/
Author: Барсуков А.Н. Андронов И.К. Молодший В.Н. Зильберман А.Н. Суворов Н.П.
Tags: физика математика педагогика методика преподавания методическое пособие
Year: 1934
Text
УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НАРКОМПРОСА
РСФСР
ПРОВЕРЕНО
т
5ЕНо|
Г- 1
МАТЕМАТИКА
и
ФИЗИКА
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
м-з
-5
-Ч'
4
МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК
№ 1
*»»£**
19 3 4
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
Редакционная коллегия: И. К. Андронов,
A. Н. Барсуков, А. Н. Зильберман,
B. Н. Молодший, Н. П. Суворов,
И. И. Чистяков.
Отв. ред. А. И. Барсуков,-отв. секр. В.-Н. Молодший
Техн. редактор Г. Смирнов
Адрес редакции: Москва, Петровка
Учпедгиз, редакция математики
Сдано в производство 31/Ш 1934 г.
Подписано к печати 10/V 1934 г.
Учгнз № 5793
Зак. № 1574
Тираж 15 ООО
I
Уполномоченный Главлита № Б-37427 I
)-а Образцовая типографняАОгиэа РСФСР „треста и11олиграфкиига“, Москва, Валовая, 28
ОТ РЕДАКЦИИ
Недостаточная осведомленность педагога относительно новейших изы-
снаний в области математики и физики и слабая его методическая воору¬
женность, с одной стороны, почти полное отсутствие на книжном рынке со¬
ответствующей литературы, с другой вот основные мотивы возобновления
журнала (пока в виде сборников) .Математика и физика в средней школе*.
Эти мотивы определяют и двойную задачу, которую ставят перед со¬
бою настоящие сборники: 1) оказать помощь педагогу в деле повышения его
научной квалификации; 2) оказать методическую помощь в его педагоги¬
ческой практике.
Соответственно этим задачам определяется и содержание сборника.
Основными разделами его являются:
1. Научные и научно-популярные статьи по вопросам математики, фи¬
зики и астрономии. Этот раздел ставит своей целью ввести читателя в круг
тех вопросов, разработкой которых занята сейчас научная мысль в СССР
и за границей. Исходя из крайне неравномерного уровня научной подготовки
наших педагогов, раздел будет содержать статьи двоякого рода — как для
более квалифицированных читателей, так и для имеющих сравнительно
слабую научную подготовку.
2. Статьи по вопросам педагогики и общей методики. Содержание
этого раздела составят статьи по вопросам оощего характера, как-то: ана¬
лиз состояния преподавания данной дисциплины в школе, вопросы учета
знаний, роль учебника, оборудование кабинетов и пр.
3. Вопросы частных методин. Сюда входит детальная методическая
проработка отдельных тем по соответствующим дисциплинам. Нужно отме¬
тить, что, поскольку здесь речь идеть о конкретной помощи педагогу в его
работе, мы здесь ориентируемся почти исключительно на слабо подготов¬
ленного преподавателя, ибо он в первую очередь нуждается в такой помощи-
4. Из педагогической практики. Учет опыта мест, фиксация наиболее
удачных опытов проработки той или иной темы, постановки опытоэ, конст¬
руирования пособий и приборов и пр. — таково содержание этого раздела.
Б. Вопросы преподавания за границей. Цель этого раздела — ввести
читателя в круг тех вопросов, над которыми работает педагогическая мысль
Европы и Америки. Обзор программ в средних школах капиталистических
стран, обзор содержания методических журналов, новые книги по методи¬
ческим вопросам и пр. составят содержание этого раздела.
6. Критика и библиография. Сюда входят краткие аннотации на выхо¬
дящую научную и методическую литературу, детальный критический анализ
учебников и учебных пособий и пр.
7- Педагогическая консультация. Цель этого раздела ясна: дать ответ
ка те вопросы, которые возникли у педагога в процессе его преподаватель¬
ской работы.
8. Задачи. Мы считаем целесообразным введение раздела задач, так
как они, во первых, дают хорошую тренировку преподавателю и, главное,
побуждают к самостоятельным изысканиям в области математини. Кроме
задач для педагога, мы вводим упражнения для учащихся; эти упражнения
педагог может использовать как в классе для более подготовленных уча¬
щихся, так, в особенности, в порядке кружковой работы.
Таково, в основном, содержание сборников. Вполне возможно, что
опыт, а в особенности отзывы и запросы педагогов внесут коррективы как
в самое содержание сборника, так и в соотношение между отдельными его
частями. Всякое указание в этом отношении будет нами учтено.
Само собою разумеется, что сборник наилучшим образом выполнит
псставленн/ю перед ним задачу лишь при наличии живой, непосредственной
связи между ним и его читателями. Только при наличии такой связи могут
быть должным образом учтены наиболее животрепещущие запросы педагога.
Эту связь можно осуществить по следующим направлениям:
1. Отзывы и критические замечания по сборнику в целом и по отдель¬
ным его статьям.
2. Присылка списков тем и вопросов как научного, так и методиче¬
ского характера, освещение которых на страницах сборника является же¬
лательным.
3. Представление собственных оригинальных статей.
4. Фиксация собственного педагогического опыта и присылка этого
материала для помещения в сборнике.
б. Обращение в редакцию по всем недоуменным вопросам, возникшим
в процессе педагогической работы.
6. Присылка материалов для задач и решений помещенных в сборнике
задач.
К такому тесному сотрудничеству в нашем сборнике мы призываем
кафедры педвузов, методические объединения и всех педагогов.
Несколько слов по поводу содержания первого сборника. В разделе
общей методики помещены статьи, дающие анализ состояния знаний уча¬
щихся. Этот материал должен послужить отправным моментом для даль¬
нейшей разработки вопросов методики преподавания. Что касается разде¬
ла частных методик, то здесь помещены методоазработки последних тем по
математике пятого, шестого и седьмого годов обучения. Такой выбор объяс¬
няется тем, что сборник должен выйти в конце апреля или в начале мая,
когда зти темы и составят предмет классной работы.
4
НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
О НОВЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ В ОБЛАСТИ ДРЕЕНЕЙШЕЙ
ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
•
Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)
1
к известно, крупнейшим событием в
ти истории математики за последние
было расшифрование в 1927 г. ленин-
ким профессором В. В. Струве так назы-
го московского древнеегипетского мате-
еского папируса, хранящегося в Мос-
ом музее изящных искусств. Издание
эда и комментария проф. Струве к этому
1тельному памятнику древнеегипетской
атической науки1 ие только подтвердило
аьность ранее делавшихся предположе-
аа основании папируса Райнда и неко-
других источников, о высоком уровне
аауки, но и осветило целый ряд новых
:ов, относящихся к задачам математи-
I науки и методам их решения, которые
место в древнем Египете за 1500—2000
нашей эры. Однако на открытии проф.
Струве не остановились блестящие
i современной истории математики. В
последнее время наука обогатилась
лем ряда ассиро-вавилонских текстов,
кащих математические задачи и их реше-
из эпохи, не уступающей по древно-
ремени составления московского папи-
Этн открытия из области халдейской
атики в настоящее время подверглись
нию проф. О. Нейгебауэра в Геттингене
1. Струве в Ленинграде, которые опуб-
али результаты своих исследований в из-
„Quellen und Studien zur Geschichte der
matik“, В. I, 1929; В. II, 1930. С этими
ьтатами, проливающими совершенно но-
:вет на достижения халдейской матема-
в особенности в области геометрии,
ооновский математический папирус издан за
гей в 1930 г. под заглавием: Mathematischer
is des Statlichen Museums der schonen Kunste
iskau. Herausgegeben und komnentlert von
. Struve. Mit 15 Textflg ren und 10 Tafeln, RM.
Краткие сведения о его содержании см.
матичес-ое образование*, 1928 г., № 4, „О но-
IX исследованиях в области древнеегипетской
1тики* проф. И. Чистякова.
мы хотим познакомить читателя, поставив
их в связь с ранее имевшимися в науке све¬
дениями о математике древних халдеев.
Под именем Халдеи разумеется страна..
лежащая у Персидского залива, между реками
Тигром~~и Евфратом и по берегам этих рек.
где находились знаменитые в древности госу¬
дарства Ассирия и Вавилон. В настоящее
время эта страна-представляет собою совер¬
шенную пустыню, но, по Геродоту, эта долина
Междуречья, или Месопотамия, в древности
отличалась необыкновенным плодородием.
Плодородие Месопотамии поддерживалось
прекрасно устроенной системой орошения
с помощью многочисленных и теперь еще
заметных каналов. На такой же высоте, как
земледелие, стояли в Халдее промышленность
и торговля, развившиеся благодаря выгодному
географическому положению вблизи моря и
двух громадных рек между Индией и госу¬
дарствами, лежащими у Средиземного моря.
Но ассирийцы и вавилоняне не были древ¬
нейшими жителями Халдеи. Более древними
обитателями ее, как теперь установлено нау¬
кой, были сумеры, или сумерийцы, — народ
туранского племени, пришедший в Месопота¬
мию за несколько тысячелетий до нашей эры
и населивший преимущественно ее южную
у^часть. Сумеры занимались земледелием, дос¬
тигли высокой степени культуры и основали
много городов. Но впоследствии в ту же
страну стали проникать с северо-запада дру¬
гие народы, семитского племени, которые
стали вести с сумерами упорные войны и
постепенно их покорили. Эти народы слились
в одну нацию при царе Гаммураби (окшю
2200 г. до нашей эры! который издал для
своих подданных своп законов, лошепший
до нас и являющийся древнейшим законода¬
тельным памятником. Столицею образовав¬
шегося государства был город Ур, а затем
Вавилон, по имени которого стало называться
и все государство и другие города. Но завое¬
ватели-семиты, слившись с сумерийцами, все¬
цело подчинились их культурному влиянию,
5
£ а сумерийский язык навсегда-ОСЕался-В-^ал»
f дее языком науки и литературы, подобно
& латинскому языку в Европе в средние века,
^^последствии вавилоняне, в свою очередь,
£ были покорены ассирийцами — чрезвычайно
^ воинственным народом, тоже поселившимся
' в Месопотамии, но и эти завоеватели подчи-
!нились вавилонскому и сумерийскому куль¬
турному влиянию. Впрочем, связь народов,
: населявших Месопотамию, не оставалась проч-
. ной, а постоянно подвергалась изменениям;
t между ними часто происходили войны и вос-
l стания, династии властителей сменяли одна
• другую, менялись столицы и главные города.
Кроме того ассйро-взвилоняне вели непрерыв-
' ные войны с соседними народами: финикия¬
нами, евреями, египтянами и др. и, наконец,
( с персами, которые в 538_ш__до_цаш5й-,эры
■ окончательно покорили Халдею и положили
| конец ее политическому сущ&ствованию.
. С этих пор исчезла древняя культура Халдеи,
5 и в течение ряда столетий только засыпан-
. ные мусором развалины ассирийских и вави-
. донских городов напоминали о существовав-
j ших когда-то в Месопотамии могущественных
: государствах.
Од.чако память о высокой культуре исчез-
, нувших стран сохранилась у европейских
' народов; предания называли Халдею колы-
; белью наук и искусств, в особенности роди¬
ной арифметики и астрономии. Поэтому,
I когда в начале и, в особенности, в средине
1 XIX в. были предприняты раскопки Ниневии
и других ассиро-вавилонских городов, они
привлекли большое внимание европейских и
американских ученых. Эти раскопки дали
поразительные результаты: было открыто мно¬
жество дворцов, храмов, мостов, каналов и
других архитектурных и инженерных соору¬
жений, а также картин, статуй, предметов
домашней утвари и пр. Но в особенности
ценным оказалось открытие множества пись¬
менных памятников, в виде надписей особыми
клинообразными письменами на домах, хра¬
мах, статуях и пр., а также огромного коли¬
чества небольших овальных глиняных плиток,
покрытых подобными же клинообразными
знаками. В разных местах были найдены
колоссальные собрания таких плиток, оказав¬
шиеся государственными архивами и библи¬
отеками дрезней Халдеи. Открытые грандиоз¬
ные сооружения халдеев, а также многочис-
л иные рисунки, чертежи и надписи застав¬
ляли предполагать у них существование пись-
I менной нумерации и чертежного искусства;
поэтому было понятно стремление ученых
* ознакомиться с состоянием ассиро-вавилонской
| науки по первоисточникам. Однако этому
^ 6
долго препятствовало неумение европейце
читать клинообразные тексты. Только в 18021
учителю гимназии в Геттингене, Гротефещц
удалось частично расшифровать написанну
клиновидными письменами на трех языка
в том числе на ассиро-вавилонском сумери
скими письменами, надпись из развалин Пе
сеполя; однако это поразительное открыт
не было оцензно по достоинству и бы
забыто. Но в средине XIX в. благодаря тр
дам других ученых, в особенности англи1
нина Раулинсона, а также Гинкса, Оппер’
Бенфея, Тальбота и др., ассиро-вавилона
клинопись стала доступна пониманию ев
пейских ученых и создалась наука — ассир
логия, сделавшая с тех пор колоссалы
успехи. Разбором полученных при раскоп
огромного количества памятников ассиро-
вилонской письменности ученым удалось
ставить правильное понятие о высокой щ
>/туре древних народов, населявших Месопс
мию, и об их познаниях в области разлнч!
наук, в том числе и математически»
особенности в арифметике, геометрии i
астрономии.
II
Уже Гротефенду и первым исследовате/
ассириологам удалось установить, что cj
рийцы, а под их влиянием и поздней
обитатели Месопотамии, пользовались
добно современным народам десятичной
Ьс.темой нумерации. Ученым удалойГдаже
честь точные названия на древнеассириЙ!
языке числительных имен десятичных рг
дов — единиц, десятков, сотен и пр.
касается письменной нумерации, то в
употреблялись три основные знака: вертш
ный клин для обозначения простых еди
комбинация из двух клиньев, напомина!
современный знак неравенства „ме
т. е. <[, для обозначения десятка и сое
ние первого из этих знаков и горизонтал]
клина для обозначения сотни:
V -<
I 10 100
Черт. 1
Несколько единиц или десятков при
изображались по методу сложения (а
тивному), причем десятки писались
и у нас — влево от единиц. Если надо
написать несколько одинаковых значке
для экономии места и в интересах изяп
их писали в нескольких параллельных
ках, например:
VVV
vvv
V
7
-=V
II
^v,
-<y
23
vv
42
Черт. 2
-Jo при изображении нескольких сотен,
;яч и еще больших чисел применялся прин-
п умножения (мультипликативный); чи-
э, показывающее, сколько именно сотен
или тысяч и пр., писалось как бы в виде
коэфнциента множителя слева от множимого,
например (в последнем случае при тысячах
соблюдался мультипликативный принцип):
-<у>-
1000 = 10*100
;V^
10 000 = 10-1000
v vwvlf
vvvv
С VV
I87Z
Черт. 3
дя чисел еще больших применялись оба
{ципа — аддитивный и мультипликатив-
з дробей были особые клиновидные знаки
1/s> 3/з* 2/з> 3/б> 5/е- Наибольшие целые
а, первоначально обнаруженные и напи-
ые вышеописанным способом, не превы-
I миллиона. Однако новые открытия, по¬
звавшие во второй половине XIX в., об¬
жили, что изложенная система письмен-
нумерации применялась вавилонянами
мерийцами для практических целей в
енной жизни. Для своих же научных
щований в области арифметики и астро-
и они пользовались совершенно иной,
но шестидесятиричной системой, позво-
ей им удобно писать колоссальные числа
и производить над ними вычисления. В этой
системе за основание принимается число 60,
которое играет в нем такую же роль, как в
нашей десятичной десяток, и, подобно
тому как мы записываем числа по десятичным
разрядам, т. е. степеням 10, сумерийцы раз¬
лагали и записывали числа по степеням шес¬
тидесяти: 60, 60г, 603 и т. д.
Употребление халдеями шестидесятиричной
системы счисления впервые было открыто
английским ассириологом Гинксом в 1847 г.
Один из расшифрованных им памятников был
посвящен вопросу об определении освещен¬
ной части лунного диска для каждого из
15 дней, проходящих между новолунием и
полнолунием. Результаты решения этого во¬
проса выражены следующими числами:
5
10
20
40
1.20 = 80
.36 = 96
152=112
2.28=148
2.24=144
2.40= 160
.56=176
3.12=192
3.28 = 208
3.44 = 224
4 = 240
1кс объяснил эти загадочные числа с по-
0 предположения, что лунный диск у
JB разделялся на 240 равных частей и
рассматриваемой таблице цифры, стоя-
шево от точки, означали числа шести
ов, а вправо — числа единиц. При этом
тельно еще, что первая строка приве-
1 таблицы представляет геометрическую
!ссию со знаменателем 2, а остальные
арифметическую с разностью 16.
Впоследствии знание халдеями прогрессий
вполне подтвердилось. Блестяще подтверди¬
лось и предположение Гинкса о шестидесяти¬
ричной системе письменной нумерации у хал¬
деев: в 1854 г. английским геологом Лоф-
тусом при раскопках в развалинах древнего
города Ларса, вблизи теперешней деревни
Сенкере, были найдены две глиняных плитки
с таблицами математического содержания.
Первая из них содержит таблицу квадратов
7
натуральных чисел от 1 до 60, а вторая —
таблицу кубов первых 32 натуральных чисел
и, кроме того, таблицу для сравнения систем
мер длины и времени у вавилонян и асси¬
рийцев. Таблицы квадратов и кубов чисел
составлены явно по шестидесятиричной си¬
стеме счисления; так, в первой мы имеем;
1
4
49
14
1.21
1.40
2.1
есть
квадрат
1
2
7
8
9
10
11
58.1
1
есть квадрат 59
1=602
Ясно, что 1.4 означает 82 =64 — 60 4-4;
1.21=92=81 =60 + 21; 2.1 =2.604-1 =
II2 и т. д. Подобным же образом составлена
и таблица кубов чисел, например:
1
8
27
1.4
2.5
есть куб
56.15
1.8.16
1.21.53
8.16.31
9.6.8
есть куб
15
16
17
31
32
веса, но и к измерению времени: халдеи
разделяли сутки на двенадцать двойных ча
сов, час—-на 60 минут, минуту—на 60 се¬
кунд. Это разделение было у них заимство¬
вано всеми народами и удержалось до насто¬
ящего времени. Вся же система мер отлича¬
ется необыкновенной связностью и строй но-
стыо; дошедшие до нас образцы мер длины
и веса изготовлены с крайней тщательностью;
в общем, халдейская система мер напоминает
по принципам, положенным в ее основание, и1
по общему совершенству современную метри¬
ческую систему мер и весов.
Г
III
Следует обратить внимание на то, что здесь
прежний знак простой единицы, т. е. вер¬
тикальный клин, а также и приведенные ра¬
нее знаки десятка и сотни употребляются
уже для обозначения единиц различных по¬
рядков— степеней числа 60, поэтому халдеи
должны были воспользоваться, как это и видно
нз приведенных таблиц, при писании чисел,
принципом положения, или поместного зна¬
чения цифр, как это имеет место в совре¬
менной системе письменной нумерации, где
например цифра 2 может обозначать и 2 еди¬
ницы и 2 десятка и 2 миллиона и пр.— в за¬
висимости от места, ею занимаемого. Для
указания отсутствия единиц какого-нибудь
разряда халдеи пользовались, как это выясни¬
лось из позднее открытых таблиц, знаком, по¬
хожим на наш нуль, или же другими знаками,
которые ставили между значащими цифрами.
Упомянутая таблица для сравнения системы
мер вавилонской и ассирийской, помещенная
на другой стороне той же плитки, на кото¬
рой имеется таблица кубов натуральных чи¬
сел, обнаруживает, что и свои меры и име¬
нованные числа халдеи тоже строили на ос¬
новании шестидесятиричной системы счисле¬
ния: единичные отношения мер высшего наи¬
менования к мерам низшего наименования
выражаются или числом 60 или одним из
его делителей. Шестидесятиричное деление
при этом проведено не только по отноше¬
нию к мерам длины, поверхности, объема и
8
После открытия упомянутых табличек из
Сенкере долгое время не было открыто хал¬
дейских памятников математического содер¬
жания, но с 1906 г. благодаря раскопкам
пенсильванского профессора Гильпрехта в
Ниппуре было найдено множество пластинок
с математическим текстом, относящихся ко
второму и третьему тысячелетию до нашей
эры. Эти пластинки содержат различные та¬
блицы умножения и деления, квадратов чисел
и квадратных корней, а также разложения
чисел на слагаемые в виде квадратов, кубов
и пр. Все вычисления ведутся по шестидеся-J
тиричной системе, которая распространяется!
не только на целые числа, но и на дроби.!
Эти шестидесятиричные дроби у халдеев со-|
ставлялись по тому же принципу, как у нас-
десятичные дроби, т. е. ими выражались дроби
601'’ 60* ’ ббз и т- д‘ Записывались ше-|
стидесятиричные дроби согласно принципу
положения вправо от целых чисел, как мь
пишем теперь десятичные дроби. От вавило
нян эти дроби впоследствии перешли к гре!
кам и другим европейским народам, у кото|
рых широко употреблялись вплоть до изо]
бретения десятичных дробей в XV в. У на^
в России шестидесятиричные дроби ветре)
чаются еще даже в известной „Арифметике’!
Л. Ф. Магницкого, изданной в 1703 г.
Из вышеупомянутых найденных таблиц
предназначенных для вычислений, особенный
интерес представляют таблицы для умножс-)
ния. Во всех из них даются произведения
какого-нибудь числа п сперва на все числа
от 1 до 20, а затем на 30, 40, 50 и, нако¬
нец, на 60. Результаты записываются по шести]
десятиричной системе счисления. Но множи)
мъгм п при этом всегда берется число, со»
держащее только простые множители 2,3 ц
5 в различных степенях, т. е. те же, кото)
рые входят в состав 60 = 22.3.5. Объясне-
ние такого выбора множимых чисел дал в
последнее время Нейгебауэр г. По его мне¬
нию, эти таблицы служат для облегчения
обращения простых дробей в шестидесяти¬
ричные. Действительно, подобно тому как
для обращения простой дроби — в десятич¬
ную мы должны делить числитель на знаме¬
натель, причем деление может окончиться
лишь тогда, когда знаменатель п содержит
те же простые множители, как и 10, т. е.
2 и 5 в различных степенях, точно так же
в конечную шестидесятиричную дробь может
обратиться лишь такая простая, в состав
знаменателя которой входят только простые
множители числа 60, т. е. 2, 3 и 5. При
этом делении знаменатель п умножается на
разные числа; соответствующие произведения
н даны в таблицах. Но имеются и таблицы
для непосредственного обращения простых
дробей в шестидесятиричные; обычно они
составляются так, что в левом столбце пи¬
шутся знаменатели п простых дробей, а в
правом — соответствующие числители шести¬
десятиричных дробей, например:
1
1
30
т. е. п о н а-
20
шему
обозна¬
чению
1
1
1.4
1,12
1,20
1,21
56,15
50
4)
44,26.40
1_
81
1
1
1
30
2
60
1
20
3
60
1
60.
60
602
1
56
+
15
64
М2
603
1
50
72
602
1
45
80
602
44
26
+
40
622
^602
6С4
и т. д.
ные шестидесятиричные, как — , —, — и т. д.
/ II I О
1
мер 602,604 и т.д. Особенно много таблиц
посвящено этому последнему числу 604= |
= 12 960 000. Так, таблица деления для не- £
го начинается, по нашим обозначениям, так:
604: П/2 = 8 640 000; 604:2 = 6 480 000;
604:3 = 4 320 000 и т. д. до делителя 18.
И в этих таблицах нет таких простых дро¬
бей, которые не могут обратиться в конеч-
1 1 1
Периодических же шестидесятиричных дробей
и приближенных их значений в дошедших
до нас таблицах совсем не встречается.
Другие найденные в Ниппуре глиняные пла¬
стинки арифметического содержания посвя¬
щены действию деления, квадратным корням
из чисел, а также всевозможным разложениям
чисел на множители, сумму квадратов и пр.
При этом чаще всего делению и разложе¬
ниям подвергаются степени числа 60, напри-
Такое пристрастие к числу 604 и его сте¬
пеням объясняется тем, что у халдеев наука
чисел была тесно связана с их религиозны¬
ми и мистическими воззрениями. Религия хал¬
деев, первоначально основанная на поклоне¬
нии небесным светилам, впоследствии пре¬
вратилась в очень сложную систему верова¬
ний, в которой весьма важную роль играла
числовая мистика. Так, некоторые числа: 3,
6, 7, 12 и 60 считались в ней священными;
каждый из главных богов имел свое особое-
число в ряде чисел от 1 до 60. Например,
из таблицы, найденной в Ниневийской биб¬
лиотеке, узнаем, что богу Белу было при¬
своено число 20, Мардуку— 11, богу луны —
Сину — число 30 и пр. Низшим божествам —
духам — были присвоены дроби, например
.. 30 1 г- 40 2
Утук имел gg , или ^, I игим — ^,или^-,
Маским — gjj и т. д. 1 Эти фантастиче¬
ские представления и привели к крайнему
развитию у халдеев числовой мистики и
символики. Занимаясь комбинированием свя¬
щенных чисел и их элементов, халдеи стре¬
мились постигнуть сокровенные тайны при¬
роды и божества. Для той же цели они поль¬
зовались своими весьма глубокими для той
эпохи астрономическими познаниями, создав
из них ложную науку — астрологию, якобы
позволяющую предсказывать судьбу царств и
отдельных людей по звездам. Поэтому мно¬
гие из найденных числовых таблиц явно слу¬
жили для астрономических, а также мисти¬
ческих целей, являясь руководством для
жрецов и их учеников. Особенно это отно¬
сится к разложениям колоссальных чисел,
которые не могли иметь никакого реального
применения; к ним принадлежит, например,
число 608 + 10.607 = 195 955 200 000 000.
Однако занятия числовой мистикой имели для
халдеев и полезный результат, так как приво¬
дили их к знанию свойств чисел и действий
над ними, подобно тому как астрология спо¬
собствовала развитию астрономии или алхи¬
мия— химии.
Из вышеизложенного видно, какую важ¬
ную роль играла в халдейской науке шести-
* Sexagesimal System und Babylonische Bruchrech-
nung, „Quellen und Studien zur Geschichte der
atMhematik“, 1930, В. I, H. 2.
1 См. И. Чистяков, Числовые суеверия, М.
Гиз, 19з7.
9
I
I
десятиричная система счисления. Поэтому уче¬
ных очень интересовал вопрос о причинах
ее возникновения у халдеев. Однако этот
вопрос до настоящего времени не может счи¬
таться решенным. Попытка связать возник¬
новение шестидесятиричной системы у хал¬
деев с их астрономическими воззрениями (у
Морица Кантора в его лекциях по истории
математики) в настоящее время считается не¬
удачной. Более правильной считается возник¬
новение этой системы в связи с халдейской
системой мер. Во всяком случае причиной к
ее избранию должно было служить весьма
большое число делителей у основного числа
60, именно 12, тогда как основание нашей
системы 10 имеет лишь 4, причем, вероятно,
предшествовали системы — пятиричная, двад¬
цатиричная и двенадцатиричная, которые были
обнаружены у многих народов на первых
стадиях их математического развития.
Что касается знаний халдеев из области
других математических наук — алгебры и
геометрии, то наши сведения о них до от¬
крытий самых последних лет были очень
скудны. Как мы видели, вавилоняне имели
понятие о возведении чисел в квадрат и куб
и об извлечении из чисел квадратных и куби¬
ческих корней, имели сведения об арифме¬
тической и геометрической прогрессиях. По
свидетельству греческих ученых, они обла¬
дали знанием пропорций, в том числе так
называемой музыкальной пропорции, члены
которой удовлетворяют равенству:
а 4- Ь 2 ab ,
а-г-=^Гь:Ь-
В области геометрии, по имеющимся дан¬
ным, халдеи были знакомы с треугольниками
и четырехугольниками, взаимно перпендику¬
лярными и параллельными линиями, а также
кругом, и умели вычислять площади: прямо¬
угольника, квадрата, прямоугольного треу¬
гольника и прямоугольной трапеции. Им при¬
надлежит дошедшее до нашего времени де¬
ление окружности на 360 равных частей —
градусов—и применение этого деления к изме¬
рению углов, причем градус разделялся на 60
минут, а минута на 60 секунд. Халдеи знали,
что сторона правильного вписанного в окруж¬
ность шестиугольника равна радиусу окруж¬
ности. Отношение длины окружности к диа¬
метру, т. е. число тг, они принимали равным
3. Это число от них заимствовали евреи,
которые внесли его в свои священные книги.
Халдеи были знакомы, повидимому, и с част¬
ным случаем Пифагоровой теоремы для треу¬
гольника со сторонами 3, 4, 5 и с приме¬
нением построения его для получения пря¬
мого угла.
Источники, из которых извлечены эти дан¬
ные о геометрических познаниях халдеев,
указывают на какое-то использование и этих
сведений для магических и мистических це¬
лей. В общем, эти сведения до последнего
времени страдали отрывочностью и неполно¬
той. Открытия новейшего времени, о кото¬
рых упомянуто в начале статьи, вносят в
наши сведения об алгебраических и геомет¬
рических знаниях халдеев существенные до¬
полнения и изменения.
(Окончание следует)
\ ОБ ОДНОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Доц. С. ЗЕТЕЛЬ' (Москва)
I
i
При изучении равенства треугольников ча¬
сто учащимся не совсем ясна необходимость
указания на соответствие в расположении
равных элементов рассматриваемых треуголь¬
ников.
У учащегося подчас сохраняется впечат¬
ление, что для равенства двух треугольников
важно только равенство трех основных эле¬
ментов (из которых один —линейный) одного
треугольника трем элементам другого. Мне
кажется полезным обратить внимание уча¬
щихся на существование неравных треуголь¬
ников, у которых углы и две стороны одно¬
го треугольника равны углам и двум сторо¬
нам другого треугольника.
10
Француский математик М. Gelin в статье
„Cas remarquable d’ in£gaiite de deux triangles",
помещенной в журнале „Nouvelle correspon-
dance mathematique" за 1876 г., стр. 338,
указывает, что итальянский математик Pour-
gotti в книге „Elementi di Geometria" первый
обратил внимание на возможность сущест¬
вования таких треугольников. М. Gelin в ука¬
занной статье ограничивается доказательст¬
вом существования таких треугольников, ос¬
тавляя в стороне рассмотрение интересных
свойств этих треугольников.
Цель настоящей заметки — дать построе¬
ние указанных треугольников и изучить их
свойства.
уп
В дальнейшем будем называть такие тре¬
угольники „треугольниками с несоответствен¬
но равными элементами
1. Можно ли для всякого треугольника
построить другой с несоответственно равны¬
ми элементами?
На этот вопрос следует ответить отрица¬
тельно. Действительно, пусть а, в, с — сто¬
роны данного треугольника и о<в<Д сто¬
роны искомого треугольника могут быть:
1) d; а; Ь, где d<C.a<Cp
или 2) Ъ; с; d, где b<jc<^d.
В первом случае из подобия треугольни¬
ков имеем:
а b с
7Г ~а ~Ь ' ^
Во втором случае:
а ь с
Ь с d
Итак, в обоих случаях одна сторона данно¬
го треугольника должна быть средней про¬
порциональной между двумя другими. Числа,
выражающие длины сторон треугольника,
должны составлять геометрическую прогрес¬
сию.
Обозначая меньшую сторону через а, зна¬
менатель прогрессии через q, имеем:
b — aq\ c — aq2.
Так как в первом случае
а Ь а
— =— = q, то d - .
da 4 q
Во втором случае
* г. 1 с. .
T=d' -j = d' а=«1=^
2. Докажем, что знаменатель прогрессии
не может быть выбран произвольно; дейст¬
вительно :
aq2<^aq + а;
я2 — я—1<0;
2
1 +- ]/5
>Я>
1 — ]/Ь
9<Ч,6, получим стороны обоих треугольни¬
ков.
Например, при q—1,5 и а = 8 имеем 8,
12, 18, 27.
Треугольники со сторонами 8, 12, 18 и
12, 18, 27 являются треугольниками с несо¬
ответственно равными элементами,-
Таких пар треугольников можно подобрать,
конечно, бесчисленное множество, например:
64, 80, 100 и 80, 100, 125 (знаменатель
5 \
прогрессии q =
27, 45, 75'и 45, 75, 125(? = |-);
27, 36, 48 и 36, 48, 64(я = ^);
36, 48, 64 и 48, 64, 85
Получением этих результатов заканчи¬
вает М. Gelin свою заметку в „Nouvelle
correspondance math6matique“-
3. Подобрав указанным образом длины
сторон, мы сможем построить треугольник
по трем сторонам.
Возможно построение и без предваритель¬
ных вычислений сторон. Выбрав два произ¬
вольных отрезка с и а, так, чтобы с^>а^> ~ ,
построим отрезок b = \fас. Треугольник
со сторонами а, b и с будет искомым (такой
треугольник построить возможно, так как
С '
b ; следовательно, Ь-\-а~^>с). Пусть
ABC (черт. 1 ) треугольник, у которого
b^=-\f ас и с~С>а.
С
Так как по условию q~^> 1 (а—меньшая
сторона), то
Приближенно 1,6 1-
Взяв любые четыре числа, составляющие
геометрическую прогрессию со знаменателем
Отложив на АВ от вершины А отрезок
AD = a и соединив D с С, получим Д ADC.
Треугольники ADC и ABC подобны, так
как угол А у них общий и
АР 1.
PC b~q'
AC b aq 1
АВ с aq* — q '
Таким образом, у подобных треугольников
ABC и А ОС две стороны одного равны двум
сторонам другого, а потому эти треугольники
11
являются треугольниками с несоответственно
равными элементами. Прямая, параллельная ВС
и проведенная из точки D, определит тре¬
угольник ADF, подобный треугольнику ADC.
Эти два треугольника будут треугольниками
с несоответственно равными элементами. Из
подобия треугольников ABC и ADF находим:
AC AF AD AF
АВ~~АО’ 0ТКУДЗ АС = т F
Проводя поочередно из вершины большего
угла вновь получаемого треугольника прямые,
параллельные то ВС, то CD, получим ряд
треугольников с общим углом А. Два после¬
довательных члена этого ряда будут тре¬
угольниками с несоответственно равными
элементами.
4. Рассмотрим свойства треугольников, у
которых стороны составляют геометрическую
прогрессию.
Углы такого треугольника связаны следую¬
щим соотношением:
sin3 В = sin A sin С.
Так как
Ь2 = а2 -|- с3 — 2ас cos В и Ь2= ас,
то
а2 -}- с2 = ас (2 cos Б-)-1);
так как
а1 -f- с2'С>2ас,
то
2 cos В-\-1>2;
cosfi^-i, т. е. В-5^60.
При В — 60° а = в= с; треугольник—рав¬
носторонний. Итак, два угла треугольника, у
которого стороны составляют геометрическую
прогрессию, должны быть каждый менее 60°,
а следовательно, третий угол более 60°.
Рассмотрим еще другие свойства и особен¬
ности такого треугольника. Пусть Ь2 = ас,
, ас , й2
так как h„= — , то hb =
т. е. сторона, являющаяся средней пропор¬
циональной между двумя другими сторонами,
есть также средняя пропорциональная между
высотой, опущенной на эту сторону, и ди¬
аметром описанного круга.
Высоты рассматриваемого треугольника со¬
ставляют геометрическую прогрессию. Дей¬
ствительно:
сд _д*а _ аЯ*1Ъ __ аЯ-кс
2 2 2 ’
откуда
ha=4hb = 42hc, или h2b = hjic.
12
Проведем из вершины угла В (черт.[2) бис-|
сектрису внутреннего угла ВМ. L
С
В точке М сторона разделится в отношении!
прилежащих сторон, т. е.
I'1 АМ__АВ __ с 2
Ь МС ВС а ~q '
Проведем из М прямую MN, параллельную)
АВ. В точке N сторона ВС разделится в' '
отношении
BN___AM__
NC~ МС q~ а2 ’ f
т. е. сторона ВС разделена в точке N про- -
порционально квадратам прилежащих сторон;
следовательно, AN есть симедиана (симедиа-
нами треугольника называются прямые, вы- 1
ходящие из вершин треугольника и делящие)
противоположную сторону в отношении ква¬
дратов прилежащих сторон).
Разделим среднюю (по величине) сторону)
треугольника на три отрезка так, чтобы их)
длины образовали геометрическую прогрес¬
сию (знаменатель прогрессии произволен).
Пусть деление отрезка СА в точках D и /I
(черт. 3) будет одним из возможных делений,|
т. е. DF2=CD-FA. Пусть CD отрезок,
прилежащий к меньшей стороне, будет равен,
I, следующий отрезок 1т и, наконец, третий*
отрезок, прилежащий к большей стороне,
будет равен 1т2 (т — знаменатель прогрес¬
сии). „
С ,п
Проведем из точек D и F прямые, параллель
ные сторонам треугольника и пересекающиеся
внутри треугольника. Через точку Р их пе-н
ресечения проведем прямую LN параллельно
стороне АС. Проведенными прямыми данный.^
треугольник разобьется на три параллелогра-’
ма и три треугольника: /\DPF; /\MPN и
ДKPL. Из подобия полученных треуголь¬
ников и треугольника ABC легко определяем
их стороны:
1) Д/ИРЛГ со сторонами MN NP=l;
MP=lq;
зронами Pi
PF=lmq;
2) l\DPF со сторонами PD = DF=lm;
•3) l\KPL со сторонами KP=—; PL = lm2;
KL = lm2q.
Назовем треугольник MNP, одна сторона
которого лежит на меньшей стороне данного
треугольника, первым треугольником. Тре¬
угольник DPF со стороной на средней сто¬
роне— вторым треугольником и, наконец,
треугольник K.PL — третьим.
Составим следующую таблицу, вписывая
в вертикальные столбцы длины сторон тре¬
угольников:
о га
О со
о
и. «
Я
я
а м
ОЙ*
3 £
Р
£* >>
cAg
!£
Л Л
VJ н
и н
° о.
О н
Меньшая сторона данно¬
1
1т
1т2
го треугольника
я
Я
Ч
Средняя сторона данного
1
1т
1т®
треугольника
Большая сторона данного
треугольника
lq
Imq
Itrfiq
На каждой стороне треугольника имеются
два крайних отрезка, прилежащих к двум
другим сторонам, третий— средний по положе¬
нию отрезок, который мы назовем прилежа¬
щим к стороне, на которой он расположен.
В первом столбце таблицы расположены
отрезки, прилежащие к меньшей стороне, во
второй, прилежащие к средней стороне и в
третьем — к большей стороне.
Отрезки по главной диагонали Im, lm2q^
представляют средние по положению отрезки
каждой стороны.
Из таблицы находим следующие свойства
нашего треугольника:
1. На каждой стороне треугольника отре¬
зок, прилежащий к средней стороне, есть
средняя пропорциональная между крайними
отрезками.
2. Средний отрезок (1т) средней по вели¬
чине стороны есть средняя пропорциональная
между средними (по положению) отрезками
двух других сторон (Ь 1т2ч)'
3. Средний отрезок (1т) средней по вели¬
чине стороны есть средняя пропорциональ¬
ная между крайними отрезками двух других
сторон, пересекающимися в вершине угла,
противолежащего средней стороне (FD2 =
=MB-КВ).
4. Если из шести отрезков, лежащих на
сторонах любого угла треугольника, исклю¬
чить два, равные двум сторонам одного из
образовавшихся треугольников (Д DPF;
A MPN; A KPL), то из четырех оставших¬
ся можно составить пропорцию.
Например: возьмем стороны СВ и АВ и
исключим отрезки NM и КВ (КВ = РМ),
тогда имеем:
CN—PD— — ;
Ч
MB = РК —1—;
Ч
KL = lm2q;
LA = PF—lmq,
KL MB
откуда и =
Последнее свойство можно легко вывести,
рассматривая таблицу как детерминант, у ко¬
торого все миноры обращаются в нули.
5. Теперь поставим следующую задачу:
возможно ли построить прямоугольный тре¬
угольник, у которого больший катет есть
средняя пропорциональная между гипотену¬
зой и меньшим катетом?
Обозначая катеты через а и aq (где q боль¬
ше единицы), гипотенузу через aq2, имеем:
a2q4 = a2q2 -}- а2;
Отсюда заключаем, что прямоугольные тре¬
угольники со сторонами, составляющими ге¬
ометрическую прогрессию, имеют определен¬
ный знаменатель прогрессии:
q = -yf 1±JlL= 1,272.
Так как знаменатель прогрессии равен тан¬
генсу большего острого угла, то:
tg£= 1,272; В = 51°50", а Л^38°10'.
13
Выразим катеты нашего треугольника че¬
рез гипотенузу и знаменатель прогрессии:
, с 2 с
V
l/5+l
/5 + 1
2
Опустим на гипотенузу из вершины прям!
го угола перпендикуляр CD и проведем и
точки А (вершины, лежащей против мень
шего катета) прямую, параллельную СВ, дс
пересечения в точке Е с продолжением вы
соты CD.
I
_ с (У5-1)
Итак, меньший катет прямоугольного тре¬
угольника, у которого стороны составляют
геометрическую прогрессию, равен большей
части гипотенузы, разделенной в среднем и
крайнем отношении („золотым делением*).
Отсюда получается простой способ построе¬
ния указанных треугольников: разделив про¬
извольный отрезок в среднем отношении,
построим прямоугольный треугольник, у кото¬
рого гипотенузой будет выбранный произволь¬
ный отрезок, а одним из катетов будет отрезок,
равный большей части гипотенузы, разделен¬
ной „золотым делением”.
Теперь рассмотрим некоторые свойства
построенного треугольника.
Пусть АСВ построен указанным образом.
Покажем, что высота, опущенная из верши¬
ны прямого угла треугольника, у которого
длины сторон составляют геометрическую
прогрессию, делит гипотенузу, а тем самым
и площадь треугольника, в среднем и край¬
нем отношении.
Действительно, Ь2 = ас; но b2 = dc, где
d — проекция b на гипотенузу. Отсюда d—a,
и теорема доказана. Легко еще показать, что
биссектриса угла В делит противоположную
сторону, а тем самым и площадь треуголь¬
ника, в среднем и крайнем отношении.
Обратим еще внимание на интересное свой¬
ство треугольника АСВ (черт. 4).
Легко заметить, что треугольник ADE раве^
А АСВ и что треугольники ADE и ADC—
треугольники с несоответственно равным*
элементами.
Между сторонами а, Ь, с треугольника и вы
сотой h существует любопытная зависимость
таккак с2 = а* + Ь2;
ас2 = а3 —|— ab2 и так как ac = b2, bh—al
то имеем: b,c = abh + ab,.
bc = ah-\-ab.
Между тригонометрическими функциям)
угла А (А = 38°10') существуют интересны
соотношения. Так как а = b tgА и для дан
ного треугольника a—bcosA, то
tg А — cos А;
sin Л = cos2 Л;
ctg А = sec А;
cosec А = sec2 А.
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВАХ ВИДА /(sin *)=/(«**)
Проф. М. ЗИМИН (Новочеркасск)
В № 5 журнала „Zeitschrift fur mathemati-
schen und raturwissenschaftlichen Unterricht”
за 1930 г. в отделе Lustige Ecke находим
интересное тригонометрическое тождество:
8 sid4jc—- 8 sin2JC -(- 1 =
= 8cos4jc—8 cos2jc1, (1)
каждая часть которого выражает cos 4л:1).
Является вопрос, каким общим приемом мож¬
но получить тождество (1) и другие, ем
аналогичные, т. е. тождества вида:
/(sin at) = /(cos ас).
Рассмотрим уравнение между двумя пере
менными ,
if(u,v) = 0, (%
<) Автор заметки на равенстве (1) строит со¬
физм: для каждого угла его синус и косинус
равны.
левая часть которого есть симметрическа
функция от и а V.
Из уравнения (2) находим:
(Л
а так как уравнение (2) симметрично относи¬
тельно переменных, то будем также иметь:
v = ty(u). ■ (4)
Берем симметрическую функцию двух пе¬
ременных /■ (и, ъ) и по ней составляем фун¬
кцию f(u) следующим образом:
f(u) = F[u, ф(и)].
Для переменных и и v, удовлетворяющих
уравнению (2), будем иметь тождество:
/(«) =/(®)-
Действительно, по свойству функции F(u, v)
и на основании равенств (3, 4) можем на¬
писать:
/(и) = F [«, ф (и)] = F [ф (и), и]---
= F[v,4>(v)]=/(v).
