ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
И. П. НАТАНСОН
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
НА МАКСИМУМ
И МИНИМУМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 5 0 ЛЕНИНГРАД

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т. е.
не требующие знания дифференциального исчисления) спо-
собы решения задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов сред-
ней школы, желающих получить хотя бы общее пред-
ставление о характере задач, рассматриваемых в высшей
математике. Излагаемый материал может быть использо-
ван и в работе школьного математического кружка.
Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического
института или университета, даже и «посвящённому» в тай-
ны математического анализа, будет полезно прочесть такую
книжку. Дело в том, что мощный аппарат дифференциаль-
ного исчисления даёт общие и однотипные приёмы, позво-
ляющие решать задачи самого разнообразного характера,
лишь быв них требовалось найти экстремум конечной ком-
бинации элементарных функций. Используя эти приёмы,
вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуаль-
ное своеобразие той или иной задачи. А использование
этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу
проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приёмов.
Положение дел здесь таково же, как и с арифметическими
задачами: применение мощного аппарата алгебраических
уравнений позволяет игнорировать индивидуальные осо-
бенности таких задач, но чисто арифметическое решение
часто бывает проще, быстрее и красивее алгебраического.
1*	3
Ассортимент алгебраических 'средств, применяемых в
этой книжке, очень ограничен: использованы лишь про-
стейшие свойства квадратного трёхчлена и неравенство,
относящееся к арифметическому и геометрическому сред-
ним. Это сделано в интересах наибольшей простоты из-
ложения. Читателю, желающему ознакомиться с более
сильными, но всё ещё элементарными приёмами решения
задач на максимум и минимум, можно рекомендовать
книги: И. Б. А бель сон, Максимум и минимум,
ОНТИ, 1935 и С. И. Зете ль, Задачи на максимум
и минимум, Гостехиздат, 1948.
И. Натансон
17/XII 1949 г.
ВВЕДЕНИЕ
В технике и естествознании, на производстве и в
быту встречается особый тип математических задач. Это—
так называемые «задачи на максимум и минимум». Вот
примеры таких задач:
1)	Из круглого бревна выпилить прямоугольную балку
так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.
2)	Из имеющихся досок можно построить забор длиной
в 200 метров. Требуется огородить им прямоугольный
участок земли, имеющий наибольшую площадь.
3)	На стене виспт картина. На каком расстоянии от
стены она видна под наибольшим углом?
4)	На какой высоте надо повесить лампу, чтобы по-
лучить наибольшую освещённость?
Во всех этих задачах, несмотря на их различие, мы на-
ходим общие черты: всюду речь идёт о том, как при
разнообразных возможностях использования наличных
средств добиться наилучшего эффекта. Нет надобности
говорить о том, насколько важно умение решать такие
вопросы. В математике созданы очень сильные и общие
способы для решения подобных задач; изучаются они в
дифференциальном исчислении.
Однако во многих случаях удаётся решить такую
задачу и без привлечения сложного аппарата дифферен-
циального исчисления, а пользуясь лишь простыми сред-
ствами элементарной алгебры. В этой книжке как раз
и излагается несколько способов решения задач на ма-
ксимум и минимум без помощи высшей математики *).
Конечно, такие способы применимы лишь в отдельных
случаях, но их полезно знать даже и тем, кто знаком
и с дифференциальным исчислением.
*) В частности, решаются и вышеприведённые четыре задачи,
I. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КВАДРАТНЫХ
ТРЁХЧЛЕНАХ
§ 1. Рассмотрим две величины х и у, связанные равенством
у = 2х2 4 7.	(*)
Если мы положим, что х — 3, то увидим, что у 25.
Если мы дадим х другое значение, например х = 10, то
получим у — 207. Вообще мы можем дать величине х
любое значение, какое только нам захочется, по когда х
уже примет это выбранное памп значение, то у примет
своё значение, так сказать, «автоматически», ибо оно
будет определяться равенством («•) и уже не будет зависеть
от нашего произвола. Такое положение вещей математики
характеризуют, говоря, что у является <]'ункцией от х. Сама
величина х называется при этом независимой переменной.
Поставим вопрос о том, есть ли среди значений,
которые принимает функция у [определяемая равенст-
вом (*)], самое большое? Легко видеть, что такого самого
большого из значений у не существует. В самом деле,
если независимая переменная х будет принимать значения
= 1, х2 = 10, х3 — 100, х± = 1000, ....
то соответствующие значения функции у будут
^ = 9, у2 = 207, у3 = 20007,	= 2000007, ...,
откуда видно, что наибольшего значения у у нет.'
