Text
                    МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
Р.Ф. АППАЗОВ
Для служебного
пользования
Экэ.М?
РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ
РАКЕТ
МОСКВА - 1969


МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ Р. Ф. АППАЗОВ Для служебного пользования Экз. Me РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ (Учебное пособие для выполнения курсовых работ по баллистике) Утверждено на заседании кафедры 15 февраля 1967 г. МОСКВА - 1969
Зав. редакцией Л. М. БАНОВ
ВВЕДЕНИЕ Пособие рассчитано для использования при выполнении курсового задания по баллистике и содержит основные поло¬ жения, которыми следует руководствоваться при поверочно- проектировочном расчете траектории одно- и многоступенча¬ той баллистической ракеты с заданными конструктивными параметрами. Курсовое задание рассчитано на самостоятельную работу студента с использованием автоматической или полуавтомати¬ ческой электрической клавишной машины. Для выполнения задания требуется в среднем 20-25 ча¬ сов счета на машине. Данное пособие может быть использовано и при выполне¬ нии соответствующих разделов дипломного проекта. ЦЕЛЬ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Перед курсовым заданием по баллистике ставится цель- освоить основные приемы поверочно-проектировочного расче¬ та траектории с использованием методов численного интегри¬ рования уравнений движения и методов приближенного расче¬ та. В ходе выполнения задания затрагиваются некоторые эле¬ менты выбора программы угла тангажа. Варианты курсовых заданий целесообразно составлять с таким расчетом, чтобы в результате выполнения курсовых за¬ даний одной группой студентов, состоящей из 20-30 чел. .мож¬ но было бы исследовать влияние различных конструктивных параметров на дальность полета. Эти материалы могут быть в дальнейшем положены в основу выбора основных конструк¬ тивных параметров ракеты при дипломном проектировании. 3
Полученные результаты после соответствующей обработ¬ ки могут быть использованы как учебно-методический и демонстрационный материал при изложении курса проектиро¬ вания баллистических ракет дальнего действия. Помимо ознакомления студентов с вопросами расчета траекторий, задание преследует также другую цель: дать воз¬ можность проанализировать типичные условия полета ракеты, изменение основных параметров движения и сил, действующих в полете, а также использовать некоторые формулы эллипти¬ ческой теории полета для определения полной дальности по¬ лета и производных от нее по элементам конца активного участка. Предполагается, что рассчитанные в ходе выполнения курсового задания траектории будут использованы в следую¬ щем семестре при выполнении курсового задания по динами¬ ке специальных летательных аппаратов в качестве невозму - щенных траекторий. Круг технических задач, которые могут быть описаны достаточно простыми уравнениями, интегрируемыми в конеч¬ ном виде, весьма узок. Для решения большинства задач при¬ ходится применять численные методы, знакомство с которы¬ ми для инженеров весьма полезно. Б связи с этим в процес¬ се выполнения курсового задания студенты овладевают наибо¬ лее распространенными методами численного интегрирования уравнений движения ракеты. Обычно вопросам правильного ведения вычислений не уделяется должного внимания (по нашему мнению, этому во¬ просу должно быть отведено четыре лекционных часа в общем курсе математики). Поэтому в процессе выполнения курсово¬ го задания студенты получают минимально необходимые све¬ дения и из этой области. Этим преследуется также побочная цель - повысить общую культуру инженерных вычислений у молодых специалистов. СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ При проектировании ракеты последовательность работ та¬ кова, что на самом начальном этапе, сочетая проектно-бал¬ листические расчеты с весовым анализом, определяются в первом приближении основные конструктивные параметры, удовлетворяющие заданным летно-техническим характеристи¬ 4
кам, Здесь целесообразно применять методы приближенных баллистических расчетов, не требующих проведения больших вычислений. Это связано с тем, что ряд исходных величин, определяющих весовые и энергетические характеристики раке¬ ты, пока бывают известны с небольшой точностью и, следо¬ вательно, нет необходимости в проведении точных баллисти¬ ческих расчетов. После этого требуется уточнить основные конструктив - ные параметры, учитывая ряд конкретных условий полета ра¬ кеты, необходимо оценить устойчивость движения ракеты и уточнить состав и принципы работы системы и органов управ¬ ления; рассмотреть вопросы регулирования движения центра масс ракеты или процессы, протекающие в отдельных ее агре¬ гатах; рассчитать нагрузки, действующие на ракету в полете и при старте; определить температурный режим элементов в полете и т.д. Решение всех этих вопросов базируется на номинальной траектории ракеты, выполняемой как поверочно-проектировоч¬ ный расчет при выбранных (или заданных) конструктивных параметрах ракеты. Проведение подобного баллистического расчета и являет¬ ся основным содержанием курсовой работы. В зависимости от особенностей задания подготовительная часть работы и выбор формы траектории могут производить¬ ся по-разному, однако содержание курсового задания и этапы работы остаются одинаковыми для любых вариантов заданий. Первый этап работы заключается в определении конкрет¬ ных весовых и энергетических характеристик ракеты по за¬ данным в относительных величинах основным проектным пара¬ метрам. На втором этапе, имея в первом приближении ожидаемую дальность, определяем закон изменения наклона скорости к горизонту для первой части траектории, чаще всего — для 1 ступени многоступенчатой ракеты. Третий этап сводится к численному интегрированию урав¬ нений движения при заданном захоне изменения угла наклона касательной к траектории на 1 ступени полета. На четвертом этапе проводится расчет семейства траек¬ торий и отыскивается программа угла тангажа оптимальная в смысле реализации максимальной дальности. Расчет про¬ водится по конечным формулам без численного интегрирова¬ ния уравнений движения. 5
Пятый этап - определение с помощью формул эллиптичес¬ кой теории полной дальности, высоты вершины траектории, ментам начала свободного полета. Шестой этап - построение графиков и составление таблиц, иллюстрирующих основные результаты расчетов. Седьмой этап - написание пояснительной записки к офор¬ мление задания. Внимание! Нельзя приступать к выполнению зада¬ ния, не усвоив правил, данных в приложении 4. Рассмотрим поэтапно основные особенности и порядок вы¬ полнения курсового задания на примере расчете траектории двухступенчатой баллистической ракеты. Заданы следующие основные проектные параметры ракеты в относительных величинах: 1) суммарный относительный конечный вес, равный прояз- полного времени полета и производных от дальности по эл е- ПОРЯДОК И ОСОБЕННОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО ЗАДАНИЯ Первый этап ведению относительных конечных весов ступеней, ' У Kfj > (1) 2) отношение относительных конечных весов ступеней (2) 3) начальное отношение веса к тяге 1 ступени (3) или начальная перегрузка 1 ступени 6
n»j = jr1— = ; (4) 01 &0I V0I 4) начальное отношение веса к тяге П ступени V,- = -Iй- <»> *„г или начальная перегрузка П ступени +7 - Рп“ - ^ (й) "пй ~ я “ V _ (в' (здесь тяга П ступени берется в пустоте). 5) Отношение удельных тяг в пустоте и на земле для 1 ступени А,= ; <т> “ rv*oi 6) удельная тяга в пустоте для 1 ступени V • (8) 7) удельная тяга в пустоте для Г1 ступени К 8) нагрузка на мидель ~~$~н ; (9) р - (10) *м или,что то же самое г отношение начального веса ракеты к характерной площади, к которой отнесены аэродинамические коэффициенты, в частности коэффициент лобового сопротивле¬ ния Сv ; 9; зависимость коэффициента лобового сопротивления от чисел Маха ( М ), приведенная в приложении 2, и Рейнольдса ( Кб ) (хотя чаще вместо зависимости от числа Рейнольдса используется зависимость от высоты полета) может иметь вид 7
Сх=у(М,Яе) или с% = /(М,Ю . (Ю К перечисленным данным необходимо добавить еще одну ве¬ личину - отношение начальных весов ступеней . ®ой Л5=-д ) (12) 3 fr«r без которой задача является неопределенной. Величина A3 зависит от ряда факторов, среди которых определяющими явля¬ ются относительный конечный вес и начальное отноше¬ ние веса к тяге ыа * ступени. Величина Aj , как правило, задается непосредственно или ее можно определить по формулам вида С (131 с заданными коэффициентами CL , & и С . Заданные девять параметров вместе с зависимостью “ / ( W » Ь ) вполне определяют двухступенчатую балли - стическую ракету, если расчет траектории производится в от¬ носительных величинах. Если же расчет проводится в абсолютных величинах, то для перехода к ним задается абсолютное значение какого-ли¬ бо наиболее характерного параметра, например, начального веса ракеты Qqj , тогда по зависимости 1-П2 легко определя¬ ются абсолютные величины всех нужных нам параметров ра¬ кеты. Тяга на 1 ступени определяется из формулы (3) p^=&oi"hL' (14) Из формулы (12) определяется начальный стартовый вес П ступени Тяга в пустоте на ГГ ступени определяется из формулы (5) „ Рп 8
Из формулы (10) определяется площадь миделя з =4^- • (1?) 5м ри При совместном решения (1) и (2), рассматривая ик- и как искомые неизвестные, получим ' (18) (19) lK5 = \ УкЕ у Xi ~ Si Учитывая простые соотношения hi &к! № ffoB ' определяем конечные веса ступеней &к£ ~ &ol ' У'кI ' ^KS = &08 • Ц'кг ’ (21) Вес конструкции, отброшенной между 1 и П ступенями поле¬ та ^отб? = GKl ~ ' <22- Количество топлива, расходуемого на каждой ступени, полу¬ чаем по формулам 0«-0ох“<?к1 ’ (23) 0т = ha ~ 0т • (24) Удельную тягу на земле для 1 ступени определяем, ксполь - зуя соотношение (7) 0
УА nl УЛ01 (26) Для вычисления секундного расхода топлива £ пользуемся зависимостью * Рудп ' & 9 откуда (гг л I 01 Ув nj УА01 ПО УАЛи (26) Время работы двигателей на 1 и П ступенях; < g*i *К1“ ТГ1 1 &тй ^кп- "7— » &п здесь £ к п отсчитано от начала П ступени. Для проверки проведенных вычислений рекомендуется вос¬ пользоваться следующими соотношениями: (27) W ^ 01 -Руд 01 * ^ ^ J1' kj ) ' *Kffe ^nfi ' “^УАПЯ # ^ * (28) Текущее значение веса ракеты определяется на основании за¬ висимостей : &I = &ot ~ &I ' *1 > (?С = Goa ~ 6ц ' iij > (20) где ij и Ьп имеют нулевые значения для начала каждой сту¬ пени. * 10
Разность между тягой в пустоте я тягой на земле со¬ ставляет высотный (или статический) добавок и равна по ве¬ личине произведении* площади выходного сечения сопла на нормальное давление у поверхности земли р , т.е. 1о (30) Текущее значение тяги на 1 ступени вычисляется как рт = р - s, p-~i— » (3D I Гпт й р 0 Р а на П ступени оно практически постоянно, так как весь- ма мало и может быть принято за нуль. Г0 Второй этап Прежде чем начать расчет траектории, необходимо при¬ нять какие-то исходные положения, определяющие ее форму. Стремясь обеспечить максимально возможную дальность при заданных конструктивных параметрах ракеты, будем ста¬ раться получить в конце активного участка оптимальный, с точки зрения эллиптической теории, угол наклона касательной к траектории. Поскольку траектория еще не рассчитана и, следовательно, в нашем распоряжении нет элементов конца активного участка, этот угол первоначально можно опреде - лить очень приближенно. За исходную величину для определения оптимального уг¬ ла на данном этапе принимаем ожидаемую дальность полета, которая должна быть известна, так как предполагается, что нашему расчету предшествовал выбор основных конструктив¬ ных параметров ракеты, удовлетворяющих заданным летным характеристикам. Нашим поверочно-проектным расчетом долж¬ но быть подтверждено соответствие заложенных исходных данных ожидаемой дальности. Таким образом, ориентировоч¬ ное значение дальности считается известным, оно задается. Полезно также задаться примерными величинами дальности и высоты конца активного участка, пользуясь либо приблн - женными методами, либо оценивая сравнительно с существую щими образцами ракет. Если такой возможности нет, то можно принять их рав¬ ными даже нулю, так как в тех пределах, в каких обычно 11
