/
Text
Р. БЕККЕР
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Том II
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ
Издание второе, исправленное
под редакцией Т. П. КРАВЦА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Ленинград 1941 Москва
Редактор Т. П. Кривей,
Тираж 10 000 экз. Подписано к печати 13/И 1941 г. М 1384. Печатных 24,5 листа. Автор-
Авторских 29,45 лист. Типографских знаковв печати, листе 53.850. Цена 8 руб. Переплет I р. 50 к.
Заказ № 5810.
1-я типография Машгиза НКТМ. Ленинград, ул» Моисеенко, 10»
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
Во втором издании внесено лишь немного изменений по сравнению
с первым. В первоначальный текст — в общем весьма высокого ка-
качества— вновь вставлены выброшенные в первом издании ссылки и
указания на 1-й том, только что вышедший вторым изданием. Обозна-
Обозначения и терминология также согласованы со вторым изданием первого
тома. Наконец, в соответственных местах указаны новые опыты и при-
приведены новые цифровые данные для мировых констант.
Редакция и здесь выражает признательность всем лицам, пришедшим
ей на помощь своими ценными указаниями. В огромном большинстве
случаев она могла ими воспользоваться.
Перевод выполнен Н. Г. Пруссаковой* f. Кравец
ЛГУ
Физический Институт
Февраль 1939 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
При издании первого тома „Теории электричества" некоторая часть
текста, принадлежавшая еще Абрагаму, была почти без изменения пере-
перенесена сюда из предшествующих изданий. Настоящий же второй том
я счел необходимым написать полностью заново. Обстоятельное изложе-
изложение теории твердого электрона в Абрагамовском смысле в настоящее
время потеряло почти весь интерес. В особенности после успехов спе-
специальной теории относительности можно считать ее совершенно отста-
отсталой; поэтому она была опущена. С другой стороны я считал своей за-
задачей оттенить взаимодействие между теорией и опытом, оказавшее
столь решительное влияние на успехи физики — оттенить сильнее, чем
это было сделано в прежних изданиях.
Может быть, нуждается в некотором оправдании то обстоятельство,
что и новое изложение существенным образом ограничивается класси-
классической электронной теорией, так как точка зрения квантовой теории
хотя в отдельных случаях и привлекается, но более подробно исполь-
используется только в отделах об электронах в металлах (D) и о равновесном
излучении (О). При современном состоянии физического знания дидак*
4 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
тически-целесообразное представление электронной теории сопряжено
с особыми трудностями. Нам ясно, что высказывания классической тео-
теории не обладают полной строгостью. Они должны, напротив, быть за-
заменены более строгими результатами квантовой механики. Самое боль-
большее, что здесь можно утверждать, это — что в приближениях, даваемых
Боровским „принципом соответствия" и „принципом неопределенности"
Гейзенберга, материя ведет себя так, как если бы классическая теория
была верна. Поэтому любой учебник, не исходящий из постулатов кван-
квантовой механики, ныне считаемых правильными, в некоторых отношениях
оставляет нас неудовлетворенными. Часто видишь себя вынужденным
указывать, что строгого опытного доказательства иногда с большим
трудом полученных формул ожидать не приходится.
Но независимо от того, что вполне удовлетворительной квантовой
теории электромагнитного поля еще не имеется, строй мысли классиче-
классической электронной теории пока еще остается неизбежным как для пони-
понимания примыкающих к ней соображений квантовой теории, так и для
наглядного представления предложений, получаемых из последней.
К тому же неоднократно обнаруживалось, что для успеха эксперимен-
экспериментальных исследований живое схватывание наглядных, хотя и не всегда
строгих образов классической электронной теории обычно более плодо-
плодотворно, чем слишком робкое следование более строгим, но гораздо ме-
менее удобным в работе правилам квантовой механики.
Литературный указатель в конце книги, конечно, не претендует на
полноту. Дальнейшие литературные указания можно получить прежде
всего в цитированных по отдельным главам статьям в „Handbuch'ax".
Беккер
Берлин, Шарлоттенбург
Август 1933 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр
A. ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 7
§ 1. Элементарный электрический заряд G). § 2. Шротэффект A2).
§ 3. Отношение заряда электрона к массе A9). § 4. Масс-спеюрогра-
фия B6). § 5. Явления, вызываемые инерцией свободных электронов
в металлах C0). § 6. Содержание и основные уравнения классической
электронной теории C5). § 7 Закон сохранения энергии и импульса в
электронной теории C9). § 8. Поле равномерно и медленно движущегося
электрона D3). § 9. Поле равномерно и сколь угодно быстро движуще-
движущегося заряда D8... § 10. Импульс равномерно движущегося заряда E4).
§11. Поле, вызываемое заданным распределением зарядов F1). § 12. Урав-
Уравнения движения в форме Гамильтона Gi).
Б. УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКГРОН 74
§ 13. Свободные колебания упруго связанного электрона G4). § 14. Рас-
Расширение спектральных линий, вызываемое затуханием (80). § 15 Вынуж-
Вынужденные колебания упруго связанного электрона. Расширение линий,
обусловленное затуханием и столкновениями (85). § 16. Влияние постоян-
постоянного магнитного поля на движение электрона в атоме (89). § 17. Инду-
Индуцированный магнитный момент (97). § 18. Магнитно-механические эф-
эффекты. Момент количества движения и намагничение A01).
B. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ
СРЕДАХ 108
I. Вывод уравнений Максвелла из основных уравнений
электронной теории.
§ 19. Усреднение полей A08). §20. Токи проводимости и поляризации A11).
§ 21. Намагничение A15).
II. Статическая электрическая поляризация.
§ 22. Эффективное поле A19). § 23. Индуцированный дипольный мо-
момент A2а). § 24. Молекулы с постоянным дипольным моментом A26).
III. Электрическая поляризация в быстропеременных полях.
Дисперсия и поглощение.
§ 25. Дисперсия в прозрачной области A32). § 26. Аномальная диспер-
дисперсия и поглощение A38). § 27. Магнитное вращение плоскости поляризации
(эффект Фарадея) A42). 28. Влияние внешнего ориентирующего поля A48).
IV, Магнитные свойства вещества.
§ 29. Диамагнетизм A57). § 30. Парамагнетизм A60). § 31. Теория ферро-
ферромагнетизма Вейсса A65). § 32. Термические эффекты при намагничении A72).
§ 33. Намагничение монокристаллов A77). § 34. Техническая кривая на-
намагничения A89).
6 СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Г. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ 194
§ 35. Теория свободных электронов по Друде A94). § 36. Метод Ло-
рентца B01). § 37. Эффект Холла B07). § 38. Тепловая эмиссия электро-
электронов. Ток насыщения B11). § 39. Область объемных зарядов B15) § 40. Ста-
Статистика Ферми для электронов в металле B21). § 41. Теория электропро-
электропроводности и теплопроводности по Зоммерфельду B31). § 42. Свойства
металла, не зависящие or средней длины пробега B35).
Д. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В МЕДЛЕННО
ДВИЖУЩИХСЯ НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ 241
§ 43, Вывод уравнений поля в теории Максвелла B41). § 44. Вывод урав-
уравнений поля из электронной теории B44).§ 45. Экспериментальное под-
подтверждение основных уравнений B49). § 4S. Опыт Физо B54). § 47. Опыт
Майкельсона (ЗД7). § 48. 'Попытки объяснения отрицательного результата
опыта Майкельсона B61).
Е. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 263
I. Физические основы.
§ 49. Пересмотр понятий пространства и времени B63). § 50. Преобра-
Преобразование Лорентца B66). § 51. Следствия из преобразования Лорентца B70).
§ 52. Содержание специальной теории относительности B76).
II. Математические методы теории относительности.
§ 53. Преобразование Лорентца (в общем виде) B78). § 54. Четырехмер-
Четырехмерные векторы и тензоры B83).
III. Релятивистская электродинамика
§ 55» Уравнения поля B91). § 56. Плотность силы B97) § 57. Тензор энер-
энергии и импульса электромагнитного поля B99). § 58. Плоская световая
волна C05). § 59. Излучение движущегося электрона C12).
IV. Электродинамика материальных тел
§ 60. Уравнения поля C18). § 61. Тензор моментов C24). § 62. Унипо-
Униполярная машина C29).
V* Релятивистская механика
§ 63. Механика материальной точки C42). § 64. Релятивистские уравне-
уравнения движения в гамильтоновой форме C37). § 65. Эквивалентность энер-
энергии и массы C40). § 66. Механические напряжения C45).
Ж. ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 356
§ 67. Термодинамика излучения C56). § QS. Формула Рэлея-Джинса C61).
§ 69 Формула Планка (Зв9) § 70. Вывод формулы Планка по Эйн-
Эйнштейну C74). § 71. Баланс импульса атомов в поле излучения C79).
Примечай я редактора перевода 385
к § И C85); к § 2i C86); к § 29 C86); к § 45 C86); к § 58 C87);
к § 60 (с87); к § 03 C88).
Указатель литературы , 389
А. ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Элементарный электрический заряд. Дальнейшее развитие
теории Максвелла из того ее состояния, которое было дано в пер-
первом томе, было обусловлено тесным взаимодействием экспериментальных
исследований и теоретических рассуждений. Как с той, так и с другой
стороны в качестве основной задачи исследования ставилось достижение
более углубленных знаний о сущности материи. Но в то время как
уравнения Максвелла для вакуума вряд ли превзойдимы по ясности
и простоте и, кроме того, вполне согласуются с результатами опыта,—
применение этих уравнений к пространству, заполненному веществом,
основано на том предположении, что всякое отдельное тело характери-
характеризуется рядом индивидуальных „констант" (электропроводность, диэле-
диэлектрическая постоянная, магнитная проницаемость). Однако, такое много-
многообразие индивидуальных констант не может быть терпимо в теории,
которая ставит своей целью выработку простого, основанного на не-
немногих исходных законах представления о картине мира. Но и помимо
этого опыты показывают, что о „постоянстве" этих величин, даже для
одного и того же вещества, не может быть и речи. В частности, при
быстро меняющихся электрических полях (световые волны) эти величины
ведут себя совершенно иначе, чем в случае статических полей, как мы
неоднократно указывали в первом томе.
Необходимая для понимания этих явлений углубленная теория мате-
материи основана, прежде всего, на чисто экспериментальном изучении
сущности электрического тока. Здесь мы имеем две группы явлений,
которые при дальнейшем развитии оказались ведущими, а именно: про-
прохождение тока через электролиты и через разрядные трубки,
выкачанные до высокого вакуума.
При прохождении тока / через водный раствор азотнокислого сере-
серебра на катоде выделяется за время t определенное количество серебра G,
которое численно определяется фарадеевским законом эле-
электролиза:
О—4^--
96500 п'
здесь / измеряется в амперах, a G в граммах; Лип означают атом-
атомный вес и валентность (например для серебра А = 107,88 и л=1).
Таким образом имеет место равенство:
// = ^1.96500 кулон.1)
1) Более точное значение -—96489.
8 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
При электролизе каждый грамм-атом одновалентного
электролита переносит через раствор количество элек-
электричества, равное 96500 кулонам. Если обозначить через N
число атомов в грамм-атоме (число Авогадро Af= 6,031 -1023), то этот
результат означает следующее: каждый отдельный ион при попадании
на катод отдает ему заряд
в = -¦ д. кулон = 4,80-10""0 электростатических CGS-единиц заряда.
Закон Фарадея, вместе с гипотезой о существовании атомов, при-
приводит таким образом к заключению, что и электричество, по крайней
мере при электролизе, должно состоять из дискретных элементар-
элементарных зарядов, величину которых (е) мы только что вычислили. Этот
факт был впервые ясно подчеркнут Стони (Stoney) и Гельмголь-
цем (Н. v. Helmholtz) в 1881 г. Гельмгольц в своей знаменитой речи,
посвященной памяти Фарадея E апреля 1881 г.), сказал:
„С каждым одновалентным ионом и с каждой валентностью многовалент-
многовалентного иона связано одно и то же количество положительного или отрицатель-
отрицательного электричества, которое нераздельно сопровождает этот ион при всех его
передвижениях в жидкости*.
Далее Гельмгольц называет предположение о существовании неразру-
неразрушимых атомов хотя и гипотетической, но тем не менее самой лучшей
теорией строения вещества, и продолжает:
.Перенесенная в область электрических явлений, эта гипотеза, при сопо-
сопоставлении ее с законом Фарадея, приводит к несколько неожиданному след-
следствию. Если мы допускаем существование атомов химических элементов, то мы
должны прийти далее к тому заключению, что электричество, как положитель-
положительное, так и отрицательное, также состоит из определенных элементарных заря-
зарядов, которые ведут себя, как атомы электричества".
Равенство Фарадея eiV = 96500 кулон дает нам весьма точное зна-
значение произведения двух важных констант атомной теории. Для зна-
знания каждой из величин е и N в отдельности необходимо еще само-
самостоятельное измерение одной из этих величин. Из таких измерений ука-
укажем здесь на следующие:
а) Непосредственное измерение элементарного заряда е по Милли-
кэну. Идея опытов Милликэна заключается в следующем. Непо-
Непосредственно измеряется заряд, который находится на электрически
изолированном теле. Затем это тело каким-либо способом перезаряжают
и снова определяют его заряд и т. д. Если при этом окажется, что
все полученные значения заряда являются целыми кратными
некоторого наименьшего заряда, то этот последний можно считать эле-
элементарным количеством электричества. Чтобы можно было
с достаточной уверенностью судить о том, является ли данный заряд
действительно целым кратным некоторого элементарного заряда, оче-
очевидно необходимо, чтобы тело было заряжено лишь небольшим числом
этих элементарных зарядов. По этой причине необходимо брать тело
очень малых размеров, — таких, что оно, как показал опыт, может быть
обнаружено только при помощи ультрамикроскопа.
Опыт Милликэна производится следующим образом. Между пластин-
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
ками горизонтально расположенного конденсатора (расстояние между
пластинками р) находится взвешенная в воздухе капелька какого-нибудь
вещества, например ртути. Если эта капелька не заряжена, то в поле
тяготения она будет опускаться вниз под влиянием силы Mg. Если
а — радиус капельки, которую считаем шарообразной, d — плотность
капли, a d0— плотность окружающего воздуха, то эффективная масса
капельки М определяется выражением
Если капелька имеет заряд е, то, заряжая конденсатор до опреде-
определенной разности потенциалов V между пластинками, можно как раз
компенсировать силу тяжести; условием для взвешенного состояния,
очевидно, будет равенство:
При помощи этого уравнения можно экспериментальным путем опре-
определить заряд ?, если известна масса капельки. Так как нельзя непо-
непосредственно измерить величину ультрамикроскопической частички, то
в этом способе определения заряда
задача эксперимента сводится собствен- f
но к измерению массы М. *
Милли кэн избрал следующий спо- р ы
соб: напряжение между пластинками
конденсатора выключается, после чего * ¦ у
измеряется скорость V, с которой ча-
частица падает под влиянием силы тяже- рИс. 1. Схема определения е
сти. Сопротивление окружающего воз- по Милликэну.
духа столь велико, что падение про-
происходит с постоянной скоростью. Действующая при этом сила Mg вы-
вызывает падение со скоростью v = BMg. Коэфициент В в этом законе
падения называют подвижностью частицы. Подвижность шарообразной
частички радиуса а, движущейся в среде с вязкостью т], вычисляем по
формуле Стоксa
бща *
Эта формула справедлива лишь до тех пор, пока радиус частички
велик по сравнению с длиной X свободного пути молекул окружаю-
окружающего газа. Если же длина свободного пути становится сравнимой
с радиусом частицы, то в эту формулу следует ввести поправку, дан-
данную Кеннингэмом (Cunningham); с этой поправкой окончательная
формула для подвижности имеет вид:
где А—некоторая постоянная порядка 1. [По поводу этой формулы
можно заметить, что для другого предельного случая (когда длина сво*
Ю ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
водного пути велика по сравнению с радиусом частицы) X уже не вхо-
входит в формулу, так как вязкость tq пропорциональна произведению плот-
плотности газа на длину свободного пути]. Приведенная выше формула
для М позволяет выразить радиус а через массу капельки, затем по
скорости падения в поле тяжести определить массу и из условия равно-
равновесия вычислить заряд. Теперь можно ту же частицу перезарядить,
осветив ее ультрафиолетовым светом, и снова, определить заряд. Таким
путем Милликэну действительно удалось измерить отдельные элемен-
элементарные заряды, так как заряд капельки при последовательных опытах
оказывался, например, равным 2е, — е, Зе и т. д., причем е (усред-
(усредненное по всем произведенным опытам) имело значение 4,77-10~10. При
этих опытах могут возникнуть осложнения из-за того, что приходится
считать плотность капельки равной плотности обыкновенной ртути.
Это обстоятельство может привести к совершенно неверным результа-
результатам, если на капельке адсорбирован заметный по сравнению с ее раз-
размерами слой молекул воздуха. В таком случае эффективная плотность
ртутной капельки будет, конечно, значительно меньше, чем 13,6.
И в самом деле, Эренгафт (Ehrenhaft), пользуясь методом Мил-
ликэна, часто находил, что заряд капельки якобы меньше элементар-
элементарного заряда. Однако, в результате тщательных опытов, которые были
проделаны Регенером (Regener), можно считать доказанным, что
такой заряд капельки был лишь кажущимся, и что он объясняется
только что упомянутым осложнением.
b) Определение е с помощью а-излучения. Испускаемые радием
а-частицы, как известно, представляют собою атомы гелия с двойным за-
зарядом, т, е. каждая а-частица должна иметь заряд 2е. Следовательно,
можно определить элементарный заряд, если измерить весь заряд
ос-частиц, испускаемых в секунду радиоактивным препаратом, и, кроме
того, сосчитать число испускаемых за то же время частиц. Такой под-
подсчет возможен благодаря тому, что каждая а-частица, попадающая на
экран, покрытый сернистым цинком, производит вспышку, видимую
в микроскоп (сцинтилляцию). Подсчитывая эти сцинтилляции, Регенер
действительно смог определить заряд отдельной а-частицы. Он получил
число, равное удвоенному значению элементарного заряда в опыте
Милликэна.
c) Определение числа Авогадро N. Только что описанные методы
имеют целью непосредственное измерение элементарного заряда. Дру-
Другие методы заключаются в том, что сначала определяется число
Авогадро N, и с его помощью из электрохимического эквивалента вы-
вычисляется элементарный заряд. Методы определения N базируются по
существу на основном законе статистической механики, который утвер-
утверждает, что кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы
системы, температура которой есть Г, равна -~- kT, где k — постоянная
Больтцмана, связанная с обычной газовой постоянной R соотноше-
соотношением R = kN. Кинетическая энергия весьма мелких частиц, взвешенных
в жидкости, проявляется в броуновском движении. Она может быть
измерена или окольным путем из барометрического распределения по
высоте большого количества взвешенных частиц, или с помощью сред-
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД 11
него квадрата перемещения отдельной частицы. Барометрическая фор-
формула гласит:
mgh
п = пое кт •
Она дает число частиц п в 1 смв на высоте А, если известно число
частиц п0 на дне сосуда. В числителе показателя степени стоит потен-
потенциальная энергия частички, находящейся на высоте А, а в знаменателе,
по сути дела,—кинетическая энергия теплового движения. Для обык-
обыкновенных молекул этот показатель степени может быть написан
в виде 777-> гДе М — обычный молекулярный вес. Если же эта фор-
мула применяется к ультрамикроскопическим частицам, масса которых m
еще может быть измерена непосредственно, то нахождение числа частиц
на различных высотах позволяет непосредственно определить постоян-
постоянную Больтцмана k. Этот опыт был произведен Перреном (J. Perrin)
со взвешенными частицами мастики и дал для числа N упомянутое
выше значение 6*1023.
Другой метод, непосредственно основанный на броуновском движе-
движении, состоит в том, что на очень тонкой кварцевой нити подвешивают
маленькое зеркальце, которое может свободно совершать малые вра-
вращательные колебания.
Если через 6 обозначить момент инерции зеркала и через а—откло-
а—отклонение зеркала от положения равновесия, то для кинетической энергии
вращательного движения зеркальца также имеет место упомянутый
выше основной закон статистической механики, а потому
Если, кроме того, известен модуль кручения D кварцевой нити, то
при таком вращательном колебании кинетическая энергия в среднем
]
равна потенциальной энергии—Da2. Следовательно, мы получаем благо-
л,
даря броуновскому движению нерегулярные отклонения отраженного
от зеркальца луча света, причем среднее значение квадрата этих откло-
^•р
нений определяется формулой <х2 = -д-. Если ввести еще собственную
частоту v0 _крутильных колебаний зеркальца, определяемую формулой
2tuv0 =s у -j , то выражение для а2 принимает вид:
Такой опыт был произведен Герлахом и Капплером и тоже дал
очень близкое • к действительности значение постоянной Больтцмана,
а, следовательно, и числа Авогадро. Надо заметить, что вызываемые
броуновским движением крутильные колебания определяют естественный
предел точности всех тех измерительных приборов, в которых измере-
измерение силы тока или других подобных величин производится при помощи
зеркальных отсчетов. Очевидно, что угловым отклонением, которое
12
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
меньше, чем только что вычисленное среднее отклонение у а2, нельзя
пользоваться для таких измерений.
d) В настоящее время наиболее точным методом определения N
следует признать метод, основанный на сравнении интерференционных
картин, получаемых при параллельном изучении одних и тех же рентге-
рентгеновых (или электронных) лучей при помощи: а) обыкновенной диф-
фракционной решетки и б) кристалла известного строения — напри-
Мер NaCl. Первое дает длину волны лучей в абсолютной мере; второе
.позволяет по формуле Брагга-Вульфа
2а cos i = nk
м
= -_ где V —
определить величину элемента решетки а. Но NaB-.
молекулярный объем, М — молекулярный вес, 8 — плотность кристалла.
Наилучшим значением N следует в настоящий момент считать iV =
= F,031+0,006). 1023 (R. Millie an, Ann. d. Phys. 1938).
§ 2. Шротэффект. В высшей степени поучительный способ определения
элементарного заряда дает явление, впервые изученное Ш о ттки (Schottky),
который назвал его .шротэффектом". Этот эффект интересен по двум причи-
причинам. Во-первых, он дает новый метод измерения элементарного заряда; такие
измерения производились неоднократно и давали значения е, отличающиеся от
обычного не более чем на 1%. Во-вторых, это явление и другие ему подобные
играют особую роль, например, при применении усили-
усилительных ламп для измерительных целей, так как этими
явлениями определяется верхний предел практически воз-
возможного усиления.
Шротэффект основан на атомарном строении электри-
электричества. Пусть в цепь включена пустотная трубка с нака-
накаленным катодом. При достаточно большом напряжении
накаленный катод даст в цепи ток /0 (ток нась щеиия),
который может быть измерен при помощи гальванометра;
/0 есть количество электричества, переносимое в единицу
времени от катода к аноду, или вернее, среднее знач^ ние
Рис. 2. Схема труб- этой величины. Мы знаем, что этот перенос электричества
ки с накаленным происходит не непрерывно, а обусловлен движением эле-
катодом. ктронов и поэтому представляет собою как бы бомбар-
бомбардировку анода множеством отдельных элементарных элек-
электрических зарядов. Поэтому истинный ток /, идущий в
цепи, —даже при постоянных условиях опыта, что мы всегда и будем пред-
предполагать,— является необычайно сложной функцией времени /(*), так что изме-
измерить удается только его среднее значение /0, взятое за относительно большой
промежуток времени Г, т. е.
т
B.1)
iHHHHN
Если п есть среднее число электронов, покидающих катод в одну секунду, то
/0 = ле. B.2)
Испускание отдельных электронов происходит не в равноотстоящие моменты вре-
времени, а статистически, т. е. совершенно нерегулярным образом. Поэтому урав-
уравнение B.1) верно только при усреднении за очень большой промежуток вре-
ШРОТЭФФЕКТ 13
мени Т. Если же мы возьмем короткий интервал времени т, то измеренный
за это время ток
\f B.3)
будет давать тем большие отклонения от среднего значения B.1), чем меньше
взятое время т.
Для количественного описания этого явления представим себе, что время
разделено на одинаковые промежутки т, причем эги промежутки обозначены
номерами 1, 2, 3... &..., и что измерена средняя сила тока за каждый проме-
промежуток времени по формуле B.3). Тогда мы получим ряд значений:
B.4)
где Ьк означает, следовательно, отклонение среднего тока /%, измеренного за
&-тый интервал времени, от среднего значения /0 за очень большое время.
Среднее значение 8^ для большого числа интервалов k очевидно равно нулю:
8^=0. B.5)
Для нахождения среднего квадратичного значения Ь$ статистика дает со-
совершенно определенное правило: за время х в среднем проходят т электронов.
Истинное число прошедших электронов пх отличается от этого среднего числа
на величину
Ьпх = nz — пх.
Для отклонений Ьпх статистика дает закон:
Ьп^=пх. B.6)
При этом усреднение следует понимать таким образом, что сперва опреде-
определяются величины (bnx)k = lnk для б^ьшого числа равных промежутков вре-
времени х и затем берется среднее квадратичное от всех этих величин. Условием
применимости этой формулы является полная статистическая независимость
Отдельных элементарных процессов (выхода электронов из катода или попада-
попадания их на анод), т. е. формула применима только тогда, когда отдельные элек-
электроны выходят из катода независимо друг от друга, следовательнб так, что,
например, выход 23-го электрона никак не ускоряет и не замедляет 24-й элек-
электрон.
