I	ДЖ. КОЛЛИНЗ
feg ПОВРЕЖДЕНИЕ
t * МАТЕРИАЛОВ
В КОНСТРУКЦИЯХ
< / г
АНАЛИЗ
Failure of Materials
in Mechanical Design
Analysis
Prediction
Prevention
J. A. COLLINS
The Ohio State University
A Wiley-lntercience Publication
John Wiley & Sons
New York • Chichester • Brisbane • Toronto • Singapore
1981
ДЖ. КОЛЛИНЗ
ПОВРЕЖДЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
В КОНСТРУКЦИЯХ
АНАЛИЗ
ПРЕДСКАЗАНИЕ
ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ
Перевод с английского
А. М. ВАСИЛЬЕВА
под редакцией
Э. И. ГРИГОЛЮКА
Научная библиотека ПГТУ
2000084187
МОСКВА «МИР» 1984
ББК 22.281
к во/
УДК 539.44-639.2
Коллинз Дж.
К60 Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, пред-
сказание, предотвращение: Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.—
624 с., ил.
Монография американского ученого, систематически излагающая методы иссле-
дования различных видов механического повреждения материалов — хрупкое разру-
шение, износ, усталость, ползучесть, выпучивание и т. д. Книга отличается широтой
охвата рассматриваемых проблем, сложный материал представлен ясно и доходчиво.
Подобных изданий в мировой литературе не было.
Для научных работников, инженеров, конструкторов, преподавателей, аспиран-
тов и студентов вузов.
1703040900-060
041 (01 )-84
43-84. 4.1
К
ББК 22.251
539.44-539,2
Редакция литературы по математическим наукам
5п^БР1БЛИОТ£ь:а *
' Пержкого шиитеАиг|,г,	;
J1 с т » I ? ? г	|
97610 1
© 1981 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights
Reserved. Authorized translation from English
language edition published by John Wiley
& Sons, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1984
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Точка зрения автора этой книги, написанной на основе читав-
шегося им курса лекций в ряде университетов США, состоит в том,
что на начальном этапе проектирования конструкции и ее элемен-
тов нужно предусмотреть возможные виды разрушения, проанали-
зировать их и принять меры к тому, чтобы при эксплуатации по
возможности отдалить процесс разрушения.
Книга посвящена анализу и оценке разрушения металлов. Ав-
тор подробно рассматривает его виды, дает классификацию 23
типов механического разрушения. При анализе пластического
поведения металлов он описывает дислокационные представления.
Важное место в книге занимают вопросы многоцикловой и мало-
цикловой усталости; привлекаются различные линейные и нели-
нейные представления о накоплении усталостных повреждений.
Заметное место отведено статистическому анализу разрушения в
условиях усталостного нагружения. Формулируется феноменоло-
гический взгляд на процессы ползучести, представлены данные
по опытам на ползучесть, в том числе и при циклическом законе
изменения температуры и внешней нагрузки.
Автор описывает выпучивание продольно сжатых стержней,
сжато скрученных стержней и потерю плоской формы равновесия
стержнями, а также особенности разрушения при воздействии
ударных нагрузок.
Важное внимание уделено также проблеме усталости в условиях
фреттинга, описывается износ при адгезионном, абразивном, кор-
розионном воздействиях на материал, характеризуется деформаци-
онный, ударный, а также фреттинг-износ.
Книга задумана как учебное пособие, и, разумеется, автор дает
необходимые сведения из механики деформируемого твердого тела,
с тем чтобы сделать изложение ясным и завершенным. Он приводит
теорию поля деформаций и напряжений в точке, описывает элемен-
ты теории упругости и пластичности, разбирает многочисленные
гипотезы прочности бездефектного материала, дает сведения о коэф-
фициентах концентрации в упругой и пластической областях де-
формирования.
К сожалению, многочисленная отечественная литература по
разрушению оказалась вне поля зрения автора, и читателю следу-
ет иметь это в виду. В связи с этим целесообразно отметить вышед-
8
Предисловие
основе постоянных бесед автора с инженерами в процессе научно-
исследовательской деятельности и в бытность его консультантом.
Построение курсов лекций в Университете шт. Аризона и в
Университете шт. Огайо во многом было одинаковым. Оно было
подчинено решению следующих задач. Получив представления
о видах механического разрушения в реальном мире, студенты
приобретали возможность более глубокого изучения фундаменталь-
ных курсов механики деформируемого твердого тела и проекти-
рования машин. Одновременно с этим должны были существенно
расшириться возможности овладения практическими навыками
применения общетеоретических знаний к исследованию трехмер-
ного напряженно-деформированного состояния, условий разруше-
ния, предсказанию и предотвращению повреждений. Студенты же
старших курсов, уже изучившие общетехнические дисциплины и
прослушавшие спецкурсы, должны были достичь большего пони-
мания практических задач мира техники. Плодотворность приня-
той методологии построения курсов подтверждается многими по-
ложительными отзывами специалистов из среды бывших слушате-
лей лекций по материалам рукописи этой книги на различных эта-
пах ее создания.
Наличие многочисленных практических примеров и рекомен-
даций, выкристаллизовавшихся в результате рассмотрения разно-
образных производственных задач, с которыми автору пришлось
столкнуться в процессе научно-исследовательской и консультант-
ской деятельности, а также во время чтения лекций инженерам-
практикам, позволяет использовать книгу и в качестве справоч-
ника.
Я обнаружил, что по мере того, как проходят годы, становится
все более невозможным отличить мои собственные оригинальные
идеи от идей, возникших в результате чтения и обсуждения работ
других авторов. В связи с этим хотелось бы принести извинения
тем из них, которые, возможно, найдут на этих страницах свои
результаты, приведенные без специальных ссылок, а также выра-
зить им свою признательность. Особую признательность я хотел
бы выразить моим учителям студенческих лет — профессору Стар-
ки и покойному профессору Марко. Несомненно, во многом их
воззрения впоследствии стали моими собственными. Наконец, я
благодарен за многочисленные полезные советы и замечания моим
бывшим ученикам и коллегам по работе в промышленности.
Колумбус, Огайо
Декабрь 1980 г.
Джек А. Коллинз
ГЛАВА 1
РОЛЬ ИССЛЕДОВАНИЙ РАЗРУШЕНИЯ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ КОНСТРУКЦИИ
Хитрее в мире повозки нет,
Построил мастер на сотню лет.
Прошло столетье в единый миг —
От той повозки остался...
Оливер Уинделл Холмс мл.*)
«Старый фаэтон»
1.1.	ВВЕДЕНИЕ
Механическое разрушение можно определить как любое изменение
размера, формы или свойств материала конструкции, машины или
отдельной детали, вследствие которого конструкция или машина
уже не может удовлетворительно выполнять свои функции. Ос-
новной задачей конструктора является создание такой конструк-
ции, которая выполняла бы предназначенные ей функции в тече-
ние заданного срока и при этом была бы конкурентоспособной.
Успешное создание конкурентоспособных изделий, которые не
разрушались бы преждевременно, может быть осуществлено лишь
при умении предвидеть и оценивать вероятность всех возможных
видов разрушения, представляющих опасность для создаваемых
изделий. Чтобы выявить возможные виды разрушения, необходимо
по крайней мере иметь представление о всех встречающихся на
практике видах разрушения и об условиях, при которых они могут
происходить. Если конструктор желает добиться успеха в предот-
вращении разрушения в течение заданного срока эксплуатации
изделия, он должен хорошо владеть аналитическими и (или) эмпи-
рическими методами оценки возможности разрушений. Ясно, что
исследование разрушения, его предсказание и предотвращение
являются важнейшими задачами конструктора, желающего до-
биться определенного успеха.
1.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Проектирование представляет собой итерационный процесс, целью
которого является создание новой или усовершенствование уже су-
ществующей технической системы (или устройства) для удовлетво-
рения потребностей или желаний человека при условии экономного
расходования ресурсов и соблюдении требований охраны окружающей
♦> Из книги: Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи. Пер.
с англ. В. Д. Эфроса / под ред. С. Т. Милейко.— М.: Мир, 1980. — Прим, перев.
10 Гл. 1. Роль исследований разрушения при проектировании
среды. Данное определение содержит несколько определяющих
конструкторскую деятельность понятий, которые оказали сущест-
венное влияние на характер изложения материала в этой книге.
Основной целью любого технического проекта является удов-
летворение потребностей или желаний человека, иначе это будет
для инженера пустой тратой времени. Создает ли конструктор но-
вое устройство или модернизирует уже существующее, он должен
стремиться создать «наилучшую», или оптимальную, конструкцию
с учетом, конечно, ограниченности выделенных ему времени и
средств. К сожалению, при создании сложных технических систем
условия абсолютной оптимальности конструкции зачастую невоз-
можно определить, а тем более практически невозможно создать
такую конструкцию. Если даже и удастся определить условия оп-
тимальности конструкции, создание ее может потребовать очень
больших затрат. Конкуренция часто требует улучшения характе-
ристик конструкции, увеличения срока ее эксплуатации, снижения
веса или уменьшения стоимости. Это означает, что конкуренция
вызывает необходимость оптимизации конструкции инженерными
средствами по ее характеристикам, сроку эксплуатации, весу,
стоимости или по всем этим критериям одновременно при условии,
конечно, осознания ответственности за сохранность ресурсов и
окружающей среды.
1.3.	ОСНОВНАЯ ПРОБЛЕМА
За последние три или четыре десятилетия технические достижения
стали настолько привычными для нашего общества, что в будущем
несомненны новые, более впечатляющие успехи. Появление новых
материалов, необходимость повышения эксплуатационных скорос-
тей и температур, необходимость снижения веса, уменьшения объе-
ма, увеличения сроков эксплуатации, снижения стоимости и дости-
жения экологической совместимости — все это вызывает необхо-
димость совершенствования методов расчета.
Например, обычными становятся скорости вращения вала 30 000
об/мин и более и температура эксплуатации 2000°F (1100°С) и выше.
Многим инженерам приходится иметь дело с режимами сверхзву-
ковых полетов и космическими условиями, ядерным облучением
в сочетании с повышенными температурами и длительным воздейст-
вием динамических нагрузок. Не менее серьезные проблемы возни-
кают в связи с созданием сверхминиатюрной техники протезов для
сердечно-сосудистой системы или других органов человека.
Все это вынуждает конструкторов и расчетчиков более тща-
тельно исследовать поведение материалов, внимательнее изучать
особенности условий эксплуатации, добиваться лучшего понима-
ния разнообразных видов механического разрушения. Возникает
необходимость лучшего понимания особенности напряженно-де-
формированного состояния при динамическом нагружении в не-
1.4. Некоторые цели проектирования 11
благоприятных условиях и влияния полей остаточных напряжений,
возникающих в процессе изготовления. Осознание того, что во
всех реальных материалах и конструкциях с самого начала сущест-
вуют трещиноподобные дефекты, заставило разработать новые ме-
тоды, позволяющие исследовать распространение трещин в услови-
ях как монотонных, так и циклических нагружений. Возможность
контроля и ремонта стали такими же важными критериями качест-
ва конструкции, как надежность и работоспособность.
Противоречащим требованиям увеличения мощности и умень-
шения размеров можно удовлетворить, либо (1) разрабатывая но-
вые, более прочные и жесткие материалы, либо (2) эффективнее
используя прочность и жесткость имеющихся материалов. Первая
из этих возможностей относится к области материаловедения и не
будет рассматриваться в книге. Вторая же возможность является
основной задачей конструкторов и расчетчиков — именно она и
послужила поводом для написания этой книги. Для более эффек-
тивного использования прочности и жесткости существующих ма-
териалов в условиях постоянно возрастающих требований к тех-
нике завтрашнего дня конструктору потребуется в полной мере
использовать доступные ему аналитические методы, инженерный
опыт, творческую выдумку и интуицию.
1.4.	НЕКОТОРЫЕ ЦЕЛИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В некотором смысле «идеальной» конструкцией была бы такая,
которая полностью разрушилась бы по истечении заранее заданного
срока. Другими словами, каждая деталь каждого элемента машины
должна быть спроектирована так, чтобы она обращалась в пыль
в точно заданный момент времени. Однако по многим причинам
создание такой конструкции невозможно и, вероятно, даже неже-
лательно, хотя именно в такой конструкции наиболее полно ис-
пользовались бы возможности материала.
Если бы было можно изготовить такую «идеальную» конструк-
цию, непременно потребовались бы проведение уточненных иссле-
дований, большого количества сложных экспериментов, полного
анализа всех свойств материала, а также точное задание эксплуата-
ционных условий и, конечно, талантливый конструктор, который
мог бы осуществить все это. Поскольку проведение таких исследо-
ваний требует больших затрат как времени, так и средств, грамот-
ный инженер должен в каждом конкретном случае уметь оценить
целесообразность затрат средств и труда. Ясно, что так называемая
идеальная конструкция, стоимость которой в десять раз превышает
стоимость «неидеальной», но вполне приемлемой конструкции, не
может быть предметом гордости инженера. Вопрос о том, когда
следует остановиться при расчетах и приступить к изготовлению
конструкции, является основным для каждого инженера и руково-
дителя. Чтобы выяснить, достигнуты ли основные цели проекти-
12 Гл. 1. Роль исследований разрушения при проектировании
рования, обычно анализируются и учитываются следующие фак-
торы:
1.	Все детали машины или конструкции должны передавать
нагрузку и совершать необходимые движения эффективно и эко-
номично.
2.	Ни одна деталь не должна разрушаться раньше некоторого
заданного срока эксплуатации.
3.	Каждая деталь должна выполнять предназначенную ей функ-
цию, не мешая функционированию других частей машины.
4.	Деталь должна быть такой, чтобы ее можно было изготовить
и смонтировать в машине.
5.	Стоимость готовой детали должна соответствовать ее назна-
чению.
6.	Вес детали и занимаемый ею объем должны соответствовать
назначению.
7.	Должна быть обеспечена возможность обслуживания и ре-
монта в процессе всего срока эксплуатации конструкции деталей,
для которых это требуется.
8.	Машина или конструкция должна не только удовлетвори-
тельно функционировать в течение заданного времени, но и быть
конкурентоспособной и прибыльной для изготовителя.
1.5.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотя в последующих главах вопросы проектирования непосредст-
венно не затрагиваются, все описанные методы и приемы исследо-
вания призваны помочь конструктору в достижении стоящих перед
ним целей. Там, где это возможно, описаны аналитические методы;
там же, где при исследовании и прогнозировании разрушения не-
возможно обойтись без эмпиризма, сделаны соответствующие ука-
зания. Необходимо отметить, что методы предотвращения разру-
шений постоянно совершенствуются и изменяются. Поэтому пред-
лагаемая книга ни в коем случае не является «последним словом»:
она призвана дать в руки инженера научно обоснованный и прак-
тически полезный инструмент, эффективность использования кото-
рого по мере накопления знаний и опыта будет увеличиваться.
ВОПРОСЫ
1.	Как, по вашему мнению, в цитированном в качестве эпиграфа к гл. 1
отрывке из стихотворения Оливера Уинделла Холмса младшего «Старый фаэтон»,
трактуется понятие «идеальной конструкции»?
2.	Сформулируйте задачи, стоящие перед конструктором машин с улучшен-
ными техническими характеристиками.
3.	Определите термин техническое проектирование и поясните все важные
понятия, использованные в этом определении.
4.	Перечислите несколько факторов, по которым можно судить, насколько
удачно спроектирована конструкция.
Вопросы 13
5.	Укажите, от чего, по вашему мнению, зависит рыночная цена технического
изделия, например газовой турбины самолета. Что из указанного непосредственно
определяется качеством работы конструктора?
в. Выпишите формулы сопротивления материалов, которые могут быть
полезными при расчете напряжений. Включите в ваш перечень случаи осевого на-
гружения, изгиба, давления штампа, чистого сдвига при кручении и поперечного
сдвига.
7.	Чрезвычайно важно правильно решить вопрос, когда следует закончить
расчеты и приступить к производству. Изложите письменно (объемом около 300
слов) ваше мнение о том, какие факторы должны учитываться при решении этого
вопроса.
8.	Возможность контроля, ремонта, надежность и работоспособность яв-
ляются важными показателями качества конструкции. Определите каждый из
них и кратко поясните, почему эти показатели важны.
9.	При каких обстоятельствах конструктор может использовать эмпиризм
вместо высокоточных аналитических методов?
ГЛАВА 2
ВИДЫ МЕХАНИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
2.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА РАЗРУШЕНИЯ
В гл. 1 говорилось, что механическое разрушение может быть опре-
делено как любое изменение размера, формы или свойств материала
конструкции, машины или отдельной детали, в результате которого
она утрачивает способность удовлетворительно выполнять свои
функции. Основываясь на этом, вид разрушения можно определить
как физический процесс или несколько взаимосвязанных между
собой процессов, приводящих к разрушению.
Проф. Старки (W. L. Starkey) из Университета шт. Огайо пред-
ложил систему классификации всех возможных видов разрушения.
Эта система основана на учете трех факторов: (1) характера разру-
шения, (2) причин разрушения и (3) места разрушения. Подробно
эти факторы определяются ниже. Каждый отдельный еид разру-
шения характеризуется тем, как проявляется разрушение, что его
вызывает и где оно происходит. Используя различные комбинации
этих факторов, можно указать буквально сотни видов разрушения.
Чтобы подробнее пояснить суть этой системы классификации, рас-
кроем содержание каждого из этих трех факторов.
По характеру разрушения можно выделить четыре класса (при-
чем некоторые из них могут состоять из подклассов):
1.	Упругая деформация.
2.	Пластическая деформация.
3.	Разрыв, или разделение на части.
4.	Изменение материала: (А) металлургическое; В) химическое;
(С) ядерное.
По причинам разрушения можно определить четыре класса:
1.	Нагрузки: (А) установившиеся; (В) неустановившиеся; (С)
циклические; (D) случайные.
2.	Время процесса: (А) очень малое; (В) малое; (С) продолжи-
тельное.
3.	Температуры: (А) низкие; (В) комнатные; (С) повышенные;
(D) установившиеся; (Е) неустановившиеся; (F) циклические; (G)
случайные.
4.	Воздействия окружающей среды: (А) химические; (В) ядер-
ные.
По месту разрушения существует два типа разрушения: (А)
объемное; (В) поверхностное.
2,2. Наблюдаемые виды разрушения 15
Для точного описания какого-либо вида разрушения необходи-
мо выбрать характеристики процесса из указанного перечня, не
упуская из виду ни одного из трех основных факторов. Например,
для описания разрушения в качестве характерного проявления
можно выбрать пластическую деформацию, в качестве причин —
установившуюся нагрузку и комнатную температуру, а в качест-
ве типа — объемный тип разрушения. Таким образом, указанный
вид разрушения можно определить как объемное пластическое де-
формирование под действием установившейся нагрузки при ком-
натной температуре. Такой вид разрушения обычно называется
течением. Отметим, однако, что термин течение обычно определяет
не только указанный вид разрушения: этот термин имеет более
общий смысл.
Используя перечисленные классы и подклассы трех основных
факторов, определяющих вид разрушения, можно дать определе-
ние многих других видов разрушения. Приведенный перечень ха-
рактеристик процесса разрушения нуждается в дополнительном
пояснении и конкретизации, особенно применительно к наиболее
опасным видам разрушения. В разд. 2.2 перечислены двадцать три
таких вида разрушения. Остальная часть книги посвящена подроб-
ному их анализу, причем некоторым из наиболее важных видов
разрушения посвящены целые главы.
2.2.	НАБЛЮДАЕМЫЕ ВИДЫ РАЗРУШЕНИЯ
Нижеследующий перечень содержит наиболее часто встречающиеся
на практике виды разрушения. Глядя на этот перечень, можно за-
метить, что некоторые виды разрушения являются простым про-
цессом, в то время как другие представляют собой сложные явле-
ния. Например, в этом перечне в качестве видов разрушения ука-
заны коррозия и усталость, а наряду с этим в качестве еще одного
вида разрушения указана коррозионная усталость. Это сделано
потому, что и коррозия, и усталость часто оказывают существен-
ное влияние на поведение конструкций, причем механизмы их дей-
ствия взаимосвязанны. Это означает, например, что при коррози-
онной усталости коррозия ускоряет процесс усталости, а действие
циклических усталостных нагрузок в свою очередь ускоряет про-
цесс коррозии. В приведенном перечне содержатся все обычно на-
блюдаемые виды механического разрушения.
1.	Упругая деформация, вызванная действием внешних нагрузок
и (или) температуры.
2.	Текучесть.
3.	Бринелирование.
4.	Вязкое разрушение.
5.	Хрупкое разрушение.
6.	Усталость: (А) многоцикловая; (В) малоцикловая; (С) герми-
16 Гл. 2. Виды механического разрушения
чес кая; (D) поверхностная; (Е) ударная; (F) коррозионная; (G)
фреттинг-усталость.
7.	Коррозия: (А) химическая; (В) электрохимическая; (С) ще-
левая; (D) точечная (питтинговая); (Е) межкристаллическая; (F)
избирательное выщелачивание; (G) эрозионная; (Н) кавитационная;
(I) водородное повреждение; (J) биологическая; (К) коррозия под
напряжением.
8.	Износ: (А) адгезионный; (В) абразивный; (С) коррозионный;
(D) поверхностный усталостный; (Е) деформационный; (F) ударный;
(G) фреттинг-износ.
9.	Разрушения при ударе: (А) разрыв при ударе; (В) деформи-
рование при ударе; (С) ударный износ; (D) ударный фреттинг; (Е)
усталость при ударе.
10.	Фреттинг: (А) фреттинг-усталость; (В) фреттинг-износ;
(С) фреттинг-коррозия.
11.	Ползучесть.
12.	Термическая релаксация.
13.	Разрыв при кратковременной ползучести.
14.	Тепловой удар.
15.	Заедание и схватывание.
16.	Откол.
17.	Радиационное повреждение.
18.	Выпучивание.
19.	Выпучивание при ползучести.
20.	Коррозия под напряжением.
21.	Коррозионный износ.
22.	Коррозионная усталость.
23.	Ползучесть с усталостью.
Краткие пояснения этих терминов даны в разд. 2.3. Более пол-
ное описание многих наиболее важных видов разрушения содер-
жится в последующих главах.
2.3.	КРАТКАЯ СВОДКА ВИДОВ МЕХАНИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Ниже дается краткое определение с соответствующими пояснениями
перечисленных в предыдущем разделе видов механического раз-
рушения.
Упругая деформация, вызванная действием внешних нагрузок
и (или) температур. Этот вид разрушения имеет место, когда уп-
ругая (обратимая) деформация элемента, возникающая при дейст-
вии эксплуатационных нагрузок и температур, становится настоль-
ко большой, что элемент утрачивает способность выполнять пред-
назначенную ему функцию.
Текучесть имеет место, когда пластическая (необратимая) де-
формация пластичного элемента, возникающая при действии экс-
плуатационных нагрузок, становится настолько большой, что эле-
2.3. Краткая сводка видов механического разрушения 17
мент утрачивает способность выполнять предназначенные ему
функции.
Бринелирование, или разрушение вдавливанием, происходит,
когда статические усилия в месте контакта криволинейных поверх-
ностей приводят к появлению локальных пластических деформаций
у одного или у обоих соприкасающихся элементов, в результате
чего происходит необратимое изменение формы поверхности. На-
пример, если шарикоподшипник статически нагружен так, что ша-
рик вдавливается в обойму, пластически деформируя ее, то по-
верхность обоймы становится волнистой. При дальнейшем исполь-
зовании подшипника могут возникнуть недопустимые вибрации,
шум и перегрев, т. е. налицо его разрушение.
Вязкое разрушение наблюдается, когда пластическая деформа-
ция пластичного элемента достигает такой величины, что он раз-
деляется на две части. Разрушение происходит в результате про-
цесса зарождения, слияния и распространения внутренних пор,
поверхность разрушения при этом гладкая и волнистая.
Хрупкое разрушение происходит, когда упругая деформация
элемента из хрупкого материала достигает такой величины, что
разрушаются первичные межатомные связи и элемент разделяется
на две или более части. Внутренние дефекты и образующиеся тре-
щины быстро распространяются до полного разрушения; поверх-
ность разрушения при этом неровная, зернистая.
Термин усталость применяется для обозначения разрушения
в виде неожиданного внезапного разделения детали или элемента
машины на две или более части в результате действия в течение
некоторого времени циклических нагрузок или деформаций. Раз-
рушение происходит путем зарождения и распространения трещи-
ны, которая после достижения некоторого критического размера
становится неустойчивой и быстро увеличивается, вызывая разру-
шение. Нагрузки и деформации, при которых обычно происходит
усталостное разрушение, намного ниже тех, которые приводят к
разрушению в статических условиях. Когда величины нагрузок
и перемещений таковы, что разрушение происходит более чем через
10 000 циклов, явление обычно называется многоцикловой устало-
стью. Когда же величины нагрузок и перемещений таковы, что
разрушение происходит менее чем через 10 000 циклов, явление
называется малоцикловой усталостью.
Когда циклические нагрузки и деформации возникают в дета-
ли в результате действия циклически меняющегося температурно-
го поля, явление обычно называется термической усталостью.
Разрушение, называемое поверхностной усталостью, обычно про-
исходит при наличии вращающихся контактирующих поверхнос-
тей. Проявляется оно в виде питтинга, растрескивания и выкра-
шивания контактирующих поверхностей в результате действия
контактных напряжений, под влиянием которых на небольшой
глубине у поверхности возникают максимальные по величине цик-
18 Гл, 2. Виды механического разрушения
лические касательные напряжения. Эти напряжения приводят к
возникновению трещин, которые выходят на поверхность, при
этом некоторые частицы материала отделяются. Это явление часто
считается разновидностью износа. Ударная усталость, коррозион-
ная усталость и фреттинг-усталость будут описаны ниже.
Коррозия — термин, используемый для обозначения широкого
класса видов разрушения, при которых деталь или элемент машины
утрачивает способность исполнять свою функцию из-за нежела-
тельной порчи материала в результате химического или электро-
химического взаимодействия с окружающей средой. Коррозионное
разрушение часто проявляется во взаимодействии с другими видами
разрушения, такими, как износ или усталость. Среди многих типов
коррозии отметим следующие. Химическая коррозия представляет
собой, по-видимому, наиболее общий тип коррозии вследствие не-
посредственного контакта поверхности детали с коррозионной сре-
дой. Химическая коррозия происходит более или менее равномерно
по всей открытой поверхности детали. Электрохимическая коррозия
происходит, когда два разнородных металла образуют часть элект-
рической цепи, замыкаемой раствором или пленкой электролита
или коррозионной средой.
Щелевая коррозия — в значительной степени локализованный
быстропротекающий процесс в щелях, трещинах или стыках, т. е.
в местах, где задерживаются малые количества раствора, соприка-
сающегося с корродирующим металлом. Точечная (питтинговая)
коррозия представляет собой локализованные воздействия, в ре-
зультате которых происходит образование углублений и ямок на
поверхности металла. Межкристаллическая коррозия характери-
зуется локальными воздействиями на границах зерен некоторых
медных, хромовых, никелевых, алюминиевых, магниевых и цинко-
вых сплавов после неправильной термообработки или сварки. Об-
разование локальных гальванических ячеек, в которых осажда-
ются продукты коррозии, приводит к существенному снижению
прочности материала в результате межкристаллической корро-
зии.
Избирательное выщелачивание представляет собой коррозион-
ный процесс, в результате которого из сплава удаляется какой-
либо элемент. Примерами могут служить процессы обесцинкования
латуни и графитизации чугуна. Эрозионная коррозия — это быст-
ропротекающий химический процесс, при котором в результате
воздействия абразивных веществ или потоков вязких материалов
на поверхности материала постоянно в месте контакта с коррози-
онной средой обнажается свежий незащищенный материал. Кави-
тационная коррозия наблюдается, когда под влиянием давления
пара пузырьки и каверны в жидкости лопаются у поверхности
сосуда давления, в результате чего удаляются частицы материала
и открывается доступ коррозионной среде к свежему, незащищен-
ному материалу.
2.3. Краткая сводка видов механического разрушения 19
Водородное повреждение, хотя само и не является какой-либо
разновидностью коррозии, вызывается ею. К этому виду поврежде-
ния относятся насыщение водородом, водородное охрупчивание и
обезуглероживание. Биологическая коррозия представляет собой
процесс коррозии вследствие активности живых организмов, а
именно процессов поглощения ими пищи и выделения отходов.
Отходами являются вызывающие коррозию кислоты и гидроокиси.
Коррозия под напряжением — очень важная разновидность корро-
зии (она будет отдельно рассмотрена ниже).
Износ является нежелательным процессом постепенного изме-
нения размеров вследствие удаления отдельных частиц с контак-
тирующих поверхностей при их движении, обычно скользящем,
относительно друг друга. Износ является в основном результатом
механического действия. Это сложный процесс, точнее даже ряд
различных процессов, которые могут протекать как независимо,
так и взаимосвязанно. Результатом этих процессов является удале-
ние материала с. контактирующих поверхностей вследствие слож-
ного взаимодействия локальных сдвигов, вдавливаний, сваривания
материала, разрывов и других механизмов.
Адгезионный износ происходит в результате действия высоких
локальных давлений, сваривания между собой шероховатостей
поверхностей, последующей пластической деформации, возникаю-
щей при их относительном перемещении, разрушения локальных
сцеплений шероховатостей, удаления или переноса металла. При
абразивном износе частицы удаляются с поверхности в результате
режущего или царапающего действия неровностей более твердой
из контактирующих поверхностей или твердых частиц, задержав-
шихся между поверхностями. Когда одновременно возникают усло-
вия как для адгезионного, так и для абразивного износа и корро-
зии, эти процессы взаимодействуют между собой и происходит кор-
розионный износ.
Поверхностный усталостный износ представляет собой изнаши-
вание вращающихся или скользящих относительно друг друга кри-
волинейных поверхностей. При этом в результате действия цикли-
ческих касательных напряжений на небольшой глубине у поверх-
ности возникают микротрещины, выходящие на поверхность, отка-
лываются макрочастицы материала и на поверхности образуются
ямки. Деформационный и: нос происходит в результате повторного
пластического деформирсвапия изнашиваемых поверхностей, при-
водящего к образованию сетки трещин, при росте и объединении
которых образуются частицы износа. Деформационный износ часто
наблюдается при действии ударных нагрузок. Ударный износ имеет
место при повторном упругом деформировании в процессе действия
ударных нагрузок, образовании сетки ”пцин. которые растут
так же, как при поверхностной усталости. Фреттинг-износ описан
ниже.
20 Гл. 2. Виды механического разрушения
Разрушение при ударе происходит, когда в результате действия
неустановившихся нагрузок в детали возникают такие напряжения
или деформации, что деталь уже не в состоянии выполнить предназ-
наченную ей функцию. Разрушение происходит в результате взаи-
модействия волн напряжений и деформаций, являющихся следст-
вием динамического или внезапного приложения нагрузок. Взаи-
модействие волн может приводить к возникновению локальных
напряжений и деформаций, во много раз превышающих возни-
кающие при статическом приложении тех же самых нагрузок.
Если величины напряжений и деформаций таковы, что происходит
разделение детали на две или более частей, то налицо разрыв при
ударе. Если удар приводит к возникновению недопустимых упру-
гих или пластических деформаций, такое разрушение называется
деформированием при ударе. Если при повторных ударах возникают
циклические упругие деформации, в результате чего появляется
сетка усталостных трещин, при росте которых наблюдается описан-
ное ранее явление поверхностной усталости, то процесс называется
ударным износом.
Если в результате малых относительных поперечных смещений
двух поверхностей при ударе, которые могут вызываться попереч-
ными деформациями или действием случайных малых боковых
составляющих скоростей, происходит фреттинг (подробнее это яв-
ление будет описано ниже), то разрушение называется ударным
фреттингом. Усталость при ударе наблюдается, когда разруше-
ние происходит при повторном действии ударных нагрузок вследст-
вие образования и распространения усталостных трещин.
Фреттинг может происходить на поверхности контакта двух
твердых тел, прижатых друг к другу нормальной силой и совер-
шающих относительно друг друга циклические движения малой
амплитуды. Фреттинг обычно имеет место в местах соединений,
там, где движения не должно быть, но в результате действия вибра-
ционных нагрузок или деформаций незначительные циклические
смещения все-таки есть. Обычно отколовшиеся при фреттинге час-
тицы материала задерживаются между контактирующими поверх-
ностями, поскольку относительные смещения их малы.
Фреттинг-усталостъ представляет собой преждевременное ус-
талостное разрушение детали машины, на которую действуют цик-
лические нагрузки или деформации в условиях, способствующих
фреттингу. Поверхностные повреждения и микротрещины, появ-
ляющиеся в результате фреттинга, играют роль зародышей уста-
лостных трещин, в результате роста которых усталостное разруше-
ние происходит при таких нагрузках, которые в других условиях
не вызывали бы разрушения. Фреттинг-усталость — очень опасный
и коварный вид разрушения, поскольку фреттинг обычно происхо-
дит в местах соединений, не доступных для наблюдения, и приво-
дит к преждевременному или даже неожиданному (внезапному)
катастрофическому усталостному разрушению.
2.3. Краткая сводка видов механического разрушения 21
Фреттинг-износ наблюдается, когда изменения размеров кон-
тактирующих деталей в результате фреттинга становятся недопус-
тимо большими или такими, что появляются концентраторы на-
пряжений и локальные напряжения превышают допустимый уро-
вень. Фреттинг^коррозия происходит, когда в результате фреттин-
га свойства материала детали ухудшаются настолько, что она не
может выполнять своих функций.
Разрушение в результате ползучести происходит, когда пласти-
ческая деформация элемента машины или конструкции, накоплен-
ная в течение некоторого времени действия напряжений и темпе-
ратуры, приводит к изменениям размеров, вследствие которых
элемент не может удовлетворительно выполнять предназначенную
ему функцию. Процесс ползучести, как правило, можно разделить
на три стадии: (1) неустановившуюся, или первичную, ползучесть,
во время которой скорость деформации уменьшается; (2) установив-
шуюся, или вторичную, ползучесть, во время которой скорость
деформации практически постоянна, и (3) третичную ползучесть,
при которой скорость деформации ползучести увеличивается (час-
то довольно быстро) вплоть до разрушения. Такой вид разрушения
часто называется разрывом при ползучести. Произойдет или нет
такое разрушение — зависит от характера изменения во времени
напряжений и температуры.
Термическая релаксация наблюдается, когда в процессе ползу-
чести, приводящей к релаксации предварительно напряженной
или деформированной детали, ее размеры изменяются так, что де-
таль уже не может выполнять предназначенной ей функции. На-
пример, если предварительно напряженные болты сосуда давления,
работающего в условиях высоких температур, релаксируют вследст-
вие ползучести так, что нагрузка от максимального давления пре-
вышает предварительную нагрузку и герметичность соединения
нарушается, говорят, что болты разрушаются вследствие термиче-
ской релаксации.
Разрыв при кратковременной ползучести тесно связан с процес-
сом ползучести, однако при этом зависимость напряжений и темпе-
ратуры от времени такова, что элемент разделяется на две части.
При этом напряжения и температура, как правило, таковы, что
период установившейся ползучести очень непродолжителен или
совсем отсутствует.
Тепловой удар происходит, когда градиенты возникающего в
детали температурного поля настолько велики, что вследствие пере-
падов температурных деформаций начинается текучесть или разру-
шение.
Заедание наблюдается в случае, когда на две скользящие друг
по другу поверхности действуют такие нагрузки и температуры, а
скорость скольжения, смазка и условия окружающей среды тако-
вы, что в результате значительной пластической деформации шеро-
ховатостей поверхностей, их сваривания, отламывания и царапаю-
22 Гл. 2. Виды механического разрушения
щего действия происходит существенная деструкция поверхности
и перенос металла с одной поверхности на другую. Заедание можно
считать очень интенсивным процессом адгезионного износа. Когда
указанные процессы приводят к значительному ослаблению сое-
динения или, наоборот, к схватыванию, говорят, что соединение
разрушается в результате заедания. Схватывание является, по
существу, интенсивным процессом заедания, при котором контак-
тирующие детали практически свариваются и их относительное
перемещение становится невозможным.
Разрушение отколом происходит, когда от поверхности детали
самопроизвольно отделяется часть материала, в результате чего
нормальная работоспособность элемента машины утрачивается. На-
пример, бронеплита разрушается в результате откола, когда при
ударе снаряда о наружную поверхность бронезащиты в плите
возникают волны напряжений, приводящие к отколу с внутренней
стороны части материала, которая сама становится смертоносным
снарядом. Другим примером разрушения отколом может служить
разрушение подшипников качения или зубьев шестерен вследствие
описанного ранее явления поверхностной усталости.
Разрушение вследствие радиационного повреждения означает,
что при радиационном облучении произошли такие изменения
свойств материала, что деталь уже не может выполнить своих функ-
ций. Обычно эти изменения связаны с потерей пластичности в ре-
зультате облучения и служат причиной начала процесса разруше
ния того или иного вида. Эластомеры и полимеры обычно более
подвержены радиационному повреждению, чем металлы, причем
прочностные характеристики последних после радиационного об-
лучения иногда улучшаются, хотя пластичность, как правило,
уменьшается.
Разрушение выпучиванием наблюдается, когда при некоторой
критической комбинации величины и (или) места приложения на-
грузки, а также формы и размеров детали ее перемещения или про-
гибы внезапно резко увеличиваются при малом изменении нагруз-
ки. Такое нелинейное поведение приводит к разрушению выпучива-
нием, если потерявшая устойчивость деталь уже не может выпол-
нять своих функций.
Разрушение вследствие выпучивания при ползучести происхо-
дит, когда по истечении некоторого времени в результате процесса
ползучести возникает неустойчивое состояние, т. е. нагрузки и
геометрические параметры детали становятся такими, что теряется
устойчивость и происходит разрушение.
Разрушение в результате коррозии под напряжением наблюда-
ется, когда действующие напряжения приводят к возникновению
локальных поверхностных трещин, располагающихся обычно вдоль
границ зерен, в детали, находящейся в коррозионной среде. Часто
образование трещин инициирует начало процессов разрушения
других видов. Разрушение в результате коррозии под напряжением
Вопросы 23
представляет собой очень опасный вид коррозионного разрушения,
поскольку ему подвержены многие металлы. Например, разнооб-
разные чугуны, стали, нержавеющие стали, медные и алюминиевые
сплавы подвержены коррозионному растрескиванию под напряже-
нием в некоторых коррозионных средах.
Разрушение вследствие коррозионного износа является сложным
видом разрушения, при котором неблагоприятные последствия
коррозии и износа приводят совместно к потере работоспособности
детали. В процессе коррозии часто образуются твердые абразивные
частицы, которые ускоряют изнашивание, а в процессе изнашива-
ния в свою очередь с поверхности постоянно удаляются защитные
слои и обнажается свежий металл, что ускоряет коррозию. Взаимное
влияние этих процессов друг на друга существенно повышает опас-
ность разрушения.
Коррозионная усталость представляет собой сложный вид раз-
рушения, при котором совместно сказываются неблагоприятные
эффекты коррозии и усталости, приводящие к разрушению. В про-
цессе коррозии на поверхности металла часто образуются ямки,
служащие концентраторами напряжений. В результате концентра-
ции напряжений процесс усталостного разрушения ускоряется.
Кроме того, трещины в хрупком слое продуктов коррозии служат
зародышами усталостных трещин, распространяющихся в основ-
ной металл. С другой стороны, в результате действия циклических
напряжений или деформаций происходит растрескивание и от-
слаивание продуктов коррозии, т. е. открывается доступ коррози-
онной среде к свежему металлу. Таким образом, оба процесса уско-
ряют друг друга, и опасность разрушения может быть очень боль-
шой.
Разрушение вследствие ползучести с усталостью является видом
разрушения, происходящего в условиях, вызывающих одновремен-
но и усталость, и ползучесть. Взаимодействие процессов ползучести
и усталости изучено пока недостаточно, но, по-видимому, оно синер-
гично.
^ОПРОСЫ
1.	Определите термины механическое разрушение и вид разрушения.
2.	Перечислите четыре класса характера разрушения и дайте пример каж-
дого из них.
3.	Перечислите четыре класса причины разрушения и дайте пример каждого
из них.
4.	Назовите два вида места разрушения и дайте пример каждого из них.
5.	Основываясь на научной литературе и (или) личном опыте, установите,
существуют ли какие-нибудь виды разрушения, отличные от перечисленных
в разд. 2.2.
6.	Взяв в качестве примера технической системы легковой автомобиль,
перечислите все виды разрушения, которые, по вашему мнению, представляют для
него опасность, и укажите, в каких местах они могут произойти.
24 Гл. 2. Виды, механического разрушения
7.	Выберите три представляющих для вас наибольший интерес вида разру-
шения и, используя литературу, охарактеризуйте письменно (объемом около
300 слов) каждый из них.
8.	Объясните, что означает синергический характер разрушения. Дайте три
примера и для каждого из них опишите синергическое взаимодействие процессов.
9.	Выберите 5 видов разрушения из приведенных в разд. 2.2 и классифици-
руйте их в соответствии с предложенной в разд. 2.1 системой.
10.	Укажите три наиболее вероятных вида разрушения для: (а) автомобиль-
ного двигателя, (Ь) сосуда высокого давления для силовой установки и (с) быто-
вой стиральной машины. Ответы обоснуйте.
ГЛАВА 3
ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИЯ МЕТАЛЛОВ
3.1.	ВВЕДЕНИЕ
В этой книге не делается попыток детального исследования пове-
дения материалов с позиций физики твердого тела, однако обраще-
ние к простой атомистической модели поведения металлов должно
помочь уяснить различные механизмы их повреждения. Читателю,
возможно, покажется удивительным, что природа явления метал-
лического сцепления и теория его количественного описания еще,
по существу, неизвестны. К настоящему времени предпринято много
попыток определить металлическое сцепление, используя сведения
о химическом строении материала и его свойствах или характери-
зуя отличия металлического сцепления от других видов межатом-
ных связей. Тем не менее из-за сложности строения металлов про-
стого выражения для точного определения сил сцепления пока
указать нельзя.
Общепринято считать, что металлы, как и все другие материалы,
состоят из атомов. Атомы .представляют собой электрические си-
стемы диаметра порядка 1 А (1 А=10“8 см). Отдельный атом состо-
ит из ядра, в котором сосредоточена его масса, и электронов, обра-
зующих облако вокруг ядра и определяющих химические свойства
атома. Совокупность атомов образует твердое тело благодаря дейст-
вию различных межатомных сил, которые в общем случае зависят
от температуры и давления. Межатомные силы могут быть либо
силами притяжения, либо силами отталкивания. Благодаря тому
что межатомные силы притяжения и отталкивания уравновешивают
друг друга, при любых заданных значениях температуры и давления
атомы твердого тела в пространстве располагаются упорядоченно.
Если за исходный уровень для определения потенциальной
энергии пары атомов взять состояние, при котором они бесконечно
далеки друг от друга (практически удалены друг от друга на не-
сколько сотен ангстрем), и считать, что в этом состоянии потенци-
альная энергия равна нулю, то при сближении атомов начинают
действовать межатомные силы притяжения, а потенциальная энер-
гия двухатомной системы становится отрицательной, поскольку
атомы совершают работу. После того как расстояние между ато-
мами достигнет некоторой критической величины (соответствующей
равновесному положению), начинают действовать межатомные силы
отталкивания, и для дальнейшего сближения атомов уже над ними
надо совершить работу.
26 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
Как показано в работе 14], потенциальная энергия двухатомной
системы может быть представлена в виде следующей функции рас-
стояния между атомами:
У = — Alr' + Blr"'	(3.1)
где V — потенциальная энергия, г — расстояние между атомами,
А — коэффициент пропорциональности для притяжения, В — ко-
v
Рис. 3.1. Кривые Кондона — хМорса, иллюстрирующие зависимость потенциаль-
ной энергии V и силы межатомного взаимодействия F от расстояния между ато-
мами г в двухатомной системе. (Из работы [4]; перепечатано с разрешения John
Wiley & Sons, Inc.) / — отталкивание, V=Blrm\ 2 — равнодействующая, V=
=—Alrn-\-Blrm\ 3 — притяжение, V = —Л/г"; 4— отталкивание, F=b!r*[
(Л4~8); 5 — равнодействующая; F=~a!'rM\ 6 — притяжение, F——air^
эффициент пропорциональности для отталкивания, п — показа-
тель степени притяжения, т — показатель степени отталкивания.
Используя это выражение для потенциальной энергии, можно
получить следующее выражение для равнодействующей силы взаи-
3.1. Введение 27
модействия атомов:
F = — ~д7 = ~ ТН+г + ТтТГ-	(3-2)
Вводя обозначения пА=а, mB=bt n+l = N, т+1=М, выражение
(3.2) можно переписать в виде
F = -a/rN + b/rM.	(3.3)
Выражения (3.1) и (3.3) имеют одинаковую форму; графически
эти функции показаны на рис. 3.1. Изображенные кривые извест-
ны как кривые Кондона — Морса. Величина расстояния г между
атомами, соответствующая минимуму потенциальной энергии, пред-
ставляет собой равновесное расстояние г0 для двух атомов. При
расположении атомов на расстоянии г0 друг от друга сила взаимо-
действия между ними равна нулю, и любая попытка перемещения
атомов в каком-либо направлении из этого положения приведет
к возникновению сил, стремящихся вернуть их в прежнее состоя-
ние.
Хотя приведенные кривые построены для изолированной пары
атомов, точно такого же типа поведение наблюдается, когда сво-
бодный атом оказывается в непосредственной близости к уже су-
ществующей кристаллической решетке. А именно: сначала при
приближении атома к кристаллической решетке возникает сила
притяжения, а потенциальная энергия системы при этом уменьша-
ется. Затем сила притяжения начинает уменьшаться и падает до
нуля, когда расстояние становится равным rQ. В этот момент вре-
мени потенциальная энергия системы достигает минимального зна-
чения. Если расстояние между атомами будет уменьшаться и даль-
ше, то возникнет сила отталкивания, стремящаяся возвратить атом
в равновесное состояние. Это объясняет наблюдаемый факт, что
атомы в любом кристаллическом веществе располагаются упорядо-
ченно. Различные упорядоченные расположения атомов называются
пространственными решетками. На первый взгляд может пока-
заться, что возможно образование большого количества различных
пространственных решеток. Однако Браве в 1848 г. установил, что
возможно образование лишь 14 различных решеток. Они показаны
на рис. 3.2.
Малые изменения межатомного расстояния в материале макро-
скопически проявляются в виде упругой деформации. Условная
деформация определяется в виде
г=(/-/0)//0,	(3.4)
где 8 — макроскопическая условная деформация, /0 — начальная
недеформированная длина, I — деформированная длина элемента.
Макроскопическая деформация в некотором направлении равна
среднему относительному изменению межатомного расстояния в
28 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
Рис. 3.2. Единичные ячейки 14 типов пространственных решеток: (1) триклинная
простая; (2) моноклинная простая; (3) моноклинная базоцентрированная; (4)
ромбическая простая; (5) ромбическая базоцентрированная; (6) ромбическая объ-
емноцентрированная; (7) ромбическая гранецентрированная; (8) гексагональная;
(9) ромбоэдрическая; (10) тетрагональная простая; (11) тетрагональная объемно-
центрированная; (12) кубическая простая; (13) кубическая объемноцентрирован-
ная; (15) кубическая гранецентрированная. (Из работы [1]; перепечатано с раз*
решения McGraw Hill Book Company.)
3.1. Введение 29
этом же направлении, т. е.
(3-5)
где я — относительное изменение межатомного расстояния, г0 —
равновесное расстояние, г — расстояние в деформированном состоя-
нии. Можно показать, что модуль Юнга должен быть пропорциона-
лен наклону кривой Кондона — Морса в окрестности точки с абс-
циссой г0. Обычно величина упругой деформации, наблюдаемой
у кристаллических материалов, редко превышает 0,5%. Как пока-
зано на рис. 3.3, касательная к кривой Кондона — Морса почти
Рис. 3.3. Область линейной упругости на кривой Кондона — Морса (F — сила,
т— расстояние). (Из работы (4J; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons,
Inc.) / — область упругости (деформация ±1/2%); 2 — касательная с наклоном
z^dF'dr в упругой области.
совпадает с кривой, изображающей силу в этой малой области из-
менения деформации. Практически сила является линейной функ-
цией деформации, как это и предполагается в теории упругости.
Хотя наибольшая упругая деформация у кристаллических тел,
включая технические металлы, обычно очень мала, сила, требуемая
для создания этой малой деформации, как правило, велика, а сле-
довательно, велики и напряжения. Отношение напряжения к де-
формации велико, поскольку приложенная сила совершает работу
в направлении, противоположном первичным межатомным связям.
Некоторые некристаллические материалы, такие, как стекло и
сетчатые полимеры, могут также вести себя линейно-упруго, так как
их структура такова, что с самого начала деформированию препят-
ствуют первичные связи. С другой стороны, некоторые некристал-
30 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
лические материалы, такие, как резина, состоят из переплетенных
длинноцепочечных молекул, которые могут обратимо (но не обяза-
тельно линейно) деформироваться на сотни процентов. Такие мате-
риалы обычно называются эластомерами.
На кривой Кондона — Морса, показанной на рис. 3.4 и изобра-
жающей зависимость потенциальной энергии от межатомного рас-
стояния, величина г0 представляет собой равновесное расстояние
между атомами при температуре, равной абсолютному нулю. Если
системе двух атомов дополнительно сообщается тепловая энергия,
Рис. 3.4. Кривая Кондона — Морса, изображающая зависимость потенциальной
энергии V от межатомного расстояния г при различных температурах. (Из рабо-
ты 14]; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons, inc.)
атомы начинают колебаться около равновесного положения на рас-
стоянии ге друг от друга. Наименьшее и наибольшее расстояние
между атомами при температуре например, обозначены на рис.
3.4 через га и гь соответственно. Среднее значение межатомного
расстояния при этой температуре обозначено через ге, Вследствие
несимметрии кривой потенциальной энергии средняя величина
расстояния между атомами возрастает с увеличением температуры
(за исключением случаев некоторых аллотропных превращений).
Изменение среднего межатомного расстояния с изменением темпе-
ратуры на макроскопическом уровне наблюдается как изменение
размеров вследствие температурного расширения.
3.2.	ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ПРИЛОЖЕНИИ СДВИГОВЫХ УСИЛИЙ
Деформация системы атомов, более сложной, чем двухатомная мо-
дель, изображена на рис. 3.5. Приложение сдвиговых напряжений
т к плоскостям внутри кристалла приводит к перемещению атомов
3.2. Деформация при приложении сдвиговых усилий 31
из первоначального положения на величину 6. Если перемещение
мало, то деформация упруга и обратима. Это означает, что после
снятия приложенного сдвигового напряжения атомы возвратятся
в первоначальное положение. Если, однако, величина сдвигового
Рис. 3.5. Деформация простой кубической решетки атомов при приложении каса-
тельного напряжения. (Из работы [4]; перепечатано с разрешения John Wiley
& Sons, Inc.) Штрихпунктирной линией обозначена плоскость сдвига.
напряжения достаточно велика, чтобы переместить атом 1 в сред-
нее положение между атомами 2 и 4, то этот атом будет находиться
в состоянии неустойчивого равновесия по отношению к атомам 2
и 4 и может либо занять новое равновесное положение непосредст-
Рис. 3.6. Качественная иллюстрация неустойчивого равновесного положения ато-
ма в кубической решетке между двумя соседними атомами. (Из работы [4]; пере-
печатано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.) т— касательное напряжение;
V — потенциальная энергия; 6 — перемещение.
венно над атомом 4, либо вернуться в первоначальное положение
над атомом 2.
Неустойчивое равновесное положение атома 1 посредине между
атомами 2 и 4 показано качественно на рис. 3.6. Можно видеть,
32 Гл. 3. Прочность и деформация металлов____________________
что потенциальная энергия системы уменьшается при перемещении
из состояния неустойчивого равновесия в любом направлении.
Практически не требуется никакого сдвигового напряжения для
того, чтобы осуществить перемещение в том или ином направлении.
Если атом 1 действительно займет новое положение над атомом 4
(см. рис. 3.5), симметрия решетки сохранится, но у атомов, распо-
ложенных с разных сторон от плоскости сдвига, появятся новые
соседи. В этом случае говорят, что в кристалле произошло сколь-
жение или что кристалл пластически деформировался на одно меж-
атомное расстояние.
Чтобы осуществить скольжение относительно друг друга плос-
костей упорядоченно расположенных атомов, требуется приложить
достаточно большое сдвиговое напряжение, которое могло бы прео-
долеть силы взаимодействия между атомами одной плоскости и
близко расположенными к ним атомами другой плоскости. Расчеты,
произведенные различными способами, показывают, что для осу-
ществления такого скольжения одной плоскости атомов относитель-
но другой (пластической деформации) в обычных металлах теоре-
тически потребовалось бы приложить сдвиговое напряжение по-
рядка одного-двух миллионов фунт/дюйм2 (~0,7-105 —1,5-105
кгс/см2). Фактически же обычно замеряемые в опытах величины
составляют лишь от 10 000 до 50 000 фунт/дюйм2 (~700—3500
кгс/см2). Естественно возникает вопрос: почему наблюдается такое
большое несоответствие между теоретическими и наблюдаемыми
в опытах значениями критического сдвигового напряжения, требуе-
мого для осуществления пластической деформации?
Подходящее объяснение этого несоответствия было найдено
лишь после того, как в начале 30-х годов Тейлор, Орован и Полани
ввели понятие дислокации Обширные исследования, проведенные
после введения этого понятия, привели к тому, что стало возмож-
ным наблюдать дислокации и их движение в экспериментах. К на-
стоящему времени опубликовано много работ по математическому
описанию и предсказанию взаимодействия дислокаций. Появилась
возможность с помощью теории дислокаций правильно оценивать
определяемые экспериментально величины сдвиговых напряжений,
при которых начинается пластическая деформация. Некоторые ос-
новные идеи теории дислокаций будут рассмотрены в этой главе.
3.3.	УПРУГАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Возможность повреждения, связанного с упругим деформированием,
кратко упоминалась в разд. 2.3. Отметим, что причиной таких
повреждений, являющихся результатом недопустимо большой упру-
гой деформации, служит суммарный эффект малых перемещений
атомов из равновесного положения. Поскольку силы и вызываемые
ими перемещения атомов малы, атомы могут возвратиться в перво-
начальное равновесное положение, а деформированная деталь может
8.4. Пластическая деформация 33
принять первоначальные размеры. Большинство инженерных задач
до сих пор связано с исследованием упругого поведения конструк-
ций. Поэтому в некоторых последующих главах подробно будут
рассмотрены связь напряжений с деформациями и поведение мате-
риалов при упругих деформациях.
3.4.	ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Пластическая деформация кристаллических материалов происхо-
дит одним или несколькими из следующих четырех путей: (1) сколь-
жением, (2) двойникованием, (3) скольжением по границам зерен и
(4) диффузионной ползучестью.
Основным видом пластической деформации является скольже-
ние. Если скольжение затруднено, то значительный вклад в плас-
тическую деформацию вносит двойникование. При высоких темпера-
турах и малых скоростях деформирования поликристаллические
материалы могут пластически деформироваться также в результате
скольжения по границам зерен и в результате диффузионной ползу-
чести.
Скольжение
Наиболее распространенным механизмом пластического деформи-
рования является плавное движение одной плоскости атомов над
другой, называемое обычно скольжением. В любой кристалличе-
ской решетке некоторые плоскости и направления более других
предрасположены к возникновению в них скольжения, что приводит
к появлению полос из тонких параллельных линий скольжения на
поверхности кристалла при его пластическом деформировании.
Плоскостями скольжения обычно являются наиболее плотно упа-
кованные атомами плоскости кристаллической решетки, а направле-
ниями — наиболее плотно упакованные атомами направления в
ней Совокупность направления и плоскости скольжения назы-
вается системой скольжения. Образование линий и полос скольже-
ния схематически показано на рис. 3.7. При значительном увели-
чении можно видеть, что линии скольжения образуются в резуль-
тате относительного параллельного смещения плоскостей кристал-
ла, находящихся друг от друга на расстоянии порядка 100 атомных
диаметров. Размеры смещений, сопутствующих образованию линий
скольжения, обычно имеют порядок 1000 атомных диаметров (см.
рис. 3.7).
При пониженных температурах дальнейшее увеличение прило-
женных сдвиговых напряжений с целью увеличения пластической
*> Точнее плоскость скольжения есть плоскость, разделяющая два слоя
атомной решетки с наиболее плотно упакованными в них атомами, а направление
скольжения — проекция на плоскость скольжения линии между наиболее плотно
упакованными рядами в слое атомов, параллельном плоскости скольжения,—
Прим, перев.
1 м 492
34 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
деформации приводит в первую очередь к образованию множества
новых линий скольжения, а не к развитию уже образованных. Это
указывает на то, что в результате процесса скольжения плоскости
скольжения начинают сильнее сопротивляться сдвигу. При повы-
шенных же температурах линии скольжения стремятся сгруппиро-
ваться вместе, образуя широкие полосы скольжения, расположен-
Рис. 3.7. Схематичное изображение линий и полос скольжения на поверхности
кристалла при действии касательного напряжения.
ные на небольшом расстоянии друг от друга. В этих условиях
скольжение заключается в увеличении числа линий внутри каждой
полосы, в результате чего происходит относительно большое де-
формирование. Замечено, что расположение плоскостей скольже-
ния зависит от температуры, химического состава и величины пред-
варительной пластической деформации. Направление же скольже-
ния не зависит от этих факторов. Скольжение происходит скачко-
образно, и иногда можно слышать, как этот процесс сопровождается
«поскрипыванием» или «тиканьем».
3-4. Пластическая деформация 35
Схематичное изображение кристаллической решетки до сколь-
жения и после него показано на рис. 3.8. Можно отметить, что про-
цесс скольжения осуществляется движением атомов на целое число
межатомных расстояний. Таким образом, после скольжения общая
симметрия решетки сохраняется, но иа свободной поверхности за-
метен след скольжения. Если свободную поверхность отполировать,
Плоскость скольжения
о о о О О О \ о о о о о о \		о О О	ООО ООО		ООО ООО ООО
О	о о о о у	\		о	0 ft	
о	о о о о о	о	О	~о	0 т	и о о о о
о	о о О О А	О	о	о	° т	\ о о о о <
о	о О О О О	о (а)	о	о о 6 0)		\ о о о о < Линия скольжения (С)
Рис. 3.8. Схематичное изображение кубической кристаллической решетки до и
после скольжения, (а) до скольжения; (Ь) после скольжения (отметим, что атомы
перемещаются на целое число межатомных расстояний); (с) вновь отполирован-
ная поверхность (все свидетели скольжения исчезли).
то все следы скольжения исчезнут и конфигурацию кристалличе-
ской решетки будет невозможно отличить от ее первоначальной
конфигурации до начала скольжения.
Предельное значение касательного напряжения, при котором
происходит скольжение
Если из монокристалла вырезать множество случайно ориентиро-
ванных в нем образцов и испытать их, то обнаружится, что такие
физические свойства образцов, как предел пропорциональности,
предел текучести, прочность при растяжении и вязкость, меняются
в довольно широких пределах. Тщательное сопоставление значений
этих физических свойств и ориентации образца в кристалле ука-
зывает на сильную зависимость свойств от ориентации образца.
Особый интерес при исследовании скольжения представляет уста-
новление критерия, который позволял бы предсказывать начало
пластической деформации образца, вырезанного из монокристалла.
Этот критерий может быть установлен с учетом только что сказан-
ного о зависимости физических свойств от ориентации образцов,
вырезанных из монокристалла.
Монокристалл простой геометрической формы показан на
рис.3.9. Цилиндрический образец, площадь нормального поперечного
сечения которого равна Л, нагружен осевой растягивающей силой
Е. Плоскость скольжения в кристалле определяется нормалью,
которая пересекает ось симметрии образца под углом ф. Направле-
г*
36 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
ние скольжения в плоскости скольжения определяется углом X,
между осью симметрии образца и направлением скольжения. С уче-
том сказанного площадь Asp плоскости скольжения можно записать
АГ
Рис. 3.9. Схематичное изображение системы скольжения в монокристаллическом
образце.
в виде
Лзр=4/со5ф,	(3.6)
а составляющую Fsd растягивающей силы F в направлении сколь-
жения — в виде
^d=FcosX.	(3.7)
Составляющая касательного напряжения тг на плоскости скольже-
ния в направлении скольжения определяется, таким образом, фор-
мулой
tr^Fsa:'Asp = (F/A) cos I cos ф.	(3.8)
Было сделано предположение, подтвержденное в дальнейшем
многочисленными экспериментами, что величина касательного на-
пряжения тг, при которой начинается скольжение в чистом иде-
3.4. Пластическая деформация 37
альном монокристалле материала, постоянна при фиксированной
температуре. Эта величина называется предельным значением ка-
сательного напряжения, при котором происходит скольжение, а
формула (3.8) — законом Шмида, который проверен для монокрис-
таллов многих различных металлов.
Рис. 3.10. Зависимость предельного значения касательного напряжения тсг от
температуры Т для некоторых классов кристаллических материалов. (Из работы
[41; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.) I — диапазон для твер-
дых тел с ионной связью, имеюцих такую же структуру, как и NaCl. Обозначе-
ния: ВСС — оэъемноцентрированная кубическая решетка; НСР — гексагональ-
ная плотноупаковзнная решетка; FCC — гранецентрированная кубическая ре-
шетка.
У читателя может возникнуть вопрос о влиянии нормальной
составляющей напряжения на величину предельного значения ка-
сательного напряжения, при котором происходит скольжение.
Формула для нормального напряжения оп на плоскости скольже-
ния может быть записана после определения нормальной составляю-
щей Fn приложенной силы F, которая показана на рис. 3.9. Эта
формула имеет вид
г, = тн-= ггЦ =4соз’-ф.	(3.9)
" Л5р Л/cos ф Л т	v *
Экспериментальные исследования показали, что влияние нор-
мального напряжения на предельное значение касательного на-
38 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
пряжения, при котором происходит скольжение, незначительно.
Однако величина нормального напряжения оп нужна при опре-
делении сопротивления разрыву.
На рис. 3.10 в виде графиков показана зависимость предельного
значения касательного напряжения от температуры для некоторых
классов кристаллических материалов. По мере приближения тем-
пературы к температуре плавления материала предельное зпаче-
Рис. 3.11. Три различных вида деформационного упрочнения в монокристаллах
железа, меди и магния. (Из работы [4J; перепечатано с разрешения John Wiley
& Sons, Inc.) тсг — предельное значение касательного напряжения; есг — пре-
дельное значение сдвиговой деформации; 1 — слабое упрочнение (стадия 1);
2 — линейное упрочнение (стадия 2); 3 — динамическое разупрочнение (стадия 3).
пие касательного напряжения, при котором происходит скольже-
ние, быстро уменьшается до нуля.
Сильное влияние на предельное значение касательного напря-
жения оказывают также явления деформационного упрочнения и
разупрочнения. Деформационное упрочнение — процесс, в резуль-
тате которого напряжение, требуемое для появления пластической
деформации, увеличивается вследствие предварительного пластиче-
ского деформирования. /Материал становится тверже или прочнее
в некотором смысле, при этом говорят, что произошел наклеп (или
деформационное упрочнение). Разупрочнение — процесс, в резуль-
тате которого напряжение, требуемое для пластического течения,
уменьшается. Оба явления — и деформационное упрочнение, и
разупрочнение — вполне объяснимы с помощью теории дислока-
ций.
Процессы деформационного упрочнения и разупрочнения взаи-
модействуют между собой, и результат этого взаимодействия про-
3.4. Пластическая деформация 39
является весьма различно в зависимости от материала, величины
предварительной деформации и температуры. На рис. 3.11 показа-
ны три значительно отличающихся друг от друга вида деформаци-
Рис. 3.12. Изменение характера деформационного упрочнения монокристалла
алюминия при изменении температуры. (Из работы 128].) т — касательное на-
пряжение; е — деформация сдвига.
Рис. 3.13. Зависимость напряжения о от деформации (удлинения) f для монокрис-
талла цинка при повторном нагружении с различной продолжительностью интер-
валов времени между очередными нагружениями, (а) Полная разгрузка в точке
А на полмипуты; при последующем нагружении юкучесть начинается в точке
В. (Ь) Полная разгрузка в точке С на 24 ч; при последующем нагружении теку-
честь начинается в точке D. (Из работы [29].)
онпого упрочнения вследствие предварительной деформации в виде
кривых зависимостей касательных предельных напряжений от
сдвиговых деформаций. Магний является материалом с линейным
40 Гл. 3. Прочность и Реформация металлов
деформационным упрочнением, для которого характерно постоянное
небольшое по величине упрочнение вплоть до разрушения. Для
железа характерно снижение величины упрочнения во всем диа-
пазоне деформаций; оно является типичным примером материала
с параболическим деформационным упрочнением. У меди ясно вы-
ражены три стадии деформационного упрочнения, обычно называе-
мые слабым упрочнением (стадия 1), линейным упрочнением (ста-
дия 2) и динамическим разупрочнением (стадия 3). Характерные
особенности этих стадий показаны на рис. 3.11.
Изменение характера деформационного упрочнения с измене-
нием температуры для монокристалла алюминия показано на
рис. 3.12. Ясно видно изменение соотношения между процессами
деформационного упрочнения и разупрочнения. При более низких
температурах доминирующим является процесс деформационного
упрочнения, а при высоких температурах процесс разупрочнения
практически подавляет деформационное упрочнение.
Важно отметить, что разупрочнение является процессом, ха-
рактеристики которого зависят от времени. На рис. 3.13 показана
разница процессов разупрочнения монокристаллов цинка в случа-
ях, когда после приложения нагрузки производилась полная раз-
грузка и через полминуты — очередное нагружение и когда очеред-
ное нагружение производилось через 24 ч. Зависимость от времени
характеризуется тем, что при 24-часовом отдыхе кривая деформи-
рования практически не меняется, а при полминутном отдыхе де-
формационное упрочнение проявляется в виде сдвига кривой де-
формирования вверх, причем влияние разупрочнения практически
отсутствует.
Двойникование
Пластическое деформирование двойникованием существенно отли-
чается от деформирования скольжением. Двойникование происхо-
дит, когда в результате приложения касательного напряжения
одна часть кристаллической решетки становится зеркальным отра-
жением кристаллической решетки исходного кристалла. (Приве-
денное здесь описание относится к механическому двойникованию
и не пригодно для двойников, образующихся при отжиге металлов
после холодной обработки.) Процесс двойникования при приложе-
нии касательного напряжения показан на рис. 3.14. В нижней
части рисунка показана полоса двойникования, грани и направле-
ние двойникования па довольно большой части кристалла; в верх-
ней части — подробности смещения атомов в двойнике и образова-
ние зеркально отраженной структуры при деформировании двой-
никованием.
Если свободную поверхность изображенного на рис. 3.14 крис-
талла, в котором произошло двойникование, отполировать, то в
отличие от изображенного на рис. 3.8 кристалла, в котором про-
3.4. Пластическая деформация 41
изошло скольжение, ясно будет заметно нарушение упорядоченно-
сти атомной труктуры. Сравнивая скольжение и двойникование,
можно отметить, что (1) решетка двойниковой части кристалла
является зеркальным отражением исходной решетки, в то время
как все части кристалла после скольжения имеют одинаковую ори-
Грапи.
двойника
Рис. 3.14. Схематичное изображение процесса пластического деформирования ме-
ханическим двойникованием. (Из работы [2]; перепечатано в разрешения John
Wiley & Sons, Inc.)
ентацию, и (2) скольжение представляет собой сдвиговое перемеще-
ние части кристалла как целого, а двойникование — равномерно
распределенное перемещение. По своей природе деформация двой-
никованием может достигать самое большее нескольких процентов,
в то время как скольжение может приводить к деформации в
несколько сотен процентов. Возможно, хотя это и не доказано, что,
42 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
подобно критическому сдвиговому напряжению, при котором про-
исходит скольжение, существует критическое напряжение двойни-
кования. Сущестг озание критического напряжения двойникования
трудно проверить, поскольку в большинстве случаев деформация
скольжением затмевает процесс двойникования.
Скольжение по границам зерен и диффузионная ползучесть
При высоких температурах и малых скоростях деформации проис-
ходит скольжение по границам зерен поликристаллических мате-
риалов. В испытаниях на ползучесть чистых металлов при малых
деформациях почти 30% полной деформации могут быть следстви-
ем скольжения по границам зерен.
При температурах, близких к температуре плавления, когда
высока концентрация вакансий в атомной решетке и интенсивна
самодиффузия, поликристаллические материалы могут деформиро-
ваться вследствие диффузионной ползучести. Этот вид деформации
происходит путем диффузии атомов к границам, нормальным к
линии действия силы, и миграции вакансий к границам, параллель-
ным направлению сил. В результате из-за диффузионной ползуче-
сти кристалл удлиняется в направлении приложения сил.
Влияние границ зерен в поликристаллах
Большая часть материала этой главы относится к деформированию
монокристаллов. Наличие границ зерен в поликристаллических
материалах вносит дополнительные ограничения на деформации,
что сильно влияет на зависимость напряжений от деформаций этих
материалов при деформировании. Однако качественно их поведение
очень сходно с поведением монокристаллов. Если целостность меж-
зеренных границ не нарушается, каждое зерно может деформиро-
ваться лишь совместно с другими зернами, т. е. происходит слож-
ный процесс приспособления друг к другу большого числа зерен.
При низких температурах межзеренные границы поликристал-
лических металлов обычно прочнее самих зерен, и поэтому у боль-
шинства металлов при низких и нормальных температурах разруше-
ние имеет транскристаллический характер. Другими словами,
разрушение происходит по зернам, а не по границам между ними.
При повышенных температурах межзеренные границы обычно
слабее зерен. Разрушение при повышенных температурах имеет
поэтому, как правило, межкристаллический характер. Иначе говоря,
разрушение распространяется вдоль границ зерен. У поликристал-
лических неметаллов прочность межзеренных границ обычно ниже
прочности зерен даже и при низких температурах. Для таких мате-
риалов характерно межкристаллическое разрушение при любых
температурах.
3.5. Разрушение 43
Влияние скорости деформирования
Сопротивление пластическому деформированию возрастает с уве-
личением скорости деформирования. Это означает, что кривая
деформирования может быть сдвинута в область более высоких
напряжений при тех же уровнях деформаций за счет увеличения
скорости деформирования при испытаниях. Однако в области обыч-
ных скоростей этой эффект невелик. Надаи [5], например, устано-
вил, что для стали с 0,35%-ным содержанием углерода увеличение
скорости в 10 000 раз лишь вдвое повышает сопротивляемость теку-
чести. Тем не менее этот эффект достаточно важен, и поэтому тре-
буется стандартизация скоростей деформирования при испытаниях,
чтобы получаемые в различных лабораториях характеристики ма-
териалов можно было сопоставлять между собой.
Некоторые материалы гораздо чувствительнее других к изме-
нениям скорости деформирования. Предел прочности может сущест-
венно увеличиваться или оставаться неизменным. Предел текучести
может также увеличиваться значительно или лишь немного.
Пластичность и способность к поглощению энергии могут по-раз-
ному реагировать на изменение скорости деформации — увеличи-
ваться, уменьшаться или сохранять свое значение. Более подробно
этот вопрос будет рассмотрен позднее.
3.5.	РАЗРУШЕНИЕ
Явление разрушения кристаллических тел очень сложно. Во мно-
гих случаях разрушение происходит лишь после не менее сложного
процесса пластического деформирования. Из изложенного ранее
в этой главе следует, что даже процесс деформирования простого
монокристалла достаточно трудно поддается описанию, не говоря
уже о деформировании поликристаллических материалов. Не уди-
вительно поэтому, что описание условий, при которых происходит
разрушение, тоже представляет собой очень трудную задачу. Если
материал и внешние условия таковы, что разрушение происходит
без предварительного пластического деформирования, задача не-
сколько упрощается.
При обсуждении пластического деформирования скольжением
было введено понятие критического значения касательного напря-
жения, при котором развивается пластическое течение. Дополни-
тельно при этом было получено, что нормальное напряжение на
плоскости скольжения можно записать в виде
vn=(F/A) cos2 ф.	(3.9')
Если материал таков, что нормальное напряжение ол достига-
ет достаточной для расщепления кристалла величины прежде,
чем касательное напряжение достигнет критической величины, то
кристалл расколется на две части. Величина ад, при которой про-
исходит разрушение кристалла, называется критическим нормаль-
44 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
ным разрушающим напряжением. Показано, что аналогично
критической величине касательного напряжения она является
постоянной материала. Утверждение, что расщепление происходит,
когда выражение (3.9) для оп становится равным по величине кри-
тическому нормальному разрушению, известно как закон Зонке.
Как и процесс деформирования, расщепление происходит обычно
по плоскости наиболее плотной упаковки атомов.
Разрушение бывает либо хрупким, либо вязким. Хрупкое раз-
рушение представляет собой очень быстрое распространение тре-
щины после незначительной пластической деформации или вообще
без нее. После начала роста трещины при хрупком поведении мате-
риала скорость ее распространения быстро возрастает от нуля до
некоторой предельной величины, равной примерно трети скорости
распространения звука в материале. В поликристаллических ма-
териалах разрушение происходит по плоскостям расщепления крис-
таллов, в результате чего поверхность разрушения получается зер-
нистой из-за различия ориентации кристаллов и плоскостей их
расщепления. Иногда хрупкое разрушение происходит в основном
но границам зерен; такое разрушение называется межкристалли-
ческим.
Пластический разрыв происходит после значительной пласти-
ческой деформации и представляет собой медленное распростране-
ние трещины вследствие образования и соединения пор и пустот.
Поверхность разрушения при пластическом разрыве матовая и
гладкая. У большинства поликристаллических металлов при плас-
тическом разрыве наблюдаются три различные стадии. Сначала
в образце начинается «шейкообразование» и в области шейки по-
являются малые каверны. Далее эти маленькие каверны объединя-
ются, образуя трещину в центре поперечного сечения, направление
которой, как правило, перпендикулярно направлению приложен-
ного напряжения. Наконец, трещина распространяется к поверх-
ности образца по плоскостям сдвига, ориентированным примерно
под 45° к направлению оси растяжения. В итоге часто образуется
хорошо известная поверхность разрушения «чашка — конус».
В некоторых материалах (особенно это характерно для металлов
с объемноцентрированной кубической решеткой) при низких тем-
пературах, высоких скоростях деформации или при наличии над-
резов может происходить переход от вязкого поведения к хрупко-
му. При применении таких материалов целесообразно избегать
таких ситуаций, в которых возможно хрупкое поведение. Класси-
ческим является пример с некоторыми сварными кораблями и тан-
керами времени второй мировой войны, в которых происходил та-
кой переход в результате воздействия низких температур в Северной
Атлантике и которые буквально разламывались пополам в резуль-
тате быстрого распространения хрупкой трещины, возникавшей при
воздействии слабых ударных нагрузок и остаточных напряжений
от сварки. Другие примеры наблюдались при разрушении мостов,
3.5. Разрушение 45
сосудов давления, дымовых труб, напорных трубопроводов и газо-
проводов.
В разд. 3.2 отмечалось, что теоретическая оценка сдвиговой
прочности кристаллических металлов на основе анализа сил меж-
атомного сцепления приводит к значениям прочности в несколько
миллионов фунтов на квадратный дюйм. Например, в 1929 г. Френ-
кель применил простую атомистическую модель для оценки теоре-
тического предела текучести и получил, что он должен составлять
примерно V10 модуля Юнга. Это означает, что теоретический пре-
дел текучести для сталей должен быть около 3-106 фунт;дюйм2.
Наблюдаемые же обычно в опытах величины на один или два по-
рядка меньше. Для других материалов разница еще значительнее —
в некоторых случаях до пяти порядков.
Есть еще ряд вопросов, требующих ответа. Например, наблю-
даемые в опытах и определяемые экспериментально упругие деформа-
ции намного превышают предсказываемые теоретическим анализом
при тех же самых нагрузках. Кристаллы после предварительной
деформации становятся прочнее. Механические свойства меняют-
ся при изменении температуры. Все эти вопросы стимулировали
исследования, имеющие целью объяснить поведение материалов.
Различие между теоретической и фактической прочностью, по-
видимому, означает существование в реальном материале каких-то
локальных концентраторов напряжений, повышающих их до такой
степени, что теоретическая прочность локально превышается и на-
чинается разрушение. Гриффитс в 1920 г. предположил, что хрупкие
материалы содержат множество субмикроскопических трещин,
которые в условиях действия достаточно высоких напряжений рас-
тут до макроскопических размеров, в результате чего в конце кон-
цов происходит хрупкое разрушение. Теория Гриффитса и другие
аналогичные теории основаны на предположении, что эти микро-
трещины или другие дефекты структуры приводят к локальной
концентрации напряжений.
Используя решение плоской задачи теории упругости о распре-
делении напряжений у основания главной оси эллиптического от-
верстия, Гриффитс вычислил энергию деформации, высвобождаю-
щуюся в результате увеличения длины существующей трещины.
Далее он считал, что в процессе разрушения образуются две новые
поверхности, для образования единицы площади каждой из кото-
рых требуется энергия 1Га. Он заметил также, что энергия, кото-
рая может быть затрачена на распространение трещины, должна
равняться разности между энергией, требуемой для образования
новой поверхности разрушения, и энергией деформации, высво-
бождающейся в результате увеличения длины трещины. Выражение
для энергии W, требуемой для распространения трещины единич-
ной ширины длиной 2с, было получено Гриффитсом в виде
W = 4сГа —л (1 — р2) о2с2/£.	(3.10)
46 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
Зависимость W от длины трещины изображена кривой 3 на
рис. 3.15. В соотношении (3.10) величина р— коэффициент Пуас-
сона, а Е — модуль упругости Юнга.
Когда энергия, требуемая для распространения трещины, не
увеличивается с возрастанием длины, т. е. dW/dc=Qt трещина будет
распространяться самопроизвольно. Это показано на рис. 3.15.
Там отмечено, что в диапазоне самопроизвольного распространения
происходит высвобождение энергии. С помощью формулы (3.10)
Рис. 3.15. Трещина Гриффитса и энергия W, требуемая для распространения тре-
щины (с — половина длины трещины). (Из работы [17].) / — энергия, требуемая
для образования новой поверхности разрушения; 2 — энергия деформации, вы-
свобождающаяся при изменении длины; 3 — энергия W, требуемая для распро-
странения трещины; 4 — в этом диапазоне значений с требуется энергия; 5 —
в этом диапазоне значений с высвобождается энергия.
можно определить, что самопроизвольное распространение тре-
щины начинается при
ор = К2£ИМ*(1-И2)4	(3.11)
где Ор — растягивающее напряжение, при котором происходит
распространение трещины, Е — модуль упругости Юнга, ц —
коэффициент Пуассона, W — энергия на единицу площади вновь
образуемой трещины, 2с — длина трещины.
Гриффитс проверил свою теорию, проводя опыты на пластинах
из силикатного стекла с искусственными трещинами. Он обна-
3.6. Введение в теорию дислокаций 47
ружил, что величина о2с оказалась постоянной, как это и должно
быть в соответствии с (3.11).
Определение теоретических значений предела прочности с
помощью соотношений энергетического баланса между энергией
деформации, высвобождаемой при растрескивании, с одной стороны,
и энергией, требуемой для образования новой поверхности,— с
другой, нашло широкое распространение. Ирвин и Орован неза-
висимо в 1948 г. пришли к выводу, что при исследовании металлов
теория Гриффитса нуждается в модификации, позволяющей учесть
внутреннюю вязкость. Даже в тех случаях, когда разрушение
можно считать хрупким, по их мнению, в области, граничащей с
поверхностью разрушения, всегда происходит пластическое те-
чение. Они предположили, что к поверхностной энергии должна
добавляться необратимо рассеиваемая энергия при пластическом
течении Wp (на единицу площади). В соответствии с этим предпо-
ложением выражение (3.11) должно иметь вид
= К2£(1Г, + 1Г/,)/[л(1-И2)с].	(3.12)
Однако в дальнейшем было показано, что величина Wp на несколько
порядков превышает М7а, так что (3.12) приближенно можно за-
писать в виде
<jp^VEW^c.	(3.13)
Соотношение (3.13) называется критерием самопроизвольного рас-
пространения трещины Гриффитса — Ирвина — Орована. Эта тео-
рия была проверена на образцах из мягкой стали с искусствен-
ными трещинами, и было установлено, как и предполагалось, что
разрушающее напряжение ар пропорционально величине
Результаты исследований Гриффитса, Ирвина и Орована зна-
чительно способствовали установлению соответствия между тео-
рией и экспериментом и пониманию поведения металлов под на-
грузкой. Итогом этих исследований явилась разработка двух
основных используемых в технике теорий, а именно теории дисло-
каций и механики разрушения. Были предложены также и другие
теории, использующие понятия дефектов, вакансий и блочных де-
фектов. Однако ни одна из них не могла полностью объяснить не-
соответствия между теоретическими и экспериментальными значе-
ниями прочности без многих сомнительных предположений, пока
не была создана теория дислокаций.
3.6.	ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИСЛОКАЦИЙ
В 1934 г. Тейлор, Орован и Полани [261 — три исследователя,
работавшие независимо,— предложили практически одно и то же
объяснение несоответствию, доставлявшему много беспокойства.
Они предположили возможность существования дефектов кристал-
лической решетки, которые способны двигаться под действием
48 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
удивительно малых напряжений, вызывая пластическую дефор-
мацию. Эти несовершенства решетки были названы дислокациями,
а понятие подвижности дислокаций явилось тем недостающим зве-
ном, которое в конце концов поставило теорию дислокаций над
всеми предшествующими теориями.
Основанные на использовании этого понятия интенсивные ис-
следования, проводившиеся более четверти века, убедительно
доказали существование дислокаций во всех материалах. Значи-
тельный вклад в классификацию дислокаций, исследование их
взаимодействия и условий образования внесли Франк, Рид, Бюр-
герс и Шокли. Дислокации впервые наблюдались в начале 50-х
годов Хеджесом и Митчеллом, которые использовали для наблю-
дения их в кристаллах галогенида серебра метод декорирования.
Теперь дислокации наблюдаются повсеместно с помощью электрон-
ных микроскопов методом просвечивания, разработанным в 1956 г.
Хиршем, Хорном и Уиланом и независимо Беллманом. Многие
серьезные достижения еще впереди.
Геометрия дислокаций
Дефекты кристаллической решетки металлов можно разделить на
четыре больших класса, включающие в себя точечные, линейные,
поверхностные и объемные дефекты.
Точечный дефект представляет собой в высшей степени локаль-
ный дефект, влияние которого простирается лишь па один или не-
сколько атомных диаметров от его центра. К точечным дефектам
относятся вакансии (не занятые атомами узлы), межузельные
атомы, растворенные атомы и свободные атомы в упорядоченной
решетке. Линейный дефект представляет собой дислокацию. Этот
тип дефектов будет подробно рассмотрен ниже. Поверхностный
дефект представляет собой плоскость или криволинейную поверх-
ность, образованную множеством дефектов в кристалле. К ним
относятся границы зерен, границы субзерен, границы двойников
и скопления дефектов в атомных плоскостях внутри кристаллов.
Объемные дефекты — это трехмерные дефекты, такие, как пустоты,
пузырьковые включения, частицы, ориентированные отлично от
окружающей матрицы, или скопления точечных дефектов в упоря-
доченной матрице.
Из указанных четырех типов дефектов нас в дальнейшем будет
интересовать только один — линейный дефект, или дислокация.
Геометрические соображения позволяют выделить три вида дисло-
каций: (1) краевые дислокации, называемые иногда дислокациями
Тейлора, (2) винтовые дислокации, называемые иногда дислока-
циями Бюргерса, и (3) смешанные дислокации. Все три типа дис-
локаций являются формами нарушения упорядоченности распо-
ложения атомов вдоль линии внутри кристаллической решетки.
Введение в теорию дислокаций 49
Смешанная дислокация представляет собой просто совокупность
краевой и винтовой дислокаций.
Чтобы представить себе краевую дислокацию, рассмотрим ре-
зиноподобный прямоугольный параллелепипед из кубической кри-
сталлической решетки, показанный на рис. 3.16. Представим себе,
что этот блок разрезан до половины высоты, края разреза раз-
Направление
движения
Конечная
конфигурация
положительной
краевой
дислокации
Рис. 3.16. Геометрическое представление краевой дислокации.
двинуты и в образовавшуюся щель вставлена дополнительная
полуплоскость атомов. Затем края разреза освобождаются, воз-
вращаются обратно и, насколько возможно, тесно примыкают друг
к другу. В результате около края дополнительной полуплоскости
нарушается правильное чередование атомных плоскостей, как это
показано на рис. 3.16, и образуется линия краевой дислокации.
Краевая дислокация считается положительной, если выше линии
дислокации находится п+1 атомов, а ниже линии п атомов. Если
50 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
же выше линии располагается п атомов, а ниже п+1 атомов, то
такая краевая дислокация считается отрицательной. Для обозна-
чения положительной краевой дислокации используется символ _1_,
а для отрицательной — символ Т-
Винтовую дислокацию можно представить себе геометрически,
рассматривая изображенную па рис. 3.17 резиноподобную модель.
Опять представим себе, что блок наполовину разрезан, как и на
рис. 3.16. Однако вместо того, чтобы раздвигать края разреза, за-
Рис. 3.17. Геометрическое представление винтовой дислокации.
ставим их скользить друг по другу параллельно краю разреза, а
затем после сдвига на одно межатомное расстояние соединим их.
Это приводит к нарушению правильной структуры около внут-
реннего края разреза, называемого линией винтовой дислокации.
Определение направления винтовой дислокации произвольно. Одно
из употребляемых правил состоит в том, что винтовую дислокацию
называют правосторонней, если при обходе по часовой стрелке
вокруг линии дислокации происходит смещение от наблюдателя,
и левосторонней, если смещение в результате обхода происходит
к наблюдателю.
3.6. Введение в теорию дислокаций 51
Смешанная дислокация представляет собой дислокацию, содер-
жащую в себе элементы как краевой, так и винтовой дислокации
в различных местах вдоль линии дислокации. Как видно из рис. 3.18,
линия дислокации в одном месте может быть линией чисто краевой
дислокации, в другом — чисто винтовой, а в третьем — смешан-
Рис. 3.18. Геометрическое представление смешанной дислокации.
ной. Во всех случаях линия дислокации является границей между
претерпевшей скольжение и нетронутой частями кристалла. Это
означает, что линия дислокации не может заканчиваться внутри
кристалла. Она должна заканчиваться на свободной поверхности,
на границе зерна, в месте пересечения с другой линией дислокации,
у какого-либо дефекта или должна замыкаться на себя, образуя
петлю дислокации.
Когда дислокация проходит через какую-либо точку, проис-
ходит сдвиговое перемещение, величина и направление которого
62 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
характеризуются вектором Бюргерса Ь. Направление вектора Бюр-
герса b относительно линии дислокации характеризует тип дисло-
кации, а его величина определяет величину сдвигового переме-
щения. Если вектор Бюргерса перпендикулярен линии дисло-
кации, то дислокация краевая. Если же вектор Бюргерса парал-
лелен линии дислокации, то дислокация винтовая; в том случае,
когда вектор Бюргерса не параллелен и не перпендикулярен ли-
нии дислокации, будет дислокация смешанного типа, содержащая
Рис. 3.19. Контуры Бюргерса для краевой и винтовой дислокаций. (Из работы
[4]; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons, Jnc.)
элементы и краевой, и винтовой дислокаций. Вектор Бюргерса b
инвариантен для любой заданной линии дислокации, как пока-
зано, например, на рис. 3.18.
Классификацию дислокаций более формальным способом можно
произвести так. Если направление линии дислокации характери-
зуется единичным вектором £, то дислокация является краевой при
М = 0,
(З.И)
(3.15)
(3.16)
винтовой при
и смешанной при
Ьх£ = 0
Ь-£=#0=#Ьх£.
Для произвольной заданной дислокации вектор Бюргерса
можно определить при помощи построения контура Бюргерса
путем движения от атома к атому вокруг дислокации в плоскости,
нормальной к линии дислокации. Примеры построения контура
Бюргерса показаны на рис. 3.19. Величина разрыва контура Бюр-
герса, отличающая его от аналогичного замкнутого контура в
идеальном кристалле без дислокации и является вектором Бюр-
герса.
3.6. Введение в теорию дислокаций 53
Движение дислокаций
Движение дислокаций оказалось ключевым понятием, которое
позволило успешно применить дислокационную модель для объяс-
нения снижения прочности кристаллов в тех случаях, когда другие
ранее использовавшиеся модели оказывались неудовлетворитель-
ными. Чтобы пояснить идею движения дислокаций, рассмотрим
простую краевую дислокацию, изображенную на рис. 3.20. При
приложении касательного напряжения т эта положительная кра-
евая дислокация движется по кристаллу слева направо вдоль пло-
Рис. 3.20. Схематичное изображение перемещения атомов в окрестности краевой
дислокации при ее движении под действием приложенного касательного напря-
жения. (Из работы [4]; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
скости скольжения. Отметим, что касательное напряжение должно
совершить работу, чтобы отодвинуть атом 1 от атома 2, но одновре-
менно с этим атом 3 приближается к его равновесному положению
относительно атома 4. При этом освобождаемое парой 3—4 коли-
чество накопленной энергии упругой деформации приблизительно
равно энергии, вновь накопленной парой 1—2.
Если обозначенное штриховой линией на рис. 3.20 положение
атомов представляет собой равновесное положение до приложения
касательного напряжения т, то можно видеть, что произошло дви-
жение дислокации. До приложения напряжения дислокация была
сосредоточена у атома 3, в то время как атомы 4 и 5 были сосе-
дями. При приложении достаточного по величине касательного
напряжения относительное положение атомов 3, 4 и 5 приведет к
возникновению такого поля сил, что связь между атомами 4—5
будет разрушена и образуется новая связь атомов 3—4. В то же
самое время в окружающем пространстве происходит перестройка
энергетических связей между другими атомами, при которой со-
54 Гл, 3. Прочность и деформация металлов
храняется примерный баланс между выделившейся и накопленной
энергией.
Окончательный эффект состоит в том, что дислокация передви-
гается вправо при полных затратах внешней энергии, много мень-
ших, чем потребовалось бы для разрыва связей при одновремен-
ном смещении всех атомов, расположенных выше плоскости сколь-
жения. Эта ситуация примерно аналогична следующей. Тяжелый
ковер, лежащий па полу, очень трудно сдвинуть, прикладывая
Рис. 3.21. Образование ступеньки скольжения (а) движущейся краевой дислока-
цией и (Ь) движущейся винтовой дислокацией под действием приложенного каса-
тельного напряжения т. (Из работы [4]; перепечатано с разрешения John Wiley
& Sons, Inc.)
к нему силу. Гораздо легче образовать сначала складку и пере-
двигать ее, пока складка не схлопнется, дойдя до другого края
ковра. Окончательным итогом в обоих случаях будет смещение
всего ковра. Точно так же происходит смещение и при движении
дислокации вдоль плоскости скольжения. Как осуществляется
смещение при движении краевой и винтовой дислокаций, показано
на рис. 3.21.
На рис. 3.21 видно, что краевая дислокация движется парал-
лельно своему вектору Бюргерса, в то время как винтовая дисло-
кация движется перпендикулярно ему. В случае движения краевой
дислокации плоскость, по которой происходит скольжение (часто
она называется плоскостью скольжения), определяется единствен-
ным образом. Плоскость скольжения определяется ее нормалью
b X где b — вектор Бюргерса и £ — единичный вектор положи-
3.6. Введение в теорию дислокаций 55
тельного направления линии дислокации. Точно так же и в случае
смешанной дислокации плоскость скольжения ЬХ| определяется
единственным образом. Однако для винтовой дислокации вектор b
параллелен £ и произведение Ьх£ равно нулю, поэтому плоскость
скольжения неопределенна. Фактически любая плоскость, для
которой b является зональной осью (т. е. линией пересечения мно-
жества плоскостей или линией, параллельной ей), есть возможная
плоскость скольжения винтовой дислокации.
Рис. 3.22. (а) Поперечное скольжение винтовой дислокации и (Ь) переползание
краевой дислокации. (Из работы [4]; перепечатано с разрешения John Wiley
& Sons, Inc.)
Таким образом, если винтовая дислокация при своем движении
вдоль некоторой плоскости скольжения встретила бы какое-либо
препятствие, она могла бы обойти его, перейдя на другую плос-
кость скольжения. Такой переход на новую плоскость скольжения
движущейся винтовой дислокации называется поперечным сколь-
жением (иллюстрация его дана на рис. 3.22(a)). Такого поведения
не наблюдается у краевых и смешанных дислокаций, поскольку
для них плоскости скольжения определяются единственным об-
разом. Однако если по каким-либо причинам нижний ряд атомов
дополнительной плоскости краевой дислокации окажется удален-
ным или будет добавлен еще один ряд атомов, то эта плоскость
будет заканчиваться уже на новой, параллельной прежней пло-
скости скольжения. Этот процесс, схематично изображенный на
рис. 3.22(b), называется переползанием дислокации.
Таким образом, если бы движущаяся краевая дислокация
встретила на своем пути препятствие, она могла бы переползти
66 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
на новую параллельную плоскость скольжения и продолжать дви-
жение. Переползание дислокации является результатом диффузии
вакансий в дислокацию, как показано на рис. 3.22, или диффузии
межузельных атомов в дислокацию. Переползание дислокаций
определяется диффузией и поэтому в значительной степени чув-
ствительно к температуре, поскольку равновесная концентрация
вакансий увеличивается с увеличением температуры.
Зацепление, развитие и взаимодействие дислокаций
Энергию деформации краевой дислокации приближенно можно
оценить [4, стр. 66 и далее] с помощью следующего выражения:
E^lGb2/(l— v),	(3.17)
где Е — энергия деформации краевой дислокации, I — длина
линии дислокации, G—модуль упругости сдвига, д=|Ь| —мо-
дуль вектора Бюргерса, v — коэффициент Пуассона.
Кроме того, известно, что энергия деформации винтовой дис-
локации в большинстве металлов составляет около 2/я от энергии
деформации краевой дислокации такой же длины. Анализируя
формулу (3.17), можно сделать два вывода:
(1)	Энергия деформации пропорциональна Ь2; следовательно,
наиболее устойчивыми дислокациями (с наименьшей энергией)
являются те, у которых векторы Бюргерса минимальны. По-
скольку минимальные векторы Бюргерса появляются в плоскостях
наиболее плотной упаковки атомов, можно, как правило, ожидать
концентрации дислокаций вдоль направлений плотной упаковки.
(2)	Энергия дислокации пропорциональна ее длине.
С понятием энергии деформации линии дислокации связано
понятие натяжения линии Т, которое является вектором, направ-
ленным вдоль линии дислокации и определенным по величине вы-
ражением
T = dE/dl&Gb2.	(3.18)
Предположим, что движущаяся краевая дислокация во время
своего движения через плоскость скольжения под действием каса-
тельного напряжения т встречает пару препятствий, например
две осажденные частицы, как схематично показано на рис. 3.23.
Можно показать 14, стр. 68 и далее!, что фактически нормальная
сила, действующая на отрезке между точками В и С, равна по
величине хЫ. Эта сила, которая стремится деформировать линию
дислокации между двумя точками зацепления В и С, должна урав-
новешиваться параллельными составляющими натяжения линии
дислокации, т. е.
rW=27sin б,	(3.19)
где, как показано на рис. 3.23, 0 — угол между вектором натя-
жения линии и прямой, соединяющей точки зацепления. Подстав*
3.6. Введение в теорию дислокаций 57
ляя в (3.19) вместо Т выражение (3.18), находим величину каса-
тельного напряжения в виде
т= (2GW/)sin 0.	(3.20)
Из (3.20) видно, что для большего деформирования (т. е. для
увеличения угла 0) требуется приложение большего по величине
касательного напряжения. Это означает, что, если дислокация
зацепляется указанным образом, можно ожидать, что для осуще-
ствления дальнейшего скольжения потребуется увеличение дей-
ствующего касательного напряжения. Это справедливо, пока
Рис. 3.23. Схематичное представление зацепившейся линии дислокации под дей-
ствием касательного напряжения.
величина угла 0 не достигнет 90°, что соответствует максимальной
величине касательного напряжения.
Кроме того, из (3.20) следует, что если движущаяся дислока-
ция не встречает на своем пути никаких препятствий и точек за-
цепления, то т=0, поскольку при этом sin 0=0. Таким образом,
при отсутствии точек зацепления движение дислокации происходит,
по существу, при нулевом напряжении. Если препятствия встре-
чаются парами, то при их более близком взаимном расположении
для движения дислокации потребуется большее напряжение, чем
при значительном расстоянии между точками зацепления, так как
величина т обратно пропорциональна / (см. (3.20)).
Ранее отмечалось, что касательное напряжение, которое тре-
буется приложить для движения единичной дислокации в кри-
сталле без каких-либо препятствий, очень мало. Пластическая
деформация, возникающая в результате прохождения единичной
дислокации через кристалл к его свободной поверхности, очень
мала: за один шаг скольжения она равна по величине |Ь|. На пер-
вый взгляд может показаться, что в результате приложения от-
носительно малого по величине касательного напряжения все
дислокации выйдут из кристалла и кристалл останется свободным
от дислокаций. Пионеры исследований в этой области были поэтому
58 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
в немалой степени удивлены тем, что вместо образования кристал-
лов без дислокаций под действием установившихся касательных
напряжений фактически происходило увеличение плотности дис-
локаций с увеличением деформации, обусловленной касательным
напряжением. Например, в сверхчистых хорошо отожженных
монокристаллах наблюдаемая плотность дислокаций была малой
и составляла 102—103 линий на 1 см2. У типичных отожженных
ноликристаллических металлов плотность дислокаций равна при-
мерно Ю7—10н линий на 1 см2. Для сравнения укажем, что у тех
же самых поликристалличсских металлов после довольно значи-
тельной пластической деформации имеется 1011—1012 дислокаци-
онных линий на 1 см2, т. е. происходит увеличение числа линий
дислокаций примерно на 4 порядка.
Плотность дислокаций характеризуется длиной линии дисло-
кации на единицу объема, т. е. имеет размерность ]см/см31. При-
близительно, но не точно эта величина равна числу линий, прохо-
дящих через случайно выбранную площадку единичной площади,
т. е. величине, имеющей размерность [число линий/см2]. Размер-
ности обеих величин одинаковы, и эти два определения плотности
дислокаций по существу эквивалентны.
Тот факт, что плотность дислокаций в результате пластической
деформации существенно увеличивается, не удавалось удовлетво-
рительно объяснить вплоть до 1950 г., когда Франк и Рид [27]
предложили механизм, объясняющий непрерывное развитие дис-
локационных линий и петель и прохождение их через плоскость
скольжения. На рис. 3.24 дана иллюстрация действия механизма
Франка — Рида. Рассмотрим линию дислокации, зацепленную в
точках В и С. Под действием сдвигового усилия линия стремится
принять дугообразную форму, как показано на рис. 3.24 (Ь).
Если сдвиговое усилие достаточно велико, линия дислокации будет
продолжать расширяться и пройдет вокруг точек В и С (см. рис.
3.24(c)).
На этой стадии возникнут участки винтовой дислокации i ро-
тивоположного знака. По мере дальнейшего движения линии дис-
локации винтовые дислокации противоположного знака будут
притягиваться и взаимно уничтожат друг друга, в результате чего
образуется идеальная решетка (рис. 3.24(d)). Оставшиеся линии,
являясь краевыми дислокациями, могут уменьшить свою энергию,
соединяясь вместе (рис. 3.24(e)). На этой стадии исходная перво-
начально существовавшая дислокация образовала замкнутую петлю
и возродилась в виде отрезка ВС, существовавшего с самого начала.
Петля, которая является границей между претерпевшей сколь-
жение и певозмущенной частями кристалла, продолжает расти и
наконец выходит на поверхность, чем завершается единичный шаг
скольжения. Возрожденная линия продолжает развиваться, не-
прерывно образуются новые петли и липни, которые в свою оче-
редь выходят на свободную поверхность. Суммарный эффект об-
3.6. Введение в теорию дислокаций 59
разования множества таких петель при выходе их на свободную
поверхность проявляется в виде образования линий скольжения
на грани кристалла.
Не вдаваясь в подробности геометрического анализа, отметим,
что линии дислокаций и петли во время движения и образования
на различных плоскостях скольжения, причем некоторые из них
параллельны друг другу, а некоторые пересекаются, несомненно,
должны каким-либо образом взаимодействовать между собой.
Рис. 3. 24. Образование петель дислокаций по Франку и Риду.
Процессы поперечного скольжения и переползания дислокаций
усложняют это взаимодействие, в результате чего их движение
происходит скачкообразно, образуются спирали и сложные трех-
мерные структуры, называемые иногда скоплениями дислокаций.
Чем плотнее скопление, тем больших затрат энергии требуется для
прохождения дислокации через это скопление, и линия дисло-
кации может потерять подвижность или зацепиться за другие дис-
локации.
Увеличение плотности линий дислокаций и их пересечений,
приводящее к лишению подвижности дислокаций, макроскопи-
60 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
чески проявляется как деформационное упрочнение. В то же самое
время возрастание уровня напряжений может явиться причиной
активации механизма поперечного скольжения и освобождения
скоплений дислокаций. Кроме того, особенно при повышении
температуры может начаться процесс переползания дислокаций,
проявляющийся макроскопически в виде явления, называемого
разупрочнением.
Явление существования предела текучести также можно объ-
яснить наличием скоплений дислокаций в некоторых областях,
которые смещаются и внезапно начинают двигаться при дости-
жении действующим напряжением некоторой критической вели-
чины. Макроскопически это проявляется в виде начала пластиче-
ского течения, сопровождаемого внезапным снижением несущей
способности некоторых элементов конструкции или образцов,
которое наблюдается при достижении предела текучести. Установ-
лено также, что существует связь между распределением дисло-
каций в деформированных сплавах и чувствительностью этих
сплавов к коррозионному растрескиванию под напряжением.
Распространение трещин при усталостном нагружении тоже
можно качественно объяснить движением и взаимодействием дис-
локаций. Некоторые аспекты явления ползучести также объяс-
няются движением и взаимодействием дислокаций. Однако еще
очень многое предстоит сделать, прежде чем будут получены коли-
чественные соотношения между характеристиками взаимодействия
дислокаций и макроскопического поведения материалов. Следует
также отметить, что даже качественно пока еще не все особенности
макроскопического поведения удовлетворительно объясняются с
помощью дислокационной модели, хотя успехи в этом направ-
лении достигаются практически ежедневно, открывая новые све-
дения подобного рода.
3.7.	ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ ЛИНЕЙНО-УПРУГОГО РАЗРУШЕНИЯ
Благодаря развитию теории дислокаций достигнуты заметные
успехи в объяснении механизмов деформирования и разрушения
технических материалов на атомистическом уровне. Однако эта
теория не дает в распоряжение инженеров средств, позволяющих
производить количественные оценки критических условий нагру-
жения, размеров и форм конструкции, а также свойств материалов.
В связи с этим наряду с проведением исследований на микроско-
пическом уровне по построению и развитию теории дислокаций
проводились исследования на макроскопическом уровне с целью
создания моделей разрушения элементов машин и конструкций,
т. е. в области, известной ныне под названием механики разрушения.
Начиная с появления работ Гриффитса, Орована и Ирвина, ис-
следования в области механики разрушения в значительной сте-
пени были стимулированы разрушениями 1289 (из них 233 случая
3.7. Введение в механику линейно-упругого разрушения 61
были серьезными) из 4694 кораблей «Либерти», построенных в
1940-х годах, разрушениями самолетов «Комет» в начале 1950-х
годов, разрушениями баков ракет и больших паровых турбин в
середине 1950-х годов, разрушением емкости гелия «Бомарк» в
1960 г., разрушениями корпусов больших твердотопливных дви-
гателей и баков космического корабля «Аполлон» в середине 1960-х
годов и рядом других, хотя и не столь многочисленных, случаев
разрушений в середине 1970-х годов.
Причины этих разрушений связаны как с использованием
новых материалов, так и со стремлением создать более эффективные
конструкции. Внедрение высокопрочных конструкционных спла-
вов, широкое использование сварки, применение в некоторых
случаях деталей с утолщенными сечениями, использование уточ-
ненных методов расчета способствовали снижению несущей спо-
собности элементов конструкций до критического уровня, при
котором допускается локальная пластическая деформация без
разрушения. В то же самое время особенности технологии сварки,
наличие остаточных напряжений после механической обработки,
несовершенства сборки повысили потребность в специальном со-
здании локальных пластических деформаций в качестве средства
предотвращения разрушения. Увеличение интенсивности перемен-
ных во времени эксплуатационных нагрузок и повышение агрес-
сивности окружающей среды также в ряде случаев способствовали
разрушению. Все это явилось причиной развития основных поло-
жений и разработки систем контроля. Подобные системы обычно
включают в себя контроль номинальных напряжений и размеров
существующих трещин, с тем чтобы они всегда оставались ниже
уровня, который является критическим для материала, использу-
емого в элементе конструкции или машины.
Важный вывод, следующий из исследования разрушений, со-
стоит в том, что номинальное напряжение, при котором происходит
разрушение, связано с размером трещины или трещинообразного
дефекта конструкции [12]. Например, результаты для центрально
расположенных сквозных трещин, ориентированных перпендику-
лярно растягивающему напряжению, в алюминиевых и стальных
пластинах показаны соответственно на рис. 3.25 и 3.26. При этих
испытаниях по мере того, как растягивающая сила, действующая
на пластины с трещинами, медленно возрастала, трещина со вре-
менем медленно увеличивалась, а затем резко происходил рост ее
до разрушения. Медленный устойчивый процесс роста трещины
происходил со скоростями порядка долей дюйма в минуту. Быст-
рый рост трещин происходил со скоростями порядка сотен футов
в секунду.
Данные, представленные на рис. 3.25 и 3.26, показывают, что
в случае начальных трещин большой длины напряжение, соот-
ветствующее началу быстрого распространения трещины, было
меньше. Для алюминиевого сплава разрушающее напряжение
62 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
было меньше предела текучести для трещин длиной более 3/4 дюйма.
У стали, результаты испытания которой приведены на рис. 3.26,
разрушающее напряжение было меньше предела прочности для
трещин длиной более 1/2 дюйма. В обоих случаях для более корот-
ких трещин разрушающее напряжение приближается к пределу
прочности материала, определяемому по результатам обычных
испытаний на одноосное растяжение.
Опыт показал, что резкий переход от медленного распростра-
нения трещины к быстрому определяет важную характеристику
Рис. 3.25. Влияние критической длины трещины а на величину разрушающего
напряжения а для алюминиевой пластины с центрально расположенной трещи-
ной. Алюминиевый сплав 2219-Т87, ширина пластины 24 дюйма, толщина 0,1
дюйма, комнатная температура, растяжение в продольном направлении. (Из
работы (12]; © ASTM адаптировано с разрешения.)
материала, называемую вязкостью разрушения. Вязкость разру-
шения может использоваться при принятии мер с целью предот-
вращения разрушения, так же как предел текучести используется
при принятии мер с целью предотвращения текучести пластичных
материалов в условиях статического нагружения.
Во многих случаях стадия медленного распространения тре-
щины тоже представляет интерес, особенно в условиях действия
изменяющихся нагрузок и (или) агрессивной окружающей среды.
Позднее (в гл. 8) в связи с обсуждением явления усталостного раз-
рушения характеристики процесса медленного роста трещины и
начальный размер дефекта используются для оценки долговеч-
ности конструкции или ее элементов под действием изменяющихся
во времени нагрузок.
Наиболее плодотворным подходом к предсказанию и предот-
вращению разрушения оказалось моделирование поведения в
окрестности вершины трещины простейшим из возможных спосо-
бов, позволяющим, однако, учесть все существенные поддающиеся
3.7. Введение в механику линейно-упругого разрушения 63
измерению или расчету параметры, такие, как длина трещины, ха-
рактеристики напряженного состояния и вязкость разрушения.
Возможное влияние температуры, условий окружающей среды,
скорости нагружения, цикличности нагрузок также в конечном
итоге должны быть учтены путем оценки влияния этих факторов
на указанные параметры и условия разрушения.
Простейшая модель для описания напряжений у вершины тре-
щины основывается на предположениях о линейно-упругом пове-
рие. 3.26. Влияние критической длины трещины а на величину разрушающего
напряжения о для стальной пластины с центрально расположенной трещиной.
Сталь 4330 М, ширина пластины 36 дюймов, толщина 0,14 дюйма, комнатная тем-
пература, растяжение в продольном направлении. (Из работы [12]; © ASTM,
адаптировано с разрешения.)
дении материала и о двумерности напряженно-деформированного
состояния. Такой подход часто и называется механикой линейно-
упругого разрушения. Хотя справедливость предположения о ли-
нейно-упругом поведении и может быть поставлена под сомнение,
так как у всех реальных материалов в вершине трещины обра-
зуется пластическая зона, пока текучесть остается локальной, т. е.
пока размер пластической зоны мал но сравнению с размерами
трещины, линейно-упругая модель дает хорошие результаты, осо-
бенно при введении малого поправочного коэффициента для учета
пластической деформации у вершины трещины.
Предположение о локальности пластической зоны, таким об-
разом, означает, что в окружающем вершину трещины линейно-
упругом поле существует малая пластическая зона. Если же свой-
ства материала, условия нагружения и окружающей среды, а
также размеры детали таковы, что образуются большие пластиче-
ские зоны, то основные предположения механики линейно-упру-
64 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
того разрушения нарушаются, и необходимо уже пользоваться
методами механики упругопластического разрушения. Хотя к
настоящему времени в механике упругопластического разрушения
уже достигнуты некоторые успехи [19, гл. 6], область эта сравни-
тельно новая и требуется проведение дополнительных исследо-
ваний для создания инженерных методов расчета.
При получении выражений для определения напряжений в
окрестности вершины трещины было установлено, что на характер
распределения напряжений у вершины трещины основное влияние
Рис. 3.27. Основные типы деформирования трещины: (а) тип I, (Ь) тип II, (с)
тип III.
оказывают свободные границы трещины, в то время как удаленные
от трещины границы тела и внешние усилия сказываются лишь на
интенсивности локального поля напряжений у вершины трещины.
Можно определить три основных типа напряженного состояния
у вершины трещины, каждый из которых соответствует различным
схемам деформирования трещины, изображенным на рис. 3.27.
Тип I соответствует раскрытию трещины; локальные перемещения
при этом таковы, что поверхности трещины удаляются друг от
друга в противоположных направлениях (рис. 3.27(a)). Тип II
соответствует сдвигу, при котором поверхности трещины скользят
друг по другу в направлении, перпендикулярном краю трещины
(рис. 3.27(6)). Тип III соответствует скольжению, или разрыву,
или параллельному сдвигу, при котором поверхности трещины
скользят друг по другу в направлении, параллельном краю тре-
щины (рис. 3.27(c)). С помощью наложения этих трех типов можно
описать любое самое общее трехмерное локальное напряженно-
деформированное состояние у вершины трещины.
Используя методы, разработанные Вестергором [13), Ирвин [14]
получил выражения для напряжений и деформаций для каждого
из изображенных на рис. 3.27 типов трещины в случае двумерного
напряженно-деформированного состояния. При этом он исполь-
зовал координаты, изображенные на рнс. 3.28. Обозначения на-
пряжений пояснены в разд. 4.2.
3.7. Введение в механику лине ано-упругого разрушения 65
Для типа I (раскрытие трещины) компоненты напряжений у
вершины трещины имеют вид
их = р^ cos 4[ 1 -sin | sin ^] + охв + О (О'*),	(3.21)
о„ = cos 411 4- sin 4 sin 4] + О (О'*),	(3.22)
тХ1/ = p^=- sin 4 cos 4 cos + О (O'*).	(3.23)
В условиях плоского деформированного состояния, когда пере-
мещения в направлении z отсутствуют, остальные три компоненты
Рис. 3.28. Координаты, отсчитываемые от передней кромки трещины.
напряжения определяются соотношениями
тхг = 0,
v=°-
(3-24)
(3.25)
(3.26)
Для типа II (скольжение в направлении, перпендикулярном
краю трещины) компоненты напряжения у вершины трещины
3 к. 492
66 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
определяются формулами
ох = j==^sin-^2 + cos-|-cosy] +ахо + 0(г1'2),	(3.27)
о = sin у cos у cos у + О (г1'*),	(3.28)
- V 2лг z z z
Тху=тй?cos 4 [1—sin 4sin ¥] +0	<3-29)
и в случае плоского деформированного состояния
аг = '’(ох + ст!/).	(3-30)
тху = 0,	(3.31)
V = 0.	(3.32)
Для типа III (скольжение в направлении, параллельном краю
трещины) компоненты напряжения у вершины трещины имеют вид
sin у + тЛ.г0 + О (Н -),	(3.33)
У 2лг z
V = ^cos4 + O(r' 2),	(3.34)
°л = °,, =- = т*у = °-	(3.35)
В выражениях (3.21) — (3.35) указаны члены высшего порядка,
такие, как однородные напряжения ох0 и тхго в параллельном
трещине направлении, и члены порядка г‘Ч т. е. О (/'<*). Обычно
этими слагаемыми пренебрегают, как членами высшего порядка
малости по сравнению со слагаемым, содержащим 1/уУ. Величины
/Q, Кц и ЛП| называются коэффициентами интенсивности поля
напряжений у вершины трещины или просто коэффициентами ин-
тенсивности напряжений. Они характеризуют концентрацию на-
пряжений у вершины трещины. Физически Кц и можно
интерпретировать как интенсивность передачи нагрузки через
область вершины трещины в теле. Поскольку разрушение вызыва-
ется полем напряжений у вершины трещины, коэффициенты ин-
тенсивности напряжений являются основными параметрами, прак-
тически используемыми при анализе.
Характерной особенностью этих результатов является то, что
в плоском элементе любой формы из однородного линейно-упру-
гого материала распределение напряжений вблизи вершины пло-
ской трещины с острым концом (т. е. при г, малых по сравнению
с а) определяется формулами (3.21) — (3.35). Таким образом,
трещина создает свое собственное поле напряжений, которое от-
личается от поля напряжений у вершины другой трещины лишь
масштабным коэффициентом К. Этот масштабный коэффициент К,
называемый коэффициентом интенсивности напряжений, зависит
от внешней нагрузки и геометрии пластины, включая размер тре-
3.7. Введение в механику линейно-упругого разрушения &
щины. На рис. 3.29 изображен случай, когда внешней нагрузкой
является приложенное на бесконечности напряжение а и единст-
венным геометрическим параметром служит длина трещины 2а.
Из соображений размерности следует, что коэффициент интенсив-
Рис. 3.29. Система координат для бесконечной пластины со сквозной трещиной
длины 2а.
ности Л, входящий в формулы (3.21) — (3.23), должен иметь вид
к = ^0/5.	(3.36)
Из решения задачи теории упругости для бесконечной пло-
скости следует, что С1=/л, и формула (3.36) принимает вид
Х-о/ла.	(3.37)
При заданных нагрузках вдали от трещины выражения для
коэффициента интенсивности напряжений в общем случае имеют вид
К = Со/ла,	(3.38)
где величина С зависит от вида нагружения и геометрии вдали
от трещины. Определению значений С для различных частных
случаев посвящено множество работ (см., например, [15]).
Для пластины с трещиной, изображенной, например, на рис. 3.29,
коэффициент К возрастает пропорционально номинальному на-
пряжению (определенному без учета трещины) и, кроме того, его
величина зависит от мгновенного значения длины трещины. Таким
образом, К является единственным параметром, служащим мерой
68 Гл. 3- Прочность и деформация металлов
напряжений около вершины трещины. Значение Л, соответствую-
щее началу быстрого роста трещины, называется критическим
коэффициентом интенсивности напряжений Кс. Как отмечалось
ранее при описании результатов, представленных на рис. 3.25
и 3.26, быстрое распространение трещины у образцов с трещинами
различной начальной длины начиналось при разных значениях
номинального напряжения,
но при одном и том же пос-
тоянном значении Кс. Таким
образом, использование вели-
чины Кс позволяет с помощью
соотношения (3.38) сформу-
лировать однопараметричес-
кий критерий разрушения
следующим образом: разру-
шение произойдет, если
(3.39)
Часто в соотношение (3.38)
вводится поправочный коэф-
фициент для учета малой зо-
Рис. 3.30. Определение пластической зо-' ны пластичности^у вершины
ны у вершины трещины.	трещины. Простейший подход
к определению протяженнос-
ти пластической зоны состоит в приравнивании компоненты нап-
ряжения в направлении у, определяемой в случае плоского нап-
ряженного состояния формулой (3.22), пределу текучести материа-
ла иуР. При 0=0 из (3.22) получаем
оу/, = К1УъГг.	(3.40)
Находя отсюда г, получаем, что в случае плоского напряженного
состояния размер пластической зоны определяется величиной гГа:
гГо = (1/2л)(К/о9Р)“.	(3.41)
В условиях плоского деформированного состояния размер
пластической зоны можно оценить, учитывая, что при этом предел
текучести увеличивается примерно в КЗ раза 120]. Таким образом,
величина поправки на размер пластической зоны в условиях пло-
ской деформации принимает вид
гу£=(1/6л)(К/а^)«.	(3.42)
Пластическое течение сопровождается перераспределением на-
пряжений и образованием у вершины реальной трещины пласти-
ческой зоны размером примерно 2гу. Вследствие пластической де-
формации у вершины трещины она «притупляется», как показано на
рис. 3.30, и напряжения в окружающей упругой среде «концентри-
Таблица 3.1. Предел текучести и вязкость разрушения в условиях плоского деформированного состояния некоторых
сплавов [18. 21]
Сплав	Вид	Температура испытания				К1с	
		op		кфунт/дюйм*	МПа	кфунт/дюйм’^«	МПа /м
Сталь 4340 (закаленная при 500°F (265°С))	Листовая	70	21	217—238	1495—1640	45-57	50—63
Сталь 4340 (закаленная при 800° F (430°С))	Кованая	70	21	197—211	1360—1455	72-83	70-91
Сталь D6AC (закаленная при 1000°F (540°С))	Листовая	70	21	217	1495	93	102
Сталь D6AC (закаленная при 1000°F (540°С))	»	—65	—54	228	1570	56	62
Сталь А 538				250	1722	100	111
Алюминиевый сплав 2014-Т6	Кованый	75	24	64	440	28	31
Алюминиевый сплав 2О24-Т351	Листовой	80	27	54-56	370—385	28-40	31—44
Алюминиевый сплав 7075-Т6				85	585	30	33
Алюминиевый сплав 7075-Т651	Листовой	70	21	75—81	515—560	25-28	27—31
Алюминиевый сплав 7075-Т7351	Листовой	70	21	58-66	400—455	28—32	31—35
Титановый сплав Ti-6Ab4V	Листовой	74	23	119	820	96	106
3.7. Введение в механику линейно-упругого разрушения
8
70 Гл. 5. Прочность и деформация металлов
руются» у вершины реальной трещины, находящейся в пластиче-
ской зоне, как у вершины «эффективной» трещины в упругой среде.
С целью учета этого эффекта в формулу (3.38) следует подставить
длину эффективной трещины а', где
а' = а + гг,	(3.43)
в результате чего получаем
Я = Са/л (а + гг).	(3.44)
Следует отметить, что для получения соотношения (3.44) тре-
буется использовать метод итераций, поскольку К зависит от
величины гу, а гг в свою очередь зависит от величины К. Для зна-
чений напряжений и размеров трещин, значительно меньших
критических, величина гу обычно мала, и часто ею пренебрегают.
В тех случаях, когда величина коэффициента интенсивности на-
пряжений К приближается к критической Кс, величина поправки
становится значительной, и ее следует учитывать. Необходимо,
однако, отметить, что если пластическая зона «велика» по срав-
нению с размером трещины, т. е. если величина rY составляет более
нескольких процентов а, то точность методов механики линейно-
упругого разрушения становится сомнительной, и требуется ис-
пользовать методы механики упругопластического разрушения.
Исследования поведения материалов показывают, что для од-
ного и того же материала в зависимости от вида напряженного
состояния критическая интенсивность напряжений Кс уменьша-
ется по мере приближения к условиям плоской деформации. Ниж-
няя граница предельной величины представляет собой важную
характеристику материала Kic, называемую вязкостью разрушения
в условиях плоского деформированного состояния. Для определения
величины К1с разработаны стандартные методы [16]. Некоторые
данные приведены в табл. 3.1.
Для того чтобы с помощью вязкости разрушения в условиях
плоской деформации правильно предсказать разрушение образца
или какого-либо элемента конструкции, необходимо, чтобы в
окрестности вершины трещины выполнялись условия плоской де-
формации, т. е. толщина образца или детали должна быть доста-
точно большой. Эмпирически установлено, что для выполнения ус-
ловий плоской деформации минимальная толщина В материала в
окрестности вершины трещины должна удовлетворять требованию
В>2,5(Ки/аиг)».	(3.45)
Если толщина материала недостаточна и требование (3.45)
не выполняется, то, вероятнее всего, в районе вершины трещины
реализуется плоское напряженное состояние, а величина крити-
ческого коэффициента интенсивности напряжений в условиях пло-
ского напряженного состояния Кс может в 2—10 раз превосходить
нижнюю границу К1е. При этом, хотя использование для предска-
38. Использование механики разрушения при проектировании 71
зания разрушения в качестве критерия стандартной величины К[с
и позволило бы получить оценку «с запасом», эффективнее и точнее
было бы попытаться использовать методы механики упругопла-
стического разрушения.
Следует отметить, что основные положения механики линейно-
упругого разрушения можно развивать и излагать независимо,
используя либо понятие «коэффициент интенсивности напряжений
К», как это было сделано ранее, либо понятия «сила сопротивления
увеличению размеров трещины» или «скорость освобождения энер-
гии деформации G» — энергии деформации, освобождаемой при
малом приращении длины трещины. Выражение для нее дается
последним слагаемым формулы (3.10). Хотя целям и задачам этой
книги более соответствует подход, в котором используется поня-
тие коэффициента интенсивности напряжений, в некоторых слу-
чаях целесообразнее использовать понятие скорости освобождения
энергии деформации. Например, это имеет место в случаях, когда
одновременно реализуются различные типы деформирования тре-
щины, при обработке результатов испытаний с заданными переме-
щениями или при применении некоторых методов механики упру-
гопластического разрушения. Понятие критического значения
скорости освобождения энергии деформации Gc, при котором тре-
щина становится неустойчивой и распространяется самопроиз-
вольно, освещено в литературе (см., например, [18] или [19]); его
можно непосредственно связать с понятием критического коэффи-
циента интенсивности напряжений Кс. Коэффициент интенсивности
напряжений К и скорость освобождения энергии деформации G
связаны между собой соотношение^м
G=K4E	(3.46)
в случае плоского напряженного состояния или
G=K2(1—v*)/E	(3.47)
в случае плоского деформированного состояния.
3.8.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
При оценке возможности разрушения элемента конструкции или
при проектировании неразрушающейся конструкции расчетчик
должен уже на начальной стадии: определить вероятные виды раз-
рушения; выявить соответствующие характеристики, по которым
аналитически можно судить о степени опасности воздействия
нагрузок и условий окружающей среды; подобрать материал и
геометрию проектируемой детали; определить предельные харак-
теристики прочности материала, соответствующие вероятным видам
разрушения. Далее он должен рассчитать значения установленных
характеристик состояния при заданных нагрузках и условиях
72 Гл, 3. Прочность и деформация металлов
окружающей среды и сопоставить расчетные значения с крити-
ческими характеристиками прочности материала. Разрушения
можно ожидать, если расчетные значения выбранных параметров
равны или превышают критические значения параметров сопро-
тивления материала.
Например, если расчетчик установил, что возможным видом
разрушения исследуемой им детали является появление текуче-
сти, он, вероятно, выбрал бы в качестве характеристики состояния
напряжение о и в качестве критического значения параметра со-
противления материала предел текучести при одноосном состоянии
оур. Затем он оценил бы качество конструкции, исходя из утверж-
дения, что разрушение произойдет, если
c^Jyp.	(3.48)
Как об этом будет более подробно сказано в гл. б, он мог бы также
в качестве характеристики состояния выбрать деформацию, удель-
ную энергию деформации или какую-либо другую величину, по
которой можно судить о степени нагруженности исследуемой им
детали.
Механику разрушения целесообразно использовать точно та-
ким же образом, когда одним из возможных видов разрушения
является хрупкое разрушение. В этом случае в качестве харак-
теристики состояния следует взять коэффициент интенсивности
напряжений К, а в качестве характеристики прочности — вяз-
кость разрушения Кс и считать, что разрушение произойдет, если
К>КС.	(3.49)
Хотя вычисление величины К и определение /(с в некоторых
случаях могут вызвать затруднения, методология предсказания
хрупкого разрушения не сложнее, чем здесь описано. Следует
указать, что в большинстве случаев расчетчику настоятельно
рекомендуется взять себе за правило проверять возможность как
хрупкого разрушения, так и разрушения вследствие текучести.
Чтобы использовать соотношение (3.49) при расчетах или оцен-
ках возможности разрушения, необходимо определить коэффи-
циент интенсивности напряжений для исследуемой конструкции
или ее элемента при заданных условиях нагружения. В качестве
иллюстрации приведем несколько примеров, упомянув, что в ли-
тературе опубликовано множество других решений (см., например,
[15, 21, 22]).
Для центрально расположенных сквозных трещин, двусторон-
них краевых сквозных трещин и односторонних сквозных трещин
при осевом растяжении или сдвиге коэффициент интенсивности на-
пряжений имеет вид
K = Cof V ла,
(3.50)
3.8. Использование механики разрушения при проектировании 73
или
Л = СтКла,	(3.51)
где С — функция геометрических параметров и типа деформиро-
вания трещины, изображенная на рис. 3.31—3.33.

Яш -
Рис. 3.31. Коэффициенты интенсивности напряжений А], Ап и /(щ для образца
с центрально расположенной сквозной трещиной, (Из работы [15]; © Del Research
Corpt| адаптировано с разрешения.)
74 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
ИН
о
Рис. 3.32. Коэффициенты интенсивности напряжений Лц и /С1П для образ-
ца с двусторонними краевыми сквозными трещинами. (Из работы [15]; ©Del
Research Corp., адаптировано с разрешения.)
Для балки с односторонней сквозной краевой трещиной, нагру-
женной изгибающим моментом, коэффициент интенсивности на-
пряжений имеет вид

(3.52)
3.8. Использование механики разрушения при проектировании 75
где С?! — функция геометрических параметров, изображенная на
рис. 3.34, а номинальное напряжение аь (без учета ослабления
сечения трещиной) определяется формулой
аь=6Л4/(/62).	(3.53)
Для исходящей вдоль радиуса от поверхности кругового отвер-
стия сквозной трещины в бесконечной пластине при двухосном
Рис. 3.33. Коэффициент интенсивнос-
ти напряжений К\ для образца с од-
носторонней сквозной трещиной. (Из
работы [15]; © Del Research Corp.,
адаптировано с разрешения.)
'/каГ
растяжении коэффициент интенсивности напряжений определяется
соотношением
(3.54)
где С] — функция геометрических параметров и отношения ком-
понент напряжений, вычисляемая с помощью рис. 3.35.
Для несквозной поверхностной трещины в пластине при одно-
родном растяжении коэффициент интенсивности напряжений имеет
76 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
вид
Л, = (1,12/Иё) at Ий,
(3.55)
где
сит
Q — параметр формы поверхностного дефекта, который зави-
от отношения глубины трещины к ее длине и от отношения
номинального напряжения к пределу текучести материала (рис.
3.36).
Используя формулы (3.50) — (3.55) и другие аналогичные
соотношения, имеющиеся в литературе, а также вязкость разру-
шения исследуемого материала, расчетчик может с помощью со-
отношения (3.49) оценить возможность разрушения или, что еще
3.8. Использование механики разрушения при проектировании 77
Рис. 3.35. Коэффициент интенсивности напряжений К\ для образца со сквоз-
ной трещиной, исходящей от кругового отверстия в бесконечной пластине, при
двухосном растяжении. (Из работы [15; © Del Research Corp., адаптировано
с разрешения.)
более важно, спроектировать элемент так, чтобы он не разрушился
при эксплуатационных нагрузках. Еще рас напомним, что вяз-
кость разрушения зависит не только от металлургических фак-
78 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
торов, таких, как состав сплава и условия термообработки, но и
от эксплуатационной температуры, скорости нагружения и напря-
женного состояния в окрестности вершины трещины.
Рис. 3.36. Параметр формы поверхностного дефекта Q. (Из работы [19], адапти-
ровано с разрешения Prcnlice-Hal 1, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.)
3.9.	МЕХАНИКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Во многих практических приложениях размеры пластической зоны
у вершины трещины становятся настолько большими, что пред-
положение о малости эффекта текучести уже несправедливо и
линейной теорией упругости пользоваться нельзя. В тонкостенных
элементах современных кораблей, мостов, сосудов высокого дав-
ления, строительных и машиностроительных конструкций исполь-
зуется большое количество сталей с малыми и средними по вели-
чине пределами прочности, так что условия плоского деформиро-
ванного состояния в вершинах трещин, как правило, не выпол-
няются. Применять в таких случаях методы механики линейно-
упругого разрушения и использовать в критериях прочности
величину Л1с уже нельзя. Попытки распространить идеи меха-
ники разрушения на случай упругопластического деформирования
привели к созданию некоторых подающих надежды методов (см.,
например, [19, гл. 4],) среди которых: (1) методы перемещения
раскрытия трещины (COD), (2) методы R-кривых и (3) методы
J-интеграла. Хотя подробное изложение этих методов не входит
в задачи данной книги, краткое описание основных положений
может оказаться полезным.
Основная идея методов перемещения раскрытия трещины (COD)
связана с тем, что поведение при разрушении в районе острия тре-
щины может быть описано через перемещение поверхностей тре-
щины, т. е. перемещение раскрытия трещины [23]. В случае пло-
3.9. Механика упругопластического разрушения 79
ского деформированного состояния можно получить соотношение
между перемещением раскрытия трещины и вязкостью разрушения
в условиях плоской деформации К[с. Поскольку перемещение
раскрытия трещины может быть замерено и в тех случаях, когда
условия плоской деформации не выполнены, появилась мысль
использовать для предсказания критических напряжений или
критических размеров трещины количественные соотношения,
аналогичные используемым в линейной механике линейно-упру-
гого разрушения.
Хотя в этом направлении был достигнут некоторый прогресс,
оказалось, что замеры перемещения раскрытия трещины не по-
зволили точно оценить разрушающие напряжения ряда конст-
рукций, в частности сосудов высокого давления с дефектами [24).
Эти неточности обусловлены многими факторами, основной из
которых связан, по-видимому, с существованием фазы медленного
установившегося движения трещины перед фазой ее неустойчи-
вого движения. Понятие /^-кривой, которое дает возможность
учесть фазу медленного установившегося роста трещины, позво-
ляет надеяться на повышение точности оценок возможности раз-
рушения в условиях текучести у вершины трещины.
Кривые сопротивления, или /^-кривые, позволяют охаракте-
ризовать сопротивление материала разрушению во время медлен-
ного установившегося движения трещины под действием увеличи-
вающихся внешних нагрузок. В условиях плоского деформиро-
ванного состояния вязкость разрушения К1с материала зависит
только от двух переменных: температуры и скорости деформации.
В противоположность этому в условиях плоского напряженного
состояния вязкость разрушения Кс зависит не только от темпера-
туры и скорости деформации, но также и от толщины материала
в районе трещины и от ее размеров, /^-кривая полностью описывает
изменение величины Кс в зависимости от изменения размера тре-
щины. Таким образом, /?-кривая представляет собой зависимость
сопротивления росту трещины КГ{ от изменения размера трещины
при заданных значениях температуры, скорости нагружения и
толщины материала. Современные методы экспериментального
определения /^-кривых описаны в специальной публикации ASTM
[25].
В методах /-интеграла напряженно-деформированное состояние
у вершины трещины предлагается характеризовать не зависящим
от пути криволинейным интегралом вдоль линии, близкой к вер-
шине трещины, который определяется путем замены пути инте-
грирования линией, удаленной от пластической зоны у вершины.
О поведении в области вершины трещины судят, таким образом,
исследуя область, удаленную от вершины трещины. В случае
линейно-упругого поведения /-интеграл совпадает с удельной ско-
ростью освобождения энергии Сив условиях плоской деформации
/и = 01с= (1— v2)Ki*/£. Вопросы применения /-интеграла для обоб-
SO Гл. 3. Прочность и деформация металлов
щения идеи линейной механики линейно-упругого разрушения на
случай упругопластического поведения в настоящее время интен-
сивно исследуются и, по-видимому, приведут в ближайшем будущем
к созданию методов расчета.
3.10.	ПРИМЕР
С целью иллюстрации применения методов механики разрушения
рассмотрим следующую, относительно простую задачу. Шарнирно
опертый по концам элемент из алюминия 7075-Т6 длиной 20 дюймов
имеет прямоугольное поперечное сечение 0,38 на 4 дюйма. При
эксплуатации элемент нагружается статической растягивающей
силой. Предположим, что во время контроля у него обнаружена
односторонняя сквозная краевая трещина глубиной 0,15 дюйма.
Какое наибольшее значение растягивающей нагрузки на этот
элемент допустимо при условии, что коэффициент безопасности
равен 1,5?
Первым делом отметим, что следует рассмотреть возможность
разрушения двух видов, а именно разрушение вследствие теку-
чести и хрупкое разрушение в результате быстрого движения
трещины. Оценивая сначала возможность пластического течения,
максимальное допустимое значение нагрузки /\.ац найдем в виде
Pj,.aii = Оа|, А„ = (оу/,/п)А„.	(3.56)
Подставляя сюда оу]> =85 000 фунт/дюйм 2 из табл. 3.1, заданное
значение /1=1,5 и площадь поперечного сечения, ослабленного
трещиной, подсчитываем
Ру.ац = (85 000/1,5)  0,38 • (4—0,15) = 82 900 фунтов. (3.57)
Рассматривая далее возможность хрупкого разрушения в резуль-
тате быстрого распространения трещины, находим величину Рь/ ац
в виде
Pbf-M =	Ag'	(3.58)
Используем тот же самый коэффициент безопасности п=1,5 и
исходную площадь поперечного сечения. Требуется еще определить
abf с помощью соотношения (3.49) путем подстановки в него со-
ответствующих значений К и Кс. Для односторонней сквозной
краевой трещины при растяжении выражение для К дается фор-
мулой (3.50). Из (3.45) следует, что условия плоской деформации
будут выполняться, если
В > 2,5 (К1с/а^)2 = 2,5 (30/85)’ = 0,31 дюйма. (3.59)
При проведении расчетов использовалась табл. 3.1 со свойствами
материалов. Поскольку толщина В, равная 0,38 дюйма, действи-
тельно превышает 0,31 дюйма, условия плоской деформации вы-
полнены, и в (3.49) вместо Кс можно использовать К1С. Опуская
3.10. Пример 81
знак неравенства в (3.49) н подставляя вместо К его выражение из
(3.50), получаем соотношение, характеризующее состояние начала
хрупкого разрушения:
Соь/угпа = /(1е.	(3.60)
Отсюда находим выражение для в виде
ubf = Klc/(C^a).	(3.61)
С помощью рис. 3.33 при
а.:Ь=0,15/4=0,0375	(3.62)
находим
(I— 0,0375)3/2 С = 1,07,	(3.63)
откуда С=1,13.	(3,64)
Таким образом, в соответствии с (3.61)
0Ь/ = 30000/( 1,13Ул 0,15) = 38 700 фунт/дюйм3,	(3.65)
и поэтому из (3.58) получаем
Ptf-aii = (38 700/l,5)-0,38-4,0 = 39 200 фунтов. (3.66)
Из сравнения результатов (3.57) и (3.66) ясно, что наибольшую
опасность представляет хрупкое разрушение, и расчетное значение
допустимой нагрузки для элемента с трещиной составляет лишь
39 200 фунтов В результате пренебрежения эффектами пластич-
ности в вершине трещины при его определении допущена небольшая
погрешность. С помощью соотношения (3.42) читатель может убе-
диться, что эта погрешность действительно мала.
Предположим, что этот элемент из алюминия 7075-Т6 допущен
к последующей эксплуатации при условии ограничения внешней
растягивающей нагрузки величиной 39 200 фунтов. Однако в ре-
зультате дополнительной проверки был обнаружен поверхностный
дефект в виде трещины глубиной 0,050 дюйма и длиной 0,125 дюйма.
Изменит ли появление этого дефекта величину рекомендованной
рабочей нагрузки 39 200 фунтов?
Для оценки опасности вновь обнаруженного дефекта следует
пересчитать разрушающее напряжение (3.65) для случая поверх-
ностного дефекта, используя формулу (3.55) и данные, приведенные
на рис. 3.36. Чтобы определить параметр формы дефекта Q, следует
вычислить два отношения:
а/(2с)=0,050/0,125=0,4,	(3.67)
<’nom PlAg 39 200/(0,38-4,0)	_
=-----85 000---= 0-3-	f3-68)
Используя эти значения, по графику на рис. 3.36 находим, что
Q=l,95. Отсюда в соответствии с (3.55) получаем
•ф, =  ----- зоооо __— g94380 фунт/дюйм*.	(3.69)
'	(1,12/^1.95) ^.1-0,050	1	1	'	'
82 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
Допустимая нагрузка с учетом этого поверхностного дефекта равна
= (94 380/1,5) (0,38 4,0) = 143 450 фунтов. (3.70)
Таким образом, поверхностный дефект не приводит к дополнитель-
ным ограничениям, и деталь может быть допущена к последующей
эксплуатации при условии ограничения эксплуатационной нагрузки
величиной 39 200 фунтов из-за первоначально обнаруженной од-
носторонней краевой сквозной трещины. Можно отметить, вспо-
миная результат (3.57), что рассмотренный поверхностный дефект
менее опасен, чем текучесть.
Область применения механики разрушения гораздо шире, чем
это описано здесь, однако дальнейшее обсуждение методов меха-
ники разрушения будет отложено до гл. 8, где рассматриваются
вопросы, связанные с усталостью.
3.11.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Инженеры-механики обязательно должны интересоваться различ-
ными видами механических разрушений, возможность которых
им приходится оценивать расчетным путем. Хотя результаты мик-
роскопического исследования поведения материалов нельзя не-
посредственно использовать при расчетах каких-либо отдельных
элементов конструкций, качественное понимание того, как на ато-
мистическом уровне происходит процесс разрушения вследствие
взаимодействия и движения дислокаций, несомненно, полезно.
Механика разрушения позволяет получать количественные оценки
возможности разрушения в результате быстрого распространения
трещин. Другие модели разрушения и способы его предсказания
рассмотрены в последующих главах.
ВОПРОСЫ
1.	Используя литературные источники, перечислите все типы связей в твер-
дых телах и подробно опишите характерные особенности каждого типа.
2.	Перечислите процессы, посредством которых может осуществляться
пластическое деформирование технических металлов, и опишите существо
каждого процесса.
3.	Представьте себе и опишите подробно экспериментальную программу, осу-
ществляя которую можно доказать существование критической величины резуль-
тирующего касательного напряжения для монокристалла чистого алюминия.
4.	Сравните пластический разрыв и хрупкое разрушение.
5.	Опишите, как проявляются на макроскопическом уровне деформационное
упрочнение и разупрочнение. Как трактуются эти процессы упрощенной теорией
дислокаций?
6.	Опишите понятия краевой, винтовой и смешанной дислокаций. Что озна-
чают термины «поперечное скольжение» и «переползание»? Свои ответы поясните
рисунками.
7.	Каким образом дислокационная модель объясняет существующее большое
различие между теоретической и наблюдаемой сдвиговой прочностью металлов
в экспериментах?
8.	В чем польза понятия дислокации для инженера-расчетчика?
Вопросы 83
9.	Используя выражение Гриффитса (3.10) для энергии, требуемой для рас-
пространения трещины, получите формулу для напряжения, при котором начнется
самопроизвольное распространение трещины.
10.	Постройте контуры Бюргерса для дислокаций, показанных на лицевой
и боковой гранях кристаллической решетки, которая изображена на рис. 3.18.
Какова величина вектора Бюргерса для каждой из этих дислокаций?
11.	Измерения энергии, накопленной в образце из деформационно упрочнен-
ной меди объемом 10 см3, показали, что накоплено 50 кал. Предполагая, что
число краевых и винтовых дислокаций одинаково и что вся накопленная энергия
связана с деформациями дислокаций, оцените плотность дислокаций, выразив ее
в числе линий на 1 см2. Примечание. G— 6-10е фунт/дюйм2, д=10~8 дюйм,
100 дюйм-фунт=2,7 кал.
12.	Объясните выводы, следующие из расчета пластины из стали 4330 М
(см. рис. 3.26) шириной 36 дюймов с центрально расположенной трещиной более
0,5 дюйма длиной, если при расчете в качестве основного параметра прочности
принят предел текучести.
13.	Сопоставьте основные положения методологии предсказания разрушения
вследствие текучести и вследствие быстрого распространения трещины. В ходе
пояснений дайте четкие и полные определения терминов: коэффициент интенсив-
ности напряжений, критическая интенсивность напряжений и вязкость разру-
шения.
14.	Опишите три основных типа деформации трещины. Используйте соответ-
ствующие рисунки.
15.	Дайте интерпретацию следующему утверждению: Разрушение произойдет,
если СоУяа^К]С, определите все символы, входящие в формулу.
16.	Очень широкая пластина из листа алюминия 7075-Т651 толщиной 5/16
дюйма имеет одностороннюю краевую сквозную трещину длиной 1,0 дюйм. Номи-
нальное напряжение в перпендикулярном плоскости трещины направлении, во-
зникающее в результате действия нагрузки, равно 10 000 фунт/дюйм2.
(а) Подсчитайте коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины.
(Ь) Оцените размер пластической зоны у вершины трещины.
(с) Покажите законность введения поправки на пластическую зону для этой
конфигурации.
(d) Определите критическое значение коэффициента интенсивности напряжений,
(е) Оцените коэффициент безопасности в случае разрушения вследствие быстрого
распространения трещины (хрупкого разрушения).
17. Рассмотрите все этапы решения задачи 16 при толщине листа 1/8 дюйма.
18. Цилиндрический тонкостенный сосуд высокого давления, показанный на
рис. 5.6, закрыт по концам и нагружен внутренним давлением р=5000 фунт/дюйм2.
Около одного из заклепочных отверстий диаметром 1/4 дюйма обнаружена
сквозная по толщине трещина длиной 1/16 дюйма, отходящая от края отверстия
в продольном направлении. Сосуд высокого давления изготовлен из листовой
стали D6AC, закаленной при 1000cF (540°С), толщиной 1/4 дюйма, диаметр его
10 дюймов, длина 20 дюймов.
(а) Определите коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины.
(Ь) Оцените размер пластической зоны у вершины трещины.
(с) Определите критическое значение коэффициента интенсивности напряжений,
(d) Оцените коэффициент безопасности в случае разрушения вследствие быстрого
распространения трещины (хрупкое разрушение) и вследствие текучести.
(е) Прокомментируйте полученные результаты.
19.	Повторите решение задачи 18 при тех же самых условиях, за исключением
того, что трещина длиной 1/16 дюйма, исходящая от края заклепочного отверстия,
направлена по окружности. Сравните полученные результаты с результатами
задачи 18.
20.	Парогенератор электростанции поддерживается двумя растягиваемыми
стропами, каждая 3 дюйма шириной, 0,44 дюйма толщиной и 26 дюймов длиной.
Стропы изготовлены из стали А538. В рабочем состоянии генератор весит 300 000
фунтов, вес равномерно распределяется между двумя стропами. Нагрузку
84 Гл. 3. Прочность и деформация металлов
можно считать статической. Проверкой ультразвуком обнаружена сквозная цент-
рально расположенная трещина длиной 0,5 дюйма, ориентированная перпендику-
лярно размеру 26 дюймов (т. е. перпендикулярно направлению растягивающей
нагрузки). Можно ли разрешить станции продолжать работу? Подкрепите свой
ответ инженерными расчетами.
21.	Консольная балка из титанового сплава T1-6A1-4V предназначена для
эксплуатации в химически агрессивной среде, в которой лишь титан хорошо со-
противляется коррозии. Длина консольной балки 26 дюймов, она имеет прямо-
угольное поперечное сечение высотой 10 дюймов и толщиной (шириной) 2 дюйма.
Галтель у закрепленного конца настолько велика, что концентрацией напряжений
в этом месте можно пренебречь. Балка должна выдерживать статическую нагруз-
Рис. Q3.23.
ку 125 000 фунтов на незакрепленном конце, которая создается в результате под-
вески на кратковременное хранение большого хрупкого стеклянною сосуда с хи-
мически активным веществом. После монтажа балки в ней обнаружена на верхней
(растягиваемой) стороне краевая сквозная по толщине трещина 0,3 дюйма длиной
на расстоянии 2 дюймов от закрепленного конца балки. Замена балки обойдется
очень дорого. Будете ли вы настаивать на ее замене или допустите ее к эксплуата-
ции? Подкрепите свой ответ надежными расчетами. Проблему потери устойчиво-
сти не затрагивайте (£=16-10е фунт/дюйм2, v=0,28).
22.	Конструктивный элемент цистерны с высокими эксплуатационными ха-
рактеристиками представляет собой стержень из титана 6A1-4V длиной 48 дюймов,
прямоугольного поперечного сечения, шириной 5 дюймов и толщиной 0,375 дюйма.
В нормальных условиях стержень растягивается статической силой 154 400 фун-
тов. Проверкой установлено наличие центрально расположенной сквозной тре-
щины длиной 0,50 дюйма, ориентированной перпендикулярно действующей на-
грузке. Какую нагрузку вы рекомендовали бы допустить для обеспечения безопас-
ной эксплуатации, если требуемый коэффициент безопасности п= 1,7? (Поправкой
на пластическую зону можно пренебречь.)
23.	В нескольких местах вдоль края подкрепляющего ребра из титана 6A1-4V
корпуса гидравлического привода закрылка серийного самолета обнаружены
трещины. Толщина ребра жесткости 0,25 дюйма, а ширина 2,0 дюйма (рис. Q3.23).
Все трещины сквозные, и глубина их около 0,1 дюйма. Новая деталь может быть
поставлена не ранее чем через 6 месяцев.
(а)	Будете ли вы рекомендовать запрещение полетов самолета, если максимальная
растягивающая сила, действующая на ребро жесткости, равна 50 000 фунтов
и нагрузка статическая (явления усталости нет)?
(Ъ)	Насколько вы уверены в правильности своей рекомендации?
Литература 85
ЛИТЕРАТУРА
1.	Barrett С. S. The Structure of Metals.— New York: McGraw-Hill, 1966.
2.	Sinnott M. S. The Solid State for Engineers.— New York: John Wilev & Sons.
1958.
3.	Marin J. Mechanical Behavior of Engineering Materials.— Englewood Cliffs,
N. J.: Prentice-Hall. 1962.
4.	Hayden H. W., Moffatt W. G., Wulff J. The Structure and Properties of Materi-
als, Vol. Ill, Mechanical Behavior.— New York: John Wiley & Sons, 1965.
5.	Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. II.— New York: McGraw-
Hill, 1963. [Имеется перевод: Нада и А. Пластичность и разрушение твердых
тел. Том II.— М.: Мир, 1969.]
6.	Averbach В. L., Felbeck D. К>, Hahn G. J., Thomas D. A. Fracture.— Cambrid-
ge: M. I. T. Press, 1959.
7.	Juvinall R. C. Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strength.—
New York: McGraw-Hill, 1967.
8.	Nabarro F. R. N. Theory of Crystal Dislocations.— London: Oxford University
Press, 1967.
9.	Fridcl L. Dislocations.— Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964.
10.	Hirth J. P., Lothe J. Theory of Dislocations.— New York: McGraw-Hill, 1968.
11.	Kennedy A. J. Processes of Creep and Fatigue in Metals.— New York: John
Wiley & Sons, 1963. [Имеется перевод: Кеннеди А. Дж. Ползучесть и уста-
лость в металлах.— М.: Металлургия, 1965.]
12.	Progress in Measuring Fracture Toughness and Using Fracture Mechanics.—
Materials Research and Standards, ASTM, March 1964, p. 103—119.
13.	Westergaard H. M. Bearing Pressures and Cracks.—Journal of Applied Mecha-
nics, ASME Transactions, Series A, 66(1939), p. 49.
14.	Irwin G. R. Analysis of Stresses and Strains Near the End of a Crack Traversing
a Plate.—Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME, 24(1957), p. 361.
15.	Tada H., Paris P. C., Irwin G. E. The Stress Analysis of Cracks Handbook.—
Del Research Corporation, Hellertown, Pa., 1973.
16.	Standard Method of Test for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic
Materials.— Designation: E399-72, Annual Book of ASTM Standards, Part 31,
The American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1972.
17.	Polakowski N. H., Ripling E. J. Strength and Structure of Engineering Materi-
als.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1966.
18.	Hertzberg R. W. Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materi-
als.— Newr York: John Wiley & Sons, 1976.
19.	Rolfe S. T., Barsom J. M. Fracture and Fatigue Control in Structures.— Eng-
lewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1977.
20.	Irwin G. R. Linear Fracture Mechanics, Fracture Transition, and Fracture
Control.— Engineering Fracture Mechanics, No. 2, August 1968, p. 1.
21.	Cambell J. E., Berry W. E., Fedderson С. E. Damage Tolerant Design Handbook,
MCIC-HB-01, September 1973.
22.	Sih G. C. Handbook of Stress Intensity Factors for Researchers and Engine-
ers.— Institute of Fracture and Solid Mechanics, Lehigh University, Bethle-
hem, Pa., 1973.
23.	Wells A. A. Unstable Crack Propagation in Metals-Cleavage and Fast Fracture.—
Cranfield Crack Propagation Symposium, September 1, 1961, p. 210.
24.	Hord J. E. Fracture Initiation in Tough Materials.—Conference of Metallur-
gists, CIMM, Montreal, P. Q., August 31, 1971.
25.	Fracture Toughness Evaluation by R-Curve Methods.—STP-527, American
Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1973.
26.	Taylor G. I.— Proceedings Royal Society (London), A145 (1934), p. 362; Oro-
wTan E.— Zeitschrift fur Physik, 89(1934), p. 634; Polanyi M.— Zeitschrift Шг
Physik, 89(1934), p. 660.
27.	Frank F. C., Read W. T.— Physics Review, 79 (1950), p. 722.
28.	Boas W., Schmid E.— Zeitschrift fiir Physik, 71 (1931), p. 712.
29.	Haase O., Schmid E.— Zeitschrift fur Physik, 33 (1925), p. 413.
ГЛАВА 4
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
4.1.	ВВЕДЕНИЕ
При проектировании элемента конструкции необходимо подобрать
сочетание материала и формы таким образом, чтобы конструкция
могла выполнять свои функции не разрушаясь. Для осуществ-
ления этого расчетчик должен иметь в своем распоряжении неко-
торую вычисляемую механическую величину, физически связанную
с наиболее опасным и вероятным видом повреждения таким обра-
зом, чтобы его можно было точно предсказать при достижении этой
механической величиной известного критического значения. Тремя
наиболее употребительными в этих целях механическими вели-
чинами являются напряжение, деформация и энергия. Как из-
вестно, напряжение является величиной, знание которой позво-
ляет предсказать возможность повреждения (большинства различ-
ных его видов) и, следовательно, избежать его путем принятия
соответствующих мер. В связи с этим для расчетчика чрезвычайно
важны представление о напряженном состоянии в точке и умение
исследовать трехосное напряженное состояние.
4.2.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
При действии на любое тело произвольных размеров и формы
самоуравновешенной системы массовых и (или) поверхностных
сил в нем возникают также самоуравновешенные в каждой точке
тела внутренние усилия. Если бы тело было рассечено произволь-
ной плоскостью, то эти внутренние усилия были бы, вообще говоря,
непрерывно распределены по поверхности сечения, причем и на-
правления, и плотности усилий в разных точках поверхности были
бы различными. Кроме того, распределение внутренних усилий
зависело бы также от ориентации плоскости сечения. Напряжение —
это величина, используемая для определения интенсивности и
направления внутренних усилий, действующих в заданной точке
тела на некоторой площадке. Поскольку напряжение определяется
не только величиной и направлением, но и ориентацией площадки,
на которой оно действует, напряжение является тензором второго
ранга. Полное списание величин и направлений напряжений на
всех проходящих через данную точку площадках характеризует
напряженное состояние в этой точке. Хотя определение напряже-
ния и использование его в дальнейшем в виде тензорной величины
не вызывают особых неудобств, мы будем применять более обще-
4.2. Напряженное состояние в точке 87
принятый подход, которым обычно пользуются в курсах сопро-
тивления материалов.
Полностью определить напряженное состояние в точке можно,
рассмотрев все компоненты напряжения, которые могут возникать
на гранях бесконечно малого куба материала, связанного с про-
извольной правосторонней системой прямоугольных декартовых
координат. Все компоненты напряжения можно представить как
Рис. 4.1. Напряженное состояние в точке.
нормальные напряжения, т. е. нормальные к граням куба, и каса-
тельные напряжения, параллельные граням куба. Поскольку мы
преследуем цель исследовать напряжения, действующие на пло-
скостях, проходящих через заданную точку, для нас представляют
интерес только предельные значения напряжений при стремлении
размеров бесконечно малого элемента к нулю. При этом измене-
ниями напряжений на гранях куба можно пренебречь как малыми
величинами более высокого порядка малости. Кроме того, по-
скольку массовые силы убывают пропорционально кубу линейного
размера, а поверхностные — пропорционально квадрату, мас-
совыми силами в предельном случае рассмотрения напряженного
состояния в точке также можно пренебречь как малыми более вы-
сокого порядка малости. Таким образом, напряженное состояние
элементарного объема размерами dx, dy и dz полностью характе-
ризуется величинами, изображенными на рис. 4.1.
88 Гл, 4. Напряженное состоя ние
Нормальные напряжения будут обозначаться символом о, а
касательные — символом т. Индексные обозначения применяются
в соответствии со следующими обычными правилами:
1.	В обозначении нормального напряжения используется один
индекс, соответствующий направлению внешней нормали к пло-
щадке, на которой оно действует.
2.	В обозначении касательного напряжения используется два
индекса. Первый указывает направление площадки, на которой
оно действует, а второй — направление касательного напряжения
на этой площадке.
3.	Нормальные напряжения считаются положительными (+),
если они приводят к растяжению, и отрицательными (—), если
они приводят к сжатию.
4.	Касательные напряжения считаются положительными, если
они действуют в направлении, знак которого совпадает со знаком
направления внешней нормали к площадке, на которой эти на-
пряжения действуют.
На рис. 4.1 показано, что в общем случае действуют три нор-
мальных напряжения ож, и oz и шесть касательных напряжений

