ferdirja^d Witferfbauer,
o. ö. pro/essor ац der k k. iechnishefi f}oc^schuleiri Graz.
Проф. Ф. Виттенбауэръ.
ЗДДйЧЦ ЦО
СЪ ПОДГОБПЫМИ ГЬШЕШЯМИ.
ПЕРЕВОДЪ СЪ НЬМЕЦКАГО
подъредакціейпреподавателей ИМПЕРАТОРСКАГО Московскаго
Техническаго Ѵчилища, июкенерть-механиковъ
Л; П. Смирнова и И. Ä.
съ прѳдисловіѳімъ Л. П. Смирнова
(770 задачъ съ 563 черт. въ тексгѣ.)
МОСКВА.
Изданіѳ студ.-техн. Г. К. БОРОВИКОВА.
1908.

Переводъ сдѣланъ студ.-техн. Ф. Ф. БУРГАРДЪ и В. В. ГОТІВДЕВЫМЪ.
Типо-литографія I. И. Пашкоза, Милютинскій пер., домъ Арбатской.

I. Статика.
1. Силы съ одной общей точной при/іоженія.
1. ІІятъ силъ съ одной общей точкой приложенія расположены
нъ одной плоскости п имѣютъ слѣдующія велпчины и направленія:
kg.. Pt = %kg.. Р5 =12 kg.\<
>4 Pt)= -
Наііти веліпииу и напраменіе равнодѣнствуш-
іімі-й R (графически и аналиіиче&ки).
2. Къ сершянѣ А правилыіаго шесіиуголь-
никл іірило;кепы ічі.іик рлішмл гю віѵіичинѣ и А\
ііаііраіілпіію nnno|Ki]ui), сосрпіиоіцимі) Л со
исѣми остаяыіымл шфшішамишестиушльника.
Иаііти равнодѣйствуюіцую этпхъ силь (графк-
чсски и аналотически). заі. г. *
3. Сила P=Wbkg. разложена на двѣ составляющія такъ,
что разность ихъ Р,—Pä==100j6g\ и PL наклонена къ силѣ Я
иодъ угломъ въ 20°. Найти величиш силъ ^ и Р<2 и уголъ а
между нимн.
4. Шесть данііыхъ еилъ оъ одной общен точкой приложенія за-
мѣннть двумя равиыми, взаимно перепендпкулярными силамп, точка
ириложенія которыгь находиласі» бн на данномъ разстояніи огь
ирежней (графическв).
5. Разложлть даиную силу Р на двѣ составляющія Рг и Р>2 такъ.
чтобы Pt: Р>=1:2, и найтл гёометрическое мѣсто вершинъ сило-
выхъ треугольниковъ, удовлетворяющихъ этому условію.
6. Силу Р разлошить на двѣ составляющія PL и Р> такъ, чтобы
Р.2= т-Рі и чтобы уголъ между P.j и Р былъ вдвое бодьше угла
между Рл и Р.
7. Сила Р разложена на двѣ слагающія Рг и А такъ, что /^х
1

— 2
0
Зад. 10.
и Р образуютъ данный уголъ аи а < (Р2Р) = х неизвѣстенъ.
Найти зависимость между суммой 5 = Рг -+- Р* и угломъ х и опре-
дѣлить, при какихъ значеніяхъ х сумма 5 получаетъ наибольшее и
наименьшее значеніе? Найти Smin. и Smax.
8. Силу P=20kg. разложить на двѣ составляющія такъ,
чтобы уголъ д между ними былъ = 40° и чтобы ихъ отношеніе
равнялосъ 1: w = l:2,5. Найти величиіш еоставляющихъ и углы
аг и &>, которые онѣ образуютъ съ Р.
9. $аны три силы съ одной общей точкой приложенія. Замѣнить
ихъ тремя другими (имѣющими ту же рав-
нодѣйствующую, что и данныя) такъ, чтобы
новыя силы были направлены перпендику-
лярно къ прежнимъ, и двѣ изъ искомыхъ
силъ были равны между собою.
10. Найти равнодѣйствующую R трехъ
равныхъ силъ Р, дѣйствующихъ по діаго-
налямъ AG, СЕ и НВ прямоугольнаго па-
раллелепипеда.
11. Четыре равныя силы образуютъ че-
тыре ребра правильной 5-угольной пира-
миды съ высотою h и радіусомъ г окруж-
ности, огіисаішой около 5-угольника. Найти
равнодѣйствующую R данныхъ силѵи точку
встрѣчи ея съ плоскостыо основанія пира-
миды.
12. Шесть силъ съ одной общей точкой
приложенія могутъ быть разложены по осямъ XYZ прямоугольной
системы координатъ на слѣдующія слагающія:
ро = 4, Р = 3 Р = 6*
pZ = -І РІ = -з', І\г = -4;
р' __ j р 5 р --= 8*
Р — а р ö р _. о
Найти равнодѣйствующую R данной системы и ея углы съ осями
координатъ.
3аА п

— 3 —
иа Му еоли еилы
13. Силу Р разложить на три слагающія РХ9Р^Р^ лежащія въ
одноіі плоокости такъ, чтобы < (PLP2) = (/Ѵ^) = (/V^i) = 120°
и /\ : Р2: Рй = 1:2:3; иайти также углы, которые образуюгъ
онѣ съ Р.
14. Даныую силу Р разложить на три слагающія Рѵ Р2 и Рл
такъ, чтобы онѣ были взаимно перпендикулярны и относились, какъ
1:2:3.
15. Три равныя силы Р, съ оддой оощей точкой приложенія,
иаклонены другъ къ другу подъ равными углами а. Замѣнить дан-
ныя силы треия другими такъ, чтобы онѣ имѣли ту же равнодѣй-
(твующую, ту же точку приложенія u были бы перпендикулярны къ
тремъ плоскостямъ, образованныиъ данвыми силами.
16. Въ центрѣ А квадрата помѣщена точка, свя-
»аішая съ углами его четырьмя одинаково напря-
женными упругими нятями; точку отводятъ въ нѣ-
которое положсніе М и затѣмъ отнускаютъ. Наііти
силу, дѣйствуюіцуіо лри этомъ
натяженія нитей пропорціональ- м
иы ихъ длинамъ. {Walton.) K г
^17. На продолженіи однород-
наго стержня, длина котораго=/ и масса=і/, на-
ходится точка, имѣющая массу т\ она притягж-
настся всѣми точками стержяя по %і закону Ныото-
иа. Найти полное притяженіе /?, испытываемое
точкой ;//.
*І8. Найти силу /?, съ которою однородішй
стержент» АВ=1 притягиваѳп, по закону Ньютона
точку т9 расположенную на перпенджкулярѣ, къ се-
рединѣ стержня, если насса его = Л/ и масса
точкж=/«.
*І9. Масоа М равномѣрпо распредѣлена по ду-
гѣ круга AB, точка массы т находится въ центрѣ
дуги и лржтягжвается всѣми точками ея по закону
Ныотона. Найти силу R взаимнаго притяженія
массъ М и м.
Зад. Р.

— 4 —
2. Равновѣсіе точки.
20. Ha упругой нити подвѣшенъ грузъ G. На какую велмяну ѵ
вытянется нить до наступленія равновѣсія, если натяженіе нити про-
иорціонально удлиненію ея, и коэффидіентъ ироііорціоііальности=£ ?
21. Свободная точка т притягивается двумя неподвижными мас-
сами пгѵ и tn» по закону Ньютона, На какомъ разстояніи х отъ шх
точка т придетъ въ равновѣсіе, если разстояніе между тА и пи
равно а ?
22. Свободная точка т притягивается двумя неподвижными точ-
ками пгх и пи>\ точкой піл—обратно и точкой пи2—прямо пропорціо-
нально соотв. разстояніямъ. Силы притяженія на разстояніи,
равномъ единицѣ, имѣютъ значенія кл и k2. Опредѣлить положеиія
равновѣсія точки т и узнать, когда равновѣсіе невозможно.
23. Центръ тязйести 5 треугольника соединяютъ съ тремя его
вершинами Л, В, С. Отрѣзки SA, SB, SC представляютъ собой
силы, дѣйствующія на точку S. Покааать графически, что эти силы
иаходятся въ равновѣсіи.
24. По направленію трехъ высотъ треугольника дѣйствуютъ си-
лы, направленныя къ угламъ его и пропорціональныя соотвѣтствую-
щимъ основаніямъ. Показать, что эти силы находятся въ равновѣсіи.
(Peterseil.)
25. Точка, вѣсъ которой=(7, подвѣшена на нити длиною / и от-
ведена въ сторону горизонтальной силой K=G~*
Опредѣлить уголъ ср при равновѣсіи и натяженіе
нити (5).
26. Три неподвижныя точки тІУ ;;/._>, ;//,. пр*и-
тягиваютъ свободную точку т съ силами, пропор-
ціональными соотвѣтствующимъ массамъ и разстоя-
иіямъ. Найти координаты положенія равновѣсія точ-
ки /;/, если неподвижныя точки опредѣляются коорди-
натами.ѵ1^і, х\,у.2 и х\3уй.
27. Обобщить предыдущую задачу для // точекъ (массъ) въ
пространствѣ.

5
3aÄ. 29.
28. Три равныя неподвижныя точки, массы м, расположены на
одной прямой такъ, что крайнія отстоятъ отъ
средней на разстояніи (а); двѣ крайнія изъ нихъ
притягиваютъ свободную точку М съ силой, про-
норціональной массаиъ и квадратамъ соотв. раз-
стояній, средняя же точка отталкиваетъ точку М.
ио тому же закону. На какомъ разстояніи .ѵ точка
М придетъ въ равновѣсіе?
29. Два цилиндра отянутыканатомъ
такцчто послѣдній имѣетъ натяженіе 5.
Найти давленіе D, которое производятъ
при этомъ цилиндры другъ на друга.
{IVa/fon.)
30. Нить, укрѣпленная концамн въ
-■ / и В, несетъ въ С грузъ Р. Опредѣ-
лить. натяженія 5, и S., въ частяхъ
пити АС=а и ВС=Ь, если уголъ
ACB=s[ извѣстенъ.
31. Черозъ два небольшихъ гладкихъ
олока А и В перекинута нить, насру-
женная грузами Р% G, Q. Наііти от-
ношеніе АС\ СВ при равновѣсіи.
32. Нить, укрѣпленная въ точкѣ А,
псрекинута въ точкѣ В черезъ неболь-
шой гладкііі блокъ. Въ наконъ отношеніи долж-
ны находиться грузы Р и£>, чтобы при равно-
иѣсіи направленіе силы / дѣлило прямую^5=^7
іюполамъ (АС=Ь)? (IVa/fon.)
33. Точка вѣса G удерживается въ равно-
иѣсіи на наклонноіі плоскости двумя равными
G
силами , иаъ которыхъ одна горизонтальна,

— 6 —
Зад. 33.
Зад. 34.
а другая—- || —на плоскости. Опредѣлить уголъ
наклона а плоскости и давленіе D, оказывае-
мое на нее точкой.
34. Точка вѣса G удерживается въ рав-
новѣсіи на плоскости, наклоненной подъ
угломъ а къ горизонту, тремя равными си-
лами Ру иаправленными согласно чертежу.
Найти величину силы Р и сопротивлеиіе D
плоскости.
35. Точка М вѣса G, могущая перемѣ-
іцаться по гладкой вертикальной окружности,
отталкивается отъ низшаго своего положенія
С съ силой, обратно лропорціональной квад-
рату разстояиія М отъ С\ при чемъ сила от-
талкиванія ыа единицѣ разстоянія равна k.
Опредѣлить положеніе равновѣсія М на
окружности и сопротивленіе W послѣдней.
36. Свободная точка 71/движется по полу-
окружности и нритягивается концами Мх и
М2 діаметра ея, съ силой, пропорціональной
соотв. разстояніямъ и имѣющей значеніе k
для 1-цы разстоянія. Опредѣлить положенія
равновѣсія точки М и сопротивленіе Жпо-
луокружности.
37. Точка съ массою пг притягивается по
закону Ныотона тремя равными массами, сосредоточенными въ вер-
шинахъ равнобедреннаго треугольника и при равновѣсіи находится
на половинѣ высоты треугольника. Найти отношеніе между основа-
ніемъ I) и высотою h треугольника.
38. Свободііая точка нритягивается вершинами равносторонняго
треугольника ти т2ъпц пропорціонально разстояніямъ. Силыпри-
тяженія этихъ трехъ точекъ на единицѣ разстоянія относятся какъ
kx: k<>: £3 = 1 • 2 :3. При какихъ разстояніяхъ гь ;л> и г:> отъ ти т2
и w3 данная точка окажется въ равновѣсіи?
39. Точка М, которая можетъ скользить ио данной прямой,нри-
гг
Зад. 36.

*■
- с
Зад 39.
тягивается двумя точками М1 и М2, расположенвыми внѣ этой прямой,
обратно пропорціонально квадрату раз-
стоянія; сила притяженія на 1-цѣ раз-
стоянія=£. При МА М \_М2 М точка *\
М находится въ равяовѣсіи. Найти за- _J
висимость между разстоявіями а, b и с
* и опредѣлить сопротивленіе W [прямой
при равновѣсіи.
40. Точка, имѣющая вѣсъ G и могущая сколь-
зить безъ тренія по дугѣ параболы, отталкивается
отъ оси ея' горизонтальной силой K=ky. Опредѣ-
лить положеніе равновѣсія точки G. (JValton.)
41. Точка вѣса G, расположенная на гипотену-
зѣ АВ = 1 прямоугольнаго треугольника
ЛОВ, притягиваетгя вершиной О обрат-
но пропорціоналыю квадрату разстоянія и
находится въ равновѣсіи на серединѣ ги-
потевузы. Найти величину яритяженія £на
1-цѣ разстоянія, сопротивлевіе W гипоте-
иузы и опредѣлить, когда равновѣсіе невозможно?
42. Точка М, могущая скользитъ по катету а
прямоугольнаго треугольника, притягивается верши-
нами его (М1)(М2) пропорціонально разстояніямъ:
сила притяженія на 1-цѣ разстоянія=/^. Опредѣлить
положевіе равновѣсія точки М и сопротивленіе (IV)
катета (а).
43. Точка массы т связана равными упругими
и одинаково натявутьши витями съ четырьмя точ-
ками, расположенными въ вершинахъ квад-
рата; длина каждой нити = а. Одну изъ
этихъ точекъ перемѣщаютъ по діагонали
квадрата на величину х. Насколько (г) отой-
двтъ при этомъ точка т отъ прежняго по-
ложенія равновѣсія? При какомъ значеніи
х точка т иеремѣстится въ М? (Натяже-
ніе нити пропорціонально длинѣ ея.)
42. Mf
Зад. 43.

— 8 —
Afj
Зад. 4С.
Зад. 47.
44. Ha гладкой вертикально поставленной
окружности находятся въ равновѣсіи двѣ точ-
ки вѣса Gx п G2, связанныя нерастяжимой
нитью. Найти зависимость между углами уг
И Cf._>.
45. Точка М можетъ перемѣщаться безъ
тренія по окружности, описаниой около квад-
рата, и притягивается вершинами его Мх М<>
М$ М± пропорціонально разстояніямъ; силы
притяженія на 1-цѣ разстоянія имѣютъ значе-
нія: kx=k, k2=2k, k<d=3k, k4 = ±k. Опредѣ-
лить положеніе точки М на окружности прл
равновѣсіи ея и сопротивленіе W окружности.
46. Точка М можетъ перемѣщэться безъ
тренія по периметру правильнаго 6-угольника
и притягивается вершинами его Му М2 Мл
пропорціонально разстояніямъ. Найти положе-
ніе равновѣсія точки М.
47. Точка вѣса G ножетъ перемѣщаться
по равнобокой гиперболѣ. Какую горизонталь-
ную силу Н нужно приложить къ дадіиой точ-
кѣ, чтобы она осгавалась въ равновѣсіи во
всякомъ положеніи на гиперболѣ? Найти дав-
леніе D, оказываемое при втомъ точкой на
гиперболу.
48. Упругій шнуръоб-
виваетъ блокъ, вѣсъ кото-
paro=G; шнуръ въ нена-
тянутомъ еостояніи имѣетъ
длину /0 = 2тгг, равную
блока. Блокъ подвѣшиваютъ
длинѣ окружности
за этотъ шнуръ къ точкѣ 0, такъ что шнуръ
растягивается и принимаетъ длину /. Опредѣ-
лить уголъ <f при равновѣсіи.
Зад. 48.

— 9 —
49. Нѣкоторая масса, равномѣрно распредѣлен-
ная по периметру равнобедреннаго треугольника,
притягиваетъ по закону Ньютона точку, имѣющую
массу т и расположенную внутри даннаго тре-
угольника. Навдги положеніе равновѣсія точки т.
3. Система силъ въ плоскости.
Зад. 49.
Зад, 60.
50. Найти равнодѣйствующую трехъ силъ
Р, Ру Q, изъ которыхъ первыя двѣ образуютъ
пару, не строя параллелограмма или многоуголь-
ника силъ.
51. Найти равнодѣйствующую трехъ силъ съ
произвольными точками приложенія итрехъ паръ,
двумя различными способами (графически).
52. Даны четыре— || —ныя силы, различно наиравленныя и раз-
личныя по величинѣ; найти такую силу, которая образовала бы съ
данными силами пару, имѣющую данный моментъ (графически).
53. Взять пять произвольныхъ силъ и съ помощью веревочыаго
многоугольника найти ихъ равнодѣйствующую. Показать, что съ из-
мѣненіемъ порядка построенія силового многоугольника и перенесені-
емъ полюса въ другую точку плоскости равнодѣйствующая не измѣ-
ияется ни по величинѣ, ни по направленію.
54. Разложить данную силу Р на четыре параллельныя Рг, Р2,
Р,ь Р4, положенія которыхъ даны; кромѣ того, требуется, чтобы:
Р1: Ро=1 : 2 и Ря: Р4 = 3 : 4. Найти величины этихъ силъ (гра-
фически).
55. Даны три— || —ныя силы и двѣ прямыя, имъ параллелышя.
Найти силы, дѣйствующія по этимъ прямымъ, если вся система
должна находиться въ равновѣсіи (графически).
56. Разложить данпую силу Р на три параллельныя силы, поло-
женіе которыхъ дано, такъ, чтобы одна изъ слагающихъ была =
суммѣ двухъ другихъ (графически).
57. Данную силу Р разложить на три— || —ныя силытакъ, чтобы
онѣ находились въ отношеніи Рл : Р>: Рл=1: 2 : 3, при чемъ поло-
женіе двухъ изъ этихъ силъ извѣстно (графичоски).

— 10
58. Разложить данную силу Р на четыре произвольно располо-
женныя силы, при чемъ величина одной изъ составляющихъ из-
вѣстна.
59. Найти равнодѣйствующую силъ, представляемыхъ по вели-
чинѣ и направленію сторонами плоскаго многоуголышка (въ послѣ-
довательномъ порядкѣ).
s 60. Вдоль стороны AB квад-
^рата дѣйствуетъ сила Р\ разло-
жить ее на три слагающія такъ,
чтобы онѣ дѣйствовали вдоль осталь-
ныхъ сторонъ квадрата.
61. Найти равнодѣйствующую
шести силъ, равныхъ по величинѣ
сторонамъ и діагоналямъ даннаго квадрата и дѣйствующихъ по ихъ
направленіямъ въ стороны, указанныя стрѣлками.
62. Направленія четырехъ силъ: Рг = bkg., P2 = 10kg.,
Р3 = ikg.j Р± = 8kg. опредѣляются относительно прямоугольной
системы координатъ слѣдующими уравненіями:
Зад. 60.
Р1 и Р4 стреиятся вращать плоскость чертежа по часовой стрѣл-
кѣ вокругъ начала координатъ; Р2 и Р.л—въ обратномъ напра-
вленіи. Найти уравненіе, величину и направленіе вращенія равнодѣй-
ствующей данныхъ силъ.
63. Найти. равнодѣйствующую четырехъ
силъ, дѣйствующихъ ио сторонамъ правиль-
наго 6-угольника; направленіе и величины
силъ указаны на чертежѣ.
64. Шесть — || — ныхъ силъ имѣютъ
слѣдующіявеличииыі/^^б^., Pj>^=—8 kg.,
^3 = 2 kg., P4 = 4r kg., Pr) = — 3kg.,
Pß=—5 kg/, разстоянія между ними соот-
вѣтственно равны 2, 3, 1. 4 и 3 mir. Найтл

— 11 —
равнодѣйствующую и ея разстоянія отъ Рг иРв. (Графически и ана-
литически.)
65. Разложить силу Р на три равныя слагающія Р1=ріЛ=Р^=
р
■= ■ ■• такъ, чтобы онѣ пересѣкали Р послѣдовательно въ точкахъ АІ9
А.2 и Д, и чтобы Аг АІ2=А2 Ап. Опредѣлить углы аи а2, ай,
которые образуютъ эти слагающія съ направленіеыъ Р.
66. На концы крестовины съ равными пле-
чами а дѣйствуютъ силы Р, Р, Qm Q, ; —
ныя къ плечамъ, при чемъ Р> Q. Найтиот-
ношепіе Р: Q, если равнодѣйствующая R
всѣхъ силъ должна проходить отъ центра кре-
стовины на разстояніи=2а; опредѣлить также
величину R.
67. Вращающійся около геометрической оси
цилиндръ радіуса г связанъ четырьмя одина-
ково напряженными упругими нитями съ
углами квадрата. Натяженіе нити проиорціо-
нально длинѣ ея и для 1-цы длины имѣетъ
значеніе k\ сторопа квадрата=4 г. Валъ по-
вернули на 90° вокругъ его оси. Найтиравно-
дѣйствующую всѣхъ силъ, развиваемыхъ при
этомъ упругостью нитей.
68. Найти равнодѣйствующую R трехъ
силъ Р, 2Р, ЪР, приложенныхъ къ верши-
намъ равносторонняго треугольника I —но къ
сторонамъ его.
69. Къ вершинамъ правильнаго 5-угольни-
ка приложено пять силъ, направленныхъ къ
точкѣ пересѣченія О сторонъ AB и DE и
пропорціональныхъ разстояніямъ точекъ приложенія А, Ву С9 Dy E
отъ 0. Найти центръ^анной системы силъ.
70. Къ вершинамъ равносторонняго треугольника, сторона кото-
раго=^, приложены три силы: къ вершинѣ А сила PL=2 Р, ! —ная
ВС\и направленная по продолженію высоты треугольника отъ А\
Зад. 68.

— 12 —
Зад. 72.
къ В—Р2=Р,— || —ная АС\ къ С—РЛ=Р~ II — ная AB. Най-
ти центръ данной системы силъ.
*71. Нѣкоторая масса равномѣрно распредѣлена по двумъ взаимно
противоположнымъ сторонамъ прямоугольника; длина каждой изъ
\\м\ъ=і и разстояніе между ними=я. Точки обѣихъ прямыхъ при-
тягиваются по закоиу Ньютона. Найти нолное притяженіе R иежду
данными прямыми.
Л
4. Равновѣсіе системы силъ въ плоскости.
72. Въ точкѣ О подвѣшены на нерастяжимыхъ ни-
тяхъ: шаръ радіуса а и вѣса О и нѣкоторый грузъ
G. Нить, на которой виситъ грузъ £, касается шара.
Найти уголъ ср, образоваішый ОМ съ вертикальнымъ
направленіемъ, при равновѣсіи системы. (Walton.)
73. Стержень АВ=а, имѣющій вѣсъ G и укрѣи-
ленный въ А шарниромъ, прислоненъ къ верти-
кальнон стѣнѣ. Центръ тяжести стержнн находится
на разстояиіи b отъ А. Опредѣлить давлеиія въ
Ви уголъ ъ, который образуетъ направле-
ніе давленія въ А съ горизонтомъ.
74. Тотъ же стержень, что и въ преды-
дущей задачѣ, опирается концомъ А на глад-
кій горизоитальный полъ, а концомъ В на
гладкую стѣпу, наклоненную къ горизонту
подъ угломъ ß. Какую горизонтальную силу Р
иужно приложить въ А, чтобы стержень оста-
вался въ равновѣсіи? Опредѣлить также дав-
ленія въ А и В.
75. Призматическое тѣло, имѣющее длину
/, поперечное сѣченіе ABC DE и вѣсъ 1-цы
объема = у, покоится на горизонтальной ило-
скости: ребро С его нагружено силой Р. Наііти зависимость между
угломъ <f и силою Р при равновѣсіи.
76. Брусокъ AB—2 а опирается концами ііа вертикалыіун» ст;Ьну

— 13 —
Зад. 76.
Зад. 77.
Зад. 7«.
Зад.
и на полъ и въ точкЬ С удерживавтся
нитью. Даны: углы а и со u вѣсъ G
стержня. Найти натяженіе S нити.
77. Въ абсолютно-гладкой сфериче-
ской чашкѣ радіуса г находится въ равно-
вѣсіи стержень АВ=2 а, имѣющій вѣсъ
G. Опредѣлить уголъ у при равновѣгли
и давленія въ А к С.
78. Полукругъ ВС вѣса G подвѣ-
шенъ въ точкѣ В на шарнирѣ, а за точ-
ку С удерживается нитью^С, прикрѣп-
ленной въ А\ направленія ЛС, AB и
СВ образуютъ равнобедреиный прямо-
угольный треугольникъ АСВ. Найтина-
тяженіе S нити, давленіе D въ шар-
нирѣ Ви уголъ -f, образуемый наирав-
леніемъ D съ AB.
79. Стержень АВ = %а вѣса G
укрѣплекъ въ А шарниромъ и за ко-
нецъ В удерживается иитью, перекину-
той черезъ два гладкихъ блока С и D.
Найти силу Р, необходимую для удер-
жанія стержня въ равновѣсіи нодъ уг-
ломъ а, a также давленіе въ А и уголъ
ср, которыи образуетъ направленіе его
съ вертикалью, если АВ=АС.
80. ІІрямоугольный равнобедренный треуголь-
ііикъ вѣса° G опирается равнымп сторонами на двѣ
гладкія опоры А и /?, расположенныя наоднойвы-
сотѣ. Найти уголъ ^ между высотою CD=h тре-
угольника и вертикалью при равновѣсіи и давлв-
ніи въ А н В, если разстояніе между этими точ-
ками = ^. {Walton.)
81. Стержень АВ=Ча, опирающійся концомъ А
на внутреннюю сторону параболы, имѣетъ еще точку
опоры въ ея фокусѣ F\ вѣсъ стержия=С Найти

14 —
въ случаѣ равновѣсія уголъ ъ между стержнемъ и вертикальиой
осью параболы и давленія въ Л п F. {Walton.)
82. Еъ концу Е стержня ВЕ} укрѣплен-
наго въ точкѣ В при помощи шарнира, при-
вѣшенъ грузъ G. Въ точкахъ CuD стержня
укрѣплена гибкая нить, нроходящая безъ тре-
иія черезъ кольцо А. BC—DE и AC=AD.
Какъ велико натяженіе *Ь' нити? Еакъ велико
соиротивленіе W шарнира и какой уголъ оно
образуетъ съ BAI (Walton.)
83. Цилиндръ вѣса G опираетея на двѣ
плоекоети, наклоненныя подъ углами а и J5 къ
горизонту. Найти давленія въ мѣстахъ сопрп-
косновенія А и В. (Lcibnitz.')
84. Три шарика, вѣса которыхъ находят-
ся въ отношеніи GL : G.>: G;J=3 : 2 : 1,мо-
гутъ перемѣщаться безъ тренія внутри вер-
тикальнаго кольца; шарики связанй другъ съ
другомъ невѣсомыми стержнями одииаковои
длины. Найти уголъ <р при равновѣсіи си-
стемы.
85. Ио еторонамъ АО и ВО ирямо-
уголыіаго треуголыіика АОВ могутъ сколь-
анть безъ тренія два шарика, имѣющіе вѣса
G и Gl и связаиные между собой нера-
стяжимымъ стержнемъ; уголъ а извѣстенъ.
Найти для положенія
равновѣсія уголъ ф,
давленія D и Dx на
стороны треугольника
и усиліе S, растягива-
ющее стержень.
86. Стержеиь AB, длиной 2/ и вѣсомъ G,
опирается на гдадкіи цилиндръ радіуса г и за ко-
нецъ В удерживается нитью, къ которой ири-
вѣшенъ грузъ Q. Найти величину отноше-
Зад. 85.
Зад. 86.

■ - 15 —
нія ~L=z, если извѣстно, что при равновѣсіи стержень AB обра-
зуетъ уголъ <р съ вертикальной линіей.
87. Стержень ОА=
=21 вѣса G лежитъ
въ прямоугольномъ
углубленіи, какъ показа-
но на чертежѣ. Наити
давленія въ 0 и В. зад. 87.
88. Однородный стержень длины 2 а и вѣеа^С оаирается кон-
цомъ А на гладкій полъ и удерживается въ равновѣсіи двумя гори-
зонтальными опорными стержнями ВиС. Найти реакціи опоръ
А, В и С, если ВС=$ и уголъ а извѣстенъ.
Зад. 88.
5. Равновѣсіе нѣсколькихъ системъ силъ въ плоскости.
89. На стержень AB, могущій вращаться около своей середины
М, опирается стержень CD вѣса G\
правый конецъ D этого стержня под-
вѣшенъ при помощи вертикальной нити.
Въ какой точкѣ Е нужно приложить
данный грузъ Q, чтобы стержень AB
оставался въ равновѣсіи? Разстояніе
МС=а. {Walton.)
90. Ha концы В и Е двухъ невѣ-
сомыхъ стержней Уіі? и СЕ привѣшены
грузы Р и G. Стержни AB и СЕ мо-
гутъ вращаться вокругъ неподвижныхъ
точекъ С ж D, расположеиныхъ на од-
ной вортикали CD ; AD=CD=BD=a
и ЕС=Ь. Опредѣлить уголъ <р при рав-
новѣсіи и давленіе R стержней другъ на друга
{Walton.)
91. Два стержня: AB длиною а и вѣсомъ Gl и АС длиною
b и вѣсомъ G2 концами А упираются другъ въ друга, а концами
В и С о вертикальныя стѣнки BD и СЕ. Найти такое разстоя-
Зад. 90.
въ точкѣ А.

— 16 —
8ад. 91.
Зад. 92.
nie DE=x, нри которомъ стержни находились бы въ равновѣсіи и
были бы взаимно перпенди-
кулярны.
92. Два равныхъ вѣсо-
мыхъ стержня АС=ВС=21,
связанные въ С шарниромъ,
симметрично расположены на
опорныхъ болтахъ D и Е и
могутъ скользить по нимъ безъ тренія.
Опредѣлить уголъ <р при равновѣсіи, если
DE=a.
93. Брусокъ ОА длиною А и вѣсомъ
G, укрѣпленный въ 0 при помощи шар-
Зад 93. ниРа> опирается на поверхность цилиндра
радіуса г: цилиндръ этотъ связанъ съ О
нитыо OB длиною с Найти натяженіе 5 нити.
(Walton,)
94. Въ точкѣ Оиодвѣшены: стержень *ОА=2а
вѣеа О и на нити OB длиною Ь—шаръ радіуса г
и вѣса G. Стержень ОА прикасается къ поверх-
ности шара. Опредѣлить уголъ ^ между нитью OB
и вертикалью при равновѣсіи системы. (Walton.)
95. Два цилиндра, имѣющіе вѣса G{ и С2, ле-
жатъ, касаясь другь друга, на двухъ гладкихъ плос-
костяхъ, наклоненныхъ подъ углами а и ß
къ горизонту. Найти уголъ <f, образуемый
при равновѣсіи плоскостью, проходящей че-
резъ оси цилиндровъ, съ горизонтомъ.
(Walton.)
96. Три цилиндра, имѣющіе вѣса GA,
G2 и G]b лежатъ внутри полаго цилин-
дра. Найти уголъ <f между ОО2 и вер-
тикалью, если ООх = гі9 ОО»=г2,
ООъ = гЯі <0100._>-=а1 и <ОП
00o=a„. (Walton.)
97. Два равные стержня ALB^ =
Зад. 95.
Зад. 96.

— 17 —
Зад. »7.
Зад. 5*8.
-А.2ВІ=2 а, каждыйвѣсомъ G, связаны вт>
срединѣ шарниромъ 0; нижними кощамж
оии опираются на гладкій горизонтальлыи
полъ, а верхніе ихъ концы соедииены
нитью Ах А2. Уголъ а данъ. На верхжія
части стержней положенъ цилиндръ радіуса
г и вѣса £). Опредѣлить натяженіе S нж-
ти. (Walton.)
98. Два одинаковыхъ шара радіуса г
и вѣса G положены въ открытую ѵь обѣ-
ихъ сторонъ цилиндрическую трубу радіуса
R\ вся система находится на горизонталь-
ной плоскости. Какъ великъ долженъ быть
вѣсъ Q полаго цилиндра, чтобы шары не
могли его опрокинуть? {Walton.)
99. Два иіара, имѣющіе вѣса Gx и G»
и радіусы R и г, подвѣшены при помощн
нити въ 0 на глад-
комъ цилиндриче-
скомъ штифтѣ; длииа
нити=/. Опредѣлить
при равновѣсіи ся-
I стемы отрѣзокъ х
нити и ея натяже-
"• ніе 5.
100. Два одинаковыхъ невѣсомыхъ етержня, каждый длиною /
связаны въ О шарниромъ и опираются на гладкій цилиндръ радіуса
г\ стержии нагружены, какъ показано ва чертежѣ, силами О, Р и Q
Опредѣлить уголъ <р при равновѣсіи.
101. Стержень AB длиною 2/ лежитъ
горизонтально, опираясь концомъ А на
внутрсннюю поверхность полаго полушара,
а точкою С на его край. Найти отношеніе
вѣса (I полушара къ вѣсу Gx стержня AB
и даіміг.нія въ точкахъ А, С и D. Радіусъ
в
Зад. іоі.

— 18 —
Зад. Ю2
полушара=г; разстояніе его центра тяжести 5 отъ геометрическаго
центраО равно а.
102. Въ поломъ, лежащемъ на
горизонтальной подставкѣ полуцилин-
дрѣ, вѣсъ G котораго и положеніе
центра тяжести (OS=a) извѣстны,
находится стержеиь AB вѣса Gx\ къ
концу В его прикрѣплена нить, пе-
рекинутая черезъ край полуцилиндра
и натягиваемая грузомъ Q. Найти углы
(f и ф нри равиовѣсіи. ОС=г,<САОВ=2а.
103. Условія тѣ же, что и въ предыдущей задачѣ. Опредѣлить
вѣсъ Gx стержня AB, чтобы при равновѣсіи часть нити ВС ока-
залась равной нулю. Опредѣлить для этого случая уголъ <р и реакціи
опоръ А, В и D.
104. Въ поломъ полушарѣ радіуса г и
вѣса G лежитъ стержень AB длиною 2/ и
вѣсомъ Gx. Найти для случая равновѣсія
углы (f и ф и реакціи опоръ А, D к С.
105. Два сплошныхъ гладкихъ иолуша-
ра, имѣющіе вѣса Gt и G2, связаны между
собой стержнемъ вѣса Q и длины
/; соединеыія стержня съ полуша-
рами въ точкахъ М и N — шар-
нирныя. Опредѣлить углы <pt, cp2
и ф при равновѣсіи.
106. Два стержня 0А = 2і и
ОАХ=21Ѵ имѣющіе вѣса G и £'п
расположены, какъ показано на
чертежѣ; BC=B1C1=h, CC1=a.
Найтиразстояніял:=ОСи xt=OC\
при равновѣсіи. (См. задачу 87.)
107. Къ концамъ двухъ не-
вѣсомыхъ стержней, подвѣшенныхъ въ О на шарнирѣ, прикрѣплены
цилиндры I и II, каждый вѣса G\ третій цилиидръ вѣса Q опирает-
Зад. 104
Зад. 105.
Зад. 106. -

19 —
»іі пл два первые такъ, что вся система находится въ равновѣсіи.
ІІіиіти углы а и j}. (JValton.)
Зад. 107. 6
108. Тонкостѣнный полый цилпндръ радіуса г просверленъ по
двумъ взаимно_[_—нымъ діаметрамъ, и сквозь отверстія пропущевы
г.тержни ЛХСХ и Л2С^9 имѣющіе длины 2Іг и %12 и вѣса Gx и G2;
c/гержни и цилиндръ опираются на гладкую горизонтальную плоскосѵгь.
Найти уголъ ср при равновѣсіи и давленія въ отверстіяхъ, если
стержни могутъ скользить ъъ нихъ безъ тренія.
6. Центръ тяжести п/оскихъ линій.
Найти относительно изображенньпъ иа чертежахъ осей коордм-
иаты центровъ тяжести для нижеслѣдгвощихъ линейныхъ контуровъ,
[)авномѣрно покрытыхъ массами:
109. 110. 111.
112.
113.
114.

115.
— 20
116.
117.
121. Доказать, что центръ тяжести периметра треугольника ABC
лежитъ въ центрѣ круга, вписаннаго въ .треуголышкъ LMN, вер-
шины L, М, N котораго лежатъ на ерединахъ сторонъ даннаго тре-
угольника ABC.
122. Доказать, чго если отъ серединъ L \\ N
сторонъ ВС и AB треугольника ABC отложимъ
LO—NP=-x-AC,n точка пересѣченія прямыхъ
N0 и LP будетъ служить цен-
,ѵр тромъ тяжести периметра тре-
угольника ABC, (Geusen,
Zeitschrift für Matheni. u. Physik,
44 Bd.)
123. Чему должно быть равно отношеніе
х = -^- размѣровъ, указанныхъ на чертежѣ, что-
бы центръ тяжести всего контура првходился въ
точкѣ О ?
Зад. 122. А
( Л
--У?—
7 Л
V
* - Я- - -
Зад. 123.

21 —
Найти графически центръ тяжести для контуровъ
124. 125.
127.
126.
7. Центръ тяжести площадей.
Опредѣлить относительно обозначенныхъ на чертежахъ осей коор-
дииаты центровъ тяжести площадей слѣдующихъ фигуръ, равно-
мѣрно покрытыхъ массами:
128. 129. 130.
131.
132.
133.
"Т
I
I
I
78
I
I

22 —
134.
135.
136.
U./5--

— 23
147.
148.
Zr
151.
152.
150.
153. Доказать, что есди аіы раздѣлимъ каждую сторону произ-
нольнаго 4-угольника ABCD на три рав-
ныя части и чрезъ точки дѣленія прове-
демъ прямыя, то получимъ параллеюграмъ,
діагонали котораго пересѣкутся въ центрѣ А<
гяжести 5 даннаго 4-угольника.
154. Вычислить ординату центра тяже-
«•ти площади фигуры, изображенной въ за-
іі.ачѣ 115.
155. На линіи симметріи х квадрата найтіг та-
■*>ю точку М, которая сіужила бы центромъ тяже-
міі :іаштрихованной площади.
156. Около окружности центра О оиисанъ про-
ццщ.чміілі! многоугольникъ, центръ тяжести перимет-
І»і і.іппраго опредѣляетсяточкойSv, ацентръ тяжести
и ініц.-ідіі точкой 52. Найти взаимное расположенів точекъ 0, Sx и_52.
За

— 24 —
Зад. 167.
Зад. 158.
*157. Найти координаты цент-
ровъ тяжести параболическаго по-
лусегмента и его дополненія до
прямоугольника.
*158. Найти простой способъ*
построеиія центра тяжести парабо-
лическаго сегмента, представленна-
го на чертежѣ.
*159. Найти центръ тяжести эллиптическаго квадранта съ полу-
осями а и Ъ.
*160. Найти ординату
центра тяжести половиныэл-
липтическаго кольца, у кото-
раго ^=20, 6=15, ^=16 и
"* Ьг=12 ст.
^161. Найти центръ тя-
жести эллиптическаго сегмента,указаннаго на чертежѣ. (JValton.)
*162. Найти центръ тяжести площади квадранта, ограниченной
кривою х*/*-]-у*'іі=а9'/\ (JValton.)
*163. Наііти центръ тяжести площади, заключенной между кривою
~+ V h=^* и осями координатъ. (JValton.)
*164. Найти центръ тяжести площади, за-
ключенной между осью X и половиной циклои-
ды, данной ур-ми:д;=а ((f—sin cp), jv=« (1—
cos y). (Независимое перемѣнное ср измѣняет-
ся отъ 0 до тг.)
*165. Найти центръ тяжести площади, за-
[ ключенной между циссоидой
Зад 160.
Зад. J6J
OLJZ
Зад. 164f
У
.2
а—х
и ея ассимптотой.
. Найти центръ тяжести площади, заключенной между кривою
и ея ассимптотой.
X
^167. Опредѣлить центръ тяжести площади, заключенной между

— 25 —
синусоидой y=Sinx ж осью X, если х измѣняется въ предѣлахъ
ОТЪ 0 ДО 7Г.
8. 0 п о р ы.
168. Тяжелая пластинка, изображенная на чертежѣ, подвѣшена
за уголъ А. Опредѣлить уголъ ф
между прямою AB и горизонталью
при равновѣсіи.
169. Тяжелый полуцилиндръ,
радіусъ котораго = г и длина = /,
подвѣшенъ за точку О. Найти
уголъ ср между ребромъ ОА и вер-
тикалью прц равновѣсіи.
170. Найти реакціи опоръ А и В для
балки, изображенной на чертежѣ, графически
и аналитически. заі."по.
171. Сдѣлать то же для балки, изображенной на чертежѣ.
Зад. 169.
Зад. 168.
Іі*
37*
В
теі
so* у го* 70"
JU—3.0- — 4
¥0*
о 4*- --
х*ео*
--3.0--
Зад. 171.
172. Сдѣлать то же для балки, изображенной на чертежѣ. (На-
ГруЗКа На ПОГОННЫЙ ^/= 1500 kg.) \гт tS00kpmet.
173. Три колеса связаны ме- р—
жду собою стержнями, имѣющи- і—•*
ми длины а и Ъ\ получившаяся
так. обр. телѣжка установлена на к.
балкѣ длиною / такъ, что реакціи і-
опоръ ея находятся въ отношеніи а
А:В=т:п. Найти величину х,
если давленія колесъ на балку со-
_^ sm,_
Зад. 172.
Рі
3*1. 173.
отвѣтственно равны Ри Р2 иР3.
174. Два несгибаемыхъ стер-
жня АС и ВСЬ связаиные въ С
шарниромъ, имѣютъ въ А и В
шарнирныя опоры и иагружены
—«ät ,
3*ж.

26 —
силами Рг и Р2. Найти реакціи опоръ А и В и давленіе въ шар-
нирѣ С.
175. Шарнирная система изъ трехъ стержней нагружена силами
Р и Q\ сила Р дана, а для груза Q
извѣстна лишь точка приложенія. Найти
р ^ графически, при какомъ значеніи Q си-
стема будетъ находиться въ равновѣсіи.
3aÄ l75' аіІіѴ ^* ^ъ како^ точкѣ стержня CD
шарнирной системы ABCD нужно при-
ложить грузъ, чтобы система находилась
Е въ равновѣсіи.
177- Симметричная
^ ^ j?i__Sv4/? шарнирная система на-
с К Г Ж гружена въ шарнирахъ
! "Ь сиамі А> А> А#
' -~й£ Найти углы а и ß при
:._.,._...* равновѣсі,
заД. 176. 3аА п?* 178. Какимъ обра-
зомъ должно распредѣ-
лить данный грузъ Q на три шарнирныхъ
соединенія С, D и Е несимметричной
шарнирной систены изъ четырехъ стерж-
ией, чтобы она находилась въ равновѣсіи?
(Графически).
Ш ^Зад 178* 179. Въ углахъ В и D квадрата ABCD
о р со стороною ^ прикрѣплены шарнирами два
f стержня ВЕ =г-а и DF= --- а\ концы
ихъ соеДинены тягой GH при помощи шар-
J нировъ £" и F. Ha концѣ G тяги дѣйствуетъ
і щі~^ сила р//5^'а на КОНІ*Ѣ ^—сила 0//^^-
^ ^ъ какомъ отношеніи Р: (Q должны быть
эти силы, чтобы система находилась въ
равновѣсіи? Найти давленія въ В и D.
180. Та же задача, но сила Q имѣетъ произвольное направленіе;
подъ какимъ угломъ <р должна быть она наклонена относительно AB,

— 27 -
Зад, 181.
Зад.
4 mfr. и
чтобы значѳніе силы Q было наимёныиимъ? Найти это значеиіе О
пгіп.
181. Стержень CD трехшарнирной си-
стемы АСВ нагруженъ на концѣ D силою
G. Найти давленіе въ В и уголъ <рь кото-
рый образуетъ оно съ горизонталью. Опре-
дѣлить также давленіе въ С и уголъ ср<2
между направленіемъ давленія и горизон-
тальной линіей. CD=a\ AC=b.
182. Лѣстница AB, вѣсъ погоннаго
метра которой ^_^2U kg., имѣетъ на
верхнемъ концѣ В горизонтальную площад-
ку ВС, нагруженную въ срединѣ вѣсомъ
<7 = 450£§\; концомъ А она опираетсяна
колонну АЕ и горизонтальную балку AD.
Найти силы Ѵ9 //, R, дѣйствующія на ко-
лонну АЕ, на балку AD и точку С стѣны, если h
// = 3 mtr.
183. Правильная 8-гранная призма снабжена
двумя кольцами, сквозь которыя пропущенъ
отержень, могущій скользить въ нихъ. Опредѣ-
лить предѣльныя значенія .г\ ири которыхь
равновѣсіе системы еще не нарушается, если
вѣсъ стержня = Gv длина его — I, вѣсъ приз-
мы = С и ребро ея основанія — а.
184. Призматическая балка вѣса G, имѣю-
іцая въ сѣченіи правилышй 6-угольникъ, нагру-
жена силами Q и п Q, какъ показано на черте-
жі». Между какими предѣлами можно выбрать ;/,
чтобы балка не могла опрокинуться?
185. Три стержня одинаковаго вѣса G опи-
Ііаются другъ на друга, какъ показано на чер-
нжь. Стержень АС можетъ вращаться око-
іо сиоего центра тяжести Ох\ стержень С0.2
ирінцастся около конца 02 и имѣетъ центръ
іижсгти въ серединѣ В, на которую опи-
Зад. 183.
шшшшшу,
Зад. 184.

— 28 —
рается конецъ стержня AB. Найти отношеніе АО1: ОХС при рав-
новѣсіи системы.
186. Три невѣсомыхъ стержня равной дли-
ны связаны между собою шарнцрами и опи-
раются на цилиндръ, радіусъ основанія кото-
раго равенъ длинѣ стержня; концы крайнихъ
^стержней нагружены силами G. Найти давле-
нія въ А, В и С и уголъ ф, который обра-
зуетъ направленіе давленія въ шарнирѣ В съ
вертикалыо.
187. На половинѣ высоты цилиндрической
дьшовой трубы, имѣющей внутренній радіусъ г
и вѣсъ 1-цы объема = ѵ, дѣйствуетъ горизон-
тальная сила К, стремящаяся опрокинуть тру-
бу. Найти такое значевіе внѣшняго радіуса R
трубы, чтобы равнодѣйствующая всѣхъ свлъ,
дѣйствующихъ на трубу, проходила черезъ точ-
ку А основанія ея. «
188. Въ какомъ отношеніи должны нахо-
диться высоты х и у стѣны, поперечное сѣ-
ченіе которой представлено на чертежѣ, если
устойчивость ея относителыш А и С должна
быть одииаковой?
189. При какомъ значепіи х тѣло, состоя-
щее изъ полуцилиндра и треугольной призмы,
будетъ находиться въ безразличномъ равно-
вѣсіи?
190. Та же задача, но нижняя часть тѣла
(тотъ же чертежъ) представляетъ собою полу-
шаріе, а верхняя—конусъ.
191. Размѣры поперечнаго сѣченія сосуда
даны на чертежѣ. По длинѣ разсматривается
нѣкоторая небольшая его часть. Вѣсъ едини-
/,—налитой въ него жидкости = Уі-Найти ши-
Зад. 188.
Зад. 189.
цы объеыа сосуда =

— 29 —
рину х ея поверхности, если вся система должна нащіться въ
безразличномъ положеніи равновѣсія.
и. 21—
Зад. 192.
Зад. 193.
Зад. 191.
192. Четыре плитки одинаковаго вѣса, каждая длилою 2/э
расположены одна на другой, какъ показано на чертеаѣ. При ка-
кихъ наиболынихъ значеніяхъ хг=АВ, х2=ВС и x%=CD плитки
будутъ находиться въ равновѣсіи? Найти хп для «+1 плитокъ.
193. Тяжелая треугольная пластинка ABC подвѣшена въ 0
на трехъ нитяхъ такъ, что при равновѣсіи пршшмаетъ горизонталь-
ное положеніе. Найти зависимость между сторонами тр-Ба и длина-
ми нитей.
194. Симметричная
шарнирная система изъ
ияти стержней нагружена
въ шарнирахъ симметрич-
ными грузами G1,G,2G^G1.
Найти зависимость между
углами а и ß при равновѣсіи.
195. Три невѣсомыхъ стержня, связанные между собою шарни-
рами, расположены на цилиндрѣ, радіусъ котораго г=длиаѣсредня-
ю стержня СЕ; на концѣ крайнихъ стержней дѣй-
г/гвуютъ грузы G. Найти такое значеніе длины
л -АС=ЕН, при которомъ давленіе въ D равно
иулю. Опредѣлить для этого случая давленіе въ В
и сопротивленіе 5 стержня СЕ.
196. Въ балкѣ AB, пролетъ которой =г1итол-
щііііа—я, просверлено отверстіе діаметра d± и сквозь
игю иропущенъ стержень, имѣющій длину / и діа-
■w«'T|ifi» г/,. Опредѣлить реакціиопоръ A,B,CtDß если
38Д 194

— 30 —
на стержень дѣйствуютъ двѣ равныя силы Р, і —ныя къ его
оси.
Зад. 197
9. Статика сооруженій.
. 197. Треугольная ферма укрѣплена въ^при
помощи шарнира и опирается въ В на подстав-
ку (треніе отсутствуетъ); въ точкѣ С ея прило- ^
женъ грузъ Р. Найти графически силы SUS2
и 53.
198. Опредѣлить графически и аналитически
натяженія ^ діагонали и 5 стороны квадрата,
по діагоиалямъ котораго дѣй-
ствуютъ силы P,P,Q,Q.
199. Ha симметричную фер-
му дѣйствуютъ силы P,P,Q,Q.
Опредѣлить силу 5 сопротивле-
\а нія стержня, имѣющаго длину Ь,
заД. 199. если размѣры т и ;/ иввѣстны.
Ферма, изображенная на чертежѣ, прикрѣплена къ не-
подвижной подставкѣ при помощи шарнира 0 и
находится въ равновѣсіи подъ дѣйствіемъ сялы
Ру і —ыой 5, и силы Q, //— ной 53. Найти
силу Q, если Р извѣстна, сопротивленіе W
шарнира О и уголъ <р между направленіемъ W
и горизонталью; опредѣлить также силы, дѣй-
ствующія по направленію стержней.
201. Квадратная ферма съ діагональю укрѣплена на шарнирѣ
и находится подъ дѣйствіемъ силъ Р и Q, па-
раллельныхъ діагоналямъ квадрата. Еакъ велика
должна быть сила Р, чтобы ферма находилась въ
равновѣсіи? Опредѣлить давленіе D въ шарнирѣ,
уголъ <р и силы растягивающія или сжимающія
всѣ 5 стержней фермы.
Зад. 198.
200.
Зад. -200.
Зад. 201.

31 —
202. Найти реакціи опоръ А ъ В ш натяженія отеряшей для
конструкціи, изображенной на чертежѣ.
203. Ферма безъ опоръ. (См. чертежъ.)
Зад. 203.
204. Ферма безъ опоръ подъ дѣйствіемъ двухъ паръ силъ РР и
OQ, (См. чертежъ.)
205. Ферма, не имѣющая опоръ. (См. чертежъ.)
206. Обыкновенная шпренгельная балка. (См. чертежъ.)
Л "'

— 32 -*
207. Стропильная ферма. (См. чертежъ.)
208. Стропильная ферма. (См. чертежъ.)
Р3-гооо*
в-TSOO
P,-1SOOk
209. Раскосная ферма. (См. чертежъ.)
210. Раскосная ферма. (См. чертежъ.)
Sa
211.
параболѣ.
олическая фериа; точки ACDEB расположены на

— 33 —
212. Мостовая ферма. (См. чертежъ.)
213. Мостовая ферма. (См. чертежъ.)
214. Ферма системы Полонсо. (См. чертежъ.)
215. Полукруглая стропильная ферма. (См. чертежъ.)

— 34 —
216. Краиъ. (См. чертежъ.)
217. Кранъ. (См. чертежъ.)
А—горизонталь. а = ß = 45°.
218. Навѣсъ. (См. чертежъ.)
А—горизонталь.
219. Кранъ. (См. чертежъ.
a=ß=Y=30°. ^4—горизонталь.
bß
220. Несимметричная стропильная ферма. (См. чертежъ.)
Р'1000*

— 35 —
Ш. Ферма съ односторонней нагрузкой. (См. чвртежъ.)
222. Ферма съ односторонней нагрузкой. (См, чертежъ.)
223. Стропильная ферма системы Полонсо подъ давлеаіемъ вѣ-
тра. (См. чертежъ.)
224. Кранъ. (См. чертежъ.)

:•:•!•. Іірлпі,. (Г>и. чортежъ.) В—горизонталь.
226. Кранъ. (См. чертежъ.)
10. Система силъ въ лространствѣ.
227. Найти равнодѣйствующую трехъ силъ, равныхъ по величинѣ
и направленію тремъ взаимно J L — нымъ хордамъ шара, выхо-
дящимъ изъ одной и той же точки.
228. Вдоль трехъ не пересѣкающихся между собою реберъ пря-
моугольнаго параллелепипеда дѣйствуютъ три равныя силы. Въ
какомъ соотношеніи должны находиться ребра параллелешшеда, если
данная система силъ приводится къ одной равнодѣйствующей?
229. Бонцы векторовъ, изображающихъ двѣ скрещивающіяся
въ пространствѣ силы, соединяютъ двумя прямыми и дѣлятъ

— 37 —
230.
іюслѣднія въ точкахъ А и В пополамъ. Доказать, что векгоръ AB
ішвенъ по величинѣ и направленію половинѣ раьнодѣйствующей
даішыхъ силъ.
230. Разстояніе между двумя взаимно_!_ —ными
гкрещивающимися силами Рх = 8 kg. и /\>=12 kg.
равно/ = 1,3 mir. Найти для данной системы ди-
иаму *): ея силу /?, моментъ S, углы аг и я2 съ а
І\ и Р2 и точку С пересѣченія съ AB.
231. По сторонамъ DA и ВС квадратнаго
(а X et) основанія прямой пирамиды, высота кото-
рой = А, дѣйствуютъ двѣ равныя, но противопо-
ложныя силы Р. Разложить данную пару
г-идъ на двѣ другія, которыя лежали бы на
іраняхъ ABS и CDS и найти моменты
;>тихъ паръ.
232. По ребрамъ а правильнаго тетра-
:>дра дѣйствуютъ шесть равныхъ силъ Р.
Наити для данной системы силъ динаму: ея
силу R, моментъ 5 и ихъ положенія.
233. Вдоль реберъ пря-
моугольнаго параллелепипеда
дѣііствуютъ шесть силъ:
Зад. 233.
/\ = S kg. Ребра: 0.4 =
////., OB = 4 mt, OC =-5 mt.
ея
>
т Г
0
/
Л
/с
Зад.
L
231.
7
А
у
/
Зад. 232.
Найти равнодѣйствующую силу R и моментъ 5 динамы данной сп-
стемы силъ, углы ея наклона а, ß, у отно- ^* ю*
30* Зад 'IM.
сительно ОА, OB и ОС, и разстояніе /)(=
/> ея отъ 0.
234. На брусокъ AB дѣйствуютъ,
какъ показано на чертежѣ,три нормаль-
*) Всякая система силъ можетъ быть сведена къ одной равнодѣйствую-
щей R и парѣ К, дѣйствующей около вектора ß, какъ около оси; направле-
ніе R при этомъ назыв. главной осью системы. Совокупность R и К назыв.
динамой системы. (Routh. Dynamik des festen Körpers.)
Нримѣчаніе переводч.

— 38 —
Зад. 2Л5
Зад. 236.
ныя къ нему силы и моментъ, вращающій брусокъ около его оси.
Найти равнодѣйствующую данной системы силъ.
235. Поребрамъ А пра-
вильнаго октаэдра дѣйству-
ютъ 12 равныхъ силъ Р.
Найти результатъ дѣйствія
ихъ.
236. По двумъ ребрамъ'
прямоугольнаго клина дѣй-
ствуютъ силы Рх и Р2) ко-
торыя требуется замѣнить двумя эквивалентными имъ силами Ох и Q2.
Силы Ply Р2> Qx пропорціональны соотвѣтств. ребрамъ клина.
Опредѣлить величину и положеніе силы Q2.
237. Три равныя силы Р расположены въ
плоскостяхъ координатъ параллельно осямъ,
какъ показано на чертежѣ. Найти зависимость
между разстояніями а> Ь, с, если данныя силы
приводятся къ одной равнодѣйствующей /?.
Опредѣлить величину R, углы ея съ осями и
разстояніе ея отъ О.
238. Три силы РІУ Р2, Р3 расположены
въ плоскостяхъ координатъ параллельноосямъ,
какъ показано на чертежѣ. Найти соотношеніе
между ними, если извѣстно, что динама данной
системы силъ проходитъ чрезъ 0.
*239. Однородный брусокъ ЛВ = а можетъ
вращаться въ горизонтальной плоскости около
своей середины 0; къ В прикрѣплена нить,
перекинутая чрезъ блокъ С и натянутая
грузомъ G. Блокъ С лежитъ ка верти-
кали СВ0= Ь. Опредѣлить величину
силы Р для отклоненія ср бруска отъ
положенія А0В0. При какомъ <р вели*
чина Р получитъ наиболынее значеніе?
{Walton.)
240. По ребрамъ а куба дѣйствуютъ
Заі.
Зм. 239.

