ;: п '\lCрпооти ,rrrОI'ообра: пн . 312
[) Составлон В. l'ИЬШl!ОМ. СЧJаIIIП11,r IТР(J(;таВЛСIll,I 110 на<.:т<.JШЦСМУ (:(j()рнику.
[Ред,]
2) Раздел 1 ЯВJlяетсн одновре:\!енно RВС;J;епие:\[ I( И<':<':lIедованин ! I]() ana]ysi
situs.
326
Б. РИМУI
:lШТН'IОСIШХ 1I0строешrtt. Сч. \У е i 1, Dic I(lAe clЮ' RiепшпnsсЬеп Fl clle,
1\Н3, rл. 1, 8 -!; П я, 11 S а ()!" f У, C1l"1111clz11gl1 cler I\Iопg'СН]С]ll'е, 1\Н4,
I'Л. VH п YHl l ); I,ОШlеIШ:Шl, COI'aaCIIO I,OTOpoi"i СОl3<jРJlшетсн ШЮ]'[Ja-
НII'IОПlIОО П(),',ра -];,С',НСIIПО JI I:ОIП'IПIУ ' [ пе :\[J,Io;-rптсп я,'I'ОЧПС'I'П'Iесюо[
1{[tJ\: CJICT() la ()'I';J,i:.'II,H:,IX ;1,I[с];реТПI,IХ 1-).:rечеНТОIJ, J[Ч(>.СТОП у Проуера
(l\I<1t]l. Анп., 'J'. 71, 1\)12, C'I'p. \)7) П O Beii,:т (<<ПАЪEJl' cliA пеША (Зl'1I1Н]-
lаgспkl';SО (](Н' :\[аtl)ошНtik», "\1аОl. ZtSC]ll"., '1'. 10, стр. 77). ,:'.[HOJ'oo(ipa-
ЗПО /1 I! !.\IСрОIIПii [[р:пце 1\ОС1'0 xapar:Tc'pIIIYOTCH тро()о:нытА.\1 СУIJ[ССТВО-
Ш11IПН 11 :ШI:lI lIO ():,IIО Шсt'IIIО I'() II J[(>I[pep' ,11>1101'0 ()To()pa I:O IIlrH :\[J[Q]'Ooi)p<tIIIН
(п:н" OC.,II[ т) Bcel'O, ТО 110 1,ря,tiнСii чср( I:a:I::roii ('1'0 :[()стаТО'IllO Ш:lо!t
чаС'I'I[) l]:t ('1[ОТ()лl О 'lIJс:roП:,IХ ;:IHt'lOIIrIii Jl. Imop,TIII<tT ,I'i, H:J:IHIO[I[IIXCH
ВlI)"Т[1П IIIOl'()o()pa :1[51 П:'IIР:'Р ,11311"I)ЛI Ф 'III:I[Ir;[.\[п '1'0'[1:1[, 'l'o:rr,l:o НОС,']А
'J'() 1'0, I:al, 11 ,\1110l'()()()pa :I[II 1311(),-[( па IJO,i[O()IIOI'O р:),'[а I':ООjJ;[!!lrаТПНrl СIIС'I'(1Жl,
ВО IIJIIJ;aт' 1\О::лlO l"lОСТI, ;[<1П, 'r1JC:IOII[,JC, хл])аl;ТС])IIС'l'JН{J[ IJе:rП'IJ!II,1,\l, свп-
З<1lll[I,[Ч С лшо]'оо()ра II[('Ч. ] [jЮIПВО:IJ,IIоп'r, B:,I()O])a ],оор,lЛ[ШТlIоii СlI С'l'Юl 1,1
O()YC:IO II,'[J] тtC'TCH 1I: I;O:) ii «тuорпеii. ПШЩРlIН:IТО 13», Прl 1 'r('ч ;ЦС;СI, П:',I('е-1'СН
п 1\[[,'-[.\0 НI!1И1j111<11['l'НООТI, OTIIO(:[['I',,:rl,I[() ]1 р()п 1IЗ0,:rr,II;,IХ II;Щ][\lllО (ЦllO-
3!Ш'JJI"IХ П 1Тr'IIРС'РI,IJjJI',IХ OTo()pa,i,eIIIJii. IIpe:I;,y: Iзсеl'О, 1I!,IIXO;[IITCH :[Oj;;t-
;за'IЪ, '11'0 са\1O 'I1rc:[o IJ \\I"]k'II;[ii /1, III:[\[::T<'::[ Пl[;рtjJ![<1IIТlI ,1\1, HII,t'IC
ПОННТП ЧIН . I:L If J.\r('p: 'II!li[ IJ(): IrCa/ 'l' в но ;,'l\Se. ;+1'0 r l()[ (t aTC,'[!)("T:30 (jJJ!,l[Q
ПРО:;С;[UIIО JJроуе])оч ( laL]). ),)111., 'j'. 7(), 1 Ill, ОТ]). l(i1 Н;'-), C,\I. ']'>11""А
Т. 72, 1\)12, отр. '-), ) jli). : :ш ,:[<1:[ЫI:'iiIIJIIХ lICC:[(';IO:;HllIlii l']] лllЫI 3
1I ';];lIO, ],01I:1'1I!O, П]):' lI!О:IОll;IПI" 'ПО 1I CII:[.\O ]IП,)"I'РРI!1I1[Х CBOi[CTIJ :\11101'0-
oGp,tJl]\[ CI1}J:II, :\[(j',r,',y Д:ЗУ,I:I :1IO()[,Iл!II ВО "IO;r"!',i III [{()ОР;I[[lIаТ!lJ,Щ![
C[[(;'i',),la lJ] ВI,lр:r I;аLO'l'СП Ф 'IIю,Il}лrп, ],OTOP"IO ]Ю ТО:[Ы:О саЧl1 lILOl[PG-
])1,111111,1, ][0 1I JП[LOIOТ IIОПРОР;,НJП:,Ю П11ОП,ШО;[IIf,10 II BC;, 'T 1;0 13;ЩlrШIО
0:[11 ();Иlа'1 III ,1 :\1 :[ 1 [I[(',ji II: ,1.\1 СООТП() ПJО НI! НЛ[ че:к'[у , ,ТIфф('РО[]j [Ш1,;rал; Il I,ООР-
ДПШ1'l' 11 pa',),ilJI'IIII,!X СIlСТUлlя,х; в J1рОТIIilIIОл[ C:[ "тC IIU.'[],;;H 61,1,;10
61,1 BO()()II[C ]'ОlЮ])IIтr, О ,'п[псij1ll,IХ :-);rС IОIIтах. lIрп таЮ1Х УСJIOIШПХ
ПlIIЩРШllI'l'IIOСТI, 'lПС:Ш 1Плluр 'rшii CT<1I!OI!JIl'CH О'IOI![[;щоii; ФУIIК-
ЦI [() Шl-тrr,Пi ,lе ,'((Н'Ср ,1 1 [шtJIТ],f [,()() Р :J:lIпа ['1] _,[Х трап!'(I)i) рлщ; [I[ ii О'l':III'IIIЫ
01' ПУ,;Ш,
Ашr.:l()i'I['[lroе I1\IСЮ:I[LO:',[ ОСН у РПлШIШ Р I, ОРР()IIТlI(Ю OIIP ;[(),:rCIlI[G
ЧПС:1а ][';л['\РОl!lIit, ()'),'1()() IIсСl':!, П:,IIОCJ 'I()\[ «аР:Iф:\Ю l'I['[eUI,()l1» опрс;,е:rе-
НПС, ОСПОlI<llIп()е на C'[LO'l'(c! I;ООР:J,JIlШТ, ():,]:[() JIpe,: ,'IO I;I'IIO А. Нуаш,аре
(l uv1Н (10 J)н\tя,Р]lуsi(lJ.l( et (1(> ]\]01'а1(>, 1\)12, C'I'P, .J,S() -!S7); СВП;I],
1\iC J,:J,Y '-)'!'п,[ (lIа'[:Il ,I,я,[I,II.\1 о()ра юл[ У'1'О'lнеl[l]:,IЧ) «f1С'l'ествеППI,В[» ПОШ[-
ТIIСл1 '1IIC.:Ia П,;ЧОРСlrllii п спОТIIА'l'СТНУЮЩIП[ арrrф\lе'I'П'I()О!;II.\[ ПОlIНТ1Шл1
61,IШ1 J)(;СЛс;,ОIЩIШ Проусроч (JOlll'll. f. й. ]"('iJ1( 11. ang. ;'Iat]I., т. 142,
СТр. H(; 1,)2).
2. (1-;: '1ас'1']] II, 1.) : опущспrIС, 'ПО (ls ест!, ЮШ. lря,ТП'1ССIШН ,'щф-
ФСРСПI,lш:н,нан фОр Ia, О'IeIIП;,по, СIЗО,l!П'СП I, 1'0:\1Y, ЧТО В Gccr,:o-
1l0'lHO rа.;1Ол[ ;,О:l I{JШ GI,пr, СI1рaJJс,:r:1Пi3я, 'rеорелШ Ппфat'ора. 3то )[опу-
пIспнс 11С '1'ОЛЫ';О простеЙшес па J30;3:\10 I,Пi,IХ, по, ],:роче 1'0]'0, на всех
дру]'пх ВI,]де.:rпuт(;н совершенно осооеНШД1 06pa:Jo.\1. ЕС;П1, с.;rсдуя
Рп [аJIУ, нреДIIОЛО,IОI.\[, ЧТО JНIпеЙIIl,lе э-тrе"IOПТI,I ]j(JлreРПНI,I, ТО :lIOPO-
опрелеJ1сппе, у<':тапаl!JIIшаечоо в н:а,I,:J,ОЙ то'н,е l' пашеl'О ЫПОI'006ра:шя,
заI,,:rю'шс'1'СЯ 13 '1'0.\1, 'ПО ]Ш l,,'J,ОЧУ JПIIШЙПО 1У :;)JJ():нщrту (с l\:омпонен-
1) Имеется русский перевод: Ф. Х а у с Д о р ф, Теория множеств, 1937, rлавы VI
и VII. [Ред,].
328
Б. РИМАН
:меппо состоит П3 всех лппеll.пых траНСфОР:\lациЙ, юуrОРI,[('\ остав.ЛШОТ
ипварНaII'l'поtl: ПСIЩТОРУЮ ПО"ОfЮ['1'еаЫIУЮ I,Ba \pa'['I1'[eCJ,YIO фор [у lis 2 ,
Таь:пы 0()pa30 1, '1'рСUО13аПJIС ВОДВI[fl,НОСТI1 н uеСIюпеЧJIО ra,ло [ Jшест
слеДСТВIlе l то, '!ТО 1) ;I1JHei111f>le :');ш)[ентп J3 'l'ОЧI{е О сраВПIПIЫ меж::\у
собоЙ п 2) Д,ПН пх l\JIIJHI.1 rls осуществляется теорю[а lIпфю'ора.
Совсем I1[Joe рршеПIIА про6. IС [f,1 пространства, 'у'ПI'l'l,шающее новую
СIlТУШrlLЮ, СО J;ЩШ[УЮ тсорисЙ ОТJIОСIIТСЛI,ПОСТII, бы.по дано ВеЙ;IС !,
СЛl. н :-)']'оЙ с шып е 1'0 !l:OI,Jra , «[)а" Наlll11 pl'O Ыеl11», 130СПРОII шеДСj[[[J,ljj
в Jalll'csbel'icllt й. Dtscll. ::\iatll, Y01'eilljg'lll1g', 1\)23, п, да,iюе, Math,
Z;tscll1'., т. 12, 1922, C'l'p. 11-+, а таЮl,е II JДаппыс J. SРl'il1g'l l"(Щ JICJЩlJIl
«Matlj('т а tisclle Аl1аl yso des н'аlll1ЧН'О bl<cJlllS».
Т'РОЛIG'I'Р!РJ('СI П<cJ IJСС,'Jе;J:ОIШlJllН н П[JlJUТIJ<lIIСТI,Ш:\. с J 11>01 ПIЮ,iП,lfI,Ш
[н С.\[ЫС;Iе фОр lУJlI>[ (1)] ыеРООIlре;I,е.;[('IIШ'ЛI в Iт;J,;\ОЙ 'J'О'П:С UI,[;Ш
н ПОСJ[С,'\пее н ре:шr пронедепы ФШIС;JеРОЛl (<< LJbel' Kll1'Ven lllнl 1;1 ;cl1rl\
il1 allg'el1lr:inr>n R' П1ШШ», G'ott., l\Jlt)).
:\. (1-1: 'ШСТJ! 11, 2.) Пусть ;ПIш..НlIыi1: :').;[e tel['l' онрс,! е.iшетс}[ СООТ-
НОПI<1Пrтс [ 1)
118'2 == п il< C!.l'; (/.1:1<
(п ki == П и),
(:{)
I JlаССП'Н'СJ,l1е )lеТОд[,r наРJнtJ\IIО1ПII)]'() псчпс.-тСПП51 ПО ШОс'lШО'l' ПОJrУ'Ш'IЪ
YC;101:Jle '1'01'0, '11'0 П1ШОТОрШ[ ;lПJlJIП ,1:; == ,х.'; (в), СОl'..:\JlПНЮ[JЩН ДШШI.lC
'I'ОЧШ[ "1, 1З 1ШJflРJ'О 11[()I'ооGра,шя, по сраUlJЮlПЮ с ДРУПШJ[, ТШ,;I,U
сое;ЛllJЛ I()JI\J1 [l1 ;';'1'11 точшr, п ]]рпто [ ;J,ОСТШl'О'lПО UJl11dJ,jJ lj[ J{ IHH;C ШIТ ,
рrшае;;lоil, 5111;ТН6'1'СИ I,ра'I"Н1ЙшеЙ ПJпr по lенъшеii Tepc ()G;ra ',>tJ()щ('!t
своЙство [ стar\IJОJШРПОСТJJ (H leeTCH 13 впду оGращешю н ну.'1l> верно!\
парНafОШ). Это УСZI0нпе вы раашеТС5I у раш[еJlПП Ш
1/ ( C/Xj ) 1 fJilo tl.T I/X
"7[; П ij '([;; == :.\ их i "J;' .
(-1)
3ДРСТ> )lЫ ДОПУСI,ае:\f, что в 1,a'feC'l'Be пара)lетра s в:штн, '",rПШ1 ;,YJ'II
н:рпноi[, ОТС'ПJ'l'I,1 вае [аП 0'1' пеr,отороЙ оп lHo де.1.е][]]оЙ точюr, 1JЛ]] Ж('
НСс'111'ШШ1, еЙ ПРОПОРЦJJопа.'1ыraн; таШJ l 06ра:зо [ па r,РJJВОЙ [ТШJ(, ВIlРО-
'le [, CJ[C)\yeT JШ (-+)] Л[I,r ][ [ee l:
I!Х',: (7,1'1< ,
iJ il< J-;; ""JS COl1 t.
(5)
Леван час'rь уравнснпн (-+) равпа
J,q '" 17х" 17.T . . r}!:Xj
ИХ 1/8 '/8 + П,) 1/83 .
ПсреlIССС [ первыЙ ЧJlеп вправо п пведе [ для СОI,ращеппн тап: па:Н,f'
ваемые «ППДСI,СЫ ХрпстоффРлн», т. е. ве,ЛПЧJJПI.[
( u,q,:o, ...t D[li ug" ) == 1'. ,
U.,V I (i.1 Ct иXi '1, ct::)'
1) Подразумеваетсн суммирование по парам 11l1деь:сов, в данном случае, ШЫljШ-
мер, по ИllдеI{СЮL i 11 k; 8ТО услошю осво60ждае'1' O'l' необхоДимо(:ти MHOI'OI{paTHO
выписывать 3IIЮОI CY IM.
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
329
1 ,;
и TaIOKe не.тIИ'ПIПЫ ,,1, связанпые С IПВН[ О, ЦЮЗIП1'[[[О с()()'['[[ошеIIIIЯМП
l ' 1 ,}
i," ==fJij " .
1'ОI'да IloaY'larOTCH С;]('i(УЮIl\Пl' ураВIIОIIПП «I'СО: СЗlJ'J('СJ":ОЙ .;ПIIll!П»:
(12 x , ,(7х (/:1'
+ r'? == u ( Н )
(182 ";, (/8 (/" .
У потрс6JJНСЫI,IC РIl:Ш1IIО [ «J t'lIтрnаы[/,I(\ J ()ор,'J,IпIaты> 13 11 lJон;то;п"
ноЙ то'шс О (он IIХ ОU03Jш'raет 'lерез J.'!, ,Х':], .." :.t' n ) TCI/(,pl, ,\IOI'Y'I' (j[,IT[,
ВВС;(СШ,I СJIСДУЮЩIВI обра;ю r. llycТI, Zi Ю1ЮIС .\"I'(ЦlJO ! ООРДIIJШТI,I,
обращаruЩIIОСН в п.)'.:II, н то'тс О. 'l\п: T aт..: IJ()СР('; СТI:(Ш 1J[1I('iilюj[
траIlСфОР ШII][1I .ПlOuан ПО.;Ю;I":J[ТС;lыraн Евадра'I'Il'lССШIЯ фОIJ Щ ][СIЮНО'
ДIlТСП В «еДIIIlIlЧlIУЮ» фОр.'.l'у с l;o;-)(IН(JIп ][еll'П'L\III
0, / . == { 1
(, U
(i == /.;),
(! ос!с. k),
ТО ЮjЮIO ;,арапсс прс"ПО'-Ю;I":IIТI" что 13 TO'H e () I":О;')ффIII(II('/I'I'I,1 .'iik
.11I1IсtiПОI'0 :').;JСЫСIIта (:3) IIIJJ];I1I ralO'l' :JHa'Il'III1C (,i/" TaI": что н ; )ToH ТU'Шl'
ds 2 == (l,?i. Удов.пстворшощан \'раВIIСТlНН.'.1 (U) J'СО:JJ':JII'!('Сlша .IIlIIIIH
с Ш1'Щ,:IO 1 в 'J'о'ще () (ПУС'J'I, ,? == О прп 8 == О) О;J,II():JIШ'JIIО ОlljЮ;\С.ШIстса
на'Ш.'II,[[[,I.'.1 I [ ;JIlа'[СПIОI \111 J[ рОI l:тО,'(ПL[Х
( (7 i ) i.
(;'". o .,.
ПУСТI, сс IНtРn\IС'l'fJП'Н'СJ,,:ое прсдстаlз.'1СlПЮ II [(Ч;'I' ВIIД
,Zi == ' i (s; 1, ;2, . . ., n).
Лт'т,о устаIIО]Jl['lЪ, '[ТО ФУIШJ(IIII ' i ;:аВIIСЯ'l' 'J'O.IT,I":O от проп;тlЦСНIIИ
8;1, S;2, ., 8 п:
2:i == 9-i (.\';1, .\,;'2, . . ., S п).
ЦсптраJ[LIН,IС 1 ()Ul),'\IJJra'l'I,1 .Х'; НО3НIII,ают П:1 пеРВOIIa'lа.:rЫII,lХ l":Oop,' II
пат Zi ПОСрС,' ство"\r ТРaJlс(lЮР.'.lацпп
Zi == i (.1'1' .'1'2, . . ., а: n ).
3тн цснтрn.пЫII,re I;ООр,'\IПШТJ,1 06итrа;J:аЮ'l' Te ! o'J';I1['JlI'J'C;[I,IlI,l.\I евой
СТВО;\[, что прп ПХ ПСПО.тrI,;юваППII ';ПIllсЙные фуптЦIП нср('ыс][поft s
Xi == is,
(7)
каlщвr,1 61,1 IIII бr;r;rПI постоянные i, удов;ютнортот УРtШ IJCIIПJI r (б)
2 2
И (U). ДJIН ПIIХ IH II Jсюr ТaI,же n ТОЧJ;С о: cls == L.. (/.x';. 1I0:,)то\ту,
. .....1 '2
IIОДЧППШI J3 да.пьнеЙПIе I l[ОСТОЛIIПЫС Е' УСJ1ОВIIЮ kJ ( ') == 1, II ,1 y6l
ДIШСJI, ЧТО ПРII подс'танонт..:е (7) выражение Yi1,;i;" станоВ![тся lIС;ЩВП
СШII,LЫ от s, а IПICППО, раIШ[,I I 1 (IШI": дас'l' ПОДСТf1JIOlJI\а s == О); II,
кршн; '1'01'0,
1 1i л 0
Q:t::C;", .
(8)
ТаЮI [ 06раао\[, ПОитrУ'Jаются тож;\сства ОТПОСIIТl'.7IЫIO 13СЛП'IИП Х
r iX.X1 == о;
, ,
gi1,X i X" == .T ;
(н')
(О)
на них мы тсперь выведем неIЮТОрЫС слсдствпя.
330
Б. РИМАН
PaBGIICTHY (8') МОЖНО прпдать I3пд
r i . a XaX === О
ПЛИ
Тю I aI
( 1 ap, 1 п g o } ) ,
) Х' o
и.и.. (iX, "а: i3 .
(10)
(J q 'o iJx
. I' t
()х, :7: === ОХ, {Ji?'
I'де НО<1JОЖСJ[О
,
'?::i === !J;i'C j '
'ro JIСВШl 'П1С'JЪ (10) раlJпа
( ПХ'. \ 1 ( пх' )
, , ) а ,
:l' X X X,
И.1:а. 'и. 'i UXt о: 2
ау; 1 ( iJx: , )
== X :X' Х, ==:
CX'J. о: 2 {):l'i r.J. +
Ох', О (х;.Т,)
X
()Xr:r. ''1. ()Xi
НО ВСJIСДСТJ>ТIС (Н) X "" === X , ][ ТШ, ыr.т ПО;IУ'JaС:\[:
О,п; п (.1'; х;)
'JX" 'X"I, .1:,; === U,l', Ха. === О.
в uреДIЮJI0JI\(,ШНII, 'ПО );;,IПО IiН'IШ 110ДС'J'UIlОIНШ (7), отсюда CJIC;,YCT:
(l (х', х')
, ' == о
(/;; ,
п TaI I{Ю: раШIОСТI, Xi Xi оuращаетсн в Н,рн. ПРII s===o, то :lIЫ при-
ХОДIIМ I{ П pOCT'O [y ;ШI\.'IJO 'J(ШJ ПО, что ДОЛЖНО IП:СТЬ Mee'ro ТОЖJ,ССТВО
х'. === О. Х === Х '.
2'7. о: 1.
(11)
Дадео, диффсренцнроваппс по X k даот:
п q ' ,
X ===о, o '
UXk а. .k ./,.
(12)
СдедопатедыIO, JI,тап часть СII I IСТрПЧlra OTHOCIITeJILI10 i и ":
Ogi', п.'Jka
X === X.
r)Xk' их,'
(13)
у мпожап ОТIIошенне (12) па x k ИJIИ xi И СУ:\11\ПIРУЯ по k пли , полу-
чим, ПСIIОЛЬ:Jовав еще раз (11):
()q.
xx===o
иx а '
Dga
их. x,x === о.
,
(14)
(14')
ТаIШМ образом, исходное равенство (10) распадается на две состав.
ные части.
о rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВ,-\IIИИ rEOME rрии
ЗЗ1
РаСС:\!ОТрП I TeIIcpT, стспсшню ра:З,'IОfI,сппе I;n:'JффIпщспта rJik OI;n.-ТО
ТОЧЮI о:
rJik === 0i', + ('iI,. oT + Сп,. o)Т..:.c + . . ,
.. , iJ.rJ;k
Здесь Cik. о ССIЪ эпаТIСПIiе ПСрI;ОIl IIрОII:3I;ОДПOJi , n 2с;". O:j :;Ila'lC
iJ З , / , . ,J,<'a,'
.. ..' ,1. () 1 )
нпо ПТОрО!l ПрnТI;)Rn '(НОП ) " в Тn'П:О . II I;lП YTIJOp,I,}(HCT, !I PC;:;,'IC
( Ха, ",<'з
IJCel'O, 'П'n Ч:IСПi,I l!CPrJI,IX. с'т'сiIспсii оGрнщаlOТСН IJ НУ,"!!,. :')тn C::(';( 'e'l'
II3 СОотнотпопrrп (l.t / ): СС:IП ПО.'IО'.I,П Т IJ ПО ,т ;f'i === i8 П УIlII'I'I'О;ЮI I IIlO
ЖПТС,'1L s:\ то ПО,'IУ'IТI,\[ ТО,I,;J;СС'ПJO ОТПОСIIТС:II,Пn s
nrJ., i3 " .0
;0,;.' === о.
().<'с:
Отсюда нрп s === О RТ>IТСIШОТ Tpc6YC',[l,IH PC:1Y;IM'aT, '1'. с. оGРНЩСIПIО
(1'1, з
IJ НУ,'1Ь ПрOII:НJO,'(Пr.rх. П тО'П,С О, тат, I:НI, IIРОН:НJО:ТТ,П;,IС ЧIIС;IН.
(I,,(;/.
ДпФФсрспп.прун ПРС,'(],IДУЩСО TO;J':ICCTI30 ПО s п ПО:Jю'й:r S =с= О, IIO;IY
чаЮI ;Щ.:IЫlоiiшсе СООТПОШСIIIIО
C; I' r;i + C (rJ., i + C ), 'i === о.
ТаЮI:\! ;т-:о оGра;Ю I, nПОРНРУЯ С (14), II,I НрII,'(С:Н 1-: СООТПОIIIСIIТТI()
Ci,. ,+ Ci," ,..+ Ci{. O === О.
(и))
Поростап:нтп :1,'(('01', IIП,'(СI,СI.I 1; П "'( I! ВI.I'ппап Пn,'IУ'IСIП[()С CnnTII()TII()11 по
пз ПрОДШОСТПУЮЩСl'О, бу;(с , II,\IC'l'I., шн;стСI(, СОО1'ПОШСlше СП.\ше'l'I>lШ:
('и , IJ ::::::::= Ca , il '
(1 О)
в СТОIICПНО I ра:1,Jn;Т,ОППП (Js2 C()f)<1I;yrTIIn('TI, Ч:IOIIОВ НJ'.:IСIЮI'О ПОРП,'ща
шreет 1Ш;,
[О] === ([.1:7;
ЧЛСПJ,J ПОрIJOI'(j IIOpHllI{a UТС "l'СТI1УШТ; Ч';IСIIТ,I НТnрOl'О IЮj>н;\:;а oC;pa
ЗУЮ'l' (IЮРоIУ
[2] ==с Си,. ")T":1.' ([.J'i ilx", (17)
FП:lfап утверждает, да,поо, '!то [2] ПРОllстаП,JI10Т со()nа Iта,'\]JаТП'II'С'I,УЮ
фор\!у IiC.'1II'lПП x i il,r" х" il.ri' У O'::IOI3IBIC П ра;(II СЛ;IШnО() ра::и н о()();ша
Ча1Ъ Gосr;опочно lа'::Iые ВО.'1ПЧППЫ X i чорез Xi; T01' '\a УIIШI н НУ'1'! .IO
ВОЛIIЧППТ,I
OXi dx" ох" dXi === J"i"
( 18)
.яВЛЯЮТСI1 по TI0 1 IIПI,ВI, I-:аI «I-:О IIIOпеIIта III» П';InСI\ОI'О (пара,;[,7Il'ЛО
I'ра 1 IOобразнOI'0) ;') ,'1 О \IO нта, ПОСТрООПНОl'О п 'l'о'шо () па .ПIIпоJ11II.тх :'тe
мептах С I,О IпонеН'l'а.\!и (;X i п (lx i . I-i:вадраТП'IОСН:УЮ фОр IУ ПОРО IОIIIII,IХ
!lx ik МОЖПО записать ОДНII I п толы-:о однп.\! опосоGО:\I В IШДО
1
:;'2 === 4 Ноо . !lx oi :rv ,
'1)' j -1 I
(19
приче I I{оэффпцпеНТ1>I В ПОДЧIIпепы ДОПО,'1ппто '1Ь HЫ ! услотIН I
B ... T === л, .,о, H..p., === В.. р , 13,; Л,/J,..? === П.. р . ,/J; } (20)
B i .. g; + Пi , ,О + H iy , .., === о.
332
13. РИМАН
Чтобr.I прпвестп [2] I это rу DIЩУ, нюr нужны соотношепия (15}
п (16); n ca TO [ дe. [e, на осповаШIП CJ1'ПХ СООТПОlI!еппit rожпо за lC
ПП1Ъ C-ik," 'торе:)
:2 1 ( 1
Т Cik."? I I 3" «('ik. О? + С ": . ik)'
1 } { + (C io , ;11'+ ci . ".J.
+ т Си... o: I I
J
}t();(С'l'ав,шш в (17) нто Вf,lраir,сшю Д.;1}! IИ:'Jффпцпепта ('il", o ' i\IОЖ!{()
е1ЦС н 1'pO"'Ы: ! 'l.'rепе Cio "О IIl'pCCTaBII'J'[, пнден:сы 1: п 1,:. ] l'1'a1\:, еС.1[[1
МЫ I!ОС1'роrПI ][0 фор rу, rc' (i !) фор:\'у 1:;2 С 1{0;'Н!)()11ЩПСП'J'ЮШ
l/'J. , "(;) ==== ('r:r.'(I ;iO + (";1i) , '1'( (") ' ;"( С;з"(, '1.0'
(:21)
J,OT0!JI.IC' .\ , \ОIJ:[еТIЮРНЮТ 'С;IОППН [ (20), 'J'O ПО.'IУ'Il[ l:
[ '> ] 1 А
,.. T.:.l.J .
в I10C Jc. \l!ec HpP ' н BO;3IlIJI{,'IO О'IСПТ. еСТССТПl'IП[()С rr ПaI'.'IНДПОС T'eo
:\[еТРП'18СIЮО пре,т\стаlз.'IОШЮ Рlшаново1l ЕjНТШI:JН!.r, 1:0'1'орое СВП31.шастсн
С 6eUEOIIC'IJJO .\1[1,.'[1.1:\1' IIара, r.'IC,:rr .IILП[ пере rеIЦСПllе [ HC1,'1'0POB п рТВШ
ПОIЮ:\[ i\1lI01'оо6разrrrr. П('СЕОПО'llrо Ja.'Ioe вращеппе, т-:оторо:\ту ПОДI3ер
l'aC'l'CH R01i:TOjJHOC TC. [O В 'J'О'Ш(', О I1РII пара.:r.:lе:IЫIO [ ПСРО lСJЦСШ[[l
ВОН;РУ l' II;IOCJ,Ol'O :,):re юпта (CC. IIl ;\'с.:roНТI:IIСП 06031lа 'laTI, черо:з 11; == (1;i)
В03IШIШIOЩС'С IIрН :Л'О [ JlрпrаЩСJJl!С ВОТ,'1'ора :t; С r-:О:\IПOJIt)JlТЮIII -i), nыpa
;Ю1СТСП (!ЮР IУ.'J()ii
..l i == 1/. ';.1'.
... , ,
JlрпращсlТПН /1/{ IIО;Щ13ПСIIШ,1 ОТ вю,тора :1;, НО заШIСПТ , шпсiiJIО от I,O I,
IЮI!СП'l' /).;('ц, 06XO}l,II '01'0 П,'10С1,оr'о :'J.'[Сi\lсп','а:
i 1 i
/11' k == 2 H!;," 1.1'" .
ИСХО:\Н 113 т'пх (',ооGрашеШIi1, п.! Прl!ХОДIl l Т, СОО'1'ПОlllе[ПI5I:\t:
( д1' , iЛ' )
f:J. .') 'r' 'J. Р f:J. 1Р
П""О== I d +(rporiv ro'(I'1.;)'
I . (Х'( X(j 1', I
(22)
Отсю_'\а с,:н';\уеТ, 'ПО фо р ш /1:;2 С l-:ОЭффlIJ [[СII'l'ЮIП
Ha,i, '(О == порпР , '(о
(22')
ППJIJIСТСЯ JIпварllаптио.tl. ТЮ, IШI, ее r,оэффпцпептт.I R прп ПСПОЛТ,;Ю
паппп Ц СпТ l1 а ,тrЫIJ,IХ I,оордпнат (ПрП'Iе r перш,1C ПрОП3I30ДIIlАе нели'шп gik
оGраЩ:1Ю1'СН в ПУ;IЬ в раСС:\Jaтрппа( lоit то'ше И) ПрППП ШlOт НПД (21),
1'0 ca'la :')1':1 фор т ТОЖ;J:естнеппа С рrВIЮIОВОЙ фориоЙ Ь:РПВП3IlЫ.
I{:вадрН'l' II IOща; п ()ссь:опе'rио ),ШЛ01'О парал.iе.:rОl'рюнra, ПОС1'роенноrо
па JшпеЙпr,IХ Э,'Iс [ептах о п (1 (Ри raн l'оворпт пс о пара.:r.тrеЛ01'ра ше,
'1 о тре;)ТОЛЫIIше), таЮ1,е представ.'IЛСТСЯ в ВПДС ЮЗ3)I,РЮ'П'ICсь:оЙ фОрШ>!
псрс ,енш.rх (1 В): П lеппо r{ar,OnLI бы ни были I,оордппаты мы по
;ту'шеы ФОРi\IУ.тrу
1(" == (g" Jj;jO ПоаО ) /1x" /1Х,а'
о rИПОТЕ3АХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
333
,,2
UТПОШОПIIС /:;t' ' ;за HIICНlцee 'l'O.JII>EO от отношеПIIt1 ве, IП '1[111 3.,,: и" 11 ООТ!,
то '1ИОЛО, J OTOpOe, по Ри.\шпу, оле; уо'1' называть ЕРJIПlI3IIоiI MIIOI'()
()бразпя по паllраВ,'Н'ШllO lI.JlOCT 01'O :'),;те.\lспта О Т,О.\IПОIIОIIта.\!][ c.::c i ".
В ана.:ТПТП'Jсст;оti фОр.\lе '1'(:ОРТ15Т }1П.\lапопоЙ ЕрТШJI3НI,[ JШl'РВI,](' (jl,ша
развнта Хрrrотоффс,'ю.\[ ][ ':-1ТШIlI1I110.\1 (C.\I. ряд ;\[O lyapOlj н .] 01ll'lшl
f. d. l'eillO Н. :1Н!!,'. 'i\Iatll., '1'1'. 70, 71, 72, Н2). Са.\! РП.\ШII BOl'1111011;jl'C;1
СООТI30ТСТ]]'уlOЩ[1l Вj,!'ТПО, lенпп н одпоЙ: работе, Еоторан (j1,I;Ш 11" l1рС,:,
стаПJIC1Ш ПаРП;I,СТ,ОЙ ar,адС.\шп, но пе зас.:ТУ;Ю1,'Ш ПРЮ!ll][ 11 llO'I'(Ш '
не б[,I,1НL опуG;II!I;онапа; она ОВПДО,lа спет 13 ооGраштп ОО'ПlIlоштi't l'IIШLlIа
БJral'одарн УОll;II!}]'\[ } едстШ}lа п Вебера, ПрII'!е.\1 1, поН ()I,I;I l1pII("OC,:,][
поп за [О'lю'е.JП, 1 [[ ,111 тю [.\[ептарПIi. 'l'COPIIIO I IП IШРl Ш1 [ТО]] 11 ,\[('ТР1 r:1OlШIIПО.\1
.\ПТОl,оо(jра3ПII, п чаС'l'IIОСТП, pa:JpaGa'I'I,TBa, [!l P1I'['111 11 Лl'в][ !11l[шта
(с.\!. M6tl10cles йе oalc1l1 cli1Ыl'епtiеl alJso1ll, 1\fatll. Ann., '1'. [),1, 1 \Ю1,
стр. 12[) 201). n поот"дпое BpP 1 н, 110) в.ттIТШПl() [ ТСОрIIН OTIIOC[[Tl;,iIb,
ПОСТ][ ЭЙнштейна, JIсоледован[[н н ;')ТО'\! ТШП}1аВ,'10ППП GI,I;ТП l;о:юiJ[(ОIJ
."ТОНТ,I; онн ПРПl3С;Нl 1; Фупда.\lента..l1,ПО:\IУ ПОIIНТIlЮ GCOl,OlIP'[110 .\!<L;lOl'()
пара,"!пс.;:rЫIQl'О нере.\IРЩСllПЯ. По :')l'О.\IУ HOBO} ;\' С.\!. 1, е у i-C j v i t й.
Nozione di рю'аllрli,;шо in апа Ya1'iptiL C]llalllncp1e.,., Неш1. 11. Cil'C.
Mat. Palel'Jl1o, т. 42, lH17; П('s,;епЬеl' ', Vektol'iellA Rеf?,Т1ll1l11lП{.\" <1<,,1'
Diffol'entia]g'eomctl'ie, :\Jatll. Апп., т. 7Н, 1017; 'Veyl, Л:Щlll, Zl.jt,
J\fater'ie, 5 e пзданпо, 1\)13, 01'р. t:iti II ;,а,;[оо; J. А. SC]lOlltO[l, [)i<'
c1il'ekte Al1alysis "-lll' l1Сllмеп Hplat,ivitatstl1cOl'je, VеJ'lЩПl1l. К. ..\ ka(l.
'\Vet. Amstel'C1am, ХН, .\' О, 1 Н1\).
4. (1{ частн 11, 3.) у 0;[01\l ШОН па;JI,lнаТI, }1H.\HtHOНl ,Ш ,\1 [(()!'ОО('])а
3НЮ! тш,оо .\lетртыовапное .\IIIOI'ооiJра;нш, н I,ОТОРОЧ .\!()POOII I>e, ,();!l'
Пllе задано l!O.JlOjJill'l'O,JII,HOii ттадраТII'JCСТ;ОЙ }щффсрсш,llа;II,lтоti ФОР
моЙ ({82. СВSl3Т> О o(jI,11,TlOBOHHo1t Teopl!eii. ПОIН'РХТlOстсil, l'lJ'!:,allIToii
raycco.\[, :оа1,ЛЮЧа.стсн н то.\!, 'IТО BCНl,aH 1IOBepXlIOC'l'!. в 'l'l)('X\II'PI!O [
СПП,ПI,",ОПО.\I простrапстп(' CCTI> н Yl,a:,\:1lIlIO,\[ c I[,JO.J[e C'lHy.\[CplJ()e) 1)i[\la
ново [Ilоrообразпс. +l'O оGУС:lOН,11IШ1СТОН т(:.\! о()стонтс.:1 I ,С'!'IН),\I, 'ITO СП, IО
свr,;[!lДOlЮ П}100Тр:111с'.'r1l0 ЯUJ-тнется }1rr.\ШllОВI,I.\! .\[ПОl'оо()rа:\I!е [: IНJО()Щl',
:\IСТрIlЮI, стаJIОН,:lрнrrап на '/I .\I('PHO.\[ рП.\IЮlOВО.\I .\11101'ооilР:1:ШI1,
llереПОСН'I'С,}[ на вор СОДСР;JШ,1ЦПССН 11 IIC ! lII .\ICPIII,I(' .\11101'(ю(;ра:1I1Н
(т ==.1, 2, . . ., I/. 1), I3CJle,'l:CTBIIO 'Ю1'0 ()IIН "ЛН;;I,l, С.'I'ЮIОВН'I'ОН pll"a[(O
т,Т.\1ll ПJ()1'ОО()}1а3ТJЯ.\111. U60знаЧП.\1 чоре:1 :X: i J оорДllIlаТI,r 1I [CPllOJ'O «llrO
страllО'l'ТШ», а ТО'Ш][ т :\IСрПОЙ «ПОВСРХIlОСТ][» () '",СЧ xapa1,Tep1l ('i\aTL т
Jюорднпа'l'а.\l!l " k . JJО]jl'РХПО("'I'I, ПР(', ll"i'НН;IНl',тен 'l'01';,H н 11r1]1:1.\:"'I'j1Il'II'
('Т,О,\[ нl [;1:('
,l'i == Xi (и" 112, .
.. ,
11т)
и == 1, 2. .. ., 11),
ПрТРЮ.\1 'l"I'аIlаВ,'lIlвате('п, u 1,ar,oiI l'O'II{oii l1j)ОСТРШIС"I'IН1 ,/' С()Нllадн(''I'
каждан 'l'о'ша IIоперхпоо'l'IТ 11. EO.TIIl 1Iа ПО.'[,У'ШI()ЩIТХТН OTCIO,:,i1 :lllфф('
ренцпалов .\([,Т OOO'l'aI3IT.\1 основную .\1()l'rl1'[Сl:I,УЮ фОj1.\1 у ПРОС'I'р:1,ill"l'на 118'2,
то ПОЛУЧll:\1 но.СЮ;ЮIТС;lЬПУJO J;Jшдра'i'1I'Н'СТ'УЮ ф()j1.\1У (OT11OCII'I'(:.';:,I[I) du k ).
НП.JТЯЮЩУЮОЯ основноЙ .\ЮТрll'lес I,ОЙ фО}1.\roй (<<.:llIlтсiiш ,1.\[ :-),1[P.\II'1 1'1'0.\1»)
поверхностп. По у Евтuшда lIrЮС'i'раrrство а l)l'j(Hi (jCPPTCH 1'()pa i 3:1()
более опеппа.'II>ПОТ"О 'П!l1а, Чf\lII HeeH03 [()iI,HT,Ie со;,еj1жа.ЩIlССН 11 11(':\1
поверхностн, П.\IСJlI1О. ОПО С'ТПТШ'"l'с.я, еолп '\!О1Т,ПО тю, [j],IJ)a':II'I'bC I,
«П,ТlOСJ-:П I», 'l'оrда Kal, ПОIl}IТl!Ю рп.\!апова .\[НОl'ооGра:1lТЯ оп()l1стнепна
как раз та степень оGщнооти, Jюторап нужна" что()ы УШ['['I'ОЖIIТI, OTЫ()
чеппое JIеооотвеТСТПllе.
334
1'. РИМАН
в основе l'ауссовоН тсорпп повеРХlIОСТСЙ
х==х(и l1 112), Y==Y(u 1 ,1I 2 ), z==z(u 1 , и 2 )
13 TpeX IC1HJO [ СJШ.lП, (оrю,[ Jlрострапстве с деJ,артоВJ,Т 1П 1,оорл:ппа-
ТЮIJl x!Jz J1e;J,[\1' слеДУЮJlще дпффсрепцпаЛLIII,Jе 1ШR,'J;раТII'1еСЮ1е фОр llJ:
2
(ls'J == (lx? + d!J"'- + (lz?' == gik (lu i (lu k ,
i, " 1
)
I
I
«(ZxdX+(ly(lY+dz(Z7,)== G ik (Zll j (lll". J
i, " 1
(23)
30leCL _Х, } , Z обозначают паправ,пшощпе 1{ОСПНУСЫ ПОР,Ia.тJП. Еслп
па JICI{O'['Oporr фIШСJJровапной ТО'ШJl I1рОС1'рar1СТJЩ пронсстп прш[ые,
Ju,РП:IJ1С'ЛJ,П[,ТС пор r[\лн [ во всех ТО'II,ах пCI,ОТОРО1'О 6eCR01-1С'ПJO Лlа.ТJOI'О
"JJн,,,,спта JIОНСрХНОСТП do, то 'л'п прп r I,[C заПОJ1ПЛ'l' пе1ЩТОРJ,rii те,;:rССIШЙ
dw
YI'O.l (Zш, n ПРС1(е"'ю, 1,о]'да (lo СТ5Iпшаетсл в ТО'ШУ, ОТПОПЮ1ше ,
( о
пренращается: [J l'ауссону I'РПВПЮIУ n ,"той ТО'П{f). Ана"1:птпчеСЮ1 I{РП-
нпзпа преЛС'I'аВ"lяе'I'СН в вндс отrrошенпл ДПС1,РП lПНЮI'l'ОВ двух ОСНОВ-
ных ЮЩl(ратпчеСЮ1Х фор,[ .
CIIC 2 Gi
](== 2 .
!J11[J22 [J12
I{ю{ У1шю,шастсл во ВСJШО [ У'Iеб1пше по 1'еОрlIП попСРХIIостеtt
(c [., ПЮJР1щер, УУ. В1 as с11 kE', \!ol'lcsllngen ; ber DiffСl'епtiаJgеошеtl'iе, 1,
1 V 21, С"1"р, !) V П !J G) 1), l'ауссова 1,рпвпзпа 8авпспт ТО,ТIЫ,О от l'еО lеТрIIП
па ПОВСрХПОС1'I1, а пе от раСпо.ТIО;I{Е'ПJIН ПОВСРХНОСТII в простраIIстне;
ТО'ШСf1, JC eC'l'1, 1{Ш, раз та ве.lП'lJ/1ra, 1{OTOpylO, по I'пмаIIУ, СJIедует
1Ш3IШ']Ъ RрП13П:зпо1t l(rly repIIor'o Ш01'00бразпп с lеТр1шоtf, ОПРС;(С,'Iен-
поЙ JlI/ПСЙНЫ [ l'JJI(шеП'j'О 1 (23), п 1,0'1"OP,)"1O IОЖПО ВJ,IЧПС<7JПЪ по ФОР:
МУШ) (23').
lIаJ'JШ;(IJан IIIlтС'рпреТ[\ЦI!Н рП lюювоit 1,РПЛПЭП],[ ДвуыерПОJ'О IIIOI'O
о(,раlШЛ IIOCPC'l(CTHO [ I'C01l('3J1'[( CJ,oro ТРСУI'ОJIЫlпr;а ПОJ1У'lаl:'ТС'Н Ш1IIJJJ"I-
JlШ [ обра:ю [ r;ш, 'lаСТПJ.Jii: СJIУ'ШЙ тоН ППТЕ'рпретаппп, 1,оторан С'внзr,J-
ваетсн с 6СС1юпе'пIO 1IIa:IJ.I;',[ па раЛ'lСЛ1,IIJ,[ r IIсрс /С'щеппеы HCI,'l'Opon.
IJ01(llCpJ'IJC [ «НО lПас» ПRJlраВJIeППЙ, ВJ,[ХОl( IЩПХ из ПС'1,ОТОРОЙ 'l'О'lIШ Р
;(!IУ I('РПОJ'О IlIOI'ообра:шн, параJIJlе"'IЫIО"У пеРС,lеЩС'ПI1Ю ВДОЛJ, за ш-
путоН J,pJlr;oH II, paC1IO, IO;!{CIlIIoii па IIIОJ'Оl)бра:шп !I проходпщеtt
ЧСрС':J 1'; '!'Иl'да после ПО.ТIIIОI'О обхода нрппоЙ но,шас пс ВСРIIСТСН
В ПРСЖJI('\) l!ОJIО;J,СППС, а ПСlI/,lтает ПО130рОТ па НС'Н01'ОРI,[Й JTO<7; :пот
пое:/С;(JJllil, ],Ю{ явствуст lIЕ'ПОСрСДСТU(,ППО П3 рапсе УПО,IШ1УТ()['О пату-
раПЫlOl'О ш[реДС.1:СIJПЛ 1,РПНIЫI!Ы, будс:т раuеп пнтеI-ра:IУ от r;рШ3II3IIJ.I,
раСПрострапсппо rу па обv'Iас'l'Ь, or'раНП'lенпую 1,РППОЙ (f. ЕСJШ возы[сы
В 1,a'ICcтr:c (f r'СОДС3JРlеCI,ПЙ треУ1'О,'IЫIПЪ: п ПрIПlеll НО ВН!Ii\lRПIIC, ЧТО
l'СОДС3П'1ОС1{RЛ JIIJIlIIП Iожет БЫТIJ хпрar,теРПЗ0вапа CBoiicTJ30 [ НСП3l\IС-
!IНС\IOСТП IIаПРЮЧIСIlПН, то JIо.;rУЧIIМ прпне;(снпую в TC1,CTC ПрIIIш.д.'Iе
',/шщую l'aycoy IJIIтерпретаЦIIЮ.
(23')
[) О'l'р, 104 РУСС!И!'О перево;щ: В, 13 л я IlI!, е, ]J,ифферепциальнан !'ео:w:етрпSl
.\f. Л., 1935. [l)e,),].
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
335
ДОI.;аже:>l, паrшнец, что дву:>rерIIая r'еодеапчеС1.;ан повеРХIIОСТЬ, 1ШТО
рап оGразуетсн на вссх 1'еОДС JII'lеСЮIХ c'IIIIIlIlI, пr,]ходнщпх П3 'l'О'П';П О
И раСПО 10:;I-;С][IIr.тх n пеrЩТОРО:>1 П.:Iосr,;остпо:>r папраl\JIеШllr :.1, П:-'lеСl'
в то'ше О 1{РIIВIIЭПУ, раl3НУЮ 1-;рплпанс простраIIства в П<J.lIрав.'rеIIПП Ll.
Проще ВСС1'0 :это сдс.'шть слеДУЮЩIl 1 оGра;ю:>r. Пусть X i ] LСП'I'ра.JIЫIl.rе
IЮОРДПIIаТI,1 пространства, отнеССПIIые [{ то'п-;е о; 1I0:;юrо /LОIIУСТJI'IЪ,
что расс:-.rатрпвае:>r ан l'еоде3Irчссп:ап 1I01\CPXIIOCTI> хаРШ-;ТСРll;оуетсн Tc\r,
что n ее точr,ах обращаются n нулr, все r-;оордппаТI.т, r-;po\re :r l п :l; .
Тю-; п;ar.; в 1'ОЧ1-;е О обращаЮТС5f в пуль ПРОШШО/(IIЫС ПС.;прптп ПиР
а с.'Iедовате.::rьпо, п ве.'IпчIIПЫ r: , с::нш ;'I-;e f/ik ПрIIПII:-'lаIOТ СПСТЦlа.ПI,
НЫС зшtчстшя 0ik' то, нат.; шrдпо П3 фОР\lулr.1 (22), 1,рпвпзпа I1рОСТр<J.П
ства RI , 12 В расс:>rатрпваюlOЙ то'шс аанпспт тольr.;о от 13TOpr.TX прошз
ВОДНЫХ rщэффпцпептоJ3 011' 01 ' 02 ' оста.;rып,тс а.;е Uik 11 ее 13ыражснпс
не входят.
5. (1\ части П, 4.) rоноря1', что ипоrообраапе п:>rес1' r(ептр n
то'ше О, если оно с по:>ющыо неrщторых r.;оордппат Xi, обращаIO
ЩIIХСП в ПУс!Ь, J\rожет быть отображено па llЫЩТОРОС ДС1Шр'1'0130 про
Сl'рarrстIЗО с ыероопределеппе:>r
ds ===: dxi + dx + . . . + dx
б б б (18
таюr:>r о разо},!, что линейный ыасшта ото ражения, т. е. отпошеппе
d80
длппы линсйноrо :эле:>rента :-'lНОI'ообразия 1{ длпне соответствующеrо
8люrента деrшртова пространства, будет IlостошrПЬПI 1) /(лп всех
радuаЛ//l-iO расположенных ЛИПСЙПI>IХ :ЭJrе rСIlТОН ds o в прострапстве
отоGражспия, паходящихся на OДIIO } п тоы же расстояrпrпr от начала
(r 2 ===: xi + x + . . . + x;J, II 2) для всех та1iZС1iЦIU1ЛЬ1iО ('1'. е. Ilер
пепдrШУJнrрпо п: радпусюr) распо rожеННI,rх :'JЛС:>IОПТО13 (lso. Апа.лити
чесюr :,)1'0 0значает, что ds'! есть JlПlIеЙпап rЮ:>lбппацпя орто1'оаалыIo
ИlшарпаПТНI,lХ дпфференцпа.::rЫIl'lХ фор:>r
') 2'): "
dXl+dX2+'" +ax; п (XldX1+X2dX2+'" +xndxn) ,
так что
2 . 2 2 ( ) 2
ds л '"т dXi + l '"т Xi (lXi ;
(24)
кощlнlJIrциснты ), и l заI3НСЯТ тОЛЫ{О от r. Танr'енцпа.'IЫll.]ii маСШ"l'аб
отоGра:ir.;енпя есть }" а радпа IЬНЫЙ k опредеЛ5lе'1'СЯ Н;) paBCIIC'l'Ba
It2 == },2 + lr 2 . Посредство:>r пад.тrежаЩeI'О выбора 1,ООр,'J,rПIaТ МОЖПО
д06пться, чтобы было л===: 1 :
> ,.,? ( '" ) 2
ds ===: (l.x.:i + l xi (IXi .
, '1
ВСЛП'IIIНЫ xi суть «J\Jодифпцпрованные» ЦСlIтралr,ные 1,00р/IJlпаты
в то'шс о; нто нуЖIIО ПО1пп,rатr. n то:>! C:-'II.тел(', '1"1'0 каЖ;Ir,]ii .п,)l'!
Xi il'
(rде i произвольные константы с СУМ:>IОЙ rшадратон 1, r псре
мешп;rй пара reтр) являетсн l'со/(сзичеСRОЙ липней ; но r по есть Д.тrина
336
Б. РИМАН
;')']'01'0 .нуча, а :(;JИlJа .-rуча s сннзана е " соотношение:\!
( (18 ) 2 === 1 + lr2 === 112.
'/1'
(24')
На п :\IeplJoii сфсрс ра,'l:ПУСО:\I а в (п + 1 )':\lepHO:\l CJшаидовш! про
странстве с ;<el-iарТОIJН:\IП I.оор,'ЦIП:1та:\!и :1.:0' :х: 1 , . . " :1.'" ЛfЫ имее:\f:
2') .) ')
.1,'о + J'! + . . . + ,1;;, === (( ,
2 ')') ')
Ils === d,x'C + (1.1";'1 + . . . + II,x';,.
(25)
.Ес.']![ IЗОСJlОJ]Ь3 'Юlеп на сфере I,оор:щната:\1II .Х'р
на 1[('11
., ,Х'n' ТО, так кш,
";0 11,х'о === (.х;1 (IX 1 + .. . +xnd.T,J,
2 ('С 1 II:C1 + . . . +Х'n (l:c,,)2
11хо ===
{[2 ,/,"
.Jr.'I,H l/s2 по.тrУ'IН:\1 фор:\!у.ТIУ IШ.Jrа (2-1), приче:\I
1 === === а
I/" /.;] 1 а/'"
( а === l.. )
((:J .
ОТС1О.'.(а ИСlIО, '11'0 ,\ПIOI'ообраSIIП, JПlпеЙные ;')JН!:\lепты ],OTOpl.[X ПРПВО-
дятсл 1, НП,'(У ( 2.J ) , I'Дl\ 1 0603Н:1чает ( I )VПIОIIIЮ 1 ' обдадаlOТ ПО(;ТОЯIl-
. t.J ':.(,j'''''
НОЙ 1,РПВ![;JlIоt\, пеааНП('П\lOii IТП 0'1' то'н,н, ПП от папраJJ,-ТСППН IИUС-
I,OCTlтoro "):IC:\!CIITa; ;,!ТО утвераС(СJIПС, "0IIC'II10, О:(ПШll,овп спрш!с",ТТПВО
1,[1], /1/0'1 ho.,10;]U1'I'C'-[ЫIr,[Х, та]" п ,'l)[П пТРП1Iате,;Н,1I1,1'\. :3]Нl'IСllпii а. ЕрОШJ
1'01'0, ВЫ'IПС,11СI1ПС, 1,OTopoe сей'[ае {)У,:ЩТ IIР()И; IIl':(('1I0, j[l)liащ('т, '1TO
3IНL'IСние ЕРПIН13IН,1 равно I-iflI\: ра:з а,
3а:\[еТ11:\[, чтп РП:\lап ПО.'I],зуе"j'СП пе ПРНВР;(РlIllоii ВI.IШ<, JJОР:\Ш,-ТЫlOii
фориоii ,J:.:rп (ls'2, ],оторан спОТВС\ТС'1'нует oРТОl'ппа.:JI.]lOit ПрО('Iа(шт Сфl'РLТ
па <<:.)]тaToli» :,'0 == О, а 'I'пН фОр:\lOй, л:оторап ВО;IПlIl\:fLС'!' lIрП e"l'('pCOl'pa-
фТI'1l'l'[\:О:\[ lТрп('I 'I'III)()IJt\.IIf[П. ::\1/,1 по:rУ'III:\I Н'l'прую IП IТ('I1Пl)i'[, ('е.'П1 НВС;(СМ
;1a:\Il'[{,V ] пор,Т(ТIIlа'l':
Х,
,
.x;i ===
1 I а 1""'2
Т+
(/,'2:-=т."О (.[.;)'2; i === 1, , . . ., п).
с ЦС,'1ЫО ,'Юliн:за'J'I, обратное uре:(.10же1Пrc 1), НТ;L;;(с:\r ШL IlРUП;jIJ(),'I1,-
110:\1 :\ШО1'ООUрнзJТП В ТО'Ш() () «:\lOдпфицпропаПIIые» ЦСIIтра,;rЫ[loIl' т\:оор-
:(ПШ1ТIoI ;X:i' прттче:\I 1 :\10<1,(''1' UI,1T1> I\:Ю;:ОЙ ,уТОДНО ФУНЮ\lI()jj: 1'. 3'1'11 ],оор-
;щпа:1'I.r по.лу'тЮ"l'ея: I!;З I!ос'rроенпых выше цеuтрнльпых IШОj1Л Тl1ШТ
«В сп6С1'UСППОЫ СЫЫС:IС» (с:\!. ПРП:\IС'1аппе 3), еС.1П uеР"':\fРПП."Ю s
па'l' 'ра:II,JIУlO Д.;ПIПУ :(yr па DЫХОДНЩПХ П3 О 1'еоде3П'1есю[х ,;П1шrпх
аа:\ЮТIII [ С13513Н1IIюii с пею СОО"l'поmСI1ПС:\[ (24') перс:\!еПIIоii r. То'шо
таIЩ:\! же образо:\!, IЩ ранес были ПО.1учепы фОр lУJILI (8), (13), (11)
.'JДЯ с:ту'тн ЦС1I1'ра:п, ПI:1Х 1 оордппа"l' «п спБСТВeIТlIO:\1 С:\lысле» (при l === О),
[) См. Н,) атому IIОВИДУ 1, i 1> s с 1] i t;l" Jош-п. f. й. ]'eine пшl ang, Math.. 1'. 72;
F. S с 11 11 ]', l\rat,11. Апп" т, :27, стр. 537 567; Н. \У е у 1, Nac11r, й. Gesellsch. Gбt.
t.iщ;l'П, 19:21, C'I'l'. 109,
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
337
МЫ ПО, IУ'I1[ [ '!'el[epl>:
1 ,/. :а :' ==' i
О,:., , 11'
(2(\)
(;Ц('(;I, IffТрlIХ о()о::rШ'I>lСТ ;\lllj!r])('j)('III\lfjЮIШf!![(; 110 )'; IIY,I;IIO (;Чlrтн'l'Ь,
что ,1';. ==' /I', IlPj['!(' 1 ;i IlP()!I:)I\(), II,III,I(\ ПО(':I'ОПППI>IС С ('.\ ",IOН J"Ш,ч)а
тов, ршшоii 1),
{).tl i'Y. i'r:t. UП k'J.
c; c;
().x'k их,:'
i' 'е. е. fli'1. a. === /l2;i.
(27)
(28)
130JllIшаст IЩIIРОС: IIрИ !{ft!;IIX уе:roш[нх () eCTI, l\l'IПР 11<l1l1('I'O IILOI'O
оGра:JIIП'! 11:111, 'I'O'IIICC, IIPI[ T;a!{IIX ,\'(':IOI\IIHX II'ICIOT H'CTO СООТIIОllll'lIrrп
П и. ==' ik + 1,I'i.!'k ?
Д:ш ;'/1'01'0 ПСО()ХО;l)I IO т! . ЩСТНТО'1I1О ВI,IJ!О:IПСIIIIO РШН'IIСТI\
17
"JI. (11 и. 1,I';.l: 1 .> ==' О,
(29)
Н:ПI, IIпа'IС,
i.lч l ' ( 1
, 1 , ,. а ' ( 1 ) ,.;." /'
-; === },,,-:, !.-
иХ а ,11' ,
(30)
в ca !O [ . (e.J:t', еС,J:П раЗНОСТI, I!и, 1.!'J'r пе Hal\IICI!T ОТ )', Т() ()на )(O.J:;'l,Ha
Р,ШШIТI,СП СС ;зrIa'IСШIЮ пртr /. ==' О, '1:. С. (,ис Вс,'[(цсттн\ (27) п (2Н)
с,"[е;(ующпс равепства ШШIIШlЛСIlТШ,1 УС;[IШlflO (30):
r i , k a ==' Ilk' . i;k,
н то '!ТЮ TaI ,Т,А
, 1/ '
1 110 a; 2rk
l.а, Т' с; .
Итar;, ес,ан IIО.:rо,ю[;,[
r i 1,1' (1 i k
'.!? k ka , 11' , ,
(31 )
ТО О()РШП,СllIIС В НУ:I1, HC,J:II'lI1If 9;. ('СП, ПСТ;О IOС УС,:IОВПС сущестноваПi[Н
равенства (2:).
II'I'OUI,[ 110CTHIJIITL пр()(), те [,\' 1\ ('(ИПI, с Еj)IШШШОЙ, пr(); lIффеРI'П[(][
pye I еще ра:з ПО )'; ПО;IУ'!а-е'I'СП:
а..; iH';
i'k (. ( jo'II ) If i:k ( :32 )
а/' и,!: ' , Ь" .
Псрвr,1ii 'I,J:CII спрат1, ];ат.: ВII;\][() JI'С! ФОРЧУЛI,Т (22), вх(цrrт () соеТШJ
lJI.rра"т;еппн
Е );. ,.a,.
ta.k :; .
(33)
ЧТОU',I ВI,I'IПС. ПI"I'I:' (33), 11.\',[';[[0 IIOСl'рОТТ"l'Т, О,.J;ПО за ,'{PYI'IO[ 1\I,[раа.:еlIlIН
(l1,i iJl,i,
;(1;; 2;
(IJ';з , (JJ'k
п
(1 ';' O I 'P , I '; 1 '? , ) a ;J
Р.' r.J.k . pk a i .. " .
Первое па ")'Т'НХ Нi,lpa,],ClIIIii COI':laC11() (32) равно
11.' ;
+ ( 1"'11 ) " i k
,/,. Ь' , .
(3.!)
22 Зак, 1164, Об основаниях rсомстрии
338
Б. РИМАН
Чтобы ПОи"IУЧll'l'Ь второе, продпфференцпруюr paneHcTBo (2О)
i rl!'
r а-'Ха'.сз == ---т---- Х i
, I 1ь
по перС:lrепной ;.c k :
iJl,i o i х:х/,I/ " 1"lъ
их;;' XaX + 2r а/, Ха == 7 h + XiX k (lg' 11) + т 0ik'
ВJ.rра;J\аП aaTe:lr I' k a С ПО:lIОЩЫО (31) Т1ерсз 91, буде:lI IBleTb:
i!l,i 1/ 2 .
аЕЗ == Ei " (10' 11)" + (o. / . i k) ;,
Ох!; ' ь 1'/ъ " l' , ,
( д :;< : ) a p == ( [dl + 91) + ;I ( i k 0ik)'
Нarинсц, третье И3 выра;ь:еIIIIН (34) мы :I[O;I,e:l1 подверl'НУ'JЪ СЛtJ.цую,
ЩИ:lI npeoGpa30I3aH1I5BI:
( riо З ) (r p , a ) r i, (r P a 3 ) == r i? 3 ( Р, + 'ъ' p,.k ) r i, '!... p ==
р," ak. "р a .. р,>' С?!; lъ' '; kp 11 .
ri,." " + 'ъ' tk ( ri ,.0,.-, ) lъ' ( i + '!' ,.i,.k ) r i ,." " h' i
== r3r.9i, Т' p ,' T 9!; Т' '; == 1p,'9k hC?k.
01,OJP1aTearorlo ПОи'IУЧПИ резуаьтат:
. h [ d i , ] h' .
Б 1'"a;t ,k + r a; 13 + ( ttr7' " )
'ak3r., r:>: a , У!; rh <; '; Oik ,
l'де введено обозначение
(35)
1.2" i ,
tk ,
'fk.
с ДРУ1'ОЙ С'I'ОРОНЫ,
( ' ' ) ,.at3 ' 1 2 ,.i,. / " ( " ,..,.,, )
0ikg" oi gak '; <; ()i/,I. r.';k 1 0ik ' '; .
з'6")
EC.'III О ссть центр (т. е. . f< == О), то отсюда СJ1едует: 1,рИВИ3IШ MIIoro-
о()ра;зпп н rrропзпо.;:п,ной: ТОЧI,е Р п 11 пропзвоаЫIO:lf ПJIОС1,ОСТНОМ напра-
JJJIСIIПIl, СIJ.,J,СР:I,ащс.\[ 1'СОДС3П Т IССЕПЙ ,:rY'1 ОР, 3НIШСПТ ТОJIЫЩ ОТ /" II
имснно j}с\!;па
lъ'./,о 1[1 ( 1 )
17i.' I == :Jj' [11' lb" .
(:3 j)
(В ТlttС'I'][ОС'I'П, 1:рПВII3IШ n ТОЧ1:е О не 3aIШСИТ от ПJJOlа:ОСТIlОI'О шшра-
влспшr п равпа l (о).]
У lт;заппоо ,ус,'rО13пе 5ШЛЯСТСЯ Ta1,;1,o о (остаточпr,т:ll ,'];Ш 1'01'0, '!'l'OUI.! U
()H;ro ЦСll'l'рОЫ; l! с ttl\l O:lf деле, Bc.:тC,J:CTтre (3;,) п (3С) опо :'НiВШШ;[('ll'i'IlO
pauOIIC'l'IJY
d"} ,
+ I' a,:? о
d/' а3. ,1. ,
(:-\ь)
а П3 :')1'0]'0 p:l,I3eHC'fBa следует . ;, == О. ,J,еiiС1'ВИl'е;IЬНО, есаlI С, l' l!O-
C'l'OHHH[,[(', у;]овле1'Rорнrощие, IIаПрП:lfер, при 0-< '}' -< 1 нераl3енс;твач
i r '
Ir з I -< , I t, 1-< С, (3V)
,1"
о rИПОТЕЗ.\Х, ЛЕЖАЩИХ в ОСIIOIJ..\IIИИ I'ЕОМЕТРИIJ
339
то 1l0JliПО зю-;аючп1'Ь, '11'0 прп аюGо [ П('(I'I'J1Jlll.f\теJП,I10 1 т
I . / I ,,< с (r/")iI/ .
,k" 1Jll
00)
ДОI-;аза1'е.:тьстпо ОСНОНЫJ;ас1'СSI IШ попнuil I1l10'1,)'IШ:ПП. ВСJ1еДСТIШС (:И)
УТ13еР"Т'7J,еппе (40) OIl РШЗДНJ;аеТС5[ прп т === о: иереХО:l 01' т J, 111 + l
соверш аетсн ПОСРСДС'I'НОl\I ОТ1CIШП
,.
,;, /1 ",; , а , з ' 1 /' СТ 1II + 1
I ' / . I === 1 '. -; '.1 / . а/
I l . и./ I l ........ 1и!
() u
,.
f ( I'J. ) 1!l" 1
. 1,11/11/' = ()
(111 + 1)1
'J'ве,lIРIПЛal1 п перапепстве (40) 1/1 БСSl'рЮП1ЧПО, полу'[аО \l , f, === о.
П рП 1 еНП 1 ПО':IУЧСIIНЫ ii рсsу.:тЬ1'а'l' Е чаСТIТО 1 у CJ[,)" lа.ю lIIOI'оп(, рп:т 5(
постоянноЙ I,РНВПSНЫ а. ПО;IОfI,П I:
с<
E===
J щ'2 '
1 " 1 + . .) 1
l === [1' === .
1 c,l' '
ТО1'да пыраа,снпе (:\7) ПjJпппыает ПОСТОSШIЮС :1IIa'lСlIпе а. Вве,Т(ОЫ, ,'I,пm'с,
н I[ICI;OTopoii: ПРОIТSlJО.;:[ЫIОй ТО'IПО О [ПOI'оо(iратнт СJ3ЯЗЮIПI>IО с BI.I(ipatI
поН ФУП1\U)Iсii l <О10;:Д1ФlIЦИРОШ1IlIIЫС» IIICIl'I'paJIIoH],[C ЕоордппаТI.l; в 1'aI\O \
с,'{\''1ае БУДУ'I' ВЫПО,lIlСIlLl СООП1О1пеНIJЯ ( 38 ) : Ш) них СJIСД"С'I' <!; ' ; === О П ,
tJ ... и I ,! I 1"
ню;онел:
gi7, /XiXk === 0ik'
Наша. ЦО,'!Т, ДОСТПI'пута: ЫТ,] ДОI-;азаJIII, ЧТО .;IппеiiШ.IЙ Э.ЛО 1ОН'I' ШО1'О"
оGра3JJЯ ПОС1'ОЯТlноii т;рпвпзны а н п:;(jраНП[,IХ r;ООРJlпrштах пепре lенно
ююе'l' ЮС,
{[8'2 === '5; (lx; + с<
..... 1 ::0.2
( :T; ([XiY
'i
rllю т;ю, при Э'l'О I n J;аЧССТJ3е цснтра О ыоа,:ет БЫТI, взята I-;ar;ая
У1'ОДПО 'l'О'IJШ lП01,00(jра.3IIЯ и Ilор rаJ1ЫШП фор [а J1нпеЙП01'0 Э.Jll'.\IICllта
1; тш!у "1-;e :не нзменяется прп JшнеЙноЙ ОрТОI'опаЛLНОЙ ТРПНОФОj),\lаТ[11П
r;оордппnт :1: i , ТО ОJ;азт.1ВПСТС\I, '1'1'0 IПОI'оо(jl)а:iПС Jlостонпноj[ I-;РliВll:;I! 1.1
oGnaJ1,aOT тоН IIо;J,вIIа;нос lыо н CICUO caMO I, о 1:01'ОрИЙ 'уТJ3СР I',:IЩ"I' 1'11 IШl.
ОПО ЯВЛЯОТСЯ, Е,рО ro '1'01'0, ОДПОРО,'I,IIj,[Ч 11 TO [ C [[,I CJIC, ЧТО JI() ТО:I :.Т;О
все 'l'О'ШП Ш'О, 'l'aI cr;a:laТJ" равпопра.IIНI.r, НО 11 I!ОО lIJ10СI..:пе 1l,1I1[!;II;;le
ппя, ППЦД IеII1'ИI,10 ;ЩПIlОЙ т()'н,,:с, TC11;;1:0 ра:НIОllраI3ПЫ. ()(,РП:l'lIО, 11l()I'O
оGраsпе, ОU:1адаЮШ,ее ЭПI lII СIJOiiСТВЮ,lII ОДПОрОД1ЮСТII, О'ЮШI;[lЮ, ;1.fl,;I;ЮlO
ЮIСТJ, постоянную 1:РП13НёИУ. ()стаВJI5IЯ л стороно СJПlI!!l\ОЧ IШllоспrr,lii
f'ВКJIПДОН С,ТI,)'ТШЙ а === О, , I,Оl!'уСТП I, что а === ='= 1. n13C,'r,c r I1 ПСРI;ШI C, IY
'Нl.C (а === + l) отноrrrСПШI У;l-;С l'апес [c [. фор rулу (2'-»)] ПСНО.;[I.;)о])аТl
III,IX 1,00РД1ПIa.Т
:1'0 : .1:1 : . . . : :'С п
n r;a'IeC'1'J30 ОДlIОрО;:J,IIЫХ т;оордппа'l' ,\ШOI'оо(,ра:Ш5l; 1'ОI',lа, Не 1fPIl(,CNLП
1, НОр lIТронаIIПЮ, ЕЮ; п ФОР IУ,'[С (2:"», IO;I;HO (j ',]I,("l' зarшсат\, ,ЛТIIсii
ныН Э:IС lеIl'r В нтще
Q (х, х) Q (dx, 1/:1') (22 ( :с, (/х )
1/8'2 ==
(!:] (:{', "-:)
(ь 1)
22*
340
Е. РИМАН
1')\0 2 (.1', у) orJO:тa'тET CII:lI:lICTPH'[C01{ 01O (j11:!ПнеiillУЮ ФОIНIУ ,I'O!lO +
+ :I'I!/1 + +,1'n!/n Н, :JП<l'fI!Т, ('ООТВ("I'С'I'IJУIOIIЩН 1{i;a:\paTII'IOClт,H ФОР\I;,
GY;\{"I' ,I' +.x: +... +.1'7,' 1I0.'IО;I{IП'0:II,пая, (' ll1ЦОI;стl IIIH'PI[lllf О. .'l,'ii-
CTBII'I'C:II,IIO, 118'2 :ШIIIIСIIТ 'I'O:",I;O ОТ оТIIOIIIt'lшii I;ООР:\flIШТ .1' '! :(1;,)".\ "('с-
H;OI[("IIIO rJ:IП:J!{I[)( ТО'II{а)(. :\[1,1 1111,'[11:11 1'{;IIOPI" 'ПО :[H1I',I,elll[11 :l1I101'oo(ipa.
ЭII" I1 ca\Io:\1 Cl,rJO Оllр(;,'[(;,'lНЮ'['СН O'IPI[I, IlpO(;TO, II:\OCIIIIO, ЮII; '1'(' :lllIll'iillJ.II'
Tpall СфОjJ:\laJ\llll O:\IIOPO,'\III,I)( I{(Ю P:\II 1 1 ат, I{OTO рl ,Н', OCTall:1 НЮТ 11I Illapll:! IIT-
111,1:\1 !{1;а:\jЩТII'I('.I'!{О('. paIlCIII"I'11O 2 (.1', .1') === О. То ;I{O ca\IO(' :\lOlf{IIO ('I::!-
;Щ'I'I, 11 О :\IILOI'oo(jpa:JI[I,IX I{PIIIIII:lIll,1 1, 110 TO:[I,I;() I1 (r)()p:\I ':II' ( I)
IIУ;Ю1() rJ,)":\{'T (18'2 :Ш\lt' 11 11'1'1, 'lep":J (Is ' 11 110:( 2 (.е, -,,) IIOIIII\I(I,T!. 1;1\;1'1-
P[1,'I'II'[{'CI:YIO фОр:\IУ ,I' (x ,+ . ., +,1'7,), с 1111:[('I;Cll:\1 1I1I"pl[1I1I )/, IJplf-
!\I'TClI 11]>11 ЭТО,\I 01'РШ]II'1IlIНIТI.С5I :1111111, 1'c;\I11 :JII<I'll'IIII5I:\1I1 I{OOP:LIIII<IT, ,,!-'Ia
1{()'1'OPI,I)( !2 > О. ВО:J 101ЮlO Tal{,I{O II00lIf.\la'I'I, 110:[ 2 :IIOrJYI!j 1I('III,IPO',f{:i,"II-
1I\УIО('Я ШIН';(Р;J,ТIl'ШС1{УЮ фОр\I ' С 1111:lCl;CO:\1 1111l'PI\IIII о 11:[11 JI, T;\,I; 1;'11:
1'[1,f{ОllfLЯ ,'11[1l0i1.1l0ii 'l'раllСФОР:IIаl\II(,fi 1I[J(юrJР,I,;JУl"l'ОЯ 11 IIО)J:\Щ:II,IIУIO ФОР","
O,'[IIOJ'O 11;1 ДI\УХ OCIIOIJII',IX 'l'IfIlOII: 110:1\1011{1 11,[ :111111:, :1I"t'l( I[][H 111I:[('I{Ca ()
1f.'111 11, ПUО (lЮ[НIa Ils'l ,'(O:lll,lIft ()I,fTI, _'\ефlllllП'lюii. l\ю;\е:il['lрt:f{If(', :111111111
(llj1Я:l",IО) llрс:\стаll:IНЮТСН :llllll'i[IfI."11I :ЩIl1!СI[:\Iое'I'Н:\I][ :\[c;;I;:\Y lIallllf\lll
О:\IЮj10;\1lI,1:\[1l f{00!J,'\lIl1aT(\:\IIl. :\[1,1 IIС'I'j)е'IЩ'\lСН, '1'<11{11:11 orJpa:JO:\l, С /1';1('1>-
111,1:11 ПрОСТрШlеТ:JО:ll IIjJO('I;TIfIlIfOii 1'()(1:III"I'PI1l1, н 1;(YI'0)J0:ll УСТШIOII:I('IIО
:\ll'рОО1lр():\0:J( НIЮ 'IOСРСЦСТВО:II «1{OIf1f'ICCI{OI'O e( '[(;][IIH» 1 (.1', ,т) == () (\I('Т'
Р1J1{[1, 1-':Э;III). 1(0 ЭТ():\[У 110IНЧУ C:II. Ca ']ey, :-;ixtl! ;\[PII]()il'(', НрОll (lll'Ш-
t,ics, I'l!il. '(']',l,ns., '1'. ].И (lH;)\J) 1): '. К 1 е i n, И(1)('I' (lie О '('1JaIшt
Nicltt-( l1kli(Ii сllе П(ЮI!l()t1'iе, :l.Tatll. Ann., T,.J. (lH,J):!) Т,Щ;I,О.iР,'ТI!С
1():\IYiI,PI,1 rC:Il\i\l"t 1\ :Hatl[. Ann., т. t) 11 т. :'3;. С:1У'1Шl G( === + 1 11 а == l
ра:I:IП'lаIOТСН у H>1eiil[a ПО.:( Hall:llellOHHlllll':II «Э:I:[!I[l'I'If'ШС:I{ОИ» 11 «1'11111']1-
UO,HII'leel\:oit» l'еО:l[етрпii, TOI':\a 1,;аЕ ('!Jf{:lIl:(Olla l'00:l10'I'PII51 ОЮ1:1I,lliilt:Тl'J[
НРО:lll\ЖУ'I'О'[IlI,I:I[ 1'11ПО:lI, 11.'1П 1'11110:11 1I1,IРО;Т,:(оппн, ['llll()jJrJО:II['юеf{ilЯ ,'()о-
1()'I'PIlH н)(еПТll'1Н t «llО()IН,:I1Т;(Оlюii, l'OO:lleTj11!1!)}, СllОТ{):IIаТll'I()('ЮI lIOCTjJ0t:I[-
J!oi\ Лоба'leНСI{1I:II 1I ])0:11,[1,11 (()1{0:1O ] Н:-З0 1'.).
'Т1'0 1\:acae'I'CH ;-),:1.'1ПII1'l!'[ОСI{оi'[ l'l O:lll Tpllll, '1'0 Н :(OCTilTO'IIIO :\Ia:lOi\
О(),'1аеТII OIl<1, Ю1,1, I 1,1 В11ДО.Т[П, Ile ОТ:111 'шотен ОТ с(lЮРIРЮСI\оii 1'00:\1('1'-
]1П1l, оеУ"iеСТIJ,;l}IЮlI[l iiСН па 1I- IЕlJllоii сфеjJе 1\ (11 l) IC1>I[() l l,III"III-
:(0110:\[ IlpOCTpaJIC1'IIO. В 1\0:[0:11 ;I{() «Э:I:I1!II1'II'J(',С1{0(; Пj10Сl'раIlСl'IЮ}} 0(,:1<1-
]«(\l'"1' ПlJl,"[]] ТОllО:[О1'l!'ШСI,Н\l1l СlюiiСl'mL:IIII, 'Ie:ll сфера; 0110 1l0:1 "lастся
Н:\ СФl:РI,I, ослrr I!:ЩIIТiТlJШI[11РОIIa'I'I, II<ЧJ1,[ :(lla:llCTpa,'If>110 JlPOTI[IIO:I(';J{<l-
11(11)( TO'lef{, 11,1111, ;(1))'1'11:1111 C:101I 1:I111, еС:11I 11 I{(\'ICC'I'I\() :..,:11::lI()llTOII 1I\11' 'I'()
'['O'lt'l{ па сфоре 11110(:'1'11 II[JH:\II,le, IlрО)(О:(НЩIIC 'lepe;J цонтр Сф(']>I,I. () TOII()-
.нОI'II'i( СJ{IIХ l lюii("I'IЩХ 11pOCTpaIlCTI\ с ра,З:1Н'IШ,J',1I1 ,\Il Tpllf{a:lll1 ('\1"
в '1(1C 'I'lIfJe1'1I, K1ein, :\Iat][. AnH., т. ;3, (lti\IO), стр. ;) ц; Ki1]il1/.:",
1\lа(1[. АllП" '1'. ;\!I (lH\J]), ст]), 2;)" ][ «ЕiНТй]ll'IlЩ2; iJl tli(' C'I'llll(lla;.:'l'n
,1(',1' l:('ОI!юt,I'j<:», 1ti!I:3; 'I'IШ',I':( К о ( 1) (', Анн. Lli :\lat('Ill., (3), 21, стр, ;)i
11 "o('yl, MM.!I. АПJl., Т. ", стр, ;3+\).
l\. (1{, 'la,UTI1 [П, Ш):\<lI\ ;\.) Jlo:[l1oe IlOJ1I1:\la111Ю :щ,J{:IIO'IIIТО.'[I,III.IХ :J;t\!(;-
'Шllllii PIl:\laIl<t о 1IIIУТ])('!lIЮ:l[ CYII(I;cTI e :lЮТРI[I 11 l[pOCTpalll,Tlia ('.'1'<\:[0
ВОЮIО;"I1I,l:l[ ,:II1IIl1, НОС:!!' CO,I:(aIlf[ 1 :-:JiiIlIllТОiil[():I[ orJ!lil'ii TI:Oplfl[ 0'1'1 [()('11-
T().:lI.[IOl,TIl. Остн.в:1IlН 11 еТОрОllе IlI'[JilУЮ IП YllO:IIHI[Hl':\[},f)( llO:[:\f();I,:по т('Jt
(<<то 1)(Щ,;II,110С, '1'1'0 С(kЦ,] (;'1' 1J;1,010 IIpOC'I'paIlCTlla, OrJp,t:!YO'I' ,'(IICI{]> 'l'lroe
1) IlтlС'ЩС'НО 1Ш стр. 2:22 :2.J.1i Пi\СТОЯЩCl'О сборника.
2) I]O fC'II[('II() па стр. :2,')3 30:3 на тошцеrо сборника.