Дадим здесь краткое доказательство приведенного выше закона сред-
средних откюнений B.6). Остановимся на рассмотренном примере и выделим опре-
определенный большой промежуток времени Г, в течение которого на анод попа-
попадают nT = N электронов.
Если исходить из вышеупомянутого предположения о том, что отдельные
электроны попадают на анод совершенно независимо друг от друга, т. е. чисю
статистически, то можно найти вероятность того, что за определенный элемент
времени х на анод попадет ровно пх электронов. Число комбинаций, при кото-
которых пх электронов попадают на анод за элемент времени т, а остальные N—пх
электронов — за остальное время Г —т, как известно, составляет
N1
14 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Если это число умножим еще на вероятность того, что пх Заданных электро*
нов попадут на анод за время ъ, а остальные N—nx за время Г—т, то полу-
получим искомую вероятность в виде
Кстати заметим, что сумма вероятностей всех таких комбинаций равна 1
пх—0 ят=
Это является доказательством того, чхо при нашем подсчете мы приняли во вни-
внимание все возможные случаи.
Знание вероятности определенной комбинации позволяет нам вычислить
средние значения. Для среднего числа электронов пх, которые выходят за время т»
получаем следующее выражение:
N N ._
— _ yi ,г/ „ V Nl /^Wi i\N~"x
nt- 2шкП* Wn* - Zd (,it_l) !(#—!•)! \T) \ Tj
Если ввести новый индекс суммирования т = пх— 1, то получается:
что и следовало ожидать. Аналогично этому, среднее значение
" » г -
пх — 2)!(N—пх)\ \ Т
получится в виде
Отсюда
Если принять еще во внимание, что ? <^ Т, то получается приведенный выше
закон средних отклонений:
Ы* = ^ = пх.
Теперь легко найти также и среднее значение квадратов флюктуации тока §&2
при шротэффекте. Очевидно, что количество электричества, переносимое током
за время ?, равно
следовательно
ШРОТЭФФЕКТ
Для отклонений тока \ от среднего значения имеем:
15
и далее, согласно B.6),
B7)
С другой стороны, заметим, что флюктуации за два различных промежутка вре-
времени кик' статистически совершенно независимы, следовательно
= 0 при кф&. B.8)
Из формулы B.7) прежде всего видно, что среднее квадратичное отклонение,
как и следовало ожидать, уменьшается, если увеличить интервал времени т, для
которого определяется среднее отклонение тока; тогда лучше сглаживаются
неравномерности тока. При увеличении полного тока квадратичное отклонение
растет, но таким образом, что
*о2 'Vе '
т. е. отношение среднего квадратичного отклонения к среднему току (относи-
(относительная флюктуация) уменьшается при увеличении силы тока. Для нас важно
то, что в выражение для 6^2 входит элементарный заряд е. Флюктуации
тока увеличились бы, если бы увеличился элементарный
заряд электричества.
Тот факт, что е входит явно в выражение для флюктуации тока, указывает
на возможность определения величины элементарного заряда, исходя из шрот-
эффекта. Правда, непосредственное измерение среднего квадратич-
квадратичного отклонения невозможно, так что с одной лишь этой формулой экспе-
экспериментатор далеко не уйдет. Однако, мы попробуем
теперь исследовать шротэффект с несколько иной /_ А_
точки зрения, откуда будет вытекать возможность
экспериментальной проверки теории, а также, в
связи с этим, возможность определения е.
Основная идея при этом заключается в следую-
следующем. Если бы не было шротэффекта, т. е. если бы
электроны попадали на анод через совершенно оди-
одинаковые промежутки времени, то мы имели бы ч и-
сто периодический ток с основной часто-
2тс 1
той ш = — s= 2ял, где t0 = — означает промежу-
промежуток времени между попаданиями двух следующих
друг за другом электронов, так как п есть число
электронов, попадающих на анод в одну секунду.
Гармонический анализ такого тока привел бы
к ряду Фурье с этой главной частотой. Для того
чтобы найти порядок величины этой частоты, предпо-
предпоРис. 3. Схема установки
для наблюдения шрот-
шротэффекта.
ложим, что ток в трубке равен 1 миллиамперу; этому соответствовала бы основ-
основная частота ш~4-1016 сек.", лежащая в „ультрафиолетовой" области спектра
частот, т. е. далеко за областью электрических колебаний. Иное дело, когда
электроны попадают на анод по законам статистики, т. е. совершенно нерегу-
нерегулярно. В этом случае гармонический анализ дает в общем непрерывный
спектр частот, распространенный нацелую спектральную область, и,следова-
и,следовательно, обладающий очень большим числом компонент также и в области частот
электрических колебаний. Конечно, зависимость интенсивности в спектре от
частоты будет испытывать очень большие колебания во времени; но так как
спектр в общем непрерывен, то можно усреднить интенсивность по узким спек-
спектральным промежуткам (<^, ш) и, как показал Шоттки, получить при совер-
16 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
шенно нерегулярном попадании электронов на анод такое спектральное рас-
распределение, средняя интенсивность которого постоянна во всей спектральной
области. Однако, в дальнейшем мы не будем пользоваться этим фактом, и поэ-
поэтому не станем приводить его доказательства.
Исследование флюктуации тока возможно благодаря тому, что параллельно
с разрядной трубкой включается колебательный контур с опреде-
определенной собственной частотой, который откликается на близкие к этой
частоте компоненты Фурье тока в трубке; таким образом при помощи резо-
резонанса из большого числа налагающихся друг на друга различных колебаний
тока в трубке выделяются как раз те, которые по своей частоте близки к частоте
колебательного контура. Пусть колебательный контур характеризуется омиче-
омическим сопротивлением R, самоиндукцией L и емкостью С; тогда его собственная
частота (в случае слабого затухания) равна
а коэфициент затухания
Напишем диференциаяьное уравнение колебательного процесса при чисто
емкостной связи, т. е. предположим, следовательно, что индуктивное действие
колебательного контура на разряд в разрядной трубке настолько мало, что им
можно пренебречь. Если / и I — токи в колебательном контуре и в разрядной
трубке, то в ветви конденсатора пойдет ток /—/, и для разности потенциалов ср
на обкладках конденсатора получим уравнение
так как С<р есть заряд конденсатора. С другой стороны, имеет место равенство:
Если продиференцировать это равенство по t и потом заменить -^ его значе-
значением, указанным выше, то получим:
d4 dl \
L+R + (IiH
или, после деления на I,
^§ B.9)
Мы ставим себе задачу определить из этого равенства среднее по времени зна-
значение квадрата тока Р, протекающего в колебательном контуре, причем о ходе
функции i(t) мы знаем лишь то, что задано уравнениями от B.3) до B.8). Легко
проверить подстановкой, что интеграл уравнения B.9) для любой заданной
функции i{t) имеет вид:
/ (t) = ^- Г i (О е~ {t ~ п sin со {t - Г) dV. B.10)
—оо
При этом <о имеет значение:
ШРОТЭФФЕКТ 17
После подстановки t—*'««¦ наше точное решение уравнения принимает вид
B.11)
о
разделим время #, предшествующее данному моменту времени t, на равные
интервалы т, как это мы делали выше. При этом т должно быть мало по срав-
сравнению с периодом собственных колебаний контура —¦ В этом случае
мы можем при интегрировании по отдельному интервалу t считать множи-
множитель е 2 sin o)$ постоянным. Его значение в ft-том интервале можно считать
приближенно равным
Для остающегося интеграла
(Ш)х
Их
мы воспользуемся обозначением, введенным в B.3) и B.4). Тогда выражение B.11)
примет вид суммы:
НИ
* Sinw&r.
Т^ким образом, квадрат тока дается выражением
. B.12)
k К
В данном случае нумерация интервалов k идет от момента / в прошедшее.
Если составить выражения для /2 для различных моментов t, то одинаковым
значкам k всегда будут соответствовать разные интервалы. Однако, времн между
Двумя иигервалами, которые соэтветствуюг двум числам k и k', остае!ся всегда
постоянным. Следовательно, при усреднении по времени получим сначала,
согласно B.4) и B.5),
Но из формул B.7) и B.8) следует, что
5 \ B.13*)
B.13b)
суммы, ввиду сделанного предположения о малости *, следует
заменить интегралами и таким путем их вычислить.
6810
18 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Для двойной суммы мы получим:
__р
а для простой суммы:
о
(Для интегрирования целесообразно выразить sin шО по формуле
егх е—ix
через показательные функции).
Эт.и значения двух сумм позволяют написать выражение для среднего
квадрата тока в колебательном контуре в виде;
BЛ4)
Так как 7 (среднее значение тока) равно /0, то для среднего квадратичного
отклонения получаем:
B.14а)
Наш вывод остается строгим также при произвольно большом затухании р.
В результат не входит собственная частота контура ш, а только величина
ш0 = . Замечательно, что из постоянных, характеризующих колебатель-
колебательный контур, самоиндукция вообще не входит в результат. В самом деле, под-
подставляя в B.14) значения
. R
Р
мы получаем:
Jfc BЛ4Ь)
Для теплоты, выделяющейся в колебательном контуре, получается таким образом
интересное выражение:
% n-°?. B.15)
Оно состоит из части, соответствующей постоянному току и зависящей только
от сопротивления, и из части, соответствующей флюктуациям тока и зависящей
е2
только от емкости. Заметим, что -^ есть работа, которую необходимо затра-
тить для того, чтобы дать конденсатору заряд е. Следовательно, эта работа
представляет собою точное выражение доли одного электрона в образовании
флюктуационной части джоулева тепла. Для предельного случая, когда сила тока
чрезвычайно мала, член Rjlj2 в формуле B.15), соответствующий постоянному
току, исчезающе мал по сравнению с флюктуационным членом. Если /0 настолько
ОТНОШЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА К МАССЕ 19
мало* что конденсатор, заряженный отдельным элементарным зарядом е, раз-
разряжается прежде, чем поязится следующий элементарный заряд, то выраже-
выражение п о^7 непосредственно дает джоулево тепло, выделяемое в 1 секунду. Это
замечание не в состоянии, конечно, заменить строгий вывод формулы B.13),
но оно дает дополнительную необычайно наглядную интерпретацию этой фор-
формулы.
Для измерения элементарного заряда с помощью уравнения B.14) иадо
конечно, стремиться к тому, чтобы флюктуационный член tStt^ был как можно
больше по сравнению с постоянным членом /03* Отношение этих дзух величин
А/2 е
GJ 2CHk'
если не считать коэфициента у2, равно отношению напряжения, до которого
конденсатор заряжается зарядом et к вызываемому постоянным током /о падению
потенциала вдоль сопротивления /?.
Измерения Д/2 в колебательном контуре были произведены Гартма-
ном с помощью телефона, а в более точных опытах (Хэлль и Вильяме,
Вильяме иВинцент) измерялось выделяемое тепло (т. е. 72) при помощи
термоэлементов. При этом производились не абсолютные измерения, а лишь
сравнение акустического или теплового эффектов, вызываемых флюктуациями
(оба эффекта пропорциональны квадрату тока), с соответствующими значениями
тех же эффектов, производимых переменным током той же частоты и заданной
амплитуды. Другими словами, непосредственно сравнивалось АР шротэффекта
с А/2 заданного переменного тока. Так как остальные величины, входящие
в уравнение B.14а) (величины <t>0, p, /0), легко измерить, то таким путем можно
определить элементарный заряд е. Измерения Гартмана не дали удовлетвори-
удовлетворительных результатов, но позднейшие измерения теплового эффекта дали значе-
значения е, в среднем действительно оказавшиеся равными точному милликэновскому
числу (с максимальной ошибкой в 1%).
§ 3. Отношение заряда электрона к массе. Напомним общеиз-
общеизвестный в настоящее время опыт, заключающийся в пропускании тока
от раскаленного катода через хорошо эвакуированный стеклянный сосуд.
Если катод К, расположенный как показано на рис. 4, достаточно нака-
накален, то батарея даст постоянный ток
в замкнутой цепи, состоящей из про-
проводов АВ, пространства между эле-
электродами (вакуума) АК и провода KD.
Ток можно поддерживать произвольно
долгое время, причем ни анод, ни ка-
катод не будут испытывать ни малейших
химических изменений. Внутри прово- рис Схема От
дов этот ток ничем не отличается от нов от накаленного катода к сетке,
обычного электрического тока. Из этих
фактов следует, что:
1. Электричество, движение которого внутри металла мы наблюдаем
как электрический ток, при подходящих условиях может выходить из
металла в в а куум.
2. Такое движение электричества не связано С переносом ве-
вещества, который можно было бы обнаружить химическим путем.
3. Это электричество состоит исключительно из отрицательных
20 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
зарядов, так как для его выхода в вакуум существенны только мате-
материал и температура катода (выпрямительное действие).
Бэлее подробнее изучение природы электричества, выходящего из
катода—катодных лучей, оказалось возможным вследствие их способ-
способности отклоняться в электрическом и магнитном по-
полях. Предположим, что катодные лучи состоят только из одинаковых
частиц, имеющих заряд е, массу т и скорость v; тогда опыты с их
отклонением в электрическом и магнитном полях позволяют измерить ве-
величины
Возможность этого измерения вытекает из уравнения движения
очень маленького пробного шарика с зарядом е и массой т в заданном
Электромагнитном поле Е, Н. Мы сейчас приведем это уравнение дви-
движения, поскольку оно необходимо для понимания опытов с отклонением.
По закону Ньютона (сила F равна произведению массы на ускорение)
имеем:
Часть этой силы, происходящая от электрического поля (как следует из
определения Е , равна еЕ. Несколько сложнее выражается часть силы,
зависящая от Н. Известно, что сила f, действующая в магнитном поле Н
на единицу объема проводника, через который проходит ток с плот-
плотностью j, равна
Пусть тело с объемной плотностью заряда р движется со скоростью v.
Через неподвижный элемент поверхности dS с направлением нормали п
будет за время dt проходить количество электричества pvn dSdt; произ-
произведение pv имеет значение плотности тока. Следовательно, на единицу
объема нашего движущегося заряда действует сила
Поэтому, если dV есть элемент объема заряженного тела, то общая дей-
действующая на него сила равна
так как fpdV = e. При этом мы предполагаем, что векторы v и Н
можно считать постоянными во всем объеме, занимаемом зарядом. Сле-
Следовательно, полная сила, действующая на электрон,—
„сила Лорентца" — равна
(ЗЛ)
ОТНОШЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА К МАССЕ 21
Поэтому искомое уравнение движения имеет вид:
C.2)
В большинстве случаев этого уравнения вполне достаточно для истол-
истолкования опытов с отклонением зарядов. Следует все же заметить, что
и левая и правая части равенства C.2) верны лишь приближенно. Ле-
Левая часть — вследствие того, что при очень больших скоростях масса
не остается постоянной, а неограниченно возрастает по мере прибли-
d\
жения v к скорости света с. Вместо -щ должно стоять точное выра-
выражение
d v
di
В правой части, собственно говоря, отсутствует еще одни член,
которым учитывается то обстоятельство, что ускоряющее поле, действую-
действующее на неравномерно движущийся электрон, нельзя считать одинаковым
на всем протяжении электрона. Ускоренно движущийся электрон является
источником электромагнитных волн, энергия которых создается за счет
кинетической энергии электрона. Это „действие электрона на самого
Себя" (торможение вследствие излучения) мы рассмотрим впоследствии.
d\
Во всех ниже рассматриваемых применениях уравнения т-т? =** F этот
член, впрочем, не играет никакой роли, так что мы можем здесь при-
принимать во внимание лишь внешние поля Е и Н, однородные на всем
протяжении электрона. Особое значение уравнения C.2) заключается
в том, что правая часть его с упомянутыми поправками представляет
С точки зрения электронной теории единственную силу, суще-
существующую в природе (кроме силы тяготения).
Прежде всего заметим, что по формуле C.2) магнитное поле не
Влияет на абсолютную величину скорости; в самом деле, умножая обе
насти C.2) скалярно на v, получаем:
Изменение кинетической энергии вызывается только электри-
электрическим полем Е. Далее, если Е выражается через потенциал, т. е.
то имеет место уравнение:
d I l т,А Л д? dxJd* аУ J д* dz
Здесь потенциал <р, меняющийся только в пространстве, становится
Функцией времени благодаря тому, что мы относим его к тому месту,
22 общие основы электронной теории
где в данный момент находится электрон. Таким образом закон сохра-
сохранения энергии, выражаемый уравнением
~Y mv* -j- e cp = const,
-у- mv* g- nw±2 = е(^ — <р2), C.3)
или
остается в силе также при наличии любого магнитного поля.
Далее рассмотрим случай, когда действует только однородное маг-
магнитное поле, которое мы направим вдоль положительной оси z:
Нх = Ну = 0, Нг = Н. Для этого случая из C.2) мы получаем следую-
следующие уравнения движения:
C.4)
^- хН,
Третье уравнение означает, что магнитное поле Н вообще не
влияет на движение в направлении поля. Поэтому мы можем
рассматривать только проекцию движения в плоскости х, у (составляю-
(составляющие скорости v перпендикулярны к Н).
Для интегрирования первых двух уравнений C.4) воспользуемся
описанием движения в комплексной плоскости х, 1у\ для этого введем
комплексную величину
Если умножить второе уравнение C.4) на i и сложить <ъ первым, то
для С получится уравнение:
С = — i~ С = — / «?, C.4а)
где для краткости введено обозначение ш = — . При начальных усло-
условиях ?f_0 = C0 и с/=0 —Cq первый интеграл уравнения C.4а) дает:
а второй:
t — г е~ш
Ч Чл<> •
t
^=<:0+A(i _*-**). C.5)
О
Таким образом в комплексной плоскости вектор С (t) оказывается суммой,
трех комплексных векторов
Со, +А, -^е~1\ где a = «fr
ОТНОШЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА К МАССЕ
23
Пусть на рис. 5 А представляет собой начальное положение (ОЛ = С0);
АА1 — направление начальной скорости. Направление R = AB= -Л по-
получим, повернув АА' на 90° по часовой стрелке. Наконец ?С =— Цё~га.
Следовательно, траектория представляет собою окруж-
окружность с центром в точке Вис радиусом
vmc.
еН •
C.6)
Ц
движение по этой окружности
происходит с постоянной угло-
угловой скоростью
еН
тс '
@:
C.6а)
Впрочем, уравнение C.6) следует не-
посредственно также и из того, что при
*>~х
„>v Рис. 5. Траектория АС в одно-
круговом движении центробежная сила -^ родном магнитном поле при
как раз должна компенсироваться силой начальных дловиях С = Со
Лорентца .
Из уравнения C.6) вытекает важный способ получения катодных
лучей строго определенной скорости. Именно, если по окружности ра-
радиуса /?, плоскость которой перпендикулярна к Н, расположить неко-
некоторое число узких диафрагм и пропустить (также _L к Н) пучок катод-
катодных лучей через первую диафрагму, то через другие диафрагмы прой-
пройдут лишь те электроны, скорость которых выражается равенством
тс
Рассмотрим теперь приме-
применение уравнения движения C.2)
к случаю, когда пучок катод-
катодных лучей, скорость которых
равна v и параллельна оси zt
подвергается одновременному
действию электрического поля Е
и магнитного поля Н. Пусть
оба поля (см. рис. 6) напра-
направлены вдоль положительной
оси х(Ех = Е
Рис. 6. Измерение — при помощи одно-
т
т
временного отклонения в электрическом и
магнитном полях.
,НХ = Н). Пусть
катодные лучи, выделенные ди-
диафрагмами В, при отсутствии
Отклоняющего поля встречают расположенный перпендикулярно к их
Направлению экран, находящийся на расстоянии / от диафрагм, в точке О.
Эту точку мы примем за начало координатной системы х, уу изобра-
изображенной на экране. Если лучи состоят из положительно заряженных ча-
частиц, то точка попадания частиц на экран переместится под влиянием
24
ОВЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
электрического поля Е по направлению оси х9 а под влиянием магнит-
магнитного поля Н — по направлению оси у, так что при одновременном
действии обоих полей она будет иметь координаты х> у, которые мы
сейчас вычислим. Предположим, что отклонения х и у весьма малы по
сравнению с расстоянием /, так что можно ограничиться приближенным
подсчетом. Электрическое поле Е действует только на координату х:
Мы отсчитываем время с момента прохождения через диафрагму и, следо-
следовательно, при ? = 0 имеем: д: = 0 и х = 0, так что
Рнс, 7. Экран в опыте с отклоне-
отклонением катодных лучей.
Время t, в течение которого пучок про-
проходит расстояние от диафрагмы до
экрана, равно —, так что
™ 2 т 1/3#
Для отклонения вдоль оси у имеем:
Если отклонения малы, как мы и пред-
предположили, то Vzttv. Тогда в резуль-
результате интегрирования получается:
у 2 тс v '
Следовательно, измерение отклонений х и у дает значения — и v:
JL — Н HL У*
х ~"~ЖТ ~х
1 е НЧ*
2 m c*t '
Следы частиц, имеющих одинаковые скорости -я, но разные отношения
— (рис. 7), лежат на прямой х = const-j;, проходящей через начало
координат. В экспериментальном отношении важнее второй случай^
когда лучи содержат только один сорт частиц, движущихся с различ-
различными скоростями, т. е. -е- одинаково для всех частиц; тогда на пла-
стинке получится изображение параболы Ar==const^2. При проведении
указанного измерения, которое видоизменялось на самые различные лады,
для катодных лучей с небольшими скоростями всегда получались пара-
параболы, предсказываемые теорией; этим и доказывается, что эти лучи
состоят из частиц только одного сорта, а именно, из одинаковых отри-
цательно заряженных частиц. Для отношения
измерения
дают величину 1,759» 107 эл.-магн. CGS-единиц, т. а. вел ичи ну,
ОТНОШЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА К МАССЕ
25
которая приблизительно в 1800 раз больше, чем соот-
соответствующая величина, характеризующая ион водорода
(F— 96500 кулон = 9650 эл.-магн. CGS-единиц). Следует особенно под-
подчеркнуть, что опыты с отклонением лучей в магнитном и электрическом
полях ни коим образом не позволяют измерить величину е, так как
в основное уравнение C.2) входит только отношение —.
В случае очень быстрых катодных лучей, т. е. когда v порядка
скорости света, опыт дает кривую, которая около своей вершины
сильно отличается от параболы. Здесь сказывается возрастание инерт-
инертной массы при увеличении скорости — эффект, не принятый нами во
внимание при выводе формул.
Другой способ измерения -—- основан на том факте, что по урав-
уравнению C.6а) угловая скорость о, с которой электрон движется по кру-
круговой траектории в магнитном поле, не зависит от радиуса круга. Время,
необходимое для прохождения круговой траектории, составляет
2* 2ъс
т
Как указал Буш (Н. Busch), этим
обстоятельством можно воспользо-
воспользоваться для фокусировки пуч-
пучка катодных лучей с помощью
продольного магнитного
поля. Такая установка схематически
изображена на рис. 8. Электроны,
выходящие из накаленной проволоки,
сначала ускоряются напряжением V
ъ направлении оси z. С достигнутой
при этом скоростью
Рис. 8. Фокусировка расходящегося
пучка катодных лучей продольным
магнитным полем.
= eVj они проходят через диафрагму, а
затем, пройдя расстояние /, попадают на флюоресцирующий экран, на
ШОторэм сначала получается размытое пятно, так как электроны выходят
la диафрагмы, образуя не строго параллельный пучок. Если теперь
Включить однородное магнитное поле, параллельное направлению лучей,
Ж пути электронов будуг искривляться по винтовым линиям. Каждый
виток винта будет пройден за время т = —^-. Следовательно, шаг винта
—Н
т
Ш всех случаях равен vzt. Если магнитное поле таково, что шаг винта
Шк раз равен расстоянию /, то все электроны сделают ровно один обо-
Я&т по винтовой линии. Таким образом на экране все они сосредото-
сосредоточатся в пятнышке, которое по своим рззмерам не больше, чем сама
Диафрагма. Отсюда вытекает условие фокусировки:
т
г.
26 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
а так как
то это дает:
При заданном напряжении V и расстоянии /, для измерения — еле*
ш
дует лишь подобрать такую силу поля //, при которой пятно на экране
в первый раз становится резким. Эта идеи Буша тоже привела к раз-
разработке точного метода измерения —.
Для того чтобы оценить огромную важность вышеописанных выво-
выводов, приведем лишь некоторые связанные с ними результаты экспери-
экспериментальной физики:
1) измерение — для медленных катодных лучей:
2) проверка формулы Эйнштейна
Щ
т =
для быстрых катодных лучей и [3-частиц;
3) измерение отношения — для каналовых лучей (положительно
заряженные ионы) и, следовательно, измерение массы т отдельных
ионов или атомов (открытие изотопов неона Дж. Дж. Томсоном,
распространение и уточнение А с то ном методики определения атом-
атомного веса);
4) анализ распределения скоростей ^-частиц при радиоак-
радиоактивном распаде.