находятся эти величины, они относительно слабо влияют на величину оптимального угла. Итак, полагая, что известны ожидаемые ориентировоч¬ ные значения полной дальности L , дальности конца активно¬ го участка и высоты конца активного участка Н^ , по формулам эллиптической теории определяем оптимальный угол наклона касательной к траектории относительно мест¬ ного горизонта (см. Cl], стр.125-128, задача 3) L -Ьк Вл в Ъ . (32) и ? еоп* = -ft , S м R COS 9C где Гк = R + hK 9 ft - средний радиус Земли, равный 6371,1 км. Необходимо учесть, что за время полета на П ступени направление вектора скорости изменяется, наклоняясь ближе к горизонту, если иметь в виду реализацию программ угла тангажа, близких к оптимальным. Это объясняется тем, что проекция силы тяжести на направление нормали к траектории превышает по абсолютной величине соответствующую проек¬ цию силы тяги. В зависимости от продолжительности П ступени, которая, в основном, определяется значением , превышение угла в конце 1 ступени над потребным оптимальным углом должно составлять 5-10 , причем для гмалых'^пп (0,4-0,5) следует ориентироваться на 5-6 , а для 'больших (0,7-0,8) - на 10- 12°. Таким образом, угол наклона касательной к траектории в конце 1 ступени должен составлять еМ1 = е°пт + (б ч 12°). Из практики известно, что получающиеся в подавляющем большинстве случаев законы изменения программы угла тан¬ гажа от времени для ракет с самыми разнообразными конст- , , лглвными характеристиками весьма близки к квадратной параболе, проходящей через точки при Ь = ii= 4 *- 10 сек l5 * в ; при Ь = I Kj 12 (33)
Причем в последней точке в 0. Параболу удобно представить в виде = a(bur- t)2 + ь<ьк1-ь) + с (34) Использование начальных условий (33) позволяет определить коэффициенты CL , Ь и С . Из формулы (34) следует т) = 2а(1к1 -1)+Ь • (35) Полагая ш 0 при t я iKj , находим, что Ь ■ 0. Далее, поскольку 1?*= при { = JK7 , из (34) следует, что С = "$кГ Используя условие при 1 = 1^, находим, что _ -Л 2 V| а = KI Таким образом, имеем следующие две зависимости для угла тангажа на 1 ступени (рис.1)' О «г I ^ bi; при *«1- s. -Т> . Т?=77 ГГ* С^т-^Г+А,. (36) Рис.1. Программа угла тангажа для 1 сту-
Значение 11 выбирается, как указывалось, в пределах 4 *- 4-10 сек, причем тем меньше, чем меньше значение V01 • Подобное изменение угла подобрано с учетом требо¬ вали равенства нулю углов атаки на протяжении всей 1 сту¬ пени за исключением небольшого участка от момента bi до достижения скорости, соответствующей числам М *0,7 *-0,8. На этом участке, вообще говоря, углы атаки могут до¬ стигать более или менее существенных величин (до 5-6 ), однако в силу малости скоростного напора аэродинамическая подъемная сила невелика. Тем не менее ее влияние по воз¬ можности учтено эмпирической зависимостью (86). На осталь¬ ной части траектории угол тангажа совпадает с иаправле - кием касательной к траектории. Что касается учета влияния углов атаки на величину продольных сил через коэффициент лобового сопротивления С$ , то оно пренебрежимо мало вви¬ ду малости углов атаки, а также небольшой величины лобо¬ вого сопротивления сравнительно с тягой на этом начальном участке. Третий этан Для расчета активного участка траектории используется какая-либо одна из двух рекомендуемых систем днфферен - цяальных уравнений движения (37) или (50), написанных в стартовой прямоугольной системе координат при следующих основных допущениях: Земля - равноплотный шар с радиусом R * 6371,1 км и массой М - 5,0763 *1024 к1; управление движением ракеты относительно всех степе¬ ней свободы - 'идеальное*; Земля вокруг оси не вращается. Начало стартовой системы координат располагается в точке старта, ось 'у ' направлена по радиусу Землн от ее центра, ось *х 0 - по касательной к поверхности Земли в точке старта в сторону цели (рис.2). При оговоренных выше условиях траектория представляет собой плоскую кривую, а уравнения движения в проекциях на касательную н нормаль к траектории имеют вид
dv P cosoe-x ri • Jf = m { ***•» - <LB di cty (Li da di 74tT 'зйг °* " f'cos®h! •o svnfl ; v cose; (37) is
здесь Ь - время, отсчитываемое с момента старта; Р - тяга двигателя; )( - лобовое сопротивление атмосферы; У - подъемная сила; т - масса ракеты; g - ускорение силы тяжести; «у - скорость ракеты относительно принятой систе¬ мы координат; 6 - угол наклона скорости к горизонту точки стар¬ та; бм- угол наклона вектора скорости к местному го¬ ризонту. Из чертежа (рис.2) видно, что р = ем - е» (38) где а - центральный угол, охватываемый начальным и те¬ кущим радиусами, проведенными от центра Земли к ракете, или угловая дальность. Угол атаки «е = - е ; (38) с& + Н)2 = х2 + (R +у)2 1 (40) где h - высота ракеты над поверхностью Земли, h = /х2 + (В + у)2' - К (41) Входящие в уравнения (37) члены определяются из следую¬ щих выражений: У - ?.• Т- • <42) 0 Здесь гп - тяга двигателя при его работе в пустоте; - площадь выходного сечения сопла двигателя; р и р - давление атмосферы на высоте % и у поверх- 0 ности Земли соответственно\ X =Cx,^'gM = • -~2 ■ Sm = —2&z 1— сж-о2 ’ (43) с Го 0М - площадь миделевого сечения; См “ коэффициент лобового сопротивления; 0 - плотность атмосферы на высоте h и у поверх- ♦ о ности Земли соответственно^ 16
y= c*q SM а = s“ P. f S„ ot -y- vy 4— C?K-lfi(44) lo Q06 - производная от коэффициента подъемной силы по углу атаки^ m = * (45) m0- начальная масса ракеты; d*n т -- —- - секундный расход массы, d/i Формула (45) записана в предположении постоянства се¬ кундного расхода массы: / Л «-влтгпг) ' (46> 6 - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, 0 Особенностью интегрирования системы уравнений (37) на 1 ступени полета является то, что закон изменения угла на¬ клона касательной к траектории по существу задан. Выше было показано, что имеются все основания принять 0 = *$ на протяжении всей 1 ступени. Таким образом, надобность в интегрировании второго из уравнений системы (37) отпадает и остается dv _ Р-Х л „, а . di ~ » d у ~сГГ = v dx = v cos -S (47) di e - . Кроме того, почте во всех случаях можно допустить сов- местное интегрирование только первых двух уравнений систе¬ мы (47), считая их независящими от X . 17
Основанием для этого служит то, что углы 0М и ( можно приравнять друг другу, пользуясь малостью угла сравнительно с самими углами 8 и бщ* и 9 fВ + у так как X почти всегда на два порядка меньше, чем Л . Тогда допустимо написать (48) к первые два уравнения системы (47) становятся независя¬ щими от третьего. Интегрирование для третьего уравнения сводится к вычислению интеграла после окончания интегрирования первых двух уравнений си - с темы. При расчете траектории 1 ступени можно принятьНжу , что следует из (41), так как Достаточно точно получается высота и при использовании гриближекной зависимости Ускорение силы тяжести не обязательно вычислять по формуле (46). а можно брать из заранее заготовленных таб¬ лиц 0 » допускающих линейное интерполирование между соседними значениями (см.приложение 6). Интегрирование должно проводиться до момента временя J , в точности соответствующего концу 1 ступени I . Как правило, этот момент не бывает кратным выбранному шагу интегрирования, поэтому процесс интегрирования проводится до ближайшего значения Ь , большего tKj . Элементы траек¬ тории для момента 1К- получаются квадратичным или кубичес¬ ким интерполированием между тремя или четырьмя последни¬ ми точками расчета. Наиболее удобно пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона (см.приложение З.Т. (40) О о 18
Этим заканчивается третий этап работы. Вместо системы (37) на третьем этапе можно исполь¬ зовать систему уравнений движения в проекциях на оси X и у стартовой системы координат; dxР sos# - Xoos8 -ysin.6 dt m gsinp; P aim?- Xsvnt? + Усобб m gcoep; dy ... —r~.— = v sin 0 , dt -4f- = v eos 0 . ci * При тех допущениях, которыми воспользовались для упро¬ щения системы (37), можно систему (50) привести х виду (50) di сИу и~ dy dl dx _ (Р“Х) COST? _ X = т ? В _ (P-X)Sim? _ m 5 ’ = t) aim? ; db - -0 COS 1? (•51) и пользоваться ею при интегрировании уравнений движения на 1 ступени полета. Интегрирование рекомендуется проводить методом Адам¬ са или Рунге-Кутта. Основные формулы даны в приложении 3. Бланки для ра¬ счета расписываются по форме, приведенной в приложении 5. 19
Четвертый этап Расчет траектории П ступени. Траектория П ступени мо¬ жет быть рассчитана численным интегрированием системы уравнений (37) или (51), если задана программа угла тан¬ гажа лНО • Лля отыскания оптимальной в каком-нибудь смысле (например, максимальной дальности) программы тре¬ буется просчитать ряд траекторий, отличающихся друг от друга за счет вариации программы угла тангажа. Так, задача обычно и решается с применением вычисли¬ тельных машин, когда расчет нескольких десятков траекто - рии никакой проблемы не составляет. Е курсовом задании мы применим другой метод, позволяющий обойтись без числен¬ ного интегрирования уравнений движения. Принимаемые при этом допущения несколько загрубляют окончательные резуль¬ таты, но все же точность этих расчетов вполне достаточна не только для курсовых и дипломных проектов, но и для мно¬ гих инженерных расчетов. Задача расчета траектории П ступени ставится так: за¬ даны* параметры движения в конце 1 ступени, они же являют¬ ся начальными для П ступени. Найти среди класса однопара¬ метрических (или двухпараметрических) программ угла тан¬ гажа такую, которая реализует максимум дальности, На двухпараметрических программах мы свободны выби¬ рать начальное значение программы угла тангажа и угловую скорость ее изменения на второй ступени. На одкопараметри- ческих программах мы выбираем либо начальное значение программы угла тангажа при заданной угловой скорости (обычно принимаемой за нуль), либо при фиксированном на¬ чальном угле тангажа (который обычно выбирается совпадаю¬ щим с углом в конце первой ступени) ищем оптимальное зна¬ чение угловой скорости. Все дальнейшие указания мы дадим для более общего случая двухпараметрических программ. Формулы для более простых случаев легко получаются из общих. Уравнения движения на П ступени напишем при условии отсутствия атмосферы, так как полет обычно происходит на высотах более 40-50 км. Таким образом, пренебрегаем со¬ противлением воздуха, а тягу принимаем постоянной и рав¬ ной ее значению в пустоте. В прямоугольных координатах (рис.З), начало которой находится в точке старта, можно написать £4]: 20
m x ~ P oos^ — тб ; my = P sin\^ “ *n S- э у (52) 0 = cu-ctg -r~ ; or =y X2 + y* ' Я= у x2 + + у) " R ’ _ i m P - ~ i ™ di ’ (53) ^ и ^ - проекдии ускорения силы тяжести на соответ¬ ствующие^ оси: 21
«X* *2 Нй + у) У»2 + (В + у)2 * - Я» у Х2 + а+у)2 уХ2 + а+у)2 1 Разложим g ^ и б в ряд Тейлора в окрестности нача¬ ла координат по степеням координат и ограничимся только первыми членами в этих разложениях: ^C5C,y)=Lco,o:)+С?") х+ С а ) у+‘“; *х V д х 'о,о Ч о у 'о,о g (*»*) ®LC0,0) + (•7^~) )С+("Г1_) *У *У V 3 X /0,0 \ оу ^0,0 ; Проведя необходимые выкладки, получаем (ЛиЛ /ЛЛ-0- ^ 3» hr, ~ г Ч Эу L j Со.о)«о; Далее обозначим /*У?; Р^^ЪьЬтГ'СтГ^0) и уравненяя (52) перепишутся так: (54) X + - с соатЯ = о ; (55) у + | у Sw х?- = 0 - Обозначая & = U , у = » можно эти два уравнения второго порядка записать как четыре уравнения первого порядка и + <?2Х -рсо$чЯ=0; ^ (5в) х - и - о ; I 22
го - 2<[2у - р sin-d + g = 0; v - го — 0. (56) Как видим, систему можно рассматривать как две неза¬ висимые системы, состоящие из двух уравнений каждая. Полу¬ ченные уравнения интегрируются в квадратурах, и мы полу¬ чаем uK = u0 cos <[Ь\ +1 р cos a?' cos cf (tK - Ь) di ; bo • t0 Ьц vK = гу0 оЯ (vT | +J jo swi^cHltS"1 bo bo I %dl~JTT sb(^ i r t*'* f^K \_щ$гп<{1 J +j p ct$ J I j (57) v — •к ~ iTi We shCf? +| pSin^ i-о h J Здесь интегрирование проведено от некоторой начальной точ¬ ки? г= ?0 до конечной точки Ь = На вид зависимости i£(?) никаких ограничений не наложено. Однако из решения вариационной задачи на максимум дальности нам известно. что линейная программа угла танга¬ жа практически полностью реализует максимальную дальность. 2S
Поэтому мы положим, что •О- - т?-к +■ ы (f к - Ь ) . Тогда формулы (57) сводятся к следующим формулам: uK = u0 cosl<^CiK-boy]^cos v“-KA - u>stn.x*KS “ --у(со2+?2)со$i}KD ; гок-vj0 сЯСУ?1 $(lK-b0)~\+bin ч?к A + u cost>k5~ — ~2~ С^‘_2сГ2) $ш,тЯкБ- yy! ^ bh^yT(f » XK= x0 +■ Uo(tK~f-o)+C08^K5_OJSin^KI? ; (58) i 2 ук=уо + г<)0 (£<k~ +S vn £ + to oos i5-K.D - у gФк-i3) . Здесь через A , В * Д обозначены интегралы (58) А = Л = j pin v0 ,tK 2 =j KaK-bfpdi Закон изменения p(i) может быть любым. Если ограни¬ читься случаем одного скачкообразного изменения р (т.е. тя¬ ги к массы) в некоторой точке Ь * Ь± , а на участкаxl04l 0-й участок) st (2~й участок) принять некоторые постоянные разные для разных участков значения 24
где Oqi ~ вес в начальной точке расчета, т.е. в начале 1-го участка; G02 - начальный вес после отброса конструкции, т.е. в начале 2-го участка; d& -j- соответствующие весовые секундные расходы с обратным знаком на каждом из участков, то ин- теграмы А , £ и Д имеют следующие выраже¬ ния: l-tt-lio Г,. \ 1-сс,Ьк . i-ctjb0 5 = ^ i-Otili l-CLz(.iK-tj) I -l. ln i-<x2(fK-*i> -I' Л I (60) h~> ] - ] + 2 ^ST-'^}- По полученным формулам проводим серию р>асчетов с целью отыскания оптимальной программы. При этом пользу¬ емся одним из следующих трех возможных вариантов.