О rИПОТЕЗАХ, ЛЕЖАЩИХ в ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
341
[J[()]'OO()P[\13]1('}}), XOTjl, ()I.I'I"!, :\I();I\PT, 11 1('1I110 п ;'JTO I 1IHII]>:\,I\.II('111I1I e,']('
дует JТCEH'I'I, pelllClIlIH lIpo(,:]e II.1 1I])(JС'I'РНlIстлн, 1'1I:\iНll ОТЮ1111,IIIН()ТСЯ
nрНI!лтr. I{()IТТI,!"IIl] 110, ;lO 11t'I'O РН11;1,(', IНIIП!'уЮСН НС(':\!" :\1:\:I,('"а,ТIIЮl:\1I1 11
фJl:НII\П:l1Т1, (, ';(TO ()I.I :,I("I'p"J{H 11j10()Тj1Ю]Р'I'lIа ПL'11НI\IIРII.\1>I, ОТ II]>ОТI'1;а,Юil(IIХ
в 11е:\1 (jlll:III'I()('1\1IX 11 POI(()C('OIl тr I\ ';(TO ]1C[\:1I.110C IICT'y"HPT 11 :,.ТО :I1("I']>II
'1 С о{()(' Ji])()L"I']НlIIL'ТIШ, Ю11; IIПIIII:l1аТР:II. 1\ l'O'I'OIl '\() \;"H])'I'II]>'y; (\О:II.IlЮ
Т()]'О, 011 'y'I'IIL'p;J;;U1\'T, '1'1'0 11 РО('ТРНТН'ТIIО ('[\ IO 110 (;('1\1', ('("1'1. H:I10pI!llll)('
ТР\'л:\II']>II()(' IIIO;J;('('TIIO (11 '1'1'\1 (,:\11,[(':11', 1i l\; 1'1'1'0 pa11'I.HCII II'T 'IHCTI. ! ('l'O
pa(ioTI,:), JI TO:II,T,O IIПI!О:IIIПЮJlJ('(' ('J'O ,\[IIТl'P",I:II.ilOP CO;i,pp;I<alllll' 0pl':IIIII
"у('" ('1'0 iI'y'I'!':I1 'C"I'lll!()I;:!('Т1JIH :\!("!'рIJЫI, '1'1II;1I.\i ОI\РН:Ю:l1, 1i01:1'11 Ю!("I' JII"ITO
ВРО;(!' <С\:('ТРIIЧ('С1iШ'О Тlo:r I}}, IJP]1IJ1(lllIl!a:J!.1l0 IIP(J'I':IIi'III()I'O ОТ :'I;I('I,"i'PO
!lIl'IIII'I'IIOI'O 110:1 I, TllI; J{[\Ii I1РОС"I'р:IIIСТIШ, 11111111:\1HI':IIOP "а\; (jlop:l1a, IlpI',:(
СП111;ll'lIl1ii, O,'I,ТlO])O,'J1JO, то РШIJ,UЮ 1,а1Л;J(I('I. '11('О(,лО;I,11 11,1 1 (' '((':I:IТI. I:J,[[!(I,'(
(11 :'ITO, 11 C'a IO."1 ,'[,(',:JI' , IJL'11::':I';I{l10, ('(','111 ("I'(1HTI. 11,1 ()т:\]юjj TO'II;(' ';P('IIIIH),
'ITO Jlj'О(,ТРП1IС"J'I,О ('('П. ])]I:\U1110J;O :\IIIOI'()()('PH:;!II' 1>('('I, \lll ('II('II,lIlI,:II.IIOI'O
']IIIIН, 11 1('I1IIO, :\1110J'()('''p,I:;\I(e' IIO('TO IIIIII,ii I;]:JII>II::II],I, ,il,('i\CTI,IIT(',111.110,
1\ jJll(iтH:\. 1'L';111:\IJ'O,'iJ,IIH I! :C11l (('" , IljJ11.\I("1l11[1!(' 2) (\1,1;10 Y('T:lII()I::I('IIO,
тпо ;IIIJIII, !J TaJ,(J:l1 1i]\()(''I'[>I\lI(''I'III' '['(':IO Сl'11 II:O!('1!('III!H 1':11.\'TPCIIIIII:\. .\I("1'
j)J1Ч('('J;II,\: OTIIOlI\('lIllii :\JOil,('T III'pe I('III,:ITI,CjJ !'lю(iО,:I,IIО, 1,:11{ :'1'1'0 1\1.1'1'('1<,\(''1"
11:1 «p:lIJlI()jI[JHI111 1}} iJ('I'X "\'0'11'1; ][ 11I\lJpai\;I('II!lii, 110 :'l{lI:::\IIIII,:ii iJI,liJO '(
]IL']>('('TH("I' (11.1'1'1. O(i,jlll:lTI':II,III,I:\I, ('(',TIII ;(OIlYL'TII'I'I., что :I!("i'P111;:L ('ТО 11'1'
В :::\l>llell:l!OCTII 0'1' ]JlI('1I])(',:((';r('111151 :\IH'I'('P]llI н \1 [Jo('ТРПII('ТIН', !!P(')(("I'aJl,'I\I\I,
что H';IO 11])][ ;IH11 J:ell]lrr « 'IIO('IIT}} (' ('о(,ой lIт;(,Y;I<,:j,lI':\I()P 11.\: \I("I'PII'I('
(']{()(' JIO:I<', \lI.1 IIO('('Tlllfall;IIIi\He:\l !JO;3:\10;\iHOL"I'I, 1I('])(':I!I'III.I'II]i 1 TI':la (,1';3
l1:1jJ 'IIIL''II\ljJ lтY"\'pl'1l\1l'ii "!"I']1Т!1;П н [JjJ01ll1IНJ,'II.IIO.\I rll:\l:IIIОII(Щ :\IJI()I'O
O(iP:I::II]I, '1'0'1110 Ta!:II:I1 ;J:(' oi1P:I;JO" 1IL'I{O"\'(']J:lH .\1,\(,(,<1., IIO,'i, 11;rl1 IIIIII\,\1 ('10 (':I,
)IOI() CO;J,:(lII1JIOJ'() C'JI.'IOIIOI'O ПО:JН, IIPII]I III]lIl1H Ol1jJI';I,(':I('III1()(' 11I),1I0'.J{('1I111' p:11>
]IО!Ю('Т!Н, :().'];I{1и1 ('I,I;\l1 (,1.1 ;j('1[lOp:'11IjJOIIH'I'I.C I, ('C,'III ()I,I 1I0:ШО;1{1I0 I\!.I:IO
11])011111IL'('"\'1I 11<,])(.\:\1('111,1'1111(' "HCCI,:, СОХ])lIIII1Н 111'11:1:\11'11111,1,\1 CII,'I(JlI(J(' \10:11'; !J
;(I'iiCTIIII'I'I','rl,JIO("]'1I :'J{(' ,\lHCCH 11рJI JlCjJL"j('II(('IJlill COXpall}JI''I' 111)(",1<111'('. IIO:I(}',I;L'
IIIIL' PH!J\lOIJP('II\f, тю; !:НIi «у 11 OCТIT}} С ('()(ioii "О:I(iУ;I;;(НI' ](Ю ('Ю CII,'IO!:O(', 110:11\,
В (jlll:i11'1('('J;O:\l :.lТrpl' 1; '1'])(',\1 Т1rОСтраIl('Т]Н'11111.1:\I J{OOP;(111IHTII,:\I Ilpll('I1
lIc'15IР'1'('Н '1 (\'I'Ji('JYI':l 51 !JjJ(' ICJI]I<iH, тr 'I'HI; ПН:iI.IIНIL':\IНН L'III'I(11 1.'11.llшr 'I'I'O[JIIH
ОТll ()('НТР;[ 1.11 О('"\'][ , ) ii 11 J IITP ii 11 а :\] 1111 J,O!J(' J;Ol'O 11р 111 iO;I,II.'I<L 11: 11 r(';('"\':lII:I('
JI Т!1O, () ' ДТО TI("I' 1.1 РСХ" ('р 11 0(' JI P(JL"I']HIJ 1 ("1'11(' 11 11 () 1; ])L'\I(' 1I11()(' !II О "ОО(, ра: JI J()
jlll,'[II(\TC 1 1'lт:JlI;(OIlI.I.\!, 11I1])()'IC:\I, L'HJ::rll:(OHI.I:I1 с 'I'oii ПОII]1:III!iоi'l, 'ITO
I;lщ:(рНТII'II'('I,ПН фО]J:\Ja (ls2, .'Je J;HIII,HH 11 ()('1I0IЮ PI'O "РТР"1{I1, "() III:III("I'("H
ПО;ТОJ]{]J'I'!':ТТ,ТlО , I,('(lllrIlI1Tlloji, а JO\(e'L'T ]11I, (el{(' 11111'jJ1(lfI[ 1. Н o(i1ll.I'i'i '.I{(\
'l'(,О]>Н![ 1Y!'110C]IT('.'II.IIOC']'![ eOIlL'pll1JJ.'IL'H [I('])('XO;( ОТ EII1i,'111:HL 1; .f'II:\HIIIY:
lJIp, COТ';IHCJlO l-IТОЛ TI'OplJ!I, CC"I'I, '1l'"\'I.Ipex.\lej1III,lii I;Oll'I'IIJJYY:\I, IJ I;OT(Jpo:\[
YC1':J1101l:101l0 :I1("I'PII'H'('IiOP IIO,i!', :i<lllттснщее ОТ P[\('IIO. IO',I{L'IIIIH 11 ,:1,1<11;\;1'111111
ШТСр 11 H:r], III.IX :11 а ('С 11 11 ])(';«('"1'3 111] IO(' [{нн;(ратн 'IL'c!{oii фОр:l! о ii (/s2 С 1111;(1' ]{(',О:\1
ПlIl']J1(]I]J 1, ;jTO )1("I']Jl.l'I('('J;O(" 110,1(', 11 'IHCTIIOC"I'lI, ]IOP0:'I;;(H('T JIII:I('IIII)I 'l'III'()
ТСII!I Н, ! ]{Н 'II)L"I'I\(' :r]JТl'jJЯТУjJ] 1 т'о I!('ТОЧJIIII;а н 11"1'0 Р .т;О" \11' 11'I'ap 11 н :l!Oil«\T
y]{aтITJ. Сlmю 1{J!l11' '. «!l:\Пlll, Zeit, .:\latl'1'j('}} (:i () JI13,ULIIJ1(), !kp,;[1f1[, 1 \12:)),
УД}КЕНИО IШЛЬТР Аl\IИ
uСНОnЫ ТЕ( РПН Ш'ОСТР АНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИ3!IЫ
EUGENIO BELTRAMI
TEORIA FONDAMENTALE DEGLI SPAZII DI CURVATURA COSTAN'fE
(1868 1869)
В мемуаре, помещенном в УН томе первой серии «Annali di JliIate
matica» (Рим, 18(6), я расс:vютрел поверхности, обладающие теи свой
свом, что их rеоде8ические линии представляются линейными ураБ
нениями, и нашел, что 8ТО свойство имеет место только для поверх
ностей постоянной кривизны и для определенных специа.ТIЬНЫХ
переменных, которые впервые ВВОДWl'СЯ при анализе.
В настоящем МЮ1уаре я излшаю результаты, 8начительно бол
'общие, к KOTOpЫ \1 меня привело дальнеitшее развитие 8'l'ОЙ пдеи
в СВЯ3И с некоторыми ПРИНЦИП&'\1:и, установленными РиманШ1 в зюre
чательном ПОС:VШР'l'ном труде ero (<<О rипотезах, лежащих в ()сновании
rео:vш'l'РИИ»), опубликоваННОА1 педавно r. Дедекиндом н 13 M томе
«rе'l'тинrенских мемуаров» 1). Надеюсь, QTO мои И8ыскания облеrчат
понимание некоторых частей 8Toro rлубокоrо труда.
'Известные выражения, которыми я часто пользуюсь для сокраще
ния, не пока:ш:утся, я думаю, ни натянутыми, ни темными тому. кто'
8аймется более сущностью, че:vr формой. Внимательный читате,ль лешо
поймет их бе8 дальнейших объяснений, имея, наконец, полную B03
можность придавать им смысл только чисто аналитический.
Дифференциальное выражение
-Vdx2+dx +dx +... +dx 2
ds == R п
х '
(1)
.
l'де Х, Х 1 , Х 2 , ..., Х п суть п+ 1 вещественных переменных, связан
лых уравнением
2 + 2 2 + + 2 2
Х Хl + Х2 . . . Х п == а ,
(2)
1) Мемуар Римана по:vrещен на стр. 309 325 нас:rоящеrо сборника. [Ред.]
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
343
между тем как R и а постоянные, можно принимать за выражение,
представляющее лuпеU/J-/:ЫЙ элео%епт или расстояние между двумя бес
конечно близкими точками в прострапстве п ивмере'Ний, каждая mо'Ч'Х:а
KOToporo определена. системой значений п 'Х:оордипат х 1 , х 2 , ..., х n
Форма этоrо выражения определяет пp7 poдy этоrо пространства.
Если положить для сокращения
Q== -Vdx2+dx +... +dx ,
то 2еодеsu'Чес'Х:uмu Л7lпUЯо\lU рассматрипаемоrо пространства будут те,
которые удовлетворяют уравнению
" J ' Q О
fj ==
х
при условии х ох + Х 1 ОХ 1 + . . . + х n ОХ n == О. Посредством обыкновен
ных преобраЗ0Ваний вариации интеrрала можно первое уравнение
представить в следующем виде:
s { ох [ + d e )] + ОХ 1 d e 1) + . . . + ОХ n d (: ) } == о;
если же принять в расчет соотношение, связывающее вариации
ОХ, ОХ 1 , ..., охn> то это уравнение разлаrается на следующие:
Q ( dX )
x 2 + d x!; == kx,
( dX 1 )
d u == kx 1 ,
х."
.. -,
d e: ) == kx n ,
rде k есть пока еще неопределенный множитель. Умножая эти ypaв
нения соответственно на х, х 1 , ..., х n И затем складывая, .имеем:
d( XdX+XldX1+...+XndXn ) k( 2 + 2 + + 2 ) .
XQ Х Х1 . . . х n ,
следовательно, на основании уравнения (2) k == о,:и потому
d ( dX ) + Q; == О (3)
х!;! х 2 '
dX 1 == c 1 xQ,
dX 2 == c 2 xQ,
.. .,
dx n == cnxQ,
(4)
rде с 1 , с 2 , . . ., СП суть постоянные. Эти п последних уравнений, будучи
вшшышены в квадрат и сложены, дают:
Q == dx
"yl e2x2 '
(5)
rде положено
с== -Yc +c +... +c .
Это значение Q обращает уравнение (3) в тождество, а потому это
уравнение бесполезно принимать в расчет', уравнения же (4) после
исключения xQ и интеrрирования дают:
,
Х 1 == ь 1 х n + Ь 1 ,
,
Х 2 == ь 2 х n + Ь 2 ,
. . .,
,
Xn 1 == bn lXn+ bn 1'
344
Э. БЕЛЬТРАI\IИ
Итак, rеодезические липии рассматриваемоrо пространства пред-
ставляются 1l 1 ЛlIIlеЙНЫ:\IИ уравнеНUЯ 1И м жду rt координатами
Хо Х 2 , ..., Х п , подобно то;ну как это п).шет место на плоскости и в обык-
новенном пространстве при употребленпи декарт?вых координат и на
поверхностях постоянной кривпзны при употреблении переменных
и и v цитированнOI'О выше мемуара. ,М:ежду системами rеодезичеС1ШХ
линпй нужно отметить как частный случай те системы, которые полу-
чаются, если приравняем ПОСТОЯIIlIЫМ все координаты, кроме одной,
Через каждую точку пространства проходит rеодеаическая лини.!!
каждой И3 этих систем; к числу пх принадлежат и сами координат-
ные осп Х 1 , Х 2 , ..., Х п (ПрПЧН:\i для Rаждоti П3 них все остальные
коордпнаты равны нулю); мы пх наЗ0ве:\1 систе. Щ.мu Х 1 , Х 2 , ..., ХN'
ДЛЯ получения длины rеоде3lIческой дуrи Р, заключенной между
двумя данными ТОЧltа:\IИ, за:\fеТJ'аl что II3 уравнения (5) имеем:
d B Rdx
P ,
х х Yl e2x2
откуда
1
сх==
ch P Po
R
rде РО пропзвольная постояннап и Х 0значает функцию
У 2 2 2 2
а Х 1 Х2 . . . - Х п .
о о о
Если обозначить букваии Х1, Х2, ..., Х п значения координат в Tor.me
Р == О, т. е. в начале дуrи, и букной х о соответственное значение Функ
цИИ Х, то получаем:
1
cxo== ,
ch
R
(6)
откуда по исключенип с имеем:
хо ch Ро
В
Х==
ch Р Ро
R
уравнение, которому иожно придать вид
X2Bh2 L
R
ch2
R
== 2xx o ch x2 xo2.
(7)
с друrой стороны, И3 предыдущих уравнений
Q == x 2 dp == dth P Po
х R е2 В'
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
345
а потоиу уравненпя (4) дают:
+ "1 h Р Ро
Х 1 == а 1 е 2 t '
Х ==а + е 2 th P Po
2 2 е2 R ,...
u о
ИЛИ, вводя вместо постоянных а 1 , а 2 , . .. Iеоличества Х 1 , Х2,
о о Р
Х 1 Х1 == С 1 ХХ sh R '
о о h Р
Х 2 Х2 == С 2 ХХ S В "'"
отсюда, возвышая в квадрат и складывая, имеем:
2 о О о 2 02 2202 2Р
2 (а Х 1 Х1 Х 2 Х2 . . . ХпХ,,) Х Х == с Х Х sh В '
Это уравнение в силу уравнений (6) IJ (7) дает окончательно
2 О О О
chL== а X1X1 X2X2 "' XпXп (8)
R V 2 2 2 2 2 02 02 02
(а X1 X2 "' Xп)(a X1 X2 ... xn)
общую фор:иулу, выражающую длину rеодезичеCIеой дуrи в функ
ции коордпнат ее концов.
EcmI предположить веществеННЫ1\Н1 переменные Х, Х1"'" Х п И
постоянные R и а, то i!рапuча рассматрпваемоrо памп пространства п
измереШ1Й есть 1 pocтpaпcrпвo п 1 uз.нерепия, данное уравнением
2 2 ' 2 2
Х1+ Х2+'" +Хп==а . (9)
Внутри этой rраницы, т. е. для
X +X +... +Х; < а 2
первое пространство пе1tрерывпо и оппосвязпо. И3 уравненпя (8) сле
дует еще, что ТОЧIП1, припадлежащие пространству rранице, все Haxo
дятся на бес%оие'Чпо.n расстоянпп 1).
[Во всей вещественной области, только что наин определенной,
величина ds, данная уравнением (1), остается постоянпо положитель
ной для ВСЯIеой системы значеппй отношений
dX 1 : dX 2 : . . . : dx n .
ЕсJПI взять вторую систему приращенпй ОХ 1 , ОХ 2 ,
жить
.. .,
ОХ п и поло
ох 2 + о х 2 1 + ." + ох2
\! R 2 п
vs х 2 '
то выражение
d 2" 2 В 4 (ах ох + аХ1 ОХ 1 + ... + аХ п ох п )2
sos х4
не может никоrда сделаться отрицательным (в силу хорошо извест
Horo преобраЗ0вания, которое можно к нему применить); следовательно,
l) Текст, приведенный ниже в квадратных скобlеах, добавлен автором в после
ДУЮЩИХ изданиях мемуара. [Ред.]
346
Э. БЕЛЬТРАМfI
,количество
Б2(ах ох+ аХ]. ОХ1 +... +ах n ох,,)
х2 а8 08
не может никоrда сделаться больше единицы. Поэтому всеrда можно
взять вещественный yrол 6, для KOToporo
. x2 b
dxox+dx 1 ОХ 1 +... +dxnox n == R2 сов..6. (10')
Иэ этой возможности вытекает то важное следствие, что, вычисляя
при помощи уравнения (1) три эначения d8, соответствующие трем
следующим, ваятым попарно, системам значений переменных
(х 1 , х 2 , .. ., х n ),
(Х 1 + dx 1 , Х 2 + dX2, .. 'j х n + dx n ),
(Х1 +ох 1 , Х 2 +0Х 2 , .. -, х n + ОХ n ),
по лучаем три числа, выражающие длины трех сторон прямолинейноrо
треyrольника. Нааовем, в самом деле, буквами М, М', М" три упо
.ннyтыe системы и обозначим ММ', через d8, а ММ" через 08. 3наче
ния системы М' можно вывести иа аначений системы М', дав ЭТИ1J
последним соответственные приращения
ОХ 1 dx 1 , ОХ 2 dx 2 ,
.. .,
ОХ n dx n .
Следовательно, пренебреrая бесконечно малыми порядка выше BTO
poro, можно положить:
2 Б2
М' М" == х 2 [(ох dX)2 + (ОХ 1 dX 1 )2 + . . . + (ОХ n dX n )2] ==
== d82+082 2 ш(ахох+аХ]. ОХ]. +... + ах n ох,,) ,
х 2
или же
М'211.,, 2 == MM' + М м" 2 2 ММ' . ММ' сов 6,
'rде 6 действительный уrол. Это уравнение доказывает справедли
вость изложенноrо выше свойства и делает понятной возможность
уподобления ВСЯRой системы значений переменных х 1 , х 2 , ..., Х п
тО'Чlfе, определенной своими координат8u'-1И. Следуя тому же порццку
идей, считают два линейных элемента d8, 08 ортОZО'НДЛЬ'Jiыми, коrда
для этих элементов 6 == ; , т. е. по (10') коrда приращения d и о yдo
влетвор.нют условию
dx ох+ dX 1 ОХ 1 + . . . + dx n ОХ n == О, (10)
которое для удобства речи можно наавать условием ортОZО'Jiал шости.
Рассмотрим, например, пространство п 1 измерений Х 1 == О и
положим, ЧТО из одной иа ero точек выходят два линейных элемента:
' дин d8, расположенный в этом пространстве, и друrой 08, напра
вленный по rеодезической линии системы х 1 , проходящей через эту
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
347
точку. В этом случае пмеем:
Х 1 == о, dX 1 == о, ОХ 2 == ОХ з == . - . == ОХ п == о, ОХ == о;
-следовательно, условие ортоrональности удовлетворено, т. е. каждая
rеодезическая линия системы Х 1 (или, общее, системы X r ) ортоrональна
к пространству Х 1 == О (или X r == о) В точке встречи с ним. Поэтому, в
частности, в начале координат направления п осей все взаимно opтo
rональны. Так же леrко ДОКа3ывается, что ось X r ортоrональна ко всем
npOCTpaHCTBa:VI X r == const; п rеодезических линий СIIстем Х 1 'Х 2 ' ..., Хn>
проведенных через произвольную точку пространства, перпендикул.ярны
к пространствам п 1 измерений Х 1 ==0, х 2 ==0, . . ., хп==о, аналоrично TO
МУ, что имеет место на плоскости и в обыкновенном пространстве, коrда
употребляют прямоуrольные координаты. На3ывая Х 1 , Х 2 ,..., п
части этих rеодеаических линий, заключенные между данной точкой и
пространствами, к которым они соотве тствен но перпендинул.ярны, имеем:
R Vx2+x +xr
Xr==t1og-.r . .
v x2+x; xr
(11)
Рассмотрим всю систему rеодезических линий, ВЫХОДЯIЦих из
определенной точки (x , X , .. ., X )- Она будет представлена следую
щеЙ системой дифференциальных уравнений 1), из которых последнее
€CTЬ следствие первых:
dxt
Х 1 x
dX2
x2 xg
dx n
х п x
dx
.
x
х
I'де для краткости положено
z==a2 x1x X2xg .' . ' XпX '
Условие (10) дает для пространства п 1 измерений, ортоrональноrо
:ко всем этим rеодезическим линиям, следующее дифференциальное
уравнение:
dz dx
z х'
ОТI,уда, интеrрируя, и;иеем:
a2 X1X X2X XnX
-.r 2 2 2 2
V а xl X2 ... X'n
== С.
(12)
Сравнивая это уравнение с уравнением (8), мы замечаем, что про
странство, им определяемое, есть также место точек, равноудаленных от
'точки(х , X , ..., X ); называя постоянное расстояние буквой р, имеем:
С .. r 2 0 2 0 2 ---л2 . ch 1... ---л ch 1....
v а X1 Х 2 ... ;L; R ;L; R .
1) Эта система получается из уравнениИ, помещенных на стр. 343 (первая
ШрOItа снизу). [Ред.]
348
Э. БЕЛЬТРАМИ
Так как уравнение (12) по саиоиу способу, которым оно был()
получено, остается шце в силе, КOl'да ТОЧltа ( , x , . . ., X l) удаляется
в бесконечность, т. е. корда х О становится равны:\! нулю и р беСЕО
нечности, то мы видии также, что в э'.rом случае произведение xOchi
стремится :к конечному пределу, которыЙ не может ОТJПlчаться от
1
предела произведения 2":ХР е R . Итак, подставляя вместо р разность
р' р, удаляя точку ( , x , . . ., X' ) в' бесконечнос'lЪ и оставляя р
постоянным, мы получаем в пределе уравнепие
a2 X1X X2X ... xnx
Ya2 x ... X;,
==ke
R
,
(13)
рде
02 + 02 + + 02 2
Х 1 Х 2 . . . х " == а ;
ЭТО ураппенпе представляет систему пространств r! 1 измеренпfi,
которые можно определить :как uрrпОZО'НДЛЬ7iые ш:рllе1.торшt всех zeoBeJlt-
"[есн;их .IU7illii, схоiJящuхся в oO-ной и той Зlсе беС'hО7iе'l'НО УОll.zеююй, 1Jlo'r"e
(x , x , . . ., ). Различные траeItТОрИП отличаются друр от ,рура
значенпями параметра р, выражающеrо 1/,остошн;нuв расстояние меж.:1У
К8$ОЙ УI'ОДНО И3 них И траекторпей, определяемой значение:м р == О.
Постоянная k дана, коrда дается IШltая нпбудь ТОЧltа Этой последнеЙ
траектории.
JliIы теперь докажеи, что природа рассматрипавшеrося нами до спх
пор пространства такова, что еслп взять какую либо часть еро 11
перенести ее в ПО,lIожение, отличное от прежнеrо ее положеНJlЯ, т()
всеrда можно достиrнуть совJиеще'нnя ее с друrой соответственноН
частью '1'01'0 же пространства. Чтобы понять, как может ЭТО пмсть
место, вообразим, что в Этой части пространства рассеяно ооп точе)"
беCltонечно близкпх одна к друrой и соединенных попарпо малень-
кими rеодезпческими дуrами, июнеРЯЮЩИ:\UJ их взаи:\!ные раССТОЯНIIЯ.
Тоrда 7iаЛОЗIСUJ\fОСI/lЬ, о которой идет речь, состоит в тои, что во ВСЯЕоfi
друrой час'l'И рассиатриваемоrо пространства можно рассеять ТОЧЕН,
при7iадлеЗlсащие эrпо.МУ 7Ipocrl7:pa7icrпcy и имеющие между собой те :;ке
взаимные расстояния и то же расположение, которое имелп Тf>ЧIШ
первой части пространства, так что сеть r! ro ПОрЯДI\а, обра:зованная
линиямп, сое}J:ПНЯЮЩИМИ смежные точки этой части, может быть
вполне ото:;кдествлена с аналOl'ИЧНОЙ сетью друrой части без раЗРЫВОIJ
или удваиваний в :КaItом либо MeC'l'e связей между ТОЧltами. Пзмене
ния, которым должна подверrнуться первая сеть для своеrо отожде-
ствления со второй, MOI'YT, впрочем, сделаться видимы.м:n только торда,
коrда и ту и друrую рассматривают rю отиошс'нию r.; 'nросnzра'Нству,
и.чеюще.чу более 7Ъ из.\tереJ-tuй; по:ка Этоrо нет, обе сети представляют
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
349
характер раве'Нства по сов.мещеmt70 или по си.II..illетР1Ш. Это последнее
заиечание имеет связь с остроумным рассуждениех1 J\1:ёбиуса 1).
Предположим сперва, что пространство отпесено к новоЙ системе
rеодезических осеЙ У1' У2, -.., lI п , пмеЮIЦИХ uБЩtJ8 начаJlU с преж
НШШI и, как эти последние, ортоrонаJIЬПЫХ между собоЙ. Так ItaK все
reодезические линпи представляются линеЙными уравпепиями, то
.яспо, что подстановкп для перехода от переменных х к перемеННЫ:\I У
должны быть Л7тей'Ны.IШj но, кроме Toro, Л81'КО убедиться, что их
фор:на должна быть такоЙ, какую мы назвапи орmОi!о'Наль'НоЙ. Деii:стви
Te rLHo, ФорхI3 (8) ПOItазывает, что расстuяние какоЙ нпбудь точки
(х 1 , Х 2 ' . . . , Х п ) от пачала завпспт только от функции X + X + х: + . . .
. . . + .i . СлеДОI3ательно, будем и:иеть:
X +X + ... +X == Y +Y + '" + У;"
ax + dx + ... + d,r;, == (1Jl + ay + ... + aи ,
11 по']'ому
d +dx +d + .., +ax
х 2
ay + ay + ау: +
у 2
+ay
Эта тождеСТНtJНПОСТЬ формы обоих элеиентов делает очевидным, что
две сети, которых соотве'],ственные вершипы связапы уравнениями
Х 1 == У1' Х 2 == У2, Х 3 == Уз, ..., ;r;n == У п ,
вполне совместпмы. Ясно, что вторая И3 этих сетеЙ есть не что иное,
кахе первая, повернутая вместе с первоначальными осями около Ha
чала до тех пор, пока первоначальные оси не прпняли направления
новых. Следовательно, доказано, что указанная совместимость деЙ
СТВlrrельно имеет место, коrда перемещение сводится к ПрОСТох1У
вращению около начала. Более Toro, так как можно было бы сделать
более общее положенпе
.:r. 1 == ---+-- Y1' Х 2 == ---+-- У2" .., хп== ---+-- и т
прпчем знаки мО1'УТ бы'lъ комбинируемы как уrодно, то ясно, что,
кроме равенства по сов.мещеmоо, есть неСКОu'IыtQ родов palJtJHCTI3a по
eU"II.-шлItР 1/ 1/.
Так как перемена осеЙ при неподвижном паТlале не И3х1еняет
формы линеЙпоrо Эu'Iемента, то остается теперь исследовать влияние
перемены начаJIа. Вс.;rедствие ']'01'0, что, взяв В пространстве какую
.либо точку, мы можеи уже предположить, что ось Х 1 направлена
к этоЙ ТОЧ1tе, мы имеем право взять новое начало на этоЙ оси В точке
'Х 1 == а 1 . ПОЭТО:\1У новое преобрasование заltлючается в том, ЧТО мы
должны сохранить оСЬ Х 1 и предыдущие координатные системы
1) А. F. 1\1 б Ы 11 В, Der barycentriB he КalkiH, Leipzig, 1827, стр. 184.
350
Э. БЕЛЬТРАМИ
Х 2 , Хз, . . . , Х п И вместо системы rеОДе8ических линий, перпендикулярных
к пространству Х 1 == О, подставить систему rеодезических линий, пер-
пендикулярных к пространству Х 1 == а 1 ; между этnми послеДНИ;\>II1
rеодезическими линиями находится первоначальная ось Х 1 . Н820веы
новые координаты У1' У2, ..., Уп' И пусть Ь есть постоянная, иrраIO
щая ту же роль по отношению к ним, какую постоянная а иrрала
по отношению к Х. МЫ обозначим подобным об раЗ0М буква;\>IИ
У 1 , У 2 , . . ., У п rеодеаические линии, аналоrичные линиям 1' Х 2 , . . ., ....уl1.
И получим, очевидно, как в формуле (11), следующее:
у R 1 +Уr
r 2 og у2+У; Уr .
у становив это, заметим, что, оставляя неизменными первоначальные
систе:мы Х 2 ,Х З , ..., Х п , имеем, пре:жде всето, для этих систем X r === У .
И вследствие этоrо
X r == --+-- Jh:...
Х у
для
r == 2, 3, ..., п.
(14)
Возвышая в квадрат и складывая сперва эти уравнения, ПОТОМ
их дифференциалы, имеем следующие две формулы:
(a2 xi) у2 == (b2 Yi)X2, ,
Q + ( d .!!... ) 2 ( d ) 2 == ...L ( d ! ) 2 ( d У1 ) 2 }
х2 Х Х у 2 I У У' J
Тде fj2==dy 2 +dyi+ ... +dy . Во вторых, если рассмотреть на оси х
части X , Y , заключенные между двумя началами и точкой, в ко-
торой сама ось пересекается пространством Х 1 == Х 1 , то получаем:
(15)
Х О Rl а+Х1
1 == 2"" og а Х 1 '
} ,О R 1 Ь + Уl
1 og
2 b Yl'
между тем кан расстопние Me eдy обоими началами равно
R 1 а+а1
2 og
a a1
Отсюда ясно, что нужно пОложить
X == 11 + Б 2 log а + а1 ,
a a1
т. е.
откуда
(а + Х1)(а аl)
(a Хl) (а + п 1 ).
Ь+У1
b Y1 '
аЬ (Х 1 а 1 ) а (ау! + а1 Ь )
У1 == a2 a1X1 ' Х 1 == аЬ+а 1 У1
Эти две формулы ведут к СООтношениям
(16)
а 2 (a2 ai) (Ь 2 yi)
a2 x2 1 ==
(аЬ + а 1 У1)2
ь 2 (a2 ai) (а 2 xi)
b2 yi ==
(а 2 lL:t X 1)2
(17)
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
351
которые, будучи надлежащим обршзом комбинированы с первым ив
уравнений (15), приводят It следующим двум уравнениям:
!!:... Y a2 a2 ==a +a J!..l..1)
х 1 У lу'
V а2 а 2 == а + а J!.1.. 2) .
.х 1 1 У; У'
откуда
( . а ) 2 ( Х! ) 2 ( Ь ) 2 ( У! ) 2
d d d d .
х х У У
В силу 8Toro уравнения второе И8 уравнений (15) дает:
ax2+a + .., +ах;
х 2
ay2+ay + ... +ay
у 2
отв,уда следует, что выражение линейноrо элемента сохраняет свою
форму, коrда иа"'lеняют начало, и, следовательно, на основании pac
суждения, аналоrичноrо только что приведенному, совместимость
имеет место во всех случаях, таи как теперь достаточно было бы
прииенить новую ортоrональную подстановку, чтобы сделать новые
оси вполне неаависимыми от первых.
Уравнения (14), (15, первое) и (17) дают:
. ..r a 2
lay". V а 1
X..== ab+01Jj1 для r==2, 3, ..., n;
это и уравнение (16, второе) ааставляют аакJПOЧИТЬ, что самое общее
преобршзование осей достиrается посредством zо.моzрафшчес'l>UХ noдcтa
иOeo'l>.
Переходя от этоrо преобрааования координат ХН Х 2 , . . ., Х п В дpy
I'ие Toro же рола, нужно указать на друrие преобршзования, дающие
элементу 8амечательную форму. Преобрааование, которое можно н;:
звать 1ЮЛЯр1-//Ы.м, llQлучается, если положить, прежде Bcero,
Х 1 === r}'l'
Х 2 == r}'2'
.. .,
Х п == r}'п
прп условии Ч + Л + ..." + Л == 1. Отсюда ииеем:
22 2 2 22"
dX1+dx2+ ... +dx п . dr +r dA,
1) Чтобы получить это уравнение, достаточно поделить левую и правую части
первоrо иэ уравнений (15) соответственно на левую и правую части первоrо из
уравнениЙ (17)i a аатем извлечь квадратныЙ корень из обеих частей. [Ред.]
2) Для получения этоrо уравнения из BToporo из уравнений (16) находим
а
аЬ + а 1 У1 == (аУ1 + аlЬ)
Х1
и вводим это выражение в правую часть уравнения
a..r Ь У1
V a al == a + ах . [Ред.]
х У У
352
Э. БЕЛЬТРАМИ
l'де
аА 2 === d),i +d), + . .. +dл;,.
Из 8Toro же
следует:
ds 2 === ( Ва cl1' ' ) 2 +
а 2 1.2
В 2 1. 2
a2 1'2 dA2.
110 обозначая через р rеодезичеClюе расстояние пачала илп полюса
от точки (X 1 , Х 2 , ..., Х n ), пиее:м:
Ва сЬ' === do
а2 1.2 I ,
1.2 sh 2 L .
a2 r2 R '
следовательно,
ds 2 === d p 2+(Rsh 1У dA2.
(18)
:Эта форма оправдывает назвапие 1WЛЯр'liоit, так как переменными
в ней служат радиус вектор р и КО.личестnа )" определяющие напра
Еление этоrо радиуса.
От этой фориы леrltO перейти к друrой, ,.которую можно было бы
На3вать стерео раф'U'чеСh"ОЙ и которая получается, если положить
Е1' === 2В th 2 . А1"
rде р и А1' суть прежние обозначенпя. Отсюда получаем:
)'1' dp + R sh 1 . d),1' === dEr . ch 2 2 '
h 2 Р
С 2Н
1
i + + ...
1 4В2
+ "2 '
<;n
п далне, ншшышан в квадрат и CItладывая уравнения, вытеltаюшие
из предпоследнеI'О при ПОСJlедовательной подстановке в:место l' чисел
1, 2, 3, . . ., п, и принимая в соображение последнее уравнение
и (18), паходIlМ:
-V clf;i + clf; + ...
ds === "2 "2
<;1+<;2+ ..,
1
. 4В2
:Эта формула была дана без доказательства Ри:маном в цитированном
выше пос:мертном мемуаре (Рпиап, 8 4).
Рииан указал друrую систему координат, из которой он выводит
меру кривизны данноrо пространства BOKpyr точки (Рпман, 8 2). Эти
коордпнаты в некоторых отношениях апалоrичны ДlcJкарТОВЫ;\1 пр.я
МОУl'ОЛЬНЫМ координатам, так как они выводятся из полярных KOOp
динат при помощи подстаНОЕltи
+clf;;,
2 .
+ n
(19)
Zl === P)'l'
Z2 === Р)'2'
.. -,
Zn === рАп.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
353
Отсюда ииеем
dл Р dZ r Zr dp
T р2
и, дадее, воавышая в квадрат и складывая,
dA2=== (Z +Z + .., +z )(dz +dz +
+dZ2,) (Zl dZ 1 +
+ zn dz n )2
р4
или
(zl dZ 2 z2 dz 1 )2
dA2 ===
р4 .
rде аНаЕ обоаначает сумму по всем iпарным сочетаниям индексов.
Иыеем ТaItже
2 2 2 2 (zl dZ 2 z2 dz 1 )2
dp === dZ 1 + dZ 2 + ... + dz n 4 '
Р
откуда, подставляя в (18), получаем окончательно:
ds 2 === dzi + dz +
dz + p [( sh y 1] (Zl dZ2 Z2dz1)2
(20)
IIЛП
dS2===dzi+dz + "0 +dz + 3 2 (1+ 1 2J + ...) (zldz2 Z2dz1)2,
(20')
rде р2 == zi + z + .., + z и ааключенный в скобки сходящийся ряд
расположен по воарастающим степеням 1 . Для очень малых аначе
ппй р можно просто принять:
dz 2 === dz +dz + .. о +.dz + 3 2 (Zl dZ2 z2dz1)2.
Но, рассматривая :элеиент поверхности, проходящий череа начало,
:можно достиrнуть надлежащим выбором осей z1> Z2"" или Х 1 , Х 2 ,. . .
TOI'O, чтобы этот :элемент совпал с :элеиентом поверхности Zs == О,
Z4 == О, . - ., Zn === О, Itотороиу соответствует, в сосеДС'fве с нача.лом,
лпнейный :элемент
ds 2 == dzi+dz + 3 2 (Zl dZ2 z2dz1)'.?;
а ТаЕ кю\: площадь бесконечно малOI'О треуrОЛЬНПltа с вершинами
(О, О), (z1> z2)' (dz 1 , dz 2 ), иа КОТОРЫХ вторая бесконечно блиака к Ha
1
чалу, равна "2 (Zl dZ2 z2 dz 1 ), ТО иа :этоrо можно ааключить, что
(Zl dZ 2 z2 dz 1 )2 равна учетверенному Itвадрату площадп беCIШНI:\ЧНО
мадото треуrольника с вершинами (О, О, . . ., u), (z1l z2, ..., zn),
(dz 1l dz 2 , о . ., dz n ), иа которых вторая бесконечно БЛИ3Itа к началу.
Сдедова'fельно, если раsделить в уравпении (20') CYJl,IМy членов чет
вертото порядка на квадрат площади треуrольника, о котором идет
23 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
354
9. БЕЛЬТРАМИ
4
речь, то в частном получается 3Б2 ; а так KaJt, по определению Ри
3
мана, :это частное, умноженное на "'4' выражает меру: кривизны
по направлению рассматриваемоrо нами :элемента поверхности, то.
очевидно, что в пространстве, о котором идет речь, :эта мера по
1
стоянна и равна Б2 во всех направлениях вокрут каждой ТОЧЕИ!).
ВОТ потому :это пространство и может быть названо :nростРШliсrпвОJ.1
постоя'/i'/iОЙ r;;рuвuз'/iъt.
Четвертое весьма важное преобразование получается, если ввести lt
новых независим-ых переменных '1J, 111' 112' ..., 1In 1 и положить''
Бх
a xn =='1J,
БХl
a xn '1J1' ...,
БХn l
a xn == 1In 1'
Непосредственно из :этоrо выводим:
-v dТj2 + dТj +
ds==R
тj
+ dТj 1
(21}
откуда заключаем, что формула (1) представляет линейный :элемент
пространства постоянной кривизны и тотда, котда п+ 1 переменных
Х, Х 1 , Х 2 , ..., Х N независимы друт от друта и более не связаны ypaB
нением (2), если только число измерений пространства есть п+ 1,
и свойство reодезических линий изображаться посредством линейных
1} Чтобы видеть совпадение определениЙ Римана и raycca, вспомним, что..
по rayccy, иера кривизны поверхности, определенной злеиентои
ds 2 == dp2 + -т 2 dB2,
1 д 2 -т
выражается фориулой , rде 'Ш есть вообще функция р и В. Если пере-
-т dp
иенная р есть длина rеодезической дуrи, выходящей из точки поверхности,
В которой поверхность имеет обыкновенную кривизну, то 'Ш есть функция вида
-т == р (1 + т' р2), rде т' такая функция, которая при р == о не обращается ни
в нуль, ни в бесконечность (см. Anna1i di Matematica, 2 я серия, T.I, 1867, стр.358,
,
а потоиу мера кривизны в точке р == о есть 6-т0" В такои случае координатЬL
Римана
Zl == Р СОБ В, z2 == Р sin В
дают только что рассиотренноиу злеиенту вид
2 2 2 4 (т 2 р2) ( zl dZ2 Z2 dZ 1 ) 2
ds == dZl + dZ 2 + р4 2 '
вследствие чеrо иера кривизны в точке р == О, по Риману, равна
3 . 4(т2 p2)
4" 11т р4 .
, ,
Но lim (при р == О) == Zmo; итак, оба выражения совпадают. ЯСНО, что 1п о
р
т. е. (-т')p o' должно быть количествои, не зависЯIЦИИ от В.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИ3НЫ
355
уравнений более не сохраняется 1). 3амечательно то следствие иа
выражения (21), что :КРИВИ8на пространства п 1 И8J\fерений '1J == consi
равна нулю во всех ero точ:ках, потому что ero линейный 8лемен'l
имеет форму
ds==сопst.-VdТI +d1l + ". +d'YJ; l'
Действительно, принимая во внимание формулу Римана (19),
можно непосредственно видеть, что 8лемент может приводиться
к квадратному корню И8 суммы квадратов точных дифференциалов
1
в числе, равном числу И8мерений только при R == О. Итак, простран
ство '1J === const есть одно П8 тех, которые Рпман на8ывает плосr>u-лш
пространствами (Риман, II, 8 1) и в ЧИСЛО КОТОРЫХ входят плоскость
и обыкновенное прост ранство, определя емые формула ми
ds === -V dx'"J + dy2, ds === -V dx'"J + dy'"J + dz 2 .
Теперь, после только что cKa8aHHoro, уравнение '1J == const допу
скает очень простую интерпретацию. Бес:конечно удаленная ТОЧIШ на
оси х п имеет координаты
Х 1 === Х 2 === '" === Xп l === О, х п === а,
и потому уравнение (13) для этой точки обращается в
р
a Xп == /;,'е B,
Х
rде /;" === !!...... Следовательно,
а
R ..!'...
'1) === еВ
., /С' ,
и на 8ТОМ основании уравнение 11 === const равносильно уравнению
р == const; И8 8Toro 8аключаем (так как направление rоси х п ПрОИ8
вольно), что пространство п 1 И8мерений 11 === const есть не что
иное, как одна И8 ортоrональных траекторий всех rеоде8ИТ1еСlеих
линий, сходящихся к одной и той же бесконечно удаленной точке,
т. е. одна И8 ортоrональных траекторий системы параллель'liыlx между
собой rеоде8ических линий. Обратно, каждая И8 8ТИХ ортоrонаJIЬНЬ
траекторий во всех своих точках имеет КРИВИ8НУ, равную нулю, и
потому две какие уrодно И8 них (принадлежащие lТОЛЬКО к одноЙ
системе) MorYT быть совмещаемы одна с дрyrой как уrодно.
Вводя в уравнение (21) переменную р вместо '1J, получаем друrую
раВН08начную форму:
2р
2
ds 2 === dp2+ /;" е R (d7j2 + d'1J + ... + d'1J; l)'
1 .
(21 ')
1) Форма (21) была указаНа для случая двух измерений Лиувиллем в ero при
мечаниях к 'pyдy Монжа: Applications de l'Analyse а la Geometrie, 1850, стр. 600.
23*
356
Э. БЕЛЬТРАМИ
Мы видели уже, что совокупность п 1 линейных уравнений,
связывающих координаты Х 1 , Х 2 , ..., хn> преДСТ3J3ляет rеодезическую
линию. Посмотрим, что представляет более общая совокупность п т
линейных уравнений.
Предполarая, что из 8ТИХ УР3J3нений выведены выражения п т
координат в З3J3иси:vrости от т остальных, мы видим, что число
нез3J3ИСИМЫХ параметров, заключенных в такой системе, есть
(т+ 1)(п т). Вообразим теперь, что все п координат Х 1 , Х 2 , ..., Х п
выражены линеЙно в функции от т переменных 711' 712' ..., ито Эти
выражения, вместе взятые, содержат (т+ 1)11 паршттров; но, если
подчинить 8ТИ параметры тождеству
X + X + . . . + X == и + и + . . . + и + h 2
(еде h остается неопределенным), то ясно, что таким образом при
бавляется т (т 2 + 1) + т условий, вследствие чеrо число остающихся
т (т, + 1)
нез3J3ИСИМЫХ пара,,,rетров окажется равным (т+1)п 2 т.
т (т 1)
НО 8ТО число на 2 превышает (т+ l)(п т); следовательно,
соотношения, предположенные между количествами Х и количествамн 71,
вместе с указанным условием, таковы, что они всеrда :моеут иметь
место, не налаrая никакоrо оrраничения на данную систему п т
ура13нений. В таком случае, полаl'ая
712+ u + _ . . +71;" == a2 h 2 == а,2,
мы выводим из 8ТИХ соотношений следующее:
ax2+ax +... +ax ==aи2+au +... +аll;",
х2 == 712;
следовательно,
...r 2 2 2
V du + dU 1 + . ., + du "
ds==R "
и
при условии
2 + 2 + + 2 ,2
и 1I 1 . , . 'М", а .
ИЗ 8ТОl'О следует, что место точек, преДСТ3J3ленных совокynно
стью п т линейных уравнений между координатами Х 1 , Х 2 , ..., Х п ,
есть пространство т измерений, кривизна котороео везде постоянна
и РaJЗна кривизне первоначальноrо пространства.
ТаЮIМ образом, например, п 2 линейных УР3J3нения представляют
поверхиость постоянной кривизны (== 2 )' которой можно было бы
дать название поверхиости первО20 поряд'Ка; п 3 уравнения пред
ставляют простраиство трех uз.l!ере'Jiий постоянной кривизны (== 2 )
И т. д.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
357
Действительная rеодеsичестщя линия вполне определяется двумя
ТОЧIЩИИ пространства; по rипотеsе, принятой до сих пор, это свой
ство не может иметь НИI{а1{оrо ИСI{лючения.
Поверхность первоrо ПОРЯДI{а вполне определяется тремя ТОЧI{аии
пространства. На ней всеми ТОЧI{ами лежит rеодеsичеCI{ая линпя,
проходящая череs две ее вещественные ТОЧI{И, так что если две
вещественные поверхности первоrо ПОРЯДI{а имеют две веществеиные
общие точки, то для них обеих будет общей и вся rеодеsичеCI{ая
линия, определяемая этими двумя ТОЧI{аии.
rеодеsический треуrОЛЬНИI{ всетда расположен на определенной
поверхности первоrо порядка, I{оторая остается определенной и тотда,
котда треуrОЛЬНИI{ беCIюнечно мал. Поэтоиу, если продолжпть по
reодеsическим линиям все линейные элементы, sаключенные в одном
и том же элементе поверхности, псе таIШ:М образом полученные Teo
деsичеCI{ие линии имеют своим rеоиетричеСI{ИМ местом определенную
поверхность первоrо порядка.
Еотда две поверхности перRоrо порядка переСeI{аются по линии,
Iwторая будет необходимо rеодеsичеCIЩЙ, то их уrол пмеет везде
постоянную величину, т. е. если провести череs I{аI{ую пибудь ТОЧI{у
линип их пересечения два линейных элемента, норма.льных R этой
линии пересечения, один на первой поверхностп, а друrой на BTO
рой, то беCIюнечно малое расстояние их IЮНЦОВ постоянно, если
только сами они суть длины постоянные. Действительно 1), предпо
лаrая, что ось Х 1 направлена по линии пересечения обеих поверхно
стей, мы можем, очевидно, представить уравнения этих поверхностей
в виде
Х 2 == т n, Х 3 == т з х n , ..., Xn 1 == тn lXn'
х т' х х т' х х == т' х
2 == 2 n' 3 == 3 n' ..., n 1 n 1 n'
тде т и т' постоянные параметры. Эти две поверхности пересечены
пространством Х 1 == а 1 по двум rеодеsичеСI{ИМ линиям, 1соторые по
выше сделанному sамечанию ортоrональны I{ оси х 1 . Две точки,
коордпнаты IЩТОРЫХ
Х 1 == а 1 , Х 2 == т 2 х n , .. ., Xn 1 == тn lXn' х n == х т
Х 1 == а 1 , , , х == rl/.' х' , х ==х',
Х 2 == т 2 х n , . . ., п l n 1 n n n
расположены соответственно на первой и на второй поверхности, и
именно на тех двух, вышеУI{аsанных rеодеSИ'IeСI{ИХ линиях, и их
1) Нижеследующее доказательство, которое можно было бы, CTporo rоворя
выпустить, помещено ради формул, к которым оно приводит.
358
Э. БЕЛЬТРАМИ
расстояние р может быть найдено (8) по формуле
а 2 а 2 JJ;[x х'
1 п п
V 2 2 2 2 2 2 ,2 ,2 '
(а а 1 т х п ) (а а 1 т х п )
сЬ 1...
Б
I'де положено;
2 1 L 2 + + 2 ,2 1 + ,2 + + ,2
т r т2 . . . тп l' 11Z == т 2 . . . тn l'
М==1 + т 2 т 2 ' + ... + т т' .
п l п l
Отсюда, наsывая буква:ии ::;, о' длины двух rеодеsических линпй,
вsятые между общей точкой X 1 == а 1 и двуия рассиатриваеиыми точ
ками, получаем:
cr
ch R ==
11 а 2 ai
V a2 a2 т2x2 '
1 п
'"
ch R ==
11 а 2 ai
V 2 2 ,2 ,2 '
а al m Х п
и следовательно,
cr тХ п
sh R == ,
V a 2 а 2 т 2 х 2
1 п
'"
sh ==
R
, ,
т Хп
V 2 2 ,2,2'
а а 1 т Х п
&1'0 покаsывает, что
р cr '" М cr '"
ch == ch . ch sh sh
R R R тт' R R .
TaI" как в &той формуле не остается следов точки a 1 , вsнтой на
оси Х 1 , то sаключае:"1, чrо, если проводиl'Ь на обеих поверхностях
череs какую уrодно точку &той оси rеодеаические линии, И:"1еющие
длины cr и о', rеодеsическое расстояние их концов всеrда постоянно.
т ак как &1'0 свойство существует для всяких::; и ::;', то оно ииеет
место необходимо и для бесконечно мал.;rх 'J и::;', иs чеrо и вытекает
вышескаsанная теореиа.
Допуская, что бесконечно малые треуrо.льники подчинены обык
;овенныи соотношенияи плоской триrОНО\1етрии, как &1'0 б >IЛО нелвно
покаsано при получении условий ортоrона.JIЬНОСТИ, мы непосредственно
приходим к тому, что при бесконечно иа.JIЫХ длинах р, ::;, о' выраже
М
ние есть косинус уrла, составляе:иоrо первыии &лементаии обеих
rшn
rеодеsических линий ::;, ::;', т. е. есть косинус yr.тra между обеиии
поверхностяии. С друrой стороны, леrко видеть, что рассиатриваеиый
1'реУ1'ОЛЬНИК может быть впо.лне прОИSВО.JIьн.;rм rеодеsическии Tpe
уrольникои; итак, межцу сторона\1:И а, Ь, с и ПРОТИВОПОЛОЖНЫИИ
уrлаии А, В, G rеодеsическоrо треуrольника, расположенноrо в pac
смотреннои пространстве, существуют соотношение
а Ь с Ь с
ch"A == ch1[ ch В sh"][shR cosA
(22 )
VCHOBbl ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
359
П равным образом анаЛО1'ичные ему; это соотношение отличается от
основной форму,л'>! сферической ТРИ1'онометрии только заменой R
величиной R V 1 (R есть радиус сферы), стороны же и У1'лы
остаются те же. Это вполне СО1'ласуется с фактом, уже указанным
ИИНДИН1'ом (журн. Rрелля, т. ХХ) 1) И доказанным Rодаппи (Annali
Tortolini, 1857), если вспомнить, что рассмотренный 1'еодезичеCItий
rреуrольник распо,ложен целиком на поверхности перво1'О порядка,
Т. е. на поверхности постоянной отрпцате.льной кривизны; по OTHO
тению к ЭТОй повер ности он является- rеодезичеСltИМ в обыкно
венном смысле. Если предположить У1'ол О прямым, то две формулы,
выводя-щиеся И3 (22) перемещением элементов, дают после надлежа
щеrо преобраsования
а с
th R === th R cos в.
(23)
Вообразим теперь, что вершина У1'.ла А уда.ляется неопределенно
по катету Ь, меЖ:J;У тем как сторона а остается неизменной по поло
жению и величине; мы увидим, что 1'ипотенуза' с возрастает до бес
конечности; в пределе ураВIlЮШЯ (22) и (23) дадут:
cosA === 1,
а
th 1l == cos В.
Иа первой формулы видно, что А === О, т. е. стороны Ь и с взаимно
-сближаются асимптотически, коrда вершина У1'ла А удаляется R бес
:конечность; вторая же формула указывает, что предел У1'ла В не
ПрЯМой У1'ол, как это бывает на плоскости, но У1'ол менее 900, вели
чина KOTopo1'o зависит от длины а следующим образом:
а
В E:
tgT==e
(24)
Последняя формула равносильна предьщущей. Если назвать пapa.п
.IIеЛl.1iъt.мu две rеодезич,ские линии, направляющиеся к ОДНой и ТОй же
{)есконечно удаленной точке, как мы 8ТО уже делали, то, через одну
и ту же точку можно провести две раз.личные rеодезические линии,
параллельные данной rеодезической линии; !Эти две паралле.льные
одпнаково наltлонены с ОДНой и с ДРУ1'Ой стороны к rеодеsической
лпнии, проведенной И3 ТОй же точки нормально к данной линии, и
их наклонение В к нормали связано с Д.ТIИНОй а ЭТОй нормали COOT
ноmением (24). Этот результат вполне СО1'ласуется с положением,
составляющим основу пеевх;лuдовой ееО.метрии, начала КОТОРОй, 3HaKO
мые уже rayccy, были мастерски изложен:>! в синтетической форме
Лобачевским в e1'o «Geometrische Untersuchungen» (переведенных
1) См. стр. ]78 настоящеrо сборника. [Ред.]
360
Э. БЕЛЬТРАМИ
Уэлем в 1866 rоду). Возможность построения ero системы при по
мощи обыкновенноrо синтеза (оrраничивансь пространством трех
измерений) зависит, во первых, 01' Toro, что, как доказано, в про
CTpaHC'l'Bax постояпной кривизны (положительной или отрицательной)
всякая фпrура .мОЭfсеlп произвольно изменять свое положение, 'Не 1zpe
lпеР1zевая никакоrо изменения в величине и во взаимном расположе
нии своих смежных элемен'l'ОВ; от этой воз.мОЭfс'Ностu зависит суще
ствuва'Ние рав'Ных фu<:ур и как следствие зшко'Н'Ность 1ZрU'Н'ЦU1zа 'Наложения.
BO BTOpЫX, в пространствах постоянной оrnрu'Цаm;eль'Ной Itривизны reo-
дезичесв:ие линии характеризуются подобно евклидов ой прямой свой-
СТВОМ вполне определяться 'l'олько дву.мя своими точками, так что
а'Ксио.ма о 1zря.мои имеет место для этих линий. И точно так же no
верхности первоrо порядка характеризуются подобно евклидовой
плоскости свойством определяться только тре.мя своцми точками, так
что для этих поверхностей имеет место а'Ксио.ма о плоскостu. ЕрО1Ш
Toro, отношения rеодезических линий к поверхностям первоrо no
р.ндв:а и этих последних дpyr к друrу те же, что отношенпя прямых
к плоскостям и плоскостей между собой, ибо одна из этих поверх-
ностей заключает в себе всю rеодезическую линию, раз только на ней
лежат две ТОЧКИ этой линип, И две такие поверхности пересекаются
по reодезической линии (и под постоянным уrлом), если они имеют
одну общую точку. Из этоrо соответствия следует, что если допу-
стить основпые аксиомы обьшновенной rеометрии, исключая постулат
о параллельных, то теоремы, к которым мы придем, оказываются
тождественными с теоремами rеомеТРИII пространства посто.янной
отрицательной кривизны, потому что эта последняя reометрия имеет'
те же основы, как и первая, за исключепием упомянутоrо постулата.
Теоремы этой rеометрии существуют при всяком значении кривизны,
служащей 1zaралtеmро.м неевклидовой rеометрии (которую я предложил
бы. назвать псевдосферu"tес'Кой), и толь'Ко uз.мере'Нuя, сделанные в объек
тивном пространстве, MorYT нас убедить, что частное значение ero
кривизпы есть 'Нуль, т. е. что для этоrо пространства R == 00, по-
добно тому, как только 1юсредство.м uз.мере'Нuй можно определи'IЪ кри
визну дапной сферы, составляющую 1zapaoМemp rеометрии сферичеCl;ОЙ.
Действительно, можно убеди'IЪСЯ в том, что теория ЛобачеВСRоrо
совпадает, за исключением терминов, с reометрией пространства 'l'P ex
измерений постоянной отрицательной кривизны. Интересующийся
6ТИМ соответствием может найти в дpyroM месте более подробное
изложение 1). 3десь, чтобы не делать слишком длинноrо отступ
е ия! я Qrраничусь неСКОЛЬК fИ краТЕИМИ указаниями,
1) См. Математичесtшй журнал (Неаполь) за сентябрь октябрь 1868rода
rде отдельные положения, развитые там для случая двух измерений, леrко
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИ3НЫ
361
Неевклидова планиметрия есть не что иное, как l'еометрия ПО
верхностей постоянной отрицательной кривизны. ()кружности этой
планииетрии соответствуют линиям, пересекающП1\I ОРТОI'онально все
rеодезические радпусы, выходящие И3 одной и той же ТОЧRИ поверх
RОСТИ, т. е. rеодезическим окружностям. Периметр их в функции
rеодезическOl'О радиуса r определяется формулой
7tR (е i е ) ,
как это Ylta8aHO Тауссом. Через три точки поверхности не всю'да
можно провести l'еодезическую Oltружность, имеющую центр в дей
ствительной точ.r,tе. Орици'Клъt, или предеЛЬ'l-tъtе 'Кpивъte ЛобачевскOl'О,
суть не что иное, как rеодевические окружности с центром в беско
нечности, т. е. кривые, радиусы которых образуют систему парал
лельных l'еоде8ических линий. ПОЛaI'ая в уравнении (21') п === 2,
получаем:
2р
2
ds 2 === dp2 + k' е R d'Yj2
выражение линейнOl'О элемента поверхности постоянной отрица
тельной кривизны, отнесенное к системе концентрических орициклов
и к их радиусам. Вид этOl'О выражения ПОКа8ывает, что при подхо
дящем И31'ибании поверхности орициклы MOl'YT обращаться в парал
лели поверхности вращения, меридиан которой есть Itриван касатель
ных постоянной ДЛИНЫ, равной R 1).
Неевклидова стереометрия есть не что иное, как l'еометрия про
странства трех измерений постоянной отрицательной КРИВИ3НЫ. Мы
уже СКа8али, чему в этой l'еометрии соответствуют прямые и пло
скости. Сферическим поверхностям соответствуют поверхности, пере
сеКaIOщие ортоrонально все l'еодезические радиусы, выходящие ив
одной и той же точки, т. е. rеодезические сферы. Здесь также может
ПрОИЗ0ЙТИ, что черев три ТОЧltи, и тем более черев четыре, нельвя
провести l'еодезическую сферу, имеющую центром вещественную
точку. Орuсферъt, или предеЛЬ'l-tъtе пoeepX1tOCтu ЛобачевскOl'О 2), суть не
что иное, КаЕ l'еодезические сферы, центр КОТОРЫХ в бесконечности,
т. е. ТaRИХ, радиусы КОТОРЫХ образуют систему параллельных reo
девических линий пространства постоянной отрицательной крививны.
MorYT быть повторены для случая трех измерений, в особенности, если иметь
в виду результаты настоящеrо сочинения и если прибеrать к помощи BcnoMora
тельной сферы.
[Работа Бельтрами помещена на cTp.l 80 212 настоящеrо сборника. Ред.]
1) To eCTЬ трактриса. [Ред.]
2) ИJIИ поверхности F Больаи.
362
Э. БЕЛЬТРАМИ
Полаrая в уравнении (21) п == 3, имеем:
-v clYJ2 + clYJi + clYJ
ds == R
YJ
(25)
тде
Rx
==r,
a XB
RXl
a Х В == 'YJ1>
RX2
а хз == 'YJ2,
и обратно,
2aRYJ1
.х 1 == ,
YJ2 + YJi + YJ + R 2
2aRYJ2
Х 2 == YJ2 + YJi + YJ + R 2 '
а (YJ2 + YJi + YJ в2)
хв== .
YJ2 + YJi + YJ + R 2
Формула (25) представляет линейный элемент неевклпдова про
странства, отнесенный к системе концентриqеских орисфер и к си
стеме их радиусов. Вид этоrо элемента показывает, что всякая
орисфера, определяемая уравнением 'YJ == const, есть поверхность
с кривизной, равной UУЛЛО 1), так как ее линейный' элемент имеет
форму
ds == const . -V d'1ji + d'1j
и переменные 'YJl' 'YJ2 суть декартовы пРЯ.ltоузольuые координаты ее
'Точек. Поверхность nepBoro порядка
[''[;1 + тх 2 +пх з +р == О
.представляется в координатах 'YJ, 'YJ1' 'YJ2 уравнением
2aR(l1J 1 +т'1j2) + (ап+р) ('1j2+'YJi+'1j ) == (aп p) R2
и потому пересекает орисферу (для которой 'YJ == const) по окружности.
Эта О1\:РУЖНОСТЬ приводится к прямой только в том случае, коrда
р == ап, т. е. коrда уравнение поверхности nepBoro порядка имеет
вид
[Х 1 +тХ2+п(хз а) == О,
что происходит, коrда эта поверхность есть дuа.метральuая поверх
ность орисферы, т. е. коrда она проходит через центр (в бесконеq
ностп) этой орисферы. В этом слуqае линия пересечения есть, oqe
видно, орицикл 8ТОЙ диаметральной поверхности, между тем как по
отношению к орисфере она такова, что превраш:ается в прямую,
коrда орисфера развернута на плоскости. Из этоrо вытекает, что Tpe
уrо.льник, начерченный на орисфере тремя диаметральными поверх
НОСТЯ:\fИ, есть, в сущности, rеодезический треутольник, расположен
.ный на поверхности нулевой кривизны; поэтому он удовлетворяет
всем соотношения\![ обыкновенной плоской триrонометрии, так кат\: он
может быть полностью наложен на прямолинейный треуrольник.
1) Т. е. поверхность, наложимая на евклидову плоскость посредством прос
. Toro изrибания без растяжения. [Ред.]
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
363
Такпм обраЗ0М, все понятия неевклидовой rеометрии находят себе
полное соответствие в :сеометрии пространства постоянной отрицатель
ной кривизны. Необходимо только обратить внимание на то, что,
lleЖДУ тем как понятия неевклидовой планиметрии получают истин
НУЮ и настояш;ую интерпретацию вследствие Toro, что MorYT быть
построены на вещественной поверхности, те, которые относятся
R трем измерениям, MorYT быть представлены только аналитически,
пбо пространство, в котором такое представление моrло бы быть
реаЛИЗ0Вано, отличается от Toro, Е которому вообще применяется
слово простра'Нство. По крайней мере опыт, повидимому, не может
бить приведен в соrласие с результатами этой более общей rеометрии
иначе, как при помощи предположения, что постоянная R бесконечно
велика, т. е. что Еривизна пространства равна нулю; это, впрочем,
моrло бы ПРОИЗ0ЙТИ только от малых раз:неров треуrольников, KOTO
рие мы можем измерять, т. е. от малых размеров той части про
.странства, на ЕОТОРУЮ распространяются наши наблюдения, подобно
'OMY как это случается с измерениями, сделанными на малой части
ае.мной поверхности, точность ЕОТОРЫХ оказывается недостаточной для
Toro, чтобы сделать очевидной шарообразность земли.
До сих пор мы rоворили только о пространствах п измерений
с кривизной постоянной И ПрИТО I отрицатель'Нои; основанием этому
служило ТО, что мы преимущественно имели в виду сближение OTHO
,сящихся сюда понятий с ПОНЯТИЯ:\IИ reометрии неевклидовой, по OTHO
шению Е которой противоположная rипотеза представляет менее
лНтереса. Тем не менее, мы здесь скажем несколько слов и о ней.
Лпнейный элемент
1Idx +dx +dx:+ ... +ax ax2
ds === R
Х
(26)
в IЮТОРОМ
x2===a2+x +x +... +x ,
принадлежит пространству п измерений, Еривизна EOToporo везде
1
постоянна и равна В,2 ' Эта формула выводится из (1) посреДСТВО"I
аа.мены В, а, х Еоличествами R 11 1 , а 11 1, х 11 1 , и все свой
ства и уравнения, основанные на чисто аналитичеСЕИХ преобраЗ0ва
ннях элемента (1), существуют, очевидно, с УЕазанными изменениями
для этоrо друrоro элемента. Например, формула (8) изменяется в сле
ДУЮЩУЮ:
сов ===
а 2 + X 1 Х? + X2X + . ., + XnX
V 2 2 2 2 02 02
(а +Х1 + '" +X1 )(a + X 1 + ... +Х п )
(27)
дающую действительное значение для р, Еаковы бы ни были дей
-твиrелъные значения х 1 , х 2 , ..., х n , x , xg, ..., x . Ясно, что для этих
364
Э. БЕЛЬТРАМИ
пространств теорема о наложимости двух :ка:ких УI'одно частей про
странства выполняется полностью.
Если в выражении (26) предположить вещественными пере:иен-
ные Х, Х 1 , Х 2 , . . ., Х N и постоянные R и а, то значения, :которые
можно допустить для :координат Х 1 , Х 2 , ..., ХN> не имеют НИIШRоrо
предела и MOI'YT изменяться от oo до +00. Для всех действитель.
ных значений этих :координат пространство 'Неnрер'Ы6'НО и од'НОС6ЯЗUО, НО
'Не бесr;;о'Не'Чuо (Риман, III, 8 2), ибо если положить в (27)
X == Л 1 't,
о
Х2 == Л 2 't,
.. .,
X == Лn't,
2 2 2 Ф
причем Л1 + Л2 + . . . + л n == 1, то для 't == 00 мы получим ормулу
р Л 1 Х l + X2 + . . . + ЛnХ n
СОБ R ==
Va2+xi+ +...+ '
дающую для р значение :конечное и определенное. rеодезичеCIше
линии попрежнему изображаются линейными уравнениями; но ввиду
допустимости бес:конечно больших значений для :координат, принцип
ПОЛНОI'О определения I'еодезичес:кой линии двумя ее 'l'оч:ками перестает
б'Ыть исти'Н'Н'Ы.М без uсr;;/ио'Че'Нl{Я. Действптельно, пусть мы имеем ypaв
нения I'еодезичес:кой линии
, ,
Х 1 == Ь 1 Х n + Ь 1 , Х 2 == Ь 2 Х n + Ь 2 ,...
По:ка по :крайней мере одна И3 точе:к, через :которые I'еодеsическая
линия должна проходить, имеет :конечные :координаты, все :коэффп
циенты морут быть вполне точно определены; но если обе точ:кн mreют
бес:конечные :координаты, то понадобится дать у равнениям вид
,
Х 1 Ь 1
==b1+ '
Х п 'Х п
Х 2 b
==b2+ '
Х п Х n
и подставить вместо первых членов предельные значения, к :КОТОРЫМ
они стремятся в этпх двух точ:ках. Если эти пределы равны между
собой, то значения вторых :коэффициентов остаются неопределенньши
и I'еодезичес:кая линия 'Не может быть еДИНСТВeIПIОЙ и определенной.
Если пределы различны, то :координаты l'еодезичес:кой линии беско
нечны во всех ее точках.
Соображения, :которые привели нас :к уравнению (13), не прило-
жимы I пространстваи постоянной положительной :кривизны, потому
что в этих последних нет точек, находящихся в бесконечностп. Сле
довательно, образы, представленные этим уравнением, не встречаются
в этих новых пространствах, точно та:к же ка:к в них нет I'еодtJзиче
ских линий взаимно параллельных.
Мы видим, что I'еометрия пространств постоянной положптельной
:кривизны (которую уместно назвать сферu'Чесr;;ой zeOMeтpueu в широком
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИ3НЫ
365
смысле слова, ибо, ЕШR ПОRазывает уравнение (22), rеодезичеСRие
треуrольшп\;н подчинены здесь заRонам сферичеСRОЙ триrонометрии)
весьма значительно отличается от rеометрии псевдосферu'Чес'Кой, хотя
п ДОПУСRает вместе с этой последней существование равных фиrур.
Впрочем, псевдосферичеСRая rеометрия может естественно привести
Е рассмотрению пространств положительной RРИВИЗНЫ. Действительно,
полаrая в уравнении (26)
а Хl
-х===у, х===У1' ...,
Х п
х===уn,
ilIаходим:
ds ===R Yay2+ay +. .. +ay
прп условии у2 + y + . . . + у; === 1; этот результат, если принять во
внпмание уравнение (18), в ЕОТОРОМ положить Р === const, ПОRазывает
нам, что rеодезичеСRие сферы радиуса р в пространстве п измерений
постоянной отрицательной RРИВИЗНЫ 2 суть пространства п 1
пюшрений постоянной положительной RРИВИЗНЫ ( 1 ) 2.
Rsh.1....
R
ИтаR, сферичеСRая rеометрия может быть рассматриваема Еав:
аЕ;;rючающаяся в псевдосферичеСRОЙ.
rEPMAH rЕЛЪ:мrольц
О ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНПИ I'ЕОМЕТРИИ
HER:м:AN НEL:М:HOLTZ
UBER ШЕ THATSACHEN, ШЕ DER GEOMEТRIE ZU GRUNDE LIEGEN
(1868)
:Мои исследования о пространственных восприятиях в области зреНIIII
привели мени и к исследованию по вопросу о происхождении и сущ
ности наших общих воззрений о пространстве. При этом, прежде
Bcero, явился Вопрос, несомненно прниадлежащий к области точных
наук: какие И3 положений rеоме'l'рИИ имеют объективное значение?
какие И3 них, напротив, суть только определения, или слеДСТВIIЯ
определений, или зависят только от формы представления? ЭТОТ BO
прос, по моему мнению, разреmается не так просто, так кш. в reo
метрии мы имеем дело постоянно с идеальными rеометричеСКИМII
обр.азами, которых вещественное представление в действитеЛЬНОСТII
есть всеrда только приближение к требованиям понятия, и мы
решаем вопросы, твердо ли тело, плоски ли ero rрани, пр.нмы ли ero
ребра, с помощью тех же положений, которых Фar,тическую верность
хотим: проверить опытом.
При исследовании я шел, в сущности, по ТОМУ же пути, KOТOpO:lIY
следовал и Риман в своей недавно опубликованной диссертации 1).
Аналитическое исследование вопроса, чем отличается пространство ОТ
друrих допускающих измерение мноrообразно протяженных и неnpе
рывных величин, является необходимым в этом случае именно вслеk
ствие Toro, что оно не нуждается в наrлядности и поэтому не по.::\-
вержено ошибкам, ПРОИСХОДЯЩИl\l от Оl'раниченности наших предста
влений и потому с трудом избеrаемым в этой области. ПРИТO:Il ана-
литическое исследование вопроса имеет то преимущество, что оно
допускает возможность последовательноrо и полноrо проведения иной
системы аксиом.
1) UЪеr die Hypothesen, welcbe der Geornetrie zu Grunde liegen. [См. стр. 309
325 настоящеrо сборнш{а. Ред.]
о ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
367
Моя ближайшая цель состояла, как и у Римана, в том, чтобы
исследовать, какие особенности пространства принадлежат каждому
зависящему от мноrих переменных непрерывно изменяюще:иуся MHO
rообразию, различия KOToporo допускают количественное сравнение, и
ЕаЕие из них, напротив, не будучи обусловлены этим общим xapaK
тером, свойственны только пространству.
Я и:vrел как раз в физиолоrической оптике два примера, допу
СЕающих пространственное представление пере:менных мноrообразий,
именно систему цветов, упоминаемую и Риманом, и измерения поля
зрения rлазо:vrеро:vr. Оба мноrообразия представляют известные OCHOB
ные различия и наводили меня на сравнение.
.н должен признаться, что, хотя опубликование исследований РII
мана и отняло у меня право первенства на ряд моих собственных
результатов, для меня имело вместе с тем весьма большое значение
то обстоятельство, что такой замечательный математик заинтересовался
теми же самыми вопросами; иметь ero своим спутником представля
лось мне важным залоrом верности избранноrо мною пути в области
вопросов, дискредитированных прежними неудачныJYIИ попытками.
При это:vr наши работы не вполне совпадают, и я позволяю себе
поэтому предложить Обществу часть моих исследований, Itоторая не
заЕлючается в исследованиях Римана.
После Toro, как Риман показал, что мноrообразие может быть pac
сматриваемо как п KpaTHO протяженное, если определенная особь
IEinzelnH] мноrообразия определяется в нем п переменными величи
нами (координатами), и прибавил дальнейшее требование, чтобы Rаж
дая линия моrла быть независи...'\Ю от места и направления сравнимой
с Itаждой дрyrой по длине, ему представилась задача определить
харюtтер зависимости элемента длины линии от соответствующих диф
ференциалов координат. Он решает эту задачу с помощью rипотезы,
полаrая элемент длины линии равным квадраТНО iУ корню из OДHO
родной функции второй степени от дифференциалов координат. Он
выставляет эту rипотезу как простейшую из соответствующих усло
виям задачи, но признает ее явно за rипотезу И, между прочим,
упоминает о возможности Toro, что корень четвертой степени или
друа1е еще более сложные выражения MorYT представлять линей
ный элемент.
3атем он рассматривает в самой общей форме те следствия, EOTO
рые MorYT быть выведены из этой rипотезы, и ТОЛЬRО в самом конце
оrраничивает общность CBoerO исследования, выставляя новое требо
вание, СОСТОЯIЦее в том, что оrраниченные п KpaTHO протяженные
образы конечной величины (неизменяемые системы точеlt) MOl'YT переме
щаться повсюду без растяжения. Это оrраничение приводит ero к случаю
действительноrо пространства, удовлетворяющеrо эт,ому требованию..
368
r. rвльмrольц
При этом обнаруживается, что требование беCIюнечности прот.пже-
ний пространства, выставляемое обыкновенной rеометрпей, не вклю
чается в число допущений.
Мое исследование отличается от изысканий Римана тем, что я ближе
изучил то влияние, которое имеет введенное им оrраничение, отли-
чающее действительное пространство от дрyrих мнорократно протяжен-
ных мноrообрааий, на обоснование положения, составляющеrо крае.
уrольный камень всеро исследования, и по КОТОРОМУ квадрат линейноrо
элемента есть однородная фУНRция второй степени от диффере!щиалов
координат. Можно покааать, что, придерживаясь с саморо нача а
требования безусловно свободной подвижности твердых фиrур без
изменения формы во всех частях пространства, леrко вывести исход-
ную rипотезу Римана из более широких допущений.
Моя исходная точка заключалась в том, что всякое первоначальное
измерение пространства основывается на наблюдении совмещения;
прямолинейность световых лучей есть, очевидно, физичеCltий фаr_т,
основываюIЦИЙСЯ на опытах друроро рода, и не имеет значения для
слепца, который, однако же, может также приобрести полное убежде
ние в верности rеометрических предложеШIЙ. О совпадении же вообще
нельзя rоворить, если твердые тела или системы точек не морут быть
передвиrаемы без изменения формы и если совпадение двух про-
странственных величпн не есть факт, существующий независимо от всех
движений. Поэтому я с саморо начала предположил возможность про-
странственноро измерения путем констатирования совпадения п по
ставил себе задачу найти самую общую аналитическую фОрJ\IY MHoro-
кратно протяженноrо мноrообразия, при которой возможно движение
требуемоrо вида.
Прп это:>.! измененном пути моей работе недоставало той большей
общности, которой достиr анализ Римана до введения вышеупомнну
ТОРО оrраничения. По введении же этоrо оrраничения мои результаты
совершенно совпадают с еро результатами.
1. I'ипотезы, .'Тежащие в основании исс.'Тедованин
1. Пространство п ИJl\Iерений есть п KpaTHO протяженное MHO
I'ообразие, т. е. каждая определенная особь [Einzelne] точка опре
деляется измерением некоторых непрерывно инезависимо друр от
друра изменяющихся величин (координат), число которых есть п.
Каждое движение точки сопровождается поэтому непрерывным ИЮlе-
нением по крайней мере одной из координат. Если и встречаются
исключения, рде или изменение становится прерывным или, несмотря
на движение, не происходпт изменения всех координат, то такие
Исключения будут относить СЯ ТОЛЬRО К известным местам (ТОЧltам
О ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
369
ЛIIНИЯМ, поверхностям), определяемым уравнениями; все таюrе МеС'1'а
мы ИCltлючаем из IIССJIедования.
Необходимо замеТII'lЪ, '1'1'0 ПОД непрерывнос'1ЪЮ изменення при
движении не ТОJIЫШ подразумевается '1'0, что при движении коорди
наты принимаю'1' все промежуточные значенпя, JIежащие меЖДJ Jюнеч
ными значениями, но в:иесте (1 тем преДПОJIаrается существование
производных, '1'. е. предпо.JIаrается, '1'1'0 О'1'нопreния между взаимно
соотпеТСТВУЮЩИ lИ IIЗ 18uениями ко о рдпна'1' при уменьпreuип 8ТИХ изме
нениЙ стремятся к определеННО lУ зна Т I8НИЮ.
Эта rипотеЗ8 J1еЖIIТ в основании работы Римана, на 1ЩТОРУЮ я и
ссылаюсь ДJIЯ б,пижаЙПlеro разъяснения и обоснования.
11. ДОПУСliае'l'С.II ( уш;ествоnание ПОДВИЖНЫХ, но неИ3ПlеП.IIt'\]}IЫХ
(Tnep: ыx) тел И.'JИ си тем точе"; такое допущение необходи.. о ДJIЯ
сравнения пространственных неJIИЧИН ПУ'1'ем совмещении. Так ка!, мы
еще не имеем поъ:а права преДПОJIаrать КaItие JIибо специальные
приемы для нзмерения пространствеНllLIХ веЛИЧIlП, то мы можем Te
перь да'1'F> только с.педующее опреде;rенпе тверДОl'О Тf\.ла: Ме;з/соу 2л
коордшнаrпа.I!U 'Ка;жiJоЙ lЩРЫ rпо'че'к, ltрu'НддлеJ/СШ!f11Х rпBepao.;\ly телу, Сllще
ст6ует уравнеНllР. 'не зависящее от двUJ/се'Н11Я rпBepaozo тела и одинаковое
для 6ССХ 6за'll.tt'Но СQвпаоающих 'пар точе'к.
СовJиести.tfЪ!Jltll СЧИ'1'аются те пары точert, Iюторые ОДНОПрf'i\ЮННО JIJ1И
последовате,ш,но l\IOrYT совпадать с одноЙ и той Жf' пароЙ точек про
странства.
Несмотря па кажущуюся неопределенность, С)'1'О определенпе TBep
доrо тела в выспreй С'1'епенп плодотворно, так 1taIt па основапии ero
'lп(т l)
между rп точками должны СУlцествоваТh 2 уравнений, между
тем как число заключающихся в ннх неизвеетпых координа'1' равно тп
1t(п+l)
11 ив них, ItpOMe '1'oro, 2 до,пжны быть в распорнжении дли
опредеЛf'IПI,н переменноrо положения неизменяемоЙ системы. ПО8ТОМУ
в том случае, коrда т> п + 1, чпсло уравнений превышает число
1
неизвеСТIlliIХ на "2 (т lt) (т lt 1). U'l'Cюда следует, TITO уравпение
Me 1J;y координатами Rаких либо двух неподвижных точен: не J\10жет
иметь произвольную форму, НО TITO втим уравнениям должны при
надлежать особенные свойства. Таким образом, ставится опреде,пенная
анаЛИТИТIеская задача, состоящая в ОJlижаЙшем определении вида
этих уравнений.
3амечу, что выставленный ВЫПlf\ постулат, на основании KOToporo
в пространстве имеет место уравнение для каждых двух неизменно
соединенных точек, отличает ПрОС'1'ранство от системы цветов. В си
стеме цветов уравнение, выводимое посредством закона смешения,
существует вообще между пятью точками или в частном случае, коrда
24 Звк. 1164. Об основаннях rеометрии
370
r. rЕльмrольц
цвет образуется из смеси двух друrих, между этимп тремя цветами.
В пространстве этому соответствовал бы тот случай, Еотда все твер-
дые тела были бы произвольно растяжимы по направлениям трех
rлавных осей. Данное выше определение твердости есть, таЕИМ обрааом,
определенпе высшей мыслимой степени относительной твердостн.
ПI. IlОПУСI аетсн вполне свободная ПОДRIIЖНОСТЬ твердых тед,
т. е. предполаrается, что Еаждал пх ТОЧЕа может перейти непрерывно
на место Еa:lЕДОЙ друrой, на СЕОЛЬЕО эта первая ТОЧЕа не свяаапа
уравнениями, существующп:ии между ней и ПрОЧИ ПI ТОЧЕа.mI нена-
меняемой системы, Е ЕОТОРОЙ она принадлежит.