§ 4. Масс-спектрография. В связи с выводами последнего параграфа об
определении — для катодных лучей мы, в виде отступления, сделаем краткий
т
обзор методов определения массы атомов (и молекул) путем опытов с отклоне-
отклонением в электрических и магнитных полях. Эти непосредственные измере-
измерения каждой отдельной заряженной частицы (иона) особенно важны потому,
что благодаря им впервые оказалось возможным исследование изото-
изотопов; химические же методы определения атомного веса всегда дают только
средние величины для большого числа частиц. При помощи опытов с от-
отклонением в магнитном и электрическом полях Дж. Дж. Том с он первый дока-
доказал существование изотопов; он показал, что обыкновенный неон, атомный вес
которого, измеренный химическим путем, равен 20,2, состоит из смеси двух
изотопов с атомными весами 20,0 и 22,0.
Свой опыт Томсон производил описанным выше в §3 „методом пара-
б о л", при котором заряженные частицы на своем пути подвергаются одновре-
одновременному действию электрического и параллельного ему магнитного поля. Эле-
Электрическое поле загибает траекторию частички в направлении, параллельном
полю, а магнитное —в направлении, перпендикулярном к полю. На пластинке,
расположенной перпендикулярно к направлению распространения лучей, следы
частиц, как известно, образуют параболы; следы частиц с одинаковым отноше-
МАСС-СПЕКТРОГРАФИЯ 27
нием •— лежат на одной и той же параболе, причем следы более быстрых и
tn
поэтому отклоняемых в меньшей степени частиц располагаются ближе к вер-
вершине параболы.
Ученик Томсона А с т о н пользуется значительно видоизмененным методом:
он посылает ионы сначала через электрическое, а затем через перпендикуляр-
перпендикулярное к нему магншное поле, которое компенсирует отклонение в электриче-
электрическом поле. Схема прибора Астона изображена на рис. 9. Диафрагмированный
пучок лучей проходит между пластинками конденсатора и при этом отклоняется
в большей или меньшей степени, в зависимости от массы и скорости отдель-
отдельных частиц; таким образом он принимает веерообразную форму. Из этого веера
лучей Астон выделяет при помощи диафрагмы В узкий пучок лучей, который
проходит через магнитное поле и отклоняется в противоположном направлении.
На рис. 9 магнитное поле направлено перпенхикулярно к плоскости рисунка.
Если магнитное поле достаточно сильно по сравнению с электрическим, то
расходящийся пучок лучей, который выходит из диафрагмы В, снова делается
сходящимся. Лучи, сильнее отклоняющиеся в конденсаторе, будут сильнее от-
отклоняться и в магнитном поле, а поэтому пути частиц с определенным значе-
Т Т
4 1
Рис. 9. Масс-спектрограф Астона.
нием -— будут сходиться в определенной точке (фокусе). В методе Астона
существенным является то, что точки фокусов лучей с различными отноше-
отношениями — лежат приблизительно на одной прямой. Если вдоль нее поместить
т
фотографическую пластинку, то на ней получаются отдельные резкие по-
почернения, которые соответствуют отдельным фокусам и, следовательно, раз-
различным значениям . Таким образом на пластинке возникает „спектр
Щ с с" атомов, содержащихся в первичном луче.
Рассмотрим эти явления несколько подробнее и проделаем математические
и. Частица отклоняется в конденсаторе на угол б, причем
I* d—длина конденсатора. При этом не принято во внимание искажение поля
У краев конденсатора; кроме того, эта формула верна' только в том случае,
ЗСли луч входит параллельно к пластинкам конденсатора. Однако, если мы
ограничиваемся малыми углами отклонения 6, то формула
^таетсй верной и для тех лучей, которые входят в конденсатор наклонно
к пластинкам. Очень важно заметить, что выходящие из конденсатора лучи
28 общие основы электронной теории
кажутся, как нетрудно доказать, исходящими из одной точки Z, которая лежит
на продо жении падающего луча.
Чсфез диафрагму В проходят только те лучи, угол отклонения которых
приблизительно равен определенному значению в0; в таком случае и* D.1) сле-
следует, что через диафрагму В пройдут только те частицы, кине'ическая энергия
которых приблизительно равна определенной постоянной величине ?0- Пока
что ограничимся частицами с определенным отношением — . Пусть углу от-
отклонения 60 соответствует скорость v0. Изменению угла db соответствует, со-
согласно D.1), относительное изменение скорости
dv dO K dv db
1Г= ~ШТЪ> ИЛИ пРиблйженн<> Т- -gj.
в магнитном поле, которое мы также считаем однородным, ионы движутся
по окружностям радиуса
п mvc га ъ\
угол отклонения в магнитном поле выражается формулой
где L — длина пути частиц в магнитном поле. Она определяется размерами
магнитного поля; Астон работает с полюсными наконечниками круглой форм^ы,
и поэтому магнитное поле также имеет круговое поперечное сечение, радиус
которого мы положим равным р; искажением поля у краев мы здесь также
будем пренебрегать. Кроме того, обозначим расстояние между центром О круг-
круглого сечения магнитного поля и центром лучей Z буквой / и допустим, что
лучи с \movi отклонения 60 направлены к центру О.
Задача теперь состоит в том, чтобы найги точку пересечения Р двух со-
соседних лучей (с углами отклонения, приблизительно равными 60 и 0О + ^) и
определить расстояние г этой течки от О. Для малых углов отклоне-
отклонения ф на зтот вопрос ответить легко: расстояние от Z до точки пересечения
этих двух лучей приблизительно равно / + г; угловое расхождение dG тех же
лучей, вызываемое электрическим полем, обусловило бы расстояние (l + r)db
Анжду их концами. Однако, это расхождение лучей будет скомг1енсировано
противоположно направленным отклонением в магнитном поле; если */Ф есть
разность между углами отклонения лучей в магнитном поле, то должно иметь
место приближенное соотношение:
так как расхождение лучей в магнитном поле приблизительно равно гйф.
дова!ельно,
D.5)
В дальнейшем мы покажем, что это условие строго выполняется тavжe ддя
бол ших углов Ф. Но сперва доведем до к жца наш пр близительный р!счет.
При малых углах отклонения Ф, в перв< м ' риближении L не изменяется, что
легко видеть из геоме!ричес«\их соотношений; поэтому приближенно
Тогда
из
D.5)
следует
dФ ^ dR
Ф *" #
соотношение
г(Ф-
2§):
= 2Д
^/0
3:3 26 '
МАСС-СПЕКТРОГРАФИЯ
29
синусов, примененная к треуголь-
Р
которое легко интерпретируется слелующим образом. Если через Z провести
прямую под углом 26 к н правлению ZO (рис. 10), то > равнение D.6) показы-
показывает, что искомая точка пресечения Р лежит на этой прямой. В самом
деле D.Я) есть не чго иное, как теорема
^ику ZOP, при условии, что оба угла
налы, и что, следовательно, мы можем за-
заменить синусы углами. Это утверждение,
разумеется, справедливо для всех значе-
значений — $ так как наклон 20о прямой ZP
w m
определяется исключительно геометриче-
геометрическими соотношениями четей установки;
следовательно, все точки фоку-
фокусов лежат на этой прямой.
Пссле этого вывода, справедливого
только для малых углов отклонения, мы
теперь дадим точный вывод для любых
углов и прежде всего /докажем общую
применимость формулы D.5). Рассмотрим
для этого подробнее прохождение луча в
магнитном поле. Кчк упоминал)сь выш<\
нейбкодимо предположить, что луч, отклоненный в конденсаторе на угол Оо»
падает нормально к окружности, ог анмчив ющей магнитное поле; он изгибается
в этом ноле по ду1е круга и, очевидно, выходит опять нормально к той же
Рис. 10. Построение точки пере-
пересечения Р двух траекторий с
одинаковым —-,но с различной
скоростью.
окружности. Его угол отклонения Фо, очевидно, определяется формулой:
D7)
Кроме того, рассмотрим еше второй луч, образующий с первым до попадания
в магнитное поле угол rf0. Эгот луч пад ет уже не по нормали к окружности,
ограничивающей магнитное поле, а под углом tfo>, причем
¦f Л. D.8)
М
или
Пусть его отклонение в магнитном по-
поле р-'вно Фо+^Ф Из магнитного поля
он, очевидно, выходит под углом dm;
пусть расстояние между точками
выхода двух указанных лучей видно
из центра окружности под малым
углом dW. Теперь вычислим положе-
положение точки пересечения Р двух лучей.
Обозначим расстояние этой точки от О
буквой г. Из треугольника ОАР, на
основании теоремы синусов для ма-
малых углов, следует, что
г _ _ Р dm
г- d
D.9)
Рис. 11. Фокусировка в масс-
спектрографе.
Преобразуем это равенство; из ри-
рисунка 11 легко вывести следующее
соотношение между углами:
d<b — dio + № — дГО = 0.
Введя это соотношение в з<амзчатель формулы D.9) и, кроме того, поль-
b уравнением D.8), мы получаем:
30 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
что в точности совпадает с уравнением D.5), полученным на основе прибли-
приближенного расчета.
Мы проведем этот строгий расчет еще несколько дальше и вычислим более
точно --тп-. При переходе от первого из двух рассмотренных выше лучей ко
второму угол 0 меняется по двум причинам. Сначала представим себе, что при
постоянном угле 60 скорость частиц возрастает только на величину, определяе-
определяемую формулой D.2); затем рассмотрим и поворот луча на угол db. Увеличение
скорости dv вызывает увеличение радиуса кривизны, а, следовательно, по фор-
формуле D.7), уменьшение угла отклонения на аФ^
dR dv db
так что
t J> R v sin 26*
-¦-Si*
Далее мы должны рассмотреть поворот луча вокруг точки Z на угол J0. Это
влечет за собой удлинение пути луча в магнитном поле на dL, а, значит, и до-
дополнительное отклонение на угол
dL
Легко показать, что dL~l sin Ф db, так что для полного изменения получаем:
dф sin Ф , ^sinO D11)
rf6 ~~sin20 "i #~~~ "
Уравнение кривой, на которой расположены точки фокусов, имеет поэтому
вид:
/sin 26
г =
t
sin Ф — sin 20 -f -5- sin Ф sin 20
или, на основании равенства D.7),
/sin 20
/
sinO> — sin26-] sin26 A — cosO)
D.12)
D.13)
Прежде всего видно сразу, что это уравнение переходит в D.6), если углы Ф
и 6 малы. Из D.13) легко можно найти также отступления при переходе к боль-
большим углам. Однако, мы не будем здесь подробно обсуждать уравнение DЛЗ);
упомянем только, что это уравнение дает гиперболу, которая при малых значе-
значениях угла 0 очень близка к прямой; одна из ее асимптот, также при неболь-
небольших 0, приближенно совпадает с упомянутой выше прямой, проходящей через
точку Z под углом 20 к направлению ZO.
§ 5. Явления, вызываемые инерцией свободных электронов в
металлах. Интересный в принципиальном отношении опыт для опре-
определения — основан на предположении, что большая электрическая про-
проводимость металлов объясняется существованием свободных электро-
электронов. Замечательно, что эта гипотеза, как показали многие исследова-
исследователи, весьма наглядно подтверждается чисто механическими эффек-
эффектами.
ЯВЛЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ИНЕРЦИЕЙ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ 31
Первый опыт в этом направлении принадлежит Н и к о л ь с у (Е. F. Ni-
Nichols). Он исходил из следующего представления: если металлический
диск привести во вращение вокруг его оси, то электроны под влия-
влиянием центробежной силы должны переместиться к к р а ю диска; поэтому
край диска зарядится отрицательно, а середина диска — положительно.
Равновесие наступит лишь тогда, когда электрическое поле, созданное
смещением зарядов, как раз уравновесит действие центробежной силы
на электроны. Если а> есть угловая скорость диска, а Е{г)— поле, воз-
возникшее на расстоянии г от оси, то условием равновесия будет равен-
равенство
mm* = еЕ (г).
Проинтегрировав это равенство по г от 0 до R (радиус диска), получим
разность потенциалов между краем и серединой:
V = — fE(r)dr= —
т
Чтобы иметь представление о порядке ве-
величины этого эффекта, подставим в эту
формулу /? = 10 см и о)~100 сек.»
как было в опыте Никольса. Тогда полу- ?т Электронная центри-
чаем разность потенциалов по- фуга никольса.
рядка 3 • 1 СГ~10 вольт. О статическом
измерении этого эффекта, вследствие его
малой величины, не может быть речи. Поэтому Никольс приставлял
к краю диска и к его оси скользящие контакты, соединенные с галь-
гальванометром. Тогда от края диска к середине через проволоку и галь-
гальванометр должен пойти ток, стремящийся выравнять созданные вра-
вращением отрицательные заряды на краю диска и положительные на его
оси. Однако Никольс не мог с уверенностью констатировать наличие
такого тока, так как на ожидаемый эффект накладываются посторонние
Эффекты, которые возникают вследствие термоэлектродвижущих сил
в скользящих контактах, и вследствие других посторонних влияний,
имеющих нерегулярный и не поддающийся учету характер;, все это не
позволяет с уверенностью обнаружить ожидаемый эффект.
Все же этот опыт интересен с теоретической точки зрения, так как
Здесь мы имеем дело с особым видом электродвижущей силы. Движение
электричества здесь происходит вследствие чисто механической причины.
Тем не менее, мы можем, как и в других подобных случаях, представить
плотность тока j в виде произведения ХЕ^(Х—-удельная проводимость),
Подразумевая под Е^ напряженность такого (фиктивного) электриче-
электрического поля, которая способна вызвать ту же плотность тока, какую
вызывает чисто механическая причина. В случае вращающегося диска
*ы можем говорить о фиктивной электродвижущей силе
82
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
которая создала бы такой же ток, какой создает центробежная
сила. Эту силу мы должны положить равной
R
' drsssT
так как для того, чтобы перевести заряд е против центробежной силы
от края диска к его середине, мы должны совершить работу
Я
' Ее dr.
о
Перейдем теперь к описанию аналогичных опытов, которые были
произведены Толмэном (Tolman) и его сотрудниками и дали поло-
положительные результаты. Первая серия опытов основывалась на том пред-
представлении, что при внезапном торможении движущегося металлического
тела электроны, первоначально двигавшиеся вместе
с металлом, продолжают еще некоторое время
двигаться в нем по инерции, до тех пор, пока
и они не затормозятся возникающим вследствие
разделения зарядов обратным полем или тем со-
сопротивлением, которое они испытывают при дви-
движении через ионную решетку металла (джоулево
тепло). Это движение электронов относительно
металлической решетки должно проявляться в ви-
виде кратковременного тока.
Чтобы установить это, Толмэн и Стьюарт
(Stewart) воспользовались проволочной ка-
кату шкой, вращающейся вокруг своей оси; концы
ее обмотки были соеаинены с баллистическим
гальванометром. При внезапной остановке
вращающейся катушки действительно можно было
констатировать заметное отклонение гальванометра
и таким образом измерить полное количество эле-
электричества, проходящее через поперечное сечение обмотки при тормо-
торможении.
Рассмотрим теперь, каким образом это количество электричества Q
зависит от условий опыта (начальная скорость катушки vOi длина об-
обмотки /, общее сопротивление контура и катушки /?). Здесь мы имеем
аналогию с вышеописанным случаем, поскольку движение электричества
здесь также обусловлено чисто механической причиной. Поэтому для
описания и этого явления полезно ввести фиктивную электродви»
жущую силу, которая определяется исключительно тем, что вызы-
вызывает такое же движение эчекгронов, как и действительная механическая
причина — торможение катушки.
Мы выведем здесь в общем виде выражение для тока, которое будет
справедливо во всех случаях, когда металл приводится в движение каким
угодно способом; в частности, оно будет справедливо и в рассмотренном
случае вращающегося диска. Если проводник движется с постоянной
Рис. 13. Эффзкт инер-
инерции электронов прово-
проводимости при торможе-
торможении вращающейся
катушки.
ЯВЛЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ИНЕРЦИЕЙ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ 33
скоростью, то при отсутствии внешнего поля никакого тока в нем,
конечно, не будет, так как электроны в среднем движутся вместе с ио-
ионами металлической решетки. Если же ускорять (или замедлять) движе-
движение металла, то электроны, благодаря своей инерции, не сразу примут
участие в ускоренном движении. Только со временем, вследствие „трения"
при их движении относительно металлической решетки, т. е. вследствие
электрического сопротивления, а также, возможно, вследствие местных
накоплений зарядов, они приспособятся к новому состоянию движения
металлической решетки.
Если мы хотим достичь того, чтобы свободные электроны в каждый
момент времени полностью принимали участие в движении металла,
то мы должны приложить такое электрическое поле Е^, которое со-
создавало бы в каждой точке ускорение электронов, равное ускорению,
которое мы механическим путем сообщаем металлической решетке; сле-
следовательно, должно иметь место равенство
Итак, если бы внутри металла существовало такое поле, то электроны
в среднем находились бы в покое относительно металла, когда послед-
последний испытывает ускорение указанной величины.
Но в наших опытах такого поля не существует. Это значит, что
электроны не принимают участия в ускорении v ионов металла; дру-
другими словами, электроны испытывают ускорение — v относительно
металла. Поэтому они движутся в металле так, как если
бы в нем действовала электродвижущая сила
Таким образом, вводя фиктивную напряженность поля и определяя ее
из вышенаписанного уравнения, мы можем также и в общем случае
заменить чисто механическую причину, создающую движение электронов
ошосительно металла, эквивалентной фиктивной электрической.
Теперь пойдем дальше и найдем проходящий по металлу ток. По
Законам электродинамики плотность тока j равна произведению электро-
электропроводности X на электрическую напряженность, действующую в данном
месте. В нашем случае последняя состоит из напряженности внешнего
поля, которое может при этом существовать, и из напряженности поля,
обусловленного объемными зарядами; эта часть поля является чисто
Электростатической и поэтому может быть выражена через потенциал;
Мы обозначим ее через Е(<у/). К этому еще присоединяется, согласно
*сему сказанному, поле Е{е\ которое тоже вызывает движение электро-
электронов относительно металла. Следовательно,
j = X (Ew + E{e)) =
бедует еще заметить, что введением в это уравнение электропровод-
электропроводности полностью учтено торможение электронов при их движении отно-
относительно металла, так как электропроводность именно и характеризует
Беккер 6810 24 3
34 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
меру подвижности электронов относительно металлической решетки.
Через v обозначено ускорение металла, а не электронов.
В формуле, написанной выше, уже содержится искомый эффект.
Разделив уравнение на X и интегрируя по всему контуру, получаем:
где в левой части написано произведение силы тока на общее сопро-
сопротивление цепи. Если умножить числитель и знаменатель под знаком
интеграла левой части на q (поперечное сечение проводника в данном
месте), то в числителе получим силу тока /, которая одинакова для
каждого сечения проводника и, как постоянная, может быть вынесена
за знак интеграла. Остающееся же выражение ф-у = /? представляет
как раз общее сопротивление цепи.
В правой части исчезает интеграл по замкнутому контуру, содер-
содержащий электростатическое поле; следовательно, остается только второй
интеграл, так что
Так как v есть ускорение, которое испытывает металлическая решетка,
то оно отлично от нуЛя только внутри движущегося металла. Этот
интеграл, согласно всему вышесказанному, можно рассматривать как
некоторую „фиктивную электродвижущую силу", которая возникает
между концами ускоренно движущегося куска металла.
То, что в этой формуле содержится и 1еория опыта Никольса, обна-
обнаружится сейчас же, если мы заменим ускорение v для вращающегося
диска через—гш2 (центростремительное ускорение). Тогда сразу полу-
получится найденное выше выражение для электродвижущей силы, возникаю-
возникающей между краем диска и его серединой.
В рассмотренном нами случае с торможением, проволочной катушки
ускорение v направлено по касательной и одинаково для всех точек
обмотки; поэтому интеграл принимает вид:
(/ — длина обмотки). О зависимости торможения от времени нам ничего
не нужно знать, так как нас интересует не изменение тока со временем,
а только интеграл тока, распространенный на все время процесса тор-
торможения, т. е. общее количество электричества Q, протекающее через
поперечное сечение проводника. Интегрируя уравнение за промежуток
времени Т (продолжительность торможения), мы получаем:
если перед торможением катушка двигалась со скоростью v^ а после
торможения остановилась.
СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 35
Если при помощи баллистического гальванометра измерить количе-
количество электричества Q, то можно определить отношение —, так как
остальные данные известны. В опытах Толмэна и Стьюарта
получались значения —, отличающиеся от истинного не больше чем
на 10%.
Для других своих опытов Т о л м э н и его сотрудники брали полый
цилиндр из листовой меди, который они подвергали вращатель-
вращательным колебаниям вокруг его оси; во избежание помех со стороны маг-
магнитного поля земли, ось была установлена как-раз по направлению этого
поля (рис. 14). Вследствие вынужденных вращательных колебаний элек-
электроны, благодаря своей инерции, тоже совершали колебания относи-
относительно металлической решетки, что и проявлялось в виде переменного
тока в металлическом цилиндре. На основании вышеизложенного можно
очень легко найти величину этого токд. Пусть $т — угловая амплитуда
колебаний полого цилиндра, а> — частота колебаний. Положение цилиндра
в момент времени t определяется формулой
<р = Ьт sin at.
Если г—радиус цилиндра, то тангенци-
тангенциальное ускорение
vt= — А'&даОJ sin <at,
а фиктивная электродвижущая сила, вызы-
вызывающая ток, равна, следовательно,
-~- 2кгЧт<й* sin wt.
Она равна произведению тока / на общее Рис- 14« Генерация переменного
mn d тока вращательными колеба-
сопротивление к. ниями медного цилиндра.
По поводу техники измерения следует
$десь еще упомянуть, что ток / может
быть обнаружен, если металлический цилиндр поместить внутри ин-
индукционной катушки, концы обмотки которой через усилитель ведут
к гальванометру. Однако, Толмэн избрал несколько иную схему,
а именно, соединил индукционную катушку С заземленным индуктором,
который работал на той же частоте <о. Варьируя условия опыта, можно
было добиться того, чтобы индукционный ток в катушке равнялся
известному току в индукторе, и даже определить фазу геременного тока.
{* этом случае результат также оказался удовлетворительным, т. е. на-
наблюдалось совпадение между теорией и экспериментом.
§ 6. Содержание и основные уравнения классической электрон-
электронной теории. То обстоятельство, что электричество, не связанное с ве-
веществом в обычном смысле, почти всегда обнаруживается лишь в виде
электронов, приводит к гипотезе, что все атомы состоят из электронов
и положительных зарядов, причем именно положительные заряды оказы-
оказываются главными носителями массы атомов (по сравнению с электро-
электронами)* С точки зрения электронной теории всякое ве-
36 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
щество состоит из таких связанных между собой поло-
положительных и отрицательных зарядов; отыскание законов
этой связи является важнейшей из задач, которыми интересовалась фи-
физика последних десятилетий. Несмотря на сильное изменение отдельных
представлений (например, изменение моделей атома), в течение всей
эпохи, о которой говорится в этой книге, все более укреплялось пред-
представление об электромагнитном строении материи. Согласно этой точке
зрения, вещество состоит исключительно из зарядов и вызванного этими
зарядами электромагнитного поля в вакууме. Грандиозная задача объ-
объяснения всех наблюдаемых явлений с помощью этой гипотезы была про-
проведена в рамках „классической физики" главным образом
Г. А. Лорентцом. „Классической" называют ту эпоху в физике,
когда считали, что имеет смысл и принципиально возможно описывать
явления, происходящие в сколь угодно малых пространственно-времен*
ных объемах (например, внутри атома), примерно так, как мы привыкли
описывать макроскопические явления, т. е. считали, например, что плот-
плотность заряда, скорость, напряжение поля могут быть однозначно опре-
определены в каждой отдельной точке атома, или выражаясь математически,
что можно описывать эти величины посредством определенных функ-
функций пространства и времени и применять к ним те же самые законы,
которые экспериментально проверены на макроскопических объектах.
Кульминационной точкой и, вместе с тем, завершением этой „клас-
„классической эпохи" в физике являются электронная теория Г. А. Л о-
рентца и теория относительности А.Эйнштейна.
В 1900 году, благодаря планковской теории излучения,
в эту физическую картину мира вторгается инородное тело — квант
действия А. Явления, связанные с этой величиной, никак не удавалось
включить в рамки классической физики. Причина этих неудач была
найдена Гейзенбергом в 1925 году. Эта причина заключается в том,
что, пользуясь классическим способом описания явлений, мы неминуемо
должны высказывать о явлениях, происходящих внутри атома, такие
утверждения, которые принципиально недоступны экспериментальной
проверке. Простейший пример состоит в том, что не имеет смысла
одновременно задавать координаты и скорость элек-
электрона с любой степенью точности. Ведь такое задание
имело бы смысл только в том случае, если бы можно было указать
способ, как измерить обе величины непосредственно одну за другой, и
притом так, чтобы второе измерение не уничтожило результата первого.
Разберем здесь случай, когда производится измерение координат элек-
электрона. Можно себе представить, что такое измерение делается с по-
помощью микроскопа при освещении светом частоты v. При этом коорди-
координата электрона может быть фактически найдена с ошибкой Ал:, которая
будет порядка длины волны >о = —. Однако, при таком освещении,
как показывает эффект Комптона, электрону сообщается неподдающийся
контролю импульс порядка Др«—, причем этот импульс, очевидно,
тем больше, чем точнее мы будем стараться определить местонахожде-
местонахождение электрона, увеличивая частоту v. После определения координат мы
СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 37
знаем х и р лишь с точностью до величин Дд: и Ар, удовлетворяющих
„соотношению неопределенностии ДлгДр^А, даже если до этого изме-
измерения нам было известно точное значение р.
