Г.А.ЯСТРЕБИНЕЦКИИ
Уравнения
и
неравенство
содержащие
пораметры

Г. А. ЯСТРЕБИНЕЦКИЙ
Уравнения
и
неравенства,
содержащие
параметры
Пособие для учителей
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1972

517(07)
Я 85
Рекомендовано к изданию
Учебно-методическим советом Министерства
просвещения РСФСР
Ястребинецкий Г. А.
Я 85 Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие
для учителей. М., «Просвещение», 1972,
128 с.
6~5 ((W) 517(07)
117-72 Vv J X '

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Введение 5
Глава I. Уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры 13
§ J, Основные определения • . . . 13
§ % Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным , . • . 14
Упражнения ,.>..,,......• 17
§ 3. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным ... 18
Упражнения 20
§ 4. Иррациональные уравнения , . . , 21
Упражнения , г ..,..., в ♦ 35
§ 5. Показательные и логарифмические уравнения . , „ . . . 36
Упражнения , 41
§ 6. Тригонометрические уравнения 42
Упражнения • 47
Глава П. Неравенства, содержащие параметры. ,.•»...•»• 48
§ 1. Основные определения ♦ • . 48
§ 2. Основные положения теории равносильности неравенств 49
§ 3. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. . . 51
Упражнения 54
§ 4. Квадратные неравенства . ... 56
Упражнения ...... 60
§ 5. Иррациональные неравенства 61
Упражнения * . 64
§ 6. Показательные и логарифмические неравенства 64
Упражнения 71
§ 7. Тригонометрические неравенства ....*... 72
Упражнения 79
Глава III. Задачи с параметрами . « . . . . 81
Задачи ........ 89
Ответы и указания . * • ♦ 93

ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее
трудной и важной частью решения таких задач является исследование
процесса в зависимости от параметров. Формированию некоторых
навыков в решении такого рода задач посвящены темы «Решение
линейных уравнений», «Решение линейных систем с двумя неизвестными»,
«Решение квадратных уравнений», включенные в школьную программу.
Этим вопросам посвящены § 2 и 3 главы I настоящего сборника, и
автор надеется, что они могут быть использованы учителем в учебной
работе в качестве источника дополнительных упражнений.
Материал, содержащийся в остальных разделах пособия, можно
рекомендовать для использования в кружковой работе и при решении
задач по общему курсу на факультативных занятиях. Сборник может
быть также использован лицами, готовящимися к конкурсным
испытаниям в вузы.
Основой для создания пособия послужили лекции, прочитанные
мною в методическом кабинете Ленинского районного отдела народного
образования Москвы.
Автор глубоко признателен Сикорскому К. П., Иословичу В. И.,
а также рецензентам Муравину К. С. и Фивейской Е. Н. за ценные
советы в процессе работы над рукописью.
Автор

ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим функции у=/(#), определенную на множестве М, и
у=<р(#), определенную на множестве N.
Если на некотором множестве г, являющемся подмножеством как
М так и N, имеет место равенство
то говорят, что эти функции тождественно равны на множестве г, а
равенство
при этом называется тождеством на множестве г.
Например, функции
y=V(x — 2)а и y=* — 2
тождественно равны на множестве х 6 [2, оо), а функции
у=(* — З)2 и у=х2 — 6х+9
тождественно равны при любых вещественных значениях х. Отсюда
следует, что равенство
V(x — 2)2=x — 2
является тождеством на множестве х 6 [2, оо), а равенство
(х — 3)2=х* — 6лг+9 —
тождество на множестве х 6 (—оо, оо).
Часто приходится рассматривать функции, о которых неизвестно,
каково множество значений аргумента, на котором они тождественно
равны. В таком случае равенство
/(*)=Ф(*) (1)
называется уравнением. Оно выражает задачу отыскания тех значений
х, при которых f(x) и <р(я) равны. Искомые значения х при этом
назьгоаются корнями (решениями) уравнения. Решить уравнение —значиг
найти его корни (решения).
Областью определения уравнения (1) мы будем называть общую
часть областей определения функций f(x) и у(х).
Например, областью определения уравнения
Ух — З + yiO — х=5
5

служит решение системы
г*_3>0,
llO-*>Of
т. е.
3<л:< 10 или *6[3, 10].
Областью определения уравнения
служит множество всех действительных чисел, отличных от 1.
Решение уравнений так или иначе сводится к умелому
использованию теории равносильности уравнений с учетом свойств
соответствующих функций.
Для облегчения работы над сборником приведем краткое изложение
основных положений этой теории.
Если имеются два уравнения
/(*)-ф(*) 0)
♦ (*)=/>(*) (2)
и при этом всякий корень уравнения (1) является также корнем
уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).
Например, уравнение
является следствием уравнения
3* — 2=*+6. (4)
Корень уравнения (4) #=4 (единственный) является и корнем
уравнения (3).
Обратное утверждение неверно, т. е. уравнение (4) не является
следствием уравнения (3), так как уравнение (3) имеет еще корень
х=—1, не удовлетворяющий уравнению (4).
Если множества корней уравнений (1) и (2) совпадают, то такие
уравнения называются равносильными. Иначе говоря, уравнения (1) и
(2) называются равносильными, если всякий корень уравнения (1)
является корнем уравнения (2) и, наоборот, всякий корень уравнения (2)
является корнем уравнения (I)1.
Можно сказать, что уравнения (1) и (2) равносильны, если каждое
из них является следствием другого.
Надример, уравнения
2л:» 10
и
1/2*—1-3
равносильны. Решением каждого из них служит только х~5.
1 Два уравнения, не имеющие корней, тоже считаются равносильными.
6

Уравнения
2х — 6=0
неравносильны. Решение первого лг=3 является корнем и второго, но
второе имеет еще решение #=4, не удовлетворяющее первому.
Следует иметь в виду, что понятие равносильности уравнений
зависит от того, какие значения корней считаются допустимыми. Например,
уравнения
2*-5=0 и (*-2,5)(*2-7)=0,
вообще говоря, не являются равносильными, так как первое имеет
единственный корень л;=2,5, а второе три корня:
Однако если рассматривать лишь рациональные значения корней, то
эти уравнения окажутся равносильными.
Рассмотрим еще уравнения
2а: —3=0 и (л;2+3)(2л: —3)=0.
В поле комплексных чисел они не равносильны, так как первое имеет
корень д;== 1,5, второе три корня:
В поле действительных чисел эти уравнения равносильны. В настоящей
работе мы рассмотрим решение некоторых видов уравнений с одним
неизвестным. Причем допустимыми значениями корней будем считать
только те, которые принадлежат множеству действительных чисел.
Приведем формулировки основных теорем о равносильности
уравнений.
Теорема I. Уравнения
О)
f{x)+F(x)=<p(x)+F(x) (5)
равносильны, если F(x) существует в области определения (1).
Из сформулированной теоремы следует, что слагаемые можно
переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак перед этими
слагаемыми на противоположный.
Следует иметь в виду, что прибавление к обеим частям уравнения
функции F(x) приводит к уравнению, равносильному данному,
о если это прибавление сопровождается некоторыми
преобразованиями, в частности приведением подобных членов, то равносильность
может быть нарушена.
Например, если к обеим частям уравнения
У2х — 1-у* — 7=1 —Vx — 7
7

прибавить выражение Ух — 7, то получим уравнение
У2х— 1—]/лг — 7+Ух — 7=1 — Ух —7+Ул: —7,
равносильное первому. Однако уравнение V2x— 1 = 1, полученное
после приведения подобных членов, уже неравносильно исходному.
Его корень х—1 не является решением первого. Область определения
последнего уравнения значительно шире соответствующей области
первоначального. Строго говоря, данное уравнение равносильно
системе
(
U>7,
не имеющей решения.
Теорема II. Если обе части уравнения
умножить на функцию F (х), существующую в области определения
уравнения (1), то получим уравнение
f(x).F{x)=<p(x).F(x), (6)
являющееся следствием уравнения (1).
Если при этом F(x)i=Q, то уравнения (1) и (6) оказываются
равносильными.
Например, если умножить обе части уравнения
2* —3=5 (7)
на (х — 5), то получим уравнение
(2х — 3)(х — 5)=5(* — 5), (8)
которое является следствием уравнения (7). Уравнение (7) имеет корень
х=4, удовлетворяющий и уравнению (8), но второй корень уравнения
(8) я=5 является посторонним для уравнения (7).
Уравнения
2*=3
и
2х (cos2 x+1)=3 (cos2 x+1)
равносильны.
Здесь F(x)=ca&x+l*£0.
Требование существования F(x) в области определения уравнения (1)
весьма существенно. Умножение обеих частей уравнения (1) на
функцию F(x), теряющую смысл в области определения этого уравнения,
может привести к потере корней. Например, уравнение
имеет корни хг=2 и лг2=—9. Если обе его части умножить на
F (д:)= , то получим уравнение
jff9
jf-f-9
27 18
8

имеющее только один корень л:=2, т. е. корень х——9 будет
потерян.
Теорема III. Уравнение
где п>2 (натуральное), является следствием уравнения
(1)
Это значит, что всякий корень уравнения (1) является корнем и
уравнения (10), но уравнение (10) может иметь еще и другие корни, не
удовлетворяющие уравнению (1), иными словами, при возведении в
натуральную степень обеих частей уравнения (1) могут получиться
посторонние корни. Чтобы их отсеять, необходимо провести проверку
путем подстановки найденных корней в обе части уравнения (1).
Например, возведя обе части уравнения
в квадрат, получим уравнение
х— 1=9 — бх+х?
или
х2 — 7*+10=0.
Отсюда л:1=2, л;2=5.
Проверкой убеждаемся в том, что #=5 посторонний корень для
исходного уравнения.
Заметим, что если n=2k+l, то каждое из уравнений
/(*)=<р(*) (1)
является следствием другого, т. е. уравнения (1) и (1а) равносильны.
Этого нельзя утверждать относительно уравнений
/М=ф(*) (1)
/»(*Нч>**(*). (16)
Уравнение (16) является следствием уравнения (1). Однако из
уравнения (16) вытекает как следствие уравнение
|/<*)Нф(*)1. Ob)
которое только при /(л:)-ф(*) > 0 сводится к уравнению (1). Если же
на некоторой части области определения уравнения (1) f(x) и ц>(х)
имеют противоположные знаки, т. е. f(x)*q>(x) <0, то решение
уравнения (1в) сводится к нахождению корней совокупности уравнений
/(*)=Ф(*) (1)
и
/(*)=-ф(*)- Or)
9

Корни уравнения (lr)—-посторонние для уравнения (1), т. е. в этом
случае уравнения (1) и (16) не равносильны. Проиллюстрируем
сказанное на примерах.
Пусть требуется решить уравнение
H=\x\. (11)
Здесь при 2 — х > 0, т. е. при х < 2 имеем
и |*| >0.
Если возвести обе части этого уравнения в квадрат и привести
полученное уравнение к виду
х*+х — 2=0,
где *€(— со, 2],
найдем *i=lf *2=—2. Оба корня удовлетворяют уравнению (11).
Иная картина будет, если решить уравнение
У2П^*=*. (12)
В области *£(—оо, 2] есть такие значения х, при которых знаки
левой и правой части противоположны. Возведение обеих частей этого
уравнения в квадрат приводит к уравнению
только один из корней которого *=1 удовлетворяет (12), второй
корень *=—2 является для (12) посторонним.
Как уже отмечалось выше, проводимые преобразования могут
служить источником нарушения равносильности. При этом могут быть
приобретены посторонние корни, а в некоторых случаях корни могут
быть потеряны.
Приведем еще некоторые примеры.
Пусть требуется решить уравнение
^"2Г+Т+у'6х+ Ы^2Г=Т. (13)
Возведя обе части в куб, приведем его к виду
2х+1+6*+1 +3 V 2*ТТ VW+l (v^2*+l + V 6F+T)=2*—1.
(13а)
Уравнения (13а) и (13) равносильны (см. стр. 8), но, если теперь
заменить ^2х+ 1+Vbx + I Ha V2x— Ь мы получим уравнение
2*— 1, (136)
которое может уже быть не равносильным уравнению (13). Дело в том,
что выражения
ZV2x — \ и
равны только при некоторых значениях *, и замена одной функции
Ю

другой может привести к появлению посторонних корней. В данном
случае получим уравнение
3
или после упрощения
—1=— 6* —3
16л;2(2л:+1)=0.
Отсюда хх~х2~0, #3=— ОД
Нетрудно заметить, что #=0~ посторонний корень. Уравнение (13)
имеет единственный корень #=—0,5.
Рассмотрим еще решение уравнения1
(14)
Прежде всего исключим из рассмотрения те значения х% при
которых tg | х — J и tg 2x не существуют.
Отсюда хФ— (2&+1).
4
Применив теперь формулы
l+tga-tgp
приведем уравнение (14) к виду:
tg^—1
1+tg* l-ig** '
После упрощения получим уравнение
—1+2 tg* — tg2*=2tg* — tg*x+l,
не имеющее решения.
Однако подстановка в обе части уравнения (14)
(15)
(16)
(14а)
убеждает нас в справедливости равенства (14) на этом множестве
значений х. Возникает вопрос: каким образом было потеряно это множе-
ство корней (единственное)? Причина в том, что наши преобразования
1 При записи решения тригонометрических уравнений и неравенств мы буквами
я, &, т% р, s, г будем обозначать элементы множества целых чисел за исключением
особо оговоренных случаев,
11

привели к сужению области определения уравнения (14). Числа вида
я=— (2/1+1) недопустимы для значений х в уравнении (14а). Таким
образом, в случае сужения области определения уравнения могут быть
потеряны корни. В частности, этого следует опасаться при применении
формул
l-tg*a'
6 2ctga
В каждом из этих равенств область определения левой части шире
области определения правой.
Если же в результате проводимых преобразований происходит
расширение области определения уравнения, то возможно появление
посторонних корней. Например, возведя в квадрат обе части уравнения
УЗ cos2 х— 2= 1 — 3 sin x,
мы получим уравнение
sin х (2 sin*—1)=0,
область определения которого шире исходного.
Выводное уравнение имеет два множества корней
x=(—\)k —+nk.
6
Проверкой убеждаемся, что
исходному уравнению не удовлетворяет.

Глава I
УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ,
СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
§ 1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
/(а, &, с, ..., k, *)=ср(а, 6, с, ..., k, x), (1)
где а, Ь, с, ..., ky х— переменные величины.
Любая система значений переменных
а=а0, b=b0, с=с09 ..., &=&0, х=х0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают
действительные значения, называется системой допустимых значений
переменных а, Ь, с, ..., k, x. Пусть А — множество всех допустимых
значений а, В — множество всех допустимых значений Ь и т. д.,
X — множество всех допустимых значений х, т. е. а € A, b£B, ...,
х£Х. Если из каждого из множеств Л, В, С, ..., £ выбрать и
зафиксировать соответственно по одному значению а, &, с, ..., k и
подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно х,
т. е. уравнение с одним неизвестным.
Решение его зависит от выбранной нами системы значений
а> &,..•, k и будет иметь определенное числовое значение при каждом
таком выборе, следовательно, решение уравнения (1) относительно х
является функцией от а, 6, с, ..., k. Если обозначить это решение
через F (а, Ь, ..., k), то получим
/[а, Ь, с, ..., &, F(a, 6, с, ..., &)]=ф[а, 6, с, ..., fe, F(a, 6, с, ..., k)l
Переменные а, Ь, с, ..., k, которые при решении уравнения (1)
считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (1)
называется уравнением, содержащим параметры.
Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами
латинского алфавита: а, 6, с, d9 ..,, k, I, т9 щ а неизвестные —
буквами х, у, z.
Так, в уравнении
2/гл- —5 Зпх+5 __п —1
(яг—3)пх п+1 пх
т и п—параметры^ а х — неизвестное.
13

Допустимой является любая система значений т, п и х,
удовлетворяющая условию тфЪ, пФ—\, пФО, хфО. При т=4, л=1 получим
уравнение
2х — 5 ЗлЧ-5 п
при т=5, п=3 получим
б*-- 5 9лЧ-5 2
6л- 4 ~ 3*
и т.д.
Решить уравнение (1) — значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
Как уже было указано во введении, в процессе решения уравнений
существенную роль играют теоремы о равносильности. Два уравнения,
содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение перЕОго уравнения является решением второго
и наоборот.
Совершенно ясно, что при таком определении справедливы теоремы,
сформулированные во введении.
§ 2. Линейные уравнения и уравнения,
приводимые б линейным
Уравнение вида
kx — p=0,
где k и р—выражения, зависящие только от параметров, а
х—неизвестное, называется линейным относительно х.
Оно приводится к виду kx—р и при кФО имеет единственное
решение #=— при каждой системе допустимых значений параметров1.
k
При k—О и р=0 х — любое число, а при рфО и &=0 решения
нет.
Например, уравнение
(а*—1)х-*-(2а2+а — 3)=0
или
(а2— 1)*=2а2+я — 3
является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых
действительных значениях параметра а.
Приведя его к виду
заметим, что при а=1 оно принимает вид:
0*=0,
1 Допустимыми мы будем считать те значения параметров, при которых k и р
действительны.
14

т. е. решением его служит любсе действительное Число. При а»*-
уравнение имеет вид
0*=—2,
т, е. не имеет решения.
При аф±1 уравнение имеет единственное решение1:
л-—
а+1
Рассмотрим некоторые уравнения, приводимые к линейным.
1. Решить относительно х
Зтх — 5 ,c3m — ll__2*+7
(m —-1)(л--ЬЗ) ' m —1
По смыслу задачи (т— 1)(л:+3)^=0, т. е,
тф\, хф—Ъщ
Умножив обе части уравнения на (т—1)(х+3)Ф0, получим уравнение
Ътх — 5-НЗт— 11)(л:+3)=(2^+7)(т— 1),
или
(4т — 9)л:=31 — 2т.
Отсюда, при тф2,25
х=31-2т
4т —9
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений т9 при которых
найденное значение х равно — 3:
31 — 2т о
4т —9
при 31—2/п=—12т+27, т. е. при /п=—0,4. Таким образом, при
тф\% тФ2,259 тФ—0,4 уравнение имеет единственное решение
г 31-2т
4т —9
при т=2,25 и при т=—0,4 решений нет, при /п=1 уравнение не
имеет смысла.
Необходимо иметь в виду, что если при каком-нибудь значении
параметра т=т0 Данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется,
и решения нет при m==m0. Обратное утверждение неверно. Нельзя
утверждать, например, что при т=—0,4 решенное выше уравнение
не имеет смысла. Если подставить в уравнение (1) т=—0,4, получим
вполне определенное уравнение
61
7 (
1 Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное
значение х< Например* при а=3 *=2,25; при а=0 *=3 и т. д,
15

Значит, притя=—0,4 уравнение (1) имеет смысл. Однако корней это
уравнение не имеет, так как корень х=—3 уравнения
53*=—159,
к которому сводится уравнение (2), является для него посторонним.
2. Решить относительно х:
а2 —л- 4abx+2a2 — 262
&2_ х Ь*+Х 6*— Л"2
По смыслу задачи хФ±Ь2. Умножив обе части уравнения на
6* — х2ф09 получим уравнение
(a —fc)2*=a2 —Ь2.
При а—Ь оно принимает вид: (к=0, т. е. удовлетворяется любым
действительным значением х, кроме х=±Ь2.
При афЬ
d —-■ b
Найдем теперь те значения а и &, при которых
а+Ь
а — Ъ
1) -?±L=b2 при а+6=а62 —б3,
а — Ь
т. е. при
2)
а — Ь
т. е. при
Теперь можно записать ответ:
при афЬ9
-6'
при а=6
х — любое число, кроме а:=±62;
при
решений нет.
16

1.
У пр а як н е и и я
Зтх — 5 2т+1
+2) (а-2 — 9) (m+2) (х — 3) *+3
т т(х—\)
3. 2(а+1)^3(,
4. /па; /п=7 2л;
m m
1ба2
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
Заказ № 270
2а+х х-2а 4а*-х*
а+3 2 5
а+2 х (а+2) х
Ь — Ь 7+36 26л- —5
*+1 х-2 х* — х-2
1 1.2.1
/72 — Z Ш \tn —— Z) \fll —— ^J ЛГ tTlX \т —— Z)
х -— 4 2 1
jrH-1 ' fc ^(Jr+l)
mjf-n 2 2+За-
(w —2)/г(л-~-1) n(m — 2) (m — 2)(^— 1)
1+* a
1—л- 6
26 1 1
x a — 6 a+b
x — Zm 2/7M-3 m —5
ax x a
*+l 5
17