Первая ТОЧЕа неизменяемой спстемы П08ТОМУ а6СОJIЮТНО подвижна.
Если она Уltреплена, то для второй ТОЧЕИ существует уравнение и
одна из ее Еоординат становится ФУНЕпией 1Z 1 прочих. Пос.ле Toro
ЕаЕ заЕреплена и 8та вторая ТОЧlta, ДJIЯ первой существует уже дна
. п (п + 1)
уравнения, и т. д. В целом, таЕИМ образо r, необходимо 2 вели-
чин для определения положения неизменяемой системы.
Как из 8ТОТО допущения, ТаЕ и из допущения, сделанноrо ПОД
циФрой 11, следует, что две 'НеUЗ.Аtе'/-lяе_ tъtе cиcтe.м,ъt то'Ч6'Jf, А и В, 1'оторые
.м,оzут быть пpивeдe'HЪL % сое.мвще'НlШО соответствующих то"ст;; np7t одио."
пОЛОJ/сещtи А, .м,оzут быть иpивeдe'HЪL % сов.J\tеще'/-lию всех тех то'Че%, '/i:OтO
рые сов_ teщались рШ/-lыие, и 1 pa вСЯ1;;О.лt DpYZO.M JZOЛОJlсе'/-lии А. Друrшш
слова ПI, СОВМIOСТИ;\ЮСТЬ двух пространственных форм не зависит от
их положения или псе части прострапства совместимы взаимно, еСЛII
не будем обращать внимания на их rранпцу, подобно тоыу как СОВ-
lIIести rы между собой все частп одной и той же шаровой поверх-
ности, если не оБРaIЦать ВНlПlания на их ЕОНТУР.
Поле зрения обнаруживает более оrраниченную подвижность изо-
бражений на сетчатой оБОЛОЧЕе. В моей фИЗИОЛOI'ичеСЕОЙ ОПТIше
УЕазано, ЕаЕие следствия вытеЕают из 8ТОТО для изыерения пространств
rлазомером.
IV. Наконец, мы должны приписать пространству еще одно свой-
ство, аналоrичное с ,мо'нодро.мией Фунь:ций ЕомплеЕСНОЙ веЛИЧИПLl 11
ВЫРa:lЕающееся в том, что два совмещающихся тела совмещаются и
после тото, Еше одно из них подверrлось :НРaIЦению шtOЛО неЕОТОрОЙ
оси. Враще'Нuе хараЕтеризуется при 8ТОМ аналитичеСIПI тем, что иаве-
стное ЧИСЛО точеЕ движущеrося тела сохраняет во вре]\'ш движеНIIЯ
неизменные Еоординаты, обраптое двUJlсещw или возвраЩВ'/-luе тем, что
ранее пройденные непрерывно изменяющиеся СОВОЕУПНОСТИ числен-
ных значений Еоординат должны бы ть проходимы В обратном напра-
влении.
о ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rВОМЕТРИИ
371
Мы можем выразить 8'1.'0'1.' факт следующим обраЗОС\;I: если твердое
тело вращается О'КОЛО п 1 тО 4 tе'К, выбра'Н'НЪ/х та'К, 4tmO 1ЮЛО:Jlсение тела
зависит толь'Ко от од'Ной 'Независи.АЮЙ 12ере.Аtе'Н'Ной, то вращетte без поворота
иазад приводит тело в 'Конце в то 'Ншчдль'Ное пОЛО:JlсеЩАе, из 'IrOmOpOi!O оно
В'btUtЛО.
Мы увидии, что 8'1.'0 последнее свойство простраНС'l'ва не должно
необходимо существовать, если даже выполнены три первых условия.
Поэтому, несмотря на всю свою очевидность, опо должно быть BЫ
ставлено как особое свойство пространства.
Обыкповенная rеометрия предполаrает беа особоro упоминания
существование 8Toro последнеrо свойства, так как. рассматривает Kpyr
ЕВЕ за:.vrкнутую ЛИНию; она предполаrает постулаты I1 и IП при всех
предположениях, в которых дело идет о СОВ;'\Iещении, так. как суще
ствованпе твердых и свободно движушихся тел с указанными выше
свойствами есть предварительное условие всякой совместимости. Она
преДПОJlаrает ТaJ\:же непрерывность и иаиерения [Dimensionen] про
странства. Ее положения в далышйше"м облек.аются в аналитическую
форму, тfШ как их смысл без применения ТaIЮЙ формы не может
бr,пъ выражен определенно.
2
Следствпя из предпосланных положений будут выводиться в Пред
ПОJlожеI И трех измереI Й.
3а:.vrечу, к.роме Toro, что так IcaK в последующем дело идет о дo
1шзательстве предложения РИ:\Iaна, относящеroся IC диффереI иалам
Еоординат, то я буду прилаrать допущения 11, IП и IV только
1, ТОЧIШ;,\1 С бесконечно малыми раЗНОСТЯМII координат, так что COBMe
СТИl\IОСТЬ, не зависящая от rрапицы, предполаrается для бесконечно
малых 8леиентов пространства.
Пусть и, 'с, W суть координаты точки, прпнадлежащей 'l'вердому
телу, для пеРВОI'О положения 8TOro 'l'ела.
Пусть r, s, t будут координаты той же ТОЧЮJ при друrом поло
жении твердоrо тела. Они будут Фув:rcциями от и, 'С, W JI шести по
стоянных (постоянных положепия), ОПределяющих новое положение
твердоro тела. На основании допущеI П I, r, s, t должны иамепяться
непрерывно вместе с и, 'С, W, аа возможным :rШКЛIOЧeI ем тех мест.
в которых движение точки производит прерывное изменение коорди
на'!'. В тех случаях, Iсоrда 8'1.'0 исключение не ииеет места, мы имеем:
du ои dr+ ds + dt \
dr ds dt' I
av av av I
d'C ===щ-dr+-иsdS+(jtdt, f
дш дш дW
dш=== dr+dSds+at dt; J
(1)
24*
3'12
r. rЕльмrольц
в этих равенствах проиаводные суть Функцпи от и, t', tv или завися
щих от них t', 8, t И, сверх Toro, функции шести постоянных поло-
,в:енин .
Функциона..1JЬНЫЙ опредеЛИ'l'ель функций 71, '1', W при 8'['Ш! не
обращается в нуль; исключение MorYT составить только такие места,
rде 71, V, W илп '/'. 8, t недоста'['очны для определения положения
:точки.
Переведе:и теперь, с друrой стороны, '['вердое телО Пd nepnoro по-
ложения, коrда координаты ero точек бы.ли 71, Р, 'Ю, В тре'[ъе, rде оии
YTЬ р, О, ... l'vIБl будем 1аlеть снова:
dt ди. ()l \
а'и ==ap(lp+ П (l + (1.., i
д7' d7' дп t , .
а17 ==драр+ д (l +ih:d-;;, J
дш ОШ дш
(l-W== a dp+ a (lo+ a d-;;j'
р cr
(1')
'и адесь ФУНКЦIIона.льныЙ определите.'lЬ ТaI же ие :\южет раRIШ'fr.ся
нулю; '['О и друrое справедливо, если не пмыо'[' иеста вышеУI..:а<JаННlJе
исключения.
l'vIu можеы 'l'еперь И3 шести постоянных онредеДЯIOIДИХ положенпе
вердоrо '['ела по ВТОрО:\1 :\1есте, выбра'[ъ '['ри так, чтобы :'.lесто '['ОЧltll
и, v, '1{) IЮ ВТОрО:\1 положенпп спсте;\iЫ совпадало с меСТО:\1 той же
:точки в третье:'.1 ЛО.lIожении (допущение III), '1.'. е.
/- == р, s == О, t == -;;.
Вводя значения (lи, (117, llш, взятые И3 уравнения (1), в ypaIlH(,
'ния (13), мы получаем dr, (18 п (и линеiiно поднородно выраженпьпш
посредством IJp, ll , (1", илп же последнпе пыраженными посредством
первых.
Так IШI, определпте.ТIИ уравнений (1) и (13) не Mtll'YT, I..:aK IIШПР
было ааиечено, обращаться в нуль, пон:а координаты достаточны ДШl
определения ПО.ложеЮIЯ соответствующих точек, то при 8'['0:\1 пред-
'положении всеrда можно считать dt" ([8, сl! .1JПНf\ЙНО выраженнымп
:Посредствш,[ dp, (10, а.., так что
,
(М, == Ао ар + Во (1 + со (1.., ,
(18 == А 1 ар + В 1 (1 + С 1 (l-c, 1,
dt == А 2 dp +В2 (1 + С 2 (1-;;. J
(2)
Возможнос'[ъ ПО,lIУЧИТЬ такие линейные уравнения, ИСI"ТIЮ'lан упо
мянутые особенные случаи, вытекает И3 Toro, что точка r, 8, [, Кo'rО
;рую мы рассматриваем, не имеет к и, V, W НИКaI..:оrо особенноI'О 0'l'll0-
шения, обусловленноrо природой аадачи, но совершенно произво.лыillj
'!!10 .же ,самое относится II к точке р, о, ... ПОЭТО:\IУ уравнения (1) и (1")
О ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
373
ДОЛЖНЫ быть верны в общем случае, а И3 них вытекает (2). Уравне-
ние (2) не МОI'ЛО быть выведено непосредственно с такой же уверен-
ностью, так как при двпжении, в котором точка r, в, t остается не.
подвижной, она находится в точке р, о, . в TaltoM особенном отно-
шении, которое может навести на сомнение, не обращаются ли при
этом в нуль все иервые производные.
Точка, которая в первом месте имеет координатами и + du, v + dv.
w+dш, имеет во ВТОрО:\I месте координаты r+dj', s+ds, t+dt,
а в третьем координаты p+dp, o+d:J, .+d., и величины d1", ds, (и
относятся к той же самой точке, как и dp, do, d., но при ДРУI'ОМ
положении системы.
В уравнениях (2) выражается самая общая зависимость, которан;,
может существовать между 8ТИМИ величинами, еСJIИ только простран-
ство трех измерений может быть ИЮ\Iеряемо тремя непрерывно JI3:\Ie-
RЯЮЩИJ\ПIСЯ величипами.
В пос.'1еДУlOщем я введу обозначения:
а1" == ех, dp == еЕ, ,
ds == еу, d == ео, }
dt == zz, d == E , J
(28)
rде s обозначает бесконечно малую величину. Мы имеем ТOI'.Ца:
х== АоЕ+Воо+ Cor., ,
y==A 1 E+B 1 u+C 1 r., }
z == А 2 Е+В 2 о + C 2 r.. J
R08ффпциенты А, В, С зависят в 8ТИХ уравнениях от трех еще
оставшихся произвольными постоянных, опредеЛПЮIДИХ положени
системы в последне:\I месте; мы обозначим 8ТИ постоянные р', р" и р11l.
Если мы IIзменим 8ТИ постоянные на бесконечно малые величины ар',
ар" и ар"', то второе место системы изменяется, и вместе с ним И3-
меняются значения х, у, z на ах, dy, dz. Обозначая буквой '1J новую
переменную, ПОЛaI'ая при предположенном малом перемещенип
(2 Ь )
. d == дА., d ' + дA d " + дА" d 111
n '1J ор,:Р ор,,:Р dp"':P
И придавая буквам n и I1n соответствующие :значения, будем иметь:
(3)
=== oe + oO + 11()r., ,
с7у Gf ' + ro + « r J I
7i:;; === '«1 'U1 U \2.1 '
, === 2e + Q31 u + 11 2 r..
Выражая в 8ТИХ уравнениях , о, 1: И3 уравнений (1), (18) и (28) ли-
нейно посредством х, у, z, ЧeI'О можем всы'.Ца ДОСТИI'НУТЬ на основа.
(38)
374
r. rЕльмrольц
нии CKaaaнHOrO, мы получаем выра,кения
ах \
lhj == oох + ЬОУ +coz,
ау I
(hj == 01 Х + Ь 1 у + c 1 z, J
dz +
ChJ == 02 Х b2Y + c 2 z.
(з Ь )
TaI I aK каждан иа величин о, Ь, С ааключает три проиавольно и,ше
НЯЮlциесн величины (lр', dp", (lр"', то может существовать бесконеЧIIое
множество такпх систем преобрааоваппй. Но между коэффпциептаМII
четырех иа них все1'да будет существовать систе;\ш линейных урав-
нений вида
о == {о' + уо" + lLO"',
ппп п
ь == f b' + b" + 'Lb'"
р р g р р'
С ==fc' +ус" +'Lc"',
q q q р
Б IЮТОРОЙ (, у, h суть постоянные веJ1ИЧИНЫ, а п, р, q каЮI8 .ЛIlбо
иа УI 32ателей О, 1, 2; система эта получаетсн путем исключения (!р',
l "i"' E ' ",'" .
:p , LP. С.ЛИ систе:ны 00 и т. д., 00 и т. д., 00 И т. д. таковы, что
между их коэффициента:V1П не существует системы уравнений, подоб-
ной только что написанной, то I аждаjТ ДРУ1'ая система, соответствуIO
IIЩН воаможному двпжению, выражаетсн линейно иосредством К08ф
фпциентов о', о", а'" и т. П., И обратно, каждан сумиа, ииеющан
форму предыдущпх выражений для оп> Ь р , C q с проиаВОЛЬНLIИИ по
стояиными (, У, h, будет соответствовать воаможному двнжеШIЮ.
Друrое определение рааличных дви,кений это1'о рода дается тем, что
по предложенпю 111, после '1.'01'0 как аar реплена одна точка, еще
<одна точка может считаться неподвижной; те:н не менее, движеШlе
<остается воаможным. Мы должны И;\I8ТЬ воаможность поэтому так И3
менять (lр', (lр", (lр''', чтобы длн проиаво.льно ааданных аначенип
Хо, уо, Zo имели место уравнения
о == ОоХо + ЬоУо + coz o ,
0== 01 Х О + ь 1 у о + c 1 z 0 '
О == а 2 х о + ь 2 уо + c 2 z o '
Но это может иметь место только в том случае, если для всех
бесконечно малых вращений систеиы удовлетворнется условие, что
<определитель, составленный иа коэффициентов,
00 Ь о со
01 Ь 1 С 1 == о.
02 Ь 2 С 2
(4)
О ФАКТАХ. ЛЕЖАtЦИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
375
После первоrо бесконечно малоrо перемещения, переводищеrо '1j
в 1j+d1j, х в x+dx, у в y+dy и z в z+dz, можем произвести
друrое Toro же Вlща и той же величины. Называя систему R первом
месте А 1 , во втором А 2 И преДПОJшrаи оба положении существующими
одновременно, мы ушщим, что точки (x+dx, у +dy, z+dz) в А 1
совмещаются с ТeJ\1И точками А 2 , Iюторые имели первонача.ЛLНО МЕРсто
(х, у, z). Если теперь с А 1 произведем то перемещение, посредством
Iютороrо система первоначально перешла в .42, то А 2 перейдет в А з ;
мы можем считать, что '1j изиеНИЛОСL при ЭТQ;\I в '1j+ 2d1j, а I,ОЭффИ
циенты а, Ь, с не зависят от 1j. При этом на основании ЗaI,лючитель
Horo положения R допущении 111 точки, имевшие при первом пере
мещении Iюординаты х, у, z, получают теперь то положение, I,oTopoe
при первом перемещении занили ТОЧlа-I с координатами х + dx,
у + dy, z + dz. Это рассуждение мы можем повторять сколыю уrодно
раз.
При ка:}ЕДОМ таIЮМ перемещении точr,и с координатами (х, у, z) бу
дут переходить соответственно уравнениям (з Ь ) в (x x, y+dy, z+dz),
IЩК и в первый раз. Продолжая непрерывно эти переиещении,
мы найдем, что коэффициенты а, Ь, с уравнений (З Ь ) остаются
постоянными, между тем IШК '1j растет пропорционально времени;
х, у, z, если их отнести R определенной ТОЧI,е подвижной системы,
Ь ах (Ту dz
будут изменяться, IШК УIшзывают уравнения (3 ), причем dYj ' dYj ' dYj
должны быть рассиатриваемы {,ю, производные.
Чтобы произвести интеrрирование уравнений (з Ь ), мы ОТЫCIшваем
четыре новые постоянные посредством следующих уранннний:
lh === la o + пю. 1 + 1ta 2 , )
mh === lb o + тЬ 1 + 1!Ь 2 , }
7!h === lc o + тС 1 + 1!С 2 . J
( 43)
ИCI,J1ючение из этих уравнений l, т, 1! дае'!' определитель
ao h а 1 а 2
Ь о b1 h Ь 2 === о.
СО С 1 c2 h
(4 Ь )
Это уравнение третьей степени относительно h имеет три корня;
каждый из них, будучи вставлен в уравнения (43), доставляет систему
8начений l, т, 1!, причем одна из этих постоянных остается произ
'Вольной.
Если уравнения (43) удовлетворены, то из уравнений (3 Ь ) BЫTe
1щет:
d
dYj {lx+my +1!Z} === h {lx+my+пz}
(4 С )
376
r. rЕльмrольц
или, 060аначая БУItвой А ПОС'l'оянную интеl'рИрОВания,
[Х + ту + nz === Aeh"'J ;
(5)
конечно, уравнения (4 С ) и (5) имеют место для каждой иа трех систем
'аначений, доставляе IЫХ уравнениями (43) и (4 Ь ).
Вследствие уравнения (4) одно иа аначений ' должно раВНЯТЬСJI
нулю. Для Hel'O имеем;
lox + тоу + noz === сопst.
(5')
Два дрУl'их, ' 1 и ' 2' MOI'YT быть вещественные или сопряжениО' lЮМ-
плексные величины. В первом случае и СООТВe'l'ствующие 1, т, 1/
вещественны, во втором комплексны.
Если оба корня h' l и lt 2 вещественны, то иа уравнений ФОРМЫ (5)
следует, что соответствующие величины
ll X + т 1y+n 1 Z 1I l2X+т2y+n2Z
MOl'YT иаменяться непрерывно от О ДО --+--- 00, но беа обратноl'О движе
ния [Umkehl'] или скачка они не MOl'YT воавратиться к прежнему пО'-
ложению, ltaK TOI'O требует постулат IV; пО'этому И Х, у, z не MO'I'YT
снова приннть тех же аначений. То же самое имеет место и в ТО'М
случае, если ' 1 и h 2 равны по аначению. При этО'м получается одна
линейная ФУНКЦИЯ х, У, z, равная eh"'J, и ДРУl'ая, равная 1jeh"'J. То же
самое имеет место и в 'l'O'M случае, если h' l и ' 2 одновременно исче
аают. ТOl'да можно составить три линейных ФУНКЦИП, иа котО'рых
одна постоянна, ДРУl'ая равна "IJ и третья равна 1j2.
Если h'l И ' 2 ИМI:JЮТ, напротив, комплексные аначеНlIЯ, то тО' же
самое имеет место для соответствующих l, т, п. ПО'J1аl'ая ТОl'да
' 1 === ft + (J)i,
II === Ао + A 1 i,
т 1 === :-"0 + :-"1 i,
п 1 === '10+ 'I 1 i,
' 2 === ft (J)-l,
l2 === Ао A 1 i,
т 2 === :-"0' :-"1 Z,
п 2 === '10 '111,
будем I:h\IeТЬ:
AoX+!-,оУ+ '10-:: === Ae1t"'J сов «(J)"IJ+ с),
А1Х+ !-'lУ + 'I 1 z === Ae&"'J siП«(J)"IJ + с).
В таком случае мы имеем:
(АоХ+ !-,оу + 'IO'Z)2 +(А 1 Х+ :-"lУ+ 'Y 1 zi === A 2 e 2 &"'J.
(5 Ь )
Это уравнение также не допускает, чтобы х, у, z беа обратноl'О' дви
жения и CItaчка воавращались к старым аначениям, если только f)
не равно нулю.
Итак, постулат (IV) может быть удО'влетворен толысо в том слу
ь
чае, если корни уравнения (4), не равные нулю, делаются чистО'
О cJ.AKTAX, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
371
мнимыми. На основании уравнений (4 Ь ) 8ТО имеет место, если
а О +Ь 1 + с 2 == О.
(6)
:Мы имеем, таким образо:м, окончательно для определения х, 1/, Z как
функций от '1J три уравнения:
[ох + ?п 0 1/ + 110Z == const, 1
лох + !-!ОУ + 'IOZ == А СОБ (U)'1J+ с), }
Л 1 Х+ IY + 'I 1 z == А sin (U)'1J + с). J
(6 а )
ОпределитеJ1L
[о ?по 110
Л о 1-"0 -)0
Л 1 1-'1 '11
может равняться нулю только в том случае, если суш;ествует ypaB
ненце, определяющее '1J как постоянную величину, т. е. если не
существует движения. Следовательно, величины х, 1/, Z MorYT быть
из трех уравнений (6 а ) однозначно опреде.лены как ФУНIщии '1J.
Вычисление значительно упрощается, если мы введем вместо
величин х, у, Z три выше найденные:
х == [ох + ?пОУ + 110Z, ,
У==лох+ оу+'IоZ, }
Z == ЛIХ+ 11/ + 'I 1 Z. J
(6 Ь )
Обратно, из них всеrда MorYT быть выведены однозначно х, у, Z.
МЫ исследовали до сих пор один род ВРaJЦения, при которо;\!
должна остаться неподвижной точка хо, уо, zO' Но на основании (6 а )
при исследуеМОl\I движении
== о, : == U)Z, == u) У.
(6 С )
Две последние величины равны, следовательно, НУJIЮ дЛЯ тех точек,
для которых У == Z == О. :Эти точки и остаются в ПOItое при paCCMO
треннО1И движении.
9 3
Мы должны теперь исс.тrедовать друrие виды вращения системы.
Как и было выше замечено, мы можем во время вращения считать
неподвижной каждую друrую точку системы.
Рассматривая второе ВРaJЦение, при котором остаются в покое
точки Х == Z == О, и обозначая переменнуК!, возрастающую пропорцио
378
r. rЕльмrольц
нально времени, череа т{, мы можем писать:
dX \
dr{ === (ХОХ + о + 10Z, I
I
:; ===tX X+0+I1Z, r
::, === (Х 2 Х +0 +12 Z , J
Средний столбец Rоэффициентов должен быть
для Х === Z === о проиаВОДШirе, стоящие в левой
щаться в нуль.
Оба условных уравнения (4) и (6),
нена всян:ая система н:оэффициентов,
ааМI НУТЫМII, llРИВОДЯТСЯ теперь R
(7)
равен нулю, тш, I,aK
части, должны обра-
IЮТОРЫМ должна быть ТIOдчи-
если вращения должны быть
(х о + 12 === О.
(7")
в третьем ВРaIЦении пусть остаются на месте те ТОЧI,И, дЛЯ IЮТОрЫХ
Х === у === О. Если переменная, растущая пропорционально времени,
есть т{', то мы можем писать:
: === йОХ + ЬоУ + о, ,
dY I
dr{' === й1 Х + Ь 1 у + о, }
dZ I
dr{' === й2 Х + Ь 2 У +0 J
при условии аа+ Ь 1 === О.
Иа формы Iюэффициентов, данной уравнением (3), выты,ает, IЩК
уже и было выше аамечено, 'ITO если две системы I оэффициентов
удовлетворяют условиям аадачи, то и суммы соответствующих IЮ8ф
фициентов должны составлять систему, удовлетворяющую этим
(8)
УСЛОВИ5ThI.
IIрименяя это R (6 С )
и (7), мы
(х о О
а 1 О
имеем:
10
а 2 О)
или tX\JO)<J O) (а О11 aйo) === О.
Так I aI, Iюаффициенты I аждой иа этих систем ааI,лючают произ
вольную постоянную В виде' множителя, то мы должны иметь OT
дельно: (хо===о и таI,же 12===0, далее а 110 ===0.
Но 10 не может равняться нулю, если мы не хотим противоречить
постулату IV, ибо в случае 10 === О иа уравнений (1) следует:
dX
dr{ === О, т. е. Х === О,
Z === а 2 ст( + О',
у === а 1 От{ + 110 7j' +{ tX 211 0f{2 + О",
11 0) ===0
ao
о ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
379
rде С, С', С" суть постоянные велпчины. Такие уравнения
вляли бы незамыкающееся врапrение.
По этой же причине 0:2 не может равняться нулю.
Так как 10 не может быть равно нулю, то уравнение
удовлетворя:ется только в предположении 0:1 == о; система
циентов уравнений (7) приводится поэтому к
предста
0:110 == О
коэффи
о, о, 10'
о, о, 11>
а 2 , о, О.
Тем же самым путем получаем для системы коэффициентов ypaBHe
ний (8)
110 == Ь 1 == О,
I1 2 {1 0 == О.
Здесь 111 и {10 не MorYT быть НУЛЯМIJ по той же причине, I\:aK 0:2 и 10'
Следовательно, (12 == о, и система Приводптся к
о, ь о , о,
111' о, о,
о, {1 2 , О.
Наконец, составляя сумму всех трех систем, получаем условие
О Ь О 10
111 О 11 O) ==0
0:2 {1 2 +Ш о
или
{1 0 (11 ш) 0:2 +10111 (Ь 2 +ш) == о.
(9)
Так как это уравнение должно иметь место п в том случае, если
коэффициенты, принадлежащие одной и той же системе, умножаются
на произвольную постоянную, то отдельно
10111 бо0:2 == о,
fJ 011 0: 2 ==0, }
I1 1 {1 210 == О.
Но так как ни {10 и (11' ни 0:2 И 10 не MorYT обращаться в нуль, то
11 == О И Ь 2 == О. Полаrая СХ 2 == ер, 10 == хер, (11 == ф, имеем И3 ypaBHe
пия (9а) {10 == ')('}.
Отсюда мы получаем окончате.ЛЬНО полную систему ВО3МОЖных
преобраЗ0ваний в случае бесконечно ма.ЛЫХ перемещений:
(9 а )
(9 Ь )
dX == ')(,} У dT{' + xepZ dT{, ,
dY == X dr{' wZ d'fJ, 1
dZ == ерХ d'fJ' + У d'fJ.
(10)
380
r. rЕльмrольц
Эта система заключает три произвольные переменные величины
d'tJ, ау/" dr{' и должна поэтому ВI{лючать все возможные вращения.
Величина х должна быть положительна, если система дает только>
мнимые значения для 11.
Из уравнения (10) следуе1', что при каждом произвольно малом
ВРaIЦении системы
xax+ YdY+ZdZ===O,
'1,
т. е.
Х 2 + х У2 + хР === const.
Выражан Х, У, Z с п()мощью уравнений (6 Ь ) и (2 а ) посредством
dr, ds, dt и полаrая
dS 2 === ОО а1' + то ds + п,о dt)2 + х (л о а1' + f-'o ds + '10 аО2 +
+ Х(Лl а1'+ f-'1 ds+ '11 dt)2,
находим, что dS есть величпна, остающаяся неизменной при всех
вращениях неизменяемой системы ОIЮЛО ТОЧIПI (Z1' === ds === dt == О и
имеющая измерения дифференциалов dr, ds, dt.
Эта величина может быть поэто:иу рассиатриваема как не завися
щая от враш;ательных двпжений мера пространственноrо различия
ТОЧeI{ (1', s, t) и (1'+а1', s+ds, t+dt).
4
ТаКИ:'.I образом, мы пришли к исходноиу пую{ту исследований
Римана, показав, что существует однородное выражение второй CTe
пени от дифференциалов, которое остается неизменным при I{аждом
движении двух неподвижно соедпненных между собой беCIюнечнQo
бли3I{ИХ точек. Так I{aR мы применили выше данные аI{СИОМЫ 11 и 1V.
выражающпе возможность совмещения между различными частями
пространства, толыю к беClюнечно малым элементам пространства. .
. то обнаруживается, что допущение Римана тождественно с допутце
нием, что пространство монодромно, и что беClюнечно малые элементы
пространства, вообще rоворя, совместимы, еслп не обращается вни
мания на их !'раницы., Смысл этоrо предложения сделается яснее)
если мы оrраничим ero двумя измерениями. И з допущения Римана
следует в этом случае, что способы измерения пространства совпа
дают с теми, которые учит применять наша аналитичеCl{ая rеометриЯ
на произвольной кривой поверхности. Действительно, бесконечно>
малые поверхностные элементы произвольной I{РИВОЙ поверхности
MOryT быть рассматриваемы I{aK плоские и совпадаюп ие между собой)
если не обраш;ать внимания на их !'рапицы.
о ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ rЕОМЕТРИИ
381
Дальнейшее исследование относится к ВОПРОСУ о С.JIeДСТНИ.нх,
Еоторые вытекают иа допущения, соrласно посту.пату 111, совмести
мости конечных частей пространства не3аБИСП:.\Ю от I'раницы II прп
всех воз:.\южных вращениях. Так же как в ЭТО:.\I случае дли двух
измерениЙ кривая поверхность должна иревратиться в поверхность
шара 1) или в поверхность, происходящую И3 нее пзrиба.нПf\:.\{ без
растяжения, так II д.ля случаи трех II большеrо числа измерений
Риман показал, что величина, на3Ы1Jае:.\Iая и:.\{ мероЙ КРПВИ3ПЫ,
должна быть постоянноЙ. .н не буду излаrать здесь эту часть Moer.o
исследовании, заключаЮJЦУЮСЯ пеЯВНЫ:.\I образоы 11 исследовании
Римана.
1\1:0Й результат заКJIючается в с.-тедующем.
Если выполнены наши допуп ения 1 IV, то са:ман обпщн снстема
теометрии будет та, Iсотораи поv-тучилась бы по правилам нашей
.()быкновенноЙ аналитическоЙ rеоиетрии, прииененноЙ I mарО110доб
ноиу 2) образу трех И3:\IeрениЙ, уравнение KOToporo в четырех пр.ямо
уrольных координатах может быть предстан.'IeПО 11 виле.:
Х 2 + Y2+Z2+(S+R)'J==R2.
3десь Y, У, Z MorYT сдеаатьсн беСR.ОIШЧНu бо.ПЬШШ\ПI только
при R == 00. Этот последниЙ частный слу'шЙ соответствует пашей
деЙствительноЙ rеО:.\Ie1'рИН, основанноЙ на ан:спо:.\шх ЕВКЛIIда. Прп
атом )[, У, Z MorYT иметь то.;ты.о тоrда н:опечные значенни, Iюrда
S == о; уравнение S == О 'есть ура13нение ПЛОС1Ю1'0 образа. В13пду B'I'Oro'
мы должны считать, вместе с РиыаНО:.\I, евклпдово пространство по
отношению к про<,транствам бо.тrьшеrо ЧИС.ла ИЮlеренпй ИЛОСIПJМ иро
TpaHCTBO:.\I.
Наконец, замечу еще, '11'0, отбрасывая пос'.rулат IV, ПО.J1 пше:\[
.системы rеомеТРИII, совершенно ОТJJIlчпые от нашеЙ, но Iшторые
Moryт БЫ1Ъ, uднако, иропедены вполне пос.чедовате.чьно. JlШЧIe Есеl'О
8'1'0 можно иоказать Д.тJи двух координат. Если бы величпна О ypaB
нения (5 Ь ) не равнялаСJ, нулю, то линеЙные П3:\1tореНJJН JШЖДОI'1 пло
коЙ фпrуры BoapacTa.'IJJ бы в постоянном отношеппи 11 ри 13ра!l еНИII
на постоянныЙ уrол в одно:.\[ И том же паправлеНПJI; 1'еО:\1EJТрII'I{Юlюе
место всех точеЕ, ФП3IIчеСЕII раВНООТСТОЯJЦIIХ ОТ пerштuроЙ ; апноЙ
-ТОЧЕИ, будет в 8ТО:\! с.iIучае спираль.
ДруrоЙ .тrerKo IIзучаемыЙ пример ПОJlуча5ТСЯ, tЮJ1tI 13 анаЛf[ТlIче
екоЙ rеометрип п.тrоскости при ПРЯ:\-IОУТОЛЬНЫХ ltOордппатах ра.{'(':\ш
тривать координаты !I мнимыми. :iT(j соответствует предполо;r':'ЧПIЮ,
что h 1 и Il 2 вещественны, а.
/t 1 + lt 2 == О.
1) Или псевдосферы.
2) Или псевдосферическому.
382
r. rЕльмrольц
Местом точеR, равноотстоящих от неподвижной ТОЧRИ, была бы
торда равносторонняя rипербола.
ИсслеДОВI:\НИЯ Римана и мои, вместе взятые, ПОRазывают таки'\!
образом, что выше данные постулаты в с единеНlIИ с следующими
двумя положениями:
У. Пространетво имеет три ШJМеренюr,
VI. Пространство бесконечно протяженно
составляют достаточное основание для развития учения о простран
стве 1). .я: уже УRазал, что 8ТИ постулаты должны быть преДПоЛю'аеl1Ы
и оБЫRнопенной rеометрией, хотя и не упоминаются ею; наши ПОСТУ
латы ДОПУСRают, таRИМ образом, менее, чем преДIIолаrается обыкно
венно l'еоме"l'РIIчеСКIIМИ ДOl азательствами.
Вместе с тем, нельзя не обраТIIТЬ внимания на то, что вся B03
можность системы наших пространственных измерений зависит, IШК
ПОI азыпает предыдущее изложение, от существования таких тел При
роды, Еоторые достаточно близко подходят под наше понятие о TBep
дых телах. В:езависпмость совместимости от положения и направления
совмещающихся пространственных форм и от пути, ЕОТОРЫМ они
прпведены R совпадению, есть тот факт, на ЕОТОРОМ оснопывается
возможность измерения пространства.
1) Они не отделяют rеGметрии Евклида от rеометрии ЛобачеВСRоrо.
СОФУО ли
3АМЕ '{Аниа НА РАБОТУ rЕльмrОЛЬЦА
«О ФАКТАХ, ЛЕЖАЩИХ В ОСНОВАНИИ I'ЕОМЕТРИИ..
SOPHUS LIE
BEMERKUNGEN ZU У. HELMHOL'rZ'ARBEIT «UBER ШЕ 'rHATSACHEN,
ШЕ DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN»
(1886)
3наменитая работа rельмrо.льца «trber die Thatsachen die der Geo
metrie zu G-runde liegen» рассма'l'ривает задачу, стоящую в теснейшей
связи с новой теорией rрупп преобразований. Побу:ш:даемый Клей
нам, я поэтому решился пр:именить к этой важной, хотя и частной
за,J:аче методы моей теории преобразований. При этом я пришел
к убеждению, что прон:лаДLIвающие новые пути исследования rельм
rольца еще не MorYT бы'lЪ считаемы послеДНИ l словом по этому
вопросу.
Именно, с одной стороны дедундия rельмrольца содержит в себе
пробел, IШТОрЫЙ, впрочем, не оказывает НИRакоrо влияния на Iшнеч
ный реЗУЛЬ'l'ат, по крайней мере для трех ИЗ:\1ерений; мне, однаrш,
не удалось заполнить Э'1'ОТ пробел те:\1И же ПРОСТЫ"'1И анаЛИ'Iическими
среДС'l'вами, которыми обходится rельмrольц в своей работе.
С друr'ой стороны, мне I-шжется, я доrшзал, что в прострапствах
трех измерений аксиома монодромии, иrрающая таrеую большую роль
У rСЛЬМl'ольца, излишня, если истолковать падле:ншщим образом ero
IЩСИОМУ свободной подвижности.
Наконец, я С'1итarо целесообразным заменить rеЛЬМl'ольцевы аrесиомы
друr'ими, которые представляю'l'СЯ мне более ПрОС'IЫМИ.
Во всяком случае исследования, которые привели меня к этим
результа'l'ам, в сравнении с rеЛЬМl'ольцевыми представляются KpO
потливыми и требуют более Д.липноrо сче'Iа. Поэтому я Оl'раничусь
здесь тем, Ч'l'О изложу несrшлько обстоятельнее вышеУRазанные свои
результаты, чтобы сделать воsиожно ясным их значение. При зтом
Я точно так же буду держаться пространст,ва трех измерений,
384
С. ЛИ
Все ДВIOкения евклидов а И.JIИ нееы,лидова пространства трех иаме.
рений изображаются тремя уравнеНИЯ:l-1И преобразований
Х 1 === r (Х, У, z, a r , а 2 , . . .),
У! === ер (Х, У, z, a r , а 2 , . . .),
Zl == 'f (х, У, z, a r , а 2 , . . .),
!'де a r , 11,2' . ., суть параметры. ЕСJ'IИ дадим ЭТИ:l-I пара.'.Iетрам OHpeдe
ленные значения, то получим определенное движенпе, прп J{OTOPOM
каждая точка ху.?: занимает новое положение XrYrZr' ЕСJIИ, например,
мы паХОДИ:l-IСЯ в еВJ{ЛИДОllО.'.I пространстве и считаем ."СУ.?: за де1,артовы
I,оординаты, то три ФУНЛЦИИ {, ер И . линейны относительно х, 1/, z.
Если же возьмем ДРУ1'УЮ систему координат, '1'0 аналитическ.ое выра-
жение для движениЙ еНR,т!Идова пространства полутraет нооБЩfJ неш].
нейную форму.
3адача, I,ОТОРУЮ постанил себе rеv'IЬ.'.П'ОЛЬЦ в ци'rированноЙ paGoTl',
в существенных T1ep'l'aX следующап. Он ищет 'l'ЮПIе СВОЙС'l'ва анали-
'l'пчесн:оrо выражения движений, I,oTopble не зависит от выбора н:оор.
дипа'r и характеризуют эту совоь:упность преобразовапнЙ воюroЖНО
простым обра302\1. СвоЙс'rва, выбранные rеJп,.'.rrольцем, ПО'l'орые при.
сущи как еШ\ЛИ;J,ОВУ, так и неевклидову прострапству, МOJ'УТ Gыть,
но моему мнению, резюмированы следующим образом.
1. ФУНI'ЦИИ (', ер И у, имеющиеся в соотвеТСТВУЮЩIIХ уравне-
ниях преобраЗ0вания, суть аналитические ФУJIIПЦ1И их apl'YMeHTOB.
П. Две 'l'отшп XrYrZr и '''C2Y2Z2 И-'Iеют по отношенТIЮ к. I\аждому ,ЦЕИ-
Ж8НИЮ инвариант
&.1 (XrYrZr; :X:'].Y2ZJ,
их расстонние но оБы'номуy вы ра;ь:ениlO. В еШ(J'IИДОНО;\l J1РОС'l'РЮIС'I'ве
при употреБJlенип декартовых координат CJTO'l' пнвариант ИМf'f','r, !{ан:
известно, форму
V(::C 2 xr)-.J+ (У2 !/r)'" +(Z2 .zrP.
KaI, СВОЙС'l'но 111, l'еJ'Iьмrольц JJыбирает СlJобо; ную подвижность
соответствующеrо прос'rранства, I,ОТОРОЙ он ;(ает TaI,oe определение.
Каждая точка пространства может перейти В I,а;'IЩУЮ ДРУI'УЮ ТОЧI,У
простраНС'l'Еа. Если заI,репим 'rОЧI,У XrYrZr, то всякая друrая точи.а
::C2Y2Z2 может еще занимать все положения xyz, которые удовлетворяют
oд'Нo.A Y уравнению, именно
9 (xyz; XrYrZr) === 9 (X'].Y2Z2; X1YrZr)'
Если удерживаются неподвижными две ТОЧRИ XrYrZr и X2Y2Z2, то
всякая третья точка ХЗУЗZ3 может еще занимать все положения, опре-
ЗАМЕЧАНИЯ НА РАБОТУ rЕльмrОЛЬЦА
385
деляемые двумя уравнениями
Q (xYZ; X 1 YI Z 1) === Q (ХзУзZз; X1YIZ1)'
Q (xyz; x2Y2Z2) === Q (ХзУзZз; x 2 Y2 z 2)'
Если, наконец, три точки закреплены, то возможные положения
четвертой определяются тремя подобными уравнениями. В этом случае
все точки пространства остаются неподвижными, за исключением тех
случаев, I оrда третья точка ХзУзZз занимает особенное положение
в отношении первых двух.
Наконец, в IV rельмrольц совершенно опредеJ1енно приписывает про
странству еще следующее свойство: если твердое тело вращать, не меняя
направления вращения, около двух ТОЧeII:, остающихся в ПOIюе, то это
вращение приводит ero, наконец, в начальное положение.
rельмrольц определенно утверждает, что это последнее свойство
монодромия пространства n измерений не есть следствие трех выше
названных; но, кроме случая n === 2, он не дает доказательств cBoero
утверждения.
Чтобы доказать теперь, что четыре им установленных свойства
характеристичны для евклидовых и неевклидовых движений, rельм
rольц старается вообще определить все системы уравнений преобра-
зования, которые обладают этими свойствами. Как я уже сказал выше,
мне кажется, что выполнение им этоrо определения содержит пробел.
Именно, если удерживаем неподвижно одну точку, произвольно
лежащую, то, как показывает rельмrольц, возможно еще бесконечно
MHoro бесконечно малых движений, т. е. преобразований. Каждое
такое движение, если неподвижную точку взять за начало Iюординат,
может быть определено уравнениями TaKoro вида:
dx
d:;j" === аох+ ьоу + coz+ . . .,
dy
dТj === а 1 х+Ь 1 у+ C1Z+ ...,
dz
dТj ;:::: а 2 х + Ь 2 ?! + C 2 Z + . . .
Правые части суть при этом бесконечные строки, расположенные
по возрастающим степеням xyz. Теперь а priori ЛCl'ко видеть, что
между представленными таким образом бесконечно малыми движениями
существуют такие, в разложениях I ОТОрЫХ совершенно О'fСУТСТВУЮТ
члены пеРНОl'О порядка, и в о юбенности может это произойти при
всех тех движениях около неподвижной точки, при которых остается
неизменной еще и соседняя точка. При таких бесконечно малых
движениях оставались бы в покое и все точки, бесконечно близкие
к началу координат, ес.ЛИ пренебреrать величинами бесконечно малыми
BToporo порядка. Эта возможность, по моему мнению, rельмrОJ![ьцем
25 3al[. 1164. Об основаннях reOIll TpHII
386
С. ли
во ВСЯlеом случае недостаточно принята во внимание. Я MOI' бы поэтому
спросить, действительно ли так само собой понятно, что IeGэффициен-
ты aibic i не м()тут одновреиенно УНИЧТО:II аться, если наши уравнения
преобразований обладают СОО'l'ветствепно 13blшеУКШJaППЫМП свойства,ш?
Мое второе зюrечание относится 1: аlесио",rе МОПОДРШIИИ. Здесь я
должен, прежде Bcero, поставить на вид, что такие уравнения пре-
образований, которые удовле'l'ВОРЯЮТ трем перI3ыI,yr тельмrольцевы,r
акспоиа",l, необходиио образую'l' непрерывную rруппу. Понятие rруппы
не ПЫС'fупает, однако, у rельмrольца ЯВПЫ",1 образо;vr, а между тем
и;vrенно свойство СОС'l'авлять труппу является л высшей степени
ва:ш:ны1:м для уравнений преобразованпй; 8ТО СJJОЙС'fJ30 саио по себе
уже значительно оrраничивает возможные случаи.
Чтобы различить теперь, буде'l' ли монодромия следствие,1 трех
перI3ЫХ свойств, нужно, прежде всеrо, с большей ТО'lПОСТЬЮ опреде-
ЛИ'fЬ свойство свободной подвижности. Ииенно, или можно удоволь-
ствопа'lЪСЯ требованием, чтобы свободная подвижность иыела место
для точюе, произвольно расположенных одна относительно ,n:руrой,
или же ;VIОЖНО поставить требование, идущее далее, чтобы свободная
подвижность ВНУ'l'ри ИЗ13ес'l'НОЙ области и;vrела место без ИCJе.ЛЮ'Iения.
rеЛЬМI'ОЛЬЦ ХО'l'ел, по всей вероятности, судя по буквальному
смыслу еrо изложения, чтобы еrо 'l'реБО13ание свободной подвиж-
ности было выполнено внутри известной области без ИСК.лючений.
Несмотря на 8ТО, мне казаЛОС1, целесообразныы попробовать положить
в основу предположение, что СlJобо;:щая подвижность И:\lеет :\recTo
толы о д.ля 'l'очек ПРОИЗВОЛЬНOI'О ВЗaII:\lНОl'О положения. В этом предпо
ложснни я и определил все I'руrПIЫ уравнений преобраЗО13аний, Кo'rО-
рые удовле'l'ВОРЯЮТ трем перНЫ:\1 из выше устаНО1Jленных треБОl3аний.
Кро.\!е rрупп еJШЛИДОi3ЫХ п пеевr,JIИДОНЫХ ;J;виженнй, оказаJ10СЬ
еще HCCl(O,'Ir,KO раз.лпчпых I'РУШ[, из I OTOpblX две 1) содержат даже
I аждая параметр. Но tJTH дооаЕО'Пlые l'рУППЫ пе УДО13,тrеТ130РЯlОТ тре-
бованию С130бодной поднижпости, если 8'1'0 треБОRание распространим
на вс() точки ПРОИЗВОJIЬНО малой области. В IШЖДОЙ из 8'l'ПХ l'РУПП
ПрОС'1'рапс'r130 раз.паl ается на СИС1'ему СХ)2 RрИJ3ЫХ, совокупность 1 01'OpI)IX
остается неизменной при преобразованиях l'РУППЫ, ыеж;J,У 'fO",1 rшк
отдельные кривые переыеняютс.я между собой. По, бо,тrее 'fOI'O, если
за'liрспU"I! од'Ну то"ш.у пространства, то оста'Нстся в покое 'Нс толы.о } Po
ходящая через то'Ч'liУ r.;ривая этой СI;СJ1И,;\[Ы, 'Но и %iL,Jiсдая отдель'Ная mO !1r:a
соответствс'Н'Ной кривой. В друrои ;vreCTe я остаНОНЛЮСI, на втом подроб
нее. :М:ожет быть, :можно спорить о толr, бу;r:ет Jrи монодромия след
СТ13ие:м трех первых аксиом И.;JИ нет. Она будет непременно с,ттеДС'l'вием,
1) Обе rруппы, о которых I'ОВОрИТСП В т ЫН;ТР, подо6jjЫ, впроqем, о '(Па друrой
в 06,1асти МНИМЫR препбразовапиit.
ЗАМЕЧАНИЯ НА РАБОТУ rЕльмrОЛЬЦА
387
еСШI в aKCIIO;\fY свободной подвижности вставим опредестrенно, что 003
точек пространства не MorYT быть таЕ разделены на (Х)2 систем,
что все се 1 Oi'очек такой CIIC'l'e:\II,! всеrда одновреиенно ОС'l'аются в покое.
ПереХOJ-I"У теперь к тре'lЪЮIУ своеиу замечанию, КОТОРОМУ придаю
rлавное значение. Мне удалось и ПРИ'l'ОМ довольно просто дон:азать,
что уравненп.н еВКЛИДОllЫХ п неевклидовых движений ПрОС'l'ранства трех
намерений MorYT бнть характеРИЗ0ваны следующим простым об р а; ом
10. Они определяют непрерывную rруппу преобраSОlJаний про
странства трех измерениЙ.
20. В этой I'руппе свободная подвижность существует II следующем
смнсле: если внутри известной области закреПII:\I проиsвольную 'I'ОЧI"У
I! R то же время ПрОП31юльныЙ череs нее ПРОХОД5lЩНЙ линейныЙ
элемен'I', то всё еще возможно непрерывное движение. Если же sаI{реп
ляе:-I нс толы{.о точн:у и проходящиЙ через нее лпнсЙныЙ элемент,
но в '10 же nреыя и элеиент плоскости, I{ОТОРЫЙ проходит как через
ТОЧЕУ, так и через JIинеЙный элемент, то более невозможно уже иин:акое
непрерывное движение.
:Мне удалось, ПО J'iюему мпению, cTporo, ХОТо! и не совсем кратко
ДОЕаsа'lЪ и д.ШI ПрОС'l'ранств более чеи трех измерениЙ, что совокуп
ность евклидовых и неевклидовых ДВIш,ений може'l' быть характери
З0вапа совершенно аналоrИ'1НЬПI обраSО:\I.
13 предыдущем изложенип я принял, что уравнения преобразо
ваШIЯ (1) суть аналитичеСI,ие относительно llХОД>fЩИХ перемснных.
Еслп 8'10 преДПОЛО Rение отбросить и предполтЬ:ИТL '10ЛЬКО, '1'10 COOT
БЮ'С'l'вующие Функп:ии непреРЫlJНЫ и имеют извсстное Iинечпое число
ПРОИSRОДНЫХ, '1'0 метод, которыЙ был :мной применен при разборе
rельмrО""IЬЦСВЫХ а!,сио:м, уже непри:мении. В ЭТО1\1 случае я не решаюсь
ПОЭ'l'О;\fУ У'l'верждать, '1'1'0 ука;JaННЫЙ пробел в дедукции rель:мrольца
остается беs ВJПIЯНПЯ на реsу.льта,'!', и еще Toro :\ICнее, что е1'0 аксиома
МОНОДРО\IИН есть слсдствие ДРУI'ИХ ero аI СИОJ\f.
llо"чожив обе свои аI"СИОМЫ в основу, я \lory, I{aH: :мне думается,
CTporo ДOI{азать, что СОО'l'ве'l'С'l'ВУЮIцая rруппа и в ЭТО:\I случае OC'l'a
ВШIет пеНЮlеняемым 1шадра'l'JIчное впражение
'Y', ikf'ik clXi dx k ,
таЕ что 8,ЛС.\Iент дуrи в рп:мапово:vr С\Iыс,ле продолжает существовать.
АНРИ ПУ АНКАРЕ
ОБ ОСНОВНЫХ I'ИПОТЕ3АХ I'ЕОМЕТРИИ
НENRI POINCARE
SUR LES НYPOTHESES FONDAМENTALES DE LA GEOыETRIE
(1887)
в лоrике из ничеrо нельзя и вывести ничеrо; в каждом докааа-
тельстве зак.лючение предполаrает известные посылки. Поэтому мате.
матические науки должны опираться на известное число положений,
не моrущих быть до кааанными. Может итrи речь о 'I'OM, давать ли
этим положениям название a1icuo.и, uпотез или постулатов, должно ли
их рассматривать как факты, получаемые из опыта, или как суждения
аналитические, или, наконец, как суждения синтетические, априорные j
но самое существование их HeCO'\fHeHHO.
Мы приходим, таким >образом, к задаче, интересной с лоrической
стороны: каковы предварительные допущения rеО:\18ТРИИ, по.пожения,
которые не MorYT быть ДOI>:азаны и на которых основывается эта
наука? Мы не считаем, разум:еется, тех ;1,опущений, которые ужз
положены в основу анализа, потоиу что, приступая к изучению
rеометрии, мы считаем уже известными основы алrебры и чистото
анализа. Хотя эта зацача даЗRО У,I>:З заНИ'\fает reoMeTpoB, вопрос,
однако, нельзя считать исчерпанным.
Установлено, что пастулат Евк.ли"а не может быть доказан. Но
не на одном этом постулате зиждется rеометрия; мноrие результаты
можно получить, не прибеrая к ero помощи.
Нельзя удов.летвориться и предложеНИЯ:\IИ, помещаемыми под
названием all:cиoM в нача.ле руководств reометрии. Если подверТНУТЬ
их внимате.;:rьно'\fУ исследованию, то ОI>:ажется, что ни одна из этих
.аксиом не должна бы занимать места' среди основных допущений
rеометрии. Одни из этих аксиом необходимы уже для обоснования
.анализа; если это и rипотезы (что, впрочем, можно оспаривать), то
во всяком случае это I'ипотезы не исключительно rеометричеCI>:ие;
такова, например, аксиома: две величины, равные одной и той же третьей,
ОБ ОСНОВНЫХ rИПОТЕ3АХ rЕОМЕТРИИ
389
равны .между собой. Друrие аксиомы суть просто определения. Наконец,.
третьи нельая относить к числу «не моrущих быть доказанными» f
такова, например, следующая: прямая лunuя есть крат'ЧаЙUlее рассmoяnuе
.между двумя то'Ч'Ка.мu.
Но, кроме аксиом, укавываемых явным образом, существует боль
шое число rипотеа, которые допускаются неявно при доказательстве
различных теорем.
Эти rипотеаы обыкновенно ускользают от внимания читателя,
если 'l'олько оно не будет особенно напряженно, потому что предпо
ложения эти хотя и далеко не очевидны с чисто лоrической точки
врения, но представляlOТСЯ нам, одНаЕО, очевидныJliии блаrодаря yкope
нпвшимся привычкам наших чувств и нашеrо ума.
Впрочем, эти rипотеаы, явные или неявные, не все неааВИСИМЫj
можно оrраничиться введением меньшеrо числа их, и тоrда друrие
явятся уже как следствия.
Задачу нашу можно поэтому формулировать так: перечислить все
неоБХОДИJlilые rипотеаы, и притом только неоБХОДИlVlые. .я думаю, что
эта аадача еще не раарешена и потому хочу способствовать ее
решению.
Сначала мы рассмотрим rеометрию двух иамерений, или плоскую
rеометрию.
Ква,'I;ратичиые l'еометрии
Нам уже иавестны три rеометрии двух иамерений:
1°. Евклидов а rеометрия, в которой сумма уrлов треyrольника
равна двум прямым.
2°. rеометрия Римана, в которой эта сумма более двух прямых.
3°. rеШ1:етрия Лобачевскоrо, в которой эта сумма менее двух
прямых.
Эти три rеометрии покоятся на одних и тех же основных rипо
тезRX, аа исключением постулата Евклида, принимаемоrо в первой
П3 них и отбр сываемоrо в остальных. Кроме Toro, принцип, по
которому две точки вполне определяют прямую, подлежит одному
исключению в rеометрии Римана и не имеет исключений в двух
друrих.
Если оrраничимся двумя иамерениями, то rеометрия Римана
допускает очень простое истолкование: она ничем не отличается, как
известно, от сферической rеометрии, если условимся давать наавание
прямых большим KpyraM сферы.
.я обобщу сначала это истолкование так, чтобы ero можно было
распространить и на rеометрию Лобачевскоrо. Рассмотрим КаЕУЮ
нибудь поверхность BToporo порядка. Условимся называтЬ nря.мъt.мu
390
А. ПУАIШАРЕ
плоские диаметральные сеченпя 8ТОЙ поверхности и оr;;Р1/.1JсносrпЯ,IIU
плоские сечения не диа:иетральные.
Остается определить, что нужно ра:ЗУ 1еть под уrЛО f двух пере
секающихся прямых илп под Д.;rиной отрезка прямой.
Через точку, взятую на поверхности, проводиы два ПJJOСКИХ дпа-
метральных сеченпя (которые мы УСЛОБПЛПСЬ назынать -пря.мы.иu).
РаСС IOТрПl\f ТШIерь касательные к ДBY 1 8ТИМ сечения:и и две прямо
.линейные образующие поверхности, проходящие через взятуIO точку.
Эти че1ыIеe прямые (в обыкновенном смысле слона) имеют некоторое
анrаРМОllическое отношенпе. Уrол, Itоторый мы XO'l'HM опредеЛП'fЬ,
будет равен лоrарифму 8Toro анrармоническоrо ОТIюшения, если
две обра:зующие вещественны, т. е. если поверхность будет OДHO
полостным I'Пlшрбо.лопдои; в ПрОТИВНО :I случае уrол будет равен
тому же лоrаРИфУ1У, деленному на V 1.
Расс:нотрпм дуrу коническоrо сечения чаСТh плоскоrо ДIIаме
тра.льноrо сеченпя (то, что мы ус.ловились называть отреЗIi;О.М пря !Ой)
Два l\:Онца дуrи и две бесконечно удаленные точки l\:Онпчеcrеоrо
ссченпя IПfCЮТ HeItOTOpoe анrарионичеcrюе отношенпе, ItaE всю,ан
систеыа четырех точеR, лежащих на коническом сечении. Условимся
пазывать длиной рассматривае:моrо отрезка лоrарифм 8Toro ()тношенпя,
если коническое сечение есть rипербо.ла, и тот же лоrарИф:\l, деленный
на V 1, если коническое сечение есть 8ЛЛИПС.
JliIe:JEДY уrлаии и длинами, тю,им оБРа30М определенными, будет
существовать ряд соотношений, Еоторые составят совокупность теорем,
анаЛОП:IЧНЫХ теоремам ПЛОCI-юй rеометрии.
Этой СОВОIеуиности теорем можно дать название
.метрuи, потому что точкой отправления было Д.ля
основпой поверхности BTOpOI'O ПОРЯДЕа [qlladriqlle].
Есть несколько квадратичных rеометрий, ПО'l'ому что есть неcrш,лыю
родов поверхностей BToporo Порядка.
Если основная поверхность есть 8ЛЛИПСОИД, то квадратичная reo
метр ия не отличается от rеометрии Римана.
Еслп основная понерхность,, двуполостный rиперболоид, то EBaд
рати:чнан rеометрия не ОТu"Iичается от rеометрии Лобачевскоrо.
Если 8та поверхность есть 8ллпптическпй параболоид, то KBMpa
тичная rеометрия сводится к евклидовой ; 8ТО предельный случай двух
'l.eaapaтU'inoи i!eo
нас рассмотрение
предьщущих.
Очевидно, что этим не исчерпываются все вою,южные кнадратпчные
rеометрии, ибо мы не рассмотрели ни однополостноrо rииерболоида,
ни ero мноrочисленных видоизменений.
JliIы можем, следовательно, crtазать, что существуют три rлавные
квадратичные rеометрии, соответственно трем poдa 1 поверхностей BTO
poro порядка, имеющих центр.
ОБ ОСНОВНЫХ rИПОТЕЗАХ rЕОМЕТРИИ
391
Иы ДОJ1ЖНЫ будеи, впрочем, прибавить к ЭТОJlIУ l'ео:vштрии, COOT
ветствующие предеJ1ЬНЫМ СJ1учаНJlIj между ниии заЙм{ т l<ШСТО и i'eo
метри.н ЕВК.1Iида.
Rart MOrJ10 С.1Iучиться, что rепмнтрин однополостноrо l'иперБОJ1оида
УСКО.1Iьза.1Iа до сих пор от внииания ученых теоретиков? lIричина
этоrо та, что в этоЙ I'еШ,Iетрии пиеют место следующие положения:
10. Расстояние дuyx точе1t, лежащих на одной и той же прЯМОJ1И
лейноЙ образующеfi основной поверхности, равпо НУ,ТIю.
20. Есть два сорта прямых, отвечающих: первые диаметраЛЫIЫМ
сечениям ЭJ1J1ИПТIРIeСКИИ, вторые диаиетраJ1ЬНЫМ сечениям rИlIербо
JIИческИИj никаким движением неJ1Ь3Я совместить прямую nepBOl'o
рода с прямоЙ BToporo рода.
з0. НевоюlОЖНО совместить прямую саиу с собой иомощью веще
crneHHoro вращения ОКОJЮ одной И3 ее точек, в то времн ItaK это
совмещение В03:>lОжно в rео;l,ЮТРИИ Евклида, при обороте прниой на
1800 около одноЙ И3 ее точек.
Все rео:>ютры неяпно допускаJ1И, что три эти ПОJЮЖШП1Н ложны,
и деЙСТ13ительно, ппп слишкои противоречат ПРИВЫЧltаи паШeI'О ума,
чтобы основатели I'ео;l,ЮТРИИ моrJ1И подумать, что, отнерrая ИХ, ОНII
деJIaЮТ Н6IШТОрую rипотезу, и постараJI],ICЬ ее фОРМУ.1Iировать.
llРИnlенсние теории rpynn
Соrласно вышесказанному, задача, которую я поставил н начале
этоЙ работы, распадается на две части:
10. RакоIЗЫ rипотезы, общие Bct:OM Itнадратичпым l'еОJ\ШТРИП:\f?
20. Еаковы те l'ипотезы, IШТОрыми rеометрия ЕВlt.1Iида ОТJIII'JаtJТСЯ
от друrих квадратичных l'еометрий?
Вторую чаС'fЪ задачи можно считать разрешенноЙ; поэтому пред
стоит заняться ТОJ1ЬКО первой частью.
Две l'ИnОТtJ3Ы ДUJ1ЖНЫ быть сдеJJaНЫ при нача.1Iе всякой rеометрии
двух измерений; они 1\Юl'УТ быть фОРМУJ1иронаны Ta1t:
А. Плос'Кость 7мшет два uз.\tереnu-я.
В. IIОЛО;J/сеnuе плос'Ко'Й фU2уръ в 1 ЛОС'КОС1пzl определяется тре. tЯ условиями.
Лица, мало знако:ные с новеЙШlThПI раf)птами reoMeTpoB, сочтут
неВО3МОЖНЫ:\f И3 подобных ПОСЫJЮК вывести определенные заКJ1ючения.
Но PP3YJ1bTaT tJTOT не удивит математиков, читавших заме'JaтеJ1ьные
работы Софуса Ли по теорIIИ rрупп. С. Ли выводит действитеJ1LНО
следующий ре3УJ1ьтат, удивитеJ1ЬНЫЙ на первый В31'J1ЯД и выражаt:O
мый на языке l'еометрпи так:
ЕСJ1И ПОJ1ожение ПJЮСКОЙ фиrуры в ее ПJЮСКОСТИ заRИСII'f от конечноrо
ЧИСJJa уСJЮВИЙ, то число этих услопий не может пренышать восьми 1).
1) См., например, В. С i е, "I'heorie der Transformationsgruppen, l\1ath. Аnn.,
т. XVI, S 1 20.
392
А. ПУАНКАРЕ
Мы будем и далее
Исследуем, I{а!ше
теа А и В.
Если ПЛОCI{ость имеет два иамерения, то положение точки в ее
плоскости определяется двумя координатами х и у.
мы не будем делать ПQI{а НIшакой rипотеаы о выборе Iщординат х
и у, сохраняя аа собой право определить их точнее впоследствии,
Предположии, что плоская фиrура перемещаеТСЯj пусть х, Y Ha-
чальные Iщординаты точки 8ТОЙ фиrурЫj Х 1 и У 1 Iщординаты 'l'ОЙ же
ТОЧЮI после перемещеНnЯj будем ииеть:
польаоваться мемуаром норвеЖCIщrо ученоI'О,
ааключения воаможно иавлечь иа двух I'ИПО-
Х 1 === ер (х, У, а, [3, .), Уl === 'f (х, у, а, , .),
rде ер и ф две функции от х, у и трех параметров а, , . (парамет-
ров три потому, что положение фиrуры аависит от трех УСЛОВИЙ).
Операция
[х, У; ер (х, у, а, , .), 'f (х, у, а, , .)]
определит одно иа перемещений, воаможных для ПЛОCIщй фиrypы;
совокупность таких операций или перемещений обрааует rруnпу. Эта
rpynua, по териинолоrии С. Ли, непрерывна и порядка три, потому
что операция аависит от трех пара..\1етров.
Между операциями rpуппы должна находиться тождественная опе
рация. Следовательно, для иавестных аначений параметров а, , "(
должно быть:
ср===х, 'f===y.
Мы можем всеrда предположить, что для 8Toro должно ваять:
а === === . === о.
Будем нааывать операцией бесконечно малой (или беCIщнечно малым
перемещением) операцию, при которой а, , . имеют беCIщнечно малые
;значения и IЩТОРУЮ мы можем иаобразить тш{:
( д д д дФ д д )
х, У j х + а да + д + "( д1 ; У + а д; + д + . д ;
8 д
проиаводных да ' д и т. д. сделана подстаНОВI{а:
;здесь в
а === === . === о.
С. Ли обоаначает подобную операцию тш{:
( д д a f ) ( дФ д дФ )
S === Р а да + [3 д +. д1 + q а д + ai +. д; ,
так что, если положим
дср a<jJ
А ===р да +q aa ;
дср a<jJ .
В===р a +q a '
дср a<jJ
C===Pay+ q a 1 '
ОБ основных rИПОТЕ3АХ rЕОМЕТРИИ
393
то всякая бесконечно малая операция представится в форме:
S == а:А + B+iC,
1'де А, В, С суть функции от х и у, р и q.
Операции А, В, С можно наавать ОС'НО6'Н'Ы.ми подста'Новка.ми, и вся
кая бесконечно малая операция есть линейное их сочетание; выбор
основных подстановок остается, впрочем, до иавестной степени проиа
БОЛЬНЫМ, потому что 8ТИ три операции А, В, С можно ааменить тремя
какимп либо линейными комбинациями иа них.
С. Ли покааал, что если положим
[А В] == дА . дВ дА . дВ + дА . дВ дА . дВ
.' др дх дх др aq ау ду aq
и если а: и суть два каких нибудь бесконечно малых количества,
то операция
(aA)( B)(aA) l ( B) l,
которая необходимо принадлежит к rруппе, есть бесконечно малая
подстановка BToporo порядка и может быть написана так:
a [А, В] 1).
d'f а<1
1) Операция (аА) переводит х в х + а аа ' у в у + а a .
d'f d<jJ
Операция ( B) переводит х в х + d ' У в У + d ; следовательно,
d'f d'f d<Ji ( d2'f d'f W!'f dф )
х + а аа х + а а'У. + a + a ах da . d + ау da . ар
(а)
и аналШ'ИЧIIО для у.
1 d'f dф
Операция (аА) переводит обратно х + а аа. в х и у + а аа. в у; следова
тельно, выражение (а) в такое:
х d'f а ( d2'f . а:р а 2 :р . d Ф ) а ( Cl2'f . d'f d 2 'f . d<Ji )
+ a + ахаа a + ауаа a dxd аа. + aya аа .
1 d'f dф
Операция ( B) , переводящая х + a в х и у + d в у, будучи приме
нена к выражению (Ь), оставляет члены BToporo порядка беа перемены, и, таким
образом, сложная операция
(Ь)
(аА) ( B) (aA) l ( B) l
переводит
( cl2'f d'f а 2 :р d Ф ) ( W!'f d'f d 2 'f d ф )
х в х + a ах аа . d + ау аа . a a ах d . аа + ау a . аа '
. ( d2ф d'f d 2 ф d Ф ) ( d2ф а:р W!ф d Ф )
У в У + a ах аа . a + ау аа . a a ах d . аа + ау a . аа .
Умножая npиращение х на р, npиращение у на q и замечая, что
d'f аА d 2 'f d 2 <!J аА
аа == ар J Р ах da + q ах da == (J; и Т. д.,
имеем по обозначениям С. Ли:
(аА) ( B) (aA) 1 ( B) 1 == a [А, в].
[l'ед.]
394
А. ПУАНКАРЕ
Отсюда следует что [А, В], [А, О] и [В, О] суть линейные фУНR
ции оТ А, В, о:
[А, В] ==),А+?В+"О, ,
[А, О] == ).'А + f-','B + ,,'0, }
[В, О] == )."А +fL"B+-I'О. J
(1)
3десь )" fL, " суть постоянные rЮ8ффициенты, но не произвольные
они должны удовлетворять тождеству
[А, [В, О]] + [В, [О, А] ] + [О, [А, В]] == О.
(2)
Изложенное выше составляет исходную ТОЧ1{У исследования; но
8ТО исследование может быть значительно упрощено надлежащим
выбором координат х, у и трех основных подстановOI, А, В и О. Можно
выбрать 8ТИ основпые подстаНОВ1,И так, чтобы л == v == О или чтобы
[А, В] == fLE.
JlvIОЖIIО затеи выбрать систему Iюординат тап:, чтобы А == Р и, сле
довательно, чтобы
дВ
[ А В ] == ==uB'
, дх"
ТOI'да для В получится такое выражение:
В == eP-Х [р &1 (у)+ q &2 (у)].
Мы сделали сейчас rипотеау о выборе систе1<lЫ КООРДИ.fIa'l" но 8ТОЙ
rипотезой система Iюординат определяется не вполне. Не нарушая
условия А == р, можно вместо у взять прои3волыIюю фУНl ЦИЮ от У и
прибавить 1, х 'l'aI,же пр()извольную функцию от у. Этим новым изме
нением I,оординат можно ВОСПОЛЬЗ0ваться для упрощения В. Если О
не НУЛL, то можем так изиенить координаты, чтобы &2 == 1, &1 == о.
Если же &2 == О, то она останется нулем II после изменения 1ШОрДИ
нат, и торда &1 можно привести или 1, 1 или R у. Jl.Iы приходим,
таким образои, 1, следующим трем rипотезам:
&1==0, (j2==lj 01==1, &2==0; &l==У, &2==0.
JlvIожно различать два случая:
1. Корда fL == О, т. е. две подстановr;и А и В Iюимутативны (за.'lfе
тим миыоходом, что rипотезу существования Iюммутативных движений
можно рассыатривать I,aI, одно И3 выражениЙ еВI,лидова постулата).
Торда имеем или А == р, В == q или А == р, В == ур.
2. Или же fL не равно нулю. rrоrда имеем или А == р, в == qeP-Х,
или А ==р, В==ре!'-Х, или А ==р, B==pyeP-Х.
Исследуем последовательно 8ТИ пять случаев.
ОБ ОСНОВНЫХ rИПОТЕ3АХ rЕОМЕТРИИ
395
1 й сЛу'Ц,UЙ: А === р, в === q.
Уравнения (1) приводптся тоrда к виду
ас ") ' + ' + , 0
дх ==='Р '/q '1,
ас
ду === ")."р +}1" q + '1"0.
Если '1' И '1" не равны одновременно нулю, то уравнеппя будут
<совместны ТОЛЬRО в то:\! случае, еслп
)/ p, V'
)," р." ..," .
Тоrда можно предпо.ложить, что Л' === )." ===}1' === fJ-" === О, ОТI уда
С === e v 'x+v"1I (ap+b Q ),
I'де а и Ь постоянные.
Труппа
А === р, в === q, 0=== e"'x+v"!/ (ap+bq)
<Jпределяет совершенно новую rео:нетрию. Почему не встретп.пась она
ЕвRЛИДУ? Пли лучше какая rппотеза, допущенная 11М неявно, по:не
шала ему пзучить эту rео:иетрию?
Rакая нпбудь бесконечно малая подстаПОВI{а выразится:
а.р + q + "(pv':r+ v "1I (ap+bq).
Rакие точки ос'rаются неподвпжнымп при такой подстаповке?
Точки эти опредеJIЯIOТСЯ уравнеНИЯ;\JП
v'a: I V"'l 1 а
е -...
la ы1,
а
<Jткуда заключае:н: если не существует равенства а b' то нп одна
а
'Точка не останется неподвижной. Еслп же равенство а === ь выпол
нено, то беСЧlIсленное множество точек остается в покое.
Но леrI{О за:нетпть, что ЕВI{ЛИД постоянно делает, пе выскааывая
прямо, следующую I'ипотезу:
Если плоская фuzура пе 1ЮI.иdает своей 1москости и если две ее то'Ц,ки
()стаются 1iе1юдви:JIС1-Lы. иt, то и вся она остается неподви:JIC1Юй.
Эта rипотеза и ааставит отnроспть ту особенную rеометрпю, KOTO
рая основывается на расс:нотрении ТО.лыщ что упомянутой rруппы.
Если же '1' === '1" === О, то находим:
0=== р ().' х + ),"у) + q (fJ-' х + fL"y)j
-такая rруппа иа А, В и С приводит нас I{ rеометрпи Евклпда.
2 й слу'Ц,ай: А === р, в === ур.
в са:ном общем случае находим:
о === [ах +f(y)] р + bq,
396
А. ЛУАНКАРЕ
тде а и Ь постоянные, а f(у) проиавольная фуш:щия оТ У, EOTO
рую можно ПОЛОЖить равной нулю при надлежащем выборе системы
ЕООрДИНат.
RaRая нибудь беСЕонечно малая подстанОВЕа представится:
(a+ y+a"(x)p+("(b)q.
и эта rруПпа должна быть отброшена в силу сде.нанной rипотеаы.
Действительно, если "(Ь не равно НУЛю, то ни ОДНа ТОЧЕа не остается
неподвижной; если же, напротив, "(Ь === О, то все ТОЧЕИ удовлетворяю
щие уравнению
а+ y+ а"(х=== О,
остаются неподвижными.
3 й слу'Чай: А === р, в === pyeI'-X.
Находим:
C=== +q.
у
ПодстаНОВЕИ А и С аам:еняют друт друта; следовательно, прихо
дим Е одному из рассмотренных уже случаев.
4 й слу'Чай: А === р, в === peI'-3J.
Снова находим, что А и С Еоммутативны, и потому приходим
Е одному из двух первых случаев.
5 й слу'Чай: А === р, в === qeI'-3J.
Здесь для С находим четыре
10. С === eV':n [ар +f.L (ау + Ь) q]
20. С=== [ap+(by+c)q];
зD. C===el'-x [ap+(bx a!-!y+c)q];
40. С=== eI'-3J [(ау + Ь)р+ !-!q( ; y'J+ Ьу+ с)].
Первый и 'l'ретий должны быть отброшены, потому что В и С KOM
мутаТИВНLI, второй потому что А и С ЕOJ\лнутативны. ПРИНИ1ная одно
иа этих выражений, придем всетда Е одному иа первых двух случаев.
Остается четвертая форма С, Еоторая приводит нас Е Евадратичным
rеометриям.
Тот же результат мот бы быть получен из рассмотрения трех COOT
ношений, связывающих девять Еоэффициентов Л, 'fL, .. и получаемых
иа тождества (2).
ршзличных выражения:
(а, Ь и с постоянные);
3SRлючени.и:
Мы можем перечислить следующие rипотеаы, служащие необходи
мыми и достаточными предварительными допущени,Я1НИ ПЛОСROй тeo
метрии.
А. ПЛОСЕОСТЬ И1неет два иамерения.
В. Положение ПЛОСЕОЙ фиryры в ее ПЛОСЕОСТИ определяется тремя
УСЛОВиями.
ОБ ОСНОВНЫХ rИПОТЕ3АХ rЕОМЕТРИИ
391
Две эти первые rипотеаы дают воаможность делать выбор между
раали'IНЫМИ квадратичными rеометриями и ДВУМЯ rеометриями, харак-
-териаующимися двумя следующими rруппами:
[р, q, eV':v+v"y(ab+bq)] и (Р, ур, axp+bq).
::Эти последние reометрии исключаются, если принять еще следующую
rипотез .
С. Rоrда плоская фиrура не покидает своей плоскости и коrда
две точки ее неподвижны, тоrда и вся фиrура неподвия{на.
После этоrо остается делать выбор между рааличными квадратич-
ными rеометриями. Сделаем еще две rипотеаы.
D. Расстояние двух точек моя{ет быть нулем только тоrда, коrда
две эти ТОЧКИ совпадают.
Е. Rоrда две прямые пересекаются, то, вращая одну иа них около
точки пересечения, можно привести ее в совпадение с друrой.
Две эти rипотеаы нераарывно свяааны между собой; допустив одну
из них, необходимо принять и друrую и ИCI{,ЛЮЧИТЬ этим rеометрию
однополостноrо rипербо,лоида.
Введем еще следующую rипотеау.
F. Две прямые Moryт шересекаться только в одной точке.
Исключается сферическая rеометрия.
Остается только ввести постулат Евклида.
G. Сумма уrлов треуrольника постоянна.
Моя{но ааметить, что втот постулат делает иалишними rипотеаы D,
Е и F, которые суть ero необходимые следствия.
Рааличные замечании
Если читатель, следивший аа мной до сих пор, перенесется мы-
сленно к анаменитому мемуару Римана (Uber die Hypothesen, welche
der Geometl'ie zu Grunde liegen), то он ааметит некоторую ра;:ницу
в методах и выводах. Риман характериаует rеометрию выраjf\{'нием
элемента дуrи в функции координат. ОН приходит, таким образом,
к весьма большому числу rеометрий, лоrически воаможных, о коих
я даже и не rоворил. Это происходит от Toro, что аа точку отправле
ния я ваял воамоя{ность перемещения, или, лучше, существование
rpуипы перемещений, не иаменяющих расстояний.
Моя{но спросить себя, что представляют собой эти rипотеаы? ФаI ТЫ
ли это, полученные иа опыта, или суждения аналитические, или син-
тетические а priori? Мы доля{ны ответить отрицательно на три эти
вопроса. Если бы эти rипотеаы были фактами опыта и наблюдения,
то rеометрия подлея{ала бы постоянному пересмотру и не была бы
наукой точной; если бы это были синтетические априорные су:шдеПIIЯ,
398
А. ПУАНI{АРЕ
а тем более ана..lIитические, то невозможно было бы отрешиться 0'1"
них И на их отрицании нпчеrо нельзя было бы построить.
]\i[ожно по казать, что анализ основывается на известном числе син
тетпчеCIеих суждений а priori; но не то в rеометрии. Что же мы должны
думать о допущениях rео:иетрии? В IeaKoM, например, смысле можно
rоворить, что 1юстулат Евклида верен?
Соrласно тоиу, что нами выше было сказано, rеометрия fСТЬ не
что иное, Kale изучение некоторой rруппьт движений, и в этом смысле
можно сказать, что справедливость rеометрии Евклпда нисколько не
противоречит справедливости rеометрии Лобачевскоrо, так IeaK суще
ствование одной rруппы вполне совместимо с существованием дрУ1'ОЙ.
Мы lJыбра..lIИ между всеии В03l\IOЖНЫМИ rруппами одну особенную
для 1'01'0, чтобы к ней относить ФизпчеCIеие явления, подобно тому
как .мы выбираем систему трех координатных осей, чтобы к ним OTHO
сить l'еометрические фиrуры. Что же определило наш выбор? 31'0,
во первых, простота выбранной rруппы; но есть и друrое основание:
в прпроде СУlцествуIOТ замечательные тела, называемые твердЪklfЛt, и
опыт rОlJ()РИТ НЮI, '1'1'0 связь разлпчных ВОЗ:\IOжных перемerцений этих
тел вьrражается со значитеЛLНОЙ степенью приближения 'rеми же
са:\1Ыl\IИ соотношения;vпr, к3Е и различные операции выбранной l'рУППЫ.
Таlеии образом, основные rипотезы rеометрии не суть факты, добы
тые из опыта; но наблюдение над некоторыми физичеCIеими явлениями
прпводит Ie выбору ИI\Н:ШНО их пз числа всех возиожных rипотез.
С ДРУl'ой стороны, выбранная на;\1И rруппа только удобнее, чем
друаш, и нельзя уже сказать, что еВlелидова п:юметрия перна, а l'eo
метрпя ЛобачеВCIШI'О ложная, совершенно подобно ТО:ИУ, как неЛL3.Н
сказать, что Дf'rеарТОВLI коордпнаты верны, а полярные неверны.
Я пе буду более останавливаться на этом попросе, так IeaK эти
ИС'l'IПIЫ становятся уже избптыии.
.............
ФЕЛПIШ КЛЕЙН
( p АRНИТFЛЬНОЕ ОБО3РЕНПЕ
НОВЕЙШИХ rЕШIEТI>I-РJ.ЕCI.их ИССЛЕДОВАНИЙ
(<<ЭРЛАнrЕНCI.А l llPOrp AM1'IA»)
FELIX KLEIN
VERGLEICHENDE ВЕТRАСНТUNGЕN
UBER NEURE GEOl\IETRISCHE FORSCHUNGEN
(1872)
Между приобретениями, сделанными в области l'еО lетрии за по
следние пятьдесят лет, развитие nрое'lfтU6'J-lОЙ zeoJlteтpu7t занимает
первое место. Если в начале :казалось, что для нее недоступно И3У
чение та:к называеиых ме'l'ричес:ких свойств, та:к :КЮ, они пе остаю'l'СЯ
беа иаиенения при проен:тировании, то в новейшее врехНI паучились
представлять и их с ПрОeI ТИВНОЙ точ:ки зрения, та:к что теперь прое:к
тнвный метод охватывает ЕСЮ l'ео:нетрию. J\ilетрпчеСIПlе свойства ЯН.ляются
в не:и уже не свойстваии пространственных вРщей в себе, но O'l'HO
шения.чи зтих последних :к одноиу основному l'еометричес:ко:vrу образу
беСli:онечно удаленной сферичес:кой о:кружности 1).
Если с таlш:vr постепенно Rыработанны:vr воззрением на прОС'1'ран
ственные вещи сравнить представления обы:кновенной (злементарной)
rео:vreТРlПI, то явится вопрос, нет J1И оБЩeI'О принципа, иа EUTOpOl'O
вытer али бы of)a метода. Вопрос 3'1'0'1' является тем более важныи,
что рЯДОМ с злементарной и прое:ктивной п-'о:vreтрией встает целыЙ ряд
друrих мепее развитых :V1РТОДОВ, за IЮТОРЫМИ следует ПРlI3нать таlюе
же право СaIVюстоятельнOl'О существовапия. Та:ковы l'еш.rетрия обрат
ных радиусов, l'еометрия рациональных l1рtюбраЗ0ваний и пр. (с 3ТОЙ
ТОЧIШ зрения они и 6,УДУТ отмечены и представлены в дальнейшем).
3адаваясь в последующем целью установить та:кой принцип, мы
рааниваеы, правда, мысль, в сущности не новую, MЫ толыш очер
ЧИВakl\I ясно II ОТ'1етливо то, что более пли ыенее ОПРtJделенно
ПРПХОДIlЛО на ум МНUПП'J. ВЫПУСIШТЬ подобные сжатые обозрения
1) См. примечание 1 (стр. 42Ь).
400
Ф. КЛЕЙН
представляется тем более уместным, что l'еометрия, единая по существу
своему, при быстром Своем развитии в последнее время слишком уже
раздробилась на ряд почти раздельных дисциплин 1), которые про
должают развиваться в значительной степени независимо ДРУ!' от
дрУl'а. Была и еще особая цель изложить методы и взrляды, раа-
витые С. Ли и МНОЮ в наших новейших работах. Наши исследования,
к каким бы разнообразным предметам они ни относились, ПРИБО
дили нас одинаково к изложенной здесь общей концепции, так
что было некоторым образом необходимо коrда нибудь ее выяснить
и тем охарактеризовать содержание и направление указанных
работ.
Если до сих пор шла речь только о l'еометрических исслеДОБа
ниях, '1'0 под этим надо подразумевать и исследования о мноrообра
зиях произвольноrо числа измерений 2), которые развились и3 reo
метрии, коrда была отброшена пространственная картина, несуще
ственная для чисто математическоl'О изучения 3). При исследовании
МНОl'ообразий встречаю'юя такие же ра8личные типы, как и в reoMeT
рии, и как и 'I'&'\I, 8адача в том, Ч'I'обы подчеркнуть, чт есть общеrо
и в чем различие исследований, предпринятых не8ависимо одно от
ДРУl'Оl'О. По существу дела, в последующем нужно бы l'оворить про-
сто О MHoroKpaTHo протяженных МНОl'ообра8ИЯХ; но в применениях
к более ПрИВЫЧНIill.I пространственным представлениям И8ложение
становится проще и понятнее. Исходя И8 рассмотрения простран-
ственных вещей и ра8вивая на них, л:ак на ПрИ:\fере, общие мысли,
мы следуем пути, по которому ШJIa наука в своем развитIШ
и следовать которому при И8ложении является обычно самым БЫ
rодным.