1 Oz
Рис. 4.2. Схематичное изображение равновесия моментов относительно оси х,
иллюстрирующее равенство величин т.у2 и rZJ/.
Ь/*» tz1z, i2X и txz. ТакИхМ образом, для полного определения
напряженного состояния в точке необходимо задание всех девяти
компонент напряжения: трех нормальных напряжений и шести
касательных. Однако с помощью уравнения равновесия моментов
можно показать, что величины тху и тух, ту2 и а также tzjc и
4.2. Напряженное состояние в точке 89
тХ2 попарно равны. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим
вид на плоскость y-z (рис. 4.2). Записывая уравнение равновесия
моментов относительно начала координат и учитывая при этом,
что равные по величине и противоположные по направлению нор-
мальные силы не создают никаких моментов, получаем
xyz (dzdx)dy—xzy (dydx)dz=0,	(4.1)
и, следовательно,
Ti/z=Tzz/-	(^-2)
Аналогичные соотношения получаются при записи уравнений
равновесия для других координатных плоскостей:
^XlJ=^yXi ^XZ = ^ 2.Y’	(4.3), (4.4)
Таким образом, вместо шести компонент касательного напря-
жения для полного описания напряженного состояния в точке тре-
буется знание лишь трех различных касательных напряжений. Сле-
довательно, чтобы полностью определить произвольное напряженное
состояние самого общего вида в точке, требуется задать шесть
компонент напряжения: три нормальных напряжения ах, иу и
(Уг и три касательных напряжения тХ!/, xyz и т2Х. Если известны
шесть компонент напряжения в точке, то, используя условия равно-
весия, можно подсчитать напряжения на любой площадке, проходя-
щей через эту точку. Как это делается, показывается ниже.
Рассмотрим рис. 4.3, на котором изображена произвольная
плоскость BCD, проходящая через бесконечно малый элемент объе-
ма, показанный на рис. 4.1. Эта плоскость находится на небольшом
расстоянии W от начала координат и в пределе будет проходить через
него. Чтобы выразить величину нормального напряжения, дей-
ствующего на площадке BCD, через шесть компонент напряжения и
направляющие косинусы плоскости BCD, можно поступить следую-
щим образом.
На рис. 4.3 направляющие косинусы плоскости BCD (задавае-
мой нормалью) определяются соотношениями
cos a=Z, cos fi=m, cos	(4.5)
Из чисто геометрических соображений следует, что если площадь
площадки BCD равна Л, то площади треугольных граней элементар-
ного объема, перпендикулярных осям х, у и z, равны соответст-
венно
Ax=Al, Ау^Ат, Az=An.	(4.6)
Компоненты действующей на площадку BCD силы в направле-
ниях трех осей координат на рис. 4.3 обозначены через Fx, Fy и Fz.
Зная, что площадь площадки BCD равна Л. и зная три компоненты
силы, действующей па эту площадку, можем записать выражения
для компонент напряжения в направлениях х, у, и z в виде
SX=FXM, Sy-FyiA, SZ^FZ>A.	(4.7)
90 Гл. 4. Напряженное состояние
Далее» поскольку силы, действующие на три остальные грани
тетраэдра, изображенного на рис. 4.3, равны произведениям пло-
щадей граней на величины соответствующих напряжений, три урав-
Рис. 4.3. Схематичное изображение равновесия сил, действующих на отсеченный
произвольной плоскостью BCD бесконечно малый элемент объема (площадь BCD
равна Л).
нения равновесия сил в проекциях на оси координат имеют вид
/7х==Дхах-Н Azxxzt
Fy=AxxXy-]-Ay<jy-\-AzXyZ.
F z = ^ x^xz~^ АуТуг~}~ Azaz.
Подставив в (4.8) соотношения (4.6) и (4.7) и разделив левые и
правые части полученных равенств на величину Л, запишем выра-
жения для трех компонент напряжения, действующего на площадку
BCD. в виде
8 х=lox+mxXy+пхх z,
8^ 1хХу+тау+пхУ2,	(4.9)
8	/ТХ2+ПГСуг~Ь псгг.
Обращаясь опять к рис. 4,3, выражения для нормальных компо-
нент Sxn, Syn и S2n каждого из трех напряжений Sx, 8У и Sz полу-
4.3. Главные нормальные напряжения 91
чаем в виде
Sxn = /Sx, Syn=mSy, Szn=nSz.	(4.10)
Далее выражения (4.9) можно подставить в (4.10), в результате чего
получим
»Sxn l2(J х~\~ ItTVtху-1- //ITXZ,
Syn =- ltnTxy+m2Gy+mnTyzt	(4.11)
S2n = /n Txz+mn%yz+n20z.
Результирующая нормального напряжения действующего на
площадку BCD, представляет собой сумму этих трех компонент:
o^Sxn+S^n+Szn,	(4.12)
или после подстановки выражений (4.11) в (4.12)
on = l2ax+fn20y+n2az+2(lmTXy+lnTxz+mnTyz)t	(4.13)
Это выражение позволяет определить нормальное напряжение ап
на любой проходящей через точку площадке, зная шесть различных
компонент напряжения и направление этой площадки. Аналогично
можно было бы получить формулу для результирующей касательно-
го напряжения, действующего на этой же площадке. Однако не-
сколько позднее формула для касательного напряжения будет полу-
чена другим способом.
4.3. ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Главные нормальные напряжения, иногда называемые просто глаз-
ными напряжениями,— это нормальные напряжения на площадках,
на которых касательные напряжения равны нулю. Площадки, на
которых действуют главные нормальные напряжения, называются
главными площадками. Главные нормальные напряжения являются
также локальными экстремумами напряжения, в число которых вхо-
дит наибольшее значение нормального напряжения на площадках,
проходящих через точку. Поскольку величины, характеризующие
разрушение, часто связаны с главными напряжениями или с наи-
большим значением главного напряжения, представляет интерес
ознакомиться с методами определения главных нормальных напря-
жений.
Чтобы определить главные нормальные напряжения по шести
компонентам напряжения, удобно просто предположить, что пло-
щадка BCD на рис. 4.3 является главной площадкой, и определить
ее направляющие косинусы так, чтобы сделанное предположение
выполнялось, а затем найти главное нормальное напряжение по
шести компонентам, описывающим произвольное трехосное напря-
женное состояние. Пусть площадка BCD главная. Это означает, что
компоненты касательного напряжения равны нулю. Таким образом,
нормальное напряжение на этой площадке представляет собой рав-
92 Гл. 4. Напряженное состояние
недействующую действующих на нее усилий и может быть опреде-
лено следующим образом:
а—результирующее нормальное напряжение на главной пло-
щадке BCD.	(4.14)
Поскольку известно, что площадь главной площадки BCD равна
Л, результирующая нормальная сила Fn на этой площадке имеет вид
Fn=vA,	(4.15)
и, как следует из (4.7), компоненты нормальной силы в направлениях
х, у и z можно записать в виде
Fn=AS„ Fny=ASy, Fnz=ASz.	(4.16)
Из геометрических соображений следует, что
Fnx=lFn=loA, Fny=mFn=mvA, Fnz=nFn=noA. (4.17)
Отсюда с учетом (4.16) получаем
Sx=/o, Sy=ma, S2^no	(4.18)
или, подставляя сюда (4.9),
/а=/ох-г/нтХ7-{ nrxz,
ma=kxy+tnay+nTyz,	(4.19)
по=1тХ2+тгу2+па2,
что удобнее записать в виде
I (о—ох)—tmxy—птх2=0,
—Zxxf/+m (о—Oj,)—nxyz=Ot	(4.20)
—ZtX2—/птуг+и (<т—(J2)=0.
Вспоминая предположение, сделанное перед получением этих
трех уравнений, можно сделать вывод, что, для того чтобы а было
главным напряжением, оно должно удовлетворять этим уравнениям.
Отметим далее, что полученные уравнения не являются независи-
мыми, поскольку /, tn, п связаны между собой соотношением
/Ч т2+л2=1.	(4.21)
Это геометрическое условие означает, что три направляющих коси-
нуса не могут одновременно обращаться в нуль, и задание любых
двух из них определяет третий единственным образом.
Поскольку уравнения (4.20) не являются независимыми, опреде-
литель, составленный из коэффициентов этой системы уравнений,
должен обращаться в нуль, т. е.
(° — <\) -VXy	|
(О-^) -V ! = 0.
——\г (о — ojl
(4.22)
4.3. Главные нормальные напряжения 93
Наконец, раскрывая этот определитель, получаем кубическое урав-
нение
о3—о2 (ох -ь оу +	+ а (охоу 4- оиог +	—
—	+	——СТуТАг —<Тг^у) = 0. (4.23)
Это уравнение называется кубическим уравнением для определения
главных нормальных напряжений в случае трехмерного напряженного
состояния. Поскольку предполагается, что все нормальные и каса-
тельные компоненты напряжения — вещественные числа, по край-
ней мере один из трех корней этого уравнения для о вещественный,
а согласно физическому смыслу', вещественны все три корня.
Следует ясно осознавать, что для любой заданной уравновешен-
ной системы сдл, действующей на тело, главные напряжения и
главные площадки определяются единственным образом и что они
не должны зависеть от выбора системы декартовых координат. По-
этому коэффициенты в уравнении (4.23) постоянны, или инвариант-
ны относительно ориентации координатных осей. Эти коэффициенты
называются соответственно первым, вторым и третьим инварианта-
ми напряжений (см. стр. 217 работы П1):
Первый инвариант напряжений ах-f-oy-|-oz = const р (4.24)
Второй инвариант напряжений охо + о gz \- охо2—
—— tL—= const 2.	(4.25)
Третий инвариант напряжений охоуи2 4- 2тхугх2ту2—
—	—	= const3.	(4.26)
Таким образом, три корня кубического уравнения (4.23) пред-
ставляют собой три главных нормальных напряжения. Подставляя
эти три корня в (4.20) и используя геометрическое соотношение
(4.21), можно найти направляющие косинусы, определяющие глав-
ные площадки.
Кроме того, можно показать, что три главные плоскости взаим-
но перпендикулярны. Для этого заменим координаты х-у-г
на новыенаправив ось х так, чтобы она была перпендику-
лярна главной плоскости BCD. Поскольку BCD по предположению
главная площадка, касательные напряжения на ней должны быть
равны нулю:
=	=0-	(4.27)
С учетом (4.27) и инвариантности выражений (4.24) — (4.26) куби-
ческое уравнение для напряжений (4.23) можно записать в виде
о3 —о2 (ПХ' +	+ <Ъ') + О (Ох Оу' + О7'О2' - OX U2' — Т*,2 ,) —
— (Ох'ОуОг— ал 'Т2,2,) = 0.	(4.28)
Разложив левую часть на множители, получаем
[о—[{(<*—М (°—МН W'»'}] - °-	(4.29)
94 Гл. 4. Напряженное состояние
Решая уравнение (4.29), находим три корня:
CFi = (Jx't
(4.30)
(4.31)
(4.32)
Можно заметить, что правые части всех этих трех равенств вещест-
венные, и поэтому три главных напряжения всегда вещественны.
Определим главные площадки в новой системе координат с по-
мощью уравнений (4.20) и (4.21). По предположению площадка
BCD главная и перпендикулярна оси х', откуда следуют равенства
(4.27). С учетом сказанного уравнения (4.20) принимают вид
/(о—ах.) = 0,	(4.33)
т(о—птр-г- = 0,	(4-34)
—miy-z’ + n.(a—аг,) = 0.	(4.35)
К ним, конечно, следует добавить уравнение (4.21).
Предположение о том, что BCD — главная площадка, и выбор в
качестве оси х' нормали к главной площадке эквивалентны заданию
следующих значений направляющих косинусов: /1=1, ^=0 и
П1=0. Здесь индекс 1 означает, что направляющие косинусы опре-
деляют площадку, на которой действует главное напряжение а^.
Заметим, что это подтверждается соотношением (4.30), в соответ-
ствии с которым Oi равно ах„
Если а равно любому из двух других главных напряжений,
о2 или os, то и в (4.33) о не может равняться olt т. е. оЛ„ Таким
образом, уравнение (4.33) будет удовлетворяться только лишь в том
случае, если /2 и /3 одновременно равны нулю. Это означает, что
главные площадки, на которых действуют ал и <т3, обязательно пер-
пендикулярны площадке, на которой действует Oj. Существует бес-
конечно много площадок, перпендикулярных площадке, на которой
действует но нас интересуют лишь те из них, на которых каса-
тельные напряжения равны нулю.
Ось у' можно выбрать так, чтобы она совпадала с направлением
о2. При этом, основываясь на (4.21), (4.33) — (4.35), можно рас-
суждать следующим образом. Поскольку о2 в общем случае не равно
Ci, равенство (4.33) выполняется лишь при /2=0. Далее, поскольку
направление у' выбрано так, что оно совпадает с о2, величина о,
в общем случае не равна о2„ Кроме того, величина ту,2, не зависит
от (а—сг,), поэтому равенство (4.35) будет выполняться лишь
при п2=0. Когда /2 и п2 одновременно равны нулю, соотношение
(4.21) единственным образом определяет mt. Из (4.21) находим, что
т»=±1. Поскольку отлично от нуля, из (4.35) следует, что xv.t.
равно нулю, и из (4.31) получаем, что главное напряжение о2 равно
4.4. Главные касательные напряжения 95
ву,. Это подтверждает, что ось у' главная С учетом сказанного
уравнения (4.33) — (4.35) можно записать в виде
I (о — аЛ ) = 0,	(4.36)
т (а —о^) = 0,	(4.37)
и (о—<jr) = 0.	(4.38)
Как и ранее, одновременно с этими уравнениями должно выполнять-
ся геометрическое условие (4.21).
Замечая, что в общем случае о3 не равно ни одной из величин о*
или о2, т. е. не равно ох, или а^,, из (4.36) и (4.37) находим, что /а
и тд должны равняться нулю. При этом из (4.21) находим, что п3=
= ±1, а, значит, оа должно равняться oz,.
Таким образом, направляющие косинусы площадок, на которых
действуют три главных напряжения оь а2, и о3, равны
/1 = 1,	/2 = 0,	/3 = 0,
=	m3 = 0,
м1=0, п2 = 0, n3 = l.
(4.39)
Из (4.39) легко видеть, что три главные площадки действительно
взаимно перпендикулярны.
Для инженера-расчетчика очень важно знать, что наибольшее
из трех главных напряжений представляет собой максимальное нор-
мальное напряжение, которое может действовать на любой из пло-
щадок, проходящих через рассматриваемую точку. Важно также
знать, что наименьшее главное напряжение — это минимальное
нормальное напряжение, которое может действовать на любой из
проходящих через точку площадок.
4.4. ГЛАВНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В разд. 4.3 главные площадки были определены как площадки,
на которых касательные напряжения равны нулю. Другими сло-
вами, равнодействующие напряжений на главных площадках
являются нормальными компонентами напряжений. На любой дру-
гой проходящей через точку площадке равнодействующая напряже-
ний будет иметь в общем случае и нормальную, и касательную со-
ставляющие. Ясно, что среди этих площадок есть по крайней мере
одна, на которой касательное напряжение достигает максимального
значения. Экстремальные значения касательных напряжений назы-
ваются главными касательными напряжениями, а площадки, на ко-
торых они действуют, называются главными площадками сдвига.
Чтобы определить величины главных касательных напряжений и
направления площадок, на которых они действуют, удобно рассмот-
реть бесконечно малый элемент, расположенный так, что его грани
параллельны главным площадкам, и рассечь его произвольной плос-
костью EFG, как показано на рис. 4.4. При таком положении эле-
96 Гл. 4. Напряженное состояние
мента все касательные составляющие напряжений на координатных
плоскостях равны нулю, и достаточно рассмотреть лишь нормаль-
ные составляющие напряжений. Задавая площадку EFG ее направ-
ляющими косинусами, компоненты действующего на площадке
EFG напряжения в направлениях 1, 2 и 3 легко получить из
Рис. 4.4. Схематичное изображение равновесия сил, действующих на примыка-
ющий к главным осям и отсеченный произвольной плоскостью EFD бесконечно
малый элемент объема (площадь EFG равна Л).
общих соотношений (4.9) в виде
5i==/(j],	(4.40)
Кроме того, формула (4.13) для этого элемента принимает вид
о п = 1'2о 1+'п 2а 2+п2о з,	(4.41)
где оп — нормальное напряжение, действующее на площадке EFG.
Равнодействующую силу FT на площадке EFG можно предста-
вить в виде векторной суммы ее компонент F2 и F3 в трех коор-
динатных направлениях
Г; = Ff +(4.42)
Разделив обе части этого равенства на квадрат площади А площадки
EFG, получим
or = Si + S; т
(4.43)
4.4. Главные касательные напряжения 97
После подстановки выражений для напряжений (4.40) в (4.43) на-
ходим
а* = /2а2 +	+ п2(Т2	(4.44)
Полное напряжение ог можно также представить в виде вектор-
ной суммы его нормальной составляющей оа и касательной т, т. е.
в виде
а; = с24-т2.	(4.45)
Подставляя в это соотношение выражение (4.41) для оп и разрешая
его относительно т2, получаем
т2 =	+	+	+	(4.46)
Это выражение позволяет определить касательное напряжение на
любой проходящей через точку площадке по главным нормальным
напряжениям и направляющим косинусам площадки, на которой
действует напряжение т, относительно главных осей.
Чтобы найти максимальное значение полного касательного на-
пряжения т, выражение (4.46) надо продифференцировать по на-
правляющим косинусам /, т, и п. Результаты дифференцирования
следует приравнять нулю. Решение полученной системы уравнений
позволит найти значения /, т и п, соответствующие экстремальным
значениям касательного напряжения т. Отметим, что направляю-
щие косинусы и в этом случае связаны соотношением (4.21), и поэто-
му только два из них могут считаться независимыми переменными
при осуществлении любого дифференцирования. Сначала из (4.21)
найдем, что п2=1—/2—/и2, и, подставив это выражение в (4.46),
получим
х*= р (aj_а2) + /и2 (а2-о|) + а;-
— [/* (<Ч—os) + т2 (а2—а») + а,]‘. (4.47)
В результате дифференцирования (4.47) по I имеем
2т (дт/д/)=2/ (о?—а;)—[2 {/* (а,—о,)4-т* (а,—а,)4-а,} 21 (Oj—а,)].
(4-48)
После некоторых преобразований и приравнивания нулю производ-
ной получаем уравнение
дт/д/« — [2/ (at—ст,)/т] [/«(а,—о,) 4- т2 (о,—о,) —l/i (о, — о,)] = 0.
(4.49)
Аналогичным образом, дифференцируя (4.47) по т, получаем
дх/дт= — [2т (о2—о,)/т] [/2 (о,—о,)+т* (at—о,)—7, (а,—о,)] =0.
(4.50)
Вторую пару подобных уравнений можно получить, находя из
(4.21), что /п2=1—Is—п2, подставляя это выражение для т2 в (4.46)
4 м 492
98 Гл. 4. Напряженное состояние
и дифференцируя результат по I и п. В итоге получаем
дх/д1 = — [2/ (о,—<т.,)/т] [Р (<jt—<т2) + п2 (О)—<Ч)—*/» (ст, — о 2)] = О,
(4.51)
дх/дп = — [2п (а3 —а2)/т] [/2 (о,—а2) 4-п* (а3—а2) —72 (<т3—а2)] = 0.
(4-52)
Третью, последнюю пару уравнений можно получить, выражая
Z2 из (4.21) в виде /2 = 1—т2—п2, подставляя это выражение в (4.46)
и дифференцируя результат по т и п. Эти уравнения имеют вид
дх/дт= — [2т (о8—oJ/t] [т2 (а,—а,)+«2 (а,—aj—(<т2—ст,)]=0,
(4.53)
дх/дп = — [2п (а, — о,)/т] [т2 (а2—oj-f-n2 (а3—а,)—73 (а«—<7)]=0-
(4.54)
Решая систему уравнений (4.49) и (4.50) в предположении, что
все три главных напряжения различны, и используя геометрическое
условие (4.21), получаем следующие значения направляющих коси-
нусов, удовлетворяющие рассматриваемой паре уравнений:
1 = 0,	1 = 0,	/ = ±/Т/2,
/л = 0, m=±l/l/2,	т = 0,
п=\, п = ±КТ72, л = ±ИТ72.
Каждый из этих трех наборов чисел определяет направление
площадки, на которой касательное напряжение т будет иметь
экстремальное значение. Точно так же, решая систему уравнений
(4.51), (4.52) и систему (4.53), (4.54), можно определить другие
площадки, на которых касательные напряжения будут принимать
экстремальные значения. Объединяя все эти решения и исключая
дублирующие друг друга, получаем результаты, приведенные в
табл. 4.1. Последние три колонки в этой таблице соответствуют
главным площадкам. Известно, что касательные напряжения на
этих площадках равны нулю. Первые три колонки определяют пло-
щадки, на которых касательные напряжения достигают наибольшего
значения или относительного максимума. Если направляющие коси-
Таблица 4.1. Площадки, на которых касательные напряжения принимают
экстремальные аначения
Направляющий	Площадка					
косинус	1	2	3	4	5	6
1	0	± m	± /Г2	± 1	0	0
т	± V 1.2	0	± VT/2	0	±1	0
п	± К1/2	± V 1,2	0	0	0	±1
4.4. Гладные касательные напряжения 99
иусы из колонки 1 подста-
вить в (4.46), можно найти
величину Ti в виде
Т1 = ±1/2(ст2—а,), (4.55)
а используя колонки 2 и 3,
получаем выражения для
Ь и т, в виде
Ь=±х/,(а1—a,), J4.56)
Ts=±l/i(a1—at). (4.57)
В результате рассмотрения
этих трех последних выра-
жений можно прийти к вы-
воду, что наибольшее каса-
тельное напряжение равно
по величине половине раз-
ности между наибольшим
и наименьшим главными
нормальными напряжения-
ми, а анализ приведенных
в таблице значений направ-
ляющих косинусов позво-
ляет заключить, что пло-
щадка, на которой действу-
ет наибольшее касательное
напряжение, делит попо-
лам угол между вектора-
ми наибольшего и наимень-
шего нормальных напряже-
ний. Три касательных на-
пряжения Ti, т2 и т3, опре-
деленные указанным обра-
зом, называются главными
касательными напряжения-
ми, а площадки, на кото-
рых они действуют,— глав-
ными площадками сдвигов.
Главные площадки сдвигов
для всех трех главных
касательных напряжений
показаны на рис. 4.5.
(а)
(с)
Рис. 4.5. Площадки действия главных каса-
тельных напряжений: (а) ^-площадка, (Ь)
т3-пло[цадка, (с) т3-площадка.
Инженеру-расчетчику важно знать, что наибольшее из трех
главных касательных напряжений является наибольшим касатель-
ным напряжением, которое может действовать на любой из проходя-
щих через точку площадок.
100 Гл. 4. Напряженное состояние
4.5. ПРИМЕРЫ
Рассмотрим сплошной цилиндрический стержень, заделанный одним
концом и нагруженный крутящим моментом Mt на другом, неза-
крепленном конце, как показано на рис. 4.6. Найдем для этого
случая нагружения главные нормальные напряжения и соответ-
ствующие главные площадки в некоторой произвольно заданной
точке Р внутри стержня.
Рис. 4.6. Сплошной круговой стержень, нагруженный крутящим моментом, и
элементарной объем в произвольной точке Р стержня.
Для решения этой задачи надо подходящим образом выбрать си-
стему координат. В качестве такой системы выберем, например,
декартову систему координат с началом в точке Р, ось х направим
параллельно продольной оси стержня, а ось г— по радиусу, про-
ходящему через центр поперечного сечения стержня (рис. 4.6).
Если мысленно выделить в точке Р элементарный кубик и рассмот-
реть его состояние, то в исследуемом случае нагружения единст-
венной отличной от нуля компонентой действующих на элементар-
ный кубик напряжений будет напряжение тХ!/ (см. рис. 4.6). Эле-
ментарные соображения позволяют определить касательное напря-
жение тХ1/ по величине заданного крутящего момента Л4Ь радиуса
стержня а и расстояния г от центра стержня до точки Р в виде
тху = Mfr/(na4/2) = 2Л4//(лп4).	(4.58)
Кубическое уравнение для определения главных нормальных напря-
жений (4.23) для этой задачи принимает вид
аз + а(__ту = 0.	(4.59)
Решая это уравнение, находим три корня
Oj =тху = 2М//(ла4),	(4.60)
о2 = 0,	(4.61)
О, = —тХ1/ = —2Л///(ла4)Ф	(4.62)
4.5. Примеры 101
Далее соотношения (4.20) и (4.21) для определения направляющих
косинусов главных площадок сводятся в этом случае к соотноше-
ниям
lu— mxxy=^0f —/тху + то' = 0,	(4.63), (4.64)
иа = 0, Z2-!-/na + n2= 1.	(4.65), (4.66)
Из (4.60) ясно, что величина в общем случае отлична от
нуля, и из (4.65) следует, что nY должно равняться нулю. Кроме
того, поскольку О1=тГ1/, из (4.63) или (4.64) следует, что Zi—
==0, т. е. 11=т1. Используя (4.66), получаем Z1=mi = =bl/2.
Из (4.61) следует, что о2=0, и, поскольку тх?/ в общем случае
отлично от нуля, из (4.63) получаем, что т2 должно равняться
нулю, а из (4.64) находим, что 12 должно равняться нулю. Исполь-
зуя (4.66), при равных нулю т2 и /2 получаем, что п2=±1.
Наконец, с учетом того, что о3^—тхц в соответствии с (4.62)
и что о3=—^Ху в общем случае отлично от нуля, из (4.65) получаем,
что па равно нулю. Кроме того, поскольку о3=—тху, из (4.63) или
(4.64) следует, что /3+пг3=0, т. е. /3=—т3. Далее из (4.66) полу-
чаем /3=±1/2 и zn3==F 1/2. Отметим важность соблюдения
соответствующего порядка знаков: п-/3 и —т3 является допусти-
мой комбинацией, так же как и —/3 и +т3, ио +13 и +т3 или —13
и —т3 недопустимы. Следует отметить также, что углы измеряются
от положительных направлений осей и всегда меньше 180°.
Результаты проведенного анализа можно записать в виде
1 ла4
оа = 0
*3
2Mtr
ла4
/, = ±/^2, /, = 0.	/3=-±К1/2,
/«, = ±^1/2, т2 = 0,	т3 = + Г1/2,
п1=0,	я2=±1, п3 = 0.
(4-67)
Рассмотрим еще один пример. Пусть в результате проведенного
анализа напряженного состояния некоторой детали установлено,
что в какой-либо интересующей нас точке ох=6000 фунт,дюйм’
и txJ,=4000 фунт/дюйм2, а все другие компоненты напряжения
в этой точке равны нулю. Желательно определить главные напря-
жения и главные площадки, а также максимальное главное каса-
тельное напряжение и площадку, на которой оно действует.
Кубическое уравнение для определения главных нормальных на-
пряжений (4.23) в этом случае принимает вид
о2—а2<тх + о(-т2!,) = 0.	(4.68)
Корнями этого уравнения будут
0,-0 .. 2 + /(ол'2)2-т2!/, о2 = 0,	(4.69), (4.70)
о, = ох/2—J'"(<V2)® + ^-	(4.71)
102 Гл. 4. Напряженное состояние
Подставляя числовые значения ож=6000 и тХ1/=4000, находим
а, = 6000/2 Н- И(6000/2)2 4- 40002 = 8000 фунт/дюйм2, (4.72)
а, = 0,	(4.73)
о, = 6000/2—К(6000/2)2 4- 40002 = —2000 фунт/дюйм2. (4.74)
Для определения направляющих косинусов рассмотрим соот-
ношения (4.20) и (4.21), которые в этом случае принимают вид
/(о—ох)—ттху = 0,	—1тху4-то = 0, (4.75), (4.76)
па = 0,	/2-|-m24-n2== 1.	(4.77), (4.78)
Подставляя <jf=8000 фунт/дюйм2 в соотношения (4.75) — (4.77),
получаем
/, (8000 — 6000)—Wj-4000 = 0,	(4.79)
— М4000) 4- /и,-8000 = 0,	(4.80)
и, -8000 = 0.	(4.81)
Из (4.81) следует, что /ц=0, а из (4.79) получаем, что 21х—4тх~0,
или 4=2 Шх. При этом из (4.78) имеем, что mx—±i/'l^5 и /х=±2К5.
Аналогично, подставляя о2=0, соотношения (4.75) — (4.77)
записываем в виде
/2(—6000)—т2-4000 = 0,	(4.82)
—/,-4000 = 0,	(4.83)
п,-0 = 0.	(4.84)
Из (4.83) следует,что /, должно равняться нулю, а из (4.82) видно,
что т2=0; поэтому в соответствии с (4.78) имеем п,=±1.
Наконец, при подстановке ст3=—2000 фунт/дюйм2 соотношения
(4.75) — (4.77) принимают вид
/, (—2000—6000)—т3  4000 = 0,	(4.85)
—13 4000-4щ3(—2000) = 0,	(4.86)
л,-(—2000) = 0.	(4.87)
Из (4.87) следует, что п3 должно равняться нулю. Из (4.85) полу-
чаем, что т3=—2/3; поэтому в соответствии с (4.78) /3=±1^5"и
т3==Р2//5Г
Результаты определения главных нормальных напряжений и
площадок, на которых они действуют, можно записать в следую-
щем виде:
= 8000 фунт/дюйм2, 1 	 4- 2	ст2 = 0, / 	п	а3 = —2000 фунт/дюйм2, /	1	1
1	1 2 ‘	у	2 ± ’ У2	(4-88)
	т3 = 0,	
п2 = 0,	п»=± 1,	п, = 0.
Вопросы 103
Чтобы найти наибольшее главное касательное напряжение, ис-
пользуем соотношение (4.56), так как в рассматриваемом случае
Oi — наибольшее главное нормальное напряжение, а о3 наименьшее.
Таким образом, наибольшим главным касательным напряжением
является напряжение т2, причем
т2=(а1—а3)/2=[8000— (—2000)]/2= 5000 фунт/дюйм2. (4.89)
Поскольку площадки с максимальным касательным напряжением
делят угол между Oi и а3 пополам, в описываемом примере площад-
ки с максимальным касательным напряжением параллельны оси г
и образуют с осью х углы, равные примерно по величине 71,5 и
161,5°.
ВОПРОСЫ
1.	С помощью рисунка и необходимых пояснений опишите напряженное
состояние наиболее общего вида в точке.
2.	Определите термины: главное нормальное напряжение и главное касательное
напряжение.
3.	Выпишите полную совокупность уравнений, необходимых для определе-
ния главных нормальных напряжений в произвольной точке.
4.	Объясните важность знания главных нормальных напряжений и главных
касательных напряжений для инженера-расчетчика.
5.	Сделайте два лаконичных понятных рисунка, иллюстрирующих два спо-
соба описания напряженного состояния в точке. Поясните все использованные
обозначения.
6.	Как определить максимальное касательное напряжение в точке и площад-
ку, на которой оно действует, если известны главные нормальные напряжения?
7.	В случае двухосного напряженного состояния в точке при известных ох,
°у и тху получите, исходя из общих соотношений, выражение для максимального
нормального напряжения в точке и определите направление площадки, на которой
оно действует.
8.	В случае двухосного напряженного состояния в точке при известных ох,
Ор и тху получите, исходя из общих соотношений, выражение для максимального
касательного напряжения в точке и определите направление площадки, на которой
оно действует.
9.	Сравните результаты выполнения заданий 7 и 8 с результатами, получен-
ными методами из разд. 4.3 и 4.4 в частном случае двухосного напряженного со-
стояния.
10.	Рассмотрите сплошной цилиндрический стержень, заделанный одним
концом и нагруженный крутящим моментом Af * и изгибающим моментом на
другом, незакрепленном конце. Для этого случая нагружения найдите главные
нормальные напряжения и соответствующие главные площадки в произвольной
точке Р внутри стержня.
11.	Сплошной цилиндр заделан одним концом и нагружен крутящим момен-
том Mf и осевой силой F на другом, незакрепленном конце. Для этого случая на-
гружения определите
(а) главные нормальные напряжения и соответствующие главные площадки;
(Ъ) главные касательные напряжения, наибольшее главное касательное напря-
жение и площадку максимального сдвига.
12.	В результате анализа напряженного состояния некоторой детали машины
установлено, что в наиболее опасной точке oz=9000 фунттдюйм1, тху=
=3000 фунт/дюйм2 и т^=7000 фунт/дюйм2. Для этого напряженного состояния
найдите главные напряжения, главные площадки, максимальное главное каса-
тельное напряжение и площадку максимального сдвига.
13.	Полый цилиндр из стали 4340, внешний диаметр которого 1 дюйм, длина
30 дюймов, толщина стенки 1/4 дюйма, свободно оперт и симметрично нагружен
104 Гл. 4. Напряженное состояние
в точках, делящих его на три части, силами по 1000 фунтов. Цилиндр одновременно
нагружен осевой силой 5000 фунтов и крутящим моментом 3000 фунт*дюйм. Для
опасной точки в середине цилиндра определите главные напряжения, главные
площадки, главные касательные напряжения и площадки главных сдвигов.
14.	Длина сплошного цилиндрического стержня из стали 1020 равна 30 дюй-
мам, диаметр 1,5 дюйма. Стержень нагружен изгибающим моментом 10 600 фунтХ
Хдюйм и крутящим моментом 9900 фунт «дюйм.
(а)	Найдите положение опасной точки (точек).
(Ь)	Используя любую систему координат по вашему выбору и обычный прием вы-
деления элементарного объема, сделайте рисунок, подробно изображающий на-
пряженное состояние в каждой опасной точке.
(с)	Определите все главные напряжения.
(d)	Определите направляющие косинусы главной площадки, на которой действует
наибольшее главное напряжение.
(е)	Вычислите величину максимального главного касательного напряжения.
15.	Консольная балка квадратного сечения, показанная на рис. Q4.15, на-
гружена изгибающими моментами Мун Мх. Концентрацию напряжений можно
не учитывать.
(а)	Изобразите на рисунке напряженное состояние в критической точке.
(Ь)	Определите величину главных напряжений и направления главных площадок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of Elasticity.— New York: McGraw-Hill,
1951. (Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.
2-е изд.— М.: Наука, 1979.)
8, Juvinall R. С, Stress, Strain, and Strength.— New York: McGraw-Hill, 1967*
ГЛАВА 5
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Как и напряжение, деформация является не менее важной ме-
ханической характеристикой для оценки возможности разрушения.
Термин деформация используется для определения величины и
направления смещения в заданной точке относительно некоторой
площадки в сплошном твердом теле. Таким образом, подобно напря-
жению, деформация является тензором второго ранга. Точно так
же, как задание напряженного состояния, задание деформирован-
ного состояния в точке состоит в задании величин и направлений
деформаций на всех возможных площадках, проходящих через точ-
ку. Понятия главных деформаций и площадок главных деформаций
являются непосредственными аналогами понятий главных напряже-
ний и главных площадок.
Соотношения между напряжениями и деформациями в области
упругого и пластического поведения материалов широко исполь-
зуются инженерами-расчетчиками. Подобные соотношения лежат
в основе многих теорий прочности, описанных в гл. 6.
Отметим необходимость понимания разницы между условными
и истинными напряжениями и деформациями, особенно в тех слу-
чаях, когда исследуемые части машины работают в пластической
области. Различие между ними будет определено в следующем
разделе, там же будут введены понятия эластичности, вязкости и
неустойчивости.
5.2.	ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ УСЛОВНЫМИ И ИСТИННЫМИ
НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
Обычно, когда определяются или задаются номинальные значения
физико-механических характеристик, используются условные напря-
жения и деформации. Условное напряжение определяется как от-
ношение усилия к площади поперечного сечения в начальном состоя-
нии, т. е.
S=PM0,	(5.1)
где S — условное напряжение, Р — приложенная нагрузка, До—
площадь поперечного, нормального к Р сечения при простом растя-
жении в начальнохМ состоянии.
106 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Аналогично условная деформация определяется как отношение
удлинения к начальной длине, т. е.
е=Д///0,	(5.2)
где е — условная деформация, А/ — изменение длины рабочей
части образца при приложении нагрузки, /0 — начальная длина
рабочей части образца до приложения нагрузки.
Если при испытании на простое растяжение осуществить изме-
рения условных напряжения и деформации в процессе нагружения,
деформацией е.
то по полученным результатам можно построить диаграмму зависи-
мости условного напряжения от условной деформации. Пример
такой зависимости показан на рис. 5.1.
Эластичность определяется как способность материала погло-
щать энергию в упругой области. Мера эластичности определяется
как энергия деформации, накопленная в единице объема образца к
моменту достижения предела текучести. Мера эластичности R может
быть представлена в виде
/? = 5-р/(2£),	(5.3)
где Svp — предел текучести материала, Е — модуль Юнга. Меру
эластичности на рис. 5.1 можно трактовать как площадь под диа-
граммой напряжение—деформация до предела текучести.
Вязкость определяется как способность материала поглощать
энергию вплоть до разрушения. Мера вязкости определяется как
энергия, накопленная в единице объема образца к моменту начала
разрушения. Меру вязкости Т можно представить в виде
•г
Т -- \ Sde,	(5.4)
о
5.2. Условные и истинные напряжения и деформации 107
где S — напряжение, е — деформация, ег— деформация, соответ-
ствующая началу разрушения. Для некоторых пластичных материа-
лов этот интеграл приближенно равен произведению предела проч-
ности на деформацию, при которой начинается разрушение. Ука-
занное произведение часто называется числом вязкости. На рис. 5.1
величина меры вязкости может быть представлена как площадь под
всей кривой зависимости напряжения от деформации вплоть до
разрушения.
При определении условного напряжения и условной деформа-
ции использовались начальная площадь поперечного сечения и
начальная длина. Поскольку при приложении нагрузки размеры
в действительности изменяются, подобные вычисления напряже-
ний и деформаций могут приводить к ошибкам. Для пластичных
материалов при пластических деформациях и даже для некоторых
хрупких материалов ошибки при определении напряжений и де-
формаций с использованием До и /0 часто становятся недопустимо
большими. Для пластичных материалов в упругой области ошибки
обычно настолько малы, что ими можно пренебречь.
Для более точного определения мер напряжения и деформации
используются понятия истинных напряжений и деформаций, ко-
торые вводятся следующим образом. Истинное напряжение S' —
это действительное напряжение, вычисляемое по действительному
значению площади А в некоторый момент времени и текущему
значению нагрузки Р. Таким образом, истинное напряжение опре-
деляется формулой
S'=P/A.	(5.5)
Аналогично истинная деформация определяется по отношению
к действительному значению длины рабочей части образца, которая
изменяется с увеличением приложенной нагрузки, а не к ее началь-
ному значению. Пусть, например, при увеличении нагрузки от нуля
до длина изменяется от /0 до /f. Предположим, что после этого
нагрузка увеличивается на бесконечно малую величину dPit в ре-
зультате чего длина изменяется на величину dlБесконечно малая
деформация при этом будет определяться величиной dlJIi. В ре-
зультате изменения нагрузки во всем диапазоне ее значений от
нуля до конечного значения истинная деформация 6 станет равной
б=$/ад,	(5.6)
/•
где /о — начальная длина при отсутствии нагрузки, a lf — длина
при конечном значении нагрузки. Интегрируя (5.6), получаем
представление для истинной деформации в виде
6 = 1п(//70).	(5.7)
108 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Истинную деформацию можно выразить через условную, если
последнюю записать в соответствии с (5.2) в виде
е=Д///0= (/z—/о) Zo=Z///o—1,	(5.8)
откуда
/7//0=1+е.	(5.9)
Логарифмируя обе части выражения (5.9) и используя (5.7), полу-
чаем
6=1п(1+е),	(5.10)
что можно также записать в виде
г = е6 — 1,	(5.11)
где е — основание натуральных логарифмов.
Истинное напряжение тоже можно выразить через условное
напряжение и условную деформацию. Чтобы сделать это, введем
экспериментально подтвержденное предположение, что в процессе
нагружения в пластической области объем материала не изменяется,
т. е. что
А^=А1, или 1/1,=А./А.	(5.12), (5.13)
Подставляя (5.13) в выражение (5.7), записываем его в виде
6=1п(Л0Л4),	(5.14)
а отсюда с учетом (5.10) получаем
Д0М = 1+8, или Д = Л0/(1+е).	(5.15), (5.16)
Поскольку в соответствии с (5.1) условное напряжение S равно от-
ношению P/AQ, после подстановки (5.16) в (5.5) истинное напряже-
ние S' можно представить в виде
S'=5 (14-8).	(5.17)
Экспериментальные исследования показали, что для многих
используемых в машиностроении сплавов характерна почти линей-
ная зависимость логарифма истинного напряжения от логарифма
истинной деформации. Для таких сплавов связь между S' и 6 может
быть записана в виде
S'=*6«.	(5.18)
В этом эмпирическом соотношении k и п — постоянные мате-
риала. Постоянная k называется коэффициентом прочности, а по-
стоянная п — показателем деформационного упрочнения. На рис. 5.2
приведены графики зависимости истинного напряжения от истинной
деформации в логарифмических координатах для некоторых ис-
пользуемых в машиностроении сплавов. Там же приведена таблица
значений k и п для этих сплавов. Однако соотношение (5.18) опи-
сывает поведение не всех материалов, поэтому для описания пове-
дения некоторых других материалов предложен ряд других эмпири-
5.2. Условные и истинные напряжения и деформации 109
ческих соотношений. Например, поведение некоторых пластичных
материалов лучше описывается соотношением типа 6=й1+Л2 1g S',
При нагружении многих материалов, например в процессе испы-
таний на простое растяжение, по мере возрастания нагрузки насту-
Рис. 5.2. Зависимость между истинными напряжением а и деформацией е для не-
которых сплавов. Номера в таблице соответствуют номерам кривых. (Из работы
[1, стр. 39, 40]; перепечатано с разрешения Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,
New Jersey.)
Постоянные n и k для различных листовых материалов
Материал	Условия обработки	п	k, фунт/дюйм’	Толщина, дюйм
1. Углеродистая кипящая сталь, 0.05% С	Отожженная	0,261	77 100	0,037
2. Углеродистая спокойная сталь, 0,05% С	Отожженная и отпу- щенная	0, 234	73 100	0,037
3. Та же сталь, что и в п. 2, но полностью обезуглероженная	Отожженная в жид- ком водороде	0, 284	75 500	0,037
4. Малоуглеродистая	сталь, 0,05—0.07% фосфора	Отожженная	0, 156	93 330	0,037
5. Сталь SAE 4 130	Отожженная	0, 1 18	169 400	0,037
6. Сталь SAE 4 130	Нормализованная и отпущенная	0, 156	154 500	0,037
7. Нержавеющая сталь, тип 4 30 (17% Сг) 8. Алюминий Alcoa 24-S	Отожженная	0. 229	143 000	0,050
	Отожженный	0.211	55 900	0,040
9. Алюминий Reynolds R-301	»	0,211	48 450	0,040
Испытания проведены Лоу (J. R. Low) и Гарафало (F. Garafalo).
пает момент начала локальной пластической деформации. В этот
момент нагрузка достигает максимального значения, затем она
ПО Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
уменьшается до тех пор, пока в результате дальнейшего деформиро-
вания не произойдет разрушение. Эта точка, соответствующая мак-
симальной деформации, часто называется точкой неустойчивости.
Проектировщики не должны допускать в конструкциях напряже-
ний, превышающих значение, соответствующее точке неустойчиво-
сти, поскольку далее разрушение происходит самопроизвольно.
Точка неустойчивости может быть найдена экспериментально или
предсказана расчетным путем следующим образом. В соответствии
с (5.14) имеем
А = Ав/ед,	(5.19)
откуда, учитывая (5.5), получаем
P = S'Aje\	(5.20)
Поскольку точка неустойчивости характеризуется тем, что измене-
ние нагрузки, необходимое для увеличения деформации, становится
Рй*. Б.З. Геометрическое построение для нахождения точки неустойчивости на
диаграмме между истинным напряжением S' и истинной деформацией 6. (Из ра-
боты [4, стр. 43]; перепечатано с разрешения Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,
New Jersey.)
равным нулю, т. e. становится равной нулю производная dP/db,
дифференцируя (5.20) по 6 и приравнивая результат нулю, полу-
чаем
<5-21)
Таким образом, точка неустойчивости — это точка, в которой
dS‘,'ldb=S'u.	(5.22)
Здесь индекс и означает, что равенство (5.22) справедливо в точке
неустойчивости. Величина S'u соответствует экспериментально оп-
ределяемому пределу прочности. Таким образом, из (5.22) следует,
5.3. Напряжения и деформации в упругой области 111
что точка неустойчивости является такой точкой, в которой наклон
истинной диаграммы напряжение — деформация равен истинному
напряжению. Графический метод определения положения точки
неустойчивости на истинной диаграмме разработан ;Чарином [1,
стр. 42—431 и пояснен на рис. 5.3. Максимальная нагрузка соответ-
ствует точке А, характеризуемой тем, что величина отрезка СВ равна
1. Правильность такого построения следует из того, что
= tg (Z АВС) =	= АС= S’.	(5.23)
Хотя точка неустойчивости достаточно легко определяется гра-
фически поясненным на рис. 5.3 методом, для материалов, описы-
ваемых соотношением (5.18), удобнее находить ее аналитически.
Из (5.18) следует, что в точке неустойчивости
5,;=йб2.	(5.24)
Подставляя это в (5.22) и дифференцируя результат, получаем
откуда 6п = п. (5.25), (5.26)
Другими словами, в точке неустойчивости нагрузки величина
истинной деформации равна показателю деформационного упрочне-
ния. Многие из введенных в этом разделе понятий будут использо-
ваны в дальнейшем.
5.3.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
В УПРУГОЙ ОБЛАСТИ
Линейная зависимость между напряжениями и деформациями в
упругой области для используемых в машиностроении однородных
и изотропных материалов подтверждена экспериментально. Эта
связь впервые была обнаружена в XVII в. англичанином Робертом
Гуком, который пришел к выводу о линейной зависимости между
усилием и удлинением волоска для часов. Вследствие этого линейное
соотношение между напряжениями и деформациями в упругой
области известно как закон Гука.
Рассмотрим показанный на рис. 5.4 элементарный параллелепи-
пед с гранями, параллельными координатным плоскостям системы
x-y-z. Эксперименты показывают, что если па такой элемент дейст-
вует равномерно распределенное напряжение av, как показано на
рисунке, никаких искажений углов элемента не происходит. В эк-
спериментах можно наблюдать, что при действии нормального рас-
тягивающего напряжения о7, как показано на рис. 5.4, элемент уд-
линится в направлении г/, а его размеры в направлениях х и г
уменьшатся. Аналогично, если бы напряжение было сжимаю-
щим, размер элемента в направлении у уменьшился бы, в то время
как размеры в направлениях х и г увеличились бы. Эксперимен-
тально наблюдаемое изменение длины \(dy) в направлении у может
112 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
быть записано в виде функции действующего напряжения
ta(dy)=oudylE,	(5.27)
где dy — размер элемента в направлении у в ненапряженном со-
стоянии, Е — экспериментально определяемый коэффициент про-
порциональности, который называется модулем Юнга.
Удлинение элемента (или упругая деформация) в направлении
у может быть представлено в виде отношения изменения длины Д (dy)
Рис. 5.4. Элементарный параллелепипед, нагруженный растягивающей силой
в направлении у.
к начальной длине dy, т. е. с учетом (5.27) имеем
tyy=\dyldy=ayIE,	(5.28)
где — упругая деформация в направлении у (первый индекс),
вызванная напряжением в направлении у (второй индекс).
Изменения поперечных размеров в направлениях осей х и г
в результате действия напряжения оу в направлении оси у на основе
экспериментальных данных могут быть записаны в виде
Гдсу	у==—vo^/£,	(5.29)
tzy=—vcyv=— Wy/E,	(5.30)
где е(/ — изменение размеров элемента, т. е. его деформация в на-
правлении I, вызываемое напряжением а}, действующим в направ-
лении /, a v— еще одна постоянная материала, называемая коэф-
фициентом Пуассона.
Возвращаясь к рис. 5.4, нетрудно видеть, что если напряжение
Оу заменить напряжением ох, действующим в направлении х, то в
материале возникнет аналогичное напряженно-деформированное
5.3. Напряжения и деформации в упругой области 113
состояние, которое возникло бы и в случае действия лишь одного
напряжения oz. Если результаты таких экспериментов затабулиро-
вать, то для деформаций в направлениях х, у и г, вызываемых
действующими по отдельности напряжениями ох, ау и az, получим
табл. 5.1.
Таблица 5.1. Компоненты деформаций, вызываемых нормальными
напряжениями, действующими в направлениях х, у и г
Направление деформации	Напряжение» вызывающее деформацию		
		Оу	02
X	ехх = Ох / £	Ху =	ехг = va,/Е
У	^ух= vax/£	£уу = ау<!£	^yz^—^z/E
Z	ezx = vax; Е	^zy = —vay/E	^ZZ ~ ®Z! Е
Малые деформации в упругой области являются линейными
функциями действующих напряжений, и поэтому к ним применим
принцип наложения, т. е. полная деформация в любом заданном
направлении при совместном действии ох, и а2 представляет
собой сумму деформаций в этом направлении, вызванных дейст-
вующими отдельно напряжениями ах, оу и а2. Сказанное можно
записать в виде соотношений
^У=^'УХ~\'^уу~\'^уту	(5.31)
где ех, гу и е2 — соответственно полные деформации в направлениях
х, у и z при совместном действии всех трех нормальных напряже-
ний. Подставляя в (5.31) значения деформаций из табл. 5.1, полу-
чаем
ax=(<Jx—v (ау+<ъ)1/£,
8^=10^—v (ax+a2)]/E,	(5.32)
82=[о2—v (ах+ау)]/Е.
Эти три соотношения и представляют собой закон Гука. Они
устанавливают связь нормальных деформаций или удлинений с
действующими нормальными напряжениями при помощи двух
постоянных Е и v. Непосредственно из (5.32) можно получить, что
главные деформации еь е2 и е3 выражаются через главные напря-
жения посредством соотношений
€1=101—v (о2 го3)]/Е,
е 2 — I о 2 —v (Oi о3) I /Е,	(5.33)
=1о3—v(Oi+a8)l£.
114 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Точно так же, как и деформации растяжения линейно связаны
при помощи двух постоянных, характеризующих свойства материа-
ла, с нормальными напряжениями, сдвиговые деформации линейно
выражаются через касательные напряжения при помощи этих же
постоянных. В соответствии с общеизвестным определением дефор-
мации сдвига деформация yxv, например, представляет собой изме-
нение угла между двумя прямыми линиями в плоскости х-у, взаимно
перпендикулярными в недеформированном состоянии. Эта дефор-
мация сдвига осуществляется в результате действия на упругий
элемент касательного напряжения тху.
Чтобы получить соотношение между касательным напряжением
и сдвиговой деформацией, рассмотрим случай чистого сдвига в
плоскости х-у, а затем по аналогии применим результаты к описанию
сдвигов в плоскостях х-z и y-z. Рассматривая случай чистого сдвига,
отметим, что кубическое уравнение для определения главных нор-
мальных напряжений (4.23) при всех компонентах напряжения,
равных нулю, кроме тхуу принимает вид
аз—0^ = 0.	(5.34)
Решая это уравнение, находим три корня
0,=!^.	(5.35)
а2 = 0,	(5.36)
----^ху-	(5.37)
Используя (4.20) и (4.21) для определения направляющих коси-
нусов, соответствующих этим корням, получаем, что главные пло-
щадки образуют углы 45° с осями х и у. Это можно Показать и
другим способом. А именно, если на элемент действует поле нор-
мальных напряжений o=Oi=—о3 и о2=0, то на площадках, обра-
зующих углы 45° с осями 1-3, будет осуществляться чистый сдвиг
напряжением, равным по величине главному напряжению а.
Обращаясь к рис. 5.5, отметим, что до приложения нагрузок
площадки, на которых действуют ххуу образуют углы в 45° с площад-
ками, на которых действуют напряжения Oj или а3. После приложе-
ния напряжений точки аУ Ь, с и d перемещаются соответственно в
положения a', b', с' и d'. Для большей наглядности геометричес-
ких рассуждений угол abc в увеличенном масштабе показан в нижней
части рис. 5.5. Сравнивать углы удобнее, нарисовав их так, чтобы
вершины совпадали. Сдвиговая деформация уху в плоскости х-у
измеряется изменением угла abc после приложения нагрузок и
возникновения поля напряжений, т. е. сдвиговая деформация равна
разности величин углов abc и а’Ь'с’. Изменение угла после прило-
жения напряжений Ох и о3 происходит вследствие того, что диаго-
наль bd удлиняется, а диагональ ас укорачивается на малую вели-
чину. Из рассмотрения нижней части рис. 5.5 следует, что
tg (л/4—yXjf/2) = о'а'/о'Ь'.	(5.38)
5,3. Напряжения и деформации в упругой области 115
Используя определение деформации, правую часть равенства (5.38)
можно записать в виде
o'a'lo'b' = [оа(1 + е8)]/[о& (1 + ej].	(5.39)
Но, как видно в верхней части рис. 5.5, отрезки оа и ob равны между
Рис. 5.5. Плоскости чистого сдвига, возникающие при действии на двухосный
элемент равных по величине и противоположных по направлению нормальных
напряжений.
собой, поэтому из (5.38) и (5.39) следует
tg (л/4-Тхр/2)=(1 +8,)/ (1 +в1).	(5.40)
Используя далее тригонометрическое тождество
tg («—Р) (tg®—tgP)/ (1 + tgatgP),	(5.41)
левую часть равенства (5.40) можно переписать в виде
tg(n/4—Ya/2)=ltg(n/4)-tg(Y^/2)]/[l+tg(n/4)tg(73Clz/2)l.(5.42)
116 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Поскольку угол ухи очень мал, с достаточной точностью величину
tg(yXJZ/2) можно положить равной уху/2, в результате чего (5.42)
принимает вид
tg (л/4-уХ9/2)=(1-уХ9/2)/ (1 +yxlz/2).	(5.43)
Приравнивая (5.43) и (5.40), получаем
(1 —yXJZ/2)/ (1 +ухр/2) = (1 +е,)/ (1 -г е,).	(5.44)
Так как Oi=—о3, из закона Гука можно найти, что е3=—еь поэто-
му (5.44) записывается в виде
(1-ух9/2)/(1+ухр/2) = (1-Е1)/(1 +ej);	(5.45)
решая последнее относительно уху, получаем
У«1,=2е1.	(5.46)
Подставляя в (5.46) выражение для ei из (5.33), находим сдвиговую
деформацию уХ9 в виде
yxy=2[ol—v (а,+сгз)]/£.	(5.47)
Учитывая (5.35) — (5.37), т. е. что ст»=О и Oi=—о», выражение
(5.47) преобразуем к виду
yX9=2(l+v)a1/£	(5.48)
ИЛИ, поскольку <T1=TXJ/, к виду
TxiZ=2(l+v)Txl,/£.	(5.49)
Если, как это обычно принято, ввести величину G, называемую
модулем сдвига, соотношением
G=£/[2(l+v)l,	(5.50)
то (5.49) можно переписать в виде
(5.51)
Аналогичные рассуждения приводят к получению точно таких
же выражений для сдвиговых деформаций ухг и у91. Это означает,
что сдвиговые деформации ytj можно выразить через соответствую-
щие касательные напряжения rtJ и постоянную материала G. Та-
ким образом,
yxy~^xy^G, fVI=T:yt/G, yXt=^Xi/G.	(5.52)
Далее, если главной деформацией сдвига у, назвать сдвиговую
деформацию, вызываемую главным касательным напряжением т3=
= ±1/»(О1—<т»), то можно записать следующие соотношения:
Уз = ± Ь/G = ± (Oj—o,)/(2G),
у, = ± xr/G = ± (ст2—crs)/(2G),	(5.53)
у, = ± b/G = ±	—o8)/(2G).
5.3. Напряжения и деформации в упругой области 117
Наконец, главные деформации сдвига можно с помощью соот-
ношений (5.33) и (5.53) выразить через главные нормальные дефор-
мации:
ys==ei—е2, У1=е2—е3, 72=^—е3.	(5.54)
Важно понимать, что удлинения, или нормальные деформации,
(5.32) и сдвиги, или сдвиговые деформации, (5.52) не зависят друг от
друга. Это означает, что в случае произвольного трехосного дефор-
мированного состояния в области линейной упругости оно может
быть получено путем суммирования сдвиговых деформаций (5.52)
с нормальными деформациями (5.32).
Наконец, напомним, что в разд. 5.1 уже говорилось о сущест-
вующей аналогии деформированного состояния в точке и напряжен-
ного состояния в точке. Это, в частности, означает, что деформи-
рованное состояние в точке полностью определяется тремя нормаль-
ными компонентами деформации и тремя сдвиговыми компонентами
деформации. Нормальные компоненты деформации ел, ez опре-
деляются соотношениями (5.31), а сдвиговые компоненты дефор-
маций	ухг — соотношениями (5.52).
Точно так же, как напряженное состояние в точке можно пол-
ностью определить тремя главными напряжениями и их направ-
лениями, деформированное состояние в точке можно полностью
определить тремя главными деформациями и их направлениями.
Эти главные деформации можно найти из кубического уравнения
для определения главных нормальных деформаций, соответствую-
щего кубическому уравнению для определения главных напряже-
ний (4.23). Кубическое уравнение для определения главных нор-
мальных деформаций имеет вид
еэ_82 [8* + eg + ez] + е [ежеу +	+
+ Mz—’A (V« +	+ ?%)] —
—Ke/z + V»	e»Tw)l = °- (5-55)
Эго уравнение имеет точно такой же вид, как и кубическое
уравнение (4.23) для определения главных нормальных напряже-
ний, за исключением того, что в нем нормальные деформации и
половины сдвиговых деформаций заменяют соответственно нормаль-
ные напряжения и касательные напряжения. Три корня уравнения
(5.55) дадут значения трех главных деформаций elt е, и е3. Направ-
ления площадок главных деформаций могут быть определены точно
таким же способом, с помощью которого были получены соотноше-
ния (4.20) и (4.21) при исследовании напряженного состояния в
точке.
118 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
5.4.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
Поскольку иногда детали машин и элементы конструкций работают
за пределОхМ текучести, необходимо исследовать зависимость между
напряжениями и деформациями в пластической области, где соот-
ношения линейной теории упругости уже неприменимы. Соотноше-
ния между деформациями и напряжениями в пластической области
в общем случае нельзя считать не зависящими от времени. В любой
точной теории пластического деформирования следовало бы учиты-
вать влияние всего процесса изменения пластической деформации с
момента начала пластического течения. Соотношения, учитываю-
щие это, были бы очень сложными, они содержали бы в себе напря-
жения и скорость изменения деформации во времени. Уравнения
были бы аналогичны уравнениям течения вязкой жидкости, а
деформацию в каждый момент времени следовало бы определять,
осуществляя пошаговое интегрирование по всему процессу измене-
ния деформации. Такой подход привел бы к очень трудоемким рас-
четам даже при решении простейших задач о пластической деформа-
ции. Вследствие этого обычно делают некоторые упрощающие пред-
положения, которые позволяют относительно просто исследовать
процессы пластического деформирования и получать достаточно
простые результаты, пока температура ниже температуры ползу-
чести и в случае «обычных» скоростей деформации.
Для исследования поведения материала в пластической области
предложены две упрощенные теории. Это теории (1) пропорциональ-
ного деформирования v и (2) приращения деформаций. В действи-
тельности теория пропорционального деформирования является
упрощенным вариантом теории приращения деформаций, в котором
отношения главных сдвиговых деформаций к соответствующим
касательным напряжениям считаются равными между собой в любой
момент времени в течение всего процесса деформирования. Пока
температура не превышает температуры ползучести и скорости
деформации малы, теория пропорционального деформирования
позволяет получать достаточно точные результаты.
Для получения соотношений, связывающих деформацию с нап-
ряжением в пластической области, в рамках теории пропорциональ-
ного деформирования сделаем пять следующих предположений:
1.	Изменение объема в результате пластического деформиро-
вания отсутствует, т. е.
ДУ=0.	(5.56)
Справедливость этого предположения подтверждена эксперимен-
тально — вплоть до десятикратных пластических удлинений наблю-
даемые изменения объема не превышают 0,25%.
5.4. Напряжения и деформации в пластической области 119
2.	Истинные главные деформации в течение всего процесса де-
формирования параллельны истинным главным напряжениям *\
т. е.
Ml а;, 6, кг,	(5.57)
3.	Отношения главных сдвиговых деформаций к соответствую-
щим главным касательным напряжениям равны между собой на
всех этапах пластического деформирования, т. е.
= д?~61 = С;.	(5.58)
01—02	02— 03	03—01
Это предположение верно во многих случаях, однако не следует
думать, что оно всегда правильно отражает особенности поведения
реальных материалов. Тем не менее при умеренных температурах
и скоростях пластической деформации (в «обычных» случаях) это
предположение вполне приемлемо.
4.	Упругие составляющие деформации пренебрежимо малы по
сравнению с пластическими составляющими деформации.
5.	Соотношения и предположения о пластическом характере
течения применимы только при возрастании нагрузок. При убывании
нагрузок поведение материала будем считать упругим, т. е. будем
считать, что при этом справедлив закон Гука.
Основываясь на первом предположении об отсутствии объемных
изменений при пластическом течении, можно показать, что сумма
трех главных деформаций равна нулю. Чтобы показать это, рас-
смотрим малый параллелепипед размером axbxc. Объем Го этого
параллелепипеда в начальном недеформированном состоянии опре-
деляется формулой
1/0=аЬс.	(5.59)
Пусть величина деформации параллелепипеда в направлении а
равна ei, в направлении b равна е2 и в направлении с равна £3. Раз-
мер параллелепипеда в деформированном состоянии будет а(1 +
+е1)хЬ(Ц-€2)Хс(1+е3), а его объем в деформированном состоя-
нии равен
Ve=a^(l+t4)(l+e2)(l+E.).	(5.60)
Однако в соответствии с (5.56) объемные изменения отсутствуют,
поэтому
V0=K.	(5.61)
Используя (5.59) и (5.60), из равенства (5.61) получаем
(l+ei)(l+e2)(l+e») = l.	(5.62)
*> Случай стесненного пластического кручения является случаем, когда
главные направления напряжения и деформации различаются [3, гл. 14].
120 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Логарифмируя обе части этого выражения и вспоминая, что в соот-
ветствии с (5.10) б=1п(1+е), получаем
6i+6,+6»=0.	(5.63)
Кроме того, используя (5.58), можно записать два независимых
соотношения:
6,—62 = Cz(a[— crj),	(5.64)
6i-fia = CI.(a;-a;).	(5.65)
Решая систему уравнений (5.63)—(5.65), находим
6, = (2ОД [о;-72 (a, + а;)],	(5.66)
62 = (2С,./3) [а! — >/2 (а; + о^)],	(5.67)
63 = (2С(/3) [а;- V2 (а; + а^)].	(5.68)
Эти соотношения формально совпадают с законом Гука (5.33),
если ввести мгновенный модуль пластичности = 3/(2С\) и считать,
что коэффициент Пуассона v= 1/2. Следует иметь в виду, что модуль
пластичности D не является постоянной величиной, а зависит от
величины предшествующей пластической деформации. То, что коэф-
фициент Пуассона в пластической области равен предельному зна-
чению 1/2,— хорошо известный факт. Таким образом, соотношения
(5.66)—(5.68) дают представления главных истинных деформаций
через главные истинные напряжения и величину С\, которую еще
надо определить. Если бы величина С\ была известна, то главные
истинные деформации можно было бы определить лишь по главным
истинным напряжениям.
Ранее мы записывали представление истинного напряжения
в виде функции истинной деформации при простом растяжении
(5.18). Если бы была известна связь между поведением материала
при многоосном пластическом напряженно-деформированном со-
стоянии и при простом растяжении, соотношения (5.66)—(5.68)
можно было бы записать в более удобном виде. Чтобы связать по-
ведение материала при многоосном напряженном состоянии с пове-
дением при простом одноосном состоянии, требуется принять не-
которую теорию эквивалентного напряжения. Теории эквивалент-
ного напряжения подробно обсуждаются в гл. 6, где они исполь-
зуются при формулировке гипотез разрушения при произвольном
многоосном напряженном состоянии. В гл. 6 будет показано, что наи-
лучшей гипотезой описания пластического поведения при сложном
напряженном состоянии является гипотеза октаэдрического каса-
тельного напряжения, или гипотеза удельной энергии формоизме-
нения. Допустив, что лучшей гипотезой для описания пластиче-
ского деформирования является гипотеза октаэдрического касатель-
ного напряжения, запишем полученные Надаи 121 выражения для
октаэдрического касательного напряжения т0 и октаэдрической сдви-
5.4. Напряжения и деформации в пластической области 121
говой деформации в виде
=1 /з К «—а*)2+(°2—°з)2+(о;—о;)г,	(5.69)
То = 2/з /(6,-62)2 + (62-6,)2 ; <63 — 6J2.	(5.70)
В случае простого одноосного растяжения единственным отличным
от нуля напряжением будет о^, и октаэдрическое касательное на-
пряжение примет вид
т„ = 7Э К(o;)2 + (oj2 = (К2/3) а;.	(5.71)
Аналогично в случае простого одноосного растяжения при коэффи-
циенте Пуассона, равном 1/2, октаэдрическая сдвиговая деформа-
ция примет вид
То = 7»Х
хИН^]Н(-4)-(-4)М(-^НГ“
= И2бР	(5.72)
Кроме того, в случае одноосного растяжения соотношение (5.66)
примет вид
61 = (2С//3) о;,	(5.73)
следовательно,
(5.74)
Подставляя в это выражение 6f из (5.72) и из (5.71), получаем
Ci = Vs (?о//2)/(Зт0 /Г 2) = у0/(2т0).	(5.75)
Если (5.71) и (5.72) подставить в соотношение (5.18), оно примет вид
(3/Г2)т0=*(?0/Г2)л,	(5.76)
что можно переписать в следующем виде:
у0 = Г2(Зт0/(Г2*))1/я.	(5.77)
Используя это выражение для представления октаэдрической
сдвиговой деформации через октаэдрическое касательное напряже-
ние, формулу (5.75) можно записать в виде
С/ = (|/2/(2т0))(Зт0/(И2^))1/'’.	(5.78)
Наконец, предполагая, что величина С, будет такой же и в слу-
чае многоосного напряженного состояния, и подставляя выражение
(5.69) для т0 в (5.78), получаем
Ci = 3 (2)<-i-"M*>	[(о;—а;)» +
+ (oi-oi)2 + (о;—а1)Т'л"’п-	(5.79)
122 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Для упрощения соотношений связи напряжений с деформация-
ми в пластической области введем следующие обозначения:
а = о2/о', р = о^/Ор	(5.80), (5.81)
где	(5.82)
При этом соотношения (5.66)—(5.68) можно записать в форме
6,=	01 _ k .	l.n	[a2 + [r+1—ар—а—Р](1-П>/2Л	аз-|сч 1 |cs 2	(5.83)
6,=	0'1 _ k _	1 n	[a2 + P2+l—ap—a—pp-'»/2'’	r„ ₽ 11 2	2 J ’	(5.84)
6.=	01 k _	1/л	[a2 + p2+l—ap—a—p](I’n>/2"	to| ft 1	(5.85)
При более общих условиях пластического течения, например
когда отношения главных сдвиговых деформаций к главным каса-
тельным напряжениям непостоянны, следует использовать теорию
приращения деформаций. В этом случае все выражения записыва-
ются в приращениях деформаций, и для получения результатов,
аналогичных (5.83)—(5.85), необходимо просуммировать прира-
щения для всего процесса деформирования. Для более полного оз-
накомления с соотношениями теории пластичности в приращениях
читатель может обратиться к литературе, приведенной в конце этой
главы.
6.5. ПРИМЕР
Рассмотрим следующую задачу. Тонкостенный сосуд высокого
давления изготовлен из листов проката нормализованной стали
SAE 4130. Сосуд имеет наружный диаметр 18 дюймов и толщину
стенки 1/8 дюйма, как показано на рис. 5.6. Используя теорию про-
порционального деформирования при пластическом течении и окта-
эдрическое касательное напряжение в качестве эквивалентного на-
пряжения, определите величину давления, при котором возникает
пластическая неустойчивость. Сравните это давление с давлением,
при котором начинается текучесть. Рассмотрите только цилиндри-
ческую стенку и пренебрегите концевыми эффектами.
Обращаясь к чертежу на рис. 5.6, отметим, что радиальное на-
пряжение о, мало по сравнению с о[ и oj. Поэтому в последующем
простом расчете им пренебрежем. Справедливость этого допущения
можно проверить в конце расчета, сравнивая числовое значение
со значениями и <Тг- Таким образом, в соответствии со сде-
ланным предположением
о; = 0.	(5.86)
Следовательно, согласно (5.81),
р »= uJ/o1 = 0.	(5.87)
5.5. Пример 123
В силу элементарных условий статического равновесия кольцевое
напряжение о[ в стенке показанного на рис. 5.6 сосуда высокого
давления находим из соотношения
2(0;)// = ^/,	(5.88)
или	oj = pDflt.	(5.89)
Также из условий статического равновесия находим продольное
напряжение:
= р (лО2/)/4.	(5.90)
Для тонкостенного сосуда средний диаметр Dm и внутренний диа-
Рис. 5.6. Тонкостенный сосуд, нагруженный внутренним давлением.
метр Dt практически одинаковы; следовательно,
о; = рО,/4/.	(5.91)
Таким образом, в соответствии с (5.80), (5.89) и (5.91) выражение
для а принимает вид
а — ui/G'i = [pD(/4/]/[pD,/2/] = ’/,.	(5.92)
Поэтому для рассматриваемого случая выражения для главных ис-
тинных деформаций (5.83)—(5.85) можно записать в виде
^ = [4]1Л' [4 + 0+1-0-4-0]<1’Л,/2'’[1-т-0], (5.93)
124 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
ИЛИ
ИЛИ
ИЛИ
(5.94)
(5.95)
(5.96)
(5.97)
(5.98)
Таким образом, истинная кольцевая деформация 6] равна по вели-
чине и противоположна по знаку истинной радиальной деформации,
а продольная деформация равна нулю. Этот результат подтверж-
ден экспериментально.
Подставляя вместо о( его выражение по формуле (5.89), получаем
«.=[!].....................<5М»
б2 = 0, 6, = —	(5.100), (5.101)
По определению истинной деформации истинная окружная (коль-
цевая) деформация может быть записана в виде
6t = In = In [nD/(nD0)],	(5.102)
где Do — начальный средний диаметр сосуда перед нагружением
его давлением, a D — диаметр в деформированном состоянии при
действии давления р. Из (5.102) получаем
D = Doee>.	(5.103)
На основании аналогичных рассуждений истинная радиальная де-
формация может быть записана в виде
63 = 1пЖ),	(5.104)
где — начальная толщина стенки перед нагружением давлением,
a t — толщина стенки при давлении р. Определяя / из (5.104), полу-
чаем с учетом (5.101)
/ = ^ = ^-6,.	(5.105)
Подставляя (5.103) и (5.105) в (5.99), находим
6 _Г2](1+',)/глГ	Г7" rtinfik
 <5106>
5.5. Пример 125
откуда получаем выражение для р в виде
<5107>
Из анализа выражения (5.107) следует, что истинная деформация
бг возрастает с ростом давления до тех пор, пока не будет достигнута
точка неустойчивости, в которой для дополнительного увеличения
пластической деформации не требуется никакого увеличения давле-
ния, т. е. условием неустойчивости является обращение в нуль ве-
личины dpldbi. Для нахождения точки неустойчивости продифферен-
цируем (5.107) по бь в результате чего получим
dp Г 2*/о_1 Г------1 Г [— 2е-гМ? + п6?-1е-2М. (5.108)
aOi I Do J [ (3/4)(1 + п},гп J L	iii j \	/
Далее приравниваем производную (5.108) нулю и определяем вели-
чину истинной деформации 6irt, при которой достигается состояние
неустойчивости:
6lw = n/2.	(5.109)
Таким образом, точка неустойчивости достигается, когда истинная
кольцевая деформация 6Х становится равной по величине половине
показателя деформационного упрочнения материала. Для опреде-
ления давления ри, при котором достигается точка неустойчивости,
подставляем (5.109) в (5.107) и получаем
п
Ри
zktp 1 р-п Г________2______
£>о J J 2(3/4/1+л)/2/7
(5.110)
Значения коэффициента k и показателя деформационного упроч-
нения п для стали SAE 4130 можно найти в таблице к рис. 5.2: k=
= 154 500 фунт/дюйм2 и п=0,156. Начальная толщина /0=0,125 дюй-
ма и начальный диаметр D^—18 дюймов были заданы ранее. Под-
ставляя эти числовые данные в (5.110), получаем
₽« =-----183------6	[2(3/4)»35»/о.>.г	•
или	pu = 1455 фунт/дюйм2.	(5.112)
Таким образом, приходим к выводу, что сосуд высокого давле-
ния может выдержать давление вплоть до величины 1455 фунт/
дюйм2, при которой разрушение близко. Любое незначительное уве-
личение давления сверх этой величины вызовет спонтанное ката-
строфическое разрушение в результате пластического течения, ко-
торое, вероятно, будет происходить в виде локального выпучивания
и образования течи.
Используя гипотезу октаэдрического касательного напряжения,
для сравнения можно оценить величину давления, при которой
начинается текучесть. Как будет показано подробнее в гл. 6, в со-
ответствии с гипотезой октаэдрического касательного напряжения
текучесть при многоосном напряженном состоянии возникает, когда
126 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
октаэдрическое касательное напряжение т0, определяемое форму-
лой (5.69), достигает критического значения тОу, при котором начи-
нается текучесть в опыте на простое растяжение. Критическое зна-
чение тОу, при котором начинается текучесть в опыте на простое рас-
тяжение, легко определить, если учесть, что в этом случае отлично
от нуля лишь одно главное напряжение, например oi, которое в мо-
мент начала текучести должно быть равно пределу текучести мате-
риала. Таким образом, полагая а.2=Оз=0 в (5.69) и а^а^р, можно
найти т0{/:
*0в = 7з/oiP + о2р = ’/,	.	(5.113)
По гипотезе октаэдрического касательного напряжения теку-
честь начинается при
To = tv	(5.114)
Подставляя т0 из (5.69) и т0(/ из (5.113) в (5.114), получаем, что теку-
честь начинается при
(о; -а;)’ + (о; -а;)2 -|- (oi-oj)2 = 2а2р.	(5.115)
Из (5.89) и (5.90) следует, что О2=а[/2, а из (5.86) находим, что aj=
=0. При этих значениях главных напряжений в соответствии с
(5.115) текучесть начинается, когда
(а;/2)2 4- (о;/2)2 + (- а,')2 = 2<4,	(5.116)
или когда а; = (2, И3) оур.	(5.117)
Замечая, что изменения диаметра £>0 и толщины стенки /0 в упру-
гой области пренебрежимо малы, можно подставить выражение
(5.89) для а[ в (5.117); в результате получим
р^О0/(2/0)^(2Уз)а!//„	(5.118)
где Рур — давление в сосуде, при котором начинается текучесть.
Находя рур из (5.118), получаем
РиР=14/ДИЗО0)]авр.	(5.119)
Предел прочности исследуемого материала равен примерно
98 000 фунт/дюйм2, а предел текучести — около 89 000 фунт/дюйм2.
Таким образом, в соответствии с (5.119) находим
Р^-[(4 О,125)/(ИЗ. 18,0)] 89 000,	(5.120)
или Рур=1427 фунт/дюйм1.
Вопросы 127
Таким образом, текучесть начнется при давлении около
1427 фунт/дюйм2, а катастрофическое пластическое разрушение
произойдет, когда в соответствии с (5.112) давление достигнет ве-
личины 1455 фунт/дюйм2. Интересно также отметить, что если в
уравнении, аналогичном (5.120), использовать предел прочности
материала при растяжении и не учитывать изменения D и t вследст-
вие пластического деформирования, то найденное таким образом
предельное давление составит около 1572 фунт/дюйм2. Эта оценка
завышена более чем на 100 фунт/дюйм2.
ВОПРОСЫ
1.	Соотношения (5.32) представляют собой закон Гука для трехосного напря-
женного состояния. Используя эти соотношения, запишите
(а)	закон Гука для двухосного напряженного состояния;
(Ь)	закон Гука для одноосного напряженного состояния;
(с)	следует ли из условия одноосности напряженного состояния одноосность
деформированного состояния? Поясните.
2.	Запишите первый, второй и третий инварианты деформации.
3.	В результате расчета установлено, что критическая точка детали из стали
4340 находится в напряженном состоянии, при котором ах=6000 фунт/дюйм2,
тху=4000 фунт/дюйм2, а все остальные компоненты напряжения равны нулю. Для
этого напряженного состояния определите сумму полных нормальных деформа-
ций в направлениях х, у и г, т. е. найдите величину
4.	Разрешите соотношения закона Гука (5.32) в явном виде относительно
Ох, И Oz.
5.	Рассмотрите слой упругого материала, помещенного между двумя идеаль-
но жесткими плитами и скрепленного с ними. К плитам приложена нормальная
сжимающая нагрузка, в результате чего в материале возникает нормальное к по-
верхности плит напряжение az. Предполагая, что скрепление материала с плитами
полностью предотвращает все поперечные деформации, т. е. что ех—е^=0, опре-
делите кажущийся модуль упругости oz/ez в направлении 2 через постоянные
материала Е и v. Покажите, что он во много раз может превышать величину £,
если материал слоя в условиях действия гидростатического давления почти не-
сжимаем.
6.	Для случая чистого сдвига, т. е. когда лишь тху отлично от нуля, запишите
выражения для главных нормальных деформаций. Будет ли это состояние двух-
осным деформированным состоянием? Поясните.
7.	Стандартный растягиваемый образец диаметром 0,505 дюйма в процессе
лабораторных испытаний выдерживает максимальную нагрузку 26 000 фунтов,
а полное удлинение его на базе 2 дюймов в момент разрушения составляет 0,52 дюй-
ма. Определите (а) предел прочности; (Ь) удлинение в процентах; (с) число вяз-
кости.
8.	Испытания на растяжение проводились на стальном образце прямоуголь-
ного поперечного сечения 0,25Х 1 дюйм с рабочей частью длиной 8,0 дюймов. В ре-
зультате испытаний установлено следующее: нагрузка в момент начала текучести
составляла 8500 фунтов, предельная нагрузка 14 700 фунтов, разрушающая на-
грузка 11 700 фунтов, удлинение при разрушении 2,25 дюйма, а полное удлинение
рабочей части при нагрузке 4000 фунтов составляло 0,0044 дюйма. Определите (а)
нижний предел текучести; (Ь) предел прочности; (с) модуль упругости; (d) удлине-
ние в процентах; (е) меру эластичности; (f) число вязкости.
9.	Для определения зависимости напряжений от деформаций легированной
стали проведены испытания на растяжение образца кругового поперечного сечения
с начальным диаметром 0,364 дюйма. В пластической области измерялись дейст-
вующие нагрузки и соответствующие им значения диаметра, Результаты измере-
ний сведены в таблицу;
128 Гл. 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
Нагрузка, фунт	Диаметр, дюйм	Нагрузка, фунт	Диаметр, дюйм
3500	0,352	5800	0,316
4300	0,350	5700	0,302
4800	0,347	5600	0,290
5175	0,344	5300	0,270
5400	0,340	5050	0,260
5650	0,334	4950	0,255
5775	0,324	;	4650	0,235
		Разрушение	
(а)	Определите величины истинных напряжений и деформаций.
(Ь)	Определите величины условных напряжений и деформаций.
(с)	Вычертите кривую зависимости между напряжениями и деформациями в ло-
гарифмических координатах и определите коэффициент прочности k и показатель
деформационного упрочнения п.
(d)	Вычертите на одном и том же рисунке диаграммы зависимости между истинны-
ми и условными напряжениями и деформациями и сравните их между собой.
10.	Диаграмма зависимости между истинными напряжениями и деформация-
ми для некоторых материалов хорошо аппроксимируется функцией o=S7£+
+k(S')b. Получите для такого материала выражение истинной деформации 60
в точке неустойчивости.
И. Отожженный алюминиевый сплав имеет коэффициент k, равный 55 900
фунт/дюйм2, и показатель деформационного упрочнения 0,211. Используя соотно-
шения (5.83)—(5.85) простой деформационной теории, вычертите кривые зависи-
мости между напряжениями и деформациями для каждой из приведенных пар
значений отношений главных напряжений, дайте интерпретацию соответствую-
щим напряженным состоянием и сделайте комментарии к полученным результа-
там, какие сочтете уместными:
(а	Н- = -0,5; °.	^-=0; °!		°;	= +0,5;
(Ь)	С’ ^-+0А	^-=0; °.		°;	= —1,0;
(с)	•^-=-1,0; °.	— =0; °.		=^_ °:	= + L0;
(Ф	о; -?-=Ч-1,0; °;	•^•=0; °.		°;	=0.
(е)	=^-=^-= о,' о'	-0.5;			
12.	Тонкостенный цилиндрический сосуд высокого давления с начальным
диаметром Do и начальной толщиной стенки /0 одновременно нагружен внутрен-
ним давлением р и осевой силой Р. Получите выражение для максимальной глав-
ной деформации в момент неустойчивости в случае, когда окружная компонента
напряжения о[ больше осевой компоненты напряжения Оа.
13.	Для рассмотренного в задании 12 тонкостенного сосуда высокого давления
получите выражение для максимальной главной деформации в момент неустойчи-
вости в случае, когда окружная компонента напряжения oi меньше осевой компо-
ненты напряжения ai.
Литература 129
14.	Тонкостенный сферический сосуд высокого давления внутреннего диамет-
ра 50 дюймов изготовлен из отожженной нержавеющей стали 430. Сосуд должен
быть спроектирован так, чтобы при достижении давлением величины 2000 фунт/
/дюйм2 в нем зарождалась локальная течь (достигалась точка неустойчивости).
Какова должна быть начальная толщина стенки этого сосуда?
15.	Шарнирная конструкция, изображенная на рис. Q5.15, предназначена
выдерживать статическую нагрузку Р. В некоторых случаях нагрузка может пре-
вышать заданное значение. Пусть элементы конструкции представляют собой
сплошные цилиндрические стержни из горячекатаной отожженной стали 4130
(£=169 400 и коэффициент деформационного упрочнения 0,118).
(а)	Получите формулу для определения величины нагрузки рур, при которой нач-
нется текучесть.
(Ь)	Вычислите числовое значение рур.
(с)	Определите, при какой нагрузке все стержни полностью перейдут в пластиче-
ское состояние (материал при этом считать идеальным упругопластическим
материалом).
(d)	Получите формулу для определения величины нагрузки Рц при которой до-
стигнется состояние пластической неустойчивости.
(е)	Найдите числовое значение Р{.
(f)	Определите полное удлинение стержня 1 при наступлении состояния пласти-
ческой неустойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Marin J. Mechanical Behavior of Engineering Materials,— Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice-Hall, 1962.
2.	Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. 1,— New York: McGraw-
Hill, 1950. [Имеется перевод: Надаи А. Пластичность и разрушение твердых
тел. Том I.— М.: ИЛ, 1954.]
3.	Polakowski N. Н., Ripling Е. J. Strength and Structure of Engineering Materi-
als.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1966.
4.	Guy A. G. Essentials of Materials Science,— New York; McGraw-ЯШ, 1976,
5 № 492
ГЛАВА 6
ГИПОТЕЗЫ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В РАСЧЕТАХ
6.1.	ВВЕДЕНИЕ
Предсказание разрушения и выбор формы и размеров, при которых
можно избежать разрушения детали или конструкции, не пред-
ставляют особых затруднений, если она находится в условиях одно-
осного статического напряженного состояния. Необходимо лишь
иметь в распоряжении кривую зависимости между напряжением
и деформацией при одноосном деформировании исследуемого мате-
риала, которая достаточно просто получается из одного или не-
скольких испытаний на простое растяжение и сжатие. Например,
если текучесть является основной представляющей опасность фор-
мой разрушения исследуемой детали, находящейся в условиях од-
ноосного состояния, то можно предсказать, что деталь разрушится,
когда максимальное нормальное напряжение в ней достигнет пре-
дела текучести, который можно определить из кривой зависимости
напряжения от деформации в опыте на простое растяжение.
Если же исследуемая деталь машины находится в условиях
двухосного или трехосного напряженного состояния, предсказание
разрушения ее становится гораздо более трудным делом. Например,
уже нельзя предсказать текучесть, когда максимальное нормальное
напряжение достигнет предела текучести при растяжении, посколь-
ку другие нормальные напряжения тоже могут влиять на текучесть
материала. Кроме того, не существует одного или нескольких про-
стых экспериментов, с помощью которых можно было бы охаракте-
ризовать процесс разрушения в многоосном напряженном состоя-
нии. Потребовалось бы проведение большого числа сложных испы-
таний, в которых компоненты напряжений изменялись бы в области
их значений, образуя всевозможные комбинации, но даже и при этом
было бы очень трудно оценить влияние таких внешних факторов,
как концентрация напряжений, температура, условия окружающей
среды. Такая программа испытаний была бы непомерно дорогой
и трудоемкой, а некоторые напряженные состояния невозможно
было бы воспроизвести.
Когда инженеры сталкиваются со сложностями такого типа,
они всегда стремятся создать теорию, которая позволила бы устано-
вить соответствие между поведением материала в сложных условиях
и его поведением при простых легко обрабатываемых испытаниях
с помощью некоторых характерных величин — «модулей». В част-
ности, когда требуется предсказать возможность разрушения эле-
6./. Введения 131
мента машины, находящегося в многоосном напряженном состоя-
нии, обычно используется какая-либо гипотеза, устанавливающая
соответствие между разрушением при многоосном напряженном
состоянии и разрушением такого же вида в испытании на простое
растяжение путем соответствующего выбора в качестве характер-
ной величины таких величин, как напряжение, деформация или энер-
гия. Чтобы такую характерную величину можно было использо-
вать, она должна быть вычислима в многоосном напряженном со-
стоянии и легко измерима в простом одноосном опыте.
Основное предположение, на которОхМ основываются все гипоте-
зы разрушения, состоит в том, что разрушение произойдет, когда
максимальное значение некоторой выбранной механической величины
в многоосном напряженном состоянии становится равным или пре-
вышает значение той же самой величины, при котором происходит
разрушение испытываемого образца из того же материала в простом
одноосном состоянии.
С целью иллюстрации рассмотрим опять тонкостенный сосуд
давления, показанный на рис. 5.6. При действии внутреннего дав-
ления в нем возникает двухосное напряженное состояние с компо-
нентой Oj в кольцевом направлении и компонентой о2 в продольном
направлении. По результатам элементарного расчета напряжений
в соответствии с формулами (5.89) и (5.91) легко определить величи-
ну максимального нормального напряжения (crn)max как функцию
внутреннего давления. Можно также взять образец из такого же
материала, испытать его на простое растяжение и экспериментально
определить величину максимального нормального напряжения
О/, при котором происходит разрушение в опытах на растяжение.
Используя основное предположение, из которого исходят все
гипотезы разрушения, можно сформулировать следующую гипотезу
разрушения сосуда высокого давления, стенки которого находятся
в двухосном напряженном состоянии.
Разрушение произойдет в том случае, если расчетная величина
(сгДпах в стенке сосуда высокого давления, находящейся в двухосном
напряженном состоянии, станет равной или превысит разрушаю-
щее максимальное нормальное напряжение в опыте на простое
растяжение.
Эксперименты показывают, что эта гипотеза для некоторых ма-
териалов дает удовлетворительные результаты, а для других —
нет. Подобные попытки создания гипотез разрушения и их экспери-
ментальная проверка позволили сформулировать много гипотез
разрушения, шесть из которых будут описаны в этой главе.
Подводя итог, можно сказать, что любая гипотеза разрушения
при сложном напряженном состоянии должна строиться с учетом
следующего.
1.	Она должна основываться на некоторой модели, которую
можно описать с помощью математических соотношений и которая
132 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
дает возможность установить соотношения между внешней нагруз-
кой и напряжениями, деформациями или другими механическими
характеристиками в критический момент времени при многоосном
напряженном состоянии.
2.	Она должна основываться на использовании некоторых физи-
ческих характеристик материала, которые можно измерить.
3.	Она должна устанавливать соответствие между характерными
механическими величинами, которые можно рассчитать для много-
осного напряженного состояния, и измеримыми характеристиками
разрушения, соответствующими характерным значениям физиче-
ских свойств материала при простом одноосном испытании.
Известно много гипотез разрушения при сложном напряженном
состоянии, удовлетворяющих этим условиям. Ниже описаны под-
робно шесть следующих гипотез: (1) гипотеза максимального нор-
мального напряжения; (2) гипотеза максимального касательного
напряжения; (3) гипотеза максимальной нормальной деформации;
(4) гипотеза полной удельной энергии деформации; (5) гипотеза
удельной энергии формоизменения; (6) гипотеза прочности Мора.
Некоторые из них приведены здесь потому, что они представля-
ют определенный исторический интерес, в то же время указания на
ограниченность их применения дают стимул к построению новых,
более точных гипотез. Другие же гипотезы приведены здесь из-за
того, что они являются лучшими из используемых в настоящее
время.
6.2.	ГИПОТЕЗА МАКСИМАЛЬНОГО НОРМАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
(ГИПОТЕЗА РЭНКИНА)2)
Словесно гипотеза максимального нормального напряжения, пред-
ложенная Рэнкином, может быть сформулирована следующим
образом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния
происходит, когда максимальное главное нормальное напряжение
становится равным или превышает максимальное нормальное на-
пряжение в момент разрушения образца из того же самого матери-
ала в условиях одноосного напряженного состояния.
Как показано в гл. 4, произвольное трехосное напряженное со-
стояние в точке полностью описывается заданием трех главных
компонент напряжения и их направлений. При испытании в усло-
виях одноосного напряженного состояния единственной ненулевой
нормальной компонентой напряжения является главное напряжение
в направлении действия приложенной силы. Разрушение при одно-
осном испытании происходит в момент, определение которого за-
висит от того, что именно считается разрушением, и от реакции ма-
териала на внешнюю нагрузку. Соответствующее разрушающее на-
пряжение п, в момент начала разрушения в одноосном состоянии
может быть, таким образом, пределом прочности, пределом текуче-
6.2. Гипотеза максимального нормального напря чсения 133
сти, пределом пропорциональности или какой-либо еще величиной
в зависимости от того, что именно считается разрушением в харак-
терной точке исследуемой части машины или конструкции, находя-
щейся в условиях многоосного напряженного состояния. Кроме
того, для некоторых материалов разрушающее напряжение при
растяжении отличается от разрушающего напряжения при сжатии
даже для одного и того же вида разрушения. Например, предел
прочности чугуна при сжатии гораздо больше предела прочности
при растяжении. С учетом сказанного гипотеза максимального
нормального напряжения, сформулированная выше, математиче-
ски может быть записана следующим образом:
Разрушение в соответствии с гипотезой максимального нормаль-
ного напряжения произойдет, если
о,>о„	(6.1)
где Oi, оаио3 — главные нормальные напряжения, а, — разрушаю-
щее напряжение при одноосном растяжении, ос — разрушающее
напряжение при одноосном сжатии. Важно иметь в виду, что раз-
рушение произойдет в том случае, если будет выполнено любое одно
из условий (6.1).
Предсказание разрушения при трехосном напряженном состоя-
нии по гипотезе максимального нормального напряжения можно
изобразить графически, как это сделано на рис. 6.1. Грани куба
представляют собой границу начала разрушения. При всех напря-
женных состояниях, соответствующих точкам, расположенным вне
куба, будет происходить разрушение, в то время как всем точкам,
расположенным внутри куба, соответствуют напряженные состоя-
ния, при которых конструкция под действием нагрузок не разру-
шается. Если разрушающее напряжение при одноосном растяжении
Ot равно разрушающему напряжению при одноосном сжатии oCi то
куб расположен симметрично относительно начала координат. Если
же разрушающие напряжения при одноосном растяжении и одно-
осном сжатии различны, поверхность разрушения расположена
так, что центр куба уже не совпадает с началом системы координат
Gj-G
Нетрудно видеть, что предсказание разрушения по теории мак-
симального нормального напряжения основывается только на
оценке величины максимальной нормальной компоненты напряже-
ния независимо от величины или направления двух других главных
напряжений. Например, если рассмотреть случай гидростатического
напряженного состояния — либо растяжения, либо сжатия,— то
эта теория предскажет текучесть, когда величина главного напряже-
ния а=о1=о2=<*з станет равной пределу текучести при одноосном
растяжении (при одноосном сжатии). Таким образом, гипотеза мак-
*> Гидростатическим напряженным состоянием называется такое состояние,
при котором все три главных напряжения равны,
134 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
симального нормального напряжения предсказывает начало теку-
чести в случае гидростатического растяжения или сжатия в тот мо-
мент, когда главное напряжение о достигнет по величине предела
текучести avp материала при одноосном растяжении. Однако извест-
но много экспериментальных данных, свидетельствующих о том,
что гидростатическое сжатие не вызывает текучести в плотноупако-
ванных кристаллических или аморфных твердых телах, а вызывает
лишь малое обратимое упругое сжатие. Кроме того, эксперимен-
Рис. 6.1. Графическое представление гипотезы максимального нормального
напряжения для случая произвольного многоосного напряженного состояния.
тально показано, что чистое гидростатическое растяжение не при-
водит ни к пластическому течению, ни к текучести. Таким образом,
в качестве гипотезы для оценки возможности начала текучести ги-
потеза максимального нормального напряжения, как правило, не
годится. Гипотезу максимального нормального напряжения не
следует применять для пластичных материалов.
С другой стороны, для хрупких материалов гипотеза максималь-
ного нормального напряжения является, по-видимому, наилучшей
гипотезой, хотя для некоторых напряженных состояний возможно
получение результатов «с запасом». Данные, подтверждающие это
положение для некоторых двухосных напряженных состояний, при-
ведены на рис. 6.8.
6.3. Гипотеза максимального касательного напряжения 135
6.3.	ГИПОТЕЗА МАКСИМАЛЬНОГО КАСАТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
(ГИПОТЕЗА ТРЕСКА - ГЕСТА) 3>
Словесно гипотеза максимального касательного напряжения, пред-
ложенная Треска около 1865 г. и экспериментально подтвержденная
Гестом около 1900 г., может быть сформулирована следующим об-
разом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния про-
исходит, когда максимальное касательное напряжение становится
равным или превышает максимальное касательное напряжение в мо-
мент разрушения образца из того же самого материала в условиях
одноосного напряженного состояния.
В гл. 4 отмечалось, что наибольшее касательное напряжение
в точке представляет собой наибольшее по величине напряжение
из трех главных касательных напряжений, определяемых форму-
лами (4.55)—(4.57). В случае одноосного напряженного состояния
единственной отличной от нуля нормальной компонентой напряже-
ния является главное напряжение в направлении приложенной
силы. Используя, например, (4.57), получаем, что если максимальное
напряжение в момент разрушения при одноосном испытании равно
Оу, то соответствующая величина разрушающего главного касатель-
ного напряжения Т/ при одноосном испытании определяется соот-
ношением
Ту=Оу/2.	(6.2)
С учетом этих замечаний сформулированную ранее словесно тео-
рию максимального касательного напряжения можно математиче-
ски записать так:
Разрушение в соответствии с гипотезой максимального касатель-
ного напряжения произойдет, если
|TS>;T/|.	(6.3)
Используя (4.55)—(4.57) вместе с (6.2), гипотезу максимального
касательного напряжения можно сформулировать в терминах
главных нормальных напряжений следующим образом:
Разрушение в соответствии с гипотезой максимального касатель-
ного напряжения произойдет, если
j°l —	1°г —|Оз —(6.4)
где о,, о, и о3 — главные нормальные напряжения и of — разруша-
ющее напряжение при одноосном растяжении. Важно иметь в виду,
что разрушение произойдет, если выполняется одно любое соотно-
шение из (6.4).
Предсказание разрушения при трехосном напряженном состоя-
нии по гипотезе максимального касательного напряжения графиче-
ски можно проиллюстрировать чертежом, изображенным на рис. 6.2.
В этом случае поверхность разрушения представляет собой шести-
угольный цилиндр, ось которого образует равные углы с тремя
136 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
главными осями. Видно, что всем точкам, расположенным внутри
цилиндра, соответствуют напряженные состояния, при которых
разрушения нет, а точкам вне цилиндра — состояния, при которых
происходит разрушение. В противоположность гипотезе максималь-
ного нормального напряжения гипотеза максимального касатель-
ного напряжения лучше предсказывает экспериментально наблю-
даемое поведение пластичных металлов в условиях гидростатическо-
го напряженного состояния. Это следует из того, что точки, которым
Рис. 6.2. Графическое представление гипотезы максимального касательного
напряжения для случая произвольного многоосного напряжения состояния.
соответствуют гидростатическое растяжение или сжатие, распола-
гаются на оси цилиндра и поэтому всегда находятся в области от-
сутствия разрушения. Значит, в соответствии с этой гипотезой при
гидростатическом напряженном состоянии никогда не возникает
текучести.
Экспериментами установлено, что при гидростатическом сжатии
даже при очень больших напряжениях в металлах не возникает
текучести и не происходит разрушения. При гидростатическом рас-
тяжении разрушение, как показывают эксперименты, происходит,
но при этом главное напряжение почти вдвое превышает разрывное
напряжение при одноосном испытании [9]. Таким образом, гипотеза
максимального касательного напряжения, по-видимому, удовлетво-
6.4. Гипотеза максимальной нормальной деформации 137
рителыю моделирует поведение технических металлов при гидро-
статических напряженных состояниях, особенно когда речь идет о
текучести и пластичности. Экспериментальные результаты для дру-
гих напряженных состояний свидетельствуют о том, что гипотеза
максимального касательного напряжения является, вообще говоря,
хорошей гипотезой для прогнозирования разрушения пластичных
материалов. Это показано на рис. 6.8. Видно, что лишь одна из дру-
гих гипотез — гипотеза удельной энергии формоизменения — дает
результаты, лучше согласующиеся с экспериментальными данными
при пластическом поведении в случае многоосных напряженных
состояний.
6.4.	ГИПОТЕЗА МАКСИМАЛЬНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
(ГИПОТЕЗА СЕН-ВЕНАНА) 4>
Словесно гипотеза максимальной нормальной деформации, предло-
женная Сен-Венаном, может быть сформулирована следующим об-
разом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния
происходит, когда максимальная главная нормальная деформация
становится равной или превышает максимальную нормальную де-
формацию в момент разрушения образца из того же самого матери-
ала в условиях одноосного напряженного состояния.
' Для случая испытания на простое растяжение можно применить
соотношения обобщенного закона Гука (5.33), которые могут быть
записаны в виде
£1 = [<Т,— г(<Ту+ол)]/Е.	(6.5)
Отметим, что при этом — разрушающее напряжение при одно-
осном растяжении (сжатии), а главные напряжения о; и oh равны
нулю. Таким образом, главная деформация в момент разрушения
в условиях одноосного напряженного состояния принимает вид
(6.6)
Используя эти соотношения, сформулированную ранее словесно
гипотезу максимальной нормальной деформации можно математи-
чески записать так:
Разрушение в соответствии с гипотезой максимальной нормаль-
ной деформации произойдет, если
8г< — еу, f;,<—ef. (6.7)
Выражая деформации в соотношениях (6.7) через напряжения,
гипотезе максимальной нормальной деформации можно придать вид
Разрушение в соответствии с гипотезой максимальной нормаль-
ной деформации произойдет, если
ai—у(°2 + ^з)2		0|—v(<t2^-o3)«	;-а/,
v(°i-		о, —v(a,	о3)<	S—(6.8)
v(°i 4-^)5		v(O1 + a2)«	S-0/.
138 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
где ах, и а3 — главные напряжения в случае многоосного напря-
женного состояния, О/ — разрушающее напряжение при одноосном
растяжении (сжатии). Важно иметь в виду, что разрушение произой-
дет, если выполняется одно любое соотношение из (6.8).
Геометрическая интерпретация предсказания разрушения при
трехосном напряженном состоянии по гипотезе максимальной нор-
мальной деформации дана на рис. 6.3. Поверхность разрушения в
Рис. 6.3. Графическое представление гипотезы максимальной нормальной
деформации для случая произвольного многоосного напряженного состояния,
этом случае состоит из граней четырех четырехгранных пирамид,
сложенных вместе симметрично относительно диагонали. Одна из
этих пирамид на рис. 6.3 обозначена через abed. Как и в случае
гипотезы максимального нормального напряжения, замкнутая по-
верхность разрушения означает, что предсказывается возможность
разрушения в условиях гидростатических напряженных состояний,
что не подтверждается экспериментом, особенно если разрушением
считается текучесть.
Кроме того, установлено, что эта гипотеза неприменима также
и для хрупко разрушающихся материалов. Таким образом, она име-
ет лишь историческое значение и не используется в настоящее время
расчетчиками, поскольку в их распоряжении имеются другие, луч-
шие гипотезы. Интересно, однако, что в последнее время к гипотезе
максимальной нормальной деформации вновь проявляют внимание
исследователи, имеющие дело с подкрепленными композитными ма-
териалами при многоосных напряженных состояниях.
6.5. Гипотеза полной удельной энергии деформации 139
6.5.	ГИПОТЕЗА ПОЛНОЙ УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ
(ГИПОТЕЗА БЕЛЬТРАМИ)5>
Словесно гипотеза полной удельной энергии деформации, предло-
женная Бельтрами около 1885 г., может быть сформулирована сле-
дующим образом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния
происходит, когда полная удельная энергия деформации становится
равной или превышает полную удельную энергию деформации в мо-
мент разрушения образца из того же самого материала в условиях
одноосного напряженного состояния.
Чтобы записать математически основное положение гипотезы
полной удельной энергии деформации, необходимо записать выра-
жение для полной удельной энергии деформации в случае трехос-
ного напряженного состояния, определить полную удельную энер-
гию деформации испытываемого образца в момент разрушения и,
используя эти выражения, записать искомое соотношение. Полная
энергия деформации, накопленная в малом элементе объема dxdydz
при действии главных напряжений оь о2, о3 и соответствующих им
деформаций, может быть подсчитана с помощью уравнения сохра-
нения энергии, в соответствии с которым полная энергия деформа-
ции UT. накопленная в элементе, должна равняться работе IF, со-
вершенной над ним, т. е.
UT = W.	(6.9)
Работа W может быть представлена произведением среднего зна-
чения силы и расстояния, на котором она действует, в том случае,
если соотношение между силой и перемещением линейно. Таким
образом, выражение для работы можно записать в виде
W=(F f+F.)d/2,	(6.10)
где Fo — начальное значение приложенной силы, Ff — конечное
значение приложенной силы, d — расстояние, на которое переме-
щается точка приложения силы. Имея в виду, что конечное значе-
ние силы, действующей в направлении оь равно напряжению о^
умноженному на площадь, начальное значение силы равно нулю
и расстояние, на которое перемещается сила, равно полному удли-
нению элемента в направлении аь работу, совершенную приложен-
ным напряжением оь записываем в виде
W1=(oldydz/2)(Eldx).	(6.11)
Эго выражение в соответствии с (6.9) можно приравнять полной
энергии деформации, накопленной в результате действия лишь
Таким образом,
~ (<Ji £i/2)dxdydz.	(6.12)
Полную удельную энергию деформации в результате действия
лишь ох можно найти, разделив (6.12) на объем, в результате
140 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состояние
получим
и} = UT,/(dxdydz) = oxe1i2,	(6.13)
где Ui — полная удельная энергия деформации, накопленная в ре-
зультате действия G1. Аналогичные выражения для полной удель-
ной энергии деформации, накопленной в результате действия о»
и оа, можно соответственно записать в виде
ыг = агег/2, ия = о3еа/2.	(6.14), (6.15)
Пренебрегая членами высших порядков, полную удельную
энергию деформации, накопленную в результате одновременного
действия о(, о2 и о3, можно получить, складывая выражения (6.13)—
(6.15):
«Г — Ut + Ut+lls,	(6.16)
или
«т = ,/2[а1е1 + огег + о3еа].	(6.17)
Деформации е( в (6.17) с помощью соотношений закона Гука (6.5)
можно выразить через три главных напряжения. В результате вы-
ражение для полной удельной энергии деформации можно записать
в виде
«7 = [о? + О? + о?—2v (OjO2 + о2аэ -г 0,0,) I/(2Е).	(6.18)
В случае одноосного испытания единственное отличное от нуля
главное напряжение в момент разрушения равно разрушающему на-
пряжению О/, а выражение для соответствующей полной энергии
деформации иТ1 принимает вид
«т/«[а?]/(2£).	(6.19)
Используя два последних выражения, гипотезу полной удельной
энергии деформации, сформулированную ранее словесно, математи-
чески можно записать так:
Разрушение в соответствии с гипотезой полной удельной энергии
деформации произойдет, если
uT^uTf,	(6.20)
или если
[ctJ + of 4- 05—2v (OjGj 4- о2ст3 4- 0,0,)]	of.	(6.21)
Поскольку при получении этих соотношений использовался за-
кон Гука, гипотеза справедлива в области линейной упругости,
так же как и гипотеза максимальной нормальной деформации Сен-
Веиана. Уравнение (6.21) представляет собой уравнение эллипсо-
ида, симметричного относительно пространственной диагонали,
который показан на рис. 6.4. Как и для других гипотез разрушения,
область внутри эллипсоидальной поверхности содержит точки, со-
ответствующие напряженным состояниям, при которых по этой ги-
потезе разрушения не происходит, а точки вне поверхности разру-
6-6. Гипотеза удельной энергии формоизменения 141
шения соответствуют напряженным состояниям, при которых про-
исходит разрушение. Отметим, что, поскольку поверхность разру-
шения замкнута, гипотеза предсказывает возможность разрушения
при гидростатических напряженных состояниях, и по крайней мере
в этом смысле она не согласуется с экспериментальными данными.
Рис. 6.4. Графическое представление гипотезы полной удельной энергии дефор-
мации для случая произвольного многоосного напряженного состояния.
Эта теория не используется расчетчиками, но она имеет историче-
ское значение для разработки широко используемой гипотезы удель-
ной энергии формоизменения, которая описана в разд. 6.6.
6.6.	ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯ
(ГИПОТЕЗА ГУБЕРА — МИЗЕСА - ГЕНКИ) е>
Словесно гипотеза удельной энергии формоизменения, предложен-
ная впервые в 1904 г. Губером и развитая впоследствии Мизесом и
Генки, может быть сформулирована следующим образом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния
происходит, когда удельная энергия формоизменения становится
равной или превышает удельную энергию формоизменения в момент
разрушения образца из того же самого материала в условиях одноос-
ного напряженного состояния.
142	Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
Гипотеза удельной энергии формоизменения появилась как
уточнение гипотезы полной удельной энергии деформации, учиты-
вающее то, что гипотеза полной удельной энергии деформации не-
правильно описывает поведение материалов при гидростатических
напряженных состояниях. При разработке гипотезы удельной энер-
гии формоизменения использовалось то обстоятельство, что пол-
ная удельная энергия деформации может быть разделена на две
части: энергию, связанную лишь с изменением объема, которая на-
зывается энергией дилатации, и энергию, связанную лишь с изме-
Рис. 6.5. Представление главных напряжений, действующих на элементарный
объем, в виде суммы шаровой и девиаторнон составляющих.
нением формы, которая называется энергией формоизменения. Далее
предполагается, что разрушение, особенно при пластическом пове-
дении, связано исключительно с энергией формоизменения, а дила-
тационная энергия не оказывает на него никакого влияния.
Чтобы получить выражение для энергии формоизменения, рас-
смотрим элемент объема под действием главных напряжений оь а,
и а3 и, как показано на рис. 6.5, векторы главных напряжений в каж-
дом направлении разложим на две параллельные составляющие.
Причем одна из этих составляющих во всех трех направлениях име-
ет одинаковую величину S. В соответствии с этим можем записать
S + Oj^Op S + o; = a2, S + cr, = a3.	(6.22)
В этих выражениях составляющая напряжения S одинакова
во всех трех направлениях и поэтому представляет собой гидроста-
тическую составляющую напряжения. В результате действия гидро-
статических составляющих напряжения изменяется объем, и, как
было сказано раньше, лишь они дают вклад в дилатационную
энергию.
Обращаясь к рис. 6.5, можно видеть, что полное изменение объе-
ма при действии напряжений оъ ов, аэ, изображенных в левой части
рисунка, нетрудно рассчитать, рассматривая бесконечно малый эле-
6.6. Гипотеза удельной энергии формоизменения 148
мент объема размером dxdydz. Для такого элемента первоначальный
объем в недеформированном состоянии определяется соотноше-
нием
V,=dxdydz.	(6.23)
Если на элемент действуют напряжения Oi, at, о3 в направлениях
х, у и z, в этих же направлениях возникают деформации еь ег и е3.
Если пренебречь членами высших порядков, объем элемента Vf
в деформированном состоянии можно представить в виде
Vf — dx dy dz + dx (dy dz) + v.tdy (dx dz) -j- e3 dz (dx dy), (6.24)
откуда имеем
V/=dxdydz(l+e1+e3+e3)-	(6.25)
Отсюда для изменения объема ДУ получаем формулу
ДУ = |//—Va = dxdydz [(1 +e14-e2-hes) —1].	(6.26)
Чтобы получить относительное изменение объема Ди, выражение
(6.26) следует разделить на dxdydz, в результате чего получим
До=81+е,+е3.	(6.27)
Используя закон Гука для представления деформаций через
напряжения, соотношение (6.27) можно переписать в виде
Ду=[О1+а»+а3—2v (ai+aj+aa)]/^,	(6.28)
или
До=[(1— 2v)/£J(a1+o.+a3).	(6.29)
Рассматривая теперь напряженное состояние, изображенное
в правой части рис. 6.5, и повторяя рассуждения, с помощью кото-
рых было получено соотношение (6.27), запишем выражение для
относительного изменения объема До, в результате действия лишь
напряжений 5:
До,=е,+е,+е,=3е8.	(6.30)
Используя опять закон Гука, это выражение можно записать в сле-
дующем виде:
До, = 3 {(1 IE) [S-v (S + S)]} - [(• -2v).'E] (3S).	(6.31)
Поскольку по предположению лишь составляющие напряжения 5
вызывают изменение объема в правой части рис. 6.5, а все изменение
объема в левой части рис. 6.5 дается соотношением (6.29), выраже-
ния (6.29) и (6.31) должны быть равны друг другу. Следовательно,
[(1 — 2v)/£] (о, - <т2 + а,) = [(1 —2v).'£] (3S).	(6.32)
Отсюда из условия справедливости исходного предположения нахо-
дим S:
5 = (О1 + Ог“Газ)/3.
(6.33J
144 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
Таким образом, если компонента напряжения S представляет собой
часть поля напряжений, вызывающую объемные изменения, она
должна быть равна по величине среднему арифметическому трех
главных нап р яжен ий.
После определения величины S необходимо получить выражение
для полной удельной энергии деформации при напряжениях оь о2,
о8 и выражение для удельной энергии деформации, связанной лишь
с изменением объема, происходящим в результате действия напря-
жений S. Разность между этими двумя выражениями даст искомую
энергию формоизменения. Выражение для полной удельной энергии
деформации (6.18) уже было получено ранее:
иТ = [а? +	2v (а,сгг + а203 -j- а,а3)]/(2£).	(6.34)
Чтобы получить выражение для энергии деформации, связанной
лишь с изменением объема uv, достаточно в выражение (6.34) под-
ставить вместо каждого из трех напряжений оь о2 и составляю-
щую напряжения S, которая вызывает изменение объема. В резуль-
тате получим
uv = [3S2 —2v (3S2)]/(2£),	(6.35)
или Ц, [3 (1 —2v)/(2£’)] S2.	(6.36)
Используя (6.33), энергию деформации изменения объема можно
выразить через главные напряжения в виде
= [3 (1 — 2v)/(2£)] [(oI Н а2 + <тя)/3]2.	(6.37)
Как говорилось ранее, удельная энергия формоизменения опре-
деляется соотношением
и — и	и ,	(6.38)
или (в соответствии с (6.34) и (6.37)) соотношением
Ud = -fiT [®1 -Г О1 + <*3—2v (CTjOj -г а2о3 + а,о3)] —
- 3(l2^v) |--, + °/±q3 ]г . (6.39)
Последнее соотношение более компактно можно записать в следую-
щем виде:
“rf = */, [(1'1 • v)/(3£)] [(о, —о.г)г -г (а2 - о3)2 (о3—OJ2]. (6.40)
Имея выражение для удельной энергии формоизменения при
многоосном напряженном состоянии, удельную энергию формоиз-
менения в момент разрушения при одноосном напряженном состоя-
нии Udi можно получить обычным образом, полагая о2 и о3 равными
нулю, a Oj равным разрушающему напряжению о/ при одноосном
напряженном состоянии. Таким образом,
«d/ = l(l+v)/(3£)]af.	(6.41)
6,6. Гипотеза удельной энергии формоизменения 145
После получения всех этих выражений гипотезу удельной энер-
гии формоизменения, сформулированную ранее словесно, можно
математически записать следующим образом:
Разрушение в соответствии с гипотезой удельной энергии формо-
изменения произойдет, если
’/, [(о, —о2)2 -I- (о2—а3)2 -ь (о, —Од)2] > а?.	(6.42)
Следует заметить, что точно такой же результат получается дру-
гим путем при формулировке гипотезы октаэдрического касатель-
ного напряжения. Октаэдрические площадки представляют собой
четыре пары параллельных площадок, нормали к которым образуют
равные углы с главными осями. Эти площадки, таким образом, об-
разуют правильный восьмигранник, углы которого расположены на
главных осях. Результирующая касательного напряжения на окта-
эдрической площадке называется октаэдрическим касательным на-
пряжением. Оно определяется формулой [1, стр. 99—105]
= */» И (Од-а2)2 + (а, -<т3)2 + (<Т,-о.)2,	(6.43)
где т0 — октаэдрическое касательное напряжение, которое в момент
разрушения при одноосном испытании т0/ определяется, как обычно,
с учетом того, что о2 и о3 равны нулю, а 04 равно разрушающему
напряжению при одноосном напряженном состоянии:
т((/ = 1/,ГЙ.	(6.44)
Используя (6.43) и (6.44), гипотезу октаэдрического касатель-
ного напряжения математически можно сформулировать так:
Разрушение произойдет, если
(Од—о2)2 4- (а,—а3)2 + (о,— Од)2 > 2сг?.	(6.45)
Гипотеза октаэдрического касательного напряжения в точности
эквивалентна гипотезе удельной энергии формоизменения, записан-
ной в виде соотношения (6.42). Поэтому в литературе для изложен-
ной гипотезы применяются оба названия. В этой книге будет ис-
пользоваться название гипотеза удельной энергии формоизменения.
Графическая интерпретация прогнозирования разрушения по
гипотезе удельной энергии формоизменения дана на рис. 6.6. В этом
случае поверхность разрушения представляет собой круговой ци-
линдр, ось которого образует равные углы с тремя главными осями.
Все напряженные состояния, соответствующие точкам внутри
цилиндра, не вызывают разрушения, а напряженные состояния, со-
ответствующие точкам цне цилиндра, приводят к разрушению. Сле-
дует отметить, что гипотеза удельной энергии формоизменения, по-
добно гипотезе максимального касательного напряжения, в прин-
ципе может правильно отражать особенности поведения материалов
при гидростатических напряженных состояниях, поскольку таким
состояниям соответствуют точки, расположенные на оси цилиндра,
146 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
т. е. в области отсутствия разрушений. Среди всех гипотез, описы-
вающих пластичное поведение, гипотеза удельной энергии формоиз-
менения дает наилучшее соответствие с экспериментальными
данными, что показано, например, на рис. 6.8. Эта гипотеза широко
используется для прогнозирования разрушения пластичных метал-
Рнс. 6.6. Графическое представление гипотезы удельной энергии формоизменения
для случая произвольного многоосного напряженного состояния.
лов. Кроме того, хотя эта гипотеза создавалась для применения в
области упругого деформирования, экспериментальные данные по-
казывают, что она также справедлива и в пластической области.
6.7.	СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ГИПОТЕЗ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ДВУХОСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Результаты прогнозирования разрушения в случае двухосного на-
пряженного состояния по пяти гипотезам, описанным в этой главе,
можно сравнить между собой, если положить о3 равным нулю. На
рис. 6.7 показаны результаты такого сравнения, на нем изображены
плоские кривые разрушения. В тех случаях, когда это было необ-
ходимо, коэффициент Пуассона принимался равным 0,35. Масштаб
по осям нормализован путем деления главных напряжений Oi и сг2
на разрушающее напряжение о, при одноосном напряженном состоя-
6.7. Сравнение различных, гипотез разрушения 147
нии. Следует отметить, что гипотеза удельной энергии формоизме-
нения и гипотеза максимального касательного напряжения дают
очень близкие результаты, причем оценки разрушающего напря-
жения по гипотезе максимального касательного напряжения всегда
ниже. Кроме того, видно, что гипотеза максимального нормального
напряжения согласуется с гипотезой максимального касательного
Рис. 6.7. Сравнение различных гипотез разрушения при двухосном напряженном
состоянии:---------гипотеза максимального нормального напряжения;--------ги-
потеза максимального касательного напряжения; — - — гипотеза максималь-
ной нормальной деформации, v=0,35; Н |— гипотеза полной удельной энер-
гии деформации, v=0,35;----------гипотеза удельной энергии формоизменения.
(Из работы [2, стр. 123]; адаптировано с разрешения Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.)
напряжения в первом и третьем квадрантах, где знаки главных на-
пряжений одинаковы, и дает существенно отличные результаты во
втором и четвертом квадрантах, где знаки главных напряжений про-
тивоположны.
Экспериментальные исследования подтверждают пригодность
гипотезы максимального нормального напряжения в случае хруп-
кого поведения и гипотезы удельной энергии формоизменения или
гипотезы максимального касательного напряжения в случае пласли-
148 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
ческого поведения. Другие гипотезы менее точны и используются
редко. Некоторые экспериментальные данные, подтверждающие
сказанное, приведены на рис. 6.8
Рис. 6.8. Сравнение данных о прочности при двухосном состоянии с некоторыми
гипотезами разрушения для пластичных и хрупких материалов, (а) Пластичные
материалы: □ алюминий, Д медь, ф никель, Q сталь, ^мягкая сталь, В це-
ментированная сталь (-----гипотеза удельной энергии формоизменения,------
гипотеза максимального касательного напряжения). (Ь) Хрупкие материалы:
□ бронза, Л чугун, 0 чугун (------гипотеза максимального нормального на-
пряжения).
6.8.	ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ МОРА 7>
Гипотеза прочности Мора, предложенная Отто Мором в 1900 г.,
является дальнейшим развитием гипотезы максимального касатель-
ного напряжения, основанным на введении «трехмерного» круга
Мора. Эту гипотезу удобно применять для материалов, прочностные
характеристики которых в одноосном состоянии при сжатии отли-
чаются от прочностных характеристик при одноосном растяжении.
Прежде чем сформулировать гипотезу прочности Мора, необходимо
вспомнить, как строится круг Мора в общем случае трехмерного
напряженного состояния 8). На рис. 6.9 приведен чертеж в плоско-
сти т-о, на котором в соответствии с правилами построения круга
Мора** касательное напряжение т и нормальное напряжение а
откладываются по ортогональным осям.
*> См., например, в книге Тимошенко С, II. Сопротивление материалов, т. I,—
М.: Наука, 1965, с. 63.
6.8. Гипотеза прочности Мора 149
На рис. 6.9 построены три круга хМора, каждый из которых соот-
ветствует одному из трех двухосных напряженных состояний в не-
который момент времени в сечениях, перпендикулярных главным
осям 1, 2 и 3. Рассмотрение многоосного напряженного состояния
по направлению главной оси номер 1 позволяет построить круг Мора
с центром в Сь который пересекает ось а в точках а2 и a;i. Другие
круги, с центрами в С2 и С3, построены аналогичным образом при
рассмотрении напряженного состояния по направлениям двух дру-
гих главных осей. Нормальная и касательная составляющие папря-
Рис. 6.9. Круги напряжений хЧора для трехосного напряженного состояния.
жения, действующего на произвольной проходящей через точку
площадке, изображаются точками, которые располагаются в за-
штрихованной области плоскости т-о, включая границы. Положение
центров на оси о (рис. 6.9) определяется соотношениями
С} = (а, + о3)/2,	С2 = (а, + а3)/2, С3 = (о, + о2)/2. (6.46)
Радиусы этих трех кругов равны
/?1 = (о2-03)/2,	=	оа)/2, /?3 = (о,—о2)/2. (6.47)
Обращаясь опять к чертежу в плоскости т-о, изображенному на
рис. 6.9, рассмотрим произвольную вертикаль Л1Л'. Всем точкам
на этой линии соответствует одно и то же нормальное напряжение о,
а все возможные значения т расположены в заштрихованной обла-
сти, включая ее границы. Для выбранного значения о, определен-
ного положением линии Л1Л\ максимальное значение т, которое мо-
жет быть в этой точке, должно располагаться на внешнем круге в точ-
ке А. Если предположить, что разрушение определяется наиболь-
шей величиной т, то для любой линии типа ALV критическое значе-
150 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
ние т всегда будет располагаться на наибольшем круге. Поэтому в
соответствии с предположением Мора лишь одного внешнего, или
наибольшего, круга достаточно для определения условия разру-
шения.
В дальнейших рассуждениях будем считать, что предел текуче-
сти материала при сжатии отличается от предела текучести при
растяжении. Предположим, что образцы материала испытывались
на одноосное растяжение, одноосное сжатие и сдвиг при кручении
(а)
Область отсутствия
разрушений.
---------------------^0
т
Рис. 6.10. Область разрушений по гипотезе Мора, построенная по результатам
испытаний при одноосном растяжении, одноосном сжатии и сдвиге кручением.
и при каждом испытании фиксировалось начало текучести. (Испыта-
ние на сдвиг при кручении, конечно, не является испытанием в ус-
ловиях одноосного напряженного состояния.) Предположим далее,
что результаты этих трех испытаний изображены графически на
плоскости т-о, как показано на рис. 6.10(a). Круг О-о^ получен
для случая текучести при испытании на растяжение, круг О-о^ —
для текучести при испытании на сжатие и круг 0-трр — для текуче-
сти при испытании на кручение. С помощью этих кругов можно
построить огибающие так, чтобы они касались трех построенных
6.8. Гипотеза прочности Мора 151
на основании экспериментальных данных кругов, располагаясь
выше и ниже их. После этого область разрушения определяется как
область, располагающаяся за огибающими кругов, как показано
на рис. 6.10(b). Гипотеза прочности Мора может быть сформулиро-
вана следующим образом:
Разрушение в условиях многоосного напряженного состояния
происходит, когда наибольший круг Мора, соответствующий напря-
женному состоянию в заданной характерной точке, касается или
выходит за огибающие кругов Мора, построенные по результатам
опытов на разрушение образцов из того же самого материала при
растяжении, сжатии и кручении.
Рис. 6.11. Сравнение гипотезы максимального касательного напряжения с гипо-
тезой Мора для двухосного напряженного состояния, (а) гипотеза максимального
касательного напряжения (пластичный материал); (Ь) гипотеза Мора (пластичный
материал); (с) модифицированная гипотеза Мора (хрупкий материал).
Если гипотезу Мора изобразить графически для случая много-
осного напряженного состояния, поверхность разрушения будет
очень похожа на цилиндр с шестиугольным поперечным сечением,
изображенный на рис. 6.2, определяемый в соответствии с гипотезой
максимального касательного напряжения. Однако при использова-
нии гипотезы Мора стороны шестиугольника будут иметь разную
длину. Результаты сравнения шестиугольников в плоскости ого4
для случая двухосного напряженного состояния приведены на
рис. 6.11.
Можно заметить, что гипотеза Мора, подобно гипотезе макси-
мального касательного напряжения, удовлетворительно предска-
зывает отсутствие текучести в поведении материалов при гидроста-
тическом напряженном состоянии. Математическая формулировка
гипотезы Мора здесь не приводится, поскольку она может быть лишь
приближенной9). Если свойства исследуемого материала при сжа-
тии и растяжении существенно различны и если разрушением счи-
тается текучесть, можно с успехом использовать гипотезу Мора как •
графически, так и с помощью численного решения на ЭВМ.
152 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
Если материал хрупок и его свойства при сжатии и растяжении
существенно различны, то наилучшее совпадение с эксперименталь-
ными данными дает, по-видимому, модифицированная гипотеза
Мора. Эмпирическая модификация, изображенная на рис. 6.11,
состоит в линейном продолжении границы разрушения во второй
и четвертый квадранты на величину, равную — оь и последующем
соединении полученных точек прямыми линиями с точками —ас,
как показано на рисунке.
6.9.	КРАТКАЯ ОЦЕНКА ГИПОТЕЗ РАЗРУШЕНИЯ
Оценка шести рассмотренных в этой главе гипотез разрушения по
результатам сопоставления с экспериментальными фактами позво-
ляет сделать следующие выводы:
1.	Для изотропных материалов, разрушающихся хрупко, лучше
всего использовать гипотезу максимального нормального напря-
жения.
2.	Для материалов, разрушающихся хрупко, у которых предел
прочности при сжатии значительно отличается от предела прочности
при растяжении, лучше всего использовать модифицированную ги-
потезу Мора.
3.	Для изотропных материалов, которые разрушаются при на-
ступлении текучести или путем пластического разрыва, лучше всего
использовать гипотезу удельной энергии формоизменения.
4.	Для изотропных материалов, которые разрушаются при на-
ступлении текучести или путем пластического разрыва, гипотеза
максимального касательного напряжения почти так же хороша,
как и гипотеза удельной энергии формоизменения.
5.	Для материалов, которые разрушаются при наступлении
текучести и у которых предел текучести при сжатии существенно
отличается от предела текучести при растяжении, хорошо исполь-
зовать гипотезу Мора.
6.	В качестве практического правила можно принять, что гипо-
тезу максимального нормального напряжения следует применять
для изотропных материалов с удлинением менее 5?о на базе 2 дюй-
ма, а гипотезу удельной энергии формоизменения или гипотезу мак-
симального касательного напряжения для материалов с удлинением
5% или более на базе 2 дюйма. В тех случаях, когда возможно, сле-
дует применять методы механики разрушения.
6.10.	ГИПОТЕЗЫ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ КАК СРЕДСТВО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
После изложения нескольких гипотез разрушения уместно рассмот-
реть, как такие гипотезы могут быть использованы в процессе про-
ектирования. Расчетчики и конструкторы, с одной стороны, заин-
тересованы в предотвращении разрушения, с другой же стороны,
6.10. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии 153
они заинтересованы в эффективном использовании материалов.
Вследствие этого они постоянно сталкиваются с необходимостью ре-
шения вопроса: насколько близко к условиям начала разрушения
может допускаться та или иная деталь конструкции в процессе экс-
плуатации? При решении этого вопроса следует иметь в виду, что
некоторые части конструкции должны быть рассчитаны на неогра-
ниченный срок эксплуатации, а другие — на некоторый ограничен-
ный срок. Иногда же конструкция должна быть такой, что ее проч-
ность не зависит от времени. Кроме того, следует иметь в виду, что
должен быть обеспечен некоторый запас по расчетным напряжениям
относительно предельных из-за многих неопределенностей в знании
свойств материалов, условий нагружения, точности физических и
математических моделей зависимостей прочности от нагрузок и
свойств материалов, а также многих других факторов. Все эти об-
стоятельства можно в той или иной степени учесть, если сделать
следующее:
1.	Тщательно рассмотреть конструкцию и ее составляющие части
с целью определения наиболее опасного вида или нескольких веро-
ятных видов разрушения.
2.	Определить, какие прочностные характеристики материалов
непосредственно связаны с возможностью разрушения, и на основе
этой информации выбрать один или несколько подходящих матери-
алов. При этом также важно иметь в виду стоимость и доступность
этих материалов.
3.	Получить данные о прочностных характеристиках выбранных
материалов для возможных видов разрушения в условиях одноос-
ного напряженного состояния. Эти данные могут быть найдены
в литературе или (в случае необходимости) получены по результатам
проведения специальных лабораторных испытаний.
4.	Выбрать коэффициент безопасности в соответствии с требова-
ниями, предъявляемыми к конструкции.
5.	Определить расчетное напряжение, поделив предел прочно-
сти на коэффициент безопасности.
6.	Использовать соответствующую гипотезу разрушения в каче-
стве расчетной, заменив знак неравенства на знак равенства и под-
ставив расчетное напряжение вместо предела прочности.
7.	Определить геометрические характеристики детали, находя
ее размеры из расчетов. Это зачастую приходится осуществлять
методом итераций или методом проб и ошибок.
8.	Изготовить, испытать, усовершенствовать и эксперименталь-
но отработать деталь так, чтобы она надежно осуществляла свои
функции и удовлетворяла всем предъявляемым к ней требованиям,
связанным с весом, стоимостью, внешним видОхМ и т. п.
Хотя пути осуществления этих мероприятий вполне очевидны,
вопрос выбора коэффициента безопасности, соответствующего тре-
бованиям, предъявляемым к конструкции, настолько важен, что
154 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
нуждается в более подробном пояснении. Неудачный выбор коэффи-
циента безопасности (либо завышение, либо занижение его) приво-
дит, как правило, к нежелательным последствиям. Если коэффици-
ент безопасности взят слишком малым, вероятность разрушения
детали будет чрезмерно большой. Если же коэффициент безопасно-
сти взят слишком большим, то могут оказаться неприемлемыми вес
детали, ее размеры и стоимость. Правильность выбора коэффициен-
та безопасности во многом определяется опытом и знаниями преде-
лов применимости используемых моделей и математических методов
анализа. Выбор коэффициента безопасности зависит также от обос-
нованности допущений, используемых при исследовании напряжен-
ного состояния, и от правильности установления возможных видов
разрушения конструкции. Хотя при выборе коэффициента безопас-
ности ничем нельзя заменить инженерный опыт, полезно учесть
следующие восемь факторов:
1.	Точность, с которой могут быть определены усилия, нагрузки
и другие факторы, являющиеся причинами возможного разрушения.
2.	Точность, с которой могут быть определены напряжения или
другие механические характеристики состояния материала при за-
данных силах или других внешних факторах.
3.	Точность, с которой могут быть определены предел прочности
или другие механические характеристики материала для соответст-
вующего вида разрушения.
4.	Необходимость экономии материала, веса, пространства и
денег.
5.	Опасность последствий разрушения с точки зрения возмож-
ности человеческих жертв или повреждения имущества.
6.	Степень мастерства при изготовлении.
7.	Условия эксплуатации.
8.	Возможность профилактического или текущего ремонта в про-
цессе эксплуатации.
В среднем коэффициент безопасности равен примерно 2. Эта
величина может быть изменена в большую или меньшую сторону
в зависимости от значимости каждого из восьми перечисленных
факторов.
Выбор коэффициента безопасности, установление возможного
вида разрушения, определение соответствующего предела прочности
и расчет напряжений являются важными этапами использования
гипотез разрушения при сложном напряженном состоянии в про-
цессе проектирования конструкций. Подстановка расчетного на-
пряжения вместо предела прочности и использование знака равен-
ства в формулировке гипотезы разрушения превращает ее в средство
расчета, благодаря которому определяются допустимые размеры
конструкции. Таким образом, правильный выбор соответствующей
гипотезы разрушения является одним из важнейших звеньев про-
цесса расчета и конструирования.
6.11. Пример 155
6,11.	ПРИМЕР
С целью иллюстрации некоторых гипотез разрушения при сложном
напряженном состоянии рассмотрим следующую задачу. Пусть
требуется создать опору под изгородь через реку, возводимую с
целью охраны промышленной зоны от животных. Изгородь должна
Рис. 6.12. Опорный кронштейн троса. 1 — изгиб и кручение, поперечного сдвига
Вет; 2 — кручение и поперечный сдвиг, изгиба нет; 3.— изгиб и кручение, по-
перечного сдвига нет; 4— кручение и поперечный сдвиг, изгиба нет.
156 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
опираться на предварительно натянутый стальной трос между двумя
опорами на берегах реки, заделанными в основания, как показано
на рис. 6.12(a). Нагрузка от троса — статическая сила величиной
100 000 фунтов—также показана на рисунке. Предлагаемые матери-
алы для опорного кронштейна троса — серый чугун ASTM клас-
са 60, ферритный ковкий чугун Grade 35018 и сталь AISI 1020. Свой-
ства этих материалов по данным справочной литературы приведены
в табл. 6.1.
Таблица 6.1. Свойства трех обсуждаемых материалов
Характеристика	Класс 60. серый чугун	Grade 35018, ковкий чугун	A1S1 1020. сталь
Предел прочности при рас1яжснии, фунт/дюйм2	СО 000	53 000	10 000
Предел прочное I и при сжатии, фунт/дюйм2 Предел прочности при сдвиге, фунт/дюйм2	170 000	220 000 48 000	43 000
Предел текучести при растяжении, фунт/дюйм2 Предел	текучести	при	сжатии, фут/дюйм2 Предел	текучести	при	сдвиге, фунт/дюйм2		35 000 45 000 20 500	
Удлинение на базе 2 дюйма, %	<0,5	18	38
Рассматривая лишь цилиндрическую часть опорного кронштей-
на троса и пренебрегая эффектами концентрации напряжений, уста-
новить, допустим ли какой-нибудь из этих материалов (и какой
именно) для предложенной конструкции при условии, что возмож-
ными видами разрушения являются начало текучести или разрыв.
Анализ рис. 6.12 показывает, что при изображенной конструк-
ции кронштейна и указанном нагружении в нем возникнет много-
осное напряженное состояние. Рассматривая свойства материалов,
приведенные в табл. 6.1, можно отметить, что в соответствии с из-
ложенным в разд. 6.9 практическим правилом оценки пластичности
материалов серый чугун класса 60 следует считать хрупким, а ос-
тальные два материала — пластичными. Кроме того, свойства ков-
кого чугуна 35018 при сжатии существенно отличаются от его свойств
при растяжении. Основываясь на этих замечаниях и краткой опен-
ке гипотез разрушения при сложном напряженном состоянии, при-
веденной в разд. 6.9, можно дать следующие рекомендации:
1.	Для анализа прочности конструкции из серого чугуна клас-
са 60 использовать гипотезу максимального нормального напря-
жения (6.1),
6,11. Пример 157
2.	Для анализа прочности конструкции из стали 1020 исполь-
зовать в первую очередь гипотезу удельной энергии формоизмене-
ния или в качестве неплохой альтернативы гипотезу максимального
касательного напряжения, т. е. соотношения^.42) или (6.4)
3.	Для анализа прочности конструкции из ковкого чугуна
Grade 35018 использовать гипотезу Мора в графическом виде, опи-
санную в разд. 6.8.
Однако, прежде чем приступить к использованию указанных
гипотез разрушения, следует тщательно исследовать напряженное
состояние кронштейна. Рассматривая лишь цилиндрическую часть
конструкции и условия ее нагружения, приходим к выводу, что
действие силы F вызывает кручение, изгиб и поперечный сдвиг. Ка-
сательное напряжение, возникающее в результате кручения, дости-
гает максимальной величины на наружной поверхности цилиндра.
Изгибные напряжения достигают максимальных значений в участ-
ках поперечного сечения у стенки основания, где возникает наиболь-
ший изгибающий момент, и в точках, наиболее удаленных от ней-
тральной оси изгиба. Поперечные сдвиговые напряжения во всех
сечениях цилиндра одинаковы, и наибольшие поперечные касатель-
ные напряжения возникают на нейтральной оси изгиба, а в точках,
наиболее удаленных от нейтральной оси, эти напряжения обра-
щаются в нуль.
На основе сказанного можно установить, что наиболее опасным
является сечение у стенки основания, а опасными точками в этом
сечении будут точки Л, fi, С и (или) D, показанные на рис. 6.12(Z>).
В точке А совместно действуют напряжения от изгиба и кручения,
а напряжения от поперечного сдвига равны нулю. В точке С возни-
кает аналогичное напряженное состояние,за исключением того, что
изгибные напряжения здесь сжимающие, а не растягивающие.
В точках В и D одновременно действуют касательные напряжения
от кручения и поперечного сдвига, а изгибные напряжения равны
нулю. Более внимательный анализ показывает, что в точке D одно-
временно действующие напряжения суммируются, а в точке В вы-
читаются. Таким образом, действительно опасными точками, кото-
рые необходимо исследовать, являются лишь точки А и D. Рассмат-
ривая напряженное состояние в точке Л, показанное на рис. 6.12,
можно записать следующие соотношения:
Mbc Flc 100000-2 2	01	„ 2
о, = -f- = -]-= п4</64 = з 1 830 фунт/дюйм2,
Тс Fac iOOOOO-4-2 Q1QOn .	,	. .
= — = -J- = п — = 31 830 фунт/дюйм2.
В опасной точке D имеем
Т-7
л 4< 32
,	.	4 А 4 100 0РО 1ПС1Л .	,	. ,
(T«)tr. sh. = -3 -J- = J П.4М =10 610 фунт/дюйм2,
.	. Fac 100 030-4-2 о.	„
(ь-Ar = — = ~'л-4«732 = 31830 ФУНТ/Д1ОИМ •
(6.48)
(6.49)
(6.50)
(6.51)
158 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
Поскольку эти касательные напряжения суммируются, получаем
тхг= 10 610 + 31 830 = 42 440 фунт/дюйм2. (6.52)
Чтобы можно было использовать какую-либо из гипотез разру-
шения при сложном напряженном состоянии, необходимо найти
главные нормальные напряжения. Это можно сделать, решая общее
кубическое уравнение для определения главных нормальных на-
пряжений (4.23) в каждой интересующей нас опасной точке, т. е.
в точках А и D.
В точке А отличными от нуля компонентами напряжения яв-
ляются лишь ох и тху, так что кубическое уравнение принимает вид
о3—аза* ат2^ _ о,	(6.53)
а(о’—оаж + т|„) = 0.	(6.54)
Используя формулу решения квадратного уравнения, находим
три корня
Oj = ах/2 + к (ах/2)г + т2„, о2 = 0,
о, = ох/2—/(ох/2)2 + хгху.	(6.55)
Подставляя числовые значения из (6.48) и (6.49), находим
Oj = 51 500 фунт/дюйм2, ог = 0, оа =—19 670 фунт/дюйм2. (6.56)
В точке D единственной отличной от нуля компонентой напря-
жения является тХ2, так что кубическое уравнение для определения
главных нормальных напряжений в этом случае принимает вид
а3 + о(—Тд2) = 0 или о (о2—т2г) = 0, (6.57), (6.58)
откуда находим три корня:
<\ = i;xz, <т2 = 0, а3 = —	(6.59)
и числовые значения главных напряжений в точке D
= 42 440 фунт/дюйм2, а2 = 0, о3 = — 42 440 фунт/дюйм2. (6.60)
После завершения вычислений напряжений можно с помощью
соответствующих гипотез разрушения исследовать все три рекомен-
дованных материала. Предварительно отметим, что при применении
хрупких материалов более опасна точка А (место действия наиболь-
шего нормального напряжения), а в случае использования пластич-
ных материалов — точка D (место действия наибольшего касатель-
ного напряжения, т. е. наибольшей разности главных нормальных
напряжений). Рассматривая серый чугун класса 60 — хрупкий
материал,— находим, что при полученных числовых значениях
в соответствии с гипотезой максимального нормального напряжения
(6.1) в точке А произойдет хрупкое разрушение, если
51500 >60000, 0> 60000, —19 670 > 60000,	(6.61)
6.11. Пример 159
или если
51 500 < — 170 000, 0 < — 170 000, — 19 670 <—170 000. (6.62)
Первое из соотношений (6.61) ближе всех к критическому, но
даже и оно не предсказывает разрушения. В соответствии с (6.60)
максимальное нормальное напряжение в точке D меньше, чем в точ-
ке А. Таким образом, если использовать серый чугун класса 60,
то разрушения не произойдет. С другой стороны, можно поставить
вопрос о достаточности запаса прочности для этого материала, по-
скольку такое решение должно находиться с учетом коэффициента
безопасности. Из первого соотношения (6.61) получаем
! = 60 000/51 000= 1,17.	(6.63)
Как говорилось в разд. 6.10, средняя величина коэффициента
безопасности близка к 2. Поэтому маловероятно, что расчетное зна-
чение 1,17 окажется приемлемым, и при использовании серого чугу-
на следует рекомендовать изменить конструкцию детали так, чтобы
получить больший коэффициент безопасности.
Рассматривая далее сталь 1020 — пластичный изотропный ма-
териал,— находим, что при полученных числовых значениях в со-
ответствии с гипотезой удельной энергии формоизменения (6.42)
в точке D произойдет разрушение, т. е. начнется текучесть, если
% [(42 440 — О)2 + (0 + 42 440)2 + (—42 440 — 42 440)2] > (43 000)а,
(6.64)
или если
5,4010*> 1,8510%	(6.65)
откуда следует, что в действительности произойдет разрушение
(начнется текучесть). Если применять в этом случае гипотезу макси-
мального касательного напряжения (6.4), то в соответствии с ней
разрушение в точке D произойдет, если
142 440—01 > 43 000, 10 + 42 4401 > 43 000,
| - 42 440 - 42 4401 > 43 000.	(6.66)
Таким образом, из третьего соотношения видно, что разрушение
произойдет. Этого и следовало ожидать, поскольку гипотеза удель-
ной энергии формоизменения предсказывает разрушение, а гипо-
теза Максимального касательного напряжения дает результаты с не-
которым «запасом» по сравнению с первой. Если предполагается
использовать сталь 1020, необходимо изменить конструкцию.
Наконец, рассматривая ковкий чугун Grade 35018 — пластич-
ный материал с существенно различными пределами прочности при
растяжении и сжатии,— находим, что в этом случае целесообразно
использовать теорию Мора, описанную в разд. 6.8. Чтобы исполь-
зовать графический метод, сначала построим огибающую кругов
Мора, как показано на рис. 6.13(a), вычертив для этой цели круги
Мора, характеризующие текучесть при растяжении, сдвиге и ежа-
160 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
тии, в плоскости т-а и проведя касательные к этим кругам, как по-
казано на рисунке. Перенося огибающую кругов Мора на рис.
6.13(h), строим далее обычным методом (см., например, [8, стр. 135])
Рис. 6.13. Решение с помощью гипотезы Мора задачи об опорном кронштейне тро-
са из ковкого чугуна Grade 35018. 1 — круг Мора, соответствующий текучести
при сжатии; 2 — круг Мора, соответствующий текучести при растяжении; 3 —
круг Мора, соответствующий текучести при сдвиге; 4 — огибающая кругов Мора;
5 — область разрушений; 6 — круг Мора для опасной точки D\ 7 — круг Мора
для опасной точки А; 8 — безопасная область между огибающими кругов Мора.
на плоскости т-о круги Мора, характеризующие напряженные со-
стояния в точках А и D. Поскольку для обеих точек А и D круги
Мора выходят за границу области разрушения на рис. 6.13(h),
гипотеза предсказывает разрушение, и при использовании ковкого
чугуна Grade 35018 конструкция детали должна быть изменена.
Вопросы 161
Оценивая все полученные результаты, приходим к выводу, что
наилучшим материалом является серый чугун класса 60 при усло-
вии увеличения размера сечения детали с целью получения нужного
коэффициента безопасности. При коэффициенте безопасности 2 раз-
меры детали должны быть такими, чтобы выполнялось равенство
ad = a1 =ап/цс. i,	(6.67)
или
ud = о( = 60 000/2 = 30 000 фунт/дюйм2, (6.68)
где od — требуемая величина расчетного напряжения. Подставляя
этот результат в (6.55), получаем
od = О, = ох/2 - K(ox/2)2-i-T?y;	(6.69)
используя далее соотношения (6.48) и (6.49) для ах и тХ1/, находим
od = Flctfl) 4- и (FlcWY - (Fac/J)2.	(6.70)
Поскольку J—21 и а=2/, это выражение можно переписать в виде
od = {Flc/21) [1 +	= [(!-; И5)/2] (Flat), (6.71)
ИЛИ иd = TT7Z1 = "77— »	(о. I )
4	ж/4/64	ж/‘	v 7
. з <51J8F/	ъГ 51,78-100000-2 .
или rf= V = V л-30000	=^.79 дюйма. (6.73)
Таким образом, можно рекомендовать изготовить кронштейн
опоры троса из серого чугуна класса 60 с диаметром цилиндриче-
ской части 4,79 дюйма. В качестве последнего замечания отметим,
что в приведенном примере не учитывались эффекты концентрации
напряжений. Способы их учета будут описаны в гл. 12. Кроме того,
следует также определить и исследовать опасные точки и в других
частях конструкции.
ВОПРОСЫ
1.	Поясните, почему расчетчику часто приходится использовать какую-либо
из гипотез разрушения.
2.	Какими качествами должна обладать подходящая гипотеза разрушения?
3.	Какое основополагающее предположение используется во всех гипотезах
разрушения?
4.	Сформулируйте словесно и математически условие разрешения по гипотезе
максимального нормального напряжения.
5.	Сформулируйте словесно и математически условие разрушения по гипо-
тезе максимального касательного напряжения.
6.	Определите и поясните термин удельная энергия формоизменения.
7.	Получите соотношение, с помощью которого можно определить удельную
•нергию формоизменения по известным главным нормальным напряжениям.
8.	Сформулируйте словесно и математически условие разрушения по гипо-
тезе удельной энергии формоизменения.
9.	Укажите условия, при которых следует применять гипотезы разрушения,
упомянутые в заданиях 4, 5 и 8.
6 К. 492
162	Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
10. (а) Дайте словесную формулировку гипотезы разрушения, основанную
на использовании «первого инварианта деформации». Постарайтесь сделать это
полно и точно.
(Ь) Получите полную математическую формулировку вашей гипотезы, основан-
ной на использовании «первого инварианта деформации», записывая конечный ре-
зультат через главные напряжения и характеристики материала. Первый инвари-
ант деформации ^=е/+8у+е^.
(с) Как вы могли бы подтвердить правильность этой гипотезы разрушения?
11. Сплошной вал кругового поперечного сечения нагружен чистым крутя-
щим моментом Mf. Определите диаметр вала из условия начала разрушения при
заданном крутящем моменте ио (а) гипотезе максимального нормального на-
пряжения, (Ь) гипотезе макси-
мального касательного напря-
жения и (с) гипотезе удельной
энергии формоизменения, (d)
Найдите отношения диаметров,
определенных по гипотезе мак-
симального касательного напря-
жения и гипотезе удельной энер-
гии формоизменения, к диамет-
ру, найденному по гипотезе
максимального нормального на-
пряжения.
12.	Сплошной цилиндричес-
кий консольный стержень, пока-
занный на рис. Q6.12, нагружен
крутящим моментом Т относи-
тельно оси г, изгибающим мо-
ментом относительно оси у и
растягивающей силой Р вдоль
оси х, действующими одновре-
менно. Стержень изготовлен из
пластичного алюминиевого сплава, (а) Определите тщательно положение наибо-
лее опасной точки (точек), пренебрегая концентрацией напряжений. Подробно
обоснуйте результат (результаты) вашего выбора опасной точки (точек).
(Ь) Выделите в опасной точке (точках) элементарный объем, нарисуйте его и изоб-
разите все векторы напряжений.
(с) Поясните, как вы могли бы определить возможность появления текучести
в опасной точке?
13.	Переформулируйте гипотезы главного нормального напряжения, макси-
мального касательного напряжения и удельной энергии формоизменения в виде
соответствующих гипотез расчета, используя понятие коэффициента безопасности.
Поясните, при каких условиях расчетчику следует использовать ту или иную из
этих гипотез.
14. Рассмотрите любые три известные вам детали и на основе учета восьми
факторов, которые следует иметь в виду при установлении коэффициента безопас-
ности, назначьте коэффициент безопасности для каждой детали.
15.	Определите, произойдет ли разрушение в случае трехосного напряженно-
го состояния, показанного на рис. Q6.15. Для хрупкого материала используйте
гипотезу максимального нормального напряжения, а для пластичных материа-
лов — гипотезу \ дельной энергии грормоизменения и [ипотезу максимального
касательного напряжения:
fa) в случае, если элемет изготовлен из алюминия 319-Т6	— 24 000 фунт/
дюйм2, оп=36 000 фунт/дюйм2, е=2,0% на базе 2 дюйма;
(Ь) в случае, если элемент изготовлен из алюминия 220-Т4 (о^р=25 ООО фунт/
дюйм2, оц—46 000 фунт/дюйм2, е=14% на базе 2 дюйма.
16.	Одна из опасных деталей привода закрылка летательного аппарата моде-
лируется сплошным цилиндрическим стержнем, нагруженным продольной силой Р
Вопросы 163
величиной 10 000 фунтов, изгибающим моментом 1500 фунт «дюйм и крутя-
щим моментом Т=4000 фунт-дюйм. Каков будет коэффициент безопасности при
расчете ла текучесть этой детали, если предполагается использовать стержень
диаметром 1 дюйм из алюминия 7075-Т6 (оур=72 000 фунт/дюйм2, о„—82 000 фунт/
дюйм2, е=11% на базе 2 дюйма)? Проведите подробный и полный анализ, ясно
формулируя, что вы делаете на каждом этапе.
17.	Кожух привода закрылка крыла самолета изготовлен из магниевого
сплава AZ63A-T4 (0^=14 000 фунт дюйм2, ои^40 000 фунт/дюйм2, е—12% на
базе 2 дюйма). По результатам расчета напряженное состояние в опасной точке
изображено на рис. Q6.17. Можно ли ожидать разрушения детали в результате
начала текучести?
6*
164 Гл. 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
-10 000 фунт/дюйм2.
18.	Стержень из стали 4340 в виде сплошного цилиндра кругового сечения
диаметром 1 дюйм термически обработан и отпущен при температуре 1000°F (540°С)
для получения твердости по Бринелю (BHN) в 377 единиц. Если этот стержень од-
новременно нагружен крутящим моментом 12 000 фунт-дюйм и изгибающим мо-
ментом 10 000 фунт’дюйм» проверьте по гипотезе Мора, разрушится он или нет.
19.	Вал диаметром 2,5 дюйма изготовлен из стали 4340, закаленной в масле
и отпущенной при температуре 800°F (425°С). Вал нагружен статическим
крутящим моментом 70 000 фунт -дюйм и статическим изгибающим моментом
50 000 фунт «дюйм. Определите запас прочности этого вала по расчету на
текучесть.
20.	Горизонтально расположенный металлический стержень длиной 20 дюймов
имеет круговое поперечное сечение диаметром 1 дюйм. Стержень закреплен одним
концом как консольная балка. На незакрепленном конце стержень нагружен из-
гибающей силой 250 фунтов, направленной вертикально вниз, и крутящим момен-
том 4700 фунт’Дюйм относительно оси цилиндра. Концентрацией напряжений
пренебречь.
(а)	Можно ли ожидать разрушения при заданном нагружении, если материал
хрупок и Од=69 000 фунт/дюйм2? Ответ поясните.
(Ь)	Можно ли ожидать разрушения при заданном нагружении, если материал
пластичен н о^^—63 000 фунт/дюйм2? Ответ поясните.
21.	Сплошной цилиндрический стержень диаметром 1 дюйм из алюминия
6061-Тб имеет длину 27 дюймов. Стержень одновременно нагружен продольной
силой Р=25 000 фунтов и крутящим моментом относительно оси симметрии
7=3000 фунт -дюйм. Материал имеет предел прочности 45 000 фунт/дюйм2, предел
текучести 40 000 фунт/дюйм2 и удлинение 12% на базе 2 дюйма.
(а)	Определите место (места) расположения опасной точки (точек).
(Ь)	Используя любую выбранную вами систему координат, нарисуйте элементар-
ный объем и полностью определите напряженное состояние в опасной точке,
(с) Вычислите главные напряжения. Сделайте это, не применяя метода построе-
ния круга Мора.
(d)	Определите направляющие косинусы главных площадок, на которых действу-
ет наибольшее главное напряжение.
(е)	Вычислите наибольшее главное касательное напряжение.
(f)	Определите, будет ли при заданных условиях нагружения иметь место теку-
честь.
22.	Полая круговая трубчатая конструкция предназначена для выполнения
двойной функции — она должна служить валом, передающим вращение в испыта-
Литература 165
тельную камеру, и трубопроводом для подачи в камеру воздуха давлением
5000 фунт/дюйм^. Полый вал сделан и оперт так, что его можно рассматривать
как сосуд высокого давления с днищами. Другие детали конструкции таковы, что
внутренний диаметр вала должен в точности равняться 5 дюймам. Крутящий мо-
мент на валу постоянен и равен 60 000 фунт-дюйм. Материал вала — отожженная
сталь 4130. Предел текучести этого материала 114 000 фунг/дюйм2. Рассматривая
только лишь цилиндрическую стенку вала,
(а)	определите наружный диаметр вала (сосуда давления), при котором текучести
материала нет, но конструкция находится на грани ее возникновения;
(Ь)	оцените, насколько допустимо превышение давления до возникновения ло-
кальной гечи;
(с)	рекомендуйте толщину стенки, которая обеспечила бы безопасность конст-
рукции.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids, Vol. I.— New York: McGraw-
Hill, 1950. [Имеется перевод: Надаи А. Пластичность и разрушение твердых
тел. Том I.— Мл ИЛ, 1954.]
2.	Marin J. Mechanical Behavior of Engineering Materials.— Englewood Cliffs,
N. J.: Prentice-Hall, 1962.
3.	Polakowski N. H., Ripling E. J. Strength and Structure of Engineering Materi-
als.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1966.
4.	Juvinall R C. Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strength.— New
York: McGraw-Hill, 1967.
5.	Timoshenko S. Strength of Materials, Part II.— New York: Van Nostrand, 1952.
[Имеется перевод: Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Том 2. Более
сложные вопросы теории и задачи.— М.: Наука, 1965.]
6.	Drucker D. С. Introduction to Mechanics of Deformable Solids.— New York:
McGraw-Hill, 1967.
7.	Mendelson A. Plasticity: Theory and Application.— New York: Macmillan Co.,
1968.
8.	Crandall S. H., Dahl N. C. An Introduction to the Mechanics of Solids.— New
York: McGraw-Hill, 1959.
9.	McAdam J. J., Jr., Geil G. M., Jenkins W. H. Influence of Plastic Extension
and Compression on the Fracture Stress of Metals.— ASTM 1947 preprint; McAdam
J. J., Jr., Geil G. M., Mebs R. W. Influence of Plastic Deformation, Combined
Stresses and Low Temperatures on the Breaking Stress of Ferritic Steels.— Metals
Technology (August 1947); McAdam J. J., Jr. The Technical Cohesive Strength
of Metals in Terms of Principal Stresses,— Metals Technology, December 1944.
ГЛАВА 7
МНОГОЦИКЛОВАЯ УСТАЛОСТЬ
7.1.	ВВЕДЕНИЕ
В современных технических приложениях статические или квази-
статические нагружения встречаются сравнительно редко. В связи
с этим расчетчик вынужден обращаться к исследованию повторных,
циклических и быстро прикладываемых нагрузок. Несомненно, по-
давляющее большинство инженерных конструкций содержит дета-
ли, на которые в процессе эксплуатации действуют пульсирующие,
или циклические, нагрузки. В результате действия таких нагрузок
возникают пульсирующие, или циклические, напряжения, которые
часто являются причиной усталостного разрушения. С самого начала
можно отметить, что общепринятый термин усталость, введенный
более века назад, с точки зрения терминологии, по-видимому, не
самый удачный, поскольку многие аспекты явления значительно
отличаются от биологической усталости. Например, трудно обна-
ружить появление каких-либо прогрессирующих изменений в свой-
ствах материала в процессе усталости под действием напряжений,
и разрушение зачастую может происходить внезапно без заметных
признаков его приближения. Кроме того, во время «отдыха», когда
напряжения перестают действовать, не происходит «залечивания»
или исчезновения эффектов предварительного циклического нагру-
жения, т. е. повреждения в процессе усталости накапливаются и,
как правило, являются необратимыми.
Усталость, хотя и представляет собой достаточно сложное явле-
ние, не обойдена вниманием исследователей. По оценкам Мэнсона
[43], если бы кто-нибудь пожелал ознакомиться с литературой по
этому вопросу, читая по одной работе ежедневно, то за год чтения
он отставал бы от новейших достижений более чем на год. Ознако-
миться со всей существующей по этому вопросу литературой прак-
тически невозможно. Необходимость улучшения характеристик
машин, повышения скоростей, температуры, снижения веса и про-
дления срока эксплуатации постоянно усложняет стоящие перед кон-
структором задачи, и решать их надо с учетом целесообразности за-
трат средств и в приемлемые сроки. Достижение этих целей невоз-
можно без решения проблем, связанных с обеспечением усталостной
прочности. Некоторые из этих проблем можно сформулировать
следующим образом:
1.	Опенки долговечности, как правило, менее точны и менее на-
7.1. Введение 167
дежны, чем расчеты прочности. Ошибки на порядок при оценках
долговечности не являются чем-то необычным.
2.	Усталостные* характеристики материала не могут быть полу-
чены из других механических свойств: их необходимо измерять не-
посредственно.
3.	Для подтверждения требуемой долговечности обычно необхо-
димо проведение натурных испытаний прототипа конструкции.
4.	Результаты разных тождественных во всех отношениях испы-
таний могут значительно отличаться друг от друга. Это вызывает
необходимость их статистической обработки.
5.	Часто материалы и конфигурация конструкции должны подби-
раться из условий обеспечения медленного распространения трещин
и возможности обнаружения трещин до достижения ими опасных
размеров.
6.	Для достижения требуемой надежности часто приходится при-
менять концепцию «безопасного повреждения» конструкции. Это
означает необходимость достижения того, чтобы даже в случае раз-
рушения какого-либо определенного элемента вся конструкция в
целом оставалась работоспособной и могла выдерживать нагрузки
в течение некоторого непродолжительного периода времени.
Многолетние исследования усталостных повреждений позволили
сделать вывод, что усталость охватывает две значительно отличаю-
щиеся друг от друга области циклического нагружения и дефор-
мирования, в каждой из которых разрушение является, по-видимо-
му, следствием действия различных физических механизмов. Одна
из этих областей — циклическое нагружение, при котором во вре-
мя каждого цикла возникают значительные пластические деформа-
ции. Эта область характеризуется большими по величине нагрузками
и малыми долговечностями, т. е. небольшим числом циклов до
усталостного разрушения. Обычно эта область называется мало-
цикловой усталостью.
Другая область — циклическое нагружение, при котором дефор-
мация во время каждого цикла в значительной степени упруга. Для
этой области характерны малые нагрузки и большие долговеч-
ности, т. е. большое число циклов до разрушения. Эта область обыч-
но называется многоцикловой усталостью. Малоцикловая усталость
обычно ассоциируется с областью, для которой число циклов до
разрушения не превышает 104—10s, а многоцикловая усталость
с областью, которая характеризуется долговечностью более 104—
10s циклов. Эта глава посвящена многоцикловой усталости. Во-
просы, связанные с малоцикловой усталостью, рассматриваются
в гл. 11.
168 Гл. 7. Многоцикловая усталость
Рис. 7.1. Данные по усталости, опубликован-
ные Вёлером по результатам ранних иссле-
дований усталости стали осей железнодорож-
ных вагонов (S — напряжение, Nf — число
циклов до разрушения). 1 — образцы без
надрезов (сталь, поставленная в 1862 г.);
2 — образцы с остроконечными надрезами
(сталь, поставленная в 1863 г.). Примечание:
1 центнер (hundredweigt)=50 кг, 1 золль--
= 1 дюйм, 1 центнер золль2—110 фунт/дюйм2.
7.2.	ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В течение многих столетий человек знает, что он может переломать
деревцо или металлический пруток, многократно сгибая его в про-
тивоположных направлениях с большой амплитудой. Неожидан-
ностью, однако, явилось то, что разрушение происходит при пов-
торном нагружении даже и в тех случаях, когда материал остается
упругим. Первое сообщение об исследованиях усталости принадле-
жит, по-видимому, немецкому горному инженеру Альберту (W. A. S.
Albert) 10), который в 1829 г. испытывал при повторных нагружениях
железные цепи. Одним из
первых примеров усталост-
ных разрушений можно
назвать разрушения осей
вагонов. Когда в середине
XIX в. быстрыми темпами
стал развиваться железно-
дорожный транспорт, уста-
лостные разрушения осей
железнодорожных вагонов
превратились в очень боль-
шую проблему, которая
впервые заставила обра-
тить серьезное внимание на
исследование	эффектов,
связанных с циклическими
нагружениями. Это было
время, когда впервые стали
с непонятной регулярнос-
тью происходить докумен-
тально зафиксированные
массовые разрушения сход-
ных деталей после воздей-
ствия миллионов циклов
напряжений существенно
ниже предела текучести.
Как это часто бывало
и раньше в случае необъ-
яснимых разрушений, бы-
ли предприняты попытки воспроизвести указанные разруше-
ния в лаборатории п). В период между 1852 и 1870 гг. немецкий
железнодорожный инженер Август Вёлер (August Wohler) 1441
организовал и осуществил первые систематические исследования
усталости. Он проводил натурные испытания осей железнодо-
рожных вагонов, а также испытания при циклическом нагружении
образцов нескольких различных материалов на изгиб, кручение и
осевое нагружение. Некоторые оригинальные результаты Вёлера
7.2. Исторические замечания 169
были опубликованы (см., например, данные, приведенные на
рис. 7.1). На графике показаны результаты для осевой стали Круп-
па. Подобные кривые получили очень широкую известность под
названием кривых усталости. Очень часто и сейчас данные по уста-
лости представляются точно таким же образом.
Примерно в то же самое время ряд других инженеров обратился
к исследованиям усталости при повторных пульсирующих нагруз-
ках. Одновременно с быстрым развитием сети железных дорог кир-
пичные и каменные мосты стали заменять стальными сварными кон-
струкциями. При этом возникли вопросы о возможности использо-
вания стальных мостов на железных дорогах. Были проведены на-
турные испытания клепаных балок. Некоторые балки длиной 22 фу-
та (670 см) и высотой 16 дюймов (41 см) испытывались на миллионы
циклов. К 1900 г. по результатам исследований усталости было
опубликовано более 80 статей, в которых сообщалось о разруше-
ниях вследствие усталости не только осей железнодорожных ваго-
нов и мостовых конструкций, но и цепей, коленчатых валов, валов
гребных винтов и проволочных канатов 12).
С начала XX века — века технического прогресса с его высо-
коскоростными машинами, быстроходными турбинами, развитой
авиационной промышленностью — гораздо больше внимания стало
уделяться исследованиям, направленным на достижение понимания
явления усталости. К середине XX в. повсеместно стали прово-
диться широкие исследования усталости и на микроскопическом,
и на макроскопическом уровнях. Физики и металлурги пыта-
лись разобраться в сути явления на микроскопическом уровне,
а инженеры — рассчитывать элементы конструкций и сами кон-
струкции на макроскопическом уровне, используя данные простых
лабораторных испытаний и полуэмпирические методы расчета.
Развитие теории дислокаций в этот период во многом помогло
пониманию усталости на микроскопическом уровне. Создание элек-
тронного микроскопа с его высочайшей разрешающей способностью
дало возможность непосредственно наблюдать за процессом уста-
лости.
Не менее важное значение для исследований на макроскопичес-
ком уровне имело появление и развитие быстродействующих ЭВМ,
которые дали в руки инженеров мощное средство для получения рас-
четных оценок долговечности и усталостной прочности. Наконец,
достижения механики разрушения за последнее десятилетие способ-
ствовали дальнейшему пониманию процесса распространения тре-
щин и создали основу для развития нового подхода к оценке воз-
можности разрушения, применимого и в условиях усталостною
нагружения.
170 Гл. 7. Многоцикловая усталость
7.3.	ПРИРОДА УСТАЛОСТИ
Усталость можно охарактеризовать как процесс постепенного раз-
рушения, складывающийся из зарождения трещины и ее роста до
размера, при котором начинается неустойчивое распространение
трещины. Пока еще не существует общепринятой точки зрения на
детали процессов зарождения и распространения трещин на микрос-
копическом уровне. Некоторые из лучших объяснений состоят в
следующем [19, стр. 34- 100].
Рис. 7.2. Канавки и выступы, образующиеся при знакопеременном нагружении,
и области скольжения. 1 — выступ и канавка; 2 — неровности; 3 — выдавлива-
ние полосы скольжения.
Предполагается, что зародыши усталостных трещин, из которых
впоследствии и образуются трещины, распространяющиеся зачастую
до разрушения, возникают в результате движения дислокаций, при-
водящего к появлению тонких полос скольжения на поверхностях
кристаллов. Напомним, возвращаясь к рис. 3.7, что приложение
статического касательного напряжения приводит к появлению на
поверхности кристалла уступов или ступенек скольжения высотой
порядка 10“4—10'5 см. Эти полосы скольжения обычно считаются
крупными полосами скольжения. При циклическом нагружении
уступы обычно имеют высоту около 10-7 см, при этом наблюда-
ются тонкие полосы скольжения. Эти полосы в конечном счете
оказываются именно теми местами, где зарождаются усталостные
трещины. Усталостные полосы скольжения являются источниками
возникновения на поверхностях кристаллов выступов и канавок
145], показанных схематично на рис. 7.3, в результате смены на-
правления скольжения при смене знака нагрузки.
Эти гребни и канавки могут быть либо остроконечными, либо
сглаженными. Если плоскостей скольжения много, то образующая-
ся поверхность волнообразна и почти ровная, если же их мало и
они сгруппированы, то образуются щели или выступы. В случае
действия знакопеременных напряжений происходит иногда ярко
выраженное выдавливание отдельных плоскостей 146]. Эти места
или места вдавливания отдельных плоскостей при сжатии являются,
как правило, местами возникновения трещин. После образования
7.3. Природа усталости 171
щелей в результате вдавливания плоскостей они увеличиваются в
размере, и их рост во многом определяет усталостную прочность
металла.
В основе другого объяснения причин зарождения усталостных
дефектов лежит наблюдаемый факт образования множества дисло-
кационных петель при действии циклических напряжений. В ре-
зультате взаимодействия этих петель в некоторых местах атомной
Рис. 7.3. Особенности поверхности разрушения пластичного металла в результате
действия знакопеременных циклических нагрузок. (Из работы (19); воспроизведе-
но с любезного разрешения Blackie and Son, Limited, Glasgow.) / — начало О;
2—область среза; 3 — гладкая поверхность; 4 — шероховатая поверхность;
5 — участки различной текстуры Е; D — радиальные усы; а — малая относи-
тельная скорость роста трещины; b — большая относительная скорость роста
трещины; с—конечная стадия разрушения.
решетки образуются скопления вакансий. Подобные пустоты обна-
[суживались у плоскостей скольжения или вблизи границ зерен
47], однако механизм их образования еще не полностью выяснен.
Эти пустоты и представляют собой зародыши усталостных трещин.
Дальнейшее увеличение зародышей усталостных трещин при
переменном по направлению скольжении происходит, как правило,
на плоскостях скольжения, направления касательных к которым
наиболее близки к направлению максимальных касательных напря-
жений. Пока трещина распространяется вдоль плоскости сколь-
жения, никаких изменений в процессе ее роста не обнаруживается.
Этот процесс обычно называют первой стадией роста трещины.
Эта стадия роста трещины, которая может составлять иногда незна-
172 Гл. 7. Многоцикловая усталость
чительную, а иногда существенную часть всей долговечности, ха-
рактерна, по-видимому, для малых напряжений. Трещина при этом
растет медленно. При действии высоких циклических напряжений,
при наличии вырезов или в условиях, когда отношение растягиваю-
щего напряжения к касательной составляющей велико, первая ста-
дия роста трещины может перейти во вторую.
Вторая стадия роста трещины проходит под влиянием макси-
мального главного нормального напряжения в окрестности вершины
трещины, а не локального касательного напряжения. При этом
вершина трещины может отклониться от плоскости скольжения, и
трещина будет распространяться в направлении, примерно перпен-
дикулярном направлению главного нормального напряжения. По-
верхность разрушения, образующаяся на второй стадии роста тре-
щины, характеризуется наличием борозд и полос, ширина и плот-
ность которых зависят от величины действующего напряжения 1481.
Эта поверхность разрушения относительно гладкая.
Наконец трещина достигает критического размера, и на следу-
ющем очередном цикле разрушение завершается. Анализ поверх-
ности конечной стадии разрушения свидетельствует о возникновении
непосредственно перед разрушением пластической деформации. У
пластичных материалов поверхность конечной стадии разрушения
имеет вид среза по плоскостям максимального сдвига. Некоторые
характерные особенности типичной поверхности разрушения схе-
матично показаны па рис. 7.3.
Хотя результаты этих исследований и представляют значитель-
ный интерес, для расчетчиков большее значение имеют макроскопи-
ческие феноменологические аспекты усталостного разрушения и
способы избежать усталостного разрушения в процессе эксплуата-
ции конструкции. Укажем на некоторые макроскопические эффекты,
требующие внимательного рассмотрения:
1.	Влияние симметричных циклических напряжений на проч-
ность и другие характеристики материалов.
2.	Влияние постоянного напряжения с циклически меняющейся
составляющей, т. е. циклических напряжений с отличным от нуля
средним значением.
3.	Влияние переменных напряжений в случае многоосного на-
пряженного состояния.
4.	Влияние градиентов напряжений и осыточных напряжений,
возникающих, например, при упрочняющей дробеструйной обра-
ботке или холодной прокатке.
5.	Влияние концентраторов напряжений, таких, как вырезы,
проточки, отверстия, резьба, заклепочные соединения и сварка.
6.	Влияние обработки поверхности механическим способом и
нанесения покрытий гальваническим или каким-нибудь другим спо-
собом.
7.	Влияние температуры на усталость материалов.
7.4. Усталостное нагружение 173
8.	Влияние размеров детали или элемента конструкции.
9.	Влияние циклических напряжений с различными амплиту-
дами.
10.	Ожидаемые разбросы усталостных характеристик исследуе-
мого материала.
11.	Влияние влажности, коррозионных веществ и других усло-
вий окружающей среды.
12.	Эффекты взаимодействия усталости с другими видами раз-
рушения, такими, как ползучесть, коррозия и фреттинг.
Эти и другие важные вопросы будут рассмотрены в следующих
разделах главы. В частности, будет уделено внимание вопросам:
как получить полезную информацию и как использовать полу-
ченную информацию?
7.4.	УСТАЛОСТНОЕ НАГРУЖЕНИЕ
Для тех, кто занимается расчетом подверженных усталости элемен-
тов машин и конструкций, несомненный интерес представляют дан-
ные об усталостном поведении материалов при различных нагруз-
ках, которые могут встретиться в процессе эксплуатации машины.
Другими словами, представляют интерес данные о влиянии па пове-
дение различных спектров нагрузок или спектров напряжений, ко-
торые зависят обычно от формы конструкции и условий ее эксплу-
атации.
Вероятно, простейшим напряженным состоянием, приводящим к
усталости, является синусоидальная зависимость напряжения от
времени с постоянной амплитудой, нулевым средним значением и
фиксированной частотой, действующего заданное число цилов. Та-
кое изменение напряжения во времени, называемого иногда сим-
метричным циклическим напряжением, показано на рис. 7.4(a).
На рис. 7.4 введены некоторые величины и символы, которые будут
использоваться в дальнейшем. Среди них: отлх — максимальное на-
пряжение цикла; omin — минимальное напряжение цикла; от^
=(Отач--°тт) 2 — среднее напряжение цикла; оа^(от„- amin)/2 —
амплитуда напряжения цикла, Ло—атэч—атЬ1—размах напря-
жепия цикла; /?^amiIl/оП1ач — коэффициент асимметрии цикла;
(Уа — -R)коэффициент амплитуды цикла.
Задания любых двух из этих величин, за исключением пар оа
и Да или Л и /?, достаточно для полного описания зависимости
напряжения от времени.
Второй вид нагружения, который часто исследуется, показан
на рис. 7.4(b). Это — циклическое напряжение с отличным от нуля
средним значением. Этот вид нагружения очень похож на преды-
дущий случай действия симметричного циклического напряжения.
Отличие состоит лишь в том, что среднее напряжение никла явля-
ется либо растягивающим, либо сжимающим, но отличным от нуля.
174 Гл. 7. Многоцикловая усталость
Этот вид нагружения можно представить себе как наложение сим-
метричного циклического напряжения с амплитудой аа на стати-
ческое напряжение, равное по величине среднему значению
На практике часто встречается показанный па рис. 7.4(c) ча-
стный случай ненулевого среднего напряжения цикла. В этом част-
ном случае минимальное напряжение цикла omin равно нулю. Это
означает, что растягивающее напряжение возрастает от нуля до
Рис. 7.4. Некоторые примеры зависимости ог времени напряжения с постоянной
амплитудой, (а) Симметричное нагружение, R=—1; (д) отличное от нуля среднее
напряжение цикла; (с) пульсирующее растяжение, /?=0.
некоторого максимального значения, а затем опять уменьшается
до нуля. Такое напряженное состояние часто называется пульсиру-
ющим растяжением. При пульсирующем растяжении среднее на-
пряжение цикла равно половине максимального напряжения, т. е.
Аналогичный, но реже встречающийся случай нагру-
жения представляет собой пульсирующее сжатие. В этом случае
ою„=0 н om=omin/2.
Несколько более сложная зависимость напряжения от времени
показана на рис. 7.5(a). Среднее напряжение цикла равно нулю,
7.4. Усталостное нагружение 175
но амплитуда вперемежку принимает два или более различных зна-
чений. На рис. 7.5(6) показан еще более сложный случай, когда
не только амплитуда, но и величина среднего напряжения цикла
периодически изменяются. Отметим, что этот закон изменения на-
пряжения уже приближается к реальным. Наконец, на рис. 7.6
показан пример реальной зависимости напряжения от времени. Та-
кого типа квазислучайная зависимость напряжения от времени мо-
Рис. 7.5. Примеры более сложных зависимостей напряжения с изменяющейся
амплитудой напряжения цикла и с одновременно изменяющимися средним напря-
жением цикла и амплитудой, (а) Среднее напряжение цикла равно нулю, ампли-
туда меняется; (Ь) меняются среднее напряжение цикла и его амплитуда.
жет встретиться в некоторых элементах конструкции корпуса са-
молета при обычных условиях эксплуатации, включая заправку,
транспортировку, взлет, крейсерский полет, маневрирование и
приземление
Получение достоверных данных о на! рузках само по себе явля-
ется очень сложной задачей. Полезную информацию можно полу-
чить, оборудуя специальным образом уже эксплуатируемые машины,
например самолеты, используемые в сходных с создаваемой машиной
условиях. В любом случае показания акселерометров, датчиков де-
формаций и других датчиков представляют собой ценный материал
для статистической обработки и использования в последующих
приложениях Наличие достоверных оценок нагрузок - хорошее
начало, но даже и при наличии такой информации стоящие перед
176 Гл. 7. Многоцикловая усталость
конструктором задачи выбора геометрии конструкции и материалов,
решив которые можно было бы избежать усталостного разрушения,
нелегки.
Рис. 7.6. Пример квазнслучайной зависимости напряжения от времени, харак-
терной для элементов конструкции корпуса самолета при обычных условиях
эксплуатации.
7.5.	ЛАБОРАТОРНЫЕ УСТАЛОСТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Расчеты элементов машин и конструкций на усталость обычно осно-
вываются на результатах лабораторных усталостных испытаний об-
разцов материалов. Поскольку в тех случаях, когда расчетчик
знает возможности использования результатов лабораторных испы-
таний и границы их применимости, ценность их необычайно велика.
Целесообразно кратко описать некоторые наиболее распространен-
ные испытательные машины. Машины для лабораторных усталост-
ных испытаний можно классифицировать следующим образом:
I.	Машины для испытаний вращающихся образцов: (А) при
изгибе постоянным изгибающим моментом; (В) при консольном
изгибе.
II.	Машины для испытаний при изгибе с кривошипно-шатун-
ным способом возбуждения нагрузки.
III.	Машины для испытаний при растяжении—сжатии: (А) с
кривошипно-шатунным способом возбуждения нагрузки; (В) резо-
нансного типа.
IV.	Вибрационные машины: (А) механического типа; (В) эле-
ктромагнитного типа.
V.	Машины для испытания при кручении.
7 Л. Лабораторные усталостные испытания	177
VI.	Машины для испытаний в условиях многоосного напряжен-
ного состояния.
VII.	Машины с программным управлением.
VIII.	Машины специального назначения для натурных испыта-
ний элементов конструкций.
IX.	Машины для испытаний натурных конструкций или прото-
типов.