§ 3. Квадратные уравнения и уравнения,
приводимые к квадратным
Уравнения вида
mx2+px+q=0,
где х — неизвестное, т, /?, q— выражения, зависящие только от
параметров и тфО, называется квадратным относительно х.
Допустимыми будем считать только те значения параметров, при
которых т, р, q — действительны.
Например, уравнение
тх2+3тх — (т+2)=0 (1)
имеет смысл при любых вещественных значениях параметра т. При
т=0 оно принимает вид
О2+О; — 2=0
и не имеет корней. При тфО оно является квадратным. И если при
этом m(13m+8)>0,
о
т. е. т<— —- или т>0; то оно имеет два действительных корня:
13
x=—\ — 3m±Vm
Допустимыми значениями параметра с в уравнении
Vc — 2x2 — (c—l)x+Vc — 2=0 (2)
служат все числа, удовлетворяющие условию с>2.
При с=2 оно имеет корень х=0.
При с>2 оно* является квадратным и имеет два корня:
с—2
Мы уже видели, что некоторые уравнения с дробными членами
приводятся к линейным уравнениям (§ 2, гл. 1).
Иногда решение таких уравнений сводится к нахождению корней
квадратного уравнения. Рассмотрим, например, уравнение
(3)
А-+2
При т==0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять
условиям хф—1, хФ—2. Умножив обе части данного уравнения на
получим уравнение
х* — 2(т—1)х+т*—2т — 3=0,
равносильное данному. Отсюда
j^ssm+l; х%=*т — 3.
18

Среди полученных корней могут быть и посторонние, а именно те, при
которых (х+2)(х+1) обращается в 0. Чтобы выделить их, необходимо
узнать, при каких значениях т полученные корни (или один из них)
принимают значения —2 или —1.
хх~т-\-\~—2 при т=—3, при этом х2~т— 3=—б;
хг=т+\=*—1 при т==*—2, при этом х2~т— 3=—5;
х2=т— 3=—2 при /п=1, при этом ^=/72+1=2;
х2=т — 3——*1 при т=2, при этом %=т+1=3.
Итак,
при тФО, тФ—3, тФ±2> тф\ хг=т+19 х2~т— 3;
при т=—3 х*=—6; при т=—2 #=—5;
при т=1 х=2; при /я=2 #=3;
при т=0 уравнение не имеет смысла.
Приведем еще один пример такого уравнения;
2kx 5 , 12 — k*~k „,
+2) "
(k+l) (л- — 2) (/fe—1)(^ — 2) >— 1+(^2
При кф±\ и хф2 уравнение (4) равносильно уравнению
(k+2)(k— \)x* — (2k2+2k+5)x+k*+k~ 2=0.
При k=—2 x=0.
При кф—2 и кФ±\ получим:
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений &, при
которых хх и х2 (или одно из них) равны 2.
в2 при fe+2=2A —2, т. е. при
fe — 1
при этом #2=0,5.
при этом ^=0,5,
Ответ. При й=И=— 2, &=£±1, &=^=4, &^—5
^Л-Г ^2 fc+29
при &=—2 уравнение имеет одно решение #=0;
при Ми при &=— 5 тоже одно решение #=0,5;
при &=±1 уравнение не имеет смысла.
Корни рассмотренных выше уравнений оказались рациональными
относительно параметров и использованный при этом способ проверки
корней удобен и прост. Он может оказаться слишком громоздким
в случае, если корни выводного квадратного уравнения окажутся
иррациональными относительно параметра.
2* 19

Пусть требуется, например, решить уравнение
* 1 2* = 36-4 4
6+1 *-2 (6+1)(*-2) * v '
При ф+1)(х— 2)ФО оно равносильно уравнению
х2+2Ьх — 36+4=0. (46)
Отсюда
—4, *2=— 6+/б2+36 — 4.
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений 6, при
которых один из полученных корней равен 2. Оказывается, что такое
значение есть. В этом легко убедиться, если в (46) подставить *=2.
При этом получим &=—8.
Второй корень в таком случае равен ——i— при 6=—8, т.е. 14.
Итак, при &=—8 уравнение (4а) имеет один корень *=14, при
Ьф—8, ЬФ—1 два корня:
x==—b±Vb*+3b — 4,
Эти корни действительны при Ь<—4 (6=£—8) и при 6>1.
При 6=—1 уравнение не имеет смысла.
Vnpao/спеиия
Решить уравнения относительно х:
1. (* — 5)x2+3kx — (k — 5)=0
Q x , 2
• ^—г
4.
5.
2т х — 2 2(л- —2)
2т 8т2
х •— т х+т х2 — m2
х , 2а — 1=2(2а-И)
2а+3 "^ л- 2а+3
(т-2)дг ,
т—1 т—1 (т — 1)х
7. 4(fe— 1)2
8 * 1 1 = Х(х+У I
д п(х — 2) т(х — 2) w(jr — 2)
ш--6^ 1
х+а х
20

10- -гЧ*58—Ч \ 1
л-2 —1 а — Ьх\х—\
j
b b+5a+x
13. — —V
k x~-k x(x — k) kx(x-k)
14. При каких значениях k уравнение
не имеет действительных корней?
15- При каких значениях т уравнения
2*2 — (3/я+2)лН-12=0
4^2 — (9/п — 2)*+36=0
имеют общий корень?
16. Решить уравнение
ax+l ==j
х (х+а)
§ i. Иррациональные уравнения
Уравнение
/(а, 6, с, ..., &, *)=Ф(а, Ь, с, ..., й, л:)
называется иррациональным с одним неизвестным х, если одна или
обе его части содержат выражения, иррациональные относительно х.
Например, уравнения
2* —/З* —4=
иррациональные относительно х. Здесь а и Ь — параметры. Как и в
предыдущих случаях, мы будем разыскивать действительные корни,
причем будем исходить из того, что
VF(a, bf с, ..., k, x)>0
при F(a, 6, су ..., fe, х)>0 и п — четном, т. е. в случае n—2k
(k — натуральное) будем рассматривать только арифметическое значение
21

Решение таких уравнений сводится к постепенному переходу от
иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень
обеих частей уравнения. Но известно, что в таком случае возможно
появление посторонних корней (см. Введение, теорема III).
Следовательно, решение должно сопровождаться тщательной проверкой. Трудно
указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ
решения иррациональных уравнений. Такой задачи и не ставим перед
собой.
Мы лишь рассмотрим различные способы решения таких уравнений,
не отдавая преимущества ни одному из них.
Пусть требуется решить уравнение
V х2+ах — 2а=:х+\. (I)
Возведя обе его части в квадрат, получим
(2)
или
(а —2)*=2а+1.
При а=2 уравнение (2) принимает вид
(к=5,
т. е. не имеет решений.
При аф2
а —2
Для проверки решения подставим полученное значение х в левую и
правую части уравнения (1).
Левая часть
g(2g+l)
(а-2)*
При Ж— и при а>2
з
при \<а<2
а —2
Правая часть
Отсюда видно, что х-^
За—1
а —2
= 1--За
а—2"
а —2
За —1
= а-2'
является корнем уравнения (1) при а<—
и при а>2.
При ~<а<2 решения нет.
з
Приведем еще один способ решения уравнения (I). Его корень
должен удовлетворять условиям
2а>0 и
22

Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение
любой корень которого удовлетворяет условию х2+ах — 2а>0, так как
Отсюда следует, что уравнение (1) равносильно смешанной системе
( х2+ах — 2а={х+1)29
\х>—\
или
/ (а — 2)л;=2а+1,
\х>— 1.
При а=2 она решения не имеет, при а#2 получим
f y 2а+1
Теперь необходимо найти те значения а, при которых
>1.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем:
а) ( °>2'
\ 2с+1>— а+2.
Отсюда а>2.
б) ( й<2>
Отсюда а<—.
3
Как видим, ответ получился тот же.
Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести
вспомогательную неизвестную величину. Для иллюстрации рассмотрим
решение уравнения
УЗх — 2+Vx+2=a. (3)
Здесь
f 3* — 2>0,
U+2>0,
т. е. л:>~ (необходимое условие, которому должен удовлетворять ко-
рень уравнения).
Так как УЗх — 2>0 и /*+2>0, то а>0.
Пусть /л+2=у>0.
23

Тогда х+2=уа и лс=у2 — 2,
т. е. Ъх— 2=3у2 — 8
и уравнение (3) приводится к уравнению1
У Зу2 — 8 = а — у. (4)
Значение у должно удовлетворять условию
( У<а,
Зуа-8>0,
1у>о.
После возведения обеих частей уравнения (4) в квадрат, получим
уравнение
Зу2_8=(а-у)2, (4а)
корень которого удовлетворяет условию
Зу2— 8>0.
Следовательно, достаточно будет проследить за тем, чтобы корни
уравнения (4а) удовлетворяли условию
0<у<а.
Приведя уравнение (4а) к виду
Зу2 — 8=а2 — 2ау+у2
или
2у2+2яу — 8 — а2=0,
получим:
y1==l(_a_V3a2+16); у2==1(_а
ух не является корнем уравнения (4), так как уг<0.
0<у2<а, если {
т. е. .если
или
6а2>16,
2а2+16>0.
1 y=|/jir-f2 и л- == у2 — 2, где у>0 две взаимно обратные функции, обе они
однозначны и поэтому полученное уравнение (4) равносильно уравнению (3).
24

учитывая, что а>0 и 2аа-М6>0, приходим к заключению, что
решением последней системы служит
2 Уб
—.
Итак, при а>—— уравнение (4) имеет один корень у2.
Отсюда при
т. е.
[ — аУЗа2+
корень уравнения (3) при а>-
3
При а<* г v корней нет1,
з
Проиллюстрируем еще применение способа введения
вспомогательного неизвестного на примере решения более сложного уравнения
V х — а=гХ2+а. (5)
Пусть Vx — a=b9 где 6>0,
Тогда Ь=х2+а и х~Ь2+а,
т. е. получим систему
Отсюда
или
Решив это уравнение относительно 6, получим
2l/¥
1 Что уравнение (3) не имеет решения при а< > видно уже из того, что
3
—' наименьшее допустимое значение х. Если подставить в левую часть уравнения (3)
—g-, получим а = —_— — наименьшее допустимое значение а.
25

6=— X— 1,
что равносильно совокупности двух уравнений:
a) V7^~a=x.
Отсюда х — а=л:2#
т. е. х1 — х+а~0.
Значит,
*2=-
где
Так как К х — а>0, то корень этого уравнения должен
удовлетворять условию х>0. Отсюда следует, что при 0<а<— уравнению (5)
удовлетворяют хг и х2, а при а<0 только х2.
б) Уд: — а=— л:— 1.
Корень этого уравнения должен удовлетворять условию —х—1>0,
т. е. х<— 1.
Возведя обе его части в квадрат, получим уравнение
(6)
или
Откуда
о
где —4а — 3>0, т. е. а< .
4
Теперь необходимо выяснить условие, при котором корни лг3 и х4
удовлетворяют требованию х<—L
а:8<—1 при
т. е.
_1_V— 4a—3<—2,
26

или
(7)
Возведя обе части первого неравенства системы (7) в квадрат, получим
систему:
—4а — 3>1,
J3
"4
или
равносильную (7).
Отсюда *з<—! ПРИ
*4<—1 при
—1.
-- з
т. е.
что невозможно. Таким образом, х& не является корнем уравнения (5).
Итак, мы получили ответ:
при 0<а<— уравнение имеет два корня:
4
при —1<а<0 одно решение
при а<—1 два решения:
34a) и х=^(-1-У—4а-
при а>~- корней нет.
Мы видели, что решение иррационального уравнения часто сводится
к нахождению корней квадратного уравнения, неравносильного исходному.
27

На последнем, завершающем этапе решения необходимо
установить, какой из найденных корней и при каких значениях параметров
является корнем исходного уравнения. Иногда это удобно сделать,
используя следующее свойство корней квадратного уравнения.
Пусть хг и х2 — корни уравнения ах2+Ьх+с=09 где я, 6, с
—действительные числа, аф0их1<.х29 А, — действительное число1. В таком
случае
Необходимым и
достаточным
условием того, что
%<Xl<X2
*l<*2<h
является условие
а{а№+ЬХ+с)>0, *<—£
а(ак*+ЬХ+с)<0
a(a№+bk+c)>0, Х>—£~
/а
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Решить относительно х:
V~a-
■b.
(8)
Так как Ух — а>0 при х>а, то корнем уравнения (8) может быть
только число, удовлетворяющее условию
J х>Ь9
\ х>а.
Если возвести в квадрат обе части уравнения (8), получим уравнение
х — а=(х — Ь)\
любой корень которого (если корни существуют), удовлетворяет
условию х>а. Поэтому уравнение (8) равносильно системе
(х-а=(х-Ь)\
\х>Ь,
или
f х2 — (2&+1)*+а+&2=0,
I х>Ь.
Пусть D — дискриминант уравнения
0. (8а)
D=(26+l)2 —4a —4b2, т. е. £>=46 — 4а+1.
1 П. С. Моденов и С. И. Новоселов. «Математика». Пособие для поступаю*
щих в вузы, гл. IV, § 3.
23

При D=0, т. е. при Ь**а
при Ь>а . При этом условии уравнение (8а) имеет два
действительных корня:
*1==!(26+1 - V4&-4a+l), *»1 (26+1 +Vr46-4a+l)f
причем х±<х2.
Теперь необходимо выяснить, какой из корней хг и х2 и при каком
условии удовлетворяет требованию х>Ь. Для этого введем в
рассмотрение функцию
/()2
и вычислим /(&):
f(b)=b*-(2b+l)b+a+b\
f{)
При a —~<6<a /(&)>0,
и так как при этом &<&+—, где 6+— — полусумма корней f(x), то
Отсюда следует, что при а ^<6<а хг и *2 являются корнями
исходного уравнения (8).
При Ь=а уравнение (8) принимает вид:
Ух — Ь=х — Ь.
Отсюда
Ух — b (l — Vx — &)=0,
т. е.
^=6,
При Ь>а
и поэтому
следовательно, решением служит только xz.
Итак, мы получили ответ:
при &=а — 1 д:=
4
при с - 1<6<а
29

при b>a *=-(26+1+^46 — 4a+l);
при &<a решений нет.
В некоторых случаях может оказаться удобным предварительно
решить рассматриваемое уравнение относительно параметра и таким
образом перейти от данного уравнения к равносильной ему совокупности
уравнений.
2. Пусть требуется решить относительно х следующег уравнение:
(9)
Так как V a—Vx+a>0 при всех допустимых значениях х и а, то
корень уравнения (9) должен удовлетворять условию х>0. Возведя обе
части (9) в квадрат, мы получим систему
{ a
\х>0
или
равносильную (9)»
Так как Vx+a>0 при х>— а, то а — х2>0, т. е. х2*£а —
дополнительное условие, которому должен удовлетворять корень уравнения (9).
Отсюда видно, что а>0 и
Система (10) равносильна системе
или
I 0<x<Va.
Решив полученное уравнение относительно а, заметим, что
ма (11) равносильна совокупности двух систем:
Пусть f(x)=x*+x+l— a,
30

/(х)=0 при ^^_
3
где я>7*
^ <0 и не может служить корнем уравнения (9);
х,>® ПРИ 1^4а —3—1>0, т. е. при а>1.
'й Чтобы проверить, удовлетворяется ли при этом еще и условие
x^sfау вычислим f\Vaj:
f(Va)=a + Va + l—a=l+Vai f(Va)>09
следовательно,
x1<0<Cx2<Vai т. е. при а>\
jc==i (—1+1^4а — з) — корень уравнения (9).
Для нахождения решения системы (13) введем обозначение:
=х2 — х — а.
i ч л l
()=О при х^
#з=0 при а=0, при а>0 х3 не может являться корнем уравнения (9),
так как при этом xs<0, #4>0. Чтобы проверить, удовлетворяется ли
условие *4<* а> вьгаислим
Ф {у~а)=а — Ко"— а=— Va<0,
следовательно,
Таким образом, *4 не является корнем уравнения (9).
Мы получим ответ;
при а=0 *=0,
при
0<а<1 и при а<0 решений нет.
Можно дать графическую иллюстрацию полученного решения.
Пусть Vx+a=y>0. Тогда
и Уравнение (9) принимает вид
У а — у=у2 — а.
Графики функций
2=у2 —а
S1

г=1
в прямоугольной системе координат yOz даны на рисунке 1.
При а>1 и при а=0 уравнение имеет одно решение (графики
имеют одну общую точку);
при 0<а<1 и при а<0 решений нет.
Приведенные выше методы решения иррациональных уравнений по
сути отличаются друг от друга последним, завершающим этапом
решения — проверкой.
В некоторых случаях эта проверка может быть довольно
эффективно выполнена при помощи графического решения соответствующего
Va
Q
-а
to у
/
(8)
Рис. 1
уравнения. Для оцецки эффективности того или инЬго метода
рассмотрим два уравнения, уже решенные выше другими способами.
1. Пусть требуется решить уравнение
Vx — a=x — b.
Корень этого уравнения должен удовлетворять условию
f x>a,
\х>Ь.
Возведя обе части уравнения (8) в квадрат, получим:
х — а^х2 — 2bx+b2
или
х* — (2Ь+1)х+а+Ь2=0.
D — дискриминант уравнения (14)
При D>0, т. е. при Ь>а получим:
4
причем х2>х±.
32

Чтобы выяснить, какой из найденных корней хх и х2 уравнения (14)
и при каком условии является корнем уравнения (8), воспользуемся
графиками функций у=Vx — а и х — Ь {рис. 2). Абсциссы точек их
пересечения являются корнями уравнения (8). При D=0, т. е. при Ь=
^а — --' графики касаются. Значит, при Ь=а — ^ уравнение (5)
имеет 2 действительных одинаковых корня:
При а — —<6<а графики функций y=Vx — а и у=х —

пересекаются в двух точках. Это значит, что при этих значениях а и Ъ
корни уравнения (14) (хх и х2) являются корнями уравнения (8).
Рис. 2
Рис. 3
При Ь>а построенные графики имеют одну общую точку
(пересекаются), следовательно, решением служит л:2(л:2>д:1).
Таким образом:
при Ь=а получим *=Ь+0,5;
при а — 1<6<а получим х=\(2b+1 +V46 — 4а+1);
при Ь>а получим д:=—(26+1 +VAb — 4a+l);
при 6<а решений нет.
4
2. УЗх — 2+Vx+2=a.
Пусть У^+2=у, где у>0. Тогда
*+2=/, л;^2 —2, Зд; —2=3/ —8
о
Заказ № 270
(3)
S3

и уравнение (3) принимает вид
— 8-а — у, (15)
где а>0.
Введем теперь в рассмотрение функции
и
г=а— у
и построим их графики в прямоугольной системе координат уОг (рис. 3).
Решением уравнения (15) служит абсцисса точки пересечения по-
21/б
строенных графиков. Из чертежа видно, что при а>—— уравнение
3
21^6
имеет единственное решение, при а<—L— нет решений.
3
Возведя теперь обе части уравнения (15) в квадрат и проведя неко->
торые преобразования, получим:
2у2+2ау —
Отсюда
ух<0, т. е. ух —посторонний корень для уравнения (15),
у2>0, следовательно, у2 — решение уравнения (15) при а>
Теперь найдем соответствующее значение х.
, т. е. *=~(3а2+16 — 2а/3а2+16+а2) — 2,
4 \ '
ИЛИ
х=± (2а2+4 — а
2/б"
при _
В заключение рассмотрим решение уравнения
3/
(16)
Пусть Ух — а=у>0.
В таком случае х=у2+а и данное уравнение приводится к виду:
3— - ,17)
Графики функций
34