„Квантовая механика", развитие которой началось в 1925году,
повидимому дает нам основные математические методы, позволяющие
правильно описывать также и те явления, которые происходят внутри
объемов атомного порядка величины. Наглядное истолкование результа-
результатов квантовой механики чрезвычайно затруднено из-за того, что не
только наши представления, но и вся наша терминология возникли на
основе опытов, производимых над окружающими нас макроскопическими
предметами. Поэтому при попытке наглядного истолкования нельзя избе-
избежать применения понятий и терминов классической физики, хотя и из-
известно, что они не применимы к внутриатомным яваениям.
В этой книге мы ограничимся в основном изложением „классиче-
„классической" электронной теории, указывая только в отдельных случаях на
результаты, достигнутые впоследствии квантовой механикой.
Общие уравнения электронной теории легко получаются из уравне-
уравнений Максвелла и из гипотезы, согласно которой все тела, а, следова-
следовательно, и отдельные атомы, состоят из положительных и отрицательных
зарядов. Следовательно, существует только один род
векторов, характеризующих поле, а именно: напряжен-
напряженности полей в пустоте, которые мы пока обозначим
маленькими буквами е и h, и только один вид электри-
электрического тока — конвекционный ток, появляющийся при
движении зарядов. Итак, мы вводим обозначения:
е — напряженность электрического поля,
h — напряженность магнитного поля,
р — плотность заряда,
v — скорость заряда
и требуем, чтобы эти величины удовлетворяли диференциальным урав-
уравнениям:
roth = —е-] pv, dive = 4TCo,
с , с (ел)
rote = -Ь divh = O.
С
Для пустоты (р = 0) эти уравнения совпадают с уравнениями Макс-
Максвелла, и, следовательно, вне вещества мы просто можем отождествить
наши векторы е и h с векторами теории Максвелла Е и Н. При истол-
истолковании векторов е и h внутри вещества, а тем более внутри атомов
необходима особая осторожность. В то время как теория Максвелла
описывает, например, состояние изолятора между обкладками заряжен-
заряженного конденсатора просто заданием двух векторов Е и Р (вектор поля-
поляризации), описание того же вещества при помощи вектора е несравненно
сложнее. Внутри отдельного атома вектор е невероятно быстро меняется
в пространстве и во времени, между тем как максвелловское Е в ко-
конечном объеме тела можно считать постоянным.
Отсюда видно, что максвелловские макроскопические величины Е
и Н могут быть выведены из микроскопических величин е и h только
38 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
путем усреднения в пространстве и во времени. Этим усреднением и вы-
выводом уравнений Максвелла из уравнений F.1) мы подробно займемся
позже (§§ 19—21).
Укажем особо еще на одно обстоятельство: в то время как справед-
справедливость уравнений Максвелла в материальных телах ограничена (диэлек-
(диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость на самом деле не
являются константами и т. д.), электронная теория считает, что зависи-
зависимость между плотностью заряда и полем, выражаемая уравнениями F.1),
совершенно точна. Эгому большому принципиальному достоинству
противостоит, однако, тот недостаток, что, применяя наши новые урав-
уравнения к материальным телам, мы должны сделать специальные допуще-
допущения о распределении зарядов внутри атомов. Только в связи со спе-
специальными моделями атомов эти уравнения приводят к конкретным вы-
выводам об электромагнитных свойствах материи.
Необходимо дополнить эти уравнения также определенными утвер-
утверждениями о силе, действующей на вещество. Ведь в уравнениях F.1)
ничего не сказано о том, как меняется скорость v зарядов со временем.
Напротив, можно задать р и v почти произвольно в виде функций от
координат и от времени и потом найти из F.1) поле, обусловленное
этим движением зарядов. Слово „почти" при этом относится к ограни-
ограничению, вытекающему из первых двух уравнений F.1). Из этих уравне-
уравнений вытекает закон сохранения заряда:
4? = -div(pv). F.2)
Это дает, при интегрировании по выбранному в пространстве объему V,
элемент поверхности которого обозначим через dS, формулу:
*dS- <6-2a>
Ежесекундное уменьшение заряда, содержащегося в
объеме V, равно количеству электричества, выходя-
выходящему в секунду через поверхность.
Нам нужно определить еще силу, действующую на заряды. Введем
для плотности силы, согласно Лорентцу, выражение, которым мы
уже пользовались в § 3, а именно:
) F.3)
следовательно, idV должно быть силой, действующей на объем dV.
Курьезная непоследовательность заключается в том обстоятельстве, что
уравнения F.1) и F.3) принято называть основными уравнениями
электронной теории, хотя в этих уравнениях нет никаких указаний
на электроны как на дискретные единицы заряда. $ эти уравнения вхо-
входит только непрерывно распределенная плотность заряда, которая должна
двигаться подобно непрерывной жидкости. Из самого существования
электрона следует, что лорентцова плотность силы F.3) не может
быть единственной силой, действующей на заряды, так как в против-
противном случае электрон должен был бы разлететься на части. Таким обра-
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА В ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 39
зом в классической электронной теории сам электрон является инород-
инородным телом, которое может быть введено в теорию только с помощью
не вполне удовлетворительных добавочных допущений. Резюмируя, мы
могли бы в настоящий момент высказать парадоксальное утверждение,
что классическая электронная теория потерпела крушение собственно
из-за существования электрона.
Заметим еще, что уравнения F.1) и F.3) действительно заключают
в себе полное каузальное описание явлений. В самом деле, представим
себе величины е, h, p, v заданными в определенный момент времени
/ в виде функций координат, причем должны быть соблюдены урав-
уравнения
= 4irp и div h = 0.
Тогда уравнения F.1) и F.2) однозначно определяют величины е, h
и р в момент времени t -}- dt. Изменение v во времени вполне опреде-
определяется уравнением F.3). Конечно, необходимо сделать еще предло-
предложение о плотности |х инертной массы, связанной с плотностью заряда р.
Только тогда, на основании уравнения f == — (jav), мы смогли бы опре-
определить v в момент времени t-\-dt. Впрочем, нам не придется вводить
плотность массы; мы будем иметь дело только с движением электрона
как целого, и поэтому для нас будет достаточно знать его полную
массу т.
§ 7. Закон сохранения энергии и импульса в электронной
теории. Как известно, законы сохранения энергии и импульса можно
вывести из основных уравнений теории Максвелла. Аналогичные выводы
могут быть сделаны также исходя из уравнений F.1) и F.3) электрон-
электронной теории.
Для вывода закона сохранения энергии рассмотрим работу
той силы F.3), с которой поле действует на вещество. Точка приложе-
приложения силы f dV за время dt передвигается на расстояние vdt9 так что
работа, произведенная в элементе объема dV за время dt, равна f-v dV'dt.
Следовательно, работа Л, совершаемая в секунду в конечном элементе
объема, составляет:
Первое из уравнений F.1) дает:
С помощью тождества
div(eXh)shroie~eroth
из F.1) мы получаем:
eroth = ~lh.h — div(eXh).
Стало быть,
р ev = — ^г~5г
40 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Поэтому работа в единицу времени равна
— С f-^(eXh)ndS. G.1)
Это равенство истолковывается следующим известным образом:
-2-.(e2-|-h2) G.2)
есть плотность энергии поля, а
A-(eXh) = S G.3)
есть вектор Пойнтинга (вектор потока энергии).
Тогда уравнение G.1) у азывает нам на две причины уменьшения
полной энергии ?/, содержащейся в объеме V, именно:
dU <
di - dtJ J J 8я ^ ^~" >"* A~
U уменьшается, во-первых, за счет работы Л, произ-
производимой в каждую секунду внутри объема V, и, во-вто-
во-вторых, за счет потока энергии S, вытекающего через
поверхность объема V.
Для вывода закона сохранения импульса вычислим дей-
действующую на объем V общую силу
F-///UV.
Физический смысл вектора F состоит в том, что F характеризует изме-
изменение количества движения GMaT всей материи, содержащейся в объеме V,
со временем (впрочем, при условии, что принимаются во внимание только
силы электромагнитного происхождения):
F = -^GMaT. G«5)
Для вычисления подставим в F.3), вместо р и pv, их выражения из
F.1):
Это равенство мы преобразуем, воспользовавшись тождеством, которое
справедливо для любого вектора А:
(А2 А2) +^4Л+4Л Л<Иу А-(А X
применим это тождество в только что выведенном уравнении как для
вычисления е div е, так и для вычисления (rot h) X h. Тогда для дг-овой
компоненты плотности силы мы получим:
~у{ (е X h)x. G.6)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА В ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 41
Для того, чтобы получить из этих уравнений закон сохранения импульса,
введем электромагнитный „тензор напряжений":
Т Т Т
1 хх l xv л.
хх ' ху * хг
Тух Ту у TyZ
Tzx Т2у TZz
¦4*
exey-\-hxhy
exey-\-hxhY
exet-\-hxhz
V—5
j~ hyh
1уП2
G.7)
и вектор плотности импульса электромагнитного поля
G.8)
Тогда, при интегрировании по конечному объему V, уравнения G.5) и
G.6) дают:
4 (Омах + Оэ*)х = // {Тхх cos (я, *) + 7^ cos (я, jf) + Гж2 cos (я, z)} rf5, G.9)
где
В частности, при интегрировании по объему, на поверхности которого
е и h везде равны нулю, мы получаем:
= const. G.10)
Следовательно, закон сохранения импульса выполняется строго только
тогда, когда мы наряду с импульсом вмат, связанным с веществом, вве-
введем еще импульс Оэл» связанный с
излучением.
В качестве важного при-
примера применения только что по-
полученных уравнений энергии и им-
импульса, рассмотрим давлениесвета
в двух простых случаях:
1. Давление света при нор-
нормальном падении и нормаль-
нормальном отражении световой волны.
Для вычисления с помощью фор-
формулы G,6) давления света на поглощаю-
поглощающее или зеркально отражающее тело
положим, что поверхность тела совпа-
совпадает с плоскостью уг, так что само
тело расположено направо от плоскости
дг = О. Вы елим из этого тела цилиндр с поперечным сечением 1, расположен-
расположенный от поверхности тела вправо и столь длинный, что на его правом основа-
основании (ВС на рис. 15) уже не существует никакого поля. Вычислим, пользуясь
уравнением G.6), ^-компоненту силы, которая действует на выделенный объем,
D
Рис. 15. Вычисление светового да-
давления. На поверхность ВС внутри
поглощающего тела лучистая энер-
энергия попасть уже не может.
42 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
когда светояая волна падает на поверхность тела в направлении оси #-ов.
Вследствие поперечности колебаний световой волны, в нашем случае *-овые
компоненты в и h равны нулю. Следовательно, для плотности силы получаем
выражение:
Это уравнение мы можем проинтегрировать непосредственно по всей длине на-
нашего цилиндра; для среднего (во времени) давления получим следующее
выражение:
'лг«О •
В этом уравнении уже содержится вяжная зависимость межлу энергией из-
излучения и импульсом, которою мы будем подробно заниматься впослед-
впоследствии. Представим себе ограниченный ряд волн длиною /, падающий на по-
поверхность AD и целиком поглощаемый телом. Если и есть плотность энергии
падающей волны, то общее количество движения, сообщенное телу, равно про-
произведению давления света р на время * = —, в течение которого серия волн
с
падает на тело, а так как /? = и, то/?/ = -^—. Следовательно, наш ряд волн
с
содержит в 1 см* импульс —. Так как волна распространяется со скоростью с,
с
то можно сказать, что при падении на поглощающую стенку она ведет себя
так, как будто бы в каждом ее смг содержалась инертная масса ——. Мы
встречаемся здесь с зависимостью между энергией и инертной мас-
массой; с этой зависимостью мы встретимся снова, в самой общей форме, в гла-
главах, посвященных теории относительности.
2. Давление света в случае вполне беспорядочного рав-
равновесного излучения Рассмотрим силу, с которой излучение, напол-
наполняющее полость тела, действует на стенки цилиндра ABCD, изображенного на
рис. 15. Пусть это излучение изотропно, т е. имеет свойства, в среднем
одинаковые по всем направлениям. Можно считать это излучение состоящим из
весьма большого числа линейно поляризованных волн. Для отдельной волны,
распространяющейся в определенном направлении, напряженность электриче-
электрического поля связана посредством уравнений Максвелла с перпендикулярной
к ней напряженностью магнитного поля. Но компоненты напряженности эле-
электрического поля в двух взаимно перпендикулярных направлениях статисти-
статистически совершенно независимы. По этой причине произведения типа ех еу,
в случае равновесного излучения при усреднении во времени окажутся рав-
равными нулю. Далее, благодаря изотропному характеру излучения,
Поэтому для среднего значения дг-овой компоненты плотности силы мы полу-
получим, согласно G.6), выражение:
1
2
Следовательно, давление света, действующее на весь цилиндр, равно
и
GЛ1)
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И МЕДЛЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА
43
В истории физики эта формула сыграла большую роль, так как с ее помощью
Больтцман обосновал закон пропорциональности плотности
энергии равновесного излучения четвертой степени абсо-
абсолютной температуры. Мы рассмотрим это подробнее в § 67.
§ 8. Поле равномерно и медленно движущегося электрона.
В качестве первого применения наших уравнений поля, мы рассмотрим
поле заряда, движущегося с постоянной скоростью v,
малой по сравнению со скоростью света. (В следующих
параграфах мы рассмотрим значительно более сложный случай, когда
скорость становится сравнимой со скоростью света.) Следует ожидать,
что электрическое поле медленно движущегося заряда не очень сильно
будет отличаться от поля, создаваемого неподвижным зарядом. Поэтому
мы сперва будем считать, что поле движущегося заряда выражается
вполне точно при помощи кулоновского потенциала <р = —, т. е. что
три компоненты поля определяются из урав- «5J——^
нений „ i^YT
ex еу
ex
1 r*>
ez = eA.
(8.1)
при условии, что начало координатной си-
системы помещено в центре движущегося эле-
электрона. Если электрическое поле известно,
то магнитное поле определяется непосред-
непосредственно из выражения для интеграла по замк-
замкнутому пути вектора h, которое равнозначно
первому уравнению F.1):
Рис. 16. Вычисление магнит-
магнитного поля медленно движу-
щегося электрона.
Пусть электрон движется со скоростью v в направлении оси дг-ов. Для
определения h мы применим только что приведенное уравнение к круглому
диску S, который расположен перпендикулярно к оси л;, и радиус которого
виден из начала координат под углом ft. Пусть г — расстояние от на-
начала координат до точки на окружности диска, р—радиус диска
(рис. 16). Для вычисления изменения со временем потока вектора е
через этот диск, заметим, что в момент времени t-\-dt через него
проходит тот же поток, который в момент времени t пересекал диск S'9
сдвинутый влево относительно первого на расстояние v dt. Для вычис-
вычисления ~м ffends нам над0 найти потоки вектора е, проходящие через
диски 5и5'в момент времени t Но вследствие отсутствия источни*
ков вектора е внутри плоской коробки, ограниченной дисками S и S'
и боковой стенкой ширины v dt, весь поток через эту коробку равен
Чулю. Следовательно, разность потоков через S и 5' равна потоку через
боковую стенку и составляет 2кр1? dt er sin ft, так что мы получаем:
-i_sin ft
44 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
или
(8.2)
Электрическое поле медленно движущегося точечного заряда поэтому
тождественно с электростатическим полем неподвижного заряда, а маг-
магнитное поле тождественно с полем, которое вызывается элементом тока
ev согласно закону Био-Савара.
Только что полученное выражение для магнитного поля может быть
также написано в виде
h = -J-vXe. (8.3)
Покажем, исходя из максвелловских уравнений, что это выражение для
магнитного поля является совершенно строгим для любой системы
зарядов, движущейся с постоянной скоростью, если только известна
электрическая напряженность е этих зарядов. Для этого вернемся к урав-
уравнению
foth ?-4 + ±Lpv (8.4)
и попытаемся преобразовать выражение для е, принимая во внимание
то обстоятельство, что при равномерном движении зарядов все вызы-
вызываемое ими поле также перемещается со скоростью v. Отсюда вытекает,
что если /(*, yf z, t) представляет некоторую функцию поля, то в точке
с координатами л:, у, z в момент времени t эта функция имеет то же
значение, которое она имела в момент времени t — dt в точке х— vxdt,
у — Vydt, z — vzdt. Следовательно, мы имеем тождество:
/(*, У, z% t)=f(x — vxdt, y — Vydt, z — vzdt, t—dt)
или
df / df | df ,
или в векториальной форме,
-~ = — (v grad)/. (8.5)
Итак, для изменения е во времени мы находим:
ё = — (v grad) e;
пользуясь тождеством
rot (А X В) в (В grad) А — (A grad) В + A div В — В div A
и принимая во внимание, что в нашем случае v является постоянным
вектором, не зависящим от времени и от координат, мы получаем:
е = rot (v X е) — v div e.
Подставляя последнее равенство в уравнение (8.4) и пользуясь соотно-
соотношением dive = 4 тгр, получаем:
rot(
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И МЕДЛЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА 45
Этому уравнению мы можем непосредственно удовлетворить, положив
h = 7(vXe).
Для того чтобы показать, что этим мы действительно решили уравне-
уравнения Максвелла, необходимо убедиться еще и в том, что найденное таким
образом магнитное поле не имеет также источников. Для этого напра-
направим скорость v по положительный оси х-ов. Тогда наше выражение для
магнитного поля примет вид:
(8.6)
hz— —
откуда получаем:
v (деУ
Следовательно, расходимость h на самом деле исчезает, если только
компонента вихря вектора е, совпадающая с направлением скорости,
равна нулю. В случае медленно движущегося электрона это условие вы-
выполняется, что видно из (8.1); этому условию удовлетворяют, как мы
увидим в следующем параграфе, также и точные решения уравнений поля.
Вышеприведенное решение (8.1) и (8 3) наших уравнений поля не
может считаться совершенно точным, так как вместо е мы ввели поле,
связанное с потенциалом неподвижного заряда. Фактически электрическое
поле не совсем таково, так как вследствие движения заряда магнитное
поле изменяется со временем, а поэтому вихрь электрического поля ста-
становится неравным нулю.
Воспользуемся нашими приближенными уравнениями для определе-
определения количества движения, связанного с движущимся
электроном. Согласно общим выводам § 7, со всяким электромаг-
электромагнитным полем связана плотность количества движения, которая, на
основании G.8), выражается вектором
Для вычисления импульса заряда, движущегося с постоянной скоростью,
мы подставим вместо h его значение — (v X e)> тогда для количества
движения мы получим:
i^e(v.e)}. (8.7)
В этом выражении, строго говоря, вместо е надо ввести значение напря-
напряженности для движущегося заряда, которое даже в случае медленных
движений отличается от статического поля добавочными членами, зави-
46 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
сящими от v. Отсюда видно, что количество движения может быть про-
пропорционально скорости только до тех пор, пока мы пренебрегаем этим
изменением электростатического поля. Направим опять скорость v по
положительному направлению оси х-ов; тогда х-овая компонента век*
тора g окажется равной
и количество движения нашего заряда определится из формулы
В случае шаровой симметрии в распределении зарядов для каждого
шарового слоя в среднем будет
Следовательно
или
где Uo = -д— Г Г Г ePdxdy dz есть общая энергия поля неподвижного
заряда.
В частности, если заряд е расположен на поверхности шара радиуса
/?, то
и, следовательно,
(Если бы вместо заряда, расположенного на поверхности шара, мы
взяли такой же шар, наполненный зарядом е равномерно, то получили бы,
вплоть до численного множителя порядка 1, такое же выражение для
количества движения.) Представим себе, что наш заряженный шар вообще
не имеет обыкновенной инертной массы. Несмотря на это, он все же
обладает определенным количеством движения, которое необходимо сооб-
сообщить ему, чтобы придать определенную скорость. Следовательно,
он ведет себя совершенно также, как если бы он обла-
обладал инертной массой, равной
Эта „электромагнитная масса" тем больше, чем меньше ра-
радиус R шара; следовательно, при надлежащем подборе R мы можем
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И МЕДЛЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА 47
истолковать любую наблюдаемую инертную массу заряженного тела как
электромагнитную массу.
До тех пор, пока измерение радиуса электрона другими способами
невозможно, остается нерешенным и вопрос о том, вся ли масса эле-
электрона имеет электромагнитное происхождение, или электрон обладает,
наряду с электромагнитной, также и независимой от нее механической
массой. Однако, на основании наших формул мы можем вычислить,
какой радиус имел бы электрон, если бы вся его масса, измеренная
в опытах с отклонением пучка электронов в магнитном поле, была чисто
электромагнитного происхождения. Подставляя значения величин е и
J— в наши формулы, находим:
(При другом предположении о распределении заряда по шару мы, ко-
конечно, нашли бы несколько иное значение радиуса.) Эта величина ока-
оказывается столь малой, что всякую попытку непосредственно проконтро-
проконтролировать ее каким-нибудь иным путем следует считать безнадежной.
Обычно полагают, что для инертной массы не существует другой перво-
первопричины, кроме электромагнитного поля, передвигающегося вместе
с электроном. Однако, следует отчетливо иметь в виду, что непосред-
непосредственного экспериментального подтверждения этого предположения не
существует. Таким же образом и с такою же достоверностью, конечно,
можно истолковать и массу протона, которая в 2000 раз больше, если
предположить, что радиус протона еще в 2000 раз меньше, чем радиус
электрона.
Проявление электромагнитной инерции у заряженной частички можно
легко пояснить еще и следующим образом. Пусть электрон движется
с постоянной скоростью. Он несет с собой магнитное поле, силовые
линии которого окружают его путь. Результирующая сила, которая дей-
действует на электрон во время его движения, равна нулю. Если внезапно
затормозить электрон, то при этом торможении магнитное поле, конечно,
должно исчезнуть. Но такое исчезновение магнитного поля, согласно
закону индукции, вызовет появление электрического поля. Легко убе-
убедиться, что вызванное таким образом электрическое поле имеет в точке
нахождения электрона такое направление, что оно стремится ускорить
тормозящийся электрон. Следовательно, сила инерции, возникающая при
торможении, равнозначна электрической силе еЕ, где Е означает напря-
напряженность поля, которая вызывается согласно закону индукции при измене-
изменении скорости.
Второе замечание относится к специальному виду полученного выра-
выражения для инертной массы. Эту массу мы будем называть „нулевой
массой", так как она относится только к предельному случаю очень
медленных (по сравнению со скоростью света) движений. Согласно (8, 9)
Нулевая масса только численным коэфициентом 4/3 отличается от -^-.
Это выражение уже встречалось нам в § 7 в связи с рассмотрением
светового давления плоской волны. Там этим выражением определялась
неРгная масса, которую мы должны приписать волне, распространяю-
48 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
шейся в определенном направлении. Это основное соотношение между
энергией и инертной массой встретится нам в самом общем виде позже,
в отделе, посвященном теории относительности.
Причина того, что это последнее соотношение при рассмотрении
массы электронов подтвердилось не вполне точно, а только с точностью
до численного коэфициента 4/3, заключается в следующем. Если мы по-
подробнее рассмотрим нашу сферу, заряженную на поверхности, то уви-
увидим, что это распределение заряда в присутствии одних только элек-
электрических сил вообще не стабильно. Отдельные заряженные электриче-
электричеством одинакового знака элементы сферы испытывают взаимное оттал-
отталкивание. Наше распределение зарядов тотчас же разлетелось бы на
части, если бы его не удерживали силы другого рода. Роль таких сил
могут играть, например, упругие силы, наподобие тех, которые дей-
действуют в случае заряженного мыльного пузыря. Поэтому при последо-
последовательном рассуждении такие механические напряжения обязательно
должны быть приняты во внимание. Последовательное рассмотрение этих
сил может быть проведено только при помощи методов теории от-
относительности. 6 дальнейшем (§ 66а) мы сможем показать, что
именно вследствие этих механических напряжений, обусловленных самим
распределением зарядов, нулевая масса в точности равна частному от
деления „нулевой энергии" на квадрат скорости света.
§ 9. Поле равномерно и сколь угодно быстро движущегося
заряда. В предыдущем параграфе мы определили поле любого заряда
только в том случае, когда его скорость мала по сравнению со ско-
скоростью света. Для того, чтобы определить полетакже и при
сколь угодно больших скоростях, мы должны найти строгие
решения уравнений поля F.1); мы будем опять определять стационар-
стационарные поля, движущиеся вместе с зарядом. Решение, которое мы таким
образом найдем, является, строго говоря, пригодным для того случая,
когда заряд уже двигался с заданной скоростью в течение бесконечно
долгого времени. При переходе от покоя к определенной скорости
получается волна, которая распространяется со скоростью света от уско-
ускоренно движущегося заряда в бесконечность. Этим излучением можно
пренебречь только в том случае, если скорость уже достаточно большое
время была постоянной.
Для интегрирования уравнений поля F.1) целесообразно перейти
от самих полей к электромагнитным потенциалам. Это
производится следующим образом: прежде всего мы удовлетворяем
уравнению divh==0 F.1) подстановкой
h = rotA. (9.1)
Тогда из третьего уравнения F.1) следует, что rot(e-j-— А) Должен
равняться нулю. Поэтому мы требуем, чтобы величина е-| А равня-
равнялась градиенту какого-нибудь скаляра:
е = —уА—gradcp.