Рис. 7.7. Машина для усталостных испытаний вращающихся образцов при изгибе
постоянным изгибающим моментом. 1 — опорный подшипник; 2 — несущий под-
шипник; 3 — образец.
Схема машины для испытаний вращающихся образцов при
изгибе постоянным изгибающим моментом показана на рис. 7.7.
При использовании такого типа нагружающего приспособления
по всей длине вращающегося образца в виде балки между внутрен-
ними подшипниками действует постоянный изгибающий момент.
В условиях действия этого постоянного изгибающего момента обра-
зец вращается вокруг продольной оси. В любой точке на его
поверхности действуют симметрично циклически меняющиеся напря-
жения, что нетрудно установить, проследив за изменением напря-
гжения в какой-либо точке от максимального сжатия в верхнем по-
ложении через нуль, когда точка расположена сбоку, до максималь-
178 Гл. 7. Многоцикловая усталость
ного растяжения в нижнем положении и опять через нуль до мак-
симального сжатия в верхнем положении. Изменение напряжения
во времени для типичной точки на поверхности критического се-
чения показано в нижней части рис. 7.7. Машина предназначена в
основном для создания напряжений с различными постоянными ам-
плитудами. Проведение усталостных испытаний при отличном от
нуля среднем напряжении цикла требует создания дополнительных
устройств.
V
Г

Рис. 7.8. Машина для усталостных испытаний вращающихся образцов при кон-
сольном изгибе. 1 — опорные подшипники; 2—несущий подшипник; 3 —
образец.
Схема машины для испытаний вращающихся образцов при кон-
сольном изгибе показана на рис. 7.8. Она очень похожа на схему
машины для испытаний вращающихся образцов при изгибе посто-
янным изгибающим моментом, показанную на рис. 7.7, за исклю-
чением того, что величина изгибающего момента вдоль балки ме-
няется. При этом амплитуда напряжения зависит от положения
критического сечения. Напряжения во времени опять меняются
симметрично, если только не используется специальное приспособ-
ление для создания осевого напряжения. В основном в таких ма-
шинах создаются напряжения с постоянной амплитудой.
Машины для испытаний при изгибе с кривошипно-шатунным спо-
собом возбуждения нагрузки, которые часто называются просто ма-
шинами для испытаний плоских образцов, поскольку они, как
7.5. Лабораторные усталостные испытания 179
правило, используются именно для этих целей, схематично пока-
заны на рис. 7.9. Такие машины могут создавать либо симметрич-
ные, либо асимметричные циклические напряжения в зависимости
от соответствующего выбора места расположения зажимного уст-
ройства. При испытаниях в таких машинах задаются перемеще-
ния с постоянной амплитудой, а не напряжения, как в описанных
Рис. 7.9. Машина для усталостных испытаний при изгибе с кривошипно-шатунным
способом возбуждения нагрузки. I — образец (вид в плане); 2 — тиски; 3 —
захват; 4 — образец; 5 — возвратно-поступательное движение; 6 — эксцентрич-
ный маховик; (а) среднее напряжение цикла отлично от нуля; (Ь) среднее напря-
жение цикла равно нулю.
ранее машинах. Однако с помощью специальных следящих уст-
ройств обратной связи можно добиться задания постоянных усилий.
Машины для усталостных испытаний при растяжении — сжатии
создают осевые растягивающие или сжимающие напряжения в об-
разце при его растяжении или сжатии. В машине с кривошипно-
шатунным способом возбуждения нагрузки, схематично изобра-
женной на рис. 7.10, изменяющееся во времени напряжение созда-
ется кривошипно-шатунным механизмом, приводящим в движение
один из концов образца; другой конец образца в это время закреп-
лен. Особое внимание обычно уделяется обеспечению соосности
захватов и прямолинейности движения нагружаемого конца об-
разца. В таких машинах, как правило, задается постоянная ам-
180 Гл. 7. Многоцикловая усталость
плитуда перемещения. Часто, однако, машины снабжаются спе-
циальным следящим устройством, позволяющим использовать их
как машины, создающие напряжения с постоянной амплитудой.
На машинах такого типа очень просто проводить испытания с от-
личным от нуля средним напряжением цикла, поскольку величина
среднего напряжения цикла может изменяться просто за счет изме-
нения положения закрепленного конца образца.
Рис. 7.10. Машина для усталостных испытаний при растяжении — сжатии с
кривошипно-шатунным способом возбуждения нагрузки. / — эксцентричный
маховик; 2 — циклическое движение, создающее растяжение — сжатие; (а)
среднее напряжение цикла отлично от нуля; (Ь) среднее напряжение цикла равно
нулю.
Машины для испытаний при растяжении — сжатии резонансного
типа представляют собой обычно систему двух колеблющихся масс,
соединенных пружиной. Испытываемый на усталость образец поме-
щается в узловой точке системы. Схематично такая система пока-
зана на рис. 7.11. Возбуждение одной из масс на собственной часто те
приводит к резонансным колебаниям системы. Управляя соответ-
ствующим образом амплитудой колебаний, можно добиться возник-
новения в образце напряжений с любой требуемой амплитудой.
Располагая параллельно с образцом дополнительную пружину,
можно создать в нем напряжения с отличным от нуля средним зна-
чением. однако при этом возникают трудности, связанные с замером
и управлением величиной напряжений в образце. Такую машину
7.5. Лабораторные усталостные испытания 181
лучше использовать для создания симметричных циклов напря-
жения.
Для проведения усталостных испытаний отдельных элементов
и составных частей конструкций часто используются вибрационные
машины. Они могут быть механического типа, т. е. приводиться в
действие либо эксцентриками кривошипно-шатунного типа, либо в
результате вращения несбалансированных масс, или электромаг-
нитного типа. Иногда на испытываемой конструкции монтируются

Рис. 7.11. Машина для усталостных испытаний при растяжении — сжатии ре-
вонансного типа. 1 — масса; 2 — присоединенная пружина; 3 — узловая точка;
4 — возбудитель.
малые вибраторы, а иногда испытываемый элемент монтируется на
вибраторе, который используется как испытательная машина.
В машинах для усталостных испытаний при кручении обычно ис-
пользуются образцы кругового поперечного сечения, которые за-
кручиваются поочередно в противоположных направлениях. На-
пряженное состояние при повторном кручении не одноосное, и
поэтому полученные при этих испытаниях данные труднее обраба-
тывать и использовать. По этой причине машины для испытания при
повторном кручении не очень широко распространены. В других
машинах для усталостных испытаний в условиях многоосного на-
пряженного состояния используются образцы в виде тонкостенных
сосудов давления или плоских пластин. Тонкостенные сосуды дав-
ления могут нагружаться внутренним давлением либо статически,
либо циклически и одновременно нагружаться тоже либо статиче-
ски, либо циклическими изгибающими, крутящими, растягиваю-
щими или сжимающими усилиями. Плоские пластины могут цик-
лически изгибаться сложным образом.
182 Гл 7. Многоцикловая усталость
Машины для усталостных испытаний с программным управле-
нием широко используются во всех современных испытательных
лабораториях. Обычно такие машины представляют собой гидрав-
лические системы с электронными следящими и управляющими при-
способлениями, позволяющие воспроизводить практически любые
Рис. 7.12. Блок-схема машины для ус1алостных исиьпании, управляемой с по-
мощью ЭВМ.
программы деформирования, нагружения и задавать любые пере-
мещения. Схематично такая система изображена на рис. 7.12.
Специальных машин для испытания элементов машин и конструк-
ций, а также систем для испытания натурных прототипов конструк-
ций в обычных усталостных лабораториях, как правило, нет. По
7.6. Кривые усталости равной вероятности разрушения 183
добные системы создаются специально по мере необходимости в
соответствии с частными задачами, например для проведения на-
турных усталостных испытаний двигателя гражданского самолета.
Можно заметить, что диапазон используемых для усталостных
испытаний машин очень широк — от самых простых до чрезвычай-
но сложных. Очень сложные испытательные системы, используемые,
например, для натурных испытаний, позволяют получать данные,
применимые лишь для исследуемой конструкции и лишь в условиях,
соответствующих условиям проведения испытаний. Результаты,
полученные для вполне определенной конструкции и заданных
условий, очень точны, однако экстраполировать их на другие
условия или на другие изделия очень сложно, если вообще
возможно. С другой стороны, данные лабораторных иссле-
дований усталости на простых образцах имеют общий характер,
их можно использовать при расчетах практически любых изделий
из исследованного материала. Однако для применения этих данных
на практике требуется умение количественно оценить различия
между лабораторными и эксплуатационными условиями, включая
эффекты асимметрии нагружения, непостоянства амплитуды на-
пряжения, условий окружающей среды, размеров, температуры,
обработки поверхности, остаточных напряжений и т. п. Диапазон
осуществляемых усталостных испытаний весьма широк — от про-
стейших испытаний гладких образцов до сложнейших натурных ис-
пытаний изделий. Любые испытания полезны и направлены на до-
стижение вполне определенных целей.
7.6.	КРИВЫЕ УСТАЛОСТИ РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
РАЗРУШЕНИЯ — ОСНОВНОЙ ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ
В РАСЧЕТАХ
Основную массу данных но многоцикловой усталости очень удобно
представить графически в виде зависимости амплитуды цикличе-
ских напряжений от логарифма долговечности или в виде зависи-
мости напряжения от долговечности в логарифмических координа-
тах. Эти графики, называемые кривыми усталости, содержат ин-
формацию, имеющую фундаментальное значение для расчета элемен-
тов машин при повторных нагружениях. Вследствие разброса
данных об усталостной долговечности при любых амплитудах на-
пряжения для каждого материала существует не одна единственная
кривая усталости, а семейство кривых, параметром которого служит
величина вероятности разрушения. Эти кривые называются кри-
выми усталости равной вероятности разрушения.
Чтобы построить семейство кривых равной вероятности разру-
шения в лаборатории усталостных испытаний «стандартными» ме-
тодами, выполните следующее:
1.	Отберите для проведения усталостных испытаний большую
^группу тщательно изготовленных отполированных образцов из ис-
184 Гл. 7. Многоцикловая усталость
следуемого материала и разделите ее на 4 или 5 меньших по объему
групп, но не менее 15 образцов в каждой.
2.	Выберите 4 или 5 значений амплитуды напряжений (возмож-
но по результатам специальных испытаний), которые перекрывали
бы диапазон изменения напряжений на кривой усталости.
3.	Испытайте при каждом из выбранных значений амплитуды
напряжений по целой группе образцов, поступая в соответствии
со сказанным ниже.
4.	Для проведения каждого испытания установите образец в
испытательную машину, тщательно соблюдая осторожность, чтобы
отсутствовали посторонние напряжения. Настройте машину на тре-
буемое значение амплитуды напряжения и установите счетчик цик-
лов на нуль.
5.	Запустите машину и продолжайте испытание при постоянной
амплитуде напряжения до разрушения образца или достижения
заданного базового количества циклов, например 5-107 циклов.
6.	Запишите амплитуду напряжения и показания счетчика цик-
лов в момент разрушения или по окончании испытаний.
7.	Возьмите новый образец, испытайте его, опять записывая
амплитуду напряжения и продолжительность до разрушения в
циклах или до достижения базового числа циклов. Продолжайте
испытания, пока не будут испытаны все образцы, предназначенные
для испытаний при этой амплитуде напряжения.
8.	Настройте машину на новое значение амплитуды напряжения
и проводите испытания, пока не будут испытаны все образцы, пред-
назначенные для испытаний при этом втором значении амплитуды.
Повторите эту процедуру при различных выбранных значениях
амплитуды напряжения. Отметим, что единственным результатом
полностью завершенного испытания на усталость является одна
точка на кривой усталости.
9.	Нанесите полученные данные в виде точек в системе коорди-
нат «напряжение — логарифм долговечности», как показано на
рис. 7.13. Точки, в которых разрушения не было, помечены ма-
ленькими стрелками справа.
Рассматривая данные, приведенные на рис. 7.13, сравнительно
нетрудно визуально провести через нанесенные точки осредненную
кривую. При этом, однако, становится ясно, что наличие значитель-
ного разброса экспериментальных данных около среднего значения
снижает ценность такой осредненной кривой для расчетов. Целе-
сообразно построить для каждого значения амплитуды напряже-
ния гистограмму, показанную, например, на рис. 7.14 и характе-
ризующую распределение разрушений в зависимости от логарифма
долговечности для испытанной выборки. Подсчитав среднее зна-
чение и вариацию для этой выборки, можно оценить среднее зна-
чение и вариацию для совокупности, если известна функция рас-
пределения для усталостных испытаний при постоянной амплитуде
7,6. Кривые усталости равной вероятности разрушения 185
напряжения. Детали такого подхода и методы его осуществления
гораздо более подробно будут освещены в гл. 9.
Многочисленные испытания больших выборок показывают, что
распределение долговечности при постоянной амплитуде напряже-
Н.цикл
Рис. 7.13. Возможный вариант графического представления данных лаборатор-
ных усталостных испытаний нового сплава в виде зависимости напряжения о
от числа циклов до разрушения Л\
Рис. 7.14. Распределение разрушившихся вследствие усталости образцов при по-
стоянном уровне напряжения (о=сопЫ) в зависимости от логарифма числа
циклов до разрушения Д'.
186 Гл. 7. Многоцикловая усталость
ния хорошо описывается логарифмически нормальным законом. Ис-
пользуя средние значения и вариации и предполагая, что распре-
деление долговечности логарифмически нормальное» можно найти
точки, соответствующие заданной вероятности разрушения. Прово-
дя аналогичный анализ для всех значении амплитуды напряжения,
при которых проводились испытания, можно найти точки и по-
строить кривые равной вероятности разрушения в осях S-Л’. По-
добное семейство кривых усталости равной вероятности разрушения
Рис. 7.15. Семейство кривых усталости равной вероятности разрушения, или
кривых усталости равной надежности, для алюминиевого сплава 7075-Т6. При-
мечание: Р — вероятность разрушения, /?~1—Р — надежность. (Из работы [16,
стр. 117); адаптировано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.) Здесь и далее:
оа — амплитуда напряжения цикла; Л; — число циклов до разрушения.
показано на рис. 7.15. Интересно также отметить, что «надежность»
R определяется как величина, равная I минус вероятность разру-
шения Р, т. е. /? = 1—Р. Это означает, например, что кривую 5%-ной
вероятности разрушения можно назвать также кривой 95%-ной
надежности (/?=0,95). В соответствии с этим в литературе указан-
ные кривые иногда называются кривыми усталости равной надеж-
ности, Укажем также, что термин «кривая усталости» в литературе
обычно относится к кривой, построенной по средним значениям,
если только не сделано никаких других оговорок.
Построенные по средним значениям кривые усталости (рис. 7.16)
соответствуют двум различным, обычно наблюдаемым типам поведе-
ния материалов при циклических нагружениях. Для сплавов на ос-
нове железа и для титана кривая при малых значениях долговеч-
ности идет относительно круто и, спрямляясь, выходит на горизон-
7.6. Кривые усталости равной вероятности разрушения 187
тадьную асимптоту при больших значениях долговечности. Это
асимптотическое значение напряжения называется пределом уста-
лости (ранее употреблялся термин «предел выносливости») и пред-
ставляет собой такое значение амплитуды напряжения, ниже кото-
рого материал может выдержать бесконечное число циклоп без раз-
рушения. У сплавов цветных металлов асимптоты нет и кривая
идет наклонно неопределенно долго. У таких сплавов предел уста-
Рнс. 7.16. Два типа поведения материала при циклическом нагружении. 1 —
сплавы на основе железа и титан; 2 — сплавы цветных металлов.
лости отсутствует и всегда в результате циклического нагружения
будет происходить разрушение. Однако у всех материалов в диапа-
зоне больших значений долговечности наклон кривых мал.
Чтобы как-то обозначить напряжение при разрушении цветных
металлов и сплавов на основе железа при ограниченных значениях
долговечности, используется термин усталостная прочность при
заданной долговечности, обозначаемая через Sv. Термин усталост-
ная прочность определяет амплитуду напряжения, при которой про-
изойдет разрушение через заданное число циклов. Использование
термина усталостная прочность без указания соответствующей
долговечности бессмысленно. Термин предел усталости всегда соот-
вествует бесконечной долговечности.
188 Гл. 7. Многоцикловая усталость
7.7.	ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА КРИВЫЕ УСТАЛОСТИ РАВНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ
Различие в поведении деталей машин и лабораторных образцов
вследствие влияния различных факторов металлургического харак-
тера, геометрических особенностей, условий окружающей среды и
условий эксплуатации удобно оценить, рассматривая, какое влия-
ние оказывает изменение этих факторов на кривые усталости. Ка-
чественное описание влияния этих факторов приведено ниже, при-
чем там, где возможно, приведены и количественные оценки. Прак-
тически все работы, указанные в списке литературы в конце этой
главы, посвящены исследованию влияния различных факторов на
кривые усталости.
Состав материала
Как было показано на рис. 7.16, материалы сами по себе делятся
на две большие группы по характеру кривых усталости. Сплавы
на основе железа и титан имеют достаточно ярко выраженный предел
Рис. 7.17. Влияние состава материала на кривую усталости. Отметим, что сплавы
на основе железа и титана имеют ярко выраженный предел усталости, а другие
сплавы — нет. (Данные из работ [6] и [21].) 1 — сталь Т-1; 2 — тиган Ti 150а;
3 — сталь 1020; 4— алюминий 2024-Т4; 5 — усталостная прочность .$□ ю- для
алюминиевого сплава 2О24-Т4.
усталости, который выявляется по прошествии 107 циклов напря-
жения. Сплавы цветных металлов практически не имеют предела
усталости. Кривые усталости этих сплавов продолжают снижаться
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 189
вплоть до значений долговечности 10s, 10* и даже более циклов.
Данные, иллюстрирующие поведение нескольких различных спла-
вов, приведены на рис. 7.17.
Размер и направление зерен
Мелкозернистые материалы обладают более высокими усталостны-
ми характеристиками по сравнению с крупнозернистыми материала-
ми того же самого химического состава [3, стр. 252). Хотя размер
зерна ферритных сталей оказывает, по-видимому, незначительный
Рис. 7.1b. Влияние размера зерен на кривую усталости алюминиевого сплава
18S. Среднее отношение диаметров крупных и мелких зерен равно примерно 27.
Номинальный состав: 4% меди, 2% никеля, 0,6% магния. Отметим, что при числе
циклов до разрушения 10в среднее значение усталостной прочности крупнозерни-
стого материала почти на 3000 фунт/дюйм2 меньше усталостной прочности мелко-
зернистого материала. (Данные из работы [3J; адаптировано с разрешения The
MIT Press, Cambridge, Massachusetts. © 1952.) 1 — мелкозернистый материал;
2— крупнозернистый материал.
эффект, снижение усталостной прочности аустенитных сталей и
многих сплавов цветных металлов с увеличением размеров зерен
становится существенным. Примеры этого приведены на рис. 7.18 и
7.19. Преимущества малых по размеру зерен при повышенных тем-
пературах не так ярко выражены, при этом характерное для ком-
натной температуры усталостное растрескивание зерен уступает
место межкристаллическому разрушению.
Направление прокатки или протяжки при получении образцов
по отношению к направлению нагружения также существенно влия-
ет на величину усталостной прочности. При циклическом нагруже-
нии в направлении, перпендикулярном направлению прокатки или
190 Гл. 7, Многоцикловая усталость
протяжки, усталостные характеристики хуже, чем при цикличе-
ском нагружении вдоль направления прокатки или протяжки. Соот-
ветствующие примеры приведены на рис. 7.20 и 7.21.
Рис. 7.19. Влияние размера зерен па кривую усталости прессованного алюминие
вого сплава. Среднее отношение диаметров крупных и мелких зерен равно при-
мерно 15. Номинальный состав: 2,5% меди, 0,7% марганца, 0,8% магния, 1,0'\.
кремния, 0,5?о железа. Отметим, что при 108 циклах среднее значение усталое 1-
ной прочности крупнозернистого материала почти на 8000 фунт/дюйм- мен кт
усталостной прочности мелкозернистого материала. (Данные из работы [3|; адап-
тировано с разрешения The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, c 1952.) 1 —
мелкозернистый материал; 2 — крупнозернистый материал.
<jat 10 3 фунт /Зюйм
М, цикл
Рис. 7.20. Влияние на кривую усталости направления волокон относительно на-
правления нагрузки для образцов, изготовленных из отливок коленчатых ва-
лов. Номинальный состав: 0,41% углерода, 0,47% марганца, 0,01 % кремния.
0.04% фосфора, 1,8% никеля. Su —139 000 фунт дюйм2, $ур—115 000 фунт/
дюйм2, е=20% на базе 2 дюйма. (Данные из работы [22].) 1 — продольное направ-
ление волокон; 2 — под углом ^45° к оси образца; 3 — поперечное направление
волокон.
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 191
Рис. 7.21. Влияние на кривую усталости направления волокон в различных усло-
виях для листового сплава L А141А по результатам испытания при симметричном
изгибе. (Данные из работы [23].) 1 — продольное направление волокон, образцы
с вырезами (Kt =2,75); 2 — поперечное направление волокон, образцы с выре-
зами (Kt —2,75); 3 — поперечное направление волокон, образцы без вырезов;
4 — продольное направление волокон, образцы без вырезов; 3 — поперечное
направление волокон, сварной образец (дважды термически обработанный); 6 —
поперечное направление волокон, сварной образец (термически обработанный).
Термообработка
Усталостная прочность подобно статической прочности у многих
сплавов в значительной мере определяется использованными ме-
тодами термообработки. Влияние различных способов термообра-
ботки на кривые усталости сплавов проиллюстрировано на
рис. 7.22—7.25.
Сварка
Независимо от примененного способа сварки сварные соединения
следует рассматривать как металлургически неоднородные области,
простирающиеся от исходного металла через переходную область,
испытавшую воздействие высоких температур, до металла сварного
шва. который можно считать литым металлом. В некоторых слу-
чаях термообработке может подвергнуться все сварное соединение,
при этом металлургическая структура наплавленного и исходного
металлов может стать почти одинаковой. Однако, как правило, у
сварных соединений, так же как и у резьбовых заклепочных и сты-
90
N, цикл
Рис. 7.22. Влияние термической обработки на кривую усталости литой стали: (yi
Литая сталь, кислая мартеновская, крупное литье, нормализованная, 1650 Г
(900сС), отпущенная при 750° F (400сС); (Ь) литая кислая электросталь, 1650 Г
(900сС), охлажденная на воздухе, обезводороженная при 750°F (400'С); О') литая
сталь, основная мартеновская, крупное литье, нормализованная, 1650 F (900^С).
отпущенная при 750°F (400°С); (d) литая сталь, конвертерная, 1650 F (900 С),
охлажденная на воздухе, обезводороженная при 750°F (400°С); (с) литая сталь,
триплексная, крупное литье, нормализованная, 1650Т (900сС), отпущенная при
750°F (400°С); (/) медистая литая сталь, I65O°F (900сС), охлажденная па воздухе,
медь осаждена при 930°F (500°С); (g) медистая литая сталь, 1650°F (900°С), охлаж-
денная на воздухе, медь растворена; (/1) литая электросталь, крупное литье,
нормализованная, 1650°F (900°С), отпущенная при 750°Г (400°С). (Данные из
работы [6].)
Рис. 7.23. Влияние термической обработки на кривую усталости углеродистой
стали, (а) Углеродистая сталь (0,35%С, 0,55%Мп, 0,19%Si), отожженная; (t) угле-
родистая сталь (0,36%С, 0,61 %Мп, 0,019% Si), 1550°F (840сС), охлажденная в печи;
(с) углеродистая сталь (0,36%С, 0,61%Мп, 0,019% Si), 1550°F (840сС), закален-
ная в воде при 900°F (480°С), охлажденная в печи; (d) углеродистая сталь (0,37%С,
0,58%Мп, 0,16%Si), четырехдюймовая заготовка, нормализованная, 1495°F
(810сС), охлажденная в печи; (е) углеродистая сталь (0,37%С, 0,38%Мп, 0,16%Si),
четырехдюймовая заготовка, 1550°F (840сС); закаленная в воде при IO5O°F (565СС),
охлажденная на воздухе. (Данные из работы [6].)
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 193
Рис. 7.24. Влияние термической обработки на кривую усталости стали SAE 2340.
Все данные получены из испытаний на изгиб с вращением. Термическая обработ-
ка и (диаметр испытанного образца в дюймах): (a) 1450°F (790°С), закалка в масле,
отпуск при 1200cF (650°С), (0,12); (b) 145O°F (790°С), свинцовая ванна 755°F (400сС),
не отпущена, (0,212); (с) 7/8-дюймовый стержень, 1450°F (790°С), закалка в мас-
ле, 60 мин, 1100cF (595сС), (0,212,); (d) 7/8-дюймовый стержень, 1450cF (790сС),
дутье, не отпущена, (0,235); (е) 7/8-дюймовый стержень, 1450°F (790°С), дутье,
60 мин, 700°F (370сС), (0,235); (f) 7/8-дюймовый стержень, 1450°F (790°С), закалка
в масле, 60 мин, I2OO°F (650°С). (0.235). (Данные из работы [6].)
Рис. 7.25. Влияние термической обработки на кривую усталости, полученную на
вращающихся образцах диаметром 0,19 дюйма, вырезанных из 3/8-дюймовой
пластины стали SAE 4130, 1625°F (885°С), охлажденной в масле и отпущенной
впоследствии тремя различными способами. Отпуск № 1: Su— 129 000 фунт/дюйм*,
Syp=118 000 фунт/дюйм2. Отпуск Л? 2:	150 000 фунт/дюйм2,
Syp=* 143 000 фунт дюйм2. Отпуск № 3: Su—206 000 фунт/дюйм2,
= 194 000 фунт/дюйм2.
7 № 492
194 Гл. 7. Многоцикловая усталость
ковых, усталостная прочность всегда ниже, чем у монолитной дета-
ли из такого же материала.
Это связано не только с нарушением однородности материала в
зоне сварки, но также и с возможностью растрескивания свари
ваемого металла и металла сварного шва из-за усадочных напря-
Рис. 7.26. Влияние сварки на кривую усталости конструкционной стали с преде-
лом текучести в диапазоне 30—52 000 фунт/дюйм2. Испытания на пульсирующее
растяжение (amjn=O). (Данные из работы [24].) / — ровный лист; 2 — по-
перечный стыковой шов (ручная сварка); 3 — поперечный стыковой шов (автома-
тическая сварка); 4 — поперечный ненесущий угловой шов; 5 — продольный не-
несущий угловой шов; 6 — продольное подкрепление, приваренное к краю пла-
стины угловым швом; 7 — продольный несущий угловой шов.
женин, возникающих при охлаждении; недостаточностью глубины
проникания металла сварного шва; недостаточностью сплавления
исходного металла и металла сварного шва в местах предыдущей
сварки; подрезами на концах сварных швов из-за неаккуратной
сварки; натеками металла сварного шва за пределы зоны сварки;
включениями шлака или пористостью, появляющимися при нару-
шениях технологии сварки; наличием поверхностных дефектов
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 195
Рис. 7.27. Влияние стыковых соединений, полученных своркой, оплавлением и
различным образом термически обработанных, на кривую усталости стали SAE
4130. Испытания на симметричный двухсторонний изгиб. Все образцы представ-
ляли собой 1/4-дюймовые пластины, отшлифованные после сварки до 1/8 дюйма,
(а) Термическая обработка, без сварки (ст„ —192 000 фунт/дюйм2); (Ь) нормализа-
ция, без сварки (оц—121 000 фунт дюйм2); (с) нормализация, сварка (сгп—124 000
)|>унт. дюйм2); (d} нормализация, сварка, нормализация 113 000 фунт/дюйм2);
е) нормализация, сварка, термическая обработка (ои—172 000 фунт/дюйм2);
(f) нормализация, сварка, термическая обработка, 10%-ное подкрепление с одной
•стороны; (g) нормализация, сварка, термическая обработка, двухстороннее 10% •
i«oe подкрепление. (Данные из работы [6].)
Рис. 7.28. Влияние сварки па кривую усталости титанового сплава 6AI-4V при
комнатной температуре в условиях растяжения при R -0,05. (а) Образцы исход-
ного металла, отожженные в вакууме; (Ь) образцы после сварки; (с) образцы, со-
единенные диффузионной сваркой. (Данные из работы [25J.)
7
196 Гл. 7. Многоцикловая усталость
сварки. Указанные явления могут приводить к концентрации на-
пряжений. Некоторые примеры влияния сварки на усталостные
характеристики приведены на рис. 7.26—7.28.
Геометрические особенности
Концентрация напряжений, вызываемая геометрическими особен-
ностями конструкции или возникающая в местах соединения де-
талей, может существенно влиять на их усталостную прочность даже
Рис. 7.29. Влияние геометрических
особенностей на кривую усталости
листовой нормализованной стали
SAE 4130 при испытаниях в усло-
виях симметричного осевого нагру-
жения. Размеры образца в дюймах
(/ — толщина, ш — ширина, г —
радиус выточки). Без выточки:
/=0,075, [£=1,5; отверстие: /=
=0,075, [£'=4,5, г—1,5; галтель:
/=0,07о,	^’gross=2,25,
г=0,0195; краевая выточка: /=
=0,075,	l»5, [£'gross~2,25,
r=0,057. (Данные из работы [6].)
1 — без выточки; 2 — отверстие,
/<г=2; 3 — галтель, /</=4; 4 —
краевая выточка, Л*=4.
и в тех случаях, когда материал деталей пластичен. Степень опас-
ности вырезов, отверстий, канавок, мест соединений и других кон-
центраторов напряжений зависит от их относительных размеров,
вида нагружения и чувствительности материала к надрезам. Неко-
торые примеры влияния геометрических особенностей на усталость
показаны на рис. 7.29—7.32. Более подробное обсуждение концент-
рации напряжений содержится в гл. 12.
Влияние состояния поверхности
Значительная часть усталостных повреждений зарождается на по-
верхности элемента машины или конструкции, в связи с чем ус-
ловия обработки поверхности являются одним из важнейших фак-
торов, определяющих усталостную прочность. Обычно о влиянии
обработки поверхности судят по результатам сравнения сданными,
полученными на полированных лабораторных образцах. Наличие
грубых с неровностями поверхностей приводит, как правило, к
Профилированная
канавка
Шпоночная
канавка
Рис. 7,30. Влияние шпоночных канавок и отверстий на кривые усталости двух
типов стали. (Данные из работы [26]; © ASTM, адаптировано с разрешения.)
1 — без канавки; 2 — шпоночная канавка; 3 — без канавки; 4 — шпоночная
канавка; 5 — профилированная канавка; 6— ^-Дюймовое отверстие. -------
N, цикл
Рис. 7.31. Влияние различных геометрических особенностей на кривую усталости
углеродистой стали (0,49%С), закаленной в воде и отпущенной при 1200Т (650сС).
Диаметр заготовки 0,40 дюйма, номинальный диаметр образца 0,275 дюйма,
(Данные из работы [27].)
198 Гл. 7. Многоцикловая усталость
Рис. 7.32. Влияние соединений внахлестку и заклепочных соединений па кривую
усталости листового алюминиевого сплава 2024-ТЗ Alclad, испытанного на пуль-
сирующее растяжение. (Примечание: t — толщина листа, L — размер перекры-
тия). (д) Целый лист; (Ь) соединение внахлестку, Vt: L=-O,I4; (с) соеди-
нение внахлестку, Vt / L—0,28; (d) соединение внахлестку, Уг11 L—0,36; un
Рис. 7.33. Влияние обработки поверхности на кривую усталости образцов
углеродистой стали (0,33% С), испытанных на машине, осуществляющей консоль-
ный изгиб с вращением, (а) Зеркальное полирование в продольном направлении,
(Ь) обработка мелким наждаком; (с) обработка наждакОхМ № 1; (d) обработка гру-
бым наждаком; (е) обработка напильником с мелкой насечкой; (/) необработанная;
(g) обработка напильником с крупной насечкой; (/1) обработка драчевым напиль-
ником. (Данные из работы [29].)
снижению усталостных характеристик. Примеры приведены на
рис. 7.33—7.35. Плакирование, нанесение гальванопокрытий и
других слоев также очень часто снижает усталостную прочность де-
талей. Усталостные повреждения, зародившись в покрытии, рас-
пространяются в исходный металл, снижая его усталостную проч-
ность в некоторых случаях на 10—50%. Цинковые и кадмиевые
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 199
Л, цикл
Рис. 7.34. Влияние обработки поверхности на кривую усталости прессованных
образцов из алюминиевого сплава 7075-Т6. (Данные из работы [30].)
Обработка поверхности ( реднеквадратичные значения в микродюймах)
Кривая	Обработка	В продольном направлении	В поперечном направлении
/ Ручная полировка в продольном направлении	11-14	15-19
1 Обработка фрезой с шлифной насечкой	21—26	9—13
3 Пескоструйная обработка — условие 1	55—60	55-56
4 Испарительное хонингование	54-59	48—55
5 Ручная полировка	35—45	85-100
4 Обработка фрезой с грубой насечкой	110-140	13-35
7 Пескоструйная обработка—условие 2	44-49	44—49
S Пескоструйная обработка и ручная полировка	16—24	24 — 29
Рис. 7.35. Влияние полировки
поверхности на кривую усталос-
ти термически обработанного
хромомолибденового трубопро-
вода авиационного двигателя.
Размеры трубки: наружный диа-
метр 0,5 дюйма, толщина стенки
0,065 дюйма. Термическая обра-
ботка: закалка в масле при
1625Т (885°С), отпуск при 650sF
(345сС). / — полированная по-
верхность: 2 — необработанная
поверхность.
200 Гл. 7, Многоцикловая усталость
Рис. 7.36. Влияние некоторых полученных электролитическим путем покрытий
на кривую усталости низколегированной стали при комнатной температуре в ус-
ловиях растяжения при R—0,02. 1 — без покрытия (172300 фунт/дюйм2); 2 —
без покрытия, выдержка перед испытанием при низкой температуре; 3 — по-
крытие никель — олово (177 700 фунт/дюйм2); 4—твердое никелевое покрытие
(176 100 фунт/дюйм2); 5 — никелевое покрытие (182 100 фунт/дюйм2); 6 — твер-
дое хромовое покрытие (162 400 фунт/дюйм2). (Числа в скобках соответствуют
статическому пределу прочности.) (Данные из работы [16|; адаптировано с раз-
решения John W iley & Sons, Inc.)
Рис. 7.37. Влияние полученного электролитическим путем никелевого покрытия
на кривую усталости. (Данные из работы [32].) 1 — сталь; 2 — никель; 3 —
никелированная сталь.
покрытия сравнительно мало снижают усталостную прочность, в
то время как отрицательный эффект никелирования и хромирова-
ния существен. Влияние анодирования, по-видимому, тоже мало.
Обычно, чем толще слой нанесенного покрытия, тем больше он сни-
жает усталостные характеристики. На рис. 7.36 и 7.37 показаны
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 201
некоторые примеры влияния покрытий. Следует, однако, отметить,
Нго эффект защиты от коррозии, достигаемый за счет нанесения по-
крытий, во многих случаях перекрывает снижение прочности.
Масштабный эффект
Опыт показывает, что, чем больше по размеру образцы или детали,
тем меньше их усталостная прочность. Особенно это заметно в слу-
чае действия циклических изгибных напряжений. Возможным объяс-
Рис. 7.38. Влияние размеров образцов на кривую усталости стали SAE 1020.
Образцы вырезаны из горячекатаного прутка диаметром 3,5 дюйма, испытания
на изгиб с вращением. (Данные из работы (33].)
нением этого может служить то, что вероятность наличия концен-
траторов напряжений или зародышей усталостных повреждений в
больших образцах по сравнению с малыми больше, поскольку боль-
ше их объем и площадь поверхности. В результате масштабного эф-
фекта пределы усталости стержней диаметром 1/2 дюйма и 6 дюймов
могут различаться на 15—20%. Иллюстрация масштабного эффекта
дана на рис. 7.38.
Остаточные поверхностные напряжения
Остаточные напряжения в поверхностных слоях образцов или де-
талей машин, созданные преднамеренно или возникшие случайно,
оказывают значительное влияние на усталостные характеристики.
Если остаточные напряжения на поверхности растягивающие,
усталостная прочность снижается. Если же остаточные наир я же-
Рис. 7.39. Влияние дробеструйной обработки на кривые усталости сварных и
несварных стальных пластин. (Данные из работы [24].) 1 — обработанные сты‘
ковыс швы; 2—обработанная пластина; 3—необработанная пластина: 4—
обработанные угловые швы; 5 — необработанные угловые швы (дуговая сварка
в среде инертного газа); 6 — необработанные стыковые швы (дуговая сварки в
среде инертного газа).
цикл
Рис. 7.40. Влияние дробеструйной обработки и (или) прокатки на кривую усталости
навитых в горячем состоянии спиральных пружин из углеродистой стали (О.9°'оС).
Характеристики пружин: твердость по Виккерсу DPH 550 единиц, диаметр про-
волоки х/2 дюйма, средний диаметр витка дюйма, число витков 6, длина
пружины в ненагруженном состоянии 51. ld — 6 дюймов. (Данные из работы |Я|.)
1 — прокатка с последующей дробеструйной обработкой; 2 — дробеструйная об-
работка с последующей прокаткой; 3 — прокатка; 4 — исходный материал; во
всех испытаниях среднее касательное напряжение равно 56 000 фунт дюйм2;
(°ahsh -- амплитуда циклического касательного напряжения при кручении.
77. Факторы, влияющие на кривые усталости 203
ния на поверхности сжимающие, усталостная прочность повышает-
ся. Существует три наиболее распространенных способа образова-
ния остаточных напряжений: упрочняющая дробеструйная обра-
ботка, холодная прокатка и предварительное деформирование или
нагружение. Причина положительности эффекта остаточных сжи-
мающих напряжений в по-
верхностном слое состоите
том, что в поле напряжений
сжати я р аспрострапение
усталостных трещин зат-
руднено.
Примеры влияния ос-
таточных напряжений для
различных условий дробе-
струйной обработки, хо-
лодной прокатки и пред-
варительного нагружения
показаны на рис. 7.39 —
7.44 и 14.7. Следует отме-
тить, что такие способы
обработки поверхности, как
нитрирование и цемента-
ция, приводят к возникно-
вению в поверхностном
слое значительных сжима-
ющих напряжений. Хро-
мирование, напротив, при-
водит к возникновению
остаточных растягивающих
напряжений в поверхност-
ном слое и поэтому снижа-
ет усталостную прочность
детали.
П редетавл яет интерес
также то немаловажное об-
стоятельство, что в резуль-
тате дробеструйной обра-
ботки поверхности или хо-
лодной прокатки не только
увеличивается среднее зна-
чение усталостной прочнос-
ти образца или детали ма-
шины, но и существенно
уменьшается разброс уста-
лостных характеристик. В
Рис. 7.41. Влияние холодной прокагки по-
верхности на кривую усталости ферритного
чугуна с шаровидным графитом. Примеча-
ние'. прокатка перед усталостными испыта-
ниями осуществлялась тремя фасонными ро-
ликами из закаленной стали; в V-образной
выточке ролик прижимался пружиной так,
чтобы обрабатывалось лишь основание выточ-
ки. (Данные из работы |34|.) / — V-образ-
ная выточка, прокатка с прижатием усилием
327 фунтов; 2 — V-образная выточка, про-
катка с прижатием чсилисм 264 фунта; 3 —
V-образная выточка, прокатка с прижатием
усилием 139 фунтов; 4 — без выточки и без
прокатки; 5 — V-образная выточка, без про-
катки.
частности, в результате появления слоя у поверхности детали, в
котором действуют сжимающие напряжения, существенно умепь-
Рис. 7.42. Влияние холодной прокатки резьбы перед и после термической обра-
ботки на кривую усталости болтов с пределом прочности 220 000 фунт дюйм2.
(а) Прокатка после термической обработки; (6) прокатка перед термической об-
работкой. (Данные из работы [161; с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
Рис. 7.43. Влияние предварительного статического нагружения в осевом направ-
лении на кривую усталости образцов из 7075-Т6, испытанных на усталость при
изгибе с вращением. (Данные из работы [35].) 1 — радиус скругления в вершине
выточки .меньше 0,001 дюйма; 2 — образцы без предварительного нагружения;
предварительное растяжение в процентах от предела прочности образца с выточ-
кой: 90%, >70%, 50%, предварительное сжатие в процентах от предела
прочности образца с выточкой: ▲ 50%, • 70%, — Q—90%.
7.7. Факторы * влияющие на кривые усталости 205
Рис. 7.44. Влияние предварительного статического нагружения в осевом направ-
лении на кривую усталости точечно-сварных соединений листового алюминие-
вого сплава при испытаниях на циклическое растяжение при /?=0,33. Примеча-
ние'. образцы предварительно нагружались статически до 2/3 предела прочности
соединения. (Данные из работы [36]; перепечатано с разрешения Me Graw-Hill
Book Company.) P(l i1/2) — величины среднего значения и амплитуды нагрузки
цикла; 1 — после предварительного нагружения; 2 — после сварки.
Рис. 7.45. Иллюстрация повышения минимальных значений усталостных характе-
ристик вследствие уменьшения разброса после дробеструйной обработки или хо-
лодной прокатки. / — Увеличение среднего значения; 2 — распределение после
холодной прокатки; 3 — исходное распределение; 4 — увеличение минимальных
(За) характеристик.
206 Гл, 7. Многоцикловая усталость
шается стандартное отклонение распределения. Как показано на
рис. 7.45, минимальное значение усталостной прочности может зна-
чительно увеличиться даже при малом повышении среднего значе-
ния. Наибольший же интерес обычно представляют именно мини-
мальные значения механических характеристик. Вследствие боль-
шого практического значения указанного эффекта часто специ-
ально предусматривается упрочняющая дробеструйная обработка
наиболее опасных мест деталей машин, сильно напряженных и чув-
ствительных к усталости.
Эксплуатационная температура
Температура эксплуатации может оказывать значительное влия-
ние на усталостную прочность. Вообще говоря, усталостная проч-
ность при температурах ниже комнатной увеличивается, а при
температурах выше комнатной уменьшается, хотя могут наблю-
Рис. 7,46. Влияние эксплуатационной температуры на кривую усталости хро-
мистой легированной стали. Сооав стали: 0,10%С, 0.45% Мп, 0,21%Ni, 12,3%
Ст и О,38?о А\о. (Данные из работы [37|ц
даться и исключения. В диапазоне температур от нуля до полови-
ны температуры плавления, когда начинают играть существенную
роль процессы ползучести, в большинстве случаев влияние тем-
пературы можно считать малым. При более высоких температурах
усталостная прочность значительно уменьшается, как показано, на-
пример, на рис. 7.46 и 7.47. Характерно также, что сплавы, имею-
щие при комнатной температуре предел усталости, при повышен-
ных температурах утрачивают его, как показано на рис. 7.46.
7.7, Факторы, влияющие на кривые усталости 207
Рис. 7.47. Влияние эксплуатационной температуры на кривую усталости алюми-
ниевого сплава 2024-Т4 по результатам испытаний на изгиб с вращением. (Данные
из работы [6] и [38].)
Коррозия
В коррозионных средах усталостная прочность матернатов сни-
жается, и часто довольно существенно. Наличие слоя дистиллиро-
ванной воды у поверхности многих материалов, включая обычные
конструкционные стали, может так понизить величину усталостной
прочности, что она будет составлять менее двух третей от усталост-
ной прочности сухого материала. Как показано на рис. 7.48 и
7.49. водопроводная вода и солевая пыль могут вызвать еще более
существенное снижение усталостной прочности некоторых материа-
лов. Даже применение некоторых растворителей и чистящих ве-
ществ. используемых иногда для очистки поверхности испытывае-
мых образцов, может сильно сказаться на величине усталостной
прочности. Например, применение тетрахлорметаиа для очистки
титановых образцов приведет к снижению усталостной прочности,
особенно если образцы будут испытываться при повышенных
температурах. Некоторые случаи совместного влияния коррозии и
концентрации напряжений показаны на рис. 7.50. Следует отметить,
что, так же как и повышение температуры, коррозия приводит к
тому, что материалы, имеющие в сухом воздухе предел усталости,
утрачивают его в коррозионной среде.
Фреттинг
В некоторых случаях к заметному снижению усталостной прочно-
сти деталей машин может приводить фреттинг. В соответствии с
208	Гл. 7. Многоцикловая усталость
Рис. 7.48. Влияние коррозии на кривую усталости легированной стали по ре-
зультатам испытаний на изгиб с вращением, (а) усталостная прочность в возду-
хе; (Ь) предварительная коррозия в водопроводной воде в течение 1 сут; (с) пред-
варительная коррозия в водопроводной воде в течение 2 сут; (d) предваритель-
ная коррозия в водопроводной воде в течение 6 сут; (е) предварительная корро-
►стные испытания на изгиб
<ровано с разрешения Рег-
ре-
па
в
ка-
во-
Сг—N i
Рис. 7.49. Влияние кор-
розии на кривые усталос-
ти различных авиацион-
ных материалов по
зультатам испытаний
растяжение — сжатие
морской воде или в
цельной пыли морской
ды. 17—'
сталь; (Ь) 18—8 Сг—Ni
сталь; (с) 15 Сг сталь; (d)
0,50 С сталь; (е) 0,35 С
сталь; (f) 0,17 С сталь; (g)
дюралюмин; (/:) магниевый
сплав," 2,5% А1. -------
в воздухе;-------в мор-
ской воде или в капельной
пыли морской воды. 'Дан-
ные из работы 140].)
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 209
рис. 7.50. Совместное влияние корро-
зии и концентрации напряжений на
кривую усталости закаленных и отпу-
щенных образцов из стали SAE 3140.
Полированные образцы с просверлен-
ным отверстием или с галтелью испы-
тывались на изгиб с вращением. При-
мечание*. d — диаметр рабочего сече-
ния; D — диаметр утолщенной части;
г—радиус галтели; а- диаметр от-
верстия (размеры в дюймах), (а) сплош-
ной образец в воздухе, d=0,3; (Ь) об-
разец с отверстием в воздухе, d=0,4;
а— 0.004; (с) образец с галтелью в воз-
духе, £>=0,5, г=0,022; (аа) сплошной
образец в воде; (bb) образец с отверс-
тием в воде; (сс) образец с галтелью в
воде. (Данные из работы [2]; адапти-
ровано с разрешения John Wiley
& Sons, Inc.)
Рис. 7.51. Влияние фреттинга на кривую усталости кованой стали (0,24%С)#
1 — без фреттинга; 2 — с фреттингом. (Данные из работы [36]; перепечатано
с разрешения Me Craw-Hill Book Company.)
определением, данным в разд. 2.3, фреттинг представляет собой
повреждение поверхности в местах соединения или контакта дета-
лей при циклическом движении их относительно друг друга с ма-
лой амплитудой. Иногда при фреттинге величина усталостной проч-
210 Гл, 7. Многоцикловая усталость
ности может уменьшиться до одной трети или менее ее величины
при отсутствии фреттинга. Более подробно вопрос о повреждениях
при фреттинге обсуждается в гл. 14. Некоторые примеры влияния
фреттинта на усталостную прочность показаны на рис. 7.51—7.53,
дополнительные данные — на рис. 14.4, 14.5 и 14.7.
Рис. 7.52. Влияние фреттинга на кривую усталости алюминиевого сплава L-65
при различных давлениях зажатия. Примечание: все испытания проводились при
циклическом растяжении со средним значением растягивающего напряжения
25 000 фунт/дюйм2. (Из работы [8, стр. 386].) 1 — без фреттинга; 2 — 6 соответст-
вуют фреттингу с давлениями зажатия: 16 000, 16 000, 500, 120, 20 фунт дюйм2.
Рис. 7.53. Влияние фреттинга на кривую усталости магнисв то сплава; показанс
влияние холодной прокатки поверхности. (Данные из работы [36]; перепечатано
с разрешения Me Graw-Hill Book Company.) 1 — без фреттинга; 2 — фреттинг
после холодной прокатки поверхности; 3 — с фреттингом.
7.7. Факторы, влияющие на кривые усталости 211
Эксплуатационная скорость
В диапазоне скоростей примерно от 200 до 7000 цикл/мин для боль-
шинства материалов влияние скорости на усталостную прочность
(если оно существует) мало. Это справедливо, конечно, при условии,
что в процессе испытания температура образца повышается незна-
чительно. Замечено, что при скоростях меньше 200 цикл мин уста-
лостная прочность незначительно уменьшается. В диапазоне ско-
ростей примерно от 7000 до 60 000—90 000 цикл/мин у большинства
Рис. 7.54. Влияние эксплуатационных скоростей на кривую усталости алюминие-
вого сплава Hiduminium R. R. 56. (Данные из работы [8, стр. 368].)
материалов усталостная прочность значительно повышается, как
показано, например, на рис. 7.54, но при дальнейшем повышении
скорости у многих материалов происходит резкое уменьшение уста-
лостной прочности. Для некоторых материалов это показано на
рис. 7.55. Установлено также, что периоды отдыха между цикла-
ми или блоками циклов не оказывают заметного влияния на уста-
лостную прочность.
Вид зависимости напряжения от времени
В действительных условиях эксплуатации зависимость напряже-
ния от времени может быть самой разнообразной. Лабораторные ис-
следования и натурные эксперименты позволили получить некото-
рые интересные данные и влиянии вида зависимости напряжения от
14*
212 Гл. 7, Многоцикловая усталость
Рис. 7.55. Влияние эксплуатационной
скорости у на усталостную прочность
Of при 10е циклах для некоторых раз-
личных сплавов на железной основе.
(Данные из работы [8, стр. 381].)
1 — сталь EN ЗОЛ, термически обра-
ботанная, предел прочности 160 000
фунт/дюйм2; 2—сплав 2,5% Сг—
Мо—W—V, закаленный в масле;
3 — сплав 2,5% Сг—Мо—W—V, ох-
лажденный на воздухе; 4 — сплав
12% Ni, 25% Сг; 5 — сталь EN ЗА;
6 — сталь EN 8; 7 — сплав 36% N’i,
12% Сг; 8 — сталь EN 56Л.
времени. Наиболее распространенный в лабораторных испытаниях
по исследованию усталости вид нагружения — это нагружение по
симметричной синусоиде. Схематично этот вид нагружения показан
на рис. 7.56(a). В случае нагружения симметричным пилообразным
циклом с таким же максимальным значением, показанным на
рис. 7.56(b), усталостное поведение, по существу, не отличается
от поведения при нагружении синусоидальным никлом. Таким обра-
зом, долговечность при усталости, по-видимому, не чувствительна
к изменению вида зависимости напряжения от времени, если толь-
ко максимальное значение напряжения цикла остается тем же са-
мым.
Если на циклическое напряженнее некоторой частотой наклады-
вается пульсация с малой амплитудой, как показано на рис. 7.56(f),
то во многих случаях разрушение не чувствительно к этим малым
пульсациям.
Однако следует иметь в виду, что, если такие малые пульсации
накладываются на статическую нагрузку, их влияние может быть
существенным, поскольку именно благодаря им статическое нагру-
жение становится усталостным и приходится учитывать все особен-
ности циклического нагружения. Кроме того, если амплитуда пуль-
7.7, Факторы, влияющие на кривые усталости 213
саций достаточно велика, то они могут вызывать дополнительные
повреждения.
В тех случаях, когда зависимость напряжения от времени имеет
более сложный вид, например является результатом наложения
т (Ь)
г W
Де)
Рис. 7.56. Различные типы зависимости напряжения от времени, используемые
при оценке усталостного поведения, (а) симметричная синусоида; (Ь] симметрич-
ная опила»; (с) наложенная пульсация; (d) вторичные пики; (г) искаженные пики.
гармоники на синусоидальные колебания основного тона, то можно
дать некоторые рекомендации. Пример сложной зависимости на-
пряжения от времени показан на рис. 7.56 (</): в каждом цикле име-
214 Гл. 7. Многоцикловая усталость
ется два пика напряжения. Пока второй пик мал по сравнению с
первым, его вклад в разрушение невелик, и цикл можно аппрок-
симировать синусоидальным с амплитудой omdX и периодом Т,
как показано на рисунке. Если зависимость напряжения от вре-
кени имеет более сложный вид, как, например, показано на
рис. 7.56(e), она также во многих случаях может быть аппроксими-
рована синусоидой с амплитудой отах и периодом Т.
На основании экспериментов можно сделать вывод, что уста-
лостное поведение, как правило, не чувствительно к конфигура-
ции цикла. Поэтому без ущерба для достоверности результатов
данные о случайном характере изменения напряжения во времени
при анализе могут быть некоторым образом сглажены. Однако в
пределах возможного желательно учесть каждое изменение знака
напряжения, используя для этого соответствующий метод подсчета
циклов, например метод стока, описанный подробно в разд. 8.5.
Отличное от нуля среднее напряжение цикла
Величина среднего напряжения цикла заметно влияет на усталост-
ное поведение образца или детали машины. Количественная оценка
влияния величины среднего напряжения цикла дается в разд. 7.9.
Качественно же можно просто отметить, что при заданной амплитуде
циклического напряжения добавление некоторого среднего напря-
жения приводит к уменьшению усталостной долговечности. Это
иллюстрируется па рис. 7.57(a). По другому это же утверждение
проиллюстрировано на рис. 7.57(b) и (с). При наличии среднего
растягивающего напряжения ат усталостное разрушение обычно
определяется величиной максимального напряжения цикла атах.
В случае среднего растягивающего напряжения, изображенном
на рис. 7.57(b), увеличение его при фиксированной величине мак-
симального напряжения цикла атах приводит к увеличению долго-
вечности. В изображенном на рис. 7.57 (с) случае сжимающего сред-
него напряжения точно так же его увеличение по абсолютной ве-
личине при заданном минимальном значении напряжения цикла
Gmin приводит к увеличению долговечности, хотя эффект и незна-
чителен. Эти выводы согласуются с графиком, приведенным на
рис. 7.57(a), поскольку увеличение среднего напряжения цикла
оП| при постоянной величине максимального напряжения цикла
стах означает уменьшение амплитуды переменной составляющей
напряжения оа, и соответственно приводит к увеличению долго-
вечности.
Из сказанного следует, что при заданной величине пикового
напряжения наихудшим является симметричное циклическое на-
гружение. Часто при конструировании с целью увеличения долго-
вечности за счет создания отличного от пуля среднего напряжения
цикла применяется начальное нагружение.
7.7. Факторы, влияющие на криеые усталости 215
Рис. 7.57. Различные способы иллюстрации влияния отличного от нуля среднего
напряжения цикла на усталостное поведение алюминиевого сплава 2014-Т6.
Штриховой линией обозначен статический предел прочности. (Из работы [41],
адаптировано.)
Накопление повреждений
При действии циклических напряжений происходит процесс накоп-
ления повреждений, возникающих на каждом цикле. Подробно про-
цесс накопления повреждений будет рассмотрен в гл. 8, пока же
ограничимся иллюстрацией его основного итога на рис. 7.58. Ос-
новной результат состоит в том, что в итоге накопления усталост-
ных повреждений при циклическом нагр\женин материал изменя-
ется и его кривая усталости становится фактически другой. Это оз-
начает, что при действии циклических напряжений кривая уста-
лости материала постоянно изменяется, как это показано на
рис. 7.58.
216 Гл. 7. Многоцикловая усталость
7.8.	УЧЕТ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
Все упомянутые в предыдущем разделе факторы должны быть оце-
нены количественно для каждого конкретного материала и условий
эксплуатации исследуемой конструкции. Для получения требуемой
информации часто бывает необходимо использовать справочную
Nt цикл
Рис. 7.58. Иллюстрация влияния накопления усталостных повреждений на после-
дующее усталостное поведение углеродистой стали. Примечание: долговечность
исходного материала при ао=45 ООО фунт/дюйм2 примерно равна 30 000 циклов.
(Данные из работы [2]; перепечатано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.) 1 —
неповрежденный исходный материал; 2 — повреждение после 5000 циклов при
ад=45 000 фунт/дюйм2; 3— повреждение после 10 000 циклов при оа=45 000
фунт/дюйм2; 4 — повреждение после 15 000 циклов при оа=45 000 фунт/дюйм2;
5 — повреждение после 20 000 циклов при оа=45 000 Фунт/дюйм2; 6 — повреж-
дение после 25 000 циклов при оа=45 000 фунт/дюйм^.
литературу или проводить специальные эксперименты, хотя в не-
которых случаях могут оказаться полезными данные, приведенные
на рис. 7.17—7.58. После того как будут определены поправочные
коэффициенты, позволяющие количественно оценить влияние на
прочность всех факторов, рассмотренных в разд. 7.7, для нахожде-
ния расчетного усталостного напряжения обычно приходится осу-
ществить следующее.
1.	Получить для исследуемого материала статистически пред-
ставительные экспериментальные данные на полированных образцах
при симметричном (/?=—1) циклическом напряжении. Из семейст-
ва кривых усталости равной вероятности разрушения типа пока-
занных на рис. 7.15 найти кривую усталости для заданного уровня
вероятности. Если в распоряжении имеются лишь данные для асим-
метричного нагружения (/?=#—1), то действия, описанные в п. 2
(см. ниже), следует повторить дважды — сначала для преобразова-
ния этих данных к эквивалентному симметричному циклическому
7.9. Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла 217
нагружению, а затем для преобразования их в соответствии с рас-
четными условиями.
2.	Полученную кривую усталости при симметричном цикличе-
ском нагружении для заданного уровня вероятности необходимо пре-
образовать с учетом отличного от нуля среднего напряжения. Это
преобразование можно осуществить по зависимостям Гудмана, Гер-
бера и Зодерберга, устанавливающим связь между амплитудой на-
пряжения цикла при отличном от нуля среднем значении и экви-
валентным значением амплитуды напряжения цикла при нулевом
среднем значении. Упомянутые формулы приведены в разд. 7.9.
Несколько в ином виде они даны в гл. 8 (соотношения (8.114) и
(8.115)).
3.	Из полученной эквивалентной кривой усталости для симмет-
ричного нагружения с учетом всех поправочных коэффициентов
и заданного коэффициента безопасности получить искомую расчет-
ную кривую усталости.
Осуществление описанных этапов может оказаться непростым де-
лом, поскольку в ряде случаев поправочные коэффициенты могут
зависеть друг от друга. Например, взаимозависимыми могут быть
температурные эффекты и влияние остаточных напряжений. В ре-
зультате такой взаимозависимости могут возникать новые неизвест-
ные эффекты. Вследствие этого всегда целесообразно проводить
натурные испытания прототипа конструкции в условиях, имитиру-
ющих эксплуатационные.
7.9.	ВЛИЯНИЕ ОТЛИЧНОГО ОТ НУЛЯ СРЕДНЕГО НАПРЯЖЕНИЯ ЦИКЛА
Большинство данных по усталости в лабораториях получено при
симметричных циклических напряжениях, т. е. при циклических
напряжениях с нулевым средним значением. В большинстве же
практических приложений встречаются циклические напряжения
с отличным от нуля средним значением. Поэтому очень важно знать,
как среднее напряжение цикла влияет на усталостное поведение.
Это позволит использовать при расчетах деталей, подверженных
воздействию циклических напряжений, результаты лабораторных
исследований при симметричных нагружениях.
Данные по многоцикловой усталости, полученные в эксперимен-
тах при различных соотношениях амплитуды напряжения цикла
оа и среднего напряжения цикла сгт, для некоторого значения дол-
говечности N показаны на рис. 7.59. Такие кривые зависимости
сза от °т желательно иметь для всех значений долговечности N.
По определению точка av, соответствующая усталостной прочности
при долговечности N циклов, находится на оси оа, где величина
от равна нулю. Как видно из рисунка, точки, соответствующие
разрушению, располагаются на кривой, проходящей через точку
на оси от, соответствующую пределу прочности. Влияние среднего
напряжения цикла на усталостное разрушение в случае сжимающего
218 Гл. 7. Многоцикловая усталость
среднего напряжения отличается от влияния в случае растягиваю-
щего напряжения. В области растягивающего среднего напряжения
разрушение очень чувствительно к величине среднего напряжения
цикла, в то время как в области сжимающего среднего напряжения
Рис. 7.59. Условное представление данных по разрушению при многоцикловой
усталости, иллюстрирующее влияние среднего напряжения цикла. Для всех
точек Л'=const.
Рис. 7.60. Сравнение влияния среднего напряжения цикла на усталостную
прочность при многоцикловой и малоцикловой усталостях. 1 — малоцикловая
усталость; 2 — многоцикловая усталость.
разрушение почти не чувствительно к его величине. Как показано
на рис. 7.60, влияние среднего напряжения цикла в области сжатия
при малых значениях долговечности заметнее, чем при больших.
7.9. Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла 219
dnun, кфунт/дюйм2.
Рис. 7.61а. Обобщенные диаграммы для стали A1SI 4340, Su —158 кфунт.дюйм2,
Sy=^ 147 кфунт/дюйм2, комнатная температура, 2000 цикл/мин;-----без выточ-
ки, ------------------------------------------------------------с выточкой, К/—3,3, р=0,010. (Из работы [14, стр. 317, 322].)
4,0	2,33	1,5 Л = 1-	0,67	0,43	0,25	0,11	0
~60 -50 -40 -30 -20 -W 0	10 20	30 40 50 60	70 80
блйп, K$yHmjdKniHZ
Рис. 7.61b. Обобщенные диаграммы для деформированного алюминиевого сплава
7076-Т6, SfB=82 кфунт/дюйм2, комнатная температура, 2000 цикл/мин; -------
без выточки,--------с выточкой, /Q=3,4. (Из работы [14, стр. 317, 322].)
220 Гл. 7. Многоцикловая усталость
Если проектировщику удастся найти для исследуемого материа-
ла данные, полученные в условиях отличного от нуля среднего на-
пряжения цикла и в нужном диапазоне значений долговечности,
следует, конечно, использовать именно эти данные. Такие данные
обычно представляются в виде так называемых обобщенных диаграмм
материалаВ * * * * 13 * * *’. Три такие обобщенные диаграммы для трех различ-
ных сплавов приведены на рис. 7.61а—7.61с.
Orrum исрунт/днкшг
Рис. 7.61с. Обобщенные диаграммы для сплава T1-6AI-4V, обработанного в ра-
створе и состаренного; предел прочности при растяжении 172 кфунт/дюйм2, пре-
дел текучести при растяжении 158 кфунт/дюйм2, комнатная температура, 1850
цикл/мин; -------без выточки,-----------с выточкой, /Q=2,8. (Из работы [14,
стр. 317, 322.])
В случае отсутствия этих данных влияние отличного от нуля
среднего напряжения цикла можно оценить с помощью любого из
нескольких известных эмпирических соотношении между характе-
ристикой разрушения при некотором заданном значении долговеч-
ности в условиях отличного от нуля среднего напряжения цикла
и характеристикой разрушения при том же самом значении долго-
вечности в условиях действия циклических напряжений с равным
нулю средним значением. Было предпринято много попыток эм-
пирической аппроксимации графика зависимости амплитуды на-
пряжения цикла иа от среднего напряжения цикла от. Наиболее
успешными можно считать те, которые привели к получению сле-
дующих четырех различных зависимостей: (1) линейной зависимости
Гудмана 14); (2) параболической зависимости Гербера Ц’; (3) линей-
ной зависимости Зодерберга 16); (4) эллиптической зависимости 17’.
7.9. Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла 221
Графически эти зависимости удобно представить в нормализован-
ном виде, как это сделано на рис. 7.62; аналитически они записы-
ваются в следующем виде:
Линейная зависимость Смита Ga uN +om/ou = l.	(7.1)
Параболическая зависимость Гербера aa,!QN+(omlou)z^ 1. (7.2)
Линейная зависимость Зодерберга oa/oN-rGm/(Jyp=^\.	(7.3)
Эллиптическая зависимость (oa/oN)2-v (от/ои)2—^ •	(7.4)
В условиях многоцикловой усталости рекомендуется использо-
вать модифицированную форму соотношения Смита. Для аналити-
ческой записи модифицированного соотношения Смита рассмотрим
Рис. 7.62. Качественная иллюстрация некоторых эмпирических соотношений
для оценки влияния на усталостную прочность отличного от нуля среднего на-
пряжения цикла. / — эллиптическая зависимость; 2 — формула Смита; 3 —
формула Гербера; 4 — формула Зодерберга.
показанную на рис. 7.63 диаграмму 18), на которой по вертикальной
оси отложены некоторые характерные напряжения, а по горизон-
тальной оси.— среднее напряжение цикла. Вся изображенная на
рис. 7.63 диаграмма соответствует одному значению усталостной
долговечности N циклов.
.Модифицированная диаграмма Смита строится следующим обра-
зом. В соответствии с данными, показанными на рис. 7.59, прово-
дится штриховая прямая линия через точку gn на вертикальной
оси Од и точку ои на горизонтальной оси от. В области сжимающих
средних напряжений данные о разрушении аппроксимируются го-
ризонтальной прямой, проходящей через точку ov на вертикаль-
ной оси по. Эти штриховые линии аппроксимируют эксперимен-
тальные данные.
Далее строится линия среднего напряжения цикла от. Если
масштаб по вертикальной оси равен масштабу по горизонтальной
оси, то эта линия будет образовывать углы 45" с координатными
осями. Линия среднего напряжения цикла от используется в ка-
честве базовой для изображения на диаграмме максимального на-
222 Гл- 7. Многоцикловая усталость
пряжения никла отах и минимального напряжения цикла <-rnin.
Прямая, соответствующая атах, получается сложением ординат
прямых оа и от. Прямая, соответствующая omin, получается в ре-
зультате вычитания из ординат прямой ординат прямой г,а>
В области сжимающих средних напряжений цикла получаются
Рис. 7.6-3. Модифицированная диаграмма Смита усталостной прочности при -V
циклах,
две параллельные прямые, образующие угол 45° с осями координат:
одна проходит через точку -ЬаЛ, а другая — через точку —av.
Далее диаграмма отсекается и в области растяжения, и в облает
сжатия горизонтальными прямыми, соответствующими пределу
текучести. Отметим, что прямые CD и GH строятся с учетом того,
что циклические напряжения должны быть симметричны относи-
тельно линии среднего напряжения цикла. По определению сред-
него напряжения цикла точки, соответствующие значениям
всегда настолько же ниже прямой ат, насколько выше нее распола-
гаются точки, соответствующие значениям отах.
7.9. Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла 223
Модифицированная диаграмма Смита, показанная на рис. 7.63,
представляет собой геометрическое место точек разрушения при
усталости в случае одноосного напряженного состояния. Любое
циклическое нагружение, при котором возникают напряжения с ам-
плитудой, выходящей за границу, образуемую этим геометрическим
местом точек, вызовет разрушение за меньшее чем N число циклов.
Любое напряжение с амплитудой, не выходящей за эту границу,
может действовать не вызывая разрушения, больше чем У циклов.
Если же амплитуда такова, что точно попадает на геометрическое
место точек, то разрушение произойдет точно через N циклов.
Для дальнейших рассуждений диаграмму, изображенную на
рис. 7.63, разделим на четыре области: а, Ь, с и d. Границы этих
четырех областей определены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Границы областей на модифицированной
диаграмме Смита
Область	Предельные значения от
а	°УР
b	&ab	т 0
с	
d	a cd	А ур
Из рис. 7.63 можно видеть, что
°ab = ^ — ОиР>	(7-5)
где oN — усталостная прочность при N циклах, a aVP— предел
текучести материала. Точно так же в соответствии с рис. 7.63 можно
записать
°cd = (°yp—(7.6)
где г = <тл./ов.	(7.7)
Символ ии используется для обозначения предела прочности ма-
териала. Напряжения оаЬ и acd — значения среднего напряжения
цикла на границах смежных областей а-b и c-d соответственно.
Теперь уже можно записать уравнения границ разрушения для
каждой из четырех областей. Для прямой GF в области а имеем
Omin = -O,/p	(7.8)
Учитывая, что наклон прямой FE равен единице, получаем для
этой прямой в области b
omin = o„,— o.v	(7 9)
Далее для прямой АВ в области с имеем соотношение
«шах - Ол + 0„ (Ов - Од.), Оа,	[7. Ю)
224 Гл, 7. Многоцикловая усталость
которое при помощи обозначения (7.7) можно записать в виде
стт.х = °л+%(1— Г).	(7.11)
Наконец, для прямой ВС в области d имеем
*max = <V	(7.12)
Эти четыре соотношения представляют собой условия начала ус-
талостного разрушения при Л/ циклах, каждое в соответствующей
области. Для удобства использования этих четырех условий разру-
шения можно исключить минимальное напряжение цикла <7т,п
из соотношений (7.8) и (7.9), учитывая, что
= (^пйп Н” ^тах)/2,	(/.13)
откуда	omin - 2om—omax.	(7.14)
Подставляя это значение omin в (7.8) и записывая последнее в виде
условия разрушения в области а, можно сформулировать следующее
утверждение:
В области а произойдет разрушение через N или менее циклов,
если
^х—2от^иу/,.	(7.15)
Аналогично, подставляя (7.14) в (7.9), можно сформулировать ус-
ловие разрушения для области Ь:
В области b произойдет разрушение через N или менее циклов,
если
Ощах—(7.16)
Записывая (7.11) в виде условия разрушения в области с, получаем
В области с произойдет разрушение через N или менее циклен,
если
<W —О—(7.17)
И наконец, для области d в соответствии с (7.12) имеем следую-
щее условие разрушения:
В области d разрушение через N или менее циклов произойдет, ес-
ли
(/.18)
Эти условия разрушения и области их применимости приведены
в табл. 7.2.
Используя табл. 7.2, можно определить, произойдет ли разруше-
ние при любой отличной от нуля величине среднего напряжения
цикла для некоторого значения долговечности, если известны пре-
дел прочности материала, предел текучести и усталостная прочность
материала при заданном значении долговечности в условиях сим-
метричного циклического нагружения Все эти характеристики
материала обычно бывают известными.
7.10. Пример 225
Таблица 7.2. Условия разрушения в случае действия циклического
напряжения с отличным от нуля средним напряжением цикла
Область	Условия разрушения (произойдет разрушение, если)	Пределы применимости условия
а	°тах " 2о/Л 2^ Оцр	®ур
Ь	°тах	n.V	(Тдг	‘CZ 0
с	^тах “ (1 г) т	— оЛг) (1 — г)
d	°тах °ур	(Оур ОД')’ 0 г) ®ур
		
7.10. ПРИМЕР
В качестве примера рассмотрим следующую простую задачу расчета
усталости. Соединительная штанга сплошного кругового попереч-
ного сечения из стали А 4140 нагружается осевой циклической силой,
меняющейся от максимального значения 80 000 фунтов при растя-
жении до минимального значения 30 000 фунтов при сжатии. Пре-
дел прочности материала равен 158 000 фунт/дюйм2, предел те-
кучести 133 000 фунт/дюйм 2. Известно, что среднее значение пре-
дела усталости равно 72 000 фунт/дюйм 2. Требуется рассчитать
диаметр сечения штанги, исходя из условия обеспечения возмож-
ности ее неограниченной эксплуатации при коэффициенте безопас-
ности 2.
Для решения этой задачи проверим выполнение условий разру-
шения, приведенных в табл. 7.2. Чтобы узнать, какое из условий
применимо в нашем случае, надо определить, какой области при-
надлежит эксплуатационное значение среднего напряжения цикла.
Поскольку мы рассматриваем случай одноосного нагружения, зна-
чение среднего напряжения будет пропорционально среднему зна-
чению нагрузки, и его можно записать в виде
= (amax + amin)/2 = (Ртах/ А + Pmin/ Л)/2.	(7.19)
В соответствии с условиями задачи максимальное значение наг-
рузки Ргаах равно 80 000 фунт/дюйм2 (растяжение), минимальное
значение нагрузки Pmln равно —30 000 фунт/дюйм 2 (сжатие), а
площадь А неизвестна, поскольку диаметр штанги еще только
требуется определить. С учетом этого выражение (7.19) для сред-
него напряжения цикла от можно записать в виде
ит = [80 000 + (—30 000)]/2 Я = 25 000/Л.	(7.20)
Поскольку площадь А всегда положительна, из (7.20) следует, что
среднее напряжение цикла будет принадлежать либо области с,
либо области d на рис. 7.63. Для стали 4140 границы области с
8 № 492
226 Гл. 7. Многоцикловая усталость
определяются неравенствами
о С С (ovp—аЛ)/(1 —Г),
133 000 — 72 000
ИЛИ	1 _72000/158000*
или 0 ^от ^112 000 фунт/дюйм2,
а границы области d — неравенствами
112 000 <1 от С 133 000 фунт/дюйм2.
(7.21)
(7.22)
(7.23)
(7.24)
Сначала можно предположить, что штанга будет работать так,
что среднее напряжение цикла находится в области с, и поэтому
справедливо соответствующее условие из табл. 7.2. Для этого слу-
чая одноосного нагружения штанги соответствующее соотношение
из табл. 7.2 принимает вид
Pm»/Af = (\-r)(Pa/Af)^0e,	(7.25)
где Ршах—максимальное значение нагрузки в цикле, Рт— сред-
нее значение нагрузки, Af— площадь поперечного сечения, при
которой штанга разрушится через /V циклов, а ое— предел уста-
лости материала. Находя из (7.25) величину Af, получаем
^ = [Pmax-(l-r)PmK. ‘	(7.26)
или Af = [80000—0,544-25000]/72000,	(7.27)
следовательно, 4, = 0,93 дюйм2.	(7.28)
При этом первом приближении для значения площади 4/ ве-
личина среднего напряжения цикла в соответствии с выражением
(7.20) равна
от = 25 000/0,93 = 26 900 фунт/дюйм ’.	(7.29)
Это значение действительно принадлежит области с, границы ко-
торой определяются неравенствами (7.23). Таким образом, сделан-
ное нами предположение оказалось верным и использование ус-
ловия (7.25) было правомочным. После того как мы убедились в
применимости условия (7.25), соотношение (7.26) можно считать
не условием разрушения, а уравнением для определения требуемой
площади поперечного сечения. Используя заданный коэффициент
безопасности, получаем
4,ЧЛ».ж-(1 -') Р„]/(ое/п),	(7.30)
где A d—расчетная площадь, а п — коэффициент безопасности.
При коэффициенте безопасности, равном 2, из (7.30) получаем
44= 1,86 дюйм2.	(7.31)
Поскольку штанга должна иметь сплошное круговое поперечное
сечение, диаметр его определится соотношением
£ = |/444/я = К4-1,86/л,	(7.32)
или £>=1,54 дюйма.	(7.33)
7.11. Усталость при многоосном напряженном состоянии 227
7.11.	УСТАЛОСТЬ ПРИ МНОГООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
До сих пор в гл. 7 речь шла об одноосном циклическом нагружении.
В большинстве же практических ситуаций при расчете вращающих-
ся валов, соединительных элементов конструкций, лопаток тур-
бин, авиационных конструкций, деталей автомобилей и многих
других элементов конструкций приходится иметь дело с многоосны-
ми циклическими напряженными состояниями. При расчете элемен-
тов машин, находящихся в условиях действия многоосного цикли-
ческого напряженного состояния, допустимо использовать следу-
ющее фундаментальное предположение:
Разрушение в условиях действия циклического многоосного на-
пряженного состояния происходит в том случае, когда размах
(т. е. разность между наибольшим и наименьшим значениями)
некоторой механической характеристики в условиях циклического
нагружения достигает критической величины, т. е. такой, при ко-
торой происходит разрушение в условиях одноосного состояния.
В качестве механической характеристики используется, как
обычно, величина, которую можно измерить, например главное
нормальное напряжение, главное касательное напряжение или
удельная энергия формоизменения. Размах механической харак-
теристики может быть определен по любым двум независимым ее
значениям, например отах и от или отах и omin. Тремя наиболее
употребляемыми при расчетах многоосной усталости механиче-
скими характеристиками являются максимальное нормальное на-
пряжение, максимальное касательное напр яжение и удельная энер-
гия формоизменения. Порядок использования каждой из этих ха-
рактеристик в условиях циклического многоосного напряженного
состояния при отличных от нуля средних значениях напряжения
цикла описан ниже. Далее повсюду предполагается, что нагрузки,
в результате действия которых возникает многоосное напряженное
состояние, находятся в фазе. Это предположение обычно справед-
ливо, оно позволяет получать результаты с некоторым запасом и
достаточно широко используется, поскольку с его помощью уда-
ется значительно упростить расчеты. В тех случаях, когда известно,
что изменение действующих нагрузок не совпадает по фазе, имеется
возможность выбора — провести исследование с учетом разницы
фаз нагрузок или провести расчеты при предположении совпадения
фаз, принимая во внимание, что совершаемая при этом ошибка идет
в «запас». Некоторыми исследователями [42] предложены методы
анализа в случае несинхронного изменения компонент многоосного
напряженного состояния.
228 Гл, 7. Многоцикловая усталость
Гипотеза максимального нормального напряжения
для исследования усталостного разрушения при многоосном
напряженном состоянии
Гипотеза максимального нормального напряжения для исследова-
ния усталостного разрушения в условиях многоосного напряженного
состояния представляет собой объединение описанной в разд. 6.2
гипотезы максимального нормального напряжения для статических
условий нагружения и модифицированных соотношений Смита,
описанных в разд. 7.9. Результаты этого объединения можно запи-
сать в виде следующих 12 условий разрушения вместе с пределами
их применимости:
Разрушение произойдет, если
^1 max 2п1/я Оур 0, Gyp О1/я Од- ®ур> (7.34)
О. max —	^>0;	(7 35)
°imax—(•—')—G,v>0; 0<olm < (oyp—оЛ,)/(1 — r); (7.36)
Oimax —(Gyp —	(7.37)
или если
CTamax —2°2m—^>0; ~°yp < <hm	°„p<	(7-38)
Oxmax-Osm—^>0; °N — °yp <.O2m C 01	(7-39)
Oamax-GamC -/)—^>0;	0 < О2я (0yp - Од)/( 1 - r)\ (7.40)
°Smax—%>>0; (Рур—Олг)/(1 — И	o^;	(7.41)
или если
Oamax—2о3л——о,„,^о8)Я<о„—o^,;	(7.42)
Oamax—o3e,-^>0; oN-oyp oa„ C 0;	(7.43)
^max-fam ('	°’. 0	° 3 m < Pyp ~ <W/0 ~	(7.44)
Oamax—(<Jyp—uN)/( 1 — r)	o8M Oyp. (7.45)
После выяснения, какое из этих 12 условий является опасным,
последнее используется для определения размеров элемента. Индек-
сами 1, 2 и 3 в этих условиях обозначены три главных нормальных
напряжения.
Гипотеза максимального касательного напряжения
для исследования усталостного разрушения при многоосном
напряженном состоянии
Гипотеза максимального касательного напряжения для исследова-
ния усталостного разрушения в условиях многоосного напряженного
состояния представляет собой объединение гипотезы максимального
касательного напряжения в условиях действия статических напря-
жений, изложенной в разд.6.3, и модифицированных соотношений
Смита, описанных в разд. 7.9. Напомним, что в соответствии с (6.2)
7.11. Усталость при многоосном напряженном состоянии 229
в случае одноосного напряженного состояния наибольшее главное
касательное напряжение т равно по величине половине наибольшего
главного нормального напряжения о. Это означает, что всюду, где
в модифицированных соотношениях Смита появляется величина
а, ее надо заменить на 2т. Произведя такую подстановку, для пер-
вого главногокасательногонапряжениятх получаем следующий ряд
условий:
Разрушение произойдет, если
2т1тах-4т1от —ст,/р>0;	-о^<2т1я,<ау—(7-46)
2Ьтах —2т1Л1—стл,—аур < 2т)Я1 5С 6;	(7.47)
2т1тах— 2т1я,(1 — r)-o;V>0; 0<2т1я><(a^-a,v)/(l — г); (7.48)
2т1ш„—(аур —ал.)/(1 - г)< 2т1я, С «V (7.49)
Помимо этих условий для тг следует записать еще две четверки
условий такого же вида для т2 и т3. В результате получится 12 ус-
ловий разрушения, из которых надо выбрать наиболее опасное.
Величины ть т2 и т3 в этих условиях представляют собой главные
касательные напряжения при многоосном напряженном состоянии,
определенные ранее соотношениями (4.55) — (4.57) в виде
Т, = ± (<Г2—<13)/2,	(7.50)
Т,= ±(оя —CTJ/2,	(7.51)
Т3 = ± (О,—<т2)/2,	(7.52)
где оь о2 и о3— главные нормальные напряжения. Геометрические
характеристики детали машины следует подбирать в соответствии
с наиболее опасным из этих 12 условий.
Гипотеза удельной энергии формоизменения
для исследования усталостного разрушения
при многоосном напряженном состоянии
Гипотеза удельной энергии формоизменения для исследования уста-
лостного разрушения в условиях многоосного напряженного сос-
тояния представляет собой объединение гипотезы удельной энергии
формоизменения в условиях действия статических напряжений,
описанной в разд. 6.6, и модифицированных соотношений Смита,
описанных в разд. 7.9. Ранее было получено выражение (6.40)
для удельной энергии формоизменения в виде
п „ 1 + v Г(а1—(Ji)2 I (<h—°з)2 । (аз—°i)2]
“о-----ЗЁ" I 2-------+-------2------h-----2	]•
(7.53)
Используя это выражение для удельной энергии формоизменения,
можно определить следующие три величины, которые потребуются
230 Гл. 7. Многоцикловая усталость
в дальнейшем:
________ 1 Г (°1 тах~~^2 max)2 i (^2 max °з max)" i (пз max max)" 1
wrfmax— |	2	'	2	'	2	I’
(7.54)
1 _b'v Г (°l/n	°2т)2 i (°2я	°am)2 i (®3m Glm)2!	/7 cc.
U»m = -tf- [---------2-+------2-----h------2----1 •	(
________1 -t-V I (°1 mln— °2 min)2 1 (q2 min °s min)~ । (°3 min ^1 m|n)2l
ud min — 3£ [	2 "r 2 "r 2 J 
(7-56)
Следует особо обратить внимание, что
^«^(Urfmax + Mdmin)/2-	(7-57)
Для определения величины udm надо определить средние значения
главных напряжений Oim, o2m и o3m и подставить их в (7.55).
Из соотношений (7.54) — (7.56) следует, что при действии одно-
осного циклического напряжения выражения для wdmax, udm и
Urfmln принимают вид
«</тзх = [(1 +v)/(3E)]a2,ax,	(7.58)
^m = [(J +v)/(3E)](4.	(7.59)
«а mm = Id + v)/(3E)] <4ln.	(7.60)
Находя из этих соотношений owax, ат и omin, получаем
отах = ИЗЕ/(1 +у) У7Га
тах»	(7.61)
ои = |/3£/(1+у)Ги<(я,.	(7.62)
о^ГЗЕ/О+^ИЧпНп.	(7-63)
Подставляя далее выражения (7.61) — (7.63) в модифицирован-
ные соотношения Смита, получаем следующие условия разрушения:
Разрушение произойдет, если
[ЗЕ/(1 4-v)]1/2 (uXx -2u^2)-аур> 0,	(7.64)
[ЗЕ/(1 +у)]1/2(иУтах- uj£)-a,v>0,	(7.65)
[ЗЕ/( 1 + v)]* '2 [Л, -	(1 - г)] - аЛ. > 0,	(7.66)
[ЗЕ/(1 +У)]1/2«Ушах-V>0,	(7.67)
где в соответствии с (7.7) использовано обозначение r=GN!oa.
Поскольку удельная энергия формоизменения всегда положи-
тельна, за исключением тривиального случая, ее нельзя использо-
вать для определения границ применимости условий (7.64)— (7.67).
Поэтому необходимо исследовать все четыре условия и вести рас-
чет по наиболее опасному, учитывая, конечно, что некоторые из
этих условий, возможно, придется отбросить, если они будут про-
тиворечить физическому смыслу. Сказанное будет пояснено в
разд. 7.13 при рассмотрении примера.
7.12. Применение гипотев усталостного разрушения 231
7.12.	ПРИМЕНЕНИЕ ГИПОТЕЗ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
МНОГООСНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В предыдущем разделе описаны три гипотезы усталостного разру-
шения при многоосном напряженном состоянии. Каждая из этих
гипотез позволяет оценить возможность разрушения или спроек-
тировать детали так, чтобы они не разрушались в условиях цикли-
ческого многоосного напряженного состояния с отличным от нуля
средним напряжением цикла в том случае, если амплитуда напря-
жения цикла в течение всего срока эксплуатации детали остается
постоянной. Хотя данных по усталости при многоосном напряжен-
ном состоянии относительно мало, накопленный опыт позволяет
дать следующие рекомендации:
1.	Для хрупких материалов предпочтительнее использовать ги-
потезу максимального нормального напряжения.
2.	Для пластичных материалов предпочтительнее использовать
гипотезу удельной энергии формоизменения.
3.	Для пластичных материалов гипотеза максимального каса-
тельного напряжения дает почти столь же хорошие результаты, как
и гипотеза удельной энергии формоизменения.
4.	Практический опыт показывает, что материалы с пластич-
ностью менее 5% на базе 2 дюйма могут считаться хрупкими, а с
пластичностью более 5% на базе 2 дюйма — пластичными.
Некоторые данные, свидетельствующие о правильности сформулиро-
ванных рекомендаций, приведены на рис. 7.64.
Рис. 7.64. Сравнение данных по усталостной прочности при двухосном напря-
женном состоянии с различными гипотезами усталости при многоосном напря-
женном состоянии для пластичных и хрупких материалов (см. гл. 7 работы [9]).(а)
пластичные материалы: • отожженная мягкая сталь, А Сг-V-сталь,----гипотеза
удельной энергии формоизменения, — - —гипотеза максимального сдвига; (Ь)
хрупкие материалы; О чугун, — - • — гипотеза максимального нормального на-
пряжения.
232 Гл. 7. Многоцикловая усталость
Другой прием использования модифицированного соотношения
Смита описан в разд. 8.5, где получены выражения (8.114) и (8.115)
для симметричных циклов напряжения, эквивалентных цикличе-
скому растяжению или сжатию с отличным от нуля средним напря-
жением цикла. Эти соотношения, полученные из (7.9) и (7.11), очень
полезны для обращения любого циклического напряжения с от-
личным от нуля средним значением в симметричное циклическое
напряжение, эквивалентное с точки зрения усталостных поврежде-
ний.
7.13.	ПРИМЕР
Рассмотрим следующий пример расчета детали, находящейся в
условиях многоосного напряженного состояния: требуется подоб-
рать размеры сплошного вала кругового поперечного сечения, за-
деланного на одном конце, который должен выдержать W=5-108
пульсирующих циклов кручения вследствие приложения пульси-
рующего циклического момента величиной Л4гаах = 1500 фунт-дюйм
на незакрепленном конце. Требуется подобрать диаметр вала d
из алюминиевого сплава 2024-Т4 с ои=68 000 фунт/дюйм 2, аУр—
=48 000 фунт/дюйм 2, удлинением 19% на базе 2 дюйма и кривой
усталости, показанной на рис. 7.17. На первом этапе расчета сле-
дует с помощью кубического уравнения для определения главных
нормальных напряжений (4.23) найти три главных напряжения для
случая чистого кручения. В соответствии с соотношениями (4.60)—
(4.62) главные нормальные напряжения, их максимальные, сред-
ние и минимальные значения записываются в виде
= Iт I = 	; о, wax = I Lnax И = 7i | тт,х |; а1т1п = 0; (7.68)
°.> = 0; °гтах = 0; °гт = 0; o2inln = 0;	(7.69)
°, = — I Ч =	1 : °3 max = 0; as„ = —7, I Ттах |,
°зт!п = I Ттах !•	(7-70)
Графически они показаны на рис. 7.65. Материал пластичен, так
что будем использовать гипотезу удельной энергии формоизменения
для исследования усталостного разрушения. Подставляя выражения
для главных напряжений в (7.54) и (7.55), можно найти величины
^4 max И
и _l -rv Г(| тта, | —О)2	(0-О)2 . (0—| тгаах |)21
“4 max — 3£ |	2 ”Г 2	'	2 J ’
ИЛИ шах =	[| Т'тах I ]»
(7.71)
(7.72)
7.13. Пример 233
Рис. 7.65. Зависимость главных напряжений от времени в случае пульсирующего
кручения (см. пример разд. 7.13).
и аналогично
(7.73)
(7.74)
Далее эти величины подставляем в (7.64) и получаем, что разруше-
ние произойдет, если
Г 3£ 11/.'Г/1. о /14-v\i/2/3\1/-,	,1
ll+vj [\ 3Z? ) I Tmax I 2 ( 3£ )	(4) I Ттах I |	> °.
(7 75)
или если (1 —Г 3)1 гтах|-аи/,^о. (7.76)
234 Гл, 7. Многоцикловая усталость
Аналогично из (7.65) — (7.67) следует, что разрушение произойдет,
если
[1	-Г372Ц t„„|-а„>0,	(7.77)
или	(7.78)
К»х| —	(7 79)
Соотношения (7.76) — (7.79) являются условиями разрушения. В
соответствии с (7.68) величина |ттах| во всех этих условиях опре-
деляется выражением
|TmaJ=16|M<mdJ/nd\	(7.80)
где Л4/тах— максимальная величина циклического крутящего
момента, d — диаметр вала, од,—усталостная прочность при сим-
метричном нагружении, соответствующая долговечности N циклов,
и предел текучести материала.
Условие (7.76) лишено смысла, поскольку это выражение никогда
не может быть больше нуля. Из выражений (7.77) — (7.79), опу-
ская знаки неравенств, можно найти диаметр d в виде
d = /[16(l-rWAbmax|]/(n<M,	(7.81)
или d=/[16(l-(l-r)K3/2]jAI,inax|/(nay),	(7.82)
или d = /[16|Mtmax|]/(nu^).	(7.83)
Какое-либо из этих выражений и даст нужное (наибольшее) зна-
чение диаметра d. При проведении расчетов надо ввести коэффи-
циент безопасности, разделив на него предельные напряжения
и °УР‘
Принимая коэффициент безопасности равным 2, определяя по
графику на рис. 7.17, что Од,=20 ООО фунт/дюйм2 при 5- 10е цик-
лах, и используя исходные данные, из (7.81) — (7.83) находим
d = 1/}6(1- Кз72) 1500 = 0 47 дюйма,	(7.84)
d =	16 [(1-20/68) ГЗ}2|-15ОО = 0 79 дюй	(7 85)
г	л (20 000/2)	v
,	3 / 16 1500 А со <•
d—]/ л (48000/2) — дюйма.	(7.86)
Это означает, что диаметр вала следует принять равным d=0,79
дюйма.
ВОПРОСЫ
1.	Укажите, чем различаются многоцикловая и малоцикловая усталости.
2.	Опишите некоторые проблемы, которые приходится решать при исследо-
вании усталости и которые ие возникают при исследовании статического нагру-
жения.
Вопросы 235
3.	Сформулируйте хотя бы две гипотезы о зарождении и распространении ус-
талостных повреждений.
4.	Опишите характерные признаки поверхностного усталостного разрушения.
Поясните причины их появления.
5.	Нарисуйте семейство кривых усталости равной вероятности разрушения,
поясните их смысл и порядок использования, подробно объясните, как такое
семейство кривых может быть получено в лабораторных условиях.
6.	Перечислите факторы, влияющие на кривую усталости, и кратко поясните
в каждом случае, как именно влияет каждый из этих факторов.
7.	Объясните, как пользоваться изображенной на рис. 7.61 а—7.6! с
обобщенной диаграммой.
8.	Сформулируйте и поясните основные положения фундаментального пред-
положения, используемого при исследовании усталости в случае многоосного на-
пряженного состояния.
9.	(а) Сплошной алюминиевый стержень кругового поперечного сечения
нагружается продольной растягивающей циклической нагрузкой, величина ко-
торой меняется от 5000 до 10 000 фунтов. Предел прочности материала равен
100 000 фунт/дюйм2, предел текучести 80 000 фунт/дюйм2, среднее значение уста-
лостной прочности при 105 циклах 40 000 фунт/дюйм2 и удлинение 8% на базе
2 дюйма. Определите диаметр стержня из условия возможности его разрушения
через 106 циклов.
(Ъ)	Рассчитайте диаметр стержня, если циклическая продоль ая нагрузка будет
меняться от 15 000 до 20 000 фунтов, оставаясь все время растягивающей.
(с)	Сравните результаты, полученные при выполнении заданий (а) и (Ь); итоги
сравнения прокомментируйте.
10.	Экспериментальные данные об усталостном поведении материала при сим-
метричном циклическом изгибе приведены в таблице.
S, фунт/дюйм’	/V, цикл	S, фунт/дюйм’	N, цикл
17-10* 15,1-10* 14,1-10* 12,7-10*	2-10* 5 10* 110s 210s	12,5-10* 12,3-10* 12,1-10*	5-10* 1-10» 2- 10е
Предел прочности равен 218 000 фунт/дюйм2, а предел текучести 200 000 фунт/
дюйм2. Постройте кривую усталости материала при среднем значении растягиваю-
щего напряжения цикла 40 000 фунт/дюйм2.
11.	Данные о зависимости отах от N, полученные из усталостных испытаний,
в процессе которых величина среднего растягивающего напряжения цикла рав-
нялась 25 000 фунт/дюйм2, приведены в таблице. Предел прочности 240 000 фунт/
дюйм2, а предел текучести 225 000 фунт/дюйм2.
°шах’ ФУнт/Дюйм2	N, цикл	|	°тах’ ФУнт/ДЮй“*	Л/, цикл
150 000	2-10*	105 000	5-10*
131000	5-10*	103 000	Ь10«
121000	1-10*	102000	210е
107 000	2-10»		
(а) Постройте кривую зависимости отжх oi V при среднем значении растягиваю-
щего напряжения цикла 50 000 фунт/дюйм2.
236 Гл. 7. Многоцикловая усталость
(Ь) На этом же графике постройте кривую зависимости отах от N при среднем
значении сжимающего напряжения цикла 50 000 фунт/дюйм2.
12. Толстостенный цилиндрический сосуд высокого давления, закрытый на
обоих концах, должен иметь внутренний диаметр, равный 3,00 дюймам. Сосуд бу-
дет изготовлен из стали со следующими характеристиками: Su=250 000 фунт/
дюйм2, Sy/?/=200 ООО фунт/дюйм2, Sp;?c=200 ООО фунт/дюйм2, Se=100 000 фунт/
дюйм2, удлинение равно 4% на базе 2 дюйма. Сосуд будет ежеминутно в течение
10 лет нагружаться давлением, меняющимся от 0 до 15 000 фунт/дюйм2. Приняв
коэффициент безопасности равным 1,5, определите наружный диаметр в соответст-
вии с результатами исследования усталости при многоосном напряженном состоя-
нии (а) по гипотезе удельной энергии формоизменения; (Ь) по гипотезе максималь-
ного нормального напряжения.
13.	Полый трубчатый стальной стержень, используемый как работающая на
кручение пружина, циклически нагружается крутящим моментом, величина
которого меняется от —5000 до +15 000 фунт’Дюйм. Желательно использовать
трубу с толщиной стенки, равной 10?’6 наружного диаметра. Предел прочности
материала равен 200 000 фунт/дюйм2, а предел текучести 180 000 фунт/дюйм2.
Предел усталости равен 95 000 фунт/дюйм2. Найдите размеры трубы, которые обес-
печат возможность ее неограниченной эксплуатации, по результатам исследова-
ния усталости при многоосном напряженном состоянии с помощью (а) гипотезы
максимального нормального напряжения; (Ь) гипотезы максимального касатель-
ного напряжения и (с) гипотезы удельной энергии формоизменения.
14.	Передаточный вал в виде сплошного цилиндра должен быть изготовлен
из горячекатаной стали 1020, v которой ва—65 000 фунт/дюйм2, оу/>=43 000 фунт/
дюйм2, ое — 32 000 фунт/дюйм2 и е=36% на базе 2 дюйма. Вал должен передавать
мощность 85 л. с. при скорости вращения 1800 об/мин. Скорость и крутящий
момент по величине не меняются. В средней части между подшипниками вал
нагружен действующим в вертикальной плоскости чистым изгибающим моментом
2000 фунт-дюйм. Используя наиболее точные из известных вам методов, определи-
те диаметр вала из условия обеспечения возможности его неограниченной эксплу-
атации. Коэффициент безопасности примите равным 1. Подробно поясните свои
действия.
Ртах = 10000 фунтов] Синусоидальная
Pmin = 5000 фунтов]<зависимистъ от времени
Рис Q7.15a.
15.	Показанный на рис. Q7.15a кронштейн изготовлен из сплава Y в виде
сплошного кругового цилиндра, заделанного на одном концерн имеющего рукоятку
на незакрепленном конце. К рукоятке приложена циклическая сила F. Величина
силы изменяется синусоидально от максимального значения 10 000 фунтов до
Литература 237
иннимальноги значения 5000 фунтов. Рассматривая цилиндрическую часть крон-
штейна и пренебрегая эффектами концентрации напряжений, оцените число
циклов нагружения, которые он может выдержать до усталостного разрушения.
Характеристики статической и усталостной прочности сплава Y приведены на
рис. Q7.15b.
Рис. Q7.15b (продолжение). Статические свойства: оа=140 000 фунт/дюйм2,
0^=130000 фунт/дюйм2, е=15% на базе 2 дюйма, £=30-10® фунт/дюйм2,
v=0,3; / — кривая усталости для сплава Y (оот=0).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Cazaud R. La Fatigue des Metaux (French), translated by A. J. Fenner as Fa-
tigue of Metals.— London: Champan and Hall, Ltd., 1953.
2.	Battelle Memorial Institute, Prevention of Fatigue in Metals.— New York:
John Wiley & Sons, 1941.
3.	Murray W. M. (ed.) Fatigue and Fracture of Metals.— New York: John Wiley
&Sons, 1952.
4.	Manual on Fatigue Testing, STP-9J and STP-91-A, American Society for Tes-
ting and Materials, Philadelphia, 1949 and 1963.
5.	Basic Mechanisms of Fatigue, STP-237, American Society for Testing and Mate-
rials, Philadelphia, 1958.
6.	Grover H. J., Gordon S. A., Jackson L. R. Fatigue of Metals and Structures.—
Washington, D. C.: Government Printing Office, 1954.
7.	Freudenthal A. M. Fatigue in Aircraft Structures.— New York: Academic Press,
1956.
8.	Proceedings of International Conference on Fatigue, American Society of Mecha-
nical Engineers (jointly with Institution of Mechanical Engineers), New York,
1956.
9.	Sines G., Waisman J. L. Metal Fatigue.— New York: McGraw-Hill, 1959.
10.	Heywood R. B. Designing Against Fatigue of Metals.— New. York: Reinhold,
1962. [Имеется перевод: Хэйвуд P. Б. Проектирование с учетом усталости.—
М.: Машиностроение, 1969.]
11.	Kennedy A. J. Processes of Creep and Fatigue in Metals.— New York: John Wi-
ley & Sons, 1963. [Имеется перевод: Кеннеди А. Дж. Ползучесть и усталость
в металлах.— М.: Металлургия, 1965.]
12.	Averbach В. L., Felbeck D. К-, Hahn G. Т., Thomas Н. A. Fracture.— Camb-
ridge: MIT Press, 1959.
13.	McClintock F. A., Argon A. S. Mechanical Behavior of Materials.— Reading,
Mass.: Addison-Wesley, 1966. (Имеется перевод: Макклинток Ф. Э., Аргон
А. С. Деформация и разрушение материалов.— М.: Мир, 1970.]
14.	Grover Н. J. Fatigue of Aircraft Structures.— Washington, D. C.: Government
Printing Office, 1966.
238 Гл. 7. Многоциклооая усталость
15.	Fatigue Crack Propagation.— STP-415, American Society for Testing and
Materials, Philadelphia, 1967.
16.	Madayag A. F. Metal Fatigue, Theory and Design.— New York: John Wiley
& Sons, 1969.
17.	Forrest P. G. Fatigue of Metals.— Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1962.
[Имеется перевод: Форрест П. Усталость металлов.— М.: Машиностроение,
1968.]
18.	Mann J. Y. Fatigue of Materials.—Melbourne: Melbourne University Press,
1967.
19.	Forsyth P. J. E. The Physical Basis of Metal Fatigue.— London: Blackie and
Son, Ltd., 1969.
20.	Manson S. S. (ed.) Metal Fatigue Damage.— STP-495, American Society for Tes-
ting and Materials, Philadelphia, 1971.
21.	Higdon A., Ohlsen E. H-, Stiles W. B., Weese J. A. Mechanics of Materials.—
New York: John Wiley & Sons, 1967.
22.	Johnson J. B. Aircraft Engine Material.—SAE Journal, 40 (March 1937), p.
153-162.
23.	Jackson R. J., Frost P. D. Properties and Current Applications of Magnesium-
Lithium Alloys.— SP-5068, NASA, Washington, D. C., 1967.
24.	Proceedings of the Conference on Welded Structures, Vols. I and II.— The
Welding Institute, Cambridge, England, 1971.
25.	Materials and Processes for the 70's, Science of Advanced Materials and Process
Engineering.— Proceedings, 15, Western Periodicals, Azusa, Calif., 1969.
26.	Peterson R. E. Fatigue of Shafts Having Keyways.— ASTM Proceedings, 32,
p. 2 (1932), p. 413—420.
27.	Keysers C. A. Material Science in Engineering.— Columbus, Ohio: Charles E,
Merrill Co., 1968.
28.	Welding Handbook, Vol. 3.— New York: American Welding Society, 1961.
29.	Thomas W. N. Effect of Scratches and Various Workshop Finishes upon the
Fatigue Strength of Steel.— Engineering, 116 (1923), p. 449ff.
30.	Hooker R. N. Surface Finish vs. Fatigue Life for 75S-T6 Spar Cap Material.—
Tech Note Dev-950, Douglas Aircraft Co., Long Beach, Calif.
31.	Johnson J. B. Dependence of Aviation on Metallurgy.— Metal and Alloys,
1 (1930), p. 450.
32.	Almen J. O. Fatigue Loss and Gain by Electro-plating.— Product Engineering,
22, No. 6 (1951).
33.	Moore H. F. A Study of Size Effect and Notch Sensitivity in Fatigue Tests of
Steel.— ASTM Proceedings, 45 (1945), p. 507.
34.	Pope J. A. Metal Fatigue.— London: Chapman & Hall, Ltd, 1959.
35.	Lyst J. O. The Effect of Residual Strains Upon the Rotating Beam Fatigue Pro-
perties of Some Aluminum Alloys.— Technical Report No. 9-60-34, Alcoa,
Pittsburgh, 1960.
36.	Horger O. J. Metals Engineering Design (ASME Handbook). American Society
of Mechanical Engineers.— New York: McGraw-Hill, 1953.
37.	Smith G. V. Properties of Metals at Elevated Temperatures.— New York:
McGraw-Hill, 1950.
38.	Pousopa J. Low Temperature Fatigue Properties and Cumulative Damage Res-
ponse of 20204-T4 Aluminum Alloy.— M. S. Thesis, Ohio State University
Columbus, 1977.
39.	Sors L. Fatigue Design of Machine Components.— New York: Pergamon Press,
1971.
40.	Gough H. J., Sopwith D. G.— Journal of Iron and Steel Institute, 127 (1933),
p. 301.
41.	Howell F. M., Miller J. L. Axial Stress Fatigue Strengths of Several Structural
Aluminum Alloys.— ASTM Proceedings, 55 (1955), p. 955.
42.	Miller W. R., Ohji K., Marin J. Rotating Principal Stress Axes in High Cycle
Fatigue.— ASME Paper No. 66-WA/Met 9, American Society of Mechanical
Engineers, New York, 1966.
Литература 239
43.	Manson S. S. Fatigue: A Complex Subject — Some Simple Approximations.—
Experimental Mechanics, July 1965.
44.	Wohler A. Versuche uber die Festigkeit der Eisenbahnwagen-Achsen.— Zeitsch-
rift fur Bauwesen, 1860.
45.	Forsyth P. J. E.—Proceedings of the Royal Society (London), A242 (1957),
p. 198.
46.	Forsyth P. J. E., Slubbington C. A. The Slip Band Extrusion Effect Observed
in Some Aluminum Alloys Subjected to Cyclic Stresses.—Journal of the Ins-
titute of Metals, 83 (1954), p. 395.
47.	Polmear I. J., Bainbridge I. F.— Philosophical Magazine, 4, No. 48 (195Э),
D. 12Э5.
48.	Forsythe P. J. E., Ryder D. A.— Aircraft Engineering, April 1, 1960.
ГЛАВА 8
ВОПРОСЫ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ,
ОЦЕНКИ ДОЛГОВЕЧНОСТИ И КОНТРОЛЯ РАЗРУШЕНИЯ
8.1.	ВВЕДЕНИЕ
Практически во всех технических приложениях, где усталость яв-
ляется одним из возможных видов разрушения, можно ожидать, что
в процессе эксплуатации амплитуда напряжений цикла некоторым
образом будет меняться. В результате таких изменений амплитуды
нагрузки, образующих так называемый спектр нагружения, не-
посредственное использование кривых усталости становится не-
возможным, поскольку эти кривые получаются при постоянной ам-
плитуде напряжений цикла. Поэтому для расчетчика важно иметь
в своем распоряжении теорию или гипотезу, подтвержденную эк-
спериментально, которая давала бы возможность получать расчет-
ные оценки в условиях действия спектра нагрузок с помощью до-
ступных кривых усталости, полученных при действии напряжения с
постоянной амплитудой.
Основное допущение, обычно принимаемое всеми исследовате-
лями усталости в условиях действия спектра нагрузок, состоит
в том, что воздействие циклических напряжений некоторой задан-
ной амплитуды приводит к усталостному повреждению, величина
которого определяется числом циклов воздействия напряжений
этой амплитуды, а также полным числом таких циклов до разру-
шения неповрежденного образца. Далее предполагается, что воз-
никшие повреждения остаются неизменными и воздействие в не-
которой последовательности напряжений различной амплитуды
приводит к накоплению повреждений, причем полная поврежден-
ность равна сумме приращений поврежденное™, производимых
воздействием напряжений каждой отдельной амплитуды. Когда
полная накопленная поврежденность достигает некоторой крити-
ческой величины, происходит усталостное разрушение. Хотя ука-
занный подход в принципе достаточно прост, на практике возникают
серьезные трудности, поскольку не ясно, как правильно оценить
поврежденность, вызываемую воздействием напряжения некоторой
заданной амплитуды S, в течение определенного количества циклов
nf. К настоящему времени предложено много гипотез накопления
повреждений, которые позволяют определить поврежденность при
воздействии напряжения некоторой заданной амплитуды и просум-
мировать приращения поврежденное™ для оценки возможности
разрушения при воздействии спектра нагрузок.
8.2. Гипотеэа линейного накопления повреждений 241
8.2.	ГИПОТЕЗА ЛИНЕЙНОГО НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Первая гипотеза накопления повреждений была предложена Пальм-
греном в 1924 г. и позднее развита Майнером в 1945 г. Эта гипотеза,
которая широко используется до сих пор, называется также ги-
потезой Пальмгрена — Майнера или правилом линейного сумми-
рования повреждений. Эта гипотеза может быть описана с помощью
кривой усталости, показанной на рис. 8.1.
По определению кривой усталости, при действии напряжения
с постоянной амплитудой Si полное повреждение, или разрушение,
Рис. 8.1. Иллюстрация спектра нагружения, соответствующего воздействию ni
циклов каждого из различных уровней напряжений 3/; Ni — число циклов до
разрушения при каждом из уровней 3/.
произойдет через Afi циклов. В результате действия напряжения а
амплитудой Si в течение пг циклов, где меньше Nu произойдет
частичное повреждение, характеризуемое числом Это число Di
обычно называется долей поврежденности (или просто поврежден-
ностыо). Воздействие спектра различных уровней напряжений
приводит к поврежденностям D{ для каждого различного уровня
напряжения S, из этого спектра. Разрушение произойдет, когда
сумма этих долей поврежденности составит единицу, т. е.
предсказывается, что произойдет разрушение, если
Ог+й,+. .	(8.1)
Гипотеза Пальмгрена утверждает, что доля поврежденное ги
при любом уровне амплитуды напряжения цикла S/ прямо пропор-
циональна отношению числа циклов его действия к полному числу
242 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
циклов, которое привело бы к разрушению при этом уровне, т. е.
(8.2)
В соответствии с гипотезой Пальмгрена, т. е. используя (8.2),
соотношение (8.1) можно записать в виде
предсказывается, что разрушение произойдет, если
nJN.+nJN^. . •+ni^/Ni^+ni/Nl'^\,	(8.3)
или
предсказывается, что разрушение произойдет, если
(8.4)
Эти соотношения представляют собой полную формулировку ги-
потезы Пальмгрена, или правила линейного суммирования повреж-
дений. Это правило имеет немаловажное достоинство — простоту и
именно поэтому широко используется. Необходимо, однако, иметь
в виду, что эта простота является следствием неучета некоторых
существенных факторов, и поэтому в предсказании разрушения воз-
можны ошибки. Вероятно, к наиболее значительным недостаткам
линейной теории относится то, что она не описывает влияния оче-
редности воздействия напряжений различных уровней и предполага-
ет одинаковую скорость накопления повреждений при напряжении
некоторого заданного уровня независимо от предыдущей истории
нагружения. Экспериментальные данные показывают, что порядок
приложения напряжений на самом деле играет значительную роль
и что скорость накопления повреждений при заданном уровне на-
пряжения является функцией истории предыдущего циклического
нагружения.
Например, если провести испытания лабораторных образцов,
нагружая их циклическими напряжениями двух уровней S!>S2,
причем испытать две группы образцов: первая группа нагружается
сначала напряжением уровня 5Ъ а затем S2, вторая группа — сна-
чала S2, а затем Sn то суммы 2 (n/N) для этих двух групп в момент
разрушения будут значительно различаться Для убывающей после-
довательности напряжений, т. е. когда сначала действуют цикли-
ческие напряжения уровня Sb а затем S2, сумма 2 (n/N), как пра-
вило, меньше единицы. Для возрастающей последовательности
напряжений, т. е. когда сначала действуют циклические напряже-
ния уровня Sa, а затем Sb сумма 2 (n/N), как правило, больше еди-
ницы.
Экспериментальные значения суммы % (n/N) в момент разруше-
ния колеблются в пределах от ~ 1/4 до ~4 в зависимости от убы-
вания или возрастания уровней прикладываемых циклических на-
пряжений. Если различные амплитуды циклических напряжений
будут чередоваться квазислучайным образом, то экспериментальное
значение суммы 2 (n/N) в момент разрушения приблизится к еди-
8.3. Гипотезы накопления повреждений 243
вице. Значения суммы 2 (n/N), соответствующие разрушению, ко-
леблются в пределах от ~0,6 до ~1,6. Поскольку во многих прак-
тических приложениях напряжения меняются квазислучайно, ис-
пользование правила линейного суммирования повреждений Паль-
мгрена для предсказания разрушения часто оказывается удовлет-
ворительным.
Результаты, полученные на лабораторных образцах, показыва-
ют, что экспериментальные значения суммы S (n/N) больше еди-
ницы для последовательностей с убывающими амплитудами напря-
жений и меньше единицы для последовательностей с возрастающими
напряжениями. Они противоречат опубликованным результатам
испытаний конструкций и их элементов, которые систематически
показывают противоположное. Другими словами, для конструкций
и их элементов последовательности напряжений с возрастающей
амплитудой вызывают большие повреждения, чем такие же циклы
напряжений, расположенные в порядке убывания амплитуд. Этот
кажущийся парадокс еще полностью не объяснен, но он, несомненно,
связан с остаточными напряжениями в конструкциях и их элементах,
вызванными концентрацией напряжений в конструктивных соедине-
ниях и в местах геометрических особенностей. Приложенные ранее
и срелаксировавшие впоследствии большие напряжения приводят
к возникновению полей остаточных сжимающих напряжений в
областях локальной концентрации напряжений, и последующее
воздействие циклических напряжений меньшего уровня вызывает
меньшее повреждение, чем в случае отсутствия остаточного сжатия.
Даже один цикл напряжений очень высокого уровня может оказать
большое влияние на усталостное разрушение.
Несмотря на указанные недостатки, правило линейного сумми-
рования повреждений Пальмгрена часто используется из-за его
простоты и вследствие того, что, как показывает эксперимент, при-
менение других гораздо более сложных теорий накопления пов-
реждений не всегда позволяет значительно повысить надежность
предсказания разрушения. Лучшего понимания процесса накопле-
ния повреждений можно достичь, рассмотрев некоторые другие
гипотезы.
8.3.	ГИПОТЕЗЫ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Если правило линейного суммирования поврежденное™ Пальмгре-
на изобразить в виде графика зависимости доли повреждения D
от отношения числа циклов n/Af, результатом будет прямая линия,
показанная на рис. 8.2 и обозначенная цифрой 2. Анализ экспери-
ментальных результатов свидетельствует, однако, о том, что уста-
лостные повреждения часто накапливаются нелинейно, как это
изображено на рис. 8.2 кривыми 1 и 3. Кроме того, эксперимент
указывает на то, что вид кривых повреждаемости на графиках,
подобных рис. 8.2, зависит от величины амплитуды напряжения
244 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
никла, причем расположенные ниже кривые соответствуют мень-
шим уровням напряжений. Итак, кривая / на рис. 8.2 соответст-
вует более высокому уровню напряжения, чем кривая 2, а кривая 2
соответствует более высокому уровню напряжения, чем кривая 3.
Чтобы подчеркнуть смысл кривых 1 и 3, можно заметить, что для
отношения числа циклов h/jV^0,4 правило Пальмгрена предска-
зывает долю поврежденности, равную 0,4, тогда как то же самое
относительное число циклов в условиях, соответствующих кривой /,
Рис. 8.2. Зависимость поврежденности при усталости D от относительного числа
циклов n/.V.
вызовет поврежденность 0,78, а в условиях, соответствующих кри-
вой 3, долю, равную 0,08. Для аппроксимации нелинейного соот-
ношения между поврежденностью и отношением числа циклов пред-
ложено несколько гипотез.
Гипотеза накопления повреждений Марко — Старки
Одна из первых нелинейных гипотез накопления повреждений была
предложена Марко и Старки [11. Аналогичная гипотеза выдвинута
также Рихартом и Ньюмарком [21. Гипотеза Марко — Старки осно-
вывается на следующих положениях:
I Кривые повреждаемости для любой по величине амплитуды
симметричных синусоидальных напряжений могут быть описаны со-
8.8. Гипотезы накопления повреждений 245
отношениями
D = (n/N)mi,
(8.5)
где mt зависит от уровня напряжения.
2. Образец» нагруженный в любой последовательности симмет-
ричными синусоидальными напряжениями, разрушается, когда
величина D достигает единицы.
3. Разрушение происходит или достигается 100%-ная повреж-
денность, когда сумма 2 (n/N) достигает критической величины,
которая может быть аппроксимирована выражением