Предварительное И8ложение дальнейшеrо содержания предста-
вляется 8десь неВ08МОЖНЬh'\I, потому что ему едва ли можно придать
более сжа'i'УЮ форму 4); 8аl'лавия параl'рафов ука8ывают общий ХОД
мысли. В 8аключении я прибавил ряд примечаний, в которых иJШ
входил В б6;JIьшие подробности относительно некоторых пунктов, rде
это ка8алось необходимым в интересах общеl'О И8ложения, или ста-
рался отrраничить абстрактно математическую точку 8рения, служив
шую мерилом при рассуждениях в тексте, от родственных ей.
1) См. примечание П (стр. 428)
2) См. примечание IV (стр. 429).
S) СМ. примечание Ш (стр. 429)
4) Эта сжатость недостаток последующеrо изложения, который, опасаюсь,
значительно затруднит понимание. Но помочь этому можно было бы только,
войдя в rораздо большие подробности и развивая обстоятельно отдельные теории.
вдесь лишь затроНутые.
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
401
э 1. rРУШIЫ IIpOCTpaHCTBeHHblX IIреобразований. I'лавна.н rрушш.
IIocTaHoBKa общей задачи
Наиболее существенное понятие, неоБХОДИi\юе ДJ1Я дальнейшеrо
нзложения, есть понятие о i!pyппe пространственных изменений.
Произвольное . число преобразований пространства дает, СКJШДЫ
ваясь, снова иреобразование пространства l ). Если данный ряд пре
образований обладает тем свойством, что каждое изыенение, полу
чаемое от последовательноrо применения нескольких преобрааований,
принадлежащих атому ряду, саыо входит в ero состав, то мы назы
вае:\1 8'l'OT ряд i!pyппou преопраЗО6ШНUЙ 2).
lIример rруппы преобразований представляет совокупность всех
движений (каждое двпжение рассматривается как операция, выпол
ненная над всем простраНСТВОМ)j подrруппу ее образуют, наприиер,
вращения около тоqки 3). Совокупность коллинеаций представляет
rруппу, которая объемлет rруппу движений. Напротив, совокупность
двойственных преобразований не образует rруппы, потому что два
двойственных преобразования, выполненных последовательно, дают
коллинеарное преобразованиеj но мы снова получим rpYIIIIY, если
к совокупности двойственных преобраЗ0ваний присоединиы СОВOltуп
насть коллинеарных преобразований 4).
Существуют такие преобразования пространства, которые оставляют
вообще без изменения rеометрические свойства пространственных обра
1) Мы представляем себе, что преобразованию подверrается вся совокупность
пространственных образов, и rоворим поэтому просто О преобразованиях про
странства. Преобразования, как, например, двойственные, MorYT вводить вместо
точек .п-руrие элементы; в тексте это не различается.
2) Еак самое понятие, так и обозначение заимствованы из теории пoдcтa'HO
8011:; но там вместо преобразований непрерывной области выступают переста
новки конечноrо ЧI-I:сла дискретных величин. [Это опре.:Jеление требует дополне
ния. О rруппах, упоминаемых в тексте, безмолвно пре:щолаrается, что наряду
с каждой операцией они содержат и ей обратную. Но, как выяснил первыЙ Ли.
при бесконечном числе операций это никоим образом не будет следствием поня
тия rруппы, как таковоЙ; наше предположение нужно бы поэтому непременно
присовокупить к данному в тексте определению rруппы). <")
...:-) Текст в «вадратных скобках здесь и в друrих местах внесен автором в послеДУЮIЦИХ
издани.нх мемуара (в переводах На итальянский и французскии н;зыки, во втором немецком
издании и в собрании сочинениii :КлеЙна; см. библиоrрафические сведения, стр. 522
Настоящеrо сборника). [Ред.]
3) :Н'Сордан установил все вообще rруппы, которые заrс.rr:ОЧflЮТСЯ в rруппе дви
жевия: С. J о r d а п, 8ur 1es gl'oupes des mouvements, Anna]i di Matem. (2), t. П, 1869
4) Преобразования rрупп ОТНЮ,;J;Ь не ДО r НЫ непременно представ.rrять непре
рывную последовательность, 1сак это видим во всех rруппах, указываемых
в тшссте, rруппу образует, например, конечныЙ ряд движений, приводящих
правильное тело в совмещение с самим собой, или беt:конечный, но дискретный
ряд движеЮiЙ, приводящих в совшщеЮie саму с собой t:ИНУСОИДУ.
26 3ак. 1164. Об основаннях reOMcтpHH
402
Ф. КЛЕЙН
БОВ. Теометрические свойства, по самому определению, не аависят от
положения, аанимаемоrо в пространстве иаучаемым обрааом, от ero
абсолютной величины и, наконец, от ориентации в расположении ето
частей 1). Свойства пространственното обрааа не иаменяются поэтому
от всех движений пространства, от ето преобрааЬваний подобия, (,r
процесса "аеркальноrо отражения и от всех преобразований, которые
. мотут быть иа них состаВЛЕ\IIЫ. Совокупность всех этих преобраЗ0ва
ний мы назове;\;f zлавnой zрутюй иаменений пространства; zео.метрu'Че-
с%ие свойства nе uз.меnяются от преобразоваnuй zлавnой zpyтzu, и обратно,
можно . сказать: zеО.Аtетри-чес%uе свойства харшктеризуются их nеиз.мс'Няе
.мостью от преобразоваnuй zлавnой zpyтzu. Действительно, представим
себе пространство на мrновение неподвижным, аастывшим МНOl' обра-
аиеМj тотда каждая фиrура имеет индивидуальный интерес; иа свойств,
которыми она обладает как индивидуум, только те суть соБС'l'венно
rеометрические, которые остаются неиаменными при всех преобраЗ0ва
ниях rлавной труппы. Эта мысль, формулированная адесь несколько He
определенно, представится отчетливее в дальнейшем ходе изложения.
Отбросим теперь математически несущественный чувственный обраэ
и будем видеть в пространстве только мноrообразие нескольких изме
рений, т. е., если придерживаться оБЫЧIЮI'О представления точки mLК
элемента пространства, троякопротяженное. По аналоrии с простран-
ственными преобразованиями мы rоворим о преобразованиях мното-
обрааИЯj они также обраауют ZРУ1ZnЪt. Только уже нет более, как в про
странстве, труппы, которая выделялась бы по своему аначению между
остальными, каждая rруппа равнозначна всякой ДРУI'ОЙ. Еак обо6
щение rеометрии получается, таким обрааом, следующая мноrообъем-
лющая задача:
Даnо .мnоzообразие u в nе.м zpY1zna преобразоваnий j nY;)lcno исследовать
те свойства образов, 1zриnадле;жащих .мnоzоо{;разию, 'Которые nе из.меnJlwтся
от преобразоваnий zpyтzu.
Применителыю к современной терминолоrии, которую, впрочем,
обыкновенно прилаrают только к определенной l'руппе l'pynne всех
линейных преобраЗ0ваний, можно выразиться еще таи::
Даnо .мnоzообразие u в nе.и zpyппa ,преобразоваnий. Требуется развить
теорию unвариаnтов этой zpyтzu 2).
1) Под ориентациеЙ [Sinn] я разумею здесь то свойство расположения, IШТО,
рое является источником раЗЛИЧlJЯ м(жду данной фиrУJОЙ и ей СI:lмметричной
(ее зеркальным изображеНI:I!;М). Ориеш:ацией различю(л:ся J:al(же право и лево
ЗRIсрученные винтовые линии.
2) [Употребдяя этот термин здесь и в дальнейшем, я О I:НЮДЬ не I:Iмею в виду
вопроса о цеJIЫХ рациональных Иllвариавта.." кюсих либо заданных ФОРМ или
о цеJIЫХ рациональных сизиrиях, имеющих Mf'CTO между ними. Этот вопр()с,
разумеется, совершенно не затруднял меня в 1872 тоду, в период Moero общения
9РЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
403.
Это общая задача, заключающая в себе не только обыкновеннук,
rеометрию, но и новейшие 1'еометрические методы, которые будут далее'
поименованы, и различные приемы исследования мноrообраsий любо1'О'
числа иsиерений. Особенно должно быть подчеркнута проиsвольность-
в выборе присоединяемой 1'руппы преобрasований и проистеltающая
.
отсюда II в атом смысле принимаемая равноправность всех типов
исследования, подходящих под общее требование.
2. fруппы преоf)рааовании, И3 которых О,'l;нз. объе,nл'lТ ДРУI'УЮ,
ПрlIсоедин.аю ('са Ill)сле,'I,ОВ!I;rеДьно. Различные тюrы l'ео:nеl'РИ'lеСI'ИХ
исследовании 11 их взаимиое 01'1lI1шеuие
Так как теомеТРИЧбские свойства ПРf)странственных вещей OCT1:tIOTCK
6ез иsменения при всех преобраsованиях ['лавной 1'руппы, то сам по.
себе .вопрос о тех их .свойствах, I OTopыe остаются беа иsменеllИЯ
только при некоторых иs числа тих: преобразоqа'l;r:1, не имзеr С\С>lС ла
Но такая постановка вопроса становится правомерiIЗЙ, xor:l и с фор
.мальnой только стороны, если мы исс.lIедуем пространствеНН::"lе обраSf:ir
в их отношениях к B.lIeMeHTaM, считаем,ci[М неиsменяемыми. . Будем,
например, как в сферической триrОНО:\Iетрии, рассматривать просrран
ственные обраsы аа ИСК.шочением одной точки; то['да является требо
вание: исследовать неиsменяющиеся в случае присоединения 1'.lIавной
rруииы свойства уже не пространственных вещей: в себе, но системы ,.
образуемой ИМfI в соединении с данной: ТОЧIШЙ:. Этому требоваНII 10-
можно дать иной вид: для пространственных вещей в себе должн ы
быть иsучены :свойства, не иsменяющиеся при тех преобраЗ0вани ях
rлавной 1'руппы, которые можно еще выполнить, если Зal-срепим дан
ную точку. ДРУ1'ими словами, одно и то же, исследовать ли простран
ственные обраsы в духе rруппы и присоединить к ним данную точку
или, не присоединяя ниче1'О данно1'О, sаменить rлавную 1'руппу за
Rлючающейся в ней rруппой, преобраsования которой оставляют без
И8менения УПО:\IЯНУТУЮ ТОЧltу.
Этот ПРИНЦИП часто применяется в дальнейшеМj поэтому мы фор
мулируем e1'o здесь же в общем виде, таким обраsом:
Пусть дано МНО1'ообраsие и для иsучения e1'o относящаяся к
нему 1'руппа преобраsоваНИЙj поставлена задача: исследовать обрааы,
с К.'lебшем (который с 1871 rода стал публиковать свою теорию бинарных форм)..
Тем не менее, я отнюдь не чувствовал себя им связанным. Я понимал под 'l'eo
риеil инвариантов некоторой rруппы просто учение о соотношениях меЖ::J:У HeKO
торыми заданными образами, остающихся неизменными по отношению к ['рупп6'"
Ср. таlсже точные разъяснения в S 5 Moero BI'OpOrO СОЧIIнеНl1Я о неешслид...воil:
rеометрии [см. сноску 3) на стр. 519. Рсд.]. Напрн:мер, к теории инвариантов эле
ментарнои rеометрии относятся в этом смысле вся элементарная и сферическаlJ!i
триrонометрии (не исчерпывающиеся, разумеется аi>ввашlOЙ схемой)].
26*
404
Ф. КЛЕЙН
содержащиеся в ИНOI'ообразии, в отношении даIПЮI'О образа. В TaKO !
случае можно или присоеди'Нцть дa'н'ный образ u тo ba спрашuвать, 'hа'hовы
свойства этой 7lЗ.ие'Не'Н1iОЙ сuсте.t['Ы 120 от'Ноше'Нuю 1> да'Н'Ной PYlтe, или же,
'Не распространяя cucтe.ltы' o pa'Ни lивaтb l реобразова''Нuя, l2ола ае,Alыe в ос-
'Нову uсследова'Нuя, тe.t[u l реобразова'Нuя.t[u да'Н'Ной py1ты, 1>О1lWрые 'не UЗ.Аlе-
няют дa'Н'Нo o образа u "'01пopыe 'Iie1i:pe.llenno ca,l\tu по себе составляют PY1I11Y.
В противоположность вопросу, наиеченному в начале параrрафа,
пусть нас аани:иает обратный вопрос, который понятен с саиOI'О начала.
1Iы стаВИ),1 вопрос о таких свойствах пространственных образов, кото-
рые сохраняются при I'руппе преобразований, объемлющей rлавную
rруппу, ЮiК свою часть. Rаждое свойство, которое мы находим при
таком исследованпи, есть l'еометрическое свойство вещи в себе, но не
обратно. При обращении выступает только что указанный принцпп,
по IШТОрОМУ l'.лавная I'руппа есть теперь 1'руппа меньшая. :Мы по-
лучаем, таким образом:
Если лав'Ную JYlpтy за.меюм[ более ООШUр'НОЙ РУ1той, то сохра'IiЯСrnся
толь'hО lacтb eo.Meтpи leC1>иX свойств. Остающuеся предстлвляюmcя cвoй
ства.ми У:llсе 'Не 1i:pocтpancтeennыx вещей в себе, 'Но ceoucтea.t[u cucтc_lfы,
I2ОЛУ lае.I!ОЙ nрuсоедu'НеIНlе.t[ 1> 'IiU.t[ особе'li'l-lO О образа. Этот особепныи
образ (пос'hОЛЬ1.у он вообще 011ределе'Н 1» 01i:pеделяется тем, что 1 pи за-
1) Такую форму получим, например, применяя все преобразования rлавноfi
rруппы к произвольному начальному влементу, ЮJТороrо не переводит самото
в себя ни одно преобразование данной rруппы. [Теорема, приведенная в тексте,
образует, без сомнения, центральный пувкт всех рассуждений моей проrраммы
и в соответствии с втим получила у новеЙших авторов особое название «теоремы
о присоединении>.). Однако в том смысле, какой указан в преДЫдyIЦем примечании,
она во MHoroM ПРИВО,;J;ит к недоразумениям. Если думать только о целых рацио-
нальных инвариантах соответственно, сизиrиях, то теорему называют чистым
предположением или же строят ПIшмеры, в КОТОРЫХ она, будучи неверно интер-
претирована, перестает быть справедливой. Именно, в теореме ишут значительно
больше Toro, чем следует. Я имею в виду как раз то, что развил Евли для осо-
боrо случая проективно:И rеометрии и влементарно:И метрической rеометрии
в Sixth l\Jemoir проп Qпапtks, 1859 (Phil. ТrаПБ. ] 859, Со11. Рар., т. П) и что,
Ероме Toro, в более специализированной редакции выразил уже Лarерр н
1853 rоду в своих теоремах, указанных выше, на стр. 24 243 [книrи F. К 1 е j n,
Gesammelte mathematjsche Abhancllul1gen, т. 1, 1921_ Рсд.]. В конце cBoero сочине.
ния Н:вли выделяет теорему: «Metrical geometry js а part of descrjptjve geometry
апд descrjptive geometry js аН geometry апд reciproca11y>.). Я, со своей стороны,
придам вто:И теореме фОРМУЛИРОВItу, которая в ее прозаическоЙ форме ИСК.'1ючаJIS
бы всякое недоразумение: каждый факт влементарной rеометрии можно Оllисать
соотношениями между тетравдрапьными координатами, если только известно,
кiш в втих координатах представлен шаровоЙ Kpyr.
Возможно, будет полезным llрибавить еще следуюшее. ШаровоЙ круr проек-
тивен любому нераспадающемуся коничес'кому сечению; поэтому система коорди-
нат может быть выбрана так, что он будет представлен в своей П.1]ОСКОСТИ равен-
ством нулю ПрОl'lзвольноЙ тернарноЙ квадратичноЙ фОРМЫ с отличным от H ан
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
405
1>репле'Нuи е20 для простра'Нства остаются воsсиожпъцtu толы>o преоораsовапия
zлав'IЮU 2руппы.
Это предложение указывает на основное отличие новейших reo
метрических направлеЮIЙ и их отношение к вле;\шнтарному методу:
они характеризуются именно тем, что вместо rлавной rруппы в основу
исследования кладут распространенную rруппу пространственных
преобразований. ВзаИ;\fное их отношение, поскольку rруппы их за
ключают одна друrуIO, определяется аналоrичным предло жением.
То же самое надо сказать относптельно различных приемов иссле
дования мноrообразий мноrих измерений, которые мы будем здесь
рассматривать. ]\,fbl покажем вто на отдельных методах, причем пред
ложения, установленные в общем виде в втом параrрафе и в пре
дыдущем, будут пояснены на конкретных прпмерах.
3. ПрОeltтивна.п: rеометри.п:
Каждым пространственным преобразованием, не при надлежащим
к rлавной rруппе, можно воспользоваться, чтобы переносить свойства
известных образов на новые. Так, мы пользуемся rеО;\Ieтрией на пло
скости для rеометрии поверхностей, отобразимых на плоскости j таким
образом, задолrо до возникновения собственно проerетивной reO:\feT
рии по свойствам данной фиrуры делали заключения о свойствах
друrих которые получаются из нее проектированием.
Но проетеrивная rеШ,IeТРИЯ создалась только ТО1'да, КО1'да вошло
в ПрllRblЧКУ пер во начально взятую фиrуру считать сущсственно
тождественной со всеми фиrурами, которые можно получить из нее
посрецсrвом проектирования, и коrда стали те свойства, которые
пер('но >Н'ся проектированием, выражать тате, что выступила на вид
детерминантом. Вместо 8'1'01'0 Kpyra иы можем для примера взять в 6есн:опечпо
удаленной плоскости кривую С З С точкоЙ во<шрата (ЯВЛЯЮIЦYюся У'R.РИВОЙ, т. е.
переводящую('я в себя непрерывноЙ rруппоЙ К'JШIинеаций, зависящих от oflHoro
Шtраметра). Все точки беск. . вечно удаленной плоскости остаются неизменными
при rруппе а" заданной (.:rе'r.yющими формула и:
х' ,. х --t- а, у' == Ау + Ь, z' == Лz + с.
3акрепляя С З ЛИШЬ ШJК пелuе, мы пuлучаем rруппу коллинеаций G б , и COO'l'BeT
ствующая rеометрия мvжеr считаться построеннои. Есди затем I\IЫ хотим вклю
ч!!ть эту rеометрию в общую проективную rеометрию, то мы, естественно, не
можем присоединять люБУR' С з , лежащую в бесконечно удаленноii ПЛО<:IШС'l'И
(т. е. задаваемую равенством нулю произволь'НоЙ 'l'ернарноЙ кубическоЙ формы).
Более Toro, ука:занная ФОР!,;"! должна быть выбрана так, чтобы, будучи прирав
нена нулю, она предетавляла и шнно С З с точкой возврата. OДHa o последнее
условие и достаточно, 'l'aK как все Са с точкоЙ возврата проективно родственны
цру!' npyry. Подобное :ш:е справедливо во всех остальных мыслимых случаях
106
Ф. КЛЕЙН
-их независимость от изменений, связанных с проектированием. Этим
{)ыла положена в основу изучения в Смысле 1 zpynпa всех проектив-
:nblX преобразова'Нuи и создалась протuвопо.ложuость .между npoe1fтиB1ioи и
.lJБыкuове'l-tuойй zео.метрия.мu.
Подобный описанному ход раа.нития можно себе представить для
IВсякоrо рода пространственных преобрааоваН:ИЙj мы еще не раа вер-
немся R этому. Внутри самой проективной rеометрии он шел в двух
m:аправлениях. С о.щюй стороны, дальнейшее раавитие этоrо воззрения
.:вы разилось присоединением к основной rpynne преобрааований двой-
.стве'l-t'l-t'h/Х. С современной точки зрения две двойственно соответствую-
.'Щие одна друrой фиrуры рассматриваются уже не как две различные,
но как сушественно одна и та же фиrура. Друrой шаr заключался
18 распространении положенной в основу rруппы КОЛЛlшеарных
n двойственных преобраЗ0ваний нведением в нее соответственно
..m'l-tu.IyIыx преобраЗ0ваниtt. :Этот шаr обусловливает предварительное
р асrnирение класса собственных элементов пространства присоедине-
нием МНимых элементов, совершенно аналоrично тому, как введение
.в Основную rруппу двойственных преобразоваШIЙ влечет за собой
одновременное введение точки и плоскости как элементов простран-
ства. 3десь не место rоворить о целесообрааности введеШIЯ мнимых
-!"лементов, при котором только и достиrается полное распространение
учения о пространстве на раа выбранную область алrебраических
.операпий. При этом нужно подчеркнуть, что основание для 8Toro
.в ведения лежит именно в рассмотреШIИ алrебраических операций, но
не в I'руппе проективных и двойственных преобрааований. И3 ЧИС.lIа
последних мы нполне можем оrраничиться вещественными преобра-
-80ваниями, потому что уже вещественные коллинеации и корреляции
.образуют rруппу, точно так же можем ВВОДить мнимые элементы
пространства, и не становясь на проективную TOqJ y зрения; мы
должны сделать 8ТО, если принципиально хотим исследовать алrе
раические образы.
Еак представить с проективной точки зрения метричеqкие свой-
стВа, явствует И3 общей теоремы предыдущеrо параrрафа. Метриче-
ские свойства нужно рассматривать как проективные отношения
R некоторому основному обраау бесконечно удаленному rnаровш,lУ
EPYI'y 1), образу, имеющему свойство не изменяться от тех только
преобразований проективной rруппы, которые суть именно преобра
-З0вапия I'лавной rруппы. Предложение, только таким обрааом выра-
!) TO воззрение нужно считать одним из прекраснеЙших создании Пlаля
французской Шltо.lIЫ)i БJIarодаря ему только получает определенное содержание
'1'0 раздеJJение на дескриптивные и метрические своЙства, которое стаВИТ R
охотно в начале проективной rеометрии.
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
407
женное, требует еще существенноrо дополнении, которое соответствует
оrраничению вещественными элементами пространства (и веществен
ными преобразованиими). R шаровому Kpyry нужно определенно
присоединить, чтобы быть верным этой точке зрения, еще систему
вещественных элементов пространства (точек); свойства в смысле
элементарной rеометрии с проективной точки зрения суть или свой
ства вещей в себе или отношения к этой системе вещественных
элементов, или к абсолютному коническому сечению, или, наконец,
к обоим.
3десь можно еще припомнить, КаЕ ф. Штаудт строит «Geometrie
der Lage», т. е. ту проективную rеометрию, которая кладет в основу
rpуппу лишь вещественных проективно двойственных преобра
80ваний 1).
Известно, как он при этом из обычноrо материала отбирает только
ТаЕие моменты, которые остаются без изменения и при всех проек
тивных преобрааованиях. Если бы мы хотели перейти, далее, к pac
смотрению метрических свойств, то нужно было бы вводить их прямо
КаЕ .отношения к шаровому Kpyry. Дополненный таким образом ход
мыслей важен для предлarаемых соображений тем, что возможно
аналоrично этому построить rеометрию в духе каждоrо из методов,
о которых будет сказано далее.
4. Перенесение путем отображени.а
Прежде чем продолжать речь о rеометрических методах, которые
должно поставить рядом с элементарной и с проективной rеометрией,
остановимся .в общем виде на некоторых соображениях, которые по
стоянно появляются В последующем и для которых предметы, до сих
пор затронутые, дают уже достаточно примеров. Этим пояснениям
посвящены настоящий и следующий параrрафы.
Пусть исследовали мноrообразие А, положив в основу rруппу В.
Если переведем А КaRим либо преобразованием в дрyrое мноrообра
вие А', то rруппа В тех изменений, которые переводят А само в себя,
перейдет в rруппу В', преобразования которой также относятся к А'.
ТОI'да само собой понятно, что исследоваnие А па осnоваnии zруппы В,
дает исследоваnие А' па осnоваnии В', т. е. каждое свойство образа,
принадлежащеrо к А в отношении rруппы В, дает свойство COOTBeT
cТEeHHoro образа, принадлежащеrо к А' в отношении rруппы В'.
Пусть, например, А означает прямую линию, В 003 линейных
преобразований, переводящих ее самое в себя. Тоrда исследование А
представляет собой именно то, что в новой алrебре носит название
1) Расширенное представлеmre, обнимающее и мнимые преобразования, illтаудт
ПОЛОЖIШ в основу лишь в «Beitrage zur Geometrie der Lage».
408
Ф. КЛЕЙН
теории бинарных форм. Прямую линию можно отобразить на кони-
ческое сечение А' посредством проектирования И8 ']'очки этоrо по-
следнеrо. П8 линейных преобра80ваний В прямой в себя получаются,
Еак леrко покааать, линейные преобразования В' коническоrо сечения
caMoro в себя, которые свяааны с линейными преобрааованиями пло
скости, переводящими коническое сечение само в себя.
Но по принципу !3 21) одно и то же: ставить вопрос о rеометрии
на коничеСI ОМ сечении, считая ero неиаменным и выбирая только те
линейные преобразования плоскости, которые ero не И8меняют, или
И8учать rеометрию на коническом сечении, рассматривая все л шей-
ные преобрааования плоскости вообще и допуская ВО8МОЖНОСТЬ иаме-
нения при этом caMoro коническоrо сечения. Свойства, 8амеченные
для систем точек на коническом сечении, оказываются поэтому про-
ективными в обыкновенном смысле. Сопоставление последних сооб-
ражений с только что полученными ре8ультатами дает поэтому:
Теория би'Нар'НЪtх форм и nрое'Ктив'Ная :?ео.метрия систем то'Че'К 'На 'Кo
'Ни'Чес'Ко.м Се'Че'Нии од'Но и то же, т. е. 'Каждой би'Нарной теореме cooт
ветствует теорема о подоб'Но:?о рода то'Че'Ч'Нъtх системах и обрат'Но 2) 3).
Друrим примером, способным сделать нarлядными подобноrо рода
исследования, может быть следующий: если устанавливаем посред
ством стереоrрафической проекции СВЯ8Ь между поверхностью вто-
poro порядка и плоскостью, то на поверхности появляется основная
точка центр проекций; на плоскости же появляются две основные
точки И80бражения образующих поверхности, проходящих через
центр проекций. Непосредственно обнаруживается: линейные преоб-
ра80вания плоскости, которые оставляют бе8 И8менения обе ее основ-
ные точки, переходят при И80бражении плоскости на поверхности
второй степени в линейные преобразования этой последней самой
в себя, не И8меняющие центра проекций. Под линейными преобраао
ваниями поверхности самой в себя разумею'l'СЯ те И8менения, которые
испытывает поверхность при выполнении линейных преобра80ваний
пространства, привод.ящих поверхность в совмещение с ней самой.
Поэтому ока8ываютс.я: тождественными проективное исследование
плоскости, КОI'да в основу положены две ТОЧЕИ, и проективное ис-
следование поверхности BToporo порядка, коrда в основу положена
1) Принцип этот применяется здесь, пожалуй, в несколько обобщенном виде.
2) Вместо коническоrо сечения на плоскости можно с тем же успехом
ввести пространствЕ'ННУЮ кривую TpeTber() порядка и вообще при n измерениях
установить нечто подобное.
3) Считая переменные Хl. Х2 однородными координатами точки на прямоЙ и
приравнивая нулю форму k Й степени {(Хl, Х2)' получим уравнение, которое
опреде.lI.яет, вообще rоворя, rруппу n мнимых или вещественных точек на пря
моЙ. [Ред.]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
409
одна ее точка. Первое, если принимать во внимание и мнимые эле
менты, есть не что иное, как исследование плоскости в смысле эле
ментарной rеометрии, потому что rлавная rруппа плоских преобразо
ваний состоит именно И3 линейных преобраЗ0ваний, не изменяющих
пару точек (циклические точки на бесконечности). Мы получаем,
НIШонец:
Эле.Аte'нтар'ная zео.метрия плоскости и проектив'Ное исследова'Ние noвepx
tlоети eтopozo порядка с т.рисоеди'Не'Нием од'Ной uз ее то'Чек од'Но и
то :лсе.
Число подобных примеров можно произвольно увеличить 1); при
веденные выше выбраны потому, что в последующем мы не раа будем
иметь случай вернуться к ним.
5. О произвольнО( ти В выборе 9лем"нта пространства.
ПрИНL,ип пеllенесения recce. Линейчатая rеометрия
За элементы прямой линии, плоскости, пространства, вообще
некоторото исследуемоrо мноrообразия можно взять вместо точки
всякий обраа, содержащийся в мноrообрааии: rруппу точек, какую
нибудь кривую, поверхность и т. д. 2). Если не определить заранее
числа произвольных параметров, зависимыми от которых становятся
ЭТИ обрааы, то линия, плоскость, пространство и т. д. окажутся,
смотря по выбору элемента, имеющими произвольное число измере
ний. . Но пока в ос'Нову uсследова'Нuя .М/Ы кладем од'Ну и ту :лсе zpynny
uз.ме'Не'Нuй, содер:лса'Ние zeoMerпpuu остается 'Неизме'Н'Н'Ым, т. е. Rаждая Teo
рема, получавшаяся при одном выборе элемента, будет теоремой
при всяком ДРУI'ОМ выборе, изменятся только порядок и связь
теорем.
Таким обраЗ0М, суть в rруппе преобрааований; число измерений,
приписываемых НaJ'v1И мноrообрааию, представляется второстепенным.
Сопоставляя это замечание с принципом предыдущеrо пара
rрафа, получаем ряд прекрасных приложений, на части IШТОРЫХ
можно здесь остановиться, потому что примеры эти, повидимому,
выясняют смысл общеrо исследования лучше вс.якоrо пространноrо
изложения.
Проев:тивная reометрия на прямой (теория бинарных форм) равно
значна по предыдуще:l!lУ параrрафу с проективной reометрией на
КОШIческом сечении. На Пос.леднем мы можем вместо точки считать
1) Для друrих примеров, а также для обобщениЙ примеров, приведенных
в тексте, на большее число измерений, укажу на соответственные места в моей
статье: Ueber Liniengeometrie l1nd metrische Geometrie, Math. Annalen т. 2, а также
на УRазываемые далее работы С. Ли.
2) См. примечание IП (стр. 429).
410
Ф. КЛЕЙН
;за 8лемент пару точек. Но совокупность пар точек коническоrо сече-
ни.я можно поставить н соответствие с совокупностью прямых ПJIO-
скости, причем каждая прямая соответствует паре точек, в которой
она встречает коническое сечение. При 8ТОМ иаображении линейные
лреобрааования коническоrо сечения caMoro в себя переходят в ли
нейные преобрааования (линейчатой) плоскос'lИ, которые не изыеняют
коническоl'О сечения. Но по 2 бе рааЛIIЧНО, будем ли мы paCCMa
тривать rруппу, составленную иа 8'l'ИХ преобрааований, или положим
в основание всю совокупность линейных преобрааований П.'Iоскости и
каждый раа будем присоединять к исследуемым обрааам плоскости
8ТО коническое сечение. Сопоставляя все 8ТИ соображения, имеем:
Теория би'Нар'НъtХ форм и nРОe'J.тив'Ная i!ео.метрия nЛОС1>ости, I>оторую uзу-
'Чае.м, nолаi!ая в ос'Нову 'Неl>оторое 1>0'Ни'Ч,еС1>ое се'ЧR'Ние, э'Квивале'Нт'Нъ .между собой.
Наконец, проективная rеометрия плоскости, если класть в основу
некоторое коническое сечение, совпадает вследствие равенства rpуппы
с проективной метрической rеометрией. Последнюю можно получить
на плоскости, ваяв какое нибудь коническое сечение аа основное!).
ПО8ТОМУ мы можем вырааиться еще так.:
Теория би'Нар'Нъ х фор.м и общая nроеl>тив'Ная метри'ЧеС1>ая i!ео.метрия '/ш
nЛОС1>ости од'Но и то же.
Вместо коническоrо сечения в плоскости мы можем ваять в 8Том
исследовании кривую третьеро порядка в пространстве и пр., но на
8ТОМ можно не останавливаться. Иаложенная адесь свяаь между Peo
метрией плоскости, а далее пространства или мноrообрааия ПрОИ8
вольноrо числа иамерений, совпадает в существенных чертах с преk
ложенным recce ПРИlЩипом перенесения (Journal fiir а. reine п.
angew. Math., т. 66, 1866).
Совершенно такоро же рода при мер представляет проективная
rеометрия пространства, или, иными словами, теория кватернарных
форм. Если примем прямую линию за 8лемент пространства и при
дадим ей, как 8'1'0 делается в линейчатой rеометрии, шесть ОДНОрОk
ных координат, свяаанных между собой условием в виде уравнения
второй степени, то линейные и двойственные преобрааования являются
теми линейными преобрааованиями шести переменных, считаемых
неаависимыми, которые переводят 8ТО уравнение само в себя. Сопо-
ставляя соображения, подобные иаложенным выше, получим отсюда
предложение:
Теорuя l>вaтep'Нap'Нъtx фор.м совпадает с nроеl>тив'Ным .мерооnределе'Нuе.м
в М'НОi!ообразuи шести oд'Нopoд'Нъ x nepe.мe'Н'Нъ x.
За более обстоятельным иаложением такоро воаарения отсылаю
к статье, которая должна появиться в «Math. LAn.» (т. VI), «Uber
1) См. примечание V (стр. 430).
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
411
die sogenannte Nicht Euklidische Geometrie» (статья 2 .я), а также
R примечанию в конпе этоrо сообщени.я 1).
Присоединю еще два аамечания к иаложенному выше; первое иа
них, правда не.явно, уже ааключается в предыдущем, но должно быть
приведено, ибо предмет, к которому оно относитс.я, леl'RО может по
дать повод к недорааумению.
Если вводить проиавольные rеометрические обрааы в качестве
алементов пространства, то последнее получает проиаВ{Jльное число
намерений. Но если удерживатьс.я на привычной нам точке арения
(элементарной или проективной), то уже ааранее определена rруппа,
которую мы должны положить в основу дл.я мноrообрааий мноrих
иамерений, именно, это rлавна.я rруппа, соответственно rруппа про
еRТИВНЫХ преобрааований. Если же мы желаем положить в основу
друrую труппу, то должны удалитьс.я от обычиоrо, соответствепно
проективноrо представлени.я. Таким обрааом, хот.я и справедливо, что
при надлежащем выборе элементов пространства оно представл.яетс.я
мноrообрааием любоrо числа иамерений, но важно прибавить, что
при это.м представлении .мы или с caMozo 'нд'Чала 'Кладе.м определенную
zpyппy в основу исследования .мноzообразия, или, если хоти.м располuzать
выборо.м Zpyтlbl, должны соответственны.м образо.м переработать 'Хате zeo
.метри'Чес'Кое истол'Кование. Если не сделать этоrо аамечани.я, то можно
было бы искать, например, иаображение линейчатой rеометрии сле
дующим способом. Пр.ямая лини.я в линейчатой rеометрии имеет
шесть координат; столько же коэффициентов имеет коническое сече
ние на плоскости. Поэтому иаображением линейчатой rеометрии
была бы rеометрия в системе конических сеченИй, выдел.яемой иа
общей совокупности ИХ квадратичным уравнени('м между К08ффИ
циентами. Это верно, пока мы полаrаем в основу в .&ачестве rруппы
плоской rеометрии совокупность всех преобрааований, которые пред
ставл.яются линейными подстановками коэффициентов коническurо
сечения, переводящими квадратичное условное уравнение само в себ.я.
Если же мы сохраним элементарное, соответственно проективное Boa
арение на плоскую rеометрию, то не получим никакоrо иаображени.я.
Второе замечание относится к обрааованию следующеrо пон.яти.я.
Пусть в пространстве дана некотора.я rруппа, например rлавная
rруппа. Воаьмем какой нибудь отдельный пространственный образ,
например, точку, прямую или же ЭЛЛIШСОИД и т. Д., И применим
к нему все преобрааования rлавной rруппы. Мы получим тоrда
некоторое МНО1'uобрааие, число иамерений KOToporo равно вообще
числу ПРОИ3ВОЛLНЫХ параметров rруппы, но может в иавестных слу
ча.ях пuнижатьс.я, именно в тех случаях, коrда валтая сначала форма
1) СМ. примечание VI (стр. 432).
412
Ф. КЛЕЙН
имеет свойство переходить сама в себя при бесконечно мноrих пре-
образованиях rруппы. Rаждое такое мно:rообраsие нааовем в отноше
нии проиsводящей ero rруппы телом (EtJt']Jer) 1). Если мы теперь
хотим исследовать пространство в духе вsятой rруппы и выдвинуть
при этом определенные обраsы в качестве элементов пространства и
не желаем в то же время, чтобы эквивалентное было не()ДIIнаково
иsображено, то долз/С'н/ы въ бирать, о'Чевидпо, элемептъ прострапства та'!;,
'Чтобы их мпоzообраsuе составляло тело или моzло быть раSЛОЗ/Сe1iО 'На
тела 2). Ниже (8 9) это очевидное sамечание найдет себе при:ченение.
Понятие тела еще раз встретится в ааключительном параrрафе в свяви
с родственными ему понятиями.
6. I'еометри.я: обратных pa YCOB. Интерпретация х + iy
С этоrо параrрафа мы воsвращаемся к обоsрению раsличных Ha
правлений rеометрическоrо исследования, которое начали в 88 2 и 3.
Еак дополнение к приемам проективной rеометрии можно расс ш
тривать во мноrих отношениях класс rеометричеСRПХ исследований,
при которых постоянно применяется преобраsование посреДСТВО f об
ратных радиусов. Сюда относятся исследования о так называемых
ЦИRлидах и аналлаrматических поверхностях, общей теории opToro
нальных систем, далее исследования о потенциа.ле и пр. Если OTHO
сящиеся сюда рассуждения до сих пор не были собраны подобно
llроективной rеометрии в особую rеометрию, %оторая имела бы oc'Нoв
пой zруnпоЙ COBO%'{jnnocтb всех преобраsовапий, полу'Чаемъ х соедипепием zлав
пой Zpyппbl с 1/реобраsовапиями посредством обратпъ х радиусов, то припи
сать это нужно тому случайному оnстоятельству, что наsванная теория
не была до сих пор предметом систематическоrо иsложения; He
Еоторые авторы, работавшие в этом направлении, были недалеки от
TaKoro методическоrо представления. Параллель между этой reo fe
трией обратных радиусов и проективной представляется сама собой,
I(aK только появляется вопрос о сравнении, и потому достаточно
"rолы:о в общих чертах остановить. внимание на нижеследующих пунктах.
1) Выбираю так название по примеру Дсдекинда, которыЙ называет в теории
чисел mело.;n совокупность чисел, по учаемую из данных злементов помощыо
данных операций. (Второе издание лекциЙ Дирихле.)
2) [В тексте не обращено достаточно внимания на то, что данная ['руипа
может содержать так называемые особе'н'ныe подrруппы. Если l'еUМСТJ>ичеtюI.Я
форма остается без изменевия при операпи.ях о(обенноЙ подrrуппы, то то же
самое будет со всеми фоу'ма:ми, которые получаются из нее JJосrедст-воы операций
rруппы, т е. для всех форм получаемоrо из нее тела. Таким образом, в фо,,:му
лировке, данной в тексте, допустимы только такие тела, которые проист'еlШЮТ
от элементов пространства, не остающихся без изменения ни при одной особен
ноЙ ПОДl'руппе даrm:ой rруппы.]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
413
в проективной rеометрии понятия точки, прямой, плоскостп суть
элементарные понятия. Rpyr и шар только qастные случаи KO
ническоrо сечения и поверхности BToporo порядка. Бесконечно удален
ное в 8лементарной rеометрии представляется плоскостью; основной
образ, к которому относится 8лементарная rеометрия, есть бесконечно
уда.ленное мнимое коническое сечение.
В rеометрии обратных радиусов 8лементарными пон.ятиями являются
TOQKa, Kpyr и шар. IIр.ЯJ\.1ая и плоскость частные случаи послед
них, характеризуемые тем, что содержат одну точку, ничем, впрочем,
особенно не отличающуюся по с;чыслу метода от друrих точек,
а именно бесконечно удаленную точку. 3ле;уreнтарная rеометрия
получается, если 8ТУ точку будем считать неПОДRИЖНОЙ.
rеометрия обратных радиусов допускает также представление,
которое ставит ее в один ряд с теорией бинарных форм и линейча
той rеометрией, если последние излаrать так, как указано в преды
дущем' параrрафе. С 8ТОЙ целью мы можем оrраничиться сначала
reометрией обратных радиусов на плоскости 1).
.Выше rоворилось о связи между элементарной rео;четрией пло
скости и проективной rеометрией поверхности второй степенп, имею
щей отмеченную точку ( 4). Если мы не будем обращать внимания
на отмеченную точку и, следовательно, буде;ч рассматривать проек
тивную l'еометрию на самой поверхности, то получим изображение
rеометрии обратных радиусов на плоскости. ДеЙСТВИ'l'ельно, нетрудно
убедиться 2), что rруппе преобразований посредством обратных радиу
сов на ПЛОCIеости при отображении на поверхности второй степени
соответствует совокупность линейных преобразонаний 8ТОЙ пос.педней
самой в себя. TaI nM обраЗО;УI,
zео.меrприя обраrп-ных радиусов 'На пл,Ос%ости и прое%rпuв-ная zео.меrпрuя
на 1юверх-носrпu eтopozo 1юрядr;;а пЮJlсдестве-н-ны MeJlcay собой; COOTBeT
ственно j
zео.меmрuя обрат-ных радиусов в 1tростра-нстве сводиrпся % 11роеr;т'ив-но.му
исследова-нию .t -ноzообра3IlЯ, 11редставляе.моzо %вarJраrпи"i-НЫ.м урав'Не-нuе.м
.I'. e;J/Cay 11ятыо oo-нород-ны.llИ пcpe.мeHHыI!'u..
rеометрия в пространстве через посредство rеО;У1етрии обратных
радиусов ставится, таким обраЗ0М, в такую же TO<IHO СВЯ3Ь с MHoro
образием четырех июreрений, н I акую при посредстве линеЙQатой
rеометрии с МНOl'ообразием пяти измерений.
1) I'еометрия обратных радиусов на пряJl.ЮЙ сводится К прuсктивному ИССJJе
доваиию прямой, ибо соответственные преобразоваиия тождественны. Можно по
этому и в rеометрии обратных радиусов I'ОВОРИТЬ об анzаРJtт-сuчесп;о.ll 01пliоше
нии четырех точек прямоЙ, а затем Kpyra.
2) Ср. только что укаЗRllНУЮ работу: Ueber Liniеп 6 еоmеtriе und metrische
Geometrie, l\1ath. Апп., т. V.
414
Ф. «ЛЕЙН
rеометрия обратных ра:J;ИУСОВ, поскольку оrраничиваемся толыtо
6еществе'Н/{ыми преvбразованиями, допускает еще друrое преД I'авле
ние (приложение). Если будем обычным образом изображать KO:>'1
плекспое переменное х + iy на плоскости, то линейным ero преобра
З0ваНIlЯМ соответствует rруппа обратных радиусов, при условии
упомянутоrо выше оrраниqения вещественными преобразования:>'1И 1).
Но исследование функций Комплексноrо переменноrо, подверrае
Moro всевозможным линейным преобрааованиям, есть не что иное,
как теория бинарных форм в несколько измененном Изложении.
Таким обра:зом,
теория бшнар'Ных форм изобра:)/сается 2еометрией обрат'Ны.т радиусов на
вещесmве'Н'Ной nЛОС1\;ости та1>, 'Что 1ЧJи этом nредставляются и 1>ОJu//,ле1>С'НЪ/R
з'На'Че'Нuя nсремс'Нных.
Чтобы перейти к более обыqному Kpyry представлений, можно от
плоскости перейти к поверхности второй степени. 'l'aK как мы pac
сматривали только вещественные элементы плоскости, то не безраз
лично, как будем выбирать поверхность, оqевидно, что она не может
быть линейqатой. В qастности, мы можэм вая-rь шарозую поверх
ность, п:аlt это и делается обыкновенно для представления КОмплекс
Horo переменноrо, и' полуqаем, таким обрааом, предложение:
Теория бu'Нарных форм 1>омпле1>СН020 nереМС'ННО20 получает свое изобра
ЗlCс'Ние в nрое1>тив'Ной 2еометрии 'На шаровой nовсрх'Ности 2).
7. Обобщения предыдуще['о. Шарова.а: l'еО]lеrри.а: С. Ли
с теорией бинарных форм, rеометрией обратных радиусов и линей-
чатой rеометрией, которые, KaIt оказалось в предыдущем, соподчинены
и различаются толыtо числом переменных, можно поставить в связь
некоторые обобщения, на которых теперь и остановимся. Они должны,
во первых, содействовать выяснению на новых примерах той мысли,
что rруппа, определяющая способ исследования данных об.'Iастей,
1) [В тексте выражения не точны. Линейным преобразованиям z' == az +
rz+o
(rде z' == х/ + iy', z == х + iy) соответствуют только операции rруппы обратных
радиусов, при КОТОРЫХ нет обращения (Umlcgung) уrла (т. е. при КОТОРЫХ цик-
лические точки пЛОскости не обмениваются между собой). Если мы хотим обнять
всю rруппу обратных радиусов, то к названным преобразованиям надо прибавить
az +
друrие (не менее важные): z' == " (rде снова. z' == х' + iy', но z == х iy.]
rz +0
2) Далее в тексте !елеЙна идет следующиЙ абзац: «Е не Моr Отказать себе
изложить в примечании [VП], кiш это и.зображение прекрасно поясняет теорию
кубичных и биквадратичных форм». В конце мемуара помещено это примеча
ние VII. В настоящем издании оно опущено, так как имеет специа.тrьный харак-
тер и не связано с работой в целом. [Ред.)
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
415
может быть проиавольно распространена; но аатем имелось, собственно,
в виду представить воаарения, иаложенные С. Ли в e1'o новейшей
работе 1), в свяаи с высказанными адесь соображениями. Путь, при
ведший нас к шаровой 1'еометрпи С. Ли, отличается от '1'01'0, по KOTO
рому шел Ли, тем, что Ли основывается на представлениях линейчатой
rеометрии, ТО1'да как мы, чтобы держаться ближе обычных 1'eo
метрических представлений и сохранить свяаь с предыдущим, пред-
пола1'аем при соответствующем иаложении меньшее число переменных.
3тп воаарения, как отметил са..\1 ли ), не аависят от числа перемен-
иых и относятся к обширному KPYI'y исследований, имеющих пред
метом проектпвное иаучение квадратичных уравнений между проиа-
вольным числом переменных, исследований, которых мы уже не раа
касались и с которыми еще неоднократно встретимся (ср. 10 и др.).
Я обращаюсь к соотношению, которое устанавливается с помощью
стереО1'рафической проекции между вещественной плоскостыо и шаро
вой поверхностью. В 5 мы уже поставили в свяаь 1'еометрию пло
скости с 1'еометрией на коническом сечепии, относя каждой прямой
плоскости ту пару точек, в которой она встречает и:онпческое сече
иие. Соответственно этому мы можем установить свяаь меЖ7У reo
метрией в пространстве и rеометрией на сфере, относя каждой пло-
скости пространства тот Kpy1', по которому она пересекает сферу.
Если мы аатем перенесем с помощью стереО1'рафической проекции
rео:иетрию на сфере с этой последней на ПЛОCltость, причем каждый
крУ!' переходит в кру1' же, то, таltим образом, окааываются COOTBeT
ству.ющими одна друrой: 2еО.метрuя простршnства, принимающая аа
элемент П.лоскость и аа 1'руппу те линейные преобрааования, KOTO
рые переводят в себя некоторую сферу; и плоская 2ео.метрия, элемен-
том которой является Kpy1', а rРУППОЙ 1'руnnа обратных радиусов.
Первую иа 8ТИХ двух 1'еометрий мы теперь обобщим по двум Ha
правлениям, ааменив ее 1'руппу более обширной 1'руnnой. Получаемое
при этом распространение переносится непосредственно с помощью
отображения на плоскую 1'еометрию.
Вместо линейных преобрааований составленно1'О иа плоскостей
пространства, которые переводят в себя сферу, естественно ваять
или всю совокупность линейных преобрааований пространства,
или совокупность всех плоскостных преобразований пространства,
оставляющих беа иаменения сферу, причем в одном случае мы OTKa
8ываемся от сферы, в дрУ1'ом от линейности применяемых преобра
80ваний. Первое обобщение понятно само собой, поэтому мы e1'o pac
смотрим сначала и проследим e1'o аначение для плоской 1'еометрии;
1) Partielle Differelltialgleichllngen н. Complexe, Math. Апп., т. V, 1870.
) Gбttillgеr Nachrichten 1871 по 7, C'l'p. 22.
416
Ф. КЛЕЙН
.ко второму мы обратимся потом; зацача будет состоять в том, чтобы
определить самое общее сооrаетсrзенtIое преобразозание.
Линейные преобразозания обладают общим всем им свойством
переводить пуч и и СЗЯЗЕИ плос ос ей сноза в пуч и и связки. Но
при перенесении на сферу пучок ПЛОС1tостей дает пучок KpyroB, т. е.
однократно беCItонеЧН:,IЙ ряд ('J0 1 ) KpyroB с общими точками пересе
чеНИЯj связка плоскостей дает СВЯЗltу [ pyroB, т. е. двукратно беCIЮ-
нечную систему (co' ) KpyroB, ортоrональных к неподвижному Kpyry
(Kpyry, плоскость KOToporo есть полярная плосКость ТОЧЕи, общей
плоскостям данной связки). Линейным преобразованиям простраиства
соответствуют, таким образом, на сфере и, далее, на плоскости пре
образования KpyroB, имеющие характерное свойство переводить пучки
и связки KPYI'OB снова в пучки и связки 1). Плос'Кая 2ео"uетрия, r!ОЛЬ-
зу'Ющаяся 2pyr!nou таким образом nолуче'Нных rlреобразова'Нuй, есть изображе
'Ние оБЫ'Кн'овен'Ной rlрое'Ктuв'Ной 2ео.иетрu.lt. За 8лемент плоскости в 8ТОЙ reo-
метрии нельзя принимать 1.'очку, так как точки не составляют тела для
выбранной rруппы преобразований (8 5); за 8лементы выберем круrи,
При втором нааванном выше обобщении является, прежде Bcero,
вопрос о роде соответствующей rруппы преобразований. Задача co
стоит в том, чтобы найти плоскостные преобразования, .которые пре-
образуют связку плоскостей, имеющую центр на сфере, в такую же
связку. Ради .краткости мы можем двойственно обратить вопрос и
взять одним измерение:м менее, т. е. зададимся вопросом о точечных
преобразованинх ПЛОCI ости, которые преобразуют касательную к дап
ному коническому сечению снова в касательную. С 8ТОЙ целью пло-
скость с ее коничеСКИ;\l сечениеы мы рассматриваем как изобрюкение
поверхности BToporo ПОрЯДI а, которую проеltТируют из нележащей на
ней ТОЧЕи пространства на плоскость так, что соотвеТСТВУЮlцее кони-
ческое сечение представляет кривую раздела. Rасательным конпче
CKOl'O сечения соответствуют образующие поверхности, и вопрос при
водится к друrому о совокупности точечных преобразований ПОRерх
ности са:иой в себя, при которых обра,аУЮlцие остаются обраЗУЮЩИ:Шl.
Таких преобрааований имеется сколь у['одно MHoro: нужно только
точку поверхности рассыатривать как пересечение образующих днух
родов и каждую систему прямых произвольно преобразовать саму
в себя. Но между преобразонанияии будут в особенности линейные;
на них только :мы и будем обращать внимание. Действительно, если
бы мы Ш\1ели деJIO не с поверхностью, но с МНО1'00бразие:м HeCKOДЬ
ких изиерений, представляемыи квадратичныи уравнениеи, то оста-
лись бы только линьйные преобразования, друrих уже не было бы 1)
1) Это преобразование раСl:матривается в Ausdehnun 6 s1ehre rрассмаиа (изда
ние 1862 rода, c'J.'p. 278).
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
417
Эти линейные преобразования поверхности самой в себя, будучи
перенесены с помощью (не стереоrрафической) ПрОeI ЦИИ на плоскость,
дают двузначные точечные преобразования, при КОТОРЫХ пз каждой
касательной коническоrо сечения линии раздела происходит снова
касательная, а из всякой .друrой прямой вообще коническое сече
нпе, имеющее двойное касание с кривой раздела. Эту rруппу пре
образований мы може:м должныи образо:\! охарактеризовать, если
с помощью коническоrо сечения, служащеrо кривой раздела, YCTa
НОВII:\! проективное мероопределение. Эти преобразования имеют тоrда
свойство преобразовать ТОЧЕИ, находящиеся между собой в смысле
l1ероопределения на расстоянии, равнои нулю, а также имеющие
постоянные расстояния от некоторой друrой точки, снова в такие
же ТОЧЕН.
Все эти соображения, в особенности в ПРИ:\Ieнении к первоначаль
ной постановке вопроса, коrда за элеиент принииались сфера и пло
с IЮСТЬ, можно распространить на произвольное число ИЗ:\Iерений.
При этом результату можно дать особенно наrл.ядную форму, так как
уrол, образуемый ПЛОСКОСТ.ffiI.IИ в С:\Iысле проективной М\cJТ]JИI П, опре
делеIlliОЙ сферой, равен уrлу в обычном смысле ме:ш:ду круrаии, по
Которым ЭТИ плоскости пересекают сферу.
Мы получаем, таким образом, на сфере и, далее, на П;;IОСКОСТИ
rруппу Rруrовых преобразований, И:\Iеющих свойство переводить 'Круzи,
!>оторые 'Касаются .между собой (образуют иу.левоЙ уzо.л), а тU'КJlCе 'Круzи,
nересС'Кающие друzоЙ даииый 'Круz под paeиblJIHt уz.ла.мu, в тa'Кoвъte JlCe. В rруппе
:этих преобразований заключаются на сфере соответствующие линей
ные, на плоскости преобразования rруппы обратных радиусов 2).
.
1) Если возьмем стереоrрафическую проекцию мноrообразия, то ПOJryчим
известную теорему: в кратно прот.!{женных областях (уже в пространстве), кроме
npеобразоваииИ rруппы обратных радиусов, не существует IЮНфОрМНЫХ точечных
преобразований. Напротив, на плоскости их существует сIшлыIш уrодно.
2) [Изложенные в тексте соображения станут значительно яснее, если при
6авить несЕолыIш аналитических фориул. Пусть уравнение сферы, IШТОРУЮ мы
изображаем стереоrрафически на плоскости, в обьп новенных тетраэдрических
координатах есть x + x + х; + x == о; связанные этим условным уравнением
величины х получают у нас затем значение плоских тетрацикличеСIСИХ IШОрДИ
нат ТОЧКИjU1Х1 + X2 + tзхз +и 4 Х 4 == О будет общим уравнением 1cpyra на пло
скости. Если вычислим радиус определен ноrо таким образом Icpyra, то придем
IC Iшадратному IШРНЮ V и + и +и + и , IШТОрЫЙ мы обозначпм iU5' Теперь
круrи мы можем рассматривать как элементы плоскости. Труппа обратных pa
диусов представляется тоrда совокупностью однородных линеЙных преобразова
нийU:t., , ив, и4, при IШТОРЫХ и +и +и + и переходит в IcpaTHoe себя caMoro.
Распространенная же rруппа тоЙ IСрyrовоЙ rеометрии, IШТОрая отвечает шаровоЙ
rеометрни Ли, состоит из однородных линеЙных подстановOIС пятu перемеПllЫХ
и 1 , , UЗ'U4>U5, которые воспроизводят выражение и +и +и + и + и с точ
ностью до постоянноrо иножителя.]
27 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
418
Ф. КЛЕЙН
rеометрия KpyroB, в основу которой положена эта r'руппа, является
аIНLЛ()]'О:vr щпровоЙ i!eo" eтpltи, которую С. Ли построил для простран-
ства п Еоторап должна иметь большое значение для исследованпfi
по кривпзне поuерхностей. Она заI-елючает в себе I'еомнтрию обратных
р дпус(ш R том же сыысле, в каком Э'1'а последняя заключает ЭJ16-
ментарную I'еОl\ЮТРПЮ.
Полученные круrовые (шаровые) прнобраЗ0вани.н оn.nадают, 13 част-
ПОС'l'П, СIЮЙСТRОМ переuодить касающиеся между собой круrп (шары)
cHoua u taI-еовuР же. Если все Rрпвые (поверхностп) булем раСС1llа-
тривать каЕ оrибающие RpyroB (шаров), '1'0 в СИ.'1У 3TOI'O I-ериuые (п()
верх:ностп), RасающиеСfl между собой, переходят снова в таковые "l,е.
Указанные преобраЗ0вания принаДJIeжат, средовательно, Ie K raccy
1 реобразовм!UЙ 11рш.ос'Нове'ния, расс штрниных в общем впде дальше,
т. е. таRПХ дефОР 1аций, при ЕОТОРЫХ ПРJлюсновение '1'очечных обра-
З0В НВJ1яется инвариаптным свойством. Rруrовые преобраЗ0ванrrя,
которые УПОМЯНУТЫ первыми в этои параrрафе и рядом с КОТОРЫ1IIII
моЗЕПО ПОС'l'авить аналol'ичные шаровые преобрааования, не будут
преобраЗ0ваниями прикосновения.
В настоящем IIзложении ДВОЯI-еоrо рода обоf)тцение О'1'посп'rсл
к rеоме'rрпп оf)ратных радиусон, но с соответствепным IIзиепеШIЮI
оно прпмеппмо и К липейчатой rеометрии и вооБIце к ПРОeIеТПIJПО'IУ
псслелованию мпоrообра3IIЯ, выделенноrо квадратичным уравпеНI!С [,
I-еаI-е ато n БЫ 1О У1шзано; но развивать '')'1'0 подробнее иы здесь не буде1\! ,
. Перечислепие ;'I,РjI'ИХ JlIeТОДОВ, пl)и КОТОРЫХ в основу Б.;шдеТСll
l'руппа точечных Пl)еоораЗ0ваний
.
Элементарная rео:vrетрия, rеометрия обратпых радиусов, а таRЖU
проектпвная l'ео:меТрПfl, если отбросить ДВОЙСТRеННЬ1е преобрааоваrrrш,
связанпыр с переменой эле Ieнта пространства, ВХО,'JЯ'l' как ОТ;ЩЛJ,НЫtJ
Ч.пепы в оБШllрныii К.ласс возможных ТПIIОВ иш .;Iндованпя, прп 1'0'1'0-
рых В основу l':ладутся вообще rруппы точечных преобра3013апиЙ. 1\:11.1
ОС'l'аНОВИМСfl здесь только на следующих трех методах, соrласуюпПIХ\;Я
в этом с нааuаННЫl\IП выше. Еслп ые'1'(ЩЫ эти ,'I,а.'161Ш еще не разl3П
лпсь в с&vюстоятельные дисцпплипы в 'юН мере, 1-еак проеI-еТИ13нал
l'ео:метрпя, '1'0 всё же опи выступают отqетлино в повеi1ших псс.;rе.J:О
ванпях 1).
1) [В приведенных ранее примерах дело шло о rруппах с конечным чисJюм
параметров; теперь начинаем рассматривать в тексте так называемые бесконечны"
rруппы. Однако во избежание недоразумений нужно заметить, что в поздней-
Iill-IX ИСt'Ледованиях Ли понятие бесконечных rрупп берется MHoro уже и orP'lml
чивается тarсими rруппами, которые можно определить с IЮМОЩЬЮ дифферен
циальных уравнений.]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
419
1. ['руппа рацпона.льных преобраЗ0ванпи
в рацпона.пьных преобраЗ0ванппх надо рав.rпр:rать, буду'!' JПI онп
рацпона.ПЬНЫNIП для I1се.1; т()чен: топ об.пас'l'П, в IeO'l'opoti мы оперируем,
т. е. прОС'l'раНС'l'Rа и.лп п.лОСКОС'l'П п Т. Д., или же ТО,ПЫeG дли '1'()'Шl'С
HeEoToporo зан:,пюченноrо в 8'1'ОЙ облас'l'П I\1н()r(юf)равпя повеРХIЮС'l'П,
КРПБОП. 'l10ЛЬЕU ПНрRЬН :\-южно прп;непи'lЪ Д.пя построения в ПРППИ'l'ОМ
ДО СПХ пор смысде rео:ие'l'рrПI ПрОС'l'раНС'l'па, п.лОСКОСТИ и '1'. д. j IfO
следнпе по.лучают с устанаВЛIIвае:\-юii здесь точки зреппя значенпе
ТО.lIЫЮ '1'OI'да. Iшrдп. ПРПХ()ДП'l'ся пзу'ra'lЪ rеоые'J'РПЮ па данноЙ ПОRерх
ностп, на данноЙ крпво1i:. То а;:е самое нужно раз.ппча'lЪ и в разби
раеllfШI далее Analysis sitпs.
В прежнпх IШС;1НД()В3НПЯХ занпмались r.паВНЫ:\J обравои преобра
аоваIПIЯ:>1П B'I'OpOro рода. ПОСКОЛЬКУ прп 8'1'01\1 вопрос был не R '1'ом,
11T06r,1 ПОС'l'роп'lЪ l'ео:\ш'l'рПЮ на ПЛОСКОС'l'П п.тпr на крпвоЙ, но l(ело
ш;;rо шеорее о '1'О:Н, чтоf)ы паЙ'I'II КрП'l'ерпп преобравуемос'l'П дну'\[ по
верхностеп, кривых п т. ..J:. друr в друrа, псследованпя 8'1'П выходи'l'
па Epyra рассм:а'l'рlшае:\1LIХ здесь 1). У СТRнп.влпваемал здесь общая
схюra обнимант не всю СОВОКУППОС'lЪ .матема'l'пчеc:rеих изысн:аппn
вообще, но '1'ОЛЬЕО подводп'l' пзвеС'l'нне направленпя под общую '1'очн:у
аренпя.
rеuие'l'РПИ раЦIюна.1ЬНЫХ препбравованпй, к.1IаДУlцаи в оспову
преобраЗ0ваппи первоrо рода, сущеС'l'вуе'I' до снх пор ТОЛЬКО В зача'l'ке.
В облас'l'l'I первой ступенп на ПрЯN10Й ЛИНПll рацтюна.пьпые преобра
аоваНIIЯ '1'ождественны с лпнейнымп п не даю'l' П08'1'ОМУ птр:rerо HOBoro.
На ПЛОСКОС'l'П извеС'l'на, правда, совоп:упнос'lЪ рациональпых преобра
1) [С дрyrоЙ стороны, они прerерасно подходя'!' под общие сuuбражешш,
изложенные в тексте, что мне было известно еще в 1872 roдy. ЕС.lIИ дано KaKoe
нибудь алrебраическое ()бразование (п:ривая или поверхность), то перенесем ero
Б высшее пространство, вводя в качестве однородных координат отношення
71: '1'2: .., : '1'2]) соответственных интеrранлов (Intеgrашlеп) первOl'() рода. В этом
пространстве нужно тоrда для дальнеЙшеrо исследования поло.жить в основу
просто rруппу однородных линеЙных преобразованИЙ. Ср. различные работы
Брилля, Нотера, Вебера, а TaK н:e, напримср, моЙ мемуар: )l;llr Theorie dCl" Abel'schen
Fllnktionen CHath. Апп., т. 36).]
[В примерах предыдущих параrрафов каждая из рассматривавшихся l'рупп
также Mor.lIa быть заменена I'руппоЙ линеЙных преобразований, если переЙти
к целесообразно подобранному высшему пространству. Напрашивающийся вопрос,
Б какоЙ мере это можно превратить в ()бщиЙ принцип, представ.lIяется всё еще
нерешенным. ]
(ОБЩИЙ принцип, о котором здесь rоворит I{:леЙн, является содержапием
теоремы, доказанноЙ И. Д. Адо в 1934 roдy: И. Д. А д о, О представлении
конечных непрерывных rрупп с помощью линеЙных подстановок, Известия I{:аз.
физ. мат. O Ba (3) 'i, 1934 1935, стр. 1 43. [PciJ.])
27*
420
Ф. КЛЕЙН
З0ванпй (jfре. 1.01iовых); известн.о, чт() их можно составлять И3 KBaдpa
тичных. Изнестны также инвариантные характеристики П.лоских Itри
БЫХ: их род, существование модулей; но эти исследования еще не
рмвпты собственно в rеометрпю плоскости в рмумее:иом здесь смысле.
В пространстве вся теория еще в са:\1ОМ начале созидания. До сих
пор пзвестно только He:\lHoro рациональных преобрмований, которые
и ПРП::\IeНЯЮТСЯ для Toro, чтобы с помощью отображения поставить
известные поверхности в СВЯ3Ь с неизвеСТНЫ::\lИ.
2. Analysis situs
в так называемом Analysis situs отыскивают то, что остается не-
пзменным при преобрмованиях, составленных ИR бесн:()нечно малых
деформаций [Vеrzеrпшgеп]. И здесь, как уже скмано, надо рмличать,
вся ли область, как, например, пространство, принимается за
объект преобрмований, или же только некоторое выделенное И3 нее
мноrообрмие некоторая поверхность. Преобрмования первоrо рода
можно было бы положить в основу rеО:\lетрии пространства, rруппа
которой была бы составлена существенно иначе, чем в рассмотренных
до сих пор rеометриях. Обни:иая все !преобраЗ0вания, составленные
И3 вещественпых бесконечно малых точечных преобраЗ0ваний, она
носит Б себе принципиальное оrраничение вещественными 8лемен
та:ип пространства и действует в области ПРОИ3ВОЛЬНОЙ ФУНIЩии 1).
Эту rруипу преобрмований можно с ПОJIЬ30Ю распрострапить, при
соединяя к ней вещественные коллинеации, изменяющие и беско
нечно удаленное.
3. rруппа всех точечных преобраЗ0ваний
Хотя по отношению к этой rруппе ни одна поверхность не обла
дает ИlЩинидуальныии свойствами, так как каждая иожет быть пере
ведепа во всякую друrую с ПОNIOЩЬЮ преобрмований rРУШ1Ы, но
существуют обрмы высшеrо порядка, при исследовании которых эта
rруппа пршненяется с ПОЛЬ30Й. При том попи:иании rеометрии, на
котором мы стошн, безрмлично то, что ЭТИ обрмы рассиатривз"'!ИСЬ
до спх пор не как rеОNIетрические, а как -аналитические, и только
случайно находили [rеометрические приложения, и то, ,что при их
исследовании применялись процессы (наприиер, произвольные точеч
1) Во вступительном примечании к Эрланrенской проrрамме в первоы томе
CBoero Собрания сочинениЙ Клейн указывает: «3десь я все время rоворил только
о вещественных, MHoroKpaTHo дифференцируемых функциях вещественноrо пере
MeHHoro». [Ред.]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
421
ные отображения), KO'l'OpLIe только в иоследиее время стали считаться
rеометрическиии деформациями. К числу 8ТИХ аналитических обраЗ0В
прпнадлежат, ирежде Bcero, однородные дифференциа.ЛLн:,те пыраже
ния, а также и дифференциальные уравнения R частных пропзвод
ных. Но при общем рассиотрении последних rруппа всех преобразо
ванпй прпн:основения представляется еще более вытодной, как 8'1'0
будет показано в следующем паРaI'рафе.
Основное положение rеО:\Jе'rрип, которая кладет в основу rруппу
всех точечных преобраЗ0ваний, то, что rпO"ie"iHOe 'преобраЗО6анuе для бес
'Ко'Не'Ч'Но .малой "iacтu 1 pocтpa'Нcт6a 6cezDa 7мсеет xapa'Ji:тep лu'Ней'Н(J20 'npe
ооразоватtЯ. Рассуждения проектrшной rеометрии имеют, 'rаК:И 1 обра
30М, значение д,ля бесн:онечно ма.лоrо, и в 8тои какова бы нп была
l'руппа, выбранная для исследованпя МНOI'006ра3IIЯ, l1ыilеляюltfuй
Xapll'Ji:rп.ep 'nроеjтШ6'НОZО еnособа расс.J1tOmре'Нuя.
Воанращаясь после долrоrо перерыва к расс:vютреНИЯ:\I, OCHOBaH
ним на наличии rрупп, объе:V1люrцих ДРУI' дрУI'а, можпо прrшести
здесь прп:vreр дv'Тя общеЙ теории 8 2. Мы можем постапить вопрос,
Ealt с точкп зрения «всех точечных преобраЗ0ванпй» падо предста
влять себе проен:тивные свойства, причем можно отбросить двой
ственные преобраЗ0вания, хотя они п припад.лежат 'rакже It проеI..тпв
ноЙ rруппе. Вопрос f)TOT совпадает с друrпм: каrtп:\r ус.ловием И3
совокупности всех точечных преобраЗ0ваний выделяется rруппа лп
нейных. Харан:терное свойство последнпх каждой плосrюсти OTHO
сить плоскость: 8'1'0 те нреобрааования, при которых сохраняется без
II3Аrененпя мноrообразие плоскостей (пли, что СБОДIlТСЯ It ТО:\1У же,
прямых линпit). ПРО6li'тU6'Ная zеО,,}tеrп.рuя r/И!. ,1/се 1jОЛll taется из zeO,Mтп:pUU
вссх r1l0 q tе"iН'ы.х преOfJpазова'Нu.Й JЦJlH:oerluн.eH?/B.I!. .J\t1iО2uuбразltЯ nЛОC'l.осrпей. ji:a'X;
зле.}!6'Нтарная zео.ltетрuя j ОЛУ"iается из пРОeJi:тU6НОЙ прпсоеиин.е'Нис.м ';eCli:O
Jiе'Ч'Но удален'Ноzо шаРО60Z0 ji:pyza.
В частности, напрп:vrер, с ТОЧI-i:И зрения всех точечных ПРt)образо
ванпй мы должны понимать опреде.'Теппе поверхности Kalt ал['ебраи
ческой определспноrо ПОРЯДltа, как инвариантное отношение It MHoro
образпю плоскостеЙ. Это стаНОВIIТСЯ вполне очеппдны;vr, ес.1IП, СJrедуя
I'paccMaHY, связывать вознпкновеНIJe алrебра.пческоrо образа 11 ero
построение с по:vroщыо линейки.
s 9. О I'рушJC всех преобраЗОВ:tНИЙ IIJIJшосновеШПI
ПреобраЗ0нания ПРIшосновенпя рассматринались, прапда, в отдель
ных случаях уже давно; так, ЯIшби при анаЛИ'IичеCItIIХ lIсследова
mrях ПОЛЬЗ0Ва..ЛСЯ уже са:V1ЫJ\IП оБЩИ:\1И преобразопаНПЯ:\1I1 IlplII{:OCHO
веппя; но в живое rеО;VIeтрuчесr::ое воззрение они были введены
422
Ф. КЛЕЙН
то.пт,ко новеЙшп:\>ш работа:\>пт С. Лп 1). Поятому пе будет .пппrпшr
разъ.пспп'l'Ь здесь опреде.тrенно, '1'1'6 такое преобра.'юванпе ПрИIi:оспове-
ння, прптrем мы, как псеl'да, от'ранпчиваеися точечным простраТШТНШI
с СТ'О тремя пзмерепттями.
Под lI.реоброзово'Н'/ш.м lI]J'/шосновенuя, ана.тrптпчеCI П rоворя, ра3У!>Iеют
ВСЯI\УIO подстаноnку, которая выра:;'I;ает значения переменных ,К', 11, z
iJz Bz
п lIХ 'rастпы.х ПрОП3130ДНЫ.х д == р, == q через ПОВТ,Iе а:', 11', z',
х "У
р', 1]'. Прп атом, очевидпо, касающпес.я между собой поперхностrr
перехо.п:ят, вообще Т'9ВОрЯ, снова в касающпеся между с/)/)ой поверх-
ностп, 01'чеrо п ПРОПСХО/l;ПТ нааваппе преобраЗ0ванпti прrл;осповенпл.
Преобрасюванпя прпкосновенпя распадаютсп, еслп псходпть П3 ТОТIШ(
Кюt "J.лемента пространства, на трп класса: те, ROTopьre 003 Т()ТШЮ(
относ Н'!' снова ТОЧЕП,' это т(),льк() что расс:нотренные точечные пре-
обраЗ0вапrrя; такпе, которые переводпт пх n крпвые; паЕОIЮТ1, татте,
КОТОРТ,16 переводят пх в rlOверхности. :Это подразде,}НJНlН1 посто.пы;у
не следует рассиатрпвать кап: сутцестnенное, ПОCI,ольку, прпыеппя
друrпе 'l'РОНl;оnесконечпые нространственные элю.шнты, папршreр
П,ЛОСI\ОС'l'П, получпм, правда, снова де.:rенттtcJ па трп т'руппы, н() ле.Тlе-
ппе Э'l'О не совпадаtcJТ с де.:rенпем, ПО,ТlучеППЫ;\l в том с. учае, т;:оrЩ1
ПО.пат-аем в основу ТОЧltп.
Ес,!Тп прпменпм т, одной точтtе все преобра; ()нанп.я, 'J'O она нере-
ходпт в СОВОI;УПНОСТЬ всех точек, тtрПвых п поверхностей. ТаЮIМ об-
раао:ч, точтот, тtрппые и поверхностп только в СОВОКУППОСТlI CBOf'!t
образуют тело нашеН т'руппы. Отсю.п:а JlЮЖНО вывестп общее пра13Ш1О.
что фОРМ8Лытая обраnотт;:а КШ,OI'о ппбудь вопроса (напрпмер, теОрПII
дпфференцпальных уравненпй, о котороЙ сейчас (,улем 1'Опортъ)
лоджна бытт, пеполноi1, еслп ;ны оперпруtcJЫ ТОЧfJ'fНЫМП (н.тпт Т[.ТI()СШ)
стнr,НIП) Еоор.п:ннатамп, так кат, полат'аемые прп этом в основу 3.11е-
::IIeНТЫ ПрОС'l'раНС'l'Rа не образуют те.па.
По ввестп все солержащпеся в Ha3BaHIiO::lI теде осоnп т,ак ; JJ("\[рптr,(
прострапства IltcJудобн:о, ес.пн мы ХО'I'П:\l сохранпть СВЯ3h с оБЫЧIlышr
::IIетодамп, так кшt число этпх особоЙ есть ооСО, В этом тtроетсп необ-
хо.п:Ш\IOсть ВRОДПТЬ прп подобных расС;\ютренннх 11 Ш'1чеС'l'ве эде.I/.С'U/II11
11ростро uсшва не Т()ТП У, не крrшуIO ТЫ1П поверхность, по повеР.J:'UОСl1пше
эле..нетп-ы, т. е. спсте:\IУ значрнпii .т" 1/, z, р, q. Каждое преобразонанпе
прпкосповеппя дe.тraeT .П3 r;:аждот'о понерхностпот'() 8.'ItcJЛ-ItcJнта повыii;
ПЯТПJ ратно nеСКОПf'ЧНО :\>IНOI'пе элементы оБРШJУЮТ поэтому тело.
1) Ср. цитированную работу: Ueber partielle Differentialgleichungen uшl Coт
plexe. l\lath. Ann., т. 5. Данными в тексте разъясненияии относитеJ1ЬНО дифферен-
циальных уравнений я обязан rлавным образом устным сообщениям Jlи; ср. еро
заметr,у: Zur TheOl'ie partieller Diffеrеntiаlglсiсlшngеn, Gottinger Nachricl1ten,
Oct., 1872.
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
423
С этоп ТОЧКII зренпл точка, КРIIвая, поверхность ОДIIIIан:ово До.пжны
быть раСС:\Jатрпваемы как аrреrаты поверхностных эле:нентов II ПрII
том ДВОЛlюбеCIюпечные, ибп поверхность ПОКРЫ13ают 002 1').пе:'\Jентов,
крпвой СТО.пько же Э.пе:.иентов касаютсл п через то 'ш:у проходят 002
Э.'Iюшнтов. Но эти двоякобеСIшнечные аrреrаты имеют elue о"но общее
своЙство. Буде:\! назынаТh COfтUiHeJ[J[bl.,I.l 1!OJ10:J/CCJ-IUC.1[ двух пос.педовате.пь
ных Э.пементов х, у, z, р, q н х+(]х, у+ау, z+dz, р+аl), q+ (lq
их отношеНIIе, выражае:мое уравненпе:\l
dZ pli;r. qdy == о.
Тоrда 'l'очка, Itривая и поверхность суть одинаково ОGОЯ1iООСС1,OJШ'[
liЫС JlИЮ2000раЗ/lЯ ЭЛСJIiСЮllОв, IЮ:JlсiJъи1 из '/,'оторых нпхоuuтся в сосrJпнсюю.%
IlOЛОJlСС'N1Ш с COCCDHU.ll С.ИН. 8TIIl\1 точка. кривая IJ поверхность хар<Ыtте
рпауются COBMeC'l'HO и так ДОЛ:ЖIIЫ они быть ана.ШI'J'ичеCItlI llpeДCTa
ВJlены, КОI'да в основу к.'Iадется I'РУIIпа преобразоваппй Пр1ШОСНО
веНIIЯ.
Соединенное положеПIIе ПОС.педователъных ЭJ1еыентов есть СВОЙС'l'НО,
инварIIаптное ОТНОСIl'l'е.ПЬНО всех преобр'а:- опанпй прпкосновенпл. Но
п, обратно, преобраЗОНI1НИЯ ПРПКОСНО13СПII,Н можно опрн;(н.!IНТЬ 1,11$,
11/ш,uе 1юдсттЮGI.и 1ЩIJU/ 'ПСРСоНС'ННЫХ Х, у, z, р, q, 1.О1порыс псрсвоОят cooт
liО'/UСJШС dz Р ах q lill == О салю в ссбя. П pOCTpaHC'l'BO ДО.ПЖНО быть
рассмаТРIIваеио, таКИ.\1 образо:vr, прп Э'l'их пеС.ледuнаНI-[}IХ кш.: :\1Н:oro
образпе пяти IIзмереНIIЙ, и это :\!поrооr.раЗIIе HY"I':IIO IIЗУ'lать, полаrал
в основу в качестве l'РУППЫ СОВОltУПIIОСТЪ всех нреобразонаПIIll пере
менных, Ko Topыe оставляют без IШ:\Ieненпл опрнде.пннное СОО'J'ПОШНIIIIН
МРЖДУ дифференцпа.тшми.
Предметом псследонания становлтся те lIlПOl'ообраЗIIЯ, которые
опреде.пяются ОДНП.\l пли неСКОJ1ЬКП.\ПI уравнеIIПЛ;vrп мнжду ПНрНi\IНН
НЫl\lП, т. е. диффСРСJщиа./ь'Ные урав'Нснчя в часrп'Ных и:ртtзвоu'Ны.r псрвО20
lюряд1.а и их систс.НЫ. r.паНН1,ТЙ вопрос в том, Italt П3 l\IIIоrообра;:НIЙ,
.
состаВ.пенных ЭJlе:меП'l'а:\ПI, УДОlJлеТНОРЯЮЩIВ1JI даННЫ:\1 ураRНАНIIПМ,
выделяютсл ПрОС'l'О и ДВОЛlюбесконеqпые ря:.-тз;ы элементов, ItаЖДЫI1
пз которых находптся в соеДIlнеНПII с сосеДППl\IП. н: TaKo:\IY RОПрОСУ
ПрIIRОJIlIТСЛ, папрпиер, ЗaJщча реШННIIН диффеРННЦIIз.ПЬНОl'п уравнения
в частных ПрОИ3I30ДПЫХ первоrо порлдка. Ее можно фОр:\1УJПlровать
Tart: НУ:НШО пз 004 э.пе:vreнтов, УJI:ов.петворmoЩIIХ уравпеIIIIlО, llLIдеJIПТЬ
все ДНОЛI обеCl.:онечные 1\Iноrообраапп опреде,IIеННОI'О тина. В частностп,
задача нахожденил ПОJ1поrо решеНIIЛ прпниыает с.пе.n:уюп ую точную
фОр:\IУ: нужно все 004 элементов, удон.петворлющпх ypaRHeHHlO, раз
JIOЖIIТЬ каltим нп6удь обра О.\1 На 002 таких :\lНОl'ообразпй.
Jlilы не можем рааВIIвать да.пее эти сообра:шенил относпте.ПI,НО "иф
ференциа.пьных уравнениЙ; я YKa,I':y относпте.ПЬНО этOl'О на llIIТИ
рованпые выше работы Ли. Отметим ТО.пько, что с ТОЧltII зреНIIЛ
424
Ф. КЛЕЙН
преобразований ПРИRосновения дифференциальное уравнение в частных
производных первоrо ПОрЯДRа не имеет инвариан'l'ОВ, Ч'l'О каждое
может бы'lЪ преобразовано в Rаждое друrое, что, в час'l'НОС'l'И, линей
ные уравнения ничем особенным не выделяются. Различия BЫCТY
паю'l' 'l'ОЛЬRО 'l'оrда, Rоrда вернемся на точку зрения точечных пре-
образованпй.
rруппы преобразований ПРИRосновения, точечных преобразований,
наконец, проеR'l'ИВНЫХ преобразований можно охараR'l'еризова'lЪ ОДНИМ
общим способом, ROToporo я не Mory обой'l'И здесь молчанием 1). Пре-
образования ПРИRосновения были выше определены Еав: 'l'акие пре-
образования, при ЕОТОРЫХ сохраняе'l'СЯ соединенное положение после
дова'l'ельных элемен'l'ОВ поверхнос'l'И. Точечные преобразования IOIeIOT
со своей C'l'OpOHbl xapaR'l'epHOe свойство переводи'lЪ находящиеся
в соединении линейные элементы снова в такие же; наконец, линей
ные и ДВОЙС'l'венные преобразо:нания сохраняют соединенное положе
ние последова'l'ельных ЕоннеЕСНЫХ элемен'l'ОВ. Под 'КО'1{ЛШ'КС'НЫМ эле"ltе1!
том я разу:vreю соединение элемеН'l'а поверхнос'l'И с содержащи:vrcя
в нем линейным элемен'l'ОМ; последовательные ЕоннеЕсные элементы
назывaIO'l'СЯ находящимися в соединении, если не 'l'олько точка, но
и линейный элемент одноrо содержа'l'СЯ в элемеН'l'е поверхнос'l'И дpy
roro. Обозначение (впрочем, предварительное) «коннеRСНЫЙ элеиент»
О'l'НОСИ'l'ся R образованию, введенному недавно 2) Rлебшем в rеоме'l'рИЮ,
Еоторое представляется уравнением, содержащим одновременно ряд
Rоордина'l' 'l'очечных, ряд ПЛОСRОС'l'НЫХ и ряд Rоординат прямой, aHa
Jюrи RO'l'OpOro на ПЛОСRОС'l'И Rлебш называет RоннеRсами.