И. о
z=/a-y
в прямоугольной системе координат yOz даны на рисунке 4. Они
имеют единственную общую точку М[0; Va), следовательно,
у=0—единственное решение уравнения (17).
Отсюда х=а при любых
вещественных значениях а.
Упражией и я
Решить относительно х:
1. V х — а^а
2. V а8 — .
П. Vx-VT^a^a
3*
14.
К а2-лУ*а + са=а-

15. Va+b + x+Va + Ь—x=
V~a
— X
a+x \ Ъ — х у b+x
§ 5. Показательные и логарифмические
уравнения
Уравнение вида
/ \Х) tAD \Х1 /1 \
а =&* , (1)
где а>0 и 6>0, будем называть элементарным показательным
уравнением.
Областью определения его R служит общая часть областей
определения функций / (х) и ф (*). При a=b=l решениями (1) служат все
числа, составляющие множество R. При а=1 и Ьф\ оно равносильно
системе | ЧН '"- ' при аф\ и 6=1 системе | ' ^'~~ ' При а=6(а>0,
аф\у 6>0, 6=£1) мы получим уравнение f(x)=q>(x), равносильное (1).
Для решения уравнения (1) в случае афЬ (аф\, Ьф\) будем
исходить из того, что уравнения
)=\ogcb^x\ (2)
где с>0(сФ1), равносильны.
Совершенно безразлично, какое положительное, отличное от единицы
число взять за основание логарифма. В этом легко убедиться, если
учесть, что
logc M
где
с>0 (сф1)9 k>0 (кф1), М>0, N>0.
Если же за основание взять число а, то уравнение (2) запишется так:
Решение любого показательного уравнения, вообще говоря, сводится к
нахождению корней некоторого элементарного показательного уравнения.
Например, уравнение
«-W5)=q.a-** (3)
Va
имеет смысл при а>0. Областью определения его служит множество
всех действительных чисел. Приведя его к виду
36

заметим, что при а=1 л: —любое действительное число, при а>0 (аф1)
—лг— 1=—2лг+1.
Отсюда х=2.
уравнение
Р loa,/(*)=lo&F(*), (4)
где а>0 (аф\), Ь>0 (Ьф1), будем назьшать элементарным
логарифмическим уравнением. Областью определения его служит решение
системы
/(*)>0,
F(x)>0.
При a=b мы получим уравнение
П*)=Р(х)9
равносильное (4).
Если афЪ> то решение уравнения (4) сводится к решению
уравнения
что равносильно
lf(x)]l0S°b=F(x).
Здесь использована формула
где
N>0, а>0 (аф\), Ь>0
Решение логарифмического уравнения, как правило, сводится к
нахождению корней элементарного логарифмического уравнения вида (4).
Например, уравнение
3 lga (л: — a)— 101g(* — a)
квадратное относительно lg (лг — а)\ оно равносильно совокупности двух
уравнений:
а) lg(* — a)=3,
отсюда л:=а+1000;
б) lg(*-a)=l,
т. е. д:=а+/То.
Рассмотрим еще некоторые примеры:
1. V а3 • У а2=~ У (ах)10.
аь
По смыслу задачи а>0; хф—1. При этом условии данное уравнение
равносильно следующему:
5 Ъх—10
ax+l =
37

При а=1 х — любое действительное число, кроме х~—1, при а>0
ИЛИ
Отсюда
x=095(l±Vtf).
2.
По смыслу задачи а>0, 6>0. Если а=6=1, то я — любое
действительное число; если а=1 и 6^1, то #=3; при 6=1 и аф\ х=—1.
Пусть теперь аФ\ и 6=^=1, тогда
или
При loga6+l=0, т. е. при 6=—, правая часть полученного уравне-
а
—=^1 решения нет. При ЬФ —
а а
ния равна — 4, следовательно, при
3. a2*-3—
где a>0.
При а=6=1 #
'=&, (5)
— любое действительное число; при а=1, 6=^1
решения нет.
2
Учитывая, что 0,(6)=—, приве-
3
дем уравнение (5) к виду
а2х — 3 — а2х — 2 _j_ а2л-__^
или
*- Для нахождения корней этого урав-
а нения нам придется обе его части
разделить на (а3 — а-И). Но в
таком случае необходимо раньше
выяснить, не может ли а3 — а+1
равняться нулю при а>0 (аф\).
Для этого найдем решение
уравнения а3 — а+1=0, или
а3=а—1. (7)
Построив графики функций у=а3 и у=а—1 (в прямоугольной
системе координат аОу), заметим, что решением уравнения (7) служит
точка, расположенная на отрицательной полуоси абсцисс (ркс. 5).
38
Рис. 5

При а>0 имеем
т. е.
а3 — а+1>0.
Учитывая, что a2*-3>0, приходим к заключению, что 6>0. Итак,
при а>0 (аф1)9 6>0 уравнение (6) равносильно уравнению
Отсюда
2*-3=loga-6
Таким образом, мы получим ответ:
при а>0 (аф1), Ь>0
при а=0=1 л: — любое действительное число;
при а=19.Ьф1 и при 6<0 решения нет,
4. Iogfl*2+21oga(*+2)=h (8)
Решение.^ Уравнение (8) имеет смысл при а>0 (аф1),
R={—2<х<0; 0<л:<оо} — область определения данного уравнения.
В этой области уравнение (8) равносильно уравнению
21ogJ*|+21oge(*+2)=l (8a)
или
logJ*I(*+2)=JL. (86)
Пользуясь определением логарифма, получим уравнение
И(*+2)=>Ч (8в)
равносильное (86).
Рассмотрим два случая:
а) _2<л:<0.
Уравнение (8в) принимает вид:
т. е.
Отсюда
Xl=-l _V \-Va, x2==-l+Vl - Va
при \—Va>0, т. е. при 0<а<1.
39

Нетрудно заметить, что при этом оба полученных корня
удовлетворяют условию — 2<*<0.
б) х>0.
Уравнение (8в) принимает вид:
x(x+2)=Va,
или
Отсюда
*3—1 + V\ + У a, *4=-1 -V 1 + Va.
Корень л:4 не удовлетворяет условию *>0; хг>0 при а>0. Таким
образом, мы получили ответ:
при 0<а<1 уравнение имеет три корня:
Xl=-l-V\ — Va, x2=—l+Vl-Va, x3=—l
при а>1 только один корень:
х=—l+Vl+Va.
5. lg(JC-a)-lg2=|lg(^-6). (9)
Решение. Областью определения уравнения (9) служит решение
системы
1х>а,
\х>Ь.
При этом условии уравнение (9) равнрсильно уравнению
ig^-lgVT^b. (10)
или
х — а=2У х — Ь. (10а)
При а=Ь оно принимает вид
х — a=2Vx — at (11)
или
VT^a (V7^~a — 2)=0.
Так как
Vx — афО (х — а
то (11) равносильно уравнению
Ух — а=2,
40

т. е-
х
рассмотрим теперь случай афЬ.
Возведя в квадрат обе части уравнения (Юа), получим
хг — 2ах+а2=4(х — 6),
или
х2 — 2(а+2)* + аЧ4&=0. (12)
D — дискриминант уравнения (12).
lD=4(a-6+l).
При D=0, т. е. при а=6 — 1,
х1=х2—а+2.
При D>0, т. е. при а>6 — 1, уравнение (12) имеет 2 различных
корня:
—6+1.
Теперь необходимо найти те значения а и 6, при которых л^ и х2
удовлетворяют условию #>a (условие х>Ь выполняется, так как хг и х2
корни уравнения
(х — a)2=4(jc — 6)).
Для этого введем обозначение
/(^=а:2 —2(а+2)д:+а2 + 46
и вычислим / (а):
/(а)=а2 —2(а+2)а + а2 + 46=4(6 —а)
при Ь—1<а<6, а<Ь<хг<х2, следовательно, хг и х2 — корни
уравнения (9).
Если а>&, то /(а)<0, следовательно, b<xx<a<x2f т. е. условию
х>а удовлетворяет только х2.
Теперь можно записать ответ:
при а=6 х=а-\-4;
при Ь— 1<а<& л=а+2±2Уга —6+1;
при а>6 д;=а+2 + 21^а —6+1;
при а<6— 1 решений нет.
^-1, *fl /""7" ^-1^—
1. Va». I/ —= va3
2.
3.
41

4. V Жх~ь + 5 +Vb**-6 — 1 =8
5. ах — агх=2с
7.
8.
9. m2jr-4+3rn->r-2+4Vmajr-4+3mjr-2—6=18
10. yb^+2+V I _ ftlOjr+4 _j_1/ ^лг+2 _ ]/l_^0Jr+4 =a
11.
12. 2 logx a+logax a+3 logflSjc a=0
13.
14. 31ogfl,x*-t-~log ^ x =2
15. ^
16.
§ 6. Тригонометрические уравнения
Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное
находится только под знаком тригонометрической функции. Решение
таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших
тригонометрических уравнений.
Уравнение
где |а|<1, равносильно совокупности уравнений
f (#)=arcsin а+2лп
и
f(x)=n — arcsin a+2nn,
или уравнению f(x)=(—1)* arcsin a+nk.
Уравнение
cos[/(x)]=a,
где |а | < 1, равносильно совокупности:
/ (*)= ±arccos а+2лп,
а каждое из уравнений
tg [/(*)]=<*
42

соответственно равносильно уравнениям
/(x)=arctg а+пп и /(^)=arcctga+3xn.
Например, уравнение
sin(2*+3)=6+l
при — К6+К1, т. е. при —2<&<0, сводится к решению
уравнения
2х+3=(—1)я arcsin (6+ 1)+яи.
Отсюда
л:=~1,5+0,5 (—1)я arcsin (b+ 1)+0,5шг.
Уравнение
sin j л: — 3|=т — 2,
где — 1<т —2<1, т. е. 1<т<3,
равносильно уравнению
| х — 31=(—1)" arcsin (m — 2)+яя.
| х _ 3| > 0, значит, п может принимать только такие целые значения,
при которых (— 1)" arcsin (m —2)+лл>0. Отсюда при 0<т — 2<1,
т. е. при 2<m<3, 0<arcsin(/тг — 2)<-|, и поэтому п=0, 1, 2, 3, ... .
При —1</и —2<0, т. е. при 1<т<2, — ~<arcsin(m —2)<0, и
поэтому /г=1, 2, 3, ... •
В итоге мы получили
х=3±[(— l)w arcsin (m — 2)+пп]9
где п=0, 1, 2, 3, ... при 2<т<3 и я=1, 2, 3, ... при 1<т<2.
Рассмотрим еще уравнение
cosVa:— l==2a,
где <а< —. Решение его сводится к решению совокупности
уравнений
Ух— I=arccos2fl+2jtn,
где /г=0, 1, 2, 3, ....
Отсюда
х= 1 +(arccos 2a+2nrif
и
Ух— 1=—arccos 2a+2nk9
где^1, 2, 3, 4, ... .
Отсюда
х=» 1 +(2nk — arccos 2a)2,
(Здесь учтено, что 0<arccos2a<Jt.)
43

Приведем теперь примеры более сложных тригонометрических
уравнений
2x — (2a+l)tg2x+a(a+l)=0.
Уравнение квадратное относительно tg2#,
следовательно, оно равносильно совокупности двух уравнений:
tg2*=a+l (a)
и
tg2x=a. ф)
Отсюда получим два множества корней данного уравнения:
*=—arctga+ — nk.
2 2
2. (a~l)cos*+(a+l)sin*==2a. (1)
Решение. Приведем уравнение к виду
(За — 1)sin2 £ —2(a+ l)sin~cos-J+(a+l)cos2-=0. (la)
При а = — получим
ИЛИ
cos — (cos ~ — 2sin -) == 0.
2 V 2 2/
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
cos 1=0,
имеющему множество решений #=Ji(2n+l),
и cos~ — 2 sin—=0,
равносильному уравнению tg—=— ,
имеющему множество корней:
*=2arctg~+2rt&.
При аФ-- уравнение (1а) равносильно уравнению
о
(За— 1) tg2 - — 2 (а+1) tg —+а+1 =0,
44

имеющему два решения относительно tg у:
t х __ q+l—V2(l—a») , х==
g2 3a1 * g2
2 3a—1 * g2 3a —
при 1— a2>°> T- e- ПРИ
ИЛИ —1<Я<1, a=£^
Итак, при а=— уравнение (1) имеет два множества корней:
з
х=л (2п+1), *=2 arctg —+2nk
при -1<а<1 (в *•§■)'.
За— 1
при |я|> 1 решений нет.
2 sin2 2х — 6m sin 2x cos 2л- — 1 lcos2 2х _ 2 (2m+1) cos 2* 1 ^
m cos 2x (2 sin 2л- — cos 2x) ~" cos 2л- — 2 sin 2л* т#
Решение. Уравнение (2) имеет смысл при тфО. Значение х
должно удовлетворять условию cos 2#=£0, tg2*=^—. Разделив
числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения (2)
на cos22jc, а первой дроби правой части на cos2x, получим уравнение
2tg22*-- 6mtg2A-—11 _2(2m+l) 1
равносильное уравнению (2).
Пусть tg2#=z.
Несложные преобразования приводят к уравнению
z2 — (3/и — 1) z+2m2+m — 6=0,
имеющему два корня:
г1=т+2, г2=2т — 3,
Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию
tg2x=£-~. Значит, необходимо исключить те значения т9 при которых
h или г2 (или оба числа) равны —.
г1=т+2=— при т=—1,5. При этомг2=—6.
га=2/п—3="5" при т=1,75. При этом гх=т+2=3,75.
45

Теперь можно записать ответ:
при т=—1,5 Jt=-arctg(—6)+—;
при m=l,75 x=JLarctg3,75+—;
при тФ—1,5, тф\975, тфО
уравнение имеет два множества корцей:
k9 л, s—независимо друг от друга принимают значения всех целых
чисел.
4. 0sin2*+cosx=O. (З)
Решение. Пусть cos*=2, где |г|<1.
Приведя уравнение к виду
a cos2* — cos* — 0=0
и сделав соответствующую подстановку, получим:
oz% — z — а=0. (За)
При 0=0 г=0,
т. е. cos*=?0
Для определения значений а, при которых корни гг и г2 (или один
из них) удовлетворяют условию |г|<1, воспользуемся изложенным
в § 4 гл. 1 свойством корней квадратного уравнения.
Введем в рассмотрение функцию
/(г)=ог2— г — а
и вычислим
af(-\) и 0/(1):
0/(— 1)=0(0-И — 0)=а,
а/(1)=а(а—1—0)==—а.
При 0>О af{-~ 1)>0, 0/(1)<О и тдк как при этом —1<— (~
2а \2а
полусумма корней / (г)), то
следовательно, уравнение (За) имеет только одно решение
46

При а<0 а/(—
следовательно,
z2<—
(при а<0 z2<z^
й решением уравнения (За) также служит
Таким образом, мы получили:
при а^О cosx=j-(l-VT+№)9
т. е. х= ±arccos у- (1 — У 1 + 4а2)
J^wjp а ас ^ е w и л
1. sin (л: — 5)=т—1
2.
3.
4. sin|2л: — 2|=a
5. cos(3a;+1)=6
6. cos (л:2— l)=m
7. tg|*-2|=a
8. ctgYx — 5=b — 2
9. cos2 (x+a) + cos2 (x — a)=sin 2a
10. tg2x=m-(l— cosx)
11. acosA:+asecA:+l=0
12. sin2 x+sin2 a+sin2 (5+2 cos a • cos p • cos#=2
13. 2 sin2 2* — (6+2a+2)sin2^+6(a+l)=0
14. a sin x — &cos#=&
15. m sin (x+15°)=n sin (* — 75°)

Глава II
НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
§ 1. Основные определения
1. Неравенство
/(а, Ь, с, ..., k, *)>ф(я, Ь, с, ..., k, *), (1)
где а, 6, с9 ..., & — параметры, а л; — действительная переменная
величина, называется неравенством с одним неизвестным,
содержащим параметры.
2. Система значений параметров a—aQ, b=b0, ..., k=kQ, при
которой функции
/(а, Ь, ..., k, х)
и
Ф (а, 6, ..., k, x)
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой
допустимых значений параметров.
Например, в неравенстве
—^— х*>3тх —
допустимой является любая система действительных значений тип,
удовлетворяющая условиям тфЪ п>—1. При т=3 и при п<—1
это неравенство не имеет смысла.
3. х—хв называется допустимым значением х9 если
/(а, Ь9 с, ..., k, x0)
и
Ф(а, 6, с, ..., fc, л:0)
принимают действительные значения при любой допустимой системе
значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью
определения неравенства (1).
Например, областью определения неравенства
2
V'х-
48

служит решение системы
\х>а,
где а>1.
4. Действительное число х0 назьгоается частным решением
неравенства (1), если неравенство
/(а, 6, с, ..., k, xo)>q>(a, b, с, ..., k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется
общим решением этого неравенства. В дальнейшем изложении под
требованием найти решения неравенства мы будем понимать
требование найти общее решение.
5. Решить неравенство (1) — значит указать, при каких значениях
параметров существует общее решение и каково оно.
§ 2. Основные положения теории равносильности
неравенств
1. Два неравенства
/(а, Ь, с, ..., k, *)>ф(я, Ь9 с, ..., k, х) (1)
и
F(a, b, с, ..., k, х)>Ц(а9 b, с, ..., k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие
решения при одном и том же множестве систем допустимых значений
параметров.
Рассмотрим некоторые примеры.
а) Неравенства
и
а*<а*
равносильны. Здесь а>0. При а=1 каждое из этих неравенств не
имеет решения. При а>1 решением каждого служит х< 8, при 0<а<1
>8.
б) Неравенства
и
2х+1>т
неразносильны, так как их решения не совпадают при всех
допустимых значениях т (в первом случае х < —, во втором х > т""~ ).
в) Неравенства
Заказ № 270 49

и (2+Va- b)x>(2+Va- b)
\a—-b
тоже неравносильны, несмотря на то, что как в первом, так и во втором
случае общим решением служит
х>а — Ь.
Первое неравенство имеет смысл при любой системе
действительных значений а и 6, удовлетворяющих условию аФЬ9 а второе при
а>Ь.
2. Рассмотрим неравенство
f(a9 Ъ9 с, ♦..,&, *)>Ф(а, Ь9 с k9 *). (1)
Пусть имеем функцию
y=F(a9 Ъ9с9 ..., k9 x),
у которой системы допустимых значений параметров и область
определения содержат соответствующие области неравенства (1).
В таком случае имеют место следующие теоремы.
Теорема I. Неравенства
f(a9 b, с fe, x)>(p(a9 6, с, ..., k, x) (1)
и
f(a, 6, ..., k, x)+F(a, b, ..., k, *)><p(a, 6,..., k, x)+
+F(a9 b, ..., К х) (3)
равносильны.
Теорема II. Неравенство
/(a, b, ..., *)>cp(a, &, ..., x) (1)
равносильно неравенству
/(а, 6, ..., *)-F(a, b9 ..., *)>q>(a, 6, ..., x).F(a9 &, ..., *), (4)
ест
F(a9 6, ..., *)>0,
# неравенству
f(a9 b9 ..., x)-F(a, 6, ..., ^)<Ф (а, 6, ..., x)-F(a9 b9 ..., x), (5)
F(a9 b9 ,..,
в области определения функции y=F(a9 b9 c9 ..., #).
Теорема III. Если
/(a, 6, c, ..., *, x)>0
и
Ф(a, b9 c9 ...9 К x) >0
«a всей области определения неравенства
f{a9 b9 с k9x)>q>(a, b9 c9 ...f k9 x)9 (1)
50

то неравенство (1) равносильно неравенству
fn(af b, с, ..., k, *)><P?(a, b, с, ..., k, x),
где п натуральное.
Для доказательства этих теорем мы воспользуемся основными
свойствами числовых неравенств.
1. Если а>&, то Ь<а, и, наоборот, если а<6, то Ь>а.
2. Если а>£\ a b>c, то а>с.
3. Если а>6, то а+с>Ь+с.
4. Если а>6 и с>0, то ас>Ьс, если а>Ь и с<0, то ас<Ьс.
5. Если а>6>0 и и — натуральное, то ап>Ьп9 и, наоборот, если
а>0, 6>0, м — натуральное и ап>Ьп> то а>6.
Приведем доказательство теоремы I. Пусть х0 — частное решение
неравенства (1). Это значит, что при каждой допустимой системе
значений параметров
а=а09 b~b0, ..., k=k0
справедливо числовое неравенство:
/К» К •••> К *о)>Ф(ао* К •••> К *о)-
Отсюда следует справедливость числового неравенства
/(а0, &0, ..., xo) + F(ao, b09 ..., *0)><р(а0 xQ)+F(a0, ..., х0)
т. е. х0 — частное решение неравенства (3). Таким образом мы
доказали, что любое частное решение неравенства (1) является частным
решением неравенства (3).
Верно и обратное утверждение. Действительно, если tQ — частное,
решение неравенства (3), то это значит, что при любой системе
допустимых значений параметров
а=а0, 6=60, ..., k=k0
имеет место числовое неравенство
Но в таком случае имеет место и числовое неравенство
/(aQ, ..., g><p(a0, ..., g,
т. е. t0 — частное решение неравенства (1), Итак, каждое частное
решение неравенства (1) является частным решением (3) и наоборот,
т. е. у них одинаковые общие решения.
Аналогично можно доказать вторую и третью теоремы.
§ 3. Линейные неравенства и неравенства,
приводимые в линейным
Каждое из неравенств вида
Ах>В9 Ах<В, Ах>В или Ах<В,
где А и В — действительные числа или функции от параметров, а я —
действительная переменная величина, называется шнейным
неравенством с одним неизвестным (х).
4* Б!