Совсем другой ответ мы получим, если спросим себя,
имеется ли среди значений функции у самое меньшее.
В самом деле, как показывает равенство (*), функ-
ция у является суммой двух слагаемых: 2х2 и 7. Второе
из них, т. е. 7, есть некоторое постоянное число, не
6
зависящее от значения х. Что же касается первого сла-
гаемого 2х2, то оно, очевидно, нн при каком значении х
не может оказаться*) отрицательным, т. е. меньшим
нуля. Однако равным нулю это первое слагаемое 2ж2
может быть сделано, а именно при x — Q. Таким образом,
первое слагаемое 2ж2, а с ним и вся сумма 2ж2 + 7, при-
нимает своё самое меньшее значение при х0 = 0. Это
наименьшее, или, как говорят, минимальное, значение,
очевидно, есть 7, что записывают так:
У МИН = 7.
С помощью таких же соображений легко показать,
что каждая из функций
у = 5х2 + 3, у = 9ж2 + 4, у = 2х2— 5, у = Зя2 —11
обладает сходными свойствами: наибольшего значения
она не имеет, а наименьшее имеет, причём для всех
четырёх функций это наименьшее значение достигается
при х0 — 0 и равно соответственно
Умин = 3, Умни = 4, Умин ~	5, Умаи~ ~'!!•
§ 2. Рассмотренные только что примеры очень просты.
Источником этой простоты служит то обстоятельство,
что функция у представлялась в форме суммы двух сла-
гаемых, из которых одно было постоянным, а другое,
будучи квадратом (с некоторым положительным коэф-
фициентом), не могло оказаться отрицательным.
Сложнее обстоит дело в примере
у = 2ж2 — 12х + 93.
Чтобы иметь возможность применить ту же идею, что
и раньше, перепишем у в другой форме:
у = 2(х2 — 6х) -|- 93.
Теперь добавим в скобку такое число, чтобы в скобке
оказался полный квадрат:
у = 2 (х2 — 6ж + 9) + 93 —18
или
у = 2(х-3)а + 75.
Теперь мы можем применить те же соображения, что.
и выше. В самом деле, функция у представлена в форме
*) Мы не рассматриваем мнимых чисел.
7
суммы двух слагаемых, из которых одно (а именно 75)
не зависит вовсе от х, а другое 2 (гс—З)2 никогда не
делается отрицательным, но становится равным нулю,
когда х=3. Поэтому наша функция имеет наименьшее
значение умин = 75, достигающееся ею при х = 3.
Что касается наибольшего значения нашей функции,
то его не существует, в чём легко убедиться, полагая,
например,
Ж1 = 13, х2 = 103, х3 = 1ООЗ, ...
Соответствующие значения функции у будут
У! = 275, у2 = 20 075, г/3 = 2 000 075, ...
Аналогично решается пример
у = За;2 + 24х + 50.
Опуская пояснения, которые понятны сами собой, имеем:
у == 3 (х2 + 8а;) + 50,
у = 3 (а;2 + Зх + 16) + 50 — 48,
у = 3 (х + 4)2 + 2.
Стало быть, функция у примет наименьшее значение при
х0 = — 4, причём это наименьшее значение есть
У МКН ~ 3.
Вот ещё один пример:
у = 5х2— 50x4-39.
Здесь
•&0 ~ Умин ~	86
(через х0 мы постоянно будем обозначать то значение
независимой переменной, которому отвечает наименьшее
значение функции).
§ 3. Не следует думать, что всякий квадратный трёх-
член (так называется рассматриваемый вид функции)
имеет наименьшее и не имеет наибольшего значения.
Например, у функции
у = - Зх2 + 8
очевидным образом имеется именно наибольшее, или, как
говорят, максимальное, значение
Z/макс = 8,
принимаемое ею при хо = О. Напротив, наименьшего зна-
чения у неё нет.
8
Точно так же у функции
у — — 4ж2 + 40ж — 73
нет наименьшего, но есть наибольшее значение, в чём
мы убеждаемся с помощью следующих преобразований:
у = — 4 (ж2 — Юж) — 73,
у = — 4 (ж2 — Юж 25) — 73 + 100,
у = -4(ж-5)2+27,
откуда при ж0 = 5 получается
У макс — 27.
§ 4. Итак, некоторые квадратные трёхчлены имеют
наименьшее, но не имеют наибольшего значения, другие же,
наоборот, имеют наибольшее и не имеют наименьшего
значения. Внимательный читатель, вероятно, уже заме-
тил, что характер трёхчлена определяется знаком его
старшего коэффициента. Чтобы установить это с полной
строгостью, рассмотрим вопрос в общем виде.