Первый вариант - рассматривается семейство однопара¬ метрических программ с постоянным значением программно¬ го угла на П ступени (рис.4). = const *KT(t0) t Рис.4. Семейство однопараметрических программ с постоян¬ ным значением программы угла тангажа. Рекомендуется рассматривать 7 9 значений углов, от¬ личающихся от угла в конце 1 ступени как в большею, так и в меньшую стороны. Шаг можно выбрать порядка 5 . Второй вариант - семейство однопараметрических про - грамм с постоянным начальным углом, линейно зависящих от времени. Параметром является угловая скорость (см.рис5). Рис.5. Семейство однопараметрических программ,линейно зависящих от времени с постоянным начальным углом. 26
Значения угловой скорости рекомендуется выбирать в пределах _ гтах — Ьк~ hi > - к 1 Ьк - bi исследуя в этом интервале 7«-0 значений . Третий вариант - семейство двухпараметрических про - грамм, которое получается в результате варьирования как начальным значением угла тангажа, так и углевой скоростью. Параметры принимаются в тех же пределах, что и в преды¬ дущих двух вариантах. Нели для каждого параметра принять 3 значения, то не¬ обходимо провести всего 9 расчетов, если принять по 4 зна¬ чения, то 16 расчетов. В результате расчетов, проведенных на этом этапе, мы получаем кинематические параметры в конце П ступени для каждой из рассмотренных программ, т.е. , Ь0К , Хки у . Далее по очевидным формулам рассчитываем скорость V ^ , угол ее наклона к местному горизонту, дальность и высоту конца активного участка: = У и* +w2K' ®мк = ^ рк бк = агс h = Я* = V ос*; (62) 27
Пятый этап Расчет дальности полета и других параметров эллипса. Принимая параметры движения в конце активного участка за начальные условия для участка свободного полета, на кото¬ ром с хорошей точностью справедливы формулы эллиптичес¬ кой теории, определяем для рассчитанного семейства траек¬ торий полную дальность полета. Для этого пользуемся сле¬ дующей последовательностью формул (см.Ш, стр.120+*123,за¬ дача 1): ч Максимальную дальность лучше всего определить графи¬ чески, построив ее в зависимости от исследуемого парамет¬ ра программы (рис.6). Наиболее вероятно, что ни одна из рассчитанных дальностей не окажется совпадающей с макси¬ мумом построенной кривой. В этом случае из графика находим оптимальное значение параметра нашей программы, соответствующее максимуму дальности. Для этой точки вновь повторяем четвертый этап и расчеты по формулам (63) пятого этапа. Далее определяем ряд дополнительных характеристик траектории, исходя из фор- К = ум =M620*’fcei<l ’ гк= К + Ик i 2) а = 2R(i + tg20M)-(rK + R)VK ; 3) ъ - vK я tg 0М ; (63) +) с = vk(pk-b) =vK ; 6) Ь—tK + p(,'R •
и ло *5 30 55 Рис.6. Зависимость дальности от углах) . мул эллиптической теории (см. D3 , стр.133 *- 140, зада¬ ча 6): 1) р = VK‘ Гк COS2 9м “ параметр эллипса; 2) б = /i-(2"Vk) VK C0S20m ' “ эксцентриситет; 3) Dc = V —=- -C - незаторможенная f а скорость у поверх- ности Земли. Зд*“ . . ва-еЪ Vc - 2 $ (64) /—Р 1 т) COS 0wo = 1/ ——г5— - угол встречное по / JVNC If Vr Я Ъерхностью з ерхностью Земли для незаторможенной траек¬ тории. (Угол 9 мс берет¬ ся^ в четвертой четвер- . Р I Р 1 / arc cos + arc cos *> i'=r^-y—c—y;_^. ^ ^ ®mw ~ бмс I время полета на сво- ° ) бодном участке траектории; 20
$) т = £к+ - полное время полета; Г Т) Г, = Л к .— + 6) - радиус вершины * 2 V ^ траектории; 8) Нт = Г. - R - высота в вершине " траектории; O0S 0мк У у V* = , - скорость в вершине * + £ траектории: iO) h~ - время полета на сво¬ бодном участке до вершины траектории; I "Vk arc cos —g— ^ (64) Ifl = + ” время полета от стар- В * ^ та до вершины траек¬ тории. Далее вычисляются производные от полной дальности по¬ лета по начальной скорости, начальному углу наклона скоро¬ сти и начальной высоте полета (см. [О, стр.129 133, за¬ дача 5) 1L-- vK+ -Щ- (i Hg2 емк) sin2 -у- ■ tg 2-М— — ft vK(rK-a + Rtg0MK-^-^')
Ji— = 2 п‘ д бмк (i+^26MK>(VK-2tg0MIC4g Дг)&т,2 -^г- V к (rK - R, + & fy} 0МК "Is- ) ►(65) Шестой этап На шестом этапе готовится иллюстративный материал, наглядно представляющий результаты проведенной работы. Здесь прежде всего должны быть построены следующие гра¬ фики: 1. У ® / ( х) - траектория активного участка с размет¬ кой времени на ней (1 ступень); 2. гГш /( Ь ) - скорость полета; 3. / ( & ) - касательное ускорение; 4. Р = / ( £ ) - тяга двигательной установки; 5. Кв/( £ ) - лобовое сопротивление воздуха; 6. / ( £ ) - скоростной напор; 7. / ( £ ) - угол тангажа. Графики 2 и 3 могут быть совмещены на одном листе. Также могут быть совмещены графики 4,5 и 6. Графики долж¬ ны быть представлены на миллиметровке формата &Ъ Все масштабы должны соответствовать рекомендации ГОСТа. В расчетные бланки, содержащие результаты численного интегрирования траектории, должны быть включены промежу¬ точные результаты вычислений. Точность всех промежуточных вычислений так же, как и точность всего расчета в целом, должна выбираться в соот¬ ветствии с точностью исходных данных и конечных результа¬ тов. Количество значащих цифр в каждом действии должно строго соблюдаться, исходя из основных правил приближен¬ ных вычислений. Седьмой этап Выполнение задания завершается написанием пояснитель¬ ной записки, в которой излагается содержание и результаты 31
всей работы. В записке должны содержаться исходные дан- дые для расчета, уравнения движения с краткими пояснения¬ ми по каждому из характерных участков, конечные резуль¬ таты по каждой ступени и траектории в целом, интерполя¬ ционные формулы, по которым проводилось интегрирование, формулы эллиптической теории, использованные в расчетах, пояснения по особенностям расчетов. Желательно дать также краткий анализ полученных ре¬ зультатов. Пояснительная записка брошюруется вместе с ра¬ счетными таблицами.
Приложение/ Перечень заданий на курсоЬую работу N пп. РуЭщ сек РуЭп! сек о Л V*5 V - ^чЭпг V - -G Oi 1?М1 КГ/м2 ^ ожид moic. км ОХ ni 8 Р *удо1 U0I 1 310,0 310,0 0,0800 0,6000 0,6000 1,500 1,180 0, 2740 10 ООО 5,5 2 я 320,0 я II II л »i « 6,0 3 » 330,0 II II л л я л 6,5 А II ЗАО,0 >| II II V я ii л 7,5 5 ” 350,0 ” II я ч " ii я 8,5 6 „ 330,0 0,0900 II 1» V 0,2960 11 5,0 7 п и 0,0850 II и 11 я 0,2850 11 6,0 8 п п 0,0750 II л II я 0,2620 я 7,5 9 п * 0,0700 II ” II 0,2500 я 9,0 <0 II п 0,0800 0,4000 II И „ 0,2640 71 6,5 И я >1 н 0,5000 и II и 0,2700 п 6,5 12 п 11 »» 0,7000 п II я 0,2770 II 6 13 ” >1 ” 0,8000 » я » 0,2790 II 6 14 я „ и 0,6000 0,4000 „ 11 0,2740 Я 6 «5 и и II 0,5000 II ч я II 6 16 И *1 и II 0,7000 п п n II 6 17 п 0,8000 п ” ” я 6 15 „ I, 0,6000 1,000 я 0,2070 и 6 19 я 11 п II я 1,250 I» 0,2420 я 6 20 Я 11 II II II 1,750 я 0,3030 11 6 21 " ” * ” ” 2,000 У 0,3300 » 6 22 „ „ „ „ „ 1,500 1,080 0,2740 „ 6 25 я я я II и » 1,130 У >1 6 24 It ч я II и „ 1,230 » „ 6 25 ” л " я ” 1,280 ” 6 26 „ II „ II „ „ 1,180 е ооо 6 27 II ч II II ч и и и 8 ООО 6 25 » •1 II 11 II я я я 12000 6 29 * п И 11 " и я ” 14 ООО 6 50 320,0 350,0 „ „ „ II „ я 10 ООО 8,5 31 330,0 я п II II II и 11 11 9 32 340,0 и п и ч II л 11 II 9,5 33 35 0,0 И ” ” " ” ” я я 10,5 ЗА 230,0 32 0,0 0,0700 0,500 0 0,3000 1,300 1,120 0,2250 „ 5,5 35 240,0 11 и ч •1 н ч я я 6,0 36 250,0 и я ч п и я ч я 6,5 37 260,0 п и и И я я я я 7,0 35 270,0 п II и II ч я я ii 7,5 39 280,0 11 II н л п И я и 8,0 АО 290,0 II н ц и я *» я я 8,5 41 300,0 " ” И ” ” я ” " 9,0 42 26 0,0 260,0 п II „ я II я » 4,5 АЗ » 270,0 п и я я II II ii 5,0 44 я 280,0 II п и и я Я я 5,5 45 >? 290,0 М и п я II II Я 6,0 46 п 300,0 11 и п II я Я Я 6,5 47 " 310,0 II " II " " я 7,0 48 »> 280,0 0,0600 л II 11 11 я $5 49 я И 0,0650 II п II я я 11 6,0 50 п п 0,0750 II || II 11 п 11 5,0 51 1» 0,0800 II я я 11 Я II 4,5 32 II ч 0,0850 И »| II и II 11 4,0 53 Я ч 0,0900 * 1/ II И 11 " 3,5 54 II » 0,0700 0,3500 и II >1 я Я 5,5 \ 55 » п и 0,4000 я » « Я 11 У 36 „ II II 0,4500 л II 11 11 11 п 37 1, и II 0, 5500 II Ч 11 11 я 11 55 И II it 0,6000 11 я II я II 59 ». II и 0,5000 0,2000 II 11 II II II 60 п II п 0,2500 я я я я 11 61 11 II II it 0,3500 я 11 11 я 11 62 п 11 и п 0,4000 II я 11 1) я 63 п 11 II II 0,4500 я я 11 11 11 64 11 II я II 0,5000 II 11 я 11 65 V II и II 0,3000 1,000 я 11 1, 11 66 я II и п II 1,100 я II Я п 07 II 11 я •I » 1,200 я Я я п 65 II II II и и 1,400 я я я ” 69 я II II п я 1,500 11 я II и 70 п II п п ” 1,600 " я я я 71 II II II II я 1,300 1,060 II я 11 72 V II || и ч я 1,080 11 я я 73 и 11 н л п и 1,100 11 71 74 II я Я л 11 я 1,140 Я Я 11 75 II п п 11 » 1,100 я я 11 76 » II л 11 " п 1,150 11 II 11 77 II я И 11 II я 1,120 0,1700 11 11 76 Я 11 н 11 я я я 0,2100 •1 И 79 11 II п II я Я я 0,2500 я II 80 11 ч /1 11 я п я 0,2900 >1 II 81 п п п 71 II п я 0,3300 V 11 82 11 II и 11 „ „ 11 0,2250 6 ООО II 83 „ II я II я „ It я 8 ООО 11 84 II II II Я II и 11 я 12 ООО п 85 II |/ ц II я я II я 14 ООО п
Приложение 33 Зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления от числа Маха и высоты.
Приложение 3 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод Адамса. Формула горизонтальной строки аум.=^суп+т ^ 'hr* Формула ломаной строки дун=ясу,п+тау;-1га2у;_г-^^ у;_2). Формула наклонной строки Во всех формулах Д Уп - приращение интеграла за один шаг интегрирования И Я X ^ ^ ~~ & yi — X ^ X ft— £ — • • . = Ху “ Xq — С0УЪ$Ь * Последующее значение интеграла равно Ум = АУп ■ Вычисление конечных разностей производится следующим образом Т а б л и и а X У уг Ду' i 2 г Д у А3 у' А у П-,5 Уп-{ Уп-з ау;.з А?Уп-з Ау ^ fV-3 и П- 2 Уп-2 У«--2 *уи &п-г 34
Продолжение У n-i Ci AV ^ <n-i 1 Хп Уп ^'п kZ г А Ун ЬУп / +i Уп+i У П+1 Ду' Д2у' ^ УH+i В этой таблице разность fc -того порядка определяется из А* г г А у = А у “Д У При определении разностей первого порядка ( 1с ** 1) опе¬ ратор следует рассматривать как единицу. Метод Рунге-Кутта; У/ */^«’ ’ У^“/С(х« + ь) , (i/n+ У/[/Я)П > АУМ= y«+i-yn = T(y/ + 2i/5+2y* + i/P ’ Я = шаг интегрирования (может быть перемен¬ ным). Метод Эйлера Уп+i = Уп+Уп&к'УнУЬ < ^n+i “Х^=Я-* шаг интегрирования. 35
Вторая интерполяционная формула Ньютона Вторая интерполяционная формула Ньютона, написанная для проведения расчета с учетом третьих разностей, соответ¬ ствует кубической интерполяции, т.е. предполагает прохожде¬ ние функции через 4 заданные точки и записывается в виде р (I) — Уп + (f ^ 2\ ^ Уп-2^ 3! Л Значение аргумента, при котором ищется функция, распо¬ лагается между последним значением Ьп и предпоследним _г ^ - bn (б) i = —й—» Н - разность между равноотстоящими значениями I или для нашего случая - шаг интегрирования. Значения конечных раз¬ ностей первого, второго и третьего порядков берутся из таб¬ лиц расчета траектории или определяются на их основе. Легко видеть, что в формулу входят разности, состав¬ ляющие элементы наклонной строки с некоторыми коэффици¬ ентами, зависящими только от заданного значения Ь » на ко¬ торое производится интерполирование, и от шага интегриро¬ вания Я . Эти коэффициенты одинаковы для любых параметров, опре¬ деляемых для заданного момента I , но таблица конечных разностей должна определяться для каждого параметра от¬ дельно. При квадратичном интерполировании формула ( CL ) приме¬ няется без последнего члена.