(8-6)
О
r2D
2
где Л\, Л^г» • • •, /V— число циклов симметричных напряжений
Sb S2, . . ., Sf до разрушения (индексы 1,2,.. ., i обозначают
порядок приложения соответствующих уровней напряжений); D —
поврежденность; — отношение показателей степени	в
уравнениях повреждаемости, соответствующих уровням напряже-
ний Sf и Sn rrii— показатель степени в уравнении повреждаемости,
соответствующем действию Z-го уровня напряжения.
Использование соотношения (8.6) весьма трудоемко, и для опре-
деления входящих в него постоянных требуется большое количество
экспериментальных данных. Качественно, однако, применение этой
теории можно проиллюстрировать, обращаясь опять к рис. 8.2, на
котором изображена зависимость поврежденности D от отношения
числа циклов n/N для трех различных уровней напряжения. Рас-
смотрим, например, две последовательности приложения напря-
жений О! и о3. В первой последовательности сначала прикладыва-
ется напряжение аь и оно действует в течение и циклов, так что
n/W=0,5, а затем до разрушения при D = l,0 действует напряжение
о3. Во второй последовательности сначала до n/W=0,5 действует
напряжение о3, а затем до разрушения — напряжение
На рис. 8.2 процесс повреждения, соответствующий первой по-
следовательности нагружения, изображается траекторией OMNF.
Сумму отношений циклов можно подсчитать с помощью этой тра-
ектории по соотношению
2 (n/N) = (n/N)a, + (n/N)a„
или S (n/Af)=0,5+( 1—0,98),
т. е. S (n/N)=0,52.
(8-7)
(8-8)
(8.9)
Для второй последовательности действия тех же самых двух
напряжений процесс описывается траекторией OABF. Сумма от-
ношений числа циклов, соответствующая моменту разрушения,
246 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
подсчитывается по формуле
^(n/N) = (n/N)O' + (n/N)Gl,	(8.10)
или S (и/У)=0,5+(1 —0,03),	(8.11)
т. е. 2(п/ЛГ)=1,47.	(8.12)
Вспоминая, что at больше а3, замечаем, что полученный резуль-
тат суммирования отношений числа циклов меньше единицы, если
сначала действует напряжение более высокого уровня, и больше
единицы, если в последовательности первым действует напряжение
Рис. 8.3. Траектория повреждаемости при последовательном действии различных
циклических напряжений. Последовательность нагружения: оа ->ах ->о4 ->а3 -►
—>О2 —>01 —>о3.
меньшего уровня. Это согласуется с экспериментальными результа-
тами, полученными при лабораторных испытаниях образцов.
В заключение описания этой гипотезы укажем, что оценка от-
ношения числа циклов до разрушения осуществляется следующим
образом. Сначала вычерчиваются кривые зависимости доли пов-
режденности от отношения числа циклов для различных уровней
напряжения, как показано на рис. 8.3. Каждая из этих кривых мо-
жет быть описана эмпирическим соотношением вида (8.5). Затем
определяется последовательность уровней действующих напряже-
ний и, как на рис. 8.3, вычерчивается траектория повреждаемости
путем движения по соответствующим кривым в надлежащем порядке
до тех пор, пока поврежденность не станет равной единице. Дви-
жение от одной кривой к другой осуществляется вдоль линий рав-
ной поврежденности (горизонтальных прямых).
8.3. Гипотезы накопления повреждений 247
Гипотеза накопления повреждений Генри
Гипотеза накопления повреждений, предложенная Генри [31, ос-
нована на представлении о том, что кривые усталости смещаются
по мере накопления повреждений и что поврежденность при уста-
лости может быть определена как отношение величины уменьшения
предела усталости к пределу усталости исходного материала, т. е.
D=(E0—E)/EQt	(8.13)
где D — поврежденность, EQ— предел усталости исходного мате-
риала, Е — предел усталости материала после повреждения.
При формулировке гипотезы Генри предполагается также, что
исходная кривая усталости может быть описана уравнением рав-
нобочной гиперболы, асимптотами которой являются ось напряже-
ния и проходящая через линия, параллельная оси числа циклов.
Это означает, что уравнение кривой усталости имеет вид
N=kQ/(S-E^	(8.14)
где N — число циклов до разрушения при амплитуде напряже-
ния S; S — амплитуда приложенного симметричного напряжения;
— постоянная материала; £0— предел усталости исходного ма-
териала.
Подразумевается, что при действии циклических напряжений
ниже предела усталости не возникает никаких повреждений. Генри,
кроме того, предположил, что кривая усталости после поврежде-
ния также описывается уравнением равнобочной гиперболы, т. е.
Nr=k/(S—£),	(8.15)
где Л/г— оставшееся число циклов до разрушения при действии
напряжения с амплитудой S; S — амплитуда приложенного сим-
метричного напряжения; k — постоянная материала; Е — предел
усталости поврежденного материала (меньше £0).
Основываясь на анализе некоторых экспериментальных данных
и руководствуясь эвристическими соображениями, Генри пред-
положил, что приближенно выполняется следующее равенство:
klk.=EIE..	(8.16)
Используя указанные предположения, соотношение для опре-
деления поврежденное™, предложенное Генри, можно получить
следующим образом. Пусть на образец воздействовало п циклов
напряжения с амплитудой S; оставшееся число циклов до раз-
рушения определяется равенством
п,	(8.17)
где N — полное число циклов, требуемое для разрушения исходного
материала при действии напряжения S. С учетом (8.17) и (8.15)
получаем
Л-н =*/($—£).
(8.18)
248 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
После деления обеих частей этого равенства на N имеем
\—nJN=(l/N)k/(S—Е).	(8.19)
Подставляя в (8.19) вместо N его величину, определяемую соотно-
шением (8.14), получаем
l-n/tf=l(S_£o)/£o| [£/(S-E)],	(8.20)
или 1 — nAV=(£/*0)(S— £0)/(S—£).	(8.21)
Используя далее предположение (8.15), имеем 1—n/tf=(£/£0) (S—£0)/(S—£), откуда можно получить для £ следующую формулу:	(8.22)
S(l-n/N) с —(S—£0)/£о+(1—л/ЛО'	(8.23)
Формула (8.23) представляет собой одну из удобных записей гипо-
тезы Генри. Она позволяет определить текущее значение предела
усталости Е после воздействия п циклов напряжения с амплиту-
дой S, если полное число циклов до разрушения при этом напря-
жении равно /V, а начальный предел усталости £0. Соотношение
(8.23) легко преобразовать с помощью (8.13) в формулу для опре-
деления поврежденности
Г)_&_______1 Е ____1	_____S (1 k/N)____	,q пд.
£о	Ео ~ 1 “(S-Ео)+Ео (1-n/N)9
которую можно привести к виду
D “ 1 + [£O/(S —£0)] (1—л/Af)’	(8'25)
где D — поврежденность; п — число циклов воздействия напря-
жения с амплитудой S; W — число циклов до разрушения; Е^—
предел усталости исходного материала; S — амплитуда прило-
женного напряжения.
Гипотезу Генри можно обобщить на случай воздействия после-
довательности напряжений различной амплитуды путем последова-
тельного применения соотношений (8.23) и (8.24) в порядке, со-
ответствующем действию различных напряжений. При этом вели-
чина Ец каждый раз должна пересчитываться Таким образом, в
результате может быть получена последовательность значений £,„
£ь £2, . . где £0— предел усталости исходного материала,
£i— предел усталости материала после воздействия nt циклов на-
пряжения с амплитудой Si и т. д. Такой подход позволяет оценить
уменьшение предела усталости материала при его повреждении.
Полезное видоизменение гипотезы Генри состоит в проведении всех
кривых через точку Su при 1 цикле и соединении этой точки пря-
мыми линиями в полулогарифмических координатах с рассчитанны-
8.3. Гипотезы накопления повреждений 249
Рис. 8. 4. Зависимость напряжения
от деформации в процессе воздейст-
вия n-го цикла напряжения, пред-
ложенная Гатсом при формулировке
гипотезы накопления повреждений.
Ни ио формуле (8.23) значениями Е при 106 циклах, в результате
вето получаются кривые усталости для различных уровней повреж-
денное™.
Гипотеза накопления повреждений Гатса
Между гипотезой накопления повреждений, предложенной Гат-
сом [41, и описанной ранее гипотезой Генри много общего. Гате
предположил, что усталостная прочность и предел усталости при
действии циклических напряжений изменяются непрерывно и что
это изменение пропорционально некоторой функции амплитуды
напряжения. Это предположение позволяет написать уравнение
dSQ/dn = — kD(S),	(8.26)
где SQ—мгновенное значение прочности; п — число циклов воз-
действия напряжений; k — постоянная пропорциональности; D (S)—
функция поврежденности, некото-
рая функция амплитуды напря-
жения цикла.
Для использования соотноше-
ния (8.26) необходимо явным обра-
зом определить соответствующую
функцию поврежденности. Гате
предложил использовать степен-
ную функцию D(S)=(S—Se)что
позволяет записать (8.26) в виде
dSq/dn = — k(S—Sey\ (8.27)
где предел усталости; &, р —
эмпирические постоянные. Для оп-
ределения постоянных, входящих
в это соотношение, Гате предло-
жил считать, что функция повреж-
денности определяется энергией
деформации, связанной с дефор-
мациями и напряжениями, пре-
вышающими предел усталости.
Обращаясь к рис. 8.4, соотношение (8.27) можно записать в виде
dSQ , Г
-J7 = -k' Ио,— Se)de.	(8.28)
соотношение (8.28) можно переписать
S
((a—St)do.	(8.29)
и
Предполагая, что
Следующим образом:
dSj
dn
250	Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Фактически сделано предположение, что поврежденное гь, накап-
ливаемая в течение n-го цикла, пропорциональна заштрихованной
площади на рис. 8.4. Далее, считая величину S постоянной, по-
скольку она лишь незначительно меняется на протяжении п-го
цикла, и осуществляя интегрирование в (8.29), получаем
dSv/dn = — k(S—S,)».	(8.30)
Предполагаем, что
Se = CSa,	(8.31)
где С — постоянная материала. Подставляя это выражение для
Se в (8.30), находим
dSq/dn = — k(S—CSQ)*,	(8.32)
или в другом виде
dSe/dn=—k(S—Se)t.	(8.33)
Обозначая предел усталости исходного материала через S^, после
интегрирования в (8.33) получаем
kn=l/(S—1/(3—S.),	(8.34)
где Seo— предел усталости при n=0; Se— предел усталости, за-
висящий от истории воздействия циклических напряжений; S —
амплитуда действующего напряжения; п — число циклов воздей-
ствия напряжений.
Граничные условия можно задать в виде
SQ = Sn для n = 0; S,=S для n — N. (8.35)
Наконец, учитывая (8.34) и (8.35), уравнению кривой усталости
можно придать вид
kN=l/(S—Seo)— 1/[S(1—C)l.	(8.36)
Это — уравнение куполообразной кривой, показанной на рис. 8.5.
Вид этой кривой соответствует большинству экспериментально по-
строенных кривых усталости.
Далее Гате ввел понятие безразмерной (нормированной) кри-
вой усталости. С этой целью он использовал следующие определе-
ния:
y=S/Seo— относительная амплитуда напряжения цикла, от-
ношение амплитуды напряжения цикла к пределу усталости исход-
ного материала;
0=п/# — относительное число циклов, отношение числа циклов
воздействия напряжения к числу циклов до разрушения при ам-
плитуде напряжения цикла S;
Уе=5е/5е(|— относительный предел усталости, отношение те-
кущего значения предела усталости к пределу усталости исходного
материала;
8.3. Гипотезы накопления повреждений 251
Л = Л7Л' *— относительная долговечность, отношение числа цик-
8ов /V до разрушения при заданной относительной амплитуде на-
пряжения цикла у к числу циклов ;V* до разрушения при некото-
рой произвольной, принятой за отсчетную величине у, которая
обозначается через у*.
Рис. 8.5. Аппроксимация Гатса кривой усталости. (По данным работы [4].)
С учетом приведенных определений уравнение (8.36) после вве-
дения обозначения K=kSe можно переписать в форме
/<W = l/(y~ 1)_ 1/[у (1— С)1.	(8.37)
В (8.37) можно подставить любое принятое за отсчетное значение
Относительной амплитуды напряжения цикла у*:
О* = 1/(у*-1)- 1/1у* (1-С)].	(8.38)
Разделив (8.37) на (8.38), получим
1/(у—1)—1/[у (1—С)),	(8.39)
Где использовано обозначение
/<* = 1/(у*_1)_1/[у* (1—С)].	(8.40)
Соотношение (8.40) является безразмерным соотношением, свя-
зывающим относительную амплитуду напряжения цикла у с от-
носительной долговечностью L. С помощью этого соотношения
Иожно графически изобразить усталостные данные разнообразных
Материалов одной безразмерной кривой усталости, если только
величина постоянной С одинакова для всех этих материалов и от-
ветное значение у* взято одним и тем же. Учитывая, что для боль-
ПШнства сталей предел усталости в исходном состоянии при-
252 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
мерно равен половине предела прочности, находим в соответствии
с (8.31), что С=0,5. Используя из нескольких различных источни-
ков данные для сталей, Гате построил график, показанный на
рис. 8.6. Можно отметить, что соотношение (8.39) хорошо согла-
суется с экспериментальными данными, несмотря на то что они по-
лучены для разных сталей.
Выражение (8.39) позволяет достаточно быстро и с хорошей точ-
ностью строить кривые усталости для новых материалов. Для этого
достаточно экспериментально определить две величины Seo и Л'*,
l = N/N*
Рис. 8.6. Теоретические безразмерные кривые усталости (зависимости относи-
тельной амплитуды напряжения у от относительной долговечности L) и резуль-
таты различных испытаний сталей при постоянных амплитудах напряжения.
(По данным работы [41.) Se изменяется от 34 000 до 94 500 фунт/дюйм2, Л'* — от
3-Ю4 до 5-10\ О данные из [2, 3, 71 (каждая точка соответствует результатам од-
ного испытания); □ данные из [8] (каждая точка соответствует результатам от
11 до 17 испытаний); V данные из [1] (каждая точка соответствует результатам
20 испытаний); ------ С=0,5, К*=1,79;-------------С=0,04, К*=2,05.
а затем осуществить построение безразмерной кривой усталости
по уравнению (8.39).
Наконец, на основании (8.34) и (8.36), а также с учетом опреде-
ления величин Р и у предложенное Гатсом выражение для оценки
поврежденности записывается в виде
v, = v(1 — P7(i-C)+y (i-₽)/(v-i)]'	(8'41)
Сравнивая это выражение с (8.23), можно заметить, что формулы
Гатса и Генри для оценки поврежденности очень сходны. Действи-
тельно, если в (8.41) положить (5^=0 вместо ($е)л=С5, то (8.41)
примет вид
Ve=V(l-P)/(Y-p),	(8-42)
что эквивалентно соотношению Генри (8.23).
8.3. Гипотезы накопления повреждений 253
Гипотеза накопления повреждений Кортена — Долана
Гипотеза накопления повреждений Кортена — Долана [5] ос-
Иована на шести предположениях, допустимость которых по край-
ей мере качественно подтверждается имеющимися эксперименталь-
ными данными. Эти предположения состоят в следующем:
1.	Для возникновения необратимых усталостных повреждений
ыожет потребоваться некоторое время (возможно, малое число цик-
цов), в течение которого образуются зародыши повреждений.
2.	Число зародышей повреждений (субмикроскопических пор),
образующихся повсюду в теле, увеличивается при увеличении на-
пряжения.
3.	Скорость роста поврежденности при заданной постоянной
дмплитуде напряжения возрастает с увеличением числа циклов.
4.	Приращение поврежденности за цикл увеличивается с уве-
личением напряжений.
5.	Суммарная поврежденность, при достижении которой проис-
ходит разрушение тела, является постоянной величиной для всех
возможных историй нагружения.
6.	Рост поврежденности продолжается даже при действии на-
пряжений, уровень которых ниже минимального уровня, требуемо-
го для начала процесса повреждения.
С целью упрощения использования этих гипотез Кортен и До-
Иан сначала предположили, что время, требуемое для образования
Зародышей повреждений, равно нулю, т. е.
ЛГ=О,	(8.43)
Где N'— число циклов воздействия напряжения некоторой ам-
плитуды S, по истечении которого образуются зародыши поврежде-
ний.
Кроме того, они предположили существование степенной зави-
симости между удельной поврежденностью (на один зародыш) и
Кислом циклов
D'^rNat	(8.44)
Где D' — удельная поврежденность; г — коэффициент скорости ро-
ста поврежденности, зависящий от амплитуды напряжения цикла;
W — число циклов, соответствующее заданной поврежденности; а —
Показатель роста поврежденности.
Из (8.44) следует, что, если число зародышей усталостных пов-
реждений равно т, полная усталостная поврежденность D опреде-
ляется соотношением
‘	D = mD' = mrNa.	(8.45)
Например, для случаев действия напряжений с двумя различными
Постоянными амплитудами и S2 поврежденность ZJz в момент
254 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
разрушения можно записать в виде
Df = m}rxN°' = тггг№г.	(8.46)
Основываясь на этом выражении, можно построить график зави-
симости накопленной поврежденности от числа циклов. На рис. 8.7
показаны две кривые, соответствующие двум амплитудам цикли-
ческих напряжений Si и S2. С целью иллюстрации применения этой
теории и предсказываемых ею результатов рассмотрим действие
циклических напряжений двух уровней в виде последовательно
Рис. 8.7. Кривые зависимости поврежденности от числа циклов для двух различ-
ных уровней напряжений по гипотезе Кортена — Долана.
повторяющихся блоков, показанных на рис. 8.8. На этом рисунке
использованы следующие обозначения: Sx— большая амплитуда
напряжения; S2—меньшая амплитуда напряжения; пг — общее
число циклов в повторяющемся блоке; а — часть общего числа
циклов пг, приходящаяся на долю напряжения с большей ампли-
тудой Sx.
Результат воздействия показанных на рис. 8.8 повторяющихся
блоков циклических напряжений, когда амплитуда напряжений пе-
риодически меняется от Sx до S2 и опять к Sb можно изобразить
на кривой поврежденности, как это показано штриховой линией
на рис. 8.7.
Следует отметить, что, однажды начавшись, процесс поврежден-
ности продолжается при действии напряжений как с амплитудой
Si, так и с амплитудой S2. Поэтому в дальнейшем предполагается,
что все тх зародышей повреждений, возникающих при действии
напряжений с амплитудой Sb продолжают развиваться при деист-
8.3. Гипотезы накопления повреждений 255
вин напряжений как с той, так и е другой амплитудой. Полная
накопленная поврежденность будет равна сумме приращений пов-
режденности от действия напряжений с амплитудой Si и прираще-
ний поврежденности от действия напряжений с амплитудой St.
Удобный способ суммирования приращений поврежденности за-
ключается в определении эквивалентного числа циклов напряже-
ния с амплитудой $ь соответствующего такой же поврежденности,
которая возникает после действия пг(\—а) циклов напряжения
Рис. 8.8. Простой спектр циклических напряжений двух уровней, использован-
ный при изложении гипотезы накопления повреждений Кортена — Долана.
с амплитудой S2. Если это удастся определить, то можно оценить
поврежденность, анализируя лишь одну кривую Si на рис. 8.7.
Рассматривая рис. 8.7, можно заметить, что некоторого при-
ращения поврежденности ДР можно достичь, двигаясь либо по
кривой Si, либо по кривой S2. При малом числе циклов ДМ соот-
ветствующее приращение поврежденности ДР можно представить
в виде произведения наклона кривой поврежденности и прираще-
ния числа циклов. Таким образом, если величина ДА/ мала, то
ДР/ДМ = наклон кривой повреждаемости. (8.47)
Наклон кривой повреждаемости можно найти, дифференцируя соот-
ношение (8.45) по числу циклов, в результате чего получаем
наклон кривой повреждаемости = (d/dN) (mrN°),	(8.48)
или
наклон кривой повреждаемости = mrah'a~l. (8.49)
256 Гл, 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Используя (8.47) и (8.49), находим
AD/AAr =mraNa~l.	(8.50)
Для точки d на кривой Si рис. 8.7 в соответствии с (8.50) прираще-
ние поврежденности можно записать в виде
bD = tnxajxNar' bNr	(8.51)
Аналогично для точки с на кривой S2 приращение поврежденности
можно записать в форме
ЛР = щ1а2гХ’“1	(8.52)
Следует отметить, что в соотношении (8.52) в качестве числа раз-
вивающихся зародышей повреждений взято ти а не /и2, поскольку
при действии напряжений с амплитудой Si уже образовалось
зародышей повреждений, и все они по предположению развиваются
при действии напряжений с амплитудой S2. Поскольку прираще-
ние поврежденности АО не зависит от того, происходит ли процесс
по кривой Si или по кривой S2, выражения (8.51) и (8.52) можно
приравнять, в результате чего получаем
mxaxrxNa<Tl AW,	AJV2.	(8.53)
Это отношение можно разрешить относительно АЛ^:
AJV,	W*) ДЛГ2.	(8.54)
Кроме того, поскольку поврежденность в точках с и d на рис. 8.7
одинакова, имеем
D = in,rtN“’ = niirtNc‘,	(8.55)
откуда Nd = (rJriyla'Nc',a'‘	(8.56)
Подставляя (8.56) в (8.54), получаем
(8.57)
что можно привести к виду
ЛЛ\ = (а2/й,) (rг/r1)^/«^^‘o«/a*,-, ДАТ,.	(8.58)
С целью упрощения этого соотношения введем следующие два обо-
значения:
A = a2!av R = r2/rx.	(8.59), (8.60)
При помощи этих обозначений выражение (8.58) можно записать в
виде
(8.61)
Используя (8.61) и (8.45), выражение для суммы всех приращений
поврежденности вдоль кривой повреждаемости Si на рис. 8.7
8.3. Гипотезы накопления повреждений 257
можно переписать в следующем виде:
g
0 = 2= 171^ [JVfa + AR1^ (1 — a) nrx
x{n*-'+(2nr)*-' + (3nrp~1 + ... + (£nr)^4]%	(8.62)
где Ng—полное число циклов напряжения во всех g повторяю-
щихся блоках нагружения тела; g — число повторяющихся блоков
в спектре нагружения; пг, 2пг, Зпг, . . .— соответствующее число
Nс (8.61) для каждого из повторяющихся блоков, которые участвуют
в суммировании. Ряд в соотношении (8.62) можно вычислить, после
чего получим
D = /и1г1 [Л^х + R^> (1 -а) Л^.	(8.63)
Одно из шести основных предположений состояло в том, что по-
врежденность, соответствующая разрушению, является постоянной
величиной, не зависящей от спектра напряжений. Поэтому повреж-
денность при разрушении можно вычислить в условиях действия
напряжений с постоянной амплитудой Si, число циклов до разру-
шения при этом обозначим через В соответствии с упомянутым
предположением вычисленная таким образом поврежденность при
разрушении будет равна поврежденности при разрушении, вычис-
ленной по формуле (8.63). Производя вычисления по формулам
(8.45) и (8.63) в момент разрушения и приравнивая результаты, по-
лучаем
Df =	= mj, [(Ng)f a + RU«. (1 -a)	(8.64)
где (Ng)f — полное число циклов до разрушения во всех повторяю-
щихся блоках. В соответствии с (8.64) можно записать
^ = a(^)/4-/?*/-’.(l-a)(^)(*.	(8.65)
Отметим, что если бы величины ai и а, были близки друг к другу,
то величина А была бы примерно равна 1 и (8.65) можно было бы
записать в виде
(^)/ = ^/[а + Я*/‘(1 -а)].	(8.66)
В широком диапазоне амплитуд напряжений, особенно для сталь-
ных материалов, предположение, что а^а^а, подтверждено экс-
периментально 151.
При изложении гипотезы Кортена — Долана в самом начале
было сделано предположение, что время образования зародышей
повреждений равно пулю. Однако может оказаться, что для зарож-
дения усталостных повреждений требуется воздействие значитель-
ного числа циклов АГ. Для учета этой возможности следует в (8.46)
вместо подставить (jV,—после чего получим
Dj = rnlrl —	(8.67)
• M 492
258 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Если теперь предположить, что время зарождения повреждений
при воздействии спектра амплитуд переменных напряжений таково
же, как и при воздействии напряжений с постоянной наибольшей
амплитудой Si (это согласуется с ранее сделанным предположением
о зависимости числа зародышей повреждений лишь от наибольшей
амплитуды напряжения 5г), и если считать 4 = 1, то соотношение
(8.64) можно переписать в виде
(N \ = —(ЬгДЛа— +	\ N	(8.68)
' е,/	а+Л1/о(1-а)	°
где 0 = A^/Aft.	(8.69)
Соотношение (8.68) получено в результате подстановки в (8.64)
величины Ng—A\/a вместо Ng и нахождения (Ng)f. Такая подста-
Рис. 8.9. Связь между 1g (Sa/$i) и 1g Ri/a по теории Кортена — Долана для про-
волоки из легированной стали (Brite Basic) диаметром 0,05 дюйма. Числа на
рисунке рядом с кружками указывают величины циклических напряжений (в
фунт/дюйм*) в экспериментах. (По данным работы (51.)
новка правомерна, поскольку требуется N'Ja, циклов напряжений
с амплитудами S, и S,, чтобы воздействовало Л\ циклов напряжения
с амплитудой Si, a как раз и обозначает число циклов напряже-
ний с амплитудой Si, требуемое для зарождения повреждений.
Можно заметить, что (8.68) очень сходно с (8.66), за исключением
8.3. Гипотезы накопления повреждений 259
того, что в соотношении (8.68) содержатся члены, учитывающие на-
личие некоторого периода зарождения повреждений.
Анализируя большое количество экспериментальных данных
для образцов из стальной проволоки, используя статистический
метод «вверх — вниз» и получая каждую точку по результатам ис-
пытания 20 образцов для получения среднего значения с уровнем
доверия 95%, Кортен и Долан [5] подтвердили очень хорошее соот-
Рис. 8 .10. Связь между lg (S2zSi) и 1g по теории Кортена — Долана для алю-
миниевого сплава 7075-Т6. (По данным работы [14, стр. 438].)
ветствие теоретических и экспериментальных результатов при пред-
положении, что А^1 и Р=0, т. е. они показали, что в широком
Диапазоне изменения напряжений для испытанных сталей соот-
ношение (8.66) дает очень хорошую точность. Аналогичные выводы
были сделаны позднее Доланом по результатам испытаний образцов
алюминиевого сплава 7075-Т6 [14, стр. 438].
Далее Кортен и Долан предложили заменить зависящее от на-
пряжений отношение R другой, проще вычисляемой величиной, зави-
сящей от напряжений Si и S,. В соответствии с этим они исследо-
вали соотношение
R^^/SJ*.	(8.70)
260 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Данные, полученные ими при испытании стали, приведены на
рис. 8.9, а некоторые полученные позднее при испытании алюминие-
вого сплава — на рис. 8.10. Эти графики свидетельствуют о том,
что величина d в (8.70) является постоянной для данного материала.
Поскольку (8.70) можно записать в виде
1g /?'/* = dIg(S2/St),	(8.71)
величина d для упомянутых материалов определяется наклоном
прямых на рис. 8.9 и 8.10. Для стали среднее значение d равно
6,57; меняется оно в диапазоне от 6,2 до 6,9. Для алюминиевого спла-
ва среднее значение d равно 6,0.
Поступая точно так же, как и при получении соотношения (8.66),
и применяя (8.70), Кортен и Долан получили следующее выражение
для оценки числа циклов до разрушения в случае нагружения повто-
ряющимися блоками, в которых чередуются напряжения несколь-
ких различных амплитуд:
(ЛС), =------------3-----—------------------Л .	(8.72)
где (Ng)f — общее число циклов до разрушения в условиях действия
напряжений с меняющейся амплитудой; d — постоянная материала;
/V] — число циклов до разрушения при действии напряжения с наи-
большей амплитудой Si; ab a2, . . . , а, — относительные доли чис-
ла циклов напряжений с амплитудами St, S2, . . . , Sj соответст-
венно.
При получении этого выражения предполагалось, что 4 = 1 и
0=0. Для применения этой теории необходимо определить экспери-
ментально величину d для исследуемого материала.
Для сравнения с гипотезой Марина [6, стр. 2001 удобно записать
выражение (8.72) в несколько другой форме. Отметим, что
ainr + a2nr + a3nr+ . . . + ainr = nr9	(8.73)
где пг — число циклов в одном повторяющемся блоке нагружения
и — доли общего числа циклов, соответствующие амплитудам
напряжения Sf. Кроме того,
=	(8.74)
где g — число повторяющихся блоков, а Ng — полное число цик-
лов в течение всего процесса нагружения. Умножая (8.73) на g,
получаем
+ • • • + a,gnr = gnr.	(8.75)
Следовательно, в соответствии с (8.74) имеем
aiNg + aiNg-^..-{-aiNg^^g.	* (8.76)
8.3. Гипотезы накопления повреждений 261
Кроме того, если nt — полное число циклов нагружения напряже-
нием с амплитудой Sb то
п1 = аЛг пя = а2^, ...,	(8.77)
После деления обеих частей равенства (8.72) на величину N ,
соответствующую условиям разрушения, т. е. на и учета
(8.77) получаем равенство
1 =------------з-------------------------т 	(8.78)
щ + п2 (S2/S.)d + n, (5, /S0d +...+«/ (Si/St)*	'
Если числитель и знаменатель правой части (8.78) поделить на
и выполнить некоторые преобразования, то получим
•Я7 + -S7(Й)" + Ш' + ' - + Ш"1' (8 га>
В таком виде соотношение Кортена — Долана будет в дальнейшем
использовано для сравнения с теорией накопления повреждений
Марина.
Гипотеза накопления повреждений Марина
Гипотеза накопления повреждений Марина (101 основана на иссле-
довании соотношения между поврежденностью, зависящей от отно-
сительного числа циклов, и изменениями кривой усталости вследст-
вие накопления повреждений. Если построить, как показано на
рис. 8.11, экспериментально определенные кривые зависимости пов-
Рис. 8.11. Зависимость поврежденности от относительного числа циклов для раз
личных амплитуд напряжения.
262 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
режденности от относительного числа циклов для нескольких
различных амплитуд напряжения, то можно, проведя линию по-
стоянной поврежденности, например 0=0,4, на каждой из этих
кривых найти точки, соответствующие поврежденности D =^0,4.
Эти 7 точек обозначены на рис. 8.11 цифрами 1—7. Эти же 7 точек
можно было бы отметить на кривой усталости для 7 значений ампли-
туд напряжений, соответствующих 7 кривым повреждаемости на
рис. 8.11. Такая кривая усталости показана на рис. 8.12 кривой,
помеченной указателем 0=0,4. Построенная по этим 7 точкам
кривая является кривой усталости при постоянной поврежденности
Рис. 8.12. Кривая усталости и линии постоянной поврежденности, построенные по
гипотезе Марина; 5 — амплитуда напряжения; N — число циклов; 1 — кривая
усталости при симметричном нагружении.
0=0,4. Исходную кривую усталости исходного материала можно
считать кривой, соответствующей постоянной поврежденности
= 1,0. Находя точки пересечения 7 кривых на рис. 8.11 с другими
прямыми постоянной поврежденности и перенося результаты на
рис. 8.12, можно построить семейство кривых усталости, соответст-
вующих различным уровням поврежденности. Такое семейство и
показано на рис. 8.12.
В результате построения кривых усталости постоянной повреж-
депности непосредственно видно, что воздействие гц циклов напря-
жения с произвольной амплитудой S/ в точности эквивалентно по
поврежденности воздействию лх циклов напряжения с амплитудой
51, где лх, л2, Лз, . . . , rii — точки на кривой постоянной повреж-
денности. Таким образом, можно найти эквивалентное число циклов
при некотором выбранном базовом уровне напряжения, результа-
8.3. Гипотезы накопления повреждений 263
воздействия которого будет такая же поврежденность, как и
после воздействия nt циклов напряжения с эксплуатационной ам-
плитудой S,. Используя такой подход и выбирая в качестве базовой
амплитуды напряжений наибольшую амплитуду Sn Марин полу-
чает
(£)'. <..-<.(§)*....... , (If)*. <8 80)
где nie — число циклов с базовой амплитудой напряжения Si,
эквивалентное по поврежденности циклам напряжения с ампли-
тудой S,;	— число циклов напряжения с амплитудой Sf; S, —
амплитуда напряжений, приводящих к повреждению.
Из соотношений (8.80) следует, что, если величина у больше или
равна единице, nie будет всегда меньше единицы, поскольку по
определению базовая амплитуда напряжения Si больше любой
другой амплитуды Sf. В соответствии с (8.80) Марин далее опреде-
ляет последовательность долей поврежденности, соответствующих
воздействию напряжений с различными амплитудами, в виде
Ъ-ТГ,-	=	.....<8-81>
Далее полагается, что сумма всех этих долей в момент разруше-
ния должна равняться единице. Следовательно, разрушение про-
гнозируется при выполнении условия
Ях+Я.+Я.Ч-. . .+Я|=1.	(8.82)
Подставляя (8.81) в (8.82), получаем
n1/jV1+n,e/jV,+n,^i+. . .+п<е/Ух=1,	(8.83)
и, наконец, заменяя величины nie их представлениями (8.80),
приходим к условию разрушения Марина в виде
ni t na ( 5,	। л, ( S, ,	। П( ( S{\V__, /o
w _L (8-84)
Сравнивая (8.84) с результатом Кортена —Долана (8.79), заме-
чаем, что они станут в точности одинаковыми, если показатель
степени у в соотношении Марина взять равным показателю d в со-
отношении Кортена — Долана.
Соотношение Марина можно преобразовать, если предположить,
что кривая усталости хорошо аппроксимируется уравнением вида
SxN = k.	(8.85)
В соответствии с этим предположением выполняются равенства
S*tN, = S*Nlt S*N, = SjV,, .... SW = S*Nt. (8.86)
Находя из этих соотношений и подставляя полученные ре-
зультаты в (8.84), получаем
П1 । пз (1 лз / 5з\<7 ,	। л/ /SAe___. .q «у,
k + nAsJ +л7^	+	{8,87)
264 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
где	q=y—x.	(8.88)
Интересно отметить, что (8.87) при <?=0, т. е. при у=х, сводится
к гипотезе Пальмгрена.
Из (8.87) следует, что для оценки возможности разрушения в ус-
ловиях воздействия спектра нагрузок достаточно знать постоянную
материала q и кривую усталости исходного материала при симмет-
ричном нагружении. Если представляет интерес число циклов на-
пряжения с заданной амплитудой напряжения которое может
выдержать элемент до разрушения после воздействия некоторого
известного спектра нагрузок, его можно найти, определяя и, из
(8.87):
где nir — число циклов напряжения амплитуды которое может
выдержать элемент после воздействия циклов с амплитудой
n, с , и циклов с амплитудой Si_i.
Билинейное правило Мэнсона суммирования повреждений
В 1960 г. Гровером 1111 была высказана мысль, что оценка накопле-
ния поврежденности может быть улучшена, если процесс усталости
разделить на фазы зарождения трещины и ее распространения и
применить правило линейного суммирования повреждений к каж-
дой фазе отдельно. Никаких указаний о количественных оценках
границ этих фаз сделано не было. Эмпирический метод установления
границ этих фаз и соотношение для оценки поврежденности были
предложены позднее Мэнсоном [12, 131, который предположил, что
период распространения трещины можно оценить с помощью соот-
ношения
Np = PNpf,	(8.90)
где — число циклов, в течение которых происходит распростра-
нение трещины после того, как она уже образовалась; М, — полное
число циклов до разрушения; Р — коэффициент, определяемый экс-
периментально; р — показатель распространения, определяемый
экспериментально.
С учетом (8.90) период зарождения трещины N' можно оценить
по соотношению
А/' = Л^~Npt	(8.91)
или N' = Nf — PN?.	(8.92)
На основе анализа экспериментальных данных для многих различ-
ных материалов показатель распространения р 1Мэнсоном взят рав-
ным 0,6. Коэффициент Р был определен из условия наилучшей ап-
проксимации результатов испытаний с двумя различными ампли-
8.3. Гипотезы накопления повреждений 265
•удами напряжений, при этом было получено, что Р=14. Таким
образом, соотношения (8.90) и (8.92) имеют вид
Np=\4N, ь, = W — 14Л^‘.	(8.93), (8.94)
Дополнительные экспериментальные исследования привели Мэн-
сона к выводу, что эти соотношения применимы, если долговечность
Hf превышает примерно 730 циклов. В том случае, когда полное
число циклов до разрушения менее 730, трещина возникает, по-ви-
дамому, во время первого цикла, поскольку уровень напряжений
Жи столь малой долговечности должен быть достаточно высоким.
>и этом вся долговечность обусловлена распространением тре-
щйны. Таким образом, имеем
N' =
Np=X4N^
N'=*0 (
Nr^N, f
для Af, > 730 циклов;
для Nf^.730 циклов,
(8.95)
(8.96)
где N' — число циклов до возникновения трещины; Np — число
циклов, в течение которых происходит распространение образовав-
шейся трещины; (V/ — полное число циклов до разрушения.
Используя эти эмпирические соотношения, линейное суммирова-
ние повреждений следует применять к каждой фазе отдельно, т. е.
прогнозировать образование трещины и разрушение в соответствии
со следующим правилом:
Усталостный дефект критического размера возникает при
^n./N^X,	(8.97)
i = 1
а разрушение вследствие распространения образовавшихся трещин
критического размера происходит при
%гу{Ур},= Х,	(8.98)
i = 1
где в каждом случае п обозначает число циклов воздействия напря-
жений с соответствующей индексу i или / амплитудой.
Таким образом, до возникновения трещины критического раз-
мера следует использовать соотношение (8.97), а затем оценивать
возможность разрушения по соотношению (8.98). Применение би-
линейного правила суммирования повреждений дало результаты,
Достаточно хорошо согласующиеся с экспериментальными, которые
были получены при испытаниях некоторых материалов с двумя раз-
ными амплитудами напряжений [13]. На рис. 8.13 приведены экспе-
риментальные данные для стали SAE 4130 и показаны результаты
сравнения их с расчетами по правилу Мэнсона билинейного сумми-
рования повреждений и по гипотезе Пальмгрена.
О 0,25 0,50 0,75 1,00
(а)
(6)
Рис. 8.13. Сравнение результатов расчетов усталости по правилу билинейного
суммирования Мэнсона и правилу линейного суммирования повреждений Пальм-
грена с экспериментальными данными испытаний стали SAE 4130 при двух уров-
нях напряжения;	— относительное число оставшихся циклов; Лг/М/д—
относительное число приложенных циклов. Изгиб с вращением на машине Мора:
(а) от высокого напряжения к меньшему при малой начальной долговечности;
(Ь) от высокого напряжения к меньшему при относительно большой начальной
долговечности. (По данным работы [13]. © ASTM; адаптировано с разрешения.)
Обозначения: Q мягкий материал (Рс=26); Ц твердый матерная (/?с=40);
--------гипотеза линейного' суммирования повреждений Пальмгрена;----------
билинейное правило Мэнсона суммирования повреждений.
8,4. Пример 267
М. ПРИМЕР
рассмотрим задачу проектирования соединительной тяги сплошного
кругового поперечного сечения из стали 4340, термообработанной
так, что ее твердость по Роквеллу С-35. Тяга нагружается спектром
продольных нагрузок; нужно спроектировать ее с учетом требова-
ния обеспечения 99 %-ной вероятности безотказной работы. Резуль-
таты экспериментов, проведенных для построения кривой усталости
при 99%-ной вероятности безотказной работы, приведены в табл.
Таблица 8.1. Данные для построения кривой усталости при 99%-ной
вероятности безотказной работы (сталь 4340, твердость по Роквеллу С-35)
Амплитуда напряжения S, фунт/дюйм1	цикл	Амплитуда напряжения S, фунт/дюйм1	цикл
168000	100	110 000	55 500
160 000	1350	100 000	110 000
150000	3500	90 000	216000
140 000	7100	80 000	440 000
130 000	14 200	70 000	1 980 000
120000	28 000	68 000	00
8.1. За время одного рабочего цикла на тягу воздействует следую-
щий спектр нагрузок:
/>^==22000 фунтов в течение 1200 циклов,
Рд= 12 000 фунтов в течение 7000 циклов, (8.99)
Рс = 6500 фунтов в течение 50 000 циклов.
За все время эксплуатации тяги такой рабочий цикл повторяется
три раза. требуется подобрать площадь поперечного сечения тяги
при условии обеспечения 99%-ной вероятности безотказной работы,
используя гипотезы Пальмгрена, Генри, Гатса, Кортена — Дола-
на, Марина и Мэнсона.
Для получения решения построим кривую усталости, соответст-
вующую 99%-ной вероятности безотказной работы и показанную
на рис. 8.14. При использовании каждой из указанных 6 гипотез
требуемая площадь поперечного сечения тяги определяется в ре-
зультате итерационного процесса. Для определения необходимой
площади по гипотезе Пальмгрена в качестве первого приближения
возьмем произвольно величину	дюйм2. Первое приближе-
ние для напряжений с использованием (8.98) при этом записывается
в виде
5Л= Рл/Д1 = ^-у^= 110000 фунт/дюйм2 в течение 1200 циклов,
Se = Рв//4! = ^-^== 60 000 фунт/дюйм2 в течение 7000 циклов,
(8.100)
Рс/Лх = ^у = 32 500 фунт/дюйм* в течение 50000 циклов.
268 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Рис. 8.14. Кривая усталости, соответствующая 99%-ной вероятности безотказной
работы, для стали 4340, используемой в качестве материала рассматриваемой в
примере тяги. Показаны кривые усталости после повреждения на первом этапе,
полученные по гипотезам накопления повреждений Генри и Гатса.
Этот спектр напряжений за время эксплуатации повторяется три
раза. Используя (8.100) и кривую усталости на рис. 8.14, можно
Таблица 8.2. Первое приближение решения Пальмгрена
Амплитуда нагрузки	фунт	дюйм*	фунт/дюйм1	цикл	Пг,. цикл	Л|, цикл	nJNy
А	22 000	0,2	110 000	55 000	1200	3600	0.065
В	12000	0,2	60 000	00	7000	21 000	0
С	6500	0,2	32 500	00	50 000	150 000	0
в первом приближении получить результаты, приведенные в
табл. 8.2. Суммируя числа последнего столбца табл. 8.2, получаем
£(n/2V) = 0,065.	(8.101)
Поскольку эта сумма меньше единицы, выбранная величина пло-
щади слишком велика, и надо задать новое, меньшее значение.
8.4. Пример 269
Таблица 8.3. Второе приближение решения Пальмгрена
Амплитуда нагрузки	Р, ’унт	4г, дюйм1	.st, фунт дюйм’	цикл	цикл	л2, цикл	
А	22 000	0,15	146 700	4500	1200	3600	0,80
В	12 000	0,15	80 000	445 000'	' 7 000	21 000	0,05
С	€500	0,15	43 300	ос	50 000	150 000	0
В качестве следующего приближения возьмем Л2^=0,15 дюйм2.
Данные, полученные при этом значении площади, приведены в
табл. 8.3. Суммируя числа последнего столбца этой таблицы, полу-
чаем
£(л/#) = 0,85.	(8.102)
Эта сумма гораздо ближе к единице, но площадь все еще немного
велика
В качестве следующего приближения возьмем А 3 -0,148 дюйм2
и получим результаты, приведенные в табл. 8.4. Используя послед-
Таблица 8.4. Третье приближение решения Пальмгрена
Ампли- туда нагру- зки	Р, фунт	я Я. дюйм’	фунт/дюйм’	цикл	пг* цикл	Пя. цикл	и ;V 1
А	22 000	0,148	148 700	3800	1200	3600	0,948
В	12 000	0,148	81 000	400 000	7000	21 000	0,053
С	6500	0,148	44 000	00	50 000	150 000	0
ний столбец этой таблицы, получаем
£(n//V) = l,00.	(8.103)
Таким образом, по гипотезе Пальмгрена площадь поперечного се-
чения должна быть 0,148 дюйм2.
Для определения требуемой площади сечения тяги по гипотезе
Генри надо использовать соотношения (8.23) и (8.13) и кривую уста-
лости. В качестве первого приближения величины площади возьмем
результат, полученный по гипотезе Пальмгрена, т. е. А -=^0,148
дюйм2. Составим табл. 8.5.
Ясно, что разрушение произойдет в конце действия нагрузки
с амплитудой С во время второго рабочего цикла, так как число
циклов до разрушения при напряжении с такой амплитудой равно
50 000 и 50 000 циклов такого напряжения будет приложено. Таким
образом, остаточный предел усталости будет равен нулю, и повреж*
Таблица 8Л. Первое приближение решения Генри
Фунт/дюйм*	Ампли- туда нагрузки	Номер рабочего цикля	р, фувт	дюйм*
£ =08 000	А	1	22 000	0,148
L, = 54 500	В	1	12 000	0,148
£. = 53 200	С	1	6500	0,148
£ < = 53 200	А	2	22 000	0,148
/.< = 10 950	В	2	12 000	0,148
£fi=1550 £; = о	С	2	6500	0,148
Таблица 8.6. Первое приближение решения Гатса
	Ампли- туда нагрузки	Номер рабочего цикла	р, фунт	дюйм’
$,„ = 68 000	А	1	22 000	0,15
$,,=65 300	В	1	12 000	0,15
$,, = 65 200	С	1	6500	0,15
$,, = 65 200	А	2	22 000	0,15
$,4 = 62 500 • ♦	В	2	•	•
фунт/дюйм2	Л^, цикл	«и цикл	л./Л/,	(S —£0)/Е0
148 700	3800	1200	0,316	1,19
81 200	160000	7000	0,044	0,49
44 000	00	50000	0	—
148 700	1400	1200	0,857	1,80
81 200	8000	7000	0,875	6,40
44 000	50 000	50 000	1	(разрушение)
51, фунт/дюйм1	Л',, никл	Пи цикл	th	Vi	
146 700	4500	1200	0,266	2,16	0,960
80 000	350 000	7000	0,02	1,22	0,998
43 300	00	50 000	0	0,66	1,0
146 700	3600	1200	0,33	2,25	0,96
270 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
8,4. Пример 271
денность в соответствии с (8.13) равна единице, что означает раз-
рушение. Отсюда следует, что выбранная величина площади слиш-
ком мала и что в качестве следующего приближения надо взять но-
вое большее значение. Цель расчета состоит в определении такой
величины площади, при которой относительное число циклов n/N
достигнет единицы после последнего цикла действия нагрузки с ам-
плитудой С во время третьего рабочего цикла.
Процедура определения величины требуемой площади сечения
тяги по гипотезе Гатса очень сходна с только что описанной проце-
дурой применения гипотезы Генри. Разрушение предсказывается,
когда величина в формуле Гатса (8.41) станет равной нулю. При
использовании в качестве первого приближения величины площади
0,15 дюйм2 и C=S<JSU =0,4 можно составить табл. 8.6.
Таблица заполняется последовательно для всех рабочих циклов.
Цель расчета состоит в том, чтобы р=1 после воздействия всех цик-
лов нагрузки амплитуды С на третьем рабочем цикле. При этом для
момента разрушения соотношение (8.41) принимает вид уе=Су, т. е.
разрушение происходит, когда остаточный предел усталости сни-
жается по величине до CS.
Для определения требуемой площади сечения стержня по гипо-
тезе Кортена — Долана следует использовать соотношение (8.79).
Выбирая в качестве начального значения площади 0,15 дюйм2
и используя среднее значение d=6,57, по формуле Кортена — До-
лана в первом приближении получаем
3600 21 000 / 80 000 V>57	150 000 / 43 300 \ в.ь?	1пд
^““4500+ 4500 V146 700/	+ 4500 И46 700)	“ ’
откуда 0 = 0,89.	(8.105)
Поскольку эта величина меньше единицы, выбранная площадь не-
сколько велика. Надо пробовать другие значения, пока при вы-
бранной величине площади не получим в результате расчета по
(8.79) единицу.
Чтобы использовать гипотезу ^Марина, т. е. соотношение (8.87),
надо сначала перестроить кривую усталости в логарифмических
координатах, как это сделано на рис. 8.15, и найти величину пока-
зателя х, которая для исследуемого материала равна 8,05. Прини-
мая поданным Кортена — Долана у=6,57, вычисляем при площади
0,15 дюйм2 по формуле Марина
п 3600 , 21 000 / 80 000 \"М* , 150 000 / 43 300 \.
U ~ 4500 + 445 000 \ 146 700/	оо \ 146700/ J b
откуда £> = 0,92.	(8.107)
Поскольку величина поврежденности D меньше единицы, выбран-
ная площадь несколько велика. Следует попробовать другие значе-
ния, пока расчетная величина/) не станет равной единице. При этом
конструкция будет удовлетворять предъявляемым к ней требова-
ниям.
272 Гл, 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Наконец, принимая площадь равной 0,15 дюйм2 и используя
последовательно (8.95) или (8.96) одновременно с (8.97) и (8.98),
применим правило Мэнсона билинейного суммирования поврежде-
ний. В соответствии с кривой усталости материала его долговеч-
ность Nf при напряжении с наибольшей амплитудой из заданного
Рис. 8.15. Кривая усталости в логарифмических координатах, используемая для
определения показателя х= (lg W2—lg A'i)/(lgSi—lgS2) в уравнении кривой уста-
лости Марина. Чтобы величина х удовлетворяла соотношению (8.85) она должна
быть обратна по величине и противоположна по знаку наклону изображенной
кривой усталости; 1 — кривая усталости при симметричном нагружении.
спектра превышает 730 циклов, так что следует пользоваться со-
отношениями (8.95). Применяя их для всех трех амплитуд напря-
жений Se и Sc, составляем табл. 8.7. Далее по формуле (8.97)
Таблица 8.7. Данные для нахождения первого приближения
решения Мэнсона
Ампли- туда нагру- зки	р. Фут	Alf дюйм8	фунт/дюйм*	Л/Ь цикл	N/i6’ ЦИКЛ	"а ЦИКЛ	*!• цикл
А	22 000	0,15	146 700	4500	156	2180	2320
В	12 000	0,15	80 000	445 000	2450	34 300	410 700
С	6500	0,15	43300	00	00	00	оо
вычисляем зародышевую поврежденность с тем, чтобы установить,
когда она станет равной единице. Результаты вычислений сведены
в табл. 8.8. Индекс I означает, что используется первое приближе-
ние для величины площади.
8.4. Пример 273
Таблица 8.8. Определение в первом приближении момента образования
трещин по теории Мэнсона
Ампли- туда наг- рузки	Номер рабо- чего цикла	Р, фунт	.4,. ДЮЙМ1	фунт/дюйм1	ЦИКЛ	4 ЦП кл	">N\	
А	1	22 000	0,15	146 700	1200	2320	0,517	0,517
В	1	12000	0,15	80000	7000	410 700	0,017	0,534
С	1	6500	0,15	43 300	50 000	00	0	0,534
А	2	22 000	0,15	146 700	1200	2320	0,517	1,051
Таким образом, получаем, что критические зародыши повреж-
дений возникают при действии нагрузки с амплитудой А во время
второго рабочего цикла, так как при этом величина X (n/N) стано-
вится равной единице. Определить точно, когда эта величина до-
стигнет единицы, можно из условия 0,5344-/1^/2320=1, откуда
2320(1 —0,534) = 1080 циклов, (8.108)
где Пм — число циклов воздействия нагрузки с амплитудой А
во время второго рабочего цикла, по прошествии которых образуют-
ся критические зародыши повреждений. Во время остальных
120 циклов из заданного спектра происходит распространение тре-
щин. На фазе распространения следует использовать соотношение
(8.98). Результаты расчета сведены в табл. 8.9. Разрушение пред-
Таблица 8.9, Первое приближение для фазы распространения трещин
до разрушения по теории Мэнсона
Ампли- туда наг- рузки	Номер рабо- чего цикла	р, фут	4», дюйм2	5м фунт/дюйм1	п,, ЦИКЛ	ЦИКЛ	ц1УЛ' , 1 F1	
А	2	22 000	0,15	146 700	120	2180	0,06	0,06
В	2	12 000	0,15	80 000	7000	34 300	0,20	0,26
С	2	6500	0,15	43 300	50 000	Оо	0	0,26
А	3	22 000	0,15	146 700	1200	2180	0,55	0,81
В	3	12 000	0,15	80 000	7000	34 300	0,20	1,01
сказывается во время действия нагрузки с амплитудой В в процессе
третьего рабочего цикла. Это свидетельствует о том, что выбранная
площадь несколько меньше, чем требуется.
Хотя этот результат близок к удовлетворительному, поскольку
нагрузка с амплитудой С не вызывает никаких повреждений, в
принципе следует задать несколько меньшее значение площади и
274 Гл, 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
повторить все вычисления с тем, чтобы получить 2 (n/Np) = l после
воздействия последнего цикла из всего заданного спектра нагру-
жения.
8.5.	ОЦЕНКА ДОЛГОВЕЧНОСТИ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ЛОКАЛЬНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ ДЕФОРМАЦИЙ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
В последние годы стало общепринятым считать, что процесс уста-
лостного разрушения состоит из трех фаз. Первая фаза — возник-
новение трещины, за ней следует вторая — распространение тре-
щины, и, наконец, когда трещина достигает критического размера,
процесс разрушения завершает третья фаза — быстрый неустойчи-
вый рост трещины до полного разрушения. Возможность моделиро-
вания каждой из этих фаз интенсивно исследовалась, однако до
сих пор еще не создано скоординированных между собой моделей,
которые в совокупности представляли бы общепринятый ин-
женерный метод расчета. Тем не менее целесообразно рассмотреть
некоторые последние достижения в этом направлении, поскольку
в последние годы они особенно велики. В первую очередь это от-
носится к моделированию фазы распространения трещины и послед-
ней фазы разрушения, о чем уже говорилось в разд. 3.7—3.10.
Локальное напряженно-деформированное состояние
и образование трещин
Хотя достижения в области моделирования фазы образования тре-
щин менее впечатляющие, чем в области моделирования других фаз,
отметим, что наиболее перспективный подход к оценке возможности
возникновения трещин связан, по-видимому, с исследованием ло-
кального напряженно-деформированного состояния. Основная пред-
посылка этого подхода заключается в том, что локальное поведение
материала при усталости в опасной точке, т. е. в месте образования
трещины, аналогично поведению небольшого гладкого образца при
воздействии на него таких же циклических деформаций и напряже-
ний [15]. Иллюстрация этого утверждения схематично дана на
рис. 8.16 на примере циклически нагружаемой пластины с выточ-
кой.
Поведение материала в опасной области в условиях циклически
изменяющегося напряженно-деформированного состояния можно
изучить, исследуя в лабораторных условиях гладкий образец.
Соответствующие условия проведения лабораторных испытаний
определяются на основе анализа расчетными или эксперименталь-
ными методами изменения локальной зависимости напряжений от
деформаций при циклическом нагружении в опасной точке конст-
рукции. Таким образом, необходимо располагать методами опреде-
ления характеристик напряженно-деформированного состояния с
8.5. Оценка долговечности на основе локальной зависимости о от г 275
Рис. 8.16. Гладкий обра-
зец, моделирующий мате-
риал в опасной точке кон-
струкции (см. [15]); 1 —
критическая зона; 2 —
выточка; 3 — гладкий об-
разец.
помощью, например, конечноэлементного анализа или эксперимен-
тальных измерений деформаций. При этом необходимо иметь воз-
можность учета пластического поведения материала.
При осуществлении испытаний гладких лабораторных образцов
следует иметь в виду, что эффекты циклического упрочнения, цик-
лического размягчения, релаксации напря-
жений при циклическом нагружении, а
также влияние последовательности при-
ложения нагрузок и остаточных напряже-
ний, которые могут сопровождать процесс
накопления усталостных повреждений, в
образце должны быть такими же, как и в
опасной точке моделируемого элемента
конструкции. Некоторые данные, подтверж-
дающие необходимость этого, содержатся
в работах [16—181.
Возможность моделирования на ЭВМ
процесса исследования поведения материа-
ла с помощью анализа модельных гладких
образцов показана в работах [18—20]
Чтобы такое моделирование на ЭВМ могло
дать удовлетворительные результаты, необ-
ходимо знать свойства материала в усло-
виях и монотонного, и циклического наг-
ружений, поскольку у большинства ма-
териалов при циклическом деформирова-
нии в пластической области характер
зависимости напряжений от деформаций
существенно изменяется. Некоторые при-
меры приведены на рис. 8.17.
Если свойства материала при циклических воздействиях не
удастся найти ни в литературе, ни в доступном банке данных,
необходимо провести специальные испытания образцов для установ-
ления соотношения между напряжениями и деформациями и опре-
деления сопротивления разрушению исследуемого материала. При
условии наличия сведений о поведении материала в условиях цик-
лических воздействий моделирование на ЭВМ процесса возникнове-
ния трещины должно давать возможность:
1.	Вычислить напряжение и деформацию, включая их средние
значения и величину размаха, при заданных нагрузках и геометрии
конструкции.
2.	Подсчитать число циклов, а также средние значения и вели-
чину размаха напряжений и деформаций на каждом цикле.
3.	Осуществить переход от асимметричных циклов (с ненуле-
вым средним значением напряжения цикла) к эквивалентным сим-
метричным циклам.
276 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
4.	Подсчитать усталостную поврежденность на каждом цикле
по известным амплитудам напряжений цикла и (или) деформаций
и свойствам материала при циклических воздействиях.
5.	Подсчитать поврежденность цикл за циклом и просуммиро-
вать ее для предсказания возникновения трещины.
При подсчете локальных напряжений и деформаций по заданным
внешним нагрузкам и геометрии при известных свойствах матери-
ала при циклических воздействиях и коэффициенте концентрации
усталостных напряжений часто используют правило Нёйбера. Пра-
вило Нёйбера можно записать в виде (211
К1 = (К>КУ/2>	(8.109)
где /<е=е/е— коэффициент концентрации локальной деформации;
7<а=о/5 — коэффициент концентрации локального напряжения;
Kt — теоретический коэффициент концентрации напряжений; е —
локальная деформация; е — номинальная деформация; о — ло-
кальное напряжение; 5 — номинальное напряжение. Примени-
тельно к усталостному нагружению это соотношение было модифи-
цировано [22] путем преобразования соотношения (8.109) к виду
Kf (AS Де)'/2 == (До Де)'/2,
Рис. 8.17. Зависимость между напряжениями и деформациями некоторых материа-
лов (см. таблицу). (Из работы [74], © ASTM; перепечатано с разрешения.) 1 —
циклическое нагружение; 2 — монотонное нагружение.
8.5. Оценка долговечности на основе локальной зависимости а от в 277
Таблица к рис. 8.17
		и >. и '“Б, St		
Материал	Условия обработки	Vs q2		X арактеристика поведения
		J-5		
			c о	
		vt	J	
Медь OFHC	Отожженная	3/20	0,10/0'15	Упрочняется
	Частично отожженная	37/29	0,13/0,16	Не меняется
	Холоднообр аботанная	50/34 4 4/65	0,10/0.12	Размягчается
Алюминиевый сплав 2024	Т4		0.20/0,1 1	Упрочняется
				
Алюминиевый сплав 7075	Тб	68/75	0,11/0,11	•
Сталь Man-Ten Сталь SAE 4 ЗЮ	Необработанная Закаленная и отпущенная, 350 BHN	55/50	0,15/0,16	Размягчается н упрочняется
		170/UO	0,066/0,14	Размягчается
Т1-8А1-1 Mo-1 V	Дважды отожженный	145-115	0,078/0.14	Размягчается и
Waspaloy А	Закаленная и отпущенная, 595 BHN	79/102	0, I 1/0. 17	упрочняется Упрочняется
Сталь SAE 1015		270/250	0,071/0,14	Не меняется
	Закаленная и отпущенная. 500 BHN	215/155	0,04 7/0. 1 2	Размягчается
	Закаленная и отпущенная, 450 BHN	220/110	0.041/0,15	»
	Закаленная и отпущенная, 390 BHN	185/1)0	0.044/0. 1 7	»
Сталь SAE 414 2	После закалки. 6 70 BHN	235'...	0,14/...	Упрочняется
	Закаленная и отпущенная, 560 BHN	245/250	0,092/0.13	Нс меняется
	Закаленная и отпущенная, 475 BHN	250/195	0,048/0,12	Размягчается
	Закаленная и отпущенная, 450 BHN	230/155	0.040/0.17	>
	Закаленная и отпущенная. 380 BHN	200/120	0,05 1/0,18	»
о =о0,г где о0>1— напряжение при относительной деформации, равной
лччапилпл vrmrtnuauurt • Ti 1-1 КТ_____пиг* гтл твйпттллтч пл RmiUoniA
Предел текучести
0,2%: л —показатель ^деформационного упрочнения: BHN —число твердости по Бринелю
где Kf — коэффициент концентрации усталостных напряжений;
AS — размах номинального напряжения; Ле — размах номиналь-
ной деформации; До — размах локального напряжения и Де —
размах локальной деформации.
Если нагрузка достаточно мала и поведение материала во всем
элементе номинально упруго, то Д5/Де=Е и (8.110) принимает вид
(Л,Д$)*/Е = ДоДе.	(8.111)
При заданной геометрии, условиях нагружения и свойствах мате-
риала все величины в левой части соотношения (8.111) известны. Для
определения величин, произведение которых стоит справа, по кри-
вым деформирования при установившихся циклических воздействиях
можно построить кривые зависимости величин о от произведения
278 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
ас, как показано на рис. 8.18 (см., например, [23]). Такой прием
позволяет подсчитать локальные напряжения и деформации при
наличии зависимости напряжения от деформации в условиях уста-
новившихся циклических воздействий.
Как показывают данные, приведенные на рис. 8.17, кривая за-
висимости напряжения от деформации при установившихся цикли-
ческих воздействиях существенно отличается от кривой зависимо-
сти напряжения от деформации в условиях статического воздейст-
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,р
бе, кфунгп/дюйм2.
Рис. 8.18. Зависимость напряжения от произведения напряжения и деформации
для алюминия 2024-ТЗ. (По данным работы [23], © ASTM, перепечатано с раз-
решения.) о — напряжение в вершине выточки; 08 — произведение напряжения
и деформации в вершине выточки. Пример: 5=30 кфунт/дюйм2, /Q=2,0 Е=
= 104 кфуит/дюйм2, o8=(S/Q)2/£=602/104=0,36; из кривой: о=53 кфунт/дюйм2;
------растяжение;-----------сжатие.
вия. Кривая зависимости напряжения от деформации при цикличе-
ских воздействиях может быть получена разнообразными способами.
Чаще всего ее получают, проводя кривую через вершины установив-
шихся петель гистерезиса нескольких «идентичных» образцов, ис-
пытанных при различных размахах деформации. Установившейся
петлей гистерезиса называется петля, размеры и форма которой
существенно не изменяются при дальнейшем увеличении числа цик-
лов. Другие методы состоят в проведении кривой через вершины
установившихся петель гистерезиса, полученных на образце при
ступенчатом изменении размаха приложенной деформации, или в
проведении статических испытаний с фиксацией кривой зависи-
мости напряжения от деформации после получения установившейся
петли гистерезиса при циклическом деформировании. Разделяя
амплитуду циклической деформации Ле/2 на упругую и пластиче-
скую составляющие, можно получить эмпирическую формулу, опи-
8.8. Оценка долговечности на основе локальной зависимости а от 8	279
сывающую кривую зависимости напряжения от деформации при
циклическом нагружении, которая позволяет получать удовлетво-
рительные результаты для большинства металлов [15, стр. 7]
Де/2 = Де^/2 + Дер/2 = \о/(2Е) + [Да/(2*')] */"',	(8.112)
где k’ и п' — коэффициент циклической прочности и показатель
циклического деформационного упрочнения соответственно, кото-
рые определяются по величине отрезка, отсекаемого прямой зависи-
мости амплитуды циклического напряжения от амплитуды цикли-
ческой пластической деформации в логарифмических координатах,
и наклоном этой прямой. Статическим аналогом формулы (8.112)
является формула (5.18) (см. рис. 5.2). Ряд величин п приведен
на рис. 8.17. Таким образом, еще одним способом вычисления ло-
кальных напряжений и деформаций является использование соот-
ношения (8.112) в совокупности с (8.111).
При испытаниях с постоянным размахом деформации (жесткое
нагружение) размах напряжения с увеличением числа циклов мо-
жет увеличиваться, оставаться неизменным или уменьшаться. Если
при жестком циклическом нагружении размах напряжения увели-
чивается, материал называется циклически упрочняющимся, а если
размах напряжения уменьшается—циклически размягчающимся.
Ряд материалов, как показано, например, на рис. 8.17, может в не-
которых условиях упрочняться, а в других размягчаться. Необ-
ходимость учета циклического упрочнения или циклического раз-
мягчения при исследовании возникновения трещины зависит от точ-
ности, достигаемой на других этапах исследования. В некоторых
случаях можно считать эффекты, связанные с этими явлениями,
эффектами второго порядка.
Значение релаксации напряжений при циклических воздействиях
может оказаться очень существенным в случаях, когда в результате
случайных перегрузок на отдельных циклах в конструкции возни-
кают большие остаточные напряжения, которые релаксируют при
дальнейшем циклическом изменении локальной пластической де-
формации. Пример релаксации среднего напряжения цикла при
циклических воздействиях показан на рис. 8.19. Подобно процес-
сам циклического упрочнения и размягчения, процесс циклической
релаксации напряжений трудно описать. Однако, поскольку нали-
чие или отсутствие среднего напряжения цикла в опасной точке
конструкции может на несколько порядков изменить долговечность,
уметь учитывать циклическую релаксацию очень важно. Одно такое
эмпирическое соотношение, описывающее циклическую релакса-
цию остаточного напряжения имеет вид [231
о^/о0 = ехр
— an (KjbS)-
(8.113)

где ол — локальное остаточное среднее напряжение через п циклов
после увеличения номинального напряжения, которое привело
280 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
к возникновению начального локального среднего напряжения о0.
Для одного из случаев величина постоянной а оказалась равной
примерно 0,005 [231.
Для правильной интерпретации сложных процессов изменения
во времени нагрузок, напряжений или деформаций необходимо ис-
пользовать какой-либо метод подсчета числа циклов. В табл. 8.10
приведены шесть методов подсчета числа циклов; каждый из них
имеет те или иные недостатки [241. Наиболее широко для подсчета
Рис. 8.19. Циклическое размягчение и релаксация среднего напряжения цикла,
определяемого по Нёйберу (ок=К) для Ti-8AI-lMo-!V при Лу=1,75. На
вставке дан процесс нагружения образца с выточкой. (Из работы [16], ©ASTM;
перепечатано с разрешения.)
числа циклов применяются два метода (не помещенные в таблицу);
метод парных размахов и метод стока [241.
При использовании метода парных размахов размах деформации
считается за цикл, если ему может быть поставлено в соответствие
последующее деформирование в противоположном направлении на
такую же величину. При сложном процессе деформирования иногда
в качестве циклов будут учитываться размахи, во время которых
деформация не меняет направления, а некоторые размахи будут
прерываться меньшими по величине размахами, которые в свою
очередь будут учитываться как циклы. Порядок применения метода
парных размахов показан на рис. 8.20. Учитываемые размахи по-
мечены сплошными линиями, а те размахи, которые ставятся в соот-
ветствие учитываемым,— штриховыми линиями.
Каждый из пиков по порядку учитывается как начало размаха,
если только непосредственно следующий за ним процессдеформи-
8.5. Оценка долговечности на основе локальной зависимости а от ъ 281
Таблица 8.10. Методы подсчета числа циклов [24]
Наименование	Пример		Описание
Метод экстре- мумов	б ИЛИ с Ср. знач.	/А д д ____	Подсчитываются все мак- симумы выше среднего значения и все минимумы ниже среднего значения
		1 V\jJv 1	
Метод учета од- ного экстрему- ма между сосед- ними пересече- ниями среднего уровня	о или с	r^\f\ [\/	Учитывается лишь наи- больший по абсолютной величине экстремум меж- ду соседними пересече- ниями среднего уровня
		' У\д/ V	
Метод учета пе- ресечений за- данных уровней	б или. с 3 Z ! Ср. знач.	.1 1 1	Учитываются все пересе- чения заданных уровней выше среднего с поло- жительными наклонами и ниже среднего с отри- цательными наклонами
			t	
Метод счетчика усталости	б или 1 3 2 1 Ср. знач.	1 rjJ*» <^т Си <<i i il i!_	Аналогичен методу учета пересечений заданных уровней, за исключением того, что учитывается только одно пересечение между последовательны- ми пересечениями более низкого уровня
			—,	Г	
Метод учета размахов	б или с 0	Pvifh	Каждый размах, т. е. раз- ность между последова- тельными пиковыми зна- чениями, учитывается в качестве колуцикла, амп- литуда которого равна половине размаха
		J	V	
Метод учета размахов и сред- них значений	о или 1 0	. Аа/Ц.. .	Размахи учитываются так же, как и в методе учета размахов, кроме юго, определяется и учитыва- ется среднее значение для каждого размаха
		J \	
282 Гл. 8, Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
рования не использован уже в качестве парного учтенному ранее
размаху. Если начальный пик размаха представляет собой минимум,
то цикл учитывается между этим минимумом и наибольшим макси-
мумом среди появляющихся до тех пор, пока деформация не станет
меньше начального минимума. Например, на рис. 8.20 цикл учиты-
вается между пиками 1 и
8, поскольку пик 8 пред-
ставляет собой наибольшее
положительное значение
деформации до того, как
она принимает значение
меньше пика 1. Если на-
чальный пик является мак-
симумом, цикл учитывает-
ся между этим максимумом
и наименьшим минимумом
из появляющихся до того,
как деформация достигнет
значения, превышающего
начальное пиковое значе-
ние. Например, на рис.
8.20 цикл учитывается меж-
ду пиками 2 и 3, поскольку
пик 3 соответствует наи-
меньшему значению дефор-
мации до того, как она
превысит величину, достиг-
нутую в пике 2. Каждому
учитываемому размаху в
качестве пары ставится в
соответствии последующее
деформирование в противо-
Рис. 8.20. Пример использования метода
парных размахов для подсчета числа цик- ПОЛОЖНОМ направлении на
лов. (По работе [24].)	такую же величину. Нап-
ример, на рис. 8.20 часть
размаха между пиками 8 и 9 поставлена в соответствие учтенному
размаху между пиками 1 и 8.
Метод стока, схематично изображенный на рис. 8.21, приме-
няется, вероятно, чаще любых других методов. Процесс деформи-
рования во времени изображается так, что ось времени направлена
вертикально вниз, а линии, связывающие пики деформаций, пред-
ставляют собой как бы крыши пагод. Вода с этих крыш стекает
в соответствии с некоторыми правилами, которые и позволяют про-
изводить учет циклов или полуциклов. Сток начинается последова-
тельно с внутренней стороны каждого пика деформации. Сток,
начавшийся в минимуме, прекращается в точке, противоположной
той, где деформация достигает минимального значения меньше на-
8.5. Оценка долговечности на основе локальной зависимости ст от е 283
в точке, противоположной оольшему по
t —*-
Рис. 8.21. Пример использования метода сто-
ка для поде чета числа циклов. (По рабо-
те 124].)
чального минимума. Например, на рис. 8.21 сток, начавшийся
в пике 1, прекращается в точке, противоположной пику 9, по-
скольку в пике 9 деформация меньше, чем в пике 1. Между пиками 1
и 8 учитывается один полуцикл. Аналогично сток, начавшийся
в максимуме, прекращается
величине максимуму. Нап-
ример, на рис. 8.21 начав-
шийся в пике 2 сток прек-
ращается в точке, противо-
положной пику 4. Таким
образом, между пиками 2 и
3 учитывается пол у цикл.
Сток также останавливает-
ся, если он встречает на
своем пути поток, стекаю-
щий с выше расположенной
крыши. Например, на рис.
8.21 полуцикл, начинаю-
щийся в пике 3, заканчи-
вается под пиком 2. Отме-
тим, что каждая часть про-
цесса деформирования при
этом учитывается один и
только один раз.
Практически обработка
процесса деформирования
осуществляется путем уче-
та полуцикла между наи-
большим максимумом и
наименьшим минимумом.
Предположим, что первым
достигается наибольший
максимум. Полуциклы учи-
тываются также между
наибольшим максимумом и
наименьшим минимумом из ранее достигнутых, между этим мини-
мумом и наибольшим из достигнутых до него максимумов и т. д.
до начала процесса. После наименьшего минимума учитываются
полуциклы, заканчивающиеся до наибольшего последующего мак-
симума, до наименьшего минимума после этого максимума и т. д.
до конца процесса. Размахи деформации, учитываемые как полу-
циклы, возрастают по величине до максимального значения, а
затем уменьшаются.
Все другие изменения деформации учитываются как прерванные
этими полуциклами или как прерванные прерванными полуциклами
и т. д.; они всегда встречаются равными по величине парами и об-
разуют полные циклы. Метод стока соответствует устойчивому
284 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
поведению металла при циклическом деформировании, когда все
размахи, учтенные как циклы, образуют замкнутые петли гистере-
зиса, а размахи, учтенные как полуциклы, не образуют. Иллюстра-
ция этого дана на рис. 8.22.
Если необходимо подсчитывать число циклов за время «рабочего
цикла» или «эксплуатационного нагружения», повторяющихся
1цикл
___Уг цикла
•«-/цикл-----
— / цикл-----
— J/z цикла*.
Рис. 8.22. Метод стока для подсчета числа циклов и петли гистерезиса на диаграм-
ме зависимости напряжения от деформации. (По работе [24].)
вплоть до разрушения, надо учесть один полный цикл деформиро-
вания между наименьшим и наибольшим пиками и учесть все другие
меньшие по амплитуде циклы внутри этого цикла. Осуществить это
можно либо методом стока, либо методом парных размахов, начи-
ная с наибольшего максимума или с наименьшего минимума. При
этом по методу стока не будет ни одного полуцикла, и метод стока
даст такой же результат, как и метод парных размахов. В большин-
стве практических ситуаций методы стока и парных размахов тож-
дественны. Любым из этих методов для каждого цикла в процессе
деформирования можно определить размах и среднее значение.
Асимметричные циклы с отличным от нуля средним напряжением
могут быть заменены симметричными циклами с помощью либо мо-
8.5. Оценка долговечности на основе локальной зависимости а от е 285
дифицированных соотношений Смита (7.9) или (7.11), либо с по-
мощью какого-нибудь другого эмпирического соотношения, полу-
ченного с учетом особенностей поведения исследуемого материала.
При растягивающем среднем напряжении цикла в соответствии с
(7.11) амплитуда симметричного цикла напряжения aeqC-R опре-
дел яется соотношением
гт — а •
eqC-R \_Qm]On •
(8.114)
^>0,
а при сжимающем среднем напряжении в соответствии с (7.9) — со-
отношением
%с-₽ = °в:	(8.115)
Чтобы подсчитать поврежденность за каждый эквивалентный
симметричный цикл нагружения или деформирования, необходимо
Рис. 8.23. Схематичное представление в логарифмических координатах зависимо-
сти амплитуды упругой, пластической и полной деформаций от усталостной дол-
говечности. (По работе [24].) 1 — упругая деформация; 2 — пластическая рабо-
та; 3 — полная деформация.
располагать данными о зависимости амплитуды деформации от чис-
ла циклов до разрушения Af, (или числа перемен знака 2#/), как
показано на рис. 8.23.
Замечая, что амплитуда полной деформации может быть пред-
ставлена в виде суммы амплитуды упругой деформации и амплитуды
пластической деформации, каждая из которых линейно зависит от
числа циклов до разрушения в логарифмических координатах, мож-
но записать эмпирическое соотношение между амплитудой полной
деформации и долговечностью в виде
Де/2 = Двг/2 + Де/2 = (2Nf)b + ez' (2tfz)<\	(8.116)
286 Гл, 8, Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Постоянные b и a'f/E представляют собой наклон и ординату точки
(соответствующей первой смене знака) прямой, описывающей в ло-
гарифмических координатах зависимость амплитуды упругой де-
формации от числа смен знаков до разрушения, а постоянные с и
ef — наклон и ординату точки (соответствующей первой смене зна-
ка) прямой, описывающей в логарифмических координатах зависи-
мость амплитуды пластической деформации от долговечности (см.
рис. 8.23). Хотя эти постоянные лучше всего определять по резуль-
татам циклических испытаний, при отсутствии данных по усталости
их можно приближенно оценить по характеристикам материала,
определенным в статических условиях. Это можно сделать, при-
нимая величину о} равной истинному пределу прочности oz, ef
равной пластичности разрушения еЛ с=—0,6 и Ь=—0,16 lg(2o//ou).
Однако в тех случаях, когда есть возможность, следует использо-
вать характеристики усталостной прочности материала.
Наконец, с помощью соответствующей гипотезы накопления по-
вреждений производится их суммирование. При применении опи-
санного в этом разделе подхода к исследованию возникновения
трещины гипотеза Пальмгрена о линейности накопления повреж-
дений (8.4) дает столь же удовлетворительные результаты, как и
любая другая из описанных теорий. В результате утверждается, что
трещина возникает, когда сумма циклических отношений станет
равной единице. Необходимо еще раз подчеркнуть, что описанный
в этом разделе метод предсказания образования трещины целесооб-
разно использовать только при наличии программы для ЭВМ,
позволяющей кропотливо исследовать цикл за циклом весь процесс.
Достоверность метода даже в случае одноосного нагружения еще
требуется доказать. Еще одна практическая трудность связана
с определением и фиксацией момента «образования» трещины. Таким
образом, следует иметь в виду, что состояние исследований в области
разработки методов предсказания возникновения усталостных тре-
щин еще не позволяет дать в руки расчетчику надежный метод тако-
го предсказания.
8.6.	ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН
МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
В разд. 3.7 показано, как механика линейно-упругого разрушения
может использоваться для оценки размера трещины в некоторой
конструкции, которая при определенных условиях нагружения
самопроизвольно распространяется до разрушения. Этот критиче-
ский размер трещины находится по критическому коэффициенту
интенсивности напряжений, определяемому, например, условием
(3.39). Можно ожидать, что усталостная трещина, возникшая при
циклическом нагружении, или любой другой начальный дефект
конструкции будут расти при дальнейшем циклическом нагружении
до тех пор, пока они не достигнут критического размера, после
8.6. Исследование распространения трещин 287
чего в соответствии с законами механики разрушения начнется
быстрое распространение до катастрофического разрушения. Как
правило, время роста возникшей усталостной трещины или сущест-
вовавшего дефекта до критического размера составляет значитель-
ную часть времени полезного использования конструкции. Вследст-
вие этого кроме исследования фазы возникновения трещины и опре-
деления ее критического размера не менее важное значение имеет
изучение и понимание процесса роста трещины до критического
размера.
Для оценки скорости роста усталостной трещины и увеличения
заданного размера начального дефекта до критической величины
предложено много различных моделей. В одной из работ [25] пере-
числены 33 «закона» роста трещины. В критическом обзоре ряда
работ, посвященных исследованию роста усталостных трещин,
Парис и Эрдоган [38] пришли к выводу, что скорость роста трещины
приближенно можно определить выражением вида
da!dN=f{^o, а, С),	(8.117)
где До — размах номинального переменного напряжения; а —
длина трещины; С — параметр, зависящий от среднего значения
нагрузки, свойств материала и некоторых других, менее сущест-
венных переменных.
Из уравнения (8.117) следует, что рост усталостной трещины
зависит от размаха циклического напряжения и длины трещины.
В свою очередь соотношение (3.38) означает, что коэффициент ин-
тенсивности напряжений К зависит от величины действующего
напряжения и размера трещины. Основываясь на этом, можно пред-
положить, что скорость роста усталостной трещины связана с коэф-
фициентом интенсивности напряжений, и, поскольку скорость ро-
ста трещины зависит от размаха циклических напряжений, можно
предположить, что величина daldN связана с размахом коэффици-
ента интенсивности напряжений ДК, т. е.
da/dN=g(&K),	(8.118)
где Д/С=СД<трЛпа, и происходит не только изменение напряжений,
но и рост трещины. Это предположение подтверждено результатами
многих последующих исследований, и большинство данных о рас-
пространении трещин описывается функциональной зависимостью
от Д/<. Например, на рис. 8.24 показана зависимость увеличения
размера усталостной трещины от коэффициента интенсивности на-
пряжений. Скорость роста трещины daldN, характеризуемая на-
клоном кривых зависимости а от N, возрастает как при увеличении
нагрузки, так и при увеличении длины трещины. Поскольку размах
коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины Д/С
также увеличивается с увеличением нагрузки и длины трещины,
ясно, что скорость роста трещины связана с размахом коэффициента
интенсивности действующего напряжения.
288 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Чтобы приведенные на рис. 8.24 данные представить графически
в виде зависимости между размахом коэффициента интенсивности
напряжений и скоростью роста трещины, определяют скорость
роста трещины по наклону кривых зависимости а от N между
двумя соседними точками. Соответствующие значения ЛК вычис-
ляются по размаху действующей нагрузки и среднему значению
длины трещины на каждом интервале с помощью формулы для коэф-
Рис. 8.24. Влияние размаха циклической нагрузки на рост усталостной трещины
в легированной стали Ni-Mo-V при пульсирующем растяжении. (Из работы [66],
© Society for Experimental Stress Analysis, 1971; перепечатано с разрешения.)
а — длина усталостной трещины; N — число циклов; температура испытания
75° F (24°С), частота 1800 цикл/мин.
фициента интенсивности напряжений, соответствующей заданной
геометрии испытываемого образца с трещиной. Результаты такой об-
работки приведенных на рис. 8.24 данных показаны на рис. 8.25.
Следует отметить, что все кривые на рис. 8.24 объединились в един-
ственную кривую на рис. 8.25 благодаря использованию коэффици-
ента интенсивности напряжений, и поэтому кривая, изображенная
на рис. 8.25, применима для любых размахов циклических напряже-
ний и длин трещины при циклическом нагружении образцов соот-
ветствующей формы.
Данные о скоростях роста трещин, подобные показанным на
рис. 8.25, получены для многих различных металлов. Благодаря
этому был сделан вывод 138], что скорость роста усталостных трещин
для металлов можно в общем случае записать в виде
da/dN = СРБ(&К)п, ч (8.119)
8.6. Исследование распространения трещин 289
где п — наклон прямой, изображающей зависимость 1g daldN от
1g Л/(, пример которой дан на рис. 8.25, а СРЕ— эмпирический па-
раметр, который зависит от свойств материала, частоты, среднего
Рис. 8.25. Зависимость скорости роста трещины daldN от размаха коэффициента
интенсивности напряжений ДК| для стали Ni-Mo-V; предел текучести Оол^“
=84,5 кфунт/дюйм2, температура испытания 75° F (24°С), частота 1800 цикл/мин;
daldN в единицах дюйм/цикл соответствует ДК в единицах фунт/дюйм (Из
работы [GO), ©Society for Experimental Stress Analysis, 1971; перепечатано с раз-
решения.)
значения нагрузки и, возможно, некоторых других второстепенных
факторов. Таким образом, при известных значениях СРЕ и п длина
трещины после N циклов нагружения может быть подсчитана по
Ю ль 492
290 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
формуле
N
=Oi-\-	С pg NKn,
i = 1
N
или ал,= а,-Ь J СрЕ NKndN,
1
(8.120)
(8.121)
где at — начальная длина трещины, a N — полное число циклов
нагружения. Необходимо подчеркнуть, что формулы (8.119)—(8.121)
применимы только на линейном участке кривой зависимости daldN
Рис. 8.26. Схематичное представление роста
усталостной трещины в стали (координаты
логарифмические) (см. [67]). Сталь А:
/Cic/(E,ov)>l,6«10~3 дюйма; сталь В;
Kk/ffo^Xl.e.lO-* дюйм.

от А/С Другими словами,
если обобщенная кривая
роста трещины 167] имеет
вид, показанный на рис.
8.26, соотношения (8.119)—
(8.121) применимы лишь в
области II роста трещины.
Область I па рис. 8.26 со-
ответствует периоду зарож-
дения трещины, а область
III — переходу к неустой-
чивому режиму быстрого
распространения трещины.
Хотя на выражение
(8.119) часто ссылаются,
обнаружено, что показате-
ли п для разных материа-
лов существенно различны.
Кроме того, это выражение
не учитывает ни влияния
величины пика напряже-
ний, ни существования пре-
дельного значения Д/С, со-
ответствующего границе
между областями I и II.
Для учета влияния макси-
мального (пикового) значе-
ния напряжения предло-
жен ряд соотношений, сре-
ди которых чаще всего, по-
видимому,
следующее [59]:
используется
da
dN = (\-R)Kc-bK ’
(8.122)
где R — отношение напряжений ога1п/<зтах и Кс — вязкость раз-
рушения для случая неустойчивого роста трещины при монотонном
нагружении. В результате дальнейшей модификации этого выра-
8.6. Исследование распространения трещин 291
жения с целью учета наблюдаемых предельных значений коэффици-
ента интенсивности напряжений для распространения трещины
получено [68] соотношение
da =
(8.123)
где A/Cth — предельное значение размаха коэффициента интенсив-
ности напряжения для распространения трещины.
Скорости роста трещины, определенные при циклических испы-
таниях с постоянной амплитудой напряжения, примерно таковы,
как и в испытаниях на случайные нагружения, при которых макси-
мальное напряжение постоянно, а среднее значение и размах меня-
ются случайным образом. Однако при случайных нагружениях,
в процессе которых максимальное напряжение тоже меняется, по-
следовательность циклов может заметно влиять на скорость роста
трещины, причем в целом рост трещин при случайном нагружении
происходит значительно быстрее [69].
Исследования показали, что при некоторых обстоятельствах
после кратковременных воздействий высоких напряжений распро-
странение трещины может значительно замедляться, т. е. повреж-
денность при усталости и рост трещины зависят от предыстории
циклического нагружения. Эта зависимость роста трещины от преды-
стории, а значит, и влияние предыстории на последующие прира-
щения поврежденности являются примером проявления так назы-
ваемых эффектов взаимодействия. Большинство исследований эф-
фектов взаимодействия, выполненных к настоящему времени, отно-
силось к исследованию задержки роста трещины в результате
воздействия случайных повышенных растягивающих нагрузок на
отдельных циклах. Задержку можно определить как период распро-
странения трещины с меньшей скоростью после воздействия пико-
вого напряжения, превышающего по величине амплитуду последую-
щего циклического напряжения и совпадающего с ним по направ-
лению.
На рис. 8.27 схематично показано нагружение для случая, когда
за одним циклом перегрузки следуют циклы с постоянной ампли-
тудой. Эффект задержки можно смоделировать, рассматривая раз-
мер пластической зоны у вершины трещины и сравнивая его с раз-
мером пластической зоны, возникающей при перегрузке (рис. 8.28).
В случае приложения нагрузки Р, схематично показанной на
рис. 8.27, в направлении раскрытия трещины (см. рис. 8.28) сначала
в вершине трещины возникнут напряжения меньше предела теку-
чести, но затем эти напряжения превысят предел текучести и воз-
никнет зона пластической деформации. По мере возрастания на-
грузки до ее наибольшего значения Рг из-за перераспределения на-
пряжений вследствие пластического течения у вершины трещины
размер пластической зоны будет возрастать. Для заданного матери-
ала и определенной геометрии равновесное положение границы раз-
IQ*
292 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
дела между пластической зоной и окружающим упругим материа-
лом определяется величиной приложенной нагрузки. Эта граница
для нагрузки Pi показана на рис. 8.28 штриховой линией.
После снятия повышенной нагрузки в пластической зоне в ре-
зультате воздействия окружающего материала появляются остаточ
ные сжимающие напряжения, которые будут тормозить рост тре
Рис. 8.27. Схематичная иллюстрация задержки роста трещины после одного
цикла перегрузки (а — длина трещины, N — число циклов, Nd — число циклоп
задержки). (Из работы [70]; перепечатано с разрешения Sijthoff & Noordhoff,
International Publishers b.v.)
щины при последующем приложении нагрузки. Поэтому при при-
ложении меньшей по величине нагрузки в том же направлении, в ко-
тором действовала сила Pi, например силы Р8, соответствующий
ей размер пластической зоны будет меньше и трещина будет расти
медленнее, пока она не пройдет всю пластическую зону, образовав-
шуюся при перегрузке. Если только не будет приложена еще
одна повышенная нагрузка, скорость распространения трещины до-
стигнет своей первоначальной величины после Nd циклов задержки.
Один из способов оценки замедления скорости роста трещины
в подобном случае состоит в использовании коэффициента замедле-
ния, представляющего собой поправочный коэффициент Ср к ско-
рости роста трещины da.'dN. В работе [71] для поправочного коэф-
фициента предложена следующая формула:
=	4451 Я» + а<аР»	(8.124)
С,= 1	для Ru-va^ap,
8.7. Моделирование эксплуатационных нагрузок 293
где Ry и ар — параметры размеров пластической зоны, показанные
на рис. 8.28, а — размер трещины, т — эмпирический показатель,
зависящий от материала и предыстории нагружения.
Были предложены также и другие модели задержки, основанные
на исследовании образования и затухания поля остаточных напря-
жений у вершины трещины 172] или на использовании того обстоя-
тельства, что после возникновения в материале пластической дефор-
мации у вершины трещины для ее дальнейшего роста требуется
предварительно приложить нагрузку, стремящуюся раскрыть тре-
Рис. 8.28. Изображение модели Велера задержки роста трещины (см. [71]). 1 —
зона пластичности в текущий момент; 2 — граница раздела между пластической
зоной и упругим материалом при предварительной перегрузке.
щину 173]. Однако ни одна из этих моделей не допускает возможно-
сти ускорения процесса роста трещины. Ускорение можно определить
как период увеличения скорости роста трещины вследствие случай-
ных воздействий, например отдельных циклов нагрузок, стремя-
щихся закрыть трещину, за которыми следуют циклы меньших
по величине нагрузок, которые стремятся раскрыть трещину. В ре-
зультате таких случайных воздействий появляются остаточные на-
пряжения растяжения. Этот вопрос нуждается в дальнейшем ис-
следовании.
Хотя в области исследования процессов роста трещин в лабо-
раторных условиях достигнуты значительные успехи, следует ясно
сознавать, что влияние последовательности приложения нагрузок,
условий окружающей среды, частоты циклического воздействия,
миогоосности напряженного состояния, а также трудности опреде-
ления величины Д/С делают необходимым проведение натурных ис-
пытаний конструкций для подтверждения их усталостной проч-
ности.
8.7.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ НАГРУЗОК
И НАТУРНЫЕ УСТАЛОСТНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Как отмечалось в предыдущем разделе, для создания надежной не
подверженной усталости конструкции, как правило, требуется про-
ведение испытаний, моделирующих реальные эксплуатационные
294 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
условия нагружения, или натурных усталостных испытаний. При
проведении испытаний, моделирующих эксплуатационные условия
нагружения, важно, чтобы и испытываемый образец, и спектр на-
гружения, включая последовательность нагрузок, соответствовали
реальным условиям эксплуатации. Это означает, что в качестве об-
разца следует использовать деталь, фрагмент конструкции или всю
конструкцию. Это также означает, что лучше всего было бы точно
воспроизвести весь процесс нагружения при эксплуатации, если бы
он был известен. Обычно, однако, процесс нагружения приходится
задавать на основе статистических характеристик спектра эксплуата-
Рис. 8.29. Пример усечения редко встречающихся больших амплитуд в спектре
нагрузок. (По работе [75].) Показана зависимость амплитуды нагрузки Ра от
числа превышений ее п за время эксплуатации самолета. 1 — эти нагрузки от-
брасываются, 2 — уровень усечения.
ционных нагрузок, действующих на аналогичные элементы или
конструкции, уже находящиеся в эксплуатации.
При назначении режима модельных испытаний особое внимание
следует обратить на воспроизведение максимальных нагрузок,
поскольку они могут оказать решающее влияние па распространение
трещины и усталостную долговечность. Как отмечалось в разд. 8.6,
исключительно важное значение может иметь повышающее долго-
вечность явление задержки, обусловленное действием больших
пиков нагрузки. Следует иметь в виду, что наибольшие пиковые
нагрузки, как это подтверждает статистика, могут быть разными
для различных изделий, так что некоторые изделия будут подвер-
гаться максимальной пиковой нагрузке неоднократно, в то время
как другие никогда не испытают этой нагрузки. В связи с этим
расчетный спектр нагрузок обычно усекают, отбрасывая все нагруз-
ки, которые возникают менее 10 раз за проектное время эксплуата-
ции конструкции. Иллюстрация такого подхода применительно
к конструкции самолета показана на рис. 8.29,	4
8.7, Моделирование эксплуатационных нагрузок 295
Хотя интуитивно может показаться неверным отбрасывание
больших пиковых нагрузок для получения более критического ре-
жима испытаний, следует иметь в виду, что эффект задержки рас-
пространения трещин при случайных высоких нагрузках приведет
к увеличению долговечности при испытаниях. Таким образом, ис-
ключение встречающихся менее 10 раз наивысших нагрузок из спек-
тра испытательных нагрузок идет в запас прочности. Аналогичное
усечение применяется при определении сроков проверки конструк-
ций самолетов, в результате чего повышается вероятность обнару-
жения трещин до достижения ими критического размера. Более
подробно вопрос о назначении сроков проверок рассматривается
в разд. 8.8.
Приложения предельных или приводящих к допускаемым повре-
ждениям нагрузок через равномерные промежутки во время моде-
лирующих условий полета или натурных усталостных испытаний
необходимо избегать, поскольку они могут привести к задержке ро-
ста трещин, что не типично для реальных условий полета. Предель-
ные нагрузки следует прикладывать лишь в конце усталостных ис-
пытаний.
Циклы с малой амплитудой при моделирующих эксплуатацион-
ные условия испытаниях обычно с целью сокращения времени ис-
ключают. Однако следует иметь в виду, что эти циклы могут давать
вклад в процесс зарождения трещины путем фреттинга. Исключение
этих циклов и неучет фреттинга, причиной которого они обычно
являются, может привести к завышенным оценкам усталостной дол-
говечности по результатам модельных испытаний. К настоящему
времени разработан ряд эмпирических методов назначения режимов
модельных испытаний [76].
Натурные усталостные испытания изделий, например таких,
как вновь создаваемые самолеты, чрезвычайно дороги. Такие испы-
тания обычно являются ускоренными испытаниями, режим прове-
дения которых рассчитывается так, чтобы за время испытаний
от 6 до 12 месяцев моделировались реальные эксплуатационные
воздействия за 10 или более лет. Испытания, моделирующие нагру-
жение в полете отдельных частей самолета, на современных испы-
тательных машинах могут быть проведены за 1—2 недели или даже
быстрее.
К преимуществам натурных испытаний относятся: (а) выявление
критических с точки зрения усталости элементов конструкции и ее
недостатков; (Ь) определение времени, по истечении которого
появляются обнаруживаемые трещины; (с) получение данных о
распространении трещин; (d) возхможность определения остаточной
долговечности при наличии трещин; (е) определение остаточной
прочности; (f) определение сроков периодичных проверок и (g)
возможность разработки рекомендаций по методам ремонта. Среди
факторов, которые могут влиять на результаты натурных усталост-
ных испытаний,— скорость нагружения, условия окружающей сре-
296 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
ды, статистический разброс и отклонения нагрузок. Долговечность
в эксплуатационных условиях обычно меньше, чем при испытаниях;
иногда отличие очень большое — в 2—4 раза. Однако в последние
годы удалось добиться существенного сближения результатов на-
турных, моделирующих полетные условия испытаний с результата-
ми, полученными в процессе эксплуатации. Модельные испытания
натурных конструкций обычно продолжаются длительное время,
так что в случае усталостных разрушений в процессе испытания
будет достаточно времени для усовершенствования конструкции
и внедрения необходимых модификаций с целью предотвращения
катастрофических разрушений при эксплуатации.
8.8.	ДОПУСКАЕМЫЕ ПОВРЕЖДЕНИЯ И КОНТРОЛЬ РАЗРУШЕНИЯ
Понятие «допустимых повреждений» у конструкции, которое появи-
лось первоначально в авиационной промышленности, относится
к конструкции, спроектированной таким образом, чтобы минимизи-
ровать возможность выхода самолета из строя из-за распространи
ния невыявленных дефектов, трещин или других подобных повреж
дений. При производстве конструкций, в которых допускаются ка-
кие-либо повреждения, приходится решать две основные проблемы.
Эти проблемы состоят в обеспечении контролируемого безопасного
роста дефектов, т. е. безопасной эксплуатации с трещинами, и в
принудительном сдерживании повреждаемости, вследствие чего
должны быть обеспечены либо остаточная долговечность, либо оста-
точная прочность. Указанные требования не являются, однако, не-
зависимыми, поскольку только путем совместной проверки их
выполнения может быть осуществлен эффективный контроль разру
шения. Кроме того, необходимо подчеркнуть, что расчет допускае
мых повреждений не исключает необходимости тщательного анализа
и расчета усталости, поскольку достижение высоких усталостных
характеристик путем детального исследования напряженного
состояния, соответствующего выбора геометрии, проведения под-
робного расчета, подбора материала, обработки поверхности и обес-
печения качества работы является необходимой предпосылкой
эффективности расчета допускаемых повреждений и контроля
разрушения.
Основные цели расчета допускаемых напряжений и контроля
разрушения включают в себя подбор материалов с соответствующи-
ми прочностными характеристиками и технологических процессов,
обеспечение возможности осуществления проверок и использование
конструктивных элементов, допускающих повреждения, например
элементов с несколькими передающими нагрузку звеньями или эле-
ментов, в которых распространение трещин тормозится конструк
тивными средствами.
Основное предположение, на котором базируется концепция конт-
роля разрушения, состоит в том, что дефекты всегда существуют,
8.8. Допускаемые повреждения и контроль разрушения 297
даже в новых конструкциях, и что они могут оставаться необнару-
женными. Таким образом, первое условие допустимости дефекта
представляет собой условие того, что любой элемент конструкции,
включая все дополнительные звенья для передачи нагрузки, должен
допускать безопасную эксплуатацию при наличии трещин. Во всех
конкретных приложениях основные факторы, которые должны
учитываться при расчете, включают в себя тип или класс конструк-
ции, качество методов неразрушающего контроля (дефектоскопии),
применяемых в процессе производства, доступность элемента для
Рис, 8.30. Фрагменты конструкций. (По работе [77].) Класс 1: с единственным пу-
тем передачи нагрузки. Класс 2: (а)'с единственным путем передачи нагрузки; (Ь)
с элементами, препятствующими развитию повреждений. Класс 3: (с) с несколь-
кими путями передачи нагрузки; (d) с дополнительными элементами, передаю-
щими нагрузку.
осмотра, возможность регулярной проверки элемента в процессе
эксплуатации и вероятность необнаружения дефекта, размер кото-
рого близок к критическому, даже при периодических проверках в
процессе эксплуатации.
Большинство конструктивных схем по способам и возможности
передачи нагрузки можно классифицировать следующим образом.
Класс 1 —с единственным путем передачи нагрузки, класс 2—
с единственным путем передачи основной нагрузки и с дополнитель-
ными элементами, препятствующими распространению трещин, и
класс 3 — с несколькими (иногда дополнительными) элементами,
передающими нагрузку. Примеры конструктивных схем этих клас-
сов приведены на рис. 8.30. Ясно, что для конструктивных схем клас-
са 1 очень существенно требование обеспечения безопасной эксплу-
атации при наличии трещины, поскольку повреждение в этом
случае приведет к катастрофе. Для конструктивных схем класса 2,
включая герметичные кабины и сосуды высокого давления, могут
быть допущены относительно большие повреждения вследствие на-
298 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
личия стягивающих накладок и подкрепляющих элементов. Для
таких конструктивных схем вероятность обнаружения повреждения
обычно велика, поскольку разрушению, как правило, всегда пред-
шествует утечка давления или топлива. Конструктивные схемы клас-
са 3 обычно предназначены сохранять определенную долю началь-
ной прочности в процессе повреждения какого-либо одного элемен-
та и в течение некоторого времени после повреждения, т. е. они
должны обеспечивать заданную остаточную прочность. Такого типа
конструкции часто называются конструкциями, допускающими по-
вреждения.
Упомянутое ранее предположение о повсеместном существовании
начальных дефектов означает, что должна допускаться возможность
наличия дефектов в каждом из передающих нагрузку элементов.
Обычно для конструкций класса 3 принято начальные размеры де-
фекта брать меньше, поскольку, как правило, при наличии не-
скольких возможных путей передачи нагрузки риск появления
трещины при эксплуатации может быть увеличен.
В предыдущих рассуждениях упоминались два основных под-
хода к расчету — расчет безопасного срока эксплуатации и расчет
безопасных повреждений. При расчете безопасного срока эксплуата-
ции традиционными методами, описанными в гл. 7, оценивается
долговечность. Часто расчет дополняется натурными эксперимен-
тами при соответствующих условиях нагружения. Особое внима-
ние при этом должно быть уделено введению коэффициента безопас-
ности на расчетную или определенную в испытаниях долговечность
для обеспечения заданной долговечности конструкции, обусловлен-
ного возможными случайными отклонениями или возможным раз-
бросом данных. Этот коэффициент безопасности иногда называется
коэффициентом разброса. Целью расчета безопасных повреждений
является введение дополнительных средств передачи нагрузки,
обеспечивающих работоспособность конструкции в аварийных ус-
ловиях до обнаружения повреждений в основных элементах конст-
рукции и осуществления ремонта этих элементов.
Важным элементом любой программы контроля разрушения
является разработка методов проверки. Для каждого элемента
должны быть разработаны и предложены соответствующие способы
проверки. Для отдельных частей элементов может потребоваться
применение неразрушающих методов контроля различной чувстви-
тельности. Сроки проверки устанавливаются па основании анализа
имеющейся информации о росте трещин с учетом заданного началь-
ного размера дефекта и размера выявляемого дефекта, который за-
висит от чувствительности применяемого метода дефектоскопии.
Сроки проверки должны устанавливаться, исходя из того, чтобы при
условии обеспечения требуемого коэффициента безопасности необ-
наруженный дефект не достиг критического размера до следующей
проверки. Обычно промежутки времени между очередными провер-
ками назначаются так, чтобы до достижения любой трещиной крити-
8.8. Допускаемые повреждения и контроль разрушения 299
ческого размера прошло две проверки. Предполагается, что дефек-
ты, размер которых превышает размер обнаруживаемой трещины
adet, действительно выявляются и устраняются. При назначении
сроков проверки обычно предполагается также, что при каждой
проверке контролируются все опасные места и что все трещины,
размер которых превышает adet, обнаруживаются по крайней мере
при второй проверке, что проверки производятся строго в установ-
ленные сроки и что методы контроля действительно неразрушающие.
К сожалению, на практике эти условия иногда не выполняются.
Например, у некоторых самолетов имеется около 22 000 пред-
ставляющих опасность отверстий только лишь на нижней плоскости
крыла [79, стр. 1.5.13]. Полная проверка такого большого ко-
личества участков утомительна и трудоемка. Кроме того, в процессе
осуществления несложных однообразных операций по проверке
более 20 000 отверстий ничего не стоит допустить ошибку и про-
пустить всего лишь одно отверстие с представляющей опасность
трещиной (называемой иногда «коварной» трещиной). Доля случай-
ности при применении даже наилучших современных методов дефек-
тоскопии все еще велика, и надежность обнаружения даже больших
коварных трещин составляет лишь около 80% при высокой вероят-
ности необнаружения этих же трещин во время второй проверки
[79, стр. 1.5.13].
Кроме того, основное внимание при совершенствовании методов
дефектоскопии сосредоточено на повышении их разрешающей спо-
собности, т. е. способности обнаружения возможно меньших по
размеру трещин, и недостаточно уделяется внимания оценкам
наибольшего размера трещин, которые могут быть не обнаружены.
Наконец, следует отметить, что на практике не всегда методы не*
разрушающего контроля используются для контроля всех крити-
ческих мест при каждой проверке, не всегда проверки проводятся
в соответствии с расписанием и иногда они, несмотря на свое на-
звание, сами могут частично повреждать конструкции. Тем не ме-
нее в разработке методик применения методов неразрушающего
контроля и определения сроков проверки достигнуты значительные
успехи, и они обязательно должны использоваться при создании
надежных эффективных конструкций.
В принципе для определения сроков проведения проверок тре-
буется знание начального размера дефекта в элементе конструк-
ции, длины обнаруживаемой при проверке трещины adet и критиче-
ского размера трещины асг, при котором начинается ее неустойчивое
распространение, приводящее к разрушению. Кроме того, надо
знать связь между ростом трещины и долговечностью или распола-
гать таким графиком зависимости длины трещины от продолжитель-
ности эксплуатации, который показан, например, на рис. 8.31.
Пусть ai=0,050 дюйма, adet=0,15 дюйма, асг=1,15 дюйма, тогда
с помощью графика на рис. 8.31 сроки проверки при коэффициенте
безопасности, равном 2, устанавливаюгся следующим образом [79,
300 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
стр. 1.2.17]. Срок первой проверки /1 определяется по соотношению
[BpeMRlfler=1,t-[PpeMn)fl/=(,,05 ,
Т. е = 18 000-5000 = 65()0 ч	(8. J 26)
Промежуток времени /2, через который должны проводиться вторая
и последующие проверки, определяется по соотношению
, [время1йсг=1,5-[времЯ]д<1а=0.ч
Т. е  18000 -9500 = 4250 ч	(8 128)
Критерий допустимости повреждения зависит от возможностей
контроля, частоты проверок и класса конструкции. Для конструк-
ций, возможности контроля которых меньше и проверки которых
Рис. 8.31. Зависимость длины трещины а от продолжительности эксплуатации t
гипотетической машины.
проводятся реже, критерий допустимости повреждений, включаю-
щий в себя начальный размер дефекта, минимальное требуемое зна-
чение остаточной прочности, размер возникшего при эксплуатации
дефекта и скорость роста трещины, должен назначаться с большим
запасом прочности.
Хорошая программа контроля разрушения должна включать
в себя и осуществляться совместно с проведением расчетов, выбором
материалов, производством, проверкой и этапами эксплуатации
8,9. Пример 301
в процессе создания и эксплуатации конструкций или инженерных
комплексов. Ниже приведен пример типичной программы контроля
разрушения [781
Расчет
1.	Определение напряжений и деформаций.
2.	Определение допустимых дефектов для наиболее опасных
с точки зрения прочности мест.
3.	Оценка скорости устойчивого роста трещины для типичных
этапов эксплуатации.
4.	Выдача рекомендаций и установление промежутков времени
между очередными проверками.
Материалы
1.	Определение предела текучести и предела прочности.
2.	Определение параметров разрушения: Кс, К[С, Ki зсс, da/dN.
3.	Подтверждение рекомендуемых режимов термообработки.
4.	Подтверждение рекомендуемых методов сварки.
Производство
). Формирование остаточных напряжений, размеров и направ-
ленности зереп.
2. Формирование или сохранение прочностных характеристик.
3. Регистрация условий производства.
Проверка
1.	Проверка детали на конечном этапе изготовления.
2.	Проверка условий производства, таких, например, как сила
тока и скорость сварки.
3.	Проверка наличия дефектов неразрушающими методами конт-
роля.
4.	Проверочное испытание.
5.	Оценка наибольших размеров трещиноподобных дефектов.
Эксплуатация
1.	Контроль величины напряжений и отклонений напряжений в
процессе эксплуатации.
2.	Предохранение от коррозии.
3.	Периодическая проверка.
8.9.	ПРИМЕР
Предположим, что на пластину толщиной 0,5 дюйма, шириной
10 дюймов и длиной 30 дюймов, используемую в качестве работаю-
щего на растяжение элемента конструкции, действуют пульсирую-
щие циклические растягивающие нагрузки в направлении размера
*> Перепечатано с разрешения из Machine Design, Sept. 2, 1971, © Penton/
302 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
30 дюймов, которые меняются по величине от 0 до 160 000 фунтов.
При дефектоскопии в пластине обнаружена сквозная трещина у
одного из краев вблизи середины пластины. Длина трещины по по-
казаниям средств контроля равна 0,075 дюйма. Материал пласти-
ны— сталь Ni-Mo-V с пределом текучести 84 500 фунт/дюйм2 и
вязкостью разрушения в условиях плоской деформации 33 800 фунт/
дюймж/«. Характеристики роста трещины для этого материала
приведены на рис. 8.25. Необходимо оценить остаточную долговеч-
ность в циклах до катастрофического разрушения пластины.
Напомним, что для оценки долговечности элемента с трещиной
необходима информация о трех параметрах. Среди этих параметров
начальный размер трещины скорость распространения трещины
при увеличении числа циклов da/dN, критический размер трещины
асг, при котором происходит ее неустойчивый рост и разрушение.
Для определения критического размера трещины асг можно исполь-
зовать методы, изложенные в разд. 3.7 и 3.8, а для анализа роста
трещины может быть применен подход, описанный в разд. 8.6. На-
чальный размер трещины зафиксирован в отчете по результатам
проверки. Во-первых, надо определить критический размер трещи-
ны асг, В соответствии с (3.45) находим, что минимальная толщина
пластины, при которой выполняются условия плоской деформации,
равна
в... - 2.5 (Ь)г = 2.5 (g™)= _0,40 дюйма, (8.129)
и, таким образом, предположение о плоской деформации для пла-
стины толщиной 0,5 дюйма справедливо. Следовательно, коэффици-
ент интенсивности напряжений для односторонней краевой сквоз-
ной трещины при растяжении, определяемый формулой (3.50), бу-
дет равен вязкости разрушения в условиях плоской деформации
в случае действия максимального напряжения, если размер трещи-
ны равен aQT. Это можно записать в виде соотношения
Ci°t	(8.130)
разрешая которое относительно критического размера трещины,
получаем
а«=Ис7Г-]г'	(8Л31)
Сведения, требуемые для определения С,, имеются на рис. 3.33.
Хотя величина С, является функцией размера трещины, она не
сильно зависит от него. Например, если начальный размер трещины
а=0,075 дюйма, то а/Ь=0,008, и из рис. 3.33 имеем
С([1— (0,008)]3/-= 1,11,	(8.132)
или С) =1,12.	(8.133)
Если трещина выросла до размера а=0,3 дюйма, то аф—0,03,
8.9. Пример 303
и из рис. 3.33 имеем
Cj[l—(0,03)]»/’ = 1,08,	(8.134)
или С, = 1,13.	(8.135)
Наконец, максимальное значение номинального растягивающего
напряжения без учета трещины при заданных условиях нагружения
определяется по соотношению
atmax = PIА — 160 000/(0,5 • 10) = 32 000 фунт/дюйм*. (8.136)
Таким образом, в соответствии с (8.131) получаем следующее значе-
ние критического размера трещины:
=4 [тттата] ’ “°’28 "»««’	(«• |37>
Для оценки остаточной долговечности в циклах осталось лишь
использовать эмпирическое соотношение, приведенное на рис. 8.25,
в области изменения длины трещины от начального размера =
=0,075 дюйма до критического асг=0,28 дюйма. Однако было бы
желательно учесть поправку к размеру трещины на пластическую
зону. Поскольку условия плоской деформации выполняются, мож-
но использовать соотношение (3.42), с помощью которого получаем
- + ^2'-’*'	<8138)
и в соответствии с (3.43) эффективная длина трещины а' становится
равной
а'=0,075+ 0,008 =0,083 дюйма.	(8.139)
Используя рис. 8.25, уравнение, описывающее установившийся
рост трещины, записываем в виде
daldN = 1,8 10-*» Д№,	(8.140)
или, поскольку
Д2< = С|Да/ла,	(8.141)
имеем	__
daldN = 1,8 • 10"19 [С] До Кла]3.	(8.142)
Это уравнение можно переписать следующим образом:
data*! = 1,8- 10"*» [С Да Кл]3 dN.	(8.143)
Интегрируя обе части этого равенства и замечая, что при #=0
начальный размер трещины а' =0,083 дюйма, а в момент разрушения
при N=Nf критический размер трещины а=0,28, записываем
0,28	Л/
f	f	1,8-10-*9[1,13 32000 KnJ’dAL (8.144)
0,083	0
304 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Осуществляя интегрирование, получаем
- 1/2 10,28	|Л'
-2-П5-	=4,74 10-^	(8.145)
— 1/Z |0,U83	|0
или°’2' =4,74 10-hV/r	(8.146)
V а 0,089
или + Г1____________ = 4,74  10-.W(8.147)
К0,28	0,083	7
или Л7у = (3,16/4,74)  10° = 66 700 циклов (8.148)
Таким образом, остаточная долговечность после обнаружения крае-
вого дефекта длиной 0,075 дюйма оценивается в 66 700 циклов.
ВОПРОСЫ
1. Рассмотрите основные предположения, которые делаются при примене-
нии правила линейного суммирования повреждений при оценке накопленной
усталостной поврежденности, и укажите,
Рис. Q8.2. По оси абсцисс Л/п
какие «подводные камни» могут вс1ре-
титься при применении этой гипо-
тезы. Почему тем не менее uinoie-
зой линейного суммирования пов-
реждений так часто пользуются?
2. В результате лабораторных
испытаний получены данные о на-
коплении повреждений в сплаве
«R» при двух амплитудах напря-
жения г?! И О2 (<Т1>а2), которые
предешвлены на рис. Q8.2. Исполь-
зуя эти данные, оцените влияние
порядка приложения циклических
напряжений с амплитудами ох и о2
и сравните свои выводы с резуль-
татами, даваемыми гипотезой Пальм-
I репа.
3. Сравните гипснезу Пальм-
грена с билинейным правилом сум-
мирования Мэнсона.
4. Стальной растягиваемый
стержень, являющийся деталью самолета, изготовлен из партии материала с
пределом прочности 135 000 фунт, дюйм2, пределом текучее!и 120 000 фунт/дюйм2,
Амплитуда напря- жения цикла, фунт/дюйм’	Число ЦИКЛОВ до разрушения Л	Амплитуд^ Напря- жения цикла, фунт/дюйм2	Числи циклов до разрушен»;. Л'
110000	6600	75 000	87 000
105 000	9500	73 000	116 000
100000	13 500	71000	170 000
95 000	19200	70 000	220 000
90 000	27 500	69 000	315000
85 000	39 000	68 500	400 000
80 000	55 000	68 000	00
Вопросы 305
удлинением 20% на базе 2 дюйма и приведенными в таблице усталостными ха-
рактеристиками, которые определены экспериментально.
В процессе эксплуатации во время каждого рабочего цикла па стержень дей-
ствует следующий спектр симметричных продольных нагрузок: Рв=11 ООО фунтов
Рис. Q,8.5,
в течение 1000 циклов, /%=8300 фунтов в течение 4000 циклов, /%=6500 фунтов
в течение 50 000 циклов. Этот рабочий цикл в процессе эксплуатации стержня
повторяется три раза. Определите требуемую площадь поперечного сечения, ис-
пользуя следующие гипотезы накопления повреждений; гипотезу Пальмгрена!
306 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
гипотезу Генри, гипотезу Гатса, гипотезу Кортена — Долана, гипотезу Марина
и гипотезу Мэнсона.
5. Специальное лабораторное оборудование надо перевезти из г. Финикса
в г. Нью-Йорк. Чтобы предохранить оборудование от воздействия ударных на-
грузок, оно установлено в цилиндрическом контейнере и подвешено над жесткой
платформой грузового автомобиля на коротких проволочных канатах, которые
крепятся к специальным кронштейнам. Проволочные канаты расположены верти-
кально и равномерно по окружности контейнера, их можно считать нерастяжимы-
ми. Центр масс оборудования расположен в геометрическом центре цилиндриче-
ского контейнера. Контейнер при перевозке может двигаться только вертикально
(рис. Q8.5(a)).
Все три кронштейна изготовлены из сплошного стержня диаметром 1,5 дюйма
из высокопрочной стали. Кронштейны имеют U-образную форму, как показано
на рис. Q8.5 (£)), и располагаются в горизонтальной плоскости, один конец крон-
штейна приварен к жесткой конструкции, к другому крепится канат. Предел
прочности материала 180 000 фунт/дюйм2, усталостная кривая этого материала
приведена на рис. Q8.5(c).
Опыт работы с подобными приспособлениями показывает, что цилиндр будет
колебаться примерно синусоидально в вертикальном направлении. Максимальная
амплитуда колебаний приближенно равна статическому перемещению груза
3000 фунтов при его подвеске к кронштейнам. Распределение амплитуд можно
принять следующим: 50% колебаний с максимальной амплитудой, 25% с ампли-
тудой, равной 3/4 максимального значения, и 25% с амплитудой, равной половине
максимального значения. Средняя скорость транспортировки 50 миля/ч.
Вас как консультанта фирмы, осуществляющей перевозку, просят ответить
на следующие вопросы:
(а)	Где расположены опасные точки устройства подвески груза?
(Ь)	Какой вид (виды) разрушения ожидается в каждой из опасных точек?
(с)	Произойдет ли по вашему мнению разрушение в самом опасном месте (местах)?
Свои ответы подкрепите расчетами.
6. Расчетная кривая усталости для материала X определена с учетом всех
факторов, оказывающих существенное влияние, и коэффициента безопасности.
Рис. Q8.6. 1 — кривая усталости для сплава X (п^ — 0).
Эта кривая приведена на рис. Q8.6. Сплошной стержень квадратного поперечного
сечения (размер стороны квадрата d) должен выдерживать трехкратно повторяе-
мый блок симметричных циклических осевых нагрузок. Каждый блок включает
в себя 1000 циклов с амплитудой 10 000 фунтов, 19 600 циклов с амплитудой
6000 фунтов, 107 циклов с амплитудой 1000 фунт. Определите размер d.
7. Опасная точка вала основной турбины туннельного типа нового самолета
VSTOL оснащена измерительными средствами, с помощью которых при «типич-
ном» полете получено, что спектр эквивалентных циклических симметричных на-
грузок включает в себя 15 циклов колебаний с амплитудой 50 000 нт/дюйм2,
Вопросы 307
100 циклов с амплшудой 30 000 фунт/дюйм-, 3 цикла с амплитудой 60 000 фунт/
дюйм2 и 10 000 циклов с амплитудой 10 000 фунт/дюйм2.
Десять полетов с таким спектром нагрузок осуществлено. Желательно повы-
сить нагрузки на вал в 1,1 раза по сравнению с «типичным» спектром нагружения,
(а) Оцепите, сколько дополнительных полетов с повышенными нагрузками может
быть осуществлено до разрушения, если спектр напряжений пропорционален
спектру нагружения. Кривая усталости для материала, из которого изготовлен
вал, приведена на рис. Q8.7.
Рис, Q8.7.
(Ь) Сколько дополнительных полетов может быть осуществлено при нормальных
условиях нагружения?
(с) Какие недостатки гипотезы линейного суммирования повреждений могут
привести к ошибкам в оценках?
8.	Корпус шарового шарнира на конце привода закрылка изготовлен из вы-
сокопрочного алюминиевого сплава, кривая усталости для которого приведена на
рис. Q8.7. Опасная точка расположена в сплошной цилиндрической части, на-
грузки в опасной точке действуют только в осевом направлении. Кривая устало-
сти, приваленная на рис. Q8.7, соответствует средним значениям усталостных ха-
рактеристик с учетом всех поверхностных эффектов, эффектов концентрации на-
пряжений и т. п. Конструкция должна быть спроектирована, исходя из значения
усталостной прочности на За меньше среднего значения. Стандартное отклонение
амплитуды напряжения равно 1000 фунт/дюйм2 для всех значений долговечности.
Спектр эксплуатационных нагрузок приведен в таблице.
Этап	Наименование	Диапазон изменения нагрузки, фунт	Число цик- лов за полег
1	Стоянка	0	0
2	Взлет	от +900 до —300	1
3	Набор высоты, крейсерский полет	от —400 до -ф200	1
4	Набор высоты, крейсерский полет	от —500 до —175	10
5	Набор высоты, крейсерский полет	от —500 до —225	100
6	Крейсерский полет со сверхзву-	от +2000 до 0	5
	ковой скоростью		
7	Полет по наземным ориентирам	от —2100 до 0	200
8	Посадка	от —500 до +300	2
9	Стоянка	0	0
308 Гл. 8, Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
В течение всего срока эксплуатации должно быть осуществлено 1000 полетов.
Знак (_) означает сжатие, а знак (-(-) — растяжение. Определите, какова должна
быть площадь поперечного сечения цилиндрической части.
9.	Опасное сечение управляющей тяги специального назначения с шаровыми
шарнирами на концах должно иметь сплошную круговую форму. Сталь, из кото-
рой будет изготавливаться тяга, имеет предел прочности 150 000 фунт-дюйм-,
предел текучести 139 000 фунт/дюйм2 и удлинение 11% на базе 2 дюйма. Уста-
лостные свойства при симметричном нагружении, соответствующие вероятности
99.7%, приведены в таблице.
Амплитуда напря- жения, фунт/дюйм1	Число циклов до разрушения .V	| Амплитуда напря- j жени я, фунт/дюйм*	Число циклов до разрушения N
150000	100	|	80 000	220 000
145 000	1200	70 000	473 000
130 000	6500	62 003	10е
120 000	15 500	60 000	00
100000	57 800		
Тяга должна выдерживать заданный спектр осевых нагрузок, и желательно,
чтобы вероятность ее безотказной работы равнялась 99,7?6. Спектр нагрузок в>
время каждого рабочего цикла следующий: РА изменяется от +30 000 до —6О(Ю
фунтов в течение 800 циклов; Рд изменяется от +18 000 до —18 000 фунтов в it
чение 7500 циклов; Рс изменяется от +9000 до —9000 фунтов в течение 75 000 цик-
лов. Такой рабочий цикл во время эксплуатации тяги повторяется три раза.
Определите по гипотезе Пальмгрена и по правилу Мэнсона требуемую пло-
щадь поперечного сечения при условии минимальности веса материала и обеспе-
чения вероятности безотказной работы 99,7%.
10.	Отожженная сталь 1040 имеет предел прочности 54 000 фунт/дюйм-.
предел текучести 48 000 фунт/дюйм2, удлинение 50% па базе 2 дюйма и усталое i-
Рис. Q8.10.
ные характеристики, показанные на рис. Q8.10. Из этого материала изготовлен
сплошной цилиндрический стержень диаметром 1 дюйм, который нагружается
следующими симметричными нагрузками: сначала 33 770 фунтов в течение
5000 циклов, затем 24 350 фунтов в течение 3 • 105 циклов, наконец, 17 300 фунтов
в течение 2- 10е циклов.
После всего этого нагрузка изменяется до 28 700 фунтов и осуществляется
циклическое симметричное нагружение. Через сколько циклов нагружения гри
этом последнем значении амплитуды напряжения произойдет разрешение?
Вопросы 309
11.	В современных исследованиях и расчетах усталости выделяются три раз-
личные фазы процесса усталости. Перечислите эти фазы и кратко опишите анали-
тические методы анализа каждой из них.
12.	Экспериментально определены следующие характеристики стали:
=215 000 фунт/дюйм2, 0^=200 000 фунт/дюйм2, /<^=74 000 фунт/дюйм'*, е=
=20% на базе 2 дюйма, //=155 000 фунт/дюйм2, п'=0,15, *7=0,48, о/“290 000
фунт/дюйм2, д=—0,091, с=—0,60. Растягиваемый элемент из этой стали имеет
одну полукруглую краевую выточку, коэффициент концентрации усталостных
напряжений "равен 1,6. Поперечное сечение у вершины выточки имеет толщину
0,35 дюйма и ширину 1,43 дюйма. К растягиваемому элементу приложена симмет-
рично циклически изменяющаяся нагрузка с амплитудой 12 500 фунтов.
(а)	Через сколько циклов по вашим оценкам в вершине выточки возникает уста-
лостная трещина?
(6)	Каков по вашим оценкам будет размер этой трещины в момент ее возникно-
вения?
13.	В соотношении da/dN=C&Kn определите каждое использованное обозна-
чение, опишите физическое явление, которое оно моделирует, и укажите предель-
ные значения для величины и возможные последствия выхода за эти пределы.
14.	Стальной элемент опоры длиной 100 дюймов имеет прямоугольное сече-
ние 6 дюймов на 24 дюйма. Вследствие динамических возбуждений на элемент в
направлении размера 100 дюймов действует растягивающая сила, изменяющаяся
по величине от максимального значения +6,48* 10G до минимального значения
+3,60ПО6 фунтов. Известны следующие характеристики материала:
= 100 000 фунт/дюйм2 и К]С=150 000 фунт/дюйм Экспериментальные исследо-
вания этой стали показали, что влияние отличного от нуля среднего напряжения
цикла на скорость роста трещины пренебрежимо мало и что скорость роста тре-
щины для этой стали достаточно точно определяется выражением da/dX—
= 1,17-10-15(ДЛ72)-5. В результате проверки установлено, что па одном краю
имеется сквозная по толщине краевая трещина длиной 0,3 дюйма. Через сколько
циклов по вашим прогнозам произойдет катастрофическое разрушение?
15.	Пластина шириной 10,0 дюймов, длиной 30,0 дюймов и толщиной 0,50 дюй-
ма изготовлена из стали Ni-Mo-V с пределом текучести 84 500 фунт/дюйм2, вяз-
3/«
костью разрушения при плоской деформации 33 800 фунт/дюйм . Скорость роста
трещины в этом материале характеризуется графиком, приведенным на рис. 8.25.
Пластина растягивается равномерно распределенной пульсирующей нагрузкой
в направлении размера 30 дюймов, меняющейся по величине от 0 до 160 000 фун-
тов. У одного края обнаружена сквозная трещина длиной 0,075 дюйма. Через
сколько циклов по вашим прогнозам произойдет катастрофическое разрушение?
16.	Если соотношение для скорости роста трещины, приведенное в задаче 14,
в равной степени применимо и к растягиваемому элементу, описанному в задаче 12,
и если достаточно точным ответом на вопрос 12(b) является 0,050 дюйма, опреде-
лите полную долговечность в циклах до разрушения описанного в задаче 12 рас-
тягиваемого элемента, начиная с первого цикла приложения нагрузки.
17.	Повторяющийся до разрушения испытываемого элемента блок напряже-
ний показан на рис. Q8.17(a). Используя метод стока и приведенную на рис.
Q8.17 (ft) кривую усталости, оцените долговечность до разрушения в часах. (При'
мечание: см. пример решения в разд. 11.9.)
18.	Блоки напряжений, показанные на рис. Q8.18(а), повторяются. Исполь-
зуя метод стока и кривую усталости, приведенную на рис. Q8.18 (Ь), оцените в ча-
сах время испытаний до разрушения. (Примечание', см. пример решения в разд.
11.9.)
19.	Большой двухскоростной туннельный вентилятор (см. рис. Q8.19(a))
состоит из 8 лопаток, прикрепленных к ступице. Установлено, что критическими
для лопаток являются области у места крепления их к ступице. Можно считать,
что в этой опасной области поперечное сечение лопатки представляет собой прямо-
угольник размером 2X4 дюйма, и можно предположить, что лопатки нагружаются
только осевыми силами, т, е, что нет ни изгиба, ни кручения,
310 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
В результате центростремительного ускорения при высокой скорости враще-
ния в опасном сечении возникает постоянная растягивающая сила величиной
150 000 фунтов. Аэродинамические вибрации приводят к возникновению дополни-
тельной циклической силы амплитудой 100 000 фунтов, накладываемой на цент| м
(а)
(Ь)
Рис. Q.8.17.
бежную растягивающую силу. При малой скорости вращения установившаяся
центробежная сила уменьшается до 100 000 фунтов, но амплитуда дополнительной
циклической силы увеличивается до 150 000 фонтов.
Типичный рабочий цикл в течение одного рабочего дня состоит из 5-Ю5 цик-
лов при высокой скорости вращения, за которыми следуют 10е циклов при малой
скорости вращения. Желательно обеспечить долговечность 18 лет.
Материал представляет собо: кованый алюминиевый сплав 7075-Т6 с пц=
==87 000 фунт/дюйм2, оур=78 000 фунт/дюйм2, удлинением 7% на ба$е 2 дюйма и
Вопросы 311
/С1е=27 500 фунт/дюйм \ Усталостная прочность при 1010 циклах равна
200 000 фунт/дюйм2.
Особую опасность представляют три вида разрушения — текучесть, хрупкое
разрушение и усталость.
Рис. Q8.18.
(а) Произойдет ли разрушение вследствие текучести?
(Ь) Проведена проверка опасных областей с помощью ультразвука. Средства про-
верки с вероятностью 99% позволяют обнаруживать трещины размером 1/8 дюйма
и больше. Никаких трещин не обнаружено. Произойдет ли хрупкое разрушение?
(с) Произойдет ли усталостное разрушение в течение 18-летнего срока эксплуата-
ции вентилятора, если считать что он работает 24 ч ежедневно? (Примечанпе:
используйте соотношения (8.114) и (8.115); кривая усталости приведена на рис.
Q8.19W.)
(d) Если по вашим прогнозам вентилятор разрушится вследствие усталости, го
сколько он будет работать до разрушения?
312 Гл. 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долговечности
Рис, Q8.19J — лопатка; 2 — типичное опасное место; 3 — втулка; 4 — сила.
20.	При проведении испьианий, моделирующих эксплуатационное нагруже-
ние, спектр нагрузок часто усекается с тем, чтобы исключить все растягивающие
нагрузки, возникающие менее десяти раз. Объясните подробнее, ничему это де-
лается.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Marco S, М., Starkey W, L. A Concept of Fatigue Damage.— ASME Transacti-
ons, 76 (1954), p. 627.
2,	Richart F. E., Newmark N, M. An Hypothesis for the Determination of Cumula-
tive Damage in Fatigue,— ASTM Proceedings, 48 (1946), p, 767.	*
Литература 313
3.	Henry D. L. Theory of Fatigue Damage Accumulation in Steel.— ASME Tran-
sactions, 77 (1955), p. 913.
4.	Gatts R. R. Application of a Cumulative Damage Concept to Fatigue.— ASME
Transactions, 83, Series D, No. 4 (1961), p. 529. [Имеется перевод: Гэттс. При-
менение понятия кумулятивного повреждения к проблеме усталости.— Тех-
ническая механика, Труды Американского общества инженеров-механиков,
серия D, т. 83, №4, 1961, с. 59—73.]
5.	Corten Н- Т., Dolan Т. J. Cumulative Fatigue Damage.— Proceedings of In-
ternational Conference on Fatigue of Metals.— ASME and 1ME (1956), p. 235 ff.
6.	Kommers J.B. The Effect of Overstressing and Understressing in Fatigue.—
ASTM Proceedings, 38 (1938), p. 249; 43 (1943), p. 749.
7.	Marco S. M., Starkey W. L., Foster T. G. Fatigue Characteristics of 76S-T61
Aluminum Alloy and SAE 4340 Steel.— Report No. 2, WADC Contract AF33
(038)12393, Ohio State University Research Foundation, Columbus, Ohio, 1951.
8.	Bennett J. A. A Study of the Damaging Effect of Fatigue Stressing on X4130
Steel.— ASTM Proceedings, 46 (1946), p. 693.
9.	Freudenthal A. M., Heller R. A. On Stress Interaction in Fatigue and a Cumula-
tive Damage Rule, Part I.—WADC TR58-69, June 1958.
10.	Marin J. Mechanical Behavior of Engineering Materials.— Englewood Cliffs,
N. J.: Prentice-Hall, 1962.
11.	Grover H. J. An Observation Concerning the Cycle Ratio in Cumulative Dama-
ge.— Fatigue in Aircraft Structures, STP-274, American Society for Testing
and Materials, Philadelphia, 1960, p. 120—124.
12.	Manson S. S. Interfaces Between Fatigue, Creep, and Fracture.— Proceedings
of International Conference on Fracture, Vol. 1, Japanese Society for Strength
and Fracture of Metals, Sendai, Japan, September, 1965, and International
Journal of Fracture .Mechanics, March 1966.
13.	Manson S. S., Frecke J. C., Ensign C. R. Applications of a Double Linear Dama-
ge Rule to Cumulative Fatigue.— Fatigue Crack Propagation, STP-415, Ameri-
can Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1967, p. 384.
14.	Kennedy A. J. Processes of Creep and Fatigue in Metals.— New York: John
Wiley & Sons, 1963. [Имеется перевод: Кеннеди А. Дж. Ползучесть и уста-
лость в металлах.— Мл Металлургия, 1965.]
15.	Morrow J. D., Martin J. F., Dowling N. E. Local Stress-Strain Approach to
Cumulative Fatigue Damage Analysis.— Final Report, T. & A. M. Report No.
379, Department of Theoretical and Applied Mechanics, University of Illinois,
Urbana, January 1974.
16.	Stadnick S. J., Morrow J. Techniques for Smooth Specimen Simulation of the
Fatigue Behavior of Notched Members.— Testing for Prediction of Material
Performance in Structures and Components, STP-5I5, American Society for
Testing and Materials, Philadelphia, 1972, p. 229—252.
17.	Stadnick S. J. Simulation of Overload Effects in Fatigue Based on Neubcr’s
Analysis.— T. & A. M. Report No. 325, Department of Theoretical and Applied
Mechanics, University of Illinois, Urbana, 1969.
18.	Topper T. H., Morrow J. Simulation of the Fatigue Behavior at the Notch Root
in Spectrum Loaded Notched Members (U).— T. & A. M. Report No. 333, De-
partment of Theoretical and Applied .Mechanics, University of Illinois, Urbana,
January 1970 (Final Report for Aero Structures Department, Naval Air Develop-
ment Center).
19.	Martin J. F., Topper T. H., Sinclair G. M. Computer Based Simulation of Cyclic
Stress-Strain Behavior with Applications to Fatigue.— Materials Research and
Standards, 11, No. 2 (February 1971), p. 23.
20.	Martin J. F., Topper T. H-, Sinclair G. M. Computer Based Simulation of Cyclic
Stress-Strain Behavior.— T. & A. M. Report No. 326, Department of Theoreti-
cal and Applied Mechanics. University of Illinois, Urbana, July 1969.
21.	Neuber H. Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatical Bodies
with Arbitrary Nonlinear Stress-Strain Law.—Journal of Applied Mechanics,
ASME Transactions, 28 (December 1961), p. 544—550. [Имеется перевод: Ной-
314 Гл. 8. Вопросы накопления повреждении, оценки долговечности
бер. Теория концешрации касательных напряжений в призматических телах
при произвольной нелинейной зависимости между напряжением и деформа-
цией.— Прикладная механика, Труды Американского общества инженеров-
механиков, серия Е, 1961, т. 28, №4, с. 71—77.]
22.	Topper Т. Н., Wetzel R. М., Morrow J. Neubcr’s Rule Applied to Fatigue of
Notched Specimens.— Journal of Materials, 4, No. 1 (March 1969), p. 200—209.
23.	Impellizzeri L. F. Cumulative Damage Analysis in Structural Fatigue.— Ef-
fects of Environment and Complex Load History on Fatigue Life, STP-462, Arne
rican Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1970, p. 40—68.
24.	Dowling N. E. Fatigue Failure Predictions for Complicated Stress-Strain His
tories.—Journal of Materials, 7, No. 1 (March 1972), p. 71—87. См. также:
Dowling N. E. Fatigue Failure Predictions for Complicated Stress-Strain His-
tories.— T. & A. M. Report No. 337, Department of Theoretical and Applied
Mechanics, University of Illinois, Urbana, January 1971.
25.	Hoeppner D. W., Krupp W. E. Prediction of Component Life by Application
of Fatigue Crack Growth Knowledge.— Engineering Fracture Mechanics, 6
Я, p. 47—70.
ey F. R. A Theory of Fatigue Based on Unbonding during Reversed Slip.—
Rand Corp. Report No. P350 (November 1952); also supplement (May 1963).
27.	Shanley F. R. A Proposed Mechanism of Fatigue Failure.— Colloquium on Fati-
gue, Stockholm, Sweden, International Union of Theoretical and Applied Mec-
hanics.— Berlin: Springer-Verlag, 1956.
28.	Head A. K. The Growth of Fatigue Cracks.— Philosophical Magazine, 44, Ser.
7 (1953), p. 925.
29.	Head A. K. The Propagation of Fatigue Cracks,—Journal of Applied Mecha
nics, 23 (1956), p. 407.
30.	Weibull W. The Propagation of Fatigue Cracks in Light Alloy Plates,— SAAB
Aircraft Co., Linkoping, Sweden, 1954.
31.	Frost N. F., Dugdale D. S. The Propagation of Fatigue Cracks in Sheet Speci-
mens.— Journal of Mechanics and Physics of Solids, 6 (1958), p. 92—110.
32.	McEvily A. J., Jr., Illg W. The Rate of Fatigue Crack Propagation in Tw<
Aluminum Alloys.— NACA TN 4394, 1958.
33.	Schijve J. Fatigue Crack Propagation in Light Alloy Sheet Material and Struc
tures.— NLL Report MP 195, 1960.
34.	Schijve J. Fatigue Crack Propagation in Light Alloy Sheet Material and Strut'
tures.— Advances in Aeronautical Sciences. Vol. 3.— New York: Pergamo.
Press, 1962, p. 287—408.
35.	Paris P. C., Gomez M. P., Anderson W. E. A Rational Analytic Theory of Fa
tigue.— Trend Engineering, University of Washington, 13, No. 1 (1961), p
9—14.
36.	Paris P. C. The Growth of Fatigue Cracks Due to Variations in Load.— Ph. D.
Dissertation, Lehigh University, Bethlehem, Pa., 1962.
37.	Paris P. C. Crack Propagation Caused by Fluctuating Loads.— ASiME Papei
No. 62-Met 3, ASME, New York, 1962.
38.	Paris P. C., Erdogan F. A Critical Analysis of Crack Propagation Laws.— Jour
nal of Basic Engineering, ASME Transactions, Series D, 85, No. 4 (1963), p
528—534. [Имеется перевод: Пэрис, Эрдоган. Критический анализ законов
распространения трещин.— Техническая механика, Труды Американского
общества инженеров-механиков, серия D, т. 85, 1963, № 4, с. 60—68.]
89.	Paris Р. С. The Fracture Mechanics Approach to Fatigue.—Fatigue — Ar.
Interdisciplinary Approach, Proceedings of the Tenth Sagamore Army Mate
rials Research Conference, Syracuse Unixersity Press, Syracuse, N. Y., 1964.
p. 107—132.
40.	L iu H. W. Crack Propagation in Thin Sheet Metal Under Repeated Loading.—
Journal of Basic Engineering, ASME Transactions, Series D, 83(1961). [Имеет
ся перевод: Лю. Распространение трещины в тонколистовом материале
под влиянием повторных нагрузок.— Техническая механика, Труде Амери-
Литература 315
канского общества инженеров-механиков, серия D, 1961, т. 83, № 1, с. 30—
41.1
41.	Christensen R. Н. Cracking and Fracture in Metals and Structures.— Procee-
dings of Crack Propagation Symposium 2, Cranficld, England, 1961, p. 326—
374.
42.	Weibull W. The Effect of Size and Stress History on Fatigue Crack Initiation
and Propagation. — Proceedings of Crack Propagation Symposium 2, Cranfield,
England. 1961, p. 271—286.’
43.	Valluri S. R. A Unified Engineering Theory of High-Stress Level Fatigue.—
Aerospace Engineering, 20 (1961), p. 18—19, 68—69.
44.	Frost N. E. The Effect of Mean Stress on the Rate of Growth of Fatigue Cracks
in Sheet Materials.— Journal of Mechanical Engineering, 4, No. 1 (1962), p. 22.
45.	Stulen F. B. The Theoretical Development of the Crack Propagation Formula.—
TN No. 554, Curtiss-Wright Corp., Caldwell, N. J., 1962.
46.	McEvily A. J., Jr., Bocttner R. C. On Fatigue Crack Propagation in
F. С. C. Metals.—Acta Mctallurgica, 11 (1963), p. 725.
47.	Weibull W. A Theory of Fatigue Crack Propagation in Sheet Specimens.— Acta
Metallurgica, 11 (1963), p. 745.
48.	Liu H. W. Fatigue Crack Propagation and Applied Stress Range — An Energy
Approach.—Journal of Basic Engineering, ASiME Transactions, Series D,
85 (1963), p. 116. [Имеется перевод: Лю. Влияние амплитуды приложенных
напряжений па распространение усталостных трещин — энергетический под-
ход.— Техническая механика. Труды Американского общества инженеров-
механиков, серия D, 1963, т. 85, № 1, с. 140—148.]
49.	Liu Н. W. Size Effects on Fatigue Crack Propagation.— Galcit SM 63-7, Cali-
fornia Institute of Technology, Air Force Contract No. AF 33(616)-6270, Pro-
ject No. 7024, Task No. 7066 or ARI Report 64-68, 1964.
50.	McClintock F. A. On the Plasticity in the Growth of Fatigue Cracks.— Fracture
of Solids, Interscience and AIME, 1963, p. 65—102.
51.	Valluri S. R., Glassco J. B., Bockrath G. E. Further Considerations Concerning
a Theory of Crack Propagation in Metal Fatigue.— SAE Paper No. 752A, 1963.
52.	Krafft J. M. Correlation of Plane Strain Crack Toughness with Strain Hardening
Characteristics of a Low, a Medium, and a High Strenght Steel.— Applied Ma-
terials Research, 3, No. 2 (1964), p. 88—101.
53.	Krafft J. M. A Comparison of Cyclic Fatigue Crack Propagation with Single
Cycle Crack Toughness and Plastic Flow.— Special Report to the
ASTM-FTHSM, 1964.
54.	Brock D., Schijve J. The Influence of Mean Stress on the Propagation of Fatigue
Cracks in Aluminum Alloy Sheet.—NIRIRM 2111, 1961.
55.	Manson S. S. Interfaces between Fatigue, Creep and Fracture.— Proceedings
of First International Conference on Fracture, Sendai, Japan, 1965.
56.	Weertman J. Rate of Growth of Fatigue Cracks as Calculated from the Theory
of Infinitesimal Dislocations Distributed on a Plane.— Proceedings of Interna-
tional Conference on Fracture, Vol. 1, Japanese Society for Strength and Frac-
ture of Metals, Sendai, Japan, September 1965.
57.	McEvily, Jr., A. J., Johnston T. I. The Role of Cross Slip in Brittle Fracture
and Fatigue.— Proceedings of International Conference on Fracture, Vol. 1,
Japanese Society for Strength and Fracture of Metals, Sendai, Japan, Septem-
ber, 1965.
58.	Hoeppner D. W., Pettit D. F., Hyier W. S. A Study of Fatigue and Other Rela-
ted Problems Associated with Drill Pipe and Casing Materials for Project Moho-
le.— Summary Report III, Federal Clearing House of Scientific Research, Bat-
telle, Columbus, 1967.
59.	Forman R. G., Kearney V. F., Engle R. M. Numerical Analysis of Crack Propa-
gation in Cyclic-Loaded Structures.— Journal of Basic Engineering, ASME Tran-
sactions, Series D 89, (1967), p. 459. [Имеется перевод: Формэн, Керни, Энгл.
Численное исследование распространения трещины в циклически нагружае-
мых конструкциях,— Теоретические основы инженерных расчетов. Труды
316 Гл. 8. Вопросы накопления повреждении, оценки долговечности
Американского общества инженеров-механиков, серия D, 1967, т. 89, № 3
с. 8—15]
60.	Rawe R. A., Fitman D. A. A Parametric Relationship Between Fatigue Life,
Cyclic Stress, and Crack Length in Fiat Panels and Cylinders.— Douglas Airc-
raft Paper 4285, ASME Winter Annual Meeting, 1967.
61.	Walker E. K- The Effect of Stress Ratio During Crack Propagation and Fatigue
for 2024-T3 and 7075-T6.— The Effects of Environment and Complex Load
History on Fatigue Life, STP-462, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1970, p. 1—15.
62.	Lehr K- R-, Lin II. W. Fatigue Crack Propagation and Strain Cycling Properti-
es.— International Journal of Fracture Mechanics 5, No. 1 (1969).
63.	Donahue R. J., McEvily A. J., Jr. Symposium on Fracture Mechanics, Carnegie
Melon University, Pittsburgh, 1970.
64.	Krafft J. M. A Comparison of Cyclic Fatigue-Crack Propagation with Single
Cycle Crack Toughness and Plastic Flow.— Presented to ASIMC Committee
E24 on Fracture, 1964.
65.	Donahue R. J., Clark H. M., Atanmo P., Kumble R., McEvily A. J., Jr. Crack
Opening Displacement and the Rate of Fatigue Crack Growth.— University of
Connecticut, Institute of .Materials of Science Report, 1971.
66.	Clark W. G., Jr. Fracture Mechanics in Fatigue.— Experimental Mechanics,
September 1971.
67.	Barsom J. M. Effect of Cyclic Stress Form on Corrosive Fatigue Crack Propagati-
on Below scc in a High Yield Strength Steel.—Corrosion Fatigue, 1972,
p. 424-436.
68.	Hartman A., Schijve J. The Effects of Environment and Load Frequency on the
('rack Propagation Law for Macro Fatigue Crack Growth in Aluminum Alloys.—
Engineering Fracture Mechanics, 1 (1970), p. 615.
69.	McMillan J. L., Pelloux R. M. N. Fatigue Crack Propagation under Program and
Random Loads.— STP-415, American Society for Testing and Materials, Phi-
ladelphia, 1967, p. 505.
70.	Jonas D., Wei R. P. An Exploratory Study of Delay in Fatigue Crack Growth.—
International Journal of Fracture Mechanics, 7, No. 1 (March 1971).
71.	Wheeler D. E. Spectrum Loading and Crack Growth.—ASME Paper No. 71-
MET, January 1972.
72.	Willenborg J., Engle R. M., Wood H. A. A Crack Growth Retardation Model
Using an Effective Stress Concept—AFFDL Tech. Memo. 71-1-F1312, Air
Force Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio, January 1971.
73.	Elber W. The Significance of Fatigue Crack Closure.— Damage Tolerance in
Aircraft Structures, STP-486, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1970, p. 230—243.
74.	Wundt В. M. Effects of Notches on Low Cycle Fatigue.— STP-490, American
Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1972.
75.	Schijve J. The Accumulation of Fatigue Damage in Aircraft Materials and
Structures.—AGARD Publication No. AG-157, January 1972.
76.	Ekvall J. C., Young L. Converting Fatigue Loading Spectra for Flight-by Flight
Testing of Aircraft and Helicopter Components.— Report of Lockheed Califor-
nia Company, Burbank, Calif., 1974.
77.	Wood II. A. Fracture Control Procedures for Aircraft Structural Integrity.—
AFFDL Report TR-21-89, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, July 1971
78.	Osgood С. C. Assuring Component Life.— Machine Design, September, 2 (19711
p. 95.
79.	Rich T. P., Cartwright D. J. (eds.) Case Studies in Fracture Mechanics, Report
No. AMMRC MS77-5, U. S. Army Material Development and Readiness Com
mand, Alexandria, Va., 1977.
ГЛАВА 9
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИКИ В ИССЛЕДОВАНИЯХ УСТАЛОСТИ
9.1.	ВВЕДЕНИЕ
В разд. 7.6 отмечалось, что значительный разброс данных по уста-
лости заставляет использовать при описании, анализе и сопостав-
лении данных по усталостному разрушению статистические методы,
с помощью которых расчетчик может обоснованно добиться тре-
буемой надежности. Некоторые приемы и методы статистики, ис-
пользуемые при проведении усталостных испытаний и анализе их
результатов, будут описаны на нижеследующих страницах. Одна-
ко, прежде чем перейти к их изучению, необходимо напомнить не-
которые основные определения и понятия статистического анализа.
9.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Совокупностью, или генеральной совокупностью, называется мно-
жество объектов, имеющих некоторые общие характеристики. Мно-
жество может быть либо конечным, либо бесконечным. Характе-
ристики заданной совокупности фиксированы, хотя обычно они
неизвестны.
Выборка представляет собой некоторое подмножество объектов
из совокупности. Характеристики выборки для различных выбо-
рок различны, хотя они все являются подмножествами одной сово-
купности.
Характеристики совокупности называются параметрами. Для
любой заданной совокупности параметры постоянны. В частности,
если совокупность состоит из элементов хь х2, х3, ... , xnt где хг —
некоторая измеримая характеристика совокупности, например
долговечность при некотором заданном уровне напряжения, то
среднее значение долговечности ц определяется соотношением
р=(х1+х2+хз+...+Хп)/л.	(9.1)
Характеристики выборки называются статистиками. В общем
случае статистики для разных выборок из одной совокупности раз-
личны. В частности, пусть первая выборка состоит из элементов
хь х3 и х5, а вторая — из элементов х2, х4, хв и х,. Выборочные
средние значения Xi и ха для выборок 1 и 2 соответственно вычисли-
318 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
ются по формулам
*1 = (*1+х3 + *5)/3,	(9.2)
х2 = (х2 -1- х4 -г х, + *?)/4	(9.3)
Параметры совокупности обычно определить довольно трудно,
поскольку это требует измерения представляющей интерес характе-
ристики абсолютно для каждого элемента совокупности. Это свя-
зано с трудностями, а иногда и вообще невозможно. Но даже и
тогда, когда это возможно, делать это, как правило, нецелесообраз-
но. Например, чтобы определить предел усталости для всех образ-
цов стали 4340 в заданном диапазоне температур, пришлось бы
повредить или разорвать все образцы и не осталось бы материала,
пригодного для изготовления нужных деталей. Вследствие этого
параметры выборки оцениваются по результатам расчетов статис-
тик для представительных выборок из совокупности. Приемы уста-
новления необходимых размеров выборок и их состава относятся
к статистическому планированию эксперимента.
Статистики, пригодные для получения оценок параметров сово-
купности, могут быть получены при помощи различных типов вы-
борок. Все эти типы выборок, как правило, случайны. Под этим
понимается, что некоторый элемент совокупности имеет точно та-
кие же шансы попасть в выборку, как и любой другой, с учетом,
конечно, ограничений, накладываемых способом выделения выбор-
ки. В зависимости от того, насколько много нам известно о гене-
ральной совокупности и как ее можно разделить на части, можно
использовать различные приемы получения случайных выборок.
Например, можно осуществлять неограниченно случайную выбор-
ку, послойную случайную выборку, послойную пропорциональную
случайную выборку или случайную выборку по оптимально рас-
положенным слоям.
Каждый из этих приемов требует больших априорных знаний
о совокупности, чем предшествующие. Неограниченно случайная
выборка состоит в случайной выборке элементов из всей совокуп-
ности как целого. Послойная случайная выборка возможна, когда
известно, как генеральная совокупность может быть разделена на
части (слои). Случайная выборка элементов производится из слоя,
причем рассмотреть необходимо все слои. Для применения послой-
ной пропорциональной случайной выборки требуется знать отно-
сительные размеры слоев. При этом случайная выборка внутри
каждого слоя осуществляется в соответствии с его размерами. На-
конец, применение случайной выборки по оптимально расположен-
ным слоям предполагает наличие информации о слоях и их располо-
жении для получения наиболее представительных сведений о ге-
неральной совокупности. Как правило, чем больше известно о со-
вокупности, тем точнее с помощью того или иного приема получе-
ния выборок могут быть оценены ее параметры.
9.2. Определения 319
Некоторые из статистик, используемых для оценки параметров
совокупности, относятся к так называемым описательным статис-
тикам. К ним относятся меры расположения, меры дисперсии,
меры асимметрии и меры эксцесса, или островершинности, распре-
деления исследуемой характеристики. Некоторые описательные
статистики перечислены ниже.
Мера расположения
Арифметическое среднее
Медиана
Квантиль порядка р
Мода
Геометрическое среднее
Мера дисперсии
Дисперсия
Стандартное отклонение
Среднее отклонение
Размах
Мера асимметрии
Асимметрия
х = '1„ 2 *i
1 = 1
Среднее значение упорядочен-
ного массива
Значение величины в упорядо-
ченном массиве, такое, что
100р% значений величины в
массиве меньше его
Величина,
наиболее часто
п
antilog ±21 *°8
встречающаяся
S’ = [ 1 /(« - 1)] L (X,- х)г
i = 1
п
[l/(n—1)] 2 |х,—х|
1 = 1
(наибольшая величина—
наименьшая величина)
Мера эксцесса (островершинности)
Эксцесс
п
4 = 1
320 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Кроме этого перечня, при оценке и сравнении исследуемых сово-
купностей используются еще три статистики. Это — статистика
хи-квадрат (х2), статистика Снедкора (F) и статистика Стьюдента
(t). Подробнее они будут описаны ниже.
Наконец, отметим, что с помощью статистик решаются три ос-
новные задачи: описание выборки самой по себе, оценка парамет-
ров совокупности, из которой взяты выборки, а также сравнение
и сопоставление выборок и, таким образом, сравнение и сопостав-
ление совокупностей, из которых взяты выборки.
9.3.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОВОКУПНОСТЕЙ
Измеряемая или вычисляемая характеристика заданной совокуп-
ности, скажем х, обычно принимает значения в некотором диапазо-
зоне. Функция f(x), определяющая вероятность того, что случай-
ная величина х примет любое частное значение в заданном диапа-
зоне, называется функцией плотности вероятности. Другими сло-
вами, функция плотности вероятности f(x) описывает, как распре-
делена совокупность на некоторой шкале. Функции плотности ве-
роятности обладают следующими свойствами:
1.	f (х) > 0	для всех х;
2.	для дискретного распределения;
X
3.	^f(x)dx=\	для непрерывного распределения.
Г
Еще одна используемая функция F(x), которая называется
интегральной функцией распределения, определяет вероятность
того, что значение случайной переменной х не превосходит некото-
рого частного значения в заданном диапазоне. Функции распреде-
ления обладают следующими свойствами:
1.	F (х) —монотонная неубывающая функция.
2.	Г (х)=0 для всех х, которые меньше наименьшего значения
х в совокупности.
3.	F(x)^=l для всех х, которые больше наибольшего значения
х в совокупности.
Функции плотности вероятности могут быть либо дискретными,
либо непрерывными. Примером дискретной функции плотности ве-
роятности является функция
/(х) = 72 для х —0, х=1; /(х) = 0 для всех других х. (9.4)
Эта дискретная функция плотности вероятности графически может
быть изображена, как показано на рис. 9.1(й). График соотвеют-
вующей интегральной функции распределения приведен на рис.
9.1(d). Другими примерами (см., например, [1]) дискретных функ-
9.3. Распределения совокупностей 321
ций плотности вероятности являются функции для биномиального
распределения и распределения Пуассона.
Очень важным примером непрерывной функции плотности ве-
роятности является функция плотности вероятности гауссова,
или нормального, распределения, определяемая формулой
f(x) = 7^TeXp[“HVi-)’] для -«><*<«>. (9-5)
где ц — среднее значение и о — стандартное отклонение совокуп-
ности. Графически эта функция изображена на рис. 9.2(a). График
/Гх)
f(x) =7/г; л:=Д х-Г
f(x) = 0 о других случаям
-3	-2	“1	0	1	2	3
(а)
F(x)
I
। - ।__________।_______________।_______।_______Li.
-з 1 -г -1 о 1 г з
W.
Рис. 9.1. Пример функции плотности вероятности и функции распределения для
Дискретного распределения, (а) функция плотности вероятности; (6) функция рас-
пределения.
соответствующей интегральной функции распределения приведен
на рис. 9.2(b). Можно отметить, что для полного описания распре-
деления в соответствии с (9.5) требуется задание лишь двух пара-
метров — среднего значения р и стандартного отклонения а. Поэ-
тому нормальное распределение называется двухпараметрическим
распределением. Величина
Х = (х—р)/о	(9.6)
11 №492
322 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
называется стандартной нормально распределенной величиной и
распределена по нормальному закону с нулевым средним значени-
ем и единичным стандартным отклонением. Любое нормальное рас-
пределение может быть преобразовано в стандартное нормальное
распределение, если известны его среднее значение и стандартное
отклонение. Значения функции плотности вероятности для стан-
дартного нормального распределения приведены в табл. 9.1. Коло-
№
Рис. 9.2. Графики функции плотности вероятности и функции распределения для
нормального распределения, (а) функция плотности вероятности; (Ь) функция
распределения.
колообразная кривая, изображенная на рис. 9.2(a), которая харак-
теризует нормальное распределение, симметрична относительно
среднего значения р и имеет точки перегиба при ц±а. Кривая,
хотя и приближается к оси х при удалении от оси симметрии, ухо-
дит в обе стороны в бесконечность. Интегральная функция нормаль-
ного распределения для любой заданной величины х определяется
площадью под кривой плотности распределения от —оо до задан-
ного значения х. В табл. 9.2 приведены значения интегральной функ-
ции распределения Г(Х) для стандартного нормального распреде-
ления.
Другими представляющими интерес непрерывными распреде-
лениями являются распределение хи-квадрат, F-распределение
Стьюдента, (-распределение Снедкора и распределение Вейбулла.
9,3. Распределения совокупностей 323
Таблица 9.1. Значения функции плотности вероятности /(X) для
стандартного нормального распределения
X	0,00	0, 01	0,02	0, оз	0,04	0,05	0.06	0.07	0,08	0.09
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0.3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0.3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0.3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0.6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0.7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0.3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1.0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0.1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0.0596	0,0584	0,0573	0.0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0.0498	0,0488	0,0478	0,0468	0.0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0.0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0.0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0.0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0.0011] 0,0010		0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008,0,0007		0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	'0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0.0004	0,0004	0,0004	0.0003	0,0003	0.0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0.0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001
/(Х)=-р=е<-х’/2) . (и8 работы {1|.)

