В.Н.К0ЖЕВНИК0В
ВОЗМУЩЕНИЯ
АТМОСФЕРЫ
ПРИ ОБТЕКАНИИ
ГОР

ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена изучению динамики
взаимодействия движущейся атмосферы с неровностями земли. Это явление
относится к среднемасштабным или локальным атмосферным
процессам. Интерес к таким процессам никогда не исчезал, а в
последние годы стал даже возрастать. Как и другие природные явления,
процесс обтекания неровностей земли весьма сложен и далеко еще
не так хорошо осмыслен, как требуется. Вместе с тем он имеет
большое преимущество перед рядом других среднемасштабных
процессов, поскольку при сохранении характеристик
атмосферного потока перед горами источник возмущений — неровность
земли — остается неизменным во времени. Благодаря этому
данное явление исследуется в настоящее время более успешно,
нежели многие другие. Одновременно успехи в этой области позволяют
яснее представлять и преодолевать трудности в изучении других
локальных атмосферных явлений.
Исследуемые возмущения имеют волновой характер,
поскольку атмосфера типично стратифицирована устойчиво по
отношению к быстрым вертикальным смещениям ее частиц, а
неровности земли действуют на поток как вынуждающая сила в упругой
среде. Возникающие волны представляют пример активно
изучаемых сейчас внутренних гравитационных волн (вгв). В данном
случае возмущения порождаются горами, поэтому их можно
классифицировать как вгв орографической природы. Они примечательны
своей пространственной ассиметрией, поскольку наблюдаются, как
полагает большинство исследователей, только над горами и ниже
по потоку от них, из-за чего обычно называются подветренными
волнами. Исследования данного природного феномена имеют
солидную историю. Успехи здесь связаны с работами очень многих
ученых, однако в первую очередь следует вспомнить имена таких
авторов, как Кочин, Дородницын, Кибель, Кене, Кюттнер, Лира,
Скорер, Лонг, Лилли, Клемп, Смит и др. Успехи, достигнутые
предшественниками, позволили в данной работе сосредоточить
внимание на решении следующих задач.
1. Исследовать общие физические закономерности явления
обтекания гор с учетом немалости и нелинейности возмущений, а
также стратифицированное™ атмосферы.
2. Определить важнейшие частные особенности явления и в
первую очередь пространственные и амплитудные характеристики
вгв, зависимость их от высоты и формы гор, характеристик
стратификации и т.д.
3. Освоить разработанные методы проведения прямых
измерений свойств атмосферы при обтекании гор и прежде всего ха-

рактеристик поля облачности. Разработать методы проведения
оптимального сочетания теоретического моделирования с анализом
результатов прямых измерений в природе.
4. Изучить возможности применения разработанных
теоретических моделей при решении важных для практики задач.
Данная монография в определенной мере отвечает на
поставленные вопросы. Среди полученных результатов наиболее
впечатляющими оказались следующие. Выяснилось, что возмущения
при обтекании гор могут становиться не просто заметными, но и
катастрофическими. Вертикальные смещения частиц воздуха с
исходных уровней, например, могут достигать значений, сравнимых
с высотой гор, и даже заметно превышать их. Общая перестройка
течения над горами может стать столь заметной, что волновая
энергия возмущений будет сравнимой с кинетической энергией
исходного натекающего потока. В результате даже для таких
относительно невысоких гор, как, например, Урал, плотность
вертикального потока волновой энергии достигает 100 и более ватт с
каждого квадратного метра площади. Поскольку неровности земли с
относительными высотами более 500 метров покрывают
значительную часть территории суши, очевидно, что орографические
возмущения совершенно необходимо учитывать как при решении
проблемы локального краткосрочного прогноза погоды, так и в
задачах, связанных с крупномасштабными атмосферными
процессами, в том числе с теорией климата. Важной особенностью
орографических вгв является их способность распространяться вверх
почти без ослабления или даже с увеличением амплитуды.
Благодаря этому к ним возрастает интерес со стороны исследователей
верхней атмосферы, в частности специалистов по стратосферному
озону и ионосферным явлениям.
Данная работа является итогом более 35 лет работы автора
по рассматриваемой проблеме на кафедре физики атмосферы
физического факультета Московского государственного
университета. Начинал работу автор с создания своей первой
гидродинамической модели. На кафедре к этому времени существовала
прекрасная школа изучения явлений природы на основе сочетания
теоретических и экспериментальных методов исследований. Автор
не мог не воспринять такого плодотворного подхода у прекрасных
специалистов кафедры; за эту науку он искренне признателен всем,
но в первую очередь автор благодарен судьбе за то, что ему удалось
учиться у трех замечательных ученых: у первого заведующего
кафедры физики атмосферы профессора А.Ф.Дюбюка, а затем у двух
последующих руководителей кафедры — академика А.М.Обухова
и профессора А.Х.Хргиана. Совместная работа во время
многочисленных экспедиций научила также автора особенно ценить
коллективную работу в экстремальных условиях, научила понимать,

насколько сложными и многоликими являются природные
явления, насколько красивы могут быть их проявления,— в частности
облака, возникающие в атмосфере при обтекании гор. Эта сторона
дела в определенной мере нашла отражение в представленной книге.
Работа включает четыре главы, список литературы из 104
наименований, заключение и примечание.
В главе I дается вводный обзор проблемы и публикаций,
основные постановочные положения и соотношения проблемы,
анализ их физической сущности, обосновывается целесообразность
использования на данном этапе исключительно двумерных,
стационарных, аналитических моделей при особом внимании к
вертикальной неограниченности атмосферы и реальной форме гор. В
конце главы перечисляются основные публикации автора
поданной проблеме. Краткие обзоры литературы по отдельным
рассматриваемым вопросам даются также в каждой из отдельных глав.
Ссылки на работы даются по мере очередности их обсуждения.
В главе II рассматривается явление обтекания гор на основе
модели для натекающего потока с однородной стратификацией, т.е.
когда в нем скорость и вертикальный градиент падения
температуры не зависят от высоты. При этом вначале рассматриваются
результаты, полученные для горы, имеющей в вертикальном сечении
форму полукруга. Далее дается обобщение такой задачи на случай
горы произвольной формы. После этого рассматриваются
результаты применения этой модели для различных горных районов. В главе
излагается метод анализа результатов прямых измерений
характеристик состояния атмосферы во время обтекания гор, главным
стержнем которых являются измерения временных и пространственных
свойств полей облачности. Проводятся прямые сопоставления
данных теории и измерений, и в результате устанавливаются не только
особенности феномена в различных районах, но и такие стороны
явления, как возможность образования над горами двумерных
вихревых циркуляции, появление заметного волнового сопротивления
и потоков волновой энергии, вопросы безопасности полетов
авиации, вопросы реализации идей ветроэнергетики и понимания
причин возникновения катастрофических ветров у земли, возможности
параметризации роли формы гор и т.д.
В гл.III описывается построение трехслойной модели,
позволяющей учитывать послойно резкие изменения
гидростатической устойчивости натекающего потока. Модель, как и ранее,
аналитическая и открытая; она позволяет с достаточной точностью
учитывать условие отсутствия возмущений в натекающем потоке и
произвольность формы горы. Представленные результаты
использования этой модели показывают, что с ее помощью можно более
успешно моделировать реальные природные процессы, а также
изучать новые стороны явления,— например, квазиволноводные

эффекты. Особенно ценно то, что новая модель существенно
расширяет возможности в изучении влияния гор на возмущения в
верхних слоях атмосферы,— в частности, на высотах озонового слоя
стратосферы.
В гл.IV дается новая постановка решаемой задачи, на основе
которой можно учитывать плавные изменения скорости и
гидростатической устойчивости натекающего потока, а также более
полно, чем до сих пор, сжимаемость воздуха. Здесь показывается, что
такой подход позволяет исследовать ситуации не только
интересные с точки зрения изучения законов гидродинамики
стратифицированной жидкости, но и ситуации, типичные для реальной
атмосферы. В главе дается краткое разъяснение, как может быть
построена модель на основе данного подхода и какие перспективы
это открывает.
В разделе «Заключение» резюмируются полученные
результаты. В разделе «Примечание» дается краткая справка о величине
личного вклада автора в работу, а также его коллег.
Все полученные результаты позволили существенно углубить
понимание явления обтекания гор. Созданные теоретические
модели и освоенные методы получения количественной
информации о явлении, а также полученный опыт использования всего
этого позволяют и далее вести широким фронтом исследования в
данной области. В частности, все это расширяет возможности в
решении таких важнейших для практики задач, как
совершенствование краткосрочного локального прогноза, эффективный учет гор
в крупномасштабном прогнозе и теории климата, обеспечение
безопасности как полетов над горами, так и жизни в этих
районах, определение влияния гор на атмосферные процессы в
верхней атмосфере и т.д.

Глава I.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОБЛЕМЫ
Динамика взаимодействия движущейся атмосферы с
неровностями земли многими исследователями изучается средствами
гидродинамики. Для среднемасштабных процессов при этом
используют следующую систему уравнений движения, адиабатично-
сти и неразрывности:
at p
р dt p
Эр
at
V(pV)
dt
0 = 0,
= 0,
(1)
где
_d_
dt
= t- + (W), V = (u,v,w), V =
Э Э
r^
Эх ' Эу ' dz,
(1.1)
а кроме того: V — вектор скорости, р и р — плотность и давление,
g — вектор силы тяжести, © — потенциальная температура,
выражаемая через температуру Т и давление посредством формулы:
е = т
к-1
I р.
(2)
В последней формуле к — отношение удельных теплоемкостей, р0 —
эталонное давление (обычно давление в основном состоянии на
земле). Силы Кориолиса при этом не учитываются в силу среднемасш-
табности движений, а силы вязкости опускаются, так как они
существенно меньше сил Архимеда в свободной атмосфере, на
которую и обращается основное внимание. Интересно отметить, что в
атмосфере, как правило, движения таковы, что уравнение
неразрывности с достаточной точностью (смотри к примеру работу [I])
можно представить в виде:
VV = Aw>
с"
(3)

где с — скорость звука рассматриваемого слоя атмосферы. Система
уравнений (1), как легко видеть, замыкается за счет использования
предположения об адиабатичности. Последнее, естественно, сужает
применимость такой системы к реальной атмосфере (особенно в
случаях высокой влажности), зато в таком случае задача
существенно упрощается. В целом выписанная система уравнений должна
неплохо описывать достаточно быстрые возмущения атмосферы в поле
силы тяжести при не высокой влажности. Возмущения при этом
определяются как отклонение атмосферы от ее основного
состояния. В качестве последнего принимается состояние равномерного
горизонтального движения далеко перед неровностями земли.
Основное состояние называют натекающим потоком.
Исторически данную проблему начали изучать с
рассмотрения стационарных задач, как более простых. При этом
исследователи надеялись, что со временем нетрудно будет перейти к
нестационарным задачам. Однако вскоре стало ясно, что и в рамках
стационарного приближения проблема остается весьма сложной и
перспективной для исследований. В силу сказанного из
опубликованных к настоящему моменту работ подавляющая часть
относится к стационарным (из нестационарных можно упомянуть,
например, такие работы, как [2 - 41). Данная работа также проводилась
по преимуществу в рамках стационарного приближения. С учетом
этого будем исходить из того, что в выше выписанной системе
уравнений в полной производной по времени опускается частная
производная, т.е.
^ = (W). (4)
Натекающий поток при этом полагается не зависящим от времени
и полностью определяется вертикальными профилями скорости и
одной из термодинамических величин. Если полагать, что
неровности земли локализованы в некоторой ограниченной
окрестности начала координат, то натекающий поток можно определять,
например, соотношениями:
V -> U(z), Т -> T(z) при х -> -оо, (5)
где U — скорость натекающего потока, а температура и все
остальные его термодинамические характеристики выделяются
чертой сверху. Наличие гидростатически устойчивого распределения
температуры в натекающем потоке определяет упругие свойства
атмосферы по отношению к быстрым вертикальным смещениям
ее частиц. Мерой этой упругости обычно служит частота Брента-
Вяйсяля N, которая для атмосферы определяется формулой:

. ,2 g d© v.. - у dT
Э dz T| dz v '
где y, — сухоадиабатический градиент температуры, Т, —
характерная (средняя) температура рассматриваемого слоя атмосферы.
Предположение о невозмущенности натекающего потока естественно
приводит к выводу, что необходимо ограничиваться случаем
Y * Ya-
Совместно скорость и частота Бремта-Вяйсяля N
определяют некоторый масштаб Ь, который пропорционален собственному
волновому масштабу Хс, впервые введенному Лира в работе |5]:
b = U/N, \ = 2тгЬ = 2тг U/N. (7)
Итак, исследование данной проблемы средствами
гидротермодинамики в рамках стационарного приближения акцентирует
главное внимание на учете действия неровностей земли на
движущуюся упругую атмосферу. Упругость эта определяется
вертикальной стратификацией среды. Поэтому здесь возмущения изучаются
на основе гидродинамики стратифицированной жидкости,
которая бурно развивается в последние годы. Неровности при этом
играют роль вынуждающих сил. Ясно тогда, что взаимодействие
атмосферы и неровностей, как правило, должно иметь
колебательный характер, причем в возникающих возмущениях частота Брен-
та-Вяйсяля N и собственный масштаб X. всегда должны так или
иначе проявляться. Указанные взаимодействия описываются с
использованием понятия «внутренние гравитационные волны»,
широко распространенным в настоящее время. Термин вгв удобен
потому, что в нем подчеркивается, что данные волны
возбуждаются внутри непрерывно стратифицированной среды. В таких
исследованиях, как говорилось выше, как правило используется
предположение о том, что натекающий поток не возмущен и не
зависит от времени. Это предположение у некоторых исследователей
вызывает сомнения. Хотя оно и не доказано окончательно в общем
случае, его используют в данных задачах, во-первых, потому что
оно существенно упрощает проблему, во-вторых, потому что
наблюдения, как будто, не противоречат этому, и, в-третьих,
потому что имеются определенные теоретические соображения на этот
счет, полностью убедительные для малых возмущений и весомые
для остальных (см. работы [2—4, б, 7|).
Исследования данной проблемы начались с рассмотрения
двумерных задач, т.е. с рассмотрения обтекания гор, имеющих
цилиндрическую форму, с образующими перпендикулярными
направлению натекающего потока. Решение такой задачи ищется в

вертикальной плоскости (x-z), ориентированной по направлению
натекающего потока, а от координаты «у» ничего не зависит. Затем
стали появляться и отдельные пространственные модели, одной
из первых среди которых, по-видимому, была работа |8]. Четыре
пространственные модели анализируются в книге [9J, обзорная
статья |10] неплохо характеризует такие исследования. В
частности, в последней статье описываются 15 аналитических и 8
численных вариантов пространственных моделей. Это громоздкие,
сложные и частные построения, с помощью которых сложно
анализировать многие важнейшие факторы явления. Конкретные
расчеты, проведенные при этом, выявили два варианта
пространственной организации возмущений. В одном из них возмущения
имели вид клина корабельных волн, хорошо известных для случая
поверхностных волн. В другом,— возмущения имели вид цепочки
вихрей. В последние годы стали появляться отдельные работы,
посвященные моделированию реальных трехмерных гор (см.
публикации 111, 121). В целом же подавляющее число исследований
относится к двумерным. Данная работа также проводилась в рамках
двумерного приближения, поскольку пока только в рамках такого
упрощения можно вскрыть важнейшие закономерности данного
природного явления.
В ряде аналогичных исследований применяется такое
упрощение, как гидростатическое приближение. Оно впервые было
сформулировано в нашей стране в работах [13, 14|, где получило
название приближения длинных волн. В настоящем исследовании
это приближение не используется, поскольку ставилась задача в
полной мере учесть все основные длины волн, чтобы иметь
возможность изучать в полном объеме локальные эффекты явления.
По данной проблеме к настоящему моменту выполнено
огромное количество работ. При этом большая их часть относится
к таким, которые получили название линейных, так как в них
производится линеаризация исходных уравнений за счет
использования предположения о малости всех возмущений. Прекрасную
характеристику этих работ и результатов, в них полученных,
можно найти в работах |1, 2, 7, 10, 15]; важные стороны
математических трудностей проблемы рассматриваются в [ 16]. В этих
исследованиях удалось рассмотреть явление с разных сторон, оценить
влияние самых разных факторов, и тем не менее в последнее время
многие стали отказываться от такого подхода. Это связано с тем,
что в линейных моделях проявляется некорректность, состоящая в
том, что получаемые здесь возмущения оказываются не малыми,
т.е. оказываются не соответствующими исходным
предположениям. Причины этого пока остаются не выясненными, хотя попытки
в этом направлении делались (см., например, работы [1, 17|).
Видимо, поэтому в последнее время чаще стали использоваться не-

линейные модели. Первыми среди них были работы Лонга 118—20|.
Обзор этих и ряда других работ дан, например, в работах |9, 21 j. В
таких моделях исходная система нелинейных уравнений строго
сводится к нелинейному уравнению, которое при переходе к
некоторому частному случаю стратификации натекающего потока
становится линейным. Такой подход освещается в статьях [20—24], при
этом строго, без применения дополнительных упрощений это
удается сделать только в двух вариантах, рассмотренных в работах [20]
и [22|. Оба эти варианта близки друг к другу, поскольку
рассматривают по существу однородный (по скорости и устойчивости)
натекающий поток. Данные результаты в основном получены на
основе применения варианта работы |22|, особенности которого
будут изложены несколько позже.
Остановимся на вопросе, какие граничные условия в
данных исследованиях рассматриваются и как они реализуются.
Наиболее очевидное из них — это условие на нижней границе.
Поскольку вязкость не учитывается, в качестве граничного условия
используется условие скольжения вдоль поверхности земли. В
линейных моделях, естественно, такое граничное условие
линеаризируется. В нелинейных задачах также рядом авторов это граничное
условие упрощается в предположении малости величины
неровности. В данном исследовании удается учитывать величину и форму
неровности с вполне приемлемой точностью, что позволяет в
деталях изучать роль формы неровностей земли.
Вид второго граничного условия зависит оттого, как
учитывается в модели неограниченность атмосферы по вертикали. Здесь
встречается два варианта. В одном из них считается, что некоторые
нижние слои можно считать изолированными энергетически от
верхних. Это закрытые модели. Во втором случае непосредственно
учитывается энергетическое взаимодействие всех слоев
неограниченной атмосферы, правда, при этом обычно верхние слои
представляются в несколько упрощенном виде. Такие модели получили
название открытых, в них решение обычно получить сложнее, чем
в первом случае. В настоящей работе все исследования проводились
в рамках открытой модели.
Третье граничное условие основано на выше затронутом
предположении о невозмущенности натекающего потока. Физически
это предположение, согласно исследованиям Кене,
опубликованным в [2|, равнозначно утверждению, что горизонтальная
составляющая групповой скорости возмущений в таких ситуациях всегда
не больше скорости натекающего потока, или, иначе говоря, что
энергия возмущений не распространяется навстречу натекающему
потоку. Использование данного граничного условия приводит к
тому, что пространственные характеристики возмущений
приобретают существенно асимметричный вид — они расположены над

неровностями земли и с подветренной стороны вниз по потоку от
них. Поэтому такие возмущения получили название подветренно -
волновых. Их еще называют орографическими, когда хотят
подчеркнуть зависимость от орографии земли.
Ниже будут рассмотрены конкретные теоретические
модели, созданные нами на базе сформулированных соображений. Это
аналитические, нелинейные, стационарные, двумерные,
негидростатические модели, точно учитывающие форму неровностей
земли и неограниченную вертикальную протяженность
атмосферы. Математические особенности этих моделей, методы получения
количественной информации об изучаемом природном явлении,
результаты совместного использования всех этих средств
излагаются в работах 112, 17, 21, 22, 25—41].

Глава II.
ВОЗМУЩЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ
ОДНОРОДНЫМ ПОТОКОМ
2.1 ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Чтобы построить конкретную гидродинамическую модель,
следует прежде всего линеаризировать в (I) нелинейные
слагаемые, учитывающие термодинамические величины, которые в
атмосфере изменяются относительно основного состояния мало.
Упрощения этого рода получили название упрощений Буссинес-
ка, или упрощений теории свободной конвекции (смотри,
например, работы [42, 431). В частности, уравнение неразрывности после
таких преобразований можно привести (смотри [2, 9, 43]) к виду:
**-"■ »-;!-7(1£тН- (8)
Величина а в атмосфере достаточно мала и это позволяет в
качестве уравнения неразрывности использовать уравнение
несжимаемости. Тогда можно после всех указанных преобразований
получить следующую систему уравнений движения, адиабатичности
и несжимаемости (подробности смотри в работах [13, 22, 25, 43])
для двумерного случая:
(w)v = -RT,v£ + £g,
к _ ' Р М
(W)T' = -(Ya-Y)w.
(VV) = 0, (9)
где штрихами справа вверху отмечаются возмущения
соответствующих величин, а так же используются обозначения (1) для
двумерного случая. Условие несжимаемости позволяет ввести
функцию тока посредством формул
— £■ "-£ =
изолинии этой величины в силу стационарности совпадают с
траекториями движения.

На первый взгляд может показаться, что использование в
стационарной модели совместно уравнений несжимаемости и
адиабатичности некорректно: предположение о несжимаемости
требует сохранения плотности вдоль траекторий движения, а тогда в
силу адиабатичности и давление также должно сохраняться, а по
уравнению состояния, значит, и температура. На самом деле все
обстоит по другому. В силу малости в (8) величины ст в системе
уравнений (9) динамические, кинематические и
термодинамические факторы учитываются с одинаковой точностью. При этом
соотношение адиабатичности, как легко видеть, управляет
изменениями температуры в точном соответствии с законами физики:
изменения Т' вдоль траекторий пропорциональны (у — y;i)w. Ясно,
что градиент давления и сила тяжести в системе уравнений (9)
также учитываются с приемлемой точностью. Интересное
подтверждение разумности совместного использования уравнений
адиабатичности и несжимаемости дается в работе [45] на основе учета
термодинамической неравновесности стратификации атмосферы.
После введения функции тока перекрестным
дифференцированием первых уравнений из системы (9) легко исключить
давление, а затем с использованием якобианов представить ее в виде
(смотри, например, работы [22, 25|):
3(x,z) "тГ~Эх~' 3(x,z) ^ Y'3x- <ll>
где:
Э(А, В) _ ЭА ЭВ ЭА ЭВ 2 э2 э2
Э(х,г) ~ Эх Эг 3z Эх ' V =^T + ^T " (12)
В натекающем потоке согласно вышесказанному все
возмущения отсутствуют и, значит,
Т'-*0, ^-->0, V-»Vo(z), V2-»-^ при х-> -со. (13)
Эх dz2
Здесь \|/ц — функция тока в натекающем потоке. Тем самым
решение задачи сведено к решению двух уравнений (11) для двух
искомых функций. Выписано также одно из необходимых граничных
условий, — условие (13), остальные будут сформулированы позже.
Эти уравнения, очевидно, нелинейны. Получение линейных
уравнений, как и в других нелинейных моделях, осуществляется за
счет перехода к рассмотрению некоторых частных ситуаций. Но

перед этим необходимо воспользоваться тем, что уравнения (11)
имеют первые интегралы. Использование этого приема, видимо,
впервые было продемонстрировано в статье [46]. Далее этот прием
применялся в работе [14] для частного случая гидростатической
модели, когда в натекающем потоке предполагались постоянными
температура и градиент скорости, а затем в [47J при учете
сжимаемости также в гидростатической модели. В статье [22] этот прием
обобщен на случай негидростатической модели. В работе [25] этот
же вариант рассмотрен в общем виде для произвольных y(z) и
U(z). Эти первые интегралы имеют вид:
T' = fM-I(Ya-Y)dz , (И)
О
Вид произвольных функций f и f, проще всего определять в
натекающем потоке, свойства которого полностью известны. Было
установлено, что для определенных профилей скорости и
устойчивости в натекающем потоке вид этих функций таков, что
уравнение задачи становится линейным. Анализ показал (смотри
работы [22, 25, 26]), что практически единственным интересным для
атмосферы вариантом является случай, когда
U = const, y= const. (16)
В этом случае решение проблемы сводится к решению
уравнения Гельмгольца для возмущений функции тока:
vV + KV = o, v'=v-v0. 4>0 = -Uz' О?)
К = N/U = b"1 = 2тЛс"' ■ (18)
Возмущения температуры при этом определяются через
возмущения функции тока посредством соотношения
Т' = -(7а-у)^ , (19)
т.е. в точном соответствии с требованиями адиабатических
изменений при вертикальных смещениях.
Далее будут представлены три конкретные модели
обтекания, опирающиеся на соотношения (16—19), опубликованные в
работах [22, 25—30]. При этом на поверхности земли, заданной
посредством
z = z. + h(x) , (20)

граничное условие скольжения будет использоваться в виде:
у = — Uz., у'(х, z) = U h(x) при z = z. + h(x). (21)
При выводе данного выражения предполагается, что
невозмущенный уровень земли в натекающем потоке равен z„ а
орографическое смещение относительно этого уровня есть h(x), причем
последнее отлично от нуля только в некоторой окрестности точки х = 0.
При моделировании реальных атмосферных процессов следует
обратить внимание на то, что требование постоянства градиента
температуры, безусловно, искажает свойства верхних слоев.
Математически, однако, задача остается корректной, поскольку в окончательное
уравнение входит не температура, а ее градиент. Кроме того, основная
масса атмосферы сосредоточена в тропосфере, а для нее
предположение о постоянстве у вполне оправдано. Поэтому представляется, что
такими моделями можно пользоваться до достаточно больших высот.
2.2. ОБТЕКАНИЕ ГОРЫ-ПОЛУКРУГА
2.2.1. Теоретическая модель
Первые результаты создания этой модели опубликованы в
статье [22J, а итоги ее применения к исследованию рассматриваемого
явления — в работах [25, 26]. Полукруглая форма горы была выбрана
с целью точно учесть граничное условие скольжения, поскольку в
этом случае, естественно, следует переходить к цилиндрическим
координатам (г,ф) и использовать то, что поверхность горы точно
совпадает с одной из координатных поверхностей. Здесь переменные
разделяются и решение уравнения (17) сводится к решению двух
известных обыкновенных дифференциальных уравнений. Любое
собственное решение задачи при этом определяется в виде
произведения двух функций. Одна из них определяет синусоидальную
зависимость от угла ф, а другая выражает зависимость от радиуса г через
линейную комбинацию функций Бесселя. Граничное условие
скольжения (21) при обтекании полукруга радиуса г() принимает вид:
z, = 0, h = r0 sin ф, \|/'= U г0 этф, 0 < ф < я, г0 > 0. (22)
Решение задачи, удовлетворяющее этому условию,
записывается следующим образом:
I )г °°
у'= , ° ч51пф+ XBn[Yn(Kr)-^nJn(Kr)]sin(n<|>), (23)
•MK-mdJ n=l
Yn(Kr0)
Ц" " Jn(Kro) "

граничное условие скольжения будет использоваться в виде:
\\/ = — Uz„ \j/'(x, z) = U h(x) при z = z. + h(x). (21)
При выводе данного выражения предполагается, что
невозмущенный уровень земли в натекающем потоке равен z., а
орографическое смещение относительно этого уровня есть h(x), причем
последнее отлично от нуля только в некоторой окрестности точки х = 0.
При моделировании реальных атмосферных процессов следует
обратить внимание на то, что требование постоянства градиента
температуры, безусловно, искажает свойства верхних слоев.
Математически, однако, задача остается корректной, поскольку в окончательное
уравнение входит не температура, а ее градиент. Кроме того, основная
масса атмосферы сосредоточена в тропосфере, а для нее
предположение о постоянстве у вполне оправдано. Поэтому представляется, что
такими моделями можно пользоваться до достаточно больших высот.
2.2. ОБТЕКАНИЕ ГОРЫ-ПОЛУКРУГА
2.2.1. Теоретическая модель
Первые результаты создания этой модели опубликованы в
статье [22|, а итоги ее применения к исследованию рассматриваемого
явления — в работах [25, 26]. Полукруглая форма горы была выбрана
с целью точно учесть граничное условие скольжения, поскольку в
этом случае, естественно, следует переходить к цилиндрическим
координатам (г,ф) и использовать то, что поверхность горы точно
совпадает с одной из координатных поверхностей. Здесь переменные
разделяются и решение уравнения (17) сводится к решению двух
известных обыкновенных дифференциальных уравнений. Любое
собственное решение задачи при этом определяется в виде
произведения двух функций. Одна из них определяет синусоидальную
зависимость от угла ф, а другая выражает зависимость от радиуса г через
линейную комбинацию функций Бесселя. Граничное условие
скольжения (21) при обтекании полукруга радиуса гс принимает вид:
z, = О, h = r0 sin ф, \|/'= U г0 Бтф, 0 < ф < л, г0 > 0. (22)
Решение задачи, удовлетворяющее этому условию,
записывается следующим образом:
I ]г сс
W' = , / ° Asin ф + X В„[Yn(Кг) - цпJn(Кг)]яп(пф), (23)
•MKi'oJ n=i
„ Yn(K.o)
Ц" -UK*)-

решении слагаемых, равнялось 2(т+1). Полученное таким
образом решение можно записать в виде:
lb
J|№)
2(m + I)
1^-15тф + I Bn[Yn(?0R)-HnJn(W]sinH), (25.1)
T'
Г
(Ya-YK Ur0
R=-.
ГО
x = r cos ф, z = г sin ф. (25.2)
Это решение полностью определено за счет того, что на
неопределенное до конца решение (23) накладывалось требование о
несимметричном затухании по пространству. Такая особенность
является общей для данных задач, она, например, проявлялась в
работах [5, 49, 50] и др. Благодаря этому и получалось решение об
асимметричных подветренных волновых возмущениях.
Выписанное выше решение свидетельствует о том, что
определяющее значение в проблеме имеет параметр ^,. По мере
выяснения свойств явления его роль будет становиться все яснее. Он
объединяет в себе такие важнейшие факторы, как свойства
натекающего потока и размер горы:
С0 = Кг0=^ = .Ь
и и и
-(Ya-Y)
(26.1)
или
Г - Г0 _л„. Г0
Сп = = 271
so ь К
(26.2)
Лонг в публикации [20] ввел в употребление внутреннее число
Фруда при изучении процесса обтекания неровности дна в канале
с высотой II, которая играла роль основного масштаба. Для
любого иного масштаба / внутреннее число Фруда можно определить
формулой:
F. --У-- Ь _ _^l
1 N/ / 2тс/
(27)
_LiJL
Значение этой величины определяется только после выбора
масштаба /, что можно делать по разному. Если полагать, что этот
масштаб порядка "К то получаем F. = 1/(2п), т.е. F: порядка 0,15.

При этом мы, видимо, особо выделяем явления масштаба Лира.
Если будем выделять роль высоты горы, то следует считать, что
масштаб /порядка 1 км, а в конкретном рассматриваемом случае —
/ = г0. Тогда внутреннее число Фруда просто обратно
пропорционально нашему параметру С,и. Типично в атмосфере величина Хс
порядка 2л км. В этом случае для величины F. получаем величину,
равную км/г0, т.е. близкую при прежнем выборе высоты к 1. С
другой стороны, если приложить к атмосфере результаты работы 120],
то надо исходить из того, что выбираемый масштаб должен
соответствовать высоте канала, т.е. высоте тропопаузы. При этом
масштаб / возрастает примерно в 10 раз по сравнению с предыдущим
случаем и, значит, число Фруда должно быть порядка 0,1.
Одновременно получаем, что при использовании последнего подхода
мы близки к самому первому варианту, когда повышенное
внимание обращается на явления масштаба Лира. Впрочем, из
дальнейшего станет ясно, что отмеченная близость носит несколько
формальный характер, ибо в настоящем исследовании применяются
открытые модели, а в них все результаты сильно отличаются от
полученных для канала, — в том числе и в отношении явлений
масштаба Лира.
В работе [22] приводились результаты предварительных
расчетов по этой модели, а основные давались сначала в работе [25],
а затем чуть позже в статье [26]. Интересно, что практически
одновременно с публикацией [26] в статье [51] представлены
результаты рассмотрения той же задачи другими исследователями.
Представленные ими данные фактически совпадают с нашими.
По соотношениям (10, 25) были проведены расчеты для трех
значений параметра £и = 1, 2, 3, которые позволили получить
изолинии следующих величин: v|/, T', u, w и V = (u2 + w2)l/:!. При этом
использовалось приближение с m = 1. Расчеты поля изолиний Т'
позволили определить также градиенты температур в поле
возмущений. Если ввести обозначения
<- Г
R,=z/rn, (28)
(Ya-Yb' Kz"
то можно получить нужные для этого соотношения в виде:
dT их' (, dz' ^
dz Yil dR,
1 +
ORz;
(29)
Основные результаты, полученные с помощью
рассматриваемой модели, обсуждаются ниже.

2.2.2. Свойства орографических возмущений
1. Общие закономерности
Результаты расчетов представляются в безразмерном виде на
рисунках 1—5. В силу стационарности модели изолинии функции
тока, изображенные здесь сплошными линиями, совпадают с
траекториями движения и весьма наглядно представляют характер
изучаемого процесса. Поток обтекает гору-полукруг слева направо
(направление движения показывается стрелками). Линии тока
легко отличить от других изолиний, поскольку они на достаточном
расстоянии перед горой практически горизонтальны. Кроме
данных изолиний на рисунках с помощью соответствующих
замкнутых кривых представлены и другие характеристики поля
возмущений. Об этом даются конкретные пояснения в подписях. В качестве
пространственного масштаба используется радиус горы. На
рисунке 1 приводятся результаты, полученные для £0 = I или \/г0 = 2к,
на рисунке 2 — для £0 = 2 или \/г0 = к, на рисунке 3 — для С,0 = 3
или \/i'0 = 2/3 п. С большей подробностью свойства возмущений
для последних двух вариантов воспроизводятся на рисунках 4 и 5 —
правда, лишь в непосредственной близости от горы. Подробный
анализ представленных данных позволяет отметить следующие
фундаментальные свойства возмущений.
1. Подтверждается волновой характер возмущений и
заметное затухание их при удалении от горы, — особенно быстрое
навстречу натекающему потоку.
2. Интенсивность возмущений уменьшается с уменьшением
£0, при этом она максимальна на средних уровнях тропосферы, а у
самой земли в соответствии с граничными условиями — близка к
нулю.
3. В секторе направлений 50—70 градусов возмущения
наиболее развиты, что отмечалось ранее в работе [52] и является
следствием совместного действия требований отсутствия возмущений
вдоль направлений 0 и я, а также условия (24).
4. Возмущения слабо заметны с наветренной стороны перед
горой, при этом начало их с увеличением высоты смещается
навстречу потоку.
5. Имеет место обращение линий тока, т.е.
квазипериодическое изменение фазы возмущений с высотой; при этом масштаб
периодичности близок к величине Хс, т.е. заметно больше, чем
высота горы. Этот масштаб в соответствии с (26) уменьшается при
увеличении С, т.е. уменьшении скорости, что согласуется с
исследованиями [53, 54], где речь идет именно о скорости основного
течения.

I 1 1 1 1 1 1 J 1 1 I Ь I 1 ' : I L L 1 , ! j
-6 -S -i -3 -Z -t 0 I 2 3 <• S в 7 В :) Ю Л 12 13 И IS Wx/ra
Рис.1. Характер орографических возмущений при обтекании
горы-полукруга, рассчитанных при £,, = I (т.е. при \/г„ = 2л). Смотри работы [25, 26].
Изолинии функции тока v|//Ur(1 представлены сплошными жирными линиями.
Направление движения указано стрелками. Кроме того, здесь изображены: а — изолинии
безразмерных возмущений температуры т' (сплошные тонкие линии), градиентов
возмущений температуры ch'/dR, (тонкая штриховая линия); б — изолинии w/U
(сплошные тонкие) и V/U (тонкие штриховые).

Рис.2. Характер орографических возмущений при Со = 2 (т.е. \Jrlt = к).
Обозначения см. нп рисунке 1.

ф.
Рис.3. Характер орографических возмущений при (^ = 3 (изолинии 4//Ur0).
Чтобы исследовать воздействие на характер обтекания
отдельных факторов, требуется безразмерные величины на рисунках
превратить в размерные. Согласно соотношениям (18, 26) это можно
сделать по-разному. Если при фиксированном £() задать величину
г0, то конкретизируются координаты; при этом фиксируется
величина масштаба b (или А.), однако остаются неопределенными
абсолютные значения N и U. Для снятия этой неопределенности
следует задаться либо U, либо у, поскольку Т, мало влияет на
результат. К примеру, можно исходить из варианта, когда радиус горы и
градиент температуры зафиксированы, а скорость натекающего
потока для выбранных значений £0 изменяется следующим образом:
г0 = 1 км, у = 6,08 град/км,
U = 11,75; 5,9 и 3,85 м/с при ^ = 1, 2 и 3. (30)
Далее все оценки размерных величин будут производиться, если
не оговорено иное, при использовании выписанных значений.

Рис. 4. Картина течения в зоне вихрей при ^ = 2. Изолинии функции тока
V/Urn изображены сплошными жирными линиями. Кроме того, здесь
представлены: а — 1ПОЛИНИИ вертикальной скорости w/U (сплошные тонкие линии),
горизонтальной скорости ii/U (тонкая штриховая) и модуля полной скорости V/U
(жирный пунктир); б — изолинии т' (сплошные тонкие линии), d-c'/dRz<0
(жирный штрих-пунктир), dt'/dR, > 0 (жирная штриховая).

Sx/r„
Рис. 5. Картина течения в зоне вихрей при £,, = 3 (обозначения на рисунке 4).