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И СКОЛЬ УГОДНО БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 48
Теперь мы еще можем произвольно распорядиться расходимостью век-
вектора А, так как векторное поле однозначно определяется заданием рас-
расходимости и вихря этого поля (до сих пор мы задали только rot А).
Мы воспользуемся этим для того, чтобы положить
y? = 0. (9.3)
Если подставить теперь (9.1) и (9.2) в оба оставшиеся уравнения F.1),
то с помощью (9.3) мы получим два уравнения для потенциалов:
с2 дР с PV'
1 Э2ср (9.4)
4*р
Для их интегрирования в рассматриваемом случае прямолинейного
и равномерного движения электрона воспользуемся тем установленным
в предыдущем параграфе фактом, что поле в момент времени t в какой-
нибудь точке такое же, каким оно было в момент времени t — dt
в точке, отодвинутой назад на отрезок vdt, так что для всех величин,
характеризующих поле, опять имеет место соотношение:
^ —(vgrad)/.
Таким образом, если скорость направлена параллельно положительной
оси х} в наших уравнениях для потенциалов (9.4) вторые производные
по времени заменяются производными по координате х согласно фор-
формуле
1ГЛ&
Итак, для потенциалов А и ф мы получаем уравнения:
Л v2 \ j^A- i д2А j^ a?A
* ' '
Заметим, что уравнения для компонент векторного потенциала отли-
отличаются от уравнения для скалярного потенциала только постоянным
множителем -^-. Следовательно, если мы решим уравнение для ср, то
из него непосредственно последует решение для векторного потенциала:
A—f?. (9.6)
Отсюда получаются два уравнения:
rot А =¦ — rot (vcp) = v X grad <p
с с
А-= у vcp =x —i-v (v grad <p).
Веккер
50 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Если мы введем их в определения (9.1) и (9.2), то получим:
^- v(vgradcp) и h = |vXe. (9.7)
Оказывается, что зависимость (9.6) между векторным и скалярным
потенциалами приводит как раз к отмеченной уже в предыдущем пара-
параграфе зависимости (8.3) между h и е.
Итак, для решения нашей задачи мы можем ограничиться интегри-
интегрированием уравнения (9.5) для <р. Заметим, что это уравнение отличается
от уравнения для обыкновенного электростатического потенциала только
постоянным коэфициентом A ^-J при ^-|. Поэтому формально мы
можем свести нашу задачу к простой электростатической, если вместо
координат х, у, z, t введем новые координаты xf, y\ z\ t\ с по-
помощью преобразования
х = х1 VT=y, y=/,z^z',t= f, (9.8)
где для краткости мы положили (i = —. Благодаря этой замене, функ-
функции ср (х, у, z, t) и р(лг, у, z, t) переходят в функции <р' и р' от х\
у', z\ f, так что имеют место тождества:
(9.9)
Следовательно, наше уравнение для потенциала в штрихованных коор-
координатах имеет вид
В таком виде это уравнение совершенно тождественно уравнению, ко-
которое определяет потенциал данной неподвижной системы зарядов.
Поэтому его интегрирование мы можем произвести согласно известной
теории электростатического потенциала (том I, § 14). Мы получаем:
у,
-у'
' > J J J ]/-(x._-6').+-(y.-V).-qp-(^_c/
Если мы опять перейдем к нештрихованным координатам с помощью
(9.8) и (9.4), то получим решение уравнения (9.5) для скалярного по-
потенциала в виде
Теперь найдем частное решение для того момента времени t=t0, когда
электрон находится в начале координатной системы, и ограничимся при
этом случаем точечного электрона, т. е. предположим, что плотность
заряда отлична от нуля только в непосредственной близости от начала
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И СКОЛЬ УГОДНО БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 51
координат (? = т] = С = 0), Тогда интегрирование может быть выполнено,
и мы получим решение
6 целях сокращения письма введем для выражения, появившегося в зна-
знаменателе вместо расстояния г, обозначение
+ *8> (9ЛЗ)
Тогда мы сможем представить решение нашей задачи в виде
? = 7« 4г~?. ^ = Лг = 0. (9.14)
С помощью этих потенциалов мы вычислим поля е и h по формулам
(9.1), (9.2) или (9.7), принимая во внимание, что диференцирование по
времени всегда заменяется на — v -^— • Для электрической напряжен-
напряженности получается:
<,
или, в векторной форме,
е = A-р2)^-г. (9Л5)
Далее, магнитная напряженность h = — v X в; следовательно:
Полученные таким образом точные решения для поля, вызываемого
электроном, движущимся с постоянной скоростью, в случае малых ско-
скоростей Г—<^lj переходят, как и следовало ожидать, в решения пре-
предыдущего параграфа. Направления векторов е и h получаются из точ-
точных решений такие же, как из прежних приближенных решений: элек-
электрическое поле имеет направление радиуса-вектора, выходящего из
электрона, а магнитное поле направлено перпендикулярно к электриче-
электрическому и к направлению скорости. Для того чтобы выяснить отличие от
старых решений, рассмотрим абсолютную величину напряженно-
стей поля. Если обозначить через Ь угол между радиусом-вектором,
направленным от электрона к данной точке, и направлением скорости,
то благодаря тому, что
s = r /cos2 Ь + A — Р2) sin2 & = г У1 — ?2 sin2 &,
52 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
из (9.15) следует:
1 Э2
1 ' ra (/I —
Отсюда видно, что напряженность электрического поля зависит харак-
характерным образом от угла 0 между полем и направлением движения,
а именно: на оси AT-OB(sin& = 0) оно уменьшено по сравнению со ста-
статической величиной — в отношении 1 — р9, в то время как в плоскости
дг = О (sin& ===== 1) оно увеличено в отношении . а> По мере того,
как скорость электрона приближается к скорости
света, все поле концентрируется в плоскости, перпен-
перпендикулярной к направлению движения, причем в пре-
предельном случае при v — c поле повсюду в этой плос-
плоскости принимает бесконечно большие значения.
Особый интерес представияет еще сила, с которой система зарядов
действует на движущуюся вместе с ней единицу заряда. Согласно нашей
основной формуле F,3), она равна
Подставляя полученные выше значения для напряженностей поля (9.15)
и (9.16), мы получаем для этой „конвекционной силы" выра-
выражения
Эту силу можно также вычислить, если подставить в уравнение для f
значения е и h из (9.7):
f«e+-l-[vX(vXe)]=e(l-p2)+4-v(ve) = -(l-^) grad».
Таким образом сила f, действующая на движущуюся единицу заряда,
в отличие от е, обладает потенциалом
W = (l-[i2)?; f=«- grad^F, (9.18)
который был впервые введен Хивисайдом (Heaviside) и называется
„конвекционным потенциалом". На больших расстояниях от
электрона (т. е. на таких, на которых форма электрона и распределение
заряда в нем не играют уже никакой роли) конвекционный потенциал,
согласно (9.12), определяется формулой:
Он имеет постоянное значение на сплющенном эллипсоиде вращения
?2) q,2 j^г%) в const# (9.20)
ПОЛЕ РАВНОМЕРНО И СКОЛЬ УГОДНО БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 63
Эти хивисайловские эллипсоиды получаются из семейства концен-
концентрических сфер при сжатии по направлению оси л:-ов в отношении
1 : Y^—№• Наглядное значение этого эллипсоида состоит в том, что
сила, действующая на движущийся заряд, будучи пропорциональной
— grad lF, всегда направлена по нормали к поверхности эллипсоида. Отсюда
вытекает несколько замечательных следствий.
Рассмотрим сначала два точечных заряда е1 и е2, расположенных
друг от друга на расстоянии г (рис. 17). Пусть вектор г, проведенный
от ех к е2, образует угол ft с направлением общей скорости v обеих
частиц. Пока оба заряда находятся в покое, сила, действующая со сю-
роны ег на ?2, направлена по вектору г. Но если обе частицы дви-
движутся со скоростью v, то эта сила направлена уже не по г, а рас-
расположена по нормали к только что описанному сплю-
сплющенному эллипсоиду \?Г = const с центром
в точке ег.
Отсюда чисто качественно можно заключить сле-
следующее: представим себе два заряда, расположенные
на конце твердого стержня; тогда этот стержень
испытывает вращательный момент, который стре-
стремится повернуть стержень в направлении движения,
если знаки зарядов одинаковы. Напротив, при про-
противоположных знаках зарядов этот вращательный
момент стремится привести стержень в положение,
перпендикулярное к направлению движения. Для этого
вращательного момента, вызываемого электромашит-
ными силами, мы получаем, с помощью выраже-
выражения (9.19) для конвекционного потенциала, следую-
следующее равенство:
N = — rXgrad-
Рис.17. Отталкива-
Отталкивание f между двумя
совместно движу-
движущимися зарядами
не совпадает го на-
направлению с отрез-
отрезком, их соеди-
соединяющим.
где г есть вектор с компонентами х, у, z, соединяющий заряды ег
е2. Отсюда для z-овой компоненты вектора г получается выражение:
^р~. (9.21)
Если мы ограничимся членами порядка (З2, т. е. отбросим четвертые и
более высокие степени
мента получим:
(S, то для величины этого вращательного мо-
(9.21а)
Теперь рассмотрим заряженный металлический шар. Пока
шар находится в покое, плотность заряда на всей его поверхности по-
постоянна, так как, согласно элементарной электростатике, при таком рас-
распределении заряда эквипотенциальные поверхности имеют шаровую
форму, так что сила, действующая на элементы заряда, везде перпен-
перпендикулярна к поверхности шара. Но если этот шар движется со ско-
скоростью v (например, полюсом координатной системы вперед), то для
54 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
вычисления взаимодействия между находящимися на поверхности заря-
зарядами нужно воспользоваться их конвекционным потенциалом. Сила, вы-
высчитанная из выражения для этого потенциала, теперь уже не перпен-
перпендикулярна к поверхности шара; напротив, она имеет тенденцию нако-
накоплять заряды на обоих полюсах, что можно вывести из опи-
описанного выше случая двух равных зарядов. По мере того, как скорость
приближается к скорости света, заряды все больше и больше концен-
концентрируются на полюсах шара, в то же время экватор становится в конце
концов совершенно свободным от зарядов.
Непосредственно видно, что оба только что упомянутые явления могли бы
дать возможность определять абсолютное движение; так, если в какой-ни-
какой-нибудь координатной системе два связанных друг с другом заряда не дают вра-
вращательного момента, и если распределение заряда на шаре равномерно,
то в каждой движущейся по отношению к ней системе должен был бы
появиться в первом случае вращательный момент, а во втором — скоп-
скопление зарядов на полюсах (расположение полюсов определяется движе-
движением шара). Но, согласно основным постулатам теории относительности,
подобной системы координат не существует. В дальнейшем мы подробно
рассмотрим, как по этой теории только что вычисленные эффекты со-
совершенно компенсируются, так что и с их помощью невозможно кон-
констатировать абсолютное движение. В последнем рассмотренном случае
движущегося шара скоплению зарядов на полюсах препятствует то, что
размеры каждого тела в направлении движения укорачиваются в отно-
отношении l:"|/"l—р2. Поэтому шар превращается в сплющенный эллип-
эллипсоид вращения. Заряды же располагаются преимущественно в местах с
наибольшей кривизной. Такое сплющивание нашего шара приводит
к скоплению зарядов на экваторе, что в действительности и компенси-
компенсирует упомянутую концентрацию зарядов на полюсах.
Значительно труднее понять, отчего при движении нескольких свя-
связанных друг с другом зарядов на самом деле не появляется вычислен-
вычисленный вращательный момент. В данном случае, очевидно, одно лишь уко-
укорочение не может служить объяснением. Здесь компенсация вращатель-
вращательного момента происходит только благодаря тому, что в стержне, кото-
который соединяет оба заряда, должны существовать механические напряже-
напряжения, вызывающие со своей стороны вращательный момент, который
в точности компенсирует найденный выше электромагнитный вращатель-
вращательный момент. Из тщательно произведенных опытов Траутона и Но-
Нобля известно, что результирующий вращательный момент на самом деле
не наблюдается.
§ 10. Импульс равномерно движущегося заряда. В § 8 мы вы-
вычислили количество движения медленно движущегося электрона
и при этом нашли, что электромагнитное поле электрона содержит в себе
пропорциональное скорости количество движения, которым можно объ-
объяснить (целиком или, быть может, отчасти) наблюдаемую инертную
массу электрона. Теперь мы проведем соответствующее вычисление для
того случая, когда скорость электрона сравнима со ско-
скоростью света. Для этого мы будем пользоваться выведенным ранее
уравнением G,8) для плотности импульса, подставив в него выражение
ИМПУЛЬС РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 55
магнитного поля h = — (v X е), верное для любой скорости. Тогда для
плотности импульса получится формула
^^Xh) ^{^-e(x.e)}. (ЮЛ)
Тем самым для общего количества движения поля, переносимого вместе
с электроном, имеем
O^tbfSfW + 'i2)**®**- (Ю.2)
Две другие компоненты исчезают, что следует из соображений сим-
симметрии. Заметим, что через квадраты компонент полей могут быть про-
просто выражены и две другие величины, а именно: плотность энер-
энергии
(ev8 + '»% О0-3)
и скалярное произведение скорости на количество
движения
vg = i^(v(eXh)) = 5i-c(h(vXe)) = ih3.
Раз в нашей движущейся системе известно распределение зарядов
р(х, у, z), то рассуждения § 9 позволяют найти в явном виде ква-
квадраты компонент электрической напряженности, входящие в эти формулы.
Для этого достаточно воспользоваться уравнением (9.11) для скалярного
потенциала системы зарядов с заданным распределением, движущихся
со скоростью v в направлении оси лг-ов. Тогда составляющие вектор-
векторного потенциала принимают значения:
а составляющие электрической напряженности, согласно (9.1), получа-
получаются в виде:
ех-_ A_р«)* е, = -%, «, = -?.
х ч г ' dx' у ду9 2 dz
Мы увидим, что количество движения A0.2) при приближении ско-
скорости зарядов к скорости света становится бесконечно большим. Харак-
Характер изменения количества движения в зависимости от скорости в зна-
значительной степени зависит еще от специальных предположений отно-
относительно распределения зарядов внутри движущейся системы. Самое
простое предположение, конечно, состоит в том, что это распределение
зарядов тождественно с распределением, которое наблюдалось бы в не-
неподвижной системе. Согласно этому предположению, которое подробно
исследовал и защищал Абрагам, электрон должен иметь форму твер-
твердого шарика с заданной постоянной плотностью заряда, распределение
которой подчиняется условию шаровой симметрии. В противоположность
66 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
этому, Бухерер и Г. А. Лорентц сделали предположение, что элек-
электрон при своем движении сжимается в отношении 1: ]/l — $* („ги по-
поте за сжатия"). С общим и более глубоким обоснованием этой гипо-
гипотезы мы подробно познакомимся в главе о теории относительности, со-
согласно которой все движущиеся масштабы сжимаются в этом отноше-
отношении. Эга гипотеза была введена Лорентцом специально для объяснения
отрицательного результата опыта Майкельсона. Существенное
основание для предположения о таком сжатии заключается в результа-
результатах предыдущего параграфа о форме поверхностей постоянного кон-
конвекционного потенциала. Именно эта гипотеза приводит к след-
следствию, что поверхность движущегося шара вследствие его сжатия при
движении всегда совпадает с поверхностью равного конвекционного по-
потенциала. Таким образом заряды на поверхности электрона Лорентца
находятся в электростатическом равновесии, между тем как в случае
твердого электрона Абрагама равновесие отсутствует.
Поэтому мы будем производить наши вычисления исключительно
для электрона Лорентца. Пусть в состоянии покоя он характеризуется
распределением зарядов р0 (лг, у, г), обладающим шаровой симметрией.
Для дальнейшего не существенно, считаем ли мы это распределение
поверхностным или равномерным объемным внутри шарика радиуса а.
Предположим, что движущийся электрон испытывает равномерное сжа-
сжатие в направлении осилг-ов— такое, что общий заряд сохраняется. Тогда
в движущейся системе в точке с координатой х появляется такой за-
X
ряд, который в неподвижной системе находится в точке • —, Кроме
того, плотность заряда кажется увеличившейся в ^=г раз, так как
при сжатии заряд сосредоточивается в меньшем объеме. Итак, в дви-
движущейся системе мы имеем плотность заряда
Общий заряд как движущейся, так и неподвижной системы, конечно,
должно быть один и тот же:
Подставив теперь выражение A0.5) для плотности заряда в обшее
уравнение (9.11), получим для скалярного потенциала выра-
выражение
1 rrr PoCyi^
9 7r=rp"J J J 'vW^WrW^
ИМПУЛЬС РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 57
Изменив обозначение переменных интегрирования, мы можем также
написать:
Интеграл в этом равенстве формально совершенно тождественен с по-
потенциалом <р0, который вызывается в точке х\ у', zr распределением
неподвижных зарядов. Таким образом, мы получаем для любого распре-
распределения зарядов следующую зависимость между скалярным потенциалом
зарядов, движущихся со скоростью v, и электростатическим потенциа-
потенциалом тех же зарядов в состоянии покоя:
?(r' Уг г>) • A0Л5)
Теперь мы можем вычислить электрическое поле, а тем самым
и полный импульс нашего распределения зарядов:
д?_ 1 / а: \
*=- ai - ут=? е°* \&Т=Ф 'у' )
следовательно,
Меняя еще раз обозначения переменных интегрирования, мы получаем:
О, - —fe^jjj [е0/ (f, У, z') + ,0/ (х', /, «01 Л'^/Л'.
причем в интеграл входит исключительно электрическое поле системы
зарядов в состоянии покоя. Так как мы считаем, что распределение
этих зарядов обладает шаровой симметрией, то
fejdx = fejdx = |/ e*dx = % Uo; Uo = ±
где буквой Uq обозначена электростатическая энергия поля неподвиж-
неподвижного заряда. Итак, окончательно мы получаем следующее выражение
Для количества движения:
58 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Если постоянный коэфициент -о-—S- назвать „нулевой массой" тЛу то
ОС" и
можно написать выражение для количества движения в виде
Т^р- 00.8)
Тем самым мы нашли в явном виде закон зависимости
количества движения от скорости.
Бели бы мы производили наши вычисления не для электрона
Лорентца, а для твердого шарика, согласно предположению Абрагама,
то мы нашли бы закон, отличный от этого и не подтверждаемый опы-
опытом. Для зависимости между нулевой массой т0 и энергией в состоянии
покоя мы получили такое же выражение (если не считать коэфи-
циента -тИ, какое в более общей форме выводится и в теории относи-
относительности. По поводу появившегося численного коэфициента следует
указать на сделанное в § 8 замечание; мы еще раз вернемся к нему
в § 66а.
Рассмотрим еще вкратце движение электрона в заданном
силовом поле. Если обозначить через F силу, действующую на
электрон, то уравнение движения будет:
Для того чтобы более удобным образом учесть то обстоятельство, что
масса зависит от скорости, разложим силу F на две составляющие: Fl9
которая должна быть параллельна мгновенной скорости v (продоль-
(продольная составляющая Fr), и F^, перпендикулярную скорости (попе-
(поперечная составляющая). Количество движения G, вообще говоря,
имеет вид
G = v/(ea).
Следовательно
Теперь разложим и ускорение v на продольную и поперечную соста-
составляющие vt-\-vt. Так как Ft имеет направление v, a |vv| = |v| • |vj, то
из только что написанного уравнения следует:
z = v, [/() + Y()] ,^,
Оба эти уравненения в отдельности можно написать в обычном для клас-
классической механики виде:
сила = массе X ускорение.
Но при этом следует принять во внимание, что инертные массы
будут различными, в зависимости от того, какое
ИМПУЛЬС РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 59
берется ускорение — продольное или поперечное, а
именно, можно говорить о продольной массе
ml=:
и о поперечной массе
т — — -|G|
t 1^1 — р2 V
В опытах с отклонением частиц в электрическом магнитном поле,
рассмотренных в § 3 (измерения удельного заряда —V мы, очевидно, имели
дело исключительно с поперечной массой. Мы рассмотрим еще, как
должна измениться форма парабол, характеризующих отклонение при
малых скоростях (на рис. 7), если от малых скоростей перейти к боль-
большим.
Действующая на электрон лорентцова сила, как и прежде, равна
Поэтому уравнения движения A0.9) для случая, описанного в § 3
(Е и Н || оси х, направление движения || оси z), имеют вид:
dGx d mvx
dt V
dGv d mvv
Если отклонения по направлениям осей х и у очень малы, т. е. vx
и *в в течение всего времени движения электрона очень малы по срав-
сравнению с vz, то скорость v = У vx2 4- т>/ + *®г практически можно счи-
считать постоянной и равной vz\ изменение vz есть величина более
высокого порядка, что легко заключить из третьего уравнения движения.
Поэтому два других уравнения можно приближенно проинтегрировать.
Первое дает:
откуда, подставляя начальные условия (л; = 0 и лг = О при t = 0s т. е. в
момент прохождения луча через диафрагму), для общего отклонения в на-
направлении оси л;-ов получаем:
1^4 A0.12а)
если подставить вместо / время пробега t = — = — от диафрагмы до
пластинки. Аналогично этому, отклонение в направлении оси .у-ов будет:
(Ю.126)
60
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Если составить, как в классическом случае, отношение
у И v
A0.13)
то оказывается, что и здесь следы всех частиц, имеющих одинако-
одинаковые скорости vt но различные отношения ~, лежат на одной пря-
прямой, проходящей через начало координат. Иной результат получается
во втором случае, при рассмотрении следов частиц одного сорта
(с заданным — V но движущихся с различными скоростями. Исклю-
Исключая из выражений A0.12а) и A0,126) скоростью, получим уже не параболы,
как в классическом случае (р2 <^С 1), а параболоподобные кривые че-
четвертого п >рядка, форма кото-
которых изображена на рис. 18
(сплошная кривая; пунктирная
получается при вычислении для
классического случая). Нас ин-
интересует здесь прежде всего тот
факт, что кривые проходят че-
через начало координат, не ка-
касаясь оси j/, но пересекая эту
ось под определенным углом а.
Так как меньшим значениям х
или у соответствует большее
отношение у, то область около
начала координат как раз и ха-
характерна для расхождений ме-
между старой теорией и новой.
В классическом случае начало
координат достигается только
при v -+ оо, здесь же мы по-
получим начало координат при предельной скорости г; = с. Угол а полу-
получается из формулы A0.13):
tga = lim —- = —- .
Влияние зависимости массы от скорости легко можно демонстрировать
следующим практическим способом. Пусть пунктирная кривая на рисунке
представляет собой параболу, вычисленную по формуле
Рис. 18. Возрастание массы со скоростью.
При эксперименте, изображенном на рис. 6,
получается, вместо пунктирной параболы,
сплошная кривая.
1 — L1.U10L
х ~ 2 т Е с* '
т. е. в предположении постоянства массы. Она изображает след совер-
совершенно одинаковых, но движущихся с различными скоростями частиц.
С другой стороны, согласно соотношению A0.13), имеющему место для
любых скоростей, следы частиц с различными массами лежат на прямых,
проходящих через начало киординат. На рисунке в виде примера изо-
изображены прямые для C sss 0,5 0,6 и т, д. Для получения точки, соот-
ПОЛЕ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ 61
ветствующей измененной (благодаря изменению массы) кривой, про-
проведем вектор, относящийся к определенной скорости, из начала коорди-
координат до пересечения с описанной выше параболой и укоротим его в
отношении УЧ—J33: 1. Благодаря этому, например, точка А на пря-
прямой, соответствующей C = 0,6, вследствие укорочения в отношении
У\ — @.6J = 0,8 переходит в точку В и т. д. В частности видно, что
при этом построении точка D (пересечение первоначальной параболы
с прямой Р=1) передвинется в начало координат.
Описанные в § 3 опыты показали, что масса быстро движу-
движущегося электрона действительно возрастает со скоро-
скоростью так, как того требует уравнение
О . (Ю.8)
с2
Эти наблюдения представляли до появления теории относительности осо-
особый интерес вследствие того, что с их помощью надеялись решить,
имеет ли масса электрона чисто электромагнитную природу
или электрон несет с собой, кроме электромагнитной массы, еще массу
в обычном смысле; неоднократно высказывалось предположение,
что только электромагнитная масса растет со скоростью, а обычная
масса в смысле механики должна быть действительно постоян-
постоянной величиной, характеризующей данное тело. С этой точки
зрения только что описанные опыты потеряли свой интерес, вследствие
того положения, которое заняла по отношению к ним теория относи-
относительности; согласно последней формула A0.8), которую мы здесь полу-
получили для электромагнитной части массы, применима вообще к любого
рода массе, так что при помощи этих опытов нельза эксперимен-
экспериментально обнаружить никаких различий между массами того или иного
рода.
§ 11. Поле, вызываемое заданным распределением зарядов.
а) Запаздывающие потенциалы. Перейдем теперь к исследованию поля,
создаваемого произвольно движущимися зарядами. Предполо-
Предположим, что величины р и pv являются произвольно заданными функциями
координат и времени. Тогда уравнения поля ^6.1) могут быть проинте-
проинтегрированы в общем виде.
