Б. А. КОРДЕМСК.ИЙ
(Учерпи
о
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ
НА СМЕКАЛКУ
Б. А. КОРДЕМСКИИ
ОЧЕРКИ
О
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ
НА СМЕКАЛКУ
Пособие для учителей
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва * 1958
Борис Анастасьевич Кордемский
ОЧЕРКИ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ НА СМЕКАЛКУ
Редактор С. В. Пазельский
Технический редактор Б. Н. Головко
Корректоры Г. С. Попкова и М. В. Голубева
Сдано в набор 28/XI 1-1957 г. Подписано к печати 31/V-1958 г.
84Х108,/з2- Печ. л. 7,25 (5,95). Уч.-изд. л. 5,82.
Тираж 45 000 экз. А 05049.
Учпедгиз, Москва, З-й проезд Марьиной рощи, 41.
Ивановская областная типография, г. Иваново, Типографская, 6,
Заказ 935. Цена 2 руб. 10 коп.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Творческими усилиями математиков создана бога-
тейшая коллекция внеучебных математических задач
на смекалку, или «математических развлечений», как
их часто называют. Но этот материал все еще недо-
статочно используется в семье и школе для разумного
заполнения досуга, для упражнений ума, воли и харак-
тера.
Естественно, что воспитатели (педагоги, родители)
не должны пройти мимо таких «неиспользованных ре-
зервов» в деле всестороннего развития личности воспи-
туемого. Что же об этих «резервах» должен знать пре-
подаватель математики дополнительно ко всему тому,
чему он уже обучен? Каким должно быть его отноше-
ние к коллекции внеучебных математических задач на
смекалку? Заслуживает ли этот материал творческих
усилий учителя?
В теории педагогики к творческой педагогической
технике относят, в частности, организацию заниматель-
ных и полезных, интересных для учеников внеклассных
занятий. Но какие занимательные занятия полезны?
Каковы вообще педагогические особенности внеучеб-
ных задач типа «математические развлечения»? Как
они воздействуют на математическое развитие и вооб-
ще на развитие умственной активности?
В настоящей работе делается попытка раскрыть со-
держание поставленных вопросов, показать их актуаль-
ность и связь с некоторыми принципами и законами пе-
дагогической психологии, помочь учителю (как воспи-
тателю подростков и как консультанту для родителей
по вопросам воспитания) получить правильный ответ и
полезные выводы.
3
В соответствии с поставленной темой в книге рас-
сматриваются внеучебные задачи той категории, кото-
рая объединяет упражнения, подчас и не имеющие пря-
мого отношения к школьной программе, но доступные
интеллекту школьника.
Значительное место отводится краткой историогра-
фии математических задач на смекалку; дан обзор и
характеристика наиболее значительных произведений,
как отечественных, так и зарубежных.
Рассмотрено несколько новых задач (показано,-в
частности, применение «решетки точек» к интерпрета-
ции тождеств между биномиальными коэффициента-
ми).
Показано, что задачи рассматриваемой категории
удовлетворяют требованиям психологии, относящимся
к математическому развитию человека и воспитанию
его умственной активности.
Последний параграф посвящен конкретным приме-
рам проявления творческой самодеятельности подрост-
ков и взрослых в решении задач на смекалку.
Надеюсь, что учитель найдет в книге полезные све-
дения и материалы для творческого их применения в
организации «математического досуга» учащихся, в
организации родительских усилий по воспитанию под-
ростков, а также и для проведения уроков математики.
§ 1. ВНЕУЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗВИТИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ
У ПОДРОСТКОВ И ВЗРОСЛЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ инициатива и внеучебные
СРЕДСТВА ЕЕ РАЗВИТИЯ
Существенными проявлениями ума человека, необ-
хочнмыми для формирования его математического
мышления, являются: сообразительность, логичность,
находчивость и в особенности инициативность, гиб-
кость, критичность.
Как элемент математического мышления иницпа-
iявность выражается в желании самому постигнуть
проблему, в стремлении к самостоятельным по-
искам способов и средств решения задач. Гибкость и
критичность ума выражаются в придумывании и при-
менении не шаблонных, оригинальных, остроумных
приемов решения задач и методов рассуждений с по-
стоянной проверкой их правильности, строгости и прак-
1ИЧОСКОЙ ценности.:
Все эти существенные элементы математического
мышления подростка или взрослого в соединении с во-
левыми усилиями: упорством и настойчивостью, прояв-
ляемыми в преодолении трудностей, возникающих в
процессе овладения математическими методами при
решении задач, условимся называть в дальнейшем
кратко: математическая инициатива.
Во многих видах практической и умственной дея-
тельности человека нужна ему математическая инициа-
•| ива.
Развитие и воспитание математической ини-
циативы способствует возникновению у подростка
или взрослого интереса к математике и ее приложе-
ниям, поднимает на более высокую ступень общие ка-
чества ума и воли. Воспитание математической
инициативы лежит в основе массового математи-
ческого просвещения, являющегося в свою очередь
фундаментом политехнического просвещения народа.
5
Задача воспитания математической инициа-
тивы 'у подростка является частью общей задачи
коммунистического воспитания молодежи; необходи-
мость решения этой задачи формулируется советскими
методистами как одна из воспитательных целей препо-
давания математики в средней школе.
«Всемерное развитие активности и самостоя-
тельности учащихся, обеспечиваемое осторожны-
ми, хорошо продуманными заданиями все возрастаю-
щей, но посильной для них трудности,— вот еще один
принцип преподавания математики, каким должен ру-
ководствоваться учитель в своей работе»1.
В другом методическом пособии говорится: «Есте-
ственно, задачей преподавания математики и учителя,
ведущего это преподавание, является возбуждение у
учащихся интереса к самостоятельным выводам, разви-
тия у них пытливости и удовлетворения от самостоя-
тельной работы»1 2.
Обучение математике — это основное, но не единст-
венное средство развития математической инициативы
у подростка.
Активно содействуют дальнейшему математическому
развитию человека и внеучебные средства, а именно:
1.	Математические кружки, олимпиады и конкурсы,
2.	Математические вечера.
3.	Научно-популярные книги.
4	Математические очерки и отделы «В часы досу-
га» в журналах и газетах.
5.	Сборники математических развлечений, игр и за-
нимательных задач (задачи на смекалку).
6.	Массовый популярный математический журнал.
7.	Стенная газета и школьный журнал.
8.	Пропаганда математических знаний в клубах и
по радио.
К сожалению, наши клубы, как правило, пренебре-
гают математическим просвещением.
В данной книге обсуждается только одно из пере-
численных средств: упражнения в самостоятельном ре-
1 В. М. Брадис, Методика преподавания математики в сред-
ней школе, 1954, стр. 48
2 «Методика преподавания математики», под общей редак-
цией С. Е. Ляпина, 1955, стр. 9.
6
пк'пни внеучебных математических задач. При этом
ппеучебными задачами будем называть совокупность
i ноеобразных математических задач дополнитель-
ных к тем, которые учащиеся обязательно решают в
процессе систематического изучения математики.
ДВЕ КАТЕГОРИИ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ
Внеучебные математические задачи содержат умст-
венные упражнения как для тех, кто увлекается мате-
матикой, так и для «недругов» математики, для тех,
кто хорошо соображает, и для тех, кому нужна допол-
нительная помощь в развитии сообразительности.
Как учителя, так и учащиеся нуждаются во внеучеб-
иых математических упражнениях, правильно методи-
чески подобранных, которые могли бы удовлетворять
разнообразным умственным запросам и отвечать раз-
ным уровням развития воспитанников. В соответствии
с этими требованиями внеучебные математические за-
дачи естественно делятся на следующие две категории.
Первая категория. Задачи, примыкающие к
школьному курсу математики, но повышенной трудно-
ст— типа задач математических олимпиад.
Вторая категория. Задачи типа математиче-
ских развлечений (определение и раскрытие содержа-
ния задач этой категории будет дано в последующих
параграфах).
Первая категория внеучебных задач предназначает-
ся в основном для школьников с определившимся ин-
тересом к математике; тематически эти задачи обычно
связаны с тем или иным определенным разделом
школьной программы. Относящиеся сюда упражнения
углубляют учебный материал, дополняют и обобщают
отдельные положения школьного курса, расширяют
математический кругозор, развивают навыки в реше-
нии трудных задач, в применении неформальных подхо-
дов и искусственных приемов решения.
Хороший подбор задач этой категории имеется, на-
пример, в сборниках «Библиотека математического
кружка», изданных Гостехиздатом, в частности в вы-
пусках: «Избранные задачи и теоремы элементарной
математики», «Неэлементарные задачи в элементар-
ном изложении», «Математические беседы» и другие, в
7
сборниках подготовительных задач к математическим
олимпиадам; такие задачи печатаются также в сборни-
ке «Математическое просвещение».
Очевидно, что задачи этой категории являются уп-
ражнениями более высокой ступени в цикле внешколь-
ных упражнений, развивающих математическую ини-
циативу. Педагогический анализ задач первой катего-
рии не включен в рамки данной работы.
Вторая категория внеучебных задач (очень пестрая
по содержанию) прямого отношения к школьной про-
грамме не имеет и, как правило, не предполагает боль-
шой математической подготовки. Сюда входят задачи
различной степени трудности и прежде всего началь-
ные упражнения из цикла внешкольных упражнений,
развивающих математическую инициативу, т. е. упраж-
нения, предназначенные для тех, кто делает лишь пер-
вые шаги в мир математической смекалки; упражне-
ния, пригодные для разумного заполнения досуга.
Это не значит, однако, что во вторую категорию за-
дач входят только легкие упражнения. Здесь есть за-
дачи с очень трудным решением и такие задачи, реше-
ние которых до сих пор не получено (своего рода «не-
раскушенные орешки»).
Как будет видно из дальнейшего, внеучебные мате-
матические задачи второй категории обладают рядом
характерных педагогических особенностей, в частности,
им присуще свойство увлечь математикой как взросло-
го, так и подростка, до сих пор не проявлявшего инте-
реса к этому предмету, разжечь в воспитуемом стрем-
ление к умственным упражнениям и систематическому
изучению математики.
РОЛЬ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ В ВОСПИТАНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ
В период обучения подростка или взрослого разви-
тие математической инициативы обеспечивается самим
процессом изучения школьного курса математики. Но
очевидно, что и в этот период не следует пренебрегать
внеучебными средствами, содействующими укреплению
и расширению математической активности. таким
средствам относится, в частности, совокупность посиль-
ных математических задач и упражнений. Кроме того,
< те |уст иметь в виду, что вместе с окончанием обуче-
ния обычно прекращается и организованное воздейст-
вие на подростка в развитии его математической ини-
циативы; поэтому соответствующие внеучебные упраж-
нения особенно нужны для тех, кто окончил обучение
и hi учился непродолжительно, но стремится к дальней-
шему совершенствованию.
Систематическое решение математических задач во
ннеучебное время организуется на материале соответ-
ствующих книг, специальных сборников дополнитель-
ных задач и задач на смекалку. Такого же рода от-
дельные задачи предлагаются регулярно некоторыми
научно-популярными журналами, а также от случая к
случаю молодежными газетами и литературно-художе-
(I венными журналами1.
Работа над математической книгой, самостоятель-
ное решение задач сопровождаются активной работой
мысли. При этом творческая активность читателя, его
находчивость, изобретательность и смекалка достигают
высшего напряжения и получают отличную трениров-
ку именно тогда, когда мысль захвачена стремлением
самостоятельно решить предложенную ему задачу.
Еще в учебных математических руководствах
XVIII в. (Гюбш, Гауфф), отмечалось, что решение за-
дач есть точильный камень способностей человека.
Опытные учителя умело пользуются внеучебными
выдачами на внеклассных математических занятиях, но
внеклассные занятия охватывают лишь незначительную
часть учащихся, поэтому внеучебные задачи необходи-
мо использовать и в семейном воспитании, разумно ор-
ыишзуя досуг школьника; это будет развивать само-
дгя гельность и приучать к умственным занятиям.
«Независимо от участия в кружках можно заняться
самостоятельным решением более трудных задач. Имеет-
ся несколько интересных сборников задач для любителей
математики. Некоторые из них написаны так, что чнта-
к'ль. решая последовательно связанные друг с другом за-
дачи, может живо представить себе пути развития до-
вольно сложных математических теорий»1 2.
1 «Техника — молодежи», «Знание — сила», «Юный техник»,
«Московский комсомолец», «Работница», «Пионер» и др
2 А. Н. Колмогоров, О профессии математика (в помощь
поступающим в вузы), изд. «Советская наука», 1952, стр. 10.
9
Известно много случаев, когда удачно найденное,
самостоятельное решение одной замысловатой зада-
чи определяло весь жизненный путь этого человека, от- !
крывало ему истинное его призвание. Так, например,
Пуассона привела в математику старинная задача о
дележе вина на две равные части при помощи двух пу-
стых сосудов не одинаковой емкости. По словам Араго,
молодой Пуассон вначале проявлял во всем крайне
ограниченные способности, но после того как искусно
решил эту задачу, он нашел свое истинное призва-
ние.
Один из выдающихся представителей «Петербург-
ской школы теории чисел» — Г. Ф. Вороной — с детст-
ва увлекался математикой. Особенно его интересовала
алгебра. Но на первых порах у него возникали сомне-
ния в своих силах. Требовалась проверка его матема-
тических способностей. В то время издавался журнал
«Элементарная математика» под редакцией и при уча-
стии проф. Киевского университета В. П. Ермакова —
активного пропагандиста внеучебных задач и увлека-
тельных маленьких проблем. В одном из номеров это-
го журнала В. П. Ермаков предложил для самостоя-
тельной разработки тему: «Разложение многочлена на
множители, основанное на свойстве корней квадратного
уравнения». Гимназист Вороной успешно справился
с этой маленькой проблемой. Его статья на заданную .
тему, снабженная большим количеством примеров, бы-
ла опубликована в том же журнале и... жизненный
путь юного автора, путь в математику, определился
твердо.
О подобном жизненном «толчке» вспоминает также
и известный преподаватель математики проф. И. И. Чи-
стяков. Выступая на I Всероссийском съезде препода-
вателей математики в 1911 г., И. И. Чистяков расска- >
зал о себе1, что, будучи еще гимназистом, он нашел в
одном из математических журналов задачу: «Доказать,
что всякое абсолютно простое число1 2, будучи увеличе-
но или уменьшено на 1, делится на 6». К большой сво-
ей радости, задачу он решил самостоятельно. С этого
1 См. «Труды I Всероссийского съезда преподавателей мате-
матики», т. I, 1913, стр. 249.
2 Следовало бы добавить: «начиная с пяти». (Б, К.])
10
момента юноша пристрастился к математике и в конце
концов избрал ее своей специальностью.
В организации досуга школьника неоценимую услу-
гу могут оказать педагогические сборники внеучебных
задач и упражнений, посильных каждому, увлекатель-
ных и острых, задорных и курьезных, развивающих ма-
тематическую инициативу и возбуждающих творческую
с а модеятельность.
Такие упражнения могут войти в комплекс ежеднев-
ной «умственной гимнастики». В рецензии на книгу
В. С. Лукьянова «О сохранении здоровья и работоспо-
собности» академик О. Б. Лепешинская пишет: «Спра-
ведливо уделяя много внимания физкультуре тела, ав-
тор игнорирует «умственную гимнастику» — легкие уп-
ражнения для мозга, чередуемые с его серьезной рабо-
той»1.
Внеучебные задачи, поданные в увлекательной фор-
ме, вносят эмоциональный момент в умственные заня-
тия. Не связанные с необходимостью всякий раз при-
менять для их решения заученные правила и приемы,
они требуют мобилизации всех накопленных знаний,
приучают к поискам своеобразных, не шаблонных спо-
собов решения, обогащают искусство решения кра-
сивыми приемами, заставляют восхищаться силой
разума.
Внеучебные задачи, составленные на простом, жиз-
ненном материале, могут исподволь привести подрост-
ка и взрослого к пониманию новых для него математи-
ческих идей и понятий, вызвать интерес к определен-
ному теоретическому вопросу.:
Любой фокус, секрет которого состоит в употреб-
лении двоичной системы, заинтересовывает читателя
недесятичными системами счисления; задача о вычер-
чивании фигуры одним росчерком и теория лабиринтов
приводят к пониманию некоторых топологических
свойств геометрических фигур (а именно: сохранение
свойств при любых искажениях фигуры, не приводя-
щих к разрыву или склеиванию ее частей); задача пре-
вращения одной фигуры в другую путем разрезывания
и переложения частей способствует расширению пред-
ставлений о геометрических многообразиях и т. д.
1 «Новый мир», 1952, № 12.
11
ВНЕУЧЕБНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
НА СМЕКАЛКУ
Рассмотрим теперь ту категорию внеучебных задач,
которые обычно объединяются под общим условным
названием «математические развлечения». Задачи этой
категории, как правило, конкретны и требуют не шаб-
лонного решения. Они возникают иногда в качестве
«побочной продукции» научного творчества ученых,
иногда придумываются любителями математики и пе-
дагогами. По традиции, имеющей, впрочем, педагоги-
ческую основу, им часто придается форма той или иной
жизненной ситуации и вносятся элементы заниматель-
ности и игры. Последнее обстоятельство, очевидно, и
является мотивом, благодаря которому задачи такого
рода стали называть «математическими развлечения-
ми» (в западноевропейской литературе в аналогичных
случаях употребляются термины: «recreations», «puzz-
les», «amusements», «pastimes», «Alussestunden», «Unter-
haltungen»), не вполне адэкватно отражая этим назва-
нием их сущность. Это — веками скоплявшаяся и пото-
му богатая коллекция разнородных задач. Здесь и за-
дачи на превращение одной фигуры в другую путем
разрезывания и переложения частей, и фокусы, осно-
ванные на вычислениях, математические софизмы и
математические игры.
Любая игра является математической, если ее исход
может быть предопределен предварительным теорети-
ческим анализом. Математическая игра чаще всего со-
стоит в поочередном выполнении играющим или не-
сколькими играющими определенных действий — ходов
с целью решения поставленной задачи. Теория матема-
тических игр устанавливает условия, выполнение кото-
рых обеспечивает победу1.
Среди математических развлечений имеются и та-
кие задачи, которые допускают очень большое, а иног-
да и бесконечное множество решений. Смысл их—•
в поисках оригинальных, красивых приемов решений.
К числу таких задач относятся: «составление парке-
тов»— задача о заполнении плоскости правильно чере-
1 В Большой советской энциклопедии имеется специальная
статья «Математические развлечения и игры» (т. 26, 1954).
12
дующимися фигурами одного и того же вида или. не-
1 । ольких данных видов; «ход копя» — задача Эйлера—
обойти ходом коня шахматную доску, побывав на каж-
дой клетке по одному разу; задачи на составление мио-
j оклеточиых «магических» квадратов — квадратных
матриц из натуральных чисел с одинаковыми суммами
вдоль всех строк, столбцов и главных диагоналей.
В подобного рода задачах интересуются обычно
определением числа возможных решений, разработкой
методов, дающих сразу большие группы решений.
Математическое содержание ряда других внеучеб-
иых задач рассматриваемого класса — в установлении
наименьшего числа операций, необходимых для реше-
ния.
К числу таких задач относятся задачи типа «пере-
прав». «размещений», «затруднительных положений//,
шла «Ханойской башни» — задачи, придуманной фран-
цузским математиком Э. Люка, суть которой — в под-
счете числа ходов, необходимых для перенесения нани-
занных на колышек п пластинок разных размеров на
другой колышек, пользуясь третьим колышком и соблю-
дая определенные правила перенесения пластинок.
Сюда же относятся и задачи о перемещении пред-
метов при ограничительных условиях. Первая задача
пой серии формулируется так: преобразовать последо-
вательность шашек: б ч б ч б ч... в последовательность:
ббб... ччч... посредством поочередных перемещений двух
рядом лежащих шашек. Впервые эту задачу поставил
английский физик Тэт1.
К рассматриваемому типу задач также относятся:
разнообразные числовые ребусы и головоломки на
смекалку, числовые курьезы и занимательные после-
довательности: «числа Фибоначчи», «фигурные» и «пи-
фагоровы числа»;
задачи, решение которых может быть и не требует
вычислений, но основывается на построении цепочки
1 очных и тонких рассуждений;
задачи, решение которых основывается на органи-
ческом соединении математического развития и прак-
•'пческой смекалки: измерения при затруднительных
1 Tait, «Listing's Topologie», статья в журнале «Philosophical
Magazine», 1884.
13
условиях, раскрой и рациональная укладка материала,
производственные задачи и т, п.;
задачи о лабиринтах и на вычерчивание фигур од-
ним росчерком; задачи с домино и игральным кубиком
и т. д.
Описание задач рассматриваемой категории позво-
ляет высказать следующее утверждение.
Ставшие традиционными наименования «математи-
ческие развлечения» и «занимательные задачи» не-
сколько односторонне отражают сущность рассматри-
ваемой категории внеучебных задач, так как занима-
тельность— это не сущность, а форма, педагогический
прием постановки задач. Задачи данной категории дей-
ствительно весьма привлекательны; самостоятельно
найденное решение задачи или даже чтение изложения
уже кем-то выполненного остроумного решения обычно
доставляет большое удовольствие. В таком эстетиче-
ском значении слова — эти задачи — развлечение. Од-
нако слово «развлечение» несет в себе и оттенок празд-
ности, пустой затраты времени — оттенок, совсем не
свойственный описанным задачам. «Математические
фокусы и загадки — интересный, развлекательный ма-
териал, имеющий немалое образовательное значе-
ние»,— говорится в «Методике преподавания математи-
ки» под ред. С. Е. Ляпина (изд. 1955 г., стр. 108).
В отношении арифметического материала еще
в 1946 г. проф. И. Я. Депман высказал мысль, что сущ-
ность занимательной арифметики гораздо лучше выра-
жается названием экспериментальной или наблюда-
тельной арифметики1.
Е. И. 14гнатьев, создавая свой известный сборник,
назвал его «В царстве смекалки».
 Не будет ли, пожалуй, наиболее подходящим на-
именованием для рассматриваемой совокупности вне-
учебных задач: «математические задачи на смекалку»,
или короче «математические задачи-смекалки»?
В самом деле, своеобразие задач, представляющих
перечисленные в этом параграфе темы, заключается в
том, что почти каждая из них,— это маленькая пробле-
ма. Конечно, самостоятельное исследование любой про-
1 Сборник статей «В помощь учителю математики», под ред.
И. Я. Депмана, Учпедгиз, 1946, "стр. 17.
14
блемы, в особенности серьезной, научной, требует мо-
билизации всех знаний и проявления изобретательно-
сти, изощренности и находчивости, оригинальности
мышления и умения критически оценить условия или
постановку вопроса. Но необходимыми условиями ус-
пешного решения солидной математической проблемы
являются прежде всего глубина и разносторонность
специальных знаний, математическая одаренность. Зна-
ния, одаренность, разумеется, не излишни и для успеш-
ных занятий маленькими проблемами — смекалками,
или «математическими развлечениями», но задачи, со-
ставляющие эту категорию, по существу и по форме
подачи—общедоступны; почти всегда их решение опи-
рается не столько на специальные знания, сколько на
сообразительность и изобретательность, короче — на
все то, что в народе принято подразумевать под словом
«смекалка».
Наиболее остроумное решение той или иной задачи-
смекалки из рассматриваемой серии придумывалось
иногда именно не профессионалом-математиком.
§ 2. КРАТКАЯ ИСТОРИОГРАФИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
Процесс возникновения, развития и непрерывного
пополнения внеучебных задач типа «математических
развлечений» сопутствует общему процессу развития
математики, в первую очередь арифметики и геомет-
рии, а также и процессу развития педагогики.
Однако историки математики и историки педагоги-
ки до сих пор еще не проявили специального интереса
к вопросам истории и эволюции обширной группы мате-
матических развлечений.
Игнорирование летописцами событий, относящихся
к математическим развлечениям, привело к утрате ряда
фактов. Так, в частности, остается неизвестным под-
линное авторство некоторой части классических задач
из серии математических развлечений, вечно возбуж-
дающих умы и взрослых и подростков,.
Не претендуя даже на приближенную полноту исто-
рико-литературных изысканий в области математиче-
ских развлечений, попытаемся лишь проложить тро-
пинку в этот своеобразный мир задач-смекалок для бо-
лее отчетливого выявления их жизнеспособности и пе-
дагогического своеобразия, их места в системе упраж-
нений, развивающих математическую инициативу.
КЛАССИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
Зарождение математических задач-смекалок отно-
сится к той же далекой древности, как и зарождение
математической науки. Истоки их — в старинных кол-
лекциях проблем, пришедших к нам из Египта, от гре-
ков, арабов, индийцев, из древнего Китая. .
Ненасытная человеческая любознательность, жажда
умственной деятельности и интерес к необычайному и
курьезному, а также привлекательность и сила педаго-
гического воздействия, присущие математическим зада-
чам на смекалку, обусловили их жизнеспособность.
26
Действительно значительная часть коллекции мате-
матических задач-смекалок оказалась весьма долго-
вечной, переходит из поколения в поколение в своем
первоначальном облике или в легко распознаваемых
вариантах.
Усилиями одаренных людей со временем «распуты-
вались» отдельные головоломки, обосновывались игры,
задачи получали исчерпывающее решение. И если иные
задачи теряли при этом смысл головоломок или игр и
выпадали из коллекции таких задач, то другие, наобо-
рот, лишь приобретали дополнительную остроту и но-
вый смысл, становясь теоремами иной раз со столь
своеобразным доказательством, что не бесполезно и
разобраться в нем, а может быть попытаться и самому
его «открыть».