324 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Таблица 9.2. Интегральная функция распределения F(X) для стандартного
нормального распределения
X	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0.06	0.07	0,08	0,09
1 0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6679
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1.0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1.1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,В790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
X	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090	3,291	3,891	4,417
F(X)	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,999	0,9995	0,99995	0,999995
	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001	0,0001	0,00001
(Иэ работы [!].)

9.4. Выборочные распределения 325
9.4.	ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Каждая статистика выборки меняется от выборки к выборке, и
поэтому сама является случайной величиной, имеющей свое собст-
венное распределение, которое называется выборочным распреде-
лением. Выборочные распределения обладают некоторыми свойст-
вами, позволяющими установить связь между ними и распределе-
нием совокупности. В качестве примера можно указать следующую
теорему.
Пусть х — среднее значение случайной выборки размера п из
бесконечной совокупности со средним значением р и стандартным
отклонением а. В этом случае можно доказать, что выборочное рас-
пределение величины х имеет среднее значение ц и стандартное
отклонение о/Ип. Кроме того, если совокупность, из которой сде-
лана выборка, характеризуется нормальным распределением, мож-
но доказать, что выборочное распределение х тоже нормально.
Для выборочных распределений доказано еще много полезных
теорем. Наиболее полезной и ценной теоремой статистики как с
теоретической, так и с прикладной точки зрения является централь-
ная предельная теорема. Исторически для формулировки и доказа-
тельства центральной предельной теоремы потребовалось более
двух столетий. Вклад в ее развитие внесли многие выдающиеся
математики. Основными вехами являются следующие результаты!
1713 — доказательство теоремы Бернулли;
1733 — доказательство теоремы Муавра;
1812 — улучшение Лапласом доказательства теоремы Муавра;
1860 — доказательство неравенства Чебышева;
1901 — доказательство теоремы Ляпунова;
1925 — общая формулировка центральной предельной теоремы
Леви;
1935 — формулировка необходимых и достаточных условий цент-
ральной предельной теоремы Фелларом и Линдбергом, завершив-
шая доказательство центральной предельной теоремы.
Математически центральная предельная теорема может быть
сформулирована следующим образом:
а
lim Р J х~^ < gl — 1 С е~х'/г dx,	/9 7)
— оо
где выражение под знаком предела следует читать так: «вероят-
ность того, что (х—р.)/(о/)/п) меньше или равно а».
Словами центральная предельная теорема может быть сформу-
лирована следующим образом. Пусть х — среднее случайной вы-
борки размера п из любой бесконечной совокупности со средним
значением и стандартным отклонением а. Тогда для достаточно
326 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
больших п (практически для п, начиная от 25 или 30) распределе-
ние х близко к нормальному со средним значением р и стандартным
отклонением а/Кп. Центральная предельная теорема применима как
к дискретным, так и к непрерывным распределениям.
Наибольший интерес представляют три выборочных распреде-
ления: хи-квадрат-распределение, /-распределение и F-распределе-
ние. Хи-квадрат-распределение можно определить следующим
образом: пусть хь х2, х3, ... , xv представляют собой v нормально
распределенных независимых случайных переменных со средним
нулевым значением и стандартным отклонением, равным 1. При
этом случайная переменная
У= 2 $	(9-8)
1 = 1
имеет распределение хи-квадрат с v «степенями свободы». Число
степеней свободы равно числу независимых случайных переменных,
образующих сумму квадратов в (9.8).
Функция плотности вероятности f(y) для хи-квадрат-распреде-
ления имеет вид
f (у)  ----!—-	- 1е-у/г, y>Q,
Г(у/2)2'/гУ	у	(9.9)
f(z/) = O для всех других у.
Функция плотности вероятности хи-квадрат-распределения пока-
зана на рис. 9.3. Важное свойство переменных с хи-квадрат-рас-
Рис. 9.3. Распределение хи-квадрат со средним значением ц и стандартным от-
клонением о.
пределением состоит в том, что сумма двух независимых перемен-
ных с хи-квадрат-распределением тоже имеет хи-квадрат-распре-
деление. Интегральная функция хи-квадрат-распределения в таб-
личной форме приведена в табл. 9.3. С помощью использования
хи-квадрат-распределеиия, а также методов согласия, оценки не-
Таб^пгца d.3. Интегральная функция распределения F (У) для хи-квадрат-распределения с v степенями свободы
	0, 005	0,010	0,025	0,050	0,100	0,250	0,500	0, 750	0,900	0, 95 0	0. 975	0,990	0,995
1	0, 04393	0, 0*157	0,0*982	0,0*393	0,0158	0. 102	0,455	1,32	2,71	3,84	5,02	6,63	7,88
2	0,0100	0,0201	0,0506	0, ЮЗ	0,21 1	0,5 75	1,39	2, 77	4,61	5,99	7,38	9,2|	10,6
3	0,0717	0, 1 15	0,216	0,35 2	0,584	1,21	2,37	4,11	6,25	7,81	9,35	11,3	12,8
4	0, 207	0, 297	0.4 84	0,711	1,06	1,92	3,36	5,39	7,78	9,49	Н,1	13,3	14,9
5	0.4 12	0,554	0,831	1,15	1,6)	2,67	4,35	6,63	9,24	11,1	12,8	15. 1	16, 7
6	0, 6 7 G	0,872	1, 24	1.64	2,20	3,45	5,35	7,84	Ю,6	12,6	14,4	16,8	18,5
7	0,989	1 . 24	1,69	2, 17	2,83	4,25	6,35	9, 04	1 2, 0	14 , 1	16,0	18,5	20.3
8	1,34	1 ,65	2, 18	2,73	3,49	5,07	7,34	10,2	13,4	15,5	17,5	20,1	22,0
9	1,73	2, 09	2,70	3,33	4,17	5,90	8,34	11,4	14,7	16,9	19,0	21,7	23,6
Ю	2, 16	2,56	3,25	3,94	4,87	6,74	9,34	12,5	16, 0	18,3	20,5	23,2	25.2
11	2,60	3,05	3,82	4,57	5,58	7,58	10,3	13,7	17,3	19, 7	21,9	24,7	26,8
12	3,07	3,57	4,40	5,23	6,30	8,44	11,3	14,8	18,5	21,0	23,3	26.2	28,3
13	3,57	4,11	5,01	5,89	7,04	9,30	12,3	16,0	19,8	22,4	24,7	27,7	29,8
14	4,07	4,66	5,63	6,57	7,79	10,2	13,3	17, 1	21,1	23,7	26, 1	29, 1	31.3
15	4,60	5,23 5,81	6,26	7,26	8,55	11,0	14,3	18,2	22,3	25,0	27,5	30.6	32,8
16	5, 14		6,91	7,96	9,31	11,9	15,3	19,4	23,5	26,3	28,8	3 2,0	34,3
17	5,70	6,4 1	7,56	8,67	10, 1	12,8	16,3	20.5	24.8	27,6	30,2	33,4	35.7
18	6,26	7,01	8,23	9,39	10,9	13,7	17,3	21,6	26.0	28,9	3 ] , 5	31,8	37,2
19	6,84	7,63	8,91	10, 1	11,7	14,6	18,3	22, 7	27,2	30. 1	3 2,9	36,2	38,6
20	7,43	8,26	9,59	10,9	12,4	15,5	19,3	23,8	28,4	31.4	34,2	37,6	4 0.0
21	8,03	8,90	10,3	11,6	13,2	16,3	20, 3	24,9	29,6	32, 7	35,5	38,9	4 1,4
22	8,64	9,54	11,0	12.3	14,0	17, 2	21,3	26.0	30,8	33,9	3G, 8	4 0,3	4 2,8
23	9,26	10,2	11,7	13, 1	14,8	18, 1	22,3	27, 1	3 2,0	35,2	38, 1	4 1,6	44 , 2
24	9,89	10,9	12,4	13,8	15,7	19,0	23,3	28,2	33.2	36,4	39,4	4 3,0	45,6
25	10,5	11,5	13, 1	14,6	16,5	19,9	24,3	29,3	34,4	3 7,7	4 0. b	4 4.3	46,9
26	И,2	12,2	13,8	15,4	17,3	20,8	25,3	30,4	35,6	38.9	11,9	45,6	48,3
27	11,8	12, 9	14.6	16,2	18, 1	21,7	26,3	31,5	36,7	40.1	13,2	47,0	4 9,6
28	12,5	13,6	15,3	16,9	18,9	22,7	27,3	32,6	37,9	41,3	4 4,5	48,3	51,0
29	13, 1	14,3	16,0	17,7	19,8	23,6	28,3	33, 7	39, 1	42,6	45,7	4 9, G	52,3
80	13,8	15, 0	16,8	18,5	20,6	24,5	29,3	34,8	40,3	4 3,8	47,0	50,9	53.7
"т-5
О
x(v-2)/2 ^-х/2)
------------------- dx
2v/2 [(v-2)/2]I
В таблице приведены значения Y. (Из работы [1].)
9.4. Выборочные распределения
328 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
зависимости и отношения максимального правдоподобия (см., на-
пример, [1]) могут быть проверены гипотезы относительно диспер-
сии.
Распределение Стьюдента t представляет собой выборочное рао
пределение, введенное Госсетом, имевшим почетную профессию и
работавшим на пивоваренном заводе в то время, когда он был сту-
дентом, готовя себя к пользовавшейся тогда сомнительной репута-
цией деятельности в области математической теории вероятности.
Поэтому он использовал псевдоним Стьюдент (студент).
Рис. 9.4. Распределение Стьюдента / со средним значением р и стандартным от-
клонением о.
Распределение Стьюдента t определяется следующим образом.
Пусть и — нормально распределенная случайная величина со сред-
ним значением нуль и дисперсией, равной единице. Пусть v — неза-
висимая хи-квадрат-распределенная случайная переменная с k сте-
пенями свободы. Статистика определяемая соотношением
t^ul^v/k,	(9.10)
имеет распределение Стьюдента t с k степенями свободы. Функция
плотности вероятности f(t) для распределения Стьюдента t дается
формулой
НО-С»--------Ч-!»,. . —оо</<оо,	(9.11)
где
с Г[(^+1)/21
' V kn Г (Jfe/2) *
(9.12)
Распределение Стьюдента t схематично изображено на рис. 9.4.
Распределение t полезно использовать для проверки гипотез отно-
сительно средних значений, сравнения средних и определения коэф-
фициентов регрессии. Интегральная функция распределения для
распределения Стьюдента в табличной форме дана в табл. 9.4.
9.4, выборочные распределения 329
Таблица 9.4. Интегральная функция распределения F (/) для ^распределения
Стьюдента о k степенями свободы
4	0,75	0,90	0,95	0,975	0,99	0,995	0,9995
1	1,000	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	636,610
2	0,816	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,598
3	0,765	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,941
4	0,741	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
5	0,727	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	6,859
6	0,718	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,959
7	0,711	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
8	0,706	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
9	0,703	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
10	0,700	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
11	0,697	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
12	0,695	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,318
13	0,694	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
14	0,692	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
15	0,691	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
16	0,690	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	4,015
17	0,689	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
18	0,688	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,922
19	0,688	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
20	0,687	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
21	0,686	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819
22	0,686	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,792
23	0,685	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,767
24	0,685	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
25	0,684	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,725
26	0,684	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,707
27	0,684	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,690
28	0,683	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,674
29	0,683	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
30	0,683	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,646
40	0,681	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,551
60	0,679	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,460
120	0,677	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,373
00	0,674	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291
В таблице приведены значения i.
(Из рабо
Распределение Снедкора F может быть определено следующим
образом. Пусть и — случайная величина с хи-квадрат-распределе-
нием с п степенями свободы. Пусть v — независимая хи-квадрат-
распределенная случайная величина с т степенями свободы. Ста-
тистика F, определяемая соотношением
р и-т______________________________ пи
v/n то *
(9.13)
330 Гл, 9. Применение статистики Д исследованиях усталости
имеет распределение Снедкора F с т и п степенями свободы. Функ-
ция плотности вероятности f(F) для распределения F имеет вид
г(т-2)/2
) = С/ (n + rnF)(m+n}/t ’ F > °’	(9.14)
f (F) = 0 для всех других F,
ГДе	р   I К'П —n),’2| т/2„п/г	(Q 15\
С/-Г(/П,2)Г(п.2)т П •
Схематично распределение Снедкора F изображено на рис. 9.5.
Значения для интегральной функции распределения F даны в
табл. 9.5. Распределение F используется для проверки гипотез
Рис. 9.5. Распределение Снедкора F.
относительно соотношений между дисперсиями и является основ-
ным средством, применяемым в дисперсионном анализе.
Наконец, распределение Вейбулла является трехпараметриче-
ским распределением. Оно фактически характеризуется семейст-
вом функций плотностей вероятностей. Каждая из функций плот-
ностей вероятностей Вейбулла может быть записана в виде
где N — долговечность образца в циклах; — параметр ми-
нимальной долговечности; Na — параметр характеристической дол-
говечности, соответствующей разрушению 63,2% образцов; Ь>0 —
параметр формы Вейбулла (или наклон Вейбулла).
Несколько типичных распределений Вейбулла схематично по-
казано на рис. 9.6. Можно отметить, что эта функция плотности
вероятности описывает простое экспоненциальное распределение
при Ь=1, распределение Рэлея при Ь=2 и хорошо аппроксимирует
гауссово распределение при Ь=3,57, т. е. когда среднее и медиана
равны. Функция плотности вероятности Вейбулла обычно скошена
вправо, удаляясь в бесконечность. Если кривая f(Ar) касается оси
долговечности в точке, отличной от нуля, то говорят, что распре-
деление характеризуется отличной от нуля минимальной долговеч-
Таблица 9.5. Интегральная функция распределения G (F) распределения Снедкора F с т (числитель)
и л (знаменатель) степенями свободы
G (F)	т п \	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	30	60	120	40
0,90		39, 9	4 9,5	53,6	55,8	57,2	58,2	58, 9	59,4	59.9	60,2	60,7	6 1,2	61,7	G2,3	62,8	6'3, 1	63,3
0,95		1G 1	200	216	225	230	234	237	239	241	24 2	244	246	248	250	252	253	254
0,975	1	64 8	800	864	900	922	93 7	948	95 7	963	969	977	f'85	993	1 0 00	1 010	1 010	1 020
0, 99		1 05(1	5 000	5 400	•  620	5 760	5 860	5 930	5 98 0	ь 020	6 060	6 110	6 160	6 2 10	6 26 0	6 3 1 0	6 34 0	6 370
0,995		1ь 200	20 000	21 600	2 2 500	23 100	23 4 00	23 700	23 900	24 100	24 200	24 400	24 600	24 800	25 0 00	25 200	25 4 00	25 50 0
0,90		8,53	9,00	9,16	9,24	9, 29	9. 33	9, 35	9,3 7	9, 38	9,39	9,41	9,42	9,4 4	9.4 С	9,4 7	9,48	9,49
0.95		1 8,5	19,0	19, 2	19,2	19,3	19, 3	19,4	19,4	19, 4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	1 9,5	19,5	19,5
0.9 75	2	3 5,3	39,0	39, 2	39, 2	39,3	39,3	39. 1	39,4	39,4	39,4	39,4	39,4	39,4	39,5	39,5	39,5	39.5
0, 9 9		98,5	99.0	99, 2	99,2	99,3	99,3	99,4	99,4	99,4	99,4	99.4	99,4	99,4	99.5	99,5	99.5	99,5
0,995		1 99	199	1 99	199	199	199	199	199	199	199	199	199	199	199	199	1 99	199
0,90		5.5 4	5,4 6	5,3 9	5,34	4 3 1	5,28	5 . 27	5,25	5,24	5,23	5,22	5,20	5, 18	5, 17	5,15	5, 14	5, 1 3
0, 95		10, 1	9,55	9, 28	9, 12	9,0 1	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8, 74	8, 70	8,66	8,62	8,5 7	8,55	8,53
0, 975	л	17,4	16,0	15.4	15,1	14,9	14,7 27,9	14,6	14,5	14,5	14,4	14,3	14,3	14,2	14,1	14,0	1 3,9	13,9
0,99		34, J	30,8	29,5	28,7	28,2		27, 7	27,5	27,3	27,2	27, 1	26,9	26, 7	26,5	26. 3	26,2	26, 1
0,995		5 5,0	49,8	4 7,5	4 6,2	45,4	44,8	44 , 4	4 ' , 1	4 3,9	4 3,7	4 3,4	43, 1	4 2.8	42,5	4 2, 1	4 2,0	4 1.8
0,90		4,54	4,32	4,19	4,11 6,39	4,05	4,01	3,98	3,95	3,93	3,9 2	3,90	3,87	3,84	3,82	3,79	3,78	3, 76
0,95		7,71	G . 94	6,59		6,26	6,16	1,09	6,04	6,00	5 ,96	5,91	5,86	5,80	5,75	5,69	5,66	5,63
0,975	4	12,2	10,С	9,98	9,60	9,36	9, 20	9,0 7	8,98	8,90	8. 84	8,75	8,66	8,56	8,46	8, 36	8,31	8.26
0,99		21 , 2	18,0	16, 7	16,0	15,5	15. 2	15,0	14,8	14,7	14,5	14,4	14,2	14,0 20,2	13.8	13,7	13.6	13.5
0,995		31,3	26,3	24,3	23.2	22,5	22.0	2 1,6	2 1.4	21.1	21,0	20. 7	20,4		1 9,9	19,6	19,5	19,3
0,90		4,06	3, 78	3,02	3,52	3,4 5	3,40	3.37	3,34	3,32	3,30	3,27	3,24 4,62	3,21	3,17	3, 14	3, 12	3. 1 1
0,95		6,61	5,79	5,4 1	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4 , 77	4 , 74	4,68		4,56	4,50	4,43	4.40	4,37
0, 975	5	10,0	8,43	7,76	7,39	7, 15 11,0	6,98	b, 85	6,76	6,68	6,6 2	6,5 2	6,43	6,33	6, 23	6. 1 2	6, 07	6,0 2
0,99		16,3	13, 3	12, 1	11,4 15. G		10. .	1 0,5	10.3	10,2	10, 1	9.89	9. 72	9,55	9.38	9.20	9, 1 1	9,02
0,995		22,8	18,3	16,5		14,9	14,5	11,2	14,0	13,8	13.6	13,4	13, 1	12,9	12,7	12,4	12,3	12, 1
0,90		3, 78	3,4 6	3, 29	3, 18	3, 1 1	3.05	3,01	2,98	2,98	2,94	2,9(1	2, 87	2,84	2,80	2, 76	2, 74	2, 72
0,95		5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4 , 15	4,10	4,06	4,00	3,94	3,87	3,81	3, 74	3,70	3,67
0,975	6	8,81	7,26	6,60	6,23	5,99	5,82	5,70	5,60	5,52	5,46	5,37	5,27	5,17	5,07	4,96	4,90	4,85
0,99		13,7	10,9	9, 78	9, 15	8,75	8,4 7	8.26	8, 10	7,98	7,87	7, 72	7,56	7,40	7,23	7,06	6,97	6,88
0,995		18,6	14,5	12, 9	12,0	11,5	11,1	10,8	10,6	10,4	10,2	10,0	9,81	9,59	9,36	9, 12	9,00	8,88
9.4. Выборочные распределения 331
332 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Продолжение
Продолжение
0(F)	''К т п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Ю	12	15	20	30	60	120	оо
0,90		2,97	2,59	2.38	2,25	2, 16	2,09	2.04	2.00	1,96	1,94	1.89	1,84	1 , 79	1 , 74	1,68	1.64	1,61
0.95		4,35	3,49	3. 10	2,87	2.71	2,60	2,51	2.45	2,39	2,35	2,28	2, 20	2. 12	2.01	1.95	1.90	1,84
0,975	20	5,87	4.46	3, 86	3,5!	3,29	3, 13	3,01	2,91	2,84	2, 77	2,68	2,5-’	2,46	•>, 35	2,22	2, 16	2.09
0,99		8. 1 0	5.85	4.94	4 ,43	4,10	3,87	3. 70	3, 56	3,46	3,37	3,23	3, 09	2,94	2.78	2, 61	2,52	2,42
0,995		9,94	6,99	5,82	5,17	4 , 76	4,47	4 , 26	4.09	3,96	3,85	3.68	3,50	3,32	3.12	2,92	2,81	2,69
0,90		2,88	2,49	2,28	2, 14	2,05	1,98	1 ,93	1,88	1 .85	1,82	1 . 77	1.72	1 .67	1.61	1,54	1.59	1,46
0,95		4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2.27	2,21	2, 16	2,09	2,01	1,93	1.84	1.74	1,68	1,62
0,9 75	30	5.57	4 . 18	3,5 9	3,25	3,03	2.87	2.75	2.65	2,57	2,51	2.41	2,31	2,20	2,07	1,94	1,87	1,79
0,99		7,56	5.39	4 ,5 1	4,02	3,70	3,4 7	3,30	3, 1 7	3.07	2.98	2,84	2. 70	2,55	2.39	2,21	2.П	2.01
0,995		9,18	6.35	5 , 21	4,62	1,23	3,95	3,74	3.58	3,45	3,34	3. 1 8	3,01	2,82	2,63	2,42	2,30	2.28
0,9 0		2. 79	2,39	2,18	2,04	1,95	1.87	1.7-2	1 , 77	1 , 74	1 , 71	1,66	1,60	1,54	1,48	1.40	1,35	1 , 29
0,95		4.00	3, 1 5	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2. 1 0	2, 04	1 ,99	1.92	1,84	1,75	1 . 65	1,53	1.47	1,39
0,9 75	60	5.29	3,93	3.31	3,01	2. 79	2,63	2,51	2,4 1	2,33	2,27	2,17	2, 06	1,94	1,82	1,67	1 ,58	1.48
0,99		7,08	4,98	4,13	3,65	3,34	3, 12	2,95	2,82	2.72	2.63	2,50	2,35	2,20	>. 03	1,81	1,73	1,60
0.995		8.49	5.80	4 , 73	4,14	3, 76	3,4 9	3,29	3, 13	3.01	2,90	2.74	2.5 7	2,39	2,19	1.96	1,83	1,69
0.90		2,75	2,35	2, 13	1 ,99	1.90	1.82	1 , 77	1 , 72	1 ,68	1,65	1,60	1.54	1,48	1,4 1	1,32	1,26	1 . 19
0,95		3, 92	3,07	2.68	2,45	2. 29	2. 18	2,09	2,02	1.96	1,91	1.83	1 , 75	1,66	1 ,55	1,43	1.35	1 , 25
0,975	120	5,15	3,80	3,23	2,89	' Ь i	2,52	2,39	2, 30	2, 22	2, 16	2.05	1,91	1 , 82	1,69	1,53	1,43	1,31
0, 99		6.85	4,79	3,95	3,48	з: 17	2,96	2,79	2.66	2,56	2.4 7	2,34	2,19	2,03	1 , 86	1 .66	1,53	1,38
0,995		8, 18	5.54	4 .50	3,92	3,55	3, 28	3,09	2.93	2,8 1	2, 71	2,54	2,37	2, 19	1,98	1 . 75	1,61	1,43
0,90		2.71	2.30	2.08	1,94	1,85	1,77	1,72	1,67	1.63	1.60	1.55	1,49	1.42	1,34	1 , 24	1,17	1,00
0,95		3,84	3.00	2.60	2,37	2,21	2, 10	2,01	1,94	1,88	1,83	1 . 75	1 ,67	1,57	1,46	1,32	1.22	1,00
0,975	СР	5,02	3,69	3,12	2, 79	2.5 7	2,41	2, 29	2, 19	2. 1 1	2,05	1,94	1,83	1,71	1,57	1.39	1,27	1,00
0.99		6,63	4,61	3,78	3.32	3.02	2, 80	2,64	2,51	2,4 1	2,32	2. 18	2.04	1,88	1 , 70	! .47	1,32	1,00
0,995		7.88	5,30	4.28	3,72	3,35	3,09	2, 90	2,74	2,62	2,52	2,36	2, 19	2.00	1 . 79	1,53	1,36	1,00
? (m-bn-2) 1 fflm/2 дл/2 — 2)/2]
1 ( т-2\ /п-2\ . .	fm + n)/2
J I—М—?(я+тх)
В таблице приведены значения F. (Из работы [I].)
9.4. Выборочные распределения 333
334 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Таблица 9.6. Ординаты Вейбулла, соответствующие различным значениям
количества отказов в процентах [5]
Г(Л').100	lg 1 -F(/V)	F (Af)-1 00	*g 1 — F(N)	F (Ar)-100	lg 1 - F(JVj
2	0,0088	35	0,1871	66	0,4685
4	0,0177	36	0,1938	68	0,4949
5	0,0233	38	0,2076	70	0,5229
6	0,0269	40	0,2218	72	0,5528
8	0,0362	42	0,2366	74	0,5850
10	0,0458	44	0,2518	75	0,6021
12	0,0555	45	0,2596	76	0,6198
14	0,0655	46	0,2676	78	0,6576
15	0,0706	48	0,2840	80	0,6990
16	0,0757	50	0,3010	82	0,7447
18	0,0862	52	0,3188	84	0,7959
20	0,0969	54	0,3372	85	0,8239
22	0,1079	55	0,3468	86	0,8539
24	0,1192	56	0,3565	88	0,9208
25	0,1249	58	0,3768	90	1,000
26	0,1308	60	0,3979	92	1,097
28	9,1427	62	0,4202	94	1,222
30	0,1549	63,2	0,4341	95	1,301
32	0,1675	64	0,4437	96	1,398
34	0,1805	65	0,4559	98	1,699
{Примечание: все логарифмы имеют десятичное основание.) © ASTM, 1916 Race Street,
Philadelphia, Pa, 19103-
Рис. 9.6» Несколько типичных графикой распределения Вейбулла. (По работе
9.5. Статистические гипотезы 335
ностью. Интегральная функция распределения для распределения
Вейбулла дается формулой
F (Л')= 1—	(9.17)
Распределение Вейбулла часто используется для описания дан-
ных по усталости при постоянных уровнях напряжения. В табл. 9.6
приведены данные, полезные для графического изображения функ-
ций распределения Вейбулла на специальной вероятностной бумаге
Вейбулла. Этот вопрос будет рассмотрен в разд. 9.9.
9.5.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предполо-
жение или утверждение, касающееся какого-либо параметра сово-
купности. Предположение относительно параметра совокупности
обычно называется нулевой или основной гипотезой HQ. Например,
типичным примером основной гипотезы является гипотеза
Нп:	50 000 фунт/дюйм2.	(9.18)
Проверка основной гипотезы состоит в решении по какому-либо
установленному методическому правилу вопроса, принять или
отвергнуть данную гипотезу. Это решение обычно принимается
по результатам анализа представительной случайной выборки из
совокупности. Отказ от основной гипотезы 7/0 в процессе ее про-
верки означает принятие альтернативной гипотезы Н^. Например,
для основной гипотезы (9.18) альтернативная гипотеза может
быть записана в виде
7/р ц>50 000 фунт/дюйм2.	(9.19)
При решении вопроса о принятии гипотезы или об отказе от
нее по результатам анализа выборок возможны ошибки двух ти-
пов.
Ошибка типа I: вероятность отклонения основной гипотезы
в том случае, когда она верна. Эта вероятность обычно обозначается
через а и называется значимостью критерия.
Ошибка типа II: вероятность принятия основной гипотезы в
том случае, когда она неверна. Эта вероятность обычно обозначается
через р, а величина 1 — р называется мощностью критерия.
Процедура проверки статистической гипотезы обычно устанав-
ливается до осуществления выборки из совокупности. Она, как
правило, включает в себя следующие этапы:
1.	Выбор статистики и, следовательно, используемого выбороч-
ного распределения. Выборочное распределение должно зависеть
от исследуемого параметра.
2.	Задание требуемой величины значимости критерия а. Это
означает задание вероятности ошибки типа I.
336 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
3.	Выбор или определение критической области. Это — область,
при попадании в которую значения выбранной статистики основ-
ная гипотеза должна быть отвергнута. Осуществление этого этапа
связано с заданием величины а и выбором выборочного распреде-
ления.
4.	Выбор размера выборки и тем самым определение границ
вероятности р ошибки типа II.
5.	Проверка гипотезы и решение вопроса о принятии или откло-
нении гипотезы Н9.
С целью иллюстрации описанного подхода рассмотрим случай-
ную переменную х со средним значением р и дисперсией о2, такую,
что
У = (х—p)/<j = /V (0, 1).	(9.20)
Запись (9.20) следует читать так: величина у, равная (х—р)/о,
распределена нормально со средним значением 0 и дисперсией,
равной 1.
В случае, если размер выборки п достаточно велик, таким спо-
собом могут быть исследованы многие статистики при достаточно
общих условиях. Например, х в (9.20) может быть средним значе-
нием выборки размера п. Параметры совокупности р и а, вообще
говоря, фиксированы, хотя и неизвестны.
Предположим, что требуется проверить основную гипотезу
Но : Р=Ро-	(9.21)
Это означает, что требуется проверить гипотезу о том, что истин-
ная величина среднего значения рсовокупности равна р0, некоторо-
му заданному вещественному числу, включая нуль. Эту гипотезу
требуется проверить на основе результатов анализа случайной вы-
борки размера п из совокупности. Для основной гипотезы, сформу-
лированной в виде (9.21), альтернативной является гипотеза
Hi:	(9.22)
Начать проверку основной гипотезы Н9 необходимо с выбора
соответствующего уровня значимости а, учитывая, что
а = Р (непринятие Н0\Нп верна}.	(9.23)
Соотношение (9.23) следует читать: а равно вероятности отклоне-
ния Н9 при условии, что гипотеза Н9 верна.
После выбора уровня значимости а необходимо определить кри-
тическую область (область непринятия гипотезы) для статистики
выборки у в (9.20), находя величину у9, такую, что
Р{~У9^У<У9} = 1-<*.	(9.24)
Определив соотношением (9.24) критическую область, изображен-
ную на рис. 9.7, делаем случайную выборку и подсчитываем
0/)выборки=	Ро)/^	(9.25)
9.5. Статистические гипотезы 337
либо точно, либо приближенно в зависимости от того, известна ли
величина ст или она тоже должна быть оценена. Используя резуль-
тат подсчета (9.25), гипотезу Но отклоняем с уровнем значимости
а, если величина увыбОркя попадает в критическую область (9.24),
показанную на рис. 9.7. Если же величина //вы«ор||Я не попадает
в критическую область, основная гипотеза не отвергается. Для
большей определенности предположим, что требуется проверить
гипотезу
Но: ц = 50000 фунт/дюйм’	(9.26)
по результатам определения среднего значения выборки 12 образ-
цов. Предположим, что независимо найдено значение стандартного
Рис. 9.7. Графическое представление критической области (области непринятия
гипотезы) для уровня значимости а при проверке гипотезы Яо: ц=|л0 с помощью
статистики выборки у= (х—ц)/а.
отклонения совокупности о = 2000 фунт/дюйм2. Требуется проверить
гипотезу (9.26) с уровнем значимости 0,05. Соотношением (9.20)
установлено, что у имеет стандартное нормальное распределение,
функция распределения которого приведена в табл. 9.2. Для уров-
ня значимости 0,05 при показанном на рис. 9.7 симметричном рас-
пределении величина yQ равна значению у, соответствующему пло-
щади под кривой плотности вероятности (1—а/2). Из табл. 9.2 сле-
дует, что у0 равно 1,96. Следовательно, для уровня значимости 0,05
критическая область будет содержать все значения у, меньшие
—1,96 или большие 1,96. Далее вычисляем статистику у для вы-
борки
Увыборкн (^	я)*
(9.27)
338 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Предположим, что для выборки из 12 образцов получаем выбо-
рочное среднее значение 47 500 фунт/дюйм2. Статистика (9.27) при-
нимает значение
выборки = (47 500-50 000)/(2000//Т2) = -4,2.	(9.28)
Поскольку значение у=—4,2 находится в критической области,
гипотеза Яо о том, что р=50 000 фунт/дюйм2 при уровне значимо-
сти 0,05 отвергается.
9.6.	ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Интуитивно ясно, что гипотезы типа (9.26) не очень хороши, по-
скольку вероятность того, что среднее значение р точно равно
50 000 фунт/дюйм2, действительно должна быть очень малой. Более
привлекательным выглядит такой подход к оценке параметров со-
вокупности, при котором определяются доверительные пределы
для исследуемого параметра. Для определения доверительных
пределов, соответствующих вероятности 100(1—а) %, необходимо
лишь найти значения исследуемого параметра из уравнений {/=±{/0
(см. (9.24)). Эти значения и служат доверительными пределами для
рассматриваемого параметра, соответствующего вероятности
100 (1 — а)%.
Предположим, например, что требуется найти 95%-ные довери-
тельные пределы для среднего значения р заданной совокупности,
используя выборочное среднее значение х некоторой случайной
выборки из данной совокупности. Известно, что
у = (х-н)/(о/Ил) = W (0, I),	(9.29)
поскольку, как описано в разд. 9.4, можно показать, что в соот-
ветствии с одним из следствий центральной предельной теоремы
выборочное распределение для х имеет среднее значение р и стан-
дартное отклонение о/Кп. Заданный уровень доверия 95% соответ-
ствует уровню значимости а 0,05. В соответствии с (9.24) имеем
—1/оС(х—м)/(а,|/п)^1/0} = 1—а = 0,95.	(9.30)
Из табл. 9.2 можно найти, что критическое значение {/у, соответст-
вующее симметричной критической области для а = 0,05, изобра-
женной на рис. 9.7, равно
t/o=l,96.	(9.31)
Эго означает, что (9.30) можно записать в виде
Р (—1,96 С (х—ц)/(а,Уп ) < 1,96} = 0,95.	(9.32)
Выпишем отдельно из (9.32) левое неравенство
— 1,96^ (х—p)/(o,J п)	(9.33)
9.7. Свойства хороших, оценок 339
и отсюда найдем
1,960/1^п .
(9.34)
Аналогично, решая правое неравенство в (9.32), находим
—1,96о/|ЛЁ	(9.35)
Подставляя (9.34) и (9.35) в (9.32), получаем соотношение
Р{х— 1,96а/ИГ ^р<х+1,96а//п’} = 0,95,	(9.36)
которое в принятых обозначениях для доверительных пределов
принимает вид
С {х—1,96о//п < р С~х + 1,96о/ИГ} = 95%.	(9.37)
Для большей определенности предположим, что из некоторой
совокупности алюминиевых стержней случайно извлечена выборка
из 25 образцов и для этой выборки найдено среднее значение проч-
ности х=13 000 фунт/дюйм2. Предположим также, что каким-либо
образом найдена оценка стандартного отклонения <т=2000 фунт/
дюйм2 (возможно, из этой же самой выборки). Тогда 95%-ные дове-
рительные пределы для среднего значения всей совокупности, ис-
ходя из величины х, будут
С {13 000—(1,96 • 2000)/25 р	13 000 + (1,96 • 2000)/25} = 95 %,
(9.38)
или С{12220<рС 13780}=95%.	(9.39)
Это означает, что с уровнем доверия 95% можно предсказать на-
хождение среднего значения совокупности в диапазоне от 12 220
до 13 780 фунт/дюйм2.
Можно заметить, что длина доверительного интервала 2у0о/Уп
зависит от уровня значимости а и от числа образцов в выборке.
Чтобы уменьшить длину доверительного интервала и, таким обра-
зом, улучшить качество оценки, надо либо понизить уровень дове-
рия, либо увеличить объем выборки. Для оценок параметров сово-
купностей и для расчета доверительных интервалов исследуемых
параметров совокупностей применительно к различным усталост-
ным испытаниям разработан ряд методов [2].
9.7.	СВОЙСТВА ХОРОШИХ ОЦЕНОК
Статистики, вычисляемые по случайным выборкам и используемые
для оценок параметров совокупностей, называются оценками.
Хорошие оценки, насколько это возможно, должны обладать сле-
дующими свойствами: они должны быть несмещенными, состоя-
тельными, эффективными и достаточными.
Несмещенная оценка — это такая оценка, которая не имеет
систематической ошибки ни в сторону завышения, ни в сторону
340 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
занижения истинного значения оцениваемого параметра. Состоя-
тельная оценка — это несмещенная оценка, которая приближается
к истинному значению параметра совокупности по мере увеличения
объема выборки. Эффективная оценка — это состоятельная оценка,
стандартное отклонение которой меньше стандартного отклонения
любой другой оценки этого же самого параметра совокупности.
Достаточная оценка — это эффективная опенка, при получении
которой использована вся информация о параметре, которую дает
выборка. Всегда стремятся использовать наилучшие оценки в ука-
занном выше смысле.
9.8.	РАЗМЕР ВЫБОРКИ
ДЛЯ ТРЕБУЕМОГО ДОВЕРИТЕЛЬНОГО УРОВНЯ
Как было сказано ранее, протяженность доверительного интерва-
ла зависит от размера выборки. Если исследуемые данные распре-
делены нормально или их распределение каким-либо образом пре-
образовывается в нормальное, то можно оценить ширину довери-
тельного интервала в зависимости от размера выборки. Данные
по усталости являются данными такого типа. Информация о числе
образцов, требуемых для достижения приемлемой точности, со-
держится в табл. 9.7, где указано минимальное число образцов,
Таблица 9.7. Число образцов для получения 95%-ных доверительных
пределов среднего значения
Ширина интервала	95%-ныс довери- тельные пределы	Требуемое число образцов н	Ширина интервала	95%-ные довери- тельные пределы	Требуемое число образцов п
0,2а	х £ 0, !а	384	1,2о	х £ 0,6о	11
0,4о	х £ 0,2а	96	1,4а	х £ 0,7а	8
0,6о	х £ 0,3а	43	1,6а	х £ 0,8а	6
0,8а	х £ 0,4а	24	1,8о	х £ 0,9а	5
1,0а	х £ 0,5а	15	2,0о	х £ 1,0а	4
которое необходимо испытать для определения 95%-ных довери-
тельных интервалов заданной ширины для среднего значения сово-
купности р при предположении, что стандартное отклонение о
известно [2]. Величина п в табл. 9.7 подсчитана по формуле
п = (1,96о/£)2,	(9.40)
где £ = 1/2 (Ширина интервала).	(9.41)
Минимальное число образцов для получения 95%-ного довери-
тельного интервала для стандартного отклонения совокупности о
при наличии некоторой его оценки при заданной ширине приведе-
9.9. Вероятностная бумага 341
Таблица 9.8. Число образцов для получения 95%-ных доверительных
пределов стандартного отклонения
Ширина интервала	Число образцов п	Ширина интервала	Число образцов п
0,14а	385	0,6о	21
0,2а	190	0,7а	16
0,3с	84	0,8а	13
0,4а	47	0,9а	10
0,5а	30	1,0а	8
но в табл. 9.8. Число образцов в табл. 9.8 подсчитано [2] по следую-
щей формуле:
Ширина интервала__/ yot976
2а	~ \ ц—1 /
1
(9.42)
9.9.	ВЕРОЯТНОСТНАЯ БУМАГА
Дня нормального распределения график интегральной функции
распределения F (х) в зависимости от случайной переменной х
имеет S-образную форму, как показано на рис. 9.2 (Ь). Можно соз-
дать специальную бумагу, масштаб которой для F (х) изменен та-
ким образом, что для нормального распределения график зависи-
мости F(x) от х будет прямой линией. Эта специальная бумага, на-
зываемая нормальной вероятностной бумагой, применяется для
определения, нормально ли распределены данные из исследуемой
совокупности. Для этого необходимо только нанести данные на
нормальную вероятностную бумагу в соответствии с описанным
ниже способом.
Если данные представляются графически прямой линией, мож-
но сказать, что распределение совокупности нормальное, а среднее
этого распределения и стандартное отклонение могут быть опреде-
лены непосредственно из графика без дополнительных вычислений.
Если данные не представляются прямой линией, следует заключить,
что распределение совокупности не подчиняется нормальному за-
кону.
Вероятностную бумагу можно создать для любого распределе-
ния, если соответствующим образом изменить масштаб вероятности
так, чтобы зависимость интегральной функции распределения от
случайной переменной изображалась прямой линией. Описанная
ранее нормальная вероятностная бумага изображена на рис. 9.8.
Другим распространенным типом бумаги является показанная на
рис. 9.9 логарифмически нормальная бумага. И нормальная, и лога-
рифмически нормальная вероятностные бумаги имеются в свобод-
ной продаже. Бумага другого типа, как, например, вероятностная
бумага Вейбулла, изготавливается либо по спецзаказу, либо самим
342	Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
ЩИ 0,05 Щ Ц2 0,5 1 2	5	10	20 30 40 50 60 70 30	90 95	98 99 99,5 ВД 999	S9,9i
Рис. 9.8. Пример нормальной вероятностной бумаги. По осн абсцисс — вероятность события (выживание, разру-
шение); по оси ординат— исследуемая случайная переменная (прочность, долговечность н т. и.).
Рис. 9.9. Пример логарифмически нормальной бумаги. По оси абсцисс — вероятность события (выживание, разру-
шение); по оси ординат — исследуемая случайная переменная (прочность, долговечность и т, п.).
9.9. Вероятностная бумага 343
344 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
потребителем. Пример вероятностной бумаги Вейбулла показан
на рис. 9.11.
Чтобы изобразить графически данные на вероятностной бумаге,
можно поступить следующим образом:
1. Упорядочить данные, начиная с наименьшего значения слу-
чайной переменной.
2. Приписать номер q каждой точке упорядоченного массива,
поделив ее номер q на п+1, где п — число точек массива.
4. Нанести на график на выбранной вероятностной бумаге ве-
личину случайной переменной в соответствующем месте.
После нанесения данных проводится проверка на линейность.
Если все точки попадают на прямую линию, можно сделать вывод,
что распределение данных действительно является распределением,
которому соответствует использованная вероятностная бумага.
Например, предположим, что требуется выяснить, распределяются
ли по нормальному закону значения пределов текучести деталей,
изготовленных из стали 4340 одной плавки, и если да, то каковы
значения среднего предела текучести и стандартного отклонения.
Для выяснения этого проведены испытания выборки из п—15 об-
разцов, результаты которых приведены в табл. 9.9.
Таблица 9.9. Данные испытаний по определению предела текучести
Номер испытания	Предел текучести, фунт/дюйм 1	Номер испытания	Предел текучести, фунт/дюйм 1	Номер испытания	Предел текучести, фунт/дюйм 1
1	152 400	6	1 154 000	11	152 900
2	153 400	7	153000	12	153 800
3	151 000	8	154 300	13	152 600
4	151 800	9	152 100	14	153 600
5	155 400	10	154 700	15	153 100
Следуя процедуре, описанной ранее, упорядочим данные, рас-
положив их, как показано в табл. 9.10, начиная с наименьшего
значения до наибольшего.
Используя табл. 9.10, наносим данные на нормальную вероят-
ностную бумагу, как показано на рис. 9.10. Данные достаточно
близки к прямой, так что совокупность можно приближенно счи-
тать нормально распределенной. Предельные точки на таких гра-
фиках часто отклоняются от прямой; такими отклонениями обычно
пренебрегают. Среднее значение можно оценить, определив предел
текучести в точке, которая на шкале вероятности соответствует
50%. Таким образом, оценкой среднего предела текучести для этой
совокупности будет величина 152 250 фунт/дюйм2. Стандартное
9.9. Вероятностная бумага 345
Таблица 9.10. Упорядоченные данные для нанесения их на вероятностную
бумагу
Номер	Номер испытания	Предел текучести	Положение точки 1 00^(л+ 1),	Номер	Номер испытания	Предел теЛ умести	Положение точки 100<7/(л+ 1), %
1	3	151 000	6,25	9	2	153 400	56,25
2	4	151 800	12,50	10	14	153600	62,50
3	9	152 100	18,75	i 11	12	153 800	68,75
4	1	152 400	25,00	12	6	154 000	75.00
5	13	152 600	31,25	13	8	154 300	81.25
6	11	152 900	37.50	।	14	10	154 700	87.50
7	7	153 000	43,75	;	15	5	155 400	93,75
8	15	153 100	50,00				
отклонение можно оценить, если обратить внимание на то, что в
соответствии с табл. 9.2 для нормального распределения превыше-
ние среднего на одно стандартное отклонение соответствует уровню
вероятности 84,13%. Таким образом, на рис. 9.10 одно стандарт-
ное отклонение предела текучести определяется как приращение
Рис. 9.10. Графическое представление результатов определения предела текучес-
ти, приведенных в табл. 9.9, на нормальной верятпостнон бумаге, позволяющее
проверить нормальность распределения и определить среднее ц и стандартное
отклонение а.
между уровнями вероятностей 50 и 84%. Оценкой стандартного от-
клонения является величина и=1250 фунт/дюйм2.
Если требуется нанести экспериментальные данные на вероят-
ностную бумагу Вейбулла, необходимо достать бумагу Вейбулла
или создать ее, используя для этого клетчатую логарифмическую
бумагу, т. е. бумагу, у которой логарифмический масштаб в обоих
направлениях одинаков. С помощью содержащейся в табл. 9.6 ин-
346 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
формации можно нанести масштаб вероятностей, как показано на
рис. 9.11.
Места положения точек при использовании бумаги Вейбулла
определяются так же, как и в описанном ранее случае применения
нормальной или логарифмически нормальной бумаги. Если нане-
сенные на бумагу Вейбулла данные достаточно хорошо аппрокси-
мируются линейной зависимостью, через экспериментальные точки
Рис. 9.11. Пример вероятностной бумаги Вейбулла, построенной на клетчатой
логарифмической бумаге. По оси абсцисс — исследуемая случайная переменная
(прочность, долговечность и т. п.); по оси ординат — вероятность события (вы-
живание, разрушение).
проводится наименее отклоняющаяся от них прямая линия и по
графику оцениваются величины Nai No и Ь. Предполагая, что ис-
следуемой случайной величиной является усталостная долговеч-
ность, характеристическую долговечность Na находим путем счи-
тывания с графика того значения долговечности, которое соответ-
ствует 63,2% по шкале вероятностей. Параметр формы Вейбулла
b представляет наклон прямой линии, нанесенной на бумаге Вей-
булла. Он определяется по величине tg 6, как показано на рис. 9.13.
Минимальная долговечность NQ с самого начала была положена
равной нулю. Если данные не аппроксимируются прямой линией,
9.9. Вероятностная бумага 347
Таблица 9.11. Результаты усталостных испытаний при постоянном уровне
напряжения 50 000 фунт/дюйм 2
Номер	Номер испыта- ния	Число циклов до разруше- ния ХЮ-1	Местоположе- ние точки 1 00<7/(п+ 1), %	Номер	Помер испыта- ния	Число циклон до разрушения X 1б“5	Местоположе- ние точки 1 00<7/ (п+ 1), %
1	4	4,0	1М	5	1	8,0	55,6
2	2	5,0	22.2	6	7	9,0	66,7
3	5	6,0	33,3	7	6	10,6	77,8
4	8	7,3	44,4	8	3	13,0	88,9
надо положить минимальную долговечность 2V0 отличной от нуля
и внести соответствующие поправки.
Пусть, например, при постоянном уровне напряжения 50 000
фунт/дюйм2 получены данные по усталости, которые приведены
Рис. 9.12. Графическое изображение на бумаге Вейбулла усталостных данных
из табл. 9.10, Pf— вероятность разрушения. (По работе |2), © ASTM; адапти-
ровано с разрешения.)
в табл. 9.11. Чтобы нанести данные на бумагу Вейбулла, следует
определить, как показано в табл. 9.11, местоположение точек и,
как показано на рис. 9.12, нанести эти точки, предполагая, что
параметр минимальной долговечности равен нулю.
Данные, показанные на рис. 9.12, отклоняются от прямой вниз,
указывая, что параметр минимальной долговечности больше нуля.
В качестве оценки минимальной долговечности принимается вели-
чина к которой стремится кривая. Далее для каждой точки вы-
348 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
числяется величина и наносится на бумагу Вейбулла в тех
же самых местах по оси вероятности. Методом проб и ошибок про-
цесс может быть повторен до получения наилучшей оценки Уо,
после чего преобразованные данные изображаются прямой линией,
как показано на рис. 9.13.
С помощью рис. 9.13 можно найти характеристическую долго-
вечность, определив значение Na—соответствующее 63,2%.
Для получения рис. 9.13 и 9.12 использовалась величина
поэтому знание величины Na—NQ означает знание величины Na.
Рис. 9.13. Преобразованный график, построенный по данным рис. 9.12 с учетом
оценки минимальной долговечности Л'о, равной 2-Ю5 циклам, Ру— вероятность
разрушения. (По работе [2), © ASTM; адаптировано с разрешения.)
Если, конечно, данные сразу представляются прямой линией, то
Af0 равно нулю и величина Na непосредственно определяется по
графику Вейбулла при значении вероятности 63,2%.
Медиана долговечности может быть определена как координата
точки пересечения прямой линии с координатной прямой, соот-
ветствующей вероятности 50% на бумаге Вейбулла. Следует отме-
тить, что медиана и среднее значение, как правило, не совпадают,
поскольку распределение в общем случае асимметрично. Однако,
зная величины Af0, Na и b, среднее значение распределения Вейбул-
ла можно вычислить с помощью формулы для ц, приведенной на
рис. 9.6. Параметр наклона b можно найти, измеряя тангенс угла
0, как показано на рис. 9.13.
Отметим, наконец, что, если среди данных содержатся резуль-
таты для «выживших» образцов, для определения параметров рас-
пределения Вейбулла применяются специальные приемы [2, стр. 781.
9.10. Сравнение средних значений и дисперсий	349
9.10.	СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ И ДИСПЕРСИЙ
Часто возникает необходимость сравнить данные, полученные из
различных источников в разное время или при различных услови-
ях. Для осуществления такого сравнения необходимо сравнить
параметры совокупностей, связанные с двумя различными наборами
данных. В случае нормально распределенных совокупностей, на-
пример, требуется сравнить средние значения и дисперсии двух
совокупностей, чтобы определить, принадлежат они одной генераль-
ной совокупности или нет. Средние значения совокупностей можно
сравнить с помощью t-крипгерия, основанного на использовании
описанного ранее /-распределения Стьюдента, интегральная функ-
ция распределения которого приведена в табл. 9.4. Дисперсии сово-
купностей можно сравнить с помощью F-критерия, основанного на
использовании описанного ранее F-распределения Снедкора, ин-
тегральная функция распределения которого приведена в табл. 9.5.
С целью иллюстрации процедуры сравнения рассмотрим сле-
дующий пример. Предположим, что год назад при постоянном уров-
не напряжения 90 000 фунт/дюйм2 были проведены испытания на
усталость выборки из 8 образцов из старой отливки материала.
Результаты определения долговечности приведены в табл. 9.12.
Таблица 9.12. Экспериментальные данные об усталостной долговечности
при постоянном уровне напряжения, полученные год назад
Номер образца	У с талое тн а я дол го- вечкость Л/, цикл	1g Л	Номер образца	Усталостная долго- вечность N, цикл	lg N
1	95 100	4,9777	5	84 100	4,9243
2	69 000	4,8388	6	108 000	5,0334
3	94 000	4,9731	7	88 100	4,9445
4	121 000	5,0828	8	90 000	4,9542
Поскольку предыдущий опыт свидетельствует о том, что распреде-
ление долговечностей при постоянном уровне напряжения близко
к логарифмически нормальному, в таблице приведены также и ло-
гарифмы долговечностей.
Предположим далее, что из новой отливки того же материала
недавно были проведены испытания выборки из 10 образцов опять
при постоянном уровне напряжения 90 000 фунт/дюйм2. Требуется
определить, одинаковы ли усталостные свойства двух отливок ма-
териала. Данные для новой отливки материала приведены в табл.
9.13.
Несмещенной оценкой среднего значения совокупности (см.,
например, 121) служит выборочное среднее значение; следовательно,
= =	(9.43)
1 <=1
350 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Таблица 9.13. Недавно полученные данные об усталостной долговечности
при постоянном уровне напряжения
Номер образца	Усталостная долго- вечность Лг, цикл	1g /V 1	Номер нбраэца	Усталостная долго- вечность Лг, цикл	1g N
1	34 000	4,5315	6	45 000	4,6532
2	44 100	4,6435	7	42000	4,6232
3	49 000	4,6902	8	49 000	4,6902
4	47 000	4,6721	9	44 100	4,6435
5	42 000	4,6232	10	53 000	4,7243
где |ии — оценка среднего значения совокупности у, в логарифмиче-
ском масштабе; х1 — выборочное среднее значение для первой вы-
борки в логарифмическом масштабе; пА — число образцов в первой
выборке; Xt — логарифмы долговечностей в выборке.
Подчеркнем, что, основываясь на опыте, мы сделали предполо-
жение о нормальном распределении логарифмов долговечностей, а
не самих долговечностей. Это означает, что распределение долго-
вечностей логарифмически нормальное. Для расчета средних зна-
чений логарифмов долговечностей составлены табл. 9.14 и 9.15.
Таблица 9.14. Табличные данные для расчета среднего значения
и стандартного отклонения для выборки
из старой отливки материала
ni	Xi = lg Ni	Xi — Х1	(jri— I,)®-1 0*
1	4,8388	-0,1273	162,1
2	4,9243	-0,0418	17,5
3	4,9445	-0,0216	4,7
4	4,9542	-0,0119	1,4
5	4,9731	0,0070	0,5
6	4,9777	0,0116	1,3
7	5,0334	0.0673	45,3
8	5,0828	0,1167	136,2
8	_______
2 «{ = 39,7288
i = 1
8
2(«.— «1)2== 369,0-Ю-4
г=1
Используя (9.43) и табл. 9,14, вычисляем оценку среднего зна-
чения для старой отливки материала
ц1 = 39,7288/8 = 4,9661.	(9.44)
Аналогично, используя табл. 9.15, находим оценку среднего зна-
чения совокупности для новой отливки материала
Н, -46,4949/10 = 4,6495	(9.45)
9.10. Сравнение средних значений и дисперсий 351
Таблица 9.15. Табличные данные для расчета среднего значения
и стандартного отклонения для выборки из новой отливки
материала
rti	Xj = lg Ni	xi —	(Xl —0*
1	4,5315	—0,1180	139,2
2	4,6232	—0,0263	6,9
3	4,6232	—0,0262	6,9
4	4,6435	—0,0060	0,4
5	4,6435	—0,0060	0,4
6	4,6532	0,0037	0,1
7	4,6721	0,0226	5,1
8	4,6902	0,0407	16,6
9	4,6902	0,0407	16,6
10	4,7243	0,0748	56,0
Ю	ю
2 */ = 46,4949	^2=248-2,10’4
/=!	i=l
Несмещенная оценка дисперсии совокупности (см., например, [21)
определяется соотношением
о8 - [ 1/(п -1)] 2 (*/-х)\	(9.46)
где а* — оценка дисперсии совокупности в логарифмическом масш-
табе; х — выборочное среднее значение в логарифмическом масшта-
бе; Xt — логарифмы долговечностей в выборке.
Используя (9.46) и табл. 9.14, вычислим оценку дисперсии сово-
купности для старой отливки материала
о, = [1/(8—1)] (369,0-10-4) = 0,00527.	(9.47)
Аналогично, используя табл. 9.15, вычислим оценку дисперсии
совокупности для новой отливки материала
а’ = [1/(10—1)] (248,2-10"4) = 0,00276.	(9.48)
При помощи оценок средних значений и дисперсий двух сово-
купностей требуется, сравнивая их, сравнить сами совокупности.
Для сравнения средних значений применим /-критерий, в котором
используется, что величина
t = (IИх—D/raf/^-D+a^n,-!)	(9-49)
имеет /-распределение Стьюдента 121, если а* и o'i отличаются друг
от друга незначительно. В случае значительного различия диспер-
сий следует использовать другую /-статистику [2]. Чтобы устано-
вить, существенно ли различаются дисперсии, сравним их с помо-
352 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
щью F-критерия, в котором используется, что статистика
F = аJ/а; (о J > а!)	(9.50)
имеет F-распределение Снедкора [21. Отметим, что эта статистика
образуется таким образом, что она всегда больше единицы. Для
сравнения дисперсий выдвигаем гипотезу
Н.:	=	(9.51)
Для проверки этой основной гипотезы можно уровень значимости
а принять равным 0,05, в соответствии с чем критическая область
для статистики F определяется в виде
Р {F < /%} = 1 —ос/2 = 0,975.	(9.52)
Требуется определить величину /%, при которой указанное ве-
роятностное утверждение будет верным. Графически область не-
принятия гипотезы показана на рис. 9.14. Для определения величи-
Рис. 9.14. Схематичное изображение области непринятия гипотезы при сравнении
дисперсий по ^-критерию.
ны Fo необходимо воспользоваться табл. 9.5 для F-распределения.
Число степеней свободы на единицу меньше числа испытанных
образцов. Следовательно, для числителя выражения (9.50) число
степеней свободы будет —1, или 7, а для знаменателя (9.50)
число степеней свободы будет п2—1, или 9. После этого по табл. 9.5
можно найти, что при т=7 и п =9 величина Fo для уровня вероят-
ности 0,975 равна 4,20. Величина F'Q, показанная на рис. 9.14,
не существенна для этой проверки, поскольку статистика (9.50)
такова, что она всегда больше единицы, благодаря чему должна
проверяться лишь правая ветвь распределения. Эго означает, что
область непринятия гипотезы на рис. 9.14 определяется как область
значений Fo, превосходящих по величине 4,20.
В соответствии с (9.50) вычисляем статистику F на основе выбо-
рочных данных (9.47) и (9.48) и получаем
F=0,005 27/0,00276= 1,91.	(9.53)
9.10. Сравнение средних значений и дисперсий 353
Таким образом, эта статистика не попадает в область непринятия
гипотезы, и гипотеза (9.51) не отвергается. Это означает справедли-
вость предположения о равенстве дисперсий. Установленное об-
стоятельство позволяет воспользоваться определенной соотношением
(9.49) статистикой I для сравнения средних значений. Чтобы срав-
нить средние значения, формулируем новую основную гипотезу:
Нв: Ri=m-	(9.54)
Проверяя опять гипотезу при уровне значимости а=0,05. на-
ходим критическую область для статистики t из условия
P{/<Q=l—cc/2 = 0,975.	(9.55)
Остается найти величину („. при которой это вероятностное ут-
верждение верно. Графически область непринятия гипотезы изо-
Рис. 9.15. Схематичное изображение области непринятия гипотезы при сравнении
средних по /-критерию.
бражена на рис. 9.15. Для определения величины /0 необходимо
использовать табл. 9.4 для /-распределения. Число степеней свободы
складывается из степеней свободы двух выборок, т. е. равно 16.
По табл. 9.4 можно найти, что при 16 степенях свободы и уровне
вероятности 0,975 величина /п равна 2,12. Значит, на рис. 9.15
область непринятия гипотезы определяется как область значений
/, больших чем 2,12 или меньших чем - 2,12.
Используя данные выборок и подсчитывая статистику /, ио
соотношению (9.49) получаем
Н.М1-4.6»!	„
КО,00527.7 —0.00276 9
Таким образом, статистика t попадает в область непринятия гипо-
тезы, и поэтому гипотеза (9.54) должна быть отвергнута. Это зна-
чит, что средние значения двух совокупностей различны, и, еле-
12 Л, 492
354 Гл, 9. Применение статистики в исследованиях усталости
довательно, различны сами совокупности. Основываясь на полу-
ченных результатах, приходим к выводу, что усталостные свойства
новой отливки материала значительно хуже свойств старой отливки.
9.11.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотя рассмотрено и обсуждено достаточно много методов статис-
тического анализа усталостных данных, существует еще масса ме-
тодов (см., например, 121). Среди наиболее важных из них упомя-
нем следующие:
1.	Оценка «разброса» усталостных данных.
2.	Установление соответствующих функций плотностей вероят-
ностей.
3.	Установление распределений экстремальных значений.
4.	Установление постоянных значений вероятностей для по-
строения кривых усталости равной вероятности разрушения.
5.	Выяснение, позволяют ли испытательные машины, методы
изготовления образцов, температурные условия и т. п. получать
непротиворечивые данные; другими словами, определение, явля-
ются ли данные статистики контролируемыми.
6.	Оценка значимости разнообразных управляемых и неуправ-
ляемых параметров.
7.	Оценка применимости результатов лабораторных испытаний.
8.	Установление относительной точности различных теорий
прочности.
9.	Оценка различных гипотез о механизме разрушения.
10.	Доказательство существования корреляции между различ-
ными переменными, характеризующими условия эксперимента.
11.	Определение оптимального размера выборки для достиже-
ния поставленной цели.
12.	Выбор эффективных методов и программ испытаний.
Следует, кроме того, отметить, что в настоящее время во многих
учреждениях и организациях имеется математическое обеспечение
ЭВМ, содержащее хорошие стандартные программы математиче-
ской статистики, которые стали общедоступными. Эти программы
представляют большую ценность и для расчетчиков и для конструк-
торов, которые имеют дело с усталостью как с одним из основных
видов разрушения
ВОПРОСЫ
1.	Определи te термины параметры совокупности и статистики выборки.
Приведите примеры.
2.	(а) Поясните смысл функции плотности вероятности и интегральной
функции распределения, описав их свойства.
(Ь) Схематично изобразите функцию плотности вероятности и интегральную
функцию распределения для нормального распределения, обозначив все коорди-
наты.
(с) Дискретно или непрерывно нормальное распределение?
Вопросы 355
3.	(а) Схематично изобразите функцию плотности вероятности и интеграль-
ную функцию распределения в случае
/W = JZ4 для хя±1,
для л' = 0:
/(л')=п для всех других х.
(Ь) Дискретно или непрерывно это распределение?
4.	Укажите три наиболее часто используемых распределения при анализе
и расчетах усталости. Приведите формулы Функций плотностей вероятностей для
каждого из них. Поясните все обозначения.
5.	В результате осуществления программы испытаний до разрушения 35 об-
разцов из алюминиевого сплава при симметричном нагружении циклическим
напряжением с амплитудой 26 000 фунт/дюйм2 получены значения долговечности,
приведенные в таблице Подсчитайте среднее значение и стандартное отклоне-
ние для этой выборки, предполагая распределение нормальным.
Усталостная долговечность в тысячах циклов (первая отливка)
290	490	342	456	517	310	445
540	233	376	410	439	403	315
439	433	473	367	400	358	445
358	351	422	276	560	360	406
400	395	321	356	443	404	362
6.	Нанесите исходные данные задачи 5 па нормальную вероятностную бу-
магу, логарифмически нормальную бумагу и бумагу Вейбулла. Сравните резуль-
таты и определите, какое из распределений лучше описывает экспериментальные
данные. (Если необходимо, изготовьте бумагу Вейбулла сами.)
7.	Дайте определения терминам «ошибка типа 1» и «ошибка типа II», укажите
разницу между ними и поясните, как можно минимизировать каждую ошибку.
8.	Сформулируйте словесно следующее статистическое утверждение:
С {47 400 фунт/дюйм2 < р < 52 000 фунт/дюйм2} = 99,7%.
9.	(а) В итоге анализа результатов испытаний на износ выборки из 16 образ-
цов установлено, что средняя глубина износа в выборке 3,2 мил (1мил=10~3 дюйм),
а стандартное отклонение в выборке равно 0,63 мил при предположении, что рас-
пределение данных по износу нормальное. Рассчитайте 95%-ные доверительные
пределы для среднего значения износа совокупности при этих условиях.
(Ь) Сколько дополнительно должно быть испытано образцов, чтобы при такой же
ширине доверительного интервала повысить уровень доверия до 99%?
10.	Для того же самого алюминиевого сплава, данные о долговечности кото-
рого приведены в задаче 5, проведены испытания второй выборки из 20 образцов
из другой отливки. Результаты определения долговечности при симметричном
циклическом напряжении амплитудой 26 000 фунт/дюйм2 приведены в таблице
Усталостная долговечность в тысячах циклов
(вторая отливка)
318	342	476	468	338
363	379	414	416	374
408	423	370	372	489
452	474	335	312	416
12*
356 Гл. 9. Применение статистики в исследованиях усталости
Предполагая, что распределение логарифмически нормальное, сделайте следую*
щее:
(а)	Вычислите оценки средних значений совокупностей для первой и второй отли-
вок материала (в логарифмических единицах).
(Ь)	Вычислите оценки дисперсий совокупностей для первой и второй отливок ма-
териала (в логарифмических единицах).
(с)	Сравните дисперсии при \ровне значимости 0,05.
(d)	Сравните средние значения при уровне значимости 0,05. Можно ли сделать
вывод, что выборки взяты из одной и той же совокупности?
11. Предположив, что из литературы по усталости известны средние значения
долговечности и дисперсии при различных произвольных значениях уровня на-
пряжения и известно, что распределение данных югарифмически нормальное,
подробно объясните как можно построить изображенное на рис. 7.15 семейство
кривых усталости равной вероятности разрушения. Каким образом, будучи рас-
четчиком. вы установили бы, какой из этих кривых пользоваться?
ЛИТЕРАТУРА
1.	Mood А. М. Introduction to the Theory of Statistics.— New York. McGraw-Hill,
1950.
2.	A Guide for Fatigue Testing and the Statistical Analysis ot Fatigue Data.— STP-
91-A, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1963.
3.	Ilardenbergh D. E. (ed.) Statistical Methods in Materials Research — Procee-
dings of Short Course, Dept, of Engineering Mechanics. Pennsylvania State Uni-
versit/. 1955.
4.	Finney D. J. Probit Analysis.— London. Cambridge University Press, 1952.
5.	Prot E. M. Fatigue Testing Under Progressive Loading; A New Technique for
lasting Materials (translation by E. J. Ward).— WADC TR52-148, September
1952.
6.	Dixon W. J., .Massey F. J.. Jr. Introduction to Statistical Analysis.— New York:
McGraw-Hill, 1957.
7.	Gumbel E. J. Statistical Theory oi Extreme Values and Some Practical Applica-
tions.— National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 33, Februa-
ry 12, 1954.
8.	Heller R. A. (ed.) Probabilistic Aspects oi Fatigue.— STP-511, American Society
for Testing and Materials, Philadelphia, 1971.
9.	Little R. E., Jebe E. H. Statistical Design of Fatigue Experiments.— New
John Wiley & Sons, 1975.
ГЛАВА 10
МЕТОДЫ УСТАЛОСТНЫХ ИСПЫТАНИЙ
И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ
10.1.	ВВЕДЕНИЕ
К настоящему времени разработано много методов усталостных
испытаний для получения разнообразной информации, соответст-
вующей различным целям исследований. Например, могут потре-
боваться данные о распределении долговечности при постоянной ам-
плитуде напряжения, данные о распределении усталостной проч-
ности при заданном уровне долговечности, может возникнуть необ-
ходимость получения большого объема данных при наименьшем
возможном размере выборок образцов или в возможно кратчайшие
сроки и т. д. В последующих разделах описаны некоторые методы
усталостных испытаний, иллюстрирующие способы достижения
различных целей исследований. Отметим, что рассмотренные методы
анализа применимы к различным данным лабораторных и натур-
ных испытаний независимо от типа используемых испытательных
машин и способов испытаний. Вопросы, связанные с испытательным
оборудованием и методиками проведения испытаний, достаточно
подробно освещены в литературе (см., например, [91).
10.2.	СТАНДАРТНЫЙ МЕТОД
Когда число предназначенных для проведения испытаний деталей
или образцов невелико, а требуется получить всю кривую усталос-
ти, обычно применяют так называемый стандартный метод. Суть
этого метода состоит в том, что при каждой из различных амплитуд
напряжения испытываются один или два образца и фиксируются
амплитуда напряжения цикла и число циклов до разрушения. Если
образцы «выживают», они иногда могут снова подвергаться испыта-
ниям при более высокой амплитуде напряжений, при этом, конеч-
но, следует учитывать возможность влияния поврежденности или
искусственного повышения характеристик на долговечность этих
образцов. Результаты, как правило, представляются графически
в виде обычной кривой усталости, как показано на рис. 10.1. хЧожно
ожидать разброса данных, и поэтому естественно возникает вопрос:
как правильно провести кривую через экспериментальные точки?
Для построения кривых усталости по результатам таких испытаний
обычно используются два метода. В соответствии с первым прово-
дят по нанесенным данным среднюю кривую, а в соответствии с
другим — нижнюю границ} кривой, т. е. кривую, расположенную
358 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
ниже всех экспериментальных точек. Средняя кривая обычно пред-
ставляет собой достаточно хорошую оценку кривой усталости 50 % -
ной вероятности разрушения. Имея среднюю кривую и оценку
стандартного отклонения, можно приближенно построить семейст-
во кривых усталости равной вероятности разрушения.
Любая кривая усталости, проведенная ниже эксперименталь-
ных данных, будет иметь несколько неопределенный характер, и ее
нельзя поставить в соответствие какому-либо уровню вероятности
разрушения. Это означает, что первый способ построения средней
кривой и получение с ее помощью семейства кривых усталости рав-
ной вероятности разрушения, по-видимому, предпочтительнее. Тем
лости.
рис. 10,1. Кривые усталости, полученные стандартным методом испытаний на
усталость. 1 — средняя кривая усталости: 2 — нижняя граница кривой уста*
не менее представляется сомнительным, что с помощью статисти-
ческой обработки результатов, полученных стандартным методом,
можно получить много полезной информации, поскольку размеры
выборок слишком малы.
10.3.	ИСПЫТАНИЯ с постоянными АМПЛИТУДАМИ
НАПРЯЖЕНИЯ ЦИКЛА
Метод испытаний с постоянными амплитудами напряжения цикла
состоит в проведении испытаний групп, состоящих примерно из 15
или более образцов, при каждом из четырех или более различных
значений амплитуды напряжения цикла в диапазоне от предела
усталости до предела прочности материала. В ходе испытаний фик-
10.3. Испытания с постоянными амплитудами напряжения цикла ЗЬи
Рис. 10.Резулыаты испытаний на усталость с постоянной амплитудой напря-
жения, представленные в виде стандартной кривой усталости, (По работе 11].)
Рис. 10.3. Резулыаты испытаний на усталость с постоянной амплитудой напря-
жения, изображенные графически на логарифмически нормальной вероятностной
бумаге (Рл — вероятность выживания). (По работе [1].)
360	Г л, 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
сируется долговечность; опыт показывает, что распределения дол-
говечностей при амплитудах напряжения, превышающих предел
усталости, хорошо аппроксимируются логарифмически нормаль-
ным законом распределения. Все данные, полученные при каждом
отдельном значении амплитуды напряжения, наносятся в виде
графика на логарифмически нормальной вероятностной бумаге с
целью проверки закона распределения и определения среднего
значения и вариации логарифма долговечности при заданной ам-
плитуде напряжения.
На рис. 10.2 показаны для примера результаты эксперименталь-
ных исследований при постоянных амплитудах напряжения, пред-
ставленные в виде стандартной кривой усталости, а на рис. 10.3 —
те же самые результаты в виде графиков на логарифмически нор-
мальной вероятностной бумаге. Можно заметить, что предположе-
ние о логарифмически нормальном законе распределения точнее
для более высоких напряжений, а для напряжений, близких к
пределу усталости, оно не справедливо; это объясняется неодно-
родностью данных при напряжениях, близких к пределу усталос-
ти,— среди этих данных есть как случаи разрушения, так и случаи
выживания. Поэтому метод не рекомендуется применять при на-
пряжениях, близких к пределу усталости. При более высоких ам-
плитудах напряжения метод испытаний при постоянных амплитудах
эффективен и служит хорошим средством получения семейства
кривых усталости равной вероятности разрушения в ограниченном
диапазоне изменения долговечностей.
10.4.	МЕТОД ДВОЙНОГО ИСХОДА ИЛИ МЕТОД ОЦЕНКИ ВЫЖИВАЕМОСТИ
Только что было отмечено, что метод испытаний при постоянных
амплитудах напряжения не эффективен для определения предела
усталости на основе статистического анализа результатов. Гораздо
эффективнее определять предел усталости методом оценки выживае-
мости, который также иногда называется методом оценки «смерт-
ности», методом двойного исхода или методом «да — нет». Этот
метод можно применять для оценки среднего значения и вариации
предела усталости или среднего значения и вариации усталостной
прочности при любой заданной долговечности.
Метод оценки выживаемости заключается в проведении испыта-
ний нескольких групп образцов с близкими амплитудами напряже-
ния в диапазоне от величины, меньшей предела усталости пример-
но на два стандартных отклонения, до величины, большей этого
предела примерно на два стандартых отклонения. Например, из
результатов предварительных испытаний следует, что предел vcia-
лости близок к 72 000 фунт/дюйм2. Исходя из этого, можно выбрать
пять значений амплитуды напряжения в диапазоне от 68 000 до
76 000 фунт/дюйм2 с интервалами 2000 фунт/дюйм”. Если при каж-
дом значении амплитуды напряжения провести испытания 20 об-
10.4. Метод двойного исхода 361
ра-щов, результаты этих испытаний можно изобразить точками в
(З-Л)-координатах (S — напряжение цикла, N — число циклов
до разрушения), как это сделано на рис, 10.4. хЧожно заметить, что,
как и следовало ожидать, чем меньше амплитуда напряжения, гем
больше образцов выживает. Важно правильно задать амплитуды
напряжения, поскольку, если интервал между ними будет велик,
может получиться, что во многих группах все образцы разрушатся,
а в других все выживут и будет очень мало (или совсем не будет)
Рис. 10.4. Графическое представление результатов испытаний по определению
предела усталости методом оценки выживаемости.
групп с тем и другим результатом. Как правило, если амплитуды
напряжений находятся около предела усталости — выше или ниже
него не более чем на два стандартных отклонения, можно ожидать
удовлетворительного результата.
Результаты испытаний по оценке выживаемости, представленные
на рис. 10.4, можно нанести далее на нормальную вероятностную
бумагу. Как это делается, показано на рис. 10.5, где изображена
зависимость амплитуды напряжения, являющейся случайной пе-
ременной, от вероятности выживания, рассчитанной по данным
рис. 10.4. Нарисовав наилучшим образом приближающуюся к точ-
кам на вероятностной бумаге прямую, можно непосредственно с
полученного графика определить среднее значение предела уста-
лости и найти стандартное отклонение напряжения.
Простое графическое построение данных о выживании описан-
ным способом не является методом оценки выживаемости, как это
иногда ошибочно утверждается. Метод оценки выживаемости [2]
представляет собой более сложный способ нахождения наилучшей
кривой, проходящей через экспериментальные точки по выживае-
362 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
Рис. 10.5. Результаты испытаний по методу оценки выживаемости, представлен-
ные на нормальной вероятностной бумаге (Ps, 1(|* — вероятность выживания по-
сле 107 циклов).
Рис. 10.6. Кривые усталости равной вероятности разрушения, построенные по
результатам испытаний при постоянной амплитуде напряжения в диапазоне ко-
нечных значений долговечности и испытаний по методу оценки выживаемости
в диапазоне неограниченных значений долговечности. 1 — распределение ре-
зультатов испытаний при постоянной амплитуде напряжений; 2 — распределе-
ние результатов испытаний по методу оценки выживаемости.
10.5. Метод ступенчатого нагружения 363
мости, который напоминает метод наименьших квадратов. При этом
данные каждой из точек используются с весом, соответствующим
удалению от наилучшей кривой. Однако в большинстве случаев
удовлетворительные результаты можно получить; проводя просто
прямую, визуально наименее уклоняющуюся от экспериментальных
точек, хотя с учетом доступности стандартных программ использо-
вание метода наменьших квадратов также не вызывает затрудне-
ний.
Применяя метод оценки выживаемости для определения предела
усталости и его распределения и метод испытаний с постоянными
амплитудами напряжения для определения долговечности и ее
распределения при нескольких значениях амплитуды напряжения
в ограниченном диапазоне изменения долговечности, можно по-
строить семейство кривых усталости равной вероятности разруше-
ния. Схематично такое семейство кривых показано на рис. 10.6.
10.5.	МЕТОД СТУПЕНЧАТОГО НАГРУЖЕНИЯ
Очевидно, что недостатком только что описанного метода оценки
выживаемости является необходимость испытания большого коли-
чества образцов — обычно от 60 до 100. Вследствие этого метод
требует больших затрат времени и средств.
Другой метод, называемый методом ступенчатого нагружения,
требует испытания каждого образца до разрушения. Суть метода
состоит в том, что каждый образец подвергается блочному циклу
нагружения, в течение которого амплитуда напряжения увеличи-
вается до тех пор, пока образец не разрушится. Недостаток этого
метода связан с возможностью залечивания и появления скрытых
повреждений, которые могут исчезать при переходе к другим ампли-
тудам напряжения во время доведения образца до разрушения.
Для начала испытания методом ступенчатого нагружения зада-
ют амплитуду напряжения, равную примерно 70% ожидаемой
средней величины предела усталости. При этой амплитуде образец
испытывается до тех пор, пока не разрушится или не выживет после
базового числа циклов, например 107. При разрушении фиксиру-
ются амплитуда напряжений и долговечность. В случае выживания
амплитуда напряжения увеличивается примено на 0,7 стандартного
отклонения и тот же самый образец испытывается при новой амплиту-
де напряжения. Далее опять, если образец разрушается, результа-
ты фиксируются, а в случае выживания амплитуда снова повыша-
ется и испытания образца продолжаются. Так продолжается до гех
пор, пока образец не разрушится. Практическая реализация метода
проиллюстрирована на рис. 10.7. Дтя получения достоверных ре-
зультатов требуется испытать минимум 10—15 образцов.
После завершения испытаний их результаты могут быть нане-
сены на логарифмически нормальную вероятностную бумагу, как
показано на рис. 10.8. График строится по результатам вычисления
364 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
Рис. 10.7. Графическое изображение процедуры испытания образца по методу
ступенчатого нагружения. (По работе |1J.) 1 — разрушение; 2 — примерно 0»7
оценки стандартного отклонения напряжения; 3 — начальное напряжение, рав-
ное примерно 70% оценки предела усталости; 4 — последовательность завершив-
шихся без разрушения испытаний одного и того же образца.
Рис. 10.8. Графическое представление результатов испытании методом ступен-
чатого нагружения на нормальной вер» ятностпой бумаге. (По работе [1].)
иг — вероятноеib выживания после !0т циклов.
10.6. Метод Про 365
в процентах доли выживших образцов описанным в разд. 9.9 мето-
дом. По этому графику можно определить среднее значение предела
усталости и стандартное отклонение напряжения.
10.6.	МЕТОД ПРО
В 1948 г. Марселем Про 13] был предложен метод ускоренного оп-
ределения предела усталости. Этот метод, называемый теперь ме-
тодом Про, заключается в непрерывном увеличении амплитуды
напряжений вплоть до разрушения образца. Затем устанавливается
соотношение между разрушающим напряжением, пределом уста-
лости, скоростью увеличения амплитуды напряжения и двумя по-
стоянными материала. Очевидно, что в случае применения этого
метода должно быть известно влияние приспособляемости или
должно быть известно, что оно мало. Метод Про успешно применял-
ся при исследовании многих сталей, титановых сплавов и даже алю-
миниевых сплавов.
Особенности применения метода Про и анализа полученных с
его помощью результатов состоят в следующем. При установке
образца в испытательную машину начальное значение амплитуды
напряжения должно быть значительно ниже предела усталости —
обычно от 0 до 70% предела усталости. После начала испытаний
непрерывное увеличение амплитуды напряжений с ростом числа
циклов в среднем должно осуществляться так, чтобы оно описыва-
лось линейной зависимостью. Амплитуда напряжений может уве-
личиваться либо малыми приращениями, либо непрерывно, и ис-
пытания должны продолжаться до разрушения образца. Изменение
амплитуды напряжения может осуществляться управляемой пода-
чей воды или стальной дроби в емкость нагружающего устройства,
т. е. в редуктор, вал которого связан с ходовым винтом, перемещаю-
щим «мертвый» груз по калиброванному коромыслу, или каким-
либо другим методом, позволяющим постепенно увеличивать на-
грузку.
При испытаниях методом Про выживаний не бывает. При одной
и той же скорости возрастания амплитуды напряжения обычно
испытывается группа из 15—20 образцов. Скорость возрастания
амплитуды напряжения а называется скоростью Про и имеет раз-
мерность 1 фунт/дюйм2) цикл. Затем проводятся испытания второй
группы образцов при другой скорости Про, а иногда испытываются
по три или четыре группы образцов с разными скоростями Про.
Результаты такой серии испытаний можно представить графически,
как показано па рис. 10.9, где приведены результаты испытаний
трех групп образцов с различными скоростями Про, причем во
всех случаях начальная амплитуда напряжений была одинаковой
и равнялась 52 000 фунт‘;г-.>йм2. Штриховыми линиями показаны
средние траектории изменения амплитуды напряжения для каждой
из трех скоростей Про. При каждом испытании фиксируются на-
366 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
чальное значение амплитуды напряжения цикла 50, скорость Про
а, число циклов и разрушающее напряжение Про В соот-
ветствии с предположением Про предел усталости Е может быть
определен из соотношения
= +	(10.1)
где К и п — постоянные материала. Метод Про предполагает по-
строение графика зависимости Sr. от а”, как показано на рис. 10.10,
Рис. 10.9. Результаты испытаний по методу Про, иллюстрирующие зависимость
разрушающего напряжения Про от числа циклов до разрушения N при трех
различных скоростях Про. (По работе [1].)
с целью определения такой величины л, которая соответствует ли-
нейной зависимости между Sa и а". Для большинства сплавов на
основе железа значения и находятся между 0,45 и 0,50; для них
обычно используется предположение, что а. Для некоторых
других видов сплавов величина п может принимать значение 0,15.
С помощью графика, изображенного на рис. 10.10, величина К
в формуле (10.1) легко определяется по двум различным значениям
скорости Про. Определив значения К и п для рассматриваемого ма-
териала, предел усталости в соответствии с (10.1) можно рассчитать
по формуле
L=Sa-Ka".
(10.2)
10.6. Метод Про 367
Все величины, входящие в эту формулу, определяются непосредст-
венно по результатам испытаний методом Про. Вычисление по фор-
муле (10.2) эквивалентно продолжению изображенной на рис. 10.10
прямой линии до пересечения с осью ординат, соответствующей
нулевому значению скорости Про. Точка пересечения определяет
предел усталости Е.
Рис. 10.10. Определение предела усталости Е с помощью графического представ-
ления результатов испытаний по методу Про в виде зависимости разрушающего
напряжения S-x от скорости Про в n-й степени ап. (По работе (1J.)
Важной особенностью метода Про является то, что при извест-
ных постоянных материала /С и я он позволяет определить предел
усталости для каждого испытанного образца. Среднее значение
предела усталости и величина стандартного отклонения могут быть
определены непосредственно по результатам анализа полученных
значений Е. Этот метод широко применяется при контроле качества
самолетов благодаря его простоте и кратковременности испытаний,
а также возможности получить определенный предел усталости для
каждого испытанного образца. Однако многие считают, что при
проведении исследовательской работы по анализу новых материалов
метод Про неэффективен.
368 Гл. Ю. Усталостные испытания и статистичес кая обработка
10.7.	МЕТОД «ЛЕСТНИЦЫ», ИЛИ МЕТОД «ВВЕРХ - ВНИЗ»
Очень эффективным методом определения среднего значения и ва-
риации усталостной прочности при любой заданной долговечности
является метод «вверх — вниз». Этот метод в равной степени при-
годен и для определения предела усталости, поскольку предел
усталости представляет собой усталостную прочность при беско-
нечной долговечности.
1	I------------------Г
75
70
65
60
начинается
здесь
0	5	10	15	20
Рис 10.11. Испытания на усталость по методу «вверх — вниз» для определения
медианы (среднего значения) усталостной прочности легированной стали 4340
при 5- 10ъ циклах. По оси абсцисс — последовательные номера образцов; вы-
живание (5-10G циклов). X разрушение. Оценка среднего значения предела уста-
лости 67 600 фунт/дюйм-, оценка стандартного отклонения 1590 фунт/дюйм2.
При проведении испытаний методом «вверх — вниз» для оценки
усталостной прочности при некотором значении долговечности от-
бирается группа не менее чем из 15 образцов Первый образец
испытывается при амплитуде напряжения несколько выше ожидае-
мого значения усталостной прочности. Испытания проводятся до
разрушения или до завершения заданного числа циклов, соответ-
ствующего заданной величине долговечности. Если образец разру-
шается до достижения необходимой долговечности, амплитуда на-
пряжения уменьшается на некоторую заданную величину и второй
образец испытывается при этой новой уменьшенной амплитуде на-
пряжения. Если первый образец выживает, амплитуда напряжения
увеличивается на некоторую заданную величину и второй образец
испытывается при новой увеличенной амплитуде напряжения. Ис-
пытания проводятся последовательно таким образом, что каждый
последующий образец испытывается при амплитуде напряжения
выше или ниже на величину одного приращения амплитуды, при
которой испытывался предшествующий образец, в зависимости от
10.7. Метод ^лестницы» или *мепи>д вверх, — вниз» 369
того, выжил он или разрушился. Результаты типичного испытания
методом «вверх — вниз» показаны на рис. 10.11. Отметим, что за
начальное испытание принимается то, после которого получается
другой исход. Поэтому начальное значение амплитуды может быть
произвольным; оно не влияет на конечный результат. Однако обыч-
но рекомендуется начинать испытания при амплитуде напряжения,
превышающей ожидаемое среднее значение, что позволит сэконо-
мить время при достижении разрушения первого же образца.
Данные испытаний методом «вверх — вниз» можно обработать
статистическими методами, так как некоторые характеристики име-
ют нормальное или биномиальное распределение. Хотя описание
деталей такой обработки не входит в задачи книги, конечные ре-
зультаты просты, и ими легко пользоваться. Испытания методом
«вверх — вниз» и обработка результатов осуществляются следую-
щим образом:
1.	Оценивается среднее значение усталостной прочности Sm,
соответствующее исследуемому уровню долговечности.
2.	На основе опыта оценивается величина стандартного откло-
нения о для исследуемого материала.
3.	Испытывается первый образец при амплитуде величиной
Sm4-d, где d — приращение, которое обычно принимается равным
одному стандартному отклонению. Испытание при этой амплитуде
продолжается до тех пор, пока образец не разрушится или не отра-
ботается заданное число циклов.
4.	Если первый образец разрушился, то второй образец испыты-
вается при амплитуде напряжения на величину одного приращения
d меньше амплитуды испытания первого образца. Если первый
образец не разрушился, второй образец испытывается при ампли-
туде, превышающей предыдущую на величину одного приращения.
5.	Испытания продолжаются, пока не будут испытаны 15—30
образцов.
6.	После завершения испытаний следует определить, какой ис-
ход менее част. При статистической обработке результатов исполь-
зуются лишь эти данные.
7.	Составляется таблица из пяти столбцов. В столбце I записы-
ваются все значения амплитуды напряжений, при которых наблю-
дался менее частый исход. В столбце II цифрами 0, 1, 2 и т. д.,
начиная с наименьшего значения, все амплитуды пронумерованы в
порядке возрастания. В столбце III указано наблюдавшееся при
каждой амплитуде число исходов. Столбец IV содержит произве-
дение чисел из столбцов II и III. В столбце V даны произведения
квадратов чисел из столбца II на числа из столбца III.
8.	Сумма чисел из столбца IV составленной таблицы обозначает-
ся через А, а сумма чисел из столбца V — через В.
9.	Статистическая опенка среднего значения усталостной проч-
ности находится по формуле
S„ = S0-d[.4//V^l/2],	(10.3)
370 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
где Sm — статистическая оценка среднего значения усталостной
прочности при заданной долговечности, фунт/дюйм2; So — наимень-
шее значение амплитуды напряжения цикла, при котором наблю-
дался менее частый исход, фунт/дюйм2; d — величина приращения,
фунт/дюйм2; V — полное число менее частых исходов; А — вели-
чина, определенная на этапе 8. Знак плюс ставится, если менее
частый исход — выживание, знак минус, если исход — разрушение.
d/6
Рис. 10.12, График зависимости коэффициента О» используемого при определении
доверительных пределов методом «вверх — вниз», от отношения размера прира-
щения d к стандартному отклонению о. Примечание Л: сплошную кривую следует
использовать в тех случаях, когда среднее значение напряжения совпадает с од-
ним из значений амплитуды, при котором проводилось испытание. Примечание
В: штриховую кривую следует использовать в тех случаях, когда среднее значение
равноудалено от двух значений амплитуды, при которых проводились испытания.
Примечание С: для всех остальных средних значений необходимо интерполировать
результаты, полученные с помощью штриховой и сплошной кривых. (По работе
U1.)
10.	Статистическая оценка стандартного отклонения совокуп-
ности определяется по формуле
a=l,62d[(/VB — z!W2 + 0,029], если (NB —	0,3,
а == 0,53d,	если (NB — Д-)№ < 0,3,	<	’
где а—статистическая оценка стандартного отклонения, фунт/
дюйм2; d — величина приращения, фунт/дюйм3; N — полное число
менее частых исходов; А, В — величины, определенные на этапе 8.
11.	Чтобы найти доверительные пределы оценки среднего зна-
чения предела усталости, надо определить стандартное отклонение
10,7. Метод ^лестницы» или иметод вверх — вниз» 371
от статистической оценки среднего значения предела усталости
§т. Эта величина определяется по формуле
оот = (67|Л^)о.	(Ю.5)
Величина G является нелинейной функцией отношения d/a; она
определяется с помощью графика, приведенного на рис. 10,12.
Поскольку стандартное отклонение совокупности о неизвестно,
вместо него следует использовать статистическую оценку о, опре-
деленную по соотношению (10.4). Доверительные пределы сред-
него значения предела усталости определяются соотношением
C{Sm—yl,om	= 100(1 —а),	(10.6)
где а — истинное среднее значение усталостной прочности при за-
данной долговечности; а — уровень значимости испытания; yQ —
ордината, определяющая область непринятия гипотезы при стан-
дартном нормальном распределении для заданного a; Sm — оценка
среднего значения предела усталости по формуле (10.3); ат — стан-
дартное отклонение оценки среднего значения предела усталости,
определенное по формуле (10.5); С —уровень доверия в процентах.
С целью иллюстрации обработки данных, полученных методом
«вверх — вниз», рассмотрим результаты, представленные на рис.
10.11.
1.	В опытах, результаты которых приведены на рис. 10.11,
наблюдалось восемь разрушений и семь выживаний. Менее частым
исходом было выживание,
2.	Строим табл. 10.1.
Таблица 10.1. Исходные данные для расчета среднего значения
и стандартного отклонения по результатам испытаний методом
«вверх — вниз»
1	и	in	IV	V
64 000	0	2	0	0
67 000	1	5	5	5
70 000	2	0	0	0
3.	В результате суммирования чисел в столбцах Ш, IV и V
получаем, что V—7, А— 5, В — 5.
4.	Производя вычисления по формуле (10.3), определяем оцен-
ку среднего значения усталостной прочности при долговечности
5-10' циклов
£,л = 64 000 —3000(5'7	1'2],	(10.7)
или 5/л —67 60U фунт/дюйм2.	(10.8)
372 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
5,	Опенку стандартного отклонения получаем по формуле (10.4)
в виде
а = 0,53 (3000) =1590 фунт/дюйм2,	(Ю.Э)
поскольку (NB—Л2)/№=0,204, что меньше, чем 0,3.
6.	Чтобы определить доверительные пределы для среднего зна-
чения, соответствующие 95%-ной вероятности, находим из табл. 9.2
величину у(} в (10.6) для значения а=0,05 при симметричной про-
стирающейся в обе стороны области непринятия гипотезы. Она рав-
на 1,96. В соответствии с графиком при значении d п=3000 1590=
= 1,9 получаем, что G=1,12; следовательно, из (10.5) имеем
<у,Л = (1,12//7") 1590 = 675 фунт/дюйм2. (10.10)
и (10.6) принимает вид
С{67600—1,96-675^ц^67600-г 1,96 675} = 95%, (10.11)
или С {66 280	68 920} = 95%.	(10.12)
Таким образом, с 95%-ным уровнем доверия можно предсказать, что
среднее значение усталостной прочности при 5* 10е циклах лежит
в пределах от 66 280 до 68 920 фунт/дюйм2. Аналогичные методы
разработаны и для определения доверительных пределов для стан-
дартного отклонения (см. |4, стр. 325]), однако, поскольку основная
цель испытаний методом «вверх — вниз» состоит в определении
среднего значения, подробности определения доверительных пре-
делов для стандартного отклонения здесь не обсуждаются.
Следует отметить, что метод «вверх — вниз» эффективен для
оценки среднего значения, но не очень хорош для установления
закона распределения. Для этой цели предпочтительнее использо-
вать другие методы, например метод оценки выживаемости.
10.8.	МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Наконец, укажем па используемый иногда для построения предель-
ных кривых усталости при заданном значении вероятности так
называемый метод предельных значений, или метод наименьшего
из п. При испытаниях этим методом отбирается группа п образцов,
которые испытываются при одном значении амплитуды напряжения
на п одинаковых машинах для усталостных испытаний. Когда
первый образец из группы разрушается, фиксируются амплитуда
напряжения и число циклов до разрушения; после этого все дру-
гие машины останавливаются и образны выбрасываются. Далее
испытывается вторая группа из п образцов при другой амплитуде
напряжения; опять фиксируются данные первого разрушения, а
остальные образцы выбрасываются. Процедура повторяется при
нескольких различных значениях амплитуды напряжения, близких
к пределу усталости и превышающих его. Данные первых из п
разрушений наносятся в виде точек в (З-Л^-координатах и по этим
10.9. Заключение 373
точкам строится аппроксимирующая их кривая, как показано на
рис. 10.13. Можно показать [5], что полученная таким образом
кривая соответствует вероятности выживания, определяемой соот-
ношением
Р {выживание} = (12)1'71,	(10.13)
где п — число образцов в каждой испытываемой группе. Этот ме-
тод особенно подходит для получения данных, которые предгюла-
Рис. 10.13. Кривая усталое!и, построенная по предельным значениям, найденным
методом «наименьшего из л». (По работе |1J.) 1 — вероятность выживания равна
(1/2)1/^.
гается использовать в расчетах, поскольку, чтобы достичь успеха,
расчетчики всегда должны использовать данные, соответствующие
предельным значениям вероятности выживания. Указанный метод
позволяет получить такие данные без специального исследования
функции распределения.
10.9.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотя приведенное описание далеко не исчерпывает всех методов,
оно свидетельствует о необходимости тщательного планирования
и осуществления программы исследований усталости, если треб\-
ется достичь желаемых целей и получить наиболее статистически
достоверные данные с максимальной эффективностью и минимумом
затрат. Для получения кривых усталости равной вероятности раз-
рушения рекомендуется совместное использование метода испытаний
при постоянной амплитуде напряжений в ограниченном диапазоне
изменения долговечности и метода «вверх — вниз» для очень боль-
374 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическая обработка
ших значений долговечности. При испытаниях ограниченного чи-
сла натурных элементов конструкций лучше, по-видимому, при-
менять метод ступенчатого нагружения, или метод предельных зна-
чений. Если целью испытания является контроль качества, лучше
всего, вероятно, применять метод Про, поскольку при этом испы-
тания относительно кратковременны и каждое испытание дает не-
которую информацию, так как разрушается каждый образец. Перед
окончательным выбором метода испытаний и перед проведением
испытаний следует внимательно продумать и определить, какие ре-
зультаты требуется получить, и продумать методику статистиче-
ской обработки результатов.
ВОПРОСЫ
1.	Какие из описанных методов усталостных испытаний вы рекомендовали
бы использовать для построения семейства кривых усталости равной вероятности
разрушения для стали в диапазоне от 104 циклов до неограниченной долговечно-
сти? Кратко поясните существо этих методов.
2.	Какие методы усталостных испытании вы рекомендовали бы для осуществ-
ления недорогого и быстрого контроля качества выпускаемых деталей? Кратко
поясните.
3.	На образцах из стали SAE 1045 проведены испытания с постоянными ам-
плитудами напряжения; все образцы были изготовлены из одной отливки. Испыта-
ния проводились при симметричном циклическом нагружении с тремя различными
Номер образца	Усталостная долговечность, 103 циклов *)		
	а =55 000 d Фунт/дюйм’	(J =61 000 в фунт/дюйм*	од=67 000 фунт/дюйм1
1	174	78	30
2	236	82	31
3	242	85	31
4	257	86	32
5	271	95	33
6	295	98	33
7	319	101	38
8	352	102	39
9	357	105	41
10	377	105	44
11	415	123	15
12	438	126	45
13	458	126	45
14	493	127	46
15	552	137	46
16	578	147	46
17	685	148	50
18	696	158	54
19	1390	162	64
20	1676	175	75
♦) Данные взяты из работы (10, стр. 9].
Вопросы 375
амплитудами напряжения в области «малой долговечности». Результаты испыта-
ний выборок, состоящих из 20 образцов, при каждом из трех значений амплитуды
цикла приведены в таблице. Результаты в таблице упорядочены и записаны в по-
рядке возрастания долговечности.
(а)	Нанесите данные по усталостной долговечности при этих трех значениях
амплитуды напряжения цикла на логарифмически нормальную вероятностную
бумагу.
(Ь)	Определите для каждого из значений амплитуды напряжения цикла логарифм
среднего значения долговечности и логарифм стандартного отклонения.
(с)	Результаты, полученные при выполнении задания (Ь), преобразуйте в значе-
ния средней долговечности в циклах, верхнего и нижнего стандартных откло-
нений в циклах.
(d)	Объясните, каким образом результаты, полученные при выполнении задания
(с), могут быть использованы при построении кривых усталости равной вероят-
ности разрушения этого материала в диапазоне «малых долговечностей».
53
52
Ч 51
Е 50
. 48
о
X
X X ОХ X
ооо ох
X X о	X
х	X х ООО	хх
-Ххх Ох ОХХО	О хх о
OOX о X о ОХ о	ОО
X о х о о
о о
___I__I___t I___1__I__I__I___I__I__L
47
0	10	20	30	40	50	60
Рис. Q10.4. (По оси абсцисс — последовательные номера образцов.)
4. На том же самом материале, о котором шла речь в задаче 3, проведены
испытания в области больших значений долговечности методом «вверх — вниз»
при использовании в качестве базы величины 5-Ю4 5 6 7 циклов. Последовательно ис-
пытаны 54 образца; результаты испытаний приведены на рис. QI0.4.
(а) Оцените среднее значение усталостной прочности для этого сплава при неогра-
ниченной долговечности по результатам испытаний методом «вверх — вниз».
(Предполагается, что для сплавов на основе железа данные при 5-Ю7 циклах соот-
ветствуют данным для неограниченной долговечности.)
(Ь) Оцените стандартное отклонение напряжений при неограниченной долговеч-
ности по результатам испытаний методом «вверх — вниз».
(с) Вычислите доверительные пределы, соответствующие вероятности 95%, для
среднего значения предела усталости этого материала.
(d) Объясните, каким образом результаты, полученные при выполнении заданий
(а) и (Ь), могут быть использованы при построении кривых усталости равной веро-
ятности разрушения для этого материала в области больших долговечностей,
5. Используя необходимые данные, полученные при выполнении заданий 3
и 4, постройте семейство кривых усталости равной вероятности разрушения для
стали SAE 1045 в диапазоне долговечностей от 104 циклов до бесконечности.
Постройте кривые для значений вероятности выживание. равных 0,01: 0,05;
0,10; 0,50; 0,90; 0,95 и 0,99.
6. (а) При испытаниях легированной стали метолом Про установлено, что
при скорости Про, равной 0.04 (фунт/дюйм’2)/цнкл. среднее значение разрушаю-
щего напряжения по результатам анализа выборки из 15 образцов равно
78 500 фунт/дюйм2. При скорости Про 0,25 (фунт дюйм2) цикл среднее значение
разрушающего напряжения по результатам анализа выборки из 16 образцов рав-
376 Гл. 10. Усталостные испытания и статистическаяобработка
но 95 500 фунт/дюйм-. Принимая, что для стали л=0,5, оцените среднее значение
предела усталости для исследуемого материала.
(Ь) Испытания методом Про используются для контроля качества. Периодически
испытываются выборки стальных образцов, описанные в задании (а), со скоростью
Про. равной 0,1 (фунт/дюйм2) цикл. Среднее значение предела усталости не долж-
но отклоняться более чем на ±1О°о от среднего значения, определенного при вы-
полнении задания (а), а в испытаниях по контролю качества получено значение
разрушающего напряжения 82 000 фунт'дюйм2. Приостановите ли вы производ-
ство для анализа проблемы или разрешите его продолжать?
7. Три одинаковые детали испытываются на грех одинаковых испытательных
машинах при амплитуде напряжения 80 000 фунт/дюйм2. Все три машины начи-
нают работать одновременно. Первая деталь разрушается после 80 000 циклов.
Используя эту информацию, оцепите, сколько деталей могут выжить по край-
ней мере в течение 80 000 циклов при испытаниях другой группы 13 анало-
гичных деталей.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Hardenbergh D. Е. (ed.) Statistical Methods in Materials Research.— Procee-
dings of Short Course, Department of Engineering Mechanics, Pennsylvania
State University, 1956.
2.	Finney D. J. Probit Analysis.—London: Cambridge University Press, 1952.
3.	Prot E. M. Fatigue Testing Under Progressive Loading; A New Technique for Tes-
ting Materials (translation by E. J. Ward).— WADC TR52-148. September
1952.
4.	Dixon W. J., Massey F. J., Jr. Introduction to Statistical Analysis.— New
York: McGraw-Hill, 1957.
5.	Gumbel E. J. Statistical Theory of Extreme Values and Some Practical Appli-
cations.— National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 33,
February 12, 1954.
6.	Mood A. M. Introduction to the Theory of Statistics.— New York: /McGraw-Hill,
1950.
7.	A Guide for Fatigue Testing and the Statistical Analysis of Fatigue Data.— STP-
91-A, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1963.
8.	Heller R. A. (ed.) Probabilistic Aspects of Fatigue.— STP-511, American Socie-
ty for Testing and Materials, Philadelphia, 1972.
9.	Swanson S. R. (ed.) Handbook of Fatigue Testing.— STP-655, American Socie-
ty for Testing and Materials, Philadelphia, 1974.
10.	Symposium on Statistical Aspects of Fatigue.— STP-121, American Society for
Testing and Materials, Philadelphia, 1952.
ГЛАВА 11
МАЛОЦИКЛОВАЯ УСТАЛОСТЬ
11.1.	ВВЕДЕНИЕ
В разд. 7.1. были определены две области циклического нагруже-
ния. В одной области циклические нагрузки относительно невысоки,
циклически изменяющиеся деформации почти полностью упруги.
Эта область характеризуется большими значениями долговечности,
т. е. большим числом циклов до разрушения. Поведение материа-
лов в этой области, достаточно подробно рассмотренное в предыду-
щих главах, традиционно называется многоцикловой усталостью.
В другой области циклические нагрузки относительно высоки, при
этом в каждом цикле возникают значительные пластические де-
формации и долговечности малы, т. е. разрушение при повторных
нагружениях этими относительно высокими нагрузками происходит
через малое число циклов. Такой тип поведения обычно называется
малоцикловой усталостью, или в последнее гремя его иногда на-
зывают циклической деформационной усталостью. Переходная об-
ласть от малоцикловой усталости к многоцикловой находится в
районе 104—10* циклов, и многие исследователи считают, что при-
чиной разрушения является малоцикловая усталость, если оно
происходит через 50 000 циклов или менее [1].
Хотя чаще всего целью конструктора является обеспечение
большой долговечности, встречаются случаи, когда малоцикловая,
или деформационная, усталость приобретает существенное значе-
ние. Например, исследования малоцикловой усталости и разработка
соответствующих методов расчета представляют интерес для таких
изделий, как снаряды и ракеты, поскольку их полная долговечность
за все время эксплуатации может определяться лишь несколькими
сотнями или тысячами циклов. В ряде других элементов конструк-
ций. таких, как лопатки и роторы авиационных газовых турбин,
топливные элементы и баки ядерных реакторов, роторы и корпуса
паровых турбин, изредка действующие большие механические на-
грузки и температурные перепады способствуют накоплению значи-
тельных повреждений за несколько сотен или тысяч таких циклов
с повышенными амплитудами в течение всего срока эксплуатации,
так что методы расчета малоцикловой усталости тоже приобретают
для них большое значение. Даже в тех случаях, когда действующие
на машину или конструкцию нагрузки номинально малы, материал
в вершинах опасных вырезов или вьпочек будет локально пла-
стически деформироваться, т е. будет испытывать деформационную
378 Гл. 11, Мало цикловая усталость
усталость Для оценки долговечности таких элементов конструкций
также большое значение имеют методы расчета малоцикловой уста-
лости.
Многие основные понятия малоцикловой усталости уже рас-
сматривались в разд. 8.5 при описании способов оценки возможности
возникновения трещин по результатам анализа локального напря-
женно-деформированного состояния. Эти способы основываются на
использовании идей малоцикловой усталости. Хотя в течение по-
следних двух десятилетий малоцикловая усталость была предметом
пристального внимания, в результате чего в понимании существа
этого явления был достигнут значительный прогресс, еще многое
предстоит сделать, прежде чем расчетчик будет располагать надеж-
ными средствами оценки долговечности с учетом влияния отличных
от нуля среднего напряжения цикла и средней деформации цикла,
многоосности напряженного состояния и накопления повреждений,
в особенности при повышенных температурах.
11.2.	ЦИКЛИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
Если внимательнее рассмотреть типичную кривую усталости, по-
казанную, например, на рис. 11.1, в области малоцикловой уста-
лости, то можно установить, что в диапазоне изменения числа циклов
от 1/4 до примерно 103 усталостная прочность почти постоянна и
Рис. 11.1. Типичная кривая усталости с характерным горизонтальным участком
в области малоцикловой усталости.
близка к пределу прочности материала. Это выражается в том, что
кривая усталости в указанном диапазоне, в котором материал цик-
лически пластически деформируется, идет почти горизонтально.
В этой области пластического поведения материала гораздо точнее
определять его усталостную долговечность в виде функции ампли-
туды циклической деформации, а не в виде функции циклического
напряжения. Зависимость напряжения от деформации при этом гра-
фически изображается петлей гистерезиса, показанной на рис. 11.2,
6
Рис. 11.2. Петля гистерезиса при циклическом нагружении, приводящем к мало*
цикловому усталостному повреждению.
арфммаиия
Изменение напряжения
во времени
Петли гистерезиса.
I
Рис. 11.3. Иллюстрация деформационного упрочнения и размягчения при цикли-
ческом деформировании. (Из работы 12], ©ASTM; перепечатано с разрешения.)
(а) циклическое упрочнение; (Ь) циклическое размягчение.
380 Гл. 11. Малоцикловая усталость
с заметной пластической деформацией образца или элемента маши-
ны. Такое пластическое поведение обычно нелинейно и зависит от
предыстории нагружения.
Установлено, что у большинства материалов при циклическом
деформировании в пластической области зависимость напряжений
от деформаций значительно меняется. Некоторые материалы упроч-
няются, а некоторые размягчаются: схематично это показано на
рис. 11.3. Как упоминалось в разд. 8.5, зависимость напряжений
от деформаций у большинства материалов существенно изменяется
Рис. 11.4. Сравнение кривой зависимости напряжения от деформации стали S.AE
4340 при циклическом нагружении с кривой зависимости напряжения от дефор-
мации при монотонном нагружении. (Из работы [2], © ASTM; перенечетано с
разрешения.) 1 — кривая о—8 при монотонном нагружении; 2 — кривая о—8
при циклическом нагружении; 3 — приближенная форма петель.
на первых циклах деформирования, но затем обычно петли гисте-
резиса стабилизируются, так что в остальной области больших зна-
чений долговечности при постоянной заданной амплитуде деформа-
ции амплитуда напряжений остается практически постоянной. Ис-
пользуя устойчивые петли гистерезиса для различных значений
постоянной амплитуды деформации, можно провести кривую через
их вершины, представляющую собой кривую «циклического» де-
формирования. Пример такого построения дай на рис. 11.4. На
11.2. Циклическое деформирование 381
Рис. 11.5. Результаты испытаний на малоцикловую усталость некоторых различ-
ных материалов. (Из работы [3], © American Society for Metals, 1959; перепеча-
тано с разрешения.) — размах пластической деформации; (/) точки разру-
шения при монотонном нагружении;; ^алюминий 2S, отожженный: Л медь OFHC,
отожженная; Г] углеродистая сталь 1018, отожженная; Д нержавеющая
сталь 347, отожженная; ф пикель А, отожженный, И дюраль 24ST,
Рис. 11.6. Зависимость амплитуды деформации ta ш числа смен знаков деформа-
ции до разрушения 2N j для 18% Ni мартенситностареющей стали (число твердос-
ти по Бринелю 300 единиц). Отдельно показаны упругая (/), пластическая (2)
и полная (3) деформации; задание нагрузки. (Из работы [2j, © ASTM; пере-
печатни с разрешения.)
382 Гл. 11. Малоцикловая усталость
рис. 8.17 кривые зависимости напряжений от деформации при
циклическом деформировании некоторых различных материалов
сравнивались с кривыми напряжений от деформаций при статиче-
ском, или монотонном, деформировании.
Обычно результаты испытаний на малоцикловую усталость гра-
фически изображаются в виде зависимости логарифма амплитуды
деформации или размаха деформации от логарифма числа цик-
лов (или смен знака деформации) до разрушения. Иногда по
оси ординат откладывается амплитуда или размах пластической
деформации, а иногда амплитуда или размах полной деформации.
Ранние экспериментальные исследования показали, что зависимость
амплитуды пластической деформации от числа циклов в логарифми-
ческих координатах хорошо аппроксимируется прямой с наклоном,
примерно равным —0,5. Последующие исследования показали,
что наклон прямых находится примерно в диапазоне от —0,5 до
—0,7. Такие графики для многих разнообразных материалов, как
показано на рис. 11.5, очень сходны между собой [3].
Экспериментальные данные, накопленные различными иссле-
дователями в последние годы, свидетельствуют о том, что долговеч-
ность в большей степени определяется полной деформацией, а не
пластической, особенно в области больших значений долговечности
из диапазона малоцикловой усталости. Пример графика зависимо-
сти амплитуды деформации от долговечности для легированной ни-
келем стали показана на рис. 11.6. На этом рисунке отдельно показа-
ны графики зависимости амплитуды пластической деформации и
амплитуды полной деформации от долговечности. В свете изложенно-
го в следующем разделе данные, приведенные на рис. 11.6, можно
интерпретировать точно так же, как интерпретировались данные,
показанные на рис. 8.23.
11.3.	КРИВАЯ ЗАВИСИМОСТИ ДЕФОРМАЦИИ ОТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ И
СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ
Результаты, подобные приведенным на рис. И.5, позволили пред-
ложить эмпирическое соотношение, связывающее размах пласти-
ческой деформации и число циклов до разрушения при симме-
тричном циклическом деформировании в условиях одноосного на-
пряженного состояния в области малоцикловой усталости. Это
соотношение, независимо предложенное Мэнсоном [4] и Коффином
15, 61, можно записать в виде
Aep/2 = ?:(2tf у,	(11.1)
где Абр/2— амплитуда пластической деформации; е/ — коэффи-
циент усталостной пластичности, определяемый как ордината точ-
ки, соответствующей первой смене знака деформации, т. е. при
2N}=1 (рис. 11.7); 2Afz— полное число смен знака деформации до
разрушения; с—показатель усталостной пластичности, определи-
11.3. Кривая зависимости деформации от долговечности 383
емый как наклон кривой зависимости амплитуды пластической де-
формации от числа смен знака деформации до разрушения в лога-
рифмических координатах (рис. 11.7).
Более поздние работы многих исследователей, применявших
соотношение Мэнсона — Коффина (11.1), показали, что лучше уста-
новить соответствие между амплитудой полной деформации, т. е.
суммой амплитуд упругой и пластической деформаций, и долговеч-
ностью На рис. 117 схематично показано обобщение эксперимен-
тальных результатов типа показанных на рис. 11.6, откуда видно,
что зависимость амплитуд упругой и пластической деформаций от
долговечности в логарифмических координатах является линейной.
Рис. 11.7. Схематичное изображение зависимости в логарифмических координа-
тах амплитуды упругой (/), пластической (2) и полной (2) деформаций от уста-
лостной долговечности (Л — переходная долговечность). (Из работы [2], © ASTM;
перепечатано с разрешения.)
Как показано на рис. 11.7, амплитуда полной деформации равна
сумме упругой и пластической составляющих. Математически это
было записано Морроу и др 17] и уже приводилось в виде соотно-
шения (8.116), т. е.
Де/2 = (о;/£) (2N^ + (27Vzy\	(11.2)
где постоянные b и представляют собой наклон и ординату
точки (соответствующей первой смене знака деформации) прямой,
выражающей зависимость амплитуды упругой деформации от дол-
говечности на рис. 11.7, а постоянные с и — наклон и ордината
точки (соответствующей первой смене знака деформации) прямой,
выражающей зависимость амплитуды пластической деформации
от долговечности на рис. 11.7. Обычно 12] величина b находится
в диапазоне от —0,05 до —0,15, ас — в диапазоне от —0,5 до —0,8.
384	Гл.11. Малоцикловая усталость
Величины of и могут быть аппроксимированы способом» опи-
санным в разд. 8.5. Используя энергетические соображения» по-
стоянные b и с можно выразить через показатель деформационного
упрочнения при циклическом деформировании п' (см. рис. 8.17)
с помощью соотношений [16]
b = — п7( 1 + 5п'),	(11-3)
с = —1/(1 4-5л')-	(114)
Рассматривая схематичное изображение зависимости (11.2) на
рис. 11.7, можно заметить, что при малых значениях долговечности
Рис. 11.8. Идеализированное представление сопротивления различных типов ма-
териалов разрушению при циклическом деформировании (Ле/2 — амплитуда
полной деформации, логарифмический масштаб па обеих осях). (Из работы [2],
© ASTM; перепечатано с разрешения.) 1 — пластичный материал; 2 — упругий
мгпериал; 3— твердым материал.
преобладающей является пластическая составляющая деформации,
в то время как при больших значениях долговечности преобладает
упругая составляющая Точка пересечения прямых называется
переходной долговечностью. Анализ соотношения (11.2) и рис 11.7
позволяет сделать вывод, что если требуемые значения долговеч-
ности меньше переходной долговечности, то предпочтительнее ма-
териалы с более высокой усталостной пластичностью (более высокой
пластичностью разрушения). Однако если требуемые значения дол-
говечности превышают переходную долговечность, целесообразно
использовать материалы, у которых больше истинный предел проч-
ности.
Противоречивость этих требований, а именно высокой прочно-
сти и высокой пластичности, требует особого внимания со стороны
конструктора при подборе материала, причем особенно тщательно
должна быть проанализирована величина амплитуды деформации,
действующей при эксплуатации. Это положение проиллюстрировано
11.4. Влияние отличных от нуля средних деформации и напряжения 385
на рис. 11.8, на котором изображены характеристики трех гипо-
тетических материалов: одного очень прочного материала (твердого),
очень пластичного материала (пластичного) и материала, свойства
которого находятся между этими двумя предельными случаями
(упругого). Изображенные кривые пересекаются примерно при 103
циклах (2* 103 смен знака деформации) и при амплитуде полной
циклической деформации около 0,01.z
o'------1-----1------1-----1------1_____I____
0,2 ОД 0,6	0,8	1,0	1,2
Рис. 11.9. Соотношения между пределом прочности и пластичностью разрушения
для различных типов сплавов. (Из работы (2], © ASTM; перепечатано с разреше-
ния.) По оси абсцисс — истинная пластичность разрушения; по оси ординат —
истинный предел прочности, кфунт/дюйма; 1 — обработка Х-аусформинг Н-11;
2—18% Ni мартенситностареющая сталь; 3— стали; 4 — никелевые сплавы;
5 — титановые сплавы; 6 — алюминиевые сплавы.
Таким образом, если требуемая долговечность больше 10* цик-
лов, следует выбрать «твердый» материал, и если требуемая долго-
вечность менее 10* циклов, то «пластичный» материал. В том случае,
когда спектр нагружения сложен, следует избрать «оптимальный»
вариант, т. е. использовать «упругий» материал. Следует отметить,
что все рассмотренные материалы при амплитуде полной деформа-
ции 0,01, соответствующей долговечности около 10* циклов, при-
мерно одинаково сопротивляются усталости. На рис. 11.9 изобра-
жены данные, характеризующие соотношения между пределом проч-
ности и пластичностью разрушения для некоторых современных
материалов.
11.4.	ВЛИЯНИЕ ОТЛИЧНОЙ ОТ НУЛЯ СРЕДНЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ЦИКЛА
И ОТЛИЧНОГО ОТ НУЛЯ СРЕДНЕГО НАПРЯЖЕНИЯ ЦИКЛА
Влияние отличной от нуля средней деформации цикла в условиях
малоцикловой усталости изучалось сравнительно немногими ис-
следователями, в основном для случая растягивающей средней де-
формации цикла. Результаты этих немногих экспериментов (9—111
13 № 492
386
Гл. 11. Малоцикловая усталость
показывают, что влияние сжимающей средней деформации цикла
на долговечность при малоцикловой усталости по существу такое
же, как и влияние растягивающей средней деформации цикла, если
их величины одинаковы. Эти результаты также показывают, что
влияние средней деформации цикла существенно только при таких
деформациях, когда пластическая составляющая становится пре-
обладающей, т. е. при значениях долговечности меньше переход-
ного значения для данного материала
Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла суще-
ственно только в таких условиях, когда преобладает упругая сос-
тавляющая деформации, т. е. при значениях долговечности больше
переходного значения для данного материала. Влияние отличного
от нуля среднего напряжения цикла уже подробно рассматривалось
в разд. 7.9; результаты описываются соотношениями (8.114) и
(8.115) и больше здесь рассматриваться не будут. Влияние же от-
личной от нуля средней деформации цикла, однако, следует рас-
смотреть подробнее.
Зависимость напряжения от деформации и соответствующий
график зависимости деформации от времени на рис. 11.10 харак-
теризуют типичный пример одноосного нагружения, при котором
возникает отличная от нуля средняя деформация. Во время первого
11.4. Влияние отличных от нуля средних деформации и напряжения 387
цикла нагружения деформация увеличивается от нуля до макси-
мального значения в точке В и далее циклически меняется от точки
В через С к D и опять к точке В, если свойства материала не меня-
ются при циклическом нагружении. На рис. 11.10 точка В соответ-
ствует максимальной деформации цикла етах, а точка D — мини-
1,0	10	10г	103 ю'
Рис. 11.11. Влияние отличной от нуля средней деформации цикла на долговеч-
ность при малоцикловой усталости алюминиевого сплава 2024-Т351. (ц) данные,
полученные при симметричном циклическом деформировании; (Ь) сравнение дан-
ных, полученных при циклическом деформировании с растягивающими и сжима-
ющими средними деформациями цикла, с результатами расчета (---) по формуле
(11.5). (По работе (8].) Темные значки соответствуют сжимающей, светлые —
ет растягивающей.
мальной деформации цикла emin после приложения начальной
нагрузки. Средняя деформация цикла ет представляет собой ариф-
метическое среднее величин ешах и emln. Для учета отличной от
нуля средней деформации цикла при нагружении такого типа было
предложено [8] следующее эмпирическое соотношение между pas-
13*
388 Гл. 11. Малоцикловая усталость
махом полной деформации Де и долговечностью Nt-
Д е =-----2('~^е/------иг,	(11.5)
[(4ЛГ/—1)(1—Я)°-|-2в]’/а
где Л=еш1п/е1пах, если lemaxl >|emin|; /?=ешах/ет1п, если 1еюах| <
<|eminl; е)—коэффициент усталостной пластичности, определя-
емый как деформация при первой смене знака, т. е. после заверше-
ния первой половины цикла; а — постоянная материала, равная
обратной величине с противоположным знаком наклона прямой,
которая описывает зависимость размаха полной деформации от
числа циклов до разрушения в логарифмических координатах при
симметричном циклическом нагружении.
Для алюминиевого сплава, как показано на рис. 11.11(a),
е)=0,1934 и а=2,51. На рис. 11.11(b) результаты расчетов по соот-
ношению (11.5) сравниваются с результатами испытаний этого же
сплава при различных значениях растягивающей и сжимающей
средних деформациях цикла. Экспериментальные данные хорошо
согласуются с результатами расчета по формуле (11.5) и подтвер-
ждают высказанное ранее суждение, что одинаковые по величине
растягивающая и сжимающая средние деформации цикла оказы-
вают по существу одинаковое влияние на долговечность. Результаты
применения (11.5) к стальному сосуду высокого давления А-302
также хорошо согласуются с экспериментальными данными и тоже
подтверждают сказанное о влиянии растягивающей и сжимающей
средних деформаций.
11.5.	НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ
Точно так же, как и в случае многоцикловой усталости, для оценки
степени малоцикловой усталостной поврежденности в условиях
действия спектра различных по величине амплитуды циклических
деформаций требуется использовать какую-либо теорию накопле-
ния повреждений. Накопление повреждений при малоцикловой
усталости изучалось многими исследователями. В результате уста-
новлено, что если по заданным нагрузкам можно достаточно точно
определить локальное напряженно-деформированное состояние и
если правильно подсчитывается число циклов, то правило Пальм-
грена дает вполне удовлетворительные результаты. Если, например,
для определения локальных напряжений и деформаций использу-
ется модифицированное применительно к усталости правило Нёйбе-
ра, описанное в разд. 8.5, и если для анализа процесса локального
деформирования используется метод стока, также описанный в
разд. 8.5, то, как установлено, линейное правило суммирования
повреждений Пальмгрена (8.4) дает возможность получать удов-
летворительные оценки долговечности. Для различных материалов
значения величины 2 (n/N), соответствующие разрушениям в раз-
личных условиях нагружения, находятся в пределах от 0,6 до
11.7. Связь между термической и малоцикловой усталостью 389
1,6 18]. Этот диапазон более узок, чем наблюдается при многоцик-
ловой усталости. Следует, однако, отметить, что в случае многоос-
ного напряженного состояния правило линейного суммирования
повреждений менее надежно [12].
11.6. ВЛИЯНИЕ многоосности НАПРЯЖЕННОГО состояния
Подробное исследование влияния многоосности напряженного сос-
тояния на малоцикловую усталость не входит в задачи книги, упо-
мянем лишь предложенный способ оценки долговечности при мало-
цикловой усталости в условиях многоосного напряженного состоя-
ния [8, 13] и [14, стр. 165 и далее]. Предложенный метод состоит
в определении эквивалентного напряжения и эквивалентного раз-
маха полной деформации. Обе эти величины определяются по пара-
метрам многоосного напряженно-деформированного состояния в
соответствии с рекомендациями разд. 5.4. Оценка долговечности
при эквивалентном размахе полной деформации в условиях много-
осного напряженного состояния может быть проведена по устало-
стным данным для одноосного напряженного состояния в виде за-
висимости размаха полной деформации от числа циклов до разру-
шения в условиях малоцикловой усталости. Хотя еще много не-
ясного относительно справедливости этого метода, такой подход
представляется наилучшим из известных.
Если усталостные свойства анизотропны или становятся анизо-
тропными вследствие изменения свойств материала при цикли-
ческом пластическом деформировании, использовать одно эквива-
лентное напряжение или одну деформацию нельзя, поскольку боль-
шое значение может иметь направление нагружения по отношению
к характерным направлениям усталостных свойств. Еще многое
предстоит сделать, чтобы дать в руки расчетчику надежные средст-
ва учета влияния многоосности напряженного состояния на долго-
вечность при малоцикловой усталости. Все указанные выше про-
блемы становятся гораздо более сложными, если малоцикловая уста-
лость вызывается или сопровождается действием повышенных тем-
ператур. Некоторые такие проблемы рассмотрены в гл. 13.
11.7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕРМИЧЕСКОЙ И МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТЬЮ
Малоцикловая усталость, как сказано ранее, представляет собой
процесс постепенного накопления повреждений в результате цик-
лического действия деформаций в пластической области, приводя-
щий к разрушению через 105 или менее циклов. Хотя часто дефор-
мации возникают в результате механических воздействий, вероятно,
еще чаще циклические деформации являются результатом цикличе-
ких изменений температуры. Если деталь машины подвержена дей-
ствию циклических изменений температуры и если ее естественное
температурное расширение или сжатие либо полностью, либо ча-
390
Гл. И. Малоцикловая усталость
стично ограничено, в ней возникают циклические деформации и
напряжения. Таким образом, все описанные ранее результаты, от-
носящиеся к малоцикловой усталости (и многоцикловой усталости
при полностью упругих деформациях), по крайней мере качест-
венно справедливы также и для термической усталости. Спедует,
однако, отметить, что проблемы теормической усталости включают
в себя не только все сложности, связанные с механическим нагру-
жением, но и сложности, связанные с воздействием температур.
На рис. 11.12 представлены некоторые результаты [14] сравне-
ния данных по малоцикловой усталости, полученных при механиче-
Рис. 11.12. Сравнение результатов действия механической циклической деформа-
ции при повышенных температурах и температурной циклической деформации
в области малоцикловой усталости для нержавеющей стали AISI типа 347. (По
данным работы [14, стр. 256].)------деформирование при циклическом изме-
нении температуры;-------механическое деформирование при постоянной темпе-
ратуре.
ском деформировании образцов в условиях действия постоянной
повышенной температуры и при циклическом воздействии темпера-
туры на стесненные образцы. На этом рисунке приведены данные,
полученные при механическом деформировании образцов при по-
стоянных температурах от 350 до 500°С и при деформировании пол-
ностью закрепленных образцов при циклически изменяющейся
температуре от 200 до 500°С со средним значением температуры
цикла 350°С.
Результаты, приведенные на рис. 11.12, показывают, что при
одинаковом размахе пластической деформации число циклов до
разрушения в случае циклического изменения температуры гораздо
меньше, чем при циклическом механическом воздействии, даже хотя
в одном случае образцы испытывались при температуре на 100сС
выше максимальной температуры 500сС при ее циклическом изме-
нении. Чтобы кривая термической усталости на рис. 11.12 совпала
с кривой при изотермическом испытании при температуре 350°С,
деформацию при любом значении надо умножить примерно на
2,5. Хотя аналогичные результаты получены и для некоторых дру-
11.8. Заключение
391
гих материалов, испытания материала Inconel [17J показывают, что
для него кривые термической и обычной усталости одинаковы.
Таким образом, ясно, что, несмотря на большое сходство явле-
ний термической малоцикловой усталости и механической мало-
цикловой усталости и несмотря на то что математически резуль-
таты описываются однотипными соотношениями, использовать
результаты по механической малоцикловой усталости для оценки
поведения при термической малоцикловой усталости следует очень
осторожно.
Различия между термической и механической малоцикловой
усталостью, приводящие к заметной разнице результатов в этих
двух случаях, состоят в следующем (см. [14, стр. 270—272]):
1.	При термической усталости пластическая деформация кон-
центрируется в наиболее нагретых местах тела, в то время как в
этих наиболее нагретых местах локально снижается предел теку-
чести материала.
2.	При термической усталости возникают локальные области
деформирования, в которых вследствие пластического течения при
сжатии нагретых участков происходит выпучивание. Вслед за
этим в этих участках при растяжении во время охлаждения обра-
зуется шейка.
3.	Циклические изменения температуры могут существенно
влиять на свойства материала и на его способность сопротивляться
разрушению при малоцикловой усталости.
4.	Возможно проявление эффектов взаимодействия при одно-
временном изменении температуры и деформации.
5.	Скорости циклического изменения деформации могут ока-
зывать существенное влияние, поскольку скорости испытаний на
термическую усталость часто значительно отличаются от скоростей
испытаний на механическую малоцикловую усталость.
Вследствие этих различий необходима осторожность при оценке
поведения материала при термической малоцикловой усталости по
данным, полученным при механической малоцикловой усталости,
или наоборот.
11.3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании изложенного в этой главе можно сделать вывод, что
методы оценки возможности предсказания разрушения и методы
расчета элементов, работающих в условиях малоцикловой устало-
сти, в основнОхМ эмпирические. В настоящее время ведется интен-
сивная исследовательская работа, целью которой является совер-
шенствование методов предотвращения разрушений вследствие
малоцикловой усталости, особенно в условиях отличной от нуля
средней деформации цикла, отличного от нуля среднего напряже-
ния цикла, многоосных напряженно-деформированных состояний,
392
Гл. 11, Малоцикловая усталость
действия спектра нагрузок, характерных для малоцикловой и мно-
гоцикловой усталости, и при существенной анизотропии свойств
материалов.
11.9. ПРИМЕР
Предположим, что необходимо спроектировать короткую нагружен-
ную соединительную тягу для снаряда воздух — воздух, небольшой
вес которой имеет важнейшее значение. Тягу можно рассматривать
Рис. 11.13. Спектр нагружения эксплуатируемой непродолжительное время си-
ловой тяги, предназначенной для использования в снаряде.
как элемент, нагружаемый продольной силой Р по концам. Сила Р
изменяется, как показано на рис. 11.13; время «типового» нагруже-
ния длится 5 с. Этот типовой блок нагружения постоянно повторя-
ется. Какова должна быть площадь поперечного сечения гяги,
чтобы она могла выдержать нагрузку в течение 6 мин при коэффи-
циенте безопасности, равном 1,2? Материал — сталь SAE 4340,
11.9. Пример 393
термически обработанная до твердости по Бринелю 350 единиц
(см. рис. 8.17), истинная пластичность разрушения е;=0,48.
Анализ этой задачи показывает, что она достаточно сложна,
даже с учетом того, что нагружение одноосно, и даже в том случае,
если мы не будем учитывать концентрацию напряжений или дефор-
маций. При ее решении надо исследовать спектр нагружения, под-
считать число циклов, учесть отличную от нуля среднюю деформа-
цию цикла и оценить накопление повреждений при малоцикловой
усталости. Для получения оценки подходящего размера тяги при
анализе «типового» 5-секундного блока нагружения можно приме-
нить метод стока. Напряжение и деформация связаны с нагрузкой
через площадь сечения, величина которой пока неизвестна. Поэ-
тому при максимальной и минимальной нагрузках в 5-секундном
блоке максимальное и минимальное напряжения могут быть опре-
делены лишь при задании некоторого значения площади. По этим
пикам напряжений с помощью кривой зависимости напряжений
от деформаций при циклическом деформировании стали SAE 4340,
приведенной на рис. 8.17, могут быть определены максимумы и
минимумы деформаций. Для определения теоретического значения
долговечности при каждом значении амплитуды в 5-секундном бло-
ке нагружения может быть использовано соотношение (11.5).
Наконец, для оценки поврежденности за каждый 5-секундный
блок и после 72 повторений этого блока за 6 мин можно использо-
вать линейное правило суммирования повреждений Пальмгрена.
Затем заданное значение площади должно быть подправлено, и
описанный процесс повторяется до тех пор, пока в результате при-
менения правила Пальмгрена не получим единицу после 6-минут-
ного процесса нагружения. Лишь после этого следует воспользо-
ваться заданным значением коэффициента безопасности.
Опишем процесс решения более подробно Рассмотрим один
блок нагружения, изображенный на рис. 11.13, и для определения
пиковых значений напряжений поделим каждое пиковое значение
нагрузки на пробную величину площади А =0,10 дюйм2. Изменение
Таблица 11.1. Расчет зависимости деформации от времени для пробного
значения величины площади 0,10 дюйм*
Номер смены зна- ка дефор- мации	атах	°ППП	Fmax	‘'min	Де	R	Nf
1, ю	140 000	-60 000	0,0200	-0,0020	0,0220	-0,10	87
2, 5	120 000	20 000	0,0075	0,0007	0,0068	0,09	1100
3,4	100 000	80 000	0,0045	0,0027	0,0018	0,60	10516
6. 7	100 000	0	0,0045	0	0,0045	0	2215
8, 9	60 000	—40 000	0,0020	—0,0013	0,0007	-0,65	51 770
11, 12	20 000	-20 000	0,0007	-0,0007	0,0014	-1,0	15 975
394
Гл. 11. Малоцикловая усталость
напряжений в зависимости от времени графически изображено на
рис. 11.14. Далее с помощью рис. 8.17 находятся значения деформа-
ций. Результаты расчетов сведены в табл. 11.1.
Последний столбец в табл. 11.1 подсчитан по соотношению (11.5),
в котором величина а=—l/с определена по показателю цикличе-
Рис. 11.14. Применение метода стока подсчета циклов для анализа изображенного
на рис. 11.13 нагружения тяги с площадью поперечного сечения 0,10 дюйм2.
ского деформационного упрочнения п'=0,14, взятому в соответствии
с рис. 8.17 и подставленному в (11.4). В результате подстановки
получаем
с = —1/[1 4-50,14] = — 0,59,	(11.6)
так что	а=—1/с=1,70.	(11.7)
Таким образом, (11.5) принимает вид
де____________2(l-J?).0,4S	g.
[(4JVZ— ])(! —™ _|_2i.7op/i.’o ’	1 l’°>
ИЛИ
Де___________0,96(1 —A?)	.
l(4ty—1) (1 -/?),1704-3,25]»'*» •
11.9. Пример 395
Для полуциклов с номерами 1 и 10 из табл. 11.1 это соотношение
при Де=0,0220 и R——0,10 принимает вид
0 0220 =_________0.96(14-0,10)_______ /1 j ।qx
u.vzzu — [(4Л^_ 1) (j _|_ о, 1)1’7о4-3,25]о,?в 1	U 1.
откуда Nf=87 циклов. Остальные значения вычисляются точно
так же. Далее, используя правило линейного суммирования пов-
реждений Пальмгрена, находим, что поврежденность за один 5-се-
кундный блок нагружения составляет
Df> = 87 “''ПОО^' 10 516 +'2215'+ 51 770 + 15 975	О111)
или	Dsc = 0,013.	(11.12)
Наконец, полная поврежденность за 6-минутный срок службы
изделия получается равной
D. мин = [(6 • 60)/5] -0,013 = 0,94.	(11.13)
. Таким образом, пробное значение площади близко к необходи-
мому и немного меньше его. Чтобы величина Овмин стала ближе к
единице, необходимо осуществить следующую итерацию. Предпо-
лагая, что результат будет близок к первоначальному значению,
введем заданный коэффициент безопасности, равный 1,2, и полу-
чим расчетную оценку требуемой площади поперечного сечения
тяги .4=0,12 дюйм2. При решении этой задачи можно было бы пре-
небречь влиянием отличной от нуля средней деформации цикла и
для определения значений Nf использовать соотношение (11.2),
а далее применить то же самое правило накопления повреждений.
Влияние отличных от нуля средних деформаций цикла важно учи-
тывать для конструкций с очень малыми сроками эксплуатации;
при достаточно больших сроках эксплуатации ими обычно можно
пренебречь. Однако при больших сроках эксплуатации, как отме:
чалось в гл. 7, необходимо учитывать отличные от нуля средние
напряжения цикла.
ВОПРОСЫ
1.	Укажите различия между малоцикловой и многоцикловой усталостью,
охарактеризовав каждую из них.
2.	Укажите различия между усталостными испытаниями с задаваемой на-
грузкой и усталостными испытаниями с задаваемой деформацией. Для большей
наглядности показа основных различий между ними используйте рисунки петель
гистерезиса.
3.	Определите «переходную долговечность» для 18% Ni мартенситностарею-
щей стали (см. рис. 11.6) и соответствующую этой долговечности амплитуду цик-
лической деформации.
4.	Некоторые характеристики двух сталей приведены в таблице (см. [18,
гл. 3]).
(а)	Для каждого из этих двух материалов подсчитайте число циклов до разру-
шения при значениях амплитуды полной деформации 0,05, 0,01 и 0,005. Какой из
396
Гл. 11. Малоцикловая усталость
Материал	°УР' фунт/дюйм2	п'	'I	°? фунт/дюйм*
SAE 1015 (число твердости по Бри- нелю 80) SAE 4340 (число твердости по Бри- нелю 409)	35 000 120 000	0,22 0,15	0,95 0,48	120000 290 000
этих материалов следует выбрать при каждом из трех заданных значений ампли-
туды деформации?
(Ь)	Как выглядит по сравнению с этими материалами 18% Ni мартенситностарею-
щая сталь, свойства которой приведены на рис. 11.6? Согласуется ли ваш вывод с
результатами, показанными на рис. 11.8?
(с)	Какова по вашим оценкам переходная долговечность для стали 4340?
5.	Спектр значений продольной нагрузки, действующей на сплошной стержень
квадратного поперечного сечения из стали 4340, свойства которой приведены на
рис. 8.17. показан на рис. Q11.5. Блок циклов повторяется. Стержень с квадрат-
ным сечением можно рассматривать как элемент, нагруженный продольной силой
Р, изменение которой характеризуется повторным действием 10-секундных бло-
ков. Каков должен быть размер поперечного сечения стержня, если срок службы
конструкции 4 мин, а коэффициент безопасности равен 1,15?
в. Необходимо сконструировать новую машину для проведения испытаний
на малоцикловую термическую усталость. Образец должен нагреваться в резуль-
тате использования его в качестве сопротивления на выходе сварочного трансфор-
матора. Желательно, чтобы с помощью этой машины можно было бы проводить
испытания и на механическую, и на термическую малоцикловую усталость и ис-
следовать их сходство, различие и взаимодействие. Укажите проблемы, с кото-
рыми вам придется столкнуться при проектировании, изготовлении и эксплуата-
ции такой машины. Если можете, предложите их решение,
Литература 397
ЛИТЕРАТУРА
1.	Manual on Low Cycle Fatigue Testing.— STP-465, American Society for Tes-
ting and Materials, Philadelphia, 1969.
2.	Landgraf R. W. The Resistance of Metal to Cyclic Deformation.— Achievement
of High Fatigue Resistance in Metal and Alloys.— STP-467, American Society
for Testing and Materials, Philadelphia, 1970.
3.	Tavernelli J. F., Coffin L. F., Jr. A Compilation and Interpretation of Cyclic
Strain Fatigue Tests on Metals.— ASM Transactions of American Society for
Metals, 51 (1959), p. 438—453.
4.	Manson S. S. Behavior of xMaterials Under Conditions of Thermal Stress.— NACA
TN-2933, National Advisory Committee for Aeronautics, Cleveland, 1954.
5.	Coffin L. F., Jr. A Study of the Effects of Cyclic Thermal Stresses in a Ductile
Metal.— ASME Transactions, 16 (1954), p. 931—950.
6.	Coffin L. F., Jr. Design Aspects of High Temperature Fatigue with Particular
Reference to Thermal Stresses.— ASME Transactions, 78 (1955), p. 527—532.
7.	Morrow J., Martin J. F., Dowling N. E. Local Stress-Strain Approach to Cumu-
lative Fatigue Damage Analysis.— Final Report, T. & A. M. Report No. 379,
Department of Theoretical and Applied Mechanics, University of Illinois, Ur-
bana, III., January 1974.
8.	Ohji K., Miller W. R., Marin J. Cumulative Damage and Effect of Mean Strain
in Low Cycle Fatigue of a 2024-T351 Aluminum Alloy.— Journal of Basic En-
gineering, ASME Transactions, 88, Series D (1966), p. 801. [Имеется перевод:
Киотсугу Ойи, Миллер, Марин. Кумулятивное повреждение и влияние сред-
ней деформации в случае малоцикловой усталости алюминиевого сплава 2024-
Т351.— Теоретические основы инженерных расчетов, Труды Американского
общества инженеров-механиков, серия D, 1968, т. 88, №4, с. 125—138.1
9.	Sachs G., Gerberich W. W., Weiss V., Latorre J. V. Low Cycle Fatigue of Pres-
sure Vessel Materials.— ASTM Proceedings, 60 (1961), p. 512—529.
10.	Sessler J. G., Weiss V. Low Cycle Fatigue Damage in Pressure Vessel Materi-
als.—Journal of Basic Engineering, ASME Transactions, 85, Series D (1963),
p. 539—547. [Имеется перевод: Сесслер, Вейсс. Усталостные повреждения
в материалах сосудов давления при малых числах циклов.— Техническая
механика, Труды Американского общества инженеров-механиков, серия D,
1963, т. 85, №4, с. 73—84.]
И. Manson S. S. Thermal Stresses in Design, Part 21 Effect of Mean Stress and
Strain on Cyclic Life.— Machine Design, 32, No. 16 (August 4, 1969), p. 129—
135.
12.	Blatherwick A. A., Viste N. D. Cumulative Damage Under Biaxial Fatigue
Stress.— Materials Research and Standards, Vol. 7, American Society for Tes-
ting and Materials, Philadelphia, 1967, p. 331—336.
13.	Krempl E. The Influence of State of Stress on Low’-Cycle Fatigue of Structural
Materials: A Literature Survey and Interpretation Report.— STP-549, American
Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1974.
14.	Manson S. S. Thermal Stress and Low Cycle Fatigue.— New York: McGraw-
Hill, 1966.
15.	Baldwin E. E., Sokol G. J., Coffin L. F., Jr. Cyclic Strain Fatigue Studies on
AISI Type 347 Stainless Steel.— ASTM Proceedings, 57 (1957), p. 567—586.
16.	Morrow J. Internal Friction, Damping and Cyclic Plasticity.— STP-378, Ame-
rican Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1965, p. 45.
17.	Swindeman R. W., Douglas D. A. The Failure of Structural Metals Subjected
to Strain-Cycling Conditions.—Journal of Basic Engineering, ASME Transac-
tions, 81, Series D (1959), p. 203—212.
ГЛАВА 12
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
12.1.	ВВЕДЕНИЕ
Разрушение деталей машин и сооружений практически всегда на-
чинается в местах локальной концентрации напряжений, обуслов-
ленной геометрическими или микроструктурными разрывами.
В этих местах, называемых концентраторами напряжений, локаль-
ные напряжения часто во много раз превосходят номинальные,
т. е. определенные без учета эффектов концентрации. Качественно
Рис. 12.1. Интуитивное представление о концентрации напряжений, (а) без кон-
центрации напряжений; (Ь) при наличии концентрации напряжений.
разобраться в концентрации напряжений, связанной с геометриче-
скими особенностями, можно, рассмотрев «течение сил» в элементе
под действием нагрузок. Иллюстрация такого пояснения дана на
рис. 12.1.
На рис. 12.1(a) изображена прямоугольная пластина шириной
w и толщиной t, заделанная на нижнем краю и нагруженная равно-
мерно распределенными усилиями с равнодействующей F по верх-
нему краю. Каждая из штриховых линий означает некоторую часть
силы, а локальное расстояние между линиями соответствует ло-
кальной плотности усилий, т. е. напряжению. На рис. 12.1(a)
линии распределены равномерно по области, занятой пластиной,
напряжения распределены тоже равномерно, и вычислить их можно
12.1. Введение 399
по формуле
o^F/(wt).	(12.1)
На рис. 12.1(6) показана прямоугольная пластина, нагружен-
ная такой же равнодействующей F, но эта пластина шире и у нее
имеется такой вырез, что ширина ее в районе выреза тоже равна w.
Силовые линии можно изобразить проходящими точно так же, как
проходят линии тока при установившемся течении жидкости по
Рис. 12.2. Некоторые типичные примеры концентрации напряжений, (а) зуб ше-
стерни; (Ь) шпоночная канавка вала; (с) резьба болта; (d) уступ вала; (е) заклепоч-
ное или болтовое соединение; (/) сварное соединение.
каналу, очертания которого совпадают по форме с границами пла-
стины. На рис. 12.1 (Ь) ясно видно, что через вырез силы не могут
передаваться, поэтому силовые линии должны огибать вершину
выреза. При этом силовые линии у вершины выреза локально сгу-
щаются, что свидетельствует об увеличении интенсивности усилий
или напряжений в вершине выреза. Таким образом, около вершины
выреза имеет место локальное увеличение, или концентрация, на-
пряжений. Хотя номинальное напряжение по сечению пластины
в районе выреза все еще вычисляется по формуле (12.1), в действи-
тельности локальное напряжение в вершине выреза может во много
раз превосходить номинальное напряжение.
Можно привести множество примеров концентрации напряже-
ний; некоторые из них показаны на рис. 12.2. Основания зубьев
шестерен, угловые точки шпоночных канавок в валах, впадины вин-
товых резьб, скругления уступов валов, отверстия под заклепки
и болты и окрестности сварных швов являются концентраторами
напряжений, которые, как правило, должны исследоваться кон-
структором. Степень опасности концентрации напряжений зависит
от вида нагружения, типа материала, размера и формы геометри-
ческой особенности.
400 Гл. 12. Концентрация напряжений
12.2.	ПОСЛЕДСТВИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
С целью изучения последствий концентрации напряжений концент-
раторы напряжений можно разделить на весьма локальные и раз-
мытые. Весьма локальные концентраторы напряжений характери-
зуются тем, что объем области, занятой материалом с повышенными
напряжениями, пренебрежимо мал по сравнению со всем объемом
нагруженного тела. В случае размытых концентраторов напряжений
объем, занятый материалом с повышенными напряжениями, со-
ставляет значительную часть всего объема нагруженного тела.
Таким образом, при локальной концентрации напряжений общие
размеры и форма всего напряженного тела не будут существенно
изменяться в случае текучести материала в зоне концентрации,
тогда как при размытой концентрации напряжений они существен-
но изменятся. Например, малые отверстиям скругления малого
радиуса обычно считаются весьма локальными концентраторами
напряжений, а крюки и шарнирные соединения серег с проушинами
относятся к размытым концентраторам напряжений.
С учетом данных выше определений последствия концентрации
напряжений можно классифицировать так, как это сделано в табл.
12.1. Из этой таблицы следует, что возможные последствия кон-
Таблица 12.1. Последствия концентрации напряжений
Тип концентратора напряжений	Вид нагружения	Тип материала	Вид разрушения	Коэффициент концентрации напряжений
Размытый	Статическое	Пластичный	Большая область теку- чести	Ki (уточ- ненный)
»	»	Хрупкий	Хрупкое разрушение	Kt
»	Циклическое	Любой	Усталостное разрушение	К,
Локальный	Статическое	Пластичный	Разрушения нет (проис- ходит перераспределе- ние напряжений)	г
>	>	Хрупкий	Хрупкое разрушение	Kt
>	Циклическое	Любой	Усталостное разрушение	Kf
центрации напряжений необходимо оценивать для всех сочетаний
типов концентраторов, видов нагружения и типов материалов, за
исключением одного — локальных концентраторов в пластичных
материалах при действии статических нагрузок. В этих случаях
локальной текучестью, как правило, можно пренебречь, и коэффи-
циент концентрации можно принять равным единице. Во всех
других случаях следует проанализировать возможность поврежде-
ния из-за концентрации напряжений.
В последнем столбце таблицы в качестве коэффициентов кон-
центрации напряжений указаны величины или Kf. Коэффици-
12.3. Концентрация напряжений в упругой области 401
ент Kt — теоретический коэффициент концентрации упругих на-
пряжений, равный по определению отношению максимального
значения локального напряжения в области особенности к номи-
нальному напряжению для ослабленного сечения, найденному по
какой-либо простой теории без учета концентрации из-за наличия
геометрической особенности, т. е.
„ __Максимальное действующее напряжение	/19
Номинальное напряжение '	\ • /
Следует отметить, что коэффициент Kt применим только для напря-
жений в упругой области. Для напряжений в пластической области
он должен быть соответствующим образом уточнен. Один из мето-
дов уточнения описан в разд. 12.4.
Коэффициент Kf — коэффициент концентрации усталостных на-
пряжений, равный по определению отношению действующего ус-
талостного напряжения' в районе особенности к номинальному ус-
талостному напряжению, найденному без учета концентрации на-
пряжений из-за наличия геометрической особенности. Это опре-
деление справедливо для случая многоцикловой усталости и долж-
но быть соответствующим образом уточнено в случае малоцикловой
усталости. Методы уточнения указаны в разд. 12.4 и 12.6. Таким
образом, коэффициент концентрации усталостных напряжений мо-
жет быть определен формулой
„ __Действующее усталостное напряжение
А t Номинальное усталостное напряжение *
12.3.	КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
В УПРУГОЙ ОБЛАСТИ
Коэффициенты концентрации напряжений определяются разнооб-
разными методами, включая непосредственные измерения дефор-
маций, применение методов фотоупругости, использование методов
теории упругости и проведение расчетов методом конечных эле-
ментов. Исследование напряжений методом фотоупругости было
до недавнего времени самым широко распространенным способом
изучения распределения напряжений и определения коэффициентов
концентрации напряжений около различных геометрических осо-
бенностей. Метод основан на использовании двойного лучепрелом-
ления многих прозрачных материалов при деформировании их
под нагрузкой. Анализ интерференционных полос, образующихся
при просвечивании деформированных моделей из оптически актив-
ных материалов поляризованным светом, позволяет количественно
охарактеризовать распределение напряжений в теле и рассчитать
коэффициенты концентрации напряжений. В последние годы метод
конечных элементов при определении коэффициентов концентрации
напряжений в значительной степени потеснил метод фотоупруго-
сти. Численные значения коэффициентов концентрации для разно-
(12.3)
402
Гл. 12, Концентрация напряжений
Рис. 12.3. Коэффициенты концентрации напряжений для вала с галтелью при
(а) изгибе, (Ъ) продольном нагружении и (с) кручении. (Из работы 14]; адаптиро-
вано с разрешения John Wiley &Sons, Inc.)
12,3, Концентрация напряжений в упругой области
403
Рис, 12.3. (Продолжение.)
Рис. 12.4. Коэффициенты напряжений для вала с кольцевой выточкой при (а)
изгибе, (Ь) продольном нагружении и (с) кручении, (Из работы [4]; адаптировано
с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
404
Гл. 12. Концентрация напряжений
Рис. 12.4, (Продолжение,)
12.3, Концентрация напряжений в упругой области
405
образных геометрических особенностей и различных видов нагру-
жения приведены в работе [4]. Некоторые из наиболее часто упот-
ребляемых результатов работы [4] воспроизведены на рис. 12.3—
12.8.
Определение теоретических коэффициентов концентрации на-
пряжений с помощью методов теории упругости представляет собой
Рис. 12.5. Коэффициенты концентрации напряжений для вала с радиальным от-
верстием при продольном нагружении (/), изгибе (2) и кручении (3). (Из работы
[4J; адаптировано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
Продольное нагружение: опот=Р/Д ^Р/[(лОа/4)—Ddl.
Изгиб (в указанной плоскости) аП0т=Л1с//^М/[(лО8/32)—dD2/6].
’ Кручение: тпога= TcU~ 77[(л£Р/16)—dD2/6].
достаточно сложную проблему. Решения получены лишь для не-
которых тел простейшей формы; среди них решения таких двумер-
ных задач, как задачи о круглом или эллиптическом отверстии или
вырезе в бесконечной полосе, и решение осесимметричной трехмер-
ной задачи о глубокой гиперболической выточке в сплошном ци-
линдрическом стержне.
Решение задачи о распределении напряжений около малого
эллиптического отверстия в широкой пластине при растяжении
было получено Инглисом 15) в 1913 г. Оно показано на рис. 12.9.
Полученные соотношения, описывающие распределение напряже-
ний, достаточно сложны. Для эллиптического отверстия, большая
ось которого направлена вдоль оси х, в тонкой пластине, растяну-
406 Гл. 12. Концентрация напряжений
Рис. 12.6. Коэффициенты концентрации напряжений для плоского стержня с
галтелью при (а) изгибе и (д) продольном нагружении, (Из работы [4]; адаптиро-
вано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
12,3. Концентрация напряжений в упругой области 407
r/h
Рис. 12.7. Коэффициенты концентрации напряжений для плоского стержня с вы-
точкой при (а) изгибе и (Ь) продольном нагружении. (Из работы [4]; адаптирова-
но с разрешения John Willey & Sons, Inc.)
408 Гл. 12. Концентрация напряжений
Рис. 12.8. Коэффициенты концентрации напряжений для плоской пластины с
центрально расположенным отверстием при (а) изгибе и (Ь) продольном нагруже-
нии. (Из работы [4]; адаптировано с разрешения John Wiley & Sons, Inc.)
12.3. Концентрация напряжений в упругой области 409
той по оси у, распределение напряжений по оси х описывается со-
отношениями
ох = оП [— А + Ах (х2—а2 + ар) -1 /2 — Ва2х (х2—а1 + ар) - ’/2 ], (12.4)
о1/ = оп[1—С + Сх(х2—а2 + ар)-1'2 + Ва2х(х2—а24-ар)-’/*], (12.5)
т„ = 0,	_	(12.6)
где	Д = (1—Кр/а) г,	(12.7)
В = (1 -Кр/Н)Л	(12.8)
С = (1-Ир/а)"а(1-(2/рМ)),	(12.9)
а — большая полуось, b — малая полуось, р — минимальный ра-
диус кривизны в конце большой оси, оп — номинальное напряже-
ние для ослабленного се-	F
чения.	144114144
Точки наибольшей кон-	Т	Т	Т
центрации напряжений на-	|	|	|
ходится, как показано на
рис. 12.9, на концах боль-
шой оси эллиптического
отверстия. Наибольшая по
величине компонента нап-
ряжения ор достигает в
этих точках в соответствии
с (12.5) своего максималь-
ного значения
°ит.х = °(,(1+2/а7Г)»
(12.10)
так что коэффициент кон-
центрации напряжений ста-
новится равным
К t	1 + 2 Vai?-
(12.11)
Можно заметить, что
для длинных узких эллип-
тических отверстий коэф-
фициенты Kt очень велики.
Соотношение (12.11) приб-
лиженно справедливо так-
же для мелких круговых
выточек в цилиндрических
валах при растяжении или
изгибе, если в качестве а
Рис. 12.9. Концентрация напряжении у края
эллиптического отверстия в тонком листе при
растяжении.
410 Гл, 12. Концентрация напряжений
взять глубину выточки и в качестве р — радиус кривизны в осно-
вании выточки.
В случае мелкой кольцевой выточки в цилиндре коэффициент
концентрации при кручении для выточки глубины а с радиусом
кривизны р в основании определяется формулой
(КЛог,»о„=1+И^.	(12.12)
Выточки разнообразных форм исследовались Нёйбером [61, ко-
торый в 1946 г. опубликовал решение, с помощью которого можно
удовлетворительно оценить влияние большинства представляющих
интерес выточек и вырезов. Оценка получена им благодаря исполь-
зованию решений для мелкого эллиптического и глубокого гипер-
болического вырезов в бесконечной области. Нёйбер предложил
квадратичное соотношение, которое приближенно определяет зна-
чения коэффициентов Kt для выточек промежуточных размеров.
Результаты работы Нёйбера помещены в [4].
Как, однако, говорилось в начале главы, особенности и условия
нагружения во многих случаях таковы, что концентрация напря-
жений не поддается математическому исследованию. В подобных
случаях для определения коэффициентов концентрации напряжений
используются экспериментальные методы и расчеты по методу ко-
нечных элементов. Ранее уже упоминалось, что метод конечных эле-
ментов является самым распространенным методом вычисления
коэффициентов концентрации напряжений. Среди других иногда
используемых методов можно назвать применение механических,
оптических или электрических экстензометров с малой базой, ме-
тод хрупких лаковых покрытий, метод дифракции рентгеновских
лучей и метод фотоупругости.
12.4.	КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
Очевидно, что в образцах или деталях машин с остроконечными
вырезами даже при не очень больших нагрузках в вершинах выре-
зов могут возникать локальные напряжения, превышающие предел
текучести материала. Локальная текучесть приводит к перераспре-
делению напряжений, и теоретический коэффициент концентрации
упругих напряжений уже нельзя использовать для точного опре-
деления отношения действующих напряжений к номинальным,
поскольку отношение максимального действующего напряжения
к номинальному меньше, чем в том случае, если бы материал оста-
вался упругим. Это означает, что величина коэффициента концент-
рации напряжений вследствие пластического течения уменьшает-
ся, в то время как локальная деформация увеличивается по срав-
нению с величиной, предсказываемой по теории упругости.
Задачи о распределении упругопластических напряжений и
деформаций около выточек трудны для решения даже численными
12г5. Коэффициенты концентрации напряжений для многократных выточек 411
методами с помощью вычислительных машин. Одна из наиболее
удачных аппроксимаций для коэффициента концентрации напря-
жений около кругового отверстия в пластине больших размеров
дается формулой [81
К=1+2Е8/Е,	(12.13)
где Е — модуль Юнга, Е8 — секущий модуль, К — коэффициент
концентрации напряжении.
На рис. 12.10 для одного частного случая показаны результаты
расчета коэффициента концентрации напряжений и коэффициента
концентрации деформаций
по формуле (12.13) и ре-
зультаты измерений, осу-
ществленных датчиками
деформаций с очень малой
базой. Сравнение свиде-
тельствует о хорошем со-
ответствии результатов
расчетов и измерений.
В работе [91 предложе-
но обобщение формулы
(12.13) для определения
коэффициента концентра-
ции пластических напря-
жений КР при произволь-
ной геометрической особен-
ности
Рис. 12.10. Влияние пластичности на кон-
центрацию напряжений и деформаций. (По
работе [2].) По оси ординат — коэффициент
концентрации напряжений или деформаций;
1 — концентрация напряжений; 2 — концент-
рация деформаций;----------эксперимент;
------ по соотношению (12.13).
кР=1+(^-1)ад,
(12.14)
где Kt — теоретический ко-
эффициент концентрации
упругих напряжений для
исследуемой особенности,
Es — секущий модуль, Е — модуль Юнга. Приведенная формула
в большинстве случаев позволяет получать достаточно точные
оценки.
12.5.	КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
ДЛЯ МНОГОКРАТНЫХ ВЫТОЧЕК
Иногда случается так, что концентратор напряжений содержит
в себе еще один концентратор. Подобными примерами могут быть,
например, вырез на поверхности выреза или вырез в галтели. Хотя
точно вычислить коэффициент концентрации напряжений в таких
случаях очень трудно, можно получить вполне приемлемые оценки
171. На рис. 12.11 (а) показан маленький вырез в вершине большого
412 Гл. 12. Концентрация напряжений
выреза. Для оценки совместного влияния этих вырезов сначала
определим коэффициент концентрации напряжений Кп в предпо-
ложении, что маленького выреза нет. Умножая номинальное на-
пряжение ап на коэффициент Кп, можно найти напряжение о'п в
вершине большого выреза:
a‘n = Ktl<jn.	(12.15)
Если предположить, что напряжение о'п действует всюду в зоне
около вершины выреза, ограниченной штриховой линией на рис.
Рис. 12.11. Эффекты концентрации напряжений, обусловленные многократными
выточками. (По работе [7]; перепечатано с разрешения McGraw Hill Book Compa-
ny)
12.11(a), то o'n будет номинальным напряжением при исследовании
маленького выреза. Это предположение справедливо, поскольку
весь маленький вырез расположен в области, где напряжение равно
а„. Следующий этап состоит в определении коэффициента концент-
рации Кц для маленького выреза и вычислении напряжения в вер-
шине этого выреза путем умножения на него номинального напря-
жения о'п. Таким образом, получаем
(12.16)
или после подстановки (12.15)
Оае. = /С^^„.	(12.17)
12.6. Концентрация усталостных напряжений 413
Таким образом, полный коэффициент концентрации Ktc для
двукратной выточки представляет собой произведение коэффициен-
тов концентрации, определенных для каждой из двух выточек
отдельно:
Ktc=KnKti.	(12.18)
Этот вывод подтвержден методом фотоупругости [7]. Коэффициент
концентрации усталостных напряжений в исследуемом случае за-
висит от величины q (см. разд. 12.6), и его можно вычислить по со-
отношению (12.22), подставив в это соотношение вместо Kt коэффи-
циент К/с. Если глубина малого выреза такова, что он выходит за
пределы ограниченной штриховой линией на рис. 12.11 (а) области,
то величина /<<с будет меньше произведения КиКц. и ее рекомен-
дуется определять, например, методом фотоупругости или методом
конечных элементов.
Способ получения верхней оценки для /</с схематично изобра-
жен на рис. 12.11 (д). Он состоит в предположении, что изображен-
ный на рис. 12.11(a) вырез заполнен материалом, как показано
на рис. 12.11 (Ь) штриховкой, и что, таким образом, остался один
глубокий узкий вырез. Теоретический коэффициент концентрации
напряжений для такого глубокого узкого выреза всегда будет
больше, чем коэффициент концентрации для рассматриваемой дву-
кратной выточки.
12.6.	КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНЦЕНТРАЦИИ УСТАЛОСТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ПОКАЗАТЕЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К НАДРЕЗАМ
В противоположность теоретическому коэффициенту концентрации
напряжений Kt коэффициент концентрации усталостных напряже-
ний Kf зависит от свойств материала, а не только от геометриче-
ских параметров и вида нагружения. Для учета влияния свойств
материала вводится показатель чувствительности к надрезам q,
характеризующий соотношение между действительным влиянием
надреза на усталостную прочность материала и влиянием, пред-
сказываемым лишь на основе теории упругости. Показатель чувст-
вительности к надрезам определяется следующим образом:
q=(Kf-\)l(Kt-\),	(12.19)
где Kf — коэффициент концентрации усталостных напряжений,
Kt — теоретический коэффициент концентрации напряжений, q —
коэффициент чувствительности к надрезам при многоцикловой
усталости.
Вычитание единицы из числителя и знаменателя в этом выраже-
нии производится для того, чтобы обеспечить масштаб для величи-
ны q, при котором она меняется от нуля при отсутствии влияния
надреза до единицы, когда влияние надреза проявляется в полной
мере, т. е. когда коэффициент К/ равен Kt- Известно, что коэффи-
414 Гл. 12. Концентрация напряжений
циент чувствительности к надрезам зависит как от материала, так
и от радиуса кривизны надреза.
Хотя в течение многих лет утверждалось, что величина К/
почти всегда меньше JQ, недавние экспериментальные исследования
показали, что во многих случаях, особенно для мелкозернистых
материалов, таких, как закаленные и отпущенные стали, величина
q близка к 1. Кроме того, для крупнозернистых материалов, таких,
как отожженные или нормализованные алюминиевые сплавы, ве-
личина q становится близкой к 1 для концентраторов напряжений
с радиусом кривизны, превышающим 1/4 дюйм. С учетом этих ре-
зультатов кажется заманчивым использовать соотношение
во всех расчетах на усталость, так как ошибка, возникающая при
этом, увеличивает запас прочности. Однако такой чрезмерно упро-
щенный подход не позволяет учесть некоторые важные эффекты,
которые желательно оценить. Среди них следующие:
1.	В некоторых случаях легированные стали, имеющие улучшен-
ные характеристики в статических условиях, из-за разницы в чув-
ствительности к надрезам оказываются при усталостных нагруже-
ниях не лучше углеродистых сталей.
2.	Существует тенденция к неправильной оценке влияния ма-
леньких царапин и раковин, избежать которой позволяет учет чувст-
вительности к надрезам.
3.	Без оценки чувствительности к надрезам возможны серьезные
ошибки при переносе результатов с моделей на крупногабаритные
конструкции.
4.	Неучет чувствительности к надрезам в некоторых критиче-
ских ситуациях может существенно снизить эффективность реко-
мендаций по результатам расчетов.
Разброс экспериментальных данных при оценке показателя
чувствительности к надрезам представляет собой серьезную про-
блему, о чем свидетельствуют, например, экспериментальные дан-
ные, приведенные на рис. 12.12. Показатели чувствительности к
надрезам для ряда сталей и одного из алюминиевых сплавов при
растяжении, изгибе и кручении показаны на рис. 12.13. Эти кривые
позволяют получать достаточно точные для большинства практи-
ческих приложений результаты и ясно демонстрируют зависимость
показателя чувствительности к надрезам как от материала, так и
от радиуса кривизны в вершине надреза.
Для описания зависимости коэффициента чувствительности
от радиуса кривизны в вершине надреза предложено много соот-
ношений. Наиболее употребительное из них основано на результа-
тах работы Нёйбера [6]; оно позволяет представить коэффициент
концентрации усталостных напряжений в виде
ЯН+М/О+Ш (12.20)
где г — радиус кривизны в вершине надреза; р' — постоянная, свя-
12.6. Концентрация усталостных напряжений 415
занная с размером зерна материала. Экспериментально определен-
ная зависимость величины Ир' от прочности при растяжении леги-
рованных сталей ПО] графически изображена на рис 12.14. Под-