Пусть имеем квадратный трёхчлен
у = ах2 + Ьх + с.
Здесь коэффициенты могут быть любыми вещественными
числами: положительными и отрицательными и даже обра-
щаться в нуль. Однако старший коэффициент а во вся-
ком случае должен быть отличен от нуля, ибо иначе у
не содержал бы вовсе члена с ж2 и не был бы квадрат-
ным трёхчленом.
Преобразуем у следующим образом:
г/ = а(ж2 + 2^- ж4)-]- с,
Ь>
С Ьа 1
X
у = а \^х‘ 4-
Полагая для краткости
Ь2
с — г- = М,
4а
получим окончательно:
у = а (х +	+ М.
Важно заметить, что М есть некоторое постоянное
число, полностью определяемое коэффициентами а, Ь и с
и совершенно не зависящее от значений независимой
переменной ж.
9
Различим два случая.
1) Если а > 0, то первое слагаемое а (х + никогда
не делается отрицательным, но при
Ь
х° = 2а
обращается в нуль. Поэтому функция у имеет наимень-
шее значение, равное М:
Умин — М,
и не имеет значения наибольшего.
2) Если а < 0, то по тем же соображениям оказывается,
что
2/макс = М,
причём это значение достигается при
Ь
х° Та’
а г/мин не существует.
Заметим, что как наименьшее, так и наибольшее значе-
ние функции называется её экстремальным («крайним»)
значением. Поэтому всё сказанное можно резюмировать
в виде следующей теоремы, являющейся для нас основной.
Теорема. Квадратный трёхчлен
у = ах2 + Ьх + с
имеет экстремальное значение, принимаемое им при
Ъ
2а
Это значение оказывается наименьшим, если а > 0, и
наибольшим, если а < 0. Если существует уМакс, то y„BS
не существует, и наоборот.
Заметим ещё, что, как мы видели выше, это экстре-
мальное значение всегда равно
i/экстр = М 1
или, подробнее,
j/экстр — С £- •
10
Однако этого последнего равенства запоминать не нужно,
потому что ведь это есть значение нашего трёхчлена при
Ь
х = хо = “2i-
Значит, достаточно подставить в трёхчлен число
Ь'
вместо х, чтобы получить величину уэкстр.
Примеры.
у = Зх2 — 12ж -|- 8,	ж0 = 2,	| Умни —	-4;
у — —2х2 + 8х — 3,	Хо = 2,	Умакс —	5;
у = 2х2 + 20ж + 17,	я0 = —5,	У мин —	-33.
II. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ТЕОРЕМЫ
§ 5. Покажем, что доказанная в § 4 теорема позво-
ляет решить большое число самых разнообразных кон-
кретных задач.
Задача 1. Разложить данное положительное число
А на два слагаемых так, чтобы их произведение оказа-
лось наибольшим.
Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых
через х. Тогда второе слагаемое будет равно А — х, а их
произведение
у = х(А - х),
или
у = — х2 + Ах.
Таким образом, вопрос привёлся к нахождению такого
значения х, при котором этот квадратный трёхчлен по-
лучит наибольшее значение. По теореме § 4 такое значе-
ние заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент
равен — 1, т. е. отрицателен) и равно
А
хо~ 2 •
В таком случае
А — ж0 = у
и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.
11
Например, число 30 допускает такие разложения:
30= 5 + 25,
30= 7 + 23,
30 = 13 + 17,
30 = 20 + 10,
30 = 29+ 1,
30 = 30+ 0,
5-25 = 125,
7-23 = 161
13-17 = 221,
20-10 = 200,
29- 1= 29,
30- 0= О
Черт. 1.
Все полученные произведения меньше, чем 15-15 = 225.
§6. Задача 2. Имеется проволока длины I. Тре-
буется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник,
ограничивающий по возможности
наибольшую площадь.
Решение. Обозначим (черт. 1)
одну из сторон прямоугольника че-
рез х. Тогда, очевидно, другая его
- I
сторона будет — — х, а площадь
^=*(4-®) -
или
S = — ж2 + -^ х.
Эта функция принимает своё наибольшее значение при
Z
+>= * »
что и будет искомым значением одной из сторон прямо-
угольника. Тогда другая его сторона будет
l	I
2	Ж<> — Г ’
т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полу-
ченное решение задачи можно резюмировать в форме сле-
дующей теоремы.
Теорема. Из всех прямоугольников, имеющих один и
тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.