Коллекция математических задач-смекалок созда-
валась творчеством огромного количества людей: ма-
тематиков-ученых, педагогов, любителей. «Сокровищни-
ца» коллекции хранит дары Леонардо Пизанского
(Фибоначчи), Кардано, Тарталья, Ферма, Лейбница,
Эйлера, Монжа, Гаусса, Гамильтона и др.
Леонардо Пизанский (1170—1250). Итальянский
купец-математик и блестящий вычислитель XIII в., по-
бедитель публичных состязаний в наиболее быстром и
оригинальном решении трудных задач. Коллекция про-
блем, относящихся к математической смекалке, попол-
нилась большим количеством задач, связанных с лю-
бопытной числовой последовательностью («Числа Фи-
боначчи»), найденной Леонардо Пизанским. Богатство
и разнообразие свойств этой последовательности до
сих пор продолжают привлекать к себе умы любозна-
тельных людей.
Джеронимо Кардано (1501—1576). Выдающийся
представитель пауки эпохи Возрождения (XVI в.), от-
чаянный игрок и скандалист, по талантливый матема-
тик, легко решавший задачи, перед которыми отступа-
ли другие,— один из своих 222 трактатов специально
посвятил играм, требующим сообразительности и лов-
кости.
От Кардано, в частности, впервые узнали в Европе и
об игре «Меледа», комбинационные возможности кото-
рой лишь немногим уступают шахматам.
2. Зак. 935.
17
Никколо Тарталья (1500—1557). Еще один круп-
нейший представитель эпохи Возрождения; человек не-
сокрушимой энергии и большого таланта; из-за бедно-
сти был вынужден в юности писать свои вычисления
не на бумаге, а на кладбищенских могильных плитах.
Он самоучкой овладел математическими знаниями;
прославил себя. победой в математическом турнире
1535 г. и открытием формулы для решения кубического
уравнения. Уделил внимание между прочим выяснению
математической сущности задач «на считалочку»1 (об-
лекая решение в форму стихов на итальянском языке),
на дележи вина путем переливания, на переправы ит. д.
Пьер Ферма (1601 —1665). Юрист, советник парла-
мента одной из провинций Франции. Лишь в часы до-
суга имел возможность отдаваться любимому заня-
тию— математическим исследованиям и решению труд-
нейших задач. Ферма, как известно, является не только
одним из создателей аналитической геометрии и теории
вероятностей, но также и основоположником современ-
ного направления теоретико-числовых изысканий и выте-
кающих отсюда увлекательных числовых (головоломок.
Кроме того, в 1638 г., в письме к Декарту, Ферма
изложил элементарно-аналитическое доказательство
геометрической теоремы о том, что из всех прямоуголь-
ников данного периметра квадрат имеет наибольшую
площадь.
С небольшими изменениями это доказательство
обычно и излагается в книгах, предназначенных для
лиц, не знакомых еще с дифференциальным исчисле-
нием (например, в книге Я. И. Перельмана «Занима-
тельная геометрия»).
Готтфрид-Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Мате-
матик и философ, юрист, языковед и дипломат, соз-
датель новых отраслей и новых мощных методов мате-
матической науки, он, в частности, одним из первых
обратил внимание на принципиальные достоинства дво-
ичной системы счисления, предугадал ее богатую бу-
дущность.
Двоичная система действительно оказалась удоб-
ной в серьезных математических исследованиях (а в
1 Если вместе с играющими встать «в круг» и по счету вы-
ключать из «круга» каждого n-го, то с кого надо начать счет, что-
бы самому остаться не выключенным?
18
паше время нашла себе применение в качестве одного
пз принципов действия электронно-вычислительных ма-
шин), она была впоследствии использована математи-
ками для построения теории целого ряда математиче-
ских игр, таких, например, как угадывание взятых тре-
мя лицами предметов, Ханойская башня, фан-тан, ме-
леда, обобщенная задача о наименьшем числе гирь,
достаточном для взвешивания любого груза, вес кото-
рого заключен в промежутке целых чисел от 1 до п
(см., например, Я. Успенский, Избранные матема-
тические развлечения, 1924).
Характерен взгляд Лейбница на игры и развлече-
ния. В первом томе «Мемуаров Берлинской академии
наук» (1710) помещена работа Лейбница под загла-
вием «Annotatio de guibusdam ludis» («Примечания к
некоторым играм...»), в которой он пишет:
«Мы часто замечали, что люди проявляют более
всего изобретательности в играх, и поэтому математи-
ческие игры заслуживают внимания, не сами по себе,
а потому, что развивают находчивость».
Позднее, в письме к Мон мору от 17 января 1716 г.,
Лейбниц замечает: «Игра, называемая солитером, мне
очень понравилась. Но я предпочел воспользоваться ею
в обратном смысле, т. е. вместо того чтобы разделы-
вать данную фигуру, заставляя перескакивать один ша-
рик через другой в пустую лунку и снимая этот послед-
ний, я нашел, что гораздо интереснее восстанавливать
то, что было разделано, помещая шарик в ту лунку,
чрез которую он перескакивает; при таком способе
можно составить какую угодно из предложенных фи-
гур, если только ее удалось предварительно разделать.
— Но для чего все это? — спросят меня.
— А для того,— отвечу я,— чтобы усовершенство-
вать изобретательность, потому что необходимо иметь
способы осуществлять на деле то, что можно найти пу-
тем размышления»1.
В другом случае Лейбниц пишет: «... даже игры, как
требующие ловкости, так и основанные на случайности,
дают громадный материал для научных занятий Мало
того, самые обыкновенные детские забавы могли бы
1 Э. Люка с, Математические развлечения, Спб., 1883, стр. 76.
19
остановить на себе внимание величайшего матема-
тика»1.
Леонард Эйлер (1707—1783). Величайший из мате-
матиков XVIII в. Л. Эйлер, всеобъемлющему гению ко-
торого обязаны очень многие отрасли математической
науки, также обратил свое внимание на разнообразные
детские и недетские «забавы». В его трудах—и реше-
ние топологической задачи о Кенигсбергских мостах,
все еще вызывающей неизменный интерес у любителей
математики, и новый вклад в теорию магических квад-
ратов. С магическими квадратами тесно связаны латин-
ские и Эйлеровы квадраты. Размещение п различных
букв латинского алфавита на п2 полях квадрата так,
чтобы в каждой строке и в каждом столбце квадрата
образовалась перестановка из п данных букв, Эйлер
назвал латинским квадратом. Два латинских
квадрата, наложенных друг на друга, образуют квад-
рат Эйлера, если никакие соответствующие поля не
содержат одинаковых букв.
Задаче на составление одного из таких квадратов
(6X6) Эйлер придал следующую занимательную фор-
му: 36 офицеров шести различных званий и шести раз-
личных родов войск должны быть расставлены в фор-
ме квадрата так, чтобы каждая ортогональ (столбец,
ряд и главные диагонали) содержала шесть офицеров
различных званий и различных’ родов войск.
Поиски решения этой задачи оказались тщетными.
Возникло предположение о невозможности составления
Эйлерова квадрата шестого порядка (т. е. состоящего
из 6X6 ячеек), что впоследствии и было доказано ма-
тематиком Тарри (Tarry).
Скромная задача о «считалочке», механический спо-
соб решения которой в сущности доступен даже детям,
как оказалось, имеет далеко не простое объяснение ра-
циональных способов ее решения. Именно Эйлер_ дал
первое полноценное решение проблемы о «считалочке».
Благодаря Эйлеру получила широкое распространение
и обогатилась математическим содержанием серия за-
дач на «ход шахматного коня». Эйлеру принадлежит
первое обоснование возможности построить «замкну-
тый двойной ход конем», т. е. обойти конем сначала все
1 Э. Л юк а с, Математические развлечения, Спб., 1883, стр. 5.
20
клетки верхних четырех строк шахматной доски, а за-
тем все клетки нижних четырех строк и вернуться в
исходную позицию.
Гаспар Монж (1746—1818) — французский геометр,
организатор национальной обороны республики после
победы революции во Франции. Г. Монж известен как
создатель конструктивной^ начертательной геометрии.
Его основные труды посвящены геометрическим мето-
дам изображения предметов на плоскости. Заинтересо-
вавшись математической стороной карточной игры,
Г. Монж разработал своеобразную теорию тасовки ко-
лоды игральных карт.
Карл-Фридрих Гаусс (1777—1855). Имя К.-Ф. Гаус-
са — титана математической мысли XIX в., в равной
мере делившего свое дарование между анализом, ал-
геброй, астрономией, теоретической физикой и теорией
чисел,— связано также с исследованием решения ин-
тереснейшей задачи о размещении восьми ферзей (ко-
ролев) на пустой шахматной доске так, чтобы ни од-
на фигура не была под ударом какой-либо из осталь-
ных фигур и об определении наибольшего числа воз-
можных решений.
Уильям Гамильтон (1805—1865). Английский мате-
матик У. Р. Гамильтон оставил коллекции математиче-
ских задач на смекалку, две головоломки в нескольких
вариантах: «путешествие по додекаэдру» и «путешест-
вие по икосаэдру». Смысл этих задач заключается в сле-
дующем. Путешествие по додекаэдру: двигаясь по реб-
рам додекаэдра, пройти через 20 вершин его и, пройдя
каждую один лишь раз, вернуться к исходному пункту.
Путешествие по икосаэдру: посетить 20 граней, но
каждую грань лишь один раз, причем переход от одной
грани к соседней должен совершаться непременно че-
рез их общее ребро. Гамильтон ставит для первой за-
дачи дополнительное условие: первые пять станций мо-
гут быть Наперед указаны. В этом случае задача имеет
два или "четыре различных решения.
ПЕРВЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СБОРНИКИ ЗАДАЧ
Работа Алькуина. Одна из первых успешных по-
пыток отбора задач типа математической смекалки,
разбросанных по отдельным папирусам, трактатам, ма-
21
нускриптам и циркулирующих в устной передаче, от-
носится к VIII в. Имеется в виду рукописный ману-
скрипт «Propositiones ad acuendos juvenes» («Предло-
жения для изощрения ума юношества»), автором кото-
рого историки считают Алькуина (Alcuin) из Йорка
(775). Сохранилась запись этого сочинения, датирован-
ная 1000 годом1.
Работа Баше де Мезириака (C.-G. Bachet de Мё-
ziriac). Если не было что-нибудь утеряно, то следую-
щая значительная работа по собиранию и селекциони-
рованию задач типа математической смекалки была
выполнена лишь много веков спустя, в начале XVII в.,
французским математиком Баше де Мезириаком
(1581—1638). Биографы Баше характеризуют его как
одного из образованнейших людей Европы того време-
ни. Он поражал окружающих ранним развитием твор-
ческих наклЬнностей. Поэт, писавший на языках латин-
ском, немецком и французском, он же глубокий алгеб-
раист, неутомимый переводчик и восстановитель тек-
стов, остроумный комментатор1 2.
Сборник Баше «Problemes plaisants et delectables
qui se font par les nombres» («Занимательные и прият-
ные числовые задачи»), изданный в Лионе в 1612 г.,
исследователи литературных источников3 признают
первым удачным печатным произведением в жанре ма-
тематической смекалки.
Книга Баше де Мезириака получила большую из-
вестность, была переведена на все европейские языки
и на долгое время служила прототипом для аналогич-
ных сборников других авторов.
В. Аренс4 полагает, что первое издание книги Баше
де Мезириака полностью утеряно, но Д. Смит утвер-
ждает5, что копия первого издания книги Баше имеет-
ся в Гарвардской библиотеке.
В 1624 г. книга Баше вышла вторым изданием. Не
утратила она своего значения и через 260 лет: в 1874 г.
вышло третье французское издание книги с дополни-
1 David Eugene Smith, „History of mathematics", V. 2, 1925,
стр 535.
2 Kerviler, C.-G. Bachet seigneur de Meziriac, Paris, 1880
3 E. Lucas, W. Ahrens, H. Schubert, В. В. Бобынин, D. E. Smith.
4 W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 1918.
6 D. E. Smith, History of mathematics, V. 2, 1925, стр. 535.
22
тельными исследованиями и комментариями, выпол-
ненными проф. Лабоном, четвертое издание — в 1879 г.»
пятое—в 1884 г.
Такое длительное существование и широкое рас-
пространение книги Баше объясняется не только ее до-
стоинствами, но и тем, что она отвечала назревшей и
уже более не угасающей общественной потребности
иметь систему общедоступных и непринужденных ум-
ственных упражнений, развивающих математическое
мышление.
В русском переводе книга Баше де Мезириака впер-
вые была издана в 1877 г. (Баше Клод-Гаспар, Игры и
задачи, основанные на математике. Перевод с третье-
го издания). Книга содержит 50 задач с решениями.
Задачи не озаглавлены и не систематизированы по
главам, но охватывают следующую группу сюжетов:
арифметические фокусы с числами, игральными ко-
стями и картами;
магические квадраты (изложены некоторые из древ-
них способов составления магических квадратов и пред-
ложен новый способ/ называемый в последующей лите-
ратуре о магических квадратах «способом Баше»);
круговая детская «считалочка» (впоследствии этот
сюжет стали связывать с легендой о находчивости
древнеиудейского писателя Иосифа Флавия);
состязание в счете (кто первым достигнет назначен-
ной суммы);
подбор гирь для получения на весах любого целого
веса от 1 до п (эту и предыдущую задачу впоследствии
стали называть «задачами Баше»);
отыскание числа по остаткам от деления;
переправы брачных пар через реку;
дележи (дележ вина при помощи переливаний, де-
леж наследства, плата за обед, дележ с передачей
каждому такого числа предметов, какое у него есть);
размещение предметов вдоль сторон фигуры.
Для решения задач Баше де Мезириак применяет
остроумные рассуждения, придумывает новые приемы.
В предисловии к книге он замечает: «... я не думаю,
чтобы проникшие в эту книгу подальше тех, которые
прочли одно только заглавие ее, приписали ей так ма-
ло значения: ибо допустив даже, что в ней заключают-
ся только игры, главная цель которых доставлять по-
23
рядочное развлечение и занимать общество своей аа-
мысловатостыо, нельзя не признать в то же время, что
для исполнения этих игр в совершенстве нужна значи-
тельная доза сообразительности и нужно обладать бо-
лее чем посредственным знанием арифметики, чтобы
хорошо понять доказательство и уметь пользоваться
многими прекрасными открытиями, которые я присово-
купил».
К «прекрасным открытиям» Баше принадлежит, во-
первых, утверждение, что всегда может быть найдено
наименьшее из целых чисел, кратных числу а и превос-
ходящих целое число, кратное числу (3, на одно и то же
число у, где а, р и у — любые данные числа, причем
а и р—взаимно-простые, приведенное им без доказа-
тельства в первом издании книги и доказанное во вто-
ром издании; во-вторых, переоткрытие употребляемого
и теперь древнеиндийского метода решения неопределен-
ного уравнения первой степени.
Для доказательства своего теоретико-числового
утверждения Баше рассмотрел 10 предварительных
лемм, из которых наиболее значительной является сле-
дующая: если а, Ь, с,... между собой взаимно-простые
числа, р — их произведение и п,\ < р, п2<_Р, то остатки
a.h Ръ Ть—, и соответственно я2, р2, 12,—, получаемые от
деления каждого из двух чисел П\ и п2 по порядку на
а, Ь, с,... составят такие две системы чисел, из которых
первая никогда не может совпасть со второй. «Это пред-
ложение, как не трудно видеть,— отмечает наш извест-
ный математик-историк В.; В. Бобынин,— лежит в ос-
нове всякого научного изложения теории чисел»1.
В целом книгу Баше В. В. Бобынин характеризует
следующими словами: «Несмотря на свою легкую фор-
му и общедоступность, «Задачи» Баше де Мезириака
представляют очень серьезный математический труд,
содсржащйй в себе много новых доказательств, изящ-
ных решений и математических открытий в настоящем
смысле слова. В нем автор решительнее, чем кто-нибудь
до него, проник в решение в целых числах задач неоп-
ределенного анализа и вполне самостоятельно пришел
к обнаружению постоянного допущения решений этого
1 В. В. Бобынин, Клод-Гаспар Баше де Мезириак. Статья
в журнале «Математическое образование», 1913, № 7.
24
рода уравнений ax+by — c при а и b взаимно-первых.
Является, таким образом, не подлежащие никакому
сомнению открытие Баше де Мезириаком употребляе-
мого ныне метода решения неопределенного уравнения
первой степени с двумя неизвестными. До него этот
метод, хотя уже и давно изобретенный индусами, нико-
му не был известен в Западной Европе»1.
В. В. Бобынин считает большой заслугой Баше и то
обстоятельство, что он своей книгой внеучебных мате-
матических задач привлек большее, чем было до сих
пор, внимание • современников к неопределенным урав-
нениям и к теории чисел.
Последующие книги. Инициатива Баше по
созданию печатных сборников математических развле-
чений была подхвачена. Вслед за книгой Баше появил-
ся во Франции значительно более примитивный «Сбор-
ник» (1624), составленный астрономом Жаном Лёре-
шаном (Jean Leurechan), выдержавший все же к 1700 г*
34 издания1 2. Из ближайших последующих аналогичных
книг наиболее значительными были:
Schventer, Deliciae phiysico-mathematicae, «Nurn-
berg, 1626;
Nicolas Hunt, New recreations, London, 1651;
Oughtred W., Mathematical recreations, London,
1653;
Ozan am J., Recreations mathematiques et physiques,
Paris, 1692 (может быть 1694).
Жак Озанам (1640—1717)—талантливый само-
учка, учитель по профессии и, как пишет Д. Смит
в «Истории математики», «он верил в образовательную
роль математических развлечений». Его книга пользо-
валась большим успехом и выдержала 20 изданий.
ЗНАЧИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ БЛИЖАЙШЕГО ПРОШЛОГО
Начиная с последнего двадцатилетия прошлого ве-
ка, крупный вклад в развитие литературы по матема-
тическим развлечениям внесли профессора Люка
(Франция), Болл (Англия), Шуберт, Аренс иЛитцманн
1 В. В. Бобынин, Клод-Гаспар Баше де Мезиррак. Статья
в журнале «Математическое образование», 1913, № 7.
2 D. Е. S.m i th, History of mathematics, V. 2, 1925, стр. 535.
25
(Германия), учителя В. И. Обреимов и Е. И Игнатьев
(Россия), ^кадемик Я. В. Успенский (СССР), профес-
сор Крайчик (Бельгия), Я. И. Перельман (СССР).
Работы Люка. Профессор Люка до конца своей
жизни совмещал педагогическую работу с кропотливым
собиранием и исследованием задач и проблем типа ма-
тематической смекалки.
Люка еще более внимательно, чем Баше, проследил
истоки и последующее развитие отдельных проблем,
ставших классическими. Он расширил объем коллекции
математических задач-смекалок, исправил, упростил и
обобщил некоторые из ранее предлагавшихся решений
(«Переправы в лодке», «Солитер», «Такен» и др.).
Его перу принадлежит ряд работ в этой области.
На русский язык была переведена и издана в 1883 г.
только первая часть его четырехтомной работы: «Recre-
ations mathematiques», V. 1, 2, 3, 4, Paris, 1882—1894
(«Математические развлечения»).
В эту книгу вошли в улучшенном изложении почти
все темы, разработанные еще Баше, и несколько новых
тем, из которых отметим следующие: мосты и острова
(о топологических изысканиях Эйлера и вычерчивании
фигур одним росчерком); лабиринты; размещение фер-
зей на шахматной доске, солитер, меледа и такен
(игра в 15).
Описывая теорию такена, Люка замечает, что такен
не только весьма интересная игрушка, но даже прибор,
при помощи которого легко дать наглядное понятие об
одном из важнейших отделов .алгебры, а именно: о тео-
рии детерминантов. Здесь же Люка впервые вводит в
популярную математическую литературу теорему Безу
об обменах, перестановках и классах перемещений.
Книгу Э. Люка перевел на русский язык учитель
математики В. И. Обреимов.
Работа Роуз Болла. Из английских математиков
в жанре произведений по математическим развлече-
ниям наиболее известен Болл. Его книга «Mathematical
Recreations and Problemes», изданная в Лондоне в
1892 г., в 1919 г. вышла уже десятым изданием, продол-
жает издаваться и теперь. Книга Болла известна и во
Франции по переводу с третьего английского издания
Наряду с классическими задачами на смекалку в кни-
ге представлены также простейшие задачи на сообра-
26
зительность и типично английские задачи на денежные
банковские операции.
На русский язык книга Болла не переводилась.
Р а б о ты В. Аренса. Большую творческую и настоя-
щую исследовательскую работу по математическим
развлечениям проделал доктор Аренс (Германия).
Аренс, насколько было возможно, глубоко проследил
эволюцию классических задач этого типа и подробно их
исследовал в своей капитальной двухтомной работе:
«Mathematische Unterhaltungen und Spiele», Leipzig,
1901.
Второе значительно дополненное издание вышло в
1910 г. (I том) и в 1918 г. (II том). В этом сочинении
весьма обстоятельно рассмотрена почти вся сложив-
шаяся к нашему веку классическая группа математи-
ческих развлечений и игр: затруднительные переправы,
перемещение шашек (задача Тэта, см. стр. 13), упраж-
нения, основанные на использовании недесятичных си-
стем счисления, переливания и дележи, паркетаж, со-
литер, такен и домино, магические квадраты, включая
квадраты Эйлера, размещения по кругу и «считалочка»
(задача Флавия), проблема вечного календаря, пере-
гибание куска бумаги (по Роу), элементарно-топологи-
ческие проблемы (мосты и лабиринты, додекаэдр Га-
мильтона, раскрашивание географических карт и упраж-
нения на шахматной доске («волк и овцы», «ход коня»,
расстановка восьми «королев»1. Задачу о расстановке
восьми «королев» на шахматной доске так, чтобы ни
одна из них не находилась под ударом другой, предло-
жил шахматист Беццель (Bezzel). Опубликована она
была впервые в 1848 г. в немецком шахматном журна-
ле. Два года спустя эта задача вторично появилась
в периодической печати, на этот раз — в более попу-
лярном немецком журнале «Illustrierte Zeitung» (1 июня
1850, № 361).
Естественно возник вопрос, оказавшийся весьма пе
легким, о числе возможных решений задачи. Вскоре
после постановки задачи доктор Наук в этом же жур-
нале предложил в качестве решения этой задачи число
60; затем Гаусс получил число 72 (решение приведено
в письме Гаусса к своему другу астроному Шумахеру от
1 Так в те времена называлась шахматная фигура «ферзь».
27
12 сентября 1850 г)1, и, наконец, доктор Наук получает
число 92 (опубликовано в журнале «Illusticrte Zeitung»
от 21 сентября 1850 г.).
Сопоставление приведенных дат показывает, что во-
преки мнению1 2, существовавшему до исследований
Аренса, приоритет в установлении максимального чис-
ла возможных решений задачи о восьми «королевах»
принадлежит не Гауссу, а некоему доктору Науку (от
рождения слепому, как сообщает Аренс).
Пусть требуемая расстановка «королев» на шах-
матной доске осуществлена. Поворачивая доску на 90,
180 н 270°, мы получаем три новые конфигурации распо-
ложения «королев», также являющихся решениями за-
дачи. При помощи зеркального отображения каждого
из этих четырех расположений можно получить еще
четыре новые решения задачи. Таким образом, при по-
мощи указанных преобразований из одного решения
можно получить еще восемь решений. Следовательно,
задача редуцируется к некоторому первоначальному ко-
личеству основных решений, не сводимых одно к друго-
му при помощи поворотов и зеркальных отображений.
Гаусс в своем письме к Шумахеру от 12 сентября
1850 г. указывал на девять основных решений (отсюда
общее число решений 9 Х8 = 72), но без ручательства,
что невозможно большее число решений. Спустя девять
дней, 21 сентября 1850 г., в очередном номере журнала
clllustrierte Zeitung» был опубликован полный перечень
решений задачи, найденный, как указывалось, доктором
Науком. Выяснилось при этом, что- задача имеет не
девять, а 12 основных решений. Отсюда 12X8 —96, но
из них четыре решения оказываются совпадающими
с другими. По-видимому, внимание Гаусса в отноше-
нии задачи о восьми «королевах» в большей мере было
занято методом решения этой шахматно-комбинаторной
задачи и подыскиванием подходящей арифметической
аналогии для нее. В самом деле, уже в своем следую-
1 Briefwechsel zwischen С -F. Gauss, und Н С. Schumaher,
Carl Friedrich Gauss Werke, Band XII, 1929, стр. 20.
2 См. например, H. Schubert, Zwolf Geduldspiele, 1S99. He
соответствующее истине утверждение Шуберта: «Гаус нашел
92 решения» по инерции повторяется вплоть до наших дней (см.
например, заметку «Решение задачи о восьми ферзях» в «Комсо-
мольской правде» от 8 мая 1927 г.).
28
тем письме к Шумахеру (27 сентября 1850 г.1) Гаусс
предлагает следующую занимательную арифметиче-
скую задачу: к числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, расположен-
ным в возрастающем и убывающем порядке, приписать
слагаемыми некоторую последовательность этих же
чисел так, чтобы все суммы в каждой группе чисел по-
лучились различными, например:
। 1, 2, 3, 4, 5, 6,	7, 8	 ~8,	7, 6,	5. 4,	3,	2,	1
1 3, 5, 2, 8, 1, 7,	4, 6	и	"г 3,	5, 2,	8, 1,	7,	4,	6
4, 7К5. 12, 6,13,	11, 14	11,	12. г'.	13, 5,	10,	6,	7
Очевидно, что эту задачу Гаусс придумал как ариф-
метическую аналогию к задаче о восьми «королевах».