— 39 —
12 равныхъ силъ Р. Найти для данной си-
пемы силъ динаму: ея силу /?, ионентъ 5,
паправленіе ея оси и точку пересѣченія ло-
аіѣдней съ основаніемъ куба.
11. Равновѣсіе системы силъ въ Зм.
пространствѣ.
241. На каждой грани нѣкотораго многогравника дѣііствуетъ
нара силъ, равная площади, соотвѣтствующей грани; всѣ пары—
<>сли смотрѣть на нихъ извнѣ—положительны. Показать, что вся ои-
г.тема паръ находится въ равновѣсіи.
242. Однородный прямой конусъ покоится внутри опвсаннаго
около него шара. При какомъ значеніи угла <f при Б&ршинѣ конуса
іюслѣдній будетъ находиться въ равновѣсіи во всякоиъ положеніи
ішутри шара?
243. Полушаръ и цилиндръ изъ одного л того
же матеріала, соединенные, какъ показано на чер-
тсжѣ, опираются на горизонтальную подкладку. При
какой высотѣ х цилиндра они будутъ находиться ~
въ безразличномъ равновѣсіи?
244. Четыре одинаковыхъ шара, каждый вѣса
G, сложены въ пирамиду такъ, что три изъ нихъ, Зад-243*
уложенные на гладкомъ столѣ, касаются другъ друга, четвертый же
положенъ на нихъ. Найти давленіе D, которое оказываетъ верх-
ній шаръ на каждый изъ нижнихъ, и горизонтальную сіму //, ко-
торую нужно приложить къ каждому изъ послѣднихъ, чтюбы ппра-
мида находилась въ равновѣсіи. (IValton.)
245. Ha вершинѣ правильной пирамиды, у которой основаніеоіъ
служитъ равносторонній треугольникъ со стороною Ь л каждое изъ
прочихъ реберъ = а, подоженъ грузъ Р такъ, что направленіе Р
проходитъ черезъ центръ основанія пираииды. Опредѣлитъ усилія
Sx и 52 реберъ а и Ь.
*246. Тяжелый шаръ опирается на края круглаго отверстія ра-
діуса а въ горизонтальной плоскостп. При какомъ радіусѣ х шара
давленіе на края отверстія будетъ наименьшимъ? [IValtoti)

— 40 —
247. Внутрь полаго шара радіуса г положенъ однородный равно-
бедренный треугольникъ съ основаніемъ b и стороною а. Найти при
равновѣсіи уголъ <р между горизонтальной діаметральной плоскостью
шара и плоскостыо треугольника, если послѣдній всѣми своими верши-
нами опирается на гладкуювнутреннюю поверхность шара. {Walton.)
248. Тяжелый брусокъ АВ=1 упи-
рается концами А и В въ двѣ верти-
кальныя параллельныя стѣны и, кро-
мѣ того, концомъ В опирается на го-
ризонтальный полъ, а точкой С— на
полуцилиндръ радіуса г. Какую горизон-
тальную силу Р нужно приложить къ
/і, чтобы стержень, имѣющій вѣсъ G,
оставался въ равновѣсіи? Найти реакціи
опоръ у4, В и С.
249. Въ наклонномъ воротѣ извѣст-
ны: грузъ О, длина АВ=1, радіусы
колеса а и вала г, уголъ наклона а и
разстоянія b и q. Опредѣлить: 1) силу Р
нри равновѣсіи, 2) реакціи опоръ А и
В (во вниманіе треніе въ цапфахъ не
принимается).
*25О. Три равныхъ и однородныхъ брус-
ка, каждый длиною / и вѣсомъ G, опираются
иижними концами въ точкѣ 0 на горизои-
тальный полъ, верхніе же ихъ концы связа-
ны между собою нитями, каждая длиною а.
Опредѣлить натяженіе 5 нити и законъ измѣ-
ненія его въ зависимости отъ измѣненія дли-
ны а. (IValton.)
251. Невѣсомая прямоугольная пластин-
ка, имѣющая длину AB=l = imt., ширину
АС ==■ b ■---■■- 2 mt. и уголъ наклона къ гори-
зонту cl — 30°, укрѣплеиа въ точкѣ А, а въ
точкѣ I) опирается на вертикальную колонку;
AI) ■-- с 3 mt. Къ углу В приложена го-
Зад. 251.
Зад. 250.
\terr

— 41
Зад. 252.
рішштальная сила £Ь bkg., перпендикулярная къ ВЕ\ на уголъ
(, нормально къ плоскости пластинки, дѣйствуетъ давленіе P=£kg.
Иайти разстоянія х и у точки D отъ AB и АС при равновѣсіи и
опредѣлить силы сопротивленія въ А и D.
252. Еруглое кольцо R посредствомъ про-
ішольнаго числа нерастяжимыхъ нитей оди-
паковой длины подвѣшено къ точкѣ О; на
образовавшійся так. обр. изъ нитей конусъ
иадѣто меньшее кольцо г, равнаго съ первымъ
вѣса. Кольцо г при равновѣсіи системы дѣ-
литъ всѣ нити пополамъ. Найти отношеніе
разстояній колецъ отъ точки 0. {Walton.)
253. Мыльный пузырь радіуса R испытываетъ съ внутренней
стороны давленіе р на единицу поверхности, а съ внѣшней—давле-
ніе />0. Опредѣлить натяженіе 5 его обо-
лочки. (Routh.)
254. Надъ круглымъ отверстіемъ
въ полу радіуса г положена тонкая
круглая пластинка, имѣющая вѣсъ G и
радіусъ /?; къ краю ея приложенъ грузъ
О такъ, что пластинка можетъ повора-
чиваться около прямой ВС. При какомъ
разстояніи х грузъ Q будетъ имѣть на-
именьшее значеніе?
12. Параллельныя силы въ пространствѣ.
255. Горизонтальную квадратную пластинку вѣсомъ G требуется
подпереть въ трехъ точкахъ А, В, С такъ, чтобы im
С С
точки А и В передались давленія ~ и ^*
Найти координаты х,уточт С и давленіе въ неи.
256. На осяхъ XYZ прямоугольной системы ко- За*'25&"
ординатъ расположены три точки L, М и Лг на разстояніяхъ ?, т
и // отъ начала координатъ; въ этвхъ точкахъ приложены три па-
раллельныя силы Pl9 I\, PVt. Наііти отношеиіе а: Ь: с косинусовъ

Зад. 257.
угловъ, образованныхъ направленіемъ данныхъ силъ съ осями, если
равнодѣйствующая ихъ проходитъ черезъ начало координатъ.
257. Горизонтальная квадратная крышка стола
съ вырѣзаннымъ угломъ, какъ показано на черте-
жѣ, подперта въ точкахъ А} В, С такъ, что реак-
ціи опоръ относятся, какъ 18: 11: 11. Найти ве-
личину вырѣза х.
258. Тяжелая круглая пластинка подперта въ
трехъ точкахъ А, В, С, расположенныхъ на ея
окружности, при чемъ давленія въ А, Z?, С относятся, какъ
а:Ъ:с. Найти соотношеніе между центральными углами а, ß, y,
соотвѣтствующими дугамъ ВС, СА, AB.
*259. Равнобедренный треугольникъ, высота котораго=А, равно-
мѣрно вращается около своего вертикальнаго основанія Ьу преодо-
лѣвая сопротивленіе воздуха, пропорціональное квадрату скорости.
На какомъ разстояніи % отъ оси вращенія нахо-
дится точка приложенія равнодѣйствующей сопро-
тивленія?
*260. Еаждый элементъ площади ^/^квадрата,
сторона котораго = а, испытываетъ безконечно
малое давленіе dP=kxn dF, гдѣ х—разстояніе эле-
мента отъ стороны квадрата. Найти полное давле-
ніе Р на поверхность квадрата и координаты § и
tj точки его приложенія.
261. Серповидная однородная пластинка под-
перта въ точкахъ А9 В} С, расположенныхъ на
горизонтальной полуокружности АСВ. При какомъ
углѣ а реакціи опоръ А, В, С равны между со-
бой?
262. Цилиндръ и поршень установлены, какъ
показываетъ чертежъ, на трехъ пружинахъ, упру-
гія сплы которыхъ пропорціональны измѣненію ихъ
длинъ: F=k.£d и F1 = k1.Al1, гдѣ д^иД^озна-
чаютъ измѣненія длины пружинъ. Въ цилиндръ
вгоняется воздухъ подъ давленіемъ р (на единицу
площади поршня). Найти величины подъема цилиндра и поршня.
Зад. 262.

- 43 —
13. Центръ тяжести тѣлъ.
263. Точка О находится подъ дѣйствіемъ произвольнаго чисда
силъ въ равновѣсіи и служитъ ихъ общей точкой придошенія. На
концахъ отрѣзковъ, изображающихъ дапныя силы, находятся точки
одинаковаго вѣса. Показать, что точка О является центромъ тяже-
сти системы этихъ точекъ.
264. Точка т притягивается всѣми точками нѣкотораго тѣла;
силм иритяженія пропорціональны разстояніямъ и лритятивающиыъ
массамъ. Доказать, что равнодѣйствующая всѣхъ этихъ притяженій
проходитъ чрезъ центръ тяж. тѣла и по величинѣ равна силѣ при-
тяженія центра тяжести тѣла, если допустить, что въ немъ сосре-
доточена вся масса тѣла.
265. Въ прямомъ кругломъ конусѣ вырѣзана часть его объема
съ помощью двухъ коцентрическихъ сферъ, имѣющихъ центръ въ
вершинѣ конуса. Найти разстояніе х центра тяжести вырѣзаннаго
объема отъ вершины конуса.
266. Найти графически центръ тяж. объема, заключеннаго между
поверхностями двухъ наклонныхъ конусовъ, имѣющихъ общее осно-
ваніе и высоты hx и А2, если А2>А1.
*267. Круглый цилиндръ радіуса г усѣченъ
плоскостью, наклоненной къ плоскости основанія
подъ угломъ ср и пересѣкающей ось цилиндра на
разстояніи а отъ основанія. Опредѣлить коорди-
наты центра тяж. усѣченнаго цилиндра.
*268. Найти разстояніе центра тяж. клина отъ
площади его основанія ab.
*269. Опредѣлить центръ тяжести тѣла, огра-
ниченнаго поверхностью прямого конуса и поверх-
ностью параболоида вращенія, основанія и
вершины которыхъ совпадаютъ.
*27О. Найти разстояніе zs центра тяж.
обелиска отъ верхняго основанія афх.
*271.'Найти координату % центра тяж.

— 44 —
Зал. 272
іі;ла, полученнаго [вращеніемъ двухъ параболъ у2= 2pL x и у2=
2ро [а—х) около общей оси X. {Walton.)
*272. Найти координату ys центра тяж. тѣла,
полученнаго вращеніемъ параболическаго полусегмена
ОАВ около оси Y.
*273. Опредѣлить координаты центра тяж. октан-
та (восьмой части) шара x2-\-y2-\-z2=r2.
*274. Найти центръ тяжести половины эллипсоида, полученнаго
вращеніемъ четверти эллипса около его полуоси а.
*275. Дуга AB параболы вращается около оси х.
Найти координату OS=xs центра тяж. полученнаго
тѣла вращенія.
276. На цилиндрѣ, длина котораго= I и раді-
усъ =г, можетъ свободно передвигаться дискъ, имѣю-
щііі радіусъ R и ширину Ь\ цилиндръ и дискъ
приготовлены изъ однаго матеріала. На какую
величину с нужно отодвинуть дискъ отъ кон-
ца А цилиндра, чтобы общій центръ тяж. ле-
жалъ на разстояніи — отъ А ?
277, Тѣло состоитъ изъ конуса (высота h,
разстояніе основанія /?j), цилиндра (длина I,
радіусъ г) и полушара (радіуса R2\ сдѣлан-
ныхъ изъ одііого матеріала и соединенныхъ
такъ, что оси ихъ лежатъ на одной прямой. Найти разстояніе xs
центра тяж. тѣла отъ вершаны конуса.
278. На вертикальной сторонѣ AB прямоугольника ABCD,
какъ на діаметрѣ, построена окружность, плоскость которой пер-
пендикулярна плоскости прямоугольника. По этой окружности и по
сторонѣ CD прямоугольнщса скользитъ прямая, оставаясь постоянно
горизонтальной. Найти центръ тяж. объема, заключеннаго между
полученною такимъ образомъ поверхностью и кругомъ.
279. Два шаровыхъ сектора изъ одного матеріала, ыо различныхъ
радіусовъ R и г, свободно подвѣшены своими вершинами въ
точкѣ 0. Въ какомъ соотношеніи должны находиться углы а и ^,
Зад. 277.

ініим общая образующая секто-
іннгі, была вертикальной при
рліпіонѣсіи?
280. Изъ прямого конуса
ш.фТмШна нѣкоторая часть въ
і|мі|імѣ усѣченнаго конуса, имѣю-
щаго съ даннымъ одинаковыіі
уголъ при вершинѣ; дано^=//. Найти отношеніе
Зад. *279.
X
Зад. 280.
, если центръ
■піжести оставшагося объема долженъ лежать въ центрѣ 5 верхняго
осповашя вырѣзанной части.
"281. Тѣло, объемъ котораго V извѣстенъ
и которое состоитъ изъ прямого конуса (ра-
діусъ основанія = г) и цилиндра^ вставлено
коннческииъ концомъ въ круглое отверстіе ра-
діуса а, сдѣланное въ горизонтальной доскѣ.
Нри какихъ высотахъ х и у цилиндра и ко-
нуса центръ тяж. тѣла займетъ наивысшее
иоложеніе? Найти при этомъ разстояніе^ цен- ;
ра тяж. отъ плоскости АА.
282. Полусфера радіуса г и конусъ имѣ-
кггъ общее основаніе сферы; вершина 5 ко-
иуса находится на полусферѣ. Найти уголъ
vs и ys центра тяж. объема, заключеннаго между поверхностями
нолусферы и конуса, если центръ тяжести долженъ лежать на по-
нерхности послѣдняго. j-
>CJ4. Принципъ возможныхъ перемѣщеній.
Рѣшить на основаніи этого принципа слѣдующія задачи^а равно-
вѣсіе:
\гк
Зад-
и координаты
^. На плоскости, наклоненной подъ угломъ
а къ горизонту, находится точка т вѣсомъ G,
удерживаемая въ равновѣсіи силою к\ которая дѣй-
ствуетъ подъ угломъ ß къ плоскости. Опредѣлить К
и сопротивленіе D плоскости. (Euler.)

V
— 46
Зад. 286.
3äA. 286.
г-«_ й
*284. Ha параболѣ у2=2рх съ вертикальной осью
находятся двѣ точки, имѣющія вѣса Р и Q и связан-
ныя между собою нитью. Точка Р имѣетъ абсциссу=а.
Опредѣлить абсциссу х точки Q при равновѣсіи.
*285. Двѣ тяжелыя точки Р и Qy которыя могутъ
скользить по параболѣ съ вертикальной осью, связа-
ны между собою нерастяжимой нитью, проходящей
чрезъ фокусъ F параболы. Въ какомъ положеніи точки
окажутся въ равновѣсіи?
*286. Двѣ тяжелыя точки R и Q, которыя мо-
гутъ скользить по эллипсу, связаны нерастя-
жимой нитью, проходящей чрезъ его фокусы F±
и F2\ плоскость эллипса вертикальна, большая
ось его—горизонтальна. Найти зависимость между
углами <р! и у2 при равновѣсіи.
^287. Нерастяжимая нить
укрѣплена своими концами въ
точкахъ А и D и перекинута
черезъ гладкіе блоки В ж С\
по нити могутъ скользить три
тяжелыхъ кольца вѣсомъ Р, Q
и Р. Найти зависимость между углами ср и ф при равновѣсіи.
' ч0 ^С288. Къ бруску ВО, который можетъ вра-
щаться въ вертикальной плоскости около шар-
нира 0, подвѣшенъ на концѣ В грузъ G\ въ
точкѣ А брусокъ удерживается упругой нитью,
которая расположена по краю круглаго диска, имѣющаго центръ въ
0. Опредѣлить уголъ ср при равновѣсіи, если упругая сила нити про-
порціональна ея длинѣ и для единицы длины имѣетъ
величину JC (Euler.)
^289. Брусокъ ОВ=Ь можетъ вращаться около
неподвижнаго шарнира О. Въ А (ОА=а) къ нему
подвѣшенъ грузъ G, къ концу В приішѣплена нить,
перекинутая черезъ блокъ С (ОС=Ь) и натянутая
грузомъ Q. При какомъ углѣ <р получится равновѣсіе?
Будетъ ли оно устойчивое или неустойчивое?
з*і. 287
Зад. 289.

— 47 —
:290. Два груза Р и Q укрѣплены на. концахъ нити, переки-
иутой чрезъ блокъ 0. Грузъ Р вѣситъ свободно,
гру»ъ Q положенъ на гладкую наклонную плос-
кімѵгь, которая пересѣкаетъ въ точкѣ А верти-
к.-иіі» блока подъ угломъ а; ОА=а. Ha какомъ
рлштояніи s отъ А грузъ Q придетъ въ равно-
ит.г.іс?
"291. Однородный тяжелый брусокъ
//>-2/ опирается концомъ А на верти-
калыіую гладкую стѣну, а за конецъ В
ѵігрживается въ равновѣсіи нитью ВС,
34, 290.
Зад. 29
Зад. Ä92. &[
і.июрая укрѣплена въ С. Найти зависи- %
мінѵп, между углами (р и ф. (5/. Germain)
292. Брусокъ AB вѣсомъ G опирается кондами на полъ и
нгртикальную стѣну и удерживается въ равновѣсіи нитью^ переки-
путоіі въ (л чо|к»:п, Плокі, и ііптннутоіі груаомъ Q. Найті уголъ ср
111»іі рашіопѣсіи и ІІП.ІІИЧИНЫ рслкціи опо|>(і. .-/ и />.
'Ѵ'ѴШ. ІІ;і киіііі;!. ( иг.пі.г.омаго Пруг.іш
l( ,t in« іі 11. іруиі, (). Hau і іі уголі. <f нри
|ілііііоііі,і in п |>г;ікціи (іііорі. . / и />. {Fontana)
:#!И. Одіюродпміі іірнмоуголыіыіі треуголь-
іііііп. лгѵкігі'1» іп> нолусфсрической чашѣ діа
мгтра (L Найти зависимость между углами
р и а при равновѣсіи и опредѣлить реакціи
оноръ А% В, С.
*29Б, Два однородные полуцилиндра, имѣ-
мнціе радіусы /? и г и вѣса G1 и G2, под-
нѣшены въ А и В на шарнирахъ и касаются
другъ друга по общей образующей. Найти за-
ііііпімость между угламп <р и ф при равновѣсіи.
?296 Однородные тяжелые бруски ОА = г
\\ АС= 2г соединены въ А шарниромъ. Бру-
сокъ АО можетъ вращаться около неподвиж-
иаго шарнира 0, а брусокъ АС опирается на
уголъ В, причемъ 0В = г горизонтально.
Опредѣлить уголъ <р при равновѣсіи.
Зад. 29Ü.

— 48 —
Зад. 297.
>*<?97. Два равныхъ и невѣсомыхъ стержня А^=ВС~Ь со-
единены въ С шарниромъ, къ которому приложенъ грузъ Q. Концы
Ayl B стержней связаны упругой нитью, длина
которой въ ненатянутомъ состояніи = /0< Какъ
великъ долженъ быть грузъ Q, чтобы при
равновѣгіи уголъ ABC былъ прямымъ, если
допротивленіе нити пропорціовально ея удли-
ненію.
4 ^298. Три однородныхъ бруска АС=а,
CD= DB=2a соединены между собою шар-
нирами и концами А и В подвѣшены на
шарнирахъ къ горизонтальной прямой АВ=За.
ІІайти зависимость между углами а, ß, у при
равновѣсіи.
><?299. Три невѣсомыхъ стержня а, /;, с
№ соединены въ А и В шарнирами и упираются
въ точкѣ С другъ въ друга; къ шарниру В
подвѣшенъ грузъ G. Найти давленіе D по
заД. 299. стержню AB.
*300. Четыре равиыхъ невѣсомыхъ стержня составляютъ шар-
нирный роыбъ, діагоналями котораго служатъ упругія нити, укрѣп-
ленныя концами въ шарнирахъ, каждая изъ которыхъ
въ ненатянутомъ состояніи имѣетъ длину а. На два
противоположныхъ шарнира дѣйствуютъ равныя силы,
направленныя по діагонали къ центру ромба. Опредѣ-
лить уголъ ч при равновѣсіи, если упругая сила нити
пропорціональна измѣненію ея длины.
*301. Однородная треугольная
пластинка ABC подвѣшена на гиб-
кой нити длиною /, перекинутой
черезъ гладкій блокъ О, какъ по-
казано на чертежѣ. Найти разность
.ѵ = ОС — АО при равновѣсіи,
если ВС=Ь и Aß = AC = s.
,^^02. Два равныхъ бруска AB
и ВС одинаковаго вѣса G соединены шарниромъ В; конецъ С укрѣ-

— 49 —
нленъ въ стѣнѣ помощыо шарнира, а конецъ А опярается на гладкіи
горизонтальный полъ. Еакую горизонтальную силу Р нужко прило-
жить въ А, чтобы удержать бруски въ равновѣсіп?
>*303. Найти зависи-
мость между силой Р и
грузомъ Q для простого
рычажнаго пресса.
*304. Найти зависи-
мость между силою Р и
грузомъ Q для двойного
рычажнаго пресса.
304.
Пять равныхъ шшщ
брусковъ а одинаковаго 5аА* т'
вѣса G соединены между собою шарнирами,при-
чемъ два шарнира могутъ скользить вдоль гори-
зонтальной прямой. Найти зависимость между
углами а и ß при равновѣсіи. {Walton.)
*306. Найти зависимость между силой Р и
грузомъ Q для хлопковаго пресса Baldwin'a,
если извѣстны
углы а, ß, y.
*ЗО7. Ha
чертежѣ схе-
матически по-
казана пово-
ротная телѣж-
ка локомотива
въ нормаль-
номъ положе-
ніи и при пово-
ротѣ на уголъ
f. A есть неподвижная ось,
Зад. ЗОЬ.
Зад. 306;
з*д. зо7.
^ д , = а — кривошипъ; шатуны ВС =
= BD ■= b соединены съ помощью шарнировъ съ кривошипомъ AB
и пружинами С и D, которыя въ нормальномъ положеніи телѣжки
ненатянуты, и имѣютъ каждая длину /. Опредѣлить при поворотѣ
кривошипа иа уголъ ср: 1) повороты | и 5 шатуновъ ВС и BD,
4

— 50 —
Зад. 30».
2) соотвѣтствующія давленія пружинъ въ С и Z), если k есть упру-
гая сила пружины при измѣненіи длины ея на 1-цу; 3) необходимую
для вращенія силу Р въ В. {Zeitschrift d. Vereins deutscher Ing.
i897, S. 96.)
15. Равновѣсіе при участіи тренія.
308. Точка т можетъ скользить по периметру правильнаго 6-уголь-
ника и притягивается тредш его вершинами ти т2
и тв пропорціонально соотв. разстояніямъ; сила
притяженія на разстояніи 1-цы равна k. Какъ ве-
ликъ долженъ быть коэффиціентъ тренія /, чтобы
точка т оставалась въ равновѣсіи во всякой точкѣ
периметра, и какъ велико, при этомъ, нормальное
сопротивленіе W периметра.
309. По полуокружности можетъ скользить точка ш, притяги-
ваемая концами пгх пі2 діаметра съ силами, про-
порціональными разстояніямъ и имѣющими зна-
І^у^ \ ченія kx и к2 на 1-цѣ разстоянія. При какихъ
щ ' та значеніяхъ tgy точка т не будетъ находиться
k2 = 3 : 2 и коэф-тъ тренія /= 0,2?
*310. По квадранту помощью веревки
поднимаютъ грузъ G. При какомъ углѣ <р
натяженіе 5 веревки будетъ наибольшимъ,
если уголъ тренія==р?
311. Невѣсомый брусокъ АВ = 1 опи-
рается точкой С на вертикальную колонну
CD и за конецъ В удерживается веревкой BD\
на его концѣ А виситъ грузъ Р\ разстоянія a ж Ъ
и углы а и ß извѣстны. Еакъ великъ долженъ быть
коэф-тъ тренія / въ С, чтобы брусокъ былъ въ
равновѣсіи, и какъ велико при этомъ натяженіе 5
веревки?
312. Цилиндръ радіуса г и вѣсомъ 2 G разрѣ-
занъ по діаметральной плоскости на двѣ половины,
которыя опираются, какъ показано на чертежѣ,
заД зі2. другъ на друга и на горизонтальную совершенно
^ад. 309.
въ равновѣсіи, если
Тг— с
^.

— 51 —
Зад. 315.
і ичі>ую іілосжость; уголъ плоскости разрѣза еъ горизонтомъ а извѣ-
. Hin.. Наііти при равновѣсіи: 1) коэф-тъ тренія / плоскостей раз-
і>і і.і, й) реакціи опоръ А и В\ 3) давленіе D между полуцплнндра-
мі іі \) разстояніе х точки приложенія D.
:ИЗ. Брусокъ AB = 21 вѣсомъ ^ ле-
і.іп і, иъ вертикальной плоскости на полу-
піііиііідрѣ радіуса г и вѣсомъ G и опи-
іинчѵіі концомъ ^4 на гладкій горизонталь-
ііміі иолъ; коэф-тъ тренія между брускомъ
н ііолуцилиндромъ =/; при какойдлинѣ /
ііиичііе между полуцилиидромъ и брускомъ пройдетъ черезъ центръ
пи.іхтіі 5Х послѣдняго?
314. Двѣ невѣсомыя призмы поставлены другъ
п.і друга и обвязаны нерастяжимымъ шнуромъ.
кокфый образуетъ съ нижнеи углы а и ^. Найти
іо;м|)-тъ тренія между призмами, если въ дан-
ішмъ положеніи призмы находятся въ равновѣсіи.
315. Кубъ (as) вѣсомъ G, можетъ вра-
іц/пься около ребра О, укрѣпленнаго въ гори-
нштальной плоскости, и опирается на доску,
нмѣющую вѣсъ GY и толщину Ь=-т-- Какъ
игликъ долженъ быть коэф-тъ тренія /между зад. аіб.
доскон и плоскостью, на которой покоится вся система, чгобы по-
і іі;дияя находилась въ равновѣсіи въ указаішомъ на чертежѣ поло-
?ад. 314.
316. Брусокъ AB-=21 вѣсомъ G укрѣп-
ігііъ въ В на шарнирѣ и удерживается въ
р.няювѣсіи нитью CD = a, на концѣ которой
ііагіштся кольцо D, надѣтое на брусокъ. Коэф-тъ
і |мчіія между кольцомъ и брускомъ=/; СВ=Ь.
!•■■• какихъ предѣлахъ будутъ измѣняться при
іиніііовѣсіи уголъ <р, давленіе въ D и натяже-
н и1 .S нити?
317. Брусокъ АВ = 1 опирается концомъ
/ im шероховатый полъ, а точкой С — на
Зад. 3J7.
4*

— 52 —
Зад. 31$.
імшдкую иертикальную стойку высотою а; при равновѣсіи уголъ
между поломъ и брускомъ = а. Найти наименыную величину коэф-та
*М тРен*я / межДУ иоломъ и брускомъ.
д^щ 318. Брусокъ AB, центръ тяж. 5 котораго
ajr Щ^ извѣстенъ, опирается концами на полъ (коэф-тъ
. А#\ѵ ^ тренія/3) и на вертикальную стѣнку (коэф-тъ
тренія /2). При какомъ значеніи угла <р равно-
вѣсіе бруска нарушается?
319. Эллиптическая шайба опирается на
шероховатый полъ и совершенно гладкую
стѣну такъ, что ея оси наклонены къ гори-
зонту подъ угломъ въ 45°. Найти коэф-тъ
тренія/между подомъ и шайбой, если послѣд-
няя въ данномъ положеніи начинаетъ сколь-
зить. (Walton.)
320. Брусокъ AB вѣсомъ G опирается концомъ
"" А на горизонтальный полъ (коэф-тъ тренія /) и
за конецъ В удерживается нитью; уголъ наклона
бруска къ полу а = 45°. При какомъ зиаченіи угла
ф наклона нити къ горизонту начнется скольженіе
стержня и какъ велико давленіе въ А?
321. Тяжелый брусокъ силою тренія удерживается
между двумя горизонтальными стержнями А и В. Какъ
велико должно быть разстояніе х центра тяжести
бруска отъ А, чтобы онъ не могъ выскользнуть изъ
своихъ опоръ? (Walton.)
322. Два полуцилиндра одинаковой длииы, имѣющіе
радіусы г и гг и удѣльные вѣса Y и Yn расположены
одинъ на другомъ, какъ показано на чертежѣ. Опредѣлить
коэф-тъ тренія между соприкасающимися плоскостями по-
луцилиндровъ, если послѣдніе находятся въ равновѣсіи.
323. Полуцилиндръ радіуса г и вѣса G
опирается на два другихъ полуцилиндра,
имѣющіе каждый радіусъ гг и вѣсъ Gx\ по-
f полуцилиндровъ гладкія, а коэф-тъ
З2з. тренія между поломъ и нижними полуцилин-
Зад. 320.
Зад. 322

— 53 —
Зад. 324.
іі гмі /. ІІри какомъ разстояніи х начиется скольженіе ннжыихъ
іін -|\ ІІІІЛИІІДРОВЪ?
ѵ>Л, Два цилиндрическихъ вальца, имѣющіе вѣса
• , и (t\J9 опираются другъ на друга, о стѣну и на
in-іі., какъ показано на чертежѣ; соотвѣтственные
і." ••!• ім тренія ff 2 /і- При нѣкоторомъ опредѣленікжъ
і 11. 'f вальцы находятся въ равновѣсіи. Опредѣлигь
и|мі :>томъ наименьшія значенія коэф-товъ тренія, давле-
ііі«' I) между вальцами, давленіе Dl на полъ и D2 на
\ і І.пу.
325. На двухъ, накдоненныхъ къ гори-
иніту подъ угломъ въ 45°, плоскостяхъ ле-
лши три куба, каждый вѣсомъ G\ данъ уголъ
ірпіія р между соприкасающимися плоско-
«■тіііііи. Какой вертикальной силой Р можно зм.
иодиять нижній кубъ?
326. Брусокъ AB лежитъ внутри вертикальной
окружности радіуса а, на разстояніи b отъ ея центра
О. Опредѣлить уголъ ср въ крайнемъ положеніи равно-
»іісія бруска, если коэф-гь тренія между окружностью
и брускомъ=/.
327. Два бруска, имѣющіе каждый длину / и вѣсъ
(і и связанные въ О шарниромъ, лежатъ на цкдиндрѣ
радіуса г. Въ какихъ предѣлахъ можетъ измѣвятьсн
уголъ ср между брусками, если уголъ тренія между
брускомъ и цилиндромъ = р ? Какъ велико давленіе D
\\ъ точкѣ соприкосновенія бруска съ цилиндромъР
328. Два груза G± и G2, связанные между
собою гибкой нитью, расположены — одинъ на
наклонной подъ угломъ а къ горизонту плоско-
сти (уголъ тренія рх), а другой на цилин-
дрической поверхности (уголъ тренія р2). Въ
какихъ предѣлахъ можетъ измѣняться уголъ
'f при равновѣсіи?
% 329. Шарнирная система ABCD под-
вѣшена при помощи колецъ А и D на
Зад. 327.
Зад. 328.
G 6
Эгд 329.

— 54 —
Зад. 331.
двухъ, ііаклоненныхъ подъ угламн а къ горизонту, брускахъ; въ
шарнирахъ В и С приложены два равныхъ груза G\ уголъ тренія
между кольцомъ и брускомъ = р. Въ какихъ предѣлахъ измѣняется
уголъ <р при равновѣсіи системы и каковы усилія 5Х и 52 стержней
AB и ВС въ крайнихъ положеніяхъ равновѣсія?
330. Два равныхъ бруска, каждый длиною / и
вѣсомъ G, соединены въ О шарниромъ и опи-
раются въ А и В на вертикальную стѣну, какъ
показано на чертежѣ. Какъ великъ долженъ быть
>коэф-тъ тренія въ А и В, чтобы бруски при
равновѣсіи составили между собою прямой уголъ,
и каковы при этомъ реакціи опоръ А и В?
331. Къ горизонтальной призмѣ прислонеиъ
брусокъ вѣсомъ G\ коэф-тъ тренія въ В равенъ
/. Конецъ бруска А медленно передвигаютъ влѣво.
Опредѣлить наименьшій вѣсъ О призмы, необхо-
димый для того, чтобы не произошло опрокиды-
ванія ея около О и значеніе угла а, при
которомъ Q получаетъ наиболыпую величину.
332. Призма вѣсомъ 0 лежитъ на под-
вижной подставкѣ, имѣющей вѣсъ G\ коэф-тъ
тренія между подставкой и призмой=/, а
между поломъ и подставкой^^/і. Опредѣлить
силы Р при равновѣсіи, пользуясь принци-
помъ возможныхъ первмѣщеній.
333. Тяжелое тѣло имѣетъ три точки опоры А, В
и С на негладкой горизонтальной плоскости; опоры
испытываютъ давленія Р, Q ж R. Нѣкоторая пара
силъ, вполнѣ достаточная, чтобы преодолѣть треніе,
стремится вр^щать данное тѣло. Около какой
точки 0 произойдетъ это вращеніе, если
коэф-тъ тренія между тѣломъ и плоскостью =
=/? {Routh)
334. Брусокъ ОА=1 вѣса G, укрѣплен-
ный въ точкі 0 на сферическомъ шарнирѣ,
заД. зз4. концомъ А опирается на плоскость, накло-
Зад

— 55 —
кь горизонту подъ угломъ а. Найти уголъ ср пря крайнемъ
ігііііі равновѣсія бруска и давленія въ ^ и О, если разстояніе
.іі 0 отъ плоскости=я и коэф-тъ тревія между стержнемъ и
\\5. Однородный брусокъ АВ=1 вѣ-
• <иц, (і укрѣпленъ въ точкѣ А на сфери-
•і.тиомъ шарнирѣ и концомъ В опирается
н і шаровую поверхность (коэф-тъ тренія/)^ ^-—^ 3*д335
Нц|м».дѣлить при крайнемъ положеніи равно-
ыпп бруска: 1) уголъ <р: 2) нормальное сопротивленіе D шара въ
мпі.і; В\ 3) сопротивленіе А шарнира.
16. Простыя машины.
336. Опредѣлить грузъ Р, необходимый для предоіранительнаго
ііЛііпана парового котла, если : а = 1,0»і/., Л = 0,2 mt.9 r = l спі.,
./ 6 ст.\ коэф-тъ тренія въ цапфѣ ==/!=
0,1; давленіе пара въ котлѣ=-/==7 атмо-
п()сръ; вѣсъ рычага = Q = 8 kg.: 5 = 45 cw.
337. Показать, что для вѣсовъ Роберваля
игсгда имѣетъ мѣсто равенство Pa = Qb,
ііг.»ависимо отъ положенія грузовъ Р и Q g
па чашкахъ. О и Оѵ—неподвижныя точки jß <
иращенія; ОА = а, ОВ=Ь.
338. Платформныевѣсыпостро-
д, ,
Т
Зад. 337.
т
в
а
піы такимъ образомъ, что -r=—t-
а Г
За«.. 338.
/ ^ Oxjp; g= OXG. Показать, что
ири этомъ всегда существуетъ зависимость: Р. g^Q- /•
339. He принимая во внимаыіе
тренія, найти зависимость между силой
/} и грузомъ Q въ механизмѣ съ диф-
ференціальнымъ винтомъ, у котораго
// и Іц — шаги винтовой рѣзьбы и . зад ззэ.
N—длина кривошипа.

— 56 —
340. Ha топчакѣ*)г ось котораго наклонена подъ угломъ въ 20°
къ вертикали, находится въ Р лошадь, вѣсомъ
въ 280 kg., на разстояніи отъ оси=7 mt.
Діаметръ вала = 20 ст. Опредѣлить грузъ Q,
который можетъ быть поднятъ приводомъ,
если діаметръ, къ концу котораго приложенъ
ш- вѣсъ лошади Р, имѣетъ горизонтальное поло-
женіе. (Вредныя сопротивленія въ расчетъ не принимаются.)
341. На плоскости, наклоненной къ горизонту подъ угломъ а = 50°
находится грузъ £, удерживаемый въ равновѣсіи силою Р, которая
направлена подъ угломъ ß=30° къ вертикали; уголъ тренія между
грузомъ и плоскостыо = р = 5°. Послѣ этого плоскость опустили иа
уголъ y=10° и, чтобы грузъ G удержать въ равновѣсіи въ новомъ
положеніи, оказалось необходимымъ уменьшить Р на величину
> = 10 kg., не измѣняя наклопа Р къ вертикали. Опредѣлить Р и G.
342. Два неподвижные вала одинаковаго
) радіуса обвиты шнуромъ, къ коіщамъ котораго
приложены грузы Р и О, при чемъ Р въ 10
разъ больше О. Какъ великъ долженъ быть
коэф-тъ тренія между щнуромъ и валомъ,
чтобы грузы были въ равновѣсіи?
343. Найти зависимость между
дѣйствующей силой и грузомъ и
оиредѣлить коэф-тъ полезнаго дѣй-
ствія Г] для полиспаста, указаннаго
на чертежѣ. Части 1, 2, 3 веревокъ
считаются приблизительно парал-
лельными, блоки одинаковаго діа-
метра и отдѣльныя веревки одина-
ковой толщины.
344. Найти коэф-тъ полезнаго дѣйствія для полиспаста, даннаго
на чертежѣ, при тѣхъ же условіяхъ, что и въ предыдущей задачѣ.
*) Топчакомъ называется наклонная круглая платформа, по периметру
которой всходитъ лошадь или волъ и своимъ вѣсомъ приводитъ ее во вра-
щеніе около ея оси, лежащей въ неподвижныхъ опорахъ.
Примѣч. ред.

— 57 —
145. ІІайти коэф-тъ подезнаго дѣйствія ддя полиспасга, указан-
п на чертежѣ. Условія тѣ же, что и въ аадачѣ 343.
346. Найти зависимость между силой и грузомъ для полисласта,
указаннаго на чертежѣ, и опредѣлить его коэф-тъ полезнаго дѣйствія.
Условія тѣ же, что и въ задачѣ 343.
347. Шнуръ, перекинутый черезъ три совершенно одинаковыхъ
олока, привязанъ концами къ рычагу AB, который можетъ вращаться
около точки 0. Принявъ въ расчетъ сопротивлевіе блоковъ, опредѣ-
лить, при какомъ значеніи Р лѣвый блокъ начнетъ опускаться внизъ?
ІІайти, въ какомъ отношеніи должиы находиться плечд ОА = а и
ОВ = Ь при равновѣсіи рычага. Ш///ШШШШ
348. Шнуръ перекинутъ черезъ три одннаковыхъ
блока и привязанъ въ точкѣ А. Принимая во вни-
маніе сопротивленіе блоковъ, опредѣлить, при какомъ
значеніи Р грузъ Q будетъ подниматься ? При ка-
комъ значеніи коэф-та S (см. ptju. зад. 343) снла Р
окажется вдвое больше разви-
вающагося въ А натяженія веревки?
349. Шнуръ, перекинутый черезъ три оди-
наковыхъ блока, пріавязанъ концамв къ В.
Принимая во вниманіе сопротивлеыіе блоковъ,
опредѣлить, при какомъ значеніи Р грузъ Q
будетъ подниматься? Найти растягивающее
заД. 349. усиліе Z въ А.
348.

— 58 —
Зад. 350.
Зад. 351.
350. Ha рукояткѣ винтового-клинчатаго пресса дѣйствуетъ сила
Р=10 kg. Какое сопротивленіе мо-
жетъ преодолѣть данный прессъ, если:
1) коэф-тъ тренія въвинтовой нарѣзкѣ
/=0,1; 2) коэф-тъ тренія между
клиньями и платформой пресса, а
также между клиыьями и опорной пли-
той,/=0,08? Какъ великъ коэф-тъ полез-
наго дѣйствія пресса, если извѣстно, что
я = 0,4 w/., ß = 10°, уголъ наклона винто-
вой нарѣзки а = 5°, r = 2 ст.?
351. Клинъ, на который дѣйствуетъ сила
Р, передаетъ давленіе • черезъ промежуточную
(невѣсомую) вставку М на другой клинъ. Какоіі
грузъ ^можетъ поднять второй клинъ, если 2а и 2ß—углы клинь-
евъ и р, р1? ро—углы тренія?
352. Ha иризму, имѣющую высоту
h и ширину а, сверху и снизу дѣй-
ствуютъ одинаковыя давленія О. Приз-
ма разрѣзана по діагонали. По исте-
ченіи какого времени обѣ половины
призмы перемѣстятся въ положеніе,
указанное на второмъ чертежѣ, если р и рх—углы тренія въ сопри-
касающихся плоскостяхъ? При какомъ значеніи -■ перемѣщеніе поло-
винокъ призмы окажется невозможнымъ?
353. Съ помощью вертикальнаго ворота
_£ четве^о рабочихъ поднимаютъ грузъ Q\ усиліе
каждаго изъ нихъ/:>=10 kg. Принимая во вни-
маніе треніе въ подшипникахъ ворота, жест-
<ЦХ кость каната и сопротивленіе направляющаго
блока L, опредѣлить грузъ Q и коэф-тъ по-
лезыаго дѣйствія ворота: Дано: R = Z mt.,
/?1==:20 спг., діаметръ каната сі=і ст.,
радіусъ блока L равенъ r = 20 cm., радіусы
цапфъ ворота и блока рі=ро=4 ст. и коэф-тъ тренія / = 0,08.
Зад.
Зад. 353.

— 59 —
JaÄ 3Ö4*
МЛ. Балка AB длиною /=3 mt. и вѣсомъ 6 = 400 kg.9 укрѣп-
'ц іііііііі въ А на шарнирѣ, поднимается за ковецъ В пеньковымъ
і.ішлтомъ, діаметръ котораго rf=3 cm. Канатъ
■іп|м*кііііутъ черезъ два неподвижныхъ блока
' и І)\ радіусъ каждаго изъ нихъ R = 20 ст.,
і рлдіусъ шипа р = 2 ст.\ АС=а = і mt
<>іі|м'дг,лпть: 1) При какомъ положеніи балки
шгпіженіе 52 каната будетъ наибольшее?
М Какую силу Р необходимо приложить къ
ічюбодному концу каната, чтобы поднимать
иплку въ этомъ положеніи (при тах vS2), приннмая во вниманіе
пшротивденія блоковъ? (Коэф-тъ тренія/1 = 0,1.)
355. На обѣихъ рукояткахъ гори-
іоитальнаго ворота работаютъ четверо
рабочихъ, каждый съ усиліемъ въ 8^.;
даио: длина кривошипа рукоятки /? =
0,4 mt., радіусъ барабана г = 8 ст.л
діаметръ каната d=2 cm.; на треніе
іп. подшипникахъ расходуется 4% всей
работы. Опредѣлить грузъ Q, который можетъ поднять этотъ воротъ
п коэф-тъ полезнаго дѣйствія послѣдняго.
356. Горизонтальнымъ воротомъ (см. черт. зад. 355), у котораго
длнна плеча каждой рукоятки 7^ = 60 ст., діаметръ барабана
•>г=30 ст. и радіусъ шиповъ р = 2 ст., требуется подиять грузъ
г^ = 50 kg. Пеньковый канатъ радіуса rf=2,5 cm.9 на которомъ
ииситъ грузъ О, подводится къ барабану ворота горизонтально,
іюсредствомъ направляющаго блока, радіусъ котораго г{ = 15 спи,
\\ діаметръ шипа 2р, = 4 ст. Принимая во вниманіе треніе въ
шипахъ (/= 0,08) и жесткость каната, опредѣлить силу Р на обѣ
рукоятки, необходимую для подъеиа груза, и найти коэф-^ъ полезнаг^
ді.йствія ворота.
357. Необходимо поднять грузъ Q съ помощью
ішньковаго каната (діаметръ = d), навивающагося
ііа валъ радіуса г, на оси котораго насажена ру-
коятка съ плечемъ /?. Валъ лежитъ на двухъ
иаклонныхъ плоскостяхъ, каждая изъ которыхъ со-
Зад 357

— 60 -
ставляетъ съ вертикалью уголъ а. Опредѣлить силу Р ііа рукоятку
при подъемѣ даннаго груза, если уголъ тренія между валомъ и нло-
скостями = р ?
358. Пустьвъзад. ЗЮгрузъ £=100 kg., <p =45°, f=tgp = Q,2.
Въ точкѣ С канатъ, діаметръ котораго d=2 cm., проходитъ че-
резъ блокъ радіуса /? = 12 ст.\ радіусъ оси блока r = 2 cm. и
коэф-тъ тренія оси /г = 0,1. Какая сила Р необходима для подъема
груза и какъ велика должна быть сила РІ9 необходимая лишь для
удержанія груза въ равновѣсіи?
359. Грузъ Q подвѣшенъ на совершенно гибкой
ішти, намотанной на блокъ радіуса R. Черезъ ось
блока иерекинута другая нить, благодаря натяженію
и крученію которой блокъ вращается въ указанномъ
направленіи и поднимаетъ грузъ Q. Зная коэф-тъ
тренія между нитью и осью блока и радіусъ г по-
слѣдней, опредѣлить натяженія Кх и К2 нити при
зад. 359. — подъемѣ груза Q.
360. Какъ измѣнится результать предыдущей задачи, если при-
нять во вниманіе треніе оси въ своихъ опорахъ (коэф-тъ тре-
нія ^ _
361. На чертежѣ показанъ прессъ Marsth'a:
шарниры 0 ж Ох укрѣплены неподвижно въ ста-
¥/>нинѣ; при вращеніи моховичка по стрѣлкѣ гайки
на винтѣ сближаются и платформа AB опускается.
Введя въ расчетъ треніе винтовой рѣзьбы, опредѣ-
лить усиліе Р, какое нужно приложить къ махо-
вичку, радіусъ котораго R, чтобы произвести дан-
ное давленіе Q платформы.
362. Грузъ £=3000 kg., положенный на ко-
лесную повозку, поднимаютъ по наклопной плоскости, длина кото-
рой 80 tnt. и высота 4 ті., съ помощью
пеньковаго каната, перекйнутаго чрезъ
блокъ. Дано: діаметръ каната = 2 ст.\ діа-
метръ колеса = 0,5 mt.\ діаметръ оси ко-
леса = 5 ст.\ діаметръ блока=1 mt.\ діа-
метръ оси блока = 12 <ти.; коэф-тъ тренія въ шипахъ = 0,08. Опре-
Зад ЗЫ
Зад. 362.

— 61
Зад. ЗСЗ.
іі.чнть, какую силу Р нужно приложить къ концу каната, чтобы:
I) поднимать грузъ; 2) удерживать его въ равнсвѣсіи?
363. Грузъ G поднимается на каткахъ по наклонной подъ
уиюмъ а = 20° къ горизонту плоскостя съ помощью пеяьковаго
клната, толщиною 1,5 ст., на-
тннутаго вдоль плоскости посред-
іѵгвомъ горизонтальнаго ворота
((м. зад. 355), который враща- G
ютъ двое рабочихъ, дѣйствуя на ^
1>укоятку каждый съ усиліемъ
въ 10 kg. Дано: радіусъ катка Rx = 5 спг.; радіусъ барабава ворота
г=10 ая.; длина рукоятки /?=40 ст.\ радіусъ шииа р=2 ст.\
коэф-тъ тренія въ шипахъ/2 = 0,1. Найти веяичпеу груза G.
17. Цѣпныя /іинім.
364. Для дуги AB подвѣшенной тяжелой цѣпи извѣстенъ
центръ тяжести 5. Найти точку пересѣченія касательыыхъ къ этой
дугѣ въ точкахъ А и В.
365. На цѣпь, подвѣшенную къ двумъ точкамъ, дѣйствуютъ нѣ-
сколько силъ, пересѣкающихся въ однюн неподвижноіг точкѣ О.
Найти зависимость между натяженіямп въ двухъ произвольно
выбранныхъ мѣстахъ цѣпи. {Petersen.)
366. Однородная иить АС=1, иод-
вѣшенная въ точкѣ А, лежитъ частью
ВС на наклоцной плоскости. Найти
длину ВС=1±, если углы а и ß из-
вѣстны. {Walton.)
367. Тяжелая одпородпая нить укрѣ-
плена концами въ двухъ точкахъ, рас-
положенныхъ на одной высотѣ; натяженія въ этихъ точкахъ равны
вѣсу нити. Опредѣлить уголъ наклона <р каьателышхъ въ этихъ
точкахъ къ горизонтали и величину отношенія длины нити къ раз-
стоянію между точками подвѣса. [Walton.)
Зад. 3G6.

— 62 —
368. Однородная цѣпь ABC длиною 2/ подвѣшена въ точкахъ
А іі С, которыя расположены на одной высотѣ,
и имѣетъ провѣсъ к Середину В цѣпи подвѣ-
сили къ точкѣ D. Какъ измѣнились благодаря
этому величина и направленіе натяжеыій въ А
и С? Найти вовую величину натяженія.
369. Однородная цѣпь длиною / и вѣсомъ G
подвѣшена однимъ концомъ къ точкѣ В. Другой конецъ цѣпи — А
требуется расположить выше В такъ, чтобы въ точкѣ В развилось
заданное горизонтальное усиліе //. Найти разстоянія точки А отъ
В, — горизонтальное S и вертикальное г,.
370. Однородная цѣпь находится въ равновѣсіи
въ указанномъ на чертежѣ положеніи. Горизонтальное
натяженіе H=2ql\ 2/—длина цѣпи между точка-
ми А и В и %ql — вѣсъ ея. Опредѣлить длину
части h цѣпи. (Walton.)
371. Часть однородной цѣпи, полная
длина которой /, лежитъ на горизонтальной
ллоскости и задерживается отъ передвиже-
ній по ней силою тренія. При какой длинѣ
z свободно висящей части цѣпи система
будетъ въ равновѣсіи?
372. Концы однородной цѣпи
покоятся (съ треніемъ) на двухъ
горизонтальныхъ плоскостяхъ, раз-
сгояніе между которыми=6. Какъ
велика должна быть разность х—х1
иежду горизонтальными частями
цѣпи въ случаѣ равновѣсія?
373. Однородная цѣпь прикрѣ-
плена своими концами къ абсо-
лютно гладкому горизонтальному стержню AB
длиною 26; одно изъ звеньевъ ея С надѣто
на стержень. Какую форму примутъ обѣ части
цѣпи, если длины ихъ АС=2/1 и ВС=212
извѣстны?
Зад. 372.

— 63 —
однимъ
374. Однородная цѣпь, вѣсъ 1-цы длины которой =
імццомъ прикрѣплена въ точкѣ А, а друпшъ
и|ііміуіцена черезъ совершенно гладкое кольцо В,
і.оифое можетъ быть укрѣплено въ произ-
ПИ.ІІЫЮЙ точкѣ горизонтальнаго стержня AB.
іі-і. концу С цѣпи подвѣшенъ грузъ Q. Длина
ці;пи --/. Найти геометрическое мѣсто точки С при всѣхъ возмож-
иыхъ ноложеніяхъ равновѣсія.
"375. Какъ долженъ измѣняться вѣсъ 1-цыдлины
цѣпи, чтобы цѣпная линія обратилась въ полу-
окружность? Опредѣлить величину натяженія въ любой
точкѣ М. {loh. ВетоиШ.)
*376. Къ двумъ точкамъ А и В, расположеннымъ на однай
пфизонтали въ разстояніи %Ь другъ отъ друга, подвѣшена цѣпь
ікфемѣннаго сѣченія. Вѣсъ единицы длины ея измѣняется пропор-
ціонально косинусу угла наклона <р элемента цѣли отнооительно го-
|)изонта. Опредѣлить кривую, по которой расположится цѣпь, еоли
неличина ея провѣса h извѣстна. {Jakob und Joh. Bcrnoulli.)
*377. Между точками А и В, располо- А_ 0 ь
женными на одноп горизоыталп, подвѣшена
иевѣсомая цѣпь, несущая на себѣ нагрузку,
ііеравномѣрно распредѣленную по горизон-
тали CD. Перемѣнная величина нагрузки
на 1-цу длины обозначена черезъ q. Найти
наконъ измѣненія ^, если цѣпь приняла форму кривой у =
= h cos
*378. Къ точкамъ А и В} располо-
женнымъ на одной высотѣ, подвѣшена не-
вѣсомая цѣпь, несущая на себѣ двѣ раз-
личныя по величинѣ, равномѣрно распредѣ-
ленныя нагрузки, имѣющія значенія qx и q2
для 1-цы длины горизонтали AB. Наиболь- ^
шій провѣсъ цѣпи hm извѣстенъ. Найти
горизонтальное натяженіе цѣпи.
заА. 378.
& Къ двумъ точкамъ А и В, находящимся на одной гори-
зонтали на разстояніи 2Ь одна отъ другой, привѣшена невѣсомая

цѣпь, нагруженная равномѣрно распредѣленной по горизонтали
нагрузкой q.2b и сосредоточеннымъ гру-
зомъ Q (разстоянія AD=bx и BD = b2).
Провѣсъ h цѣпи въ точкѣ прнложенія
груза Q взвѣстенъ. Найти горизовтальное
натяженіе цѣпи въ этой точкѣ.
*380. При такой нагрузкѣ цѣпи, какъ
и въ предыдущей задачѣ, величина AD — z Ü0£ Зад*379<
можетъ измѣняться. Провѣсъ h± цѣпи на серединѣ длины АВ=2Ь
извѣстенъ. Опредѣлить величину іг мѣсто наибольшаго провѣса hm и
навти натяженіе цѣпи въ А.

^I
II. Кинематика точки.
1. Прямолинейное движеніе.
381. Точка имѣетъ щшальную скорость ѵ0 идостоянное отрица-
іглі.ііос ускореніе Ьх\ черезъ т секундъ ускореніе становится = 0,
.і чіфезъ слѣдующія п секундъ точка получаетъ новое отрпцательное
\«і.оргіііг Ь2. Опредѣлить путь s, пройденный точкой до начала
«»п|і;гі'ііаго ея движенія, и найти скорость ѵ1 точки при вторичиомъ
п|ні\ижденіи ея черезъ начальное положеніе. Начертить діаграмму
іі імг.певія скорости съ измѣненіемъ времени.
382. Вѣсомая точка падаетъ свободно и безъ начальноіі ско-
|ммти. Бторая вѣсомая точка, расположенная на а ыиже первой,
іі|мшіена кверху одновременно съ началомъ паденія первой по той же
пгртикали съ начальной скоростью ѵ0. По истечвиіи какого времени
/' пстрѣтятся обѣ точки? На какомъ разстояніи отъ начальнаго
ішложенія верхней точки произойдетъ встрѣча?
383. Вѣсомая точка брошена въ колодецъ безъ начальной ско-
|нн'.ти; послѣ / сек. услышанъ звукъ ея паденія. Опредѣлитъ глубину
колодца, если скорость звука = а mir. въ сек. и если сопрогивленіе
іміздуха не принимается въ разсчетъ.
384. Двѣ точки движутся равноыѣрно одна за другою по одной
іірямой со скоростями сх и с.2> Разстояиіе между ихъ пачальными
іюложеніями = а. По истеченіи какого времени Т произойдетъ
(толкновеніе точекъ? (Рѣшить также графически при помощи
діаграммы.)
385. Двѣ точки съ начальными скоростями ѵ1 и ѵ2 и съ постоян-
ными ускореніями уі и у2 движутся одна за другою по одной ирямой;
разстояніе между ихъ начальными положеніями = а. По истеченіи
какого времени Т произойдетъ встрѣча точекъ?
386. Вѣсомая точка брошена въ безвоздушномъ пространствѣ
г.ертикально вверхъ съ начальной скоростью ѵ0. Черезъ / сек. бро-
шена изъ того же мѣста другая точка—также вверхъ и съ тою же
5

— 66 —
скоростью ѵ0. По истеченіи какого времени tl9 считая отъ начала
движенія второй точки, произойдетъ встрѣча?
387. Двѣ точки начинаютъ двигаться одиовременно, проходятъ
одинаковый путь и одновременно останавливаются. Одна точка начи-
наетъ движеніе со скоростью с и съ постояннымъ отрицательнымъ
ускореніемъ Ь1 въ сек. Другая точка начинаетъ движеніе со ско-
ростью ѵо=0\ въ началѣ оиа имѣетъ постоянное ускореніе Ь.>,
но какъ только ея скорость дѣлается = с, ей сообщается постоянное
отрпцателыюе ускореніе = — х, дѣйствующее до полной остановки
этой точки. По истеченіи какого времени Т останавливаются обѣ
точки и какой путь 5 онѣ проходятъ? Опредѣлить время /, по исте-
ченіи котораго начинаетъ дѣйствовать ускореніе (—х). Найти (—х)
и начертить діаграмыу изиѣненій скороетей.
388. Три точки А, В и С движутся по одной прямой другъ за
другомъ и начинаютъ свое движеніе отъ одного и того же мѣста
съ одинаковон скоростью ѵ0 = 246 . Первой начинаетъ движеніе
SCC
точка А съ отрицательнымъ ускорешемъ Уі = Ю—§"• -^а 4 = ^ сек-
позднѣе иачииаетъ равномѣрно двигаться точка В. Еще на тй = 3 сек.
_ . . mir
позднѣе начииаетъ движешс точка С съ ускореиеніемъ у2 = 4 —^- •
По истечеіііи какого времени / разстоянія AB и ВС сдѣлаются
равными? Опредѣлить при этомъ ихъ величипу.
389. Двѣ точки начинаютъ двигаться одновременно по одной и
той же прямоіі. Первая точка, не имѣя начальной скорости, обла-
Witt
даетъ ускореніемъ = 1 —^ \ оно Дѣиствуетъ въ теченіе 3 сек., затѣмъ
прекращается и снова начинаетъ дѣйствовать въ началѣ 9-ой сек.
Вторая точка имѣетъ начальн. скорость 8 и отрицательное уско-
/л у. mtr r
реніе 0,5 —т>-, которое продолжается 5 сек., затѣмъ прекращается и
снова начииаетъ дѣйствовать въ началѣ 10-ой сек. По истеченіи какого
времеии /, считая отъ начала движенія, обѣ точки будутъ имѣть одина-
ковуюскорость? Опредѣлить ея величину u начертитьдіаграмму скоростей.

м..
— 67 —
;і!>0. Точка, находящаяся на разстояніи х отъ отталкивающаго
м|ш, нолучаетъ отъ него ускореніе у = £#3, гдѣ k — постоянный
/J /2"
. Въначалѣ движенія /=1, х=Л/ -Гі ѵ=—1/ -^
f k \ k
l;ii|u::im, .v, z/ иу какъ функціи времени. Гдѣ подвижная точка
М.І.ГП. находиться въ покоѣ?
391. Двѣ одинаковыхъ точки притягиваются нѣкоторымъ цент-
jH.ui. п> ускореиіемъ ^ = kx^n\ одна точка находится въ началѣ
ініг.і.-гнія на разстояиіи х = оо, а другая на разстояніи х=а отъ центраі
і.іп онѣихъ точекъ ѵ0 = 0. Когда первая точка будетъ отъ центра на
i'.niюяиіи х = а и вторая на разстояніи # = —, то скорости обѣ-
пѵі, точекъ будутъ одинаковы. Опредѣлить п. [IValton)
:392. Точка движется такъ, что ея скорость ѵ = а l
мі. а и b — постоянныя, /—время. Опредѣлить уокореніе какъ
Фупкцію скорости.
k
;<"393. Ускореніе точки есть у = , гдѣ ^ и а—постоянныя,
СІ ~~~~ S
. путь точки. Выразить путь и ускореніе чрезъ скорость ѵ. Въ на-
•і;ііѣ движенія 5 = 0 и ѵ = 0.
>:*394. Точка т притягивается неподвижной точкой т1 съ силой,
ирнмо процорціональной массамъ т и шх точекъ и обратно пропор-
иіональной третьей степени разстоянія между ними. Яо истеченіи
клкого времени / движущаяся точка дойдетъ до Беподвпжной? На-
■іальное разстояніе = а; начальная скорость = 0. {Walten.)
"х*395. Точка, удаленная на разстояніе а отъ неподвижной точки,
ітдаетъ къ послѣдней съ ускореніемъ = >&2г~32, гдѣ k — постоян-
пая, а г—перемѣнное разстояніе между обѣими точками. Опредѣлить
іфодожительность / паденія, если начальная скорость = 0. {Walton.)
"396, Точка массы т лежитъ на серединѣ разстоянія 2а между
двумя точками, массы которыхъ т1 равны между собою и притя-
гивается ими по закону Ньютона. Точкѣ т сообщается начальная
г.корость ѵ0 по направленію къ одной изъ точекъ tn±. Какую ско-
рость ѵ получитъ т, пройдя половину пути до тх?
5*

— 68 —
*397. Точка движется по цѣпной линіи, уравненіе которой
2
д ц , ур
397.
съ постоянной скоростью с. Опредѣлитъ то уско-
реніе уз,, съ которымъ проэкція Q точки дви-
жется по оси у.
*398. Въ серединѣ между двумя неподвижными точками Ог и О2,
отстоящими одна отъ другой на разстояніи а, лежитъ подвижная
точка, вначалѣ находящаяся въ покоѣ. Она притягивается точками
О± и Оо пропорціонально разстояиію; kx и k2 — притяженія ея
точками О± и О2, соотвѣтствующія единицѣ разстоянія. Опредѣлить
отношеніе -^-, если ближайшее положеніе покоя для подвижной точки
будетъ въ
Зад. 399.
Зад. 401.
Зад. 402.
*399. Прямая g движется параллельно самой себѣ со
скоростью г\ и ускореніемъ ух. Она пересѣкаетъ непо-
движную прямую А, обрэзуя съ ней уголъ <р; М — точка
*• пересѣченія обѣихъ прямыхъ. Съ какой скоростью ѵ
и ускореніемъ у перемѣщается эта точка по прямой /г?
"ЧОО. Нрямая g вращается около точки 0 съ
г^^постоянной угловой скоростью (о в пересѣкаетъ
прямую А въ точкѣ Л/. Выразить ускореніе у, съ
которымъ точка М перемѣщается по А, какъ функ-
цію пути s^M0M.
401. Кругъ радіуса г вращается съ достоянной
угловой скоростью (о около точки О, лежащей на
его окружности, и пересѣкаетъ въ точкѣ М непо-
движную прямую h, проходящую чрезъ О. Какое дви-
женіе совершаетъ М по А? Найти скорость и
ускореніе М, какъ функціи s.
402. Прямая g, находящаяся на разстояніи г отъ
неподвижной точки 0, вращается около послѣдней съ
постоянной угловой скоростью со, пересѣкая при этомъ
неподвижную прямую h въ точкѣ М. Выразить ско-
рость ѵ и ускореніе у движенія точки М по пря-

— 69 —
и .1 // чг.резъ уголъ вращенія <р, разстояніе а точки 0 отъ прямой
(0.
103. Двѣ двери OB и ОгС одинако-
і •!! ишриііы b вращаются около вертикаль-
іміѵі. осей 0 и 0ІУ разстояніе между кото-
і'«.пііі а. Одна дверь ОХС скользитъ ре- зад. 4оз.
"і»т\іі, С по другой двери OB, вращающейся съ постоянной угловой
і.«»|мм'тью о). Опредѣлить скорость ѵ, съ которой С перелѣщается
■т ()/>, какъ функцію отъл*=ОС Чему равно ѵ при совпаденіи
> п. т
404. Точка М движется по прямой линін со скоростью ѵ и
\и,иреніемъ Y- При помощи шнура длины /,
и|и»ді.таго черезъ кольцо 0, она соединена съ ■;—л *
і|»угою точкой Мх, описывающей параллель- а
іічо прямую, находящуюся на разстояніи а L
ім-і. нервой. Опредѣлить скорость ^ и уско- ^з^т "'
цѵш Yi точки Л/р
'405. Точка, начавшая двигаться въ неоднородной средѣ съ на-
■іллыюй скоростью ^0) получаетъ, благодаря сопротивленію среды,
(а — 1) ѵ2
отрицательное ускореше= , . , гдѣ ѵ—скоросгь точки,
пройденный ею путь, а и Ъ — постоянныя. Выразить путь 5,
< короеть ѵ и ускореніе y, какъ функціи времвни.
х*406. Вѣсомая точка брошена снизу вверхъ съ начальной ско-
рогтью ѵ0. Сопротивленіе воздуха пропорціонально квадрату ско-
рог.ти; ускореніе ш — kv2. Опредѣлить: 1) скорость и путь, какъ
Функціи времени, 2) путь, какъ функцію скорости (непосредственно),
.!) время подъема точки, 4) высоту подъема.
"407. Точка, получивъ начальную скорость ѵ0, движется въ средѣ,
«•(»ііротивленіе которой пропорціонально квадратному корню изъ ско-
іммѵги. ІІо истеченіи какого времени Т точка остановится? {Walton.)
408. Двѣ вѣсомыя точки А и В расположены на одной и той же
иертикали на разстояніи а одна надъ другой. А начиеаегь падать
іичгь начальной скорости; одновременно съ этимъ ючка В брошена
шшрхъ со скоростью ѵ0. Сопротивленіе среды пропорціонально ско-
рости. По истеченіи какого времени обѣ точки встрѣтятся? {Walton.)