Например, неравенство (т—1)#<5т— линейное.
При т=1 оно принимает вид:
что верно при любом действительном значении х.
При т>\ получим х<—^-г> а при т<1 получим х> Бт .
т—1 т—1
Рассмотрим пример неравенства, приводимого к линейному.
Пусть требуется решить относительно х
2х — 5 *Ч-7 3* — 2т
т_1 3 ^2(т — 1) * (
При т=1 это неравенство не имеет смысла.
При /п>1, т. е. при т—1>0 неравенство (1) равносильно
неравенству
6 (2х — 5) — 2 (/и — 1) (*+7)<3 (Зх — 2/п),
или
(2т — 5) *> — 8 (т+2). (2)
Отсюда, при т>2,5 получим *>""" {' ;
2т — 5
при 1<т<2,5 получим л:< ~~ (m+g );
zm — 5
при /72=2,5 неравенство (2) принимает вид:
0х>— 36,
т. е. л: — любое действительное число.
Если т<1, то т — 1<0 и, умножив обе части неравенства (1) на
(т — 1) и изменив при этом знак неравенства на противоположный,
получим неравенство
6 (2х — 5) — 2 (т — 1) (*+7)>3 (3* — 2т)
или
(2т — 5)*<—8(т + 2),
равносильное неравенству (1).
Отсюда *> "~" *т+ * , так как 2т — 5<0, при т<1.
2т— 5
Таким образом мы получили ответ:
при т<\ и при т>2,5 *>~8(т+2) ;
2т — 5
при 1<т<2,5^<-8(от+2);
2т — 5
при т=2,5 л: — любое действительное число;
при т=1 неравенство (1) не имеет смысла.
Иногда решение неравенства приводится к решению системы
линейных неравенств.
В качестве примера рассмотрим неравенство
2jr--m т_ 3 . (3)
(т — 2)(д-+3) /и —2 х+3
52

По смыслу задачи тФ2, хФ—3.
Несложные преобразования приводят к неравенству
(т-2)*-(6-7«)
0 3
(т-2)(дг+3) ' У '
VIM
6 —7т
равносильному (3), сводящемуся к совокупности двух систем:
m —2
[*> — 3
И [х<*-7*
m-2 '
U<-3.
Для выбора решения каждой из них сравним величины
6 — 7m Q
и —3.
т — 2
Для этого рассмотрим разность
б — 7т , л\ 4т
т—2 ч ' т—2
— <0 при -i^-> 0, т. е. при т <0 и при т> 2;
т — 2 т — 2
^L=0 при т=0;
т — 2
т — 2 г т — 2
Следовательно,
6 —7т
т — 2
б —7т
при -<0, т. е. при 0<т<2.
— 2
<—3 при т <0 и при т> 2.
т — 2
>— 3 при 0<т<2.
Отсюда следует решение неравенства (36), а значит и неравенства (3).
При т <0 и при т> 2
;
I m —2
при 0 < m <2
oo < х <-3; -^L < x < сю),
m —2 J

В заключение приведем еще пример решения линейного неравенства
при некоторых начальных условиях.
Пусть требуется узнать, при каких значениях k неравенство
(* —1)*+2*+1>0 (4)
верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию
1*|<3?
Введем в рассмотрение функцию
Она является линейной при любом действительном значении k9 т. е.
/J
-J 0
J N. х.
-То
Рис. 6
при любом действительном значении k графиком ее служит прямая
(рис. 6).
Из рассмотрения чертежа видно, что для выполнения неравенства
(4) на всем отрезке [—3; 3] достаточно выполнения условия
Ш-3)>0,
1/(3» 0.
/(—3)=—3 (k— l)-f-2£-f I =4 — k,
/ (3)=3 (fc — l)-f 2A-f 1 =5k — 2.
f/(-3)>0, (4-ft>0,
fe-2>0, Т'е'ПРй0'
Упражнения
Решить относительно х:
1. 3(2а — х)<ах+1
2. ■&&---f<2«-l
< 2b+1
3
х—2 (*_3)(Jf — 2)
54

Задачи, содержащие начальные условия:
10. При каких значениях а неравенство
2х — а2+5<0
верно при всех х9 удовлетворяющих условию \х] < 2?
11. При каких значениях а неравенство
(а*+2а — 3) х+За2 — а — 14 <0
верно при всех значениях *<0?
12. При каких значениях т неравенство
(т — 2)х+2т — 16 <0
верно при всех значениях х, удовлетворяющих условию
|*| > 5?
13. Найти все значения а, при которых для всех х,
удовлетворяющих условию |*| < 1, справедливо неравенство
а)х — 2а
14. При каких значениях Ъ неравенство
2,-6-5 Q
3^+6+5
верно при всех *, удовлетворяющих условию | * 1 < 2?
15. При каких значениях т неравенство
(т2 — 4)*-Ня — 2<0
верно при всех *, удовлетворяющих условию |*|>3?
16. При каких значениях k неравенство
(k — 4)x+k — 5<0
справедливо при всех *, удовлетворяющих условию
55

§ 4. Квадратные неравенства
Каждое из неравенств вида
Ах*+Вх+С>0, Ах*+Вх+С<0, Ах*+Вх+С>0
или Ах2+Вх+С < 0, где АфО называется квадратным
относительно х.
А, В, С — действительные числа или функции от некоторых
параметров. Допустимыми являются те значения параметров, при которых
Л, 5, С — действительны. При решении таких неравенств мы будем
широко пользоваться свойством корней квадратичной функции,
сформулированным в § 4 гл. I.
В качестве примера рассмотрим
решение неравенства
-7
а<1
——~ Пусть D — дискриминант трехчлена
х*+2х+а;
УгУЬФ'г art х ' 4 ~ * "
а>1 ' При D=0, т. е. при а=1, неравен-
"e"e-^~— ство (1) принимает вид
Рис.7 (*+1)2>0.
Оно верно при любых вещественных
значениях х, кроме х=—1. При £><0, т. е. при а> 1, неравенство (1)
справедливо при любых вещественных значениях х.
Осталось найти решение при D>0, т. е. при 1— а> 0, или
а<\.
При этом условии
при
*!»—1 — Yl—a9 Ar2=_l
и поэтому
}
где R — решение неравенства (1).
Это неравенство легко решить графически. Для этого представим
его в виде
х*+2х> —а (1а)
и построим график функции у=х2+2х (рис. 7).
Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у=—а
являются корнями уравнения х*+2х——а.
Из чертежа видно, что
при —а>—1, т. е. при а<1, решением неравенства (1а) служит
при — я=—1, т. е. при а=1, л: —любое действительное число,
кроме *=—1;
56

при — а<—1, т. е. при а> 1, х — любое действительное число.
Приведем еще решение неравенства
тх2 _ 2 (т — 1)х+(т+2) <0. (2)
При т=0 оно принимает вид 2#+2 <о,
и решением его служит х <—1.
Введем обозначение
f{x)=mx2 — 2(m— 1)лг+/п+2э
где
В этом случае неравенство
квадратное относительно х.
Пусть D — дискриминант /(#),
— D=(m— I)2 — m(m+2)=l -4m.
4
Если D<0, т. е. если т>—, то знак /(*) совпадает со знаком
4
m при любых вещественных значениях х, т. е. /(*)>0 при —со <
<л:<сю; значит при т>— неравенство /(#)<0 не имеет решения.
4
Если D=-0, т. е. т=—, то
4
т. е. f(x)>0 при — оо<л;<оо. Следовательно, при #*=—
неравенство /(#)<0 тоже не имеет решения.
Рассмотрим случай D> 0, т. е. т <— (тфО).
4
f(x)=?O при двух действительных значениях х:
т т
Здесь могут представиться два случая:
1. т<0.
Решить неравенство f{x) < 0 — значит найти те значения ху при
которых знак f(x) совпадает со знаком т. Чтобы ответить на этот
вопрос, заметим, что
— V 1 — 4т < / 1 — 4т,
т. е.
т — 1 — У l—im_<т — 1+У 1 — 4т.
67

Но так как т<0, то
— {т — 1 —У 1 — 4т)> — (т — 1+У 1 — 4/га>
/и m
и поэтому решением неравенства (2) служит
' — (т-
— (m — 1 — У I — 4m) <x <col.
т )
2. 0<т<—.
4
Теперь для решения неравенства (2) достаточно указать те
значения х, при которых знак f(x) противоположен знаку т. Так как при
4
-L(m_l_j/ I _4m) <— (m —1+]/" 1 —4m),
tit tn
то
/?=(—(m— 1—V 1—4m) <*<— (m— 1+^1 — 4m) 1.
I m от ' J
Итак, при m=0 i?={—oo<*<oo};
при т <0
oo<a:<—(m—
m
— (m —1 - J/ 1 - 4m) < *<ool?
m J
при О <m <—
/?=(J-(m— 1 — ]/ 1 — 4m) <x< — (m—l+Y I — 4m) 1;
при m >— решений нет.
В заключение рассмотрим пример решения неравенства при
некоторых начальных условиях.
Пусть требуется найти те вещественные значения а, при которых
неравенство
х% — (a-
верно при всех значениях дс, удовлетворяющих условию
Решение. Введем обозначение
D=(a+ \){a — 3) — дискриминант / (*).
D<0 при —1 <а<3.
58

При этих значениях а знак f(x) совпадает со знаком коэффициента
при дс2 при любых вещественных значениях х.
Значит, при —1 <а<3 неравенство f(x)>0 выполняется на всем
отрезке [—1; 1].
D=0 при а=—1 и при а=3.
Если а=—1, то /(#)=**, следовательно, f(x)>0 при хфО.
Отсюда видно, что неравенство f(x)>Q выполняется не при всех х,
удовлетворяющих условию |*| < 1.
При а=3 /(*)=(* — 2)а.
И так как (х — 2)2>0 при хф2, то неравенство f(x)>0 верно на
всем отрезке [—1; 1].
Учитывая проведенное выше исследование, приходим к заключению,
что неравенство
f(x)>0
выполняется при всех х9 удовлетворяющих условию | х \ < 1 при
—1<а<3.
Осталось рассмотреть случай D>0, что возможно при а<—1
и при а> 3.
Пусть хг и х2 — корни f(x) при этих значениях а, причем х±<х2*
Для того чтобы неравенство
выполнялось при всех х> удовлетворяющих условию |*| < 1,
достаточно потребовать, чтобы весь отрезок [—1; 1] был расположен вне
корневого промежутка, т. е. чтобы выполнялось одно из двух условий:
а) л:1<^2<—1 (рис. 8);
б) 1 <хг <х2 (рис. 9).
У
Рис. 8
Рис. 9
Если еще учесть, что г^" 2= ~' ' , придем к заключению, что
условие (а) будет вьцюлняться при всех значениях а, удовлетворяющих
системе;
D>0,
Д-1)>0,
e+1 ^ 1
59

e+l
Г(а+1)(а-3)>0,
Приведя ее к виду
а> -1,5,
а<-3,
убеждаемся в том, что она несовместна. Условие (б) выполняется при
всех значениях а, удовлетворяющих системе
Z»0,
т. е.
Решением ее служит с> 3.
Итак, мы получили, что /(*)>0 при всех х, удовлетворяющих
условию \х К 1, если —1 <а<3 и если а> 3, т. е. если —1 <с<оо.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
а)
б)
в)
верно
Упражнения
х*+3ах — а>0
(т— 1)х» — 2(т+\)х+т — 3>0
л:8 — 8ал:< — 15а8
— — 2* ^-
т т
3(а+1)д;2 —6
(3k— I)*2 — 2(2*— 1)*-|-2£— 1>0
>1
а а2
При каких значениях параметра каждое из неравенств
ах2+(а— 1)х — 2<0,
62 1)22(6 l)
( )+( )
(т — 2)х2 — тх— 1 <0
при любых вещественных значениях х?
60

9. При каких действительных значениях k функция
имеет два корня аир, удовлетворяющие условию
10. При каких вещественных значениях т корни уравнения
различны и принадлежат промежутку (—1; 2)?
11. При каких значениях т неравенство
тх2 — 2 (т+3)х+т <0
верно при всех х, удовлетворяющих условию
—2<*< 1?
12. При каких значениях параметра k функция
— 4 k+2
/(*)=■
k+1
* — 4
не имеет действительных корней?
§ 5. Иррациональные неравенства
Неравенство назьшается иррациональным с одним неизвестным х>
если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные
относительно х.
Например, неравенство
3* —4
(1)
— иррациональное относительно х. Здесь а — параметр. Областью
определения (1) служит решение системы
Так как
х>а,
х
4-
V2x + 1 > 0, 1/3* — 4 > О,
то неравенство (1) равносильно системе
— (2а— 1)* — а>а — 5,
х>а,
(2)
Если а < 1—, то а — 5 <0, и так как при этом
о
a> 0,
то решением системы (2) служит х > l-^-*
3

Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что при 1— <
3
<а<5 решением системы (2) служит х>а.
Рассмотрим теперь случай а> 5. При этом а — 5>0. И так как
21/г2*2 — (2а—\)х— а>0, то, возведя в квадрат обе части первого
неравенства системы (2), получим систему
{8*2-4(2а-1)*~а2+6а-25>0, }
\х>а,
равносильную (2).
Пусть /(*)=8*2 — 4(2а — 1)х — а2+6а — 25.
D — дискриминант /
— D=4 (2а — 1)2+8а2- 48а+200=4 (6а2 — 16а+51).
4
Так как — D1=64 — 306 <0, где Dx — дискриминант трехчлена
6а2— 16а+51, то D>0 при любых вещественных значениях а.
Отсюда следует, что при любых вещественных значениях а
уравнение /(#)=0 имеет два действительных различных корня:
хг^— (2а — 1 — У 6а2—16а + 51)
И fivf^T"
4
причем
Х2>Хг.
Учитывая известное свойство квадратного трехчлена, приходим к
выводу, что неравенство f(x)>0 справедливо при х<хг и при х>х2.
Таким образом, при а>5 система (2а), значит и неравенство (1),
равносильны совокупности двух систем:
\х<хи
[х>а
" б) 1Х>Х»
\х>а.
Для их решения выясним расположение числа а относительно
промежутка [хх; х2]
f (а)=8а2 — 4а (2а — 1) — а2+6а — 25,
т, е.
Следовательно, /(а)^0, и поэтому лг1<а<Аг2. Отсюда видно, что си-
(
, /(^ у 1<2
стема | ъ несовместца, а решением системы { 2> служит
\х>а [х>а
х>
62

В итоге мы получили:
если а<
если
если 1—<а<59 /?={а<л:<оо};
3
а> 5, #={— (2а — 1 + /баа—16а+51) <х <со|.
Весьма эффективным является графический метод решения
некоторых иррациональных неравенств.
Пусть требуется решить относительно х неравенство
x — a>Vx — b.
Разумеется, искомое решение должно удовлетворять условию х > Ь.
Прежде всего найдем условие, при
котором график функции
касается графика функции
Рис. 10
(рис. 10).
Для этого возведем обе части
уравнения
х — а=У х — Ъ
в квадрат и найдем корни хг и х2
получившегося при этом квадратного уравнения
х2 — (2а+1) х+а2+Ь=0.
хг=±- (2а+1 - Y4a-4b+l), *2=-|- (2а+1 + Yia-
При 4а — 46+1=0, т. е. при а=& ,
4
значит, х=а+0,5—дбсцисса точки касания этих графиков.
Нам нужно найти, те значения х, при которых график ф(*)
расположен «выше» графика f(x), учитывая при этом требование х>Ъ.
Рассматривая чертеж (10), мы замечаем, что при а<Ь гра-
4
фики не имеют общих точек; при а=6 графики касаются; при
4
Ь <а < Ь они имеют две точки пересечения с абсциссами,
4
соответственно хг и х2 (хг<х2); а при а>Ь — одну точку пересечения
с абсциссой, равной х2. В соответствии с этим получим решение
неравенства;
63

при a<b — -~
при а=Ь
4
при Ъ <а<&
4
,5; а+0,5<*<оо};
при а> Ь
Упражнения
2.
3. У2х+т > х
>2
5. Va+V~x +Va— У~х < /"2
6.
х+3
8. УсР — х*+У2ах—х*>а
9.
- —а
<л:<оо1
10. Ух+а<а — У~~х
11. j/2ajc — д:а>а — л:
§ 6. Показательные и логарифмические
неравенства
Каждое из неравенств вида

или afix) < сР{х\ где а> 0, мы будем называть элементарным
показательным неравенством.
Неравенство
равносильно неравенству
/(*)>Ф(*). (2)
если а> 1, и неравенству
/М«р(*). (3)
если 0<а<1.
Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из
свойств показательных функций.
Действительно, пусть хг— частное решение неравенства (1). Это
значит, что существуют f(x1) и ц>(хг) и что имеет место соотношение
Но отсюда следует, что
/
если а> 1, т. е. хг — частное решение неравенства (2), или
если 0<а<1, т. е. хг — частное решение неравенства (3).
Верно и обратное, так как из неравенства
при а> 1 или из неравенства
при 0 <а < 1 вытекает неравенство
Таким же образом можно доказать, что неравенство
nf(x) ^пу{*)
равносильно неравенству
/(*)<ф(*)
при а>1 и неравенству
если 0<а<1, и т. д.
Каждое из неравенств вида
loga / (х) > loga Ф (х), log,, / (х) < loga ф (х)9
logaf{x)>logaq>(x) или loga/(^)<loga9(^)
мы будем называть элементарным логарифмическим неравенством.
Здесь а>0 (аф\).
5 Заказ № 270 65

Неравенство
loga/(*)>loga<p(*) (4)
равносильно системе
/(*)>ф(*)>0 (5)
при а>\ и системе
0</(*)<Ф(*) (6)
при 0<я<1.
В справедливости этого утверждения легко убедиться. Пусть,
например, а>1 и хг — частное решение неравенства (4). Это значит,
что справедливо соотношение
Отсюда следует, во-первых, что /(#х)>0 и ф(л:1)>0, так как
отрицательные числа и нуль при положительном основании логарифма не
имеют; во-вторых,
Таким образом, мы получили, что хг— частное решение системы
(5). Докажем теперь обратное. Если выполнены неравенства
то это значит, что существуют числа
l0ga/(*i) И
Но так как
fix^a
и
то
а отсюда следует, что
Аналогично доказательство в случае 0<а<1. Точно так же можно
показать, что неравенство
равносильно системе
0</(#)<ф(д:) при а> 1
и системе
/(*)>Ф(*)>0,
если 0<д<1, и т. д.
Рассмотрим теперь некоторые примеры решения показательных
неравенств.
l/~V^+2<X+V~^ (7)

Решение. По смыслу задачи а>О и*^=±1. При а=*\
получим решение
#={—оо<*<—1; —1 <х<\\ 1 <*<оо}.
Приведем неравенство (7) к виду
3*+2 х— 3
а *-! < а*+1 (8)
и рассмотрим еще два случая:
а)0<а<1. При этом неравенство (8) равносильно неравенству
Зл-+2 х — 3
или
(алг+2)(дг+1)-(лг-3)(*-1)
(х—1)(дг+1)
Приведя его к виду
/ /89^9 \(
4х-—j—Ах-
и применив метод промежутков, получим решение
б) а> 1. В этом случае неравенство (7) равносильно неравенству
что равносильно
1/1*9 — *
(лг— 1) (Л-+1)
Применив тот же метод, получим решение
9+V89 - 1/89 — 9
. <я<—1;
4
тах_ю - 15
Решение. Приведем неравенство (9) к виду
(9)
L+ J* -3<° (9а)
и рассмотрим случай т=1.
При этом неравенство принимает вид
12Х-10 15 -з<о,
что верно при любых вещественных значениях х,
5* 6?