Пусть и — sin х и v = соз х. Соответствен¬
но уравнению (2) будем иметь:
u2-\-v2 = 1,
откуда
v = ~\f 1 V2, v=tyrl—и2,
и функция /(и) по симметричной функции
F(u, и) составится для данного случая так:
f{u) = F[uyT=tf).
На основании вышесказанного функция f(u)
дает тригонометрическое тождество
/(sin лг) =/(cos х).
Для примера положим, что
F (и, v) = u* — mu2v2 -J- v*.
Функция /(и) в этом случае выразится так
/(и) = F(u /1— и2) = и4— mu2 (1 — и2) +
4~ (1 — и2)2—(т -)- 2) «4— (т + 2) иг-\- 1
Приходим, таким образом, к тождеству:
(т 2) sin4* — (т-f- 2) sin2jt -)- 1 =
= (т + 2) cos4jc — (/и 4- 2) cos2Jt 4" 1 ■
При т = 6 получим тождество (1).
Обратно, если дано тождество /(sinx) =■
=/(cosjc), то существует симметрическая
функция F(u, v), из которой это тождество'
может быть получено вышеуказанным путем,
именно: . . ,, ,
/£4±£И.
Отсюда следует, что изложенный прием
получения тождеств /(sin jc)~/(cosjc) имеет
вполне общий характер.
Применим тот же метод к составлению
тригонометрических тождеств вида /(tg-x) =
=/(ctgjc). В данном случае
и = tg X, V = ctg X, uv=\.
Берем симметрическую функцию F{u,v).
Тогда для функции
будем иметь тождество:
/(tg*)=/(ctgx).
НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ПРОГРЕССИЯХ
Проф. И. ЧИСТЯНОВ (Москва)
1. Возьмем ряд равных отношений:
£i_ ат .
h h ba * • ’ bm *
тогда, как известно, будет иметь место и
такое соотношение:
О)
^1 4“ Од &з 4- • • - 4- &п
bi + *s + *з + • • • + Ь„
Е2:
ь2
(2)
Учащиеся знакомы с этим свойством ряда
равных отношений по применению его в
алгебре при решении некоторых задач и
в геометрии при доказательстве многих важ¬
ных теорем. В настоящей заметке я намерен
показать, как то же самое свойство может
быть применено к выводу некоторых основ¬
ных свойств прогрессии. При этом самую
теорию прогрессий я изложу с несколько
отличной точки зрения, чем обычно ее из¬
лагают, и начну с прогрессии геометрической.
Именно, положим, что в ряде равных отно¬
шений (1) последующий член каждого отно¬
шения равен предыдущему следующего от¬
ношения, т. е.
= а2 > ^2 °3» ^3 =: - • • »
тогда нашему ряду равных отношений можно
придать такой вид:
— = — = — = ат— 1 /д \
«2 Дз «4 ‘ " “т
Ряд, составленный из чисел а,, а2...аПж,
взятых в возрастающем порядке их индексов
15
и удовлетворяющих соотношениям (3), и бу¬
дет геометрической прогрессией.
Легко видеть, что каждые три члена геомет¬
рической прогрессии составляют непрерыв¬
ную геометрическую пропорцию. Число, рав¬
ное обратной величине какого-либо из отно¬
шений ряда (3), есть знаменатель геометри¬
ческой прогрессии и обозначается обыкно¬
венно через q; следовательно:
И наоборот:
Да 5?
ai да
п± =
= Ч-
1
Да Ч
д2 1
Да ~Ч ’
• • • •
Дж-1_ 1
Дт ч '
Перемножая эти равенства почленно, после
сокращений найдем:
отсюда
£«. _ _
ат Ч‘
= ° i4‘
1
т-1
т. е. мы получили первую основную формулу
из теории геометрической прогрессии, поз¬
воляющую по первому ее члену и знамена¬
телю написать какой угодно ее член. Так,
полагая т — 2, 3, 4..., получим
а2 = а1д; a3 = a1q2] а^=а3д2...
Таким образом, всякую прогрессию можно
продолжать до бесконечности.
2. Возводя все отношения ряда (3) в одну
и ту же степень р, будем иметь:
«Г
4'
' qp‘
Применяя к этому ряду основное свойство
ряда равных отношений (2), мы получим
д t + д2 4-. ■ • + Д„,—1 1_
аР+аР3+... + аРт ~ ЧР~
(4)
Обозначим сумму р-х степеней первых т
членов нашей прогрессии через S%\ т. е.
5£> = e? + «S+-- •+<*£,•
Тогда равенству (4) можно придать такой
вид:
пр
W-at
1
SP„-aP ЧР'
:(5)
Отсюда легко определить сумму S}p\ именно:
с(р) <ЧР-^Р
— qp—l •
Эта формула дает сумму любых одинаковых
р-х степеней членов геометрической про¬
грессии; при р= 1 из нее получим
о атЧ °i
; — q- 1
вторую основную формулу геометрической
прогрессии, выражающую сумму т первых
ее членов.
3. Полученное выражение (5) для суммы
т членов прогрессии может быть видоизме¬
нено; именно, замечая, что
^тЧ ~
можно написать
С Дт + < Д1
1
(6)
Умножая числитель и знаменатель во второй
части полученного выражения на q, будем
иметь:
Дт+iff— al4
или:
С °m + 2— а2
т ч1 — ч '
Поступая подобным же образом и далее,
всего р раз, получим:
а7П+1 Д< .
Н2 — а2
q— 1
ат+S дз
q-л — qi
qi—q
ат+р Д/j
” qP — qP-1
Применяя здесь опять свойство ряда равных
отношений, найдем:
S»= ,
(ат + 1+Д/я+2+- • • +Дт+р)—(Д1+Дз+---+Др
ИЛИ
откуда:
qP— 1
Sm+p Sp
qP— 1
m+p
■s„
Sm+p Sm4P + Sp-
(7)
ь p ~m'i i p
Формула (7) позволяет, зная сумму т и сум¬
му р членов прогрессии, вычислить сумму
т-\-р ее членов. Так, замечая, что в про¬
грессии:
1, 2, 4, 8, ... S3 — 7 и ^=15, найдем по
этой формуле:
£. = £,2*-}- Sj — 7 -16 -(- 15 = 127.
10
Полагая в той же формуле т=р, будем
иметь формулу удвоения суммы членов про¬
грессии:
Так, в предыдущей числовой прогрессии по
Ss = W+ 1) = 15(16+ 1) = 255.
4. Из основного определения геометриче¬
ской прогрессии как ряда чисел, удовлетво¬
ряющих равенствам (3), можно получить еще
одно важное следствие. Именно, группируя
первое отношение с последним, второе с
предпоследним и т. д., получим
Щ о... < аг"-я
а2 °т ’ а3 ат-1
откуда следует, что
т. е. что произведения членов прогрессии,
равно отстоящих от крайних, равны произ¬
ведению крайних. Основываясь на этом, обо¬
значим через пт произведение т первых
членов прогрессии, т. е.
Ttт ai_ai • - - ат-1ат
и напишем то же произведение при обратном
порядке множителей:
или, на основании предыдущего:
v2 =(алаЛт\
т ' 3 т* *
откуда
*в = /(в1атГ:
Числа аг, а2, а3 ат, удовлетворяющие
этим равенствам и расположенные в порядке
индексов, и составляют арифметическую про¬
грессию. Легко видеть, что каждые три члена
арифметической прогрессии составляют не¬
прерывную арифметическую пропорцию.
Число, обратное по знаку какой-либо из
разностей ряда (8), называется разностью
арифметической прогрессии; мы будем озна¬
чать ее d\
а1 а2 = а2 а3~- - - == ат-\ ат~
Представляя эти равенства в виде ряда
равных отношений:
Я1 — а'2 а2—я3 ат-1 — ат J
1 — 1 1 “
и снова применяя свойство (2), найдем:
т — 1
■а;
или
am~ai + d(m~ *)• Т- е‘
Перемножая эти равенства почленно, имеем:
знак этого произведения, в зависимости от
знаков членов прогрессии, может быть и
положительным и отрицательным.
5. Приемы, подобные изложенным, могут
быть применены и к выводу основных фор¬
мул для арифметической прогрессии.
Возьмем ряд равных арифметических от¬
ношений
первую основную формулу, позволяющую по
первому члену прогрессии и ее разности вы¬
числить любой ее член и, следовательно,
продолжать прогрессию до бесконечности.
Группируя в том же основном ряде (8)
первую разность с последней, вторую с пред¬
последней и т. д., найдем:
Cl + am = a2-f ат-\ — a3"fam-2
т. е. в арифметической прогрессии сумма
членов, равно отстоящих от крайних, равна
сумме крайних членов. Основываясь на этом,
легко найти сумму Sm всех т членов ариф¬
метической прогрессии; действительно, мы
имеем:
Sm = а1 4“ а2 + - • • + ат
И
Sm— am + am—1+- ■ - 4“ ai.
откуда, складывая, находим:
= (а] 4" ат) 4~ (а2 4“
ат-1) + • • • + (°т 4" ai)>
ИЛИ
а2 Ь* • ■ • ат-1 Ьт_г
И ПОЛОЖИМ, ЧТО
Ьг йо! ^2 ■ * " 1
вообще, что каждый последующий член ка¬
кого-либо отношения равен предыдущему
члену следующего отношения. Тогда напи¬
санный ряд арифметических отношений мо¬
жет быть представлен в виде:
а1 — а2 = а2 — оя = ...=гат_1 — ат. (8)
2Sm = (ai+aJ.m nSm = (-q'+9Vm.
т. е.
вторую основную формулу арифметической
прогрессии.
Не останавливаясь на других выводах,
которые можно было бы сделать из приня¬
тых здесь определений, применяя основное
свойство ряда равных отношений, заметим,
что то же свойство с успехом може^СЗтБ
применено и к выводу свойств
рядов более сложного характера *
Математика и физика l№ 1
ИЗ ИСТОРИИ УСТАНОВЛЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР
Проф. И. А. ЛОБКО (Москва)
■ .Десятичная система, согласная с применяемой
во всем мире системой счисления, наиболее удоб¬
на для выражения кратных величин и подраз¬
делений в мерах, весе и монетах.
. .. Так как всякая экономия труда, физического и
умственного, представляет собой реальное уве¬
личение богатства, то Припяти г метрической
системы, принадлежащей к той же категории
вещей, как машины и орудия, железные дороги,
телеграфы и таблицы логарифмов, следует осо¬
бенно рекомендовать с точки зрения экономи¬
ческой' (из доклада русского академика Якоби
Международному комитету мер, весов н монет
в 1867 г. в Париже).
I.*УСТАНОВЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИ*
МЕР
Русские научные деятели (Купфер, Якоби,
Струве, Вильд, Менделеев, Хвольсон и др.),
начиная с 50-х годов прошлого столетия,
на ряде съездов, совещаний и т. д., как
международных, так и в нашей стране, а
также в печати, настойчиво высказывались
за введение метрических мер вместо отече¬
ственных, но только советское правительство
сделало обязательными к употреблению
метрические меры во всех соответствующих
областях и ввело обязательные стандарт¬
ные сокращенные обозначения
этих мер. Опыт показывает, что история
установления метрических единиц и их эта¬
лонов иногда неправильно освещается, опре¬
деления даются неправильные, а сокращенные
стандартные обозначения их не всегда соблю¬
даются не только рядовыми гражданами нашей
страны, но в некоторых случаях и преподава¬
телями всех типов школ.
Целью настоящей статьи является напом¬
нить читателям историю установления метри¬
ческих мер и эталонов.
Человек с давних пор применял в качестве
единиц измерения длины части своего тела—
локоть, фут (foot — ступня), дюйм (у немцев—
Daumen — большой палец) и т. д. Ясно, что
у разных людей даже одного племени одина¬
ковые части тела имели разную величину.
Эти меры в дальнейшем были заменены
мерами, изготовленными из металла, дерева,
камня и других материалов, в которых та или
другая длина выражалась расстоянием между
концами образца (концевые меры) или между
зарубками (штрихами), нанесенными на опре¬
деленных расстояниях друг от друга (штрихо¬
18
вые меры). Величина этих единиц измерени
устанавливалась сравнительно с соответству
ющими частями человеческого тела — локот
ступня и т. д. Так как ступни и другие част
человеческого тела у разных людей разные
то к концу XV1H в. на земном шаре был
в употреблении 282 различных единицы дл
ны, которые все носили одно название „фут“
В одной Германии было до 40 различи
„футов" (Баварский фут равен'291,850 ми
Бременский — 289,35 мм, Франкфуртский
284,61 мм, Нюренбергский — 303,86 л
Прусский — 813,893 мм и т. д.). Под слов
„фунт" было в употреблении 391 различив
единиц веса. Часто в одной и той же прови
ции для разных предметов применяли
меры одного и того же названия, но разно
величины, например сукно и шелк мери
одним локтем, а полотно — другим локт
и т. д. Во Франции феодалы имели пра
в своих владениях устанавливать собственн
меры и проверять их. Такое разнообраз
мер и запутанность при переводе одних
другие вызывало ряд злоупотреблений (прг
менение для покупки или приема натуральн
податей одних мер, а для продажи — други
и т. д.), а существование разного ро.
таможен и взимание местных пошлин являло
большим тормозом для развития торгов
сношений не только международных, но
в пределах одного государства.
Правительства разных государств и рань
делали попытки заменить местные меры об
государственными. Так, туаз как эталон rocj
дарственной меры во Франции был изготовл
в виде бруска с двумя выступами под прям
углом по концам. Расстояние между конца
выступов принималось равным туазу. Эт
брусок был укреплен в наружной стене одно
из старинных замков Парижа, у поднож
лестницы. Этот эталон был грубо сдела
изменял свою длину с изменением темпе
туры и постепенно портился под влиянн
погоды и времени. В Англии закон о введ
нии общих мер длины и веса был издан ег
в 1215 г. но эти меры не получили распрост*
нения; в 1324 г. был издан новый закон a i
мерах длины: „Три ячменных зерна, кругля <
и сухне,составляют дюйм", 12 дюймов состав" |
ляют фут, а 3 фута — ярд. В 1496 г. бы .
изготовлен нормальный образец ярда ( в вид
бронзового бруска, концевая мера). Копи I
с этого ярда и служили мерами длины м/
1824 г. С 1816 г. в Англии начал работать
Комитет мер и весов. По поручению Комитета
были изготовлены новые образцы длины и
веса, которые были положены на хранение
в здании парламента. Во время пожара в
здании парламента в 1834 г. эти образцы по¬
гибли. Восстановление образцовых мер длины
и веса было начато в 1843 г. и было закончено
в 1854 г. Меры длины были штриховые, их
было изготовлено шесть. Ярд за № 1 был
принят прототипом и передан на хранение
парламенту, а копии его распределены между
несколькими учреждениями. Таким образом,
правительства Англии и Франции, как мы
сейчас видели, а также и правительства других
юсударств пытались ввести единообразные
меры путем установления единообразия длины
уже употребляемой единицы измерения (фут,
ярд и т. д.), лишь заменив провинциальные
меры столичными.
В 1788 и 1789 гг. ряд французских городов
обратился к королевскому правительству с
с просьбой установить единую систему мер
для Франции, чтобы устранить путаницу и
вред, проистекающие от разнообразия и запу¬
танности мер. В Парижской академии наук
при обсуждении вопроса о мерах 14 апреля
1790 г. натуралист Бриссон предложил за
единицу длины принять настоя¬
щую величину из природы, а за
единицы веса— определенный объем
золота, серебра или дестиллиро-
ванной воды.
Французское национальное собрание по
предложению Талейрана 8 мая 1790 г. приняло
декрет об установлении новой системы мер,
основанной на „естественной” единице длины.
Национальное собрание постановило к этому
делу привлечь Англию и другие государства.
м| Для выработки основ новой системы должны
ч| были вместе собраться представители Париж-
14 ской академии наук, представители Лондон-
г ского королевского общества и научные пред-
* ставители других государств.
я Во Франции в это время назревали револю-
|« ционные события, н между французским и
Н английским правительствами начались стол-
Ч кновения. Лондонское королевское обще-
м ство не сочувствовало начинаниям Франции
е и не прислало своих представителей. Не прн-
’• были ученые и из других стран. При Париж-
i |ской академии наук для разработки вопроса
* |о мерах была образована комиссия, в кото-
т ]рую входили: Борда, Даламбр, Кондорсе,
i: IЛавуазье, Лагранж, Лаплас, Монж, Тилле.
1‘ Основатели метрической системы, вооду-
1 шевленные великими открытиями* н идеями
о [XVII и XVIII в., ставили своей целью про-
2*
извести революцию в области системы мер.
К концу XVIII в. к новым мерам предъявля¬
лись три условия: 1) приспособляемость меры
к природе человека, 2) ее вечность или
восстанавливаемость и 3) всеобщность.
На основании законов колебания маятника,
выведенных Галилеем и Гюйгенсом, последний
пришел к выводу о постоянстве длины секунд¬
ного маятника. Эту длину еще в XVII в.
Гюйгенс предлагал принять за основную еди¬
ницу длины. Подобное предложение делали
после него Пикар, Дюфе, Ла-Кондамин и др.
Уже во время Гюйгенса было известно,
что длина секундного маятника зависит от
силы тяжести; последняя же зависит от
широты и высоты места и от расположения
пород в земле. Сторонники этой „естествен¬
ной" меры предлагали за единицу длины взять
длину секундного маятника на 45° северной
широты и на уровне моря.
Другие за основную единицу длины предла¬
гали взять длину пути, проходимого телом при
его свободном падении за первую секунду.
Третьи для этой „естественной* единицы
длины предлагали определенную часть дуги
меридиана.
Комиссия Парижской академии наук после
длительных обсуждений постановила за основ¬
ную „естественную* единицу длины
принять дес ятими лл и онную долю
четверти меридиана, считаемого
от полюса до экватора. Создатели
метрической системы считали, что длина
меридиана сохраняется вечно неизменной,а,
следовательно, и основная единица длины,
выведенная из него, должна быть вечной,
неизменной и восстанавливаемой, даже если,
как утверждал Араго, „землетрясения и страш¬
ные катастрофы посетят нашу плацету и
уничтожат прототипы мер, хранящиеся в
архивах".
Комиссия же установила единообразную
десятичную систему подразделе¬
ния мер вместо сложных, пестрых
и запутанных соотношений старых
м е р. Кроме того в старых мерах почти всех
народов меры одного рода не имели простой
связи с мерами другого рода: меры поверх¬
ности, объема, жидких и сыпучих тел не были
связаны с мерами длины, не говоря уже о
единицах веса. Комиссия между всеми этими
мерами установила связь. В первой половине
1791 г. академическая комиссия представила
Национальному собранию доклад, через кото¬
рый ярко проходит идея об естественной
системе мер, которая пригодна „для всех
времен и для всех народов". В заключительной
части авторы доклада с гордостью говорят:
19
.Приняв эти принципы, мы не вводим в мерах
ничего произвольного, кроме арифмети¬
ческой (т. е. десятичной) шкалы, по которой
необходимо должны быть составлены их подраз¬
деления; точно так же и в единице веса
не будет ничего произвольного, кроме
выбора вещества, однородного и легко воспро¬
изводимого, с одинаковой степенью чистоты и
плотности, к которому должна быть сведена
тяжесть всех других тел, как, например, если
взять за основу перегнанную воду, взвешенную
в пустоте или приведенную к весу, какой она
там имела бьг, при той температуре»
при которой она переходит из
твердого состояние в жидкое. Мы
не думаем, чтобы было необходимо ожидать
сотрудничества других наций как для решения
относительно выбора единицы мер, так и для
приступа к операциям. В самом деле, мы исклю¬
чили в этом выборе всякое произволь¬
ное определение: мы приняли лишь
те элементы, которые принадлежат
одинаково всем народам. Выбор парал¬
лели в 45° вовсе не определяется положением
Франции; она не рассматривается здесь как
определенная точка меридиана, но лишь как
такая, которой соответствует средняя длина
маятника и средняя величина какой-либо доли
этого круга. Наконец, мы избрали единствен¬
ный меридиан, на котором можно найти дугу
с концами, лежащими на уровне моря, дугу,
пересекаемую средней паралле 1ью и не пред¬
ставляющую вместе с тем слишком большого
прэтяжзлия, которое слишком затруднило бы
фзкгитеское умеренна ее. Итак, нет ничего,
чго могло б л в'лзвпь хотл бы самое легкое
^основание для упрека в желании оказать какое-
либо предпочтение... Одним словом, если бы
память об этих работах утратилась и сохранились
|ллшь одни результаты, то в них не нашлось бы
никак )го признака, по которому можно было
узнать, какая нация задумала план
этих работ и осуществила и х“.
Но 8 августа 1793 г. по декрету Конвента
вез академии, в том числе и Академия наук,
были упразднены, Комиссия по мерам и весам
Академии перестала существовать. С 11 сен¬
тября 1793 г. была образована Временная
комиссия мер и весов. В докладе этой комис¬
сии о новых мерах находим:
.Итак, торговля вскоре будет пользоваться
первыми плодами труда, за который ни один
народ еще не пытался взяться и даже не мог
помыслить о возможности показать пример
в этом направлении. Французской республике
будет принадлежать слава выполнения того,
что до сих пор не смогли сделать просвещенные
20
народы, и свобода причтет этот труд к числу
благодеяний, изливаемых ею на людей. Единооб-
рюие мер, весов и расчетов во всей республике
устранит все затруднения, препятствовавшие
сделкам и так часто содействовавшие недобро¬
совестности. Определение этих мер и весов,
взятое из природы и тем самым
освобожденное от всякого произ¬
вола, будет ныне устойчивым, непоколе¬
бимым и неизменным, как сама при¬
рода. Арифметика, упрощенная посредством
десятичного счисления, сделает все торговые
и счетоводные операции гораздо более легкими
и достоверными. Сведенная к наипростейшей
форме, она станет доступной всем, все дети
будут знать ее, и таким образом отпа¬
дет еще одна причина неравенства
между людьми. Франция, уже в такой мере
вознесенная успехами ее обитателей в науках
и искусствах, к тому же самой природой поста¬
влена в благоприятное положение для преуспе¬
яния в этом великом деле. Она одна из всех
народов представляет выгодное положение для
измерения дуги меридиана... Оба конца этой
Дуги, упираясь в берег моря, дают неизменный
уровень. Измерение этой дуги, требующее столь
много труда и времени, даст, без сомнения,
лишь немногим большую степень точности, чем
прежние измерения; но эти операции достойны
французскою народа, который должен служить
образцом ятя всех народов и по точности вы¬
числений и по точности применяемых прибо¬
ров. Результаты, которые они дадут,
поставят все народы в невозможность сделать
когда-либо лучше".
По докладу академической комиссии Наци¬
ональное собрание в 1791 г. поручило Ака¬
демии произвести измерение дуги меридиана
между Дюнкерком и Барселоной. Академии
образовала ряд подкомиссий, которым были
поручены отдельные части работы по установ¬
лению новой системы мер.
Работу по измерению длины дуги мериди¬
ана поручили Мешену и Даламбру, причем
Даламбр должен был измерить дугу мериди¬
ана от Дюнкерка до Родеза, а Мешен —от
Родеза до Барселоны. Для выполнения наме¬
ченной работы требовались приборы боль¬
шой точности (угломерные приборы, линейки,
зеркала и т. д.), часть которых специально
теперь была спроектирована, и изготовление
этих приборов было поручено знаменитым
механикам того времени Ленуару н Фортеню.
Более года потребовалось на подготови¬
тельные работы и изготовление инструментов
для производства измерений дуги. В июне
1792 г. п* департаментам была разослана
бумага королевского правительства местным
властям о необходимости содействия работе
Даламбра и Мешена, охране их инструмен¬
тов и сигналов. В это время королевская
класть не пользовалась большим влиянием,
и оба руководителя экспедиции встречали
трудности, которые вызывались не самой
работой, а главным образом политическими
соображениями, условиями революционного
времени и войной. ц
Ученых неоднократно арестовывали, гео¬
физические знаки уничтожали, приостанавли¬
вали работы, портили инструменты и т. д.
Население, измученное феодальными поряд¬
ками, везде подозревало источники контррево¬
люции.
Людям, далеким от научной работы, уста¬
новление новой системы мер казалось делом
простым, легким и не требующим длительного
времени. В периодической печати того вре¬
мени и в собраниях неоднократно высказы¬
валось мнение, что академики умышленно
затягивают установление новой системы мер
с контрреволюционными целями. В популяр¬
ной газете того времени „Друг народа" была
помещена заметка „Академические шарла¬
таны", где указывалось, что под предлогом
измерения меридиана, который хорошо был
измерен раньше, академики выманили у пра¬
вительства большую сумму денег, чтобы раз¬
делить этот „пирожок" по-братски между
собою.
Некоторые представители правительства
предлагали принять временные новые меры,
установленные на основании прежних изме¬
рений длины дуги меридиана, что законо¬
дательная власть и поручила выполнить ака¬
демической комиссии. 1 августа 1793 г.
Конвентом была утверждена новая система
мер, основанная на прежних измерениях, где
метр должен был равняться 3 па¬
рижским футам 11,44 линиям. Эти
меры декретом предлагалось „ввести во всей
республике и предложить всем народам".
Этим же постановлением предусматривалось
изготовление прототипов новых мер под ру¬
ководством комиссаров, избранных Академией
наук и Комитетом народного просвещения.
Академия наук 7 августа для этой цели из¬
брала четырех академиков, в числе которых
были Борда и Лавуазье. Но, как уже ука¬
зывалось, 8 августа 1793 г. все. академии
были упразднены, а постановлением 11 сен¬
тября 1793 г. работы по введению новых
мер поручались Временной комиссии мер
и весов, куда входили все члены Академии,
за исключением Кондорсе.
Но Временная комиссия недолго работала.
В 1793 г. якобинцы захватили власть.
Они считали, что академики умышленно за- i
тягивают работу, а поэтому был издан де¬
крет о новом составе комиссии. ,
Декрет этот гласил: <
„Комитет общественного спасения, принимая *
во внимание, как важно для правильного направ¬
ления умов, чтобы лица, на которых возложены
правительственные обязанности, передавали свои
полномочия или давали поручения лишь людям,
достойным доверия по своим республиканским
доблестям и по своей ненависти к королям»
после совещения с членами Комитета народного
просвещения, занятыми специально делом мер
и весов, постановляет, что Борда, Лавуазье»
Лаплас, Кулон, Бриссон и Даламбр, начиная I
с сего числа, перестанут быть членами Комис- |
сии мер и весов и должны сдать немедленно I
по описи остающимся членам приборы, заметки, I
записки и вообще все, что имеется у них на
руках относящегося к делу мер и весов. Поста¬
новляет сверх того, чтобы остающиеся члены
Комиссии мер и весов сообщили в самом непро¬
должительном времени Комитету обществен¬
ного спасения, каковы те люди, которые им
совершенно необходимы для продолжения их
работ, и дали бы вместе с тем свои заключения
о способах дать возможность в самом скором
времени всем гражданам применять новые меры,
пользуясь революционным правом.
Министр внутренних дел примет меры к ис¬
полнению настоящего постановления”.
Этим декретом руководители комиссии,
производившей градусные измерения, исклю¬
чались и должны были прекратить работы.
В это же самое время Даламбр и Мешен стре¬
мились как можно быстрее и тщательнее
производить измерения; но они и теперь рабо¬
тали в тяжелых условиях.
Приер, первый подписавший декрет об
удалении активных членов Комиссии мер и
весов, внес в Конвент 1 марта 1795 г. док¬
лад о новой организации Временного агентства '
мер и весов. \
7 апреля (18 жерминаля) 1795 г. (по до¬
кладу Приера) был принят закон о новых
мерах и весах* Приведем в выдержках основ¬
ные положения его:
„Закон 18 жерминаля III года о новых мерах
и весах.
Национальный конвент, желая обеспечвть !
французскому народу благо пользования едино- (
образными и неизменными мерами и весами, !
которые были установлены прежними декретами,
н применить наиболее действительные средства .
для облегчения введения их во всей респуб¬
лике, заслушав доклад своего Комитета народ¬
ного просвещения, постановляет нижеследующее^ I
21 I
Ст. 2. Для всей республики будет лишь один
эталон мер и весов: это будет платиновая ли¬
нейка, на которой будет начертан метр, приня¬
тый за основную единицу всей системы мер.
Этот эталон будет выполнен с величайшей
точностью на основании опытов и наблюдений
членов комиссии, на которую возложено его
установление; он будет храниться в помещении
Законодательного корпуса вместе с протоколом
операцир, служивших для его установления,
*побы можно было их проверить в любое время...
Ст. 5. Новые меры впредь будут именоваться
республиканскими; их номенклатура оконча¬
тельно устанавливается в следующем виде'
метр — мера длины, равная десяти-
миллионной части дуги земного
меридиана, заключающейся между
северным полюсом и экватором.
Ар — мера поверхности для измерения земли,
равная квадрату, стороны которого составляют
10 метров.
Стер — мера, предназначенная специально
для дров и равная кубическому метру.
Литр — мера емкости как для жидкостей*
так и для сыпучих тел, вместимость которой
равна кубу десятой части метра.
Г р а м м — абсолютный вес объема чистой
воды, равного кубу сотой части мефа, при тем¬
пературе тающего льда.
Ст. 6. Десятая часть метра будет называться
дециметр и его сотая часть — сантиметр.
Декаметром будет называться мера,
равная 10 метрам, что составляет весьма удоб¬
ную меру для межевания.
Гектометр будет обозначать длину в 100
метров.
Наконец, километр и мириаметр бу¬
дут длины в тысячу и десять тысяч метров и
будут обозначать главным образом путевые
меры.
Ст. 7. Наименования мер других родов бу¬
дут установлены на тех же основаниях, как
и в предшествующей статье.
Так, децилитр будет мерой емкости в
10 раз меньше литра, сантиграмм будет
сотая часть веса грамма.
Точно так же будут говорить д е к а л и т р,
чтобы обозначить меру, содержащую 10 литров,
гектолитр для меры, равной 100 литрам.
Килограмм будет вес в 1000 граммов.
Подобным же образом будут составлены наз¬
вания всех прочих мер.
Ст. 10. Операции, относящиеся к определе¬
нию единицы мер длины и веса, выведенной
из величины земли, начатые Академией наук и
продолженные Временной комиссией мер во ис¬
полнение декретов от 8 мая 1790 г. и 1 авгу¬
ста 1791 г., будут продолжаться до полного нх
завершения специальными комиссиями. из¬
бранными главным образом среди ученых,
которые в них участвовали до сих
пори список которых будет составлен Коми¬
тетом народного просвещения".
Работа опять начала подвигаться вперед.
Борда и Бриссон приступили к изготовле¬
нию временного эталона метра из латуни,
который был готов через месяц после всту¬
пления их вновь в комиссию. „Метр, рав¬
ный десятимиллионной части расстояния от
полюса до экватора, проверенный по туазу
Академии“ — гласила надпись на нем.
Даламбр и Мешен с большой настойчи¬
востью продолжали работу.
Осенью 1798 г. градусные измерения были
закончены. Автор доклада 1790 г. о новых
мерах Талейран в это время был мини¬
стром иностраных дел Директории и стре¬
мился привлечь иностранных ученых к рас¬
смотрению и утверждению новой системы
мер, чтобы сделать ее более приемлемой и
для других государств. С этой целью были
сделаны предложения правительствам союз¬
ных с Францией и нейтральных государств
прислать своих представителей. Это был
первый международный научный конгресс.
Правда, в нем нэ участвовали многие госу¬
дарства, так как Франция воевала в это
время с рядом государств. Осенью 1798 г
французские ученые и представители других
государств познакомились с приборами и
методами работы, а затем, разбившись на
подкомиссии, приступили к детальной про¬
верке отдельных операций и вычислений.
Вся эта работа была закончена весной 1799 г.,
а также были изготовлены прототипы метра
и килограмма. Представители подкомиссий
сделали доклады о своих работах в Нацио¬
нальном институте наук и искусств, который
заменил собой Академию наук.
22 июня 1799 г. делегация Национального
института вместе с представителями других
государств явилась в заседание Законодатель¬
ного корпуса с прототипами метра и кило¬
грамма. Здесь во время торжественного засе¬
дания по случаю окончания работ от имени
Национального института Лаплас произнес
речь, в которой кратко изложил труды Ко¬
миссии по установлению новых мер.
После ответных речей представителей За¬
конодательного корпуса делегация направи¬
лась в архив республики, чтобы сдать на
хранение эталоны метра и килограмма.
Эти эталоны метра и килограмма получили
название „архивных"'. Архивный метр
представляет собой платиновый плоский
стержень (концевая мера) шириной около
25 мм и толщиной около 4 мм, который
был изготовлен Ленуаром под руководством
Борда. На нем не имеется никаких надпи-’
сей и знаков.
Само название основной единицы длины —
метр — было предложено Борда,
что должно обозначать—„мера".Ки¬
лограмм представляет собой платиновый ци¬
линдр со слегка закругленными краями. На
цилиндре нет никаких знаков и надписей.
Работы по установлению килограмма про¬
изводились сначала Лавуазье, но вследствие
его ареста, а потом казни (1794 г.) он не
довел этой работы до конца, а значительная
доля его трудов по этому вопросу была
утеряна. После его смерти эта работа была
поручена Борда, Гаюи и Прони, а фактиче¬
ски ее производил Лефевр-Жино. Эталон ки¬
лограмма был изготовлен Фортенем.
10 декабря 1799 г. в законодательном акте
было сделано дополнение к закону 1795 г.,
в котором сказано:
„Ст. 1. Временное определение длины метра
в 3 фута 11 линий и 44 сотых, установленное
законами 1 августа 1793 г. и 18 жерминаля
III г. (7 апреля 1795 г.), отменяется и приз¬
нается недействительным. Означенная величина,
составляющая д е с я т и м и л л и о н н у ю
часть дуги земного меридиана, за¬
ключенной между северным полю¬
сом и экватором, окончательно опреде¬
ляется в отношении к прежним мерам в 3 фу¬
та 11 линий и 296 тысячных.
Ст. 2. Платиновые метр и кило¬
грамм, помещенные 4 мессидора на
хранение в Законодательный кор¬
пус Национальным институтом
наук и искусств, представляют со¬
бой окончательные образцы мер
длины и веса для всей республики; точные
их копии будут переданы консульской комис¬
сии для руководства при изготовлении новых
мер и гирь.
Ст. 3. Прочие постановления закона 18 жер¬
миналя III года во всем, что относится к си¬
стеме мер, а также к их номенклатуре и к из¬
готовлению новых мер, остаются в силе.
Ст. 4. Будет изготовлена медаль, чтобы пе¬
редать памяти потомства время, когда система
мер была доведена до совершенства, и опера¬
цию, которая послужила ей основой.
Надпись на лицевой стороне медали будет:
„На все времена, для всех народов", а внизу
„Французская республика, VIII год".
Этим актом было закончено установ¬
ление новой системы мер, которая
получила название „метрической системы*.
Создатели этой системы считали ее совер¬
шенной и наиболее пригодной для приме¬
нения „для всех времен, для всех народов",
о чем говорит, например, статья 4 закона
от 10 декабря 1799 г. Свинден в своем до¬
кладе на торжественном заседании Нацио¬
нального института 3 июля 1799 г. подчер¬
кнул участие представителей ученых других
стран в выработке новой системы мер и на¬
стаивал на необходимости скорее сдел.ать
обязательными новые меры для на¬
родов всех стран. Однако метрическая
система вошла в обиход не сразу не только
в других странах, как этого желали созда¬
тели метрической системы, но даже в самой
Франции.
Народы тяготились разнообразием мер, но
когда была выработана метрическая система,
даже в процессе ее выработки, на нее уже
посыпались нападки. Некоторым деятелям
французской революции казалось достаточ¬
ным для устранения разнообразия мер ввести
парижские меры.
В мемуарах одного из сподвижников На¬
полеона Бонапарта ярко выражено мнение
противников метрической системы как в то
время, так и позже.
„Потребность в единообразии мер и весов
ощущалась во все века.
Закон об этом деле был настолько прост, что
его можно было составить в 24 часа, принять и
ввести в употребление во всей Франции менее,
чем в год.
Надо было сделать общею для всех систему
мер и весов города Парижа...
По вопросу, который относился исключи¬
тельно к кругу ведения администрации, обра¬
тились к геометрам... Они решили, что единица
мер и весов должна быть выведена из природы,
чтобы ее могли принять все нации...
Абстракциям и пустым надеждам было при¬
несено в жертву благо теперешнего поколения,
ибо, чтобы заставить старую нацию принять
новые единицы мер и весов, надо переделать
все административные правила, все расчеты
промышленности; такая работа устра-
шает разум. *
Ученые применили десятичное счисление,
приняв за единицу метр; они упразднили все
составные именованные числа. Нет ничего бо¬
лее противоречащего складу ума, памяти и
соображению.
Они пользовались греческими корнями, что
ешё увеличивает затруднения. Эти названия,
которые могли быть полезными для ученых,
не годились для народа...
Торговцы и граждане встретили стеснение
23
и обстоятельствах, которые саади по себе яв¬
ляются безразличными,— это еще более способ¬
ствовало непопулярности административного ме¬
роприятия, которое стояло вне круга потреб¬
ностей и понятий народа, насильственно ломало
его привычки, его обычаи, как это мог бы
сделать греческий или татарский завоеватель,
который с поднятым хлыстом желает
повиновения всем своим прихотям,
которые вызываются его собствен¬
ными склонностями и интересами,
иедумая об интересах побежден¬
ного. Новая система мер и весов
будет предметом затруднений и
осложнений для многих поколений;
нельзя мучить людей подобными
прихотям и...*
В Этих выдержках ясно слышится голос
представителя тех классов, которым неразбе¬
риха в мерах приносила определенные выгоды.
В ряде случаев к изложенным соображе¬
ниям присоединялись и мотивы политиче¬
ского характера; новые меры по закону
1795 г. назывались „республиканскими".
В 1799 г. берлинский астроном Боде писал,
что он ничего не может напечатать в за¬
щиту новой системы мер и весов, ссылаясь
на то, что он „имеет честь и счастье писать
в стране с монархическим правительством".
II. ВВЕДЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ МЕР
Последний закон (10 декабря 1799 г.)
о метрической системе мер во Франции был
принят, когда Наполеон был первым консу¬
лом; но уже менее чем через год после этого
(1800 г.) было разрешено пользоваться для
обозначения новых мер названиями старых
французских мер. Эта реформа внесла 'боль¬
шую путаницу в измерения, а фактически
была равносильна отмене метрической си¬
стемы. В 1812 г. была проведена новая
реформа, которая внесла еще большую пу¬
таницу в измерения. Только по закону
4 июля 1837 г. метрическая систе¬
ма вводилась как обязательная во
Франции с 1 января 1840 г. Раньше
этого (1820 г.) метрическая система полу¬
чила распространение в Бельгии и Голлан¬
дии, потом с 1852 г. — в Испании, с
1862 г. — в Португалии, с 1868 г-. — в Гер¬
мании, с 1845—1870 гг. — в государствах,
входящих ныне в Италию, с 1871 —
1876 гг. — в Австрии, а также около среди¬
ны XIX в. — в ряде государств Средней
и Южной Америки: Бразилии, Венецуэле,
Колумбии и др. Несомненно, что основным
стимулом к распространению метрических
24
мер было широкое развертывание между нз-^
родных экономических сношений. I
Распространению метрической системы
способствовала первая Всемирная выставка
в Лондоне в 1851 г. После выставки членами
жюри были сделаны заявления о необхо¬
димости введения единообразной
системы мер путем взаимного со¬
глашения. На Всемирной выставке 1855 г.
в Париже опять был поднят вопрос о едино¬
образии мер; е этом году была учреждена
Международная ассоциация для содействия
установлению единой системы мер, весов и
монет, которая собралась 24 сентября 1855 г.
во Дворце промышленности, причем было
признано, что только метрическая система
может рассчитывать на то, чтобы быть при¬
знанной международной. Члены этой ассоци¬
ации обязались вести через национальные
комитеты, назначенные для этой цели, дея¬
тельную пропаганду идей ассоциации.
В 1859 г. Российская академия наук по¬
лучила от английского и французского на¬
циональных отделов Международной ассо¬
циации адреса, подписанные крупными уче¬
ными и государственными деятелями, в
которых Академия наук приглашалась содей¬
ствовать целям ассоциации, причем выражалась
надежда открытия отдела ассоциации в Рос¬
сии. В этом же году был получен адрес
аналогичного содержания от Бельгийской
академии наук. Британский отдел приглашал
нашу Академию наук принять участие в ра¬
ботах съезда национального отдела, который
должен был открыться 10 октября 1859 г.
в Брэдфорде. На этот съезд был команди¬
рован академик Купфер.
Собрание было открыто речью председа¬
теля Шевалье, в которой он говорил:
„В настоящее время, когда международная
торговля сделалась столь активною и распро¬
страненною, излишне указывать, до какой сте¬
пени удобно будет принятие общей системы
мер и весов. Это будет гарантией против по¬
терь и ошибок и даже обманов, которые повто¬
ряются беспрестанно. Необходимо также заме¬
тить, что внутри каждого отдельного государства
общность системы мер и весов должна быть
благодеянием для всех классов общества без
исключения; для рабочего, который должен
считать или который должен давать себе ясный
отчет о вещах, служащих предметом его заня¬
тий; для промышленника, для инженера, для
частных лип, даже наиболее скромных, которые
все и всегда умеют вести разного рода расчеты.
Это будет экономией времени, которая даст себя
чувствовать непрерывно. Для всех это доста¬
вило бы великое удобство в один миг обозреть
отношения, ускользающие в настоящее время
вследствие той сложности, которой они окру¬
жены как густым туманом".
На этом съезде Купфер изложил осно¬
вания монетной и линейной систем измерения,
употребляемых в России. В записке, поданной
правительству от общества, указывается, что
английские инженеры, знакомые с метриче¬
ской системой, находят ее столь удобной,
что весьма часто переводят данные, над
которыми они должны сделать вычисления,
сперва в соответственные величины метриче¬
ской системы, производят потом вычисления,
а затем окончательные результаты вычислений
переводят опять в английские меры.
„Нельзя сомневаться, — сказано в этой за¬
писке,— что введение метрической системы при¬
несет громадный выигрыш как денег, так и вре¬
мени и работы во всех родах предприятий, в ко¬
торых приходится иметь дело с мерами или
весами. Сделать точное определение этой выгоды
невозможно, но нельзя сомневаться, что она
должна быть весьма значительна во всех боль¬
ших предприятиях".
Под давлением этих мотивов было разре¬
шено применять метрические меры в Англин
с 1864 г., в САСШ — с 1866 г., а Германия
ввела обязательное применение метрической
системы законом 1868 г.
В 1867 г. во вр^мя Всемирной выставки
в Париже был образован Международный
комитет мер и весов, который разбился на
три подкомиссии. Председателем подкомис¬
сии о единообразии мер и весов был избран
русский академик Якоби, составивший Меж¬
дународному комитету от имени подкомиссии
доклад, выдержки из которого приведены
в начале нашей статьи. По предложению
Комитета в особом павильоне была организо¬
вана выставка с образцами мер 20 государств,
в том числе и России. Выставка давала яркую
картину преимуществ метрической системы
мер перед национальными.
На съезде русских естествоиспытателей
в Петербурге в конце 1867 г. и в начале
1868 г. была принята резолюция о необхо¬
димости употребления метрической системы
как при сношениях ученых, так и во всех
научных сочинениях. Аналогичное заявление
было вынесено съездом русских естествоис¬
пытателей и врачей в Москве.
Практические шаги по принятию метриче¬
ской системы в качестве международной были
сделаны Российской академией наук в 1869 г.
По предложению академика Якоби Российская
академия наук избрала комиссию в составе:
Вильда — директора главной физической об¬
серватории, Струве — директора Пулковской
обсерватории и Якоби для рассмотрения во¬
проса о прототипах длины и веса. 20 мая
1869 г. комиссия представила доклад, со¬
ставленный академиком Якоби. В этом до¬
кладе сказано:
„Ввиду успешного распространения метри¬
ческой системы за последние годы и в предви¬
дении того, что принятие этой системы учеными
всех стран не преминет осуществиться в бли¬
жайшем будущем, необходимо теперь же рас¬
смотреть те основы, на которых должна быть
установлена окончательно единая международная
единица мер и весов. Действительно, надежное
установление этой единицы тем более важно,
что дело идет не только о согласии всех народов
в настоящее время, из и о гарантии, чтобы даже
в отдаленном будущем не приш¬
лось отказаться от наследства, ко¬
торое мы хотим им оставить. По»
добного рода мысль вдохновляла незабвенные
работы, предпринятые во Франции с целью
дать миру универсальную и неизменную меру
которую можно было бы воспроизвести, как
сказал Араго, „даже если бы землетрясениям
страшные перевороты потрясли нашу планету
и уничтожили прототипы, хранимые в архивах".