2. Зависимость от высоты горы
Чтобы выявить отдельно роль ru, можно полагать, что
картины на рисунках 1, 2 и 3 представляют обтекание одним и тем же
натекающим потоком гор, высота которых последовательно
возрастает в два, а затем в три раза. Чтобы иметь представление о роли
изменений масштаба, достаточно представить себе, что
прямоугольные области на рисунках, очерченные редкими жирными
штрихами, имеют одинаковые размеры. После этого легко видеть, как
существенно изменяются возмущения при увеличении г0: появляются
роторы, нарастает амплитуда и изменяется расположение волн,
растут возмущения скорости, градиенты всех величин и т.д.
Характерно, что данный вывод, если говорить о безразмерных
величинах, не меняется и для потоков с различными U и у, — достаточно
лишь, чтобы оставалась неизменной величина X . Значит, главные
с '
закономерности обтекания определяются, с одной стороны,
величиной Хс (или Ь), характеризующей свойства натекающего потока,
а с другой — величиной г0. При этом интенсивность возмущений
прямо пропорциональна ru и обратно пропорциональна \.
3. Поле ветра и температуры
На представленных рисунках изолинии, характеризующие
поля скорости и температуры, имеют замкнутую и обтекаемую
форму. Центры этих областей лежат в секторе (40—50)°.
Непосредственно у подветренного склона горы располагается область
нисходящих движений. Здесь максимальны значения модуля w, ас
удалением от горы (почти вдоль радиуса) вертикальная
составляющая скорости меняется почти периодически с уменьшением
амплитуды. В центрах указанных областей значения w имеют
локальные экстремумы, которые в долях U по мере удаления составляет
величины, представленные в таблице 1 ниже. Отсюда нетрудно
получить, что в варианте (30) максимальные скорости нисходящих
движений в этих случаях соответственно равнялись —10,6; —20,6 и
—30,8 м/с, а восходящих 4,7; 11,8 и 27,7 м/с.
Таблица 1.
Возмущения вертикальной скорости.
С°
1
2
3
W/U
-0,9
-3,5
-8
+ 0,4
+ 2
+ 7,2
-0,3
-1,6
-5,4
+ 0,4 и т.д.
+ 1,4 и т.д.
+ 4,6 и т.д.

Еще больших значений достигает величина модуля скорости V.
форма изотах подобна форме изолиний w. Обращает на себя
внимание наличие области больших V при Си = 1 непосредственно
перед горой на высоте около 2 ги, где V достигает 1,3 U, или при
тех же исходных параметрах 15,3 м/с. Области максимальных
скоростей располагаются в районе нисходящих движений — факт,
полностью совпадающий с данными наблюдений пилотов,
обработанных Тэрнером (см. работу [2]). Самые большие значения V
получаются в непосредственной близости у поверхности горы в ее
верхней части и несколько вниз по потоку. Здесь максимальны все
составляющие скорости. Величина V в центрах изотах, уменьшаясь
при удалении от горы, достигает значений в долях U и в м/с,
представленных в таблице 2.
Таблица 2.
Возмущения величины модуля скорости.
С°
1
2
V
1,4
16,4
5
20,5
1,3
15,3
3
17,7
2
11,8
и т.д. в долях U
и т.д. в м/с
и т.д. в долях U
и т.д. в м/с
Большой интерес представляет наличие области заметных V
вблизи z = 0 на некотором расстоянии по потоку за горой; именно
в этих местах обычно проводятся наблюдения. Согласно расчетам,
здесь V = 1,3 U при t,Q = 1, а при С„ = 2 — даже 2,5 U, или
соответственно 15,3 и 14,7 м/с.
Некоторые данные о величине и представлены на
рисунках 4 и 5. Изолинии эти близки по расположению и форме к
изолиниям w и V; по величине и, естественно, принимает
промежуточные значения между ними. Наше решение не учитывает сил
трения и поэтому дает определенное завышение скоростей,
особенно вблизи земли. Учет сил трения должен внести заметные
поправки, однако, по-видимому, он не сможет изменить основного
вывода об исключительной силе орографических возмущений,
неоднократно приводившим к авиационным катастрофам (см.,
например, сообщения, приводимые в работе [55]).
Чтобы получить представление оТ'в градусах, нужно
соответствующие величины на рисунках 1, 2, 4, 5 умножить на 3,78°,
если исходить из соотношений (30). Тогда поле возмущений
температуры можно характеризовать максимальными значениями
внутри соответствующих изолиний, которые представлены в таблице 3

и которые по мере удаления от горы убывают аналогично
предыдущим возмущениям. Температурные возмущения сильно зависят
от устойчивости натекающего потока и высоты горы, ибо с
увеличением (уа — у)г0 растут, как относительные значения Т' за счет
возрастания £0, так и их абсолютные значения за счет размерного
коэффициента. Интересно отметить, что у вершины горы
понижение температуры может быть не только заметным, но и несколько
сдвинутым навстречу потоку.
Таблица 3.
Возмущения температуры
с°
1
2
Т
-0,9
-3,4
-0,9
-3,4
0,7
2,65
1,7
6,43
-0,5
-1,89
-1.1
-4,16
и т.д. — безразмерные
и т.д. в градусах
и т.д. — безразмерные
и т.д. в градусах
Соотношения (28, 29) позволяют выявить ряд интересных
свойств течения, связанных с градиентами температуры по высоте.
1. При у = уа градиент температуры всюду постоянен и равен у^,
что в новой форме подтверждает ранее полученный в работе [25]
вывод о вырождении волновых возмущений.
2. При у= 0 (изотермический случай) градиент температуры
определяется только первым слагаемым формулы (29).
3. В точках зоны возмущений, где dx'/dRz = — 1, градиент
падения температуры точно равен сухоадиабатическому.
4. В областях, где dx'/dR2 > 0, состояние атмосферы статически
более устойчиво по сравнению с ее исходным состоянием в
натекающем потоке, а там, где dx'/dRz < 0, оно менее устойчиво. Отклонения
от исходной устойчивости определяются величинами у и dx'/dRz.
Замкнутые изолинии dx'/dRz, представленные на рисунках,
позволяют выделить области увеличения и уменьшения
статической устойчивости в зоне возмущений по сравнению с
устойчивостью натекающего потока. Центры этих областей располагаются вблизи
направлений преимущественного развития возмущений. С
увеличением £0 не только возрастают значения градиентов температуры в
центрах всех областей, но и увеличивается скорость их изменений
при переходе от одной области к другой. В случае (^ = 1 удалось
выделить изолинии dx'/dRz со значениями ±0,5, а при С,0 = 2
соответственно ±1. При выполнении соотношений (30) тогда
получаем, что внутри области повышения устойчивости градиенты тем-

пературы уменьшаются при £0 = 1 не менее, чем до 4,19 град/км и
до 2,3 град/км при ^ = 2, а внутри области понижения
устойчивости они увеличиваются соответственно не менее, чем до 7,97 и
13,64 град/км, т.е. в последнем случае примерно до 1,4у;1. Такие
большие изменения устойчивости, как при £0 = 2, обусловлены
появлением в потоке вихрей, к анализу которых переходим ниже.
4. Вихревые явления при обтекании
Возникновение вихрей с замкнутыми линиями тока
представляет значительный интерес. Ряд данных о них получен ранее
(смотри, например, работы [20, 56]). Здесь рассматриваются
только крупные вихри с горизонтальной осью, которые выявлены
расчетами при заметных значениях С,0.
Прежде всего следует поставить вопрос о том, при каких £0 и
в каком числе возникают эти вихри. В работах [22, 25, 26] были
получены соотношения для выяснения этого вопроса. В результате
было установлено, что первый вихрь появляется при значениях С,0,
лежащих между 1 и 2. Интересно сопоставить этот вывод с
результатами публикации [51]. Здесь специально исследовался вопрос о
том, когда должны появляться в потоке над неровностью области,
где частицы двигаются вертикально (ротор по определению в
работе [20]). Было установлено теоретически, что это происходит,
когда ^0 = 1,27. Это же подтверждено расчетами поля траекторий. В
работе [51] не проведено расчетов для значений £0, при которых
над полукругом возникают замкнутые роторы, поскольку авторы
полагали, что такие движения не могут реализовываться в
природе. Наибольшее значение, для которого получена ими картина
обтекания, было £0 = 1,5. Расчет свидетельствует, что в этом случае
частицы на некоторой высоте над горой-полукругом двигаются
наклонно вверх и навстречу натекающему потоку, т.е. что течение
очень близко к появлению в нем замкнутого вихря (возможно, он
и был, но столь небольшой, что не был просто обнаружен).
Сказанное позволяет уточнить прежнее заключение и полагать, что
первые замкнутые роторы должны появляться в потоке при
значениях С, лежащих между 1,5 и 2, причем ближе к 1,5.
Согласно нашим расчетам при £0 = 2 (смотри рисунки 2, 4)
над горой существует по крайней мере два замкнутых вихря, а еще
выше — несколько незамкнутых. При £0 = 3 над горой замкнутых
вихрей более шести и, кроме того, имеется еще один,
расположенный на некотором расстоянии от горы ниже по потоку,
причем он простирается до самой земли. Было выяснено, что внутри
первых вихрей частицы двигаются против часов, а в приземном —
в обратном направлении.
Появление вихрей связано с существенным усилением всех
возмущений. При £0 = 3, например, и и w могут превышать U

более, чем в семь раз. У таких течений наибольший интерес вызывает
поле температуры. В оторванных от земли вихрях Т"> 0, так что в них
условия неблагоприятны для облакообразования. В приземном вихре
ситуация обратная. Еще важнее обратить внимание на градиенты
температур. При Со = 3, как видно из рисунка 5, безразмерный градиент
aV/dRz достигает в пределе значений +5 и —8. Сравнение случаев ^ = 2
и С,, = 3 показывает, насколько возрастают возмущения при
возрастании С,. Появляются области, где исходная статическая устойчивость
резко увеличивается и даже переходит в инверсию, а рядом
одновременно появляются области, где устойчивость уменьшается
настолько, что градиент падения температуры может заметно превысить у.,-
При этом указанные области настолько сближаются, что почти
стирается переходная зона между ними. Понятно, что о степени реальной
неустойчивости такого течения судить трудно. Если бы движений
никаких не было, то достаточно даже незначительного превышения у.,,
чтобы начались движения, ликвидирующие такое состояние
атмосферы. В случае же движений стратифицированной жидкости вопрос
этот требует специального исследования, которое выходит за рамки
стационарной задачи. Однако можно надеяться, что данные
результаты в определенной мере сохраняют свое качественное значение, во
всяком случае в отношении вывода о том, что при достаточно
больших (^ вихревое течение должно становиться совершенно
неустойчивым, т.е. что должен существовать верхний предел ^,, выше которого
нет смысла использовать стационарную модель.
5. Подветренные волны
и некоторые сопоставления с наблюдениями
■Линии тока, представленные на рисунках 1—5, показывают, что
при обтекании горы частицы воздуха двигаются по волновым
траекториям. Волны эти несимметричны, поскольку заметны только в
подветренной части пространства. Благодаря этой особенности, такие волны
называют подветренными и именно они издавна привлекают к себе
внимание многих исследователей. При наблюдениях в природе чаще
всего ученые стремятся измерить длину этих волн по горизонтали.
Проведенные расчеты позволяют рассмотреть данное явление специально.
Показанные траектории движения позволяют обратить
внимание на то, что длина волн может меняться по пространству вблизи
горы (на расстояниях до нескольких ru), — особенно, когда в
потоке появляются вихри. Из расчетов при С,0 равном 2 следует вывод о
том, что у восьми нижних линий тока длина волн может
изменяться почти в два раза (особенно в зоне над горой). Нетрудно в
тоже время обнаружить, что по мере удаления от горы длина волн
меняется все меньше, приближаясь к Хс. Из анализа изменений
фазы возмущений функции тока вдоль некоторых направлений ф

было установлено, что эта закономерность имеет место по всему
пространству. Это же следует и из формулы (25), поскольку
аргумент функций Бесселя здесь есть величина
C0R = 2тс v/\.
Особенно важно подчеркнуть наличие такой периодичности в
изменениях возмущений по вертикали.
Было интересно провести сопоставление некоторых данных
наблюдений с результатами данной теоретической модели. Всего
было отобрано шесть случаев наблюдений. Четыре из них
относятся к экспедиционным измерениям в районе Крыма,
проводившимся сотрудниками кафедры физики атмосферы МГУ (об этих
работах смотри, например, [57—60]), пятый взят из статьи [2|, где
излагаются результаты наблюдений в Калифорнии (США),
последний — из публикации [61J, где анализируются фотографии с
«Тайроса—1» района Патагонских Кордильер. В таблице 4
приводятся все основные данные, характеризующие эти случаи.
Таблица 4.
Длина подветренных волн по данным наблюдений.
No
1
2
3
4
5
6
Район и дата
наблюдений
Сиерра-Невада, 16.2.1952
Аргентина, 18.4.1960
Крым, 28.6.1958
Крым, 13.5.1962
Крым, 2.8.1962
Крым, 31.7.1958
Y
град/км
6
5
6,8
7,05
6,3
5,3
и
м/с
31
20
7,8
11
11,7
10
град
250
273
281
273
268
281
Го
км
2,8
0,8
0,8
0,8
1,2
1,1
Со
1,1
0,53
1,06
0,73
1,17
1,37
км
16,8
11,3
4,4
6,5
6
5,5
L,Ac
1,06
1,20
0,93
0,94
0,93
1,09
Оказалось, что условию постоянства у эти примеры
удовлетворяют относительно неплохо, тогда как условие постоянства U обычно
не выполняется и приходится прибегать к усреднению ее по высоте.
При этом согласно соображениям, высказанным в работах [20, 62], не
принимаются в расчет характеристики приземного слоя. Величина г0
отождествляется с высотой общего опускания воздушной массы
после переваливания через гребень хребта. Данные последней колонки
таблицы показывают, что экспериментально измеренная длина
подветренных волн Ln практически совпадает с Л.с. Это подтверждает выше
сделанные теоретические выводы. Результаты этих наблюдений под
теми же номерами представлены на рисунке 6. Здесь приведена
зависимость Ln/r0 от £,,, очень близкая к 1/£0. Эту закономерность легко
получить, если воспользоваться (26) и тем, что, как
свидетельствуют наблюдения, величина Ln практически совпадает с \:

ro ^-c Co Co
Как видно из рисунка,
экспериментальные точки хорошо
ложатся на теоретическую
кривую. Два случая из этих
наблюдений иллюстрируются на
рисунке 7. Слева вверху здесь
приводится плановая проекция
шести полос облачности из семи
наблюдавшихся с земли во
время одной из наших экспедиций
в Крыму. Частичное
представление о том, как они выглядят при
7,0 1,5 2,0 2,5 С0 обычном визуальном наблюде-
0 нии, дает фотография, воспро-
Рис. 6. Зависимость длины подветрен- изведенная на рисунке 1в. Угол
ных иолн L от L, (смотри работы 2, ,- , ,-
26 61]) обзора у фотоаппарата
небольшой, поэтому в
экспедиционных работах использовалась также методика фотографирования
облачности через сферическое зеркало (см. работу [60]). По этой
методике удавалось фиксировать многие детали поля облачности
вблизи зенита. Результат применения такого средства
демонстрируется на рисунке 1г. Все эти данные хорошо иллюстрируют
редкий случай инструментальной регистрации факта медленного
затухания подветренных волн. Справа на рисунке 16даны
результаты, приведенные в работе [2], когда на основе авиационных
измерений удалось восстановить характер траекторий движения частиц
воздуха. Надежнее всего это, видимо, было сделано для левой
верхней части представленного на рисунке пространства. Здесь
амплитуда волн была близкой к 0,76 км. Из расчетов, иллюстрируемых
на рисунке 1, следует, что линия тока, которая непосредственно
над горой находится на той же высоте в долях г0 (2,33г0), в
натекающем потоке имеет высоту 2,5г0. Отсюда, используя наши
теоретические данные об этой линии тока, можно сказать, что ее
амплитуда должна составлять 0,33ги или 0,92 км. Разница с данными
наблюдений в этом случае, очевидно, не существенна.
Детальный расчет полей у и Т' позволил теоретически
приближенно определять картину орографической облачности. Так как
влажность в модели не учитывалась, поле облачности
определялось в предположении, что удельная влажность q просто
переносится вдоль у без изменений. Это справедливо только при малой
влажности натекающего потока, в частности, это должно давать

tavmz
13ч Ни
Н.тъюрутоб
30-
RhS
W тыс, футов
Рис.7. Некоторые результаты наблюдений орографических волн, данные о
которых помешены в табл.4:
а — схема планового положения облаков, построенная Т.Н.Бибиковой
(наблюдения I3.V.1962), б— результаты наблюдений в Сисрра-Нсваде 16.11.1952
(траектории полетов изображены штриховой линией, сплошными линиями —
изолинии у, смотри публикации [25, 26]), в — фотография облачности, наблюдавшейся
I3.V.1962; г — фотография той же облачности через сферическое зеркало.
неплохие результаты для условий Крыма летом. Нахождение
границ облаков в итоге сводилось к отысканию тех точек на линиях
тока, в которых данное q за счет Т' становится насыщающим. При
этом широко использовалась стандартная аэрологическая
диаграмма, поскольку на ней одновременно даются шкалы высот и
температур, а также набор кривых для отслеживания изменений свойств
частицы воздуха при вертикальных смещениях в двух режимах —
адиабатическом и при сохранении удельной влажности.
По-видимому, аналогичным образом впервые в практике исследований
рассматриваемой проблемы рассчитывались орографические облака в
работе [8]. Изменения q от одной линии тока к другой полагались

Рис. 8. Примеры теоретического расчета полей облачности: а — при £(1 = 1,
б — при £(| = 2 (смотри работы [25, 26]).
заданными в натекающем потоке. Пять примеров такого
построения представлены на рисунке 8. Каждый из них помечен
соответствующей буквой. Слева даны изменения q с высотой, причем в
примере С этот профиль брался непосредственно изданных
радиозондирования, а в остальных случаях использовалось q(z) из
работы [8]. В примерах А, В, D и Е значения у и г0 одинаковы и
соответственно равнялись 6 град/км и 1км. Одновременно в примерах А, В
иС^= 1, а в D и Е£и = 2. Наконец, в случаях А и D температура
на земле равна 20°, а в В и Е — на 2 градуса больше, что означает

систематически меньшую относительную влажность на всех
высотах. В примере С величина £и = I, а значения исходных
определяющих параметров у, г0 и Т, брались из данных радиозондирования
для конкретного случая наблюдения волновых облаков над
Крымским нагорьем в районе Кацивели — Соколиное, который
иллюстрировался на рисунке 7 и в таблице 4. Величина q в этом случае
заметно резче менялась с высотой, чем в остальных примерах.
Границы облачности на рисунке 8 изображены различными
линиями, при этом последняя их полоса вниз по потоку представлена
точками, так как в этом месте была недостаточно густой сетка
точек, где производились расчеты. На рисунке 8а приведены также
изолинии Т'. Сравнение контуров облаков и этих изолиний
показывает, что они не совпадают. Значит, величина q существенно
влияет на форму облачности (по этому поводу можно сослаться на
работу [31]). Сравнение контуров А и В, отличающихся лишь
относительной влажностью, также подтверждает эту мысль. В первом
из них слой сплошной облачности в натекающем потоке в
подветренной стороне сначала прерывается с образованием отдельного
вала над горой, а затем она опять становится сплошной, но с
пульсирующей толщиной. Во втором случае облака возникают
только в подветренных гребнях волн, причем, начиная со второй, они
принимают типичную форму Ac lent. Изменение £0 существенно
все меняет — достаточно сравнить на рисунках 8а и 86 контуры А,
В и D, Е друг с другом. Непосредственно над горой облачная
шапка во втором случае отсутствует, а первый вал волновых облаков
расположен значительно выше по потоку, чем раньше. Для
возникновения такой шапки величина q в нижних слоях должна иметь
более заметные значения. Облачные полосы ниже по потоку
сильнее развиты по вертикали в случае £0 = 2. Кроме того, у них очень
заметен загиб вершин навстречу течению. Сплошная облачность в
натекающем потоке в случае D в подветренном потоке теперь
разорвана с образованием трех отдельных полос. Следует обратить
внимание, наконец, на первую и вторую полосы в случае Е. Для
наблюдателя, находящегося на некотором расстоянии перед горой
с наветренной стороны, эти полосы могут напоминать слоеную
башню Ac lent. Облака такого вида иногда наблюдают в горах.
Сравнение случая С с вариантами А и В позволяет отметить, что
именно малость q и ее резкое уменьшение с высотой выше некоторого
уровня являются, видимо, определяющими для формирования
уплощенного характера облаков Ac lent. Ряд других особенностей
построенных здесь контуров облачности также во многих чертах
подобен наблюдаемым в реальности (смотри, например, работу [63]).

6. Зависимость от £0, U и других параметров.
Смысл пределов ^
Изложенное выше показывает, что важнейшие свойства
процесса обтекания определяются параметром £0> или в обобщенном
толковании отношением двух важнейших масштабов — масштаба
горы к собственному характерному масштабу XQ. По мере
возрастания Cq растет интенсивность возмущений, причем, согласно
данного исследования, этот рост происходит монотонно и нет той
периодичности, что имела место в результатах работы [20].
Монотонность связана с тем, что учитывается неограниченность
атмосферы по вертикали и невозможны резонансные эффекты,
проявлявшиеся в модели для канала (см. рассуждения на эту тему в
работе [22]).
Выше было отдельно проанализировано влияние на
возмущения величины г0. Влияние других параметров, определяющих £0,
можно рассмотреть аналогично, используя рассуждения,
сделанные в начале п. 2.2.2 и соотношение (26). Особый интерес имеет
рассмотрение влияния скорости натекающего потока U. Согласно
сказанному выше о роли £и все возмущения должны возрастать
при уменьшении величины скорости. Несомненно, что это
совершенно новый результат по сравнению с традиционными
представлениями, и этот результат связан с учетом стратификации среды.
Интересно сопоставить сделанное заключение с фактами,
установленными в результате наблюдений в природе. Оказывается, уже
в некоторых из ранних работ, посвященных этой проблеме, было
найдено, что подветренные волны с увеличением скорости
потока (и, кстати, также с уменьшением устойчивости) становятся
менее резкими. В исследовании [54] делается вывод о том, что при
неизменном у меньшим значениям U соответствует большее
развитие подветренных возмущений. Здесь же обращено внимание на
возможность «смывающего» эффекта скорости, под которым
понимается ослабление волн на высотах, когда скорость в
наветренном потоке заметно увеличивается с высотой. Ферхтготт на
основании наблюдений утверждал, что интенсивность волн прямо
пропорциональна отношению высоты горы к скорости потока
(смотри статью [62]), т.е. прямо пропорциональна £0. В работе [7], где
рассматривается линеаризированная модель, делается вывод, что
режим обтекания зависит от безразмерного параметра, который
практически обратно пропорционален внутреннему числу Фруда
F. (27), в котором масштаб / приравнивается к высоте верхней
границы Н, ограничивающей течение. Если в этом параметре Н
заменить на высоту горы, то получим величину £0. Это означает,
что результаты работы [7] качественно согласуются с нашими.
Анализ показывает, что подобный параметр характеризует постановку

и в исследованиях [8, 49]. Позже к этому результату приходят в
работах [50, 62]. Сюда же относятся, очевидно, результаты
исследований в статье [20]. В перечисленных публикациях главную роль в
моделях играет высота верхней границы (условно тропосферы),
тогда как в данном подходе в соответствии с общими
физическими соображениями — характерный размер горы.
Сделанный выше анализ свойств течения при появлении в
нем вихрей показал, что при достаточно больших £0
организованное (квазистационарное) течение должно становиться
невозможным, т.е. существует верхний предел £0. При превышении этого
предела течение должно переходить в сугубо турбулентное
состояние. Лонг до своих опытов, видимо, считал, что замкнутые вихри
вообще не могут быть устойчивыми. Лабораторные опыты убедили
его в обратном. Стало ясным, что гидродинамика
стратифицированной жидкости может сильно отличаться от гидродинамики
однородной жидкости. Далее будут обсуждаться результаты
некоторых наших натурных наблюдений, непосредственно относящихся
к этом феномену. Во всяком случае использование данных
результатов о запредельных £0 полезно в том смысле, что оно указывает
на возможность возбуждения крупномасштабных турбулентных
движений в атмосфере над горами. В случае, когда (^ близка к
предельному, процесс обтекания можно представить так, как это
делается в работе [56], — в виде режима непрерывного разрушения и
восстановления вихрей, сопровождающегося сносом вниз по
потоку остатков разрушенной системы волн в виде турбулентных
диссипирующих пятен.
Интересно обратить также внимание на существование
нижнего предела значений величины £0. Смысл этого предела в том,
что при достаточно малых его значениях орографические волны
могут иметь слишком малую амплитуду, чтобы их можно было
заметить. Величина этого предела, очевидно, зависит от характера
используемых средств измерений. Согласно нашим летним
наблюдениям за облачностью, для Крыма значения обсуждавшихся
пределов £0 близки к 0,4 и 2 соответственно. Впрочем, эти значения,
очевидно, должны зависеть от формы гор.

2.3. ОБТЕКАНИЕ ГОР ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
Опыт сопоставления теории и измерений указал на
необходимость создания модели обтекания неровностей произвольной
формы. В линеаризированных задачах нижнее граничное условие
обычно формулируется не на реальной поверхности, а на
некотором горизонтальном уровне, где по существу вводится некоторое
распределение источников возмущений. В нелинейных моделях
такая формулировка граничного условия годится только в качестве
первого приближения, а на самом деле приходится сталкиваться с
трансцендентным условием. В работе [20] эта проблема была
остроумно обойдена. Сначала было найдено решение для граничного
условия, сформулированного точно так же, как в
линеаризированной задаче, а затем найденное решение было применено для
нелинейной задачи, для чего в нем параметрам, определяющим
высоту и протяженность неровности, были приданы конечные
значения. Такое решение обладало двумя недостатками: во-первых,
форма неровностей заранее неизвестна и ее приходится
определять в процессе расчетов, и, во-вторых, что еще хуже, при
изменении характеристик натекающего потока эта форма может
изменяться, причем не всегда ясно в какой мере. При таком подходе не
удавалось разделить влияние свойств натекающего потока от
влияния формы горы. В работе (65] точный учет рельефа произвольного
вида осуществлялся путем сведения проблемы к численному
решению некоторого интегрального уравнения. Полученный
алгоритм использовался только для некоторых идеализированных форм
(треугольник, стенка и т.д.), и осталось неясным, сколь
эффективен этот путь, а главное — не были проведены исследования,
направленные на изучение возмущений от реальных гор. Еще один
способ точного учета формы неровности продемонстрирован в
исследованиях [66, 67]. Здесь решение находилось численно (а не
аналитически) в переменных, «спрямляющих» гору. Выявленные при
этом трудности говорят о необходимости развивать и другие
подходы к решению данной проблемы.
В работах [27, 29] и был осуществлен другой подход. Здесь в
полной мере были использованы идеи работ [20, 23, 24] и
линеаризированных задач о том, что неважно, каким источником в
районе нижней границы возбуждаются орографические возмущения,
главное, — чтобы при этих возмущениях форма нижней границы
совпадала с заданной. Используя сказанное, решено было
воспользоваться известным классическим решением того же уравнения
Гельмгольца (17), найденным Лира в исследовании [5] для
аналога вертикальной скорости wr Это решение удовлетворяло
следующим условиям:

lim W| = 0 , w^XjO) — монотонна при х —> -°°. (31)
Кроме того, выбранное решение удовлетворяло некоторой
«ступенчатой» особенности на линеаризированной в
вышеуказанном смысле нижней границе (на уровне z = 0). Последнее, правда,
для нас было несущественно, ибо мы стремились использовать
это решение для более высоких уровней. Главное, к чему мы
стремились, чтобы оно обеспечивало возможность получения нужной
формы у некоторой линии тока. Взятое из работы [5] решение было
пригодно для ранее сформулированной нами задачи (17—19),
поскольку условия (31) полностью соответствовали выбранной
постановке. Еще одно важнейшее обстоятельство при этом связано с
тем, что при переходе к безразмерным координатам на основе
масштаба \ уравнение (17) принимает вид, при котором его
коэффициент не зависит от свойств натекающего потока:
VV(x,z) + (2h)2\|/'(x,z) = 0, (x>z) = a.c(x,z), (32)
(здесь прежний оператор у2 приведен к безразмерной форме). В
итоге искомое решение этого уравнения в безразмерных координатах не
будет зависеть от ^с, т.е. не будет зависеть от свойств натекающего
потока. В связи со всем сказанным для наших целей было
использовано следующее классическое решение уравнения Гельмгольца из
работы [5] для возмущений функции тока (в безразмерной форме, т.е. в
долях UXJ:
¥о =— N,(27tr)sin<j) + — У J2v(2rcr)sin2v<j), г = т/Хс. (33)
4 л£(2у)2-1
Данное решение в точке х = 0, z = 0 имеет
логарифмическую особенность, определяемую поведением функции Бесселя
2-го рода N,(271?). На более высоких уровнях у него нет
особенностей. На рисунке 9 представлены изменения \|/р от
горизонтального расстояния в поле безразмерных координат для двух
уровней высоты — 1/8 и 1/4 Хс. Показанные две кривые изображают
изменения безразмерных возмущений функции тока. При этом,
используя ранее выписанные граничные условия скольжения (20, 21),
будем иметь в виду, что:
h(x) 1 ,_ _
1 =TnTv'(x'z* + h/Xc)- <34)

При малых п(х)Дс в аргументе у' можно пренебречь этой
величиной, и тогда получим следующее приближенное выражение:
1
ia.
-\|/'(x,z.).
(35)
Значит, в таких случаях безразмерные значения возмущений
функции тока вдоль рассматриваемого уровня практически совпадают
с безразмерными смещениями линии тока этого уровня. Поэтому
представленные на рисунке кривые приближенно характеризуют
смещения траекторий, определяемых решением (33). Нижняя
кривая удобна тем, что ее главные смещения заметно преобладают
над остальными и сосредоточены вблизи начала координат. Ее вид
и подсказал мысль о применении принципа суперпозиции для
решения задачи моделирования обтекания гор произвольного
профиля. Этот принцип применим, поскольку уравнение задачи и
граничные условия линейны. Суперпозиция определяется при этом
как сумма частных решений вида (33), взятых с определенными
амплитудами и включенных в конкретных точках горизонтальной
оси — с определенной разностью фаз, как будем говорить об этом
далее. Если, к примеру, предполагается получить на уровне \/8
линию тока определенной формы, то следует сложить несколько
кривых, представленных внизу рис.9, подбирая соответствующим
образом амплитуды и
фазы. Получаемое таким
образом решение будет,
очевидно, удовлетворять
условиям затухания
возмущений при удалении от
горы, условию отсутствия
возмущений в
натекающем потоке и, наконец,
условию скольжения на
нижней границе заданной
формы (на уровне, абсо-
Рис.9. Поле V|/'u вдоль двух уровней высоты в ЛЮтная высота которого
безразмерных переменных (см. [5, 27]). павна X /8 км)
Первые результаты применения такого подхода были
опубликованы в работах [27, 28] и иллюстрируются на рисунках 10—12.
Здесь представлены итоги расчетов для двух значений
собственного характерного масштаба \ — 7,7 и 5,1 км. При этом
рассматривались конкретные профили рельефа, снятые с карты по двум
вертикальным сечениям приблизительно перпендикулярным горным
складкам в районе города Ялта. При этом фактически
рассматривалось четыре разных профиля, поскольку рассчитывалось обтека-

Рис.10. Картина обтекания горного профиля Крыма (см. [28|), полученного
для сечения по линии Ялта — станция Сирень.Сплошными линиями
представлены изолинии у в безразмерном виде, штриховыми — положительные смешения
линий тока, причем внутренние штриховые линии вьщеляют область смешений,
превышающих 0,5 км; цифрами внутри этих областей под соответствующими
линиями тока даны смешения в км; используется шкала относительных высот;
масштаб \ = 7,7 км. Представлены два варианта: а — при ветре с моря, б — при ветре
с суши в сторону моря.

Рис.11. Картина обтекания Крыма при \ = 5,1 км в тех же обозначениях и для
того же сечения, что и на рис.10.
ние по двум противоположным направлениям, — когда
натекающий поток набегал на горы со стороны моря (почти с
юго-востока) или когда он был направлен с суши на море (с северо-запада).
С учетом того, что модель работает в безразмерных координатах,
фактически в расчетах использовались шесть вариантов задания
левой части граничного условия (35). Наконец, следует сказать об

/),!')
I/,О
a
уз
3\5
эс.км
Z,KM
-гз,» -ib/, -7.7
Рис.12. Картина обтекания горного профиля Крыма, полученного для
сечения по линии Васильевка — Скалистое: а — натекающий поток направлен с
суши, X.. = 7,7 км; б — натекающий поток направлен с моря, \ = 5,1 км;
остальные обозначения прежние.
еще одной важной особенности. На величину возмущений потока
особо сильное воздействие оказывает значение максимальной
высоты горного района. Это обстоятельство каждый раз учитывалось
при получении исходного профиля рельефа — у всех них
максимальная высота задавалась одинаковой.
Хотя в размерном виде каждый конкретный рельеф п(х)
неизменен, при переходе к безразмерным величинам набор амп-

литуд и фаз при использовании суперпозиции изменяется в
зависимости от величины Хс, хотя «ядро» этой суперпозиции —
функция v|/q — неизменно. Отсюда понятно, почему на рисунках форма
рельефа не изменяется, а поле траекторий изменяется заметно.
Рельеф, используемый в расчетах при получении данных
рисунка 12, отличался от остальных тем, что он учитывал
заметную ложбину на горном плато. Это позволяло количественно
проследить за тем, как должны проявляться в поле возмущений
некоторые локальные особенности формы гор. Сравнивая попарно друг
с другом траектории движения на рисунках 106—126 и Па—12а,
нетрудно заметить, что локальные детали рельефа заметно
сказываются только на приземных уровнях.
В работах [27, 28] проблема точного учета формы нижней
границы была решена приближенно, причем, как выяснилось,
основная трудность заключалась в трансцендентности нижнего
граничного условия — в необходимости считаться с точным
соотношением (34), а не приближенным (35). Преодолеть эти трудности
удалось в работе [29]. С этой целью решено было прежний метод
усовершенствовать за счет получения нового «ядра» для
суперпозиции вместо прежнего в виде функции \|/J. В новом частном
решении удалось усилить контраст между главной частью
возмущения в окрестности начала координат и остальными возмущениями
на уровне Х./8 км, которые, как легко видеть на рис. 9, были не
столь малы, как хотелось бы, при | х | > XJ4. Эта задача решалась с
помощью выше описанной суперпозиции функций \у'0, в которой
амплитуды Ь'„ определены раз и навсегда, а разность фаз по
горизонтали между слагаемыми задается формулой:
Д3| = а.+| - а. = 0,225. (36)
В результате в качестве замены у„ создается новое частное
решение, которое напоминает некий «единичный столбик»,
расположенный в начале координат (подробности можно найти в
работе [29]). Новое «ядро» позволяет с меньшими трудностями
решать задачу удовлетворения нижнему граничному условию
заданной формы путем применения вторичного суммирования с
амплитудами Ь( и прежней разностью фаз между слагаемыми (36). Это
решение имеет вид:
L, ю
= -ХЬ-ХЬтХ1/о(гт'Фт), (37.1)
"К i=1 m=1
I
(x + am)2+(z)2
2 фт = ^ + ат,агс8т—
х + аг
'т
(37.2)

О 5 10 16 20 25 30 35 Х,км
Рис. 13. Обтекание гор Крыма согласно модели [29] при ветре с моря и Хс = 7,7
км. Сплошными линиями здесь представлены линии тока, пунктиром —
некоторые изолинии их относительных положительных смешений, цифрами на них дана
величина смешений в км. Цифры на некоторых из линий тока дают их исходную
высоту в натекающем потоке в км.
Данное решение вначале было реализовано на эвм БЭСМ-6.
Опуская подробности, касающиеся построения соответствующего
алгоритма, отметим, что расчеты проводились в сетке точек, у
которых шаг по горизонтали совпадал с разностью фаз (36), а шаг
по вертикали мог задаваться произвольно. При этом можно было
рассматривать достаточно разные по форме рельефы.
Построенное решение было применено вновь к
моделированию обтекания гор Крыма и для тех же характеристик
натекающего потока. Четыре примера из работы [291 приводятся на рисунках
13—16. Анализ, проведенный здесь, показал, что в работе [28]
недостаточно точно был учтен рельеф Крыма и определены
траектории движения. Теперь форма гор по высоте воспроизводилась с
точностью около 30 м, а линии тока — до 20 м. В предыдущих
расчетах, иллюстрируемых на рисунках 10—12, в больших
подробностях характеризуется поле течений до высот \, в последних
примерах из работы [29] главное внимание обращается на точность и
более детальное освещение картины течения в нижней половине
тропосферы.
При исследовании обтекания гор Крыма при ветре с суши
пришлось решать еще одну проблему. Она состояла в том, что с
наветренной стороны материковая часть суши имела вид почти

3f X,K»
Рис.14. Обтекание гор Крыма согласно модели [29] при ветре в сторону моря и
\ = 7,7 км. Пояснения на рис.13.
Рис.15. Обтекание гор Крыма согласно модели [29] при ветре с моря и \ = 5,1 км.
Пояснения на рис.13.

Z,KM
^L I l I l _Ы I I
0 5 JO IS 20 25 JO 35 х,км
Рис. 16. Обтекание гор Крыма согласно модели [29] при ветре в сторону моря и
Xt = 5,1 км. Пояснения на рис. 13.
плато с высотой, превышавшей уровень моря в подветренной
стороне на две-три сотни метров. Чтобы разумно учесть это
обстоятельство, пришлось провести специальные исследования. Для этого была
проведена серия расчетов, в каждом из которых изменялась лишь
протяженность плато при сохранении формы его наветренного
склона (форма этого склона задавалась достаточно плавной). В итоге
выяснилось, что представленный на рисунках рельеф был
оптимальным: увеличение протяженности плато уже мало изменяло поле
траекторий над главной вершиной и тем более ниже по потоку, а
затраты времени на расчет сильно возрастали. При моделировании
обтекания гор Крыма со стороны моря использовался тот же
рельеф, но обращенный к натекающему потоку другой стороной. Такой
подход позволял наглядно рассмотреть влияние на возмущения
формы неровности, но не давал возможности изучать возмущения
атмосферы над материковой частью суши вдали от моря.
Сравнивая представленные картины обтекания реального
протяженного рельефа с любыми результатами, получаемыми для
препятствия ограниченной протяженности (см., например,
работы [1, 5, 7, 20, 50, 51]), — в том числе с результатами для горы-
полукруга, представленными на рисунках 1—5, легко видеть, что
характер возмущений существенно изменяется. Отметим ряд
важных свойств картины обтекания реального рельефа.