(Ь)
Рис. |2.12. Иллюстрация разброса результатов экспериментальных исследований
показателя чувствительности к надрезам q (г — радиус надреза) для алюминие-
вого сплава и стали, (а) алюминий 24ST при симметричном продольном нагруже-
нии; (Ъ) легированные стали при циклическом изгибе. (По данным работы [1];
перепечатано с разрешения McGraw Hill Book Company.) 1 — среднее значение
для стержней; 2 — среднее значение для листов; 3 — среднее значение; 4 — стер-
жни кругового поперечного сечения; 5—7 — листы толщиной 0,032, 0,064 и
0,090 дюйма соответственно; 6 — закаленная и отпущенная сталь; 9 — нормали-
зованная или отожженная сталь.
416	Гл. 12. Концентрация напряжений
Рис. 12.13. Кривые зависимости показателя чувствительности к надрезам g от
радиуса в вершине выточки г для различных сталей и алюминиевого сплава при
продольном нагружении, изгибе и кручении. (По данным работы [71; перепечата-
но с разрешения McGraw Hill Book Company.) 1—Sa для изгиба или продольного
нагружения, кфунт/дюйм1 (сталь); 2—Sa для кручения, кфунт/дюйм1 (сталь);
3 — алюминиевый сплав (на основе данных для 2024-Т6).
Рис. 12.14. График, иллюстрирующий зависимость от прочности при растя-
жении для легированных сталей, (Из работы [10].)
12.6. Концентрация усталостных напряжений 417
ставляя результат Нёйбера (12*20) в определение показателя чувст-
вительности к надрезам (12.19), получаем
<7=1/(14-1/^777).	(12.21)
Нетрудно видеть, что выражение для q не зависит от величины Kt.
Ряд других исследователей предложил выражения для q в виде
функции, зависящей от Kf, а иногда и от градиента локальных на-
пряжений. Однако выражение (12.21) дает результаты, достаточно
точные для большинства практических приложений.
Суммируя описанные результаты, формулу для коэффициента
концентрации усталостных напряжений в соответствии с (12.19)
можно записать в виде
К/=9(К«-1)+1.	(12.22)
Входящий сюда теоретический коэффициент концентрации Kt упру-
гих напряжений при заданных геометрических характеристиках
надреза и условиях нагружения можно определить по приведенным
в справочной литературе графикам, примеры которых даны на
рис. 12.3—12.8. Показатель чувствительности к надрезам можно
определить по графикам, подобным изображенному на рис. 12.13,
или вычислить по формуле (12.21), если известны результаты экспе-
риментального определения постоянной материала р' (см. рис.
12.14).
При действии циклических напряжений в условиях одноосного
напряженного состояния иногда удобно использовать К/ как «коэф-
фициент снижения прочности», а не как «коэффициент концентра-
ции напряжений». Иначе говоря, в условиях одноосного напряжен-
ного состояния расчетчик может при желании разделить на вели-
чину К/ предел усталости вместо умножения на Kf действующего
номинального циклического напряжения. Хотя ясно, что по смы-
слу более правильно считать Kt коэффициентом концентрации на-
пряжений, для проведения вычислений разницы никакой нет, в
то время как часто бывает проще считать Kf коэффициентом сниже-
ния прочности. Однако, когда напряженное состояние многоосное,
коэффициент Kf следует считать коэффициентом концентрации
напряжений, поскольку соответствующий ему коэффициент сниже-
ния прочности становится неопределенным.
Коэффициент концентрации усталостных напряжений (или ко-
эффициент снижения прочности), определяемый соотношением
(12.22), строго говоря, применим лишь в случае многоцикловой
усталости, т. е. при долговечности 10*—10’ или более циклов.
В разд. 12.2 отмечалось, что для пластичных материалов при ста-
тических нагрузках концентрацией напряжений, как правило,
можно пренебречь. Таким образом, в переходной области и в обла-
сти малоцикловой усталости, т. е. в диапазоне долговечности от
1/4 цикла (при статическом нагружении) до 10*—10’ циклов, вели-
чина коэффициента концентрации напряжений изменяется от 1 до
И Л. 492
418 Гл. 12. Концентрация напряжений
К?. Как показано на рис. 12.15, кривые усталости для образцов
с надрезами и без них имеют общую точку А и выходят на асимпто-
ты в конце интервала малоцикловой усталости.
Для многих материалов при долговечности менее 1000 циклов
коэффициент концентрации усталостных напряжений очень бли-
N
Рис. 12.15. Кривые усталости для образцов с выточкой (/) и без выточки (2) при
симметричном продольном нагружении. (По данным работы [11]; с разрешения
MIT Press Cambridge, Massachusetts, © 1952.) По оси ординат — отношение амп-
литуды напряжения цикла к пределу прочности при растяжении, %.
Рис. 12.16. Зависимость коэффициента концен!рации усталостных напряжений
Ку от числа циклов до разрушения N f для материала, свойства которого представ-
лены на рис. 12.15. (Из работы [11]; с разрешения MIT Press Cambridge, Massa-
chusetts, © 1952.)
зок к 1. Часто оценку коэффициента концентрации усталостных
напряжений получают, аппроксимируя прямыми линиями в полу-
логарифмических координатах зависимости относительных напря-
жений от числа циклов до разрушения на участке от 1 до 10е цик-
12.7. Примеры 419
лов. Пример такого построения показан на рис. 12.15. Отношение
усталостных разрушающих напряжений для образцов с надрезами
и без них может служить оценкой для коэффициента концентрации
усталостных напряжений при заданных уровнях долговечности.
На рис. 12.16 показано, как изменяется коэффициент концент-
рации усталостных напряжений в зависимости от числа циклов
до разрушения для материалов, усталостные характеристики кото-
рых соответствуют рис. 12.15.
Наконец, следует отметить, что, как показывают эксперимен-
тальные исследования, для пластичных материалов на коэффици-
ент концентрации усталостных напряжений надо умножать только
переменную составляющую напряжений, не умножая на него по-
стоянную составляющую, равную среднему значению напряжения
цикла. Для хрупких же материалов на коэффициент концентрации
напряжений надо умножать также и постоянную составляющую.
12.7.	ПРИМЕРЫ
С целью иллюстрации использования коэффициентов концентрации
усталостных напряжений (коэффициентов снижения прочности) при
исследовании одноосного напряженного состояния рассмотрим
стальной стержень диаметром 0,5 дюйма, нагруженный циклически
действующей растягивающей продольной силой, величина которой
меняется от 0 до 10 000 фунтов. Как показано на рис. 12.17, стер-
жень имеет кольцевую выточку полукруглого очертания радиуса
0,05 дюйма. Материал стержня — сталь AISI 4340 с пределом проч-
ности 150 000 фунт/дюйм2, пределом текучести 120 000 фунт/дюйм2
и удлинением 15% на базе 2 дюйма. Требуется определить срок
службы этого стержня.
Для решения поставленной задачи необходимо располагать кри-
вой усталости для исследуемого материала. Если готовые данные
отсутствуют, их надо получить. Хотя для указанного материала
необходимые данные, по-видимому, можно найти, опишем процесс
построения кривой усталости. Для сплавов, содержащих двухва-
лентное железо, с пределом прочности ниже 160 000—180 000 фунт/
дюйм2 кривую усталости можно аппроксимировать, проводя в полу-
логарифмических координатах прямую от точки ои при одном цикле
до точки Оц/2 при 10е циклах и вторую прямую — горизонтально
вправо от точки, соответствующей 10е циклам. Получающаяся
кривая усталости изображена на рис. 12.17(d) в виде кривой BD.
Аналогичные построения можно осуществить для получения кри-
вой усталости образца с выточкой. Разница состоит в том, что для
получения точки этой кривой при 10° циклах предел усталости ие
образца без выточки надо поделить на величина К/ при этом
используется как коэффициент снижения прочности. Используя
(12.22), имеем (Х<-1)+1.
14*
420 Гл. 12. Концентрация напряжений
Для проведения расчетов необходимо знать Kt и q. Величину
Kt можно определить по графику, изображенному на рис. 12.4(b).
Чтобы воспользоваться этим графиком, выпишем размеры стержня
,г=0,05
I
(<0
Рис. 12.17. Вал с кольцевой выючкой при продольном нагружении, (а) размеры
в дюймах вала с кольцевой выточкой; (Ь) зависимость нагрузки от времени при
циклическом нагружении; (с) зависимость эффективного напряжения от времени
при циклическом нагружении; (d) оценки кривых усталости для стали 4340, из
которой изготовлен вал.
и выточки:
г = 0,05, D = 0,50, d = 0,40 (в дюймах) (12.23)
и вычислим
rid = 0,05/0,40 = 0,125,	(12.24)
O/J = 0,50/0,40= 1,25	(12.25)
Используя резулыаты этих вычислений, с помощью рис. 12.4(b)
найдем
М=1,9.	(12.26)
12.7. Примеры 421
Значение q можно получить, используя (12.21) и график, при-
веденный на рис. 12.14, который позволяет найти величину Кр'
для стали с пределом прочности 150 000 фунт/дюйм2. По графику
находим
Ир7 = 0,035.	(12.27)
Далее по формуле (12.21) получаем показатель чувствительности
к надрезам
9= 1/(1 +0,035/И0Д)5) = 0,87.	(12.28)
Проверить этот расчет можно, определив величину q непосредст-
венно по графику, изображенному на рис. 12.13. Получаем резуль-
тат, хорошо согласующийся с расчетным значением 0,87. Подстав-
ляя (12.26) и (12.28) в (12.22), вычисляем коэффициент концентра-
ции усталостных напряжений
/(/=0,87 (1,9—1,0)4-1 = 1,78.	(12.29)
Поскольку исследуемый материал пластичен, коэффициент кон-
центрации усталостных напряжений К/ относится лишь к перемен-
ной составляющей циклически действующего напряжения.
График зависимости от времени нагрузки, действующей на
продольно растягиваемый стержень, изображен на рис. 12.17(6).
Поскольку в течение цикла нагрузка меняется от минимального
значения Pmin=0 до максимального значения /^max=10 000 фун-
тов, ее среднее значение Рт и переменная составляющая Ра имеют
значения
/)я = (^,х + /)т1п)/2 = (10000 + 0)/2 = 5000 фунтов, (12.30)
Pa^(Pmi-Pmio)/'2 = (l000Q-Q)/2 = 5000 фунтов. (12.31)
Так как диаметр рабочего сечения стержня у вершины выточки
равен 0,4 дюйма, величины среднего значения напряжения цикла
и его переменной составляющей становятся равными
от = Рт/А = 5000- 4/(л0,42) = 39 800 фунт/дюйм2, (12.32)
оа = К,Ра1А= 1,7815000-4/(л0,42)] = 70 600 фунт/дюйм2.
(12.33)
Эффективная величина максимального напряжения при этом равна
Отах = °а + От = 70 600 + 39 800,	(12.34)
отах= 110 400 фунт/дюйм2.	(12.35)
Это эффективное, циклически действующее напряжение изображе-
но на рис. 12.17(c).
Предел усталости для образца без выточки можно найти по кри-
вой BD, приведенной на рис. 12.17(с/)-
о, = 75 000 фунт/дюйм’.	(12.36)
422 Гл. 12, Концентрация напряжений
Для продолжения расчетов обратимся к соотношениям (7.15)—
(7.18), основные положения которых сосредоточены в табл. 7.2.
Отмечая, что в соответствии с (12.32) от=39 800 фунт/дюйм2, при-
ходим к выводу, что применимо соотношение (7.17), поскольку
®ур
I —ае/оа
120 000 — 75 000
1-0,50
или 0 ост 90 000.

или 0^ош
Соотношение (7.17) можно переписать в виде
Omax-M1—<V°J=°e.
или отах. = а, я- аи [1 — аг/аи],
(12.37)
(12.38)
(12.39)
(12.40)
(12.41)
где агоах / — максимальное напряжение в цикле, которое может
быть допущено при условии неограниченности срока службы стерж-
ня. Таким образом,
Отах./ = 75 000 + 39 800 (1 —0,50),	(12.42)
или отах./ = 94 900 фунт/дюйм2.	(12.43)
Вспомним, что в соответствии с (12.35) эффективное максимальное
напряжение в цикле равно 110 400 фунт/дюйм2. Поэтому запас
прочности при неограниченном сроке эксплуатации пж равен
= omax7/amax = 94 90°/1 Ю 400 = 0,86.	(12.44)
Полученный запас прочности меньше единицы. Это означает, что
можно ожидать разрушения через некоторое конечное число циклов.
Оценку числа циклов до разрушения можно получить путем по-
строения кривой, показанной на рис. 12.17(d), с помощью коэффи-
циента концентрации напряжений /</=1,78 при многоцикловой
усталости (см. (12.29)). Используя это значение, строим точку С,
показанную на рис. 12.17(d). Кривая усталости образца с выточкой
получается в результате соединения точек В и С.
Далее можно определить коэффициент концентрации напряже-
ний при любом промежуточном значении числа циклов до разру-
шения. Например, долговечности 105 циклов соответствует точка
87 000 фунт/дюйм2 на кривой усталости образца без выточки и
62 000 фунт/дюйм2 на кривой усталости образца с выточкой. Отно-
шение этих двух значений представляет собой коэффициент кон-
центрации усталостных напряжений при 105 циклах. Таким обра-
зом,
(Х/)1 os = 87 000/62 000 = 1,40.	(12.45)
Далее можно пересчитать амплитуду напряжения цикла (12.33),
в результате чего получаем
оа= 1,45.5000-4/(л0,42) = 55 700 фунт/дюйм2, (12.46)
12Примеры 423
следовательно,
amax = °а + <ЪЛ = 55 700 + 39 800,	(12.47)
°max = 95 500 фунт/дюйм2.	(12.48)
Для этого конечного срока эксплуатации усталостную прочность
можно определить с помощью рис. 12.17(d), откуда имеем
Сдг = 87000 фунт/дюйм2.	(12.49)
Соотношение (12.37) при этом принимает вид
0 С (120 000—87 000)/(1 —0,60),
или 0 ^оя^ 82 500.
(12.50)
(12.51)
Поскольку ат все еще находится в этом диапазоне, по-прежнему
применимо соотношение (12.41), из которого находим
атах7 = 87 000 + 39 800 (1 —0,60),	(12.52)
или отах-/= Ю2 920 фунт/дюйм2.	(12.53)
Запас прочности при 105 циклах поэтому равен
п! „ь = ! 02 920/95 500 = 1,08.	(12.54)
Так как запас прочности приблизительно равен 1, разрушение прои-
зойдет примерно через 105 циклов.
Предположим, что тот же самый стержень с выточкой нагружен
меньшей по величине растягивающей пульсирующей нагрузкой
5000 фунтов и действующим в фазе с ней крутящим моментом 400
фунт-дюйм. Каков запас прочности стержня при неограниченном
сроке эксплуатации в этих условиях нагружения?
Для оценки запаса прочности в этом случае надо применить из-
ложенные ранее положения теории концентрации напряжений к
результатам исследования разрушения при циклически изменяю-
щемся многоосном напряженном состоянии, описанного в разд.
7.11—7.13. Анализируя состояния стержня с выточкой, изображен-
ного на рис. 12.18, нетрудно видеть, что опасные точки как при
действии циклически изменяющейся растягивающей силы, так и
при действии циклически изменяющегося крутящего момента рас-
полагаются по всей окружности у основания выточки. Взяв какую-
нибудь «типичную» опасную точку у вершины выточки, заметим,
что на элементарный объем в этой точке будет действовать растя-
гивающее напряжение ох и напряжение от кручения тяу, показан-
ные на рис. 12.18, причем каждое из этих напряжений должно
определяться с учетом соответствующего коэффициента концентра-
ции напряжений.
Коэффициент концентрации усталостных напряжений при дей-
ствии растягивающей нагрузки уже был подсчитан (см. (12.29)):
(ХДеП4=1,78.	(12.55)
424 Гл. 12. Концентрация напряжений
а -0,05 дюйма.
Рис. 12.18. Вал с кольцевой выточкой (размеры в дюймах) при совместном нагру-
жении продольной растягивающей силой и действующим в фазе с ней крутящим
моментом.
Для случая кручения, используя (12.24) и (12.25) и графики
рис. 12.4(c), можно найти, что (/C()t0,= l,4, и в соответствии с
(12.22) имеем
(КДОГ = 0,87 (1,4-1) + 1 = 1,35.	(12.56)
Отметим, что в этом случае
Рт = (/’max + /’min).^ = (5000 + 0)/2 = 2500 фунт,	(12.57)
Pe = (Pm„-Pmin)/2 = (5000-0)/2 = 2500 фунт,	(12.58)
7'т = 1Гтах + Гт1п)/2 = (400-г0)/2 = 200 фунт дюйм, (12.59)
7’а = (7’пих-Тш1п)/2=(4ОО—0)/2 = 200 фунт-дюйм. (12.60)
Можно вычислить, что
=	=3^=19900 фунт/дюйм4,	(12.61)
ах-0 = (^)ип, % = 1-78 ^| = 35 400 фунт/дюйм4,	(12.62)
ххи.т = ~~ = 20^.д’4<32 =15915 фунт/дюйм2,	(12.63)
(*/)tor = V1 = 1,35^1? = 21 485 фунт/дюйм*. (12.64)
12.7. Примеры 425
Отсюда находим эффективные значения напряжений стх и тЯ1,:
Ox-max = 19 900 + 35 400 = 55 300 фунт/дюйм2,	(12.65)
TXF.max = 159154-21 485 = 37 400 фунт/дюйм2.	(12.66)
Отметим, что при вычислении этих компонент напряжений уже
учтены эффекты концентрации. Для исследуемого напряженного
состояния общее кубическое уравнение для определения главных
нормальных напряжений имеет вид
ст3—а2ож4-о(—т£(,) = 0,	(12.67)
его решениями будут
= °*/2 + И(о,/2)24-т?у,
о, = 0,
о, = ох/2 — И (а,/2)2 4- t2v.
(12.68)
(12.69)
Используя эти решения, результаты, приведенные при рассмот-
рении примера в разд. 7.13, и соотношения (12.65) и (12.66), можно
получить
®1тах = ^+	]/	(^)14-37 4002 = 74 160 фунт/дюйм2, (12.70)
о1т1п = 0,	(12.71)
о1я = 74 1^)~*~0 = 37 080	фунт/дюйм2,	(12.72)
а,гоах = 0.	(12.73)
<W = 0.	(12-74)
o2OT = 0,	(12.75)
asmax = 0,__________________ (12.76)
o.min = j/(^)* + 37 4002 = -18 860 фунт/дюйм2,
(12.77)
<jSm=—9430 фунт/дюйм2.	(12.78)
Поскольку материал пластичен, следует использовать гипотезу
удельной энергии формоизменения для исследования усталостного
разрушения при многоосном напряженном состоянии, описанную
в разд. 7.11. Для этого в соответствии с (7.54) и (7.55) находим
]• 02.79)
или Udшах = 1+1[5,50.10’],	(12.80)
Udm~	^37 080 — 0)2 + (О+aW + (-9430-37080)2 j .	(,2 81)
или (/,„=-^[1,8110’].	(12.82)
2
426 Гл. 12. Концентрация напряжений
Используя далее (12.80) и (12.82) вместе с условиями (7.64) —
(7.67) и полагая аЛГ=ое для случая неограниченной эксплуатации,
получаем, что разрушения можно ожидать, если
[д—]’'* [^]1'г 1(5.5- 10»)v«-2(l,8bl0*)V»]>arF,	(12.83)
или если
р+2у/г[(5,5-10’)‘/г — (1,8Ы0»)1/г><*г. (12.84)
или если
[т^,]1,2	111 [(5,5- 1О’)Ь2_(1,81 • 10е)V* (1 -0.5)]> <х„
(12.85)
или если
[iT5y''[i3Z?T'’‘l<S-5 lO’MXV (12.86)
Условие (12.83) сводится к условию:
разрушения можно ожидать, если
—10 930>ст„р,	(12.87)
которое не имеет смысла. Остальные три условия принимают вид:
разрушения можно ожидать, если
31 620>ое.	(12.88)
или если
52 890>ае,	(12.89)
или если
74 160>ОрР.	(12.90)
Поскольку ав=75 ООО фунт/дюйм2 и av;, = 120 000 фунт/дюйм2,
разрушения не ожидается, и приведенный расчет прогнозирует
неограниченный срок эксплуатации. Для определения запаса проч-
ности п при неограниченной эксплуатации поделим на него предель-
ные усталостные и статические характеристики в соотношениях
(12.88)—(12.90); тогда найдем
«, = 0^/31 620 = 75 000/31 620 = 2,37,	(12.91)
пг = о,/52 890 = 75 000/52 890 = 1,42,	(12.92)
n, = a,y74 160 = 120 000/74 160 = 1,62.	(12.93)
Истинным запасом прочности будет наименьшее из этих значе-
ний. Таким образом, запас прочности п„ в случае неограниченной
эксплуатации исследуемого стержня с выточкой при заданном цик-
лическом нагружении крутящей и растягивающей нагрузками ра-
вен 1,4.
Вопросы 427
ВОПРОСЫ
1.	(а) От каких переменных или параметров зависит теоретический коэффи-
циент концентрации напряжений Kf?
(b) От каких переменных или параметров зависит коэффициент концентрации ус-
талостных напряжений Kfi
(с) Можно ли высказать какие-либо общие соображения (и какие именно) отно-
сительно величины коэффициента К/ по сравнению с величиной коэффициента Kf?
(d) Показатель чувствительности к надрезам принимает значения от 0 до 1.
Каков смысл каждого из этих предельных значений?
2.	Используя понятие «силовые линии», поясните, как можно оценить сте-
пень концентрации напряжений у различного рода геометрических особенностей
элементов конструкций при заданных нагрузках. Подкрепите свое пояснение
несколькими рисунками.
3.	С помощью соответствующих рисунков объясните, как можно определить
величину коэффициента концентрации, которую следует использовать при за-
данном сроке эксплуатации в области ограниченной долговечности на кривой
усталости.
Ра =8000фунтов
~b = ZO дюймов
Рис. Q12.4.
4.	В широком прямоугольном стержне из стали 1040 толщиной 2,0 дюйма,
показанном на рис. Q 12.4, просверлено сквозное отверстие диаметром 0,25 дюйма.
Характеристики стали 1040 следующие: 5Д=54 000 фунт/дюйм2, Syp=48 000
фунт/дюйм2, е=50% на базе 2 дюйма и Зе=27 000 фунт/дюйм2. Стержень нагру-
жен знакопеременной продольной силой 8000 фунтов. Коэффициент безопасности
при расчете примите равным 1,5. Определите требуемую толщину стержня, про-
водя расчет для неограниченного срока эксплуатации,
Рис. Q12.5.
5.	Сплошной вал кругового поперечного сечения с буртиком, размеры которого
показаны на рис. Q 12.5, в течение одного рабочего цикла испытывает действие
5000 циклов знакопеременного крутящего момента амплитудой 22000 фунт-дюйм,
за которыми следует 8000 циклов «пульсирующего» кручения (в течение
каждого такого цикла крутящий момент меняется в одном из направлений от О
до максимального значения и опять до 0>, при которых максимальный крутящий
момен! равен 25 000 фунт-дюйм. Вал должен выдержать 50 таких полных рабочих
t
Рис. Q12.6. К рис. (а): / — консольная пружина; 2 — трос; 3 — контейнер
с прибором весом 60 фунтов; 4 — демпфер.
К рис. (с)* /— кривая усталости, соответствующая 1%-нои вероятности разру-
шения (от=0);	160 000 фунт/дюйм2; 145 000 фунт/дюйм», е=10% на
базе 2 дюйма, ^=0,85.
Вопросы 429
циклов при вероятности неразрушсния 99.7%. Материал, из которого изготовлен
вал,— термообработанная сталь 4340 с пределом прочности 150 000 фунт/дюйм3,
пределом текучести 120 000 фунт/дюйм2 и средними значениями усталостных
характеристик, описываемыми кривой BD на рис. 12.7(d). Стандартное отклоне-
ние напряжения при усталости для этого материала можно принять равным
3000 фунт/дюйм2.
(а) Подробно шаг за шагом перечислите этапы нахождения диаметра вала d,
который обеспечил бы вероятность неразрушения 99,7% Для 50 полных рабочих
циклов, не опуская ни одной существенной детали. Будьте предельно точны.
(Ь) Выполните числовые расчеты.
6.	Специальный контейнер с приборами в исследовательском самолете весит
60 фунтов. Он подвешен на трех небольших тросах, прикрепленных к консольным
балкам-пружинам, как показано на рис. Q12.6(a).
Балки расположены симметрично и равномерно нагружены приборным кон-
тейнером весом 60 фунтов. Система задемпфирована так, что она не колеблется,
но во время разнообразных маневров на приборный контейнер воздействуют вер-
тикальные ускорения от —g до +9 g. Другими словами, полная растягивающая
сила, действующая на три троса, изменяется во время полета в пределах от 0 до
600 фунтов. Спектр полетных нагрузок в течение одного «типового» полета харак-
теризуется следующими величинами: от 0 до 600 фунтов в течение 100 циклов;
от 60 до 400 фунтов в течение 10 000 циклов; от 200 до 300 фунтов в течение
50 000 циклов; от 0 до 200 фунтов в течение 100 000 циклов. Размеры консольной
балки показаны на рис. QI2.6(b), а характеристики материала — на кривой
усталости, изображенной на рис. Q12.6(c).
(а)	Подсчитайте коэффициент концентрации усталостных напряжений К/ в опас-
ной точке.
(Ь)	Определите спектр номинальных напряжений в опасной точке для «типового»
полета.
(с)	Определите спектр действующих напряжений в опасной точке для «типового»
полета.
(d)	Определите спектр эквивалентных симметричных напряжений для «типового»
полета.
(е)	Определите полное число полетов, которое может совершить самолет до того,
как можно будет ожидать разрушения консольной пружины (при вероятности
достижения разрушающего уровня, равной 1%).
7.	Рассмотрите рис. Q12.7, на котором изображен колеблющийся вал диамет-
ром 1,2^ дюйма со сквозным отверстием, диаметр которого равен 0,25 дюйма. Вал
натружен симметричным знакопеременным крутящим моментом 8300 фунт-дюйм
Рис. Q12.7,
430 Гл. 12. Концентрация напряжений
и действующим в фазе с ним симметричным знакопеременным изгибающим момен
том 3700 фунт’Дюйм в плоскости, проходящей через ось сквозного отверстия.
Сколько колебаний совершит вал до разрушения, если он изготовлен из стали
4340, свойства которой приведены на рис. 12.17 (кривая BD}7 (Используйте пред-
положение, что опасные точки при изгибе и кручении совпадают.)
ЛИТЕРАТУРА
1.	Sines G., Waisman J. L. (ed.) Metal Fatigue.— New York: McGraw-Hill, 1959.
2.	Grover H. J. Fatigue of Aircraft Structures, NAVAIR 01-1 A-13, Washington,
D. C., 1966.
3.	Forrest P. G. Fatigue of Metals.— New York: Pergamon Press, 1962. [Имеется
перевод: Форрест П. Усталость металлов.— М.: Машиностроение, 1968.]
4.	Peterson R. Е. Stress Concentration Factors.— New York: John Wiley & Sons,
1974. [Имеется перевод: Петерсон P. Коэффициенты концентрации напряже-
ний. Графики и формулы для расчета конструктивных элементов на проч-
ность.— М.: Мир, 1977.]
5.	Inglis С. Е. Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners.—
Transactions of the Institute of Naval Architects, 55, Pt. 1 (1913).
6.	Neuber H. Theory of Notch Stresses.— Ann Arbor, Mich.: J. W. Edwards, 1946.
[Имеется перевод: Нейбер Г. Концентрация напряжений.— М.—Л.: Гостех-
издат, 1947.]
7.	Juvinall R. С. Stress, Strain, and Strength.—New York: McGraw-Hill, 1967.
8.	Stowell E. Z. Stress and Strain Concentration at a Circular Hole in an Infinite
Plate.— NACA TN2073, April 1950.
9.	Hardrath H. F., Ohman L. A Study of Elastic and Plastic Stress Concentration
Factors Due to Notches and Fillets in Flat Plates.— NACA TN2566, December
1951.
10.	Kuhn P., Hardrath H. F. An Engineering Method for Estimating Notch-size
Effect in Fatigue Tests of Steel.— NACA TN2805, 1952.
11.	Murray W. M. (ed.) Fatigue and Fracture of Metals.— New York: John Wiley
&Sons, 1952.
12.	Paul F. W., Faucett T. R. The Superposition of Stress Concentration Factors.—
Journal of Engineering for Industry, February 1962.
ГЛАВА 13
ПОЛЗУЧЕСТЬ, РАЗРЫВ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСТАЛОСТЬ
13.1.	ВВЕДЕНИЕ
Ползучесть в своей простейшей форме представляет собой посте-
пенное накопление пластической деформации в образце или в дета-
ли, находящихся под напряжением при повышенной температуре
в течение некоторого периода времени. Разрушение вследствие пол-
Рис. 13.1. Иллюстрация ползучести и разрыва при ползучести (рг — деформация
ползучести). 1 — разрыв при кратковременной ползучести; 2 — разрыв при дли-
тельной ползучести; 3 — ускоренная ползучесть (стадия III); 4 — установившая-
ся ползучесть (стадия II); 5 — неустановившаяся ползучесть (стадия I).
зучести происходит, когда накопленная пластическая деформация
приводит к тому, что перемещения детали превосходят допустимые
пределы. Разрыв при ползучести представляет собой развитие пол-
зучести до такой степени, что нагруженный элемент действительно
разделяется на две части. Термин «разрыв при ползучести» многими
432 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
используется для описания как разрыва при кратковременной пол-
зучести, так и разрыва при длительной ползучести, однако некото-
рые предпочитают в случае, когда дело не доходит до установившей-
ся ползучести, использовать термин «разрыв при кратковременной
ползучести», а в тех случаях, когда разрушению предшествует про-
цесс установившейся ползучести, они используют термин «разрыв
при длительной ползучести» (или просто «разрыв при ползучести»).
На рис. 13.1 показана разница между этими понятиями. Взаимодей-
ствие процессов, приводящих к разрыву при кратковременной пол-
зучести и разрыву при длительной ползучести, еще не до конца
изучено, однако оно весьма важно для многих современных техни-
ческих систем.
Деформации ползучести практически не имеют особого значе-
ния до тех пор, пока эксплуатационная температура не достигает
35—70% температуры плавления по абсолютной шкале. Пример-
ные значения температуры плавления для некоторых материалов
приведены в табл. 13.1.
Таблица 13.1. Температуры плавления
Материал	°F	°C	Материал	°F	QC
Карбид гафния	7030	3887	Кремний	3140	1728
Графит (чистый)	6330	3500	Хром	3000	1650
Вольфрам	6100	3370	Железо	2800	1540
Карбид вольфрама	5190	2867	Нержавеющие стали	2640	1450
Окись магния	5070	2800	С га ль	2550	1400
Молибден	4740	2620	Алюминиевые сплавы	1220	660
Вор	4170	2300	Магниевые сплавы	1200	650
Титан	3260	1795	Свинцовые сплавы	605	320
Платина	3180	1750 |			
Из работы [1].
Одно из первых исследований ползучести было проведено фран-
цузским инженером150, обратившим внимание на изменение со вре-
менем удлинения проволочных канатов, использовавшихся в под-
весных мостах. Однако лишь после первой мировой войны ползу-
честь стала действительно опасным видом разрушения. С этого
времени разрушения вследствие ползучести начали наблюдаться
во многих приложениях. На электростанциях, нефтеперерабаты-
Еаощих заводах и химических предприятиях появились машины,
несущие элементы которых эксплуатируются при температурах от
1000 до 1600°F (от 500 до 900°С). Для деталей энергетических уста-
новок стала нормальной температура от 1600 до 2200°F (от 900 до
1200°С). На лопатки роторов газовых турбин одновременно с цент-
13.1. Введение 433
робежными усилиями воздействуют температуры от 1200 до 2200°F
(от 600 до 1200°С). Сопловые блоки и обтекатели ракет и космиче-
ских кораблей подвергаются непродолжительному воздействию
даже более высоких температур. Температура обшивки летательных
аппаратов при скоростях, соответствующих 7 М, по некоторым оцен-
кам составляет около 5000°F (3000°С), при этом деформации ползу-
чести и выпучивание при ползучести влияют на аэродинамические
и прочностные характеристики, а разрыв при кратковременной
ползучести становится опасным видом разрушения.
Важными последствиями процесса ползучести являются не
только недопустимо большие перемещения, но также и разрыв
вследствие ползучести, термическая релаксация, динамическая пол-
зучесть при циклических нагружениях и циклических температур-
ных воздействиях, ползучесть и разрыв в условиях многоосного
напряженного состояния, накопление эффектов ползучести и сов-
местное проявление эффектов ползучести и усталости. Все эти во-
просы заслуживают пристального внимания.
Деформация ползучести и разрыв начинаются на границах зерен
и проявляются в виде скольжения вдоль границ и разделения зерен.
Таким образом, разрушение при ползучести является межкристал-
лическим в противоположность, например, транскристаллическому
разрушению в ироцессе усталости при комнатной температуре. Хотя
ползучесть представляет собой явление пластического течения, в ре-
зультате межкристаллического характера разрушения поверхность
разрыва выглядит так же, как и при хрупком разрушении. Разрыв
при ползучести происходит обычно без образования шейки и без
каких-либо предупредительных эффектов. Современное состояние
знаний не позволяет теоретически надежно предсказать характерис-
тики поведения материала в момент разрыва при длительной или
при кратковременной ползучести. Кроме того, корреляция между
свойствами материала при ползучести и его механическими характе-
ристиками при комнатной температуре, но-видимому, мала или
отсутствует совсем. Поэтому данные испытаний при комнатной тем-
пературе и эмпирические методы экстраполяции этих данных труд-
но использовать для прогнозирования поведения при ползучести
в ожидаемых эксплуатационных условиях.
Для сплавов, хорошо сопротивляющихся ползучести, обязатель-
на металлургическая стабильность в процессе длительной выдержки
при повышенных температурах. Увеличение времени выдержки при
повышенных температурах действует как искусственное старение,
и любое начальное улучшение свойств вследствие закалки может
исчезнуть. Для хорошо сопротивляющихся ползучести сплавов
важны также сопротивляемость окислению и воздействию других
коррозионных сред. Больший размер зерен также может сказаться
благоприятно, поскольку в этом случае протяженность границ
зерен, т. е. мест, где в основном происходит процесс ползучести,
меньше.
434 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
13.2.	ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Много времени и усилий было затрачено на разработку методологии
проведения таких испытаний на кратковременную ползучесть, по
результатам которых можно было бы точно и надежно прогнозиро-
вать поведение материалов при длительной ползучести и их разру-
шение в условиях ползучести. По-видимому, однако, действительно
надежные данные могут быть получены лишь с помощью проведе-
ния испытаний на длительную ползучесть, при которых, насколько
это возможно, воспроизводятся эксплуатационные нагрузки и тем-
пературные условия. К сожалению, расчетчику невозможно долгие
годы дожидаться получения необходимых данных для анализа раз-
рушения при ползучести. Именно поэтому были разработаны неко-
торые практически полезные методы приближенного описания пове-
дения материалов при длительной ползучести по результатам ряда
кратковременных испытаний.
Результаты испытаний на ползучесть графически могут быть
представлены множеством разнообразных способов. Основными пе-
ременными, характеризующими процесс ползучести, являются на-
пряжение, деформация, время, температура и, возможно, скорость
деформации. Любые две из этих основных переменных могут быть
взяты в качестве координат, остальные переменные при этом будут
служить параметрами, значения которых на получаемой кривой
не меняются. Наиболее распространенными методами использова-
ния данных, полученных при кратковременной ползучести, для
описания длительной ползучести являются метод экстраполяции,
метод механического ускорения и метод термического ускорения.
Эти три метода рассмотрены ниже. Следует, однако, отметить, что
при применении любого метода испытаний в случае, если время ис-
пытаний составлет менее 1 % ожидаемого срока эксплуатации,
вряд ли можно рассчитывать на удовлетворительные результаты.
В тех случаях, когда это возможно, желательно, чтобы время испы-
таний составляло по крайней мере 10% ожидаемого срока эксплуа-
тации.
Метод экстраполяции
В соответствии с методом экстраполяции испытания на ползучесть
проводятся при нескольких различных значениях напряжения и
при ожидаемых эксплуатационных температурах. Результаты ис-
пытаний представляются графически в виде семейства кривых зави-
симости деформации ползучести от времени для различных значе-
ний напряжений при одной и той же постоянной температуре, как
показано на рис. 13.2. Кривые вычерчиваются до значений времени,
соответствующих продолжительности лабораторных испытаний, а
затем экстраполируются до расчетного срока службы. Требования
к конструкции определяют предельную расчетную деформацию,
13.2. Прогнозирование поведения при длительной ползучести 435
знание которой позволяет определить величину расчетного напря-
жения (см. рисунок). Важно иметь в виду, что при такой экстрапо-
ляции нельзя предсказать возможность разрыва при ползучести
до истечения расчетного срока службы.
Рис. 13.2. Иллюстрация метода экстраполяции результатов испытаний на ползу-
честь (все данные соответствую! температуре 6=const). 1 — разрыв при кратко-
временной ползучести; 2 — расчетное напряжение; St, . . .,	— уровни напряже-
ния. Точка А соответствует предельной расчетной деформации, В — продолжи-
тельности испытания, С — расчетному сроку эксплуатации.
Метод механического ускорения
При применении механического ускорения в процессе испытаний
на ползучесть уровни напряжений при лабораторных испытаниях
значительно превышают ожидаемые расчетные напряжения, так
что предельные расчетные деформации достигаются гораздо быст-
рее, чем в реальных условиях. Данные, полученные при механиче-
ском ускорении, вычерчиваются, как показано на рис. 13.3, в виде
семейства кривых зависимости напряжения от времени для различ-
ных значений деформации при одной и той же постоянной темпера-
туре. Как видно из рисунка, при этом методе может быть использо-
вана кривая, соответствующая разрыву при кратковременной пол-
зучести. Кривые для различных постоянных значений деформации
вычерчиваются до значения времени, соответствующего продолжи-
тельности лабораторных испытаний, а затем экстраполируются до
расчетного срока службы. Точка, в которой кривая для предельной
расчетной деформации достигает расчетного срока службы, опреде-
ляет расчетное напряжение (см. рисунок).
Рис. 13.3. Иллюстрация метода механического ускорения испытаний на ползу-
честь (все данные соответствуют температуре 9=const). По оси ординат — уровень
напряжения, фунт/дюйм2; — расчетная деформация, точка А соответствует
расчетному напряжению, В — продолжительности испытания, С — расчетному
сроку эксплуатации.
Рис. 13.4. Иллюстрация метода термического ускорения испытаний на ползу-
честь (все данные соответствуют деформации 6=const). По оси ординат— уро-
вень напряжения, фунт/дюйм2; 04 — расчетная температура; точка А соответст-
вует расчетному напряжению; В — продолжительности испытания; С — расчет-
ному сроку эксплуатации.
13.3 Зависимости для предсказания поведения при ползучести 437
Метод термического ускорения
Метод термического ускорения предполагает проведение лабора-
торных испытаний при температурах, намного превышающих ожи-
даемые эксплуатационные температуры. Как показано па рис. 13.4,
результаты представляются графически в виде семейства кривых
зависимости напряжения от времени для различных значений тем-
пературы при одной и той же постоянной для всего семейства дефор-
мации ползучести. Можно отметить, что при этом допустимо также
использование данных о разрыве при кратковременной ползучести.
Кривые вычерчиваются до значения времени, соответствующего
продолжительности лабораторных испытаний, а затем экстраполи-
руются до расчетного срока службы. Точка, в которой соответствую-
щая расчетному значению температуры кривая достигает расчетного
срока службы, определяет расчетное значение напряжения (см. ри-
сунок).
13.3.	ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ПРЕДСКАЗАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ
ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
В последние годы предложено несколько различных зависимостей,
устанавливающих соответствие между результатами кратковремен-
ных испытаний при повышенной температуре и характеристиками
поведения материала при длительной эксплуатации в условиях
действия более умеренных температур. Наиболее точными и прак-
тически полезными из предложенных к настоящему времени явля-
ются зависимости Ларсона — Миллера и Мэнсона — Хаферда.
Параметр Ларсона — Миллера
В соответствии с гипотезой Ларсона — Миллера [2] утверждается,
что для каждой совокупности материала и уровня напряжений су-
ществует единственное значение параметра Р, который связан с
температурой и временем соотношением
P = (0+46O)(C+lg 0,	(13.1)
где Р — параметр Ларсона — Миллера, постоянный для данного
материала при заданном напряжении; 0 — температура, °F [на-
поминаем, что /°С~5/Й (/°F—32)]; С — постоянная, обычно прини-
маемая равной 20; t — время в часах до разрыва или до достижения
деформацией ползучести некоторой заданной величины.
Это соотношение исследовалось и с успехом применялось Ларсо-
ном и Миллером при анализе ползучести и разрыва 28 различных
материалов. С помощью соотношения (13.1) достаточно просто опре-
делить условия кратковременных испытаний (температуру и вре-
мя), эквивалентные условиям длительной эксплуатации. Например,
для любого материала при заданном напряжении условия испыта-
438 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
Таблица 13.2. Эквивалентные условия, определенные
С помощью параметра Ларсона —Миллера
Эксплуатационные условия
Эквивалентные условия
испытания
10 000 ч при 1000° F (540°С)
1000 ч при 1200° F (650°С)
1000 ч при 1350е F (730°С)
1000 ч при 300° F (150'С)
13 ч при 1200° F (650°С)
12 ч при 1350° F (730°С)
12 ч при 1500° F (815°С)
2,2 ч при 400° F (205°С)
ний, указанные в табл. 13.2, будут эквивалентны указанным там
же эксплуатационным условиям.
При прогнозировании поведения в условиях длительной ползу-
чести и характеристик разрыва при кратковременной ползучести
с помощью применения параметра Ларсона — Миллера результаты
теории хорошо согласуются £ экспериментом для разнообразных
материалов, включая некоторые пластики.
Параметр Мэнсона — Хаферда
В соответствии с гипотезой Мэнсона — Хаферда [3] утверждается,
что для заданного материала и заданной величины напряжения
существует единственное значение параметра Р', который связан с
температурой и временем соотношением
P' = (8-0e)/(lgZ-lgQ,	(13.2)
где Р' — параметр Мэнсона — Хаферда, постоянный для данного
материала при заданном напряжении; 0 — температура, °F; t —
время в часах до разрыва или достижения деформацией ползучести
некоторого заданного значения; 0а, ta — постоянные материала.
Таблица 13.3. Постоянные, входящие в соотношение
Мэнсона— Хаферда
Матерна."	Ползучесть или разрыв	' а	
Нержавеющая сталь 25-20	Разрыв	100	14
Нержавеющая сталь 18-8	»	100	15
Сплав S-590	»	0	21
Сталь DM	»	100	22
Инконель X	»	100	24
Нимоник 80	э	100	17
>	Пластическая де|орма- ция 0,2%	100	17
»	Пластическая деформа- ция 0 1%	100	17
13.4. Ползучесть при одноосном напряженном состоянии 439
Входящие в соотношение Мэнсона — Хаферда постоянные для не-
которых материалов приведены в табл. 13.3. Установлено, что если
постоянные материала известны, то гипотеза Мэнсона — Хаферда
хорошо согласуется с экспериментом.
13.4.	ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Общеприняты одноосные испытания на ползучесть и разрыв при
ползучести продолжительностью 100 ч (4 суток), 1000 ч (42 суток)
и 10 000 ч (420 суток), известно несколько испытаний большей
продолжительности — 100 000 ч (11,5 года)20). Использование в по-
следнее время материалов в машинах с улучшенными характерис-
тиками дало толчок проведению кратковременных испытаний на
ползучесть, продолжительность которых измеряется минутами, а не
часами и годами. Например, в ряде случаев проводились испытания
на ползучесть продолжительностью 1000, 100, 10 и 1 мин. Примеры
результатов таких испытаний для некоторых материалов [4] при-
ведены на рис. 13.5. Однако для кратковременных испытаний при
температурах ниже ЗООТ (150°С) для алюминиевых сплавов и ниже
7002F (370°С) для сталей ползучестью можно пренебречь.
Интересно отметить, что с увеличением температуры статиче-
ский предел прочности, предел текучести и модуль упругости умень-
шаются, а относительное удлинение и уменьшение площади попе-
речного сечения увеличиваются. Концентрация напряжений, свя-
занная с наличием вырезов, при повышенных температурах также
снижается.
Для описания связи между напряжением, деформацией, вре-
менем и температурой в процессе ползучести предложено много
различных соотношений. Экспериментальные исследования зави-
симости деформации ползучести от времени показывают, что для
многих различных материалов зависимость логарифма деформации
от логарифма времени близка к линейной. На рис. 13.6 показаны
зависимости такого вида для трех различных материалов. Соотно-
шение, описывающее такое поведение, имеет вид
6 = 4/*,	(13.3)
где 6 — истинная деформация ползучести; t — время; А, а — эмпи-
рические постоянные. Дифференцируя (13.3) по времени, получаем
6 = а 4/1*-п,	(13.4)
или, полагая аА=Ь и (I—а)=и, имеем
6 = W“*.	(13.5)
При различных значениях показателя п это соотношение описывает
различные типы кривых зависимости деформации ползучести от
времени. Если п=б, то имеем ползучесть с постоянной скоростью,
6, °F
Рис. 13.5. Результаты испытаний на кратковременную ползучесть некоторых материалов, иллюстрирующие за-
висимость напряжения о от температуры 6oF[0°C=6/g (0OOF—32)]5 при достижении полной деформации 3% через
10 мин. (Из работы (4), © American Society for Metals, 1958; перепечатано с разрешения.) / — до 119 000
фунт/дюйм2 при 800°F и 171 000 фунт/дюйм2 при 600°F; 2 — титановые сплавы; 3 — алюминиевые сплавы; 4 —
магниевые сплавы; 5— 17-7 PH, THD-условие, А-условие; 6 — тип 347, полутвердая, SAE 4130 (нормализо-
ванная); 7 — низколегированные стали; 8 — SAE 4340 (закаленная и отпущенная); 9—SAE 4130 (отожжен-
ная); 10— инконель X; 11 — нержавеющие стали; 12 — тип 310 (модифицированная); 13— тип 347; 14 —
тип 302; 15 — жаропрочные сплавы.
13.4. Ползучесть при одноосном напряженном состоянии 441
при этом деформация ползучести описывается соотношением
6=Ь1^4-С1	(13.6)
Такой тип поведения наиболее характерен при высоких температу-
рах. Если л=1, описываемое поведение называется логарифмиче-
Рис. 13.6. Кривые ползучести для трех материалов в логарифмических координа-
тах. (Из работы [5].) 1 — проволока из высокочистого алюминия (Л); 2 — холод-
нотянутая медная проволока средней твердости (В); 3 — образец разрушился;
4 — стержень из отлитого в земляную форму алюминиевого сплава, испытанный
при 600°F(C).
ской ползучестью, при этом деформация ползучести определяется
соотношением
6=bt In Г+С8.	(13.7)
442 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
Такой тип поведения обнаруживают резина, стекло, некоторые
виды бетона и металлы при сравнительно низких температурах.
Если величина показателя п больше нуля и меньше единицы,
то описываемое поведение называется параболической ползучестью;
деформация ползучести при этом описывается соотношением
6 = d3/- + G.	(13.8)
Такой тип поведения характерен при умеренных и высоких тем-
пературах. Коэффициент Ь3 увеличивается экспоненциально с уве-
личением напряжения и температуры, а показатель т уменьшается
при увеличении напряжения и увеличивается при повышении тем-
пературы. Влияние величины напряжения о на скорость ползуче-
сти часто описывается эмпирическим соотношением
6 = Во".	(13.9)
Если предположить, что напряжение о не меняется со време-
нем, соотношение (13.9) можно проинтегрировать, в результате
чего получается следующее выражение для деформации ползучести:
б = В/о* + С'.	(13.10)
В том случае, когда постоянная С' мала по сравнению с BtoNt
как это часто бывает, получаем соотношение, называемое логариф-
мическим законом ползучести’.
6 = BtG*.	(13.11)
Если мгновенная деформация, возникающая при приложении
нагрузки, и деформация первой стадии неустановившейся ползу-
чести малы по сравнению с деформацией второй стадии установив-
шейся ползучести, то выражение (13.11) вполне можно использо-
вать для расчетов. С помощью этого соотношения можно вычислить
напряжения при заданной температуре, при которых деформация
не превосходит некоторого предела. В табл. 13.4 приведены постоян-
ные В и /V для трех материалов и трех значений температуры (вре-
мя в сутках).
Предположим, что надо подобрать размер сплошного растяги-
ваемого элемента кругового поперечного сечения 5 футов длиной
из стали 1030, который должен выдержать нагрузку 10 000 фунтов
в течение 10 лет при температуре 7503F (400°С) при условии, что
перемещение ползучести не превышает величину 0,1 дюйма. При
расчете требуется ввести коэффициент безопасности, равный 1,25.
Для решения этой задачи из соотношения (13.11) можно найти ве-
личину разрушающего напряжения о, ь виде
=	(13.12)
I 0,1/(5 12)
ИЛИ a/= [ (4g .|o-3bj По зб5) J ’	(13.13)
или Оу «г 23 200 фунт/дюйм1.	(13.14)
13.4. Ползучесть при одноосном напряженном состоянии 443
Таблица 13.4. Постоянные в логарифмическом законе
ползучести
Материал	Температура	в	N
Сталь 1030	750° F (400Х)	48- 10~зь	6,9
Сгаль 1040	750° F (400°C)	16	8,6
Сталь Ni-Cr-Mo	850° F (455°С)	10-10-20	3,0
Величины В и N взяты из табл. 13.4. Расчетное напряжение ad
с учетом коэффициента безопасности и=1,25 равно
= оу/м = 23200/1,25= 18500 фунт/дюйм*.	(13.15)
Диаметр d можно подсчитать с помощью формулы
vd=F/A =4F/(nd2),	(13.16)
откуда для d получаем
d = К4F/(nad) =	(4- 10000)/(л • 18500),	(13.17)
или d = 0,84 дюйма.	(13.18)
В том случае, когда необходимо рассмотреть все стадии ползу-
чести, выражение для деформации ползучести принимает гораздо
более сложный вид. Наиболее общее выражение, описывающее про-
цесс ползучести, записывается таким образом:
6 = a/£ + fe1am+At (1 —е"*1*) ап ±k3t(ypf	(13.19)
где 6 — полная деформация ползучести; а/Е — начальная упругая
деформация; kxam — начальная пластическая деформация; &2(1 —
—е~^)оп — неупругая деформация; — вязкая деформация;
a — напряжение; Е — модуль упругости; т — величина, обратная
показателю деформационного упрочнения; ki — величина, обратная
коэффициенту прочности; q — величина, обратная времени запаз-
дывания Кельвина; k3 — коэффициент неупругости; п — эмпири-
ческий показатель; k3 — коэффициент вязкости; р — эмпирический
показатель; t — время.
Для использования этого нелинейного эмпирического соотноше-
ния в расчетах требуется точное знание всех постоянных и пока-
зателей, характеризующих исследуемый материал, и температуры.
Следует также иметь в виду, что в любой момент процесс ползучести
может прерваться и может произойти разрыв. Предсказать его очень
трудно.
444 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
13.5.	ПОЛЗУЧЕСТЬ В УСЛОВИЯХ МНОГООСНОГО НАПРЯЖЕННОГО
состояния
Во многих приложениях, например в сосудах высокого давления,
трубопроводах, роторах турбин и т. п., может встречаться ползу-
честь в условиях многоосного напряженного состояния. Для опре-
деления деформации ползучести и других составляющих деформации
в условиях многоосного напряженного состояния удобно исполь-
зовать соотношения теории пластического деформирования (5.66)—
(5.68), полученные ранее. Эти соотношения имеют вид
61 = [°|— 7,(аЦ-а;)]/Р,	(13.20)
62 = [oj—72(o;+a')]/D,	(13.21)
в»=[<<-7,(о,+оде.	(13-22)
где 61, 6,, 6S — главные истинные деформации; а[, al, aj — глав-
ные истинные напряжения; D — модуль пластичности, зависящий
от величины предшествующей пластической деформации.
После деления этих соотношений на I получим выражения для
скоростей ползучести в виде
М =Л = [о; -7, (а; + а;)]/(£>0.	(13.23)
6,// = 62 = [aj—7, (о; + al)]/(I>n.	(13.24)
6./Z = 6, = [al-72 (al +al)]/(D0.	(13.25)
В случае ползучести при действии одноосного растягивающего
напряжения, полагая al=al=0, получаем
6, = ада).	(13.26)
Используя соотношение (6.42) гипотезы удельной энергии формо-
изменения, выражение для эквивалентного истинного напряжения
а'е в случае многоосного напряженного состояния можно записать
в виде
о’ = (/2/2) [(a; —ol)! + (а: -а^)» + (al - аЭ»]>/». (13.27)
Применяя (13.27) к случаю одноосного напряженного состояния,
т. е. полагая al=ol=0, имеем
a6 = a,'.	(13.28)
Используя совместно (13.26) и (13.28), получаем
a^a^^Dt.	(13.29)
В соответствии с (13.9) скорость ползучести 6 может быть представ-
лена в виде
(13.30)
и поэтому из (13.29) получаем
= К (ох)Л	(13.31)
13.6. Накопленная деформация ползучести 445
Определяя из этого выражения 1/(0/), находим
!/(£>/) = В (а1)Л'“1 = В (а;)л-х.	(13.32)
Подставляя результат (13.32) в (13.23) — (13.25), получаем
б,=В [о; - 7, (О’+о;)],	(13.33)
б, = в (*)*-1 [< - 1/г (о: + а.')],	(13.34)
6, = В (а:)Л'-х [а — */г(о; +©;)].	(13.35)
С целью упрощения этих соотношений введем следующие обоз-
начения:
а = а>/а;, р = а;/а;.	(13.36), (13.37)
Используя эти обозначения и представление (13.27), соотношения
(13.33) — (13.35) можно записать в следующем виде:
6i = B/(o;)"[a2 + 02—ар—а—р+	_а/2 —Р/2], (13.38)
б^В/^р^ + Р2—ар—а-р + 1]^-»^[а—р/2-1/2], (13.39)
6а = Bt (oJ)jV [а2 + Р2—ар -а—р + 1	[р_а/2—1/2]. (13.40)
Эти три соотношения полностью определяют главные деформации
ползучести через главные напряжения при ползучести и экспери-
ментально определяемые в условиях ползучести при одноосном рас-
тяжении параметры В и N. С помощью этих соотношений можно
предсказать поведение материала при ползучести в условиях
любого многоосного напряженного состояния лишь по результатам
одноосных испытаний на ползучесть.
13.6. НАКОПЛЕННАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
К настоящему времени нет общепринятого правила оценки накоп-
ленной деформации ползучести в результате воздействия в различ-
ные интервалы времени различных температур и напряжений. Пред-
ложено несколько различных методов для таких оценок. Простей-
ший из них — предложенная Робинсоном 171 линейная гипотеза.
Обобщенный вариант гипотезы Робинсона можно сформулировать
следующим образом. Если задана предельная деформация ползуче-
сти 6 D, то ожидается, что деформация ползучести достигнет величи-
ны 6 D, когда будет выполняться равенство
S(W-h	(13.41)
1 = 1
где ti — время выдержки при i-й комбинации напряжения и тем-
пературы; В, — время, необходимое для достижения деформации
ползучести 6D при постоянном воздействии i-й комбинации напряже-
ния и температуры.
446 Гл, 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
С помощью соотношения (13.41) можно также предсказать раз-
рыв при кратковременной ползучести, если величины Lt соответст-
вуют такому разрыву. Описанный метод расчета дает относительно
точные результаты, если величина деформации при ползучести опре-
деляется в основном стадией II установившейся ползучести. В дру-
гих случаях метод может привести к ошибочным результатам.
Рис. 13.7. Иллюстрация определения накопленной деформации ползучести 6
по правилу временного упрочнения, (а) все данные получены при температуре
6=0!; точка td соответствует продолжительности испытания; (Ь) все данные по-
лучены при температуре О=02.
Среди других методов оценки накопленной деформации ползу-
чести — правило временного упрочнения, правило деформацион-
ного упрочнения и правило относительной продолжительности.
Правило временного упрочнения основано на предположении, что
главное влияние на величину скорости ползучести оказывает про-
должительность выдержки при заданных значениях температуры
13.6. Накопленная деформация ползучести 4М
и напряжения независимо от предшествующих условий нагружения.
Этот подход проиллюстрирован рис. 13.7, в соответствии с которым
полная накопленная деформация ползучести 6Т определяется сум-
мированием отдельных значений т. е.
6г = д14-'62+	(13.42)
где — деформация, обусловленная воздействием i-й комбинации
напряжения и температуры. Отметим, что переход от одной кривой
ползучести к другой на траектории деформирования осуществля-
Рис.13.8. Иллюстрация определения накопленной деформации ползучести д по
правилу деформационного упрочнения. Все данные получены при температуре
8=0! (а) и 0-82 (Ь).
ется по вертикальным прямым, соответствующим постоянным
значениям времени.
Правило деформационного упрочнения основано на предполо-
жении, что главное влияние на величину скорости ползучести оказы-
вает величина достигнутой к этому времени пластической деформа-
ции независимо от предшествующей истории нагружения. Этот под-
ход проиллюстрирован на рис. 13.8. Полная деформация ползучести
опять находится в результате суммирования приращений 6Ь Отме-
тим, что при применении этого метода передвижения от одной кри-
вой ползучести к другой вдоль траектории деформирования осу-
ществляются по горизонтальным линиям, соответствующим посто-
янным значениям деформации.
Правило относительной продолжительности представляет со-
бой компромисс между правилом временного упрочнения и правилом
деформационного упрочнения. Как показано на рис. 13.9, вместо
448 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
передвижения от одной кривой ползучести к другой вдоль траекто-
рии деформирования по прямым, соответствующим постоянным зна-
чениям времени, или по прямым, соответствующим постоянным зна-
чениям деформации, передвижение осуществляется так, что абсцис-
са начальной точки на новой кривой соответствует отношению вре-
мени выдержки к полной долговечности, достигнутому на предыду-
6
(а)
fyd
•г
Ч5

Рис. 13.9. Иллюстрация опре-
деления накопленной деформа-
ции ползучести 6 по правилу
относительной продолжитель-
ности. Все данные получены
при 0=0! (а) и 0=02 (Ь). Точка
соответствует предельной
расчетной деформации.
(6)
Os