10. Iноrообразия произвольноrо числа измереиии
Уже не один раз было О'l'мечсно, что, ПРИМЫRая в предыдущем
изложеНIIИ R ПРОС'l'раНС'l'венным преДС'l'авлениям, мы РУRОВОДС'l'вова-
лись только желанием име'lЪ ВОЗМОЖНОС'lЪ, опираясь на Еонкретные
прп:меры, с большей леrкос'lЪЮ развива'lЪ отвлеченные понятия. Сами
по себе предшеС'l'вующие соображения независимы от ЧУВС'l'венноrо
их образа и принадлежа'l' R общей облас'l'И ма'l'ема'l'ичеСRИХ изысканий,
RОТОРУЮ называю'l' учением о ПРО'l'яженных мноrообразиях или (по
rpaccMaHY) просто учением о 1tротяже'Н'Ностях (Ausdehnungslehl'e). Юы:
осуществить перенесение предыдущеrо с ПрОС'l'раНС'l'ва на понятив
1) .я: блаrодарен Ли за замечания по ПОВОДУ З'l'ИХ определениi}. [Еажется, ЛJI:
так и не вернулся в своих позднеiiшлх работах It этим безусловно интересны),!
опредеJlениям.]
2) Gotting. Abhandlungen, т. XVH (1892): Ueber eine Fundamentalallfgabe,
d. Invariantentheorie, а также Gotting. Nachr., 1872, ;м 22: Ueber ein neues Grllnd
gebilde der anal),tischen Geometrie der ЕЬепе (перепечатана в JIilath. Апп., т. VI).
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
425
чистоrо мноrообразия, представляетсл очевидным. 3аметим только при
это:\! еще раз, что при абстрактном исследоваШIИ мы имеем перед Peo
метрией преимущество совершенно произвольноrо выбора rруппы пре
обраЗ0ваний, полаrаемой в основу, торда как в rеометрии наименьшал
rруппа rлавнал rруппа наперед задана.
Мы можем остановитьсл здесь только на трех следующих типах
исследованил и коснемся даже и их лишь вкратце.
1. Проективный метод исследованил или современна.!'!
алrебра (те ори л инвариантов)
Ее rруппа состоит И3 совокупности линейных и двойственных пре
обраЗ0ваШIЙ переменных, применлемых для представленил особей,
принадлежащих мноrообразию. ОШI .явллютсл обобщеШIем проективной
rеометрии. Было уже отмечено, что 8ТОТ метод исследования приме
н.яетсл при изучении бесконечно малО1'О в МНО1'ообразии, имеющем
одним измерением больше. Он обнимает собою оба указываемых далее
метода в том смысле, что e1'O rруппа обнимает rруппу, полаrаемую
в их основу.
2. :М:НОI"ообразие постолнной кривизны
Представление о таком мноrообразии В03ШIкло у Римана И3 более
общеrо представленил о мноrообразии, в котором дано дифференцпаль
ное выражеШIе, составленное И3 переменных. E1'o 1'руппа образована
совокупностью тех преобраЗ0ваний переменных, которые оставллют
без измененил данное выражение. R представлению о Мllоrообразии
посто.янной кривизны можно подойти с..друрой стороны, строл проек
тивное мероопределение с помощью квадратиqноrо соотношенил между
переменными. При таком способе выступает то обобщеШIе сравни
тельно с римановым, что переменные можно считать КОJ'.шлеКСНЫМИj
;затем можно оrраничить их изменлемость областью вещественных Ha
чений. Сюда принадлежит обширный р.яд исследоваШIЙ, которых :мы
RОСНУЛИСЬ в 5, 6 и 7.
3. Плоское мноrообразие
Плоским Риман называет МНО1'ообразие с постолнной исчезающей
RРИВИ3НОЙ. Еро теорил есть непосредственное обобщение 8лементарной
rеометрии. Еро rруппа подобно тому как rлавнал rруппа PeOMeT
рии может быть выделена И3 проективной 1'руппы тем, что закре
плнем некоторый образ, представллемый двумл уравнеНИЛ:\Iи линей
БЫМ и квадратичным. При 8ТОМ нужно делать различие между веще
ственным и МШIмым, если мы хотим СО1'ласоватьсл с той формой,
426
Ф. КЛЕЙН
в которой обыкновенно представляется теория. Сюда относптся, прежде
Bcero, сама элеThIeнтарная rео штрия, затем, наприvшр, развитые
в новейшее время об()бщения ()бычной теории кривизны и т. д.
3аI .,'JЮЧlIтельные заПlечанн.н
в заRЛючение сделаеи еще два заиечания, СТОЯlцие в тесной
связп с вышепзложенным; одно касается фор raльноrо аппарата, с но-
lOщью Iштороrо можно представить ;:Iоrическое раЗВIIтие преДI,IДУ
щеrо, дрУI'ое ДОJIЖНО указать на некоторые пробле Ibl, прпстушIТЬ I
которым после Bcero вышеИЗЛО I еиноrо представляется важным п
полезныи.
АналитпчеСI{()Й rео:нетрии часто ставилось в упрет\: предпочтепие,
он:азыпаемое введеНlIе I Iюордпнатной системы произво.льно взятым
элементам; тот же упрет относится равны.\! ()браз()м к.о НСЯIЮI'() рола
исследованиям протяженных мноrообразий, в которых отдельные особп
хараI{теризуlOТСЯ значениямп пере reнных. Если упреI{ этот С.ЛПШКШI
часто был заслуженным при 'ro I неУДОВ;:Iетворпте.льном виде, в каrщм
прп reНЯ;:IП прежде )ШТОД координат, то он отпадает при рациональном
П().ТIьвоваНПlI tJТПЫ методом. Ана.лптическпе выра,l\:ения, I\,оторые MorYT
получпться при исследовании HeKoToporo мноrообразия в духе Н3ШJСТ-
н()й rруппы, должны быть независи:ны по своему значению от слу-
чаЙlюr() выбора IЮОР.JJ1натной системы. п требуется сде;:Iать эту неза-
ВПСIIЫОСТЬ TaI",Ke п фОР.IШЛЫЮ очевпдной. :На в()зможнос'rь <JTOl'U п
способы ее достиженпя указывает совре шнная алrебра, в которой
форма;:Iьн()е Iюнятпе инварианта, о Koe I и.цет здесь дело, яснее Bcero
выра;асено. Опа обладает оБЩП I и исчерпываЮIЦИМ зак()ном ()брао()lJа
нпя ипварпантных выражений и ПрПНЦИПП3..J'Iьпо оперпрует толыщ
над Т3IПIМП ВЫР3;ilitJIIIIЯ IИ. Подобное требование нужно стаШIТL фор-
Ma.nLHOMY изложению II тоrда, Rоrда в оспову кладем не прuеIСТПП-
ную, а каI ую нибудь друrую rруппу 1), пбо формальный аппарат
должен отражаТF. строение самих понятий, служит ли ОН толыш для
точноrо и наr;:Iядноrо выражения их, П;:IП пм хотят восполь; оватьсп
1) [Так например, для rруппы вращьниЙ TpeXMepHoro пространства около
неПОДВИ:lI-;НОЙ точки такой формальныЙ аппарат дают кватернионы. Одпако Я,
со св()еЙ стороны, весьыа мало следовал требованию, уrсазанному в тексте. Мери-
лом в этом мне служил опыт, который я приобрел лично, особенно в преподава-
НИИ: пuстоянно возобновляющееся заучивание НОВЫХ видов символики обхо;:щтся
дорО:iке Toro, что выиrрывается от ее использовании. ВОЗМО:lКНО, 'с ЭТИ1\r свнзан
тот факт, что лишь веСL1\Ш не:мноrие мате1\fаТИRИ усваивают ту СИМВОЛИКУ, кото-
рая пастоЙчиво рекомендуется ее создателями (обратно, весьма шоrие MaTe1\!a
тиrси находят удuБНЬПI представлять свои мысли в неrtотороЙ, И1\IИ са1\III1\Ш создан
ноЙ, новоЙ СИ1\Iволике). В результате этоrо 1\rbl уже имеем иноrда Б мате1\Iатике
далеко зашедшую словесную путаницу, которан rрозит привести к са1\Iоторможе-
.нию весь мате1\fатический проrресс.]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
427
для TOrO, чтобы с ero
еще область.
Ilостанnвка Rопрnса,
помощью
проникнуть
в
непсследованнуlO
чается при сопоставлеППII
теорпеЙ уравненпЙ rалуа.
в ТGОрИИ rалуа пнтерес сnсреДОТnЧИRается, кап: п здеcr" на ZP!f-п1ШХ
пзиепенпfi. Объекты, к которы:.\[ 0'l1с10СЯТСЯ 8ТП шзмепенпн, [е.()нечн(),
ра..-З,LПЧНЫ: Ta:\f П1\тее:\[ дело с конеЧПЬПl ЧIIC,lIО:\1 дпcrереТП1,IХ 8лементов,
здесь с бескопечным ЧПС.ЛО:\1 я.ле:\IeНТОR IшнрерЪННlоrо иноrообразпп.
Но вследствпе тождества понятпя rруппы это сравнеппе :vrтleeT быть
продтrжено 1); иы особенно рады слелать это sа;v[ечанпе, Tale как оно
харатетерпsует П3,Lо:;r енпе пзвестных псследова.нпЙ, начат1,ТХ Лп п
мною, в духе развитых здесь воззренпй 2).
В теорпп rа,пуа. Еак она изложена, папрпмер, в '!']'aite а' Algebre
supel'ieure Серре плп в жорданово:м Тraite dш, substitutions, предметом
псследованпя нвляеТСff собственно теорПЯ rрупп плп теорпя подста
ПОВOIе са;vш по себе: теорпн уравпенпii: BLITeleaeT П3 нее IeaE ПРII,тюже
ипе. CooTBeTc'J'BeHHo 8ТО:ИУ У1Ы хотп:vr [а1ет}, rпеорu'Ю преобр({.1О6тИfй уче
нпе о rруппах, которые можно соста13ПТЬ П3 преобразованпй данн()]'о
xapaT Tepa. Пnпятпп пере:;неСТlIте.тrьностп, подобпя II т. д. IIрименпютсн
как 11 в теорпп подстановOIС ПРИJ\IепеНП Р -i\1 теорпп преnбраЗ0ванпй
ЯR,lптется пссле;:t;ованпе J\Iноrообразпн, основанное па rруппах IIреобра
n тюторnЙ мы ХОТIН1 еще ТIIОМЯНУТЬ, IIОЛУ
изложенных Rоsзренпti с Taт называе:.\юй
З0ванпfr.
В теОрIШ уравненпЙ прпв.пекают те cene ВНIIиание пре;r де Bcero
с]Т)[иетрпческпе Фунт цпп Еорнеп, затем те выраженпя, которые
остarО'L'СЯ пев тrвмепеНII5Т еслп не прп всех, то прп возмо:а;:но бо.тrьшем
ЧI1С,1J:е перестанопorе корней. Прп пзучеНIIП Мlюrообразпн на оспове
некоторой rРУППLI мы задае:.\IСН, прежде Bcero, вопросом о те,пах (8 5),
о тех обра; ах, которые остаются без пз:.\[ененпн прп всех преобра30Rа
штях rруппы. Но существуют такпе оnразы, Iюторые допускают не
все, но ЛПШЬ пеlюторые преобраЗ0ваппн rруппы; онп то п нвлнютсн
особенпо пнтерfJСНЫЫП при пзучеШП1, основанно:.\[ на 8ТОЙ rруппе, онп
об.тrадают особенными своЙства:.\lII. Подобно нтnму в обыкновенноЙ l'eo
:\IeТрНП выде.1J:НЮТСН те.71а спмметрпчные, правпльные, поверхностп Rри'
щенпн, впнтовые. Еслп встанем на ТОЧI У зреШIЯ проеlеТИRПОЙ reo:\[eT
рин и потребуеы, в частностп, чтобы ПрfJnnраsованпн, переводпщпе
1) я напоминаю здесь, что rpac MaH уже во введении к первому изданию
cвoero Ausdehnungslel1re (1844) проводил параллель между комбинаторикоЙ и уче
нием о протяженностях.
2) Ср. общую нашу работу: L'eber diejenigen еЬеnеn Спrvеn. welclle durcll ein
geschlossenes System уоn einfacll unendlicll vielen vertallscllbaren linearen Trans
formationen in sicb iibergellen, Matll. Аnn., т. 4.
428
Ф. КЛЕЙН
rеометричеCI,ие образы, были переместительны, то приходим к образа [,
рассмотренным Ли и мною в цитированной статье, и к общей задаче,
поставленной в 6 !Этой статьи. Данное там в 1, 3 определенпе
всех rpynn бесконечно мноrих переместимых линейных преобраЗ0ва-
ний в плоскости входит как часть в только что названную общую
теорию преобраЗ0ваний 1).
llримечания:
1. О против оп оложн О сти между с пнтетиче скнм п
аналитическим направлениями в новейшей rеометрпи
Различие между новейшим синтезом и новейшей ана.лптической
rеометрпей в настоящее время не следует счптать существенным, так
как идейное содержание, равно как и приемы выводов, постепенпо
стали совершенно подобными здесь и там. П08ТО IУ в тексте мы выбп
раем для общеrо обозначения обоих слово «проективная rеометрпя».
Если синтетический метод бо.лее пользуется пространственным воззре-
нием и придает !Этим необыкновенную прив.лекательность своим першаr
простым вывод8..'I1, то область пространственноrо воззренпя не З8.. нута
и д.ля аналитическоrо метода н формулы ана.литической rеометрпп
можно рассматривать как точное и наrлядное выражение rеометрпче
ских соотношений. С друrой стороны, не следует У Iалять яначенпе
Toro преимущества, которое дает хорошо выработанный формальный
аппарат для дальнейших исс.ледованпй тем, что он до известной степенп
опережает мысль. Правда, мы должны придерживаться Toro взrлпда
что математический преД:\1ет не.l]ЪЗЯ еще счптать тюнчате.льно разра-
ботанным, пока он не стал лоrически очевидным. Пронпкновенпе
с помощью форма.льноrо аппарата является только первым, но уже
очень важным шarом.
1) Я должен отказать себе в удовольствии указать в тексте на плодотвор-
ность рассмотрения бесконечно малых преобразованиЙ в теории дифференциааъ-
ных уравнениЙ. В S 7 цитпрованной работы Ли и я показали, что обыкновенные
дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же беСIсонечно малые нре-
образования, представляют одинаковые трудности при питеrрировании. Еак вос-
пользоваться этими соображениями для уравнениЙ в частных ПРОИЗВОДRых, ПОlCа-
зал Ли в разных работах, например в выше названноЙ работе (1VIath. Апп.. т. 5),
на различных пример&'С. (Ср. ero сообщение в Ученом обществе в Христиании,
маЙ 1872). [Соображения, высказанные в тексте, позволяют связать с устанон-
ка-r.-ш: Эрланrенской проrраимы мои позднеЙшие исслеДОВrНИЯ об алrебраичеСЮIХ
уравнениях, а также исследования о трансцендентных автоморфных ФУНIЩТШХ
(которые будут напечатаны в двух;следующих ТОМ&'С этоrо издання) *). Ср. также.
предисловие к моим «Лекциям об икосаэдре» (Leipzig, Tellbner, 1883), r,;J;e я ПОk
черкиваю параллелизм моих соответствующих работ и одновременных исследова
нии Ли о непрерывных rруIШ&'С преобразованиЙ.)
*) Речь идет о собрании сочинений Ф. ЕлеЙна. [Ред.)
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
429
П. Раз Д е л е н и е с о в р е м е н н о Й l' е о м е т р и и н а Д и с Ц и п л и н ы
Если обратим, наприиер, внииание на то, что специалист по MaTe
lIШТIРJeСКОЙ физике постоянно уклоняется от тех преимуществ, KOTO
рые '10жет ДОС'l'авить ему во МНО1'ИХ случаях сколько нибудь Bыpa
{)оташюе проективное воззрение, и что, с дрyrОЙ стороны, представи
тель ПРО КТИВНОЙ 1'еометрии оставляет нетронутым БО1'атый ИСТОЧНИR
математических истин, ОТКРЫТЫЙ теорией кривизны поверхностей, то
следует признать современное состояние rеометрическо1'О знания ДOCTa
точно несовершеННЫМj можно надеяться, что это преходm:це.
III. О з н а ч е н и и про с т р а н с т в е н н о l' О В О З З Р е н и я
Если мы принииаем в тексте пространственное воззрение как нечто
побочное, то это относится к чисто математическоиу содержанию фор
мулируемых соображений. Воззрение имеет значение только для е1'О
НRrЛЯДНОСТИ, которую, конечно, в педа1'ОI'ическом отношенип нужно
цеШIТЬ очень высоко. rеометрическая модель, например, с этой точки
.ареШIЯ очень поучительна и интересна.
Совсем иначе ставится вопрос о значенип пространственно1'О воз
арения вообще. Я выставляю е1'О как нечто самостоятельное. Суще
ствует собственно 1'еометрия, которая не хочет быть только на1'ЛЯДНО
представленной формой более отвлеченных исследований. В ней дело
идет о том, чтобы воспринять пространственные фИ1'УРЫ во всей их
обрааной реальности и (что составляет математическую сторону) пред
ставить соотношения, имеющие для них место, как очевидные след
ствия основных положений пространственно1'О воззрения. Модель
будет ли она воспроизведена и рассматриваема или только живо
представлена является для этой 1'еометрии не средством к достиже
нию цели, но самим предиетом. .
Если мы, та:ким образом, рядом и независимо от чистой MaTeMa
тики ставим 1'еометрию как нечто самостоятельное, то само по себе
это не представляет ниче1'О НОВО1'О. НО желательно еще раа .явно под
черкнуть эту точку зрения, так КаЕ новейшие изыскания совсем почти
<>бходят ее. В связи с этим и обратно новейшие методы изыскания
реДЕО применяются для пространственных отношений и, ОДНаЕО, именно
в этом направлении они кажутся весьма плодотворными 1).
IV. О МНО1'ообравиях произвольноrо числа измерений
С математической точки зрения бесспорно, что пространство, pac
<Jиатриваемое как место точек, имеет только три измерения; но точно
1) [Мои работы о форме кривых и поверхностей (rлавным образом алrебраи
ческих) будут помещены во втором томе зтОrо издания. (См. сноску *) на пре
дыдущей странице. Ред.»)
430
Ф. КЛЕЙН
так же не.lJЬ3Л с математической ТОЧI{:И зренил и по:меrnать KOM ОТ,1
то нп был() утверждать, что пространство имеет соб твенно четыре
илп ПРОНЗвольно мното измерепий, но что мы в состоянии воспрп
нимать Тo.JIЬКО трп. Теорил мноrообразш1 мноrих измерениЙ 13 ТО1!
впде, KRK она чем далее, тем более выступает на первыЙ П.iIап
в новеЙшпх математических пзысканп5IX, по существу своему COBep
шенпо не за13ПСПТ от такото УТВf'ржденил. Но в ней укорени.тrась 'rep
ЛППIО.1IОrпл, которая, конечно, вытекает П3 таь:ото преДста13. Iенил. П}I6СТО
тото, Ч'1'обы rоворпть об 1П11ЦПН-Iдуумах мноrообразнл, rоворят о точтшх
высшеrо простраНС'1'ва п пр. Сама по себе такая термпнолоrпп IВllоет
;\ПlOl'О хорошеrо, так как, вы3ваяя ВОСПО}ПIнаНИА () rеоиетрпчеСЮIХ
В033рf'ниях, она облеrчает понпманпе; но она имела то невытодное
с,;теДСТRпе, что Д.ТIЛ шнроь:оЙ публпки псс.тrедованил о мноrообраsиях
ПРOlI3В(),;Iъпоrо ЧПС.тrа пз;\шренпй считаются нераsрывн() свпзаНПЫ1Ш
с упомянутым представление}I () строенпп пространства. Рассматрп
вае}lые :иатемаТН'IеСI{:ие исследоваппя, конечно, ТО'1'час же ПОЛУЧИ.1Iи бы
reO}Ie'''pII'IeCI{:oe прпмепение, еС.:ПI бы 8'1'0 предстаВJIeние ()ы.;то верно,
но их зиаченпе и их цevть заключаютсл, совершенно неза13ИСИМО CYr
: TOTO представленил, в их собственпои матеиатпчеСКОJ\I содержаппп.
СОВf\ршенно иначе ПЛIOккер учиvт, что деЙСТВИТАльное пространство
:иожно представллть себе мнот()()()разием пропзвоvтьноrо числа измеренпЙ,
вводя в качестве 8.тшмента пространства обраs, завислщнit от протI:3
воаьното числа параиетров (крпвую, поверхность и пр.) (ср. S 5 тет{:('та).
Этот способ представvтенпл, расс:матривающпй 8ЛЮIeНТ ПРОПЗво.iIЬНО
прот,нженноrо мноrообразпл как aHaJ10r точки пространства, БперныЕ'
развпт rрасс}шном в ето Al1sdehnI1ngslehre (1844). у нето мысль
впоvтне свободна от УПШIлнутоrо представления о прпроде прОС'1'ран
ства; последнее ведет свое начало от некоторых бю'лых sамечанпit
raycca н ПQ.1:rучп.'lO более шпроь:ую пзвестность б.iIаrодарл псс.l]еДОБа
нпя,,! Рпмана о ИПOl'ократТIО протя:;r;:енных мноrообраsилх, Б которое
оно ни нтиТЮ'IeНО.
Оба способа предста13ленпл rрассианов II п.тrЮН:ltеров пмеют свон
препмущества: оба прпиеняют с ВЫl'оТ(оЙ, пользуясь IВП1 поочередно 1).
V. О '1' а к н а 3 ы в а е м о [I Н е е в к л п Д о в о fI r \j () ' \j Т Р п п
Подразу:меваС}fая в T\jKcTe проеь:тпвная ие'1'рика совпадает, кат;:
по.казалп повеЙшпе JIссvтедованнл, по существу своеиу с топ иетрп
чесь:ой rеоыетрпей, которая J\IOжеl' быть построена при откаае от аКСПШ1Ы
Т) {Излишне укааыва'1Ъ На то ра:звитие, какое ИСПЫ'1'али MHoroMepHble идеи
за последнее дес.нтиле'1'ие. Что же касается rрасс:\шновскоrо понимания и COOT
ветствующей трактовки алrебраических обрааов, то я сошлюсь на реферат Cerpe
в Мате;\штическоЙ энциклопедии (Mathematische Enzyklopadie, IП 2) тетрадь 7.
1918).]
ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА
431
о параллельных и которая в настояп{ее вре'lН под имене:II НtJtJНR.ЛП
дово:И: rеометрии является предмето:и мноrпх разrоворов II споров.
Если мы в тексте 1300бш:е избеrали 8ТОТО названия, то произоmло 8'1'0
по причпне, сродноЙ с высказанными в предыдущеы ПРШltJ'ШНТПI.
С именем неевклидовоfi rеО ltJТРИИ связывают ыножество пе ште шти
чеСIПIХ представленпii, которые с TaKIThl же жарО l ,лелеются ОДНПИП,
с К3RПМ отвеРI'аются друrими, по с которымп наши чисто штеl\Iати
ческие рассмотрения не имеют ничеrо общеrо. :J-Ееланпем способство
вать до некоторой степени разъяснению ионятиii в 8'1'0:\1 направлении
объясняется излаrаеыое в даJ1ьнейшем.
Тпомянутые исслеДОВ<tНИЯ по теории параллельпых линиil выесте
со спопми дальнеiiШИ1\IП продолжеНИЯ1\IП имеют с штематичеClЩЙ CTO
роны определенное значение в двух отношенпях.
С одной стороны, онп показывают и в :этом отиошенпп дело пх
можно считать закончеШIЫМ раз павсеrда, ЧТО акспоыа о параллель
ных не представляет собой мате lатичеCltоrо следствия ПОМeIцаНМhIХ
обыкновенно впередп нее аКСИО l, ио что в ней паходи'l' себе Bыpa
жение существенно новый :эле IeН'l' В033рf'ния, 1':ОТОрЫЙ не был затро
нут ранее. Подобные исследованпя :ножно бы п ДОЛЖliО бы ВЫПО.ЛНПТL
по отношенпю к каждой аксиоме не одной только rеометрии; через :это
достпrли бы лучшеrо понимания взаимпоrо отношения aItсиом.
Но зате l :эти псследования одарпли нас ценныы матемаТИ'ItJскпы
понятием понятпем о мноrообразии ПОС'l'оянной КРИВП3НLI. Оно "юс
неЙШИJV1 обраЗ0М связано, как уже было ОТJ\ш'чено и ItaIt еще подроб
нее показано в 8 10 тюеста, с проеКТИВНЫI\I меРООПР"'дtJЛННПНМ, C03
данныы совершенно незаRИСИМО от всякоЙ теории параллельиых. Еслп
пзучение :этоrо мероопределения представляет само по себе ВLIСOI\:пii
математический интерес и допускает мноrочпсленные I!рииененпя, то
1, :этому добавляется еЩtJ, чт() оно обнпмает мерооиределение, данное
в reО:\lетрпи, как частный (предельныЙ) случай п учпт нас pacc:\[aT
рпва'lЪ ето с более высшюй точки зренпя.
СовеРШtJННО IlН<lанисим() от развитых ТОЧeI зреПТИl CTOII'l' вопрос
о тех оспованиях, на которые опирается аксиома о параллс;rrьпr.тх,
будем ли мы рассыа'l'рпвать ее r aK абсолютно даllН;ПО, I';aIt : )T() ХОТИ1'
ОДНИ, ИЛИ кю,; ДOIшзапную прпближенно посредством опыта., Ral,
утверждают друrие. Если бы Иl\Iелпсь ОСПО13аппя прпнять последнее,
1'0 упоиянутые J\штеl\Iа.тическпе пзысканпя ПOI"ааа.JlП 61,1 наи, Ш1К с.ле
довало бы тотда строп"rь БО';Ieе 'l'очную I'еометрпlO. Но тar ая поста
HOBI a вопроса есть, очевидно, фП.iТософская, 1еаса.юпщяся са IЫХ общих
основаппй нашеrо познзнин.
Thlате lатпка, j,Дl;; 1ItШ;;060;;0, 'l'акзя ПОС'l'аповка вопроса не интересует,
и ОН желает, 'Iтобы ето ИССJIeдования не. СЧIIталпсь заВИСЯЩПl\JП 01'
Toro ответа, который мотут дать на :этот попрос с той илп друrой стороны.
.-432
Ф. КЛЕЙН
VI. Л и н е й ч а т а я r е о м е т р и я R а к и с с л е д о в а н и е
мноrообразия постоянной кривизны
Rоrда мы ставим в связь линейчатую rеометрию с проективнш.I
мероопределением в пятикратно протяженном мноrообразии, то должны
обратить внимание на то, что в прямых линиях мы ш\{еем ТОЛЬЕО
.бесконечно удаленные (в смысле мероопределения) 8ле:менты MHoro
образия. Необходимо ПО8ТО:МУ обсудить, какое значение имеет проеЕ-
тивное мероопределение для бесконечно удаленных 8лементов мноrооб
разия; 8ТО нужно здесь до некоторой степени выяснить, чтобы устранить
те трудности, которые встречаются, коrда хотят представить линейча-
тую rеометрию Еак rеометр ю метрическую. Мы свяжем 1'Jти объяс-
нения с наrл.ядным прюшром, доставляемым проективным мерООIIре
делением, построенным с помощью поверхности второй степени.
Две произвольно взятые точки пространства имеют по отношению
R поверхности один абсолютный инвариант: анrармоническое отно-
шение их к двум точкам пересечения соединяющей их прямой с по-
верхностью. Но если обе ТОЧЕи поместить на поверхность, то их
анrармоническое отношение будет равно нулю независпмо от поло-
жения точек, за исключением Toro случая, коrда обе ТОЧI{И OK3.3Ы
ваются на одной образующей и коrда 8ТО отношение неопределенно.
Это единственная особенность, Rоторая может явиться в их OTHO
шении между собой, если они не совпадают, и мы имеем таким обра
.зом теорему:
Прос'Ктuвиое .меРОOj рсде-леиие, 'Которое .мо:исио пocrпpoитb в 1 pocтpa'Нcт6e
с по.tIlОЩb'JО поверхиости BтopOi?O поряд'Ка, еще ие доставляет иu'Ка'КОi?О .мера-
.опреде-леиuя д-ля i?eo.мeтpuu иа поверхиости.
В связи с 8ТИМ находится то обстоятельство, что с помощью ли
нейных преобразований поверхности самой в себя можно три ее про-
извольные точки совместить с тремя друrими ее точками 1.).
Если мы хотим иметь мероопределение на самой поверхности, то
надо оrраничить rруппу преобразоваНИЙj 8Toro мы достиrнем, если
закрепим произвольную ТОЧRу пространства (или ее полярную пло
СI{ОСТЬ). Пусть сначала ТОЧЕа пространства не лежит на поверхности.
Проектируем поверхность из точки на плоскость, причем кривой раз
дела является коническое сечение. У становим с помощью 8TOl'O кони
ческоrо сечения проективное мероопределение, которое затем перено
1) Эти отношения изменяются в обычной метрической rеометрии; две беСЕО
нечно удаленные точки имеют для нее, Еонечно, абсолютный инвариант. Проти
воречие, которое BMeC'l'e с зтим МОrло оказаться при подсчете линейных преоб-
разованИЙ бесконечно удаленной поверхности в себя, разрешается тем, что нaxo
дящиеся в числе их поступательные перемещення и преобразования подобия
вообще не изменяют бесконечно удаленноrо.
9РЛАнrЕНСКАЯ пРоrРАЫЫА
433
сим обратно на поверхность 1). Это будет настоящее мероопределение
с постоянной кривизной, и, следовательно, мы имее]\( теорему:
На поверх'Ности полу"им! тшкое .м'ероопределе'Нuе, Ifalf толыfo saji;peпиM
то'Чку, ле;жащую в'Не поверх'Ности.
Соответственно находим 2):
}.1ероо'nределе'Нuе с Ifрuвuз'Ной, рав'Ной 'Нулю, полу'Чu-м 'На поверх'Ности
в том слу'Чае, еслu за ие'nодвu;жную тО'ЧlfУ в'Ыбере.м' тО'ЧlfУ иа са.м'ОЙ пoвepx
lIости.
Для всех ;этих мероопределений на поверхности образующие по-
следней суть линии, длина которЫХ равна нулю. Выражение для
элемента дуrи на поверхности различается по;этому для различных
мероопределений одним только множителем. Абсолютноrо ;элемента
дуrи на поверхности не существует. Но можно, впрочем, rоворить
об уrлах, которые образуют между собой направления перемещения
на поверхности.
Всеми ;этими предложениями и соображениями можно теперь прямо
воспользоваться для линейчатой rеометрии. Для линейчатоrо про
страпства самоrо по себе не существует первоначально НИI>:аКОI'О соб
ственноrо мероопределения. Мы получим некоторое мероопределение
толы>:о тоrда, коrда закрепим линейный комплекс, и притом оно будет
пметь постоянную или исчезающую кривизну, смотря по тому, будет
ли комплекс общим или специальным (прямою). С выделением одноrо
Rоиплекса связывается и 8начение аБСОЛIOтноrо ;эле 1ента дуrи. He
вависимо от ;этоrо, направления перемещения к соседним прямым,
пересенающим данную, имеют длину, равную нулю, 11 можно I'OBO
рить об уrле, образуемом двумя произвольными направлениями перf'
мещения между собой 3).
[В остальном, завершая ;эту перепечатку ЭрланrеНСRОЙ проrраммы,
я охотно укажу еще на работы Мёбиуса (Iшторые я сам осмыслил
в их внутренней связи лишь после тоРо, '[>:ак в 1885 1887 l'одах
принял участие в издании собрания еrо сочинений, орrаПllЗ0ванном
саксонским Научным обществом). Мёбиус еще не знал общеrо Olipe
д тrения rруппы, а таI>:же мноrих rеометрических преобраЗ0ваний, при-
влеченных для иллюстрации в Эрланrенской проrрамме; однаIЮ он,
РУRОВОДСТВУЯСЬ верным чутьем, располarал свои следующие друr за
друром rеометричеСRие работы именно так, как ;это соответствует
основным идеЯМ проrраммы. Уже в центральной rлаве своеrо «Бари
1) Ср. 9 5 тш>:ста.
2) Ср. 9 4 ты>:ста.
5) Ср. статью: Ueber Liniengeometrie llnd metri8che Geometrie, Math. Аnn., т. У,
стр. 352.
28 3'8". 1164. Об основаниях rеометрин
434
Ф. КЛЕЙН
центрическоrо исчисления» (1827) он упорядочивает «rеометричеСЕие
задачи» по «сродству» «равенства» (конrруэнтности), «подобпя»,
.«аффинитета» и «коллинеации». С 1853 rода начинаются ero публи-
кации о «KpyroBoM сродстве» (== rеометрии обратных радиусов в пло.
скости). Уже до Toro (1849) появились ero первые сообщения о сим-
ме'l'рИИ RРИСТа.ллов. А в 1863 rоду, 73 лет от роду, он выступает
с сообщениями об «элементарном сродстве» (т. е. о той области reo-
метрии, которую мы сеrодня называем Analysis sitlls). С этими ука.
заниями можно сопоставить те выводы, которые сделал Рейнrардт
о порядке и взаимосвязи отдельных работ Мёбиуса (Собрание СО'!!!.
нений, тт. 11, lV), используя ero боrатое рукописное наследство.)
СОФУС ли
SOPHUS LIE
()mзыв Ф. В'леu'Нд о со'Чи'/{е'/{ии Софуса Ли «Теория зрупп преооразовшнuи»,
том III (1893), представле'Н'Ном в связи с первым присужде'Нием премии
име'Ни Лооа'Чевск,озо.
F е l i х К l е i п, Gutacltteп, betreffend der dritteп Band der Tlleorie der
Transformationsgruppen von Sophus Lie aпlasslich der ersteп Verteilung des
Lobatschewsky - Preises
(1897)
Казанскому Физико математическому обществу при Нмп. Казан
СЕОМ университете,
Милостивые rосудари!
По случаю предстоящеrо первоrо присуждения премии Лобачев
CKoro Вы сделали мне лестное предложение, чтобы я высказал свое
мнение о работах Софуса Ли по основаниям rеометрии, в особенности
о содержащихся в 'l'pe'rbeM томе ero «Теории rрупп преобразований»
и относящихся сюда выводах, и дал отчет о них в связи с COBpe
менной точкой зрения на проблему пространства. Я пытаюсь OTBe
тить в последующем на :это приrлашение, как ни трудна и OTBeT
ственна :эта задача в различных отношениях,
По S 5 «Положения» премия Лобачевскоrо выдается за сочинения
по rеометрии, преимущественно неевклидовой. Параrраф 6 ставит
дальнейшее условие, чтобы сочинения были напеча'l'aI-IЫ в течение
шести лет, предшествующих rоду ПрIIсуждения премии.
С внешней стороны по:этому задача представляется очень простой,
потому что присланный проф. Ли том не только соответствует :этим
условиям, но так безусловно превосходит все друrие сочинения,
которые моrJIИ бы быть с ним сравниваемы, что сомнение относи
тельно при суждения премии представляется едва возможным. Решаю-
щим обстоятельством для TaKoro суждения о высоте учеНОI'О трудц..
является не ТОЛЬRО чрезвычайная основательность и отчетливос:rъ,
28*
436
С. ли
с ко'Торой Ли трактует в отдепе V своей книrи так называемую Юl
рu.ма'НО iJель.мiJольцеву пробле.му простра'Нства, но, в особенности, то обстоя-
тепьство, что эта обработка явпяется, так сказать, поrическим след-
,ствием обнимающих продопжитепьное вреия творческих работ Ли на
:поприще rеоиетрии, в особенности ero теории непрерывных rрупп
преобразований, я: сказап бы, что S 5 «Попожения» решает здесь как по
.своему специапьному, TaI и по своему общему содержанию, Чрезвычай-
ное значение работ Ли дпя общеrо развития rеометрии не может быть пре
увепичено; я убежден, что в бпижайшие rоды оно возрастет еще более.
rораздо труднее представпяется, однако, дать Вам отчет, кото-
рый, с одной стороны, соответствовап бы важности предмета, с дpy
rой же стороны, Mor быть Вам до известной степени полезен,
Воспроизводить здесь в извпечении весьма обстоятепьное и непосред-
ственно понятно е изпожение Ли значипо бы топько беспопезно затем-
нять и депать менее доступным то, что ясно и понятно; вступать
же с автором в спор ПО поводу I ритических замечаний, которые он
депает по отношению к друrим авторам, и не попезно, и не соответ-
ствовапо бы настоящему спучаю; я Mory, между ПрОЧИ:V1, указать на
-то изпожение выводов Ли, которое я дап во втором томе моих (лито
rрафпрованных) пе1 ЦИЙ по rеометрии, а также во второй леIЩИИ
мою'о Eyanston Colloquium 1). Напротив, я попытаюсь взrпянуть на
свою задачу общее, заданаясь цепью выяснить с общих точек зрения
современное состояние проб<Т[емы пространства ипи хотя бы ряд OT
НОСЯщихся сюда вопросов, которые выступипи в поспедние rодЫ.
При этом само собою установится место, rде придется rоворить как
о рассматриваемых здесь ИССJIедованиях, TaI и о друrих ero BЫBO
.цах, содержащихся в том же томе «Теорип rрупп преобразований»;
в то же вреия я буду иметь спучай У1щзать на друrие пункты про-
бпемы, 1'Оторые мне кажутся существенными и на которые, может
быть, комиссия по присуждению премии Лобачевскоrо обратит со Bpe
менем свое ВНИ1rание.
I\aKoe происхождение имеют l'ео:vrетрические аксиомы? МатематИI{,
которому известны неевкпидовы 'rеории, едва пи захочет держаться
прежнеI'О мнения, по l'OTOPOMY аксиомы с их конкретным содержа-
нием суть необходимые истины BHYTpeHHero воззрения, То, что не
специаписту Iщжется имеющим внутреннюю необходимость, оказы-
вается при бопее продопжитепьнои знакомстве с неевкпидовыми за
дачами резупьтатои весьма спожных процессов, резупьтатами, в осо-
1) «The Evanstoll COlloquium)}. Lectures оп Mathematics delivered from Aug.
28 to Sept. 9, 1893 before members о! the Congress о! Mathematics hold in соnnес.
tion with the wor!d's fair in Chicago at Northwestern University, Evanston Ш.
;Reported Ьу Alexander Ziwet, New York, 1894.
ОТЗЫВ Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С, ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ», Т. 111 437
бенности, воспитания и привычки. Имеют ли аксиомы опытное
происхождение? rельмrольц, как известно, решительно высказался
за TI1Koe опытное происхождение аксиом. Но ero соображения оказы-
ваются недостаточно полными в известном направлении. Обдумы-
вая их, можно, конечно, соrласиться с тем, что опыт имеет большое
участие в образовании аксиом, но нельзя не заметить, что кап: раз
тот пункт и остается у rеЛЬМI'ольца не разъясненным, который инте-
ресен математику преимущественно перед прочими. Мы rоворим о том
процессе, который приходится выполнять постоянно при теоретиче-
ской обработке всех эмпирических данных и который именно ПОЭТО IУ
может показаться естествоиспытателю вполне ПОНЯТНI>1М. SI выскажуеь
по этому поводу в следующих общих выражениях: результаты пт.их
бы то пи оъtло 1-tаолюден,ий и-меют силу тольr.;о в определс1-t1-tых пределах
то'Ч,1-tости и 'при специаЛЬ1-tых условиях; уста1-tавливая аr.;сио-мъt, -мы за" и
ияс-м эти результаты пОЛОJlCе1-tиЯ,;l и аосолют1-tой тО'i1-tосrn7t и оощ1-tости.
В этом «идеализировании» эмпирических данных Jlежит по моему
мнению истинная сущность аксиом. Наше прибавление к эмпириче-
ским данным: оrраничено при этом в своем произволе тем, ч'l'о оно
должно приспособляться К фактам опыта и, с друrой стороны, не
может вводить никar"их ЛOl'ических противоречий. Направляющим на-
чалом является при этом 'ТО, что никто Ее будет с разумным осно-
ванием придерживаться более сложной системы аксиом, кю" только
он заметит, что точность, необходи:\шя для представления эмпириче-
ских данных, достиrается уже вполне и с помощью БОJlее простой
системы. Так, например, для праь:тических целей предпочтительнее
и всеrда будут употребляться фОрМУ<ТIы rеометрии ЕВIшида, а не
формулы I'еометрии ЛобачеВСlшrо,
Эти общие за:l1:ечания я хотел предпослать для Toro, чтобr;{ не
моrло быть никакOl'О сомнения относительно основания, на П:ОТО
ром ПOl"оятся следующие выводы. В дальнейшем дело должно итти
лишь О действительной rеометрии нашеrо эмпирически даннOl'О про
странства, а не об обобщениях, которые были составлены и которые
MorYT быть математичеcr"и ценны в друrом направлении. SI начну
с вопроса, который в последние 25 лет занимал математические круrи
в возрастающей степени, но который всё же не нашел Toro общеrо
внимания, KaKoro он заслуживает. Что такое проuзвОЛЬ1-tая r.;ривая, про-
uзвОЛЬ1-tая поверхпость? Евклид ставит слова «кривая» и «поверхность»
во rлаве своей системы, раньше чем переходит к определению пря-
мой линии и плоскости. И не тольн:о создатели дифференциальноrо
и интеrральноrо исчисления, повидимому, не чувствовали НИI"акоrо
сомнения в отчетливости этоrо поня'l'ия, но еще rеометричеcr"ие ДOl"а-
зательства, KOTOpI:>Ie дает raycc в своей диссертации основной Teo
реме аЛI'ебры, основываются на предположении, что понятие (плоской)
438
С. ли
кривой есть с нечто са:\iO по себе очевидное. Но наша уверенность
в 8ТОМ ОТНQшении совершенно уничтожена за 81'0 время, l'лавным
образо:\! под влияние:\! Вейерштрасса; можно сказать, что с матюra
тической точки зрения в настоящее время нет ниче1'О темнее и He
определеннее, чем УПО:\lянутое понятие. То, что мы В 8:'1пиричеС1Щ),f
представлении называе:\т ,кривою, есть, прежде все1'О, полоса [Strei
{еп], т. е. часть пространства, в которой перед раютерюти длины OT
ступают прочие ИЮ1ерения (причем точное О1'раничение части про
странства остается неопределенным). В 81'0:'1 (первично:\!) виде понятие
КрИВОЙ находит применение во МНО1'ИХ облаС'1'ЯХ ПрIЫIОЖЭНПЙ, и я
вместе с 1'. Пашем 1'01'0 мнения, что хорошо выстаВИ'1'Ь 81'0 в боль
шеЙ степени на вид, чем 81'0 обыкновенно делается. Но если н;ривая
должна стать предме1'ОМ тО.Щ020 математичеСКОl'О рассмотренин, '1'0 мы
ДОЛЖ:НТ,I ее идеализировать точно 1'Ю\: же, как 81'0 БТ,lвает повсюду
в начале rеометрии с 1'0'ШОЙ. И здесь то начинаются 1'РУ1ЩОСТИ. Пер
вое за:.течание, немаловажное, то, что все авторы, 1\:О'1'орые писали
по 8ТО:\IУ вопросу, брали за исходный ПУНll:Т аналитичеСll:УIO 1'eo:'le'r
рию. ТО1'да можно плоскую п:ривую (чтобы ею О1'раничитьсн) опреде
ЛЯТЬ или кап: место движущеЙся точки уравнеНИЯN1И
х == ер (t), у == (t),
rде под ер и подразумеваются непрерывные ФУНКЦИИ, или же как
rраница неI\:ОТОрой ПJIОСКОЙ области. Ес"'IИ мы сделаем ПОЫlеднее, то
с само1'О начала нужно разобрать все, '11'0 можно ПОНИ:'faТЬ под сло
вом «область» [Gebiet]. Два определения, прежде все1'О, НИ1\:ОИМ обра
30М не совпадают, и ВО всяком случае 11: ним нужно добавить суще
ственные Оl'раничения, если хотим дойти до всех 1'ех свойств
спрямляемос'!'и, дифференцируеИОС1'И и пр., КО'1'орые оБЫЮIовенно
приписывают кривой 1). Лучше всето будет с са:\I01'О на'шла Оl'рани
ЧИТЬСЯ аналuтuчеСI;и,ми npUGblJltU, т. е. предпола1'ать ер и , в ypaBHe
ниях 1-I:РИВОЙ аналитичеСКИ:'1И ФУНКЦИЯИИ. АналитичеС1\:ие кривые
обладают прито:\! дос'rаточной общностью, чтобы изображать каждую
эмпирически данную 1tривую с желаемым приближением. Весьма за
мечателен, далее, тот Фarl:Т, что важнейшие свойства аналитических
фующий (в частности, и функций аш'ебраичеСIШХ) были найдены при
помощи 8мпиричеСКО1'0 представления КРИВЫХ (и поверхностей). He
смотря на 81'0, едва ли можно решиться принять, что 8мпирическое
представление в силу каI\:ИХ ТО присущих ему скрытых 1-I:а'1еств He
обходимо и исключительно ПРИВОДИ1' к аналитическим кривым. Пред
!) Ср. статью Манrо.'lьдта (Mangoldt) о понятии «линии И «поверхности»
В Matl1. Enzyklopadie, т. III, АВ2 (1907) [а также ее переработку, сделанную Цo
ретти (Zoretti) для французскоl'О издания] '''"),
*) Примечание в "вадратных с"обках в издании математических работ Елеiiна, [Ред.)
ОТЗЫВ Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРI1Я rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ., Т. III 4:39
стоят еще, очевидно, интереснейшие проблемы, по хара.к'1'еру своему
:.:rринадлежащие теории ПОЗНaI-ТIIП. Здесь же мы должны удовольство
ваться отрицательным заключением, име)3:но, что uсследованuя, %OтO
'Ры,м,и здесь 110ЛЬЗУ1Отся, не MOi!ym бъtть поставле'Ны в основах i!eOMempuu,
что приступать I ним возможно дишь тоrда, коrда уже твердо YCTa
новдено здание 9ле.Atентар'Ной rео:vrетрии на осн.овании соответственных
аксиом и связанных с ними следствий, П редваритедьно же построе
ние и при:vrенение аналuтuчеспой rеометрии представляется не необ
ходимым, но лишь целесообразным.
Обратимся теперь I предподожению, которое Риман поставил во
r.lIaBY своих IIсследований о «rипотезах rеоме'rрии», именно, что 'ro
чечное пространC'l'ВО можно рассматривать как '1'РОЯIщпро'rяженное пе
прерывное чuсловое .%НОi!ообразuе. В прежнее время это предположение
сочли бы за само собой попятное следствие отношений непрерывности
прострапс'rва соответственно лежащих в нем кривых и поверхностей.
Но блаrодаря тому развитию, которое ИСПЫ'l'ала за это времп I рИ
тика понятия кривой, это, очевидно, уже недопустиыо. Сообразно
с настоящими научными взrлядамrи, право наше считать 'rочечное IIрО
странство числовым I ОНТИНУУмrом может быть обосновано только сле-
ДУIOщимr образо:м: нужно, прежде Bcero, развить 9ле,м,еюпар'Ну1О i!eO.Mcm
ри1О, %а% та%ову1О, исходя ли из рассыотрения шаров и I pyroB
(метрическая rео:vrетрия) или из рассмотрения прямых линий и пло
скостей (rеометрия проеI тивная), как Э'1'О будет еще разъяснено
в даJIьнейшем. Исходя из элементарной rеоме'rрии, мы должны затем
развить анадитическую rео:v[етрию. При этом, прежде BceI'o, придется
сопоставить точки отдельноrо Kpyra или отдельной пря:vroй линии
числовому континууму, о чем оБСТОЯ'1'ельнее мы будем rовори'rь далее,
Только после этоrо мы переходим к трем координатам простраНС'1'ва,
причем является вопрос: чем отличается мноrОПРО'1'яженный конти-
нуум от однопротяженноrо. Мы видим, таким образом, KaI сложен
путь, на котором достиrается в Iшнце концов предположение, о 1ШТО
ром идет речь. He'ITo подобное нужно сказать и о том требовании,
которым Римrан молча пользуется и которое rельмrОJIЬЦ зате:vr Bыpa
жает явно как аксиомrу: функции, с помощью I OTOpbIX меТРИ'Iеские
отношения ПрОС'1'рапства представляются в числовом МIIоrообразии,
должны быть дифференцируемыми фУНI ЦИЯМИ (должны допускать
известное число дифференцирований). Отсюда следуе'1" что все IIссле
дования, начинающиеся с поня'rий «числовое мноrообразие» и «диф
ференцируемая функция», будут заключать в себе ЛОI'ическиЙ Kpyr,
если мы захотимr их рассматривать пря,м,о как исследования об осно-
ваниях rеометрии. Мы можем смотреть на них только как на вспо
моrательные средства при подобных исследованиях; они уравнивают,
так сказать, тот путь, по Ko'ropoMY должны итти чисто rеометрические
440
С. ли
исследования. По добным же образом выражается Ли на стр. 535 537
третье1'О тома «Теории 1'рупп преобразований»; он указывает на то,
что, от при соединения тре60зания ЧИСЛОВО1'о МНО1'ообразия и диффе-
ренцируемости к прочим аксиомам, которые употребляются при ана.
.литических исследованиях, получается если, ,м,ожет б'ыть, и 'Не 'Целе
сообразпая, то во всяко,м, слу'Чае nол'Ная систе,м,а аксио.М для обос'Нова'Ния
zeOMeтpuu.
Здесь, прежде все1'О, я хотел бы сделать несколько замечаний по
поводу предположения ЧИСЛОВО1'о континуума и дифференцируемости.
Далее можпо уже, как и при чисто 1'еометричеcr,ом исследовании,
различать метричеcr,ое и проеК'l'ивное изучение дальнейшей задачи
или же можно, опираясь на мои взРляды 1872 1'ода 1 ), держаться
общей идеи «1'еометрии МНО1'ообразия», основанной на изучении He
которой 1'руппы преобразований, ииеющей место для элементов MHO
1'ообразия. Для каж:дой тах;о'Й zeo.Mempuu "ио;JIC'НО тozaa требовать аКС2tO-
MaтU'teCKozo оnределе'Ния, т. е. тан:о1'О определения, которое характеризует
эту 1'еом8'l'рИЮ основными понятияии без помощи формул (или, точ-
нее 1'ОБОрЯ, независимо от случайно введенной в МНО1'ообразие си-
стемы координат). Это аксиоиатическое опреде.пение может начаться
с '1'01'0, что мы определяем лежащую в основании 1'руппу; этим путем
идут в метрической 1'еометрии, КО1'да в основание кладут факт CBO
бодной подвижности твердых тел (иначе 1'оворя, ан:сиомы КОН1'руэнт
ности), Но можпо рассматривать предпочтительно КОНфИ1'урации,
которые образуются из каких бы то ни было равноценных по OTHO
шеllИЮ к l'руппе э,ле:ментов. ,Это имеет место, например, КО1'да изло
жени е проективной 1'ео:метрии на"lинается теоремами об инцидентности
точек, прmrых линий и плоскостей.
Мы имеем теперь как раз место для той проблемы, КО'l'орой OKOH
чательное решение дал Ли и которой он придает название проблемы
Ри,м,а11д rеЛЬJ..tzоль'Ца. Ли кладет при этом, прежде все1'О, в основу
исследования О1'раниченную часть пространства (стр. 441 е1'О изло-
жения), и это оказывается единственно возможным в смысле давае-
мых ниже пояснений. ТО1'да можно сказать приблизительно 'l'aK: 1'ео-
метрии ЕВКЛlща, Лобачевско1'О и Римана предпола1'ают одинаково
свободную подвижность твердых тел внутри этой чаС'fИ пространства.
Они дают также, в полном СО1'ласии между собою, для квадрата
элемента ДУ1'и квадратичную Фунr,циIO дифференциалов координат,
и притом такую, для которой так называемая мера кривизны по.
стоянна (исходная предпосылка Римана); они различаются только
1) Сравнительное обозрение новейших rеометричеСI,ИХ исследований [см.
стр. 399 434 настоящеrо сборнш,а. Ред.] ИЛИ вторая часть Zur Nichteuclidische
Geornetrie». [См, сноску 3) на стр. 519 настоящеrо сборника. Ред.]
отзыв Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ», Т. Ш 441
значением этой величины, которая в этих трех случаях COOTBeT
c;rBeHHO нуль, отрицательна и положительна. 3адшчей будет в'btделить
с nО'м'ощью харш;;;тер%ых 1 рuзна%ов шестU'ЧJ!е'Н%ую зруппу двuжеJ-tuй этuх
тр'ех зеО'м'етрuй uз всех друзuх %епрер'Ь'в%ых зрупп преобразова%uй тpoe%paт
11030 'Чuсловозо м%озообразuя.
ЛИ дает в лежащем перед нами томе два решения этой задачи;
первое делает предположения о свойствах rруппы в беСIшнечно ма-
лом, второе оrраничивается рассмотрением фиrур конечных размеров.
Что касается первоrо метода, то мы CIшже1f: «rруппа обладает
в вещественной ТОЧI е свободной подвижностью в бесконечно малом,
если имеет M CTO следующее: если удерживаем неподвижно ТОЧI У Р
И произвольный проходпщий через нее Jfинейный элемент, то всеrда
должно быть еще возможно непрерывное движение; напротив, если,
кроме Р и этоrо линейноrо элеиента, удерживаем неподвижныи еще
произвольный вещественный элемент поверхности, проходящий через
точку и линейный элемент, то не должно быть возможно никаlие
непрерывное движение». Оr.;азывается, 1i:a% %аходит Лu, %аши %азва%
1Iые выше зруппы, вполне хараr.;тсрuзуются тем, 'Что отl в веществе%%ой
mо'Ч%е общезо пОЛО;J/Cе%uя uмеют свободную пОаВUJIС1-/,ОСmь в бес%о%е'Ч%о малом.
Во втором методе предпола1'ается: «Если удерживаем неподвижно
произвольную вещественную точку y , y , y обще1'О положения, то
все вещеС1'венные точки Хр х 2 , Xs, В которые еще може'.r ТО1'да пере-
ходить ДРУ1'ая вешественная точка x , x , xg, удовлетворяют веще-
ственному уравнению вида
lY(y , y , yg; x , x , xg; Х 1 ' X z ' х:,) === О,
которое не выполняется при Х 1 === y , X z === y , хв === yg и которое пред-
ставляе1' вещественную поверхность, проходящую через точку x , x , x .
ОIЮЛО точки y , y , yg можно так ОТ1'раничить I онечпую троякопро
тяжеиную область, '11'0, удерживая неподвижнуlO точку y , y , y ,
можно еще ВСЯI УЮ ДРУ1'ую вещественную точку x , x , x области
переводить во всякую ДРУ1'ую принадлежащую области вещеС1'венную
ТОЧI У, которая удовле1'воряет уравнению W === о и которая соединена
с точкой x , x , x неприводимым непрерывным рядои ТОЧeI », Этими
nредпОЛОJlсе%uямu, %а% %аходит Лu, с%ова вполuе хара%терuзуются три
uазва%%ые выше зруппы.
31'ОТ второй метод, бла1'одаря сходству e1'o основных предположе-
ний, приводит к первоначальным выводаи rельиrольца, Ес,Т[и не
обращать внимания на точность формулировок (вследствие IИТОРОЙ
предпосылки Ли, которые мы привели дословно, звучат излишне
обстоятельно), то у rеЛЬМ1'ольца больше требований, чем у Ли, в oco
бенности У. He1'o выставляется особый еще постулат «монодромии
пространства», который совершенно отпадает у Ли. Но, кроме Toro,
442
С. ли
в ходе докаsатеf[ьства у rельмrольца встречается действительная не-
точность, состоящая в том, что rельмrольц свои предположения, OTHO
Сящиеся к конечным измерениям, не оrовариваясь, переносит на
бесконечно малое, Точнее rоворя, он предполаrает математически само
собой разумеющимся, что троякобесконечная rруппа движений, оста-
вляющих неподвижной ТОЧltу Р, должна преобразовывать линейно 003
способами выходящие из Р дифференциалы Itоординат, 3десь оста-
JIOСЬ неза:vrеченным (как на 8'1'0 обращает внпмание Ли), что в числе
преобразований названной rруппы МО1'УТ быть и такие, которые
в окрестности ТОЧltи Р являются беCItOнечно малыми BToporo порядка
и I,оторые, таким образом, оставляют раСС:\fатривае:\1ые дифференциалыI
вообще без изменения, :М:ожет быть, можно сказать, что у rельмrольца
в 8'1'0:\1 месте cTporoe понятие предела, установившееся в conpe:V1eHHoM
дифференциальном исчислении, БЫJIО вытеснено выТюtаЮЩИ:\f из при
ложений представление:V1 о дифференциалах, I aIt величинах весьма
малых, но не исчеi!аЮЩИХ.
Оrраничиваюсь 8ТИМ по отношению It ри:vrаново rельмrольцевой
пробле:V1е пространства. При ЭТО:'1 я, соответственно тем l'раницам,
которые должны быть соБJ1юдае:V1Ы в 8ТОМ отчете, оrраничи,тrся трех-
мерным мноrообразиеи; ВЫВОДЫ РИ:\1ана rельиrольца и ca:\1oro Ли
относятся отчасти к произвольному числу измерений. Впрочем, я по-
вторяю то, на что уже указывал выше, И:V1енно, что простое сообщение
результатоп Ли никоим образом не может заменить убедительную силу
доказательства Ли; чтобы оценить последнюю, читатель непре:vrенно
должен сам прочесть ориrинал,
.я: сдеJ1аю еще краткое сопостав"тrение дальнейших замечаний отно-
сительно обоснования rеометрии, которые рассеяны в сочинении Ли.
В части IV Ли исследует, между прочии, те rруппы Rn, которые
оставляют без ИЮ1енения Itвадратичное соотношение между дифферен
циалами ltOординат f ik dXi dX k ==== О, че:\1 он при:vrыкает к первоначаль-
ным выводам Ри:vraна. На стр. 524 (часть У) ему приходитсн попутно
rовори'rь об обосновании проективной rеоиетрии, и он за:V1ечает, что
соответствующая rруппа, т, е. rруппа коллинеаций Rnt может быть
просто характеризована указанием, что она есть конечная непрерыв-
нан rруппа точечных преобразований, при которой п + 2 точки не
имеют ни одноrо инвариан'rа. Нщtонец, сюда же о'rносится из части ПI
определение всех непрерывных подrрупп проеltтивной rруппы про-
странства 'rpex измерений. Допустим, что относительно rруппы 006
движений названноrо пространства мы уже знаем, что она состоит
из одних коллинеаций. Тоrда таблица всех подrрупп, данная Ли,
сразу приводит к треи названным выше возможным случаяи, котпрые
хорошо известным теперь способом укладываются в проективное мере-
опредеJ1ение К8ЛИ, построенное с по ощью поверхности BToporo порядка.
ОТЗЫВ Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ», Т. III 443
я перехожу теперь снова к тому, что выше было сказано OTHO
,сител"ьно необходимости и значений aI{СИОМ. Наши исследования, на
что мы определенно ун:азывали, относились ДО сих пор всё время
только к осрапuченпой части нашеrо мноrообразип; весьма лоrично
.аадаться вопросом, I{акие отношения морут В03НИI{НУТЬ, корда мы эту
часть будем безrраНИСIНО расширять. Естественно преДПОJIОЖИТЬ, что
цространство ВОКРУl' каЖДОI'О места (ДОС'fИЖИМОI'О при копечrrО),1 дви
жении) будет вести себя совершенно 'fап: же, I{ап: было исследовано
до сих пор. Тем са),IЫМ, очевидно, не исключается возможность, что
npOCTparrC'l'BO (соответственно МНOI'ообразие, н:оторое мы здесь COI{pa
щенно называем ПРОС'l'ранством) различным образоы за),IЫI{ается 13 себе,
что оно 06.ладает БOJlее сложной связностыо. И 130ПРОС должен заI{ЛЮ
чаться иыенно в тои, %aJШЯ свЯЗ1iость прострстспиа ЛЮ.1/сст быть сов. иссУ/та
С разлuчпЫJU'U ЭЛВ,\tе1iта,uu дусп постuяпной %рпвuз1iы. 31'01' вопрос кажеl'СН
мне столь же важным, как и пспкий друrой по отношению н: ап:сио
маи. И тем удивительнее, что на неро до сих пор обращали 'fап: MaJIO
внииания.
В 1873 РОДУ :Клиффорд МШ,10ХОДОМ обратил пнииание на за:\шнутую
поверхность пространства, названноrо мной ЭЛJIИП'fичеСКИ:\1 (<<простOI'О»
пространства постоянной положительной кривизны), н:оторая повсюду
имеет кривизну нуль и площадь которой, тем не менее, Iшнечна.
Исходя отсюда, я набросал в 37 ТО:\lе Matllematische Annalen (1890)
общую постановку вопроса и основные черты теории; вскоре за тем
исследования были возобновлены :Киллинrом (Math. Апп., т. 39, 1891;
-также части 4 появившеrося в 1893 РОДУ первоrо тома учебника
«Еiпfulиuпg in die Gl'undlag'en der Geometl'ie»); мне, одпако, неиз
вестно, чтобы кто нибудь после занимался этим предмето),!. Резуль
таты, тем не менее, весьма замечательны. Оказывается, что, смотря
по значению меры кривизны, мы получаем ряд различных возиож
ностей, именио челую серию тополосuчес%u разлuчиых форм пристраиства
с сво.мвтрией Евклuда, Лобачввскосо, Римапа в ocpaпu<teппoи (одпосвязпоЙ)
частu. Jl.1bl имеем тут, само собой разумеется, прежде всеро, три OCHOB
ных типа, которые, непосреДС'l'венно примыкая н: проен:тивному Mepo
определению :Кэли, дают параболичесн:ое, rиперболическое п эл"тrип
тическое пространство по терминолоrии, введенной мной в Math.
Апп., в IV (1871)1). Следующие типы получаются, если мы будем
искать для каждоrо из этих пространств, какие прерывпые l'руппы
движениЙ не имеют на конечном расстоянии осей вращения или вин
товоро движения: нужно только считать области прерывности Э'fИХ
rрупп замкнутыми мноrообразиями, чтобы иметь С'l'олько же приме
ров исн:оиых ПрОС'fранств. Здесь не место излаrать это подробнее.
!) См. стр. 257 настоящеrо сборника. [Рсд.)
444
с. JIИ
.я: хочу только. заметить, что перечисление упомянутых rрупп в rи
перболическом случае (в случае отрицательной кривизны) находится
непосредственно в связи с теорией прерывных rрупп линейных под-
становок комплексной переменной, данной Пуанкаре и мною, и чт()
эта последняя теория недавно существенно разработана 1'. Фрике (при
моем участии) в связном изложении 1). Но это еще не всё. Мы можем
противопостаВИ1Ъ (в случае положительной кривизны) простые ЭЛ,JIИП-
тическое и сфершчес%ое пространства, в которых две rеодезичеCI,ие линии
пересет,аются всеrда в двух точках. r. Еиллинr впервые установил
теорему, что сферическое пространство наряду с друrими основными
тип&'I1:и (кат, назвал я их выше) единственное, которое, кат, целое,
свободно может двиrаться само в себе. Интересно исследовать, как
должны быть формулированы аксиомы rеометрии (NB; однако полаrая
постоянно в основание rипотезы о числовом мноrообразии и диффен-
цируемости), чтобы придти к каRому нибудь одному из бесчисленноr()
множества этих различных форм пространства. Для подразделений
типичеcr,их форм, которые получаются из областей прерывности rРУПII
движений, свободная подвижность фиrур возможна только до тех пор,
ПOI,а размеры фиrур не превосходят известных величин. Аксиома
о прямой (по которой две прямые линии MorYT пересекаться то,аько
в одной точт,е) претерпевает существеннейшие изменения; теперь
существуют прямые линии, 1,оторые пересекаются в бесконечном числе
точек Вследствие этоrо отношение между точт,ами прямой линии и
лучами перспективноrо ПУЧ1,а (если именно хотим рассматривать про-
страНС1'ВО, п:ат, целое) иноrда совершенно иcr,ажается и совершенн(}
изменяется теория параллельных. Весьма удобно rоворить, что нуле-
вая, отрицатеJ1ьная и положительная меры кривизны различаютсЯ'
тем, что через точку вне прямой к этой прямой возможны 1, 2 или О
параллеJТЬНЫХ. Теперь мы имеем пространства нулевой и отрицатель-
ной кривизны, тюторые имеют конечные протяжения; как определить
в них параллельные? Во всем eTO;\1 заключается больше формальных,
чем действительных трудностей (так как происхождение всех наших
пространств вполне ясно); я У1,азываю на это только для Toro, чтобы
побудить к исследованию новых форм пространств.
.я: оставлю теперь предположение о ЧИСJ1енном мноrообра ии
(и дифференцируемости) и скажу кое что о собственно i!ео.метрu'Чес'J>UХ
ос'Нова'Нuях теории, При этом я снова 1-еоснусь только таких ПУН1,ТОВ,
которые особенно выдвинулись за последние rоды или на которые
я хотел бы обратить особенное внимание читателя. rлавным основа-
нием для подразделения является здесь снова противоположность
1) R. F r i с k е u. F. К 1 е i n, V orlesungen iiber die Theorie der automorphen
Funktionen, Leipzig, 1897.
ОТЗЫВ Ф. КЛЕftНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАниft», Т, III 445
между ',м,етрu'Ч,еСJ>Ой и пpoeJ>тuauou 1'еометрияии. При этом, конечно,
'опять не надо понимать эту последнюю в том смысле, что она по
просту исключает из рассмотрения метрические вопросы; она отодви
!,ает их ТОЛЬко дальше, чтобы приступить к ним только после '1'01'0,
как будут исследованы простейшие проективные отношения. Это под
разделение на две части не следует рассматривать как произвольное
или как УI азываемое природой математических методов, но как такое,
которое соответствует фактическому образованию наше1'О воззрения
пространства, при котором действительно механические опыты (OTHO
сительно движения твердых тел) комбинируются с восприятиями зри
тельно1'О пространства (относительно различных проеI ЦИЙ видимых
пред reтов ).
Эле:'.fентарные основания метрической 1'еометрии едва ли подвер
l'ались в последние 1'оды новой обработке, о которой стоило бы здесь
УПО:\fинать. Интересно ИЗJlожение 1', Лпндемана во втором '1'0:'.18 лек
ций Rлебша по 1'еометрии, появившемся в 1891 1'ОДУj автор сравни
Бает аксиоиы, приведенные у caM01'O Евклида, с современными иссле-
дованиями о подвижности твердых тел,
НеСIИЛЬКО подробнее хотел бы я сказать относительно введеuuя
чисел в ,м,етри'Чес%у1О <:ео,м,етри1О. RaI бы.ло за:'.f6чено уже выше, суще
.ственный ша1' заключается в '1'0:'.1, что мы сопоставляем числа I ОНТИНУ
ума одно1'О измерения ТОЧI а:'.1 I аЕой нибудь данной кривой или даже,
для простоты, прямой линии. JliIы начинаеи с '1'01'0, что на начерчен
ной или каltой либо ДРУ1'ой },ш'rериальной прямой линии с'rроим фar
тически шка.лу равноотстоящих точer (масштаб). Части этой шкалы
мы затем снова подразделяем до тех пор, пока это оказывается прак
тичеСI И ВЫПОЛНИМЫ:'.I. МЫ приходим, таки:\[ образом, I тому резуль-
тату, что в пределах опыта, т. е. насколько простирается e1'o 'rоч-
н:ость, действительно каждой точке пряиой JIИНИИ соответствует опре
деленное число и каждому числу определенная точка. И' тепеРЕ, мы
делаем решаюший ша1' от onbl'ra к аксиоме: .АНЬ постулируем, 'Что со-
ответствие .«ежду точ%ой и 'ьисло.\{ и,м,еет .А{есто 'Не толь%о в 12рсiJелах
э,м,пири'Ческ;ой то'Чuости, 'Но и аБСОЛ1От'Но. Это требование большей l"rpo
I'ОСТИ мы можем раздеЛIIТЬ на три части. Мы принимаем сначаJIа во
внимание 'l'ОЛЫ О рациональные числа и требуем, чтобы к;а:I/СUО,м,у
рациональному числу соотпетствовала одна точка прямой линии. Уже
это кажется мне совершенно аксиоматичным, так I aK рациона. Iьпые
числа с достаточно большим знаменателем не M01'YT быть эмпирически
намечены на нашей шкале. Обращаемся, во-вторых, R иррационаJIЬШJ:М
числам (которые мы определяем вместе с Дедекиндом, Еанторои IЫШ
Вейерштрассом как пределы рациональных чисел), Опять должны мы
явным образом постулировать, что I аждому 'l'аIЮМУ иррациональному
числу должна соответствовать одна точка нашей прямой (ср. G. Can1or,
446
С. ли
Math. Аnn., о В. У, 1872). Наконец, в третьих, мы должны потре-
бовать, чтобы для каждой точки нашей прямой линии можно было бы
указать толы<о одно число. Это будет иметь место, пока на нашей
прямой линии нет отрезка, как бы мал он ни был, внутрь KOTOpOro.
мы не можем проникнуть, продолжая подразделять нашу шкалу,
В этом смысле третье требование совпадает с так называемой аксио.мои
Архи.лtеда. Эти три аКСИО:'vIЫ вместе я буду называть их I{paTRo.
аксиомой 'НепрерЫ6'Ности являются настоящими основаниями нашей
аналитической rеоме'l'рИИ. Можно спросить, необходимые ли эти
аI{сиомы, нельзя ли их каким нибудь образом видоизменить. В этом
отношении я Mory указать, прежде Bcero, на тенденцию, которая
обстоятельно обработана в большой книrе Веронезе 1), а именно, 01бро-
сить aJ{СИОМУ Архимеда и рядом с упомяну'rыми (рациональными
и иррациональными) числами ввести на пряиой линии еще друrие
числа, которые происходят от прибавления «актуально бесконечно.
малых чисел» к обыкновенным «конечным» числам, Я не считаю
своей задачеЙ излаrать здесь различные возражения, которые были
сделаны против воззрений Веронезе; .я хочу только заметить мимохо
дом, что до сих пор еще не получено осязательных rеометричесшIX
результатов, которые были бы следствием упомянутоrо предположе-
ния. Наоборот, у ДРУI'ИХ исследователей выступает в последнее время
часто тенденция считать действительными точками только рациона.ль
ные точки. Мы имеем здесь замечательны;й пример обращения науqной
мысли. Ибо иррациональные числа были введены в арифметику впер-
вые rлавным образом для Toro, чтобы они соответствовали rеометри-
ческой непрерывности, относительно СУlцествования которой ТОI'да не
сомневались; та1П-IМ образом, не арифметика, а rеометрия дала первый
повод к пх введению,
Эти разъяснения относительно введения чисел выходили из TOro
обстоятельства, что эмпирическое ИЮlерение имеет нижний предел,
за который оно о'rказыпается переходить. Совершенно так же при
выборе тополоrически различных форм пространства, о которых мы
rоворили выше только в отвлеченном смысле, теперь, коrда мы pac
сматриваем rеометрию фактически существующеrо пространства, должен
быть уже не произвол, но только внутренняя последовательность.
Наше Э:\Iпиричещ{ое измерение имеет ТaJ{же верхний предел, который
опредеJ1яется размерами ДОСТИЖимых для нас или как либо ина'Iе
доступных нашему наблюдению предметов, Что знаем мы об отноше
ниях пространства для неизмеримо больших величин? Несомненно,
1) G. V е r О n е s е, Grundzii6'e der Geometrie УОП mehreren Dimensionen und
mehreren Arten geradliniger Einheit (перев. Schepp), Leipzig, 1894. Итальянский
ориrинал по вился в Падуе, 1891.
ОТЗЫВ Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ», Т. III 447
что а priori ровно ничеrо; вследствие этоrо мы непременно принуж
дены выставлять постулаты. я: рассматриваю поэтому все тополоrи
чески различные формы пространства одинаково соrласными с опытом.
То, что мы при натих теоретических исследованиях предпочитаем
некоторые из этих форм пространств (именно основные типы соб
ственно параболическую, rиперболическую и эллиптическую reoMeT
рии), чтобы в конце концов принять параболическую, т. е. обыкновен
ную евклидову rеометрию, происходит единственно по основному
закону экономии,
Обращаясь к проективной I'еометрии, я скажу, ПрRжде Bcero, Koe
что об ее обосновании, незаВИСИМШI от всякоrо измерения. Она опирается,
как известно, на соединенное положение точек, прямых и плоскостей
пространства, как это впервые развил Штаудт в своей rеометрии
положения (1847). я: сам показал затем в IV и Х томе Mathem. An
nalen (1871 1872), что эти исследования, хотя r. Штаудт излаrает
это иначе, в действительности не зависят от аксиомы о параллельных.
Это основывается на том обстоятельстве, что можно оrраничиться
ТaI ИМИ построениями, которые не выходят из наперед заданной части
пространства (причем тоrда все точки, которые предполаrает оБЫI НО
венная проективная rеометрия вне этой части пространства, являются
только так называемыми идеальными точка\IИ). В особенно сжатой и ЯС
ной форме изложено это недавно (1891) 1'. Шуром в 39 M томе Mathema
tische Annalen. Но, прежде Bcero, я должен обратить внимание на
систематическое изложение всей теории, которое дал r, Пат в своих
Лекциях о новой rеометрии (Лейпциr, 1882). Книrа Пата тем более
замечательна, что он со своими, cTporo лоrически распределенными
исследованиями везде ясно связывает пространственное воззрение,
данное опытом, так что в этой книrе связно и последовательно из
ложен взrляд на rеометрию, защищаемый в настоящем отчете. Аксиомы
абстрактной проективной rеометрии были, далее, рассмотрены раз
личными итальянскими rеО:Vlетрами, примкнувтими I Пату. CBoe
образное изложение их взrлядов находится в выте названной КНИ1'е
Веронезе: автор в такой общей форме ВЫCI азывает свои допущения,
что, переходя к метричеСI ОЙ rеометрии, кроме простоrо эллиптиче
cKoro пространства, в саиом начале получает и сферическое. Отвле
ченность доведена здесь до крайности; рассуждение всеrда начинае'l'СЯ
с самых общих соображений; я нахожу крайне трудным следовать за
ходом мыслей автора ХОТЯ бы на один rnar.
Далее, я' желаю сказать здесь кое что о введеиии 'Ч,uсел в пpoe",тив
'ХУ1О eo,.мeтpи1O. По моему мнению, процесс принципиально точно тот
же, что и в случае метрической rеометрии, именно, что сначала эмпи
рически строится на данной прямой линии тI ала, последняя подраа
деляется насколыщ возможно и в зак;rrючение вводится именно та
448
С. ли
аксиома не рерывности, о :которой была речь выше. Внешнее рмли-
чие, естественно, заключается в том, что теперь необходимо исходить
из трех точек прямой, которым приписываются (произвольно) числа
0,1,00, ТО1'да I{aK метричеСI{ая шкала исходит из двух произвольных
точек, называемых О и 1. В этом, однако, нет ниче1'О обще1'О с дОllУ-
cти.м;ocrпыo аКСИО:\IЫ непрерывности, если можно так выразиться до-
статочно построить проективную шкалу (эмпирически) на самом деле,
чтобы увидеть, что точки деления скоро TaI" тесно сливаютс.я: для
наБJ'подающе1'О 1'лаза, что не МО1'ут быть более различаемы 1). Поэтому
я не МО1' также понять, почему Паш в своей КНИ1'е до введения
ю{сиомы непрерывности вставляет 1'лаву о :КОН1'руэнтности фИ1'ур и
затем включает названную аксиому в метрическую ШI"алу, тоrда
I{aK в остадьном он вподне последоватедьно проводит проы"тивное
введение чисе.'!; сравните с этим те разъяснения, которые дал позже
(1887) Паш по этому поводу в 30 M томе Matllem. Annalen. r1'. Лин-
де:\шнн и Н:ИЛ.'!ИН1' ТaI"же не последова.'!и этим приемам в своих на-
званных выше учебниках. В заключение нельзя не указать, что Пао-
лис [de Paolis] первый cTporo лоrически изложил проективное введе-
ние чисел па прямой линии (Memorie delle R. Accademia dei Lincei
(3), том 9, 1880 1881).
Набросанные здесь замечания о введении чисел в проективную
1'еометрию, естественно, нуждаЮl'СЯ для СО1'дасования с предыдущими
в опреДeJrеНIIО:\I О1'раничении все рассматриваемые построения и
соображения установлены лишь для О1'раниченноЙ части пространства.
ТО1'да остается свободным путь для 1'01'0, чтобы при переходе к ме-
']:риr"е по произво.лу установить одно и? трех возможных мероопреде-
.лений и вслед аа тем вообще изучить для неО1'раниченно1'О пространства
все те ТОПОЛОI'ичеСI\:ие ВОЗ:\1ОЖНОСТИ, которые мы выше охарактеризо
вали точно.
Теперь еще два три простых указания, стоящих в связи с :этими
проеI{ТИВНЫМИ теориями.
r1'. JYIинковcr"ий и rильберт в последнее время дали весьма заме
чательный оборот вопросу о метричеcr"ой 1'еометрии, СО1'ласованной
с проективной 1'еометрией, Пусть х, У, z обьшновенные параллель
ные координаты. Минковский заменяет (ср. е1'О «rеометрию чисел»,
часть 1, Лейпци1', 1896) обыкновенное выражение расстояния двух
точек х, У, Z и хо' Уо' Zo какой нибудь однородной функцией первой
степени соответствующих разностей
g(x xo' Y Yo' Z ZO),
1) в действительности н обыкновенная метрическая шкала еВltлидовой reo-
метрии есть просто частный случай проективной шкалы.
ОТЗЫВ ф, КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРАЗОВАНИЙ», Т. III 449
которая, будучи приравнена постоянной, представляет в текущих
координатах х, у, z поверхность, 1iUi!де 1iC eOi!Hyrпy1O. Тотда всё еще
имее1' место предложение (KaI{ ДОI{азывает JYIпнковский), что прямая
ЛИНИЯ I{ратчайшее расс'rояние между ДВУ.\1Я ее точкамп, Но движе
ний пространства, вообще rоворя, нет, Kpo:\Ie 003 поступательных
перемещений. Следует самому прочес'rь IIсследование JYIИНI{ОRскоrо,
ч'rобы увидеть, как этот общий результат приводит к весь:\щ замеча
тельным rеометрическим следствиям. r. rильберт обратил вопрос,
задавшись целью дать самое общее :иероопреде,пение, при Ie01'opo:\I
ПРЯ:\IaЯ линия есть кратчайшая. Он находит, ч'rо это мероопределение
получается из анrармоническоrо отношения проективной rеоме1'рИИ,
если вместо поверхности второто порядка, которой пользуется Rэли,
принять в качестве основной замкнутую поверхность, ниrде не BO
rнутую, Мероопределение Минковскоrо предельный случай настоя
щеrо, у rильберта нет вообще никаких двпжений.
Друrой вопрос, который должен иметь общий интерес, заключаетсл
в положении, которое занимает rеЛLмrольц по отношению к проектив
ноиу обоснованию неевклидовой rеометрип. Настоящее ироerетивное
мышление (в духе Штаудта), вероятно, БЬЫIО совсеи чуждо rельм
I'ОЛЬЦУ. Следует припомнить, что в те тоды, на которые приходится
собственно математичеСI{ая деятельность rеЛЬ:\Irольца, ИРОeI{тивнал
rеометрия обыкновенно еще считалась узко специальной; сознание ее
основно1'О значения для всех rеоыетрических теорий совсем еще
не было распространенным. ВОЗ:\IОЖНО также, ч'rо rельм1'ОЛЬЦ, в силу
своей ПРИВЫЧIеи естествоиспытате.-ТЯ всетда рассматривать образы
конкретно, был заранее не расположен I{ абстракции, лежащей в OCHO
вании проективной rеометрии. Во введении к своей rеТТИНl'енской
заметке (1868) он прямо отвертает основание l'еО:\IeТРИИ, наперед
определяющей свойства вИдимоrо пространства, «так как ТОl'да и
слепые МО1'ли бы приобрести правильные представления о простран
стве». Интересный контраст с этим coctaB.-тяет то, что rельыrольц
в своих обширных оптических исс,'!едованиях сам всетда RЫНужден
рассматривать проективные вопросы, которые он то разрешает прп
помощи собственных вспомоrате.'!ЬНЫХ средств, то траъ:тует ЛИШL
с помощью общих рассуждений.
Что касается особенности проеКТIIвноrо понпмания rеО:\1етрпп ЛО
бачевскоrо или Римана, то в этом направ.'!ении напболее по,пные
суждения находятся в попупярной лекции rе,-тьмrольца «О происхо
ждении и значении rеометричеСl{ИХ аксиом», напечатанной в третьей
части соответствующеrо сборника (Врауншвейr, 187G). ПО отношению
Ie пространству с постоянной отрицательной кривизной он таи дей
ствительно преимущественно попьзуется «сферическим изображением»
Вельтра:\IИ (1868) (при I-':ОТОрОМ названное пространство во всем е1'О
29 3ак. 1164. Об основаннях rеометрни
450
С. ли
абъе:\-lе изабражается внутри шара евклидава прастранства и притом
'рак, '1'1''0 era прям-ым ЛИНИЯ:\-1 'Отвечают прямые линии евклидава про
странства). Прп этам изабражении rеа:\-lетрия Лабачевскаrа, как изве
стна, перехадпт в та мераапределение Кэли, для KaTapara абсалютноit
паверхнастью служит аrраничивающий шар. Различие лишь в том,
'1'1''0, падабна I{эли, за аснавнае принимается rельмrальце),1 та, что
у Бе,iIьтра:\-ПI служит лишь Д,;IЯ НaI'ля,'J;насти, в силу чеrа БельтраМII
не прпшел к праеКТПВНО:\-IУ пастраению неевклидавай rеаметрии.