1. Раньше в возмущениях для неограниченного пространства
проявлялся лишь один масштаб Лира Хс. Теперь появляется еще один
масштаб. Действительно. На рисунках можно обнаружить, что
форма нижней границы весьма четко проявляется в поле функций тока.
Масштаб периодичности изменений возмущений по вертикали, как
и ранее, остается близким к Хс. В соответствии с этим примерно на
высоте \ над землей форма нижней границы почти повторяется
линиями тока. Значит, на этих высотах в горизонтальных
изменениях возмущений проявляется характерный горизонтальный масштаб
рельефа. Он явно преобладает по сравнению с собственным
волновым масштабом Лира и в данном случае (для Крыма) в 5—6 раз
превышает Я.с. Впрочем, эта особенность прослеживается и на
остальных высотах. Вертикальный масштаб смещений траекторий с
исходных уровней при этом остается прежним, т.е. одного порядка
с максимальной высотой горы (или величиной масштаба Ь); в
отдельных случаях, когда появляются роторы, смещения траекторий
могут даже заметно превышать высоту горы — на рисунке 16, как
нетрудно видеть, — вдвое (здесь амплитуды возмущений близки к
максимальным). Данное свойство возмущений, видимо, можно
считать результатом своеобразной интерференции по горизонтали между
возмущениями от отдельных вершин рельефа.
2. Существенно изменяется характер подветренных волн.
Раньше они занимали подавляющую часть подветренного пространства
и их амплитуды были главными. Теперь они могут в значительной
части пространства «вырождаться» — либо совсем, либо частично.
Во всяком случае смещения линий Тока теперь максимальны не в
волнах, а в областях возмущений с горизонтальными масштабами
масштаба рельефа. От прежнего понятия «подветренные волны»
сохранилось лишь два качества (см. п.2.2.2, 5). Первое — что они
наблюдаются на подветренной стороне от гор, второе — что их
горизонтальная длина близка к масштабу Лира. Видимо, следует
думать, что эти волны появляются тогда и там, когда и где
частицы воздуха получают возможность проявить собственные
волновые свойства отдельных слоев натекающего потока.Становится
понятным, что формальное измерение в природе только длины
горизонтальных промежутков между орографическими облаками
может не дать истинного представления об обтекании гор.
3. Результаты расчетов показывают, что особенности
формы рельефа масштаба \ могут оказывать сильное воздействие на
интенсивность возмущений. Попарные сравнения картин течения
при смене направления натекающего потока на обратное (10 а-б,
11 а-б, 12 а-б, 13-14, 15-16) показывают, что величина всех
характеристик возмущений особенно возрастает, когда главная
вершина гор расположена в подветренной части потока, когда самый
крутой горный склон расположен здесь же. В обобщенной форме

этот вывод можно сформулировать так: интенсивность
возмущений особенно возрастает тогда, когда в конце переваливания
через горы частицы воздуха имеют возможность достаточно заметно
и свободно опускаться вниз с достигнутой высоты, т.е. когда
последний по течению склон горы достаточно высок и крут.
4. Выяснилось, что протяженные горные хребты вполне
могут вызывать появление весьма развитых роторных возмущений
(сравни с п. 2.2.2, 4). Подтвердилось прежнее заключение, что
этому феномену способствует увеличение крутизны гор (особенно с
подветренной стороны), а также уменьшение величины Хс.
5. Влияние величины масштаба Лира на характер обтекания
по-прежнему остается существенным, но проявляется оно
несколько по иному, нежели раньше. Если роторы отсутствуют, то главные
смещения у траекторий движения определяются высотой горы и
величина максимальных амплитуд слабо зависит от Хс. Когда этот
масштаб становится достаточно малым, чтобы в потоке появились
роторы, все резко меняется. Амплитуда смещений траекторий в
роторной области возрастает в несколько раз и явно зависит от
особенностей формы рельефа. Имеются также признаки того, что
более мелкомасштабные возмущения, скажем, подветренные волны,
обостряются при уменьшении Хс. При роторах также ярко
проявляется эффект периодических изменений свойств по вертикали.
Особенно он становится заметным при малых значениях масштаба Лира.
6. Не очень заметные локальные особенности рельефа мало
влияют на характер обтекания в целом, хотя вблизи поверхности
земли и в подветренных волнах они могут проявляться заметнее.
Использовавшаяся модель обтекания гор была
продекларирована как пригодная для профилей произвольной формы. На самом
деле модель, естественно, имеет определенные ограничения на
применимость. Ограничения эти касаются главным образом
возможности воспроизведения особо крутых склонов у исходной неровности
земли. Определялись они тем, что используемое решение (33) на
уровне Х./8 не имело достаточно быстрых изменений по х, а
разность фаз была фиксирована. Впрочем, последующий опыт
использования такого подхода показал, что ограничения эти не имеют
существенного значения для проведения практических
исследований. Действительно. С одной стороны, известно, что в природе обычно
крутые склоны гор встречаются редко, на относительно небольших
горизонтальных участках и определяют не столь большие перепады
высот. С другой стороны, исследования показали, что локальные
особенности формы рельефа сказываются главным образом вблизи
земли и не влияют на самые важные характеристики поля
возмущений. Все это позволяет считать, что разработанный алгоритм
решения проблемы учета формы можно считать пригодным для
проведения исследований большинства реальных горных неровностей.

2.4. ТЕОРИЯ И ПРЯМОЙ ВЫХОД
К ПРИРОДЕ И ПРАКТИКЕ
2.4.1. Возмущения над горами Северного Урала
Северный Урал — одно из тех редких мест, где особенно
перспективны исследования орографических возмущений
атмосферы. Это определяется тем, что основные горные хребты здесь
вытянуты почти параллельно меридиану на многие сотни
километров. В результате наиболее типичные для этих широт западные
воздушные потоки вынуждены регулярно переваливать через Урал.
При этом характер рельефа близок к двумерному, да к тому же
вдоль широты горный массив достаточно локализован.
Наши исследования в данном районе проводились при
сочетании теоретического моделирования с прямыми измерениями в
природе (см. работу [32]). Теория опиралась на изложенную в 2.3 модель.
Используемый в расчетах двумерный рельеф получался после
кропотливой обработки подробной карты района (см. [28, 32, 36]). Она
начиналась с определения среднего направления главных горных
хребтов в горизонтальной проекции. Затем на карту наносились
несколько разнесенных прямых, перпендикулярных найденному среднему
направлению. Разнесение позволяло учесть свойства всего изучаемого
района. По направлению указанных прямых и полю изогипс высот
определялись вертикальные сечения рельефа. Горизонтальные
отстояния основных деталей рельефа на этих разрезах (вершин заметных
хребтов, самых низких точек ложбин, важных точек на склонах и
т.д.) отсчитывались от местоположения главного (водораздельного)
хребта горной системы на конкретном разрезе. После этого высоты и
горизонтальное положение всех выделенных точек усреднялись. При
выделении характерных точек главное внимание обращалось на то,
чтобы в итоге учесть все основные двумерные особенности гор. После
усреднения и получался искомый двумерный рельеф h(x). Правая
часть его, представляющая восточную равнину с небольшими
неровностями, заменялась горизонталью, а ее высота принималась за
исходную в натекающем потоке. Дальняя вверх по потоку часть рельефа
также спрямлялась и обрезалась введением искусственного
наветренного склона небольшой крутизны так, чтобы левее все точки
рельефа лежали на той же горизонтали, что и в подветренной области.
Соответствующие дополнительные расчеты показали, что при
использовании таких упрощений для наветренной и подветренных
частей рельефа возмущения в изучаемом районе (над главными
хребтами и в ближней к ним подветренной области) за этот счет
практически не искажались. В данном исследовании поле линий тока при
использовании найденного h(x) рассчитывалось по упрощенной
методике работы [28]. Результаты, как в размерных, так и безразмер-

ных координатах, представлены на рисунке 17. В расчете
полагалось, что значение Хс составляло 7,7 км, кроме того в формуле
(37) величина L, задавалась равной 215, коэффициент Ь\ = 1, а
остальные b'n равны нулю. Все высоты на рисунке даны
относительно исходной высоты z,, равной ^./8. Обтекаемый рельеф
заштрихован, его горизонтальная протяженность укладывается в
диапазон координат от —17,5 до + \2Хс, т.е. составляет около 227 км.
Максимальная высота 904 м. Горизонтальное положение главной
вершины для удобства выделено на рисунке вертикальной линией.
Представленные на рисунке линии приближенно
характеризуют поле траекторий движения. Картина течения, как видим,
полностью согласуется с выводами 2.3 относительно роли
масштаба рельефа, положения в пространстве максимальных амплитуд
возмущений, периодичности по вертикали, свойств подветренных
волн и т.д. Главное же отличие от возмущений над Крымом,
проанализированных выше, в том, что теперь амплитуды смещений
меньше и нет развитых роторов. Вероятно, высота и крутизна
подветренного склона у главного хребта теперь были недостаточными.
Для дальнейшего важно посмотреть, какой прогноз об
облачности дает теория. В связи с этим обращаем внимание на то,
что в поле траекторий имеются довольно мощные слои, где
смещения частиц воздуха либо регулярно положительны, либо
отрицательны относительно их исходных уровней в натекающем
потоке (относительно штриховых линий на рисунке). В первых
температурные возмущения отрицательны и, значит, имеются
благоприятные условия для образования облаков, во вторых, очевидно,
ситуация обратная. Первый снизу благоприятный для облаков слой
расположен непосредственно над горами и имеет относительно
небольшую вертикальную мощность. Выше лежит обширный слой,
неблагоприятный для возникновения облаков. Он простирается до
высоты около 0,5А.с. Первые облака можно ожидать в точках, где
траектория с этой высотой в натекающем потоке пересекает
штриховую горизонталь. На рисунке нетрудно найти две такие точки.
Расстояние между ними показано стрелками и составляет
примерно 6ХС, или около 45 км. Этот пример показывает, что формальное
использование понятия о длине подветренных волн может
вводить в заблуждение. Постепенно для все более высоких уровней
область положительных смещений частиц расширяется, и для
уровней выше 0,75^.с она практически становится сплошной. Однако,
поскольку влажность с высотой заметно уменьшается, облачность
можно ожидать только в отдельных местах, — там, где влаги
достаточно для конденсации, т.е. в отдельных относительно высоких
гребнях волн. При теоретическом прогнозировании отдельных
облаков на основе представленной на рисунке 17 информации
следует отметить следующее.

-U -38.5 7.7 3&J 77 км
Рис. 17. Картина обтекания гор Северного Урала согласно теоретической
модели работы [28]. Движение слева направо воспроизводит западно-восточный
перенос. Рельеф заштрихован. Штриховые горизонтали представляют соответствующие
исходные уровни траекторий движения. Зоны обзора аппаратов в вертикальной
плоскости выделены штрих-пунктирными прямыми.
1. Рассмотрим детально изменения, соответствующие
переходу от линии тока с исходной высотой 0,5^. к лежащей выше, т.е.
с высотой 0,625^с. На нижней линии обратим внимание на точку с
координатой х = 5,5^с, в которой, как мы отмечали выше, условия
благоприятны для появления облака (точка В на рисунке). Теперь
проследим за изменениями формы траекторий в этом месте при
увеличении высоты. На вышележащей линии максимальное
положительное смещение имеет гребень, расположенный первым вниз
по течению от вертикальной линии, отмечающей положение
главной вершины гор (точка Л' на рисунке). Теперь отметим мысленно
на этой линии точкой В' третий гребень ниже по потоку от
максимального. Легко видеть, что этот гребень точно соответствует
изменению положения гребня В с нижележащей линии тока. При
подъеме вверх гребень В как бы сдвигается по горизонтали
навстречу течению примерно на 1,5 км и увеличивает свою
положительную амплитуду в 5,5 раз. Теперь рассмотрим два варианта
прогноза облачности в этой части пространства.
а). Если считать, что влаги было достаточно для облакообра-
зования в точках В и В', а в слое между ними нет, то поле
облачности здесь должно было состоять из четырех полос: одна в точке В
и три в точках А', В' и в гребне перед точкой В', поскольку во
всех этих местах удельная влажность одинакова, а вертикальное
смещение вверх не меньше, чем в точке В'. Возможно, в районе

точки В' две облачные полосы объединятся в одну. Возможен,
также, вариант, когда в районе точек В и В' облака принимали бы
двухъярусную форму.
б). Если полагать, что профиль влаги был таким, что в точке
В облако возникало, а всюду выше вплоть до точки В' конденсация
не наступала, то и на других гребнях вышележащей траектории
облака должны были отсутствовать, кроме, возможно, точки А'. Здесь
амплитуда смещения вверх больше, чем в точке В', и поэтому та же
удельная влажность могла проявиться в облачности. В последнем
случае в атмосфере облака образовывались бы в гребнях В и А'. Можно
рассмотреть и другие варианты, но становится понятным главное:
поле облачности зависит, как от поля возмущений, так и от
профиля влажности; облачность может распределяться в пространстве
весьма разнообразно.
2. Рассматривая характер изменений поля положительных
смещений траекторий с увеличением высоты, можно заметить, что
постепенно амплитуда таких смещений в области над главной
вершиной становится преобладающей. Следует также учесть, что
влага с высотой чаще всего почти монотонно убывает. В поле
облачности данные закономерности должны проявляться в том, что более
высокие облака должны скорее наблюдаться в районе главных
горных вершин.
3. На рисунке 17 поле возмущений представлено до высот
порядка \, но из закона периодичности по вертикали ясно, что
область положительных смещений траекторий должна распространяться
вплоть до высот \,5\, или до 11,5 км. Значит, согласно теории,
высота облаков над горами Урала может достигать почти
тропопаузы, — правда, при условии достаточно высокой влажности.
4. Интересно отдельно проследить за возможным
расположением облачных валов на уровне линии тока с исходной высотой
0,625^.. Во-первых, западнее положения главной вершины хребта
примерно на 2Хс возможно возникновение отдельного облачного
вала. Во-вторых, к востоку от главной вершины возможно
появление системы из двух или трех валов, расстояния между которыми
по горизонтали близко к \. В-третьих, еще восточнее — на
удалении более 9,5^с — возможно существование еще системы из двух
валов с разнесением в \. Эти данные используются далее.
5. Очевидно, что тонкие изменения влажности и небольшие
нестационарные изменения всей системы траекторий могут
выражаться весьма разнообразно в картине облачности: валы могут
объединяться или, наоборот, дробиться, расстояния между ними могут
заметно варьировать, валы могут возникать одновременно на разных
уровнях, их расстояние от главного хребта также может изменяться.
Результаты теоретического моделирования сопоставлялись с
данными прямых измерений, проведенных во время специальной

летней экспедиции 1973 года. Основную информацию о возмущениях
атмосферы над горами мы извлекали из наблюдений за облачностью. В
большей части изучаемого пространства последнее было представлено
квазистационарными облаками типа Ac lent. Всю информацию о них
мы получали на основе метода наземных стереофотограмметрических
измерений (смотри работы [32, 34, 57—59]). Многолетний опыт
измерений и сопоставлений с теоретическими расчетами позволял делать
вывод, что поле облачности близко к полю размещения в
пространстве заметных положительных смещений частиц воздуха,
осуществляющих обтекание гор. Облака при этом как бы высвечивают ту часть
пространства, где летящие частицы воздуха содержат капельки
сконденсированной влаги: у частиц воздуха, приближающихся к облаку с
наветренной стороны, влага еще ненасыщена, а у частиц,
вылетающих из облака с подветренной стороны, влага уже испарилась
(смотри, выше п. 2.2.2, 5 или, например, статью [31]). Конкретно
пространственно-временные характеристики поля облачности фиксировались
путем стереофотограмметрического фотографирования прецизионными
аппаратами ФОТОТЕО-19/13х18 фирмы «К. Цейс». Полученные таким
путем стереопары снимков облачности далее обрабатывались в
лаборатории, причем главная часть работы была связана с измерениями на
автоматическом стереокомпараторе «СТЕКОМЕТР» той же фирмы. В
итоге определялись пространственные координаты характерных точек
изучаемых облаков, по которым далее определялись их форма,
размеры и положение в пространстве. Здесь будут проанализированы
результаты подробных измерений волновых облаков, наблюдавшихся 4 и 5
августа 1973 года с базы, расположенной на западных окраинах города
Североуральска. Основной сектор обзора аппаратов в горизонтальной
проекции охватывал направления от северо-западного до
юго-западного. Главный хребет Уральских гор располагается здесь западнее базы
измерений примерно на 42 км. Ее положение отмечается на рисунке 17.
Съемочные камеры позволяли регистрировать облака в диапазоне
вертикальных углов примерно до 60°. Эти зоны обзора также изображены
на рисунке и показывают, что непосредственно над аппаратами сте-
реофотографирование было невозможным. В этой зоне использовались
измерения облачности с помощью установки «сферическое зеркало»
(см. работу [60], а также поянения к рис. 1г в п. 2.2.2.). Двумерная
организация гор в районе наблюдений нарушалась в северо-западной
части сектора обзора, где отдельный горный массив Денежкин Камень
простирается к востоку от главного хребта до 22 км, и в запад-юго-
западной части, где массив горы Кумба выступает на восток до 30 км.
При этом области высот свыше 600 м в обоих этих массивах занимают
незначительную площадь рассматриваемой территории.
Для характеристики состояния атмосферы использовались
также данные радиозондирования в городе Йвдель (70 км к
северу), часть из которых представлена на рисунке 18. Согласно этим дан-

ным ветер в основной толще
тропосферы достаточно
устойчиво сохранял
направление, близкое к
перпендикулярному к линии положения
основных хребтов в
горизонтальной проекции.
Изменения величины X с высотой
с
неплохо коррелируют с
изменениями скорости за
исключением, быть может,
слоев с особенностями в
профиле температуры. На
основе проводившихся оценок в
работе [33] точность
определения по радиозонду
величины \с можно полагать
близкой к 15%.
Использование этого параметра в
теоретической модели
осуществляется, естественно, в
усредненном виде. В слое (1,2 -г 7,1 )км
средние значения \
составляли 4 и 5 августа
соответственно 9,2 и 8,9 км.
Орографические
волновые облака типа Ac lent
наблюдались 4.VIFI в
течение всего дня и были
зафиксированы на девяти
стереопарах. Наиболее интересные
результаты измерений
наблюдавшейся облачности приводятся на рисунках 19 и 20. В
верхней части рисунков даны плановые проекции облаков. Высоты их
даются цифрами в километрах, более высокие из них
заштрихованы. Здесь же жирными линиями схематически отмечено
положение горных возвышенностей, двойными — основных хребтов,
массивов Денежкин Камень и Кумба, одинарными — остальных
более низких хребтов. На нижней части рисунков представлено
приближенное положение облаков в вертикальных проекциях. Эти
данные получались с помощью сечений, параллельных и близких к
отмеченным на плане направлениям АА и ВВ, с последующим
перенесением результатов в одну плоскость. Здесь же вдоль
горизонтальной оси соответствующими двойными вертикальными
отрезками отмечены положения главных вершин рельефа.
J I I I I I I I L
О I I I I I I I L—I I X WC
О S 10 15 10 0 5 10 IS гОАс.ш
-зо-го-ro о*ю -эо-го-w о *го
Рис. 18. Вертикальные профили Хс, Т, U
по данным радиозондирования. Цифрами на
профиле скорости даны направление ветра в
градусах (360° соответствует направлению на
юг). При этом: а — данные на 15 ч 30 мин
4.VIII.1973, Х^ = 8 км; б - на 21 ч 30 мин
того же дня, Хс = 10,4 км; в — на 3 ч 30 мин
5.VII1.1973, Х^ = 8,50 км; г - на 15 ч 30 мин
того же дня, Хс = 9,3 км (см. 132]).

ю го оо «одкм
ю го зо to I,™
Рис.20. Результаты измерений
облачности 4.VIII в 20 ч 53 мин (кривая 1), и
в 20 ч 59 мин (кривая 2) в тех же
обозначениях.
Рис. 19. Результаты стсреофотогра-
фических измерений облачности
4.VII 1.1973: I — изолинии,
характеризующие плановое положение
облачности в 20 ч 37 мин, 2 — то же для 20 ч
47 мин. Внизу дано положение
главных облачных образований в
вертикальной проекции. Римскими цифрами
отмечено положение: I — главного
хребта, II — Еловой гряды, III — горы
Кумба, IV - г. Североуральска.
Представленные рисунки прежде всего обращают внимание
на то, что наиболее организованы облака в слое (4,2+0,3) км. Здесь
они имеют вид системы протяженных облачных полос или валов,
вытянутых почти параллельно направлению главных хребтов
Урала. Вертикальная толщина облаков порядка 0,5, — ширина до 5 км.
Измерениями зафиксировано одновременное существование от 3
до 5 полос с максимальным удалением на восток до 33 км от
главного хребта. Протяженность отдельных облаков в полосах поперек
ветра доходила до 20 км, а самих полос — почти до 50 км. На
рисунках видно, что волновые орографические облака возникали
также и с наветренной стороны от главного хребта; правда, надо
иметь в виду, что на таком удалении от базы экспедиции
измерения дают менее надежные представления, поскольку из-за
неровностей рельефа и мелких кучевых облаков над ними дальние
волновые облака могут быть плохо видны.

Кроме основного уровня 4,2 км облачность была представлена
также в слое (5,25±0,25) км. В 20 часов 47 минут она имела вид
широкой и протяженной полосы, вытянутой между вершинами гор Денеж-
кин Камень и Кумба под углом 35° по отношению к направлению
главного хребта. В 20 часов 53 минуты эта полоса почти исчезла, а на ее
месте сохранились два относительно небольших облака, вытянутых
почти параллельно основным хребтам, тогда как линия,
соединяющая их, по прежнему составляла заметный угол с направлением
главного хребта — около 25°. Интересно, что в этом месте облака
существовали как двухъярусные с просветом между ними около 1 км.
По результатам измерений в 20 часов 24 минут, которые на
рисунках не иллюстрируются, облачность в слое (5±0,35) км
образовывала две полосы, одна из которых располагалась примерно
там же, что и в случаях, представленных на рисунках 19 и 20, а
другая в области главного хребта — восточнее его на 3-^7 км. По
данным утренних измерений высокие облака наблюдались на
уровнях 5,5, 5,9 и 6,9 км примерно на 14 км западнее главного хребта.
На следующий день, 5.VIII, волновые облака типа Ac lent
наблюдались в течение 4.5 часов и были зарегистрированы на 17
стереопарах. Часть результатов измерений показана на рисунках
21—23. Представление о том, что видите земли обычный наблюда-
I"
чХ*4и ifi
5
4
3
г
1
«5>CZ~HiD езэ cd
ш
о
Рис.21
лачности
13 минут
ооо
СЭСР
сэ
©
10 Z0 30 40L.au
. Результаты измерений об-
5.VIII в 9 часов 9 минут и
в прежних обозначениях.
ш
-@-
о ю го зо 1>о l. км
Рис.22. Результаты измерений
облачности 5.VIII в 9 часов 43 минуты и 47
минут в прежних обозначениях.

° О *«Ь OD «£> ^
о
ш
ш
10
дО
40
5»
во
70 4 км
Рис.23. Результаты измерений облачности 5.VIII в 8 ч 45 мин, в 11 ч 23 и 42 мин.
Двойными линиями выделены облака, наблюдавшиеся в 8 ч 45 мин,
вертикальный разрез для них проводился вдоль линии ВВ, остальное разъясняется в тексте.
Рис.24. Фотография облачности, наблюдавшейся в 9 ч 47 мин 5.VII1 1973 г.

тель, дает одна из фотографий этой облачности, представленная
на рисунке 24. Как и в предыдущий день, облака имели тенденцию
образовывать систему полос. Характерная толщина облаков была
по-прежнему 0,2-^0,5 км, однако отдельные облака имели
толщину около 1 км. Ширина облаков того же порядка, что и ранее.
Вновь отчетливо выделяется основной уровень, на котором
представлено подавляющее число облаков. Этот уровень, как и
ранее, одновременно является первым снизу уровнем. При этом
он 5.VIII был почти па 1 км ниже, чем ранее, в среднем его
высота составляла 3,2 км.
Облачные полосы в большинстве были параллельны
главному хребту, однако отмечались и небольшие отклонения от этого
направления как в одну, так и в другую сторону — соответственно
в диапазонах 0-НЗ и 148-И80 градусов. Отклонения от
параллельности не имели какой-либо заметной связи с наличием
выступающих на восток массивов гор Денежкин Камень и Кумба, а наличие
отклонений как в одну, так и в другую сторону говорит, что эти
отклонения вряд ли можно отнести на счет проявления
пространственных особенностей обтекания и нарушения двумерности.
Зарегистрированная измерениями протяженность облачных
полос 5.VIII не превосходила 20 км. Благодаря дополнительному
развороту съемочных камер на восток, произведенному в 11 ч 42 мин,
удалось зарегистрировать с земли случай особенно дальнего
распространения подветренных возмущений по течению. Этот случай
иллюстрируется на рисунке 23, откуда видно, что волны оставались
заметными даже на удалении 75 км от главного хребта. Общее число
зарегистрированных облачных гряд доходило до девяти-десяти, т.е. на три-
четыре больше, чем в случае, проиллюстрированном ранее на рис. 7.
Во второй день существенно богаче были представлены облака,
расположенные выше основного уровня. Важной закономерностью
размещения этих облаков в пространстве является то, что большее их
число наблюдается непосредственно над водораздельными хребтами.
Поскольку они при этом были удалены от базы измерений на очень
большое расстояние и зачастую заслонялись нижележащими
облаками, достаточно полную характеристику облачности дать трудно. Тем
не менее можно отметить, что здесь прежняя тенденция облачности
основного уровня группироваться в систему параллельных полос
заметно ослаблена. Лишь в слое 4,5-Нэ км в отдельные моменты можно
было насчитать два — четыре облака, составляющих систему, а на
остальных, особенно высоких уровнях, эти облака одиночные и не
столь протяженные. Скорее всего эти особенности были связаны с тем,
что на заметных высотах влажность воздуха была заметно меньшей.
Результаты измерений позволяют отметить ряд
нестационарных особенностей в поле облачности. Они проявляются в том, что
отдельные облачные полосы от одного момента времени к другому

могут смещаться на несколько километров, сохраняя прежнюю
параллельность, могут заметно изменять свою площадь или временно
распадаться на несколько отдельных мелких облаков, а то и вовсе
исчезать. Отмечены были также небольшие изменения (в пределах 0,6 км)
высоты основного облачного уровня и другие менее важные
изменения. Наиболее нестабильны высокие облака; в какой-то мере эта
нестабильность, видимо, определялась нестабильностью количества
влаги на больших высотах, однако нельзя забывать также, что из-за
большого удаления часть их просто не удавалось обнаружить на
стереопарах. В целом нестационарные изменения носили
второстепенный характер и существенно не изменяли представления о главных
особенностях распределения облачности в пространстве.
Сопоставляя результаты теории и наблюдений, обращаем
внимание на следующее.
1. Факт достаточно стабильного существования облачных
полос, параллельных главным хребтам Урала, говорит в пользу
применения для описания орографических возмущений в
изучаемом районе двумерных стационарных моделей. При этом
обращаем внимание на то, что наличие отдельных локальных горных
массивов Денежкин Камень (высотой 1,5 км) и Кумба (высотой 1 км)
не приводило к появлению облачных волн типа корабельных и,
значит, не нарушало двумерности обтекания [8, 10, 68].
Отмечавшееся на рисунках 19, 20 появление облачной полосы на уровне
около 5,5 км, протянувшейся между указанными массивами, как-
будто свидетельствует, что наличие последних лишь вносит
некоторое локальное усиление двумерных подветренных волн.
2. На основании представленных экспериментальных данных
трудно с полной определенностью высказаться о том, насколько
использовавшаяся модель количественно передает характер
обтекания в деталях. Во-первых, ясно, что нам неизвестно, насколько
в действительности различаются теория и природа по величине
такого определяющего параметра, как \. Во-вторых, данные
радиозондирования с еще меньшей надежностью обеспечивают
знаниями о количестве влаги в атмосфере, а прежний опыт расчетов
(смотри работу [26] и п. 2.2.2, 5) показывает, что даже
незначительные изменения относительной влажности в натекающем
потоке существенно сказываются на поле облачности при
неизменных траекториях движений. Несмотря на указанные трудности,
некоторые количественные сопоставления провести удается.
А. Прежде всего сравнивались результаты относительно
высоты основного уровня облачности. Согласно рисунку 17 первый
снизу уровень орографической облачности, имеющей вид
системы полос, должен располагаться на высоте около 0,625А.с (третья
снизу линия тока). Измерения показали, что эта величина 4 и 5-го
августа составляла соответственно 0,5 и 0,4^.. Это различие, по-

видимому, можно отнести либо на счет несовершенства модели,
либо на счет недостаточной точности определения величины
истинного Х,с по данным радиозондирования.
Б. Было проведено сопоставление относительно
горизонтальных координат волновых гребней на основном уровне облачности
и на уровне линии тока с исходным уровнем 0,625Х.с.
Соответствующие данные теории и наблюдений об этом, взятые с рисунков
17—23, представлены в таблице 5. Для каждого дня наблюдений
было взято по несколько примеров для различных моментов
времени, затем находились средние значения координат. Сравнение
этих величин с теоретическими показывает, что качественное
соответствие имеется: результаты для 4-го августа отличаются от
предсказаний теории в максимуме не более, чем на 1,8А.с, а для 5-го —
2,\Хс, тогда как для большинства конкретных гребней различия
заметно меньше. Данные для 5. VIII лучше согласуются с расчетом,
что, возможно, связано с большим соответствием между
экспериментальным и теоретическим значениями Хс. Отсутствие седьмой
гряды в теоретической картине на «нужном» месте, видимо,
можно объяснить несовершенством воспроизведения рельефа в
расчетах, о котором говорилось выше. В целом качественное согласие
имеется,— значит, модель в первом приближении правильно
воспроизводит фазы орографических возмущений. Что касается
амплитуд, то о них судить труднее, так как, очевидно, не достает
точности в данных о влажности. И все же проведенный анализ
убеждает, что порядок величины амплитуд теория предсказывает.
В. Подтверждается вывод теории о том, что в районе
Северного Урала облака, располагающиеся выше основного уровня,
имеют тенденцию локализоваться в области над главным хребтом.
Таблица 5.
Горизонтальные координаты волновых гряд (в долях Хс).
номер
гряды
1
2
3
4
5
6
7
8
Наблюдения 4.VIII, час - мин.
20-
-37
-1,3
0,76
1,52
2,39
3,26
20-
-47
-0,98
0,87
1,52
2,28
3,04
20-53
и-59
-0,87
0,6
2,72

среднее
-1,09
0,76
1,52
2,33
3,04
Наблюдения 5.VIII, час - мин.
9-09
и-13
0,22
1,24
2,14
2,92
3,48
9-43
и-47
0
0,8; 1,1
1,80
2,81
3,4; 3,5
11-23
и 42
0,90
1,69
2,70
3,60
5,62
7,20
8,43

среднее
0,11
1,11
1,91
2,81
3,48
5,62
7,20
8,43
теория
-2,0
1,00
2,50
3,90
4,85
6,00
9,50

Кроме того, наблюдениями установлено, что волны могут иметь
заметные амплитуды даже на таких высотах, как 9,3 км. Это
свидетельствует о том, что открытые теоретические модели для
исследований атмосферных вгв более приемлемы, нежели закрытые.
2.4.2. Волны, облака и роторы над горами Крыма
В работе [12] проводились сопоставления данных
наблюдений за орографическими возмущениями атмосферы над горами
Крыма с результатами теоретического моделирования с помощью
пространственной линеаризированной модели. Этот опыт привел
к выводу, что использованная модель недостаточно адекватно
характеризует возникающие возмущения. В [32], как излагалось выше,
удалось убедиться, что двумерная модель даже в приближенной
модификации неплохо согласуется с наблюдениями в районе
Северного Урала. Когда же в работе [29] удалось повысить точность
воспроизведения формы рельефа, возрос интерес к проведению
сопоставлений наблюдений и теории на новом качественном уровне.
Одновременно в указанной работе было установлено, что
особенности орографии Крыма должны благоприятствовать возбуждению
в потоке над горами развитых роторных циркуляции (см. п. 2.3,
рисунки 13—16). С целью изучения этого явления и испытания
теоретической модели, опирающейся на соотношения (16—21, 33,
34, 36, 37), были проведены тщательные исследования, основные
результаты которых опубликованы в [34].
В основу исследований были положены результаты
экспедиционных наблюдений, проводившихся 8.1Х.1975г. и 15.VII. 1976г.
Поскольку выше в п.2.4.1 и статьях [12, 32] достаточно
подробно описана методика получения экспериментальных данных,
останавливаться на этой стороне дела много не будем, однако
отметим, что поле облачности, зафиксированное на
фотопластинках, было заново тщательно перемерено и
проанализировано, что позволило получить ряд интересных уточнений
результатов [12]. Проведенные измерения дают возможность неплохо
характеризовать поле облачности непосредственно над главным
хребтом Крымских гор, прибрежными склонами и над морем в
районе города Ялта.
При привязке модели к реальному явлению мы, как и
ранее, исходили из того, что она непригодна в полной мере для
описания гидродинамики приземного слоя и что воздушный
поток на высотах выше 1,5 км обтекает некую «эффективную» гору.
Форма вводимой в модель горы определялась на основе
специальной процедуры усреднения вдоль ряда вертикальных сечений, как
это разъяснялось выше. Вводимый рельеф воспроизводился назем-

ной линией тока модели с точностью не ниже 30 метров. Может
показаться, что такая точность не нужна в силу рассуждений об
«эффективной» горе. На наш взгляд достигнутая точность была
необходима, поскольку она позволяла надежно судить о том,
какую форму нижней границы учитывает модель. Ясно при этом,
что форма «эффективной» горы в каждом природном явлении нам,
строго говоря, неизвестна; более того, она может в определенной
степени даже меняться в течении периода проведения
экспедиционных измерений. Все это должно учитываться при проведении
сопоставлений результатов моделирования и измерений. Кроме
рельефа входными параметрами модели являлись — масштаб Лира кс и
скорость натекающего потока U. Их значения определялись на
основе данных радиозондирования атмосферы в Севастополе и
Симферополе по методике, подробно изложенной в [12]. В
результате было установлено, что: в первом случае наблюдений, 8.IX, в
слое (1+5) км величина \ равнялась (4,9+1) км, скорость U
соответственно (9±1) м/с, а в слое (1+7) км соответственно (5,9±1,1) км
и (10±1) м/с; во втором случае, 15.VII, в слое (1,3+6,8) км
масштаб \с составлял (6,1+0,9) км, а скорость (12±1) м/с. Точность
этих данных оценивалась, как и ранее, по методике, изложенной
в работе [33]. Отсюда общий диапазон значений \с и U в
рассматриваемых случаях равнялся (4+7) км и (8+13) м/с. Для этого
диапазона была проведена серия расчетов траекторий движения,
которая позволила выяснить, насколько может изменяться
гидродинамика потока над горами в зависимости от вариаций
характера натекающего потока и локальных особенностей формы
рельефа.
Наиболее характерные результаты моделирования
воспроизводятся в верхней части рисунков 25 и 26. Здесь сплошными
линиями представляются траектории движения; обтекаемый
рельеф заштрихован. Для удобства изложения будем любую
исходную высоту линии тока в натекающем потоке относительно
наземной обозначать через zu. В подветренной стороне на линиях тока
проставлены значения этой величины в километрах. На рисунке 25
горизонтальный масштаб резко отличается от вертикального. Это,
конечно, вносит сильные пространственные искажения, но зато
позволяет в полном диапазоне по горизонтали увидеть характер
течения, включая область натекающего потока. На рисунке 26
горизонтальный и вертикальный масштабы совпадают, что
позволяет правильнее представить наклоны траекторий к горизонту.
Рисунки показывают, как и ранее, что главным в течении
является возникновение развитого роторного движения над главной
вершиной и подветренным склоном на высотах (2,5+5,5) км. При
анализе роторных движений нельзя забывать, что данная
стационарная модель, с одной стороны, позволяет формально однозначно

8 сентяБРя1975г
Зкм
ЛИНИЯ ГОРНОГО
ОБРЫВА
вычислять поля
функции тока и
температуры в любой точке
пространства, в том
числе и внутри
вихрей, с другой
стороны, ее данные о
течении внутри
замкнутых роторов
должны рассматриваться
как неопределенные,
поскольку
соответствующие линии тока
здесь изолированы от
натекающего потока.
На рисунках поле
траекторий внутри
роторов представлено
таким, какое
получается по расчетам,
проведенным без
учета указанной
принципиальной
неопределенности.
Интересно отметить,
что характер
изменений скоростей по
величине и
направлению при переходе от
точек вне вихрей к
точкам внутри них
остается
непрерывным всюду, за
исключением двух
особых точек. При этом
поле движений
полностью
самосогласовано в подавляющей
части пространства.
Проведенная
серия расчетов позволила выяснить, как система роторов зависит
от величины масштаба Лира. Оказалось, что оба ротора имеют вид
замкнутых вихрей при к < 6 км. В этом случае линии тока со
значениями z0 в диапазоне (5-^7) км огибают всю роторную зону сверху.
Линии тока с z = 3-Н км вначале проходят ниже первого по тече-
КРОМКА БЕРЕГА
N
ОБЛАКО Hi
ОБЛАКО N2
ОБЛАКО N 3
ОБЛАКО М
Р
Рис.25. Теоретические и экспериментальные
данные об обтекании гор Крыма (случай
наблюдения 8.IX. 1975, \ = 5,9 км, U = 10 м/с):
а — траектории движения совместно с
вертикальной проекцией поля облачности (движение
слева направо, цифры на траекториях показывают
значения z„ в км);
б - плановая проекция положения
облачности относительно местности (цифрами даются высоты
облаков в км над уровнем моря), 1-4 — номера
измеренных облаков, Р — рассчитанный контур облака.