Действительно, каждая группа вторых слагаемых,
удовлетворяющая условию арифметической задачи, дает
также решение задачи о «королевах», и наоборот.
Для иллюстрации сказанного сопоставим группу чи-
сел: 3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6, дающих одно из решений ариф-
метической задачи (см. пример выше) с одним из ре-
шений задачи о восьми «королевах» (черт. 1).
Крестики показывают
положение «королев» на
шахматной доске. Номера 8
строк, в которых располо- -
жены «королевы», образу- '
ют ту же самую последо- 6
вательность чисел: 3. 5, 2, _
8, 1, 7, 4, 6. Аналогичную &
связь между решениями 4
этих двух задач можно ?
было бы показать и для °
любого другого из 92 слу- 2
чаев.	.
-Получается ’ интерес- '
ный и своеобразный изо-
морфизм' между множест-
вами решений арифмети-
ческой задачи Гаусса и задачи о восьми «королевах». Га-
усс не пожелал, а может быть не счел необходимым рас-
крыть причину найденной им связи между решениями
1 Carl Friednch Gauss Werke, Band XII, 1929, стр. 25.
29
этих задач или хотя бы интерпретировать общедоступ-
но эту связь. Нет этого и в исследованиях Аренса. Несо-
мненно, однако, что привлечение внимания воспитуемо-
го, упражняющегося в решении задач, к разнообразным
связям между разнородными задачами очень полезно
для его математического развития, а отыскание причин
этих связей может служить темой для самостоятельных
размышлений.
Со своей стороны в качестве одного из возможных
истолкований указанного изоморфизма между реше-
ниями арифметической задачи Гаусса и решениями за-
дачи о расстановке «королев» на шахматной доске
я предложил бы, например, следующее.
Напомним предварительно, что шахматная «короле-
ва», занимая некоторую клетку доски, держит под уда-
ром все клетки, расположенные в той же строке и в том
же столбце, а также вдоль двух диагональных линий,
проходящих через занятую клетку. Следовательно,
условию задачи может удовлетворять только такое рас-
положение восьми «королев» на шахматной доске, ко-
гда каждые столбец и строка клеток доски заняты толь-
ко одной фигурой и при этом прямая, соединяющая
центры клеток, занимаемых любыми двумя фигурами,
не должна быть параллелью для тоц или другой диа-
гонали доски.
Обратимся к интерпретации на шахматной доске
арифметической задачи Гаусса. Пусть числа 1—8 и 8—1
заданных последовательностей (см. стр. 29) обозна-
чают соответственно номера столбцов клеток шахмат-
ной доски ABCD (черт. 2). Поставим в соответствие
каждому из чисел 1—8 точку Az на диагонали вспомо-
гательной доски АВА'В' (I — номер столбца и число
клеток в этом столбце от начальной линии АВ до точки
Alt считая и ту клетку, в которой находится эта точка)
и каждому из-чисел 8—1 второй последовательности —
точку B9_z, на диагонали ВВ' (i— номер столбца, а
9—i — число клеток в этом столбце от начальной ли-
нии АВ до точки B.-lt считая и ту клегку, в которой
находится эта точка). Каждое из чисел решения (вто-
рые строки сумм на стр- 29), как упоминалось, показы-
вает номер строки, в которой должна быть помещена
фигура в соответствующем столбце, или, иначе, число
клеток в соответствующем столбце от начальной линии
30
АВ до клетки, занятой фигурой, считая и эту клетку.
На чертеже 2 такому числу i соответствует точка Ку.
Суммы чисел Д,- и Kj таким образом, изображаются
отрезками Д/ и Ку, а суммы чисел B^-iKj изображаются
отрезками Bg_zAy. Теперь становится наглядным требо-
вание Гаусса о несовпаде-
нии никакой пары сумм О
первой группы и никакой 8
пары сумм второй группы, _
так как в противном слу-
чае отрезок, соединяющий §
клеток, занятых «короле- u
вами», был бы паралле- 4
лен какой-либо из диа- „
гоналей доски.
Если бы, например, бы- 2
ли равны суммы чисел
второго и пятого столбцов д
(см. стр. 29), то мыиме- /
ли бы Д2К5=Д5Кь а так-
как, кроме того, Л2К5И
НД5К1, то четырехуголь- 3
ник ДгКбКИб был бы па- ,
раллелограммом и К5К1" 4
IIA2A5. Если быбылирав- 5
ны суммы чисел тех же ~
столбцов второй группы
решения, то аналогично 7
четырехугольник ВтК^КхВа „
был бы параллело- ni
граммом и K5KillB7B4. °
Такое расположение «ко-
ролев» не годилось бы в
качестве решения задачи.
Так как «Mathematische Unterhaltungen und Spicle»
предназначена не для массового читателя, то Аренс
опубликовал в 1907 г. еще и упрощенный вариант этой
книги, озаглавив ее так: «Mathematische Spiele», кото-
рая и была в 1911 г. переведена на русский язык под
заглавием «Математические игры». В предисловии к
этой книге, написанном Я- И. Перельманом, отмечает-
ся, что «в качестве приятного и поучительного чтения,
31
изощряющего гибкость ума, приучающего к сосредото-
ченной работе мысли ради систематических поисков ре-
шения и, слсдовшельно, хорошо подготовляющего к бо-
лее серьезным научным занятиям, настоящая книга
германского математика принесет несомненную пользу
нашей любознательной молодежи».
Работ ы Г. Шуберта. Почти одновременно с «Ма-
тематическими играми» В. Аренса появилась в русском
переводе аналогичная книга проф. Г. Шуберта «Мате-
матические развлечения и игры». Это — тоже упрощен-
ный вариант его большой трехтомной работы: «Alathe-
rnatische Mussestunden» (1898). Тематика книги.та же,
чю и книги В. Аренса. Заслуживают внимания препо-
давателей теоретические разъяснения и дополнительные
доказательства, выполненные профессором С. О. Шату-
новским — редактором русского перевода книги Г. Шу-
берта.
Работы В. Литцманна. Вальтер Литцманн
(W. Lietzmann)—известный немецкий математик и ме-
тодист В 1955 г. ему исполнилось 75 лет. В. Литцманн
является автором учебников и задачников, нескольких
методических пособий, в том числе ценной и интерес-
ной «Методики преподавания математики в школе»,
научно-популярных книг и статей.
На русский язык переведены почти все его книги,
относящиеся к занимательной математике (см. библио-
графический перечень), среди которых наиболее попу-
лярная в Германии (и других странах)- книга «Lustiges
und Mericwurdiges von Zahlen und Formen», Gottingen
(первое издание было осуществлено в 1921 г., вось-
мое— в 1956 г.).На русский язык эта книга была пере-
ведена и издана в 1923 г. под заглавием: «Веселое и за-
нимательное в фигурах и числах (математические раз-
влечения) ».
Первые параграфы книги заполнены остротами и
шутками математического содержания, выдержками из
романов, новелл, очерков, легенд и автобиографий, сти-
хотворениями на математические темы. Приведен, на-
пример, отрывок из романа Эмиля Штрауса «Смерть»,
в котором описана трагедия учителя математики, не
имеющего никакого понятия о математике, путающего
параллелограмм с параллелепипедом. Этот учитель
32
считает, что изучение математики состоит в выучива-
нии наизусть таблицы логарифмов1.
В небольшом отрывке из воспоминаний композитора
Грига рассказывается о том, как в детстве Григ, полу-
чив задачу на умножение, для ускорения дела выбро-
сил нули и... потерпел фиаско. «После этого,— ирони-
зирует Григ над собой,— я научился тащить все нули
за собой. От них не избавишься».
Много несложных шуточных вопросов, например:
а)	Одно яйцо варится 4 минуты. Как долго будут
вариться 6 яиц?
б)	В семье 5 сыновей. Каждый сын имеет одну се-
стру. Сколько всего детей в семье?
в)	Мария вдвое старше Анны. Через 4 года она бу-
дет в 6 раз старше Анны. Сколько лет каждой из них?
Литцманн остро показывает несуразность содержа-
ния некоторых школьных задач: «Решает, например,
мой сын задачу, заданную учителем: если 10 каменщи-
ков при 10-часовом рабочем дне за 150 дней выстроили
дом, то сколько каменщиков могут выстроить этот дом
при 1-часовом рабочем дне за 30 дней?
10-150-10
Сын рассчитал: —----------= 500 (каменщиков).
Я написал учителю, что решение задачи может быть
и правильное, но условие ее бессмысленно. Аналогично
можно было бы спросить: если 1 учитель 7 лет учит
ученика, то сколько учителей могут это сделать в 1
день? Что-то около 2100 учителей... так-то, господин
учитель!»
В книге значительное внимание уделено счету. Рас-
сматриваются игры и задачи «на счет», приемы быст-
рого счета, ошибки и причуды счета, бинарная система
счисления и, конечно, магические квадраты.
Раздел «О геометрических формах» составлен из
традиционных задач-смекалок геометрического харак-
тера.
В предисловии доктор Литцманн обращает внимание
учителей на то, что некоторые задачи из числа предло-
женных в книге могут и должны быть использованы
1 Этот пример и все последующие взяты из восьмого немецко-
го издания книги В. Литцманна; в русском переводе с первого не-
мецкого издания имеются не все из приведенных здесь примеров.
3. Зак. 935.
33
учителем также и непосредственно на уроке для того,
чтобы заинтересовать учеников изучаемым материалом,
поразить их воображение в кульминационный момент
урока или произвести разрядку умственного напряже-
ния, возникшего в процессе ведения урока.
Свою книгу Литцманн называет пирогом с прозрач-
ными изюминками, который он хотел бы сделать удо-
боваримым, а всыпав в него миндаль в скорлупе,— по-
будить читателя кушать этот пирог медленно.
Работы М. Крайчика. Большим энтузиастом ма-
тематических развлечений был профессор Брюс-
сельского университета М. Крайчик1 (Maurice Krait-
chik) — автор известного на западе учебника по теории
чисел и большого, подробного сборника классических
и новых задач-смекалок: «La mathematique des jeux, on
Recreations mathematiques», изданного в Брюсселе
в 1930 г.
В 1941 г. Крайчик был приглашен в Нью-Йоркскую
новую школу общественных наук для чтения системати-
ческого курса лекций по математическим развлечениям.
На основе этих лекций он написал и издал новый ва-
риант сборника задач-смекалок: «Mathematical Recrea-
tions» (1943), теперь уже на английском языке. Это пре-
восходная книга, написанная со вкусом и любовью. Нет
сомнения, что в западноевропейской литературе среди
книг, предназначенных для широкого круга читателей
со средним математическим образованием, книга Край-
чика и по сей день признается лучшей (одно из очеред-
ных изданий этой книги датировано 1953 г.).
В книге 12 глав. Решение задачи приводится вслед
за ее условием.
Глава первая «Математика без вычислений».
Здесь около десятка задач, среди которых логические,,
шахматные и одна геометрическая. Открывает главу
задача-шутка.
Задача. Пришли ко мне два друга. Оба — отличные
шахматисты. После обеда я с каждым из них сыграл
по одной партии и обе проиграл несмотря на то, что
имел пешку в качестве «форы». Вошедшая в комнату
12-летняя дочь приветствовала нас и сказала: «Папоч-
1 М. Крайчик родился в России. Эмигрировал в Бельгию в
1913 г. Умер в Брюсселе в 1957 г.
34
ка, я стыжусь за тебя. Если позволишь, я сыграю успеш-
нее и без всякой «форы». Я буду играть одновременно
на двух досках, с одним партнером — белыми, с дру-
гим— черными». (Кстати, дочь была едва лишь знако-
ма с правилами движения фигур). К моему восторгу,
смешанному с досадой, она действительно сыграла с
лучшим результатом, нежели я.
Как она действовала?
Завершается глава геометрической задачей, подан-
ной в такой же иронически забавной форме-
Задача. Почтенное семейство пауков, состоящее из
обширной мамаши и восьми тощих подростков, гнезди-
лось на одной из стен комнаты, четыре стены которой,
пол и потолок — прямоугольники. Из-за второй миро-
вой войны пищи было недостаточно и голодные паучки
непрерывно ворчали. Но вот на противоположную сте-
ну тихо села огромная муха. Если бы Евклид мог быть
вызван из могилы, он показал бы, что охотники и жерт-
ва находились в одной вертикальной плоскости, пересе-
кающей две противоположные стены и что пауки нахо-
дятся на 8 дюймов выше центра, а муха — на 8 дюймов
ниже центра стены. Внезапно один из юных паучков
вскричал весело:
«Мама, смотри! Там—муха! Давайте схватим ее
и съедим!»
«Имеется 4 маршрута к мухе. Какой мы выберем?»—
пылко воскликнул другой паучок.
«Вы забыли Евклида, мои дорогие. Имеется 8 мар-
шрутов к мухе. Идите все различными дорогами, не
пользуясь другими 1средствами передвижения, нежели
как на собственных ногах. Кто достигнет цели первым,
будет награжден наибольшей порцией добычи».
По сигналу, данному мамашей, 8 паучков пусти-
лись в путь по различным направлениям со скоростью
625
0.65 миль в час. Через -ур секунд они одновременно
сошлись у цели, но... атаковать было некого, так как
муха имела глаза со всех сторон. Каковы размеры ком-
наты?
Глава вторая «Старинные и курьезные задачи».
Глава третья «Числовые развлечения и игры».
Здесь автор в своей стихии. Он доходчиво рассказывает
о простых и совершенных числах, о фигурных числах,
35
о числах Мерсенна и Ферма. Любопытно отметить,
однако, что, не выходя за рамки элементарных матема-
тических операций, Крайчик предполагает все же у чи-
тателей своей книги наличие хороших представлений
о сравнениях. Так, например, упоминая о том, что Эйлер
доказал делимость числа F5 = 2324-l на 641, Крайчик
коротко излагает элегантное доказательство этого по-
ложения.
Легко проверить, что 641 = 625 + 16 = 54-р 24 =
= 5*27+1. Тогда, по модулю 641, имеем: 5-27 =—1,
5’2S s —2, 54*232 = 24, —16-232^ 16, 232 = — 1 и, на-
конец, 2324~ 1 =0 (mod. 641).
В одной из задач предлагается найти такое целое
число х, чтобы оно вместе с х2 содержало все цифры
от 1 до 9, каждую по одному разу. Решение: так как
сумма девяти цифр равна 45, то x-j-x2^=0 (mod. 9),
Имеются два решения этого сравнения, которые удо-
влетворяют остальным требованиям задачи: 5672 =
= 321 489 и 8542 = 729 316.
Числовым головоломкам Крайчик не предоставил
места в своей книге.
Глава четвертая «Арифметико-геометрические
вопросы». Рассматриваются два вопроса: первый во-
прос— о существовании прямоугольных треугольников,
стороны которых взаимно-простые числа. При этом ока-
зывается, например: а) число, выражающее длину
одной стороны прямоугольного треугольника, всегда
кратно трем, а длину второй стороны — кратно пяти;
б) число, выражающее площадь такого треугольника,
кратно шести, а число, выражающее произведение сто-
рон, кратно шестидесяти; второй вопрос — о существо-
вании арифметических или героновых треугольников,
т. е. таких, стороны и площадь которых — рациональ-
ные числа.
Глава пятая «Календарь». Кратко изложена
история календаря, приведены примеры механических
и вечных календарей.
Глава шестая «Вероятность».-Подобраны обыч-
ные вводные задачи на вероятность и дан анализ неко-
торых азартных игр.
Глава седьмая «Магические квадраты». Автор
лишь слегка касается вопросов теории магических квад-
ратов, но знакомит читателей с приемом составления
36
магических квадратов при помощи «решетки точек» и
так называемых «ломаных путей».
Глав ыг восьмая и девятая «Г еометрические
развлечений» и «Перестановки». Приведены традицион-
ные геометрические задачи-смекалки и задачи на. пре-
одоление затруднительных положений.
Главы десятая и одиннадцатая. Даны
классические задачи о размещении ферзей, или ладей,
или коней на шахматной Доске. Приводятся два вариан-
та этой задачи: первый вариант — расставить на шах-
матной доске одинаковые фигуры так, чтобы ни одна
фигура не могла находиться под ударом другой фигуры;
второй вариант — расставить на шахматной доске ми-
нимальное число одинаковых фигур так, чтобы каждое
поле доски было под ударом. Выясняется, например,
что во втором варианте задачи минимальное число фер-
зей равно пяти для досок 8 X 8, 9 X 9, 10 X 10, 11X11.
В аналогичных случаях минимальное число коней—12.
Для шахматного коня еще ставится и такая задача,
обойти доску непрерывным движением, побывав на
каждом поле по одному разу. Известно, что число ре-
шений этой задачи очень велико. Только на одной по-
ловине обыкновенной доски 8X8 конь может сделать
122 802 512 различных маршрутов, каждый из которых
может быть продолжен на второй половине доски.
Глава двенадцатая «Игры». Рассмотрены
преимущественно позиционные игры на шахматной до-
ске. Привлекает внимание интересный прием алгебраи-
зации возможных «ходов» шахматных фигур и шашек.
Так, например, шашка, как известно, перемещается по
диагонали вправо или влево от своего первоначального
положения. Пусть символы Ик и И-лобозначают соот-
ветственно, что шашка находится на к столбцов пра-
вее или левее своей первоначальной позиции; 1Г = 1
будет указывать на то, что шашка осталась в том же
столбце. Логическое отношение «.или» будем представ-
лять сложением, а отношение «и» — умножением. Тогда
И~х+И имеет смысл альтернативы, стоящей перед
шашкой при каждом ее движении: «1 столбец налево
или 1 столбец направо». Если шашка делает два дви-
жения, то она делает одно движение и делает другое
движение, что и показывает, например, такая запись:
(Я-1-+ И) • (Я-1 -ф И), или (Я-1 + И)2, Это значит:
37
«шашка двигается на 1 столбец влево или вправо и она
двигается опять на 1 столбец влево или вправо.
После раскрытия скобок и приведения подобных
членов получаем: И-22, что указывает на все,
возможные результаты двух движений: «или она ока-
жется на 2 столбца левее, или на 2 столбца правее
своей первоначальной позиции, или останется в том же
столбце.
ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В России отдельные занимательные задачи начали
появляться еще в рукописных математических пособиях
XVII,в., а впоследствии, начиная с «Арифметики»
Л. Магницкого (1703), включались и в печатные изда-
ния учебных руководств для школы.
Первые сборники задач математической смекалки
на русском языке относятся к концу XVIII, началу
XIX вв. Вначале это были небольшие и весьма прими-
тивные книжки или дополнительные главы к книгам по
арифметике. В качестве примера укажем на следующие
две книги.
«Гадательная арифметика для забавы и удовольст-
вия», Спб., 1789. Автор и издатель — И. Краснополь-
ский. В книге 62 страницы и содержит она 41 задачу
(арифметические фокусы угадывания чисел, переправы,
задача Иосифа Флавия, определения дня недели и др.).
«Карманный математик, или самый легкий и удоб-
ный способ самому собой в кратчайшее время основа-
тельно обучиться всем правилам арифметики с присо-
вокуплением разных полезных и любопытных матема-
тических задач, сочиненный с вопросами и ответами
в пользу российского юношества» (автор не указан),
Спб., 1809, 216 стр
Работа Ив. Буттера. Книжка Ив. Буттера «Зани-
мательные и увеселительные задачи и загадки»1 (1831)
небольшого формата, 55 страниц, содержит НО задач
и головоломок. Приведены ответы без решений. Задачи
разнообразны, но не все сформулированы достаточно
корректно.
1 «Алфавитный каталог русских книг по математике, вышедших
в России с начала книгопечатания до последнего времени», состав-
ленный Д. В. Агаповым в 1908 г., книгу Ив. Буттера не упоминает.
38
Приведем несколько задач из этой книги.
Задача 1. Написать сто без нолей. Решение: С (ла-
тинское «це» в римской нумерации значит 100); также
99|. (Возможность других ответов не предусмотрена.)
Задача 3. Половина двенадцати сколько? Решение:
VII (семь). (На последней странице книжки в приме-
чании к задачам сказано: VII есть верхняя часть в рим-
ском счету числа XII.)
Задача 5. Когда от 150 отнимается 15, сколько оста-
нется? Решение: ничего (0). (Формулировка задачи не
соответствует смыслу ее решения.)
Задача 12. Написать число, состоящее из 7 цифр;
когда обратится, было бы то же число. Решение:
1860981 или 6 180819. (Ясность постановки этой зада-
чи оставляет желать лучшего. Ответ носит характер
случайной догадки.)
Задача 13. 3 яблока разделить двум отцам и двум
сыновьям так, чтобы каждому досталось по целому
яблоку. Решение: Поликарп, Сидор и Карп. Отцы: По-
ликарп— отец Сидора, Сидор — отец Карпа, Сыновья:
Карп — сын Сидора, Сидор — сын Поликарпа.
Задача 69. В одном училище было 30 учеников, в ко-
тором числе было' 15 прилежных и 15 ленивых; один
благодетель подарил 15 червонцев для раздачи оных
прилежным ученикам; учитель расположил своих уче-
ников так, что 9-й был всегда прилежный и всегда 9-му
давал по одному червонцу и так ленивым не досталось
ни одного червонца. (Ответ дан в форме схематическо-
го рисунка.)
Есть в книге Буттера задачи на определение числа
предметов по остаткам от деления, задачи «на перепра-
ву», на разливание жидкости «пополам» при помощи
двух пустых сосудов, числовые фокусы и задачи на
расположение предметов вдоль сторон прямоугольника;
есть несколько арифметических задач школьного типа,
представлены и элементы магических квадратов
Работа В. Г. Бенедиктова. В 1869 году поэтом
В. Г. Бенедиктовым был подготовлен сборник арифме-
тических задач.
Этот сборник богаче, чем книга Буттера. По струк-
туре и отчасти по содержанию работа В. Г. Бенедикто,-
ва, не имеющая заглавия, близка к книге Баше де Ме-

зириака, которая, очевидно, в подлиннике была знако-
ма нашему поэту. В. Г. Бенедиктов предпосылает сво-
ему сочинению небольшое вступление, в котором спра-
ведливо замечает: «Прикладная практическая часть
арифметики требует иногда не только знания теорети-
ческих правил, излагаемых в чистой арифметике, но и
находчивости, приобретаемой через .умственное разви-
тие, при знакомстве с различными сторонами не только
дел, но и безделиц, которым поэтому дать здесь место
мы сочли не излишним».
Работа В. Г. Бенедиктова делится на 20 небольших
ненумерованных глав, имеющих каждая особое загла-
вие: «Так называемые магические квадраты»; «Угады-
вание задуманного числа от 1 до 30»; «Угадывание
втайне распределенных сумм»; «Задуманная втайне
цифра сама по себе обнаруживающаяся»; «Узнавание
вычеркнутой цифры». Имеются и такие главы, как «Ча-
родействующий полководец и арифметическая армия»;
«Недостаток в пшеничных зернах для 64 клеток шах-
матной доски» и последняя, 20-я глава «Громадное чис-
ло живших на земном шаре обитателей». Уделено ме-
сто и карточным фокусам арифметического характера.
Неизвестно, по каким причинам работа В. Г. Бене-
диктова не была напечатана. Сама рукопись этого
«Сборника», как утверждает Я. И. Перельман в книге
«Живая математика», была обнаружена лишь в 1924 г.
Перельман же установил, по некоторым косвенным
данным, и год (1869), когда она была написана (на
рукописи год не обозначен).
Но Я. И. Перельман ошибался, утверждая, что в
эпоху составления сборника Бенедиктова (1869) на
русском языке не издано было еще ни одного сочинения
подобного содержания не только оригинального, но да-
же и переводного. Как было сказано выше, например,
в 1844 г. уже вторым изданием печатался небольшой
сборник Ив. Буттера.
Работы В. И. Обреимова. В. И. Обреимов — вид-
ный представитель прогрессивной отечественной мето-
дической мысли, активный борец за народное просве-
щение и за передовые методы преподавания матема-
тики. Именно ему принадлежат первые серьезные шаги
в разработке проблем внеклассной работы по мате-
матике.
40
В 1884 г. была опубликована оригинальная книга
В И. Обреимова «Математические софизмы», дающая
педагогически продуманную систему упражнений на
опровержение ложных доказательств.
В каждое из двух последующих изданий (1889 и 1898)
В. И. Обреимов вносил новые интересные дополнения.
Не менее интересна и вторая книга В. И. Обреи-
мова — «Тройная головоломка», вышедшая в свет в том
же, 1884 г.
В первом разделе этой книги рассматривается ки-
тайская головоломка на составление разнообразных
симметричных фигур из семи частей квадрата.
Второй раздел посвящен упражнениям на составле-
ние одно- и двухцветных паркетов. Упражнения в вы-
свобождении колец из замкнутых проволочных цепочек
составляют третий раздел книги.
Педагогическое назначение этой книги — содейст-
вовать развитию у учащихся конструкторских навыков
и восприятию чувства симметрии и красоты геометриче-
ских форм1.
Работы Е. И. Игнатьева. За несколько лет до по-
явления первых переводов на русский язык упоминав-
шихся книг В. Аренса и Г. Шуберта были у нас опуб-
ликованы два сборника математических задач на сме-
калку, составленные Е. И. Игнатьевым.
Первый небольшой сборник «Математические игры
и развлечения» был издан в 1904 г.; второй, трехтом-
ный, «В царстве смекалки» был издан в 1907 г. (кн. 1),
в 1909 г. (кн. 2), в 1911 г. (кн. 3). Здесь в основном все
те же задачи, знакомые нам по книгам Баше и Люка, но
огромное достоинство книг Е. И. Игнатьева, в особен-
ности второй его книги, в их большой доступности, на-
родности в лучшем смысле этого слова. Книги Игнатье-
ва хорошо литературно обработаны, здесь сказалась
доброжелательная помощь автору со стороны писателя
В. И. Короленко* 2.