В настоящее время наши опасения на этот
счет не настолько сильны, чтобы сделать нас
сторонниками так называемых абсолютных
и естественных мер. Неудовлетворитель¬
ность и сравнительная неточность этих мер
общепризнаны и с очевидностью доказаны силь¬
ными и неоспоримыми доводами знаменитого
Бесселя, так что теперь немыслимо, чтобы впредь
ученый мир вернулся к поискам такого рода мер.
Итак, доказано, чго эталон метра, хранящийся
в архивах Франции, не составляет десятимил¬
лионной части четверти меридиана; что его
длина представляет лишь некото¬
рую долю меридиана, отношение
которой к меридиану определенно
и действительно л и шь для извест¬
ного момента времени, и в не го надо
вносить поправки при каждом но¬
вом успехе, достигнутом в наших
познаниях о фигуре земли. Следова¬
тельно, эталон, о котором идет речь, должен
был утратить характер естественной меры, ко¬
торый ему приписывался при его изготов¬
лении, и в настоящее время он яв¬
ляется просто произвольной и ус¬
ловной меро й...
...Итак, по научным основаниям и
соображениям удобства, слишком часто
указывавшимся, чтобы нужно было здесь к ним
возвращаться, все цивилизованные нации мол¬
чаливо согласились признать за французской
25
метрической системой преимущества между¬
народной системы мер и весе в для будущего
а эталоны, хранимые в архивах
Франции, — считать прототипами
этих мер".
„...Комиссия единогласно признала, что
вопрос об единообразии эталонов
чрезвычайно важен; что это еди¬
нообразие представляет единствен¬
ную надежную основу для установ¬
ления возможно более устойчивой
международной системы мер и ве¬
сов; что этот результат не может
быть достигнут работой водиночкуэ
как бы ценна она ни была,—его можно
достичь лишь коллективной рабо¬
той, надлежащим образом органи¬
зованной; наконец, что необходимо
о братитьнаэтодел о в се внимание
правительств, которые непременно
должны оказать ему свое содей¬
ствие созданием международной
комиссии из делегатов всех стран,
которой было бы поручено изго¬
товление первичных эталонов мер
длины, емкости и веса".
Заседания комиссии были открыты в назна
ченный день, но представители ряда государсп
a-fci
при
сс
'.V
о
К(
*1
м
н
Л:
По докладу комиссии Российская академия
наук обратилась в министерство народного
просвещения с просьбой просить все госу¬
дарства прислать представителей в особую
Международную комиссию для рассмотрения
вопроса о прототипах метрической системы
мер и весов.
Мысли, высказанные Российской академией
наук в докладе, встретили горячую поддержку
со стороны ученых и правительств других
стран. Парижская академия наук изучила
вопросы, поднятые Петербургской академией,
в августе приняла предложение о созыве
Международной комиссии во Франции, а в
ноябре 1869 г. французское правительство
разослало приглашения правительствам других
государств прислать своих представителей в
Международную комиссию. В то же время
была назначена французская секция комиссии,
которая занялась подготовительной работой.
Французские научные круги стремились удер¬
жать инициативу введения метрической си¬
стемы в своих руках и сохранить в качестве
прототипов длины и веса архивные метр
и килограмм. Этим отчасти объясняется бы¬
строе принятие Парижской академией и
французским правительством решений о со¬
зыве Международной комиссии.
24 государства назначили своих предста¬
вителей в Международную комиссию, кото¬
рая должна была открыться 8 августа 1870 г.
26
не могли прибыть в Париж, так как перед
этим началась франко-прусская война 1870 г.
Собравшиеся хорошо понимали, что при соз¬
давшихся условиях они не могут принимать
в этом весьма важном вопросе международ
кого характера окончательных решений. Этс
было подчеркнуто самим председателем ко¬
миссии, французским академиком Матье, «
по этому поводу была принята резолюция,
внесенная представителем России Отто Струве
„Ввиду современного положения Международ¬
ная метрическая комиссия, в интересах возло
женного на нее дела, считает необходимым от,
дожить все окончательные решения до бола
благоприятного времени..."
На следующем собрании в сентябре 1872 г
в работах комиссии принимало участие 45
представителя 30 государств. Россия был.
представлена Вильдом, Струве и Якоби. Здесь
были установлены все основные положения,
которыми необходимо руководствоваться прь
изготовлении прототипов метра и килограмма fl
Комиссия 1870 г. постановила, что за основ)
для изготовления международного метра дол
жен быть принят архивный метр в том со
стоянии, в каком он находился в то время.
Это было подтверждено в 1872 г. Для изго¬
товления прототипов метра и килограмма был
принят сплав платины с иридием (10°/о ири¬
дия), так как этот сплав, как выяснилось
специальными исследованиями, обладает вы¬
сокой твердостью и упругостью, а также
исключительной сопротивляемостью окис¬
лению.
Архивный метр представляет собой сравни¬
тельно тонкий стержень, который заметно
может изгибаться даже под действием соб¬
ственного веса. По предложению члена ко¬
миссии французской секции инженера Треска
для новых прототипов была принята форма
бруска с иксообразным сечением, чтобы при
небольшой массе (около 3,3 кг) он обладал
максимумом сопротивления изгибу. Сначала
был изготовлен временный прототип ме¬
тра, который в 1882 г. был сравнен
с архивным метром. Затем с него j
сняли 31 копию, сравнили их с временным
метром и друг с другом. Из этих сравнений (
выяснилось, что эталон за № 6 ока¬
зался при 0° в точности равным1
длине архивного метра и был при-!
знан международным прототипом
метра, а из остальных 30 национальных:.
метров в 1889 г. 28 эталонов были по
жребию распределены между государствами,
I
Л
f
■указавшими эталоны, и два эталона были
■помещены в Международном бюро мер и ве-
*ов в качестве контрольных.
России по жребию достались метры за
№28 и № 11. Чтобы дать представление
ч национальных прототипах и тех операциях,
которые над ними производились, приведем
иыдержки из свидетельства для прототипа
иетра за № 28, который является националь¬
ным прототипом СССР.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМИТЕТ МЕР И ВЕСОВ
СВИДЕТЕЛЬ СГВО
МЕЖДУНАРОДНОГО БЮРО МЕР И ВЕСОВ
ДЛЯ
ПРОТОТИПА МЕТРА № 23,
ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ,
МИНИСТЕРСТВУ ФИНАНСОВ
Этот прототип из платино-иридиевого
сплава, содержащего 10и/о иридия, в виде
стержня в 120 см длины, имеющего попе¬
речное сечение так называемой формы X,
(шл изготовлен гг. Джонсон, Маттеи и К0
Лондоне. Стержень был выровнен и отде-
лан от руки, затем полирован и обрезан до
длины в 102 см (гг. братьями Бруннер в Па¬
риже).
Штрихи были нанесены г. Г. Треска,
•шженером при французской секции Метри¬
ческой комиссии, на участках эллиптической
формы, плоская поверхность которых отпо¬
лирована до зеркального блеска (вся эта
работа была выполнена в Консерватории ис¬
кусств и ремесл в Париже под руководством
г. Корню, члена института, делегата фран¬
цузской секции, и г. Броха, директора
Международного бюро, делегата Междуна¬
родного комитета).
Окончательная отделка штрихов произве-
аена в Международном бюро г. Буано, ас¬
систентом этого учреждения.
К прототипу прилагаются два образца,
отрезанные от обоих концов его и приго¬
товленные г. Лораном в Париже для изучения
расширения по методу Физо.
Прототип заключен в специальный футляр,
состоящий из сплошного деревянного ци¬
линдра, в котором сделан продольный паз
для помещения стержня, и который окружен
прочной цилиндрической оболочкой из латуни,
имеющей навинчивающуюся крышку.
ОПИСАНИЕ
Поперечное сечение стержня имеет так
называемую форму X, вписанного в квадрат,
сторона которого равна 20 мм. Верхняя по¬
верхность средней поперечины, на которой
нанесены штрихи, совпадает с плоскостью
нейтральных волокон. Она приведена путем
легкого утонения нижних опор к уровню
средней высоты сечения.
На обоих концах, на отполированных мес¬
тах, нанесено по три штриха толщиною от
6 до 8 микронов, отделенных друг от друга
промежутками по 0,5 мм. Расстояние между
средними штрихами обеих этих групп по
три штриха представляет длину меры. Поло¬
жение оси определено группами по две про¬
дольных, более толстых черты, нанесенных
на обоих полированных местах на расстоя¬
нии 0,2 мм друг от друга.
На верхней плоскости ножек бруса вы¬
гравированы:
слева — надпись А. 28,
справа — надпись Б. 28.
На обоих образцах, приложенных к про¬
тотипу в отдельном ящике, выгравированы
те же номера и буквы, как и на концах, от
которых они отрезаны.
ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ
Приготовление платины и иридия, служив¬
ших для получения сплава слитка, из кото¬
рого приготовлены стержни, производилось
под наблюдением г. Стаса, члена Брюссель¬
ской академии наук, делегата Международ¬
ного комитета, Анри Сен-Клер Девилля, а
после его смерти — Дебрю, членов Француз¬
ского института, делегатов французской
секции.
Анализ сплава произведен на нескольких
образцах, взятых непосредственно из гото¬
вых стержней. Согласно результатам этих
анализов, сплав не содержит никаких следов
иридия в свободном состоянии, не заклю¬
чает в себе рутения и содержит только чрез¬
вычайно малое количество, от одной до двух
десятитысячных, родия и одну десятитысяч¬
ную железа. Количественное определение
иридия дало в результате от 10,08 до
10,09 °/0.
10 ИЗМЕРЕНИЯ
Коэфициент расширения. Измере¬
ние расширения было вверено г. Р. Бенуа,
первому адъюнкту Международного бюро,
в сотрудничестве с г. LLI. Гильомом, при¬
численным к бюро.
Это определение произведено путем сравне¬
ния прототипа № 28 с международным про¬
тотипом М в ванне компаратора для из¬
мерений расширения при 8 различных тем¬
пературах, заключающихся между 0°,2 и
37°,9. Расширение международного прото¬
типа М было измерено ранее по абсолют¬
ному методу при помощи компаратора для из¬
мерений расширения, а также по метбду Физо.
27
Эти наблюдения привели к следую щему
результату.
Коэфициент расширения прототипа № 28
от 0° до t°
0 = 10-9(8650 -1-1,00^),
1де t означает температуру по нормальной
шкале, принятой для международной службы
мер и весов (шкале водородного термометра).
Национальные прототипы в числе 30 были
сравнены между собою систематически в 11
группах, а именно: 5 групп по 6 мер и 6
групп по 5 мер; сверх того, каждый из них
был сравнен, с одной стороны, с временным
прототипом 12 Международного бюро, кото¬
рый был сравнен в 1882 г. с метром, хра¬
нящимся в архивах Франции, с другой сто¬
роны, с новым международным прототипом
М. Наконец, эти последние прототипы 12 и
М были также сравнены между собою. В
каждой группе сравнения были произведены
во всех возможных сочетаниях.
Сочетание результатов этих 196 полных
сравнений или 784 отдельных сравнений дает
для метра № 28:
при температуре 0°:
прототип № 28 = \м-\-0.5ц + 0.1».
Следовательно, уравнение прототипа будет:
прототип № 28 = \м —0,5jx -J- 8,650)1-Т -J-
-f 0,00100р7^± 0,2]i,
где Т означает температуру, выраженную
в градусах нормальной шкалы, принятой для
международной службы мер и весов.
Расстояниемежду вспомогатель-
ными штрихами. Эти расстояния были
определены в воде, при помощи микрометров
компаратора Бруннера, при наблюдении каж¬
дого конца в отдельности и их суммы. Наб¬
людения повторялись два раза под каждым
из двух микроскопов.
Он хранится во Всесоюзном научно-иссле¬
довательском институте метрологии и стан¬
дартизации (ВИМС) в Ленинграде. Прототип
№11= 1м— 0,5)1 +- 8,650jir-f 0,00100)1 Г2
0,2)1. Таким образом, средняя длина двух
наших прототипов при 0° как раз равна 1 м.
При обсуждении вопроса о прототипе кило¬
грамма были оживленные прения, в резуль¬
тате которых была принята резолюция:
.... Комиссия постановляет, что междуна¬
родный килограмм должен быть выведен из ар¬
хивного килограмма в его теперешнем состо¬
янии*.
Сначала был изготовлен из платино-ири-
диевого сплава один прототип килограмма,
который после соответствующей обработки
по Массе в пределах ошибок наблюдения
28
оказался тождественен с архивным килограч
мом и который признали междуна!
родным прототипом килограмма:
Затем было изготовлено еще 42 прототипа)
которые в 6 группах по 7 кг каждая и
7 группах по 6 кг каждая были сравнены м<
жду собой и, наконец, каждый килограм!
сравнен с международным прототипом кил!
грамма. При этом пришлось произвести 109:
отдельных взвешивания, которые дали во;
можность определить массу каждого прок
типа килограмма.
При распределении прототипов килограмм)
по жребию Россия получила два прототи:
(за № 12 и № 26). Прототип № 12=1 кг^
—|—0.068 мг —1— 0,002 мг и признан национал!
ным прототипом килограмма для СССР
хранится в ВИМС в Ленинграде. Прототи
№ 26 = 1 кг—0,032 л/г-1-0,002 мг. В свиде
тельстве, выданном Международным бюр
мер и весов, для прототипа килограмма № I
сказано:
Г(
к
’с
л
МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОМИТЕТ МЕР И В ЕС O'*
СВИДЕТЕЛЬ ство
МЕЖДУНАРОДНОГО БЮРО МЕР И ВЕСОВ
ДЛЯ
ПРОТОТИПА КИЛОГРАММА № 12,
ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО российской империи.
МИНИСТЕРСТВУ ФИНАНСОВ
Этот прототип был изготовлен гг. Джон
сон, Маттеи и К° в Лондоне из плати»
иридиевого сплава, содержащего Юи/0 при
дия, в форме цилиндра, высота которог
равна диаметру.
Затем он был обточен и отполирован мел
ким наждаком, а окончательная подгонка еп
была произведена в Международном бюр<
после определения его объема. Все эти one
рации были выполнены конструктором
Колло в Париже.
ОПИСАНИЕ
Килограмм имеет форму прямого цилиндр ( “
с закрепленными ребрами, имеющего 39 mi
высоты и 39 мм в диаметре.
На цилиндрической поверхности, на
высоты, нанесен при помощи полироваль
ника № 12.
Он помещен под двумя стеклянными кол
паками, на подставке, покрытой пластинко»
горного хрусталя. Во время пересылки oi
прикрепляется к подставке посредством вин
тов, покрытых замшей, специально промыто)
для этой цели. Все это защищено медно!
крышкой...
Объем килограмма № 12 = 46,407 ml...
Изготовление эталонов было выполнен
французской секцией Метрической комиссш
1 п
п
к
руководством 12 представителей ряда
[государств. По предложению Метрической
комиссии 1 марта 1875 г. в Париже со¬
стоялась дипломатическая конференция 20 го¬
сударств „для обеспечения международного
единства и совершенствования метрической
системы".
На этой конференции 20 мая 1875 г. было
I решено заключить- договор международного
характера, некоторые статьи которого при¬
едены ниже:
| „Ст. 1. Высокие договаривающиеся стороны
(обязуются основать и содержать на общие
средства Международное бюро мер и весов—
состоянное научное учреждение, находящееся
я Париже.
Ст. 2. Международное бюро мер и весов
будет действовать под исключительным наб¬
людением и руководством Международного
комитета мер и весов, который в свою оче¬
редь подчиняется Генеральной конференции
мер и весов, состоящей из представителей
всех договаривающихся правительств.
Ст. 6. Международному бюро мер и весов
поручаются:
1) все сличения и проверки новых прото¬
типов метра и килограмма:
2) хранение международных прототипов;
3) периодические сличения национальных
эталонов с международными прототипами или
U их контрольными копиями, а также сличе¬
ние образцовых термометров;
4) сличение новых прототипов с основ¬
ными эталонами неметрических мер и весов,
применяемых в разных странах и в науке;
5) выверка и сличение геодезических мер;
6) сличение эталонов и точных шкал, по¬
верки которых будут просить либо прави¬
тельства, либо ученые общества, либо мас¬
тера и ученые.
... Международные прототипы метра
к килограмма, а также их контрольные ко¬
пии хранятся в бюро; доступ к хранилищу
принадлежит исключительно Международному
] комитету".
! Этот документ подписан представителями
17 государств, в том числе и Россией.
R 1889 г. в Париже состоялась 1-я генераль¬
ная конференция мер и весов, которая своим
[постановлением утвердила первые междуна¬
родные прототипы.
После этого акта международного харак¬
тера метрическая система получила все более
широкое распространение. К 1 января 1925 г.
[метрическая система введена как обяза¬
тельная в следующих странах:
Австрия Аргентина ' ' Болгария
Алжир Бельгия Боливия
Бразилия
Конго Белыийск.Сальвадор
Венгрия
Коста-Рика
Сешельские о-ва
Венецуэла
Куба
Сиам
Гаити
Люксембург
СССР
Г ватемала
О-в Маврикия
Тунис
Германия
Мальта
Уругвай
Голландия
Мексика
Филиппины
Гондурас
Никарагуа
Финляндия
Г реция
Норвегия
Франция
Гуам
Панама
Чехо-Словакия
Дания
Перу
Чили
Исландия
Польша
Швейцария
Испания
Порто-Рико
Швеция
Италия с коло¬
Португалия с
Эквадор
ниями
колониями
Югославия
Колумбия
Румыния
Япония
и допущена в следующих странах:
Абиссиния
Индия Брит
Китай Турция
Великобритания Ирландия
Парагвай
Египет
Канада
САСШ
На предыдущих страницах мы видели, что
русские научные деятели принимали весьма
активное участие в пропаганде метрических
мер, а в ряде случаев являлись инициато¬
рами в проведении ряда мероприятий. Съезды
русских фабрикантов, заводчиков и предста¬
вителей торгового класса неоднократно вы¬
сказывались, начиная с 1870 г., за введение
метрических мер в России. Но только с
1900 г. русское правительство факультатив¬
но допустило метрические меры к употребле¬
нию в стране; в „Положении о мерах и весах"
1899 г. ст. 2 гласит:
„Международные метр и килограмм, их под¬
разделения, а равно и иные метрические меры
дозволяется применять наравне с осногныыи
российскими мерами в торговых и иных сдел¬
ках, контрактах, сметах, подрядах и т. п. по
взаимному соглашению договаривающихся сто¬
рон".
Начало обязательного введения
метрической системы в нашей
стране было положено декретом
Совета народных комиссаров от
14 сентября 1918г.
Со времени начала работ по установлению
международной системы мер прошло около
150 лет. За этот промежуток времени многое
изменилось во взглядах на сущность этих
мер.
Инициаторы новых мер являлись сторон¬
никами „естественных" мер, взятых из при¬
роды, причем ставилась задача — произвести
и змерения меридиана с такой точностью, что¬
бы невозможно было превзойти их в даль¬
29
нейшем. В то же время Даламбр, один из
главных участников этих измерений, в своей
работе ,6ur ia base du aysieme metrique
decimal" считает, что величины, выражаю¬
щиеся в сотых долях миллиметра, недоступны
Д1я измерения даже в научных работах наи¬
высшей точности. Мы уже видели, что
типы метра измерены с точностью до4-0.02 р.
В 1924 г. в ВИМС (Ленинград) доставлен
компаратор для измерения жезлов длиною
до 4 м; конструкция его доведена до такого
совершенства, что при постоянстве темпера¬
туры четырехметровые жезлы измеряются с
точностью до 4-0.1 ja, т. е. относительная
точность доведена до 0,000025°/о; точность
измерений и в дальнейшем, конечно, будет
повышаться.
В законе 1795 г. в п. 5 сказано: „Метр—
мера длины, равная десятимиллионной части
дуги земного меридиана, заключающейся меж¬
ду северным полюсом и экватором". Дальней¬
шими исследованиями было выяснено, что
длина земного квадранта больше 10 000 000 л.
Так, по исследованиям знаменитого немец¬
кого астронома Беселля он равен 10 000 856 м.
Новые измерения могли дать новое число
метров в этой дуге. Исследования же теку¬
щего столетия показали, что сам земной
полюс перемещается, а следовательно, вообще
нельзя даже говорить о постоянстве этой
дуги. Следовательно, то, что создателям
метрических мер казалось вечным и неиз¬
менным, в действительности не оказывается
таковым. Кроме того фактически длина
метра определяется его отноше¬
нием к туазу, с помощью которого
измеряли длину дуги. Если сохранить
формальное определение метра, которое дано
в законе 1795 г., то сам эталон, а следо¬
вательно и меры длины, пришлось бы
весьма часто менять. В законе 1799г.
находим другое определение метра (ст. 2):
„Платиновые метр и килограмм, помещен¬
ные..., представляют окончательные образцы
мер длины и веса для всей республики...",
т. е. в качестве эталона принимается архив¬
ный метр. Фактически эти два метра (согласно
первому и второму определениям) имеют
разные длины. Эта двойственность
была ликвидирована по междуна¬
родному соглашению Генеральной
конференци.ей мер и весов, поста¬
новлением которой „расстояние
между средними штрихам и" предста¬
вляет длину меры.Среди широких слоев населе¬
ния и даже в учебниках н таблицах сплошь и
рядом дается определение метра как *
10 000000
земного квадранта. Многие считают и считали
что первое определение метра является дей¬
ствительным определением длины, а второе
служит только материальным выражением его
Мы видели выше, что они противоречат дру
другу, и даже во Франции, которая проявил;
много энергии при установлении и распрост
ранении метрических мер, до 1913 г. была
путаница; потребовалось издание особоге
закона 11 июля 1913 г., одна из статей
которого гласит:
„Эталоном, или прототипом, метрической сис¬
темы служит международный метр, признанны!
Генеральной конференцией мер и весов*.
Таким образом, прототип метр;
является совершенно произволь¬
ной условной единицей длины, ко¬
торая принята за таковую по меж¬
дународному соглашению.
В качестве „естественного" эталона длинь
еще в 70-х годах прошлого столетия Макс¬
велл предложил длину волны света. Недавно
скончавшийся американский физик Майкель-
сон в прошлом столетии разработал способ
определения отношения метра к длине волны
света. В 90-х годах прошлого столетия он
эту работу выполнил в Международном бюро
мер и весов и нашел, что длина красной
линии кадмия в 1 м укладывается 1553163,0
раз, или длина волны красной линии кадмия
равняется 0,64384722 р..
По поручению Международного бюро мер
и весов Бенуа, Фабри и Перро произвели
новое определение отношения метра к дли¬
не волны красной линии кадмия; они нашли
что метр — 1553164, 13 А, а отсюда Х =
= 0,64384696 р. Это определение было
произведено при 15° стоградусной шкалы
и при нормальном давлении. Так как длина
световой волны неизменна, то по современ¬
ным воззрениям при определенных условиях
последними работами устанавливается связь
метра с неизменной величиной, а это дает
возможность восстановить метр „даже если
бы ззмлетрясения и страшные перевороты
потрясли нашу планету и уничтожили прото¬
типы, хранимые в архивах", по выражению
Араго.
Относительно килограмма существовала и
существует еще большая путаница, чем отно
сительно метра. Закон 1795 г. говорит (ст. 5):
„Грамм—абсолютный вес объема
чистой воды, равного кубу сотой
части метра при температуре таю¬
щего льда". В законе 1799 г. говорится:
„Платиновые метр и килограмм представляют
собою окончательные образцы мер длины
•1
30
и веса“. В данном случае грамм и ки¬
лограмм узаконены как единицы
веса, хотя создатели метрической системы
хорошо знали, что вес тела изменяется с
широтой и высотой места и зависит от рас¬
положения земных масс. В обиходе масса
и вес тела часто смешиваются; это смешение
усиливается тем, что определение массы ча¬
ще всего производят посредством весов, хотя
при такой операции для покупателя, про¬
давца, хозяйственника и т. д. почти всегда
играет роль не притяжение тела к земле,
а его масса. Название Международное бю¬
ро мер и весов нужно признать также
неудачным. Даже в германском законе 1893 г.
сказано; „Килограмм, представляе¬
мый массою определенного эта¬
лона, устанавливается как едини¬
ца веса". Смешение массы навеса продол¬
жалось долго. 3-я генеральная конфе¬
ренция по мерам и весам (в 1901г.)
вынесла особое постановление о
том, что прототип килограмма
есть единица массы.
Килограмм-вес есть вес между¬
народного прототипа килограмма
в пустоте при нормальном уско¬
рении свободного падения, равном
4,80655 Итак, прототи п килограм¬
му/^ ^ г
«а есть единица массы, а не веса,
/ак было сказано в прежних зако¬
нах. В определении единицы мас¬
сы, как и единицы длины, была допущена
двойственность: по закону 1795 г. это — м а с-
£ а воды при определенных усло¬
виях, а по закону 1799 г. оиа опре¬
деляется через архивный кило¬
грамм. Определение массы одного куби¬
ческого дециметра воды показывает, что эта
масса отличается от массы архивного кило¬
грамма. При обсуждении этого вопроса в
Метрической комиссии в 70-х годах прошлого
столетия ставился вопрос: „Должен ли между¬
народный килограмм быть выведен непосред¬
ственно из архивного килограмма в том со¬
стоянии, в каком он находится, или его сле¬
дует построить заново, из теоретического
определения?" Большинство высказывалось за
установление связи между архивным кило¬
граммом и международным килограммом, что
.видно из постановления комиссии.
) Создатели метрической системы стремились
установить связь между единицами длины,
I объема и массы. По закону 1795 г. непосред¬
ственно устанавливается связь между мерами
длины и мерами объема (метр и литр), с
одной стороны, и между мерами длины и
массой, с другой стороны (метр и грамм), а
отсюда уже выводится зависимость между
мерами массы и обьемом, выраженным один
раз в кубических дециметрах, а другой раз
в литрах. Экспериментальные исследования
показали, что объем одного и того же тела,
выраженный в кубических дециметрах и лит¬
рах, численно на совпадает. Вследствие этого
пришлось заменить прежнее теоретическое
определение литра новым:„Литр есть объ¬
ем одного килограмма воды при
наибольшей ее плотности при нор¬
мальном атмосферном давлении.
Литр принимается равным 1 ООО 02S
кубического дециметра"
Таким образом, для объемов существует
две меры — литр и его производные и крат¬
ные и кубический метр и его производные
и кратные, но объем тела, выраженный со¬
ответственно в той и другой мере, численно
не совпадает.
Название меры должно было состоять из X
названия основной меры и названия приставки,
показывающей, во сколько раз данная мера
больше основной или меньше основной. По
закону 1795 г., название приставки для крат¬
ных мер должно было браться с греческого
языка (дека-, гекто-, кило-,мирна-),а для дроб¬
ных подразделений с латинского языка (деци-„
санти-, милли-).
По отношению к мерам длины приведенный
принцип словообразования был выдержан, но ■
в практике названия декаметр и гектометр
не употребительны и в стандарте мер
длины они исключены. Позже добавлены:
микрон = 10_6 м; миллимикрон = 10-9 м
и ангстрем = 10 ~10 м; как видим, в этих
мерах принцип словообразования создателей
метрической системы не выдержан. Что касает- ф
ся кратных и дробных подразделений единиц
массы, то здесь наблюдается еще большая
путаница. Теоретической единицей массы
является грамм, а прототипом служит масса
в 1 «г, которая фактически является основной
единицей массы. Вследствие этого грамм =
= 10~3 основной единицы (килограмма), сан¬
тиграмм = 10~5 основной единицы (кило¬
грамма) и т. д. Для мер, кратных основной
единице массы, добавлены: тонна—1000кг
(метрическая тонна), близкая по величине к
единице массы того же названия, применяю¬
щейся в Англии и Америке, и центнер —
100 кг, который в некоторых государствах
называют квинтал.
Наименования, сокращенные обозначения,
определения и отношения к основным еди¬
ницам мер были даны в Общесоюзном стан¬
дарте „Метрические меры" (Ост 516). Этот
31
стандарт был разработан Главной палатой
мер и весов, рассмотрен и утвержден Все¬
союзным комитетом по стандартизации (ВКС)
при Совете труда и обороны 7 мая 1929 г.
как обязательный с 1 августа
1929 г.
По предложению ВИМС (б. Главная палата
мер и весов) в него внесены некоторые
изменения и дополнения. 8 июля 1933 г.
проект стандарта „Метрические меры" в но¬
вой редакции обсуждался в ВКС и у твержден
как обязательный с 1 октября
1 9 3 3 г.
Уже прошло почти 150 лет, как предста¬
вители науки, техники и общественности
высказываются за скорейший переход от
отечественных мер к метрическим. Правнтел
ства почти всех культурных стран сдела.
метрические меры обязательными, а некоторы
государства, в том числе Англия и Соеди
ценные штаты, допускают их факультативно
В нашей стране с 1 октября 1933 г. во
измерения должны производиться только
метрических мерах, причем в печати, в шко
лах всех типов, на изделиях промышленности
в торговле и т. д. допускаются только стан
дартные сокращенные обозначена
наименований метрических мер
Преподаватели и другие работники обязан!
выяснять преимущества метрических мер
сокращенных стандартных обозначений.
<
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЭФФЕКТ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Доц. Ю. КУШНИР <Москва)
Всякий процесс, при котором электрон,
поглощая падающий квант света, приобретает
достаточную энергию, чтобы освободиться
от первоначально наложенных на него связей,
может быть назван фотоэлектрическим эф¬
фектом.
Различают следующие разновидности фо¬
тоэффекта:
1. Внешний фотоэффект.
В этом случае электроны вырываются све¬
том (видимой или невидимой области спе¬
ктра) из поверхности вещества, в большин¬
стве случаев из поверхности металла.
2. Фотоэффект рентгеновых лучей.
3. Фотоионизацию, или вырывание электро¬
нов из молекул газа и пара.
4. Фотопроводимость, или вырывание элек¬
тронов светом в изоляторе, благодаря чему
последний становится проводником. Этот
фотоэффект называется еще внутренним фо¬
тоэффектом.
5. Вентильный фотоэффект.
Этот фотоэффект происходит на границе
соприкосновения двух тел в том случае, если
между ними имеется прослойка плохого про¬
водника.
Содержанием настоящей статьи является
только круг явлений, объединяемых внешним
фотоэффектом, получившим наибольшее пра¬
ктическое применение.
В 1888 г. Гальвакс нашел, что при осве¬
щении ультрафиолетовыми лучами цинковой
пластинки, изолированной от земли и сое¬
диненной с электроскопом, пластинка эта
приобретает положительный заряд. Этот опыт
32
наряду с некоторыми другими привел к за¬
ключению, что под действием ультрафиоле
товых лучей цинковая пластинка теряет от¬
рицательное электричество. Вскоре поел
этого Эльстер и Гейтель нашли такие металлы,
которые теряли отрицательное электричесга
уже под действием видимого света. Этими
металлами оказались калий, натрий, цинк ►
алюминий, амальгамированные ртутью. Этш
же авторам принадлежит идея помещены
фотоэлектрических поверхностей в вакуум
благодаря чему значительно двинулось вперед
и изучение фотоэлектрических явлений во
обще и появилась в частности первая возмож
ность практического использования фотоэф
фекта.
В 1899 г. Ленард в Германии и Томсон
в Англии, исследуя природу отрицательного
электричества, выбрасываемого поверхностям!
металлов год действием света, нашли, что
это электричество есть не что иное, как по¬
ток электронов. Таким образом, как уже было
сказано вначале, сущность внешнего фото¬
эффекта заключается в том, что под действием
света электроны металла, получив дополни¬
тельную энергию, имеют возможность пре
одолеть силу, удерживающую их в металле
Казалось бы естественным, что чем сильнее
свет, падающий на поверхность металла, тем
с большей скоростью должны вылетать элек¬
троны. Однако, как показал Ленард, а еще
раньше и Эльстер и Гейтель, силе света про¬
порционально только количество уходящего
от металла отрицательного 'электричества
т. е. силе света пропорционально число выры
ваемых из металла электронов. Скорость же
электронов или, точнее, энергия электронов,
как неопровержимо доказал Ленард, для дан¬
ного металла зависит только от длины волны
падающего света, а именно: чем короче длина
волны падающего света, тем больше кине¬
тическая энергия вырываемых из металла
электронов. Помня, что равенство к = с-Т
(где с—скорость распространения света, Т—
период колебания, а к— длина волны), можно
, 1
еще написать в виде к —с-—, raev—число
»
колебаний в секунду, или частота, мы можем
то же самое сказать еще так: энергия выры¬
ваемых из металла электронов тем больше,
чем больше частота колебаний падающего
света. Если светом одной и той же частоты
v освещать разные металлы, то наибольшая
кинетическая энергия вылетевших электронов
будет разная.
Полученный Ленардом результат совершен¬
но не вязался с классическими представле¬
ниями о свете как о волновом процессе.
В самом деле, согласно теории Максвелла
свет есть электромагнитный колебательный
процесс, энергия которого, как у всякого
гармонического колебательного процесса,
пропорциональна квадрату амплитуды. Поэ¬
тому, чем больше, скажем, амплитуда элек¬
трического колебания световой волны, тем
больше должна быть скорость электрона, по¬
лучившего свою энергию от этих колебаний.
Чтобы объяснить факт независимости ско¬
рости электронов от интенсивности света,
Эйнштейн предложил в 1905 г. использовать
выдвинутую еще в 1900 г. гипотезу План¬
ка и рассматривать свет состоящим из от¬
дельных порций энергии — квантов света; ве¬
личина такой элементарной порции энергии,
по Эйнштейну, равна /zv, где h так назы¬
ваемая постоянная Планка, а v — частота
света. Вылетая из источника, квант света
летит со скоростью с и, дойдя до вещества,
скажем, металла, отдает свою энергию /zv
столкнувшемуся с ним электрону. За счет
этой энергии электрон преодолевает те силы,
которые удерживали его внутри металла,
и с некоторой скоростью покидает его по¬
верхность. Энергетический баланс будет
таков:
. . (уравнение Эйнштейна);
здесь /zv — энергия (выраженная в эргах) ква¬
нта света; Р—работа, потраченная элек¬
троном на преодоление связей в металле,
mv2
— кинетическая энергия вылетевшего элек¬
трона. Так как Р меняется от металла к ме-
3 Нстенатика и фнлика -V 1.
таллу, то понятно, что и свет одной и той
же частоты v в разных металлах будет сооб¬
щать электронам различную максимальную
скорость, определяемую из уравнения Эйн¬
штейна. Мы говорим здесь—максимальная ско¬
рость, потому что отнюдь не все электроны,
вырываемые из металла светом частоты V, будут
иметь одну и ту же скорость, определяемую
уравнением Эйнштейна. Может случиться, что
вследствие столкновений внутри металла элек¬
трон, прежде чем выйти к поверхности, сильно
изменит и величину и направление скоро¬
сти. Поэтому фактически у электронов, по¬
кинувших металл, имеются все скорости, на¬
чиная от нуля и кончая максимальной, опре¬
деляемой уравнением Эйнштейна.
I 1
г~
Экспериментальная проверка уравнений
Эйнштейна показала применимость его для
всего интервала длин волн, начиная с инф¬
ракрасных лучей и кончая улУчами- Для
того4 чтобы понять, каким образом может
быть проведена экспериментальная проверка
закона Эйнштейна, обратимся к рассмотре¬
нию простейшего, так называемого вакуум¬
ного фотоэлемента (черт. 1).
Здесь С— стеклянный эвакуированный бал¬
лон, MS—слой щелочного металла (калий,
натрий); К—платиновая проволока, соеди¬
няющая слой MS с отрицательным полюсом
батареи В; В — анод; Ь — так называемое
защитное кольцо, служащее для отвода в зе¬
млю тех токов, которые могли бы возник¬
нуть между анодом и катодом просто по сте¬
клу (так как прибор G может быть чувстви¬
тельным электрометром, то даже эти нич¬
тожные токи будут им регистрироваться).
Чем сильнее свет, падающий на фотоэле¬
мент (на чертеже указан стрелками), тем
большее количество электронов вырывает он
из поверхности A7.S, тем больший ток идет
через измерительный прибор G. В качестве
такого прибора употребляется обычно или
зеркальный гальванометр (токи до 10-10А) или
электрометр. Батарея В служит для того,
33
чтобы увести к аноду все электроны, выры¬
ваемые из катода (не будь батареи, на анод
попадала бы только часть электронов, и ток
был бы много меньше).
Как видно из схемы, фотоэлемент нельзя
назвать в полном смысле слова прибором,
преобразующим световую энергию в элек¬
трическую: так было бы, не будь у нас ус¬
коряющей батареи В\ но так как без нее
фототоки, по указанной выше причине, че¬
ресчур малы, то здесь источником энергии
является батарея В. И только в так назы¬
ваемых купроксных фотоэлементах, работаю¬
щих но принципу вентильного фотоэлемента,
мы получаем значительный фототок в цепи
без применения ускоряющего напряжения.
Для определения максимальной скорости
электронов, вырываемых из поверхности ме¬
талла светом частоты v (чтобы выделить из
спектра желательную длину волны, употре¬
бляют или светофильтры, пропускающие
интересующее нас волны, или пользуются
особым прибором, монохроматором, по прин¬
ципу своему работающему, как обычный спе¬
ктрограф: вращая призму, мы пропускаем
сквозь выходную щель требующийся участок
спектра) поступим следующим образом.
Присоединим к анодному кольцу /? фо¬
тоэлемента отрицательный полюс батареи, а
к проволоке К—положительный. Тогда вместо
прежнего притяжения электроны, вырываемые
из металлического слоя MS, будут испыты¬
вать со стороны К отталкивание, и только
те из из них достигнут кольца /?, кинети¬
ческая энергия которых достаточна для
совершения работы против сил электричес¬
кого поля на протяжении от A1S до R.
Меняя разность потенциалов между MS и /?,
можно, наконец, добиться того, что даже ки¬
нетической энергии самых быстрых электро¬
нов, определяемой уравнением Эйнштейна
mv- , „ ,
_ -f P=Av,
уже не будет достаточно для преодоления
сопротивления сил электрического поля. В
это время, очевидно, тока в приборе G не
будет. Из теории электричества известно,
что при перемещении электрического заряда
в электрическом поле совершается работа
V?=eV,
где W—работа, е — заряд, V—разность по¬
тенциалов на пройденном зарядом е участке.
Если W выражено в эргах, е в эл. стат.
единицах, а V в вольтах, то
Для того чтобы через прибор G не uu.i^
электрический ток, между металлом MS н
кольцом R должна быть такая разность по-”
тенциалов, чтобы
пт-
-9- rSLeV.
Так как величина е заряда электрона нам
известна. V тоже известно (равно сумме прило¬
женной извне разности потенциалов Vz н
контактной разности потенциалов, возника¬
ющей при соединении двух металлов V.,).
mv~
то мы можем определить и .
Как следует из уравнения Эйнштейна, за-
V линейная, т
висимость между и
е.,1
если мы будем откладывать по оси _у-ов|
mift .. Г
~2~ —eV, а по оси лг-ов частоту v, то гш|
должны получить прямую, тангенс угла на¬
клона которой с осью лг-ов равен h. Таким
образом, если закон Эйнштейна справедлив,
то мы должны получить, во-первых, линейную
mv*
зависимость между — и v и, во-вторых, из
наклона этой прямой к оси л:-ов опреде¬
лить величину к. Опыты Милликэна, Ричард¬
сона и Комптона блестяще подтвердили
справедливость уравнения Эйнштейна. Вели¬
чина Л, определенная Милликэном из наклона
прямой, равна h — 6,57.10_27 эрг. сек. (вели¬
чина, найденная Планком из измерений из¬
лучения черного тела, составляет /г =
= 6,55-10~27).
Описанный метод проверки закона Эйн¬
штейна носит название метода задерживаю¬
щего потенциала.
Определяя скорость спадения тока в при¬
боре G, по мере увеличения задерживающего
потенциала, можно (применяя фотоэлемент
особой конструкции) определить распределе¬
ние фотоэлектронов по скоростям. Так, ока¬
залось, что наибольшее число вылетающих
из поверхности фотоэлектронов падает на
электроны, имеющие кинетическую энергию,
равную приблизительно половине максималь¬
ной, определяемой уравнением Эйнштейна.
На чертеже 2 воспроизведены распределении
электронов по скоростям, полученные Лу-
кирским и Прилежаевым на алюминии при t-
освещении его ультрафиолетовым светом. С.
Из уравнения Эйнштейна следует, чгоь,,
, ,, rnv ,
если frt = P, то -^- = 0, т. е. если мы бу-И
*
“'= ж V-
дем освещать данную поверхность даже сколь Н
угодно сильным светом, частота которого ^
удовлетворяет неравенству никакого^
Рвда электронов мы не обнаружим. Фнзи-
:и это значит, что энергии, поглощен-
электроном кванта света /zv0, уже недо¬
имочно, чтобы преодолеть силу, удержива¬
нию электрон внутри металла. Длина волны
Черт. 2
/*га. начиная с которой прекращается выход
шоэлектронов, называется граничной дли-
«(I волны. Очевидно, что при всех
^эффекта не наступает. Для различных
Исств величина граничной длины волны
I разная. Кроме того она существенным
1мзом зависит от обработки поверхности,
тпени загрязнения и т. д.
Ч таблице приведены >0 для различных
>тых металлов:
Таблица
I
[
\
Металл
в ангстремах
(1 А0 =10 * гм)
Серебро
' 2510 А°
Золото
2650 А°
Калин
5500 А°
Литий
5400 А0
Натрий •
5000 А°
Платина
1962 А°
|Цинк
3720 А°
Как видно из таблицы, только для ще¬
чных металлов,—лития, натрия и калия
Дшчная длина волны .лежит в области
ВИмого света, т. е. фотоэффект на таких
«рхностях будет происходить для всех
ан волн видимого света Х<С*0- Для
Пальных металлов таблицы фотоэффект
пинается только в области близкого или
;вчого ультрафиолета. (Как известно, об¬
ласть видимого спектра простирается от
.4800 А° — фиолетовая часть, до 7600 А° —
красная часть.)
Чрезвычайно интересна зависимость фото¬
тока от длины волны света, падающего на
поверхность металла.
На чертеже 3 по оси ординат отложены
силы токов, по оси абсцисс — соответствую¬
щие длины волн падающего света. (Кривая
снята для Pt Зурманом.) При этом количество
энергии падающего света бралось всякий раз
одно и то же. Как видно из чертежа, с умень¬
шением длины волны сила тока непрерывно
возрастает. Такой ход зависимости тока от
длины волны называется нормальным в отли¬
чие от так называемого селективного фото¬
эффекта, где при определенной длине волны
сила фототока проходит через максимум.
Селективную зависимость обнаруживают все
щелочные металлы. На чертеже 4 показаны
кривые фототоков в зависимости от длины
волны для группы щелочных металлов. (Кри¬
вые, приведенные на чертежах 3 и 4, если они
отнесены к поглощенной металлом энергии,
называются кривыми спектральной чувстви¬
тельности.)
Как оказывается, селективный фотоэф¬
фект помимо \ зависит еще от направле¬
ния колебаний электрического вектора свето¬
вой волны. А именно: селективный фото¬
эффект в подавляющем большинстве появляет¬
ся. только когда электрический вектор све¬
товой полны расположен в плоскости падения.
Если электрический вектор расположен в
плоскости, перпендикулярной к плоскости
падения, кривая спектральной чувствитель¬
ности обнаруживает нормальный ход. Чертеж 5
;;г>
показывает ход обеих кривых для смеси
натрия и калия1.
Легко сообразить, что место пересечения
кривой спектральной чувствительности с осью
абсцисс дает длину граничной волны 1^.
и
На
К ЯЬ
Cs
с
ЗОИ/
<000 А
Черт. 4
5000 А
Мы уже выше отмечали, что длина гранич¬
ной волны 10 даже для одного и того же
* Дая тучгнип такой зависимости необходимо
брать зеркальну» поверхность н напршлять свет
под углом.