нию ротора,
затем идут вверх v.
навстречу
потоку, проходя
между первым и
вторым роторами,
и, наконец,
огибают второй
ротор сверху.
При \ >
6,08 км особая
точка в верхней
части первого
ротора исчезает и
циркуляция
становится
незамкнутой при
сохранении общего
характера движений.
При этом
обнаруживается, что в
первом роторе
циркулируют
частицы воздуха с
более высоких
уровней z0,
характеризующихся,
как обычно,
меньшей
влажностью. При
дальнейшем
увеличении масштаба
Лира, очевидно,
аналогичные
изменения должны происходить со вторым ротором: в нижней его
части следует ожидать исчезновения особой точки и «размыкания»
циркуляции. Логика этих рассуждений приводит к выводу, что во
втором роторе двигаются частицы с более низких высот,
характеризующихся большей влажностью. В соответствии с этим в зоне
первого ротора условия должны быть неблагоприятными для об-
лакообразования, тогда как в зоне второго ротора — наоборот
благоприятными. Как видно из рисунка 26, замкнутые роторные
циркуляции имеют форму довольно сплющенных вихрей. Их
вертикальная протяженность составляет около 1,5 км и, согласно
расчетам, мало изменяется при варьировании параметров модели. Дли-
КРОМКА БЕРЕГА
Облако №1
.__.Облако №2
Облако №3
-Облако №4
i=== Облако №5
=.=.j Облако №6
(а.б.Б.г.д)
Рис. 26. Теоретические и экспериментальные данные
об обтекании гор Крыма (случай наблюдений 15.VII.I976 г.,
\ = 6,08 км, U= 11,85 м/с). 1-6 — номера измеренных обла-
коп, остальные обозначения см. на рисунке 25.

на большой оси этих вихрей (практически ширина по
горизонтали) может достигать 7 км у переднего ротора и 3 км у второго, при
этом ось заметно наклонена к горизонту: ее наветренный край выше
подветренного на 1-2 км.
Основные результаты измерений поля облачности также
представлены на рисунках 25 и 26. В нижних частях даны плановые
проекции относительно рельефа местности, в верхних —
схематическое положение их в вертикальном сечении совместно с
рассчитанными траекториями движения. Представление о внешнем виде
облаков дает фотопанорама, приведенная на рисунке 27. Здесь
вполне отождествимы облака, наблюдавшиеся 15.V1I.1976 г. и
отмеченные на рисунке 26 номерами 1—6. Для удобства сопоставления
экспериментальных данных с теоретическими разделим облака на
три яруса по высотам. К верхнему отнесем те, что имели высоты
(5,2-^7,8), к среднему — (3,2^-5) км, к нижнему — все более
низкие облака.
Верхние облака по форме весьма близки к классическим Ac lent.
Конкретно 8. IX этот ярус был представлен облаками 1, 2,
расположенными на высоте около 7 км над прибрежными склонами гор
северо-восточнее Ялты (смотри рисунок 25). Облако 1
существовало до восхода солнца, сфотографировано было в 7 часов 2 и 16
минут и исчезло до 8 часов. Его длина параллельно горам согласно
измерениям составляла около 9 км, ширина 2,5 км, вертикальная
толщина 0,8 км. Облако 2 появилось около 9 часов утра и
существовало почти 2,5 часа. Оно изменяло заметно свои размеры во
времени, практически не изменяя местоположения и ориентации
в целом. В стадии максимума его длина составляла 13 км при
ширине 3 и толщине 0.8 км. Интересно, что это облако появилось гораз-
■«5».
X
Рис.27. Фотопанорама облачности, наблюдавшейся нал горами и
прибрежной частью Крыма 15.VII.1976 г. около 8 ч утра; 1—6 — облака, результаты
измерений которых приведены на рисунке 26.

до ближе к горам, нежели предыдущее, причем при появлении
его длинная ось в плане развернулась почти на 30°. Вероятно,
волновая картина возмущений над горами между 8 и 9 часами утра
претерпела определенные изменения.
Верхний ярус облачности, наблюдавшийся 15.VII, был
представлен аналогичными полосами облаков, расположенных
практически друг над другом на высотах 7,3; 6,4 и 5,4 км (рисунки 26 и 27,
облака 1-^-3). Верхнее и нижнее облака имели длину порядка 10 и
ширину 2,5 км, среднее облако — соответственно 5,5 и 2 км,
вертикальная толщина у всех была около 0,7 км. Фотографировались
облака более трех часов — с 6 часов 54 минут до 10 часов 3
минуты, а существовали еще дольше — заведомо в течение части ночи.
Они мало меняли свои размеры и положение, т.е. практически
были квазистационарными. Характерно, что, как и в случаях
наблюдений на Северном Урале (смотри п.2.4.1 и [32]), более
высокие облака располагались ближе к главным вершинам гор. В целом
облака верхнего яруса неплохо согласуются с результатами
моделирования. Представленные данные расчетов показывают, что они
находятся в области, где соответствующие траектории имеют
максимальные смещения с исходных уровней в натекающем потоке.
Ясно, что именно здесь охлаждение движущихся частиц воздуха за
счет адиабатического расширения при подъеме наибольшее и,
значит, именно здесь при достаточной влажности по теории в первую
очередь должны возникать волновые орографические облака.
Аналогично тому, как это делалось в работах [8, 25, 26, 31, 32]
и как описано выше в п.2.2.2,5 и 2.4.1, в области расположения
измеренных облаков поле облачности определялось частично
также теоретически. Как и ранее, при этом предполагалось, что
удельная влажность сохраняется в каждой движущейся частице воздуха,
а процессы конденсации не приводят к выпадению осадков и не
изменяют траекторий. В силу этого для теоретического
определения границ облака достаточно было найти тс точки на линиях тока,
в которых за счет подъема наступало насыщение влагой. В данном
конкретном случае указанным способом анализировалось
движение частиц вдоль траекторий с величинами z(), равными 5,6-^6,5 км,
представленными на рисунке 25. Влажность бралась изданных
радиозондирования. Найденные таким путем границы облака
представлены на верхней части рисунка точками. Видно, что
предсказываемое облако по размерам не отличается от наблюдавшегося, а
его смещение по горизонтали несущественно.
Подобные исследования были проведены и в отношении
облаков с номерами 1—3, представленных на рисунках 26 и 27.
Была сделана попытка оценить возможность теоретического
предсказания безоблачных промежутков между данными облаками. В
результате соответствующих расчетов при \ = 7 км было установ-

лено, что, если при анализе использовать имеющиеся данные
радиозонда о влажности, то на месте облаков 1—3 по теории должно
было существовать одно облако большой вертикальной мощности.
Однако когда влажность была уменьшена, вдоль всех
рассматриваемых траекторий всего на 10%, безоблачный промежуток стал
предсказываться между облаками 1 и 2: вдоль траектории с z0 = 5,75 км
влажность переставала достигать насыщения. Поскольку реальная
точность знаний о влажности заведомо была хуже, чем 10%, следует
вывод, что наблюдавшаяся многоярусная система облаков 1—3
вполне согласуется с данными теории. Можно даже сделать вывод, что в
данной части пространства над горами Крыма используемая
теоретическая модель надежно предсказывает амплитуду возмущений.
Характеристики облачности среднего яруса объяснить и тем
более предсказать теоретически оказалось много труднее. В случае
наблюдений 8.IX эта облачность была представлена рано утром
двумя крупными полосами (рисунок 25, облака 3 и 4). Данные
облака наблюдались с ночи одновременно с ранее описанным
облаком 1. Особенно крупным было облако 3, достигавшее размеров
по длине 23, ширине 4 и толщине 0,4 км. Примечательно, что это
облако, как видно из плановой проекции, заметно ближе
располагалось к вершинам гор, чем более высокое облако 1. Кроме того,
измерениями установлено, что наветренный край облака 3 в
средней верхней его части имел не, как обычно, сглаженный
характер, а напоминал по форме вершину конвективного
развивающегося облака, в то время как ниже кучевых облаков не было.
Вероятно, все это свидетельствовало о начале конвективной перестройки
характера течения. Это заключение подтверждается также тем, что
спустя некоторое время после одновременного исчезновения
облаков 1, 3, 4 (т.е. после 8 часов), вновь возникало только высокое
облако 2, причем его положение относительно гор существенно
изменялось. Еще чуть позже, а именно в 10 часов 45 минут, внизу, в
слое 1,9^-2,7 км, стали возникать небольшие конвективные облака.
15-го июля облака среднего яруса были более развиты, что
хорошо согласуется с большей (на 15-^20%) общей влажностью
воздуха, зафиксированной радиозондированием. Наиболее
интересным из них было облако номер 4 (смотри рисунок 26). Оно
располагалось на высоте 4,4 км прямо под облаками 1—3 и
существовало столько же времени, сколько и они, но довольно быстро
изменялось в размерах. Вначале, в период 7 часов 20^-30 минут,
оно было таким же небольшим, как облако 1, довольно тонким и
по внутренней структуре напоминало совокупность «облачных
струй». Затем оно уплотнилось и начало быстро расти — в
основном в длину, достигнув к 8 часам 4 минутам максимальных
размеров. Его ширина в этот момент составляла Зн-7,5, толщина 0,8 км,
а протяженность вдоль гор стала столь значительной, что ее не

удавалось измерить: длина участка, доступного для измерений,
составляла 18 км, по визуальным оценкам общая протяженность —
не менее 36 км. Далее облако стало быстро изменяться. В 8 часов 10
минут оно разорвалось примерно над Ялтой. Его северо-восточная
часть быстро распалась на ряд мелких облаков, которые из-за
большого удаления и заслоняющих низких облаков не удалось надежно
обмерить. Юго-западная часть этого облака уменьшалась
медленнее и к 9 часам 30 минут стала по длине почти такой же, как и все
облако в 7 часов 20 минут. Согласно визуальным наблюдениям,
оно в это время имело своеобразную форму, напоминающую часть
дуги окружности, обращенной выпуклой стороной навстречу
натекающему потоку. Исчезло оно вместе с облаками 1—3.
Ниже по потоку от облака 4 в течение всего времени
наблюдений в полосе шириной 3-НО км, вытянутой примерно
параллельно линии гор, облака отсутствовали на среднем ярусе. Еще
чуть ниже по потоку на среднем ярусе располагалась полоса с
облаками, представленными на рисунке 26 под номерами 5, 6. Они
были менее стационарными, чем все ранее рассмотренные, — время
существования каждого из них не превышало 10 минут. При этом
облако 6 располагалось в слое 2,8^-3,5, а группа облаков 5 — в слое
4-Н,5 км. Не исключено также, что облако 6 состояло из двух
близко расположенных облаков, пространство между которыми не
удавалось измерить.
При сопоставлении пространственного положения облаков
среднего яруса с предсказаниями теории важно отметить, что
отстояние их по горизонтали от линии горного обрыва вниз по
потоку в теоретической вертикальной проекции можно оценивать весьма
приближенно. Как можно видеть при анализе данных
горизонтальной проекции рисунка 25, для большой оси облака 3, например,
эта величина лежит в диапазоне 1,5-=-7 км, поскольку как линия
обрыва, так и контуры облака далеко не прямолинейны. Для
облака 4 на рисунке 25 этот диапазон составляет примерно 5-Н1, а
облака 4 на рисунке 26 — соответственно 3-^6 км. Кроме того, надо
помнить, что теория исходит из приближенных знаний о \ и
рельефе. Поэтому при анализе главное внимание следует обращать
на качественные особенности рассчитанных траекторий, имея в
виду, что точные координаты местоположения таких характерных
областей, как роторы, гребни, ложбины и т.д., могут отличаться
от изображенных: по вертикали примерно на 1,5 км, а по
горизонтали до нескольких километров. С учетом сказанного при
объективном анализе положения этих облаков следует рассматривать
несколько вариантов. Между двумя роторами частицы воздуха
непрерывно поднимаются и, значит, здесь облака не могли
существовать стационарно. Значит, следует представить себе эти
облака, расположенными в зоне одного из роторов. Рассмотрим внача-

ле облака 3 и 4 на рисунке 25. Они располагаются совсем рядом с
первым по течению ротором. Но выше отмечалось, что в этом
роторе условия не благоприятны для образования облаков. Тогда
остается одна возможность — поместить их в зону второго ротора.
При этом, однако, возникает трудность, связанная с тем, что речь
идет о двух облаках с близкими высотами. Поместить оба облака в
один ротор нельзя, так как тогда следовало бы предполагать, что
ротор состоит из двух вихрей, о чем никаких данных у нас нет. Можно
высказать гипотезу, что более низкое облако 4 располагалось во
втором роторе, тогда как облако 3 располагалось в гребнях волн над
ротором — аналогично облаку 1. Наконец, можно думать, что оба
облака располагались над вторым ротором. В обоих последних
вариантах приходится исходить из того, что вершина второго ротора
была почти на 2 километра ниже, чем предсказывала теория. При
принятии любой из последних гипотез безоблачный промежуток
между облаками 1 и 3 нетрудно объяснить возможностью тонких
изменений влажности по высоте в натекающем потоке.
Аналогичный промежуток между облаками 3 и 4 для последнего варианта
объясняется аналогично предыдущему, а для предпоследнего еще
проще, поскольку в таком случае частицы воздуха, пролетающие
через эти облака, принадлежат к существенно разным высотам в
натекающем потоке (через облако 4 пролетают частицы с гораздо
более низких уровней, имеющих типично более высокую влажность).
Нам представляется более предпочтительным вариант, по
которому облако 3 располагалось над ротором, а облако 4 в верхней части
ротора. В этом случае второй ротор требуется меньше сдвигать с
уровня, предсказываемого теорией, а кроме того, несколько проще
объяснять наличие промежутка между облаками 3 и 4.
В отношении облака 4 рисунка 26 соображения вполне
аналогичны. Можно представить две возможности. Либо помещать его
в район близко расположенного к нему второго ротора, либо
полагать, что теория завысила высоту последнего, а облако 4, как и
вышележащие облака 1 - 3, находится на гребнях траекторий,
огибающих второй ротор сверху. Последний вариант является самым
предпочтительным, поскольку он, во-первых, повторяет
ситуацию с облаком 3 рисунка 25 (т.е. связан с одной и той же
слабостью применяемой теоретической модели), а во-вторых, потому,
что облако 4 по своим свойствам близко к облакам 1 - 3. В целом же
видим, что согласование между облаками среднего яруса и
теорией проходит не просто. Приходится учитывать и сложность
рельефа местности и возможную неадекватность модели природе. При
всем этом непреодолимых противоречий между модельными
представлениями и натурой не обнаружено.
Облака 5 и 6, как показано на рисунке 26, располагались
почти на одной линии параллельно горам. Их форма (смотри фо-

топанораму на рисунке 27), хотя и не так четко, как у облаков
верхнего яруса, показывает, что они скорее связаны с волновыми
возмущениями, чем с конвекцией. Поэтому эти облака
рассматривались как проявление второй волны орографического
возмущения. Вместе с тем данные вертикального сечения на рисунке 26
свидетельствуют, что эти облака плохо укладываются в систему
теоретических траекторий движения. Чтобы в этом убедиться,
достаточно, например, рассмотреть положение облаков 5
относительно линий тока. Будем полагать, что эти облака располагаются
на гребне линии тока со значением z0 около 3,7 км. Двигаясь от
облака вдоль этой траектории навстречу течения, легко увидеть,
что вблизи ее предыдущего гребня расположены облака 2 и 3,
причем на существенно большей высоте. Характер траекторий
свидетельствует, что между этими облаками должна была бы
существовать сплошная облачная полоса. Отсутствие такой полосы
заставляет признать, что поле линий тока теория здесь предсказывает
плохо. Аналогичные рассуждения можно провести и в отношении
облаков 6 и 3. Полученный результат вновь заставил обратиться к
гипотетическим рассуждениям о том, чего следует и можно
ожидать в смысле такого небольшого изменения в поле траекторий,
при котором теория станет качественно согласовываться с
наблюдениями. В связи с этим было обращено внимание на поведение
траектории с z0 = 3 км вблизи ее самой нижней точки — прямо
над кромкой берега моря. Согласно результатам расчетов,
представленным на рисунке 26, из этой точки частицы воздуха в своем
дальнейшем движении круто поворачивают вверх и налево —
навстречу натекающему потоку, совершая далее обход второго
ротора сверху. Напрашивается мысль: если бы форма этой линии тока
изменилась так, что частицы воздуха из этой самой нижней точки
траектории пошли бы сразу на обход второго ротора снизу и
прямо здесь начинали свое движение вверх и направо, то можно было
бы ожидать, что на такой линии тока появились бы гребни,
согласующиеся с положением облаков 5 и 6. Такая трансформация
траекторий могла быть вызвана, в частности, изменением характера
движения основного потока над морем. Это соображение в первую
очередь наталкивает на мысль о морском бризе. Действительно,
свойства морского бриза можно описать как некую циркуляцию, в
нижних слоях направленную к берегу, в верхних — к морю,
которая, возникая после восхода солнца где-то далеко от берега, со
временем движется к суше. Эту циркуляцию, во всяком случае в ее
близкой к берегу части, можно представить себе в виде достаточно
протяженного приземного ротора. Основной поток,
преодолевающий горы, вынужден будет обтекать этот ротор сверху, как некую
«дополнительную эффективную гору». При этом и может
произойти та трансформация в траекториях движения, при которой поло-

жение в пространстве облаков 5 и 6 будет надежно объясняться.
Проводя такие рассуждения, мы, очевидно, выходим за рамки
возможностей использовавшейся модели. При этом
подсказывается одно из направлений улучшения теории.
Облака нижнего (приземного) яруса состояли из облаков,
которые по принятой классификации относятся к облакам типа
Си hum и Си fr. Они имели высоты в диапазоне 1,6^-3 км и
небольшие горизонтальные размеры — порядка 1—2 км. Появились они
около 10 часов утра, в первую очередь над заметными вершинами
гор и теми их склонами, ориентация которых относительно
утреннего солнца благоприятствовала началу конвекции. При
возникновении облака начинали двигаться в сторону моря, т.е. в
направлении основного движения атмосферы. При подходе к кромке
берега они диссипировали, так что параллельно линии гор здесь все
время существовал безоблачный просвет. Еще ниже по потоку за
этим просветом над морем облака вновь образовывали некую
полосу, ориентированную аналогично предыдущему. Какие-либо
подробности в их возникновении и перемещении не регистрировались.
Все данные облака, очевидно, определялись конвекцией в
приземном слое. В течение дня они оставались слабо развитыми по
вертикали; значит, утром конвективные процессы выше определенного
уровня сдерживались — скорее всего этому способствовало наличие
выше скоростного потока, обтекающего горы. Организация облаков
в полосы, параллельные горам, также свидетельствовала об
определенном влиянии процесса обтекания на приземный слой.
Используемая здесь теоретическая модель, ясно, не годится для описания
конвективных движений, и поэтому облака приземного яруса не
сопоставлялись с результатами расчетов траекторий.
Итак, в данном исследовании, с одной стороны, удалось
установить основные особенности состояния поля облачности в двух
конкретных случаях обтекания гор воздушным потоком, с другой —
возможности и недостатки применявшейся теоретической модели
явления. Важно отметить также, что проведенные исследования
обращают внимание на возможность существования в поле возмущений
над горами Крыма роторных образований с горизонтальной осью,
достаточно стабильных во времени и протяженных в пространстве.
Эти роторы располагаются на заметной высоте и тем
принципиально отличаются от приземных вихрей классификации Кюттнера [69].
Данные рассмотренных измерений облачности верхнего яруса
хорошо согласуются с теорией, прогнозирующей такие роторы;
данные наблюдений за облачностью среднего яруса пока лишь
допускают их существование, не предоставляя прямых доказательств.
Исследование также, как и при изучении процесса обтекания гор
Северного Урала, показало, насколько необходимо при
моделировании учитывать в должной мере форму рельефа.

2.4.3. Волновое сопротивление
при обтекании реальных гор
Как показано выше, возмущения при обтекании гор имеют
волновой характер. Отсюда следует, что, несмотря на идеальный
характер рассматриваемой жидкости, гора оказывает
сопротивление ее движению, определяемое волновым сопротивлением. В
отличие от вязкой жидкости, здесь ничто не переходит в тепло.
Просто происходит перестройка натекающего потока, в результате чего
равномерно-прямолинейное движение превращается в волновое.
Переход в тепло будет происходить, если волновые движение
перейдут из ламинарного режима в турбулентный. В реальной
атмосфере, очевидно, волновое сопротивление может характеризовать
лишь косвенно часть возможных затрат натекающего потока.
Вопросом определения волнового сопротивления в
атмосфере интересуются достаточно давно. Пионерской здесь считается
работа [70], история исследований хорошо освещена, например,
в публикациях [7, 71, 72]. Исследования этого вопроса,
проведенные в [51, 65, 74—76] при изучении обтекания малопротяженного
искривления дна в канале, ограниченном на высоте Н
горизонтальной стенкой, показали, что здесь существенное значение имеет
величина внутреннего числа Фруда (см. 2.2), в котором в качестве
масштаба / используется высота Н. В частности, в работе [75]
нелинейное решение задачи с учетом вязкости получается после
стационирования для почти симметричного неширокого рельефа
высотой около Н/8. По результатам для F,, равным 0,125; 0,20 и
0,25, выводится следующая формула для величины волнового
сопротивления D:
D = -Cd(0,5p0U2P), Cd = 0,3R-', (38)
где Cu — коэффициент сопротивления, р0 — плотность жидкости
в натекающем потоке на дне, р" — размерный параметр,
совпадающий здесь с шириной препятствия L„ по потоку.
Результаты, полученные в работах [20, 21, 65] показали, что
нелинейные модели для канала теряют смысл, когда 7tF. = п-1 при
п = 1, 2, 3, ... Согласно (7, 27) в этом случае при / = Н на отрезке
высоты канала укладывается целое число полуволн \, т.е.
выполняются соотношения:
, .V U 1 Хс _,
(TcFj). =л: = ^ = п '. (39)
v п=и NH 2 Н к '
Выписанные соотношения помогают понять, что в этом случае
имеет место эффект полного резонансного отражения энергии волн
от верхней горизонтальной границы (смотри п. 2.2.2,6 и [21]). От-

сюда следует, что бесперспективно искать непрерывную
зависимость волнового сопротивления от внутреннего числа Фруда для
течения в канале.
В работах [51, 65, 73, 75] исследовалась возможность
существования аномально больших значений D и это тесно
увязывалось с вопросом правомочности нелинейной модели для канала в
окрестностях указанных особых точек F(. В исследовании [75], в
частности, теоретически показывается, что внутри каждого
диапазона
[п-' + (п+1)-]
волновое сопротивление плавно растет с увеличением F. (т.е. с
увеличением в первую очередь скорости U), однако при переходе
от одного диапазона к другому, когда при этом F. уменьшается,
уровень значений сопротивления скачком повышается еще в
большей степени. При этом обращается внимание на то, что внутри
любого такого диапазона при увеличении tiF. еще до того, как оно
достаточно приблизится к соответствующему п"1, должны
возникать в потоке вертикальные или даже возвратные движения
частиц, т.е. роторы по Лонгу. Появление таких свойств
рассматривается как признак нестабильности возмущений и используется для
определения границ репрезентативности модели. В итоге делается
вывод, что модель правомочна только для диапазонов:
(7^,)-' = [1,25-е-2], [2,85-=-3]. (40.1)
Интересно, что при использовании собственного
характерного масштаба Д.с соотношения (40.1) можно, опираясь на (26, 27),
переписать в виде
2НДс = [1,25-2], [2,85-3]. (40.2)
При принятии данного ограничения сразу исключаются
аномально высокие значения волнового сопротивления, полученные
в работе [73]. Теория и лабораторные эксперименты в
исследовании [65J качественно подтвердили выводы об ограниченной
применимости таких моделей.
В полупространстве, согласно [51, 75], волновое
сопротивление быстро и непрерывно растет при увеличении величины,
которая отличается от введенной ранее посредством (26)
безразмерной величины £0 только заменой масштаба г0 на hm (через hm при
этом обозначают максимальную высоту горы):
^ = Nh„/U = h„/b. (41)
Здесь, как говорилось в п. 2.2.2, 4, роторные течения
рассматривались в качестве невозможных и поэтому предлагалось считать, что
модель репрезентативна только при условии
S0 < 1,5. (42.1)

При принятии данного предположения аномально большие
величины сопротивления, которые получались в расчетах,
исключались. В работе [73] отмечается, что выписанное соотношение
пригодно также для использования в закрытых моделях. Нам
представляется, что это справедливо только в части зависимости от hm,
когда N и U (и, значит, также b и F.) зафиксированы на
уровнях, при которых течение далеко от резонансного. С такой
оговоркой (42) можно применять в качестве условия, дополняющего
требования (40), т.е. в виде:
(к F)"' < 0,5 H/h „ (40.3)
Для случая hin = Н/4, рассмотренного в статье [73], например,
надо тогда исключать второй диапазон в (40).
Соотношения (40.3, 42.1) полезно также записать в форме:
h„< l,5b = (I/4HL. (42.2)
В немалом числе работ вопрос о волновом сопротивлении
изучается для конкретных горных систем и часто при конкретных
атмосферных условиях — смотри, например, [71—73, 76—81].
Нередко при этом теоретические оценки сопоставляются сданными
прямых измерений. Характерно, что в теории форма гор
учитывается приближенно, чаще всего путем использования колоколооб-
разной горы в линеаризированном граничном условии, т.е. когда
истинная форма нижней границы остается не известной. В работе
[711, например, на основе линеаризированной многослойной
модели анализируются возмущения в районе Скалистых гор США и
делается попытка учесть реальные особенности изменений
скорости и устойчивости с высотой в натекающем потоке. Выясняется,
что нередко применяемая модель становится чрезвычайно
чувствительной к малым изменениям свойств натекающего потока. В таких
случаях предлагается прибегать к идее о блокировании в
приземном слое перед главным хребтом. К сожалению, здесь не
демонстрируется, насколько согласуется наземная линия тока с
усредненным рельефом и блокируемой областью. В исследовании [81] для
того же района используется аналогичная модель и также
проводится сопоставление расчетов с наблюдениями. Форма реальной горы
заменяется частью синусоиды и делается вывод, что расчеты
именно по этой причине приводят к завышениям величины волнового
сопротивления. Интересно сопоставить данный вывод с
результатами работы [80], где исследуется влияние некоторых особенностей
формы горы на основании применения нелинейной модели Лонга
[20] и точного граничного условия. Расчеты для изолированных
идеализированных профилей показали, что величины сопротивлений,
вычисленные в случае линеаризированных граничных условий, мень-

ше, чем в случае точных. Различие увеличивается с ростом
величины £0. Демонстрируется, что наибольшие значения сопротивления
соответствуют асимметричным профилям гор с пологим
наветренным и крутым подветренным склонами. Последнее прекрасно
согласуется со сделанными в 2.3 и п.2.4.2 выводами о возрастании
возмущений при увеличении крутизны подветренных склонов гор.
В статье [82] проводится теоретическое изучение вопроса о
волновом сопротивлении при обтекании системы параллельных
горных гряд прямоугольной формы с заданными высотами и
отстояниями друг от друга. При этом используется линеаризированная
модель и, значит, согласно сказанному выше, полученные здесь
выводы следует рассматривать как оценочные.
Итак, проблема волнового сопротивления привлекает
пристальное внимание многих исследователей уже довольно много
времени. И тем не менее далеко не все еще выяснено. Во-первых,
полученные значения этой величины весьма сильно отличаются у
разных авторов и, что еще важнее, эти расхождения совершенно
недостаточно объяснены. Во-вторых, недостаточно исследован
вопрос зависимости сопротивления от свойств натекающего потока.
В-третьих, подавляющее большинство исследований, как
отмечалось выше, недостаточно точно учитывают форму обтекаемой горы
и, в частности, все еще недостает расчетов для реальных
достаточно протяженных горных систем. Две наших работы [34, 35] были
направлены на частичное разрешение сформулированных проблем.
Ниже излагаются полученные здесь результаты.
1. Волновое сопротивление для конкретного района
(Северного Урала)
При вычислении волнового сопротивления, как известно,
можно пользоваться следующим точным выражением:
оо
D = -J (pwu-1 )dx = - f p(x, h)dx , (43)
-oo Q
где интегрирование производится вдоль поверхности земли (или
вдоль любой другой линии тока), заданной в форме (20), Q -
контур интегрирования. Если давление представить как сумму
давления в натекающем потоке p(z) и возмущения р'(х> z)> то для
прежних локализованных гор имеем
Jp(h)dh = 0 (44)
Q

и, значит, в (43) сопротивление определяется вкладом только
возмущений давления. В практических расчетах было удобнее
выразить давление через поле скоростей, используя закон Бернулли
для стационарного течения идеальной жидкости и условие адиа-
батичности. Согласно исследованиям, проведенным в работе [35],
в итоге можно получить следующие необходимые для расчетов
соотношения:
р(х,п) = р05(х,п), (45)
5 = (1 - Ф)к'(к- '>, Ф = (к - 1) (X + Y),
X = ghc"2, Y = (u2 + w2- U2) (2с2)-', (46)
где ро и с — давление и скорость звука в натекающем потоке на
земле, а остальные обозначения прежние. Если исходить из
малости возмущений, то можно (45, 46) заменить приближенными
степенными разложениями. При учете только первых степеней в
них получим
P = Po-Pogli-^[2Uu' + (u')2+w2], (47)
где штрихами выделены возмущения. При использовании
приближенных разложений нужно учитывать, что часть слагаемых при
интегрировании аналогично (44) дает нулевой результат. В
формуле (47) таковыми, очевидно, являются первые два слагаемые, а
если при этом исходить также из возможности пренебрежения
квадратами возмущений скорости, то можно получить следующую
формулу, используемую чаще всего для оценок:
оо
dx=p0 J(u'w)dx. (48)
Z=ll(x) -о»
В данных расчетах использовалось приближение,
учитывающее вторую степень в разложениях,
5 = [1 - 1,4X + 0,7X2] [1 - 1,4Y(1 -0,4Х)н + 0,7 Y2 (1 -0,4X)"2], (49)
в котором для учета компенсирующихся при интегрировании
слагаемых достаточно опустить единицу во второй квадратной скобке.
Специальный анализ показал, что при обычных возмущениях
точность результата при использовании (49) не хуже 0,06%, тогда как
для (47) - 2,4%.
Знание волнового сопротивления позволяет определять
величину
D--Mu^
tx=-D/L_,
(50)

которая получила название среднего напряжения трения. Здесь
величина L„ — максимальная протяженность гор по потоку. Весьма
важно одновременно с волновым сопротивлением определять
вертикальный поток волновой энергии Е. Это можно делать с
помощью формулы:
- - 7 ( и'адЛ
Е + Е', E = -UD, Е'= Г р
•Л 1| )
dx. (51)
-=h(x)
Возмущения, необходимые для определения D, в работе [35]
находились на основе использования трех моделей, опирающихся
на соотношения (16—19). Две из них рассматривают возмущения
для полупространства и отличаются друг от друга способом учета
неровности земли. Первая рассматривает обтекание
горы-полукруга, т.е. использует решение (25); вторая рассматривает обтекание
произвольного профиля и использует решение в виде
суперпозиции (37). Обе эти модели подробно описаны выше в 2.2 и 2.3.
Третья модель учитывала влияние устойчивой стратосферы на
тропосферу в двухслойном приближении [37, 83J, когда в каждом слое
градиент температуры у имеет свое постоянное значение, а
скорость U одинакова. Стратосфера ограничивается сверху
горизонтальной стенкой, приближенно учитывается взаимодействие
слоев на тропопаузе. Нижнее граничное условие формулируется
аналогично [28]. Поскольку эта модель относится к закрытым, в
данной работе ее нет смысла описывать подробно. По этой же
причине весьма громоздкое решение здесь не приводим, отсылая за
подробностями к оригиналу.
На основе модели обтекания полукруга была выведена
аналитическая формула для определения с точностью в несколько
процентов волнового сопротивления при значениях £0 до
единицы. Расчеты по этой формуле подтвердили ранее полученные
результаты [51].
Волновое сопротивление по второй модели рассчитывалось
для того же рельефа Северного Урала, что и в [321. Расчеты были
проведены на эвм БЭСМ-6 для следующих значений
используемых величин:
?ic = 7,8km; U = 15 м/с; у=6К/км; у„ = 9,86 К/км; (52.1)
Т, = 260 К (N= 1,206-10-М/с); р0= 105 Н/м2. (52.2)
Реализация решения осуществлялась по той же методике, что
описана в работе [28], при этом разность фаз между отдельными
слагаемыми была не постоянна, как в (36), а изменялась от 0,125 до
0,03125. В результате исходный рельеф удалось воспроизвести в

основной части с точностью в 10 м по высоте и лишь в отдельных
точках — 30 м, что гарантировало получение 0,5% точности при
вычислении сопротивления. Значения величин u, w определялись
по простой конечно-разностной схеме, для чего точки (хм, zn),
лежащие на наземной линии тока, дополнялись точками (хп+ Дх, zn)
и (хм, zn+ Дх) при Дх = 5 м.
В работе подробно проанализированы все возможные
источники ошибок определения D и Ол . Было выяснено, что дальнейшее
сближение между исходным и теоретическим рельефами изменяет
результат не более, чем на 0,25%, а главными источниками
погрешности являются немалость разности фаз и величина шага конечно-
разностной схемы Дх. За счет первого источника точность
ограничивается 1,5%, из-за второго погрешность увеличивается при
вычислении только Dn — на ту же величину. Суммарная погрешность любой
из этих величин не превышала 4%, при этом компенсирующиеся
слагаемые заранее исключались из формул, — в противном случае D
можно было определять только по порядку величины.
Различные характеристики поля возмущений, полученные в
результате проделанных расчетов, представлены на рисунке 28.
Представленные данные позволяют видеть, что вертикальная
скорость колеблется относительно почти нулевого уровня.
Выяснилось, что среднеарифметическое значение этой величины
составляло небольшую отрицательную величину, равную — 0,042 м/с.
Возмущения горизонтальной составляющей скорости были
достаточно систематически положительными, причем
среднеарифметическое значение горизонтальной составляющей скорости
равнялось 16,2 м/с, т.е. не очень сильно превышало скорость
натекающего потока. Важно отметить очень высокую корреляцию между
изменениями вдоль земли величин и' и р', при этом, как видим,
возмущения давления вдоль земли систематически
положительны, а амплитуда весьма велика — до 5 мб. Градиенты этой
величины также заслуживают внимания; они подсказывают, что процесс
обтекания может при определенных условиях влиять на сейсми-
0 5 10 15 20 25 30
эг,Лс
Рис.28. Поле возмущений при обтекании Северного Урала. Представлены
возмущения давления, компонент скорости if и w вдольлинии h(x). Масштаб
возмущений w дан в диапазоне ±5, возмущений и" — соответственно 0—15 м/с. Детали поля
скоростей с горизонтальным масштабом менее 0,125 А.^. не воспроизводились.

ческие явления (что и было проанализировано в работе [84]).
Результаты расчетов р' близки к полученным довольно давно в работе [5].
По представленному полю возмущений были рассчитаны
волновое сопротивление и другие характеристики энергетики процесса
обтекания гор Северного Урала. В таблице 6 в нижних строках
представлена часть из полученных результатов. Здесь же приведены
данные, которые удалось получить после анализа некоторых из
опубликованных работ, большинство из которых обсуждалось выше. В семи
верхних строках даны величины, при получении которых D
рассчитывалось по (38) при р = hni, ро = 1,3 кг/м3, N = 10~2 1/с и
одновременном варьировании U с учетом требуемых ограничений на
репрезентативность моделей, выраженных соотношениями (40, 42). При
этом значения Cd брались из соответствующих авторских графиков.
Результаты [74] укладывались в диапазон значений,
приведенных на первых двух строках таблицы. В 8 и 9 строках даны
результаты расчета по следующей формуле из работы [70], полученной на
основе линеаризированной модели, представленной в статье [50]:
D = -2,2 Po(Uhni)2V'.
где hin — высота линеаризированной «колоколообразной» горы
(высота и форма действительно обтекаемой горы, очевидно,
неизвестны).
В десятой и одиннадцатой строках иллюстрируются
результаты, полученные из работы [71] при рассмотрении 14 случаев без
блокирования и 12 с блокированием, о которых говорилось ранее.
Свойства натекающего потока характеризуются в работе
недостаточно, чтобы их анализировать.
Представленные в таблице данные позволяют отметить
следующее.
1. Вычисления D по большей части до сих пор проводились
для идеализированных, а не реальных горных профилей.
Сравнение данных 4, 5 и 6, 7 строк при этом указывает на заметную
зависимость результатов от формы горы. Аналогичный вывод
следует из итогов работы [71], представленных в строках 10—11. Наши
расчеты, приведенные в 12 и 13 строках, дали довольно
неожиданный результат. Здесь даны итоги расчетов для двух случаев
обтекания в полупространстве довольно разных хребтов, один из
которых показан на рисунке 28 (см. работу [35]). Сопротивления,
однако, оказались близкими. Этот факт позволяет предположить, что
для протяженных горных систем эффект от влияния отдельных
деталей формы может сглаживаться. С другой стороны отсюда
следует, что величина — 4-105 Н/м неплохо характеризует волновое
сопротивление от гор, подобных Северному Уралу при выбранных
условиях в натекающем потоке.

Таблица 6.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
№
1
2
3
4
5
в
7
в
9
10
11
12
13
14


точник
[75]
[65]
[75[
[51]
[70]
[71]
[35]
[83]
Рельеф
Гора—
стенка
Гора-
стениа
Гора-
стенка

Полукруг
Неопре-
деленн.


деленная
С.Урал
" ' L"- 280
С.Урал
L=214"
то же
Модель
Нелин-ая
Лонга,
канал с
Н =10 хм
то же
Нелин-ая
Лонга
для полу-
п ростр-в а
то же
-
Линеариз.
Скорера
Многос-r
линеариз.
модель
Скорера
Нелин-ая
модель.