’ Подробнее о педагогическом значении работ Обреимова
см. В. Л. ннковский, Опровержение ложных доказательств
как средство для развития математического мышления учащихся
(диссертация)', 1947.
2 В предисловии к книге «Математические игры и развлече-
ния», 1904, Е И. Игнатьев упоминает о литературной помощи ему
со стороны В. И. Короленко.
41
В докладе о детской литературе на I Всесоюзном
съезде писателей С. Маршак, имея в виду Е. И. Иг-
натьева, сказал, что он помнит «.^талантливого и само-
бытного математика, который ночи напролет пил креп-
кий чай, задыхаясь в табачном дыму, и писал для детей
книги, которые назывались «В царстве смекалки»1.
Подбор задач в сборниках Е. И. Игнатьева вполне
удовлетворяет условиям, выдвинутым самим автором:
они — просты, типичны, вызывают внимательного чита-
теля на составление и придумывание других подобных
задач, а в основе задач лежат те или иные важные и
интересные теории из разных областей чистых матема-
тических знаний.
«Взяты, например, такие интересные задачи, как о
восьми королевах, или ход шахматного коня, показаны
их типические решения, сказано о числе их и... затем во-
прос предоставляется любознательности и самодея-
тельности читателя»1 2.
Тематика книги Е. И. Игнатьева «В царстве сме-
калки» весьма разнообразна. В живой, популярной и
даже интригующей форме предлагаются классические
задачи на математическую смекалку, задачи народного
творчества, а также сообщаются сведения о комбина-
торике, теории вероятностей и математической стати-
стике, о счетных машинах и аксиомах алгебры и геомет-
рии, о четвертом измерении и геометрии Лобачевского.
Четыре издания этой книги (последнее издание вы-
шло в 1925 г.) наилучшим образом содействовали по-
пуляризации жанра произведений, содержащих вне-
учебные математические задачи, проникновению в
семью хороших упражнений для разумного использова-
ния часов досуга, воспитанию интереса к математике.
Надо иметь в виду, однако, что в книге Е. Игнатье-
ва «В царстве смекалки» содержится ряд методологи-
чески неприемлемых утверждений и устаревшие мате-
матические сведения, а поэтому в настоящее время для
самостоятельного чтения в семье ею можно пользовать-
ся только при соответствующей консультации со сто-
роны компетентного руководителя. Приведем примеры.
1 С. Маршак, О большой литературе для маленьких, 1934,
стр. 8
2 Е. И. Игнатьев, Математические игры и развлечения
(предисловие), 1904.
42
Отрицательные числа Игнатьев называет обратными
положительным. Определяя функцию, Игнатьев пишет:
«...когда одна величина, х, зависит от другой, у, так,
что с изменением х изменяется и у, и если эти вели-
чины и их изменения конечны, то... величина у в таком
случае называется функцией от величины х» (кн. 2)1.
Простые числа вида Л4„ = 2"—1 называются числами
Мерсенна (современник Ферма). Игнатьев приводит
только 8 первых чисел Мерсенна: для /?=2, 3, 5, 7, 13,17,
19 и 31. Очевидно, Игнатьев не знал, что уже в его вре-
мя нашим соотечественником Первушиным было вы-
явлено и следующее число Мерсенна, соответствующее
значению п = 61 (см. архив АН СССР, ф. 1, опись 2,
1883, № 28, § 270). В настоящее время установлено, что
Мп — число простое также и для п = 89, 107, 127 и др.
Теперь известно уже 17 чисел. Мерсенна и наибольшее
из них пока 22281—1.
В одну из книг Игнатьев включил идеалистическую
статью проф. -А. В. Васильева «Законы случайного и
математическая статистика». Основой этой статьи яв-
ляются взгляды немецкого реакционного статистика
Б. Лексиса, создателя «теории» устойчивости статисти-
ческих рядов в целях доказательства «вечности» и «не-
зыблемости» капиталистических порядков (см. в БСЭ,
изд. 2, статью «Закон больших чисел»).
Работы Я. И. Перельмана. Деятельность Е. И. Иг-
натьева по созданию полноценных и педагогически про-
думанных сборников математических задач на смекал-
ку для семьи и школы была продолжена Я. И. Перель-
маном (1882—1942), который посвятил этому около
30 лет своей творческой деятельности. Его книги по
разным отделам занимательной элементарной матема-
тики получили огромное распространение и являются
нашим национальным богатством в жанре произведе-
ний, посвященных математическим задачам-смекалкам1 2.
Сборники Перельмана до сих пор ценятся педагога-
ми как незаменимые начальные внеучебные пособия по
воспитанию математической инициативы у подростков и
взрослых.
1 Цитируется ио последнему, переработанному автором, изда-
нию (1925).
2 См. библиографический перечень.
43
Работы Перельмана пополнили группу классических
задач на смекалку задачами, связанными с жизненны-
ми наблюдениями и практической деятельностью людей.
Работа Я. Успенского. Классические внеучебные
задачи не остались без внимания и со стороны отечест-
венных ученых математиков. В 1924 г. акад. Я. В. Ус-
пенский опубликовал оригинальные и глубокие исследо-
вания по теории математических игр, охватив почти
всю группу классических задач рассматриваемого типа1.
Книга «Избранные математические развлечения» на-
писана популярно, но все же рассчитана не на массово-
го читателя В небольшом «Прибавлении» в простой,
доходчивой форме сообщаются сведения о «сравнениях»
и «вычетах», которыми автор пользуется как математи-
ческим средством в своих исследованиях.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Нет необходимости воспроизводить в деталях всю
хронологию развития жанра произведений, посвящен-
ных математическим задачам на смекалку. За послед-
ние полтора столетия мировая литература, относящаяся
к этому жанру литературы, разрослась до огромных
размеров.
По неполным данным к 1934 г. только о «магиче-
ских квадратах» было написано на французском, не-
мецком, английском и русском языках около тысячи
книг и статей, принадлежащих перу более чем 380 ав-
торов1 2.
Появление статей о «магических квадратах» в анг-
лийских, немецких и французских математических жур-
налах не прекращается и поныне.
Тщательно подобранная доктором Аренсом и все же
не исчерпывающе полная библиография европейских
книг, имеющих отношение к математическим задачам
на смекалку, доведенная до 1918 г, насчитывает 762
наименования (включая, правда, и повторные издания
одной и той же книги). Продолжая эту библиографию
по 1943 г., W. L. Schaaf перечислил3 еще 156 книг (из
1 Я- Успенский, акад. Избранные математические развле-
чения, 1924.
2 См. Cazalas Е., Carres magiques, 1934.
3 В журнале «Scripts qiathematlca», 1944.
44
них только одну на русском языке) и 158 журнальных
статей (за первые 43 года двадцатого столетия).
До начала второй мировой войны существовали два
основных литературных очага, объединяющих усилия
многочисленной группы специалистов и любителей,
всерьез и между делом занимающихся проблемами ма-
тематических развлечений: один из них — в Нью-Йорке:
журнал «Scripta mathematica», основанный в 1932 г.;
другой — в Брюсселе: журнал «Sphinx», основанный
в 1931 г. и целиком посвященный математическим раз-
влечениям. Организатор и редактор журнала «Sphinx»—
проф. Крайчик (см. стр. 34).
В годы второй мировой войны журнал «Sphinx» пе-
рестал издаваться. Издание журнала «Scripta mathe-
niatica» продолжается.
По инициативе М. Крайчика были организованы и
проведены два международных конгресса по математи-
ческим развлечениям: в 1935 г.— в Брюсселе и в 1937 г.—
в Париже. Библиотеки нашей страны, к сожалению, не
имеют отчетов об этих конгрессах.
В Москве с 1957 г. возобновилось издание научно-
популярных сборников «Математическое просвещение».
Будем надеяться, что на страницах этих сборников по-
явятся новые задачи-смекалки и статьи, посвященные
проблемам «математических досугов».
§ 3. ПОПЫТКИ СИСТЕМАТИЗАЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
Совокупность задач рассматриваемой категории не
образует самостоятельной научной отрасли, не имеет
своей аксиоматики и систематической проблематики, не
образует системы знаний. Это, говоря образно,— лишь
«подсобное хозяйство» различных отраслей математики
и в первую очередь арифметики, геометрии, теории
чисел.
«Весь этот разнообразный как по содержанию, так
и по месту и времени происхождения материал матема-
тических развлечений, циркулируя среди народа, яв-
ляется в истинном смысле его творчеством и достоя-
нием. Вместе с тем выловить этот материал и система-
тизировать его для отдельного лица довольно трудно,
и нередко даже специалисты в этой области каким ни-
будь случайным путем с удивлением узнают то или
иное остроумнейшее развлечение»1.
Собственно, вряд ли есть необходимость в разра-
ботке научных основ классификации математических
задач на смекалку. Естественно, что никто, по-видимому,
этим и не занимался. Впрочем, на международных кон-
грессах по математическим развлечениям, состояв-
шихся в 1935 и 1937 гг., вопрос о классификации мо-
жет быть и обсуждался, но, как уже упоминалось
(см, стр. 45), в нашем распоряжении пока нет сведений
о программе этих конгрессов.
К периоду тех же конгрессов относится предложение
Денка (один из редакторов журнала «Archimedes»,
Regensburg) о делении математических развлечений на
следующие три крупных раздела:
I раздел: солидные задачи, еще не получившие
решения, например, такие, как знаменитая теорема Фер-
ма, проблема четырех красок и др.
1 Я. Успенский, акаД., Избранные математические развле-
чения, 1924.
46
II раздел: важные задачи, имеющие решение, но
получившие дальнейшее развитие или выступающие в
новых отношениях с другими задачами, например за-
дачи, связанные с диофантовыми равенствами.
III раздел: мелкие, частные задачи, выпадающие
из границ математических знаний; среди них могут
быть и такие, за которыми скрываются интересные
проблемы. В качестве примера Денк упоминает «1а
cryptarithmie» — нечто вроде «зашифрованных дейст-
вий», «тайнописи» и т. п.
Для задач, которые мы объединили в серию «мате-
матической смекалки», деление Денка неприемлемо, так
как первый раздел его деления включает задачи, явно
выпадающие из рассматриваемой серии: практика по-
казала, например, что для обоснования теоремы Ферма
одной смекалки недостаточно.
Какая-то систематизация математических задач на
смекалку все же необходима хотя бы с целью более
эффективного доведения их до «потребителя». Если бы
была выполнена детальная систематизация, то она в
конце концов привела бы к созданию весьма нужной
энциклопедии задач на смекалку. Пока имеются лишь
отдельные сборники (в большинстве своем ставшие
библиографической редкостью), в которых в какой-то
мере и осуществляется практически систематизация
рассматриваемых задач.
Анализируя структуру получивших мировое призна-
ние сборников К. Г. Баше, Э. Люка, В. Аренса, Г. Шу-
берта, М. Крайчика и книг Я. И. Перельмана по зани-
мательной математике (см. § 2), можно различить сле-
дующие два принципа систематизации задач:
1. Предметный — по связям задач с тем или
иным предметом школьного курса математики — осуще-
ствляется в серии книг Я. И. Перельмана: «Занима-
тельная арифметика», «Занимательная геометрия», «За-
нимательная алгебра».
2. Операционно-тематический — по сюже-
там в сочетании с группами однородных операций-
действий, применяемых для решения задач, объединен-
ных темой — осуществляется во всех остальных книгах
из вышеупомянутых и в книгах Я- И. Перельмана: «Жи-
вая математика», «Занимательные задачи».
Так, в книге Э. Люка «Математические развлече-
47
вия» (1883) выделены темы: «Переправы», «Мосты и
острова», «Лабиринты», «Размещение королев на шах-
матной доске», «Бинарная нумерация». Часть глав по-
свящается отдельным играм: «Солитер», «Меледа» и
«Такен».
Эти же темы выделены в книге В. Аренса «Матема-
тические игры и развлечения» (1911) и дополнены сле-
дующими темами: «Перемещения», «Странствования и
круговые поездки». «Угадывание карт», «Дележи», «Ход
коня», «Магические квадраты», «Математические со-
физмы».
Операционно-тематический принцип размещения за-
дач по главам еще более определенно выражен в книге
Крайчика «Mathematical recreations» и в работе
Б. А. Кордемского «Математическая смекалка» (1954 г.
и последующие).
«Математическая смекалка», например, расчленена
на следующие тематические циклы:
«Затруднительные положения» (сюжетный стер-
жень: физические действия, выполнение которых за-
труднено, но может быть осуществлено средствами ма-
тематической смекалки).
«Геометрия на спичках» (сюжетный стержень:
конструирование из спичек моделей фигур).
«Семь раз примерь, один раз отрежь» (сюжетный
стержень: преобразование фигур при помощи пере-
краивания).
«Умение везде найдет применение» (сюжетный стер-
жень: элементарно-технические и практические во-
просы, решение которых требует участия математиче-
ской мысли).
«Домино и кубик», «Свойство девятки» (сюжетные
стержни выражены в заглавиях).
«С алгеброй и без нее» (сюжет безразличен; опе-
рационный стержень: алгебраический путь решения или
любой иной, но всегда есть некоторая «изюминка» или
в самом способе, или в сопоставлении способов реше-
ния).
«Математика почти без вычислений» (операционный
стержень: действий почти нет, но для решения нужны
искусные рассуждения).
«Делимость чисел» (операционный стержень выра-
жен в заглавии).
48
«Кросс-суммы и волшебные квадраты» (опера-
ционный стержень: специальный способ размещения на-
туральных чисел).
«Курьезное и серьезное в числах» (почти бессюжет-
ные экспериментально-числовые операции).
«Числа древние, но вечно юные» (сюжетно-опера-
ционный стержень: операции над числами специального
вида: «простыми», «фигурными», «пифагоровыми» и
«числами Фибоначчи»).
Выпадают из указанной классификации лишь «За-
тейные задачи» — первая глава книги. «Затейные за-
дачи» могли бы быть легко распределены по остальным
главам книги; они собраны в отдельную главу ради
следующей педагогической цели: предпослать книге
пропедевтическую главу, составленную из за-
дач, дающих представление о характере последующих
глав и в то же время доступных для тех, кому может
быть еще трудно самостоятельно различать посильную
и непосильную задачи.
§ 4. НЕСКОЛЬКО НОВЫХ ТЕМ
Новыми методами, новыми приемами решения за-
дач обогащается математика часто как за счет ее дроб-
ления на обособленные отрасли и подразделения, так
и за счет последующей взаимной «диффузии» отдель-
ных ее ответвлений. Из наиболее близких к нашему
времени примеров можно указать на плодотворное раз-
витие таких «соединений», как «алгебраическая геомет-
рия», «интегральная геометрия»1, «аналитическая тео-
рия чисел», «геометрия чисел» и т. п.
Этот процесс, происходящий в науке, оказывает пло-
дотворное воздействие также и на расширение содер-
жания задач-смекалок.
Появляются новые темы, дающие импульс матема-
тической инициативе и даже классические задачи, каза-
лось бы получившие исчерпывающее решение и пре-
вратившиеся всего лишь в тренировочные упражнения
смекалки, вновь возникают как задачи для приложения
новых приемов рассуждений и новых методов решения.
Эти приемы и методы в своих истоках опираются на
специальные знания, но дело методики и учителей —
там, где возможно, облечь их в популярную форму.
Пополнение коллекции новыми задачами никогда не
прекращается; оно так же закономерно теперь, как и
двести лет или две тысячи лет назад.
Так, например, в 30—40-х годах нашего столетия
как отголосок проблем, связанных с топологическими
сетями и деревьями, вошла в коллекцию задач матема-
тической смекалки задача о «совершенном квадрирова-
нии прямоугольника»: требуется разбить прямоуголь-
ник (в частности, квадрат) на квадраты неповторяю-
щихся размеров.
1 «Интегральная геометрия» — такое направление современной
геометрии, в котором на базе теории меры соединяются идеи диф-
ференциальной геометрии, теории выпуклых тел и теории вероят-
ностей.
50
В Процессе разработки общего решения этой задачи
выяснилась интересная связь между расположением в
прямоугольнике составляющих его квадратов и распре-
делением электрического тока в сети, построенной опре-
деленным образом из п проводников. (Подробности
см. в книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Уди-
вительный квадрат».) Решение поставленной геометри-
ческой задачи при помощи построения некоторой элек-
тротехнической модели или, наоборот, решение физиче-
ской задачи на правила Кирхгофа в их простейшей
форме при помощи построения геометрической модели
требует скромных познаний в рамках школьной про-
граммы и, следовательно, общедоступно. Решение, осно-
ванное на интригующе неожиданных связях между за-
конами физики и геометрическими конструкциями, есте-
ственно порождает желание проникнуть в топологиче-
ские тайны этих связей, углубить свои познания
Интересные темы для задач математической сме-
калки дает молодая математическая наука — «геомет-
рия чисел».
РЕШЕТКА ТОЧЕК
Большая группа задач на математическую смекалку
по методам их решений и обобщений относится к тео-
рии чисел. Для решения задач этой группы применя-
лись обычно такие элементарные или элементарно-
арифметические методы теории чисел, как метод алго-
рифма Евклида, метод сравнений и вычетов и др.1.
Но, как известно, со времени опубликования иссле-
дований немецкого математика и физика Г. Минков-
ского (1864—1909) и выдающегося русского математика
Г. Ф. Вороного (1868—1908)—создателей геометрии
чисел.— все более и более возрастает значение геомет-
рических методов в теории чисел.
Анализ и геометрия имеют дело с непрерывно рас-
положенными системами точек в пространстве одного,
двух, трех и большего числа измерений, а геометрия
чисел изучает свойства дискретных, прерывных совокуп-
ностей точек с целочисленными декартовыми координа-
тами.
1 См., например, упоминавшиеся уже работы Баше, Люка,
Аренса и Успенского.
51
Несмотря на молодость геометрии чисел (полвека),
ее результаты значительны.
Наряду с фундаментальными проблемами представ-
ления всякого числа в виде произведения простых чи-
сел и в виде суммы простых чисел в теории чисел рас-
сматриваются и такие вопросы, как связь между про-
стыми числами и представлением чисел в виде линей-
ных и квадратичных форм. Еще Дирихле арифметиче-
скими методами доказал, что любая арифметическая
прогрессия вида ах~\~Ь (линейная форма), где а и b —
взаимно-простые целые положительные числа и b не
превышает а, содержит в себе бесчисленное множество
простых чисел.
Естественно возникает вопрос об аналогичной связи
между простыми числами и квадратичными формами
представления числа. Представлением числа т по-
средством квадратичной формы (Л, В, С) называется
каждая пара целых корней х, у уравнения Ах2-\-ЪВху-\-
+ Су2~т, где т — данное натуральное число, А, В, С —
целые числа.
Для арифметических методов теории чисел эта про-
блема оказалась «крепким орешком». Евклид, Эйлер,
Лагранж, Гаусс и другие математики пробовали на ней
свои силы. Было доказано, что всякое простое число
вида 4m +1 единственным образом может быть пред-
ставлено как сумма двух квадратов: х2-]-у2, т. е. в виде
бинарной квадратичной формы, но в целом проблема
так и не была решена вплоть до применения к ее реше-
нию геометрических методов, созданных Минковским и
Вороным, углубленных и обогащенных трудами русских
и советских математиков: Золотарева, Маркова, Корки-
на, Делоне и Фадеева.
Геометризация квадратичных форм от любого числа
переменных основывается на использовании так назы-
ваемых точечных решеток.
В частности, для геометризации бинарных квадра-
тичных форм употребляется плоская точечная решетка.
Точечная решетка на плоскости — это система вер-
шин в сети параллелограммов (в частности, ромбов или
квадратов), образовавшихся на плоскости пересече-
нием двух рядов параллельных прямых, из которых
каждые две, принадлежащие одному ряду, находятся
на равном расстоянии одна от другой.
52
Возьмем две оси: ОХ и О У, пересекающиеся под уг-
лом ф. На каждой оси от точки О их пересечения в обе
стороны отложим некоторое число раз произвольные от-
резки г — на оси ОХ и s — на оси ОУ. Через точки де-
ления проведем прямые, параллельные осям ОХ и ОУ.
Получится система узловых точек, косоугольные коор-
динаты которых x=nr, y=ms, где тип целые, поло-
жительные и отрицательные числа.
Если обозначить: r=]/a , s=]/c , cos w= —- —
v	г ’	у ас
и D=b2—ас, то D — площадь параллелограмма, обра-
зованного четырьмя узловыми точками решетки. Рас-
стояние между двумя точками решетки на плоскости
выражается квадратичной формой: ах2+2Ьху+су2
с отрицательным дискриминантом.
Так устанавливается связь квадратичных форм с
решеткой точек. Здесь много ценного: и связь со школь-
ными представлениями о координатной системе, и зна-
комство с предметно-содержательной идеей геометри-
ческого метода в теории чисел, и «выход» к тем пробле-
мам, зарождение и развитие которых обязано больше
всего трудам наших отечественных ученых, среди кото-
рых и ныне здравствующие.
Употребление решетки точек придает наглядность и
дополнительное изящество решению числовых задач.
Естественно, что точечные решетки находят себе инте-
ресное применение и-в решении математических задач-
смекалок. Из этой пока немногочисленной группы за-
дач доступными для школьников являются:
а)	задача «Умный шарик». Новый метод решения
старинной задачи о разделении жидкости «пополам»
при помощи двух пустых сосудов (см. Я- И. Перед ь-
м а н, Занимательная геометрия, изд. 7 и последую-
щие) ;
б)	задача о прямой, которую можно наложить на ре-
шетку точек так, что она пройдет только через одну
«вершинку» решетки;
в)	задачи о маршруте биллиардного шара;
г)	теорема Минковского и примыкающие к ней задачи
(о задачах пунктов «б», «в» и «г» см. Г. Штейн г а уз,
Математический калейдоскоп).
Задачи, связанные с теоремой Минковского, более
обстоятельно представлены в книге «Неэлементарные
53
ом
задачи в элементарном изложении» А. Яглома и И. Яг-
лома («Библиотека математического кружка»).
Хорошо дополняют се-
рию задач на применение
точечной решетки не-
М(т,п) сколько следующих, со-
вершенно новых приме-
(т,п-1) ров. Рассмотрим их бо-
лее подробно
Решетка точек и би-
номиальные коэффициен-
ты. При помощи решет-
ки точек можно конст-
Че т 3	руктивно интерпретиро-
р '	вать биномиальные коэф-
фициенты и геометрически наглядно получить разно-
образные соотношения между ними1.
1.	Каждый из биномиальных коэффициентов
г^т (т+п)!
С т+п= тг-пг интерпретируется как число всевоз-
можных кратчайших ломаных путей, ведущих из на-
чала О системы прямоугольных координат к точке
М (т, п), где т и п — целые, положительные числа.
При этом ломаный путь осуществляется движениями
только вверх и вправо по сторонам квадратов, обра-
зующих решетку, через «вершинки» решетки (черт. 3).
Доказательство. Горизонтальные стороны единич-
ных квадратов, образующих решетку, будем называть
горизонтальными элементами пути, а вертикальные
стороны — вертикальными элементами пути. Очевидно,
что любой из указанных ломаных путей, ведущих из
точки О (0, 0) к точке М (т, я), содержит т горизон-
тальных элементов и п—вертикальных, а всего tn+n
элементов. Один такой путь отличается от другого
лишь тем или иным сочетанием т горизонтальных эле-
ментов, или, что все равно, п вертикальных элементов
из общего числа т-\-п элементов. Число 'сочетаний из
т-\-п элементов по т или по п равно соответственно
Стт+п или	следовательно, и число всевоз-
1 Разработано частично по материалам журнала « Scripta mathe-
matics».
54
можных кратчайших ломаных путей, соединяющих точ-
ки О (0, 0) и М (т, п) равно или Спт^п.
Кроме того, так как Стт+п и Сп т±п выражают одно
и то же число путей, то Стт+п=^С'1т+„. Но п=Дт-\-п)—
— т. Отсюда Сьа—Саа~ь.
Число путей, начинающих движение вправо, равно
—' Стт+п, , а число путей, начинающих движение
вверх, равно — • С«+я.
2.	Тема. Доказать, что в трехмерной решетке чис-
ло ломаных путей, ведущих из точки О к точке
Л (т, и, р) первого октанта, равнот. е. равно
коэффициенту при xmynzp в разложении (х-\-у-\-г')гп^п+1\
3.	На основе интерпретации выражения , по-
казанной в задаче 1, можно легко получить тождество:
—1	| soffit	__ 1YL
I	—1
Это свойство комбинаторики является, как известно,
базисом для построения треугольника Паскаля.
Доказательство. Все ломаные пути из точки О к
точке Л! (/и, п) непременно проходят либо через «вер-
шинку» (т—1, п), ближайшую к точке Л1 (т, п) слева,
либо через «вершинку» (т, п—1), ближайшую к точке
М (т, п) снизу (черт. 3).
Число всех ломаных путей, ведущих из точки О к
точке М (т, п), должно быть равно сумме путей, веду-
щих из точки О к «вершинке» (т—1, п) и к «вершин-
ке» (т, п—1). Отсюда:
1	.	_f^tn
^m + n-i “Г
4.	Показать, что Cn+СлДСл... + С" =2".