щей кривой ползучести. Например, на рис. 13.9 долговечность,
т. е. полное время, требуемое для достижения предельной деформа-
ции ползучести при напряжении аъ обозначена через Lt. Аналогич-
но полное время, необходимое для достижения предельной деформа-
ции ползучести при напряжении а2> обозначено через При пере-
движении от кривой Qi к кривой а2 требуется выполнение условия
=	(13.43)
т. е. lti = (L^/LJ	(13.44)
13.7. Совместное действие ползучести и усталости 449
где — начальная координата по оси времени на кривой ог, а
lif — координата конечной точки на кривой Как и при примене-
нии других правил, полная деформация ползучести находится
суммированием всех приращений 6f, как показано на рис. 13.9.
Наиболее точным из указанных правил является, по-видимому,
правило относительной продолжительности.
13.7. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСТАЛОСТИ
До сих пор ни явление ползучести, ни явление усталости как следу-
ет не изучены, поэтому не удивительно, что процесс, при котором
одновременно происходят и ползучесть, и усталость, тоже до конца
не изучен, так что оценка возможности разрушения в таких усло-
виях встречается с определенными трудностями. Тем не менее в ря-
де практически важных случаев условия таковы, что одновременно
проявляются эффекты ползучести и усталости. Например, это харак-
терно для газовых турбин авиационных двигателей и ядерных реак-
торов. Обстоятельства осложняются тем, что во время эксплуатации
эти конструкции подвергаются действию переменных напряжений
при постоянной температуре, переменных температур при постоян-
ном напряжении, а иногда и напряжение и температура меняются
одновременно. Кроме того, факты свидетельствуют о том, что взаи-
модействие процессов усталости и ползучести синергично.
В качестве иллюстрации на рис. 13.10 показаны результаты
(см. [8|), к которым приводит кратковременное изменение напряже-
ния в процессе испытания на ползучесть сплава свинца. Если на-
пряжение временно на период АВ увеличивается, скорость ползу-
чести возрастает и имеет место неустановившаяся ползучесть. Если
же напряжение временно уменьшается на период АВ, скорость пол-
зучести тоже уменьшается. При возврате по истечении периода АВ
к первоначальной величине напряжения кривые ползучести, как
правило, стремятся приблизиться к исходной кривой ползучести.
Однако тщательное исследование результатов показывает, что пре-
дельная деформация ползучести сложным образом зависит от изме-
нения напряжения. Например, малые* отрицательные приращения
напряжения могут вызвать увеличение предельной деформации пол-
зучести. Это показано на вставке на рис. 13.10(a), и еще более ясно
на рис. 13.10(6).
Эксперимент с однократным прерыванием процесса нагружения
не может, однако, служить показателем того, как накапливается
деформация ползучести при большом числе циклов напряжения.
Для различных сплавов и условий испытаний опубликованы разно-
образные данные о ползучести при циклических напряжениях. Ис-
пытания стали SAE 4130 при температуре 430°С и циклических на-
пряжениях, когда в течение часа задавалось большое напряжение,
при котором ползучесть была значительной, а затем в течение часа
поддерживалось малое напряжение, при котором ползучести прак-
15 № 492
450 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
тически не было, показали [91, что циклическое уменьшение напря-
жения не оказало заметного влияния на накопленную деформацию
ползучести при такой высокой температуре. Иначе говоря, после
N ч пребывания при высоком напряжении в условиях циклического
(6)
Рис. 13.10. Влияние изменения величины напряжения в процессе испытания на
ползучесть. (Из работы [8].) (а) Влияние изменения величины напряжения от
01 к о3 и опять кор процессе испытаний на ползучесть свинца при 22°С. Отме-
тим, что S — деформация ползучести после 50 мин. (Ь) Трехмерное изображение
поверхности, характеризующей влияние изменения напряжения до величины
os в течение времени В при испытаниях на ползучесть.
13,7, Совместное действие ползучести и усталости 451
нагружения накопленная деформация ползучести была практически
такой же, как и после W ч пребывания под постоянным высоким на-
пряжением. С другой стороны, при таких же сравнительных испы-
Рис. 13.11. Кривые ползучести листов алюминиевого сплава при температуре
ISO^C; сравнение зависимости величины деформации ползучести от времени при
постоянной нагрузке и при циклическом нагружении. (Из работы [8].) 1 — по-
стоянная нагрузка; 2 — циклическое нагружение.
Рис. 13.12. Зависимость времени до разрыва / от величины приложенного напря-
жения а для листа титана RC-130-A; иллюстрируется влияние разгрузки. (Из ра-
боты [8].) 1 — разгрузка на 1 ч через каждые 2 ч; 2 — без разгрузки.
таниях алюминиевого сплава средняя скорость ползучести при цик-
лическом нагружении составляла 0,3 дюйм.'(дюймч), а средняя ско-
рость ползучести при непрерывном нагружении — всего 0,11 дюйм/
15е
452 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
(дюйм-ч). Это означает, что накопление деформации при периоди-
ческой разгрузке или периодическом снижении нагрузки происхо-
дило интенсивнее, чем при действии постоянной нагрузки в течение
такого же времени. Такое поведение иллюстрируется на рис. 13.11.
Время до разрыва при ползучести в условиях циклического и по-
стоянного нагружений определялось в испытаниях титанового спла-
ва RC-130 А [9]. Как показано на рис. 13.12, в некоторых условиях
полное время до разрушения увеличивалось в 5 раз при разгрузке
на 1 ч через каждые 2 ч. При напряжении 40 000 фунт/дюйм2 в
условиях постоянного нагружения время до разрушения составляло
Рис. 13.13. Кривая ползучести для кобальтового сплава S-816 при 816"С и напря-
жении 18 000 фунт/дюйм2; сравнение с результа1ами аналогичных испытаний в
условиях циклических двухминутных повышений температуры до 900°С. (Из ра-
боты (8J.) По оси ординат — удлинение вследствие ползучести, дюйм; 1—27 цик-
лов; 2 — стандартное испытание на ползучесть.
около 80 ч, а в случае циклического нагружения — около 400 ч.
Это означает, что фактическое время пребывания под нагрузкой
до разрыва при ползучести увеличивалось примерно в 2,5 раза.
При испытании магниевого сплава в условиях действия пульсирую-
щего напряжения также было замечено существенное увеличение
времени до разрыва. Однако при аналогичных испытаниях алюми-
ниевого сплава разрыв происходил примерно через одно и то же
полное время независимо от того, постоянным или пульсирующим
было напряжение. Таким образом, обнаружено, что циклический
характер напряжения может приводить или к ускорению, или к
задержке наступления разрыва либо совсем не сказывается на вре-
мени его наступления. Аналогичные выводы можно сделать также
относительно скорости ползучести.
Циклическое изменение температуры при постоянном напряже-
нии оказывает также различное влияние в зависимости от свойств
материала и особенностей изменения температуры. Например, на
рис. 13.13 приведены результаты сравнения данных испытаний на
13.7. Совместное действие ползучести и усталости 453
ползучесть кобальтового сплава S-816 при 816°С и напряжении
18 000 фунт/дюйм2 с данными аналогичного испытания, при кото-
ром через каждые 12 ч температура на 2 мин повышалась до 900°С
111]. Видно, что при таком циклическом температурном воздействии
Рис. 13.14. Результаты испытаний на ползучесть хромоникелевого сплава М-
252, иллюстрирующие влияние периодического повышения температуры. Испыта-
ния при 8166С и напряжении 24000 фунт/дюйм2. (Из работы [8].) (а) двухминут-
ное циклическое повышение температуры через каждые 12 ч при отсутствии нап-
ряжений; (Ь) двухминутное циклическое повышение температуры через каждые
12 ч при пониженном напряжении. 1 — без повышений температуры, разрыв
через 450 ч; 2—60 повышений температуры, разрыв через 927 ч; 3 — 30 повыше-
ний температуры, разрыв через 705 ч; 4 — 33 повышения температуры до 1093°С
при 4000 фунт/дюйм2, разрыв через 603 ч; 5 — 50 повышений температуры до
1040° С при 5000 фунт/дюйм-, разрыв через 749 ч; 6 — без повышений темпера-
туры, разрыв через 450 ч.
454 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
накопленное удлинение ползучести увеличивалось, а время до раз-
рыва уменьшалось по сравнению с результатами испытаний при
постоянной температуре. В противоположность этому во время ис-
пытаний хромоникелевого сплава М 252 при 816°С с двухминут-
ным дополнительным нагревом до 1093°С при нулевом напряжении
через каждые 12 ч продолжительность жизни образца увеличивалась
почти в 3 раза, как показано на рис. 13.14(a). Даже в том случае,
когда дополнительный циклический нагрев осуществлялся под на-
пряжением, срок жизни образца до разрыва, как показано на
рис. 13.14(6), значительно увеличивался. Таким образом, поведение
хромоникелевого сплава при кратковременных пульсирующих вы-
сокотемпературных нагревах сильно изменяется, в то время как
поведение кобальтового сплава меняется не столь значительно. Фак-
тически, если конструкции может быть сообщена дополнительная
деформация ползучести, то срок ее жизни до разрушения можно
существенно увеличить путем кратковременных пульсирующих вы-
сокотемпературных нагревов при пониженных напряжениях.
Учитывая приведенные сведения и другие аналогичные резуль-
таты, можно сделать вывод, что пока не существует общей теории,
которая позволяла бы точно описывать ползучесть и предсказывать
разрыв при циклическом изменении температуры в условиях дейст-
вия постоянного напряжения или при циклическом изменении на-
пряжения в условиях действия постоянной температуры. Тем не
менее в последнее время достигнуты некоторые успехи в разработке
методов оценки долговечности с учетом одновременного проявления
эффектов ползучести и усталости. Например, при прогнозировании
возможности разрушения в условиях совместного действия ползу-
чести и усталости при изотермическом циклическом нагружении
иногда предполагается, что процесс ползучести определяется вели-
чиной среднего напряжения цикла ат, а процесс усталости — ам-
плитудой напряжения цикла оа, причем эффекты обоих процессов
суммируются линейно. Такой подход сходен с построением описан-
ной в гл. 7 диаграммы Смита, за исключением того, что вместо отрез-
ка ои на оси ат (рис. 7.59) используется показанный на рис. 13.15
отрезок осг, соответствующий значению предельного статического
напряжения ползучести. Предельное статическое напряжение пол-
зучести представляет собой либо напряжение при предельной де-
формации ползучести, либо напряжение при разрыве в процессе
ползучести в зависимости от того, какой вид разрушения более опа-
сен.
Линейное правило прогнозирования разрушения может быть
сформулировано следующим образом:
Разрушение при совместном действии ползучести и усталости
в изотермических условиях произойдет, если
Ga/QN -Г <VQcr > 1 •
(13.45)
13.7, Совместное действие ползучести и усталости 455
На рис. 13.15 графически изображена также эллиптическая зависи-
мость, которая может быть словесно сформулирована так:
Разрушение при совместном действии ползучести и усталости в
изотермических условиях произойдет, если
(оа/^)а + (от/ои)*^ 1.
(13.46)
Линейное правило обычно (однако не всегда) дает заниженную
оценку. В том случае, когда ползучесть в большей мере обусловлена
влиянием температуры, эллиптическая зависимость обычно лучше
согласуется с экспериментальными данными. В качестве иллюстра-
Рис. 13.15. Диаграмма для предсказания разрушения при совместном действии
ползучести и усталости в условиях постоянной температуры; аа — амплитуда
напряжения цикла; ая — среднее напряжение цикла.
ции на рис. 13.16(a) приведены результаты экспериментов при не-
скольких различных температурах для кобальтового сплава S-816.
Ясно видно, что для этого сплава при высоких температурах эллип-
тическая аппроксимация лучше. Аналогичные результаты для алю-
миниевого сплава 2024 показаны на рис. 13.16(6). Детальное иссле-
дование зависимости между деформацией ползучести, деформацией
при разрыве, средним напряжением цикла и амплитудой циклическо-
го напряжения в некотором диапазоне значений напряжений и по-
стоянных температур требует осуществления больших сложных
программ испытаний Результаты одного такого исследования для
сплава S-816 при двух различных значениях температуры показаны
на рис. 13.17.
456 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
(Ь)
Рис. 13.16. Результаты испытаний при совместном действии ползучести и устало-
сти в изотермических условиях, изображенные в координатах, соответствующих
рис. 13.15. (а) данные для сплава S-816, соответствующие разрушению через
100 ч; одг— усталостная прочность при долговечности 100 ч и осг — напряжение
разрыва при ползучести через 100 ч (из работ [8, 12]); (Ь) данные для алюминиево-
го сплава 2024; одг — усталостная прочность при указанных около кривых зна-
чениях долговечности, асг — напряжение разрыва при ползучести для соответст-
вующих значений времени (из работ 18, 13]). 1 — эллиптическая аппроксимация;
2 — линейная аппроксимация.
13.7. Совместное действие ползучести и усталости 457
В последнее время для оценки долговечности при более общих
условиях ползучести и малоцикловой усталости предложен также
ряд других эмпирических способов. Среди них следующие:
1.	Способ учета частоты при оценке долговечности по размаху
деформации [14].
2.	Способ оценки полного времени до разрушения по продолжи-
тельности одного цикла (151.
40- 103
(а)
Рис. 13.17. Деформация в момент разрушения бу при различных соотношениях
среднего напряжения цикла ат и амплитуды напряжения цикла аа для образцов
без выточек из сплава S-816. (а) данные при температуре 816°С; (Ь) данные при
температуре 900сС. (Из работ [8, 12].) Кривые 1—4 соответствуют разрушению
через 100, 120, 10, 1 ч.
3.	Способ оценки полного времени до разрушения по числу цик-
лов до разрушения [161.
4.	Способ суммирования долей поврежденности при перемежаю-
щемся действии усталости и ползучести 117].
5.	Способ разделения размаха деформации [18].
458 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
Рис. 13.17. (Продолжение.)
Хотя все эти предложенные способы еще недостаточно детально
исследованы, целесообразно кратко описать каждый из них. Моди-
фицированный подход Коффина, связанный с учетом частоты при
оценке долговечности по размаху деформации, состоит во включе-
нии зависящих от частоты членов в основное соотношение Мэнсо-
на — Коффина, приводившееся ранее в виде (8.116) и (11.2). Полу-
ченное соотношение можно записать в форме
te = AN?vb + BNcfvat	(13.47)
где первое слагаемое справа представляет собой упругую составляю-
щую размаха деформации, а второе — пластическую составляющую.
Постоянные А н В являются соответственно ординатами при Nf=*l
цикл кривых зависимости упругой и пластической составляющих
деформации от числа циклов до разрушения при v=l цикл/мин.
Показатели а, Ь, с и d представляют собой постоянные материала
при заданной температуре. Если эти постоянные экспериментально
определены, то приведенное выражение устанавливает соотношение
между размах< м полной деформации и числом циклов до разруше-
ния. На рис. 13.18, например, приведены результаты подобного
13J. Совместное действие ползучести и усталости 459
анализа поведения роторной стали lCr-lMo-V4 V при 1000°F (540°С).
Эмпирически определенные постоянные» входящие в соотношение
(13.47), имеют в этом случае следующие значения: А =0,0097, В =
=2,80, а=—0,095, 6=0,080, с=—0,831 и d=0,162.
Способ оценки полного времени до разрушения по продолжитель-
ности одного цикла основан на использовании соотношения
/z==^/v = C/?,	(13.48)
где tf — полное время до разрушения, мин; v— частота, цикл/мин;
Nf — полное число циклов до разрушения; /с = 1 v — продолжи-
Рис. 13.18. Зависимость размахов упругой Дее и пластической Де^ деформаций
от числа циклов до разрушения для роторной стали ICr-lMo-1/^ при
1000° F(540°C) на воздухе и аппроксимация данных с помощью модифицированного
правила Коффина. (По данным работы [20], ©Society for Experimental Stress
Analysis, 1973; перепечатано с разрешения.)
тельность одного цикла, мин; С и k —- постоянные исследуемого ма-
териала при некоторой фиксированной температуре и некотором зна-
чении размаха полной деформации. На рис. 13/19 приведены графи-
ки зависимости tf от tc для роторной стали 1Сг-1Мо-1/4 V. Можно
отметить, что для размахов деформации 0,006 и больше графики
представляют собой прямые линии и справедливо соотношение
(13.48). Однако при меньших значениях размаха деформации это
соотношение не верно.
При использовании способа оценки полного времени до разру-
шения по числу циклов до разрушения результат взаимодействия
460 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
процессов ползучести и усталости описывается соотношением
tf = DN~”\	(13.49)
которое тождественно (13.48), если	и m=kl(\—k). Од-
нако в этом случае постулируется, что существуют три различные
пары постоянных D и т: одна — для циклического деформирована
tc, MUH
Рис. 13.19. Зависимость полного времени до разрушения tj от продолжительно-
сти одного цикла tc при различных значениях размаха полной деформации
для роторной стали lCr-lMo-l/4V при 1000° F (540сС) на воздухе. (По данным
работы [201, ©Society for Experimental Stress Analysis, 1973; перепечатано с раз-
решения.)
с различными скоростями деформирования, вторая — для описания
циклической релаксации и третья — для циклической ползучести.
Это проиллюстрировано на рис. 13.20. График зависимости от
Nf для роторной стали ICr-lMo-1/* V изображен на рис. 13.21.
Исследование результатов перемежающегося действия усталости
и ползучести, предложенное Комитетом по исследованию свойств
металлов (Metal Properties Council), состоит в циклическом нагру-
13.7. Совместное действие ползучести и усталости 461
женин образцов в виде стержней без выточек по специальной слож-
ной программе. Цикл нагружения при испытании состоит из вы-
держки образца в течение некоторого заданного периода времени
под постоянной растягивающей нагрузкой и последующего усталост-
ного воздействия некоторого количества симметричных циклов де-
формирования. Эти составные циклы нагружения повторяются до
разрушения. В одном из исследований, например, такой составной
Рис. 13.20. Предполагаемые графики зависимости в логарифмических координатах
полного времени до разрушения tj от числа циклов до разрушения Nр иллюстри-
рующие существование трех различных пар постоянных: при циклическом дефор-
мировании с переменной скоростью, при циклической релаксации и при цикли-
ческой ползучести. (По данным работы [20], © Society for Experimental Stress
Analysis, 1973; перепечатано с разрешения.) / — циклическая релаксация; 2 —
непрерывное циклическое деформирование с переменной скоростью деформации;
3 — разрыв при ползучести; 4 — циклическая ползучесть.
цикл нагружения представлял собой выдержку образца при посто-
янной растягивающей нагрузке в течение 23 ч и последующее уста-
лостное воздействие либо 1,5; 2,5; 5,5, либо 22,5 симметричного
цикла деформирования с заданной амплитудой деформации. Петля
гистерезиса для такого составного цикла изображена на рис. 13.22.
Данные о разрушении представляются в виде графиков зависимо-
сти усталостной доли поврежденности от доли поврежденности вслед-
ствие ползучести, как показано на рис. 13.23.
Усталостная доля поврежденности представляет собой отношение
полного числа циклов усталостных воздействий N'f в течение всего
времени действия составных циклов к числу циклов до усталостного
разрушения Nf в случае отсутствия периодов ползучести. Доля
поврежденности вследствие ползучести представляет собой отноше-
ние полного времени выдержки в условиях ползучести /сг при на-
гружении составными циклами ко времени до разрушения вследствие
462 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
ползучести tf в случае отсутствия усталостных воздействий. Наиме-
нее уклоняющаяся от экспериментальных данных кривая использу-
ется для графической оценки долговечности при совместном дейст-
вии ползучести и усталости (см. рис. 13.23).
Ряе. 13.21. График зависимости полного времени до разрушения от числа цик-
лов до разрушения /Vy для роторной стали lCr-lMo-l/4V при 1000°F (540сС)
на воздухе. (По данным работы [20], © Society for Experimental Stress Analysis,
1973; перепечатано с разрешения.)
Способ разделения размаха деформации основан на том, что лю-
бой симметричный цикл неупругого деформирования может быть
разделен на следующие части: симметричное пластическое деформи-
рование Аерр; пластическое деформирование при растяжении Аерс,
компенсируемое деформацией ползучести при сжатии; ползучесть
при растяжении Деср, компенсируемая пластической деформацией
при сжатии, и симметричная ползучесть Дегс Первая буква при
таком обозначении (с — ползучесть и р — пластическая деформация)
Рис. 13.22. Типичные петли гистерезиса при испытаниях на перемежающееся дей-
ствие ползучести и усталости роторной стали lCr-lMo-l/4V при 1000°F (540°С)
методом, предложенным Комитетом по исследованию свойств металлов (Metal
Properties Council). (По данным работы [20], ©Society for Experimental Stress
Analysis; перепечатано с разрешения.) 1 — ползучесть; 2 — первый составной
цикл ползучести и усталости; 3 — ползучесть на п-м цикле.
Рис. 13.23. График зависимости доли усталостной поврежденности Nf/Nj от
доли поврежденности вследствие ползучести tct!tj для роторной стали 1Сг-
1Мо’1/4 V при IOOOCF (540сС) па воздухе, построенный методом, предложенным
Комитетом по исследованию свойств металлов. (Поданным работы [20], © Society
for Experimental Stress Analysis; перепечатано с разрешения.) 1 — ползучесть
при постоянном напряжении, задается деформация; 2 — ползучесть при постоян-
ном напряжении, задается время.
464 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
означает тип деформации во время растяжения, а вторая—тип
деформации при сжатии. Термин пластическая деформация, или
пластическое течение, в этом контексте относится к не зависящей
от времени неупругой пластической деформации, являющейся ре-
зультатом скольжения внутри зерен кристаллов. Термин ползучесть
относится к зависящей от времени неупругой пластической деформа-
ции, являющейся совместным результатом диффузии и скольжения
вдоль границ зерен. Иллюстрация разделения цикла деформирова-
ния па части дана на рис. 13.24.
Рис. 13.24. Типичная петля гистерезиса.
На рис. 13.24 показано, что неупругая деформация растяжения
AD представляет собой сумму пластической составляющей деформа-
ции АС и деформации ползучести CD. Точно так же неупругая де-
формация сжатия DA представляет собой сумму пластической со-
ставляющей деформации DB и деформации ползучести ВА. В общем
случае АС не равно DB, а также CD не равно ВА. Однако, посколь-
ку петля гистерезиса замкнута, AD равно DA. Составляющие раз-
маха деформации определяются следующим образом [191: симметрич-
ная часть размаха пластической деформации равна меньшей
по величине из двух составляющих пластического течения (на рис.
13.24 это DB).
Аналогично симметричная часть размаха деформации ползуче-
сти Лесс представляет собой меньшую из двух составляющих дефор-
мации ползучести (на рис. 13.24 это СО). Как видно из рисунка,
разность двух пластических составляющих деформации должна
равняться разности двух составляющих деформации ползучести,
т. е. разность АС — DB должна равняться разности В А — CD.
13.7. Совместное действие ползучести и усталости 465
Эта разность в соответствии с установленным порядком использо-
вания индексов будет представлять собой либо Аерс, либо Аеср.
Для показанного на рис. 13.24 случая эта разность есть Аерс, по-
скольку пластическая составляющая деформации растяжения боль-
ше пластической составляющей деформации сжатия. Из приведен-
ного рассуждения следует, что сумма составляющих размаха дефор-
мации обязательно равна полному размаху неупругой деформации,
или ширине петли гистерезиса.
Л/Ср, цикл
Ncc, цикл
Рис. 13.25. Сводка соотношений между оiдельными частями размаха исуиругой
деформации Де и долговечностью для нержавеющей стали типа 316 при 1300°F
(700°С) (По работе L21J.) (а) размах рр-деформации: Дерр=0,415 ;VpP’58b; коэффи-
циент корреляции =—0,922; стандартная ошибка оценки=0,1206; (Ь) размах
рс-деформации: &ьрс~ 1.564 Л'д®’845; коэффициент корреляции =—0,937; стан-
дартная ошибка оценки =0,0980; (с) размах ср-деформации: Д ffp=0,l 14Л'^и’581;
коэффициент корреляции=—0,997; стандартная ошибка оценки =0,0603; (d)
размах сс-деформации: Дег^= 1,144A7c°,S00’ коэффициент корреляции =—0,938;
стандартная ошибка оценки =0,1685.
Далее предполагается, что существуют соотношения, устанав-
ливающие однозначное соответствие между долговечностью в цик-
лах до разрушения и каждой из четырех указанных частей размаха
деформации. Существующие данные указывают, что эти соотноше-
ния имеют такой же вид, как и основное соотношение Мэнсона —
Коффина (11.2) (см., например, данные для нержавеющей легиро-
ванной стали типа 316, полученные при 1300°F (700°С)). Соотноше-
ние для оценки долговечности, или «правило оценки поврежден-
466 Гл, 13, Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
ности», записывается в виде
1 __ I FPC Fcp । Fce
^pred” •S,,	’
где A/pred — прогнозируемое полное число циклов до разрушения
при циклическом деформировании в условиях, когда каждый цикл
деформирования имеет указанные составляющие. Величины Fpp,
Fpc* ?ср и fee, представляющие собой отношения
Fpp — ^рр/&£р*	FрС — ^pjFср = &£Ср1 &£pi	Fcc =
(13.51)
для любого заданного размаха неупругой деформации Дер, опреде-
ляются с помощью графически представленных экспериментальных
данных типа показанных на рис. 13.25. Частичные долговечности
Npp, NPZi Ncp и 2VCC также определяются с помощью рис. 13.25.
В ряде работ 121 —26] показано, что использование соотношения
(13.50) позволяет определять долговечность с приемлемой точностью,
при этом большинство экспериментальных результатов попадает
в полосу разброса ±2Nf. Результаты испытаний нержавеющей стали
типа 316 при 1300°F (700°С) в воздушной среде, представленные на
рис. 13.26, сравниваются с оценками, полученными способом разде-
ления размаха деформации с помощью соотношения (13.50).
Недавние исследования [27] указывают на то, что оценки, полу-
ченные способом разделения размаха деформации, можно улучшить,
если перед использованием формулы (13.50) «нормировать» соотно-
шения зависимости деформаций от долговечностей с помощью опре-
деляемой в реальных эксплуатационных условиях пластичности
материала при ползучести и при пластическом деформировании.
Предложена [25] также процедура применения метода разделения
размаха деформации многоосного нагружения; однако она нужда-
ется в более основательной проверке. С помощью метода разделе-
ния размаха деформации недавно успешно были проанализированы
рассмотренные ранее данные Комитета по исследованию свойств
металлов (Metal Properties Council) о перемежающемся действии ус-
талости и ползучести [24].
Хотя оба способа — и способ учета частоты при оценке долго-
вечности по размаху деформации, и способ разделения размаха де-
формации — достаточно хороши для оценки долговечности, способ
разделения размаха деформации является, по-видимому, единствен-
ным средством исследования сложных процессов нагружения, ко-
торые характерны для большинства конструкций и их элементов.
В сложных ситуациях, когда точно разделить размах деформации
не удается, можно предположить, что доминирующей является та
часть, которая вносит наибольшую долю поврежденности, при этом
будет получена нижняя граница долговечности.
Несмотря на то что процесс совместного действия ползучести и
усталости нуждается в дальнейшем изучении, первые попытки при-
Вопросы 467
менения способа разделения размаха деформации дают обнадежи-
вающие результаты 126]. Этот способ позволяет анализировать ре-
зультаты совместного действия ползучести и усталости и интерпре-
тировать влияние частоты, времени выдержки, температуры и ус-
Рис. 13.26. Соответствие между действительной долговечностью Naf и предсказы-
ваемой Nf с помощью метода разделения размаха деформации (см. (13.50)). (Из
работы [21].) Стандартная ошибка оценки =0,2528; Д поврежденность при воз-
действии деформации типа рр-\-рс\ V поврежденность при воздействии деформа-
ции типа рр-\-ср\ □ поврежденность при воздействии деформации типа
-фср+сс; 1 — коэффициенты 2, 2 — коэффициенты 3.
ловий окружающей среды. Однако, хотя в последнее время и до-
стигнут значительный прогресс, процесс взаимодействия ползучести
и усталости еще во многом не ясен.
ВОПРОСЫ
1.	Подробно определите термины ползучесть, разрыв при длительной ползу-
чести и разрыв при кратковременной ползучести^ указав сходство этих трех видов
разрушения и их различие.
468 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
2.	Для материалов из табл. 13.1 составьте таблицу температурных диапазо-
нов, в которых ползучесть может представить серьезную проблему.
3.	Перечислите и опишите некоторые методы экстраполяции данных кратко-
временной ползучести на большие времена. Какие «ловушки» могут встретиться
при применении этих методов?
4.	Перечислите и опишите несколько методов, используемых для оценки
накопленной деформации ползучести в условиях действия на деталь машины пере-
менных напряжений и температуры в процессе эксплуатации.
5.	Для подвески чувствительного к ударам прибора весом 200 фунтов и стои-
мостью 300 000 долл, предполагается использовать новый жаропрочный сплав.
Прибор с подвеской должен в течение 3000 ч находиться в испытательной камере
при температуре 1600cF (870°С). В процессе лабораторных испытаний образцы
нового сплава диаметром 0,125 дюйма нагружались усилием 200 фунтов; при этом
установлено, что при температуре 1800cF (980°С) через 100 ч происходит разрыв
вследствие ползучести. Свидетельствуют ли результаты испытаний о возможности
использования подвески в указанных условиях?
6.	В результате испытаний на ползучесть при температуре 600°F (315°С)
и напряжении 10 000 фунт/дюйм2 отлитого в земляную форму алюминиевого спла-
ва получены данные, приведенные на рис. 13.6(c) (кривая М. Сплошной кронштейн
квадратного поперечного сечения 1 дюймХ 1 дюйм длиной 4 дюйма нагружается
растягивающим усилием 10 000 фунтов. Цикл изменения окружающей температу-
ры включает в себя воздействия 380°F (190сС) в течение 1200 ч, 600cF (315СС) в тече-
ние 2 ч и 810°F (430°С) в течение 15 с. Сколько циклов таких воздействий, по ва-
шим расчетам, может выдержать кронштейн, если требуется, что он не должен
удлиняться более чем на 0,10 дюйма?
7.	В результате испытаний на ползучесть отлитого в земляную форму алю-
миниевого сплава при температуре 600°F (315°С) и напряжении 10 000 фунт/дюйм2
получены данные, приведенные на рис. 13.6(c) (кривая Ь). Полый цилиндрический
кронштейн из этого материала имеет наружный диаметр 2,0 дюйма, толщину
стенки 0,175 дюйма и длину 5,0 дюймов. Кронштейн нагружается растягивающим
усилием 5,0 т. Каждый цикл изменения окружающей температуры включает в себя
Рис. Q13.8. (Из работы [29], © American Society lor Metals 1958; печатается с раз-
решения.) 6 — истинная деформация.
Вопросы 469
воздействия 400F (205сС) в течение 1000 ч, 600°F (315°С) в течение 3 ч и 800°F
(425°С) в течение 0,5 мин.
(а)	Сколько циклов, по вашим расчетам, может выдержать кронштейн, если
требуется, чтобы его удлинение не превышало 0,025 дюйма?
(b)	RaK, по вашему мнению, увеличится или уменьшится срок эксплуатации крон-
штейна при сохранении требования, указанного в п. (а), если кронштейн будет
нагружен внутренним давлением 1750 фунт/дюйм2, причем с помощью специаль-
ного уплотнительного устройства па конце удастся добиться того, что в стенке
кронштейна не возникнет осевых напряжений.
(с)	Возникает ли необходимость предъявления других дополнительных требова-
ний к кронштейну в случае (Ь) и каких именно?
8.	С помощью приведенных на рис. Q13.8 данных определите постоянные В
и Л' материала, входящие в соотношение (13.9).
9.	Цилиндрический сосуд высокого давления из стали Ni-Cr-Mo диаметром
10 дюймов замкнут по концам. Емкость должна эксплуатироваться непрерывно в
течение 5 лет при температуре 850’F (455 С) и внутреннем давлении 10 000 фунт/
/дюйм2. Каково должно быть минимальное значение толщины стенки цилиндриче-
ского сосуда высокого давления, если коэффициент безопасности равен 1,20,
а остаточная деформация не должна превышать 3%.
10.	Данные о разрыве при ползучести стали Cr-Mo-V, полученные по резуль-
татам ряда испытаний, приведены в таблице.
(а)	Используя эти данные, постройте кривые зависимости напряжения разрыва
от логарифма времени для различных температур.
Данные о разрыве при ползучести стали Cr-Mo-V [28]
Температура испытаний		Напряжение, I03 фунт/дюйм1	Время до разрыва, ч
ср	°C		
900	480	90	37
900	480	82	975
900	480	78	3581
900	480	70	9878
1000	540	80	7
1000	540	75	17
1000	540	68	213
1000	540	60	1493
1000	540	56	2491
1000	540	49	5108
1000	540	43	7390
1000	540	38	10 447
1100	590	70	1
1100	590	60,5	18
1100	590	50	167
1100	590	40	615
1100	590	29	2220
1100	590	22	6637
1200	650	40	19
1200	650	30	102
1200	650	25	125
1200	650	20	331
1350	730	20	3,7
1350	730	15	8,9
1350	730	10	31,8
470 Гл. IS. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
(Ь)	Используя данные, Полученные при напряжении 70 000 фунт/дюйм2 и темпе-
ратуре 900°F (480сС), оцените время до разрыва при том же самом напряжении и
температуре 1100°F (590°С) (примените гипотезу Ларсона — Миллера).
(с)	Сравните результат, полученный в п. (Ь), с результатом, полученным в п. (а).
Вычислите ошибку оценки времени до разрыва в процентах.
Рис. Q13.ll. Ъс — деформация ползучести; данные по ползучести для сплава X,
температура равна 1200°F (650°С).
11.	Кривые ползучести для сплава X при температуре 1200°F (650сС) приве-
дены на рис. Q13.ll. Предельно допустимое значение деформации ползучести
равно 0,01. На растягиваемый элемент при 650°С последовательно действуют сле-
дующие напряжения:
1, 1000 фунт/дюйм’ в течение 10 ч.	3. 3000 фунт/дюйм’ в течение 20 ч.
2, 2000 фунт/дюйм’ в течение 20 ч.	4. 4000 фунт/дюйм’ в течение 10 ч,
	Напряжение, 10* фунт/дюйм1	Температура		Время, ч
		’F	°C	
1	но	1200	650	0,05
2	150	1000	540	0,10
3	ПО	1200	650	0,01
4	60	1400	760	0,01
5	80	1400	760	0,01
6	ПО	1000	540	1,32
7	150	1000	540	0,10
8	160	1000	540	0,10
9	150	1000	540	0,10
10	ПО	1200	650	0,10
11	150	1000	540	0,10
Вопросы 471
Оцените для такого нагружения с помощью приведенных на рис. Q13.ll кривых
полную деформацию ползучести по истечении 60 ч, используя (а) правило времен-
нбго упрочнения, (Ь) правило деформационного упрочнения и (с) правило отно-
сительной продолжительности.
ti ч
Рис. Q13.12.
12. Диск авиационного двигателя из сплава Z в течение двухчасового «типич-
ного» полета подвергается воздействию напряжений и температур в соответствии
с данными, приведенными в таблице (см. стр. 470). Предельно допустимая
деформация ползучести равна 0,1. Используя кривые ползучести для этого ма-
териала, приведенные на рис. Q13.12. вычислите полную деформацию ползуче-
сти после двухчасового полета с помощью (а) правила временного упрочнения, (Ь)
правила деформационного упрочнения и (с) правила относительной продолжи-
тельности.
13. Лопатка турбины в ступени высокого давления авиационного газотурбин-
ного двигателя одновременно подвергнута воздействию циклических напряжений
и повышенной темпера 1уры, Опасное сечение лопатки А—А показано на рис.
Q13.13 (а).
472 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
Рис. Q. 13.>. л рис. (д). Точки Д, В, С, D соо1ветствуки максимальной мощности,
крейсерскому полету, холостому режиму в полете, холостому режиму на земле.
Вопросы 473
Рис. Q13.13. (Продолжение.) Напряжение разрыва при ползучести 0=18OO°F
(980°С).
На рис. Q13.13(d) показано в минутах время работы двигателя на разных ре-
жимах в течение типичного 70-минутного полета. Температуры и напряжения в
опасном сечении на каждом режиме работы двигателя приведены в таблице. Ис-
Режим работы	Температурь металла		Напряжение. 1 0’фунт/дюйм*
	°F	°C	
Холостой на земле	1600	870	90
Холостой в полете	1620	880	36
Крейсерский полет	1680	915	50
Максимальная мощность	1750	955	56
пользуя приведенные данные об усталости при повышенных температурах и о
разрыве при кратковременной ползучести,
(а)	определите усталостную долговечность (число полетов до разрушения), пре-
небрегая эффектами ползучести (используйте приведенные на рис. Q13.13(c)
данные для 1800°F (980°С));
(Ь)	определите время до разрыва при ползучести (число полетов до разрушения),
пренебрегая эффектами усталости (используйте приведенные на рис. Q13.13(d)
данные для 1800°F (980°С));
(с)	с помощью эллиптической зависимости (13.46) определите время (число по-
летов до разрушения) при совместном действии ползучести и усталости;
(d)	какой процесс в этих условиях преобладает, усталость или разрыв при пол-
зучести?
14. При исследовании совместного действия ползучести и усталости наиболее
обнадеживающим способом оценки возможности разрушения является, по-види-
мому, способ разделения размаха деформации. Опишите основные идеи, на кото-
рых базируется этот подход, укажите четыре основные составляющие размаха
деформации и поясните качественно, как с помощью этого способа предсказывает-
ся разрушение,
474 Гл. 13. Ползучесть, разрыв при ползучести и усталость
ЛИТЕРАТУРА
1.	Juvinall R. С. Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strength.—
New York: McGraw-Hill, 1967.
2.	Larson F. R., Miller J. Time-Temperature Relationships for Rupture and Creep
Stresses.— ASME Transactions, 74 (1952), p. 765.
3.	Manson S. S., Haferd A. M. A Linear Time-Temperature Relation for Extra-
polation of Creep and Stress Rupture Data.— NACA Technical Note 2890, March
1953.
4.	Van Echo J. A. Short-Time Creep of Structural Sheet Metals.— Short-Time High-
Temperature Testing, American Society for Metals, 1958.
5.	Sturm R. G., Dumont C., Howell F. M. A Method of Analyzing Creep Data.—
ASME Transactions, 58 (1936), p. A62.
6,	Polakowski N. H., Ripling E. J. Strength and Structure of Engineering Materi-
als.— Englewood Cliffs, N. J.: Prent ice-Hall, 1966.
7,	Robinson E. L. Effect of Temperature Variation on the Long-Time Rupture
Strength of Steels.— ASME Transactions, 74 (1952), p. 777—781.
8.	Kennedy A. J. Processes of Creep and Fatigue in Metals.— New York: John
Wiley & Sons, 1963. [Имеется перевод: Кеннеди А. Дж. Ползучесть и уста-
лость в металлах.— М.: Металлургия, 1965.]
9.	Simmons W. F., Cross Н. С. Symposium on Effect of Cyclic Heating and Stres.
sing on Metals at Elevated Temperatures.— STP-165, American Society for
Testing and Materials, Philadelphia, 1954.
10.	Guarnieri G. J. Symposium on Effect of Cyclic Heating and Stressing on Metals
at Elevated Temperatures.—STP-165, American Society for Testing and Mate-
rials, Philadelphia, 1954.
11.	Rowe J. P., Freeman J. W. NACA Tests.— Note 4224, 1958.
12.	Demoney F. W., Lazan B. J.— WADC Tech. Report 53-510, 1954.
13.	Vitovec F., Lazan B. J. Symposium on Metallic Materials for Service at Tempe-
ratures Above 1600 F.—STP-174, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1956.
14.	Coffin L. F., Jr. The Effect of Frequency on the Cyclic Strain and Low Cycle
Fatigue Behavior of Cast Udimet 500 at Elevated Temperature.— Metallurgical
Transactions, 12 (November 1971), p. 3105—3113.
15.	Conway J. B., Berling J. T. A New Correlation of Low-Cycle Fatigue Data In-
volving Hold Periods.—Metallurgical Transactions, 1, No. 1 (January 1970),
p. 324—325.
16.	Ellis J. R., Esztergar E. P. Considerations of Creep-Fatigue Interaction in De-
sign Analysis.— Symposium on Design for Elevated Temperature Environment.
ASME (May 1971), p. 29—33.
17,	Curran R. M., Wundt В. M. A Program to Study Low-Cycle Fatigue and Creep
Interaction in Steels at Elevated Temperatures. Current Evaluation of 2-1/4
Chrome 1 Molybdenum Steel in Pressure Vessels and Piping.— ASME (1972),
p. 49—82.
18,	MansonS. S., Halford G. R., HirschbergM. H. Creep-Fatigue Analysis by Strain-
Range Partitioning.— Symposium on Design for Elevated Temperature Environ-
ment.— ASME (May 1971), p. 12—24.
19.	Manson S. S., Halford G. R., Hirschberg M. H.— NASA Technical Memo TMX-
67838, Lewis Research Center, Cleveland, May 1971.
20.	Leven M. M. The Interaction of Creep and Fatigue for a Rotor Steel.— Expe-
rimental Mechanics, 13, No. 9 (September 1973), p. 353—372.
21.	Saltsman J. F., Halford G. R. Application of Strain-Range Partitioning to the
Prediction of Creep-Fatigue Lives of AISI Types 304 and 316 Stainless Steel.—
NASA Technical Memo TMX-71898, Lewis Research Center, Cleveland, Septem-
ber 1976.
22.	Annis C. G., Van Wanderham M. C., Wallace R. M. Strain-Range Partitioning
Behavior of an Automotive Turbine Alloy.— Final Report NASA TR 134974,
February 1976.
Литература 475
23.	Hirschberg М. Н., Halford G. R. Use of Strain-Range Partitioning to Predict
High-Temperature Low Cycle Fatigue Life.— NASA TN D-8072, January 1976.
24.	Saltsman J. F., Halford G. R. Application of Strain-Range Partitioning to the
Prediction of MPC Creep-Fatigue Data for 2-1/4 Cr-1 Mo Steel.— NASA TMX-
73474, December 1976.
25.	Manson S. S., Halford G. R. Treatment of Multiaxial Creep-Fatigue by Strain-
Range Partitioning.— NASA TMX-73488, December 1976.
26.	Characterization of Low Cycle High Temperature Fatigue by the Strain-Range
Partitioning Method.— AGARD Conference Proceedings No. 243, distributed
by NASA, Langley Field, Va., April 1978.
27.	Halford G. R., Saltsman J. F., Hirshberg M. H. Ductility Normalized-Strain-
range Partitioning Life Relations for Creep-Fatigue Life Predictions.— NASA
TM-73737, October 1977.
28.	Goldhoff R. M., Gill R. F. Discussion to Manson» Succop and Brown.— Trans-
actions, American Society for Metals (1959), p. 911.
29.	Parker E. R. Modern Concepts of Flow and Fracture.— Transactions, American
Society for Metals, 50 (1958), p. 52»
ГЛАВА 14
ФРЕТТИНГ, ФРЕТТИНГ-УСТАЛОСТЬ И ФРЕТТИНГ-ИЗНОС
14.1.	ВВЕДЕНИЕ
Постепенно становится все более ясным, что потеря работоспособ-
ности деталей машин вследствие фреттинг-усталости является
одним из опаснейших видов разрушения как по причине частоты
ее появления, так из-за серьезности последствий. Фреттинг-износ
в некоторых приложениях также представляет собой серьезную
проблему. И фреттинг-усталость, и фреттинг-износ, равно как и
фреттинг-коррозия, характеризуются явлением фреттинга. В те-
чение многих лет фреттинг определялся как механический и хи-
мический процесс, происходящий в условиях, когда прижатые
нормальной силой поверхности скользят друг по другу, совершая
колебательное движение. При этом нормальная сила достаточно
велика, а амплитуда колебательных скользящих движений мала
настолько, что возможность удаления выкрашивающихся частиц
сильно ограничена [1]. В последнее время используются более
широкие определения, включающие в себя случаи, когда контак-
тирующие поверхности периодически разъединяются и вновь
соединяются, а таже случаи, когда осциллирующие поверхност-
ные усилия трения вызывают поля напряжений, приводящие к
разрушению.
На сложность процесса фреттинга указывали многие исследо-
ватели, утверждавшие, что фреттинг является результатом взаи-
модействия множества механических, химических, тепловых и
других процессов; среди них: пластическая деформация, вызван-
ная движением друг по другу шероховатостей поверхностей, сва-
ривание и изнашивание контактирующих поверхностей, сдвиг и
разрыв шероховатостей, трение, вызываемое сдвиговыми напря-
жениями у поверхности, отрыв частиц и продуктов коррозии от
поверхностей, химические реакции, образование скоплений ос-
колков, абразивное действие, зарождение микротрещин, расслоение
поверхностей и т. д. (2—12, 24—28].
Разрушение деталей машин вследствие фреттинга может про-
являться в виде коррозионного разрушения поверхности при фрет-
тинг-коррозии, образования недопустимых зазоров в местах сое-
динений или изменения размеров деталей при фреттинг-износе и в
виде ускорения процесса усталостного разрушения при фреттинг-
усталости. Типичные места, где обычно наблюдаются вызванные
фреттингом повреждения,—это соединения с натяюм; резьбовые,
14.2, Факторы, влияющие на процесс фреттинга 477
шпоночные и заклепочные соединения; точки контакта проволоки в
проволочных канатах и гибких валах; фрикционные зажимы;
подшипники всех видов, совершающие колебательные движения
с малой амплитудой; поверхности контакта отдельных листов ли-
стовых рессор и все другие места, в которых возникают условия,
вызывающие фреттинг.
Таким образом, эффективность и надежность конструкции и
последующей работы многих механических систем в значительной
степени связаны с фреттингом. Например, фреттинг представляет
опасность для военных и гражданских наземных транспортных
средств, систем вооружения, кораблей и подводных лодок, верто-
летов, авиационных двигателей, турбин и компрессоров, корпусов
самолетов, элементов ракет, ядерных силовых установок, точных
инструментов, отдельных органов и систем управления, переда-
точных механизмов, различных соединений и многих других раз-
нообразных машин и их деталей.
Хотя явления фреттинг-усталости, фреттинг-износа и фреттинг-
коррозии представляют опасность для многих механических систем
и изучению фреттинга посвящено много исследований, до сих пор
существует очень мало данных для проведения количественных
расчетов и не создано метода прогнозирования разрушения в ус-
ловиях фреттинга, обладающего достаточной общностью. Однако
несмотря на то, что явление фреттинга изучено еще не полностью
и пока не создано достаточно хороших моделей фреттинг-усталости
и фреттинг-износа, уже многое выяснено относительно того, что
оказывает наиболее существенное влияние на процесс фреттинга.
14.2.	ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРОЦЕСС ФРЕТТИНГА
Установлено, что ту или иную роль в процессе фреттинга играют
более 50 факторов 113]. Однако, по-видимому, наибольшее значение
имеют следующие:
1.	Величина относительного перемещения поверхностей.
2.	Величина и распределение давления между контактирую-
щими поверхностями.
3.	Характеристики напряженного состояния, включая величину
и направление напряжений, а также их изменение во времени в
области контакта подверженных фреттингу поверхностей.
4.	Число накопленных циклов воздействия фреттинга.
5.	Материал, из которого изготовлена деталь, и условия обра-
ботки поверхности.
6.	Частота относительно циклического движения двух подвер-
женных фреттингу элементов.
7.	Температура около подверженных фреттингу поверхностей.
8.	Условия окружающей среды на поверхностях, подверженных
фреттингу.
478 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
Взаимодействие этих факторов таково, что количественная
оценка влияния какого-либо из них в любом представляющем
практический интерес случае или при испытании существенно
зависит от других факторов. Кроме того, неблагоприятное соче-
тание факторов с точки зрения фреттинг-усталости может отли-
чаться от сочетания, неблагоприятного с точки зрения фреттинг-
износа. Пока не существует общих методов оценки количествен-
ного влияния указанных факторов на фреттинг-усталость и фрет-
тинг-износ, несмотря на то что многие частные случаи уже ис-
следованы; Тем не менее уже установлены некоторые качествен-
ные закономерности. Например, повреждения вследствие фрет-
тинга увеличиваются при увеличении контактного давления, пока
его номинальная величина не достигнет нескольких тысяч фунтов
на квадратный дюйм. Эффект дальнейшего увеличения давления,
по-видимому, относительно мал. Напряженное состояние оказы-
вает существенное влияние на фреттинг-усталость. Об этом речь
будет идти в разд. 14.3.
Накопление повреждений вследствие фреттинга с увеличением
числа циклов происходит с различными скоростями в зависимости
от условий эксплуатации На процесс фреттинга очень сильное
влияние оказывают свойства контактирующих материалов, твер-
дость поверхности и чистота ее обработки. Влияние частоты цик-
лических относительных перемещений на фреттинг еще не выяс-
нено. Точно так же до конца не изучено влияние температуры и
атмосферных условий окружающей среды, хотя оно и очень велико.
Представление о современном понимании того, как влияют на фрет-
тинг указанные ранее факторы, можно найти в работе 1251.
14.3.	ФРЕТТИНГ-УСТАЛОСТЬ
Фреттинг-усталость представляет собой усталостное разрушение,
вызванное фреттингом. Предполагается, что причинами прежде-
временного возникновения зародышей усталостных повреждений
могут быть либо абразивное действие шероховатостей и образо-
вание микротрещин около них [15], либо приводящие к образо-
ванию микротрещин циклические напряжения в зоне контакта
поверхностей [14], либо возникающие вблизи поверхности на не-
большой глубине и вызывающие расслоение поверхности в зоне
фреттинга циклические касательные напряжения [281. В соот-
ветствии с гипотезой об абразивном действии предполагается,
что шероховатости поверхностей и обломившиеся твердые частицы
при относительном циклическом движении поверхностей, нахо-
дящихся в условиях фреттинга, образуют канавки и удлиненные
выемки на поверхностях. При этом продольные оси мелких кана-
вок и удлиненных выемок параллельны между собой и их направ-
ление совпадает с направлением движения фреттинга, как схема-
тично показано на рис. 14.1.
14.3. Фреттинг-усталость 479
В соответствии с гипо-
тезой о зарождении мик-
ротрещин при контакте
шероховатостей предпола-
гается, что причиной за-
рождения трещин является
зацепление шероховатостей
контактирующих поверх-
ностей друг за друга при
их циклическом относи-
тельном движении. Если
при начального контакте
шероховатости не обламы-
ваются, то вследствие их
зацепления у основания
каждого из выступов воз-
никают циклические, или
усталостные, н ап ряжения.
Показано 110|, что в таких
условиях у основания выс-
тупов возникают большие
локальные напряжения,
которые могут явиться при-
чиной появления в этих
местах зародышей уста-
лостных микротрещин. Как
схематично показано на
рис. 14.2, этот механизм
приводит к появлению мас-
сы микротрещин, продоль-
ные оси которых перпен-
дикулярны направлению
движения фреттинга.
Гипотеза о том, что
причиной фреттинга явля-
ются циклические напря-
жения, возникающие в ре-
зультате трения 112], осно-
вана на наблюдении, что,
когда один из элементов,
будучи прижат к другому,
совершает движения, при-
водящие к фреттингу, си-
лы трения приводят к воз-
н и кновен ию сж имающих
тангенциальных составля-
ющих напряжений в объеме
Направление движения
Рис. 14.1. Идеализированное схематичное
изображение концентрации напряжений, вы-
зываемой абразивным действием. 1 — обра-
зец; 2 — микротрещины фреттинга; 3 — зона
фреттинга.
Направление движения
Рис. 14.2. Идеализированное схематичное
изображение концентрации напряжений, воз-
никающей при контакте шероховатостей и
приводящей к возникновению микротрещин,
1 — образец; 2 — микротрещины фреттингаj
3 — зона фреттинга.
480 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
материала, расположенном в области, по направлению к которой
совершается движение, и растягивающих тангенциальных состав-
ляющих напряжений в области, расположенной с противополож-
ной стороны, как показано на рис. 14.3(a). Когда направление
движения фреттинга меняется на противоположное, области рас-
Рис. 14.3. Идеализированное схематичное представление тангенциальных на-
пряжений т и микротрещин, возникающих в результате трения. 1 — движение
влево; 2 — движение вправо; 3 — образец; 4 — микротрещины фреттинга; 5 —
зона фреттинга.
тяжения и сжатия меняются местами. Таким образом, материал,
расположенный вблизи зоны контакта, подвергается воздействию
циклических напряжений, в результате которого по предположению
и возникает в этих местах поле микротрещин. Кроме того, допол-
нительным фактором, способствующим возникновению в этих мес-
тах микротрещин, может служить концентрация напряжений в
зоне контакта с поджатием [241. Как показано на рис. 14.3(c), мож-
14.3. Фреттинг-усталость 48!
но ожидать, что описанный механизм приведет к возникновению
микротрещин, продольные оси которых будут перпендикулярны
направлению движения, приводящего к фреттингу. Эти трещины
будут расположены в областях, примыкающих к зоне контакта.
Рис. 14.4. Данные о зависимости разрушающего напряжения Оу от числа цикло»
до разрушения N? образцов, подвергнутых фреттингу в различных направлениях
и испытанных затем на усталость при симметричном нагружении. Образцы и
скользящие башмаки из стали 4340, термообработанной так, что твердость по
Роквеллу С-35. Испытания проводились с частотой 1500 цикл/мин при темпера-
туре воздуха 75°F (24°С). Перемещение при движении фреттинга 0,003 дюйма,
давление при фреттинге 10 000 фунт/дюйм2 (номинальное), напряжение при фрет-
тинге 70 000 фунт/дюйм2, число циклов при фреттинге 100 000. 1 — контрольные
образцы, не подвергнутые фреттингу; 2 — образцы предварительно подвергнутые
фреттингу, направление движения фреттинга перпендикулярно оси образца;
3 — образцы, предваригельно подвергнутые фреттингу, направление движения
фреттинга параллельно оси образца.
В соответствии с гипотезой о расслоении поверхности мате-
риала при фреттинге [281 предполагается, что совокупность нор-
мальных и тангенциальных усилий, передающихся через шерохо-
ватости контактирующих поверхностей, является причиной воз*
16 № 109
482 Гл. 14, Фреттинг t фреттинг-усталость и фреттинг-износ
никновения сложного напряженного состояния и поля циклически
меняющихся деформаций, приводящих к возникновению пиков
касательных напряжений и зародышей трещин на небольшой
глубине у поверхности. При дальнейших циклических воздействиях
трещины распространяются почти параллельно поверхности, как
Рис. 14.5. Усталостные характеристики после фреттинга при различных напря-
женных состояниях, о — вычисленная амплитуда напряжения; N j — число цик-
лов до разрушения в испытаниях при симметричном нагружении; 1 — контроль-
ные данные при отсутствии фреттинга; оот — среднее напряжение цикла при фрет-
тинге, фунт/дюйм2; оа — амплитуда напряжения цикла при фреттинге, фунт/
дюйм2; во всех испытаниях фреттинг был «интенсивным».
и в случае явления поверхностной усталости; при выходе их на
поверхность образуются тонкие пленки продуктов износа, которые
после отслоения превращаются в мелкие частицы.
Факты свидетельствуют о том, что в различных обстоятельствах
проявляются все эти четыре механизма, и каждый из них может
явиться основной причиной разрушения вследствие фреттинга.
Например, приведенные на рис. 14.4 данные показывают, что
направление движения фреттинга существенно влияет на усталост-
ную прочность при последующих испытаниях. Если направление
действия напряжения в опытах на усталость при одноосном напря-
женном состоянии совпадает с направлением движения фреттинга,
то снижение усталостной прочности гораздо больше, чем у образ-
14.3. Фреттинг-усталость 483
цов, при усталостных испытаниях которых направление действия
напряжения перпендикулярно направлению движения, приводя-
щего к фреттингу. В обоих случаях усталостные характеристики
материала существенно ниже, чем усталостные характеристики
этого же материала в исходном состоянии (без предварительного
фреттинга).
Эти данные говорят о том, что доминирующим является, по-
видимому, механизм зарождения микротрещин вследствие кон-
такта шероховатостей, хотя, вероятно, действует также и абразив-
ный механизм [15]. В обоих случаях может играть некоторую роль
и явление расслоения поверхности. Поскольку усталостные раз-
рушения при этих испытаниях начинались в зоне фреттинга, а не
в областях, примыкающих к зоне контакта, в этом конкретном
случае механизм зарождения микротрещин вследствие трения за-
тенялся, вероятно, другими механизмами фреттинга.
Влияние напряженного состояния детали при фреттинге для
некоторых различных случаев [161 показано на рис. 14.5, включая
случаи действия растягивающего и сжимающего статических
средних напряжений цикла при фреттинге. Из рассмотрения при-
веденных на рис. 14.5 результатов следует интересный вывод,
что фреттинг в условиях действия сжимающего среднего напря-
жения, либо статического, либо циклического, сильно снижает
усталостные характеристики материала. Это на первый взгляд не
согласуется с тем, что сжимающие напряжения благоприятно
сказываются при усталостном нагружении. Однако установлено
[17] (рис. 14.6), что сжимающие напряжения при фреттинге, зна-
чения которых приведены на рис. 14.5, в действительности при-
водят к возникновению локальных остаточных растягивающих
напряжений в зоне фреттинга. Аналогично растягивающие напря-
жения при фреггинге, значения которых приведены на рис. 14.5,
служат причиной возникновения локальных остаточных напря-
жений сжатия в зоне, подвергнутой фреттингу. Эти локальные
напряжения сжатия впоследствии благотворно сказываются на
минимизации повреждений при фреттинг-усталости.
Дополнительные свидетельства о влиянии остаточных сжима-
ющих напряжений на снижение повреждений вследствие фреттинг-
усталости приведены на рис. 14.7, па котором представлены ре-
зультаты испытаний методом Про (см. разд. 10.6) стальных и ти-
тановых образцов при различных сочетаниях дробеструйной обра-
ботки и фреттинга или холодной прокатки и фреттинга. Эти ре-
зультаты свидетельствуют о тем. что остаточные сжимающие на-
пряжения после дробеструйной обработки и холодной прокатки
являются эффективным средством минимизации повреждений вслед-
ствие фреттинга. Уменьшение разброса фреттинг-усталостных
характеристик титана имеет особо важное значение для расчет-
чика, поскольку расчетное напряжение непосредственно зависит
от величины нижней границы полосы разброса.
16*
484 Гл, 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
Если условия для фреттинга вполне вероятны при эксплуа-
тации конструкции, в качестве средства уточнения значения уста-
лостной прочности материала с учетом фреттинга предложено (1)
ввести коэффициент снижения усталостной прочности, или коэф-
фициент фреттинг-усталостной поврежденности. Если Ev —
Рис. 14.6. Схемы, поясняющие, почему образцы после фреттинга в условиях дей-
ствия сжимающего среднего напряжения (см. рис. 14.5) имеют большую повреж-
денность, чем образцы после фреттинга в условиях действия растягивающего
среднего напряжения, (а) Сжатие в процессе фреттинга; (Ь) растяжение в процессе
фреттинга; 1 — перед фретгингом; 2 — в процессе фреттинга; 3 — движение
фреттинга; 4 — после фреттинга; 5 — локальное растягивающее напряжение;
6 — локальное сжимающее напряжение.
усталостная прочность материала в исходном состоянии при не-
которой заданной долговечности и Ef — фреттинг-усталостная
прочность материала, т. е. усталостная прочность с учетом влияния
фреттинга, то коэффициент фреттинг-усталостной поврежденности
£>/ можно определить так:
^ = (1 —(14.1)
14.3. Фреттинг-усталость 485
Значения коэффициента фреттинг-усталостной поврежденности О/
находятся в диапазоне от 0 до 1. Когда величина Df равна нулю,
нет никаких фреттинг-усталостных повреждений, а когда коэф-
фициент Df равен единице, усталостная прочность из-за фреттинга
снижается до нуля. К сожалению, коэффициент поврежденности
Df зависит от всех описанных ранее факторов, влияющих на про-
цесс фреттинга, и функциональная зависимость от них пока не
Рис. 14.7. Усталостные характеристики образцов стали и титана после фреттинга
при различной степени дробеструйной обработки и холодной прокатки (см. таб-
лицу обозначений на стр. 486 [11]). По оси ординат — значения разрушающего
напряжения, определенные методом Про, 103 фунт/дюйм2.
установлена. Графически зависимость Df от напряженного состоя-
ния при фреттинге в довольно ограниченном диапазоне условий
окружающей среды изображена на рис. 14.8. Хотя предложенный
подход использовать можно, получение данных, позволяющих
определить коэффициент фреттинг-усталостной поврежденности для
всех представляющих интерес условий фреттинга, является серь-
езной проблемой
Недавние попытки применить методы механики разрушения к
проблеме оценки долговечности в условиях фреттинг-усталости
дали обнадеживающие результаты и показали, что с их помощью
можно предоставить в распоряжение расчетчиков способ получения
количественных оценок 1311. Эти исследования показывают, что
основной эффект влияния фреттинга на процесс усталостного
разрушения проявляется в ускорении процесса возникновения
усталостных трещин и начальной стадии их роста; кроме того,
4В6 Гл, 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
Сводная таблица результатов, приведенных на рис. 14.7
(размер выборки — 1 б образцов)
Условия испытания	Обозначения	Среднее значение разрушающего на- пряжения, опреде- ленного методом Про, фунт/дюйм1	Несмещенное стан- дартное отклонение, фунт/дюйм1
Сталь SAE 4 34 0» без фреттинга, полировка	NF-P-S	78 200	5456
Титан Т1-140-А, без фреттинга, полировка	NF-P-T	77 800	2454
Титан Т1-14 0-А, без фреттинга, слабая дробеструй- ная обработка	NF-MSP-T	83 100	1637
Титан Ti-140-А, без фреттинга, интенсивная дробе- струйная обработка	NF-SSP-T	85 700	2398
Титан Ti-140-А. без фреттинга, слабая холодная прокатка	NF-MCR-T	85 430	1924
Титан Т<-140-А, без фреттинга, интенсивная хо- лодная прокатки	NF-SCR-T	95 4 00	2120
Сталь SAE 4340. слабый фреттинг. полировка	MF-P-S	77 280	4155
Сталь SAE 434 0, умеренный фреттинг, полировка	MEF-P-S	71 850	5492
Сталь SAE 4340, интенсивный фреттинг, полировка	SF-P-S	67 700	6532
Титан Ti-14 0-Л, слабый фреттинг, полировка	MF-P-T	81 050	3733
Титан Ti-140-А, умеренный фреттинг, полировка	MEF-P-T	58 140	15 715
Титан Ti-140-А, интенсивный фреттинг, полировка Титан Ti-14 0-А, слабый фреттинг, слабая дробе- струйная обработка	SF-P-T	38 660	19 342
	MF-MSP-T	84 520	5239
Титан Ti-1 40-А, умеренный фреттинг, слабая дро- беструйная обработка	MEF-MSP-T	84 930	2446
Титан Т1-1 40-А, интенсивный фреттинг. слабая дробеструйная обработка	SF-MSP-T	84 870	2647
Титан Ti-1 40-Л. слабый фреттинг. интенсивная дробеструйная обработка	MF-SSP-T	83 600	1474
Титан Ti-140-А, умеренный фреттинг, интенсивная дробеструйная обработка	xMEF-SSP-T	83 24 0	1332
Титан Т1-1 40-А, интенсивный фреттинг. интенсив- ная дробеструйная обработка	SF-SSP-T	83 1 10	1280
Титан Ti-1 40-А, слабый фреттинг. слабая холод- ная прокатка	MF-MCR-T	82 050	4313
Титан Ti-140-А, умеренный фреттинг, слабая хо- лодная прокатка	MEF-MCR-T	76 930	8305
Титан TI-140-A. интенсивный фреттинг. слабая холодная прокатка	SF-MCR-T	67 960	5682
Титан Ti-140-А. слабый фреттинг, 1'птенсивная холодная прокатка	MF-SCR-1	93 690	1858
Титан Ti-1 40-А, умеренный фреттинг. интенсивная холодная прокатка	MEF-SCR-T	91 950	2098
Титан Ti-1 40-А. интенсивный фреттинг, интснсиг- ная холодная прокатка	SF-SCR-T	93 150	365
они свидетельствуют о том, что, когда трещины достигают значи-
тельно!! длины, фреттинг не оказывает существенного влияния
на их распространение. На этом этапе для описания процесса
распространения трещины справедлив описанный в разд. 8.6 под-
ход, основанный на применении механики разрушения.
Далее установлено, что во многих случаях значения долговеч-
ности при фреттинг-усталости определяются в основном этапом
распространения трещин, а зарождение трещины происходит на
столь раннем этапе, что его можно считать фактором второго по-
рядка значимости.
14.4. Фреттинг-износ 487
Указанные выводы подтверждены экспериментально для алю-
миниевого сплава 7075-Т7351 [311. Исходя из этих гипотез, пред-
ложен «метод эквивалентного начального состояния», в соответ-
ствии с которым определяется эквивалентный размер начального
дефекта при фреттинге [321. Эквивалентный «размер начального
дефекта» представляет собой размер такого гипотетического де-
фекта, при существовании которого в момент начала усталостного
нагружения время до разрушения, определенное по законам меха-
ники разрушения, совпало
бы с действительно наблю-
даемым временем до разру-
шения при фреттинге. В
работе [311 по результатам
исследования алюминия
7075-Т7351 определено рас-
четное среднее значение
эквивалентного размера
начального дефекта для
фреттинг-усталости, рав-
ное примерно 0,36 мм.
Обнаружено далее, что эк-
вивалентные размеры на-
чальных дефектов слабо за-
висят от отношения нап-
ряжений цикла /?, мак-
симального напряжения
цикла атах и наличия цик-
лов «перегрузок» растяже-
ния или сжатия. Эти пред-
варительные результаты
позволяют надеяться, что
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
^rnt 10 s фунт/дюйм г
Рис. 14.8. Зависимость коэффициента фрет-
тинг-усталостной поврежденности Dj от сред-
него значения статического напряжения при
фреттинге om-1 — слабый фреттинг; 2 — ин-
тенсивный фреттинг.
методы расчета фреттинг-усталости,
использующие результаты исследования роста трещин на осно-
ве механики разрушения, в будущем могут стать достаточно на-
дежными.
Окончательная оценка опасности фреттинг-усталостных по-
вреждений конструкции может быть сделана лишь по результатам
модельных испытаний образцов или элементов конструкций. Со-
временное состояние знаний в области фреттинг-усталости таково,
что в распоряжении конструктора пока нет других надежных
средств.
14.4.	ФРЕТТИНГ-ИЗНОС
Фреттинг-износ представляет собой изменение размеров вслед-
ствие износа, причиной которого служит фреттинг на поверхности
контакта двух поверхностей. Представляется, что основными
механизмами разрушения вследствие фреттинг-износа являются
488 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
абразивное действие, возникновение микротрещин при контакте
шероховатостей и расслоение поверхности. Пока еще не создано
модели, достаточно хорошо описывающей явление фреттинг-из-
носа и позволяющей производить расчеты. Для оценки потери веса
вследствие фреттинга предложено [71 следующее выражение:
^totai =	(C/F) + k2SLC9	(14.2)
где — полная потеря веса образца; L — нормальная
контактная нагрузка; С — число циклов фреттинга; F — частота
фреттинга; S — величина проскальзывания поверхностей, под-
Рис. 14.9. Характеристики нагружения топливного элемента реактора в эксплуа-
тационных условиях.
верженных фреттингу; А?о, klt k2 — эмпирически определяемые
постоянные.
Показано, что это соотношение достаточно хорошо согласуется
с результатами испытаний образцов из мягкой стали в достаточно
широком диапазоне условий фреттинга [71. Однако потеря веса
не представляет непосредственного интереса для расчетчика. Го-
раздо больший интерес представляет глубина износа. Оценка
глубины износа в практических ситуациях должна, как правило,
основываться на результатах модельных испытаний. С целью ил-
люстрации возможного подхода к оценке глубины износа рас-
смотрим задачу определения глубины износа в местах контакта
опорных плит и стержней топливных элементов ядерного реак-
тора. Для получения такой оценки необходима информация о
спектре амплитуд и частот нагрузок, возникающих при работе
реактора, а также результаты лабораторных исследований зави-
14.4. Фреттинг-изноъ 489
Рис. 14.10. Интегральная функция распреде-
ления, характеризующая вероятность ампли-
туды фреттинга в эксплуатационных услови-
ях. По оси абсциисс — амплитуда, мил (10~3
дюйм); по оси ординат — частота возникнове-
ния амплитуды, %.
симости глубины износа от амплитуды фреттинга и полного числа
циклов фреттинга.
На рис. 14.9 графически представлены результаты тщательного
анализа характеристик нагружения топливного элемента реактора
в эксплуатационных условиях. В конкретном исследуемом случае
наибольший интерес представляет только одна характерная ча-
стота, равная примерно 78 цикл/с (Гц). На рис. 14.10 приведен
график функции распреде-
ления амплитуды фреттин-
га в эксплуатационных ус-
ловиях, построенный по
результатам эксперимен-
тов. Зная характерную
частоту по данным, приве-
денным на рис. 14.9, и ве-
роятность возникновения
амплитуды в некотором
заданном диапазоне ее зна-
чений поданным рис. 14.10,
можно оценить число цик-
лов воздействия амплиту-
ды фреттинга из любого
заданного диапазона зна-
чений за час или год ра-
боты реактора. Остается
только увязать эту инфор-
мацию с глубиной фрет-
тинг-износа.
В лаборатории можно
провести достаточно прос-
тые модельные эксперимен-
ты с постоянной амплиту-
дой фреттинг-износа при
различных значениях амп-
литуды и нормального уси-
лия из представляющего интерес диапазона их значений. Резуль-
таты ряда испытаний такого типа показаны на рис. 14.11 в виде
графиков зависимости глубины износа от числа циклов при нес-
кольких различных значениях амплитуды фреттинга.
Наконец, с помощью рис. 14.11, используя информацию о
числе циклов при различных значениях амплитуды, полученную
из рис. 14.9 и 14.10, можно оценить полную глубину фреттинг-
износа после года работы реактора. Оценка находится графически
путем построения траектории вдоль кривой на рис. 14.11, соот-
ветствующей заданному значению амплитуды, на расстояние,
определяемое предполагаемым числом циклов воздействия этой
амплитуды за год работы, и последующего перехода по горизон-
490 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
тали, соответствующей постоянной глубине износа, на кривую,
полученную для второго значения амплитуды цикла. Далее стро-
ится траектория вдоль второй кривой с учетом ожидаемого числа
циклов воздействия за год для этой второй амплитуды. Указанная
процедура повторяется, как показано на рис. 14.11 штриховой
линией. Когда таким образом будут учтены все значения амплитуды,
с помощью рис. 14.11 можно определить полную глубину износа,
Рис. 14.11. Зависимость глубины износа от числа циклов фреттинга для некото-
рых значений амплитуды фреттинга, указанных на рисунке. По оси абсцисс —
число циклов фреттинга, цикл; по оси ординат — максимальная глубина фреттин-
га-износа, мил (10-3 дюйма); / — оценка полной глубины износа.
соответствующую ординате конечной точки штриховой линии.
Описанный подход может быть применен для оценки глубины
износа практически в любой ситуации. Для этого требуется лишь
проведение модельных испытаний, позволяющих получить необхо-
димые в каждом конкретном случае исходные данные.
Некоторые исследователи считают, что оценки глубины фрет-
тинг-износа можно получать, основываясь на соотношениях, ис-
пользуемых для анализа адгезионного или абразивного износа,
в соответствии с которыми глубина износа пропорциональна на-
грузке и полной величине скольжения, вычисляемой путем умно-
жения относительного смещения за цикл на число циклов. Хотя
и известны некоторые данные о возможности использования та-
кого подхода [291, для рекомендации его в качестве общего метода,
пригодного в различных ситуациях, требуется проведение допол-
нительных исследований.
14.6. Минимизация повреждений вследствие фреттинга 491
В тех случаях, когда фреттинг-износ приводит к появлению
зазоров в местах крепления, например труб к опорным плитам
парогенераторов или теплообменников, топливных элементов к
плитам реактора, может наблюдаться ударный фреттинг. Ударный
фреттинг представляет собой разновидность фреттинга, причиной
которого служат малые поперечные относительные перемещения
соударяющихся поверхностей, возникающие из-за поперечных де-
формаций или малых поперечных составляющих скоростей при
скользящем ударе. Ударному фреттингу лишь недавно стало уде-
ляться внимание в литературе [301, однако следует отметить, что
в некоторых условиях разрушение вследствие ударного фреттинга
может представлять серьезную опасность.
14.5.	ФРЕТТИНГ-КОРРОЗИЯ
Фреттинг-коррозию можно определить как любое коррозионное
повреждение поверхности, являющееся непосредственным след-
ствием фреттинга. Последствия фреттинг-коррозии, как правило,
представляют меньшую опасность, чем последствия фреттинг-
износа или фреттинг-усталости. Отметим, что термин фреттинг-
коррозия используется нами не в качестве синонима фреттинга,
как это часто делается в литературе по фреттингу, а лишь в смысле,
указанном в разд. 14.1. Вероятно, основным и единственным спо-
собом минимизации эффектов фреттинг-коррозии является подбор
соответствующей пары контактирующих материалов. В табл 14.1
приведены различные пары материалов, сгруппированные в соот-
ветствии со степенью сопротивляемости фреттинг-коррозии [181.
При использовании таблицы необходимо внимательно сопоставлять
результаты, полученные разными исследователями, поскольку
условия испытаний иногда значительно различаются.
14.6.	МИНИМИЗАЦИЯ ИЛИ ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ
ВСЛЕДСТВИЕ ФРЕТТИНГА
Минимизация или предотвращение повреждений вследствие фрет-
тинга в каждом конкретном случае использования конструкции
должны рассматриваться в качестве отдельной проблемы, поскольку
меры, дающие положительный эффект в некоторых ситуациях,
в других случаях могут значительно ускорять процесс поврежде-
ния. Например, для соединения, которое не должно допускать
относительных смещений соединенных деталей, иногда возможно
уменьшить или предотвратить фреттинг, увеличивая нормальное
давление до такой степени, что любые относительные смещения
становятся невозможными. Однако, если увеличение давления
не позволяет полностью исключить относительное смещение, в
результате может произойти значительное увеличение вызыва-
емого фреттингом повреждения, а не предотвращение фреттинга.
492 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
Таблица 14.1. Сопротивляемость фреттинг-коррозии различных пар
материалов [18]
Пары материалов, хорошо сопротивляющиеся фреттинг-коррозии
Сэкман и	Свинец	по стали
Райтмайер	Серебряное покрытие Серебряное покрытие Сталь Parco-lubrized	по стали по серебряному покрытию по стали
Грей и	Сталь после дробеструйной об-	по стали (очень хорошая со-
Дженни	работки со свинцовым покры- тием 1/16-дюймовая найлоновая про- кладка Сталь (бондеризованная) с фос- фатом цинка и железа	противляемость) по стали (очень хорошая со- противляемость) по стали (хорошая сопротивля- емость при толстом покрытии)
Мак-Дауэлл	Слоистый пластик Твердая	инструментальная сталь Холоднокатаная сталь Чугун Чугун Чугун Чугун Чугун Чугун	по золотому покрытию по инструментальной стали по холоднокатаной стали по чугуну с фосфатным покры- тием по чугуну с резиновой обмазкой по чугуну с покрытием из сер- нистого вольфрама по чугуну с резиновой про- кладкой по чугуну со смазкой Molykote по нержавеющей стали со смаз- кой Molykote
Пары материалов, умеренно сопротивляющиеся фреттинг-коррозии
Сэкман и	Кадмий	по стали
Райтмайер	Цинк Медный сплав Цинк Медное покрытие Никелевое покрытие Серебряное покрытие Железное покрытие	по стали по стали по алюминию по алюминию по алюминию по алюминию по алюминию
Грей и	Бронза с сернистым покрытием	по стали
Дженни	Литая бронза Магний Сталь после дробеструйной об- работки	по стали Parco-lubrized по стали Parco-lubrized по стали
Мак-Дауэлл	Чугун Медь Латунь Цинк Чугун Чугун Магний Цирконий	по чугуну (шероховатая или гладкая поверх Hocib) по чугуну по чугуну по чугуну по серебряному покрытию по медному покрытию по медному покрытию по цирконию
14.6. Минимизация повреждений вследствие фреттинга 493
Продолжение табл. 14.1
Пары материалов, плохо сопротивляющиеся фреттинг-коррозии
Сэкман и Райтмайер Грей и Дженни Мак-Дауэлл	Сталь Никель Алюминий Алюминиево-кремниевый сплав Сурьмяное покрытие Олово Алюминий Цинконое покрытие Дробеструйная обработка и се- ребряное покрытие Сталь Дробеструйная обработкам мед- ное покрытие Дробеструйная обработка и се- ребряное покрытие Дробеструйная обработка и алю- миниевая фольга Бериллиево-медная прокладка Магний Азотированная сталь Алюминий Алюминий Магний Чугун Слоистый пластик Бакелит Твердая	инструментальная сталь Хромистое покрытие Чугун Золотое покрытие	по стали по стали по стали по стали по стали по стали по алюминию по алюминию по стали ** по стали по стали по стали по стали по стали по стали по стали с хромистым покра- тием по чугуну по нержавеющей стали по чугуну по хлористому покрытию по чугуну по чугуну по нержавеющей стали по хромистому покрытию по оловянному покрытию по золотому покрытию
•) Возможно эффективное использование пары при малых нагрузках н толстом
(0.005 дюйма) серебряном покрытии.
Сопротивляемость несколько улучшается и результате нагрева стали с хромистым
покрытием до 538°С в течение одного часа.
Тем не менее известен ряд основных принципов, которыми це-
лесообразно руководствоваться для минимизации или предотвра-
щения фреттинга. Они включают в себя:
1.	Полное разделение контактирующих поверхностей.
2.	Исключение возможности относительного движения контак-
тирующих поверхностей.
3.	Если относительное движение исключить невозможно, иногда
эффективным средством оказывается наложение больших одно-
направленных движений, создающих благоприятные условия для
смазки. Например, эффективным с точки зрения исключения фрет-
тинга может оказаться устройство подвижной внутренней или
внешней обоймы поворотного подшипника.
494 Гл. 14. Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-износ
4.	Создание остаточных сжимающих напряжений на поверх-
ности, где может возникнуть фреттинг, путем дробеструйной об-
работки, холодной прокатки или посадки с натягом.
5.	Обоснованный подбор пары контактирующих материалов.
6.	Применение прослоек или покрытий из материалов с малыми
модулями сдвига, таких, как свинец, резина или серебро.
7.	Обработка поверхностей и использование покрытий в каче-
стве твердой смазки.
8.	Нарезка канавок на поверхности или придание ей шерохо-
ватости с целью дать возможность удаления осколков и подгонка
за счет деформирования в упругой области.
Лишь первые два из указанных принципов позволяют полно-
стью предотвратить фреттинг. Остальные же с успехом могут
применяться с целью минимизации фреттинга и достижения при-
емлемых конструктивных решений.
ВОПРОСЫ
1.	Дайте определения фреттинга и укажите различие явлений разрушения
вследствие фреттинг-усталости, фреттинг-износа и фреттинг-коррозии.
2.	Перечислите факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на
явления разрушения, связанные с фреттингом.
3.	Для объяснения фреттинга выдвинуто несколько гипотез. Среди них ги-
потезы об абразивном действии, о возникновении микротрещин в результате
контакта шероховатостей, о возникновении циклических напряжений при трении
и о расслоении поверхности. Кратко опишите физические предпосылки, лежа-
щие в основе каждой из этих гипотез; воспользуйтесь соответствующими рисун-
ками.
4.	По результатам ряда испытаний на фреттинг-усталость установлено, что
условиями «интенсивного» фреттинга для пары сталь SAE 4340 — сталь 4340
являются относительное смещение па 0,003 дюйма и номинальное контактное дав-
ление 10 000 фунт/дюйм2. Усталостные свойства материала приведены на
рис. 12.17(d). Предполагая, что для используемой стали 4340 пригодны данные,
приведенные на рис. 14.8, расчетная долговечность 105 циклов и коэффициент без-
опасности 1,2, рассчитайте требуемый диаметр несущего элемента из стали 4340,
если действующая на него нагрузка циклически меняется от 6000 фунтов при
сжатии до 2000 фунтов при растяжении и наличие зажимного кольца создает при
работе элемента условия для «интенсивного» фреттинга.
5.	По результатам анализа данных о вибрациях труб теплообменника, вызы-
ваемых потоком жидкости, амплитуда фреттинга аппроксимируется приведенными
Амплитуда фреттинга, мил	Частота вози и кн овей и я амплитуды. %
>0,5	1,0
0,4—0,5	5,0
0 3—0,4	10,0
0,2-0,3	30,0
0,1-0,2	45,0
<0.1	9,0
1 миле 10~3 дюйма
Литература 495
в таблице данными. Характерная частота вибраций в месте контакта с опорной
плитой составляет около 50 Гц. Предполагая, что представленные на рис. 14.11
данные соответствуют фреттинг-износу в условиях работы теплообменника для
используемой пары материалов, оцените глубину фреттинг-износа через год ра-
боты, считая, что теплообменник функционирует непрерывно.
6.	Известно, что фреттинг-коррозия представляет серьезную опасность для
шпоночных соединений стали со сталью в самолете. Предложите один или несколь-
ко способов повышения сопротивляемости шпоночного соединения фреттинг-
коррозии.
7.	Перечислите нес кальке основных правил, руководствуясь которыми мож-
но минимизировать или предотвратить фреттинг.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Collins J. A. Fretting-Fatigue Damage-Factor Determination.— Journal of
Engineering for Industry, ASME Transactions, 87, No. 8, Series В (August
1965), p. 298—302. [Имеется перевод: Коллинз. Определение коэффициента
потери усталостной прочности при истирании.— Конструирование и техно-
логия машиностроения. Труды Американского общества инженеров-механи-
ков, серия В, 1965, т. 87, № 3, с. 39—44.]
2.	Godfrey D. Investigation of Fretting by Microscopic Observation.— NACA Re-
port 1009, 1951 (formerly TN-2039, February 1950).
3.	Bowden F. P., Tabor D. The Friction and Lubrication of Solids.— London:
Oxford University Press, Amen House, 1950.
4.	Godfrey D., Bailey J. M. Coefficient of Friction and Damage to Contact Area
During the Early Stages of Fretting; I — Glass, Copper, or Steel Against Cop-
per.— NACA TN-3011, September 1953.
5.	Merchant M. E. The Mechanism of Static Friction.— Journal of Applied Phy-
sics, 11, No. 3 (1940), p. 232.
6.	Bisson E. E., Johnson R. L., Swikert M. A., Godfrey D. Friction, Wear, and
Surface Damage of Metals as Affected by Solid Surface Films.— NACA TN-
3444, May 1955.
7.	Uhlig H. H. Mechanism of Fretting Corrosion. — Journal of Applied Mechanics,
ASME Transactions, 76 (1954), p. 401—407.
8.	Feng I. M., Righlmire B. G. The Mechanism of Fretting.— Lubrication Enginee-
ring, 9 (June 1953), p. 134ff.
9.	Feng I. M. Fundamental Study of the Mechanism of Fretting.— Final Report,
Lubrication Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge,
1955.
10.	Corten H. T. Factors Influencing Fretting Fatigue Strength.— T. & A. M. Re-
port No. 88, Department of Theoretical and Applied Mechanics, University of
Illinois, Urbana, June 1955.
11.	Starkey \V. L., Marco S. M., Collins J. A. Effects of Fretting on Fatigue Charac-
teristics of Titanium-Steel and Steel-Steel Joints.— ASME Paper 57-A-113,
New York, 1957.
12.	Milestone W. D. Fretting and Fretting-Fatigue in Metal-to-Metal Contacts.—
ASME Paper 71-DE-38, New York, 1971.
13.	Collins J. A. A Study of the Phenomenon of Fretting-Fatigue with Emphasis on
Stress-Field Effects.— Dissertation, Ohio State University, Columbus, 1963.
14.	Milestone W. D. An Investigation of the Basic Mechanism of Mechanical Fretting
and Fretting-Fatigue at Metal-to-Metal Joints, with Emphasis on the Effects
of Friction and Friction-Induced Stresses.— Dissertation, Ohio State Univer-
sity, Columbus, 1966.
15.	Collins J. A., Tovey F. M. Fretting Fatigue Mechanisms and the Effect of Di-
rection of Fretting .Motion on Fatigue Strength.— Journal of Materials, Ameri-
can Society for Testing and Materials, 7, No. 4 (December 1972).
16.	Collins J. A., Smith R. L., Stormont C. W. Static and Cyclic Non-Zcro Mean
Stress Effects During Fretting on Subsequent Fatigue Strength (to be published).
496 Гл. 14, Фреттинг, фреттинг-усталость и фреттинг-изноа
17.	Collins J. A., Marco S. М. The Effect of Stress Direction During Fretting on
Subsequent Fatigue Life.— ASTM Proceedings, 64 (1964), p. 547.
18.	Heywood R. B. Designing Against Fatigue of Metals.— New York: Reinhold,
1962. [Имеется перевод: Хэйвуд P. Б. Проектирование с учесом усталости.—
М.: Машиностроение, 1969.]
19.	Sakmann В. W., Rightmire В. G. An Investigation of Fretting Corrosion Under
Several Conditions of Oxidation.— NACA TN-1942, June 1948.
20,	McDowell J. R. Fretting Corrosion Tendencies of Several Combinations of Me-
tals.— ASTM Symposium on Fretting Corrosion, STP-144, American Society
for Testing and Materials, Philadelphia, 1952.
21.	Gray H. C., Jenny R. W. An Investigation of Chafing on Aircraft Engine Parts.—
SAE Journal, 52 (November 1944).
22.	Stowers C. F., Rabinowicz E. The Mechanism of Fretting Wear.— Paper No.
72-Lub-20, ASME, 1972.
23.	Harris W. J. The Influence of Fretting on Fatigue.— AGARD Advisory Report
No. 45, Harford House, London, June 1972.
24.	Wright G. P., O’Connor J. J. The Influence of Fretting and Geometric Stress
Concentrations on the Fatigue Strength of Clamped Joints.— Proceedings, Ins-
titution of Mechanical Engineers, 186 (1972).
25.	Waterhouse R. B. Fretting Corrosion.— New York: Pergamon Press, 1972. [Име-
ется перевод: Уотерхауз P. Б. Фреттинг-коррозия.—Л.: Машиностроение,
1976.]
26.	Fretting in Aircraft Systems.— AGARD Conference Proceedings CP 161, distri-
buted through NASA, Langley Field, Va., 1974.
27.	Control of Fretting Fatigue.— Report No. NMAB-333, National Academy ol
Science, National Materials Advisory Board, Washington, D. C., 1977.
28.	Suh N. P., Jahanmir S., Fleming J., Abrahamson E. P. The Delamination Theo-
ry of Wear—II.— Progress Report, Materials Processing Lab, Mechanical
Engineering Dept., MIT Press, Cambridge, September 1975.
29.	Lyons H. An Investigation of the Phenomenon of Fretting-Wear and Attendant
Parametric Effects Towards Development of Failure Prediction Criteria.—
Ph. D. Dissertation, Ohio State University, Columbus, 1978.
30.	Ko P. L. Experimental Studies of Tube Fretting in Steam Generators and Heat
Exchangers.— ASME/CSME Pressure Vessels and Piping Conference, Nuclear
and Materials Division, Montreal, Canada, June 1978.
31.	Alic J. A. Fretting Fatigue in the Presence of Periodic High Tensile or Compres-
sive Loads.— Final Scientific Report, Grant No. AFOSR77-3422, Wright Pat-
terson AFB, Ohio, April 1979.
32.	Rudd J. L., Gray T. D. Equivalent Initial Quality Method.— Air Force Flight
Dynamics Lab Technical Memo No. AFFDL-TM-76-83-FBE, 1976,
ГЛАВА 15
УДАР
15.1.	ВВЕДЕНИЕ
Часто оказывается, что возникающие при быстром приложении
сил или заданных перемещений напряжения и деформации во
много раз превосходят напряжения и деформации, которые воз-
никли бы при медленном приложении тех же самых сил или пере-
мещений. Такие быстро прикладываемые силы или перемещения
обычно называются ударными или импульсными нагрузками. Удар-
ное, или импульсное, нагружение имеет место при столкновении
конструкций или их частей с движущимися телами или просто
при внезапном приложении силы либо при внезапном задании
перемещений.
Вопрос о том, следует ли считать нагружение конструкции
квазистатическим или ударным, обычно решается путем срав-
нения времени приложения нагрузки, т. е. времени нагружения,
с наибольшим периодом собственных колебаний конструкции.
Если время нагружения меньше примерно половины наибольшего
периода собственных колебаний, нагружение необходимо считать
ударным или импульсным. Если время нагружения более чем
примерно втрое превышает наибольший период собственных коле-
баний, нагружение можно считать квазистатическим. В случае
ударного нагружения необходимо учитывать не только величину
нагрузки, но и время, в течение которого она достигает конечного
значения, и импульс, представляющий собой площадь под кривой
зависимости нагрузки от времени. В случае же квазистатического
нагружения максимальное значение нагрузки обычно является
единственным параметром, интересующим расчетчика.
Ударные, или импульсные, нагрузки возникают в конструкции
разнообразными путями. Ударная нагрузка создается быстро
перемещающейся нагрузкой, возникающей, например, при движе-
нии поезда по мосту. Действие непосредственно ударных нагрузок,
например при ударе кузнечным молотом, или действие внезапно
приложенных нагрузок, например при горении в цилиндре двига-
теля внутреннего сгорания, также являются примерами ударного
нагружения. Инерционные нагрузки, вызываемые большими ус-
корениями, например при авиационных или автомобильных ката-
строфах, очень часто также оказываются ударными, или импульс-
ными. Хотя ударные, или импульсные, нагружения являются
обычно одноразовыми, иногда, например на сцепки железнодорож-
498 Гл, 15. Удар
ных вагонов или детали кузнечного молота, ударные, или импульс-
ные, нагрузки действуют многократно, что может приводить к
разрушению вследствие ударной усталости. Если при повторяю-
щихся соударениях двух поверхностей происходят локальные
циклические упругие деформации и если эти вызванные соударе-
ниями циклические деформации приводят к образованию у поверх-
ностей полей микротрещин, которые растут и объединяются друг
с другом, как это бывает при поверхностной усталости (см. гл. 3),
то можно сказать, что имеет место ударный износ.
Когда удар происходит в месте крепления конструкции, на-
пример в месте соединения опорной плиты с трубами теплообмен-
ника, ударные силы могут привести к фреттингу вследствие малых
относительных поперечных перемещений, вызываемых попереч-
ными деформациями или малыми поперечными составляющими
скорости скользящего удара, т. е. появляется опасность разруше-
ния в виде ударного фреттинга.
Следует отметить, что при действии ударных или импульсных
нагрузок не только повышаются напряжения по сравнению с ква-
зистатическими нагружениями, но и могут существенно меняться
свойства материала. В разд. 15.11, в частности, содержатся све-
дения, что значения предела прочности, предела текучести и
пластичности при ударном нагружении значительно отличаются
от их значений при статическом или квазистатическом нагружении.
15.2.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УСЛОВИЯХ УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Для простых тел максимальные напряжения или перемещения при
ударе приближенно могут быть определены с помощью использо-
вания закона сохранения энергии, в соответствии с которым внеш-
няя работа, совершенная над телом, должна равняться потенциаль-
ной энергии деформации, накопленной телом, при условии что
потерями можно пренебречь. Чтобы использовать этот метод, сле-
дует приравнять работу внешних сил накопленной энергии дефор-
мации, записать выражение энергии через напряжение или пере-
мещение и определить это напряжение или перемещение.
Рассмотрим, например, простое растяжение стержня 21), пока-
занного на рис. 15.1. Груз весом W падает с высоты h до того мо-
мента, когда он соприкоснется с упором на конце растягиваемого
стержня. Сопротивление стержня останавливает груз И7, и при
этом происходит растяжение стержня на величину у, а в стержне
накапливается энергия деформации. При оценке энергетическим
методом максимального напряжения в стержне при таком ударном
нагружении будем предполагать следующее:
1.	Инерционным сопротивлением стержня и весом упора можно
пренебречь, т. е. масса стержня и упора намного меньше массы
падающего груза.
15.2. Энергетический метод приближенного определения напряжений 499
2.	Перемещение стержня прямо пропорционально действующей
силе и не зависит от времени.
3.	Поведение материала описывается законом Гука, т. е. он
при ударном нагружении остается линейно-упругим.
4.	Потери энергии при ударе нет.
При этих предположениях максимальное напряжение можно
оценить описанным ранее энергетическим методом Внешнюю
энергию ЕЕ можно вычис-
лить как изменение потен-
циальной энергии ударяю-
щего груза при его паде-
нии. Следовательно,
EE=UZ(ft + ymax). (15.1)
Поскольку стержень по
предположению линейно-
упруг, из закона Гука сле-
дует, что
«max =	(152>
откуда перемещение конца
стержня у можно выра-
зить через напряжение о,
длину / и модуль упругос-
ти Е в виде
Утпзх = атах •	(15.3)
Используя это выражение
для перемещения, соотно-
шение (15.1) можно пере-
писать следующим обра-
зом:
Рис. !5.1. Растяжение элемента при ударном
нагружении падающим грузом.
ЕЕ = 1Г(Л-;-оП1ах ЦЕ).
(15.4)
Накопленную в стержне энергию деформации SE к моменту
достижения перемещением у максимального значения можно
записать в виде произведения среднего значения приложенной
силы на перемещение, т. е.
SE = F.,v утм = [(<> + Fт„)/2] (/тах.	(15.5)
При простом растяжении стержня с площадью поперечного сече-
ния А имеем
^max = ^тах •	(15.6)
Подставляя последнее в (15.3) и (15.5), получаем
SE=^xj£nus2=^ .4/.	(15.7)
600 Гл. 15. Удар
Приравнивая выражение для внешней энергии (15.4) выражению
для энергии деформации (15.7), записываем
	«7	=		(15.8)
	, Al ИЛИ а|Пгх ££ ^тах	^—Wh=0.	(15.9)
После деления	(15.9) на величину	AU(2Е) получаем	квадратное
уравнение	_2U7 атах	д ата..	2ГЛЕ_П Al	(15.10)
решая которое находим максимальное значение напряжения
(15.11)
Это выражение представляет собой полученную энергетическим
методом оценку максимального напряжения, возникающего в
растягиваемом стержне при ударном нагружении его падающим
с высоты h грузом W. Используя (15.11) и (15.3), можно получить
выражение для максимального перемещения утлк конца стержня
1Г/Г, .	, 2ЛЕ4]	/1С lot
//max Д£ । 1 + у 1 4“ J •	(15.12)
Интересно отметить, что, как следует из формулы (15.11), при
ударном нагружении максимальное напряжение может быть пони-
жено не только в результате увеличения площади поперечного
сечения, но и в результате уменьшения модуля упругости Е или
увеличения длины стержня I. Этим ударное нагружение отлича-
ется от статического, при котором напряжение в стержне не за-
висит ни от модуля упругости, ни от длины стержня. Выражение
в скобках в формулах (15.11) и (15.12) называется коэффициентом
динамичности.
Интересно рассмотреть, что даст формула (15.11) в предельном
случае, когда высота падения груза h равна нулю. Этот случай
соответствует внезапному приложению нагрузки. Из (15.11) при
h==0 следует, что при внезапном приложении нагрузки
(^тах (внезапное	= 2 (W/A) =2 (Отах)статическое. (15.13)
приложение нагрузки	приложение
Таким образом, максимальное напряжение, возникающее при
внезапном приложении силы 1Г к концу стержня, вдвое больше
напряжения, возникающего в стержне при .медленном приложении
такой же силы W. Аналогично из (15.12) получаем, что макси-
мальное перемещение при внезапном приложении нагрузки вдвое
больше перемещения при статическом нагружении. Следовательно,
(//max(внезапное	= 2 (f/niax)CTaTH4ecKoe	(15.14)
приложение нагрузки	приложение нагрузки
IS. 2. Энергетический метод приближенного определения напряжений 501
Если весом стержня, показанного на рис. 15.1, пренебречь
нельзя, как предполагалось ранее, формулы (15.11) и (15.12) надо
несколько видоизменить с учетом того, что часть энергии падаю-
щего груза расходуется на ускорение массы стержня. Если погон-
ный вес стержня равен q, то формулы, аналогичные (15.11) и (15.12),
будут иметь вид
°т»х— А
_Wl
Утаж —
2НЕА ‘
Wl [1+<j//(317)J
(15.15)
(15.16)
В том случае, когда возникающее при ударе напряжение пре-
вышает предел текучести материала, закон Гука не выполняется,
и полученные соотношения применять нельзя. При этом все же
Рис. 15.2. Иллюстрация метода оценки перемещения при ударном нагружении
в том случае, когда ударные напряжения превышают предел текучести материа-
ла. (а) зависимость силы от перемещения; (Ь) семейство кривых зависимости пе-
ремещения от высоты падающего груза W для различных значений веса падаю-
щего груза.
1
можно оценить напряжения и деформации, если имеется в распо-
ряжении диаграмма зависимости напряжения от деформации для
данного материала. Для стержня длины I с площадью поперечного
сечения А по диаграмме зависимости напряжения от деформации
можно построить кривую зависимости силы Р от перемещения у,
показанную на рис. 15.2(a). Предполагая, что свойства материала
не изменяются, приведенную на рис. 15.2(a) диаграмму «сила
перемещение» можно использовать для определения удлинения
стержня даже и в случае превышения динамическим напряжением
предела пропорциональности. Отметим, что любому прсизвольнс
выбранному значению удлинения соответствует площадь OADF
под кривой «сила — перемещение». Эта площадь равна энергии
деформации (SE)^, требуемой для совершения удлинения //,.
Величину этой энергии деформации надо приравнять внешней
602 Гл. 15. Удар
энергии падающего груза, т. е.
(SE),( = W(h{ + y().	(15.17)
Площадь OADF по диаграмме «сила — перемещение» можно оп-
ределить для любого значения так что единственной неизвест-
ной величиной при заданном весе груза в (15.17) является hb
Находя отсюда можно построить график зависимости от yt
на некотором интервале допустимых значений yt для заданной
Рис. 15.3. Два образца, используемые для сравнительной оценки влияния формы
образца при статическом и ударном нагружениях.
величины Этот график показан на рис. 15.2(b). Там же пока-
заны аналогичные графики для других значений веса груза. Сле-
дует иметь в виду, что когда внешняя энергия W (h+y) превышает
площадь О АВС на рис. 15.2(a), падающий груз разрушает стер-
жень. С помощью рис. 15.2(b) очень просто определить переме-
щение у при падении груза любого веса W с заданной высоты h.
Из предыдущих рассуждений следует, что любое изменение
формы, профиля или свойств материала стержня, приводящее к
уменьшению общей площади ОАВС под диаграммой «сила — пере-
мещение», неблагоприятно скажется на способности стержня вы-
держивать ударные, или импульсные, нагрузки. Для дополни-
тельной иллюстрации этого сравним поведение при статическом
и динамическом нагружениях двух образцов, показанных на рис.
15.3. Отметим, что оба образца имеют одинаковую длину, одина-
ковую минимальную площадь поперечного сечения и изготовлены
из одного материала. Эффектами концентрации напряжений будем
пренебрегать.
В условиях статического нагружения величина силы при
которой начинается текучесть, для обоих стержней одинакова и
15.2.	Энергетический метод приближенного определения напряжений 503
определяется соотношением
Pf!l = ^up,	(15.18)
где оиР — предел текучести материала.
Далее можно подсчитать для каждого из стержней величину
полной накопленной энергии деформации в момент начала теку-
чести. Эта полная накопленная энергия деформации, конечно,
должна равняться внешней энергии, требуемой для начала теку-
чести в каждом из этих случаев. Используя (15.7), полную энер-
гию деформации Ua, накопленную в изображенном на рис. 15.3(a)
стержне, можно записать в виде
Ua = [<J2yp/(2E)]A1l.	(15.19)
При расчете полной энергии деформации {/«,, накопленной в
стержне, который изображен на рис. 15.3 (Ь), следует иметь в виду,
что напряжения в двух концевых участках меньше напряжений в
центральном участке в AJAt раз. Таким образом, применяя (15.7)
к отдельным участкам, получаем
Ub = зЬЛ4 + 2	Л у} •	(15.20)
Поскольку площадь Л2, как изображено на рис. 15.3, равна удво-
енной площади Дъ соотношение (15.20) принимает вид
Ub 2Е 3 + 8Е 3 ’	(io.
или	^ = 2/8[^/(2£)W	(15.22)
или	=	(15.23)
Отсюда очевидно, что накопленная энергия в образце, изоб-
раженном на рис. 15.3(b), к началу текучести составляет всего
лишь две трети энергии, накопленной к началу текучести в образце,
который изображен на рис. 15.3(a). Это несмотря на то, что полный
объем образца, изображенного на рис. 15.3(b), больше. Другими
словами, сопротивляемость удару образца а с меньшим объемом
значительно выше сопротивляемости удару образца Ь. Более того,
если учесть эффекты концентрации напряжений, то окажется, что
сравнительные характеристики образца b даже еще хуже.
Залог успеха при конструировании элементов, наилучшим об-
разом сопротивляющихся ударным нагрузкам, состоит в обеспе-
чении равномерного распределения максимального напряжения
по возможно большему объему материала. Элементы с канавками
и вырезами очень плохо сопротивляются удару, поскольку при
этом всегда существуют малые, сильно напряженные объемы мате-
риала. Такие элементы могут разрушаться при относительно
малых ударных нагрузках. Таким образом, элементы с отверстиями,
галтелями, вырезами или канавками могут быть причиной внезап-
ного разрушения при ударном, или импульсном, нагружении.
504 Гл. 15. Удар
15.3.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ УДАРНОМ
НАГРУЖЕНИИ^
Хотя только что описанный энергетический метод позволяет оце-
нивать максимальные напряжения и перемещения при ударных
нагружениях, он недостаточно хорошо физически моделирует
действительное поведение элемента конструкции. Более точный
анализ напряжений и деформаций, возникающих при ударе,
можно провести на примере исследования однородного упругого
(а)
Рис. 15.4. Однородный упругий стержень, ударяемый силой Р по незакрепленно-
му концу, (а) нагружаемый стержень; (Ь) элемент нагружаемого стержня.
стержня, изображенного на рис. 15.4(a), при внезапном нагру-
жении его равномерно распределенной по незакрепленному концу
продольной силы Р. В момент приложения силы Р к незакреплен-
ному концу стержня приводится в движение лишь очень тонкий
слой материала, расположенный непосредственно под нагрузкой.
Весь остальной материал стержня, удаленный от места прило-
жения нагрузки, в течение некоторого конечного промежутка вре-
мени остается невозмущенным. С течением времени деформация,
возникшая непосредственно под силой Р, распространяется вдоль
стержня в продольном направлении в виде волны упругой дефор-
мации. За фронтом волны стержень деформирован, и частицы ма-
териала движутся. Перед фронтом волны стержень недеформирован
и находится в состоянии покоя. Если длина стержня достаточно
велика, то время, требуемое для прохождения фронта волны уп-
ругой деформации по всему стержню, значительно, и его следует
учитывать.
Уравнение, описывающее распространение одномерной волны
в упругой среде, можно получить, рассматривая показанный на
рис. 15.4 (Ь) малый слой стержня, по которому произведен удар.
Если перемещение в направлении х обозначить через и, то продоль-
ную деформацию е элементарного слоя можно подсчитать, раз-
делив изменение его длины на начальную длину dx. Таким образом,
/	। ди j \ / . ди
8=\u + didx-u)ldx = H •	(15.24)
15.3. Распространение волн напряжений при ударном нагружении 505
Используя закон Гука и выражение для напряжения на площадке
тп, показанной на рис. 15.4(d), записываем
Ртп/А=(у=Ее\	(15.25)
следовательно,
(15.26)
Это выражение совместное (15.24) позволяет получить уравнение
Ряп = ЕА(ди/дх).	(15.27)
При получении (15.27) молчаливо предполагалось, что в стержне
возникает лишь продольное нормальное напряжение в направ-
лении х, которое сопровождается появлением поперечной дефор-
мации v(du/dx), причем инерцией движения частиц в поперечном
направлении пренебрегалось. Это предположение справедливо,
если длина продольной волны велика по сравнению с размерами
поперечного сечения стержня. Величину силы Pmine действующей
в сечении стержня /тми, можно записать в виде
Рт,п, = Ртп + (д/дх) Ртп dx,
или Рт п = АЕ + АЕ-%-
т'п' \ дх ] ' дх \ дх )
(15.28)
(15.29)
Таким образом, результирующая сила, которая действует на слой
mm.xn.in, имеет вид
F = Pmin-Pmn,	(15.30)
или F = АЕ	АЕ^-,	(15.31)
[ дх ' дх2 J дх ’	'	'
или F — АЕ (д2и/дх2) dx.	(15.32)
Уравнение движения
F—ma
(15.33)
этого малого элемента можно записать в следующем виде:
АЕ (д2и/дх2) dx — рА dx (d2ufdt2),	(15.3 4)
или д2и/д(2=(Е/р)(д2и/дх2),	(15.35)
где и — перемещение в продольном направлении; t — время; Е —
модуль упругости; р — плотность материала стержня. Это и есть
одномерное волновое уравнение, описывающее распространение
плоской волны в упругой среде.
Непосредственной подстановкой можно показать, что любая
функция вида f(x+\^E/pt), как и любая функция ft(x—^E/pt),
является решением уравнения (15.35). Поэтому общее решение
дифференциального уравнения движения (15.35) можно записать
в виде
м(х, 0 = /(* - VE/pt) + fi(x—р'Ё/pl).	(15.36)
506	Гл. 15. Удар
Это общее решение физически можно интерпретировать следу-
ющим образом. Для любого момента времени t—t0 функция Д
в формуле (15.36) зависит лишь от х, и ее можно изобразить неко-
торой кривой, например qrs на рис. 15.5, форма которой опреде-
ляется видом функции /ь По истечении некоторого отрезка времени
Д/ аргумент функции Д принимает значение х—ргЕ/р(/о+Д0.
Если одновременно сдвинуть абсциссу на величину Дх=рЛ£/р Л/,
то аргумент и значение функции не изменятся. Это показано на
Рис. 15.5. Графическая интерпретация общего решения одномерного волнового
уравнения.
рис. 15.5, где волна перенесена на расстояние Дх по оси х в поло-
жение q'r's' без изменения формы. Таким образом, слагаемое Л
в (15.36) описывает волну перемещения, бегущую в направлении х
с постоянной скоростью с, определяемой соотношением
с = Ax/At = К Е/р	(15.37)
Аналогично слагаемое / в (15.36) описывает волну перемещения,
бегущую в противоположном направлении с той же самой скоро-
стью с. Следовательно, общее решение (15.36) представляет собой
две волны перемещения, распространяющиеся вдоль стержня в
противоположных направлениях, каждая с постоянной скоростью
Из соотношения (15.37) следует, что скорость распространения
волны с зависит лишь от свойств материала. Например, для стали
скорость распространения волны равна
। Г30»10ефунт/дюйм2 -144 дюйм2/фут*	.г
У	490 фунт/фуг3-(1/32,2) с2,фут	’	*	'
или с=16 850 фут/с	(15.39)
15.4. Скорость движения частиц и скорость распространения волны 507
Функции f и /1 в каждом конкретном случае определяются
начальными условиями при /=0. Начальные условия можно за-
писать в виде
Ut=o=f (x) + fi(x),	(15.40)
(du/dt)t=<t = c[f (х)-Л'(х)].	(15.41)
Для частного случая, когда в стержне начальная скорость
везде равна нулю, а начальные перемещения заданы функиией
Рис. 15.6. Расщепление волны перемещения на две бегущие волны при нулевой
начальной скорости.
u=F(x), начальные условия имеют вид
ut,a = F(x),	(15.42)
(du/d0<=n = 0.	(15.43)
Этим начальным условиям можно удовлетворить, если положить
f (x)^=f^(x) = 1/2F	(х).	(15.44)
Физически это означает, что начальное	перемещение расщепля-
ется на две равные части, распространяющиеся в виде двух бегу-
щих волн, движущихся вдоль стержня в противоположных на-
правлениях, как показано на рис. 15.6.
15.4.	СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ И СКОРОСТЬ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
Стержень, изображенный на рис. 15.4(a), закреплен одним концом,
а на другом конце нагружается внезапно приложенной продольной
сжимающей силой Р. Сила Р равномерно распределена по площади
поперечного сечения стержня А. Когда прикладывается сила Р,
в очень тонком слое на конце стержня, по которому произведен
удар, возникает сжимающее напряжение о--=Р/А, остальная часть
стержня при этом не напряжена. Затем сжимающее напряжение
передается следующему слою материала и т. д. по всей длине стерж-
ня, т. е. вдоль стержня движется волна сжатия. За фронтом волны
в стержне действует напряжение о=Р.А, а перед фронтом волны
напряжение отсутствует. Скорость, с которой фронт волны рас-
пространяется вдоль стержня, называется скоростью распрост-
ранения волны с. Таким образом, как показано на рис. 15.7, по
истечении некоторого конечного интервала времени t часть стержня
508 Гл. 15. Удар
длиной lc=ct будет сжатой, а остальная часть будет оставаться
ненапряженной.
Следует также отметить, что при внезапном приложении к
концу стержня силы Р частицы материала тонкого слоя придут
в движение в направлении действия приложенной силы со скоростью
частиц и. Важно понимать, что скорость движения частиц v отли-
чается от скорости распространения волны с. Чтобы показать это,
достаточно рассмотреть случай внезапного приложения к стержню
растягивающей силы вместо сжимающей, показанной на рис. 15.4(a).
Рис. 15.7. Стержень при ударном нагружении; показаны напряженная и ненапря-
женная зоны в момент времени /.
При этом возникнет волна растяжения, фронт которой, так же как
и фронт волны сжатия, будет распространяться со скоростью с
в направлении к закрепленному концу. Однако скорость частиц
в напряженной зоне в случае растяжения будет направлена от
закрепленного конца, а не к нему, как при'сжатии. Таким образом,
в случае волны сжатия скорость частиц v и скорость распростра-
нения волны с направлены в одну сторону, а в случае волны рас-
тяжения направление скорости частиц противоположно направ-
лению скорости распространения волны.
Формулу для скорости частиц в сжатой зоне можно получить
следующим образом. Используем закон Гука
п/£=е=д/с//г,	(15.45)
где 1С — длина сжатой зоны, а Д/с— изменение длины сжатой
зоны в результате действия сжимающего напряжения а. Поскольку,
как было установлено ранее, длина 1С равна с/, соотношение (15.45)
можно переписать в виде
Л/с= (о/£)/с= (о/£)с/.	(15.46)
Скорость движения конца стержня, по которому произведен удар
равная скорости частиц в сжатой зоне, определяется поэтому вы
ражен нем
v=Mc./t=(\/t)(o/E)ci	(15.47)
Следовательно,
и=сс!Е.	115.48)
Полученное ранее выражение для скорости распространения
волны с можно найти другим способом, рассматривая импульс
15.4. Скорость движения частиц и скорость распространения волны 509
и момент. Для этого напомним, что вначале все частицы стержня,
включая и расположенные в сжатой зоне длиной /с, находились
в состоянии покоя. При ударе частицы в сжатой зоне приобретают
скорость и. Таким образом, изменение момента количества дви-
жения при этом определяется формулой
=	(15.49)
или До< = (pAct) и.	(15.50)
Импульс	приложенной	сжимающей силы можно	записать	в виде
3 = Pt — oAt	(15.51)
Приравнивая	импульс	изменению момента	количества	движения,
получаем
oAt=pActvt	♦	(15.52)
или и=о/рс.	(15.53)
Если (15.53) теперь приравнять (15.48), то получим
со/Е=а/рс,	(15.54)
или с-Ие/р,	(15.55)
что подтверждает ранее полученный результат (15.37).
Используя (15.55), выражение для скорости частиц (15.53)
можно переписать в виде
и = а/К^Р	(15.56)
Из этих выражений следует, что скорость фронта волны с не
зависит от величины сжимающего напряжения, в то время как
скорость частиц v пропорциональна напряжению сжатия о. Соот-
ношения (15.48) и (15.56) можно переписать в другом виде:
о=Е(и/с),	(15.57)
или a — v | Ер	(15 58)
Отсюда видно, что величина напряжения сжатия в волне оп-
ределяется модулем упругости материала и отношением скорости
частиц к скорости распространения волны. Если абсолютно жест-
кое тело, движущееся со скоростью р, ударяет по концу стержня
в продольном направлении, то на поверхности контакта возникают
сжимающие напряжения, величина которых определяется со-
отношением (15.57) или (15.58). При превышении скоростью уда-
ряющей массы некоторой предельной величины, определяемой
пределом текучести, модулем упругости и плотностью стержня,
возникнут локальные пластические деформации даже и при очень
малой массе ударяющего тела.
Энергия, сосредоточенная в волне сжатия при ее распростра-
нении, состоит из двух частей — потенциальной энергии дефор-
мации и кинетической энергии движущихся частиц.
510 Гл. 15. Удар
В области линейной упругости энергию деформации SE можно
записать в виде
SE = FavAZc-FmaxA/c/2,	(15.59)
что можно переписать, используя (15.46), следующим образом:
5Е=[оЛ/2|[(о/Е)с/],	(15.60)
или SE=Лс/а2/(2£).	(15.61)
Можно также записать выражение для кинетической энергии
волны:
КЕ = */2Мо\	(15.62)
или KE = г/4 [рЛс/] [о/К fp]’,	(15.63)
которое принимает вид
КЕ=Лс/о2/ (2Е).	(15.64)
Таким образом, полная энергия ТЕ волны определяется выра-
жением
ТЕ = SE + KE = */2 (Лс/а2/£) + ‘/2 (АЫог/Е),	(15.65)
т. е. энергия распространяющейся волны наполовину состоит из
энергии деформации и наполовину из кинетической энергии дви-
жущейся массы. Если предположить, что при ударе или распро-
странении волны нет никаких потерь энергии, полная энергия ТЕ
волны должна равняться внешней энергии ЕЕ, сообщаемой вне-
запно приложенной силой, т. е.
ЕЕ=ТЕ.	(15.66)
Чтобы проверить справедливость этого, внешнюю энергию, или
работу, совершаемую сжимающей силой Ло на перемещении &1С,
можно записать в виде
EE= -lo (o/E)ct=Acto2/E.	(15.67)
Сравнивая (15.67) с (15.65), убеждаемся, что условие (15.66) дей-
ствительно выполняется.
15.5.	ПОВЕДЕНИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ НА НЕЗАКРЕПЛЕННОМ
И ЗАКРЕПЛЕННОМ КОНЦАХ
Можно указать на некоторые важные особенности дифференци-
ального уравнения (15.35). Это дифференциальное уравнение
линейно; значит, сумма двух найденных его решений также будет
решением, т. е. выполняется принцип наложения. Имея это в виду,
рассмотрим несколько простых случаев распространения волны
вдоль стержня.
Рассмотрим сначала случай двух волн сжатия, движущихся
вдоль стержня навстречу друг другу со скоростью распространения
15.5. Поведение волны напряжений 511
фронта волны с, который показан на рис. 15.8. Если обе волны
являются волнами сжатия, сжимающие напряжения в зоне пере-
крытия получаются непосредственным сложением величин (h и
о2. Скорость частиц в зоне перекрытия определяется в результате
векторного сложения скоростей частиц ел и и2. Таким образом,
(b)
С-*---
(с;
Рис. 15.8. Взаимодействие двух волн сжатия, движущихся вдоль стержня в про-
тивоположных направлениях.
величина скорости частиц в зоне перекрытия равна |ui—и2| и на-
правлена так же, как и и2, поскольку а2 больше <тъ а скорость
частиц пропорциональна напряжению. На рис. 15.8(a) показаны
две волны сжатия, приближающиеся друг к другу; на рис. 15.8 (Ь) —
перекрытие волн при движении и на рис. 15.8(c) — волны после
полного прохождения их одна через другую.
Далее предположим, что в стержне, как показано на рис. 15.9(a),
навстречу друг другу движутся волна сжатия и волна растяжения
одинаковой величины и длины. Когда эти две волны встречаются
в сечении гни, напряжение обращается в нуль, а скорость частиц
равна 2и. После прохождения волн одна через другую они прини-
мают свою первоначальную конфигурацию, как показано на рис.
15.9 (ft). Нетрудно видеть, что в сечении пт до взаимодействия волн,
в процессе взаимодействия и после него напряжение всегда равно
нулю. Это — характерное концевое условие для незакрепленного
конца стержня, как показано на рис. 15.9(c). Как видно из рис. 15.9,
на незакрепленном конце стержня волна сжатия отражается ана-
логичной волной растяжения и, наоборот, волна растяжения
отражается аналогичной волной сжатия.
512 Гл. 15. Удар
Точно так же можно рассмотреть изображенный на рис. 15.10(a)
случай движения вдоль стержня навстречу друг другу двух оди-
наковых волн сжатия. Когда эти две волны встречаются друг с
другом в сечении /пл, напряжение удваивается, а скорость частиц
обращается в нуль. После прохождения волн одна через другую
они сохраняют свою первоначальную конфигурацию, как показано
на рис. 15.10(b). В сечении тп перед взаимодействием волн, во
Рис. 15.9. Взаимодействие волн сжатия и растяжения одинаковой величины и дли-
ны, движущихся вдоль стержня в противоположных направлениях.
время и после него скорость частиц всегда равна нулю. Это —
концевое условие на закрепленном конце стержня, как показано
на рис. 15.10(c). Из рассмотрения рис. 15.10 следует, что на за-
крепленном конце стержня волна сжатия отражается неизменной
волной сжатия, а волна растяжения без изменений отражается
волной растяжения.
15.6. Распространение волны напряжений в стержне 513
п
(Ь)
Рис. 15,10. Взаимодействие двух волн сжатия одинаковой величины и длины,
движущихся вдоль стержня в противоположных направлениях.
15.6.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕ
ПРИ ВНЕЗАПНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
Изображенный на рис. 15.4(a) стержень, заделанный одним кон-
цом и внезапно нагружаемый продольной силой на незакрепленном
конце, можно исследовать, рассматривая распространение в нем
волн напряжений, как показано на рис. 15.11. В момент прило-
жения силы она возбуждает волну сжимающего напряжения величи-
ной —о, которая движется вдоль стержня со скоростью распростра-
нения фронта волны с по направлению к закрепленному концу, как
показано на рнс. 15.11(a). Скорость частиц в зоне сжатия равна по
величине v и направлена в сторону закрепленного конца. Этот про-
цесс продолжается до тех пор, пока фронт волны сжатия не достиг-
нет закрепленного конца в момент времени t=Uc, после чего, отра-
П 1» 492
614 Гл. 15. Удар
жаясь от закрепленного конца в виде такой же волны сжатия ве-
личиной —о, она движется обратно к незакрепленному концу, как
показано на рис. 15.11(c). Таким образом, в зоне за фронтом отра-
женной волны напряжение равно —2о, а скорость частиц равна
нулю.
Рио. 15.11. Распространение и взаимодействие волн напряжений в стержне, за-
крепленном одним концом, при внезапном приложении продольной нагрузки
к незакрепленному концу
Когда фронт отраженной волны достигнет незакрепленного кон-
ца стержня в момент времени t—21/с, она отразится от свободного
конца в виде волны растяжения величиной о, которая по мере дви-
157. Затухание волны напряжений 515
жения назад к закрепленному концу стержня оставляет за собой
суммарное напряжение сжатия —о, как показано на рис. 15.11(e).
За фронтом волны скорость частиц равна v и направлена от за-
крепленного конца. Когда фронт волны растяжения достигает за-
крепленного конца при t=3Uc, волна отражается в виде такой же
волны растяжения, как показано на рис. 15.11 (g). При этом ве-
личина напряжения и скорость частиц за фронтом волны равны
нулю. Когда фронт волны опять достигает незакрепленного конца
в момент времени t=Allct весь стержень оказывается в состоянии
покоя и отсутствия напряжений, в каком он был до удара. Посколь-
ку фронт волны растяжения далее отражается в виде волны сжатия
величины —о, движущейся по направлению к закрепленному кон-
цу, весь цикл повторяется. Так происходит неопределенно долгое
время, поскольку было сделано предположение об отсутствии дем-
пфирования в результате внутреннего трения, т. е. об отсутствии
рассеяния энергии в материале. Для реальных материалов это
предположение, конечно, неверно.
15.7-	ЗАТУХАНИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ ВСЛЕДСТВИЕ
ГИСТЕРЕЗИСНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
В любом реальном материале из-за демпфирования вследствие
гистерезиса или внутреннего трения будет существовать разность
фаз напряжений и деформаций. Как показано на рис. 15.12, эта
разность фаз может быть охарактеризована фазовым углом <р.
Рис. 15.12, Разность фаз между напряжением и деформацией, обусловленная гис-
терезисом или демпфированием вследствие внутреннего трения.
of
Анализ кривой зависимости напряжений от деформаций (о—е)
при циклическом нагружении с учетом разности фаз кривых (о—0
и (в—0, изображенных на рис. 15.12, показывает, что кривая за-
висимости деформаций от напряжений при циклическом изменении
напряжения становится неоднозначной. Эта кривая образует пока-
616 Гл. 15, Удар
занную на рис. 15.13 петлю гистерезиса. Площадь, ограниченная
петлей гистерезиса одного цикла, равна удельной энергии, рассеи-
ваемой за один цикл вследствие демпфирования из-за внутреннего
трения или гистерезиса.
Площадь, ограниченную петлей, можно определить с помощью
выражения
2л/й)
Д£=	®(0de(0= $ <т0 cosco/[— eowsin(<o/—<p)]d(,	(15.68)
один	и
цикл
при написании которого предполагалось, что волны напряжений
и деформаций имеют вид косинуса с амплитудами а0 и е0 соответ-
Рис. 15.13. Петля гистерезиса на диаграмме зависимости напряжения от дефор-
мации, обусловленная демпфированием вследствие внутреннего трения.
ственно, а разность фаз равна <р. Пределы интегрирования соответ-
ствуют одному циклу; при их написании использовано известное
представление частоты [=ы/ (2л) и то, что период колебаний явля-
ется величиной, обратной частоте. После интегрирования выраже-
ние (15.68) принимает вид
Д£=леоао sin ср.	(15.69)
В соответствии с (15.61) имеем, что накопленная в напряженной
зоне энергия деформации определяется выражением
SE=>kfo2/(2E),	(15.70)
и, если учесть, что объем напряженной зоны равен Act, удельную
накопленную энергию деформации в напряженной зоне можно за-
писать в виде
и= №=5Е/Объем=о2/(2Е).	(15.71)
Для удобства это выражение можно с учетом того, чтос=К^/р,
переписать следующим образом.
и= IV M(o-/(2£)J (р/р) = о-< (2с-р).	(15.72)
157. Затухание волны напряжений 517
В соответствии с основным положением, что для линейно-упру-
гого материала накопленная энергия деформации равна работе,
совершенной над элементом, а работа равна произведению сред-
него значения силы на расстояние, при малом демпфировании мож-
но записать
w к |	I*” = >/а I сте |шах = 1/20о8о.	(15.73)
Приравнивая (15.72) и (15.73), получаем
о0е0/2=о2/(2с2р).	(15.74)
Подставляя этот результат опять в (15.69) и представляя получен-
ное в виде формулы для AW7, имеем
AF=[no2/(pc2)l sin <р,	(15.75)
а объединяя это с (15.72), находим
Д1МГ=2л sin ср.	(15.76)
Для малых значений <р, что можно предположить для большинства
используемых в технике материалов, синус угла можно заменить
величиной самого угла, после чего получаем
AUW»2n<p.	(15.77)
Длина сжатой зоны определяется соотношением
(15.78)
а частота циклического напряжения — формулой
/=©/(2л).	(15.79)
Таким образом, период Т прохождения одного цикла равен
Т=1//=2л/с1),	(15.80)
а длина волны равна
Х= (ZC)<=J =с7'= 2лс/©.	(15.81)
Итак, энергия демпфирования AU7 рассеивается в течение одного
цикла на длине волны 2лс/<о.
Обращаясь к рис. 15.14, можно заключить, что энергия dW,
рассеиваемая малым элементом dx напряженной зоны, пропорцио-
нальна энергии ДИ7, рассеиваемой всей длиной волны напряженной
зоны, т. е.
dW = ДИ7 ’	(15.82)
или dW.dx=—bWw(2nc).	(15.83)
Знак минус здесь поставлен для того, чтобы учесть, что рассея-
ние энергии приводит к уменьшению удельной энергии вдоль стерж-
818 Гл. IS. Удар
ня с увеличением х. С учетом (15.77) и (15.83) имеем
dWidx=—U7(2n<p)<o/(2nc),	(15.84)
или dW/W=—(tf<plc)dx.	(15.85)
Произведя интегрирование (15.85), получаем
й7 = П70ехр [—	.	(15.86)
Это выражение можно записать через напряжения, используя
(15.72), в результате чего имеем
о»/(2с»р) = «ДОр) exp [ -^] ,	(15.87)
или а= аоехр [—^7-] •	(15.88)
Если ввести новую постоянную а, называемую коэффициентом
затухания напряжений, соотношением
а^<р®/(2с),	(15.89)
выражение (15.88) можно переписать в виде
о = а0е-“*.	(15.90)
Отсюда следует, что при х=0 в месте удара напряжение равно
о,. Однако в точках, удаленных от места удара, т. е. при положи-
Рис. 15.14. Потеря энергии вдоль длины стержня вследствие гистерезисного
демпфирования.
тельных значениях х, напряжения затухают экспоненциально с
увеличением расстояния от места удара. Скорость затухания ха-
рактеризуется коэффициентом затухания напряжений а.
Анализируя выражение (15.89) для а, можно заметить, что
скорость затухания больше и затухание ударных напряжений ярче
выражено при большем демпфировании (больших значениях <р),
при более высокой частоте или более быстром возрастании нагрузки
(больших значениях со) либо в материале с меньшим модулем упру-
гости Е или более высокой плотностью р (при меньших значениях с).
Отметим, что использование времени нарастания нагрузки при
15.8. Распространение волн напряжений в стержне 519
ударе в качестве одной четверти периода колебаний является при-
емлемой оценкой круговой частоты <о при проведении описанных
расчетов.
15.8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕ,
УДАРЯЕМОМ ПО КОНЦУ ДВИЖУЩЕЙСЯ МАССОЙ
Если вместо внезапного приложения нагрузки к незакрепленному
концу стержня производится удар по этому концу движущейся
Рис. 15.15. Распространение волн напряжений в стержне, закрепленном одним
концом и ударяемом по другому концу жесткой массой, движущейся в продоль-
ном направлении.
массой, возникающие волны напряжения будут несколько другими,
поскольку движение ударяющей массы замедляется и сила на конце
стержня с течением времени обращается в нуль. При исследовании
поведения такой системы будем предполагать, что гистерезисные
потери отсутствуют и что напряжения все время остаются упруги-
ми. Схема такой системы изображена на рис. 15.15(a).
Пусть ударяющее тело имеет массу А1, а площадь поперечного
сечения стержня равна А. Удобно ввести понятие удельной массы tn
520 Гл. 15. Удар
ударяющего тела на единицу площади поперечного сечения стерж-
ня, т. е.
т=М/А.	(15.91)
Если силу, создаваемую воздействием массы на конец стержня,
обозначить через Pt то сжимающее напряжение на ударяемом кон-
це стержня определится соотношением
и=Р/А.	(15.92)
Кроме того, если скорость ударяющей массы в начальный момент
удара и0> то скорость частиц v на ударяемом конце стержня в этот
момент удара будет равна
(v)/=o = ^	(15.93)
и с помощью (15.58) получаем, что напряжение <т0 на ударяемом
конце стержня в начальный момент удара равно
о0 = ц,^Ер.	(15.94)
Поскольку стержень начинает оказывать сопротивление дви-
жущейся массе с самого начала удара, скорость движущегося тела
постепенно уменьшается и давление на конец стержня постепенно
будет уменьшаться. Следовательно, сжимающие напряжения будут
постепенно уменьшаться (см. рис. 15.15(6)) до тех пор, пока ско-
рость движущегося тела не обратится в нуль. При этом сжимающие
напряжения в начальной ударной волне исчезнут.
Если переменное напряжение сжатия на ударяемом конце стерж-
ня обозначить через а, а переменную скорость жесткого ударяющего
тела (которая равна скорости частиц на конце стержня) — через
ц, то уравнение движения конца стержня можно записать в виде
M(dv/di)+<iA=0,	(15.95)
или с учетом (15.91)
m(dv/dt)+o=:0.	(15.96)
Если в (15.96) подставить выражение (15.56) для v, то можно полу-
чить
(m//Ep)(dcr/dO + o = 0.	(15.97)
Отсюда можно найти напряжение о на конце стержня в явном виде:
о = о0ехр[—ПРИ < 2//С.	(15.98)
Это выражение для напряжения на конце стержня справедливо для
времени t, меньшего времени, которое требуется для того, чтобы вол-
на напряжения прошла до закрепленного конца и вернулась об-
ратно, т. е. для значений t , меньших, чем 2/,'с.
Когда время t станет равным 2/'с, фронт волны напряжения ве-
личиной о0 пройдет весь путь по стержню до закрепленного конца
15.8. Распространение волн напряжений в стержне 521
и вернется назад к ударяемому концу Если удар еще продолжается
и ударяющая масса все еще примыкает к стержню, фронт вернув-
шейся волны воспримет ударяемый конец как заделанный, по-
скольку ударяющее тело не может внезапно изменить свою скорость.
Таким образом, фронт волны сжатия о0 опять отражается от уда-
ряемого конца в виде волны сжатия, и напряжение внезапно уве-
личивается на величину 2о0, как показано на рис. 15.15(c). Такое
внезапное увеличение напряжения на величину 2<г0 на ударяемом
конце стержня будет происходить в течение удара в конце каждого
отрезка времени Т=^2//с, и поэтому на каждом из этих отрезков
для g должно быть получено отдельное выражение.
На первом отрезке 0</<Т полное напряжение сжатия а на
ударяемом конце стержня определяется формулой (15.98). На
втором отрезке T<t<2T в стержне создается ситуация, показанная
на рис. 15.15(c), и полное напряжение на ударяемом конце стержня
представляет собой сумму напряжений от двух волн, движущихся
от ударяемого конца, и одной волны, движущейся к нему. Обобщая
эти рассуждения, можно видеть, что результирующее напряжение
на ударяемом конце представляет собой сумму напряжений от
всех волн, движущихся от ударяемого конца, и от всех волн, дви-
жущихся к нему.
Пусть sx(0, s2(0, •  sn(0 обозначают напряжения на ударяе-
мом конце, создаваемые всеми волнами, движущимися от этого
конца после окончания отрезков времени Т, 2Т, ЗТ, . . пТ соот-
ветственно. Любая возвращающаяся к ударяемому концу стержня
волна представляет собой ту же самую волну, которая в предше-
ствующий отрезок времени, меньший на величину Г, отправля-
лась для прохождения вдоль стержня и обратно. Таким образом,
полное сжимающее напряжение, вызываемое этими возвращающи-
мися волнами на ударяемом конце, в любой момент времени полу-
чается подстановкой величины t—Т вместо / в выражение для сжи-
мающих напряжений, вызываемых волнами, отошедшими от уда-
ряемого конца в течение предшествующего отрезка времени.
Выражение для полного сжимающего напряжения на ударяемом
конце стержня в любой момент времени на отрезке nT<Zt<Z(n + \)T
получается суммированием сжимающих напряжений, вызываемых
всеми волнами, движущимися в течение этого отрезка времени
от ударяемого конца стержня, и сжимающих напряжений, вызы-
ваемых всеми волнами, движущимися в течение этого же отрезка
времени к ударяемому концу. Спедовательно,
o=sn(t)+sn^(t-T).	(15.99)
Подобными же рассуждениями можно показать, что скорость
частиц на ударяемом конце в некоторый момент равняется раз-
ности между суммой скоростей частиц от всех волн, отходящих от
ударяемого конца стержня, и суммой скоростей частиц от всех
волн, подходящих к ударяемому концу. Поэтому, используя
В22 Гл. 15. Удар
(15.56) и (15.99), находим, что на отрезке времени пТ<.К(п+\)Т
скорость частиц v на ударяемом конце стержня определяется вы-
ражением
o = [s„(0-s„-i(*-D]/K£p.	(15.100)
Используя (15.97), можно получить соотношение между sn(f) и
sn-i(Z—Г). Для удобства введем отношение масс а следующим об-
разом:
а=1р/т.	(15.101)
Величину, обратную коэффициенту при первом члене уравнения
(15.97), можно переписать в виде
(15.102)
(15.103)
Поскольку сТ=2/, имеем
^Ёр_ CCL CCL 2а
~7Г==~==сТ/2=7г'
Используя (15.103), (15.99) и (15.97), дифференциальное уравнение
движения ударяемого конца стержня можно привести к виду
4 К (0 -	(t-T)] + -у- [S„ (0 + S„_1 (t - Л] = 0.(15.104)
Умножая (15.104) на ега,/Т и интегрируя полученное уравнение,
находим
«л (0 = (i ~ Л	[р«'/г5в_г (<—Л dt + С,] ,
(15.105)
где Ct— постоянная интегрирования. С помощью (15.105) можно
последовательно построить формулы для Si(t), s2(t), ss(t), . . ., sn(t).
Для первого отрезка времени 0<t<zT в соответствии с (15.98) уже
было установлено, что
=	(15.106)
Учитывая (15.103), последнее можно записать в виде
s0 = o0e-2a</r.	(15.107)
Подставляя выражение (15.107) в (15.105) вместо s„-i, получаем
$i (O = o0e-2awr-1)—Ye~2a,IT [J оиег“б//4-С^ , (15.108)
или S1(0 = a0e~2“('/r-»(i_^_^e-2a//r	(15.109)
Постоянную Ci можно определить, учитывая, что при t=T напря-
жение сжатия на ударяемом конце мгновенно увеличивается на
15.8. Распростраление волн напряжений в стержне 523
величину 2а0. Вычисляя (15.99) и (15.109) при значении t=T, на-
ходим
[О0е-=г-|-2ст0 = [аое-('/г-1) + о0е-2а «/Г-1) (1 _	_
(15.U0)
Отсюда находим постоянную Ct:
Ci = — (а0Т/4а) (1 4-4аг2“).	(15.111)
Подставляя это значение С, опять в (15.109), получаем
s1 = s0 + o0e-2“<'/r-1’[l + 4а (1 — f/T)].	(15.112)
Результат (15.112) можно использовать, чтобы получить выра-
жение для sS1 подставляя в (15.105) выражение (15.112) вместо
sn-i. В результате такой подстановки имеем
sj = s, + о0е- 2“<//г- 2> [ 1 + 2• 4а (2 - ЦТ) + 2 • 4а2 (2 - //Т)2]. (15.113)
Аналогичным способом получается следующее выражение для ss:
$, = s2 + <Joe~га г~ ” [ 1 + 2 • 6а (3 - t/T) +
+ 2-3-4а2(3-//Т)2 + ^-8а’(3-//Т)’1 ,	(15.114)
о • о	J
и точно так же можно определить соответствующие суммы для дру-
гих отрезков времени.
Рис. 15.16. График зависимости безразмерных напряжений от безразмерного вре-
мени на ударяемом конце стержня от всех волн напряжений, отходящих от уда-
ряемого конца. (По данным работы [4]; адаптировано с разрешения McGraw-
Hill Book Company.) Точка 2tiТ= 7,419 соответствует концу удара, когда о=0.
Если, например, отношение масс ос взять равным 1/6, графики
функций s0, sa и s3, вычерченные в безразмерном виде, станут
524 Гл. 15. Удар
такими, как на рис. 15.16. Окончание удара определяется условием
равенства нулю полного напряжения о па ударяемом конце стержня.
Эти кривые наряду с аналогичными кривыми для других массовых
чисел были впервые построены в 1883 г. Сен-Венаном и Фламаном
(см. 14]).
Используя результаты, приведенные на рис. 15.16, и соотноше-
ние (15.99), можно вычислить полное напряжение на ударяемом
Рис. 15.17. График зависимости от времени безразмерного полного напряжения
на ударяемом конце стержня для нескольких различных значений отношения
масс. (По данным работы [4]: адаптировано с разрешения Me Graw-Hili Book
Company.)
конце стержня и построить графики для нескольких различных
значений отношения масс, показанные на рис. 15.17. На этом ри-
сунке продолжительность удара определяется как длина отрезка
на оси времени от начала удара до точки, в которой напряжение о
обращается в нуль. Нетрудно видеть, что с увеличением а продол-
жительность удара уменьшается, т. е. при увеличении массы стерж-
ня относительно массы ударяющего тела продолжительность удара
уменьшается. В табл. 15.1 приведены результаты расчетов продол-
Таблица 15.1. Значения параметра
продолжительности удара Kr, = it^T для нескольких
различных отношений масс [4]
Отношение масс а	«а	Отношение масс а	
1/6	7,419	1/2	4,708
1/4	5,900		3,068
15.8. Распространение волн напряжений в стержне 525
жительности удара для различных значений отношения масс 14J,
полученные по данным вычислений Сен-Венана. В этой таблице
параметр продолжительности равный величине 2UT, в каждом
случае связан с соответствующим отношением масс а. Вспоминая,
что
a=pl/m,	(15.115)
и имея в виду, что
2t/T = 2tc/(2l) = (tll)V~Eip,	(15.116)
реальное время продолжительности удара для любого числа из
таблицы вычисляют в соответствии с (15.116) по соотношению
(/,//)(15.117)
т. е. t4 = KalVplE = KJlc.	(15.118)
Например, если стальной стержень длиной 10 футов одним
концом закреплен, а со стороны незакрепленного конца по нему
производится удар вдоль оси телом, отношение масс которого равно
1/2, удар будет длиться
id=4,708-10/16 850=0,0028 с.	(15.119)
Таким образом, в этом случае удар будет продолжаться около
2,8 мс.
Если а очень мало, то массой стержня можно пренебречь и в
качестве оценки принять, что продолжительность удара будет рав-
на половине периода простых гармонических колебаний стержня с
прикрепленной на его конце массой ударяющего тела. Чтобы по-
казать это, надо только вспомнить, что коэффициент упругости в
продольном направлении сплошного стержня определяется соот-
ношением
k=F/d=SA/(el)=EA/l.	(15.120)
Как следует из элементарного анализа колебаний, частота соб-
ственных колебаний системы с одной степенью, свободы без демп-
фирования определяется формулой
/ = ш/(2л) = [1/(2л)]	= [1/2л)] У'*/(тЛ),	(15.121)
или с учетом (15.120)
f = [ 1 /(2л)] VEAl(lmA) = [ 1/(2л)] УЁДтГ). (15.122)
Поскольку c—V^E р, формулу (15.122) можно записать в виде
f = [1/(2л)] И[£.'(ш/)](р/р) = [1/(2л)] fap,'(ml).	(15.123)
А если учесть, что а=р//т, то
f = [1/(2л)] K[c2p/(m/)](//0 = f Ка/(2л/).	(15.124)
526 Гл. 15. Удар
Так как по предположению при малых а продолжительность удара
можно принять равной полупериоду, в соответствии с (15.124)
можно записать
(^rf)smalJ с/ = 1 /(l/f) = n//(/Sc).	(15.125)
Применяя этот подход к рассмотренному ранее 10-футовому стерж-
ню, с учетом (15.125) получаем
^ = л//(/ас) = л-Ю/(КТ72-(16850)) = 0,00263 с. (15.126)
Таким образом, полученная оценка 2,63 мс хорошо согласуется
с результатом Сен-Венана 2,8 мс. Ошибка всего лишь около 6%.
15.9.	МАКСИМАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЕ,
УДАРЯЕМОМ ПО КОНЦУ ДВИЖУЩЕЙСЯ МАССОЙ
Найденные в предыдущем разделе волновые функции напряжений
Si (О,	• • •> s«(0 дают возможность не только найти напряжения
на ударяемом конце стержня, но и определить полные напряжения
в любом другом месте стержня в виде функции времени. Пол-
ное напряжение в любой точке стержня всегда будет равно сум-
ме напряжений от всех волн, проходящих в сторону закреплен-
ного конца, сложенной с суммой напряжений от всех волн, движу-
щихся через эту точку от закрепленного конца. Когда участок вол-
ны, соответствующий максимальному значению s(0 (точки макси-
мума на рис. 15.17), достигает закрепленного конца и отражается
там, напряжения и от падающей, и от отраженной волн принимают
максимальные значения. Полное напряжение сжатия в этот момент
в этом месте принимает наибольшее из возможных значений в стерж-
не при ударе. Поэтому в дальнейшем целесообразно исследовать
зависимость напряжения от времени на закрепленном конце.
Закрепленный конец свободен от напряжений до тех пор, пока
в момент времени t—T!2 не подойдет фронт первой волны. В этот
момент, как показано на рис. 15.18(a), напряжение мгновенно ста-
новится равным 2а0, так как падающая и отраженная волны имеют
одинаковую величину. Затем напряжение на закрепленном конце
постепенно уменьшается с течением времени, пока в момент времени
3772 не подойдет фронт следующей волны. В этот момент времени
напряжение опять мгновенно увеличивается на 2о0. Полное напря-
жение af в этот момент времени на закрепленном конце составляет,
как показано на рис. 15.18(b),
(ст/),т/2 = 2а0 + 2о1.	(15.127)
Однако, замечая, что ох представляет собой напряжение s0,
излученное ранее в предшествующем интервале, его можно вы-
числить в момент времени t=3T/2 по формуле (15.107), используя
в качестве аргумента величину t—Т. В результате (15.127) прини-
15.9. Максимальное напряжение в стержне 527
мает вид
(*/)зт/2 = 2а0 + 2сгог"2а.	(15.128)
Видно, что максимальное напряжение О/ на закрепленном конце
зависит от отношения масс а. Если масса стержня велика по срав-
Рис. 15.18. Напряжения на закрепленном конце стержня, ударяемого по неза-
крепленному концу движущейся в продольном направлении массой.
нению с массой ударяющего тела, пик ударных нагружений на за-
крепленном конце стержня уменьшается. Результат (15.128) можно
представить в безразмерном виде, показывающем зависимость
полного напряжения на закрепленном конце от 1/а (см. кривую
АВ на рис. 15.19).
Напряженное состояние стержня после завершения очередного
цикла и прихода фронта волны снова к закрепленному концу в
момент времени t=5T/2 показано на рис. 15.18(c). В этот момент
полное напряжение на закрепленном конце определяется соотно-
528 Гл. 15. Удар
шением
(а/)5т/2 = 2а0 + 2ot 4- 2ай,	(15.129)
или	(аД 772 = 20414-е-2а(1 —4а)+е"1а].	(15.130)
Графически этот результат представляется кривой CD на рис. 15.19,
Для других отрезков времени можно построить другие кривые,
как, например, кривую EF на рис. 15.19.
1 • w
с ~
Рис. 15.19. Зависимость безразмерного максимального напряжения на закреп-
ленном конце стержня при продольном ударе по незакрепленному концу от от-
ношения массы ударяющего тела к массе стержня. (По данным работы [51; пере-
печатано с разрешения Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.)
/ — эмпирическое соотношение:
2—энергетический метод: O//o0= К(№/№ь)(1 +
Поскольку обычно расчетчика интересуют лишь максимальные
значения напряжений, особое значение имеют ветви кривых, изо-
браженных на рис. 15.19, которые соответствуют наибольшим зна-
чениям напряжения. Основой для определения максимального
15,10. Распространение волн напряжения 529
ударного напряжения при заданном отношении масс служит сплош-
ная огибающая кривая на рис. 15.19.
На рис. 15.19 кривая / представляет собой эмпирическую пара-
болическую аппроксимацию кривой максимальных ударных напря-
жений. Эта эмпирическая аппроксимация описывается уравнением
= |/” tn! (pl) + 2/3 4* 1 = |/" W / W 4* 2/3 4* 1,	(15.131)
где И7 — вес ударяющего тела, a — вес стержня. Отметим, что
это эмпирическое соотношение очень хорошо аппроксимирует более
сложные результаты теоретического определения максимального
ударного напряжения.
На рис. 15.19 нанесен также график, полученный по результатам
оценок, проведенных описанным в разд. 15.2 энергетическим ме-
тодом. С этой целью (15.15) запишем в виде
of= W 14-ИМЗГ) ’	(15.132)
где
_ _ v0 ,fkWb_ t'o
л V R А
1 / (АЕ/1) Wb
У я
(15.133)
с учетом того, что a=v\^Ep9 E—kl/A и Wb/g=lpA. Кроме того,
отметим, что в качестве внешней энергии при получении (15.15)
использовалась величина ЕЕ=1/а Mv29 а не потенциальная энергия.
Видно, что нанесенная точками на рис. 15.19 кривая 2, соответ-
ствующая энергетической аппроксимации, дает ошибочные, су-
щественно заниженные результаты, если только величина 1/а,
обратная отношению масс, не слишком велика.
15.10.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЕВЫШЕНИИ
ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ
Если по закрепленному с одного конца стержню производится
продольный удар по другому концу мгновенно прикладываемой
большой по величине силой Р9 как показано на рис. 15.4(a), то
предел текучести материала о'ур может быть превышен. Для мате-
риала с ярко выраженной точкой текучести, как, например, угле-
родистая сталь 11], схематичное изображение волны напряжения
в случае превышения вызываемыми внешней нагрузкой напряже-
ниями предела текучести для трех последовательных моментов вре-
мени будет выглядеть, как показано на рис. 15.20. Отметим, что
скорость распространения фронта пластической волны ср меньше
скорости распространения упругой волны. Относительное изме-
нение формы волны на рис. 15.20 обусловлено увеличением расстоя-
ния между фронтами упругой и пластической волн. Например,
теоретическими исследованиями установлено и экспериментально
подтверждено 121, что пластическая волна, порождаемая детонацией
630 Гл. 15. Удар
бризантного взрывчатого вещества у толстой стальной плиты,
распространяется со скоростью, составляющей лишь около ?/в
скорости распространения в такой же плите упругой волны.
Как показано на рис. 15.20, стержень, вдоль которого движется
волна напряжения, можно разбить на три различные зоны: не-
Рис. 15.20. Изображение волны напряжений для трех последовательных моментов
времени при ударе, приводящем к пластическому течению, (a) ^=Xj/c; (i) t2=x2/c;
(с) ft=x/c.
возмущенная зона перед фронтом упругой волны; упруго деформи-
руемая зона за фронтом упругой волны, но перед фронтом пласти-
ческой волны; пластически деформируемая зона за фронтом пла-
стической волны. Напряжения и деформации в невозмущенной
зоне отсутствуют. Величины напряжений и деформаций в упруго
деформируемой зоне определяются величиной предела текучести
15.11. Изменения свойств материалов при ударных нагружениях 531
материала о'ур, а в пластически деформируемой зоне — величиной
приложенной нагрузки Р.
Установлено также, что законы отражения упругих волн от
свободного и закрепленного концов стержня можно применить так-
же и к распространению пластических волн. Иначе говоря, с доста-
точной точностью можно считать, что падающая волна отражается
от закрепленных границ, не изменяясь, а от свободных границ,
изменяя знак, но сохраняя величину.
15.11.	ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПРИ УДАРНЫХ
НАГРУЖЕНИЯХ
Кроме того что при ударном нагружении следует учитывать слож-
ное взаимодействие возникающих волн напряжения, необходимо
иметь в виду, что при динамическом нагружении могут значитель-
но изменяться характеристики материала по сравнению с их обыч-
ными значениями в квазистатических условиях [5]. Зависимость
напряжений от деформаций в циклических условиях уже обсужда-
лась в гл. 8 и 11. Информация об особенностях поведения материа-
лов и изменении их свойств при динамическом нагружении пока
еще далеко не полна, и любые дополнительные сведения о вязкости
разрушения, прочности, жесткости и концентрации напряжений в
условиях ударных воздействий, несомненно, окажутся полезными
расчетчику.
Показано, что у большинства материалов при высоких скоро-
стях нагружения существенно увеличивается предел прочности.
В основном увеличение предела прочности происходит при скоро-
стях нагружения, соответствующих скоростям удара примерно до
25 фут/с. Дальнейшее увеличение скорости напряжения даже до
таких высоких скоростей, как 200 фут/с, приводит, по-видимому,
лишь к незначительному дальнейшему увеличению предела проч-
ности. Типичный график зависимости предела прочности от скоро-
сти удара показан на рис. 15.21, где приведены данные, полученные
при продольном ударном нагружении образцов из стали 1020
длиной 8 дюймов. По абсциссе на рис. 15.21 откладываются зна-
чения скорости удара, а не скорости деформации, поскольку в та-
ких испытаниях можно было бы определить лишь скорость сред-
ней деформации, которая, по существу, не имеет никакого смысла,
так как в результате распространения волн вдоль образца и их
взаимодействия локальная деформация в стержне принимает раз-
личные значения от 0 до довольно больших значений.
Кривая, приведенная на рис. 15.21, типична для многих ме-
таллов. Она свидетельствует о том, что практически все увеличение
предела прочности происходит при изменении скорости удара от 0
до 25 фут/с. В табл. 15.2 приведены динамические (при скоростях
удара выше 25 фут/с) и квазистатические характеристики различ-
ных материалов, применяемых в технике 15].
532 Гл, 15. Удар
Влияние скорости нагружения на предел текучести состоит,
как правило, в увеличении предела текучести с возрастанием ско-
рости нагружения. У многих металлов при скоростях удара около
50—100 фут/с предел текучести повышается до уровня динамиче-
Рис. 15.21. Зависимость предела прочности Sa от скорости удара и; для образ-
цов из стали 1020 при продольном ударном нагружении. (По данным работы [3],
© American Society for Metals, 1950; перепечатано с разрешения.)
ского предела прочности, и материалы в таких условиях являются
хрупкими. Влияние скорости удара на удлинение и способность
к поглощению энергии разнообразны для различных материалов.
е
8
I
и
О
100
V/, фут/с
(Ь)
Рис. 15.22. Зависимость удлинения е
и способности к поглощению энергии
и от скорости удара V[ для т;ех раз-
личных материалов, (а) отожженная
сталь SAE 1020; (Ь) закаленная и сфе-
роидизированная сталь 1045; (с) холод-
TL нокатаная сталь SAE 1020. (По дан-
200 ным работы [3], © American Society
for Metals, 1950; перепечатано с разре-
шения.)
На рис. 15.22 проиллюстрированы три различных типа поседения
материалов. Изменения температуры также влияют на прочностные
характеристики в условиях удара, однако это влияние характери-
15.11. Изменения свойств материалов при ударных нагружениях 533
Таблица 15.2. Статические и динамические свойства некоторых технических
материалов [3, 5]
Материал	Условия обработки	Статический предел теку- чести, фуит'дюйм1	Предел прочности, фунт/дюйм1	
			статиче- ский	динамиче- ский
Литая сталь	Отожженная	16 000	37 100	57 400
SAE 1015	»	29 250	50 600	63 500
1022	Холоднокатаная	64 500	84 000	105 000
1022	Отожженная	41000	65000	82 700
1040	»	43000	78050	91 800
1045	Нормализованная	55500	97 750	105 700
1045	Отожженная (слабо)	48200	81500	117 000
1045	Отожженная (сильно)	51750	94 300	132200
1045	Сфероидизированная	66 400	76 600	98400
1045	Закаленная и отпущенная	132 250	142 900	169000
1095	Нормализованная	74 000	144 600	151000
1095	Закаленная и отпущенная	136 000	176 500	170 500
2345	Аустемперинг, Rc 35 *>	121 000	155700	182000
2345	Закаленная и отпущен-	210 000	265 000	276 000
4140	ная, Rc 52 Аустемперинг, Rc 31	82 000	139 750	150 700
4140	Закаленная и отпущен-	195 000	244 000	258000
5150	ная, Rc 49 Аустемперинг, Rc 31	102 500	148500	165300
5150	Закаленная и отпущен-	205 500	257 000	279 100
8715	ная, Rc 52 Термообработанная	103 700	141 300	170000
8739	Аустемперинг, Rc 37	137000	169 000	207 400
8739	Закаленная и отпущен-	205 000	272000	290 000
Медь	ная, Rc 52 Отожженная	4000	29 900	36 700
»	Холоднокатаная	30000	45000	60 000
Алюминий 1100	Полутвердый	12 000	17 200	22 100
Алюминий 1100	Отожженный	1700	11 600	15 400
Алюминий 2017	Необработанный	38 000	59 900	63 800
Алюминий 2024		47 000	65 150	68 600
Алюминий 2024	Отожженный	14000	33 950	44 980
Магний F	Необработанный	25500	35 920	51760
Магний J	»	29 870	43 750	51 360
Нержавеющая	Необработанная	44 000	93 300	110 800
сталь 302 Замак 11	Литье под давлением	14 000	34 500	50 200
•) Изотермическая закалка с выдержкой в бейнитноЛ области* число твердости по Роквеллу
(шкала С) 35.— Прим, rupee.
534 Гл, 15. Удар
зуется сдвигом их значений в меныпую сторону, без каких-либо
других изменений. На рис. 15.23 в качестве примера приведены
данные о зависимости предела текучести при повышенных скоро-
стях деформации от «температурно-скоростного» параметра Т In (Д/е)
для 7 легированных сталей, полученные в результате испыта-
ний в широком диапазоне температур — от комнатной до
—320°F(—197°С). В выражении для температурно-скоростного
параметра Т — абсолютная температура, °R; Д = 10а с-1; в — ско-
рость деформации, с-1.
Рис. 15.23. Зависимость предела текучести Оу некоторых легированных сталей
от температуры и скорости деформации. Примечание: Т — абсолютная темпера-
тура °R; А — постоянная= 108 с"1; е — скорость деформации, с-1. (По данным
работы [41, © ASTM; адаптировано с разрешения.)
Вязкость разрушения при плоской деформации К1с для мно-
гих материалов также зависит от скорости нагружения. При удар-
ном нагружении вязкость разрушения обычно называют динами-
ческой ударной вязкостью K{d. Для некоторых материалов, таких,
например, как конструкционная сталь малой прочности, харак-
терно непрерывное уменьшение вязкости разрушения с увеличе-
нием скорости нагружения 115] (см. рис. 15.24(a)). Хотя методы
испытаний для определения значений пока еще не стандар-
тизованы, эта величина широко используется расчетчиками. Как
упоминалось в гл. 8, статическая вязкость разрушения зависит от
температуры. Динамическая ударная вязкость разрушения, как
показано на рис. 15.24(b), также является функцией температу-
ры: возрастает с повышением температуры.
15 J/. Изменения свойств материалов при ударных нагружениях 535
К1с
Я, {кфунт/дюйм 3^г)/(
(Ь)
Рис. 15.24. Влияние скорости нагружения К и температуры 0 на вязкость раз-
рушения. (а) зависимость вязкости разрушения от скорости нагружения для ста-
лей с относительно малыми пределами прочности; (Ь) результаты испытаний по
определению К\с (статическое нагружение) и (динамическое нагружение)
для стали А517. (Из работы [15]; перепечатано с разрешения Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.) 1— медленное нагружение; 2—переходный
процесс; 3 — удар; NDT — температура перехода к нулевой пластичности,
536 Гл. 15. Удар
Еще одной характеристикой, связанной с ударным нагруже-
нием, является величина, называемая критической скоростью удара.
Это понятие связано с установленным Карманом w фактом, что
скорость распространения волны пластической деформации про-
порциональна наклону do/de кривой зависимости условного на-
пряжения от условной деформации в точке, соответствующей ве-
личине деформации. Следовательно, выражение для скорости рас-
пространения пластической волны ср имеет вид
t/> = K(do/de)/p.	(15.134)
Это выражение согласуется с выражением (15,55) для скорости
распространения упругой волны с, так как наклон do/de кривой
зависимости напряжения от деформации для упругого материала
равен модулю Юнга Е.
Скорость удара требуемую для достижения пластической
деформацией некоторой заданной величины можно записать
в виде
'\ydt~ = j	(15.135)
о о	о
Отсюда видно, что возрастание пластической деформации связано
с возрастанием скорости удара. На кривой зависимости условного
напряжения от условной деформации существует точка неустойчи-
вости в месте, где dolde обращается в нуль, т. е. точка, в которой
достигаются разрушающее напряжение и соответствующая ему
деформация ет. В этой точке выражение (15.135) можно записать
в следующем виде:
(15.136)
о
где скорость от, соответствующая максимальной деформации при
предельной нагрузке, представляет собой критическую скорость
удара. Если по концу стержня произвести удар со скоростью, пре-
вышающей vm, то ударяемый конец стержня будет двигаться бы-
стрее, чем пластическая волна в стержне, и около ударяемого конца
произойдет ударное разрушение стержня фактически при отсут-
ствии в нем пластических деформаций. Эксперименты показывают,
что это действительно происходит при скоростях удара, больших
критической, и что пластическая деформация при этом распростра-
няется вдоль стержня гораздо медленнее, чем при скоростях, чуть
меньших критической скорости удара. Рассчитанные по формуле
(15.136) значения ит очень хорошо согласуются с эксперименталь-
ными данными, полученными при использовании кривых зависи-
мости напряжения от деформации при динамических нагружениях.
Если же пользоваться кривыми зависимости напряжения от де-
15.12. Расслаивание, или откол, при ударном нагружении 537
формации при квазистатических нагружениях, согласование с эк-
спериментальными данными получится менее удовлетворительным.
Понятие критической скорости удара очень важно в случае, когда
основным критерием качества конструкции служит способность
конструкции поглощать энергию, поскольку при превышении ско-
ростью удара критической величины эта способность существенно
снижается.
При проведении испытаний на удар образцов или элементов
конструкции в условиях возникновения многоосного напряженного
состояния оказывается, что разрушающее напряжение, называемое
критическим нормальным разрушающим напряжением, в этом слу-
чае намного больше динамического разрушающего напряжения
материала при одноосном состоянии. Возможно, что эти две вели-
чины связаны между собой каким-либо неизвестным соотношением.
Предполагается, что наблюдаемая разница вызывается объемными
ограничениями при динамическом сложном напряженном состоянии,
приводящими к возникновению состояния трехосного растяжения.
В настоящее время не существует, кроме экспериментальных, до-
статочно хороших методов оценки критического нормального раз-
рушающего напряжения. Некоторые типичные величины приведе-
ны в табл. 15.3 [111.
Таблица 15.3. Критическое нормальное разрушающее напряжение
для некоторых материалов
Материал	Критическое нормальное разрушающее напряжение, фунт/дюйм*	Соответствующая критическая скорость удара, фут/с
Алюминий (2024-Т4)	140 000	202
Медь (отожженная)	410 000	264
Латунь	310 000	216
Сталь 1020 (oi ожженная)	180 000	84
Сталь 4130 (отожженная)	440 000	235
15.12. РАССЛАИВАНИЕ, ИЛИ ОТКОЛ, ПРИ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ
При ударном нагружении поверхности пластины часто наблюда-
ется откол материала с ее свободной поверхности. Хотя подробное
исследование всех особенностей этого явления не входит в задачи,
поставленные перед этим разделом, можно представить себе про-
цесс качественно, рассматривая распространение волн напряжений,
их отражение и взаимодействие.
При ударе о поверхность пластины снаряда или при подрыве
около нее детонирующего заряда с противоположной ее стороны
может отслоиться или отколоться кусок материала, как показано
на рис. 15.25(a). Чтобы понять механизм явления откола, рассмо-
538 Гл. 15. Удар
Рис. 15.25. Схематичное изображение явления откола вследствие удара по по-
верхности пластины. (По работе [8]; адаптировано.) / — ударяемая поверхность;
2 — свободная поверхность пластины; 3 — сжатие; 4 — результирующая; 5 —
отраженная волна растяжения; 6 — критическое нормальное разрушающее на-
пряжение.
15.12. Расслаивание, или откол, при ударном нагружении R39
трим импульс сжимающего напряжения, проходящий через пла-
стину в результате удара о левую поверхность, изображенный на
рис. 15.25(d). Когда волна сжатия проходит через пластину и
достигает ее свободной поверхности, она отражается от этой сво-
бодной поверхности в виде волны растяжения. Отраженная волна
растяжения взаимодействует с падающей волной сжатия. Этот
процесс изображен на рис. 15.25(c). На глубине 6 от поверхности
с правой стороны пластины результирующее напряжение растя-
жения превышает критическое нормальное разрушающее напряже-
ние, материал разрушается и от поверхности отлетает кусок ма-
териала. Чтобы произошел откол, максимальное сжимающее на-
пряжение в падающей волне должно превышать критическое нор-
мальное разрушающее напряжение материала.
Установлено, что диаметр откалывающегося куска обычно в
два или три раза превышает толщину пластины, а толщина этого
куска составляет от одной десятой до половины толщины пластины.
Показано [81, что толщину откалывающегося куска ta можно оце-
нить с помощью формулы
G = (a«/ao)W2).	(15.137)
где а1г — критическое нормальное разрушающее напряжение,
а®— максимальное напряжение на фронте волны сжатия и X —
длина импульса. Скорость о„ с которой откалывающийся кусок
отлетает от пластины, можно оценить по соотношению
us = (2а0 —oCf)/(pc),	(15.138)
где р — плотность материала. Однако вычисление толщины откола
и скорости очень затруднительно, поскольку обычно при ударе не-
известны ни форма, ни величина импульса сжатия.
Рис. 15.26. Виды ударного разрушения цилиндров различного поперечного сече-
ния, нагружаемых внутренним давлением при взрыве р/е. (По работе [8].)
Некоторые другие интересные особенности, являющиеся след-
ствием интерференции отраженных волн, схематично изображены
на рис. 15.26. Можно заметить, что во всех показанных случаях
разрушение происходит по самым утолщенным участкам сечения,
840 Гл. 15. Удар
а не по самым тонким, как было бы в случае статического нагруже-
ния. Разрушение именно в этих местах объясняется высокими ло-
кальными растягивающими напряжениями, возникающими вслед-
ствие взаимодействия двух волн растяжения, отраженных от двух
наклонных поверхностей.
15.13	. ВЛИЯНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
В УСЛОВИЯХ УДАРНЫХ НАГРУЖЕНИЙ
Расчетчику доступно очень мало специальной информации о влия-
нии геометрической концентрации напряжений и деформаций в ус-
ловиях ударного нагружения. Показано ПО], что энергопоглощаю-
щая способность элементов с отверстиями и вырезами при ударном
(а)
(Ы
Рис. 15.27. Образцы для оценки эффектов концентрации напряжений при удар-
ном нагружении, (о) образец с отверстием; (6) образец с галтелью. (Размеры в
дюймах.)
1 ни	1	2	8	
Размер А (диаметр) Размер В	0,375 1,375	U, 18b 1. 188	0,062 1,062	
				
Тип	-	5		7 .
Размер С (радиус)	0,017	, 1 > с	0,00-	1,38
15,13» Влияние концентрации напряжений и деформаций 541
Рис. 15.28. Зависимость полной энергии ТЕ, поглощенной до разрушения 3,0-
дюймовым участком рабочей длины, от скорости пластического нагружения р
для образцов, показанных на рис. 15.27. Все образцы из листа алюминия 2024-
ТЗ толщиной 0,50 дюйма.
Рис. 15.29. Зависимость отношения предельной нагрузки к статической предель-
ной нагрузке для образца типа 7 palpast от скорости пластического нагружения
'р для образцов, показанных на рис, 15,27*
642 Гл. 15. Удар
нагружении существенно снижается. Из листового алюминия
2024-ТЗ толщиной 0,050 дюйма были изготовлены образцы семи
различных видов, показанные на рис. 15.27. Эти образцы испытыва-
лись на пневматической высокоскоростной динамической испыта-
тельной машине. Площадь поперечного сечения всех образцов была
одинаковой. Теоретические коэффициенты концентрации напряже-
ний для образцов всех видов приведены в табл. 15.4.
Таблица 15.4. Коэффициенты концентрации напряжений
для показанных на рис. 15.27 образцов
Тип образца			Теоретический коэф- фициент концентрации напряжений Kt
Номер	Описание особенности (размеры в дюймах)		
1	Отверстие,	0 = 0,375	2,39
2	»	D = 0,188	2,59
3	>	D = 0,062	2,83
4	Галтель,	R=0,047	3,00
5	>	/? = 0,188	1,92
6	»	/? = 0,008	>3,00
7	»	1,380	1,30
Энергопоглощающая способность этих образцов, как показано
на рис. 15.28, уменьшалась для некоторых особенностей даже в
7 раз при всех скоростях нагружения. Из рис. 15.29 следует, что
исследованные концентраторы напряжений мало влияют на вели-
чину разрушающей нагрузки. Кроме того, было обнаружено, что
образцы с теоретическим коэффициентом концентрации напряжений,
меньшим 2, разрушались вязко, а не хрупко. Таким образом, для
этого материала снижение энергопоглощающей способности может
быть очень значительным, в то время как несущая способность по-
нижается относительно мало. Когда указанные характеристики
являются важными показателями качества конструкции, как,
например, при создании пассажирских самолетных кресел, кон-
струкция должна быть спроектирована так, чтобы локальные на-
пряжения в окрестности концентраторов не превышали разруша-
ющих, энергопоглощающая способность должна быть по возмож-
ности максимальной, чтобы защитить пассажира от удара при ава-
рии.
15,14	. ПРИМЕРЫ
С целью иллюстрации описанного в разд. 15.2 энергетического ме-
тода рассмотрим стальную консольную балку длиной 60 дюймов
прямоугольного поперечного сечения размерами 1 дюйм ширины
и 3 дюйма высоты. Предел текучести стали 40 000 фунт/дюйм
15.14. Примеры 543
Весом балки и эффектами концентрации напряжений можно прене-
бречь. С какой высоты Л должен упасть груз весом 13 фунтов на
свободный конец балки, чтобы в ней возникла текучесть?
Следуя процедуре, предложенной в разд. 15.2, потенциальную
энергию падающей массы определим в виде
ЕЕ = U7(/i + ymax).	(15.139)
Для консольной балки
t/=fL3/(3£/),	(15.140)
o=MclI=FLclI.	(15.141)
Используя (15.140) и (15.141), получаем максимальный прогиб
<|5|42>
Следовательно, (15.139) принимает вид
EE = U7(/i + oniaxZ?/(3£c)).	(15.143)
Энергия деформации, накопленная в балке, в момент достижения		
прогибом максимального значения равна		
SE = Fav(/inlx		(15.144)
Используя (15.141) и (15.142),, из (15.144) получаем		
ос Отах SE 2Lc	1 Отах^2 , 3£с	6Еса	(15.145)
Приравнивая (15.143) и (15.145), имеем		
w (л+-	Зтах^2 \   °тах/L ЗЕс )	ЗЕс2 ’	(15.146)
IL 2 или	—	WL2	mt п ЗЕс тах	(15.147)
о	2WLc	SWhEc? А ИЛИ	Оглах	[ Стах	/£		(15.148)
или =	J+ V ’ + ТО-]-	(15.149)
При возникновении текучести oinax=ow, и из (15.149) можно найти
Л в виде
	U7P h~ ИЁГ	’/	V	1	
		—	1 — 1 |Д WLc /	] ’	(15.150)
ИЛИ			
,	13-60М2 Г П~~ 6 30.ЮМ-З3 [	( 40.10М-33	.V	1 1 ЛА ( 13.60.1,512	l)	1J =40 Азимов.		(15.151)
В качестве другого примера рассмотрим стержень с площадью
поперечного сечения 1 дюйм 2 из идеально-упругопластического
544 Гл. 15. Удар
О г 4 Б 8	10 1Z 14	16	18 Z0
h, дюйм
(Q
Рис. 15.30. Пластическая деформация, вызываемая ударом падающего груза ве-
сом 3000 фунтов по стержню длиной 10 дюймов с площадью поперечного сечения
1 дюйм8, (а) график зависимости напряжения о от деформации 8 для идеально-
упругопластического материала: (Ь) график зависимости силы F от перемещения
у ддя образца длиной 10 дюймов с площадью поперечного сечения 1 дюйм2; (с)
график зависимости перемещения у от высоты падения груза п весом 3000 фунтов.
15.14. Примеры 545
материала, диаграмма растяжения которого показана на
рис. 15.30(a). Стержень длиной 10 дюймов, находящийся в верти-
кальном положении, одним концом закреплен, а по незакрепленному
концу ударяется телом весом 3000 фунтов, падающим с высоты
10 дюймов. Требуется определить изменение длины стержня в
результате удара.
Во-первых, предполагая, что стержень ведет себя упруго, и
находя из диаграммы 15.30(a), что Е= 107 фунт/дюйм 2, по формуле
(15.11) можно оценить максимальное напряжение в стержне
_зооо
v\nax’est J2
21010’1»
300010
или (amax)est = 248 000 фунт/дюйм*.
(16.152)
(15.153)
Ясно, что эта величина намного превышает предел текучести, рав-
ный 50 000 фунт/дюйм2, и напряжение никогда не может достичь
такого значения. Поэтому в стержне будет развиваться пластиче-
ская деформация. Для оценки величины пластической дефор-
мации можно использовать соотношение (15.17). В случае падаю-
щего с высоты 10 дюймов груза весом 3000 фунтов имеем
SE =3000(6+1/),	(15.154)
или
6=SE/3000—у.	(15.155)
Далее, обращая внимание, что Р=<ь4 и у=1г, можно построить
кривую зависимости силы от перемещения, изображенную на
рис. 15.30(6). Для любого значения у можно вычислить площадь
под кривой зависимости силы от перемещения, т. е. найти величину
SE, и с помощью (15.155) по результатам расчета, сведенным в
табл. 15.5, построить кривую зависимости у от Л.
Таблица 15.5. Значения энергии деформации и высоты падения
груза весом 3000 фунтов при некоторых значениях перемещений
для примера, изображенного на рис. 15.30
у, дюйм	SE, фунт.дюйм (с рис. 15.30)	h, дюйм (по формуле (15.155))
0,05	1250	0,37
0,2	8750	2,72
0,4	18750	5,85
0,6	28750	8,98
0,8	38750	12,12
1,0	48 750	15,25
По этой кривой можно определить, что значению высоты А,
равному 10 дюймам, соответствует величина перемещения примерно
0,67 дюйма. Замечая, что упругое восстановление составит около
0,05 дюйма, можно получить, что необратимое перемещение стер-
жня составит около 5/8 дюйма.
18 № 492
646 Гл, 16, Удар
15.15	. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Случаи ударного нагружения являются одними из самых важных
и самых сложных случаев, с которыми приходится иметь дело рас-
четчику. Хотя, как следует из изложенного, к настоящему времени
и достигнут некоторый прогресс в понимании различных процессов
разрушения при ударных нагружениях, многое еще предстоит
сделать, прежде чем предсказание разрушения при динамических
нагружениях не будет представлять затруднений.
ВОПРОСЫ
1. Опишите порядок применения «энергетического метода> приближенного
определения напряжений в элементах конструкций при ударных нагружениях.
2. Два стальных стержня с динамическим пределом текучести 45 000 фунт/
дюйм* растягиваются в продольном направлении грузом 40 фунтов, падающим
с высоты 2 футов на фланец, прикрепленный к концу каждого стержня (см.
рис. 5.1). Длина одного стержня 24 дюйма, а другого 48 дюймов. Рассчитайте диа-
метр каждого стержня, исходя из условия отсутствия текучести, и сравните
жении в балке, рассмотренной в
полученные величины.
3* Шарнирно опертая стальная балка длиной 60 дюймов имеет прямоугольное
поперечное сечение шириной 1,0 дюйм и высотой 3,0 дюйма. Груз 78 фунтов падает
с высоты h на середину пролета. При какой высоте падения в балке появятся
первые признаки текучести, если динамический предел текучести материала
балки равен 40 000 фунт/дюйм2, а ее массой можно пренебречь?
4.	Если обобщить понятие коэффициента динамичности (см. выражение
в скобках в соотношениях (15.11) и (15.12)), можно получить, что для любой уп-
ругой конструкции коэффициент динамичности определяется выражением
1+ Уl+(2h/ymax st)- Используя эту величину, оцените снижение уровня напря-
задании 3, при замене жестких опор опорами
с упругой податливостью £=300 фунт/дюйм.
5.	Тягач, весящий 5000 фунтов, снаб-
жен тросом номинального диаметра 1 дюйм
с площадью поперечного сечения металла
0,404 дюйм2, модуль упругости которого
12-10е фунт/дюйм2, а предел прочности
200 000 фунт/дюйм2. Буксирный трос длиной
20 футов зацеплен за поврежденный автомо-
биль, и водитель пытается выдернуть пов-
режденный автомобиль из канавы. Разорвет-
ся ли трос, если в момент его натяжения
скорость движения буксира 5 миля/ч, а
поврежденный автомобиль неподвижен?
6.	Автомобиль весом 3220 фунтов стал-
кивается а большим деревом так, что удар
приходится посредине бампера, опоры кото-
рого находятся на расстоянии 50 дюймов
друг от друга. Стальной бампер имеет прямо-
угольное поперечное сечение толщиной 1/2
дюйма и высотой 5 дюймов; его можно считать
свободно опертым, При какой скорости дви-
жения автомобиля в бампере будет достигнут
предел текучести, равный 250 000 фунт/дюйм*?
7.	Найдите максимальное напряжение в
шатуне АВ (см. рис. Q15.7) прн ударе,
вызванном внезапным приложением давле-
ния 200 фунт/дюйм2.
Рис. Q15.7. / — поршень диа-
метром 3 дюйма.
Вопросы 547
8.	Найдите напряжение в шатуне АВ задания 7 при ударе, если зазор в опоре
равен 0,005 дюйма. Величина внезапно приложенного давления по-прежнему
равна 200 фунт/дюйм2. Какие выводы можно сделать, сравнивая этот результат
с результатом, полученным при выполнении задания 7?
Рис. Q15.9.
Рис. Q15.10.
9.	Кривая зависимости напряжения от деформации металлического сплава
приведена на рис. Q15.9. Сплошной цилиндрический стержень из этого матери-
ала диаметром 1,13 дюйма и длиной 10 дюймов удлиняется на 0,25 дюйма в ре-
зультате удара падающего груза весом
бодном конце, при этом в стержне возни-
кает продольная растягивающая сила.
Какова должна быть высота падения
груза?
10.	Сплошной цилиндрический стер-
жень изготовлен из термообработанной
стали 4340 с пределом прочности 260 000
фунт/дюйм 2; кривая зависимости напряже-
ния от деформации стали показана на
рис. Q15.10. Диаметр стержня равен
1 дюйм. Стержень закреплен одним кон-
цом и ударяется по незакрепленному
концу в продольном направлении грузом
весом 2 т, падающим с высоты 10 дюймов.
Конструкция устроена так, что при этом в
стержне возникает растягивающее напря-
жение. Желательно изготовить стержень
как можно более коротким, не допуская
его разрушения. Текучесть допускается. Какова должна быть длина стержня?
11.	Алюминиевый стержень кругового поперечного сечения, закрепленный
на одном конце, имеет диаметр 1,13 дюйма и длину 20 дюймов. Стержень ударяется
по незакрепленному концу жесткой массой, весящей 193 фунта, которая движется
со скоростью 15 фут/с.
(а) Каково напряжение на ударяемом конце стержня в момент удара?
(b) С какой скоростью распространяется волна сжатия в стержне?

648 Гл. 15. Удар
(с)	Какова скорость частиц на ударяемом конце стержня непосредственно после
удара?
(d)	За какое время образовавшаяся при ударе волна сжатия проходит по всей
длине стержня и возвращается обратно к ударяемому концу?
(е)	Каковы величина и знак напряжения у ударяемого конца стержня непосред-
ственно после отражения от него вернувшейся волны?
(f)	Нарисуйте диаграмму, изображающую волну напряжения в стержне через
0,00035 с после удара.
(g)	Определите продолжительность удара.
(h)	Вычислите максимальное напряжение в стержне в процессе удара, используя
волновое решение и решение энергетическим методом (см. рис. 15.19). Сравните
результаты.
12.	Выполните задание 11 при условии, что стержень диаметром 1,13 дюйма
изготовлен из стали, а не из алюминия.
13.	Известно, что при изготовлении детали прямоугольного поперечного се-
чения, нагружаемой продольной силой, в ней возникают краевые трещины глу
биной 0,050 дюйма. Материал детали — сталь А517 (см. рис. 15.24), эксплуати
руется она при температуре 75°F (24°С). Известно также, что при номинальном
статическом напряжении 80 000 фунт/дюйм2 скорость разрушения стержня нс
превышает допустимой. Какой дополнительный коэффициент безопасности дол-
жен быть введен в расчет для обеспечения такой же скорости разрушения в слу-
чае, если напряжение 80000 фунт/дюйм 2 возникает в результате динамического
нагружения?
14.	По результатам лабораторных испытаний стали HY-80 при скорости де-
формирования 4,22 с'1 установлено, что при комнатной температуре 70°F (21°С)
предел текучести равен 100 000 фунт/дюйм2.
(а)	Каков по вашему мнению будет предел текучести, если при той же температуре
скорость деформации увеличить до 10 000 с"1?
(Ь)	Как изменится предел текучести материала, если при скорости деформации
4,22 с”1 температуру испытаний понизить до —172°F (—113°Q?
ЛИТЕРАТУРА
1.	Properties of Materials at High Rates of Strain.— Institution of Mechanical
Engineers, London, 1957, p. 14.
2.	Pack D. C., Evans W. M., James H. J.— Proc. Phys. Soc., 6 (1948), p. 1.
3.	Clark D. S., Wood D. A. The Tensile Impact Properties of Some Metals and
Alloys.— Transactions, American Society for Metals, 42 (1950), p. 45.
4.	Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.— М.: Наука, 1979.
5.	Spotts М. F. Mechanical Design Analysis.— Prentice-Hall, 1964.
6.	Kinslow R. (ed.) High Velocity Impact Phenomena.— Academic Press, 1970.
7.	Faupel J. H. Engineering Design.— New York: John Wiley & Sons, 1964.
8,	Rinehart J. S. Practical Countermeasures for the Prevention of Spallation.—
Colorado School of Mines, Research Foundation Report AF-SWC-TR-60-7 to
Air Force Special Weapons Center, Albuquerque, 1960.
9.	Rinehart J. S. Some Quantitative Data Bearing on the Scabbing of Metals un-
der Explosive Attack.—Journal of Applied Physics, 22, No. 5 (1951), p. 555.
10.	Cromack J. R. Fracture and Energy Absorption of Sheet Aluminum Specimens
with Stress Raisers at Loading Rates from 10l to 107 Pounds per Second.—
M. S. E. Thesis, Arizona State University, 1966.
11.	Ling С. B.— Journal of Applied Mechanics, 24, No. 3 (1957), p. 365—375,
12.	Engel P. A. Impact Wear of Materials.— New York: Elsevier, 1976.
13.	Snowdon J. C., Ungar E. E. (ed.) Isolation of Mechanical Vibration, Impact,
and Noise.— New York: American Society of Mechanical Engineers, 19/3.
14.	Clausing D. P. Tensile Properties of Eight Constructional Steels Between 70
and —320°F.— Journal of Materials, ASTM, 4, No. 2 (June 1969).
15.	Rolfe S. T., Barsom J. M. Fracture and Fatigue Control in Structures, 1977.
16.	Harding J. (ed.) Mechanical Properties at High Rates of Strain, 1974.
ГЛАВА 16
ВЫПУЧИВАНИЕ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
16.1.	ВВЕДЕНИЕ
В том случае, когда сжимающие нагрузки, действующие на такие
элементы конструкций, как стойки, колонны, пластины или тонко-
стенные цилиндры, достигают некоторой критической величины,
иногда внезапно происходят изменения их формы — изгибание,
сморщивание, искривление или выпучивание. Хотя напряжения,
вызываемые приложенными нагрузками, могут быть вполне до-
пустимыми с точки зрения прочности, большие перемещения в ре-
зультате изменений формы могут привести к потере равновесия
и Внезапной поломке. Такой вид разрушения обычно называется
разрушением вследствие неустойчивости, или выпучивания. По-
теря устойчивости обусловлена лишь размерами конструкции и
модулем упругости материала и никак не связана с его прочностью.
В частности, элемент конструкции из высокопрочной стали заданной
длины не может выдержать критической нагрузки, большей, чем
элемент таких же размеров и такого же поперечного сечения из
низкопрочной стали. Боковое выпучивание продольно сжатых стерж-
ней представляет собой имеющий большое практическое значение
пример потери устойчивости, исследование которого позволит по-
нять сущность этого явления.
16.2.	ВЫПУЧИВАНИЕ ПРОСТОГО ШАРНИРНОГО МЕХАНИЗМА
Основные особенности явления выпучивания можно продемон-
стрировать на примере идеально отцентрированного четырех-
стержневого шарнирного механизма (рис. 16.1(a)) с прикрепленны-
ми к нему в точке В вспомогательными пружинами. Когда этот ме-
ханизм идеально отцентрирован, в пружинах не возникает никаких
усилий. Однако, если по каким-либо причинам узел В совершает
боковое перемещение, в точке В начинает действовать боковое уси-
лие сопротивления со стороны пружин. Боковое перемещение может
возникнуть в результате действия небольших возмущений в попе-
речном направлении или из-за погрешностей при сборке. В любом
случае, анализируя рис. 16.1(c), нетрудно видеть что продольная
сила Ра создает опрокидывающий момент Ма относительно точки С,
а сила действующая со стороны пружины,— момент сопротив-
ления Мг. До тех пор, пока момент сопротивления равен опрокиды-
вающему моменту или больше его, механизм устойчив. Если же
Б50 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
опрокидывающий момент превышает момент сопротивления, меха-
низм становится неустойчивым, вследствие чего он разрушается
или выпучивается. Когда возникший момент сопротивления в точ-
ности равен опрокидывающему моменту, система находится на
грани выпучивания, и ее состояние называется критическим. Про-
дольная нагрузка, при которой выполняется это условие, называ-
Рис, 16.1, Модель выпучивания простого шарнирного механизма.
ется критической нагрузкой. Таким образом, критическая нагрузка
равна по величине силе Ра, при которой выполняется условие
Мг=Ми.	(16.1)
Опрокидывающий момент Ми для механизма, изображенного на
рис. 16.1(c), определяется формулой
а момент сопротивления Мг— формулой
Л1Г=й6(Л/2) cos а,	(16.3)
где k — жесткость системы пружин в поперечном направлении.
Таким образом, величина продольной критической силы Ра
определяется из условия (16.1), которое принимает вид
(£6£ cos а)/2 = 26 (Рв)сг.	(16.4)
Отсюда получаем
= (kL/4) cos а яг kL/4.	(16.5)
16.3. Выпучивание шарнирно опертого по концам стержня 551
При любой продольной силе, превышающей по величине kLU,
произойдет разрушение механизма, поскольку жесткость пружины
будет недостаточной для того, чтобы момент сопротивления уравно-
весил опрокидывающий момент, создаваемый приложенной про-
дольной силой Ра.
Поведение идеальных прямолинейных стержней совершенно
аналогично поведению изображенной на рис. 16.1 системы, за
исключением того, что при этом момент сопротивления создается
самим стержнем. Это означает, что для исследования выпучивания
стержней большое значение приобретает их изгибная жесткость,
и сопротивляемость выпучиванию зависит от длины, размеров по-
перечного сечения и модуля упругости материала.
ШЗ. ВЫПУЧИВАНИЕ ШАРНИРНО ОПЕРТОГО ПО КОНЦАМ СТЕРЖНЯ
Очень сходно с поведением продольно нагруженного четырехстер-
жневого механизма с дополнительными пружинными опорами, по-
казанного на рис. 16.1(a), поведение нагруженного вдоль оси иде-
Рас. 16.2. Идеальный шарнирно опертый по концам стержень, нагруженный про
Дольной нагрузкой.
ального шарнирно опертого по концам стержня, изображенного
на рис. 16.2(a). До тех пор, пока продольная сила Р меньше кри-
тической нагрузки, стержень устойчив, и любая малая боковая
БИ Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
возмущающая сила, приложенная, например, в середине стержня,
создаст небольшой прогиб, который исчезнет после прекращения
действия возмущающей силы. Однако, если величина продольной
силы Р больше некоторой критической, приложение малой боко-
вой возмущающей силы в середине стержня вызовет прогибы и,
следовательно, приведет к выпучиванию стержня, поскольку
момент сопротивления, возникающий из-за жесткости стержня,
недостаточно велик, чтобы уравновесить опрокидывающий момент,
создаваемый продольной силой Р, плечо которой равно стреле про-
гиба в середине стержня. Как видно из рис. 16.2(b), если моменты
вычислять относительно точки т, то опрокидывающий момент Ми
определится формулой
Mu~Pv,	(16.6)
где v — боковое перемещение в середине стержня. Сила Р создает
опрокидывающий момент, который стремится изогнуть стержень
еще больше, что в свою очередь приводит к увеличению эксцентри-
ситета v и, следовательно, к увеличению опрокидывающего момен-
та. Упругие усилия, возникающие в стержне при изгибе, препят-
ствуют дальнейшему изгибанию. Когда момент сопротивления точно
равен опрокидывающему моменту, стержень находится в состоянии
начала выпучивания; продольная сила в этом состоянии называет-
ся критической силой Рсг для стержня.
Критическую нагрузку для стержня можно определить, исполь-
•уя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (см., на-
пример, [2—4]), нагруженного изгибающим моментом, которое
имеет вид
EId*v/dx^—M,	(16.7)
где о(х) — прогиб стержня в любой точки оси, / — момент инерции
поперечного сечения относительно нейтральной оси и Е — модуль
упругости материала. Обращаясь к рис. 16.2(b) и соотношению
(16.6), опрокидывающий момент при действии критической нагруз-
ки записываем в виде
(М.)я-Рего.	(16.8)
Дифференциальное уравнение (16.7) в этом случае принимает вид
EId*vldx*- — P„v,	(16.9)
а после введения обозначения
Л* = ?„/(£/)	(16.10)
(16.9) имеет вид
d*i>/dx»+to=0.	(16.11)
Общее решение уравнения (16.11) записывается в виде
ц*=Л cos &х+В sin kx,	(16.12)
J6.3. Выпучивание шарнирно опертого по концам стержня 653
где Л и В — постоянные интегрирования, которые можно опреде-
лить из концевых условий
о=0 при х=0, о=0 при x=L.	(16.13)
Отсюда, подставляя в (16.12) х=0, получаем
Л=0,	(16.14)
а подставляя x=L, находим
0=Bsin*L.	(16.15)
Эго равенство выполняется, если либо
В=0,	(16.16)
что соответствует тривиальному случаю прямолинейного стержня,
либо
sinAL=O.	(16.17)
Наименьшее значение k, удовлетворяющее соотношению (16.17),
находится из условия равенства аргумента числу л, т. е. из условия
kL=n,	(16.18)
откуда, используя (16.10), получаем
/?„/(£/) L = л.	(16.19)
Находя отсюда критическую нагрузку Р„, имеем
Ptt = n'EHL*.	(16.20)
Это выражение для наименьшей критической нагрузки, при ко-
торой происходит выпучивание шарнирно опертого по концам стерж-
ня, называется формулой Эйлера для шарнирно опертого по кон-
цам сжатого стержня, а величина Pct — эйлеровой критической силой
для шарнирно опертого по концам стержня.
Ряд значений Р„, соответствующих правой части (16.19), рав-
ной пл, где п=1, 2, 3, . . ., дает возможность получить решения,
отвечающие высшим формам кривым выпучивания на рис. 16.3,
по которым происходит выпучивание. Высшие формы выпучивания,
показанные на рис. 16.3(b) и (с), могут реализоваться лишь при на-
личии внешних ограничителей, препятствующих боковым переме-
щениям точек перегиба, или узлов, и когда приложенная нагрузка
соответственно в 4 и 9 раз превышает эйлерову критическую силу,
при которой происходит выпучивание по первой форме, показанной
на рис. 16.3(a). Эти высшие формы не представляют особого прак-
тического интереса для расчетчика, поскольку разрушение по пер-
вой форме происходит задолго до того, когда могут быть реализо-
ваны высшие формы, если только не используются промежуточные
опоры.
№4 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
Форма изогнутой оси в момент начала выпучивания для первой
формы определяется соотношениями (16.12), (16.14) и (16.18)
v(x)=B sin(nx/L),	(16.21)
где постоянная В — неопределенная амплитуда прогиба в середине
стержня. Уравнение изогнутой оси для высших форм имеет вид
v(x)=B sin (rmx/L),	(16.22)
где В — неопределенная амплитуда прогиба. Приведенные урав-
нения изогнутой оси справедливы, пока прогибы относительно ма-
Рис. 16.3. Формы выпучивания продольно сжатого шарнирно опертого стержня.
(а) л=1; (b) П-2; (с) п-3.
лы. При этом амплитуда прогиба остается неопределенной. Эта
неопределенность амплитуды изогнутой оси стержня является след-
ствием использования приближенного выражения d^vldx2 для кривиз-
ны стержня при записи уравнения (16.7). Если для кривизны ис-
пользовать точное выражение, то величина прогиба будет вполне
определенной. Определение формы упругой линии из точного диф-
ференциального уравнения, называемой мастикой, выходит за рам-
ки этой главы **.
ф) Определение зластики см. на стр. 76 работы (4J.
16.4. Влияние условий опирания концов на выпучивание стержня 555
16.4.	ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ОПИРАНИЯ концов
НА ВЫПУЧИВАНИЕ СТЕРЖНЯ
При получении результатов, изображенных на рис. 16.3, предпола-
галось, что концы стержня шарнирно оперты. В действительности
же не всегда бывает так. На рис. 16.4 показаны некоторые другие
часто используемые при проектировании стержневых систем спо-
собы заделки концов. Для определения величин критических на-
грузок в каждом из этих случаев можно было бы записать диффе-
Рис. 16.4. Часто встречающиеся способы заделки концов продольно сжатых
стержней, (в) оба конца шарнирно оперты (Le=L); (Ь) один конец заделан, дру-
гой не закреплен (£е=2£); (с) один конец заделан, другой защемлен (Le=L/2);
(4) один конец заделан, другой шарнирно оперт (Le»0,7L).
ренциальное уравнение и соответствующие концевые условия.
Полученные результаты удобно представить, введя в формулу Эй-
лера (16.20) эффективную длину стержня. Эффективной длиной
Lt какого-либо стержня называется длина такого шарнирно опер-
того по концам стержня, который теряет устойчивость при той
же самой критической нагрузке, что и исходный стержень. На-
правление приложенной к стержню нагрузки должно оставаться па-
раллельным оси стержня в начальном положении. Используя по-
нятие эффективной длины, можно записать выражение для кри-
тической нагрузки стержня с любым типом закрепления концов в
ваде формулы Эйлера (16.20), понимая под длиной ее эффективную
величину. Таким образом, критическая сила для любого упругого
стержня определяется формулой
Рс, = п'ЕЦ1*.	(16.23)
Значения Le для некоторых видов закрепления концов приведены
в табл. 16.1.
На практике часто оказывается, что концы стержней закрепле-
ны не полностью, а лишь частично. При этом эффективная длина
принимает значение между величиной L,=L в случае шарнирного
656 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
Таблица 16.1. Значения эффективной длины для некоторых видов
закрепления концов стержней
Вид закрепления	Эффективная длина L? стержня длиной L
Оба конца шарнирно оперты Один конец шарнирно оперт, другой за- делан Один конец заделан, другой не закреплен Один конец заделан, другой защемлен	см с II и II II Ч> 41
опирания обоих концов и величиной Le=0,5 L в случае, когда один
конец заделан, а другой защемлен. Величина ее зависит от подат-
ливости заделок концов. Если, например, податливости заделок
Рис. 16.5. График зависимости относительной эффективной длины от относитель-
ной жесткости заделки концов стержня. (Из работы [9]; с разрешения Me draw-
Hill Book Company.)
обоих концов одинаковы, можно определить относительную эффек-
тивную длину LJL как функцию относительной жесткости заделки
КЦЕНЕ), где К — крутильная жесткость на концах (фунт-дюйм/
рад), Е — модуль упругости (Юнга) (фунт/дюйм !), / — мини-
мальный момент инерции поперечного сечения (дюйм *). L — дли-
16.5. Неупругое поведение при выпучивании стержней 557
на стержня и Le—эффективная длина стержня, входящая в выра-
жение (16.23) для критической нагрузки [9, стр. 256]. График за-
висимости относительной эффективной длины от жесткости задел-
ки показан на рис. 16.5. Отметим, что достаточно даже небольшой
сопротивляемости опоры для значительного уменьшения эффектив-
ной длины, что приводит к существенному увеличению критиче-
ской нагрузки. С другой стороны, практически невозможно достичь
полного защемления концов в реальных стержневых конструкциях.
16.5.	НЕУПРУГОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРИ ВЫПУЧИВАНИИ СТЕРЖНЕЙ25»
При исследовании возможности разрушения какой-либо машины
или конструкции важно рассмотреть все вероятные виды разруше-
ния, чтобы определить, какой из них наиболее опасен в тех или
иных условиях эксплуатации. Расчет и исследование поведения
стержней не представляют исключения. Возможность применения
формулы Эйлера для критической нагрузки ограничена условиями
упругого поведения материала. Если стержень достаточно короткий
и жесткий, критическая нагрузка может превышать по величине
нагрузку, при которой начинается текучесть в процессе сжатия.
Это означает, что наиболее опасным видом разрушения является
текучесть и что формула Эйлера в этом случае неприменима.
Для учета неупругого поведения стержня, когда возникающие
в стержне напряжения превышают упругие, Энгессер в 1889 г.
предложил видоизменить формулу Эйлера для определения крити-
ческой силы путем замены модуля Юнга Е касательным модулем
Etl который определяется как локальный наклон кривой зависи-
мости напряжений от деформаций материала, т. е.
Et=doldz.	(16.24)
Касательный модуль удобно определять графически по диаграм-
ме зависимости напряжений от деформаций. Критическое значение
нагрузки за пределом упругости часто называют касательно-модуль-
ной нагрузкой} формула Эйлера — Энгессера для ее определения
может быть записана в соответствии с (16.23) в виде
Рсг = л2£,//Л?	(16.25)
или
Рсг = л’ЕИ/(ЛЛ)2.	(16.26)
где i — минимальный радиус инерции поперечного сечения стерж-
ня, А — площадь поперечного сечения. Отношение LJi часто назы-
вается относительной гибкостью стержня. Ясно, что критическая
нагрузка может быть значительно повышена при использовании
стержней с малой гибкостью.
Формула Эйлера — Энгессера (16.26) представляет собой от-
носительно простое выражение для определения критической на-
грузки стержня, в то же время она дает хорошо согласующиеся с
558 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
экспериментами результаты как в упругой, так и в неупругой об-
ласти деформирования при потере устойчивости [1, стр. 585].
Кроме формулы Эйлера — Энгессера был предложен еще ряд эм-
пирических соотношений для учета неупругого поведения. Среди
них особый интерес представляет формула секанса 2в), поскольку
она позволяет непосредственно учесть начальный эксцентриситет
и начальную погибь стержня. Формула секанса может быть записана
в виде
~	 (16 27)
где оур— предел текучести материала; е — эксцентриситет про-
дольной нагрузки по отношению к центральной оси поперечного
сечения стержня; с — расстояние от центральной оси до наружного
Рис, 16.6. Графическое представление формулы секанса для различных значений
эксцентриситета. Видно, что кривая Эйлера (/) и напряжение текучести оу/) при
сжатии являются асимптотами при стремлении эксцентриситета стержня к нулю.
Модуль упругости материала £=30-10® фунт/дюйм2; PztiA — критическое на-
пряжение; Lji — относительная гибкость.
волокна; i — соответствующий радиус инерции; Le— соответствую-
щая эквивалентная длина стержня; Et— касательный модуль; А —
площадь поперечного сечения стержня; отношение Ри!А — крити-
ческое напряжение стержня. Формула секанса не очень удобна для
16.6. Пример 889
проведения расчетов, поскольку она не разрешена в явном виде от-
носительно критического напряжения. Однако с помощью ЭВМ
или графическим методом оно находится очень просто. Следует от-
метить также, что соотношение (16.27) становится неопределенным
при нулевом эксцентриситете, но, когда эксцентриситет очень
мал, его решение в пределе для длинных стержней приближается
к кривой Эйлера, а для коротких стержней — к кривой текучести.
Эго показано на рис. 16.6.
Важно понимать, что выбор соответствующего радиуса инер-
ции и соответствующей эффективной длины стержня зависит от
того, относительно какой плоскости исследуется возможность вы-
пучивания. Условия закрепления концов стержня иногда различны
в двух разных плоскостях. Например, у шатуна в одной плоскости
концы шарнирно оперты, а в другой защемлены. В таких случаях
для выявления критической нагрузки может потребоваться реше-
ние двух отдельных задач.
Наконец, следует отметить, что все предыдущие рассуждения
относились к общей потере устойчивости стержня как целого, когда
форма сечения меняется незначительно. В некоторых случаях (обыч-
но у тонкостенных стержней, таких, как трубы и катаные профили)
может происходить местная потеря устойчивости, при которой
происходят значительные локальные изменения поперечного се-
чения. Возможность локального выпучивания должна исследо-
ваться отдельно, и конструкция стержня должна выбираться та-
кой, чтобы под действием нагрузок не происходило ни общей, ни
локальной потери устойчивости.
16.6.	ПРИМЕР
Рассмотрим трубу из алюминиевого сплава длиной 36 дюймов, на-
ружным диаметром 3,0 дюйма и толщиной стенки 0,03 дюйма, по-
казанную на рис. 16.7. Труба шарнирно закреплена по концам и
должна выдерживать продольную нагрузку 18 000 фунтов. Кривая
зависимости напряжения от деформации материала приведена на
рис. 16.8. Требуется определить коэффициент запаса устойчивости
этого стержня с помощью формулы Эйлера, формулы Эйлера — Эн-
гессера, формулы секанса с эксцентриситетом, равным нулю, и фор-
мулы секанса, полагая эксцентриситет нагрузки относительно
осевой линии равным 0,15 дюйма.
Оценивать коэффициент запаса во всех случаях необходимо,
определяя отношение критической нагрузки к приложенной. Не-
допустимо использование отношения прочности материала к на-
пряжению из-за сильной нелинейности поведения стержня при
выпучивании. Таким образом, коэффициент запаса определяется
в виде
п»==Лг'ЛРР1-	(16-28)
660 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
Do=3,00 дюйма
Если использовать фор-
мулу Эйлера (16.23), то кри-
тическая нагрузка вычисля-
ется в виде
р я2£/ п2 (10,5-Ю6)-0,31
сг ” Ц ~~	362
дюйма
Рис. 16.7. Алюминиевая
труба, используемая в ка-
честве продольно сжатого
стержня. А “ n(D0—
— D*)/4= 0,28	дюйм2;
/ = n(Dj—D*)/64=0,31
дюйм4; t= V I/A = 1,05
дюйма.
(16.29)
или	Рсг = 24 750 фунтов, (16.30)
а коэффициент запаса при устойчивости
равен
(иь). = 24 750/18 000= 1,37. (16.31)
Если для оценки коэффициента запаса
используется формула Эйлера — Энгессе-
ра (16.26), нагрузка вычисляется точно
так же, за исключением того, что в этом
случае надо использовать соответствующий
касательный модуль. Используя кривую
зависимости напряжения от деформации,
приведенную на рис. 16.8, можно графи-
чески определить значения касательного
модуля во многих точках и построить гра-
фик зависимости Et от критического нап-
ряжения, который тоже показан на рис.
16.8. Необходимо иметь в виду, что для по-
лучения искомого решения надо добиться,
чтобы совокупность значений Et и РСГЛ4,
используемая в (16.26), одновременно ле-
жала на кривой Eti приведенной на рис.
16.8. Добиться этого можно итерационным
процессом. Результат (16.30) можно взять
за начальное значение. С помощью (16.26)
при этом получаем
Рсг n2Et п2
Т = (£г/»)а = (36/1,05)»	(16.32)
или Р„/0,28 = 0,00935 Et. (16.33)
Это соотношение вместе с уравнением
кривой, приведенной на рис. 16.8, обра-
зует систему уравнений. Решение этой системы находим итера-
ционным методом, в результате чего получаем
Et = 6,28-10’ фунт/дюйм8, Р„= 16 500 фунтов. (16.34)
Заметим, что полученная величина критической нагрузки су-
щественно ниже величины (16.30), найденной по формуле Эйлера.
16.6. Пример 561
Коэффициент запаса при этом равен
(п6)энг= 16500/18 000 = 0,92.	(16.35)
Поскольку он меньше единицы, предсказывается разрушение. Так
как мы отмечали, что при заданной нагрузке данный материал мо-
жет вести себя неупруго, естественно результат, полученный по
формуле Эйлера — Энгессера, считать более точным, чем получен-
ный по формуле Эйлера. Так оно и есть на самом деле.
Рис. 16.8. Кривая зависимости напряжения от деформации (/) и касательный мо-
дуль при сжатии (2) для алюминиевого сплава 7075-Т7351. (См. работу [6, стр.
3—232J.) Pct!A — критическое напряжение; оа= 68000,	57000 фунт/дюйм2.
Далее, используя формулу секанса при очень малом эксцентри-
ситете, например 0,001 дюйма, в соответствии с (16.27) можно за-
писать
Рсг __________________57 000________________
=*	О,ООЬ 1,5	Г 36	1/' Pcr 1 *
1,052 SeCL2-l,05 V 0,28Ef _
(16.36)
Если взять Et равным 8,0-10е фунт/дюйм2, справедливость
чего впоследствии должна быть проверена по рис. 16.8, уравнение
(16.36) примет вид
Рсг =[1 + 0,00136 sec (1,15 |/‘Рсг-10-‘)]~ 15950.	(16.37)
Решая это уравнение методом проб и ошибок, получаем
Pct= 15 750 фунтов.	(16.38)
662 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
Проверяя по рис. 16.8, убеждаемся, что принятая величина Et
близка к значению, взятому с кривой Et при значении критического
напряжения Рсг/Л=56300 фунт/дюйм1. Расчетный коэффициент
запаса при этом равен
(пь)м„. »ксц. = 15 750/18 000 = 0,87,	(16.39)
и получается, что выпучивание произойдет при нагрузке, составля-
ющей 87% требуемой.
Наконец, если эксцентриситет равен 0,15 дюйма, формула
секанса примет вид
_______________57 000
°.28 в , . Ю.151,5 Г 36
1,05а sec[2-l,05
Per
0,28£<
(16.40)
и если предположить, что Et=10,5-10‘ фунт/дюйм1, то получим
следующее уравнение для определения критической нагрузки:
Ра[1 +0,204 sec10-*]= 15950.	(16.41)
Применяя опять метод проб и ошибок, находим его решение
11 250 фунтов.	(16.42)
Коэффициент запаса при устойчивости для этого эксцентрично на-
груженного стержня равен
(«Ли». o.u - 11 250/18 000 » 0,63.	(16.43)
Это означает, что выпучивание произойдет при нагрузке, состав-
ляющей примерно 63% той, которая должна быть приложена.
16.7.	БОКОВОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ ВЫСОКИХ УЗКИХ БАЛОК
ПРИ ИЗГИБЕ1’’
Многочисленные наблюдаемые в жизни случаи выпучивания от-
личаются от только что описанного случая выпучивания стержней,
но тем не менее они могут быть исследованы аналогичным способом.
Например, если тонкая высокая балка нагружена изгибающим
моментом, как показано на рис. 16.9, то она может выпучиться в
боковом направлении, при этом, когда момент достигнет некоторой
критической величины, происходит закручивание балки. Это яв-
ление можно объяснить, мысленно представляя себе волокна у
сжатого края высокой балки как сжимаемый стержень, который
выпучивается при достижении нагрузкой критической величины.
Чтобы определить критический изгибающий момент, необходи-
мо найти наименьшую величину приложенного момента, при кото-
рой балка останется искривленной после того, как по каким-либо
причинам возникнет небольшой прогиб в боковом направлении.
16.7. Боковое выпучивание высоких узких балок при изгибе 563
Можно предположить, что вектор Мо приложенного момента
будет следовать за отклонением балки по мере ее выпучивания, и
поэтому в произвольном сечении, например в сеченин А—А на
Рис. 16.9. Выпучивание тонкой высокой балки при чистом изгибе, (а) вид сверху)
(6) вид сбоку; (с) сечение А—A; (d) разложение приложенного момента в сечении
А — А.
рис. 16.9, вектор Мо можно разложить на составляющие Мж, Mw, М,
по формулам
МХ = МО costfjCosS,	(16.44)
= Мо cos ф, sin р,	(16.45)
М, = Мо cos ф| sin 0.	(16.46)
Поскольку все углы считаются малыми, можно положить
cosp = cos 0 = созф, = созф, = 1,	(16.47)
sinp = p,	(16.48)
sin 9 = dxldz.	(16.49)
Таким образом, составляющие момента становятся равными
Мх = Мй = М6х,	(16.50)
М, = М,^М1;,	(16.51)
M, = M0(dx/dz)e=Mu,	(16.52)
564 Гл, 16. Выпучивание и неустойчивость
где Мх и Мр — изгибающие моменты, а Мг—крутящий момент.
Для кручения можно записать
d$/dz = Mtz!GJ €9	(16.53)
а для изгиба относительно оси у> по направлению которой проис-
ходит выпучивание,
d2x/dz2=—МЬу1Е1у.	(16.54)
Из (16.52) и (16.53) получаем	
dp/dz=(M0/GJe) (dx/dz),	(16.55)
а из (16.51) и (16.54) следует	
d’x/dz’=—(Мо/£/р)р.	(16.56)
Дифференцируя обе части равенства (16.55) по г,	имеем
(GJ JM 0) (d2p/dz2) =dixldz*,	(16.57)
откуда с учетом (16.56) получаем	
d2p/dz2 + M2p/(GJ<£/v) = 0.	(16.58)
Если ввести обозначание	
^ = MH(GJ,Ely),	(16.59)
уравнение (16.58) можно записать в виде	
tf‘p/dz2 + ^p = 0.	(16.60)
Это уравнение по форме совпадает с уравнением (16.11) для случая выпучивания продольно сжатых стержней, и общее решение его да- ется формулой Р=Л cos kx+B sin kx.	(16.61) Концевые условия	
Р=0 при z=0, р=0 при z=L	(16.62)
по форме также совпадают с концевыми условиями (16.13) задачи
о выпучивании продольно сжатого стержня. Поэтому и решение
задачи о выпучивании тонкой высокой балки имеет вид (16.18),
т. е.
kL=n9	(16.63)
и из (16.59) в момент потери устойчивости, когда Л4О=Л4СГ, имеем
yM*t/(GJ,EIv) L = я.	(16.64)
Отсюда находим выражение для критического момента Mct в виде
— GJtElylL,	(16.65)
где Мсг — критический изгибающий момент относительно оси (по-
стоянный вдоль всей балки); Е — модуль упругости (модуль Юнга);
16.8. Боковое выпучивание тонкого вала 565
1У— момент инерции поперечного сечения относительно оси у\
G — модуль сдвига; Jе — величина, называемая моментом инерции
при кручении, которая входит в формулу, связывающую крутящий
момент с углом закручивания; Q^=MtL/(GJe) (для узкого прямо-
угольника Je=d/3/3); L — длина балки; d — высота балки; t—тол-
щина балки.
Отметим, что это решение получено при предположении, что
концы балки остаются вертикальными, но могут свободно повора-
чиваться относительно вертикальной оси у Если концы заделать
так, чтобы поворот относительно оси у сталь невозможным, то эф-
фективная длина балки будет равна 1/2, а критический изгибаю-
щий момент удвоится.
Критические нагрузки бокового выпучивания тонких высоких
балок определены также и в случае действия переменных по длине
балки изгибающих моментов. Обобщенная формула для критиче-
ской нагрузки может быть записана в виде [1, стр. 626]
p„=K/g7^7;/za	(16.66)
Значения величины К для некоторых частных случаев приведены
в табл. 16.2.
Таблица 16.2. Значения постоянной К для различных условий
нагружения балки
Тип балки
Консоль
»
Свободно опертая
» >
Тип нагружения
Р (фунт), сосредоточенная сила на неэакреплен- 4,013
ном конце
q (фунт/дюйм), распределенная нагрузка по дли- 12,85
не L
Р (фунт), сосредоточенная сила в центре	16,93
q (фунт/дюйм), распределенная нагрузка по дли- 28,3
не L
16.8.	БОКОВОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ ТОНКОГО ВАЛА КРУГОВОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ28*
Еще один интересный пример явления потери устойчивости можно
наблюдать при кручении тонкого вала кругового поперечного се-
чения, показанного на рис. 16.10. При превышении моментом
некоторого критического значения тонкий вал выпучится и примет
форму спирали, как показано на рисунке.
Чтобы получить выражение критического момента, необходимо
снова найти наименьшее значение приложенного крутящего момен-
та, при котором выпученный вал остается выпученным. Можно
предположить, что вектор приложенного момента М|о будет еле-
566 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
Рис. 16.10. Выпучивание тонкого вала кругового поперечного сечения при кру-
чении. (а) вал после выпучивания; (Ь) разложение приложенного момента в сече
нии А.
доЬать за осью выпученного вала, и поэтому в произвольном се-
чении, например А на рис. 16.10(a), вектор М1о можно разложить
на составляющие Мх, и М,, где
Мх = М(о cos <рх sin 0f,	(16.67)
Му = М(о cos ср, cos 9j,	(16.68)
M2 = M<0 cos <р, sin 9j.	(16.69)
Поскольку все углы считаются малыми,	
cos <Pi=COS ф,=СО$ 0|=»1,	(16.70)
sin Qx=dxldy,	(16.71)
sin §i=dzldy.	(16.72)
При этом составляющие момента принимают вид	
Мх « Mt0 (dx/dy)	(16.73;
	(16.74)
	(16.75)
16.8. Боковое выпучивание тонкого вала 867
Тогда для изгиба относительно оси х
d*zldy*——MbxIEI.	(16.76)
а для изгиба относительно оси z	
d*x!dy*=MbJEI,	(16.77)
что можно записать в виде	
d»x/dt/2+*j(dz/^)=O,	(16.78)
d*zldy*—kt (dx/dy)=0,	(16.79)
где k^MtJEI.	(16.80)
Общее решение для х и z имеет вид	
x=Ci sin kty+Ct cos kty+Ca,	(16.81)
z^Ci cos k^y—Ct sin kty+Ci,	(16.82)
что можно проверить непосредственной подстановкой в (16.78) и
(16.79) соответственно.
Концевые условия для этого случая
х=0 при у=0, х=0 при y=L,
z=0 при у=0, z=0 при y—L,	(16.83)
откуда, вычисляя (16.81) и (16.82) на концах, находим для нетри-
виального случая
(1— cos ftJL),4-sin*A1L=0,	(16.84)
что сводится к условию
005^,1=1.	(16.86)
Наименьшее отличное от нуля значение kt, при котором удов-
летворяется (16.85), это то, которое обращает аргумент в 2л, т. е.
ktL=2x,	(16.86)
или, используя (16.80), имеем
(Mf0)„ £/(£/) = 2я.	(16.87)
Находя отсюда значение критического крутящего момента, при
котором происходит боковое выпучивание тонкого вала, получаем
(Л4/п)сг==2лЕ//£.	(16.88)
Аналогичные рассуждения [7] для тонкого вала кругового по-
перечного сечения2”, одновременно нагруженного продольной
силой Р и крутящим моментом Mtl), приводят к следующему урав-
нению устойчивости:
Л4’о/[4 (£/)»] + ?/(£/) = я’/L*.	(16.89)
Отметим, что, когда Р равно нулю, (16.89) вырождается в урав-
нение для чистого кручения (16.88), а когда Mtt равно нулю,—
668 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
в уравнение Эйлера (16.20) для случая действия лишь одной про-
дольной силы. Следует указать, что для растягиваемого вала знак
величины Р в соотношении (16.89) меняется на противоположный
и величина крутящего момента Mf0, при котором происходит по-
теря устойчивости, становится больше. Таким образом, растяжение
вала повышает его сопротивляемость выпучиванию.
16.9.	ДРУГИЕ ЯВЛЕНИЯ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
В технических приложениях часто встречается много других при-
меров общей и локальной потери устойчивости. Большое значение
имеют задачи о выпучивании криволинейных балок, колец, арок,
тонких пластин, панелей, тонких оболочек (как с внутренним дав-
лением, так и без него), куполов, тонких труб, балок с полками
различных конфигураций и при различных условиях нагружения.
Подробное обсуждение этих задач выходит за рамки настоящей
книги; многие из них достаточно хорошо освещены в литературе
(см., например, [1, 4, 5, 71).
Еще одним представляющим интерес явлением является потеря
устойчивости при ползучести. Иногда в конструкции, спроекти-
рованной так, чтобы противостоять потере устойчивости, в некото-
рых эксплуатационных условиях начинают проявляться эффекты
ползучести, которые приводят к значительным изменениям разме-
ров и выпучиванию. Это явление называется потерей устойчивости
при ползучести, а время, которое требуется для того, чтобы нагру-
женная конструкция приняла критическую конфигурацию и по-
теряла устойчивость, называется критическим временем. Хотя к
настоящему времени получены решения нескольких задач о потере
устойчивости при ползучести [81, вопрос этот очень сложен и об-
щие решения пока неизвестны. Подробное обсуждение проблемы
потери устойчивости при ползучести выходит за рамки этой книги.
ВОПРОСЫ
1.	Рассматривая шарнирный механизм с пружинами в точке В, показанный
на рис. 16.1, проделайте следующее:
(а)	Повторите рассуждения, приводящие к получению соотношения (16.5), и,
используя понятия опрокидывающего момента и момента сопротивления, найдите
выражение для критической нагрузки.
(b)	С помощью энергетического метода еще раз найдите выражение для критиче-
ской нагрузки механизма, изображенного на рис. 16.1, путем приравнивания из-
менения потенциальной энергии системы, нагруженной силой Ра, и энергии де-
формации, накопленной пружиной. (Примечание: используйте первые два члена
разложения cos а.)
(с)	Сравните результаты, полученные при выполнении заданий (а) и (Ь).
2.	Докажите, что эффективная длина для стержня с одним закрепленным и
другим незакрепленным концами Le=2L (рис. 16.4(d)). Для этого запишите и ре-
шите дифференциальное уравнение и сравните его решение с решением (16.20)
для шарнирно опертого по обоим концам стержня.
3.	Сплошной цилиндрический стальной стержень имеет 2,0 дюйма в диаметре
Допросы 569
и 12 футов длины. Найдите продольную силу, при которой происходит выпучи-
вание этого стержня, если оба его конца шарнирно оперты.
4.	Пусть из такого же количества материала, из которого был изготовлен
стержень, рассмотренный в задании 3, сделан полый цилиндрический стержень
такой же длины и так же опертый по концам (т. е. стержень с такой же площадью
поперечного сечения). Какова будет критическая нагрузка, если толщина стенки
трубчатого стержня равна (а) 1/4 дюйма, (Ь) 1/8 дюйма и (с) 1/16 дюйма? Какой
вывод можно сделать из полученных результатов?
5.	Если бы сплошной стержень, рассмотренный в задании 3, был защемлен
на концах, как изменилась бы критическая нагрузка?
6.	Кривая зависимости напряжения от деформации при сжатии алюминие-
вого сплава 7075-Т7351 приведена на рис. 16.8. Полый цилиндрический стержень
из этого материала имеет наружный диаметр 4 дюйма и толщину стенки 1/8 дюйма.
Пусть у стержня длиной 9 футов один
конец защемлен, а другой незакреплен
(как на рис. 16.4 (/?)). Вычислите кри-
тическую нагрузку согласно
(а) формуле Эйлера;
(Ь) формуле Эйлера — Энгессера;
(с) формуле секанса, полагая эксцент-
10000 грунтов
л
риситет равным нулю;
(d) формуле секанса, полагая, что
нагрузка приложена с эксцентриси-
тетом 1/8 дюйма относительно центра-
льной осевой линии стержня;
(е) формуле секанса, полагая, что наг-
рузка приложена с эксцентриситетом
1 дюйм относительно центральной осе-
вой линии стержня.
7. Повторите решение задания 6
при тех же самых условиях, за исклю-
чением того, что длина стержня 4 фута,
а не 9 футов. Сравните полученные ре-
зультаты с решением задания 6.
8. Стальная труба с наружным
диаметром 4 дюйма и толщиной стенки
Рис. Q16.8. Резервуар весом 10 000
фунтов.
0,226 дюйма используется в качестве опоры для резервуара с водой, весящего в за-
полненном состоянии 10 000 фунтов. Труба установлена вертикально в жестком
бетонном основании, как показано на рис. Q16.8. Она изготовлена из холоднотя-
нутой стали 1045 с оп=103 000 фуит/дюйм1 и ov;,=90 000 фунт/дюйм*. Коэффи-
циент безопасности по отношению к нагрузке равен 2.
(а)	Получите уравнение для определения максимальной допустимой безопасной
высоты Я. (Используйте приближенное выражение /*»лП*//8.)
(b)	Найдите численное значение высоты Я.
(с)	Будет ли в этой конструкции возникать текучесть при сжатии? Обоснуйте
ваш ответ.
9.	Вместо использования стальной трубы в качестве опоры для резервуара,
рассмотренного в задании 8, предполагается использовать двутавровую балку
и пластиковый трубопровод для подачи воды. Высота поперечного сечения дву-
тавровой балки равна 8,0 дюймов, ширина полки 4,0 дюйма, площадь поперечного
сечения 5,34 дюйм*, /х=56,9 дюйм4, !у—3,8 дюйм4, погонный вес 18,4 фунт/фут,
(а) Подсчитайте максимальную безопасную высоту двутавровой балки Я и срав-
ните полученный результат с решением задания 8Ь.
(Ъ) Что бы вы рекомендовали, трубу или двутавровую балку, если надо достичь
наибольшей высоты опоры при наименьшем весе?
10.	(а) Стальной пруток диаметром 0,1 дюйма закручивается. Материал прут-
ка имеет предел текучести 100 000 фунт/дюйм*, адлина прутка 10 футов, Найдите
670 Гл. 16. Выпучивание и неустойчивость
крутящий момент, при котором произойдет разрушение, и определите вид разру-
шения.
(Ь) Если к прутку будет приложена растягивающая сила 10 футов, как изменится
величина разрушающего крутящего момента? Останется ли таким же вид разру-
шения?
11.	Кронштейн из стальной пластины прямоугольного поперечного сечения
0,125 дюймах 4,0 дюйма закреплен одним концом так, что размер 4,0 дюйма
расположен по вертикали. Кронштейн, длина которого равна 14 дюймам, должен
выдерживать вертикальную нагрузку Р, прикладываемую на незакрепленном
конце.
(а) Какую максимальную нагрузку может выдержать кронштейн при коэффици-
енте безопасности, равном 2? Сталь имеет предел текучести 45 000 фунт/дюйм4.
(Ь) Определите вид разрушения.
12.	Труба нагружена крутящим моментом. Получите уравнение для нахож-
дения длины этой трубы, когда будет равновероятно разрушение вследствие
начала текучести или потери устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Shanley F. R. Strength of Materials.— New York: McGraw-Hill, 1957.
2.	Popov E. P. Introduction to Mechanics of Solids.— Englewood Cliffs, N. J.:
Prentice-Hall, 1958.
3.	Crandall S. H., Dahl N. C. An Introduction to the Mechanics of Solids.— New
York: McGraw-Hill, 1957.
4,	Timoshenko S. P., Gere J. M. Theory of Elastic Stability.— New York: McGraw-
Hill, 1961.
5.	Horton W. H., Bailey S. C., McQuilkin В. H. An Introduction to Instability.—
Stanford University Paper No. 219, ASTM Annual Meeting, June 1966.
6,	Military Standardization Handbook, Metallic Materials and Elements for Aero-
space Vehicle Structures.— M1L-HDBK-5B, Superintendent of Documents,
Washington, D. C., September 1971.
7.	TimoshenkoS. P. Theory of Elastic Stability.— New York: McGraw-Hill, 1936,
[Имеется перевод: Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем,— М.:
Гостехтеориздат, 1955.1
8.	Faupel J. Н. Engineering Design.— New York: John Wiley & Sons, 1964,
9.	Shanley F. R, Mechanics of Materials.— New York: McGraw-Hill, 1967,
ГЛАВА 17
ИЗНОС, КОРРОЗИЯ И ДРУГИЕ ВИДЫ РАЗРУШЕНИЯ
17.1.	ВВЕДЕНИЕ
Большинство видов разрушения, перечисленных в гл. 2, уже рас-
смотрены в книге. Во время их обсуждения постоянно давалось
краткое качественное описание явления разрушения, за которым
следовало изложение количественных методов, используемых в
инженерных расчетах. Износ, коррозия и связанные с ними виды
разрушения рассматриваются в этой последней главе не из-за их
малой значимости, а вследствие того, что общепринятые, научно
обоснованные теории этих явлений еще не полностью разработаны
и пока нет установившихся, достаточно точных аналитических или
эмпирических методов расчета или оценки сроков службы конструк-
ций.
Лишь в последнее десятилетие был достигнут заметный прогресс
в разработке количественных методов оценки износа. Эти послед-
ние достижения подтверждают важность явления износа. В самом
деле, износом и коррозией, вероятно, объясняется большинство ме-
ханических разрушений. По вопросам износа и коррозии появилось
много научных публикаций. Тем не менее количественные методы
оценки сроков службы конструкций разработаны пока недостаточно.
17.2.	ИЗНОС
Износ можно определить как нежелательное постоянно происходя-
щее изменение размеров, вызываемое постепенным удалением от-
дельных частиц материала с контактирующих поверхностей, при-
чиной которого служит механическое действие. Следует также иметь
в виду, что процессу износа часто сопутствует коррозия, вследствие
которой из-за взаимодействия с окружающей средой меняется ха-
рактер изнашиваемых поверхностей.
Износ не является каким-либо одним процессом, а фактически
представляет собой ряд процессов, происходящих независимо или
совместно. В настоящее время общепринято считать, что существует
по крайней мере пять основных видов износа [1 , стр. 1201 (см.
также [2]): адгезионный износ, абразивный износ, коррозионный
износ, усталостный поверхностный износ и деформационный износ.
Кроме того, специалистами иногда выделяются фреттинг-износ и
ударный износ [3—51. К износу также иногда относят эрозию н
кавитацию. Все эти виды износа представляют собой различные фи-
672 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
зические процессы и должны рассматриваться отдельно, хотя ре-
зультаты этих процессов могут проявляться одновременно либо
при переходе от одного вида к другому на разных этапах эксплуа-
тации конструкции, либо при одновременном протекании двух или
более различных процессов.
Сложность процесса износа становится вполне очевидной, если
учесть, что его характеристики зависят от многих переменных,
таких, как твердость, вязкость, пластичность, модуль упругости,
предел текучести, усталостные характеристики, структура и состав
сопрягаемых поверхностей, а также от формы с прягаемых деталей,
температуры, напряженного состояния, особенностей распределе-
ния напряжений, коэффициента трения, величины проскальзыва-
ния, относительной скорости, отделки поверхности, смазки, раз-
личных примесей и состояния окружающей среды у изнашиваемой
поверхности. В некоторых случаях важным фактором также может
быть зависимость зазора между изнашиваемыми поверхностями от
времени контакта. Хотя процессы износа сложны, в последние годы
достигнут значительный прогресс и получены количественные эм-
пирические соотношения для оценки различных видов износа при
определенных условиях. Однако, прежде чем эти соотношения по-
лучат широкое распространение, необходимо провести еще боль-
шую экспериментальную работу.
Адгезионный износ
Адгезионный износ часто характеризуется как самый основной, или
фундаментальный, вид износа, поскольку он в той или иной степени
проявляется во всех случаях контакта трущихся поверхностей
двух твердых тел и имеется даже тогда, когда других видов износа
нет. Явление адгезионного износа можно лучше уяснить, приняв
во внимание, что все реальные поверхности независимо от тщатель-
ности изготовления и полировки обладают волнистостью, на которую
накладываются местные неровности и шероховатости. Поэтому,
когда две поверхности вступают в контакт, в действительности со-
прикасается лишь относительно небольшая часть выступов и
действительная площадь контакта АГ составляет лишь незначи-
тельную часть кажущейся площади контакта Аа. Как показано с
помощью опытов на электропроводность [6, гл. 1; 7, гл. II], в обыч-
ных технических приложениях отношение реальной и кажущейся
площадей контакта Аг/Аа находится в диапазоне от 10"2 до 10”*.
Таким образом, даже при очень малых внешних нагрузках локаль-
ные давления в местах контакта бывают настолько высокими, что
превышается предел текучести материала одной или двух поверх-
ностей и возникают локальные пластические деформации.
Если контактирующие поверхности чистые и некоррелированные,
то в результате очень тесного контакта, являющегося следствием
локальных пластических деформаций, атомы контактирующих
17.2. Износ 573
материалов сближаются настолько, что начинают действовать меж-
атомные силы сцепления. Этот процесс иногда называется холодной
сваркой. Далее, если поверхности находятся в относительном сколь-
зящем движении, соединения, образовавшиеся в результате хо-
лодной сварки, должны разрушиться. Будет ли происходить раз-
рушение по первоначальной поверхности контакта или где-либо еще
внутри локальных выступов, зависит от условий на поверхностях,
распределения температур, характеристик деформационного упроч-
нения материалов, локальной конфигурации поверхности и распре-
Рис. 17.1. Контакт между двумя твердыми телами и перенос частиц при адгези-
онном износе, (а) контакт ненагруженных поверхностей; (д) приложенная на-
грузка Р приводит к пластическому течению и холодному свариванию; (с) сколь-
жение и действие нагрузки приводят к деформационному упрочнению; (d) пере-
нос частиц в результате разрушения шероховатостей ниже сварки.
деления напряжений. Если разрушение происходит не по начальной
поверхности контакта, частицы материала одной поверхности пере-
носятся на другую, т. е. совершается один акт процесса адгезион-
ного износа, показанный на рис. 17.1. Далее в процессе скольже-
ния эти частицы могут отрываться или оставаться сцепленными.
Если процесс адгезионного износа проходит интенсивно и имеет
место перенос значительного количества металла, это явление на-
зывается заеданием металла. Если оно очень интенсивно, то поверх-
ности могут слипаться на значительном участке, и в этом случае
внешние силы уже не смогут вызвать смещения их относительно
друг друга; это явление называется схватыванием. Однако, если
принять соответствующие меры, скорость адгезионного износа
можно сделать малой или самоограничивающейся, благодаря чему
износ часто используется для притирки и улучшения качества
Б74 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
контактирующих поверхностей с целью эффективного использова-
ния гидродинамической смазки.
Количественная оценка степени адгезионного износа может быть
осуществлена следующим образом ([11, [8, гл. 2, 6]). Предполагая,
что при начальном контакте примыкающих друг к другу неровно-
стей локально превышается предел текучести при сжатии, который
из-за многоосности напряженного состояния примерно в 3 раза
превышает предел текучести при одноосном состоянии (Зо^р), по-
лучаем, что материал будет локально течь до тех пор,.пока где-либо
превышается предел текучести при сжатии. Если действительная
площадь контакта Аг, предел текучести при сжатии Зо^р и сила
нормального прижатия поверхностей друг к другу Wt то между эти-
ми величинами существует соотношение
W=Ar-3oVP.	(17.1)
В соответствии с результатами Арчарда [91 можно предполо-
жить, что в каждый момент времени вступают в контакт две неров-
ности, которые соединяются между собой, и существует некоторая
постоянная вероятность того, что образуется частица адгезионного
износа. Далее предположим, что каждая такая частица представ-
ляет собой полусферу диаметра d, равного диаметру соединения,
и что размеры всех соединений одинаковы. Если в какой-либо мо-
мент времени существует п соединений, то величина действительной
площади контакта Аг определяется соотношением
Ar=n(nd2/4).	(17.2)
Используя вместе (17.1) и (17.2), получаем
п=4 A r/(nd2)=4 W7(3 л оу pd2).	(17.3)
Далее предположим, что каждое соединение остается неповрежден-
ным, пока расстояние относительного скольжения плоскостей не
достигнет величины d, после чего оно разрушается и образуется
новое соединение. Таким образом, каждое соединение разрушается
и образуется заново 1/d раз при проскальзывании на единичное
расстояние, а общее число соединений JV, образующихся при про-
скальзывании на единичное расстояние, равно
W=n(l/d)=4№/(3noypd8).	(17.4)
Если вероятность образования частицы износа равна Л, общее
число соединений, образующихся при проскальзывании на единич-
ное расстояние, равно Af и каждая из образующихся частиц пред-
ставляет собой полусферу объема nd8/12, то объем частиц ДИ, об-
разовавшихся на единичном расстоянии проскальзывания Д£,
определяется соотношением
WibL^kN(ncPH2).	(17.Б)
17.2. Износ 575
Объединяя (17.4) и (17.5), получаем
ДУ/ДЛ=6ГС7(9а„р).	(17.6)
Интегрируя (17.6) по всему пути скольжения Lt, находим выраже*
ния для определения объема износа в виде
с17-7)
Если </adb — средняя глубина износа и Ав — площадь кажу-
щейся поверхности контакта, то (17.7) можно переписать в виде
= <178>
или	^h	= *adhp.L„	(17.9)
где pm=W/Aa— средняя величина номинального контактного дав-
ления между трущимися поверхностями и ktdb=k/(9 aVP) — ко-
Таблица 17.1. Постоянные износа Арчарда k для некоторых пар
материалов при контакте скольжения без смазки •>
Пара материалов	Постоянная износа k
Цинк—ЦИНК	160-Ю-з
Малоуглеродистая сталь —малоуглеродистая сталь	45-10-’
Медь —медь	32-10-»
Нержавеющая сталь — нержавеющая сталь	21-10-’
Медь —малоуглеродистая сталь	1,5-10-»
Малоуглеродистая сталь—медь	0,5-10-»
Бакелит—бакелит	0,02-10-»
•) Из работы [8, гл. 6]; с разрешения John Wiley & Sons. Inc.
вффициент износа, который зависит от вероятности образования
уносимых частиц и предела текучести (или твердости) более мягкого
материала. Значения постоянных износа k для некоторых пар
материалов приведены в табл. 17.1, а данные о влиянии смазки
на величину постоянной износа k — в табл. 17.2.
Находя из (17.9)
^idh = ^adh/(Pm^)«	(17.10)
можно заметить, что если экспериментально определенное отноше-
ние dtdb!(pmL^ будет постоянной величиной, то соотношение
(17.9) будет справедливым. Имеющиеся экспериментальные данные
[1, стр. 124—125] подтверждают, что для заданной пары материалов
это отношение постоянно до средних номинальных контактных дав-
лений, равных примерно одноосному пределу текучести. При пре-
вышении этого уровня коэффициент адгезионного износа увеличи-
676 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Таблица 17.2. Порядок величин постоянных адгезионного износа k
при различных условиях смазки
Условия смазки	Металл и металл		Неметалл и металл
	одинаковые	различные	
Смазки нет	510-’	2Ю-‘	5-
Плохая смазка	210-4	210-«	5-10“®
Обычная смазка	2-10-»	210-»	5-10-«
Высококачественная смазка	210-‘—10-’	2-10-’—10-’	2-10-®
•) Из работы [8, гл. 6]; с разрешения John Wiley & Sons» Inc.
вается и изнашивание переходит в интенсивное заедание и затем
происходит схватывание.
Таким образом, при адгезионном износе средняя глубина износа
может быть оценена следующим образом:
^adh = ^adhPrt^j ПрИ рт	(17.11)
неустойчивый процесс заедания и схватывания при рт^оур.
Трудность практического применения этого выражения обус-
ловлена необходимостью определения соответствующей величины
постоянной адгезионного износа £adh, которую можно было бы ис-
пользовать в исследуемом случае. Для различных сочетаний мате-
риалов величины &adh находятся в диапазоне примерно от Ю"* до
10"13 дюйм2/фунт. Хотя некоторые данные (часть из них приведена
в табл. 17.1 и 17.2), позволяющие приближенно определить зна-
чения £adh в ряде случаев, уже опубликованы 11, стр. 124—125]
и [8, стр. 139—140], часто для каждого исследуемого случая при-
ходится проводить специальные экспериментальные исследования.
Кроме того, применение соотношения (17.11) осложняется еще тем
обстоятельством, что зачастую одновременно действуют и другие
механизмы изнашивания, а при некоторых обстоятельствах эти
другие механизмы оказывают доминирующее влияние на поведе-
дение материалов при износе.
Что касается подбора сочетаний металлов, обеспечивающих
сопротивляемость изнашиванию, установлено, что желательно под-
бирать пары трущихся материалов из взаимно нерастворимых ма-
териалов и учитывать тот факт, чтобы хотя один из металлов при-
надлежал подгруппе В периодической таблицы [10, стр. 311. При-
чина этого состоит в том, что число локальных соединений, обра-
зующихся в результате схватывания, зависит от взаимной раствори-
мости металлов, а прочность этих соединений — от характеристик
межатомных связей в металлах. Для металлов подгруппы В харак-
терны слабые непрочные ковалентные связи. Указанные критерии
подтверждены экспериментально; об этом, в частности, свидетель-
П.2. Износ 577
Таблица 17.3. Поведение различных нар при адгезионном износе
[10, стр 34—35|
	Комбинация		материалой		
Описание i.ap металлов	AI	Сталь	Си	Ag	Примечание
	(ДИСК)	(ДИСК)	(диск)	(диск)	
Растворимые пары с ма-	Be	Be	Вс	Be	Эти пары подтверждают
лой сопротивляемостью	Mg	—	Mg	Mg	сформулированный кри-
адгезионному износу	Al	Al	Al	—	терий растворимости и
	Si	Si	Si	Si	принадлежности метал-
	Ca	—	Ca	—	лов к подгруппе В
	Ti	Ti	Ti	—-	
	Cr	Cr	—	—	
	—	Mn	—	—	
	Fe	Fe	—	—	
	Co	Co	Co	—-	
	Ni	Ni	Ni	—	
	Cu	—	Cu	—	
	—	Zn	Zn	—	
	Zr	Zr	Zr	Zr	
	Nb	Nb	Nb	—	
	Mo	Mo	Mo	—	
	Rh	Rh	Rh	—	
		Pd	—	—	
	Ag	—	Ag	—	
		—	Cd	Cd	
			—	In	In	
	Sn	—	Sn	—	
	Ce	Ce	Ce	—	
	Ta	Ta	Ta	—.	
	W	\V	\V	—	
			Ir	—	—	
	Pt	Pt	Pt	—	
	Au	Au	Au	Au	
	Th	Th	Th	Th	
	U	U	U	U	
Растворимые пары с пре-	—	Cu (F)	—	—	Эти пары не подтверж-
красной или хорошей со-	Zn (F)	—	—	—	дают сформулирован-
противляемостью адгези-	—	—	Sb.(F)	—	ного критерия’
онному износу. (F) — пре-					
красная сопротивляе-					
мость					
Нерастворимые пары, ни	—	Li	—	—	Эти пары подтверждают
один из металлов не при-	—	Mg	—	—	сформулированный кри-
надлежит подгруппе В,	—	Ca	—	—	терий
плохая сопротивляемость	—	Ba	—	—	
адгезионному износу					
Нерас1воримые пары,	—	c (F)	—	—	То же
один из металлов при-	—	—	—	Ti (F)	
надлежит подгруппе В.	—	—	Cr (F) 'Cr (F)		
прекрасная или хорошая	—	—	—	Fe (F)	
сопротивляемость адгези-	—	—	 —	Co (F)	
онному износу	—	—	Ge (F)		
19 № 492
578 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Продолжение
	Комбинация		материалов		
Описание пар металлов	А1 (Диск)	Сталь (ДИСК)	Си 'Диск)	Ag (ДИСК)	Примечание
Se(F)
Sc(F)
Nb (F)
Cd
In
Нерастворимые пары,
один из металлов при-
надлежит подгруппе В,
плохая сопротивляемость
адгезионному износу
Те (F)
TI
Pb (F)
Bi (F)
C
Ag
Cd
In
Sn(F)
Sb (F)
Те (F)
TI
Pb
Bi
Sb
Те (F)
TI
Pb
Bi (F)
C
Se
C
Ni
Mo
Эти пары не подтверж-
дают сформулирован-
ного критерия
ствует табл. 17.3—для 114 из 123 испытанных пар справедливость
этих критериев подтверждается.
Тремя основными методами управления процессом изнашивания
являются следующие ПО, стр. 361: принцип защитных слоев, т. е.
применение смазки, поверхностных пленок, покраски, различного
типа слоев между поверхностями раздела; принцип преобразования,
в соответствии с которым благодаря удачному выбору пар контак-
тирующих металлов, их твердости, обработки поверхности или
величины контактного давления уровни износа становятся допу-
стимыми; принцип направленности, в соответствии с которым дей-
ствие процесса изнашивания направляется на элемент, который
экономически целесообразно заменять. По мере износа этот эле-
мент периодически удаляется и заменяется другим. Эти общие ме-
тоды применимы не только в случае адгезионного износа, но и при
абразивном износе.
Абразивный износ
При абразивном износе частицы удаляются с поверхности в резуль-
тате режущего или царапающего действия шероховатостей более
твердой контактирующей поверхности или твердых частиц между
трущимися поверхностями. Этот тип износа проявляется в виде
образования на поверхности системы канавок и царапин, называе-
мых часто бороздками. Абразивный износ в результате воздействия
твердых неровностей одной из контактирующих поверхностей
обычно называется износом с участием двух тел, а в том случае,
17.2. Износ 579
когда причиной износа служат твердые абразивные частицы, на-
ходящиеся между двумя поверхностями, он называется износом
с участием трех тел.
Абразивный износ можно подразделить на выдавливание при
больших напряжениях, царапание при малых напряжениях и эро-
зию. При выдавливании высокие напряжения часто являются след-
ствием ударного нагружения и режущее действие сопровождается
значительным деформированием поверхности. Царапание при малых
Рис. 17.2. Упрощенная модель абразивного износа при предположении о коничес-
кой форме частицы. (Из работы [8]; адаптировано с разрешения John Wiley &
Sons, Inc.). Двойной штриховкой показан объем износа Vabr»
напряжениях является обычно результатом воздействия увлекае-
мых частиц, которые, разрушаясь, образуют мелкие остроконечные
осколки, царапающие и истирающие изнашиваемые поверхности.
Эрозия вызывается потоком частиц, движущихся обычно параллель-
но поверхности. Движение частиц происходит в результате вовле-
чения их в поток газа или жидкости, например воздуха или воды,
либо в результате воздействия поля объемных сил, например сил
тяжести.
В работе 18] предложена простая модель абразивного износа.
В соответствии с этой моделью предполагается, что режущие не-
ровности или частицы имеют коническую форму, как показано на
рис. 17,2. Рассматривая сначала действие одного конического вы-
ступа, отметим, что глубину проникания h в более мягкую поверх-
ность можно оцепить, учитывая, что оно прекращается, когда пере-
даваемая одним выступом часть нагрузки W, поделенная на про-
екцию площади контакта на горизонтальную поверхность /lph,
становится равной напряжению текучести, т. е. когда
W"Mpb = 3a^	(17.12)
или	W' = (ЗорР) (лг*),	(17.13)
19»
580 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
где г — радиус твердого вдавливающего конуса на уровне мягкой
металлической поверхности.
Площадь поперечного сечения V-образной канавки, образуемой
в результате движения конуса в мягком металле, можно предста-
вить в виде
A^ = rh = r- tg 0,	(17.14).
а полный объем износа при скольжении на величину Ls равен
V,br = ^^ = Ls''2tg0-	(17.15)
Подставляя сюда г'2 из (17.13), для одного выступа получаем
V^r~W'Lstgty(3Myp),	(17.16)
а для всей совокупности выступов
У.ы = ^Ц(^0)т/(Зяаар),	(17.17)
где W — полная приложенная нагрузка; (tg 0)m— взвешенная
средняя величина для всех выступов; L,— полное перемещение при
проскальзывании; ауР — предел текучести более мягкого материа-
ла при одноосном состоянии.
Таблица 17.4. Значение постоянной абразивного износа 3(tg0)m/n
для различных материалов при скользящем контакте по данным различных
исследователей *’
Материал	Тип износа					Размер частиц, мкм	з ng Н)«/л
Многие	Износ	с	учас1 нем	двух	тел		180-10-*
в	»	в	в	»	в	по	150-Ю-»
в	»	»	в	в	в	40-150	120-Ю-з
Сталь	»	в	в	в	в	260	80 IO"3
Многие	»	в	в	в	в	80	24-Ю-з
Латунь	»	>	в	в	в	70	16 10-з
С1аль	Износ	С	участием	трех	тел	150	6-Ю-з
»	'>	в	»	в	в	80	4,5-10-з
Ahi оги е	в	в		в	в	40	2-Ю-з
♦)См [8, стр 169] (Перепечатано с разрешения John Wiley & Sons. Inc.)
Сравнивая выражение (17.17) для объема абразивного износа
с выражением (17.7) для объема адгезионного износа, можно ви-
деть, что они формально одинаковы, за исключением того, что по-
стоянная k/З в соотношении для адгезионного износа заменена ве-
личиной (tg 0)т/л в соотношении для абразивного износа Значения
постоянной износа 3(tg0)m/n для некоторых материалов приведе-
ны в табл. 17.4.
17.2. Износ 581
Выражение для средней глубины абразивного износа dabr можно
получить в виде
d’br-—•”	(	8)
ИЛИ	^abr=	(1 7.19)
где pm — W/Aa— среднее номинальное контактное давление между
поверхностями; Ls— полное перемещение при проскальзывании;
ftabr —(tg (От/СЗло^р) — коэффициент абразивного износа, зави-
сящий от чистоты поверхности и предела текучести (или твердости)
более .мягкого материала. Величины йаЬГ должны определяться
экспериментально для каждой комбинации материалов и условий
на исследуемых поверхностях, хотя для некоторых случаев уже из-
вестны данные, с помощью которых можно приближенно опреде-
лить ЛаЬг; часть из них приведена в табл. 17.4. Как видно из
табл. 17.4, эксперимент показывает, что, как правило, в случае из-
носа с участием трех тел величина fcabf почти на порядок меньше,
чем в случае износа с участием двух тел. Это связано, вероятно,
с тем, что увлекаемые частицы большую часть времени катятся и
лишь остальное время режут.
Как и в случае адгезионного износа, трудности практического
использования соотношения (17.19) связаны с определением соот-
ветствующего значения постоянной абразивного износа. При над-
лежащей обработке поверхностей износ с участием двух тел встре-
чается довольно редко. Износ с участием трех тел чаще всего по-
рождается осколками частиц внешнего происхождения, например
пылью и грязью атмосферы. И, поскольку эти частицы различны по
составу, размеру, форме и качеству, результаты абразивного из-
носа достаточно разнообразны. Если наличие частиц в окружающей
среде приводит к значительному износу, необходимо принять меры
по изоляции, фильтрации и другие с целью предотвращения попа-
дания вредных частиц.
Как установлено, при выборе материалов, сопротивляющихся
абразивному износу, существенное значение имеют и твердость,
и модуль упругости. Увеличение сопротивления износу связано с
увеличениехМ твердости и уменьшением модуля упругости, поскольку
и величина упругой деформации, и величина упругой энергии, ко-
торая может быть накоплена на поверхности, увеличиваются при
повышении твердости и уменьшении модуля упругости.
В табл. 17.5 приведены некоторые материалы в порядке убы-
вания отношения твердости к модулю упругости. Достаточно про-
веренных экспериментальных данных пока нет, но общие сообра-
жения свидетельствуют, что материалы, приведенные в таблице,
расположены в порядке убывания сопротивляемости износу.
582 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Таблица 17.5. Значения отношения твердости к модулю
упругости для различных материалов [I]*1
Матерна п	Ус.и'вмр	
Алунд (А1,О:,)	Прессованный	143
Хромистое покрытие	Полированное	83
Серый чугун	Т вердый	33
Карбид вольфрама	9% Со	22
Сталь	Твердая	21
Тиган	Т вердый	17
Алюминиевый сплав	Т вердый	11
Серый чугун	После отливки	10
Конструкционная сталь	Мягкая	5
Ковкий чугун	Мягкий	5
Кованое железо	Мягкое	3,5
Хром	После отливки	3,5
Медь	Мягкая	2,5
Серебро	Чистое	2,3
Алюминии	Чистый	2,0
Свинец	Чистый	2,0
Олово	Чистое	0,7
♦) Перепечатано с разрешения Elsevier Publishing Company.
т> Число твердости но Брннелю.
Коррозионный износ
Когда одновременно создаются условия для адгезионного или аб-
разивного износа и для коррозии, оба процесса происходят одно-
временно и их взаимодействие часто синергично. Если продукты
коррозии твердые и обладают абразивными свойствами, отделив-
шиеся частицы, находящиеся между контактирующими поверхно-
стями, будут ускорять процесс абразивного износа. В свою очередь
в результате износа удаляется «защитный» слой из продуктов кор-
розии и открывается доступ коррозионной среде к металлу,
что ускоряет процесс коррозии. Таким образом, процесс коррози-
онного износа может быть самоускоряющимся и скорости износа
могут быть очень высокими.
С другой стороны, некоторые продукты коррозии, например не-
которые фосфаты, сульфиды и хлориды металлов, образуют мяг-
кие смазывающие пленки, существенно снижающие скорость изно-
са, особенно в тех случаях, когда преобладающим является адге-
зионный износ.
Хотя и были предприняты некоторые попытки получить коли-
чественные соотношения для оценки глубины износа в условиях
коррозионного износа 18, стр. 1901, достаточно хорошие модели
еще не созданы.
17.2. Износ 583
Усталостный износ поверхности
Когда две поверхности находятся в условиях контакта качения,
процесс износа совершенно отличается от только что описанного
процесса износа при скольжении, хотя недавние исследования износа
при скольжении и привели к созданию теории износа при скольже-
нии, называемой теорией «расслоения» 113], в соответствии с кото-
рой механизм износа очень схож с описываемым здесь механизмом
износа при качении. В результате контакта при качении возникают
напряжения, причем максимальное касательное напряжение воз-
никает в материале на небольшой глубине, немного ниже поверх-
ности контакта (см., например, [14, стр 3891). По мере движения
зоны контакта качения относительно некоторой точки касательное
напряжение вблизи поверхности меняется от нуля до максималь-
ного значения, а затем опять до нуля. Таким образом, возникает
поле циклических напряжений. Представленный в гл. 7—9 материал
указывает, что в подобных условиях может произойти усталостное
разрушение путем зарождения трещины вблизи поверхности,
которая при повторном циклическом нагружении растет и в конеч-
ном счете может выйти на поверхность, в результате чего от поверх-
ности может отколоться макрочастица и образуется язвочка износа.
Такое явление, называемое усталостным разрушением поверхности,
представляет собой характерный вид разрушения подшипников
качения, зубчатых передач, кулачков и других деталей машин,
в которых имеются контактирующие в условиях качения поверх-
ности. Испытания, проведенные производителями подшипников,
показали, что долговечность Л’ (в циклах) приближенно определя-
ется выражением
N=(C/PY\	(17.20/
где Р — нагрузка на подшипник, а С — постоянная для данного
подшипника. А\ожно отметить, что долговечность примерно обратно
пропорционально кубу нагрузки. Постоянная С определена Ассо-
циацией производителей подшипников качения (AFBMA) как ос-
новная номинальная нагрузка (см., например, [14, стр. 389]), пред-
ставляющая собой радиальную нагрузку С, которую может
выдержать группа одинаковых подшипников при расчетной долго-
вечности в 1 миллион оборотов внутреннего кольца с вероятностью
90°о. Необходимо отметить, что, поскольку усталостный износ по-
верхности является типичным процессом усталости, следует учи-
тывать все указанные в гл. 7—9 факторы, которые влияют на уста-
лость.
Прочность поверхности зубьев шестерен и предельные условия
их нагружения также должны оцениваться с учетом явления уста-
лостного износа поверхности. В некоторых зубчатых передачах,
таких, как червячные в гипоидные, одновременно осуществляется
контакт качения и скольжения. В этом случае возможными видами
разрушения являются и адгезионный, и абразивный, и коррози-
584	Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
онный, и усталостный износ поверхности. Необходимая расчетная
долговечность может быть достигнута лишь путем соответствую-
щих конструктивных решений, качественного производства и при-
менения соответствующей смазки. Важное значение в сложных слу-
чаях имеют экспериментальные исследования долговечности. Более
подробное рассмотрение усталостного износа поверхности зубьев
шестерен можно найти в любом хорошем учебнике по проектирова-
нию (см., например, [14, стр. 510 и далее! или [15, стр. 444 и далее!).
Деформационный износ, фреттинг-износ и ударный износ
Деформационный износ является следствием возникновения по-
вторных пластических деформаций у изнашиваемых поверхностей,
в результате чего может появляться сетка трещин, при росте и
объединении которых образуются частицы износа, или может на-
капливаться остаточная деформация, приводящая к возникновению
недопустимо больших углублений или борозд на поверхности. Де-
формационный износ обычно происходит в условиях соударений
двух изнашиваемых поверхностей. Хотя в исследованиях деформа-
ционного износа и достигнут некоторый прогресс [5, стр. 1201,
разработанные методы имеют слишком специализированный ха-
рактер, и их изложение не входит в задачи настоящего исследова-
ния. Фреттинг-износ, которому в недавней литературе снова уде-
ляется значительное внимание [6, стр. 55], [8, стр. 75], уже описан
в гл. 14.
Термин «ударный износ» используется для обозначения повтор-
ного упругого деформирования при ударах изнашиваемых поверх-
ностей, приводящего к образованию сетки трещин, которые растут,
как и при усталости поверхности. В некоторых случаях ударный
износ может наблюдаться при чисто нормальных соударениях. В дру-
гих же случаях при ударе могут также иметь место качение шили)
скольжение. Степень опасности удара обычно измеряется величи-
ной кинетической энергии ударяющей массы или выражается через
нее. При оценке опасности повреждения вследствие ударного из-
носа основное значение имеют геометрия соударяемых поверхно-
стей и свойства контактирующих материалов. Целью расчетов при
исследовании ударного износа в качестве возможного вида разру-
шения является определение размера борозды износа или ее глубины
в зависимости от числа циклов нагружения. Хотя для таких оценок
в некоторых случаях и разработаны эмпирические методы 15k
116, стр. 4011, их подробное изложение выходит за рамки книги.
17.3.	ЭМПИРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НУЛЕВОГО ИЗНОСА
При рассмотрении в разд. 17.2 различных видов износа при сколь-
жении отмечалось отсутствие инженерных методов их исследования.
Однако в работе (17) предложен эмпирический подход к оценке из-
носа при скольжении и определены соответствующие эмпирические
17.3. Эмпирическая модель нулевого износа 585
постоянные для разнообразных комбинаций материалов и смазок
при различных условиях эксплуатации. Предложенный эмпириче-
ский подход позволяет конструктору подбирать конфигурацию
конструкции, исходя из условия «нулевого износа» в течение за-
данного срока эксплуатации. Нулевой износ определяется как из-
нос столь .малой величины, что качество поверхности в результате
процесса изнашивания практически не меняется. Иначе говоря,
глубина износа при нулевом износе имеет порядок половины раз-
мера шероховатости поверхности.
Если ход определить как перемещение при скольжении W, рав-
ное размеру площадки контакта в направлении скольжения, N —
число ходов, тгаах — максимальное касательное напряжение у по-
верхности, - предел текучести материала при сдвиге и уг—
постоянная для заданной комбинации материалов и смазки, то в
соответствии с эмпирической моделью после N ходов будет нулевой
износ, если
(17.21)
или, формулируя это условие по-другому, получаем, что число
ходов, в результате которых не превышается уровень нулевого
износа, определяется соотношением