полупространство
Нелин-я
2сл. модель
hm
км
2.5
2.5
2,5
2.5
1
2.5
1
0.7
1
0.67
0.90
0.90
U. м/с
или
2H/JU =
15-25.5
=2-1,25
10-11,2
=3-2.85
11.5-25
=2.8-1.3
16.7-30
10-30
16.7-30
10-30
15
15
N,
ю-:
1/с
1
1
1
1
1
1
1
1,21
1
Обтекание без
блокирования
Обтекание с
блокированием
15
15
15
1.21
1
1
k.
км
9.4-
16
6.3-
7
7.2-
15,7
10,5-
18.8
6,3-
18.8
10.5-
18,8
6.3-
18,8
7.8
7.8
7.8
7.8
7,8
-D.
105
Н/м
5.7-
10.5
2.4-
6.1
0,16-
6,4
6,57-
2,5
0,30-
"о|12
22.4-
9,4
0,79-
0.3
0.4
0.82
7.36-0
ср. 1 89
1-0
ср. 0.46
3.5±
20%
4.1±
4%
7.3±
10%
с„
0.49-
0,25
0.46-
0.93
0.23-
0.2
0.56-
0,05
0.06-
о
1,91-
0.2
0.15-
0
0,034-
0.07
0.3
0.35
0.6
2. Данные строк 4—7 показывают, что при уменьшении
высоты горы с 2,5 до 1 км величина D, согласно открытым моделям,
может уменьшаться в 20—30 раз. Аналогичная зависимость,
видимо, следует и из результатов работы [75] для открытой модели
(сравните цифры на строках 6 и 7). Анализируя после этого
результаты таблицы, относящиеся к высотам порядка 1 км, можем
заметить, что сопротивление от гор Северного Урала в несколько раз
превышает остальные. Значения, сравнимые с нашими, видим
только в строках 10 и 11, но последние относятся к случаю, когда
известна лишь теоретическая высота hm, близкая к 2 км, которая
используется в линеаризированном граничном условии, т.е. когда
реальная высота оставалась неизвестной. Можно думать, что
большие значения D для реальных гор следует объяснять их большей
протяженностью.
3. В строках 13 и 14 даются рядом результаты для одинаковых
рельефов, но различных моделей, — в первом случае для
неограниченной атмосферы, во втором — для двухслойного
представления, в котором верхний слой представляет стратосферу,
ограниченную на достаточной высоте горизонтальной стенкой. Для
последнего случая в работе [83] не исследовался вопрос, в какой мере
могли проявляться в возмущениях резонансные эффекты, и
поэтому остается неясным, насколько правомерно сравнивать эти

результаты с данными открытой модели. Сравнение тем не менее
показывает, что при учете высокоустойчивой стратосферы
сопротивление получилось большим в 1,8 раза. В статье [82] сообщается,
что сопротивление в нижней жидкости по аналогичной
двухслойной модели (правда, в линеаризированном приближении)
получается меньше, чем в неограниченной изотермической атмосфере.
Хотя здесь мешают несовпадение моделей и различия в
устойчивости, сопоставление было не бесполезным, и оно обращает
внимание на то, что следует в рассматриваемой проблеме учитывать
не только непрерывную стратификацию, но и возможность
послойных разрывов свойств натекающего потока.
4. В последней колонке даются значения коэффициента
волнового сопротивления, определяемого по первой из формул (38),
в которой в этом случае под р подразумевается высота
однородной атмосферы. Легко видеть, что в таком случае данный
коэффициент будет служить мерилом того, насколько энергетические
затраты на перестройку натекающего потока могут быть сравнимы с
его кинетической энергией. Цифры показывают, что это случается
достаточно часто. Особенно важно это отметить в отношении
результатов для реальных хребтов.
Результаты наших вычислений величины напряжения
трения представлены в таблице 7 совместно с некоторыми данными
других исследователей. Эти данные прежде всего интересно
сопоставить с оценкой Сойера, изложенной в работе [70], величины
обычного напряжения вязкого трения, порождаемого
взаимодействием типичного синоптического процесса в средних широтах с
равнинными шероховатостями земли. Оказалось, что за этот счет
напряжение трения должно составлять около 0,1 Н/ м2 (1 дин/см2
у автора). Сравнение данных таблицы с этой величиной
показывает, что по всем оценкам только за счет волнового сопротивления
Таблица 7.
Напряжение трения за счет волнового сопротивления
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Источник
данных
Сойер, работа [70]
Бретчертон, [76]
Липли, [77]
там же
Лилли-Кеннеди. [78]
Блумен—Мак-Грегор, [85]
Клемп—Липли, [72]
там же
Кожевников и др., [35]
там же
Кожевников,Зид лев, [37,83]
Горный
район
Холмы Сев.Уэльса
Скалистые горы
Скалистые горы
Скалистые горы
Скалистые горы
Скалистые горы
С.Урал, приближ.
С.Урал, точно
то же, двухс.модель
Метод
получения
Теория
Теория
Наблюдения
Наблюдения
Теория
Теория
Наблюдения
Теория
Теория
Теория
Теория
т«
Н/м3
0,76
0,40
0,5-1
0,2-0,8
0,4-0,6
1
4,7
3
1,3
1,9
3,4

горы в десятки, а иногда во многие десятки раз должны сильнее
воздействовать на атмосферные процессы, чем приземное трение.
При вычислении волнового сопротивления по
приближенной формуле (48) мы получили для Урала результат, на 38%
превышающий точный, а именно 5,6-105 Н/м. Это говорит, что
широко применяемое в расчетах выражение пригодно только для
проведения качественных оценок.
2.Волновое сопротивление от всего Урала.
Зависимость от свойств потока и формы рельефа
В предыдущем разделе были изложены результаты
исследований проблемы волнового сопротивления для конкретного
района Северного Урала. Однако как целое Урал представляет особый
интерес. Данные горы — это цепь хребтов, вытянутых почти вдоль
меридиана на 2000 км. Широтная протяженность их невелика и
колеблется в основном от 40 до 200 км, высоты не превышают 2 км
над уровнем моря. О перспективности исследований
орографических возмущений над Уралом говорилось выше (см. п. 2.4.1 и работу
[32]). Там же отмечалось, что во многих районах действие Урала на
атмосферные движения можно с достаточной надежностью изучать
в рамках двумерного приближения. Такой подход был реализован в
работе [36], результаты которой и будут обсуждаться ниже.
Для более детального представления Уральские горы следует
разделить на несколько частей. Для полярного и приполярного
районов характерны особенно резкие формы с отдельными
вершинами и крутыми подветренными склонами. Северному Уралу
свойственна локализованная по широте зона главного хребта и
предгорные гряды на западе и востоке. В средней части данные горы сильно
понижаются, а далее к югу вновь повышаются, так что Южный
Урал вновь состоит из системы достаточно высоких параллельных
хребтов. Стремясь оценить влияние Урала в целом и принимая во
внимание неоднородность его рельефа, мы в своих конкретных
исследованиях выделили три горных района — один на Северном Урале
и два на Южном. Для этих районов достаточно вероятны процессы
интенсивного волнообразования, а кроме того, у них рельеф имеет
явные признаки двумерности. Другие районы Урала, где горы
невысоки или их широтная протяженность слишком велика,
исключались из рассмотрения. Суммарная протяженность трех выделенных
участков вдоль меридиана составляла около 600 км, так что в итоге
удавалось рассмотреть значительную часть Урала.
Двумерные характеристики рельефа определялись тем же
способом, который описан выше (см. п. 2.4.1, или
непосредственно работу [32]). Полученные таким образом профили h(x)
приведены с пояснениями на рисунке 29. Величина давления определя-

лась, как и в предыдущей работе, посредством соотношений (45,
46, 49). Возмущения составляющих скорости вычислялись вдоль
траекторий движения также по прежней методике, а вот поле
линий тока находилось на основе алгоритма работы [29], т.е. с
помощью формул (33, 36, 37). Значения параметров р0, Т,, уа при
проведении расчетов брались прежними, т.е. по (52). В центре внимания
также были свойства натекающего потока. Они варьировались так,
что величина собственного характерного масштаба Хс менялась от
5,2 до 20 км. В подавляющей части расчетов использовалась
постоянная разность фаз складываемых собственных решений (36), что
обеспечивало оперативность и удобство, но одновременно
приводило к снижению возможностей точного воспроизведения всех
важных особенностей формы рельефа. Действительно, в этом
случае расстояние между расчетными точками по горизонтали
увеличивалось при увеличении масштаба Лира в указанном диапазоне
от 1,17 до 4,5 км, что могло приводить к искажению высот
отдельных важных хребтов и ложбин — особенно при наибольших
значениях X . Положение оси ординат каждый раз совмещалось с поло-
h, км
км
Рис.29. Усредненные профили рельефа h(x): I — район Южного Урала,
расположенный южнее 55°N (hcl = 300 м), II — район Северного Урала (h(l = 100 м),
III — район Южного Урала, расположенный севернее 55°N (h0 = 250 м). h„ —
высота равнинной местности относительно уровня моря, h — средняя высота
рельефа относительно h0, определенная как отношение общей площади сечения
h(x) к ее протяженности L_ (с точностью до 5 м эта величина совпадала со
среднеарифметической относительной высотой).

жением главной вершины горной системы, и поэтому главный
хребет всегда воспроизводился надежно.
Волновое сопротивление рассчитывалось для набора линий
тока, расстояние между которыми в натекающем потоке по
вертикали (т.е. шаг по z0) составляло 500 м. Некоторые результаты для
Северного Урала даются на рисунках 30—32 в единицах 105 Н/м.
Первый из них показывает, как изменяется D при переходе от одной
линии тока к другой для всего набора значений \. На втором
рисунке в более детальном виде представлены отдельно зависимости от z0
для значений характерного масштаба, равных 7,8 и 20 км. Эти
материалы показывают, что величина D заметно зависит от высоты
конкретной линии тока над землей. В самом нижнем приземном слое
волновое сопротивление при возрастании zn во всех примерах
уменьшалось, причем темп уменьшения падал, так что выше в
некотором диапазоне z0 сопротивление переставало изменяться. Средние
значения z0 таких диапазонов по мере увеличения масштаба Лира,
как показывают рисунки 30 и 31, монотонно росли, принимая
значения, близкие к величинам 1,25; 1,5; и 1,9 км при значениях \,
соответственно равных 5,2; 7,8 и 9,4 км. В безразмерном виде все
три средние значения z0 были близки к величине 0,2, что вновь
свидетельствует об определяющем значении собственного
волнового масштаба натекающего потока. При дальнейшем возрастании
z0 для тех же \ темп уменьшения D вновь начинал возрастать, —
особенно это хорошо видно для Хс, равных 7,8 и 9,4 км.
Кривая с номером 2 на рисунке 31 (\ = 7,8 км) указывает
на разрыв данных для заметного диапазона z0. Этот разрыв оп-
о
/
о
1
: I
• V
1 • lO-j
(
Л
<
2)
i
\
N..
(3)
- \
(4)
(5)
. i
■ »
67345 3434345 6D
Рис.30. Зависимость волнового сопротивления от изменений высоты линии
тока z,, в натекающем потоке для различных Хс: 1 — для 5,2; 2 — для 7,8; 3 — для
9,4; 4 — для 12,6; 5 — для 20 км.

,0 порядка полови-
Все это заставляет вспомнить,
Рис.31. Зависимость
волнового сопротивления от z„ более
подробно: 2 — для Хс равного 7,8 км, 5
— для 20 км.
ределялся тем, что из-за больших
амплитуд у таких линий тока
процедура вычисления D сильно
затягивалась и эти траектории пропускались.
Выше z0 = 6 км зависимость D(z0)
начинала повторять картину
приземного слоя; центр зоны разрыва
близок к значениям z,
ны Xt
что орографические возмущения
изменяются по вертикали с периодом,
близким к величине масштаба Лира.
С учетом этого можно думать, что
демонстрируемые кривой 2 рисунка
31 свойства справедливы и в случаях
с большими значениями X, но со-
ответственно на больших высотах.
Проанализированные
зависимости D(z0) важно сопоставить с
теоремой, доказанной в исследовании
[86] для малых возмущений. Там было показано, что волновое
сопротивление не должно меняться с высотой. В данных расчетах z„ не
является в прямом смысле высотой, однако продемонстрированные
закономерности все же ставят под сомнение утверждение упомянутой
теоремы. Во всяком случае, они говорят, что D может заметно
изменяться от слоя к слою с
увеличением высоты там,
где амплитуды не малы.
Весьма интересные
результаты
демонстрирует рисунок 32. Здесь при-
ведены зависимости
D(z0) для значения
волнового масштаба \ = 12,6
км, полученные при трех
разных значениях
разности фаз Аа: кривая 1
соответствует стандартному
значению 0,225, кривые 2
и 3 — вдвое и четверо
меньшим значениям. При
Рис.32. Зависимость волнового сопротив- переходе от случая I к
ления от z„ и от величины разности фаз по го- случаю 2 зависимость ВОЛ-
ризонтали Да : I — для стандартной разности
Да = 0.225; 2 - для 0,1125 и 3 - для 0,05625 X . НОВОГО сопротивления ОТ
Величина \ равнялась 12,6 км. ' Z,, СИЛЬНО изменяется, —

во-первых, в том, что общий диапазон изменений уменьшается чуть
ли не вдвое, а, во-вторых, в том, что примерно к z0 = 2 км
уменьшения D почти прекращаются. При переходе от кривой 2 к 3 изменения
характера зависимости D(z0) резко уменьшаются. В данных расчетах,
как и в предыдущей работе [351, погрешность определения D не
превышала 4%. Поэтому ясно, что представленные на рисунках 30—32
зависимости от z0 отражают реальные свойства явления. Отсюда
следует, что изменения закономерностей на рисунке 32 при изменении
величины Да можно объяснить только изменениями характера
обтекания. Причиной последних могут быть в свою очередь только
изменения формы горы. При этом исходная форма неизменна, но ее
точечное представление моделью при достаточно больших Да
может, как объяснялось выше, заметно изменяться за счет того, что
некоторые из точек набора h(x) не будут попадать точно на самые
высокие или низкие точки важных хребтов или ложбин.
Зависимость величины волнового сопротивления от z0, как
следует из приведенных рисунков, весьма ощутима. Ее, в
частности, можно характеризовать величиной отношения величины D
для наземной линии тока к величине D на участках, где она
практически не зависит от z0. Это отношение для значений Л.с, равных
5,2; 7,8; 12,6 и 20 км, составляло 1,04; 1,1; 1,47 и 2,04ссоответ-
ственно. Наличие такой закономерности очень затрудняет
изучение вопроса о том, как на волновое сопротивление влияют
свойства натекающего потока. Для решения этой важнейшей задачи
было решено воспользоваться наличием у всех представленных
кривых D(z0) участков постоянства или малых изменений
волнового сопротивления, и далее использовать значения
сопротивления именно на этих участках, обозначая их для определенности
через D,,. Анализ, проведенный в работе [36], показал, что
точность получаемого таким образом Du должна оцениваться
величиной порядка 9%. Результаты расчетов зависимости этой величины
от свойств натекающего потока представлены на рисунке 33 в
прежних единицах. На верхней его половине даны результаты для
Северного Урала для трех градиентов падения температуры в
натекающем потоке; вдоль горизонтальной оси при этом для удобства
приведены изменения либо А.с, либо U для фиксированных
градиентов. На нижней половине приведены вместе зависимости от Хс
для изучавшихся рельефов при наиболее типичном значении у,
равном 6 К/км. Рисунки позволяют выделить три закономерности.
1. Величина D0 заметно начинает зависеть от характерного
масштаба только при \ < 9 км, возрастая при уменьшении последнего. На
основе полученных результатов зависимость D0 от свойств
натекающего потока для Л.с< 10 км было предложено представлять формулой:
-D„=c (Ya-7)V'. (53)

Doiol
где с — эмпирический
коэффициент, равный
8,9-10" Н-м/К.
Качественно данная зависимость
согласуется с
результатами исследований [51,
75], но здесь речь идет о
реальном протяженном
рельефе и о D0.
2. Величина D0
непрерывно растет при
увеличении устойчивости
натекающего потока: в
среднем на 25% при
уменьшении у на 1К/км.
Следовательно, когда для
описания данного явления в
атмосфере используется
модель с постоянным по
высоте у и, значит, так или
иначе усредняются ее
реальные изменения,
величина волнового
сопротивления характеризует
реальную ситуацию лишь
приближенно — точность
ее зависит от диапазона
изменений у и составляет
согласно данным
рисунка 33,а величину порядка
(10-20)%.
3. Величины Dn для трех рассмотренных рельефов при всех
X систематически различаются друг от друга. Причина различий
была проанализирована в работе [36] на основе использования
ряда характеристик формы рельефа, сведенных вместе в таблице.
Фактически независимыми среди них были только две — средняя
площадь S поперечного сечения h(x) и максимальная
относительная высота lini. Изменения этих характеристик при переходе
от одного рельеф"'а к другому приведены в таблице 8. Данные,
представленные здесь, указывают на корреляцию между
изменениями сопротивления и величины S, — правда, прямой
пропорциональности между ними нет. В то же время изменения D0, как
видим, могут противоречить изменениям максимальной высоты
горной системы. Прежние результаты, относящиеся к
неровностям простой геометрической формы, не противоречат выводу о
Рис.33. Зависимость волнового
сопротивления D„ от свойств натекающего потока:
а — для С.Урала от \ или U для различных
значений градиента температуры (1, 2, 3 — при
у = 5, 6 и 7 К/км соответственно ); 6 — от Хс при
у = 6 К/км для трех районов Урала,
представленных на рисунке 29.

Таблица S.
ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ D„ ПРИ X =7,8 КМ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ХАРАКТЕРИСТИК ФОРМЫ РЕЛЬЕФА
Рельеф
Южный Урал (рельеф 1)
Северный Урал (рельеф II)
Южный Урал (рельеф III)
-D, 10s Н/м S, 1012м2 hm, м
5,89 56 950
4,08 54 900
1,52 41 910
роли S, поскольку для них величина площади сечения было
прямо связано с h .
Все характеристики волнового сопротивления, полученные
в рассматриваемой работе [36], вполне согласуются с
предыдущими расчетами [35] для отдельного района Северного Урала. В
частности, наземное значение величины D при ^,=7,8 км согласно
данным рисунков 30 и 31 равнялось около 4,5-105 Н/м. Сравнивая
его с соответствующей величиной из таблицы 6, видим, что они с
учетом точности совпадают. Одновременно данные расчеты
показывают, что Урал в целом можно характеризовать величиной
сопротивления в диапазоне (1,5—6)-105 Н/м.
Для выявления возможного резонанса при определенном
соотношении между \ и характерным горизонтальным
масштабом рассмотренных рельефов были оценены типичные
горизонтальные отстояния между отдельными главными вершинами у этих
рельефов. В выбранном наборе Хс некоторые были близки к
найденным масштабным характеристикам рельефов. Однако расчеты
не обнаружили признаков каких-либо резонансных эффектов. При
изменениях А.с все свойства возмущений изменялись плавно.
На рисунке 34 представлены результаты расчетов потока
волновой энергии для изучавшихся районов гор Урала при различных
значениях \, полученные на основе использования формул (51)
для наземной линии тока. Здесь сплошной линией представлены
изменения вертикального потока волновой энергии, излучаемой
полосой рельефа, имеющей вдоль оси «у» ширину в 1 м.
Штрихованной линией представлены изменения части этого потока, а
именно величины Е ; разность между двумя кривыми
соответствует величине Е'. Приведенные кривые свидетельствуют, что
слагаемое Е' вносит существенный вклад в общий поток энергии —
особенно ощутимый при малых А.с. В большинстве опубликованных
работ это слагаемое опускается, и теперь ясно, что это делать
нежелательно. Расчеты также позволили установить существование
больших потоков энергии не только при больших, как это было в
работах [72, 77, 79, 81], но и при малых \. Тем самым было
выявлено наличие определенного минимума в зависимости Е от вели-

Рис.34. Зависимость потока
волновой энергии от \ для трех районов Урала,
представленных на рисунке 29. Сплошной
кривой_дастся поток Е, штрихованной —
поток Е , величина ошибки
представляется вертикальными отрезками (см.
публикации [35, 36]).
чины масштаба Лира, который
для Урала расположен в
области значений \ от 8 до 12 км.
В таблице 9 для трех
наиболее характерных значений
масштаба Лира приведены
соответствующие плотности
потоков волновой энергии Р и Р_,
полученные делением Е и Е
на величину горизонтальной
протяженности рельефа L„.
Сюда же помещены значения
коэффициента сопротивления
Cd и величины напряжения
трения тх (см. формулы 38, 50,
51). Эти результаты
согласуются с предыдущими нашими
расчетами в работе [35],—
достаточно вспомнить, что
тогда для Северного Урала были
получены следующие
значения: Е = 1,19-Ю7 Вт/м,
Р = 60 Вт/м2. Однако теперь мы
имеем гораздо более
разностороннюю характеристику
процесса обтекания вообще и гор
Урала в частности. Материалы
последних таблиц обращают
внимание на то, что южная
часть Южного Урала наиболее
сильно воздействует на поток
атмосферы. Величина
напряжения трения, например, не
опускается ниже 2 Н/м2, а при Xq,
равном 5,2 км, ее величина
превышает 5 Н/м2, т.е. достигает максимального значения из всех
проанализированных в [35 и 36]. Следует также обратить внимание на
величину коэффициента волнового сопротивления. Он вновь
показывает, что волновая энергия сравнима с кинетической
энергией натекающего потока, а в отдельных случаях даже превышает ее
(когда Cd >1). Данную ситуацию, видимо, следует объяснять тем,
что перестройка равномерного натекающего потока
осуществляется как за счет кинетической, так и потенциальной энергии.
Удалось провести количественное сравнение полученных
результатов с расчетами работы [82], упоминавшейся во введении

Таблица 9.
ЗАВИСИМОСТЬ Р, С,, тл ОТ\.ДЛЯ ТРЕХ РАЙОНОВ УРАЛА
Рельеф
Х.с. КМ
Р, Вт/м2
Р, Вт/м2
cd ^1_._.
т»,"н/м'2"""
Ю. Урал (1)
5,2 i 12,6 \ 20,0
50,3 ; 54,2 [ 82,5
159 Т 83,3 ; 101
1,9 j 0,15 0,06
"Т.О Т 2^24 72J5
С. Урал (II)
5,2 ; 9,4 ; 20,0
34,2 j 30,8 62,5
122 I 52,2 75.4
1.31 I 0.20 0,04
3,42 ■" 1.72 1,62 "
Ю. Урал (III)
5,2 ; 7,8 ! 20,0
11,3 : 11,4 ! 38,0
28.1 19,3 | 45,4
0,43 ' 0,13 ■ 0.03
. ............ .^ ^ ^ ^
данного раздела. В этой работе, как выяснилось, допущена
опечатка: величина эталонного напряжения в итоге завышена в два раза.
С учетом этого данные автора дают для системы прямоугольных
хребтов величину тх порядка 5—10 Н/м2. Отличие этого результата
от наших теперь не представляет труда объяснить. Дело в том, что
автор выбрал для своих оценок слишком большое значение для
частоты Брента-Вяйсяля. Оно соответствует инверсионной
стратификации атмосферы, когда у было равно (—0,74) К/км. Если
воспользоваться установленной здесь зависимостью сопротивления от
устойчивости, то цифры работы [82] можно пересчитать для А.с = 5,2
и получить следующие величины, достаточно близкие к нашим:
D = -18,1-Ю5 Н/м, тх = 9,1 Н/м2.
Проведенные исследования в какой-то мере помогают
разъяснить те большие расхождения у различных авторов, которые
отмечались ранее. Эти расхождения определяются различиями
моделей, различиями форм гор, свойств натекающего потока, но
также и приближенностью применяемых формул.
Весьма интересно сопоставить результаты расчета величины тх
сданными расчета и измерений в природе, приведенными в
публикации [72]. Сравнение показывает, что величина,
характеризующая Ю.Урал I, не столь неправдоподобна, как может показаться.
В работе [72] сообщается о самолетных измерениях данной
величины на относительных высотах около 4,5 и 7,5 км над Скалистыми
горами США, когда тх было равно 4,7 Н/м2. По нашему анализу
результатов [72] в рассматриваемом случае величину hin следовало
оценивать как близкую к 2 км, т.е. по проанализированным
результатам измеренная величина не кажется завышенной. В
цитированной работе приводится еще один интересный пример
измерений тх над Скалистыми горами, когда амплитуда возмущений была
заметно меньше. В этом случае напряжение трения довольно резко
и нерегулярно менялось по высоте в пределах 0,25—0,9 Н/м2.
Особого внимания при этом заслуживает быстрое нарастание
величины напряжения от 0,3 до 0,9 Н/м в слое толщиной 1,6 км на
относительной высоте около 12,5 км непосредственно под турбулент-

ным слоем, а затем столь же быстрое уменьшение напряжения с
высотой в турбулентном слое. При этом, видимо, еще выше тх
оставались близкими к нулю. Последний случай прекрасно согласуется с
развиваемыми в последнее время идеями об опрокидывании особо
развитых волн на высотах над горами. Эти идеи являются развитием
прежних исследований репрезентативности теоретических моделей,
о которых говорилось в начале данного раздела. Наиболее
убедительно эти идеи излагаются в работе [87]. Согласно им последний
пример предлагается рассматривать, как свидетельство случая,
когда над горами на относительной высоте около 5,5 км амплитуда
волн была еще недостаточной для опрокидывания, а на высоте
около 12,5 км уже достаточной. Турбулентный слой при этом
можно считать результатом разрушения волновой структуры
орографических волн, а исчезновение напряжения выше как
свидетельство прекращения здесь потока волновой энергии вверх.
В заключение коснемся вопроса, как оценивать воздействие
процесса обтекания гор на атмосферные потоки крупного
масштаба. В связи с этим уместно сослаться на работу [88], где
показывается, как для малых возмущений можно оценить изменения
средней скорости потока за счет потока волновой энергии. Здесь
показывается, что скорость среднего потока в таких случаях можно
выразить соотношением:
2fh0V"
где h0 — характеристика высоты горы. При значении ^с = 6,28 км
оценка по этой формуле показывает, что скорость среднего
потока при h0 = 0,628 км будет на 20% отличаться от натекающего
потока и на 45% при h0 = 0,914 км. Хотя эти оценки сделаны на
основе линейных приближений, они вполне пригодны для того,
чтобы показать, насколько важно учитывать эффекты обтекания в
различных атмосферных процессах.
й-> U
'"2
Fi'/=h„
U

2.4.4. Безопасность полета над горами.
Параметризация формы рельефа
Для выполнения самых разнообразных задач современной
авиации приходится совершать полеты над горными районами.
Самолеты с реактивными и турбовинтовыми двигателями (в
дальнейшем будем называть их скоростными) летают главным образом
заметно выше гор — на высотах от 5 до 12 км, причем, как правило,
вдоль рекомендованных трасс. Поршневые самолеты (далее будем
называть их легкомоторными) летают на высотах до 5 км, зачастую
ниже горных вершин (над долинами, вдоль ущелий и т.п.),
используя при этом правила визуального полета, когда высота над
поверхностью земли меньше 500 метров (смотри работу [89]).
Безопасность работы авиации в этих районах существенно зависит от
состояния атмосферы. Нередко самолеты попадают в особую
ситуацию, под которой понимают совокупность условий, приводящих
к снижению уровня безопасности полета вследствие воздействия
окружающей среды. Разные по степени опасности ситуации могут
возникать при самых различных метеорологических процессах: в
условиях интенсивной конвекции, вблизи фронтов, при полете в
приземном слое с сильным сдвигом ветра и т.п. (смотри,
например, книгу [90|). В данной работе будут рассмотрены ситуации,
которые могут встречаться при полетах в области орографических
возмущений на достаточной высоте над горами.
Мы не располагаем достаточно широкой и детальной
статистикой летных происшествий, и, тем не менее, данные печати
позволяют в определенной степени охарактеризовать проблему. Так,
только в США по данным национального комитета по
безопасности на транспорте с 1960 по 1972 год произошло 755 летных
происшествий, в том числе 147 были связаны однозначно с
турбулентностью атмосферы и 34 (т.е. 23%) произошли при ясном небе над
горами. Общие финансовые потери за этот счет согласно
сообщению автора [89] составили 23 млн. долларов в год. В работе [90]
сообщается, что турбулентность при ясном небе явилась
причиной 32% авиакатастроф над Японией в период с 1965 по 1975 годы.
Наиболее известной из них была гибель самолета Б-707 в районе
горы Фудзияма 5 марта 1966 года (см. работу [91]). Для нашей
страны обширные данные о таких случаях собраны и
проанализированы в исследовании [92]. Здесь фигурируют все территории, где
весьма вероятны опасные ситуации, а также указывается, что
турбулентность при ясном небе встречается над всеми горными
районами. Отдельно подчеркивается, что это явление в весенне-осенние
периоды преимущественно наблюдается над горами и озерами.
Описание отдельных, особенно неприятных происшествий дается во

многих публикациях. В частности, в работах [93, 94] делается
вывод, что причиной гибели самолетов над горами Сьерра-Невада в
США была турбулентность, вызванная взаимодействием
движущейся атмосферы с неровностями рельефа, когда скорость потока
была высока, а направление перпендикулярно к основным
хребтам. В упоминавшейся работе [89] проанализирован случай потери
устойчивости полета самолета Б-707 над тем же районом США,
приведшем к падению с высоты 8,5 до 3 км на подветренной
стороне гор.
Использование различных методов изучения этой проблемы
имеет давнюю историю (смотри, к примеру, публикацию [69]). Из
более современных исследований отметим работы [15, 74, 87, 92].
К сожалению, очень редко в таких работах теория возмущений
атмосферы над горами достаточно конкретно увязывается с
характеристиками устойчивости полета самолета. В нашей работе [38]
предпринимается попытка как-то восполнить этот пробел, при этом
используется в полной мере преимущество точного учета деталей
формы обтекаемого рельефа, достигаемое при использовании
теоретической модели, описанной выше в 2.3, 2.4, т.е. модели,
основанной на соотношениях (17—19, 32—34, 36, 37).
Теоретические расчеты, как было показано ранее,
позволяют получить поле траекторий движения над заданным рельефом с
точностью до 30 м высоты, если известны такие характеристики
натекающего потока, как величина собственного характерного
масштаба Х.с и скорость U. Эти траектории удобно описывать,
используя соотношения (20, 21, 34, 35), т.е. как сумму двух
слагаемых — высоты исходного уровня в натекающем потоке и
величины смещения. Как и ранее, поле траекторий будем представлять в
относительных высотах, ведя отсчет от исходного уровня
наземной линии тока z.. Таким образом, были смоделированы процессы
обтекания нескольких реальных горных районов страны.
На рисунке 35 иллюстрируются результаты расчетов для гор
Кузнецкий Алатау (север Алтая), когда натекающий поток
направлен на северо-восток, \ равно 7,8 км и U — 13,94 м/с (при этом —
см. (6, 7) — остальные параметры равны: N = 1,12-Ю"2 1/с,
у = 6,51 К/км, Т, = 260 К). Здесь сплошными линиями
представлены траектории, из них наземная следует вдоль усредненного
рельефа, и она выделена наклонной штриховкой. Высоты г0для
основных траекторий кратны 1 км, замкнутые изолинии роторов
оцифрованы более детально. Рисунок показывает, что над гребнями
хребтов возмущения наиболее интенсивны и характеризуются
наличием обширной зоны с роторами и протяженными участками почти
вертикальных движений, где компонента скорости w превалирует
над горизонтальной составляющей. Ядро роторной зоны, где
особенно велики возмущения, располагается в области, близкой по

Z, KM
Рис.35. Картина обтекания гор Кузнецкий Алатау при Хс = 7,8 км и
U = 13,94 м/с (сплошные линии для усредненного рельефа, штриховые — для
конкретного). Цифрами у роторов даны значения z(l в км.
форме к прямоугольнику, размеры которого представлены в
соответствующей части таблицы 10. Общая протяженность роторной
зоны по ветру много больше протяженности ее ядра и близка к
протяженности подветренной части рельефа (вниз по потоку от
главной вершины). Как и ранее, в поле траекторий проявляется
масштаб рельефа в целом и масштаб, сравнимый с \. Волновые
возмущения с масштабом Лира, как и ранее, будем называть
подветренно-волновыми возмущениями. Они проявляются не во всех
частях пространства.
На рисунке 35 иллюстрируется обтекание усредненного
профиля гор. Этот профиль получался по вышеописанной в 2.4
методике усреднения между различными конкретными
вертикальными сечениями рельефа, снимаемыми с карты. Для оценки того,
насколько усреднение сглаживает поле возмущений, был
проведен расчет при тех же Х.с и U, но для одного из конкретных
сечений, наиболее сильно отличающегося от среднего. Результаты
этого расчета представляются на рисунке частично в виде нескольких
штриховых линий тока. В некоторых деталях, как легко видеть, два
поля траекторий различаются, однако не принципиально, что
позволяет дальнейшие исследования проводить на основе
усредненных профилей.

Чтобы выявить роль свойств натекающего потока, все
расчеты проводились не только для указанных значений исходных
параметров, но и еще для двух значений масштаба Лира, а именно 10 и
12,2 км. При этом для простоты устойчивость не варьировалась, т.е.
значения частоты Брента-Вяйсяля (или у) брались прежними.
Поэтому значения скорости основного потока однозначно
определялись величиной ^с и равнялись соответственно 17,92 и 21,9 м/с. В
итоге удавалось рассмотреть главную часть диапазона изменений
определяющих параметров и проследить, как они влияют на
возмущения. Результаты расчетов для Кузнецкого Алатау при \ = 10 км
представлены на рисунке 36. Легко видеть, что
подветренно-волновые возмущения по сравнению с предыдущим случаем заметно
увеличили свой горизонтальный масштаб и мало изменили амплитуду.
Более разительно изменилась роторная зона. Она почти выродилась.
Пространственные характеристики ее ядра представлены в таблице 10,
откуда видим, что размеры главной ее части по горизонтали и
вертикали уменьшились почти вдвое. Результаты аналогичных расчетов
для \ = 12,2 км здесь не приводятся, поскольку течение над горами
еще более сгладилось и роторная зона вовсе исчезла.
С целью выявления изменений характера возмущений при
переходе к другим горным районам, совершенно по той же
методике было проведено моделирование обтекания юго-западным
потоком гор Джугджур на Дальнем Востоке и моделирование об-
Z, КМ
Рис.36. Обтекание гор Кузнецкий Алатау при Х.с = 10 км и U = 17,92 м/с.

текания северо-восточным потоком гор Каратау в Узбекистане.
Расчеты проводились для тех же характеристик натекающего
потока. Основные результаты иллюстрируются на рисунках 37—41 и в
таблице 10: для гор Джугджур для всех трех значений Хс и для
Каратау — только для двух меньших из них, поскольку, как и в
случае Кузнецкого Алатау, при наибольшем X, возмущения были
весьма сглаженными, а роторная зона практически вырождалась.
Сравнивая поле возмущений при наименьшем из
выбранных значений масштаба Лира, т.е. картины течения на рисунках
35, 37 и 40, обращаем внимание на то, что детали течений в
роторных зонах сильно варьируют — особенно в части изменений по
горизонтали. Очевидно, сказывается форма рельефа и, главным
образом, протяженность и детали подветренной его части. В то же
время данные таблицы 10 свидетельствуют, что вертикальная
мощность ядра роторной зоны мало меняется. Можно высказать
гипотезу, что эта величина скорее определяется относительной
высотой главного хребта и величиной \, а эти параметры примерно
были одинаковыми. Информация, представленная на рисунках,
позволяет также заметить, что собственно подветренно-волновые
возмущения у разных гор ощутимы в разных частях пространства
над горами, причем они в первых двух случаях имеют заметные
амплитуды, тогда как над горами Каратау почти вырождены.
z, км
Рис.37. Обтекание гор Джугджур при \ = 7,8 км и U = 13,94 м/с.

О го 40 60 вО 1Q0 120 КО 160 4вО 200 220 Х.км
Рис.38. Обтекание гор Джугджур при Хс = 10 км и U = 17,92 м/с.
О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 х. км
Рис.39. Обтекание гор Джугджур при \ = 12,2 км и U = 21,9 м/с.