2. Д і а г р а м м ы.
(Абсциссы кривыхъ въ задачаиъ 409—419 выражаютъ время.)
409. Діаграмма пространствъ есть данная трапеція. Начертить
діаграмму скоростей.
410. Діаграмма скоростей есть данная трапеція. Начертить
К
ГХТ^К
Заі. 410.
Зад. 409.
діаграммы пространствъ и ускореній.
411. Для движенія точкп діаграмма скоро-
стей есть полу-эллипсъ. Какую скорость с
нужно сообщить точкѣ, чтобы она равномѣрно
прошла тоть же путь въ то же самое время /х ?
*412. Для движущейся точки діаграмма
нространсгвъ есть четверть эллипса. Построить
діаграммы скоростей и ускореній. Когда точка
имѣетъ наибольшее и наимеыыпее ускореніе?
Опредѣлить эти ускоренія.
*413. Діаграмма скоростей движущеііся
точки есть даиная парабола. Найти діаграммы
ускореній н иространствъ.
414. Дія нѣкоторой точки діаграмма ско-
ростей есть четверть круга. Другая точка, движу-
щаяся равномѣрБО-ускоренно по той же прямой отъ
того же начальнаго положенія и съ того же ыомента,
Зад. 414,
Зал. 415.
какъ и первая, при начальной скорости ѵ0 =
снова встрѣчается съ первой точкой чрезъ
время tv Опредѣлить ускореніе увторойточки.
415. Чертежъ изображаетъ діаграммы
скоростей для двухъ точекъ, движущихся
по одной и той же прямой. /і=|, t<>=-rh\
2 1
= Vq, ^i~-q-^3, ^i = -ö-^o- Опредѣлить
%
время /, ію истеченіи котораго точки снова встрѣтятся.

— 71
Зад. 417.
116. Ha чертежѣ даны діаграммы скоростей для
п.\ \-і, точекъ, движущихся по одной прямой отъ одеого
м \і\н) же начальнаго положенія. Нзвѣстны моменты
пріліпіп /х и t2. По истеченіи какого времени / точки
і:п|>1;тЯТСЯ?
417. Двѣ точки начинаютъ прямолинейное дви-
.і.пііс одновременно и отъ одного и того же начальнаго положенія.
ііііі рамма скоростей для одного движенія есть прямая, для другого—
і інфть окружности. Требуется: а) опредѣлить уско-
|м'іііе второго движенія, какъ функцію временп;
і») вычислить ускореніе перваго движенія, если
ікшѣстио, что первая точка догоняетъ вторую въ
ють моментъ, когда послѣдияя останавлпвается;
••) вычислить время отъ начала движенія до момента
рппенства скоростей обѣихъ точекъ.
418. Двѣ точки начинаютъ двигаться прямолинейно одновремен-
по и отъ одного и того же начальнаго положенія.
Діаграммы скоростей—два равныхъ круговыхъ квадрата,
расположенныхъ согласно чертежа. 1) По истеченіи
какого времени ускоренія обѣихъ точекъ будутъ имѣть
одииаковую абсолютную величину? Опредѣлить ее.
V) Опредѣлпть время и путь до встрѣчи точекъ.
419. Опредѣлить для движенія первой точки (см. предыд. задачу)
уекореиіе и скорость, какъ функціи времени.
3. Криволинейное движеніе.
420. Вѣсомая точка, брошенная изъ А въ безвоздушномъ про-
странствѣ, достигаетъ точки Д расположенной на той же высотѣ,
по истеченіи времени /; другая точка, брошенная изъ А подъ двой-
иымъ угломъ къ горизонту, достигаетъ В по истеченіи времени tv
Оцредѣлить разстояніе х между А и В.
421. Брошенная подъ угломъ а вѣсомая точка проходитъ черезъ А.
Разстояніе ОА можетъ быть пройденосъ начальной
скоростью точки въ п сек. при равномѣрномъ к
прямолинейномъ движеніи. Уголъ ^ данъ. Опредѣ- оі
лпть время полета точки отъ О до А. (Walton.) зад.
Зад 418.

72 —
422. Днѣ вѣсомыя точки одновременно брошены изъ одног)) и
того же иѣста со скоростями q и с2 и подъ углами ах и а2 къ
горизонту. Еакой промежутокъ времени пройдетъ между моментами
прохожденій обѣихъ точекъ черезъ точку пересѣченія ихъ траэкторій?
*423. Вѣсомая точка брошена изъ 0 съ данной скоростью.
Черезъ 0 проходнтъ плоскость, наклоненная подъ угломъ ß къ го-
ризонту (черт. зад. 421). Въ какой точкѣ А и по истеченіи какого
времени Т пересѣчетъ даниая точка плоскость? Подъ какимъ угломъ
а± нужно бросить точку, чтобы ОА получило наибольшее значеніе?
424. Съ вершииы башни брошены двѣ вѣсомыя точки съ одноп
и той же начальной скоростью ѵ0, подъ углами аг и а2 къ горизонту.
Замѣчено, что обѣ точки падаютъ на землю въ одномъ и томъ же
мѣстѣ. Опредѣлить высоту башни.
425. Вѣсомая точка брошена подъ нѣкоторымъ углонъ. Дана
составляющая с начальной скорости, перпендикулярная къ хордѣ
параболы ОА. Найти въ А перпендикулярную къ ОА составляющую
скорости. (Wa/ton.)
426. Двѣ точки начинаютъ движеніе одновременно отъ А со
скоростыо ѵ0. Одна точка равномѣрно-замедленно про-
ходитъ діаметръ Aß. Другая равномѣрно-ускоренно
обходитъ полуокружность; ускоренія обѣихъ точекъ
в отличаются только знаками. Обѣ точки приходятъ
въ В одновременно. а) По истеченіи какого време-
ыи / это происходитъ? Ь) Съ какимъ ускореніемъ
заД. 426. y« онѣ движутся? с) Опредѣлить скорость ѵ1 второй
точки въ В. ä) Найти полное ускореніе у второй точки въ В и
уголъ ср, который оно образуетъ съ ѵѵ
427. Двѣ точки выходятъ изъ А и движутся
по окружности въ противоположныхъ направленіяхъ
съ одинаковой начальной скоростыо ѵ0. Одна точка
имѣетъ постоянное ускореніе = і, другая = — Ь\
встрѣча ихъ пронсходитъ въ М, гдѣ движеніе вто-
рой точки измѣняетъ нанравленіе, Найти величину,
ускоренія Ь. Найти уголъ ср, который образуютъ между
собой полныя ускоренія обѣихъ точекъ въ М.
428. Та же задача, но величина ускоренія b взята произвольнои.

— 73 —
II" in теченіи какого времени / встрѣтятся точки? Опредѣлить уголъ ср,
••іі|і;і:іусмый ихъ полными ускореніями въ точкѣ встрѣчи.
429. Изъ А брошена въ безвоздушномъ пространствѣ съ на-
•ід ім.ііой скоростью ѵ0 вѣсомая точка подъ угломъ а къ горизонту.
•І«|м»:гь k секундъ послѣ этого начинаетъ падать безъ нач&дьной ско-
|мм тм вторая вѣсомая точка изъ В. Обѣ
іиіки встрѣчаются въ М. Опредѣлить ко-
<і|ідішаты М.
430. Точка вѣса G = 1 kg. движется въ
гі>|ш:юнтальной плоскости съ постоянной ско-
8 х
Зад. 429. Nw
іммтью г; = 2,8
описывая при этомъ
Зад. 431.
І»;і:и$ертывающую круга, радіусъ котораго г = 2
////. Опредѣлить натяженія нити 5 для любого
положенія М и натяженіе S±—для положенія
/1/,, гдѣ < АВМ± = 90°.
*431. Точка описываетъ полуокружность: проэкція
:> і оі о движенія на діаметрѣ естъ равномѣрное дви-
;і;еніе со скоростью с. Найти скорость и ускореніе
точки, какъ функціи угла <р. Опредѣлить напра- А
иленіе ускоренія точки М.
*432. Точка описываетъ эллипсъ Д>-f-4^ =1. Ускореніе ея на-
аг о-
иравлено въ сторону отрицательнои оси у. Начальное положеніе
точки .г = 0, у = Ь, начальная скорость ѵ0. Найти величину ускоренія
въ каждой точкѣ траэкторіи. (Newton, Ргіпсгрга.)
*433. Точка, вначалѣ находившаяся въ покоѣ и имѣвшая коордп-
Ь2
иаты х=а, у=Ь, описываетъ параболу у2 = — х. Составляющая
Y.v ускоренія точки = — k2y, щік—consL Найти ху у и скорость ѵ,
какъ функціи /, а другую составляющую y^ ускоренія, какъ функ-
цію х. Найти мѣсто ближайшей остановки точки. Вакъ движется
точка между обоими положеніями покоя? Какое время Т употре-
бляетъ точка для перехода отъ одного изъ этихъ положеній въ
другое?

— 74 —
434. Точки описываетъ съ постоянной скоростью с цѣпную
линіюjv= -к- (**/« + с—£Ы ). Найти, какъ функціи х и у: составляю-
щія ѵх и ѵу скорости, составляющія у* и у ускоренія и полное
ускореніе 7. Опредѣлить направленіе у.
435. Точка, имѣющая въ начальномъ положеніи координаты х=09
у = Ь и начальную скорость ѵ0, направленную по оси ят, притяги-
вается къ ней съ силой, перпендикулярной оси х и пропорціональной^.
Для у = 1 ускореніе этого притяженія = k2. Найти уравненіе траэк-
торіи точки и скорость ея, какъ функцію времени. Сколько разъ и
когда траэкхорія пересѣкаетъ ось х? Когда она наиболѣе удаляется
отъ этой оси? {Riccati.)
436. Точка обладаетъ въ направленіи оси х постояннымъ отри-
цательнымъ ускореніемъ — а, въ направленіи оси^положительнымъ
ускореніемъ + а\ ея начальное положеніе опредѣляется координа-
тами # = 0, у = 0; ея начальная скорость ѵ0 направлена въ сторону
положительной оси х. Найти траэкторію точки и мѣста, гдѣ она имѣетъ
наименыную скорость. Опредѣлить величину этой наименьшейскорости.
437. Точка, начальное положеніе которой хо = 0, уо=0 и на-
чальная скорость г^0,данная составляющими ѵох мѵоу, имѣетъ уско-
реніе, составляющія котораго у^ = ~, Ъ =—•> гдѣ а и Ь постоянныя.
Ѵу Ѵу
Опредѣлить для любого положенія точки ея скорость ѵ какъ функцію
времени, и найти уравненіе ея траэкторіи.
438. Точка М находится подъ дѣйствіемъ трехъ притяженіи,
имѣющихъ ускоренія: первое kx, перпендикулярное
м къ оси у\ второе ky, перпендикулярное къ оси ху
третье für, направленное къ О\ k um постоянныя.
Начальное положеніе Мо имѣетъ координаты:
зад. 43S. х=0, у = а, начальная скорость ѵ0 параллельна Ох.
Найти траэкторію точки, ея скорость и время обращенія.
*439. Въ вершинѣ А равнобедреннаго пря-
моугольнаго треугольника ABC находится
точка Р, въ началѣ—въ состояніи покоя.
Три вершины А, В и С притягиваютъ ее съ
силами пропорціональными разстояніямъ, при

— 75
имі, иритяженіе на единицѣ разстоянія равно /в2. Опредѣлить тра-
•ііні|іію точки Р, ея скорость, ускореніе и время одного колебанія.
11иІіппапп.Л
440. Прямая g вращается около точки 0 съ постоянной угловоі
піи|юстыо (о и въ точкѣ М пересѣкаетъ проходящій
і|м;;і, 0 кругъ радіуса г. Какое движеніе совер-
иі.мітъ по окружности точка М? Опредѣлять ско-
циггь п ускореніе этой точки.
::441. Прямая g вращается около точкв F съ
иостоянной угловой скоростью о) и иересѣкаеіъ не-
иодвижный эллипсъ съ полуосями а, Ь и фоку-
••пмъ F. Опредѣлить скорость движенія точки М
ио эллипсу.
*442. Прямая g движется параллельно иаиой
гсбѣ съ постоянной скоростью k, пересѣкая при
.»•гомъ въ точкѣ М неподвижный кругъ. Съ і
кою скоростью ѵ и съ какимъ ускореніеиъ
дішжется по окружности точка М?
Н43. Два равныхъ круга вращаются съ по-
«•тоянной угловой скоростью около точки О въ
нротивоположныя стороны. Какую скорость ѵ
и какое ускореніе y имѣетъ на каждой изъ
окружностей точка пхъ пересѣченія М? Еакую
екорость ѵх и какое ускореніе уі имѣетъ
гочка М въ движенія по прямой ОМ?
444. Два круга, имѣющіе общую точку 0,
вращаются около нея въ противоположныя
стороны съ постоянными угловыми скоростями
ѵуг п со2. Съ какими скоростями ѵг и ѵ2 дви-
жется по каждоп изъ окружностей точка М
ихъ пересѣченія.
445. Двѣ прямыхъ вращаются около точекъ 0
И Ог СЪ ПОСТОЯННЫМИ уГЛОВЫМИ СКОрОСТЯМИ 0) И töj И
одновременно проходятъ чрезъ прямую х. Опредѣлить
дифференціальное уравиеніе траэкторіи точки ихъ'
пересѣченія М. Гдѣ пересѣкаетъ траэкторія прямую х?
Зад. 444
Зал. 445.

— 76 —
*446. Точка описываетъ кругъ діаметра 2а, нахо-
дясь подъ дѣйствіемъ притяженія точки А, лежащей
на окружности круга. Секторіальная скорость = -к .
Найти законъ для ускоренія у силы притяженія и для скорости ѵ
точки М. (Newton, Рггпсгрга.)
*447. Точка описываетъ кругъ, находясь подъ
дѣйствіемъ притяженія неподвижной точки с, ле-
жащей внутри круга. Начальное положеніе А,
начальная скорость ѵ0. Вычислить скорость для
произвольнаго положенія М и для положенія В.
*448. Точка описываетъ параболу, находясь
подъ вліяніемъ притяжеиія вершины параболы 0.
Секторіалыіая скорость = ір Опредѣлить ускореніе у силы
притяжеиія.
^449. Точка описываетъ логариѳмическую спираль, поляр-
ное уравненіе которой г=£а?, и находится подъ дѣйствіемъ
притяженія полюса спирали. Въ началѣ движенія: г = г^ и
"8' скорость = і;0. Опредѣлить для любого положенія ускореніе
<жлы притяженія и скороеть. (Walton.)
"450. Подвижная точка, находясь подъ дѣйствіемъ притяженія
точки О, описываетъ лемнискату, полярное урав-
неніе которой r2=a2 cos 2u. Секторіальная ско-
"^рость -у Опредѣлить ускореніе у силы притя-
45О женія и время Т, въ которое точка обходитъ
кривую. {Walton.)
*451. Точка описываетъ кривую лл-\-у* = а*, ііаходясь подъ
вліяніемъ притяженія центра кривой. Найти секторіальную скорость,
^корость ѵ точки и ускореніе у силы притяженія, если извѣстно, что
въ началѣ движенія: х = а, у = 0, ѵ = ѵ0. (Walton.)
*452. Для движенія подъ дѣйствіемъ центра данъ законъ ско-
рости: ѵ=—- Опредѣлить: радіусъ векторъ г и полярный уголъ <р,

— 77 —
і,;мп, функціи времени; уравненіе траэкторіи и ускореніе притяженія.
Кі, пачальномъ положенш: у =^ 0, г = 1. Секторіальная скорость =-ѵгш
і /\irrati.)
453. Точка М движется вокругъ неподвижной точки 0 такъ, что
упсореніе у все время остается перпендикулярно къ r, a радіусъ
пскторъ г вращается около 0 съ постоянной угло- т\
иоіі скоростью со. Найти уравненіе траэкторіи и
тміичину Y- Въ началѣ движенія r = r0, ff = 0,
і\, перпендикулярно r0. {Walton.)
"454. Ha точку, имѣющую массу m и вначалѣ зад. 4ьз.
иаходящуюся въ покоѣ, дѣйствуютъ двѣ постаянныя и взаимыо пер-
ікмідикулярныя силы А и В. Движеніе совершается въ средѣ, сосро-
тпвленіе которой пропорціонально скорости точки. Найти уравненіе
траэкторіи, отнесенное къ направленіямъ силъ А и В, какъ къ
осямъ координатъ, и скорость, какъ фувкцію /. Какимъ станетъ
дииженіе псі истеченіи времени = ос? {Fuhrmann.)
*455. Вѣсомая точка движется свободно въ средѣ, сопротивлвніе
которой вызываетъ отрицательное ускореніе küv2, гдѣ k — постоянное,
о — перемѣнная плотность среды и ѵ — скорость. Траэкторія точки есть
окружность .ѵ2 -\-у2 = г2. Опредѣлить ѵ для каждаго положенія точки и
установить законъ измѣненія плотности среды. (Newton, Ргіпсіріа.)
*456. Вѣсомая точка брошена вверхъ подъ угломъ а къ горизонту
и съ начальной скоростью ѵ0. Сопротивленіе окружающей среды
производитъ отрицателыюе ускореиіе = ^. По истеченіи какого вре-
меня точка достигнетъ наибольшей высоты?
4. Несвободное движеніе.
**457. Подъ какимъ угломъ ср должна быть
наклонена кровля, чтобы дождевая вода стекала
въ кратчайшее время, начиная двигаться отъ
о Зад. 457.
конька крыши со скоростью ѵ0?
458. Вѣсомая точка движется отъ А по на- *~\
клонной плоскости AB. Какъ должна быть рас- \
положена послѣдняя, чтобы прямая СВ достп- }
галась точкой въ кратчайшее время? Зад 458.

— 73 —
Зад. 459.
459. Вѣсомая точка движется отъ ^ по на-
клонной плоскости AB. Еакъ провестп послѣднюю
чрезъ А, чтобы кругъ k достигался въ кратчайшее
время?
460. Вѣсомая точка изъ Мо брошена вверхъ по
наклонной плоскости а. Чему должна быть равна ея
начальная скорость ѵ0, чтобы точка
чрезъ безвоздушиое пространство до-
сгнгла М1 и прошла по второіі на-
Зад 460. клонной плоскости Мг М2? Еакую
скорость Ѵо точка имѣетъ въ MJ (Воэффиціентъ тренія при дви-
женіи точки по обѣимъ наклоинымъ плоскостямъ =/.)
461. Вѣсомая точка скользитъ изъ положенія А
по прямой линіи AB съ треніемъ и безъ начальной
скорости. Уголъ тренія р данъ. Уголъ а наклона
прямой измѣняегся. Найти геометрическос мѣсто
положеній подвнжной точки при различныхъ углахъ
а черезъ одно п то же время /.
462. Вѣсомая точка скользптъ безъ тренія
и безъ начальной скорости отъ А по наклон-
ной плоскосги AB = а. Достигнувъ В, точка
отдѣляется отъ плоскости и падаетъ въ С.
Опредѣлить отношеніе b : a?
*463. Жпть AB длиною / касается въ А
круга радіуса г; въ В находится невѣсомая точка, по-
\ лучающая скорость vOt лерпендикулярную къ AB. Какъ
движется В, чему равыа ея скорость ѵ въ любомъ поло-
женіи, и по истечевіи какого времени Т точка дости-
гаетъ круга?
464. Вѣсомая точжа скользитъ безъ тренія п безъ
\мо начальной скорости пзъ Мо по произвольной
траэкторіи и поднимается по внутренней сторонѣ
окружности радіуса г. Требуется, чтобы точка
оставила круговую траэкторію въ нѣкоторой
точкѣ М и въ своемъ послѣдующемъ, свободномъ
двпженіи прошла чрезъ центръ круга 0. Найти
Зад. 462
•ѵ0
Зад 463.

— 79 —
9ад. 466.
і.мготу паденія h. При какомъ углѣ а точка оставляетъ окруж-
ІІОПЪ?
465. Внутри гладкой параболической трубки, имѣющей урав-
іі<*ііі<» у2 = 2рх, брошенъ изъ вершины ея Мо
п, начальной скоростью ѵ0 небольшой шаръ вѣ-
ѵл G. Доказать, что для каждой точки М тра-
н.торіи произведеніе давленія на траэкторію D п
рлдіуса кривизны р постоянно. Вычислить это
ироизведеніе.
*466. Вѣсомая точка движется вверхъ съ начальной скоростью ѵ0
ио плоскости, наклоненной подъ угломъ а къ горизонту, и испыты-
иаетъ сопротивленія тренія (коэффиціентъ тренія /) и воздуха
< отрицательное ускореніе, имъ вызываемое, равняется аѵ2, гдѣ а
постоянная). По истеченіи какого времени Т точка о&тановится?
Ііакой путь L она пройдетъ до остановки?
*467. Точка движется по внутренней сто-
ронѣ полуокружности и отталкивается точкой
() съ силою, ускореніе которой у = #Ѵ. Точка
иачинаетъ движеніе вблизи О безъ начальной
скоростн. Найти скорость ѵ и давленіе D на
траэкторію для каждаго положенія точки. (Walton.)
*468. Двѣ точки А и В} которыя ыогутъ дви-
гаться только по прямымъ х и у, притягиваются
оъ силой, ускореніе которой y = — • По истеченіи _^^.^^
г • • г2 er- * Т
какого времени эти точки встрѣтятся въ О, если Зах-468t
нъ началѣ онѣ находятся въ покоѣ на разстояніи г0 одна отъ
другой?
*469. По леынискатѣ,уравненіе которои r2=2a2Stn2^)
скользитъ виизъ, начиная отъ О, вѣсомая точка, не
имѣющая начальной скорости. Вычислить продолжи-
тельность паденія отъ О до Му какъ функцію <р.
Сравните ее съ продолжительностью паденія по пря-
мой ОМ. (Saladini.)
^470. Плоскость круга паклонена подъ угломъ а къ горизонталь-
ііоіі плоскости; X— горизонтальный діаметръ, равный 2 г. Отъ одной
Зад. 469.

— 80 —
изъ точекъ А этого діаметра іщаетъ безъ начальной скорости на
окружность круга по нѣкоторой щмшой 5 вѣсомая точка. Опредѣлить
зависимость между временемъ паденія / и путемъ 5. Какой уголъ срх
должна составлять прямая sx съ X, чтобы время паденія было
наименыжее? Чему равны въ этомъ слу-
Sx I tmin?
. 471.
- Тяжелая точка падаетъ изъ А въ
нолушаріе, не имѣя начальной скорости.
Съ какоі скоростью ѵг проходитъ она свое
нижнее положеніе В, если движевіе сопровождается треніемъ?

III. Кинематика системы.
1. Простыя движенія тѣлъ.
472. Локомотивъ имѣетъ скорость 15 ті. въ сек. На разстояніи
,'U tut. дается контръ-паръ, послѣ чего скорость падаетъ до 5 mt.
Сколько времени давался контръ-паръ? Опредѣлить величину вызван-
иаго имъ замедленія у ? Какой видъ имѣетъ діаграмма пространства
по времени?
473. Какою скоростью обладалъ вагоиъ, если онъ могъ прока-
титься 12 mt., имѣя замедленіе 0, 3 —^? Сколько прошло времени
до остановки вагона? Какой видъ имѣетъ діаграмма пространства по
нремени?
474. Локомотивъ долженъ въ продолженіе одной минуты сооб-
щить поѣзду, вѣсъ котораго Q=80tn.} скорость12 ;—. Сила оо-
ог С,
иротивленія поѣзда = -^тт его вѣса. Съ какой средней сплой дол-
женъ дѣйствовать локомотивъ?
475. М—точка тѣла, вращающагося около нѣкоторой оси, г—
ея разстояніе отъ оси, у~ея ускореніе, Ь—уголъ между г и у-
Между какими предѣлами можетъ лежать величина й?
476. Равномѣрно вращающееся тѣло дѣлаетъ 9500 оборотовъ
въ часъ. Опредѣлить его угловую скорость.
477. Тѣло,вначалѣ находящееся въ покоѣ, получаетъ постоянное
угловое ускореніе \=а около нѣкоторой оои. Требуется представить
уголъ 8, который образуетъ радіусъ произвольной точки тѣла съ ея
ускореніемъ, какъ функцію времени. По истеченіи какого времени
/, получается 8=45°?
478. Винтовое движеніе, съ іюстояннымъ угломъ наклона з вин-
товой линіи, имѣетъ угловое ускореніе ).. Какое ускореніе y по на-
6

o-
A
- 82 —
п|і;іі[ііііііо (H-ii иолучается точкою тѣла, отстоящей отъ оси на раз-
(10)111111 / Ѵ
479. Два тѣла совершаютъ винтовое движеніе около одной и той
жо оси съ одинаковою угловою скоростью о). Углы наклона обѣихъ
винтовыхъ линій на разстоянін г отъ оси равны а и оѵ Ha какомъ
разстояніи х будутъ находиться по истеченіи времени / двѣ точки,
принадлежащія этимъ двумъ тѣламъ и отстоящія на г отъ оси, если
вначалѣ онѣ совиадали другъ съ другомъ?
480. Тѣло соБершаетъ винтовое движеніе около
Мі м оси А. Въ какомі отношеніи должны находиться раз-
^° стоянія г и гх двухъ точекъ М и Мх тѣла, если
извѣстно, что эти точки расположены на одномъ и
томъ же радіусѣ и движутся по направленіямъ другъ
зад. 480. къ другу перпендикулярнымъ?
*481. Вращеніе тѣла около оси, совершающееся съ начальною
угловою скоростью (оо, должно быть ускорено такимъ образомъ,
чтобы уголъ 8, образуемый ускореніями у каждойточки сърадіусомъ,
былъ постоянный и чтобы tgb=-a. Опредѣлить угловое ускореніе /.,
какъ функцію времени.
2. Сложнсе движеніе.
482. Къ вращающеыуся окодо А диску / подвижно прикрѣпленъ
дискъ //, враіцающійся около Z?, а къ диску // также подвижно
прикрѣпленъ въ С цискъ ///, вращающійся около С.
Опредѣлить резульгнрующее движеніе, совершаеыое въ
слѣдующій моменгъ дискомъ ///, если всѣ три диска
начинаютъ вращагьья около своихъ центровъ А, В, С
съ равными и одинаково направленными угловыми ско-
заД 482 ростями. Гдѣ лекагъ тѣ точки диска ///, движеніе
которыхъ въ ближайшій ноиентъ перпендикулярно
движенію лежащихъ подъ ними іочекъ диска /?
483. Тѣло одновременно имѣетъ шесть угловыхъ скоростей от-
носительно параллельныхъ осей. 5 изъ нихъ даны : +ю,—©ь-f-
-)-(о,—(0ь-^ш.Соотвѣтствующія оси--пять реберъ правильной шести-

— 83 —
уголыіой призмы; шестая скорость у вращаетъ
пколо оси призмы. Чему должно быть равно у,
чтобы результирующее всѣхъ шести вращеній
пжершалось около ребра 0? Найти угловую
гкорость л: искомаго результирующаго вра-
щенія.
484. На дискѣ, вращающемся около О съ
угловой скоростью ©, расположенъ второй мень-
шій дискъ, вращающійся около своего центра 01
ѵъ угловою скороовыо ©х. Найти на окружности
малаго диска точки, движущіяся въ данное мгно-
веніе параллельно ООѴ Съ какой скоростыо ѵ
происходитъ ихъ движеніе?
485. .Угловая скорость вращенія около оси 0
должна быть разложена на 3 угловыхъ скорости :
шь ü).2, со3 около параллельныхъ осей Л, В, С.
Даны разстоянія 0А=т, ОВ=п, ОС=р, уг-
лы : ВОС= а, СОА = [5, АОВ = у. Опредѣлить
«1і 0>2, °>3-
486. Тѣлу сообщается одновременно три угловыхъ екорости
щ9 ©2 = 2©!, ©3 = 3©І5 относительно трехъ пересѣкающихся въ
одной точкѣ и взаимно перпендикулярныхъ осей. Опредѣлить дѣй-
ствительное движеніе тѣла.
487. Отыскать результирующее движеніе
трехъ вращеній, совершающихся одновремен-
но. Два изъ этихъ вращеній имѣютъ равныя
Я ПрОТИВОПОЛОЖНЫЯ уГЛОВЫЯ СКОрОСТИ 0), и
разстояніе можду ихъ осями = а; третья же
ось ©! пересѣкаетъ первыя оси подъ произ-
вольнымъ угдонъ ср.
488. Тѣло вращается одновременно около трехъ
пересѣкающихся осей, изображенныхъ на чертежѣ.
Дано: разстояніе а, углы и угловая скорость ©3.
Еакими должны быть взяты о)х и <о2, чтобы резуль- , о ,^Ф
тирующее движеніе тѣла было поступательнымъ?
Опредѣлить его скорость т и ея направленіе.
Зад. #86.
Зах. 487.
Зад. 488.
6*

- 84 —
489. Какъ измѣнится винтовое движеніе т, w тѣла,
если къ нему присоединится еще поступательное дви-
женіе тх, подъ произвольнымъ угломъ <р?
490. Кубъ совершаетъ одновременно шесть изо-
.. 489. браженныхъ на чертежѣ тождественныхъ винтовыхъ
движеній т, (0. Найти его результирующее дви-
женіе.
491. Тѣло имѣетъ винтовое движеніе т, <о.
Это движеніе должно быть разложено на два
другихъ, изъ которыхъ одно дано; это есть
3
(оь при чемъ і!= -к т,
винтовое движеніе
0 А2 со2 zz
Зад. 492.
(Оі = ■.» со, а ось пересѣкаетъ данную ось въ точкѣ
О, подъ угломъ въ 60°. Опредѣлить второе соста-
вляющее движеніе.
492. Тѣло одновременно имѣетъ два винтовыхъ
движенія около двухъ пересѣкающихся подъ угломъ
а осей Ах и Л>>, при чемъ тА = 2т2, шг =
Найти результирующее движеніе.
3. Движеніе на плоскости.
м
*493. Прямой уголъ XMY движется такимъ образомъ, что его
вершина М описываетъ окружность радіуса г,
въ то время какъ стороны его X и Y проходятъ
черезъ двѣ неподвижныя точки А и В. При
условіи, что скорость точки М постоянна и равна
с, вычислить угловыя скорости вращенія X и Y
около А и В и скорости ѵл, ѵв, съ которыми
скользятъ прямыя X и Y по точкамъ А и В.
А 494. Около точки А вращается прямая g. Какая
& ^Т кривая огибается направленіями движенія всѣхъ
заА. 494. точекъ прямой g?
Зад. 493.

— 85 —
Зад. А9Ь.
Зад. 4S7.
495. По ирямой катится кругъ радіуса а\ его
інчітръ имѣетъ скорость с. Опредѣлить направленіе
< кіфости произвольной точки М круга и величину ея
п-і-о|юсти, какъ функцію <р.
496. Въ кругѣ радіуса R ведется кривошипомъ k
мллый кругъ, катящійся по большому. Дана
уіѵювая скорость (о кривошипа. Найти на
маломъ кругѣ такую точку М, чтобы на-
ііравленіе скорости ѵ ея проходило бы чрезъ
. /. и опредѣлить величину ѵ (АО J_ OB).
497. Шарнирный четыреугольникъ ABCD
іфащается около неподвижныхъ точекъ В т С.
А имѣетъ въ данный моментъ скорость ѵ, на-
правленную по СВ. Надо такъ соединить точку
Е съ D и А стержнями х и у, чтобы скорость
точки Е была равна ѵ и перпендикулярна къ
(В. Какой длины нужно взять х и у?. Извѣстно,
что AB=CD=a, BC=AD=b.
498. Кривошипъ AD вращается около
D съ угловой скоростью о), другой кри-
вошипъ ВС вращается около С. Найти
точку М шатуна AB, движеніе которой
направлено по AB, и вычислить скорость
этой точки.
499. Вершины А и В жесткаго треуголь-
ника ABC движутся по окружностямъ при
помощи кривошиповъ AD и ВЕ. Дана угло-
вая скорость w кривошипа AD. Провести на-
правленіе скорости ѵ точки С и вычислить ѵ.
*500. Стержень AB (шатунъ) движется
такимъ образомъ, что А вращается
около 0 съ постоянной скоростью с,
въ то время какъ В описываетъ про- S
ходящую чрезъ 0 прямую. Вычислить
для точки В ея скорость ѵ и ускореніе у какъ функціи угловъ ср и
ф кривошииа и шатуна (механизмъ простой паровой машины).
Зад. 49S.

— 86 —
Зад. 501.
ß
501. Шарнирный четыреугольникъ ABCD, въ
которомъ AB=CD = a, DA=BC=b и b>a,
движется такъ, что А вращается при неподвижномъ
DC. Опредѣлить подвижную и неподвижную по-
лоиду стержня AB.
502. Въ предыдущей задачѣ взять <^Z)C= 60°.
Скорость ѵ точки А—извѣстна, наити скорость ѵх точки В.
503. Шарнирный четыреугольникъ ABCD,
въ которомъ AB=CD = a, DA = BC=b
и J<«) имѣетъ звено DC неподвижнымъ.
Опредѣлить полоиды стержня AB, если точка
ßA описываетъ полную окружность.
*504. Стержень AG движется такъ, что точка А съ постоянной
скоростью с описываетъ кругъ центра О, а прямая G все время
проходитъ чрезъ неподвижную точку В.
(Механизмъ качающейся паровой маши-
ны.) Опредѣлить величину угловой ско-
рости (о вращенія прямой G около В.
Для какихъ положеній <р кривошипа по-
лучаетъ со наибольшее и наимеиьшее значеніе? Съ
какой скоростью ѵ скользитъ ирямая G по точкѣ В?
*505. Стержеш>у1#ш)всевремя движенія касает-
ся круга радіуса г и конечная точка А стержня остает-
ся на прямой, проходящей чрезъ О. Найти угловую
скорость (о стержня, если дана скорость ѵ точки А.
506. На плоскости движется жесткій уголъ
ХМУ=ч такъ, что его стороны X, Y все время
проходятъ черезъ двѣ неподвижныя точки А, В.
Найти полоиды этого движенія.
А. 507. Прямая AG
движется такъ, что точка
А остается все время
на неподвижной прямоГг
V X, а сама прямая G
все время проходитъ
Зад. 504.
Зад. 505.
.*
Зад. 506.
Зад. 607.
чрезъ неподвижную точку В. Найти уравненіе обѣихъ полоидъ

— 87 —
\|шнсніе траэкторіи точки С, лежащей на прямой G, на разстояніи
« ni'i, A.
508. Прямой уголъ AMG движется такимъ х
іи'і|шомъ, что точка А одной изъ его сторонъ
імѵгастся все время на неподвижной прямой X,
•1'оі'да какъ другая сторона G проходитъ все время
чрюгь неподвижную точку В. Найти обѣ полоиды
пістемы AMG и уравненіе траэк- г
торіи точки М (АМ= СВ = а).
509. Прямая AB скользитъ
конечной точкой А по ирямой, а
конечной точкой В—по кругу. Дли-
иа AB равна діаметру 2г круга.
Пайти полярныя уравненія обѣихъ
нолоидъ: неподвижной—относительно оси СХ
и подвижной—относительно ВХѴ
510. Въ шарнирномъ четыреуголышкѣ
Заі. 509.
Зад. 510.
ABCD стержень AD закрѣпленъ неподвижно,
а стержень AB можетъ описывать полный
кругъ. Предполагая, что стержни AB и AD,
ВС и CD попарно равны, опредѣлить поляр-
ныя уравиенія иолоидъ стержня ВС, при
чемъ уравненіе подвижной полоиды слѣдуетъ '
отнести къ оси ВС, а неподвижной—къ оси AD. d
*511. Въ шарнирномъ четыреугольникѣ съ равными попарно
стержнями (см. предыдущ. зад.) угловыя скорости обоихъ кривоши-
повъ AB и DC равны соа и <лс. Опредѣлить ихъ отношеніе для того
момента, когда всѣ 4 точки А, В, С, D расположатся на одной
прямой.
512. Прямая g движется такъ, что ея точка А
скользитъ по параболѣ, а сама прямая постоянно прохо-
дитъ чрезъ фокусъ F той же параболы. Найти полярныя
уравненія обѣихъ полоидъ, отнеся неподвижную къ по-
люсу F и полярной оси х, а подвижную—къ полюсу А
и полярной оси g. (Половина параметра параболы=/>.) зад. 512.
513. Прямой уголъ движется такимъ образомъ, что его сторона

— 88 —
Зад. 513.
КТ скользитъ по кругу радіуса AC = R, въ
то время какъ точка М другой стороны остается
на окружности радіуса BD=r. Круги каса-
ются; KM=AB=U = 2{R—r). Найти
полярныя уравненія обѣихъ полоидъ, отнеся
неподвижную полоиду къ полюсу С и поляр-
ной оси СА, подвижную—къ полюсу М и
полярной оси МК. Если вначалѣ К находится
въ Ау то гдѣ мгновенный центръ вращенія?
514. Въ кривошипномъ механизмѣ поршневого насоса Holstъ
поршень, двигающійся прямолинейно благодаря ползуну Е, соедииенъ
шатуномъ (ED) съ жесткимъ
треугольникомъ DCB, у ко-
тораго веріпина/?описываетъ
окружность при помощи кри-
вошипа (AB), а вершина С
двигается по дугѣ круга, благодаря тягѣ CF, при чемъ точка F
неподвижна. Дана скорость точки В. Вычислить или найти построе-
ніемъ поступательную скорость поршня.
4. Движеніе въ пространствѣ.
515. Кубъ движется такъ, что три его вершины А, В, С пере-
D ходятъ въ новыя положенія Аи В±1 Сг—также
вершины куба. Еакимъ простѣйшимъ движеніемъ
можетъ быть достигнутъ этотъ переходъ.
516. Квадратъ движется такъ, что три его
вершины А, В, С переходятъ въ положенія
Л1, В1, С1. Еакимъ простѣйшимъ движеніемъ
достигается такой переходъ?
517. Равносторонній треугольникъ ABC
переходитъ въ положеніе А1В1С1. Какимъ
сі "\ ~/-^ простѣйшимъ движеніемъ достигается этотъ
переходъ, если шесть этихъ точекъ
зуютъ 6—угольникъ?
Зад. 516

— 89 —
518. Кубъ движется такъ, что три его вершины,
г.пачалѣ бывшія въ А, В, С, переходятъ въ А1,
/»', С1. Какимъ простѣйшимъ движеніемъ дости-
і лггся такой переходъ?
519. Тѣло движется такъ, что одна изъ его
прямыхъ g± все время остается въ плоскости YZ,
а другая прямая g2—въ плоскости YX. Обѣ
іірямыя пересѣкаются въ неподвижной точкѣ 0
»і образуютъ между собой уголъ 5. Опредѣлить
шчіодвижную аксоиду относительно осей XYZ.
520. Плоскость движется такъ, что одна изъ
4'и прямыхъ g остается все время въ плоскости
YZ, въ то время какъ самая плоскость все
іфемя проходитъ чрезъ неподвижную прямую
(і\ а, Ь, с — параыетры, опредѣляющіе на-
правленіе G. Опредѣлить относительно осей
XYZ неподвижную аксоиду.
521. Правильный тетраэдръ съ длиною
ребра 5 движется такъ, что три его вершины
имѣютъ начальными положеніями А, В, С, а ко-
нечными положеніями—А1, В1, С1. Найти винтовое
движеніе (положеніе оси, поступателыіое перемѣ-
іценіе и вращеніе), переносящее тетраэдръ изъ на-
чальнаго положенія въ конечное.
Зад. 5!П.
5. Относительное движеніе.
522. Тяжелая точка скользитъ отъ А по наклонной пдоскости
slB, не имѣя начальной скорости. Въ то же
время наклонная плоскость движется по горн-
:юнтали съ постоянной скоростью с. Опредѣлить
траэкторію абсолютнаго движенія точки; найти с\
абсолютную скорость, съ которой точка встрѣчаетъ Зад-522-
продолженіе горизонтали СВ. Иодъ какимъ угломъ встрѣчаетѣ она
:>ту горизонталь?
523. Тяжелая точка, не имѣя начальной скорости, съ треніемъ

1)0 —
Зад. 524.
626.
гко.ііі.:іііті» отъ -•/ внизъ по наклонной плоскости AB (фиг. предыд.
шідачи). Наклонная плоскость въ то же время движется по горизонтали
съ постояннымъ ускореніемъ Ь, не имѣя начальной скорости. Опре-
дѣлить абсолютное движеніе точки. Съ какою ско-
ростыо встрѣчаетъ она горизонталь СВ ?
524. Точка М движется по кругу съ посто-
янной скоростью с. За кругомъ передвигается
плоскость съ постоянной скоростью а. Опредѣлить
относительно этой плоскости траэкторію точки М.
*525. Точка М движется по кругу съ постоянной скоростью с.
Мо—начальное положеніе точки. За кругомъ пе-
редвигается плоскость съ постояннымъ ускоре-
ніемъ Ь и безъ начальной скорости. Опредѣлить
относительно осей координатъ XY: составляющія
относительной скорости и относительнаго уско-
ренія Ѵг и щ[г и уравненіе траэкторіи движенія
точки М относительно двигающейся плоскости.
*526. Прямолинейная трубка длиною а вращается въ горизон-
тальной плоскости около своей конечной точки съ угловой скоростью <о.
_ Въ срединѣ трубки, вначалѣ въ покоѣ, нахо-
°^ L \ дится матеріальная точка. Опредѣлить уравненіе
заД. 526. траэкторіи абсолютнаго движеиія этой точки (въ
иолярныхъ коордипатахъ относительно О), относительную и абсолют-
ную скорость, съ которой точка покидаетъ трубку. (Joh. ВетоиШ.)
*^527. Въ горизонтальной плоскости вращается
около 0 съ угловой скоростью о) узкая трубка,
имѣющая форму окружности радіуса г. Въ этой
трубкѣ можетъ безъ тренія двигаться матеріальная
точка, вначалѣ находящаяся въ Мо въ состояніи
покоя. Опредѣлить относительную и абсолютную
скорость этой точки въ тотъ моментъ, когда она
придетъ въ Мг. Найти для того же положенія матеріальной точки
ея горизонтальное давленіе на трубку. (Walton.)
*528. Узкая трубка, имѣющая. видъ логариѳмической спирали
ш^ въ горизонтальной плоскости около центра съ
Зад. 527.

— 91 —
Зад. 528.
Зад. 529.
\uioitoii скоростью о). Въ трубкѣ можетъ двигаться
ііг:п, тренія матеріальная точка массы М\ вначалѣ
пиа иаходится въ А въ покоѣ, ОА=а. Какую
гкорость относительно трубки имѣетъ эта матеріаль-
и.пі точка? Какое давленіе оказываетъ она на трубку?
529. Доска падаетъ внизъ съ ускореніемъ силы
тмжести. Тяжелый кусокъ мѣла М брошенъ по го-
іишонтали со скоростью с и чертитъ на доскѣ со-
итвѣтствующую траэкторію. Какой видъ имѣетъ эта
траэкторія?
530. Дискъ вращается около своей вертпкаль-
ной оси съ угловой скоростью о>; надъ нимъ со
пюростью т прямолинейно двигается плоскій
листъ. Найти полоиды относительнаго движенія
листа и диска.
531. Дискъ вращается около своей оси съ угловои скорослъю ш
(фиг. предыдущ. зад.). Надъ нимъ прямолинейно со скоростью т дви-
гаютъ плоскій листъ. Можно показать, что ускореніе у, (отыосительно
диска) каждой точки М листа проходитъ чрезъ неподвижную точку О.
ІІайти положеніе этой точки и отношеніе у, къ разстоянію МО.
532. Два плоскихъ диска плотно при-
легаютъ одинъ къ другому и вращаются
около своихъ центровъ 01 и 02 съ
УГЛОВЫМИ СКОрОСТЯМИ (Oj И (02 = — 2 %.
Разстояніе Ог 02 = 2а. Вычислить для
крайней точки А диска // величину и
направленіе ея скорости ѵг и ускоре-
нія уг, относительно диска /.
*533. Прямая g, въ началѣ горизонтальная, вращается въ верти-
кальной плоскости около точки 0 съ постоянной
угловой скоростью. По ней скользить внизъ ма-
теріальная точка М, вначалѣ находящаяся въ
О въ покоѣ. Найти полярное уравненіе траэк-
торіи этой точки, отнесенное къ оси Og0; опре-
дѣлить относительную скорость ѵг точки М на прямой и ея да-
вленіе D на эту прямую.

— 92 —
і*ы
534.
'•534. Въ вертикалыіой плоскости YOX, вращающейся около
еертикальной оси ОХ съ постоянной угловой скоростью о>, брошена
изъ 0 по горизонтали матеріальная точка. Какую
относительную траэкторію описываетъ точка на пло-
скости? Опредѣлить проэкцію на горизонтальную пло-
скость траэкторіи абсолютнаго движенід точки. Найти
для произвольнаго положенія точки ея относительную
и абсолютиую скорость. Опредѣлить давленіе плоскости на точку.
fv 535. Кубъ съ ребромъ а совершаетъ около одного
'в изъ своихъ реберъ винтовое движеніе со, т, въ то
время какъ нѣкоторая точка съ абсолютной ско-
ростью ѵ описываетъ въ пространствѣ прямую AB.
Опредѣлить относительно куба скорость ѵг и уско-
реніе Yr точки для того момента, когда она находится
въ В. (Найти ихъ составляющія по осямъ XYZ.)
в 536. Одно тѣло вращается около оси А съ угло-
вою скоростью (і^; другое тѣло совершаетъ около
оси В винтовое движеніе (о2, т2. Опредѣлить дви-
женіе второго тѣла отііосительно перваго. Оси А и
В взаимно перпендикулярны.
Зад. 536.
'*>г

IV. Динамика.
1. Работа и мощность.
537. Въ мукомольной мелыіицѣ жерновъ, раздробляющій зерно^
ді.лаетъ 100 оборотовъ въ минуту; его діаметръ равенъ 1 mt Если
мощность жернова должна быть равна 2 Р. S, то какая сила должна
дѣііствовать на его окружности?
538. Ручей даетъ въ сек. 9 куб. метровъ воды, падающей съ
шсоты 2,5 mt. Сколько P.S можетъ быть при этомъ получено?
539. Паровая машина въ 26 Р. S обслуживаетъ насосъ? подви-
мающій въ теченіе недѣли, при непрерывной работѣ, 19656000 kg.
г.оды на высоту 36 mt. Опредѣлить стеиень полезнаго дѣйствія
уетановки.
540. Для работы мельницы требуется 10 Р. S. Вода падаетъ
сі, высоты 4 mt. на колесо, коэф-тъ полезнаго дѣйствія котораго 0,5.
Гколько куб. метровъ воды въ секунду надо подвести къ колесу,
чтобы сообщить ему необходимую мощность?
541. Пожарный насосъ долженъ подавать 10 литровъ воды въ
еекунду на высоту 27 mt. Ha немъ работаютъ 20 человѣкъ. Одна
треть абсолютной мощности уходитъ на вредныя сопротивленія.
Опредѣлить работу, приходящуюся на одного человѣка въ секунду.
542. Двѣ машины поднимаютъ въ минуту 5940 литровъ воды
иа высоту 25 mt.\ одна машина развиваетъ 15 Р. S при степеии
полезнаго дѣйствія 0,8; другая развиваетъ 30 Р. 5. Опредѣлить ея
степень полезнаго дѣйствія.
543. Найти сопротивленіе движенію парохода, дѣлающаіо Y&U
узловъ (по 1850 mt.) въ часъ, ыощность машины котораго равна
«000 Р. 5.
544. Колесо фабрики, расположенной при рѣкѣ, имѣетъ степень
иолезнаго дѣйствія = 0,6 и приводится въ движеніе водою, падающей
еъ высоты 1,8 mt. Фабрикѣ требуется 45 Р. 5. Какое количества
ііоды должно поступать въ секунду?
545. Водопадъ, постоянно дающій 14400 литровъ въ часъ, про-

— 94 —
ішдитпі іп> двигателю, имѣя паденіе, равное 3 mt. Двигатель, коэф-тъ
полезиаш дѣйствія котораго 0,75, работаетъ только одинъ часъ въ
день: остальное время вода собирается и тратится въ теченіе часа.
На какую мощность двигателя можно разсчитывать?
546. Автомобиль, вѣсящій вмѣстѣ съ нагрузкой 880 kg., въ
3 часа проходитъ 30 km. по дорогѣ, имѣющей 40 mt. подъема.
Коэф-ть сопротивленія дороги = ■?■*• Ha сопротивленія машины ухо-
дитъ 0,4 ея мощности. Опредѣлить послѣднюю въ Р. S.
547. Автомобиль, у котораго мощность, за вычетомъ сопротивле-
tvit
ній саыой машины, равна 4 Р. 5, идетъ со скоростью 5 —- по до-
рогѣ, имѣющей подъемъ въ 5°. Вѣсъ автомобиля 600 kg. Опредѣ-
лить коэф-тъ сопротивленія дороги.
548. Машина въ 4 Р. S съ коэф-мъ полезнаго дѣйствія 0,8 иод-
нимаетъ по плоскости, наклоненной подъ угломъ въ 10° къ гори-
зонту, грузъ въ 80 тоннъ. Ёоэф-тъ сопротивленія плоскости lko.
€колько требуется минутъ для поднятія груза на 5 mt. надъ его
начальнымъ положеніемъ?
549. Паровая машина въ 10 Р. S приводитъ въ дѣйствіе насосъ,
поднимающій за 12 часовъ 864000 литровъ воды на высоту 30 mt.
Еакая часть мощности теряется на сопротивленія въ насосѣ? Чему
равняется степень полезнаго дѣйствія?
550. Давленіе пара въ цилиндрѣ па-
ровой машины = 5 at (1 at=lkg. на
I "И3±_о^—■ с*ч. ст2). Діаметръ поршня 20 ст., ходъ
" его 40 ст., кривошипъ дѣлаетъ 100 обо-
ротовъ въ минуту. Опредѣлить мощность
машины.
551. Паровая машина должна
поднять грузъ Q со скоростью
ѵ = 0,215 —-. Вычислить:пол-
sec.
ную мощность N паровой ма-
шины, число оборотовъ п и пх
кривошила и барабана въ минуту, грузъ Q.
Зад. 551.

— 95 —
552. Нри постройкѣ дороги потребовалось въ теченіе одного дня
іфпиавести выемку 600 mt? земли. Земля должна быть нагружена
и;і »гелѣжки, высота которыхъ въ среднемъ равна 2 mt. Кромѣ ра-
ітчихъ, занятыхъ разрыхленіемъ земли, сколько должно быть занято
і'-и иагрузкой? Предполагается, что работа каждаго землекопа въ сред-
j bor iwt
шмъ равна———-, рабочій день 10 часовъ, и вѣсъ единицы объема
:і('МЛИ = 1,5.
553. Двигателеыъ въ 80 Р. S долженъ подниматься грузъ со
«жоростыо 1 mt. въ минуту. Опредѣлить величину груза, который
можетъ быть поднятъ, если степень полезнаго дѣйствія машины 0,8.
554. Прудъ, содержащій 5000 *я/.8, долженъ быть вычерпанъ
насосомъ, имѣющимъ степень полезнаго дѣйствія 0,8 и приводящимся
иъ дѣйствіе двигателемъ въ 2 Р. 5. Вода должна быть поднята на
кысоту 3 mt. Сколько нужно времени для того, чтобы вычераать
весь прудъ?
555. Четверо рабочихъ должны при помощи ворота въ 50 сек.
поднять на высоту 3 mt, грузъ £) = 400 kg. Размѣры н коэф-ты
тренія тѣ же, что въ задачѣ 353. Вычислить число оборотовъ п ворота
и, принявъ въразсчетъ жесткость каната и треніе въ шипахъ вала и
блока, опредѣлить мощность, которую долженъ развить каждый рабочій.
556. Колесо радіуса і? = 0,8 mt. приводится въ движеніе кри-
вошипомъ, длина котораго г=20 ст. По касателыюй къ
окружности колеса дѣйствуетъ сопротивленіео = 20^.
Движущая кривошипъ сила Р все время горизонтальна.
Радіусъ р шиповъ колеса = 4 ст.у полное давленіе D \ J
въ шипахъ = 80 kg., коэф-тъ тренія /г = 0,08. Какъ ^ У
велика должна быть постоянная сила Р, чтобы послѣ Зад-556-
каждаго оборота условія движенія оставались прежними? Чему равна
степень полезнаго дѣйствія?
557. Грузъ Q = 250 kg. долженъ быть подпятъ на 80 an. при
помощи винта съ прямоугольной нарѣзкой; даны: радіусъ шпинделя
г=3 ст.} плечо движущей силы R = 30 ст., ходъ h винта =
= 0,988 ст., коэф-тъ тренія/=0,06. Опредѣлить силу Р, необ-
ходимую для поднятія груза. Вычислить работы силы, груза и тренія.
Опредѣлить степень полезнаго дѣйствія.

558. ІІІкиігь ременной передачи имѣетъ радіусъ r=0,5 mt. и
дТлае/гъ // = 40 оборотовъ въ минуту; наиболыиее натяженіе ремня
Sv не должно превышать 125 kg. ä) Найти наиболыцую силу Ру
которую можетъ передать ремень (коэф-тъ тренія /=0,28; дуга
обхвата а = тг); Ь) опредѣлить наибольшее число передаваемыхъ
лошадиныхъ силъ; с) опредѣлить работу (въ Р. 5), теряющуюся
благодаря тренію въ шипахъ; радіусъ р шиповъ = 5 ст., коэф-тъ
тренія въ шипахъ/i = 0,l, давленіе D шиповъ можетъ быть при-
нято равнымъ 2 Sx.
559. Кованый желѣзнйй валъ длиной 200 mt. имѣетъ діаметръ =
= 0,2 mt. и дѣлаетъ 30 оборотовъ въ минуту. Треніе въ опорахъ
равняется 0,05 вѣса вала. Опредѣлить мощность, поглощаемую тре-
ніемъ. (Вѣсъ ед. объема желѣза = 7,8.)
560. Рабочій, полируя мозаичный полъ полировалышмъ камнемъ,
дѣлаетъ имъ взадъ и впередъ по десяти движеній въ минуту, каждое
на 1,2 mt. Коэф-тъ тренія камня по полу 0,3; вѣсъ камня = 40 kg.
Найти мощность, развиваемую рабочимъ.
561. На колесо мелыгацы падаетъ въ теченіе одной секунды
400 литровъ воды съ высоты 3 mt. Работа воды тратится на вра-
щеніе этого колеса, вѣсящаго 4000 kg. и дѣлающаго 15 оборотовъ
въ минуту. Діаметръ его шиповъ равенъ 24 спг. На треніе въ ши-
пахъ уходитъ
й /О
Зад. 5С2.
отъ всей работы. Опредѣлить коэф-тъ тренія въ
шипахъ.
562. Для забиванія свай приходится поднимать
молотъ копра, вѣсящій 300 kg., каждую минуту на
высоту 8 mt. Усилія рабочихъ передаются чрезъ
канаты Sx. 10% работы тратится на сопротивле-
ніе блока /? и на жесткость каната. Сколько должно
быть поставлено рабочихъ, если мощность каждаго
считается въ 8 kg. mt. ?
563. Поставленный въ Слокомобиль(Лг=20/:>.5)
с_ равномѣрно поднимаетъ три
вагона, по 4000 kg. каждый,
по рельсамъ дороги ABC.
Даны: 5і = 100 mt, s2 =
заД. 563. -300 mt, ах=30°, Оо=

97
сопротивленія движенію вагона х =-<щ- Сопротивленія ка
іштовъ въ разсчетъ не принимаются. Въ какое времи / будвтъ прой-
дшъ путь ABC?
564. Велосипедистъ вѣситъ вмѣстѣ съ машиной G kg. Спускаясь
ію дорогѣ, уголъ наклона которой а, и не нажимая на педали, онъ
шижется равномѣрно, преодолѣвая сопротивленія дороги п воздуха.
Нодшімаясь уже послѣ этого по дорогѣ, уголъ подъена которой ji,
онъ развиваетъ скорость а километровъ въ часъ и работаетъ леда-
.інмп, кривошипъ которыхъ, длиною r mt, дѣлаетъ при этомъ п обо-
[ютовъвъминуту. Какое давленіе Р долженъ передавать велосппедистъ
нн педали и какую мощность N (въ лошадиныхъ силахъ) долженъ
оиъ развивать? (по Routtiy.)
*565. Для канатноп
желѣзной дороги даны:
наклонъ а пути, вѣса
(rL и G2 вагоновъ, вѣсъ
<] единицы длины про-
іюлочнаго каната, діа-
метръ d каната, длина
каната / (безъ части
АСВ)\ для канатнаго
ворота даны: его радіусъ
R и радіусъ г его шипа;
извѣстны всѣ коэф-ты тренія и сопротивленія. Движеніе совершается
равномѣрно. Опредѣлить работу, которая должна быть приложена къ
вороту при измѣненіи х отъ нуля до /.
*566. Точка Р массы т притягивается точкою О съ
гдѣ с—постоянная. Какую работу А про-
изведетъ перемѣнная сила притяженія К
при движеніи точки до О, если вначалѣ
точка была въ А и не имѣла начальной
скорости? Какому значенію г соотвѣтствуетъ наиболыпая мощнооть
силы? Олредѣлить эту наибольшую мощность Етах.
*567. Грузъ G поднимается по совершенно гладкому пути, имѣю-
7
Зад. 565.
j Г"\Т—\
Зад 566.

— 98 —
Зад. 567.
щему форму четверти окружности. Вычислить ра-
боту, которую необходимо затратить для иоднятія
груза G, пользуясь для этого выраженіемъ эле-
ментарной работы за безконечно-малый промежу-
токъ времени.
*568. Небольшая масса т, расположенная на
концѣ плеча а, который можетъ вращаться около центра квадрата,
сторона котораго s, притягивается по закону Ньютона
четырьмя равными иассами mlf расположенными въ
вершинахъ квадрата. Какую нужно затратить работу,
чтобы перенести точку изъ ея положенія равновѣсія
(при <f = 0) въ положеніе, изображенное на чертежѣ?
Разстоянія точки отъ вершинъ въ этомъ положеніи:
зад. 5Ü8. Ги r2J г^у г^ Вычислить ту же работу для <р=45°.
^569. Точка М можетъ двигаться по прямой g и притягивается
лежащей внѣ этой прямой точкой 0 съ силой
Р=—, при чеыъ ОМ=г. Точка М перехо-
дитъ изъ безконечности въ Му\ опредѣлить
работу силы Р.
М
р
Зад. 509.
2. Полярные іѵіоменты инерціи.
570. Основаніе равнобедреннаго треугольника равно Ь, высота его=
= h; вычислить его полярный моментъ инерціи относительно вершины.
571. Найти полярныд моментъ инерціи площади правильнаго
многоугольника относительно его центра.
572. Найти полярный моментъ инерціи площади F тр-ка, сто-
роны котораго а, Ь, с,—относительно точки пересѣченія Ь и с.
573. Найти полярный моментъ инерціи площади круга относи-
тельно одной изъ точекъ его окружности.
574. Два круга радіусовъ і?иг распо-
ложены на разстояніи е одинъ отъ другого.
Опредѣлить разстояніе х точки 0 отъ 01
при условіи, что оба круга имѣютъ равные
полярные моменты инерціи относительно О
Зад. 574.