Доказательство. Построим решетку точек и отрезок
прямой х+у—п (п — положительное целое число), рас-
положенный в первом квадранте системы прямоуголь-
ных координат (черт. 4). На прямой х+у==п имеем си-
стему точек:
Ао(о,п); АДЬл—1); А2(2,«—2)...; Ап(п,о).
55
С°п~число ломаных пу-
тей, ведущих из
точки О к точке До,
С1,,—число ломаных пу-
тей, ведущих из
точки О к точке
С2п~число ломаных пу-
тей, ведущих из
точки Ок точкеД2»
Спп—число ломаных пу-
тей, ведущих из
точки О к точке Ап,
Отсюда, С°я+	+
Ч- Спп — число всех ло-
маных путей, ведущих
из точки О ко всем
«вершинкам» отрезка
прямой л-}-у — п.
С другой стороны, это общее число путей равно 2Л.
В самом деле, из любой «вершинки», по условию, есть
только 2 возможных направления: вправо и вверх.
Каждый из двух путей, начинающихся в точке О, в бли-
жайших же «вершинках» (лежащих на прямой х-\-у=\)
разветвляется на два пути. Следовательно, число всех
путей, ведущих ко всем «вершинкам» прямой x-4-i/=2,
равно 2-2 = 22. Каждый из этих путей, далее, опять раз-
ветвляется на два пути. Следовательно, число всех пу-
тей, ведущих ко всем «вершинкам» прямой х-\-у — 3,
равно 22*2=23. и т. д.
5.	Тема. Показать, что число всех ломаных путей,
ведущих из точки О ко всем «вершинкам» первого
квадранта, лежащим на прямой х-\-2у—п, есть п-м. член
ряда Фибоначчи.
6.	Известное доказательство тождества С°я—Схп -4-
Ч-С2„—С3я4-...+(—1)ЯСЛЯ —0 не нуждается в упроще-
нии, но и его можно оживить, применяя метод ломаных
путей.
Доказательство. Возьмем систему точек: О (0, 0);
Ло(0, п)\ (1, п— 1); А2 (2, п—2);Ап (п, 0) (черт. 5)
и прямую р, проходящую через точки (0, п—1) и
(п—lt 0). Кажлый ломаный путь из точки О к какой-
56
либо из точек Д, пересекает прямую р в одной и толь-
ко одной «вершинке», лежащей на прямой р.
Из каждой «вершинки», лежащей на прямой р, есть
только один путь как к точке Д 2/4-1» так и к точке Д2/>
Следовательно, сумма путей, ведущих из точки О к
точкам А с четными
индексами, равна сумме
путей, ведущих из точ-
ки О к точкам Д с не-
четными индексами, или
С»„ + .С’„ + ...=С\ +
+ С% + -
7. Рассмотрим еще не-
сколько тождеств с бино-
миальными коэффициен-
тами.
а)	Построим на ре-
шетке точек прямоуголь-
ник . АОВМ (черт. 6) и
проведем прямую через
«вершинки» ^(г, п) и
^2 (r+1, п—1); эта прямая пересекает сторону ОА в
точке	о); п\ о^г^т—гг.
Каждый путь от точки О к точке М проходит через
одну и только одну точку Nj прямой ЛГ1/Ул+з. Легко
57
понять, что число ломаных путей, ведущих из точки О
к точке М, равно сумме произведений числа путей из
точки О к точке Af/И числа путей из точки Д'/к точке М:
= с\+г  с^г + ей • С1„_г + ...+с»„+г  С’т-Г
В частности, при г=0 и т=п получаем:
с?„ = (C°)s 4- (С'Р +... 4- (С„")2.
б)	Аналогичные тождества можно получить следую-
щим приемом: представим себе на решетке точек пря-
моугольник OCED с вершинами в точках О (0, 0),
С (т—п+г+1, 0), D (0, n), Е (т—п+г+1, п); т>п
{черт. 7).
Проведем параллели АИ п+1 и В\В п+1 через «вер-
шинки» А1 (г, 0), Л„4-] (г, п), Bi (г+1, 0), В,/+] (г+1, п).
Каждый ломаный путь из точки О к точке Е прохо-
дит через одну и только одну из горизонтальных линий
AiBi. Тогда число путей из точки О к точке Е равно
сумме произведений числа путей из точки О к точке А/
и числа путей из точки В i к точке Е, т. е.
СП	_ 9 fytl । (~у1 в fytl— 1 ।	I х^П , fyO
ГП4-Г+7 =	C/п	С
В случае г=0 имеем:
— Ст + С^п-11 + ..."+ С?т—п.
Если же г — 1, то
с£+2 = с" 4-2 • ей 4- з • ей+- + (л 4-1) • с»

Некоторые тождества с биномиальными коэффициен-
тами знакомы учащимся X класса, но из-за абстракт-
ности таких тождеств они обычно не пользуются попу-
лярностью у учащихся. Интерпретация этих тождеств
на решетке точек стимулирует к самостоятельным поис-
кам и своей конкретностью, наглядностью и изящест-
вом метода способна повысить интерес к алгебраиче-
ским соотношениям.
Решетка точек и «вероятность». Приведенные при-
меры интерпретации формул, связывающих биномиаль-
ные коэффициенты, не только упражняют учащихся
в применении остроумного метода ломаных путей на
решетке точек, но имеют и некоторое познавательное
значение в качестве- подступов к проблемам и задачам
теории вероятностей. Все более и более возрастающее
практическое значение теории вероятностей должно ве-
сти и к некоторому пополнению системы массового ма-
тематического просвещения элементами простейших
сведений и упражнений из этой области.
Решетка точек может принести большую пользу
при решении некоторых задач по теории вероятностей.
Рассмотрим для примера решение одной задачи.
Задача. Баллотируются два кандидата А и В; А по-
лучил т голосов, В получил п голосов, т>«. Если го-
лоса подсчитывать последовательно один за другим, то
какова вероятность того, что А будет всегда лидиро-
вать?
Решение. Применение метода ломаных путей на
решетке точек делает решение этой задачи простым
и общедоступным.
Пусть процесс подсчета голосов изображается лома-
ным путем, ведущим из точки О (0, 0) к точке М (т, п);
каждый голос в пользу А сопровождается движением
на единицу вправо, а в пользу В — движением на еди-
ницу вверх. Очевидно, что любой подсчет, в котором
лидирует А, изображается ломаной линией, не имеющей
второй общей точки, кроме точки О, с прямой OD, где
точка D имеет координаты пип (черт. 8).
Каждый путь из точки О в точку М через точку
(0,1) непременно должен иметь вторую точку пересе-
чения с OD; но существует некоторое число таких пу-
тей из точки О в точку М через точку (1,0), которые
59
даже не коснутся прямой OD вторично (помимо точ-
ки О).
Каждому пути р через точку (0,1), пересекающему
OD вторично в некоторой точке Е, соответствует сим-
метричный относительно OD путь через точку (1,0),
М(т,п)
соединяющийся с путем р в точке Е в общий путь
(р, q). Следовательно, общее число путей, ведущих из
точки О в точку М и имеющих не менее двух общих
точек (считая- и точку О) с прямой OD, равно удвоен-
ному числу путей р, ведущих из точки О в точку М.
На странице 54 (задача 1) было показано, что число
таких путей равно т^п ’ С’т+п- Вероятность всех путей,
имеющих с OD не менее двух общих точек (включая
2л
точку О), равна
Отсюда, искомая вероятность равна I — т_|_Л что
т—п
составляет —.
МАТЕМАТИКА ПОЧТИ БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИИ
Так названа глава в «Математической смекалке»,
содержащая задачи, сущность которых не в вычисле-
ниях (они могут быть совершенно незначительными или
совсем отсутствовать), а в построении цепочки рассуж-
дений, иногда весьма тонких. В школьных математиче-
60
ских кружках такие задачи часто называют «логиче-
скими».
Отыскание цепочки рассуждений, ведущих к реше-
нию подобного рода задач, похоже на раскрытие неко-
торой тайны и потому волнующе-привлекательно. Вме-
сте с тем эти задачи развивают мышление.
«Умение последовательно, логически рассуждать
в незнакомой обстановке приобретаетсяс трудом.
На математических школьных олимпиадах самые
неожиданные трудности возникают именно при реше-
нии задач, в которых не предполагается никаких пред-
варительных знаний из школьного курса, но требуется
правильно уловить смысл вопроса и рассуждать после-
довательно. Уже такой шуточный вопрос затрудняет
многих десятиклассников: в хвойном лесу 800000 елей
и ни на одной из них не более 500 000 игл; доказать,
что по крайней мере у двух елей число игл точно оди-
наково»1.
Всякая новая задача этого раздела очень быстро
приобретает широкую популярность и долго «будора-
жит» ум решающего.
Такова, например, задача о выделении одной моне-
ты, отличающейся по весу от всех остальных при помо-
щи чашечных весов без гирь.
Подобного рода задачи хорошо упражняют изобрета-
тельность, наталкивают на поиски дальнейших обобще-
ний и закономерностей.
Так, например, теперь известно1 2, что если в числе AZ
данных одинаковых монет имеется лишь одна иного
веса, то для ее выделения при помощи чашечных весов
без гирь и определения тяжелее она или легче осталь-
ных, необходимо сделать k взвешиваний, где
Но почему бы не подумать и о возможных обобще-
ниях задачи, например о таком:
Имеется N предметов, по виду неразличимых один
от другого. Из них т\ одинакового веса, но более тя-
желые, чем другие. Другие т2 предметов из числа дан-
1 А Н. Колмогоров, О профессии математика, 1952,
стр. 9.
2 Д. О Шклярский и др., Избранные задачи и теоремы
элементарной математики, ч. 1, 1954.
61
ных тоже одинаковы .по весу, но каждый легче, чем из
группы тх. Следующая группа состоит из т3 одина-
ковых по весу предметов, более легких, чем из группы
т2, и т. д. Всего имеется п групп, отличающихся по ве-
су. Требуется .разъединить эти группы при помощи
взвешивания предметов в разных комбинациях на ча-
шечных весах без гирь. Установить наименьшее
число k необходимых взвешиваний.
3«_[
Тема. Среди т=—— (п~^> 2, 3,...) одинаковых
предметов может быть имеется один, отличающийся
от остальных по весу. При помощи не более чем п взве-
шиваний на чашечных весах требуется определить,
имеется ли среди данных т предметов нестандартный
предмет и если имеется, то легче он стандарта или тя-
желее. Гирь нет, но на весы можно ставить еще один
предмет (эталон) стандартного веса1.
Ценность этих задач не только в их тренировочных
свойствах, но и в том, что они как бы имитируют в ми-
ниатюре математическую сторону проблемы сортирова-
ния предметов или деталей массового производства.
Задача. Шесть точек расположены так, что никакие
три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре
не лежат в одной плоскости; из пятнадцати отрезков,
попарно соединяющих данные точки, некоторые — крас- j
ные, а некоторые — синие; доказать, что какой-нибудь
из образовавшихся треугольников имеет все стороны
одного цвета1 2.
Решение. Из пяти отрезков, сходящихся в какой-
либо одной из данных точек, всегда можно выбрать
три одного и того же цвета. Рассмотрим три отрезка,
соединяющие пары других концов этих отрезков. Если
хотя бы один из этих отрезков будет того же цвета, что
и три первоначально избранных, то требуемое доказа-
но. Если же все они будут другого цвета, нежели пер-
воначально избранные, то они сами будут образовы-
вать требуемый одноцветный треугольник.
Тема. Дано N вершин и имеется г различных окра- ✓
MW-1)
сок; каждый из —~— отрезков, соединяющих две вер-
1 Задача предложена и решена Владимиром Давиде в журнале
« Elemente der Mathematik », т. 10, № 1, Basel, 1955.
2 Эта задача была предложена на одной из зарубежных ма-
тематических олимпиад в 1953 году.
62
шины, окрашен в один цвет из данных г окрасок; найти
наименьшее целое число п=п (£ь k2t... k г), такое, что
для N^n будет существовать ki — угольник, все сторо-
ны которого одного первого цвета, или будет сущест-
вовать ^-угольник, все стороны которого одного вто-
рого цвета,..., или будет существовать kr -угольник, все
стороны которого одного r-го цвета.
Если г = 2, £1=3, £2=3, то имеем ранее рассмот-
ренный частный случай, где п (3, 3) = 6.
Любопытно, что, например, п (/г, пг)—Ск^т-2, атак
же, что п (3, 3, 3) =17. Попробуйте доказать!
Если в только что рассмотренной задаче цвет яв-
лялся объектом условия задачи, то еще более любо-
пытно и вместе с тем познавательно использование па-
литры красок в качестве приема доказательства суще-
ствования или несуществования решения.
Задача. Представьте себе шахматную доску без двух
угловых клеток на концах одной, диагонали (черт. 9)«
Можно ли точно покрыть эту доску плитками домино,
если каждая плитка покрывает две клетки доски?
Решение. Нет. Каждая
плитка покрывает две клетки:
одну — светлую и одну — чер-
ную, а на доске непарное чи-
сло светлых и черных клеток:
черных больше.
Возьмем теперь полную
шахматную доску 8X8 и,
кроме плиток, покрывающих
две клетки шахматной доски
(домино), приготовим плитки,
покрывающие только одну
клетку (мономино), три клет-
ки (тримино), четыре клетки
(тетрамино) и т. д. (черт. 10).
Сразу же возникает большой цикл задач на покрытие
шахматной доски фигурами указанного вида1.
1. Можно ли покрыть шахматную доску 21 плиткой
прямого тримино и одной плиткой мономино?
1 См. «The American Mathematical Monthly» . 1954, № 10, S. W
Golomb, «Checker Boards and Polyominoes».
63
Решение. Перекрасим шахматную доску в три
цвета: а, b и с, как показано на чертеже 11. Чередова-
ние цветов выполнено так, что плитка прямого трими-
| | Ион опино	||||
| | | Домино	г —
1—1—1	Т-тетрамино
।—1—I—I Прямое
'—*—।—' тримино _____
__ Прямоугольное------1
I тримино ——'
।  > Прямое L-тетрамино
I—I—I—I—I тетримино	—।
П квадратное |
тетрамино Косое
тетрамино
Черт. 10.
У
а	ь	с	а	b	с	а	ь
b	с	а	Ь	с	а	b	с
с	а	b	с	а	ь	с	а
а	b	с	а	Ь	с	а	Ь
b	с	а	Ь	с	а	b	с
с	а	ь	с	а	ь	с	а
а	b	с	а	6	с	а	b
b	с	а	b	с	а	ь	с
У
Черт. И.
но в любом положении покрывает по одной клетке
каждого цвета. Имеем 21 клетку цвета а, 22 клетки
цвета b и 21 клетку цве-
та с. Теперь ясно, что	у
мономино может занимать „ А “Г" 1/1'	„ А
только клетку цвета Ь, _______________________
но не любую. Нельзя, на-	_f а с
пример, поместить плитку	cabcabca
мономино на клетку цве-	^~Ьс~а~7П"Т~п''~Ь
та b в левом нижнем уг- %____-_______
лу; в силу симметрии дос-	bcabcabc
ки относительно оси хх с ь с a b ~F~a
это было бы равносильно	---/Г
помещению мономино на	аосао с 'во
клетку левого верхнего уг-	bcabcabc
ла, что невозможно, так
как эта клетка цвета а.	У
Из тех же соображений	Черт. 11.
следует, что поместить мо-
номино можно лишь на одной из тех клеток цвета Ь,
которые взаимно-симметричны относительно осей хх и уу.
64
Есть только четыре клетки цвета Ь, удовлетворяющие
этому условию (на чертеже II заключены в рамку)л
Пример окончательного решения показывает чертеж 12,
Черт. 12.	Черт. 13.
2. Шахматная доска не может быть покрыта 15
L-образными тетрамино и одним квадратным тетра-
мино.
Решение. Изменим расцветку шахматной доски
(черт. 13). Квадратное тетрамино в любом положении
покрывает две светлые и две черные клетки, а L-тетра-
мино покрывает нечетное число светлых и нечетное
число черных клеток. Все 15 L-тетрамино и одно квад-
ратное тетрамино будут покрывать, следовательно, не-
четное число светлых и нечетное число черных клеток,
но полная шахматная доска имеет по четному числу
светлых и черных клеток. Задача решена.
Аналогичная задача имеет место для комбинации
квадратного тетрамино с другими тетрамино.
Следующие задачи предоставляем решить самому
читателю.
Тема. Шахматная доска не может быть покрыта
квадратным тетрамино и 15 другими тетрамино, из
которых несколько (или все) прямые и остальные ко-
сые.
(Для решения задачи воспользуйтесь такой расцвет-
кой доски, которая показана на чертеже 14.)
Тема. Где бы на шахматной доске ни была поме-
щена плитка мономино, остальную часть доски всегда
Б. Зак. 935.
65
можно покрыть 21 плиткой прямоугольного тримино.
не может быть покрыта 21 плиткой псевдотримино ти-
па (а) и (Ь) и одним мономино.
Тема. Показать, что шахматная доска может быть
покрыта 21 плиткой псевдотримино типа (с) и одним
мономино. Где должно быть помещено мономино?
Аналогичные задачи можно поставить для плиток
других конфигураций и досок других геометрических
форм.
Приведенные примеры со всей очевидностью под-
тверждают жизнеспособность математических задач-
смекалок. Непрерывное творческое пополнение коллек-
ции таких задач приводит к мысли о целесообразности
более широкого внедрения задач этого типа в систему
воспитания ума и воли подростка.
§ 5. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
Не вдаваясь глубоко в анализ педагогических осо-
бенностей математических задач на смекалку (это —
дело педагогов-психологов), обратим внимание лишь
на те из них, которые определяют воспитательную и от-
части образовательную ценность задач рассматривае-
мой коллекции.
К наиболее характерным педагогическим особенно-
стям математических задач-смекалок относятся: кон-
кретность и индуктивность, способность возбуждать
интерес к предмету, делать интересным процесс реше-
ния, занимательность и общедоступность. Кроме того,
в коллекцию математических задач-смекалок могут
входить и задачи политехнического содержания.
Покажем теперь, преимущественно на примерах, что
перечисленные особенности действительно присущи ма-
тематическим задачам-смекалкам.
КОНКРЕТНОСТЬ
*
Начальная стадия мышления всегда конкретна. Че-
рез конкретность пролегает путь к абстракции — одно-
му из важнейших качеств мышления в его высших фор-
мах. Конкретность математических задач проявляется
прежде всего в их связях с предметами и процессами
реального мира, но это также и числа, фигуры, дейст-
вия
Конкретность как учебных, так и внеучебных мате-
матических задач проявляется в первую очередь в их
содержании.
Большое воспитательное значение имеют те задачи,
содержание которых подсказано реальной жизнью,
многогранной деятельностью людей.
У задач на смекалку здесь особенно широкие воз-
можности. Разумеется, что эти возможности должны
быть использованы в меру, не грубо.
67
Литература по математическим развлечениям имеет
определенные положительные традиции в использова-
нии случаев из жизни для обрамления задач; имеются
и новые попытки и поиски в этом направлении.
В духе традиционной конкретности, с легким вклю-
чением в сюжет крупиц назидательности и юмора,
оформлены следующие задачи.
ДОРОГАЯ НАГРАДА
Когда Нурия Сараджева была еще подростком, она,
как и известная Мамлякат, одной из первых в своем
колхозе начала применять более совершенный способ
сбора хлопка. В награду Нурия получила хороший
коврик работы замечательных туркменских ковровщиц.
Этой первой наградой Нурия очень дорожила. Теперь
она выросла и работает агрономом в своем родном
колхозе. Коврик, конечно, с нею, на полу, в ее лабора-
тории.
Черт. 16.
Однажды, производя какие-то исследования, Нурия
пролила кислоту на коврик и прожгла как раз самую
середину. Пришлось вырезать поврежденную часть из
середины коврика. Получилось большое прямоуголь-
ное отверстие в 1X8 дм (черт. 16).
Но Нурия не бросила свой коврик. Она очень искус-
но разрезала сохранившуюся часть коврика на две ча-
сти так, что, сложенные вместе, они образовали квад-
68
рат. Швы были незаметны, и снова получился славный
коврик.
Как она это сделала?
ИСТОРИЯ С ГРИБАМИ
Пятеро друзей: Маруся, Коля, Ваня, Андрюша и
Петя, отдыхавшие в пионерском лагере, пошли по гри-
бы. Правда, грибами всерьез занялась одна Маруся,
что же касается мальчиков, то они большую часть вре-
мени провалялись на траве, рассказывая друг другу
всякие небылицы.
Когда собрались возвращаться в лагерь оказалось,
что у мальчиков корзины пустые, в то время как Ма-
руся в своей корзине насчитала 45 грибов.
— Неудобно вам, ребята, возвращаться в лагерь с
пустыми корзинами,— посочувствовала Маруся и рас-
сыпала по корзинам мальчиков все свои грибы (в сво-
ей корзине не оставила ни одного гриба).
Однако на обратном пути Коля и Андрюша натолк-
нулись на грибное место и дополнили свои корзинки,
причем Коля нашел два гриба, а Андрюша удвоил ко-
личество бывших у него грибов. Ваня и Петя всю до-
рогу озорничали и растеряли часть своих грибов. Ваня
потерял два гриба, а Петя потерял половину грибов,
полученных от Маруси.
Самым удивительным оказалось то, что когда в ла-
гере стали считать принесенные грибы, то у всех маль-
чиков оказалось грибов поровну. А когда грибники рас-
сказали всю историю с грибами товарищам, то люби-
телей математики заинтересовал вопрос: смогут ли они
на основании этого рассказа подсчитать, сколько гри-
бов получил каждый мальчик от Маруси?
Как вы полагаете?
В жанре внеучебной математической литературы
допустима и даже желательна не только форма за-
дач-рассказов, вроде только что изложенных, но так-
же и большие беллетристические произведения с еди-
ной художественно выполненной фабулой, включающей
в себя познавательный материал. Верно, что изданная
Детгизом в 1949 г. книга С. Боброва «Волшебный дву-
рог» оказалась «первый блин — комом» (справедливо
отрицательный отзыв на книгу помещен в журнале
69
«Математика в школе», 1950, № 2), но попытка созда-
ния повести с включением в ее содержание матема-
тического материала заслуживает внимания и под-
держки.
индуктивность
Подросток или взрослый, самостоятельно отыски-
вающий неизвестное ему решение задачи, пусть даже
кем-то до него решенной, совершает элементарный
творческий процесс. Отправным пунктом этого мысли-
тельного процесса является простая индукция, т. е.
переход от ряда частных случаев к охватывающему их
общему положению. Индукция в свою очередь опирает-
ся на наблюдения. Для того чтобы подвергнуть ка-
кое-либо свойство индуктивной проверке, надо его сна-
чала заметить. Так, приступая к решению задачи, мы
часто воспроизводим ее условие практически, на пред-
метах, на чертеже, стараясь прежде всего заметить,
пронаблюдать те соотношения, которые потребуется по-
том обосновать. Усваивая некоторое общее положение,
правило, мы его прежде наблюдаем на ряде частных
примеров.
В ходе решения задачи процесс обобщения, как из-
вестно, часто осуществляется при помощи математиче-
ской или полной индукции, вывод, полученный таким
путем, уже является дедуктивным.
Простая индукция сама по себе не обладает дока-
зательной силой, но она обеспечивает исходные поло-
жения для дедукции.
В силу конкретности содержания математических
задач-смекалок мы имеем в этой коллекции достаточ-
ный набор упражнений для применения индуктивного
метода, для развития наблюдательности и умения осу-
ществлять обобщения. На одну и ту же тему можно
составить задачу или как общедоступную головолом-
ку, допускающую экспериментальное решение, или
ряд постепенно усложняющихся задач, ведущих к обо-
снованию алгоритма, а может быть и к построению со-
ответствующей теории.
Таковы темы «переправ», «перемещений», «маги-
ческих квадратов», темы, относящиеся к свойствам це-
лых чисел (часто курьезных), и т± п.
70
Все эти и другие аналогичные темы, характерные
для задач на смекалку, допускают новые решения и
обобщения. Возьмем, например, одну из типичных за-
дач на смекалку, упоминавшуюся уже задачу Тэта
(см. стр. 13): на столе лежат в ряд п белых и п черных
шашек в чередующемся порядке: белая, черная, белая,
черная...
За последней шашкой справа есть свободное место
для двух шашек. Пользуясь этим свободным местом и
перемещая каждый раз только две рядом лежащие
шашки без изменения их взаимного расположения,
требуется добиться такого расположения данных ша-
шек, чтобы оказались рядом все черные шашки и за
ними все белые шашки.
Для п=3, как легко убедиться, задача решается в
три хода (каждое перемещение — ход), для п = 4 ре-
шается в четыре хода, для п=5— в пять ходов и т. д.
Для небольших п — это несложная эксперименталь-
ная задача, доступная и интересная подросткам само-
го младшего возраста. С увеличением п увеличиваются
и трудности отыскания решения. Дальнейшее развитие
задачи: установить зависимость между числом п пар
шашек и требуемым числом ходов; установить возмож-
ность решения задачи для любого пх найти общее пра-
вило перемещений. Последние вопросы могут заста-
вить задуматься даже специалиста-математика, но это
еще не значит, что их решение недоступно рядовому
любителю математики.
Теория головоломки Тэта не очень сложна. В этом
легко убедиться, ознакомившись с ее изложением в кни-
ге акад. Я В. Успенского «Избранные математические
развлечения».
Получение выводов из наблюдений, отыскание зако-
номерностей в процессах решения ряда однотипных за-
дач, установление связей и новых свойств, поиски воз-
можных обобщений — все это элементы математическо-
го творчества, способствующие развитию математиче-
ской инициативы, активности.