Замечание. Нашу задачу легко решить также
с помощью результата, полученного при решении за-
дачи 1. В самом деле, мы видим, что площадь интере-
сующего нас прямоугольника есть
Иначе говоря, 5 есть произведение двух сомножителей х
и у —х. Но сумма этих сомножителей есть
т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сводит-
I	.
ся к разложению числа у на два слагаемых так, чтобы
их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это
произведение будет наибольшим при равенстве обоих слага-
I
емых, т. е. при х = у .
§ 7.	Задача 3. Из имеющихся досок можно по-
строить забор длиною в 200 м. Требуется огородить
этим забором прямоугольный, двор наибольшей площади,
используя для одной стороны двора заводскую стену.
н
_________________________L
---------200-2Х--------
Черт. 2.
Решение. Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора
через х. Тогда другая его сторона будет равна 200 —2х,
а его площадь будет
5 = ж(200 — 2х),
ИЛИ
S = — 2а:2 + 200а:.
Согласно теореме § 4 наибольшее значение этой функции
достигается ею при
х0 — 50.
Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской
стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, па-
раллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор
должен иметь форму половины квадрата.
Замечание. Если бы мы и здесь захотели исполь-
зовать результат решения задачи 1, то непосредственно
это нам бы не удалось, ибо
8 = х (200 — 2х)
1?
есть произведение двух сомножителей, сумма которых равна
200 — х, т. е. зависит от х. Иначе говоря, мы не нахо-
димся в условиях задачи!. Однако с помощью небольшого
ухищрения можно всё же свести дело к задаче 1. В са-
мом деле, рассмотрим вместо 5 величину z = 2S. Так как
z = 2х (200 — 2х),
то эта функция есть произведение двух сомножителей, сумма
которых уже не зависит от х и, стало быть, гмакс дости-
гается при
2х = 200-2х,
откуда х = 50. Остаётся заметить, что функции S и z = 2S
достигают своих наибольших значений при одном и том же
значении х.
§8. Задача 4. Дан квадрат ABCD (черт. 3). От его
вершины отложены равные от-
резки Аа, Bb, Сс, Dd и точки
а, Ь, с, d соединены прямыми.
При каком значении Аа площадь
квадрата abed окажется наи-
меньшей?
Решение. Если положить
Аа = х,
то, очевидно, окажется
аВ — I — х
и, стало быть, по теореме Пифагора будет
ab2 — х2 -J- (I — х)2 — 2х2 — 2lx + I2.
Но площадь S квадрата abed как раз и равна ab2. Значит,
5 = 2х2 - 2lx + I2.
Поэтому наименьшее значение для S получится при
’ I
—"2 '
Таким образом, точки а, Ь, с и d нужно поместить в середи-
нах сторон основного квадрата ABCD.
§ 9.	Задача 5. Из точек А и В (черт. 4) по указан-
ным стрелками направлениям выходят одновременно пара-
ход и яхта. Их скорости соответственно равны
ип = 40 км/час, г?я = 16 км/час.
Через сколько времени расстояние между ними окажется
наименьшим, если
АВ = 145 км!
Решение. Отметим буквами П и Я положение парохода
и яхты через t часов после выхода из точек А и В. Тогда
ЛП = 40/ км, ВЯ = 16/ км,
и поэтому на основании теоремы Пифагора
ПЯ = /ЯП2 + ЯЯ2 = V (145-40/)2 + (16/)2,
откуда
П Я = V1856/2 — И 600/+ 21 025.
Наименьшее своё значение этот корень примет при том же
Черт. 4.
самом /, при котором будет иметь наименьшее значение под-
коренное выражение
z = 1856/2 — 11 600/ + 21025,
т. е. при
, Ilf 00 о 1
1 ~~ 3712 — 3 д' часа-
Итак, пароход и яхта окажутся на кратчайшем расстоянии
друг от друга через 3 часа 7 минут 30 секунд после
выхода из точек А и В.
§ 10.	Задача 6. В данный круг вписать прямоуголь-
ник наибольшей площади.
Решение. Обозначим через R радиус круга, а через х
сторону АВ искомого прямоугольника (черт. 5). По теореме
Пифагора окажется
ЯС = /4Я2 х2,

откуда для интересующей нас площади S получается выра-
жение
5 — х уЛ 47?2 — х2.
Эта функция достигает своего наибольшего значения при том
же самом х, что и функция y=S2. Но
у = z2 (4Я2 — х2).
Полагая x2 = z, получим:
y = z (/iR2 — z) = — z2 + 4H2z.
Значит, умакс достигается при z = 2R2, т. е. при х = R ]/2.