— 99 —
ß
Зад. 575.
575. Прямоугольникъ ОВАС, имѣя перемѣиные
ішм*ры, заключенъ между осями координатъ. Опредѣ-
ліпъ мѣсто точекъ А, для которыхъ величипа по-
піриаго момента инерціи прямоугольника ОВАС
ікмтоянна.
576. Вычислить полярный моментъ инерціи дуги
(радіусъ г, центральный уголъ 2а) относительно точки, дѣлящей
дугу пополамъ.
577. Вычислить полярные моменты инерціи площади F эллипса
<>і носительно его центра и относителыю конечныхъ точекъ осей 2 67 и 2 Ь.
578. Массу М тонкаго призматическаго стержня нужно распре-
2
дЬлить такъ, чтобы въ центрѣ тяжести было помѣщено -<у М и на
каждый изъ концовъ по ~^М. Доказать, что полярный моментъ
іше-рціи стержня относительно любоіі точки не измѣнится послѣ та-
кого распредѣленія его массы въ трехъ точкахъ.
579. Масса М данной площади, распредѣлена такъ, что въ точ-
кахъ А и В сосредоточены массы пі^ = —у, ?щ = -j-т и въ центрѣ
тяжести остальная часть массы М, именно ms =
= М—(т1-{-т2). Здѣсь l = a-\-b, Js = uo-
лярный моментъ инерціи площади относительно
центра тяжести. Доказать, что три распредѣлен-
пыя такимъ образомъ массы тХі пг.ъ ms
пмѣютъ, относительно каждой точки плоскости,
готъ же полярный моментъ инерціи, что и сама площадь.
580. Масса М данной площади роспредѣлена въ трехъ произ-
вольныхъ точкахъ ABC и въ центрѣ тяжести 5. Въ первыхъ
трехъ точкахъ иаходятся массы:
Js sin a Js sin [J Js sin y
7?h~ al ' m-~~ Ы ' "h~~ cf '
Здѣсь Js — полярный моментъ инерціи площади
относительно центра тяжести, а = < CSB,
fl = < ASC, у = < BSA и / = asin а -j-
-f- Ь sin $-\-с sin y. Въ центрѣ тяжести сосредо-
Зад. 579.
Зад. &8Ü.

— 100 —
точсіі«! осталыіая масса ms = M—(^і + ^о + ^а). Доказать, чта
четыре распредѣленныя такимъ образомъ массы ти т.2, т^, ms
имѣютъ относительно каждой точки 0 плоскости тотъ же полярный
моментъ инерціи, что и сама площадь.
3. Моменты инерціи тѣлъ.
*581. Вычислить для тонкаго стержня
■у ^^^ массы М и длины / моментъ инерціи отно-
Зад 581 сительно оси X, накловной къ оси стержня
подъ угломъ (f.
*582. Найти для того же стержня моментъ
инерціи относительно оси X, перпендикуляр-
ной къ стержню и отстоящей отъ концовъ его
на разстояніяхъ а и Ъ.
заА. 582. 583. Прямоугольнып параллелепипедъ съ
а, Ь и с имѣетъ вѣсъ ед. объема = у. Найти его моментъ
инерціи относительно ребра с.
584. Вычислить моментъ инерціи прямой, правильной ;г-уголь-
ной призмы относителыю геометрической оси (7^) и затѣмъ относи-
тельно произвольной прямой, проходящей черезъ центръ тяжести и
параллельной основаніямъ.
*585. Для прямой пирамиды, основаніе которой прямоугольникъ
«Х* и высота //, вычислить моменты инерціи относительно слѣ-
дующихъ осей: а) геометрической оси пирамиды (То); Ь) прямой,
проходящей черезъ центръ тяжести и параллельной ребру а {Т^)\
с) ребра а (Г2); d) прямой, проходящей чрезъ вершину и парал-
лельной ребру а (Г3).
^586. Вычислить моменты инерціи прямого конуса, высота кото-
раго h и радіусъ основанія г, относительно слѣдующихъ осей:
а) геометрической оси конуса (Тг); Ь) прямой, перпендикулярной къ
геометрической оси конуса и проходящей чрезъ его вершину (^о):
с) нрямой, перпендикулярной къ геометрической оси конуса и про-
ходящей чрезъ его центръ тяжести (То).
*587. Вычислить моментъ инерціи правильнаго тетраэдра, ребро
котораго = я, относительно этого ребра, какъ оси (плотность = \х).

— 101 —
::588. Вычислить моментъ инерціи боковой поверхностк усѣченнаго
іфммого конуса (радіусы основаній R, г, образующая /) относптельно
<'i'ii оси, если на этой поверхности равномѣрно расиредѣлена иасса М.
*589. Масса М равномѣрно распредѣлена на поверхности шара
імдіуса г. Вычислить ея моментъ инерціи относительно діаметра.
590. Масса М равномѣрно распредѣлена на поверхности полу-
шара радіуса г. Опредѣлить видъ эллипсоида инерціи этой массы для
дснтра шара.
*591. Вычислить моментъ инерціи однороднаго усѣченнаго прямого
конуса относительно оси (масса М, радіусы R и г).
*592. Вычислить главные моменты инерціи параболоида вращенія
для его вершины, т. е. относительно осей, проходящихъ черезъ его
інфшины (высота h, площадь основанія а2ѵ).
»593. Опредѣлить главные моменты инерціи эллипсоида вращенія
для его центра (2 а—ось вращенія).
594. Тх Ту9 Tz — моменты инерціи нѣкотораго тѣла для трехъ
перпендикулярныхъ осей. Доказать, что каждый изъ нихъ менѣе
суммы двухъ остальныхъ. (Routh.)
595. Кольцо прямоугольнаго сѣченія имѣетъ
указанные на чертежѣ размѣры /?, г, а. Тре-
буется увеличить R настолько, чтобы моментъ
инерціи этого кольца относительно оси X удвоился.
Опредѣлить величину /?1#
596. Найти моментъ инерціи очень тонкаго
кольца радіуса а и массы М относительно X,
наклоненной къ плоскости кольца подъ угломъ
а и проходящей черезъ его центръ.
597. Опредѣлить моментъ инерціи ма-
ховика относительно оси X. Размѣры:
R = 2mL, я = 0,4 mt, 6 = 0,2 mt,
р = 0,08 w/., rx = 0,4 mt, r = 0,2 mt.,
ji = 0,4 mt. Вѣсъ единицы объема у = 7,5. Зад 597%

102 —
ЬШ. Г»мчшмшть моменты инерціи двухъ желѣзныхъ шаровъ, ихъ
деревянныхъ цилиндрическихъ плечъ и
кольцеобразной деревянной втулки отно-
сительно оси вращенія X. Размѣры:
/? = 58 ст.у а = 10 ст., (5 = 10 ст.,
гг = 8 ст.у r = 5 an., р = 1 ст.\
вѣса единицы объема: желѣза у=7,6,
дерева у, =-0,5.
*599. Опредѣлить моментъ инерціи
эллипсоида, полуоси котораго я, Ь, с, относительно оси 2а.
*600. Опредѣлить моментъ инерціи безк. тонкаго эллипсоидаль-
наго сщ% заключеннаго между двумя подобными эллипсоидами, отно-
сительно оси 2 а. (Routh.)
601. Найти эллипсоидъ, номентъ инерціи котораго относительно
каждаго изъ его діаметровъ равняется, относительно той же прямой,
моменту инерціи тѣла, имѣющаго массу = массѣ эллипсоида. (Lc-
gendrc.)
602. Плотность эллипсоида, полуося котораго А, В, С, убываетъ
пропорціонально разстоянію отъ центра. Поверхности равной плотно-
сти — подобные эллипсоиды. Опредѣлить моментъ инердіи его отно-
сительно главной оси 2 а.
4. Живая сила.
603. Опредѣлить живую силу снаряда въ 600 kg.} обладающаго
скоростью въ 400—.
r scc I
604. Сталкиваются два желѣзнодорожныхъ поѣзда, вѣса которыхъ
ллл 4 і*< 4
120 tn, и 300 /;/. и скорости 25— и 15—. Опредѣлить ра-
r scc scc г ■ г
боту разрушенія при столкновеніи.
605. Валъ вѣсомъ G и радіуса г дѣлаетъ п оборотовъ въ ми-
нуту: опредѣлить его живую силу.
606. Валъ вѣсомъ G и радіуса г дѣлаетъ п оборотовъ въ минуту.
Благодаря треиію въ подшипникахъ число оборотовъ уменьшается
вдвое. Опредѣлить работу, поглощенную треніемъ.

— 103 —
607. Тѣло цилиндрической формы имѣетъ около своей оси вин-
■юінк» движеніе, а—уголъ наклона ввнтовой линіи на поверхности
ііилііндра. Сохраняя величину угловой скорости, измѣнить уголъ
/ ( 2г = ?) такъ, чтобы живая сила винтового движенія уменьшилась
1
п.і - своеи величины.
608. Шаръ, радіусъ котораго 50 ст. и вѣсъ единицы объема 7,8,
дѣлаетъ /г=120 оборотовъ въ минуту. Опредѣлить сколько (х) обо-
іютовъ въ минуту будетъ дѣлать шаръ послѣ того, какъ отдастъ
масть своей энергіи, равную 2464 kg. mt.
609. Шаръ радіуса г дѣлаетъ п оборотовъ въ минуту. Опредѣ-
лить число х оборотовъ шара послѣ того, «акъ радіусъ его умень-
шится на S, а вѣсъ останется прежній.
610. Валъ, длина котораго /=4 mt. и діаметръ rf=-10 cm.,
дѣлаетъ 20 оборотовъ въ минуту; его плавно, безъ удара, сцѣпля-
ютъ съ другимъ валомъ изъ того же матеріала, имѣющимъ размѣры
/і=^6 mt., ä± = 8 ст. и находившимся въ покоѣ. Сколько (х) обо-
ротовъ въ минуту сдѣлаютъ соединенные валы?
611. Опредѣлить живую силу круглаго цилиндра (радіусъ г,
вѣсъ G), вращающагося около образующей со скоростью п = 1 обо-
роту въ секунду.
612. Деревянная призма имѣетъ три перпендикулярныхъ другъ къ
другу ребра: я = 30 ст., й = 20, с = 10 ст.\ она вращается около
ребра а со скоростыо « = 100 оборотовъ въ минуту. Вычислить ея
живую силу. (Вѣсъ единицы объема у = 0,5.)
613. Снарядъ представляетъ собой тѣло
вращенія указанной на чертежѣ формы. Онъ
обладаетъ скоростыо с и въ то же время дѣ-
лаетъ п оборотовъ въ секунду около своей
оси. Опредѣлить его живую силу. (Вѣсъ еди- 3аА 613
ницы объема = у.)
614. Параллелепипедъ, ребра котораго а, by c и вѣсъ единицы
объема у, вращается одновременио около своихъ четырехъ парал-
лельныхъ с реберъ съ одинаковой угловой скоростью а>. Опредѣлить
его живую силу.

— 104 —
Зад. 617.
Зад. 618.
615. Насколько измѣнится живая сила въ предыдущей задачѣ, если
прекратится вращеніе около одного изъ реберъ?
616. Прямой круглый конусъ (масса М, высота //, радіусъ осно-
ванія г) дѣлаетъ п оборотовъ въ минуту около одной изъ своихъ
образующихъ. Опредѣлить живую силу конуса.
617. Прямой круглый конусъ (масса М,
высота к9 радіусъ основанія г) равномѣрно
катается по горизонтальной плоскости, воз-
вращаясь въ первоначальное положеніече-
резъ п секундъ. Опредѣлить его живую
силу.
*618. Массу стержня, вращающагося около пер-
нендикулярной оси, требуется замѣнитыіриведенной
массой, сосредоточенной въ А. На какомъ разстоя-
ніи х отъ А должііа находиться ось, чтобы приве-
денная масса Ш стержня имѣла minimum икаковъ
Ш min.?
619. Шаръ (масса М2, радіусъ г) соединенъ
со своею осью вращенія съ помощью стержня
(масса Мх и длина /). Въ какомъ отношеніи
должны находиться г и /, если приведенная
къ центру шара масса 9Л = Мг + М2?
*620. Еривошипъ ОА соединенъ
шарниромъ А съ шатуномъ ВС, концы
котораго В и С скользятъ по сторонамъ
прямого угла. ОА = АВ=АС. Четыре
массы Мъ Mo, Ms и Мк обоихъ ползу-
новъ и шатуна требуется замѣнить при-
веденной къ А массой. Опредѣлить, въ
какомъ отношеніи должны находиться эти четыре массы, чтобы при-
веденная масса имѣла постоянную величину.
ль *621. Чертежъ изображаетъ три
соединенныхъ между собой парал-
лельныхъ кривошипа. Требуется
массы Ми М2, Мд трехъ парал-
лельныхъ шатуновъ замѣнить при-
Зад. 619.
Зад. 620.
5і
Зад. 621.

105 —
Зад. 623.
in дешюй массой, сосредоточенной въ А. Въ какомъ отношеніи
(П.ІІЖНЫ быть эти массы и углы а, ß, у, чтобы приведенная массаЗЗІ
іп. Л имѣла постоянную величину?
622. Чертежъ изображаетъ два конгруэнт-
имхъ эллиптическихъ диска, которые, все время
і.мсаясь одинъ другого, вращаются около свопхъ
Фокусовъ ОІ9 О2. Требуется замѣяить массуМ>
нторого диска приведенной массой, сосредоточен-
іюіі въ фокусѣ Аг перваго диска. зад. 622.
У5. Теорема живыхъ силъ.
€23. Два бруска (вѣса G и Gv длины /иЛ)
могутъ качаться въ вертикальной плоскости око-
ло точки О. Въ какомъ отношеніи находятся углы
іі ѵь начальныхъ отклоненій, если при прохо-
.і.деніи черезъ нижнее положеніе стержни имѣютъ
рлвныя живыя силы?
*624. Между двумя неподвижными точками Ои О2, отстоящими
одна отъ другой на разстояніи а, лежитъ подвижная точка Мо на
разстояніи -j а отъ Ох и находится въ покоѣ. Затѣмъ точки OY и О2
ііачинаютъ притягивать Мо пропорціонально ихъ разстоянію отъ нея,
притяженіе точки О2—вдвое больше. Найти ближайшее
иоложеніе покоя точки М и опредѣлить работы Ах и А.2
обѣихъ силъ притяженія на пути между положеніями по-
коя Мо и М.
-625. Стержень длиною / подвѣшенъ на шарнирѣ къ
точкѣ 0. Еакую скорость ѵ нужно сообщить нижнему
концу стержня, чтобы онъ поднялся до горизонтальнаго
иоложенія?
-626. Валъ, поперечное сѣченіе котораго есть
' круга, можетъ вращаться около оси 0. Радіусъ
ОА вначалѣ вертикаленъ. Находящійся въ покоѣ
иалъ предоставленъ дѣйствію собственнаго вѣса.
Оиредѣлить наибольшую скорость точки А.
Зад.
Зи.

— 106 —
627. Плоскій дискъ произвольнаго очертанія, свободный отъ дѣй-
ствія силъ, катится безъ скольженія въ вертикальной плоскости по
горизонтальной прямой. Даны: его живая
сила L, его масса 71/, его моментъ инерціи
Ts относительно центра тяжести 5 и раз-
стояніе г. Опредѣлить скорость центра тя-
жести.
—628. Грузъ G, подвѣшенный къ 0 на
Зад. 627.
Зад. 028.
Зад. 629.
упругой нити, опирается на подставку и,
благодаря этому, не натягиваетъ нити. Требуется опредѣлить, на-
сколько (х±) опустится грузъ по удаленіи подставки и на какомъ
разстояніи (хо) онъ придетъ въ равновѣсіе? Натяженіе нити про-
порціонально (k) ея удлинеыію.
'*й629. Три неподвижныхъ точки съ
равными массами іщ притягиваютъ лежа-
щую на оси симметріи точку съ массою т
съ силами прямо пропорціональными мас-
самъ и ихъ разстояніямъ. Сила притяженія
единицъ массъ на единицѣ разстоянія равна k. Съ какою скоростыо
ѵ точка т придетъ въ А, если виачалѣ она находилась въ покоѣ?
—^630. Три равныхъ массы т1 распо-
ложены въ вершинахъ равносторонняго
Y- тр—ка и по закону Ньютона притягива-
ютъ подвижную точку съ массою т. На-
%ль* • чалыюе положеніе покоя этой точки нахо-
дится вправо по оси симметріи X на весь-
ма далекомъ разстояніи "(д:= оо). Опредѣлйть разстояніе х для бли-
жайшаго положеиія покоя точки т,
^_ß31. Прямой уголъ, составленный изъ
двухъ равной толщины брусковъ АС=2 п,
ВС=2 Ь, укрѣпленъ въ точкѣ Сна шарнирѣ.
Опредѣлить величину угла а при равновѣсіи
и найти наибольшій уголъ ср> на который от-
клонится АС отъ горизонтали, если уголъ
АСВ привести въ положеніе А1СВ1 и пре-
доставить самому себѣ. {Walton.)
Зад. 630.

— 107 —
G32. Какую начальную угловую скорость долженъ Аіѣть полый
.і.іміі.ііный валъ (радіусы 7?=20 cm.f r=10 ctn., длина /=3 mt.)y
•іниіы онъ могъ поднять грузъ G=10 kg. на вы-
піту /г=Ь mt? (Вѣсъ единицы объема у=7,8.)
633. Въ неподвижномъ, гладкомъ по-
і > іішріи діаметра d скользитъ тяжелый
іірусокъ длиною / изъ начальнаго положе-
нін, даннаго на чертежѣ. Какія скорости
ііудутъ имѣть концы бруска при прохожде-
иш егочерезъ нижнее положеніе? (IValton.)
зад.
Зад 632.
В f,
() Теорема живыхъ силъ для движенія съ сопротивле-
ніями.
634. Сани, находившіяся въ покоѣ въ А, скатываются внизъ по
нііклонной подъ угломъ а плоскости
дороги. Опредѣлить точку С ихъ оста-
ионки, если извѣстно, что AB=s, коэф-тъ
і|М'ШЯ=/. Зад 634. Д
635. Тяжелое тѣло скользитъ отъ Р ;
піінзъ по наклонной плоскости. Въ А
опо распадается на двѣ части. Одна часть
дішжется по горизонтальной плоскости
Iß и, пройдя по ней путьsu остайавли-
иается благодаря тренію; другая часть
скользитъ внизъ по наклонной плоскости
. /С, проходитъ по ней путь s2 и также
«кѵганавливается. Нути sx и s2 равны. Въ какомъ отношеніи находятся
ко»ф—ты тренія /г и /о?
636. Валъ (вѣсъ Gn радіусъ г) дѣлаетъ п оборотовъ въ мину-
ту. Благодаря тренію въ подшипникахъ число оборотовъ умень-
шается вдвое. Опредѣлить работу, потраченную на треніе.
637. Валъ радіусомъ г=5 ст., дѣлающій п=іО оборотовъ въ
мииуту, съ нѣкотораго момента предоставленъ самому себѣ и про-
до.іжаетъ вращаться по инерціи. Скодько (х) оборотовъ онъ послѣ
»того сдѣлаетъ, если коэф-тъ тренія въ шипахъ ^=0,08?
Зад 635

— 108 —
cm
Зад. 639.
638. Грузъ скользитъ съ начальной скоростью z/=445 — по го-
SCC
ризонтальному пути, коэф-тъ тренія котораго /=кп- Какой иуть
пройдетъ грузъ, когда его живая сила уменьшится вдвое?
—*639. Сани по горизонтальной пря-
мой проходятъ путь АВ=1, затѣмъ подни-
маются по дугѣ круга ВС (радіусъ г, цен-
тральныйуголъ а) и въ точкѣ С начинаютъ
двигаться обратно. Опредѣлить начальную
скорость ѵ саней, если коэф-тъ тренія=/.
—640. Желѣзнодорожный вагонъ движется со скоростью 9 mt. въ
сек. по горизонтальному пути. Какое разстояніе прокатится этотъ
1
вагонъ по пути, имѣющему подъемъ sm-a=™, иока не остановит-
<*я? Коэф-тъ тренія въ шипахъ: 0,06, радіусъ шиповъ 4 ст.,
коэф-тъ тренія каченія: 0,5 тт, радіусъ колесъ 40 an.
*—641. Брусокъ AB, подвѣшенный на па-
раллельныхъ шнурахъ въ О и Ои нахо-
дится въ изображенномъ на рисункѣ на-
чалыіомъ положеніи. Будучи предоставлені»
самому себѣ, оиъ начинаетъ качаться. При А
лежитъ небольшой грузъ G. Еакъ только
стержень займетъ самое нижнее изъ своихъ
положеній, его сразу останавливаютъ; тогда грузъ G начинаетъ
скользить вдоль по бруску и останавливается въ В. Опредѣлить
коэф-тъ тренія / груза по бруску.
ÄS*642. Цѣпь длиною / лежитъ частью на не-
гладкомъ горизонтальномъ столѣ (коэф-тъ тренія /),
другою же частью (х) свободно свѣшивается со
стола. Она начинаетъ двигаться книзу изъ того по-
ложенія, въ которомъ сила тренія и вѣсъ еще
уравновѣшиваются. Какую скорость ѵ пріобрѣтетъ
цѣпь въ тотъ моментъ, когда ея верхній конецъ
1-ос
Зад. 642.
дойдетъ до края стола?
643. Шаръ радіуса
г катится по торизонтальной гтлоскости.

— 109 —
і..і.м|і тъ тренія качешя=9- Какой путь х пройдетъ шаръ до оста-
-■••■ii.li, если начальная скорость центра шара=£?
644. Цилиндрическое тѣло радіуса г,
н|і,мц;ііощееся около своей вертикальной оси,
. и псоростыо п оборотовъ въ минуту, опуска-
н.іі, до тѣхъ поръ, пока оно нижней стороной
in- коснется негладкой горизонтальной плос-
і.імѵпі. Какое число {%) оборотовъ сдѣлаетъ
і іі.іц) съ момента каченія?
z
ть.
Зад. 644.
Зад. 645.
*645. При разсчетѣ подпряж-
ной оси локомотива встрѣчается
слѣдующая задача. Въ паровой ци-
линдръ Z, неподвижно укрѣплен-
ный въ рамѣ AF локомотива,
впускается паръ подъ давленіемъ
р=12 at.y который приводитъ въ
движеніе поршень К діаметра
^/=412 тт.\ поршень опускаетъ
на разстояніе 5=60 ст. эту ось
имѣстѣ съ колесомъ V и давитъ на рельсъ. Благодаря этому раз-
і ружаются двѣ другія оси А и F, соединенныя помощью пружинъ
п> рамою локомотива, и послѣдняя поднимается на х тпг. Въ то же
кремя поршень К и колесо V получаютъ давленіе кверху отъ
ACDF съ пружиною В. Вычислить подъемъ (рамы) х, если даны:
Упругость пружины въ В: F1=F0-\~kf1, упругость пружинъ въ
Л и F:F=~7j —kf\ Fo=5420 kg., ^=571 kg. на cm. сжатія,
/—растяженіе, /г— сжатіе пружинъ, G—вѣсъ локомотива, ^4#—
^а=300 ш., ВС=Ь=Ь00 mm., DE=c=iib mm., EF=d=
=364 mm. [Zetischrift d. Vereines deutscher Ingenieure i8pj} S. 96.)
7. Принципъ д Аламбера.
=£46. Пластинка падаетъ по вертикали съ ускореніемъ у=4 mL
игь__сек. На ней помѣщается грузАІО kg. Какое давленіе оказы-
г.аетъ онъ на пластинку во время движенія?

110 —
—647. Ha двухъ наклонныхъ плоскостяхъ лежатъ два тяжелыхъ,
ті.ла, соединенныя между собой совершенно гибкимъ шиуромъ'
(см. чертежъ). Принимая во вни-
маніе треніе обѣихъ плоскостей,
опредѣлить, съ какимъ ускореніе^ъ'
у совершается движеніе тѣлъ (f£=
=коэф-тъ тренія). Y
. Къ системѣ блоковъ (см. чер-
5аД. 647.
Зад. 652.
тежъ) подвѣшены два груза G и Gv Съ
какимъ ускореніемъ у движется G? !'
—€49. Съ какимъ ускореніемъ у опу-
скается грузъ G, поднимая грузъ Gx
съ помоіцыо полиспаста, изображеннаго
иа чертежѣ?
650. Опредѣлить силу натяженія S
въ стержнѣ маятника длиною /, если
G—вѣсъ маятника, ѵ—его мгновенная
скорость и ц—уголъ отклоненія. Масса
стержня въ разсчетъ не принимается.
651. Вращеніе блока /?, на который
намотана гибкая нить, натянутая гру-
зомъ G, тормозится съ помощью сидящей на
его оси шайбы а, черезъ которую перекинута
другая нить, укрѣплеішая однимъ концомъ въ А,
а на другомъ нагруженная вѣсомъ G, (см. чер-
тежъ). Коэф-тъ тренія нити по диску=/. Опре-
дѣлить ускореніе у падающаго внизъ груза G,
R , R ~ , .
если а=-т, г(радіусъшиповъ)=^>/1 (коэф-тъ
4 1U
тренія въ шипахъ)т=0,1.
--^652. Тяжелая и весьма гибкая цѣпь длиною
АСВ=1 лежитъ на двухъ одинаково наклонен-
ныхъ илоскостяхъ, на общей вершинѣ которыхъ
С укрѣпленъ небольшой блокъ (см. чертежъ).
Вначалѣ цѣпь находится въ равновѣсіи, но бла-
годаря небодышшу сотрясенію она начинаетъ

— 111 —
:шть по плоскостямъ вправо. Какую скорость пріобрѣтетъ цѣпь
-і. титъ моментъ, когда конецъ А проходитъ черезъ С? {Potsson.)
653. Два бруска / и Іѵ соединенные подъ
прямьшъ угломъ, имѣютъ на концахъ два не-
большихъ шара вѣсомъ G и Gv Бруски под-
вѣшены въ 0 (см. чертежъ) и вращаются
около вертикальной оси съ угловой скоростыо
со. Опредѣлить уголъ <р и моментъ, ломающій
уголъ въ 0. Извѣстно, что 1±=21, С1=-^. (Массы стер-
лж'А въ разсчетъ не принимаются.)
—654. Два тяжелыхъ бруска длиною а и b и вѣ-
сомъ G т G1 соединены подъ прямымъ угломъ, под-
вѣшены въ 0 и вращаются съ угловою скоростыо о)
около вертикальной оси, проходящей черезъ 0. Найти
> /зависимость между о> и угломъ отклоненія ^.
—*655. Брусокъ AB, укрѣпленный въ О на шар-
нирѣ, вращается около вертикальной оси съ углсвой
скоростыо (о (см. чертежъ). Опредѣлить, на какой уголъ
cf брусокъ отклонится отъ оси.
656. Двѣ тяжелыя точки G и Glf соединенныя
двумя нерастяжимыми и невѣсомыми нитями а и b
между собою и съ неподвижною точкою 0, вращаются
съ постоянною угловой скоростью (о около проходящей
черезъ 0 вертикальной оси. Опредѣлить величины
угловъ 9 и ф нитей съ вертикалыо и натяженія Sa
и 5^ обѣихъ нитей.
^"657. Два равныхъ бруска, длиною 2а и вѣсомъ
£, соединенные между србою шарниромъ въ
О, вращаются около вертикальной стойки 0Glf
на которую надѣтъ грузъ Gu привязанный
на двухъ равныхъ нитяхъ длиною іа къ
концамъ брусковъ А и В. Найти зависимость
между угловой скоростью со вращенія и
угломъ <р. (Roufh.)
*658. Однородная и гибкая цѣпь ОА,
Зад. 656.

— 112 —
Зад. 059.
подвѣшенная въ 0; между двумя гладкими вертикальными параллель-
ными плоскостями, вращается вмѣстѣ съ ними съ угловою скоростыо
о) около вертикальной оси X, которая лежитъ между
тѣми же плоскостями на разстояніи а отъ точки 0.
Найти ур-іе кривой, которую образуетъ цѣпь.
*—659. На концахъ двухъ невѣсомыхъ канатовъ, на-
мотанныхъ на валъ и барабанъ (радіусы г и гх)ч
ворота, висятъ два груза G и Gl9 подъ дѣйствіемъ ко-
торыхъ воротъ начинаетъ вращаться по часовой стрѣл-
кѣ. Опредѣлить угловое ускореніе X этого вращенія.
Опредѣлить время /, въ теченіе котораго G± опу-
стится на высоту h. Вычислить натяженія 5 и 52
обопхъ канатовъ. (Массы вала и барабана ворота въ
разсчетъ не принимаются.)
*660. Рѣшить предыдущую задачу, прпнимая въ
разсчетъ массу ворота.
*661. Чрезъ невѣсомый блокъ. радіусомъ г переки-
нута гибкая нить длиною і-\-ъг\ вѣсъ единицы ея длины = ^.
На концахъ нити подвѣшены два груза G и G±. Боль-
шой G1 въ началѣ находится въ верхнемъ своемъ по-
ложеніи (х = 0) и опускается затѣмъ въ самое ниж-
нее (л; = /), въ которое онъ приходитъ со скоростью ѵх.
Опредѣлить ускореніе у этого движенія, скорость ѵх и
натяженіе нити въ А и В для любого ея положенія.
-—^662. На цилиндрическій валъ, діаметромъ 2г =
= \§спг. и вѣсомъ Gx = 2k, намотанъ канатъ, дли-
ною /=10 mt.\ вѣсъ метра каната gr = 0,14£. Ha
валу сидитъ колесо радіусомъ R = 40 ст. и вѣсомъ
£2 = 20£. Къ концу каната привѣшенъ грузъ G =
= 10k., который, опускаясь, сматываетъ съ вала
канатъ. Съ какой скоростыо ѵ грузъ G достигнетъ
своего нижняго положенія?
Цилиндръ вѣсомъ G расположенъ на двухъ одинаковыхъ
пружинахъ А и В, сопротивленія которыхъ опредѣляются уравне-
ніемъ F± = k (/0 —/і), гдѣ /х дѣйствительная длина пружины, /0 ея
1-х
С
Ü
Зад. 661.

— 113 —
іішіа въ ненагруженномъ состояніи, k — носто-
ииііая. Поршень вѣсомъ 6\ въ началѣ нахо-
[\ѵт\ въ своемъ верхнемъ положеиіи и снизу
моддерживается давленіемъ сжатаго воздуха. За-
і г.мъ открываются краны въ С и D, воздухъ
кытекаетъ, поршень опускается съ ускореніемъ
Y,. Насколько поднимется цилиндръ?
*664. Къ концамъ гибкаго шнура, перекину-
таго чрезъ очень малый блокъ, подвѣшены два
і руза Р и Q\ первый виситъ свободно, а второй
окользитъ внизъ, вдоль совершенно гладкой вертик.
гтоики. Вначалѣ при „г^=0 грузъ Q находится въ
покоѣ; опредѣлить какою функціею пути х выра-
жается скорость Q?
Зад. 664.
8. Движеніе центра тяжести.
-665. Изъ лодки, имѣющей вѣсъ Gly выпрыгиваетъ наберегъчело-
вѣкъ вѣсомъ G, дѣлая прыжокъ длиною 5. Опредѣлить длину (s±), на
которую отойдетъ лодка назадъ, если сопротивленіе воды въ разсчетъ
не принимается.
666. Цилиндръ расположенъ на пружинахъ А и В,
и поршень его прижимается къ верху пружиной. Въ
пространство надъ поршнемъ нагнетается воздухъ подъ
опредѣленнымъ давленіемъ (р на ед. площади). На А*
какую высоту (х) поднимается или опускается цилиндръ? За«- т-
--^667. Пушка стоитъ на шероховатомъ горизонтальномъ полу
(коэф-тъ тренія/). Снарядъ вылетаетъ изъ нея съ относительной
скоростью ѵ. Опредѣлить, на сколько откатится пушка назадъ, если
М— ея масса, т—масса снаряда.
^-668. На гладкой подставкѣ лежатъ двѣ глад-
кихъ призмы вѣсомъ G ъ Glf шириною b и Ьх
(см. чертежъ). Малая призма скользитъ внизъ,
пока ея вертикальная грань не спустится до
основанія болыиой призмы. На какое разстояніе
и въ какомъ направленіи перемѣііится благодаря этому болыпая призма?
8

— 114 —
Двѣ тяжелыхъ точки, вѣсомъ G и G1, находятся на раз-
стояніи h по вертикали одна надъ другой. Точка G, лежащая выше,
начинаетъ падать безъ начальной скорости, точка G1 одновременно
брошена вверхъ съ начальной скоростью с. Какую начальную ско-
рость ѵ0 имѣетъ центръ тяжести обѣихъ точекъ? Черезъ сколько
времени онъ достигаетъ начальнаго положенія точки G±?
670. Гимнастъ вѣсомъ G, держащій грузъ Gl9 прыгаетъ впередъ
съ начальной скоростью с подъ угломъ а къ горизонту. Достигнувъ
наибольшей высоты, онъ бросаетъ назадъ грузъ С,съ относительной
скоростью сг по горизонтальному направленію. Опредѣлить, какую
скорость ѵ имѣлъ гимнастъ, когда онъ отбросилъ грузъ, и на сколько
чрезъ это увеличился его прыжокъ?
—*671. Изъ лодки,вѣсомъ Gu прыгаетъ на берегъ человѣкъ, вѣсомъ
G, отталкиваясь отъ нея и пріобрѣтая этимъ скорость с. Лодка
отходить назадъ, встрѣчая сопротивленіе воды ІѴ= аѵ2, гдѣ а есть
иостоянная величина, ѵ—перемѣнная скорость лодки. Какую скорость
имѣетъ она по истеченіи временіи /?
672. Въ неиодвижномъ кругѣ радіуса R пока
закрѣпленъ въ положеніи касанія, какъ показано
на чертежѣ, тяжелый дискъ меньшаго радіуса — г.
Затѣмъ дискъ предоставленъ самому себѣ п движется
въ вертикальной плоскости обоихъ круговъ. Не
производя никакихъ вычисленій и не прииимая въ
разсчетъ тренія, опредѣлить траэкторію точки А.
673. На совершенно гладкую горизонтальную
плоскость поставлено тяжелое однородное полушаріе
въ данномъ на чертежѣ подоженіи. Гдѣ въ началь-
ный моментъ движенія находится мгновенная ось
вращенія полушарія? (Routh.)
674. Однородный брусокъ AB, длиною 2/,
опирается подъ угломъ а на совершенно гладкую
горизонтальную плоскость. Другой конецъ А
бруска свободенъ; брусокъ падаетъ на плоскость.
Опредѣлить относительно осей координатъ XBY
ур-ніе траэкторіи точки А и построить направ-
леніе движенія этой точки.
Зад. G72.
Зад. 673.
674.

— 115 —
Зад. 675.
Зад. 676.
675. Ha горизонтальной, совершенно. гладкой
иоікфхности стола свободно лежитъ гладкій дискъ
рлдіуса R. На этомъ дискѣ укрѣпленъ второй,
акчіыній, вѣсъ котораго=одной четверти вѣса G
йолыного диска (см. чертежъ). По окружности
іюслѣдняго дѣйствуетъ пара силъ. Опредѣлить
<м() угловое ускореніе X и найти центръ вра-
іцеиія.
676. Тяжелая пластинка произвольнаго кон-
гура подвѣшена въ точкахъ В и D на нитяхъ
къ неподвижнымъ точкамъ А и С Нить CD
разрѣзаютъ. Опредѣлить, какое движеніе совер-
шается пластинкой въ первое мгновеіііе.
*677. Совершенно гладкій треугольный клинъ
ABC, масса котораго = М, лежитъ на гладкой горизонтальной
илоскости. Отъ его вершины В спускается по
иемъ точка съ массою пг. Найти: а) ускореніе у,
€ъ которымъ клинъ движется вправо; Ь) абсолют-
ное ускореніе уі тяжелой точки и ея относит.
ускореніе уг на клииу; с) траэкторію абсолютнаго
движенія тяжелой точки; d) давленіе D точки на клинъ; е) давленіе
/>! клина ііа горизонтальную плоскость. (/оА. ВетоиШ, Eitler.)
= 5 ст.
7
м
Зад. 677.
9. Вращеніе около оси.
678. Шаровой маятникъ имѣетъ OS = a = 40 an., r
Еакое слѣдуетъ взять разстояніе OS = x,
чтобы продолжительность небольшихъ качаній
увеличилась вдвое? (Масса стержня въ раз-
•счетъ не принимается.)
*679. Тяжелый стержень, длиною /, вна-
чалѣ висящій вертикально, долженъ совершать
небольшія качанія около горизонтальной оси 0.
Какую слѣдуетъ взять величину ОА = х,
«ітобы продолжительность качанія была наименьшей?
Зад. 6Т8.
А
- Зад. 679.
8*

— 116 —
Зад. 681.
680. Ha невѣсомомъ брускѣ, вращающемся около О, находятся
на разстояніяхъ /І5 /2 отъ 0 двѣ тяжелыя точки
тІУ т2. Брусокъ качается около О. Опредѣлить его
угловое ускореніе X и длину / математическаго маят-
ника, имѣющаго ту же продолжительность качанія.
681. Каждое изъ двухъ тонкихъ проволочныхъ ко-
лецъ радіусовъ R и Rt имѣетъ короткій штифтъ г,
которой своинъ остріемъ опирается на непод-
вижную плоскость. Кольца, подобно маятнякамъ,
совершаютъ небольшія качанія около 0. Опре-
дѣлить зависимость между R и R± для случая
равной продолжительности колебанія обоихъ ко-
лецъ. (Масса штифта г въ разсчетъ не прини-
мается.)
—682. Конусъ, вѣсъ единицы объема кото-
= Y> вращается около вертикальной оси съ начальною угловок>
скоростью сі)0. Вращенію нрепятству-
етъ нить, дѣйствующая съ усиліемъ
Р по окружности блока г. Чрезъ
сколько времени / конусъ остано-
вится ?
*683. Прямоугольный равнобедреи-
ный треугольникъ вращается около
своей вертикальной стороны АВ=а.
Какъ велика должна быть его угловая скорость со, чтобы не было
давленія на В? (Walton.)
*684. Брусокъ квадратнаго сѣченія Ь2 и длины / вращается въ
горизонтальной плоскости около одного изъ своихъ концовъ, съ за-
медленіемъ отъ сопротивленія воздуха (РѴ)} ко-
торое пропорціонально квадрату скорости; k есть
величина этого сопротивленія для единицы пло-
щади, встрѣчающей давленіе воздуха при скоро-
сти = 1. Начальная угловая скорость есть со0.
Опредѣлить угловую скорость ю, какъ функцію у и уголъ ср, какъ
функцію времени. (у = вѣсу ед. объема.)
Зад. 682.
Зад. G83.
Зад. 684

— 117 —
Зад. 635.
*685. Ha половинку двери АС, которая имѣетъ"] вертикальную
ось вращенія Л, ширину 6, толщину d и
нѣсъ ед. объема у> попадаетъ горизонтальный
токъ воздуха, направленный перпендикулярно
къ AB и оказывающій давленіе q kg. на ед.
площади. Съ какою скоростью ѵ подходитъ С
къ В, если вначалѣ дверь находилась въ покоѣ и была почти пер-
пендикулярна къ AB?
*686. Около вертикальной оси, съ начальной угловой скоростью
<о вращается тонкая пластинка, имѣющая размѣры b, h, d. Толщина
d пластинки весьма мала; вѣсъ един. объеиа/=7- Вращенію пре-
пятствуетъ сопротивленіе W
воздуха, пропорціональное пло-
щади, воспринимающей давленіе,
и квадрату ея скорости. Черезъ
€колько времени Т угловая ско-
рость уменыпится вдвое?
^687. Опредѣлить угловую
1
к
і
Зад. 687.
скорость вращенія со, какъ фун-
кцію времени, изображеиной на
чертежѣ вертушки, которая вна- зад. еве.
чалѣ находится въ покоѣ и съ
помощью груза G приводится во враіценіе около вертикальнаго
шпинделя радіуса г. Величина сопротивленія воздуха принята та же,
что и въ предыдущей задачѣ; весьма малая толщина крыла = ^,
вѣсъ. ед. объема его = д.
*688. Опредѣлить угловое ускореніе ). вала, имѣющаго радіусъ г
н лежащаго на двухъ наклонныхъ плоскостяхъ.
Углы ихъ наклона — а и ji; коэф-тъ тренія вала =
=/. Ііентръ тяжести 5 вала имѣетъ эксцентри-
цитетъ а, а вѣсъ вала равенъ G. Съ какой ско-
ростыо проходитъ центръ тяжести черезъ свое самое
нижнее положеніе, если вначалѣ <р = <Ро? [ОѴ—
вертикаль.)
*689. Брусокъ ОА = 1, вѣсомъ G, можетъ вращаться около О,
выходя безъ начальной скорости изъ положенія ОА0. Найти его
Зад Ь88

-118 —
Верт
Зад. 690
угловое ускореніе X и угловую скорость ш,
какъ функціи (f. Опредѣлить составляющія
X и Y давленія въ 0 во время движенія
бруска. Какой уголъ ф образуетъ съ брускомъ
зад. 689. ^> давЛеніе D?
*690. Тяжелое тѣло можетъ вращаться около горизонтальной
главной оси, проходящей черезъ точку О. Въ началѣ.
плоскость OSy проходящая черезъ 0 и центръ тя-
жести 5, горизонтальна и тѣло находится въ покоѣ.
Принимая во вниманіе силы инерціи, опредѣлить ве-
личину угла, который образуетъ съ плоскостью OS
давленіе на ось во время движенія. (Вѣсъ тѣла G, OS = a.) {Routh.)
*691. Ha вертикальную ось насажена горизонтальная
рукоятка, по которой можетъ скользить небольшая масса.
Въ какой зависимости находятся во время вращенія
угловая скорость со оси и разстояніе х массы, если въ
^зэа. 691 началѣ (о = <оо, х = а ?
-" ^692. Грузъ G виситъ на свободномъ концѣ гибкаго
каната, который перекинутъ черезъ
блокъ и намотанъ на коническій ба-
рабанъ. Найти скорость ѵ груза, какь
функцію свѣшивающагося съ блока
отрѣзка каната у, принимая въ раз-
счетъ толщину d каната и его вѣсъ.
(Начальное положеніе : у = 0, ѵ = 0.)
Зад. 692.
10. Движеніе въ плоскости.
. Движущаяся въ плоскости система имѣетъ: массу Л/, центръ
тяжести 5, мгиовенный центръ вращенія О, угловую скорость со»
произвольную точку Р, скорость которой = г;; Т—моментъ инерців
системы относительно точки Р. Живая сила системы дана уравнсніемъ:
L = ± Mv+±- T*.
Опредѣлить, гдѣ расположено геометрическое мѣсто точекъ Р систе-
мы, для которыхъ вѣрно это уравненіе. {Routh.)
694. Тяжелый валъ радіуса а вращается около своей горизон-

в
— 119 —
тальной оси съ угловою скоростью <!>0. Вдоль горизонтальной неглад-
кой опоры и перпендикулярно къ своей оси валъ получаетъ толчокъ,
сообщающій его центру тяжести начальную скорость = г>о. По исте-
ченіи какого времени /х валъ начнетъ катиться? И черезъ какой про-
межутокъ времени U валъ остановится?
*695. Одвородный брусокъ, дливою АВ = а у
и вѣсомъ G, скользитъ по гладкому полу X и
гладкой стѣвѣ У. Опредѣлить: 1) его угловое
ускореніе X и угловую скорость со и 2) давленія
въ А и В во время движенія. (Всѣ эти величи-
ны выразить чрезъ <р.) (Walton.) зад. сэо.
696. При какомъ углѣ <рх скользящій брусокъ въ предыдущей
задачѣ отойдетъ отъ стѣны? (Weston.)
—697. Однородный брусокъ длиною / рас- h-x-н
положенъ симметрично на двухъ опорахъ А
и В. Выбрать разстояніе 2х между опорами
такъ, чтобы ио удалевіи опоры В начальное
давленіе на опору А осталось безъ измѣневія. (Walton.)
698. Однородный брусокъ вѣсомъ G лежитъ своими ковцами на
двухъ опорахъ. Одну изъ нихъ сразу устраняютъ. Опредѣлить давле-
ніе на другую опору.
699. Круглая горизонтальная пластинка опирается на три точки
А, В ѵі С, расположенныя по ея краю на равномъ разстояніи одна отъ
другой. Одну изъ этихъ опоръ сразу удаляютъ. Опредѣлить давленіе
на каждую изъ оставшихся опоръ. (Walton.)
700. Однородная эллиптическая пластинка,
большая ось которой горизонтальна, подперта въ
своихъ фокусахъ. Если сразу удалить опору Fl9
то давленіе на оставшуюся опору F, вообще
говоря, измѣнится. Какой числовой эксцентри-
цитетъ долженъ быть данъ эллипсу, чтобы это измѣненіе
давленія въ F не имѣло мѣста? (Walton.)
701. Тяжелая квадратная пластинка въ точкахъ В и
D своего горизонтальнаго края прикрѣплена къ двумъ
вертикальнымъ нитямъ. Нить CD перерѣзаютъ. Опредѣ-
лить натяженіе нити AB въ первый моментъ. (Walton.) зад.

I JO —
Зад. 703.
Зал. 704.
-/ *702. Балка АВ = а, вѣсомъ G, подвѣшена въ
0 на двухъ канатахъ, равной съ нею длины (а).
Одинъ изъ нихъ перерѣзаютъ. Еаково въ первый
моментъ натяженіе другого каната? {Walion.)
703. Ha треугольной призмѣ лежитъ однородная
гибкая цѣпь такимъ образомъ, что ея средняя точка
паходится на верхнеыъ ребрѣ призмы. Призма
лежитъ на гладкой горизонтальной плоскости.
Какое горизонтальное ускореніе надо сообщить
призмѣ, чтобы цѣпь осталась въ равновѣсіи?
*704. Гладкій клинъ, имѣющій уголъ 2 а
и вѣсъ £, раздвигаетъ двѣ пластины одина-
коваго вѣса Gl9 которыя вначалѣ лежали въ
покоѣ на гладкомъ горизонтальномъ столѣ.
Опредѣлить законы движенія клина и пластинъ
и давленіе D между ними.
705. Къ тяжелому катку радіуса г, лежа-
щему на горизонтальномъ негладкомъ полу, прило-
жена постоянная движущая сила Р, дѣйствующая
по окружности вала радіуса а, подъ постояннымъ
угломъ а къ горизонту. Опредѣлить движеніе центра
тяжести катка и наименьшую необходимую величину
силы тренія. (Buddc.)
^706. Однородный круглый цилиндръ, вѣсомъ G и радіуса г, въ
срединѣ своей оси привязанъ къ неподвижнрй точкѣ А на упругой
нити SA, натяженіе которой пропорціонально длинѣ и равно k на
единицу длины. На оба конца цилиндра намотаны нерастяжимыя
нитя, привязанныя къ двумъ одинаково рас-
положениымъ точкамъ В на гладкомъ полу.
Опредѣлить: а) движеніе центра тяжести S;
Ь) натяжеиіе F каждой изъ горизонталь-
ныхъ нитей; с) наименьшій вѣсъ G, необ-
ходимый для того, чтобы цилиндръ не могъ
подняться надъ поломъ. {Budde.)
*707. Съ неподвижнаго негладкаго шара
радіуса Ь скатывается другой шаръ, ра-
Зад. 705.
Зад. 706.

— 121
Зад. 708.
ціуса а, бывшій въ началѣ въ покоѣ у точки В.
Наііти для даннаго на чертежѣ положенія—давленіе
I) и силу тренія R между обоими шарами. Опредѣ-
.ішть наименьшее значеніе коэф-та тренія/и уголъ
«Р, при которомъ малый шаръ оставитъ большой.
[Ronth.)
708. Два цилиндрическихъ вала, вѣса которыхъ
Л', и Go, скатываются по двумъ
ііаклоннымъ плоскостямъ. Черезъ вер-
шину послѣднихъ перекинута гибкая
лерастяжимая лента, концы которой на-
мотаны на валы и въ нихъ закрѣплены.
Каково натяженіе 5 ленты и съ какимъ
ускореніемъ у скользитъ она по наклоннымъ плоско-
4-тяиъ? {Walton.)
*709. Тяжелый брусокъ АВ = 1, вѣсомъ G, по-
<тавленъ на негладкій (коэф-тъ тренія /) горизонталь-
ііый полъ въ положеніе, данное на чертежѣ; затѣмъ
пнъ, предоставленный себѣ, падаетъ. Съ какою ско-
ростью ѵ точка В достигнетъ пола? Каково давленіе
въ А во время движенія? Можетъ ли бру-
сокъ при паденіи не касаться пола въ те-
ченіе нѣкотораго момента? {Routh.)
*710. Три гладкихъ одинаковыхъ вала
каждый вѣсомъ G лежатъ на гладкой гори-
:юнтальной плоскости такъ, что нижніе ва-
лы въ началѣ касаются другъ друга. Валы
('оединены другъ съ другомъ стержнями
AB и ВС. Съ какою скоростью средній валъ
каснется плоскости при паденіи?
^711. На неподвижной гладкой плоско-
сти, наклоненной подъ угломъ а къ гори-
зонту, лежитъ гладкій клинъ, а на его
верхней грани лежитъ матеріальная точка
G. Уголъ при вершинѣ клина = ^. Въ на-
«іалѣ В находится въ А, G въ С въ со-
Зад. 709.
Заа. 710.
Зад. 7

122
иокоя, затѣмъ грузъ и клинъ нредоставлены дѣйствію силы
тяжести. Найти; а) законъ движенія клина по наклонной плоскости;
Ь) законъ движенія груза по грани клина; с) траэкторію абсолютнаго
движенія точки G\ d) давленіе D между G и клиномъ; е) давленіе
Dx ыежду клиномъ и наклонной плоскостыо. (Eitler.)
*712. Тяжелыи брусокъ, имѣю-
щій вѣсъ G и длину ЛВ=2а,
\у ^ШУ ^І падающимъ грузомъ Р поднимается
на наклонную плоскость. Въ началѣ
1»1»РТ бРУС0КЪ находится въ ОС въ по-
зад. 7і2. коѣ. Опредѣлить зависимость между
скоростью ѵ падающаго груза Р и угломъ <р-
11. Ударъ.
— 713. Шаръ массы Мх центрально ударяетъ покоящійся шаръ
массы М2. Послѣ удара Мг остается въ покоѣ. Опредѣлить отно-
шеніе массъ М1 и М2.
—.714. Два упругихъ шара движутся навстрѣчу другъ другу сь
равными скоростями; послѣ удара одинъ изъ шаровъ остается въ.
покоѣ. Опредѣлить отношеніе ихъ массъ. (Walton)
715. Центры двухъ равныхъ шаровъ движутся по одной и той
же прямой. Скорость ѵх ударяющаго шара имѣетъ послѣ удара преж-
нюю величину, но противоположное направленіе. Въ какомъ отноше-
ніи должны находиться между собой скорости ѵг и ѵ2 обоихъ шаровъ
до удара?
716. Шаръ центрально ударяетъ другой шаръ, находящійся въ
покоѣ и имѣющій вдвое болыную массу. Живая сила обоихъ шаровъ
послѣ удара уменьшается вдвое. Найти величину коэф-та удара.
Опредѣлить скорость перваго шара послѣ удара.
717. Центры трехъ упругихъ шаровъ лежатъ на одной прямой;
ихъ массы—Мг М2 и Мъ. Первый шаръ ударяетъ со скоростыо
ѵ1у два другихъ находятся въ покоѣ. М1 = ЬМ2. Послѣ удара вто-
рой шаръ движется со скоростью = — vlt Опредѣлить величину массы
М% третьяго шара.

— 123 —
718. Четыре равныхъ шара касаются другъ друга; ихъ центры
шсдинены между собой неупругими нитями произвольной длины.
Мгрвый шаръ получаетъ скорость ѵх и приводитъ въ дввженіе за
гойой остальные шары. Опредѣлить послѣдовательныя скорости
шаровъ.
719. На двѣ равныя чашки вѣсовъ брошены съ высотъ ht и к2
д»а неравные груза Gx и G2. Вѣсъ чашки=б:. Съ какой скоростью
с движутся чашки послѣ одновременнаго паденія обоихъ грузовъ?
Ударъ неупругій.
720. Съ какой скоростью слѣдуетъ бросить мячъ, діаметра dy
ио нормали къ одной изъ двухъ параллельныхъ стѣнъ, располо-
жеиныхъ на разстояніи а между собою, чтобы онъ, отражаясь отъ
одной и попадая на другую, сдѣлалъ п ударовъ во время /.
*721. Шаръ массы М± ударяетъ два находящихся въ покоѣ
шара, имѣющіе массы М2 и Ж,. Центры всѣхъ трехъ шаровъ ле-
•жатъ на одной прямой. Въ какомъ отношеніи должны находиться
массы шаровъ, чтобы послѣдній шаръ М% получилъ наибольшую
скорость? (Huyghens.)
—722. Два равныхъ шара А и В, діаметра
d9 находятся въ покоѣ на разстояніи а одинъ
отъ другого. Третій такой же шаръ С ударяется
о шаръ В по направленію перпендикулярному
къ AB такъ, что, отражаясь, центрально по-
падаетъ въ А. Найти точку D, на которую направлена скорость ѵх
шара С.
723. Въ находящійся въ покоѣ шаръ косо ударяетъ другой,
равный ему, шаръ. По какому направленію долженъ произойти ударъ,
чтобы скорость vt ударившаго шара уменьшилась послѣ удара въ
п разъ?
•■—'724. Въ мячъ А) движущійся со скоростью ѵу
центрально ударяетъ второй мячъ В, имѣющій тѣ же
массу и скорость. Какой уголъ а должны составлять
между собой ихъ скорости, если мячъ А послѣ удара
отклоняется отъ своего направленія на 90°?
725. Въ прямомъ желобѣ находятся одинъ за другимъ г равныхъ
упругихъ шаровъ, каждый изъ которыхъ имѣетъ въ п разъ большую

— 124
Зад. 726.
Зад. 727.
массу, чѣмъ слѣдующій за нимъ. Первый изъ этихъ шаровъ со ско-
ростью ѵг ударяетъ въ рядъ остальныхъ; какую скорость получаетъ
послѣдній шаръ? {Ritter.)
726. Три шара, подвѣшенные на одной и
той же высотѣ, касаются одинъ другого на
одной и той же горизонтали. Соотношеніе ихъ
массъ: Мх = 2 М2 = 6 Мп. Шаръ Мх от-
чь клоненный на уголъ аг = 20° и, отъ верти-
кали предоставленный себѣ, падаетъ; на какіе
углы а2 и аа отклонятся шары М2 и М^
если коэф-тъ удара £ = 0,9?
727. Желѣзный брусокъ въ 2 mt. длины и 1 ст2
поперечнаго сѣченія подвѣшенъ на шарнирѣ въ О и безъ
начальной скорости падаетъ изъ горизонтальнаго началь-
наго положенія; въ моментъ прохожденія черезъ верти-
кальное онъ ударяетъ грузъ G2 = 300 g., сообщая ему
движеніе по горизонтальной негладкой плоскости. Ударъ
неупругій. Вѣсъ единицы объема бруска=7,8, коэф-тъ
тренія/=0,08. Опредѣлить путь х, который пройдетъ грузъ.
728. Брусокъ вѣсомъ Gx и длиною /, подвѣ-
^.\ шенный на шарнирѣ въ Ог , находится въ началѣ
ч\\ въ покоѣ въ положеніи I, затѣмъ, вращаясь,
^ Чч падаетъ и въ вертикальномъ положеніи II ударяетъ
\ по краю куба. Нослѣдній имѣетъ вѣсъ G2, длииу
ребра 5 и можетъ вращэться на шарнирѣ О2.
Коэф-тъ удара ^=~ö". При какомъ начальномъ
отклоненіи (уголъ а) бруска отъ вертикали кубъ
зад. 728. ударомъ могъ быть опрокинутъ около ребра О2?
729. Балка можетъ качаться около горизонтальной оси, прохо-
дящей черезъ ея центръ тяжести, и въ началѣ
находится въ покоѣ въ горизонтальномъ положе-
ніи. На конецъ А балки падаетъ съ высоты //
729. масса Мѵ Ударъ упругій. Какую скорость q имѣ-
еть масса М1 послѣ удара и какую угловую скорость со2 получаетъ
балка? {Routh.)

— 125 —
730. Три бруска, массы которыхъ Мг М2 и Л/3 могутъ вра-
іцаться около точекъ 01у 02, 03 и опираются одинъ на другого, въ
указанномъ на чертежѣ положеніи.
Въ конецъ перваго бруска ударяетъ
шаръ, имѣющій массу М и скорость "'Т^
V. Какую скорость с получитъ шаръ
массы т, положенный на концѣ послѣдняго бруска, если ко
зад.
731. Брусокъ ОА, вращаясь около своего
конца 0, падаетъ изъ начальнаго положенія
покоя, подъ угломъ а къ горизонту, и уда-
ряетъ по неподвижному горизонтальному бру-
ску В. Отскакивая отъ послѣдняго, онъ снова
поднимается на уголъ ß. Опредѣлить коэф-тъ удара k. [OB—гори-
зонталь.)
732. Тонкая прямоугольная пластинка, которая
можетъ качаться около прямой X, въ точкѣ А по-
лучаетъ ударъ отъ массы, равнои j. массы пла-
стинки. Вслѣдствіе этого удара пластинка отклоняется
до горизонтальнаго иоложенія. Опредѣлить силу
удара, предполагаемаго совершепно упругимъ.
733. Чугунная кулачная шестерня, имѣющая
толщину rf=10 cm., радіусъ 7?=30^ш., г=20ст.
и снабженная шестью кулаками съ угломъ а=10°,
дѣлаетъ /^ = 10 оборотовъ въ миііуту, поднимая при
этомъ штампъ G2 = 15 kg. Какая скорость с2 сооб-
щается штампу въ моментъ подъема, если ударъ
приходится въ серединѣ кулака и вѣсъ единицы
объема чугуна у = 7,5?
734. Брусокъ движется ноступательно со скоростью
vt и одной изъ своихъ точекъ А ударяется о неподвиж-
ное препятствіе. Опредѣлить скорость точки А бруска
послѣ удара, если коэф-тъ удара k извѣстенъ.
А^
Зад. 732.
?33.
Зад. 734.
^735. Произвольной формы пластинка падаетъ въ горизонталь-

— 126 —
Зад. 735.
736.
номъ положеніи и въ Н ударяется о неподвиж-
ный горизонтальный поперечный брусокъ. Каково
должно быть разстояніе х9 чтобы пластинка послѣ
удара получила наибольшую угловую скорость,
и какова величина послѣдней?
Масса М молотка на рукояткѣ неизвѣстной
Зад. 736.
длины х подвѣшена къ точкѣ О, около которой она мо-
жетъ . вращаться. Масса единицы длины рукоятки = ja.
Какой длины х должна быть выбрана рукояткэ, чтобы
ударъ въ среднюю точку А, массы М, не вызывалъ со-
трясенія въ О?
737. Еруглая пластинка можетъ вращаться около го-
ризонталышй оси X. Произведешіый въ самой ниж-
ней точкѣ А ударъ не долженъ вызывать сотря-
сенія оси X На какомъ разстояніи отъ 0 должна
быть взята ось X?
*738. Опредѣлить координаты центра удара для
прямоугольнаго треугольника, который можетъ вра-
щаться около горизонтальной
стороны а.
*739. Требуется опредѣ-
лить координаты £, г4 центра
удара для кругового квадранта,
которыи можетъ вращаться
около оси X
*740. Однородная треугольная пластинка можетъ вращаться около
оси X, параллельной основанію Ь = Ь1-\- Ь2 и дѣля-
щей пополамъ высоту h. Найти цѳнтръ удара этой
пластинки.
741. Въ горизонтальной плоскости свободно вра-
щается квадратная пластинка около своей вершины А
съ угловою скоростью (о. Затѣмъ сразу останавливаютъ
смежную вершину В квадрата; съ какою угловою скоростью % вра-
щается тогда пластинка около В?
742. Три равныхъ бруска длиною каждый а соединены между
собой шарнирами и движутся прямолинейно и поступательно со ско-
Зад. 738.
Г J
Зад. 740

127 —
|ммтью ѵ. Средняя точка CD мгновенно останавливается. По исте-
«ісіііи какого времени встрѣтятся концы а с о в
В, если движеніе происходитъ на j. л
.Іи
\
зад. ?
\
j
гладкой горизонтальной плоскости. (Routh.)
743. Квадратная пластинка ABCD вращается около своей діа-
гоиали АС съ угловою скоростью (о. Ея вершину В мгновенно оста-
иавливаютъ. Опредѣлить силу удара, который испытываетъ благодаря
:»тому пластинка въ В и угловую скорость со', съ которой она вра-
іцается послѣ этого около В? (Routh.)
744. Кубъ скользитъ со скоростью ѵ по гори-
:юнтальному полу и ударяется въ преиятствіе //.
Ііакую скорость cs получаетъ его цеытръ тяжести по-
<лѣ удара?Какова должна быть наименыпая величина
ѵ, чтобы кубъ послѣ удара могъ опрокинуться?
745. Масса Мг брошенная со скоростью г\ въ
иризму, держится въ В точкѣ удара, находящейся
на половинѣ высоты призмы. Послѣдняя стоитъ на
ие вполнѣ гладкомъ полу. Какова должна быть ско-
рость ѵг массы, чтобы призма, имѣющая массу
втрое большую, опрокинулась? (Routh.)
Зад. 744.
За,
Ѵ////////////Ш/////Л
Зад. 745.