Представленные результаты показывают четкую зависимость
свойств возмущений от величины собственного волнового
масштаба А.с. Для всех горных систем наблюдается явное «выглаживание»
возмущений при увеличении этого масштаба. При этом
подветренные волны увеличивают свою длину и, как правило, уменьшают
амплитуду, роторные зоны вырождаются (более медленно это
происходит над горами Джугджур — смотри рисунки 37—39).
Отмечаемая закономерность полностью согласуется с предыдущими
выводами на этот счет.
Результаты расчетов позволяют вновь рассмотреть вопрос о
высоте и вертикальных размерах роторных зон. Рисунки
показывают, что вертикальные границы роторных образований трудно
очертить, поскольку они могут заметно изменяться вдоль рельефа. Здесь
используется понятие о ядре роторной зоны, но и его границы тоже
не столь определенны. Тем не менее данные об этом,
представленные в таблице 10, позволяют установить некоторые важные
качественные закономерности. Первая из них говорит, что центр
роторных зон располагается заметно выше 1/2 \. Вторая свидетельствует,
что с увеличением масштаба Лира размерные значения высот этих
центров растут, а их вертикальная мощность уменьшается. Менее
четко, но все же видно, что эти изменения зависят от формы гор. Все
эти данные заметно расширяют и уточняют некоторые из
имеющихся на этот счет представлений (см., к примеру, публикацию [87]).
Теперь перейдем к оценке того, насколько знания об
орографических возмущениях можно использовать для определения
степени опасности полетов над горными районами. Снижение
уровня безопасности в установившемся горизонтальном полете из-за
возмущений атмосферы, согласно данным работы [90|, может быть
связано с двумя факторами. Первый — потеря устойчивости
вследствие резкого изменения угла атаки крыла самолета. При наихуд-
Таблица 10.
ХАРАКТЕРИСТИКА РОТОРНЫХ ЗОН НАД ГОРНЫМИ РАЙОНАМИ
Рельеф
Кузнецкий
Алатау
Джугджур
Каратау
К
км
7,8
10
7,8
10
12,2
7,8
10
Горизонтальная
протяженность
36 км = 4,6 Хс
18 км = 1,8 Хс
50 км = 6,4 Хс
30 км = 3,0 Хс
25 км = 2,0Хс
16 км = 2,1 Хс
20 км = 2,0ХС
Диапазон
высот
(5,4 ±1,8) км = (0,69 ± 0,23) Хс
(7,2 ± 0,7) км = (0,72 ± 0,07) Хс
(5,2 ±1,8) км = (0,66 ± 0,23) Хс
(6,1 ±1,1) км = (0,61 ±0,11) Хс
(7,8 ±1,0) км = (0,64 ± 0,08) Хс
(6,0 ±1,5) км = (0,77 ±0,19) Х0
(6,5 ±1,3) км = (0,65 ±0,13) Хс

шем сценарии развития подобной ситуации возможно увеличение
этого угла выше допустимого значения, в результате чего будет
происходить срыв потока на крыле и самолет начнет
«сваливаться», т.е. непроизвольно (в том числе и колебательно) двигаться и
поворачиваться относительно каких-то из его осей так, что
остановить это невозможно без уменьшения угла атаки. Термин
«сваливаться» можно понимать и в буквальном смысле. Вторым
фактором является болтанка, вызванная попаданием самолета в зону
резких изменений скорости ветра, особенно ее вертикальной
компоненты. В этом случае увеличиваются нагрузки на несущие
конструкции самолета, а пассажиры попадают в дискомфортные
условия. Изменение угла атаки в горизонтальном полете можно
оценивать по формуле:
Да = w/(V+u) = w/V, (55)
где и, w — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости
ветра в атмосфере, а V — собственная скорость самолета в
отсутствии ветра. Практически во всех случаях величиной и в
знаменателе можно пренебречь.
Эффект болтанки учитывают через увеличение
вертикальной перегрузки Дп. Эта величина прямо связана с вертикальными
ускорениями, действующими на самолет и пассажиров в нем. Для
ее определения используют согласно работе [90] следующее
эмпирическое соотношение:
Дп = р V w, (56)
где (J — эмпирический коэффициент, определяемый рядом
технических характеристик самолета, его размерность (с/м)2; здесь для
простоты будут использоваться усредненные величины
(подробности см. в публикации [38]). На основе этих формул и были
проведены расчеты для выбранных горных районов. Необходимые
значения вертикальной скорости определялись по горизонтальному
градиенту возмущения функции тока на фиксированном уровне
высоты при использовании постоянной величины шага по х,
равной 1,75 км. Поле функций тока рассчитывалось на основе
вышеописанной теоретической модели обтекания. Они проводились только
для роторных зон, поскольку именно для них следовало ожидать
наибольших значений вертикальной скорости. При этом мы
стремились проанализировать, какие неприятности может предсказать
теория в первую очередь для горизонтального полета. Вначале эта
работа была выполнена для гор Кузнецкий Алатау при Я.с = 7,8 км
(см. рис. 35). Рассматривались два варианта полетов слева направо —
на высоте 6 и 4 км. Основные полученные результаты приведены в
таблице 11.
Вначале рассмотрим полет скоростного самолета на уровне
6 км. В первой колонке таблицы дан ряд последовательно встреча-

Таблица II
ИЗМЕНЕНИЯ УГЛА АТАКИ И НОРМАЛЬНОЙ ПЕРЕГРУЗКИ
Уровень 6 к | Уровень 4 к
Усредненный рельеф
Скоростные
w, Да, Дп
м/с гр.
2,3 0,9 0,1
1,3 0,6 0,1
1,9 0,8 0,1
Скоростные
w, Да, Дп
м/с ф.
5,7 2,4 0,2
4,9 2,0 0,1
3,6 1,5 0,1
Легком.
Да, Дп
Ф
7,9 0,2
6,7 0,1
5,0 0,1
Конкретн. рельеф
Скоростные
w, Да, Дп
м/с ф.
6,0 2,5 0,2
5,9 2,4 0,2
4,9 2,0 0,1
Легком.
Да, Дп
8,3 0,3
8,1 0,2
6,8 0,2
емых наиболее заметных значений вертикальной скорости. Этот
ряд дает представление не только о величине w, но и характере ее
изменений. В остальных колонках приведены соответствующие
изменения для угла атаки и вертикальной перегрузки. Мы видим,
что теория предсказывает слабую болтанку и малоопасные
изменения угла атаки. Здесь же в аналогичном виде даются результаты
расчетов для полетов на высоте 4 км над усредненным и
конкретным рельефами, как для скоростного, так и легкомоторного
самолетов. При анализе данных таблицы полезно также возвращаться
время от времени к рисунку 35. Итак, при уменьшении высоты
полета, как легко видеть, ситуация ухудшается. Перегрузки для
обоих самолетов возрастают не очень заметно, и болтанка при этом
не должна выходить из категории слабой. Но изменения угла атаки
становятся более существенными. Для скоростного самолета эти
изменения по сравнению с полетом на большой высоте
увеличиваются более, чем вдвое, и достигают 2,5 градусов. Угол атаки для
легкомоторного самолета на этой высоте может превысить норму
уже на 7 и более градусов, что может рассматриваться как
попадание в действительно опасную ситуацию.
Продемонстрированные расчеты не исчерпывают всей
проблемы оценки опасности полетов над горами. Рассмотрим с этой
целью более детально характер движений в роторной зоне на
рисунке 35. Можно видеть, что в поле траекторий имеется пять
замкнутых роторов и, таким образом, появляются области, где вдоль
одного горизонтального уровня составляющие скорости могут
изменятся неоднократно и весьма резко. На уровне 4,5 км замкнутый
ротор один, и воздух в нем вращается против часовой стрелки.
При горизонтальном полете через такую область самолет будет,
очевидно, испытывать воздействие быстро меняющих знак
вертикальных потоков атмосферы. Согласно инструкциям, при полете в
таких условиях пилот должен использовать ручное управление, а
тогда ясно, что от него потребуется высокое умение. Наихудшим
здесь представляется вариант, когда самолет, после попадания в

Z, KM
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0 20 40 60 80 100 120 140
Рис.40. Обтекание гор Каратау при \ = 7,8 км.
160 180 х, км
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 х, км
Рис.41. Обтекание гор Каратау при Xt = 10 км.

нисходящий поток, неожиданно встретит восходящий. В этом
случае пилот, соориентировавшийся на необходимость увеличения
угла атаки, в зоне нисходящих потоков может пропустить момент,
когда маневр надо изменить на обратный, и вследствие этого не
успеет парировать превышение допустимого угла атаки. На высоте
около 6 км, согласно рисунку, наиболее критическим
представляется пролет от второго ротора к третьему; на высоте 4,5 км
аналогичной является область перед ротором — между восходящей и
нисходящей ветвями линии тока с z0 = 6 км. Оценка показывает,
что длительность полета на этих опасных участках может
приближаться к 1 секунде.
В проведенных рассуждениях непосредственно
использовались теоретические картины течения, тогда как ряд соображений
подсказывает нам, что у течений с роторами существует большая
вероятность превращения последних в зоны чисто турбулентных
движений (см. высказывания на этот счет в публикациях [26, 36,
65] и др.). Не исключено, что в этом случае над горами резкость
порывов может сильно повыситься, а в итоге возрасти степень
болтанки. Следует также отметить, что здесь оценивалась опасность
горизонтального полета, когда пилот не совершает маневров по
изменению высоты. В случае же, когда такие манёвры
совершаются, опасность достижения критического угла атаки может
существенно возрасти.
Проведение большого объема расчетов по моделированию
обтекания гор различной формы позволило вернуться к более
основательному исследованию вопроса зависимости интенсивности
возмущений от формы рельефа. Из общих физических представлений
следует, что здесь важны следующие факторы. Первое — это
средняя высота гор, которая, очевидно, должна определять общее
среднее поднятие всех частиц воздуха при преодолении всей системы
гор. Второе — это величина возвышения одного или нескольких
важнейших хребтов над обшим фоном рельефа и особенно над уровнем
подветренного плато. Третье — это крутизна подветренных склонов
у господствующих хребтов и особенно последнего из них по потоку.
Первый фактор обеспечивает накопление потоком потенциальной
энергии при вынужденном подъеме над горами. Последние два
должны непосредственно влиять на освобождение этой энергии и
генерацию за этот счет возмущений, где должны проявиться, как
масштабные характеристики формы рельефа, так и величина
собственного волнового масштаба натекающего потока. Часть указанных
соображений уже высказывалась (смотри, например, работы [35, 36,
87]), однако требуется провести еще немало дополнительных
исследований данного вопроса. Одно из таких исследований было
проведено в работе [38] на основе рассмотрения девяти различных
горных профилей при значении \ = 7,8 км.

В основу анализа в соответствии с высказанными выше
соображениями положено изучение зависимости максимальных
значений вертикальной скорости в роторной зоне от величины
параметра, который получается простым перемножением выделенных
факторов, т.е. зависимости от величины
А2 = h Ah Ah/L. (57)
Здесь h — средняя относительная высота всей горной системы,
Ah — характерная высота ее главной вершины относительно
подветренного плато, последний сомножитель, очевидно, учитывает
крутизну главной вершины, если под L понимать горизонтальную
протяженность области, где крутизна подветренного склона имеет
наиболее заметные значения. Фактически величина L выбиралась как
расстояние по горизонтали от главного хребта до подножия
подветренного склона. Максимальное значение вертикальной скорости
определялось не вдоль некой одной горизонтали, а по всей роторной
зоне; при этом шаг по х был прежним, а шаг по вертикали составлял
0,25 км. В первую очередь данный анализ был применен к случаям,
представленным на рисунках 35, 37, 40. Итоги этих расчетов
иллюстрируются в таблице 12. Затем таким же путем были обработаны
результаты прежних расчетов для гор Урала и Крыма, проведенных в
работах [32, 34]. Чтобы уменьшить влияние на выводы
неопределенности в определении крутизны подветренного склона главной
вершины (главным образом из-за величины L), были проведены
дополнительные расчеты, в которых реальная форма гор Кузнецкий
Алатау изменялась так, чтобы изменения указанной крутизны можно
было надежно контролировать. Полученные при этом траектории
движения представлены на рисунках 42 и 43 в тех же обозначениях, что
и ранее. Расчеты были проведены для трех модификаций формы
рельефа, обозначаемых на рисунках римскими цифрами. На первом
рисунке дана картина обтекания рельефа III и здесь же
дополнительно штрихами и точками показаны два других рельефа. У всех гор, как
можно видеть, значительная доля наветренной части рельефа и
главный хребет вплоть до его подветренного склона одинаковы и
повторяют реальный рельеф. Определяющие различия относятся к
подветренной части. А именно: у рельефов I и II одна и та же крутизна
господствующего хребта, у рельефа III эта крутизна в два раза выше
за счет уменьшения величины L. При этом у рельефов III и II
одинаковы формы и высота подветренного плато, а также практически
совпадают характеристики последнего подветренного склона.
Отличия в наветренной части сделаны так, чтобы у всех трех рельефов
общая площадь была одинаковой — наветренная крутизна у всех
совпадает, а различаются они лишь длиной наветренного плато. На
рисунке 43 изображена картина обтекания для рельефа II, но здесь же
штриховой линией даны для роторной области три траектории для

Z, KM
0 10 20 30 40 SO 60 70 80 90 100 110 120 130 x, км
Рис.42. Обтекание идеализированного рельефа Кузнецкий Алатау III при
\ = 7,8 км. Трансформации рельефов представлены: точками — к рельефу 1,
штриховой линией — к II.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 х.чч
Рис.43. Обтекание идеализированных рельефов II (сплошные линии) и I
(штриховые линии) при \с = 7,8 км.

рельефа I. Интересно сравнить последние картины течения с
линиями тока на рисунке 35. Сравнение показывает, что форма
траекторий в роторной зоне весьма чувствительна не только к
крупномасштабным изменениям формы гор, но также и среднемасш-
табным. Главный же результат анализа последних случаев
обтекания представлен далее в таблице 12.
Таблица 12
ЗАВИСИМОСТЬ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ФОРМЫ РЕЛЬЕФА
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рельеф
Северн. Урал
Джугджур
Куз.Алатау I
Кузн. Алатау
Каратау
К.Алатау II
Крым(с моря)
Крым(с суши)
К.Апатау III
hm.
км
0,85
1,00
1,45
1,45
1,35
1,45
1.12
1.12
1,45
S,
км2
80
120
64
70
42
64
14
14
64
h,
м
290
600
700
610
350
520
560
560
490
Дп,
км
0,50
0,70
0,55
0,50
1.00
1,05
0,70
1,05
1,05
L,
км
8,5
15,5
7,8
5,0
15,5
15,5
6,0
7,0
7,8
Ah/L
0,06
0,04
0,07
0,10
0,06
0,07
0,12
0,15
0,14
А2,
104M2
0,87
1,9
2,7
3,1
2,3
3,8
4,7
9,6
7,2
w,
м/с
3,1
3,6
4,3
4,7
4,8
5,1
5,5
7,1
7,5
Да,
град
4.3
5,0
5,9
6,5
6,6
7,0
7,6
9,8
10,3
Да, град
И
10
Анализировались девять примеров расчета для различных
форм гор, характеризующихся большими различиями таких_пара-
метров, как hm, S, h , Ah,
w.m/c L и крутизны Ah/L. Связь
всех этих величин с
интенсивностью возмущений
(величиной вертикальной
скорости w или
изменением угла атаки Да)
изучалась в различных
комбинациях, но наиболее
подходящей была признана связь
через величину А2,
определяемую формулой (57). Этот
вывод подтверждается
данными рисунка 44, где
иллюстрируется линейная
зависимость между
интенсивностью возмущений и
величиной А2. При
определении положения прямой
случаям, представленным
на рисунках 42 и 43, был
придан особый вес, по-
Г
1234 56789 10
ЛМО4, м2
Рис.44. Зависимость от величины А1
максимальной вертикальной скорости в
роторной области и изменений угла атаки для
легкомоторного самолета. Номера точек на
графике соответствуют номерам в таблице 12.

скольку относительные изменения крутизны в этих примерах
фиксировались, как было разъяснено выше, значительно надежнее,
чем в остальных ситуациях. Эти примеры на рисунке 44 выделены
точками с номерами 3, 6 и 9, в таблице 12 они представлены в
строчках под теми же номерами. Ясно, что многие параметры
формы в рассмотренных примерах определялись далеко не так
надежно, как хотелось бы. Понятно также, что рассмотрено не так много
случаев. Тем не менее представляется, что полученная
закономерность качественно отражает свойства орографических возмущений,
представляет практический и теоретический интерес, хорошо
согласуется с сегодняшними общими физическими
представлениями об изучаемом процессе.
Данные, представленные в таблице 12 и на рисунке 44,
полезно так же представить с помощью следующей формулы,
связывающей максимальную скорость в роторной зоне с величиной А2:
w = w0 + л А2, (58)
где w0 = 2,4 м/с, а т\ — эмпирический коэффициент, равный
0,711-Ю-4 1/мс.
Чтобы связать полученный результат с проблемой
предсказания степени безопасности полетов над горами, в таблице 12 в
последней колонке помещены результаты расчетов Да для
горизонтального полета легкомоторного самолета. Эти данные на
рисунке 44 отражены на второй вертикальной шкале. Они
показывают, что при А.с = 7,8 км опасная ситуация может возникать при
значениях А2, превышающих 104 м2. Данные об углах атаки носят
сугубо качественный характер, так как они получены были не для
конкретных самолетов, а для некоторых их классов. При
необходимости по вышеприведенной методике эти данные можно
существенно конкретизировать и уточнять.
Полезно максимально упростить_выражение для величины А.
С этой целью можно в (57) величину h выразить через площадь S
и общую протяженность рельефа Lm, a L заменить величиной 2\,
которая по смыслу и нередко фактически близка к ней. После
этого площадь S можно приближенно выразить по формуле для
треугольника, используя максимальную высоту hin. Тогда получим два
следующих выражения:
д 2 Ah Ah „ hm (А\Л2
Первое выражение говорит, что интенсивность возмущений
зависит от произведения эффективной крутизны главной
вершины, средней ее крутизны по отношению ко всему рельефу и
площади рельефа. Второе выражение очень удобно для применения на

практике, поскольку не требует подробных исследований формы
гор и, кроме того, подчеркивает важность величин Дп,
максимальной относительной высоты горной системы и величины
масштаба Лира. Смысл параметра А, судя по его размерности, можно
трактовать как эффективную вынуждающую амплитуду горного
района в целом. Для рассмотренных здесь гор значения этой величины
лежали в диапазоне 0,1—0,3 км. Нет сомнений, что эта величина
будет полезна при параметризации орографических возмущений в
атмосфере.

Глава III.
ОБТЕКАНИЕ
ПРИ РАЗРЫВАХ УСТОЙЧИВОСТИ
3.1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Выше рассматривались различные аспекты моделирования
обтекания гор в случае, когда натекающий поток однороден по
скорости и устойчивости, т.е. когда скорость и градиент падения
температуры одинаковы на всех высотах. На самом деле
расслоение атмосферы имеет более сложный характер. Опыт анализа
данных радиозондирования, который частично освещался в
предыдущей главе, показывал, что достаточно часто в натекающем потоке
как скорость, так и устойчивость меняются с высотой. Учесть эти
изменения весьма непросто и удавалось это сделать пока
немногим. Наиболее полно эта проблема рассматривалась, естественно,
в линеаризированных моделях. Из таких работ можно сослаться,
скажем, на [1, 7, 50, 86, 95, 96], хороший обзор таких
исследований дается в книге [7], наиболее известной среди них является
работа Скорера [50]. Здесь рассматривается двухслойное
представление атмосферы и делается вывод о том, что возмущения могут
быть заметными тогда, когда параметр задачи для
линеаризированной модели, представленный при использовании прежних
обозначений в виде
/02 = К2 - U "/ U = Ь"2 - U "/ U, U " = d2U/dz2,
от нижнего слоя к верхнему резко уменьшается (по теории в п2
раз). Впоследствии выяснилось, что этот вывод следует относить
скорее к частному результату построенной модели, чем к общей
закономерности. Кстати, наши исследования [33] показали, что на
практике нет возможности надежно учитывать второе слагаемое в
выписанном выражении и приходится ограничиваться прежним
параметром К2, даваемым соотношениями (18). Исследования [50]
несомненно были полезны для улучшения понимания проблемы, в
частности, в них совершенно справедливо указывалось на то, что
изменение однородности натекающего потока может играть роль
как бы дополнительного источника возмущений в некоторых слоях
атмосферы над землей (см., например, работу [86]). Однако в силу
отмеченной в главе I некорректности линейных задач, важно
продолжить изучение проблемы учета неоднородности потока
атмосферы с учетом немалости возмущений. Таких исследований пока
выполнено совсем не много, в частности — это работы [6, 56, 97]. В

силу сложности проблемы неоднородность учитывается здесь
применением послойной аппроксимации. Как справедливо было
замечено в публикации [1], при таком подходе сложность учета
непрерывного распределения свойств исключается, но вводятся
разрывы свойств на поверхностях раздела, правильное описание
влияния которых на течение жидкости так же не столь просто. Тем не
менее такой подход используется и, видимо, годится в качестве
первого приближения к решению проблемы. Ряд авторов проблему
рассматривают с помощью упрощений, принятых в гидродинамике
течения мелкой воды, как, например в статьях [98—100]. Суть таких
приближений в том, что при рассмотрении системы слоев в
каждом из них полагаются одинаковыми скорость и плотность, так
что о возмущениях судят главным образом по смещениям
поверхностей раздела. Такой подход при применении к атмосферным
явлениям, конечно, может дать только грубо качественные
представления. Примером этого может служить заключение в работе
[100] о том, что в трехслойной жидкости при обтекании
неровностей дна скорость у нижней границы особенно возрастает, когда
нижняя поверхность раздела резко опускается вниз со своего
исходного уровня. Впрочем, такие подходы дают более ценную
информацию, когда они применяются для рассмотрения
нестационарных и других сложных аспектов проблемы (см., например,
работу [101]).
Из выполненных исследований на основе нелинейных
моделей большой интерес представляет работа [97]. Из полученных здесь
результатов следует отметить следующие. 1. Отмечается, что
усиление приземных скоростей может происходить и без наличия
инверсионного слоя в средней тропосфере над поверхностью горы,
но при этом линии тока в этой части течения весьма сильно
прижимаются к земле из-за появления выше их роторных областей.
Полезно этот вывод сравнить с упомянутым выводом работы [100].
2. Делается заключение, что большие приземные скорости в
сильной степени определяются тем, что в многослойной модели
учитывается наличие высокоустойчивой стратосферы. 3. Подробно
изучается возможность проявления резонансных эффектов в
трехслойной модели, когда значения масштаба \с в нижнем слое
соответствуют условию резонансного отражения энергии от нижней
поверхности раздела (см. обзорную работу [21]). Недостатком данной
работы является то, что здесь применяется метод численного
моделирования, интерпретация результатов которого, как признает
и сам автор, не всегда остается ясной.
Нелинейная аналитическая трехслойная модель для
изучения обтекания гор, по-видимому, была применена в работе [56]
одной из первых. Целью авторов было изучение не влияния
расслоения, а изучение взаимодействия течения с приземным рото-

ром. Нельзя считать, что удалось убедительно сформулировать
условия, при которых возникает такая структура течения. В итоге
приходится признать, что данное исследование мало прояснило
рассматриваемую проблему.
По иному сформулирована нелинейная трехслойная
аналитическая модель в работе [6]. Это исследование было поставлено и
реализовано при непосредственном участии автора. В
последовавшей затем работе [30] частично повторяются идеи предыдущего
исследования, однако в целом эта модель новая — особенно в
части учета формы горы. Ниже излагаются основные ее результаты.
При построении модели используется прежняя система
уравнений (9) и прежний метод сведения проблемы к решению
уравнения Гельмгольца для возмущений функции тока (17), когда в
натекающем потоке предполагаются постоянными скорость и
градиент температуры (16), а возмущения температуры определяются
через найденное поле возмущений посредством соотношения (19).
Модель направлена на учет послойных изменений устойчивости в
натекающем потоке. Это достигается в рамках трехслойного
приближения, когда в каждом слое постоянна по высоте исходная
устойчивость (точнее, градиент температуры у, или приближенно
частота Брента-Вяйсяля N, если не учитывать в формуле (6)
слабой зависимости последней от Т,). При этом предполагается, что
во всех слоях скорость натекающего потока U одинакова. Это
делается, чтобы исключить ненужные разрывы скорости на
поверхностях раздела слоев и, значит, исключить искусственные
источники нестабильности в основном состоянии атмосферы. При таком
подходе слои будут отличаться, очевидно, по величине
коэффициента уравнения К, или согласно (18) по масштабам Лира Хс (или
масштабам Ь). Далее эти различия будем выражать с помощью
нижнего индекса], так что решение задачи сведется к отысканию поля
возмущений функции тока Vj при этом в каждом из слоев
собственный характерный масштаб Хс будем обозначать через X, j = 1, 2, 3.
Функцию тока и ее возмущения для удобства будем соотносить к
величине скорости U; кроме того, далее будет идти речь только о
возмущениях функции тока, и поэтому верхний штрих для
простоты опускается. Естественно, полагаем, что гора задается в
прежней форме (20). По аналогии поверхности раздела, полагаем,
можно задавать в виде:
z = z. + H. + £. , |д->0 прих->- со, j = I,2, (60)
где Н. и £. — высота в натекающем потоке и смещение в зоне
возмущений поверхностей раздела.
Решение данной задачи должно, очевидно, удовлетворять
условиям скольжения на земле и поверхностях раздела, а также
условиям непрерывности давления при переходе через любую по-

верхность раздела. Согласно исследованиям, проведенным в
работах [26, 30, 102], эти условия можно при сделанных обозначениях
записать в виде:
у,(х, z. + h(x)) = h(x), (61)
Vj = Vj+„ -^7 = ^^> при z = z. + H. + £. , j = 1, 2. (62)
В данном исследовании в качестве первого приближения
строится решение в предположении, что величиной £. в (62) можно
пренебречь по сравнению с (z. + Н), т.е. полагать, что
СГ0. ' (63)
Разделение переменных производится по методу Фурье, так
что решение сформулированной задачи ищется в виде
суперпозиции следующих частных решений:
Vjk = E(k)[Cj(k)eimJz + Bj(k)e"imJz]eikx +
+ Е(- k)[Cj(- k)eimJz + Bj(- k)e_imJz]e-ikx, (64)
mj=(K?-k2)1/2, C± = l, j = 1,2,3
Здесь: Е, С, В; — коэффициенты, определяемые из граничных
условий, к — действительное волновое число, а его использование
в качестве второго нижнего индекса делается только для того,
чтобы подчеркнуть, что частное решение зависит от волнового числа.
Возможность изменения знака перед нижним индексом j у
выписанных коэффициентов используется тогда, когда необходимо
подчеркнуть, что данный коэффициент стоит при экспоненте со
степенью (±ikx ). Всего в решении задействовано шесть пар
коэффициентов — по две пары на слой; выписанные граничные условия
дают 5 пар соотношений для их определения. Для однозначного их
определения требуется использовать условие о поведении
возмущений при неограниченном увеличении высоты в верхнем слое. Это
условие по разному формируется для разных длин волн. Для
волновых чисел, при которых т3 становится мнимой величиной, это
условие, очевидно, состоит в естественном требовании
ограниченности возмущений. Отсюда получаем следующее условие для
коротких волн:
В±3 = 0 при к >К3. (65)
Стало ясным, что по физическому смыслу необходимо
накладывать на решение условие «захвата» достаточно коротких волн в вер-

хнем неограниченном слое (см. также аналогичные соображения,
приводимые на этот счет в работе [1]). Для остальных волновых
чисел (более длинных волн) следует сформулировать другое
условие. Согласно исследованиям (см., например, публикацию [6]) в
верхнем слое в формулах (64) «незахваченные» волны с
одинаковыми знаками у показателей степеней экспонент соответствуют
части решения, отвечающего за поток волновой энергии вверх,
остальные — части решения, отвечающей за поток вниз. Для
простоты полагаем, что в верхнем слое нет источников волновой
энергии, — в том числе никаких нарушений плавных изменений свойств
среды, которые могли бы вызвать переотражения волновой
энергии вниз. Тогда нужное нам граничное условие для длинных волн
следует записать в виде:
В, = С_3 = 0 при к < К3. (66)
Теперь достаточно условий для однозначного определения всех
искомых коэффициентов решения.
Граничные условия (62, 65, 66) при использовании (63)
позволяют определить четыре пары искомых коэффициентов на
основе сведения этих соотношений к двум системам
алгебраических уравнений (по четыре в каждой):
' -РцХ| + ос2,Х2 +Р2|Хз +0 =осп,
0 +«22*2 +022*3 ~Х4 =0.
+ т,РцХ| +m2a2|X2 -m2p2|X3 +0 m,a,|, (67)
0 -m2a22X2 +m2p22X3 ±m3X4= =0,
где:
а. = ехр(1туК) = ру.-'. -67.1)
Верхние два уравнения в системе уравнений (67)
соответствуют требованию непрерывности функций тока на поверхности
раздела, остальные — непрерывности их производных. Две
системы (67) отличаются друг от друга только знаком перед последним
слагаемым в четвертом уравнении. Поэтому достаточно решить ее
один раз, скажем, для верхнего знака, и получить четыре
величины Х+п. Для нижнего знака тогда соответствующие Х_п можно
получить простой заменой в полученных выражениях величины т3
на — т3. Варианты связи между Х±п и коэффициентами можно
выразить соотношением, в котором величина индекса п слева
определяет номер выбираемого выражения в скобке справа и, кроме
того, учитывается соответствие знаков:
Х±„ = (В±„Си,Ви,(а,/'Си). (68)

Детерминанты систем уравнений (67) представимы в виде:
0 = а-,2р||{+т2[а2,р22(т2±тз)-а22Р2|(т2+тз)]+
+ т,[а2,р22(т2 ±т1) + а22Р21(т2 + т •,)]}.
Исследования детерминанта показали, что он для фиксированных
значений исходных параметров (z,, К., Н.) обращается в нуль только при
к -» К, (или т2 —> 0), причем эта особенность сохраняется и при
вариации значений исходных параметров. Предельный переход Н2 —> Н, не
изменяет этой особенности, тогда как в двухслойной модели эта
«неприятность» отсутствует. Вероятно, появление этого свойства
определяется наличием приподнятого над землей слоя и использованием
приближения (63). В численной реализации модели мы будем выбрасывать
эту особую точку, контролируя получаемую из-за этого погрешность.
При получении конкретных выражений для коэффициентов
решения С±. и В±. в случае длинных, «не захваченных» волн (к<К3)
используются оба"варианта (67), для коротких, «захваченных» волн —
только первый вариант. Выражения для коэффициентов довольно
громоздки и поэтому они здесь не приводятся (см. подробности в
работе [30]). Используя найденные коэффициенты, общее
решение задачи определяем суперпозицией частных решений в виде:
^(х,у) = (2Л)-1/2|Е(к)[с,(к)е^ + ВДк)е
eik*dk. (70)
Если воспользоваться известными преобразованиями
Е(к) = {2n)'W2 ] cp(k)e-ikxdx', <p = (2я)"|/2 J E(k)eikxdk,
то общее решение задачи можно переписать в другом виде,
заменяя прежнюю неизвестную функцию Е(к) на новую неизвестную
функцию f(x):
\|/j(x,z)= Jf(x')Aj(x,z)dx', f = (p/27i, x = x-x', (71)
— оо
Aj(x.z) = Re Jeik*[cjeimjZ + Bje"imjZ]dk = JPj(x,z,k)dk (72.1)

Pj = Re{eik5[cjeimJz + Bje-imJz] + e-ik5[c_jeim^ + B^e"1"1^]}. (72.2)
Для определенности рассматривался случай, когда
К3 < К, < К2, (73)
т.е. когда средний слой являлся наиболее гидростатически
устойчивым,—кстати, это наиболее типичная для тропосферы ситуация.
После довольно трудоемких процедур выделения реальной части
были получены соответствующие формулы для Р.. Эти громоздкие
выражения приводятся в исследовании [30]. В решении осталось
определить лишь неизвестную функцию f. Эту функцию следует
определять из условия скольжения на поверхности земли (61), и
поэтому ее будем называть орографической. Условие скольжения
приводит к следующему интегральному уравнению Фредгольма I рода:
h(x) = \|/,(x,z)= |f(x')Ai(x-x', z)dx' при z = z. + h(x). (74)
— oo
Для характеристики свойств полученного решения была
проведена серия расчетов. При этом полагалось,что соответствующие
высоты z„ H, и Н2 равнялись 1,75; 2 и 3,4 км. Остальные
определяющие параметры — скорость U и масштаб Лира для слоев X. —
задавались в разных комбинациях.
В первую очередь были проведены исследования свойств ядра
интегрального уравнения. Если взять в качестве орографической
функции f дельта-функцию Дирака, умноженную на постоянную
е, то согласно (71) возмущения функции тока будут просто
пропорциональны величине A,(x,z):
\|/,(x,z) = eA1(x, z). (75)
При достаточно малых значениях постоянной е выписанное
соотношение будет давать смещения линий тока на фиксированных уровнях
z (см. высказанные выше соображения на сей счет и формулы (34,
35)). Расчеты по (72, 75) были проведены при указанных выше
значениях высот z„ H, и Н2 и следующих характеристиках расслоения:
U = 10 м/с, ^=4,48; 3,14 и 5,02 км при j = 1,2 и 3, (76)
что соответствовало следующим градиентам температуры у. = 6,2;
4,6 и 6,6 град/км. Было выяснено, что возмущения локализованы в
окрестности | х | < 35 км на всех высотах — вне этого диапазона их
величина не превышает 1% от максимума. При изменении высоты
возмущения меняются квазипериодически с масштабом, близким
к 3,8 км. Интересно, что этот масштаб равен просто
среднеарифметическому от \t и Х2. При значении коэффициента е = 25 м2
вблизи точки х = 0, z = z, соответствующие максимальные смеще-

ния достигают значений в гребнях 125 и в ложбинах 150 м (см.
подробности в [30]). Все эти свойства соответствуют
представлениям об орографических возмущениях. Однако полученные здесь
результаты оставляют открытым вопрос о том, насколько
выполняется условие асимметрии возмущений — условие резкого
разделения пространства на наветренную и подветренную части. Иными
словами, остается неясным, насколько условия излучения в
верхнее неограниченное пространство, выраженные через (66),
решают эту проблему. В значительной мере эта неясность связана с тем,
что форма смещений вблизи вертикали х = 0 в этом случае весьма
несимметрична. Подтверждение этому было получено, когда были
рассмотрены более симметричные неровности нижней границы.
Чтобы получить возможность находить возмущения для
произвольной формы горы h(x), нужно найти приемлемый путь решения
интегрального уравнения (74), т.е. путь определения неизвестной
орографической функции f по известной функции ядра А,(х, z) и
задаваемой h(x). Известно (смотри, скажем работу [103]), что решение
такой задачи может представлять значительные трудности. Обычно
вначале интегрирование в (74) заменяется на суммирование вида:
М
hi = XfjAij. hi=h(Xj), fj=f(xj)> (77.i)
Aa = A,(x.-xj, z. + h(x.))Ax, (77.2)
где i выделяет конкретное значение x, j — соответственно x', Дх —
шаг дискретизации по х'. Далее нужно оптимальным образом найти
нужный набор f. Для этого рассматривается система уравнений, в
которых индекс i отмечает номер уравнения, a j — номер слагаемого
в строке. Предполагается, что известны с некоторой точностью
левые части этих уравнений, т.е. h. и матрица соответствующих
коэффициентов А.. Обычно определение f проводится по схеме
обращения уравнений и, значит, матрицы Аг. Решение такой задачи, как
известно, может быть некорректным в том смысле, что малые
изменения п( могут сопровождаться резкими изменениями значений f. В
этих случаях применяются различные методы регуляризации,
например, разрабатываемые школой А.Н.Тихонова (смотри [103]). По
этому методу решалась аналогичная задача в [6]. Нам представляется
более целесообразным использовать для этой цели метод редукции,
разрабатываемый Ю.П.Пытьевым и его учениками, с которым
можно познакомится по работе [104]. По этому методу с самого начала
целью является не только решение системы уравнений (77), но и
получение искомого ясного в смысле физики решения задачи в
целом, т.е. адекватного воспроизведения действия как соотношений (71,
74), так и всех предположений, заложенных в сформулированные

выше граничные условия. Конкретно для этого будем использовать
процедуру рекурентной редукции, в которой под к = 1, 2, 3, ... , N
будем понимать номер итерации (смотри работу [104], гл. 5, п. 2).
Начальное состояние при этом следующее:
fk=o) = 0) T.e. f(») = 0, t<°> = 0; (78.1)
F,'0' = Ф;2 при i=j; (78.2a)
FW = 0 при i * j, (i, j) = 1, 2, 3, ... M. (78.26)
На каждом итерационном шаге последовательно вычисляются
величины:
s.(k-l) = |Fi.(k-.)Ak.. Yk<k-.) = £fj<k.
j=l j=l
м
j=i
F<k) = p (k-l) _ g (k-1) g(k-l) / £(k-l).
fin = f(k-i) + S(k-D [u - Y <k-'>] / Z(k-
i i i l k k J '
t(k) = t(k-o + rhk - Yk«k-»j2 / Z<k-".
Величина ok2 здесь совпадает с дисперсией величины hk. Величина ф
является априорной мерой отклонения f(M) от начального
значения (аналогично стандартному отклонению). Величина t(M)
характеризует величину надежности модели. Эта надежность определяет
вероятность того, что данное h можно получить по формуле (77);
при слишком сильном отличии исходного h от получаемого
величина t будет велика, а надежность мала, что означает
неадекватность математической модели физической задаче. Структура
формул (78) дает основание задавать меру априорных отклонений для f
различными в разных областях: для нескольких первых i — малые ср.,
для других — достаточно большие. Тогда редукция будет
способствовать тому, чтобы несколько первых f. в итоге мало изменялись
по сравнению с начальными (нулевыми), т.е. оставались малыми
по сравнению с максимальными. Далее будет сказываться
отмеченное ранее свойство локализации главных значений ядра
уравнений (71, 74) в окрестности точки х = 0. Структура рядов (77) в
этом случае такова, что для начальных значений i (самые
удаленные от горы точки натекающего потока) первые слагаемые
определяются перемножением первых f на главные значения А.., а у
всех последующих слагаемых фигурируют гораздо менее значимые
значения матрицы. В итоге близость первых h. к нулю будет обеспе-
Aki; (78.3а)
(78.36)
(78.4)
(78.5)
(78.6)

чиваться найденными f с достаточной точностью. Тем самым
можно ожидать, что модель будет лучше учитывать наше требование
об отсутствии возмущений в натекающем потоке, причем не в
одной точке, а по непрерывности в значительной части
пространства. Итак, редукцию будем проводить, требуя, чтобы:
ф.' = а. ф2, (78.7а)
где:
а; =
а для i = 1,2,3,...,/,
1 для i > /, а < 1 .
(78.76)}
Варьируя величины а и /, будем таким путем учитывать в модели
априорную информацию о свойствах искомого нами решения.
Вышеизложенная методика расчета орографической функции,
а затем и траекторий движения прежде всего была апробирована для
идеально симметричной горы треугольной формы. Полученные
результаты иллюстрируются на рисунке 45 для прежних значений
исходных параметров задачи (76), при этом параметры редукции здесь
40 л.к'*!
Рис.45. Теоретическая картина обтекания «треугольной» горы. Сплошными
кривыми представлены траектории движения для трехслойной модели при
характеристиках натекающего потока (76); исходная h(x) изображена штриховой
линией. Высоты отсчитываются относительно уровня z.. Направление течения показано
стрелками. Параметры редукции были следующими: М = 101, / = 5, ф2 = 410"2,
а = 10"°, а = I0"3, b = Ю-1 (эти последние две величины определяют набор а.
аналогично (78.7)), t = 4,95.

и всюду далее приводятся в подписях к рисунку. Как и ранее, все
высоты даются относительно уровня z,. Положение уровней Н. и Н2
на рисунке выделяется тонкими горизонтальными прямыми. Линии
тока представлены сплошными кривыми, значения z0 для них легко
определяются в наветренной области. Направление движения
указывается стрелками. Гора и остальная часть нижней границы в
редукционной процедуре вводились в дискретных точках с шагом Дх = 1 км;
на рисунке положение этих точек иллюстрируется пунктиром. При
расчетах траекторий интегралы аппроксимировались суммами,
аналогичными (77) с тем же шагом Дх. Результаты показывают, что
линии тока в натекающем потоке как вблизи земли, так и на высотах,
практически горизонтальны. Это показывает, что введение
априорной информации о характере натекающего потока с помощью (78)
действует эффективно. Наземная линии тока в окрестности точки х = О
отличается по форме от треугольника, но не принципиально.
Главное, что она здесь имеет почти симметричную форму и большую
крутизну склонов. Теперь прекрасно виден асимметричный характер
картины обтекания. Эта асимметрия совершенно идентична той, что
получали другие авторы для симметричных неровностей (смотри,
например, иллюстрации в работах [5, 22, 26, 49, 50]). Здесь данное
Рис.46. Картина обтекания гор Крыма по трех- и однослойным моделям
для того же натекающего потока, что и на рисунках 16 и 45. Штриховыми
линиями представлены траектории с рисунка 16. Экстремальные значения z„ в роторах
составляли: в трехслойном варианте 3,67 и 1,61, в однослойном — 4,86 и 1,71 км,
соответственно в первом и во втором из них. Параметры редукции были
следующими: М = 141, /= 5, ф2 = 4-Ю"2, а
10-
10"\ b = 10"'. t = 3,48.