Приложение 4 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРАВИЛАХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Поскольку вычисление траектории ракеты, как и лнЬбой прикладной технический расчет, не может производиться абсолютно точно, да и нет в этом никакой необходимости, мы должны иметь в виду определенные правила такого рода при¬ ближенных вычислений и постоянно ими руководствоваться. Для того, чтобы расчет был выполнен технически грамот¬ но, необходимо избегать как излишней точности вычислений, так и недостаточной точности. В силу этого, а также и по¬ тому, что сложность теории движения баллистической ракеты требует весьма аккуратного обращения с вычислительным ап¬ паратом, мы сочли необходимым настоящее пособие снабдить приложением, содержащим некоторые наиболее нужные сведе¬ ния из правил приближенных вычислений. Точность, с которой мы хотим получить конечный резуль¬ тат, и точность исходных величин и формул, используемых в расчетах, должны соответствовать друг другу. За меру точности принимается относительная погрешность, которая представляет собой отношение абсолютной погрешно¬ сти к самому значению величины. Относительная погрешность является отвлеченным чис¬ лом, причем точность тем выше, чем меньше относительная погрешность. Числа принято записывать так, чтобы сама запись поз¬ воляла судить о степени точности чисел. Для этого необхо¬ димо число записывать таким образом, чтобы в нем все зна¬ чащие цифры, кроме последней, были верны, и лишь послед¬ няя цифра могла считаться сомнительной и притом не более, чем на половину единицы. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля, и нуль.ес- ли он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда. Все остальные нули, 37
входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов, не причисляются к значащим цифрам. В соответствии с этим в числе 0,00030500 первые четыре нуля не являются значащими цифрами, а остальные три нуля являются значащими цифрами. Если в этом числе последний нуль или последние два нуля не явля¬ ются значащими, то оно должно быть записано соответствен¬ но как 0,0003050 или 0,000305. Отсюда видно, что числа 0,000305; 0,0003050, или 0,00030500 не равноценны, так как обладают различной степенью точности. Запись чисел, содержащих большое количество незнача¬ щих нулей, удобно вести, выявляя десятичный порядок числа. Например, 1,860*10^ (если имеем четыре значащих цифры), а не 1 860 000, так как в последнем варианте записи могут воз¬ никнуть неясности относительно количества значащих цифр. Точно так же рекомендуется писать числа, меньшие единицы по абсолютной величине: 1,35* 10” , а не 0,00000135. Термин fb "верных знаков" не следует понимать бук¬ вально. Несмотря на то, что приближенное число 9,995, за¬ меняющее точное число 10, не содержит ни одной цифры, сов¬ падающей с цифрами точного числа, оно тем не менее имеет три верных знака. В вычислениях часто бывает необходимость в замене од¬ ного числа другим числом, содержащим меньшее количество значащих цифр, но по возможности близким к первоначально¬ му числу. В таких случаях прибегают к округлению по сле¬ дующему правилу: чтобы округлить число до ^ значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от +г -й знача¬ щей цифры. При этом: а) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то остав¬ шиеся десятичные знаки сохраняются без изменения; б) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к по¬ следней оставшейся цифре прибавляется единица; в) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то послед¬ няя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; г) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то послед¬ няя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она чет¬ ная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (прави¬ ло четной цифры). 38
Надо помнить, что точность приближенного числа зави¬ сит не от количества значащих цифр, а от количества вер¬ ных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное чис¬ ло содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению, руководствуясь следующим практи¬ ческим правилам: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных .цифр более, чем на одну или две еди¬ ницы. Окончательный результат может содержать не более, чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верны¬ ми. При различных арифметических операциях над приближен¬ ными числами следует исходить из определенных правил вы¬ числения. 1. Суммирование Абсолютная погрешность алгебраической суммы несколь¬ ких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел. Предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погреш¬ ности наименее точного из слагаемых. Отсюда следует такое правило для сложения чисел раз¬ личной абсолютной точности: 1) выделить числа, десятичная запись которых обрывает¬ ся ранее других, и оставлять их без изменения; 2) остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак; 3) произвести сложение данных чисел, учитывая все сохра¬ ненные знаки; 4) полученный результат округлить на один знак. Пример сложения чисел различной абсолютной точности Порядковый номер числа Данные числа Порядковый номер числа Данные числа 0,348 0,1834 345,4 235,2 11,75 9,27 0,0849 3 4 5 6 1 2 7 Сумма 345,4 235,2 11,75 9,27 0,35 ОД 8 0,08 602,23 39
При вычитании двух бшзких чисел происходит потеря точности, т.е. относительная точность разности ухудшается на несколько порядков. В таких случаях необходимо преобра¬ зовать выражения до вида, при котором указанный недоста¬ ток не проявляется. Например, найти разность и с тремя верными знаками. Проводим преобразование Ч = V2J0? - ( У21Г-/2М YTpv +ут OjOl ож_вож = з153.10-з Уг.ОГ+уТ 1,42+1,41 2,83 2. Произведение Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел. Предельная относительная погрешность произведения рав¬ на сумме предельных относительных погрешностей сомножи¬ телей. При умножении приближенного числа на точный множи¬ тель Тс относительная предельная погрешность не изменя¬ ется, а абсолютная предельная погрешность увеличивается в к раз. Относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Чтобы найти произведение нескольких приближенных чи¬ сел с различными числами верных значащих цифр, достаточ¬ но: 1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну цифру больше, чем число верных цифр в наименее точ¬ ном из сомножителей; 2) в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из со¬ множителей. Например, даны Х^« 2,5; Хд® 72,397, верных в написанных знаках 2,5-72,4 - 181 « 1,8-ю2. 40
Вообше надо пользоваться правилом: число верных знаков ведения небольшого числа сомножителей (до десяти) мо¬ жет быть на одну или две единицы меньше числа верных знаков в наименее точном из этих сомножителей, 3. Частное Относительная погрешность частного не превышает сум¬ мы относительных погрешностей делимого и делителя. Общее поавило по определению числа верных знаков такое; частное от деления К на у , имеющих по меньшей мере m верных цифр, имеет по меньшей мере m -1 верных знаков, если первые значащие цифры делителя и делимого больше или рав¬ ны 2, и по меньшей мере ууъ —2 знаков, если какое-либо из чисел X или у своей первой значащей цифрой имеет 1. 4. Степень и корень При возведении в степень и извлечении корня следует иметь в виду, что предельная относительная погрешность yyv -й степени числа в m раз больше предельной относи - тельной погрешности самого числа. Предельная относительная погрешность корня т -й степени в vn раз меньше предель¬ ной относительной погрешности подкоренного числа. При извлечении квадратного корня подкоренное количест¬ во и результат имеют примерно одинаковое количество вер¬ ных знаков. В большинстве случаев вычисления производятся без точ¬ ного учета погрешностей. Чтобы не делать грубых ошибок, рекомендуется придерживаться следующих общих правил: 1. При сложении и вычитании приближенных чисел млад¬ ший сохраненный десятичный разряд результатов должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами искомых данных. 2. При умножении и делении приближенных чисел в ре¬ зультате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом верных значащих цифр. 3. При возведении в квадрат или куб приближенного чис- в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет основание степени. 41
4. При извлечении квадратного и кубического корней из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное чис¬ ло. 5. Во всех промежуточных результатах следует сохра - нять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта "запасная" цифра отбрасывается по правилам округления. 6. При вычислениях с помощью логарифмов рекомендует¬ ся подсчитать число верных значащих цифр в приближенном числе, имеющем наименьшее число верных значащих цифр, и воспользоваться таблицей логарифмов с числом десятичных знаков, на единицу большим. В окончательном результате последняя значащая цифра округляется. 7. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с к, верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые соглас¬ но предыдущим правилам обеспечивают к +1 верную цифру в результате. Если некоторые данные имеют излишние младшие деся - тичные разряды (при сложении и вычитании) или больше зна¬ чащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну запасную цифру.