у rельмrалъца ниrде нет и речи а Кэ.ли и исследаваниях, 'Опираю-
щпхся на I{эли; ан на них, павидпма:\-IУ, не 'Обратил внимания. He
с:\ютр на эта, ан панимает «шараабразнае изабражение» как нечто
сущеС'l'веннае; ан старается уяснить себе та впечатление, каторое
далжен паЛУЧII'l'Ь наблюдатель, абладаЮlIrИЙ евклидавь::м l'лазамером
н рассма'l'рIпзающпЙ нееВI{ли;rавы движения твердаrа тела внутри
названнаl'а I13абра:rI{ОНПЯ. 3тн ДВllжения, естественна, 'Оказываются
прп этаы ЕаллинеаIrИЯМП, 'Оставляющими аснавнай шар непадвижным;
:этат шар ЯВ,:Iяется непрахадимаЙ или, правильнее сказать, недасти
ЖIПЮЙ С'l'енай, к катарай движения хатя и бесканечна приб,Т[ижаются"
на n .'J;ействительнастп нияаr;rа ее не дастпrают. rеЛЬЫI'альц ПЫ'fается
С.'1,ела'fЬ Э'l'а наr.7IЯ,;J;НЫМ, не упатребляя слава «каллинеация». Для
:этаrа ан упатреб,7Iяет аналаrию: ан ваабражает наб.тrюдателя, абла-
;:щющеrа евклидавым r,лаза:\-Iера:\I и рассматривающеrа через ДЕаяко
ваrнутую чечевпцу евклидава прастранства и праисхадящие в нем
:JJзиженпя. В переваде на праективный язык дело заключается в сле
дующе:\-I. В результате пре.тrа:\-Iленпя лучей чечевицей евклидава про-
странства подлежит апределеннай каЛ.iIинеации (<<рельефнай пер спек-
тпве»), в силу катарай беСI{анечна удаленная пласкасть кажется
наБЛЮ,;J;ателю придвинутай на Iинечнае расстаяние; таким 'Образом,
ана,Т[аl'ПЯ на саыам де.7Iе в там, Ч'fа пале зрения кажется KaI{ бы
аl'раниленным впереди стенай. Однака всё же аС'l'ается, как леrко
заметить, существеннае различие. C'l'eHa, а катар 'ОЙ идет речь, вовсе
не часть шаравай паверхнас'l'И, на настаящая пласкас'l'Ь, и саrласно
с Э'l'пм изиененнае :\-Iераапре,;J;еление, васпринимаемае нашим наблю-
.'J;а'l'елем, БУ,;J;ет, I{aK п раньше, евклидава, т. е. парабаJlичеСЕае Mepo
апределенпе, аснавным 'Образам KaTapara служит мнимае каничеСIще
сечение, лежащее в пласкай стене. Еще интереснее в известнам смысле
(I{aK сиеСL пстиннаrа и лажнаrа) та, '1'1''0 rельмrальц raBapII'l' а случае
палажптеЛI,най I{РИВИЗНЫ. Он снабжает введеннаl'а выше наблюдателя
пыпуклымп 'Очками, чта ва всякам слусraе менее падхадит, так как
при :этам стена, а I{атарай иде'l' речь (предельная пласкасть рельеф
пай перспек'l'ИВЫ), не удалится прачь, как :эта, в сущнасти, далжно
быть, на .,ишь памеща!3'l'СЯ пазадп наблюдатеJIЯ. Та1'да rельмrальц
замечает снавас удивительнай наrляднастью, чта в случае палажи
ОТЗЫВ Ф. КЛЕЙНА О РАБОТЕ С. ЛИ «ТЕОРИЯ rрупп ПРЕОБРА30ВАНИЙ», Т. III 451
тельной кривизны задним планои поля зрения будет собственный
затылок наблюдателя. Нельзя яснее, чеи этим указанием, описаТI>
соотношения, ииеющие место в (простом) эллиптичеСКО;\1 пространстве.
То же, разуиеется, происходит и в сферическом пространстве, однако
лишь более сложно, ииенно, в том отношении, что линии ВИЗИрОlJа
ния, исходящие из I'лаза наблюдателя, прежде чем они снова пере
секутся в исходной точке, приходя сзади, встречаются иеред тем
в точке сферы, противоиоло:шной наблюдателю; это столь суще
ственная вещь, что естествоисиытателю, описывающему Э'fОТ ход лучей,
невозможно оставить ее без УIlоиинания. Несмотря на это, rеЛЬ;\1
I'ОЛЬЦ, однако, не проник в суть ИрОС'fОI'О эллиптичеСКОI'О простран
c'fBa; напротив 1'01'0, он неизменно ВОСПРОПЗВОДИ'f, далее, в указанном
:\1есте старое (но неверно е) предложение, что n ПРОС'fранстве положи
тельной кривизны две I'еодезические линии, если вообще пересе
каются, то необходимо в двух точках.
Сопоставляя всё вышесказанное, мы должны БЫJIИ бы СI азать,.
что здесь в об<-тасти проеI ТИВНОЙ I'еометрип представ.ляе'fСЯ та же
I артина, что п в исследованиях об основаниях метричеС1 ОЙ I'eOMe'l'
рии, именно, что rельиI'ОЛЬЦ здесь, как всюду, I'ениально охва'l'И.Л
прави<льные общие 'fОЧI И зрения, но что дета.льное ВЫПОJIнение мало
удов.-те'l'ворительно.
Величие имени re,-ТЬ:\1I'ольца не уиаляется подобными замечаниями,.
но HaYI a ВЫПI'рывает, 1 OI'да ИС'l'орическая КРИ'fИIЩ стараетсн ира
вильно распределить свет и тени в ТaI ИХ исключитеJIЬНLlХ случанх.
ДАВИД I'ИЛЬЕЕРТ
DA VID HILBERT
I()тзыв А. ПУШl-ш,дре о работах д. ruльберта, представлеииых в 1903 20В"
Казаисn;о-м,у фuзuu;о -м,ате-м,атu'Чесu;о-м,у обществу для соuсu;аиия
MeJlcayиapoamu пре-м,ии и-м,еии Н. И. Лоба'ЧевСU;О20
1I е п /' i Р о i п с а r е, Rapport SU1' les t1'avaux de .М. HilbC1.t
(1899 1903)
Наши идеи о происхождении и sначении rео:иетрических истин
'"IIретерпе.ли очеНh быструю эволюцию в течение последнеrо столетия.
'Исследования Лобачевскоrо, Больаи и Ри:иана открыли новую эру;
правда, они не повлияли на тех лиц, слишком мноrочисленных,
шоторые ищут докаsательства постулата Евк:rида на них, увы, ничто
не моrло ПОВЛИЯ'lЪ, но они убедили всех истинных ученых в ТIЦeТНOCTII
етих попыток. Таков был первый результат открытия неевклидовых
.rеометрий. Но истинный смысл этоrо открытия не был выяснен сраау.
rельмrольц покмал сперва, что предложения евклидовой reoMeT-
рип не что иное, как ааконы движенпя твердых тел, тоrда как пред
ложения друrих reометрпй суть ааконы, которыы моrли бы быть
подчинены друrие аналоrпчные тела, которые без СО:\Iнени.я не суще
'ствуют, но существование коих можно допустить без Toro, чтобы вто
повело к малейшему противоречию; такие тела ыожно было бы даже
'Iшrотовить при желании. Законы эти не MorYT быть, однако, paCCMa
триваемы как экспеРИ:\Iентальные, так как естественные твердые тела
.следуют им только с rрубым приближению!; с друrой же стороны,
,воображае !ые тела неевклидовой reометрии, каь; не существующие,
lНедос'rупны опыту. I'ель",!rоо'IЬЦ, однако, не выскаsался по этому по-
\Воду С полной ясностью.
.ЛИ подвинул анализ значительно дальше. Он изуч3..'I, каким путем
MorYT комбинироваться различные воаможные движения некоторой
системы или, rоворя общее, различные возможные преобрмования
фИI'УРЫ. Если рассматривать известное число преобраsований и затем
отзыв А. ПУАНКАРЕ О РАБЩ'АХ Д. rИЛЬБЕРТА
453
ко:мбинировать их всеми возможными способами, то совокупность
всех 8ТПХ ко:мбинаций составит то, что он называет zpyппou. Rаждой
rрynпе соответствует некоторая rеометрия, и наша rеометрия, COOT
ветствующая rруппе перемещений твердоrо тела, есть толыtO весьма.
частный случай. Но все rруппы, которые можно вообрази1.Ъ, будут'
обладать некоторыми общими свойствами, и именно 8ТИ общие свойства.
оrранпчивают произвол изобретателей различных rеометрий; их то Ли.
и изучал в течение всей своей жизни.
Он, однако, не был вполне удовлетворен своим трудом. Он pac
сматривал всеrда пространство, как он сам rоворит, н:ак некоторое'
Zahlenmannigfaltigkeit (числовое мноrообразие), Он оrраничился изу
чением непрерывных rрупп в собственном смысле 8Toro слова, rрупп,.
к которым прилаrаются правила оБЫRНовенноrо анализа бесконечно.
малых. Таким образом, не оrраничил ли он себя искусственно?
Не пренебреr ли он при 8ТОМ одной из необходимых аксиом reo
метрии (дело идет в конце концов об аксиоме Архимеда)? Не знаю,.
найдутся ли в ero печатных трудах следы работы ero мысли по>
этому поводу, но в своей переписке, в своих беседах он не раз BЫ
ражал сожаление об 8ТОМ.
Предстояло сделать еще шаr вперед, и 8та честь выпала на долю
rильберта. Необходимо, однако, сказать -несколько слов о работах,
которые подrотовили и сделали возможным 8ТОТ шаr. Со времени
Лобачевскоrо математическая мысль подверrлась rлубокой 8ВОЛЮЦИИ
не только в rеометрии, но и в арифметике, и в анализе. Понятие
числа сделалось более ясным и точным; в то же вре:VПI оно подверr
лось разнообразны:м обобщениям. Наиболее ценным из 8ТИХ обобщений
для аналпза является введение Muu./w/btx 'Чuсел, без которых COBpeMeH
ные математики не моrли бы обойтись; но на 8ТОМ уже не останови
лись, и в науку введены друrие обобщения числа или, как rоворят,.
дрyrие катеrории комплексных чисел.
Операции арифметики со своей стороны были подверrнуты кри
тшtе, и кватернионы rамильтона дали нам прпмер операцпи, пред
ставляющей почти полную аналоrию с у:множением, ltOторую можно.
назвать те:м же именем и которая, однако, не коммутативна: произве
дение изменяется прп перестановке множителей. 3десь в арифметике
:мы имеем революцию, совершенно подобную той, которую Лобачев
CIпrй произвел в rеометрии.
Наше воззренпе на бесконечность тоже изменилось. r. Еан1.'ОР Ha
учил нас различать степени в самой бесконечности (что, однако, не
имеет нпчеrо общеrо с бесконечно малыми различных порядков, co
зданны:ми Лейбницем в обыкновенном анализе бесконечно малых).
Понятие .континуума, на :которое издавна смотрели как на первпчное,
было анализировано и сведено к своим 8лементам.
454
д. rИЛЬБЕРТ
Упоминать ли таRже о работ х итаЛЬЯНСRИХ ученых, Iюторые по-
<ставили себе целью создать всеобщий лоrичеСRИЙ символизм и свеСТII
математичеСRое рассуждение R чисто механическим правила:У1? ТаЕ,
например, мноrие итаЛЬЯНСRие матемаТПRИ, в том числе Пеано II
Падоа, создали п.азuzрафuw, т. е. род всеобщей а.лrебры, в RОТОрОЙ ВСР
рассуждения заменяются символами или формулами.
НаЕонец, я должен упомянуть Rниrу Веронезе об основаниях тео-
етрпи, в RОТОРОЙ автор впервые прилаrает R rеометрии траНСфИНИТIШе
'Числа Еантора; я буду еще иметь случай rоворитЬ об этом сочинении.
В 1899 тоду, по случаю юбилея raycca и Вебера, rильберт опуб
.ЛИRова.Л мемуар, под названием Grundlagen der Geometrie, наполнен-
ный ориrина.льнейшими идеями. Впрочем, это не впервые он зани
мался ана.лоrичными вопросами, о чем свидетельствует ero IПIСЬМО
R RлеЙl1у в 1894 rоду «UЪеr die gerade Linie als kurzeste Verbindung
zweiere Punkte». С тех пор он опуБЛИRОВа.л в различных журналах
ряд статей под заrлавием:
«ЬЪет den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkli-
gen Dreieck».
«N епе Begrundung der Bolyai Lo batscheffskyschen Geometr'ie».
«Uber die Grl1ndlagen der Geometrie».
«ЬЬет Flachen von konstanter GaussischeI' Кrtimmung».
Все эти статьи соедпнены во втором пздании юбилейноrо мемуара;
и я должен Rаметить, что это второе издание заRлючает ряд добавле-
ний и усовершенствований, значительно увеличивающих ero ценность,
Иы будем следовать в нашем анализе этому второму изданию 1),
-сб,лпжая ero, с одной стороны, с дрyrими работа:У1И rильберта, Ш ,
:напрпиер, с ero ме:У1уаром «-БЬеr den Zahlenbegriff» и паРИЖСRОЙ речью
-о математичеСRПХ задачах будущеrо, а с друrой стороны со мноrимп
диссертаЦИIOiИ, написаННЫ:У11I ero учеНИRами под ero непосредствен-
:ным влиянием п поэтому ПО:уIOrающими нам понять ero мысль.
Важнейшие пз них:
«UъeT die Geometrien in denen die Geraden die k zesten sind» Н a
mеl'я;
«Die Legendr' escher Satze йЬет die vVinkelsumme in Dreieck» D е h п'а.
Перечень аксиом. rильберт начинает с установления полноrо
перечня аRСИОМ, стараясь не позабыть ни одной; это не тап: леrко,
.ЕаЕ можно было бы думать, и даже ЕвR.ЛИД при:ушняет aI ClIOl\IIJ, rш
не формулированные. rеометричеСRая интуиция наСТОЛЬRО ПРИВLIчна
нам, что мы пользуемся интуитивными истина:уrи, таЕ СЕа3ать, Cal\III
-тоrо не замечая. Поэтому-то для тото, чтобы достиrнуть цеJIlI, кото-
1) D. Н i 1 Ь е r t, Grl1ndlagen der Geometrie, Zweite dпrсh Zl1satze vermehrte
llшd mit 5 Anhangen versehene Al1flage, Leipzig, 1903, 175 стр_
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
455
J?УЮ себе поставил rильберт, необходимо не оставлять интуиции ни
малейшеrо места.
Окончателен ли перечень rильберта? Позволительно думать, что
это так, потому что он составлен, повидимому, весьма тщательно 1).
Ученый профессор раСП:р'еделяет аксиомы в пять rрупп:
1. Аксиомы der Vеrklшрfипg (предпочитаю не переводить этот термин
буквально например, юесиомы связи; такой перевод не Mor бы быть
удовлетворительныи, а называть эти аrесиомы 11/[юе'hтиВ'liЪk\Ш).
П. Аксиоиы de1' Anordnung' (aRСИОМЫ 1юряд'ка).
111. Аксиомы конrруэн'rности или .метрu'чесr.ие aRСИО:vrы.
1У. Аксиома Евr.ллtда.
V. Аксиома ApX7weaa.
Между проеКТИВНЕ1МИ aRспома:vrи мы будеи разлпчать аКСПОl\IЫ
плоскости и аксиоиы пространстваj первыми будут 'l'е, которые BЫTe
кают из весьиа извеС'l'ноrо предложения: 'lсрез две то.чr.u 1lpoxoaиrп 1ljJЯ
.мая u толь%о од'НЛj но я предпочитаю перевести буквально текст I'пль
берта для Toro, чтобы дать возможность яснее понять ero l\IЫСЛЬ.
«Вообразпи три систеиы вещей, которые мы нааовем 'fJЮ-Ч1;ХНill.
'1!J1я"ны.Iнll и 1lJlоcr.;остЯ"liU. Вообра3П:\I, что эти точки, ПРЯ:\Iые и пло
сrюсти связаны известнымп отношеНПЯ)сПI, которые мы будем IЗыра
жать словами леJ/сать 1И, "llеJ/сду, и т. д.
11' Две различные точкн А И В определяют всеrда прямую. а,
что IIзобразпм так:
АЕ === а или ВА === а.
Вместо С.ТIOва определяют буде:и употреб.пять рапным образом
друrие обороты, которые будем счптать равнозна<raJЦИ:\IИj будем
rоворить: А лежпт на а, А есть точка а, а ПРОХОДП'l' через А,
а соединяет А и Е, п т. д.
12' Две любые ТОЧЕН пря)сюй определяют эту пряиую; это 3Ha
ЧИ1-', что еслп АЕ === а II -,lе === а и если R отлпчна от е, то И:\Iеем
ТaRже Ее === а».
Вот замечаНJOJЯ, которые необходп;\ю с.::t:елать по поводу этой фор
мулировки. Выраженпя леJlCшпь 'lia, 1/роходшпь '(Срез не должны BЫ3Ы
вать в нашем сознании КaRие лпбо 06разы; эти пыраженпя суть
'То;;rько СИНОНJOНIЫ слова опредеЛЯ1l1.b. Точно Tart же п c;;rOBa IlIOЧ1.а, 1lрЛ
.мая, плосr.ость не должны возбуждать в уме никаrЮI'О чувственнOl'О
преДСТaJ3ления. Они моrли бы безраз;'пrчно обозначать предметы каЕОЙ
уrодно природы, если только можно установить между этпми пред
метами 'l'акое соответствие, при которО;\I всякой системе двух преД)Сlе
1) Аксиоматика rиль6ерта приняла своЙ окончательный вид значительно
позже. См., например, последнее русское издание, указанное на стр. 523 настоя
щеrо сборника. [Ped.)
456
д. rИЛЬБЕРТ
тов, называемых то'Ч'Ка.Шl, соответствовал один из предметов, назы
ваемых 1 РЯ.IJ.(Ъf,.II.U, и 'l'олько один. И вот почему необходимо прибавить
(12)' что если . прямая, соответствующая систе 1е двух точек А и В,
та же самая, которая соответствует СИС'l'еме двух точек В и С, '1'0
она же соответствует и системе двух точеI" А и С. .
Такнм образом, rн.ТIьберт старался, так сказать, представить
акCIlO IЫ в такой форме, чтобы онн J\IOI'ЛИ быть ПРИЛaI'аемы лицом,
которое не понимаciО бы их смысла, потому что НИКОl'да не видело
точки, нп прямой, ни плоскости. Рассуждени.я должны, по 61'0 MHe
нию, ПРПВОДIIТЬСЯ к чисто механическим правил&'1, и для торо чтобы
строить I'еометрию, достаточно рабски прилаI'ать эти правила к aI"СИО
мам, не зная, что онп собственно выражают. Таким образом, можно
бы;;rо бы постропть всю I'еометрию, я не скажу, НИЧ61'О в ней не по
нимая, потому что будет понятно ЛOl'пческое сцепление предложеШIЙ,
но по крайней мере ничеrо в ней не видя. Можно было бы вставить
аксиомы в лоrическую Iашину, например в ЛОi?u-чес'Кое пиаииЖI
Стенли Джевонса, и пз нее вышла бы вся I'еШ,Iетрия.
Эта забота может казаться искусственной и детCI"ОЙ, и бесполезно
УI"азывать, насколько бы это было l'ибельно в преподавании и вредно
развитию ума, насколько бы оно действовало иссушающе на иссле
дователей, у которых оно быстро убивало бы ориrинальность. Но
у rильберта она объясняется и оправдывается, если мы припомним,
какая цель преследуется. Иолон ди СПИСOl" аксиом или мы пропу
стили некоторые из них, которые мы, однако, бессозна'l'ельно прила
раем? Вот, что нам нужно знать. Для этOl'О у нас есть критерий, и
такой КРИ'l'ерий у нас только одпн. Нужно узнать, есть ли rеометри.я
лоrичеCI"ое следствие явно выраженных аксиом, 1'. е. MOI'YT ли эти
аI"СИОМЫ, вставленные в лоrическую машину, заставить выйти из нее
весь ряд предложений.
Еслп да, то мы можем быть убеждены, что мы ничеrо не забыли,
ибо наша машина может работать только сообразно с правила..\1П
ЛОI'ИКИ, дЛЯ которых она построена; она не знает TOl'O cMYfHoro
инстинкта, который мы называем иитуи'Цией.
.я не буду распространяться о проективных аксиомах простран
стпа, обозначаемых автором 14,5,6,7,8' Здесь не сделано никакOl'О И3
менения в обычной формулировке.
Впрочем, одно 'l'олько слово об aI"сиомах 1З,8' 'которые формули
рованы следующим образом:
«На всякой прямой существуют по меньшей мере две 'l'ОЧШIj
на всякой плоскости по меньшей мере три точки, не лежащие
на одной прямой лпнип; В пространстве по меньшей мере четыре
точки, не лежащие в одной плоскости}}.
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАВОТАХ д. rИЛЬБЕРТА
457
Эта формулировка характеристична. Тот, кто оставил бы хоть
КaIюе нибудь место интуицип, как бы мало оно ни было, не подумал
бы rоворить, что на всякой прямой есть по меньшей мере две точки,
или он тотчас бы прибавил, что их бесконечное множество; пбо интуицпя
npя:иой немедленно и одновременно открыла бы ему обе эти истины.
Переходим ко второй rруппе rруппе аксиом порядка. Вот как
формулированы две первые:
«Если три точки находятся на одной п тоЙ же прямоЙ, то между
ними существует некоторое отношенпе, которое мы выражаем, TO
воря, что одна из этих точек, и только одна, .лежит .ме:JlCду двумя
друrыми. Если С лежит между А и В, а D между А и С, то D
лежит также и между А и В, и т. д.».
3десь мы также не прибеrаем к интуиции; :мы не стараемся уяснить,.
что обозначает слово .ме;)lсду; всякое отношение, удовлетворяющее аксио
Ma..'I<I:, может быть обозначено этии словом. Это опять очень притодно
чтобы выяснить нам чисто формальную Природу математических опре
делений; но я не буду настаивать на этом, ибо мне пришлось бы
повторять сказанное по поводу первой труппы.
Но является настоятельным остановиться на друтом соображении.
Аксио:мы порядка представлены rильбертом как зависящие от проек
ТIIВНЫХ аксио;и, и они не имели бы никакото с:мысла, если бы мы не
допустили этих оследних, потому что мы не зналп бы, ЧТО Taltoe
три точки, расположенные по прямой лпнпи. И однако существует
особая теометрия, чисто качественная, абсолютно независимая от проек
тивной теометрии, которая не предполаrает известны1ии ни понятие
прямой, ни понятие плоскости, но только понятия линии и поверх
RОСТИ; это то, что называют Analysis situs. Не предпочтительнее ли.
было бы дать аксиомам второй труппы такую фОр::l-lУЛПрОВКУ, KOTO
рая бы освободила их от этой зависимости и вполне обособила бы их
от первой труппы? Но вопрос в том, воз:можно ли это при coxpaHe
НIIИ за этими аксиомами их чисто 'лоrическото xapaltTepa, т. е. OTKa
8ываясь вполне от всякой интуиции.
Третья l'руппа содержит метрические аксиомы, и мы различим в ней
трп подrруппы. Предположения II11, 2, 3 суть метрические аксиомы
отрезков; эти аКСИО::l-IЫ служат для определенпя длин. У словливаемся
roворить, что отрезок, взятый на одной прямой, может быть KOHTPy
8нтен (равен) отрезку, взятому на друrой пр.ююй; это акспома 1II 1 .
Но это условие не вполне произвольно: оно должно быть таково, чтобы
два отрезка, конrруэнтных одному и тому же третье:му, были IЮНТРУЭНТНЫ
между собой (II1 2 ), затем новым условием определяется сложенпе отрез
ков, и это условие в свою очередь должно быть таково, чтобы, складывая
равные отрезки, мы получали равные суммы; в этом состоит аксиома 1113.
458
д. rИЛЬБЕРТ
Аксиоиа 1II4 и теорема 10 суть соответствующие предложения
для уrлов. Но этоrо еще недостаточно: к двум подrруппам метриче
CItIIX акспои для отрезков и уrлов нужно присоедпнить метрпческую
.аксиому для треуrольников (у rильберта 1II 5 ): если два треуrольшша
имеют по равному уrлу, заключенноиу между равныии сторонами, ТО
.друrие уrлы Э1'ИХ двух треуrольников будут также соответственно равны.
Это есть один из известных случаев равенства тр, еуrольников
которыIй обыкновенно доказывается наложенпем и который нужно pac
.сматривать как постулат, если мы хотим избеrнуть помощи IШТУIЩIIII.
Притом, коrда поль уются интуицией, т. е. наJlOжением, то сразу видят,
что третьп стороны также равны в обоих треуrольниках, п два предло
жения связываются, так сказать, в одном восприятии; здесь, напротив,
мы их разделяем; из одноrо мы делаем постулат, друrOI'О TaKOBЫ 1
не делаем, пото:иу что он может лоrически быть выведен пз первоrо.
Один важныЙ вопрос здесь не затронут: нужно было бы пополнIIТЬ
список аIЮПОМ указанием, что отрезок АВ конrруэнтен обраТНШIУ
отрезку ВА.; эта аксиома влечет как следствие симметрию простран
ства I! равенство уrлов при основании в равнобедренном треyrоль-
нике. rильберт не останавливается здесь на этом вопросе, но он сделал
из Hero предмет особоrо мемуара, о которои мы будем rоворить далее.
Я не Mory также не выразпть сожаления, что в это:\! изложеюш
метричеCII:ИХ аItсиом не осталось никакоrо следа от понятпя, важность
KOToporo впервые бы.;та понята rель:мrольцеи, я rоворю о пере1\Iе
щении непзменяющеfiся фиrуры. Можно было бы сохранить за ЭТIШ
ПОНЯТПЮ1 81'0 естественную pO.:IL, не жертвуя лоrичеCItим характеРШI
аКСИО.\l. Таки:и образом, было бы избеrнуто ись:усственное вве,;J;еЮIe
аксио.\1Ы 1115 и постулаты были бы связаны с их истинным психо-
.лоrпческпм происхождением. В друrом мемуаре, о которо:>! будет речь
дальше, I'пльберт cTa.тr на эту точку зрения, которая нам кажется
более удовлетворительной.
Четвертая rруппа содержит только постулат ЕВItлцда.
Пятая rруппа заключает две аь:споиы; первая и наиболее важная
.есть аь:спома Архимеда.
Пусть даны две произвольные точки А и n на пря:>lOЙ п; пусть
а есть неь:оторый отрезок; постропм на п, начиная от точки А II
В направлеНПII АВ, рЯ)J, О'l'резков, равных между собой и равных (1:
АА 1 , ..11..12"'" Aп lAп; всеrда можно п взять настодько БОЛЬШII I,
чтобы ТОЧI;:а В пришлась на один из этих отрезков.
Это значит, что если даны две произвольные длины l и L, ВС81'да
можно найти целое число п, настолько большое, чтобы, ск.тrадывая
.n раз длину l самое с собой, получить в сумме длину большую, чем L.
Вторая есть аксиома der Vollstandigkeit (аь:сиоиа полноты), смысл
;которой я выясню далее.
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
459
Не швисимость аксиом. После Toro как список аксиом составлен,
:нужно убедиться в том, свободен ли он от противоречий. Мы знаем,
QTO :это так, потому что rеометрпя существует; и Тильберт сначала
.ответил утвердительно построением reометрии. Но странная вещь
:эта rео:иетрия не совсем наша, ее пространство не наше или по край
:ней мере оно только часть нашеrо. В пространстве Тильберта нет
всех точек, которые имеются в нашем, но только те, которые можно,
исходя из двух данных точек, построить с помощью Лlшейки и цир
:куля. В :ЭТО:\1 пространстве, например, не было бы уrла, вообще ro
ворЯ, paBHoro трети данноrо уrла.
Я думаю, что такая концепция показалась бы Евклиду более
разумной, чем наша. Во всяком случае, однако, OHa He наша.
. Чтобы снова получить нашу rеометрию, нужно было бы прибавить
-одну аксио:иу,
«Если .на пря:иой существуют два бесконечных J\.Шожества TO
чек А1> А2"'" Аn,..., В 1 , В 2 ,.. ., ВN"" таких, что Bq ЗaI ЛЮ
чается между Ар и Bq l И Ар заключаются между Bq и lp l'
каковы бы ни были р и q, то на :этой ПРЯ;\IОЙ сушествует по край
ней мере одна точка С, которая лежит между Ар и Bq, каковы бы
ни были р и q».
Во втором издании Тильберт пожелал пополнпть свой список так,
чтобы прийти к нашей rеометрии и именно к ней, а не к какой либо
друrой. Но вместо аксиомы, которую мы толыtO что привели, он
предпочел ввести аксиому der Vollstandigkeit (аксиому ПО;iIНОТЫ),
:которую он формулировал следующим образом:
«Е систе le точек, прямых и плоскостей невозможно присоедп
нить друrую систему вещей так, чтобы полная спстема удовлетво
ряла бы всем ПрОЧИ 1 аксио:иа I».
Тоrда ясно, что пространство, о котором я только что rоворпл п
Еоторое не содержит всех точек нашеrо пространства, не удовлетво
ряет :этой новой аксиоие, потому что к не:му можно ПрlIсоедпнить
все те точки нашеrо пространства, Еоторые в нем не заключались,
и оно не перестанет удовлетворять всем аксиомам.
Существует, TaKII:N1 образом, беСЕонечное множество rеометрпй,
Еоторые удовлетворяют всем аЕсиомам, Ероме акспомы полноты, но
только одна из нпх, а пменно наша, удовлетворяет сверх прочих и
:этой последней аКСИО le.
Должно спросить себя затем, незавпСИИЫ лп аксиомы, т. е.
можно ;:rп пожертвовать одною из пяти rрупп, сохранив четыре
остальных, и получить, несиотря на то, лоrпчеСЕИ связанную reo
метрию. ТаЕ, отбрасывая rруппу IV (постулат ЕВЕлида), получае:и
неевклидову rеометрию ЛобачеВСЕоrо.
460
д. rИЛЬБЕРТ
Можно равным обравом отбросить rруппу II1j rильберту удалось
сохранить rруппы 1, 11, IV и У, так же кш, две подrруппы метри
ческих аксиоы для отревков и уrлов, откававшпсь от метрической
аксиомы для треуrольников, т. е. от предложения 1II5'
Вот I;:aK он этоrо достиrает. Для простоты будем рассматривать
плоскую reометрию, и пусть Р есть плоскость, в которой мы опери
руем; мы сохраним аа словами тОЧ1f:-U и пРЯ.мые их обычное sначениеj
точно так же сохраним и для уrлов их обычное иsмерение, но посту
ппи иначе с длинами. Длины по определеиuw будут иsмеряться своей
проекцией на плоскость Q, отличную от Р, сохраняя для проекции
ее обычное иsмерение. Ясно, что все аксиомы, аа иСключением метри
ческих аксиом, остаются в силе. Метрические аксиомы для yrлов
равным обраsом сохраняются беs иsменения, ибо мы ничеrо не иаме-
няем в иsмерении уrЛОВj остаются верными и аксиомы для отреаков,.
иотому что каждый отревок плоскости Р иsмеряется друrим отрез
KOM ero проекцией на плоскость Q, а этот последний отреsш, иаме
ряется обычным обраsом. Напротив, предложения о равенстве Tpe
уrольников, например аксиома 1115' уже окаsываются неверными.
Это решение удовлетворяет меня только наПОЛОВИНУj уrлы былп
определены неsависIIМО от длин, причем не было обращено внимания
на то, чтобы соrласовать эти два определения (вернее, их намеренно
сделали несоrласованными). Достаточно иsменить одио иs двух опре
делений, для Toro чтобы прийти снова 'к классической rеометрпи.
Я предпочел БыI дать длинам такое определение, при которои было бы
невоsможно найти определение уrлов, удовлетворяющее метрическим
аксиомам для yrлов и треуrольников. Это, к тому же, нетрудно
было бы сделать.
rильберту бы.по бы леrв:о построить rеометрию, в которой были бы
опущены аксиомы порядка, между тем как все друrие были бы coxpa
нены. Или, вернее, такая rеометрия уже cyrцecTByeT или, еще вернее,
существуют уже две таких rеометрии. Есть, во первых, rеометрия
Рпыана, в RОТОрОЙ, правда, отброшен и постулат Евклида (rруппа 1V),
так каЕ в ней сумма уrлов треуrольника более двух прямых. Чтобы
яснее дать понять мою мысль, я оrраничусь рассмотрением reометрии
двух иsмерений. rеометрия Римана для двух иsмерений есть не что
пное, как сферическая reометрия, при одном, однако, условии: две
точки сферы, диаметрально противоположные, не должны быть pac
С:\Iатриваемы как различные. Элемента.'llI этой rеометрии будут paa
.'Iичные диаметры сферы. Но ведь если мы рассматривмм три
диаметра одной и той же сферы, расположенных в одной диаметраль
ной ПЛОСIЮСТИ, ТО ни про один иs них нет никаких оснований CKa
аать, что он находится .мкнсду двумя друrими. Слово .АСкнсду не имеет
больше смысла, и аксиомы порядка исчеsают сами собой.
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
461
Если мы хотим теперь иметь rео-метрпю, в которой аксиомы по
рядка не IП,1еЮТ места, но в КО'"l'орой постулат Евклида п друrпе
.аксиомы выполняются, то нам стоит только взять за элементы .!.//tШ
Аlые то'цл;;и и пря-мые обыкновенноrо пространства. Ясно, что мнимые
точки пространства не даны нам как раз.меще'н/ные в определенном
порядке. Но, более тото, можно спросить: способны ли они быть раз
ыещеlПIЫМИ таким образом; это, без со:\шения, было бы возможно,
1taK покasал r. Еантор (само собой, при условии не всетда помещать
в соседстве одну с дрyrой точки, которые мы расс-матриваем как
.бесконечно близкие, следовательно, при условии нарушения непре
рывности пространства). Их, правда, можно было бы разместпть,
rоворю я, но нельзя сделать этоrо так, чтобы этот порядок не Hapy
шился различными операциями rеометрии (перспектива, параллель
ное перенесение, вращение и т. п.). Аксиомы порядка, следовательно,
не применимы к этой reометрип.
НеарХИl!IeДОВ3 I'еоmетри.я. Но наиболее ОРИl'lIнальная из концеп
ций rильберта это, бесспорно, неархимедова rеО:\1еТРИЯ, тде все
аксио-мы верны, за исключение:\! аксиомы Архпмеда. Для этоrо нужно
-было построить сперва систему 'Неархи. шдовых 'Ц,исел, т. е. спстему
элементов, между которыми можно было бы представить отношения
равенства и неравенства и к которы:\! иожно бы,тIO бы применять опе
рации, соответствующие арифметическо:\!у сложению и арифмети
'Ческому умножению, причеи должно удовлетворить следующим
условиям:
10. АРИф:\1етические правпла сложения и уиножения ко-ммутатив
ность, ассоциативность, дистрибутивность п т. д. (Аrithшеtisсhе Axi
о01пе der V erkntipfung) остаются без иа:\Iенения.
2". Правпла исчисления п преобрasования неравенств (АI'ithше
Itische Axiorne der Anordnung) равным образом остаются в силе.
з0. АКСИО)Ia АрХII:\[еда не верна.
R такой системе :\ю кно прпйти, избирая аа элементы строкп сле
дующей формы:
A o t"' +A1t"' 1+A2tт 2+...,
I'де т есть целое положительное или отрицательное число и тде коэф
фlщиенты А суть вещественные числа, и условливаясь прииен,ЯТь
Е эти:\! строкаи обычные правила сложения пумножения. Необходиио
.аатем определить условия неравенства этих строк, для тото чтобы
И)Iеть возможность разместить их в оиределенном порядке. JYlbI дo
стпrнем этоrо слеДУЮЩИ;\I условием: мы будем приписывать нашей
строке знак числа Ао и иы будем rоворить, что одна строка меньше
дрyrой, если, вычитая ее иа этой последней, ;\!ы получаем рмность
положительную.
462
д. rИЛЬБЕРТ
.ясно, что при таком условии правила исчисления неравенств
остаются в силе, но аксио:иа Архимеда уже не верна; в са:ИО:\I деле,
если !'IЫ возынем два эле:\шнта 1 и t, то первый, сколько бы раз мы
ero ни складывали с са:lПIМ собою, останется всеrда меньше Bтoporo.
Всеrда будем и;иеть t > п, каково бы ни было число п, так как раз
ность t 1Z будe'l' положительна, ибо коэффиuиент первоrо ч.лена t,
который ПО условию определяет знак Bcero выражения, остatJтся
всеrда равным 1.
Наши обыкновенныIe числа входят в виде частных случаев в CII
сте;иу пеархи.м-едовых 'Ч1lсел. Новые числа как бы вставляются в ряд
наших обыкновенных чисел, так что, например, существует беско
нечно большое число новых чисел, меньших, чем данное обыкно
венное число А, и больших, чем все обыкновенные числа, MeHЬ
шпе, че;и А.
Представим себе теперь пространство трех из;иерений, rде коор-
дпнаты точки измеря.,."IИСЬ бы не обыкновенными числа:ии, а неархи
ыедовыми числами, но rде обычные уравнения прямой и плоскости,
равно как и аналитические выраженпя уrлов и длин, продолжа.тrи бы
п:иеть место. .ясно, что в этоы пространстве все аксиомы остались бы
верными, за ИСR'JIючение;и аксиомы Архимеда.
На произвольной прямой между нашими обыкновенныIии числами
оказались бы вставленньши новые точки. Если, например, по есть
обыкновенная прюная, п 1 соответствующая прямая неархпмедова
пространства, еслп Р есть какая либо обычная точка линии по и
еслп эта точка разделяет по на две полупрямые S и В' (uрибавлю,
для большой точнос')'и, что Я рассматриваю Р как не принадлежащую
нн к В, ни к З'), то на п 1 будет бесконечное множество новых точек
IШК между Р и В, так и между Р и З'. На п 1 будет равным образом
бесконечно большое число новых точек, которые все будут лежать
вправо от всех обыкновенных точек линии по, Резюмируя сказан-
ное, наше обычное пространство есть только часть неаРХИ:\Ieдова
-пространства.
Понятно, как велико значение этоrо изобретения и в каком отно-
шении оно составляет в развитии наших идей шаr, почти столь же
с:мелый, как и тот, который мы сделали блаrодаря ЛобачеВСКО:\IУi
неевклидова rеометрпя, можно сказать, относилась с уважеНИе:\I
R I ачественной стороне концепции rеометрическоrо КОНТИНУУl\:Ia, хотя
В то же время потрясает до основания наши идеи о ero И3l\Iерении.
Неархимедова rео;иетрия эту концепцию разрушает, она рассеШLет
. I ОНТИНУУМ, вводя В Hero новые элементы.
В этой столь смелой конuепuии у rильберта был предшествеННИIt.
При обосновании rеометрии Веронезе ввел аналOI'ИЧНУЮ пдею.
r.тraBa VI ero введения есть развитие арифыетики и rео;иетрии, весо-
ОТ3ЫВ А. ПУАНККРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
463.
ыненно, неархимедовых, rде первенствующую роль иrрают трансфи
нитные числа Еантора. Тем не менее, иаяществом и простотой иало
жения и rлубиной своих философских ваrлядов, теми следствия:vш,
которые он иавлек иа ОСНОВНОй идеи, Тильберт, надо прианать, cдe
.1Jал новую rеометрию своим соаданием.
Еак бы там ни бы.по, rильберт до конца раарабатьrвает следствия
свопх предпосылок и ищет, как можно было бы переделать rео:метрию,
не польауясь аксио:'>юй Архимеда. По отношению к тем r.'IaRaM,
Iшторые ШIШЛЬНИКИ нааЫRают 1zepBOU и второй I>:lПIrой, трудностей нет.
Таы :эта аксиома ниrде не встречается.
Третья rлава сочинения Тильберта rоворит о ПРОПОРЦIIЯХ п о подо
6пп. Вот R Ю'О сущности ход, KOToporo держа.'IСЯ Тильберт, чтобы
установить учение о них неаависимо от аКСIIО:ИЫ Архимеда. Он при
IПIмает аа определение пропорцип обычное построеlПIе четвертой
пропорцпонаЛf>НОй, но подобное опреде.ление должно быть оправдано;
нужно .ПOI ааать, во первых, что реаультат остается беа паменеНIIЯ,
КаЕОВЫ бы ни были вспомоrательные ЛIIНИИ, употребляемые в по
строении, и, BO BTOpЫX, что обычные правила исчисления прпменяются
к пропорцияы и при новом их определении. П то, и дpyroe иаложено
у Тильберта удовлетворительно.
Четвертая rлава L'оворит об иамерении плоских площадей; если
это иамерение может быть леl'IШ установлено беа помощи начала
Архимеда, то потому, что два равновеликих мноrоуrольнпка или
:llorYT быть раа.ТIOжены на треуrольники, TaI>: что :элементарные Tpe
JТОЛЬНИКИ Toro и друrоrо равны Каждый каждому соответствующему
РРУI'Ш\IИ словами, один может быть превращен в ДРУI'ОЙ приемом
КIIТайсъ:ой L'о.ПОВОЛОМltи)' или, напротив, MOI'YT быть рассматриваемы
:haI>: рааности :\IноrоуrОЛЬНIПШВ, допускающих подобный способ раало
жени я (:это всё тот же прием, но в КОТОРОМ допускаются не толыш
треуr()льники ПРИl\'JIадыпаемые, но и треуrОЛЬНIII>:И ПЫ'llIтае:vrЬ! e)
Но иы должны ааметить, что анаЛOI'ичное обстоятельство уже не имеет
повидимому, :'>шста для двух равновеЛIIКIIХ мноrOI'ранников, так что
;\IOЖНО аадать себе вопрос: можно ли, например, определить объем
ПIIра:ШIДЫ, не прибеrая более или менее скрыто к помощи исчисления
бесконечно малых? :Итак, не несоиненно, что можно TaI>: же леrко
обойтись беа акспомы Архпмеда ПрII иаыерении объемов, как II при
памерении плоских площадей. Тильберт, впрочем, :этоrо и не про
бовал. Но уже после выпуска первоrо иапания один иа ero учеНИIШВ
,."\окааал, что приемы Itитайской rоловоломки не приложимы к объемам.
Во всяком случае оставался еще одпн вопрос: если дан MHoeo
JТОЛЬНИК, то воаможно ли рааложить ero на треуrОЛЬНИI П II аатем
У,."\&'Iить OДIIH иа них так, чтобы оставшийся мноrоуrольник был
равновелик данному, т. е. Talt, чтобы, преобраауя :этот оставшийся
464
Д. rИЛЬБЕРТ
мноrоуrольник по способу китайской rоловолоики, получпть перво
начальный мноrоуr()льник. Обыкновенно оrраничиваются Te;\I, что
I'оворят, что :это невозможно, так как целое больше частп. Но это
значит вводить новую аксиому, и, какой бы очевидной она нам
ни н:азалась, лоrический ум. был бы более удовлетворен, если бы
он моТ' обойтись без нее. Шур, иравда, нашел доказательство, но
оиираясь на аксиому Архииеда; rильберт желал прийти к это;\rу
без пользования этой аRСИОМОЙ. Вот какой ириеи ему ириходится
применить: он ДОИУСRает, что 1мощадь треуrольника есть 1Ю О1 ределе-
'/i7ИО иолупроизведение основания на высоту, и он оправдывает ЭТО
-определение, показывая, что два треyrольника равновеликие (с ТОЧIШ
.арения китайской rоловолшши) ииеют одну IJ ту же 1мощадь (понп
мая этот термин в смысле HOBoro определения) и что плошадь
треуrольника, разложимоrо на мноrие ДРУI'ие, равна сумме площадей
-составляющих треуrольников. Еак только оправдание ЗaRончено, всё
остальное получается без труда. 31'0, значит, всё тот же прием,
чтобы избеrнуть постоянных обращений к интуиции, которая ДOCTa
вляла бы нам постоянно все новые аксиомы; эти аксиомы ире-
.образуют в определения, и уже после Toro эти определешIЯ
оправдывают тем, что они оказываются свободными от протпво
речий.
Неде:ШРl'ова I'еометрия:. Основная теорема проективной rеометрип
.есть теорема Дезарrа. Два треуrОЛЬНИI а называются ?ОJ1,ЮЛОi?ll'Ч,'НЪkИIl,
.если прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются
в одной п той же точке. Дезарr показал, что точки пересечения
соответствующих сторон двух rомолоrичных треуrольников лежат
на одной и той же прямой линии; обратная теорема также спра
ведлива.
Теоре;\lа Дезарrа может быть установлена двумя путями:
1) пользуясь проективными аксиомами плоскости п ыетричеСIШМИ
.аксиома;\IП плоскости;
2) ПОv'Iьзуясь проективныии аRСИО;\Iами не только ПЛОСRОСТП, но
Л пространства.
Такии образом, теорема моrла бы быть открыта животным двух
измерений, KOTOPO;\IY третье измерение казалось бы столь же непо
н.ятныl,, как на:и четвертое, которое поэтому не знало бы проективных
.аксиом пространства, но которое видело бы как в обитаемой им пло
скости перемещаются неизменные фиrуры, аналоrичные нашии твep
дыlI телам, и IЮТОРЫМ, таким обраЗО;\I, были бы известны метричеCIше
аксиомы. Теорема моrла бы быть открыта также и животныlI трех
измерений, которое знало бы проектпвные аксиомы пространства,
но, НИКOl'да не видя перемещений твердых тел, не знало бы метри-
ческих аксиом.
.отзыв А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
465
Но можно ли было бы ДОI азать теоре;\1У Дезарrа, не прибеrая
ни к проективныи аRсиома:\I пространства, ни к метричеСКИ 1 ar;:сио
Mrol, пользуясь псключительно проективными аксиоиамп плоскости?
Думали, что нет, но не были в этом уверены. rильберт решил Э'1'ОТ
RОПрОС, построив 'Н,едезарi!ову i!ео.J1tеrпрu'Ю rеометрпю, разумеется, пло
.скую. ВОЗЬ:\Iе:\I эллипс Е. Впе .этоrо эллипса СЛОПО прЯ.м.пя сохра.п.пет
,свой обычный С:\fЫСЛ; внутри с.лОRО 1 рЯ.иая ПРИНlIиает друrой С 1ЫСЛ
н оf)озпачает y:rI;:e дуrу I;:pyra, которан при ПрОДолжении проходит
чррез неподвижную точку Р, лежащую вне ЭЛ.тrппса. Прямая, пере
.сеI1ающая эллипс Е, соста13ИТСЯ, таким обраЗО:\1, пз ДIЗух ПрЯ:\IOJППШЙ
мых В 06ЫЧIЮ:\I С:\Iысле этоrо слова частеЙ, соединенных внутри
-Э.тrлипса дуrою I;:pY1'a; "j'Ш;:ОВ луч света, I;:ОТОрЫЙ, проходя через
преЛО'lл.пющее тело, отr;:.пОНЯt1те.н пт cBoetl: прнмо.ШIнейной траекторпи.
ПроеRтивные аксиомы ПЛОCI;:ости будут Rерны, еслп мы предполо
.жп:м, что точка Р достаточно 'удалепа от ЭЛ.тrипса.
ПО:\lес'l.'ИМ теперь два rО:\Ю.тrоrичных 'I.'реуrолыпп;:а вне эллипса Е
ТШ;:, чтобы пх С'l.'ороны не встречали Е, три прямые, т;:оторые соеди
пяют попарно соответствуюш:пе вершины, если 1юд UU.Atu 1щпраЗУ.АLeвать
l'IРЯ.мые в обы'Ч,'Н,о.м С.мысле СЛОIШ, по теореме Дезарrа пересеку'1'СЯ в одной
и той же точке Q; предположим, 'ПО 3'1'а точr;:а Q лежит внутри Е.
Если тe1zepb . tu 6уiJЮl! nо'Н,u.'Лаmь слово nрЯ.Аtaя в 'Н,ово.М С.;ltысле, то три
прямые, соеДИНЯIOи ие соответствующие вершины, ОТRJIОНЯТСЯ, войдя
внутрь эллипса. Следовательно, они не пройдут больше через точку Q,
()ни не встретятся больше. Теорема Дезарrа не имеет мнста в пашей
новой rеоиетрии: 3'1'0 rеоиетрия недезарrова.
НепаCJ..алева l'еОl\lетри.а. rпльберт не останавливается па СRазанном
и вводит еще новую .концепцию. Чтобы лучше понять (j(j, неuбходпмо
;на время вернуться в область арифметики. Мы видеJ1И выше, как
понятие бы.по расширено введением 'Н,еархи.lLедовых 'Ч,uсел. Наи нужна
классификация ЭТИХ новых чисел, и чтобы добиться ее, мы раСПРtJ
делим аКСИО:\IЫ арпфиетики по следующим четырем rруппам:
1. 3аконы ассоциативности и КО!\.Iмутативности сложения, закон
.ассоциа'1'ПВНОСТИ умножения, оба закона дистрибутивности умножения;
или, короче rоворя, все праRила сложения и умножения, за исклю
чением заI;:она коммутативности умножения.
2. Аксиомы порядка, т. е. правила ПСЧIIсления неравенств.
3. 3акон коимутативности умножения, на основании Т;:ОТОРО1'О можно
IIЮШНИТЬ порядок сомножите.тrей, не из:иеняя IIроизведеиия-.
4. Аксиома Архииеда.
Числа, Еоторые удовлетворяют аЕСIIомам первых двух rpYIIII,
Jiа3ЫI3аю'l.'СЯ дезаРi!овъс.мu; они мOI'ут быть nаС1>алевЫJ!tu или 'Н,е1 аск;але6Ы.1tu,
.смотря по тоиу, удовлетворяют они ar;:сио;ие четвертой l'РУIIПЫ или пет.
]\fы CI;:OPO увидпи основание для этих названий.
30 3ак. 1164. Об основаниях re )метрии
4бб
д. rИЛЬБЕРТ
ОБЫItновенные числа суть в одно и то же время и дезарrовы.
и паСItа.левы, и архимедовы. Исходя из аксиом первых двух rрупп
и из аксиомы Архимеда, можно доказать за1tОН коммутаТИВНОСТIIj;
не существует, следовательно, чисел одновременно дезарrовых, архи
медовых и непаскалевых.
3ато мы уже приводили пример чисел одновременно дезаРI'ОВЫХ.
паскалевых и неархимедовых; я буду называть эти числа 'Ц,исла" tU
систеJfСЫ Т; я напоминаю, что каждому из этих чисел соответствует'
строка вида
Aotт+A1tт 1+.. .,
rде все L суть обыв:новенные вещественные числа.
Нетрудно аналоrичным путем составить систему чисел дезарrовых,.
непаСltалевых и неархимедовых. Элементами этой СИС'L'емы будут
строки вида
s== Tosn+T1sn 1+...,
[де s есть символ, аналоrичный t, п целое положительное или
отрицательное число и То' Т 1 ... суть числа системы Т; заменяя,_
таRИ!\-1 образом, коэффициенты То' Т 1 , ... соответствующи:vrи строками
от t, мы пмели бы CTPOl y, одновременно зависящую от t и от В,
Строки складываются по оБЬПtновенным правила.'\fj равным обраЗ0М
при умножении этих строк мы допустим правила дистрибутивности
и ассоциативности, но вместе с тем предположим, что закон Itт.\1MYTa -
тивности не имеет места и что, напротив, st === ts.
Остается толыщ разместить строки в определенном порядке для
'1'01'0, чтобы удовлетворить аКСИО:.\1aJ\I ПОрЯДItа. Для этоrо присвоим
строке S знак пеРВОI'О коэффициента То j одна строка будет считаться
мепьше друrой, если, будучи вычтена из этой последней, даст поло
жительную разность. Это, значит, всё то же самое правило: t pac
сматривается как чрезвычайно большое пu отношению к ПРОI1ЗВОЛЬНОМУ
оБЫltновенному вещественному числу, а s рассматривается Kal'-
чрезвычайно большое по отношению ко всякому числу системы Т,
Так как закон КОl\Iмутативности не имеет места, то эти числа.
наверное, суть непаскалевы числа.
Прежде чем итти дальше, напоминаю, что rамильтон давно ввел'
уже систему в:омплексных чисел, [де умножение некоммутаТИВНОj
это 'l>ватер'Нио'Нъс, которые анl'личане Ta1t часто употребляют в MaTe
матической физике. Но для кватернионов аксиомы пор.ядка не имеют'
места; в Rонцепции rильберта ОРИI"инально именно то, что новые
ЧИСJfа удовлетворяют аксиомам порндка, не удовлетворяя правилу
в:оммутативности .
Возвратимся в: rеометрии. Допустим artсиомы трех первых rрупп.
т. е. ПРОeI,тивные аксиомы плоскости и пространства, аксиомы порядка.
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
46Т
и постулат Евклида; теорема Дезарrа может БыIьь выведена из них
потому, что она Р,сть слеДC'l'вие проеКТИВНLIХ аксиом пространства.
Мы хотим создать нашу rеометрию, пе пОЛ/,ЗУЯСh .мстрU'tеС'К1ЦtU
ar.:CUO.Ma,MU; слово длuпа еше не имеет, значит, для нас НПI акоrо смысла,
мы не имеем права пользоваться ЦИрI улеiVI; но зато мы можем п()ль ,
зоваться линейкой, потому что м:ы допустили, что через две точки
можно провести прямую в силу одной из проет ТИВНLIХ аксиом; мы
умеем равным обраеом проводи'lЪ через точку пара.тrлельную к данной
прямой, потому что lV1Ы допускаем постулат Евк.тшда. Посмотрим, чтО'.
из Bcero 81'01'0 м:ы можем BЫBe TII.
Мы можем определить rомотетию двух фПl'ур: два треyrольникз'"
будут наеываться 20,моrпетU't1iЪt,МU, еслп их стороны попарно парал
лельны, и мы выводим отсюда (на основании допущенной наии
теоремы Дезарrа), что Прямые, соеДИняющие соответствующие Bep
шины, СХОДятся в одной точке. JliILI воспользуемся за"т'ем rомотетией
для 1'01'0, чтобы определить пропорциlО. В известной мере мы можем.
также определить равенство.
Две ПРОТИвоположные стороны парал,пеЛОI'Рl:tмма будут равны
по оnределспuw; мы умеем, таким ()бразои, определпть, равны ли два,
отрезка, лишь бы 'l'олько ОНИ были параллельны.
Блаrодаря 8ТИМ УС,lJОВИЯJ'vl мы можем теперь (Jравнива,'1Ъ длины.
двух отрезков, ЛUШЬ би толы;о :этu отрсзкu были пар а л л е л ь п и..
Сравнение двух длин, направление которых различно, не имеет
никакоrо синсла, И нужны былп бы, так скаеать, различные единицы
длины для каждоrо направления. Бесполезно прибавлять, что слово-
У20Л не и:.vrеет никакоrо смысла.
Такпи образом, длины будут выражаться чис,лами; но 81'0 будут
поневоле не обычные числа. Все, что мы можем сказать 81'0 то, что
если теорР,ма Дезарrа верна, Kaт мы 81'0 допустили, ТО 8ТИ числа
принадлежат к системе, удовлетворяющей арифметичес:ким аксиомам
первых двух rрупп, т. е. I дсзаР20вой сuсте"ие. Обратно, если дана'
какая нибудь система ,<.; дезарrов:ых чисел, то можно построить тат ую_
rеоме'l'РИЮ, чтобы длины 'отрезков прямой точно выражались 8ТИМП
числами.
Вот как можно осуществить 81'0 построение: точка 8TOl'0 HOBor<Y
пространства будет определяться тремя числами х, у, z системы S,
которые будут называться 'Коордипата.ми 8ТОЙ точки. Если мы прибавим
к трем координатам различных точек какой нибудь фиrуры три.
постоянн:ые (которые, само собой разумеется, суть дезарrовы чпсла.
системы S), мы получим друrую фиrуру, преобразованную из первой
при 8ТОМ так, что каждому отрезку одной из фиryр COOTBeT(JTByeT'
в друrой отрезок равный и параллельный (в том значении, Iшторое-
выше придано 8ТОМУ слову). 31'0 преобразование есть, следовательно,.
30*
468
Д. rИЛЬБЕРТ
параллельное перенесение, так что 8ТИ три постоянные определяют
перенесение. Еслп теперь мы умножим три координаты всех точек
'одной и той же фиrуры на одну и ту же постоянную, мы получим
вторую фиrуру, rО:\1Отетичную первой.
Уравнение:\l илоскостп будет известное линейное уравнение обьшно
венной аналитической reО:\1етрпи; но так как в систе;\!8 S умножение,
вообще rоворЯ, будет неН:О:\I:\Iутативно, то весьма важно обратить
вни:нание на то, что R ка.КДО:\1 члене 8ТОТО линейноrо уравнеНIIЯ
координата иrрает роль j\>j:ножимоrо, а постоянный К08ффициент
роль :\1ножителя.
Таким 06paoo:\I, кашдоЙ системе дезарrовых чисел будет cooтвeT
(ствовшrь новая rеометрпя, У,Т(овлетворяющая проеКТИВНЫ:\1 аКСИО:\13.'.f,
:аICСИО:\fа.м порядн:а, теоре:\ш Дезарrа и постулату Евклида. В чем же
теперь заключается rе(Н!8трическое значение арифыетической аКСИО:\fЫ
третьей rруппы, т. е. правило КО:\1:\Iутативности умножения? reo.\te
тРН 1 ссо.пй 11вревод этО20 1ъравu.ла теоре.ма Паоr:аля, т. е. теорема
() шестиуrольнике, вписанно-м в коническое сечение, предполarая,
что 81.'0 коническое сечение сводится к дву-м прямым.
Таким обраЗ0М, Teope:\Ia ПаСl аля будст верна или ложна смотря
по ТО:\1У, будет ли система S паскалевой или непаскалевой; и так
как существуют непаскалевы спсте:мы, то будут рав'н/ьи,с образом и
'Непас"алевЪt 2eO.i\teтpuu.
Теорему Паскаля можно доказать, исходя И3 метрических аксиом;
'она будет, следовательно, верна, если мы допустим, что фиrуры
MorY"l' преобраЗ0вываться не только с помощью rоыотетии и парал
I
лельнOI'О неренесения, как АТО :\!Ы только что допустили, но и
'с ПО:\IOщью вращения.
Теорема Паскаля может быть равпы:\! обра30:\I выведена И3 аксиомы
Архимеда, пото:\!у что мы только что видели, что каждая система
'чисел дезарrовых и архимедовых есть в то же самое время и паCI{а
лева система; всяr.;ая пепасr.;алева 2ео.иетрuя есть, в'На'Ц,ит, в то :JlCе время
_.2со.иетрuя 'НеаРХ7с.\(.едова.
Stl'есkеniiЬш'tl'аgеl' (переноситель отрезков). Перейдем к друrой
,концепции rильберта. он изучает построения, {{оторые можно было бы
сделать не с помощью линейн:и и циркуля, а с помощью Л:fПШЙШI
И особоrо инструмента, котор ый он называет Streckeniibertrager'oM
который позволяет отложить на одной прямой отреЗ0К, равный
,друтоыу отрезку, взятому на друrой прямой. Streckeniibertrager не
сJI вивалеНТfШ циркулю; циркуль позволяет построить пересечение
двух OI{РУЖНОС"l'еii или OI{ружности и произвольной пряыой; Strecken
;iibertr iger дает нам только пересечение окружности и прямой, 1ъроходя
,'ней 1!срез e'тпp эт020 1r:pY2a. rильберт ищет, каIПlе построения возыожны
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
469
с помощью этих двух инструментов, и приходит R весьма ЗaJ\reчатель
ному результату.
Построения, которые MorYT быть сделаны с иомощью .штнеЙlеи
и циркуля, MorYT быть произведены и с поиощыо линеiiки и Stl'есkеп
ubertrager'a, 'Но толЬ1fO /i то.М. слу'чде, еслu 311иt nОрl1]JОСХUЯ тШ,О/i'М, lrпo охи
прuводят ecezaa 1> веществен.ХЫ.Ао1 тО'ЧЛfa.Аоl. Ясно, в самои деле, что это
условие необходимо, ибо окружность всеrда пересекаетси в двух
вещественных точках с прямой, проведенной через ее центр. Но трудно
было предвидеть, что это условие будет в то же вре:vrя достаточным.
Но это не всё; во всех этих построениях можно было бы заме
нить Stl'есkепйЬеrtl'аgеr друrим инструментом Еiс11mаss'ом, позво
ляющим отложить на КaIеой либо прямой от Iеакой либо ТОЧlеи уж не
произвольную длину, но длину, равную единпце.
3амечание это, сделанное одним из учеников rпльберта, значи
тельно увеличивает значение предыдущеrо результата.
Мемуар, который мы только что анализировали, сделал очевидной
важность новой неархимедовой rеометрии; он исследовап роль аксиомы
Архимеда в rеоме'l'рических рассуждениях; rлавный результат этоrо
исследования может быть реЗЮМИРОВttН следующим образом: если мы
откажемся от этой аксиомы и сохрани:\! только аксиомы первых
четырех rpynn, то существенные результаты евклидов ой rеометрии
не потерпит ущерба; но иное получится, если мы сохраним только
проективные аксиомы и аксиомы порядка, равно IШlе II постулат
Евклида, но ОТRажемся зараз и от аRСИОМЫ Архимеда, и от меТРII
ческих аксиом; мы можем получить тоrда непаСRалеву I'еОМfJТрИЮ.
Является тоrда вопрос: то, что мы только что СRазали об еВlели
довой rеометрии, верно ли и по отношению R rеоиетрпu ЛобачеВСlеоrо?
Друrими словами, если мы сохраним тОЛЬRО аксиомы нервыIx трвх
rpynn (проективные, порццка и метрпчеCIеие) и заменим постулат
ЕВRлида постулатом ЛобачеВСRоrо, то получим ли мы основные
теоремы Лобачевскоrо, хе nользуясь аНСUО.IИU ApX71.lIteaa? Вот RОПрОС,
который rильберт решил в своей статье «l;Ъеr еiпе пе11е Веgr пduпg
der Воlуаi LоЬаtsсhеffskуsсhеп Geometrie». Он отвечает на этот вопрос
утвердптельно И, в частности, ПОRазывает, что всеrда существует
общий перпендикуляр для двух прямых ПЛОСRОС'l'И, Еоторые не пере
секаются между собой и вместе с тем не параллеЛI,НЫ. Я обращу
внимание на фор:vrулировку постулата ЛобачеВСlеOI'О: «ЕСJ1И 1) есть
произвольная прямаи плоскости и А ТОЧRа, не лежащая на этой
прямой, то через ТОЧRУ всеrда проходят две полупрямые а 1 и а 2 ,
не составляющие одна продолжение друrой и не пересшеаlOщие пря
.мую Ь, между тем кав: всякая полупря:vтая, проходящая через А
и расположенная в уrле, образованном двумя полупрямыми а 1 и а 2 ,
встречает Ь».
470
д. rИЛЬБЕРТ
Вот эти TO две полупрямые а 1 и а 2 и получили название парал
..лелыiы.. Они не встречают прямую Ь, но они служат преоело.м как
тоиу уrлу, в котором находятся все прямые, встречающие Ь, так
и то:иу уrлу, в котором находятся все прямые, не встречающие Ь.
Я УIШЖУ также на изящную теорию ныtOторых преобраЗ0ваний,
-относящихся к тоиу, что MO:lI"HO было бы назвать точками на бешw-
нечпости в плоскости Лобачевскоrо, и законы которых те же, что
и законы сложения и умножения вещественных чисел. Отсюда может
быть получено чрезвычайно простое и очень плодотворное изложение
'неевклидовой rеометрии.
Наши знания о теории параллельных ведут свое начало от теорем
Лежандра, которые установили необходимую связь между суммой
уrлов 'реуrольнпка и выбором между тремя rеО:\IeТрИЯМИ ЕВI"лида,
Лобачевскоrо и Римана. Rакую роль иrрает аксиома Архи:иеда в этих
теоремах?
3'1'0'1' вопрос занимал rильберта, и под ero влиянием Ден сделал
этот вопрос предметом своей диссертации, которую я не Mory обойти
'-здесь МО.лчанием. Результаты, полученные Деном, показыв, ают что
.6ез аксиомы Архимеда те.оремы Лежандра уже не MorYT быть верными.
Остается lJерным еще, что если один 'rреуrольник имеет сумму уrлов,
равную (или большую или меньшую) ,BY l прямыI,, то это же самое
имеет место и для всех друrих. Остается верным также, что если эта
сумма меньше двух прямых, то к прямой можно провести несколько
параллельных через одну точку. Верно, что если эта сумма больше
двух ПрЯ:\IЫХ, то постулат Евклида ложен, и что если она РЭRна
двум прямым, то невозможно, чтобы две прямые всеrда встречались;
но пРО"ц'ие тeope"ltы Ле:J/са'l-tдра У:JlCе 'l-tе вep'l-tы.
Существует плоская rеометрия, в ltOТОРОЙ сумма уrлов более двух
прямых и в ltOТорой, тем не менее, можно провести к пряиой через
'-одну тотп"у бесконечное множет,'во параллельных (я назьшаю тш,
пр.нмые, ее не встречающие); эта rеометрия ле://са'l-tдрова.
Существует reометрия, в которой суииа уrлов равна двум Пр.\НIЫМ
И В которой можно через одну точку провести к прямой бесконечное
число параллелей; это rеометрия полуеви;лuдова.
JliIHe достаточно объяснить, что такое эта последняя, так как пер-
вая вполне ей аналоrична. Для этоrо нужно сослаться на сказанное
выше относительно неархимедовой rеометрии. Я объяuнил, кал He
архимедова ПЛОСКОСТL выводптся И3 обыкновенной плоскости присо
.единенпем новых точек; II:aK, для Toro, чтобы вывести неарХIThIедову
пр.ниую D 1 И3 обьп"новенноfi прямой D О' нужно присоединить : 10 с одной
-стороны, беCIюнечность новых точек между двумя произвольныии
полупрямыми 8' и 8", которые вместе составляют по, 20 с друrой
стороны, бесконечность новых ТОЧeI" справа от всех обыкновенных
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
471
-точек по и бесконечность новых ТОЧ6I слева от всех обыкновенных
точек прямой по.
Теперь сохраним новые точки первоrо сорта, т. е. те, которые
находятся на н:онечнои расс'l'ОЯНИИ, и исключи:vr новые точн:и BToporo
сорта, т: е. находящиеся на бесн:онечнои 'расстопнии. Пусть D будет
iНекоторая пряиая и А некоторая >точка; тоrда будет ,бесн:онечное
множество прямых, проходящих через А, которые не встречаются с п:
.!эТО те, которые встретили бы ее в ОДНОЙ из новых точен: BToporo
-сорта, если бы эти точн:и не были исключены; однан:о все теоремы
Евклида продолжаю'l' иметь место, и всян:ое вращение или параллель
;ное перенесение преобразует в саиое себя неархииедову ПЛОСIШСТЬ,
изуродованную таким образом.
Может показаться, что в этом имеется противоречие с толы-\:о что
упомянутым мемуаром «йЬеl' eine neuere Begrundung.. .». Если, как
показал rильберт, rеометрия ЛобачеВСlшrо может быть выведена из
.ero постулата без поиощи аксиомы Архимеда, К:1I может быть по
'Строена uолуевклидова rеометрия, т. е. rеометрия, в которой теоремы
ЕВI лида уживаются рядом с постулатом ЛобачеВСI-\:оrо?
:Эта трудность происходит, повиди:vюиу, от Toro, что фОр:\.Iулировка
постула'l'а не совпадает в обоих случаях. Ден предполаrает, что через
"Точку можно провести беСI-\:онечное число прямых, не встречаюш;их
данную прямую, и беСI-\:онечное число прямых, ее встречающих, Пер
вые составляют множество E 1 , вторые множество Е 2 . rильберт
предполаrает сверх Toro, что существует предельная прпмая, прпнад
.лежащая :множеству Е1> и ПРИ'l'ои taI-\:ая, что ВСЯI-\:ая прямая, заl\:ЛЮ
чающаяся между этой предельной прямой и прямой из Е 2 , принад
лежит равным образом к множеству Е 1 . И:vrенно эту предельную
прямую, l'ильберт и рассматривает, собственно I'ОВОРЯ, l\:aI парал
,пельную. В rеоиетрии Дена taI-\:ОЙ параллельной не существует.
.здесь кроется, вероятно, интересный для ближайmеrо исследовапия
вопрос: можно ли создать неархимедову rео:vrетрию, в I-\:ОТОрОЙ парал
-леЛЫIaЯ, понимаемая в указаШ-IОМ смысле, существует и для .которой
имеют :место выводы rильберта?
Аналоrичный вопрос рассматривается в друrом мемуаре rпльберта
-«Ubel' die Gleiclllleit des Basis,vinkel im gleichscllenklig'en Dreieck».
В обьп-\:новенной плос.кой rеометрип ПЛОСIЮСТЬ симиетрична, Ч'l'О и
13ыражается равенством уrлов при основании равн06едренноrо Tpe
уrолыII-\:а..
:Эта СU_II_нетрU'ч:ность плосltостu должна фиrурпровать в списке метри
'Чес.кпх aI-\:СИОМ. Во всех более или менее странных rеометриях, о .кo
"Торых мы ДО сих пор l'ОВОРИЛИ, ПО I-\:раtiней мере в 'l'ex, в I-\:ОТОрLIХ
ДОПУСI-\:аются метрические aI-\:СИОИЫ, в неархииел:овоЙ \Iетрич!cJС.кой
l'еометрии, в новых rеометриях Дена, в тех rеометрuпх, о lСОТОрЫХ
472
Д. rИЛЬБЕРТ
идет речь в мемуаре «{'пе1' eine пеие1'е J3egl'un(lung, . . », 8та СИМl'vI8ТРИЧ
нос'iЪ ПЛОСкости постоянно предпола1'ается. Есть ли она следствие
ДРУ1'их метрических a:I СИОМ? Да, I aK покааывает I'ИJ1ьберт, если дo
пусти'iЪ аксиому Архимеда. HeT B ПРОтивоположном случае. Суще
ствуют :шшрхимедовы 1'еО lетрии, в которых все метричес:юIC "аКСИОмы
верны, аа исключением аксиомы u СIJ:\1метричности плоскости. Вот
пример 81'01'0.
Числа неархимедовы, определенные выше, МО1'УТ быть или беекл
нечпо БОЛЬШИМII, или копечны:\r,, или бесконечно малыми; но У1'ол
будет все1'да I,онечным или бесконечно малым вследствие соотношения
cos 2 qJ + sin 2 qJ === 1.
Следовате.тrыю, Y1'OJ1 может быть все1'да преДС'i'авлен в ВIЩе
0+", rде /J \jсть обыкновепное вещественное число, а ,, неархиме
ДОВО бесконечно малое число. ДаДИ.\1 теперь дЛЯ ПРЯМОУТОJ1ЬНЫХ
координат ТОЧЕН, дЛЯ прямых и пара.ТIЛf\.;JЬНЫХ перенесений обычные.
определения, вращение же опредеЛ:КVl СJ!едующим обрааом: пусть а,
суть координаты центра вращения; (j +" Y1'o.;r вращения; х, у KO
ордина'ты проиавольпой точки до вращения; х', у' координаты ее-
после вращения. Иы будем иметь:
(х' + a)+i(y' + )=== eiHt+i- r .
Рассмотрим l'рУППУ, составленную иа вращений ВОКРУ1' начала
I,оординат; 8та 1'руппа не буде'i' способна к перестановке ни с преоб
рааованием, иоменяющим у в y, ни с каr'П;И J1ибо ДРУ1'им преобра
З0ванием, сохраняющим начало, иаменяющим прямые в пря.'I1ые 11
квадра'i' I,O'.rOPLIX приводится к тождественному преобрааованию. Пло
с'н;ость, 31Ю tиrп, не СU"IМtеrпрu'и-ю.
Все прочпе метрические аI,СИОМЫ, однако, сохраняются, равно r,aK
и постулат Евк.;rида, и даже имеется новая аксиома, Itоторую I'иль-
берт пааывает АхiоПl (1е1' Nachba1'scllaft (а%сио.IЮЙ coceDcrпBa) и которую
он фОр.\l ' о'1ирует следующим обрааом;
«Если дан проиавольный отреаок S, '1'0 можно найти треУ1'ольmш:,
внутри KO'l.'opo1'o :нельзя поместить никакOI'О отреака, КОН1'РУ8НТНО1'О.
с S».
Это Л8I'КО ВЫТCI,ает иа уравнения I,pY1'a. Уравнение КРУ1'а радиу
са р, имеюще1'О центр в точке а, , есть деЙствитеJ1ЬНО
x ===tg(O+,,).
y a
Но аато не верно, что У1'лы при основании равнобедренно1'О Tpe
У1'ОЛЬНИI,а равны; не верно, что в треУ1'ольнике одна сторона меньше
суммы двух ДРУ1'ИХ; Har,oHeII, не верна теорема Пифа1'ора о квадрате 1'И
потенуаы. ПО 8ТОЙ ТО причине 8та 1'еометри.я нааываетс.я 'ftепuфшюровой
(x а)2+ (у )2 === р2е2,;
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ д. rИЛЬБЕРТА
473
я перехожу теперь I{ Me lyapy, оза1'лавленному «Loer die geradf\
Linie als kiirzeste V81'Ьiпdппg z,yeier Рппktе», IШТОрЫЙ я не 1I10ry OTдe
лить от диссертапди на тот же предиет, наппсанной l'а reлнм (Напшl)
ПОД влиянпем rИ;;Iьберта. 3десь мы не так выбиты пз обычной Iшлеи:
не ТОЛI,К() нет необходимости откаsаться ОТ aI СИО IЫ Архимеда, IIО МЫ
не встречаем НПКа:Е;:ИХ иных функций, кроме аналитичеCI ПХ, которые
Mo1' YT быть и дифференп:ируемы И инте1'рпруемы.
Предположим, Ч'['О прямые определены обычным способом И что
допускаются проективные аксиомы, аксиоыы порядка и теОрЮIЫ Дe
8ap1'a И Паскаля. Дадим теперь определенп( длины ДУ1'п I акоti либо
КрИВОЙ; необходи ю выбрать это определение так, чтобы можно было
удовлетворить метрически).! аксиомам, т. е. так, чтобы сдела1Ъ воз
ъ,ЮЖНЫМ движение непзменной фИ1'уры.
Возможно ЛИ это сделать так, чтобы пр.ямая линия оставалась
кратчайшим путем от одной '['очки до дру1'ОЙ? Определепие прямuй
не изменяется, но определение KpY1'a остается произвольным в очень
широких I'ранип:аХj необходимо толы{о, чтобы все кру1'И, имеющие
центр на одной пря lОЙ линии И проходящие через неIИТОРУЮ 'точку
этой прямой, имели в этой точке одну и ту же I{асательную. Эта
8адача ДОПУCI{ает бн(;конечное множество решений. lYIИН1{ОВCI;:ИЙ, пре
следуя арифметическую п:ель, развил TaKoe решение, в IИТОРОМ все
кру1'И суть I ривые, подобные ДРУ1' дру1'У в оБЫЧНО 1 смысле этOI'О
слова. rильберт уже в 18\)4 1'оду дал дрУ1'ое решение, которое можно
характеризовать следующим образом: раСШ10'!'рИМ заИI НУТУЮ связную
КрИВую, I ОТОрая будет служить основной кривой. Пусть D есть He
которая прямая, lJI точка этой ПРЯ IOЙj все кру1'И, центр I{OTOPbIX
лежи'т на D и которые проходят через ТОЧI;:У И, И 16ЮТ одну И ту же
I{асательную 'Т, и :'1та касательная, I{О1'да '['очка 1.1 описывает пря
мую п, поворачивается около неподвижной точки, а И lенно, ТОЧI{И
пересечения двух линий, I асательных к С в тех точках, в I{OTOPbIX
эта кривая пересекается ПрЯ lОi1 п. Наконец, rамель в своей диссер
тации дал общее решение вопроса, но 1"1'0 решение слишком сложно,
чтобы МО1'ло быть изложено в немно1'ИХ словах.
Я перехожу в важному ыемуару rильберта, оза1'лавлеННО).IУ «Uber
die G1'ппdlаgеп der Geometrie», I{OTOpbli1 имнf'т, значит, тот же за1'ОЛО
вок, что и Ш'О Festscllrift (основное сочинение), но в I{OTOPOM он CTa
новится на совершенно иную точку зрения. Действительно, в своей
Fest,sclll"ift, кш{ мы ВlIдели в предыдуще 1 аН8.ппзе э'той работы, OTHO
шения пон.ятий пространства и 1'руппы в том виде, в ИaIШМ ОНИ по
лучаютс.я из работ Ли, или оставлены совершенно без внимания, или
отодвинуты на второй план. Общие свойства rрупп ШJ фИ1'урируют
в списке ОСНОВНЫХ аксиом. Совсем иное отношение к ним в мемуаре,.
о IШТОрОМ мы будем теперь 1'оворить.
474
д. rИЛЬБЕРТ
rильберт вводит ПЛОСКОСТЬ, относительно которой он устанавли
JЗает следующие условия:
10. Точки ЭТОЙ плоскости соответствуют одноsначно ТО;:КЮ,f обьш
новенной плоскости или части этих точек. Таким обраsом, КaJRдая
точка новой плоскости имеет себе соответствующую в обыкновенной
плоскости; но на обьп\:новенной плоскости Mo1'YT быть и точки, не
имеющие соответствуюших на новой плоскости. Такиы обраsом, новая
плоскость имеет, так скааать, меньше точек, чем обыкновенная пло
скость, в противоположность тому, что имело место для неархи:чедо
JJОЙ плоскости. Точки обыкновенной плоскости, имеющие соотпет
ствуюшие на новой плоскости, наsываются Bildpunkte. СОВОКУПНОСТЬ
этих Bildpunkte обраsует Ij:a оБыЕовеннойй плоскости область, КОТОРУЮ
rильберт предпола1'ает непрерывной и свяsной TaI\:, что BOKpy1' каждой
'ТОЧl И этой области можно описать Kpy1' радиуса, достаточно малоrо
для 1'01'0, чтобы весь Kpy1' находился в этой области и чтобы можно
.было перейти от одной точки областп к дру1'ОЙ по непрерывной кри
ой, не выходя иs области.
20. Точкп ЭТОЙ новой плоскости Mo1'YT подверl'аться преобраsова
ниям, Il:Oторые наsываются дВItJlсепUЯJИU и которые составляют iJpynny.
зD. .М:ежду эти:чи движения:ми существует бесконечное множество
движений, оставляющих неподвижной некоторую точку JJJj 8ТИ дви
жения наsываются вращением О1I:ОЛО М. .М:Ножество всех точек, Il:Ol'орые
получаются иs одной 'rочки 1 всеми этими вращениями, наsывается
О1\:ружностью. Всякая ОКРУЖНОСТЬ имеет беCI\:онечное :множество точек.
40. rруппа движений обраsует sа:мкнут;ую систеМуj вот, что 81'0
sначит: если мы имеем бесконечное множество движений, иsмрняIO
щИХ ТОЧI\:И .110 и Во: первор в .111 и В1' BTopoe B .112 и В 2 , п e
JJ А п и Вт если точка А п стремится к А, а точка В п к В, I\:оrда п
JЗоврастает неопределенно, то в 1'руппе будет и такое движение, EO
торое точно иsменит .110 и ВО в А и В; то же самое имеет место и
в 1'0;\1 случае, если вместо двух точек мы будем расс:матривать их
или три или толы\:о одну.
.я: сократил несколько положения rильберта, HeMHo1'o правда,
в ущерб точности, но не жертвуя ничем существенным. Мне придется
в дальнейше:м сделать по их поводу несколько sамечаний.
В сущности, дело в том, чтобы найти все 1'руппы преобраsованной
ПЛОCI ОСТИ или части ПЛОCI ОСТИ самое в себя, причем этим I'РУ1П1Ы
подчинены TOJ1bEO условиям, повидиыоиу, очень мало оrраничитель
ным. Ею\: можно при этом прийти к СТОЛЬ точным вывода:\!? 31'0 Ha
ходится в sависимости от 1'01'0 определения, которое rильберт дает
для движения. llреобрasование должно удовлетворять мноrиы усло
виям для '1'01'0, чтобы быть движением: во первых, оно до.лжно быть
непрерывпым и преобраsовать две беCIщнечно блиsкие ТО'lIПI в две
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
475
друrпе, 'также бесконечно близкие точки; далее, оно должно быть
одно однозначно, т. е. каждая точка плоскости должна иметь одну
преобраЗ0ванную точв:у и только одну, и быть преобрааованной И3
дной и только ОДНОЙ точки.
Этими оrраничениями ИСltлючаются очень мноrие rруппы, напри
мер.: rруппа проективных преобраЗ0Ваний и rруппы I'оиотетпЙ, т. е.
преобраЗ0ваний, изменяющих всякую плоскую фпrуру в фпrуру
rоиоте1.'ИЧНУЮ. Почеиу? Возьмем, наприиер, rpynny rоиотетий и уви
ДИМ, что она содержит и вырождающиеся преобраЗ0вания, т. е. такие,
для которых при произвольном центре rомотетии отношение rомотетии
равно нулю или бесконечности. В 8ТИХ преобраЗ0ваниях центр rO:\1o
тетии ииеет бесконечное множество преобраЗ0ванных и.;Iи существует
преобраЗ0ванная для бесконечнOI'О числа точек. Эти вырождающиеся
преобраа'Ования нельзя ИСКЛЮЧИТЬ, потому что иначе rруппа не была
бы системой ЗQ.JJ!'К'Нутой, но нельзя ИХ и сохранить, потому QTO ОНИ
не соответствуют определению движения.
Подобным же обраЗ0М видно, что окружность не может заключать
всн точки плоскости; иначе между вращениями вокрУ!' ЦНflтра 8ТОЙ
'Окружности было бы и такое, которое привело бы к центру ТОЧltу
п;rIOСКОСТИ, отличную от центра, так что центр был бы точв:оii, пре
vбраЗ0ванной И3 двух точек И3 8ТОЙ ТОЧЕН И И3 Сf\()П caMoro. 3'1'0
подразумевает существование инварианта, аналоrичноrо расстоянию.
Мы видим, таltим обраЗ0М, что условия в действительности rораадо
.более оrраничительны, чем 8'1'0 кажется с первоrо раза.
По отношению к идеям Ли nporpecc, достиrнутый rильбертом,
-зпачителен. Ли предполarал, что ero rруппы определяются аналити
ческими уравнениями. rипотезы rильберта значительно более общи.
Без сомнения, и они еще не вполне удовлетворительны, потому что,
-если фОр.!Jta rруппы стала ПРОИ3ВОЛЬНОЙ, то материал, т. е. плоскость,
подверrающаяся преобраЗ0ваниям, попрежнему принужден OCTa
ваться неким Zahlenmannigfaltigkeit в смысле Ли. Но тем не
менее, сделан уже шаr вперед, и притои rильберт анализирует
.лучше, чеи 8'1'0 делал ось до Hero, понятие О Zahlenmannigfaltigkeit и
дает такие перспективы, которые MorYT сделаться зародышеи aItСИО
матической теории Analysis situs.