36
вещ.ства сильно зависит от его частоты и
т. д. Оказывается однако, что можно влиять
искусственно не только на положение гранич¬
ной дайны волны 10, но и на характер вс:й
кривой спектральной чувствительности в це¬
лом. Пропуская, например, сквозь калиевый
фотоэлемент, наполненный водородом (при
небольшом давлении), тлеющий разряд, мы
получим образование гидрида щелочного
металла. Благодаря такой обработке (гидри¬
рование) сильно облегчается работа выхода
электронов из калия (Р в законе Эйнштейна),
сильно возрастает общая чувствительность
фотоэлемента, и как максимум селективной
кривой, так и граничная длина волны пере¬
мечаются в сторону длинных волн. При ра¬
боте с обычными источниками света (электри¬
ческие лампы накаливания) это обстоятельство
играет решающую роль.
Поверхности с чрезвычайно высоким вы¬
ходом электронов и огромной чувствитель¬
ностью в области красной и инфракрасной
части спектра былт получены нанесением
тонкой пленки щелочного металла цезия на
специальным образом обработанную под¬
кладку. В результате различных манипуля¬
ций оказывается возможным сдвинуть гра¬
ничную длину волны до 10 000 А°, т. е. в
область инфракрасного света. (За недостат¬
ком места мы опускаем здесь даже более или
с
менее краткий перечень возможных прием
и способов получения таких поверхносга
Отметим также, что общее увеличен
фототоков еще со времен Эльстера и Гей
ля осуществляется простым наполнением п;
тотного фотоэлемента каким-нибудь бт
родным газом: неоном, аргоном, гелием.
Благородный газ берется для того, что
избежать химических реакций.
Здесь большой ток объясняется ионизацчч
молекул благородного газа ударами, в«
растающей с напряжением, приложен»
к катоду и аноду. Благодаря появляющимсч
газе ионам фототок возрастает в десят
раз.
Приведенные выше кривые спектральн
чувствительности не могут найти просто
квантового объяснения. В самом деле,
выше частота света, тем больше энерч
соответствующего квчнта света. Поэточ
если тело поглотило одну и ту же а
тозую энергию, но один раз при осч
щении светом частоты v,, а другой v2, г»
чем то количество поглощенных к:
нтов света большее для света vlf чем
Поэтому, так как при фотоэлектричесь
эффекте один электрон поглощает тол
один квант света, было бы естественн
ожидать больший ток при освещении свег
больчпих длин волн (малые v), чем при s »
ротких (большие). (При этом не надо за*' и
вать, что речь все время идет о токе,
несенном к одному и тому же ко.{и
честву поглощенной энергии.)
Объяснение этого факта может быть п;
дено в более детальном рассмотрении щ
а
fP
II
к
►iccob поглощения металлом квантов света,
говаться в которые мы не будем. Вообще,
ля теоретического объяснения всей суммы
цеений внешнего фотоэффекта (зависимость
длины волны, от поляризации, от характера
вверх мости н т. д.) недостаточно уже
жирата классической физики, и требуется
иименение волновой механики.
Интересно, например, что уравнение Эйн-
гтейна может быть получено в этой теории,
•осматривающей свет как волновой процесс,
(ли при этом и электроны рассматривать
ПК волны.
Одной из общепринятых современных те-
,;й внешнего фотоэффекта, базирующегося
представлениях волновой механики, явля-
vd теория И. Е. Тамма и С. П. Шубина,
ласно этой теории, внешний фотоэффект
лгается из двух эффектов: объемного
фывание электронов из поля кристал-
иеской решетки металла) и поверхност¬
но— вырывание электронов из поверхио-
i, удерживаемых здесь так называемым
ленциальным барьером. Каждый из этих
чоэффектов (объемный и поверхностный)
кет свою граничную длину волны: поверх-
:тный более длинную, чем объемный;
ливая зависимости силы фототока от X для
•верхностзого фотоэффекта, например в
лчае калия, проходит через максимум
иективный максимум), соответствующая
тая объемного фотоэффекта постепенно
чрастает в сторону более коротких длин волн.
Поверхностный фотоэффект вызывается
,ъко той компонентой электрического поля
птозой волны, которая перпендикулярна
Hrt поверхности металла (см. выше связь
(.активного фотоэффекта с направлением
“ кхтрнческого вектора); объемный фотоэф-
fkt вызывается н ц и _[_ компонентой.
Кривые фотоэффекта калия, полученные
дшом и Шубиным теоретическим путем,
езвычайно хорошо согласуются с опытны-
данными. В оснозе современных теорий
лоэффекта лежит новая теория металлов,
сработанная Зоммерфельдом на основании
пгистики Ферма.
3»
МОП)
ей.|
■ни
ЙТ5
riyt
а го
oft
ще
во)
НЫ1
ся
ятк!
той
41
рги
ому
СВ!
|С11<
npi
КВ)
• i
I
ски
Л1.Ц
1Н<1
етп
к<
.аб»
о
> Л!
Широкое применение нашли'фотоэлементы
практике. Еще Эльстер и Гейтель восполь-
'шись линейной зависимостью между си-
* света, падающего на фотоэлемент, и силой
пикающего электронного тока, и предло-
1.1и использовать фотоэлементы для фото-
прических целей. За последние годы фото¬
на! (ктрические методы получили всеобщее
пп.
признание в практике фотометрии. При по¬
мощи фотоэлемента и чувствительного галь¬
ванометра возможно измерить освещенности
порядка сотых долей люкса. При измерении
фотоэлементом еще меньших освещенностей
необходимо применение электрометров, или
усилителей. На чертеже 6 приведена про¬
стейшая схема фотоэлектрического фотометра
с усилителем.
Значительное применение нашли фото¬
элементы в практике звездной фотометрии.
Так, с применением фотоэлемента с усили¬
те "ем удалось получить от света Юпитера
ток от 10-4 А° до 10-5 А°\
Чрезвычайно большую роль играют фото¬
элементы в передаче изображений на расстоя¬
нии и в звуковом кино. При передаче изо¬
бражения на расстоянии в механическом
телевидении световой пучок по точкам обе¬
гает предмет (развертка по точкам осуще¬
ствляется в большинстве случаев так назы¬
ваемым диском Нипкова); отраженный свет
падает на фотоэлемент, в котором в зависи¬
мости от интенсивности отраженного света
будут возникать соответствующие импульсы
тока. После усиления колебания тока посту¬
пают на модулятор передатчика, модулируют
ток высокой частоты, создающий в антенне
электромагнитные колебания, распространя¬
ющиеся в эфире. На использовании фото-
эфф.кта основано и новое, так называемое
катодное телевидение.
В звуковом кино для воспроизведения за¬
писанного на ленте звука прспускают свет
сквозь тот край движущейся пленки, где
произведена запись звука, и проходящий свет
улавливается фотоэлементом. После усиления
токи фотоэлемента поступают в репродуктор,
где воспроизводится звук, записанный на
пленке. В Америке фотоэлементы применя¬
ются для автоматической сортировки сигар по
цвету, для светового управления поездами,
при котором исключается возможность про¬
хождения поезда мимо заградителя, и Для
целого ряда других целей.
37
ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕЛЕВИДЕНИЯ
Инж. 3. Б- ГИНЗБУРГ (Москва)
Видеть на расстоянии — давнишняя мечта
человечества. Она привлекала к себе мысли
изобретателей с давних времен. Одиако
состояние техники и необходимость решения
целого ряда предварительных проблем надолго
задержали практическое решение этой за¬
дачи.
И лишь теперь мы, как будто, начинаем
находить пути к осуществлению мечты ви¬
деть на расстоянии.
Первыми шагами, приблизившими разре¬
шение вопроса передачи изображения на рас¬
стоянии, были открытия светочувствительности
селена и фотоэлектрического эффекта.
В 1873 г. Мэй нашел, что под влиянием
света, падающего на селен, последний меняет
свою электропроводность; с прекращением
действия света электропроводность селена
возвращается к прежнему состоянию.
Сущность же фотоэлектрического эффекта,
открытого в 1888 г., заключается в том, что
поверхность ряда тел, помещенных в вакуум
вместе с заряженным положительно проводни¬
ком — анодом, под влиянием лучей света
начинает выбрасывать электроны, которые
устремляются к этому аноду и создают вну¬
три сосуда проводимость для электрического
тока; величина этой проводимости изменяется
прямо пропорционально силе падающего
света.
Одна из первых установок, предназначав¬
шихся для передачи изображения на расстоя¬
нии, относится к 1906 г. Ринье и Фурнье
построили прибор для передачи простых изо¬
бражений, который состоял из 64 квад¬
ратов, в которые были вставлены селеновые
элементы. Каждый квадрат соединялся двумя
проводами с соответствующим световым зат¬
вором на месте приема, причем эти световые
затворы были расположены в том же порядке,
как и селеновые элементы. Передаваемое
изображение проектировалось на селеновые
элементы, возбуждало в них электротоки,
которые действовали на заслонки и открывали
их в том случае, если соответствующий селе¬
новый элемент был освещен. Сзади заслонок
на приемной доске помещались источники
света, и таким образом на месте приема
получалось передаваемое изображение.
Эта идея разложения передаваемого изо¬
бражения на отдельные составные части —
квадраты или точки — сохранилась до снх
пор.
Четкость и ясность изображения зависят
38
от числа точек. При небольшом числе гоч
изображение получается весьма схематичнн
Наоборот, при разбивке изображения на бы
шое число квадратов изображение получав!
весьма ясным и четким, хотя вся систе
значительно усложняется вследствие того, ч
каждый элемент потребует особой пары п|
водов для приведения в действие своей
слонки.
В 1884 г. Нииков предложил не пера
вать одновременно все элементы изо бра»
ния, а разбивать его на отдельные элемеи
и затем передавать одну точку за другой
известной последовательности, воспроизвг
их в той же последовательности на мес
приема. Благодаря этому появилась возмо
ность передавать изображение по одной па
проводов. Практически осуществить так)
систему все же тог та не удалось вследстя
недостаточно высокого уровня техники то
времени.
Большинство затруднений разрешило
лишь после изобретения катодных (усш
тельных) ламп, после чего телевидение
короткий срок сделало крупные шаги впер
Любой рисунок мы можем представить о
в виде сочетания в известном порядке тс
ных и светлых точек. Большое скоплен
темных точек создает впечатление черно
цвета, в то время как небольшое число
создает впечатление серого, а отсутствие
- белого цвета. Разбивая какое-либо и зоб;
жение на ряд горизонтальных (или вер!
кальных) полос, а последние в свою очередь
на квадраты (черт. 1), мы можем где-ли
в другом месте воспроизвести эту картин
г
Ц Hi
если будем в том же порядке соединять чер¬
ные и белые квадраты.
Однако передать одну картину еще недо¬
статочно. Для того чтобы передать движу¬
щееся изображение, приходится воспользо¬
ваться принципом, применяемым в кино. Там
тля создания непрерывности движения засня¬
тых объектов делают до 1б отдельных сним-
ьов в секунду. Вследствие малого времени
засъемки — всего около 0,04 секунды—сни¬
маемый объект за время экспозиции не успе¬
вает сколько-нибудь значительно сдвинуться.
Отдельные же снимки будут учитывать то
передвижение объекта, которое произошло
за промежуток времени между двумя съем¬
ками, т. е. за ^ секунды, так что изобра-
116
жение объекта на каждом снимке будет не¬
сколько смещено по сравнению с предыду¬
щим. При проектировании этих снимков на
экран с той же скоростью и с той же экспо-
п зицией, которая имела место при съемке,
у нас получится впечатление движущегося
изображения, так как не успеет еще ис¬
чезнуть зрительное впечатление от одного
снимка, как его уже сменяет другой с не¬
сколько измененным положением объекта.
Снимки как бы накладываются друг на друга
и создают впечатление слитного и непрерыв¬
ного движения.
Таким образом, мы видим, что помимо
необходимости разбить изображение на от¬
дельные полосы и точки необходимо еще
передать не одно, а несколько картин (кадров)
за одну секунду, чтобы добиться впечатления
движения объекта. В современных телевизион¬
ных установках производится передача от
12,5 до 25 таких картин в секунду.
Разложение изображения на точки, или
развертка изображения, в телевизионных уста¬
новках производится двумя различными пу¬
тями. В зависимости от способа развертки
различают два способа телевидения — меха¬
ническое телевидение и катодное телевиде¬
ние. В механическом телевидении развертка
изображения и воспроизведение производятся
механическим путем, различными механиче¬
скими приспособлениями, тогда как в катод¬
ном— при помощи специальных электрова¬
куумных приборов.
Ознакомимся вкратце со способами меха¬
нического телевидения.
В наиболее распространенной системе меха¬
нического телевидения развертка производится
так называемым диском Нипкова, представля¬
ющим собой металлический круг (черт. 2),
в котором по спирали проделан ряд отвер¬
стий с таким расчетом, чтобы каждое следу¬
ющее отверстие было смещено но радиусу
на ширину его (черт. 2). На чертеже пока¬
зан диск с 12 отверстиями. Стандартным
же диском является диск с 30 отверстиями.
Если за диском поместить изображение,
которое мы хотим передать (на чертеже оно
изображено заштрихованной площадью и
помещено за диском), то при вращении
диска первое его отверстие опишет дугу,
которая придется немного ниже верхнего
края картины, и проведет по ней, таким
образом, узкую полосу. Если мы вста¬
нем перед диском и будем наблюдать за
изображением через проходящие перед ним
отверстия диска, то мы увидим (при медлен¬
ном вращении диска) смену светлых, затенен¬
ных и темных точек. Как только первое
отверстие пройдет всю полосу и выйдет из
пределов картины, то следующее отверстие
подойдет к краю картины и проведет по изо¬
бражению новую полосу, верхним своим
краем прилегающую к верхней полосе. Так
как третье отверстие смещено относительно
второго также на ширину его, то и оно в
свою очередь проведет такую же полосу на
картине и т. д. После одного оборота диска
на всей картине не останется ни одной точки,
которая не была бы перекрыта тем или иным
отверстием. Таким образом, все изображение
окажется разложенным на ряд горизонталь¬
ных полос, соприкасающихся одна с другой,
а последнее в свою очередь—на ряд точек.
Общая схема, передающая установку, по¬
казана на чертеже 3. Объект, изображение
которого хотят передать, помещается перед
источником света. Его изображение с по¬
мощью объектива откидывается на враща¬
ющийся диск Нипкова и ограничивающую
рамку, подобно тому, как объектив фотоап¬
парата отбрасывает изображение на матовое
стекло. Сзади диска Нипкова помещается
фотоэлемент. На него будет падать свет по¬
следовательно от каждой из точек горизон¬
тальных полос передаваемого изображения.
■39
В зависимости от силы света, т. е. от осве¬
щенности той или иной передаваемой точки,
меняется ток, проходящий через фотоэле¬
мент. Затем эти колебания тока усиливаются
и накладываются на колебания, излучаемые
источник осота
Я
рамка
объектив
Рта фотоэлегл
источник светя
дисЪ
Ннпкова
фотоэлемент
усилит.
й_
м о тор
Черт. 3
передатчиком, точно так же, как звуковые
колебания накладываются на частоту передат¬
чика при радиотелефонии.
На приемной радиостанции процесс про¬
исходит обратным путем. Принятые колеба¬
ния высокой частоты при помощи приемника
превращаются в колебания низкой частоты,
соответствующие импульсам, даваемым фото¬
элементом. Дальнейшая задача заключается
в том, чтобы преобразовать полученные эле¬
ктрические колебания в световую энергию и
воспроизвести переданное изображение. По¬
мимо диска Нипкова на приемной станции
применяется еще неоновая лампа. Она со¬
стоит из стеклянного баллона, наполненного
газом неоном при небольшом давлении. Вну¬
три баллона помещаются два электрода, один
« форме пластинки, а другой—в форме рамки.
Если неонозую лампу приключить к источ¬
нику постоянного тока таким образом, чтобы
пластинка соединялась с отрицательным по¬
люсом, а рамка — с положительным, то при
достаточно высоком напряжении лампа вспых¬
нет, и поверхность пластинки будет светиться
розовым светом. При увеличении напряжения
лампа загорится более ярким светом, а при
уменьшении его — потухнет. Главное досто¬
инство неоновой лампы, делающее ее при¬
годной для телевидения, заключается в том,
что изменение силы ее света в точности
следует за изменением проходящего через
нее тока, и это изменение практически про¬
исходит мгновенно. Если напряжение источ¬
ника тока будет постоянным, то лампа будет
давать ровный, немигающий свет. Если же
40
ее приключить к приемнику и подвести от
него сигналы, приходящие с передающей
станции, то свет лампы будет меняться
соответствии с силой приходящих сигналов.
Допустим, что диск приемника (черт. 4)
вращается точно с такой же скоростью, как и
диск передатчика, и, кроме того, движение
обоих дисков происходит синхронно. В этом
случае отверстия диска приемника и передат-i
чика проходят через картину одновременно
и точно в том же порядке, с одной и той
нее скоростью. Тогда и элементы изображе¬
ния в приемнике будут располагаться строго
в той же последовательности, в какой они
идут в передатчике. За один оборот диска
отверстия в нем охватят всю передаваемую
картину, и в приемнике, в вырезе рамки перед
неоновой лампой, пройдут все отверстия
диска —мы увидим целое изображение, co-i
ставленное из темных и более или менее свет¬
лых вспышек неоновой лампы, видимых через
отдельные отверстия диска. Так как диск
делает от 12,5 до 25 оборотов в секунду,,
то отдельные картины накладываются друг нз
друга, и у наблюдателя получится впечатление
цельности и непрерывности движения.
Совершенно ясно, что на месте приема
мы получим правильное изображение лишь
тогда, когда оба вращающихся диска будут
не только одинаковы по скорости, но и по
фазе. Иными словами, необходимым условием
для получения изображения является синхрон¬
ность вращения передающего и приемного
дисков. Если же синхронности не будет, то
даже при небольшом расхождении в скоро¬
стях изображение будет постепенно смещаться
или в одну сторону или в другую. При
увеличении же расхождения скоростей враще¬
ния скорость перемещения изображения будет
все увеличиваться и, наконец, четкое изобра¬
жение пропадает совершенно, и вместо него
будут видны только светлые и темные пере¬
двигающиеся пятна.
Для проведения синхронизации существует
несколько способов. Один из них — это при¬
менение так называемых синхронных мото¬
ров. Особенностью синхронных моторов
является то, что число оборотов их зависит
только от частоты электрического тока, а
отнюдь не от его напряжения. Таким образом,
если частота, питающая приемник и перздат-
чик, будет одной и той же, то вращение обоих
дисков будет синхронным. Но в том слу¬
чае, когда передатчик и приемник находятся
в районах разных электростанций, то при¬
менение синхронных моторов может оказать¬
ся недействительной мерой, потому что
частота переменного тока двух электростан-
1 Ци1
I rot
ций может быть неодинаковой. Дру¬
гой способ заключается в применении
анте
на месте приема специального гене¬
ратора переменного тока, дающего
такую же частоту, как и та частота,
которая питает мотор передатчика.
Наиболее же эффективным спосо- ^
'ом является так называемая прину¬
дительная синхронизация. Она назы¬
вается принудительной потому, что
«редатчиком после прохождения ка¬
люй полосы посылается специальный
синхронизирующий импульс, который застав¬
ит диск приемной установки поддерживать
корость вращения постоянной и равной скоро¬
сти вращения диска передатчика. ГТри слишком
'ЛЬШОЙ скорости импульсы тормозят диск,
при слишком медленной — наоборот, под¬
талкивают его.
Недостатком системы телевидения с диском
Нипкова является то, что изображения весьма
Фудно разложить на большое число точек,
- потому изображения получаются слишком
лематичными и грубыми. Диск Нипкова
пет возможность получить не свыше 30—40
I wioc, что соответствует 30—40 отверстиям.
1ри 60 полосах диск получается уже очень
громоздким, а на 120—200 полос его вообще
называется невозможным построить. Кроме
•ого малейшая неточность в размещении
"гверстий или в их форме неизбежно приводит
i большим искажениям.
Кроме системы с диском Нипкова суще-
лву.т еще ряд других систем механического
&мевидения, например с зеркальным винтом,
кркальным колесом Вейлерз и т. п., но они
пользуются сравнительно малым применением,
1 некоторые из них находятся еще в стадии
.'абораторной разработки и поэтому мы на
«ох останавливаться не будем.
Катодное телевидение представляет собой
адее совершенный способ передачи и при¬
ма изображений на расстояние, свободный
*т различного рода дисков, синхронизаторов
■ других механи юских и вращающихся час-
ей, усложняющих установку. Кроме того
помощью приборов, входящих в уста-
ювку, оказывается возможным разложить
1Юбражениг до нескольких сотен тысяч to¬
ft, т. е. до такого числа, о котором при
.паническом телевидении не приходится и
•ечтать.
В основе этого метода телевидения лежит
«рименение катодной трубки Брауна. В своем
гсновном виде она находит себе применение
гак называемом катодном осциллографе и
иожет быть использована для приемных уста¬
новок телевидения.
неоновая
лампа m
рамка
земля
низкой
частоты
мотор
Линза
наблюдатель
диск Нипкова
Черт. 4
Схематическое устройство приемной трубки
показано на чертеже 5.
Как видно из чертежа, трубка представ¬
ляет собой стеклянный сосуд воронкообраз¬
ной формы; широкое „дно“ служит экраном
и покрывается изнутри флуоресцирующим
слоем. Левая часть трубки цоколя напоми¬
нает собой трехэлектродную лампу. Около
цоколя находится катод—нить, накаливаемая
от какого-либо источника тока. Вокруг ка¬
тода имеется колпачок с весьма небольшим
отверстием в нем. Колпачок играет роль сетки.
Правее сетки помещена пластинка с отвер¬
стием посредине, играющая роль анода,
причем на него подается высокое напряжение.
При нагревании катода до определенной
температуры из него в отверстие колпачка
вырывается поток электронов, который ле¬
тит к аноду с большой скоростью. Ветичина
потока электронов зависит от того, какое-
напряжение приложено к колпачку: увеличение
положительного заряда на колпачке увели¬
чивает поток электронов, и наоборот. Так
как электроны имеют большую скорость, то
часть их проносится мимо анода через
центральное отверстие и образует в правой
части трубки узкий электронный поток, кото-
флюоресцнрующнй зкран^
конденсаторС,
рый, ударяясь об экран на широком дне трубки,
вызывает сведение его в точке попадания.
Если на пути электронного пучка рас¬
положить две пластины Сл так, чтобы элек¬
41
троны пролетали между ними, и сообщать
этим пластинам некоторый электрический
заряд, то электронный поток отклонится в
сторону пластины, имеющей положительный
заряд, причем величина этого отклонения
будет пропорциональна величине заряда. Из¬
меняя плавно величину напряжения и знаки
его на пластинах С7, мы получим на экране
последовательно загорающиеся точки, кото¬
рые в результате дадут прямую полоску b на
чертеже 5.
Точно таким же образом будут действовать
пластины С2, отклоняя электронный поток
вправо и влево, так что при соответствую¬
щем изменении напряжения на пластинах мы
получим светящуюся полоску а. Если необ¬
ходимые напряжения будут подаваться на
обе пары пластин, и изменение напряжения
на С, будет проходить значительно медлен¬
нее, чем на С7, то электронный пучок про¬
ведет последовательно линии с, d и т. д.
до тех пор, пока эти светящиеся полоски
не покроют всего экрана. Таким образом,
катодный луч будет производить развертку
точно так же, как это имело место при при¬
менении диска Нипкова. Однако число полос,
а следовательно и число элементов, не бу¬
дет уже зависеть от геометрических размеров
всей системы (от числа отверстий — у диска
Нипкова), а исключительно лишь от скорости
изменения напряжений на пластинах С, и С2
и от площади сечения электронного пучка.
Когда скорость перемещения электрон¬
ного луча будет такова, что он прочертит
1 1
весь экран в — секунды, и интенсив¬
ность его будет оставаться неизменной, то
наблюдателю весь экран покажется одинаково
освещенным. Если же на колпачок лампы
попадает различное напряжение, соответст¬
вующее проходящим с передающей станции
сигналам, то интенсивность электронного
потока уже не будет все время одинаковой, и
на экране получатся темные и светлые точки,
и из сочетания их составится изображение.
В качестве материала, применяемого для
флуоресцирующего экрана, служит цинко-
орто-силикат, имеющий большое сходство с
натуральным виллемитом. Этот материал вы¬
бран из-за его высокого коэфициента полез¬
ного действия. Это обстоятельство объяс¬
няется тем, что виллемнт флуоресцирует зе¬
леным цветом, спектр которого имеет мак¬
симум, почти совпадающий с наибольшей
чувствительностью глаза. Вместо электроста¬
тическою поля, создаваемого между пласти¬
нами С1 и С2, с успехом можно применить
электромагнитное ноле, для чего вокруг узкой
4 ;
части трубки придется поместить две нар
электромагнитов, перпендикулярно располи
жив их друг относительно друга. Одна пар
электромагнитов будет перемещать пучок и
стороны на сторону, а другая — сверху вни::
Диаметр широкой части трубки равен 23 ем.
что позволяет получать картину 14X17c.ii
Разобранный выше принцип работы труби
Брауна положен также в основу передающе
катодной трубки.
Главное отличие передающей трубки о
приемной состоит в том, что вместо экран
здесь имеется особая светочувствительна!
мозаика. Каждый отдельный элемент это1
мозаики представляет собой миниатюрны!
фотоэлемент. Чтобы лучше представить сей
работу передающей трубки, выделим из мо
заики один такой фотоэлемент и разборе)
его действие. Схема его дана иа чертеже 6
Здесь Р—фотоэлемент, С—емкость по от
ношению к пластинке, общей для всех фото
элементов. Эта пластинка носит название
„сигнальной пластинки".
Луч света L, падающий от передаваемой
изображения, заставляет каждый из фотоэле
ментов, а также и разбираемый фотоэлемент
излучать электроны от Рс к Ра. В резуль
тате цепь замыкается, и источник тока В за
рядит конденсатор С. Величина этого заряд:
будет пропорциональна интенсивности осве
щения фотоэлемента. Когда’ двигающийо
электронный пучок ВЕ попадает на положи¬
тельно заряженный таким образом элемент
Рс — С, то отрицательные электроны пучка
разрядят его, и элемент вернется в свое пер
воначальное состояние. Полученный таки*
образом ток разряда элемента будет пропор
ционален интенсивости падающего на элемент
света. В электрической цепи Р—С—R —
В — Р получается импульс тока, создающего
на концах сопротивления некоторую разность
потенциалов, падающую затем на сетку —
нить усилителя.
Изображение проектируется объективом ш
светочувствительную мозаику и разверты¬
вается катодным (электронным) пучком, дви
I гающимся непрерывно и равномерно
У по поверхности мозаики, так что
каждый элемент покрывается пучком
через определенное время.
Полная схема передающей трубки
приведена на чертеже 7. Мы видим,
'по здесь фотоэлемент разделен на
две части. Катодами являются эле¬
менты фоточувствительной мозаики,
расположенные на поверхности сиг¬
нальной пластинки и изолированные
от нее. Общим анодом служит по¬
серебренная внутренняя поверхность.
Часть поверхности стекла освобо¬
ждена от серебра, так что образуется
окно для прохода лучей, идущих от изобра¬
жения. Разряд каждого положительно заря¬
женного элемента производится элементарным
пучком, идущим под углом в 30° по отно¬
шению к перпендикуляру, восстановленному
из центра мозаики. Наклонное положение
экрана к оси трубки введено для того, чтобы
проекция картины свободно получалась на
поверхности мозаики.
Четкость передаваемого изображения опре¬
деляется размером и числом фотоэлементов,
а также и размером электронного пучка.
Практически число элементов мозаики весьма
«елико, так что величина отдельной переда¬
ваемой точки зависит исключительно от раз¬
меров луча, производящего развертку. Усло¬
вия, предъявляемые к мозаике, сводятся глав¬
ным образом к тому, что все элементы ее
должны быть одинаковых размеров, иметь
одинаковую светочувствительность и емкость
но отношению к сигнальной пластинке.
Эти требования разрешаются сравнительно
легко благодаря тому, что в качестве изоля¬
ции для мозаики берут тонкий слой слюды,
которая, как известно, может быть полу¬
чена в виде тонкого листа одинаковой тол¬
щины. Одну сторону слюды покрывают метал¬
лом и получают таким образом сигнальную
пластинку. Сама мозаика может быть полу¬
чена многочисленными способами, например
наложением фотоэлектрического материала и
испарением в пустоте. Полученный тонкий
слой представляет собою массу мелких частиц,
равномерно распределенных и разобщенных
друг от друга. В последнее время стали
употреблять мозаику, состоящую из боль¬
шого числа крошечных серебряных шариков,
фоточувствительность которых достигнута
покрытием цезием. Электронный пучок, при¬
меняемый в передающих трубках, получается
тем же путем, что и в разобранной выше при¬
емной трубке. Анодное напряжение, необхо¬
димое для получения пучка, около 1000 вольт.
Отклонение пучка производится магнитными
полями, создаваемыми четырехполюснымн
электромагнитами, надеваемыми на узкую
часть трубки. Ток, необходимый для создании
магнитных полей, вырабатывается особыми
ламповыми генераторами. На чертеже 8
показан общий вид передающей трубки и
электромагнитов. Длина всей трубки около
45 см, диаметр сферы — 20 см. Чувстви¬
тельность существующих образцов передаю¬
щих трубок в настоящее время примерно
равна чувствительности кинопленки, находя¬
щейся в камере с линзой той же светосилы,
что и светосила объектива передающей уста¬
новки. Трубка заключает в себе все элементы,
необходимые для построения изображения,
поэтому в:я передающая установка вместе
с необходимыми усилителями (конечно, по¬
мимо передатчика) получается очень компакт¬
ной. Общие схемы передатчика и приемника
приведены на чертеже 9. Верхняя часть ри¬
сунка дает схему передатчика. I w III—лам¬
повые генераторы, создающие ток для откло¬
нения электронного пучка, II—усилитель.
В него поступают фототоки трубки, а также
и синхронизирующие импульсы из генерато¬
ров I и III. Все эти три рода колебаний
усиливаются и передаются затем в модулятор,
точно так же, как ца модулятор передаются
микрофонные токи радиотелефонировання.
Черт. 8
Приходящие на приемную станцию сиг¬
налы после детектирования и усиления при
помощи фильтров разделяются. Колебания,
44
ш
НК
1C
1
! 1
и
-
IV
-
V
III
А
IV
Приемник
ЮЕЕНЕ
ill
Черт. 9
соответствующие элементам картины, попа¬
дают через II на трубку. Синхронизирую¬
щие колебания поступают в ламповые гене¬
раторы I и III, вырабатывающие перемен¬
ный ток для отклонения электронного пучка,
и синхронизируют их с таковыми на месте
передачи. Генератор I ведает вертикаль¬
ным отклонением, а генератор II — горизон¬
тальным.
Синхронизирующие импульсы нисколько
не мешают сигналам картины, так как они
передаются в момент, когда картина факти¬
чески ие передается: горизонтальные пере¬
даются после передачи одного горизонталь¬
ного ряда,-—-а вертикальные — после каждой
картины.
Говорить о том, что проблема телевиде¬
ния разрешена — еще рано. Слишком гро¬
моздка, сложна и дорога еще аппаратура.
Но то, что разрешение этой проблемы
уже не так далеко и что в разрешении
этого вопроса катодное телевидение займет,
пожалуй, главное место, — становится уже
достаточно ясным.
I
41
ОБЩАЯ МЕТОДИКА
СОСТОЯНИЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
В 1932/33 УЧЕБНОМ ГОДУ
Асп. ЦНИИПО
Выборочное обследование средних школ,
произведенное Наркомпросом в апреле 1933 г.,
собрало материалы о состоянии преподава¬
ния физики по 53 школам.
По 41 школе представлены сравнительно
полные материалы (общие отчеты школ или
обследователей, тетради, контрольные ра¬
боты, записи уроков). Отчеты охватывают
период с начала учебного года до апреля
месяца, когда происходило обследование.
Они,- следовательно, совершенно не показы¬
вают работу школы по физике в период
весенних годовых испытаний. По многим
весьма важным вопросам, интересным для
освещения состояния преподавания физики,
ряд школ не дает никаких указаний (напри¬
мер о состоянии физического кабинета,
о постановке лабораторных работ и др.).
СОСТОЯНИЕ ПРО°АБОТКИ
ПРОГРАММНОГО МАТЕРИАЛА
На программы 1933 г. школы перешли
с начала третьей четверти и лишь за очень
немногими исключениями с конца января
или начала февраля; таким образом, по
времени перехода на новые программы все
школы находились в равных условиях.
Состояние проработки программного мате¬
риала по годам обучения таково.
По пятому году о б у ч е н и я в основ¬
ном дело обстоит более или менее благопо¬
лучно. Незначительная недоработка имела
место главным образом в последней теме —
„Газы“. Замечание о непрохождении этого
раздела имеется по 9 школам, причем
6 школ указывают лишь на сокращение часов.
Указаний на уменьшение количества ча¬
сов по всему году немного (всего 8); сок¬
ращение колеблется по отдельным темам
от 7 до 3 часов. Только одна шко'ла указы¬
вает, что последние темы сокращены на
10 часов.
По шестому году обучения заме¬
чаний уже значительно больше. Конкретных
указаний на изменение часов, отводимых
программой, имеется 21.
Т. ЩЕРБАКОВА (Москва)
Три замечания касаются увеличения
часов на проработку отдела „Механика"; два
замечания — сокращения часов—на про¬
работку этого отдела (—18, —9).
По отделу „Теплота" сокращение часов
на отдел по 9 школам колеблется от 38 до
8 часов. Три замечания указывают сокра¬
щение на 30 часов.
При рассмотрении вопроса об увеличе¬
нии школами часов на механику и сокра¬
щении часов на теплоту необходимо учесть:
1) замечания о сложности отдела механики,
2) указания на слабую математическую под¬
готовку учащихся, приводящую к большим
затруднениям, 3) недостаточную четкость
в планировании работы и недостаточное
следование плану при его осуществлении.
Непроработка программ касается следую¬
щих вопросов и тем.
По отделу „Механика" имеется три ука¬
зания о непроработке понятия о массе как
мере инерции, I, II законов Ньютона, всей
темы о передаче движения.
По отделу „Теплота" дело значительно ху¬
же. Семь школ совершенно не проработали
последнюю тему; „Переход механической
энергии в теплоту, и обратно". Кроме того
5 школ указывают на непроработку или
сокращение часов на проработку раздела
тепловых двигателей. Две школы указывают
на непроработку темы „Изменение агрегат¬
ного состояния вещества" и 2 школы—на
сокращение часов по этой теме.
Следовательно, ряд школ в той или иной
мере должен был уделить в настоящем
1933/34 учебном году из часов седьмого
года время на ликвидацию недоработки
шестого года, что нарушило нормальную
работу в VII группах.
Седьмой год обучения школы в зна-
чител' ной мере не проработал последнюю
тему по разделу „Электричество".
Конкретных указаний на изменение в ча¬
сах в отделе „Электричество" имеется 4. Одно
из них отмечает увеличение часов, три —
сокращение от 30 до 25 часов.
45
I
По проработке отдела „Свет" дело обстоит
хуже — 2 школы совсем его не прорабаты¬
вали.
Одна школа отмечает непроработку темы
„Преломление света". 3 школы не прорабо¬
тали последнюю тему по свету и 12 школ
не проработали целый ряд важнейших вопро¬
сов последней темы. Следовательно, в 18
школах (44°/0) совсем не пройдены некото¬
рые темы этого отдела.
Сокращение часов указано 10 школами,
причем 4 школы указывают на сокращение
в 10 часов, 4 школы — от 15 до 20 часов.
Таким образом, большинство школ в лучшем
случае „Свет" прорабатывают в 20 часов про¬
тив намеченных программой 30 часов.
Восьмой год обучения. Данные
о наличии VH1 групп имеются но 25 шко¬
лам. Имеются 15 замечаний о недора¬
ботке и нсироработкеотделов „Аэромеханика"
и „Гидромеханика", причем 4 замечания ука¬
зывают на полную непроработку темы
аэромеханики и 3—гидромеханики. Таким
образом, в 79°/0 школ с проработкой послед¬
них тем восьмого года обстояло дело небла¬
гополучно.
Сокращение часов на эти темы указано
в 4, 5, 20 часов. Одна школа указывает
сокращение с 122 до 62 часов, так как
60 часов было отведено на проработку
электричества (задолженность по седьмому
году).
Таким образом, последние темы по ше¬
стому, седьмому, восьмому годам в силу
тех или иных причин подверглись большому
сокращению, что, конечно, отразилось на
качестве их проработки, или же они ока¬
зались совершенно иепройденными. Начало
учебного 1933/34 года нельзя считать нор¬
мальным, так как ликвидация „хвостов",
оставшихся от прошлого года, имела месго
в большинстве школ.
ОБСЛУЖИВАНИЕ ШКОЛ ПОСОБИЯМИ
ФИЗИЧЕСКОГО КАБИНЕТА
Отчеты школ и обследователей не даю г
возможности судить о широте использова¬
ния демонстраций на уроках, о количестве
проведения лабораторных работ по годам
обучения и по темам и о том, что представ¬
ляют физические кабинеты школ.
Можно констатировать лишь наличие или
отсутствие физического кабинета.
Наличие кабинетов и постановки лабо¬
раторных работ дано в следующей таб¬
лице:
•6
Количество.
школ
“.'о
Имеются кабинеты ....
27 I)
51
Отсутствуют кабинеты или
нет сведений
2G
49
Проводились лабораторные
работы ....
17
32
Отсутствовали кабинетные
работы или нет сведений
36 2)
68
•) Из них заведомо плохие кабинеты в 9 шко¬
лах и вызывающие большое сомнение в нх
удовлетворительности — в 4 школах; таким об¬
разом, в общей сложности плохие кабинеты
можно считать в 13 школах из 27, имеющих
кабинеты.
s) Не дано сведений по 23 школам.
Таблица показывает, что далеко не во
всех школах имеются какие бы то ни было,
плохие или хорошие, физические кабинеты,
и, следовательно, „меловая физика" остается
в значительном количестве наших школ-.
Во многих школах отсутствует постановка
лабораторных работ. Имеющиеся кабинеты
но своему оборудованию не обеспечивают
возможности проведения лабораторных ра¬
бот.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКСКУРСИОННОГО
МЕТОДА
В отчетах по 16 школам имеются в той
или другой форме указания на проведение
экскурсий; одна школа прямо указывает, что
экскурсий не проводилось. Материалы четы¬
рех школ вызывают большое сомнение в ча¬
сти использования экскурсионного метода.
Только в 11 школах (т. е. в 27°/п) прово¬
дились экскурсии в том или другом коли¬
честве.
По годам обучения сведения об экскурсиях
распределяются следующим образом:
Год
У поминается
о проведении
экскурсий
(количество школ)
Не было
экскурсий
(количество школ)
Пятый
4
о
Шестой
4
I
Седьмой
4
3
Восьмой
1
1
Примечание. Кроме того 2 школы указы¬
вают на то, что экскурсии проводились, но не
конкретизируют по годам обучения.
I Такое малое число указаний на проведение
рекурсий сигнализирует об очень опасном
•ълении— забвении экскурсионного метода
рядом наших школ.
Ш1ЮЧЕНИЕ МАТЕРИАЛА, ОТРАЖАЮЩЕ¬
ГО ВОПРОСЫ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОГО
СТРОИТЕЛЬСТВА
Материалы, представленные школами, дают
«ачительный объем тематики, отражающей
«тросы соцстроительства, освещаемые при
доработке курса физики. Однако судить о
|рмах проработки этих вопросов и дей-
чительном их содержании, активности уча-
ичхсн при этом по имеющимся материалам
'■чти не представляется возможным. Лишь
:е-гдс имеются указания на использование
скурсионного метода и бесед.
Бежецкая школа Московской области отме¬
лет, что ознакомление учащихся с вопросами
нцстроительства происходило путем экскур-
ай и выполнения „поручений* (к сожалению,
и указано, в чем заключались эти поручения).
Из наиболее интересных тем связи препо-
явания физики с вопросами социалистическо-
строительства можно отметить следующие.
По пятому году обучения
1) Механизация измерений в сов- —Архангель-
шениом производстве г кая образц.
№ 6, Север¬
ный край
2) Расширение материалов в — Шадрин-
(рштелыюй технике и стройка ская ФЗС,
штов в СССР и на Урале Урал
3) Стандартизация жилых домов — Курган¬
ская ФЗС
4) Вопросы использования водя- —7 школ
С турбин, их значение для элек-
рнфикации страны
5) Водоснабжение („краеведче- — Северный
М1Й материал*) ч Кавказ
6) Современная обработка ме- —Мальчии-
илов и развитие металлопромыш- ская ШКМ
НН0С1И
По шестому году обучения
1) Мощность Днепровской и Вол- —Ленинград,
лгкой гидростанций Петергоф¬
ская им. Вве¬
денского
2) Строительство завода „Ша- —4 школы
шоподшнпник”
3) Наши машиностроительные —Архап-
ш и их достижения гельская № 6
1) Энергетические ресурсы СССР — Тотемская
их использование ШКМ
5) Значение каменного угля по —Каргин-
г.'.у первой и второй пятилетки, ская, Урал
««аульский, УКК и Донбасс
6) Проблема турбо- и дизеле- — Ростов
строения в СССР на Дону
7) Значение двигателей внутреи- — Андреев-
него сгорания в сельском хозяй- ский район,
сгве ФЗС № S
8) Установка тепловых двнгате- —Архаи-
лей в местных условиях гельская № 6
По седьмому году обучения
1) Знакомство с местными пред- —4 школы
нриятиями — значение электричес¬
тва на заводах
2) Алюминиевый Комбинат на Тотемская
месте разработки тихвинских бок- ШКМ
сито в
3) Электрификация СССР, итоги —2 школы
первой пятилетки и перспективы
второй пятилетки
4) Проектирование Свердлов- г. Орджо-
ского электрокомбината никидзе.
школа № 2
5) Темы, рисующие гиганты --3 школы
электрификации
6) Перспективы электрификации —Муромская
местного края ФЗД № 1,
7) Опытные силовые гелиоуста- —Горьков-
новки ский край
По восьмому году обучения
1) Использование примеров из —Леннн-
оборудования завода 1\Г° 7 для ос- градская
вещения вопросов соцстроитель- № 154
сгва (тема формулирована очень
неопределенно)
2) Днепрострой и Волховстрой —i. Орджо-
и их значение для реконструкции никидзе,
хозяйства в СССР школа № 2
Кроме того интересны замечания об ис¬
пользовании Сормовского завода (Горьков¬
ский край — Сормово) и центральной штольни
большого Кузбасса (Прокопьевская ФЗД) для
изучения применений законов физики в тех¬
нике производства в СССР.
Распределение тем, связывающих препода¬
вание физики с вопросами социалистического
строительства, по разделам следующее (см.
табл. на стр. 48).
Всего 30 школ, т. е. 73°/0 из 41 школы,
давших полный материал, в преподавании
физики отражают вопросы социалистического
строительства.
Таким образом, можно сделать выводы:
1. Преподавание физики школы стремятся
поставить в связь с применением законов
физики в технике промышленности, сельского
хозяйства, с практикой социалистического
строительства. Но глубину и методы осве-
47
Год
обучения
Тема программы
по физике
Количество выдви¬
нутых тем по связи
с вопросами соц-
ст оительстпа
- и
§ со
ак
5 !g
5 Я Н
Is-
5 га °
о ? t
=£ ;>s С
Пятый
Измерение
3
3
год
Действие теплоты на
тела
1
1
Твердые тела ....
4
7
Жидкости
5
10
Газы
6
8
Всего. . .
19
29
Шестой
Механика
7
10
год
Теплота
13
13
Всего. . .
20
23
Седьмой
Электричество . . .
22
27
год
Свет
1
1
Всего. . .
23
28
Восьмой
Механика
2
2
год
Гидромеханика . . .
1
1
Всего. . .
3
3
щения этих вопросов в связи с проработкой
программного материала данные обследования
почти не вскрывают.
2. Необходимо отметить резкое падение
внимания к этому моменту в работе по фи¬
зике в VIII группах, что является явно не¬
нормальным, так как у учащихся VIII групп
теоретическая база вполне достаточна для
более глубокого освещения применений за¬
конов физики в технике и практике соцстрои-
тельства. Возникает опасение, что курс фи¬
зики в VIII группах проходится чрезмерно
теоретически, в отрыве теории от практики.