Это значение х можно было бы найти и не вводя величины г,
а опираясь на то, что у есть произведение двух сомножи-
телей с постоянной суммой 4Л2, откуда в силу результата,
полученного при решении задачи 1,
ж2 = 2#2 и x = RV2.
Замечая, что при АВ = х = R~\f2 будет
ВС = RV2,
мы видим, что искомый прямоугольник должен быть ква-
дратом. Таким образом, нами доказана следующая теорема:
Теорема. Из всех прямоугольников, вписанных в один
и тот же круг, наибольшую площадь имеет квадрат.
§11. Задача 7. В данный шар вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
16
Решение. Обозначим через Я радиус шара, а через г
и h соответственно радиус и высоту искомого цилиндра
Черт. 6.
(черт. 6). Тогда боковая поверхность цилиндра будет
5 = 2кг h.
С другой стороны, как видно из черт. 6, отрезки Я,
г и у h связаны соотношением
1/г2 + г2 = Я2.
4
Отсюда
Л = 2]ЛЯ2 —г2
и, стало быть,
5 = 4лг]ЛЯ2— г2.
Полагая, как и в предыдущей задаче, у = 82, получаем
у = 16гс2г2 (Я2 — г2).
Если ввести новую независимую переменную ж = г2, то у
будет выражаться через неё так:
у = 16п2х (R2 — х),
R2
откуда умакс достигается при х0 — — , т. е. при
/2	2 *
2 II. П. Натансон
17
Зная г, лёгконаходим и h — R 2. Замечая ещё, что для
искомого цилиндра оказывается h — 2г, мы видим, что
осевое сечение этого цилиндра есть квадрат.
§ 12. Задача 8. В данный конус вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
Решение. Обозначим через RnH данные нам радиус
основания и высоту конуса, а через г и h радиус и высоту
.0
искомого цилиндра. Тогда боковая поверхность цилиндра
будет
S = 2яг/г.
Но из подобия треугольников О АВ и OtA^B (черт. 7) вы-
текает пропорция
h __ R—r
Л ТГ ’
откуда
Л = 4(Я-г)
И
5 = 2я^-г(Л-г).
Эта функция принимает своё наибольшее значение при
r0 = R. Отсюда высота искомого цилиндра
ло=4(я-го) = тя-
§ 13.	Задача 9. В треугольнике АВС (черт. 8) про-
вести прямую ab, параллельную основанию АВ, так, чтобы
площадь прямоугольника abed оказалась наибольшей.
Решение. Положим
АВ = L, ab =• I, be = h
18
и обозначим через Н высоту CD треугольника АВС, опущен-
ную на сторону АВ. Из подобия треугольников АВС и аЬС
вытекает пропорция
J_=
L Н ’
откуда
Так как площадь интересующего нас прямоугольника abed
есть
S — hl,
то
S = ~h(H-h),
откуда б'лакс достигается при ha — — H.
III. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ НАХОДИТЬ
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
§ 14.	Вернёмся к задаче 1, решённой нами в § 5. Полу-
ченное там решение этой задачи приводит к следующей
теореме:
Теорема. Среднее геометрическое двух положитель-
ных чисел не больше их среднего арифметического
. (*)
В самом деле, пусть х и у — два положительных числа.
1	1
Обозначим их сумму через А. Числа — А и — А имеют ту
же сумму. Но так как эти последние два числа равны друг
другу, то (как было показано в § 5) их произведение больше,
чем произведение любых других двух чисел с той же сум-
мой, в частности, чисел х и у, т. е.
^<(4 У
(знак равенства приходится поставить потому, что ведь не
исключено, что х = у = — А). Вспоминая, что А = х + у,
г* 1?
видим, что
а это равносильно неравенству (*). Проведённое доказа-
тельство показывает также, что знак равенства в соотно-
шении (*) стоит тогда и только тогда, когда х = у.
Эту теорему можно доказать ещё по-другому, без ссылки
на результат § 5. Действительно, неравенство (*) можно за-
писать в равносильной форме
О —+
а в этой форме оно очевидно, ибо
х — 2\/ху + у = (\/х~ Уу)2 > 0.
Это доказательство также устанавливает, что в (*) имеет
место равенство тогда и только тогда, когда х - у.
§ 15.	Задача 10. Данное положительное число Р раз-
ложить на два положительных сомножителя так, чтобы
их сумма оказалась наименьшей.
Решение. Пусть Р каким-нибудь способом представ-
лено в форме произведения двух положительных сомно-
жителей х я у:
Р = ху (ж > 0, у >0).
Тогда в силу неравенства (*) окажется
х + у > 2 УР.
Итак, при любом выборе сомножителей их сумма не может
оказаться меньшей, чем 2 |/Р. Но, выбирая их равными, т. е.