При интегрировании будем исходить не из уравнений поля F.1),
а из уравнений для потенциалов (9.4):
i%4
•*¦» °Ы)
—Ню—
При этом потенциалы А и ср связаны с векторами поля е и h и друг
с другом соотношениями (9.1), (9,2) и (9.3). Састема уравнений A1.1)
состоит из четырех совершенно одинаково построенных линейных неод-
неоднородных диференциальных уравнений для четырех функций Ах, А , Аж
и <р. Общее решение линейного неоднородного диференциального урав-
62 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
нения состоит из общего решения однородного уравнения и из частного
решения неоднородного уравнения. Это частное решение, как может
быть показано, имеет вид:
1 Г f /
t) = ±J J J
(П.2)
Для того чтобы удовлетворить заданным начальным и пограничным
условиям, можно к этим решениям, которые мы сначала рассмотрим
в отдельности, прибавить еще произвольно выбранное решение одно-
однородных уравнений
1« lg
1«-0 „
АА-1
Рассмотрим наглядный смысл выражения A1.2) для скалярного потен-
потенциала ср. Если распределение зарядов не меняется со временем, то это
выражение принимает известную форму закона Кулона:
Изменение же р со временем, согласно A1.2), требует следующего
метода вычислений: для определения потенциала <р в точке х, у, г в
момент времени t представим себе сферу с центром в этой точке и с
переменным радиусом г, который уменьшается со скоростью света так,
что к моменту времени t сфера сжимается в точку. Эта сферическая
поверхность при своем сжатии пересечет точку Е, % С в некоторый мо-
момент времени / , и для него-то и следует подставить в A1.2)
плотность заряда в этой точке. Следовательно, каждый элемент объема
cUdridQ помножается на ту плотность заряда, которую сфера застала в
этом элементе. Таким образом сфера как бы собирает вместе влияние
зарядов всего пространства на потенциал <р и переносит их действие в
момент времени в t точку х9 у, z.
Следует указать, что физический смысл формул A1.2) и A1.1) не
совсем одинаков. Именно, в то время как в диференциальных уравне-
уравнениях знак времени совершенно не играет роли (уравнения не ме-
меняются при замене прошедшего времени будущим), мы видим, что урав-
уравнение A1.2) содержит в себе существенное различие между прошед-
прошедшим и будущим временем. Согласно A1.2), для потенциала <р играет
роль та плотность заряда р в элементе объема d? dv\ d?, которая сущест-
существовала там раньше момента времени t, а именно в момент t . Чисто
математически для A1.1) было бы возможно также решение, в котором
р(Е, Y], С) было бы взято не для момента времени t —, а для мо-
с
мента t -f- —, следовательно, позднее на—. Но такое решение
ПОЛЕ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ 63
противоречило бы нашим традиционным представлениям, так как мы
считаем заряды и их движение причиной возникновения потенциала.
Отбрасывая второе частное решение и, следовательно, ограничиваясь ре-
решением A1.2), („запаздывающий потенциал"), мы тем самым
фактически выходим за пределы диференциального уравнения A1.1). *)
Преобразуем теперь еще формулы A1.2) для ср и А, с тем, чтобы
применить их к тому случаю, когда заряды, создающие поле, в согла-
согласии с представлениями электронной теории, сосредоточены в области
порядка 10 см. Однако, сначала будем считать плотность заряда
р = р (^, тг), С, т) непрерывной и перемещающейся со скоростью v, которая
также является функцией времени и координат.
Для дальнейших применений теории метод интегрирования, пред-
предусматриваемый формулами A1.2), несколько неудобен, так как в оди-
одинаковых элементах объема cfedr^db подинтегральная функция берется в
разные моменты времени x = t . Это приводит к тому, например,
что интеграл jfjP(b ty ?> т) <й AjdC, который получился бы из A1.2),
если отбросить знаменатель г, не представляет общего заряда всего
пространства, как в статическом случае; этот общий заряд получился бы,
если бы мы брали подинтегральное выра-
выражение всюду для одного и того же момента
времени т = т0. Написанный выше интеграл
отличается от интеграла, равного общему за-
заряду, добавочным членом, который учиты- ^Ш<: гт-1 —•-©/>
вает движение заряда.
При преобразовании интеграла мы будем
пользоваться описанным выше представле-
представлением о том, что сфера сжимается к данной Рис. 19. К вычислению за-
заточке со скоростью света и суммирует при паздывающего потенциала,
этом влияние зарядов со всего пространства.
Рассмотрим эту сферу между двумя моментами времени т и т -J- dz,
которым соответствуют радиусы r = c(t— т) и г—dr, где dr = — cdx
(рис. 19).
Количество электричества, содержащееся в шаровом слое между
сферами г и r—dr в момент времени т, равно / рE,ч, С, •с)*'AS, где
F
интеграл берется по поверхности сферы. Аналогичный, хотя, вообще
говоря, не равный этому интеграл получается для момента времени
т-j-dx, но оба интеграла различаются только членами более высокого
порядка, которые исчезают в пределе при dr-*0.
С другой стороны, определим теперь количество электри-
электричества de, которое за время di пересекается сжимающейся сферой и,
следовательно, проходит за это время через поверхность сферы. Переход
к этому количеству заряда de полезен в том отношении, что, как мы
сейчас увидим, интеграл J de, распространенный на все время процесса
сжатия сферы, дает суммарный заряд. Вычисление de можно произво-
1) См. примечание в конце книги.
64 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
дить следующим образом. Если бы заряды не двигались, то de было бы
равно написанному выше интегралу. Однако, за время, которое требуется
сфере для прохождения через шаровой слой толщины dr, некоторые из
этих зарядов, вследствие их движения, выйдут через внутреннюю погра-
пограничную поверхность, и, кроме того, некоторое количество зарядов вой-
войдет через эту поверхность в шаровой слой. А именно: через элемент
внутренней поверхности dS выйдет количество заряда
pdSvd-z cos b = p^~
если направление вектора г считать положительным к центру сферы.
Таким образом, если не принимать во внимание членов более высокого
порядка, то ввиду того, что dr — cd?, получится:
Если мы разделим шаровой слой на элементарные объемы, равные dSdry
то это уравнение мы можем считать верным также и для каждого
отдельного элемента объема. Найденное таким образом de мы можем
считать количеством заряда, которое пересекается за время dx элемен-
элементом поверхности dS, если только dr мало по сравнению с линейными
размерами dS, т. е. если можно пренебречь зарядами, вытекающими из
бокового ободка цилиндрика dSdr9 по сравнению с зарядами, вытекаю-
вытекающими через dS. Таким образом, мы можем написать выражение prf; di\ d?,
входящее в интеграл A1.2), также в форме
pd\d^d^ = pdSdr= — -?— . A1.3)
A— — )
Тогда эти интегралы принимают вид:
№% <п-4)
с с
причем интегрирование производится по всем зарядам. Понятно, что
в эти интегралы также следует подставлять величины, относящиеся к
моменту времени т = / . Подчеркиваем, что переход от A1.2) к A1.4)
является совершенно строгим, так как мы пренебрегали только
членами более высокого порядка по сравнению с dr, которые, после
подстановки в интегралы и перехода от конечных объемов и промежут-
промежутков времени к диференциалам, полностью исчезают.
Применим теперь формулы A1.4) к упомянутому выше случаю,
когда заряды сосредоточены в чрезвычайно малой области. В
этом случае, при интегрировании по заряду электрона, подинте-
гральное выражение можно считать постоянным, и тогда для потен-
потенциалов электрона получаются простые формулы:
VI , A1.5)
ПОЛЕ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ
65
которые впервые были даны Льенаром (A. Lienard) и Вихертом
(Е. Wiechert).
Прежде чем перейти к вычислению поля произвольно движущегося
электрона на основании потенциалов Льенара-Вихерта, докажем, что
последние, в частном случае электрона, движущегося с постоянной
скоростью, приводят к выведенным в § 9 формулам (9.14). Эти фор-
формулы дают потенциал в данной точке Р для того момента времени,
когда электрон при своем прямолинейном движении как раз проходит
через начало координат. Напротив, в формулу A1.4) входит растояние г
от точки Р до точки, в которой нахо-
находится электрон в момент излучения эле-
электромагнитного действия. Если обозна-
обозначить (рис. 20) через г0 радиус-вектор,
проведеннный к точке Р из точки В, в
которой расположен электрон в данный
момент времени t, а через г, как и раньше,
вектор от точки Л, в которой в момент
времени t возникло электромагнит-
ное поле, дошедшее в момент t до точ-
ки Р% то имеет место равенство
Го = г
v*r
А{?*7с,0.0Л-г/с)
Рис. 20. Пока электромагнит-
ное действие, исходящее из
точки Л траектории электро-
электрона, доходит до точки Р, элек-
r ^ трон успевает передвинуты*
так как — есть время, которое необхо- в Т0ЧКу /?.
димо, с одной стороны, для того, чтобы
электромагнитное поле из точки А распространилось до точки Р%
а с другой стороны — для того, чтобы электрон перешел из точки А
в точку В. Нам надо выразить знаменатель потенциала Вихерта г— ^~
как функцию от г0. Для этой цели составим следующее выражение для г02:
Далее, так как r0Xv = r X v, то
(г0 X vJ = (r X
Отсюда следует:
-('. х Я -{'-{Ч
В правой части стоит квадрат знаменателя уравнения A1.5). Если
вектор v совпадает с направлением оси л;-ов координатной системы,
начало которой расположено в точке В, то
с
/
гДе s имеет то же самое значение, как и в (9.14). Таким образом мы
вновь приходим к выведенным ранее формулам ддя электрона, движу-
движущегося с постоянной скоростью.
Веккео №10 5
66 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
б) Вычисление поля с помощью потенциалов Вихерта. Вели-
Величины е и h получаются (см. (9.1) и (9.2)) из этих потенциалов по
формулам
е= -gradcp—lr?, h = rotA. A1.6)
Напишем потенциалы Вихерта в следующем виде:
где принято для краткости
,-r-Ii. A1.8)
Значок х указывает на то, что величины г и v подставляются для
момента времени %
функции времени:
момента времени z = t —. Если координаты электрона заданы как
то т определяется из уравнения
^ -С(т))». A1.9)
Если это уравнение решить относительно х, то х будет известной
функцией от х, у, z, t Вектор г, составляющие которого суть х—?(х),
У— ч(т)» z — ?(т)> зависит явно только от х, у> z, х, а вектор скорости
v = v{S(x), т)(х),С(х)}—только от х. Время /в явном виде в потен-
потенциалы не входит.
Подставляя потенциалы A1.7) в выражение A1.6), получаем:
• 1 ev _^?. e dv
• с2$2 dt €^$ dt'
Таким образом необходимо теперь найти значение выражений -4т,
dv
grad s, -0j и rot v. Заметив, что v зависит от х, у, z и t только не-
неявно через т, между тем как s содержит х, у, z также и явно, легко
проверить справедливость соотношений:
ds _ ds d% _/ (r-v) , v2 (r»v)\ dt
dt dx dt \ r * с с ) dt'
ПОЛЕ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ 6?
Обе величины -^ и grad x легко получаются из уравнения A1.9),
определяющего т, посредством частного диференцирования по t или
посредством вычисления градиента:
Л дх\ дг д-z (r-v) дъ
— с grad т = grad r=~ — ^lY2 grad x.
Следовательно,
di 1 r , — г г
• — -~; grad t x
s ' * „ t *A*-*)\ cs
ГС
Подставим полученные выражения и равенства A1.6). После несложных
промежуточных выкладок мы получим окончательно:
А е гу . ег ( г \\(л v2 . (г-v)^
h_ e (fXV) i e (vXr)/t v>,(r.v)\ AL1°)
Этими формулами определяется электромагнитное поле
произвольно движущегося точечного заряда. Все вхо-
входящие в них величины относятся к положению электрона в момент
времени т = / —. Следует еще раз подчеркнуть, что эти формулы,
с
в такой же мере, как потенциалы Вихерта, являются приближен-
приближенными, и что поэтому к ним относятся те же ограничения, которые
имеют место для формул A1.5). В частности, они совершенно не при-
применимы к области, непосредственно примыкающей к элек-
электрону.
Для выяснения смысла формул A1.10) заметим сначала, что они
удовлетворяют соотношению
h = -f-Xe; A1.11)
(следовательно, магнитный вектор всегда перпендикулярен к электри-
электрическому, а также и к радиусу-вектору г. Напротив, электрический век-
top в общем случае не перпендикулярен к г; его радиальная соста-
составляющая равна
Далее, весьма важно отметить тот факт, что поля в A1.10) могут
быть представлены как результат сложения двух полей, которые мы
будем различать значками t и 2- Одно из этих полей, а именно
J!i
68 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
представляет поле электрона, движущегося прямолинейно с постоянной
скоростью v; уравнения такого поля мы вывели в § 9. В этом случае,
как было показано выше, ? имеет то же значение, что и в (9.13),
а именно:
r«v
где г0 есть вектор, проведенный к точке, в которой вычисляется поле,
от того места, к; да попал бы электрон в момент времени /, если бы
он продолжал двигаться со скоростью v; следовательно, как и выше,
имеет место равенство
так что первая составная часть поля может быть также представлена
в виде:
(lU2a)
что полностью совпадает с (9.15) и (9.16).
Остающаяся вторая составная часть поля
епг , gr(r«v)/ г v^
2 *"""* §2q2 Т s3C2 \ Г С
*(rXv)
x')--*-х- <1113>
существенно отличается от первой. В то время как поле, представляе-
представляемое уравнениями A1.12), убывает обратно пропорционально квадрату
расстояния от электрона, т. е. повсюду обладает характером электро-
электростатического поля, движущегося вместе с электроном, — поле A1.13)
убывает пропорционально 1/г. Кроме того, е2 и h2 перпендикулярны
к радиусу-вектору. Следовательно, это поле имеет характер электро-
электромагнитной сферической волны, испускаемой электроном. Все
это легче усмотреть, если написать выражения A1.13) в несколько ином
виде, а именно:
Итак, резюмируя, можно сказать, что поле произвольно движу-
движущегося электрона создается путем наложения друг на
друга двух полей, из которых первое можно рассматривать как
электростатическое поле электрона, движущееся вместе
с последним, между тем как второе имеет характер электромаг-
электромагнитной волны и возникает только при ускорении (или тормо-
торможении) электрона. При больших значениях г волновое
поле преобладает над статическим; такую область
пространства мы называем волновой зоной (см. том I,
§72).
ПОЛЕ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ
69
В виде примера, иллюстрирующего применение равенств A1.10) и A1 13),
вычислим энергию, испускаемую движущимся ускоренно или тормозимым
электроном. Пусть движение электрона, как и выше, задано в виде функции
от времени. Найлем количество энергии dW, которое испускается электроном
&а время dx в виде излучения. Так как эта энергия распространяется от элек-
электрона со скоростью света, то в некоторый последующий момент времени I
она будет на>одиться между сферическими поверхностями с радиусами г =
s=c(t— х) и г' = ?(/ — т — dx), центры которых совпадают с положениями
электрона в моменты времени х и х + dx. Для того, чтобы при вычислении
энергии, содержащейся в этом шаровом слое, получить только энергию излу-
излучения, а не энергию статического поля, движущегося вместе с электроном,
полезно взять значения t—х и г настолько большими, чтобы статическое поле,
убывающее при возрастании г пропорционально —, уже не играло заметной
роли. В этом случае энергию шарового-слоя можно вычислить, исходя только
из волновой части поля A1.13). Отбрасывая значок 2 У векторов е и h, напи-
напишем выражения для плотности энергии:
(И.14)
и для вектора Пойнтинга:
S = -?-eXl« = -?- — e». A1.15)
4*rc ' 4я г
При этом, согласно A1.13),
2(v-v)(r.v)
<Ш6)
dl
gr»/v
6 "РЛ14-
Рис. 21. Форма волнового
поля, испущенного электро-
электроном в течение времени dx.
гии, содержащейся в рассмотренном выше ша-
шаровом слое, напишем выражение для элемента объема:
где, как обычно, р = —. Для вычисления энер-
где rf/—толщина шарового слоя и Л —элемент телесного угла, по которому
надо интегрировать. Из рис. 21 видно, что при больших значениях г
dt = r — r' —vTdx 5= cdx A — ^Л = cdx — .
Поэтому уменьшение энергии электрона в секунду, вызванное
излучением, равно
??/ <11Л7>
Аналогичным образом можно вычислить импульс, отдаваемый электроном
в единицу времени. Вследствие того, что плотность импульса g = —, этот
импульс равен импульсу излучения, который содержится в шаровом слое:
Эти два выражения — для отдаваемых энергии и импульса — отличаются друг от
друга, помимо коэфициента с, еще лишь тем, что в формуле AU8), вместо
абсолютной величины г, стоит вектор г.
70 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИЙ
Сначала мы применим обе эти формулы к тому частному случаю, когда
электрон в рассматриваемый момент времени находится в покое. В этом слу-
случае формула для е2 значительно упрощается; на основании того, что s=V,
получаем:
Если перейти теперь в A1.17) и A1.18) к полярным координатам, полярная
ось которых направлена вдоль ускорения, то
Поэтому интеграл A1.17) будет:
_dW_2_W A1.19)
dz ~~ 3 сз '
между тем как все три слагающие интеграла A1.18) выражающего потерю им-
импульса, исчезают:
*-°- A1.20)
Следовательно, электрон, находящийся в данный момент времени в покое,
совсем не отдает импульса излучением.
Для того чтобы найти выражения излучаемой энергии и импульса в общем
случае, т. е. при произвольной скорости, подставим точную формулу A1.16)
в интегралы A1.17) и A1.18). Не приводя здесь подробно всех кропотливых
выкладок, связанных с интегрированием, укажем сразу результат:
•о (vXvJ
dW _ 2 g2v с*
dz "~ 3 с» A- pf A1.21)
', (vXv)
dG_2e* V g2 _ ydW
d%~~ 3 Ф A — ?2K C2 d-z •
При v->0 эти формулы превращаются в выражения A1.19) и A1.20). Кроме
того, можно заметить, что формула излучения A1.21) содержит только квад-
квадрат скорости, так что если ограничиться нерелятивистским приближением
(?*<1), то получается та же формула A1.19). Позднее, при изложении теории
относительности, мы выведем еще раз оба выражения A1.21) и A1.22) более
простым путем; там они получаются непосредственно из частного случая A1.19),
если перейти посредством так называемого преобразования Лорентца
от координатной системы, в которой электрон неподвижен, к системе, по отно-
отношению к которой он движется со скоростью v.
Позднее мы вернемся к выводам, которые можно извлечь из только что
полученных результатов, в особенности к вопросу об обратном воздействии
излучения на электрон. Упомянем еще, что формула A1.21) имеет значение
для объяснения „спектра торможения" рентгеновых лучей. Эти
лучи, как известно, возникают при попадании быстрых электронов, — напри-
например, электронов катодных лучей — на твердые тела. Спектральное исследо-
исследование испускаемого излучения показало, что оно представляет собой наложе-
наложение двух резко отличающихся друг от друга частей. Одна часть излучения
обладает л иней чаты м спектром и зависит от вещества антика-
антикатода. Она испускается атомами твердого тела, возбужденными в результате
электронной бомбардировки. Другая часть рентгеновского излучения обладает
непрерывным спектром и может быть объяснена только что вычислен-
уравнения движения в форме гамильтонл 71
ным излучением электронов, которое возникает вследствие их тор-
торможения при проникновении в антикатод. Полное теоретическое исследо-
исследование излучения, возникающего при торможении, возможно, впрочем, только
в рамках квантовой теории.
§ 12. Уравнения движения в форме Гамильтона. Если требуется
вычислить в конкретном случае путь электрона в заданном силовом
поле, то для большинства задач самым простым и удобным исходным
уравнением является уравнение
)| A2.1)
Однако, для некоторых целей выгодно пользоваться уравнениями движения
в ином виде — в виде так называемых уравнений Гамильтона. Для си-
системы с п степенями свободы уравнения Ньютона A2.1) дают п
диференциальных уравнений 2-го порядка. Вместо них можно ввести
уравнения Гамильтона, которые образуют систему 2/z уравнений пер-
первого порядка в следующем, так называемом „каноническом", виде.
Пусть мгновенное состояние системы или „фаза" описывается 2/z
переменными, а именно: п координатами xv xv ... хп и п импульсами
Ри Рь Рз> • • • Рп% Требуется определить фазу по прошествии времени dt.
Иными словами, найти скорости изменения всех 2/г переменных, т. е,
их производные по времени х1...хл% Рх^*рп* Уравнения дви-
движения выражаются в гамильтоновой форме, если можно
указать такую функцию
%(хх...хп, Pl...Pn, 0, A2.2)
чтобы было
*i = аи' ^ = ~ Щ (*' = 1, 2, 3,... я). A2.3)
Мы утверждаем: пока масса т считается постоянной, т. е. пока
Можно пренебрегать релятивистской зависимостью массы от скорости,
уравнения A2.1) а A2.3) совершенно эквивалентны друг
ДРУГУ> если только положить, что функция A2.2) имеет
вид:
Здесь ср — скалярный и А — векторный потенциалы, посредством
которых определяется электромагнитное поле уравнений
e=-grad<p—La,
h = rotA.
Импульсы px, pr pz входят в выражение для функции % только в яв-
явном виде, а координаты х, у, z и время t — через зависящие от этих
величин потенциалы. Вывод функции Гамильтона A2.2) для релятивист-
релятивистского случая будет приведен в § 64. Теперь же ограничимся тем, что
непосредственно докажем эквивалентность формул A2.1) и A2.3),
72 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
Уравнения для х и рх, согласно A2.3) и A2.4), имеют вид:
Подставляя
px=mx+J-Ax A2.6)
из первого уравнения во второе и принимая еще во внимание, что
dAx _ дАх • , дАх • , дАх • , дАх
мы получаем:
тх— e\di~r с dt)^T\ox ду ) ~\ dz !Гх
Ввиду A2.5), последнее уравнение эквивалентно A2.1). Если мы имеем
не один электрон, а несколько точечных зарядов еи е2....еп с массами
ти m2i...mn, движущихся в заданном поле, то их движение описы-
описывается функцией Гамильтона
где значок i у потенциалов означает, что в A2.7) подставляются зна-
значения 9 и А в том месте пространства, в котором находится /-тая
частица.
Мы упомянем еще некоторые случаи, в которых полезно применять
гамильтоновы уравнения движения.
1. Статистическая механика. Если систему, описываемую
функцией Гамильтона A2.2), которая, однако, не должна содержать
время t в явном виде, привести в „контакт" с тепловым резервуаром
температуры Г, то движение этой системы — благодаря обмену энергии
с резервуаром — уже не будет происходить согласно уравнениям A2.3).
Тогда мы уже не в состоянии указать для каждого момента времени
точное значение фазы (лг^ /?,). Основная теорема Больтцмана дает,
вместо этого, вероятность W (хг... хп, рх.. .рп) dxx... dpn того, что
в произвольно выбранный момент координаты и импульсы системы будут
заключаться в пределах между хг и хх -\-dxv . •. ,/?л и pn-{-dPn> a именно:
эта вероятность равна
Wdxx .,<dpa*= Ce~ ~~k? dxx... dpn, A2.8)
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ ГАМИЛЬТОНА 73
п
где k = -jj- есть газовая постоянная, отнесенная к одной молекуле,
а постоянная С определяется из условия
J ... Jwdxx...dpn=*l.
Если /(хг...рп) есть доступная наблюдению функция „фазы", то ее
среднее значение, т. е. результат ее усреднения во времени для одной
системы, а также и мгновенное среднее при одновременном наблюдении
очень многих систем (молекул), определяется равенством:
/Г _ %{x'lPi)
_ •••//W » dxx...dPn
I -~" CIO . v * * '
/Г Я(Х1Р1] ,
... j e ь? ахг...арп
2. Вычисление электрических и магнитных момен-
моментов. Рассмотрим вкратце подлежащий в дальнейшем более подробному
разбору вопрос об электрическом и магнитном моменте атома при
наличии поля. Если атом состоит из п зарядов ег...еП9 соответственные
радиусы-векторы которых суть гх... г„, то его электрический и магнитный
дипольные моменты равны
r" 9"** - Ще* (г* X V,). A2.10)
(Второе из этих равенств будет подробно выведено в § 17). Составим
функцию Гамильтона для этого атома в том случае, когда он находится
в однородном электрическом (Е) и однородном магнитном поле (И);
пусть оба поля направлены по положительной оси 2-ов. Это внешнее
поле выражается чер^з потенциалы:
так что для потенциалов <pf и А{, входящих в A2.7), мы можем на-
написать:
1 тт
A --L
У1~ 2
A2.11)
I
причем потенциалы ср?° определяются только взаимными электростати-
электростатическими силами между отдельными зарядами, находящимися в атоме. Это
значит, что мы пренебрегаем действием магнитного ноля, вызываемого
отдельными электронами, на движение остальных электронов. Оно и
в самом деле очень мало по сравнению с электростатическим взаимо-
взаимодействием ¦—. С помощью функции Гамильтона A2.7) вообще невоз-
74 ОБЩИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
можно учесть магнитное взаимодействие, так как тогда векторный по-
тенциал А зависел бы не только от координат, но и от импульсов.