ОТРАЖЕНИЕ ВОПРОСОВ ВОЕНИЗАЦИИ И
АНТИРЕЛИГИОЗНЫХ ТЕМ В ПРЕПОДАВА¬
НИИ ШИЗИКИ
Состояние этой стороны работы дано в
следующей таблице (см. ,табл. на стр. 49).
Выяснение вопроса, сколько школ обра¬
щало внимание на антирелигиозные темы и
военное воспитание учащихся в процессе
48
преподавания физики, показало, что вопроса:
военизации уделило внимание гсего 8 школ
т. е. 19°/0, вопросам антирелигиозной рабов
всего 3 школы, т. е. 4и/0 (процент взят и
числа 41 школы, давших полный материал)
Это указывает на почти полное отсутствп
этих важных элементов воспитания в процесс!
преподавания физики.
СВЯЗЬ ПРЕПОДАВАНИЯ ШИЗИКИ С ТРУ
ДОВЫМ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИМ ОБУЧЕНИЕ!!
На связь преподавания физики с трудовм
политехническим обучением совсем ие обра
щается внимания.
Только 8 школ говорят об этом вопросе
причем 2 из них отмечают отсутствие связг.
Таким образом, только в 15°/0 школ упоми
нают о какой-либо связи преподавания ф|
зики с трудовым обучением.
Северокавказская Мальчинская ШКМ дас!
такую формулировку: увязка с трудом был
„через изготовление приборов в мастерско!
для проработки тем пятого-шестого годи
обучения". Значит, эта школа совершенно н
поняла сущности вопроса связи преподаванн
физики с трудовым политехническим обуче
нием, сведя связь только к этой одной фор
ме. Остальные указания неопределенны,
невозможно судить по ним, как этот вопро
понимается, и как „связь" осуществляете»
Лишний раз подтверждается то, что вопри
связи физики с трудовым политехнически
обучением по существу до школ не дошс
и за практическое осуществление этого вал
ного момента в преподавании физики борьй
не ведется.
ШОРМЫ УЧЕТА РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ
23 школы дали более или менее конкре
ный материал, позволяющий судить о форм:
учета работы учащихся. Эти данные выр
жаются в следующей таблице:
Р'
Формы учета
О S
*3
23
О,
О
-в*
0J
5 я* й>
«У
Индивидуальный опрос . .
Проверка тетрадей
Письменные контрольные во¬
просы
Устные контрольные работы
Другие формы
22
96
18
78
18
78
7
32
2
9
4
VI
Vi
I-
I-
:т
IB
>й
IB
ie
1Я
P-
и
DC
si.
DC
IM
ел
Hf-
бы
Вопросы военизации
Антирелигиозные
вопросы
Год
обучения
Темы программы по физике
коли¬
чество тем
количество
школ, участ¬
вовавших в
их прора-
б.)тке
коли¬
чество тем
количество
школ, уча¬
ствовавших
в их прора¬
ботке
Пятый
Измерение
2
2
_
-
Твердые тела
2
4
--
Действие теплоты на тела . .
—
1 1
1
Жидкости
2
3
—
—
Работа сжатого воздуха ....
2
2
—
—
Газы
3
3
1
1
Всего
11
14
2
2
Шестой
Механика
1
1
—
Теплота
2
2
1
1
Всего
3
3
1
1
Седьмой
Электричество
1
1
1
1
Свет
2
3
-
—
Всего
3
4
1
1
Восьмой
Механика
2
2
—
Аэро- н гидромеханика ...
—
—
—
—
Всего
2
2
—
етн
■ах
Другие формы учета заключаются в ши-
юких конференциях и академических боях.
Основными формами учета являются: инди-
тдуальный опрос учащихся, проверка тет-
аЛадей и письменные контрольные работы.
Ны имеем ряд указаний, что тетради про-
—меряются неаккуратно.
И Школы — Курганская ФЗС № 7 и Таль-
5 {римская ШКМ дают сведения, что на каждого
чащегося имеются персональные учетные
арточки. Курганская ФЗС № 7 дает даже
деления, что имеются персональные лабо-
ьторные учетные карточки.
Отсутствие указаний на учет выполнения
вбораторных работ учащимися является под-
рждением того, что этой стороне педа¬
нтического процесса не уделяется должного
камания.
13 ЧЕГО СКЛАДЫВАЮТСЯ ТРЕБОВАНИЯ
К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ УЧАЩИХСЯ
17 школ дают указания по этому вопросу.
1х можно сопоставить следующим образом:
Умение формулиро¬
вать законы
Умение решать за¬
дачи
Объяснение явлений
Умение применять
законы физики для
1 объяснения вопро-
1 сов техники
| Ведение рабочих
1 тетрадей
Количество школ.
по которым име¬
ются данные о
требованиях .
15
13
3
3
14
То же в процен¬
тах по отноше¬
нию к 17 шко¬
лам ...
88
76
18
18
81
! I* Математика и физика ,
Из этих данных можно сделать вывод: если
обращено более или менее достаточное вни¬
мание на усвоение законов физики и умение
49
решать задачи, то на умение объяснять окру¬
жающие физические явления и применять
знание законов физики для понимания во¬
просов техники и решения практических за¬
дач— школой очень мало удалено внимания.
Следствием этого могут быть: слабое ус¬
воение физики учащимися и отсутствие дей-
СТВ2ННОСТИ их знаний, а это резко проти¬
воречит одному из основных требований
комвоспитання. *
Среди всех замечаний имеется (и то лишь
в качестве примечания) только одно ука¬
зание, что учащиеся не умеют работать
с книгой, в лаборатории. Это доказывает,
что на эти стороны работы опять-таки мало
обращено внимание преподавателем. Работа
над учебником школой также мало освоена.
ФОРМЫ РАБОТЫ С ОТСТАЮЩИМИ
УЧАЩИМИСЯ
Более или менее конкретно освещают этот
вопрос 23 школы.
Результаты сопоставлены в следующей
таблице:
Количество школ, по
которым имеются
данные
То же в процентах
к числу 23 школ,
давших сведения
V
Работа с препод. дополн.
занятия
а) Обязат. для всех уча¬
щихся
6
26
б) Обязат. для отстающих
12
52
Прикрепление сильных
учащихся к слабым . .
15
65
Выдача книг на дом . .
8
35
Соцсоревнование ....
. 2
9
Другие формы работы .
3
13
Другие формы работы заключаются в сле¬
дующем :
1) работа в кружках (Таганрогская школа-
десятилетка) ;
2) проведение отдельных конференций
с отстающими (Тальминская ШКМ);
3) открытие лабораторий для работы уча¬
щихся ежедневно на 3 часа (Шадринская
ФЗС Уральской области).
Эти данные показывают, что: 1) недоста¬
точно применяются все формы работы с от¬
стающими;
2) основная тяжесть работы переносмтсяИ
преподавателем на сильных учащихся. Сан!
преподаватель ведет в меньшей степени ра-|
боту с отстающими;
3) указания на имеющиеся обязательные
для всех учащихся дополнительные занятия
по существу говорят об искусственном уве¬
личении часов на предмет, но не на спе¬
циальную работу со слабыми учащимися;
4) соцсоревнование, этот чрезвычайно
важный момент комвоспнтания, не развито
в практике работы учащихся по физике;
5) значительное число выдач отстающим
книг на дом говорит о том, что дело со
снабжением учащихся книгами далеко от
благополучия и является одной из причин
отставания учащихся. К этому следует при¬
соединить еще имеющиеся дополнительные
замечания преподавателей о недостаточном
количестве учебников. О недостаточном снаб¬
жении учащихся учебниками говорит 46°/,,
школ.
Имеется указание на затруднения в работе
с отстающими в Тотемской ШКМ, выража¬
ющиеся в отсутствии освещения. Только
от трех ШКМ имеются сведения о работе
с отстающими.
Ряд школ отмечает, что отстающими уча¬
щимися неаккуратно посещаются дополни¬
тельные занятия, и наоборот, эти занятие
часто посещаются более сильными и заин¬
тересованными в работе учащимися. Это
подчеркивает недостаточно проведенную ра¬
боту по стимулированию отстающих к под¬
нятию своей успеваемости. Соцсоревнование
в этом могло бы сыграть большую роль, но,
как указано, оно почти не имеет места
в работе школы по физике.
ЗАМЕЧАНИЯ ПРЕПОДАВАЕТЛЕЙ
О ПРОГРАММАХ И О ЗАТРУДНЕНИЯХ,
ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В РАБОТЕ
ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ПРОГРАММ
В отчетах преподавателей встречается не¬
мало замечаний о тех затруднениях, которые
препятствуют нормальной проработке про
грамного материала.
Сводка основных затруднений выражается
следующей табличкой (см. табл. на стр. 51),
Суммируя все замечания, можно сделай
такие выводы:
1. Наиболее перегруженными учительство
считает шестой и восьмой годы (механике
на обоих годах обучения).
2. Основное затруднение, встречающего
при проработке программ, выражается в не
достаточной подготовке учащих¬
ся по математике или, может быть
50
Год
Сложность и гро¬
моздкость программ
в процентах
Математ ическля ке-
подготовле нность
учащихся в процентах
Недостаточность
оборудования каби¬
нетов в процентах
Пятый
12
62
4
Шестой
59
47
2
Седьмой
12
28
8
Восьмой
5-|-22‘
50
5
в чрезмерных требованиях преподавателей
физики, предъявляемых к учащимся и к глу¬
бине и характеру проработки вопросов по
физике.
3. Преподаватели физики недостаточ¬
но выражают тревогу за слабое
оборудование педпроцесса де¬
монстрациями и лабораторными работами.
4. Есть опасность, что имеет место из¬
лишняя математизация школьного курса фи¬
зики, выполнение на занятиях физики и дома
чрезмерно большого количества вычислитель¬
ных задач в ущерб уяснению физических
представлений об явлениях природы и тех¬
ники.
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ
1. Програмный материал проработан шко¬
лой в 1932/33 г. не полностью. Несколько
лучше обстоит дело по пятому году и далеко
не благополучно по другим годам обучения.
В большом количестве школ не доработаны,
j местами и совсем не проработаны послед¬
ние темы программы. Нормальное число ча¬
сов на темы не выдерживалось. Особенному
сокращению подверглись: по шестому году
раздел „Теплота" (до 30 часов вместо 60
часов); по седьмому году „Свет" (в лучшем
случае 20 часов вместо 30 часов); в вось¬
мых группах местами выпадали совершенно
нз проработки „Гидромеханика" и „Аэроме¬
ханика". Немаловажную роль сыграла та
ломка работы по физике в VIII группах,
которая произошла вследствие перехода в ян¬
варе на новые программы. До января школы
начали работать по прошлым программам,
включавшим механику, теплоту и молеку¬
лярную физику. В программах 1933 г. два
последних раздела отсутствуют, и школы,
сократившие время на проработку механики
* Непонимание требуемой глубины прора¬
ботки.
1*
и перешедшие уже к проработке следующих
разделов, должны были после января их
оставить и вновь переходить к ме аиике.
На недоработке программ сказалось также
и то, что планы составлялись в январе без
учета периода испытаний. Также немало¬
важную роль играет и недостаточно четкое
планирование и выдерживание плана в про¬
цессе работы.
В начале настоящего учебного года часть
времени приходилось уделять на ликвидацию
задолженности по прошлому году обучения.
2. Крайне серьезно обстоит дело с обо¬
рудованием педпроцесса д монстрациями
опытов и лабораторными работами учащихся.
Необходимо самое серьезное внимание со
стороны районных отделов народного обра¬
зования и заведующих школами к вопросу
оборудования физических кабинетов прибора¬
ми и материалами, позволяющими проводить
демонстрации опытов и ставить лаборатор¬
ные работы. Судя по материалам данного
обследования, и сами преподаватели недос¬
таточно уделяют внимания этому вопросу.
Все материалы говорят о некоторой безза¬
ботности ряда преподавателей к постановке
преподавания физики как опытной науки,
к выработке у учащихся навыка к лабора¬
торным работам, навыка обращения с основ¬
ными измерительными приборами.
3. Приходится констатировать значитель¬
ное наличие словесного метода преподавания.
Материалы говорят о довольно значительной
тематике, выдвинутой школами по связи
преподавания физики с вопросами ссцстро-
ительства, но они же указывают на отсут¬
ствие связи с трудовым политехническим
обучением и на совершенно недсстаточное
использование экскурсионного метода.
Преподавателями недостаточно обращено
внимание на воспитание у учащихся навыков
применять свои знания для объяснения окру¬
жающих явлений и производственных про¬
цессов, на развитие у учащихся ассоциатив¬
ных связей. Наряду с требованиями к уча¬
щимся в части твердого систематического
знания ими физических законов и понятий,
соответствующих программным требованиям
по каждому году обучения, нужно особенно
внимательно следить за прикладной стороной
теоретических знаний. В противном случае
учащийся выйдет из школы, имея опреде¬
ленную сумму отвлеченных знаний по физи¬
ке, но оставаясь беспомощным в практической
сбстановке. Кроме того физика в представ¬
лении учащихся легко может превратиться
в дисциплину чисто абстрактную, заключа¬
ющую в себе только ряд законов и поло¬
51
жений, развивающуюся совершенно самосто¬
ятельно, независимо от взаимодействия с раз¬
витием промышленности, техники, других
наук, а это положение будет в корне про¬
тиворечить задачам выработки у учащихся
диалектико-материал истическо го мировоззре-
ния.
4. Крайняя недостаточность включения
вопросов военных и антерилигиозной пропа¬
ганды является фактом, заставляющим об¬
ратить самое серьезное внимание преподава¬
телей на это недопустимое явление.
5. Преподаватели все еще недостаточно
уделяют внимания работе с отстающими,
перекладывая ее в значительной мере на
плечи более сильных учащихся.
Самым основным недостатком в этой ра¬
боте является полное отсутствие вовлечения
■слабых учащихся в движение ударничества
и соцсоревнования.
Не следует оставлять без внимания серь¬
езные затруднения преподавателей физики
из-за недостаточной математической подго¬
товки учащихся. В этом отношении надо
провести большую работу по деятельному
изучению того, в чем конкретно заключа¬
ются эти затруднения: в части ли недоста¬
точной согласованности программ, слабой
качественной подготовки учащихся по ма¬
тематике, в части ли чрезмерных требований,
предъявляемых к учащимся со стороны пре¬
подавателей, не понимающих степени глуби¬
ны проработки вопросов программы и неред¬
ко, как это имеет место в практике, прев¬
ращающих курс, например, шестого года
в курс, идентичный курсу восьмого года,
седьмого года — курсу десятого года.
Раскрытие глубины проработки вопросов
программ по каждому году обучения дол¬
жно явиться одним из условий, обеспечива¬
ющих одинаковость требованиий к учащимся
со стороны всех школ. Эту задачу должнн
осуществить исследовательские институты,
занимающиеся вопросами содержания и ме¬
тодики преподавания физики в средней школе.
Отметим и положительные стороны в пре¬
подавании физики в средней школе. В ос¬
новном они заключаются в следующем.
Программы уже обеспечивают в значи¬
тельной мере систематическое изучение
физики.
Сравнительно с прошлыми годами повыша¬
ются требования к знаниям учащихся в ча¬
сти усвоения законов, основных определений
и умения решать задачи:
Но всего этого, конечно, еще недостаточ¬
но, особенно учитывая все сделанные ранее
выводы о недостатках преподавания физики.
Перед преподавателями физики стоит еще
очень большая работа над собой по повы¬
шению своей методологической, научной,
технической и методической подготовки,
чтобы обеспечить постановку преподавания
физики в средней школе соответственно
требованиям, которые предъявляются к со¬
ветской школе.
СОСТОЯНИЕ АСТРОНОМИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ШКОЛЕ В СВЯЗИ
С ПОДГОТОВКОЙ К ПРЕПОДАВАНИЮ АСТРОНОМИИ НА ДЕСЯТОМ
ГОДУ ОБУЧЕНИЯ
Проф. П. ПОПОВ (Москва)
Перестройка всей работы школы на осно¬
вах, указанных известными постановлениями
партии и правительства, повлекла за собой
и новую постановку вопроса о преподавании
астрономии. Можно буквально сказать, что
эта дисциплина, которой никак нельзя отка¬
зать в принадлежности к основам наук и ко¬
торая имеет немалое значение в формирова¬
нии марксистско-ленинского мировоззрения,
находилась до тех пор в загоне. Хотя вре¬
менами вопросы астрономии попадали в про¬
грамму семилетки, но это носило в сущности
лишь формальный характер, так как никако¬
го времени на этот предмет в сетке часов
'52
не отводилось, и он оказывался беспризорным.
Преподаватель физики, которому обычно
„подкидывалась" астрономия, едва управлялся
в отведенное ему число часов с перегружен¬
ной программой физики, и если только он
сам имел некоторое пристрастие к астроно¬
мическим знаниям, то кое-какне беседы по
этим вопросам проводил с учащимися, да н
то весьма отрывочно и несистематически.
Теперь, когда вся работа школы переведена
на рельсы прочного усвоения учащимися ос¬
нов наук во всей их системе, астрономия
заняла свое определенное место. На десятом
году обучения ей отведены самостоятельные
часы, разработана Наркомпросом стабильная
программа, составлен стабильный учебник,
который к началу учебного года, когда на¬
чинает функционировать десятый год, дол¬
жен быть уже разослан по школам.
Кроме того на пятом году обучения, где
проходится физическая география, введена
тема, дающая первоначальные астрономичес¬
кие сведения, связанные главным образом с
суточным вращением и годичным движением
Земли.
Ставя вопрос о подготовке к преподава¬
нию астрономии на десятом году, где дол¬
жен быть проработан хотя и элементарный,
но систематический курс, необходимо выяс¬
нить, на какой базе придется строить эту
[:аботу, какие предварительные знания будут
иметь учащиеся, которые приступят к изу¬
чению этого систематического курса. В этом
отношении мы располагаем некоторым мате¬
риалом, обрисовывающим нам в достаточной
степени картину состояния знаний учащихся
по самым основным и элементарным вопро¬
сам из области астрономии.
Эти материалы относятся к двум нашим
наиболее культурным центрам — Москве и
Ленинграду, и тем более они являются пока¬
зательными, как мы увидим далее, для кон¬
кретного построения работы на десятом году
обучения.
В Москве этим вопросом занялось Москов¬
ское отделение Всесоюзного астрономо-гео-
дезического общества, проведя весной 1933 г.
в небольшом масштабе обследование состоя¬
ния знаний учащихся и подготовленности
школы к введению систематического препо¬
давания астрономии. Разработан ряд вопро¬
сов и даны были через преподавателей школ
письменные контрольные работы с этими
вопросами. Таких .письменных ответов соб¬
рано около 300 из различных школ по трем
разным районам Москвы. Вопросники прово¬
зились в V, VII и VIII группах. Эти группы
'ыли взяты потому, что V группа — это пер¬
вая, работавшая уже по новой программе с
курсом физической географии; VII и VIII
фуппы — проходившие большую часть семи-
тетки, когда в ее программе значилась астро¬
номия, и кроме того это как раз тот контин¬
гент учащихся, с которым в первую голову
придется иметь дело преподавателю астроно¬
мии с начала же введения астрономии на де¬
сятом году.
Для пятого года ставились вопросы:
1. Отчего происходит смеиа дня и ночи?
2. Отчего происходит смеиа времен года?
3. Как можно по звездам определить направле¬
ние на север и юг?
4. Что представляет собой Солнце?
5. Что представляют собой звезды?
Для седьмого и восьмого годов обу¬
чения добавлялись еще вопросы:
6. Отчего происходят затмения?
7. Что представляют собой падающие звезды?
8. Отчего меняются фазы Луны?
9. Как произошла Земля?
Меньше всего затруднений встретили 1, 3
7-й вопросы, причем в отношении 3-го вопроса
большинство указывает на Полярную звезду,
меньшинство отвечает: „Не знаю". Но уже
во 2-м вопросе (о временах года) у громад¬
ного большинства — неясность и неправиль¬
ные представления. Очень многие указывают
просто на вращение Земли вокруг Солнца
как на причину смены времен года. Но это
вовсе не свидетельствует о ясности понима¬
ния вопроса. По крайней мере у тех, кото¬
рые пытаются несколько подробнее пояснить,
мы находим: „Когда неосвещенная поверх¬
ность Земли обращена от Солнца, то там
холодно, и наоборот" или: „Земля, вращаясь
около Солнца, то приближается, то удаляется
от Солнца и на Земле то теплее, то холоднее".
Правильные объяснения, с указанием на на¬
правление оси вращения Земли по отноше¬
нию к плоскости ее орбиты и изменение
наклона солнечных лучей к поверхности Зем¬
ли в разных ее местах в разное время, встре¬
чаются только как исключения. Характерно,
что эти правильные объяснения или ответы,
не заключающие в себе ошибки, а ограни¬
чивающиеся только указанием на вращение
Земли вокруг Солнца, мы находим в V груп¬
пе; в VII и VIII группах почти поголовно
говорят об изменении расстояния. Их ответы
указывают на продвинувшиеся знания по
другим предметам, но на полную отсталость в
данном астрономическом вопросе. Например,
в VIII группе мы встречаем такой ответ:
„Земля совершает свое движение по эллипсу,
следовательно, в различные моменты времени она
различно удалена от Солнца, и влияние солнечных
лучей на Землю различно. Чем больше расстояние
между Землей и Солнцем, тем слабее действие лу¬
чей, тем меньше тепловой энергии получает
Земля*.
Такого рода ответ далеко не является един¬
ственным.
Еще более поражает совершенно преврат¬
ное представление о причинах изменения
фаз Луны. Здесь мы не встретили ни одного
правильного объяснения. Приведем несколько
характерных ответов:
53
„Фазы Луны меняются в зависимости от того,
какое положение занижает Луна между Солнцем и
Землей и какую тень бросает Земля на Солнце".
.Фазы Луны меняются потому, что Земля в раз¬
личные сутки (ночью) становится на пути движе¬
ния лучей Солнца 'к Луне и тень Земли падает на
Луну, образуя темное место на поверхности Л\ны*.
.3;мля вертится и закрывяет Луну от солнеч¬
ного света то больше, то меньие".
.Фазы Луны изменяются от ьрашения Земли
вокруг Луны (!), причем Земля бросает на Луну
различные тени, то совсем загораживая ее от Солн¬
ца, то меньше".
И все в таком же роде.
Если так дело обстоит с основными, по¬
вседневно наблюдаемыми явлениями, то неу¬
дивительно, что мы имеем большую путаницу
и по другим вопросам, как падающие звезды,
происхождение Земли. Здесь прямо сказыва¬
ется клочками, случайно слышанное что-то об
этом, но или не приведенное в ясность, или
давшее совершенно неправильные представ¬
ления.
.Падающие звезды, или метеориты,—это раска¬
ленные части звезд, падающие на Землю*.
- .Иногда от Земли отрываетсяТее незначите дьная
часть, называемая метеоритом".
„Падающие звезды—это осколки (метеориты)
от горящей массы звезды".
.Копа от зв.'зды отрывается ее незначительная
часть, называемая метеоритом, то она, падая, засты¬
вает. При палении на Землю этот метеорит прев
ращается в камень, который достигает огромной
величины".
Совершенно как исключение мы встречаем
такого единственного знатока данного воп¬
роса, который прямо радует, несмотря на его
„осколки небесных тел или планет".
.Падпощие звезды — не что иное, как осколки
небесных тел или планет. Попадая в атмосферу
Земли, они вспыхивают ярким пламенем от трения
окружающей среды и сгорают, в большинстве слу¬
чаев не долетая до земли, но в одиночных случаях
долетают до Земли*.
В просмотренных нами анкетах такой ответ
не менее редкое явление, чем падение метео¬
рита на Землю.
По вопросу о происхождении Земли, ви- ^
димо, учащиеся больше всего имели возмож¬
ность слышать в школе и по линии геогра¬
фии и по линии естествознания, причем толь¬
ко в некоторых ответах заметны отголоски
канто-лапласовской гипотезы, а в отдельных
случаях и гипотезы Джинса, большинство же
просто говорит о превращении Земли из рас-
54
каленной массы в охладившуюся и покрытую
корой. Но все эти представления очень при¬
митивны и в своих толкованиях иногда до¬
вольно курьезны.
.Земля — это часть Солнца, т. е. осколок, отор¬
вавшийся от Солнца и попавшийся в атмосферу
воздуха начал постепенно охлаждаться и благодаря
вращению воздуха осколок получил круглус
форму".
.Земля произошла при сгущении паров, кото¬
рые постепенно из огненно-раскаленного тела ос¬
тывали и превратились в твердое шарообразное
тело".
„В далекие времена наша Земля представляла
собой огненную массу, летевшую в мировом про
странстве. Огненную массу окружал холодный boj-
дух. Пары воды, поднимавшиеся с Земли, охлаж¬
дались в воздухе и падали на Землю в виде дож¬
дя. Так продолжалось до тех пор, пока Земля «:
превратилась в шаровидную массу, покрытую ко¬
рой".
;В начале происхождения своего Земля пред-,
ставляла собой огненную, расплавленную массу,
которая с течением времени постепенно охлажда¬
лась. Появилась кора, окружающая эту массу я
придавшая ей форму сплюснутого шара".
И в данном вопросе мы встречаем ответ,
который обнаруживает знатока, ориентирован¬
ного в целом ряде теорий, но что это зе
ориентировка — надо судить по самому ответу
.О происхождении Земли существует мноп
теорий. Одна из них: Земля обрчювалясь из само¬
стоятельной туманности, которая благодаря свое*
вращательному движению постепенно уплотнялась
другая: Земля откололась от Солнца; третья: Земн
произошла от столкновения двух старых миров1
Странное впечатление производят очен;
многие ответы учащихся как в V, так и *
VIII группах по вопросу о звездах:
.Звезды представляют собой потухшие и непо-1
тухшие планеты".
„Звезды — это осколки, отколовшиеся от Солнца,
некоторые очень мало остыли, а некоторые ут
остывшие, как наша Земля".
„Звезды представляют из себя как бы зеркала
отражающие солнечный свет".
Конечно, наряду с этим мы имеем и такие
ответы:
„Звезды представляют из себя такие же солнца
как и наше. Они находятся на разном расстоянии
от Земли и поэтому некоторые из них кажутп
маленькими и тусклыми, а некоторые большим!
и яркими".
Но вся беда заключается в том, что такие
ответы представляют единицы и буквально
гонут в массе той путаницы, которая суще¬
ствует в головах учащихся по всем этим воп¬
росам. Здесь опять приходится подчеркнуть,
что такой ответ, как последний, приходится
.ia V группу.
Полагаю, что приведенных примеров до¬
статочно, чтобы составить себе общую кар¬
тину о последствиях ненормальности, клоч-
коватости, большой случайности тех отры¬
вочных знаний по вопросам, составляющим
элементы грамотности в явлениях окружа¬
ющей природы, которыми питались до сих
пор наши учащиеся.
Можно подумать, что самый материал,
собранный Обществом, является случайным
и нехарактерным. Обратимся к тем данным,
которые собраны Ленинградской астрономи¬
ческой обсерваторией и обзор которых опуб¬
ликован в журнале ' „Мировеяение" № 3 за
1933 г. в статье В. И. Прянишникова. Здесь
приведены сведения о состоянии астрономи¬
ческих знаний среди учащихся на основе
2000 ответов. Некоторые вопросы были ана¬
логичными. Например, о причинах изменения
фаз Луны.
Что же дал просмотр ответов?
Учащиеся в массе не могли правильно
объяснить явление изменения фаз Луны. Ти¬
пичная и самая распространенная ошибка
при объяснения фаз Луны — это тень от Зем¬
ли. Интересным здесь является замеччние,
которым сопровождает этот итог т. Пряниш¬
ников: „Очевидно, наш вопрос застал отве¬
чавших врасплох, иначе они бы вспомнили
всем знакомую картину вечернего неба, ко¬
гда около первой четверти Луны можно наб¬
людать Солнце и Луну в одной стороне неба.
Ясно, что при таком положении земная тень
не может закрыть какой-либо части Луны".
Это показывает полное пренебрежение к наб¬
людательной стороне в вопросах астрономии
и притом вполне доступной каждой школе
и каждому учителю.
Характерны также аналогичные ответы и по
вопросу о звездах: подавляющее большинство
уверено, что слово планета, как собиратель¬
ное, относится ко всем небесным телам („Солн¬
це—неостывшая планета"; „Звезды — это ос¬
тывшие планеты, но не совсем"; „Земля —
совсем остывшая планета" и т. д.).
В Ленинграде не ограничились выяснением
знаний учащихся по астрономии, но про¬
вели также анкету и среди преподавателей
по тем же вопросам. Результат получился
также малоутешительный. На вопрос о фа¬
зах Луны сами педагоги дачи только 42°/0
правильных ответов, а по другим вопросам
этот процент спускался даже до 20 (доказа¬
тельства шарообразности Земли и вращения
Земли вокруг оси).
В свете этой картины, когда школа долж¬
на приступить к постановке астрономии в X
группе, перед ней стоит большая задача —
учесть все это при подготовке к началу учеб¬
ного года. Приходится исходить из того,
что учащиеся не имеют представления о са¬
мых элементарных явлениях, а в отдельных
случаях успели составить себе совершенно
неправильные представления, и их приходит¬
ся переучивать.
Подготовка должна итти по двум направ¬
лениям: 1) овладение преподавателем самым
содержанием предмета для проведения про¬
граммы астрономии, 2) подготовка школы
для оборудования всем необходимым, чтобы
преподавание было достаточно наглядным
и основывалось на наблюдениях.
Серьезнейшими опасностями в данном деле
являются: отсутствие подготовленных кадров
для преподавания и отвлеченный характер
самого преподавания.
В отношении подготовки кадров в Моск¬
ве отдел народного образования уже в сре¬
дине настоящего учебного года организовал
специальные курсы по астрономии на 40 че¬
ловек, подобрав состав их из преподавателей
десятилетки (преимущественно физиков) по
'рекомендации районов. На этих курсах, рабо¬
тающих один вечер в неделю, прорабатыва¬
ется систематический Kjpc астрономии и
методика астрономии с наблюдениями. В этом
мероприятии принимает участие Московское
отделение Всесоюзного астрономо-геодези-
ческого общества, разработавшеэ программы
для курсов и выделившее лекторов, а в даль¬
нейшем поставившее задачу организовать
консультацию и общегородское методическое
объединение. В Московском областном про¬
граммно-методическом институте происходят
ежемесячные семинары для активистов-физи-
ков области, на которых также системати¬
чески прорабатываются вопросы астрономии
с анализом программы. Аналогичная работа
ведется в Ленинграде. Необходимо, чтобы
подобные мероприятия были организованы
теперь же и в других областных центрах.
Нужно также использовать летние курсы для
преподавателей физики, чтобы поставить на
этих курсах вопросы астрономии и методики
ее преподавания.
Отделы народного образования должны так¬
же позаботиться обеспечением школ в доста¬
точном количестве (а школы и преподавате¬
ли— продвинуть это дело) выпускаемыми Уч¬
педгизом учебниками по астрономии для деся¬
того года, составленными Б. А. Воронцовым,
£5
Вельяминовым и М. Е. Набоковым, а также
учебником по астрономии для педтехникумов.
составленным И. Ф. Полаком. Последний
учебник может быть использован также и в де¬
сятилетке.
Помимо стабильных учебников необходимо
приобрести для каждой школы, где будет
преподаваться астрономия, „Русский астроно¬
мический календарь" Горьковского (бывше¬
го Нижегородского) кружка любителей аст¬
рономии — постоянную часть и, в особенно¬
сти— переменную часть на 1934 г. Только
имея такой календарь, преподаватель может
ориентироваться в тех небесных явлениях,
которые могут быть наблюдаемы в данный
сезон.
/
Заранее следует позаботиться уже самой
школе о некотором, самом необходимом, обо¬
рудовании, чтобы преподавание астрономии
не приобрело с самого начала отвлеченного
характера. Из пособий, которые следует за¬
ранее выписать, мы отметим:
1. Подвижная карта звездного неба, составлен¬
ная проф. Михайловым (издается Учпедгизом).
2. Измерительные приборы, составленные Ка¬
расевым и Поповым, — на двух листах с измери¬
тельными кругами, циферблатом для солнечных
часов и пр.
3. Глобус черный.
4. Теллурий Кандаурова (Культснабторг).
5. Солнечное кольцо Глазенапа.
6. Астрономический атлас Гурева и Баева.
Кроме того. следует пос авить изготовление
у себя на месте ряда пособий, описанных в книге
Баранова „Астрономический городок", Рабочей
книге по астрономии Набокова, „Юном астроио-
ме“ П. И. Попова:
1. Модель небесной сферы из круглодонной
колбы.
2. Солнечные часы.
3. Разработать площадку для наблюдений.
Для индивидуальной подготовки преподаватем
можно указать следующую литературу, помимо
уже отмеченной:
1. Попов П. И., Баев К. Л., Львов Н. Н.,
Астрономия для педвузов и учителей, Учпед
гиз. 1934 г.
2. Полак И. Ф., Астрономия, ГТТИ, 1934 г.
3. К у н и ц к и й Р. В., История развития взгля¬
дов на строение солнечной системы, изд. Госу¬
дарственного антирелигиозного издательства, 1933 г.
4. Б а е в К. Л., Ларионов Д. Ф., П о-
по в П. И., История взглядов на строение и про
исхождение вселенной, Учпедгиз, 1931 г.
5. Г у р ь е в Г. А., Коперниковская ересь.
6. Журнал „Мироведение", где печатаются статьи
доступного для преподавателя характера, вводя¬
щие в круг современных астрономических знаний
Просьба ко всем преподавателям, которым
предстоит преподавать астрономию на деся-1
том году, а также при самом преподавании
обращаться в редакцию для разрешения тех
или других возникающих у них вопросов,
а также сообщать об опыте своей работы.
ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА
БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
В. СНИГИРЕВ (Москва)
Последним отделом в курсе арифметики
пятого года обучения (первого года сред¬
ней школы) является отдел „Буквенные обо-
шачения"; прохождение его отнесено на
конец учебного года; этот раздел курса
арифметики является „мостиком", соединяю¬
щим курс арифметики пятого года с кур¬
сом алгебры шестого.
Целевой установкой изучения данного
раздела является подготовка учащихся к по¬
ниманию буквенной символики и ознакомле¬
ние с простейшими операциями над буквен¬
ными выражениями.
Выделение буквенных выражений в конце
учебного года обычно понимается препода¬
вателями в том смысле, что весь этот мате¬
риал концентрируется и прорабатывается
именно только в это время. При таком по¬
нимании, естественно, возникает вопрос о
недостатке тех отводимых на него 6 часов,
которые указаны в инструктивно-методичес¬
ком материале Наркомпроса „Математика
в средней школе", вып. VIII.
Правильное разрешение этого вопроса
яключается в том, что буквенные выражения
юлжны фигурировать при изучении арифме-
шки в течение всего учебного года; выделе¬
ние же в конец года темы „Буквенные вы¬
ражения" следует рассматривать как момент
юдытоживания приобретенных знаний в этой
чбласти, их расширения и углубления. При
таком подходе к вопросу отводимое на про¬
хождение этого материала время можно
физнать достаточным.
В настоящем учебном году трудно ожидать,
ттобы преподаватели массовой школы провели
та практике указанный выше порядок про-
юждения раздела „Буквенные выражения";
| большинстве случаев этот материал для
тчащихся будет новым, а потому при даль-
кйшем изложении методические указания
№дут даваться с учетом фактического поло¬
жения дела в на тоящем году, причем коли-
отво часов на проработку должно быть уве-
жчено хотя бы до 9 за счет времени, остаю¬
щегося на повторение всего курса.
При разрешении вопроса о проработке
разбираемого отдела следует иметь в виду,
что учащиеся, пройдя к этому времени сис¬
тематический курс арифметики, уже имеют
достаточную подготовку к усвоению этого
материала. С числовыми формулами они дол¬
жны быть ознакомлены еще на четвертом
году обучения в начальной школе при реше¬
нии задач; в течение пятого года буквенные
обозначения вводятся при изучении законов
действий, дробей, в пропорциях; но все же
сам по себе материал этого раздела пред¬
ставляет для учащихся значительные труд¬
ности: навыки абстрактного мышления у них
недостаточны, число в их представлении
тесно связано с цифрой. Отсюда вытекает
необходимость для преподавателя особенно
тщательно продумать вопрос о порядке про¬
работки материала и о методической структуре
уроков.
Прежде всего следует решить вопрос об
объеме и последовательности расположения
материала, указанного в „Программе Нар¬
компроса для средней школы", изд. 1933г.,
принимая во внимание, что на проработку
его отводится 9 учебных часов. (К ним сле¬
дует прибавить, примерно, 4 часа домаш¬
ней работы.)
Из указанного в программе материала, по
нашему мнению, следует опустить вопросы
о коэфициенте и степени. С понятием сте¬
пень учащиеся познакомились в разделе
„Делимость чисел", применяли его при изу¬
чении десятичных дробей; что же касается
понятия „коэфициент", то в курсе пятого
года он не имеет практического приложения,
нет соответствующего материала для его за¬
крепления. Этот вопрос—один из первых
в курсе шестого года обучения; такой пере¬
нос его ни в какой мере не отразится ни
на прохождении данного раздела, ни на
системе построения работы в VI группе.
Остальной материал программы следует рас¬
положить в такой последовательности:
1. Составление буквенных формул для
решения задач в 3—4 действия.
2. Нахождение числового значения бук¬
венных выражений.
57
3. Буквенная запись математических за¬
висимостей.
4. Чтение и запись буквенных выражений;
значение скобок, порядок действий.
5. Обобщающий вывод значения буквен¬
ных обознач -ний.
При таком расположении материала уча¬
щийся начинает проработку с известного,
а именно; с составления формул дая реше¬
ния задачи. Ведь уже в конце четвертого
года обучения в начальной школе рекомен¬
дуется и проводится на практике примене¬
ние приема записи решения задачи в виде
одной формулы. Этот прием, конечно, дол¬
жен применяться и на протяжении всего пя¬
того года. Таким образом, с сущностью
формулы, ее смыслом учащиеся к этому
времени должны быть хорошо ознакомлены.
Равным образом, как уже указано выше,
дети имели дело в течение пятого года
с буквенными обозначениями. Далее совер¬
шенно естественен переход к нахождению
числового значения буквенных выражений.
В процессе этой работы учащиеся лучше осо¬
знают значение .буквенной символики, ее
преимущество перед цифровой, применят
известные им приемы арифметических вы¬
числений.
Дальнейшее расширение и углубление
знаний учащихся в этом направлении проис¬
ходит на более трудном, но все же доста¬
точно конкретном материале—„Буквенная
запись математических зависимостей";в этом
пункте учащиеся исходят опять-таки от из¬
вестных им арифметических понятий (обоз¬
начение суммы, разности, произведения,
частного). В процессе этой работы они не¬
избежно встретятся и со скобками, т. е.,
другими словами, им придется решать вопрос
не только о том, какие действия надо про¬
извести над данными числами, но и опреде¬
лить, в каком порядке эти действия выпол¬
нять. Умея записать формулу, выражающую
зависимости между ее членами, учащийся
должен уметь прочесть и объяснить готовую
формулу. В результате проработки материала
в указанной последовательности учащиеся
с достаточной сознательностью усвоят сущ¬
ность буквенной символики и простейшие
операции с буквенными выражениями.
Перейдем теперь к детальной проработке
намеченного материала.
Тема (. СОСТАВЛЕНИЕ ’БУКВЕННЫХ ФОР¬
МУЛ ДЛЯ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ —2 ЧАСА
Эта тема прорабатывается в течение двух
уроков. На первом устанавливается связь
с пройденным о буквенных выражениях (за-В;
пись буквами законов арифметических дей-Bj
ствий); далее решается одна задача для по-5
лучения формулы и выводится определенней*
понятия „формула"; на этом же уроке можноВ;
будет решить 1—2 задачи, которые дадут
следующем уроке материал для основной темы
l-fij'ypoK
План, а) Повторение буквенной записа
законов арифметических действий; б) реи -
ние задачи по формуле; в) вывод определе¬
ния понятия „формула"; г) решение задач пз
формулам (подготовка к следующему уроку)
Ход урока.—Припомним, какие мы знае^
законы сложения. (Переместительный.) -
В чем он состоит? (От перестановки ел*.-
гаемых величина суммы не меняется.) — При
помним, как мы записывали это с помощьк
букв. Пусть имеем два слагаемых: а к b
Обозначьте формулой переместительный закон
для этого случая (а b — h а). Так лч
повторяются и остальные законы сложенш
и умножения.
До сих пор мы применяли буквы для обо>
значения законов действий, а теперь посмо¬
трим, когда и как еще можно применип
в математике буквы. Но сначала вспомних
как мы решали задачи по формулам. Репин
такую задачу:
„От Москвы до Коломны 120 км. Hi-
встречу друг другу одновременно вышли да
поезда: пассажирский и скорый. Пассажи;
ский проходит в среднем 30 км в час, I
скорый — 50 км в час. Через сколько Ере
мени они встретятся?" (Задача повторяется,
Как будете решать эту задачу? (Сначал
узнаем, сколько километров проходят в ча.
оба поезда.) — А затем? (Через сколько вре
мени они встретятся.) — Как решить первн!
вопрос? (Надо сложить 30 и 50.) Ка
решить второй? (120 разделить на получен
ную сумму.)—Запишите это формулой:
120 \
30-f-50j-
Вы не раз уже употребляли слово’ „фор
мула", но пока не знаете, что же называете
в математике формулой. Вот сейчас и зай
мемся этим. Разберем написанное выражение
Что в нем имеется? (Цифры, обозначающи
данные в задаче числа.) — А еще? (Знаю
действий.)—Значит, в этом выражении имеютс
числа и знаки действий, а можно сказать
в каком порядке нужно производить эти дей
ствия? (Можно.) — Скажите. (Сначала наэ
сложить 30 и 50, а уже затем на эту сумы
разделить 120.)—Значит, записанное выр.
6.S
1кение что показывает? (Какие действия и
я каком порядке надо произвести надданными
числами.) — Вот такое выражение и называется
формулой. Так скажите, какое же выра¬
жение называется формулой? (Дети дают
определение.) Прочтем определение формулы
по стабильному учебнику Попова (стр. 137).
В этой формуле числа обозначены как?
(С помощью цифр.) — Будем называть такую
формулу цифровой.
Теперь возвратимся к решению задач по
формулам. Возьмем задачу (№ 4 по задачнику
Ьерэзанской, гл. VIII): „Двумя насосами нака¬
чивали воду в резервуар. Первый насос
с час накачивал 52 ведра, а другой — 80
ждер в час. Сколько воды накачивают оба
насоса, действуя одновременно, за 5 часов?"
(Задача записывается и повторяется.) — Что
требуется найти в этой задаче? (Сколько
воды накачают оба насоса за 5 часов одно¬
временной работы.)— Расскажите, как будете
решать'эту задачу? (Сначала узнаем, сколько
воды накачивают оба насоса в 1 час; а затем
узнаем, сколько накачают они за 5 часов.)
— Какие действия примените для решения этой
задачи? (Сначала сложим 50 и 80, а затем
полученную сумму помножим на 5.) — Запи¬
шите это очной формулой. \х— (50 -)-80) 5.]
Решим еще задачу: „Два насоса подают
воду в бак. Первый подает в час 70 ведер,
j второй 90 ведер. Работали они 3 часа.
Сколько воды накачали оба насоса?"
— Похожа эта задачана решенную? (Похо¬
жа.)—Чем? (В ней указано, сколько ведер воды
в час дает каждый из двух насосов; спраши¬
вается, сколько ведер дадут эти насосы за
известное число часов.) — А чем они разнятся?
(Даны другие числа.)—Как будете решать
эту задачу? (Дети рассказывают.) — Значит,
эта задача решается так же, как первая,
или по-другому? (Как первая.)—А нельзя
ли формулу первой задачи взять со всеми
ее числами для данной задачи? (Нет.)
— Почему? (Потому что во второй задаче
другие числа.) — Составьте формулу для реше¬
ния этой задачи. (Дети составляют: [х — (70 -(-
-|- 90) -3.]
Можно решить еще одну подобную задачу
и дать на дом решить по формулам 2 — 3
подобных задачи.
2-й~урок
—План, а) Повторение по записям в тетра¬
дях задач, решенных на предыдущем уроке;
б) вывод, что для каждой такой задачи при¬
ходится составить особую цифровую формулу;
в) замена цифр в формуле словами и вывод
пригодности полученной формулы для всех
сходных задач; г) замена слов буквами и
вывод преимущества, буквенной формулы
перед цифровой и словесной; д) упражнения
в составлении буквенных формул для реше¬
ния задач (без предварительной цифровой).