свойство течения является следствием использования условий (65,
66), в которых гораздо труднее увидеть требование отсутствия
возмущений в натекающем потоке, чем в прежних моделях,
используемых, например, в работах [5, 22, 49]. Поэтому представленные
на рисунке траектории движения следует рассматривать как
свидетельство того, что соотношения (65, 66) обеспечивают нужную
тенденцию изменений поля возмущений не только по
направлению вверх, но и навстречу натекающему потоку.
Все остальные расчеты по построенной модели были
проведены для рельефа Крыма, неоднократно использовавшегося выше. На
рисунке 46 представлены результаты моделирования обтекания для
прежних значений определяющих параметров задачи (76). Рисунок
показывает, что характер возмущений качественно сильно не
изменился по сравнению с обтеканием треугольной горы. Тем самым
подтверждаются прежние выводы о том, что возмущения в
первую очередь зависят от высоты и крутизны подветренного склона
горы. Более интересно сравнить представленные траектории с
аналогичными траекториями, полученными для того же рельефа по
однослойной модели [29] для Хс — 5,1 км и показанные в
настоящей работе на рисунке 16. Часть траекторий последнего рисунка
приведена штриховыми линиями на рисунке 46. При сравнении
линий тока следует иметь ввиду, что в трехслойной модели в слое
толщиной порядка 6 км среднее значение собственного
характерного масштаба составляло X = 4,5 км, т.е. было чуть меньше, чем в
однослойном варианте. Сравнение показывает, что расслоение не
изменяет возмущений в главном: наличие пары роторов и сложного
движения частиц в их окрестности сохраняется. Однако происходят и
заметные изменения в деталях, за которыми удобно, как и ранее,
следить, мысленно двигаясь вдоль линий тока с постоянными
значениями z0, принимающими значения от 1 до 5 км. Количественно эти
перемещения будем характеризовать двумя величинами —
относительной глубиной ложбины zi в первой наиболее заметной
подветренной волне прямо над вершиной горы и величиной последующего
подъема частиц от ложбины до гребня zu. Эти характеристики для
обеих моделей представлены в таблице 13.
Таблица 13.
АМПЛИТУДЫ СМЕЩЕНИЙ В ПЕРВОЙ ВОЛНЕ
Zo.
км
1
2
3
4
"5"
6
Рисунки 16 и 46
один слой
z„ | zB
0,628 0,116
1,189 '," 0,664
1,780 3,889
2,322 3,978
0.171 1,093
= 0 0,318
три слоя
z„ | zB
0.361 0,167
0,944" : 1,306
1,472 ; 2,833
= 0 ' . 0,777
= 0 ' ■ 0.278
1,249 2,500
Рисунки 14 и 47
один слой
z„ | zB
0,400 ; 0,167
0,880* '; 0,444
1,380 1,111
1,612 : 1833
1,585 '!' 3,050
0,520 ' 2.272
три слоя
z„ | zB
0,167 ■ 0,050
0,225 Т 6,110 '
0,414 Г 0.360"
0.500 !" "0,888
6,222 '" 6,776
0,139 ; 0,612

Анализ данных рисунка показывает, что в однослойной
жидкости между двумя роторами проходят линии тока со значениями
z0, лежащими между 3 и 4 км; в трехслойной жидкости величина
диапазона аналогичных z0 близка к 1 км, но сами значения почти на
столько же ниже: zn = (2,3-^3,2) км. Из таблицы видно, что в
однослойном варианте максимальны гл и zu для траектории с z0 = 4 км,
тогда как в трехслойном варианте аналогичный максимум
наблюдается у траектории с z0 = 3 км, причем значения этих величин
примерно на треть меньше. В результате можно констатировать,
что в трехслойном течении вихрь располагается ниже, а его
интенсивность меньше, чем в однослойном случае. Кроме того,
важно обратить внимание на характер подветренных волн. Легко
видеть, что их интенсивность существенно выше в трехслойной
жидкости. В частности, заметную амплитуду имеют волны вблизи уровня
Н,. Важно, что здесь у ряда линий тока часть относительных
смещений положительна и, значит, волны могут проявляться в
облачности (смотри, например, линию тока с z0 = 2 км).
Следующие расчеты были проведены для больших
скоростей, а именно для U = 15 м/с. На рисунке 47 показаны результаты
моделирования, когда в слоях величина "К. принимала снизу вверх
Z, КМ
AVY
Рис.47. Результаты моделирования обтекания гор Крыма, проведенные с
целью оценки роли приподнятого слоя с повышенной устойчивостью. Сплошными
кривыми представлены траектории для трехслойного потока при U = 15 м/с,
А. = 7,70; 4,39 и 7,97 км (у = 4,9; 1,2 и 5,1 К/км); штриховыми — траектории для
однослойной жидкости при \ = 7,7 км (смотри работу [29] и рисунок 14). Параметры
редукции были следующими: М = 181, /= 5, ср2 = 4. а = \0"<, ст = 10~2, b = 1, t = 1,7.

значения 7,70; 4,39 и 7,97 км, т.е. когда нижний и верхний слои по
устойчивости были практически идентичны, а средний — был
существенно более устойчив. Сравнивая этот вариант с предыдущим,
обращаем внимание, что значения собственного характерного_масшта-
ба теперь заметно выше, в частности, аналогичное среднее X теперь
составило 7,1 вместо прежних 4,5 км. Легко видим, что увеличение
характерного масштаба сопровождается резкой трансформацией
характера роторной зоны. Замкнутые вихри исчезают, нет области
чисто вертикального и тем более возвратного движения. Формально, по
классификации Лонга в работе [20], роторная зона просто исчезла.
Если роторы классифицировать шире —как область «почти»
вертикальных движений, то можно считать, что данная зона теперь лежит
в первой орографической волне между линиями тока с z0, равными
3,4 и 5,4 км. Тогда получим, что в сравнении с рисунком 46 роторная
зона заметно приподнялась и увеличила свою вертикальную
протяженность почти вдвое. Аналогично предыдущему были определены
также величины zn и гп для основных линий тока. Эти данные
представлены в таблице 13 вместе с соответствующими результатами,
полученными аналогично предыдущему из однослойной модели, опуб-
ликованой в [29] для Хс = 7,7 км, т.е. из анализа картины обтекания,
приведенной на рисунке 14 и частично воспроизводимой
штриховыми линиями на рисунке 47. Сравнение двух моделей говорит, что
теперь трехслойная модель сильнее отличается от однослойной, чем
в предыдущем случае. Особенно велика разница в амплитуде главной
орографической волны: экстремальные значения гл и zu теперь в
трехслойном течении более, чем в 3 раза меньше.
Анализ рисунка 47 показывает также, что заметно
изменился характер подветренных волн. Если в предыдущем случае
расслоение увеличивало амплитуду этих волн, то теперь оно привело к их
уменьшению. Важно при этом отметить, что все изменения в
рассматриваемом случае следует связывать не просто с расслоением,
а с воздействием на течение слоя повышенной устойчивости,
расположенного над горой.
В следующих расчетах предыдущий вариант был
трансформирован так, чтобы средний слой приблизить по устойчивости к
двум другим слоям. Для этого значение градиента температуры у2
было изменено и взято равным 4,84 К/км, а остальные величины
оставлены прежними. В итоге в этом случае все собственные
характерные масштабы почти совпадали, а именно X. соответственно
равнялись 7,7, 7,56 и 7,97 км. В итоге данный пример может
рассматриваться как приближенное воспроизведение однослойной
модели обтекания. Результаты расчетов в прежней форме
представляются на рисунке 48 вместе с линиями тока для однослойной
модели из [29| при X = 7,7 км, воспроизведенными в данной
работе на рисунке 14. Легко видеть, что обе модели действительно

Z. KM
Рис.48. Представление обтекания гор Крыма однослойным потоком с
помощью трехслойной модели. Сплошными линиями представлены результаты
трехслойной модели, когда устойчивость в слоях почти одинакова (X, = 7,56 км, или
у, = 4,84 К/км, остальные параметры те же, что и на рисунке 47). Штриховыми
линиями повторены результаты рисунка 14. Параметры редукции были
следующими: М = 101, /= 5, ф2 = 4, а = 1Гг\ а = I0"2, b = 1, t = 1,7.
дают практически совпадающие результаты. Незначительные
расхождения вполне можно объяснить имевшими место различиями
в исходных параметрах и форме горы. Уместно также напомнить,
что в трехслойной модели граничные условия сопряжения
жидкостей на поверхностях раздела использовались в упрощенном виде
(63). Представленные на рисунке 48 результаты поэтому могут
также рассматриваться как свидетельство, что упрощение (63)
вполне приемлемо при использованных значениях собственного
характерного масштаба.
Проведенные по трехслойной модели расчеты позволяют
высказаться по вопросу влияния среднего устойчивого слоя на ветер у
поверхности горы. Этот вопрос активно обсуждается (смотри,
например, статью [971) в связи с изучением таких опасных явлений,
как бора или других очень сильных местных ветров. В данной модели
средний слой всегда более устойчив, чем остальные, а кроме того,
он заметно толще, чем это бывает в природе (у нас 1,4 км вместо
одной — трех сотен метров). Тем не менее результаты, полученные
при этом, очевидно, представляют интерес. Чтобы оценить степень
усиления ветра, можно рассмотреть, как меняется на рисунке 46

толщина приземного слоя между линиями тока со значениями z0,
равными 0 и I км в трехслойном и однослойном вариантах.
Изменения скорости приземного ветра будут практически обратно
пропорциональны изменениям этой толщины. В результате можно увидеть,
что основное возрастание скорости определяется самим
обтеканием, а влияние устойчивого слоя уже вторично. В данном случае,
когда характерный масштаб имел меньшее значение, в
трехслойном варианте вдоль верхней половины подветренного склона
усиление ветра было таким же, как и в однослойном варианте, и
достигало около 20 крат. Вдоль нижней части подветренного склона
усиление ветра ослаблялось, причем заметнее в трехслойном
варианте. В случае, когда характерный масштаб был больше (скорость
натекающего потока 15 м/с, рисунок 47), вдоль всего
подветренного склона наличие приподнятого устойчивого слоя заметно
снижало орографическое усиление ветра: в однослойном варианте оно
было больше и достигало 14 крат, при наличии устойчивого слоя
оно не превышало 3 крат. В обоих случаях усиление должно
приводить к ветрам ураганной силы, хотя их истинную величину теория
не может надежно предсказывать, поскольку она не учитывает
вязкости и возможности турбулизации, а также лишь в первом
приближении учитывает сжимаемость воздуха. Можно все же думать,
что качественное представление об этих эффектах теория дает.
3.2 СОПОСТАВЛЕНИЕ ТЕОРИИ
С НАБЛЮДЕНИЯМИ
Созданная трехслойная модель позволила вновь вернуться к
рассмотрению полученных результатов экспедиционных
измерений поля облачности в Крыму 15 июля 1976 года с целью еще раз
разобраться, насколько наши теоретические представления
адекватны природе и, значит, насколько мы близки к пониманию
основных законов процесса обтекания гор. Данный случай
измерений подробно обсуждался выше в 2.4, п. 2.4.2; поэтому здесь
можно опустить многие подробности, но сосредоточиться на новых и
самых важных результатах работы [41].
На рисунке 49 представлены в традиционной форме
траектории движения над Крымом, полученные с помощью
трехслойной модели для этого случая. На рисунке 50 приведены
аналогичные траектории, полученные посредством применения
однослойной модели, подробно охарактеризованной выше в 2.3 и 2.4. В
обоих примерах моделировалось обтекание одного и того же рельефа.
Высота его главной вершины достигала 1125 м; у однослойной
модели наземная линия тока воспроизводила форму рельефа в

I 1 i 1 ■
-го -io о га ао я:, км
Рис.49. Результаты расчета линий тока по трехслойной модели при
значениях параметров задачи (79, SO). Наземная линия тока в отдельных частях
отклоняется от исходного рельефа, представленного жирной штриховой линией. Каждая
линия тока характеризуется высотой в натекающем потоке z„, эти величины в км
проставлены там, где это удобно. Линия тока с высотой z„, равной 3,2 км,
выделена тонкой штриховой линией.
Рис.50. Результаты расчета поля траекторий по однослойной модели при Хс
равном 6,35 км (среднее у= 5,93 К/км), при U=12,2 м/с и Т,=265 градусов. Здесь
же представлены границы поля облачности, полученные расчетно и в результате
экспедиционных измерений.

любой точке с точностью не ниже 5 м; трехслойная модель
воспроизводила рельеф значительно хуже: она занижала высоты
главной и средней вершин примерно на 100 м, наветренной вершины
— на 85 м, остальную часть рельефа воспроизводила с точностью в
несколько десятков метров.
В однослойной модели градиент падения температуры у и
одновременно с ним частота N, масштаб \ и коэффициент К
одинаковы во всей атмосфере и, значит, не зависят от индекса
расслоения j. В трехслойной модели все эти величины различаются
послойно, т.е. зависят от упомянутого индекса, принимающего
снизу вверх значения 1, 2, 3. Детали построения данных моделей
даны выше, а здесь важно подчеркнуть, что обе модели являются
двумерными, стационарными, аналитическими и нелинейными
(малость возмущений не предполагается), что они учитывают
вертикальную неограниченность атмосферы и реальные особенности
формы рельефа.
Чтобы провести расчеты, результаты которых представлены
на рисунках 49 и 50, нужно было проанализировать данные
радиозондирования, характеризующие свойства натекающего потока. Эти
данные приведены на рисунке 51 (в отличие от [12, 32| в данном
исследовании решено было опираться на результаты
зондирования, проведенного в городе Симферополе в 7 часов 42 минуты). На
V
14 ' /с Ъ 4 5
ь 6 Г "Ж* oL
е- 7 в э
\с, АЛ
Рис.51. Характеристики натекающего потока, полученные из данных
радиозондировании: профили величины скорости (и направлении), величины
градиента температуры (и относительной влажности), величины собственного
характерного масштаба \ .

рисунке воспроизводятся изменения с высотой скорости ветра U
и градиента падения температуры у, цифрами вдоль этих кривых
даются, кроме того, — направление ветра в градусах (360 и 0
соответствует северному ветру) и величина относительной влажности
в процентах. Для проведения модельных расчетов нужно знать
значения скорости и масштаба Лира \. При использовании
однослойной модели нужную информацию получали путем усреднения всех
данных радиозондирования во всем рассматриваемом слое
тропосферы. При подготовке расчетов по трехслойной модели
усреднение проводилось иначе. Вначале находился профиль y(z), а затем
при использовании найденных для однослойной модели средних
значений U и Т, по (6 и 7) определялся профиль величины Xc(z)
(см. также работу [30]*). Эти зависимости представлены на
рисунке 51. Совокупность всех кривых рисунка показывает, что
характеристики стратификации атмосферы, строго говоря,
непостоянны по высоте. Однако, если учесть реальную точность данных
радиозондирования (смотри исследование [33]), можно сделать
вывод о том, что на данном этапе исследований целесообразно
пользоваться усредненными значениями параметров. Поэтому
далее вначале определялись высоты нижней и верхней границ
устойчивого слоя в натекающем потоке Н, и Н2. Это определение
проводилось приблизительно - с целью выделить область
повышенной гидростатической устойчивости натекающего потока (слой
малых значений градиента температуры). После этого
осуществлялось послойное усреднение величины у. Найденные значения
градиента температуры затем использовались для расчетов послойных
значений масштабов X. и по (18) соответствующих значений К. Все
усреднения, как и ранее, проводились с учетом конкретной
толщины рассматриваемого подслоя радиозондирования в общем
диапазоне высот 1,28^-7,3 км. В итоге было найдено, что реально
исследовавшуюся ситуацию можно было моделировать при
следующих значениях определяющих параметров:
U = 12,2 м/с, Т, = 265 К, Н, = 3,25 км, Н, = 4,75 км, (79)
Я, = 5,93; 5,64 и 7,44 км (или у. = 5,35; 4,88; 7,00 К/км). (80)
Во всем рассматриваемом слое при этом среднее значение
масштаба X, равнялось 6,35 км (среднее у = 5,93 К/км).
Итак, рисунки 49 и 50 дают представление о возмущении
атмосферы при обтекании гор Крыма на основе двух
теоретических моделей. По одной из них принимаются во внимание усред-
* При получении нужных данных для модслироппния изменения направления
иетра не учитывались, поскольку, как обычно, к анализу допускались лишь
случаи, когда основная часть натекающего потока была перпендикулярна к
линии гор. При этих значениях и проводились расчеты по однослойной модели.

ненные характеристики устойчивости натекающего потока в
основной части тропосферы, подругой — устойчивость учитывается
более детально (положение слоя с повышенной устойчивостью
показывается на рисунках двумя тонкими горизонталями). Анализ
представленных траекторий показывает, что качественно обе
модели дают близкие результаты. Главная особенность поля
возмущений состоит в том, что оно по своему характеру разделяется на две
части. Над главной вершиной гор, подветренным склоном и
прибрежной полосой моря течение имеет роторный характер в
смысле определения Лонга в [20]. Согласно предыдущим расчетам,
проиллюстрированным на рисунках 16 и 26, в области ложбин там,
где поле основных линий тока разрежается, возможно появление
первого замкнутого ротора, в области ниже гребней — второго. По
настоящим расчетам возникает только второй ротор и только при
учете слоя с повышенной устойчивостью. Располагается он под
высокими гребнями в области, которую для удобства будем
называть центром роторной зоны. По данным расчета, функция тока
здесь достигает максимального значения, равного — 2,6 км, т.е. в
роторе есть частицы, которые в натекающем потоке находятся на
уровне 2,6 км над землей.
Качественно иной характер возмущения имеют ниже по
потоку от роторной зоны. Здесь линии тока имеют более скромные
вертикальные смещения и свидетельствуют о наличии
периодических волновых движений воздушных частиц. Эту область
естественно называть подветренно - волновой зоной. Поданным
однослойной модели горизонтальный масштаб периодичности должен
здесь составлять 6,7-^7,1 км, поданным трехслойной модели 6,7-^7,6
км, т.е. может немного превышать среднее значение характерного
масштаба Лира.
Настоящие результаты расчетов по однослойной модели
отличаются от результатов, частично представленных на рисунке 26.
Тогда предсказывалось образование либо обоих, либо только
второго замкнутого ротора; одновременно в подветренной зоне
волны должны были иметь меньшие амплитуды и, что еще важнее,
линии тока либо не имели положительных смещений, либо эти
смещения были явно недостаточными для предсказания
облачности. Теперь подветренные волны выражены более заметно и имеют
в значительной части пространства существенные положительные
смещения. Отмеченное расхождение вполне объяснимо,
поскольку прежние расчеты опирались на данные другого
радиозондирования (в г. Севастополе), по которым значение характерного
масштаба X было чуть меньшим, а кроме того, расчеты использовали
несколько иной рельеф, слегка завышавший высоту главной
вершины. Оба указанных фактора, как следует из сделанных ранее
выводов, должны были способствовать увеличению амплитуд воз-

мущений. Такое увеличение в [34] имело место по сравнению с
данными последней работы [30], но при этом оно было
неравномерным: в роторной зоне амплитуды были больше, тогда как в
подветренной области — меньше.
Данные радиозондирования, представленные на рисунке 51,
как нетрудно видеть, позволяют варьировать выше использованное
разбиение атмосферы на слои. Чтобы как-то оценить влияние этого
фактора, для примера был рассмотрен вариант, когда высота
нижней границы слоя с повышенной устойчивостью была увеличена на
250 метров. В результате этого значения X. стали составлять
соответственно 5,83; 5,75 и 7,44 км (или ^ = 5,19;' 5,06 и 7,00 К/км).
Рассчитанное для этого варианта поле линий тока воспроизводится на
рисунке 52. Сравнивая между собой рисунки 49 и 52, легко видеть,
что картина течения меняется незначительно. Дальнейшие
исследования поэтому будем проводить для параметров задачи,
даваемых соотношениями (79, 80).
Представленные на рисунках траектории движения
использовались для теоретического определения характеристик поля
облачности. Внешние границы волновых облаков в вертикальной
плоскости x-z находились при этом, как и в работах [8, 12, 30—32,
34, 59], которые рассмотрены ранее в пп. 2.2.2, 2.4.1 и 2.4.2.
Определение границ облаков сводилось к определению тех точек на
линиях тока, в которых переносимая влага становилась
насыщенной, т.е. когда смещение вверх с исходного уровня z0 достигало нуж-
. -го -ю о ю го х.хдг
Рис.52. Результаты расчета линий тока по трехслойной модели при
значениях параметров задачи: Н^З.5 км, h равных соотиественно 5,83; 5,75 и 7,44 км
(или у. равных 5,19; 5,06 и 7 К/км), остальные величины прежние. Штрихпунк-
тирнои линией выделена траектория с zu=3,05 км.

ной величины. Зависимость величины насыщающего смещения от
z0 находилась при использовании стандартной аэрологической
диаграммы и данных радиозондирования так же, как это делалось
ранее. Результаты этой работы для рассматриваемого случая
представлены на рисунке 53 в виде кривых y(z0) и y_(z0), первая из которых
соответствует непосредственно данным радиозонда об
относительной влажности, а вторая — влажности, уменьшенной на 25
процентов. Обе кривые сглаживают разброс точек, получаемых при
выполнении указанной процедуры. Величина разброса точек, очевидно,
определяется точностью данных радиозонда, а также
несовершенством аэрологической диаграммы и процедуры ее использования.
Опираясь на полученные кривые рисунка 53, изложенным
способом были найдены внешние границы облаков. На рисунке 50
пространственное положение этих облаков представлено
совместно с линиями тока для однослойного варианта и на рисунке 54 —
для трехслойного. При этом сплошной жирной линией
изображена граница облачности при использовании кривой y(z0) и
штриховой линией — при использовании y_(z0). Первое, что следует
отметить, — это то, что форма
прогнозируемых облаков
существенно различается в двух выше
выделенных частях пространства
— роторной и
подветренно-волновой. Тем самым
подтверждается, что облака прекрасно
визуализируют главные особенности
поля траекторий. Прежде всего в
этой связи обращаем внимание
на облако, которое связано с
линиями тока, огибающими
роторную область сверху. Оно
имеет большую вертикальную
мощность и скорее напоминает
облачную башню, чем обычное
облако типа Ac lent. Его верхняя часть
заметно наклонена навстречу
потоку, — особенно поданным
трехслойной модели. Верхняя граница
почти совпадает с гребнем одной
из траекторий и, по-видимому,
подсказывает, что вершина
облака должна быть гладкой и
выпуклой (смотри рассуждения в статье
[31]). Согласно трехслойной
модели вершина должна располагаться
Рис.53. Величина смешения
вверх, необходимая для насыщения
влаги D движущейся частице: y(z(l) —
для влажности изданных
радиозондирования и y_(z„) — для влажности,
уменьшенной на 25 процентов.

на высоте около 8 км, по данным однослойной модели — 7,1 км.
Нижняя граница облачности легко определяется для
однослойного варианта, поскольку при этом замкнутый ротор не образуется. В
случае, когда замкнутое вихревое движение присутствует, при
определении нижней границы облачности возникают трудности, о
которых мы говорили выше в п. 2.4.2 и которые связаны с тем,
что линии тока для внутренности ротора, строго говоря,
неопределенны, так как они оторваны от натекающего потока. Как и
ранее, в данном исследовании не учитываются эти формальные
ограничения. Справедливость такого подхода косвенно
подтверждается здесь тем, что положение и форма нижней границы данного
облака, как видно из данных, представленных на рисунках 50 и 54,
предсказываются обеими моделями практически одинаково, при
этом она располагается на высоте около 3 км. Общая вертикальная
мощность облака весьма впечатляет, поскольку составляет 4-5 км.
Результаты расчетов также свидетельствуют, что трехслойная
модель предсказывает несколько большие амплитуды возмущений в
роторной зоне, чем однослойная.
На данных рисунках приведены также границы облаков для
влажности, уменьшенной на 25 процентов. В этом случае контуры
облаков уменьшают почти вдвое свою вертикальную протяженность
и мало изменяют горизонтальную. Различия между предсказаниями
двух моделей резко уменьшаются.
Иную форму принимает облачность, прогнозируемая в
гребнях траекторий подветренно-волновой зоны. Согласно рисункам
облака здесь должны появляться только при большей влажности и
образовывать одну или несколько полос в некотором
ограниченном диапазоне высот. Поданным однослойной модели
прогнозируется только одна полоса в гребнях траекторий, имеющих
значения z0, близкие к 3,5 км (кроме того, при небольшом увеличении
влажности возможно образование еще одной полосы во втором
подветренном гребне). В вертикальном сечении облачная полоса
имеет овальную обтекаемую форму, близкую к известным
орографическим подветренным облакам типа Ac lent. По данным
трехслойной модели в подветренных волнах можно ожидать
возникновения множества полос, — на рисунке 54 представлены четыре из
них. В вертикальном сечении эти облака много мощнее, чем в
предыдущем случае, — особенно первое, которое достигает почти 1,5 км
толщины. Интересно, что верхняя часть этих облаков связана с
линиями тока, обходящими ротор сверху и имеющими значения z0
в диапазоне 3,2^-3,8 км, тогда как нижняя — с линиями тока,
обходящими ротор снизу и имеющими значения z0, лежащие между
2,8 и 3,2 км. На рисунке видно, что вблизи уровня раздела этих
половин облаков горизонтальная протяженность минимальна. Если
у частиц воздуха, двигающихся вдоль линии тока с z0 = 3,2 км мыс-

Рис.54. Совместное представление линий тока рисунка 49 и найденных
границ облачности.
ленно уменьшить влажность (видимо, совсем немного), то между
верхней и нижней частями теория возможно начнет предсказывать
безоблачные прослойки, т.е. будет указывать на систему
двухъярусных облачных полос. Анализируя результаты двух моделей в
отношении подветренных облаков, легко видеть, что теория также
указывает на разное затухание волновых возмущений здесь: однослойная
модель — на быстрое ослабление волн вниз по потоку, трехслойная —
о почти волноводных свойствах в слое с повышенной
устойчивостью и в верхней части нижележащего слоя. Уместно вспомнить, что
ранее, согласно расчетам, по однослойной модели периодические
подветренные облака не прогнозировались вовсе.
Теперь приступим к сопоставлению теоретических данных
об облаках с результатами прямых экспедиционных измерений в
природе. Как говорилось выше, удалось определить положение
шести облаков, показанных на рисунках 26, 50, 54 и
фотопанораме 27. В вертикальной плоскости на рисунках 50 и 54 усредненное
положение этих облаков вместе с траекториями движения
воспроизводится штрихпунктирными линиями и соответствующими
номерами. Естественно, будем рассматривать отдельно облака
роторной зоны 1—4 и подветренные облака 5 и 6. Нетрудно заметить,
что все облака первой группы практически укладываются в
облачные границы, полученные расчетно для кривой «у» рисунка 53, —
только облако 1 на рисунке 50 частично выходит за эти границы. В
полном соответствии с теорией облака 1 и 2 попадают точно в
середину соответствующих гребней траекторий. Облако 3 заметно

сдвинуто от гребня в наветренную сторону, а у облака 4 такой
сдвиг настолько возрастает, что оно попадает в струю крутого
подъема частиц на пути к главным гребням. Это несоответствие
прогноза наблюдениям не следует драматизировать, поскольку данное
смещение укладывается в пределы точности, с которой можно
определять горизонтальный сдвиг облаков относительно положения
господствующей вершины рельефа и которая была подробно
проанализирована ранее в п. 2.4.2. Ясно, что эти расхождения не так
важны; гораздо важнее, что данные наблюдений указывают на
правильность теоретических предсказаний величины амплитуды
возмущений. Единственная для теории трудность возникает при
проведении сопоставления данных трехслойной модели и данных
измерений в отношении положения облака 4. При анализе
материалов рисунка 54 нетрудно понять, что при горизонтальном
смещении этого облака в пределах допустимого диапазона следует
рассмотреть вариант его попадания в область замкнутого вихря.
Именно такой же вариант рассматривался в п. 2.4.2, когда ротор
предсказывался однослойной моделью. Уместно здесь прежнюю
дискуссию провести более внимательно и рассмотреть две
возможности. Первая — считать, что облако располагается в роторе. Выше
указывалось, что внутри вихря среди других имеются частицы со
значениями z0, равными 2,6 км. Согласно данным рисунка 53, для
таких частиц смещение вверх, необходимое для насыщения влаги,
должно быть порядка 0,3 км. Одновременно видим, что даже
нижняя часть вихря расположена на высоте 3,2 км, т.е. выше уровня 2,6
км на 0,6 км. Значит, значительная часть частиц воздуха внутри
вихря может достигать состояния насыщения влаги. Следовательно, с
этой стороны нет препятствия для существования облака в роторе.
Ясно, что при этом такое облако должно вращаться вокруг
горизонтальной оси. Во время экспедиционных работ этот факт не был
установлен, поскольку в момент проведения данных наблюдений
не применялась киносъемка; однако не исключено, что в будущем
удастся прояснить этот вопрос. Вторая возможность — считать, что
теория несколько завышает высоту ротора. Тогда облако 4 попадает
в зону гребней над вихрем и, значит, ситуация является
аналогичной той, которую мы имели в отношении облаков 1—3.
Осталось разобраться с тем фактом, что по теории в
роторной зоне должно было существовать единое облако типа «башни»,
а не многоярусная система из нескольких облаков. В п. 2.4.2
говорилось, что, если уменьшить всего на 10 процентов влажность вдоль
траекторий, проходящих между облаками 1 и 2, то теория
начинает предсказывать безоблачный промежуток между указанными
облаками. Ясно, что аналогичные оценки можно было проводить с
тем же успехом и здесь. Вместе с тем известно, что данные
радиозонда по влажности имеют точность заметно ниже 10 процентов;

выше, кроме того, отмечалось, что точность получения кривых
рисунка 53 также ограничена. Следовательно, многоярусность
наблюдавшихся облаков можно было бы пытаться предсказывать,
только если возможно было бы с большей точностью судить о
профиле влажности в натекающем потоке.
Наблюдения подтверждают прогноз моделей относительно
наклона верхней части облака-башни навстречу потоку,
поскольку, хоть и в меньшей мере, облака 1—4 с увеличением высоты,
как нетрудно видеть, смещаются туда же. С учетом всего
сказанного выше можно констатировать, что в роторной части
пространства согласие между теорией и наблюдениями следует считать
неплохим, — кроме того, оно улучшилось по сравнению с тем, что
было установлено в работе 134] и изложено в п. 2.4.2.
Наконец, рассмотрим ситуацию в отношении облаков 5 и 6,
располагающихся в подветренно-волновой зоне. В месте
положения первого из них, согласно расчетам, траектории не имеют
достаточных положительных смещений для появления облаков. Еще
важнее отметить другое. Как было показано в п. 2.4.2 это облако
следует связывать с положением облаков 2 и 3, и тогда
соответствующие рассуждения заставляют прийти к выводу, что облако 5
не согласуется с данными теоретической модели. При
рассмотрении результатов расчетов по многослойной модели аналогичный
анализ с помощью рисунка 54 можно проводить в отношении
облаков 2 и 5. В совокупности все эти рассуждения приводят к
заключению, что обе теоретические модели искажают картину течения
в зоне расположения облака 5.
В отношении положения облака 6 ситуация выглядит
несколько иначе. Результаты расчетов по трехслойной модели, как
показывают данные рисунка, свидетельствуют, что нижняя половина
первого теоретического подветренного облака практически
совпадает как по горизонтали, так и по вертикали с наветренной
четвертью наблюдавшегося облака. Нижняя половина второго
теоретического облака лишь на несколько километров сдвинута по
горизонтали относительно подветренной четверти того же облака 6.
Значит, последнее почти точно укладывается в промежуток между
двумя первыми подветренными гребнями волн траекторий на этом
уровне. В подробном анализе результатов измерений этого облака,
изложенном в п. 2.4.2, отмечалось, что возможно здесь было не
одно, а два параллельных горам облака, промежуток между
которыми не было возможности зафиксировать с места наблюдений.
Если это справедливо, то можно сделать вывод, что трехслойная
модель для области расположения облака 6 правильно
предсказывает не только амплитуду, но и длину подветренных волн.
Одновременно следует отметить, что верхние половины
прогнозируемых облаков не согласуются с наблюдениями. Действительно, они

должны рассматриваться аналогично тому, как это делалось выше
по отношению облака 5. Разница лишь в том, что теперь надо
рассматривать процессы конденсации в промежутке между линиями
тока с z0 = 3,2-^3,8 км и анализировать в этой связи одновременно
форму и размеры облаков 2 и 3. В итоге придем к выводу, что
трехслойная модель искажает поле подветренных возмущений на данных
уровнях. Можно предположить, что волны в месте расположения
облаков 2 и 3 имели меньшие амплитуды, чем предсказывает теория, а
в слое над облаком 6 — большие. Тогда при некотором уменьшении
влажности можно было бы ожидать одновременного существования
облаков, подобных облакам 2, 3 и 5. Однако подобные рассуждения
лежат вне рамок возможностей нынешней модели.
Сопоставление расчетов по однослойной модели с
результатами наблюдений облака 6 нетрудно провести, рассматривая данные
рисунка 50. Прогнозируемое подветренное облако, как видим,
располагается ровно между облаками 5 и 6 на линии тока с z„ равным 3,5
км, которая одновременно проходит через роторную зону вблизи от
облаков 3 и 4. Значит, в данном случае мы вновь имеем ситуацию
совершенно аналогичную той, которую анализировали при
рассмотрении положения облака 5. Более того, теперь становится еще яснее,
что теоретическое подветренное облако не будет противоречить
наблюдениям только тогда, когда в подветренной зоне оно будет
предсказываться для гребней тех линий тока, которые обходят роторную
зону снизу и имеют при этом положительные смещения достаточной
величины. Таких линий тока не предсказывает однослойная модель
как в последнем исследовании [30], так и в прежних расчетах,
обсуждавшихся выше. В итоге приходим к выводу, что эту часть
подветренной зоны однослойная модель воспроизводит плохо.
Подведем основные итоги.
1. а) Изучалось явление обтекания не во всех возможных
аспектах, а лишь в тех, которые можно было достаточно просто и
надежно смоделировать. Поэтому использовались те случаи
инструментальных измерений в природе, для которых были характерны
следующие особенности: квазистационарность натекающего
потока, малые изменения его скорости с высотой, малые отклонения
его направления от перпендикуляра к основным складкам
местности, относительно невысокая влажность воздуха. Кроме того, горный
район был выбран не случайно, а с учетом близости к требованиям
используемых моделей: относительно небольшая высота,
превалирование двумерных особенностей над пространственными.
б) Применение наземных стереофотограмметрических
измерений волновых облаков Ac lent позволяло с достаточной
точностью регистрировать во времени и пространстве положение
областей, где частицы воздуха смещались заметно вверх со своего
исходного уровня в натекающем потоке.

в) Данные типового радиозондирования атмосферы не
позволяли получать с необходимой надежностью характеристики
натекающего потока, — особенно в отношении влажности воздуха.
г) Теоретические модели только в первом приближении
позволяют учитывать изменения по высоте свойств натекающего
потока и совсем не учитывают наличие вязкого приземного
турбулентного слоя в атмосфере.
д) Исследовавшийся район Крымских гор несомненно был
далеко не двумерным. Это сказывалось при проектировании
положения облачности на вертикальную плоскость, рассматриваемую
при моделировании, приводя к появлению дополнительной
неопределенности, — в основном в отношении горизонтального
положения облачности.
2. Учитывая отмеченные особенности исследований, следует
признать, что согласие между теорией и наблюдениями на
удивление хорошее. Это означает, что, с одной стороны, в
осмыслении природного явления достигнут заметный прогресс, а с другой
стороны, что созданные теоретические модели достаточно
адекватны природе. Наиболее надежно предсказывают модели
величину и распределение амплитуд возмущений над подветренными
склонами гор в средней атмосфере. Можно также думать, что есть
достаточно оснований для вывода о возможности
квазистационарного существования здесь крупных замкнутых роторов с
горизонтальной осью. В отношении возмущений ниже по потоку
результаты выглядят скромнее. Однослойная модель не обеспечивает здесь
адекватного наблюдениям представления о возмущениях: расчеты
последней работы предсказывают заметные величины амплитуд
подветренных волн, но не совсем там, где согласно облакам они
были; прежние расчеты, представленные в работе [34] чересчур
занижали амплитуды подветренных волн. В целом можно сделать
вывод о том, что применение однослойной модели подходит
только для рассмотрения роторной области (самой важной, кстати,
половины рассматриваемого пространства). Трехслойная модель по
сравнению с однослойной заметно лучше воспроизводит
структуру возмущений в подветренной зоне: хотя на уровнях 3,5—5 км она
искажает картину течения (примерно 1/16 часть рассматриваемого
пространства), вблизи нижней границы слоя с повышенной
устойчивостью она правильно предсказывает амплитуду, место и
длину подветренных волн. Нужно вместе с тем напомнить, что
трехслойная модель пока не позволяла с достаточной точностью
воспроизводить горный рельеф и что учет отдельного устойчивого
слоя ею осуществляется также лишь качественно. Несмотря на это,
представляется, что применение новой созданной модели имеет
определенные преимущества и перспективы, — особенно при
проведении исследования роли внутренних гравитационных волн в

стратосфере. Одновременно можно отметить, что прежние
многочисленные расчеты по однослойной модели давали вполне
надежные представления о многих сторонах явления. Ясно также, что и
далее вполне целесообразно использовать однослойную модель
(когда нет необходимости разбираться в особых тонкостях), тем
более если учесть, что она более проста и что ею форма рельефа
учитывается практически безупречно.
3. Настоящее исследование показало, что на характер
возмущений должны заметно влиять изменения стратификации
натекающего потока, — в частности, послойные изменения градиента
температуры. Наличие неоднородностей в стратификации может
приводить к перераспределению вертикальных потоков энергии
внутренних гравитационных волн и даже в отдельных случаях
приводить к проявлению квазиволноводных эффектов. В частности, в
таких процессах могут участвовать нижние слои стратосферы,
отличающиеся повышенной гидростатической устойчивостью.