Y. Вычисленіе измѣреній.
746. Скорость яоѣзда = 60 km въ часъ; перевести эту скорость;
mt
въ .
SCC \
747. Опредѣлить ускореніе тяжести 9,81 -—^ въ километръ ча-!
ОІ-6 «
сахъ. і
748. Ускореніе имѣетъ величину 80 ——§ ; въ другой системѣ \
(
мѣръ, въ которой единица длины есть километръ, то же ускоре-
ніе = 288; опредѣлить единицу времени второй системы.
749. Опредѣлить числовую величину ускоренія тяжести g=.
= 9,81—2, въ системѣ мѣръ, для которой единицеи времени служитъ
S(<C
„новая секунда" (1 день = 20 часамъ, 1 часъ = 100 мин.,
1 мин. = 100 сек.).
750. Измѣнить систему основныхъ единицъ: масса, длина, время—
такимъ образомъ, чтобы числовая величина углового ускоренія уве-,
личилась въ сто разъ.
751. Вычислить величину лошадиной силы въ системѣ: секунда, \
англійскіе футъ и фунтъ, если англійскій футъ = 0,305 ш/, англій-
скій фунтъ = 0,454 kg. :-
752. Сколькимъ —* равнялась бы лошадиная сила, если бы*\
килограммъ былъ принятъ единицей массы, а не единицей силы?
753. Монентъ инерціи тѣла = Т п вычисленъ въ системѣ мѣръ, *
для которой метръ—единица длины и килограммъ — единица сиды. ѵ
Опредѣлить тотъ же моментъ инерціи въ систенѣ С. G. 5. ;,
754. Живая сила тѣла составляетъ 64285,71 единицъ въ си-

— 129 —
г/гемѣ: минута, вѣнскіе фунтъ и футъ; вычислить ее въ системѣ
метръ — килограммъ — секунда, есди вѣнскіе футъ = 0,316 mty
фунтъ = 0,56 kg.
755. Напряженіе равняется 600 kg на ст2; вычислить его въ
нѣнскихъ фунтахъ на кв. дюймъ, полагая 1 вѣнскій фунтъ = 0,56 kg,
1 вѣнскій дюймъ = 2,63 ст.
756. Жесткость каната по даннымъ Grashofb:.
d2, гдѣ Q грузъ на кана-
тѣ, R радіусъ кривизны, d толщина каната, 5 его сопротивленіе.
Опредѣлить измѣренія коэффиціентовъ а и Ь.
757. Для пеньковаго каната въ предыдущей задачѣ: а = 0,038,
Л = 0,054, если /?, d—въ cm, Q — въ kg. Вычислить а и Ь для
/?, d—въ вѣнскихъ дюймахъ, Q въ вѣнскихъ фунтахъ. (См. зад.
ЛЬ 755.)
758. По Saint-Venant'y сопротивленіе тренія въ трубопроводѣ
опредѣляется уравненіемъ IV = avdlvn, гдѣ а — постоянная, d— діа-
метръ, / — длина трубопровода, ѵ — скорость воды^ п—нѣкоторое
число. Опредѣлить измѣреніе а.
759. Weisbach даетъ для опредѣленія сопротивленія тренія въ
трубопроводѣ уравненіе:
гдѣ d, /, ѵ—имѣютъ то же значеніе, что и въ предыдущей задачѣ.
Опредѣлить измѣренія постоянныхъ а и ß.
760. Baumgarten предложилъ скорость теченіл рѣки опредѣлять
изъ уравненія: ѵ — аи-\-}/$-\-уи2, въ которомъ и — числооборотовъ
вертушки въ секунду, а, ß/y— постоянныя. Опредѣлить ихъ измѣренія.
761. Скорость теченія рѣки опредѣляется по формулѣ
~RT
, 8 , гдѣ R — длина, /—числовое отношеніе, пока-
зывающее паденіе уровня рѣки. Постоянныя величины а и р, опре-
дѣляющія ѵ въ метрахъ: а = 0,00028, ß =^0,00035; найти а и ß,
которыя давали бы ѵ въ вѣнскихъ футахъ. (См. зад. № 754.)
762. Härder предложилъ для вычисленія скорости теченія рѣки
9

— 130 —
уравненіе: vmeier = (a-\-$}/R) \/RJ, въ которомъ обозначенія тѣ
же, что въ предыдущей задачѣ. Для опредѣленія скорости въ метрахъ:,
а = 36,27, ß =,7,254; какъ измѣнятся эти числа для опредѣленія
въ парижскихъ футахъ? (1 mt= 3,0784 парижск. фута.)
763. Весьма распространенная формула швейцарскихъ инженеровъ
Ganguillet и КиШУъ, опредѣляющая среднюю скорость теченія рѣк;
. с . b
въ которой R — длина, /—числовое отношеніе (паденіе уровня
рѣки), п— число, а, Ь, с, <7Ь Ь± — постоянныя. Для опредѣленія
ѵ въ метрахъ: а = а1 = 2і} 6 = ^ = 0,00155, с = 1. Вычислить
эти постоянныя для опредѣленія ѵ въ вѣнскихъ футахъ. (См. зад.
Ѣ 754.)
764. Число канатовъ канатыой передачи опредѣляется по формулѣ:
(См. К. Keller, Zeitschr. d. Vcr. deutscher Ingenieure 1885)
vd2
гдѣ N—число передаваемыхъ лошадиныхъ силъ, ѵ — скорость ка
ната, d— его.діаметръ. Опредѣлить измѣреніе числа 1250.
765. Высота дымовой трубы парового котла по Reiche {Anlagi
und Betrieb der Dämpfkessel) опредѣляется по формулѣ:
A»rf« =0,00277^
гдѣ B — количество топлива, сгорающаго въ часъ въ килограммахъ
R — общая площадь колосниковой рѣшетки всѣхъ котловъ въ mfi
d — діаметръ дымовой трубы въ mt. Какъ измѣнится эта формула
если въ основаніе вычисленія будутъ приняты вѣнскіе фунтъ і
футъ? (См. зад. Ѣ 754.)
766. Формулы, опредѣляющія аримѣрные высогіу и діаметръ ды
мовой трубы парового котла, даютъ:
Lmeler I |
и rf"* = 0,06

— 131 —
гдѣ В количество топлива, сгорающаго въ часъ въ килограммахъ.
Какъ измѣнятся эти эмпирическія формулы, если въ основаніе вычис-
леній будутъ положены англійскіе фуптъ и футъ? (См. зад. Л1» 751.)
767. По гамбургскимъ нормамъ для паровыхъ котловъ діаметръ
анкернаго болта опредѣляется эмпирпческой формулой:
rf«. = 0,045 l/P+0,5,
гдѣ Р давленіе на болтъ въ килограммахъ. Какъ измѣнится эта фор-
мула, если вычисленіе вести въ англійскпхъ дюіімѣ и фунтѣ? (См.
зад. Д« 751.)
768. Скорость обогрѣвающихъ газовъ въ газоходахъ парового котла
вычисляется по форнулѣ:
r-,mt'scc
R 3600а
здѣсь В—сгорающее въ часъ количество угля въ килограммахъ,
R — площадь колосниковой рѣшетки въ mfi, r — образующееся пзъ
килограмма угля количе&гво газа въ mfi, а — числовое отношеніе.
Каково измѣреніе числа 3600 и какъ оно измѣнится, если за еди-
ницы будутъ приняты вѣнскіе фунтъ и футъ?
769. Необходимая величина поперечнаго сѣчепія предохранптель-
наго клапана опредѣляется изъ уравненія:
въ которомъ /— поиеречное сѣченіе предохранительнаго клапана въ
тт2 на 1 ntf2 поверхности нагрѣва; р0 = наибольшее рабочее да-
вленіе пара въ атмосферахъ, ѵ — объемъ 1 kg водяного пара въ
литрахъ. Какъ измѣиится это уравненіе послѣ перевода всѣхъ ве-
личинъ, 1) на метры и 2) на миллиметры?
770. Сопротивленіе воздуха на лобовую поверхность локомотива
можетъ быть опредѣлено по эмпирической формулѣ: (Сы. Bornes,
Zeitschrift d. Vereins deutscher Ingenieure 1904.)
JT= 0,0052s/2,
гдѣ W—сопротдвленіе въ тоннахъ на 1 tnfi лобовой поверхностп,
приходящееся на одну тонну нагрузки движущеп оси локомотива,
ѵ — скорость въ километрахъ въ часъ. Еакъ измѣнится коэф-тъ
0,0052, если всѣ величины формулы будутъ выражены въ системѣ:
килограшіъ, метръ, секунда.
9*

Отвѣты u рѣшенія.

1. Для графическаго рѣшенія выбираемъ масштабъ для силъ
(ііапр., 2kg. = lcm.) и строимъ силовой многоугольникъ.
При аналитическомъ способѣ рѣшенія выбираемъ произвольныя оси
координатъ (принявъ, напр., за ось х—овъ направленіе силы Ра), бе-
|)емъ слагающія всѣхъ силъ отъ Рг до Ръ по этимъ осямъ и скла-
дываемъ ихъ. Обозначая найденныя суммы чрезъ А и В, получимъ:
R = ]/А^ѴВ^= 5,66 kg.; tg {RPX) = |; < (RPJ = 57°50'2".
2. Графически: чертимъ силовой многоугольникъ и его замы-
кающую сторону (масштабъ для силъ не нуженъ).
Аналитически: принимаемъ Р3 за ось х—овъ; Т0ГДа равнодѣйствую-
щая і?=6/\; направленіе R совпадаетъ съ Р3-
3. Изъ соотношенія P1:P2:P=sinae>\sin<i1isiiuL находимъ:
а Р1 — Рі/ 1
ctg ъ = ctg*, —=.^—^
a = 60°50f5", Л = 209,67 kg., P2 = 109,67 kg.
4. Находимъ при помощи силового многоугольника равнодѣй-
ствующую даниыхъ силъ, отмѣчаемъ на ней новую точку приложе-
нія и строимъ на равнодѣйствуюіцей, какъ на гипотенузѣ, равно-
бедренный прямоугольный треугольникъ.
5. Искомое геоме^рическое мѣсто есть окружность, цептръ ко-
торой лежитъ на продолженіи Р и которая силу Р дѣлитъ внѣшнимъ
и внутреннимъ образомъ въ отношеніи 1:2.
6. Изъ P1:P2:P=stna2:smoi1:sina находимъ: 45шах =
=3*ша2 и а2 = 2а^: аг = <(Р[Р) = 48°11'22,6", а2 = <(Р2Р) =
= 96°22/45,2ff. Наконецъ, изъ а = а1 + о2 имѣемъ:
р s_inalp= 17143Р; ро =
sina

7 16. —136 —
7. Изъ P1 = P—.— , po = —^-L а = ах + д;
находимъ:
ai — •
S = P-^ K-
cos — -t
Smin = P при # = 0 и Stnax = oo при д; = а1 — 180°.
8. Изъ Р2 = Р12 + Р22 + 2
*f2mcosa Уі+т2
i 7rf, а^ = ll°8'3rf.
10. Равнодѣйствующая R равна также Р и направлена по діаго-
нали DF. (Для рѣшенія надо прибавить къ DF двѣ взаимно-уравно-
вѣшивающіяся силы, каждая изъ которыхъ = Р.)
11. R = }/lbh2-\-r2. Точка встрѣчи лежитъ на биссектрисѣ
5
угла В на разстояніи -г-г отъ вершины его. (Прибавляемъ на сво-
бодномъ ребрѣ двѣ взаимно-уравновѣшивающ. силы, каждая изъ ко-
торыхъ = Р.)
12. R = 15,78,
2Р
14. Л = ,, ,, 3 ,,
74°29r55ff, <{Р2Р) = ЫЧѴ18", <(P3P)=36°41f57ff.
15. Р±= Pctg -к- j/l~^2cösä. (Строимъ на данныхъ силахъ
равносторонній сферическій треугольникъ; равнодѣйствующая прой-
детъ чрезъ центръ его.)
16. На М дѣйствуетъ сила = 4 & .МЛ въ направленіи къ А,
при чемъ k есть сила натяженія нити, соотвѣтствующая единицѣ
длины ея. (Точку М беремъ за начало координатъ, при чемъ оси
координатъ направляемъ параллельно діагоналямъ квадрата.)

-ist- 17—25.
17. Если dM= \idx — элементъ массы стержня, гдѣ jx — масса
сдиницы длины, а х— разстояніе элемента dx отъ т> то
а + 1 а + 1
D CkmdM , Cdx kMm
R==J ^^-=kv-mj Іё^ф+І)' гдѣ
k есть сила притяженія единицы массы на едииицѣ разстоянія.
18. Обозначая черезъ dM'= \idz элементъ массы стержня, рі —
массу единицы длины его, чрезъ г = PC разстояніе элемента массы
отъ средины С, <РМС = ср и Рпг = х, найдемъ:
R= f^cos^=kmv.a №
или, такъ какъ x2=a2-\-z2, то:
/dz kMm
0
гдѣ b = тА = тВ.
19. Если dM=y.rdy — элементъ массы въ нѣкоторой точкѣ Р,
вся масса М=\іг2а9 <СРтС=у, то
"kmdM km\L Г . kMm sind
91 x— ^wi
tl. Л . j -izzj=.— .
Ут-^-гуто
22. Точка т имѣетъ два положенія равновѣсія на прямой тхт=а
на разстояніи \ %■ — -г- отъ средины отрѣзка а . Равновѣсіе не-
возможно, если а<%у т^-
/ Г
25. Изъ tgy = — и smy=-y находимъ:
5ш2ср = cosy и ср = 51%0г; 5 = G (1 + coscp) = 1,618 G.

26—37. -138-
26 x = МіХі+пьхо + тяХь . =
ml ~\~ m2 ~\~ПЧ ml ~\~т2~{~тѣ
(Проэктируемъ три силы притяженія на оси координатъ и сумму
слагающихъ приравниваемъ нулю.)
27. х = ——5-JL. ; аналогично у и z .
28. 2*3 = г\ г2 = а2 + д:2, откуда д:=1,30 а .
29. Разрѣзавъ канатъ внизу и вверху, разсматриваемъ равно-
вѣсіе каждаго цилиндра отдѣльио.
b —
30. Sj = P -r-p==
/a"2 + ^2 — labcosy
. AC: CB=(G°-+O2—P2): (G°-+P2— O2).
• 33. /^y = 0,5, D=G. (Проэктируемъ силы на направленіе D
и перпендикулярно къ нему.)
34. Р= -т-,—:—г > D=-j-г—>—-Ц ^— (Рѣшается
такъ же, какъ и предыдущая.)
35. Беремъ проэкціи всѣхъ силъ на нормаль и касательную въ
точкѣ М; равновѣсіе будетъ имѣть мѣсто при
н
У
СМ= У^- и при СМ=2 г;
соотвѣтственно этому W=Gyl W=-j-^ G.
36. Рѣшеніе ведется такъ же, какъ и въ предыдущей задачѣ.
Равновѣсіе будетъ имѣть мѣсто во всякой точкѣ на полуокружностя
и для каждой точки W=l kr.
37. £:А=0,766. (Проэктируемъ три силы на высоту треуголь-
ника.)

-139- 38—48.
38. г!=0,7265а, Го=0,6009я, г3=0,4410я, гдѣ а—сторона
і |м'угольника.
k
39. а*-\-Ъ*=аЬс, W=-j===~; (Проэктируемъ силы на данную
ііримую и перпендикулярно къ ней.)
40. Если парабола имѣетъ полупараметръ />=т-, то данная
точка окажется въ равновѣсіи при всякомъ положеніи на параболѣ,
г,ъ противномъ случаѣ—только въ самомъ нижнемъ положеніи.
'• k= ArYo" уоч > ^=tö—7Ö-- Равновѣсіеневозможно.если
4(62—/r) #2—h2
b'~<h. (Проэктируемъ силы на гипотенузу AB и перпендикулярно
къ ней.)
42. При MM±=^W=bk. -
ос
43. s=-j; точка m окажется въ М при л=4а.
44. sin фх : 5і/і <ро=£.2 • С1в Прибавляемъ къ каждой точкѣ на-
тяженіе нити и проэктируемъ дѣйствующія на каж^дую точку силы на
соотв. касательныя.
45. Точка М имѣетъ два положенія равновѣсія на прямой, про-
ходящей чрезъ центръ окружности параллельно Мг М±. Сопротивле-
иія въ этихъ положеніяхъ будутъ: lV1 = b,011ka и Wcy=^^Tl\ka.
|Беремъ проэкціи силъ (дѣйствующихъ на точку М) на нормаль и
касательную къ окружности въ точкѣ М.]
46. Въ вершинахъ шестиугольника и на срединѣ каждой сто-
роны его.
47. H=G.—,D =—-у/х2-\-у2. (Беремъ проэкціи силъ на ка-
сательную и нормаль въ точкѣ ху гиперболы.)
48. Натяженіе шнурка пропорціонально измѣненію длины его:
S=k (I /).
Далѣе: G=2Scosy,
откуда

49—57. -140 -
49. Точка т окажется въ равновѣсіи на линіи высоты h тре-
угольника. Обозначая чрезъ hx и к2 разстоянія точки т отъ осно-
ванія и вершины треугольыика при равновѣсіи, найдемъ(см. зад. 18)
полное притяженіе 7?, производимое основаніемъ треуголышка на
точку т:
D km]ia
К=—j >
пг с
гдѣ с=т В и \ха—масса основанія. Если, далѣе, SP=z, Pm=x,
<PmS = <p, <PSm=a, dM=\Ldz—элементъ массы въ точкѣ
Р, то силаі?ь съ которой обѣ стороны b притягиваютъ данную
точку, будетъ:
ь
kmdM
J fa*+#—Z*2*cos a) ^
0
2 km\ib
c h2
Положивъ R=Rlf найдемъ: hx : h2 = a : 2b.
50. Вращаемъ данную пару РР и измѣняемъ ее въ другую.
Равнодѣйствующая равна силѣ<0 и параллельна ей и находится вправо
отъ нея на разстояніи =jyp.
51. Строимъ многоугольникъ для девяти данныхъ силъ, нахо-
димъ равнодѣйствующую трехъ силъ и складываемъ ее съ равно-
дѣйствующей трехъ паръ такъ, какъ это было указапо въ задачѣ 50.
54. Находимъ сначала изъ данныхъ соотношеній положенія Р12
и Ри, разлагаемъ Р на эти двѣ силы и затѣнъ разлагаемъ Р12
на Рх и Р2, а Ри—на Р* и Р^
55. Находимъ равнодѣйствующую данныхъ силъ и затѣмъ раз-
лагаемъ ее по даннымъ прямымъ.
р
56. Изъ Рг=Р2-{-Р3= -к находимъ направленіе (положеніе) рав-
нодѣйствующей; величина же ея=-^.
57. Пусть извѣстно положеніе силъ Р1 и Р2, тогда изъ
рх: Р2=1 : 2 находимъ положеніе равнодѣйствующей Р12 этихъ

-141 - 59—70.
p
силъ, а изъ Р12=Р3=-^ находимъ положеніе силы Р3.
59. Вся система приводится къ парѣ, моментъ которой=двойной
площади многоугольника.
60. Слагающія имѣютъ направленія ВС, DC, DA\ каждая изъ
нихъ=Р.
61. Равнодѣйствующая=2 5, направлена по вертикали вверхъ и
расположена вправо отъ квадрата на разстояніи 5 отъ его
центра.
62. Равнодѣйствующая = 7,14£§\; уравненіе ея у=ЪЩ х—
—5,22; вращающее направленіе противъ часовой стрѣлки.
63. Равнодѣйствующая = 2Р, направлена параллельно CD и
расположена внѣ шестиугольника на разстояніи=-~ АС отъ CD.
64. Равнодѣйств. = — ikg. и находится на разстояніяхъ
19,25w/. отъ Л и 6,25т/. отъ Р5.
»2 + 3 п2 — 3
65. cosol1 = coscls = —jJ—, cosa2 = —к или же:
л
cos2± = — cosols + -ö-|/«2+ 3, coscLo = n. (Беремъ проэкціи сла-
гающихъ на направленіе Р и на прямую, перпендикулярную къ Р,
и находимъ моменты этихъ силъ относительно точки А2.)
66. Р : Q = 5,8284, R = 6,8284 Q.
67. Моментъ пары силъ = 12,0288 kr2. (Вычисляемъ длины ни-
тей, вытянувшихся при поворотѣ цилиндра, при чемъ силы на-
тяженія направятся по касательнымъ къ нему.)
68. 7? = Р ]/ ~3 , направленіе ВА .
69. Искомый центръ лежитъ между С и 0 на разстояніи 0,526а
отъ С, гдѣ а—сторона пятиуголышка. (Поворачиваемъ данныя силы
на 90°, находимъ ихъ равнодѣйствующую и точку пересѣченія ея
съ ОС.)
70. Центръ лежитъ внѣ треугольника на Рх въ разстояніи
3,732а отъ А. (Поворачиваемъ данную систему силъ сначала впра-
во, а затѣмъ влѣво, каждый разъ на 60°, находимъ въ обоихъ
положеніяхъ равнодѣйствующія и затѣмъ опредѣляемъ ихъ точку
пересѣченія.)

142 —
VI. Плаішодѣііствіе между правой стороной и массой въ лѣвой точкѣ
dMx (въ направленіи а) выразится такимъ образомъ:
/ Г kdMdMv
LX
1—я
или, такъ какъ dm = jirfy, cosy =— и х2 =
'2, то:
Полагая dMx = \xde и интегрируя въ предѣлахъ отъ ^=0 до £ = /,
найдемъ:
/ z dz 2k M1 t .
№
гдѣ М=\хі есть масса одной стороны прямоугольника.
72. Сумму моментовъ силъ относительно 0 приравниваемъ нулю
и окончательно находимъ: siny = ur 'j_ n^ , гдѣ ä =
73. Давленіе въ ^4 = <
давленіе въ В= G— ctgcL; /^ == j- fga..
(Давленіе въ шарнирѣ разлагаемъ на вертикальную и горизон-
тальную слагающія.)
74. P=G
$ — а) \ acos($—а) /
ю ~ b coscl
t> = Lr у^ r •
а cos($—а)
(Беремъ моменты силъ относительно А и горизонтальныя и вер-
тикальныя проэкціи силъ.)
5
75. P=-rr-*{lr2tgv. (Моментысилъ слѣдуетъ взять относит. 0.)
76. 5=д—т-т^-—г- (Проводимъ давленія въ А и В п бе-
2 sm{a — cd) ѵ р "
ремъ моменты силъ относительно точки пересѣченія А и В)

-143- 77—86.
77. ««?=-M« + j/^+W 1, А = Gt&\ C=G-~
78. 5=
9 + 4
(Разлагаемъ £> на горизонтальную и вертикальную слагающія.)
79. P=G sin-jr-y A = Gcosy> ¥ = Y' Натяженіе нити въ
части ВС равно Р (беремъ номенты силъ относительно А).
80. Возможны три рѣшенія:
.1. ? = 0, A = B = -^L. II. и III. cos <p = ^7-,
G G
А = —= (cO5'f + 5l//'f), В =
= (cO5f + 5l//f), В = =
(Направленія давленій въ ^4 и В принпмаемъ за оси коорди-
натъ.)
81. cas\YJ^9A = G^ %F=G.tg\* />-полу-
параметръ параболы. (Беремъ моменты сидъ относительно ^4 и
пользуеыся полярнымъ ур—іемъ параболы г = тд^—- ' гдѣ г
83. ^ = G , f^ BgG_
5^;г (а -4- ß) sin
84. <f = 30°. (Моменты силъ слѣдуетъ взять относительно 0.)
85. tgty = ^ cotga, D = (G + Gx) ^а, Dx = (G + Gx
:12^52a. (Принимаемъ ^40ß за оси координатъ съ
началомъ 0.)
86. z опредѣляется изъ ур—ія:
щ — 2z-\-2cosy = 2siny \ ^—г-—-- •

87—96. -144-
87. Давленіе въ В перпендикулярно къ ОА и = G — cos-a.
Давленіе въ 0 слагается изъ двухъ частей: горизонтальной
G — sinacos2a и вертикальной G (1 cos3a\ .
88. Силы А и G, В и С образуютъ двѣ пары, моменты кото-
рыхъ взаимно уравновѣшиваются. Отсюда слѣдуетъ:
= G, B= C=G -r cosa.
о
89. * = ■
90. Возможны два рѣшенія: I. ср= 0, /? = 0. II.
, R=y 4P2—-j-^ G1. (Давленіе R въ точкѣ А про-
водимъ въ обѣ стороны иерпендикулярно къ ЕС и бе-ремъ моменты
силъ относительно С и D.)
91. х = /-AJL__iL-j-- . (Въ точкѣ А каждаго изъ стержней
yGJG
разовьются горизонтальное и вертикальное давленія; горизонт. давле-
нія должны быть равны.)
8
92. cosy=~l/ ~4rj-. (Въ шарнирѣ С стержни производятъ другъ
на друга равныя и горизонтально направленныя давленія.)
96. ctg<?= G^cos^ + G^ + G^cosa, ^
относительно центра О.)

-145- 97—104.
97. S= ~r2 +(^+"^-) (?*• (Каждый стержень иодвер-
іается дѣйствію пяти силъ: натяженія нити, давленія вала, еоб-
ственнаго вѣса, давленія пола и горизонтальнаго давленія въ шар-
иирѣ 0.)
98. Qy 2Gyl—^-j. (Въ точкахъ касанія шаровъ съ цилин-
дромъ разовьются давленія, нормальныя къ образующимъ цилиндра
п равныя между собою. Точку 0, около которой цилиндръ будетъ
поворачиваться при опрокидываніи, принимаемъ за центръ моментовъ.)
G / С С
"• x=l g2-4g1 y 5=/1/т^^Згфт)2# №инимая ° за
центръ моментовъ.)
100. -— — = -^- і-іг^) +1) • (Въшарнирѣ О стержни произво-
дятъ другъ на друга равныя и горизонтально направленныя давленія.)
101 ^=_^=; А = 0, C=GX> D = G + GX.
^і ауіг2 — /2
(Центръ тяжести стержня AB находится въ точкѣ С.)
«лл Ф Ga . G1 , , , , ч
102. cos --fr- = -^зіщ — сощ = -jy cosa cos [a -\- ф -f~ <PJ •
(Нить въ части ВС имѣетъ натяженіе Q. Беремъ для стержня и
полуцилпндра моменты силъ относительно центра 0.)
ioa./*-S—fe,^^
5 2 Ga '
cos% cos
104.
cosy cosy
10

105—112. -146-
sinty = -j\ rr (1 — 5//rfx) — r2 (1—5i;?(p.>) .
106. Обозначая уголъ ВОС=у и <#1OC1-=<f1, найдемъ:
а = /г (£/£•<? + с*£Ѵі)- Изъ равенства горизонтальныхъ давленій въ
точкѣ О слѣдуетъ: Gl siniy siny = G1l1 shü^ siny^ опредѣляемъ
изъ этихъ уравненій ор и срі! окончательно находимъ: x = hctgy и
107. (p? =
108. Ha основаніи задачи 88 можемъ написать:
Принимая центръ цилиндра за центръ моментовъ силъ, дѣй-
ствующихъ на него (собственн. вѣсъ, давленія стержней и плоскости
MN), находимъ:
Б± = Сі = Во = С>2.
Взявъ для стержня АХСХ моменты силъ относительно Ах,
получимъ:
GJiCos'% = СѴЛ г
(во второп части—иоментъ пары силъ). Точно такъ же для другого
стержня:
GJo sin <p *= СЛг.
Отсюда имѣемъ:
\\ каждое изъ четырехъ давленін =
110. ys = 0,369a.
l1t P + c2 _ a(a-\-2c)
112. ys = 0,789a.

-147- 113—137
113 ys=
114 ѵ — 2b(-b sin
sma-\-2aa
a
117. л = -j (a—b) (— — ctgaj, xs = — {a — b).
118. Xs = O,ys = -%-.
sin2a (1 + 2cosa) — n sin1 a -\- 2a
j- —
119. % — jy ,
sin2a (1 + 2 sma) -\- n stn2a — 2a
XÖl
js-' N
N=2 sma [ъ sma (1 -f-cosa)-|-2a(cosa — sma)].
120. jv5 = l,5488r.
123. x2Jt--^-x^=2 4--^-. (Радіусъ маленькой окруж-
o li \
НОСТИ = -ö-
128. xt
129. vc
130. ys =
131. jv5 = 5,95.
132. у5 = 8,89.
133. л = 14,88.
134. Л = 6,19.
135. je5 = 19,8.
136. л-5 = 9,87, jv5 = 50,15 .
137. xs = 2,21, ys = 3,88.
10*

138—155. -148-
138. .rs = 4,86, _y5 = 4,46.
139. ys= 11,99.
140. % = -
14? v — 4
14Z. %-y
10 — 3*
— ^ sin аІ2
143. j;s = 23,8.
144.
(2a — 5
= a *
5m2ß (2a — sin'Za)
4r
145. л-5=^6-=
(a — 8)
(Приближенно: части ABCD считаемъ прямоугольниками.)
146. xs = 2,14,^ = 1,18.
147. *s=|-r, ys = ^-r.
16
148. vs =
149. .vs = ^-r, л =
6^
150 Vq = =
' J 91/3
91/3 /P —
K {R + r — a)
(R-r)
- —e)
154. ys^~--
155. .r = y(3 —

-149- 156—173.
156. Всѣ три точки расположены на одной прямой, при чемъ
3 3
157. Для сегмента xs = -^-a) ys = --b\
3 3 .
для его дополнешя xs = -ttj- a ,ys = -y- b .
158. Дѣлимъ ОМ пополамъ и чрезъ точку дѣленія А прово-
2
димъ AB параллельно ОХ\ тогда AS=T-AB.
160. xs = -s— • -^т aij l = 11,51 an.
162. Ss=ya ^
163. x5 = f,^ = -f
164. Ля—J- + -9J-,
256 a
5
165. д-5 = -£-я, jv5= 0.
166. *5=|-, № = 0.
167. % = -^f, JV5=^- •
168. ф = 59О36Ѵ2Г' (Центръ тяжести пластинкп долженъ ле-
жать на вертикали, проходящей черезъ точку А.)
169. tätig cp = 2,172 у •
170. А= 29,5 kg., B= 31,5 kg.
171. у4 = 155,5 kg., 5 = 189,5 Д^.
172. ^ = 2200 kg., 5-2800 ^.
174 ѵ-_-^

174—181. -150 -
174. Обозначая чрезъ Xl9 Уг, Х2, Y2, Х^, YH слагающія
силъ А, В и С по горизонтальному и вертикальному направле-
ніямъ, получимъ:
Р ѵ—ѵ р ѵ
175. По данному значенію Р нужно найти давленіе въ С,
а изъ послѣдняго опредѣлится величина Q.
176. Искомая точка лежитъ на вертикали, проходящей чрезъ
точку пересѣченія АС и BD.
177. tga = (l + 2 -^\ . /#?; / = 2acosa-)- 2bcosr}. (Для состав-
ленія перваго ур—ія нужно взять условія равновѣсія шарнировъ
С и Е.)
178. На каждый изъ трехъ шарнировъ С, D, Е дѣйствуютъ
три силы (часть груза Q и усилія по направленіямъ стержней),
образующія замкнутый треугольникъ; части груза въ сумиѣ должны
быть = Q.
179. Р:£> = 9:2; В = Р, D = Q. (Моменты силъ слѣдуетъ
взять относительно точки С.)
180. Разложивъ Q на двѣ составляющія X (въ направленіи DH)
м Y (въ направленіи DF) и взявъ моменты силъ относит. С,
найдемъ: 2P=12X-\-$Y\ чтобы найти Qmin., беремъ равен-
ство Q2 = X2-\- У2, дифференцируемъ его и приравниваемъ dQ=0:
тогда получимъ: XdX-\- Yd Y= 0 ; это ур—іе вмѣстѣ съ уравне-
8 2
ніемъ моментовъ даетъ: X = іѵг-Р , Y = -s^- P\ отсюда находимъ
окончательно:
Х 4 гл 2 п
181. /J=
= G1/ 1 r-
f b
г* г*-ш /л 2а , а2 cos2
С G1/ 1r у+ 7Ö
f b * l b2 sin2a

-151- 182—188.
b — acos y
acos^cotga
182. V= 4f- + q \/W+W= 325 kg.
i2] = 366,7 kg.,R=y #-+^ = 430,2*^.;
сила R наклонена къ стѣнѣ подъ угломъ 58°30f. (Принявъ А, В
и С за шарниры, разсматриваемъ дѣйствующія на нихъ горизон-
тальныя и вертикальныя давленія и пользуемся условіями равновѣсія
для AB и ВС.)
183. -S- + ~г~* тг > -^ > "о 'Ѵг— а • (Беремъ моменты
еилъ относительно двухъ точекъ, около которыхъ можетъ вращаться
восьмиугольникъ при опрокидываніи призмы.)
184. -jy + 3>/г>-о-(і у^) • (Центрами иомеитовъ слу-
жатъ двѣ нижнихъ вершины шестиугольника.)
185. Проводимъ въ А, В, С давленія и беремъ моменты отно-
сительно Оі и О2; находимъ сначала
А = В= —/==■ и С = ^— и затѣмъ окон-
у 6 о
чательно АО±: О±С= 5 : 2 .
186. А= -r-G , В= G , С=^—^- С . (Средній стержепь
не только не оказываетъ давленія на цилиндръ, но даже стремится
отойти отъ него.) Разлагая давленіе В иа горизонтальную и верти-
кальную слагающія, изъ условій равновѣсія стержней AB и ВС
получимъ:
. , 24
5ШФ = -25-'
187. /г = "
г 2ісг
188. .ѵ
~=?— і\ г->—,і {• (Центръ тяж. стѣны долженъ
у {а^Ь) {6с-\-Ь—а) ѵ^ ѵ
лежать на вертпкали, проходящеи чрезъ средину отрѣзка АС.)

189—198.
— 152 —
189. л=г]/2. (Центръ тяж. тѣла долженъ лежать въ 0.)
190. * = г)/~3~7
(Олредѣляютъ условія
д-3 = 4^- (R—r) [3Ä2—2 (/
192. \\ = 1; х» — -тг; х.л — -д-; ди = —
2 ' " ö ' " n
равновѣсія, начиная съ верхней плитки.)
193. а2 + За2 = Ь2: + 3 fi2 = с2 + 3 f . (Вычисляеыъ длину пер-
пендикуляра, опущеннаго изъ 0 на плоскость треугольника; осно-
ваніе этого перпендикуляра должно совпадать съ центромъ тяж.
треуголышка.)
194. tga = (1 + ~). tg }. (Проводимъ въ узлахъ К и L
силы сопротивленія стержней и пишемъ условія равновѣсія всѣхъ
силъ, дѣйствующихъ на узлы К и L. Сопротивленія стержней дѣй-
ствуютъ по ихъ направленію; неизвѣстныя же величины ихъ исклю-
чаются изъ уравненій.)
195. л- = ~г, B=^G, S = ^rG.
196. Въ А и В: Р j.
Въ С и D: ^1
(Реакціи опоръ А и В, точно такъ же, какъ С и D, образуютъ
пары силъ, плечи которыхъ легко находятся изъ чертежа.)
А
197.
198. S = S»=Sn~ — -Q-_.
Рѣш. 198. 3

— 153 —
199. Уравненіе прямой Sx относительно ^
оссй координатъ XY буцетъ:
Уравненіе прямой 52:
Точка пересѣченія этихъ прямыхъ имѣетъ координаты:
%mn b m-\-n
у V . ' .
п—т ' I п—т
Уравненіе моментовъ относительно этой точки:
Pyi+(S-Q). (-xJ + S!. 0 + 5а. 0 = 0;
отсюда находимъ:
200. Q = 77f W=.
р
201. P =
]/ 2
202. ^ = ^
_ »
4
%Р
31/5 —

203-205. -154-
203. 5i = + P.
204. Положимъ ЛВ=у, найдемъ:
с _ с _ Р
Оі — Jo — 7=-
]/2
Рѣіп. 204.
205. Sl = 57 = - Р.
1
= -ТР (1-1/577) =-5814 kg.
sin 2a
~)= +24186 kg.
D sin (а —60). sin (а + 60) ] _
t sln~%~o. |-
J/3
* 1
0 + 2Р-- s/» (a —60) =

— 155 —
206—210.
-^з^-шэо kg.
206. Реакціи опоръ: А = В = 600 ^
.4, = S2 = — 808 /^., Ѵ= Р= -f 600
+ 750
Рѣш. 206.
207. Л=В=ШЬ
208. А =Я = 5000
So = - 5333 ki
D = — 2033 Ц
209. А = В=\р
1'ѣш. 207.
Рѣш. 208.
j = S, = — 689
F= -f 325 ^.
t = — 7467 /^.
= -|- 4666 kg.
"*• *"■• С г^ ыі
2Р
=
210. А- = В—2Р.
5СГ ^ J
1 == «^і Ч3^ —гГ"7 '
2
ЗР
Рѣш. 210.

211—213.
er __
— 156 —
P
2sma
SQ = -\-2Pcotga.
58 = — 2 P cotga.
S 4
211. A =
s,
Ja
Рѣш. 211.
S = S 0
5 — O7 —On — —/ .
212. A =£ = -2- = 5 tu.
>1 = — 3,1023 tn. S.2 = — 2,2361 /«.
Ss
Ptin. 212.
S8 = + 5,5903 tn. S4 = — 4,0312 Л».
S5 = —14,2304 Л». Se= + 17,5/«.
213. A =B = Q = H) tn.

— 157 —
214—215.
-)
= — 4,526 tn.
) = +31,976 Ai.
) = —30,046 tn.
S6 = —3,5 £> = — 35/и.
214. A =i5=7,2 /«.
5j = —13,915 Л».
Sa = — 11,666 Ai.
D =— 2,811 A*.
Zx = + 11,354 A*.
Z2 = -f- 6,308 /и.
p" = + 6,000 in.
215. Находимъ значенія угдовъ:
я = 67°30', ? = 33° 41' 24".
Реакціи опоръ:
Л = 6232 /&^., 5=9768 kg.
Усилія:
sin (a —
cos a
: = —9320 kg.
S., =-\-A. ™л "_ = + 4286 kg.
.S3 = _ 2 S4 cos a — P1 (\/Г—1)=
-h\/%
6"2 l/2 rcosn sin (a— p)
=-655%.
O7 — Оіг
• —ä|/2
2}/2 rcosa im (a —|
- = + 1777 kg.

216—219.
— 158 —
8
sin a
S9 = — 2 S8 cos a. — Pa
1
J
=-848з kg.
—1) = + 3179 kg.
Рѣш. 216.
Рѣш. 218.
7 £7T = + 0<lo kg.
•in (a — p) ö
216. A = 13,049 tn.
B = 9,049 Лі.
Sx= —3,016 /h.
S2 = + 9,538 tn.
S8 = —7,176 Л».
S4 = +5,742 /«.
S5= —8,179 tn.
217. ^ =3,33 tn.
B = 6,0 /«.
Рѣш. 219.
52 = —10,42 fti.
5^ = _ 8,22 tn.
S4= —11,30 tn.
55=+ 5,81 tn.
218. ^ = 8 /н.
5 =11,314 Лі.
S1== + 4,472 //*.
So = — 4 /«.
54= +4,472 /«.
55 = + 5,657 /«.
Sß = — 8 ///.
S7= — 8 Л».
219. A = 6 /и.
5 =10 /«.
Sj = +18,144 //;.
S.> = —19,829 tn.
S8 = — 7,453 Лі.

— 159 —
220-222.
S4= —16,564 tn.
S5= — 9,792 tn.
56 = — 22,400 tn.
57 = + 13,581 tn.
220. A = 600 kg. B = 1400 kg.
S = Л c°s^1
5t» (et! -
= — 2419
So =—B. . "Г^2 а . = — 3500 kg.
sin (а., — (12) *
st»
COS3t.>
221.
. - = + 2524 %.
s/w (a._, — (J.2) ' &
1 = Zj s/» ^ + Zosin\2 = P= 2000 ^
A = P. ~f— = 5,6 /».
Z^ = P. -- = 2,4 /«.
S1 =
5,=
5» =
Л /
/./ sin a
^- = — 17,667 /ii
+ 15,288 tn.
+ 6,552 /».
= — 7,571 /«.
h h
222. A = 9,25 tn.
B =10,75 tn.
St = — 20,930 /».
5.> = +15,806 //t.
Sa = +12,259 tn.
S4= — 25 /«.
21A..
Рѣш. 220.
Рѣш. 222.
\
-t
і
a
1
і
.1

223.
— 160 —
55 = + 9,375 in.
56= +18,370 tu.
57 = — 24,324 tu.
223. Находимъ вычисленіемъ зна-
ченія угловъ:
а = 37° 52' 30"
$ = 19° 26' 24"
9=13° 25' 11".
Реакціи опоръ:
4 СО5Я
iLL = 712 kg.
I O
Усилія:
Сѣченіе I, полюсъ D\ Sx = — A.—r
полюсъ С: SO = A.
cos
= — 700 kg.\
Сѣченіе II, полюсъ X: 55 = — • S» = +
полюсъ
= ^4. ^ ^= + 422

-161-
224.
Сѣченіе III, полюсъ F:
полюсъ G:
Ч|' = + Jlr
sin
- р*sin
Сѣченіе IY, полюсъ В : S9 = — Р2. sin (а + 30) =
полюсъ F: SH = 510— P2.cos(a+30) =
Сѣченіе V, полюсъ У:
371 kg.;
—892^.
224. Вычисляемъ значенія угловъ и величину вылета р\
а = 52° 17'48" ф = 142° 59'27"
3=46°13'0" Г|= 60°
•/=28° 57'18" 5 = 75° 31'21"
3=12° 58'58" <р = 50°28'44"
6-24° lf35" := 70° 12'55" ^і
JX = 39° 50' 5ff X = 109°28r16rr.
^ = 4,86 mt.
Реакціи опоръ: Л = Р.~г = 1МЪ kg.
Рѣш. 224а.
Усилія:
Сѣченіе I, полюсъ С:
cos a
полюсъ D: So = — -
Сѣченіе II, полюсъ Е: SS = B.
полюсъ С: Sx = —
|- + 5296 ^.;
І—= —3621
= + 3143
= - 8498 /г^.
11

225.
Сѣченіе III, полюсъ D:
162 —
полюсъ Е\
sinr{
9
d sin r;
5/» Г,
= -f1898 kg.
Рѣш. 22Л.
Сѣченіе IV, полюсъ Е\
Sh = А *-'"».(?+
8 rf sin if
полюсъ С:
= + 8959
Сѣченіе V, полюсъ D:
225. А =13,628 tn.
•!іі = _ Ю978 kg.
S,t = — 3,612 tn.
S5 = + 11,236 tn.
S7=- 1,241 tn.
B =11,033 tn.
S, = —19,641 tn
S4" = +13,166 tn.
S(i=— 6,541 tn.
S8 = + 20,618 tn.
— 23,723 tn.

— 163 —
226—228.
Рѣщ. 225.
226. А =21,244 tn.
S1 = +50,118 tn.
5, = —22,162 tn.
B =41,244 tn.
5, = — 53,886 ///.
54 = + 43,502 tn.
Рѣш. 226.
55 = — 8,535 tn. 5e = — 48,548 ///.
57= —12,059 tn. SH = -[- 33,063 tn.
59= —18,624 tn. S10= —39,128 tn.
5n = —4,475 tn.
227. Равнодѣйствующая проходитъ черезъ центръ шара и равна
сго діаметру.
228. Одно ребро = суммѣ двухъ другихъ. (Одинъ изъ угловъ
иараллелепипеда принимаютъ за оси координатъ и разсматриваютъ
гуммы А, В, С слагающихъ силъ по тремъ осямъ и суммы момен-
товъ U, V, W относительно тѣхъ же осей. Для того, чтобы си-
стема силъ привелась къ одной равнодѣйствующей, необходимо, чтобы
удовлетворялось равенство: AU^rBVr-\-ClV={).)
п*

л:о :>:;<;.
230. R |//Ѵ + Р22 = 14,422 kg.
P P
S = —-p-^P sin a = 8,653 kg.—tut.
Po 3. , /> 2
Называя АС=ри ВС=р2, получимъ:
рх :p2=tgcL1: tg a2 = 9 : 4; рх -\~р2 —р =1,3 mt.y откуда ^=0,9 tut.,
р2 = 0у4: mt.
231. Обѣ пары имѣютъ равные моменты М:
232. Главная ось данной системы силъ проходитъ чрезъ А,
перпендикулярно къ плоскости противолежащей грани.
233. R= 5,385 kg.\ 5-47,538 kg.—mt.\
a = 68°12f, ^ = 90°, Y = 158°12f;
^ = 14,054 mt.
234. Иара съ моментомъ въ 44,721 kg.—mt.\ ось ея лежитъ
въ плоскости, параллельной AB и перпендикулярной къ плоскости
чертежа и дѣлаетъ съ направленіемъ AB уголъ а, тангенсъ кото-
235. Пара силъ съ моментомъ 2Ра]/3 въ плоскости, парал-
лельной ABC. (Группируемъ 12 данныхъ силъ по тремъ квадратамъ
октаэдра; силы каждаго квадрата даютъ двѣ пары съ моментами Ра\
осями этихъ паръ служатъ оси октаэдра.)
236. 022 = /Ѵ* + 3/Ѵ"+ 0і2; Qi проходитъ чрезъ С, лежитъ
въ плоскости ACD и образуетъ съ Р.2 уголъ, косинусъ кото-
Р<>
раго = 2-^--- (Оо должно быть равнодѣйствующей силъ РІ9 Р2
и — Ох\ для опредѣленія величины Q2 принимаютъ А за начало
прямоугольн. системы координатъ; слагающія по осямъ будутъ: P1cosay
— Qv и Р*-\-Р\ stnol = 2P2. Тогда О22 = суммѣ квадратовъ этихъ
трехъ величинъ.)

-165- 237—241.
237. Пользуясь обозначеніями задачи 228, можемъ написать:
=0, откуда
R =
cos (RX) = cos (R У) = cos (RZ) = -£ц
5 = yu*+¥*+№ = .
S /^+Ѵ
238. Пользуемся обозначеніями задачи 228. Для того, чтобы ди-
иама проходила чрезъ О, необходимо, чтобы
A:B:C=U:V: W.
Ho A = PU B = P,,C=P3, U=P.,b,
Ѵ=Р1с, ІѴ=Р2а; слѣдовательно
Рх: Р.у: Ря = l/^F /
239. р==
2
для Ртах. получимъ tg -^- = 1/ а °~ .
2 —
240. А> = 2Р]/б, 5 = -у]/б Ра. Точка пересѣченія оси съ
основаніемъ лежитъ на BD въ разстояніи-^- BD отъ В. Ось рас-
положена въ плоскости, параллельной ACGE и образуетъ съ BF
\\ АС углы ах и а2, для которыхъ
4 и *S «2 = Ѵ7^
241. Ha каждой грани пару можно замѣнить еилами, дѣйствую-
щими одна за другой по сторонамъ грани въ положительномъ напра-
вленіи (см. зад. 59); каждая изъ этихъ силъ = половинѣ стороны
данной грани. Въ результатѣ на каждомъ ребрѣ многогранника полу-
чимъ по двѣ взаимно уравновѣшивающіяся силы.

Y
243. x = —=. (Центръ тяж. ихъ долженъ лежать въ центрѣ
у2
242—248. -166-
? і
242. tg 2 ={7уш (Дентръ тяж. конуса долженъ совпадать съ
центромъ шара.)
243. х
полушара.)
С G
244. D= -/=, Н= —-=. (Разсматриваемъ каждый шаръ
отдѣльно; на верхній шаръ дѣйствуетъ вѣсъ G и три силы D\
каждый изъ нижнихъ шаровъ находится подъ дѣйствіемъ силы D,
вѣса G, давленія стола W и силы Н.)
5 ^ 5 + РЬ
246. х= -ßL- (Давленіе D направлено по линіямъ, идущимъ
|/3
отъ центра шара къ окружности отверстія. Называя чрезъ а уголъ
отклоненія D отъ вертикали, получимъ:
л г 4
1J COS а = Lr = -«- у 7Г ДГ,
откуда:
0 |/ ЛГ — Я-
Изъ послѣдняго выраженія опредѣляемъ наименьшее значеніе D.)
247. tg<% = —- — (Центръ тяж. треугольника
3 уг2 (4а2—Ь2)—а4
долженъ лежать ниже центра шара на общей съ нимъ вертикали,
основаніе Ь должно быть горизонтально.)
248. Выбравъ оси координатъ, какъ указано на чертежѣ, най-
демъ слагающія силъ Р, G, А, В, С\
Р (0 f 0 Г 0 І — С cosa
Р [ 0 G 0 АІ — А B\Y C 0
(— G { 0 \Z \С sina

-167- 249.
Гочки приложенія тѣхъ же силъ опредѣляются координатами:
(
В 0
U
-JVA А ■
~_Г Za
хс = а. —
(
ус=е. f
a-f-r
ул = е
zA=
= a-\-r — r cos a
zc = r sin a
откуда:
cosa =
,
:jv,i: zA = .r
Шесть условій равновѣсія выразятся, поэтому, слѣд. равенствами:
ѵ Х=Р — С cosa = 0, 1 Y= — A-\- У=0,
2 Z= — G-\-Z-\-Csina = Q.
1 (Zy— Yz) = — G-j
zA =0,
— Zx) = G-4—Crcosoi sina
откуда находимъ:
p G r]
B \„
l
Csina
G Го
2 L
(Я + Г
2, A =
_G y
2
— r cos a) = 0,
[ — Axa =0,
2 (a + r)yP — e2
O + 2r) yP—c2 1
{a-\-rf \
'P- — e2
249. Оси XZ располагаемъ въ вертикальной плоскости, ось У— въ
горизонтальной. Силы Р, Q, А ъ В имѣютъ слагающія по ооямъ:

250—251.
— 168 —
10 i—Qsina \Xl
\P Q 0 A [Y, B > ,,
[0 { — Q cosa \ZX (O
Точки приложеыія ихъ опредѣлятся координатами:
1-а 0 (0 0
Р { 0 jQ < r А { 0 5 < 0
U U-» U U
гдѣ S означаетъ небольшой отрѣзокъ, который можно не принимать
во вниманіе, если а немного разнится отъ 90°.
Шесть условій равновѣсія выразятся слѣдующими равенствами:
^ Х= — Q sin
2 Z = — Q cos a + Zi = 0,
2 (Zy— Ye) = — Pb — Qrcosa— Y.2 /=0,
2 (Ajs — Zjc) = — Q q sina-\-X2 / = Ö,
2 (Ул- Ä>) = —Ра + 0^5г»я = 0,
откуда имѣемъ:
P = Q —sin a
A
B
Г\| -=ІѴ. , Olli J.
Y1 =0 -j (cos a —
ZA = 0 COS CL
sm a)
Y.2 = — Q
sin
a )
250. 5=
|/3
(Оба натяженія 5 при А имѣютъ равнодѣйствующую S±^2Scos30°;
сумма моментовъ ^ и G относительно О должна равняться нулю.)
251. Принимаемъ плоскость пластинки за плоскость XY, а нор-

- 169 - 252—254.
маль къ ней въ точкѣ А, направленную вверхъ,—за ось Z. Пусть
гоііротивленіе въ А имѣетъ по выбраннымъ осямъ слагающія X, Y
п Z: условія равиовѣсія выразятся тогда слѣд. равенствами:
0, Z—Q
откуда, зная,что х2-{-у2 = с2, найдемъ:
D 1
y + g4*sm4 = 4Xt kg.,
РЬ л Qn Q lsina. о
х =-jy= 1,87 mt., y =^—jz—=2,
А \ Y= — Qcosa = —±№ kg.
{Z = P+Qsina — D = 2№ kg.,
A =y7* + Z* = 4,87 kg.
252. Натяженія верхнихъ и нижнихъ половинъ нптеіі равны;
вычисливъ уголъ наклона нитей относительно оси конуса, найдемъ,
что разстоянія колецъ отъ О относятся, какъ 2:3.
253. Взявъ на оболочкѣ пузыря нѣкоторый элементъ поверхности
въ видѣ круга радіуса г и принявъ во вниманіе, что по окружности
его дѣйствуетъ натяженіе 5, найдемъ слѣдующее условіе равновѣсія:
(Р—Po) r2T: = S. 2гтс. sin^y
гдѣ 9 есть уголъ наклона 5 относительно взятаго элемента поверх-
ности. Изъ послѣдняго выраженія опредѣляемъ:
2 sino
и, такъ какъ предѣльное значеніе—:—есть/?, то:
S = ±R(p-p0).
254. Составивъ моменты всѣхъ силъ относительно прямой ВС,
найдемъ изъ условія равновѣсія:
R — )/R2 — д2
гдѣ а есть половина хорды ВС.

Д.гіі.с:
x = /? + r — }/R*~— a2 — |/r2—«'-'.
При л = г величина С? получаетъ наименьшее значеніе, т. е. при
Опш, =
6 1 ~ 11/^
256. Составивъ суммы моментовъ силъ относительно осей:
Zy— Yz ) =Р2 cm — Pzbn = Q; и т. д.,
получимъ: a:b:c = P1l:Potn:Pz п.
257. д: = >y или -^. (Слѣдуетъ составить сумму моментовъ ре-
акцій опоръ относительно центра тяж. крышки, который находится
на разстояши ^-g ^отъ верхняго края.)
258. sina: sin $ : siny = а : b : <\ (Моыенты давленій относи-
тельно радіусовъ, проходящихъ чрезъ А ті В, равны нулю.)
3 /
259. 5 =-к-А. (Еслп г; — скорость нѣкоторой точки треугольни-
ка, (о — угловая скорость, у — величина отрѣзка, расположеннаго
въ треугольникѣ параллельно основанію на разстояніи х отъ иослѣд-
няго, то: ѵ = хоу, полное сопротивленіе воздуха
h
IV = Cv2ydx
0
и моментъ его относительно оси вращенія:
IV1= I ѵ2 xyäxj гдѣ

-171- 260—266.
260. P = -±£ 5 = «-^ФІ, ч = 4-
261. Называя чрезъ л; разстояніе центра тяж. пластинки отъ
прямой, проходящей чрезъ 0 параллельно AB, найдемъ его изъ
уравненія: ^
/ 2а — sin 2а\
тт г-ь ) х = г тг cotg а.
V 5«/2 а / ö
Кромѣ того,сумма моментовъ силъ А, В, С и вѣса пластинки от-
посительно AB даютъ
(1 +
Исключивъ изъ этихъ уравненій г и .г, получимъ:
тг Sin4 = (1 + 3 с/^я) (2 а—5іѴ# 2 а).
262. Если ^—діаметръ поршня, то:
Поршень опускается на величину:
въ то время, какъ цилиндръ поднимается на
Al- ^
263. Проводимъ чрезъ 0 произвольную плоскость и обозначимъ чрезъ
.г разстоянія данныхъ точекъ отъ этой плоскости, тогда для равно-
вѣсія точки О необходимо, чтобы 2# = 0.
265. ^ = -ö (l-\-cos2) ^з—з> ГД* R и г—радіусы сферъ и
2а—уголъ при вершинѣ конуса.
266, Соединяемъ вершины 5Х и 52 обоихъ конусовъ и ищемъ
на пряыой 5Х S2 такую точку Р, которая дѣлила бы 5Х 52 въ
отношеніи h2 : —hv Соединяемъ точку Р съ центромъ тяж. 5
основанія конусовъ, тогда искомый центръ тяж. долженъ лежать на
\
прямой PS на разстояніи -т-Р5 отъ точки S.

267—269. -172-
267. Разсматриваемъ безконечно тонкое сѣченіе цилиндра, пер-
пендикулярное оси X, на разстояніи х отъ О. Обозначая чрезъ
х} у, z координаты центра тяж. этого сѣченія, найдемъ его объемъ:
dV=iz yi^xt.dx
z=-4-—x
Называя чрезъ xSf ySf zs координаты центра тяж. усѣченнаго ци-
линдра, получимъ:
-fr -fr -f'''
Vxs= I x. dV, Fys=ly. dV, lrzs= j z. dV, откуда
—r —r — r
Г* 1
268. Прямоугольное сѣченіе клина, параллельное его основанію,
яа разстояніи z отъ послѣдняго имѣетъ слѣдующія измѣренія:
х = а-\—~—0, параллельное а
y = -r{h—z), параллельное b.
h
Объемъ клина У= I xydz=-^-(a1Jrsla).
*J
0
h
Изъ уравненія Fzs= f z dV находимъ искомое разстояніе
269. Центръ тяж. лежитъ на половинѣ высоты тѣла. (Объемъ
параболоида = к-7:г2а, гдѣ ;-—радіусъ основанія, А—высота
лараболоида; центръ тяж. парабалоида лежитъ на разстояніи -^ h отъ
вершины.)

-173- 270—279.
270. Прямоугольное сѣченіе, параллельное основаніямъ, на раз-
і іояніи z отъ верхняго основанія имѣетъ слѣдующія измѣренія:
х=аі-\-а ,aiz, параллельно а
у=Ьг-\ у~^0) параллельно Ь.
Объемъ обелиска выражается формулой:
h
V=Jxydz = -*.lab + albl + {a+a,) ф + ь
0
h
Изъ Vzs = I zdV, искомое разстояніе zs находимъ
2 ' 'аЬА-
272. ys = j%b.
273. xs = jy5 = -5 = g r.
274. Центръ тяж. находится на разстояніи .ѵ5 = «- л отъ центра
эллипса.
.__ h
275' -Vs==r
278. Центръ тяж. лежитъ на одной трети прямой (считая отъ
AB), соединяющей центръ круга съ серединой стороны CD.
. а «
Sl" Т // г 44
. 1 = 1/ (-^-)
279. 1 = 1/ (-^-) [Если Fi и Ѵ2 объемы и .гх и х>

280-285. -174-
разстоянія центровъ тяжести секторовъ отъ вертикали (общей обра-,
аующей), то должно быть Ѵ1х1=^Ѵ2х2.]
280. *4 —4я08 + 6/г2*2 — 4^ + 1=0.
281. x = £(
з гГ3 *£_
282. tg^y — *Vs f&2(f H~ І£У — 3/0 == ^*
откуда cf = 28° 44' 28ff.
r cos 2 <p 5ч^г 2 cp
4 2 — stri l 9
*^5~ 4 2 — sin 2 cp
{Искомый центръ тяжести лежитъ въ точкѣ пересѣченія линіи со-
«диняющей центры тяжести полусферы и конуса съ OS.)
283. Для опредѣленія К разсматриваемъ возможное перемѣщеніе
точки т вдоль плоскости и прира^ниваемъ сумму элементарныхъ ра-
ботъ нулю; тогда
Щ
Для опредѣленія D берется возмоЖноѴ перемѣщеніе перпендикулярно
къ наклонн. плоскости:
х =
(Возможныя перемѣщенія точекъ /} и Q вдоль параболы равны; для
рѣшенія пользуемся правиломъ, по которому работа вѣса = произг
веденію вѣса на пройденную имъ высоту.)
285. Во всякомъ положеніи, если P = Q\ въ противномъ слу-
чаѣ равновѣсіе невозможно. (Возмо^ныя перемѣщенія беремъ по ка-
сательнымъ къ параболѣ; элементарная работа силы Р выразится въ
лидѣ Р. §г, гдѣ r = FP.)

-175- 286—290.
286. Пусть jvi и у.2 — ординаты точекъ Р и Q\ для равновѣсія
нсобходимо, чтобы Р. 8jvi + jQ. 8jv2 = 0. Зная, что т
Р
У = Г SI1I ф И Г = 7 L——
J r 1 + е cos 9
паидемъ
pS + cos<fl^oi±cosb ^
sin cp-j_ ~ 5/;; 9'2
з = эксцентрицитетъ эллипса.
287. Пусть h п /?! — разстоянія колецъ отъ горизонтали AD\
для равновѣсія необходимо, чтобы
Далѣе:
o„ >
Замѣтивъ, что длина нити / = 1 г = const.,
COS Ф ' COS Ф
найдемъ:
S^ b cos2® sin ф ■/'>■"
* — — * * д х*
8ф 2 ^7 ГО52 ф'5/Я Ср /^ -'•'
Р : Q = sin 9 ' 5/;г ф.
288. _£2i^ = jL*.
289. 9 = 180° и sin \- -= /Го • (Поворачиваемъ 05 на очень
малый уголъ §9- Если BC = s и А — разстояніе отъ А до гори-
зонтали, проходящей чрезъ О, то: Gih-\-Qbs = Q, при чемъ
/і = а cos <р и 5 = 2 /; 5//г -|- . J
ооп о , о (Q* — Р3) d* cos* a
290. 52 + 2 а 5 £os а = -^-у^^ А> ö •
' P2 — Q2cos2a
(Беремъ очень малое перемѣщеніе bs груза О внизъ по наклон-
ной плоскости; тогда
Qb(scos а) — Р$х = Оу # ^ .
при чемъ x2=aOQ2=--a2-^rs2-{-2as cosa.)