W==2103
Tmax
(17.22)
Отметим, что постоянная уг соответствует 2000 ходам, и ее следует
определять экспериментально. При квазигидродипамической смазке
величина уг принимает значения в диапазоне от 0,54 до 1. При су-
хой или тонкопленочной смазке принимает значение 0,54 для
материалов, мало подверженных адгезионному износу, и 0,20
для материалов, сильно подверженных адгезионному износу.
В табл. 17.6 приведены значения для некоторых комбинаций
материалов и смазок **.
При расчетах максимального касательного напряжения ттах
у контактирующей поверхности следует учитывать и нормальное
усилие, и силу трения. При контакте поверхностей, соответствую-
щих друг другу, например плоских поверхностей или поверхности
вала с опорным подшипником, напряженное состояние в окрест-
ности критической точки может быть проанализировано с помощью
гипотезы максимального касательного напряжения Ч Поскольку
возникают лишь нормальная и обусловленная наличием трения ка-
сательная составляющие напряжения, напряженное состояние
практически двухосное и
Tmax = K4(a„2r-T?,	(17.23)
*> Неполная таблица данных из работы 117].
См. гл. 6.
586	Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Таблица 17.6. Значения постоянной уг и коэффициента трения р,
для различных материалов и смазок |17|
	Смазка <см табл 17 7)	Vr	L1
С г аль 52100 по нержавеющей	без смазки	0.2	1,00
стали 302	А	0,2	0,19
	В	0,2	0,16
	С	0,2	0,21
Сталь 52100 по стали 1045	Без смазки	0,20	0,67
	А	0,54	0,15
	В	0,20	0,17
	С	0,20	0,28
	D	0,54	0,08
Сталь 52100 по стали 52100	Без смазки	0,20	0,60
	А	0,20	0,21
	В	0,54	0,16
	С	0,20	0,21
	D	0.54	0,10
С га ль 52100 по алюминию 356	Без смазки	0,20	1,40
	А	0,54	0,22
	В	0,54	0,17
	С	0,54	0,23
	D	0,54	0,10
Сталь 52100 по спеченной	Без смазки	0,20	0.26
бронзе	\	0,20	0,23
	В	0,20	0.11
	С	0.20	0,18
Ci аль 52100 по хромированной	Без смазки	0,20	0,51
стали 1018			
Сталь 52100 но анодированному	» »	0,54	0,16
алюминию 2024			
Нержавеющая сталь 302 по не-	» »	0,20	1,02
ржавеющей стали 302	А	0,20	0,16
	В	0,20	0,15
	С	0,20	0,17
Нержавеющая сталь 302 по	Без смазки	0,20	0,17
стали 1045	А	0,20	0,16
	В	0,54	0,14
	С	0.54	0,15
	D	0,54	0,11
Нержавеющая С1аль 302 по	Без смазки	0,20	1,78
алюминию	А	0,54	0,18
	В	0,54	0,21
	С	0,54	0,18
	D	0,54	0,10
Нержавеющая сталь 302 по	Без смазки	0,54	0,09
тефлон)	А	0,54	0,15
	В	0,54	0,11
	С	0,54	0,12
Эмпирическая модель нулевого износа 587
Таблица 17.7. Характеристика смазок А, В. С и D, данные для которых
приведены в табл. 17.6 [ 17j
Базовый компонент
Температура вспышки (в открытом
сосуде)
Температура по:ери текучести
Плотност ь
Смазка А
(Socor.у Vaccuuni Gargoyle РЕ 797)
Парафин
405Т (207 С)
Индекс вязкости
Число нейтрализации
Присадки
20°F (-7'С)
33,0 градуса API (Американский
нефтяной институт)
105
0,05
Противоокислигельная и антикорро-
зионная
Смазка В
(Esso Standard Oil .Uillcot К-50)
Базовый компонент
Температура вспышки (в открытом
сосуде)
Температура потери текучести
Плотность
Индекс вязкости
Число нейтрализации
Присадки
Лигроин
435°F (224=С)
15°F ( -9,4=С)
23,1 градуса API
77
0,03
Противоокислительная и уменьша-
ющая липкость
Смазки С
(Texaco MIL-0-5606)
Базовый компонент
Температура вспышки (в открытом
сосуде)
Температура потери текучести
Плотность
Индекс вязкости
Число нейтрализации
Присадки
Парафин
200° F (93° С)
—75°F (—60°С)
1,15—1,18 (удел ь н ы й вес)
188
0,20
Понижающая 1емпературную зависи-
мость вязкости и противоизносная
Смазка D
Смазка А с добавлением 0,2% (по весу) стеариновой кислоты
588	Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
где нормальное напряжение оп равно нормальному давлению р0,
обусловленное трением касательное напряжение т, равно нормаль*
ному давлению р0, умноженному на коэффициент трения р, а К, —
экспериментально определяемый коэффициент концентрации,
позволяющий учесть форму углов и краев. Величины Ке находятся
в пределах от 2 или 3 для достаточно закругленных краев до очень
больших значений, например 1000, при наличии острых углов.
Таким образом, соотношение (17.23) можно записать в виде
тш»х Ке H/W + Ш.)2,	(17.24)
ИЛИ	________
+	(17.25)
Для плоских ползунов с номинальной площадью контакта Ао при
нормальной нагрузке Р имеем
Ро=РМ0,	(17.26)
а для вала номинального диаметра d в опорном подшипнике длиной I
p^—Pild.	(17.27)
В литературе можно найти выражения максимального касатель-
ного напряжения и для других конфигураций (см., например,
117, стр. 4-81).
Число ходов обычно выражается в виде функции числа циклов,
ударов, колебаний или часов работы за время эксплуатации. В боль-
шинстве пар при скольжении один элемент остается все время на-
груженным, а другой периодически разгружается либо полностью
при снятии нагрузки, либо частично при колебательных движениях.
Для постоянно нагруженного элемента число ходов п за единичный
эксплуатационный цикл определяется соотношением
n/t = Ds/W,	(17.28)
где Dx— перемещение при скольжении за единичный эксплуата-
ционный цикл, а IV7 — ширина площадки контакта в направлении
скольжения. Число ходов за единичный эксплуатационный цикл
для полностью разгружаемого элемента определяется соотношением
nfn = число нагружений за единичный
эксплуатационный цикл.	(17.29)
При колебательном движении, когда второй элемент разгружа-
ется частично, число ходов за один полный цикл колебаний” для
частично разгружаемого элемента определяется по формуле
(17.30)
17.4. Пример 589
а для нагруженного элемента
н, = 2.	(17.31)
Использование этих определений и результатов анализа напря-
жений у изнашиваемых поверхностей совместно с эмпирическими
постоянными тина приведенных в табл. 17.6 позволяет рассчитывать
с помощью соотношений (17.21) и (17.22) нулевой износ. Примене-
ние описанного подхода привело в ряде случаев к удовлетворитель-
ным результатам [17].
17.4.	ПРИМЕР
Проведен эксперимент по скольжению без смазки цилиндрического
ползуна из термообработанной стали 1045 с твердостью по Роквеллу
С-45 (Оур^ 128 000 фунт/дюйм2), прижатого торцом к диску из стали
52100. Установлено, что при относительной скорости скольжения
0,67 фут/с ползуна диаметром 0,031 дюйма, нагруженного осевой
силой 40 футов, объем износа при продолжительности испытания
40 мин составляет 5,8-10“8 дюйм3.
1.	Эту же комбинацию материалов предполагается использовать
в скользящей опоре при скорости скольжения 3,0 фут/с и нагрузке
Р = 100 фунтов. Каков должен быть размер квадратного ползуна,
если необходимо обеспечить возможность эксплуатации в течение
1000 ч и если допустимая величина максимальной глубины износа
равна 0,050 дюйма?
2.	Каковы должны быть размеры квадратного ползуна, если
необходимо получить опору с нулевым износом?
Для определения размеров ползуна, отвечающих требованиям
первого задания, выражение (17.11) или (17.19) надо преобразовать
к виду, соответствующему условиям скольжения. Тогда
Р р d
p*=Jr=^irr'	<17-32>
или
s* = PkwLsfdu,.	(17 33)
Нагрузка Р=100 фунтов и глубина износа </„,=0,050 дюйма
заданы условиями задачи, а величина перемещения Ls при сколь-
жении может быть определена в виде
А., = (1000 ч)(3 фут/с)(3600 с/ч)(12 дюйм/фут), (17.34)
или
Ls= 1,296-10° дюймов.	(17.35)
590 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Отсюда
s = Y 10°'-1-)^01-% = 5,09.10’	(17.36)
Величину постоянной износа kw можно найти по соотношению
(17.10) с учетом экспериментальных данных в виде
4 =	(17.37)
где
4 =	= Л.0.03Р/4 = 7,68'10 дюимов> (1/.38)
Ря = ^- = ^о^1Г4 = 5,3-1О4 фунт/дюйм-, (17.39)
Li = (0,67 фут/с) (60 с/мин) (40 мин) (12 дюйм/фут), (17.40)
Ls = 1,93 • 10* дюймов,
следовательно,
4= (5.30048)'(1°93. юъ °’75• 10~13 ^йм’/фунт, (17.41)
и из (17.36) получаем
s = 5,09-105 КО,75-10-1’= 0,14 дюймов. (17.42)
Таким образом, сторона ползуна, возможно, должна быть равна
9/64 дюйма.
Необходимо еще проверить выполнение условий применимости
соотношения (17.32), в соответствии с которыми это соотношение
верно, если
(17.43)
или	Р/Ло= 100/0,142 = 5100^ 128000.	(17.44)
Поскольку условие (17.43) выполнено, расчет верен, и сторона
квадратного ползуна может быть взята равной 9/64 дюйма.
Переходя к расчету нулевого износа, будем использовать соот-
ношение (17.21). Из табл. 17.6 для стали 52100 по стали 1045 при
отсутствии смазки находим, что уг=0,20. Таким образом, предпо-
лагая, что гипотеза максимального касательного напряжения до-
статочно точна, соотношение (17.21) можно записать в виде
тт1Х = [2 • 1О»/ЛГ ]‘- ’ • 0,20 • 128 000/2,	(17.45)
или
Tmo-2,98.10*[l/tf]‘/».	(17.46)
Поскольку ползун постоянно нагружен, число ходов может быть
вычислено по формуле (17.28):
Л'= Ьх/5= 1,296-10*/$,	(17.47)
17,5. Коррозия 591
где перемещение при скольжении за единичный эксплуатационный
цикл равно полному перемещению при скольжении (17.35), если
за единичный эксплуатационный цикл принять весь срок эксплуа-
тации изделия. По этой же причине число ходов за единичный
эксплуатационный цикл равно полному числу ходов N.
Таким образом, соотношение (17.46) принимает вид
ттах = 2,98.10*[$/(1,296-1СГ)р %	(17.48)
или
тп,ах = 3,74 • 103-s,/e.	(17.49)
Далее с учетом (17.25) и (17.26) равенство (17.49) можно переписать
в виде
И (1 /2)г + р- = 3,74 • lO’s1/».	(17.50)
Л о
Коэффициент концентрации напряжений Ке на краю может
быть принят равным 3 при скругленных краях; в соответствии
с данными табл. 17.6 коэффициент трения ц=0,67; по условию
Р=100 фунтов и поскольку ползун квадратный, Л0=$г. С учетом
всего этого из (17.50) получаем, что условием нулевого износа
является равенство
(3 • 100/s2) К( 1 /2)2 + 0,672 = 3,74 • IO3s1/!>.	(17.51)
Находя отсюда $, имеем
s = {[3 -100/(3,74 • 103) ] / (1 /2Г- -- 0,672},
ИЛИ	s = 0,278 дюйма.	(17.52)
Таким образом, чтобы удовлетворить требованию нулевого
износа, необходимо изготовить квадратный ползун со стороной
9/32 дюйма и скругленными краями.
17.5.	КОРРОЗИЯ
Коррозия может быть определена как нежелательное повреждение
материала вследствие химического или электрохимического взаимо-
действия с окружающей средой или разрушение материала вслед-
ствие других немеханических воздействий. Разрушение в резуль-
тате коррозии происходит, когда следствием коррозии является
то, что механизм не может выполнять своей роли. Коррозия часто
синергически взаимодействует с другими видами разрушения, та-
кими, как износ или усталость, приводя к гораздо более серьезным
видам разрушения типа коррозионного износа или коррозионной
усталости. Лишь в одних Соединенных Штатах Америки ежегод-
592 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
ные затраты, связанные с разрушениями вследствие коррозии и
с защитой от нее, оцениваются более чем в 8 млрд. долл. ПО, стр. 11.
Хотя в последние годы достигнут существенный прогресс в пони-
мании и описании этого серьезного вида разрушения, многое еще
предстоит изучить. Для инжепера-механика важно познакомиться
с различными видами коррозии, чтобы избежать связанных с ней
разрушений.
Сложность процесса коррозии лучше осознается, если учесть,
что она зависит от множества факторов, характеризующих условия
окружающей среды, а также электрохимический и металлургиче-
ский аспекты явления. Например, на тип и скорость процесса кор-
розии влияют анодные реакции и степень окисления, катодные
реакции и степень восстановления, торможение коррозии, поляри-
зация или сдвиг по фазе, явление пассивности, наличие окислов,
скорость движения, температура, концентрация коррозионного
вещества, вид гальванических элементов, участвующих в корро-
зионных реакциях, и структура металла.
Коррозионные процессы классифицируются по-разному. В ча-
стности, удобно выделить следующие типы коррозии: непосредст-
венное химическое воздействие, электрохимическую коррозию,
щелевую коррозию, межкристаллитную коррозию, избирательное
выщелачивание, эрозионную коррозию, кавитационную коррозию,
водородное повреждение, биологическую коррозию и коррозион-
ное растрескивание под напряжением [19, стр. 281, 120, стр. 85|.
В зависимости от условий окружающей среды, нагружения и функ-
ционального назначения детали любой из видов коррозии может
явиться причиной преждевременного разрушения. Особую опас-
ность представляют явления, приводящие к разрушениям вследст-
вие коррозионного износа, коррозионной усталости, фреттинг-
износа, фреттинг-усталости и хрупкого разрушения в условиях
коррозии.
Непосредственное химическое воздействие
Непосредственное химическое воздействие является, по-видимому,
наиболее распространенным типом коррозии. В случае такого
коррозионного воздействия поверхность детали, доступная корро-
зионной среде, корродирует более или менее равномерно, в ре-
зультате чего происходит постепенное разрушение материала и
уменьшение размеров неповрежденного воспринимающего нагрузку
сечения. Скорость коррозии при непосредственном химическом
воздействии обычно можно оценить по результатам относительно
простых лабораторных испытаний, в процессе которых небольшие
по размерам образцы исследуемого материала помещаются в среду,
моделирующую окружающую, и время от времени производится
тщательное определение изменений их веса и размеров. Обычно
скорость коррозии измеряется в единицах мил'год. Ее можно
17.5. Коррозия 593
определить по соотношению 119, стр. 133]
/?=534 W/(yAt),	(17.53)
где R — скорость коррозии, мил/год; W — потеря веса, мг; А —
площадь открытой поверхности образца, дюйм2; у — плотность
образца, г/см3; t — время выдержки, ч. Использование этого вы-
ражения для оценки глубины коррозии в реальных условиях экс-
плуатации обычно дает удовлетворительные результаты, если толь-
ко реальные условия были достаточно хорошо воспроизведены в ла-
Рис. 17.3. Метод Нельсона представления данных о зависимости скорости корро-
зии свинца в серной кислоте от концентрации и температуры (См. [21], перепе-
чатано с разрешения McGraw-Hill Book Company.) ф скорость коррозии меньше
2 мил/год; О скорость коррозии менее 20 мил/год; □ скорость коррозии от 20
до 50 мил'год; X скорость коррозии больше 50 мил/год.
боратории. В литературе (см., например, [21—23]) имеются данные
по скорости коррозии для многих разнообразных сочетаний мате-
риалов и внешних сред. Пример такого типа данных приведен на
рис. 17.3.
Неблагоприятные последствия непосредственного химического
воздействия могут быть уменьшены или предотвращены одним спо-
собом или совокупностью их: подбором соответствующих окружаю-
щей среде материалов; применением гальванопокрытий, опрыски-
вания пламенем, плакирования, горячего погружения, осаждения
пара, нанесения покрытий (в том числе органических) или покраски
20 № 492
594 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
для предохранения материала; изменением условий окружающей
среды путем понижения температуры или уменьшения скорости,
удаления кислорода, изменения концентрации коррозионной
среды или добавления ингибиторов; применением катодной защиты
путем создания потока электронов к защищаемой поверхности
с помощью либо жертвенного анода, либо внешнего источника
тока. Существуют также некоторые другие способы.
Электрохимическая коррозия
Электрохимическая коррозия происходит, когда два разнородных
металла образуют электрическую цепь, замыкаемую жидким или
пленочным электролитом или коррозионной средой. В этих усло-
виях разность потенциалов между разнородными металлами создает
электрический ток, проходящий через электролит, который и при-
водит к коррозии в первую очередь анода или менее благородного
металла из пары. Механизм этого явления совершенно аналогичен
механизму, происходящему в гальваническом элементе. Для элект-
рохимической коррозии необходим электрический ток, и, вообще
говоря, чем больше ток, тем интенсивнее коррозия.
Тенденция различных металлов образовывать гальванические
пары и вероятная направленность электрохимического действия
в морской воде для некоторых используемых в промышленности
металлов и сплавов показаны в табл. 17.8 [19, стр. 321, [20^ стр. 861.
В идеале желательно проводить испытания в натурных условиях,
однако в случае, если результатов таких испытаний нет, достаточно
достоверно оценить возможные электрохимические эффекты можно
с помощью табл. 17.8. Чем далее удалены друг от друга разнород-
ные металлы в этом гальваническом ряду, тем более серьезной мо-
жет быть проблема электрохимической коррозии. Пары материа-
лов внутри любой заключенной в квадратные скобки группы совсем
(или почти совсем) гальванически не взаимодействуют. Следует,
однако, отметить, что в приведенном в табл. 17.8 гальваническом
ряду встречаются и исключения, так что всегда, когда это воз-
можно, следует проводить коррозионные испытания применяемых
материалов в натурных условиях.
Ускоренная электрохимическая коррозия обычно наиболее ин-
тенсивна вблизи мест соединения двух металлов; вдали же от мест
соединения ее интенсивность уменьшается. Существенное влияние
на скорость коррозии оказывает величина отношения площади
поверхности катода, контактирующей с электролитом, к площади
незащищенной поверхности анода. Желательно иметь малое отно-
шение площади катода к площади анода. В связи с этим, если пред-
стоит с целью защиты от коррозии покрыть лишь один из находя-
щихся в электрическом контакте разнородных металлов, следует
покрыть более благородный, т. е. менее подверженный коррозии,
металл. Хотя на первый взгляд кажется, что покрывать следует
17,5. Коррозия 595
Таблица 17.8. Электрохимический ряд некоторых металлов
и сплавов в морской воде ф)
Благородные, или катоды (защи- щенный конец) Активные, или аноды (корроди- рующий конец)	Платина Золото Г рафит Титан Серебро Г Хлоримет 3 (62% Ni, 18% Сг, 18% Мо) “| |_Хастеллой С (62% Ni, 17% Сг, 15% Мо)J ПНержавеющая сталь 18-8 Мо (пассивная)Л Нержавеющая сталь 18-8 (пассивная) Нержавеющая хромистая сталь 11—30% 1Сг (пассивная) ^Инконель (80% Ni, 13% Сг, 7% Fe) (пас-1 сивный) [Никель (пассивный) Серебряный припой [Монель (70 Ni, 30 Си) Меди о-никелевые сплавы (60-90% Си, 40-10% Ni) Бронзы (Cu-Sn) Медь Щатуни (Cu-Zn) ГХлоримег 2 (66% Ni, 32% Мо, l%Fe) Хастеллой В (60%Ni, 30% Мо, 6% Fe, Li%Mn) Г Инконель (активный)! |_Никель (активный) J Олово Свинец Свинцово-оловянные припои [Нержавеющая сталь Мо 18-8 (активная)! [Нержавеющая сталь 18-8 (активная) J Высокойикелевый чугун Хромистая нержавеющая сталь, 13% Сг (активная) [Чугун	1 [Сталь или техническое железоJ Алюминий 2024	(4,5% Си, 1,5% Mg, 0.6 % Мп) Кадмий Коммерчески чистый алюминий (1100) Цинк Магний и магниевые сплавы
*)См. стр. 32 работы [19]- (Перепечатано с разрешения McGraw-Hill
Book Company.)
худший металл, в пользу сделанного утверждения свидетельствует
влияние площади, в соответствии с которым скорости анодной
коррозии в 102—103 раз превышают скорости катодной коррозии
при равных площадях.
Вредные эффекты электрохимической коррозии могут быть
уменьшены или предотвращены с помощью следующих мер, осу-
20*
596 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
ществляемых отдельно или одновременно: подбором пар материа-
лов друг к другу в гальваническом ряду (желательно из группы,
заключенной в скобки); электрической изоляцией одного из разно-
родных металлов от другого (насколько можно более полно); обеспе-
чением малого отношения площади поверхности катода к площади
поверхности анода; применением и поддержанием в надлежащем
состоянии покрытий; применением ингибиторов для уменьшения
агрессивности коррозионной среды; применением катодной защиты
путем использования в качестве жертвенного анода периодически
заменяемого металлического элемента, являющегося анодом по от-
ношению к обоим металлам рабочей пары.
Щелевая коррозия
Щелевая коррозия представляет собой существенно локализован-
ный процесс ускоренной коррозии в щелях, трещинах и других
дефектах малого объема, где корродирующий металл контактирует
с неподвижным раствором. Например, щелевая коррозия возможна
в уплотнительных соединениях, на прижатых поверхностях, в со-
единениях внахлестку, под головками болтов и заклепок, под на-
летом грязи, накипи или продуктов коррозии. До недавнего вре-
мени предполагалось, что щелевая коррозия является следствием
разности концентрации либо кислорода, либо ионов металла в щели
по сравнению с концентрацией их в окружающем металле. Резуль-
таты более поздних исследований свидетельствуют, однако, о том,
что локальные реакции окисления и восстановления приводят
к уменьшению концентрации кислорода в области щели, что вызы-
вает увеличение положительного заряда в щели вследствие увели-
чения концентрации ионов металла. Это в свою очередь вызывает
потоки ионов хлора и кислорода в щель, которые ускоряют процесс
коррозии в щели.
Ускоренная щелевая коррозия — существенно локализованный
процесс. Часто она требует довольно длительного инкубационного
периода — иногда многих месяцев. Однажды начавшись, процесс
быстро ускоряется и может представлять серьезную опасность.
Для чувствительности участка к щелевой коррозии дефекты долж-
ны быть достаточно широкими, чтобы в них могла проникнуть
жидкость, и в то же время они должны быть достаточно узкими,
чтобы жидкость в них была неподвижной. Это обычно означает,
что на 1 дюйм приходится несколько сотен или тысяч трещин
и щелей.
Для уменьшения интенсивности щелевой коррозии или для
предотвращения ее необходимо ликвидировать трещины и щели.
Этого можно достичь замазыванием или завариванием существую-
щих соединений внахлестку, заменой заклепочных или болтовых
соединений сварными соединениями, удалением инородного мате-
17.5. Коррозия 597
риала из рабочей жидкости, систематической проверкой и удале-
нием коррозионного налета или применением неабсорбирующих
у п лотн яющих матер и алов.
Питтинговая коррозия
Питтинговая коррозия представляет собой очень локализованное
воздействие, в результате которого в металле образуются раковины
или язвы. Язвы, часто очень глубокие, даже пронизывающие мате-
риал насквозь, могут располагаться далеко друг от друга или по-
крывать сплошь всю поверхность. Механизм роста язв практически
такой же, как и только что описанный механизм щелевой корро-
зии, за исключением того, что для начала питтинговой коррозии
не требуется наличия щелей. Язва, по-видимому, образуется вне-
запно вследствие случайного изменения концентрации жидкости
или наличия мелкой поверхностной царапины или дефекта. Неко-
торые язвы могут стать неактивными вследствие блуждания кон-
вективного потока, в то время как другие могут расти до доста-
точно больших размеров, при этом образуются застойные зоны,
которые и далее продолжают расти в течение длительного времени
с увеличивающейся скоростью. Язвы обычно растут в направлении
действия силы тяжести, поскольку для активного роста язвы тре-
буется наличие в ней плотного концентрированного раствора.
Большинство язв поэтому растет вниз от горизонтальной поверх-
ности, разъедая в конечном счете стенку насквозь. Меньше язв
образуется на вертикальных стенках и совсем мало— на верхних.
Измерение и оценку поврежденности при питтинговой коррозии
очень трудно осуществить вследствие ее локального характера.
Глубина язв меняется в достаточно широких пределах, и, как и
в случае исследования усталостного повреждения, следует приме-
нять статистический подход, оценивая в лабораторных испытаниях
вероятность образования язв заданной глубины. К сожалению,
на глубину питтинга существенно влияют размеры детали и об-
разца, так что это влияние необходимо учитывать при оценке
долговечности детали машины по результатам исследований пит-
тинговой коррозии в лабораторных условиях.
Управление питтинговой коррозией или ее предотвращение
осуществляется в основном подбором сопротивляющегося ей мате-
риала или, поскольку питтинговая коррозия обычно происходит
в застойных зонах, путем сообщения жидкости некоторой скорости.
Увеличение скорости жидкости может уменьшить питтинговую
коррозию.
Межкристаллитная коррозия
Вследствие неправильностей атомной структуры на границах зерен
поликристаллических металлов накопленная энергия деформации
в районах границ зерен больше, чем в самих зернах. Эти высоко-
Б98 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
энергетические области границ зерен химически активнее зерен.
В некоторых условиях может происходить обеднение или обогаще-
ние сплава или повышение концентрации примесей у границ зерен,
в результате чего локально может измениться состав коррозионно-
стойкого металла и он может стать восприимчивым к коррозии.
Локальные воздействия на эти уязвимые места у границ зерен
называются межкристаллитной коррозией. В частности» аустенит-
ные нержавеющие стали становятся подверженными воздействию
межкристаллитной коррозии после сенсибилизации путем нагрева
до температуры 950—1450°F (510—7902С), которая служит причи-
ной обеднения хромом около границ зерен в результате выпаде-
ния в осадок карбида хрома на этих границах. Обедненные хромом
области корродируют вследствие функционирования локальных
гальванических элементов, и зерна буквально выпадают из мат-
рицы. Особый вид межкристаллитной коррозии, называемый раз-
ложением сварки, наблюдается в зонах сварки, нагреваемых до
температуры сенсибилизации.
С целью минимизации восприимчивости аустенитных нержавею-
щих сталей к межкристаллитной коррозии может быть понижено
содержание углерода менее чем до 0,03% , либо могут быть добав-
лены стабилизаторы для предотвращения обеднения хромом около
границ зерен или для получения более однородного сплава может
применяться термообработка в высокотемпературном растворе,
называемая закалкой — отжигом. Восприимчивыми к межкристал-
литной коррозии являются также алюминиевые, магниевые, мед-
ные и цинковые сплавы в неблагоприятных условиях.
Избирательное выщелачивание
Явление коррозии, при котором из твердого сплава удаляется
один из элементов, называется избирательным выщелачиванием.
Хотя оно может наблюдаться во многих сплавах, наиболее харак-
терными и распространенными примерами являются обесцинкова-
ние латуни и графитизация серого чугуна.
Обесцинкование может происходить либо локально, либо по
большому участку поверхностного слоя. В любом случае обесцип-
кованный участок становится пористым, хрупким и менее проч-
ным. Обесцинкование можно минимизировать, добавляя в сплав
такие ингибиторы, как мышьяк, сурьму или фосфор, понижая со-
держание кислорода в окружающей среде или применяя катодную
защиту.
При графитизации серого чугуна окружающая среда воздейст-
вует, растворяя железную матрицу и оставляя нетронутой графи-
товую решетку, которая образует функционирующие гальваниче-
ские элементы. Происходящая при этом коррозия разрушает де-
таль. Применение других сплавов, таких, как чугун с шаровид-
ным графитом или ковкий чугун, смягчает проблему, поскольку
17.5. Коррозия 599
в них нет графитовой решетки, которая задерживала бы продукты
коррозии. Среди других сплавов, которые в определенных неблаго-
приятных условиях могут быть подвержены избирательному выще-
лачиванию,— алюминиевые бронзы, кремнистые бронзы и сплавы
кобальта.
Эрозионная коррозия
Эрозионная коррозия представляет собой быстро протекающее хи-
мическое воздействие на поверхность металла коррозионной среды.
Вследствие эффекта абразивного износа при воздействии движу-
щейся жидкости образование защитного слоя из продуктов корро-
зии замедлено или вообще не происходит, и коррозионная среда
непосредственно воздействует на незащищенную поверхность ме-
талла. Эрозионная коррозия обычно характеризуется образованием
на поверхности в результате воздействия потока коррозионной
среды канавок или впадин, чередующихся с возвышениями. Такой
коррозии подвержено большинство сплавов, и происходит она в
различных коррозионных средах — движущихся газах, жидкостях
и твердых веществах. Она может представлять серьезную проблему
для таких деталей и машин, как клапаны, насосы, вентиляторы,
лопатки турбин, сопла, транспортеры и трубопроводы, особенно
в местах изгиба и в криволинейных вставках.
На эрозионную коррозию влияют скорость течения коррозион-
ной среды, турбулентность потока, удар о стенку, концентрация
абразивных твердых частиц и характеристики обтекаемой потоком
поверхности металла. Методы минимизации или предотвращения
эрозионной коррозии включают в себя уменьшение скорости тече-
ния жидкости, исключение или уменьшение турбулентности, пре-
дотвращение внезапных изменений направлений, исключение по
возможности прямых ударов потока о стенку, отфильтрование аб-
разивных частиц, применение более прочных и коррозионно-стой-
ких металлов, снижение температуры, применение покрытий по-
верхности и применение катодной защиты.
Кавитационная коррозия
Кавитация часто наблюдается в таких гидравлических системах,
как турбины, насосы и трубопроводы, когда в результате измене-
ния давления в протекающей жидкости образуются пузырьки пара,
которые исчезают на поверхности металла или вблизи нее. При ис-
чезновении пузырьков могут возникать ударные волны высокого
давления, локально пластически деформирующие металл или раз-
рушающие защитную пленку из продуктов коррозии, в результате
чего происходит локальное ускорение процесса коррозии. Обра-
зующиеся таким образом незначительные вмятины становятся за-
родышами для следующих пузырьков газа, которые, исчезая в тех
600 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
же местах, способствуют возникновению глубоких язв и раковин
в результате одновременного действия механической деформации и
ускоренной химической коррозии. Это явление называется кавита-
ционной коррозией. Она может быть уменьшена или предотвращена
путем исключения кавитации с помощью соответствующих измене-
ний конструкции. Эффективными конструктивными мерами могут
быть шлифовка поверхностей, покрытие стенок, применение корро-
зионно-стойких материалов, минимизация перепадов давления во
время цикла и применение катодной защиты.
Водородное повреждение
Водородное повреждение, хотя оно само и не считается видом кор-
розии, часто является ее следствием. Водородным повреждением
называется любой вид повреждения металла, причиной которого
служит наличие водорода или взаимодействие с ним. К водородному
повреждению относятся водородное вспучивание, водородное ох-
рупчивание, химическое воздействие водорода и обезуглерожи-
вание.
Водородное вспучивание вызывается диффузией атомов водо-
рода в поры в структуре металла, где они, объединяясь, образуют
молекулярный водород. Давление водорода достигает такой вели-
чины, что в некоторых случаях происходит вспучивание, теку-
честь и разрушение. Водородное вспучивание можно минимизиро-
вать, применяя материалы без пор, либо ингибиторы коррозии или
непроницаемые для водорода покрытия.
Водородное охрупчивание вызывается также прониканием во-
дорода в металл, в результате чего образуются хрупкие гидриды и
зацепления дислокаций, уменьшающие скольжение. Однако ме-
ханизм водородного охрупчивания до конца еще не выяснен. Водо-
родное охрупчивание более опасно для подверженных ему сплавов
с высокими пределами прочности, к которым относится большинство
высокопрочных сталей. Снижения или предотвращения водород-
ного охрупчивания можно добиться удалением водорода с помощью
«высушивания» при относительно низких температурах в течение
нескольких часов, применением ингибиторов коррозии и использо-
ванием менее чувствительных сплавов.
Обезуглероживание и химическое воздействие водорода — это
высокотемпературные явления. При высоких температурах водо-
род удаляет из сплава углерод, в результате чего часто снижается
прочность при растяжении и увеличивается скорость ползучести.
Этот процесс удаления углерода называется обезуглероживанием.
Возможно также, что наличие водорода явится причиной образова-
ния в порах металла метана и возникновения трещин в результате
расширения пор. Это другой вид воздействия водорода. Полезен
для предотвращения указанных явлений соответствующий подбор
используемых материалов и покрытий.
17,6. Коррозионное растрескивание под напряжением 601
Биологическая коррозия
Биологическая коррозия представляет собой процесс или процессы
коррозии как следствие активности живых организмов. Это могут
быть либо микроорганизмы, такие, как аэробные и анаэробные
бактерии, или макрооргапизмы, такие, как грибы, плесень, морские
водоросли или рачки. Организмы могут вызывать коррозию или
влиять на нее как при потреблении пищи, так и при выделении от-
ходов. Например, сульфатовосстаиавливающие анаэробные бак-
терии, находясь в контакте в земле со стальными конструкциями,
образуют сульфид железа. Аэробные серпоокисляющие бактерии
вызывают повышенную локальную концентрацию серной кислоты
и оказывают коррозионное действие на находящиеся в земле сталь-
ные и бетонные трубопроводы.
Существуют также бактерии, которые поглощают железо и вы-
деляют гидрозакись железа, что вызывает локальную щелевую кор-
розию. Другие бактерии окисляют аммиак, в результате чего об-
разуется азотная кислота, действующая на большинство металлов.
Кроме того, большинство бактерий производит двуокись углерода,
из которой образуется оказывающая коррозионное действие уголь-
ная кислота. Грибы и плесень усваивают органические вещества и
выделяют органические кислоты. Просто благодаря своему при-
сутствию грибы, а также водоросли и рачки могут способствовать
возникновению щелевой коррозии. Предотвращение или уменьше-
ние биологической коррозии может быть достигнуто путем воздей-
ствия на окружающую среду, применения соответствующих покры-
тий, ингибиторов, бактерицидов и катодной защиты.
17.6.	КОРРОЗИОННОЕ РАСТРЕСКИВАНИЕ ПОД НАПРЯЖЕНИЕМ
Коррозионное растрескивание под напряжением представляет со-
бой исключительно важный вид разрушения, поскольку он харак-
терен для многих различных сплавов. Этот вид разрушения про-
является как образование множества трещин в металле под влия-
нием одновременно действующего растягивающего напряжения и
коррозионной среды. По большей части поверхности металла ника-
ких следов воздействий нет, но в матрице образуется система рас-
пространяющихся с течением времени межзеренных и внутризе-
ренных трещин.
Уровни напряжений, при которых происходит коррозионное
растрескивание под напряжением, значительно ниже предела те-
кучести материала, так что причиной разрушения могут быть как
приложенные, так и остаточные напряжения. Чем меньше напря-
жение, тем больше времени требуется для растрескивания. Сущест-
вует, по-видимому, некоторое предельное напряжение, ниже кото-
рого коррозионного растрескивания под напряжением не проис-
ходит (19, стр. 961.
602 Гл. 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
Химические составы среды, воздействие которой приводит
к коррозионному растрескиванию под напряжением, для каждого
класса сплавов свои — никаких общих закономерностей устано-
вить не удалось. Например, аустенитные нержавеющие стали под-
вержены коррозионному растрескиванию под напряжением в со-
лях хлористоводородной кислоты, но не подвержены растрескива-
нию в аммиачной среде. В то же время латуни подвержены корро-
зионному растрескиванию под напряжением в аммиачной среде и
не растрескиваются в солях хлористоводородной кислоты. Установ-
лено, что «сезонное растрескивание» корпусов латунных гильз
в районе буртиков представляет собой коррозионное растрескива-
ние под напряжением, обусловленное воздействием аммиака, об-
разующегося при распаде органических веществ. Аналогично уста-
новлено, что «каустическое охрупчивание» стальных котлов, кото-
рое было причиной многих разрушений, представляет собой корро-
зионное растрескивание под напряжением вследствие воздействия
гидроокиси натрия в кипящей воде.
На растрескивание под напряжением оказывают влияние вели-
чина напряжения, состав сплава, окружающая среда и темпера-
тура. Распространение трещин, по-видимому, происходит неравно-
мерно: их размеры увеличиваются до критического, после чего
в соответствии с законами механики разрушения происходит вне-
запное и катастрофическое разрушение. Рост трещин при корро-
зионном растрескивании статически нагруженной детали проис-
ходит в условиях взаимодействия в области вершины трещины про-
цессов механического деформирования и химической коррозии.
Наибольшее значение коэффициента интенсивности напряжений
в условиях плоской деформации в коррозионной среде, при кото-
ром трещина не растет, обозначается через scc. Во многих слу-
чаях поведение при коррозионной усталости также связано с ве-
личиной scc.
Предотвратить коррозионное растрескивание под напряжением
можно, понижая напряжение ниже предельного значения, выбирая
наилучший сплав для данной окружающей среды, изменяя состав
окружающей среды путем удаления из нее корродирующего эле-
мента, используя ингибиторы коррозии или применяя катодную
защиту. Прежде чем применять катодную защиту, необходимо
убедиться, что явление, с которым предстоит бороться, действи-
тельно представляет собой коррозионное растрескивание под на-
пряжением, так как процесс водородного охрупчивания при ка-
тодной защите ускоряется.
1Многое еще предстоит изучить о коррозионном растрескивании
под напряжением и его предотвращении. Во всем мире приклады-
ваются значительные усилия к изучению этого опасного вида раз-
рушения.
Вопросы 603
ВОПРОСЫ
1.	Дайте определение износа и перечислите его основные разновидности.
2.	Ползун из стали 1020 шириной 2 дюйма, длиной 4 дюйма и толщиной
0,5 дюйма контактирует с большой плитой из закаленной стали 4340 и нагружен
силой 1000 фунтов, нормальной к поверхности контакта. Оцените отношение ре-
альной площади контакта к движущейся, если предел текучести стали 1020 равен
48 000 фунт/дюйм2. Находится ли это отношение в ожидаемых пределах?
Рис. Q17.3. 1 — башмак ползуна; 2 — вращающееся колесо*
3.	Одна из деталей измерительного устройства скоростной фасовочной ма-
шины показана на рис. Q17.3. Башмак ползуна и вращающееся колесо должны
быть изготовлены из нержавеющей стали с пределом текучести 40 000 фунт/дюйм2.
Участок контактной поверхности башмака имеет длину 1 дюйм и ширину 0,5 дюй-
ма. Диаметр вращающегося колеса равен 10 дюймов оно вращается со скоростью
30 об.мин. Установленная пружина создает нормальное усилие на изнашиваемом
участке величиной 15 фунтов.
(а)	Определите интервал времени в часах, по истечении которого требуется менять
башмак, если допустим износ башмака не более чем 0,050 дюйма и нельзя при-
менить никакой смазки. (Предположите, что основную роль играет адгезионный
износ.)
(Ь)	Приемлем ли этот интервал времени?
(с)	Оцените возможность увеличения интервала между профилактическими ре-
монтами при применении «наилучшей» смазки поверхности контакта. Приемлем
ли этот новый' интервал?
(d)	Предложите другие способы улучшения конструкции, позволяющие снизить
скорость износа.
4.	Установлено, что при скольжении друг по другу двух стальных деталей
процесс изнашивания имеет преимущественно абразивный характер, причем он
может считаться износом при участии трех тел вследствие образования осколков.
Анализ образующихся осколков свидетельствует о том, что средний размер об-
разующихся частиц составляет около 100 мкм. Размеры участка контакта деталей
составляют 1 дюйм ширины и 2 дюйма длины (в направлении движения); между
контактирующими деталями действует усилие 30 фунтов. Величина размаха отно-
сительного движения равна 4 дюйма. Оцените время, за которое величина износа
башмака достигнет 0,25 дюйма, если прибор работает с частотой 300 цикл/мин.
Примененная сталь имеет предел текучести, равный 120 000 фунт/дюйм2.
5.	На заводе, производящем шлакоблоки, блоки от разливочной машины
транспортируются на рельсовых тележках, колеса которых снабжены шарикопод-
604 Гл, 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения
шипниками. Тележки нагружаются блоками стопками по 6 штук. При этом вслед-
ствие разрушения шарикоподшипников через каждый год должна производиться
их замена. С целью увеличения объема производства устанавливается вторая раз-
ливочная машина, при этом предполагается использовать ту же транспортную
систему с тем же самым количеством тележек, укладывая на них блоки стопками
по 12 штук. С какой периодичностью, по вашему мнению, надо будет производить
замену подшипников в этом случае?
6.	Стальной вал диаметром 1 дюйм из стали 52100 (оур=150 ООО фунт/дюйм2)
непрерывно движется вперед и назад во втулке из спеченной бронзы (nWp=
=20 000 фунт/дюйм2) с хорошо скругленными краями в потоке жидкой смазки
(масло С из табл. 17.7). Длина бронзовой втулки равна 1,5 дюйма, а нормальное
усилие, действующее на вал со стороны втулки при движении, равно 800 фунтов.
Размах движения вала составляет 1,0 дюйм, а рабочая скорость 1000 цикл/мин.
В течение какого времени работы устройства можно нс беспокоиться об износе,
если допустимый износ не должен существенно изменять качество обработки по-
верхности?
7.	Вал и втулка, описанные в задании 6, совершают не возвратно-поступа-
тельное, а вращательное движение. Все нагрузки и размеры те же самые. Вал,
однако, вращается со скоростью 1200 об/мин. Используя тот же критерий разру-
шения, оцените, как долго может работать приспособление без заметного износа.
8.	Дайте определение разрушения вследствие коррозии и перечислите основ-
ные виды коррозии.
9.	Прямоугольная свинцовая пластина размером 6 дюймов на 10 дюймов и
толщиной 0,20 дюйма погружена в 80%-ный раслвор серной кислоты при комнат-
ной температуре.
(а) Оцените потери веса свинцовой пластины вследствие коррозии через 90 дней.
(Ь) Насколько изменятся, по вашему мнению, потери веса свинца, если повысить
температуру на 100°F (38сС) выше комнатной?
10.	Предполагается установить в чугунном корпусе насоса бронзовый вен-
тиль на резьбе.
(а)	Что лучше с точки зрения уменьшения коррозии — сделать вентиль как мож-
но больше или как можно меньше?
(Ь)	Что эффективнее — нанести антикоррозионное покрытие на бронзовый вен-
тиль или на чугунный корпус?
(с)	Какие другие меры можно предпринять для минимизации коррозии?
ЛИТЕРАТУРА
1.	Burwell J. Т., Jr. Survey of Possible Wear Mechanisms.—Wear, 1 (1957),
p. 119—141.
2.	Peterson M. B., Gabel M. K-, Derine M. J. Understanding Wear; Ludcma К- C.
A Perspective on Wear Models; Rabinowicz E. The Physics and Chemistry of
Surfaces; McGrew J. Design for Wear of Sliding Bearings; Bayer R. G. Design
for Wear of Lightly Loaded Surfaces.— ASTM Standardization News, 2, No.
9 (September 1974), p. 9—32.
3.	Waterhouse R. B. Fretting Corrosion.— New York: Pergamon Press, 1972.
[Имеется перевод: Уотерхауз P. Б. Фреттинг-коррозия.— Л.: Машинострое-
ние, 1976.J
4.	Engel Р. A. Predicting Impact Wear.— Machine Design, Penton IPC, Cleveland,
May 26, 1977, p. 100—105.
5.	Engel P. A. Impact W ear of Materials.— New York: Ei sevier, 1976.
6.	Bowden F. P., Tabor D. Friction and Lubrication of Solids.— London: Oxford
University Press, 1950.
7.	Bowden F. P., Tabor D. Friction and Lubrication.— London: Methuen & Co.,
Ltd., 1967.
8.	Rabinowicz E. Friction and Wear of Materials,— New York: John Wile) &
Sons, 1961,
Литература 605
9.	Archard J. F. Contact and Rubbing of Flat Surfaces.— Journal of Applied Phy-
sics, 24, (1953), p. 981—988.
10.	Lipson C. Wear Considerations in Design.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-
Hall, 1967.
11.	Davies R. Compatibility of Metal Pairs.—Engineering Approach to Surface
Damage, University of Michigan Press, Ann Arbor, 1958.
12.	Baver R. G. Understanding the Fundamentals of Wear.— Machine Design,
44, No. 31 (Dec. 28, 1952), p. 73—76.
13.	Suh N. P. The Delamination Theory of Wear.— Wear, 25 (1973), p. 111—124.
14.	Shigley J. E. Mechanical Engineering Design, 2nd ed.— New York: McGraw-
Hill, 1972.
15.	Spotts M. F. Design of Machine Elements.— Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-
Hall, 1978.
16.	Glaeser W. A., Ludcma К. C., Rhee J. K. (eds.).— Wear of Materials, American
Society of Mechanical Engineers, New York, April 25—28, 1977.
17.	MacGregor C. W. (ed.) Handbook of Analytical Design for Wear.— New York:
Plenum Press, 1964.
18.	Suh N. P. et al. The Delamination Theory of Wear — II.—Annual Report
Nr 229-011, Office of Naval Research, Arlington, Va., 1975.
19.	Fontana M. G-, Greene N. D. Corrosion Engineering.— New York: McGraw-
Hill, 1967.
20.	Seabright L. S., Fabian R. J. The лМапу Faces of Corrosion.— Materials in De-
sign Engineering, 57, No. 1 (January 1963).
21.	Nelson G. Corrosion Data Survey.— National Assocition of Corrosion Engine-
ers, Houston, Texas, 1972.
22.	Uhlig H. H. (ed.) Corrosion Handbook.— New York: John Wiley & Sons, 1948.
23.	Rabald E. Corrosion Guide.— New York: Elsevier, 1951.
24.	Rhodin T. N. Physical Metallurgy of Stress Corrosion Fracture.— New York:
Interscience Publishers, 1959.
25.	Rolfe S. T., Barsom J. M. Fracture and Fatigue Control in Structures.— Engle-
wood Cliffs, N. J.: Prcntice-Hall, 1977.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
А лес манит, глубок и пуст,
Но словом данным я влеком:
Еще мне ехать далеко.
Еще мне ехать далеко
Роберт Фрост
Семнадцать глав этой книги были посвящены описанию видов
разрушения, с которыми часто приходится сталкиваться инжене-
рам. Там, где возможно, излагались количественные методы их
описания и способы их предсказания и предотвращения. Эти ме-
тоды и способы (иногда точные, иногда эмпирические, а иногда
очень упрощенные) продолжают постоянно развиваться и улуч-
шаться специалистами. К моменту прочтения книги читатель об-
наружит, что уже появились новые методы, так что он постоянно
должен изучать литературу с целью поиска новых, более совер-
шенных методов.
Из стихотворения «В лесу снежным вечером». Пер. с англ. И. Каш-
кина (печатается по изданию: Роберт Фрост «Из девяти книг».— М.: ИЛ,
1963).— Прим, перев.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Х) Деформационная теория пластичности, ведущая начало от Г. Генки,
была развита и завершена А. Л. Ильюшиным. См. их публикации: Hencky Н. Zur
Theorie plastischer Deform a tionen und hierdurch im Material hervorgerufenen Ne-
benspannungen.— Zeitschrift fur Mathematik und Mechanik, 1924, B. 4, H. 4,
S. 323—334 (перевод на русский язык: Генки Г. К теории пластических деформа-
ций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений.— В сб.: Теория
пластичности.— М.: ИД, 1948, с. 114—135). Ильюшин А. А. Некоторые вопросы
теории пластических деформаций.— ПММ, 1943, т. 7, вып. 4, с. 245—272; Прибли-
женная теория упруго-пластических деформаций осесимметричной оболочки.—
ПММ, 1944, т. 8, вып. 1, с. 15—24; Связь между теорией Сен-Венана — Леви —
Мизеса и теорией малых упруго-пластических деформаций.— ПММ, 1945, т. 9,
вып. 3, с. 207—218; К теории малых упруго-пластических деформаций.— ПММ,
1946, т. 10, вып. 3, с. 347—356; Теория пластичности при простом нагружении тел,
материал которых обладает упрочнением.— ПММ, 1947, т. 11, вып. 2, с. 293—
296. См. также Ильюшин А. А. Пластичность.— М.: Гостехиздат, 1948.
2)	Гипотеза максимального главного нормального напряжения была сформу-
лирована в 1638 г. Г. Галилеем (1564—1642) и Г. В. Лейбницем (1684); ее поддер-
живали Г. Ламэ (1862), А. Клебш (1883), М. Рэнкин (1864). Некоторые подроб-
ности можно найти в ретроспективном обзоре Барре Сен-Венана на с. CXCIX—
CCV (разд. XLIV—XLV) книги Навье (Navier С. L. М. Н. Resume des lemons
donnees a Г ecole des pouts et chaussees sur Tapplication de la mechanique a Tetablis-
sement des constructions et des machines. Troisieme edition avec des notes et des
appendices par M. Barre de Saint-Venant. Premiere partie. Premiere section. De la
resistance des corps solides. Tome 1, fascicule 1.— Paris: Dunod, 1864).
3)	Гипотеза максимального касательного напряжения. В СССР она иногда на-
зывается гипотезой Треска, чаще — гипотезой Кулона. Сформулирована она
впервые в 1773 г. Шарлем Кулоном (1736—1800) (Coulomb Ch. A. Essai. Sur une
application des regies de maximis et minimis a quelques problcmes de statique, rela-
tifs a I’architecture.— iMemoire de Mathematiques et de Physique, presentcs а Г Aca-
demic Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblees. Annee
1733. Paris, de rimprimcrie Royale, 1776, p. 343—382). Эти вопросы обсуждаются
на стр. 357—363 книги Кулона (Coulomb Ch. A. Theorie des machines simples en
ayant egard au frottement de leurs parties et a la roideur des cordages, Nouvelle
edition.— Paris: Bachelier, 1821, 368 p.). Описания опытов Треска опубликованы
в 1868 и 1872 гг. (Tresca Н. Memoire sur l’ecoulement des corps solides. Memoire
presentes par divers savants а Г Academic des Sciences de Г Institut de France.—
Paris: 1868, tome 18, Savants etrangers — XVIII, p. 733—799). Кроме того, см.
его работы: Tresca Н. Memoire sur l’ecoulement des corps solides.— Там же, 1872,
tome Vingtieme, Savants etrangers— XX, p. 75—135; Applications de 1 ecoule-
ment des corps solides au laminage et au forgcage.— Там же, p. 137—183; Comple-
ment au memoire sur l’ecoulement des corps solids.— Там же, p. 281—286; Ecoule-
ment des corps solides. Memoire sur le poin^onnage des metaux.— Там же, p. 187—
230. Дж. Дарвин на основе этой гипотезы определял предельное состояние пластов
земли (Darwin О. Н. On the stresses caused in the interior of the earth by the weight
608 Примечания редактора перевода
of continents and mountains.— Philosophical Transactions of the Royal Society of
London, Ser. A, 1882, v. 173, pt. 1, p. 187—230).
Важное значение для подтверждения этой гипотезы имели опыты Иоганна
Баушингера, выполненные на стальных образцах с различным содержанием угле-
рода (Bauschinger J. Versuche fiber die Festigkeit des Bessemer-St a hies von verschie-
denem Kohlenstoffgehalte.— .Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Labo-
ratorium der Koniglichen technischen Hochschule.— Munchen: Th. Ackermann,
1874, H. 3, 16 S.). Опыты Геста на образцах, выполненных из меди, железа и ста-
ли, опубликованы в 1900 г. (Guest J. J. On the strength of ductile materials under
combined stress.— Philosophical Magazine and Journal of Sciences, 1900, Ser. 5,
v. 50, No. 302, p. 69—132).
4)	Гипотезу максимальной линейной относительной деформации впервые
можно обнаружить у Э. Мариотта. Сен-Венан (1797—1886) в своем историческом
обзоре Historique Abrege (р. ХС), упомянутом на стр. 609 настоящего издания,
относит эту работу к 1680 г., но ссылки на нее не дает. Этот вопрос обсуждался
в книге Мариотта (Mariotte Е. Traite du mouvement des eaux et des autres corps
fluides.— Divise en V parties, 1686, X-p408 p.) (см. стр. 352). Эту гипотезу поддер-
живали Ж. Понселе (1839), Л. Навье (1826), Б. Сен-Вепан (1883) — см. Note
finale du §37 на с. 252—282 книги Клебша (Clebsch A. Theorie de I’elasticite des
corps sol ides. Avec des notes etendues de M. De Saint-Venant.— Paris: Dunod,
1883, 900 p.), дал обобщение гипотезы на случай неизотропных тел. В Герма-
нии эта гипотеза пропагандировалась Грасгофом (Grashoff F. Die Festigkeitslehre
mit besonderer Riicksicht auf die Bediirfnisse des Maschinenbaues.— Berlin: Verlag
von R. Gartner, 1866, XIV-F294 S.).
Гипотеза полной удельной энергии сформулирована в 1885 г. Бельтрами
(Beltrami Е. Sulle condizioni di resistenza del corpi elastici.— Rendiconti del
Reale Institute Lombardo, Lettere e Arti, Serie II, Milano, 1885, tomo XVIII,
p. 704—714). Эта статья перепечатана под тем же заголовком на стр. 180—189
тома IV его собрания сочинений (Beltrami Е. Ореге matimatiche.— Pub!. per сига
della Facolta di Scienz della R. Universita di Roma, Milano. Hoepli, tomo 4, 1920).
Обсуждение исследований Бельтрами содержится в работе (Pascal Е., Beltrami Е.
Mathematische Annalen, 1903, В. 57, S. 65—107). Точку зрения Бельтрами позднее
поддержал Хей (Haigh В. Р. The ^rain-energy function and the elastic limit.—
Engineering, 1920, v. 109, January 30, p. 158—160).
На Первом международном конгрессе по прикладной механике в 1924 г.
в голландском городе Дельфте выяснилось, что впервые это условие было пред-
ложено Губером (Huber М. Т. Wiasciwa praca odkstatcenia jako miara wytlzenia
materialu. Przyczyhek do podstaw teorii wytrzymalofci.— Czasop. Techn. Lwow,
1904, tome 22, No. 3, p. 38—40; No. 4, p. 49—50; No. 5, p. 61-62; No. 6, p. 80—
81; Huber M. T. О podstawach teoryi wytrzymalo$ci.— Prace mat.-Hz. Warszawa,
1904, tome 15, p. 47—59). В приведенных ниже работах ссылки на исследование
Губера не содержалось: Mises R. Mechanik der fersten Korpcr im plastischen defor-
mablenZustand.— Nachrichtungen von der Konigliche Gesellschaft der Wissenschaf-
ten zu Gottingen, Math.-Phys. Klasse, 1913, H. 4, S. 528—592 (перевод на русский
язык: Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоя-
нии.—В сб.: Теория пластичности, 1948.—М.: ИЛ, с. 57—69); Hencky Н. Zur
Theory plastischer Deformationen und der hierdurch im Material herforgerufenen
Nebenspannungen.— Zeitschrift fur Mathematik und Mechanik, 1924, B. 4, H. 4,
S. 323—334; Proceedings of the First International Congress for Applied Mechanics,
Delft, 1924, p. 84—86 (перевод на русский язык: Генки Г. К теории пластических
деформаций и вызываемых ими остаточных напряжений.— В сб.: Теория пластич-
ности, 1948.— М.: ИЛ, с. 114—135). Об этом варианте упоминал Джеймс Максвелл
в 1856 г.
7)	Первая работа Отто Кристиана Мора (1835—1918) опубликована в 1882 г.
(Mohr О. Uber die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszu-
Примечания редактора перевода 609
standes eines Korperelementes und uber Anwendung derselben in der Festigkeits-
lehre.— Der Civilingcnieur, 1882, Jahrgang 1882 (Der neuen Folge), B. 28, S. ИЗ-
156). Успеху его новой гипотезы способствовали и дополнительные новые опыты,
опубликованные 18 лет спустя (Mohr О. Welche Umstande Bedingen die Elastizi-
tatsgrense und den Bruch einen Materials? — Zeitschrift des Vereines deutscher
Ingenieure, 1900, B. 44, No. 45, S. 1524—1530 (перевод на русский язык: Мор О.
Чем обусловлены предел упругости и временное сопротивление материала? —
Новые идеи в технике, сб. № 1, Теории прочности.— Петроград: изд-во «Образо-
вание», 1915, с. 1—50). См. также стр. 192—240 его монографии: Mohr О. Abhand-
lungen aus dem Gebicte der technischen Mechanik.— Berlin: Wilhelm Ernst und
Sohn, 1928, 3er eweiterte Auflage, 622 S., пятую главу которой составляет вторая
из указанных выше статей.
Предположение о линейной неоднородной зависимости касательного и нор-
мального напряжений в точке в предельном состоянии ввел также Ш. Дюге (Du-
guet Ch. Limite d’elasticitie et resistance a la rupture. Partie I. Statique speciale.—
Paris: Gauthier-Villars, 1882, 213 p.).
8)	Подробное определение полного напряжения в произвольно расположен-
ной площадке с заданными углами наклона нормали к площадке с помощью
кругов Мора дано, в частности, на стр. 26—27 книги А. И. Дымова «Строитель-
ная механика машин» (Л.— М.: Гостехтеориздат, 1933).
В)	Гипотеза Мора при линейном законе изменения огибающей может быть за-
писана в виде (О!>0, о3<0)
1 ^з раст/^s сж) раст»
где раст, as сж — соответственно предел текучести материала при растяжении
и при сжатии.
10) В. Альберт проводил в 1829 г. опыты по исследованию изгиба цепей вокруг
диска на базе 105 циклов при скорости 10 цикл/мин. См. Albert W. A. J. Uber
Treibseile am Harz.— Archiv f£ir Mineralogie, Geognosie, Bergbau und Hiittenkun-
de, 1838, B. 10, S. 215—234. Эти опыты обсуждались подробно в статьях Хоппе:
Hoppe О. Alberts Versuche und Erfindungen. Zugleich Beitriige zur Frage der Ge-
fiigeveranderung von Eisen durch wiederholte Stosse und zur Erfindung des Draht-
seiles und der Forderung mit Ketten ohne Ende.— Stahl und Eisen, 1896, B. 16,
No. 12, June 15, S. 437—441; No. 13, July 1, S. 496—500. Отметим также и другие
первые опыты. Описание усталостных испытаний изложено в статье: Hodgkinson Е.
Experiments to prove that all bodies are to some degree inelastic and a proposed
law for estimating the deficiency.— British Association Reports, 1843, Pt 2, p. 23—
25. Обсуждение усталости железнодорожных осей проводится в работе: МсСоп-
nel I. С. On railway axies.— Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,
1847—1849, October 1849, p. 13—27. Эксперименты с железными двутавровыми
балками как элементами конструкции моста, заделанными по концам, проводи-
лись в 1861 г. Джеймсом (James) и Галтоном (Gallon) и описаны в работе: Fairburn
W. Experiments to determine the effect of impact, vibratory action, and long-conti-
nued changes of load on wTought-iron girders.— Proceedings of the Royal Society,
1864, v. 154, p. 311—326. Комментарии этих опытов содержатся также в статье:
Wilson J. S., Haigh В. Р. Stresses in bridges.— British Association Reports, Liver-
pool, 1923, p. 368—385; см. также Engineering, London, 1923, vol. 116, September
28, p. 411-413; October 12, p. 446—448.
U) Первыми систематическими опытами по повторному нагружению, при из-
гибе, растяжении и кручении мы обязаны Вёлеру (1852—1869 гг.) (Wohler А. Ве-
richt йЬег die Versuche, welche auf der Konigl. Niederschleesisch-Markischen
Eisenbahn mit Apparaten zum Messen der Biegung und Verdrehung von Eisenbahn-
wagen — Achsen wahrend de Fahrt, angestellt wurden.— Zeitschrift fur Bauwesen,
Berlin, 1858, Jahrgang 8, S. 641—652; Versuche zur Ermittelung der auf die Eisen-
bahnwagen-Achsen einwirkenden Krafte und der Widerstandsfahigkeit der Wagen-
610 Примечания редактора перевода
Achsen. Там же, I860, Jahrgang 10, S. 583—616; Ober die Versuche zur Ermittelung
der Festigkeit von Achsen, welche in den Werkstatten der Niederschlesisch-Marki-
schen Eisenbahn zu Frankfurt a. d. o. angestellt sind. Там же, 1863, Jahrgang 13,
S. 233—258; Resultate der in der Central-Werkstatt der Niederschlesisch-Markischen
Eisenbahn zu Frankfurt a. d. o. angestellten Versuche uber die relative Fertigkeit
von Eisen, Stahl und Kupfer. Там же, 1866, Jahrgang 16, S. 67—83; Ober die Festig-
keits-Versuche mit Eisen und Stahl. Там же, 1870, Jahrgang 20, S. 73—106; Ober die
Festigkeitsversuchen mit Eisen und Stahl. Auf Anordnung des Ministers fur Handel,
Gerwerbe u. offentl. Arbeiten, Grafen Itzenblitz, angestellt. Berlin, Ernst und Korn,
1870, 17 SS. В одном из опытов Вёлера было 3,1 40® повторных приложений на-
грузки. Понселе (Poncelet J. V. Introduction a la mechanique industrielle, physique
ou experimentale. Deuxieme edition.— Paris: Imprimerie de Gautier-Villar,
1839) в 1839 г. ассоциировал слово fatigue с повторным нагружением. Термин
fatigue введен на стр. 473 работы: Braithwaite F. On the fatigue and consequent
fracture of metals.— Institution of Civil Engineers, Minutes of Proceedings, 1853—
1854, p. 463—467; discussion, p. 467—475.
Опыты Вёлера и Фейрберна проводились на натурных образцах. Бейкер
в 1886 г. (Baker В. Some notes on the working stress of iron and steel.— Transactions
of the American Society of Mechanical Engineers, 1887, v. 8, p. 157—181) доложил
о серии опытов на малых образцах в машине типа Вёлера и на полноразмерных
образцах.
Работы А. Велера были продолжены И. Баушингером и позднее А. Фёпплем
(Bauschinger J. Uber die Veranderleng der Elastizitatsgrenze und der Festigkeit des
Eisens und Stahls durch Strecken und Quetschen, durch Erwarmen und Abkiiheen
und durch oftmal wiederholte Beanspruchung.— Mitteilungen aus dem mechanisch-
technischen Laboratorium der K. technischen Hochschule, Munchen, 1886, H. 13,
No. 8, S. I—115.) Резюме на английском языке: On the change of the elastic limit
and strength of iron and steel by tension and compession, by heating and cooling and
by of ten repeated loading.— Minut. Proceedings of the Institution of Civil Engi-
neers, 1886—1887, v. 87, p. 463—465; Foppl A. Dauerversuche von Bauschinger,
ausgefuhrt in den Jahren 1881—1893. Там же, Neue Folge, 1897, H. 25, S. 1 — 19.
12) Проблеме усталости материалов посвящена обширная литература. Библи-
ография по усталости материалов, содержащая 2119 наименований, охватываю-
щая 1843—1938 гг., представлена в обзоре: Mann J. Y. Bibliography on the fatigue
of materials, componentsand structures, v. 1, 1843—1938, Aeronautical Research La-
boratory, Department of Supply, Australia, August 1954, который является разви-
тием публикации: Bibliography on the fatigue of materials, Australia, Council for
Scientific and Industrial Research, Division Aeronautics, July 1945, 89 pp. См.
также его отчет: List of reports on the fatigue of materials, components and struc-
tures published by ARR.— To же, May 1959. В работе хМанна (Mann J. Y. Biblio-
graphy on the fatigue of materials, components and structures, 1838—1950.— Ox-
ford: Pergamon Press, 1970, 316 p.) указано 4080 источников.
Дифференцированную по тематике библиографию, включающую 1360 источ-
ников, можно найти в книге: Heywood R. В. Designing against fatigue.— London:
Chapman and Hall Ltd., 1962 (перевод на русский язык: Хэйвуд Р. Б. Проектиро-
вание с учетом усталости.— М.: ^Машиностроение, 1969 (см. стр. 450—500)). Общее
обсуждение исследовательских центров в связи с рассмотрением природы и меха-
низма усталости содержится в работе Петерсона (Peterson R. Е. Discussion of а
century ago concerning the nature of fatigue, and reviews of some of subsequent
researches concerning mechanism of fatigue.— Bulletin of the American Society
for Testing and Materials, 1950. v. 164, February, p. 50—56).
Различные вопросы истории исследований повторного приложения нагрузок
можно найти в работе: Eden Е. М., Rose W. N., Cunningham F. L. The endurance
of metals—experiments on rotating beams at University College, London.— Pro-
ceedings of the Institution of Mechanical Engineers, London, 1911, Parts 3—4, p.
839—974; то же, Engineering, 1911, v. 92, October 27, p. 575—580; November 3,
p. 612—613.
Примечания редактора перевода 611
1:,> Диаграмму зависимости амплитуды переменного напряжения цикла от
среднего напряжения цикла иногда называют диаграммой Хея (Haigh В. Р.
Experiments on the fatigue of brasses.— Journal of Institute of Metals 1917, v. 18,
No. 2, p. 55—86; Engineering, 1917, v. 104, September 21, p. 315—319). См. также
его работу: Haigh В. P. The relative safety of mild and high tensile alloy steels un-
der alternating and pulsating stresses.— Proceedings of the Institution of Automo-
bile Engineering, 1929—1930, v. 24, p. 320—362, в которой оценено влияние сред-
него напряжения цикла на выносливость стали и сплавов.
В английской литературе обычно принято при этом ссылаться на книгу
Джона Гудмана (Goodman J. Mechanics applied to engineering.— Longmans,
Green and Co., London. Чаще ссылаются на издания 1899, 1908; реже на издание
1919, 1921 и двухтомник 1946—1947 годов; последнее из указанных является девя-
тым, если не считать стереотипов).
Во всех упомянутых изданиях книги Гудмана н°т диаграммы усталости в виде
произвольной зависимости максимального и минимального напряжений от сред-
него напряжения цикла, которую, по-видимому, впервые ввел Смит в 1910 г.
У Гудмана используются другие параметры. В гл. XV о расчете конструкций он
анализирует «эксперименты на повторное действие напряжений», подробно обсуж-
дая результаты опытов Вёлера для железнодорожных осей из крупповской стали,
рассматривает он и параболическую зависимость Гербера. В результате автор
предлагает линейное уравнение «динамической теории», описывающее, как он
полагает, все предшествующие результаты. Гудман формулирует (в своих пере-
менных) линейную зависимость для максимального (переменного) и минимального
(постоянного) напряжений цикла от минимального напряжения так как пере-
менные нагрузки эквивалентны внезапно приложенным, и материал не разруша-
ется при повторных нагрузках, если временное напряжение при внезапном
приложении нагрузок меньше предела прочности при статическом нагружении.
Так же как Фейрберн и Гербер, Гудман предполагал, что предел выносливости
материала в случае симметричного цикла нагружения равен одной трети преде-
ла прочности; при пульсирующем цикле он считал предел выносливости равным
половине предела прочности. Mop (Moore Н. F., Seely F. В. The failure of mate-
rials under repeated stress.— Proceedings of the Americal Society of Testing iMate-
rials, 1915, v. 15, Part 2, p. 437—466) отказался от указанных предположений в
линейном условии Гудмана.
Гербер (Gerber W. Bestimmung der zulassigen Spannungen in Eisenconstruk-
tion.—Zeitschrift fQr Bayerischer Architekten- und Ingenieur. Vereins, Munchen,
1874, No. 6, S. 101 — 110) анализировал опыты Вёлера, он учитывал также наблю-
дение Фейрберна, заметившего, что для сварочного железа при циклическом на-
гружении предел выносливости равен одной трети предела прочности (Fair-
bairn W. Experiments to determine the effect of impact, vibratory action and long-
continued changes of load on wrought iron girders.— Philosophical Transactions of
the Royal Society, 1864, v. 154, p. 311—326).
l6)	Использование линейной диаграммы зависимости амплитуды напряжений
от среднего напряжения цикла в связи с определением запаса прочности при одно-
осном и неодноосном напряженном состоянии провел Зодерберг (Soderberg С. R.
Factor of safety and working stresses.— Transactions of ASME, 1930, v. 52, p. 13—
28). Сокращенное изложение этой работы опубликовано под заголовком «Working
stresses» (Journal of Applied Mechanics, 1935, v. 2, No. 3, p. 106—108). См. также
его статью под тем же названием в Transactions of ASME, 1933, v. 1, No. 1, p. 131—
144, причем предполагалось, что при статическом нагружении разрушение проис-
ходит при пределе текучести. См. также его статью: Service conditions control
permissible stress.—Machine Design, 1933, v. 5, No. 2, p. 27—31.
17)	Эта зависимость предлагалась различными авторами. Здесь уместно отме-
тить работу Н. И. Гордеева (О предельной циклической прочности при асиммет-
ричных циклах.— В сб,: Прочность металлов при переменных напряжениях!
612
П римечания редактора перевода
под/ред. И. А. Одинга.— М.: Изд-во АН СССР, 1963, с. 119—126), в которой вы-
писано соотношение (обозначения очевидны)
,))» + (a,m/(Boz+1))'" = 1,
и представлены ссылки на предыдущие работы самого автора (1952 и 1958 г.).
При п= 1 отсюда при упрощающих обстоятельствах получается формула Гафа
(Gough Н. The fatigue of metals, Scott, Greenwood & Son, London, 1924), которая
при m=l переходит в формулу Гудмана и при т=2 — в формулу Гербера. Слу-
чай т=п=2 Н. И. Гордеев называет эллиптической зависимостью Зодерберга,
ссылаясь на его работу, упомянутую в прим. 16.
18)	Диаграмму предельных напряжений при переменных напряжениях в виде
зависимости CFTnax(omin)=/(am) — максимального amax и минимального omin
напряжения цикла от среднего напряжения цикла ат=(атах+^т’1п)/2 предложил
Смит (Smith J. Н. Some experiment of fatigue of metals.—Journal of Iron and
Steel Institute, 1910, v. 82, No. 2, p. 246—318). Сокращенную версию см. в Engi-
neering, 1910, v. 90, October 7, p. 494—495. См. также статью: Reynolds О., Smith
J. H. On a throw-testing machine for reversals of mean stress.— Philosophical Trans-
actions Royal Society, Series A, 1902, v. 199, November, p. 265—297. Сокращеннее
изложение этой работы можно найти в Proceedings of the Royal Society, 1902,
vol. 70, pp. 44—46. Автор называет эту диаграмму диаграммой Гудмана, что
неверно — у Гудмана диаграмма имеет иной вид.
19>	Первые систематические исследования по ползучести металлов были
опубликованы Андраде (Andrade Е. N. On the viscous flow of metals and allied
phenomena.— Proceedings of Royal Society of London, Series A, 1910, v. 84, No.
A567, p. 1—12).
См. опыты, проведенные Робинсоном (Robinson E. L. Effect of temperature
variation on the creep strength of steels.— Trans Amer. Soc. Meeh. Engrs., 1938,
v. 60, p. 253-259).
21	> Автор излагает статическую теорию удара при растяжении стержня, ана-
логичную развитой впервые Коксом теории изгибного удара стержня (Сох Н. On
impacts in elastic beams.— Transactions of the Cambridge Philosophical Society,
1856, Part 1, v. 9, p. 73—78). Позднее гипотезы, принятые Коксом, были исполь-
зованы при выводе основных соотношений растягивающего и крутящего удара
прямых упругих стержней.
22)	Теория распространения продольных волн в упругом стержне и графиче-
ские методы решения разработаны Барре Сен-Венаном и Альфредом Фламаном
(Saint-Venant В., Flamant A. Determination de representation graphique des lois
du choc longitudinal d’une tige ou barre elastique prismatique.— Comptes Rendus
Ac. des Science de Paris, 1883, v. 97, p. 127, 214, 281, 353; Saint-Venant B., Fla-
mant A. Courbes representatitives des lois du choc longitudinal et du choc trans-
versal d’une barre prismatique.— Journal de 1’Ecole polytechnique.— Paris, 1889,
v. 59, p. 97—128).
Решение этой задачи завершил Жозеф Буссинеск (Boussinesq J. Applicati-
ons des potentiels a Fctude de I’equibre et du mouvement de sol ides elastiques.—
Paris, Gauthier-Villar, 1885, 772 p.; см. стр. 505—546). Ретроспективный взгляд
на решение этой задачи изложен Сен-Венаном в примечании к § 60 книги А. Клеб-
ша (Clebsch A. Theorie de I’elasticite des corps solides.— Paris: Dunod. 1883; см. его
Note finale du §60, p. 480a—480ff,).
24>	На самом деле это было известно гораздо раньше. Если говорить о послед-
них работах, то это заключение имеется в работе Доннелла (Donnell L. Н. Longitu-
dinal wave transmission and impact.— Transactions of the American Society of Me-
chanical Engineers, 1930, v. 52, No. 2, p. 153—166). Развитие представлений о рас-
пространении приращения пластической деформации с местной скоростью, равной
Примечания редактора перевода 613
ср~ У\дв/де)/р, содержащееся в этой работе, использовалось в статье Теодора
Кармана и Поля Дюве (Karman Th., Duwes Р. Е. On the propagation of plastic
deformation in solids.— Journal of Applied Physics, 1950, v. 21, p. 987—994; cm.
также Karman Th. The collected works.— London, Butterworths Scientific publica-
tion, 1956, v. 4, p. 415—430, а также в известном исследовании: Taylor G. I. The
testing of material at high rates of loading.— Journal of the Institute of Civil Engi-
neers, 1946, v. 26, No. 8, p. 486—519.
Уместно также отметить здесь работу X. А. Рахматуллина (О распростране-
нии волн разгрузки.— ПММ, 1945, т. 9, вып. 1, с. 91 —100), в которой описан закон
волны разгрузки при пластическом ударном деформировании.
261	Устойчивость продольно сжатых прямых стержней за пределом упругости
первоначально развита Ф. Энгессером (Engesser F. Uber die Knickfestigkeit gerader
Stape.— Zeitschrift Architecter und Ingenieurc Verein zu Hannover, 1889, B. 35,
№ 4, S. 455—662). При этом критическая сжимающая сила определяется по форму-
ле Эйлера с заменой модуля Юнга касательным модулем. На Парижском между-
народном конгрессе по расчету конструкций в том же 1889 г. Консьедере крити-
ковал этот подход Энгессера (впоследствии названный методом касательного мо-
дуля), но рационального предложения о расчете не дал. Статья Консьедере была
опубликована спустя два года — в 1891 г. (Consiedere A. Resistance des pieces
comprimees.— Les Comptes Rendus du Congres International des Procedes de Con-
struction, 1889, Paris, Boudry, tome 3, 1891, p. 371—397). Альтернативный подход,
получивший впоследствии название «теория двойного, или приведенного, моду-
ля», был разработан по инициативе Ф. С. Ясинского совместными усилиями
Ф. С. Ясинского (Jasinsky F. Noch ein Wort zu den Knickfragen.— Schweizcrische
Bauzeitung, 1895, B. 25, No. 24, S. 172—175; перевод на русский язык: Еще к во-
просам продольного изгиба.— В сб.: Ясинский Ф. С. Избранные работы по устой-
чивости сжатых стержней.— М.— Л.: Гостехиздат, 1952, с. 202—211) и Энгессера
(Engesser F. Uber Knickfragen.— Schweizerische Bauzeitung, 1895, В. 26, No. 4,
S. 24—26; см. также Engesser F. Widerstandsmomente und Kernfiguren bei belibi-
gem Formanderungsgesetz (Spannungsgesetz).— Zeitschrift des Vereins deutscher
Ingenieure, 1898, B. 42, No. 34, S. 927—931). В первой из указанных работ Энгес-
сер приводит общее выражение для приведенного модуля и получает, что крити-
ческая сжимающая сила за пределом упругости определяется по формуле Эйлера,
если модуль Юнга заменить приведенным модулем. Впоследствии Т. Карман (Th.
Karman, 1910) и Р. Саусвелл (R. Soutwell, 1912) получили выражения приведен-
ного модуля для прямоугольного поперечного сечения и кругового кольца.
2б)	Для стержня, продольно сжатого силой Р, приложенной с эксцентриси-
тетом е по отношению к центральной оси стержня, максимальный прогиб будет
посредине стержня:
штах = е (I —COS (W/2))/COS (W/2), k= К Р/El,
изгибающий момент там же равен
^max = Р (^тах + е) = Рв SCC (kl/2).
Максимальное сжимающее напряжение равно (№ — момент сопротивления сече-
ния:	Ушах=С):
После соответствующей замены из соотношения (*) получаем формулу секанса
(16.27).
27	* Опрокидывание полосы впервые рассмотрели Л. Прандтль и А. Мичелл
(Prandtl L. Kipp’Erscheinung. Ein Fall von instabilem elastishem Gleigewicht.—
614 Примечания редактора перевода
Dissertation der Universitat Munchen, 1899, November, Ntirenberg, 1900, S. 1—75;
см. также: Prandtl L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandte Mcchanik, Hyd-
ro- und Aerodynamik, Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin — Gottingen — Heidel-
berg, 1961, S. 10—74; Michell A. G. On the elastic stability of long beams under
transverse forces.— Philosophical Magazine and Journal of Sciences, ser. B, 1899,
v. 48, No. 292, p. 298—309). Случай опрокидывания двухопорной полосы, нагру-
женной концевыми моментами и продольными сжимающими силами, изучил
А. Мичелл.
28)	Вычисление критических концевых крутящих моментов при винтообраз-
ной форме равновесия прямого стержня проведено Г. Кирхгоффом (Kirchhoff G. R.
Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich diinnen elasti^chen Sta-
bles.— Journal fQr die reine and angewandte Mathematik, 1859, B. 56, S. 285—313).
Выпучивание прямого упругого стержня при совместном действии конце-
вых крутящих моментов и продольных сил изучил А. Гринхилл (Grecnhill A. G.
On the strength of shafting when exposed both to torsion and to end thrust.— Procee-
dings of the Institution of Mechanical Engineers, 1883, p. 182—209).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абразивный износ 16, 19, 490, 571, 578—
581, 589. 599
Адгезионный износ 16, 19, 490, 571—578,
581. 589-591
Амплитуда деформации пластической 382.
383
— — полной 382, 383
— — упругой 383
— -- циклической 378
— напряжения цикла 173
Арчариа формула износа 574—576
Асимметрия 312
Бегущие волны 507
Безопасного срока эксплуатации расчет 298
Безопасности коэффициент 153, 154
Безопасных повреждений расчет 167, 298
Бельтрами гипотеза см. Полной удельной
энергии деформации гипотеза разрушения
Браве классификация пространственных ре-
шеток 27, 28
Бринелирование 15, 17
Бюргерса вектор 52, 54, 56
— контур 52
Вариация 184, 319, 351
«Вверх — вниз», метод усталостных испы-
таний 368—372
Вейбулла распределение 322, 330, 334, 335
Велера модель 293
Вероятностная бумага 341—348, 359—364
— — Вейбулла 341. 344-348
— — логарифмически нормальная 341, 343,
346, 359, 360
— нормальная 341, 342, 344—346, 361,
362
Вероятность разрушения 186
Вёлера диаграмма 168 См. также Уста-
лости кривые
Виды разрушения 9, 14, 16—23, 71, 72, 82,
86
Внезапно приложенные нагрузки 497, 500,
513—515
Внутреннее трение 515—519
Водородное воздействие 600
— вспучивание 600
— охрупчивание 600
— повреждение 16, 19, 592, 600
Волновое уравнение одномерное 505
Волны бегущие 507, 519 — 529
— напряжений 504—531
Волокон направления, влияние на уста-
лость 189 — 191
Выборки статистические 317
Выборок приемы получения 318
Выборочные распределения 325 — 335
Выносливости предел см. Усталости предел
Выпучивание 16, 22, 549 — 568
— боконое балок при изгибе 562—565
— — валов при кручении 565 — 568
— локальное 559, 568
— неупругое 557 — 559
-- при ползучести 16. 22, 433, 568
— стержней 551—562
Выщелачивание избирательное 16, 18, 592.
59*. 599
Вязкое разрушение 15, 17, 44, 152
Вязкости мера 106
— число 107
Вязкость 105, 106
— разрешения 62, 69
Гальванопокрытий влияние на усталость
198, 200
^d249a_2521OTe3a накоплеиия повреждений
Гаусса (нормальное) распределение 321 —
324. 340
^247 949°Т<?3а ’,акоплепия повреждений
Гербера зависимость 217, 220, 22]
Гибкость стержня относительная 557
*и.335^€3а стьтистическая альтернативная
— — нулевая 335
Гистерезисное демпфирование 515 — 519
Гистограмма разрушений 184. 185
Главные площадки касательных напряже»
ннй 95, 99
— — нормальных деформаций 105
— — — напряжений 91—95
— — сдвигов 95—99
Глубина фреттинга 488—490
Графитизация 598
Гриффитса — Ирвина — Орована крите-
рий 47
Гриффитса теория 45. 46
Губера — Мизеса — Генки гипотеза см.
Формоизменения удельной энергии, ги-
потеза разрушения
Гудмана диаграмма см. Смита диаграмма
— зависимость см. Смита зависимость
Гука закон 111
«Да — нет», метод усталостных испытаний
360 — 363
Давления высокого сосуд тонкостенный
122-127, 131
Движение дислокаций 53—60
Двойникование механическое 33, 40- 42
Двойного исхода метод усталостных испы-
таний 360—363
Демпфирование 515 — 519
Дефект линейный 48
— объемный 48
— поверхностный 48
— точечный 48
Дефекта начальный размер 62, 299, 487
Деформаций концентрация при ударе 540—
542
Деформационная теория пластичности 118
Деформационного упрочнения показатель
при статическом нагружении 108
— — — — циклическом нагружении 279
Деформационное разупрочнение 38, 40
— упрочнение 38—40
Деформация главная 105, 116, 117
— истинная J05 — НО, 119, 120
— нормальная ИЗ
— пластическая 33—43, 48, 107, 1 18—122,
476-509
— сдвиговая 114
— упругая 31—33, 45
— условная 105, 108
Деформирование циклическое 378—382
Динамическая ударная вязкость разруше-
ния 534
Динамичности коэффициент 500
Дислокаций взаимодействие 56, 59, 60
— геометрия 48—51
— зацепление 56, 57
— источник Франка — Рида 58, 59
— линии 49 — 51. 55. 56
— образование 58—60
— переползание 55, 59
— петли 58, 59. 71
— плотность 58
— подвижность 48, 53—56, 170
616 Предметный указатель
—	поперечное скольжение 55, 59
—	скопление 59
—	теория 32, 47—60
—	типы 48
Дислокация 47—60
— винтовая 48, 50, 52, 54, 56
— краевая 48—50, 52, 54, 56
— смешанная 48, 51
Дисперсионный анализ 330
Дисперсия 184, 319, 351
Диффузионная ползучесть 33, 42
Доверительные интервалы 339, 340
— пределы 338, 339. 370—372
Дробеструйной обработки поверхности влия-
ние на усталость 202, 203
Заедание 16, 21, 22, 575, 577, 578
Затухание волн напряжений 515—519
Зерен размера влияние на усталость 189, 190
Значимость статистического критерия 335 —
339. 352, 371
ЗоОербереа зависимость 217, 220, 221
Зонке закон 44
Избирательное выщелачивание 16, 18, 592,
598, 599
Износ 16, 19, 21, 23, 476, 490, 571—592,
599
— абразивный 16. 19, 490, 571, 578—581.
589-591, 599
— адгезионный 16, 19, 490, 571—578, 581,
589-591
— деформационный 16, 19, 571, 584
— коррозионный 16. 19, 23, 571, 582, 594
—	нулевой 585
—	поверхности усталостный 16, 19, 571,
583. 584
—	с участием двух тел 578. 580, 581
—	— — трех тел 579—581
—	ударный 16, 19, 489, 571 584
Износа постоянная абразивного 580
—	— адгезионного без смазки 575
—	— — со смазкой 576
—	процессом методы управления 578
—	расслоения теория 583
— частиц образование 574
Импульс 497, 509
Инварианты напряжений 93
Интегральная функция распределения 320,
488, 489
— — нормального распределения Гаусса
322, 324
— — распределения Вейбулла 334, 335
— — хи-квадрат-распределения 326,	327
— — F-распределения (Снедкора) 330—
333
— — /-распределения (Стьюдента) 328,
329
Интенсивности напряжений коэффициент
66-77
Испытания на ползучесть 434—437, 449—454
— усталостные 176 — 183, 293—296, 357—374
Кавитационная коррозия 16,18, 594, 599, 600
Кавитация 16, 18, 592, 599, 600
Касательно-модельная нагрузка 557
Катодная защита 594, 596
Каустическое охрупчивание 602
Квазистатическое нагружение 497, 498
Квантиль 319
Коварная трещина 299
Кондона — Морса кривые 26, 27, 29, 30
Конструктивных схем классификация 297,
298
Конструкции с допустимыми повреждени-
ями 296
Контакта площадь действительная 572, 574
— — кажущаяся 572, 575
Контроль разрушения 296—301
Концентрации деформаций коэффициент 411
Коррозии влияние на усталость 207, 208
Коррозионная усталость 16. 23, 592
Коррозионный износ 16, 19, 23, 571, 582,
592
Коррозия 16. 18. 19. 22, 571, 591—602
— биологическая 16, 19, 592, 601
— кавитационная 16, 18, 592, 599, 600
— межкристаллитная 16, 18, 592, 597, 598
— питтинговая 16. 18, 592, 597
— под напряжением 16. 19, 22, 60. 592, 601,
602
— точечная 16. 18, 592, 597
— щелевая 16, 18, 592, 596. 597
— электрохимическая 16, 18, 592, 594—596
— эрозионная 16, 18, 592, 594—596
Кортена — Долана гипотеза 253—261, 268,
271
Коэффициент безопасности 153, 154
—	динамичности 500
—	интенсивности напряжений 66—77
—	концентрации деформаций 411
—	— напряжений 400—413
—	— усталостных напряжений 401, 413,
414, 417-419
—	— — — для пластичных материалов 419
— — — — — хрупких материалов 419
— — — — при конечной долговечности
418, 419
Критическая нагрузка 549, 551—553, 557,
559
—	область в статистике 336, 337, 352, 371
—	скорость удара 536
Критическое напряжение стержня 558
—	нормальное разрушающее напряжение
43, 44
Кубическое уравнение для определения
главных нормальных деформаций 117
—	— — — — — напряжений 93, 101
Ларсона — Миллера параметр 437, 438
<Лестннцы> метод усталостных испытаний
368—372
Линейное правило суммирования поврежде-
ний при ползучести
—	— — — — усталости 241—243
Линия дислокации 49—52, 56—59
Логарифмически нормальное распределе-
ние 349
Майнера гипотеза см. Пальмгрена гипотеза
Максимального касательного напряжения
гипотеза разрушения 132,	135 — 137
146 — 148, 152, 157, 159
— — — — усталостного разрушения 228,
229
—	нормального напряжения гипотеза раз-
рушения 132—134
—	—------усталостного разрушения 228
Максимальной нормальной деформации ги-
потеза разрушения 132, 137, 138
Малоцикловая усталость 15, 17, 167, 377 —
396
Марина гипотеза 261—264, 268, 271
Марко — Старки гипотеза 244—246
Масштабного фактора влияние на усталость
201
Материалов свойства при статическом на-
гружении 105 — 127
— — — ударном нагружении 531—537
— — — циклическом нагружении 275 —
280
Предметный указатель 617
Машины для усталостных испытаний 176—
183
Медиана 319, 348
Межатомное расстояние 27, 29, 30
Межатомные силы 25
Местная потеря устойчивости 559, 574
Металлическое сцепление 25
Механика линейно-упругого разрушения
60-78
*— упругопластического разрушения 64,
78—80
Механическое разрушение 9, 14, 23
Методы усталостных испытаний 357—374
Мизеса гипотеза см. Формоизменения удель-
ной энергии гипотеза разрушения
Минимальной долговечности параметр
Вейбулла 330, 346—348
Многоцикловая усталость 15, 17, 166—234,
377
Мода статистической величины 319
Модуль сдвига 116
— упругости Юнга 29, 45, 46, 112
Момент количества движения 509
— опрокидывающий 559, 552
— сопротивления 549, 552
Мора гипотеза прочности 132, 148 — 152,
157, 159, 160
— круг 148 — 151, 159, 160
Морроу соотношение 383
Мощность статистического критерия 395
Мэнсона правило билинейного суммирова-
ния повреждений 264—266, 272, 273
Мэнсона — Коффина зависимость 285, 382,
383, 458. 465
Мэнсона — Хаферда параметр 438, 439
Надежность 186, 317
Наименьшего из п метод усталостных испы-
таний 372, 373
Наклон Вейбулла 330, 346, 348
Накопление повреждений при усталости 166,
215, 240-274, 286, 378, 393, 395
Направляющие косинусы 89, 90, 92, 96,
100-103
Напряжение 86
—	гидростатическое 133
—	главное касательное 95—99
—	— нормальное 91—95
—	истинное 107, 108
—	касательное 87—91
—	нормальное 87—91
— расчетное 153, 154, (61
—	условное 105
Напряжений концентрация 398—426
— — в пластической области 410, 411
— — — упругой области 401—410
---при ударе 413—419, 540—542
— — — усталости 401, 413, 414, 417—419
— коэффициент интенсивности 66—77
Натурные усталостные испытания 167, 295,
296
Начальное нагружение 214
Начальный размер дефекта 62, 299, 487
Непосредственное химическое воздействие
16, 18. 592-594
Неустойчивости точка 110
Нёйбера правило 276, 388
Нормальное стандартное распределение 322
Нулевого износа эмпирическая модель 584 —
591
Нулевой износ 585
Обезуглероживание 19, 600
Обесцинкование 598
Обнаружение трещин 286, 295, 298, 299
Общая потеря устойчивости 559, 568
Октаэдрическая сдвиговая деформация 120
Октаэдрического касательного напряжения
гипотеза разрушения 120, 125, 126, 145.
См. также Формоизменения удельной
энергии гипотеза разрушения
Октаэдрическое касательное напряжение
120, 121
Основная номинальная нагрузка на под-
шипник 583
Остаточные напряжения 201
Откол 16. 22, 537—540
Относительная гибкость стержня 557
Отражение от границ волн напряжений 510—
512, 531
Оценка гипотез разрушения 146—148, 152,
231, 232
— параметров совокупности 338 — 340,
349 — 351, 371, 372 ’
Ошибка статистическая типа I 335
-------- 11 335
Пальмгрена гипотеза 241—244, 264, 268,
269, 286, 388, 393, 395
Пальмгрена — Майнера гипотеза см. Паль-
мгрена гипотеза
Параметр Ларсона — Миллера 437, 438
— Мэнсона — Хаферда 438, 439
— совокупности 317. 321
— формы Вейбулла 330, 346, 348
— — поверхностного дефекта 76, 78, 81
— характеристической долговечности
Вейбулла 330, 346, 348
Париса — Эрдогана формула 287
Парных размахов метод подсчета циклов
280, 282, 284
Перегрузки при усталостном нагружении
291, 292
Переход от вязкого поведения к хрупкому 44
Переходная долговечность 384
Петля дислокации 51. 58, 59
Плакирования влияние на усталость 198
Планирование эксперимента статистическое
318
Пластическая зона большая 63, 68, 70
---в вершине трещины 63, 68, 70, 78,
291—293
— — малая 63, 70
Пластический разрыв 44
Пластичное поведение 148, 152, 264, 419
Плоской деформации условие 65
Плотности вероятности функция дискрет-
ного распределения 320
—	— — непрерывного распределения 320
— — — нормального распределения Гаус-
са 321-323
—	— — распределения Вейбулла 330
—	— — хи-квадрат-распределения 326
—	— — F-распределен и я (Снедкора) 330
— — — r-распределения (Стьюдента) 328
Поверхности обработки влияние на уста-
лость 172, 196, 198-201
Поверхностные трещины 75, 76, 78, 81
Поверхность разрушения 44
— — <чашка — конус» 44
Повреждения допускаемые 296, 300
— накопленные 16G. 215, 240—274, 286,
378, 393, 395
Поврежденности доля 241—245, 247, 261
— постоянной линии 262
Ползучести деформация 413—433, 445, 464
— накопление эффектов 433, 445—449, 454
— накопленная деформация 443, 445 — 449
— предельное статическое напряжение 454
— скорость постоянная 439. 444
Ползучесть 16, 21, 60, 431—467
— динамическая 433
618 Предметный указатель
— диффузионная 33, 42
— логарифмическая 441, 442
— неустановившаяся (первичная) 21, 431
— параболическая 442
— при многоосном напряженном состоянии
433, 444. 445
— — одноосном напряженном состоянии
439—443
— третичная 21. 431
— установившаяся (вторичная) 21, 431
Полной удельной энергии деформации ги-
потеза разрушения 132, 139 — 141, 147
Потеря веса при фреттинге 488
Правило временнбго упрочнения 446, 447
— деформационного упрочнения 446, 447
— Мэнсона билинейного суммирования пов-
реждений 264—266, 272, 273
— Нёйбера 276, 388
— относительной продолжительности 446 —
449
— оценки поврежденности при совместном
действии ползучести и усталости 465, 466
Предварительного нагружения влияние на
усталость 203—205
Предел выносливости 187
— прочности 110
— усталости 186. 187
Предельная нагрузка 295
Предельное значение касательного напряже-
ния 35, 37
Предельных значений метод усталостных
испытаний 372, 373
Приращения деформаций теория 118
Про метод усталостных испытаний 365—367
Продолжительность удара 524—526
Проектирование 9 — 12
Прокатки или протяжки влияние на уста-
лость 189, 191
Прочности снижения коэффициент 417, 419
Пуассона коэффициент 46, 112, 120
Радиационное повреждение 16, 22
Разброса коэффициент 298
Размах деформации пластической 382
— — полной 382. 380
— статистической величины 319
Размягчение материала при циклическом
нагружении 279
Разрушение вязкое 44
— механическое 9, 14—23
— хрупкое 44
Разрушения виды 9, 14, 16—23, 71, 72, 82, 86
— — наблюдаемые 15—23
— вязкость 62, 69, 70, 290
— — в условиях плоской деформации 69,
70. 79, 534
— при динамическом нагружении 534
_ гипотезы при сложном напряженном
состоянии 130—151
— пластичность 384, 385
Разрыв пластический 44
— при ползучести 431, 432
Распределения выборок 325—335, 358
— совокупностей 320—324, 360
Расслаивание см. Откол
Расслоения теория износа 583
Расстояние межатомное 27, 29, 30
Расчет безопасного срока эксплуатации 298
— выпучивания стержней 559—562
— допускаемых (безопасных) повреждений
167. 296. 298—301
— износа 589—591
— по гипотезам разрушения при сложном
напряженном состоянии 152—154
— — условию текучести 72
— — — хрупкого разрушения 72
— ползучести 442, 443
— при ударе 498, 503, 539. 542 — 545
— усталости 216, 225. 226, 232—234, 267 —
274, 392—396, 422 — 426
Расчетное напряжение 153. 154, 161
Релаксация напряжений при циклическом
нагружении 275. 279
— термическая 12, 21, 433
Решетки кристаллические пространствен-
ные 27, 28, 33
Рихарта — Ньюмарка гипотеза 284
Робинсона гипотеза оценки накоплений де-
формации ползучести 445
Рэнкина 1 ипотеза см. Максимального нор-
мального напряжения гипотеза
Сварки влияние на усталость 191, 194 —196
Свободы степени статистические 326, 328 —
330, 352. 353
Сдвига модуль 116
Сезонное растрескивание 602
Секанса формула 558, 561, 562
Сен-Венана гипотеза см. Максимальной нор-
мальной деформации гипотеза
Силы межатомные 25—27
Скольжение 33—35, 41
— по границам зерен 33, 42
Скольжения линия 33, 34
— направление 33, 34
— плоскость 54, 55
— полосы 33, 34
— система 33, 36
Скопление дислокаций 59, 60
Скорость коррозии 592, 593
— критическая удара 536
— распространения волн напряжений 507,
510, 513, 529—531, 536—540
— частиц при ударе 507, 512, 521, 522
Смазки влияние на износ 575, 576, 585—588
Смита диаграмма 221—223
— зависимость 217, 220, 221
Снедкора F-распределение 322, 326, 330,
349, 352
Совместное действие ползучести и усталости
16, 23, 433, 449 — 467
Совокупности вариация 184, 351
— дисперсия 184, 351
— параметры 317, 321
— среднее значение 184, 317, 321, 328, 339,
348-351
Совокупность генеральная 317
Состава материала влияние на усталость
188, 189
Спектр нагрузок 173, 240, 294, 392, 393
Способы оценки времени до разрушения при
совместном действии ползучести н уста-
лости 457—467
—	получения выборок 318
Среднее арифметическое 319
—	геометрическое 319
—	отклонение 319
—	статистическое 317
Средних значений сравнение 328, 349—354
Стандартная нормально распределенная ве-
личина 322
Стандартное отклонение 319, 321, 339, 344,
345, 350, 351, 365. 371
Стандартный метод усталостных испыта-
ний 357, 358
Статистики выборки 317
— описательные 319
Статистический анализ результатов уста-
лостных испытаний 357—374
Степени свободы статистические 326, 328 —
330, 352, 353
Стержней выпучивание 551—562
Предметный указатель 619
Стока метод подсчета циклов 280, 282—284,
393, 394
Ступенчатого нагружения метод усталост-
ных испытаний 363—365
Стьюдента /-распределение 322, 326, 328,
349, 351
Схватывание 16, 22, 573, 575, 576
Сцепление металлическое 25
Текучести предел 62, 150
Текучесть 15-17, 60, 80, 150, 152, 159, 543
Температурное расширение 30
Температуры влияние на усталость 172,
206, 207
Тепловой удар 16, 21
Термическая релаксация 16, 21, 433
— усталость 15, 16, 389—391
Термообработки влияние на усталость 191
Треска — Геста гипотеза см. Максимального
касательного напряжения гипотеза раз-
рушения
Трещина / риффитса 45, 46
— односторонняя краевая сквозная 72,
74—76, 80, 302
— поверхностная 75, 78, 81
— самопроизвольно распространяющаяся 46
— центрально расположенная сквозная 72
Трещины двусторонние краевые сквозные
72, 74
— длина критическая 61—63, 75, 77
— исходящие от отверстия 274, 286, 295,
299, 302
— обнаружение 286, 295 — 299
— перемещение раскрытия 78, 79
— распространение 44, 47, 60—62, 68. 80
— типы деформирования 46
Удар 497—546
Удара продолжительность 524—526
Ударная усталость 16, 20. 498
Ударное нагружение 497, 498
Ударный износ 16, 19, 498, 571, 584
— фреттинг 16, 20. 498
Упрочнение при циклическом нагружении
279
Усталости кривые 169, 183—217, 357. 358,
362, 418
— - равной вероятности разрушения 183—
217, 354, 358
— предел 186. 187
Усталостная пластичность 382, 384, 388
— прочность 187
Усталостной пластичности коэффициент 382
— — показатель 382
Усталостные испытания 176—181, 357 — 374
— трещины 170—172
Усталость коррозионная 16, 23, 594
— малоцикловая 15, 17, 167. 377—396
— многоцикловая 15, 17, 166—234, 377
— пластичных материалов 231
— поверхности 16, 17
— при отличной от нуля средней деформа-
ции 378, Зь5—388. 393, 395
— -- отличном от нуля среднем напряже-
нии 172, 173. 214,' 285, 217—225
— — фреттингс 16, 20, 207, 209, 210, 295,
476 — 487, 591
— термическая 15 — 17, 389—391
— ударная 16, 20, 498
— хрупких материалов 231
Формоизменения удельной энергии гипотеза
разрушения 120, 132. 141-148, 152, 157,
159
—	- — — усталостного разрушения 229,
-230, 232 — 234, 425, 426
— энергия 142
Формы параметр Вейбулла 330, 346, 348
Формэна соотношение 290
Франка — Рида источник дисклокаций 58
Фреттинг 476—494
Фреттинг-износ 16, 21, 476, 477, 487—491,
571, 584. 592
Фреттинг-коррозия 16, 21, 476, 477, 491
Фреттинг-усталость 16, 20, 207, 209, 210,
295. 476—187, 592
Фреттинга глубина 488—490
— механизмы 476, 478 — 481, 488
— явление 20, 477
Фронт волны 507, 508, 513, 514
Характеристики состояния 71, 72
Хартмана — Шийва соотношение 291
Хи-квадрат-распределение 322, 326
— статистика 320
Холодная сварка 573
Холодной прокатки влияние на усталость
172. 203—205, 483, 485, 486
Хрупкое поведение материалов 148, 152,
231, 419
— разрушение 15, 17, 44, 47, 72. 80, 81,
152, 592
Центральная предельная теорема 325, 338
Циклическое размягчение материала 275,
279, 379, 380
— упрочнение материала 275, 279, 379, 380
Циклов подсчета методы 280—284, 394
— число относительное 241—246, 261
Чувствительность к надрезам 413—417
Шейкообразование 44
Шероховатости поверхностей 476, 478—483,
487, 488, 572, 578, 579
Шмида закон 37
Эйлера формула 553, 555, 560
Эйлера — Энгессера формула 557. 560, 561
Эйлерова критическая сила 553
Эквивалентного начального состояния ме-
тод расчета фреттинг-усталости 487
Эквивалентное напряжение 389, 444
— симметричное циклическое напряжение
232, 284, 285
Эквивалентный размах полной деформации
389
Эксплуатационной скорости влияние на
усталость 211. 212
Эксцесс (островершинность) 319
Эластика 554
Эластичности мера 106
Эластичность 105, 106
Эллиптическая зависимость 220, 221
Энергопоглошення способность при ударе
542
Эрозионная коррозия 16. 18, 592» 599
Эрозия 579
Эффективная длина стержня 555—557
Юнга модуль упругости 29, 45, 46, 112
F-крнтерий 349, 352
F-распределение 322, 326, 330, 349, 352
F-стагнетика (Снедкора) 320. 329, 352
J-интеграл 78—80
ft-кривые 78, 79
(S — А')-крнвые см Усталости кривые
/-критерий 349. 353
/-распределение 322» 326, 328, 349, 351
/-статистика (Стьюдента) 320, 328, 351, 353
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ............................................... 5
Предисловие.......................................................... 7
Глава 1. Роль исследований разрушения	при проектировании конструкции	9
1.1.	Введение.................................................... 9
1.2.	Определение проектирования.................................. 9
1.3.	Основная проблема.......................................... 10
1.4.	Некоторые цели проектирования.............................. 11
1.5.	Заключение................................................. 12
Вопросы....................................................... 12
Глава 2. Виды механического разрушения.............................. 14
2.1.	Определение вида разрушения................................ 14
2.2.	Наблюдаемые виды разрушения................................ 15
2.3.	Краткая сводка видов механического' разрушения............. 16
Вопросы......................................................... 23
Глава 3.	Прочность и деформация металлов........................... 25
3.1.	Введение................................................... 25
3.2.	Деформация при приложении сдвиговых	усилий ........ 30
3.3.	Упругая деформация ........................................ 32
3.4.	Пластическая деформация.................................... 33
3.5.	Разрушение................................................. 43
3.6.	Введение в теорию дислокаций .............................. 47
3.7.	Введение в механику линейно-упругого	разрушения ....	60
3.8.	Использование механики разрушения при	проектировании ...	71
3.9.	Механика упругопласгического разрушения ................... 78
3.10.	Пример.................................................... 80
3.11.	Заключение................................................ 82
Вопро	сы....................................................... 62
Литер	атура.................................................... 65
Глава 4. Напряженное состояние...................................... 86
4.1.	Введение................................................... 86
4.2.	Напряженное состояние в точке.............................. 86
4.3.	Главные	нормальные	напряжения............................. 91
4.4.	Главные	касательные	напряжения............................. 95
4.5.	Примеры	. . ............................................. 100
Вопросы......................................................... ЮЗ
Литература..................................................... 104
Глава 5. Зависимость между напряжениями и деформациями............	105
5.1.	Введение ................................................. 105
5,2.	Зависимости между условными и истинными напряжениями
и деформациями................................................. 105
5.3.	Зависимость между напряжениями и деформациями в упругой
области........................................................ 111
5.4.	Зависимость между напряжениями и деформациями в пластиче-
ской области................................................... 118
5.5.	Пример.................................................... 122
Вопросы........................................................ 127
Литература..................................................... 129
Оглавление 621
Глава 6. Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии и их
использование в расчетах............................................ 130
6.1.	Введение................................................... 130
6.2.	Гипотеза максимального нормального напряжения (гипотеза
Рэнкина)........................................................  132
6.3.	Гипотеза максимального касательного напряжения (гипотеза
Треска — Геста).................................................. 135
6.4.	Гипотеза максимальной нормальной деформации (гипотеза Сен-
Венана).......................................................... 137
6.5.	Гипотеза полной удельной энергии деформации (гипотеза Бельт-
рами) ........................................................... 139
6.6.	Гипотеза удельной энергии формоизменения (гипотеза Губера —
Мизеса — Генки).................................................  141
6.7.	Сравнение различных гипотез разрушения при двухосном напря-
женном состоянии................................................. 146
6.8.	Гипотеза прочности Мора.................................... 148
6.9.	Краткая оценка гипотез разрушения.......................... 152
6.10.	Гипотезы разрушения при сложном напряженном состоянии
как средство проектирования...................................... 152
6.11.	Пример.................................................... 155
Вопро	сы....................................................... Ь61
Литер	атура...................................................  165
Глава 7. Многоцикловая усталость.................................... 166
7.1.	Введение................................................... 166
7.2.	Исторические замечания..................................... 168
7.3.	Природа усталости.......................................... 170
7.4.	Усталостное нагружение..................................... 173
7.5.	Лабораторные усталостные испытания......................... 176
7.6.	Кривые усталости равной вероя!ности разрушения — основной
источник информации, используемой в расчетах..................... 183
7.7.	Факторы, влияющие на кривые усталсх'ти равной вероятности
разрушения....................................................... 188
7.8.	Учет различных факторов при проектировании................. 216
7.9.	Влияние отличного от нуля среднего напряжения	цикла ...	217
7.10.	Пример ................................................... 225
7.11.	Усталость при многоосном напряженном состоянии............ 227
7.12.	Применение гипотез усталостного разрушения в условиях мно-
гоосного напряженного состояния.................................. 231
7.13.	Пример.................................................... 232
Вопросы.......................................................... 234
Литература....................................................... 237
Глава 8. Вопросы накопления повреждений, оценки долювечностн и конт-
роля разрушения..................................................... 240
8.1.	Введение................................................... 241
8.2.	Гипотеза	линейного	накопления повреждений................ 241
8.3.	Гипотезы	накопления	повреждений .......................... 243
8.4.	Пример..................................................... 267
8.5.	Оценка долговечности на основе анализа локальной зависимости
напряжений от деформаций и использования механики разрушения 274
8.6.	Исследование распространения трещин методами механики раз-
рушения ........................................................  286
8.7.	Моделирование эксплуатационных нагрузок и натурные усталост-
ные испытания..................................................   293
8.8.	Допускаемые	повреждения и контроль разрушения............	296
622 Оглавление
8.9.	Пример...................................................... 301
Вопросы.......................................................... 304
Литература....................................................... 312
Глава 9 Применение статистики в исследованиях усталости.............. 317
9.1.	Введение ................................................... 317
9.2	Определения................................................. 317
9.3.	Распределения совокупностей................................. 320
9.4.	Выборочные распределения.................................... 325
9.5.	Статистические гипотезы..................................... 335
9.6.	Доверительные пределы....................................... 338
9.7.	Свойства хороших оценок..................................... 339
9.8.	Размер выборки для требуемого доверительного уровня ....	340
9.9.	Вероятностная бумага........................................ 341
9.10.	Сравнение средних значений и дисперсий................. 349
9.11.	Заключение............................................. 354
Вопросы...................................................... 354
Литература................................................... 356
Глава 10. Методы усталостных испытаний и статистическая обработка
результатов испытаний................................................ 357
10.1.	Введение............................................... 357
10.2.	Стандартный метод...................................... 357
10.3.	Испытания с постоянными амплитудами	напряжения	цикла	358
10.4.	Метод двойного исхода или метод оценки	выживаемости	.	.	.	360
10.5.	Метод	ступенчатого	нагружения.............................. 363
10.6.	Метод	Про ................................................ 365
10.7.	Метод	«лестницы*,	или метод	«вверх — вниз»............... 368
10.8.	Метод	предельных	значений............................... 372
10.9.	Заключение................................................. 373
Вопросы...................................................... 374
Литература....................................................... 376
Глава И. Малоцикловая усталость.................................. 377
11.1.	Введение............................................... 377
11.2.	Циклическое деформирование............................. 378
11.3.	Кривая зависимости деформации от долговечности и соотноше-
ния теории малоцикловой усталости............................ 382
11.4.	Влияние отличной от нуля средней деформации цикла и отлич-
ного от нуля среднего напряжения цикла....................... 385
11.5.	Накопление повреждений при малоцикловой усталости	.	.	.	388
11.6.	Влияние многоосности напряженного состояния............ 389
11.7.	Связь между термической и малоцикловой	усталостью ....	389
11.8.	Заключение............................................. 391
11.9.	Пример................................................. 392
Вопросы...................................................... 395
Литература................................................... 397
Глава 12. Концентрация напряжений................................ 398
12.1.	Введение............................................... 398
12.2.	Последствия концентрации напряжений.................... 400
12.3.	Коэффициент концентрации напряжений	в упругой области	401
12.4.	Коэффициенты концентрации напряжений и деформаций в пла-
стической области ............................................... 410
Оглавление 623
12.5,	Коэффициенты концентрации напряжений для многократных
выточек.......................................................... 411
12.6.	Коэффициенты концентрации усталостных напряжений и пока-
затель чувствительности к	надрезам............................. 413
12.7.	Примеры.................................................... 419
Вопросы . ....................................................... 427
Литература....................................................... 430
Глава 13. Ползучесть, разрыв	при ползучести	и	усталость............ 431
13.1.	Введение................................................... 431
13.2.	Прогнозирование поведения при длительной	ползучести	.	.	.	434
13.3.	Зависимости для предсказания поведения при	ползучести	.	.	.	437
13.4.	Ползучесть	при одноосном напряженном	состоянии....	439
13.5.	Ползучесть в условиях многоосного напряженного	состояния	444
13.6.	Накопленная деформация ползучести..................... 445
13.7.	Совместное действие ползучести и усталости............ 449
Вопросы.......................................................... 467
Литература . .................................................... 474
Глава 14. Фреттинг,	фреттинг-усталость	и	фреттинг-износ.......... 476
14.1.	Введение.............................................. 476
14.2.	Факторы, влияющие на процесс фреттинга................ 477
14.3.	Фреттинг-усталость.................................... 478
14.4.	Фреттинг-износ........................................ 487
14.5.	Фреттинг-коррозия..................................... 491
14.6.	Минимизация или предотвращение повреждений вследствие
фреттинга................................................... 491
Вопросы . . . ................................................... 494
Литература.................................................. 495
Глава 15. Удар.................................................. 497
15.1.	Введение.............................................. 497
15.2.	Энергетический метод приближенного определения напряжений
и перемещений в условиях	ударного нагружения......... 498
15.3.	Распространение волн	напряжений при ударном	нагружении	504
15.4.	Скорость движения частиц и скорость распространения	волн	507
15.5.	Поведение волны напряжений на незакрепленном и закреплен-
ном концах....................................................... 510
15.6.	Распространение волны напряжений в стержне при внезапном
приложении продольной силы....................................... 513
15.7.	Затухание волны напряжений вследствие гистерезисного демп-
фирования ....................................................... 515
15.8.	Распространение волн напряжений в стержне, ударяемом по
концу движущейся массой.......................................... 519
15.9.	Максимальное напряжение в стержне, ударяемом по концу дви-
жущейся массой................................................... 526
15.10,	Распространение волн напряжения при превышении предела
текучести........................................................ 529
15.11.	Изменения свойств материалов при ударных нагружениях 531
15.12.	Расслаивание, или откол, при ударном нагружении ....	537
15.13.	Влияние концентрации напряжений и деформаций в условиях
ударных нагружений............................................... 540
15.14.	Примеры................................................... 542
15.15.	Заключение . .	, ........................................ 546
624 Оглавление
Вопросы....................................................... 54
Литература.................................................... 54
Глава 16. Выпучивание и неустойчивость................................. 54
16.1.	Введение................................................. 54
16.2.	Выпучивание простого шарнирного механизма................ 54
16.3.	Выпучивание шарнирно опертого по концам стержня ....	55
16.4.	Влияние условий опирания концов на выпучивание стержня 55
16.5.	Неупругое поведение при выпучивании	стержней............. 55
16.6.	Пример................................................... 55
16.7.	Боковое выпучивание высоких узких	балок	при изгибе ...	56
16.8.	Боковое выпучивание тонкого вала кругового поперечного
сечения при кручении........................................... 5Г
16.9.	Другие явления потери устойчивости....................... 56
Вопросы........................................................ 56
Литература..................................................... 57
Глава 17. Износ, коррозия и другие виды разрушения................. 57
17.1.	Введение................................................. 57
17.2.	Износ.................................................... 57
17.3.	Эмпирическая	модель	нулевого износа................ 5Ь
17.4.	Пример................................................... 56
17.5.	Коррозия................................................. 5^
17.6.	Коррозионное	растрескивание под	напряжением.............. 66
Вопросы....................................................... 6('
Литература..................................................... 60
Заключение......................................................... 66
Примечания редактора перевода...................................... 66
Предметный указатель............................................... 61
Джек А. Коллинз
ПОВРЕЖДЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
В КОНСТРУКЦИЯХ
АНАЛИЗ
ПРЕДСКАЗАНИЕ
ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ
Научи, ред. П. Я Корсоюцкая. Мл. научи, ред. Э. Г. Иванова.
Художник Е И Волков. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова. Корректор М. А, Смирнов
ИБ № 34 55
Сдано в набор 27.05.83. Подписано к печати 27.12.83. Формат 60x90l/u.
Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная Печать высокая.
Усл печ. л 39,00. Бум. л. 14.50. Уч.-изд. л. 40,50. Усл. кр. отт. 39,00. Изд. № 1/236'
Тираж 6000 экз. Заказ № 492 ~ Цена 4 р. 40 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, .Москва, Ы10, ГСП, Ьй Рижский пер., 2
Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первой
Образцовой типографии имени А. А Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано с матриц в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красног
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколове
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, пол‘
графин и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.