Ход урока.—Сегодня, будем продол¬
жать работу, начатую на предыдущем
уроке. Что мы там делали? (Составляли
формулы для решения задач.) — Расскажите,
какие формулы получились у вас при решении
задач, данных на дом? (Формулы решенных
задач выписываются на доску.) — Повторим
решение этих задач. Что давалось в каждой
из этих задач? (Сколько ведер воды в час
поступало в резервуар через каждую из двух
труб.) —Что отыскивалось в задаче? (Сколько
воды поступало в резервуар через обе трубы
за известное число часов.) — Что мы делали
для решения каждой задачи? (Составляли
формулу.) —Можно ли было формулу одной
задачи применить к каждой из остальных?
(Нет.) — Почему? (Потому что в каждой
задаче были разные числа.) — Теперь запишем
формулу для решения этих задач словами.
Что обозначало первое число в скобке?
(Количество воды, которое давал в час пер¬
вый насос.) — А второе число? (Количество
воды, поступившее в час через вторую
трубу.) — Что обозначало число за скобкой?
(Количество часов работы обоих насосов.) —
Чтобы запись была короче, мы вместо выра¬
жения „Количество воды, которое давал
первый насос" запишем: „П, оизводитель-
ность первого насоса". А что тогда можно
написать вместо выражения: „Количество
воды, поступившей в час через второй на¬
сос"? (Производительность второго насоса.) —
Запишем есю формулу: х = (производитель¬
ность первого насоса -f- производительность
второго насоса)X количество часов их
работы. Значит, чтобы решить подобные
задачи, что надо сделать? (Сложить произво¬
дительность двух насосов в час и получен¬
ную сумму помножить на количество часов
их работы.) — Последнюю формулу можно
применить к каждой из решенных или похожих
на них задач? (Можно.) — Почему? (Потому
что вместо слов мы можем из каждой задачи
взять данные в ней числа.)—А не дога¬
даетесь ли, как можно короче написать
последнюю формулу?1 (Вместо слов поста¬
вить буквы.) — Как? (Обозначим производи¬
* Можно рассчитывать, что учащиеся, имея
уже некоторый навык в буквенных обозначениях
сумеют ответить из данный1 ьопрос. Если же пре¬
подаватель не надеется на класс, то сам заменяет
слова буквами, после чего переходит к выводам.
59
тельность первого насоса буквой а, произ¬
водительность второго — буквой Ь, количе¬
ство часов их работы — буквой с.) —Запишите
формулы. [х=(а + Ь)•£.]— Можно эту буквен¬
ную формулу применить для решения каждой
из данных задач? (Можно.) — Как? (Вместо
букв в формуле поставить данные числа и
произвести указанные действия.) — Значит,
для решения сходных задач какая формула
всегда пригодна: та ли, в которой числа
обозначаются буквами, или та, где они обоз¬
начены цифрами? (Та, в которой числа
обозначены буквами.) —Да, или иначе говорят
„буквенная формула11. Так, значит, буквен¬
ную формулу можно применять для решения
каких задач? (Для решения сходных между
собою задач.)
Для закрепления проработанного материала
па дом даются задачи № 5, 7 и 8 того же
отдела задачника Березанской.
Тема И. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛОВОГО ЗНАЧЕ¬
НИЯ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ — 2 часа 1
План, а) Составление буквенной формулы
для решения задачи; б) замена букв цифрами
и вычисление полученной формулы; в) под¬
становка других значений букв в данную
формулу и вычисление полученных формул;
г) вывод, что от замены букв цифрами изме¬
няется полученное от вычисления число —
ответ; д) упражнения в подстановке на гото¬
вых формулах.
Ход урока. — Припомните, чем мы зани¬
мались на прошлом уроке. (Составляли бук¬
венные формулы для решения задач.) — Со¬
ставьте буквенную формулу для такой задачи:
„В течение дня кооператив продал а кило¬
граммов сахару по п рублей за килограмм
и b килограммов крупы по т рублей за
килограмм. Сколько было выручено за сахар
и крупу?“ (Учащиеся самостоятельно соста¬
вляют формулу: (x = na~\-mb.) Что в эхой
формуле обозначают п, а, т, Ы (Учащиеся
говорят.) — Запишем: пусть п = 2,5 руб.;
а — 240 кг\ т — 0,28 руб.; b = 150кг. Заме¬
ните в записанной формуле буквы их значе¬
нием. Запишите, какая получится формула?
(х — 2,5 240 -(- 0,28-150.) — Сделайте вычи¬
сления, запишите, какое получится число.
(х — 642 руб.) — Расскажите, что мы делали
с данной формулой? (Заменили буквы их
1 В этой теме и остальных вторые уроки начи¬
наются с повторения материала первого урока
а затем учащиеся решают самостоятельно задачи
закрепления сообщенного (под наблюдением пре¬
подавателя).
60
значением, затем произвели указанные дей¬
ствия.)—Слушайте: это называется н а х ождс
нием числового значения бук вен
ного выражения. Значит, как иайтм
числовое значение буквенного выражение
(Надо в это выражение вместо букв пост,
вить их значение, затем произвести указан¬
ные в формуле действия.)
— Найдите числовое значение этой же фор¬
мулы, если допустим, что п — 2,8 руб..
а = 160 кг; т = 0,25 руб. и Ь — 80 лгг. (Уча
щиеся делают вычисления.) Какое чися
получилось? (468 руб.) — А в первом случае?
(642 руб.)—Значит, числовое значение буквен¬
ной формулы всегда одинаково или неодина¬
ково? (Неодинаково.)— Отчего это зависим
(От значения букв, находящихся в формуле,
В целях закрепления даются для самостоя
тельного решения из того же задачника Берс
занской задачи № 9, 12, гл. VIII
Тема III. БУКВЕННАЯ ЗАПИСЬ МАТЕМАТИ¬
ЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ —2 часа
План: а) Повторение названия компо¬
нентов арифметических действий и их взаимо¬
зависимости; б) обозначение суммы двух -
нескольких чисел с помощью цифр; в) обозна¬
чение той же суммы с помощью букв; г) бук¬
венное обозначение остальных арифмети¬
ческих действий; д) буквенное обозначен'"'
совокупности нескольких действий и вывод,
с какого действия следует начинать обозна
чения.
Ход урока,—На этом уроке мы бу
дем продолжать работу с формулами,
буду давать вам задачи, а вы обозначьте их
решение формулами. Но сначала повторим
как называются числа при сложении, вычита¬
нии, умножении и делении. (Учащиеся повто¬
ряют названия компонентов четырех арифме¬
тических действий.) — Слушайте: надо обоз¬
начить сумму двух чисел—15 и 24. Запи¬
шите. (Ученики выполняют.)-—Запишите раз¬
ность чисел 45 и 12; произведение чисел 16
и 18; частное от деления 65 и 18. (Дети
записывают.) — Теперь обозначьте сумму чи¬
сел а и Ь; разность с и d; произведение аи i:
частное b и с. (Дети записывают и читают.,'
— Теперь решим пример потруднее.
Даны числа а, b и с. Надо обозначить
формулой сумму числа а с произведением
чисел b и с. Разберемся. Какие действия
надо обозначить? (Сложение и умножение.) —
С какого действия начнем обозначение?
(С умножения.) — Почему? (Потому что,
прежде чем складывать, надо знать, что
нужно сложить.) — Обозначьте произведение
? „ каких действий следует записывать фор¬
мулы? (С умножения или деления.)—А какие
(ействия ставить в конце? (Сложение и
вычитание.)
Для закрепления решаются примеры из
идачника Березанской № 22, 25, 27, 33,
Д, и 42, гл. VIII.
Тема IV. ЧТЕНИЕ И ЗАПИСЬ БУКВЕН¬
НЫХ ВЫРАЖЕНИЙ СО СКОБКАМИ—2 часа
План, а) Чтение учащимися записанной
чителем сложной цифровой, а затем буквен-
юй формулы без скобок; б) включение в эту
формулу скобок и чтение полученной фор¬
мулы; в) сравнение этих двух формул и
юъяснение причины разночтения; г) подста-
ювка в полученные формулы, сравнение
езультата и объяснение причины этого;
i) упражнения в чтении и объяснении буквен-
ых формул со скобками; г) вывод значения
юбок в формуле.
Ход урока.—До сих пор мы с вами
1зучали формулы, учились записывать их.
I теперь поучимся читать готовые фор¬
мулы. Прочтите такую формулу: (a-\-b-d).
Сумма числа а с произведением чисел
>и d.) — Теперь прочтите такую формулу:
a-{-b)-d. (Произведение суммы чисел а
ib на число d.)—Теперь сравним эти две
формулы; какие даны числа: одинаковые или
разные? (Одинаковые.) —Какие действия ука¬
заны в этих формулах: одинаковые или раз¬
ные? (Одинаковые.)—А читаются они одина¬
ково* или по-разному? (По-разному.) — По¬
чему? (Потому что во второй формуле есть
скобки.)—Запишем порядок действий, указан¬
ный в первой формуле, пронумеровав эти
действия: 1) умножение; 2) сложение.
Сделаем то же со второй формулой: 1) сложе¬
ние; 2) умножение. Значит, эти формулы
отличаются одна от другой чем? (Порядком
действий.) — Во второй формуле что изменило
порядок действий? (Скобки.)
После решения нескольких примеров дела¬
ется вывод, что скобки ставятся для обозна¬
чения порядка действий.
Для самостоятельного решения даются по
задачнику Березанской задачи № 51-, 58 и
59, гл. VIII.
Тема V. ОБОБЩАЮЩИЙ ВЫВОД ЗНАЧЕ¬
НИЯ БУКВЕННОГО ОБОЗНАЧЕНИЯ —1 час
План, а) Решение 2—3 задач с парал¬
лельной записью цифровой и буквенной
формул; вывод преимущества буквенных фор¬
мул; б) рассматриваются уже имеющиеся
примеры, и на этом основании делается тот
же вывод.
Данный урок можно построить двояко:
1) как указано в плане, т. е. решить одну
и ту же задачу с применением цифровой и
буквенной формул; затем сопоставить полу¬
ченные формулы и после решения 2—3 не¬
сложных задач сделать окончательный вывод,
что буквенная формула приложима ко всем
одинаковым по содержанию задачам; 2) ис¬
пользовать уже проработанный выше материал
и на основании разбора записанных примеров
делается тот же вывод, что указан в п. 1
данной темы.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
П. ЛАРИЧЕВ (Москва)
.ОДНО УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ НЕИЗВЕ¬
СТНЫМИ
Изучение уравнений первой степени с дву-
m неизвестными удобно начать с решения
лдачи, приводящей к одному уравнению с
®умя неизвестными. Учащимся предлагается,
ипример, определить стороны прямоуголь-
? I шка, периметр которого равен 24 см. Обоз¬
начив длину прямоугольника через лг, а ши¬
шу через у, учащиеся получают уравнение:
lx-J— 2_у = 24, или х —f—_у =12.
Решения одного уравнения с двумя неиз¬
вестными учащиеся находят, давая одному
из неизвестных произвольные значения и
вычисляя по данному уравнению соответст¬
вующие значения другого неизвестного.
Дается запись получаемых решений в форме
таблицы:
X
5
4
У
7
■8
СЛ
В результате работы учащиеся устанавли¬
вают, что одно уравнение с двумя неизвест¬
ными имеет множество решений.
На примерах решения нескольких задач
следует установить, что иногда не все по¬
лученные решения одного уравнения с двумя
неизвестными дают ответ на вопрос задачи.
Например, в задаче: „Определить стороны
прямоугольника, периметр которого равен
24 см“, ответ на вопрос задачи дают только
положительные значения х и у. В задаче:
„Кассиру надо выдать 60 руб.; у него име¬
ются трех- и пятирублевые дензнаки. Сколько
он должен дать трех- и пятирублевых бума¬
жек?", для ответа на вопрос задачи не годны
ни дробные, ни отрицательные значения неиз¬
вестных.
Вывод о неопределенности решения одного
уравнения с двумя неизвестными можно иллю¬
стрировать графически, но только при на¬
личии для этого достаточного времени. При
этом учителю следует иметь в виду, что в
данном случае было бы нецелесообразно
усложнять вопрос о построении графика вве¬
дением лишних здесь терминов и понятий
о координатах точки, о системе координат
и т.- д.
Для уравнения х-\-у — 5, выписать таб¬
лицу нескольких решений данного уравнения,
например:
X
1
2
3
0
У
4
3
2
5
извольное значение лг, в полученной точи*
проводят перпендикуляр к горизонтально»,
оси и продолжают его до пересечения с вы
черченной прямой, а потом измеряют длину
этого перпендикуляра по данному масштабу
Полученное число принимают за у. Путя
подстановки в уравнение проверяют, 4Xi
данный л: и полученный у являются решение»
уравнения.
Для более быстрого отсчета значений \
предлагается построить перпендикуляр к гор»'
зонтальной прямой, через точку начала отечь
та, и на этом перпендикуляре нанести чш
ловые отметки в принятом масштабе. Даета
название осей: ось X и ось Y. Повторяет
эта работа не является обязательной.
Можно предложить учащимся отметить по¬
лученные решения уравнения следующим об¬
разом. Построить горизонтально числовую
прямую, отметить на ней какое-либо значе¬
ние лг, например 2 (чертеж надо выполнять
на клетчатой бумаге). Из полученной точки
восставить перпендикуляр и на нем лучше
всего в том же масштабе отметить соот¬
ветствующее значение у, причем усло¬
виться положительные значения v откладывать
вверх от горизонтальной линии, а отрица¬
тельные—вниз. Отметив таким путем несколь¬
ко решений данного уравнения, учащиеся по¬
лучают ряд вертикальных линий, величина
которых выражает величину у при соответ¬
ствующем лг (в принятом масштабе).
Приложив ребро линейки к концам пер¬
пендикуляров, учащиеся видят, что все эти
концы лежат на одной прямой линии. На¬
чертив эту прямую и продолжив ее в обе
сторбны, учащиеся выполняют следующие
упражнения: отмечают на числовой оси про-
62
II. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ДВУХ УРАВНЕ
НИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.
Решая задачи, приводящие к одному ypai
нению с двумя неизвестными, учащиеся уж1
убедились, что определенного ответа на воп¬
рос задачи при этом дать нельзя. Напомни
задачу: „Определить стороны прямоугольник
периметр которого 24 смв, и установив,™
эта задача имеет множество решений, пр<
подаватель выясняет, что для получения опрн
деленного ответа на вопрос задачи надо ввесп
дополнительное условие, например, что длин
прямоугольника на 2 см больше его ширина
Это условие учащиеся выражают урави*
нием: x—y-j- 2. Таким образом для решенм
задачи имеются две зависимости, два ypsv
нения:
2лг —j— 2_v = 24
х=у-f 2
Внимание учащихся обращается на то, что
в обоих уравнениях неизвестные обозначав:
числовые значения одних и тех же величин
что в данном случае имеется система двух
уравнений с двумя неизвестными. Далее уча
щиеся составляют таблицу решений для 1-го
и 2-го уравнений и из них берут ту парх »н
значений неизвестных, которая одинакег.
в обеих таблицах. Для данной системы эш
будут х=7; у = 5. Путем подстановки уча
щиеся убеждаются в правильности найден¬
ного решения.
После решения нескольких примеров в вы¬
водах фиксируется (в учебнике Киселем
этот вывод не отмечен), что:
1) система двух уравнений с двумя ней;
вестными дает вполне определенные значены
для каждого неизвестного;
2) решить систему двух уравнений с двум
неизвестными значит, найти те значения ие
: «известных, при которых удовлетворяется
I каждое из уравнений системы.
" Во избежание неправильных представлений
следовало бы на конкретном примере здесь
или позже, на седьмом году обучения)
обратить внимание учащихся на то, что не
всякая пара уравнений имеет определенное
жшение. Рассматривая, например, систему:
2лг -{- 3_у = 16
4х + 6у = 20
[ащиеся убеждаются (умножением первого
уравнения на 2), что данные уравнения про-
гиворечивы;
4х-\- 6у — 32,
4х-\ 6) = 20
чего одновременно быть не может ни при
каких значениях лги_у. Точно так же можно
юказать учащимся, что система двух урав-
сений, имеющая определенное решение,
шлжна содержать два различных уравнения,
■ ve вытекающих одно из другого как след¬
ствие; так, уравнения 6лг-|-4у = 8 и 3jc —J—
2_у=4легко приводятся к одному уравнению,
потому не дают определенного решения.
Очень тщательно должен быть проработан
учащимися вопрос о том, что прежде чем
итерировать с уравнением, содержащим два
«известных, его надо привести к „нормаль-
ому" виду. Надо проделать несколько упра-
нений „приведения уравнений к нормально-
-■у виду", следя, как и при преобразовании од-
юго уравнения с одним неизвестным, за после-
ювательностью операций: выполнения указан-
!ых действий, раскрытия скобок, освобож-
вния от знаменателей, переноса неизвестных
I одну часть уравнения, известных—в другую,
фиведения подобных членов, сокращения
вех членов. Полезно подвести учащихся к
шиси в „нормальном" виде уравнения с
двумя неизвестными на буквах ах-\- by— с.
Соответствующие параграфы 92 и 93 о
неопределенности одного уравнения с двумя
* неизвестными и о нормальном виде уравне¬
ния первой степени с двумя неизвестными
наются учащимся для прочтения по учебнику
оЩиселева.
I. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ
УРАВНЕНИЙ
I. Изучение приемов решения системы
пух уравнений можно начать с любого спо-
пба.
Мы предлагаем первым способом давать
способ подстановки, так как он ярко
выясняет сущность процесса решения системы
уравнений и имеет громадное значение во
всем дальнейшем курсе математики.
Дается для решения система, например
х -(- Зу = 21
5лг -t- 4у = 72
Учащиеся прежде всего устанавливают,
что в данных уравнениях неизвестные лг и_у
обозначают те числа, которые удовлетворяют
обоим уравнениям одновременно (предполагая,
что такая пара чисел существует). Отсюда,
например, значение лг, удовлетворяющее пер¬
вому уравнению, должно удовлетворять и
второму уравнению. Ставится вопрос, нельзя
ли из первого уравнения выразить значение
х. Выполнив перенесение члена (-J- Зу) в
правую часть, учащиеся получают: х= 21 —
3у.
Следует подчеркнуть, что полученное зна¬
чение лг, выражено через у, т. е. числовая
величина х должна быть одинакова с чис¬
ловой величиной выражения 21 — Зу.
Найденное значение л: должно удовлетво¬
рять и второму уравнению. Подставив зна¬
чение лг во второе уравнение, учащиеся
получают 5 (21 — Зу) -}- 4у = 72. Полученное
уравнение есть уравнение первой степени с
одним неизвестным и дает для у значение,
равное 3. Значение х вычисляется из вы¬
ражения: лг = 21 — Зу.
На нескольких примерах учащиеся само¬
стоятельно выполняют подробное решение
системы уравнений, объясняя смысл и зна¬
чение каждого преобразования. В результате
устанавливается правило решения системы
способом подстановки, причем это правило
удобнее сформулировать в виде инструкции;
например, чтобы решить систему двух урав¬
нений с двумя неизвестными способом под¬
становки, надо: 1) найти выражение одного
неизвестного через другое из любого из дан¬
ных уравнений: 2) полученное значение
неизвестного подставить в другое уравнение
и т. д.
Надо добиться твердого навыка в решении
системы уравнений, подбирая упражнения
последовательно возрастающей трудности, т. е.
давать сперва уравнения с целыми коэфи-
циентами, потом с дробными; потом урав¬
нения, содержащие скобки, и т. д.
Примерно, последовательность может быть та¬
кая:
г1)л + у=11 2) х-\-2у— 18
»л—у= 5 л+3у=38
3)л+5у = 35 4)4л + 5у=55
Зл+2у;=27 3 л — 2у= 1
5) 15 л + 25 у— 14 — 12 л + 20 у 4- 13
40 л + 32 у— 57 = 30 л + 17у + 28
6) 10(3-л—5у) = 9(л+у) —644
5 (7 л — 2 у) = 8"(л —у + 5) + 271
62
4 3
8) 2,7 x + 2,6 у = 8,8
0,9 у+ 2,2 у = 4,4
9)
x-j- у X — у
I 3
X-j-■ у x — V
3 x —
2 y-
Пример записи:
Проверка
I
x~y _
15 + 3 15 — 3
II
2
x-j- v
3
x — у
4
3 2 6
x— у x—y-_-
2 3
3 (x +y) — 2 {x —y) — 30
9 — 4 = 5
5 = 5
15 + 3 15 — 3
3 x -f- 3 у — 2 x 2 у — 30
л + 5y=30
, 4 3 12
л+У“ x—y^_ 4-
3 4
4 (x + y) — 3 (л: —у) = 36
4л+4у— 3лг + 3у = 36
лг+7у = 3б
3 4
6 — 3 = 3
3=3
II
I x + 5 у = 30
II лг + 7у=36
x ~ 30 — 5 у
64
30 — 5y + 7y = 36
2y = 6
y = 3
x = 30 —5-3= 15
зг=15; >=3
i
При решении примеров следует обращать
особенное внимание учащихся на уменье за¬
менять уравнения, содержащие дроби, скобки
и т. п., равносильными им уравнениями нор¬
мального вида и на аккуратность и последо¬
вательность записи всего хода решения
системы двух уравнений. Надо требовать от
учащихся, примерно, следующего расположе¬
ния записей:
1. Данные, уравнения системы выписывать
одно под другим.
2. Далее последовательно выполнять пре¬
образования и приведение к нормальному
виду сперва первого уравнения системы, затем
второго.
3. Полученные уравнения нормального вида
выписать одно под другим и выполнить тре¬
буемое решение.
4. Корни системы, т. е. ответ, четко вы¬
писать.
5. Выполнить проверку правильности ре¬
шения.
II. Прорабатывая решение системы дву1
уравнений способом подстановки, полезно
хотя и не обязательно, познакомить учащихся
и с другим приемом исключения одного и'
неизвестных, именно — со способом сравне¬
ния неизвестных, выяснив сущность ere
на ряде примеров.
Пусть, например, дана система:
6 х — 4_у = 5
8лг — Зу = 2
Определив как из первого, так и из втс
рого уравнения лг, в виде выражения, содер-
5 + 4 у 2 + 3 у
жащего у: х=—и х=—;-, уча
Ь о
щиеся, зная, что в системе уравнений зна
чение х должно быть одним и тем же
в обоих уравнениях, сравнивают полученные
выражения, записывая уравнение:
5 + 4 j/ 2 + Зу
(I
6
Это уравнение с одним неизвестным. Ре;
шая его, находим у; 4 (5 -}- 4 у) = 3 (2 -J- Зу);
20 -\~ 16у — 6 -}- 9_у; 1бу—9у = 6— 20:
Ту — —14; у = —2.
Подставляя найденное значение у в одно
из выражений, определяющее х, например
5 + 4у 2 + Зу
или х-
получаем зна¬
чение для х:
5 + (-
-2)4
— 3
: 6 ;
Для самоконтроля полезно подставлять най¬
денное значение у в оба выражения для
определения лг.
III. Повторив путем беседы вопрос о реше¬
нии системы двух уравнений с двумя неиз¬
вестными способом подстановки и способом
сравнения неизвестных, учитель еще рад
подчеркивает, что решение системы уравнений
приводится к решению одного уравнении
с одним неизвестным, равносильного данным.
Учащимся предлагается для решения, на¬
пример, следующая система:
3 лг-{-2у = 19
5лг—2у = 21
Преподаватель, обратив внимание учащихся
на то обстоятельство, что в обоих уравне-
I:
:и
нпях системы коэфициенты при у равнопро-
тивопслсжны, приводит их к мысли, что
п данном случае можно получить одно урав¬
нение с одним неизвестным почленным сло¬
жением левых и правых частей обоих уравне¬
ний.
Выполнив слежение, учащиеся получают
этим приемом одно уравнение с одним не¬
известным 8лг=40, откуда х =5. Значение
вычисляется путем подстановки найденного
значения х в любое из данных уравнений.
Устанавливается, что решение данной си¬
стемы двух уравнений с двумя неизвестными
ны опять привели к решению одного уравнения
с одним неизвестным, но выполнили это дру¬
гим способом, называемым способом
сложе н и я.
Затем можно дать учащимся решение систем
равнений способом алгебраического сложения
s случаях, требующих уравнивания коэфици-
нтов, например:
1) л:-)-5j=35 2) 3л:— 5_у= 13
Злг-}-2_у=27 2 jc —j— 7 у= 81
Сделав несколько аналогичных примеров
решение системы уравнений способом
ложения, учащиеся переходят к примерам,
де для исключения неизвестного надо вы-
юлиить почленное вычитание частей уравне-
>ий; при этом выясняется, что оба приема по
уществу сводятся к алгебраическому сложе¬
но.
Решение системы уравнений этим способом
юстаточно полно изложено в учебнике Ки-
елева, ч. I, § 96.
В результате проработки учащиеся должны
1кать процесс решения системы двух уравне-
01Й с двумя неизвестными (сведение к реше-
1ню одного уравнения с одним неизвестным,
явносильного данным), должны уметь решать
I проверять решение системы двух уравнений
двумя неизвестными с числовыми коэфици-
ятами двумя способами.
Для контрольной работы (1 час) можно
редложить учащимся решить одну систему
равнений, данную в нормальном виде, спо-
обом подстановки, другую — способом ал-
сбраического сложения. Затем следует дать
ретий пример, в котором уравнения системы
шы не в нормальном виде, и предоставить
чащимся решить ее любым способом.
IV. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1ЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТ¬
НЫМИ
Способы решения системы двух уравнений
двумя неизвестными распространяются и на
ктему уравнений с тремя неизвестными,
дащиеся должны усвоить, что решение си-
Математика и физика JS"? 1
стемы уравнений с несколькими неизвестными
сводится в конечном счете к решению одного
уравнения с одним неизвестным путем по¬
следовательного исключения остальных неиз¬
вестных.
На конкретных примерах следует устано¬
вить, что для определения значений трех
неизвестных необходимо иметь систему трех
уравнений. При подборе материала для упраж¬
нений следует ограничиться несложными
уравнениями с числовыми коэфи-
циентами. Следует остановиться на особых
случаях вида:
5 х—у = 9
3х-\- z— 10
у 4 z = 17
Учителю нужно постоянно обращать вни¬
мание учащихся на последовательность, чет¬
кость и аккуратность записи решения данных
системы, добиваясь, чтобы учащиеся всегда
доводили решение системы до конца, получая
значения всех входящих в систему неизвест¬
ных.
Точно так же следует требовать проверки
правильности решения системы путем под¬
становки полученных корней в данные урав¬
нения.
Приведем пример записи решения системы
уравнений с тремя неизвестными.
Решение способом сложения.
I. 8* + 3j>— 5 z =—1
И. 2х— 5 у + 9z= 19
III. 5 * + 2 у/ + 3 гг = 18
I. 8лг+3_у— bz = —1 13
II. 5* + 2y> + 3z:=18 \5
I. 24x + 9y— 15z = — 3
II. 25* + 10y/ + 15 гг = + 90
49* + I9_y = 87
I. 2* —5.y + 9z=19 f — 1
II. 5* + 2_y + 3.z=18 \3
I. —2* + 5_y— 9 z~-—19
II. 15 * + 6j> + 9z = 54
13* + 11 y>=35
1.-49* + 19j> = 87 J 11
II. 13 * + 11 у/ = 35 \ —19
I. 539 * + 209у/= 957
II. —247*— 209y = — 665
292 * = 292
* = 1
13 + 11 у — 35
11 _y = 22
У= 2
8 + 6 — 5z = — 1
5 z= 15
z—3
Ответ: x=l',y = 2; z = 3
65
Проверка:
8 + 6 — 15 = — 1
— 1 = —1
V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ДЗУлЛЯ И ГРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Следует обратить внимание учащихся на
то, что способ решения задач методом урав¬
нений им знаком, что при решении задач
путем введения двух неизвестных и состав¬
ления системы уравнений нужно выбрать
и обозначить два неизвестных по условию
задачи.
Решая задачи методом составления системы
уравнений, учащиеся снова практикуются
в умении анализировать условие задачи,
правильно записывать данные, располагая за¬
пись в виде наглядной схемы, находить зави¬
симости между данными и искомыми и запи¬
сывать эти зависимости уравнениями.
В начале работы полезно выполнить в классе
решение одной и той же несложной задачи
путем составления одного уравнения с одним
неизвестным и путем составления системы
уравнений и с двумя неизвестными. Сопоста¬
вляя оба приема решения задачи, учащиеся
убеждаются, что нередко легче составить два
уравнения с двумя неизвестными, чем одно
уравнение с одним неизвестным.
Примером таких задач может быть следую¬
щая: „Заплачено за 75 кг сахара на 9 руб.
более, чем за 5 кг чая, а 50 кг сахара стоят
на 18 руб. дешевле, чем 6 кг чая. Что стоит
1 кг чая и 1 кг сахара?“
Как и при решении задачи составлением
одного уравнения, надо проводить определен¬
ную последовательность и при решении задачи
составлением двух уравнений (а затем и
с большим числом неизвестных), а именно-
учащийся должен:
1) внимательно прочитать (или выслушать)
условие задачи;
2) выделить данные и искомые;
3) обозначить неизвестные искомые вели
чины буквами х и у;
4) выразить с помощью х и у данные
задачи (и записать);
5) определить равенства или отношении
выражений, содержащих неизвестные (оба или
одно), друг с другом или с числами, данными
в задаче, и таким способом составить два
уравнения;
6) решить полученную систему уравнений;
7) проверить решение;
8) проверить, соответствуют ли корни
уравнений условию задачи;
9) ответить на дополнительные вопросы
задачи, если они имеются.
Особое внимание при проработке вопроо
о решении задач путем составления системы
уравнений обращается на истолкование смиг->
полученных корней уравнений. Следует веет
требовать, чтобы учащиеся проверили, соответ¬
ствует ли полученный корень условию задачи,
особенно в случаях получения отрицательной'
и дробного значения корня, и не ограничи¬
вались проверкой составленного уравнении
ПЛОЩАДИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР
Е. ЗАГОСКИНА (Москва)
В начале работы по данной теме следует
путем повторения и упражнений внести чет¬
кость в имеющиеся у учащихся знания по
иопросу о квадратных мерах, установить
единичное отношение квадратных мер и до¬
биться создания отчетливого представления
об аре и гектаре; учащиеся должны понимать
разницу между непосредственным и косвенным
измерением; следует требовать четкости в по¬
становке наименований в линейных и квадрат¬
ных единицах и правильного употребле¬
ния см", м2 и т. д.
Учащиеся на пятом году обучения уже
пользовались формулами для вычисления пло-
66
щадей; на шестом году основным моменте^
является вывод формул, их дока:
тельство. Учитель должен обратить
это внимание учащихся и требовать от нк
полного понимания доказательств и умен-'
самостоятельно проводить их.
Формула для вычисления площади пря»с!
угольника в стабильном учебнике даетУ
первой; выводится формула для двух случае г.|
1) когда высота и основание — детые чи:
и 2) когда они выражены дробными числам!
Затем в учебнике рассматривается площалАч
квадрата как прямоугольника с равным
сторонами; выводится формула для площам
тель — ; это поможет в дальнейшем избежать
лбычной ошибки при вычислении площади
треугольника — опускания множителя — .
Возможно проработать материал и иным
порядком, а именно: путем дополнения до
прямоугольника вывести формулы для вычис¬
ления площади сначала прямоугольного, а за¬
тем косоугольного треугольника; формулу
площади параллелограма вывести путем раз¬
бивки его на треугольники. В целях преду¬
преждения часто встречающейся ошибки —
лчисление площади параллелограма путем
(умножения стороны на сторону—надое по¬
мощью чертежа пояснить учащимся, что па-
раллелограм не равновелик прямоугольнику,
имеющему те же стороны. Формула площади
рапеции выводится путем разбивки ее диа-
.оиалью на два треугольника. Многоугольник
азбивается на треугольники, прямоугольники
трапеции. Ромб разбивается диагональю
ia два равнобедренных треугольника или
(вумя диагоналями на четыре прямоугольных
•реугольника; возможно также проведением
срез вершины ромба прямых, параллельных
го диагоналям, дополнить его до прямо-
гольника, площадь которого вдвое больше
омба, и таким образом вывести формулу
ля вычисления его площади (черт. 1). Выра-
:ение для площади квадрата следует дать и
ререз его диагональ. Необходимо, конечно,
казать учащимся, что площадь и ромба и
йадрата они могут вычислять по формуле
иощади параллелограма.
Попутно с выводом формул площадей
тавится вопрос об отношении площадей
рямоугольников, параллелограмов и тре-
гольников. Необходимо каждый раз не только
есретически разбирать вопрос, но и иллю-
грпровать его на чертежах примерами с число-
,1ми данными.
Новое для учащихся свойство равновели¬
ки фигур должно быть сопоставлено
равенством фигур. Следует поставить во-
рос: всегда ли две равные фигуры равно¬
лики, и обратно? Для учащихся ясно, что
дуры, совпадающие при наложении, имеют
ввные площади; надо познакомить их с фи¬
фами равновеликими, но не равными. Это
окно показать хотя бы на следующем при¬
мере: если квадрат разбить диагональю на
два прямоугольных треугольника и сложить
эти треугольники катетами так, чтобы полу¬
чился равнобедренный треугольник, то пло¬
щадь этого треугольника и площадь квадрата
будут получены от сложения равных площадей;
следовательно, эти фигуры будут равновелики,
но не равны.
А' В'
Черт. 1
Черт. 2
Равенство площадей, получающихся при
вычитании равных площадей, можно показать
так. Взять на двух параллельных прямых
(черт. 2) отрезки АВ~ A1B-l=CD =
и построить параллелограмы ABCD и
И, П-! CjDj ; тогда трапеции AA1DD-l и
ВВЛССЛ будут иметь равные площади; но
площадь ААЛ DDX = площади BA'D'C -}-
+ площадь ABCD, а площадь ВВЛСС\ = пло¬
щади BA!D'C-\- площадь А1 В'CD’; таким об¬
разом, плошади параллелограмов ABCD и
-djfijCjDj равны, так как получаются как
разности равных площадей.
При проработке данной темы может быть
успешно использован „Универсальный набор
по планиметрии” П. А. Карасева, дающий
возможность с помощью набора несложных
фигур иллюстрировать выводы формул пло¬
щадей и равновеликость фигур. В брошюре
П. А. Карасева „Учебно-наглядные посо¬
бия по математике и методика работы с ними
в средней школе”, изданной Наркомпросом
РСФСР в 1933 г., описаны необходимые
детали площадей. Набор состоит из элементов,
показанных на чертеже 3, окрашенных в раз¬
личные цвета, и может быть изготовлен из
картона или фанеры в школьной мастерской.
-50- —II?—-
-100-
- 50—
□
Черт. 3
Модели равносоставленных фигур могут
быть изготовлены учащимися в порядке
кружковой или домашней работы. Учащихся
легко заинтересовать изготовлением старии-
67
ной игры, так называемой „китайской голово¬
ломки", которая явится для них хорошим
пособием при усвоении понятия о равносо-
ставленных фигурах. В „Новом задачнике
по геометрии“ Перельмана учитель может
найти образец „китайской головоломки". Она
состоит из квадратной дощечки, разрезанной
на семь отдельных частей (черт. 4), из кото¬
рых, употребляя каждый раз все семь частей,
учащиеся могут составить прямоугольник,
параллелограм или прямоугольный треуголь¬
ник.
При изучении вопроса о равчовеликости
треугольников следует использовать движение:
оставляя основание неподвижным, заставить
вершину скользить по прямой, параллельно ос¬
нованию. Здесь можно показать самодельно из¬
готовленную модель, указанную на чертеже 5.
В доску вбиваются гвозди по двум параллель¬
ным направлениям, и на них натягивается
резинка, иллюстрирующая, при натягивании
ее на различные гвозди, равновеликие тре¬
угольники.
Все задачи на превращение фигур в равно¬
великие нм фигуры, разобранные в стабильном
учебнике по планиметрии ГурвицаиГанг-
нуса, надо проработать с учащимися. После
объяснения учителя и проработки материала
по книге каждый учащийся должен выполнить
построения на своем чертеже, — желательно
на чертеже, отличном от приведенного в кни¬
ге и с другими обозначениями.
При изучении вопроса о площадях, не¬
обходимо указать учащимся функциональную
зависимость величины площади параллето-
грама от величины основания и высоты. Вы¬
веденные зависимости надо проверять на чи¬
словых примерах и приучать учащихся сле¬
дить за изменением результата в связи с
изменением дачных. Важно ставить задачи о
нахождении неизвестных элементов фигуры
по данной ее площади и другим данным
элементам. Для квадрата можно поставить
задачу о нахождении его стороны по дайной
площади или подбором чисел или с по¬
мощью таблицы квадратов чисел; здесь
могут быть использованы имеющиеся в про¬
даже стенные таблицы квадратов чисел.
Для определения того или иного элемента
€8
фигуры по данной площади не следует д.:
вать готовых формул; учащиеся должны, зн.ч
зависимость между данными и искомыми ВС'
личинами, составлять уравнение и находит)
неизвестное решением его.
Следует поставить вопрос об изменен!
площади фигуры при постоянном ее пег:)
метре и переменной величине сторон и углса
Здесь можно дать, например, такую задачу
какой из изопериметрических (имеющих ра»
ные периметры) параллелограмов имеет нал
большую площадь? Путем рассмотрения шаз
нирного параллелограма, у которого меняете)
угол, или из соответствующего черте»
выясняется, что наибольшую площадь имея
прямоугольник, так как при общем основана
он имеет наибольшую высоту. На отдельна
примерах с числовыми данными выясняем
пробами, какая из фигур, имеющих одинамм
вый периметр (например квадрат, прямоугоя
ник), имеет наибольшую площадь, и обрат»*
какая из равновеликих фигур имеет наибо»
ший периметр. Можно дать задачу с кон-'
кретным содержанием, например: при данни
периметре пола, какая комната будет имея
большую площадь—прямоугольная или кваь
ратная? Если, например, периметр 20 л, ''
площадь соответствующего квадрата 25 лгч. м.
а площади всех возможных прямоугольники)
меньше; они могут равняться 9, 16, 21
24 кв. м.
Из всех тем шестого года обучения в да*
ной теме наиболее легко связать теор»»
с доступным для данного возраста жизнеини
и производственным материалом. Здесь уч*
тель может особенно ясно показать учащимся
что „чистая математика имеет своим про
метом пространственные формы и колка?
ственные соотношения действительного мира*
что „как и прочие науки, математика во
никла из потребностей человека: и
измерения земли..." (Энгельс, Анти-Д^
ринг, стр. 33).
Полезно сообщить учащимся некотори)
исторические сведения о том, как потреб
ность в измерении площадей возникла
Египте из необходимости ежегодно промэ
водить размежевание земельных участки
границы которых уничтожались вследств1
разлива Нила (об этом в 111 в. до нашей эр)
пишет Геродот, греческий историк); с др>
гой стороны — вычисление площадей был
необходимо египтянам для измерения вм
стимости житниц (об этой задаче говорите
в папирусе Ринда — древнейшем математп
ческом памятнике, находящемся в Британско
музее). В дргвнем Риме (в I в. до нашей эрь
поэт Овидий писал: „Землю мерщик дл:
зн
ю
ЦС
ис
Ж1
ф
зе
I
^ I ным шестом измерял, осторожный". Римлянам,
совершавшим большие военные походы по
новым землям, приходилось производить зем¬
лемерные работы, обмеряя завоеванные земли,
устанавливая границы и т. п. Исторические
данные учитель может найти в любой книге
по истории математики.
Для задач может быть использован, при¬
мерно, следующий материал: вычисление пло¬
щади земельного участка и посевной площади;
расчет урожайности на единицу площади;
определение площади по плану и карте
(Рыбкин, № 74); расчеты площадей сече¬
ния деталей (там же, № 12, 13); площадь
сечения выемки окопа (№ 72); сечение-реки
(№ 73); ремонтно-строительные сметы; сани¬
тарные нормы световой площади и пр. Кроме
стабильного задачника учитель может в своей
(работе использовать и другие: Брекенрид-
лз: „Прикладная математика в заводской
практике", Перельмана: „Новый задачник
ро геометрии".
В связи с проработкой данной темы уча-
циеся могут во внеурочное время провести
'бществеино-полезную работу по вычисле¬
ние площадей и кубатуры в школьных по¬
мещениях, световой площади классов и т. п.
I геодезических работах также будут при-
шены сведения, полученные при прохож-
еиии данной темы.
При изучении вопросов геометрии теоре-
ический материал большей частью прора¬
батывается на уроках путем бесед, но по
еме „Площади прямолинейных фигур" воз-
ожно часть материала дать учащимся для
‘«состоятельной проработки; например, когда
иведена формула для площади параллело-
рама, можно предложить учащимся вывести
амостоятельно формулы для площади тре-
гольника и трапеции. Метод работы в зна-
'‘йстельной степени будет зависеть от степени
подготовленности группы, от умения дока-
^Лнвать теоремы.
^ Упражнения для закрепления полученных
наний и большинство задач прорабатыва¬
лся учащимися самостоятельно в классе и
ома. Но прежде чем давать учащимся для са-
остоятельного решения задачи, учитель дол-
:ен примерные задачи решить со своей
М РУпп°й> с тем! чтобы ученики видели обра-
т:ц и усвоили последовательность рассуж¬
гъ
IU
I-
в,
YJ
t
«j
. г
не
J-*.
А
Ь*
0
ь
II
>м
ть
5-
го
“Я
1
I
6-»
IV!
и
ц
дн
3«
>bJ
ИЙ
г/
дений и записи. При решении задач сле¬
дует обязательно доводить до конца все
вычисления, пользуясь правилами округле¬
ния результатов действий. Вычисления, встре¬
чающиеся в задачах, будут служить хорошим
повторительным упражнением. в действиях
над обыкновенными и десятичными дробями.
В качестве домашней работы следует также
давать и проработку по книге теоретического
материала.
В результате проработки темы учащиеся
должны:
1) уметь вывести формулы для вычисле¬
ния площадей прямолинейных фигур, твердо
знать эти формулы, точно формулировать их
словами и пра1вильно читать их;
2) уметь разбить многоугольник на эле¬
ментарные фигуры для вычисления его пло¬
щади;
3) уметь применять формулы к решению
задач, взятых из книги и возникающих в
производственной и жизненной практике;
4) уметь установить зависимость между
отдельными величинами, входящими в фор¬
мулу, и определить из формулы любую вели¬
чину, принятую за неизвестное;
5) понять значение термина „равновели¬
кий", четко знать разницу между равными
и равновеликими фигурами и уметь преоб¬
разовать фигуру в равновеликую ей.
В конце темы проводится письменная кон¬
трольная работа, на которую отводится 1 час.
Работа должна состоять из 3 — 4 вопросов
и содержать, примерно, такие задачи:
1. Расстояние между противоположными
сторонами параллелограма равно 10 см и 8 см.
Площадь его равна 48 кв. см. Определить
стороны параллелограма.
2. Четырехскатная парусиновая палатка
имеет скаты: две трапеции с основаниями
9 м и 7,5 м и высотою 2,5 м и два треу¬
гольника с основаниями 4 м и тою же вы¬
сотою. Сколько метров парусины, шириной
в 0,75 м, требуется на такую палатку? На
швы положить 3°/0.
3. а) Как изменится площадь прямоуголь¬
ника, если одна из его сторон будет увели¬
чена в 4 раза?
6) Как изменится площадь квадрата, если
его сторона увеличится в 4 раза?
69
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1
П. ЛАРИЧЕВ (Москва)
Полная теория квадратных уравнений про¬
рабатывается учащимися на восьмом году
обучения. В курсе седьмого года учащиеся
должны приобрести навык в решении квад¬
ратных уравнений с числовыми коэфициен-
тами и уметь решать задачи методом состав¬
ления квадратного уравнения. Изучение дан¬
ной темы даст, кроме того, возможность повто¬
рить и углубить весь пройденный до сих пор
материал по курсу алгебры (алгебраические
дроби, тождественные преобразования, из¬
влечение корня и т. д). Кроме того эта
тема дает превосходный случай увязки
алгебры с вопросами геометрии по' теме
„Метрические соотношения в прямоугольном
треугольнике и в круге".
В методическом отношении проработка
темы связана с некоторыми трудностями,
вытекающими из существа изучаемого мате¬
риала. К числу таких трудных вопросов
следует отнести, например, вопрос о двух
корнях квадратного уравнения, вывод фор¬
мул решения квадратного уравнения и т. д.