Пусть теперь m>0 (тф\). Так как при этом тх>0,
то неравенство (9а) равносильно неравенству
(т** — 10)т*+15 — Ът*(тх+1) <0. (96)
Введем обозначение тх=г> 0, тогда получим неравенство
(22_ io)z+15-Зг(г+1)<0 (9в)
или
23--3г2—13г+15<0 (10)
23 _ 322 — 13Z+ 15=(2 — 1) (2+3) (2 — 5)
и неравенство (10) приведется к виду
Так как (г+3)> 0, то оно равносильно неравенству
(г-1)(
откуда
1
Итак, мы пришли к неравенству
1 <тх<5.
Отсюда при т>\ получим 0<x<logm5, при0</п<1 получим
logm|5<*<0. Таким образом, мы получили ответ:
при т=\ х — любое действительное число;
при т> 1 #={0<x<logm5};
при 0</п<1 R={\ogm5<x<0}.
Рассмотрим теперь примеры решения логарифмических неравенств.
1. logfl,(r42A;)<l. (11)
Решение. По смыслу задачи аФО и аФ±19 а значение
^должно удовлетворять условию
д:2+2х>0, т. е. #
что возможно в двух случаях:
а) при х> 0; б) при х<—2.
Приведя неравенство (11) к виду
заметим, что при \а\> 1 оно равносильно системе
(х2+2х<а2,
\х(х+2)>0
или
\х(х+2)>0.
Решением первого неравенства системы служит
где *!=— 1 —
68

Отсюда видно, что при |а|>1 неравенство (11) равносильно
совокупности двух систем:
а) U>o.
решением которой служит #={0 <х <У 1+а2^- l),
и
решение которой R= {—I — j/l+a2 <* < — 2}.
Пусть теперь |а|<1 (афО). В таком случае неравенство, (11)
равносильно системе
<х*+2х>а2,
\х(х+2)>0
или
\х(х+2)>0.
Решением первого неравенства системы служит
/?=={— оо
где
Значит, при |а|<1 (аФО) неравенство (11) равносильно совокупности
двух систем:
а) [х<~1-
а) U<-2,
решение которой i?== {— сх><д:<—1 — V" 1 + л2}, и
j U>0,
решение которой R = {—1 + V" 1+Д2 < х
Итак, мы получили ответ:
при |а|>1
при |а|<1 (афО)
2. Iog2^3(a-2)<1. (12)
Решение. Неравенство имеет смысл при а> 2. Значение л;
должно удовлетворять условию
2*+3>0,

т. е.
Переписав неравенство (12) в виде
Iog2*+3(a — 2) <log
заметим, что при 2х-\-Ъ> 1, т. е. при х>—1 оно равносильно
неравенству
a — 2<2*+3,
т. е.
2х>а — 5
или
а-5
х>
Для выбора решения сравним числа
разность —~ (—I) =
—5
и —I, т. е. рассмотрим
2
а —3
> 0 при а> 3,
г — 3
2
при а<3.
Отсюда при 2 <а < 3 получим
а — Ь
< —I и решением системы
служит х> —I.
При а> 3 получим
х>
* —5
а-5
2 '
_*>—1
> —1 и решением системы
х>—\
служит х> —-—.
Найдем теперь те решения неравенства (12), которые удовлетворяют
условию 0<2лг+3<1, т. е. —1,5<лг<— 1. При этом условии
неравенство (12) равносильно неравенству
а — 2>2*+3,
т. е.

Так как при 2<а<3 -—-< — 1, то решением системы
2 '
в этом случае служит
(легко проверить, что —l,5<fl~~ при а>2).
При а>3 получим g~" >—1, следовательно, при этих значениях а
система
а —5
имеет решение —1,5<д:<—1.
Таким образом, при 2<а<3
при а>3
Упражпения
1. ах*~х<а2
2.
3. V^2 — mx-3
m—I 2 m—1
5. a2j: — 6 2 <b 2 —
6. Iog0
7. l_±lg(2*-a)>llg(3a--*)
8. ^а
9. log,a>logfltJtaa
71

10. loga#+log2*>l
11. log** — loga#<0 при 0<a<l
12.
18.
при 0<a<l
—3)
§ 7. Тригонометрические неравенства
Тригонометрическими будем называть неравенства, содержащие
неизвестное только под знаком тригонометрической функции.
Например, неравенство
sina#>0,5
тригонометрическое относительно х.
Для решения его на единичной
окружности с центром в начале координат
(рис. 11) находим две точки, ордината
каждой из которых равна 0,5. Одна из
них является концом каждой из дуг
множества arcsinO,5+2jm==—+2я/г, а дру-
6
гая — конец каждой из дуг множества
— я+2ял.
6
рис
Из чертежа ввдно, что данное неравенство справедливо при
— я+2я/г.
б
Отсюда при а>0 получим
при а<0
rt+2wW*<(£
б / а \6
при а=0 решения нет.
Приведем еще некоторые примеры.
1. sinax<b при 0<6<1.
Построив на единичной окружности две точки с ординатой, равной Ъ
(рис. 12), заметим, что данное неравенство справедливо при
я — arcsin6+2«n<aA:<2jc+arcsin6+23tn.
Отсюда при а>0
~ [я (2п+1) — arcsin &]< х < — (2я+агсзт 6+2ял),
а а
72

при а<0
— [2n(n+l)+arcsin&]<A:<
а
< — [я (2п+1) — arcsin b],
а
при а=0 х — любое действительное
число.
2. c
где — 1<Ь<0.
Найдя на единичной окружности две
точки, абсциссы которых равны Ь
(рис. 13), заметим, что данное
неравенство верно при
— arccos b+2nn<2x —
— — <arccos Ь+2яп.
4
Отсюда
/?=(— — — arccos b+
\ 8 2
— -\—arccos b+nn\.
8 2 J
3. tg(ax+2)>b.
Решение. На оси тангенсов
(рис. 14) находим точку /С, ордината
которой равна Ь. Точка
пересечения отрезка ОК с окружностью
является концом дуги arctgb.
Учитывая, что период тангенса равен я,
приходим к заключению, что данное
неравенство справедливо при
или
Я-arcsmb L
Рис 12
arc с os Ъ
-arccos b
Рис. 13
Рис. 14
-2 + arctg b+nn<ax< — 2+-5-+ ям.
Отсюда при а>0
«{1 (arctg fe - 2+лл)< л:<1 (i - 2+ля)},
а при а<0
73

и
Заметим, что при а=0 неравенство имеет вид tg2>6,
следовательно, при а~0 и 6< tg2
/?={— оо<л:<оо}.
4. ctg|2л: — 3|<т, где т>0.
Решение. На оси котангенсов находим точку М9 абсцисса
которой равна т (рис. 15).
Точка пересечения отрезка ОМ с окружностью — конец дуги
arcctgm. Учитывая периодичность функции ctg а, приходим к выводу,
что данное неравенство верно при
arcctgm + я&<|2х — 3|<я + я£, где
fc=0, 1, 2, 3, ...
Отсюда
a) arcctg т+я&<2я— 3<я+я&,
т. е.
1,5+0,5 arcctg т+
+0,5я&<л;< 1,5+0,5я+0,5я&;
б) — я — я6<2* — 3<
<—arcctg т — nk,
т. е.
1,5 — 0,5я — 0,5я&< х< 1,5 —
— 0,5 arcctg т — 0,5я£.
5. 3<2cos2*-flM3cos2*+b> <1 при 0<а<1 и 0<6<1.
Это неравенство равносильно неравенству
a) arccos—+2nn<2*<
Рис. 15
При помощи единичной окружности легко находим решение (рис. 16).
arccos(-D
.arccos ■
< arccos (— 4
\ 3
т. е.
0,5 /arccos -- + 2яп^<л:<
< 0,5 [arccos [— —)+2яп1;
-arccos
б) — arccos (—41+2^ < 2х <
Рис. 16
<—arccos —\-2nk, следовательно,
nk — 0,5 arccos (— ~
\ о
— 0,5 arccos ^.
2
При решении некоторых тригонометрических неравенств удобно
пользоваться свойством корней квадратного уравнения, изложенным
в § 4 гл. L
74

Пусть требуется решить неравенство
asin2A;+2cosA: — (a— 1)>0. (1)
Прежде всего рассмотрим случай а=»0. Неравенство (1) принимает вид
2cosaH-1>0,
т. е,
2 2
3 3
(рис 17)
Пусть теперь
Неравенство (1) легко приводится
к виду
acos2* — 2cos*— l<0. (2)
Пусть cos х=*z, где |г|<1.
Тогда неравенство (2) равносильно
системе
\az2 — 2г— 1<0, Q
(3)
Введем обозначение / (z)=az2 —
— 2z — 1, D — дискриминант / (г).
1 г*
Рис. 17
D<0 при а<—1.
При этом /(г)<0 при любых вещественных значениях z и поэтому
решением системы (3) служит
т. е.
—1<cosjic<1,
следовательно, /?={—со<д;<оо}.
D=0 при а=—1. При этом система (3) принимает вид
что выполняется при
т. е.
Отсюда
— 1<COSJC<1.
Рассмотрим теперь случай D>0, т. е. а>—1
двух вещественных значениях г:
. /(г)=0 при
a v ' а
Если —1<а<0, то /(г)<0 при г<г2 и при z>zt
75

В этом случае система (3) равносильна совокупности двух систем:
Для их решения воспользуемся известным свойством корней
квадратного уравнения (гл. I § 4). Для этого вычислим afi—1) и а/(1).
а/(-1)=а(а+2-1)=а(а+1),
а/(1)а(а3).
Мы рассматриваем случай —1<а<0. При этом af{—1)<0 и
а/(1)>0, следовательно,
()
Отсюда следует, что система (4) несовместна, а решением системы (5)
служит
т. е.
или
— arccos— (l —
-(l — V
Пусть теперь 0<а<3.
При этом 21<г2 и /(z)<0 при zx<z<z2.
В таком случае система (3) равносильна системе
И так как при 0<а<3
а/(-1)>0 и а/(1)<0, то —1<21<1<г2,
следовательно, решением системы (6) служит
т. е, как и в предыдущем случае
1(1 —Уа+1)<а**<1
76

или
вид
— arccos — (l — У a+l) +2лл <*<arccos — f 1 — Va+1) + 2mz.
а ч / a v '
Осталось рассмотреть случай а>3. При а=3 система (3) принимает
322_2г —
т. е.
ИЛИ
Отсюда
т. е.
ИЛИ
— arccos ( А + 2яп<х<2пп, 2nn<A:<arccos [ — —-)
V з/ \ з/
При а>3 /(г)<0 при 21<2<г2 и система (3) имеет вид:
(6а)
Для решения ее заметим, что af(—1)>0, а/(1)>0, т. е. числа —1
и 1 расположены вне промежутка fo; г). Для уточнения сравним их
с полусуммой Zi и г2.
Так как а>3, то 0<—<~, следовательно, 0<—<1, и поэтому
а 3 а
—1<z1<z2<1. Отсюда видно, что решением системы (6а) служит
или
т. е.
a) arccos— (l +Va+1) +2nk<x<arccos — (l — Va+l )+2nk,
77

б) — arccos — (l — V a+l )+2лл<л:<—arccos—-(l +Va+l )+2л/г
(рис. 18).
Таким образом, мы получили ответ:
при а<—1 /?й= {—со<д;<оо};
при а==—1 Я= { — оо<*<оо; хфп(2п+1)};
при — 1<а<0 и при 0<я<3
fi-Ш) S={-arccosI(l
arccos] з(1-У5+!)
lx
a
Рис. 18
при а=*3
arccos f — ^ + 2пп<х<2лп9 2jm<A:<arccos /— Д + 2шг|;
при
/—arccos~(l — Va+l )+2nk<x<— arccos— (l +/a+l) + 2nk;
arccos — (l +Va+1 )+2лл<*< arccos — (l — V а+1 )+2я/г|.
6. В заключение рассмотрим неравенство
sin3* — 2asin2^>0, (7)
где a>0.
Для решения его удобно применить метод промежутков. Приведем
неравенство (7) к виду
2 sin -|- cos Ц. — 2а sin2 -у >0,
или
ЛпЦ. (cos-|-asmf)>0
и преобразуем вьфажение cos -~— a sin —, умножив и разделив его
на У 1+a2.
Так как 0<— <1. то существует такое число tp 0<cp<—],
для которого sincp—— « т, е. 9=arcsin-
V1+а*
78

При этом cosq>=
и задача сводится к решению неравенства
sin — • sin
in U — &L\
> 0.
(7а)
Зх
Пусть —=у. Неравенство (7а) принимает вид
sin у-sin (ф — у)>0
или, учитывая нечетность функции sin а,
sin у • sin (у — ф) < 0. (76)
Введем обозначение
/(y)=siny-sin (у — ф)
и воспользуемся тем, что всякая элементарная функция сохраняет знак
на промежутке, где она существует и не имеет корней. /(у)=0 при
у=ям и при у=ф+я&. Легко
убедиться, что период /(у) равен я.
Действительно,
/ (у) -
cos ф ~~cos (2j;"~
Отсюда Г=я.
Функция /(у) имеет два множества
корней. При этом промежутку [0; я]
принадлежат корни 0, ф, я (рис. 19).
Легко проверить, что /(у)<0 при Рис. 19
0<у<Ф и /(у)>0 при Ф<у<я.
Действительно, если 0<у<ф, то siny>0, a sin (у — ф)<0, т. е.
/(у)<0; если Ф<у<я, то siny>0 и sin (у — ф)>0, т. е. /(у)>0.
Учитывая теперь периодичность /(у), запишем решение
неравенства /(у)<0:
Зх
Заменив теперь у на —, получим:
т. е.
Упражнения
3)<m, где —
2. sina(2^ —^>6, где 0<Ь<1
3. cos2(;c-fl)<a, где 0<а<1
79

4. 2tg(ax — 4)<6
5. 3ctg(x — m)>a
6. | sin (2x — 4)|<&, где 0<6<1
7. | cos (a: — 2)\>a, где 0<а<1
8- |tg(3*~2)|<£, где k>0
9.
10. |sin(2*+6)|>|a|, где |а|<1
11. sinA:+acosA:<a, где афО
12. a(2cos2x— I)2 — 6asinA:cosA;+4 — a>0
,3. _ft£ I>_i_
tgjf+2 m
<
COS ДГ — 1 COS X — 1

Тлава III
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Мы видели, что уже на первом этапе решения уравнения или
неравенства с параметрами необходимо четко сформулировать условия,
указывающие область определения уравнения (неравенства) и
множество допустимых значений параметров. Кроме этого, йам приходилось
учитывать монотонность изменения функций (показательные и
логарифмические уравнения и неравенства); ограниченность функций (при
решении тригонометрических уравнений и неравенств). Наконец, крайне
важным является формулировка условий, обеспечивающих
равносильность преобразований. Всего этого недостаточно для решения
конкретной физической, геометрической или другого рода задачи, содержащей
параметры.
В этом случае для окончательной формулировки ответа на вопрос,
поставленный в задаче, необходимо не просто (формально) решить
получившееся уравнение (систему, неравенство), но еще учесть
физический или геометрический смысл величин, о которых идет речь в
условии.
В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи.
Задача. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него
в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в
отношении 2:3. Из скольких частей каждого из сплавов можно получить
новый сплав, содержащий те же металлы в отношении а: 6?
Пусть новый сплав содержит х частей первого сплава и у частей
второго сплава.
12
Это значит, что в новом сплаве имеется —х-\—у частей первого
2 3
металла и —х-\—у частей второго металла.
3 5
В соответствии с условием
JL 1
3 О CL
2 iT^T»
Заказ № 270
81

т. е.
5лг+6у _а
Юх+9у b ' К '
случай *=0 или у=0 не представляет интереса, хотя и не
противоречит физическому смыслу задачи.
Мы будем считать х>0, у^>0. Разделив числитель и знаменатель
левой части уравнения (1) на у, получим уравнение
ИЛИ
*'
5(6 — 2а) ~=3 (За — 26), (2)
относительно —.
у
При 6—2а оно принимает вид
~=-3a
у
и не имеет решения1.
При Ъф2а получим:
у 5(Ь—2а)
если
5(6 — 2а)
Это неравенство равносильно совокупности двух систем
Г За — 26>0, (а)
\ Ь — 2а>0
и
| За —26<0, (б)
1 6 — 2а<0.
Из системы (а) получаем 2а<Ь<1,5а, что невозможно, так как
а>0. Система (б) приводит к условию 1,5а<6<2а. Таким образом,
новый сплав содержит 3(26 — За) частей первого сплава и 5 (2а — Ь)
частей второго сплава, где а>0, 6>0, 1,5а<Ь<2а.
Рассмотрим еще некоторые задачи.
1 Из уравнения (1) видно, что при 6=2а j/=0, т. е. новый сплав по своему
составу совпадает с первым.
Из уравнения (2) видно, что при 6=1,5а л*=0, т* е. новый сплав по составу
совпадает со вторым*

1. Найти углы а, р, у треугольника, если известно, что его
площадь равна S, радиус вписанного круга г и ctg~-ctg-^-=2.
Пусть стороны треугольника соответственно равны а, Ь9 с. Тогда
а=г ctg—+ctg-£ , 6=г ctg-^+ctg~ ,
^(def+dgi.).
p=r/ctg|+ctg}+ctg|),
где р — полупериметр треугольника.
Известно, что S=p*r, следовательно,
S=r«(ctg-|+ctg|+ctgi).
Для дальнейшего решения предварительно докажем, что равенства
И Ctg |+ Ctg-|+Ctg-|-=ctg~ctg|-ctgX (*)
равносильны.
Действительно, пусть k=2n, тогда
ару
cos— cos^r- cos~-
iV=ctg-|+ctg|-+ctgX=—A + —L + —L
sin! sin2 sin2"
sin-r- cosi
£+L
+
. « . P . v »
sm -g sin- stn—
а+B v v а й
sin -£—dny+coe_-sta-..ein—
т. e. N= —
6* 83

следовательно,
а р у
cos -—• -cos — • cos •—
sin~.sin-.sin~
To же получим при &=+
Пусть теперь ctg —+ °tg --• + ctg -^-= ctg — ctg — ctg —. Это
значит, что ctg— является корнем уравнения
2
-| ctg-i,
линейного относительно х, следовательно, х выражается через ctg —
и ctg ~ единственным образом. С другой стороны, из доказанного
следует справедливость равенства
следовательно, ctg K~~~(*'-"V ^ctgi, т. е.
> т. е.
Теперь можно утверждать, что если a+p+Y—^ т0 ПРИ условии, что
ctgf.ctg.l-2,
имеет место равенство
т. е. 2
Так же получим, что ctg—+ctg-^=ctg£, т. е. для вычисления
2, 2, 2,
ctg— и ctg-^- мы получим систему
+ Cg"2":==2^'
Отсюда
84
ctgf.dgf-2.