Приложение 5 ПРИМЕР ТИПОВОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИИ Заданы следующие исходный данные, по которым необхо¬ димо рассчитать траекторию двухступенчатой баллистической ракеты с начальным весом 75 ООО кг: Коэффициент аэродинамического сопротивления С^(М,Н) определяется по зависимости, заданной приложением 1. Ожидаемая дальность L ж 8000 км. На П ступени выбрать оптимальную в смысле обеспече¬ ния максимальной дальности программу угла тангажа из се¬ мейства программ с постоянным значением угла на П ступе¬ ни. I. По соотношениям (14) (31) определяем абсолютные величины исходных параметров ракеты к получаем (см.табли- ,РуД nj * 325,0 хГ сек/кГ; Р, _ = 345,0 кГ сек/кГ; * 0,08000; рм. - 110 000 кг/м2. V„r = 0,6500; V п jj “ 0,7500; Aj = 1.400; А*2= 1.250; А3= 0,2750; цу) Таблица Параметры Значения Параметры Значения 75 000 кг 20 625 кг 115380 кг 144 280 кг 27 500 кг 443,8 кг/се к 79,70 кг/сек ^*1 ^к1 25 100 кг 4 929 кг 28 850 кг 0 ,3347 0,2390 8,818 м2 43
i kj * 112,44 сек, Ь196,90 сек. П. Определяем приближенное значение оптимального уг¬ ла по формулам (32). Для этого задаемся приближенно высотой конца активно¬ го участка 300 км, дальностью активного участка 600 км. Получаем - 27°22г , Прибавляя 10°, для конца 1 ступени задаемся углом ем1 г tfkI- 37°22\ bi задаемся равным 8 сек. По зависимости (36) вычисляем (I ) - для 1 ступени (см.бланк расчета траектории, графа 3). Ш. Интегрируется система (47) до момента Ь я 116 сек (бланк расчета прилагается). По второй интерполяционной формуле Ньютона (см.приложение 4) проводится интерполиро¬ вание основных параметров движения на значение £ = Ьк1 - 112,44 сек. 1У. Принимаем для расчета П ступени следующие углы тангажа, отличающиеся от угла в конце 1 ступени на: -15 , -10°, -5°, 0°. 5°, 10°, 15°; т.е. ■& - 22°22f ; 27°22'; 32°2i/; 37°22 ; 42°22'" ; 47°22' ; 52 22'. По формулам (59)-(62) проводим расчеты по определению параметров движения в конце П ступени (см.бланк расчета). У. Проводятся расчеты дальности полета по формулам эллиптической теории (63) для заданных программ угла тан¬ гажа. Результаты расчетов приведены на бланке и построены на рис.6. Максимальной дальности соответствует угол танга¬ жа * 27 '22^, для этого угла производится окончательный расчет дальности и характерных параметров траектории по формулам (64). Окончательные результаты расчета следующие: Ьк = 708,0 км; ^ 1501,8 сек; tCB*7246,5 км; Т 88 1811,1 сек; L *7954,5 км; = 685,1 сек; 44
Бланк рос* 1 h CoS&n Сп A.£Lr* 2 A U X ■£ Р Р-Х т РОС т 1 г 3 Ч 5 6 7 8 9 10 и ...'г 13 /V 1C 16 ' 0 о 90° ОО' 1,00000 0 а U,2450 1,0000 0 0 1,0000 28650 *15380 115380 *2 7645,26 LS 15.09 г 0 * If " о,оз " 1.0000 7 10 1,0000 28850 1*5380 115370 7554, 78 15.27 0 0 * * » 0 " 1,0000 0 0 1.0000 28850 1153Q0 115380 7645,26 15,09 2 и « ч • 0,03 * 0,9990 7 10 0^987 28810 115420 115410 7554,78 13,28 ч чз V ч п 0.06 ■ 0,9958 30 50 0,9949 28700 115530 115470 7464,30 15,47 0 0 f » ч 0 0,2450 1,0000 0 0 1.0000 28850 1*5380 115380 7645,26 15,09 2 /1 п я и 0,03 9 0S99O 7 10 0,9987 28810 1/5420 1*5410 7554,78 15.28 4 43 • я и 0,06 Я 0/9958 30 50 0,9949 28700 /15530 115480 7464,30 15,47 6 98 • н ч 0,10 Я 0,9905 60 120 0.9885 28510 1*5720 /15600 7373,83 15,68 в 111 «г и " 0,13 я . 4983/ 127 210 0,9794 28250 05980 115770 7263,35 15,89 Ю 280 66° ОО1 0,999391 0,034899 0,17 II 0,9733 г 03 340 0,9674 27910 1/6320 //5980 7192.87 16,13 12 409 86е 03' 0,997625 0,068886 0,21 я 0,96/2 3 00 500 0.9527 27480 /16750 П62ЭО 7102,40 /6,37 /4 56 3 84е 07’ 4994733 0,102503 0,25 1# 0,9469 419 700 0.9353 26980 117250 116550 7011,92 16,62 16 пчч 82°15' 0,99087 0,13485 0,29 я 0,9303 561 940 (4915 3 26400 07830 //6090 6921,44 16.89 1в 952 80*24' 0,98600 0,16677 433 II 0.9115 725 1210 0,8927 2S75Q И8 480 117870 6830,97 17,17 20 1189 78° 36' 0.98027 0,19766 0,38 я 0,8904 9/5 530 0.8672 25020 119220 117690 6740,50 /7,46 20 1189 78*36' 0,98027 0,19766 0,38 0,2450 0,8904 915 1530 0.8672 25020 119220 117690 6740.50 /7,46 ?4 1750 75*07' 0,96645 0,25695 0,48 0,2450 0,8420 1366 2280 0/8099 23360 120870 48590 6559,55 18,08 гв 2437 71*46' 0,94979 0,31289 0,59 0,2400 0,7855 1907 3120 0,7438 2/460 122770 119650 6378,60 /8.76 32 3 250 68*35' 0,93095 0,365/5 0,72 0,2400 0,7228 2533 4140 0,67/5 19360 124870 120730 6/97,64 <9.48 36 4202 65-34’ 0,9/044 0,4/363 0,86 0,2615 0,6539 3204 5840 0,5937 17130 127100 121260 60/6,69 20,15 40 5291 63*4/' 0,88848 0,45891 1,02 0,4750 0,58/7 3857 12490 0,5/43 14840 129400 116910 5835,74 20,03 *4 6512 59*58' 0,86573 0,50050 1.17 0,4925 0,5082 4386 14730 0.4357 12570 131660 /16930 5654,78 20,68 48 7867 57*24' 0.84245 0,53877 /.36 0,4575 0.4352 4862 15170 0,360/ 10390 133840 //8670 5473,83 21,68 52 9368 55*00' 0.81915 0,57358 /,58 0,4000 0,3643 5237 /4280 0,2893 8340 135890 121610 5292,88 22,98 56 11014 52*44' 0.79583 0,60553 1.81 0.3550 0,2927 5392 13050 0,2256 6510 137720 124670 5/11,92 24,39 во I2Q25 50*38* 0,77310 0,63428 2.05 OJ200 0,2225 5219 11390 0.1706 4920 139310 127920 4930,97 25,94 64 14611 48*4/' 0,75107 0,66022 2,31 0,2875 0,1638 4873 9550 0,1256 3620 1406Ю 131060 4750,02 27,5S 68 16981 46*54' 0,73016 0,68327 2,59 0,2625 0,1172 4397 7870 0,06989 2590 /4/640 /33770 4569,06 29,28 73 1 193 46 4545' 0,7/019 0.70401 2.90 0,2450 0.08136 3823 6390 0,06241 1800 142430 /36040 438", Г 31,00 76 21919 4 2*4б' 0.69172 0,72216 3,24 0,2275 0,05471 3200 4960 0/04197 1210 145020 138060 4207,16 32,81 30 24 718 42*27' 0,67495 0.73787 3,60 0,2100 0,03552 2570 3680 0,02724 7 90 143440 139760 4026.21 54.71 84 27753 41*16' 0,65956 0.75165 3,99 0,2025 0/72224 1977 2730 0,01706 4 90 143740 141010 3845. 25 36,67 аа зючо 40*15' 0,64612 0,76323 4, 4/ 0,1925 0,01340 1455 1910 0.01028 300 143930 142020 3664,30 38,76 .92 34605 39*23' 0,63451 0,77292 4,76 0,1850 0.00747 985 1240 0,00596 170 144060 142820 3483,35 41,00 96 38466 звсчо' 0,62479 0,78079 4,99 0,1850 0,00394 628 790 0,0034? too 100130 143340 3302,39 4 3.4/ юо 42651 38*07 0,61726 0.78676 5,23 ! 0,1900 0,00210 чоз 520 0,00203 60 144П0 143650 3/21,44 4б,ог 104 4719? 3 7643' 0,61176 0,79105 5,46 ! 0,1975 0,00112 257 350 0,00119 30 144200 143850 2940,49 "8,92 108 52137 37*28' 0,60830 0,79371 5.8/ | 0,2075 0,00063 173 240 0,00070 20 /44210 143970 2759,64 52.17 112 1/2,44 57522 58144 37*22' 37*22' 0,60691 0,60691 0,79477 0,79477 6.34 I 0,2200 0,00036 118 180 0,00039 10 /44220 144040 2578,58 2556,68 55.86 w /правк/лсрии для / с/гм/лени 9 dir di 4 Г Д*Г &ir гг дГ 2 Л V 24 du Ж~ ДУ 8*0 2 7 28 дУ 29 У 30 с/х di дХ п ДгХ j* ЛАХ ДХ X Ah п 9,810 '6 1 9/81 5,28 го 0.18 10,6 О . 0 Ш—j 10,6 0 0 О is ij ift 0,810 9.81 5.46 /0,6 10,6 0 О 9.810 9,81 3,28 0.19 0 Ю.7 0 0 10,7 11 0 0 9.810 9.81 5,47 0.19 11,1 Ю.7 10,7 32 11 0 9.8/0 9,81 5.66 г/,в 4.3 0 9,810 9,81 5.28 0.19 о 0.02 /0,8 0 0 10, в яз 0,1 11 0 0 9,8/0 9.81 5.47 19 0.02 - 2 /и 10/8 Ю.8 *1.1' 4 1 30 н 0 9,810 9.81 5/66 21 о 3 11,5 21,9 21.9 /1.5 5 - 1 55 43 0 9,810 9.81 5/87 21 3 - 1 12,0 33.4 33,4 12.0 4 - 1 79 98 0 - 0,/ 1 2 0 9.810 9,81 6,06 24 2 1 12,4 45.4 45.4 12.4 3 2 103 /77 о 2.0 0,9 7 г 9,810 9,30 6,32 26 3 * 2 12,9 S7J8 57,8 /2.7 5 - 1 129 280 2,0 2.9 8 1 13 9 9,810 9.79 6.50 24 1 2 '3,4 70,7 70,5 /3,2 4 - 1 154 4 09 4.9 3,7 9 - 1 22 22 9,808 9,76 6.87 30 3 - 1 /4.1 84,1 83,7 /3,6 3 2 181 563 8,6 4.6 /.о 32 44 9,808 9,72 7.17 33 2 14,6 98.2 97,3 /3.9 5 208 744 13,2 5,6 0.9 43 76 9,807 9,67 7.50 35 /5,4 112,8 111,2 !4А 237 952 /8,8 0.5 0,4 (/9 9,807 9,61 7.85 /28.2 125.6 1189 25.3 2 6.58 0,59 0,09 -0.02 7 0.5 26/1 1.5 0* 4.9 8,3 3,8 г 7.17 66 7 3 97,3 28* 1,8 - 4 13.г /2.1 4.0 2 /32 09 9.807 9.61 7.65 75 10 - Ч 32.9 128,2 125,6 30,/ 44 3 562 11 89 25.3 16.1 4.2 3 I - 6 205 295 25/ 456 9J805 9.48 8,60 85 6 - ю 36.0 161.1 155,7 31,5 47 - 5 686 175/ 41,4 20,3 4,4 9 403 75/ 9.803 9,31 9,45 91 - 4 - 73 39.6 197,1 187,2 33,2 42 - /,3 8/5 2436 61.7 24,7 -.7 589 //54 9,800 9,12 10.36 87 - 77 43,2 236,7 220,4 34,i’ ”0,1 - 1.6 950 3251 86.4 29,4 4 : 3 670 /683 9,797 в. 92 11,23 Ю 78 - 43 4 5.5 279.9 254.8 34.3 -/.7 3,6 /088 4201 «5,8 33.5 3.2 /.о 825 2352 9,793 8,7 0 11,33 88 35 - 6 4 5,2 325,4 289,1 32.6 /,9 0,8 <225 5289 149,3 36.7 5,1 Q 1003 3/77 9,789 8.4в 12,21 1,23 29 - /6 51,2 371,6 321,7 34,5 2.1 3 /354 65/2 186,0 41,8 5,4 5 1204 4 <8/ 2 9.785 6.24 13.44 /,52 /3 0 56,7 422,8 356,2 366 2,4 4 /497 7866 227.8 47,2 С.Ч О 14 34 5386 г 9.781 8.01 14,96 /,65 /3 - 4 63,/ 479,5 392,8 39.0 2.8 0 /646 9364 275,0 53.6 С, 4 4 1685 68/8 4 9.776 7.78 j *6.61 1.78 9 - 7 70,0 542/о 431.6 41.8 2.8 0 /809 11012 328,6 60,0 €.9 - г 1967 85о4 6 9,770 7.55 \ 18.39 1.87 2 2 77,3 6/2.6 473.6 44,6 2.8 0 /983 12822 388,6 66,9 6.9 - 1 2216 10472 9 1 9,764 7,33 20,26 /,89 4 3 84/8 689,9 5/8,2 47.4 2.8 Ч 2/67 14805 455,5 73,8 7,3 9/758 7,12 22,15 /,93 7 - 1 92,4 774,7 565.6 5С.2 3.2 3 2362 /6972 529.3 81.1 7,1 0,4 2616 ( /274.9 /2 - 5 4 2982 3377 I /5365 j /8347 /7 26 9, 75/ 6, 92 24.GJ 2.00 0.06 0.00 100,3 867,1 615.8 53.4 3.5 0.1 2569 /9334 6/0.4 88,2 7,0 0 3802 i 2/725 37 9,743 €.74 26.08 2.06 6 4 108,4 967,4 669.2 J6.S 3,6 9 2789 21903 698,6 95,2 7.4 - / 4254 25.527 5/ 9,734 6.57 28,14 2.12 10 4 116.8 1075,8 726.1 60,‘ 4,5 6 3024 24692 793,8 102,6 6,9 3 473? 29782 70 9. 7 25 6,41 30,26 2,22 14 1 125.4 1192,6 У86.6 65,0 5.1 8 3275 277/6 896.4 109,5 7,3 6 5248 345/9 S4 9.7/5 6,28 32,48 2.36 15 3 134.6 1318,0 851.6 70.1 5,9 16 3544 3099/ 1005.9 И6.8 7,3 1 5787 39766 /24 9,704 6.16 34,84 2.51 18 10 144,3 1452,6 921/7 76.// 7,5 9 3837 34536 1122,7 124,1 7.2 6353 45553 /63 9.693 6,06 37,35 2,69 28 4 154,7 1596,9 597.7 83,5 8,4 18 4/55 38373 1246,8 131,3 7,5 6962 7600 51912 58874 гн 272 9,680 5,98 40,04 2,97 32 10 166,0 1751,6 1081,2 91.9 /0,2 15 4506 42528 1378,1 138.8 8.1 596 78 9,667 5,91 43,01 3,29 48 178,6 1917,6 1173,1 102,1 11.7 4892 47034 1516.9 /46.9 8.2 9.652 5.87 46,30 3.71 192,4 2096,2 1275,2 113,8 5324 51926 /663,8 155,1 9.63S 5,85 50,01 208,3 2288,6 1389.0 5805 57250 1818.9 2310,7 1 57864
В - 0,49081; Тъ = 994,4 сек; 1174,1 км; l/g * 5.187 м/сек. По формулам (65) определяем производные от дальности по кинематическим параметрам конца активного участка: —— 5,001 м/м; аяк 8L dvK 4059,6 м/м/сек; 8L 2738,7 км/рад. а а мк