291—295. -176-
291. f* \ = 2. (Центръ тейести бруска при оч«нь малонъ опу*
сканіи конца А не долженъ измѣнять своего разстоянія отъ гори-
зонтали, проходящей чрезъ С.)
292. tg 9 = -7j _v_h' (^еРемъ перемѣщенія—конца А—вправо
и конца В—вверхъ.)
A = G. (Поступательное перемѣщеніе всего стержня вверхъ.)
В=О. (Такое же перемѣщеніе влѣво.)
•л
293. cos 9 = I/— • (Брусокъ, оппраясь на уголъ В, можетъ
скользить концомъ А по стѣнѣ.) I
А = Q1/ \-г) — 1. (Разсматриваемъ перемѣщеніе бру-s
ска вдоль его оси.) !
В= О 1/ -г- • (Разсматриваемъ вращеніе бруска около А.)
294. 5 cos (а -f- 9) = ^ d cos % ?• (Опредѣливъ разстоянія л*ь л-2
и .y3 угловъ тр-ка отъ прямой AB, найдемъ, что центръ тяжести
тр-ка лежитъ на разстояніи-
S = -н- (^ -f- .Vo -f- д*;}) отъ .-/Л п 8S =
295. Разстоянія ^ и С2 центровъ тяжести полуцилиндровъ оп
AB .будутъ:
4
Далѣе: Gt 8 ^ + G2 5 С2=О,
(/? + ^)2 = (* + /? tö5 9 + ^ «w Ф)2 + (/? 5/л 9 — г 5/я Ф)2-
Дифференцируя и исключая изъ обоихъ ур-ій 89 и 8 ф, по-;
лучимъ:
7? sm (9 + ф) + b sin ф _ Go 3 тг o?s ф — 4 sin ф ',
г 5/// (9 + ф) — 6 sin 9 ~~ С3 3 ^ ^05 9 — 4 sin 9 "

-177- 296-301.
296. cos2 9 — 0,2 cos cp = 0,5. (При возможномъ перемѣщеніи бру-
і'і«і АС по углу 5, общій центръ тяжести брусковъ не измѣня-
і"Пі своего вертикальнаго разстоянія отъ OB. Поэтому для равновѣ-
гіи иеобходимо, чтобы
£. S (~y sin 2 9) + 2 G Ь (r sin 2 9 — г s/w ср) = 0,
гдѣ G — вѣсъ стержня АО.)
297. Q = 2 k (Ь\/ 2—/0). [При опусканіи шарнира С сумма
иозможныхъ работъ Q. bh-\-k(l—/0). 3/=0, гдѣ h — разстояніе
Г отъ AB, I — длина упругой нити, k — коэф-тъ пропорціональ-
іюсти.]
298. а. ЪІ-jr-sin эЛ-\-%аЪ (asin a-\-a sin^)-\-
+ 2 а 8 0 sin }) = 0
или
3 cos a. ö a -f- 4 cos }. 5 } -f- 2 cos y. 8 y = 0.
Къ этому равенству прибавляемъ геометрическую зависимость
между углами:
cos cl -J- 2 cos ß -f~ 2 ^05 y = 3
5/;г а — 2 sm ß + 2 5//г y = 0
н находимъ:
4 tg a — 3 /§- 3 — 7 tg y = 0.
299. Перемѣщаемъ вправо на 35 конецъ С стержня с, тогда
— Z).55+G.SÄ = 0,
но 5 = а cos a — Ъ cos [5 и h = a sin a = b sin }.
Слѣдов.: D = G. — cotg a cos ß.
300. tg<t = l—-r-. |При надомъ укороченіи нити 2х сумма
возможныхъ работъ
/>. (_28*)-[-£ (2дг —д) (— 2вд:) — * {2у — а) 28^ = 0,
гдѣ x = <7 sin 9, jv = ^ £05 9> £ — упругая сила нити при измѣненіи
длины ея на единицу.]
301. х находится изъ ур—ія:
4 b2 h2 х2 (I2 — 52) = (52 — ^2) I/ (4 А2 — 3 52) — 3 л %2 ],
гдѣ ä — высота тр—ка.
12

302—306. -178-
(Находимъ вертикальное разстояніе z центра тяж. 5 пластинки
отъ 0 изъ тр—ка AOS и полагаемъ 8 2 = 0; уголъ OAS выра-
жаемъ чрезъ SAC-\-CAO, а эти послѣдніе—чрезъ стороны тр-ка
АОС.)
лпп ~ ~ cos a cos ß /n v . а х.
302. P=G ————5\. (Беремъ перемѣщеніе конца А влѣво.
sin (а—ß) у * ѵ
Для опредѣленія зависимости между Ь а и 8 ß пользуемся постоянной
высотою точки С.)
303. Изъ 2 Р. Ь (а cos а) + Q. 8 (2 а s/w а) = 0 находимъ:
P = Q. ctga.
304. Р.8 (а5ша + йсо5^) + <0.8 (2а sin a) = 0,
откуда
8 а [2 <Q а cos а -f Р а cos а] — 8 ß. Pbsm$ = ü.
у Ho а cö5 а -j- й sin ß = r + rf и
8 а. а sin a — 8 ß. 6 cos ß = 0.
Исключая 8а и 8ß, найдемъ:
305. При увеличеніи угловъ a и ß имѣемъ:
— 2G.8 (asina) + 2G.b {a sin$)-\-G.h (2 a sin ß) = 0,
или: — cosa. 8 a -f 2 ro5 ß 8 ß = 0.
Прибавляя геометрическое соотношеніе между углами a и ß
2 а cos a = 2 а cos ß -(- 2 a
ъ Q sin a ѣ
или 8 ß = . Q 8 a, получаемъ:
Г 5^W ß J
306. P= Q fl^fa. (Проводимъ чрезъ нѳподвижные шар-
ииры А ъ Аг горизонтальную плоскость; называя чрезъ р и q раз-
стоянія точекъ приложенія силъ Р и Q отъ этой плоскости, полу-
чимъ:
Ho p = a cos a-\-b cos ß
q = — a cos o.-\-c cos y
a sin a-\-b sin ß = cows/.
£ sin y -j- й 5Ш y = const.)

-179- 307—308.
307. Для опредѣленія поворота у шатуна ВС проэктируемъ ло-
маную ABC до и послѣ поворота на направленіе EF, и полученныя
іфоэкціи приравниваемъ другъ другу;
тогда: siny = -^ sin -|-- cos (45 |-j.
Проэктируя ломаную ABD на направленіе EG и приравнивая
ен проэкціи до и послѣ поворота BD на уголъ 8, имѣемъ:
sin 8
8 = -j-9 sin -£-• cos f 45-}- q)-
Называя чрезъ с п d длины пружинъ послѣ поворота, получимъ:
c = l-\-b(sinb-{-cos^ — l), d=l — b
Соотвѣтствующія давленія пружинъ:
Fc=k (c — l) = k
Ha основаніи принципа возможныхъ перемѣщеній имѣемъ:
Ра. i(f — Fc.bc + Fn.id=O.
Такъ какъ
Ьс = Ь (cos 8. 8 8 — sin y. 8 у)
8 d= — b (cos y. 8 у -)- 5ш 8. 6 8)
oy=-=-j- — ^8ср
1 ö cos у у
88 = 4 t- §?,
Z> cos 8 т'
то:
p=^ b { cos (45 + 9) I™5 Т — ! — *g ь (1 +«»
+ cö5(45 — 9) [1 — cosh + tgf (1—5ш
308./^0,577, й^= ~2~~# ^ найдемъ, суммируя про-
экціи трехъ силъ притяженія на нормаль въ точкѣ т. Полагая
= х, найдемъ, что сила К, движущая т къ ms, равна:
она имѣетъ наибольшее значеніе при х = г, т. е.:
K=\kr.
Для равновѣсія необходимо, чтобы сила тренія /
12*

309—313. -180-
309. Нри всѣхъ значеніяхъ tg 9 между 1 и 1,5. (Если тгщ =
= гх и тгп2 = г2, то нормальное сопротйвленіе круга IV— k± rxcos 9 +
-\-k2r2sin 9, а сила, движущая точку т, равна K=kx rxsin^—
— k2r2cos 9- Положивъ -£">/ tV, получимъ: /^?>0
,4 tg2y\ изъ послѣдняго ур—ія находимъ предѣлы для tg
310. 5= G—stn (? *~р' При значеніи угла 9, удовлетво-
(|
ряющемъ ур—ію tg уіЪ 1- — pj. /§• (9 + р) = 2, получимъSmax.
[Для рѣшенія береап> проэкціи четырехъ силт> въ і? на касатель-
ную и нормаль, и изъ полученныхъ ур—ій исключаемъ давленіе. |
311. /=
J
—?т cotgu + -?-
а-\-Ъ ь г ■ а~\-
а sin a
ö Stil р
(Для опредѣленія 5 беремъ моменты силъ относительно С. Да-
вленіе въ С равно: W=S sin ,3 + Р 5ш а: сила тренія /? =
= 5 <:о5 ß + Р ^05 а, поэтому R =/ІѴ.)
312. f=tga, A = G (l—sin а), ß= G (1 + 51/1 а),
n г . /1 4 1 \
jU = Lr Sin ÖL COS <Xj X = Г \ —. 77—. I.
\sin a ot: cos a/
[Ha каждый полуцилинрдъ дѣйствуютъ: реакція опоры, вѣсъ,
давленіе и треніе въ плоскости разрѣза. Составляемъ для каждой
половины условія равновѣсія (моменты относительно А)\
Gcosa — Acoscl — D = 0
G sin a — A sin a —/D = 0
G cos a — B cos a + D = 0
G sin a — B sin г -\-fD = 0
4
Dx = Gr (cos a — ,7-^ sin a) = Br cotg a —
— Gr (cotg a + -3— sin a).]
313. Называя черезъ D давленіе между брускомъ и полуцилин-
дромъ и взявъ горизонтальныя проэкціи силъ, дѣйствуюіцихъ на
брусокъ, получимъ:

-181- 314—317.
Dsin<b —
откуда положеніе бруска опредѣлится чрезъ
Называя чрезъ х разстояніе О отъ D и взявъ моменты силъ,
дѣйствующихъ на полуцилиндръ, относительно точки О, найдемъ:
Ga sin ф — Dx = 0.
Моменты относительно А силъ, дѣйствующихъ на брусокъ,
даютъ:
Gilcosb — Df-Z-, х)=0,
т \sinty /
откуда
Gar
х — •
G± l cos if-\-Ga sin ф
Чтобы направленіе D проходило черезъ Sl9 необходимо:
X
откуда
f
315. /=—т=^
316. 5ш 9 измѣняется въ предѣлахъ-у- и -j cosp, при чемъ по-
слѣднее значеніе соотвѣтствуетъ крайнему положенію равновѣсія
кольца.
е „ /cosф
О = Сг ■; 7 '
_ r l cos 9 t:o5 p
(5 есть равнодѣйствующая силы тренія и давленія D. Беремъ
моменты силы тренія, давленія и вѣса относительно В.)
л„_ - lsin2a cosa /тл
317. f=—R j—. ö—- (Беремъ моменты силъ относи-
J 2 а — lsinacos2a v r

318—325. -182-
тельно А и суммы горизонтальпыхъ и вертикальныхъ проэкцій ихъ
приравниваемъ нулю.)
318. При tg<p<-r-?—т/л • [Приложимъ давленія въ А и В и
/і \а ~г ѵ)
силы тренія /гА (вправо) и/2і? (вверхъ); вычисляемъ реакцію
опоры В при равновѣсіи бруска и сумму моментовъ относительно
точки А приравниваемъ нулю.]
319. /=у гдѣ е — эксцентрицитетъ эллипса.
1 ^
320. /§• ф = 2 + -f, A =ö7t~l~ä ' fПишемъ условія равновѣсія
бруска.]
322. / = -г- • -^-5—1 Хо — • (Составляемъ сумму моментовъ
J 4 ^у—^8Y
всѣхъ силъ, приложенныхъ къ большему полуцилиндру (г) относи-
тельно его оси и приравниваемъ ее нулю.)
323. х=
[Обозначая чрезъ ср уголь между прямой, соединяющей центры
полуцилиндровъ и вертикалью, и разсматривая равновѣсіе верхняго
и одного изъ нижнихъ полуцилиндровъ въ отдѣльности, найдемъ:
#<Р =/(1+ ^) И ^=2^ + ^) 51» «Р-.2Г!.]
324. D = 1+Д^Д
. 1 , ^Д
1-)-5Ш tu-f COS'f
C0S4 f— 4
sin y-f-cosy J 1 -f- sin
D —G . C0S4 f— COS4
1 + sin yfcosy J
(Моменты относительно центра каждаго вальца даютъ: /D =
=f±D1=f2D2. Для опредѣленія остальныхъ величинъ, суммы гори-
зонтальныхъ и вертикальныхъ слагающихъ для каждаго вальца
приравниваемъ нулю.)
325. Р= G(%-\- 5ш2р). (Лѣвый кубъ находится подъ вліяні-

-183 - 326—332.
мп> двухъ силъ тренія: /D, приложенной слѣва и направленной
киизу, и //?!, приложенной справа и направленной кверху; давленія
/) и ßj не равны.)
326. cotg ср = + _. *+/ г\ (Составляемъ сумму мо-
|я2 / J J
cotg ср = + _. *+/ г\
|_я2 / J J
ментовъ силъ относит. центра 0.)
327. stn-j^- tgj-
D = G.
cos p
(Составляемъ моменты силъ, дѣйствующихъ на брусокъ, отно-
пітельно 0 и проэкціи ихъ на вертикаль. Сопротивленіе въ шарни-
рѣ направлено горизонтально.)
328. cos (ср + р) = -—-, sin (a + p) C S^2 • (Составляемъ для
ѵт~г/ G2 —rj cos?! ѵ
каждаго груза по два условія равновѣсія.)
329. <р £
330. /=1 + ~— і D = 2 G. (Давленіе въ шарнирѣ направлено
V 2
горизонтально. Составляемъ суммы моментовъ относит. 0 и проэкціи
силъ на вертикаль.)
331. Q = G. -г sin a cos a (fcos a — sin a). Qmax при tg 2 а =
= 2 tg (p — а), гдѣ tg p =/. (Взявъ моменты силъ, дѣйствующихъ на
брусокъ, относительно А, найдемъ давленіе въ В= G ^-sin a cos a.
;>атѣмъ составляемъ сумму моментовъ силъ, дѣйствующихъ на приз-
му, относительно О.)
332. Если h — высота и х — ширина подставки, то
= 2acosa,x = a sin а; а — длина бруска.

333—334. -184- (
P=Q( 2/^a+^±^)+c(^a+^).
333. Въ A, D и С силы тренія /P, /Q и /R направлены
_L — нокъ OA, OB vl OC, и образуютъ пару, уравновѣшиваю-
щую данную. Поэтому, сумма ихъ проэкцій должна быть = нулю;
эта сумма равна нулю также и въ томъ случаѣ, когда эти силы
тренія повернуты на 90°, т.-е. силы Р, Q, R уравновѣшиваются и
тогда, когда онѣ направлены по ОА, OB, ОС. Точка 0 должна
лежать такъ, чтобы
sin(BOC):sin(COA):sin{AOB)=P\Q:R.
334. Слагающія силъ, дѣйствующихъ на брусокъ ОА по ука-
заннымъ на чертежѣ осямъ координатъ, будутъ:
t X
Сопротивленіе въ О
Давленіе въ А . .
I R sin cp
Треніе въ А R< —Rcosy
U
[ — G sin a
Вѣсъ G\ 0
\ — G cos a.
Точки приложенія этихъ силъ опредѣляются координатами:
A\
[2a
Усдовія равновѣсія выразятся равенствами:
2 Х= Х-\- R sin <р — Gsin я = 0,
2 У= У
2 Z =

185-
335—336.
—Yz) = —Ya+Drsinq —
— -^-Grcosa sin cp = 0,,
{Xz — Zx) = Xa — Dr coscp к-Gasin a-f-
-\--jj- Gr cos a cos cp r= 0,
-f- -ö- Grsin a sin cp = 0.
Рѣшая эти ур-ія и принимая во вниманіе, что R =/ D,
найдемъ:
r sin cp — a/cos <f = rfcotg a
335.
1
X = -y G 5i« a (2 — 5ш2 cp)
v G . .
Z = s-7 (2/cos a — 5Ш a 5/«
-L4 ^г»
/rya—x)
A
X= — g-7- Gxcosy
Y= ~— Gxsincpcosy
336. p = {p-
^L. b-f\r -G. S-Ar
4 a—f^r a—fxr

338—345. -186-
338. Пусть х и у — разстоянія груза Q отъ точекъ А и Н\
тогда на точку А передастся сила давленія ~г_ > на точку Н
Ох ~ ^ Qay Qx
сила л лі; на точки Е и G ііриходятся нагрузки А^ ^л и -^— -
X
сумма моментовъ которыхъ относительно точки Ог равна Q/.
339. Р = —±——. Q, (При одномъ оборотѣ винта шпиндель
его перемѣщается влѣво на величину h, а грузъ Q — вправо на
величину hx—h.)
340. Q = 6703 kg. (Изъ 280 kg. X 7 ж/. X я» 20° = <Q. 0,1 mt.)
341. P=— ^—-; G= * ;гдѣ
. aa b d
bc a c
a = stn (a-(-f( — р), b = sm (a — р)
с = sin (а + ß — у — p), d= sin (a — y — p)
P=73,8 kg., G = 100,8 kg.
1 / P\
342. /= 77- • log (-ту) =0,244. (Если S — натяженіе въ го-
ризонтальной части шнурка, то P=S . cf*, S = Q . ^, гдѣ а = y
есть дуга обхвата.)
343. Обозначая чрезъ Sl9 52,... vS5 натяженія въ 1, 2,... 5, по-
лучимъ:
О4 = Р -\- Oj = ч О2І 55 = О4 -р О2 = ч O.j.
Здѣсь С означаетъ такъ наз. коэф-тъ сопротивленія блока (т.-е.
отношеніе силы къ грузу неподвижнаго блока); этотъ коэф-тъ боль-
ше единицы вслѣдствіе тренія оси блока и жесткости веревки. Изъ
выведенныхъ ур-ій находимъ:
344. г, =-| • (іІ^). ^4т- (Относит. С см. зад. 343.)
345 1» 3

-187- 346—353.
347. P = c2 O; — = S3.
349. P=?Q: Z=
350. 0 = . , , ч rfa,, ,—г-г-^r. = 3110
- r. /^ (a + p) [tg ($ + ) +/J
[Обозначая черезъ К горизонтальную силу, передвигающую клинъ,
получимъ: Pa = ilKr.tg (a + p). Для преодолѣнія Q необходимо,
чтобы:
351. 0 = Р-^4^Р \ 7 У Р2- (Лѣвый клинъ дѣйствуетъна
вставку 71/ съ силою К= -у с/^ (a -f- p); уменьшенная на вели-
чину тренія ("2 + у) ^" рд, эта сила выталкиваетъ правыи клинъ
вверхъ.)
352. По истеченіи времени і=Л/^—р—' ПРИ чемъ
P=Q [tg (a — р) — tg pj; M—масса половины призмы, tg a = —
Сдвигъ невозможенъ при a<p-f-p1. [Изъ условій равновѣсія клина
опредѣляется горизонтальная сила Р, подъ дѣйствіемъ которой клинъ
\
равномѣрно—ускоренно проходитъ путь = -у (а — Ь).]
353. Принимая въ разсчетъ треніе въ подшипникахъ и жесткость
каната, получимъ
Q'—натяженіе каната въ части его между направляющимъ бло-

354—357. -188-
комъ L и воротомъ. Для пеньковаго каната S = 0,06 <^2. Слѣд.:
4P/?
<Q = 504 kg., Qo (безъ сопротивленія) = —~— = 600 kg. Коэф-тъ
полезнаго дѣйствія *і = ^- = 0,84.
У° G
354.1) При горизонтальномъ положеніи; тах. S2=K-\/l2-\-d2=
= 250 kg.,
2) тах. P = C1S1 = t;1;25o = 325,5 kg.
Коэф-ты сопротивленія блоковъ:
^-. І + ^ =
=90°, <2>C5 = 36°5
S —какъ въ зад. 353.
355. Изъ равенства (1—0,04)Pi? = ö(r+$), гдѣ Р=4
и £ = 0,06яГ2 (см. зад. 353), находимъ <Q = 149,1 ^.: если быне
было вредныхъ сопротивленій, то jQ0 = = 160 kg.} откуда rj =
— — 0 W
Уо
356. Если <Qf—натяженіе каната въ его горизонтальной части, то:
^ cos 45° + ^) = l,065 Q,
гдѣ S = 0,06 d2 (ср. зад. 353). Далѣе:
Давленіе на шипы въ неблагопріятномъ случаѣ D = P-\-Q',
откуда Р = 13, 82 kg. Если бы не было вредныхъ сопротивленій,
то Ро = £ 0 = 12,5 ^. Слѣд.: г, = 5> = 0,90.
357. Р = 4 Ö (1 + 4~)+^>Ѵ^' гдѣ6=0,06аР»(ср.8ад.353),
Уѵ ^ ^ SI1I OL
D—вертикальное давленіе вала.

-189- 358—362.
sin 2 p r
положивъ: -п—^—*-=/і получимъ:
И~и R-fxr '
358. По зад. 310 для подъема G имѣемъ:
««(45 — |-p)
= 89,7
= 0,06 <•/■-' и "=1,058. При равновѣсіи G имѣемъ:
359. A\ = K2.e^z. Сила тренія Т=КХ — К<>. Для подъема
іруза О необходимо, чтобы Tr > OR, откуда:
К^^О^ К>0
360. Tr>QR + /г (Kt + К2 4- О) г,
361. Если Ог — горизонтальное давленіе каждой гайки на
винтъ, то:
гдѣ г — средиій радіусъ впнтовой нарѣзки, а — уголъ наклона рѣзьбы
и р — уголъ тренія впнта. На основаніи принципа возможныхъ пе-
ремѣщеній иыѣемъ:
откуда Р= 2 Q~ tg
362. Для подъема .Р=184^.; для равновѣсія Р1 = 1П kg.

363—366. -190-
_
= £ Q {sin a -f- У. £os a), гдѣ
0,08.2,5гш.-1-0,05сш.
25 cm.
есть коэф-тъ сопротивленія повозки благодаря тренію въ шипахъ и
тренію каченія колесъ. Коэф-тъ сопротивленія блока
С =1 + 2.0,08. ^соз (^) + *і-
1 50 гт. \ 2 / ' 50 ст.'
£ = 0,06 сР для пеньковаго каната (см. зад. 353). х = 0,01 и С = 1,024.
Точно также:
1
Р\ = у Q {sin а — х a>s а).]
363. Если Q — натяженіе каната, то Q = G (sma + xcoso),
гдѣ х — коэф-тъ сопротивленія передачц на каткахъ = —'-^■"=0,01.
Отсюда Q = 0,351 G.
$ = 0,06 </2 (сопротивленіе отъ жесткости каната), /) =
невыгоднѣйшемъ случаѣ), откуда Р = 20 ^, Q = 11 kg. и С =
364. Точка пересѣченія лежитъ на вертикали, проходящей
чрезъ 5.
365. Натяженія находятся въ обратномъ отношеніи ихъ разстоя-
ній отъ точки 0. (Ироведемъ натяженія 5 и S± на концахъ раз-
сматриваемой части цѣпи и возьмемъ моменты всѣхъ силъ, дѣйствую-
щихъ на эту часть, относительно точки О.)
366. Натяженіе въ В:
Ьл=ілд sin р = ——-R.
1 17 r cos}
Называя чрезъ а параметръ цѣпной линіи, К—ея вершину и чрезъ
q — вѣсъ единицы длины нити, получимъ:
Дуга АК= a.tga, BK= a.
g
Такъ какъ а = l± sin ß cos ß, то
. Icosa
1 cos} cos (a — ß")'

-191- 367—369.
367. Пусть А и В — точки подвѣса, К— вершина цѣпной ли-
ніи, а — ея параметръ и 5 — дуга АК\ тогда:
откуда ' 3 52 = а2 и
5 1
Полагая, далѣе, АВ = 2х, получимъ:
такъ какъ у% = d1 -\- s2 = 4 52,
25 2
368. Пусть а — высота точки В надъ осью Х\ тогда для точки С
цѣпной линіи
откуда д = ~Jh'
а натяженіе въ С:
Цѣпная линія между D ш С подобна линіи между А ш С\ вста-
вляя въ предыдущее ур-іе вмѣсто / и h величины -^ и -д-, найдемъ
окончательно:
5-^
1— 2'
Направленіе же натяженія не измѣнилось.
369. В—низшая точка цѣпной линіи; если обозначимъ разстоя-
ніе В отъ оси X черезъ а, то:
далѣе: H=aq\ G = lq, откуда

370—373. -192-
370. Осью X дѣпной линіи служитъ горизонталь, проходящая
черезъ концы цѣпи; обозначимъ черезъ а разстояніе низшей точки
цѣпной линіи отъ этой оси.
Тогда: а2 + Р = А2; H=aq = 2ql,
откуда a = 2l\ k = l\/b~.
Да лѣе h-\-l=a cbla, откуда:
371. Пусть длина части цѣпи ВС=*> CD = x и коэф-тъ тре-
нія=/; точка С—вершина цѣпной линіи, ея параметръ a = z—h*
Далѣе: z2 = a--{-s2. При равновѣсіи, между горизонтальнымъ натя-
женіемъ цѣпи и силой тренія должна существовать зависимость:
Н= aq—J xq или a=fx.
Длина цѣпи l = z-\-s-{-x. Отсюда:
^ (1 +/)2- 2^ [(1 +/) (Ä + /Q + А/Ч + (А +/02 +/2 h2 = 0.
372. Такъ какъ натяженіе цѣпной линіи 5 = qy, и обѣ цѣпиыя
линіи имѣютъ въ А равныя натяженія, то у=уи т-"е- ось X бУА
детъ общей для обѣихъ линій; параметры ихъ связаны поэтому
уравненіемъ а — аг = £. Горизонтальныя натяженія въ В и С:
H=aq=/qx} Нх = аг q=/qxu
Ь
откуда х — хг = у
373. Для того, чтобы звено цѣпи находилось въ С въ равно-
вѣсіи, обѣ цѣпныя линіи должны развить одинаковыя горизонтальныя
усилія H=a1q = a2 q, т.-е. обѣ цѣпныя линіи будутъ имѣть
одинаковый параметръ и, слѣдовательно, .одинаковую форму.
Если назовемъ: уг и у2 — разстоянія точки С отъ осей X обѣ-
ихъ цѣпныхъ линій; ACt = 2b1, OB = 2b», то:
У->2 = а- + к'\ У-г + к = « ^2'", откуда:
i
Изъ послѣдняго ур-ія и опредѣляется а.

-193 - 374—376.
374. Выразимъ Q чрезъ отрѣзокъ цѣпи длиною т = —; тогда
цѣпь будетъ доходить до оси X цѣпной линіи и при этомъ y=z-{-m\
если 25—длина цѣпи между А п В, то:
гдѣ а — параметръ цѣпной линіи. Исключивъ изъ этихъ ур-ій у, s и
а, найдемъ, что геометрическое мѣсто точки С опредѣлится ур-мъ:
im
x =
z—L-\-lm
375. Пусть V и H—вертикальное и горизонтальное натяженія
цѣпи въ М\ тогда:
= Т1=Ті] qds
Н
Если назовемъ q0—вѣсъ 1-цы длины цѣпи въ ея нижней точкѣ
С, то:
Изъ равенства V2-\-H2 = S2 находимъ натяженіе цѣпи въ М:
376. Пусть q = kcosy\ тогда вертикальное натяженіе въ нѣко-
торой точкѣ цѣпной линіи съ координатами х и ^—будетъ
F= / q ds = k I ds cos(p = kx
dy V kx
k
откуда jv = к-^ • x2 и если 2ä и h извѣстны, то:
Искомая кривая—парабола.
13

377—380. -194-
877. £—£*«£
dx 2b 2b
V \>q dx /tu . t:.v
дифференцируя, имѣемъ: q = Hy~J y. Если q0 — нагрузка въ се-
рединѣ CD, то: q = q0-y-•
378. Для частн b.> цѣпной линіи имѣемъ: -4-= -yj= —Zip—
СІХ 11 11
л
(В—вертикальное натяженіе въ В)\ отсюда Ну=Вх—^ q2x2.
Для наиболыпаго лровѣса:
Опредѣливъ вертикальное натяженіе В (по правилу опредѣленія
реакцій опоръ для балки), найдемъ:
^ ~ 32 ^, *з Ат
379. Пусть ^4 — вертикальная слагающая натяженія цѣпи въ А\
она опредѣляется, какъ сопротивленіе опоры для балки:
y V A—qx
>77 = -Ѵ^
откуда Ну = Ах „- q x1 и
380 Пои^
380. Ири г£
Разстояніе ä„, отъ
то:

— 195 —
381—388.
Натяженія въ А:
горизонтальное Н = -
хл = z.
вертикальное V=qb-\-Q
полное натяженіе S = J/7/'2-|-F2.
381. 5 = ѵ0 (т + п) — bytn (-у + ») + 2гГ К — bimf-
382. 7-=f, ,^
383. x = l-[a+gt-Ya
384. Г = —
7TL 771 *
Рѣш. 381.
385. Т2 (уі — ь)+ 27 fa — ѵ.2) = 2а.
ѵ ѵ -
386. Первая точка за время —- поднимается на высоту ~- и
затѣмъ падаетъ на -K-g^ = x, въ то
і
поднимается на у = ѵ0^ — -я- glt-;
но
откуда
? какъ
точка
387. 7-=£, ^^-./--^,
Рѣш. 387.
388. Вычисливъ пути трехъ точекъ отъ начальнаго пункта 0,
иишемъ равенство:
ОА—ОВ=ОВ—ОС.
13*

389—393. -196 -
Получаемъ для / уравненіе:
J
>
j >
y \ 1 !
3 5 8
Рѣш. 389.
! i mj*
Для
/ = 10
AB =
389
нашихъ
сек.
BC=v0
./=10
числовыхъ
"i—— Ъ?
сек., ѵ —
значеній
730 Ші
390. x = fy-j-,v = -~yf,i = 2~y^.
Точка можетъ находиться въ состояніи покоя въ центрѣ оттал-
киванія.
(Изъ равенства ѵ ,dv = y .dx = kxH. dx
k
слѣдуетъ: v2 = -~- x4-\-C.
При данныхъ начальныхъ значеніяхъ х ж ѵ постоянное С=0,
поэтому
откуда _
/" dx -ш/k 1
Для опредѣленія значенія постояннаго Сх подставляемъ вмѣсто
его извѣстное начальное значеніе 1/ -т-; тогда Сг = 0 и
391. » = -|--
392. 7 = —r-tf'- (Изъ равенства у = —^- = —~. \
393. s = a(l — е~ЧЛу, у=А^І'/А.
(Изъ равенства v.dv = y.ds= _5 .N

-197- 394—401.
394. /=-£=.
395. / = |J«\
396. v2 = v02 -f- -~—-. (Если х — разстояніе точки т до ея
начальнаго положенія, то ея ускореніе
() ( +
Изъ уравненія ѵ. dv = y • dx слѣдуетъ
для л =-|-получаемъ указанное выше значеніе.)
397. y» =—з~ • (Имѣемъ: —п- = с. 5г« ср»
^/ѵ б/ ѵ ctx
-^- =с. ^05^ ; —ф- = — tgy —гр-; послѣ дифференцированія
уравненія цѣпной линіи:
получаемъ:
db ус1 . .
уу = —т$> = -=^ц- sin*y; отсюда получается тотъ
отвѣтъ, который приведенъ выше.)
398. k2:k1 = b.
399. ѵ = —А— ; y = — Д—. (Начертивъ смежное поло-
женіе g и обозначая перемѣщеніе g = dsl9 a перемѣщеніе M=ds,
имѣемъ: ds± = ds. siny.)
400. y = 25<°2 (і + ^)- [Имѣемъ:5 = л./^?, -^ = со ;
слѣдуетъ дифференцировать первое уравненіе два раза по /.]
401. Точка М совершаетъ колебательное движеніе около 0.

402—405. -198-
v = ü) j/4r2 — s2, у — — ^ • (Уравненіе 5 = Ircos^ дифферен-
цируемъ по /; при этомъ : —-J- = ю.)
- лл я — rcos ф о 2acosw — г (1 4- £os-o
402. ѵ = о) — І; Y = (о2 т—т-5—1 І
sm-(f ' sz/rcp
(Уравненіе 5 = acotgy :— дифференцируемъ по /: при
этомъ J- = <ö.)
4оз. , =
E
д:2 — rz2 -)- b1
Для # = 6 имѣемъ: ѵ =
^2 2
(Уравненіе Ь2 = а2-\-х* — 2axcosy> дифференцируемъ по / и
dx d® л
иодставляемъ —j— =ѵ, ■£- = (о.)
ш dt
404. г^і =— : уі=—* 1 /е3ф.( Если 71/' и М\—смежныя
1 cosy' ll cosy ' а tS т V х
положенія точекъ М и Л/х, такъ что: Л/Л/r = ds, 71/j Л/\ = dsx,
т0 dsi = ■
Дифференцируемъ это уравненіе по / и пользуемся соотношеніемъ:
—, откуда 0 = г;—-^- • $
405. Имѣемъ: vdv = yds = ^ .' ѵ ds ,
flfo (Д — 1) <І5
откуда —;—= ч , ■ —; интегрируемъ это уравненіе и при-
и I/ I «Ь
нимаемъ въразсчетъ, что вначалѣ движенія ѵ = ѵ0, 5 = 0; получаемъ:
ь
Подставляя v=—j—, найдемъ:
). ds = vob. dt\

— 199 —
406—410.
интегрируемъ это уравненіе (начальныя значенія / = 0 и 5 = 0),
тогда получаемъ
[
Дифференцируя два раза по /,
иайдемъ:
Т—"
j
406. Обозначая 1/ ^- черезъ <?, получимъ:
ѵ = а
l'JCOS — i
a
& . •
1~ Z'o 5//
(і1 j /ѵ0 . gt , ^/\ 1
Время подъема Г= -т
высота подъеиа .
407. T = -~
408. ^ = 4
409.
F и
, 1 . ^ + Ь0'2
о
, ^ = const.
ѵ0 — /г<7
157 к-іг*
Гѣаі. 409. I J J *3'к
U
410. Части кривой AB и CD — параб., часть 2УС — прямая.

411—414. -200-
411. Путь точки есть площадь, заключенная между діаграммой
и осью времени. Поэтому
откуда
412. Діаграмма пространствъ имѣетъ уравненіе:
-Послѣ двухъ дифференцированій:
(Начертить эти діаграммы).
Для / = 0 имѣемъ y min — — оо
для / = tx имѣемъ
413. Уравненіе діаграммы скоростеи есть
= ——
ѵ= —,— (1 —Т-) t\ дифференцированіемъ по /
h \ '-2. /
t получаемъ:
а изъ уравненія
5 = / V . dt
с находимъ
енія
г
= / V.
Рѣш. 413 b. h
414. Бсли приравняемъ площади, заключенныя между діаграммами
и осями времени, то общій путь точекъ
5 = Vj± (l—^ = Ѵі + -J

-201- 415—417.
откуда
415. Рѣшеніе подобяо предыдущему.
откуда
Рѣшить вопросъ при помощи діаграммы пространствъ.
416, Рѣш. подобно № 414. Если а и ß углы наклона обѣихъ
прямыхъ, то
откуда
417. а) Изъ треугольника ОМР:
ѵ . /
cos а = —, sin a = /
(вмѣсто ОЛ/ можно подставитъ какъ ѵ0, такъ и Q. Итакъ:
откуда скорость второго движенія
Ускореніе въ этомъ движеніи
h
гдѣ P<Q обозначено чрезъ /1#
Такъ какъ O-Q : Оі/= Оі/ : ОР, или (/+'і): *> = ^ : /, то

418. ~ 202 -
b) Вторая точка останавливается при ѵ = 0 или /=/2. Пройден-
ный путь измѣряется площадью четверти круга, такъ что
4 ' 4 02
(принимая во вниманіе измѣренія входящихъ въ уравненіе вели-
чинъ, мы должны ОМ замѣнить одинъ разъ черезъ ѵ0, а другой
разъ—/2).
Ііервая точка движется равномѣрно—ускоренно, слѣдов., ея путь
1
за время /2 есть ^- у/22.
Послѣ подстановки -т-ѵоі2=-^-^/ получаемъ ускореніе первой
точки:
с) Скорость первой точки есть yt, или -^- t; скорость второй
ѵ{
0
точки = -р- yt£ — f2 .
Приравнивая ихъ, получаемъ для искомаго времени
418. а) Поистеченіи времени -^-, т. е. въ точкѣ пересѣченія
діаграммъ; такъ какъ въ этой точкѣ касательныя къ дугамъ даютъ
съ осью одинаковый наклонъ (знаки не разсматриваются), то уско-
ренія здѣсь равны по абсолютной величинѣ. Для ускоренія второй
точки въ предыдущей задачѣ было найдено
такимъ образомъ, для ^=-у общая абсолютная величина ускореній
есть
'2 1/3
Ь) Точкѣ встрѣчи соотвѣтствуютъ равные пройденные пути, т. е.

-203- 419—426.
равныя площади діаграммъ, поэтому точки встрѣтятся по истеченіи
времени /2; площадь діаграммы = 5 = -т- ѵо£> .
419. Рѣш. аналогично зад. № 417.
420.
х = €- • ——== • (Если ѵ0 и Ѵо — начальныя скорости, то для
точки В траэкторіп:
х = vot cos a = Votx cos 2а ;
1 1
у = Ѵо sin а. / — у gf2 = *Ѵі 5/« 2 а — у ^/^ = 0.
Исключаемъ ѵ0 и Fo.)
421. Г^1
422
COS0L
g c± cos ax -f- Co cos a2
423 ^ 5/»(g —ij)g
-f- а2)
" 5" 5/«2 (ах -f- а2)
425. — с. (Взявъ 0 Y перпендикулярно ОА, получаемъ
Ь^—g cosh ѵу =c — gcos$. t,
y — ct—K-gPcos}: послѣ подстановки для А: jv = O,
иолучаемъ ѵу= — с.) ь
426. ,= JL.

427—432. - 204 -
3tt — 2
}
Y =
(3it —2)2
V 2
427. 6 = —— 9 tg<p = 4:K. (Полное ускореніе второй точки въ
М направлено по касательной, такъ какъ нормальное ускореніе = 0.)
428. / = ^
429 х_ k2gv0cosa. Pg/2vosiHa — kg\*
%{kg — vQsina) ' J 8' V kg — v0 sina /
430. 5 = -^-, St« 127,2 динъ.
c c2 1
431. v = —:—; y = — • —r-s— , перпендикулярно къ AB.
r ^
(Тангенціальное ускореніе есть:
_ dv ccosy dy
и въ виду того, что
_ ^? _ с °2 cos
V — V • -jT" : і Y^ * : ч
dt Stny * Г 5ШЭ|
Нормальное ускореніе есть:
откуда полное ускореніе
y = i/y4y2 = — -
Т ѴЪТ)п r st-nSy
cos (y y„) == —- = 5^?-)
4-32. Дифференцируемъ уравненіе эллипса два раза по / и дѣ-
d2x A dx
лаемъ подстановку y, = —-щ- = " > ~ЛГ==Ѵ^

-205- 433—435.
нолучаемъ:
dy b2x vM*
dt ~ V°' d'y И Т-Г,-- a2y3
433. Изъ уравненія
слѣдуетъ
y = bcos (kt).
Изъ уравненія параболы:
x = a cos2 {kt) и vx = —rr = — ak sin 2kt,
далѣе
= — 2k2(2x—a).
Ближайшая остановка точки получается, полагая г;=0:
sin (kt) = O, Т^=—^-у х = а, у = — Ь.
Точка совершаетъ колебательное движеніе между двумя положе-
ніями покоя, симметричными относительно оси Л7.
434. Продифференцировавъ уравненіе цѣпной линіи по времеии,
получаемъ:
х/а — х/а
ас е — е
V = , V ~С • ; Г \
х ѵ У х/а —х/а ">
У е + е
е
а2с2 л ас*
у2
Ускореніе направлено къ центру кривизны. Выраженіе для у мо-
жетъ быть найдено непосредственно изъ у = —, гдѣ радіусъ кри-
визны цѣпной линіи р = ^- •
а
kx
435. у = bcos —, ѵ2 = ѵ2 + b2k2 sin2kt.

436—438. —206-
Траэкторія пересѣкаетъ ось X безконечное число разъ (по исте-
тг Зіг 5т: тт
ченш времени -^у-, -^т-, -^г- и т. д.). Наибольшему отклоненію
отъ оси соотвѣтствуетъ время : 0,-^- , —£-, -£- и т. д.
436. ѵх = ѵ0 — at, ѵ =at:
1 1
і /2 ^
откуда уравненіе траэкторіи точки:
(^+jv)2 = -——\У (парабола).
Скорость точки ѵ2 = Vq2 -\-2a(y — х).
Дифференцируя и полагая —^- = 0,
получаемъ:
437. Изъ уравненія ух = —^- = j—
получаемъ: v2r=v20x-\-2 cit.
точно также: Ѵу2 = ѵ-0У-{-2 Ы, откуда:
Изъ уравненія: -—= ѵх=]/ѵ20Х-\-2 аі
получаемъ: Ъах + ѵ%х = (ѵ20Х + 2aty %
точно также 3 Ьу -\-ѵ*0У =(ѵ20У -\-2 bt) *.
Откуда уравненіе траэкторіи
438. уо- = — (k + m) д:, уу = — (k + w) ^,
^ж = г;20 — (* + т) х*, ѵ\ ={k + т) {а2 -у2),
откуда: ѵ2 = v20-\-{k^-m) (rf2—r2). Траэкторія есть эллипсъ
съ полуосями
т
по ОХ и а по ОУ.

-207- 439—444.
Время обращенія Т= -—-.^=-_
У k + m
439. Траэкторія есть прямая; ея уравненіе: — х-\-Ъу = ач
Скорость v=l/-j- ka sin {kt j/З)-
Ускореніе v=\/TQ. k2 a cos (ktj/Щ. ~
Точка Р колеблется между А и точкой, лежащей на высотѣ •«- а
2т:
надъ В. Періодъ колебанія =
440. Точка М равномѣрно движется по окружности со скоростью
V2
ѵ = 2 г (о. Ея ускореніе у = ум = — = 4г со2 направлено къ цен-
тру круга. (Если d<p безконечно малый уголъ поворота прямой, то
М перемѣщается по окружности на ds = 2 r dy.)
441. ѵ2= (—т.) -\-г2 \-уг) Полярное уравненіе эллипса:
k . . . dv
-> откуда тангещальное ускореніе у^ = ~і7 =
/ d® d® k* \.
—7-^— (такъ какъ v = r—£, то ->J = —:—Ь
sms cp \ dt dt r sin cp/
v2 k2 1
нормальное ускореніе у« = —= — —^>—i
поэтому у =, , . , . .
Ускореніе у направлено по прямой g.
443. ф = 2<р, ѵ = г. -^ = 2г(о, слѣдов. ѵ постоянно; у = — =
= 4го)2, направлено къ центру каждаго круга.
Далѣе, ОМ =х = 2 r cos у,
dx
dx <ч
ѵг = — -r = 2r <a sm ср = со
444. Если (fx, fa — Углы поворота круговъ, то:

445—446. -208-
Фі + $2 = ?1 + Ъ> "і^-^Г' 0)2=^
Л> «ифа = г 5шфі, откуда слѣдуюа
уравненія:
Рѣш. 444. ІГ
^'( + Л ?)' ГДѢ
?=к+^) /.
445. Обозначая ОгМ=гі9 <М01Х=(?1,
имѣемъ: r siny = rx sin 91
r cosy-{-a = r1 cos <px
г 5ш(ср—<рі) ^ ^7 5^;/ ?і-
Дифференцируя послѣднее уравненіе, подставляя -^ = ^,-^1 =о)1
и исключая <Рі съ помощью двухъ другихъ уравненій, получаемъ диф-
ференціальное уравненіе траэкторіи:
dr
-j-a ü) sin 9 + ((o—Wj) r {r-\~a cos 9)= a <% (я -f- r cos cp).
Бсли обѣ прямыя одновременно сливаются съ Х> то:
9 = 0, -^=0; разстояніе точки пересѣченія траэкторіи съ пря-
мой X отъ 0: г=а ^1 * Кромѣ этого, траэкторія проходитъ
черезъ 0 и Ог.
W2+( —-7- ) 5
здѣсь с — двойная секторіальная скорость; и — — Для ускоренія
знакъ минусъ соотвѣтствуетъ отталкиванію,
у=ір^іі2« + —Л Ь

-209- 447—451.
а знакъ -f- притяженію.
o 2 ac.
r ----- 2 a cos <p; отсюда v — —<j->
447. Рѣш. сходно съ предыдущей задачей, при чемъ:
г1 = а1 — с1 -\-2 rc cos 9, если ОА -—а9 ОС— с.
1Т 2 а (а -f- c) . n: -f- ^
Находимъ: z; = ^0 -^ZT^qr^' vi=vo ^^*
Секторіальная скорость -у опредѣляется изъ начальныхъ условій.
448. Рѣш. какъ въ зад. № 446, при чемъ г=2р—^ѵ— > гдѣ
/> — полупараметръ параболы.
449. Рѣш. какъ въ зад. Д« 446.
450. Рѣш. какъ въ зад. ЛЬ 446.
— 7— • Если /^—площадь правой половины Лемнискаты, то
-Ф
1 о ,
к/4
Секторіальная скорость есть -^; время, за которое точка прой-
2F л
детъ половину пути, равно — — > искомое время полнаго
с с
2а°-
оборота^—
451. Дѣлая подстановку ѵх—х\ ѵу—у\ y.r=.rff, ^y=y\
н

452—453. -210-
имѣемъ для движенія подъ дѣйствіемъ притягательнаго центра:
= с, х"у—у"х =
Дифференцируя уравненіе траэкторіи, получаемъ:
.г3 х1 +jv3 y = 0, откуда:
Послѣ новаго дефференцированія:
х" = - -^у- х\ у" = —
^
для начальнаго положенія ѵо = —; слѣдовательно:
а
452. Послѣ подстановки въ уравненіе, данное въ задачѣ Ш 446:
ѵ2 = с2 Ы2+ (— -Н иѵ = аи, получается:
rf« 1 ,/- ~
откуда: — =г^=-е '*\сУ/ф~с%^ траэкторія есть логариѳмическая
и
спираль.
р
Изъ уравненія у=с2и2 u-{--,~t\ получаемъ: у = ^- Наконецъ,
по общей формулѣ с = г*.-£
получаемъ: <р = у4 г>% (2 /і/^^?2 + 1),
I у а- — с~
453. -^=(о; yxCos<p-\-*(y smcp = 0, такъ какъ у перпендику-
лярно г.

-211- 454,
Дифференцируя уравненія x = r cos 9, y = r sin 9 два раза по
/ и подставляя получеяныя значенія ух и уу въ предыдущее урав-
иеніе, получаемъ:
= г
df1
или: г^а сУ -J- bf-Ч- Въ началѣ движенія: ro = a-\-b,-j-=Q=
= а — Ьу откуда: а= Ь= -у , и уравненіе траэкторіи приниыаетъ
видъ:
лг п ^Г
Ускореше у = уу со5 ср — у^ 5/;/ 9 = 2 <о ^;
пользуясь уравненіемъ траекторіи, находимъ: у = 2со2 ]/г2—г0%2.
454. Если сопротивленіе = kv, то
^4 ^ r
Y * = f fO59 = « — ^^.r = —7Т>
1 Ш W ' (II
В k . , flfey
у == V StU 0 = 0 С Ѵу = —77-,
кУ пг т r y dt '
откуда: г;, =у(1 — * J=
интегрируя
Откуда
, получаемъ:
траэкторія:
— 1
і,
1
. (прямая)
_±«
/• т
L 1/ ^2_L «2
т
По истеченіи безконечно большого промежутка времеыи движеніе
станетъ равномѣрнымъ.
14»

455—459. -212-
455. x = r sin <p, y = r cos 9;
v-
нормальное ускореніе: yn=—= g cos <p, отсюда 7^=^;
далѣе тангенціальиое ускореніе:
Y« = £ =g sin (? — ktv2u,
o dv dy dy
такъ какъ: 2 ѵ^ = g ф ѵу = -£=—v sin 9;
окончательно получаемъ 5 =-йт- ~-
456. Если ось Y направлена вертикально вверхъ, то слагающая
ускоренія
Ъ= — £ — к ѵ sin ?= — (^? + ^.ѵ )f
откуда Л =--_р|-г-- ■
k & g + kl'y
Для верхняго положенія точки нмѣемъ ѵ„ = 0; слѣд.,
7'
457.
- *'о sin о .
Длина ската крыши =2 =vot-\- -~-g sin <? f-, гдѣ / время,
необходимое для стока воды. Нужно продифференцировать это урав-
неніе по ср, приравнять т = 0и исключить /.
dy J
458. АС должно быть равно ВС. (Для доказательства нужно
провести кругь, касательный въ точкахъ А и В къ прямымъ АС и
jBC Такъ какъ всѣ хорды этого круга, выходящія изъ точки А,
проходятся падающимъ тѣломъ въ одно и тоже время, то направле-
ніе AB соотвѣтствуетъ кратчайшему времени движенія до прямой СВ.)
459. AB должно проходить чрезъ нижнюю точку С круга k. (Для
доказательства нужно провести чрезъ точку А кругъ, касающійся

-213- 460—464.
круга k, съ центромъ, находящимся подъ А (на одной съ А верти-
кали); точка касанія В круга лежитъ на АС. Такъ какъ при паде-
ніи точка проходитъ всѣ хорды этого круга, выходящія изъ Ау въ
одно и то же время, то кратчайшее время достиженія круга k со-
отвѣтствуетъ направленію AB)
460.
'Ой = 2ag\ sin a + / cos a 1 + -^|—,
ѵ.22 = 2 ag\ sin a —/ cos а \-\—г
sin 2 а
|Называя ѵх скорость, съ которой точка достигаетъ конца плоскости
а, находимъ:
ѵ^ = Vq1 — 2 ag ( sin a -\-fcos а);
Ѵі2
дальность ііолета въ безвоздушномъ пространствѣ: b = —sin 2 а
и, наконецъ, Vo2 = v12-\-2ag (sina—fcosa).]
461. Искомое геометрическое мѣсто есть кругъ діаметра у^
проходящій черезъ А\ его касательная въ А наклонена къ горизон-
тали подъ угломъ р и проходитъ ниже горизонтали.
462.
b _ 4 sin a cos a sin (} — а)
а cos 2 ^
463. По развертывающей круга;
(На точку дѣйствуетъ только натяженіе нити; поэтому танген-
ціальное ускореніе точки —тг = §- Для любого положенія элементъ
1 V1
пути ds = prtfy = (/— r<p) d^y откуда s='-~ = v0 T.)
464.
(Скѳрость въ положеніи М, для котораго давленіе точки на
траэкторію равно нулю, опредѣляется изъ равенства:

465—467. -2J4-
принимая М за начальное положеніе точки, брошенной подъ угломъ
къ горизонту съ начальной скоростью ѵг. и проходящей чрезъ
центръ круга.)
р — ). (Давленіе шара на трубку въ лю-
ö /
бомъ положеніи:
D=&costy ; въ этомъ уравненіи ф есть
уголъ между нормалью и вертикалью; далѣе слѣдуетъ воспользоваться
уравненіемъ ѵ1 = г»02 + 2^.г для опрецѣленія скорости и уравненіемъ
для радіуса кривизны параболы:
466. Ускореніе точки:
у = —g (sina -{-fcoscü) — аѵ1 = — (k-\- аѵ'2)9
откуда dt = - j*Lp -t = -^ (arc tg ѵ^/^ _
для ѵ = 0 :
Т=—р=: arct& \ѵ 1/ —
\/ak * Ѵ° ^ >&
Далѣе изъ уравненія
vdv = *(ds = — (k-\- ai
, vdv
s-
2a
для v = 0 :
467. Называя о центральный уголъ, соотвѣтствующій хордѣ ОМ=г,
находимъ: r=2asin-~\ элементъ дуги круга ds = ad^\ откуда
4

-215- 468—469.
vdv = ytds = k-r cos -^- • ady = ä2k* sin cprfcp, интегрируя и ирини-
мая въ разсчетъ, что при <р = 0, г>о = 0, получаемъ:
ѵ = 2ak sin -|- .
Давленіе на траэкторію:
/? = h mk-r . sin -i- = -=■ • •
Здѣсь ;w — масса точки.
468. Строимъ воображаемую точку М съ координатами ОА, OB;
:-*та точка будетъ двигаться къ началу О вмѣстѣ съ данными;
ея ускоренія:
? Т
o_r> т. е. она движется по
прямой МО съ полнымъ ускореніемъ у=-~ --.; . Обозначая ея скорость
черезъ ?;, находимъ:
vdv = --j- (— dr), откуда ѵ- = 2а і ---
Но г^ = —-J- , такъ что |/2^ . dt= -у—
Дѣлая подстановку, —
/-Т
откуда
469. Скорость скользящей точки при прохожденіи чрезъ М
Элементъ дуги ds получается изъ уравненія

470—471. -2i6-
ds2 = df2 -f- f2d<$2, и уравненія лемнискаты въ видѣ;.
sin 2 9 '
итакъ:
dt = -yl/ — • sin ~ >/4 o £os ~~3 4 9 <У 9.
Для интеграціи дѣлаемъ подставку: cotgy = x4.
4
Получаемъ продолжительность паденія / — 21/ — .1/ cotgy.
Продолжительность паденія по прямой ОМ равна той же самой
величинѣ.
470. Если О — центръ круга и ОА^а,
то r2 — a2-\-s2-\-2ascosy. Называя сЬ уголъ между 5 и верти-
калью У, находимъ ускореніе паденія:
Ч—gcos'b—gsinysinz, послѣднее равенство получается изъ сфери-
ческаго треугольника sXY. Отсюда:
5 — -й- gf2 sin 9 sini.
Исключая о и иолагая -, -■- .ѵ, иыѣемъ:
Дпфферениируя по х и подставляя -^-^-0, находимъ
5 слѣдовательно:
2
4-71. Для какого-нибудь положенія (ф) точки, давленіе ея D на
траэкторію:

-217- 472—476.
Q
Ы2, гдѣ (і —
вѣсъ точки, (о — углов. скорость относительно О.
Тангенціальное ускореніе точки
, D
т
угловое ускореніе:
(smcp — /cos ср).
Изъ o).dv>—ld(?:
u>do) = /(о2 — —{sin cp —/б:о5 ср) U ?•
Интегрированіе этого дифференціальнаго уравненія даетъ:
Ж) [3/5і># ср + cos о (1 - 2Л ].
Изъ ср=у-> со==0 опредѣляемъ постоянную
С= -§^_._.^
г(1+4Л
и с°2=
Наконецъ, для ср = ():
472. /=3,4 sec, у = —2,941 ~
SCC"
473. z/= 2,683—> / = 8,94 sec.
sec
Г р— w
474. Р=*2031 kg. Дѣйствительно: ѵ = чі} 4=g - —т\—»
L у
1
ІДЬ ѴѴ ~спп\ У
475. Между + 90° и —90°.
476. (0 = 16,58

477—486. -218-
477< ^8==i;/l = ]/v
478. y = rltgo. (Скорость по направленію
479. д; = г со / (/£• а — /§* ах).
480.ГГ, —
v = rco, откуда: I = -~тг=аіл1'> a(it =—^, интегрируя, получаемъ
(о = т ~—9 откуда дифференцированіемъ по /, имѣемъ вышепри-
веденное выраженіе.)
482. Дискъ III въ данное мгновеніе вращается около центра тя-
жести 5 треугольника ABC. Искомое мѣсто точекъ есть кругъ
діаметра AS.
483. х = -\- соі5 у = 3 ((*>! — (о).
484. Вопросу соотвѣтствуютъ двѣ точки А и В, для которыхъ:
COj-f-0)
Ихъ параллельная ООХ скорость
485. щ=
r—
kn
6 kp m l n l p
(Будемъ разсматривать 0, какъ центръ тяжести матеріальныхъ
рочекъ А, В, С, вѣса которыхъ примемъ равными: юи ох2, а>3.
5зявъ моменты этихъ силъ относительно ОА, получаемъ:
(о3 р sin ß = (о2 п sin y, откуда:
r =
Кромѣ этого o)=o)1
486. Вращеніе происходитъ съ угловой скоростью сох |/14. Ось

-219- 487—491.
иращенія образуетъ съ тремя данными углы: cos аг = — ,
2 3
cos х> = — , cos а3 = -у .
|/14 в 1/14
487. Результирующее движеніе есть вращеніе съ угловою ско-
ростью (о1в Его ось лежитъ влѣво отъ данной оси wlf параллельна
(ч\ и удалена отъ нея на разстояніе а —
488. ©2 = со3, wx =— о):1 ]/2; т = дсо,ъ направленіе по пер-
пендикуляру къ плоскости чертежа.
489. Новая ось останется параллельной прежней, но выступитъ
изъ плоскости чертежа по направленію перпендикулярному къ этой
плоскости на разстояніе — 5/'/^ ср. Новое винтовое движеніе имѣетъ
прежнюю угловую скорость со, но новую поступательную скорость
т + ті cos ?•
490. Винтовое двяженіе около діагонали AB съ поступательною
скоростыо 2 |/3 . т и съ угловою скоростью 2 |/3 . со.
491. Нскомое винтовое движеиіе имѣетъ поступательную скорость
|/"7 l/T ^
Lj- т и угловую скорость -"к- (о. Его ось лежитъ за плоскостью
чертежа, параллельна послѣдней и отстоитъ отъ нея на разстояніи
-* К — Уголъ а наклона результирующей оси къ со:
5wa = ~v-> къ сох — на 60° большій.
Проэкція оси на плоскосгь чертежа проходитъ чрезъ О.
(Нужно найти сперва результирующую поступательную скорость
т2 для т и —тх; она равна -^— т и наклонена къ т подъ угломъ
31/21
sin (f = *. ; нужно наити также результирующую угловую ско-
рость соо для со и — («ѵ, она= J-^—ои наклонена къ со подъ угломъ

492-496. -220-
l/2i
.51// ф = f-r-j- и сложить т2 и Wo въ одно винтовое движеніе; на-
клонъ его : cos (<р — ф) = -^-.)
492. Результирующее движеніе есть винтовое съ поступательноіі
х i + bcosa
€КОрОСТЬЮ -у • д , . ^^^ И СЪ уГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ (Ох |/5 + 4 Г05 а.
Ось ^4 результирующаго винтового движенія параллельна плоскости
АѵАъ\ она расположена за этой плоскостью на разстояніи
тх 3 5/;/ а
2сох 5 + 4 го5 а
отъ нея и пересѣкаетъ возстановленный къ ней въ 0 перпендику-
ляръ. Ея углы:
2 sin a
493. Угловыя скорости обоихъ стержией X и Y одинаковы и
равны y~; \При враіцсніи ОМ на </<р, каждый стержень вращается
і; 1 = с Stil у ^ 2//у = С COS-±~-
(і&гъ s = AM= 2 rcos4r-, vA = -^- • \
494. Парабола, у которой g — касательная къ вершинѣ, А —
•фокусъ.
495. Направленіе скорости точки М проходитъ ѵрезъ верхнюю
точку круга; величина скорости 2с. cos y. (Точка касанія круга есть
мгыовенный центръ вращенія.)
496. М лежитъ на пересѣченіи AB съ мадымъ кругомъ. Ея ско-
рость имѣетъ направленіе АВ\ величина скорости
9 /? Ь
ѵ = . — (о. (Точка касанія обоихъ кру-
у/?2л(2>& R)1
говъ есть мгновенный центръ вращенія.)

- 221 - 497—502.
497. Точка пересѣченія О стержней AB и CD есть мгновенный
цр.нтръ вращенія системы AED.
Вводя условія, указанныя въ задачѣ, находимъ:
откуда
498. Мгновенный центръ вращенія 0 шатуна AB есть пересѣ-
ченіе AD съ ВС. Опускаемъ перпендикуляръ изъ О на АВ\ осно-
ваніе его есть искомая точка М. Скорость ея
ОМ. AD.
ѵ= АО Ю-
499. Въ точкѣ 0 пересѣченія AD съ ВЕ лежитъ мгновенный
центръ вращенія жесткаго треугольника ABC. Проведемъ ОС; тогда
ѵ _L ОС, а по величинѣ:
/л 0С
500. Вычисляемъ путь, пройдеиный точкой В отъ ея крайняго
лѣваго положенія Во:
B0B = s = r(l — cosy)-i-l{l - costy).
Тогда опредѣляется:
' cos ф
2 (р -f- / COS1 ф f05 f^f -[" ф)
ф
При этомъ пользуемся соотношеніями;
rfcp r . . . , d$> c. cos cp
dt г ^ т т dt l cos ф
501. Полоиды — тождественные эллипсы; й — ихъ большая ось.
С и D — фокусы неподвижнаго эллипса; А и Z? — подвижного. Эл-
липсы касаются въ точкѣ О пересѣченія AD п ВС. (Мгновенный
центръ вращенія стержня AB)
502 7; —ѵ Р — а2
502. Ѵі _„____.