Я Mory только резюмиропать здесь общий ход Iщей rильберта.
ОН показывает сначала, что точки ОКРУЖНОСТИ MorYT быть раамеп ены
в определенном KpyrOBOM порядке и что 8'1'0'1' порядок не нарушается
вращенипии; он ПОltазывает затем, что 8'1'0'1' ПОрЯДОlt ВХОДИТ В '1'01'
же тип поряд'Ка, как и соответствующий порядок оБЫltновенной
,окружности, т. е. в тип континуума. ОН выводит отсюда то следствие,
'ЧТО окружность есть замкнутая непрерывнал кривая, l'aIt как она
ДОJlж:на точечно соответствовать обыкновенной окружности.
476
Д. rИЛЬБЕРТ
Далее видно, что если вращение не перемещает одну из точек
Kpyra, то оно не переместит и нпкакой друrой 1.'очки 8Toro Kpyra.
Отсюда можно вывести, что если' вращение не перемещает ни одной
точки, кроме цеН1.'ра, то оно не переместит ни одной точки плоскости
и, следова1.'ельно, сводится к тождеству. Наконец, отсюда вытекает,
что rруппа вращений BOltpyr некоторой ТОЧЮI JI имеет ту же CT YК
туру, Kart и rpynna обыкновенных вращений.
В то же время видно, что нет движения, которое оставляло бы
неподвижными две точки плоскости, и 'ITO можно вращениями
перейти от одной точки плоскости к друrой произвольной точке той
же плоскос1.'И.
Все 8ТИ доказательства крайне деликатны; они нуждаются в MHOro
кратном пользовании теорема:ии Кантора; 81.'0 значит, что по неоБХОДII
мости они очень длинны и 'IТO цель, ltOторая видна сразу и которой, Ka
жется, касаешься, может быть достиrнута только после долrих усилий.
Но rлавное уже достиrнуто; мы знаем, что наша rруппа есть
rpynna, производная от некоторых подrрупп подrруnn вращения,
структуру которых мы знаем; и 8та структура вводит их в катеrорию
непрерывных rpynn Ли.
На:\! остается преодолеть еще немноrие трудности, но rильберт
хочет определить сначала прямую, и он делает 8'1'0 чрезвычайно ори-
rинально. ()н отбрасывает сначала проективные определения прямой,
которые потребовали бы соображений, чуждых ero предпосьТJШам,
С друrой стороны, ero rеометрия есть ео.метрuя плосr.;ая. Если бы мы
МOl'ли располаrать пространством трех измерений, то теория rpупп
естественно привела бы нас It очень простому определению прямой,
рассматриваемой как ось вращения; но здесь мы не можем 8ТИМ
пользоваться, nOTo IY что мы не можем выйти из плоскости.
I'ильберт идет по совершенно иному пути. ПУС'lЪ имеются две
ТОЧЮI А и В; определим середи'Н,у 8ТИХ двух точек, т. е. центр враще-
ния, переводящеrо А в В и В в А. rильберт начинает с доказатель-
С1.'ва Toro, что две точки всеrда имеют середину и притом ТD.1IЬКО
одну. 3дeCЬ TO и .является на помощь то условие, которое раньше
должно было удивить читателя; было предположено, что последняя
аксиома (та, которая вкратце формулиру.ется слова:ии, что rpуппа
движений есть замкнутая спстема) применяется не только к двум
точкам, но и R трем точка I. Потоиу то и введена была rипотеаа более
оrраНИЧИ1.'ельная, чем та, которая имела бы место в случае, если бы
оrраНIIЧИ.лись рассмотрением толЬко двух точек Ао и ВО' O'IeHb ли
необходп:\ю было 8'1'0 оrраничение?
В 81.'ОЙ ТО части теории оно и сыrрает свою роль. Мы имеем беCItO-
нечность точек В 1 , В2"'" В п и середины М 1 , М2"'" М п отрез-
ков АВ 1 , lB2'" ., АВ п ; коrда п растет неопределенно, В п стремится
ОТЗЫВ А. ПУАНКАРЕ О РАБОТАХ Д. rИЛЬБЕРТА
477
lR В И М п к М, и условием, о котором идет речь, пользуются, чтобы
;nOItазать, что М есть середина отрезка АВ. Было ли невозможно
,обойтись без Hel'o, можно убедиться только, построив специальную
псевдоrеометрию .
Еак бы то ни было, коrда даны две точки А и В, rильберт стрuит
середину отрезка АВ, потом середины отрезков ДfА и МВ и 'l'aK Д&'Iее.
ОН получает, таким обрasо:\r, бесконечное множестВО точек, составлпю
щих множество Е; он рассма'l'ривает производную этоrо множества Е,
т. е. множество точеЕ, в соседстве ItOTOpbIX имеетсп бесконечно MHoro
точек множества Е. ОН ПOI asывает, что эта ПРОI13водная есть непре
рывная линия, и вот эту то линию он называет 11РЯ" !О1О.
Основные начала rеометрии еВКЛИДОЕОЙ или неевклидовоti: оБI,ппIO
венной и, в частности, метрические аl СИОМЫ MorYT быть тоrда леrко
установлены.
Нельзя не быть пораженным контрастом ме,кду ТОЧlеой зренип
I'ильбеР1'а в этом мемуаре и той, которую он предпоче.ТI в своеЙ
Festschl'ift. В этой последней аксиомы непрерывности занииают послед
нее место, и rромадное значение И:\Iел вопрос: .что делается с reO:\IeT
рией, если мы от них отказываемся? 3десь, наоборот, исходной точ
кой является непрерывность, и rильберт занят преимущественнu
вопросои: что можно извлечь из одной непрерывнос'i'И, связанной
.с понятием о rруппе?
Н&'.1 остается еще рассмотреть мемуар «UЪеr Flachen von Konstan
ter Gauss' scher Krtimmung»l. Бельтр&'\1И, как известно, показал, что
в обыкновенном пространстве имеются поверхности, которые являются
изображением плоскости Лобачевскоrо; таковы поверхности с !IOстонн
ной отрпцательной I РИВИЗНОЙ; известно, какой толчок дало это oткpы
тие неевклидовой rеометрии. Но возможно ли представить всю пло
скость Лобачевскоrо целиком на некоторой поверхности Бельтр&'\1И
.без особенных точек?
rильберт доказывает, что это невозможно; он опирается при этом
на следующие теоремы, относящиеся к поверхностям Бельтр&'\1И:
В четырехстороннике, составлюпюм аСIL'\1птотичеСКIL'.1И линиями,
противоположные стороны равны.
Поверхность мноrоуrольника, составленноrо аСIL'\1птотическИМlI
линиями, пропорциональна сферическому избытку; то же самое имеет
место и по отношению к мноrоуrОЛЬНИI У, составЛЮПIО:\IУ rеодезиче
СКIL'\1И линиями; только В первом случае сферический избыток поло
жителен, BO BTOpOM OH отрпцателен.
Автор показывает затем, что на поверхности Бе.льтра:\IИ без oco
бенной точки нельзя начертить за:VIRИУТУЮ асимптотичеСЕУlO липиIO,
1) Мемуар поиещен на стр. 212 221 настоящеrо сборника. [Ред.]
478
Д. rИЛЬБЕРТ
что асимптотическая линия не может ни пересекаться сама с собой.
ни пересекать друrую асимптотическую линию более чем в одной
точке. Всякая друrая rппотеза привела бы к мноrоуrольн шам, сфе
рический избыток КОТОрЫХ равен Нулю. Отсюда вытекает то следствие,.
что если подобная поверхность соответствует, точка за точкой, неевк-
лидовой плоскости, то СОО'I'ветствие должно быть одно однозначно.
Но тоrда, определяя величину площади всей поверхности, исходя
один раз И3 площади мноrоуrольн пеа, обраЗ0ванноrо асимптотиче
скими линиями, ДРУI'ОЙ раз И3 площади rеодезическоrо мноrоyrоль
ника, находим, что в первом случае эта площадь конечна, во вторш.l
случае бесконечна. Это то противоречие и доказывает теорему.
Что касается до поверхностей с постоянной ПОЛожительной кри-
ВИ3НОЙ, Ie ко'l.'ОрОЙ применииа rеометрия Римана, то rильберт ДОlеа
зывает, что, кроме сферы, нет друrих заМЕНУТЫХ поверхностей TaRoro.
рода. В саиом деле, если мы будем рассматривать часть поверхности
постоянной положительной КРИВИ3НЫ, то максимум большоrо ра,тщуса
кривизны не может быть Достиrнут внутри этой части, но только на
контуре. :м:ы имеем в этом предложение, совершенно аналоrичное
известной теОрАме, касающейся потенциала.
ОТСIOда непосредственно следует, что если поверхность есть по-
верхность за:\Iкнутая, то максимум не может быть ниrде достиrнут"
и QTO, СЛt:Jдовательно, радиус Кривизны имеет постоянную величину.
Таким обраЗ0М, мы без труда приходим к сфере.
После сде,JIаннOl'О анализа нет необходимости в каком либо КШ1
ментарни. Мы видим, как разнообразны 'I.'очки зрения, исходя из
КОТОРЫХ ведет свои исследования rильберт, какова rлубина ero aнa
лиза. EI'O работы знаменуют эпоху, и он кажется вполне достойным.
премии имени Лобачевскоrо.
ВЕНИА IИН ФЕДОРОВИЧ I{AI'AH
СПСТЕ]}IА ЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИП 1)
(1905)
Первая СТРО1'О фориа.льная система 1'еометрии была предложена
1'ерманским матеиатико:н д. rильбертом в 1899 1'оду в юбилейнuм сбор
нике, выпущенном по поводу О'1'крыти.l1 памятника rayccy и Веберу
в rе'1'ТИН1'ене. Она обладает чрезвычайно высокими достоинства.. и,
хотя в отдельных своих пунктах и встретила серьеЗЮ>lе возражеm;rя, ,
потребовавшие исправления нен:оторых постулатов. Система rильберта
довольно сложна, и изложение ее здесь потребовало бы мно1'о
разъяснений. Чтобы дать понятие о построении формальной 1'еометри
ческой системы в порядке выражеННЫ1l: выше идей, мы И3ЛОЖIIМ
<здесь систему, предложенную автором настоящей статьи в 1905 1'ОДУ
в соч:инеmrи «Основания 1'еоиетрии».
Полож:им, что мы имеем какое либо множество, или МНО1'ообразие"
элементами КОТОРО1'О МО1'УТ быть какие У1'ОДНО объекты. В 8ТОМ MH01'O
образии установим различные сопряжения е1'О с сам:им собою; 8'1'0 все1'да
возможно сделать в люБО:\1 МНО1'ообразии. Сопряжения 8ТИ МО1'ут быть
какие утодно; мы даже не предпола1'аем, что э'1'О должны быть He
пременно совершенные сопряжения "). Далее, каждой паре различных
элементов ЭТО1'О МНО1'ообразия отнесем произвольно выбранное ариф
метическое число, отличное. от нуля; 8'1'0 также, конечно) можно BЫ
полнить разнообразнейш:ими способами.
Таким образом, мы будем иметь МНО1'ообразие, в KOTOpOM yCTaHO
влена некоторая система сопряжеmrй е1'О 8лементов и каЖДQй паре.
элементов соответствует некоторое арифметическое число, произвольно,.
по нашему усмотреmrю, ей отнесенное. .кО1'да этот процесс выполнен
(т. е. КО1'да установлены сопряжения и арифметичеСЕИе числа, OTHe
1) rлава из статьи «ТеоретичеСКИG основания математики'} в ЭНЦИIслопеди .
ческом словаре rpaHaTa (19J7 1'.); в этС'Й статье автор изложил в общедостуииом.
и несколько изменённом виде аксиоматику, предложенную им в своеЙ работе,
1905 rода (,Опыт обоснования евклидовuЙ rеометрии». [Ред.)
2) '1'. е. взаимно однозначные соответствия. [Ред.]
480
В. Ф. КАrАИ
сепные Itаждой паре элементов), мы будем называть мноrообрааие
2eo.MeтpU'leer.;U. 1 1 роетршнетво.лt, ero элементы тO'l'ha.lla, установ.ленные
в нем сопр.яжения двu.?lее1-luя.ltu, а числа, отнесенные парам точек,
раееllЮЯ1-lUЯ.лш .лlе.?lсду rJю'чжа.лш. Так как эти сопря:ш:ения (движении)
можно устанавливать чреавычайно разнообразно и разнооfiразно же
можно распределя'I'Ь МtJЖДУ ТОЧItа:ни расстояния, то чрезвычайно рruз
llообрааны MorYT быть пространства. Соотношенпя, проистекающие И3
харюстера установленных в пространстве ДВI-llfCtJНИЙ и раССТОЯИllit, и
составляют i!ео..петрuю 81'Ш'0 пространства.
Два пространства MorYT ОТ.lIичаться мноrообразиями, служаЩИШI
для Itаа;:доrо из них субстраТО:\Ij при выбраНН():\I МНОI'ообраЗIlИ ОШI
J\I01'YT отличаться царящими D них движениямн; при тех же движе
НIIЯХ они MorYT различаться расстояниями между ТОЧI'\:ами.
Пусть А, В, О будут l'Р .rо чки ueE.o Toporo простраП С'l'в а; им соот-
ветствуют l'рИ расстояния АВ, ВО, АО; положим, что АО есть бот>
шее Ш3 этих трех чисел. :Может случиться, что 1 О == АВ + ВИ;
в '.rап:ом случае мы будем rоворить, что тO'I'hU А, В и О раепОЛОJlсенЪf,
'J1рк юли1-lеЙ1-l0 и тичн;п В ле.?lсuт "l/eJ/cay lIю'чжа.лш А и О.
Так I'\:aIt распределение расстояний между точка:\IИ может быть
сделано совершенно произвольно (при са:\IOМ построении простран-
ства), то возможны прострапства, в IШТОРЫХ прямолинейное распо
ло:ш:ение '.rpex '.rочек вовсе не имеет места. Существуют пространства,
в I'\:OTOpblX между одними точками имеются промежуточные точп:и,
а между друrими их нет. Существуют пространства, в IШТОрых между
двумя '.rОЧЕами на определенных от них расстояниях есть промежу-
'.rочные '.rОЧI'\:И, а на друrих раССТОяниях нет. НаЕонец, существуют
ПрОСl'ранства, в I'\:UTOpblX между любыми двумя '.rОЧЕами А и В CYIЦe
ствует промежуточная '.rОЧЕа. В соответствии с этим мы можем усло-
виться сделать предметом cBoero исследования ТОЛЬЕО '.rаЕие про
странства, в I'\:ОТОрЫХ выполняется следующее требование (постулат).
II о с т у л а т 1. 111е.жду любы.ми дву.\lЯ то't'hа.щ( А 71 В, 1-la любом pae
етОЯ1-lии, .лte1-lьше.л/ .АВ, от любоЙ из 1-lUХ, и.А/еетея 1 ро.лteJ/сутО'Ц,1-lая то'/'Ка.
Этим пос'.r:,'латом I1З числа всех возможных пространств выделена
Очень обширная rруппа. Подчиняя npocTpaHc'.rBa э'.rой rруппы новым
'.rребованиям, мы будем их всё более и более специфицировать, отпе
чатлевая их особенности. СОВOIсупность точеЕ, обладающих тем свой
ством, что любые три из них расположены uрямолинейно, мы будем
называть 'пРК tOЛlтеЙ1-lЪtм образо..I/. Пусть А и В будут две ТОЧI'\:И Н6IСО
ТCJрш'о пространства, удовлетворяющеrо пррвому постулату. По,ложим,
что Iшждая I1З '.rO'16E О и D расположена прямолинейно относительно
'l'очеЕ А II В. Образуют ли четыре ТОЧЕИ А, В, О и D прямолинейный
образ? Пными словами, влечет ли то обстоятельство, что ТОЧЕи Оп j)
расположены прямолинейно относительно точеЕ А и В, таЕже прямо
СИСТЕМА ЕВКЛИДОВОЙ rЕОМЕТРИИ
481
линейное расположение точки А относительно С и D и точки В OTHO
сительно С и п? Исследование обнаруживает, что иноrда это имеет
место, иноrда нет. :М:ы можем оrраничиться изучением тех пространств,
в которых это имеет место, и соответственно этому поставить сле
дующее требование.
И о с т у л а т 11. Если тО"tI.и С и D расположеuы пря-молиuеuuо OтUO
сительuо то'Че'l> А и В, то и, обратuо, 1IЮ"t1;; t А и В распОЛО;Jlсеuы 1Iря.мо
л тейuо отuосительuо то'Че'l> С и п.
В пространстве, удовлетворяющем этIL.'\1 двум постулатам, мы будем
называть пря-мой АВ образ, состоящий из двух точек А и В и всех
тех точек пространства, которые расположены прямолпнейно относн
тельно А и В. Основываясь на приведеннъrх двух постулатах, можно
доказать, что прямая представляет собой прямолинейный образ н
вполне определяется любыми двумя своими точками.
Совокупность точек прямой АВ, .'Iежащих между точками А и В,
образует вместе с точками А и В отрезо'l> АВ. В тесной связи с этим
находится и следующая терминолоrия. Если точка О на прямой АВ
лежит между точками А и В, то rоворят, что точки ,1 и В лежат по
разuые стороuы от точки о; если точка О прямой АВ не принадлежит
отрезку АВ, то rоворят, что точки А и В лежат по одuу cтopouy
от точки О. Эти понятия вводят нас в учение о расположении TO
чек на прямой. Следующие четыре теоремы составляют основу
этоrо учения.
1) Если три тО'Ч'I>и А, В и С расположеuы пря-молuuеuuо и тО'Ч'I>а В
леЗ/сит при это-м -между А и С, то 'Четвертая тО'Ч'I>а D 'Не .\шжет ле;Jlсать
oauoepe.Meuuo -между А и В и -между В и G.
2) Если тО'Ч'I>и А, В и С распО.ftожеuы пРЯ-МО.ftuuейuо и то"и;;а В лежит
.MeJlCay А и С, а 'Четвертая тО'Ч'I>а D расположеиа -между А. и В, 1IlO
тО'Ч'I>а В ле;Jlсит .ме.жду D и G.
3) Если три тО'Ч'I>и А, В и С расположеuы nря.ltOлиuеuuо, 1 ри'Че-м В
ЛeJlC tт .ме;JJCду А и С, а 'Четвертая тО'Ч'I>а D ле;Jlсит "'Le;JJCay Аи В, то
тО'Ч'I>а D лежит ",tCжду тО'Ч'I>а-ми А и G.
4) Если 'Четыре тО'Ч'I>и А, В, С и D образуют 1 РЯ.ALолиuеuuый образu
при это-м j;;a'l> тО'Ч'I>а В, тап и тО'Чt;;а D располо;)/сеuы .lCeJ/cay А и С, то
то'Чt;;а D лежит либо "'teJ/cay А и В, либо "'teJ/cay В 71 G.
Опираясь на эти теоремы, можно доказать пред.'Iожение, соста
вляющее наиболее существенную часть учения о расположенин точек
на прямой. Оно заключается в следующем. Если О есть некоторая
точка прямой линии, то все остальные точки на этой прямой распа
даются на две катеrории, обладающие следующими свойствами: если
А и В суть точки одной и той же катеrории, то они расположены
по одну сторону от точки о; ес.'IИ же точка А принаД,lIежит одной
катеrории, а точка В принадлежит друrой, то точки А и В располо
31 3ак. 1164. Об основанИЯХ rеометрин
482
В. Ф. KArAH
жены по рааные стороны от точки О. :Эти две катеrории точек обра
sуют две стороны прямой относительно точки О или две стороны, на
которые ТОЧI а О делит ПрЯ:\IУЮ. :Мы прпходим, таким обраЗ0М,
к фор:малЬНОМУ обоснованпю важноrо понятия, КОТОРЫМ мы оБЫRНО
венно владее I исключительно интуптивно.
Теперь.обрати:мся к движениям. По определению, это суть каRпе
уrодно сопряжения пространства с самим собою. ВВИДУ этоrо B03
:можны пространства, в которых при совмещении точек А и В с 'l'ОЧ
ками А' II В' раССТОЯНIIЯ АВ и А'В' Moryт не быть равны между
собой; в друrпх пространствах прп этих условиях АВ А' в' . 3VIы
можем выделить эти последние пространства. :Это прпвоДIIТ I сле
дующему постулату.
П о с т у л а т 111. Еслu ne1i:orпopoe Dlnt:JlCenue СОlJ.мещаеrп rпo"t1i:U Аи В
с 11ю"t'h:а.IШ А' и В', rпo раССnlOЯnllЯ АВ и А'В' равnы.
:Этот постулат устанавлпвает, что расстояние между "J;ВУМЯ ТОЧI\:а 1Il
при движении остается инвариантным.
Сопряжения, представляющие собой движения в нашем простран
стве, ничем ближайшим обраsом не охарактериsованы; это MorYT быть
даже несовершенные сопряжения. Четвертый иостулат устраняет эту
воsможность.
11 о с т у п а т 1V. Нш,ш;;ое дви:JlCеnие nе пpUBOD7trIl двух раЗJfлt"t1iЫХ nlO"tf'l>
пpocтpancrпвa в сов.Аtещеnuе с одnоЙ и 1/юи :lIсе 1Ito"t'li:oil.
Пятый постулат устанаВJIивает, что движения обраsуют rpynny.
П о с т у л а т V. КIl'li:овы бы nи были дви:llсеnuя S и S' в простра'Нстве,
существует двll:ilсеnие SS', за.ltenЯЮ1l(ее последоваrпельnое 17РО'/1зводство ?tx.
Содержание постулатов 111 V можно выраsить коротко и совместно
так: движения представляют собой rруппу совершенных преобраЗ0ва
пий, ..JДЯ которых расстояния представляют собой инварианты. ТаRIШ
обраsом, эти постулаты являются выражением точки sрения С. ЛП на
сущность движений.
Если некоторое движение оставляет какую либо точку в ПОRое
(т. е. сопряrает ее с самой собою, относит ее к самой себе в качестве
соответствующей, еще иначе прео5раsовывает ее в самое себя), то
оно наsывается вращеnие.1l eO'li:pye эrпой тО'Ч'li:и. Если движение ОС'l'авл.пет
в покое несколько точек И,ПИ каJ{ой либо обраs, то оно наsываетс.я:
раще'Нl/.е..ll. eO'li:pye эrпих nlO'Ч.е1i: иЛll eO'li:pye эrпоео образа.
Положи:м, что в некотором пространстве ВРВЛJ;ение BOKpyr двух
точек А и В приводит точку С В совмещение с ТОЧI\:ОЙ С'. В 'l'aI\:OM
случае в СИJlУ постулата 1П
AC AC' и ВС ==ВО'.
(1)
Положим теперь обратно, что имеют место соотношения (1). ВсеI'да лп
при этих условиях в пространстве существует вращение BOI pyr точек А
СИСТЕМА ЕВКЛИДОВОй rЕОМЕТРИИ
483
и В, совмещающее точку О с точкой (1'? Исследование обнаружи
вает, что существуют пространства, удовлетворяюшие установлен
ным уже пятп постулатам, но этому требованпю не удовлетво
ряющее; существуют также пространства, в которых это требование.
удовлетворено. Сообра..'iНО это;иу мы можем установпть следующий
постулат.
П о с т у л а т V1. Если то"!%и С и С' одшнд%ово удале'Н'Ы %а% от тo"t%u А,
та% и от то"!%и В, т. е. eC./lU 't/..меюrп ./IJec1IZu соorп'Ноше'НIlЯ (1), то сущесrпвует
враще'Ние eO%PYi! то"!е% А иВ, 1 риводящее nLO"!%У С. в JlIO"tI.Y С'.
Пользуясь всеми ЭТIПiИ постулатами, можно ле1'КО установить, что'
движение, оставляющее две точки в покое, оставляет в покое и пря
иую, их соединяющую. Но если движение оставляет в покое три
точки, не лежашпе на одной прямой, смещает ли оно дрyrие точки?-
В некоторых прострапстнах такое смещение происходит, а в дрyrих
оно не имеет места. Сообраано этому мы можем установить следую-
щий постулат.
П о с т у л а т V11. Если 'Не%оторое aeu:J/ceuue оставляет в 1LO%ое трш
то"!%и, 'Не лежащие 'На од'НоЙ 17РЯ.мой, то о'Но оставляет в ио%ое все тo"t%UJ
простра'Нства.
Остающиеся постулаты связаны с понятием о ПЛОCItOстп. В этой
системе разраБОТ1еи rеометрип понятие о плоскости связывается с reo
метрическим местои точек, одинаково удаленных от двух данных
точек. В неЕОТОРЫХ пространствах этим rеометричеСЕИМ мес'1'ОМ служит
только одна ТОЧЕа (середина отре3Еа, соединяющеrо эти точки); в дpy
rих пространствах этим rеометрическим местом служит прямая (Ha
пример, если это есть двумерное евклидов о пространство); НаЕонец,
существуют пространства, в которых Э'1'О rеометрпческое место
пмеет также точки, не расположенные на ОДНОЙ прямой. Если
reо;иетрическое место точек, равно удаленных от двух точеЕ, coдep
жпт точки, не расположенные на одной прямой, ТО мы будем Ha
зывать ero пЛОС%ОСIIlЬЮ. Вместе с тем мы можем установить следую
щий постулат.
П о с т у л а т V1П. В n:ростра'Нстве существует плоС%ость.
Положим, что точкп А и В лежат вне плоскости Р. Если OTpe
30К АВ не встречает плоскости, то rоворят, что точки А и В располо
жены по одну сторону от плоскости; если отреЗ0К АВ встречает пло
скость, то rоворят, что точки располuжены по рааные стороны от IIЛо
скости. Пусть А, В, О будут три 'l'ОЧКИ, не принадлежащие ПЛОCIеости,.
причем точки А и В и ТОЧЕИ В И С расположены по одну СЖОрОНУ.
ОТ ПЛОСЕОСТИ. Будут ли точки А и С таЕже расположены по одну.
сторону от нее? В противность всей нашей интуиции бывают про
странства, в которых это не имеет места. Мы можем поэтому YCTaHO
вить постулат:
31*
484
В. Ф. KAI'AH
П о с т у л а т IX. Есл t тО'Ч1i:U А u В, а та1i:же тО'Ч1i:U В u С располо
:нсе'Ны по од'Ну сторо'Ну от 'Не1i:оторой пЛОС1i:остu, то mО'Ч1i:U А u С та1i:же
расположе'Ны 1tO од'Ну сторо'Ну от той же пЛОС1i:ост7t.
Эти девять постулатов оставляют выбор только между rеометрией
Евклида и rеометрией Лобачевскоrо. Поэтому, присоедпняя в качестве
десятоrо постулат Евклида, мы получаем систему OCHOB!IblX положе
ний, вполне определяющих евклидово пространство. Н:онечно, чтобы
;вполне отчетливо себе уяснить 9истему rеометрии, в этом порядке
идей построенную, необходимо проделать доказательства важнейших
-теорем. Система, во 'всяком случае, дает формальное обоснование
rеометрии.
ЭЛИ КАРТАН
ТЕОРИИ rрупп И rЕОМЕТРПИ
ELY CARTAN
LA THEORIE DES GROUPES ЕТ LA GEOмETRIE
(1927)
. Было бы Rрайне смело пытаться в одном ДОRладе изложить общую
проблему взаимоотношений между теорией 1'рупп и 1'еометрией. Хотя
эти взаимоотношения были обнаружены не более полувеRа тому назад,
нет ни одно1'О матемаТИRа, RОТОРЫЙ не знал бы о 1'луБОRОМ влиянии
на развитие 1'еометрии идей Ф. Елейна, систематичеСRИ развитых им
в 1872 1'. в знаменитой «8рлаН1'еНСRОЙ ПрО1'рам е)} 1). .я не буду OCTa
навливаться на изложении этих идей, Еоторые ЯВЛЯЮ'l'ся теперь общим
достоянием всех матемаТИRОВ. .я хотел бы попытаться ПОRазать Ератко,
Еак, несмотря на большие затруднения, ВОЗНИRшие в 1'еометрии в связи
с созданием обще1'О принципа относительности, РУRОВОДЯЩИЙ принЦИIl
Елейна, соответственно обобщенный, позволяет получить новый синтез
наиболее важных недавно ВОЗНИRших теорий, не 1'оворя уже о тех,
Еоторые существуют ПОRа еще ТОЛЬRО в зародыше и ждут cBoe1'o пол
Ho1'o развития 2). .я буду оставаться на cTpo1'o 1'еометричеСRОЙ почве
без ЭRСRУРСОВ l! фРДОСОфСRУЮ проблему пространства, так блестяще
разработанную Вейлем 3). .я постараюсь также показать в свете новей
ших исследований, щ'iR 1'еометрия позволяет подойти R рассмотрению
неЕОТОрЫХ новых проблем теории l'рУПП, и отсюда с новой ТОЧRИ зре
ния осветить наиболее важные из 1'еометрий Елейна.
1) Math. Аnn., т. 43, 1893, стр. 63 109i G samm. Math, Abh., т, 1, 1921. [Поме
щена на ;,тр. 399 434 настоящеrо сборника. Ред.)
. 2) Е. С а r t а n, La theorie des groupes et les recherches :-ecentes de geometrje.
djfferentjelle, Ensejgn. math., 1924 1925, стр. 18; испанский перевод в Revista
mathem. Hjspano Amerjcana, 1923.
8) Н. W Q У 1, Djs Ejnzjgt1rtjgkejt der Pythagorjschen Massbestjmmung, Math.
Zf\jtschr., 12, 1922, стр. 114 146j l\'Iathematjsche Analyse des Raumproblems, Berlin,.
Sprjnger, 1923.
486
Э. КАРТАН
1
Еак известно, основная идея Елейна может быть связана с наII
'более дреВНИ1\fИ понятиями науки. Элементарная rеометрия изучает
свойства фпrур, которые не зависят от их частноrо положения в про
странстве. Прошло немало столетий прежде, чеи вта несколько неопре
деленная формулировка была переведена на точный язык: свойства,
1изучаемые влементарной rеометрией, являются теми, которые остаются
'ИнвариаНТШ>IМИ относительно некоторой совокупности преобраЗ0Ваний,
образующей rруппу движений. AI cHoMa, по которой две фиrуры, paB
ные третьей, равны между собой, в несколько отвлеченной форме и
выражает свойство движенпй обраЗ0вывать rруппу. Проективная
lI'еометрия, являвшаяся сначала одной И3 rлав 8лементарной I'eoMeT
рин н превратившаяся при дальнеfrmем развитии в самостоятельную
научную дисциплину, с точки зрения Елейна есть изучеШlе СВОЙС'l'в
4>иrур, пнвариантных относительно некоторой совокупности преоf)ра;з()
.ваний (проективных преобраЗ0Ваний), образующих rруппу.
Вообще ВСЯltая rруппа непрерывных преобраЗ0ваний определяет
аМОСТОЯТfl.;rьную rеометрию. Э'I'а rеометрия, если рассматрнва,ть пере
менныI,, преобразуемые rруппой, каЕ величины, определяющие ТОЧItу
пространства соответствующеrо числа изиерений, изучает свойства
фиrур, ппвариантные относите.ПЬНО преобраЗ0ваний rруппы а, причем
.;эти последние иrрают таltуЮ же роль, ItaR движения в еВI\.ШIДОВОЙ
теометрии или проективные преобраЗ0ванпя в rеометрии проективной.
rруппа G называется фундаментальной rруппой данной rеомеТРИII.
Таким обраЗ0М, получается аффинная rеометрия, конформная или
анаЛ.лаrматическая rеометрия, rеометрия Лаrерра, врмитова н т. Д.
ДЛЯ удобства выражения присоединяют к слову «пространство»
.эпитет, харюtтеризующий фундаментальную rруппу изучаемой reo
меТРНИj ТЮt, rоворят: евклидово пространство, ПрОeItтивное простран
ство и т. д.
Все так называемые пространства Елейна являются о Д н o
'р о д н ы м и в том сиысле, что пх свойства инвариантны относительно
:nреобраЗ0ваний соответствующей фундаментальной rруппы: вта rруппа
служит, в HeltOTOpOM смысле, мерой однородности пространства. Про
странство вполпе однородное вто такое пространство, фунда..'\1ента.;rь
.ная т:рулпа ROToporo является беСRонечной rруппой всех непрерывных
:преобраЗ0ванпй: вто тополоrическое пространство; rеометричеСlше
.свойства фиrур здесь сраВl!ительно мало разнообразны; они становятся
уже более примечательными, если за фундаментальную rруппу ПРII
нять бесконечную rруппу всех непрерывных дифференцируемых Пре
обраЗ0ваний. В пространстве, не обладающем однородностью, т. е.
фундаментальная rруппа KOToporo приводится к тождественному пре-
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
487
<Jбразованию, невозможно в смысле tJрланrенской проrрМfЫЫ построе-
ние оБIЦИХ положений: вся rеометрия сводилась бы к частным фактам
без связи ОДЕИХ с друrими.
II
в стороне от боrатых резу.;rьтатаии rеометрических исс,тrедований,
вьшванных идеяии Елейна, развивается между 1867 и 1!.J14 rодами
совершенно от,тrичная rеометрическая теория, ВОЗНИltшая из знаменитой
вступительной лекции Римана: «О rипотезах, лежащих в основанип
rеометрии» 1). Исходные точки зрения обоих великих reo feTpoB Бы1ии
совершенно ршз,тrичны. Для Н .;тейна основное rеометричеСlюе понятие
.содержится в aItспоие равенства, интерпретированной в свете поиятия
I'РУIПIЫ. Д,тrя Римана в 8ПОХУ, КО1'да теория непрерывных rрупп не
бы.тrа еще создана, основным I'еометричеСltПМ понятием яв,пяется поня
тие длины; но, с,тrедуя общей тендепции современной еиу физики
и не жеJlая: подчинять 8'1.'0 понятие априорным по,тrQ;кеппям, з<tста
в,тrяющим в каждой области пространства проявляться ЗaIюнам про
странства в целом, он преДПоааrает д,тrину опреде,тrяемой ,тrишь шар
.аа шаrом при помоши дифференциальной формы, которую д.1IЯ n()"IЬ
шей простоты можно предположить квадратичноп, но произво,тrьной.
Обьпtновенное пространство яв.;тяется частным с,тrучае:м бо,тrее общих
пространств, введенных РИМ<НЮ I.
Очевидно, что риманова rеоме'l'РИЯ, особенно ршзвивавшаяся в Tep
мании и Ита,тrии, совершенно не укладывается в раJ\lliИ ЭРJШПI'енской
проrраммы, так Iеак рпманово мноrообра;сше не допускает в общем
с,тrучае НИКaIюrо вида однородности. JYIожно бы,тrо бы однюео попы
таться 2) подчинить риманову rеометрию РУIюводsпцей идее Jс"тrейна,
воспо,тrьзовавшись принцппом, иrрающим основную po,тrь в 8р.;rапrен
ской проrрам..'\1е, именно при н Ц и п о м ир п с о е д п н е н и я. Дейст
вите,тrьно, rеометрия Рпмана пзучаe'l' инварпанты бесконечноЙ I'рУППЫ
всех точечных преобразоваппй с 1l перемеННЬНIИ, к КО'I'ОРОЙ при С О e
Д и н е н а определенная Itвадратичная дифференци3.тrьная форма. Но
таltая трактовка 8'1.'01'0 вопроса была бы отклоненпем от принuипа
присоединения R,тrейна в настоящем еро значенпи. Сущность еI'О зав:,тrю
чается в с,тrедующем. JYIожно по.;rучпть, например, аффинпую I'еометрию
1) Вступительная лекция Римана была прочитана им 10 июня 1854 rода
:в заседании философскоrо факультета rеттинrенскоrо университета; она опубли
кована в общеи собрашш сочинений Римана (R i е m а n п, Gеsашmеltе J\Iathe
matische vVerke, Leipzig, 1872, стр. 254 2(8). [Поиещена на стр. 309 325 настоя
щеrо сборника. Ред.]
2) J. А. S с h о п t е п, Erlanger Programm ппd UЬеrtrаgппgslеhl'е, Rend. Circ.
Mat. Palermo, т. 50, 1926, стр. 1 28.
488
Э. КАРТАН
иа 1'еометрип проектпвной, присоединяя к проективному про
странству привпле1'ированную плоскость (бесконечно удаленную). Это
равносильно следующему: во первых, фунд&.reН'l'альная 1'рулпа
аффинной rеометрии является ПОД1'руппой проективной 1'руппы; BO
вторых, эта ПОД1'руппа обрааована иа всех проективных преобразо
ваний, которые оставляют инвариантной бесконечно удаленную ШIO
скость. Ничеrо подобно1'О нет в римановой 1'еометрии: иаучаемые ею
свойства нельзя рассматривать каЕ инвариантные при преобра;30ва
ниях, сохраняющпх присоединенную квадратичную дифференпиа.тrьную
форму, TaI как в общем случае такпх преобрааований не существует.
Применяя ПО.lIНОСТЬЮ такое неправомерное расширение принципа прп
соединенпя, можно было бы каждую математическую проблему зтло
жить в рамки Эрлан1'енской ПРО1'ра:нмы; для это1'О достаточно было бы
при соединить к rруппе всех воаможныlx преобрааований данные И3У
чаемой проблемы.
Правда, можно было бы приблиаиться к и,деям Елейна с помощью
следующе1'О рассуждения. Пусть G бесконечная rруппа с n(ni 3 )
переменными X i , gij' полученная присоединенпем к уравненпям ПрUИ3
вольноrо преобрааования над переменными Х 1 , Х 2 , . . ., Х п тех ypaBHe
пий, которые укааывают, как это преобрааованпе трансформирует
компоненты gij фундаментальноrо тенаора. rруппа G есть фундамен-
тальная 1'руппа 1'еометрии Елейна, иаучающей свойства простран-
ства Е п (п i 3) иамерений. Всякое риманово МНО1'ообрааие может быть
рассматриваемо как п MepHoe МНО1'ообрааие Yт вложенное в это про
странство п определенное уравнениями, которые выражаю'l' gij в фУНЕ
ции от Х. НО риманова 1'ео:метрия, прежде Bcero, не является, по CY'fII
дела, иаучением свойств МНО1'ообрааия Х 1Ъ в e1'o взаи:моотношенпях
с объемлющим пространство:м, и если бы даже это имело место, она
не более являлась бы rеометрией в смысле Елейна, чем иаучеmIe
отдельной поверхности, вложенной в еВRЛИДОВО пространство, нanри
.
мер, поверхности волны.
ПI
Общий принцип относительности перенес в область фиаики и фило
софии тот анта1'ониам, который существовал между двумя РYRоводя
щими принципами 1'еометрии Рпмана и Елейна. Пространственiю
временное мноrообрааие классической механики и специальноrо прин
ципа относительности принадлежит R типу пространств Елейна;
в общем же принципе относительности это мноrообрааие является
римановым простраНСТВОl\I. Тот факт, что почти все явления, иаучав-
шиеся наукой в течение МНО1'их столетий, МО1'ли быть объяснены
одинаково хорошо как с той, так и с ДРУ1'ой точки арения, являлся
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
489
чреавычайно показатеЛЬНЫi\I и настоятельно требовал синтеза, объеди
няющеrо оба этих антarонистических принципа.
ОТRрытый в 1917 rоду Леви Чивитаl) в пространстве Римана
параллельный перенос направил внимание ученых по новому руслу.
Обобщая понятие параллелизма Леви Чивита и развивая до конца PYKO
водящую идею Римана путем введения относительностп в понятие
длины, Вейль 2) пришел к построению метрических пространств более
общих, че:и пространства Римана. reoMeTpbl lбыли увлечены плодо
творностью понятия параллельнО1'О переноса и преДПОЛaI'али, что.
в нем найден IШНСТРУКТИВНЫЙ принцип для общей дпфференциальной
l'еометрии. Несостоятельность 8ТОЙ точки зрения проявилась с очевид
ностью в невозможнОСТИ обосновать на таком принципе проективную и
конформную rеометрию: в проективной rеометрии не существует поня
тия параллелизма, в конформной l'еометрии отсутствие самО1'О понятия.
вектора не позволяет ставить проблему параллельноrо переноса.
IV
Но если параллельный перенос сам по себе не дал достаточно
общеrо принципа для объедпнения различных известных l'ео:иетри
ческих теорий, он указал, по крайней мере средство для достижения
8'1'01'0.
Возьмем в пространстве Римана небольшую область, окружающую
данную точrеу А; задание элемента длины ds 2 пространства превращает
эту область как бы в небольшой участок пространства Евклида; можно
вообразить, например, прямоyrольный репер с началом в точке А и
отнести к нему все точки ],1, бесконечно близкие к А, определяя их
положение с помощью прmЮУI'ОЛЬНЫХ декартовых координат. ТО1'да
формулы, выражающие расстояние точки jtf от начала, УI'ОЛ между
двумя векторами, соедпняющими точку А с двумя бесконечно близ
кими к ней ТОЧКal\IИ ],1 и ],1', формулы, выражающие преобраЗ0ваtlИЯ
прямоут'ольных координат, будут совершенно такие же, как и в обыкно
венном пространстве. 3атруднение появляется TOJIhKO тоrда, КО1'да
приходится рассматривать два соседних участка пространства, оди:н
из которых окружает точку А, дрyrой соседнюю точку А'; они обра
зуют два куска евклидов а пространства, которые остаются КаЕ бы
ИЗ0лированными друт' от ДРУI'а, пока мы не сумеем ориентировать их
оди:н по отношению к ДРУI'ОМУ. Более точно, если мы отнесем 'l'очкам А
п А' два прmЮУI'ОЛЬНЫХ репера, мы сумеем определить, как и в reo.
:меТРИII Евклида, начало А' вторО1'О репера относительно первоrо, но
1) '.r. L е v i C i v i t а, Nozione di paralle1ismo in una vшiеw qualunque, Rend,
Circ. Mat. Ра1еrшо, 42, 1917, стр. 173 206.
2) Н. W е у 1, Rашn, Zeit, Materie, 3 e изд., Berlin, Springer, 192 .
490
Э. КАРТАН
мы не сумеем ориентировать оси BToporo репера по О'1'ношению 1, осяы
первоrо. Параллельный перенос Леви Чивита дае'1' нам средство для
определения 8ТОЙ ориентацпи, TaI, I,aI, блаrодаря ему мы можем оире
делить, I,OI'да два вектора с началами А и А' должны быть paCCMaT
риваемы I,aI, параллельные. Параллелизм Леви Чивита дает нам не
толыю соотношение между ВeI,торами, расположенными в двух беCI,О
не'1НО БЛП3I,ПХ ТОЧI,ах пространства, но, что I'ораздо СУЩtJственнее, он
позволяет нам объtJдинить оба малены,их смежных I,ycKa пространства
Римана в одном и том же еВI,ЛIЩОВОМ пространстве.
С 8ТОЙ точки зрения пространство Ри;иана рассматривается ЕЭJ,
СОВOI,упность небольшпх I,YCI,OB еВI,ЛИДОВЫХ пространств, между EOTO
рыми установлено шаr за шаrом соответствие. Существенно отметить,
'1'1'0 установление соответс'1'ВИЯ производится об..зательно в Д о .;:r ь н e
1, о т О р О l' О П У т и. Если даны две ТОЧЕИ А и В простраНС'1'ва, свя
заНIIые между собой дуrой непрерывной I,РИВОЙ (О), то :иожно pac
с;натрпвать линию (О) и область, непосредственно ПРИМЫI,ающую [{ ней,
l';<tK часть uдноrо и '1'01'0 же пространства ЕВI,лида; пли, еСЛI восполь
З0ваться образным выражением, можно развернуть 8'l'Y область рпма
нова пространства на ноображаемое fШI,ЛIЩОВО прuстранств(), I,асатель
ное н точъ:е А Ie пространству Рпмана. То обстоятельство, что pac
сматрпваемое пространство не является еВI,ЛИДОВЫМ, проявляется
в тои, '1'1'0 развертыванпе вдоль ДУI'И друrой I,РИВОЙ (О'), соед:иняю
ЩНЙ ОI'О'1RП А и В, не будет давать для точки В и ее окрестности
'1'01'0 же положения в еВКЛIЩОВОМ пространстве, I,асательном в точке А,
I,aI, прп первом развеР'l'ывании.
Поз;иожность объединения в одном и том же еВКЛIЩОВОМ простран
стве двух смежных IеуCIЮВ ПРОС'l'ранства Римана можно охарактерпзо
вать, I'ОВОРЯ, что данное пространство обладает еВЕЛИДОВОЙ связ
ностью. Тот факт, что установление соответствия между двумя HP
сJ\1ежныl'rпп OI,рестнос'1'ЯМИ '1'очеI, А п В осупrеС'1'13ляе'1'СЯ постепенно 1I
8ависит от пути пернхода от А 1, В, отмечают тем, что пространство
Рпмана называют н е l' о л О н о м н ы м еВI,ЛИДОВЫМ пространством.
ВозвраТlIМСЯ: теперь к точке зрения :Клейна. оБыIноеe еВlеЛIЩОВО
пространс'1'ВО есть пространство :КЛtJti:на, фундаментальной rруппой G
Iютороrо является rруппа движений. rруппа 8'1'а хараIi:'l'ерпзует OCHOB
ную сущнос'rь обьп,нове:нной rеометрии. Основные уравнения, опре
деляюшие движения пuдвижноrо ТРИ8дра, зависящеrо от неCIЮЛЫ,IIX
параме'1'рОВ, суть не что иное I,aK уравнения СТРУI,ТУры I'руппы G
в том смысле, который придан мною 8ТОМУ понятпю В моей теории
стрУlетуры непрерывных rрупп, TaI, что теория I,РПВЫХ, поверхностей,
ЕОНI'РУ8НЦИЙ и IеомплеI,СОВ прямых является в основном ПрОСТЫ l
аналитичеCI,ИМ следствием 8ТИХ уравнений. В пространстве Римана,
в I,аждой ТОЧI,е KOTOpOI'O присоединен прямоуrольный репер, перехол
ТЕОРИЯ rРУПП И rЕОМЕТРИЯ
491
<>'1' одно1'О репера к реперу бесконечно близкому выполняется также
-с поl'<ЮШЬЮ преобраЗ0вания 1'руппы G, которое можно рasЛОЖIIТЬ на
трансляцию и вращение; трансля:ция задается непосредственно 8ле
ментом длины ds 2 пространства, вращение определяется с помощью
параллельно1'О переноса ЛеВII ЧИВIIта. Jlrlожно, следонательно, сказать,
'Что пространство Римана имеет ТУ же самую фундамента.тrьную
1'pYIIIIY G, ЧТО и евклидов о пространство, но преобрasование 1'РУIIПЫ G,
дающее переход от одно1'О репера к ДРУ1'ому, опредеЛ.llется толы;:о
ша1' за ша1'ОМ и ииеет смысл лишь ТО1'да, КО1'да задан путь, coeДH
няющий начала обоих реперов. ПростраВ:СТRО Римана есть не1'ОЛО
яомное пространство с фундаментальной 1'руппой G.
v
Теперь уже нетрудно' вообразить не1'ОJюномные пространства
,с какой У1'одно фундаментальной 1'рушюй 1). Не1'олоно:\шое проеКТIIВ
ное пространство, напрпмер, получается, если каждой точке ЧIIСЛОВOI'О
МНО1'ообразия отнести in abstl'acto IIроективное пространство (касательное
пространство) и задать закон, позволяющий объедпнить R ОДНО:\I и
том же IIроективном пространстве два проеКТИВIIЫХ пространства,
относящихся к бесконечно близким точкам. Если, наПрIllШр, в каждоы
И3 8ТИХ пространств построить проективный репер (ItOординатный
тетра8ДР), то закон соответствия будет выра:iкаться аIIаJПIТIIчеС.ЮI
с помощью беCI онечно мало1'О IIреобраЗ0нания проективной 1'руппы,
которая, таким обраЗ0М, ИI'рает роль фундаментальной I'руппы. Оче
вндно, что полученное таки:\! обраЗ0М понятие пространства проек
тивной СВЯ3НОСТИ ВЫХОДИТ за предеJIЫ понятия параллельно1'О пере
носа; однако :можно было бы ИСПОЛЬЗ0вать, как 8'1'0 сделал Схоутен,
.свопство проективной 1'руппы быть заданной в линейном внде, чтобы
приложить общую аналитическую теОрIIЮ IIараЛJlельных переносов
Е изложению теории пространств проективной СВЯ3НОСТИ.
Пространства Вейля входят в указанную общую теорию; ДOCTa
точно лишь за фун)]:аментальную 1'РУПIIУ взять вместо 1'РУПIIЫ движе
ний 1'РУПIIУ движений и подобий оБJ-.п,новенно1'О пространства.
Для всех не1'ОЛОНОМНЫХ пространств с фундаментальной 1'руппой
<Jбщии является следующее свойство. Возьмем ДУ1'у кривой АВ;
область пространства, непосредственно окружающая 8ТУ ду1'У кривой,
J\Ю:iI\:f;Т быть расс:.vrатриваеиа как часть одно1'О 11 '1'01'0 же пространства
Елейна. Следовательно, теория КрИВЫХ ЯR.'Iяется совершенно одина
ковой как в не1'ОЛОНОМНЫХ, так и 1'ОЛОНО:.vIНЫХ пространствах с одной
и 'ЮЙ же фундаиентальной 1'руппой. 3амечательные классы кривых
1) Е. С а r t а n, Les еврасев а connexion conforllle, Ann. Soc. polon. de lllatll.,
1923, стр. 171 221j Sllr les varU;tes а connexion projective, Виll. Soc. Matll., 52,
1924, стр. 205 241.
492
э. КАРТАН
rолономноrо пространства имеют свои аналоrи в неrолономном про
странстве. rraK, например, прямые, существующие в евклидовой.
аффпнной и проективной rеометриях, имеют свои аналоrи в простран
ствах еВКЛIIДОВОЙ, аффинной и проективной свяаности: это rеодеаи
чески е линии этих пространств, которые можно определить как линии,
раавертывающиеся в прямые. В пространстве Римана трех иамерений
ПОНЯТIIЯ кривианы II кручения линии обобщаются непосредствеННОj
в пространстве Вейля понятия, которые ааменяют собой понятие кри
вианы и кручения, суть два основных инварианта евклидов ой кривой
по отношеНIIЮ к rруппе подобий. С друrой стороны, можно было.
бы вообр ить пространства с фундаментальной rруппой одното иаме-
реНПЯj эти пространства необходимо должны быть rОЛОНО;\lНЫМИ.
НеrОЛОНО:.\lНОСТЬ пространства проявляется толыщ в том случае,
КОI'да ето раавертывают вдоль дут двух' раалпчных кривых, соеди
няющпх пару одних и тех же точек, или, что прпводится К тому же,_
котда пространство раавертывают по аамкнутому контуру, или циклу.
rraKoMY циклу, выходящему, например, иа точки А и в нее BoaBpa
щающемуся, соответствует в rолономном пространстве, касательном
в А, некоторое преобрааование фундаментальной rруппы, в котором
п проявляется неrолономность пространства вдоль цикла. Если этот
цикл бесконечно мал, то свяаанное с ним преобрааование тоже бес
конечно мало и определяет риманову Rривиану пространства вдоль
цикла. Важным частным случаем является тот, при котором это
бесконечно малое преобрааование оставляет фиксированной точку А;
я предложил в этом случае rоворить, что неrолономное пространство
является пространством б е а R р У Ч е н и я. Это имеет место, например,
для пространств Римана, евклидова свяаность которых определена
с помощью параллелиама Леви-Чивитаj это имеет также место для
пространств Вейля. В случае пространств аффинной свяаности, KOTO
рые содержат в себе lШК частный случай укааанные выше простран
ства, преобрааование, соответствующее бесконечно малому ЦИI{ЛУ,
может быть рааложено на трансляцию (приложенную к точке А) и
аффинное вращение. rrрансляция определяет кручение пространства,
вращение еrо кривиану. Пространство афинной свяаности беа кри
вианы является пространством, в котором параллелиам двух векто-
ров имеет а б с о л ю т н О е аначение, неаависимое от пути, соединяю-
ЩeI'О их точки приложенпя. JliIbl увидим в дальнейшем, что простран-
ства беа Rривианы имеют важные приложения.
VI
До спх пор, rоворя о неrолономных пространствах, мы не.явно
и:мелп в виду точечные пространства. Но уже иадавна в проективной
rеометрии, например, рассматривали в пространстве отличные от тоЧЕИ
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
493
oQсновные элементы, наПРИ:\-lер плоскость или ПРЯ:\-IУЮ, Прпрода OCHOB
Horo эле;\lента иrрает, впрочем, второстепенную роль и не затраrп
вает существа rеометрии: хотя фундаментальная rруппа с IlЮ1е
нением OCHOBHoro элемента пространства меняет аналитическую фОр:\lУ,
но структура rруппы остается той же самой, а именно, этой CTPYK
турой И обусловливаются внутренние свойства соответствующей reo
метрии.
В случае неrолоно-мных пространств выбор OCHoBHoro ЭЛе:.\шнта ИI'рает
существенную роль. Пространство РИ:\-Iaна есть 11' о ч е ч н о е неrоло
номное евклидово пространство. Можно вообразить неrолоно:иное
т а н r е н Ц и а л ь н о е евклидов о пространство (т. е. образованное пло
СКОСТЕVlИ); ero rеOl'.lе'rрия значительно отлпчается от римановой reo
метри-и, Пространство Rэли Елейна постоянной кривизны, В котором
за основной элемент прпнята точка, есть неrолономное еВRЛПДОВО
пространство; но если за основной элемент принять плоскость, то полу
чается уже иная картина, так как фиrура, обраЗ0ванная ПЛОСКОСТЯ:\-ПI,
бесконечно близкими к данной плоскости, не обладает всеми те:ми же
-бесконечно малыми свойствами, которые имеются у ана.лоrичной
фиrуры в евклидов ОМ пространстве. В пространстве Еэли ПОЛОЖII
тельноЙ кривизны две бесконечно близкие плоскости имеют IIнвариан
т.ом дифференциальную определенную квадратичную тернарную форму
(выражающую, например, I03адрат расстояния IIХ полюсов по отноше
нию к абсолюту); в еВКJIИДОВО:\1 пространстве инвариантом двух пло
скостей является бесконечно малый уrол между их нормалями; в послед
He l случае входят только два незаВИСИ:\IЫХ ;'дифференциала вместо
трех; можно сказать, что евКJIИДОВО пространство, обраЗ0ванное из
плоскостеЙ как элементов, в известном смысле м е н е е т в е р Д о, чем
пространства ПОСТОЯННОЙ кривизны.
ТаКИ 1 обраЗ0М, мы имее l чрезвычайно большое разнообразие воз
1\IOЖНЫХ неrОЛОНОМLIХ rео:\lCТРИЙ, HO дО настоящеrо временп было
изучено только небольшое чис.ЛО из них.
Изложенное выше мы иллюстрируем следующим чаСТНЫ:\-1 прпмером.
Возьмем проеКТIIВНУЮ rруппу плоскости. Мы получим первый класс
неrолоноиных пространств двух измерений, приняв за основной
элемент ТОЧl\У; В этпх пространствах существуют rеоде311ческие линип,
которые прrr отнесении иространства к некоторой системе точечных
коордпнат х, У являются пнтеrральными кривыми дифференциальноrо
уравнения следующеl'О впда:
d2y ( d Y ) ( (1У ) 2 ау
ах 2 + А (х, У) dx +В(х, У) , dx +С(х, Y) dx +D(;T,y)===O.
Обратно, если дано дпфференциальное уравнение этоrо вида,
J\,IOжно найти бесконечное множес'l'ВО проективных связностей, имеющих
494
9. КАРТАН
пнте1'ра,льные н рпвые 81'01'0 уравнения rеодезическими ,ЛИНИЯ1\ПI cooт
ветствующе1'О пространстваj среди всех 8ТПХ связностей имеется, между
прочи;и, одна приви,ле1'ированная, д,ля которой проективное пере1\[е
щенпе, соответствующее бесконечно ма,лоиу цик,лу, JI1\шющему начало
в точке А, оставляет инвариантныии как точку А, таи: и все прямые,
проходящпе через А.
Возьме;ч теперь прп той же фунда:иентальной 1'руппе за основной
8ле IeНТ не точку, а КОН'l'aRТНЫЙ 8,лемент Ли (СОВОКУПНОСТI. ТОЧЮI И
проходящей через 8ТУ точку пря:иой). J\lIы ПО,ПУЧПNI ТOI'да пространC'l'ВО'
8ле:\Iентов (трех иомерннпй) с проективной связностью. В 8ТОМ с,;rучае
,:ны може:и ДОСТИ1'НУТЬ 1'01'0, чтобы 1'еодезические ,линии (соответствую
щпе ПрЯ 1ЫМ проективной ПJОСКОСТИ, рассматриваемым как 1'еометрп
ческпе места КОНТаЕ1'НЫХ 8.чементов) бы,ли инте1'ра,льными крпвымп
совершенно ПРОПЗВО,ЛЬНО1'О дифференциа,льно1'О уравнения BTOpOl'O
порядка, так что мы сможем 1'еометризировать теорию инвариантов
дпфференцпа.iIьноrо уравнения BTOpOI'O порядка относите,льно 1'руппы
наибо;;rее общпх точечных преобраЗ0ваний.
В предыдущем примере пространством яв,ля,лось 1'еометрическое
:место контак'l'НЫХ элементов; фундаментальной ТРУППОЙ бы,ла 1'руппа
контактных преобраЗ0ваний, по,лучаемая с по ющью продо,лжения
в смыс,ле Ли точечной проеRТИВНОЙ 1'РУППЫ. Очевидно, что 1\ЮЖ О
ПСХОДИ'lЪ И3 любой неприводимой 1'РУППЫ КОН'l'актных преобраЗ0ваШIЙ,
напрп:иер И3 1'РУППЫ контактных преобраЗ0Ваний, которые переводят
орпентпрованныс сферы в орпентированныеj по.льзуясь 8ТОЙ труппой,
ыожно построить неrо,лономные ПрОС'l'Ранства, принимая за основной 8ле
l\IeHT, например, контаI ТНЫЙ 8;;reMeHT и,ли ориентпрованпую сферу и т. Д.
УII
До сих пор не1'о,лоно;иные пространства рассматрива,лись НЮПI ш
abtSl'acto; СВЯ3НОСТЬ, которая служит д.ля их опреде,ления, иие.тrа
внутренне 1'еометрическпй смыс,л. Вейль первый вве,л пара,ллельный
перенос с помощью внутренних свойств пространства. Леви Чивита.,
наоборот, рассматрива,л вопрос с совершенно пной точке зрения, KOTO
рая, уступая точке зренпя Вейля с Фи,лосоФской стороны, имеет бо.тrьшое
значенпе для 1'еометрпп; она находится в связи с общей теорией
пндуцпрованных связностей, о которых я скажу только несколько с,лов.
Прежде чем И3,lJа1'ать иетод Леви Чпвита, мы обрисуем е1'О на OДHO I
очень 8лементарном ПрИ Ieре. Возьмем кривую в обычной (евк.лидовой)
П.:IОСКОСТИj то, что кривая рассматривается нами в евк.лидовой п,лоскости,
П03ВОJIяет опреде,лить на крпвой Rриволинейную абсциссу. Забудем
теперь, что Rривая распо,ложена на п,лоскости, и будем рассматривать
тоаько кривую саму по собе; ничто не от,лпчает ее от евк.шIДОВОЙ
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
495
ПрЯl\IОЙ: формула IПаля, связывающая абсциссы трех точек па прямой,
связыветT равным образом криволинейные аБСЦIICСТ>1 трех точек на
крпвой. Изучение кривой в евклидов ой плоскости дает на:\!, следо
вательно, средство рассматривать эту крнвую как еВI,ЛПДОПО простран
ство одноrо намерения. JYIы можем, между прочим, llзобразпть этот
процесс кине),Iатически, Iеатя или развертывая Iеривую на одну из ее
касательных; J\IОЖНО также определить каждую бесконечно малую
стадию этоrо развертывания, заставляя соответствовать каждой точке
кривой М, бесконечно близко расположенной от А, точку М', лежащую
на касательной в точке А и являющуюся ортоrональной проекцией
точки М.
Если мы возьмем теперь поверхность в обыкновенном простран
стве, ыы може:м также попытаться развернуть эту поверхность на
плоскость, касательную к ней в одной из ее точек Если поверхность
является развертывающейся, такое развертывание будет возможно;
если нет, ero всеrда можно выполнить вдоль дyrи кривой АН, что
приводится К развертыванию той разверт.ывающейся поверхности,
которая описана около исходной поверхности вдоль кривой АВ; но
развертывание вдоль друrой дуrи кривой, соединяющей А с В, не
приведет к тоиу же самому результату: этот процесс не является
rолономпым. JYIы можем, следоватеJ1ЬНО, рассматривать поверхность,
В;\Iещенную в евклидово пространство, как неrолономную евклидову
ПЛОСКОСТЬ; объединение в одной и той же евклидов ой плоскости точек,
бесконечно близких к А, и векторов, выходяп их из этих точек, мо:ш:ет
быть очень просто получено ортоroнальным проектированием поверх
ности на касательную в точке А плоскость. И в этом случае то, что
поверхность находится в евклидовом пространстве, позволяет наделить
поверхность и н Д у ц и р о в а н н ой евклидов ой связностью; если мы
затем забудем об объемлющем пространстве и будем рассматривать
поверхность только саму по себе, но с евклидовой связностью, KOTO
рую мы В ней построили, мы получим двумерное пространство
Римана с параллельным переносом Леви Чивита, у KOToporo квадрат
элемента длины ds 2 тот же, что и у поверхности. Два касательных
к поверхности вектора, приложенных в точках А и М, будут парал
лельны, если проекция BToporo вектора на плоскость, Iеасательную
в точке А, параллельна первому. Отметим, что евклидов о простран
ство (в даННО:\I случае ПЛОСКОСТЬ), касательное в точке, имеет теперь
к о н к р е т н ы й смысл, в то время как при изложенной выше точке
зрения оно было ЧИСТО фиктивным.
Понятие ИНДУJ прованной связности может быть при.ложено к раз
;:ПIЧНЫМ вопросам и, повидимому, должно иrрать очень важную,
роль в I\:лассических rеометрических теориях. .я приведу несколько
простых примеров.
496
Э. КАРТАН
в плоской конфориной rеометрии возьмем некоторую кривую (С);
можно развернуть эту кривую на Kpyr, соприкасающийся с кривой
в одной И3 ее точек; друrими словами, можно рассматривать кривую
:как одномерное конфориное пространство (Kpyr). Развертьшание
выполняется не в обычном метрическом смысле с сохранением длин
дуr, так :как длина дуrи не имеет смысла в конформной rеометрпи.
Процесс этот может быть представлен в следующей не строrой, но
;зато простой форме. Возьмем на кривой три бесконечно близкпе
точки А, А 1 , А 2 ; их можно рассматривать принадлежащими Kpyry,
соприкасающемуся с кривой в точке А; пусть теперь Аз некоторая
четвертая точка, бесконечно близкая к трем первым; прямая, соеди
няющая центр соприкасающеrося Kpyra с точкой Аз, пересечет этот
Kpyr в точке A , в которую мы отнесем точке Ав при развертыванип
кривой; можно, между прочим, заменить прямую KpyroM, проходящим
через две фиксированные заданные точки, взаимно обратные по oтнo
шению к соприкасающемуся Kpyry. С помощью конформноrо преобра
;зования приведем три т<?чки А 1 , А2' Аз в совмещение с точками Ар
,
А 2 , Аз; крпвая займет новое положение, и можно начать для пятой
-точки кривой только что выполненное построение, которое заставит
эту точку соответствовать пятой точке A Kpyra и т. д. Для OItрУЖ
ности можно ввести проективный параметр, определенный с точностью
до проективноrо преобраЗ0вания и обладающий тем св ойством, чт
координаты точки кривой являются рациональными функциями от
Hero. Таким обраЗ0М, для любой плоской кривой мы можем опреде
..лить проективный параметр, при помощи KOToporo можно построить
IIонятие об анrармоническом отношении четырех точек кривой. Анали
тически этот параметр очень просто получается как отношение двух
.частных решений дифференциальноrо уравнения
d2u 7t О
ds2 + 4р2 ,
rде 8 обозначает дуrу кривой, р радиус кривизны.
Аналоrично в плоской проективной reометрии можно проективно
развернуть ЛlQбую кривую на соприкасающуюся конику и определить
совершенно таким же обраЗ0М анrар юническое отношение четырех
точек кривой. Но здесь это развертывание затраrивает вместе с рас-
сматриваемой кривой и плоскость, которая оказывается как бы свя-
занной с этой кривой и наделяется при этом метрикой Rэли постоян
ной КРИВИ3НЫ. В самом деле, проведем ,через некоторую точку Р
плоскости касательную РАк кривой и построим конику, соприка
сающуюся с кривой в точке А; ее можно рассматривать как абсолют
rеометрии Rэ.lJИ; расстояние Rэли от точки Р до бесконечно близкой р'
paBHO лоrарифму анrармоническоrо отношения точек Р, Р' и двух
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
497
точек, в которых пряиая рр' пересеI{ает I'ЮНИКУ. Дифференциальная
квадратичная форма плоскости ds 2 является неопреде.ленной и суще
ствует только в тех областях плоскости, откуда можно провести Kaca
тельную к кривой. Направление р А ИЗ0тропное; второе IIЗ0тропное
направление в точке Р есть направление второй касательной, прове
денной И3 Р к конике, соприкасающейся в точке А. rfJодезические
линии этой метрики не яв.ляются, вообще rоворя, J'же ПРЯМLlМИ. При
соединение произвольной кривой П03ВО.'Iи,;ю нам превраТИТL плоскость
в двумерное пространство Кэли; это пространство rолоно:мно, TaI<: кю<:
СВЯ3НОСТЬ :Кали определяется развертывание;н данной l>:РИВОЙ на
соприкасающуюся к ней конику, а 8'1'0 развертывание являетс,н 06я
зательно l'ОЛОНОМНЫМ, так как кривая имеет ТОJIЬКО одно пзыерение.
,М:ожно аналоrичным обра30;\1 в трехмерном проективнои простран
стве развернуТЬ поверхность на квадрику Ли; развертывание не явл,нется
уже rолономным, если только поверхность H будет линейчатой;
в случае линейчатой поверхности квадрика Ли будет одной и 'l'ОЙ же
вдоль образующей; мы приходим, 'l'акиМ обраЗ0М, к мноrообразию
(прямых) одноrо измерения, а это обусловливает rолономность
процесса.
VIII
Вернемся теперь к неrолоноиным пространствам с фундаментальной
rруппой а. Как мы уже видели, всякому цик.crу, выходящему ИО точ
I>:И А и в нее возвращающемуся, соответствуе']' некоторое преобраЗ0вание
rруппы а, оперирующее в rолономНОМ пространстве, KaCaTeJIbHOM в
точке А. Совокупности циклов, выходящих П3 А, соответствует СОВOI,:уп
ность преобраЗ0ваний rруппы а, которые, как нетрудно показать, обра
зуют rруппу у: это есть r ру п па r о л о н 0""'1 И И пространства; она
является, по существу, одной и той же во всех точках пространства.
rруппа g дает нам Бак бы меру неrолономности пространства; если
она приводится к тождественному пре06раЗ0ванию, мы ииеЫ\1 прОС'l'ран
ство Клейна. Jlilbl получаем, таким 06раЗ0М, иетод для I,:ласспФикаЦl1И
пространств с данной фундаментальной rруппой, подобно тоиу как
rруппа rа.луа алrебраическоrо уравнения позволяет кла сифицировать
в общих чертах уравнения по степени иррациона.ТlЬНОСТП корпtJЙ.
Бесконечно малые преобраЗ0ванпя rруппы О, соответствующие
бесконечно J\IалыМ циклам, принадлежат I{ rруппе rОJ10НОИИИ, но онп
не дают всеrда всех основных бесконечно малых пре06раЗ0Ванпй,
определяющих первую l'РУППУ, Однако, если все они обращаются
в нуль, т. е. если риманова I,:ривизна пространства ПОВСЮ;:J:У равна
нулю, rруппа L'ОЛОНО;\IИИ приводится к тождественному прео6раЗ0ванию
и пространство является rолономныМ. 3'1'0 можно ДOIшзать аналитически
или при помощи reометричеСЮIХ рассуждений. Но здесь при
32 3ак. 1164. Об основаннях х'еометрнн
498
Э. КАРТАН
ХОДИТСЯ учитывать тополоrичес:кий хара:ктер пространства: наше
за:ключенпе будет верным толь:ко в тоы случае, если пространство
односвязно, т. е. если все ци:клы прп поиощи непрерывной деформации
MorYT быть стянуты в точ:ку. В противном случае. пространство IOжет
пметь повсюду риманову :кривизну, равную нулю, и в то же время
не быть в ,:J:ействительности rолономным. Классичес:кий пример дает
цилиндр ВРaJцения, вмешенный в обычное пространство; ero paaBep
тывание вдоль ци:кла на одну из ero :касательных ПЛОCIюстей будет
rолономныи, если ЦИ:КЛ ПРИВОДИМ :к нулю (может быть стянут в точку).
Но развеР1'ывание ВДОJЬ прямоrо сечения дает в результате :к онечн з'ю
трансляuию; rруппа rолономии состоит из степеней ;этой трансляции.
Та:кие же соображения ПРИЛОЖИ:\lЫ :к те}\{ rеО:i\ICтричес:ким образам,
:которые прпнято нааывать фор м а :11 п К Л И Ф фор Д а ев:клидова про
странства. Можно та:кже вв,"сти ln abstracto на цилиндре та:кую
связность Вейля (не индуцпрованную), что ее рпманова :кривизна
будет повсюду равна НУЛю, п всё же 8ТО двумерное пространство
не будет в целом ни ев:клидовыи НИ даже римановым; ТОЛЬ:КО совершив
EpyrocBeTHoe путешествие, обитатель 8Toro пространства Mor бы заме
тпть, что ero вселенная не является НИ ев:клидовой, ни рпмановой.
ПРПНЦПП к.лассифи:кации пространств по их rруnпе I'ОЛОНОМИИ
может быть поставлен в связь с принципом npисоедпнения, или uод
чпнения, Елейна. Одна l'еометрия Клейна подчинена друrой, ес.'IП
фундаментальная rруппа первой .является подrруппой фундаментаЛL
ной rруппы второй rеометрпп. Напрпиер, аффинная rеометрия под
чинена проеЕТПВНОЙ rеометрпп, или, если уrодно, является особой
I'лавой прое:ктпвной rеометрии, в :которой изучаются свойства фИl'УР,
содержащих бес:конечно удаленную ПЛОС:КОСТЬ; .можно, между прочим,
получить бесчисленное множество аффинных rеометрий в одном и
том же прое:ктивном пространстве, выбирая npоиавольную плос:кость
в :качестве бес:конечно удаленной. Если мы воаьмем теперь Hero.'IO
номное прое:ктивное пространство, то в нем :картина будет иная;
для Toro чтобы в этом пространстве можно было построить аффинную
rеометрию, необходимо, чтобы было возможно выбрать в нем npоек
тивные реперы, связаННые между собой по аффинному аакону; для
8Toro необходимо и достаточно, чтобы rруппа rолономnп простран
ства была аффинной rруппой, что не всеrда имеет место. Вообще
вся:кое неl'олономное пространство с фундаментальной rруnпой а,
имеющее в :качестве I'РУППЫ rолономии подrруппу g rруnпы G, может
быть рассматриваемо :ка:к неrОЛономное пространство, доnyс:кающее
в :качестве фундаментальной rруппы каждую подrруппу rруппы а,
содержащую в себе у. Та:к, пространство Вейля может быть paCCMa
триваеl\Ю :КаЕ риманово, если ero rpynna I'ОЛОНОМИИ не содержит
подобных преобрааований, а толь:ко движения.
ТЕОРИЯ rрупп и rЕОМЕТРИЯ
499,
IX
Еав: мы видим, анаЧeIше теории rрупп не уменьшае1'СЯ при COBpe
менном раавитии дифференциальной rеометрии; наоборот, повидимому,
ТОЛЬRО одна 8та теория в состоянии объединить рааличные paaBeT
вления последней. Теперь я хотел бы по воаможности Rрапю УЕааать
на те услуrи, Еоторые ЛlorYT ОЕааать самой теории rрупп новые
понятия дифференциальной rеометрии.
Рассмотрим rруппу непрерывных преобрааований G с r парамет
рами а 1 , а 2 ,. . ., a r и отнесеи Rаждому преобрааованию rруппы ТОЧRу
(ар а 2 ,.. ., a r ) пространс'ва r иамерений, Еоторое мы будем Haaы
вать rрупповым пространством. В появившейся недавно работе 1)
Схоутеном и мною было ПОRааано, Еав: можно ввести в 8ТО простран
ство три аамечательные аффинные свяаности, внутренне свяаанные.
со свойствами rруппы; я раавил еще дальше 8ТО исследование в одном
мемуаре, который ТОЛЬRО ЧТО появился 2). l{ аждая иа 8ТИХ свяаностей
превращает rрупповое пространство в неrолономное аффинное простран;
ство. Две иа них являются свяаностями б е а R р И В И а н ы, т. е., RЮ>:'
было УЕааано выше, параллелиам веЕТОРОВ в 8ТОМ случае имеет абсо
лютное аначение. Определение их очень просто. НаПОМНИ1VI, что про
иаведение двух преобрааований аависит в общем случае от порядка"
в ЕОТОрОМ они выполнены, таи: что операция, обратная умножению,.
воаможна в двух видах: можно принять аа отношение двух преобра
аований 8' и 8 или преобрааование я' S 1 , или преобразование 8 1 s'
ВеЕТОР rрупповоrо пространства определяется с помощью двух пре
образований 8 и 8', Еоторые соответствуют ero началу и ЕОНЦУ_
Введем понятие о двух видах 8Rвиполлентности веЕТОРОВ; два BeK
тора (8, 8') и (Т, Т') нааываются 8RВиполлеНТНЬПvIИ, если имеет
место или равенство
8' 8 1 == Т T 1 (8Rвиполлентность перRоrо рода)
или
8 18' == 1'l т (8Rвиполлентность BToporo рода).
Rаждая иа 8ТИХ 8Rвиполлентностей определяет одну иа двух свяа
ностей беа Rривианы rрупповоrо пространства; Rаждая иа 8ТИХ СБяаностей
имеет Rручение, причем оба 8ТИ Rручения равны по абсолютной вели
чине и противоположны по анаку. Что Rасается тре1.ъей свяаности,
то ее Rручение равно нулю, но она имеет ненулевую Rривиану, и
1) Е. С а r t а n and J. А. S с h о 11 t е n, Оп the Geometry of the Gro11pmanifold'
of simple and semi simple gro11ps, Proc. Akad. Аmstеrdаш, 29, 1926, стр. 803 815.
2) Е. С а r t а n, La geometrie des gro11pes de transformations, J011rnal Math., 6
1927, СТр. 1 119.
32*
..500
Э. КАРТАН
1'i1tВRполлентность двух веЕТОрОВ может быть определена здесь ТОЛЬRО
шаr за шarом.
rеодезичеСRие линии rрупповоrо пространства одни и те же для
всех трех связностеЙj они связаны с однопараметричеСRИМИ подrруп
пами данной rрУППЫj подrруппам, зависящи;\! от неСRОЛЬRИХ пара
метров, соответствуют в n о л н е r е о Д е з и ч е с R и е мноrообрааия,
"Т. е. таRие, что ВСЯRая rеодезичеСRая линия, имеющая в 8ТОМ MHOro
>образии две ТОЧRИ, принадлежит ему цеЛИRОМ. Существуют и друrие
:вполне rеодезичеСRие -мноrообразия, отличные от УRазанных, причем
;в теории rрупп они иrрают роль, о RОТОРОЙ раньше не подозревали.
.
J1.fноrие из основных понятий И теорем теории rрупп принимают
'при рассматриваемой интерпретации интересный rеометричеСRИЙ xa
'раЕтер. ТаЕ, СТРУЕтурные постоянные rруппы определяют Rручение
юдноrо из rрупповых пространств нулевой RРИВИЗНЫj две rруппы,
лмеющие одно и то же пространство нулевой RРИЗИЗНЫ, изоморфны.
Наоборот, может случиться, что две rруппы имеют одно и то же про
<странство без Rручения, не будучи изоморфНЫМИj совпадение про
-странств без Rручения двух rрупп вводит, следовательно, изоморфизм
более общеrо вида, чем обычный; ero можно назвать аффинным изо
морфизмом. Можно ТаЕже ввести пон.ятие о проеRТИВНОМ изоморфизме,
создавая в I'РУППОВОМ пространстве проеRТИВНУЮ связность, COOTBeT
ствующую rpynne инвариантным образом.
Среди непрерывных rрупп имеется особенно важный Rласс . про
'стых И полупростых rрупп. Пространства без Rручения 8ТИХ rpупп
.суть римановы с ялементом длины ds 2 , не являющимся обязательно
определенной Rвадратичной формой. Они составляют часть более
обширноrо RЛасса римановых пространств, хаРaRтеризуемых тем свой-
ством, что в них параллельный перенос сохраняет риманову RРИВИЗНу.
-Интересно отметить, что 8ТО свойство 8Rвивалентно следующему, Еоторое
.с первоrо взrляда Rажется менее оrраничительным: сим."\1:етрия по
'отношению R любой ТОЧRе пространства есть и з о м е т р п ч е с R о е
преобразование, т. е. оставляющее инвариантным 8лемент длины ds2
'-пространства.
Проблема определения всех пространств с положительной опре
деленной формой ds 2 , риыанова Rрпвизна ЕОТОРЫХ сохраняется при
'параллельном переносе, решена полностью 1); псследованпе наиболее
.общих типов ятих пространств приводится R изучению мноrообразий
:меньшеrо числа измерений, Еоторые называются н е при в о Д п ;\1 Ы :\1 п.
1) Эта проблеиа была предметои иссле,;J;ованин не;:щвно понвившеrосн ыеыуара
(ВаН. Soc. Иаth., 5-1, 1926 стр. 214 26-1; 55, 1927, стр. 1l 134). Си. также Е. С а T
t а п, SHr les espaces de Riemann dans lesqllels le transport рат paralIelisme conserve
.а сопrыlе,, Rend. Асс. Lincei, серия 6, 31, 1926, стр. 544 547.
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
50r
Эти неприводимые пространства Римана открывают наиболее неожи
данные перспек'l'ИВЫ на некоторые важные проблемы теории простых
rрупп и классической rеометрии. .я: буду ради краткости называть
их пространствами Е 1).
х
Для лучшеrо уяснения той роли, которую иrрают пространства E
следует сделать неСКО;?IЬКО предварительных заиечаний по поводу
простых rрупп. Каждой простой структуре поря.rща r соответствует,
прежде Bcero, rруппа с к о м п л е к с н ы м и параметрами а 1 , а 2 ,..., a r
(в действительности не одна, а бесчисленное множество rрупп, но
все они изоморфны между собой). Но этой структуре MorYT COOTHeT
ствовать также rруппы, которые получаются, если взять вместо.
а 1 , а 2 ,. . ., a r соответствующим образом выбранные аналитические функ
дии вещественных параметров а 1 , а 2 ,.. ., a r ; будем rоворпть кратко,
что rруппа является к о м п л е к с н о й в первом случае и в е Щ е с T
в е н н о й во втором. Например, rруппы всех комплексных или веще
ственных проективных преобразований п переменных являются COOT
ветственно комплексными или вещественными, причем они COOTBeT '
ствуют одной и той же структуре.
Данной простой структуре COOTBe CTByeT несколько различных
вещественных видов rрупп, не шюморфных между собой; в частности,
коиплексной проективной rруппе п переменных соответствует веще
ственная проективная rруппа 1 переменных, а также линейные уни
модулярные rруппы формы Эрмита с 1 + 1 пере:ненными (определен
ной или неопределенной). Хотя переменные являются комплексными,
эти последние rруппы называются в е ш е с т в е н н ы м И, потому что'
внимание здесь обращается на (п+ 1)2 1 вещественных величин.
от которых зависят параметры их подстановок.
В 1914 rоду 2) я определил все различные вещественные виды
rрупп, соответствующие одной и той же простой структуре. Среди
всех этих rрупп имеется одна, исключительную важность КОТОРОЙ;
обнаружил Вейль 3), это так называемая унитарная rруппа;
область унитарной вещественной rруппы з а м к н у т а, в то врема
1) В позднейших работах Еартан называет пространства, в которых парал
лельныЙ перенос сохраняет кривизну, e-и.п.llе1прпЧССIi:UА1U. [Рсп.)
2) Е. С а r t а п, Les grопреs reels simples. finis et сопtinпs, Аnn. Ес. Norm.,
серия 3, 31, 1914, стр. 263 355.
3) Н. W е у 1. Theorie der Dаrstellппg kontinuierlicher halb einfacher Grпрреп
dпrсh lineRl'e Transformationen, Math. Zeitscbr., 23, 1925, стр. 271 309; 24, 1925,
стр. 328 395. [r. в е й л ь, Теория представлеИИЙ непрерывных полупростых rрупп
при помощи линейных преобразоваиий. Успехи математичесн:их наун:, вып. IV>
1938, стр. 20l 246. Рсд.)
502
Э. КАРТАН
Еак области друrих вещественных rрупп являются о т к рыт ы м и.
Необходимо, таким обрааом, для данной простой структуры рааличать
Rомплексну ю rруппу, унитарную вещественную rруппу II
ряд не унитарных вещественных rрупп.
Вернемся теперь к пространствам Е. Первый замечательный ре-
'3ультат заключается в том, что их определение приводится к опре
деленmo различных вещественных rрупп, соответствующих различны;\!
возможным простым структурам. А именно, комплексной rруппе и
'Каждой И3 вещественных не унитарных rрупп данной простой CTPYК
туры соответствуют два класса пространств Е; пространства первоro
Rласса имеют риманову кривизну повсюду положительную или paB
ную Нулю; пространства BToporo класса имеют риманову кри-
:визну овсюду отрицательную или нулевую. В каждом классе
!Имеется, собственно rоворя, только одно пространство, так как П3
оОдноrо можно получить остальные простым изменением единицы
длины.
Я буду roворить преимущественно о пространствах Е с отрица
-тельной кривизной. Все эти пространства имеют всюду реrулярную
метрику; они односвязны и обладают тем свойством, что через две
произвольные ТОЧЕи проходит одна и только одна rеодезическая линия.
Rаждое из них допускает rруппу движений, являющуюся или просто
Rомплексной или вещественной не унитарной rрynпой, которой это
пространство соответствует; в первом случае ero rруппа движений
оОпределяется 21- вещественными параметрами, во втором случае имеется
только 1- вещественных параметров. rруппа же движений пространств Е
о() положительной кривизной, наоборот, всеrда является унитар
ной вещественной rруппой. Для тех и друrих пространств rpYII
па изо метрических вращений около точки (rруппа ИЗОТРОПIIи)
;является простой унитарной или распадается на простые унитар
вые rpуппы.