Приложение 6 Таблица элементов нормальной атмосферы и ускорения силы тяжести h - высота над поверхностью земли; Р -5~- относительное давление; р — относительная плотность; а - скорость звука; £ - ускорение силы тяжести. h м р R Р *Н Р Л Р АЛ а /i/сек 9 г М/секг 0 WOO-iO 0,1/78-/О'4 19000 /0° 0,956>10* 340, 28 9,8066 <00 9.8вгг-ю’1 0, //67 9.9044-/01 0,947 339,9/ 9,8063 zoo Э, 7655- Ю'4 0, //55 9.3097- /О4 0,934 339, 2 9,8060 3 00 9,6500- /0^ 0, //45 9,7/58-/О'4 0,938 339,14 9,3057 1/00 9,5255■ /С' 0, //50 $,6220-/01 0,938 338, 75 3,8064 500 9,4205-Ю'4 0, //23 9,5282/0'' 0,9/5 338,26 9,8051 воо 9,3032-/О'1 а, ап 9,4267-/б1 0,9 337, 37 9. 8048 7 00 9, <9% /О’4 о,т 9,3452 /б4 0, 906 337,59 9,8045 300 9,0370- Ю'4 0, /090 9,2546-/б' 0,906 337, 20 9,8042 900 3,9780-/О'4 0, /079 9,/640-/О’4 0,389 336,81 9. 8039 /ООО 8.870//б4 а/069 9,075/■/& 0,890 336,43 9,8036 то 87632- /О4 0. /058 8,986//б4 0,874 336,04 3, 8033 /zoo 8,6574 Ю1 0, /048 8.8987-/б4 0,878 335,65 9,8030 то 8,5526/O’4 0, /039-/б' 88Н4- /О'4 0,866/0* 335,26 9,8026 46
Продолжение - ! h м Р Ра P 4 Pa P Pa f * Po a м/сек $ M/ctx1 i4oo 8,4487-/0 0,1027-id' 8,724*10 0,864 id* 334}Q7 9,2023 1500 8,34б0-/0 0,1033 8,6384 a 0,866 33//, 48 9f802o 1600 8,2b 27 1с 0,1007 8,5518-10 0,849 354,05 9,8017 1700 8,11*20 10' 0,997-102 8,4669-10 o,sm 333,69 3,8010 1800 8,0b23(o 0,988 8,3828(0 9.853 333,30 9,801/ 1900 7f9b3510f 0,977 8,2995/0 G,824 332,31 9,8008 2000 7,8458-10 0,968 8 >2171/0 0,622 532,52 9,8005 2100 7,7490-10 0,957 8,1349/0 0,815 332,12 9,8608 2200 7,6533Ю! 0,9b5 8,0534/6' 0,809 341,73 9,7939 2300 7,3584/о' 0,939 7,9725-to' 0,602 331,34 9,7396 2400 7,4645 to 0,929 7,892310 0,796 330,34 9,7993 2600 7,37*6-10 0,92! 7,8127to' 0,790 330, £5 9,7990 2600 7,2795'(О1 0,9! 0 7,7337 /o'' 0,785 32D, 15 9,7386 2700 7,1835 io! 0,902 7,6552/0 0,778 329,75 9,7983 2800 7,0983-10 0,892 7,577410 0,771 329,36 9,7280 2900 7,0091-/6' 0,883 7,5003/0 0,766 328,96 9,7977 5000 62208-16' 0.874 7,4237/0 0,759 328,56 9.7974 3100 6,8334-Л)' 0,878 7,3478/0 0,767 328,16 9,797/ 520Q 6,7056-/0 0,657 7,2711-10 0,747 327,76 9,7368 3300 6,6599-10 0,847 7,1564lo 0,143 327,36 9. 7965 зт 6,575210 0,838 7,122/(o 0,736 326,96 9,7962 3500 6,49!4-io 0,830 7,048 5 to 0,730 326,56 9,7959 3600 6,1/obk io 0,821 6,9755-/0 0,725 326,16 9,7956 3700 6,3263-10 0,814 8,9030/0 0,719 32.5,76 9,7953 3800 б,гШ-б/ 0,Q04 6,8 21/Го 0,712 525,36 9,7950 3900 6,1645/0' 0,795 6,7599/0 0.706 324,96 9,7947 40GO 6,0850/0 0,788 6,6831-/0 0.701 324,56 9,7944 4/до 6,0062-Го 0,780 Gfi/SOto 0,697 324,15 9,7940 4200 5,9282-10 0,770 6,5493-/0 0,689 323,7S 9,7937 4300 5,8S12-/o 0,763 6Mo4-io 0,685 323,35 9,7934 44oQ 5,7749 Го 0,755 6,4//9-/Г 0,679 322,94 9,793! 4500 5,6994-/0 0,747 40 6,3440ia 0,675 10* 321,54 9,792g 47
Продолжение h м Р Ро Р й Ро Р Ро p ЬРо a м/сем 9 м/сеыг 4еоо 5,6247/0 0,740 /О2 6,2765/0 0,668 id2 322,13 3,7925 4700 5,5507Ю 0,731 6,2097/6' 0,662 32/, 73 9.7922 4воо 5,477b /в' 0,722 6, /4з5/о' 0,658 32/, 32 9,7919 4900 5,4054-10 0.7/6 6.0777/0 0,652 320,92 9.7916 5000 5,33 Зв-Ю 0,708 6,0125/6' 0/б4б 320,31 9,7913 5100 5,26)0 /О 0,700 5,9479/6' 0,642 320,10 9,7910 5200 5,тою 0,693 5,8837-Ю 0,636 6/9,69 9,7907 5300 5, (237/0 -/ 5, OS52-Ю 0,685 5,820/ /6' 0,631 319,29 9,7904 sioo 0,678 5,7570/б' 0,625 318,87 9,7901 5500 4,987410 0,670 5,6945 /О 0,621 3/8, 47 9,7897 5600 4,9204 id 0,663 5,6324/6' 0,6l4 318,OS 9,7834 5700 4,8541 /О 0,656 5,57/0/0 0,611 3/7,64 9,7891 5800 4,7885/о 0,648 5,5099/0 0,604 3/7,23 9,7888 5900 4,7257 Ю о.бкг 5.4495/0 0,600 3/6,82 9.7885 6000 4,659510 0,654 5,3895/6' 0,595 316,41 9,7882 6100 4,596! 10 0,628 5,3300/0 0,589 316,00 9,7879 6200 4,5333/0 0,620 5,271/ /о' 0,585 3/3,58 9,7876 6300 4,4713-/0 0,6/3 5,2/26/6' 0,579 3/5,17 9,7873 64oo 4,4/Ю- /б' 0,607 5,/547/о'1 0,575 8/4, 75 9.7870 6500 4,3493-/0 0,599 5,0972/6' 0,570 3/9, 34 9,7867 6600 4,2895-4) 0,595 5,о4о2/о 0,566 316,92 9, 7864 6700 4,2299-/о 0,586 4,9836/0 0,560 3/3,50 9.7861 беоо 4,1713/6' 0,579 ^,9276 to 0,554 313,09 9.7858 6900 4, И34-/о 0,574 4,8722-/0 0,551 312,67 9,7854 7000 4.0560-Ю 0,567 4,8/7! /б' 0.546 312.25 9,7851 7100 3,9993 Ю 0,56! 4,7625-Id1 0,5i0 3/1,83 9,7848 7200 3,943210 0,553 4,7085-10 0,537 611.42 9,7945 7JOO 3,387910 0,548 4,6548-10 0,53! 611,00 9.7842 7400 3,8331/0 0,542 4,6017/6' 0,528 310,58 9,7839 7500 3,7783Ю! 0,535 4,5489-6' 0,522 610,15 9,7836 7600 3,7254-Ю ’ 0,530 /02 4,4967-ю' 0,5/8-/О2 609,73 9,7833 18
Продолжен*# h м р Ро Р А Р Р_ Ро Р 4Ро а м/сек 9 м/сенг то 3,6724/0 0,523- Ю* 4,4449 b' 0,5/2-тг 309.31 9, 7830 поо 3,6201/0 0,508 4,3937/0 0,501 30S/39 9,7827 7900 3,5693-to' 0,511 4,3436/0 0,505 308,46 9.782b 8000 3,5182/0 0.506 4,2931/0 0,500 Jos, 05 9.782! 8100 3,4676/0 0,499 4, г4з//6) 0,494 307,62 9,78! в 8800 3,4/77/0 0,493 4, /937/5' 0,491 307,20 9,7 8!5 8300 3,3684/о 0,488 4, /44б/б' 0,486 306,78 9,7812 8400 3,3196/0 0,483 4,0960-/о 0,485 306,35 9,7808 8500 3,2713/0 0,475 4,0477/О 0,477 305,92 9,7805 8600 3,2238/0 0,471 4,0000/0 0,474 305,49 9,7802 8700 3,1767/0 0,465 3,9526/0 0,468 305,07 9,7799 8800 3,1302/0 0,460 3,9058/0 0,465 304,64 9,7790 8900 3,084210 0,454 3,8593/0 0,461 304.2/ 9.7793 9000 3,0388/0 0,448 3,8132/0 0,456 303,78 9,7790 9100 2,994о-й> 0,444 3,7676/5' 0,452 303,35 9,77&7 9300 2,9496/0 0,437 3,7224/о' 0,448 302,92 9,7784 9300 2,9059/0 0,433 3,6776-Л)' 0,44k 302,49 9,778! 9400 2,8626Ш 0,421 3,6332 /0 0,432 302.06 9,7778 9500 2.8205-4) 0,422 3,5900/0 0,437 301.63 9,7775 9600 2,7783/0 0,417 3,5463/0 0,43/ 30/, 20 9. 7772 9700 2,7366/0 0,412 3,5032/0 0,428 300,76 9. 7769 9800 2.6954-10 0,408 3,4бо4/о 0,424 300,33 9,7760 9900 2.6546/0 0,402 3.4/80-/о' 0,4/9 299,89 9,1762 iOOOO 2.6/44/0 0.396 3,376/Ю 0,4/6 299. 45 9,7759 ЮО 2,5746-10 0,393 з,зз45/д' 0,4 и 299,02 9,7750 гоо 2,5355/0 0,387 3,2934/0 0,409 298,58 9,7753 300 2,4968 /о 0,383 3,2525/0 0,404 298,14 9,7750 ООО 2,4585/0 0,378 5,2/г/ю' о, 4оо 297,70 9,7747 500 2,4207-‘o 0,367 3,172//Ь' 0,390 297,27 9.1744 600 2,3840/0 0,368 3,1331/О 0,392 296,85 9,7741 700 2,3472Ю о,зб4юг 3,0939ю' 0289/0 296,39 9,7738 49
Продолжение h м P Po P * Po P Po P 8Pe 0 м}сек 9 m/cm* 10800 2,3/08/0 0,359 -id2 3,0558/0 0,385 W2 295,95 9,7735 . i0900 12749/0 0,356 3.0 <65-/o' 0,381 295,61 9,7732 HOQO 12№<6' 0,549 24784/0 0.465 295,07 9.7729 moo 2,2044 10 043 2,9319-ld' 0,457 295,0.7 9.7726 urn 2,mi/o' 0,339 2,8862-ю 0,450 295,07 9,7723 moo 2,136210 0,333 2,84/гю 0,443 295,07 9,7720 n4oo 2,1029/0 0,527 2,7969/0 0,436 295,07 9,7717 4500 2,070210 ’0,323 2,7533-10 0,929 295,07 9,7713 11600 2,0379/0 0,318 2,7/04 -lo 0,422 295,07 9,7710 moo 2,006/to 0,313 2,6682/3 0,4/7 295,07 9,7707 11800 1.9748/0 0,308 2,6265id 0,409 295,07 9,7704 <1900 1,9440/0 0,303 2,5856-io 0,403 295,07 9.770/ 12000 /,9(37/0 0,298 2,545370 0,397 235,07 9,7698 <2100 l,8839/o 0,294 2,5056lo 0,390 295,07 9,7695 <2200 1,8545/0 0,283 2,4666/0 <7,384 295,07 9,7692 <2300 <,8256/0 0,281'1 2,4282-0) 0,379 295,07 9,7689 12400 1,7972/0 0,280 2,3903/6' 0,572 295,0Л 9,7686 12500 1,7692/0 0,276 2,353/ /o' 0,367 296,07 9,7683 <2600 <,7416/0 0,271 г,3/64/0 0,362 295,07 9,7680 <27d0 1, 7145/6' 0,268 2,280270 0,355 295,07 9,7677 <2800 !,6877/0- 0,262 2,г447-/о 0,349 295,07 9,7674 <2900 1,6615/0 0,260 2,2098/0 0,345 295,07 9Л7/ <3000 - /,6355/o' 0,254 2,1753-Ю 0,338 295,07 9,7668 1i<00 1,6101/0 0,25< 2,<4/S-ld' 0.334 295,07 9,7664 13200 /.5850/0 0,247 2,1081-10 0,328 195,07 9,766! 13300 1.5603to 0,244 2,075310 0,324 295,07 9,7658 Щ00 1,5359/У 0,238 2,0429/0 0,3<8 295,07 9,7655 /5500 <,5< 21/0 0,236 2,0111 io 0,313 295,07 9,7652 13600 1,Ш5-/о 0,232 1,9 798-fo 0,309 295,07 9,7649 13700 <,4653/o 0,228 1,9429-To 0,304 295,07 9,764£ <3800 <,4425/0 0,225/0* 1,9185/0 0,298 295,07 9,7643 50
Продолжение h м Р Ро Р А Ро JL А Р &Ро а м/се* 9 м/сек* /3300 /,3200/0 0,22/ 2 /.8887 /0 > 0,293 Ю* 295.07 9,7б4о /«ООО /, 1979/0 0,2/7 /.8593/0 0,290 295.07 9.7957 /ч/оо /,3762/6' 0,2/6 /,8303-/О 0,285 295.07 9,7634 /Згоо /,353б/б' 0,2/0 /.80/8/о 0,281 295,07 9,7631 ///300 /,3336/0 0,208 /,7737/0 0,277 295,07 9, 7628 /ззоо /, 3/26/6' 0,203 /, 7360/0 0,271 295,07 9.7625 /35оо /.гзгЗю 0,202 /, 7/89/0 0,268 295,07 9,7622 /к(оо /,272210 О, /98 /,692/ /о' 0,263 295,07 9,76/9 /3700 №2310 0,193 /,6657/0 0,259 295,07 9,7616 /3800 /,2330/0 0193 /,639870 0,255 295107 9,7613 ШШ 1.21 37/0 0/88 /,6/Ззю' 0,252 295.07 9.7609 /5000 /,/939Ю О, /87 1,589/10 0,237 295,07 9,7606 /5/00 )./762/о 0,1вЗ /, 5633/0 0,233 295,07 9,7603 /5200 /, /578/0 0,179 /,5300/0 0,239 295,07 9,7600 /5300 /, /399/0 0,178 1.5/6/ю 0,237 29S.07 9,7597 /5300 /. /22//о' 0,173 /,3923/0 0232 295,07 9,7599 /5500 f,/037to 0,172 /,3692/6' 0,228 295,07 9,7591 /5500 /. О275/0 0,170 /,3363/0 0,226 295,07 9, 7508 /5700 4,0705/6 0,167 /,3238/0 0,222 295,07 9, 7585 /5800 /.0536/0 0,163 /,Зо/б/о 0,2/8 295,07 9,7582 /5900 1.6375/0 0,162 1.5738/0 0,2/3 295.07 9.7579 /6000 Ш/3-/0 0,159/0‘ 1.3583/0 0,2/2 295,07 9,7576 /6/00 /,0053й> 0,1562/О2 /,3372/0 0,207 295,07 9.7573 /6200 9,6976/0* 0,1533 /,3/65/0 0,206 295,07 9,7570 /6300 9.7333/0 0,15/6 /2953/0 0,20/ 295,07 9,7567 /6300 9.39/2/0* 0,1395 1,2758/6' 0,200 295,07 9,7564 16500 93325-/0* О,/370 /.esse/o' 0,195 295,07 9,7561 /6600 9,2033/0* 0,1337 1,2363/0 ' О,/92 295,07 9,7558 /6700 9,1606/0* 0,/згЗ и/7//о' 0,190. 295,07 9,7554 /6800 9,00836* ' 0,1302 /J98/-/6' ’ 0,186 295,07 9.7551 /6900 6,668210 {0,1 Зво 10е ’ /, 1795/о' 0,183- Ю 295,0? 9, 7548 51