() (3)
где S>4V~2r2.
Полученные значения для ctg~, ctg-^, ctg ^ удовлетворяют
условию (*), следовательно, a+P+Y=rt+ 2nk. С другой стороны,
так как ctg— >0, ctg-5->0, ctg~>0, то существуют такие значения
А 2> 2,
а, р, уу которые удовлетворяют условиям (1), (2), (3) и при этом
0<а<зт, 0<P<jt, 0<yO, т. е. 0<a+p+Y<3rt. И так как сумма
a+P+Y должна принадлежать множеству я+2яА, то a+P+Y=я. Таким
образом, треугольник, удовлетворяющий условию задачи, существует,
т. е. при S>4j/~2fr2 задача имеет решение
а= 2 arcctg — (s + Vs2 — 32г4),
Art V /
= 2 arcctg A,
=2 arcctg ~ (S—V& — 32r*
2. Две точки начинают одновременно равномерное движение от
вершины прямого угла вдоль его сторон. С какой скоростью должна
двигаться каждая из них, чтобы через t секунд после начала
движения расстояние между ними было не менее 10 метров, если известно,
что скорость одной из них на 2 метра в секунду более скорости
другой?
Пусть х м/сек — скорость движения первой точки. Тогда скорость
движения второй (*+2) м/сек. За t секунд они пройдут соответственно
х метров и t(x+2) метров. При этом расстояние между ними будет
Vt2x2+t2(x+2)2.
Задача сводится к решению неравенства
Vt2x2+t2(x+2)2> 10,
равносильного неравенству
2t2x2 + 4t2x+4t2 — 100>0. (5)
Пусть D — дискриминант трехчлена
2t2x2+4t2x+4t2— 100.
4
т. e.-D=
4
Учтем, что по смыслу задачи />0и
85

D<0 при 50 — *2<0, т. е. при />5j/~2.
При этом неравенство (5) справедливо при любом
D=0 при *=5/~2.
При этом неравенство (5) принимает вид:
100(лН-1)2>0,
следовательно, оно тоже справедливо при х>0.
Остается рассмотреть случай D>0, т. е. 0</<5|/~2.
При этом f(x)=2t2x2+4t2x+4:t2 —100 имеет два действительных
корня:
хг<0 и система1
несовместна, следовательно, задача сводится к решению системы
Мы видели, что один корень уравнения / (л:)=0 отрицательный (хг).
Если при этом 4/2— 100<0, т. е. 0<£<5, то #2>0 и решением
системы (6) служит
Если же М2—100>0, т, е. 5<tf< 5|/ 2, то лг2<0 и решением
системы (6) служит х>0.
Итак, при t>5 x>0;
при Л^ 'е "^ 1
3. Отправляясь в путешествие, турист рассчитывал истратить в
дороге 72 рубля. В течение первых k дней его расходы совпадали с
расчетными, а затем он стал расходовать в день в среднем на 1 рубль
больше, чем предполагал, и задержавшись на 1 день, вернулся домой,
истратив на все путешествие на 23 рубля больше, чем намечал
первоначально. Сколько дней продолжалось путешествие?
Допустим, что путешествие продолжалось х дней. В соответствии
с первоначальным планом оно должно было длиться (я — 1) дней и
72
ежедневно турист предполагал тратить по рублей.
За первые k дней туристом было израсходовано
X ""•■*
1 При D>0 неравенство (5) равносильно совокупности х<хх и х>х2*
86

В течение остальных (х — k) дней он ежедневно расходовал
f-l=.—— рублей.
И так как за все путешествие было израсходовано на 23 рубля
больше, чем предполагалось, то можно составить уравнение1:
X —— 1 X гтшт 1
По смыслу задачи x>k и k>0.
Полученное уравнение легко приводится к квадратному:
г8 —(£+24)*+&+95=0,
имеющему 2 различных действительных корня:
, так как )
Очевидно, хг*>0, х2>0 (x1+x2~k+24, ^)
Теперь необходимо выяснить, при каких значениях k какой из
корней (хг или х2) удовлетворяет условию x>k.
Для этого введем в рассмотрение
/(*)=*■ —(*+24)*+*+95
и вычислим /(&)
при *>4А.
Если еще учесть, что при &<4— А<—i— (— полусумма
23 2 V 2
, то мы придем к заключению, что при 0<&<4 —
3 3 М
k<xt<x2, а при ^>4— xx<k<x2. Отсюда при 0<&<4— задача
£о 23
имеет два решения:
о
а при &>4— только одно решение
=1 (й+24 +УА«+44*+19б) •
Разумеется, из практических соображений надо заметить, что k
не может быть как угодно большим, и если предположить, например,
1 Задача взята из экзаменационных работ для школ Литовской ССР (1970 г ).
87

что турист не может тратить меньше 1 рубля в день, то максимально
возможное значение k окажется равным 72.
4. Из пункта А выехали одновременно в пункт В три автомобиля,
причем скорость второго на а км/час, а скорость третьего на 2а км/час
больше скорости первого. Третий автомобиль, достигнув пункта В и
возвращаясь сразу же обратно в пункт Л, встретил по дороге второй
автомобиль на — а часа раньше, чем первый.
Найти скорость первого автомобиля, если известно, что время,
затраченное третьим автомобилем на дорогу от А в В, численно равно —
скорости первого автомобиля.
Пусть скорость первого автомобиля v км/час. Тогда соответственно
v+a и v+2a— скорости второго и третьего автомобилей.
Расстояние от Л до В третий проехал за 0,1 v часов, следовательно,
это расстояние равно (v+2a)-0,lv км.
За 0,1 v часов второй автомобиль проехал (v+a)-0,lv километров,
значит, до пункта В ему оставалось еще 0,li;(i>+2a)— 0,la(t>+a)=
=0,lat> километров.
Через 0,lav:l(v+a)+(v+2a)] часов, т. е. через — часов
10 (2v-\-3a)
после выезда третьего автомобиля из пункта В, второй и третий
встретились. В течение 0,1 v часов первый проехал 0,1а2 километров. После
этого до пункта В оставалось еще 09lv(v+2a) — 0,1^=0,200
(километров). Через —' (часов) встретились первый и третий
автомобили. В соответствии с условием задачи
по по За
10 (v+a) 10(2H-3a) ~~ 70 "
По смыслу задачи а>0, и>0, следовательно, полученное уравнение
равносильно уравнению v2 — йи — 9а2=0, имеющему два
действительных корня, меньший из которых отрицательный. При а>0 задача имеет
одцо решение:
i>=0,5a (l+j/37) {км/час).
5. По окружности в противоположных направлениях движутся два
тела, причем первое — равномерно с линейной скоростью v см/сек,
а второе — равномерно ускоренно с ускорением а см/сек2. В начальный
момент времени оба тела находятся в одной точке А и скорость
второго равна 0. Через какое время произойдет первая встреча тел, если
вторая их встреча будет опять в точке А?
Если вторая встреча произошла через t секунд после начала
движения, то й=—, и так как *>0 (по смыслу задачи), то /=— (секунд).
88

Пусть первая встреча произошла через tx секунд после начала дви-
at\
жения. За это время первое тело прошло vt± см, а второе —- см,
причем сумма этих расстояний равна длине окружности, т. е.
vtx-\—-=irf, или так как t= — 9
После упрощения получим квадратное уравнение
имеющее два действительных корня, один из которых отрицательный.
При а>0 и v>0 задача имеет решение
tt^Z(yT-l) (секунд).
а
Задачи
1. Л выполняет некоторую работу в срок, на а дней больший, чем
В, и на 6 дней больший, чем С (а> 0, й>0). Л и В, работая вместе,
выполняют эту работу в срок, равный сроку С. Определить время,
в которое каждый выполняет эту работу отдельно.
2. По расписанию учебно-тренировочных занятий сначала из
пункта А выедет один связист, а через 6 ч выедет второй связист с такой
скоростью, чтобы нагнать первого в 180 км от пункта Л. Но в
момент отправления первый связист получил распоряжение ехать со
скоростью на а км/ч большей, чем намечалось первоначально. Второму
же связисту не разрешалось увеличивать скорость, намеченную
расписанием, поэтому, чтобы точно выполнить задание, ему пришлось
выехать из пункта А на 3 ч раньше, чем намечалось. Сколько времени
будет в пути каждый связист?
3. Лодка спускается по течению реки на расстояние а км, а затем
поднимается против течения реки на расстояние Ь км. Скорость
течения реки равна v км/ч. Какова должна быть собственная скорость
лодки, чтобы вся поездка продолжалась не более чем t часов?
4. Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по
прямым ОХ и OY, пересекающимся под прямым углом. Первое тело
движется со скоростью v по прямой ОХ от точки А к точке О,
находящейся на расстоянии а от точки А. Второе тело движется со
скоростью vx по прямой OY от точки В к точке О, находящейся на
расстоянии Ъ от точки В. Найти наименьшее расстояние между этими телами
во время движения.
5. Две точки А и В, расстояние между которыми d см, движутся
по разным сторонам прямого угла к его вершине с одинаковой
скоростью, равной v см/сек. Точка В достигает вершины на t сек раньше,
чем точка Л. Сколько секунд двигалась точка Л?

6. При помощи двух труб надо выкачать 100 гл воды. Две трубы
неодинакового сечения выкачивают в один час а гл воды. Первая
труба выкачала 50 гл воды, и затем всю оставшуюся воду выкачала
вторая труба. Вся работа была выполнена в п часов. Сколько гектолитров
воды можно выкачать каждой трубой отдельно в один час?
7. По прямой из точки Л начали двигаться одновременно в одном
направлении две точки: первая равномерно-ускоренно с начальной
скоростью 3 м/сек и ускорением 2 м/сек2, вторая равномерно.
В каких пределах должна изменяться скорость второй точки, чтобы
она сначала обогнала первую точку, но чтобы затем первая точка
догнала вторую на расстоянии, не большем 10 м от Л?
8. Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее
периметра к длине вписанной окружности и равно k. Найти углы трапеции
и допустимые значения k.
9. В правильной четырехугольной пирамиде через два боковых
ребра, не принадлежащих одной грани, проведена плоскость. Отношение
площади сечения к боковой поверхности пирамиды равно k. Найти
угол между двумя смежными боковыми гранями.
10. Какое положительное число нужно вычесть из а и прибавить
к &, чтобы произведение вновь полученных чисел превышало
произведение данных (а> Ь)?
11. Из бутылки, наполненной доверху кислотой, отлили а литров,
затем долили ее водой и вновь отлили а литров смеси и снова долили
ее водой. Определить вместимость бутылки, если известно, что вода
после второго отливания составляла р% вместимости.
12. Два пункта А и В расположены на берегу реки, причем пункт
А ниже по течению. Из них одновременно отправляются навстречу
друг другу две лодки, которые встречаются на одинаковом расстоянии
от Л и В. Продолжая свой путь и достигнув соответственно пунктов
В и А, лодки тут же поворачивают обратно и встречаются вновь
на расстоянии а км от места первой встречи. Если бы эти лодки,
выйдя из Л и Б, поплыли обе против течения, то лодка, вышедшая
из Л, догнала бы лодку, вышедшую из В, в Ъ км от В. Каково
расстояние между Л и В?
13. Два пешехода вышли одновременно из пункта Л в пункт В.
Половину времени, потраченного на путь от Л до В, первый прошел
со скоростью vu а вторую половину времени со скоростью щ. Второй
пешеход первую половину пути прошел со скоростью v2, а вторую
половину пути со скоростью t^. Кто из них пришел в В раньше?
14. Один сплав содержит металлы Л и В в отношении т:п,
другой в отношении p:q. Какое количество первого и второго сплавов
нужно взять, чтобы после их сплавления получить М кг нового сплава
с равным содержанием металлов А и В?
15. Из пунктов Л и В одновременно навстречу друг другу выехали
два велосипедиста, которые встретились в 2а км от пункта В. Продолжая
свое движение и доехав до пунктов В и Л, они сразу же повернули
обратно и снова встретились в а км от пункта Л. Определить
расстояние между Л и В.
90

16. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за
а часов. За сколько времени может разгрузить баржу каждый кран,
работая отдельно, если один из них может разгрузить ее на b часов
скорее, чем другой?
17. За а минут один автомат изготавливает на Ь деталей больше,
чем другой. Если бы на каждом из них удалось сократить время
выпуска одной детали на 2 минуты, то первый автомат выпускал бы
за а минут на 26 деталей больше, чем второй. Сколько деталей
изготавливает каждый автомат за а минут?
18. Два тела движутся по окружности. Первое из них пробегает
всю окружность на а сек быстрее второго. Известно, что если они
движутся по одному направлению, то сходятся через каждые Ъ сек.
Какую часть окружности (в радианах) пробегает каждое тело в одну
секунду?
19. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со
стороной, равной а. Плоскость каждой боковой грани наклонена к
плоскости основания под острым углом а. Найти объем шара, вписанного
в пирамиду.
Рассмотреть два случая: а) высота пирамиды расположена внутри
нее, б) высота расположена вне пирамиды.
20. Основанием прямой призмы служит четырехугольник ABCD,
в котором AD^a, AB=b и Z ADB=a. Диагональ боковой грани,
проходящей через сторону AD, наклонена к плоскости основания под
углом р. Найти поверхность шара, описанного Тжоло данной призмы.
21. Вклад положен в сберегательную кассу из расчета р% годовых.
В конце каждого года вкладчик берет т рублей. Через п лет, после
взятия соответствующей суммы, остаток оказался вдвое больше
первоначальной суммы. Какая сумма была положена в сберегательную кассу?
22. Три спортсмена переправляются через водохранилище шириной
в 4 км. Первый вплавь, со скоростью v км/ч, а второй и третий
на моторной лодке, скорость которой 10 км в час. Через некоторое
время t после начала переправы третий решает оставшийся путь
преодолеть вплавь, а второй возвращается обратно, берет на лодку первого
и вместе плывут вслед за третьим. При каких значениях t первый
и второй пловцы достигнут противоположного берега быстрее третьего?
23. Прямоугольный участок площадью Ъ кв. м (Ь>0) необходимо
огородить забором, две смежные стороны которого сделаны из
материала, один метр которого стоит а рублей, а другие 2 стороны
из материала стоимостью в 2а рублей за метр. Имеется (4а2+26)
рублей. Хватит ли этой суммы, если известно, что а<]/& < 2а?
24. Три материальные точки Д Л, С одновременно начинают
движение из одного пункта в одном направлении. Точки Л и С со
скоростью v м в минуту, а скорость точки В на 1 м в минуту меньше.
Через 3 минуты после начала движения скорость первой уменьшается
на 2 м в минуту, а еще через 1 минуту скорость третьей становится
равной удвоенной первоначальной скорости без 5 ж в минуту. При
каких значениях времени t, прошедшего после начала движения, точка
В окажется между точками Л и С?
91

25. Двум рабочим для выполнения некоторой работы требуется t
дней. Работа была выполнена за а дней, причем — всей работы выпол-
3
нил первый рабочий, а оставшуюся часть работы завершил второй.
Сколько времени требуется каждому рабочему в отдельности на
выполнение всей работы?

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ1
Глава I. § 2.
1. При тф—1-|-, тф— 3-|-, тф—1,5,
—, тф— з4~
3 3
21т+38 .
3 (2т+3) '
2 2
при т=—1—, т=—3—, т=—1,5, т==—2 нет решений.
3 3
2. При т=£±1, тфО х= т+ ; при т=1 а: —любое число, кро-
ме *=1; при /п=—1, /я=0 нет решений.
3. При аф2, афО х= а\ при а=2, а=0 решений нет.
4. При тФ\, тФ—3, тфО х——^—; при/гг=1 х—любое число;
/w-J-3
при т=—3, т=0 решений нет.
5. При а—0% х — любое, кроме %=0, при афО нет решений.
6. При аФ— 3, а=£— 2, а^=0,5 *=^—i; при а=—3, а=0,5,
а|3
а+3
я=—2 решений нет.
7. При &¥=—3, &=£20, 6^—1-JL
13
т_ 8-56 .
4(ft+3) '
при 6=—3, &=20, 6=—1 решений нет.
8. При тф2, тфО, тф—0,5, тф\
при т==—0,5, m=l, m=0, т=2 решения нет.
1 Значения параметров, при которых уравнения не имеют смысла, включены в
число тех, при которых нет решения,
93

9. При А^О, кФ— 2, кф—Ъ,2 х=-—~; при £=— 2, £=—0,2,
:0 решения нет.
10. При /72^=2, л^О, m^3n+2, тфбп
Зп — 2
2
при т=4, п=— х — любое число, кроме х=1; при
з
т=6п[пф—], п=0, т=2 решения нет.
11. При а+ЬфО, ЬфО х=а~~ ;при а=—Ь, Ь=0 решения нет.
12. При а?ФЬ2 и 6=^0 х=а2 — Ь2; при 6=0, афО х — любое,
кроме #=0; при а?=Ь2 решения нет.
13. При тфЗ—, тФ—1—, m-fl х=——; при т^З—,
3 3 /я— 1 3
2
т==—1—9 tn=l решений нет.
14. При аф1, аФ—3,
при а=—3, я—1, ^=0 решения нет.
, р
15. При ЪФ—1, Ъф2— х^^\ при 6=^—7, 6=2— кор-
3 7 — 36 3
ней нет.
§3.
1. При &=5 х=0; при
(- 3k ±
2. При афЗ, аф—\ хг**а+3, лг2=«й— 1; при а==3 дг^б.
8. При тф1, тфО хх^2т9 x^m+2\ при m»?l д:«=3#
4. При тфО хг=3т, х2=—2т; при т=0 корней нет.
5. При 0=^=0,5, аф—1,5 л^=2а—1, х2=2а+3; при а=0,5 л:=4;
при а=—1,5 решения нет.
6. При тфО, тф±\ ^=-^5+1, л:2=1; при т=0иприяг=—1
т
х=19 при т—\ решения нет.
7. При &<—1 ^—1—j и прий>4
94

у— А ( h 4- l/&2 Qjt, Л\.
при £=-—1—- *= ; при ft=l корней нет.
3 7
8. При mn^O и m=n #=--0; при /n=9n (я^О) #=0,5; при тФп,
тф9п, тп> О
х=—J— (т + п±2 Упт).
т — п
9. При Ьф—а2 (афО) и (6,— I)2 — 4a2>0 x=— (b—1±
2а \
— I)2 — 4а2 j; при а=0 и 6=1 л: — любое, кроме 0; при 6=—а2
л:= ; при а=0 и 6=^1 решения нет.
а
10. Решение. При а=6=0 уравнение не имеет смысла, при
&=0 и а=£0 решения нет.
Рассмотрим случай ЬфО. При хф±\, хф— это уравнение равно-
ь
сильно уравнению б^-^Заблг+га2 — ab — Ь2=0. Так как 6=^0, то
х=
26*
т р г -2п+Ь г -а~Ъ
т. е. ^i— - , х2— - •
Выделим теперь те значения а и 6, при которых х=±1 или х =—.
ь
х1 a =—1 при 2а+6=—ft, т. е. при а=—6; при этом
ъ
*,———^
B^x ПрИ 2a+b=b, т. е. при а=0; при этом х2=—1.
ь
=— при а=—6; при этом #2=—2;
6
6
Хз«5."*"",,..gs^l при а=0; при этом Xx^i;
д:2 в- £П—е-. 1 при а=2Ь; при этом ^—5; значений а и Ъ% при ко-
торых *2=а~~6=—, не существует.
Итак, мы получили ответ:
при 60 О £b
при а=—&=£0 лг=—2; при а=2ЬфО х=5; при а&=0 нет решений
95

11. Решение. По смыслу задачи ЬФО, хфа — 76; хФ — ф+5а).
Применив производную пропорцию, получим:
8д—86 Qb
ИЛИ
8(д —6) = (а—Ь) (а+Ь+х)
При а~ЬфО х — любое число, кроме х==—66. При аФЬ получим
уравнение:
86 _ а+ь+х
ТЬ — а + х ~~ Ь+5а+х'
Записав это уравнение в виде
7Ь — а + х
86 а+6+д-
и применив опять производную пропорцию, получим:
— 6 — а+х Аа
86 ~~~ а+Ь+х '
ИЛИ
86 (a+b)+x
Отсюда (6+a)2 — x2=— 32a6, т. е.
при 62+a2+34a6 > 0.
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а и 6, при
которых х=а — 76 или х=—ф+5а).
Во-первых, найдем значения а и 6, при которых хотя бы один #з
корней уравнения х2 — (62+а2+34а6)=0 равен а — 76.
При х=а—76 уравнение принимает вид (а—76)2 — (62+а2+34а6)=0
или 486(6 — а)=0, что невозможно, так как ЬфО и афЬ. При
х——(6+5а) придем к уравнению
24а (а — 6)=0,
верному при а=0. Таким образом, при а=0 один из корней равен
— (6+5а)=—6 (посторонний). При этом второй корень равен Ь.
Итак, при аЬфО и афЪ, а2+6*+34а6 > 0
*= ±Уа2+62+34а6;
при а=ЬфО х — любое, кроме х=— 6а; при а=0, 6=^0 ^=6; при
6=0 решения нет.
12. При а<4, 12<а<13 и при а> 13
х=0,5(а— 12±1/а2—16а+48);
при а—13 #=—1.
96