полагая х — }/Р, у=\^ Р, мы очевидным образом прихо-
дим к сумме, равной 2 Р. Таким образом, 2 ~\f Р есть наи-
меньшее значение интересующей нас суммы, достигаю-
щееся ею тогда и только тогда, когда оба сомножителя
равны друг другу.
„	_	Р
Если обратить внимание на то, что у = -- , то полученное
решение задачи можно высказать в форме следующей
теоремы:
Теорема. Функция
z = x + 4 (^ > 0)
20
(в которой независимая переменная х принимает только
положительные значения) достигает своего наименьшего
значения гмин при х0 = j/P и только при этом значении х.
§ 16.	Задача 11. На вертикальной стене висит пла-
кат АВ. На каком расстоянии от стены должен стать
наблюдатель, чтобы угол 0, под которым он видит плакат,
оказался наибольшим?
Решение. Обозначим через К точку пересечения стены
с горизонтальной прямой, проходящей через глаз О наблюда-
теля (черт. 9). Тогда искомое расстояние есть ОК. Обозна-
чим его через х и положим
КА = а, КВ = Ь.
Если углы КО А и КОВ обозначить через а и р, то оче-
видно, что
0 = р— а.
Отсюда
tg 6 = tg (р - а) =	\ •
°	°	1 + tg * tg р
Но
tg а = — , tg р = — .
О X ’ о г X
Стало быть,
Так как наибольшее значение угла 9 будет достигаться
при наибольшем значении его тангенса, то наша задача
>1
сводится к нахождению такого значения х, при котором
дробь
Ъ —а
. ab
х 4-
х
будет наибольшей. Но её числитель постоянен. Значит,
нужно сделать наименьшим её знаменатель
. аЪ
х + — .
х
По теореме предыдущего параграфа искомое значение х
есть
хв = |/ ab.
§ 17.	Теорема § 14 допускает значительное обобщение,
которое представляет большой теоретический интерес. Сего
помощью нам удастся решить ещё целый ряд задач на
максимум и минимум. Это обобщение можно сформули-
ровать в виде следующей теоремы:
Теорема. Среднее геометрическое любого количе-
ства положительных чисел не больше их среднего ариф-
метического
п /---------_ х, 4- х2 + ... + X,
|/ ххх2 ...хп<	~ -------!
Доказательство. Приведём остроумное, хотя и
не очень простое, доказательство этой теоремы, предста-
вляющее собою весьма необычный вариант метода мате-
матической индукции.
Если п — 2, то интересующая нас теорема совпадает
с уже доказанной теоремой из § 14. Пусть и = 4. Тогда
по доказанному
/------------	Г х +х., х, + х.
)/ ХхХъХвХь = у \/ ХхХг.. у ХвХх < у ---- <
Xi 4- х% ®3 4- Хц
' ~2~+—Г~
< а
т. е.
‘ /----- ~ х, 4- х.2 4- 4- х.
/ ХхХ2Х3ХЛ < —---------1 .
Таким образом, теорема доказана для п = 4.
22
Пусть теперь « = 8. Тогда по доказанному
8/------------ Г 4, "	' ' J ' 1	— '---' _
у ХуХ2 ... Ха = у у Х^Х2Х3Х^ • у х3хах1хй <
Ж1 + *3 + Ж3 + Ж4 ®5 + *8 + Ж7 + ®8
Г	4	'	"4
и, стало быть, .
X; 4- х2 + Х3 + х4 х5 +	+ х7 + ха
4/------------ 4	+	4
у х 1^2 ... ха	,
586
что доказывает теорему для п = 8.
Аналогично, мы докажем эту теорему для п -16,
«=32, 71 = 64 и вообще для n = 2m. Это делается обыч-
ной индукцией по т.
Допустим теперь, что п не есть число вида 2"'. Тогда
мы сами выберем столь большое т, чтобы оказалось
2т > «.
Положим
Х1 +	+    + Яп д
и присоединим к нашим числам xlt х2, ... , хп ещё
2т — п чисел
1 А, Хд^-2 А, ... , Х2т А.
Тогда по доказанному
/---------------------------J_..,t®i4'®, + i4' ••• “I- •c2»i
у Х1 . . . XnXn-i J ... Х2>п
Отсюда
7 i,...	< *>+	.
Но так как
#1 + ^2 + • • • +	= nA,
то
+ хг + ... +х , + (2^-77) А	пА + (2т — п) А	.