Пусть решение не получается или наблюдения не
поддаются обобщению, полезно уже само обдумывание
возможных обобщений и связей, полезны усилия найти
решение, полезно даже активное усвоение имеющегося
решения.
71
У внеучебной математической книги большие- воз-
можности провести читателя по ступеням познания от-
самой нижней: опыта, созерцания, накопления наблю-
дений— к следующей: осознаванию результатов на-
блюдений, пониманию теоретических основ созерцаемо-
го материала и далее, если нужно,— к новому, обога-
щенному, применению знаний к практике. Эти сообра-
жения, в частности, побудили и авторов книги «Удиви-
тельный квадрат»1 принять следующую структуру книги:
Глава первая. Предлагается читателю серия
задач — опытов: разрезать 12 разноцветных квадратов
на указанные части и, проявив некоторое старание и
сообразительность, из образовавшихся частей каждого
квадрата выложить заданную фигуру («геометриче-
ский конструктор»).
Глава вторая знакомит читателя с геометриче-
скими способами раскройки квадратов, применявшейся
в задачах первой главы; дается здесь и обоснование
возможности перекраивания одного многоугольника в
другой (теорема Бойаи).
Дальнейшее расширение теории не входит в план
книги «Удивительный квадрат», но читателю предо-
ставляется возможность попробовать свои собственные
силы в решении аналогичных задач на перекраивание
фигур, требующих от него более активной творческой
работы.
Завершается книга примерами применения к наи-
более рациональному раскрою промышленного листо-
вого материала геометрического способа, разработан-
ного советскими учеными-математиками.
ВОЗБУЖДЕНИЕ ИНТЕРЕСА
«Ни один наставник не должен забывать, что его
главнейшая обязанность состоит в приучении воспитан-
ников к умственному труду и что эта обязанность бо-
лее важна, нежели передача самого предмета»1 2.
Здесь же Ушинский указывает, что умственный
труд — едва ли не самый тяжелый труд для человека.
1 Б. А. Кордемский, Н. В. Русале в, Удивительный
квадрат, 1952.
2 К. Д. Ушинский, Собрание сочинений, т. II, 1948, стр. 360.
72
«Мальчик скорее готов проработать физически целый
день или просидеть без мысли над одной и той же
страницей несколько часов и вызубрить ее механиче-
ски, нежели подумать серьезно несколько минут»1.
Что же может заставить такого мальчика думать,
размышлять, решать задачу, тем более не обязатель-
ную для его учебных дел? Конечно, не принуждение и
даже не всегда убеждение. Источник побуждения надо
искать в эмоциях подростка.
Основным побудителем к умственному труду яв-
ляется интерес, первоначально появляющийся как
производная от впечатления, а затем уже как желание
познания. Интерес, вызванный математической задачей,
возбуждает стремление решить ее, вовлекает человека
в сферу активной умственной деятельности, которая в
свою очередь содействует укреплению воли, настойчи-
вости. На базе интереса возникает и увлечение про-
цессом решения, процессом деятельности.
Увлечение самим процессом деятельности есть одно
из важнейших проявлений интереса.
Вместе с увлечением приходит ощущение удоволь-
ствия, наслаждения от выполнения умственных упраж-
нений, так как, по справедливому суждению Д. И. Пи-
сарева, «обаятельная сторона отыщется непременно во
всяком умственном, т. е. не машинальном труде... Са-
мое действие, упражнение сил и энергии человека в
процессе деятельности может быть источником наслаж-
дения»1 2.
Увлечение деятельностью перерастает в интерес к
предмету деятельности, к открывающимся перспекти-
вам, но возрастание интереса одновременно сопровож-
дается возникновением новых вопросов .и жадным
стремлением получить на них ответы, т- е. усилением
чувства неудовлетворенности достигнутым, которое в
свою очередь становится теперь побудительной силой
для дальнейших размышлений и поисков нового.
В этом союзе удовольствия и неудовлетворенности, за-
ключающем в себе единство и взаимопроникновение
противоположностей, в разрешении возникающего, та-
1 К. Д. Ушинский, Собрание сочинений, т. II, 1948, стр.358.
2 Д. И. Писарев, Избранные педагогические высказыва-
ния, 1938, стр. 354.
73
ким образом, противоречия и заключается движущая
пружина как самого интереса, так и связанной с ним
деятельности.
Значение необходимости возбуждения интереса со-
стоит также и в том, что умственная деятельность, свя-
занная с интересом, укрепляет способности человека.
Возбуждение интереса лежит в основе самого суще-
ствования внеучебных задач. Они не являются обяза-
тельными для занятий и не могли бы существовать ве-
ками, многие даже почти в неизменном виде, если бы
не обладали свойством заинтересовывать, увлекать.
Учителя средних школ очень часто отмечают воз-
никновение интереса к математике у учащихся как
результат их участия в математическом кружке, часть
занятий которого обычно посвящается и упражнениям
в решении математических задач на смекалку. Эта же
особенность внеучебных задач отмечается и в письмах
читателей книги «Математическая смекалка».
ЗАНИМАТЕЛЬНОСТЬ
Если иметь в виду не пустую забаву «ради время-
препровождения», то занимательность содержания за-
дачи или занимательность формы ее «подачи» служит
тем же педагогическим целям, что и интерес. Истинная
занимательность предназначена привлекать внимание,
активизировать мысль, возбуждать интерес к предме-
ту и желание им заняться. Истинная занимательность
всегда несет в себе черты остроумия и придает зада-
чам оттенок игры.
Через занимательность проникает в сознание ощу-
щение прекрасного в математике, которое при после-
дующем изучении предмета дополняется пониманием
прекрасного. К эстетическим элементам занимательно-
сти относятся: легкий юмор фабулы, неожиданность
ситуации или развязки, доставляемой решением зада-
чи, стройность геометрической формы, изящество реше-
ния, под которым понимается сочетание простоты и
оригинальности методов его получения.
Указанными признаками истинной занимательности
обладают все лучшие произведения коллекции матема-
тической смекалки.
Своеобразна, например, старинная французская за-
дача о торговке, которая одному покупателю продала
половину принесенных яиц и еще пол-яйца (!), друго-
му покупателю продала половину оставшихся яиц и
еще пол-яйца и т. д.; наконец, когда она седьмому по-
купателю также продала половину оставшихся яиц и
еще пол-яйца, то у нее ничего не осталось.
С народной поговоркой о ложке дегтя в бочке меду
перекликается по теме шутливая задача, решение кото-
рой, однако, не столь уж очевидно. В одной бутылке
литр вина, в другой — литр воды. Из первой во вто-
рую перелили ложечку вина, а затем из второй в пер-
вую отлили такую же ложечку полученной смеси. Чего
теперь больше: воды в первой бутылке или вина во
второй?
А разве не поражает воображение возможность без
сложных вычислений определить последние две цифры
числа, которое получится, если 1000 раз повторить воз-
ведение числа 7 в седьмую степень, или возможность
проделать в кубе такое сквозное отверстие, через кото-
рое легко протаскивается без деформации куб таких
же и даже больших размеров?
Подстрекает любопытство и такая задача: наш ка-
лендарь устроен так, что промежутки, через которые
следуют друг за другом числа 1 января, не всегда по-
стоянны, но эти промежутки изменяются периодически,
с периодом в 400 лет. С какого же дня чаще начинает-
ся новый год: с субботы или с воскресенья?
В самом полном смысле слова занимательны древ-
нейшие задачи, связанные с магическими квадратами,
дележом предметов, размещениями и переправами, пе-
рекраиванием фигур, арифметическими фокусами и т.п.
Подобно истинным произведениям искусства такие
задачи живут веками, переходят из поколения в поко-
ление, модернизируясь или сохраняя свой первоначаль-
ный вид. Иногда они включаются в учебные руковод-
ства, чаще же остаются внеучебными задачами.
Поэтическая форма занимательности. Стремление
облечь задачу в занимательную форму для получения
эффекта как художественного, так и педагогического,
восходит к глубокой древности.
Пройдя через этап мистики и астрологии, занима-
тельность постепенно приобрела «светский», поэтиче-
ский характер (появились задачи в форме легенд и
75
стихотворений), приблизив тем самым математику к
народу, что привело в свою очередь к дальнейшему
обогащению и усилению воспитательного значения за-
нимательности за счет включения элементов народного
эпоса и жизненных ситуаций в содержание математи-
ческих задач. Занимательные задачи вышли на арену
народных развлечений и публичных состязаний.
Историки указывают, что одним из любимых обще-
ственных развлечений индийцев времен Брахмагупты
(род. в 598 г.), да и в другие периоды „времени было
решение задач, предлагаемых в увлекательной форме.
К тем же далеким временам относится и начало
проникновения элементов' образности и занимательно-
сти в изложение задач, включаемых в папирусы, трак-
таты и другие математические сочинения.
Так, в сочинении «Сиддханта-сиромани» («Венец
астрономической системы»), принадлежащем индий-
скому ученому Бхаскара Акарья (1150), обыкновенная
задача на составление уравнения представлена сле-
дующим образом: «Прекрасная дева с блестящими
очами, ты, которая знаешь, как правильно применять
метод инверсии, скажи мне величину такого числа, ко-
торое, будучи умножено на 3, затем увеличено на 3/4
этого произведения, разделено на 7, уменьшено на Ч3
частного, умножено само на себя, уменьшено на 52,
после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и
деления на 10 дает число 2»1.
Задача-сказка о переправе волка, козы и кочана
капусты с одного берега реки на другой уже 1000 лет
является непременным аттрибутом внеучебных средств,
способствующих выработке полезных умственных на-
выков.
Ряд исторических задач с опоэтизированной и зани-
мательной фабулой, относящихся к разным периодам
старины, имеется в сборнике Г. Н. Попова «Историче-
ские задачи» (ГТТИ., 1932). В этом сборнике приведе-
на такая задача из трактата Сридхары: «Пятая часть
пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть —
на цветах силиндха. Утроенная разность последних
двух чисел направилась к цветам кутая. И осталась
еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлечен-
1 Е. И. И г н а т ье в, В царстве смекалки, кн. 3, 1911, стр. 12.
76
ная чудесным ароматом жасмина и пандануса. Скажи
мне, очаровательная, сколько всех пчел?»
Задача поэтична и в прозе, но она становится еще
более занимательной и привлекательной, когда ее пред-
лагают в форме следующего по-настоящему хорошего
стихотворения:
Есть кадамба цветок.
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету силиндха,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?
Разумеется, занимаясь математикой, нужно чаще и
больше всего говорить на языке самой математики, но
в системе массового математического просвещения, в
частности и в школьной практике, не следует пренебре-
гать особенностями стихотворного текста: он легче за-
поминается, он эмоционален, образен. Говоря словами
К. Д. Ушинского, в этом случае «логическая мысль
отыщет себе поэтическое выражение и, наоборот, поэзия
выражения закрепит самую мысль»1.
Стихотворный текст применяется как один из мне-
монических приемов запоминания. Если, например, для
запоминания числового значения л и нет никакой на-
добности в многословных стихотворениях, существую-
щих на французском, немецком и английском языках,
то короткое двустишье:
Это я знаю и помню прекрасно,
Пи многие знаки мне лишни, напрасны...
1 К- Д. У ши иски й, Избранные педагогические сочинения,
т. I, 1939, стр. 180,
77
надолго оставит в памяти, что л—3,14... (число букв в
каждом слове двустишия совпадает с соответствующей
цифрой числа л).
Первая строка двустишья предложена московским
преподавателем Е. Я. Терсковым, а вторая строка (по
существу излишняя, о чем иронически и сообщается в
самой строке, но упрощающая запоминание первой
строки) придумана его ученицей, Эсей Чериковер.
Один из учеников X класса как-то рассказал мне,
что решая задачу, связанную с кубом, он никогда не за-
бывает подумать о плоскостях и осях симметрии куба
и это иногда наталкивает его на правильный путь ре-
шения задачи.
— Что же,— спросил я,— это от уроков остались у
вас такие яркие впечатления об осях и плоскостях сим-
метрии?
* — Может быть и так, но, смешно сказать,— отве-
тил он смущаясь,— я вспоминаю при этом не уроки, а
шуточную песенку о кубе, которая на одном из школь-
ных математических вечеров несколько лет назад со-
провождала инсценировку о свойствах куба:
А я куб — молодец:
Я богат, как купен
Ну, а чем я богат? —
Ты скажи не наугад.
Итак, куб вызывает в памяти песенку, а песенка
ассоциируется со свойствами, куба, вспомнить о которых
не бесполезно при решении задач...
Еще один случай из практики. Учительница охарак-
теризовала двух мальчиков своего класса (оба одного
возраста) как одинаковых по темпераменту и по их от-
ношению к занятиям.
Когда пришел ко мне первый мальчик и освоился с
обстановкой, мы с ним приступили к опытной проверке
приближения к длине окружности периметра квадрата
и треугольника, описанных около равных окружностей,
при удвоении числа их сторон.
Мы беседовали, вырезали фигуры, срезали «углы»,
измеряли, считали. Было наглядно, но недостаточно
эмоционально. Мальчик не проявлял большой любо-
знательности, не возникло у него желание узнать еще
что-либо по затронутой теме.
78
Тема встречи со вторым мальчиком была та же. Но
на этот раз наглядность упражнений с куском бумаги
была соединена с занимательностью посредством при-
влечения остроумной шутки Е. Пайна «Треугольник и
квадрат»:'
’ Жили были два брата:
Треугольник с Квадратом.
Старший — квадратный,
Добродушный приятный
Младший — треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать Квадрат:
«Почему ты злишься, брат?»
Тот кричит ему: «Смотри,
Ты полней меня и шире;,
У меня углов лишь трщ
У тебя же их четыре».
Но Квадрат ответил: «Брат!
Я же старше, я — квадрат».
И сказал еще нежней:
«Неизвестно, кто нужней!»
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя сказал: «Приятных
Я тебе желаю снов!
Спать ложился — был квадрат-
ным
А проснешься без углов!»
Но наутро младший брат
Страшной мести был не рад.
Поглядел он — нет квадрата.
Онемел .. стоял без слов...
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов!
(«Затейник», 1935, № 12.)
Веселое стихотворение Е. Пайна внесло живую об-
разность в наглядный, но скучный процесс превраще-
ния описанного квадрата в восьмиугольник.
Результат встречи со вторым мальчиком оказался
иным. Фантазия поэта расшевелила мысль мальчика.
Возникли вопросы, предложения, споры. Мальчик про-
должал работу по теме и после встречи со мной.
Стихотворное оформление математических сюжетов
имеет педагогическую ценность и для подростков стар-
шего возраста.
Педагогическая целесообразность занимательности.
Б хорошем стиле занимательности обрабатывал и со-
чинял задачи Я. И. Перельман. Особенно удачна его
«Занимательная геометрия» — сборник задач, подска-
занных практикой, жизнью.
Ценность такого рода задач состоит в том, что они
тренируют «практическую сообразительность». Как из-
мерить высоту недоступного предмета или ширину реки?
Как определить объем бутылки или толщину проволо-
ки, пользуясь только масштабной линейкой? Как без
измерений и вычислений определить, больше или мень-
ше половины бочки составляет ее содержимое? Нет пре-
дела разнообразию подобных задач.
Педагогическая целесообразность внесения разнооб-
79
разных элементов занимательности в «подачу» матема-
тического материала, в особенности для лиц, «неиску-.
шенных» в математике, утверждается многими деяте-
лями математического просвещения. Известен такой
афоризм Паскаля; «Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать случаев делать его
немного занимательным».
Проф. И. В. Арнольд писал в одной из своих мето-
дических статей: «...чем живее и непринужденнее фор-
ма, в которой им (учащимся) преподносятся задачи,
тем лучше... Облекайте задачи в форму краткого рас-
сказа, иллюстрируйте их на доске, хотя бы схематиче-
ски, придумывайте драматические положения, заботь-
тесь об иллюстративном материале (снимки, рисунки
и т. д.), не пренебрегайте шуточными рассказами»1.
Излагая принципы организации математического
кружка, педагог М. Н. Голандо замечает: «Учащихся
V—VII классов в значительной мере привлекает эле-
мент занимательности, поэтому примерно половина за-
нятий нашего кружка была посвящена разбору и реше-
нию оригинальных задач. Занимательные задачи имеют
большую давность и представляют собой большую цен-
ность для преподавания математики»1 2.
Право занимательных задач занять должное место
во внеклассной работе по математике энергично отстаи-
вает в своей диссертации и педагог С. И. Афонина:
«Несмотря на то что большинство учителей, ведущих
внеклассную работу, использует в ней занимательную
математику, имеется немало сторонников «серьезных»
занятий. Такие товарищи считают, что занимательная
математика перестает быть занимательной для учащих-
ся старших классов, математическое развитие которых
требует более глубоких и серьезных вещей, чем занима-
тельные задачи. Однако эти товарищи заблуждаются,
недооценивая элемент занимательнсти»3. Далее в своей
работе С. И. Афонина показывает, как занимательные
задачи могут быть использованы во внеклассной работе
по математике и какова их роль.
1 «Математика в школе», 1946, № 2.
2 «Математика в школе», 1951, № 4.
3 С. И. А ф о и и и а, Внеклассная работа по математике в стар*
ших классах средней школы, 1952 (Диссертация защищена в Ин-
ституте методов обучения АПН.])
80
Границы занимательности. Требование должного
внимания к проблеме занимательности прозвучало и с
трибуны II Всесоюзного съезда писателей. «Но при
всем том бывает и так: стоит писателю подчеркнуть
романтические черты своего героя, внести в произве-
дение занимательную выдумку, заострить сюжет, по-
круче завернуть фабулу, как вдруг поднимается этакий
сморщенный старческий палец и слышится скрипучий
голос: «Ложная занимательность», «псевдоромантика»,
«так в жизни не бывает, а бывает так то...» (Б. Поле-
вой, из доклада о детской литературе).
И все же нельзя недооценивать опасности проник-
новения ложной занимательности в содержание вне-
учебных математических задач. Занимательность ста-
новится ложной, если она ведет к вульгаризации мате-
матических положений, упрощенчеству, неряшливости
изложения, словом, к математической некорректности.
Внеучебиые задачи предназначены преимуществен-
но для самостоятельной работы, поэтому неряшливость
и упрощенчество здесь особенно недопустимы, чтобы у
человека, недостаточно искушенного в математике, не
укрепились вредные навыки и неверные представления.
Занимательность не должна переходить границы мате-
матической корректности. К сожалению, редакции не-
математических журналов, а также сборников типа
«В часы досуга» не очень требовательны в этом отноше-
нии. Достаточно привести следующий пример. В журна-
ле «Огонек», 1953, № 26 предложена читателям следую-
щая задача: «Как из 45 (сумма, которая составляется
из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге
получилось 45?».
В № 27 журнала помещено следующее «решение»:
9-Ь8+7+6-Ь54-4+3-Ь2+1 =45
“ 1 +24-34-4+54-6-1-7+8+9 = 45
8+6+4+1 +9+7+5+3+2 = 45
Здесь в левых частях равенств выполняется вычи-
тание второй строки из первой, как если бы это были
числа 987 654 321 и 123 456 789. При этом получается
число, сумма цифр которого такая же, как у вычитав-,
мого и уменьшаемого.
Ни один педагог-математик не согласится принять
®ту задачу и ее «решение» даже как «математическую
6. Зак. 935.
81
шутку»— настолько чудовищно нелеп «прием» решения
задачи.
Занимательность здесь приняла уродливую форму.
Элементарная математическая корректность принесена
в жертву ложной занимательности.
ОБЩЕДОСТУПНОСТЬ
Одним из достоинств задач математической смекал-
ки является их общедоступность, так как решение боль-
шей части задач этой категории опирается на весьма
скромную математическую базу, в основном арифмети-
ческую и в небольших размерах алгебраическую и гео-
метрическую.
Общедоступность здесь не тождественна с легкостью
решения. Решение некоторых задач может быть про-
стым, доступным для понимания, но не каждый может
сообразить, как решить задачу, так как для решения
задач математической смекалки часто бывает недоста-
точно применения знакомых, привычных методов, а тре-
буется проявление сообразительности, изобретатель-
ности, находчивости, настойчивости, гибкости мышле-
ния, сноровки.
В ряде случаев и трудность задач рассматриваемой
категории в очень малой степени бывает связана с воз-
растом и образованием человека.
Даже взрослые часто дают неправильный ответ на
такой в сущности «детский» вопрос: «Двугривенный ве-
сит вдвое больше, чем гривенник, серебра в нем вдвое
больше и стоит он вдвое дороже. Что же дороже: кило-
грамм гривенников или полкилограмма двугривенных?»
Для многих, оказывается, совсем не очевидным, что
килограмм гривенников все же дороже, чем полкило-
грамма двугривенных.
Предлагалась и такая задача: одно приспособле-
ние экономит 40% топлива, другое — 35% и третье—
25%. Какой экономии можно достигнуть, если осу-
ществить сразу все три приспособления?
Преподаватель математики не сочтет эту задачу
трудной и для школьника. Однако же и студенты тех-
нических учебных заведений, и опытные инженеры из
числа тех, кому предлагалась эта задача, далеко не все
давали правильное решение.
82
Живой ум подростка находит иной раз неожиданно
простое решение задачи, казавшейся нам, взрослым, не
из легких и не весьма общедоступных.
Приведем пример. Известна такая задача: найти
прямоугольник с целыми сторонами, площадь которого
численно*равна периметру.
Ни один учитель, конечно, не предложит в учебном
порядке эту задачу ученикам VI класса, так как ее «ес-
тественное» решение сводится к решению в натураль-
ных числах уравнения:
2(х+у) =ху.
Как учебная задача она предполагает, следователь-
но, более высокое образование. Но действительно ли
это малодоступная задача?
Для девочки из г. Орджоникидзе, ученицы VI класса,
школьный путь решения был неизвестен, для нее это
была внеучебная задача, задача на смекалку, И девоч-
ка нашла блестящее решение. Вот оно. Искомый прямо-
угольник состоит из единичных квадратов (клеток)..
Рассмотрим «каемку» шириной в одну клетку, примы-
кающую к сторонам прямоугольника (черт. 17). Нетруд-
но заметить, что уста-
новить взаимно-одно-
значное соответствие
между клеточками ка-
емки и линейными еди-
ницами контура нельзя:
в контуре всегда на 4
единицы больше.
Принимая во внима-
ние условие задачи, за-
ключаем, что оставшая-
ся ^сердцевина14 должна
Черт. 17.
содержать 4 клетки. Четы-
ре клетки можно расположить прямоугольником
лишь двумя способами: 2x2 и 4X1-
Окаймляя их клетками, получаем два решения
(черт. 18). Задача имеет только два решения.
Строгая классификация задач рассматриваемого ти-
па по возрастному признаку не является определяющей,
поэтому относящиеся к этому типу задач сборники из
известной серии «Занимательных задач» Я. И. Перель-
мана, а также книга Б. А. Кордемского «Математиче-
83
ская смекалка» и др. принимаются в свои адрес как
школьниками от V до X класса, так и взрослыми самых
разнообразных профессий.
Черт. 18.
Тем самым указанные сборники отвечают педагоги-
ческому требованию, сформулированному А. С. Мака-
ренко, что книга не должна строго следовать за воз-
растным комплексом, она должна быть впереди этого
комплекса, должна вести читателя к тем высотам, на
которых он еще не был.
ПОЛИТЕХНИЗМ
В понятии «зрелость», знаменующем собой оконча-
ние подростком средней школы, среди прочих качеств
существенно важны в наше время и такие, как элемен-
тарная, но многосторонняя техническая * грамотность,
вкус к технике, практическая сметка и умелые руки —
словом, полная умственная и практическая подготовлен-
ность к овладению в дальнейшем любой определенной
производственной специальностью, Для приобретения
указанных качеств подросток должен не только обу-
чаться основам соответствующих наук, но наряду с
этим как можно больше быть в «производственной ат-
мосфере», как можно чаще вступать в активное сопри-
косновение с техникой.
Математика играет существенную роль в системе по-
литехнического образования и воспитания подростка.
«Если задача политехнизации школы требует в пер-
вую очередь овладения самой математикой как состав-
ной частью общего образования, как орудием познания
мира, то та же задача требует, чтобы математические
знания были действенными, чтобы они оказывали суще-
ственную помощь в деле освоения основ того или иного
84
производства» чтобы ученик мог и умел применить эти
знания в своей практической деятельности»1.
Совокупность внеучебных упражнений, развиваю-
щих математическую инициативу (поскольку в данной
работе идет речь лишь об этом виде творческой само-
деятельности), представляет собой богатейший резерв и
для школьной математики в свете задач политехниче-
ского воспитания.
Разумеется, книжные задания производственного
содержания, решаемые главным образом в воображении,
не могут и не должны заменить реальных производст-
венных заданий, выполняемых руками, инструментами,
приспособлениями, но они подготавливают к практиче-
ским действиям, дополняют их. Коллекция математиче-
ских задач на смекалку постепенно обогащается упраж-
нениями, укрепляющими в читателе представления ©ре-
альных отношениях между вещами и процессами, зада-
чами, развивающими конструкторские навыки и вовле-
кающими читателя в практические действия.
Примерами таких задач являются задачи на опреде-
ление длин, расстояний, высот и других величин, недо-
ступных для непосредственного измерения, или задача
на определение режима небольшой речки (ширины, ско-
рости течения, «живого сечения» и допустимого напора),
представленные в «Занимательной геометрии» Я. И. Пе-
рельмана1 2.
В письмах ребята сообщают, что под воздействием
книги они практически осуществляют решения предло-
женных задач.