13. При k^O, кФ±\,
при &=0,5 дс=1,5;
при k=\ x=2;
при k=—1 х=—3;
при &=0 уравнение не имеет решения.
14. — 3<£<4.
15. т=3.
16. *= — а±Уа2— 1 при |я|>1, при [а|<1 решения нет,
§ 4,
1. х=а2-\-а при а>0.
2. При а+6=0 х=а2; при а+Ь> 0 (а6>0) л:=О; при а + 6<0
или а+6>0, но ab<0 нет решений.
3. При а>0 д:=а; при а<0 кърней нет; при а=0 уравнение не
имеет смысла.
Решение. Параметр а и значение х должны удовлетворять
условию ах> 0.
Рассмотрим два случая:
а) а>0, х> 0.
При этом данное уравнение можно записать так:
V~(V~~)
V~a{V~a+V~x) V~x(V~*+V~a)
ы
я)
V~a V~x+V~a
Отсюда при а> 0 имеем х=а. Чтобы найти остальные положительные
решения при а> 0 (если они имеются), необходимо решить уравнение
Va{Va+Vx) V x{Vx+V~a)
ИЛИ
x-a V~x+V~a
Vax{Vx+Va)
Так как а> 0, x> 0, V~x+Ya>0, то это уравнение равносильно
уравнению
У. Отсюда ^=—а, что невозможно, так как
ax>0.
б) а<0, а:<0.
Введем обозначения:
а=— |а|=— &, а:=— |л:|=— *, где fe> 0, /> 0.
7 Заказ № 270 97

В таком случае уравнение принимает вид:
или
. fe+V^ = t—k
k-V~kt k
Так как t>0, k>0, то уравнение (2) можно записать так:
1) \Гк{]Гк+У7) _{\П-УР{У1+УЪ 4
-;) yi{V7V) k
Здесь t^=k9 так как при t=k получим *=a<0 и уравнение (3)
теряет смысл (при этом a+Vax—a+VcP—a — а—О). "J/7+
3, следовательно, разделив обе части уравнения (4) на
\ получим уравнение
VT ] VI
-VT) VT(V7-VJ)'
или
(6)
равносильное (4).
Так как 1Фку то, сократив обе части уравнения (6) на Vt —Vk,
мы корней не теряем.
В таком случае получим уравнение
УТ+\/Т _УТ
Отсюда VTt + k=Vkt— U т. е. k=^—tf что невозможно, так как
). Вывод: при а<0 решений нет.
4. При 1Л,б<а<У3 х=*3а* — 2±ЪаУ2оР — 3;
при a>Vz x=3a* — 2+2aV2a2 — 3;
при а<V 1,5 решений нет.
Указание: ввести обозначение
5. При а=0 л:=0;
при а>\ *=—(а— I)2;
4
при а<0, 0<а<1 решения нет.
8. При 6>а х—а;
при 6<а л:=6.

7. При а=0
при а<0 х=—2а,
при а>0 решений нет.
8. х=—-— при а>0,
#4-1
9. При а>0*=|-(4а+3 — /8а+9),
при а<0 нет корней.
10. При Ь+афО х=~(а — V),
при &+а=0 решений нет.
Указание. Известно, что если а>0, то а-\—>2 и равенство
а
достигается при а=1, следовательно, l/ a~~x = U
11. При 0<а<1 ^=а8 —а+1, л:2=а2+а;
при а>1 д:=а2+а;
при а<0 корней нет.
12. При а=0 л:>0;
при а>0 х=г-
при а<0 уравнение не имеет решения.
13. При oVTT *=1 (2а2 — 7+ а УЗа* — 22);
при ^-^-<а</П *=1(2а2— 7±aVz& — 22);
при а<1 корней нет.
14. При а=0 л;<0;
при а>0 ^=0, ^2=— а\
4
при а<0 нет корней.
15. При а+6=0 и а>0 ^=0; при 0<a<j& лг
16. При а=6 ^ —любое число, кроме х** ±а\ при а^б (ab>0) и
при аЦ-&=0 д:=0; при а^±Ь (аЬ<0) ^==0, л:2==— V—ab9
xs=V—ab.
§5.
1. При а=1 *=£±1; при а>0(а^=1) л:=2.
2. При а=1 ^ — любое действительное число; при а>0(аФ\) х=1.
3. При а>0 (аф 1) x=loga у 1+^ 5;при а=1 корней нет.
4. При 6>0 (6^=1) ^=y^; при 6=1 корней нет.
7* 99

5. При а=1, g=0 x — любое действительное число; при а>0
(аФ1) x=loga(c+Vc2+\ ); при а=1, сфО решения нет.
6. При афО, ЬфО, афЪ
Д, ——
7. При я>0,
х
2(lga —I
при а=6, 0<6<1 нет корней.
Указание. Привести уравнение к виду
6-1
(Г-
6(1-fa2)
8. При а>4, Ь>\ и при 0<а<4 (аф1), Ь<\
при а=4, 6=1 и при а=\9 Ь=—5 х — любое действительное число;
при а=4 и Ьф\ корней нет; при а<0 уравнение не имеет смысла.
Решение. Приведем уравнение к виду
или
а2*-1 (а+1)(а — 4)==6— 1.
При а=4 и 6=1 а:—любое действительное число.
При а=4 и 6^1 решений нет.
Рассмотрим еще случай а=\.
Уравнение при этом принимает вид
Отсюда при 6=—5 х — любое действительное число. При а>0 (аф4,
аф\) получим уравнение
Ь1 . (8)
4) ; ;
Так как а2х~1>0, то оно имеет решение при — >0, т. е.
при Ь>\ и а>4 и при 6<1 и 0<а<4 (аф1).
Решая теперь уравнение (8) при этих условиях, получим:
следовательно,
100
x=l «C6=iL

9. *= ^ m , где m>0 (m^l), при m=l корней нет.
lg/n
Указание. Vm2x~4 + Зт*-2 — 6 =f.
10. *=i|logd V2gt+4-fla _21> еслиЬ>0
л: — любое действительное число при 6=1 и а=2; при 6=1 и
при а</2 и при а>2 корней нет.
Решение. Уравнение имеет смысл при 6>0 и а>0. Пусть
65*+2 =*>().
Тогда получим уравнение относительно ^:
—Vl — t2=a. (13)
Значение £ должно удовлетворять условиям:
1, t>V\ —1\
т. е. />0, ?<1, 2?>1.
Отсюда
Возведя в квадрат обе части уравнения (13), получим:
или
— 1=а2—2*. (14)
Корнем уравнения (14) может служить только такое значение tr
которое удовлетворяет условию *2<— (в дополнение к ранее указанным
условиям).
Возведя в квадрат обе части полученного уравнения и проведя
необходимые упрощения, придем к уравнению
4Р + 4Л — (а4+ 4)=0, (15)
равносильному1 (14) при
(56)
и ^2=
— корни уравнения (15).
Теперь необходимо найти те значения а, при которых полученные
значения t удовлетворяют условию (16).
1 Здесь и в аналогичных случаях мы по существу переходим от уравнения
к равносильной ему системе.
Ю1

Требование />-— выполняется автоматически, так как
уравнение (15) получено вследствие преобразования уравнения
4(2*2 — 1)-=(а2 — 2t)\
a
(а2 —202>0.
Остается установить, при каких значениях а корни t± и t2
удовлетворяют условию
Легко заметить, что t2<0, следовательно, t2 условию (16) не
удовлетворяет.
При
l(Vr2fl*+4~fl«)<l,
т. е.
'2а4 + 4<2+а2,
~<2а2.
Обе части каждого неравенства этой системы положительны,
следовательно, если обе части каждого из них возвести в квадрат, получим
систему
(
или
равносильную ей.
Так как а>0, то решением полученной системы служит У 2<а<2.
Итак, при Уг2<а<2 и &>0
102

Прежде чем записать окончательный ответ, выясним, каково будет
решение уравнения (12) при 6=1. При этом значении 6 оно
принимает вид:
у 15ЛГ+2 — У\ _ 11 Оаг+4 + у J5a:+2 |/ \ _ |Ю*+4 --fl#
Отсюда видно, что при 6=1 и а=2 х — любое действительное число.
При 6>0 (6^=1) получим:
Отсюда
— -~g _2
5
Указание.
2—1)2
.
(m—l)(m+l) (m — l)(m+l) m —1 m+1 *
12. При а^=1 д:>0 (л:^1); при a>0 (a^l) ^^J-^-, д:2=— Va2.
13. При 6>0 (6^=1) ^=26, x2=b+Vb; при 6<0 (6^—1) ^=0,
И. д:1=аУ a, *2=a (a>0, a=^l).
15. ^=-i- (a>0,
a2
a
16. При ab>0 (аЬф1) и а2+62 —6а6<0 уравнение имеет два
решения: 0 и a+6;
при
четыре корня: 0; а+6; 0,5 (а+6 ±К а2+62 — баб ).
§6.
1. ^=5+(— l)*arcsin(m— l)+nkt где 0<m<2, й=0, ±1,
±2, ...
2. *=—1±V^ l+(— I)rtarcsin2m+ji/z , где п=0, 1, 2, 3, ...
при — 0,5sinl<m<0,5, n»l, 2, 3, ... при—0,5<m<—0,5sin 1.
3. x=|(—l)*arcsin(a+l)-fя&]2, где £»1, 2, 3, ... при
—2<a<—1 и fe=0, 1, 2, 3, ... при — 1<а<0.
4. д:=1±0,5[(— l^arcsina + sm], где п=09 1, 2, 3, ... при
0<а<1, п=1, 2, 3, ... при — 1<а<0.
103

5. *=_1±±агссо8&+-|зтл, где \Ь\<1, л=0, ±1, ±2, ...
О О О
6. Если —l<m<cosl, то х=±У 1—arccosm+2jt&, где k=l>
2, 3, ... и х=±У 1+агссозт+2ял , где n=Q, 1, 2, ... Если
cosl<m<l, то
х=±У 1± arccos т+2яп , где и=0, 1, 2, 3, ...
Решение. —l<m<l.
х2—l = ±arccosm+2nfe, т. е. х2=1 ± arccos т + 2я&.
Мы получили два множества решений:
а) х2= 1 +arccosm+2nk9 где k=0, I, 2, 3, ... Отсюда
х= ±У
+ ;
б) х2 = 1 — arccos т+2nk\ при k=0 д:2 = 1 — arccos m, если
1 — arccos m> 0, т. е. arccos m< 1 или т >cos 1. Значит, при
cosl<m<l
х— ± V 1 — arccos m + 2ji/fe,
где k=0, 1, 2, 3, ..., а при —l<m<cosl
л;== ±у 1 — arccosm+2n^,
где й=1, 2, 3, 4, ...
7. A:=2±(arctga + Jtn), где п=0, 1, 2, ... при а>0, л=1, 2,
3, ... при а<0.
8. A:=5 + [arcctg(6 —2) + яй]2, где й=0, 1, 2, 3, ...
9. При а=— (4^-|-1) д: — любое действительное число; при
\a Ф^(2к+1)1
лс= ±0,5arccos|tg[а — —) 1 -f яп.
Указание. Привести уравнение к виду
cos 2а • cos 2x=sin 2a — 1,
а затем рассмотреть два случая:
cos. 2а=О, sin 2a=1
и
cos2a=0, sin2a=£l.
10. При m<0 x=2nk; при т=0 х—лп\
при 0</и<2 #=2я&, #=±arccos—(1 —
2т v
при т=2 х- ±|
при т>2 х=
104

я, k, r, t, p, s — принимают значения всех целых чисел независимо
друг от друга.
11. При — 0,5<а<0 и при 0<а<0,5
*= ± arccos — (У 1 — 4а2 — 1) + 2л&,
при а=0и при |а|>0,5 корней нет.
12. *=2я/п±а±р.
13. При — 2<а<0 и |Ь|<2 уравнение (1) имеет два множества
корней:
*=(—1)* 0,5 arcsin (а+ 1) + 0,5я&,
и
*=(—1)™ 0,5 arcsin -~+0,5ят,
при — 2<а<0 и |6|>2 одно множество корней
*=(—1)^0,5 arcsin(a+ 1)4-0,5я&,
при а<—2 и |6|<2 и при а>0 и |6|<2 одно множество корней
х=(—1)т 0,5 arcsin - + 0,5пт.
Решение.
Приведя уравнение (1) к виду
sin2 2*-!-!+ (а+ l)lsin2A: + |
l)lsi
заметим, что оно равносильно совокупности двух уравнений:
sin2A:=a+l (2а)
и
sin2*=|. (26)
Так как | sin 2х \ < 1, то уравнение (2а) имеет решение при — 1 <а +1 < 1,
т. е. при —2<а<0. При этом
х=(— l)fe0,5 arcsin (а+1) + 0,5я&,
где k=0, ±1, ±2, ...
Уравнение (26) имеет решение при
<1, т. е. при |6|<2.
При этом
х=(—\)т 0,5 arcsin — + О,5зш,
где m=F0, ±1, ±2, ...
14. При а=Ь=0 х —любое действительное число;
при я=0, ЬфО *=я(2&-Ы);
при афО A:=2arctg — + 2ns и х=
105

15. При m=n=O x — любое действительное число;
при т=0, пфО *=75о+180°К,
при тфО, п==0 х=—15°+ 180°К,
при тфОу пфО л:=—15° + arctgf——Wl80°K,
где £=0, ±1, ...
Глава II.
§3.
1. При а=—3 х — любое действительное число;
при а<— 3 *<*^=i; при а>— 3 *>
а+3 а-|-3
2. При а<1 и при а>4 л:> a"^"—;
3(а —4)
при 1<а<4 *<-5^;
при а=4 и при а=1 решения нет.
3. При 6>3 2<дг<^У-;
6 — 3
при 6<3 |*±1
D о
при 6=3 неравенство не имеет решения.
4. При т<— 9 и при —1<т<1 ^
при —9<т<—1 и при т>\ х
при т=—9 и при т=±1 неравенство не имеет решения.
Указание. Рассмотреть три случая:
т<—1,
5. При а<\ Ъ<х<^=^\
а-—2
при а=1 решений нет;
при 1<а<2 ^=^<д:<3;
а — I
при а=2 #<3;
О^ -j
при а>2 х<3 или х>——
6. При а<—10 и при а>2
;
при а=—10 х — любое действительное число;
при -10<а<2 *>5(fl~2).
F 2(а+10)
7. При а<—3 и при а>1— lz^
3 д+3
при —3<а<1 *<0 или ^>i=i?;
а+3
106

при а=— 3 л:<0;
при |
при а=1~ и при а=1 нет решений.
з
Решение.
Приведем неравенство к виду
(д+3)дг+3а —4
(a—1)jt
При а=—3 оно принимает вид -^—<0, что верно при х<0. При
11 LX
4 —За
*__ —-
а>—3 получим: ——<0. Если —3<а<1, то полученное
неравенство равносильно неравенству
4 —За
-<0 при а>— и при а<—3;
а+3 3
-—~=0 при а=1^.
а+3 г 3
Значит, при —3<а<1 получим: л:>4^"3а или л:<0.
а+3
Пусть теперь а>1. В таком случае получим неравенство
_4 — За
Отсюда, если 1<а<1—, то 0<х<- -. При а=1— решения нет,
3 а+3 3
приа>1— получим "~~ а<л:<0. Остается рассмотреть случай а<С—3.
3 а+3
Исходное неравенство равносильно неравенству
4 —За
^±И>о.
(а—\)х
Так как при этом а— 1<0, то получим:
4—За
х—•
107

Отсюда
8. При а> 1,5 х<
4 —За
а+3
а2— 12а — 2
Х>{
2а—3 '
9. При — 1<а<-- и при а>1
о
, при а= 1,5 нет решений, при а< 1,5
при а<—1 и при
— 2
--<а<1 д:<- -, при а==т ^ —любое действительное число.
10. |а|>3.
П. 1<а<2-к
3
Указание. Рассмотреть три случая:
а?+2а — 3>0, а2+2а — 3=0, а2 + 2а-~3<0.
12. т=2.
Решение. Введем в рассмотрение функцию
f(x)=(m — 2)x+2m— 16.
/(*) — линейная функция, при т>2 она возрастает, имеет корень и
оставаться отрицательной одновременно на двух промежутках (—оо; —5]
и [5; оо) не может.
К тому же выводу приходим в случае т<2 (рис. 20).
У
5
-5 0
т-2
Рис. 20
Остается рассмотреть случай т=2.
Так как при этом неравенство (7) принимает вид
0*— 12<0,
что верно при любых вещественных значениях х, в том числе и при
|#|>5 мы приходим к заключению, что
при всех |лг|>5, только если т=2.
к»

13. а>\, а<—11.
Решение. Введем обозначение
или
(х+2)(х~а)
На отрезке [—1; 1] х+2>0, следовательно, на этом промежутке
данное неравенство равносильно неравенству
-<0.
х — а
Пусть
ф(*)=2л:+а+9,
ty(x)=x — а.
Решение полученного неравенства сводится к решению двух систем:
О) у!
(2)
Ф (л:)=2х+а+9 — возрастающая
линейная функция. Чтобы она была
положительна на всем отрезке [—1; 1],
достаточно выполнения условия
Аналогичные рассуждения приводят к
заключению, что -ф(л:)<0 на всем
отрезке 1—1; 1], если ^(1)<0 (рис. 21).
Таким образом,
f Ф(—
Рис. 21
— достаточное условие справедливости системы (1) при —1<><1.
Ф(—1)=—2+а+9=а+7,
1-а<0
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, приводят к заключению
о том, что
при
достаточное условие справедливости системы (2) при — 1<д:<1.
109

Ч>(—1)=—1—а.
c+IKO,
И. Ь<—11; 6>1.
16. т=—2.
16. 3,5<£<4,25.
§4.
1. При а< и при а>0
У
Я={—oo<*<— 0,б(За+УГ9а2 + 4а ) ; О,б(—За-\-V 9а2+ 4а) <д;<оо),
если а=— —, хф—, если а=О, х=£0, если —-^<а<0, то л —любое
действительное число.
2. При т<— решения нет;
з
I m— 1 "* ^ m — 1
при т=1 д:<—0,5;
при т>1
;
I т—1 т —1
3. Если а<0, то 5а<#<3а, если а>0, то За<*<5а. Приа=0
решения нет.
4. При т>0 /?={—co<x<m; т+1<л:<сх)},
при т<0 7?={т<л:<т+1}.
5. При а<—1,25 л: — любое действительное число;
при —1,25<а<—1
*>Р, х<а;
при а=—1,25 — оо<*<— 5,25, —5,25<л:<оо;
при а=—1 х>— 2~;
3
при —1<а<2 <<р
при а>2 решения нет.
аир соответственно меньший и больший из корней левой части
неравенства.
6. При £<0 нет решений;
при
110