Проработку темы можно начать с изуче¬
ния неполного квадратного уравнения .вида
ах2 -f- с = 0. Такой порядок расположения
материала дает возможность на легких в
смысле техники решения примерах квадратных
уравнений, сводящихся к знакомому учащим¬
ся вопросу извлечения квадратного корня из
чисел, выяснить понятие об уравнениях вто¬
рой степени, фиксировать внимание учащихся
на основной особенности при решении дан¬
ных уравнений — наличии двух корней.
Можно начать работу с решения задачи,
приводящей к полному квадратному урав¬
нению, выяснить понятие об уравнениях
второй степени и, поставив перед уча¬
щимися вопрос о приемах решения этих урав¬
нений, перейти к рассмотрению неполных
квадратных уравнений и их решению.
Весьма важно, чтобы первая задача, пред¬
ложенная учащимся для составления квад¬
ратного уравнения, имела в ответе оба корня,
удовлетворяющие условию задачи.
Это особенно подчеркивает необходимость
при решении квадратного уравнения всегда
находить оба корня. В практике школы из¬
вестно, что учащиеся склонны находить только
один корень (положительное число).
ПримерЬм соответствующей задачи может
служить следующая: „АВ — полотно желез¬
ной дороги. Расстояние СК от совхоза до
70
станции К железной дороги равно 6 км, при
этом СК J_ АВ. Найти на железной дороге
пункт D, отстоящий от совхоза на 10 км,
и указать, на каком расстоянии от станции К
этот пункт D находится" (черт. 1).
С
Выполнив чертеж, учащиеся составляюг
уравнение: х2-\- 6Z— 102.
Путем вопросов преподаватель обращает
внимание учащихся на различие данного
уравнения от тех уравнений, которые они
решали до сих пор. Устанавливается поня¬
тие об уравнениях второй степени, илн квад¬
ратных уравнениях.
Приступая к решению полученного урав¬
нения, преподаватель указывает, что и в
данном случае уравнение можно упростить
путем перенесения известного члена из левой
части в правую часть равенства. Получив урав¬
нение л:2 = 64, учащиеся устанавливают, что
для определения значения х надо извлечь квад¬
ратный корень из 64, т. е. jc = i/64. Обыч¬
но учащиеся быстро получают ответ: -Х = 8.
Следует путем вопросов добиться получения
второго корня: х — —8. Путем проверки
подстановкой найденных корней в уравне¬
нии: х2 -j- 62 = 10- учащиеся убеждаются в
правильности решения данного уравнения и
устанавливают, что данное квадратное урав¬
нение имеет два корня: х — -f- 8 и х — —8. i
Обращаясь к задаче, учащиеся на чертеже
выясняют, что оба корня уравнения дают от¬
вет на вопрос задачи. i
В дальнейшем учащимся предлагается за ■
дача, приводящая к составлению тоже не- .
полного квадратного уравнения данного вида, ‘
но для ответа на вопрос этой задачи приго¬
ден лишь один корень уравнения, например- i
„Площадь прямоугольника, одна сторона
которого в 2 раза длиннее другой, равна
18 см2. Найти стороны прямоугольника". j
Проработав аналогичным путем еще не
сколько задач, учащиеся должны усвоить
вывод, что квадратное уравнение имеет два
решения, и что для ответа на вопрос задачи
следует испытать пригодность каждого корня.
При решении данных квадратных уравне¬
ний мсгут встретиться случаи, приводящие
к мнимым корням, например: х2 —— 4. До¬
статочно в таком случае указать учащимся,
что они не знают такого числа, ни целого
ни дробного, ни положительного, ни отри¬
цательного, квадрат которого был бы равен
(—4), и что рассматриваемое уравнение они
решить не умеют.
Вообще же следует избегать давать уча¬
щимся подобные уравнения.
Весьма уместно проработать с учащимися
вопрос о решении квадратного уравнения
вида ах2-\- с= О и другим приемом, а имен¬
но: разложением левой части на произведе¬
ние линейных множителей, потому что изу¬
чение этого приема дает учащимся подготовку
для решения квадратных уравнений друго¬
го вида: ах2 Ьх = 0.
Несмотря на кажущуюся простоту этого при¬
ема, преподавателю следует иметь в виду,
что учащиеся здесь в первый раз встречаются
с двумя новыми для них трудностями: 1) пере¬
несение всех членов уравнения в левую часть;
2) прием решения квадратного уравнения
разложением на множители и приравнивание
к нулю каждого множителя. Поэтому следует
путем тщательной проработки этих вопросов
аа ряде примеров добиться полного понима¬
ния сущности приема, не ограничиваясь ме-
щническим выполнением преобразований.
Следует обратить внимание учащихся, что
разложение левой части уравнения вида
их2 А-с—0 на произведение двух линейных
Множителей они могут выполнить при усло-
shii, что свободный член уравнения с число
«трицательчое, например х2 — 49=0.
После достаточного количества упражнений
на решение квадратных уравнений вида
их2 -+ с=0 способом разложения левой ча-
гти на произведение линейных множителей
дот прием применяется и к решению урав-
1ения вида ах1 + Ьх — 0.
Изучение нового вила квадратных уравне¬
ний можно начать с решения соответствую¬
щей задачи. Например: „Площать трапеции
21 см2. Большее основание ее равно 6 см, а
сумма высоты и меньшего основания равна
[ см. Найти меньшее основание трапеции".
Обозначив искомое основание через х, уча¬
щиеся составляют уравнение:
о1 (6 + х) (7 — х)
2
1ЛИ
х2 — х = 0.
Применяя прием разложения левой части
уравнения на произведение двух множителей,
учащиеся последовательно получают:
х (х— 1) = 0; Xj — 0, х— 1=0; л:, — 1.
Подставляя найденные значения х в дан¬
ное уравнение, учащиеся убеждаются, что
уравнение имеет два решения: х, = 0 и
х2 = 1. Для ответа на вопрос задачи приго¬
ден лишь один корень х=\ см. Рассматри¬
вая уравнение л2— л:=0, преподаватель
отмечает, что это уравнение тоже квадрат¬
ное, так как в нем имеется неизвестное во
второй степени.
При решении неполных квадратных урав¬
нений вида ах2 -|- Ьх — 0 следует предо¬
стеречь учащихся от попыток сокращать
члены уравнения на х.
Необходимо на примерах выяснить, что
сокращение членов уравнения вида ox2-j-
-j-&xr=0 на х дает уравнение, не равно¬
сильное данному, так как полученное урав¬
нение имеет только один корень, нет корня
х = 0.
РЕШЕНИЕ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ
УРАВНЕНИЙ
При изучении неполных квадратных урав¬
нений учащиеся должны были преодолеть
основную трудность, резко отличающую дан¬
ные уравнения от уравнений первой сте¬
пени— это наличие двух решений, двух
корней квадратного уравнения. Проработка
материала данной подтемы ставит перед
учащимися новые трудности: вывод самой
формулы и решение квадратных уравнений
по формуле.
Преподавателю надо особо тщательно под¬
ходить к проработке данного вопроса, ста¬
раться, чтобы учащиеся сознательно выпол¬
няли каждый отдельный этап работы и
закрепляли усвоение материала соответствую¬
щими упражнениями.
В методической и учебной литературе
имеются различные способы проработки во¬
проса о выводе формулы решения полного
квадратного уравнения. Следует отметить,
что большинство авторов учебных пособий
по математике выводит сперва формулу ре¬
шения уравнений вида а2 4- рх + <7 = 0 (Да¬
выдов, Киселев, Лебединцев, Беркут, Гуре¬
вич, Гангнус, Берг, Березанская), и только
немногие авторы выводят сначала общую
формулу решения уравнений вида:
ах2 -}- bx -j- с = 0
(например Безикович, Борель-Штеккель).
Несомненно, что для учащихся VII групп
вывод формулы следует начинать с урав¬
нений вида х2рх-\-q = 0, что в ме¬
тодическом отношении даст ряд преиму¬
ществ в смысле последовательности нара¬
стания трудностей и совпадает с приемом,
изложенным в стабильном учебнике Киселева.
Приемы вывода формулы решения уравнений
данного вида, имеющие наибольшее распро¬
странение в практике преподавания и в
учебной литературе, сводятся к двум основ¬
ным способам.
Первый способ, встречающийся чаще, со¬
стоит в том, что левая часть уравнения
дополняется до квадрата двучлена, и реше¬
ние уравнения приводится к извлечению
квадратного корня из обеих частей уравне¬
ния. Второй прием основан на разложении
левой части уравнения х2 -}- рх -+- q = 0 на
два линейных множителя путем применения
формулы разности квадратов двух количеств.
В методическом отношении следует отме¬
тить, что нет необходимости ограничиваться
в практике обучения одним из этих спосо¬
бов: полезно ознакомить учащихся с приме¬
нением обоих приемов, указав на конкретных
примерах преимущества каждого и выбирая
в отдельных случаях* тот прием, который
быстрее приводит к цели.
Проработку вопроса о решении уравнений
вида х2 -f~ рх -+- д = 0 можно начать с за¬
дачи, приводящей к составлению полного
квадратного уравнения данного вида, напри¬
мер: „Длина перпендикуляра, опущенного
из вершины прямого угла на гипотенузу,
равна 6 см. Определить отрезки гипотенузы,
если известно, что один из них на 5 см
больше другого".
Составив уравнение, учащиеся получают:
х (к -f-5) = 62 или, после преобразований,
х2-\-5х — 36 = 0. Выяснив, что полученное
уравнение содержит х во второй степени,
преподаватель обращает внимание на коли¬
чество членов уравнения и, сравнивая его
с известными учащимся до сих пор другими
квадратными уравнениями, устанавливает опре¬
деление нормального вида полного квадрат¬
ного уравнения, как уравнения, которое
после всех упрощений и переноса всех чле¬
нов в левую часть содержит член, имеющий
неизвестное в квадрате, член с неизвестным
в первой степени и свободный член.
Преподаватель сообщает учащимся запись
общего видз полного квадратного уравнения
ах2Ьх-\-с — 0, названия членов уравне¬
ния и коэфициентов при неизвестном. Не¬
обходимо при этом, чтобы учащиеся безо¬
шибочно умели назвать значения а, b и с
72
в любом квадратном уравнении с их знаками.
Далее, взяв для сравнения, например, урав¬
нения:
2л:2 —-7.\г —|— 6 = 0 и л:2 — 10с-)-21 = 0,
преподаватель обращает внимание учащихся
на коэфициенты при неизвестных во второй
степени в этих уравнениях. Установив, что
во втором уравнении коэфициент а = 1
преподаватель ставит перед учащимися во¬
прос, что надо сделать, чтобы в уравнении
2л:2 — 7л:-[-6 =0 коэфициент при х2 стат
равным единице.
Выполнив деление всех членов уравнении
на 2, учащиеся получают уравнение:
х3— ^л; + 3 = 0 ,
в котором а — 1. Преподаватель указывает,
что вначале учащиеся будут учиться решать
квадратные уравнения при коэфициенте а =
— 1. В выводе фиксируется, что всякое
полное квадратное уравнение можно преобра¬
зовать так, что коэфициент при неизвестном
в квадрате будет равен единице, что такое
полное квадратное уравнение называется при¬
веденным, что его запись:
I
с
!+-* + -=0,
1 а 'а
или
x2-\-px-\-q = Q,
где р и q могут быть и целыми, и дробными чи¬
слами, и положительными, и отрицательными.
Решение полных квадратных уравнений
вида л:2 -f- рх q = 0 можно начать с реше¬
ния, например, уравнения (х Н-3)2 = 49. При¬
меняя прием решения неполного квадратною
уравнения путем извлечения квадратного
корня из обеих частей уравнения, учащиеся
получают: л:-|-3-=--7, или jc —)— 3 = 7 и
л:-|-3 = — 7, откуда: хг — 4; х2 =—Ю.
Правильность решения проверяется подста¬
новкой полученных корней в данное урав¬
нение. Раскрыв скобки в уравнении (л: +
-]-3)2 = 49 и приведя его к нормальному
виду, учащиеся получают уравнение х'2-\-
-]- 6л: — 40 = 0. Сравнивая уравнения (хЧг
-}-3)2 = 49 и л:2 + 6л:—40=0, учащиеся
устанавливают, что здесь они имеют две
формы одного и того же уравнения и что
таким образом, корни первого уравнения
х, =4 и х2 = —10 должны быть корнями 11
второго уравнения.
Проверка подстановкой найденных кор¬
ней в уравнение л:2 4" 6л: — 40 = 0 подтвер¬
ждает правильность вывода. Внимание уча¬
щихся обращается на то, что из имеющихся
форм полного квадратного уравнения форма
(х -|- З)2 = 49 дает возможность найти ре-
Imeiine уравнении известным уже приемом
извлечения квадратного корня из обеих ча¬
стей его, тогда как то же уравнение в форме
х2 6л: — 40 — 0 они решить пока не умеют.
В выводах фиксируется, что, если левая
часть квадратного уравнения является пол¬
ным квадратом двучлена, то решение его
югко выполняется путем извлечения квад¬
ратного корня из обеих частей уравнения.
Для самостоятельной работы преподаватель
предлагает учащимся решить несколько урав¬
нений, в которых левая часть представляет
собой или квадрат суммы или квадрат раз¬
ности двух количеств, например: (лг —5)3 =
= 64; (х — 1)2 = 25 и т. д. В дальнейших
упражнениях учащиеся рассматривают, на¬
пример, следующие уравнения, в которых
гевая часть легко приводится к виду, ука¬
занному выше:
1) Уравнение jcts —|— блг —|— 9 = 36, кото¬
рое учащиеся приводят к виду: (х З)2 = 36.
2) Уравнения, где левая часть не пред¬
ставляет полного квадрата двучлена, напри-
иер: х2 -|- 10л: = 24. Путем дополнения левой
нети до полного квадрата суммы учащиеся
юлучают уравнение jct2 —J— 1 Олег —|— 25 = 24 —
25 или (л:-f-5)2 = 49, т. е. данное урав-
ение путем преобразований приведено к зна-
омому виду.
3) Левая часть содержит квадрат неизвест-
юго и средний член с четным коэфициентом
знаком минус, например хi — 8л: = 20.
4) Примеры, где для преобразования ле-
юй части уравнения в полный кватрат дву-
лена предварительно надо перенести извест¬
ий член в правую часть, например урав-
,ения вида л:2 -J- Юл: — 24 = 20; л:2 — 6*4~
-8 = 0; л:2 —Зл: —40 = 0; х2-\-х — 2 =
= 0 и т. д.
Упражнения последнего вида требуют осо-
ого внимания учащихся вследствие неко-
>рой трудности преобразования левой части
полный квадрат двучлена. Основная труд-
исть здесь в выражении среднего члена
виде удвоенного произведения членов
скомого двучлена. На ряде упражнений
|реподаватель выясняет тождественность, на-
5
юимер, следующих выражений: 5л: = 2-л:—;
о 3 о 1
: 2 • х ■ -j ; х — 2 - х ■ y и т.
д.
Приводим примерную запись решения урав¬
нения:
л? + 7л:+ 12 = 0 Х* + 7х=— 12
',+2-'4 + (т) = (т)!-12
(‘ЧИт)’-»
49 — 48
= -Y+Y=-3
Ха
На классной доске должна сохраниться за¬
пись решения нескольких уравнений дтя
использования в дальнейшем этой записи при
выводе общей формулы.
В результате работы учащиеся должны
усвоить, что решение кватратных уравнений
вида л2 рх -\-q = 0 можно выполнить
приведением левой части уравнения к пол¬
ному квадрату двучлена путем перенесения
свободного члена в первую часть и прибав¬
ления к обеим частям уравнения одного и
того же количества, равного квадрату поло¬
вины коэфициента при неизвестном в пер¬
вой степени. Как правило, этого вывода
заучивать не следует.
ВЫВОД ФОРМУЛЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТ¬
НОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА X*-\-px + q = 0
Тот способ, которым учащиеся в преды¬
дущих уравнениях решали квадратные урав¬
нения вида л:2 -\-рх -)- q = 0, должен дать
им хорошую подготовку для понимания вы¬
вода общей формулы решения квадратного
уравнения данного вида. Кроме того уча¬
щиеся могут теперь сознательно усвоить, что,
решая уравнения по формуле, они опускают
все промежуточные преобразования, выпол¬
няемые ими до сих пор при решении квад¬
ратных уравнений без формулы, и что,
таким образом, формула дает возможность
найти решения быстрее и с меньшей за¬
тратой труда и времени. После решения
числовых уравнений преподаватель предла¬
гает учащимся записать полное квадратное
уравнение приведенного вида на буквах
л:2 рх -f- q = 0 и, руководя работой уча¬
щегося у доски, получает вывод формулы:
л2 ■+■ рх + q = 0
X*-j- рх = — q
-73
f+yTfr^
*■=--f-j/' (-f)-»
Преподаватель сам дает словесное выраже¬
ние формулы, лучше всего придавая ему форму
инструкции, например: чтобы решить квад¬
ратное уравнение вида х2px-\-q = 0,
надо и т. д.
Применимость выведенной формулы про¬
веряется прежде всего на примерах урав¬
нений, которые учащиеся ранее решили без
формулы и запись решений которых еще
сохранилась на доске.
При выполнении упражнений на решение
квадратных уравнений данного вида по фор¬
муле можно рекомендовать учащимся в начале
работы записывать обозначения „р“ и „д“
под соответствующими коэфициентами урав¬
нения, строго наблюдая за правильностью
чтения знаков коэфициентов. Нет необходи¬
мости требовать немедленного знания формулы
наизусть, так как при механическом выучива¬
нии учащиеся часто искажают смысл формулы,
что в дальнейшем влечет за собою целый
ряд грубейших ошибок при решении уравне¬
ний. Лучше, чтобы каждый учащийся имел
под рукой для справок четко записанную на
отдельном листочке формулу решения квад¬
ратного уравнения. Точно так же необходимо
в классе иметь запись формулы в виде стенной
таблицы.
Сознательное и прочное усвоение формулы
должно явиться результатом выполнения доста¬
точного количества упражнений. При подборе
этих упражнений преподаватель постепенно
усложняет материал, достигая этим углубле¬
ния навыков учащихся в выполнении пре¬
образований (освобождение уравнений от
знаменателей, раскрытие скобок, применение
формул сокращенного умножения и т. д.).
Надо еще раз напомнить учащимся, что
всякое полное квадратное уравнение можно
привести к виду х2-\-рх-\- q — 0, а, следо¬
вательно, и решить по данной формуле. Пре¬
подавателю следует предостеречь учащихся
от небрежной записи решения, требуя с са¬
мого начала работы последовательной записи
хода всех вычислений и выясняя на примерах
неправильности, встречающиеся в практике
учащихся; так, учащиеся часто пишут:
пропуская член — . Часто учащиеся оши-Я
баются в знаке свободного члена под корнем.1
Следует указать, что удобнее сразу менян
знак при q на обратный; например в записм
решения уравнения: х2 —6л:—27 = 0, не слс
дует писать х = 3 Ч- \/ З2 — (— 27); удобна
писать * = 3+ 1/3*-)-27.
Вследствие небрежности записи часто ись>
жается смысл формулы, приводя к нелепостя!
вида:
ИЛИ
При извлечении корня учащиеся допускают
ошибку вида:
*=/Т+з=4+3
и т. д. Преподаватель должен требовать,
чтобы в целях самоконтроля учащиеся всегда
проверяли правильность решения уравнения
путем подстановки найденных корней в дан¬
ное уравнение.
В качестве контрольной работы по данному
разделу темы можно предложить учащимся
выполнить решение уравнений, примерно,
следующей трудности: решить уравнение
путем преобразования левой части в квадрат
двучлена:
1) х2 — 5л: — 6 = 0.
Решить уравнения по формуле:
2) а:2 —j— 0,6аг= 18,4,
3) 4х2 — 28л:-4-49 = 0,
4) (2х + 1) —3(л: — 2)2 = 25,
5> y+x~h:=i-
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ВИДА ах2-j-bx-j-с ~ 0.
В предыдущем упражнении учащиеся ре¬
шали уравнения вида ах2-\-Ьх-\-с=0, при¬
водя их к виду х--\-рх-\- д—0. Взяв
соответствующие примеры, преподаватель
указывает, что часто деление всех членов
уравнения на коэфициент при х2 дает дроб¬
ные числа для коэфициентов ъри и „<7“, чем
усложняется вычисление корней уравнения
по известной учащимся формуле.
Ставится вопрос, нельзя ли квадратное
уравнение вида ах2Ьх 4-c — Q решить,
каждый раз не приводя его к виду х2-\-
4-рх + д = О.чДли разрешения этого вопроса
преподаватель предлагает учащимся выпол¬
нить параллельно решение двух уравнений
данного вида, из них одчо— числовыми коэфи-
циентами, а другое—уравнение в общем виде.
На кл 1Ссной доске записываются, например,
следующие уравнения:
2jc2 —(— 5а:—7 = 0 и ax2-\-bx -f-c = 0.
Последовательно ведется запись с подроб¬
ным объяснением каждого преобразования:
*-+4*-!-=о,*'+4*+-с=.о.
Далее, применяя ^[известную'формулу, уча¬
щиеся получают:
X=s~2.2-V (т) +i
—
_ 5 - /25 + 56
4 — У 16
56
5 l/2.> -
У -+■ *
4 — 4
• 5± ]/‘25 + 56
4
А'о -
4
-5 — 9
^=4=1
4
2а У \2а) а
— 2д~ F 4..2 а
64 — 4ас
4(j2
(/ 62 — 4oc
2j
— 6 zfc ]/62 — 4 j
— 6-4- ]/б2 — 4ac
'' 2o~"
— 6 — l/ 62 — 4ac
Л* = L
Сравнивая шаг за шагом решения обоих
уравнений, преподаватель устанавливает суча¬
щимися, что вычисление корней квадратного
уравнения вида ах2 4-bx-f- с—0 после всех
преобразований приводится к вычислению
выражения
— Ь± |/б2 — 4 ас ~
Х 2а ’
которое и называется формулой решения
общего вида полного квадратного уравнения.
Следует подробно остановиться на выяснении
значения каждого члена этой формулы.
В группах с сильным составом учащихся
преподаватель может проработать вывод фор¬
мулы решения уравнений вида ах2 Ьх 4-
_J-r = 0 и другим путем, не прибегая к фор¬
муле приведенного уравнения, а непосредст¬
венно приводя левую часть к полному квад¬
рату ДЕучлена вида (2ах -\- Ь)2 = Ь2— 4аг
умножением всех членов уравнения на 4с:
4c2j^ 4- 4abx -f- 4ас = 0
4д2х2 -(- 4abx = — 4ас
4cfixfi -f- 4д6лг + 62 = 62 — 4ас
{2ах + 6)2 = 62 — 4 ас
2 ах + 6 = :£ \/ 6'2 — 4ас
2ах = — bztz ]/62 — 4ас
— Ь± )/62 — 4 ас
Х Та
Замечания, сделанные нами при проработке
вопроса о формуле решения кватратного
уравнения вида х2 -\-px-\-q — 0 следует
иметь преподавателю в виду и при проработке
данной формулы. Особо обратить внимание
следует на знак при учетверенном произве¬
дении (4ас), требуя определения правильного
знака по знаку свободного члена и не доп\-
ская под радикалом записи вида
±/5* —[4-3(—2)1.
Целесообразно здесь дать словесное выра¬
жение формулы не в той сжатой и трудной
для учащихся формулировке, как это принято
в учебниках, а в более полном изложении,
которое служило бы для учащихся руковод¬
ством к действию, являлось бы своего рода
краткой инструкцией для выполнения требу¬
емого решения, например:
чтобы решить квадратное уравнение вида
ах2 -+- Ьх -|- с = 0, надо:
1) взять с обратным знаком коэфициент
при неизвестном в первой степени;
75
2) прибавить или отнять квадратный корень
из квадрата этого коэфициента без учетве¬
ренного произведения коэфициента при выс¬
шем члене на свободный член;
3) полученный результат разделить на
удвоенный коэфициент при высшем члене.
Следует приучить учащихся для правиль¬
ности записи решения по формуле сразу же
после обозначения х проводить черту дроби,
после этого писать знаменатель дроби (2а)
и потом уже выражение числителя.
Следует указать, что если коэфициент при
неизвестном в первой степени число нечетное,
то более удобно вычислять корни уравнения
по формуле общего вида, даже в случае,
когда коэфициент при х2 равен 1.
В конце работы по данному разделу курса
преподавателю следует повторить с учащимися
и систематизировать изученный материал,
Рассматривая эту таблицу, учащиеся отме¬
чают, что во всех данных уравнениях произве¬
дение корней равно свободному члену, а сумма
корней равна коэфициенту при неизвестном
в первой степени, взятому с обратным знаком.
Знание этого свойства корней даст учащимся
возможность выполнить проверку правильно¬
сти решения приведенного квадратного урав¬
нения более быстрым приемом, чем это дела¬
лось раньше при проверке подстановкой.
Преподавателю нет необходимости стре¬
миться чрезмерно углублять и расширять изу¬
чение данного вопроса, имея в виду, что
вывод свойства корней квадратного уравнения
в общем виде учащиеся изучают в курсе вось¬
мого года обучения, где прорабатывается пол¬
ностью теория квадратных уравнений.
Можно, конечно, удовлетворить любозна¬
тельность учащихся и указать им, что сумма
корней уравнения вида ах2 -J- Ьх -|- с = О
будет выражаться формулой:
I ъ
*i+*2 = —
а произведение корней: х-^хг—~-
обратив внимание учащихся на обзор всех I i
видов рассмотренных выше квадратных урав- I
нений—неполные квадратные уравнения вида / ,
ах2-^-с=0 и ах2 -}- Ьх = 0; полные — вида | '
х2 -|- рх -(- q = 0 и вида ах2-\~ bx + с = 0. I •
На нескольких примерах сЛедует показать, 1
что, пользуясь выведенными формулами ре- .
шения полных квадратных уравнений, можно| j
решать и неполные квадратные уравнения,
принимая во внимание нулевые значении <
коэфициентов. В уравнении ах2 -}- Ьх == О
свободный член с = 0; в уравнении ах2-\-
-)-с=0 коэфициент Ь= 0. В заключение i
следует на ряде примеров познакомить уча¬
щихся и со свойствами корней приведенного! .
квадратного уравнения. <
Учащимся предлагается составить, например,
следующую таблицу (причем им даются
только уравнения):
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПУТЕМ СОСТАВЛЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вопрос о решении задач методом состав¬
ления уравнений был проработан учащимися
в теме „Уравнения первой степени”. Препо¬
давателю следует на примерах решения ряда
задач показать учащимся, что составление
квадратного уравнения по условиям задачи
не требует применения каких-либо особых
приемов, кроме тех, с которыми они озна-;
комились при составлении уравнений первой |
степени. \
Важным моментом в решении задач с по-'
мощью квадратного уравнения является тре¬
бование исследования пригодности обоих ;:
полученных корней уравнения для ответа на -
вопрос задачи. Необходимо тщательно рас¬
смотреть и выяснить на конкретных задачах
следующие случаи:
1) Только один корень квадратного уравне¬
ния пригоден для ответа на вопрос задачи. ■
Пример: „За выгрузку товара рабочим ■ ‘
предполагали заплатить 40 руб.; так как
рабочих пришло на 3 человека больше наме-
Уравнения
xi
лга
xi + Х2
лг, лг2
*
лг-'— 8 лг -f-12 = 0
2
6
8
12
— 8
12
лг2+13лг + 36=0
— 4
— 9
— 13
36
13
36
л?-+- 10лг — 24 = 0
+ 2
— 12
— 10
— 24
10
— 24
л2— Злг —40 = 0
8
— 5
+ з
— 40
— 3
— 40
х2— 4лг = 0
0
4
4
0
— 4
0
л? —25 = 0
5
— 5
0
— 25
0
— 25
1
76
fценного числа, то каждый из них получил
на 3 руб. меньше. Сколько было рабочих?”
Обозначив число рабочих через х и решив
40 . „ 40
уравнение 1- о = ,, учащиеся полу-
X X — о
чают: = 8 и х2= — 5.
Для ответа на вопрос задачи пригоден
лишь корень х = 8, так как число рабочих
должно быть положительным.
2) Для ответа на вопрос задачи пригодны
оба корня квадратного уравнения. При ме-р:
„Контора совхоза С находится на расстоя¬
нии 4 км от железнодорожного пути, причем
ближайшая к совхозу точка А железной до¬
роги находится на расстоянии 10 км от же¬
лезнодорожной станции К. На каком рас¬
стоянии от станции К нужно построить на
железной дороге платформу В, чтобы рас¬
стояние до нее от совхоза было равно 5 км?"
Составив и решив уравнение (10 — х)2 =
— 5г — 42, учащиеся получат ответ —■ искомое
расстояние х равно или 7 км или 13 км. Оба
I корня уравнения удовлетворяют условию
задачи.
Учителю надо иметь в виду, что учащиеся
часто склонны считать, что отрицательный
корень уравнения всегда непригоден для
ответа на вопрос задачи. Путем исследования
решения соответственно подобранных задач
преподавателю необходимо выяснить непра¬
вильность такого понимания. Пример такой
задачи был уже рассмотрен нами выше.
Вторым существенным вопросом проработ¬
ки данного раздела курса является вопрос
о подборе задач, предлагаемых учащимся для
решения.
Преподавателю следует обеспечить подбор
ладан в первую очередь со стороны после¬
довательно нарастающей трудности их решения
по задачнику Шапошникова и Вальцева, ч. 1.
Желательно подобрать несколько текстовых
задач в связи с производительным трудом
учащихся и другими дисциплинами.
Наиболее распространенным видом задач
являются задачи с содержанием, взятым из
области социально-бытовой и экономической.
Следует отметить, что в большинстве слу¬
чаев эти задачи не удовлетворяют требова¬
ниям, предъявляемым к жизненно-реальным
задачам, вследствие искусственности построе¬
ния условий и вопроса задачи. Как пример
более удачной задачи можно привести за¬
дачу следующего содержания: „Из квадратного
куска жести требуется сделать открытую ко¬
робку высотой один сантиметр и объемом в
25 (м, вырезав в каждом углу жести по оди¬
наковому квадрату и склепав края. Каких
размеров должен быть кусок жести?” (Г а н г-
н у с, Рабочая книга для рабфаков, ч. 2,
стр. 220). Решение задач данного вида
должно иметь место в работе учащихся;
при удачном их подборе они могут быть
интересны и несомненно служат хорошим
средством развития сообразительности.
Богатый материал на составление квадрат¬
ных уравнений дают задачи с содержанием
из области геометрии. Сюда же относятся
прежде всего задачи, связанные с вычисле¬
нием элементов фигур на основании метри¬
ческих соотношений в треугольнике и круге
(средняя пропорциональная, теорема Пифа¬
гора, длина касательной и т. д.), а также
задачи на применение формул площади и
круга, поверхности и объема тел и т. д.
Решение задач рассматриваемого вида, яв¬
ляясь превосходным средством увязки алгебры
и геометрии, должно служить предметом
особого внимания преподавателя. Вполне по¬
нятно, что соответствующие задачи препо¬
даватель может брать не только из задачника
по алгебре, но и из сборника задач по гео¬
метрии Рыбкина, ч. 1.
77
КАК ПРОВОДИТЬ ПОВЕРОЧНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Н. ЗЕРЧЕНИНОВ (Москва)
Есть две точки зрения на поверочные
испытания. Можно считать главной целью
испытаний — дать учащимся повторение и
обобщение всего материала, проработанного
учащимися за год. Можно, наоборот, считать
главной целью испытаний индивидуальный
отчет каждого учащегося перед школой и об¬
щественностью в том, какие знания и навыки
он приобрел в течение года. Та или иная
точка зрения во многом определяет и содер¬
жание и форму организации испытаний, в
особенности устных.
Если главная цель испытаний — повторе¬
ние и обобщение, то на устном испытании
перед каждым учащимся должна пройти
вся программа данного года и притом в си¬
стематическом порядке. Это значит, что
на испытании все учащиеся должны при¬
сутствовать с начала до конца;что вопросы,
. предлагаемые учащимся, должны охватить
весь курс данного года; что каждому уча¬
щемуся дается только один вопрос, охва¬
тывающий -jjj или ^ часть курса (в зави¬
симости от числа учащихся в группе); что
в случае незнания одного ученика на тот же
вопрос непременно должны сейчас же
ответить его товарищи, иначе нарушится
систематичность курса; что преподаватель
вызывает учащихся для ответа не в алфавит¬
ном порядке, а в порядке тех вопросов
курса, которые им намечены для каждого из
учащихся. С этой точки зрения нет особой
надобности составлять особое расписание на
время испытаний, и самое испытание можно
даже вести в форме урока-беседы,—тогда
каждый учащийся будет отвечать несколько
раз, и отметка за испытание будет подыто¬
живать результаты всех его выступлений.
;.-1. ПОДГОТОВКА К ИСПЫТАНИЯМ .
На испытаниях каждый учащийся должен
обнаружить знание всего материала, прора¬
ботанного его группой в течение учебного
года. Однако такая общая формулировка
слишком мало говорит ученику пятого, ше¬
стого и седьмого годов; вот почему § 25
инструкции требует, чтобы программа испы¬
таний была предварительно доведена до каж¬
дого учащегося. Этой программой не может
быть программа по математике ФЗД; ее
четкие, но скупые формулировки должны
быть расшифрованы для ученика, ему сле¬
дует дать расширенную программу, где будут
78
перечислены основные знания и навыки,
которые он должен иметь по данной теме,
а также указаны параграфы учебника. Даем
несколько примеров такой расширенной про¬
граммы; напомним, что вопросники ин¬
струкция запрещает давать учащимся, поэтому
расширенная программа не должна содержать
вопросы, которые преподаватель будет давать
на испытаниях.
Пятый год. Обыкновенные дроби.
1. Уметь на примерз показать числитель
и знаменатель дроби и объяснить значение
каждого из них (VII, § 1).
2. Уметь отличать правильную дробь- от
неправильной и объяснить различие между
ними (VII, § 3).
3. Уметь обращать целое и смешанное чи¬
сло в неправильную дробь (VII, § 4) и вы¬
делять целую часть из неправильной дроби
(VII, § 5), а также делать вывод из этих пра¬
вил.
4. Уметь сравнивать дроби с одинаковыми
числителями или одинаковыми знаменателями
(VII, § 6).
5. Знать объяснение, почему и как изме¬
няется дробь при изменении ее числителя
или знаменателя (VII, § 7).
6. Знать главное свойство дроби и уметь
его объяснить (VII, § 8).
7. Понимать смысл сокращения дроби и
знать правило (VII, §. 9).
8. Знать общее правило приведения дро¬
бей к общему знаменателю, а также правила
для частных случаев: а) когда один знамена¬
тель делится на все остальные; б) когда все
знаменатели — числа взаимно простые (VII,
§ Ю).
9. Знать правила сложения и вычитания
дробей с одинаковыми и разными знамена¬
телями и уметь объяснить эти правила на
примерах (VIII, § 1, 2, 3).
10. Понимать смысл умножения на дробь
и знать правила умножения дробей и сме¬
шанных чисел (X, § 2, 3).
11. Понимать смысл деления на дробь и
знать правила деления дробей и смешанных
чисел (XI, § 2, 3, 4).
12. Находить часть по целому и целое по
части одним действием (X, § 2; XI, § 4).
,
Шестой год. Параллельные прямые. «
1. Знать определение параллельных 'пря¬
мых и знак параллельности.
12. Уметь доказывать теорему о двух пря-
ых, перпендикулярных третьей (VII, § 1).
3. Уметь построить прямую, параллельную
энной (VII, § 1, 4, 5).
4. Знать аксиому о параллельных прямых
VII, § 2).
5. Уметь доказывать теорему о двух пря-
'ых, параллельных третьей (VII, § 2).
6. Знать определение соответственных и
нутренних накрестлежащих углов (VII, § 3).
7. Уметь доказывать теоремы о свойствах
•ответственных и внутренних накрестлежа-
1их углов при параллельных (VII, § 3, 4).
8. Уметь перечислить все признаки парал-
гльности двух прямых (VII, § 1, 2, 4).
9. Уметь доказывать теоремы о параллель-
ости двух прямых, параллельных третьей,
ри равенстве соответственных или внутрен-
их накрестлежащих углов (VII, § 4).
10. Уметь доказывать теоремы о свойствах
глов с соответственно параллельными или
герпендикулярными сторонами (VII, § 6, 8).
11. Уметь доказывать теоремы о сумме
нутренних или внешних углов треугольника
'II, § 7).
12. Уметь доказывать теорему о свойстве
нешнего угла треугольника (VII, § 7).
13. Уметь перечислять свойства углов
реугольника вообще и прямоугольного
частности (VII, § 7).
14. Уметь доказывать теорему о свойствах
трезков параллельных, пересеченных парал-
ельными (VII, § 9).
15. Уметь делить отрезок на равные части
доказать правильность сделанного постро-
ния (VII, § 9 и 10). .
Ясно, что на испытаниях нет смысла тре-
ввать от учащихся доказательства каждой
соремы, проработанной ими в течение года.
1а испытаниях проверяется уменье учащих-
логически рассуждать при доказательстве
соремы, поэтому нецелесообразно давать
чащимся на испытаниях такие теоремы, как,
апример: „Сумма острых углов прямоуголь-
ого треугольника равна d“. Однако нецеле-
ообразно давать на испытаниях и такие
соремы, где учащиеся могут показать свое
менье рассуждать, но где доказательство
тнимает слишком много времени, например:
ывод правила извлечения квадратного кор-
1я или доказательство теоремы Герона.
программе испытаний надо указать, что
чащисся должны только знать текст таких
«орем и уметь применять их к решению
•■дач.
Доведя до учащихся программу испытания,
реподаватель должен одновременно обес¬
печить планомерное повторение основных
вопросов, проработанных в первые три чет¬
верти учебного года. В некоторых случаях
такое повторение может быть органически
увязано с проработкой нового материала.
Пятый год. Арифметика
Старый материал
Новый материал
1. Законы действий.
2. Порядок действий.
Скобки.
3. Действия над обык¬
новенными дробями.
4. Умножение десятич¬
ных дробей.
5. Деяе ше десятичных
дробей.
6. Отношение.
7. Пропорциональ¬
ность. Решелие за¬
дач способом про¬
порций и способом
приведения к еди¬
нице.
1. Буквенные выраже¬
ния.
2. Буквенные выраже¬
ния.
3. Нахождение числен¬
ного значения бук¬
венных выражений.
4. Нахождение про¬
центов числа.
5 Н вождение числа
по его процентам.
6. Пр щенгное отно¬
шение.
7. Решение задач на
проценты.
Кроме того умножение и деление десятич¬
ных дробей необходимо повторить при вы¬
числении длины окружности, площади круга
и объема цилиндра. С другой стороны, пло¬
щадь прямоугольника и квадрата, поверх¬
ность и обьем куба и прямоугольного парал¬
лелепипеда легко могут быть повторены при
решении задач на проценты. В VI группе
относительные числа, приведение подобных
членов и все действия с м югочленами пов¬
торяются при решении уравнений; действия
с одночленами повторяются при проработке
дробей с одночленными знаменателями. В VII
группе действия над дробями с многочленными
знаменателями могут быть повторены при
решении квадратных уравнений.
Геометрический материал VI и VII групп,
а также весь материал VIII и IX групп при¬
дется повторять независимо от проработки
нового материала, давая учащимся соответ¬
ствующее задание на дом и отводя несколь¬
ко минут в начале каждого урока на опрос.
Кроме доведения программы испытаний
до каждого учащегося и организации пов¬
торения пройденного, преподаватель должен
выявить индивидуальные недочеты каждого
из неуспевающих и организовать ему соот¬
ветствующую помощь. Полезно также орга¬
низовать консультацию для всех жела ощих
учащихся по вопросу подготовки к повероч¬
ным испытаниям.
79
2. ПИСЬМЕННЫЕ ИСПЫТАНИЯ
В V группе письменная работа по мате¬
матике проводится в течение двух часов
с обычным перерьтсм между ними. На пер¬
вом часе учащиеся должны решить 3 примера:
один—на все действия с обыкновенными
дробями, другой — на все действия с десятич¬
ными дробями, третий—на решение пропор¬
ции. Листки с работой отбираются, и на
втором часе учащиеся на новых листках
решают задачу на проценты.
В VI группе работа также проводится
в течение двух часов (конечно, тоже с пе¬
рерывом). На первом часе учащиеся должны
решить, примерно, три примера из следующих:
первый—на отыскание численного значения
буквенного выражения, если буквы заменить
отрицательными числами; второй— на умноже¬
ние или деление многочленов; третий—на
■формулу сокращенного умножения; четвер¬
тый — на решение уравнения первой степени
с одним неизвестным. На втором часе дается
задача, которую нужно решить при помощи
составления уравнения.
В VII группе учащиеся также решают две
письменных работы, по часу каждая. Пер¬
вая работа должна состоять из решения, при¬
мерно, двух из трех следующих примеров:
первый — на алгебраические дроби с много¬
членными знаменателями, второй —■ на реше¬
ние буквенного уравнения, третий— на реше¬
ние системы двух уравнений с двумя неизвест¬
ными. Вторая работа должна состоять в ре¬
шении геометрической задачи, приводящейся
к квадратному уравнению.
В VIII группе проводятся три письменных
риботы, по часу каждая, причем между вто¬
рой и третьей работой должен быть сделан
большой перерыв, чтобы учащиеся могли
основательно отдохнуть; желательно, чтобы
во время этого перерыва были организованы
горячий завтрак и слушание музыки. Первая
работа—решение двух из трех примеров по
алгебре: первый—на преобразование иррацио¬
нальных выражений, второй— на решение ир¬
рационального уравнения, третий— на решение
системы квадратных уравнений. Вторая рабо¬
та— решение задачи по геометрии. Третья
работа — решение двух примеров по триго¬
нометрии: первый—на нахождение всех функ¬
ций угла по данной одной функции или
на упрощение выражения или на доказатель¬
ство тождества, другой—на решение тре¬
угольника.
В IX группе проводятся две письменных
работы. Первая состоит в решении одного
примера на тригонометрические преобразова¬
ния или решении тригонометрического урав-
.«0
нения и в решении задачи на определена!
поверхности или объема тела с применение
тригонометрии и с вычислением ответа пр»
помощи таблиц логарифмов. Решение задач
на поверхность или объем учащимся трудгч
выполнить в течение одного часа, пезтом
целесообразно на решение примера и задач
дать два часа без перерыва. После боль
шого перерыва с горячим завтраком и слу
шанием музыки учащиеся выполняют втору*
работу, на которую дается один час. Вторя
работа состоит в решении двух из тра
примеров по алгебре: перрый—на решен»с
прогрессии, второй — на решение показатель
ного уравнения с использованием отрип
тельных и дробных показателей.
Само собой разумеется, что каждая рабе
та дается учащимся не менее чем в двух гари
антах. Оценка работ должна производиться бе;
всякого либерализма. Если в работе ecu
хотя бы одна грубая ошибка, рабсл
нельзя оценить отметкой выше „удевлешь
рительно", если же в работе окажется дв!
грубых ошибки, работа должна быть one
не на отметкой „неудовлетворительно”.
3. УСТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Так как алгебра, геометрия и тригоноыет
рия представляют три различных предмета,
то испытания по этим предметам следует
проводить в различные дни; таким образом,
в VI и VII группах устные испытания по
математике проводятся в течение двух дней,
а в VIII и IX—в течение трех дней. Только
в V группе нецелесообразно выделять гео¬
метрию, и все устное испытание по матема¬
тике можно провести в один день.
При большой численности групп, доходя¬
щей до 44—45 учащихся в одной группе,
и при необходимости, согласно инструкции,
закончить все испытания в один день, нельзя
основательно опросить всю группу в течение
3 часов. Поэтому по ' математике вполне
целесообразно, согласно примечанию к пун¬
кту 28 инструкции, делить группу на две
части: тогда каждый ученик будет присут¬
ствовать на испытании только 3 часа, но
I
будет иметь для ответа достаточное время,
в среднем 6 минут (45-3:22^6).
Для испытания необходимо иметь класс
с большой доской, разделенной пополам,
или с двумя досками среднего размера; тог¬
да можно вызвать сразу трех учеников, ш
которых один отвечает у доски, другой под¬
готовляет на доске свой ответ, а третий
обдумывает свой ответ, уже получив задание.