Глава IV.
ОБТЕКАНИЕ ПРИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ИЗМЕНЕНИЯХ СТРАТИФИКАЦИИ
Как говорилось выше, исходную систему нелинейных
уравнений (1) удается сводить к линейным уравнениям для
немалых возмущений всего лишь в нескольких вариантах,
предложенных в работах [20, 22—24, 46]. При этом наиболее хорошо
разработанные варианты, представленные в публикациях [20, 22),
близки друг к другу. Конкретно в настоящей работе используется
вариант работы [22], по которому предполагается постоянство
скорости и устойчивости в натекающем потоке, т.е.
предполагается выполнение соотношения (16). В то же время опыт
сопоставления модельных расчетов с натурными наблюдениями, в
определенной степени освещенный выше в 2.2 и 2.4, показал,
что в природе скорость и устойчивость практически всегда в
какой-то мере изменяются с высотой в натекающем потоке.
Резкие изменения устойчивости можно учитывать за счет
перехода к многослойным моделям подобно тому, как это
показано в предыдущей главе. Гораздо труднее решить эту проблему
в отношении изменений скорости. Насколько нам известно,
пока было только одно предложение на этот счет — вариант
преобразований для несжимаемой жидкости,
сформулированный в работе [24], и для сжимаемой — в работе [23]. В самом
предварительном виде данные предложения были воплощены
в исследовании [54]. В этих вариантах преобразования
уравнений производятся при использовании неких приближенных
разложений коэффициентов уравнений. Обоснованность этих
упрощений и степень их влияния на конечный результат
остаются мало выясненными (смотри, к примеру, анализ данного
вопроса в работе [21]). Поэтому ясно, что исследования в этом
направлении следует продолжать. В настоящей главе
рассматривается работа, опубликованная в [39], которая, как нам
представляется, сможет расширить перспективы в указанном
направлении.
Переход от нелинейной исходной системы уравнений к
решаемой линейной для немалых возмущений здесь предлагается
осуществить следующим образом. Прежде всего перепишем
систему уравнений движения в виде, использовавшемся, например,
в работе [1]:

du' дк
=
dt' Эх'
dw дк
Jt/ "Ч_
d
=
dt'
-gx.
, э , э
= u — + w —,
Эх dz
(81)
dt'
dz
Здесь: u', w' — компоненты полной скорости в плоскости (x,z), т и
л — обратная потенциальная температура и приведенное давление,
определяемые по прежним соотношениям (2) и формулам:
т = 0 "', я = ср (р/р0)<* - •>/«, п/т = срТ, (82)
где р0 — стандартное давление 1000 мб, с — удельная
теплоемкость при постоянном давлении, а остальные обозначения
прежние. Отмечая значения параметров в натекающем потоке на
земле нулевым индексом снизу, можем получить соотношения:
5 = т/т0 = (Т0/Т)(р/р0)<-<" ■>/*, к/к0 = (р/р0)с - '>/«, (83.1)
5 (Т/Т0) = к/к0, nA = c,T0. (83.2)
Вместо обычных вводим ассоциативные компоненты скорости:
u = u'(5)l/2, w = w'(5)"2. (84)
Предполагаем, как и ранее, адиабатичность движений и
учитываем справедливость закона Бернулли, т.е. выполнение следующих
закономерностей:
А5 = Ан = о,
dt' dt'
о к 1 /2
H = - + -q + gz,
т 2
q'2 = u'2 + w'2.
(85)}
Тогда систему уравнений (81) нетрудно привести к виду
du дк
Тп :=
0 dt Эх '
dw дк
т°"^-~эГ"
d Э Э
— = и 1- w —,
dt Эх Эг
-gt-
(86)
или, если ввести ассоциативный вихрь £1 = Эй / Эг - 3w / Эх, к
соотношениям
Q. (udz -wdx) + (gz d5 - dh) = 0, h = 5H.
(87)
Уравнение неразрывности будем использовать не в прежней
форме несжимаемости, а в более точной формулировке (8), слегка
упростив ее за счет усреднения в рассматриваемом слое:
VV' = ow', V' = V'(u',w'), <т = —(3,5уа-ус). (88)
If

Здесь усредненные величины выделяются индексом «с» снизу. В
результате такого усреднения величина а постоянна в
рассматриваемом слое. Соотношение (88) справедливо так же и для
ассоциативных скоростей, и это позволяет ввести функцию тока м/
посредством выражений:
и = - exp(oz) —-, w = exp(az) —r- . (89)
dz Эх
Теперь первое из соотношений (87) можно переписать в форме:
72.,, ^ „ ^
V у + a — + exp(-2az)
dz
d5 dh
gz
dv/ dv/
n *' *2 *
Тем самым задача новым способом сведена к решению
нелинейного уравнения для ассоциативной функции тока.
Производные в квадратных скобках здесь, согласно сказанному выше,
полностью определяются свойствами натекающего потока, и
теперь нетрудно сформулировать условия, при которых уравнение
задачи линейно. Они имеют вид:
— = А,у + В,, — = А2у + В2. (91)
При этом искомое линейное уравнение задачи записывается
следующим образом:
V2y + a|^ + exp(-2az)[(gzA, - A2)v/ + (gzB, - B2)] = 0. (92)
Функцию тока будем представлять в виде суммы двух величин —
возмущения v/' и функции для натекающего потока v/v Из
выписанных выше соотношений получаем уравнения для их определения:
VV + о^ + exp(-2oz)[(gzA, - А2)у' + (gzB, - В2)] = 0 - (93)
^ + a^ + exp(_2az)[(gzA, - А2)у, +(gzB, - В2)] = 0, (94.1)
dz dz L
-jp- = -u, exp(-az), u,(z) = u(x,z)|x^_, y, = y(x,z)|x^_ (94.2)

Исследуем, какие свойства натекающего потока
соответствуют условиям линейности. Для ответа на этот вопрос необходимо
решить уравнение (94) и проанализировать поведение решения
при изменениях коэффициентов А., В.. Не ограничивая общности
подхода, будем предполагать, что ^(0) = 0. Взяв в качестве
характерного вертикального масштаба величину 10 км, рассмотрим эту
задачу для основной части атмосферы — для тропосферы. В таком
случае решение обыкновенного дифференциального уравнения (94)
можно представить в виде:
у, = y0(z)exp(-az/2), y0 = XanZn, z = z/H, Н = 10км, (95.1)
a0 = 0, a, = - u0- Н, a2 = (1/2)В, ■ Н2, u0 = u,(0), (95.2)
a,+2 = W- [(n+l)(n+2)]-' [Act,, + Q„ + pj, n= 1,2,3,... (95.3)
n-l
Qn = I^k«n-k. A = A2 + (a/2)2, b = -1,5a, а =-2a. (95.5)
k=l
Натекающий поток полностью характеризуется скоростью и
температурой (или величиной приведенного давления к).
Задаваясь значениями этих параметров на земле, мы получаем
возможность однозначно определить по выше приведенным формулам
искомые профили этих величин для любого варианта задания
коэффициентов (А., В:). Расчет при этом начинается с определения v|/,(z)
по формулам (95). После этого при использовании формул (94)
находится u,(z), а затем с учетом того, что согласно
соотношениям (83-85, 87)
50= 1, h0 = V\ + (l/2)u02 = срТ0,
определяются на основе формул (91) профили 5(z) и h(z)
(черточки над величинами для простоты далее опускаем). Это дает
возможность с помощью соотношения (84) найти искомый профиль
скорости и\, а после этого при использовании (87) вертикальный
профиль H(z) и, значит, затем по (85) профиль величины я/т.
Последняя используется для расчета по формуле (82) высотного
хода температуры T(z) и далее на основании соотношения (83)
профиля приведенного давления n{z). На первом этапе
вычисления функции \|/.(z) нам не достает знания а, поскольку
неизвестен заранее профиль температуры и, значит, средние величины ус
и Т. (смотри формулу (88)). Однако дело облегчается тем, что ре-

шение слабо зависит от величины ст. Поэтому допустимо вначале
задаться некоторым характерным для тропосферы значением этой
величины. После завершения расчетов с заданным ст и получением
температурного профиля T(z) нетрудно вычислить средние
значения градиента и температуры и уточнить посредством (88)
величину ст. Повторение расчетов с новым ст дает возможность
определять искомые профили с нужной точностью.
Изложенные в предыдущих главах примеры моделирования
показали, что главные свойства натекающего потока нагляднее всего
характеризовать скоростью и градиентом температуры. Поэтому
основное внимание обращаем на зависимость от параметров (А, В.)
профилей именно этих величин. Для градиента температуры с этой
целью на основе вышеприведенных соотношений были получены
следующие выражения:
Y(z)
Yo = Y(°) = Ya - "oT0B|.
T+ Та -р
о 'о;
11 о
■j- "*" Ya -p
.'o 'o,
(96)
Отсюда ясно, что задание В, при выбранных и0, Т0 фактически
определяет величину уи или наоборот. Нетрудно также на основании
выражений (94, 95) сделать вывод, что величина В2 прямо
пропорциональна градиенту скорости на поверхности земли.
Расчеты по приведенным формулам проводились на эвм
БЭСМ-6 при задании следующих значений определяющих
величин: и0 = 10 и 20 м/с, Т0 = 290 К, g = 10 м/с2, ст = 0,112 1/км. Они
позволили исследовать зависимость свойств натекающего потока
от вариации значений коэффициентов (А;, В). Основные итоги
исследований иллюстрируются на рисунках 55—58, где
представлены профили у и uj. Безразмерные высоты даются на боковых
вертикалях. Профили градиента температуры изображены
сплошными кривыми, скорости — штриховыми. Выяснилось, что
свойства натекающего потока плавно изменяются при изменении
определяющих параметров. Мы, естественно, ограничивались
рассмотрением только части диапазона их возможных вариаций, стремясь
выявить прежде всего те ситуации, которые наиболее близки к
типичному состоянию тропосферы.
На рисунках 55 и 56 представлены зависимости результатов
от величины А( при В2 = 0 и у0 = 6 град/км для двух значений
скорости и0. На каждом из этих рисунков приведено по 16 приме-

Рис.55. Зависимость профилей устойчивости (сплошные кривые) и скорости
(штриховые кривые) в натекающем потоке от А,, А, при: и„ = 10 м/с, у„ = 6 град/км,
В,= 1,38 с/км2, В2=0. Величина А, для каждой серии из четырех примеров,
расположенных по горизонтали, постоянна и приведена на левых рисунках в
размерностях с2 • км-4. Величина А2 в км"2 представлена цифрами непосредственно на
каждом рисунке.
ров. При этом самыми интересными из них с нашей точки зрения
являются примеры, расположенные в центральной части (их по
четыре на каждом рисунке). При смещении в любую сторону от
этих примеров за счет вариации А, мы двигаемся в сторону
ситуаций, которые могут рассматриваться лишь в качестве предельно
допустимых: дальнейшие изменения коэффициентов приводят к
тому, что в потоке будут появляться либо уровни с у > уа, либо
уровни с и ' < 0, либо слишком большие скорости. Рисунок 57
дает представление о влиянии на результат вариаций приземного
градиента температуры, рисунок 58 — величины коэффициента В2.
На рисунке 59 приведены кроме профилей гидростатической ус-

20 (0 SO 80
20 iO
20 10
20 40
u'„ м/с
Рис.56. Зависимости аналогичные изображенным на рисунке 55 при:
и„ = 20 м/с, А, = 6; I; 0,5; -4 в размерности с2км~4, параметры Вг В; прежние,
А2 даны на рисунках.
£ /, град/км
,„-101234 2 3 U 5 5 6 7 78
"I Г
-W О 10 20 30 40
10 20 30 40 10 20 30
10 ?0
и},м/с
Рис.57. Зависимость тех же характеристик натекающего потока от величины ув.
При этом в прежних единицах иа = 10, А,= 0,5, А, = —1,15, В2= 0, а величина уа
изменялась от примера к примеру и составляла 4,5; 3; 6 и 7,5 (при этом значения В,
соответственно равнялись 1,896; 1,72414; 1,38 и 0,862).
тойчивости и скорости, также профили всех остальных
рассчитывавшихся величин, и это позволяет получить представление об их
типичных значениях в рассматриваемых случаях.
Отдельно было исследовано, что может дать уточнение
величины а. Для этого были проделаны соответствующие расчеты

.0,001
у, град/им
6 8
О
20
20 О
20 О
20 О
20 О
24
ui, м/с
Рис.58. Зависимость тех же характеристик от величины В,. В прежних
единицах и0 = 10, А, = 1, Aj = — 1,4; 7ц = 6; значения переменной В2 проставлены на
рисунках в 1/с.
для случаев, когда и0 = 10 м/с, у0 = 6 К/км, А, = 0,5; В, = 0, а
коэффициент А, принимал одно из трех значений, используемых
на рисунке 55: —0,7; —1,15 или —2 (значения коэффициентов А.,
В( в единицах, используемых на рисунках). Выяснилось, что при
среднем из этих значений, когда градиенты температуры были
малыми, такое уточнение дает столь малый эффект, что его нельзя
даже изобразить на рисунке. В двух остальных случаях результат был
чуть заметнее, но характер профилей качественно не изменялся.
Расчеты показали, что данная модель существенно
расширяет наши возможности по изучению зависимости возмущений от
свойств натекающего потока. Особенно радует, что можно теперь
рассматривать случаи, когда скорость изменяется с высотой. Это
1,0 10 20 S0
Рис.59. Характерное поведение с высотой всех показателей натекающего
потока (на примере, когда в прежних единицах и,, = 10; -у(> = 6; А, = -3; Aj = —1,6;
В2 = 0): слева профили h/h(1, 6, Т/Т,,, я/п,, и —у, под номерами 1—5 соответственно,
верхняя шкала — для \\\ij ■ 10* км2/с, нижняя — для остальных величин; справа —
профили и,' и у аналогично предыдущим рисункам.

позволяет, наконец, начать исследовать вопрос о роли этих
эффектов на основе аналитических решений. Мы видим также, что в
ряде случаев можно с помощью данной модели на новой основе
рассматривать случаи, когда в натекающем потоке в отдельных слоях
устойчивость заметно изменяется как в сторону увеличения, так и
уменьшения; важно при этом, что она изменяется не скачком, а
плавно. Представленные на рисунках кривые в то же время
показывают, что профили скорости и градиента температуры трудно
изменять независимо друг от друга. Однако этот недостаток не столь
важен по сравнению с открывающимися перспективами.
Решение задачи определения свойств натекающего потока и
выяснение в связи с этим перспективности такого подхода
открывает путь к разработке соответствующей модели. В этой модели
задача сводится к решению уравнения (93) для возмущений
функции тока при тех же граничных условиях, что были
сформулированы ранее. Исследования показали, что данная модель должна
строиться как многослойная, когда в качестве верхнего
рассматривается неограниченный слой с постоянной скоростью и
устойчивостью. Решение такой задачи не представляет принципиальных
трудностей. Разделение переменных можно провести по методу
Фурье, затем найти отдельно часть решения, определяющего
зависимость от вертикальной координаты, и, наконец, все частные
решения задачи. Принцип суперпозиции этих решений будет
аналогичен тому, что описан в главе III. В такой модели на нижней
границе следует использовать условия скольжения, аналогичные
(21 и 61), а на поверхностях раздела и в верхнем слое условия,
аналогичные обсуждавшимся выше (62, 63, 65, 66). Такая модель в
ближайшем будущем будет полностью создана.
Разработанный подход позволит провести исследования на
основе сочетания применения прежних моделей и новой. К
примеру, можно с помощью данной модели рассмотреть вначале
обтекание выбранной горы для натекающего потока,
соответствующего случаю, иллюстрируемому на рисунке 55 в верхнем ряду
третьим слева. Этот пример можно рассматривать как случай с почти
постоянной скоростью и непрерывно убывающей по высоте
устойчивостью. После этого можно рассмотреть обтекание той же
горы на основе модели для натекающего потока с почти той же
скоростью, но постоянной устойчивостью. Сравнение двух
результатов позволит количественно оценить роль изменений
устойчивости по высоте. Или возьмем пример, иллюстрируемый на
рисунке 56 в третьем сверху ряду вторым слева. Этот случай можно
рассматривать в качестве примера, когда скорость в натекающем
потоке почти линейно растет с высотой при практически
постоянной устойчивости. Последний вариант можно будет также
сравнить с соответствующими расчетами по модели для однородного

потока, чтобы дополнительно оценить роль сдвига скорости в
данном явлении.
Не исключено, что некоторые из возможных вариантов
распределения по высоте характеристик натекающего потока подойдут
лучше для моделирования одного из случаев прямых наблюдений в
природе, чем это было раньше, когда нам приходилось применять
усреднение реальных профилей. Тогда проведение сопоставления
результатов моделирования с результатами измерений, которые были
проанализированы в главе II, позволит прямо оценить
преимущества и недостатки разработанного подхода.
Во введении к главе раскрыто место данного подхода среди
других попыток решить проблему учета сдвига скорости,
устойчивости в натекающем потоке, а также необходимости более
полного учета сжимаемости. В связи с этим важно подчеркнуть, что в
данном подходе не используется никаких приближенных
представлений, кроме разве совсем безобидных упрощений уравнения
неразрывности. Поэтому представляется, что разработка моделей на
основе данного подхода позволит не просто улучшить
моделирование процесса обтекания гор, но совершить прорыв к новому
углублению нашего понимания этого явления природы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная работа по исследованию процесса взаимодействия
движущейся атмосферы с неровностями земли среднего масштаба
проводилась в рамках стационарного и двумерного подхода. Это
позволило построить цельную и эффективную теорию явления.
Одновременно в работе был решен ряд непростых проблем по
получению и использованию экспериментальных данных о его
природе. Сопоставление данных теории и наблюдений и
позволило получить наиболее значимые результаты. Важнейшими из них
являются следующие.
1. Созданы три новые нелинейные модели обтекания гор,
точно учитывающие форму типичных горных неровностей земли,
вертикальную неограниченность атмосферы и условие невозмущен-
ности натекающего потока в случае, когда в последнем скорость
постоянна, а устойчивость либо всюду, либо послойно постоянна.
Доказаны надежность и эффективность созданных моделей.
2. Показано, что гидродинамика стратифицированного
потока во многих отношениях принципиально отлична от
классической гидродинамики однородной жидкости.
3. Установлены закономерности обтекания гор в атмосфере и
среди них: роль собственного масштаба натекающего потока \, роль
масштабов горы, масштабов послойных изменений свойств
атмосферы, внутреннего числа Фруда, понимаемого в обобщенном смысле
как отношение одного из важнейших масштабов явления к
масштабу \, роль отдельных конкретных особенностей формы гор,
возможность резонансных и квазиволновых эффектов, возможность
роторных образований, специфика подветренных волн и т.д.
4. Доказана возможность использования развитой теории для
решения многих важнейших практических задач и среди них
таких, как оценка энергетики процессов обтекания и безопасности
полетов над горами, предсказания катастрофических ветров у
земли, параметризации орографических эффектов для других задач —
например, задач прогноза погоды и теории климата.
5. Проведенные исследования и накопленный опыт
открывают новые перспективы для дальнейшей работы в
рассматриваемой области. Эти перспективы связаны с возможностями
собственных прямых измерений в природе и упомянутых
теоретических моделей. На этой базе будет иметь особые перспективы
переход к численным методам моделирования, включающих учет
таких факторов, как нестационарность, трехмерность, вращение
Земли, вязкий приземный слой и т.д.

ПРИМЕЧАНИЕ
Большинство опубликованных автором работ имеют соавторов. В связи
с этим следует подчеркнуть следующее. Первая модель по обтеканию горы —
полукруга полностью создана автором лично. Идея второй модели, по
обтеканию однородным натекающим потоком горы произвольной формы, также
полностью принадлежит автору, однако в ее реализации принимали
участие соавторы В.В.Козодеров и А.С.Лосев, выполнявшие под руководством
автора дипломные работы. Третья модель, учитывающая послойные
разрывы устойчивости, сформулирована автором, а реализована под его
руководством вначале гражданкой Финляндии Лаурой Ронту, проходившей
стажировку в МГУ, а затем в несколько измененном виде бывшим
дипломником, а затем аспирантом М.К.Беданоковым. При решении проблемы
реализации граничного условия на земле в данной работе большую
помощь нам оказали консультации доцента Б.И.Волкова. Постановка
четвертой модели, направленной на учет плавных изменений скорости и
устойчивости натекающего потока, также полностью принадлежит автору.
Соавтор этой работы гражданка Финляндии Лаура Ронту участвовала в
подготовке расчетов свойств натекающего потока, при которых эта модель
может использоваться. Применение упомянутых моделей для решения ряда
практических задач — таких, как определение волнового сопротивления и
энергетики, безопасности полетов над горами, было сформулировано
автором и реализовано при его личном участии и руководстве вместе с
соавторами Н.Н.Перцевым, Н.Н.Зидлевым, Н.С.Прокошевой и А.П.Павленко.
Обширные сопоставления теоретических расчетов с данными измерений
проводились совместно с Т.Н.Бибиковой и Е.В.Журба, сотрудниками
научной группы кафедры физики атмосферы МГУ, которой автор руководит
с 1971 года по сей день. Методики измерения облачности разрабатывались
упомянутыми сотрудниками; автор вместе с тем не только руководил
этими работами, но и принимал личное участие в них как на стадии
экспедиционных измерений, так и на стадиях последующей работы. В двух наших
работах [12, 31] в качестве равноправных соавторов принимали участие
профессор А.Х.Хргиан и сотрудник ГМЦ В.З.Кисельникова. В данной
работе участвовали студенты и дипломники, а также часть технического
персонала кафедры.
Автор считает необходимым отметить, что кроме перечисленных
сотрудников работе способствовали, несомненно, и многие другие
специалисты, с которыми велись плодотворные неофициальные дискуссии.
Особенно ценны были беседы с академиком А.М.Обуховым,
профессорами А.Ф.Дюбюком, Б.Н.Трубниковым, А.Х.Хргианом, Е.М.Добрышма-
ном, С.А.Габовым, с незабываемым другом профессором
Н.Н.Кузнецовым, практически всеми сотрудниками кафедры физики атмосферы и
многими другими. Всем им автор искренне и глубоко признателен.

ЛИТЕРАТУРА
1. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. «Мир»,
Москва, 1980.
2. Queney P., Corby G., Gerbier N., Koschmieder H., Zierep J. The
airflow over mountains. World Meteorol. organiz., Technical note,
No.43,1960(Ed. MAAlaka).
3. Palm E. On the formation of surfaces waves in a fluid flouing over a
corrugated bed and on the development of mountain waves. Astrophisica
Norvegica, v. 5, No. 3, 1953.
4. Деметрашвили Д. Нестационарная задача о мезомасштабных
процессах в свободной атмосфере над орографически
неоднородной поверхностью земли. Изв. АН. СССР, ФАО, т. 15, No. 7,
1979.
5. Lyra G. Theorie der stationaren Leewellenstromung in freien Atmosphare.
Z. angew. Math, und Mech., 23, H. 1, 1943.
6. Rontu L. A finite-amplitude mountain wave model. Department of
Meteorology University of Helsinki, Report No. 26, 1986.
7. Госсард Э.Э., ХукУ.Х. Волны в атмосфере. «Мир», Москва, 1978.
8. Дородницын А.А. Некоторые задачи обтекания неровности
поверхности земли воздушным потоком. Тр. ГГО, вып. 23, 1940.
9. Гутман Л.Н. Введение в нелинейную теорию мезометеорологи-
ческих процессов. Гидрометеоиздат, Ленинград, 1969.
10. Smith R.B. The influence of mountains on the atmosphere. Advances
in Geophysics, v. 21, 1979.
11. Dobrythman E.M., Granberg I.G. Numerical simulation of the tree-
dimensional orographic flow over the Karpathinans. Recerarsh activities
in atmospheric and oceanic modelling. Report WMO No 11, pp. 537-
540, 1980.
12. Бибикова Т.Н., Журба Е.В.,Кисельникова В.З., Кожевников
В.Н. Подветренные орографические возмущения в Крыму. Тр.
ГМЦ, вып.238, 93-111, 1981.
13. Кибель И.А. Применение метода длинных волн в сжимаемой
жидкости. ПММ, 8, 1944.
14. Гутман Л.Н. Применение метода длинных волн в задаче
обтекания гор. ДАН. СССР, 115, No. 3, 1957.
15. Atkinson B.W. Meso-scale atmospheric circulations. Academic Press,
London-New York-Toionto-Sydney-San francisko, 1981.

16. Габов С.А.,Свешников А.Г. Задачи динамики
стратифицированных жидкостей. Изд-во «Наука,» М., 1986.
17. Кожевников В.Н. О линеаризации стационарной задачи
обтекания. Изв.АН СССР, ФАО, т.9, No, 6, 1973.
18. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. 1. A theoretical
investigation. Tellus, v. 5, No. 1, 1953.
19. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. 2. Experiments
with a two-fluid system. Tellus, v. 6, No. 2, 1954.
20. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. 3. Continuous
density gradients. Tellus, v. 7, No 3, 1955.
21. Кожевников В.Н. Обзор современного состояния теории мезо-
масштабных орографических неоднородностей поля
вертикальных токов. Тр. ЦАО, вып. 98, 1970.
22. Кожевников В.Н. К одной нелинейной задаче об
орографическом возмущении стратифицированного воздушного потока. Изв.
АН СССР, сер. геофиз. No 7, 1963.
23. Yih Chia-Shun. A tianformation for non homentropic flows with an
aplication to large-amplitude motion in the atmosphere. J. of fluid
mech., v. 9, No. 1, 1960.
24. Yih Chia-Shun. Exact solutions for steady two-dimensional flow of a
stratified fluids. J. of fluid mech., v. 9, No. 2, 1960.
25. Кожевников В.Н. Орографические возмущения воздушного
потока. Диссертация на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук. МГУ, физический факультет, 1965.
26. Кожевников В.Н. Орографические возмущения в двумерной
стационарной задаче. Изв. АН СССР, т. 4, No. 1, 1968.
27. Кожевников В.Н., Козодеров В.В. К нелинейной задаче
обтекания неровности земли произвольного профиля. Вести. МГУ.
Физика. Астрономия. No. 1, 1970.
28. Кожевников В.Н., Козодеров В.В. Теоретическая картина
обтекания Крымского хребта в районе Ялты. Изв. АН. СССР, ФАО,
т.6, No. 10, 1970.
29. Кожевников В.Н., Лосев А.С. О построении модели обтекания
при точном выполнении граничного условия на цилиндрическом
профиле. Вест. МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. Т. 23, No.5, 1982.
30. Кожевников В.Н., Беданоков М.К. Нелинейная многослойная
модель обтекания произвольного профиля. Изв. РАН, ФАО, т.
29, No. 6, 1993.
31. Хргиан А.Х., Кожевников В.Н. О форме и размерах облаков в
подветренных орографических волнах. Изв. АН СССР, ФАО, т.
24, No. 9, 1988.

32. Кожевников В.Н., Бибикова Т.Н., Журба Е.В. Орографические
возмущения атмосферы над Северным Уралом. Изв. АН СССР,
ФАО, т. 8, No. 5, 1977.
33. Бибикова Т.Н., Кожевников В.Н. О параметре,
характеризующем волнообразование в атмосфере. Изв. АН СССР, ФАО, т. 5,
No.5, 1969.
34. Кожевников В.Н., Бибикова Т.Н., Журба Е.В. Орографические
волны, облака и роторы с горизонтальной осью над горами
Крыма. Изв. АН. СССР, ФАО, т. 22, No. 7, 1986.
35. Кожевников В.Н., Зидлев Н.Н., Перцев Н.Н. Волновое
сопротивление от мезомасштабных гор. Изв. АН СССР, ФАО, т. 17,
No. 3, 1981.
36. Прокошева Н.С., Кожевников В.Н. Волновое сопротивление от
горного хребта. Изв. АН. СССР, ФАО, т. 24, No. 12, 1988.
37. Кожевников В.Н., Зидлев Н.Н. Теоретическая картина
орографических возмущений в двухслойной атмосфере. Вестник МГУ.
Физика и Астрономия, No. 3, 1977.
38. Кожевников В.Н., Павленко А.П. Возмущения атмосферы над
горами и безопасность полетов. Изв. АН, ФАО, т. 29, No. 3, 1993.
39. Кожевников В.Н., Ронту Л.Э. Об одной возможности
моделирования нелинейной задачи обтекания с учетом сдвига
скорости и сжимаемости. Вестник МГУ, сер. 3, Физика - Астрономия,
т. 26, No. 1, 1985.
40. Кожевников В.Н. Основные факторы динамики взаимодействия
движущейся атмосферы с неровностями земли.
Геоинформатика, No. 2(5), 1996.
41. Кожевников В.Н., Беданоков М.К. Волновые возмущения над
горами Крыма. Теория и наблюдения. Изв. РАН, ФАО, No. 4, 1998.
42. Oberbeck A. Uber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei
Berucksichtigung der Stromungen infolge von Temperaturdifferenzen.
Ann. Phys. Chem., Neue Folge, 8, No. 6, 1879.
43. Кибель И.А. Введение в гидродинамические методы
краткосрочного прогноза погоды. Гостехиздат, Москва, 1957.
44. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику
сплошных сред. «Наука», Москва, 1982.
45. Федоровский А.Д., Никифорович Е.И., Приходько Н.А.
Процессы переноса в системах газ - жидкость. «Наукова думка»,
Киев, 1988.
46. Pillow A.F. Aero. Res. Lab. Meboum. Rep., A. 79, 1952.
47. Хатукаева Ж.М., Гутман Л.Н. Задача о переваливании холодной
воздушной массы через горный хребет с учетом убывания плот-

ности воздуха с высотой. Изв. Ан СССР, сер. геофиз., No. 9,
1962.
48. Magnus W. Fragen der Eindeutigkeit und des Verhaltens im
Unendlichen aus sem Mathematischer Seminar der Universitat
Hamburg, v. 16, No. 6, 1/2, Mai, 1949.
49. Дородницын A.A. Возмущения воздушного потока, вызываемые
неровностями поверхности земли. Тр. ГГО, вып. 23, 1938.
50. Scorer R.S. Theory of waves in the lee of mountains. Quart, journ. of
the Roy. met. soc, v. 75, No. 323, 1949.
51. Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part II. Semi- circular obstacle.
J. of fluid mech., v. 33, No. 4, 1968.
52. Merbt H. Solution of the two-dimensional lee waves equation for
arbitary mountain profiels, and some remarks on the horizontal wind
component in mountain flow. Beitr. Physik der Atmosphare, v. 31, H.
3/4, 1959.
53. Дородницын A.A. Влияние рельефа земной поверхности на
воздушные течения. Тр. ЦИП, вып. 21 ( 48 ), 1950.
54. Klaus A. Large-amplitude motion of a compressible fluid in the
atmosphere.J. Fluid mech., 19, No 2, 1964.
55. Aviation aspects of mauntain waves. Tecnh. note N0. 18, World Meteor,
organiz., ( Ed. Alaka M.), 1958.
56. Scorer R.S. and Klieforth H. Theory of mountain waves of large
amplitude. Quart. J. Meteorol. Soc, v. 85, No. 364, 1959.
57. Дюбюк А.Ф., Трубников Б.Н., Бибикова Т.Н. Характеристика
облачности для типичных летних синоптических ситуаций на
Крымском полуострове. Тр. Укр. НИГМИ, вып. 26, 1962.
58. Дюбюк А.Ф., Бибикова Т.Н., Трубников Б.Н. Условия
образования высококучевых чечевицеобразных облаков в районе Крыма.
Тр. ЦАО, вып.46, 1963.
59. Дюбюк А.Ф., Бибикова Т.Н. Условия образования облачности в
зависимости от орографии. Тр. ГГО, вып. 17], 1965.
60. Бибикова Т.Н. Опыт наблюдения облаков фотографическим
методом с помощью сферического зеркала. Вестник МГУ, No.
2, 1960.
61. Doos. A theoretical analysis of lee waves clouds observed by Tyros.
Tellus, v. 14, No. 3, 1962.
62. Corby G.A. The airflow over mouintains. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc,
80, No 346, 1954.
63. Reiter E.R., Beran D.W., Mailman I.D., Wooldridge G. Effect of
lardge mountain ranges on atmospheric flow patterns as seen from

tiros satellites. Project Wisp. Report no.2 (final report). E.R.Reiter,
project director. 1965.
64. Пекелис Е.М. Численный расчет орографических возмущений
конечной амплитуды ( плоская задача). Изв. АН СССР, ФАО, т.
2, No. 11, 1966.
65. Davis R.E. The two-dimensional flow of a stratified fluid over an
obstacle. J. Fluid Mech., v. 36, No. 1, 1959.
66. Krishnamurti T.N. The finite amplitude mountain wave problem with
entropy as a vertical coordinate. Mon. Weath. Rev.,v. 92, No. 4, 1964.
67. Гранберг И.Г. Численное моделирование задачи обтекания гор
воздушным потоком. Изв. АН СССР, ФАО, т. 15, No. 12, 1979.
68. Пекелис Е.М. Расчет горных волн в реальной атмосфере. Метео-
рол. и гидрол., No. 4, 1971.
69. Forchtgott J. Wave streaming in the lee mountain ringes. Bull. Meteorol.
Czech., Pragua, v. 3, 1949.
70. Sawyer J.S. The introduction of the effects of topography into methods
of numerical forecasting. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, v.85,
No.363,1959.
71. Vergeiner I. An operational linear lee wave model for arbitrary basic
flow and two-dimensional topography. Quart. J. Roy. Meterol. Soc, v.
97, No. 411, 1971.
72. Klemp J. В., Lilly D.K. Numerical simulation of hydrostatic mountain
vawes. J. Atmos. Sci., v. 35, No. 1, 1978.
73. Drazin P.G., Moore D.W. Steady two-dimensional flow of fluid of
variable density over an obstacle. J. Fluid Mech., v. 28, No. 2, 1967.
74. Hirota I. Drage force caused by gravity waves over a mountain barrier.
J. Meteorol. Soc. Japan, v. 43, No. 2, 1965.
75. Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part 1. Thin barrier. J. Fluid
Mech., v. 32, No. 3, 1968.
76. Bretherton F.P. Momentum transport by gravity waves. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, v. 95, No. 404, 1969.
77. Lilly D.K. Observations of mountain-induced turbrlence. J. Geophys.
Res., v. 76, No. 27, 1971.
78. Lilly D.K., Kennedy P.J. Observations of a stationary mountain wave
and its assotiated momentum flux and energy dissipation. J. Atmos.
Sci., v. 30, No. 6, 1973.
79. Lilly D.K. A serve downslope windstorms and aircraft turbulence
event induced by a mountain waves. J. Atmos. Sci., v. 35, No. 1, 1978.
80. Lilly D.K., Klemp J.B. The effects of terrain shape on nonlinear
hydrostatic mountain waves. J. Fluid Mech., v. 95, Pt 2, 1979.

81. Lilly D.K., Nicholls J.M., Chervin R.M., Kennedy P.J., Klemp
J.B. Aircraft measurements of wave momentum flux over the Colorado
Rocky Mountains. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, v. 108, No. 457, 1982.
82. Blumen W. A random model of momentum flux by mountain waves.
Geophys. Publ., v. 26, No. 2, 1965.
83. Зидлев Н.Н. Теоретическая картина обтекания Северного Урала
при учете устойчивой стратосферы. Вестник МГУ. Физика и
Астрономия, No. 6, 1977.
84. Кожевников В.Н. Возмущения атмосферы при обтекании гор и
их связь с сейсмичностью. Сб.»Взаимодействие в системе
литосфера-гидросфера-атмосфера».Под ред. Л.Н.Рыкунова, стр. 235-
240, М., «Недра», 1996.
85. Blumen W., McGregor CD. Wave drag by three dimensional mountain
lee waves in nonplanar shear flow. Tellus, v. 28, No. 4, 1976.
86. Eliassen A., Palm E. On the transfer of energy in stationary mountain
waves. Geophys. Publ., v. 22, No. 3, I960.
87. Smith R.B. The steepening of hydrostatic mountain waves. J. Atmos.
Sci., v. 34, No. 10, 1977.
88. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. Москва, «Мир»,
1986.
89. Шелковников М.С. Мезометеорологические процессы в горных
районах и их влияние на полеты воздушных судов. Л., Гидроме-
теоиздат, 1985.
90. Николаев Л.Ф. Аэродинамика и динамика полета транспортных
самолетов. М., Транспорт, 1990.
91. Kiyoto Seiichi, [none Takeo. Дэнки цусин дайгаку гакухо. Repts.
Univ. Electro-Communs, v. 23, No. 2, 1972.
92. Васильев А.А. Атмосферная турбулентность, влияющая на
полеты судов и ее прогноз. Дисс. докт. геогр. наук, М., МГУ, 1988.
93. Beard M.G. Analysis of CAT Insidents. Approach., v. 12, No. 2, 1966.
94. Wurtele M.G. Metorological Conditions Surrounding the Paradise
Airline Crash of 1 March 1964. J. Appl. Meteorol., v. 9, No. 5, 1970.
95. Crook N.A. Trapping of low-level internal gravity waves. J. Atm. Sc, v.
45, No. 10, 1988.
96. Berkshire F.H. Two-dimensional linear lee wave modes for models
including a stratosphere. Q. J. Roy. M. S., v. 101, 1975.
97. Durran Dale R. Another look at downslope windstorms. J. Atm. Sc, v.
1, 1986.
98. Su C.H. Hydraulic jups in an incompressible stratified fluid. J. Fluid
M., v. 73, 1976.

99. Lee J.D., Su C.H. A numerical method for sratified shear flows over
a long obstacly. J. Geoph. Res., v. 82, No. 3, 1977.
100. Hougton D.D., Isaacson E. Mountain winds. Studies in Num. Anal.,
v. 2, 1968.
101. Hougton D.D. and Kasahara A. Nonlinear shallow fluid flow over an
isolated ridge. Commun. Pure Appl. Math., v. 21, 1968.
102. Кожевников В.Н. Об учете стратосферы на орографические
возмущения в тропосфере. Изв. АН. СССР.,ФАО., No. 8, 1975.
103. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных
задач. Изд-во Наука, М., 1986.
104. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента.
Изд-во МГУ, М., 1990.