2^	2^*	*
Поэтому предыдущее неравенство принимает вид
27 хгха ...	< А,
отцуда после возведения в степень 2т:
ад ... хпА*”-п < А* 2”*
23
и, стало быть,
ад ... хп<Ап,
т. е.
* /---+ •  • 4- х„
И ХуХ2 ... xn < А — -1----------3 .
Теорема доказана.
§ 18. Из доказанной теоремы вытекает возможность ре-
шения двух задач, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Задача 12. Данное положительное число А разло-
жить на п положительных слагаемых так, чтобы их
произведение оказалось наибольшим.
Решение. Допустим, что числа хи х2, ... , хп по-
ложительны и
+ #2 4~ ••• +Жп = Л.
Тогда по теореме § 17
ад • • • хп <	•
Итак, никакой выбор слагаемых не приводит к произ-
(Л \ п
— 1 . С другой стороны, при
А
а?! = а;2 = ... =	= — , очевидно, получается произведение,
/ Л \ п
равное ( ~ ) • Таким образом, все искомые слагаемые
должны быть равны друг другу.
Задача 13. Данное положительное число Р разложить
на п положительных сомножителей так, чтобы сумма
их оказалась наименьшей.
Решение аналогично решению задачи 12. Именно,
если
^1*^2 ‘ ‘	== Р »
то по теореме из § 17 будет
«1 + Х2 + ... + х„ > п Р.
Значит, никакой выбор сомножителей не приводит к сум-
ме, меньшей чем пУ Р, а так как при
«1 = ^2= • • • = Хп = У Р
получается сумма, равная п|/Р, то все искомые сомно-
жители должны быть равны друг другу.
84
§ 19. Пользуясь результатами § 18, можно решить
ещё целый ряд конкретных задач. Приведём несколько
примеров.
Задача 14. В данный шар вписать цилиндр наи-
большего объёма.
Решение. Сохраняя обозначения § 11, имеем выра-
жение интересующего нас объёма в виде
V = -rcr2h.
Но, как мы видели в § 11,
U 2 / Ж-Т2.
Значит,
V = 2кт-2	—г2.
Полагая z = ~V2, получаем:
2 = Г* (R2 -Г2),
причём z принимает своё наибольшее значение при том
же самом г, что и V. Так как
1	г2 г2
|Z = -L.L(fl2_r2),
1
то у z есть произведение трех сомножителей, сумма ко-
торых равна R2. Значит, наибольшим будет значение z,
отвечающее такому г, что
-2 г2
— = — = R2 — r2
2	2
Отсюда
§ 20. Задача 15. В данный конус вписать цилиндр
наибольшего объёма.
Решение. Сохраняя обозначения § 12, имеем вы-
ражение интересующего нас объёма в виде
V	= ~r2h.
Но, как мы видели в § 12,
A=f (Я-г).
Значит,
V	— тс^г2 (R — r).
25
Наибольшее значение V достигается при том же г, что
и наибольшее значение функции
являющейся произведением трёх сомножителей, сумма
которых постоянна. Значит, £Макс достигается при
2 D
т. е. при г= R.
§ 21. Задача 16. В данный шар вписать конус наи-
большего объёма.
Решение. Обозначим через R радиус шара и через г
и h соответственно радиус основания и высоту конуса. Из
Черт. 10.
черт. 10 ясно, что г—АВ есть средняя пропорциональная
между отрезками BD и ВС. Но
BD=h, BC = 2R — h.
Значит,
r2 = h(2R — h).
А так как интересующий нас объём есть
V	= ^-Ttr2h,
то
V	= ^-h2 (2R — h).
20
Вводя вместо V функцию
z = | . *-(2Я-Л),
принимающую одновременно с V своё наибольшее значение,
видим, что 2Макс достигается при
А = А =
т. е. при
о
курса
§ 22. Задача 17. Над центром круглого стола на
блоке висит лампа. На какой высоте следует поместить
эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую
освещённость?
Решение. Введём обозначения черт. 11. Из
физики известно, что сила света I
в точке А выражается формулой
где & —некоторый постоянный ко-
эффициент пропорциональности. За-
мечая, что
cos <р = -у ,
получаем, что
I = у sin ср • cos2 ср.
Рассмотрим вместо I величину
одновременно. Но
Z=T2^2'
ЯСНО, ЧТО 2маке и /макс ДОСТИГаЮТСЯ
z = sin2 ср • cos4 q,
откуда
1	» .cos2? cos2?
TZ=(l-COS2cp)-2-r • -g-Г
23
и наибольшее значение z достигается при
.	, COS2 ? COS2 ¥
1 - COS2 ? = -уГ = -у- .