Обозначим через р составляющие моментов A2.10) по направлению
внешних полей Е и Н; тогда из A2.7), принимая во внимание значения
потенциалов A2.11), получаем простую зависимость:
n __^_ n _ «С П919.
Рал — ?? f Рмагн ^у. A4.L4)
Легко непосредственно проверить первое уравнение (/>Ai = 2*i27)«
Для доказательства второго уравнения нужно лишь после диферен-
цирования по Н заменить р — 4*,- чеРез ntxi сообразно с A2.6а).
Сочетание уравнений A2.9) и A2.12) дает важный и применимый
в общем случае способ вычисления электрической и магнитной вос-
восприимчивости. А именно, мы находим:
сто
f ... f^e"Wdx1...dpn
* ~ г 7 JL ~ A2ЛЗ)
J ••Je kT dxx...dpn
(мы написали в явном виде только формулу для электрической вос-
восприимчивости).
Для вычисления поляризации, вызываемой полями Е или Н> нужно
только вычислить фазовый интеграл
... j e Ш dxx...dpn, A2.14)
из которого на основании A2.13) определяются средние значения по-
поляризации:
* —UTdlnZ „ —bTdXnZ
Рал — к* fig > Рмагн — «^ ~1[ТГ '
Этим вычислением мы займемся для некоторых специальных случаев
в §§ 24 и 38.
Б. УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
§ 13. Свободные колебания упруго связанного электрона. Одной
из наиболее важных задач электронной теории является детальное опи-
описание строения атома. Каким же образом построить из положительных
и отрицательных зарядов модель атома так, чтобы свойства этой мо-
модели, вычисленные с помощью основных уравнений электродинамики,
соответствовали наблюдаемым на опыте явлениям? В развитии электрон-
электронной теории за последние десятилетия ясно заметны три ступени, соот-
соответствующие последовательному приближению к этой цели. Первая из
них (до 1912 г.)—модель атома Томсона (Sir J. J. Thomson). Вторая сту-
ступень— модель Нильса Бора A912—1926); третья начинается с при-
применения квантовой механики (Ге из енб ер г, Шрёдингер, с 1926 г.)-
На каждой из этих ступеней были достигнуты столь большие успехи, что
каждый раз можно было считать выработанную на предыдущей ступени
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННОГО ЭЛЕКТРОНА 75
точку зрения окончательно ликвидированной. Поэтому с точки зрения
дедуктивного метода аксиомы квантовой механики представляют теперь
исходную точку для всякого систематического изложения этого вопроса.
Тем не менее, в дальнейшем мы подробно рассмотрим свойства модели
Томсона (упруго связанные электроны). Это вполне оправдывается тем
обстоятельством, что существенные черты магнитных и электрических
свойств атомов могут быть разобраны с помощью этой модели особенно
наглядно и просто. Но надо иметь в виду, что полученные таким
образом результаты должны подвергнуться более или менее серьезным
поправкам с помощью более строгих методов теории Бора и квантовой
механики. Применяя эти более строгие методы, мы должны, однако, за-
заранее отказаться от физической наглядности в обычном смысле слова.
Все же результаты этих методов большей частью допускают в дальней-
дальнейшем такое истолкование,, что можно сказать: атом ведет себя так, как
будто он содержит в себе упруго связанные заряды, в смысле модели
Томсона. Поэтому точное знание свойств модели Томсона необходимо
котя бы в виду того, что терминология, посредством которой обычно
описываются квантовомеханические соотношения, большей частью основана
на понятиях, заимствованных из наглядной модели Томсона.
Эмпирической исходной точкой современного изучения атомов яв-
является существование характерных для каждого вида атома спек-
спектральных линий (свечение разреженных газов в разрядной трубке
или в пламени бунзеновской горелки). С точки зрения электромагнит-
электромагнитной теории света, каждую такую линию должен испускать некоторый
излучатель, колеблющийся с частотой, которая соот-
соответствует цвету рассма триваемой линии. Наиболее про-
простым типом такого излучателя является отдельный электрон, привязан-
привязанный к положению равновесия таким образом, что он может совершать
гармонические колебания именно с этой частотой. Его уравнение дви-
движения по направлению оси х-ов будет:
тх + т BnvJ* = О,
а общий интеграл этого уравнения:
х = A cos 2rcv t-\- В sin 2 izvt.
Итак, для того чтобы электрон совершал колебания с частотой v,
он должен быть привязан к положению равновесия х — 0 таким обра-
образом, чтобы при удалении на расстояние х из этого положения он при-
притягивался туда с силой
— тB itvJ дг.
Томсоном была предложена следующая модель. Пусть электрон с за-
зарядом — е движется внутри равномерно заполненного положительным
зарядом шара, радиус которого а; при этом пусть весь положительный
заряд равен -\-е. Вычислим силу, действующую на электрон, когда он
находится на расстоянии г < а от центра шара. Заряд, расположенный
вне сферы радиуса г, ничего не прибавляет к силе, действующей на
электрон. Положительный заряд внутри шара радиуса г равен ег-^\ этот
76 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
заряд действует на электрон так, как будто он сосредоточен в центре
шара, так что мы получаем силу
F — %¦
Эта сила вызывает гармонические колебания с частотой
Если подставить сюда известные значения е и т, а вместо v взять ве-
величину порядка оптических собственных колебаний изолированных ато-
атомов A015сек.-1), то для искомого радиуса положительного шара полу-
получим величину порядка 10~8 см. Это значение совпадает с порядком ве-
величины радиуса атома, вычисленной по кинетической теории газов из
длины свободного пробега (теплопроводность, диффузия). Этот резуль-
результат можно было в начале рассматривать как подтверждение модели Том-
сона. Однако в дальнейшем, на основании опытов с рассеянием
сс-частиц, Резерфорд (Rutherford) непосредственно показал, что
положительный заряд атомов сосредоточен в объеме, не превосходя-
превосходящем К)-12 или 10~13 см. Таким образом, размеры положительного за-
заряда примерно в 100 000 раз меньше, чем они должны быть по Том-
сону для объяснения оптических спектральных линий. Именно, результат
а?^10"-8 см9 который раньше мог рассматриваться как подтверждение
модели Томсона, после опытов Резерфорда стал решающим доказатель-
доказательством ее полной несостоятельности. Упомянутые выше опыты Резер-
Резерфорда стали началом эпохи Бора в квантовой теории.
Не вдаваясь в дальнейшем в подробности модели Томсона (не суще-
существующей в природе), рассмотрим теперь движение электрона под дей-
действием упругой силы — kr. Согласно классической механике
уравнение его движения будет
A3.1)
с общим решением
r = acoso>f-f-bsina>/, L&=-lL\ A3.2)
Постоянными интегрирования являются произвольно выбранные векторы
а и Ь. Их можно определить, если задать, например, положение и ско-
скорость электрона в момент времени ? = 0.
Энергия этой механической системы равна
1Р = 1/иг2 + ~Аг2;
отсюда, по A3.2),
1 A3.3)
Так как электрон, кроме массы т, имеет еще заряд е> то, совер-
совершая колебательное движение, он становится центром излучения, посы-
посылая в окружающее пространство определенное количество энергии.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННОГО ЭЛЕКТРОНА 77
В частности, A3.3) дает максимальное количество энергии, которое мо-
может быть испущено при заданных начальных значениях а и Ь. Следо-
Следовательно, мы противоречили бы закону сохранения энергии, если бы
стали утверждать, что A3.1) является точным уравнением движения. На-
Напротив, мы должны ожидать, что амплитуды аи b будут убывать со
временем, в зависимости от количества излучаемой энергии. В § 11 мы
нашли количество лучистой энергии, испускаемой колеблющимся заря-
зарядом в течение одной секунды. Эта величина равна
Следовательно, на эту величину — как того требует закон сохранения
энергии — должна ежесекундно уменьшаться энергия колеблющегося
электрона:
^ = _??!? A35)
Уравнения A3.4) и A3.5) имеют смысл только тогда, когда энергия 5т,
излученная во время одного колебания ?, мала по сравнению с энер-
энергией W, другими словами — когда мы имеем случай слабо затухаю-
затухающих колебаний. Но с этим ограничением мы можем из A3.5) непо-
непосредственно получить закон затухания амплитуд. Согласно A3.2), мы
имеем:
ж — 2*
следовательно, на основании A3.4) и A3.3),
Отсюда мы получаем закон излучения и затухания излу-
излучения в виде
За время
т
энергия излучающего атома уменьшается в е раз. При
^=10исек-1, Г=4.10-7сек, а при^-= 10»сек-1, Г=4-10-9сек.
Соответствующий закон затухания амплитуд должен быть:
-JL/
г 2
причем логарифмический декремент равен:
«1 К 2я 2 же2<о
О SSSS «^г SB -5- 5- .
2 о) 3 тс3
78 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОЙ
Следовательно, мы удовлетворим закону сохранения энергии, если реше-
решение A3.2) нашего уравнения движения заменим следующим:
--2-*
2 A3.8)
Конечно, A3.8) не является решением исходного уравнения движе-
движения A3.1), а лишь результатом последующего и поэтому весьма гру-
грубого исправления решения A3.2).
Поэтому естественно сделать еще один шаг в том же направлении
и поставить вопрос, нельзя ли сразу ввести в уравнение A3.1) такую
добавочную силу F, чтобы с самого начала избегнуть противоречия
с законом сохранения энергии. Возможное выражение для такой силы
можно в самом деле найти, если мы будем ограничиваться рассмотре-
рассмотрением почти-периодических движений. Вводя эту силу F, мы получим
вместо A3.1)
mir + кт = F
или, по умножении на г,
В левой части уравнения стоит изменение энергии, требуемое уравне-
уравнением A3,5). Следовательно, F должно быть таким, чтобы
Вряд ли возможно решить простым способом это уравнение отно-
относительно F. Здесь мы также ограничимся лишь тем, что удовлетворим
закону сохранения энергии в среднем по времени. Тогда, воспользовав-
воспользовавшись тождеством
мы можем написать:
Вычислим среднее значение (Fr) в интервале от t = 0 до / — Г; это
дает:
2*2
Если время Т достаточно велико, то второе слагаемое мало по сравне-
сравнению с первым и может быть опущенЬ.
Тогда мы удовлетворим нашему уравнению, если напишем
F=2?2r- A3.10)
Г ЗФ
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННОГО ЭЛЕКТРОНА 79
Таким образом мы получили исправленное в соответствии
с законом сохранения энергии уравнение движения
упруго связанного электрона:
mr + kr — ^r = 0. A3.11)
Само собою разумеется, что оно должно приводить к решению A3.8).
Если определить г как т = Ае1Ы3 где А — комплексный вектор, то для
определения а> из A3.11) мы получаем уравнение
Если положить для краткости
—- as »0 и о з = Ti
vi
то наше уравнение примет вид:
— со2 -}- ту -|- со02 = 0.
Если ограничиться случаем f<0>o> T0 Решения будут:
<*i = <»o + -j Ъ ««^ —^о + у^
Тогда общее решение уравнения A3.11) напишется в виде
. A3.12)
Это решение, написанное в комплексной форме, совпадает с решением
A3.8). Для вещественности г необходимо, чтобы было г = г*, а отсюда
В = А*, Поэтому в уравнении A3.12) остается только 6 произвольных
Постоянных, а именно 3 для вещественной и 3 для мнимой части век-
вектора А.
Необходимо особенно подчеркнуть, что выражение A3.10) для „со-
„сопротивления излученияа имеет смысл только в случае почти-периодиче-
почти-периодических движений, т. е. таких, для которых можно положить
Применяя же A3.10) к другим видам движения, например к торможе-
торможению свободного электрона в постоянном внешнем поле, мы получили бы
совершенно бессмысленные результаты. В этом случае только вторая
(но не третья) производная от радиуса-вектора по времени отлична от
нуля, так что уравнение A3.10) в этом случае вообще не дало бы ни-
никакого затухания излучения.
Наш вывод формулы затухания излучения остается в высшей степени не*
Удовлетворительным в том отношении, что из него совершенно не видно, каким
именно образом излученная шаровая волна может влиять на движение электрона.
Для того чтобы ближе понять истинную природу этого обратного воздействия
электрона на самого себя, надо фактически вычислить результирующую силу,
действующую на все элементы объема электрона. Если считать сначала элек-
80 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
трон с плотностью заряда р неподвижным, то на элемент объема электрона dVt
действует со стороны другого элемента dV2 сила
91p2dVldV2
12 П? 1
В общем, на dVx действует сила
Результирующая сила, с которой электрон действует сам на себя, будет
В случае, когда электрон остается неподвижным или движется с постоянной
скоростью, эта сила равна нулю. Совершенно иное положение вещей мы имеем
при ускоренном движении электрона. Тогда влияние dV% на dVr следовало бы
учитывать, принимая во внимание создаваемые элементом объема dV2 запаз-
запаздывающие потенциалы, по которым можно определить поле в точке нахожде-
нахождения объема dVx в любой заданный момент времени. Это вычисление настолько
сложно, что до сих пор его не сумели провести в строгой форме. Только сделав
ряд специальных допущений, Лорентц смог получить приближенное решение,
которое, как и следовало ожидать, совпадает с решением, полученным нами
просто на основании закона сохранения энергии (сравни изложение Лорентца
в его книге „Теория электронов", ГТГИ, Л.-М. 1934, стр. 334—336%
§ 14. Расширение спектральных линий, вызываемое затуханием.
Строго монохроматический свет был бы эквивалентен бесконечно длин-
длинному ряду гармонических волн вида
in2Tc I vt r~j.
asm
Всякое отклонение от этого вида колебаний имеет следствием то, что
при спектральном разложении серии волн мы получаем смесь разных
цветов, т. е. различные частоты чисто гармонического типа. С помощью
разложения Фурье можно вычислить частоты, содержащиеся в данной
серии волн. Это разложение состоит в том, что данная серия предста-
представляется как результат простой суперпозиции многих бесконечно длин-
длинных серий волн. Возможность такого разложения для любой волны
заданного вида составляет основное содержание теоремы Фурье. Если
рассматриваемый ряд волн имеет приближенно гармонический ха-
характер с определенной частотой v0, то отклонение от строгой гармонич-
гармоничности скажется в некотором расширении Sv0 линии, имеющей сред-
среднюю частоту v0.
Во многих случаях можно указать приближенное значение расшире-
расширения линии 8v почти без вычислений. Рассмотрим, например, серию волн
конечной длины L, которую в определенный момент времени (напри-
(например, /=0) можно представить в виде
г-~ для 0<лг<1,
для ^<0и x^>L
РАСШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАТУХАНИЕМ 81
Число длин волн составляет п =s= -г-, причем п должно быть велико по
°
сравнению с 1.
Для того чтобы представить этот ряд волн в виде взаимного нало-
наложения одних только бесконечно длинных рядов волн, надо подобрать
такие колебания, которые путем интерференции уничтожили бы вне
отрезка L колебания воображаемого бесконечно длинного ряда волн
с длиною Хо. При этом в разложении Фурье должны играть существен-
существенную роль колебания, содержащие как п-j-l, так и п—I длин волн
в отрезке длины L. Ведь если на середине отрезка L эти колебания
совпадают по фазе с основным колебанием, то на концах отрезка они
должны разойтись с ним по фазе на 180°. Следовательно, в разложении
появятся наряду с основным колебанием еще колебания, длина волны
которых V определяется соотношением п -f-1 = т-г. Переходя к ча-
стоте v =••-?-, имеем:
:^? и vf — (" + 1)с.
Ширина линии 8v = v' — v0 оказывается порядка
* ^ с 1
где т — время, в течение которого данный ряд волн про-
проходит мимо неподвижного наблюдателя. Если размытость
линии хотят выразить не. в частотах, а в длинах волн, то можно напи-
написать ширину линии в виде
Особенно простой вид имеет выражение относительной размытости
линии, а именно:
т. е. относительная размытость равна обратному числу
длин волн, содержащихся в рассматриваемой серии.
Волны, испускаемые электроном, колеблющимся по закону A3.12),
имеют, правда, виц не резко ограниченной, но лишь постепенно зату-
2
хающей серии колебаний, амплитуда которых за время х = — умень-
уменьшается в е раз. Но можно сделать естественное предположение, что эти
волны сравнимы по ширине спектральных линий с резко ограниченным
рядом волн, испущенных в течение того же промежутка времени т, и
что поэтому можно просто написать
8v^i, A4.1)
*¦ е. декремент затухания у численно как раз равен ширине спектраль-
спектральной линии в шкале частот.
Беккер 6810 4 в
82 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
Подтвердим это нестрогое рассуждение строгим гармоническим ана-
анализом выражения A3.12) для колебаний излучающего электрона. Так
как в волновой зоне поле зависит от ускорения линейно, то, разла-
разлагая г в ряд, мы, очевидно, получим соответствующее разложение и для
излучаемой серии волн. Если сначала ограничиться первым слагаемым
в формуле A3.12), то нужно найти такую функцию а (со), чтобы имели
место равенства:
ке~~ Т'+^ = [ а (ш) еш dm для t > 0;
—с©
+00 A4.2)
О = i а (да) еш dm для t < 0.
•—ОО
Эти уравнения по теореме Фурье могут быть решены относи-
относительно а(ш) следующим образом. Умножим обе части на е~1** и про-
проинтегрируем по / от — Т до -{-Г с тем, чтобы потом стремить 7
к бесконечности. Это дает:
После интегрирования мы тотчас же можем в левой части уравнения
перейти к пределу Г-> оо и получаем:
В правой части, вводя переменную интегрирования g = со — р., мы полу-
получим, согласно теореме Фурье,
+ОО
lim f a(
—оо
Отсюда
аAх) = ^_ А A4.3)
* у — 'К—р)'
Выполняя аналогичные вычисления для второго слагаемого A3.12), мы
получим такое же выражение, в котором только вместо а>0 стоит —<%
Таким образом получается результат:
(И4)
РАСШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ, ВЫЗЫВАЕМОЕ ЗАТУХАНИЕМ
83
Чтобы составить себе понятие о распределении интенсивности на
спектрограмме, нужно иметь в виду, что там речь идет не о нахожде-
нахождении зависимости интенсивности от времени; измерение, наоборот, всегда
состоит в том, что определяется полное количество энергии, приходя-
приходящееся на определенное место спектра. Таким образом, нас интересует
спектральное разложение величины
-j-oo -j-oo
/ ? / *
О
в виде
A4.5)
Для г, согласно A4.4), мы имеем разложение
-{-оо
где
А*
-?-—/(а>0 —о>) 1.
A4.6)
Но г — величина вещественная, так как
f («.)=/*(-«).
Поэтому также
откуда
г2
+оо
f J
Интегрирование по t можно производить от
г = 0. Таким образом
оо -j-oo
оо, так как для t < 0
На основании теоремы Фурье,
Urn
Следовательно,
r2 dt = 2т: J/(«)/* (о) do) =
84 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
так как |/(<»)Р равно |/(—о))|2, в чем можно легко убедиться на осно-
основании A4.6). Этим мы выполнили разложение и определили количество
лучистой энергии, соответствующее области спектра от со до <o}
5 (со) dm = g>4тс !/
Для вычисления A4.7) следует составить |/(a))j2 по формуле A4.6),
причем получается довольно длинное выражение. Задача, однако, упро-
упрощается, если ограничиться областью, близкой к частоте <оо. Это имеет
смысл потому, что, по приведенным выше нестрогим соображениям,
почти вся интенсивность распределена в узком интервале частот по-
порядка т- Поэтому мы ограничиваемся такими частотами ш, для которых
|ш — 0)о1<^КI- Да и в самом деле, как мы условились в предыдущем
параграфе, мы рассматриваем случай, когда у<Оо- Возвращаясь к вы-
выражению A4.6) для /(а>), мы находим, что в этой области первое сла-
слагаемое по абсолютной величине гораздо больше вторбго. Так как нас
интересует только приближенная величина векторной суммы A4.6), то
мы можем ограничиться первым слагаемым.
Тогда получаем:
При этом мы, в порядке допущенного приближения, заменили ш4 в чи-
числителе на аH4. Как легко видеть, |/(<о)|2 имеет в точке a> = a>0 резкий
максимум, значение которого равно -^—. Кроме того, мы видим, что
на расстоянии <о — а>0 = -1 от середины линии интенсивность умень-
уменьшается до половины своего максимального значения. Таким образом ве-
величина „полуширины" нашей линии определяется соотношениями
8ш = у или 8v = t3L, A4.9)
что приблизительно совпадает с грубой оценкой A4.1). Таким образом
мы получаем дополнительное подтверждение того, что мы имели право
ограничиться областью, непосредственно примыкающей к частоте ш0.
Для контроля определим, пользуясь соотношениями A4.7) и A4.8)^ коли-
количество всей излучаемой энергии, исходя из ее спектрального распределения
ср. A4.5)]:
dt= /S(a»)rf<0=^5^
и
2 (ш — <о0)
Вводя здесь новую переменную х = —^ —, получим:
CO
dx
J 3cB. v AA ^y ^ .
0 2uJj
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННОГО ЭЛЕКТРОНА 85
Так как подинтегральное выражение заметно отличается от нуля только при
малых значениях х, величина интеграла не изменится существенно при замене
его нижней границы на — оо, ввиду того, что о>0>7. Тогда интеграл прини-
оо
/dx
а , т = я; взяв декремент затухания -у из A3.7), мы полу-
—-оо
чим общее количество всей излучаемой энергии:
со
/
Эта энергия должна равняться полной механической энергии упруго связан*
ного электрона в момент 1 = 0, т. е.
/«О
Из уравнений движения A3.12) или A4.4), пренебрегая у по сравнению
с о>о, получаем для механической энергии выражение
Wo ?= 2/гашо2 ДА*.
Следовательно, действительно вся начальная энергия ко-
колебания полностью переходит в энергию излучения.
§ 15. Вынужденные колебания упруго связанного электрона.
Расширение линий, обусловленное затуханием и столкновениями.
Для понимания оптических свойств материи очень важно знать поведе-
поведение упруго связанного электрона в периодически переменном поле, осо-
особенно в поле падающей световой волны.
Ограничимся рассмотрением линейно-поляризованного луча, который
вызывает в точке нахождения электрона поле
Е-Е/1*.
Тогда уравнение движения электрона будет
еШ, A5.1)
причем уменьшение энергии за счет излучения мы учитываем введением
члена уг; у означает декремент затухания, который был определен
в A3.6).
Неоднородное уравнение A5.1) удовлетворяется подстановкой
r = r/w, A5.2)
причем г0 определяется из A5.1):
rQ= m A5.2а)
Если мы напишем
Го = 4е
86
УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
где s0 и <р вещественны, то получим следующий результат: движение,
вызываемое полем Е = ЕоегЫ, может быть описано как колебание
A5.3)
с амплитудой
и с фазой
(Общий интеграл уравнения A5.1) можно получить, добавив общее
решение однородного уравнения; но так как последний интеграл экспонен-
экспоненциально убывает со временем, то в результате, если подождать доста-
достаточно большое время или достаточно долго оставить электрон только
под действием световой волны, остается
$0 лишь A5.3), т. е. вынужденная часть
колебания).
Представляя графически амплитуду
и фазу вынужденного колебания, мы
получим знакомую картину (рис. 22).
Если мы находимся далеко от области
резонанса (|ш — <»0|^>у), то для бо-
более длинноволновых колебаний полу-
получу чаем вынужденное колебание, находя-
находящееся в одинаковой фазе с возбуждаю-
возбуждающим полем. Для очень малых частот
(а><С>о) амплитуда вынужденного ко-
колебания приближается к значению го =
%, находимому для статического
~о> действия. Наоборот, по другую сторону
Рис.22. Амплитудами отставание обла<ТИ Резонанса Фаза вынужденного
по фазе <р вынужденного колебания колебания противоположна фазе возбу-
вблизи области резонанса <о0. ждающей силы. Амплитуда в случае
неограниченно растущих частот, в конце
концов, стремится к нулю Вблизи точки резонанса (|<о—<o0|^y)
амплитуда s0 резко возрастает, достигая при ®я^со0 наибольшего зна-
значения ——-. Значение полуширины для квадрата амплитуды и здесь
равно 8ш = у, как и в случае свободных колебаний (ср. § 13).
Вынужденные колебания, вследствие наличия в уравнении A5.1)
слагаемого, соответствующего „трению", не будут затухать только
в том случае, если электрон получает энергию извне. Среднее значение
работы силы, приложенной к электрону, при периодическом движении
мы можем определить из уравнения
тх
= F.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННОГО ЭЛЕКТРОНА 87
Работа силы F в единицу времени равна F.r Если вычислить
• •• 1 /гз
среднее во времени от этого выражения, то члены г'Г:=~?г-^ и
J,r —~-—. отпадают, и мы просто получим [принимая во внимание
A5-3)]
^ О5-4)
В том случае, когда затухание происходит только вследствие излу-
излучения, т. е. когда электрон теряет энергию только за счет излучения,
эта работа должна равняться энергии, излучаемой электроном в се-
секунду. Согласно A3.6), последняя равна
с — JL *2 г2 — J? *2 ^о2
^ ЗТ "" 3 7 ~2~ •
3
Если эту энергию положить равной только что найденному значе-
значению работы A5.4), то мы получим величину, характеризующую зату-
затухание излучения.