XI
я укажу только две проблемы И3 теории rрупп, разреmение KOTO
рых связано с рассмотрением пространств Е.
Известно, что с точки зрения Ли всякая непрерывная rpynna
может быть образована при помощи бесконечно малых преобрааований;
в действительности всякое конечное преобрааование, достаточно близ-
кое к тождественному, может быть получено бесконечным повторе
нием одноrо и Toro же бесконечно малоrо преобрааования, подобно
тому как вращение на конечный уrол а около оси может быть полу
чено бесконечным повторением вращения на бесконечно малый yrол
Бокруr этой оси. Но имеются случаи, rде некоторая часть конечных
ТЕОРИЯ rрупп и rЕОМЕТРИЯ
503
преобразований rруппы не может быть образована подобным обраЗО:\I.
Напри:мер, унимодулярная вещественная подстаНОВl,а с тремя IIере
менными
х' == ах, у' == Ьу, z' == cz
(аЬс == 1),
тде а положительно, Ь и с отрицательны, не может быть обравована
при помощи бесконечно малой вещественной линейной подстановКII.
В частности, в случае простых структур комплексная и унитарная
вещественные rруппы полностью MorYT быть образованы при помощи
их бесконечно малых преобразований, в то время как это не ииеет
ыеста, вообще rоворя, для не унитарных вещественных rрупп. Спра-
ведливо утверждение, что каждое конечное преобразование может быть
рассматриваемо как произведение HeKoToporo числа пр еобразований,
из которых каждое имеет образующее ero бесконечно малое преобра-
зование, но а priori неизвестно, является ли это число оrраниченным.
Между тем, теория пространств Е с отрицательной кривизной дает Ha 1
на этот счет точное и ПрОС'I'ое указание.
В самом деле, пусть G есть не унитарная вещественная rруппа,
Е пространство с отрицательной кривизной, для KOToporo G является
rруппой движений. Фиксируем некоторую точку О пространства.
Среди движений пространства будем различать вращения около О и
с Д в и l' И (transvections); я обозначаю этпм термином перемещение,
при котором некоторая rеодезическая линия скользит по себе самой,
.а векторы, ВЫХОДЯЩИе из ее точек, переносятся параллельно в смысле
Леви Чивитаj рассматриваемая rеодезическая линия называется о сью
(базой) сдвиrа. Rаждое движение может быть разложено одним и
"Только одним способом на вращение около О и сдвиr, имеющий осью
rеодезическую Линию, проходящую через О. Но каждое из этих co
ставляющих движений может быть образовано из бесконечно малоrо
движения (вращения или бесконечно :малоrо сдвиrа). Следовательно.
Rаждое конечное преобразование rруппы G может быть разложено
единственным способом на два преобразования, каждое из которых
имеет образующее бесконечно :иалое преобразование. Так, например,
всякая линейная унимодулярная вещественная подстановка может
быть разложена единственным способом на ортоrональную подста
ЕОВКу и симметрическую положительную подстановку (т. е. на IIОД
становку, в е к о в о е уравнение которой имеет все корни веществен
Еые и положительные).
ХII
Вторая проблема, которую я хотел бы указать, заключается н сле
дующем: я уже rоворил, что данной (инфинитезимальной) структуре
соответствует бесконечное множество rрупп а, но все эти rруппы между
504
Э. КАРТАН
собой иаоморфны. Это не будет уже справедливо, если мы будем рас-
сматривать область существования этих rрупп в целом; может слу
читься, что преобрааованию одной иа этих rрупп соответствует He
сколько и даже бесконечное количество преобрааований друrой rрупш,r.
Так, вещественному проективному преобрааованию одной переменной
соответствуют две унимодулярные линейные подстановки двух
переменных. Можно всеrда вообрааить 1:акую абстрактную rруппу а', что
всякому преобрааованию rруппы а' соответствует одно и только одно
преобрааование какой нибудь одной иа rрупп а, между тем как пре
обрааованию этой rруппы G может соответствовать несколько преобра
аований rруппы а'. Эта rруппа а' имеет односвяаную область, т. е.
всякий аакнутый контур в этой области приводится к нулю (может
быть стянут в точку) непрерывной деформапией. Каждая rруппа а,
которая имеет иаоморфиам не вааимно одноаначный (в целом) с а',
не будет односвяаной, и число аамкнутых контуров, неприводимых
между собой при помощи непрерывной деформации в области rруппы а,
равно числу преобрааований rруппы а', соответствующих тождест
венному преобрааованию rруппы а; число это может быть конечным
или бесконечным; укааанные преобрааования rруппы а' обраауют
дискретную rруппу, которую можно наавать rруппой свяаности для
rруппы а.
Вейль докааал 1), ч'то каждая простая вещественная унитарная
rруппа имеет конечную rруппу свяаности, причем можно добавить,
что всеrда существует линейная односвяаная rруппа укааанной Be
щественной унитарной структуры. rруппы свяаности простых веще
ственных унитарных rрупп иавестны. Но метод, с помощью KOToporo
Вейль получил этот фундаментальный реаультат, не приложим
к вещественным не унитарным формам простых rрупп, например,
к проективной вещtJственной rруппе, к линейной вещественной rруппе
неопределенной квадратичной формы и т. д. Пространства же Е
с отрицательной кривианой, соответствующие вещественным не уни
тарным rруппам, дают нам непосредственный метод для решения
проблемы. Действительно, пусть G будет rруппой движений простран-
ства Е. Каждое преобрааование l'рУППЫ G одним и только одним спо-
собом раалаrается на вращение около фиксированной точки О и на
сдвиr, переводящий точку О в некоторую точку А и вполне опре-
деляющийся положением точки А. Отсюда следует, что каждый aaмк
нутый контур в области rруппы G приводитсн к двум аамкнутым
контурам: одному, расположенному в области rруппы вращения
(rруппы иаотропии), друrому в области сдвиrов, т. е. в конечном
итоrе в пространстве Е. Так как пространство Е односвяано, то вто-
1) Ыаth. Zeitschr., 24, 1925, стр. 380.
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
505
рой зам:кнутый :контур приводим :к нулю. Та:ким обрasом, два 3а:\ПШУ
тых :контура, принадлежащих области полной rpynnu а, будут при
водимы один к друrому тоrда и толь:ко тоrда, если соответствующие
:контуры в области rpYnnbl ИЗ0ТРОnnИ обладают тем же свойством.
Иначе rоворя, rpynna СВЯ3НОСТИ дЛЯ G тождественна rpynne СВЯ3
ности rpYnIIbl ИЗ0ТРОПИИ, а так :как эта последняя является линейной
унитарной rруппой или рasлаrается на унитарные и (в не:которых
случаях) однопаРШIeтричес:кую rpYIIIIY, ИЗ0МОРФнУЮ rpYnIIe враще
ний на плос:кости, то леr:ко определить ее rpynIIY СВЯ3НОСТli,
та:к что предложенная проблема решена, Общий вывод таков.
rpynna СВЯ3НОСТИ вся:кой простой вещественной не УНИТI:LРНОЙ
rpYnnDI или обраЗ0вав:а И3 :конечноrо числа операций, или рasла
rается на :конечную rpynny и цикличес:кую еруппу бес:конечноrо
порядка.
Я у:кажу толь:ко на один любопытный результат. rруппа связности
прое:ктивной вещественной rpYnnbl одноrо nepeMeHHoro бес:конечна,
между тем :ка:к для прое:ктивной rруппы мноrих переменных она
является :конечной.
Между прочим, во всех случаях можно действительно построить для
данной вещественной не унитарной rpYnnbl простой стру:ктуры oднo
СВЯ3НУIO rpynny а'; толь:ко эта rpynna не является обязательно ли
нейной, :ка:к в случае унитарных форм. В случае вещественной прое:к
тивной rpYnnbl одноrо nepeMeHHoro ОДНОСВfl3Ная rpynna а' дается,
например, следующей формулой:
, atgx+b
tg х === а' tgx + Ь' .
TO:tEДecTBeHHoMY прое:ктивному преобрasовав:ию (а === ь' === 1, а' === Ь === О)
соответствует бес:конечное число преобраЗ0ваний
х' === х + 1И!:
(п целое).
Предыдущий метод применим та:кже :к простой :к о м n л е :к с н о й
rpynne, :которая имеет ту же rpynny СВЯ3НОСТИ, что и вещественная
унитарная rpynna.
ХПI
Пространства Е, о :которых я толь:ко что rоворил, являются про
странствами Елейна, имеющимИ в :качестве фундаментальной rрynпы
rpynny их движений. Существование этих пространств по:кааывает,
что вся:кая rеометрия Елейна с простой фундаментальной rруппой
превращается в риманову соответствующим выбором OCHOBHoro эле
506
э. КАРТАН
мента пространства; выбор является, в сущности, единственным!),
если фундаментальная rруппа к о м п л е к с н а я или в е Щ е с т в е H
н а я н е у н и т а р н а яj он будет мноrозначным, если фундаментальная
rруппа является в е Щ е с т в е н н о й у ни т а р н о й\J). 31'01' результат
распространяется, очевидно, на полупростую rруппу. Если ПрII
НЯ1Ъ во внимаIOJе, что наиболее важные rеометрии Елейна это те,
у которых фундаментальные rруппы или простые или полynростые
(rеометрии проективная, аффинная, конформная, Лаrерра, 3рмита
и т. д.), ТО мы придем к тому неожиданному выводу, что риманова
rеометрия (с определенным ds 2 ) заШIмает совершенно привилеrирован
ное положение. Исходя в начале этоrо ДОRЛада из антаrонизма между
rеометриями Елейна и общей римановой rеометрией, мы приходим,
совершив большой обход, к тому утверждению, что именно в рима
новой форме rеометрии Елейна или по крайней мере наиболее важные
среди них лучше раскрывают свои основные свойства. Можно было бы
MHoro сказать об этой rеометрической стороне вопроса 8). Я оrраничусь
указанием одной интересной проблемы.
Известна та важная роль, которую иrрает принцип двойствеННОСТII
в проективной rеомеТРИИj но этот принцип совершенно не проявится,
если оrраничиться н е п р еры в н о й частью фундаментальной rруппы
этой rеометрии, именно, rрynпой коллинеаций (полная фундаменталь-
ная rруппа проективной rеометрии образована из коллинеациЙ и
корреляций). В каждой rеометрии Елейна с данной непрерьrnной
фундаментальной rруппой наиболее интересным является решение
вопроса о том, нельзя ли эту непрерывную rруппу дополнить дpy
rими семействами преобразований, аналоrичных коррелятивным пре-
обра80ваниям проективноrо пространства. В этой проблеме теория
унитарных rрynп дает полное решение в тех случаях, коrда фунда
Ч Это значит, что если имеются две систеиы основных элементов, приводя
щих К римановой rеометрни, то можно установить между элементами этих
систем взаимно однозначное соответствие такое, что два соответствующих 8ле
мента будут иивариантны относительно одной и тоЙ же подrРУПIIЫ фундамен
тальной rРУПIIЫj в сущности, 8ТО та подrруппа, которая соrласно идеям ЕлеЙНа
и Пуаикаре определяет «точку» пространства.
Z) В этом последнем случае MorYT появиться, кроме 1'01'0, римановы формы
с к р у ч е н и е м, причем кривизна и кручение будут сохраняться при парал
лельном переносе.
3) В арифметике и теории функций существование этих римановых форм
иrрает важную роль. Таким именно обра80М Пуанкаре привел вопрос о возможности
общеЙ теории rиперфуксовых Д и с к р е т н ы х rруIШ К римановой форме, которую
можно ввести в rеометрию неопределенной фориы Эрмита (О. R., 98, 1884,
стр. 503); теория фуксовых rpYnII и rрупп ЕлеЙна также приводится к неевкли
ДOBЫJ\f rеометриям двух и трех измерениЙ римановым формам проективны;х
rеометриЙ вещественноЙ прямой и прямой комплексной.
ТЕОРИЯ rрупп И rЕОМЕТРИЯ
507
ментальная труппа является простой или полупростой. .я- укажу
"Только на довольно интересный результат именно, что в теО:\IеТрПll
R8ЛИ семи измерений, абсолютом которой являетсп квадрпка
xi+ ; + + x x x' == о,
l'руппа собственных движений дополняется 23 друrП:\IИ се:иеЙСТВIOIП
преобраsований.
Надеюсь, что н покasал Вам все рasнообраапе проблем, которые
позволяют ставить и раsрешать, опираясь друт на друта, теория
rрупп и rеометрия. 3десь l'>{bl имеем широкое поле для исследований,
.обещающее очень интересные результаты.
ПРИЛОЖЕНИЕ
БИБлиоrр АФИЧЕСRИЕ СВЕДЕНИЯ
п. н. БРОНШТЕЙН
3десь приводятся данные о предыдущих изданиях работ, поме
п енных в этом сборнике, и о тех ОТRЛонениях от первоисточников,
которые внесены редакцией сборника. Данные не являются исчерпы
ваюп ими: в них указаны в основном ориrинальные издания и все
IIЗДания на рУССКОМ языке; из последуюпщх изданий и переводов
на друrие языки указаны лишь важнейшие.
1. rЕО1\IЕТРПЯ ЛОБА ЧЕвскоrо
Н. И. л о б а ч е в с R И Й. .0 началах rеоме'rрии
Сочинение было напечатано в пяти книжках журнала «Rазанский
вестник» в 1829 и 1830 rr. 1); в нем была впервые опубликована
неевклидова rеометрия 2). Ориrинальный текст не имеет никаких
делений и напечатан «сплошняком»; по своему содержанию он может
быть разделен на семь рубрик: 1) вступление, 2) абсолютная reoMeT
рия, 3) основы «воображаемой» rеометрии, 4) вопрос о rеометрии
реальноrо пространства, 5) аналитическая и дифференциальная
rеометрия неевклидова пространства и вычисление длин, площадей,
поверхностей и объемов, 6) сравнение интеrра.лов и найденные вновь
определенные интеrралы, 7) ЗaRлючение. Только последние две
рубрики имеют названия.
В настоящем сборнике помещены рубрики 1 4
друr от друrа чертами) и заRЛючение (рубр. 7). :Этот
приблизительно третью часть Bcero сочинения.
В 1883 r. сочинение было полностью воспроизведено без всяких
комментариев в Полном собрании сочинений Лобачевскоrо по reo
метрии 3).
(они отделены
текст содержит
1) Казанский вестник, ч. XXV, кн. II III, февраль MapT 1829, 178 187;
кн. IV, апрель 1829, 228 241; ч. ХХVЦ:, кн. XI XII, ноябрь декабрь 1829,
227 243; ч. ХХVПI, IШ. III IV, март апрель 1830, 251 283; ч. XXIX,
кн. УII VIII, июль aBrYCT 1830, 571 636.
2) В этом сочинении Лобачевский указывает, что содер:ш:ание наиболее суще
ственноЙ ero части (рубр. 1 3 нашеЙ рубрикации) было ии доложено Физико
математическому отделению RазаНСROrо университета еще в 1826 r. (см. стр. 27
и 45 настоящеrо сборника). Фактически к :Новой rеометрии ЛобачевскиЙ пришел
около 1824 r. (см. И. Н. Бронштейн, Е истории «Обозрении преподавания
чистоЙ математики» Н. И. Лобачевскоrо, Историко математические исследования,
вып. 3, М. Л., 1950, 171 196).
3) IIолное собрание сочинении по rеометрии Н. И. Лобачевскоrо, т. 1 (сочи
нения на русском языке), Еазань, 1883, 1 67.
512
И. Н. БРОНШТЕЙН
В 1898 1'. вышел перевод сочинения на немецкий язык, сделанный
Ф. ЭН1'елем 1 ); он содержал почти ПОJПIый текст сочинения (была
опущена лишь рубрика 6) и сопровождался подроБныJvии примечаниЯJ\iП
переводчика. Вместе с ним был напечатан перевод сочинения Лоба
чевско1'О «Новые начала 1'еометрии'С полной теорией параллельных»
(см. примечание 8) на следующей странице). Эти переводы ииелп
большое значение для распространения идей Лобачевско1'О.
В 1908 1'. первая часть сочинения (рубрики 1 4) вышла отдель
ным изданиеи с примечаниями А. Н. Желтухина 2).
Всё сочинение с очень обстоятельными коым.ентарияии А. П. Eo
тельникова было напечатано в 1 томе Полно1'О собрания сочинений
Лобачевско1'О в 1946 1'.3); с это1'о издания воспроизведен текст,
поыешенный в настоящем сборнике.
Небольшой отрывок из сочинения (основные сведения о площадях
плоских фи1'УР) включен в однотом.ник избранных 1'еометрических
работ Лобачевско1'О, ПОД1'отовленный к изданию в 1956 1'. к 100 летию
со дня e1'o сиерти Акадеиией наук СССР 4).
Н. И. л о б а q е в с х I1 й. Воображаеl\IaЯ rеОl\IeТрИЯ
Сочинение было напечатано в «Ученых записках Rазанско1'О YHII
верситета» в Н335 1'.5); еще раньше Лобачевский послал в журнал
Rрелля французский текст ЭТО1'о сочинения, несколько отличающийсЯ
от pYCCKo1'o, но e1'o опубликование задержалось 6), и он был напечатан
в этои журнале лишь в 1837 1'. 'i). Еак и первое сочинение Лобачев
cKo1'o, «Воображаемая 1'еоиетрия» не имеет никаких делений на
рубрики.
В настоящем сборнике поыешена начальная, наиболее существен
ная часть сочинения (примерно одна пятая) и e1'o заключение. :как
и в сочинении «U началах 1'еометрии», помещенный здесь текст
доведен до вычислений длин, площадей, поверхностей и объе;\юв и
применений к нахождению значений определенных инте1'ралов.
В 1883 Il 1886 1'1'. русский и французский тексты сочинения были
напечатаны без комментариев в ПОЛНО;\I собрании сочинений Лоба-
чеВCItо1'О по rеометрии 8).
1) F. Е n g е 1, Nikolay I\Yanowitsch Lobatscl1efskij, Z,vei gеошеtrisсlш Abbancl
lпngеп, Leipzig, 1898, 476 CTlJ. (текст сочинения «UеЬш' die Anfangsgl'unde cler
Gеошеtl'iе» на стр. 1 (6).
2) Н. И. Л о б а ч е в с к и Й, О началах rеомеТрШI, примечаmIЯ А. Н. fI emy
хина, СIIБ, 1908, 48 стр.
3) Н. И. Jl о б а ч е в с к и Й, Полное собрание сочинениЙ, т. 1, М. Л., 1946,
185 261.
4) Н. И. Jl о б а ч е в с к и Й, Избранные сочинения по rеометрии, 1956, стр.
417 422.
5) Ученые записки Еазанскоrо имп. университета, 1835, ЕН. 1, 3 88.
6) Об этом см. Н. И. Л о б а ч е в с к и Й, IIолпое собрание сочинений, т. III,
М. Л., 1950, стр. 171 172. На стр. 172 этоЙ Rниrи приведена табшща сравнения
pyccKoro И французскоrо текстов сочинения.
7) N. 1. L о Ь а t s с h е f s k i j, Gеопн'itriе iшaginаi.l'е, Jопrnаl fur die reine пnсl
angewandte l\Iаthешаtik, Berlin 17, 4, 1837, 295 320.
8) Полное собрание соч:инениЙ по rеомеТрШI Н. И. Лобачевскоrо, т. 1 (соч:и
нения на русском языке), Еазань, 1883, 71 120; т. II (соч:инения на французском
и HIcJMeЦEOM языках), Еазань, 1886, 581 613.
БИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
513
В 1904 1'. r. Либман 'перевел сочинение на немецн:ий яаЫI ,н
БЫПУСТИЛ вместе с переводом сочинения «Применение воображаемой
rеометрии 1, НeIЮТОРЫМ интеrралам» и своими примеЧ3JIИЯМИ 1).
Русский текст и русский перевод француаскоrо текста, сделанный
А. Н. Хованским, были напечатаны в 1950 r. в IП то:\ш Полноrо
обрания сочинений Лобачевскоrо с обстоятельными комментариями
А. П. Нордена и А. Н. XOBaHcKoro 2). Для удобства чтенип в этом
.собрании текс']' сочинения был раабит на 75 рубрик, к каждой иа
:которых было дано примечание.
В 1956 1'. русский текст вместе с этими же примечаниями пол
.ностью включен в однотомник иабранных rеометричеCI,ИХ работ
Лобачевскоrо, подrотовленный к паданию к 100 ,летию со дня смерти
Лобачевскоrо Академией HaYI, СССР:3).
Н. и. л о 6 а ч е в с к и И. ВС'l'УII.Тrепие I СОЧИПfШllЮ
«Новые пача.'Ш l'еОJtIe'l'рИИ с ПШIПОИ 'l'РОРИСИ пара.1J.1Jе. 1 1'J.НЫХ»
Всё большое сочинение, СОСТОЯIцее 113 вступления и тринадцати I'лав,
печата,лось R «Ученых dаппсках !{аааПCIюrо университета» R тече
ние чет..lрех лет (с 1835 по 1838); помещенное в настоящем сборнин:е
вступление вышло (вместе с первой rлавой) в 1835 rоду 4). Uтдельно
на РУСCIим яаыке вступление не иадавалось; в 1897 r. вышел анrлий
ский перевод вступления, сделанный rальстеДО:\I; он выдержал два
<иадания Б ).
В настоящем сборнике вступление печатаетсп в сокращеННО:\I виде
VM. стр. 63).
Всё сочинение полностыо печаталось R обоих собраниях сочинений
Лобачевскоrо в 1883 1'. беа ком:ментариев 6 ), а в 1949 r. с KOMMeH
-тариями Б. Л. Лаптева, А. П. Нордена и А. Н. XOBaHCI oI'O '/).
Сочинение (беа двух последних rлав, не свяаанных непосредственно
с rеО:\Ieтрией Лобачевскоrо) было переведено в 1898 r. на немецкий
яэьш 8нrелем R ), а в 1900 r. на француаский яаык -М:ай0 9 ); второй
перевод иадава.лсн дважды.
1) N. 1. L о Ь а t s с h е f s k i j, Imaginare Geometrie Hlld AnwendHngen der imagi
naren Geometrie апf einige Iпtе ь 'Та1е, Leipzig, ] 904, 88 стр.
2) Н. И. Л о б а ч е R с 1_ И Й, Полное собрание сочинениЙ, т. III, Ы. .n., 1950,
,русскиЙ текст стр. 16 70, перевод с француаСIщrо текста стр. 139 170.
3) Н. И. Л о б а ч е в с к и й, Избранные сочшюния по rеометрии, 1956,
Tp. 317 413.
4) Ученые записки R'азанскоrо имп. университета, 1835, КII. III, 3 48 (вступ
ление на стр. 3 32); 1836, кн. Н, 3 98; кн. IП, 3 50; 1837, кн. 1, 3 97; 1838,
I н. J, 3 124; I_H. II1, 3 65.
б) N. J. L о Ь а е v s k i j, IntrodHction to the New princip1es of geometI'y, ,vitll
comp1ete tЬешу of paralle1s, transI. of G. В. GaIsted, Trans. ТехаБ Асзd. 2, 1897,
1 17. Апstiп, 'I'exas, Neomonic SeI'ies, У, 1897, 27 стр.
С) ПОJlНое собрание еочинениЙ по rеометрии Н. И. 'nобачеRскоrо, т. 1 (сочи
пения на РУССКОМ языке), Еазань, 1883, 21 486.
7) Н. И. .n о б а q е в с к и Й, Полное собрание сочинений, т. II, Ы. Л., 1949,
147 4,)4.
8) F. Е n g е 1, Nik01ay Iwanowitsch Lobatschefskij, Zwei geometrisclle Ahhand
IHngen, Leipzig, 1898, 476 стр. (текст сочинения «NeHe АпfапgsgrЙпdе der Geometrie
mit einer vollstalldigen Theorie der PaI'alIelIinien» па c 'p. 67 235).
9) N. J. L о Ь а t с h е f s k У. NOHveaHx principes de Ia geometl'ie avec IIпе theOl'ie
complete des рш'аIIClеs, trad. раr }<'. ЬТаlIiеllХ, Мет. 80С. l'OY. Sci., Liege. (3), 2,
.10;! 5, 1900, 101 етр. 3, ом 2, 1900, 32 стр., переиздание: BI'HxelIes, 1901, 13 стр.
3з 3ак. 1164. Об основаниях rеометрии
514
и. Н. БРОНШТЕЙН
в HJl2 1'. сочинение вышло о 'дельной КНИ1'ОЙ с примечания:ми
Д. М. Синцов а 1), в 1932 1'. в ув:раинсв:ом переводе В. Лув:аmа "),
а в 1956 {'. вв:лючено в однотомнив: избранных rеометричесв:их работ
Лобачевсв:оrо, ПОД1'отовленный к изданию в: 100 лт'ию со дня ero'
смерти Ав:адемией наув: СССР 3). Все эти издания 'rакже не содержат
двух последних rлав сочинения.
П. Б о л ь а и. АПП(}НДИRС
«Аппендикс» был напечатан в 1832 1'. на лаТИНС1{ОМ языв:е в виде
приложения к первому 'OMY сочинения «Тентамен» 4), написаннО1'О
O 'ЦOM Яноша Фаркашем Больаи. Полпое наЗ13ание сочинении
«Аппендикс» приведено на стр. 71.
В О 'ЛПЧllе o ' тев:ста, помещеНН01'0 в настоящем сБОРНИ1{е, в пеРВО:\I
издании був:вы, обозначающие 'очв:и, не l'О'l'ичеСВ:I:Ie, а латинские;
выделения в:урсивом не вполне соо 'ветс '13УЮ ' настоящему изданию,
:каждая формула напеча 'ана не отдельноЙ с 'ров:ой, а вподбор, каждr,IЙ
парю'раф (за редв:ими исв:лючениями) не разбит па абзацы Б). :Эти
пзменеПIIЯ сделал автор в своем переводе «Аппендикса» на не:\lецкий
5ШЫЕ (в том же 1832 1'.). В 8 'OM переводе слово «АппендИВ:С» в за1'ла
вин за:\lенепо слова:\lИ «Учение о прос 'ранс 'ве» 6). Перевод сохранился
в бумаrах Я. БольаИj основной ero тев:ст (до 8 32) почти точпо
ВОСПРО1l3В()ДИ ' латинсв:иЙ тев:с']: «Аппендив:са», 88 32 и 33 содержа '
знаЧI1теJIьные о 'ш'упления, 88 34 43 (дополнительны:й ма 'ериаJI)
вовсе опущены. :Э 'О ' немец:кий 'eв:c ' «Аппендикса» воспроизведен
Штеl{RеJIе:\I во второЙ час 'и 81'0 моноrрафии, посвященной Фарв:аmу
II Яноmу Больаpr ',); в: нему Штев:в:еJIЬ присоединил свой пере
вод 88 32 H.
в 1902 1'. Вшп'ерсв:ая ав:адемии наук в 03НЮ1енование с 'олт'ии
со дня рожденпя Я. Больаи выпус 'ила в CBe ' новое ла 'инсв:ое изда
пие «Аппендив:са» 8); с Э 'ОI'О пздания и сделан нас 'оящиЙ перевод.
1) Н. И. Л о б а ч е в с I{ И Й, HOBLIIcJ начала rеометрии с полноii: теориеЙ па}Jал
лелъных. Харыюв, 19Н, «ХарьБ:. матем. библиотека», М 2 3, 234 стр.
2) 1\1. 1. Л о б а ч е в с ь К i У, HOBi основи reol\feTpil з повнuIO теориею IIapa;r
лелышх, XapbI,iB KiIB, 193J, 130 стр.
:;) Н. И. Л о б а ч е в с к и Й, Избранные сочинения по rеометрии, 1956"
стр. 77 313 (встунление на стр. 77 99).
4) «Tentamen juventHtem stlldiosam in еlеншпtа шаthеsеоs pllrae elemeIltaris
ас вн blimiuris, methodo intlliti va, evideIltiaqlle hllic propria iпtl'оdпсеIldi). (<<Опыт
введения учащш'ося юнотеt:тва в начала чистоЙ математики, элемеlI'l'арноЙ и
высшеil, приспособленным для этоrо наrлядным методом:>, т. 1, Марот ВаПIар
rель, 1832.) «Аппендикс» содержит 26 чертежеЙ формат'а 20x12 Cel!; К ПИМ при-
ложен сводныЛ лист' всех чертежеЙ. Факсимиле первоЙ страНIЩЫ «АппеНДIШСа.»
п листа чертежей помещены в настоящем сборнике неред стр. 73 и 101.
5) Такая I,омпактная печать, образец котороЙ виден на приведенном фаI,СИ-
миле первоЙ страницы текста, прсдставляlcJТ, I,онечпо, БО.1Iьшие неудобства ДJIЯ
чтения; она была вызвана необходимостью БОJIЬШОЙ экономии: «АппеНДИl,СJ)
печатался на личные средства автора.
6) Raumlehre, ппаЬЫiпgig уоп der (а priOl'i nie entschieden '\verdenden) Wallr
oder Falschkeit der beri.i.chtigen ХI Euclid'scl,en Axioms).
7) Р. S t а с k е 1, Wolfgang ПIlй Johann Bolyai, Geometrische Untersuchllngen.
1. Leuen ппй Se;hriften der beiden Bolyai. П. Stucke аllЭ den Schriften der ЬеЫеп
Bolyai. Lei 'zig н. Berlin, 1913.
8) Johannis Bolyai de Bolya, Appendix... Editio поуа oblata аЬ Aca
demia sсiепtiаrпm HHngarica ай diem natalem centisimHm allctoris concelebran
rИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
515
«Аппендикс» MH01'O раз переводился на ДРУ1'ие Я3ЫЮI [). На pyc
СКОМ языке «Аппендикс» вышел в 1950 т. впереводе П. Ф. RaJ'aHa
с обстоятельными примечаниями и двумя вступитеJIЬНЫМП статьями
переводчика (БИО1'рафический очерк .п. Больаи и ItраТIШЙ обзор сочи
нения «Аппендикс»), с приложением «3а;\Jечаний» Я. Больап It «Teo
метрическим исследованиям» Лобачевско1'О "). TeJtCT «Апп 'ндикса»,
помещенныIй в наС1'оящем сборнике, отличается 0'1' издания 1950 ['о
-только тем, что чертежи помещены на отдельной таблице, '11'0 ближ
соответствует ОРИ1'инальному издаIШЮ.
!{". Ф. r а у с С. ()'I'рыrши И3 Jlи е1!f JI че!Р'Оjlые JlаброrIШ,
ОI'НОСЯЩИf'( Я R н{'еВI ЛИДОВ()Й l'ео 'е'l'рИИ
Переписиа ['аусса с Шумахером, из КОТОРОЙ стали НанеСТИТJ
вз1'ЛЯДЫ Таусса на основы 1'еО:\JeТРПИ и на открытие ЛобачеВСJi:Ol'О.
была опуб.пикована в 18(Ю 1865 1'1'. после смерти Та;усса 13).
В 1ti6б 1'. У8ЛЬ переве.п на французский НЗf,Ш, сочппенпе Лоба
чевско1'О «Теометрпческие исс.ледонания» вместе с извлечениямп
из 8ТОЙ переписки 4). С 8'1'01'0 перевода бы.л сделан R 1893 1'. руссииЙ
перевод писем, включенный в сборнпи «Об ОСНОl3аниях I'еО:\lе1'рИП»,
изданный Rазанским ФПЗИRо ыате;\jатичеСИИl\l обществом к 100-.петию
со дня рождения Лобачевско1'О 5); через два 1'ода сБОРНИI выше.JI
вторым изданием.
В 1895 1'. Штеюtе"'Ть совиеС1'НО с ЭН1'елем ВЬШУСТII.1Т собрание
пеРВОI-ICТОЧНИКОВ по предпсторпи нееви.JIПДОВОЙ rеометрип 6), 11 н:оторое
были включены отрывки из переПИCl;II Таусса с Ф. Бо"'Тьаи, J3ecce.JI/":\I
и Шумахером.
Наконец, в 1900 1'. в:ыше.JI в свет ВОСLМОЙ том собрания t;очпне
IШЙ Таусса; значите.JIьнан часть 8'1'01'0 тома посвяп епа насле;щIv
Таусса по иеевк.JIИДОВОЙ 1'еометрии отрывки из переписки eJ'O
с Ф. Больаи, Ольберсом, ЭIШе, Струве, ТеРЛИНI'ОМ, Тауринусом,
БессеJlем и Шумахером, а также неСRОЛЫi:O черновых набрОСltОВ; f)тп
материа.JIЫ тщательно иомиентированы Штекке.'ТСl\l').
dпш. Еdidелшt .Тоsерhпs Кi.iпJ:lаk. Машitiпs Rеtьу. Ве1а, Tot6ssy dfJ Zepethnek,
Впdа pestini, l\ШСССС 1I, 4И стр.
() Библиоrрафиче(;кие еведения об этих переподах ПрИ13едепы в кнш'е
В. м. r е р а с и м о в о ii rл:аза'IeЛЬ литературы по rСШ'Н'ТIJИИ Лобачеп<;коrо и
развитию ее идеЙ», М. Л., H)5 , (;тр. 27 28, и в рус(;]шм издании «Аппеидикса»
(см. <:ледующее примечание), стр. 232 233.
2) Я н О ш Б о л ь а и, АППСНДИIСС. ПрилuжсПиР.... Перепод с JIRтинскоrо,
вступительные етатьи и примсчания В. Ф. I\ш'ана, М. Л" 19.')0, 23.) (;тр.
3) Bl'iefwel:l:se1 zwis(;hen С. F. Gапss пшl Н. С. 8cllllmaeher. HerRl:sgegeben
von С. А. F. PtJters, A1tona, 6 томов; ТОJ\Ш появлялиеь ПU<:J!uдuвательно в l>аялич
ные rоды с 18(Ю дО 1865.
4) N. .Т. L о 1) а t с h е f s k у, ЕtПUtjS gеОll1еtriqпеs sпr 1а theorie des paralle1ps,
sпiviе d'пп extrait ие 1а (;urrespundance de Gauss et tlc i-,(,hllma(;her (tI"Rd. рШ'
.J. НоЙе1). I'aris, 1866 (2 e нзд., 1890); Воrdеапх, l\Iрш. 80С. ci. рЬуБ. nat. 4, 1866.
5) «.Об основаниях т'еометрии», Казань, 1893; 2 e изд., 189.'), стр. I X.
6) Р. S t 11 с k е 1 ппd F. Е n g е 1, Die Theorie dpr Parallel1inien vun Епс1id tJis
апf Gап!<s; eine Urkппdеп!<ашш1ппg zпr Vоrgеs(;Ы<;htе der пiсhtепk1idisсhen Geo
metrie, Leipzig, 1895, 325 ир.
7) С. F. G а п s s, vVerke. hеrапsgеgеl)еп von der Коп. G.."юlls(Jшft der Wi>;Ben
.!I(;haft Zll Gottingen, Achter Band, 1900. (Отдел «.Grппd1аgеп der Geometrie» н:!.
стр. 157 2(8).
33*
516
И. Н. БР<3НШТЕftн
На русстшм языке отрывки из писем Таусса цитпрова.лись He
однократно, а черновые наброски печата,, 'пюь в свободных Из.ложе
ниях 1). По.лный перевод почти всех :этих материа.лов из VIII тома
сочинений Таусса появ.ляется на русско:и языке впервые 2). Е6.льшая
часть переводов бы.ла сде.лана В. Ф. RaraHoM еще до второй мирово:t1
RОЙНЫ и иаходи.лась среди ero рукописей; оста.льные переподы cдe
.ланы редакторо:\т настояще1'0 сБОРН1ша.
Н. ОСНОВЫ ТЕОРПИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
11 ИНТЕРПРЕТАЦИИ НЕЕВКЛIIДОВОЙ rЕОМЕТРЮI
Jt. Ф. r а у с с. Общие исс.педоваПИII О кривых nOBepXHUC'I'HX
3'roT ЗНЮ"Iенитый ме:\туа,р Таусса бы.л впервые напечатан на .латин
скои язьше в 1828 r. 3 ); Таусс сде.ла.л о неи сообшение в rеттинrен
ском математическом обществе 8 октября 1827 r. и в то:\т же roдy
опуб.ликова.л е1'0 краТ1юе содержание 4). Мемуар воше.Л в IV том
собраний сочинениЙ Т'аусса Б) и бы,л переведен почти на все европей
СJtие языки 6).
Важно(\ значение име.Л перевод :мемуара на не:vтецкиЙ язык, cдe
Iанный А. Ванrерином и напечатанный в 1889 1'. вместе с ценны:vти
примечанияии в Оствальдовском издании классиков ").
На русском языке мемуар выходи.л два раза: в 1887 1'. отде.льной
КНШIШОЙ (перевод П. Ераснова под ред. R. А. Поссе) 8) и в 1895 1'.
во втором издании сБОРНИIШ «Об основаниях l'еометрии», изданном
I азаНСКИ I Физико математичеСRИИ обществои к 100 .летиIO со дня
рождения Лобачевскоrо 9) впереводе М. М. Филиппова.
д.ля настоящеrо сборника бы.л испо,лыюван первый перевод; назва
иие меиуара взято из BToporo перевода. TeltCT сверен с ориrина.ЛОМj
в частности, восстаНОВ.лена арабская НУ1"Iерания рубрик, которан
впереводе 1887 r. бы.ла заменена римской.
1) Например, в книrах Н. Ф. Е а l' а н а «ЛобачеВСlпrй и ero rеометриsн,
1\1., 1955, стр. 154 155, 177, 282 292; в статье А. П. Н о р Д е н а «raycc и Лоба
чевскиЙ», ИСТОРИКО I\!Rтематические исследования, вьш. 9, М., 1956, стр. 145 168.
2) Страницы VIII тома сочинений ray,-,ca, на которых помещен приведенный
"l'eJtCT, указаны в нодстрОЧНЫХ нримечанияХ к переВО;J:У каждоI'О oTpЫВIca или
наброска. .
3) С. F. G а u s в, Disquisitiones generales 'circa superficies Сllтуая, Commenta
tiones societatis regiae scientiarHm Gottingensis recentiores 6, 1823 1827 (вьппло
11 1828 1'.), 99 146. Отд. иэд.: Gottingen, lЮ8, 50 стр.
4) С. F. G а u s я, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gott. gel. Anz.,
М 177, 1827, 1761 1768.
6) С. F. G а u s в, 'Verke (см. стр. 515), т. IV, Gottingen, 1873, 217 258.
6) Подробные сведения см. в библиоrрафическом указателе П. М. У. S о т
п1 е r v i 11 е, BibIiography of non ellcIidean Geometry, 1911, стр. 23, 32, 71, 183.
7) С. F. G а u s в, Allgemeine Fl;{cllentl18orie, deutsch herausgegeben уоп А. 'Yan
g('l'in. Ostwald's Klassiker der exacten 'Vissenschaften, ;м 5, Leipzig, 1889; 2 e иэд.
18!Ю, 62 стр.
, 8) Н:. Ф. r а у С с, Основные исследования о кривblX поверхностях, СПб,
1887, 71 стр.
9) К. Ф. r а у с с, Общие исследования () кривых поверхностях, СборИIlК
Об основаниях rеометрии», 2 e иэд., Еаэапь, 1895, страницы с римской lIуме
рацией.
БИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
517
Ф. м 11 Н Д И Н {'. О внутренней I'еОВIeТРИИ IIOIIС[.IХIIO('Тt'Й
Четыре работы Миндинrа, помещенные в настоящем сборпике под
8'IИМ ..общим названием, были напечатаны в журнале Rреллп «Jour
nal fП1' сЪе 1'eine иncl angewanclte Mathematik» в 1830, 1837, 1839
и 184U rr. 1 ). Они никоrда не переиздавa.JIИСЬ и не переВОДИЛИСЬi
на РУССКОllI языке ПОЯВЛЯIO'I'СЯ впервые.
З. в е л ь т р anT И. ОIIЫ'J' интерпре'l'аJ IIИ
неев (;.'lидовой l'еометрии
Работа была напечатана в 1868 r. в Giornale ui lVIаtеllшt. (Hea
поль);О) и в том же rоду вышла отдельным IIзданиеJ\( 3 ). Вошла
в 1 том собрания сочинений Бельтрами (НJ02 r.) 4). В 1869 r. по
ЯВИ.ТIся ее французский перевод, сде.;тапный У"лем б).
Русский перевод этой работы, сделанный П. П. Меем, ()ЫJI вклю
чен в сборник «Об основаниях rеометрии», изданный n 1893 r. Ea
занским физико ма'l'ематическим общество:и к 100 JIeТИЮ СО днн рож
дения Лобачевскоrо 6); сборник с этой С'l'атьеЙ был переиздан в 1895 r.
Этот перевод воспроизведен в настопщем сборнике с 1I3N1епеННЫJ\1
название:и.
Д. l' и л ь б ер т. О поверхностнх по тоннной
rауссовой кривизны
Эта С'Iатья была налечатана в 1901 1', в' амер:икаНСКО:\I a:ypHa.JIf>
(Нью Иорк) "); в 1903 r. rильберт включил ее в качестве пятOI'О добавле
ния во второе издание cBoero сочинения «Основании rеометрии» Е),
и С тех пор она входила во все ero дальнейшие издания 9).
1) 1". Ш i n d i n g, Веmеrkпngеп йЬш' uie АЬwiсkеllИ1g krпlllmеr Unien пшl
Fiachen, Jопrnаl fur die reine ппd angewandte Mathematik Berlin, 6, 1830, 159 161.
F. .м i n d i n g, Beweis eines geometrischen Satzes, там же 16, 1837, стр. 351.
F. М i n d i ng, \Vie sich entscheiden 1asst, оЬ zwei gegebene krпmmе Flасhеп
апf einander abwicke1bar sind oder nicht; nebst Bemerkungen йЬет dip I<'lachen vоп
unveranderlichen Krfunmungsmasse, там же 19, 1839, 370 387.
F. lVI i n d i n g, Beitrage zпr Theorie der kЙl'zеsteп IДпiеп I1Ш I krummeJl
F1achen, там же 2О, 1840, 323 327.
Ч Е. В е 1 t r а m i, Saggio di interpetrazione delIa geometria non euclidea,
Giorna1e di lVIatemat., Napoli /r, 1868, 284 312.
3) Е. В е 1 t r а m i, Saggio..., N ароН, Torino е Firenze, 1868.
4) Е. В е 1 t r а m i, Орете шаtеmаtiсhе, Milano, т. 1, 190 , ;м XXIV, З7 405.
5) Е. В е 1 t r а m i, Essai d'interpretatioIJ de la geometrie поп епсlidiеппе (tra(l.
рат J. Нойе1), Апп, sci. Ес. поnn., Paris 6, 1869, 2Ы 288.
6) Е. Б е JI ь т Р а :м и, Опыт объяснения неевклидовоЙ rеометрии, СборнИI:
«Об основаниях rеометрию>, Еазань, 1893, 1 37; 2 e изд., 1895.
7) D. Н i 1 Ь е r t, Ueber Flachen уоп konstanter Gauss'schCI' Krilmmung, Nev,,
York, Trans. Аmет. Soc. 2, 1901, 86 99.
8) D. Н i 1 Ь е r t, Grundlagen der Geometrie, Zweite uurcl1 Zusatze vеrшеhr е
und mit 5 Anhi;ngen versehene Auflap;e, I..€ipzig, 1903, 175 стр., Ang. V: Ueb(' l'
Flachen уоп konstanter Gauss'schen Кrfunmппg, стр. 162 175.
9) Сведения об этих изданиях даны в примечании 3) па стр. 523.
518
И. Н. БРОНШfЕЙН
Последнее, седьм()е, издание «Оснований rеометрии» было в 1948 rоду
переведено П. с. rрадштейном под редакцией П. К. Рашевскоrо на
РУСС1tий язык со всеми 10 добавлениями 1). Перевод пятOI'О добавленин
воспроизводится в настоящем сборнике без изменений.
А. l' эли. I1lестой IIIЮlуар о формах
Мемуар был напечатан в 1859 1'. в анrлийском журнале Pllilo
80pllical T1'ansactions с указанием: «получен 18 ноября 1858, читан
6 января 1859» ").
«Шестой мемуар о формах» вошел во второй том собрания MaTe
матическил раБOl' R8ли, изданный в 1869 r. 3); В атом томе автором cдe
;rraHO К мемуару большое примечание, помещенное на стр. 246 248
lraстоящеrо сборнпка.
Перевод мемуара на русский язык пуб.JIикуется впервые; па
.п;руrие языки он не переводился.
Этому мемуару предшес'l'ВУЮТ следующие пять мемуаров R'3ЛИ,
посвященпых теории форм (их заrлавия О'l'личаroтся только номеро:н,
а нумерация llарar'рафов общая):
в в о Д н ы й :н е м у а р о фор м а х 4), в котором объяснены Tep
мпнолоrин, обозначения, rеометрическое ИСТОЛ1швание переменных,
введено понятие 1tоварианта и инварианта, указаны методы OTЫCKa
rП1Я их и Н61еоторые касающиеся их теоремы;
в т о рой м е м у а р о фор м а х б), в 1еОТОрШ\1 исследуются число
п строенпе rеовариантов бинарных форм;
т р е т II й М е м у а р о Фор м а х 6), в котором собраны и приве
дены различные результаты, ПО.лезные в теории спецпальных форм;
ч е т в е рты й м е м у а р о фор м ах '), в которо'\1 проведено даль
нейшее раЗВИ'l'ие теории nинарных форм, в час'l'НОСТИ, Iевадрик .
II куБIШ;
П я: т ы й :\1 е м у а р о фор м ах R), в котором развивается теория
1еовариантов специальных бинарных фОр:\l, а и:vrенно, квадрик, кубик
п квартик, а также системы кварТIШ (понятие rap:\lOH1l'IeCKOrO pac
положения и инволюции).
О работах R8ли после шестоrо Me yapa, О'l'носящихся It неевкли
довой rеометрии, см. примечание редактора перевода на стр. 249 250
наС'l'ОЯЩeI'О сБОРНИ1еа.
1) д. rИJlьберт, Основания rеометрии, нер. с 7 ro НСМ. издания, М. Л.,
1948, 491 стр., V добаuление на стр. 304 314.
2) С а у 1 У А l' t 1111 r, А 8ixt11 memoir l1pon ql1antics, РЫ1, Trans. Roy. 8ос.
T ondun Н}, 1859, бl 70.
3) 'rl1e Colle(;tecl Matllematica1 Рарш',,; of Аrt1шr Сау1еу, т. 2, 1889, Cambridge,
Pniv. PreRs, 1869, 561 59 .
4) Ап Iпt1'оdl1сtшу memoi1' l1pon ql1antics, РЫ1. Trans. oy. 80с. Lond n 144,
1854, 2:И 258j Mat11. Рарещ т. 2, 2:H 234.
б) А 8econd ll1emOi1' l1pon qпапtiсs, Pl1i1. Trans. Roy. 80с, London 146, 1856,
101 B6; Mat11. Papers, т. 2, 2;'Ю 275 и ДОПО,lIнительные таблицы 276 309.
11) А Third memoir l1pon ql1antics, Pl1il. Тшпs. Roy. 80с. London 141:, 1856,
627 47; Matl1. Papers, т. 2, 31O 335.
7) А FOlll-tll memoir l1pon qпапtiсs, Pl1i1. T1'ans. Roy. 80с. London ]48, 1858,
415 J7; Matl1. Papers, т. 2, 513 Ы6.
8) А Fifth memoi1' l1pon ql1antics, Pl1il. Trans. Roy. 80с. I.ondon 148, 1858,
. 29 460; Matl1. Рарещ т. 2, 527 557.
БИБлиоrРАФИЧЕСIШЕ СВЕДЕНИЯ
519
Ф. к л е и Н. О тат, называс",юи нсеВI'JШДОВОН I'еШIСТIШИ
Первое кратн:ое сообщение I{,леЙна об :этоп работе бы.nо напечатано
в 1871 [. в журнале rеттинrеНClшrо ученоrо общества 1); сюш работа
опубли:к,ована в тои же [оду в J\1:аtl1ешаtisсl1е Annalell 2). I3r,Iсшшанные
в ней пдеп КлеЙн продолжал раЗВИВа'lЪ в CBOIIX дальнеЙШllХ рабо
тах 1873, 1874 и 18g0 I'r., выходившпх под тем же пли сходным
название:\! 3). Все эти работы IIо:\!шцены в 1 томе маТf\МйffП'IeCltIIХ
,сочпненпй КлеЙна, подrотовленном при ero участии в 1()21 [. 4).
В 1897 [. работа была переведена Ложелеи на ФраПЦУ3С1tиЙ П;Н,Ш 5);
в PYCCI1:0M переводе она появляется впервые.
ЛertЦИП Блейна по нееВItлидовоЙ rеОJ\IeТРИИ, ЧИ'l'аННLIе пм в reT
тинrене в 1889 18g0 rr., былп обработанн Шиллинrом п ВЫП 'IЦены
тоrда же в литоrрафпроваПНО:\I изданпи 6), а в 1 g28 [. посмертно
отдельной ШПIrоfi в значительно переработанном впде '). Перевод
8ТОЙ Rниrи был в 193() 1'. ll3J(aH на РУСClЮ:\I n3blI1:e Б).
А. П у а Н R а р с. Т<'ОIНШ ФJR( ОВЫХ I'I'УIШ
Эта работа была напечатана в 1882 1'. в Пf'рвом то;\ю журнала
Acta Иаtl1ешаtiса 9); второй параl'раф (jtj. сод<'р:ащщиЙ первое указание
на известную Н:ОНФОРМНУЮ пнтерпреТaJЦIЮ JlаОСJШСТП JIоба'lепеъ:оrо,
печатается в PYCCJ.OM переводе впервые.
111. l' A3BIITlLE Д'I,Еll I'ЕШIЕТРШI ДUБА 'IElн.ашrо
Б. Р 11"'1 а н. О I'ипо-rезах, .'Iе ШЫЦIIХ в ОСНОl18НIШ I'еmЮ1'р1Ш
Этот зна:шш:итый Me:\Iyap предс'rавлпет еuбоЙ сжатое изло:ш:епш'
диссертаппонной (пробноп) .леиции, прочптанноЙ Рпманом 10 июня
1854 [. в rеТТПН1'еНСКО:\I унивеРСIIтете в прису'rствии raycca, It IШ'ro
рому она была препмущественпо обращепа. Он был наЙден Р. Дeдe
Itипдом в бумаrах, со раНИDшихеп после UJ\ШрТП Римана, II в 18П8 [.
1) F. К 1 с i n, Ueber die sog'enannte Nicllt ElIkliйi",';]lC GeOllletl'ie, NaullriuJltoll
yon der К. Gesellschaft von 'Vissепsсlшftеп, r ottingen, ..'1& 17, 1871, 419 433.
2) F, К 1 е i n, то ж:е название, J\Iatll. Allllalen, Leipzig, 4, 1871, тЗ 62J.
3) У. К 1 е i n, то :;ке название, Z,yeiter Апfsаtz, l\Iatlt. Annalen, Leipzig 6, 1873,
112 14J; Naulltl'ag ZIl (lеш «z"'oitlJn Allfsatz i.ilюr Ni"llt EllklidisclIe Gеошеtriе»,
l\iatll. Annalen, Leipzig '", 1874, 531 ;)З7; Zш' Nicllt E!lklidis(;lt(;n Gеошеtriе, l\Iatll.
Annalen, I,eipzig 3i, 1890, 544 572.
4) ]<'. к 1 е i п, Gеsашшеltе шаthешаtisсllе АlJllRШUllngеп, т. 1, nerlin, 1921.
ПуБJlИкуемая в настоящем сборшше работа Ш\ c'rp. 254 305' дальнейшие
работы на стр. 31l 343, 344 З;)0, 3;)3 383.
5) li'. К 1 р i n, ::'ш la gеошеtriе dite non ellclidienne (trad. рат L. Lallgel), Аnn.
]!'ас. sc. TOlllollse 11, G, 1897, 1 62.
6) F. Е 1 е i п, Nicllt ЕпkJidisсltе Gеошеtl'iо. V оrJеsппgеп. А llsgearbeitet УОП
Fr. SсЫШпg, 1. \Viпtеl'sошсstеr 1889 1890, 365 ,-,тр.; П. Sошшш'sошеstш' 1890, 2ЗS стр.
7) 1". К 1 р i n, Nicht Ellkli(lisclIe Gеошеtl'iе, Вш'Jill, 1928, 326 C'rp.
8) Ф. 1е л е Й н, НееВRJlИ),ова rеоиетрия, пер. Н. Н. БРУШЛИНСRоrо, l\I. Л.
1936, 3;);) стр.
9) Н. Р о i n с а r е, 'rheorie des grollpes fнсhБiепь, Acta l\1аt.llршаtiса, ::о>tоеkJlOlш
1, 1882, 1 62 (9 2 на стр. 6 8).
520
И. Н. БРОНШТЕЙН
опуБJIИIюван в журнале l'еттинrенCI,OI'О ученOI'О общества 1). В 1870 I'
ВЫШJIO в свет собрание СО'lпне шй Ри-:,шна, в которое БЫJI ВКJпочен
8'1'0'1' -:'1емуар 2).
Мемуар был переведен на все европеЙские яаыки 3). На русском
наЫI..е он выше,;r впереводе д. М. Синцов а в Н,93 r. в сБОрНИКt>
«ОП основаниях rеометрии», изданном RаааНСКИ 1 ФИ31п..о математиче
скны обществом к 100 JIeТИЮ со дня смерти Лобачевскоr() 4); R 1895 1'
сборник БыJI переиадан.
В 1\)19 r. мемуар Римана вышеJI 0'1'Д6JIЬНОЙ I..ниrой в БерJIИН{>
с ПРИJIOжение I обстоятельноrо I..омментария ВеЙJIЯ о). ВеitJIЬ И3JlаI'ает
:концепцию Римана в современной форме и устанаВJпrвает свяю.
с новейшими фиаИI..о rеометрическими 'l'еориями и, в чаС'l'НОС'l'IТ r
с общей теорией относитеJIЬНОСТИ. В 1923 ['. книrа БыJаa пере
иадана.
Новый русский перевод мемуара вместе с комментарием ВеЙJШ
был сдеJlан В. Л. rончаровым ДJIЯ иадания иабранных сочинениЙ
Ри),шна; оно ВЫШJIО в 1948 r. 6 ). 8'1'0'1' перевод вместе с КО!IIl'vIeнтарием
ВеЙJIЯ и ДОПОJIнительными примечаниями переводчика воспроиаво
дится в настоящем сборнике.
э. Б е л ъ '1' Р а м и. Основы 'I'еорин ПрОС'I'ранств
постоянной кривизны
Работа БыJIa напечатана в 1t;0t; ['. в Annali c1i Маtешаt. (МИJIaН) ').
ВОШJIa В 1 том собрания сочинений БеJIьтрами (1902 r.) 8). В 1869 r
ПОЯВИJICЯ ее француаский перевод, сдеJIaННЫЙ У 8JleM 9).
РусскиЙ, перевод работы, сделанный П. П. Меем, БЫJI ВКJlючен
в сборник «Об основаниях rеоме'l'рИИ», изданный в 1893 r. КаааНСКIIМ
фиаико математическим обществом к 100 Jlетию со дня смерти Лоба
чевскоrо 10); сборник с 8ТОЙ статьей БЫJI переиадан в 1895 r. 8'1'0'1'
перевод воспроиаведен в настоящем сБОРНИI..е с иамененным нааяа
нием.
1) В. R i е m а n n, UelJer die Hypothe!>en, welche der Gеошеtriе zп Grпш.ll
liogon, Nachrichten von del' К. Gesellschaft von 'Vissenschaften, Gottingen 13, 1868"
133 152.
2) В. R i е ш а n n, Gеsашшеltе Маthешаtisсhе 'Verke, I.eipzig, 1876, ;м 13,
25 268.
3) Сведения об 8ТИХ переводах см. в библиоrрафическом указатеJIе
D. М. У. S о ш ш е r v i 11 е, Bibliography of non ellclidean Gеошеl,ry, 1911, стр. 38r
44, 56, 125, 151.
4) Сборник «Об основанинх rеометрии». Еазань, 1893, стр. 69 82; 2 e изд.
1895.
5) В. R i е ш а n n, UelJer die Hypotl1esen, welche der Gеошеtriе Zll GI'llnde liegen r
BCl'lin, 1919; 2 e изд., 1923.
6) Б. Р и м а н, Избранные произведеНШI, пер. В. л. rончарова, м. Л., 1948.
Перевод 8'1'01'0 мемуара на стр. 279 293.
7) Е. В е 1 t r а ш i, Teoria fопdашепtаlе tlegli spazii di cllrvatllra costante,
Annali di Маtешаt., Milano (2), 2, 1868, 232 255.
8) Е. В е 1 t r а ш i, Opere шаtешаtiсhе, Milano, т. 1, 1902, ;м XXV, 406 29
9) Е. В е 1 t r а ш i, Theorie fопdашепtalе аев еврасев ае cOllrbllre constante '
(trad. par J. Ноиеl), Ann. sci. Ес. Nоrш., Paris 6, 1869, 347 375.
10) Э. Б е л ь т р а м и, О ПРОС'1'ранствах е постоянною кривизною, Сборник,
«Об основаниях rеоиетрии», Еазань, 1893, 38 f<6; 2 e изд. 1895.
БИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
521
r. r е л ь м l' О . I Ь 11;. О фактах, лежащих в оснопанинх rеометрип
Работа rельмrольца опубликована в 1868 r. в журнале rет1'ИН
reHCKoro ученоrо общества 1); она вошла во 2 й том трудов rельм
rольца 2) и ПОЛЬЗ0валась большой популярностью. Русский перевод
А. В. Васильева был напечатан в 1893 r. в сборнике «Об основаниях
rеометрии», изданном Казанским фIIзико математичеCIПIМ обществом
к 100 леТIIЮ со дня рождения Лобачевскоrо 3); через два rода сборник
БЬЫI переиздан. 81'01' перевод воспроизведеп и в настоящем сборнике.
С. JI и. 3а'<ечанин на работу rf>.1J:ЬМI'О.JJьца
«О фактах, .JIежащих в основании rеОnJе'l'рИП»
Статья Ли опубликована в 1886 r. в Leipzig'el' BeI"ichte 4). РУСCI ий
перевод д. М. Синцова был напечатан в 1893 r. в сборнике «Об
Основаниях rеометрии», изданном Razанским фИ3ИI 0 :\.lатематическим
обществом к 100 летию со дня рождения Лобачевскоrо Б) j чере8 два
rода сборник был переIIздан. 81'01' перевод воспроизведен и в Ha
стоящеи сборнике.
А. n у а н R а 1) е. Об ОСНОВНЫХ rПllотезах l' еоме 'l'lНШ
Работа была опубликована в 1887 r. в бюллетене фраНЦУ8скоrо
математичеCI оrо общества 6); русский перевод Д. М. СИIщова был
напечатан в 1893 r. в сборнике «Об основаниях rеометрии», изданноы
Ra8анским Физико raтематичеСRИМ обществом к 100 летию со дня
смерти Лобачевскоrо ); через два rода сборник был переИ8дан. Этот
перевод воспроизведен и в насто.ящем сборнике.
Ф. КЛ е й п. СраВПП'J.'е.JJъное об(31)ение НОВf>ЙJIШХ
I'еометричеСJ\ПХ ПСС.JIе.'J,овапий (<<3p.JIaHl'eHCKaH ЩЮl'рамма»)
3на.."Iенитан «С!рлаНI'енская проrрамма» Ф. RJIейна была выпущена
специа.тrьной брошюрой в 1872 1'. при вступлении Rлейна на фило
софский факультет 8рланrенскоrо университета 8). Она была I1ере
ведена почти на все европейские языки 9), в том числе и на русский
в 1895 r. в перевол:е J(. 1\1. Синцов а 10). В 1893 r. проrрамма была
1) Н. У. Н е lш h о 1 t z, иеЬе!' die Tatsachen, die der Geometl'ie Zll Grunc1e
Jiegen, Nachrichten уоп del' К. Gesellschaft, Gбttiпgеп, 14, 1868, 193 221.
2) Н. Н е 1 m h о 1 t z, \Vissensc:haftliche Abhandll1ngen, П, 61в........639.
3) Сборник -Об основаниях rеометрию>, Еааань, 1893, 83-----=102; 2 e нзд., 1895.
4) S о Р h u s L i е, Bemel'kl1ngf\n zu У. Helmholtz'Arbeit «Ubel' die 'l'atsachen,
die del' Geometтie Z11 Gl'Illlde liеgеш>, Leipzigel' Berichte, ::8, 1886, 337 342.
5) См. СНОСКУ 3) на этоЙ стр., 103 108.
6) Н. Р о i n с а r е, ВIll' les hypotheses fondamentales de lа geometrie, Bl111etin
де lа Societe Matb. de Fl"Rnce, Paris, 15, 1887, 203 216.
7) Си. СНОСКУ 3) на этой стр. 10H 121.
8) F. К 1 е i п, Vergleichende BetI-асhtllllgеп пЬеl' neuel'e geometrische Vorschun
gen, Programm zum Eintritt in ше philosophische Fac111tat l1nd den 8enat der Uni
versitat Zl1 Erlangen, Erlangen, изд. А. Dekhert, 1872.
9) Об этих переводах см. в KHнre D. М. У. S о m m е r v i 11 е.. Bibliugraphy uf
non e11clideall Geometry, 1911, стр. 91, 99, 110, 123.
10) Ф. Е л е й н, Сравнительное обозрение новейших rеометрических исследо
дований. Известия Еаз. физ. матеи. O Ba (2), [) (1895 1896), 16; 6 (1896)" 17 44,
Отд. нзд.: Rазань, 1895, 44 CTr.
522
И. Н. БРОНШТЕЙН
напечатана в Mathematische Annalen 1 ) с дополнительными при
мечаниями Елейна (в рУССКОМ переводе 1895 r. они взяты, как и в
Ыаth. Апп., в квадратные скобки).
Проrрамма вошла в 1 ТОМ собрания математических работ Елейна
в 1921 1'.2). Е :этоиу изданию I\.,'Iейн добавил еще ряд примечаНИЙj
()ни также были поставлены им в квадратные скобки.
В настоящем сборнике напечатан перевод Синцова, в который
внзсено MHoro исправлений и добавлен перевод дополнительных при
.меч:аний Елейна.
Софус Ли (Отзыв Ф. Клейна о ('очинении С. ди
«Теория rpynn lIрробразований»)
Фундаментальное сочинение С. Ли «Теория rpynn преобраЗ0ва
ний» В трех ТQ;\ШХ было опубликовано в 1888 1893 rr. 3 ) в литера
тур ной обработке Ф. Энrеля.
Отзыв на третий тои был написан ЕлеЙНQ;\1 n 1897 r. по предло
жению EaaaHcKoro физико математичеСI оrо общества в связи с пред
ставлениеи СО'Iинения С. Ли на премию ИМ. Лобачевскоrо (первое
присуждение, состоявшееся 22 октября 1898 r.). Сочинение С. ли
было удостоено премии им. Лобачевскоrо, а отзыв Елейна З0ЛОТОЙ
медали.
ОТ3ЫВ был опуБЛИIшван на РУССКШ1 языке (без тказания Ilере
ВОД'Iика) в «Пзвестиях Еаз. ФII3. матем. O Ba» в 1898 r. 4 ) и OДHO
вреиенно в специальной брошюре, посвященной первому присужде
нию премии о). В том же l'ОДУ он был напечатан на немецком языке
в MatlJ.ematische Annalen 6). В()шел в 1 том матеиатичеСЮIХ сочинений
Елейна, изданный в 1921 r. "). В настоящеи сборнике ВОСПрОИ3ВО
дптся перевод с издания 1898 r.
Д. r и.'I ь б е р т (Отзыв \.. Пуанrшра о рThботах rИ.'Iьберта)
СО'Iинение д. rильберта «Основания I'GО:\1еТРИИ» было опублико
вано в 1899 1'. отдельноЙ книrой юбилеЙным изданиеи, выпущен
ныи по поводу ОТКРЫТИЯ в rеттинrене паиятника rayccy и ВебеРУS)j
лекции автора «ЭлемеНТLI евклидовоii rеометрии», читанные им
1) F. К 1 е i п, Verg1eichende Betrachtllngen..., Math. Аnn., Leipzig, 43, 1893,
(33 109.
2) F. К 1 е i п, Gesamme1te mathematische Abhandlllngen, т. 1, 1921, 46И 497.
3) S. L i е, Theorie der Transformationsgrllppen, Unter Mit'.virkung уоп Dr.
F. Ellge1 bearbeitet. 1. Allgemeine Eigenschaftell, I,eipzig. 1888, 632 стр.; П. Theorle
del' Bel'uhrungstransformationen, I,eipzig, 1890, 555 стр.; llI. Spezielle UпtрrSllсlшп
gen, Loipzig, 1893, 831 стр.
4) Известия Еаз. физ. матем. об ва (2), 8, прило:;ъ:ение к М 1, 1 27.
5) Первое присуждение премии им. ЛобачевскOl'О 22 октября 1898 1'. Еазань,
1 & '
6) F. К 1 е i п, Zur ersten Vertei111ng des LоЬаtsоlю'.vskу Рrеlfiеs GlltасЛtеп, be
treffend e dritten Band der '.rIleorie cler Тrапsfоrшаtiопsgrllрреп on S. Lie, J\'Iath.
Аnn., LelpZlg, 5\), 1898.
7) F. Kl е i п, Gesammelte mathematische АЫJRпdlllпgеп, т. 1, 1921, 38 40l (<<Gu
taehten... anlasslich der ersten Vertei111ng des Lobatsl'he,vsky rl'elsefi»).
8) D. Н i 1 Ь е r t, Grundlagen der Geometrie. Festschrift Zllm Feier der ЕпthШ
lung des Gauss Weber Denkmals in Gбttiпgеп, I,eipzig, 1899, 92 стр.
БИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
523
Е 1898 1899 rr. в rеттинreнском университете, выходили в литоrра
фированном виде раньше 1).
. .; По свидетельству современников, «книrа rи.JIьберта была BCTpe
чена с необычайным 8нтузиаЗМОМj не бы,Jl(} журнала, КОТОР[,1Й не по
:местил бы отзыва» 2). Она MHoro раз переиздава.JIась и переводилась
на все языки; почти каждое новое иадание подверrалось дораБОТI е
и включению добавлений 3).
; Сочинение rильберта (во втором ero издании) было представлено
в I{аааНCIие ФИ3ИКО XlатемаТIiческое общество на третье присуждение
премии И:VI. Лобачевскоrо, состояншееся 14 февраля 1904 r. Отзыв
о сочинении было предложено дать А. Пуанкареj он помещен в настоя
щеи сБОРНИRе. На основании 8'l'OrO отзыва сочинение было удостоено
пре:\lИИ. Отзыв Пуанкаре был напечатан в 1905 r. на французском и
РУССКОХl ЯЗЫI ах (в переводе А. В. Васильева) в Известиях I{а.зан
СКО1'0 фИЗИ1И АIaтематическоrо общества и в специа.JIЬНОЙ БРОШEQре,
посвященной третьему присуждению пре\lИИ им. Л06ачевскоrо 4).
В 1923 r. вышел первый русский перевод книrи rиль6срта, cдe
ланный с 5 ro неиецкоrо иадания А. В. Васи.JIьевыи ") к переводу .
был прпложен отзыв Пуанкаре. В 1948 r. Вl,lшел новыЙ русский
перевод, сл:еланный с 7 ro неиецкurо издания И. С. rрадштеЙно:vr под
редакциеЙ, с вступительной статьеЙ и примечаниями Н. Н. Рашев
<ШОl'О 6).
Н. Ф. R а l' а Н. Спстюш еПШIIП;ОЕОЙ l'еОltIСЧ IIПl
Поиещенный в настоящем сБОРНИI е текст ЯВJlяется rлавоЙ статьи
«ТеоретичеCI ие основания математики», напечатанноЙ в 1927 r. в Энци
I\лопедичеСКО:\l словаре rpaHaTa') j он представляет собой I paТEoe
<общедоступное изложение аксио:vштики (в несколько модифицпрованном
виде) из бо.;тьшоrо сочинения автора «ОllЫТ обоснованпн еВI .ЛИЦОВОЙ
rео:vrетрпи», К01'орая печаталась в 1904 1905 rr. в виде приложепиЙ
1) D. Н i 11 е r t, Elemente сlю' ellkliLliscl1cll GcullJetl'ie, V Ol']еSllngfШ (1B98 1899.
.тrитоrрафир. ).
2) Из Ь:НИI'и В. Ф. н: а r а н а Основания rео:и('трии,), т. П, Одесса, 1907, стр.530.
Сведения об этих отзыв;Lх C:Vl. в Iениrе: D. М. У. S о 111111 е r V j 11 е, Bibliography
.of non ellc1iclean Geometl'Y, 1911, стр. 1;)6.
3) Все издания выходили в JIеi1пциrе (иад. ТеllЬпеl'). 2 e изд., дополненное,
-с 5 добавленинмн в 1903 1'. (17;) стр.), 3 e И3;::J;., допо.;пreнное, с 7 добавле
НИЯМII в 19и9 r. (279 стр.), 4 e Н3Д., .:I,OПО:IНенное, (' 9 добаш:юпиями в 1913 r.
(258 стр.), 5 изд., незначитедьно допо.r:rненное в 1922 r. ( 6.) С'I'!>.), 6 e изд.,
без измененлй в 1923 r., 7 e изд., переработаннuе и ДОПО';Пlенное, С 10 доб:1В.r:rе
ниями в 1930 r. Первые переводы па франц. и аю'л. ЯЗЫIШ: 1) D. Hi 1
Ь е r t. Les pl'incipes fonclamentallx сlе 1a geometrie (tracl. рщ' Lапgсl). Anl1a1es sciell
tifiqlles сlе l'Eco1e Norma1e, PaJ'i (3), И, 1900, 103 209, отд, нзд.: Pari"1 1900,
114 стр.; 2) D. Н i 1 Ь е r t, The fOllnclatioIls of geomet,ry, авторизов. перев. TowIISend,
Chicago, 190 , 142 стр.
4) Известия Еаз. ФИЗ. мате:Vf. O Ba (2), 14, 1905, ;м 1, 1 98; TpeTьe прису
ждение премии ИМ. Лобачевскоrо 14 февра.r:rя 1904 r.», Еазань, 1905.
5) д. r и л ь б е р т, ОсноваНIIЯ rеометрии, пер. с 5 ro нем, изд. с Ilредисло
вием А. В. ВаСИ.lIьева и прпложеиием статьи А. Пуarшаре «От Евклида до rиль-
берта», Петроrрад, 1923, 152 стр.
С) д. rи.r:rьберт, основания rеометрии-, пер. с 7 ro нем. НЗД., М. Л., 1948,
491 стр.
7) 8нциклонедичеСI;:ИЙ словарь rpaHaTa, т. 47, стр. 3 o 69.
524
И. Н. ЕРОНШТЕt!н
к «3апискам Новороссийскоrо университета» (Одесса), а в 1905 r.
ВЫШJlа отдеJIЬНОЙ книrой 1).
Эта книrа состаВJlяла первый том двухтомной диссертации ав!ора
«Оснонания rеометрии» на степень мarистра чистой математрки; MaTe
риалы BToporo ее тома «Исторический очерк ра3вития учения об OCHO
ваниях rеО lе'l'рИИ» печатаJIИСЬ в 1904 1905 rr. в журнале «ВеСТНIШ
опытной физики и ЭJlементарной ':IIатемаТИЮI» ( Одесса). В 1907 r.
второй том БЫJI напечатан в «3аписках Новороссийскоrо университета»
и том же l'ОДу вышеJI отдеJIЬНОЙ Книrой 2).
Сообщение о своей работе автор сдеJIaЛ в 1902 r. в «3аписках
матем. отд. обlцества естествоиспытатеJlей» в Одессе и на ХI Bcepoc
сийском съезде естеСТВОиспытатеJlей и врачей 3), а также в не:иецком
переводе в 1902 и 1903 rr. в ежеrодюше repMaHcKoro математическоrо
общества (Лейпцпr) 4). В этих сообщениях содержа,пись основные
ПОJIOжения системы rеометрии и был намечен план ее ПО';Iноrо JIOrи
. ческоrо построения.
Автор считаJI необходимым «ВЫПОлнить весь труд до конца,
. чтобы доказать каж.дое высказанное утверждение; ИНЫ:VIИ СJIOвами,
нужно дать не ПJIaН работы, а самую работу» 5); первый том сочи
нения «Uснования rеометрии» явился осущеС'l'влением 8ТОЙ работы.
При защите диссертации автор произнес речь «3адача обоснова
ния rеометрии в современной постановке», напечатанную в 1908 }'.
в «Вестнике опытной физики и ЭJlементарной математики» и в том же
rоду выпущенной отдеJIЬНЫМ изданием 6).
Система еВRЛИДОВОЙ rеометрии, преДJIOженная В. Ф. Н ю'аном, БЫJIa
YCTaHOBJleHa им неаависимо от работы rпльберта 7).
Э. R а р т t П. ТеОIШЯ I'РУШI If I'еШlеТРIfЯ
Работа БЫJIa опуБJIикована в 1927 r. в журнале «L'Enseig'nelllent,
mathf matique» "); ДОКJЩЦ О ней автор сдела.п 7 мая 1927 r. в Швей
царском матем. O Be (Верн). В 1937 r. }'еометрические работы Еартана
1) В. Ф. Е а r а н, Основания rеометрии, т. 1 <iОпы'I' обоснования еВItлидовой
rеометриш>, Записки Новороссийскоrо университета, Одесса 97, 1004. прилож.,
1 80; 101, 1905, прилож., 481 804. Отд. иад.: Одесса, 1905, 793 стр.
2) В. Ф. Е а r а н, Основания reoMeTpIIII. т. 2. «ИсторическиЙ очерк раавнтия
учения об основаниях rеометрии», Вестник опытноЙ фиаики и элементарной
математики, Одесса, 1904 1905, ;N,;;N,; 380, 176 184; 381, 20l 208; 383, 241 249i
384, 264 275; 387, 49 57; 391, 153 156; 392, 169 176; 395, 248 252; 396, 272 278;
402, 121 128; 403, 145 150. Записки НовороссиЙскоrо университета. Одесса, lu8,.
1907, прююж., 1 320; lU9, 1907, прилож., 321..........s67. Отд. изд.: Одесса, 1907, 557 стр.
3) В. Ф. Е а r а н, Система посылок, определяющих евклидову rеометрию,
Записки матем. отд. общества естествозн., Одесса, 20, 67 105; Дневник ХI Bce
россиЙскоrо съезда еС'Iествоиспытателей и врачей, СПб., 1902, 395.
4) В. F. К а g а п, Ein System von Роstпlаteп, '\Yelche die епklidisсhе Geometrie
dеfiпiIc'П'П, Jahresbericht der Dепtsсh. Маth. VеrеinigLшg. Leipzig, 11, 1902, 403 24;
В. F. Kagan, Nachtrag zпm Апfsаtz «Ein System von Роstпlаteп...», там Ite, 12,
1903, 6 61.
5) Иа предисловия к 1 тому «ОснованиЙ rеометрии», етр. XIV.
6) В. Ф. Е а r а н, Задача обоснования rеометрии в современной постановке,
ВестmПt опытной Физики и элементарной ма'I"ематики, Одесса, 1908, М 457,
2 12; 458, 25 34; 459, 49 54. Отд. Изд.: Одесса, 1908, 35 стр.
7) См. В. Ф. R а r а н, Основания rео:метрии, т. , Одесса, 1907, стр. 550.
8) Е. С а r t а п, La theorie des grопреs et la geometrie, L'Enseignement mathe
mаtiqпе, 1927, стр. 200 225.
БИБлиоrРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
525
'(Bcero 22 работы) были представлены в RaaaHcKoe фИЗИIю математи
чеClюе общество на премию им. ЛобачеВCI{оrо (восьмое присуждение ) ;
среди них быля. и «Теория rрупп II rео.метрия». Отзыв дава.л И. Леви
Чивита; работы были удостоены международной Премии 1). В Н)39 1'.
ри из :этих работ, в том числе и УI{азанная, были изданы на РУСClюм
ЯЗЫI{е в Rазани впереводе В. А. ЯБЛOIюва 2) ; перевод работы «Теория
I'рУПП и rеометрин» воспроизведен в настоящем сБОРНИI{е.
1) Отчет I{азанскоrо физико математическоrо общества при Еазанскuм уни
верситете, I{азань, 1940 стр. 264.
2) Э. Е а р т а н, «rруппы rолономии обобщенных пространств», «Теория rрупп
и rеометрия», «Метрические пространства, основанные на понятии площади", Ea
--вань, 1939, Серия моноrрафий и исследований по неевклидовой rеометрии, ;N! 1,
194 стр. (Работа «Теория rрупп и rеоиетрия» на стр. 11 141.)
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
А. Л. Лордс/{. Отн:рытие JlобачеПСlюrо и ero место в истории новоЙ reo
метрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9'
1. rЕШIЕТРИЯ JIOБА ЧЕвс&оrо
Н. П. Jlоб:J.чеВСRпii. О нача:шх rеометрии. (Первая часть сочинения.)j. . 27
Н. П. Ло6ачеВCIшii. Воображаемая rеометрия. (Первая часть сочинения.) 50
Н. И. Лобаче"СRпii. Новые начала rеометрии с полноЙ теориеЙ параллель
ных. (Вступление к соч нению.). . . . . . . . . . . 61
}I. Болыш. Аппендикс. Пер. с латинскоrо В. Ф. Наlltlю 71
К. Ф. I'aycc. Отрывки из писем и черновые наброски, относ,ящиеся к He
евклидовоЙ rеометрии. Пер. с HeMeЦEoro В. Ф. Еаш'На и А. Л. Норде'На 101
П. основы ТЕОРШI ИОВЕРХНОСТЕЙ И ИНТЕРПРЕТАЦИИ
rЕО1\IЕТРIПI JIOБА ЧЕнскоrо
:К. Ф. raycc. Общие IIсследования о кривых поверхностях. Пер. с латин
CKoro Л. Iijюспова под ред. Е. А. Поссе . . . . . . " ..... 123
Ф. МJJпдинr. О внутренней rеометрии повеlJхностей. Пер. с HeMeIIKoro
А. П. IПuроltова.
1. Замечание о развертывании кривых линий, принадлежащих поверх
ностям .......................... 162
2. Доказательство о.:.\ноЙ rеометрическоii теоремы. . . . . . . 165
3. Еак установить, наложимы дру!' на друrа две кривые поверхности
или нет; с замечанпям:и о поверхностях постоянноЙ меры кривизны 166
4. J(ополнения к теории кратчаЙшпх линий на кривых поверхностях.. 176
3. Бе.1ьтра lП. Опыт интерпретации неепклидовоЙ rеометрии. Пер. с итальян
cKoro П. П. Мся . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Д. l'JJЛ1.берт. О поверхностях ностоянноЙ rayccoвoii крнвизнLI. Пер. с He
меЦlюrо И. С. rрадщтеи'На под ред. 11. Е. РаzuсвС1fОЮ . . . . . . . 213
А.. Кэ;ш. ШестоЙ мемуар о формах. Пер. с анrлиЙскоrо В. .71. Лаптева. 222
Ф. Клеliн. О так называемой нсеВК.iIИДОВОЙ rеометрии. Пер. с HeMeЦEoro
А. П. 1ПIlроп;ова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
А. ПуаНlшре. Теория фуксовых rрз"шт. Пер. с французскоrо Б. Л. Лаптева 304
СОДЕРЖАНИЕ
527
IП. Р А3ВИТИЕ ИДЕЙ I'ЕОМЕТРИИ ЛОБА .IЕБClШI'О
В. РИl\lан. О rипотезах, лежащих в основании rеометрии. (С комментарием
r. Вейля.) Пер. с пемецкоrо В. л. rо'Нчарова . . . . . . 309
3. ЕеJlътраl\lИ. Основы теории пространств постоянной кривизпы. Пер.
с итальянскоrо п. П. Мея . . . . . . . . . . . . . 342
r. I'елы\lольц.. О фактах, лежащих в основании rеометрии. Пер. с HCMeц
Koro А. В. Васuльева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36б
С. Ли. 3амечания па работу rельмrОJlьца (\0 фактах, лежащих в основании
rеомеТРИИD. Пер. с HeMeuKoro Д М. Си'Нцова . . . . . . . .. 383
А. Пуапкаре. Об основных rипотезах
Д. М. Си'Нцова . . . . . . . . .
rеометрии.
Пер. с фрапцу:зскоrо
388
Ф. I
Л<lЙН. Сравнительное обозрение новеЙших rеометричеСRИХ пссле,;J;Ова
НИЙ (f,Эрланrснская проrраима»). Пер. с HeMeuKoro Д lYЕ Сu'Нчова. .. 399'
С. Ли [Отзыв Ф. Елейна о сочинении С. Ли «Теория rрупп преобразова
ниЙ», т. IП) . . . . . . . .. .................... 435
Д. I'ильберт [Отзыв А. IIуанкаре о работах Д. rильберта). Пер. с француз
CKuro А. В. Васuльева . . . . . . . . . . 452
В. Ф. I
araH. Система евкдидовоЙ rеометрии . . . . . . . . . . . . . .. 479
3. Картан. Теория rрупп и rеометрия. Пер. с французскщ'о В. А. ЯБЛОh:ова 485
Приложение
И. Н. БРО'Н7uтеин. Библиоrрафические сведения.
511
Об осн()ваИlIJlх. rе.J:меrРПII.
Редактор А. Ф. Лап"о.
Те хн. редактор Н. 'н. МУl'О1иова;
теорре"тор Л. В. R"P"-Чf""О.
Сдано в набор 21/IП 19:>6 r. Подписано
" печати 28jVПI1Я56 r. Бумаrа 70X108'j",.
Печ:. л. 33+3 вклеiiRИ. УСЛОВН. печ. л. 45,89.
'ч.
иад. л. 33,43. Тираж 5000 ЭRа. T
8236.
Цена "Ниrи 18 р. 70 ". 3аRза;М l1Ы.
Тосударственное издателъство
теХIIИRо
теоретичеСRОЙ .ТПIтературы.
1YIocKBa, B
71, Б. RаЛУ:;I
СRа.н y.lf., 1,:)
J\IинистерСТБО RУЛЬТУРЫ СССР.
Тлавное управление полиrpафичеCItоfi
ПрОМЫШJIенности.
4
SI тип. им. EBr. СоколовоЙ.
Ленипrрад, ИамаЙПОВСIШЙ пр., 29.