Конечно, еще лучше было бы иметь три до¬
ски, чтобы сразу могли готовиться два уче¬
ника. Нецелесообразно разрешать учащимся
готовить свой ответ на листочках, потому
что в этом случае остальные ученики не мо¬
гут следить за ответом своего товарища и
не могут ответить на вопрос, на который
он не ответил, как того требует инструк¬
ция.
Чтобы свести до минимума элементы не¬
ожиданности на испытании, следует вызы¬
вать учащихся в строго алфавитном порядке.
Исключение из этого правила указано в ин¬
струкции: если в начале алфавита идут уча¬
щиеся слабые или нервные, которые своими
неудачными ответами могут дурно повлиять
на остальных, надо сначала спрашивать на¬
иболее знающих и уверенных в себе, при¬
чем учащиеся должны заранее знать, в ка¬
ком порядке их будут спрашивать.
При испытании недопустима обезличка.
Преподаватель должен заранее обдумать,
какие вопросы предложит он да н н о му уче¬
нику, учитывая и его работу в течение учеб¬
ного года и его письменную работу, поэто¬
му па устном испытании у преподавателя
должен быть список учащихся со всеми во¬
просами, которые следует им предложить.
Нецелесообразно вызывать ученика и пред¬
лагать ему сразу ответить на первый воп¬
рос: с одной стороны, ученик должен нес¬
колько обдумать свой ответ, с другой сто¬
роны—опрос отнимает меньше времени, если
ученик заранее, во время ответа другого
ученика, подготовил на доске свой ответ,
например написал решение тех примеров по
арифметике и алгебре, из которых он вы¬
ведет правило; или написал, что дано в те¬
ореме, что требуется доказать, написал уже
схематически доказательство теоремы. Поэто¬
му следует вызывать не одного ученика,
|а сразу трех и раздать им листочки с ука¬
занием тех вопросов, на которые им при¬
дается отвечать. Однако опыт ряда москов¬
ских школ показал, что нельзя писать иа
листочке все 3—5 вопросов, на которые
должен ученик ответить: ученик начинает
думать об ответах сразу на все вопросы, и
его внимание рассеивается. Поэтому на лис¬
точке следует писать только один, основной
вопрос, а дополнительные вопросы задавать
потом устно. На испытаниях следует про¬
верить следующие результаты годовой работы
ученика: 1) знание математических фактов,
определений, правил, теорем; 2) уменье ма¬
тематически правильно выражать свою мысль;
3) уменье обосновывать правила, доказывать
теоремы; 4) уменье решать примеры; 5) уменье
решать задачи. Последние два уменья
проверяются главным образом на письменной
работе; знание фактов и уменье правильно
их формулировать не требуют предваритель¬
ной подготовки, поэтому на листочке основ¬
ным вопросом пишется такой, отвечая на
который ученик покажет свое уменье рас¬
суждать. Таким образом, листочки могут
быть, примерно, с такими вопросами:
1. Сделай вычитание: 8 5-^. Объ-
4о оо
ясни на этом примере, как делается вычита¬
ние обыкновенных дробей.
2. В чем заключается признак делимости
на 25? Придумай два четырехзначных числа,
которые делятся на 25, и два четырехзнач¬
ных числа, которые не делятся на 25; объ¬
ясни, почему мы знаем, что первые де¬
лятся на 25, а вторые не делятся на 25.
3. Как сложить два относительных числа?
Приведи примеры.
4. Сделай умножение: а3-а2; Ь*-Ь; с3-с-;
АаЬъс3-ЗаЬ2с. Объясни на этих примерах
правило умножения одночленов.
5. Выведи формулу для решения приведен¬
ного квадратного уравнения.
6. Докажи теорему о квадрате стороны
треугольника, лежащей против острого угла.
7. Докажи теорему косинусов.
Когда ученик ответил на основной воп¬
рос, ему даются дополнительные вопросы.
Целесообразно попросить ученика дать фор¬
мулировку одного-двух определений, правил
или теорем, чтобы узнать, достаточен ли
у ученика запас математических фактов,
и владеет ли он в достаточной степени ма¬
тематическим языком. Необходимо также
на устном испытании выяснить, чем вызваны
ошибки ученика в письменной работе: слу¬
чайностью или незнанием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПЕРЕМЕН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
МЕТОДОМ ЗВУКОВОГО РЕЗОНАНСА
Н. ПЛЕШКОВ (СЕердловск)
Понятие о переменном токе дается уча¬
щимся гораздо труднее постоянного тока. Это
происходит отчасти потому, что в курсе
физики мало ставится работ по переменному
ток -. В электротехнических кабинетах ча¬
стоту переменного тока определяют частото¬
мерами, в физических же кабинетах даже
втузов частотомеров обычно нет, хотя опре¬
деление частоты переменного тока весьма
желательно, так как она играет громадную
роль во всех проявлениях переменного тока.
Описанный здесь метод определения частоты
перемен переменного тока может быть вы¬
полнен в любом кабинете физики. Для этого
нужен электромагнит, монохорд и резони¬
рующая трубка. Электромагнит можно сде¬
лать самому, намотав на сердечник из отож¬
женной железной проволоки четыре-пять рядов
звонкового провода (D = 0,6 л(м) по трид¬
цать витков в каждом.
Черт. ]
На чертеже 1 дано перспективное изобра¬
жение расположения приборов. Городской
ток от штепселя подводится через ключ К
и ламповый реостат В к электромагниту А.
Электромагнит укрепляется на штативе пе¬
ред струной монохорда, примерно на рас¬
стоянии трех-четырех миллиметров от нее.
При включенном городском токе электромаг¬
нит будет притягивать струну за каждый
период два раза — в момент максимальных
значений тока прямого и обратного наарав-
82
ления. Если теперь регулировать подвижной
кобылкой длину струны монохорда, то при
определенном натяжении можно добиться ре¬
зонанса — и струна зазвучит. Как известно
из формулы Б. Тейлора, период колебания
струны
T=2lj/Z, П)
где I—длина струны,
d—линейная плотность,
р — натяжение струны.
Для периода тока t получаем:
t=2T~ . (2)
Далее известно, что число колебаний стру¬
ны N при указанных условиях выражается
формулой:
N==1rYir- (;J))
Перемножая формулы (2) и (3), получаем;
Nt — 4. (4)
Но так как: , (5)
п ' 1
Число колебаний струны N можно было
бы определить и из натяжения струны и ее
геометрических размеров, но проще сделать
это с помошью резонирующей трубки. Непос¬
редственно перед монохордом стагится резо¬
нирующая трубка С диаметром в 3—4 см,
которая может опускаться в цилиндр с водой,
изменяя тем самым длину резонирующего
столба воздуха. Когда добились резонанса
струны перемещением кобылки монохорда,
изменением длины трубки С добиваются ре¬
зонанса столба воздуха в С. Как известно,
столб воздуха будет резонировать тогда,
,. _ 1 3 о
когда длина трубки С будет равна —, —, —...
4 4 4
длины звуковой волны. Обозначим — длины
4
звуковой волны в воздухе через I; топа, как
рвестно:
Пример результатов наблюдений;
(7)
Скорость звука в воздухе при температуре
|пыта определяется, как всегда, по формуле:
V=V0V\+0,00U, (8)
lue V0 — скорость звука при 0°—равна
1,8 м/сек. Подставляя значение V из фор-
улы (8) в (7) и значение N из формулы
’) в (6), окончательно получим:
1 о j/l + 0,с041
16/
Длину резонирующей трубки /, как показы-
гет теория, надо увеличить на 0,3 внутрен-
iTO диаметра трубки С.
ra|J
О.
>-.о
н
сз са
Си
сь> ге
с £•
S 5
v с
— о
о
CU
Ь
Он 5*
£2
S со
гз
5 £
Длина
резонат.
в см
си
с
U а
12
ЗУ,9
3J,8
40,0
39,9
41
33 967
33180 (/1+0,004-12-
16-41
= 51,78
При частоте п городского тока, равной
50, получаются результаты, как видим, до¬
вольно хорошие.
ДЕМОНСТРАЦИЯ СТОЯЧИХ волн
Г. ФАЛЕЕВ (Москва)
Профессор Поль в „Введении в механику циальные салазки (см. рис. 321 в книге Ппля^
акустику" описывает прибор для получе- Как я убедился на опыте, можно добиться тех
«я стоячих волн на резиновой трубке при же результатов, не прибегая к устройству
>мощи мотора, к которому приделаны спе- специальных салазок для мотора.
5 метра в
Черт. I
На ось могбра (черт. 1), мощностью около
- л. с., был помещен толстый деревянный
кив заподлицо с концом оси. В этот шкив
| расстоянии около 3 см от центра оси
срнут толстый винт (диаметром около 6 мм),
фазующий палец кривошипа длиною около
см. На этот винт надевается петля, завя-
нная из одном конце резиновой трубки1,
угой конец которой берут в руку и натя-
тают, располагая трубку горизонтально пе-
д черной классной доской.
1 Я пользуюсь толстостенной резиновой труб-
н с наружным диаметром в 6 мм. Длина рубки
ото о м.
Пуская мотор в ход и слегка регулируя
натяжение трубки или скорость мотора, полу¬
чают очень четкую иллюстрацию стоячих
волн. Регулируя натяжение трубки, можно
показать изменение длины стоячих волн в
зависимости от натяжения. Точно так же,
оставляя неизменным натяжение, но меняя
при помощи реостата скорость мотора, полу¬
чаем изменение длины стоячих волн в зави¬
симости от частоты колебаний. При опытах
я пользуюсь мотором постоянного тока, ско¬
рость которого при помощи реостата изме¬
няется в очень широких пределах.
Необходимое условие для успеха опытов:
мотор должен быть достаточно тяжелым или
закрепленным, чтобы при натяжении трубки
его не сдвинуть с места.
83
НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ ПРИ РАБОТЕ С УНИВЕРСАЛЬНЫМ
МОСТИКОМ КОЛЬРАУША
Излишне описывать здесь устройство са¬
мого мостика, так как это можно найти
в другом месте (схема соединений указана
на черт. 1). Поэтому я укажу сейчас только
на то, каким образом можно обойти неко¬
торые технические затруднения, которые
могут встретиться при работе с ним и, кроме
того, приведу решение задачи по опреде¬
лению концентрации раствора электролита
при помощи того же мостика.
>т
А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)
тушки. Для этого необходимо слегка поье,»
нуть тот стержень, на котором укреплен чч
лоточек, либо от нее, и после этого снов
отрегулировать контактный винт по тож
способу, о котором сказано выше.
Второе затруднение заключается в т>
что звук от прерывателя, слышимый в и
лефоне, не исчезает и даже нисколько к
изменяется при перемещении подвижниц 1,1
контакта на самом мостике. В мостике, ка *е
говорят, получилось „короткое замыкание1
происшедшее от того, что от частого и сит¬
ного завинчивания и отвинчивания тех клемя
к которым присоединяется телефон (А н р)
или же тех, где присоединяется нензвестни
сопротивление, ослабели те винты, которн
служат для соединения с тем проводом hj
МОСТИКе, ПО КОТОрОМу ХОДИТ ПОДВИЖНОЙ hOHj
Черт. 1
Первое затруднение состоит в том, что
экспериментатор порой долго и бесплодно
возится над тем, чтобы добиться работы ка-
гушки Румкорфа, прерыватель которой не
действует. Для этого необходимо отрегули¬
ровать у нее контакт, причем самую регу¬
лировку необходимо вести при включенном
телефоне, держа последний все время у уха.
Если молоточек т находится в надлежащем
расстоянии от сердечника катушки, то, дей¬
ствуя постепенно регулировочным винтом с,
мы можем добиться того, что при соприкос¬
новении самого винта с молоточком послы¬
шится короткий звук, после которого стоит
только очень немного (определяется практи¬
чески) выдвинуть винт назад, и в телефоне
послышится звук от работающего прерыва¬
теля. В случае, если при соприкосновении
контакта с молоточком не получится звука,
то это говорит за то, что самый молоточек
•отстоит либо слишком далеко, либо близко
от сердечника катушки. Последнее обстоя¬
тельство, мешающее работе, устраняется
очень легко путем приближения или удале-
пения самого молоточка от сердечника ка-
.34
такт. Названный провод вследствие этоп
выключился из цепи, и получилось „коре!
кое замыкание". Стоит только, вскрыв крыш¬
ку на обратной стороне мостика, проверит
контакт этих винтов и клемм с осталыю
схемой, и помеха в работе будет устранен.!
Что касается задачи по определению кон
центрации раствора электролита, то для
решения совсем не нужно знать ни попе
речного сечения того сосуда, в который и;
лит электролит, ни расстояния между элек¬
тродами, так как эти две величины при пр:
образовании полученных уравнений исключ;
ются.
В саном деле, пусть мы имеем 5-процен!
ный раствор медного купороса, удельна
электропроводность которого нам известя
Тогда п.ри помощи мостика мы определяй
его сопротивление и имеем при этом фо[
мулу:
И'~ Kt s*
где /?-, — сопротивление, Кг — удельная эла
тропроводность, I—-длина проводника иs
его поперечное сечение.
Берем другой раствор медного купоро
неизвестной нам концентрации и, не меп
расстояния между электродами вольтметр
наливаем в него этот электролит и сно(
определяем при помощи мостика его с
противление /?2, при этом имеем опять-так
формулу
Я2 — к<
_/
2 ^
Преобразовываем формулы (1) и (2) следую¬
щим образом:
|
р1 I
ткуда получаем:
ед,.
■м
„е‘ Зная /?2 и /С,, можно определить ве¬
тчину /(8, а затем при помощи таблиц и
л*?тода интерполирования находим концент¬
рацию раствора.
При этом для сохранения одного и того
же расстояния между электродами вольтметра
полезно сделать на стекле самого сосуда
метки для того, чтобы после промывки и
наполнения новым электролитом стеклян¬
ного сосуда можно было установить элек¬
троды на том же расстоянии, на каком они
находились при определении сопротивления
первого электролита.
Ясно, конечно, что при решении этой за¬
дачи должны быть приняты в соображение
те указания, какие даются в любом руковод¬
стве по физическому практикуму относитель¬
но внесения всевозможных поправок и вы¬
числения различных ошибок.
ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ЗА ГРАНИЦЕЙ
т
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ФРАНЦИИ
Проф. А. БАРСУКОВ (Моснва)
I
Средняя общеобразовательная школа во
Франции представлена так называемыми ли¬
цеями и колледжами, т. е. учебными заведе¬
ниями, предназначенными для детей состоя¬
тельных и привилегированных классов. До¬
ступ в них из начальной народной школы
в значительной мере затруднен как по мате¬
риальным мотивам, так и по несогласованно¬
сти программ. Лишь за последние годы
делаются попытки сблизить программы на¬
чальной и средней школы. Надстройкой над
народной начальной школой является „выс¬
шая народная школа* с трехгодичным кур¬
сом, причем первый год является общеобра¬
зовательным, но уже следующие два имеют
определенные уклоны — промышленный, ком¬
мерческий и земледельческий. Дальнейшей
надстройкой являются средние технические,
гартовые и сельскохозяйственные школы, а
также специальные курсы всякого рода. Ка¬
питалистическая тенденция в этой системе
„народного" образования отражается чрезвы¬
чайно ярко.
Что касается средней школы, то струк¬
тура ее такова (лицеи и колледжи строятся
но одному принципу, и программа их в об¬
щем одинакова; разница в том, что колледжи
основываются местными муниципальными вла¬
стями и в известной мере содержатся за счет
местных средств).
Первый концентр заменяет начальную шко¬
лу и готовит к среднему концентру. Обуче¬
ние в нем может заменяться обучением в ча¬
стной школе или в семье.
Курс обучения в этом цикле 4 года, а
именно;
1) подготовительная группа (6—7 лет);
2) элементарный курс (7—9 лет);
3) средний курс (9—11 лет);
4) высший курс (11—13 лет).
За начальным курсом идет собственно
средняя, шестилетняя, школа. (Заметим, что
во Франции счет классов ведется в обратном
86
порядке, т. е. низший класс называете
шестым, следующий пятым и т. д.) Над шести
леткой имеется еще надстройка в 1 год. раз¬
бивающаяся на два уклона — класс матемэ
тики и класс философии. Окончивший эк
дополнительные классы переходит далее уж
в высшее учебное заведение.
II
Приступая к анализу программы по мате¬
матике в французской средней школе, отме¬
тим прежде всего, что курс арифметша
в начальном цикле почти совпадает с курсы
советской школы (только в разделе процен
тов „не забыт" учет векселей). Лишь геомет
рический материал несколько расширен в сто
рону вычисления площадей (трапеция, много
угольник, сектор круга, боковая поверхност
цилиндра и конуса) и объемов (прямая приз
ма с многоугольным основанием, конус
шар). Следовательно, математическая mqro
товка наших и французских ребят боле; н.’и
менее одинакова. Поэтому тем более бро
сается в глаза значительно меньший объа
программы по математике в французской сред
ней школе. Лишь класс математики знача
тельно расширяет круг изучаемых вопросов
Приводим программу каждого класса, при
чем для сравнения рядом с французов
номенклатурой класса приводим соотвстстт
ющий (конечно, относительно) год обуче
ния в советской школе.
Шестой класс (пятый год обучения)—2 час
в неделю.
Повторение действий над целыми числами
Упражнения на устный счет.
Делимость на 2, 5, 9 и 3.
Задачи, связанные с величинами, выражен
ными целыми числами.
Понятие о дробях.
Приведение дробей к общему знаменатели
Задачи, связанные с дробными числая
от определенных величин.
Арифметические действия с дробями.
Десятичные дроби. Десятичные числа.
В программе шестого класса обращает на
себя внимание скудость преподаваемого ма¬
териала, в особенности по сравнению с на¬
шим пятым годом. Так, геометрический ма¬
териал совершенно отсутствует. В первую
очередь это объясняется незначительным ко¬
ли :еством часов, отведенных на математику
(у нас 5—6 часов в шестидневку).
Необходимо отметить, что курс арифме¬
тики этого года еще не носит характера
обобщений и обоснований арифметических
действий над целыми и дробными числами.
, В инструкции относительно преподавания
! математики прямо говорится:
^ повторение слова „величина* указывает
на желание придать обучению конкретный
характер*.
И далее:
„Задачи на величины, представлен¬
ные целыми числами, не являются
' новостью для учеников шестого класса. Не
надо упускать из виду того, что если основ-
' ные арифметические действия могут
( способствовать исчислению, то качество
исчисляемых объектов или измеряемых величин
от них ускользает. Надо сделать упор па эго для
того, чтобы избежать путаницы, которая часто
бывает у ученика на этом уровне, особе н н о
когда речь идет о величинах".
„Например, умножение 27 на 15: дается опре-
’ делить число шариков, которые содержатся
н 15 мешочках, имею них по 27 шариков каж-
лый; цену 15м материи в франках по 27 фран.
ков за метр; измерить в квадратных метрах пло-
г*_ щадь прямоугольника, размеры которого равны
27 ж и 15ж. Тогда как в первой задаче имеется
просто исчисление шариков, вт фая прибегает
к условному соотношению, которое является не
чем иным, как пропорци жалыюстью цены и
меры; в третьей используется то свойство гео.
метрии, что два прямоугольника с одинаковыми
основаниями (например 27. — А. Б.), приложен¬
ные друг к другу этими основаниями, составят
4 новый прямоугольник с тем же основанием,
но пысота которого является суммой двух пер.
и вых". (Выделен ie везде наше. — А. Б.)
Мы намеренно привели эту, несколько длин¬
ную, выдержку из инструкции, ибо в ней
особенно ярко сказывается тенденция инди¬
видуализировать каждый случай умножения,
пместо того чтобы, наоборот, сделать упор
на то общее, что имеется во всех трех зада-
11 чах: умножение 27 на 15 и одинаковый
if численный результат.
Между прочим, обращаем внимание на разде¬
ление понятий: „десятичная дробь" и „десятич¬
ное число", что у нас обычно не проводится.
Пятый класс (шестой год обучения) — 2 часа
в неделю.
Метрическая система. Длина. Поверхность.
Объем. Вес. Плотность. Денежные единицы.
Время. Скорость. Простые упражнения по
переводу одних мер в другие. Тройное пра¬
вило. Простые проценты. Примеры на учет
ренты. Употребление букв для изображения
чисел. Простые задачи, приводящие к урав¬
нению первой степени.
•
Как видим, и программа шестого годи
обучения находится еще целиком „в царстве
арифметики".
Введение раздела „Поверхности и объемы",
согласно инструкции, должно ограничиться
„указанием самых простых формул ввиду их
числовых применений", т. е. как материал
для арифметических выкладок. Понятно, что
все формулы даются без доказательства.
Исключение делается для формулы площадей
прямоугольника, относительно которого ре¬
комендуется „показать, как многократное
перемещение данного прямоугольника по¬
зволяет перекрыть, в конце концов, вся¬
кий прямоугольник, у которого измерения
являются кратными первого". Вот и все
„доказательство". Отсюда уже надлежит сде¬
лать вывод о площади прямоугольника, \
которого стороны соизмеримы со сторо¬
нами квадрата.
Буквенные обозначения, как и следовало
ожидать, вводятся при задачах на „простые
проценты и коммерческий учет", а также
там, где имеются действия с пропорциональ¬
ными величинами (отметим, что раздел про¬
порциональности в общем виде еще не про¬
ходится, речь идет опять лишь о конкрет¬
ных примерах). Это меньше, чем требования
нашей программы по курсу арифметики.
Обращает на себя внимание введение
уравнений первой степени с одним неизве¬
стным. Речь идет здесь о выражении усло¬
вия задачи в виде простейшего равенства
(уравнения),, в котором фигурируют данные
числа п неизвестное. Решение проводится
на основе применения правил арифметиче¬
ских действий. Инструкция предостерегает от
„механизнрования" преобразований, которое
могло бы привести к „невозможному дейст¬
вию— в арифметическом смысле", например
вычитанию большего числа из меньшего.
Поэтому рекомендуется изучать уравнения
только на конкретных задачах.
У нас неоднократно высказывались мне¬
ния о более раннем введении простейших
87
уравнений. Были голоса и за то, чтобы на¬
чинать алгебру с уравнений и даже строить
весь курс алгебры на уравнениях. Отбрасы¬
вая последние, „левые", т. е. ликвидирующие
систематический курс алгебры высказыва¬
ния, мы все же считаем, что вопрос о введе¬
нии в курс арифметики пятого (а может быть
и четвертого) года обучения следовало бы
еще раз пересмотреть. За этот пересмотр
говорит и то, что многие и многие педагоги
вводят х под тем или иным соусом, в том
или ином разделе. Не лучше ли узаконить
этот „обычай", оправив его в должные мето¬
дические рамки.
Четвертый класс (седьмой год обучения) —
3 часа.
I. Арифметика. Общий делитель двух
чисел. Понятие об общем наибольшем дели¬
теле и общем наименьшем кратном двух чи¬
сел.
Практические правила по разложению
данного числа на первоначальные множители.
Нахождение общего наибольшего делителя
и общего наименьшего кратного. Упражне¬
ния на метрическую систему, простые и де¬
сятичные дроби. Величины прямо и обратно
пропорциональные. Определение квадратного
корня. Практическое правило для извлечения
квадратного корня из целого числа и деся¬
тичной дроби.
II. Геометрия. Прямая линия и плос¬
кость. Отрезок прямой. Окружность. Углы.
Употребление линейки, циркуля, транспор¬
тира. Треугольники. Равнобедренный тре¬
угольник. Равенство треугольников. Перпен¬
дикулярные линии и наклонные линии.
Равенство прямоугольных треугольников.
Параллельные прямые. Употребление науголь¬
ника. Сумма углов треугольника и много¬
угольника. Параллелограм. Прямоугольник.
Ромб. Квадрат. Трапеция. Пересечение
окружности прямой. Касательная. Хорды и
дуги. Сравнение вписанного и центрального
углов. Относительное положение двух ок¬
ружностей. Элементарные построения,связан¬
ные с прямой линией и с окружностью.
•
В этом классе продолжается изучение
арифметики, причем, как и раньше, по вы¬
ражению самой инструкции, „указания в
программе арифметики носят еще следы
недоверия к возможностям учеников — в
88
каждом разделе говорится о практичес¬
ких правилах".
Вызывает на размышления введение в
курс арифметики „практического правила"
для извлечения квадратного корня из чисел.
В курсе арифметики, геометрии и физики
пятого года ученик уже встречается с зада¬
чей определения стороны квадрата по данной
его площади, причем он находит его путем
проб, что при более и менее крупных чи¬
слах (не говоря уже о десятичных дробях)
затруднительно. Не подумать ли и нам о
введении в курс пятого года „практического
правила" или хотя бы навыка пользования
таблицей квадратов и квадратных корней.
О геометрии мы скажем по поводу всего
курса в целом. Здесь сделаем лишь несколько
замечаний. Во-первых, странно читать, что
введение систематического курса геометрии
(носящего еще все же пропедевтический
характер, как увидим дальше) мотивируется
тем, что „на этом уровне должны пробуж¬
даться у большей части учеников математи¬
ческие способности “(!?).
Во-вторых, порядок прохождения тем не
является обязательным и даже рекомендуемым,
с точки зрения систематичности или мето¬
дики: „Преподаватель в этом отношении
руководствуется книгой, которая имеется у
учеников".
В-третьих, наконец, и здесь мы имеем
непрерывные предостережения от излишнего
теоретизирования, злоупотребления доказа¬
тельствами. Основным методом является
индуктивно-исследовательский, когда ученик
из ряда конкретных примеров на основе их
анализа мог бы сформулировать вывод и
уяснил бы необходимость его логического
доказательства, которое и надо давать в
наиболее простых случаях.
Сам по себе такой подход к теореме ни¬
чего плохого не заключает, если не остано¬
виться на известном этапе, господствующем
. и заслоняющем дедуктивное построение
самого курса. Думается, что в настоящее
время мы слишком мало применяем такой
метод.
Приведем программу последних трех клас¬
сов, не останавливаясь на рассмотрении от¬
дельных ее деталей.
Третий класс (восьмой год обучения) —
3 часа.
I. Арифметика и а л геб ра. Свойства
суммы, разности, произведения и частного
целых чисел и дробей. Отношение между
двумя величинами. Пропорции. Конкретные
ведения о положительных и отрицательных
числах; действия; практические применения.
Одночлены и многочлены. Сложение, вычита-
)ие и умножение одночленов и многочленов,
еление одночленов. Уравнения первой сте-
ени с одним и двумя неизвестными.
) II. Геометрия. Точки, делящие отрезок
прямой линии в определенном отношении,
уараллельные прямые и пропорциональные
шии. Подобные треугольники. Соотношение
ежду сторонами и углами треугольника;
юйство секущей к окружности. Построение
:твертой пропорциональной, средней про-
рциональной. Правильные многоугольники;
(здрат, шестиугольник и равносторонний
«угольник. Измерение окружности круга.
■ мерение площади прямоугольника, паралле-
играма, треугольника, трапеции, многоуголь-
ика, круга. Отношение площадей двух по¬
лных треугольников.
j
| Здесь, наконец, мы видим очень запоздав-
ке, по нашему мнению, завершение курса
жфметики и переход к алгебре.
При изучении относительных чисел настоя-
;льно рекомендуется воспользоваться их
Шторным изображением на оси.
Второй класс (девятый год обучения) —
|часа.
*1. Алгебра. Задачи и вопросы по про-
1мме предыдущего класса. Решение и
следование уравнения первой степени с
^ним неизвестным. Неравенства первой сте¬
гни. Координаты. Изучение и графическое
юбражение функции у=ах-\- Ь. Решение
Исследование системы двух уравнений пер-
|й степени с двумя неизвестными. Исполь-
«ание графиков для решения предыдущей
дачи и решения неравенств первой степени
joдним и двумя неизвестными. Задачи на
(ставление уравнений. Исследование резуль-
|юв.
II. Геометрия. Прямая линия. Отрезок
(ямой. Углы. Прямой угол. Перпендикуляр¬
ов прямые. Измерение углов. Треугольники.
»внобедренный треугольник. Геометричес-
] 4е место точек, равноотстоящих от двух
Г (Иных точек. Случаи равенства треуголь-
I сов. Перпендикуляр и наклонные. Прямо¬
угольный треугольник. Случаи равенства.
Геометрическое место точек, равноотсто¬
ящих от двух прямых. Параллельные прямые.
Сумма углов треугольника и выпуклого много¬
угольника. Параллелограмы и трапеция. Фи¬
гуры, симметричные относительно данной
точки или прямой. Две плоские симметрич¬
ные фигуры равны между собой. Окружность.
Пересечение окружности прямой. Касатель¬
ная. Хорды и дуги. Относительное положение
двух окружностей. Вписанные углы. Углы,
вершина которых лежит внутри или вне круга.
Дуга, вмещающая данный угол. Построения
при помощи прямой и окружности. Пропор¬
циональные линии. Точки, делящие отрезок
в данном отношении. Определение гармони¬
ческого деления. Параллельные прямые и
пропорциональные линии. Подобные треуголь-
ники и многоугольники. Свойство биссектрисы
треугольника. Геометрическое место точек,
отношение расстояний которых от двух дан¬
ных точек постоянно. Соотношение между
сторонами в прямоугольном и любом тре¬
угольнике. Определение синуса и косинуса
углов от 0° до 180°. Пропорциональные ли¬
нии в круге. Четвертая пропорциональная.
Средняя пропорциональная. Правильные вы¬
пуклые многоугольники. Вписывание в окруж¬
ность квадрата, шестиугольника, равносто¬
роннего треугольника, десятиугольника и
пятиугольника. Подобие правильных одно¬
именных многоугольников. Отношение их
периметров.
Площади. Измерение площади прямо¬
угольника, параллелограма, треугольника,
трапеции, многоугольника. Отношение пло¬
щадей двух подобных многоугольников. Пло¬
щадь правильного выпуклого многоугольника.
Площадь круга, сектора, сегмента. Отношение
между площадями двух кругов.
•
Программа этого года особенно выпукло
показывает сугубую концентричность по¬
строения всего курса математики. В самом
деле, нет почти ни одного раздела алгебры
и геометрии, с которым ученики не имели
бы дела раньше, иногда ие один раз.
Ввиду систематического построения курса
геометрии рекомендуется придерживаться про¬
8»
граммы в отношении порядка прохождения
гем. Но опять-таки „в том случае, конечно,
если книга, которой пользуются, не избрала
другого порядка
Отметим однако, что, признавая руково¬
дящую роль программы, особенно в наших
условиях (значительное количество малопод¬
готовленных учителей), и абсолют ю отри¬
цая полный произвол в распределении мате¬
риала, могущий поставить на голову весь
курс и его логическую систему, мы, тем не
менее, считали бы возможным предостав¬
ление некоторой свободы творчества препо¬
давателю и автору учебника, дабы путем
опыта вносить те или иные поправки и улуч¬
шения в самое построение курса.
Первый класс (десятый год обучения)—
часа.
I. Алгебра. Уравнение второй степени
вс одним неизвестным. Корни его (за нскаю-
чением мнимых корней). Соотношения между
коэфициентами и корнями. Знак корней.
Трехчлен второй степени. Неравенства вто¬
рой степени. Задачи на уравнения второй
степени. Изменение трехчлена второй степени.
Графическое изображение. Изменение функ-
цин ' Графическое изображение.
Прогрессии арифметические и геометричес¬
кие. Сложные проценты. Пользование таб¬
лицей логарифмов с пятью десятичными зна¬
ками.
II. Геометрия. Плоскость и прямая ли¬
ния. Определение плоскости и прямой. Пере¬
сечение двух плоскостей. Параллельные пря¬
мые и плоскости. Перпендикулярные прямые
и плоскости. Свойство перпендикуляра и на¬
клонных к плоскости, проведенных из одной
точки. Двугранные углы. Плоский угол дву¬
гранного угла. Взаимно перпендикулярные
плоскости. Проекция площади плоского
многоугольника. Симметрия по отношению
к точке и прямой к плоскости. Многогран¬
ные углы. Случаи равенства и подобия трех¬
гранников. Многогранники. Круглые тела.
О
Этим заканчивается программа средней
школы Франции. Какие же итоги и выводы,
хотя бы предварительные, можно сделать из
рассмотрения этой программы? Наметим не¬
которые.
1. Прежде всего та, прямо безудержная,
90
концентричность расположения материала
которая красной нитью прзходнт через веа
курс, ничем не может быть оправдана. Мо
жет быть этим и достигается известное (п)
скэй, даже значительное) облегчение в уем
енни отдельных тем курса, но без}(
ловно исчезает целое, система. Kyj
арифметики или геометрии как единая, стро!
пая, логически развертывающаяся научна'
дисциплина исчезает из поля зрени
учащихся. Ни один учащийся после проход
дения всего курса не сможет изложить, xot
бы в виде конспективного перечня тем, с4
держания дисциплины в систематическом пи
строении. Имеется ряд отрывочных знани!
некоторые навыки их практического прим
нения, наука исчезла.
2. Не может удовлетворить нас и объе
даваемых знаний. Исчезла совсем тригономе!
рия (нельзя же считать даже за элемент
тригонометрии понятие о синусе и косинусе
не говоря уже об элементах анализа. Эле¬
менты аналитический геометрии даются лнш
в пределах пользования ими в алгебре.
В этом снижении объема опять-таки сказы
вается (кроме недостаточного количеств
часов) сугубая концентричность программ:/
несомненно требующая более длительное
времени для ее проработки да еще почт
исключительно исследовательским методом
как это рекомендуется для первых классы
Однако не мешало бы посмотреть, нет л
и в наших программах такого материала, о
которого можно было бы разгрузить уча
щихся без ущерба для целостности и систе
матичностн курса.
3. Курс арифметики чрезмерно растяну
и сугубо эмпиричен. Последнее затрудняс
переход к алгебраическим обобщениям
дальнейшем и дает мало материала для не
следования свойств чисел.
Надо продумать вопрос о введении у н:
в курс арифметики простейших уравнений пер
вой степени и извлечения квадратного корне
Надо немедленно последовать пример
французской программы и выбросить из н4
шей программы архаическое „разностное отнт
шение“. '
4. Курс алгебры построен наиболее спет.']
матично. Элементы концентризма имеются I
в нашей программе, даже больше, чем н
французской, и, может быть, больше, че!
требуется. I
По объему наша программа значительно uwi
ре и не мешало бы несколько ее разгрузить |
в первую очередь от непрерывных дробей
а затем от некоторых видов уравнений (во(1
вратных, двучленных и трехчленных). Нач)
подумать о степени необходимости дробей
' с многочленными знаменателями.
5. Построение курса геометрии, ликвиди-
' руioui.ee ее как научную дисциплину, никоим
образом не может быть нами принято. Мож-
по лишь и здесь обсудить вопрос о некото-
^ ром облегчении курса (например, теорема о
противоположных сторонах вписанного в ок-
ружность четырехугольника, проекция фигуры
на две взаимно перпендикулярные плоскости,
_ геодезический материал и пр.).
6. Признавая целесообразность применения
исследовательского подхода, индуктивного ме-
I года в начале изучения той или иной темы,
мы не можем предоставить ему то господ¬
ствующее положение, какое этот метод за-
пял в преподавании во французской школе.
Само собою разумеется, приведенные вы-
( поты не являются ни окончательными, ни
>
Ч
4
В
1
ч
I
я
а
гг
исчерпывающими. Это только первая наметка.
Программа требует дальнейшего изучения и
анализа, и мы призываем к этому педагогов.
В заключение, не приводя детальной програм¬
мы дополнительного класса — класса матема¬
тики, укажем на основное содержание курса
(на математику отведено 9 часов в неделю).
1. Повторение курса арифметики.
2. Повторение основных разделов алгебры.
3. Понятие о производной. Производные у
элементарных функций. Понятие о первона¬
чальной функции. Применение к вычислению
некоторых площадей.
4. Полный курс тригонометрии.
5. Геометрия. Превращение фигур. Инвер¬
сия. Стереографическая проекция, кониче¬
ские тела.
6. Элементы начертательной геометрии.
7. Элементы механики.
ЗАДАЧИ
Предлагается присылать решения в редакцию
1. Найти двузначное число, зная, что сумма от
сложения его с числом, написанным теми же ци¬
фрами, но в обратном порядке, есть точный квадрат.
Решить такой же вопрос относительно трехзнач-
пого числа.
может быть решено в радикалах второй и третьей
степени.
5. Показать, что уравнение
*! + j/I = lOz -f- 9
не имеет решении в целых числах.
11. Из центра двух данных концентрических
окружностей проводят неподвижную и подвижную
полупрямые; точки пересечения их с окружностя-
92
ми соединяют прямыми. Найти геометрическое ме¬
сто точек пересечения этих прямых.
Г. К. (Пенза)
2. Доказать, что число вида с4 + 3 может быть
представлено в виде суммы трех квадратов.
3. Решить уравнение ** —]/д—х = а
Г. Шлуглейт (Москва)
4. Показать, что уравнение
ах3 + (ab -f- 1 )*з + adx- + Ьх + d = О
12. Данный отрезок разделить на две части так,
чтобы сумма объемов; шара, построенного на первом
отрезке, как на диаметре, и конуса, радиус осно¬
вания которого и высота равны половине другого
отрезка, была наименьшею.
13. Из внешней точки А проведены к окруж¬
ности две касательные АВ и АС и середины их
D и Е соединены прямою DE; доказать, что эта
прямая не может пересечься с окружностью.
14. Решить уравнение:
_ . 3* .Их
2 cos*-sin — = sin -j- .
15. Показать, что
1 + sec 20° = ctg 30° • ctg 40°.
А. В. (Москва)
6. Доказать, что прямая, соединяющая вершину
прямого угла в прямоугольном треугольнике с
центром квадрата, внешне построенного на гипо¬
тенузе, делит прямой угол пополам.
7. Вычислить длину прямой AD, проведенной
из вершины А треугольника ABC до точки D на
основании так, что круги, вписанные в треуголь¬
ники ABD и ACD, равны.
8. Зная, что в треугольнике ABC угол В = ЗА,
найти выражение стороны с через а и Ь.}
9. Доказать, что если в прямоугольном треуголь¬
нике один угол равен 75°, то квадрат гипотенузы
равен учетверенному произведению катетов.
10. Дан треугольник ABC. Сторона ВС продол¬
жена, и в образовавшиеся внешние углы треуголь¬
ника вписаны окружности, радиусы которых рав¬
ны радиусу окружности, вписанной в треугольник
ABC. К этим окружностям из вершины А проведе¬
ны две касательные, образующие с прямою ВС
треугольник ABiC^ По сторонам треугольника
ABC вычислить площадь треугольника ABfi^
М. Зимин (Новочеркасск)
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
Нижеследующие примеры и задачи на все от¬
делы элементарной математики служили темами на
вступительных поверочных испытаниях по матема¬
тике в I Московском государственном универси¬
тете в сентябре 1933 г. Здесь мы печатаем пер¬
вые пять вариантов из десяти. Темы сообщены
редакции участвовавшим в приемной комиссии
професором И. И. Чистяковым.
Вариант I.
* . дз — 1
1) Решить уравнение — •
ах
• 1.
2) Основанием прямой призмы служит равно¬
бедренный Д, в котором угол при вершине а и
в котором разность между его боковой стороной
и основанием равна d. Высота призмы Н. Найти
объем призмы.
3) Привести к виду, удобному для логарифми¬
рования
cos а — sin 2 а.
4) Найти длину хорды, проходящей через сере¬
дины двух взаимно перпендикулярных радиусов
окружности, если радиус равен R.
5) Решить уравнение sin*—cos* = j/_L .
6) Написать первые 8 членов геометрической
прогрессии, в которой произведение первых
двух членов — произведения 1-го члена на 5-й,
ь
равно I.
7) Чему равняется log /-~5 ?
"2
Вариант II.
1) Решить уравнение (х — я)2 (х — Ь)~ —
— (а — />)2 = х(х — а — b)+ab.
2) Определить угол при вершине осевого сече¬
ния конуса,, образующая которого I и боковая по¬
верхность S'.
31 Привести к виду, удобному для логарифми-
tg 2 а - tg а
tg2“ — tga '
4) Из внешней точки, отстоящей от окружно¬
сти радиуса R на расстоянии ее диаметра, прове¬
дены две касательные. Найти расстояние между
точками касания.
5) Решить уравнение 1—cos 2 х + sin х = 0.
i 6) В геометрической прогрессии 5 членов, сум-
j ма которых за исключением первого 195, а за
1 исключением последнего 13. Вычислить крайние
члены прогрессии.
7) Чему равняется logj/r—(о2)?
рорания
1) Решить уравнение
Вариант III.
а b _
х — Ь х — а~
2) Определить объем прямой призмы, в осно¬
вании которой равнобедренный Д с углом при
вершине а и с основанием а, если диагональ од¬
ной из равных боковых граней этой призмы на¬
клонена к плоскости основания ее под углом р.
3) Привести к ' виду, удобному для логарифми¬
рования, sin 2 а -
- 2 sin а.
4) В окружности радиуса R проведена хорда,
перпендикулярная к диаметру и делящая его на
части в отношении т:п. На этой хорде построен
правильный Д. Найти площадь этого треугольни¬
ка.
5) Решить уравнение 2 sin2 х 4- sin2 2 х = 2.
6) Найти сумму первых 6 членов геометриче¬
ской прогрессии, в которой произведение 1-го
члена на 3-й равно —, а сумма 3-го члена с 4-м
равна 1.
7) Чему равняется log^ —(атп)?
Вариант IV.
1) Решить уравнение
- + 2+ -2— = 0 .
q —X р — х
2) Угол при вершине осевого сечения конуса
равен а; радиус круга, описанного вокруг эт._ го
сечения, равен R. Найти объем конуса.
3) Привести к виду, удобному для логарнфми-
1 —sin 2 а
рованпя -г— — .
1 + sin 2а
4) Определить площадь Д по основанию его а
и по двум прилегающим к нему углам в 45° и 60°.
5) Решить уравнение cos 2 х = sin х.
6) Сумма первых трех членов геометрической
прогрессии равна 28, а сумма следующих трех чле¬
нов 3i-. Найти 8-й член прогрессии.
7) Чему равняется log0I 1000?
Вариант V.
« —2Ь . 1 1
1) Решить уравнение = -_.
5) Прямоугольный Д с острым углом а и высо¬
тою h (опущенной на гипотенузу) вращается во¬
круг оси, проходящей через вершину прямого уг¬
ла и параллельной гипотенузе. Определить обьем
тела вращения.
3) Привести к виду, удобному для логарифмн-
1 4- sin 2 а
рования r_-jn2- -
4) Даны две концентричные окружности с ра гну¬
сами R и г. Определить длину хорды большей ок¬
ружности, касательной к меньшей окружности.
5) Решить уравнение 3 sin2;c — 3sin;c-cos.v —
— cos2*r= 1.
6) Найти сумму 9 членов арифметической про¬
грессии, 6-й член которой равен 5, а сумма 3-го
и 8-го членов равна 5.
7) Найти, чему равняется Iog^ ^ ^ .
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От редакции . 3
Научный и научн о-n опулярный отдел
Проф. И. Чистяков, О новейших исследованиях в области древнейшей
истории математики &
Доц. С. Зетель, Об одном замечательном случае неравенства треуголь¬
ников 10
Проф. М. Зимин, О тригонометрических тождествах вида / (sin x)=/(cos х) . 14
Проф. И. Чистяков, Несколько замечаний о прогрессиях 1
Проф. И. Лобко, Из истории установления метрических мер 18
Доц. Ю. Кушнир, Фотоэлектрический эффект и его применение 32
Инм. 3. Гинзбург. Основные идеи телвсидения 38
Общая методика
Acrt. Т. Щербакова, Состояние преподавания физики в средней школе
в 1932/33 учебном году 45
Проф. П. Попов, Состояние астрономических знаний в школе в связи с
подготовкой к преподаванию астрономии на десятом
году обучения 52
Частная методика
В. Снигирев, Буквенные выражения 57
П. Ларичев, Система уравнений первой степени 61
Е. Загоскина. Площади прямолинейных фигур 66
П. Ларичев, Квадратные уравнения 70
И. Зерченинов, Как проводить поверочные испытания по математике - . 78
Н. Плешков, Определение частоты перемен переменного тока методом
звукового резонанса 82
Г. Фалеев, Демонстрация стоячих волн . 83
А. Белогорский. Некоторые указания при работе с универсальным мости¬
ком Кольрауша % 84
Вопросы преподавания за границей
А. Барсуков, Программа по математике в средней школе Франции .... 86
Задачи.