т. е. при
При таком <р будет
t г 2
tg? = V
а так как
h — г tg ср,
то искомая высота есть
Ло = гКг ~ 0,7г.
§ 23. Задача 18. Дан прямоугольный лист жести
размерами 80 см х 50 см. Требуется вырезать около всех
его углов одинаковые квадратики так, чтобы после загиба-
ния остающихся кромок получилась открытая сверху
коробка наибольшей вместимости.
Решение. Обозначим через х сторону вырезаемого
квадратика (черт. 12). Нетрудно видеть, что объём V полу-
чаемой коробки будет
7 = а: (80-2а:) (50 —2а:).
Ясно, что попытка отыскания УмаКс заменой V на
z = ix (80 — 2а:) (50 — 2а:)
28
а последующим приравниванием всех трех сомножителей
друг другу обречена на неудачу, ибо уравнение
80— 2х = 50 — 2а-
неразрешимо.
Мы поступим иначе, введя в последний сомножитель
некоторый постоянный множитель к, выбор которого
уточним позже. Таким образом, мы будем вместо V рас-
сматривать величину
kV — х (80 — 2х) (50Л — 2кх).
Здесь сумма сомножителей не будет величиной посто-
янной, поэтому мы ещё дополнительно умножим первый
сомножитель на 2к 4- 2. Итак, вместо V мы будем изучать
функцию
z = [(2Л 4- 2) х] [80 — 2а;] [50 Л — 2кх].
При любом выборе к сумма сомножителей здесь постоянна
и равна 80 л- 50Л. Значит, наибольшее значение функция z
(а с ней и У) примет тогда, когда
(2к + 2) х = 80 — 2х= 50к — 2кх.
Таким образом, для отыскания х мы имеем два урав-
нения:
(2Л + 2) а; = 80 — 2х,
(2к + 2) х = 50 Л — 2кх.
Эти уравнения имеют следующие решения:
40	25/с
Х~к-\-2> Х~ 2к + 1‘
Для того чтобы задача была разрешима, нужно, чтобы эти
значения х совпадали, т. е. чтобы было
40	25/с	*
к + 2 ~ 2/с + 1 •	' '
Здесь и приходит на помощь то обстоятельство, что мы
можем распорядиться выбором числа к по своему желанию.
Именно, подберём к таким, чтобы выполнялось условие (*),
для чего нужно на (*) взглянуть как па уравнение, опре-
деляющее к. Решая это уравнение, находим для к два
значения:
А1 = 2, к2 = —
э
29
Однако отрицательное значение для к непригодно. Дей-
ствительно, по смыслу задачи множитель 50 — 2х, входящий
в состав V, должен быть положителен. С другой стороны,
чтобы можно было применить для нахождения zMaKC «способ
приравнивания сомножителей», нужно быть уверенным,
что все сомножители положительны. В частности, должен
быть положителен сомножитель
50/с — 2кх = А; (50 —2а;).
Но выражения
к (50 — 2х) и (50 — 2х~)
могут быть одновременно положительны лишь тогда,
когда к положительно.
Итак, для к необходимо выбрать значение
к-~2.
При таком выборе к для х получается значение
х— 10.
Таково решение задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видели выше, можно с помощью элементарных
алгебраических средств решить любую задачу, приводящую
к отысканию экстремального значения квадратного трёх-
члена
у — ах3 +	+ с.
В тех же случаях, когда вопрос приводится к нахо-
ждению наибольшего или наименьшего значения функции
более сложной природы, нам удавалось довести решение
до конца лишь с помощью того или иного искусственного
приёма, специально выбираемого для каждой отдельной
задачи.
Естественно спросить, существуют ли общие способы для
отыскания экстремальных значений функций любой при-
роды, а не только квадратных трёхчленов. Оказывается,
что такие способы есть, но, как уже было сказано во
«Введении», для их изучения необходимо привлечь аппа-
рат высшей математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................... 3
Введение ........................................ 5
I.	Основная теорема о квадратных трёхчленах .... 6
II.	Некоторые применения основной теоремы........11
III.	Другие теоремы, позволяющие находить наибольшие
и наименьшие значения функций....................19
Заключение.......................................31
Редактор А. 3. Рывкин.
Техн- редактор М. Д. Яислиновская.
Подписано к печати 31/VII 1950 г. Бумага 84х 108/а2. 0,5 бум. л., 1,64 печ.л.
1,Ы уч.-изд. л. 37 000 тип. зн. впеч. листе. Т-05954. Тираж 10 000 эка.
Цена книги 50 к. Заказ № 47 3.
16-н типография Союзполиграфпрома Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Москва, Трёхпрудный пер., 9.