503—507. -222-
503. Полоиды—тождественныя гиперболы, дѣйствительныя оси ко
торыхъ равны Ь. С и D—фокусы неподвижной гиперболы; А и В-
фокусы подвижной. Гиперболы касаются въ точкѣ О пересѣчені/і
AD и ВС. (Мгновенный центръ вращенія стержня AB.) 9
504. r sin (<р -f- ф) = « sin ф;
дифференцируя по / и дѣлая подстановку:
dv db
получаемъ:
с. cos (ср — ф)
а cos ф — r cos (cp -\- ф)
и пользуясь приведеннымъ выше ур-іемъ:
с (а cos 9 — г)
(0
а2 -\-г2 — 2 а r cos
Для cos 9 = — получается со = 0
= 180° „ oW,,=
а — г
с
а-\-г
Далѣе AB = х = ]/а2-)-r2 — 2ar cos9
sin 9
Лі
505. 5ш 9 = ~ • Дифференцируя по времени и дѣлая под-
do dx
становку-^ = (о, —- = ѵ, получаемъ:
Г V
0) = т^-
у2
506. Неподвижная полоида есть кругъ, проходящій чрезъ А,
В, М. Подвижная полоида есть кругъ вдвое большаго радіуса и
центръ его лежитъ въ точкѣ М.
507. Для точки 0 : x = atgy,y = a-\-xtgy,
откуда х* = а{у — а) . . . неподвижная полоида.

— 223 —
508—509.
Далѣе: £ = -
а
cos 9 cos2 9 ' * cos 9 '
откуда: tj4 = a2 (£2 + *i2). .. подвижная по-
лоида.
Далѣѣ: х1 = a tg 9 — c sin 9, jVi = £ cos 9,
откуда:
= (a —yxf (c2 —уг% урав-
неніе траэкторіи точки С (конхоида).
508.
J-f
Рѣш. 507.
х
х
у cos ср -I :— = а =
Исключая ср, получаемъ уравненіе неподвиж-
ной полоиды:
х2 = а (2у — а) . .. парабола съ фокусомъ В.
Точно также
гі cos 9 Н г— = а= СВ.
1 т ' sin cp
Исключая ср, получаемъ уравненіе подвижной полоиды:
ф = а (2т) — а) . . . парабола съ фокусомъ А.
Подставляя ВМ=г, < СВМ=$У какъ полярныя координаты
точки М: а sin ф + r cos <]> = л,
ф а — г
-тг- = —j—
ф
откуда tg -тг- = —j—
полярное уравненіе траэкторш точки М
(строфоида).
509. Чтобы найти уравнеиіе неподвижной полоиды, принимаемъ
СО = р. Тогда:
2 r cos ф = (р—г) 5ш 9
2 Г 5Ш ф = Г -\- Г COS О.
Исключая ф, получаемъ искомое полярное уравненіе
Чтобы найти уравненіе подвижной полоиды, принимаемъ:
Тогда р = Рі + г и послѣднее уравненіе принимаетъ видъ:
? ^
Зная, что 9і = 90 + 9 — Ф получаемъ б:о5 9і = st» (ф — <р). Пользу-

510—511. -224-
- 0i Stil Ф . . o 0 e
ясь уравненшми cos <b = ^—I > sin ф = cos- -^- > образуемъ изъ
уравненій для cos1-^- и для cos ^:
2 sin2 -ѵ,1- = Ц ~ > т. е. искомое полярное уравне-
і ІРі—rY
ніе подвижной полоиды.
510. Принимая А0= р, уголъ BCD = 2$, DO = z изъ тре-
угольника ^40С получаемъ:
(0 -(- с) : Р = сг)5 9 * 5/;г ^
и изъ треуголышка ABC:
с : а = cos-t-: sin §,
откуда 0 = — (р — а).
КрОМѢ ЭТОГО Z- = р2 -|" Л2 — 2 <7 р £OS 9-
Исключая ^ получаемъ полярное уравненіе неподвижной полоиды
Р
Принимая 50 = рх, получаемъ по предыдуіцему р = рх — «, z -f- c="
= (Рі — а) —> (^ + cf = Ріа + с2 — ^С9іcosѴіипоисключеніиг + с,
получаемъ:
2яс ,
Рі = .2 ^2 (^—ö C0S *l)-
511. Обозначая черезъ ^ и ^2 скорости точекъ В и С, полагая
далѣе В0= plf С0 = р2 имѣемъ:
г/х: z;2 = гг (од : £ ос = рх : р2 или
Вводя обозначенія для утловъВАВ = 2 а, 5CZ) = 2 5, А 0D = ф,
имѣемъ: ф = а — S, asin<x = csinb\
р2 : pt = яш (d> —|— 2 8): sin 2 5 =
= sin (a -{- 8): sin 2 8.
Когда четыре точки ABCD располагаются на одной прямой,

- 225 - 512—513.
tu a и 8 дѣлаются безконечно малыми; вмѣсто предыдущихъ урав-
пеній получаемъ:
сос а-\-с
откуда - " = -тг—•
512. Если FA = r,<C AFS = <b, то полярное уравненіе па-
раболы
= P
r=
Возставивъ въ F перпендикуляръ къ g и проведя въ А нормаль,
иайдемъ въ точкѣ ихъ пересѣченія мгновенный центръ вращенія О.
Принимая FO = p, <OFX = y, получаемъ полярное уравненіе
неподвижной полоиды:
9 ' 1+siny
Принимая AO = pv <C.OAF=<flf получаемъ полярное урав-
неніе подвижной полоиды:
й р
513. О есть центръ вращенія. Дѣлая подстановки : С О = р,
<ОСА = у, DO = x, <COD = z, CD = b, получаемъ:
л* cos s = р -)- Ь cos ср
.Г 5/// £ = А 5/// ср
и CL = CO+OMcosb + MK
или /? = р + (г — д:) cos s -j- 2 Z>.
Исключая изъ этихъ уравненій х и е, получаемъ полярное урав-
ттеніе неподвижиой полоиды:
+ 2йрсо5с?) (2r—
Дѣлая дальнѣйшія подстановки:
получаемъ o1 + s
Исключая изъ этихъ и предыдущихъ уравненій х и £. р и ср,
получаемъ полярное уравненіе подвижноп полоиды
15

514—519.
226 —
Въ начальномъ положеніи ф = 0, cpt = 180° и
р = С0 =\/Ъг—Ь\ ?! = Л/О = г —
«
514. FCBA — шарнирный четыре-
угольникъ съ неподвижными точками F
и А\ О мгновенный центръ вращенія
ВС и, такъ какъ D соединено непод-
вижно съ ВС, то 0 — мгновенный
центръ вращенія для D. Проводя
AG— || —BD до пересѣщенія въ G съ
OD и, ііринимая AB за величину ско-
рости точки В, получаемъ, что величина скорости vY точки D равна
GD, такъ какъ v:v1 = AB\GD = BO\DO.
Проведя НЕ 1_КЕ и GH— \\ —DE, получаеыъ что скорость ѵ2
точки Е и поршня равна НЕ. Дѣйствительно, прямыя GD и НЕ
пересѣкаются въ мгновенномъ центрѣ вращенія Ог шатуна ED:
ѵ1: ѵ.2 = GD:HE = DO1:EO1.
515. Вращеніемъ около діагонали EFm 120°.
516. Иоловиной оборота около оси, проходящей чрезт, центръ
квадрата \\ параллельиой AB.
517. Половиной оборота около оси, проходящей чрезъ центръ
треуголышка и параллельной ВС.
518. Винтовымъ движеніемъ, ось котораго проходитъ чрезъ центръ
куба параллельно ВА1\ поступательное перемѣщеніе равно длинѣ
ребра куба, вращеніе иа 90°.
519. Тѣло вращается около О. Его мгновенная ось вращенія
образуетъ линію пересѣченія плоскостей g1OX и g2 OZ. Если
0, Ьи сг — параметры, опредѣляющіе направленіе gx; а2> Ь2, 0 — па-
раметры, опредѣляющіе направленіе g2, то уравненія указанныхъ
выше двухъ плоскостей будутъ:
bxz = с1у и а2у = Ь2х\
далѣе, извѣстно : Ьх2 -(- q2 = 1, а22 + Ь22 = 1,
bi b2 = cos 5.

— 227 —
520—521.
Ііеключая изъ этихъ уравненій a2b1b2c1, получаемъ уравненіе иско-
мой аксоиды:
х2у2 -\-у2 z2 + z2 х2 ==У tg2 Ь
(коническая поверхность съ вершиной О).
520. Тѣло вращается около О; его мгновеиная ось вращенія
есть линія пересѣченія плоскости g X и плоскости Е, проходящее
чрезъ G и перпендикулярной къ плоскости Gg.
Уравненіе плоскости g X:
если 0, Ьх сг — параметры опредѣляющіе направленіе g; уравненіе
плоскости£:
a(bb1 -\-cc1)x-\-(bcc1 — d1b1 — b1c2)y-\-
+ {bb1 c — b2 cx —a2 c±) 0 = 0.
Исключая Ь1с1, получаемъ уравненіе искомой аксоиды:
(су — b z)2 -f - cty [ay — b x) -\- a z (a /—c x) = 0
(коническая поверхность съ вершиной 0).
521. Система координатъ XYZ выбирается такъ, какъ показано
на чертежѣ.
Рѣш. 521Ь.
Возьмемъ въ 0 точно такую же систему каординатъ и отложимъ:
Оа#АА\ ОЬ#ВВ\ Ос#СС;
координаты а, b и с имѣютъ слѣдующія величины:
Х2 = 0» У'2 = — S> Z2 = 0
s п
Уравненіе плоскости abc:
15*

522. - 228 -
Перпендикуляръ изъ О на эту плоекость есть искомое поступатель-
ное перемѣщеніе:
Координаты точки Р:
*~ 10 ' '"" 10' ^~ 10
Проведя плоскость чрезъ среяину АА1, перпендикулярно къ прямой,
соединяющей Р съ а, получаемъ слѣдующее уравненіе эгой
плоскости:
проведя плоскость чрезъ средину ВВ1 перпендикулярно къ прямой,
соединяющей Р съ Ъ получаемъ ея уравненіе:
Обѣ эти плоскости проходятъ чрезъ ось искомаго винтового движенія;
прямая ихъ пересѣченія имѣетъ уравненія:
уравненія искомой оси винтового движенія.
Проведя чрезъ эту ось двѣ плоскости, заключающія В и В1,
имѣемъ уравненія ихъ:
3j/6~* + 3 і/2Г^ + 41/3" 0—31/2" 5 = 0:
2
Уголъ ср между этими плоскостяші опредѣляется со$ср==~ім этоееть
вращеніе искомаго винтового движенія.
522. Береиъ А за начало координатъ, ось АХ—горизонтальна,
А Y— направлена внизъ. Тогда относительная скороеть точки
Ѵг = \/2gy, a составляющія абсолютной скорости:

-229- 523.
dx .
Vx = —j- = C -\~Vr COS ÖL
dy
dy
7rr—
абсолютн. движенія точки:
. dy и уравненіе траэкторіи
(д; 5ш а —jv ^05 aj- = у;
»то есть парабола съ вертикальной осью; ея касательная въ А го-
ризонтальна. Абсолютная скоростъ для^ = Л:
2}/2k cosa.
Съ проходящей чрезъ С горизонталью она образуетъ уголъ аь
для котораго:
ѵ, * ]/2gk.sina
523. Ускореніе точки относителыю наклониой плоскости:
yr =g (sin a — fcosa),
гдѣ/—коэф-тъ тренія; отиосительная скорость: vr =g {sin a—fcos a) /.
Беремъ А за начало координатъ, АХ— горизонтально, А У—внизъ.
Тогда:
dx j л ,
ѵх = —T.= bt-\-vr cosa
dy
Ѵу = -jj = v
откуда
х = -у [Ä -[-£• ^05a (5ша—/cos a)] Z2,
jV = —g sin a (sin a —/cos a). fi\
откуда уравненіе абсолютной траэкторіи
X =y COtg QL -f- "
g sin a (sin a — /coscl)]
Абсолютная траэкторія есть прямая, проходящая чрезъ А. Абсо-
лютное ускореніе точки:

524—527. - 2зо -
Y 2 = b'2 -f- >2 + 26 Y»- ^ö5 a п
скорость ея при встрѣчѣ съ горизонталью:
V = 71/ : 1—.
V g sm а (sm а —
g sin a (sin a — fcos a)
a
524. Циклоида, образующій кругь которой р = г—; центръ его
с
движется по прямой ОХ со скоростыо а. (Длякаждаго момента есть
одна находящаяся въ покоѣ точка образующаго круга—точка касанія
съ образующей прямой.
Для нея должно быть:
а = р. — -» откуда опредѣляется р.)
525. Составляюиця относительнаго ускоренія:
С . (ІѴгѵ
yry = sm (f = —— 9 откуда составляющія относительнои ско-
рости:
,, , . dx
Vrx = Ot-\-C Sin tf=--i
v = ccosФ = -^» такъ какъ c = rUf, и слѣд. /=-~ ф. Затѣмъ
1 .,, йг* к>
получаемъ x=-^-bf- — rcosy = х <2 о- —rcosy, y = r sin y и
исключая ^^ получаемъ уравненіе относительной траэкторіи точки
йг2 / у\2 / ■
х = -^у arcsin^J —yr2—y2.
526. Уравненіе абсолютной траэкторіи ае? =2г -\-]/Тг2 — п2.
Относительная скорость при выходѣ изъ трубки: ѵг=—к-У%.
\/Т
Абсолютная скорость при выходѣ изъ трубки ѵ = -^- \/Т.
4
527. y». = у« + (— у*) + Y*> т-'е- относительное ускореніе у» со-
стоитъ изъ трехъ составляющихъ:
лл е • п* Давленіе D
1) абсолютнаго ускоренш точки Л/: уа = ^ —;

528.
2) взятое съ обратнымъ знакомъ ускореніе
еистемы: — y* = Р0)2> направлено отъ цен-
тра О;
3) поворотное ускореніе (Коріолиса): // У^/о
у. = 2^0), направлено отъ центра окруж- h& ___l:JL
ности. Тангенціальная составляющая ускоренія °^-~~
Y»- отиосительнаго движенія по трубкѣ:
/ Y)7/r p9
V У Ш ч Рѣш. 527.
нормальная составляющая
vr2 D п
Ym = —/^ ~м^ Vr w ~ por COS ?'
Йзъ: 2',. dvr = Yr« . ^fe,
р = 2r co5 cp, .£k = — rrf (2 2)__^
слѣдуетъ, если принять въ разсчетъ началыюе положеніе Мо:
Ѵг = Г 0) |/ 2 Г05 2 Ср
и для положенія М1 ср = 0, [ vVtl = r о> |/2. /
Для этого положенія скорость системы: z;.sl = 2no, такъ что
абсолютиая скорость точки:
Рі = ѵг,і + ^,і = г (о (2 + Vty
Изъ уравненія для у^:
давленіе Z) = 2 Л/ г <о2 (3 cos2 9 — 1 -f-1/2 со5 2 ср)
и для положенія М±:
528. Рѣшеніе аналогично предыдущему.
л{а = ігѵ * — Y* = г ^2 направлено по ОМ,
ys = 2vr о), направлено въ точкѣ М по нормали къ кривой.
Составляющія относительнаго ускоренія уг :
по касательной къ спирали:
^н = г со2 5/;/ а
по ыормали къ спирали:
у,» =— = -jj — Іѵгій — г (о2 cos a.
Здѣсь а—уголъ между г и нормалью.

529—531.
Изъ
— 232 —
vr dvr = Y»-* • ds,
sin i
vr . dvr = orrdr и
слѣдуетъ
Изъ ур-нія для у,„, въ виду того, что радіусъ кривизны спирали
р = —^— и tg а = \
rosa
слѣдуетъ:
давленіе
Z? =
2 і/г2-И.
J
529. Мѣлъ съ постоянной скоростью с описываетъ на плоскости
доски горизонтальную прямую.
530. Полоида есть мѣсто всѣхъ относительныхъ центровъ вращенія
обѣихъ плоскихъ системъ. Мѣсто центровъ вращенія на дискѣ есть
кругъ радіуса — и центра А; на листѣ мѣсто центровъ вращенія
есть прямая, параллельная т и проведенная на разстоянш — надъ А.
531. Возьмемъ произвольную точку М съ координатами х, у
относительно осей XAY. Относитедыіая скорость точки М\
ея составляющія:
ѵгх = — х -j- г о) sin (f = — т -\-у со
ѵгу = — г со cos 9 = — х со.
Относительное ускореніе точки М
(по задачѣ 527)
Y'^ + C-^bfY^
гдѣ
Y« = 0» Y* = ra>a» Y-* = ^ ^-0)-
Составляющія Yr:
Рѣш. 531.
= Г (02
+ 2сот,
откуда
9 + 2 СО Ѵщ = X CÜ-
— 2 СО Ѵгх = У 0)2 +

- 233 - 532—533.
2 т
Дѣлая А0-= —, получаемъ
у
для всѣхъ точекъ .Л/ ускореніе уг проходитъ черезъ 0.
532. Относительная скорость гѵ точки Л слагается изъ ея абсо-
лютной скорости ѵа и изъ взятоп съ обратнымъ зпакомъ скорости ѵ 8,
гдѣ ѵя есть скорость точки, дежащей подъ А и принадлежащей
диску I. Слѣд.
ѵг = Ѵц -j- (— г^.ч) = а (о2 — сг со1 = а а\
и направлено отъ А внизъ.
Относительное ускореніе уг (см. зад. 527):
Yr = Y~« + (~ Y« J + Y^ »
гдѣ Y« = а ю-Л направленіе ^4 О2,
— Y« = «o)1'2, „ АОоу
у. = 2 Ѵг «>і, „ ^ Оо,
откуда > = 7 а (о/2, „ А О2.
533. По задачѣ 527 относительное ускореніе точки
ъ = ъ-\-(— y») + y7.
Абсолютиое ускореніе y« зависитъ отъ противодавленія Z) наклоиной
прямой и отъ вѣса G точки; — у8 = гсо2, направлено внизъ по
наклонной прямой, а у, = 2z;ra), направлено вверхъ, по нормали
къ ией.
Отсюда направленное по наклонной плоскости относительное уско-
реніе:
-jj- = g stn cp + г со-,
И ВЪ ВИДУ ТОГО,ЧТО Ѵг = -г-> СО =-Х 9 = ü) /
а t dt *
получаемъ -у—2 = g sin co / -f- r o>2.
Интегрированіе этого дифференціанальнаго ур-нія даетъ:
откуда »г = ^ = fy + e -1 — 2

534. - 234 -
Для нормали къ наклонной прямой:
D -f- М у* = G cos <p,
откуда давленіе
D = G І2 cos 9 — —І^-—).
534. По задачѣ 527 относительное ускореніе точки:
т = 7« + (— ъ) + т^-
Абсолютное ускореніе уа состоитъ изъ ускоренія силы тяжести и
ускоренія отъ горизонтальнаго давленія D плоскости; — у8 =у со2 и
направлено отъ оси; уя = 2 ѵ\ «>> направлено по нормамъ къ плос-
кости, при чемъ ѵ\ есть проэкція относительной скорости ѵг на
горизонтальную плоскость; такъ что:
Отсюда слѣдуетъ для относительнаго движенія точки по вращаю-
щейся плоскости:
еРх
Откуда, прннимая во вниманіе начальное положеніе:
Vrx =gt, Ѵщ . dѵГу = у (о2 . dy\
и х = к-
и ур-ніе относительной траэкторіи
Дѣлая подстановку (р = о>/, гдѣ ср — уголъ вращенія плоскости,
получаемъ проэкцію на горизонтальную плоскость траэкторіи абсо-
лютнаго движенія. Ур-ніе этой проэкціи въ полярныхъ координа-
тахъ {у = г):
ѵ0 а = (ojv + Ѵг'о2

-235- 535--536.
Далѣе относительная скорость:
Ѵг2 = Ѵ
и абсолютная скорость
= Ѵ„*
Давленіе наклонной плоскости:
D = М у, = 2 М (о ^ = 2 М о) lA>02+j>>2ü>2,
гдѣ 71/ есть масса точки.
535. Относительная скорость (см. задачу 532)
Ея составляющія по тремъ осямъ:
, V V
Ѵгх = ^5 0), Ѵгу = Я 0) -f
Относительное ускореніе (см. задачу 527)
Y' = Т« + С— y"O + t"^
гдѣ уя = 2 ю г/г г, Л = "j/^ + г/г/.
Его составляющія по тремъ осянъ:
536. Относительное движеніе второго тѣла получается сложеніемъ
винтового движенія т2, со2 съ обратно направленнымъ вращеніемъ сох.
Относительное движеніе есть винтовое съ угловой скоростью:
0);. = у 0)]2 -j- (022
и поступательной скоростью:
Ось С относительнаго винтового движенія пересѣкаетъ а подъ пря-
нынъ угломъ и дѣлитъ его въ отношеніи
а соо2 — т.э о)х
Углы ея наклона: ^05 (С^)^-1-
9 (СВ) = - -^.
Ѵ У (0 г

537—552. -236-
537. 28,64V [m%P.v = 2,lbmtkg/scc,
_ rtrn _ 0,5 mt. 100. t.
V'~ 30 ~" 30 sec J
538. 300 PS.
539. 4 = 0,6
540. 0,375
541. 20,25 mtkg/secl абсол. мощность £«=10 kg/sec. 21mt-\-
542. ч = 0,7
= 0,8 .15. 75 mtkg/sec + r,. 30 . 75 mtkg/sec .
543. W= 70,05tn Wkg. 36005J = 6000.75 mtkg/sec .
545. N= 2,88P. S. i;14400^3^-24 ()>75 _ N, 75 mtkg/Sec].
546. 1,05 P.5.
800 V ( 40 /»/-H5|j • 3<>000 mA
[(1 - 0,4) мощности = 3.36005gC ]'
547. y. = 0,013 [4. 75 mtkg/sec = 600 kg. 5 »//sec (sin 5° +
+•/.. cos 5°)].
548. 31,7 минуты.
549. Теряется 2 P.S; r, = 0,8.
550. N= 27,9 P.S. [N = ^. (Ш2я. 5) kg. 0,4m/. 2. ^
551. »!= 13,687 [изъ: % ' °'15 mt' U= 0,215 mt/sec].
n = 5 ih = 68,435.
N= 51,57 P.5. [изъ: N= ^(152. я. 4) kg. 0,6 w/. 2 g
ö=12592^ [изъ: (N. 75) mtkg/sec .0,1 = Qkg. 0,21b mt/see].
552. д: = 25 рабочихъ [х. 2 kgmtjsec = - ... * „,,...M-. 2 »*/].
... „,,...M

- 237 - 553—558.
553. G = 288 in. [Изъ: 0,8.80.75 kgmtlscc = Gkg.
DU StsC
554. 34 часа 43 минуты.
[5000 .1000 kg. 3 mt = 2. 75 kgtntjsec. 0,8 . xsec, откуда м. б.
опредѣлено х — время въ sec-хъ].
555. Скорость ворота по окружности радіуса Rt:
ѵ = -\тг— = -г7\—, откуда /* = 2,86.
30 50 sec
тт • * 400£§\ Зю/ 4М, „
Для поднятія груза требуется мощность: гтг =/^ kgmtjsec\
OU 5^^
по зад. 353: 7j = 0,84, слѣд. мощность каждаго рабочаго:
24 kpmtlsec п лг і w
—т~ а öl = і ,1Ь kgmt/sec.
556. Чтобы движеніе послѣ каждаго оборота не измѣнялось
нужно, чтобы сумма работъ за время одного оборота равнялась
нулю; отсюда слѣдуетъ
557. P=
4 = 0,98.
Работа силы:
» груза: — 200 kgmt,
» тренія: —%4ükgmt.
Степень яолезнаго дѣйствія г{ = .^- = 0,47.
558. а) Наибольшая передаваемая сила (по окружности)
P=S1-S* = S1 .-^1-1 = 73,1 kg,
гдѣ е ^ = 2,41.
Ь) окружная скорость шкива
гпт.
V = -тггг- = 2,09/7//

559—565. - 238 -
и наиболыпая мощность N= щРѵ = 2,04 P.S.
с) можность тренія въ лошадиныхъ силахъ
±./iDv± = o,m p.s.
559. 10,2 Р. S. [Работа тренія въ секунду
Rv = 0,05 . G . r-^kgmtlsec.\
560. 4,8 kgtntlsec Г= 0,3 .40 kg. ^'^^ 1 •
561. /х = 0,048. [Работа тренія въ одну секунду равеа
0,03 . 400 kglsec. 3 mt= 36 kgtntlsec.
Кромѣ этого Er =- /,. 4000 kg. І^І£1. ]
562.
» г Г о, ., пп 300%. 8 »»Л
6 рабочихъ д-. 8 kgtntlsec. 0,9 =—vr# .
563. / = 17' 16".
[Для пути 5Х:
== о (5г" а + * С05 аі) = 403,4 sec.
и также для пути s.2:
/2 = т^ = пЪГКтО (sin а-2 ~\~ *л cos а2) = 633,1
564 p = 10Ö*Gsw(a + ?)
24 r n
36 . 75 <:as д
565. Для ноложенія, даннаго на чертежѣ, натяженія канатовъ
въ А и В:
Sx = Gx (sin a-\-v>. cos a)-\-q(l—x) sin a
S2 = G2 {sin a — y. t:o5 a) -f- ^ д; 5Ш a,
гдѣ l—коэф-тъ сопротивленія для колесъ.
Называя Р силу дѣйствующую по окружности ворота, получаемъ
условіе равновѣсія.

-239- 566—567.
здѣсь коэф-тъ жесткости каната £ = 0,06лГ2; /г—коэф-тъ тренія въ
шинахъ, D—давленіе въ шипахъ P-j-^Si + S,.
Послѣ подстановки получаемъ Р = А — Вх, гдѣ
A =
l(G1 — G2) (sina-jrf^-p cos aj-f-
{G± + G2) Л/. cos a +/i ^ 51« aj
23
2 -
- -fr Gi (sin a + x cö5 a) +
LJ 1 V. I /I
B = 2q sin a --
Искомая работа
A= fPdx = Al—\ßP.
o
566. Л = -jr c бг2; wa.r Л = c 1/ — -к-; для r = —=.
[A= I K.ds, s = a — r\ далѣе
изъ
= Y ds = . rfr z>- = — (rt- — r2);
l/22 4]
567. A = G r. [Изъ: у4 = J P. r/s . cos cp, G sin ty = P cos <p,
7C o ^ö5 2 ф
= "5— ä?; откуда P= & I; далѣе as = r. dty,
ф

568—575. -240-
568. A = mml —| ;длячастнагозначенія<р=45(|:
[Работа преодолѣнія сплы притяженія по rt:
л Гтт1 . /1 1 \
точно также, работа преодолѣнія силы притяженія по г4:
и
, Г т іщ /1 1
А*= \ —Я-Ѵ -dr=- тг[
J г
'04
Для cp = ü: rol = rO4; такъ что
аналогично—для
569. А = -
а
570. Jp = -j- /ä2 + ^Ѵ [Изъ Jp =JX +У/у, если х ось сим-
метріи тр-ка, у—перпендикуляръ къ ней, проходящііі черезъ вер-
шину.]
Ff ч2\
571. Jp = -j- Iti2 -f- ~X F—площадь многоугольника, s — сто-
рона его, h — апоѳема.
574- х =
575. Называя ОА = г, <.ЛОХ=<?, получаемъ ОВ=Ь =
= rcosy, OC=h = rsmy, полярный момеитъ инерціи относи-
тельно О: Jp = ^(ЬИ* + ЬЪ h). Если J„ должно быть постоянно, то

-241- 576—585.
мѣсто точекъ А опредѣлится условіемъ r4 sin 2 <р = const.
576. Называя^р полярный моментъ инерціи относительно точки М,
дѣлящей дугу пополамъ, /0—относительно центра тяжести 5 дуги,
.Д—относительно центра О окружности, получаемъ:
откуда Jp =
F F F
577. j (d2 + b2); j (5 d2 + Ъ2)\ j {d2 + 5 b2).
581. Если rf^—элементъ стержня, p.dz—масса его, z—его раз-
■тояніяотъДтоегомоментъинерціиотносительноосиX: jadz{zsin <f)2;
самый моментъ инерціи:
і
J~* 1
z2dz=-7rM l2 sin2 cp.
0
582. Обозначая \idz—элементъ массы стержия, z— его разстояніе
отъ А9 х— его разстояиіе отъ X, получаемъ
Т= l x2\xdz, a такъ какъ
х- = a2-\-z2 — 2 а z cos j5,
/^ = ^ + ^ — 2«/^?, <ВАХ=$\
583. ЗГ = 4-- "-
584. 7-0=^
585. а) T'o = у^ѵ (д2 + А-). [Разложить на тонкіе слои, парал-
лельные основанію.]
16

586. - 242 -
м
b) Тг = ^тт (4 b2 -f- 3 k2). [Вычислить сначала моментъ инер-
ціи относительио оси, проходящей чрезъ центръ тяжести
основанія и параллельной ребру а, затѣмъ—относительно
параллельной прямой, проходящей чрезъ центръ тяжестп.
пирамиды.]
c) Т2 = ^ (3 V + h% d) Тя = g-j (
586. а) 7\ = А
[Разложить конусъ на безконечно тоыкіе слои, параллель-
ные основанію. Если х—радіусъ слоя, 0—его разстояніе
отъ вершины, dz—толщина, то его моментъ инерціи
относительно оси конуса
dTx = -ъ \хт. х4 d z
h . , h
и такъ какъ z = х — , dz = dx. —, то
г г
откуда, послѣ подстановки М = ., \х к h r-, получается
дашюе выше выраженіе.]
[Слѣдуетъ разсматривать тѣ же безконечно-тоикіе слои.
Ихъ ыоментъ инерціи относительно перпендикуляра къ
ося конуса, проходящаго черезъ центръ тяжести
и относительно параллельной оси, проходящей чрезъ вер-
шину конуса:
откуда: 7!> = -^- jjlti // г2С-т-\- л")-

-243- 587—591.
с) т0 = A м (r* + ^). Гизъ т.2 = т0+л/ (| а)*.1
71/~2
587. Т=-щг-\хаь. [Найти сначала моментъ инерціи относи-
і/"2
тельно высоты тетраэдра; получается: Т0 = ^щг\іаъ. Тотъ же са-
мыі моментъ инерціи имѣютъ и всѣ остальныя прямыя, проходящія
чрезъ центръ тяжести, а слѣдователыш и прямая, параллельная
ребру а. Разстояніе / между ребромъ а и прямой, проведенной
параллельно ему чрезъ центръ тяжести: е = —-=: масса Л/тетра-
588. Разсѣкая поверхность на безконечно тоикіе кольца высо-
тою dx, получаемъ моментъ ииерціи каждаго R ^ л-3 dx, гдѣ \х—
плотность. Тогда масса M--=\irJ (R-\-r)
и искомый моментъ инерціи
2
589. Т=-^-Мг*. [Или непосредственно или дифференцируя по
8
г моментъ инерціи шара г^\іт,г° и дѣлая подстановку
590. Для каждой прямой, проходящей черезъ цептръ шара, мо-
2
аіентъ инерціи поверхности полушара = -^-71/г2, т.-е. половпнѣ мо-
2
ыеита поверхности шара -^- (2 М). г2 (предыдущая задача). Такимъ
образомъ эллипсоидъ инерціи есть шаръ.
3 R» гъ
591. Т=-гкМ^йъ jr (Разсѣкаемъ усѣченный конусънабез-
конечно тонкіе, параллельные основаніяыъ слои; тогда
^ x2dx, dT=-^
JK r
^xdx, ;,
— r)
; 16*

592—597. -244-
гдѣ jx— плотность, h—высота усѣченнаго конуса, х—радіусъ безко-
нечно тонкаго слоя.)
592. 7\ = -~-Л/а2 для оси вращенія;
9 А
593. Т=-£-МЬ2, М=-^ііъаЬ2. [Пусть х и у параллель-
ные а ]і b координаты точки меридіанальнаго сѣченія относительно
центра эллипса; разсѣкая эллипсоидъ на безконечно тонкіе, перпен-
дикулярные оси 2я, диски, получаемъ
1 Ь-
(іМ= \хъу2ах, аТ=-і-цъуіах, у2 = -тг(сі2 — х2).]
4) (I"
594. 7; + 7; = 7\ + 2$£2.</ж.
595. R1\
[Моментъ инерціи кольца Т=-~- Ѵ-ъа (R4 — г4), послѣ увеличеиія:
596. Если Тх Т2 Тп—главные моменты инерціи кольца относи-
тельно его центра, то Ті = М а1 (отпоситслыіо оси, проходящей
чрезъ центръ н перпендикулярноіі къ плоскости кольца), Т.2=Т^ =
\
= -іТМа2 (относителыю осей, проходящихъ чрезъ центръ и лежа-
щихъ въ плоскости кольца). Искомый ыоментъ инерціи
Т= Т± sin2 a -f- To cos2 а = —^— (1 -f- sin2 a).
597. Моментъ инерціи обода:
Моментъ инерціи втулки:
Моментъ инерціи спицъ:

- 245 - 598—599.
Складывая, получаемъ:
Т= 7\+ Г2+ 7І=|^ . 235839,28
Послѣ подстановокъ
Y = 7,5 ,*°ч, g = 98,1 dcm/sec2:
получаемъ 7*= 28322 [измѣреніе Л/Z.2], въ системѣ
т.-е.: килограммъ — единица силы, dem — единица длины; или
Т= 2832,2 въ системѣ [kg. mt].
598. Моментъ инерціи шаровъ:
Тг=—L.-|a8(/?a + ya2) = ^L. 9077333
Моментъ инерціи втулки:
Т2= -У1- . і- (гі4 —
Моменхъ инерціи плечъ:
Т2= -У1- . і- (гі4 —г4) = -^ • 17355
= Л.Т± . 73407 «и5.
g
Полагая ѵ = 0,0076^,
Yl = 0,0005^,
*= 981 -^,
найдемъ -^ = 0,000024, -^ = 0,0000016
и 7І = 217,856, Г2+Г3= 0,145
и полный номентъ инерціи 7^= 218 [измѣреніе ML2] — М—kg.
L — cm.
599. Разсѣкая эллипсоидъ на безконечно тонкіе слои, иерпендику-
лярные оси 2 а и обозначая разстояніе какого-либо слоя отъ центра
чрезъ д-, находимъ полуоси этого слоя:
п = — і/а2 — х2 ж р = — ]/tf=^2
а w r a f

600—601. - 246 -
и его моментъ инерціи относителыю оси 2 а:
а
s) f(a* - х*)* dx
откуда Т = ^- ■
Т=^-{Ь* + с*)9 гдѣ М=-^ѵ.ъаЬс
есть масса эллипсоида.
600. Дифференцируя получеішый въ предыдущей задачѣ моментъ
инерціи эдлипсоида, имѣемъ
dT = -~ dM (Ь* + <*) + \- М(2 Ь ііЬ + 2с de).
У подобныхъ эллипсоидовъ
da : db : dc = a : b : c
слѣд. db = da. — , dc = da. --'-■
a a
ü, такъ какъ М= -«■ \іъаЬс,
то dM—4:]Lnbc . ^/^,
откуда rf^= -J- rfA/ (Äa + c-).
601. Нриравниваеыъ моментъ инерціи тѣла отиосительно его глав-
ной оси X моменту инерціп эллипсоида (см. задачу 599).
аналогичныя выраженія получаемъ для другихъ главныхъ осеп. От-
еюда, такимъ образомъ, можно опредѣлить полуоси abc искомаго
эллипсоида и написать его ур-ніе
X* , Y* Z* _ 5
Такъ какъ для каждаго другого діаметра, направлеше котораго опре-
дѣляется углами а, fi, y, имѣетъ мѣсто ур-ніе:
Т= 7\ cos2 a -f- 7o cos? $ -\- Тл cos2 y.

_ 247 - 602—609.
то моменты инерціи Т тѣла для всѣхъ діаметровъ равны соотвѣт-'
ственнымъ моментамъ инерціи эллипсоида.
602. По задачѣ 600 моментъ инерціи эллипсоидальнаго слоя
его масса dM= і\хт:Ьс. da.
k В С
Подставляя Ь
CL
и интегрируя, получпмъ:
603. 4893000 kgmtr.
604. 7263 T-mt.
605. I = i
36
3600 g
- Gr2
= -<г Тіо2 = A~2 ~oT r ) \~ш) ' тРеше поглощаетъ -r- L.\
606. тшчгг- Gr2n2. ГЖивая сила вала
4800^* l
607.
[Живая сила винтового движенія:
такъ какъ скорость по оси c = ro)fga.\
608. дг=60. [Живая сила шара
8 -
2
гдѣ г = 0,5 mt; у = 7800 kg/mfi.
Откуда /. = 2464^т/ + ^|3. х>.\
609. д?=«—£■—. [Живая сила шара:
— 2 Кь g r )\ 30
Если живая сила нв измѣняется, то гп = {г—S).r.|

610—616. - 2« -
[Живая сила вала до сцѣпленія
послѣ сцѣпленія L1 =
611. L = — -Gr*.
g
612. Z = -^ • -^»a pa _f_ C2} e Ä c y = 0,2794^«/.
613. L = ^
g 2
откуда: z. =
614. Z =
= |- • -1 a Ä c (a2 + Ä3) «2.
[L = |- jTÜ2, 7= ~2- Af (й2 + Aa), Ü = 4 (o. ]
615.
x = 1 Гх ОД 71 = Г+^^й--, ü± - 3 Co.]
Измѣненіе живой силы
Z, - Zi = j • -^- a 6 * (a2 + //2) ©3.
616. Если 71—моментъ инерціи конуса относительно его геоме-
трической оси, Т2—относительно прямой, проходящей чрезъ вершину
и перпендикулярной къ оси, а—уголъ между высотой и образующей
конуса, то моментъ инерціи относительно образующей:
Т=Т± cos2 a-\-T2 sin2 a

249- 617—620.
п пользуясь данными задачи 586 и соотношеніями:
А2 г2
cos2 а = 7^гП—ö> sin2 a = -г»—.—5
получаемъ Г= 20
откуда живая сила
1 І
2 12000
617. За время одного каченія точка О равномѣрно проходитъ
путь 2 hu cos а со скоростью = -cosa; угловая же скорость
около касающейся образующей со = —— cotg a.
Пользуясь предыдущей задачей:
2 ~"10;/2
618. Моментъ инерціи стержня относительно оси
7
приведенная масса въ А: 9К = -^
х
dx ~V'
2 . ш М
A = W И Штіп=-д--
619. Момецтъ инерціи относительно оси вращенія
Т= і М1Р + \ М2 г* + М.2 (I + г)".
г ^ 4 ^ 5 Жі 2
620. Приведеніе массы дѣлается по основному положенію, что
живая сила при этомъ не измѣняется. Вообще приведенная масса
*-•?■/'

621—622. - 250 -
гдѣ ѵ—скорость точки съ приведенною массою, dM—элементъ мас-
сы, и—его скороеть. Исходя изъ этого основного положенія дѣлаемъ
приведевіе массъ Мх, М2, МЗУ Мх въ точку А\ получаемъ:
= і (Мя + ІІ/4) + sin' ? (4 Мх + 2 Л/3)+
+ со5'-2(р(4Ж2 +2Л/4).
t—остается неизмѣнной, если
и тогда ®t = 2(M1-\-M2) + j(Ms + MJ.
621^ Приведеніе массъ дѣлается по предыдущей задачѣ:
'<р -f- M2 sin2 (cp -\- у) -|- М% sin2 (cp -\- у -J- а).
Если Ш не должно измѣняться, то массы и
углы должны находиться въ соотношеніи, указан-
?г/{ \^ иомъ на прилагаемомъ чертежѣ. II тогда
622. Основное положеніе приведенія массы изложено въ за-
дачѣ Ла 620.
Называя Ох О2 = Ах А2 = 2 ö
0^^ = 02^2 = 2(7,
7l/2(>2—моментъ ішерціи диска М2 относительно 02, получаемъ при-
веденіе массы М2 въ А2.
Чтобы выполнить приведеніе М» въ Аъ пользуемся ур-ніемъ

-251- 623—626.
Называя перемѣнное разстояніе Аг 0.2 = х, имѣемъ
гдѣ b—меныпая полуось эллипса; такимъ образомъ
623. і?ІІ^ = " ^
GI
]Живая сила каждаго стержня въ нижненъ его положеніи равна ра-
^отѣ силы тяжести
1 1
-тг GI (1 — cos а) = -t)- GL lt (1 — cos ax). J
624. Ближайшее положеніе покоя находится на разстояніи ~ а
отъ Olf -SK отъ О2; работы обѣихъ силъ притяженія:
о"^л Для Ох,-f- "q 'га Для Оо.
[Если х—разстояніе точки отъ Оь то работа обѣихъ силъ при-
тяженія
"/4
для обоихъ положеній равновѣсія это выраженіе должно быть равно
нулю.]
/|/dB25. ]/377;
[Начадьная живая сила:
конечиая
626.
живая
Жнвая
сила
сила
= иулю,
тІ т
работа
1 G
2 р'
вѣса:
l
V J *'
— вѣсъ фі
0 •■'
с
./

627—630. -252-
Его центръ тяжести 5 находится отъ 0 на разстояніи
до перехода центра тяжести чрезъ его низшее положеніе — сила тя-
жести совершитъ работу:
-^Gr (1/2-1).
Для точки А: vimax=-^g
627. va= "" ' 2L
_ 2 G
Хг — —y
629. Работа трехъ силъ притяженія:
0 0
А = j kmm1(a-\-x) .(— dx) + 2 / kmmxx(— rf#),
гдѣ х разстояніе двийгущеися точки отъ А. Кромѣ того
слѣдов. ѵ2 = 56 k тг а2.
630. Такъ какъ живая сила точки т для обоихъ положеній по-
коя = 0, то работа А дѣйствующая на точку силъ также должна
равняться нулю.
dA = 2 -^2- cos y (—

-253- 631-636.
631. При равновѣсіи iga = -p- • При движеніи угла отъ Аг СВ1
до ближайшаго положенія покоя измѣненіе живой силы равно ііулюг
слѣд. и произведенная работа
A = %aq .asiny — 2 b q (1 — cos cp) = 0,
to q вѣсъ единицы длины. Отсюда
632. Начальная живая сила:
гдѣ моментъ инерціи полаго вала
Работа силы тяжести (— G h) должна равняться — Lo,
т.-е. L0 = Gk, откуда
iG.gh .
w = 4,19.
634. В С= x = s 1—7 cos a j.
[Полная работа должна быть равна нулю.
Работа силы тяжести: Gssina.
Работа тренія: —/(Gcosa.s + Gx).]
635. fx ='f2 cos a — sin a.
[Для первой части Gx тѣла по теоремѣ живыхъ силъ
гдѣ ѵ—-скорость тѣла въ А\ для второй части G2:
1 G
1 G
к—
636. Ar =т Г«г- т
1 G
к—- ѵ2 = G2 s2 sin a — Gofo So cos a.]

637 — 641. -254-
откуда:
637. Начальная живая сила вала:
1 ,г „ 1 /1 G Л /п s\a
Конечная живая сила равна нулю.
Работа тренія: —/г .G.2r.n.x,
638. 5 = г^->= 10,098 mt.
639. v* = 2 g [r (1 ^-cos a) +/(/ + rsin a)J.
[Работа силы тяжести: — Gr(\ — cos a).
Работа тренія: —fGl— f.Gcosy,
0
живая сила въ началѣ движенія: -у — г>2.]
640. х = 112,1 mt.
1 (7
[Начальная живая спла Y~^v~')
работа силы тяжестп: —Gxsina.,
работа тренія въ шипахъ и тренія каченія: —v.Gcosax,
гдѣ у. == ;,, ' = О,О072э, ч
откуда х = й—^^ :—ч> cos д = 1.]
• I g \sin д + у.)
641. Живая сила груза для его нижняго положенія:
Ga{\ — cosa) = -^-~v%
она тратится на работу тренія/67, отсюда
f=j(l—cosa).

-255- 642—644.
642. Для крайняго положенія равновѣсія цѣпи
х- fl
Элементарная работа силы тяжести q x dx,—тренія: —fq (/ — х) dx,
слѣд. живая сила въ коіщѣ движенія по столу:
откуда: V = jn
643. Прилагая къ дентру шара силу Ш сопротивленія каченію,
равную ср . — > получаемъ ея работу: — 81 х. Начальная живая
1 С
сила (Lo) шара состоитъ пзъ живой силы центра тяжести -к — с1 и
изъ живой силы вращенія около центра тяжести:
2/м - 2- hg1 \г)-
Изъ ур. Ь0 = Шх получасмъ:
_ 7 гс*
644. Называя черезъ р ^— -^— давленіе на единицу горизонталь-
ной площади II разсматривая разстоянія р отъ оси кольцевую часть
площади, равную 2pi:.rfp, получаемъ ея треніе
f29.T.d?.p
и работу тренія до остановки
(—/>.2рі:.йГр).2рт:.л-.
Полная работа тренія всей площадп до остановки тѣла:
г
А = — і ^fp х Cfdp = — -^ zP
o
Начальная живая сила
/ 1 G ■>(" А-

645—648. - 256 -
Изъ ур. А = — Lo слѣдуетъ:
г п2 тг
4800/>
645. Прправниваемъ нулю сумыу работъ:
dfi + 2 Гг.а/=0,
гдѣР = -^-./ есть давленіе на поршень (работа Ps) и равное
ему давленіе на крышку цилиндра (работа Рх)\ далѣе, у есть ежа-
тіе пружины Fx\
Интегрируя, получаемъ
(Р — Fotn)(x
откуда:
646. По принципу д'Аламбера, внѣшнія силы (вѣсъ и давленіе)
уравновѣшиваіотся силами инерціи, слѣд.
откуда I) = G ( 1 — 3) 5,!)23 /^.
«3
647. Называя черезъ у—ускореніе тѣла G, движущагося вверхъ
и, слѣд. также ускореніе тѣла Gx, движущагося внизъ, R и Rx—
силы тренія, М и Мх—массы, получаемъ натяженіе лѣвой части
шнура:
правой части: Gx sin } — Rx — М1 у.
Приравнивая эти натяженія и дѣлая подстановки:
R=fGcosa\ Rl=fGlcos},
получаемъ:
7 = r f r \GX{sin$ —/cos$)—G{sina-\-fcosa)].
648. Если y—ускореиіе груза G, то-|- ускореніе груза Gx. На-

- 257 - 649—652.
тяженіе шнура справа отъ неподвижнаго блока = С — Му:
натяженіе шнура слѣва отъ неподвижнаго блока:
гдѣ М и Мх—массы. Приравнивая натяженія шнура, имѣемъ:
649. Натяженіе шнура слѣва отъ верхняго блока:
С-МЪ \
натяженіе шнура справа:
Ускореніе 71 груза 6\ равно четверти ускоренія груза Gy такъ что
ѵ,=і-
Ириравнивая натяженія шнура, получаемъ:
G-±G1 :\ .,•■'■'/
''' т-■/
650. По направленію стержня дѣйствуютъ силы, находящіяся ъ%
равновѣсіи: иатяженіе 5, составляющая Gcosy вѣса и сила
. G ѵ*
инерціи—.-у; откуда
651. Тормозящее треніе $і = G (cf~ — 1), треніе въ шипахъ
/i-D=/i {cf--\-fl)G. Беремъ относительно оси вращенія моменты
дѣйствующихъ силъ и момеитъ силы инерціи ¥у и приравниваемъ
ихъ сумму нулю. Получаенъ:
7 = ^(1,23—0,26^).
652. Пусть цѣпь движется и А находптся на разстояніи х отъ С\
тогда натяженіе цѣпи слѣва отъ блока:
17

653—654. - 258 -
o ' . , </.v
г> = q x sin a -j-J— y,
справа отъ блока:
S1 = q(l — x) stna — -- -y.
b
Гдѣ q—вѣсъ единпцы длины цѣпи, у—ея ускореніе. Приравнивая
S и 5ц получаемъ:
j= а — ох
й, такъ какъ vdv = *i(—d)
- r*. . ±
to ! v* = a(l — 2x) —
при л* = 0 получается искомая скорость
653. Прилагаемъ въ G и Gu кромѣ силъ тяжести, сгілы
инерціи: — ®2 l sin 9, — w2/^ cosy и приравниваемъ нулю сумму
моментовъ относительно О. Получаемъ:
67// 9 TOS 9 ,s*
Сгибающій моментъ относителыю О:
M = Gl{2sin<f — cos4).
654. Если д^д: масса элемента, dx бруска а, л- — раз-
стояніе элемента отъ 0, то \idx . х sin 9 <*>2—его сила инерціи,
\xdx.x2sin<£.cos(p<a2—ея моментъ относительно О,
|Х (О- ST1I 9 ^05 9 / Го^ = -о" (0^^-^
0
моментъ силъ инерціи бруска а относительно 0. Составляя отно-
сительно 0 моменты силъ тяжести и силъ инерціи и приравнивая
ихъ сумму нулю, получаемъ:
2 3 G a sin 9 — Gib cos y
I1—G^b2)

-259- 655—657.
655. Пусть ОА = а, OB = b\ возьмемъ на ОА безк. малый
отрѣзокъ dx бруска, удаленный на х отъ О\ тогда \xdx—его
масса, jjl dx. х sin ср (о2 его сила инерціи; ц d х. х2 sin <p cos <р ю2—ея
моментъ относительно О. Сила инерціи бруска ОА относительно 0
имѣетъ моментъ
== ja ш2 sin cp cos 9 / x2 dx.
Составивъ также моментъ М2 для бруска OB и моменты силъ
тяжести, имѣемъ:
1*і + М2 -• ji g sin ? . а ~ = 0,
откуда ™5Ср = _^
656. Въ точкѣ Gx дѣйствуютъ: вѣсъ Gly сила инерціи
—^- (й 5/';/ ф + ^ 5/;г ?) (°2
и натяженіе нити 5/> . Въ точкѣ G дѣйствуютъ: вѣсъ G, сила инерціи
— asiny.w2, натяжеиія нитей Sn и Sb. Составляя для каждой
точки по два условія равновѣсія, получимъ для опредѣленія угловъ ср
и ф слѣд. уравнеція:
— (а sin y-\-b sin ф) = tg ф
— А»»ф = ^—-і (tg ty —
а для натяжеиія нитей:
cos cp cos ф
657. Натяженіе 5 нити = ^—-— Беремъ па разстояніи х отъ
О элементъ массы \idx бруска 0 А\ его сила инерціи
\idx. х .sinyw2.
17*

658-659. -260-
Составивъ для ОА сумму моментовъ внѣшнихъ силъ и силъ инер-
ціи относительно 0, получаемъ:
2«
— Gasin<f — SЛаcos9яшср + / р. d x . х sin ср со2 . # cos ^ = 0.
о
И, т. к. масса бруска
то
(0" C0S 9 = :г~
658. Если qds вѣсъ элемента цѣпи, координаты котораго х пу,
то ——ую2 его сила инерціи; проэктируя обѣ силы на нормаль
кривой, получаемъ:
а ds. sin 9 = -■-— у (о2 cos cp,
гдѣ 9 есть уголъ, образуемый касательной съ осью X. Отсюда:
gi^'dx~y'g'
и, такъ какъ для .r = 0, j;-=0, то ур-ніе кривой:
(О2
^ = а е ~<іх.
659. Называя у и уі—ускоренія грузовъ G т Gu ■ М ъ М1—
ихъ массы, имѣемъ:
наконецъ, по условію равновѣсія 5^ = 5^; отсюда:
^ ——- (у * *■

далѣе, такъ какъ h =
-261- 660—661.
1 ...
и, наконецъ, натяженія:
S =
51 =
660. Вычисляемъ для каждаго элемента dm массы ворота соот-
вѣтствующую силу инерціи pl.dm и составляемъ моментъ относи-
тельно оси ворота
і т . р =). / dm . р'2 = \ Т,
р к d m . р =). / <
*J
гдѣ Т— моментъ инерціи ворота относительно его оси. Тогда для
равновѣсія:
Sr-\-\T=Sxru
откуда
і — ^і *\ — Gr
= £
g i\ Gxrx — Gr '
Gtb + G^+gT
c _ r Grjr + r
1 ^
661. Условіе равновѣсія для лѣваго груза:
/ чі G-\-q(l — х)
для праваго:
Sl + ^G1 + qx.
Ероыѣ этого натяженія нити 5 и St въ А и 5 равны между собой.

662. - 262 -
Слѣд.
G1-G-\-q{ilx — l)
Изъ vdv = ydx слѣдуетъ
и скорость ѵх для ,г = /:
_2(G
]~
662. Если грузъ опустился на разстояніе д*, то вѣса G-\-qx
вращаютъ валъ по наардвленію часовой стрѣлки, силы инерціи—по
противоположному. Их^Тмрмерт» ' ѵ
При этомъ: ^ .. > , < .
Y — ускореніе груза G\ ({ - г ~ - '•
л = -£ — угловое ускореніе вала;
Т^=-^—^г-—моментъииерціп вала; - ' [">
Т>2 =-^~^ R2—нонентъ ииерціи колеса;
7^, = - 1^-2 г2—моментъ инерціи намотанной части каната.
g
Приравнивая сумму моментовъ нулю, получаемъ:
( ~2 Gr2
и изъ vdv=4dx интегрированіемъ имѣемъ конечную скорость (х=і):
*g
vS = -
sec
0 . : ..-..•

- 263 - 663—664.
663. Условіе равновѣсія въ началѣ:
Во время движенія поршня имѣемъ по принципу д'Аламбера:
2 F— G—Gi — М-[ + Мг ух = 0,
гдѣ 2F=2k{lo — x)
есть перемѣнная сила пружинъ, у—направленное кверху ускореніе
цилиндра. Отсюда:
и, такъ какъ vdv = ydx, то скорость цилиндра:
Движеніе цилпндра прекращается при:
д—/і = 2(/о-
на эту величпну цилиндръ поднпмается и затѣмъ начинаетъ коле-
баться около положеліія равновѣгля
G
g
Какъ только поршень достигнетъ дна цилиндра, послѣдній снова
медленно возвращается въ свое начальное положеніе.
664. Называя М и Мг массы грузовъ, Р и Q, S и 5г—натя-
женія каната, ѵ и ѵх скорости обоихъ грузовъ, у и ух—ихъ уско-
ренія,—имѣемъ по принципу д'Аламбера
и, такъ какъ S-=SX:
(Р+М-г)сазч = ІЭ-МіЪ- (1).
Если Q пройдетъ внизъ на разстояніе dx, aP—поднимется вверхъ
на d$% то ds
откуда ѵ = v1cosv =
и дифференцированіемъ:
Т = ^ = Yl ..
dt n уъ^

665—669. - 264 -
Послѣ подстановки въ ур-ніе (1), имѣеиъ:
[Л/ѵ2 "1
но для д; = 0, ^ = 0, С=2Ра и, слѣд., искомая скорость падаю-
щаго груза О:
.665. Такъ какъ общій цедтръ тяжести остается въ покоѣ, то
Qi si — G s = 0; слѣд. st = 5. -^г-.
■" --- ■ ■ ■-- ^і
666. х = 0.
667. Откатъ пушки равенъ
гдѣ G—вѣсъ снаряда, GL—вѣсъ пушки.
668. Если малая иризма достигла подставки, а GY подвинулась
влѣво на х, то G прошла горизонтальный путь bl — Ь — д\ Такъ
какъ на общій центръ тяжести обѣихъ призмъ дѣйствуютъ только
вертикалышя силы,
то Gx х — G (b1 — b — х) = 0;
669. Называя х и хх—разстоянія, на которыя удаляются обѣ
точки отъ начальнаго положенія точки G, zs —удаленіе ихъ общаго
центра тяжести, получаемъ:
z8 =
dss 1 [ rdx , r dx\

670- 672,
Въ началѣ -f- = 0, такъ что
аі
dt ~
Подставляя въ ур-ніе для zs :
Gl r
z, = h, x = -jg Z2, .Vj = /i — ct^-jg t\
получаемъ искомое вреыя
' J №ic
670. Въ моментъ разъединенія грузовъ G ж Gx\
(G + G±) v* = G v+ Gx (v„ — q),
гдѣ ѵя = ccosa есть скорость общаго центра тяжести. Отсюда
і (>і
V = С COS CL -Ь ^ Сл.
Называя W—половину длины прыжка до его вершины, Wx—вто-
рую половину длины прыжка (за вромя цвиженія гимнаста книзу
безъ груза), h—высоту прыжка,—имѣемъ:
ь g
671. По закону движенія центра тяжести начальная скорость
G
ЛОДКИ Ѵо = -~г С.
Ея ускореніе = — -~ ѵ*; изъ ур-нія
dt G1 ' G1 v2
находимъ: ѵ = ~ о , J- .•
Gx2 -\-Ggact
672. Такъ какъ тренія нѣтъ, то меныпій дискъ не вращается,

673—676. -266-
а движется только поступательно. Точка А опиеываетъ дугу центра В,
находящагося въ вершинѣ параллелограмма ВЛОоОг.
673. Эта ось есть горизонтальиая прямая, перпендикулярная къ
плоскости чертежа и проходящая надъ точкою N на вертикальномъ
разстояніи г (і — -~ cos 9). [Т. к. треніе отсутствуетъ, то центръ
тяжести долженъ опускаться по вертикали; точка N движется по
горизонтали. Перпендикуляры къ этимъ направленіямъ движеиія
опредѣляютъ своимъ пересѣченіемъ положеніе мгновенной оси.]
674. Центръ тяжестн (средина) бруска падаетъ по вертикали,
такъ какъ дѣйствуютъ однѣ вертикальныя силы. Называя <р уголъ
наклона бруска во время движенія, х и у—координаты точки А,
имѣемъ
.y = / cos a-\-l cos 0
у—-2 Isin cp,
откуда, траэкторія точки О есть эллипсъ:
{х — 1 cos аУ2+£ = Р.
Проводимъ чрезъ средииу бруска горизонталь и получаемъ въ точкѣ О
пересѣченія ея съ В Y мгновенный центръ вращеііія бруска; ОА—
нормаль траэкторіи точкн А.
675. Если Т есть моментъ инерціи обоихъ дисковъ относительно
ихъ общаго центра тяжести, то угловое ускореніе
2PR
X = —=-, и центромъ вращенія служитъ центръ тяжести, какъ
онъ остается въ покоѣ.
93 G R2
У g ;
_g_
93 GR
676. Пусть 5 есть натяженіе нити А В послѣ того, какъ раз-
рѣзана нить CD, G — вѣсъ пластинки, R — равнодѣйствующая
силъ 5 и G. Проводимъ черезъ центръ тяжести пластинки перпен-
дикуляръ къ G, и въ точкѣ его пересѣченія съ А В находимъ
мгновенный центръ вращенія пластинки. (Опредѣленіе 5 — въ зада-
чахъ 697—702.)