«Я сам определил высоту дерева при помощи запис-
ной книжки и булавочного прибора. Высота 21 м. Раз-
ница в измерении обоих приборов в 50 см!» (Из письма
ученика Г., Тамбовская обл., станция Инаковка.)
«Почти все прочитанное я повторял на практике. Я
научился быстро при помощи дощечки с тремя булавка-
ми определять высоту дерева и ширину реки»- (Из
письма ученика Ф., Костромская область.)
В рецензии на «Математическую смекалку» проф.
Л. В. Канторович отмечает, что в этом сборнике «Очень
1 Из редакционной статьи «К вопросу о политехнизме», «Мате-
матика в школе», 1953, № 3.
2 Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, изд. 7—10
под ред. и с добавлением Б. А. Кордемского.
85
много задач, связанных с практической жизнью. Они
показывают, что рабочему и сельскому механизатору со-
образительность, математическая смекалка и знания
нужны ничуть не меньше, чем инженеру или ученому..
В особенности это относится к задачам геометриче-
ского характера, которым автор почти всегда -придает
наглядную форму...»1
Производственно-технические темы. Можно назвать
несколько производственно-технических тем, имеющих
большое количество точек соприкосновения с элемен-
тарной математикой, следовательно, достойных разра-
ботки и включения, если не в школьные математические
занятия, то во всяком случае во внеучебную математи-
ческую литературу.
Две темы указывает проф. Л. В. Канторович: «Хо-
телось бы, чтобы задачи производственного характера
были представлены еще полнее. Нужны, например, за-
дачи на самую выгодную, рациональную укладку мате-
риалов, задачи на рациональную последовательность
работ»* 2.
Эти важные и интересные темы организационно-про-
изводственного характера еще ждут своего развития-
Из имеющихся литературных материалов по указанным
темам можно отнести к рассматриваемой серии вне-
учебных математических задач пока только две статьи:
I) В. А. Ф е о ф и л а т ь е в. «К вопросу о плотной уклад-
ке дров»3 и 2) Н. А. М а ц к о, «Вычисление веса сена
в скирдах и стогах»4.
К этим же темам надо присоединить и задачи на ра-
циональный раскрой промышленных материалов, ориги-
нальные методы решения которых придуманы Л. В. Кан-
торовичем и В. А. Залгаллером (Ленинград) и изло-
жены ими в форме, доступной для каждого производст-
венника5. Известно, например, что для изготовления не-
которых деталей автомашины ЯГ-6 нужны прямоуголь-
ные заготовки размером I35XI61 мм2.
* Л. В. Канторович, Математическая смекалка и жизнь,
статья в газете «Комсомольская правда» от 28 июля 1954 г.
2 Т а м же.
3 «Математика в школе», 1949, № 5, стр. 26.
♦«Математика в школе», 1955, № 1.
° Л. В. Канторович и В. А. За л галл ер, Расчет ра-
ционального раскроя промышленных материалов, 1951.
86
Их приходится вырезать из листов размером
7)0X1420 мм2. Как произвести разметку каждого листа,
чтобы потери за счет обрезков были наименьшими, что
особенно важно при серийном выпуске этой продукции.,
Обычная, примитивная разметка, при которой пря-
моугольники располагаются подряд вдоль или поперек
листа (черт. 19), дает одинаковое количество заготовок
в обоих случаях — по 40 из листа.
Если же разделить площадь листа 1420X710 мм2 на
площадь одной заготовки 161X135 мм2, то получается
примерно 46 заготовок. Выходит, что при разметке, ука-
занной на чертеже 19, теряется шесть заготовок на
каждый лист. Конечно, технически невозможно добить-
ся такого раскроя, чтобы получились все 46 заготовок.
Но и 40 заготовок из листа — это все-таки не предел для
количества заготовок, которое можно получить из дан-
ного листа. Вариант
наиболее рацио-
нального раскроя
(черт. 20) дает 44
заготовки из листа,
т. е. 10% экономии
металла по сравне-
нию с обычными
вариантами раск-
рой.
Такой план наи-
более экономично-
го раскроя не слу-
чайная находка догадливого человека, а результат при-
менения специального математического расчета, так на-
зываемого метода разрешающих множителей, разра-
87
ботанного в 1949—1950 гг. Л. В. Канторовичем в сотруд-
ничестве с В. А. Залгаллером. Краткое изложение част-
ных случаев применения этого метода для рациональ-
ного раскроя листовых материалов имеется в книге
Б. А. Кордемского, Н. В. Русалева «Удивительный
квадрат» (1952).
Еще две темы можно озаглавить так: задачи на шар-
нирные механизмы и задачи, связанные с профессией
разметчика.
Шарнирные механизмы. В докладе на совещании по
вопросам педагогики И. А. Каиров перечислил элемен-
ты научных основ производства, составляющих содер-
жание политехнического обучения1. К ним, в частности,
относится «знание основ техники, системы передачи
энергии и движения (типы и устройство исполнительных
механизмов)».
Техника многообразна, но в этом многообразии есть
общие или по крайней мере широко распространенные
элементы. К таким часто встречающимся элементам раз-
ных механизмов (в том числе и исполнительных) отно-
сятся, в частности, шарнирные соединения Практиче-
ские упражнения в конструировании несложных шар-
нирных механизмов, например с целью применения их
к решению математических задач, являются не только
развлечениями, но имеют также и некоторый политехни-
ческий шуысл.
Нетрудно изготовить, например, шарнирный меха-
низм для построения правильных n-угольников, где
/г=5, 6, 7, 8, 9 и 10. Конструкция этого механизма и спо-
соб употребления описаны в «Математической смекал-
ке» (второе и последующие издания).
Политехническое просвещение неизбежно приводит
нашего воспитанника, кем бы он пи был, к знакомству
с разнообразными кривыми (помимо окружности) и
прежде всего с эллипсом, гиперболой и параболой. Эти
кривые знакомы многим, но многие ли (в массе) умеют
грамотно построить их, многие ли знают о существова-
нии несложных для изготовления в любой мастерской
стержневых приспособлений для механического вычер-
чивания указанных кривых?
1 И. А. К а и р о в, О состоянии и задачах советской педаго-
гической науки, «Советская педагогика», 1955, № 3.
88
Существует несколько видов стержневых конструк-
ций для вычерчивания эллипса, гиперболы и параболы.
Рассмотрим для примера конструкцию Кемпбелла,
пригодную для вычерчивания любого из указанных ко-
нических сечений1.
Механизм состоит из шести звеньев, четыре из кото-
рых равны между собой и образуют ромб (черт. 21).
Черт. 21.
Стержни AN и РК имеют прорези, по которым могут
свободно скользить штифты М и С. Штифт М держит
чертящее острие.
Основное свойство этого механизма заключается в
его способности сохранять в процессе движения отрезки
МВ и MD равными между собой, что непосредственно
вытекает из равенства треугольников АМВ и AMD.
Расположение механизма для вычерчивания эллипса,
гиперболы или параболы показано соответственно на
чертеже 22 В последнем случае звено КР должно
скользить концом Р по прямой EEi, оставаясь все время
перпендикулярным к этой прямой.
В машинах часто встречается деталь, называемая
антипараллелограммом. Он применяется для преобра-
зования одной формы траектории движения в другую.
Инверсор Поселье, например, преобразовывает круго-
вое движение в прямолинейное. Изобретен он француз-
ским офицером Поселье (Peaucellier) в 1864 г. и неза-
1 См. А. А. Савелов, Замечательные кривые, Томск, 1938
• 89
висимо от него русским математиком Липкиным в
1868 г.1. Эти шарнирные механизмы также несложны
для изготовления и могут доставить много удовольст-
вия и пользы.
Шарнирными механизмами с надлежаще выбран-
ным количеством звеньев и расположением их можно
вычертить любую алгебраическую кривую, как это по-
казал английский математик А. Кемпе.
Тема производственной разметки. Хороший размет-
чик гармонично сочетает в себе математика, конструк-
тора, технолога, чертежника и художника. Он решает
1 Об этом упоминается в книге Е. И. Игнатьева «В царстве
смекалки», 1911, книга 3, стр. 46.
90
геометрические задачи на построение на самом предме-
те, пользуясь инструментами и методами, иногда им же
придуманными. Если он ошибается в разметке, ошибку
вслед за ним повторит токарь, сверловщик, фрезеров-
щик, обрабатывающие размеченную деталь,— получит-
ся брак.
Разметчик должен сам сообразить, как ему осущест-
вить разметку быстро и точно, с чего целесообразнее
начать, как изготовить приспособление или шаблон для
ускорения и упрощения работы. Чем выше математи-
ческая подготовленность и смекалка у разметчика, тем
более значительны его творческие успехи.
Деятельность разметчика очень ярко иллюстрирует
взаимную связь между знаниями и умением.
В «Математической смекалке» тема разметки пред-
ставлена описанием задач, решенных разметчиком ле-
нинградского завода «Электросила» имени С. М. Ки-
рова М. П. Бойцовым (№ 369 «Рабочие-геометры»,
№ 149 «Без потерь», № 163 «Задача для столяра», № 191
«Геометрия на шаре». Нумерация дана по второму из-
данию книги.)
§ 6. ЗНАЧЕНИЕ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ
НА СМЕКАЛКУ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
РАЗВИТИЯ И ДЛЯ ВОСПИТАНИЯ УМСТВЕННОЙ
АКТИВНОСТИ ПОДРОСТКОВ
РОЛЬ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК В ПОВЫШЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПОДРОСТКОВ
Математические задачи, решение которых требует
проявления многосторонней системы знаний и элементов
творчества, являются задачами повышенной трудности.
Умение решать задачи повышенной трудности справед-
ливо считается одним из критериев математического
развития человека.
Как же вырабатывается это умение? Каковы основы
и предпосылки математического развития, например,
у школьников? Обеспечивается ли математическое раз-
витие тренировкой в решении типовых задач, которые
занимают, как правило, значительную долю школьных
математических упражнений?
Опыты, проведенные А. В. Степановым1 на материа-
ла геометрических задач, привели к выводам, заслужи-
вающим внимания учителей и дающим ответ на постав-
ленные вопросы.
Положим, изучена некоторая группа теорем или
правил. Изучение сопровождалось решением только
типовых задач, т. е.: таких задач, решение которых ос-
новывается преимущественно на применении только что
изученной теории. Приобретены знания, выработался
навык в применении этих знаний к решению соот-
ветствующих задач, похожих на решаемые. В тер-
минах психологии: «в коре головного мозга образовался
куст ассоциаций, или иначе — система ассоциаций».
Положим, далее, что изучение другой группы теорем
или правил сопровождалось опять-таки решением толь-
1 А. В. Степанов, К вопросу о психологической природе
математического развития школьника (диссертация)4, 1952.
ко относящихся к ней типовых задач. Образовался
новый «куст ассоциаций».
В результате такого изучения программы выраба-
тывается некоторое многообразие ассоциаций у учащих-
ся, но это многообразие носит «кустовой» характер и не
образует цельной, единой «системы связей». Если зна-
ния и навыки ученика носят «кустовой» характер, то
такой ученик развит недостаточно, и решение задач по-
вышенной трудности ему недоступно.
Для успешного решения задач повышенной труд-
ности нужна легкость перехода от ассоциаций одного
куста к ассоциациям другого, т. е. нужны развитые
«межкустовые» или «межсистемные ассоциации». Так
называют ассоциации, соединяющие отдельные разделы
программы, объединяющие разрозненные кусты ассо-
циаций в единое целое.
Если в практике математических упражнений преоб-
ладает решение типовых задач, то прочных межсистем-
ных ассоциаций у учащихся при этом не образуется;
учащиеся не замечают связей между отдельными зна-
комыми им теоремами или разделами программы, необ-
ходимых для решения сколь-нибудь не трафаретных
задач.
Только систематическая работа по развитию меж-
системных ассоциаций создает, предпосылки для более
легкой выработки новых межсистемных ассоциаций и
одновременно является одним из важных процессов
математического развития школьника.
С этой точки зрения становится очевидным один
существенный недостаток школьных стабильных задач-
ников, в особенности задачника по геометрии: очень
мало задач, предусматривающих взаимосвязь между
различными разделами курса.
Таковы требования психологии, выполнение которых
содействует процессу математического развития школь-
ника. Преподаватель, естественно, должен учитывать их
в практике организации урока, домашнего задания, а
также в организации внеучебных занятий и досуга
воспитанников.
Покажем теперь, что тот же критерий богатства об-
разований межсистемных связей в применении к мате-
матическим задачам-смекалкам почти всегда выпол-
няется.
93
Задачи-смекалки по существу своей природы много-
связны.
Упражнения в решении таких задач способствуют
выработке «межсистемных связей».
Для подтверждения этого рассмотрим несколько за-
дач из сборника «Математическая смекалка».
Пример 1. Девять каких-либо целых чисел рас-
положить в форме квадрата так, чтобы получились оди-
наковые произведения чисел вдоль строк, столб-
цов и диагоналей квадрата.
Какие же связи здесь могут быть ассоциированы?
Этой задаче предшествовали упражнения в составле-
нии магических квадратов с постоянными суммами
чисел вдоль строк, столбцов и диагоналей.
Если теперь вспомнить правило умножения степе-
ней с одинаковыми основаниями и взять любое число,
например 2, в качестве основания степени, а показате-
лями степени сделать числа какого-либо магического
квадрата с постоянной суммой, например такого, как
на чертеже 23, то полученные числа образуют искомый
квадрат с одинаковыми произведениями (черт. 24).
4	9	2
3	5	7
8	1	6
Черт. 23.
Так как 4 + 9+2=4-]-3-}-8=4+5-4-6=...,
то 24 • 29'22=24 • 28 • 28=24 • 25 • 26=...
Известное правило алгебры, казалось бы не имею-
щее никакого отношения к поставленной задаче, приме-
няется в новых условиях. Более того, эту задачу (что
характерно и для других задач «Смекалки») можно ре-
шить и иначе,— основываясь на связях с другими
разделами алгебры.
Пример 2. Инженер, работающий за городом, еже-
дневно приезжает на станцию в 8 час. 30 мин. Точно в
это же время подъезжает к станции «Победа» и, не за-
держиваясь, отвозит инженера на завод. Однажды ин-
94
женер приехал на станцию в 8 час. и, не дожидаясь авто-
мобиля, пошел пешком к заводу. Встретив на пути
«Победу», он сел в нее и приехал на завод на 10 мин.
раньше, чем обычно. Какое время показывали часы в
момент встречи инженера с «Победой»?
Ситуация задачи совершенно лишена искусственной
«натянутости». Это — некоторое жизненное наблюдение,
требующее «математической обработки». Знакомые свя-
зи между величинами s, v и t поставлены здесь в непри-
вычные условия, что и побуждает мысль к поискам до-
полнительных связей.
Предположим, что ищущий решение этой задачи
захотел обратиться к помощи графика (очень целесооб-
разное направление решения). Расстояние от станции
до завода неизвестно и неизвестно время выхода «Побе-
ды» с завода, поэтому длина отрезка ОА (черт. 25)
и наклон прямой СВ — графика движения «Победы» —
произвольны. Масштаб по оси времени также произ-
вольный.
Черт. 25.
Для тех случаев, когда инженер приезжает на стан-
цию в 8 час. 30 мин., СВ — изображает движение
«Победы» к станции, a BD— от станции к заводу, при-
чем, очевидно, KD=OA, и так как скорость машины
предполагается неизменной, то Z.CBO=Z,DBK. Дви-
жение инженера пешком изображается прямой ОЕ с
произвольным наклоном и далее на «Победе» — прямой
Так как на этот раз инженер прибыл на завод
на 10 мин. раньше, то GK —10. Далее, LB=FD = GK = 10
и так как &.LEB — равнобедренный, то МВ = 5 и точке М,
95
т. е. моменту встречи инженера с «Победой», соответ-
ствует время 8 час. 25 мин.1.	4
Богатство и разнообразие межсистемных ассоциаций
здесь неоспоримо.
Пример 3- При помощи двух спичек образовать
изображение прямой линии и доказать правильность
построения. Доказательство потребует выполнения до-
полнительных построений, для чего разрешается поль-
зоваться любым количеством спичек.
Если построить из спичек три равносторонних тре«
угольника (черт. 26) с общей вершиной, то сумма углов
А-----------------при общей вершине со-
/\	.^\	ставит 180°, а спички, об-
/	\	/ X разующие основания двух
/	\	/ X треугольников, изобразят
z X / X прямую.
fНельзя не признать
развивающего значений
Черт. 26.	и за это£ задачей. }
Значение задач математической смекалки состоит
также и в том, что почти все они не менее чем школьные
упражнения педагогически целенаправлены: одни — на
укрепление навыков логического мышления, другие—•
на укрепление правильности математической речи,
третьи — на развитие осторожности в суждениях «по
аналогии», иные — на расширение представлений о раз-
нообразии и красоте геометрических форм, представле-
ний о связях математики с практической деятельностью,1
на укрепление конструктивных навыков самостоятель-
ной работы и т. д., а все в совокупности — на общее
повышение математической культуры тех, кто система-
тически упражняется в решении задач.
РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК
В ВОСПИТАНИИ УМСТВЕННОЙ АКТИВНОСТИ
Выявляя воспитательную сторону обучения матема-»
тике, еще М. Симон писал: «Свободное творческое уп-
ражнение собственных умственных способностей, само-
1 В «Математической смекалке» (изд. 2, стр. 517)) приведено
иное (арифметическое) решение этой- задачи.
96
стоятельное или принимаемое за самостоятельное реше-
ние задач, будь то задачи На построение, составление
уравнений, нахождение теорем и доказательство, испы-
тываемая при этом учениками радость творчества,—
вот что составляет самый важный в воспитательном от-
ношении элемент обучения математике, присущий почти
только ему, если оставить в стороне сочинения в стар-
ших классах»1.
Будем понимать «радость творчества», о которой го-
ворит М. Симон, как «творческую умственную актив-
ность», а воспитание творческой умственной активности
действительно является одной из важнейших целей обу-
чения математике; достижению этой цели во многом со-
действует самостоятельное решение задач, в том числе и
внеучебных математических задач на смекалку.
Справедливость последнего утверждения имеет соот-
ветствующие психологические предпосылки. Умственная
активность подростка проявляется прежде всего в его
отношении к учению: в понимании и усвоении изучаемо-
го материала, в организации своих домашних занятий.
При этом такая черта как внимание считается в пси-
хологии определяющим элементом проявления ум-
ственной активности.
По словам проф. Н. Ф. Добрынина, внимание при до-
статочном упражнении превращается в черту характе-
ра, что чрезвычайно важно и что чрезвычайно облегчает
выполнение всякой деятельности. Воспитание внимания
необходимо тесно связывать с воспитанием всей лично-
сти, ее стремлений, намерений и убеждений. Если акти-
визируется деятельность восприятий, памяти, мышления
и воображения школьника, то можно быть уверенным и
в том, что внимание его будет достаточно устойчивым
и сосредоточенным. Внимание, таким образом, показы-
вает активность деятельности учащегося.
Так как самостоятельное решение задач неизбежно
активизирует восприятие, память, мышление и вообра-
жение, то становится ясным, что систематические упраж-
нения в самостоятельном решении разнообразных мате-
матических задач способствуют укреплению сосредото-
ченного устойчивого внимания.
1 М. Симон, Дидактика и методика математики в средней
школе, 1912, стр. 43.
7. Зак. 935.
97
Характерная особенность математических задач-сме-
калок состоит в том, что они способны вызвать интерес к
результату решения, а заманчивость получения резуль-
тата вдохновляет на преодоление трудностей процесса
решения задач и тем самым содействует воспитанию
умственной активности. «Каждый знает по себе, как ре-
зультат делает интересным самый процесс достижения
этого результата... Замечательное свойство человеческой
психики заключается в том, что интерес к результату
легко становится интересом к самому процессу достиже-
ния этого результата»1.
Увлекательные упражнения гонят прочь интеллекту-
альную и волевую лень, тренируют мышление, выраба-
тывают привычку к умственному труду, потребность в
нем, воспитывают настойчивость в преодолении трудно-
стей, терпение, вызывают благотворно действующее
на организм радостное сознание успеха в случае само-
стоятельно найденного решения.
Включая материалы «на смекалку» в арсенал средств
воспитания, воспитатель приобретает прекрасное посо-
бие для разумного заполнения досуга воспитанников,
для игры, для ежедневной умственной гимнастики.
Для организации воспитания имеет значение и тот
факт, что именно через книги, относящиеся к жанру
произведений, содержащих математические задачи на
смекалку, нередко вырабатывается побудительный мо-
тив к изучению математики.
Воспроизведем несколько признаний самих ребят,
добровольно откликнувшихся письмами на прочитанную
ими книгу Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия».
Ученик Р. (Одесса) пишет, что до знакомства с кни-
гой «Занимательная геометрия» он полностью разделял
мнение своих друзей о бесполезности изучения геомет-
рических теорем. «При вторичном чтении этой книги у
меня пробудился интерес к изучению геометрии, вообще
математики».
Ученик Ж. из Ейска пишет: «Моя мама купила мне
эту книгу, когда я перешел в VI класс. Всегда я и мои
1 См. «Ученые записки», Московский городской педагогиче-
ский институт имени В. П. Потемкина, т. XXXVI, 1954; статья
Н. Ф. Добрынина «Проблемы активности личности, активности
сознания».
98
товарищи считали математику мучением. Когда я прочи-
тал книгу, она открыла мне много нового. Теперь я учусь
по алгебре, арифметике, физике, геометрии только на
«4» и «5», а в школе образовался математический кру-
жок...»
Ученик Г. (Москва) пишет, что до знакомства с кни-
гой «Занимательная геометрия» он совсем не интересо-
вался геометрией, хотя учится уже в X классе. «Раньше
я не увлекался геометрией, потому что мне она казалась
скучной, но теперь я очень много времени трачу на то,
чтобы решить как можно1 больше задач, которые связа-
ны с жизнью. Теперь я понял, что геометрия нужна поч-
ти везде. В школе я тоже стал серьезнее относиться к
геометрии...»
§ 7. ПРОЯВЛЕНИЕ ТВОРЧЕСКОЙ
САМОДЕЯТЕЛЬНОСТИ В РЕШЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК
По мере того как развивается математическая ини-
циатива, у человека появляется реальная уверенность в
своих силах, способностях. Возникает здоровое желание'
творческой пробы сил. Область математических задач-,
смекалок — широкая арена для проявления умственной
активности. Математик-специалист при желании находит
здесь материал для профессионального творчества, лю-
бой подросток и взрослый нематематик— материал для
самодеятельного творчества.
Самодеятельная творческая активность проявляется
прежде всего в стремлении найти свое решение задачи,
решение, отличное от того, какое сообщает автор «Сбор-.
ника задач». В коллекции упражнений «на смекалку»
много задач, допускающих различные решения. Особен- •
но велика бывает радость успеха, радость победы, глав-
ным образом, конечно, у подростков, когда им удается
обнаружить не предусмотренное автором дополнитель-
ное или более простое, более изящное решение. Приве-
дем несколько примеров.
Пример 1. Требуется расставить знаки «плюс»
между цифрами числа 1 2 3 4 5 6 7 так, чтобы в сумме
получилось 100 («Математическая смекалка», 1954, за-
дача № 53).
Ученица Т. (VI класс, Кемерово) нашла решение, до-
полнительное к приведенному в книге:
1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 100.
Пример 2. Автор сборника «Математическая сме-
калка» в первом издании показал, как можно изобра-
зить любое целое число от 1 до 25, употребляя каждый
раз точно пять двоек, и признался, что число 26 изо-
бразить аналогичным способом ему не удалось. Но автор
не утверждает, что решение невозможно, значит можно
100
попытаться найти его. Спустя некоторое
и было найдено учеником В. (Ленинград):
(26 =2-^+2).
время оно
Пример 3. Разрезать данный квадрат так, чтобы из
его частей можно было составить три квадрата с отноше-
нием площадей 2:3:4. В книге Б. А. Кордемского и
Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» эта задача ре-
шена при помощи деления данного квадрата на восемь
частей. Ученик С. (IX класс, Свердловск) придумал
более экономное решение.
Разрежем сначала данный квадрат на три части:
квадрат (I) и два прямоугольника (II) и (III) (как по-
казано на чертеже 27, а). Отношение площадей этих
фигур удовлетворяет условию: 2:3:4. Так как отноше-
ние большей стороны к меньшей в каждом из прямо-
угольников (II) и (III)
не превышает числа 4,
то способом, описан-
ным в книге «Удиви-
тельный квадрат», эти
прямоугольники мож-
но превратить в квад-
раты, разрезая каж-
дый только на три
части (черт. 27, б).
Всего получается семь
частей.
Пример
4. При помощи перегибаний квадратного
листа бумаги вписать в данный квадрат равносторонний
Черт. 28.
треугольник, имеющий с квадра-
том одну общую вершину.
Ученик В. (X класс, Москва)
предложил решение более про-
стое, чем то, которое приведено
в книге «Удивительный квадрат».
Пусть ABCD — квадратный
лист бумаги (черт. 28). Переги-
бая квадрат ABCD, получим его
среднюю линию EF. Следующее
перегибание произведем так, что-
бы вершина D оказалась на EF,
101
а образующаяся при этом линия сгиба AI прошла через
вершину А. Новое положение вершины D отметим бук-
вой G. Теперь перегнем квадрат по диагонали 4С. Точ-
ка / упадет на сторону ВС\ новое положение точки I
отметим буквой К. Образуем линии сгиба АК и IK. Тре-
угольник AIK — искомый.
Для доказательства образуем еще сгиб AG. По по-
строению, AK—AI, AF—'/zAB, /DAI=/IAGn /КАВ =
— /.DAI. Следовательно, /GAF/DAG~3Q°,
/DAI = KAB=^^ =15°; ZM/(=90°—15°—15°=60°,
но так как AI—AK, то ДА1К — равносторонний.