при &=~ лс>0,5;
з
н
3 2
2fc — 1 — У* — 2k2
-co<x<-
3^ — 1 3Aj —I
при k>— x — любое действительное число;
при &=0,5 х — любое число, кроме х=0.
7. Если а<2(афО), х — любое действительное число, если а=2,
то хФ—1,
если а>2,
8. a) — 3—2|/2"<а<— 3+2]/1Г;
б) таких значений 6 нет,
9.
10. — 0,8<m<— 0,75; m>12.
Решение.
При m=l уравнение (3) не является квадратным и имеет только
один корень.
Введем обозначение
f(x)=(m—l)x2 — 2(m+2)x+m;
чтобы f(x) имела два корня, достаточно выполнения условия тФ\.
Эти корни будут различными и вещественными при/Э^О, где/? —
дискриминант /(*).
Id= (яг+2)2 — т (т — 1)^=
4
D>0 при т>—0,8.
Для выяснения условий, при которых
—1<*<и<2 (tt v — корни уравнения и t<v)t
вычислим (т—1)/(—1) и (т—1)/(2):
(w— 1)/(—1)=(/тг— 1)1 т— l+2(m+2)+m]=(m—
(т— l)/(2)=(m— l)(m— 12),
Чтобы числа —1 и 2 были расположены вне корневого промежутка
/(*), достаточно выполнения условия
111

m>— 0,8,
т. e.
( (m—l)(4m+3)>0,
\(m-\){m— 12)>0,
m>—0,8.
Эта система справедлива при —0,8<m<—0,75 и при m>12.
Рассмотрим теперь два случая.
а) —0,8<т<—0,75.
Ссылаясь на теорему Виетта, приходим к заключению, что
m — 1 ' m—1
Нетрудно заметить, что при —0,8<m<—0,75
t+v<0 и tv>0,
следовательно,
В таком случае
t<vt<2.
Осталось уточнить расположение числа —1. Для этого заметим, что
t+v _ т+2
2 ~~т— 1 '
т 4-2
и сравним числа —1 и ~. Для этого рассмотрим разность
m— 1
m+2 , n__2m+l
При —0,8<т<—0,75 получим:
2т+1
т—1
т. е.
т+2->-1.
т—1
Ссылаясь на известное свойство корней квадратного трехчлена (гл. I,
§ 4), приходим к заключению, что
—\<t<v<2.
б) /п>12.
Так как при этом
2 (m-f-2) ««^ л т
■ ^»и и —
т—1 т—1
112

то
t+v>0 и
т. е.
*>0, v>0.
Отсюда следует, что
-\<t<v.
Чтобы уточнить расположение числа 2, сравним его с полусуммой кор-
m-f2
ней, т. е. с .
т — 1
Для этого рассмотрим разность -^ 2:
т— 1
т+2 2« 4 — т -
m—I т—1
при т>12 получим ~"~т<0, т. е. т+ < 2. Ссылаясь на ту же
г т—1 т—1
теорему, что в пункте а), можем утверждать, что
—l<t<o<2.
Таким образом,
—l<t<v<2
ПрИ —0,8<т<0,75 и при т>12.
11. —оо<т<—1,5.
12. — 2<&<—1.
§ 5.
1. Если a>j/"3,
/?={ 1 <*<3а2 — 2+ 2a/2a2— 3 } ;
если VrX5<a<"/3,
^^j За2 — 2 — 2aV2cP— 3<x<3a2 — 2 +2aV2a2 — 3 },
при а<*|/г1,5 решения нет.
Указание. Привести неравенство к виду V 2у2+3<а + у, где
2. При 0<а<2 /?={— а<л:<а};
при а=2 —2<д:<2;
при 2<а<4
при а>4 и при а<0 решения нет.
3. При — l</?i<0
8 Заказ № 270 ИЗ

при m>0
при т<—1 решения нет.
4. При а>0 R~{—a<x<a};
при а<0 R=[a<x<—a}\
при а=0 х — любое действительное число, кроме #=0.
5. При кОи при а>\ решения нет;
при 0<а<
при -~
6. Я = ( ^
I /2 J
7. /?={—оо<л:<—3; —1<д:<оо} при афО.
Указание. Доказать, что на каждом из промежутков (—сх>; —3]
и [—1; оо)
jH-2 ■ |/ x+2
8. При
при а>0 0<х<а.
Указание. При а<0 неравенство верно при всех значениях х>
удовлетворяющих системе
(а2 — х2>09
[2ах — х2>0
или
[ 2а<х<0,
отсюда а<л:<0.
При а=0 решения нет.
Остается рассмотреть случай а>0.
9. При р
при а=1 +1/3" i?=J_
при с<1 решения нет.
10. 0<лг< (a~1)8 при
4
При а<1 решения нет.
Ш

2 — V 2
11. а<*<2а при а>0,
-а<*<0 при а<0.
§ 6.
1. Если а>1, #={—1<*<2};
если 0<а<1, R={ — оо<*< —1; 2<#<oo};
если а=1, решений нет.
2. Если а>1, #={ — oo<*<loga0,5; 0<A;<loga2};
если 0<а<1, R^\loga2<x<0; logfl0,5<A:<oo}.
3. При 0<m<l i?={3+logm2<A:<3};
при m>l /?={3<^<3-flogm2}.
4. При т>\ и 0<а<1, при т<— —
3
и 0<а<1 и при — ~<т<1 и а>1 /?={0<л;<оо};
3
при т>\ и а>1, при т<—— и а> 1
з
и при — — <т<\ и 0<а<1 /?={—оо<л:<0}.
5. При а=1 и 0<6<1
при а=1 и
при 6=1 и 0<а<1
при 6=1 и а>1
при 0<а<]/б"
21ga
при a>Vb
21ga — \gb
при а=У7 (6>1)
Я={—oo<x<oo}.
8*
115

Решение. Прежде всего рассмотрим некоторые частные случаи
а) При а=1, 6>0 фф\) данное неравенство принимает вид
\-ъ 2 <ь 2 -1,
т. е.
Ь 2 +6 2 >2
или
(2)
Так как 63-[-1>0, то неравенство (2) равносильно неравенству
или
т. е.
^±l (2a)
Отсюда при 0<6<1 получим: lg6<0, и поэтому неравенство (2а)
равносильно неравенству
2*4-1 ^ lg2—lg(ft»+l)
следовательно,
Если 6>1, то lg&>0 и неравенство (2а) равносильно неравенству
2*4-1 lg2 —lg(63+l)
2 Igb
Отсюда
б) а>0 (а^=1), 6=1.
В этом случае неравенство (1) принимает вид
а**— 1<1— а?*-1
или
т. е. е^~1(а+1)<2. (3)
Так как cf 1>0, то неравенство (3) равносильно неравенству
<*-*<-£- (За)

или
т. е.
(2x—l)\ga<lg2 — \g(a+l). (36)
При 0<а<1 lga<0 и неравенство (36) равносильно неравенству
2»l>
lga
Если а>1, то lga>0 и неравенство (36) равносильно неравенству
lga
Отсюда
0&
2 lga
Пусть теперь a>0 (a=£l), b>0 ф=£\). Неравенство (1) легко
приводится к неравенству
или
(а* у ab*V7(b*+l) (4)
равносильному (1).
Отсюда получим неравенство
а+1
или
xlg<ig
о a-f-I
равносильное неравенству (4).
ПриО<^<1 lg—<;0, и поэтому
ь ь
ь
2 lg а — lg 6
а при y>1 ig^>o, и поэтому
:[ab*VT(b>+l)] — lg(a + D .
x<- _
117

Остается рассмотреть случай —=1, т. е. а=У ь.
ъ
При этом данное неравенство принимает вид
или
а2**1 (а — а2 — а8 + 1) < 0. (4а)
Так как а2х"г>09 то оно справедливо при
а — а2 — а8+1<0,
т. е. при (1—а)[а+(1+а)(1+а2)(1+а4)]<0.
Отсюда видно, что а — а2 — а8+1<0 при 1—а<0, т. е. при а>1.
Таким образом, если а>1, то неравенство (4а) справедливо при любых
вещественных значения^ х.
Итак, мы получим ответ, указанный выше.
6. При а>—1
R={—(X)<x< — I— l/a+2; — 1+Y а + 2 <х<со} .
7. При
при а>4]/2
#=|!<a;<! (7а-51/V-32); 1(7а
при а=4|/1Г
при а<0 решений нет.
Решение. По смыслу задачи
2х —
За —jc>0,
т. е.
следовательно, — <#<3a, что возможно при а>0.
Приведя неравенство к виду
2 — \g(2x — a)>\g(3a — x)
или
118

заметим, что оно равносильно системе
100
2л: — а'
>3а-х9
Или, так как 2х—а>0, получим систему
(За — х)(2х — а)<100,
т. е.
2х2 —
Ю0>0,
равносильную системе (1).
Пусть /(х)^2х> — 7ах+3а2+100.
D — дискриминант / (х).
D=49а2 — 8 (За2 +100) = 25 (а2 — 32).
D<0 при а2<32, т. е. при 0<а<4]/"2~(выше было показано, что а>0).
При этих значениях a f(x)>0 при любых вещественных х. Значит,
решением системы (2) служит
При D=0, т. е. при а=4|/2\
/(^)=2(л: —7]/2")2
и система (2) принимает вид
J2(*-7l/2~)2>0,
Что верно при
Рассмотрим теперь случай D>0, т. е. a>±V2.
*i=4(7a — 5/а2— 32), ^2=1
4 4
=0 при
32);
/Ч*)>_0 при
и при
119

и поэтому система (2) равносильна совокупности двух систем:
(х<хъ ( х>х2,
f<*<3a и б) ||<*<3а.
Для решения этих систем вычислим
/(f) и /(За).
/(|) = 2.^-7 |+ЗаЧ ЮО^ЮО,
/(За)=2.9а2 —21а2+3а2+ 100=100,
т. е. /(|)>0 и /(За)>0,
следовательно, числа ~ и За расположены вне корневого промежутка
f(x). Если еще учесть, что полусумма корней fix) равна 1,75а и что
~<1,75а<3а, придем к заключению, что
Отсюда следует, что решением системы (а) служит ~ < х < хъ а
системы (б) х2<х<3а.
8. При a>l jR=J 1<д:<1; а<л:<оо| ;
при 0<а<1
а1
Указание. Привести неравенство к виду
2 (logg*—l)(logg*+2)
и затем применить метод промежутков.
9. При а> 1
^; а<х<а
Л\
при 0<а<1 #=| а4<
10. При 0<а<0,5 и при а>1
120

при 0,5<а<1
12. # = { |
13. При 0<а<1 R={a+3<x<4};
при а> 1 R={ 4<*<a+3 }.
§7.
1. — (3 + arcsin/n-{-2ji&)<x<— [3 — (я+arcsin т) + 2л&]
m m '
( {)<<
m m
где ^=0, ±1, ±2, ...
2. —+0,5 arcsin/fc + ли < x <- я — 0,5 arcsinV^ft + nn;
8 8
— я+О^агсзшУ^б + я&<я<— я — O
8 8
3. arccos]AT~— 1 +2яп<x< — 1 + arccos (—"|/a
—1 — arccos (— Ус") + 2яй<л:<—1 — arccosl/a" +
4. При a>0
при
при о=0и &>-—2tg4 jc — любое действительное число.
5. m+Jt^<^<m+arctg—
3
6. 2 + -^ — J-arcsin&+^<A:<2 + +
и 2 — -i- arcsin 6-f зт&<л;<2 + — arcsin b+nk.
7. 2 — arccos а
и 2 + arccos (—a)+2яя<л:<2 -f 2я — arccos (—a) + 2nn.
8. |_Ia^|IiHL
9. Если а>0, -£L+J^<A:<iL+larcctga4- —
4a a 4a a a
и
■f+ 1агсс1ё(-а)+^<Л<^+^ + -^
4a a a 4a a a
121

При а<0 хф— [—\-nk), a при а~0 х — любое действительное
а \4 у
число.
10. — ~+iarcsinla| + n«<A:<—^- —-i-arcsin|a|+—
2 JL 2 2 2
2
и
— — — —+~ arcsin | а \ + nk <х<— — — — arcsin | а |+я&.
И. При
я — 2/+2яп<л:<2я+2яп,
где /=arcsin — а .
V 1+а2
12. При а<—2
— jarcsin — (За+К9а2+ 16а)+пп<х< |-
+^- arcsin — • (За+V 9а2 + 16а) + пп\
при а=—2 —оо<х<со, д:^=— ~ + яп;
4
при —2<а<1 — оо<*<оо;
при а=1
при а>1
при а=1 —оо<л;<оо, хФ—
4
- — ~ arcsin — [V9a2 + 16а — За) + тт<х<п+
2 2 2а ч '
iarcsini- • (/9а2+ 16а—
13. При т<0 и при
при 0<т<1
arctg +пп<х<arctg (—2)-f- ял;
при m=l
_ arctg 2+я^.
14. При —3<m<—1
— arccos(m+2) + 2яп<*<2ял; 2ял<A:<arccos (m + 2) + 2яя;
122

при <^^2
arccos (m — 1) + 2л£<х<2л: — arccos (m — \)+2nk\
при m>2 и при т<— 3 *^=2ял;
при — 1<т<0 решения нет.
Глава III.
— a)9 b — a + Vb(b — a), Vb(b — a) b>a>0
) ( V)
-3 (3a —
2 д
_2a 2a
где 0<a</30.
« v^ a+b+ V(a+b —
3. *>
где x — собственная скорость лодки.
4 | to — l
5. Точка А двигалась vt+v nEl— сек при
2v
v>0t t>0, d>vt.
6. 1) При помощи первой трубы можно выкачать в час
ап+у а*п2—Шап гектолитров В0ДЫ;
2/1
ап — уа2п2 — 200ап
при помощи второй трубы гектолитров воды
2п
или, наоборот, а>0, п>0, ап>200.
7. 3<t><5.
8. arcsinHii±^, arcsin2-ii±^, k>^-.
nk2 nk n — 2
9. arccos(8&2—1),
т/Т
где 0<fe<il/.
4
10. 0<*<a — 6.
a я
11.
1— 0,1 V'lOO — p
12. а+Уаа+2а6, где а>0, 6>0.
Решение. Обозначим скорости лодок (в стоячей воде), вышедших
из В и Л соответственно через v1 и i>2, а скорость течения через р8.
В соответствии с условием
s s
123

Решение. Если первый кран, работая отдельно, разгружает баржу
за х часов, то второму на эту работу потребуется (х — Ь) часов.
Учитывая условие, приходим к уравнению
|1,
х х — Ъ
где 6>0, а>0, х>Ь.
При этом условии оно равносильно уравнению
х2 — (2a+&)*+ab=0,
имеющему два положительных корня:
2а+6 — У4а2+62 ^ 2a+b+V 4а* + Ь*
хг= , *2= - .
Введя в рассмотрение функцию f(x)=x2— (2a+b)x+ab, заметим,
что /(&)=—ab<0y следовательно, 0<хх<Ь<х2. Отсюда видно, что
условию задачи удовлетворяет только дг2.
17. - [2 (а + Ь) — V2a2 + 4b2] при а > 46 > 0; при а<46 решения
нет.
Решение. Допустим, что в течение а минут первый автомат
изготавливает х деталей. Второй автомат за это время дает (х — Ь)
деталей. На изготовление одной детали на первом автомате уходит ~
х
минут, а на втором минут. Если время, необходимое на изго-
х — Ь
товление одной детали на каждом автомате, сократить на 2 минуты,
то на изготовление одной детали на первом автомате потребуется
2 (+2b)2
2
В течение а минут будет изготовлено соответственно на первом
автомате ах деталей, а на втором с *~~ деталей.
а — 2х (а+26) — 2х
В соответствии с условием
а-~2х (а-Ь26) — 2х
По смыслу задачи а>0, Ь>0. Корни полученного уравнения должны
Л2Ъ
й йЛт2Ъ 1 п
удовлетворять условиям х>Ь> х<-т> х<—2-—, т. е. Ь<х<~, что
возможно при а>2Ь. Несложные преобразования приводят к уравнению
8а:2 — 8(6+а)х+4а6+а2=0,
имеющему два положительных корня:
*1==I [2(a+b)—V2a2+4b2], x2=| [2(a + b)+V2a*+4b2] .
Для выяснения условий, при которых найденные корни (или один
из них) удовлетворяют требованию Ь<х<~, введем в рассмотрение
функцию
126

f(x)=Sx2 — 8(b+a)x+4ab+a2
и вычислим / (b) и /1—J:
8
При 2b<a<4b f(b)<0 и /(-Wo, следовательно, xx<b<~<x2.
Значит, при 2&<а<4& задача не имеет решения.
3262
При а=4Ь один из корней равен Ь, а другой =4&, что тоже
86
не соответствует условию задачи.
Если а>46, то /(Ь)>0. И так как при этом b<^±JL (l±±^
полусумма корней) и /г|-)<0> то &<#i<~<*2- Отсюда видно, что
при а>46>0 хх соответствует условию задачи.
п(У а* + 4аЬ-а)_
ah
ab ah
ct
~2 „ na}/~Ts\n*a
54 2(3 +cos a)8
Указание. Если высота пирамиды расположена внутри пирамиды,
то пирамида правильная и центром вписанного шара служит точка
пересечения высоты пирамиды и биссектрисы линейного угла
двугранного угла при основании пирамиды.
Если же высота пирамиды расположена вне ее, то это значит, что
вершина пирамиды проектируется в центр соответствующего вневпи-
санного круга основания. Центром вписанного при этом шара служит
точка пересечения отрезка, соединяющего вершину пирамиды с центром
вписанного в основание круга с биссектрисой линейного угла
внутреннего (тупого) двугранного угла.
Задача может быть решена совсем просто, если воспользоваться
формулой 3V~Snr, где V — объем пирамиды, Sn — ее полная
поверхность, г —радиус шара, вписанного в пирамиду.
20. *(*>' + «;sin'«tg'P) ПрИ 0<asina<6.
sin2 a
Указание. Радиус окружности, описанной около треугольника
ABD, равен радиусу окружности, описанной около основания.
127

где s — расстояние между А и В.
В таком случае vlJrv3=^v2 — vz, следовательно,
3
По смыслу задачи v2>vx, значит, вторая встреча произойдет в пункте,
расположенном на расстоянии {~ а) км от А. Из условия задачи
следует, что
~~ s+2a s — 2a
или
— v2
2 А 2
Отсюда видно, что значения vl9 v2 и s должны удовлетворять условиям
1<—<3 и s>2a.
Дополнительное условие задачи приводит к уравнению
s+6
-, т. е.
s+b
02+01
2 х 2
Для вычисления значения s воспользуемся системой
s+2a s—2a
s+b
или
02+01
s+2a _
s — 2a'
s+b
Несложные преобразования приводят к системе:
a v2 —
s ==2v2 — 2v1
[ b 3Vi — v2
Пусть —=k, где 1<&<3. Система (З) принимает вид:
s k+1
(1)
(2)
(3)
(4)
124

Выразив из первого уравнения системы (4) k через s и подставив
1 s+a
k=z _ gQ BTOpOe уравнение системы, получим уравнение относи-
тельно s:
s = 2а
Ь 5 — 2а
Отсюда s2 — 2a$=2ab или s2 — 2as —2a6=0.
st = a—Va2+2ab <0 и условию задачи не удовлетворяет.
a2+2ab.
Очевидно, что s2^>2a (при а>0, 6>0). Для окончательного
выяснения соотношения между а и Ьу при котором s2 соответствует условию
задачи, необходимо проверить выполнение условия
и *+а
При s=a+Va2 + 2ab
2a+V a2
Va*+2ab
при 2a + V а2 + 2ао<зУ a2 + 2ab, что выполняется при любых
а>0, b>0.
Мы получили, что расстояние между А и В равно а + V a2+2ab
при а>0, &>0.
13. Если i>i=^t>2, то второй пешеход пришел в В раньше первого.
Решение Пусть t — время, потраченное первым пешеходом на
весь путь. В таком случае расстояние между А и В равно
В соответствии с условием, время движения второго равно
}
4o,t>2
, t>0,
при
где ши
125

23. Не хватит.
Указание. Обозначим одну сторону прямоугольника через х.
Другая при этом равна —.
X
ь,
причем равенство достигается при *=—, т. е. при x—
24. I. Точки расположены в порядке С, В% А При
v 4
при v>5
II. Точки расположены в порядке Д В9 С. При 2<а<4
t; — 4
при i>>4 />6;
при v=2 решения нет.
(За — t Г V 9а2 — ISat -f
25
2 За — 3* Т ]/9а2 —
при а> v Ч
3
Григорий Аронович Ястребинецкий
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
Редактор Н. И. Никитина Обложка художника Г. А Жегина. Художественный
редактор Е. Н. Карасик. Технический редактор Л. /С. Кухаревш Корректор
В. А. Глебова
Сдано в набор 5/V 1971 г. Подписано к печати 1/Х 1971 г. 60x907ie. Бумага типогр. № 3.
Печ. л. 8. Уч-изд. л. 5,94. Тираж 140 тыс экз (Пл. 1972 г № 117)* А-08668
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41
Типография изд-ва «Уральский рабочий», г. Свердловск, проспект Ленина, 49.
Заказ № 270. Цена 16 коп.