— 267 —
677.
Если AB и CD вертпкальны, то проводимъ чрезъ дентръ
тяжести пластинки горизонталь и въ точкѣ ея пересѣчеііія съ AB
находимъ центръ вращенія.
677. На общій центръ тяжестп S массъ М и пг дѣйствуютъ
однѣ вертикальныя силы, слѣд., онъ можетъ двигаться только по
вертлкали. Называемъ 5 и .г горизонталь-
ныя разстоянія центровъ тяжестп М и т
до проходящей чрезъ 5 вертикали, нахо-
димъ:
М S = т х,
и, иродиф-овавъ два раза, получаемъ:
JLT
или М. y = ш . уі
Относительное ускореніе уг точки т на-
правлено по грани ВА клина; по законамъ относительнаго движенія:
уг = абсолютному ускоренію точки—ускореніе клина
7>- = 7і +~{ (см- чеРт-)>
при чемъ ускореніе клина направлено вправо.
Абсолютное ускореиіе ух точки состоитъ изъ ускоренія g силы
тяжести и ускоренія давленія D\ его составляющія:
D
= Я cos a
° т
I) . М
= sin а = - у
т т *
такъ что D = ~г-*-
Изъ чертежа видно, что
откуда послѣ подстановки находимъ:
т cos cl sin (
S M -\- m sin2 a
M Mcos a sind
т * s M+msin2
Му_ Mmgcosa
sin a Ж 4~ m sin2 a

678—679. - 268 -
_ {M-\-m)sin2a
Угѵ—gM+ntsiri2z
Абсолютное ускореніе ух точки т\
Tl = |/Tl.Y2+ТіУ 2 = м, f 5?/' а о У^* + (2 Л/4- ю) w sin*a
и его уголъ съ горизонталью:
Такъ какъ ср постоянно, то траэкторія абсолютнаго движенія тяже-
лой точки т есть прямая, составляющая уголъ 9 съ горизонталью.
Относительное ускореніе:
sma ° M + w sur a
Давленіе клина на горизонтальнуто плоскость:
, ^ M(M4-m)g
М -\- т sin2 a
678. Продолжительность малаго качанія шарового ыаятника
V Ма
Здѣсь моментъ инерціи относит. О:
Дѣлая подстановку:
2г2
о , /2г2 , \ 2 .,
откуда х2 — 4 х I -г —\- а I = —=- г-
и «! = 160,938 cm., x.2 = 0,062 c
679. Такъ какъ продолжительность качанія

- 269 - 680—682.
т
то -- должно быть взято наименыпимъ. Здѣсь
1
то=Тім.
есть моментъ инерціи стержня относительно 0;
I
разстояніе центра тяжести отъ 0. Изъ условія:
щ^=[)^ х-{ = Minimum
слѣду етъ: х = ^ (1 + )
лпл . . Шл Іл
680. \ = gsmw
^
і~ W2 '2
681. Приравнивая періоды колебаній около 0 обоихъ колецъ,
т т
0 01
находимъ
гдѣ То = MR2 + 71/(7? — г)2
есть моментъ инерціи кольца R относительно О,
ro=R — r
есть разстояніе центра кольца отъ 0; также Т01 и г01 для кольца Rv
Отсюда слѣдуетъ
682. Угловое ускореніе конуса
/Зг 3
). = —т ; моментъ инерціи конуса ^^ттѵ МR-\ масса конуса
Такъ какъ \ постоянно, то угловая скорость конуса
о) = о)о -\- X /;

683—685. -270-
для (о = 0:
= Ü.T. .
683. (о = 2 1 / X.
684. Возьмемъ малый элементъ dx бруска на разстояніи х отъ О.
Его площадь сонротивленія есть bdx, моментъ сопротивленія отно-
сительно О есть k.b.dx. (xu))2x. Полный моментъ всѣхъ сопро-
тивленій:
М == k b o)2 i'x*dx = jko)-J b /4.
o
Моментъ инерціи бруска относительио 0:
и угловое ускореніе бруска:
Изъ (ddo) = \dy слѣдуетъ -—я<7ср
со
и послѣ интегрированія: (о = іо0с~~(1^.
dw n,r
Подставляя (0 = т^' получаемъ: i%.dt = e ^ rf(p и,
интегрируя, находимъ: а w0 /=еа* — 1,
и наконецъ ? = —
* а
685. Моментъ давленія воздуха, взятый относительно оси А\
ІѴІ = h . Ъ . cos 9 • ^ . —г t:o5 9,
моментъ инерціи двери:

-271- 686.
Угловое ускореніе двери:
I = -~= о Jj, cos2®.
Изъ (Об/со = Х.(—dtp) слѣдуетъ послѣ интегрированія:
и искомая скорость:
о Ті
y
686. Равдѣляемъ пластинку на тонкія, параллельныя А полосы
шириною dx, тогда сопротивленіе воздуха для такой пластинки
отстоящей на х отъ оси:
k. h. dx. (x(o)2,
гдѣ k коэф-тъ пропорціональности и <о—перемѣнная угловая ско-
рость. Сумма моментовъ всѣхъ сопротивленій воздуха относительно
оси:
= 2 I'
0
Моментъ инерціи пластинки (вертушки) относительно оси есть:
т
если толщина d принимается весьма малой. Угловое ускореніе ея
будетъ:
X = ^ч= — а со-,
- 3 р- k. b
ГДѢ а^_.^.__
и такъ какъ /. = -=—:
а t
1 1
,
0) (00
(о0
то для (о = ~ время
T-J—.1.1.
d
а <оо 3 ^- ^ Л (оо

687—688. -272-
687. Угловое ускореніе вертушки
. _ Gr — M
к— т •
Здѣсь М—моментъ давленія воздуха, Т моментъ инерціи вертушки
относительно шпинделя.
Такъ же какъ и въ предыдущей задачѣ, площадь крыльевъ дѣлится
на параллельныя h полоски, шириною dx. Тогда:
2£Aw2 l'x*dx = ~
2
Кромѣ этого: Т = и h. dy.. (bj — b{]).
o
Получаемъ: л = А — В со2 = ^->
гдѣ А =
Дифференціальн. ур-іе
1 , і/Л4-і»ѴВ
даетъ / = —,-=гтг. log —-—! -—-
откуда • = у
гдѣ 31/5 r.^V-g
28 —V)
688. Угловое ускор№іе
^ G / , 5ш а -+- 5»г ^ \
X = -^г ( rt 5W (р /Г ■ , , а. )•
/і ѵ 5"г (я -t- ?) /
Дѣлая подстановки:
G а . G fr sin o. -f- sin ß „
иаходимъ: (or/co = X.^^= {Asin^
откуда: y = ^4 (^05 <p0 — co5 cp) + 5 (cp0 — 9)

-273- 689—690.
и для ср = тг скорость центра тяжести:
ѵ. 2 = 2Аа2(1 + cos с?о) -2ВаЦ~ — <р0).
689. Угловое ускореніе
и изъ o)db> = kdy интегрированіемъ получаемъ
о)- = -у sin cp.
Беремъ элеменгъ dМ бруска на разстояніи х отъ 0 и находимъ
его силы инерціи: dMxri1, направленную по ОА,ж dMх\, нер-
пендикулярную къ ОА и вращающую около 0 противъ часовой
стрѣлки. Взявъ проэкціи внѣшнихъ силъ и силъ инерціи, нахо-
димъ:
л --= (X sm <f -f- w- cos (f) ^ .v (
и, такъ какъ
x
,Y = -| G sin f rИ5 9, У = j- 61110 — 9 cos2 9].
Подставляя cb = 90 -4- cp -{- a, fö/^ a == -^ = -r.—7—^—--—--,
~ T ~ ' * ^9 5/// cp cos cp '
5/// cp cos
находимъ: tg ф = —.— ^/g* cp.
690. Угловое ускорсиіе тѣла
G a sin a
л
= A sin a,.
гдѣ Т— ыоментъ инерціи тѣла относительио оси О. Изъ равонства
о). d (о = X (— с/ а) аіѣдуетъ:
(о2 =--2Acos a.
Возьмемъ какую-нибудь точку Р тѣла, имѣющую массу dM, пола-
гаемъ
и находимъ составляющія силы иперціи тѣла по направленію 0S \\
ему перпепдикулярному:
18

691—692. - 274 -
^ = to* j xdM+l \ydM
Y=\ $ xdM—u? [y dM
и такъ какъ: $ xdM=Ma, $ ydM={)
X = u>2Ma, Y=lMa
Y X 1 J
691. Если назовемъ Т моментъ инерціи оси и плеча, то моментъ
инерціи вращающагося тѣла
Т+тх2.
Его величина—перемѣнна, поэтому уравненіе:
ѵ . Момеитъ силъ
Угловое ускореше = м
г Моментъ инерціи
не примѣнимо.
По теоремѣ живыхъ силъ: L — L0 = A, но такъ какъ ра-
бота А = 0, то
L = L0
или у ( Г+ т \*) to- = -j ( 7+ т а2) о>о2,
.> .> Т -\- пг а2
откуда: о>- = со0- ^—~.
692. Пусть барабаиъ уже иовернулся на уголъ (f, тогда
<^jV = х d cp.
Послѣ одного поворота барабана его радіусъ х уменыпается на
{R-r)d
h
Слѣдовательйо, послѣ поворота на ^ср радіусъ уменьшается на
, (R — r)d , ,
dx = — -—fr—r— .dv = — а .dy.
Интегрируя это выраженіе, получаемъ:
х = R — а <р
Г 1
и у = I (R — лср) rfcp = /?9 — *ѵ ^ ¥2-

— 275 —
Часть каната намотана на барабанъ и вращается вмѣстѣ съ нимъ;
моментъ инерціи этой части каната
г
[
J
гдѣ q—вѣсъ единицы длины каната.
Если Т— постоянный моментъ инерціи барабана, то моментъ
инерціи вращающагося тѣла:
это—перемѣнная величина и поэтому уравненіе:
лт . Моментъ силъ
Угловое ускореніе = й —
J r Моментъ инерціи
пе можетъ быть примѣнено.
Теорема живыхъ сидъ для даішаго случая гласитъ:
Живая сила барабана и намотанной части каната + жи-
вая сила осталыіой части каната + живая сила гру-
за G = работа груза G -\- работа вѣса падающей части
каната qy.
Или:
Ho угловое ускорсиіе каната
ѵ
X
слѣдовательио:
гдѣ «2 = /fa j
18*

693—694. -276-
693. Если То— моментъ инерціи системы относительно 0, то
общее выраженіе живой силы:
Называя Та — моментъ инерціи относительно центра тяжести S и
введя обозначенія:
получаемъ: То= Ts-\-М а1, T=TS
и поэтому: L = -J- Т «2 + -J- АГ(я2 — s2) w'2.
Чтобы это уравиеніс было тождественно съ даннымъ, необходимо:
(äi — si)afi = v2
и, такъ какъ: г» = го>, то: л2 — 52 = г2,
т.-е. всѣ точки Р должны лежать на кругѣ діаметра OS.
694. Но теоремѣ о движеніи центра тяжести его ускореніе
Y« = —fg \/—коэф-тъ тренія]
и его скорость
Валъ остановится по истеченіи времени
Угловое ускореніе вала отиосителыю его оси
_ Моментъ силъ_ _ — ,fG а _ 2fg
~ Моиентъ инерціи ~ 1 G 4> ~" ^ '
угловая скорость
о) = О)о + Х/=о)о-^
Скорость точки касанія вала съ опорою:
vs -f- а со = ѵ0 ~\- а о)о —
Валъ начнетъ катиться по плоскости, когда точка касанія остано-
вится, т.-е. по истеченіи времени:

-277- 695—697.
695. Основныя уравненія движенія центра тяжести ß вращенія
около центра тяжести:
пМа
Гдѣ х =-ij- £os cp, y = -^sm (f коордииаты цептра тяжести, М—масса
бруска.
Найдя ..г и (. ^ и исключивъ Л и /і, пзъ послѣдняго уравне-
иія, получаемъ
3 іг
/. — 4. . - cos ф
In1
и, такъ какъ wdw^l.dy:
(о- = -— (5//^ 0 — sin ср J,
гдѣ сро—начальное значеніе ^.
Два первыя уравненія даютъ окоичательно:
/> = ' 6'бѴ>5 Ср | 3 5/// (р — 2 SUI 9oJ-
696. Когда не будетъ давленія В, слѣдователыш при:
2 .
G
697. Обозначаемъ черезі> А давленіе на опору А, тогда А =»~.
Ио удаленіи опоры В, центръ тяжести бруска получаетъ уско-
реніе
GS~ 4 ?

698—700. - 278 -
Брусокъ начинаетъ вращаться около А съ угловымъ ускоре-
иіеиъ
_ Gx
/ [2 \
гдѣ T=Ml-sä -{- .r2 ) моментъ инерціи бруска относителыю А.
Такъ какъ у,. = хі, то искомое разстояніе между опорами:
698. Аиалогично предыдуіцему. Давлсиіс — '■.
699. Если D—искомое давленіе въ А и Ву М и G—ыасса и
вѣсъ пластшши, Т— ея момеитъ ішерціи относительно А В, то уско-
реиіе центра тяжести:
и угловое
гдѣ: с- = -^
Изъ у„ =
ускореніе отноеительно
е\ слѣдуетъ:
.-_> _ !
D -
AB:
Gc
= 4'
'2(г — радіус/ь пластинки).
700. Началыюе давленіе въ опорѣ F есть -^.
По удаленіи опоры /^ ускореніе центра тяжести 5:
G — D
Ъ - м
и если давленіе D въ F остается безъ измѣненія, то
1
Угловое ускореніе пластинки относительно F:

-279- 701—702.
моментъ иііерціи пластинки относительно F:
Т = -j М (а14- Ь2) -\-М(а2 — Ь1),
гдѣ а и й—ея полуоси.
Ho: Y«
откуда: За
и числовой эксцеитрицитетъ
701. Если G—вѣсъ пластинки, 5—начальное натяженіе нити А В,
то ускореніе цеитра тяжести
_G—S
Въ нервое мгиовеніе пластинка вращается около точки О, которую
получимъ въ пересѣченіи А В съ горизонталыо, проходящей черезъ 5.
(Сравн. зад. № 676).
Момснтъ инерціи иластинки отиосительно 0:
угловое ускореніе относительно 0:
, Gb
Но у« = Ъ \ откуда получаемъ искомое натяженіе нити А В\
S-G -
702. Разрѣзая OB и называя черезъ 5—натяженіе каиата ОЛ,
х и у—координаты центра тяжести балки, <р—ея уголъ отклоне-
нія отъ горнзонтали, Л/—ея массу, имѣемъ для перваго мгно-
венія:
сіг
=S.|sm60°.

703. - 280 -
Здѣсь к = —'L.- есть радіусъ ииерціи балки относительно центр
тяжести.
Далѣе, послѣ перваго момента движенія балки пусть
тогда:
а . .
х = -у cos ср — а sm cp
jy = -t|- 5/;/ cp -\- a cos ф,
откуда:
л*2 +JV2 — я л: t:o5 cp — ау sin ¥ = -та2
или, такъ какъ ср въ первое мгновеніе весьма мало:
л*2 -\-у2 — а х — ау ф = -j- ^2.
Дифференцпруя два раза по / и заыѣчая, что въ началѣ:
получаемъ:
ti,(Py d-х 7d-y n
iAdfiaW-nhdfl=l)\
откуда, принимаемая во вішнаніе три первыя уравнеиія, получаемъ
иатяженіе каната ОАвъ первый момептъ:
703. Если q—вѣсъ единицы длины цѣпи и призма получила
влѣво ускорсніе у, то на лѣвую часть цѣпи дѣйствуетъ направлен-
ная вправо сила инерціи —. у; тогда при равновѣсіи натяженіе
цѣпи въ верхнеи точкѣ:
qa
= qa sin a — -— y cos a.

-281- 704—705.
Также получаемъ натяженіе въ правой части цѣпи:
Для равиовѣсія необходимо: SL = S2, откуда:
S2 = q a sin ß -f- --— у cos ß.
704. Обозначивъ черезъ М ч Мх иассы G в Gt, f в yj—ихъ
ускоренія, имѣемъ:
_ G — 2 /J Äi»_a _ jr^
Z) cos а d'1 х
Вводя обопначсііія ОЛ~у, ОВ — х, получаемъ:
ѵ = .ѵ ctg a,
Изъ этихъ уравнснііі слѣдуетъ:
D= ѵ..„ .?..^і ...
со5 а (G cotg cl-\-2 Gx fg a)
T — £ ^'cöff^TG^tgli
„ =tr _ G_
"l ~ A' G~cofgä+ 2 Gi /§• a '
Такъ какъ у и уі—постоянны, то законъ движеиія клина:
и—каждои пластинки:
х = "2"
705. Обозначая силу тренія черезъ /?, получаемъ, по теоремѣ о
движеніи центра тяжести, его ускореніе;
Y«==
направлешюе влѣво; М- массэ катка вмѢ^тѣ съ валомъ. Если мо-

706.
ментъ инерціи Т катка и вала относителъно его оси = Mk'2, то
угловое ускореніе катка около его оси:
. _ Pa — Rr
к~ Mk2
Такъ какъ самыя нижнія точки катка имѣютъ скорость, равную
нулю, то Ть = г\.
Послѣ подстановокъ получаемъ наименыпее зиаченіе силы тренія:
о р а r -f- k2 cos 2
r2-\-k2
и вмѣстѣ съ тѣыъ:
_ Р ѵ (п — r cos a)
Ч*-£--(;--—^ + р- •
Такъ какъ уя—постоянно, то центръ тяжести движется равномѣр.
но-ускоренно.
706. Дѣйствующая на центръ тяжести цилиндра горизоытальная
сила:
H=k .SA.cosy—F=kx — F.
Угловое ускореніе относительно центра тяжести:
l-Fr Т- 1 G г2-1 Мг2
Т' T~g~ Т
Называя о>—угловую екорость цидиндра относителыю его оси, ѵ„ —
скорость центра тяжести и принимая во вниманіе, что самыя иижнія
точки цилиндра имѣютъ скорость, равную нулю, получаемъ:
vs = гсо
dv8 , Н
откуда натяжеиіе нити:
и горизоптальная сила:
H=-jkx.
Центръ тяжести совершаетъ такимъ образомъ колебательное прямо-
лииейное движеніе около О.
Приложенная къ центру тяжести вертикалыіая сила:
ѵ = ky — G.
Слѣдователыіо, чтобы цилиндръ катился, G должію быть больше ky.

-283- 707—708.
707. Называя черезъ М—массу движущагося шара, — G — его
вѣсъ, получаемъ тангенціальное и нормальное ускоренія его центра
тяжестн:
Для движеція шара около его центра тяжести:
d4_R^a
~ dfi ~ Т ~ '
2
гдѣ Т— моментъ инердіи шара -=-^Ма\ 0 есть полный уголъ по-
ворота шара, считая отъ пачалыіаго его положенія; такъ что:
а ({) — ср) -=■ I) ср.
Изъ этихъ уравлеиій нолучаемъ:
f
\dt
и наконецъ:
D G
df1
_ 10 G (1—^5 cp)
~1Щ Ь~
R = ... - G sin cp
^ 2 sin ^
f> Tlcosy-^W
708. Называя черезъ Мі М2 массы обоихъ валовъ,—г± г2 ихъ
радіусы, -у! у2 ускоренія ихъ центровъ тяжести, получаемъ уравне-
нія движенія:
Л/1(у1 + у) = С15ша —S
^2 (Т-2 Т) =

709. - 284 -
ГДѢ Yi + Y> Y-2 ~~ y—ускоренія центровъ тяжести относительно сколь-
зящей ленты, движеніе которой принято направленнымъ вправо. На-
зывая далѣе \ І2—угловыя ускоренія валовъ, имѣемъ:
M2l
Yl = Г1 **1> Y'i == Г2 ^2»
откуда получаются ускореніе скользящей ленты:
i sin a — Go 5/;г 3
j—^—
Y =
и ея ііатяженіе:
x Go {sin a -|- 5/;
709. Пусть .r и jv—координаты центра тяжести бруска AB,
9— уголъ, образуемый во время движенія брускомъ съ вертикалью Y,
.Л/—массу бруска, А—давленіе на полъ, тогда уравненія движенія
бруска имѣютъ слѣд. видъ:
щ Ml1, -j* = А jsin y—jAj cos (f.
Далѣе
откуда
d'Kx
Изъ приведенныхъ выше трехъ уравиеній получаемъ угловое уско
реніе бруска:
. rf2cp _ Sgsiny

- 285 - 710.
и изъ o)d(i) = ld(? интегрированіемъ имѣемъ:
гдѣ ß—начальное значеніе <р.
Для 9 = 90° имѣемъ о>2 = -£- cos ß; слѣдовательно, скорость точ-
ки В при ударѣ:
Далѣе, давлеиіе:
А = -у (1 — 6 со5 9 ro5 ß + 9 cö52 9).
He касаться пола брусокъ не можетъ такъ какъ, при Л = 0, cos <p
становится мнимыиъ.
710. Пусть М— масса вала, г—его радіусъ, D—давлеиіе между
валами,
ВО=у, ОС=х,
тогда ииѣемъ
ускореніе точки В:
1 dfi~ М
и ускореніе точки С:
_d2x _D sin 9 *
Дифференцированіе перваго уравненія даетъ:
dx dy_~
далѣе
еРх
или
д--' \dt

711. -286-
Исключая при помощи двухъ уравненій для у н ух давленіе D и
x
j, и принимая во внимаше соотношешя:
изъ послѣдняго дифференціальнаго уравненія получаемъ слѣдующее:
8 **у (iff+(161Л ~уі) jw
или
или
и скорость средняго вала:
о /^>\2 /- о 4г2—у2
0 \dt) х5*-)/4
Въ началѣ ѵ = 0, jv = г ]/ 3 и, слѣдовательно,
и скорость въ иомеитъ прикосііонсііія средияго ішла съ нлоекостыо:
п . 2 і/З
JV = 0, гѵ = —^
711. Называя черезъ М и Л/х—массы точки п клина, Gx—
вѣсъ послѣдняго, получаемъ дифференціальныя уравненіа движенія
точки G:
и такъ какъ клинъ ииѣетъ ускоренное движеніе, то уравненія дви-
женія точки В:
^ D /(ß — а) + А Ä/« а

— 287
Далѣе
У—Уі=(* — хі) *g {$ — *)'
и
у1 = (а— хг) fg a, гдѣ а = ОЕ.
Два послѣднихъ уравненія даютъ
<?у _<?*
_( _),„ _а)
dt2 df- \rifl dt'2) * (? '
dfi~ dfi •
Изъ этихъ двухъ и первыхъ четырехъ уравненій получаемъ:
d2 х _ G1 cos ß cos a sin (ß — a)
d- y I . (f\ cos f! cos a cos (ß — a)~|
Ж*~~к\_ " (,\-\-'с;'ыЩ J
d2.Vj ro.s-a |d\ sin a-\-(isin ßcos(ß — a)]
"d'fi = Л' Л\ -| - Csin- ß
^jj'i .sv// a 16\ .sv« a -)- 6r .sv// ß cos (ß — a)]
откуда:
а) Ускореніе Yi клина по наклонной плоскости, если AB = s1:
_ 6'j лѴи a-\-G sin ß co.9 (ß — a)
": A"" ~"~ gT+g1üF$
Движеиіс рашюмѣрно-ускоренное, и
b) Ускорвніс у точки G по поверхности клина, если CG = s,

712. - 288 -
или, такъ какъ:
(Ь — s) cos (} — а) = х — х1}
Y__J
' cosQ — а
(G -f- Gx) cas a sin
и такъ же, какъ и выше
с) Траэкторія абсолютнаго движенія точки G есть прямая;
уголъ (р ея наклоііа къ горнзоитали:
j -\- G s/n2
„ __ il/ d2x GGV cos acos
e) Dl = (M^+Mld^
J \ df21 l d
712. Пусть BC = s, тогда имѣемь:
.s\.s7>/ a—--2n sin cp
—- sm a = l a cos cp . -.-;•
dt T r//
и, обозначая
-J7j- 5f« a = 2rt (>. CO5 Cp — ü)'2 5///- ^).
Натяженіе 5 нити по теоремѣ д'Аламбера находимі> изъ ур.:
или
smii-Uosy) (1.
Называя далѣе #, у—координаты цеіітра тяжести бруска, Mt — его

— 289 —
массу, А и В—реакціи плоскостей въ А и В, получаемъ:
Мх -j-ß - = S cos a. — Bst'na (2.
(3.
М^ k2 . -~j~ = B a cos (a — cp) -j- .S a sin (a — <p) — A a cos cp . . (4.
(Здѣсь k= -j.-. есть радіусъ инерціи бруска относительно центра
тяжести.)
Изъ геометрическихъ соотношеній
х = а(2-\-2 sin cp cotg a — cos (?)
у z= a sni cp
слѣдуетъ
/ --- a (•) (2 cotg a coso-4-sin cp)
dt
dy
; ~ a w cos CP
dt r
' далѣе:
-— = a (o2 (— 2 cotg a sin cp -\- cos cp) -f-
i-5w<p) (5.
Исключая изъ уравііеній 1—6:
находимъ
d'2 v o , . ,»
; --- — <7co-s///<p-)-tf X^oscp (b.
2X < Pcos-y -1 61 ras a cö5 9 ros (a — 9) -f -«■ rf a | -f
+co - {G cos asin (a — 2<p) — P^/V/ 2 9 J =
= ip- ^05 cp 5/'n a (2 P — G sin a)
19

713—718. -290-
или
d\K. ü>2} = £-sin
гдѣ К есть множитель при 2 л. Послѣ интегрированія и введенія на
чальныхъ значеніи <р = 0, (0 = 0:
К(о2 = ~- sin a sin 9 (2 Р — G sin a).
Скорость падающаго груза Р найдемъ изъ ур.:
ds 2 а cos ^
dt sina '
т.-е.
n ^ 5//^ Ф COS Ф /o t~» y^> • \
v* = Lag —f^i—:—' yiн— Crsina).
6 Ksina v ;
713. -j.-jr- = k = коэфф. удара.
Ук/2
1
716. Коэфф. удара k = -iy-
Скорость ударившаго шара послѣ удара равна нулю. .
717. Л/о послѣ удара съ Мх имѣетъ скорость:
0 Mj5
послѣ удара съ М3 скорость:
Чтобы это выраженіе равнялось—ѵг должно быть:
718. Такъ какъ количество движенія не мѣняется и удары яе
упруги, то сперва будутъ двигаться два шара съ одинаковой ско-

-291- 719—722.
ростью у, затѣмъ три шара со скоростью -^ и> наконецъ, четы-
* ѵ1
ре—со скоростью ~ •
719. Называя черезъ ѵі9 г'2—скорости паденія обоихъ грузовъ
GY и G2, въ моментъ удара, имѣемъ:
и количество движенія цередъ ударомъ:
— (Gii'L—Gv
Количество движенія послѣ удара:
Приравнивая ихъ, получасмъ:
720. Пусть передъ иервымъ ударомъ скорогть = г\\ тогда передъ
вторымъ ударомъ
7\2 — — 7\ k,
гдѣ k — коэф. удара; промежутокъ времени между первымъ и вто-
рымъ ударами
а — d
f> = -^-
Вычисляя точно также время между вторымъ и третьимъ ударами
а — d
заключаемъ, что весь промежутокъ времени
*=к + к+ +'»-і
и скорость
_а — d l—knl
ѵі — "-/"" 'F«-i(l--k)'
721. М2=\/М1М9.
722. Принимая для момента касанія С съ В:

723-725. -292-
имѣемъ vxcosa скорость удара, --^-i^cosail—k) скорость шара
С послѣ удара по направленію СВ, v^sina — по направленію, пер-
пендикулярному СВ.
Отсюда слѣдуетъ
2/р-а
Ho
dsin (f = acos( 9— а),
откуда
723. Называя черезъ а уголъ, образуемый г\ съ общей нормалью
къ обоимъ шарамъ, находимъ, что ударяющіп шаръ имѣетъ послѣ
удара скорость г\ sin а по касательной, -~- vL cos a (1 — k) по нор-
мали.
Слѣдовательно:
—2- vt2 =■ ѵ^ sin2 a -\- -j- ѵг2 cos2 а (1 — k)2f
откуда:
cos а = -— 1 / . ...__ п~~ .
П I/ ГЗ M/J-LM
724. Если ср—отклоненіе мяча А послѣ удара, то вообще
cotgcp = cotg a-\- л _. ,—: j. г •
Отсюда для <р = 90°:
cos2а — cosQL = ту-і •
725. Послѣ удара перваго шара второй шаръ имѣетъ скорость:
если Л/х и 71/2 массы ударившаго и получившаго ударъ шаровъ.

- 293 - 726—727.
Точно/такъ же, скорость третьяго шара послѣ удара:
скорость послѣдняго
\п -+-1/
726. Если / разстояніе отъ точки привѣса до центра шара, то
скорость шара ML передъ ударомъ:
-coi^j = 2 sin -^
скорость М2 послѣ удара съ М{.
и послѣ удара съ М^
с* = (1 -U ^) г»і -,-і—г-St
2 ѵ ' ; 1М1-\~М
2
скорость Л/:, послѣ удара съ М2:
і f 2 М2
Подставляя по предыдущему
получаемъ
. cl, . а1
.чі» (/ =- sin T
sin -£- = sin -+-
и для частныхъ значеній Ми М2 и Л/3:
727. Пусть Gx вѣсъ бруска, (дх его угловая скорость въ самомъ
нижнемъ положеніи, Ті его моментъ инерціи относительно О; по
теоремѣ о живой силѣ имѣемъ:
Оіт=т і(Оі> і=ту

728. - 294 -
и отсюда скорость нижней точки (точки удара):
Приведенная къ точкѣ удара масса бруска:
и скорость груза С2 (массы М2) послѣ удара:
По теоремѣ о живой силѣ имѣемъ для движенія G2:
1
откуда
728. Скорость ѵъ съ которой конецъ бруска ударяетъ по кубу,
можетъ быть получена изъ теоремы о живой силѣ:
/^ "~~~ -І—іГі ~~~ Уі
или -у 7\ (о/2 = Gi . -д- (1 — cos а).
Здѣсь Гх = -^ і/х /2 моментъ инерціи бруска относительно О, сох его
о
угловая скорость въ моментъ удара. Слѣдовательно
Ѵі = I о)х = ]/ 3 g I (1 — б:о5 а).
Приведенная къ точкѣ удара масса бруска:
Моментъ инерціи куба относитсльно О2:
^, 2 Go 9
Т "2
и, слѣдовательно, прпведевная въ А масса куба:
52 3 g
Ш _ ^2 _ 2 G2
2 3

— 295 -
Скорость точки А послѣ удара:
с, = ѵх (1 + k). ^~щ = ѵх (1 + *)
Живая сила куба послѣ удара:
Для опрокидыванія куба необходимая работа:
A = G* |(l/2 —1J
должна быть менѣе ^){ или:
«.<1-1(^-1) '(1 + *§)".
Другое рѣшвніе: Рхли Л сила удара, происходящаго между обоими
тѣлами, то ея моменты отиосительно Оу и относительно О2 могутъ
быть приравнены разностямъ монентовъ количествъ движенія:
DI =- 7\ (о)0 — wj и Ds= T2со2
Здѣсь со0 угловая скоропъ бруска въ началѣ удара, именно -f.
Отсюда, прежде всего, находимъ:
Т Т
■*■ 1 / і \ ■*■ 9
j£{vi — liö1) = -jd(O2.
Если ударъ неупругій (^ = 0), то тѣла послѣ удара находятся въ
соприкосшшеіііи; слѣдовательно, для точки удара:
/ (о2 =5 (02,
откуда, такъ какъ:
3W
слѣдуетъ: г.2 = 5со2 = ѵ1 щ . L. .
Если коэф-тъ удара ^ не равенъ иулю, то долженъ быть присоеди-
непъ множитель \-\-k\ тогда находимъ уже полученное выраженіе:

729—730. - 296 -
729. Приведенная къ точкѣ А масса М2 балки:
То 1
Ш2 = -f = "ц-м*
и скоростъ массы Мх послѣ удара:
2
если уг = ]/ig h есть скорость передъ ударомъ.
Точка А, находящаяся вначалѣ въ покоѣ, послѣ удара имѣетъ
скорость:
Со Ѵл 6 Мл
откуда: ^ = ^ » J і
^ = ^ » . .
730. Называя черезъ 7І, 7^,, Г3 моменты инерціи брусковъ
относительно ихъ осей вращенія, имѣемъ:
Точки брусковъ послѣ удара имѣютъ скорости:
АС = J^fT\{1 + k) Ѵ
Сіл
п 2 Т
2 Т ѵ1 і Я)
2 73

- 297 - 731—732.
И ск<)рость шара т:
или:
731. По теоремѣ о живоіі силѣ, скорость бруска въ точкѣ
удара:
2 _ 3 g sin a b2
Ѵі _. „.__„,
гдѣ ОА = а, ОВ—-Ь. Скорость сл той же точки послѣ удара
опредѣлиется и.ть ураішсчіія
или, если M.j -^=00 (такъ какъ Уі—неподвиженъ):
Аналогично предыдущему:
слѣдовательно:
k =
\ sin a
732. Если масса пластинки М.ъ то ея моментъ инерціи относи-
7 7
телыю X: jßM2h2, приведенная къ А масса$Ко =т^Л/2.Еслиг;1
скорость ударившей массы Л/1 = тд-Л/2, ^> скорость послѣ удара
точки -Л пластинки, то:
20

733—734. -298-
и для k = l:
С = — V
Такъ какъ пластинка поднимается до горизонтальнаго положенія, то
по теоремѣ о живой силѣ:
откуда: ^ = Го-
733. Моиентъ инерціи кулачной шестерни относительно оси ея:
1 y
1 12 " g ' '
масса кулачной шестерни, приведенная къ точкѣ удара:
_ 4 7\
скорость въ точкѣ удара
^~ 60 •
Ударъ принимаемъ неупругимъ, такъ какъ шестерня и штампъ
послѣ удара остаются въ соприкосновеніи; поэтому скорость штампа
послѣ удара
J)l м с.
И окончательно:
734. Полагая, что SA = a, I длина бруска, Мх его масса,
его приведенная къ А масса, имѣемъ скорость цеитра тяжести 5
послѣ удара:
Cs = Vl Г
1
такъ какъ масса М2 препятствія— безконечно велика.

aoo - 735—736.
Яазывая черезъ w угловую псоропі, отпогительно 5, которую
имѣетъ брусокъ иослѣ удара, находимь:
скорость точки удара А\
cs -\- а (о = — 7>| k,
слѣдовательно, она соверіпепно не зявиситъ отъ п.
735. Если Л/,—масха иластиики, УІ/, р-•■- сн мовкііігь инерціл
относительно прямой, проходяпіей черезъ центръ тяжести и перпеи-
дикулярной къ плоскости чер. .а, то ея угловая скорость послѣ
удара:
ѵх(і+к)
_
' 1
гдѣ г^! скорость паденія нластинки, 3RX приведенная къ линіи удара
Мл р2 / Р2\
масса—;~; coj имѣетъ иаиболынее значеніе, когда.гН-)-^ Інаимень-
шее; послѣднее имѣетъ мѣсто при х = р.
Слѣдовательно, наибольшая угловая скорость пластинки:
736. Пусть въ 5 общій центръ тяжести массы М и рукоятки,
въ Sx—цеитръ тяжести массы М и
OS = z, SSi=yf
тогда имѣемъ: Zy=r/
если (М -f- |х .г) р2 — моментъ инерціи молотка относительно оси,
проходящсй черезъ его центръ тяжести и перпендикулярной къ
плоскости чертежа. Далѣе
/х
z = х-\- а—у
если Т—моментъ инерціи массы М относительно оси, проходящей

737—739. -зоо-
черезъ ея центръ тяжести и перпендикулярной къ плоскости чер-
тежа.
Отсюда находимъ:
\іх2(х-\-За) = 6Т.
737. Должно быть:
му
если Тх моментъ инерціи массы М пластинки относительно X.
1
Но Тх = -J- М г2 -(- Му2, слѣдовательно:
738. Если М—масса треугольника, ys координата его центра
тяжести, то
_ \2ІК _
k~ Mys ' Г|"" Му, '
такъ какъ:
I xydM= ]х I Lxydxdy = \i I xdx.Цг =^кт^
—
ГуЧМ=ѵ. Г Cfdxdy^y. j
^y. jdx .Ц- =
0
„ а Ъ
то: g = T,4 = T.
739. Вычисленіе, какъ и въ предыдущей задачѣ:
I xydM= ja / / xydxdy = ]i I [xdx j
2
0
r
= ± j'x (f- - .v2) dx = |-

- зоі - 740—741.
r 01
Cj?dM=v. f Cy2dxdy = \). f[dx fy2dy\ =
откуда: М= ~- г2, уя = ^-. - -
740. Вычисленіе какъ въ зад. 738.
• 2 *2
/ xydM=\х і I xydxdy= Ji / [>^rfjv I xdx]
bx
Xl-H2
откуда / xydM = KjlLbk2(b2 — bx).
И далѣе, такъ какъ:
1 , , h
-7£ V-bh, ys = -g,
то:
т.-е. центръ удара лежитъ въ срединѣ основанія Ь.
741. Въ В пластинка испытываетъ ударъ. Составляемъ относи-
тельно В момеиты количествъ движенія пластинки передъ ударомъ
и послѣ него и, приравнивая ихъ, находимъ:
Мѵ* . 0 + Гсо = Мѵ \.e-\- 7Ѵ.
Здѣсь М— масса пластинки, Т— ея моментъ инерціи относительно
вертикалыюй прямой, проходящей черезъ центръ тяжести, ѵ8 и vj

742—744. - 302 -
скорости центра тяжести передъ и послѣ удара, е—половина діаго-
нали.
Принимая во вниманіе, что
Т = -тгте2, vj = е<о'
находимъ о>' = ~.
4
742. Пусть М масса бруска АСУ Г—его моментъ инерціи отно-
сительно С, находимъ, что его количество движенія имѣетъ относи-
тельно С моменты: передъ ударомъ Мѵ . -п-, послѣ удара Тм. Здѣсь
(о—угловая скорость около С. Приравнивая эти моменты, находимъ:
Зѵ
и, такъ какъ до встрѣчи А съ ІЗ брусокъ А С повернется на
2
уголъ ср = -о- тг, то искомое время:
<р 4 аіт
о) 9 г^
743. Называя 71/ массу пластинки, — Т ея моментъ инерціи
относительно А Су—г половину діагонали,—В возникающую силу
удара, получаемъ
Г(СОГ — (0)=- ВГ.
Если центръ тяжести пластинки имѣетъ послѣ удара скорость сЯ} то
а сн = г о/.
Слѣдовательно:
. о) _. Мгю
744. Беремъ относительно остановленнаго ребра // иоменты ко-
личествъ движенія куба передъ ударомъ и послѣ удара; приравнивая
эти моменты, получаемъ
М V .-fr = Тід.

-зоз- 745—746.
Здѣсь М— масса куба, Т^-гМа- его момеить инерціи относи-
о
тельно ребра //, w его угловая скорость послѣ удара. Отсюда иско-
мая скорость:
а 3
Живая сила куба послѣ удара
она должыа преодолѣть работу
необходимую для опрокидыванія куба; поэтому должно быть:
745. Составляемъ относительно А моменты количествъ движенія
передъ ударомъ и послѣ удара; и приравниваемъ ихъ:
Здѣсь Т моментъ иыерціи призмы относительно ребра А, (о ея угло-
вая скорость послѣ удара. Отсюда.
5о а
Необходимая работа подъема призмы для ея опрокидыванія должна
быть мсліѣе живой силы призмы послѣ удара, т.-е.
~- (7 - \~МХ Ä&) о)2 > (М, + MJ g(AS- y а\
гдѣ S обіцій центръ тяжести призмы и массы Мѵ Но
А S = -g- a,
отсюда:
пла лаа mt\аі\ ЮОО W/ \mt~\
746. ѵ = 16,6 . — 60 . оллті— = ѵ - л •
sec I 3600 sec lsec J

747—762. -304-
747 y -12713 76 километ- Гэ 81 mt ѵ 100° mt l
747. T_W7W,/b рИѴj
748. / =
l
J
4
750. Надо увеличить въ 10 разъ единицу времени.
749. Y = 1,831 Г9,81^ = Т.2£ А=0,
751. 1 Р5=542 англ. футъ-фунтъ-секунда.
\lbkgfnt __ г> 0,454/^.0,305;;//]
[ ' sec ""' 1 бгс J'
752. 1 Р5 = 75^ = 735,75 ^^
753. 7;= Г. 981 . 105. [Г.
754. *-l *gg [64285,71 ФуНТЪ ' ♦*"' = x ^-
5^2 [ ' минута2 5^c
755. x = 7411 -te* Idoo. ^7: = ж. фііт-;1
дюимъ2 у спг дюимъ^
756. а L-1; b ML-1 T~2.
0,054. ™ = bj
cm2 д
cm2 дюимъ2]
758. а ML-(n + 1)Tn-2-
759. а ML~%\ ß il/Z."'A7'-1/'.
760. и Г-1; а Z; ß ^Г-2;
761. а /.-іГ2; ß Г2.
а = 0,00008848; ß остается безъ измѣненія.
762. а L4tT-l\ ß Т-К
а = 63,8352; ß остается безъ измѣненія.

- 305 - 763—769.
763. abc имѣють измѣреніе L'^T"1
Mi „ „ ЛѴ
Опредѣляемъ
A = ft1 = 0,00275!)
г = 1,78.
764. Такъ какъ измѣреніе А равно нулю, то измѣреніе числа
L2
1250 равно M-XL Г2 или -т?, гдѣ К измѣреніе силы.
765. Если измѣреніе силы назовемъ /ѵ, то число 0,00277 имѣетъ
измѣреніе Т1 П°К~2 и въ новой системѣ единицъ будетъ равно
0,27569.
766. Если измѣреніе силы назовемъ К, то числа эмпирическихъ
формулъ 7,40 и 0,0(5 имѣютъ измѣренія L '■'*, К Т~J и К~ ѵ* L Т^*.
Такъ что находимъ слѣдующія уравнеиія измѣреній:
7 . mtV* = х . футъ*«
40 . ^//о . часъ ~г =у . фунтъ . часъ -х
0,06 . kilo ~ '/*.;«/. часъ ^ = z . фуптъ ~ '/«. футъ . часъ '/'*,
откуда получаются новыя формулы
767. Если назовемъ А" измѣренія силы, то для чиселъ 0,045
и 0,5 наіідемъ измѣренія K~~X^L и L. Получаемъ уравненія измѣ-
реній:
0,045 . kilo -' *. cm = х . фунтъ - *■*. дюймъ
Q,bcm=y . дюймъ,
откуда слѣдуетъ новая формула:
<р = 0,012 |/Р+ 0,2.
768. г/, іУ, /^, г имѣютъ измѣренія:
Z.71-1, АГГ-1, Z,2, Z3^-1;
слѣдовательно, число 3600 не имѣетъ измѣренія и, поэтому, вообще
не измѣняется отъ перехода къ новой системѣ единицъ.
769. Уравненіе содержитъ четыре различныхъ единицы длины:

770. -306-
mm, cm (въ атмосферахъ), dem (въ литріхъ) и ті Называя ихъ
иослѣдовательно *
L8:Z2:Z1:Z = l:10:102:108
и обозначая единицу силы (килограммъ) чер^зъ АГ, щшзаемъ урав-
неніе измѣреній: '■*• л
или /= 15 1/~ . ^А
А>
Слѣдователыю, число 15 имѣетъ измѣреніе
ІІереведя всѣ величины уравиенія иа ;///, иаходимъ:
Ib. L-tL^KL^Lf^x.L-tL-^L
откуда д; = 15 .10~"'Ч
Переведяже ихъ на ш, имѣемъ:
откуда ^ = 15 .10-10.
Слѣдовательно, новыя уравненія:
/= 0,015 Y1—, /= 15 .10 -
10
770. Въ уравнеиіи содержатся двѣ единицы силы (килограмыъ и
тонна) и двѣ единицы длины (километръ іі метръ); единица вре-
мени (часъ) доллша быть замѣнена новою единицей (секунда). Эти
единицы находятся въ слѣдующихъ соотношеніяхъ:
А^ = 1000 А^, Z1 = 1000A Тг = 3600 Т.
Измѣреніе числа 0,0052:
К Tj>
Слѣдовательно, новый коэффиціентъ k (для системы единицъ кило-
граммъ-метръ-секунда) удовлетворяетъ уравненію: ,,
откуда £ = 67392 . 10 ~9.

ОІІІІЧАТКИ.
Стра-
ница.
15
16
22
29
29
30
38
44
46
40
48
48
48
48
48
53
59
61
71
71
74
76
94
97
105
109
110
112
113
115
135
№№
задачъ
или
рѣше-
ній.
88
93
144
194
196
200
235
277
286
288
297
299
297
300
300
324
356
363
418
421
437
447
551
564
624
644
647
661
668
677
5
Стро
ка.
1
1
3
1
4
1
2
1
1
1
1
3
1
5
4
3
1
3
1
3
2
4
4
1
2
4
1
3
Сіифху
( ІІІІ.іу
гскі пі
і
СН.
св.
сн.
сн.
св.
св.
св.
св.
сн.
св.
сн.
сн.
св.
св.
св.
сн.
сн.
св.
св.
св.
св.
св.
св.
сн.
сн.
св.
сн.
сн.
і
Напечатано.
ВС --:■= р
длиною А
гл гл гл гл
ѵ\, Ь,2 І*з> U|.
s1,
А
разстояніе
R
К
} AB
ABC
стержня составляютъ
силы,
f f2 f ,.
f
U
квадрата
a
a
c y
уже
отъ нея,
каченія
шой
перемѣнится
на клину.
Слѣдустъ читать.
ВС = Ь
длиною а
AB-2а
^І» ^2> ^*2; ^І •
d
а
радіусъ
Р
k
АС
АСВ
стержняа составляютъ
силы Р,
\
квадранта
а
a
сѴх
d = 30 cm. Давленіе
пара позади поршня
5 at., передъ поршнемъ
1 at. Коэфф. пол. дѣйств.
машины т) = 0,7.
же
отъ нея, притяж. точки
Oj на ед. разст. = к;
касанія
f
шій
перемѣстится
относит. клина
Основаніемъ всѣхъ си-
ловыхъ тр-въ служитъ
сила Р.

№№
задачъ
или
рѣше-
.ній.
Стро-
ка.
Сверху
снизу
текста
№
Напечатано.
Слѣдуетъ читать.
20
22
26
38
44
65
81
199
209
294
301
316
330
338
356
358
363
412
437
439
485
504
534
622
626
658
659
670
1
1
1
1
2
1
5
1
1
2
4
1
1
3
2
2
2
4
3
3
1
5
5
19
2
1 и2
2
1
3
св.
св.
св.
св.
св.
св.
сн.
св.
сн.
св.
сн.
св.
св.
св.
св.
сн.
сн.
св.
сн.
св.
сн.
св.
св.
св.
сн.
св.
сн.
сн.
сн.
п
m = a
r3
sin
Д.
COS-
2a
[I(4h2-3s2)-3x2s2]
bcos (<? + p)
CSO P
f=l+H T. Д.
E и G
p
i'i
Sin (<p
20k
p)
77
tti—1
y
Ускореніе ѵ =
+ +
_
C . COS (<p —
нормамъ^
M2
воза
y = 0
GG1r1
h2
k
т^ m2 = а
sin (рі
008^= -COSa3=±HT. Д.
2
Реакціи оіюръ A, B, C
неопредѣлимы, т. к.
направленія ихъ пе-
ресѣкаютъ вертикаль,
проходящую черезъ
центръ тяжести тр-ка,
въ одной точкѣ.
[id.p
bcos (9 ± о)
COS р
f = 1 — и т. д.
Е и Р
Рі.
Гі
sin (f — р)
P = 20kg:Q = 77 kg.
і/2 ttt—t2
(2 + 2bt)34
y
Ускореніе 7 =
+ +
l + 2 + З
C . COS (<p + Ф)
нормади
вала
V ~~ Яі
l9a r

Отъ издателя.
Обращаю вниманіе читателей на слѣдующее:
Первое—по причинамъ техническаго характера въ чертежахъ за-
дачника имѣются нѣкоторыя особыя обозначенія, такъ килограммъ
(kg) обозначенъ одной буквой—k, метръ (mt)—т, тоіша (tn)—Т.
Бторое—задачи, помѣченныя звѣздочкой (*), требуютъ отъ рѣ-
шающихъ знанія высшаго ^иатематическаго. анализа.
Третье—имена, папечатанныя курсивомъ въ концѣ многихъ за-
дачъ, указываютъ на авторовъ этихъ задачъ.
Наиболѣе часто встрѣчаются имена Walton\ и Routlib. Въ
нѣмецкомъ изданіи своей книги Биттенбауэръ говоритъ, что изъ
трудовъ IV. Walfang онъ пользовался главнымъ образомъ сочине-
ніемъ: СоИесНоп о/ Problems o/ the Thcoretical Mcchanics, a
изъ трудовъ Е. J. RoutKb сочиненіемъ: Dynamik der System
starrer Körper.
При чтеніи задачъ слѣдуетъ обращать вниманіе на чертежи, такъ
какъ часто въ нпхъ можно найти дополнительныя, необходимыя къ
задачамъ данныя.

Отъ редакторовъ.
При редактированіи русскаго перевода мы стремились къ пра-
вильной и по возможности близкой передачѣ на русскій языкъ со-
держанія нѣмецкаго подлинника, совершенно ие касаясь критической
оцѣнки его, почему передъ всѣми, имѣющими пользоваться этимъ за-
дачникомъ, слагаемъ съ себя отвѣтственность за правильность пред-
лагаемыхъ авторомъ рѣшеній.

Предисловіе къ русскому переводу.
Задачпикъ Wittenbauer\, переводъ котораго лежитъ передъ
читателемъ, содержитъ въ себѣ 770 задачъ. Среди этихъ задачъ есть
лростыя, есть и сложныя, требующія уже нѣкотораго навыка въ
обращеніи съ основными методами механики. Каждый, кто возьметъ
этотъ задачникъ въ руки съ цѣлыо усвоить при помощи него меха-
нику, задается, навѣрное, вопросомъ, какимъ образомъ можно из-
влечь изъ этого собранія задачъ наибольшую пользу: слѣдуетъ ли
рѣшать всѣ задачи подрядъ, или остановиться на тѣхъ изъ нихъ,
которыя попадутся «иа глаза». Разумѣется, нитотъ, ни другой прі-
емъ не дадутъ возможности вполнѣ использовать задачникъ для ос-
новательнаго знакомства съ мехапикой. Желаніе рѣшать задачи под-
рядъ обыкновешю приводитъ къ тому, что первые десятки задачъ
рѣшаются весьма охотно, послѣдующіе уже съ лѣкоторымъ прииуж-
денісмъ, благодаря одиообразію въ задачахъ на одиігь и тотъ же ме-
тодъ, для рѣшсиія же далыіѣйшихъ десятковъ и сотенъ задачъ уже
не хватаетъ ни энергіи, ни времени, и, можегъ быть, лишь одинъ изъ
тысячи будетъ въ состояніи довести свою работу до конца—прорѣ-
шать всѣ 770 задачъ, да и здѣсь можетъ возникнуть вопросъ: не
могъ ли этотъ самоотверженный человѣкъ употребить свое время съ
большей пользой? Второй пріемъ—рѣшать задачи безъ опредѣленнаго
плана, какія попадутся на глаза—не раціоналенъ потому, что при
этомъ ыогутъ остаться незамѣчеішыми цѣлые классы задачъ, посвя-
щенные весьма важнымъ отдѣламъ механики.
Остается, слѣдовательно, избрать третій нріемъ: рѣшать изъ ка-
ждой главы лишь нѣсколько задачъ, но зато рѣшать ихъ основатель-
но, не ограничиваясь лишь окончательной формулой, а подвергать

- VI
каждую задачу детадьному ^зслѣдоваііію, опредѣляя вліяніе различ-
ныхъ факторовть^ входящихъ въ заданіе, на окончательный резуль-
татъ, при чемъ ііеобходимо. пользоваться графическимъ изображеді-
емъ, дающимъ возможность сразу, при одномъ взглядѣ на чертежъ,
уловить тѣ или другія характериыя величины и навсегда сохранить
ихъ въ памяти въ видѣ образа той или другой кривой, чего, разу-
мѣется, нельзя сдѣлать съ колонной цифръ.
Пояснимъ сказанное нѣсколькими примѣраыи и, какъ первый при-
мѣръ, возьмемъ зааачх.^№_Д8:
Однородный стержень длины / и массы М притягивается по за-
коиу Ныотона точкой ;//, расположешюй симметрично относителыю
стержня. Какъ велика вся сила ихъ взаимнаго иритяжеиія?
Рѣшеніе этой задачи ведетъ къ слѣдующему ре-
зультату. Вся сила взаимнаго притяженія {R) равна ; \р
k. М. т . .,.
т—> гдѣ (k) — сила притяжешя двухъ массъ,
изъ которыхъ каждая равна единицѣ, расположен-
иыхъ иа единицѣ разстояпія, а (Ь)—разстояніе точки -*%
(т) отъ (А) и (Я), равное "1 /І1 а2
Ф иг. 1.
Шслѣдованіе этоіі »пдачи можетъ быть
сведеио къ изучеиію вліянія раастоянія (<?),
точки т отъ стержня {AB), на величину
силы (/?). Примемъ /=10 ст. и, давая (а
различныя зиаченія 1; 2; 3; 4; 5.... ст вы-)
чисдимъ соотвѣтственныя значенія для {R)\
для а = 1 cm., R = 0,196 k. M. т
для а = 2 ст.9 /? = 0,093 k. М. пг
для а = 3 cm., R = 0,057 k. M. т
Фиг. 2.

— YII -
для а = 4 cm., R = 0,039 k. M. m
для a = 5 яи„ /? = 0,028 k. M. m
Если сюда прибавить еще два значенія для (7?), а именно: (для
а = 0) R = ос и (для а = оо) R = 0, то мы будемъ имѣть
достаточно данныхъ, чтобы построить кривую силъ (R) въ за-
висимости отъ (а), нужно только выбрать масштабъ. Въ нашемъ
случаѣ удобнѣе всего принять, что сила 0,196 k. М. т выражает-
ся отрѣзкомъ 19,6 тт.9 слѣдовательно, единица силы выражается
отрѣзкомъ—г—щ——тт., а потому для (а) = 2; 3; 4; 5 ст
получаются отрѣзтш (у) равпые соотвѣтственно 9,3шш;5,7 тт\
3$tnm;2,8mni. Если эти отрѣзки отложить въ видѣ ординатъ въ
соотвѣтствующихъ точкахъ (ш) и соединить концы ординатъ кри-
вой, то получится наглядная картина дѣйствія силы притяженія
между прямой и точкой.
Возьменъ еще примѣръ такого же рода — задачу АЬ 667.
Орудіе, массы М, помѣщено на шероховатую горизонтальную по-
верхность. Если снарядъ, массы т, покидаетъ стволъ орудія съ от-
иосителыюй скоростью (ѵ), то какъ велико разстояніе, на которое
откатится орудіе?
Рѣшеніе задачи даетъ для этого разстоянія такое выраженіе:
_( Gv у 1
5~ VCi +
fg
гдѣ G — вѣсъ орудія; G г — вѣсъ сиаряда, а (/) — коеффиціентъ
тренія между колесами орудія и почвой.
Изслѣдованіе можно вести въ различныхъ направленіяхъ. Можно
опредѣлить вліяніе скорости (г;) иа величину пути (s), или, мѣняя
вѣсъ снаряда (Q), наблюдать за увеличеніемъ или уменьшеніемъ
того же пути (5). Наконецъ, можно мѣнять вѣсъ орудія G, оставляя
(ѵ) и (G±) безъ измѣненія, и начертить кривую пути (5).
Остановимся на вліяніи (ѵ) на (s).
/ Gv \2 1
Изъ формулы: s = [ )
получимъ:

— VIII —
Предположимъ, далѣе, что единица скорости выражается отрѣз-
комъ {k) mm, а единица пути — (/) тт, тогда (ѵ) единицъ
Фиг. 3.
скорости выразится отрѣзкомъ у = vkmm,а (s) едииицъ пути—от-
рѣзкомъ x = sl mm; подставляя въ формулу для (ѵ) значенія ѵ =
V
г
ОС
= ~г и 5 = -р мы получимъ уравненіе параболы
Это уравненіе можетъ быть построено способомъ, указаннымъ
на фиг. 3. , зная одну точку (Р)у координаты которой пусть будутъ
1
х
о>Уо> ПРИ чемъ Хо=Уо=У£ -j
передъ со-
бой эту кривую, легко видѣть, какъ вліяетъ скорость снаряда (ѵ) на
величину (5).
Укажу еще на одну задачу № 371, дающую новый примѣръ из-
слѣдованія. Въ этой задачѣ говорится, что однородная цѣпь длины /
лежитъ частью на шероховатомъ столѣ, часть же ея перекинута

— IX —
черезъ гладкій блокъ (В) и свѣшивается внизъ. ТреОуотсн уинаті»
длину (0) свѣшивающейся части при условіи, что имѣетъ мѣсто ран-
новѣсіе. Рѣшеиіе этой задачи даетъ слѣдующій результатъ: искомаи
длина (г) опредѣляется изъ уравиенія:
2_2 z
ho это уравненіе—квадратное, слѣдовательно, существуетъ два корня
(%) и (0.2); какое же изъ нихъ представляетъ истинное рѣшеніе
задачи? Изслѣдовать этотт» вопросъ и выясііить механическій смыслъ
полученных7> результатовъ представляетъ весьма важиую и плодотвор-
ную работу.
Въ заключеніе приведу еще задачу Ш 457:
Ерыша должна получить такой наклонъ, чтобы дождевая вода
стекала съ нея въ кратчайшій срокгь. Какъ великъ долженъ быть
при этомъ уголъ ср, если принять, что вода начинаетъ свое движеніе
на конькѣ крыши со скоростью ѵ0? Рѣшая эту задачу, мы при-
ходимъ къ слѣдующему уравненію:
Это уравненіе, какъ видно, полной четвертой степени и можетъ
быть рѣшено обычнымъ порядкомъ лишь съ болыыой затратой вре-
мени и труда. Несравненно болѣе быстро можно достигнуть цѣли
сдѣдующимъ простымъ пріемомъ. Замѣнимъ tg cp черезъ (z) и раз-
дѣлимъ обѣ части нашего уравненія на два самостоятельныхъ но-
выхъ уравиенія:
Затѣмъ построимъ каждое изъ повыхъ уравиеній въ видѣ кри-
вой, отпося ихъ къ однѣмъ и тѣмъ же осямъ координатъ. Въ на-
шемъ случаѣ уравненіе (II) представляетъ просто прямую линію,
наклоненную къ оси абсциссъ подъ угломъ (а), причемъ tga=
—^ . Кривая, соотвѣтствующая уравненію (I), найдется легко по
точкамъ, и тамъ, гдѣ эта кривая пересѣчетъ пряыую, (у) будетъ

— X —
равенъ (У), а потому абсцисса точйи пересѣченія (я0) будетъ пред-
ставлять собой искомый корень. Самъ же уголъ (ср0) получится на
томъ же чертежѣ (фиг. 4), проведеніемъ линіи (а 6), потому что
0О = 1. tg ср0.
Такимъ способомъ можно, конечно, рѣшать и болѣе сложныя,
трансцендентныя уравненія, при чемъ затрата труда сводится къ
, минимуму, а надежность результата значительно
У "і возрастаетъ, благодаря простотѣ и наглядности
этого пріема.
Предлагаемый мною методъ использованія ма-
теріала, собраішаго въ этомъ задачникѣ, имѣетъ
на мой взглядъ еіце ту хорошую стороиу, что
Фиг. 4.
онъ дастъ работающему большой иавыкъ въ самыхъ разиообразныхъ
вычислеыіяхъ, а между тѣмъ эта сторона дѣла обыкновенно совсѣмъ
упускается изъ виду, несмотря на ея исключителыіую важность, въ
особенности для инженера.
Л. Смирновъ.

Со держані е.
L Статика.
CTI\
1. Силы съ одиой общей точкой приложеиія 1
Зад. 1—19.
2. Равновѣсіе точки 4
. Зад. 20—49.
3. Система силъ въ плоскости 9
Зад. 50—71.
4. Равиовѣсіе системы силъ въ плоскости 12
Зад. 72—88. .
5. Равновѣсіе нѣсколышхъ системъ силъ въ плоскости 15
Зад. 89—108.
6. Центръ тяжести плоскихъ линій 19
Зад. 109—127.
7. Центръ тяжести площадей 21
Зад. 128-167.
8. Опоры / 25
* Зад. 168—196.
9. Статика сооруженій 30
Зад. 197-226.
10. Система сйлъ въ пространствѣ 36
Зад. 227—240.
11. Равцовѣсіе системы силъ въ пространствѣ 39
Зад. 241-254.
12. Па^аллельныя силы въ пространствѣ 41
/ Зад. 255—262.
13./1[ентръ тяжести тѣлъ • 43
7 Зад. 263—282.
X14. Принципъ возможныхъ перемѣщеній 45
Зад. 283-307.

— XII -
I
CTP.
15. Равновѣсіе при участіи тренія . . . 50
Зад. 308—335.
16. Простыя машины 55
Зад. 336—363.
17. Цѣпныя линіи • 61
Зад. 364—380.
II. Кинематика точки.
\1. Прямолинейное движеніе 65
Зад. 381—408.
2. Діаграммы 70
Зад. 409—419.
3. Криврлинейное движеніе 71
Зад. 420-456.
4. Несвободное движеніе 77
Зад. 457-471.
III. Кинематика системы.
1. Простыя движенія тѣлъ 81
• Зад. 472—481.
2. Сложное движеніе 82
Зад. 482-492.
3. Движеніе на плоскости • 84
Зад. 493—514.
4. Движепіе въ простраиствѣ . 88
Зад. 515-521.
5. Относительное движеніе 89
Зад. 522-536.
IV. Динамика.^и
1. Работа и мощность 93
Зад. 537—569.
2. Полярные моменты инерціи 98
Зад. 570-580.
3. Моменты инерціи тѣлъ 100
Зад. 581—602.
4. Живая сила 102
Зад. 603-622.

- XIII —
пт.
><5. Теорема живыхъ силъ 1(15
Зад. 623—633.
^б. Теорема живыхъ силъ для движенія сь сопротивленіями 1(17
•:і7: ' Зад. 634—645.
.?. Принципъ д'Аламбера • . . . 10!)
Зад. 646—664.
>6. Движеніе центра тяжести 113
Зад. 6(55—677. '
>-9. Вращеиіе около оси 115
Зад. 678-692.
хГІО. Движеніе въ плоскости 118
Зад. 693-712.
11. Ударъ 122
Зад. 713—745.
V. Вычисленіе измѣреній 128
Зад. 746—770.
Отвѣты и рѣшенія 135