Пример 5. Свойство четырехзначных чисел, под-
меченное Капрекаром (Индия): если из цифр любого
четырехзначного числа составить наибольшее возмож-
ное число М и наименьшее возможное число т, вычис-
лить разность М—т, то же самое проделать с получен-
ной разностью, то после нескольких повторений этой
операции непременно получится число 6174.
Ученик Ш. (X класс, Краснодар) совершенно пра-
вильно редуцировал доказательство к испытанию лишь
тридцати чисел и указал эти числа. В__самом деле,
пусть	тогда М — abed, т — deba и
г— M—m~(a—d)(b — 1—с)(с— 1 -J-10 — b)(d-\-10 —я).
Сумма крайних цифр числа г равна 10, а сумма средних
цифр равна 8. Следовательно, дальнейшему испытанию
достаточно подвергнуть такие четырехзначные числа, у
которых одна пара цифр 1 и 9, или 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6,
5 и 5, а вторая пара — 0 и 8, или 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4.
Соединяя каждую пару цифр первой группы с каждой
парой цифр второй группы, получим 25 возможных раз-
ностей г:
1) 1089	6) 2088	11) S087	16) 4086	21) 5085
2) 1179	7) 2178	12) 3177	17) 4176	22) 5175
3) 1269	8) 2268	13) 3267	18) 4266	23) 5265
4) 1359	9) 2358	14) 3357	19) 4354	24) 5355
5) 1449	10) 2448	15) 3447	20) 444'5	25) 5445.
В тех случаях, когда		a—b=c^>d, или а=		-b'>c'>d, или
a=b^>c—d, также легко установить, что сумма крайних
цифр разности г равна 9, а сумма средних цифр равна
18. Это дает еще пять возможных разностей г:
26) 0999; 27) 1998; 28) 2997; 29) 3996 и 30) 4995.
102
Непосредственное испытание этих тридцати чисел
приводит в каждом случае к разности 6174.
Пример 6. Товарищ С. (Московская область) вно-
сит некоторые изменения в способ приближенного деле-
ния окружности на п равных частей, описанный в книге
Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия» (седьмое
и последующие издания).
Разделим диаметр d данной окружности О на п рав-
ных частей. От произвольной точки А данной окружно-
сти отложим вдоль радиуса АО и на его продолжении
отрезки AO\=AO2=O2B==-d (черт. 29). Построим ок-
ружности с центрами в точках Ot
г = -d. Из точек А и В как из цент-
п
3 ,
ров радиусом, равным г — -а, про-
ведем дуги так, чтобы они пере-
секли окружности Oj и О, соот-
ветственно в точках С и D. Про- ‘
ведем прямую DOX до пересече-
ния в точке Е с данной окруж-
ностью и затем—'^прямую ЕС до
пересечения в точке Е с данной
окружностью. Дуга АЕ и будет
составлять приблизительно -часть
данной окружности.
Опуская соответствующие вы-
числения, приведем лишь табли-
цу оценок возможных погреш-
ностей:
и О2 и радиусами
Черт. 29.
п	3	5	6	7	8	9	10	20	40	60	360
Погреш- ность в %	0	0,07	0	0,13	0,15	0,25	0,28	0,56	0,74	0,83	2.9
Так как ЛЕОХО, или смежный с ним (когда точка
ниже точки О), составляет всегда приблизительно
19°6'20", то можно упростить построение и . ускорить
отыскание точки Е, если к циркулю и линейке добавить
заранее изготовленный прямоугольный треугольник с
углом, равным 19°6'20".
Пример 7. Инженер 3. (Одесса) получает разно-
103
образные тройки пифагоровых чисел при помощи по-
строения квадратной рамки, равновеликой данному
квадрату.
Разрежем данный квадрат по пунктирным линиям
на четыре равные полосы и примем ширину полосы за 1
Черт. 30.
Черт. 31.
(черт. 30, а). Если из полученных полос составим квад-
ратную рамку, равновеликую данному квадрату
(черт. 30, б), то внутренняя и наружная стороны рамки
будут равны соответственно 3 и 5. Числа 4, 3 и 5 образу-
ют пифагорову тройку.
Разрежем каждую из четырех полос параллельно
большей стороне на две равные полоски, вновь примем
ширину полоски за 1 и из получившихся восьми полосок
составим квадратную рамку, равновеликую данному
квадрату (черт. 31). Теперь внутренняя и наружная
стороны рамки будут равны соответственно 15 и 17.
Числа 8, 15 и 17 образуют пифагорову тройку.
Разрезая каждую из первоначальных полос не на две,
а на три полоски, аналогичным приемом получим пи-
фагорову тройку чисел: 12, 35 и 37. Вообще, разрезая
каждую из первоначальных полос на п равных полосок
и складывая из 4/2 полосок рамку, равновеликую данно-
му квадрату, получим тройку пифагоровых чисел: 4ft,
4/г2—1 и 4/г2 + 1, где 4/г2 — 1 и 4/г2 + 1 соответственно
размеры внутренней и наружной сторон рамки, если ши-
рина каждой из 4/г полосок принята за 1.
В самом деле, легко проверить, что (4/г)2-f-(4/г2—1)2=
= (4/г2-{-1)2.
404
Пример 8. Инженер Н. (Йошкар-Ола) с детства
упражняется в решении задач «на смекалку». Для не-
элементарных задач часто он находит оригинальные,
остроумные решения.
Так, например, остроумно он применил принцип Ка-
вальери к вычислению площади, ограниченной циклои-
дой и отрезком оси Ох на сегменте [О; лг].
Черт. 32.
На чертеже 32 кривыеОР/7 и FBO — полуарки циклоид
с производящим кругом ACBD-, легко видеть, что
MN — PQ и, следовательно, заштрихованный двойной
сегмент OPFQO равновелик кругу ABCD.
Следующий шаг творческой самодеятельности со-
стоит в попытках самостоятельной разработки обобще-
ний задач. Приведем примеры.
Пример 1. Ученик Л. (X класс, Тбилиси) быстро
«в уме» возводит в квадрат двузначные числа ab по
следующей, выведенной им формуле: (а2 + т) (/~Н)я.
где а2+т—число сотен, l-\-t— число десятков и п —
число единиц искомого квадрата, причем т — частное,
а /—удвоенный остаток от деления на 5 произведения
ab\ t — число десятков, а п — число единиц у Ь2.
Положим, требуется найти 872. Схема решения:
72 =	4	9	(9	единиц),
' + 2	—
6	(.6	десятков),
75~	~	(75	сотен),
8'7=5- и
82 =+64
итак, 872 = 7569.
105
Пример 2. Если 4 точки расположены в форме
квадрата, то их можно перечеркнуть не менее чем тре-
мя прямолинейными отрезками, не отрывая карандаша
от бумаги. 9 точек при тех же условиях — не менее чем
четырьмя отрезками, 16 точек — шестью отрезками, 25
точек — восемью отрезками и т. д. (черт. 33).
Товарищ П. (Москва)' экспериментально установил
зависимость между количеством х точек (для х>4) и
наименьшим числом у требующихся отрезков:
у = 2(/х —1).
Пример 3. Врач Л. (Курск) рассматривает изве-
стный треугольник Паскаля под другим «углом зрения»
и находит формулы для сумм чисел каждой строки:
S
	1	1	1	1	1	1	1	1		« ~г
1	2	3	4	5	6	7	8	9		п(и +•) 1-2
1	3	6	10	15	21	28	36	45		п(п+1)(п +2) 1-2-3
1	4	10	20	35	56	84	120	165		n(n-+-l)(zi-+-2)(n-f-3) 1-2-3-4
1	5	15	35	70	126	210	330	...	...	• - •
1	6	21	56	126	252	462		...	...	
1	7	28	84 |210		462		...	...		• *
1	в	36	120 |ЗЗО							
1	9	45	165	..	...	...	...	|...	1-	
1	т									п(л-Н). •	—1) пг!
106
Пример 4. Число 145 интересно тем,что оно равно
сумме факториалов своих цифр: 145= 1!+4!+5! Таким
же свойством, очевидно, обладают числа 1 и 2. Дейст-
вительно: 1 = 1! и 2 = 2!
Имеются ли еще числа, обладающие тем же свойст-
вом?
Исследованием вопроса занялись студенты Г. (Таш-
кент) и К. (Елец) независимо друг от друга. Оба они
пришли к выводу, что если исключить соглашение:
01 = 1, то в десятичной системе счисления нет больше
чисел с таким свойством. Но если принять, что 0! = 1,
то указанным свойством обладает еще только одно чи-
сло: 40 585. Действительно, 40 585 = 4! + 0! + 5! -{- 8! -f- 51
Число это нашел студент Г. В двоичной системе таких
чисел только два: 1 = 1!и10=1!+0!
Исследование студента К. оказалось недостаточно
полным, но зато он нашел четыре числа, каждое из ко-
торых лишь на +1 или на —1 отличается от суммы
факториалов его цифр: 1466, 81 368, 372 970 и 372 973.
Пример 5. В книге Я. И. Перельмана «Занима-
тельная геометрия» (седьмое и последующие издания)
рассказано о том, как без измерений можно найти ве-
личину начерченного на бумаге угла (способ 3. Рупей-
ки из Каунаса). При осуществлении этого способа тре-
буется построение окружности с центром в вершине
начерченного угла.
Студент Л. (Минск) развивает способ РупеЙки при-
менительно к такому случаю, когда невозможно по-
строить полную окружность с центром1 в вершине начер-
ченного угла. В этом случае надо построить окружность
с центром в любой точке так,
чтобы она прошла через вер-
шину угла и пересекла обе сто-
роны угла (черт. 34). Далее
действуем так же, как в спо-
собе Рупейки: от точки А на
окружности откладываем по-
следовательно при помощи
циркуля хорду АВ в одном и
и том же направлении до тех
пор, пока ножка циркуля опять
совпадет с начальной точкой А. Откладывая хорды,
мы должны- считать, сколько раз за это время бу-
107
дет обойдена окружность (положим, п раз) и сколь-
ко раз будет отложена хорда (положим, $ раз). Тог-
да искомый угол будет равен Z:
В том случае, когда вершина О угла АОВ находится
вне листа бумаги (черт. 35), надо построить произволь-
ную окружность, пере-
секающую стороны угла
в четырех точках. Тогда
формула для вычисле-
ния угла АОВ примет
вид: Z.AOB
180° • п
1
где /—число, показываю-
щее сколько раз откла-
дывалась разность хорд
АВ и CD.
Пример 6. Товарищ Ш. (Винницкая область) на-
шел 7 простых чисел, составляющих арифметическую
прогрессию:
7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.
Кроме того, он подобрал формулу для оценки числа
«близнецов» в интервале [1000, 8000]; если л (п,— коли-
чество простых чисел, не превышающих дар (п)— ко-
личество «близнецов», то
А. 1"(”>1,<р (п)<А.1Мп)1\
3 п	2 п
Например, для п = 3000 верхняя и нижняя границы
для р (я) есть 92 и 82, а точное число «близнецов» р (п)—
=82; для п = 8000 верхняя и нижняя границы дляр(/г)
есть 190 и 169, а точное число «близнецов» р (п) = 173.
Им же составлена еще и такая задача: найти разно-
сторонний треугольник, в котором стороны (а, b и с) и
биссектрисы (1А,	1с) выражаются целыми числами.
По его утверждению, наименьший треугольник, удов-
летворяющий условию задачи, имеет следующие разме-
ры:
а = 106 608 411
/> = 97 146 126
с = 78 852 375
1А = 76 744 800
1в = 78 101 400
1с = 93 837 744,
Пример/,	Чехословацкий	связист	Мирослав Соу-
куп (Прага) прислал два новых		придуманных им, Эра-	
тосфенова решета. Первое решето: /7=	96 ± 8 54 ± 6	72 ± 7 24 ± 4 36 ± 5 48 ± 6 6 ± 2	12 ±3	18 ±4	24 ±5		• • • • • •	6/7+1—составное
0 ± 1	0 ± 2	0 ± 3	0± 4	• • • .	
6 ± 0	12 ± 1	18 ± 2 24 ± 3	• • •	6/7—1 —составное
24 ±0 /7=	36 ± 1	48 ± 2 54 ± 0 72 ± 1 96 ±0	::: .  и	
Принцип составления этой таблицы ясен без объясне-
ний. Средняя строка делит таблицу на верхнюю и ниж-
нюю части. Число 6/7—1 — простое, если в нижней
части таблицы нет числа Н. Число 6/7+1 — простое,
если в верхней части таблицы нет числа Н. Напри-
мер, сверху нет /7=13, следовательно, 6-13+1=79 —
простое; внизу есть Н= 13, следовательно, 6 • 13—1 =77—
составное. Число 149 — простое, так как 149 = 6-25—1,
а числа /7=25 нет в нижней части таблицы.
Второе решето. Соукуп строит на основании
следующего положения: если И не является полным
квадратом и Н x2(mod. 6х±1) то 3627— 1—простое
число. Примеры: 27=30 не является полным квадратом,
но 30=22 (mod.6.2+1), 30 == 4 (mod. 13), следователь-
но, 36-30—1 = 1079—число составное; Н= 27 не яв-
ляется полныхМ квадратом и нет такого х, которое удов-
летворяло бы сравнению 27 = х2( mod. 6х±1 ), следова-
тельно, 36-27—1=971 — число простое.
Всемерной поддержки заслуживают попытки состав-
ления аналогичных и новых оригинальных задач, попыт-
ки самостоятельной разработки новых математических
предложений. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Комсомолец Н. (Днепропетровская об-
ласть) сочиняет стихи и придумывает оригинальные за-
дачи, например: «В классе был составлен список дежур-
ных. Каждый день должен дежурить один ученик по
списку. Начал дежурство ученик восьмой от конца
109
списка. Далее все дежурили по порядку. После дежур-
ства последнего в списке приступил к дежурству первый
в списке и далее опять по порядку до конца списка.
Потом снова первый по списку, далее второй, и на этом
дежурства были закончены. Средний в списке, из тех,
кто дежурили по одному разу, дежурил шестнадцатого
марта. Когда же дежурил средний по всему списку?
Ответ. 19 марта.
Пример 2. Ученик Г. (Баку) придумал способ де-
ления правильного шестиугольника на такие пять тре-
угольников, из которых можно составить либо прямо-
угольник, либо ромб (черт. 36).
Черт 36.
Пример 3. Кандидат технических наук Р. (Ленин-
град) придумал следующую задачу: Заменить буквы
цифрами (определенную букву определенной цифрой)
так, чтобы написанное арифметическое действие оказа-
лось справедливым.
четыре
четы р^е
восемь
Ответ автора. ч=2, е = 3, т=9, ы = 1, р = 5.
Пример 4. Химик А. (Ленинград) алгебраическим
путем нашел четырехзначное число, любая степень ко-
торого оканчивается теми же четырьмя цифрами. Таким
числом оказалось 9376.
ПО
Пример 5. Студентка Т. (Днепродзержинск) со-
ставила головоломку: разместить числа 1, 2, 3, 4, 5. 6.
7, 8, 9 в девяти клетках фи-	_____________
гуры, изображенной на чер-
теже 37, так, чтобы сумма
чисел в каждом столбце
была на 1 больше, чем в	|
предыдущем.	ч 37
Пример 6. Ученик Н. (XI класс, Болгария, г. Ка-
занлык) заметил, что если к произведению любых че-
тырех последовательных чисел натурального ряда при-
бавить 1., то получится полный квадрат.
Доказательство:	у == Y х{х + 1)(х + 2)(х + 3) +1 =
= У 4- бх2)”+ (х2 4- бх) + 10х2 + У=
=* УхЦх + 6) + Х(Х + 6)+ 10x2 4- 1 =
== Ух(х 4- 6)(х3 4- 1) + X2 4-1 + 9x2 = Y(xs + 1)(х24-6х+1) 4^9x2=
=У(х 4- О3 4- 6х(х2 411) 4- 9х'2 — Y (хг 4- 1 4- Зх)2 =х 2-}-3x -j- 1
Пример 7. Товарищ Б. (Полтавская область) раз-
работал интересный признак делимости на простые
числа. Пусть число десятков делимого равно т, число
единиц делимого равно п и число десятков делителя
равно р. Тогда:
I.	Если х — число, оканчивающееся цифрой 1, то
N~Wm+n и /V' = т^-п (9р 4-1), или N"~m—пр одно-
временно делятся или не делятся на х.
II.	Если х — число, оканчивающееся цифрой 3, то
N—10m-\-n и N' — т + п(3р +1) одновременно делятся
или не делятся на х.
III.	Если х — число, оканчивающееся цифрой 7, то
/V —\0т + п и N'~m + n(7p+5), или N"=m—п(Зр + 2)
одновременно делятся или не делятся на х.
IV.	Если х — число, оканчивающееся цифрой 9, то
/V = 10m4~n и N' = т + п(р+ 1) одновременно делятся или
не делятся на х.
Опуская доказательство этих теорем, покажем па
примерах их применение.
а) Определим, делится ли 176 297 на х=31.
111
Образуем последовательность чисел вида?7"=т—пр
(теорема 1). Здесь п = 7, р = 3. Далее,
	176297 —	21 17608 ~~ 24 1736 ~_18 155 ""15 0
Так как 0 делится на 31, то и N делится на 31«
б) Определим, делится ли N— 11 638 на х=23.
Образуем последовательность чисел вида V = т-^
Ч-п(Зр+1) (теорема II). Здесь п = 8, р = 2 и Зр + 1=7.
Далее,	11638 + 56 , 1219~ + 63 . 184 + 28 4б
Так как 46 делится на 23, то и N делится на 23.
в) Определим, делится ли Af=l 187 021 на 59.
Образуем последовательность чисел вида N' — mV
,'Ч-р + 1)« (теорема IV).
Здесь п = 1, р = 5 ир + 1 =6. Далее,
	, 1187021 +	6 , 118708 т 48 11918 + 48 1239 4- 54 177" +42 59
Так как 59 делится на 59, то и V делится на 59,
Приведенные примеры проявления творческой мате-
матической самодеятельности — их можно было бы зна-
чительно умножить — показывают, что математическими
упражнениями могут быть увлечены «и стар, и млад», а
культурное и воспитательное значение их неоспоримо.
КРАТКИЙ ПЕРЕЧЕНЬ КНИГ, СОДЕРЖАЩИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ВНЕУЧЕБНЫХ
ЗАНЯТИЙ
1.	Андреевский Н. В., Методы, формы и содержание мате-
матических кружков (диссертация), 1954.
2.	А р е н с В., Математические развлечения и игры, 1911.
3.	А ф о н и н а С. И., Внеклассная работа по математике в стар-
ших классах средней школы (диссертация), 1952.
4.	Б а л к М. Б., Организация и содержание внеклассных занятий
по математике, 1956.
5.	Баше Клод-Гаспар, Игры и задачи, основанные на ма-
тематике, 1877.
6.	Берман Г. Н., Число и наука о нем, 1954.
7.	Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фи-
гуры, 1956.
8.	Б р а д и с В. М., X а р ч е в а А. К-, Ошибки в математических
рассуждениях, 1938.
9.	Б у т т е р Ив., Занимательные и увеселительные задачи и за-
гадки, 1884.
10.	ВорЪнец А. М., Математические развлечения, 1931.
11.	Германович П. Ю., Вопросы и задачи на соображение,
1956.
12.	Германович П. Ю., Вопросы и задачи на соображение
(алгебра, геометрия и тригонометрия), 1957.
13.	Гершензон М. А., Только-сколько (арифметические задачи-
шутки), 1934.
14.	Де пм ан И. Я., Рассказы о математике, 1954.
15.	Дерн-ов Н. проф.. и Коваль П., Игра цифр, 1934.
16.	Дубнов Я. С., Ошибки в геометрических доказательствах,
1953.
17.	Зетель G. И., Задачи на максимум и минимум, 1948.
18.	Игнатьев Е. И., Математические игры и развлечения, 1904.
19.	Игнатьев Е. И., В царстве чсмекалки, кн. 1, 2, 3, 1907—
1911 — первое издание, 1923—1925 — последнее издание.
20.	Канторович Л. В. и 3 а л г а л л е р В. А., Расчет рацио-
нального раскроя промышленных материалов, 1951.
21.	Колмогоров А. Н., О профессии математика, 1952.
22.	Колосов А. А., Внеклассная работа по математике в стар-
ших классах, 1955.
23.	Колосов А. А., Книга для чтения по математике. Пособие
для учащихся VIII класса, 1958.
24.	К о р де м с к и й Б. А. и Рус алев Н. В., Удивительный
квадрат, 1952.
25.	К о р д е м с к и й Б. А., Математическая смекалка, 1954, 1955,
1956, 1957.
114
26.	Литцманн В., Веселое и занимательное в числах и фигу-
рах, 1923.
27.	Литцманн В., Великаны и карликй в мире чисел, 1925.
28.	Литцманн В., Теорема Пифагора, изд. 2, 1932.
29.	Литцманн В. и Трир Ф., Где ошибка?, изд. 2, 1932.
30.	Люка Э., Математические развлечения, 1883.
31.	Лямин А., Математические парадоксы и интересные задачи,
1911.
32.	«Математическое просвещение», сборник статей и задач, с 1934
года 13 выпусков и далее с 1957 года.
33.	«Математика в школе» — методический журнал, с 1940 года.
34.	«Методика преподавания математики», под общей редакцией
Ляпина С. Е., 1952.
35.	Минковский В. Л., Опровержение ложных доказательств
как средство для развития математического мышления учащих-
ся (диссертация), 1947.
36.	Нагибин Ф. Ф., Математическая шкатулка, 1958.
37.	Н а т а н с о н И. П., Простейшие задачи на максимум и мини-
мум, 1948.
38.	О б р е и м о в В. И., Математические софизмы, 1884.
39.	О б р е и м о в В. И., Тройная головоломка, 1884.
40.	Пайн Е., 25 задач, 1929.
41.	Перельман Я. И., Занимательная арифметика, изд. разных
лет.
42.	Перельман Я- И., Занимательная геометрия, изд. разных лет.
43.	П е р е л ь м а н Я. И., Занимательная алгебра, изд. разных лет.
44.	Перельман Я. И., Живая математика, изд. разных лет.
45.	П е р е л ь м а н Я- И., Занимательные задачи, изд. разных лет.
46.	П е р е л ь м а н Я. И., Геометрические головоломки со спич-
ками, 1941; Арифметические фокусы, 1941; Сильны ли вы в
арифметике?, 1941; Алгебра на клетчатой бумаге, 1940; Для
юных математиков, 1924, 1925; Загадки и диковинки в мире
чисел, изд. разных лет.	X
47.	Поляк Г. Б., Занимательные задачи, изд. 3, 1953.
48.	Поляков И. Е., Признаки делимости натуральных чисел на
любое простое число, 1954.
49.	Попов Г. Н., Исторические задачи, 1932.
50.	Р а д е м а х е р Г. и Теплиц О., Числа и фигуры, 1938.
51.	Со ми нс кий И. С., Метод математической индукции, 1952.
52.	С т е п а н о в А. В., «К вопросу о психологической природе
математического развития школьников» (диссертация), 1952.
53.	Тромгольт С., Игры со спичками, 1923.
54.	Успенский Я. акад., Избранные математические развлече-
ния, 1924.
55.	Фурре Е., Геометрические головоломки и параллогизмы, 1912.
56.	Ш и р о к о в В. Ф., Сборник арифметических задач на сообра-
жение, 1949.
57.	Ш кляре кий Д. О. и др., Избранные задачи и теоремы эле-
ментарной математики, ч. 1, 2, 3, 1954.
58.	Штейнгауз Г., Математический калейдоскоп, 1949.
59.	Шуберт Г., Математические игры и развлечения, 1911.
60.	Я г л о м А. М. и Я г л о м И. М., Неэлементарные задачи в
элементарном изложении, 1954.
ОГЛАВЛЕН И Е
Предисловие ........................................... 3
§ 1.	Внеучебные задачи и развитие математической инициа-
тивы у подростков и взрослых............................... 5
Математическая инициатива и внеучебные средства
ее развития.......................................... —
Две категории внеучебных задач......................... 7
Роль внеучебных задач в воспитании математической
инициативы.....................................'	. .	8
Внеучебные математические задачи на смекалку .	. .	12
§ 2.	Краткая историография математических задач	на сме-
калку 	 16
Классическое наследие ...............................   —
Первые отдельные сборники задач ...................... 21
Значительные работы ближайшего прошлого............... 25
Отечественные произведения....................... 38
Дополнительные сведения.......................... 44
§ 3.	Попытки систематизации математических	задач	на
смекалку......................................... 46
§ 4.	Несколько новых тем ................................. 50
Решетка точек........................................  51
Математика почти без вычислений.................. 60
§ 5.	Педагогические особенности математических	задач на
смекалку......................................... 67
Конкретность .......................................... —
Индуктивность.................................... 70
Возбуждение интереса . . .	  72
Занимательность.................................. 74
Общедоступность.................................. 82
Политехнизм...................................... 84
§ в.	Значение внеучебных задач на смекалку для	матема-
тического развития и для воспитания умственной актив-
ности подростков...................................... 92
Роль задач-смекалок в повышении математического раз-
вития подростков ..................................... —
Роль математических задач-смекалок в воспитании умст-
венной активности.................................... 96
§ 7. Проявление творческой самодеятельности в решении
математических задач-смекалок ....................... 100
Краткий перечень книг, содержащих математические упраж-
нения для внеучебных занятий ....... , .	114
Цена 2 руб. 10 коп.