Продолжение h м P Po P * Po P Po P И7Г a w/cec 9 м/сеег пот 8,7302 W 0,1359/0 /, 16/1-10' 0,181 ’ 10* 295,07 9.754$ moo 8,5943 /0* 0,1537 /,1930 to 0,177 295,07 9,75A 2 moo 8,4606/0* 0,1317 1,125310 0,175 295,07 9,7539 17300 8,3369 /0* 0,/295 1,1078-10 0,173 295,07 9,7539 moo 8,1994/6* 0,1277 t,0905-lo 0,169 295,07 9,7533 moo 8,071710* 0,1256 /,0736/0 0,168 295,07 9,7530 moo 7,946/Ю* 0, /235 /,056840 0,164 295,07 9,7527 >7700 7,822(1* 0,1218 /, 04o4-to 0,162 295f 07 9,7524 moo 7,7008/0 0,498 /,0242/0 0./60 295,07 9,752/ 17900 7,58(0/0 0,0 80 1,0082/0 0,/S63- /0 295.07 9.75/8 18000 7,4630/0* 0,tt<bO 9,9257/0* 0,154 3 295,07 9,75/5 /8100 7,3470-10* 0,1/93 9,77/4-lo 0,/S/9 295,07 9.75/2 !8200 7,2327/0 0,1(25 9,6/95lo 0,1493 295,07 9,7509 18300 7,/202/0 0,1/08 9,4702iS 0,1478 295,07 9,750€ /81/00 7,0096/0* Q,10S0 9,3226io 0,i453 295,07 9,7503 /8500 6,9004/0 0,(071/ 9,1771/0* C,/42o 295,07 9,7500 i8600 6,7930/0 0, (056 9,035/10* 0,1412 295,07 9,799C, 18700 6,687010* 0,1040 8,8939-io Oj/380 295,07 9,7993 /3800 6,5834/0 0,(025 8,7559/0* <2/363 295,07 9,7990 /8900 6,4809/0 0,(007 '(0 6.6/96/0 0,1339 295.07 9,7987 /9000 63802/0 0,993- 10 8.4857/0 0,1322 295.07 9.7989 /9/00 6,280910* 0,977 8,3535/0 0,/298 295,07 9,7981 <9200 6,1832/0* 0,962 8,2237/0 0,1279 295,07 9,7978 79300 6,0870 b* 0,94c, 8,0958/0 0,1258 295,07 9, 7975 IQ/iOO 5,9924/0 0,932 7,9700/0 ojzko 295,07 9,7972 moo 5,8992/0 0,9/8 7,8460-/0 0,/220 235,07 9,7989 /9€oo 5,8074/d 0,903 7,7240/0 0,1201 295,07 9,79 66 /9700 5,7/7/ /0 0,888 7,6039/0 0,1/83 295,07 9,7963 /9800 5,6283/0 0,875 7,4856 b* а, /ко 295,07 9, 7960 /9900 5,5408/0 0.862-/0 7,3691/0* o,ii44-io ■ 295,07 9,7957 20000 3,4546/0 7,2547/0* 295,07 9,5959 52
Продолжение h м Р Ро Р Ро а *>/ссе 9 м/сее* гоооо 5,1)5*1610* О, /682-10 7,2547/0* 0,2239-id 295.07 9.7454 20200 5286*i to1 0,1632 7,0308 10* 0,2168 295,07 9,7448 20 ЬОО 5,1232 10 0,1580 6Д/40 Ю* 0,2Ю2 295,07 9,7442 20600 4,965210* 0,1522 6,6038*0 ' 0,2038 295,07 9,7435 го too 4,81201с? о, №4 6,4000*0 0,1973 295,07 9,7423 а ООО 4,66361с? 0,1439 6,2027*0 019/4 295,07 9,7423 21200 45197/0 0,1393 6.01/3*0? 0/854 295,07 3,701-7 2t bOO 4,3801/10* 0,/звг 5,8259/0* 0,1797 295,07 9,7411 21600 4,245210 0,1508 5,б4б21о 0,174/ 295,07 9,7405 .2/800 4, НМ- to 0,1269 5,472/10* 0/688 295,07 9,7399 22000 3.987510 0,1229 5,3033*0 0,1635 295,07 9,7393 22200 5,86*1610 0,1192 5,/398 /0 О,.<58*7 295,07 9,7387 22/100 3,745*11о О, И55 4,98/4*0 0,1536 295,07 9,7381 22600 3,6299-10 О, II19 4,827810 0,1*82 295,07 9,7375 22800 3,5180*о 0,108 S' 4,6790 Ю 0*443 295.07 9.7368 гзооо 3.*i095io 0,105/ . 4.534710 0./397 295,07 9,7362 23200 3, iOhkСо 0,1012-10* 4,3950*0 0J3S5 295,07 9,7356 231)00 з,го2Ь-1о 0,981 *oJ 4,2595*0 0,1313 295,07 9,7350 23600 3,t039io 0,957 4,/282*0 0,1272 295,07 9,7344 23800 3,008210 0,921 4.00/0*0 о./гзЧ 295.07 9.7338 2*1 ООО 2,9/55*0 0,898 3,8776*0* 0,494 295,07 9,7332 24200 2,2257-to 0,87/ 3,7582*0 0,458 295,07 9, 7326 24400 2,738610 0,8*1*/ 3,б4г4*о 0,923 295,07 9,7320 2*1600 2,65*l2-lo 48/8 3,5301*0 0,1089 295,07 9,7314 2*1800 2.572*1-10 0,792 3.42/2*0 0,1052 295.07 9,7308 25000 2,1)932-10 0,770 3,316010 0,906 295,07 9,730/ 25200 2,4/62-to 0,7 4*/ 3,2054*0 'О,/065 295,44 9,7295 25^00 2,3*il8io 0,707 3,0989*0 ’ 0,1010*0 1 295,82 9,7289 25000 2,271/10 0,691 2,9379*0 ? 0,993-1(5 ' 296,18 9,7283 25800 2,20/4/0 0,673 2,8986*0 ’ 0,95£ 296.56 9.7277 2£ооо 2J34i-1o ’ 0,651/0 ‘ 2,80301о ' О,92*11о 296.93 9,72Ц. 53
Продолжение h p -Pc P A —S~ . ro P Pa P b Po a 9 м »/<*?* м/cer* 26100 2,069010 0,618 ■ id 2,7106IOS 0,874 io 297,30 9,7265 гс4оо 2,0072lO 0,610 2,623210 0,860 297,66 9,7259 26600 1.9462to 0,589 2,53721(1 OJ828 298,04 9,7253 26800 18873/0 0,571 2.4543 kf 0,800 298,4! 9.72^7 27000 1,830210* 0,550 2.3743 10 0,773 298.78 3.727,4 27200 1,V52-/0S 0,524 2,297010 0,732 299,15 9,7235 27ItOQ 1,7228-ttf 0,5/8 2,223810 0,720 299,51 9,7223 27600 1,6710-I02 0,500 2,151810 0,695 299,88 9,7222 27800 1,6210 to2 0,474 2,082310 0,659 300,24 9,7213 28000 1,573610s 0,469 2,oiakio 0,648 300,61 9.7210 28200 1,526710е 0,453 1J351610 0,626 300,98 3,7204 28400 1,48l4-loS 0,440 1,8890-io 0,604 301,34 9,7 № 28600 1,4370lo 0,417 1,8286-id 0,573 301,71 9,7492 28800 1,335710s 0,40 I,7713I0S 0,564 302.07 9.7i8G 29000 1,351/6-10 0,399 1,714910s 0,545 302.43 9.7420 29200 1,3147-/oS 0,386 l,66o4lo 0,526 ■ 302,80 9.7 m 29kOO 1,2761 IOS 0,367 1,6078-id 0,499 303,16 Q,7/€g 29600 29800 1,2394-10 1.2032Ю 0,362 0.357 Ю3 1,557910 1.507810s 0,501 0,465 to3 303,52 303.38 9,7462 9.7456 ЗОООО 1.16811(f 0,1585I cd 1,461390s 0,2131 -10s 304.25 9,74 bs 3-IOOO 1.009610s. 0,1359 to ‘ 1,2482 10s 0,1806 306,05 9,7449 32000 8,7370 to 0,u533-icd 1.0676I0S 0,15233 307,84 9,7089 33000 7,5771!(? 0,9951 to3 9,1527903 0,12919 309,62 9,7059 з4ооо 6,5820-ld 0,8555 7,8608-id 0,Ю982 Ш 3/1,38 9,7028 iSOOO 5,7265io3 0,7365 6,7626-10 0,9350-liy 3/3,14 9,6998 36000 4,990010 0,6352 5,8276-to3 0,7975 314,89 в,€968 37000 4,354810 : 0,5506 5,0301-io ’ 0,6836 316,62 9,6937 38000 3,8042/0 0,4728 4,346510 ' 0,5809 318,36 9,6907 39000 3.33(4-10 0,4115 3.7656b3 0,5000 320,07 9,6877 4ooo6 2.9199-Ю3 ' 0,3558 3.2656-10 017279 321,78 9,6847 41000 2,S64Ho3 o,3io5-io 2,837710 ' 0,3695 io 323,47 9,68/6 54
Продолжение h ■ м Р Ро Р Ро 4тг Q м/сег: 9 Af/cex* 4гооо 2,2536 10 0,2693/Э* 2,4682-10* 0,5172/6* 325,16 9,6786 4зооо /,,9843-/о 02357 2,15/0 /О* • 9,2746 326,84 9,6756 44ооо 1,7486103 0,2050 1,8762/0* 0,2365 328, 51 9,6726 45000 1,543615* 0,1792 1,6397/0* 0,2049 330,17 9,6696 40000 /,3644/0* О, /578 /,4348 10 0,1658 ‘ 331,82 9,6666 47000 1,206610* 0,1398 /,2690-10 0,1067 331,82 9,6636 08000 t,0672 №* 0,1234 ■ /,1223/0* 0,12972 331,82 9,6605 _ 09000 -4 9.4379/0 0,/0904-10 9.9258/0. 0,4470 331.62 9,6575 $0000 2,3475/0* 0,9661-Ю4 8,7788Ю 0,10/39-Ю* S3f,82 .9.6545 51000 7,3834-/0* 48525 1,7649-10* 0,8966- /6* 331,82 9,65tS 52000 6,5303/0* 0,7539 6,8683/о 0,7928 331,82 9,бЦ85 53000 5,7770/0* 0,6667 6,0755/о 0,700 331,82 9,6 */55 54000 5, //ОЗ /о* «5537 5,3744/0 0,5639 331,82 9,6825 55000 4,5/66-10* 0,5295 4,8Ю5Ю* 0,5095 329, 79 9,6395 50000 5387//о* 0,4745 4,30/0/0* 0,4623 327, 6*1 9,6365 57000 3,5/26/0* 0,42/9 3,8387/0* 0,4/67 325,52 9,6335 58000 3,0307/о* 0,3759 3,4220/0* 0,3760 323, ЬО 9,6305 59000 2,7/48/0 0,364 г 3,0460/0* 0,3389 321,26 9,6275 60000 2,3806 /о* 0,2969 2,707/10 0,3051 Щ11 9Г62*<5 61000 2,0837/0 0,2632 2,4020/0 0,2750 316,90 9,6215 62000 /,8205/о 02330 2,1270/0* 0,2454 319,76 * в]б135 62000 1,5875/0 0,2059 1,8816-/o' 0,2205 312,56 9,6156 бкООО 1.38l6t\f 0,18/0 > 1 2 Сэ 0/969 510,35 9,6126 65000 1,2006/0* «1600 1М4г-ю* 0,1763 30Q, 13 9,6096 66000 !,0406-Ю* ' />,/чо/ 1,2379/0* ' 0,1568 305,88 9,6066 67000 9,00S/-toS 0,12295 1,13111о4 ’ 0,1396 303,63 9,6036 68000 7,7756 /0^ 1 0,10768-10' \ 9,915Но^ ’ OJ242 301,36 9t6oo6 69000 6.6988/6 ’ 0.9408 10* ' 8.6727(6 ’ 01102 Го 299,07 9,5976 70000 5,7580/6 5 0,8205 7,57/2-16 ’ 0,9760 Го ' 296,76 9,59*17 71000 4,9375-Ю 5 0,7/Ц/ 6,5952-/0 > 0,8628 294,44 9,5917 72000 4,2234-16 5 0,6/98 -/о ’ 5, 7324 /1 , 0,7613 ■ /О Г 292,09 9,5887 55
Продолжение * м Р Ро Р Ро a м/се 9 73000 7Ш0 75000 76000 77000 78000 79000 3,603610 3,0681 Г? 2,6039-idS 2,20k8-l0S 1,8606- to 1,5662-10S 1,3149-10 0,5355 Ю* 0,кйк2 0,3991 о,зккг 0,Z9kk 0,25/8 0,2/к9 -Ю 4,9711 10 6 4,3026 /О6 3,7135 Ю 3,1933iP 2,74б31о 2,3529-/oS 2,010310 0,(685 Го5 0,5897 0,5/52 0М52О о.зэзк 0,3426 0,2977 289,75 287,36 284,95 282,54 280,10 277,64 275,16 9,5857 9,5828 9,5798 9,5768 9,5738 9>5709 9,5679 80000 1,0995-lo 0,(52к-Ш 1,7126 lbS 0,10/6 -Ю 272,66 9,564/9 85000 90000 05000 9,9706-ю 1,8203-10С 7.4221 Ю7 0,26503 ШЪ OJOIilW5 0,O223k-id -С 6,9635Ю 2,8357/Ю 1,1567- /о6 0,4/26/-to 0J6787ii>S 0,7/595/0 272.66 272.66 9,5501 9,53547 WO ООО 3.1987-10? о,гкг<*ъю кк075ю' 0,357/355/0 НО ООО 120000 130000 140000 150000 <0,0000 170000 180000 190000 7,7199 -108 2,521710 1,191310 8 7,2887-Ю 5,0563-1$ 3,7628169 2,8799-10 г,гтГо 1.7227-W 0,5198210 0,/ззок/с7 в,к62кЗ-/'о* 0,22586- /с8 0,12935-Ю* 0,1829-Го3 0.6600-/о 0,к 972 ко 0,3772 /09 8,639/-/0й 7,/703-WS 6, /26/ !0S 2.67Ш03 /.кЧЗЧЮ3 9,0к77 70 6,758/10° 5,0823/0° НО 3.8593-Ю 0,(ЧШш o/ssmio 0,3kSli id 0,723/7/-id 0,53863to 0,22!% io3 0,/бШ/о 0,12290Jo 0,91/6- Co° 200000 i 3955io 0.28 79-Го3 2,97/77/0° 0,685-2 210000 220000 250000 гьоооо 250000 260000 270000 280000 290000 1,0576 id9 8,3665io0 6,6587-10° 5,330030 4,2900-Ю 3,9729-10 2,8565Ю° 2,3133-10° 1,9033/0° 022095/С -9 QJJ078-IO 0,13287-Ю 0,10 коо -io 0,8176 io 0,6169 0,5432 0,4100 0,3302 10° 2,,26*9/0° 7,77/79/0° 1,3597/0° /,ОбкЧГо° 8,383570 6,6873 /о" 5,2627/io' 7j,208070 3,38778 io 0,SM Q.mz 0,2953Jo 0,22(6SJo° 0,17(22-10° 0,13589Jo 0,/oSkkJo 0,2232/0 0,6489- io 300000 1,5731Ю 2,7360-/о' 50
Пример расчета Г! ступени и участка свободного полета. Исходные данные и0 =2,3107- cos 37°22* =1836,5 а/оек; W0 =2,3107- sm37°22> =1402,4 и/сек; к 79,700 = о 0оз8бА2 1/сек; 20625 £к - £„ = 196,90 сек ; О =9,8100 и/сек2; R =6371,1 км. В о пп. Пара¬ метр Операции Результат ! °MVt0) 0,76086 2 *-о 0,23914 3 V© 4,1816 А ел© 1,4307 5 9« Руэ. 3,3848 6 А © • © 4,8426 7 @^г 61,886 а ©-© 88,540 9 (*K-t0)-® 108,36 10 Б © •© 366,78
58 66 'ссс
№ пп. Пара¬ метр Операции Результат 56 © *© 475, 56 502,59 530, 53 556,59 581,15 603, 83 624, 45 57 Ук ©-© 283,39 312, 42 340, 36 366,42 390, 98 41Э-, 66 434,28 58 © © 4,4783 4,3006 4,0903 3,8488 3,5780 3, 27 99 2,9569 59 © © 0,0305 0,0293 0,0279 0,0262 0,0244 0,0224 0,0202 60 ©-© 6,2603 6,0826 5,8723 5,63 0 8 5,3600 5,0619 4,7389 61 UK ©- © 6,2298 6,0533 5,8444 5,6046 5,3356 5,0395 4,7187 62 © •© 1,8679 2,2564 2,6302 2,9791 3,3078 3,6113 3,8873 65 Wk © ♦© 1,3847 1,7732 2,1470 2,4959 2,8246 3,1281 3,4041 6 4 ©2*©f 40,728 39,787 38,767 37,641 36,447 35, 182 33,854 65 VK 1© 6,3818 6,3076 6,2263 6,1352 6,0371 5,9314 5,8184 66 Vk ©/© 0,22227 0,29 29 3 0,36736 0,445 33 0,52939 0,62072 0,72141 67 e« 12е 32 ’ 16'20' 20 4 0' 240 00' 27° 54' 31° 50* 35 0 491 68 R*© 6654,5 6683,5 6711,5 6737, 5 6762,1 6784,8 6805,4 69 *9* ®/& 0,11418 0;H167 0,10883 0,10570 0,10229 0,098613 0,094720 70 6° 31' 6' 22' 0° 13' 6° 02' 5° 501 5° 38 ’ 5° 25' 71 ©и ©*© 19 ° 03 1 22° 421 26" 2Э1 30" 02* 33 ' 44' 37 * 28' 41° 14' 72 Jb* , pa3 0,11374 0,11112 0,10850 0,10530 0,10181 0,098320 0,094538 75 R- © 724,6 708,0 691,3 670,9 648,6 626,4 602,3 74 & +©Z 44860-10* 45226• 103 45578 • 103 45901 ■ 10* 46204 • Ю3 46481 • Ю3 46729•Ю3 75 гк Щ 6697,8 6725,0 6751,1 6775,0 6797,4 6817,7 6835,9 76 hK ©- R 326,7 353,9 380,0 403,9 426,3 44 6,6 464,8 77 © © 27279 • 101 26757 • 10' 26172 • 101 25502 -I01 24774 * 10' 23986 • Ю1 23142 ■ fO1
ПП. Лапе метр Операции Результат 78 Ок ©/к 0,68434 0,671 24 0,65657 0,63976 0,62149 0,60173 0,580 55 79 tg е„к 0,34530 0,418 31 0,49604 0,57813 0,667 7 6 0,76640 0,87646 80 ©2 0,i 19 23 0,174 98 0,24606 0,33423 0,44590 0,58737 0,76818 81 I *© 1,11920 1,17498 1,246 06 1,33423 1,44590 1,58737 1,76818 82 2R © 14260,9 14971,8 15877,8 17000,4 18423,7 20226,7 22530,4 85 ©* R 13068,9 13096,1 13122,2 13146,1 13168,5 (3188,8 13207,0 84 © © 8943,6 8790,6 8615,5 8410,3 81 83,8 7936,2 7667, 3 85 а ©-© 5317, 3 6181,2 7262,3 8590,1 10240 12291 14863 86 © © 0,23630 0,28079 0,32568 0,36986 0,41501 0,46117 0,50883 87 Ь R • © 1505,5 1788,9 2074,9 2356,4 2644 ,1 2938,2 3241,8 88 с © © 223,53 237, 58 249,51 258,42 26 4 , 92 268,73 269,81 89 ьг 22665 • 102 32002•102 43052 10* 55526 102 69913 102 86330 10* 10509 Ю.3 90 © •© 11886 • 102 14685 • 102 18120 • Ю2 22199 10г 27128 Ю2 33030 102 40102 • Юг 91 ©♦© 34551 • Ю2 46687 • 10г 6Н72 Ю2 77725 Ю2 97041 • Ю2 11936 103 14519 Ю3 92 1© 1858,8 2160,7 24 73,3 2787,9 311 5,1 3454,9 38 i0,4 93 ©- © 3364,3 3949, 6 4548,2 5144 ,3 5759,2 6393,1 7052,2 94 ©/© 0,63 271 0,63898 0,62628 0,59886 0,56242 0,52014 0,47448 95 »/г 32° 13 ’ 32е 35' 32*03,' 5 30* 55' 29* 21 1 27 * 29' 25° 23' 96 64'38' 65'Ю' 64° 07‘ 61 * 50' 58* 42' 54е 58‘ 50 * 46' 97 . Р°9 1,1281 1,1374 1, П90 1,0792 1,0245 0,95935 0,88 6 05 98 R •© 7187,2 7246,5 7129,3 68 75,7 6527,2 6112,1 5645,1 99 L © *© 7911. 8 79 54, 5 7820,6 7546,6 7175, 8 6738,5 6247,4 rjO
К? пп. Пара метр Операции Результат* № пп Пара¬ метр Операции Результат* 1 i юо Cos 6МК 0,9225 4 122 ©•(ПП) 377,17 101 ®г 0,85108 123 ©Л© 496,86 102 © @ 0,57128 124 , -(ПТ) 0,25886 105 р 5841,9 125 ©/'© 0,52741 104 9 2- © 1,5288 126 ate Cos(ji§ 58 * 101 105 0,89194 127 (?2б) роЭ 1,0152 106 6os)(lOi) 0,75911 128 1 - @ 0,32876 107 1 - (Гоб) 0,24089 129 (¥£У(ш) 0,66983 ; 108 С 1(10?) 0,49081 130 atcCos(l29) 47* 571 109 (joi) • R 4836,4 131 (По) раЗ 0,83688 110 1,25886 132 1,8521 111 2 -(По) 0,74 114 133 0,87127 112 K/R 62,567 134 &У® 1 2,1257 115 (ПТ)- @ 46, 371 135 (Па)-© 2,6043 114 Vc 'Ш) 6,8096 136 (Н?)+© 3,0226 115 R -(ПТ) 4721,9 137 tc ©•© 1501,8 116 <">!)/© 0,81565 138 т tK + tc 1811,1 117 Со50пс 1(П1) 0,90202 139 1 + (10?) 1,4908 118 ®ИС ~ 25° 34* 5 140 ©•© 10026 119 ■tq ®мс -0,47858 141 7545,2 120 $кук 0,96380 10 г ■ 142 (Taj) - R 1174,1 121 1(120) 0,098173 143 (Гоа)- © 8,3815 * Только ДЛЯ VK=27°22r (Lmax). 61
№ пп. Пара¬ метр Операции Результат* № пп Пара¬ метр Операции Результат* 144 Cos ©нк 0,92 2 54 166 (]65) * (164) 35352 (О3 145 ((4?) рмГ) 7,7323 167 .<©■ © 8708,3 146 ve (ED/(S) 5,1867 168 _2L_ 9 Vk <46б)/ (j67) 4059,6 147 <3Hy<s) 0,96053 169 ((58) • 2 0,534 56 14 8 ©+© 1,3788 170 © -© 0,(3668 14 9 t в ©•© 685,07 171 © •©> 0,(6060 150 Те t„ + t. 994,37 172 ©)• © 0,046576 151 2R/© 1,8948 173 2R 2 81(8,2 • ю" 152 © © 2,2264 174 37 8К • Ю2 151 Sin 0,53853 175 61 ае* ®/<ЗИ> 2738,7 154 0,29001 155 ©•© 0,18531 156 ((52) @) 0,41257 157 ©+© 1, 0838 155 © © 0,26728 159 R ^5в) 170 2,9 160 © *© 2056,8 161 ©■© 1380,6 162 R ((57) 6905,0 ' 163 3L ЭЬк 5,0014 164' ©•© 0,21774 165 4R2 16236 • 10* * Только для VK=27e 22’ (Lmax) 82
Приложение 7 ТАБЛИЦА поправок на высоту к составляющей ускорения силы тяжести из-за кривизны земли ' Я* * & f i . * = 6370 км; g) = 9,81 м/сек2 х - дальность X Д k X Л h. 9* X & К ?х X Д Al км Км "/сек* км км м/сек* км км м/сек* км КМ м/сеКг 0 0,000 0,000 20 0,031 0,031 40 0,126 0,062 60 0,283 0,092 I 0,000 0,002 21 0,035 0,032 41 0,132 0,063 61 0,292 0,094 2 0,000 0,003 22 0,038 0,034 42 0,139 0,065 62 0,302 0,095 3 0,001 0,005 23 0,042 0,035 43 0,146 0,066 63 0,312 0,097 4 0,002 0,006 24 0,045 0,037 44 0,152 0,068 64 0,322 0,099 5 0,002 0,008 25 0,049 0,039 45 0,159 0,069 65 0,332 0,100 6 0,003 0,009 26 0,053 0,040 46 0,166 0,071 66 0,342 0,102 7 0,004 0,011 27 0,057 0,042 47 0,173 0,072 67 0,352 0,103 8 0,005 0,012 28 0,062 0,043 48 0,181 0,074 68 0,363 0,105 9 0,006 0,014 29 0,066 0,045 49 0,189 0,075 69 0,374 0,106 10 0,00 0,015 30 0,071 0,046 50 0,196 0,077 70 0,385 0,108 II 0,010 0,017 31 0,075 0,048 51 0,204 0,079 71 0,396 0,109 12 0,011 0,018 32 0,080 0,049 52 0,212 0,080 72 0,407 0 ,Ш 13 0,015 0,020 33 0,085 0,051 53 0,221 0,082 73 0,417 0,112 14 0,015 0,022 34 0,091 0,052 54 0,229 0,083 74 0,430 0,114 15 0,018 0,023 35 0,096 0,053 55 0,238 0,085 75 0,442 0,116 16 0,020 0,025 36 0,102 0,055 56 0,246 0,086 76 0,453 0,117 17 0,023 0,026 37 0,107 0,057 57 0,255 0,088 77 0,465 0,119 18 0,025 0,028 38 0,113 0,059 58 0,264 0,089 78 0,478 0,120 19 0,028 0,029 39 0,119 0,060 59 0,273 0,091 79 0,480 0,122 63
Продолжение X км д /г км ** г */сек6 X км & h км 9, м /сек1 X км д Я км м 9* /сек2 X км Д /г км г м/секс 80 0,503 0,123 но 0 950 0 169 140 I 539 0 216 170 2 269 0 262 81 0,515 0,125 III 0 967 0 171 141 I 561 0 217 171 2 296 0 263 82 0,522 0,126 112 0 985 0 173 142 I 588 0 219 172 2 322 0 265 83 0,541 0,128 ИЗ I 003 0 174 143 I 605 0 220 173 2 349 0 266 84 0,551 0,129 114 I 020 0 176 144 I 628 0 222 174 2 376 0 268 85 0,567 0,131 115 I 038 0 177 145 I 651 0 223 175 2 434 0 270 86 0,581 0,132 116 I 057 0 179 146 I 674 0 225 176 2 432 0 271 87 0,591 0,134 117 I 075 0 180 147 I 697 0 226 177 2 460 0 273 88 0,608 0,136 118 1 093 0 182 148 1 720 0 ^28 178 2 488 0 274 89 0,622 0,137 119 I 112 0 183 149 I 743 0 230 179 2 516 0 276 90 0,636 0,139 120 I 131 0 185 150 I 767 0 231 180 2 544 0 277 91 0,650 0,140 121 I 150 0 186 151 I 790 0 233 161 2 572 0 279 92 0,665 0,142 122 I 169 0 188 152 I 814 0 234 182 2 601 0 280 93 0,679 0,143 125 I 188 0 189 153 I 838 0 236 183 2 629 0 282 94 0,694 0,145 124 I 207 0 191 154 I 862 0 237 184 2 658 0 283 95 0,708 0,146 125 I 227 0 193 155 I 886 0 239 185 2 687 0 285 96 0,723 0,148 126 I 247 0 194 156 I 910 0 240 186 2 716 0 286 97 0,739 0,149 127 т 266 0 196 157 I 935 0 242 187 2 745 0 288 98 0,754 0,151 128 I 285 0 197 158 I 960 0 243 188 2 775 0 290 99 0,769 0,152 129 I 307 0 199 159 I 985 0 245 189 2 805 0 291 100 0,785 0,154 130 I 327 0 200 160 2 010 0 246 190 2 834 0 293 101 0,801 0,156 131 I 347 0 202 J.6I 2 035 0 248 191 2 864 0 294 102 0,817 0,157 132 I 368 0 203 162 2 060 0 250 192 2 894 0 296 103 0,833 0,159 133 I 289 0 205 163 2 086 0 251 193 2 925 0 297 104 0,843 0,160 134 т 410 0 206 164 2 III 0 253 194 ? 955 0 299 | 105 0,866 0,162 135 I 431 0 208 165 2 137 0 254 195 2 985 с 300 106 0,882 0,163 156 1 452 0 209 166 2 163 0 256 1% 5 016 :о 502 107 0,899 0,165 137 I 473 0 211 167 2 179 0 257 157 5 047 j 303 Г 08 0,916 0,166 138 I 495 0 213 168 2 216 о 259 198 5 U7G | 505 109 0,933 0,168 139 I 517 0 214 169 2 243 V 250 199 3 i0S (0 507 64
Продолжение X км <3 Я км м/сек1 X км д Я КМ ?'* г м/сек •X км <3 я км м/сек X км д я км м /сек* 200 3,140 0,308 230 4 152 0,354 260 5,308 0,400 290 6,602 0,447 201 3,172 0,310 231 4 189 0,356 261 5,348 0,402 291 6,648 О, 448 202 3,200 0,311 232 4 226 0,357 262 5,389 0,404 292 6,694 0,450 203 3,235 0,313 233 4 262 0,359 263 5,430 0,405 293 6,740 0,451 20'+ 3,267 0,314 234 4 299 0,360 264 5,472 0,407 294 6,785 0,453 205 3,300 0,316 235 4 336 0,362 265 5,513 0,408 295 6,831 0,454 206 3 >,332 0,317 236 4 372 0,363 266 5,555 0,410 296 6,878 0,456 207 3,364 0,319 237 4 409 0,365 267 5,597 0,411 297 6,925 0,457 208 3,397 0,320 238 4 447 0,367 268 5,639 0,413 298 6,972 0,459 209 3,429 0,322 239 4 484 0,368 269 5,687 0,414 299 7,018 0,461 210 3,462 0,323 240 4 522 0,370 270 5,724 0,416 300 7,065 0,462 211 3,495 0,325 241 4 559 0,371 271 5,766 0,41? 212 3,529 0,326 242 4 597 0,373 272 5,800 0,419 213 3,562 0,328 243 4 636 0,374 273 5,852 0,420 214 3,595 0,330 244 4 675 0,375 274 5,895 0,422 215 3,629 0,331 245 4 713 0,377 275 5,937 0,423 2X6 3 ,664 0,333 246 4 751 0,379 276 5,9SG 0,425 217 3,698 0,334 247 4 790 0,380 277 6,024 0,427 218 3,738 0,336 248 4 829 0,382 278 6,067 0,428 219 3,785 0,337 249 4 867 0,383 279 6,III 0,430 220 3,799 0,339 250 4 905 0,385 280 6,155 0,431 221 3,834 0,340 251 4 945 0,387 281 6,198 0,433 222 3,869 0,342 252 4 985 0,389 282 6,248 0,434 223 3,904 0,343 253 5 025 0,390 283 6,288 0,436 224 3,939 0,345 254 5 064 0,391 284 6,332 0,437 225 3,975 0,347 255 5 104 0,393 285 6,377 0,439 226 4,010 0,348 256 S 144 0,394 286 6,422 0,441 227 4,045 0,350 257 5 164 0,3% 287 6,467 0,442 228 4,080 0,351 258 5 225 0,397 288 6,512 0,444 229 4,115 0,353 259 5 266 0,399 289 к 6,557 0,445 65
ЛИТЕРАТУРА 1.Аппазов Р«Ф., Лавров С.С,, Мишин В.П, Баллистика управляемых ракет дальнего действия. ''Наука7, 1966. 2. Демидович Б.П., Марон И. А. Оснобы вычислительной математики. Физматгиз, I960. 3. К р ы л о в А.Н. Лекции «о приближенных вычисле¬ ниях. Гостехиздат, 1950. 4. О х о ц и м с к и й Д.Е., Э ы е е в Т.М. Некото¬ рые вариационные задачи, связанные с запуском искусствен¬ ного спутника Земли. 'Успехи физических наук', т.ХШ,вып.1а, 1957. 5. Феодосьев В.И., С и н я р е в Г.Б. Введе¬ ние в ракетную технику. Оборонгиз, 1960. 6. Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. Оборонгиз, 1S46.
СОДЕРЖАНИИ Стр. Введение 3 Цель курсовой работы 3 Содержание курсовой работы 4 Порядок и особенности выполнения типового задания 6 Приложение 1 вклейка Приложение 2 .. 33 Приложение 3 34 Приложение 4 . 37 Приложение 5 43 Приложение 6 .... 46 Приложение 7 . . . 63 Литература с . .. 66 Рефат Фазылович Алпазов РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ Редактор Р.Н, Фурсова Техн.редактор К.П.Барановская Зак. 5//1053 Объем 5,25 печ. л. Бесплатно Тираж 300 Ротапринт МАИ