Уравнение вынужденных колебаний A5,3) может быть эксперимен-
экспериментально проверено по конечной ширине линий поглощения при прохо-
прохождении света через газ, состоящий из большого числа атомов. При
отсутствии других возмущающих причин мы получаем для полуширины,
обусловленной одним лишь затуханием излучения, величину
(8(o)
Рассматривая в § 14 излучение свободно колеблющегося электрона,
мы видели, что конечную ш 1рину линии можно просто понимать как
величину, обратную продолжительности испускания энергии электроном.
Если xrad обозначает время, за которое амплитуда уменьшается
в е раз, то
т и55)
Если свободные колебания будут преждевременно прерываться из-за
столкновения нашего атома с другими, то мы должны ожидать сильного
расширения линии. Это совершенно очевидно для процесса испускания,
так как, на основании вступительных замечаний к § 14, существенное
значение при спектральном разложении имеют самые размеры отдель-
отдельных серий волн, а вовсе не то, по какой именно причине волны огра-
ограничены во времени. Если мы обозначаем через т среднее время, про-
протекающее между двумя столкновениями, то полуширина, обусловленная
одними лишь столкновениями, будет порядка rfo)?^—. Рассматри-
Рассматривая влияние столкновений на движение атомных электронов при одно-
одновременном действии переменного электрического поля, мы покажем, что
это же соотношение имеет место для поглощения. При этом окажется,
88 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
что* для этого движения в среднем также справедливо уравнение A5.1),
причем к у добавляется член
*«4-' A5-6)
где т означает среднее время между столкновениями. Таким образом-
при одновременном действии обоих факторов, обусловливающих зату-
затухание, можно характеризовать усредненное движение электрона при по-
помощи коэфициента затухания
При доказательстве будем исходить из общего интеграла уравне-
уравнения A5), который, принимая во внимание A5.2), напишем в виде:
?' . О5-7)
где А и В — постоянные интегрирования. При этом г0 связано с ком-
комплексным вектором амплитуды световой волны Ео соотношением
го =
Пусть атом испытал последнее столкновение в момент времени tt.
Мы могли бы определить постоянные А и В, если бы нам были из-
известны значения гиг непосредственно после столкновения. Однако мы
не знаем этих величин для каждого отдельного атома. Если мы рас-
рассмотрим большое число таких осцилляторов, которые вое испытали
столкновения в один и тот же момент *1э то для них все направления
радиуса-вектора и скорости непосредственно после момента t{ будут
равновероятны. Таким образом гиг для всех этих осцилляторов
в момент tx в среднем 6yziyT равны нулю. Отсюда, согласно A5.7), по-
получаются уравнения для определения постоянных интегрирования:
/* *' l^) е~ T * = Q,
-+)^
Если подставить в A5.7) вычисленные отсюда значения А и В, то
введя время & = ?—tu прошедшее после последнего столкновения, мы
получим:
Шо + Ш—JL -
1 я- -е
•о-»+ 4
4 -
ВЛИЯНИЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ 89
Если т есть среднее время от столкновения до столкновения, а N—
общее число осцилляторов, находящихся в рассматриваемом объеме
to
представляет число тех осцилляторов, которые испытали последнее
столкновение в промежутке времени, заключающемся между & и9-|"Л
Поэтому средний вклад отдельного осциллятора в результирующую
элонгацию равен
оо
f T^. A5.9)
0=0
оо
f
00
Интегрирование может быть строго выполнено и дает
7^=тогеш A5.10)
где для краткости введено обозначение
•г-(-¦?)•
г о
Опуская, как и прежде, члены, содержащие у2, и принимая во внима-
внимание A5.8), мы получаем
Мы видим, что первоначальный резонансный знаменатель, входящий
в A5.8), исчезает, а на его месте появляется новый резонансный зна-
знаменатель, отличающийся от предыдущего только тем, что вместо по-
постоянной у теперь стоит постоянная сумма y + g", обусловливающая
затухание вследствие излучения и столкновений, причем g определяется
равенством A5.6). Таким образом выставленное выше положение
доказано.
§ 16. Влияние постоянного магнитного поля на движение
электрона в атоме. Влияние внешнего магнитного поля на движение
одного или нескольких электронов в атоме дает основание для объ-
объяснения эффекта Зеемана и диамагнетизма, Оба явления
подчиняются одному общему закону, который был открыт Л ар мором;
он будет выведен в дальнейшем. Предварительно же мы разберем
частный случай электрона, упруго привязанного к положению равнове-
равновесия. Рассмотрим сперва круговую орбиту. Пусть упругая сила притя-
притяжения, направленная к центру орбиты, равна — kr. Тогда частота <о0
обращения по кругу может быть выведена на основании равенства силы
притяжения и центробежной силы:
= 0; «о —± }/-?-. A6.1)
90 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
Если перпендикулярно к плоскости орбиты приложено еще и магнит-
магнитное поле Н, то появляется дополнительная сила
-f (vXH).
В нашем случае направление вектора v X Н совпадает с г; при этом
он равен га>//, если мы будем считать ш положительным при обращении
электрона вокруг направления поля по часовой стрелке. При наличии
магнитного поля мы таким образом получаем для частоты обращения о
уравнение
~*^^ или, если ввести сокращенное обозначение
Рис. 23. Схема элементар- то
ной теории эффекта
Зеемана. — о>о2 -f- <о2 — 2 со^ш = 0.
Пусть магнитное поле так слабо, что со? исчезающе мало по сравне-
сравнению с а>0 (мы увидим ниже, что это условие выполняется в атоме даже
для самых сильных технически достижимых полей). Тогда два решения
полученного выше квадратного уравнения для ш будут:
1 О6-3)
Таким образом, частота обращения электрона, вращающегося на-
направо, увеличивается на оо?, а частота электрона, вращающегося налево,
уменьшается на ту же величину. Если, следовательно, A6.1) предста-
представляет одно из возможных движений без магнитного поля Н, то A6.3)
представляет возможное движение в присутствии поля. Однако, отсюда
вовсе еще не явствует, что уравнение A6.1) при включении поля Н пере-
переходит именно в A6.3).
Чтобы выяснить этот вопрос, мы должны принять во внимание
следующее обстоятельство: мы знаем вообще, что сила, с которою маг-
магнитное поле действует на электрон, всегда перпендикулярна к траекто-
траектории электрона. Магнитное поле не может произвести работу над элек-
электроном, а потому не может изменить и его кинетической энергии. На
самом же деле кинетическая энергия, например, для движения о>2, больше
кинетической энергии исходного движения, причем разность составляет:
•%- г* («о + J f 2
Как может возникнуть это приращение энергии? Надо принять во вни-
внимание, что во время включения магнитного поля, согласно
уравнению индукции
rot Е=~4- Н,
ВЛИЯНИЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ 91
должно существовать электрическое поле, которое способно производить
2
работу; работа, производимая полем Е над электроном, равна ГёЕ dr.
Втечени
работу
1
Втечение одного периода, т. е. за время т = —, поле Е производит
ю0
ф еЕ dx = е I (rot E)ndS = e (rot E)nnr2,
а в секунду — одну т-ую часть этой величины, а именно: (rot E)^^. Таким
образом работа, производимая в 1 секунду над вращающимся направо
электроном, будет
Следовательно, полная работа, произведенная при увеличении поля от
О до //, равна
„ еН
тг2
Согласно определению <mL из A6.2) это как раз и есть найденное при-
приращение энергии тг2ш0<о?.
При этом выводе предполагается, что индуцируемое поле приблизи-
приблизительно постоянно втечение одного оборота. Это, вообще, имеет место
только тогда, когда поле возрастает так медленно, что за это время
электрон совершает много оборотов. Только в этом случае движение
A6.1) действительно переходит в A6.3). Если же, наоборот, это время
мало по сравнению с временем обращения, то должны получиться совер-
совершенно другие результаты.
Оба частных случая круговой орбиты с вращением направо и на-
налево, приведенные в A6.3), могут быть сведены к одному закону: влия-
влияние медленно включаемого магнитного поля Н на движение электрона
состоит в том, что после включения Н движение электрона по отноше-
отношению к координатной системе, вращающейся с угловой частотой coi,
остается таким же, каким движение электрона было до включения по
отношению к неподвижной системе координат.
Убедимся теперь еще в том, что, рассматривая две круговые орбиты,
мы в действительности получили результат, годный для самого общего
случая упруго связанного электрона. Для этого мы рассмотрим уравне-
уравнение движения электрона, упруго привязанного к положению равновесия,
в том случае, когда, кроме упругой связи, действует еще магнитное
пбле Н вдоль оси г. Тогда в уравнениях движения, кроме упругой силы,
появится еще сила Лорентца:
92 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
или в развернутом виде:
J ' тс
z-{-<q02z — 0.
Умножая второе уравнение на мнимую единицу / и складывая его
с первым, получим (вводя комплексную величину С = лг-{-/у):
С + оH2С = —r^C= + 2fofcd. A6.4а)
Общий интеграл этого уравнения будет:
С = Лг*(ш°+и) О t -J- Be1 (-^o+w^ *. A6.5)
Если этот результат написать в виде
то можно непосредственно убедиться в правильности высказанного выше
положения: колебание вдоль магнитного поля вообще не меняется; в тоже
время колебания в плоскости, нормальной к направлению поля, отли-
отличаются от колебаний при //=0 множителем еыы. Но этот множитель
означает поворот координатной системы на угол <s>it Таким обра-
образом на начальное движение налагается при включении
поля равномерное вращение вокруг направления поля
с частотой обращения о>?.
Поэтому мы ожидаем, что спектральное разложение света,
испускаемого таким электроном, даст, как следствие влияния магнит-
магнитного поля, расщепление простой первоначальной линии с часто*
той <о0 на три линии, частоты которых будут
Это расщепление линий
а
было впервые наблюдено Зееманом (вначале, впрочем, лишь каче-
качественно и без полного разделения отдельных кощюнент) и тотчас же
объяснено описанным выше образом Г. А. Лорентцом.
На основании нашего анализа движений в магнитном поле мы мо-
можем сделать подробные выводы о поляризации трех зеемановских ком-
компонент. Несдвинутому колебанию соответствует определенная линей-
линейная поляризация (электрический вектор параллелен
направлению магнитного поля), а каждой из двух сдвинутых
компонент — волна, поляризованная по кругу, причем в одной
из них вращение электрического вектора происходит вправо, а в другой —
влево, в плоскости, нормальной к направлению поля. Поэтому, наблюдая
свет, излучаемый атомом по направлению силовых линий
ВЛИЯНИЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ 93
магнитного гголя, мы увидим две линии, отстоящие на ——друг от
друга; из них одна поляризована по кругу направо, другая налево. Несдйи-
нутая компонента при таком наблюдении (продольный эффект Зе-
емана) будет отсутствовать, так как колеблющийся диполь не испускает
света в направлении сообственных колебаний, Наблюцая же перпенди-
перпендикулярно к направлению поля (поперечный эффектЗеемана),
мы получим несдвинутую линию, поляризованную так, что электрический
вектор параллелен полю, а слева и справа от нее на расстоянии -?
две линии, поляризованные так, что электрический вектор перпендику-
перпендикулярен к полю. Заметим, однако, что рассмотренное расщепление в только
что описанной форме (так называемый „нормальный эффект Зеемана")
имеет место только в исключительных случаях. Большинство линий дают
значительно более сложную картину расщепления — аномальный
Эффект Зеемана, удовлетворительное объяснение которого удалось только
при помощи квантовой теории, с привлечением гипотезы о собственном
вращении электрона (гипотеза об электронном „спине").
Дадим теперь теореме Лармора более общее выражение, а затем и
докажем ее. Пусть дано электростатическое поле, для которого ось z
является осью симметрии; в таком поле потенциал <р зависит от расстоя-
расстояния от оси z и от значения самой координаты z.
? = ?(*, У*2+-У*).
В этом поле движется п электронов, так что каждый электрон нахо-
находится под влиянием аксиального поля и поля, производимого всеми осталь-
остальными электронами. Если г^ — расстояние от /-того до &-того элек-
электрона, то уравнения движения получаются из потенциальной функции
, уи zlf . . .х„, у„, г») =
i ik
дФ \
mx = — e -<—,
k
дФ
=1, 2, 3 . . . n). A6.7).
Допустим, что мы решили эти уравнения, т. е. определили функции
хк = xk @, Ун =Ук @, гк = zk {t\ A6.7a)
которые, будучи подставлены в A6.7), превратят эти Зп уравнений в
тождества относительно t\ x и у мы можем и здесь соединить в одну
комплексную функцию от времени:
С* = xk + iyh = С* (9, гк = zk @- A6.7b)
Теперь рассмотрим движение системы, которая получается из A6.7) при
наложении постоянного магнитною поля, параллельного оси z. Новое
Движение мы будем описывать при помощи штрихованных величин, на-
94 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
пример х±' >»/, z{ для координат первого электрона и т. д. Потен-
Потенциальную функцию Ф' (хг' . . . znr) мы получим из Ф (хг . . . zn)
путем простого проставления штрихов у всех переменных: Ф' (#/ ... znf) =
= ф (лг/ . . . znf). Магнитное поле вызывает дополнительную силу
— (Vft X Н), так что мы получаем новые уравнения движения:
с
дФ' | е
dxfj ~* с
д& е_
дУк' с
,___ дФ^
A6.8)
Если снова обозначить ?*' = **' + iy/, то теорема Лар-
мора гласит, что решениями уравнения A6.8) будут:
С*'= С* (<)«*¦*',
zk' = zk(t)9 A6.8а)
где С* @ и Zk(t) представляют, согласно A6.7Ь), решения
уравнений A6.7), а а>? есть „частота ларморовой пре-
прецессии":
еН
Можно сказать, что единственное влияние магнитного поля на дви-
движение заключается в том, что вся система электронов (без изменения
собственного внутреннего движения) начинает вращаться вокруг напра-
направления поля с частотой о>?.
Итак, мы должны показать, что A6.8а) действительно удовлетво-
удовлетворяет уравнению A6.8). Для этого составим из двух первых уравнений
A6.8) уравнение для комплексной функции С*':
Легко видеть, что
с*' = (ik+2 i»Lik—«i2
Принимая это во внимание и умножая A6.9) на e~i<oi-*, получим:
О6-10)
Решающим в нашем доказательстве является то, что потенциал Ф
не есть произвольная функция от хг . . . zn а содержит переменные
Xi и yi только в комбинациях.
ВЛИЯНИЕ ПОСТОЯННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ 95
Как раз эти выражения при подстановке A6.8а) вообще не меняются.
Вследствие особого характера функции Ф, равенство Ф' (хх\ . . . zn') =
=5 ф (хг. * . zn) является тождеством по отношению к хх . . . zn, если
вместо хг'. . . zn' подставить их значения, определяемые соотношениями
A6.8а). Комплексная сила
дФ' i . дФ*
действующая на #-тый электрон штрихованной системы, отличается от
соответствующей силы в нештрихованной системе только поворотом на
угол <nLt Следовательно,
<^7 "^ l W = \dx~k ""*" l Wk
Положив теперь <dl = — ^—, мы уничтожим коэфициент при tk в A6.10).
Следовательно, величины A6.8а) будут строгими решениями A6.8),
если С* удовлетворяет уравнению
:САа. A6.12)
Если Н так мало, что мы можем пренебречь членом п&^ь^ (центробеж-
(центробежная сила вращения Лармора), квадратным относительно ш^, по сравнению
с линейным членом iik2mu>D то A6.12) действительно переходит в A6.7).
Тем самым теорема Лармора доказана.
Необходимо узнать, в пределах каких значений поля допустимо сде-
сделанное нами пренебрежение. Для этого, как было указано, член, ква-
квадратный относительно а>?, должен быть мал По сравнению с линейным
членом, т. е. должно быть удовлетворено условие
A6.13)
так как приближенно |С*|~<*>о|?*1- Подставляя значение v>L из A6.2),
вместо последнего условия получим
Следовательно, если положить
ш0 = 1015 сек^1, — = 1,76 • 107 эл.^магн. ед.,
тс
то теорема Лармора будет справедлива при Н<0^№8 эрстед. Итак при
частоте обращения электрона порядка частоты видимого света закон
Лармора нарушается только в полях порядка ста миллионов эрстед!
Сообразим еще, действительно ли при включении магнитного поля Н
Движение по формуле A6.7а) переходит в движение по формуле A6.8а).
Это имеет место лишь при столь медленном нарастании поля, что и во
время включения его справедливы уравнения типа A6.8а), причем,
однако, во время включения поля а>^ само является функцией времени,
96 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
так что к правой части уравнения A6.10) прибавляется еще член, учи-
учитывающий увеличение mL со временем. Но одновременно в правых ча-
частях уравнений A6.8) и A6.10) появляется новая сила, — вихревое
электрическое поле, связанное с изменением во времени магнит-
магнитного поля Н,
Для того чтобы учесть все это, предположим, что Н является произ-
произвольной функцией времени. Тогда мы должны дополнить наши уравне-
уравнения A6.9) выражением вихревого электрического поля, приложенного
к месту нахождения &-той частицы, т. е. должны решить уравнение
Относительно дополнительного поля Е мы знаем, что
divE = 0 и rotE = i-^J. A6.15)
Мы утверждаем, обобщая формулы A6,8а), что уравнение A6.14) удо-
удовлетворяется, если положить
V(O=Cft(O^(/), A6.16)
где Сй имеет прежнее значение, а фаза прецессионного движения удо-
удовлетворяет уравнению
Если это значение С/ подставить в A6.14) и пренебречь всеми членами,
квадратными относительно //, то получатся, по сравнению с уравнением
для постоянного магнитного поля, следующие новые члены: в левой
части — член, содержащий вторую производную от ср, а справа — член,
содержащий выражение
Таким образом, для того, чтобы A6.16) было решением A6.14), надо,
чтобы существовало равенство
Но, согласно A6.16а) и A6.15), мы имеем
?-&(«>1Е)„
таким образом, мы йриходим к равенству
f^(rotE), = ?^ + ^. A6.17)
Очевидно, не может быть и речи о том, чтобы это уравнение выполня-
выполнялось в любой момент времени. Это видно хотя бы из того, что rotE
определяется только через Н, а Е зависит от того, в какой точке соз-
создаваемого однородного поля находится атом. (Легко убедиться, что, на-
например, для того частного случая, когда Е* = ау и Еу = — ах> уравне.
ИНДУЦИРОВАННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 97
ние A6.17) было бы строго выполнено. Такое предположение было бы
справедливо, если бы атом находился точно в центре магнитного поля
с круговым сечением). Поэтому мы ограничимся доказательством того,
что наше уравнение выполняется в среднем за время одного оборота.
Для этого умножим A6.17) на dX** — dx — idy. Заменив Cft попросту
через ?, получим:
^-(rotЕ),{4"d^ +Я + Hydx }
= Exdx + Eydy -f i (Ey dx—Ex dy).
Проинтегрируем это уравнение по замкнутой орбите рассматривав-
1 //и
мого электрона. При этом, конечно, будем считать rotE — — по-
постоянным. Тогда мнимые выражения в обеих частях уравнения будут
равны нулю, так как в левой части х2-\-у2 принимает снова первона-
первоначальное значение, в правой же — вследствие того, что div Е = 0. Веще-
Вещественные значения в обеих частях уравнения представляют произведение
(rotE)^ на площадь проекции орбиты электрона на плоскость (х9у).
Следовательно, в среднем по всей орбите равенство A6.16) действи-
действительно оказывается решением уравнения A6.14).
§ 17. Индуцированный магнитный момент. По теореме Лармора,
доказанной в предыдущем параграфе, электроны атома при медленном
включении магнитного поля начинают вращаться вокруг направления
поля. Так как заряды всех электронов обладают одинаковым знаком, то
это вращательное движение можно в отношении его действия на окру-
окружающую среду сравнить с замкнутым круговым током, окружающим
центр атома. Такой ток вызывает в окружающем пространстве магнит-
магнитное поле, которое можно описать как производимое находящимся в атоме
магнитным диполем. Таким образом, если даже атом до включения поля
не обладает магнитным моментом, то в магнитном поле, вследствие лар-
моровой прецессии, он приобретает магнитный момент, направленный
против поля. Этот индуцированный полем магнитный момент обусло-
обусловливает собой так называемый диамагнетизм, который мы рассмо-
рассмотрим в этом параграфе подробнее.
Для этого вычислим сначала магнитный момент атома с заданным
движением электронов. Прежде всего решим задачу для случая тока
с плотностью j, непрерывно распределенной во всем объеме атома, и
затем перейдем от выведенной таким образом формулы к предельному
случаю точечных электронов.
Если плотность тока j задана во всех точках внутри атома, то маг-
магнитное поле, вызываемое этим током, описывается посредством вектор-
векторного потенциала
±fff№? A7Л)
С другой стороны, магнитное поле, вызываемое отдельным магнитным
Диполем с моментом т, может быть описано при помощи векторного
потенциала следующего вида:
]-. A7.2)
Бекдео 5810 24
98 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
В частности, если магнит находится в начале координат, и его магнитный
момент т направлен по оси х-ов, то
л л д 1 . д 1
А г = U, Л«, = 1Я -г , А? = —- fit -= .
* у дг г ' г ду г
Отсюда получаются известные выражения для составляющих поля диполя:
дА2 дАу Зтх2 т
дАг Зтху
дАу Зтхг
Н* = -дх~ = -*--
Для того, чтобы вычислить магнитный момент атома на основании A7.1),
мы должны показать, что это выражение на больших расстояниях от
атома принимает вид A7.2). Тогда множитель, стоящий перед gradfl —,
можно будет назвать магнитным моментом атома. Если s есть расстоя-
расстояние точки внутри атома (с координатами ?, tj, С) от начала координат,
то для больших расстояний г можно написать:
где г0—расстояние от начала координат до точки, в которой опреде-
определяется поле. Тогда, на основании A7.1),
Мы предполагаем, что внутри атома токи стационарны. Тогда первый
интеграл в среднем по времени будет равен нулю:
Второй интеграл мы предварительно преобразуем на основании то-
тождества
На основании формулы
А X (В X С) = В(А-С) — С(А-В),
второе слагаемое правой части равно
ИНДУЦИРОВАННЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 99
Покажем, что вследствие стационарности токов первое слагаемое при
интегрировании уничтожается. Например, лг-овую компоненту первого
слагаемого можно написать, опуская множитель -~~, в виде
Это выражение надо интегрировать по всему объему атома.
/ I hdi\d? представляет полный ток через плоскость, нормальную
к оси %. Так как среднее (во времени) значение этого тока равно
нулю, то
" ^х = 0, A7.3)
где
= di.
Точно так же, определяя полный ток, проходящий через плоскость,
Которая делит пополам угол, образуемый осями ? и ?), мы получим:
. 07.3а)
Следовательно, останется только выражение:
I-. A7.4)
Сравнивая это выражение с уравнением A7.2), мы видим, что магнит-
магнитный момент нашей системы квази-стационарных токов определяется как
. A7.5)
Для иллюстрации применим это уравнение к случаю линейного кругового
Тока /, обтекающего площадь 5. Если df# — поперечное сечение и Ы—элемент
длины проводника, то
Этот интеграл является вектором, абсолютное значение которого равно удво-
удвоенной площади 5, а направление —- нормально к S и сооответствует ходу пра-
правого винта. Компонента m в заданном направлении равна умноженной на 1/с
проекции 5 на плоскость, нормальную к этому направлению.
Если мы будем рассматривать не электрический ток с непрерывной
плотностью j, а квазиточечные заряды et> расположенные в точках s?
и движущиеся со скоростями \if то интеграл A7.5) распадется на сумму
по отдельным точечным зарядам. Для одного электрона мы получим
величину
gsXv
2с >
100 упруго связанный электрон
а для всей системы
где горизонтальная черта обозначает усреднение во времени за период
обращения электрона.
Последнее уравнение дает магнитный момент системы электронов,
движущихся по квазистационарным орбитам. Посмотрим теперь, как
меняется этот момент вследствие прецессии Лармора при включе-
включении магнитного поля. Пусть векторы уД v20,.. . представляют
скорости отдельных электронов до включения магнитного поля. При
включении Н к каждому v° прибавляется вектор oL X s, причем по тео-
теореме Лармора,
При этом через oL обозначен вектор ларморовой прецессии, а через о^,
как и в A6.2), скалярная проекция oL на Н. Следовательно, для скоро-
скоростей отдельных электронов при наличии магнитного поля получаются
формулы:
vi = ^i° + oL X slf v2 ==» v2°+ oL X s2, .. .
Подставляя эти значения в уравнение A7.6) для полного момента, мы
получаем:
ш = iS */*/X(v/>4-0^)= m° + JL-2 et [s, X К X s,)],
i i
где m° представляет первоначальный момент атома. Для составляющей,
направленной вдоль поля, которое параллельно оси ?-ов, получаем:
Подставив сюда значение ларморовой прецессии из A6.2), мы получим
(если все et = e):
В случае сферически симметричного распределения электронов, в сред-
среднем по времени можно писать
следовательно,
A7-8а>
Составляющая момента, перпендикулярная к полю, остается без измене-
изменения. Например, для лг-овой компоненты мы получаем:
МАГНИТНО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 101
и в среднем
тх = тх°.
Эти формулы для дипольного момента в магнитном поле справедливы
я для атомов без сферической симметрии, если только атомы ориенти-
ориентированы безпорядочным образом.
Если атомы не обладают постоянным магнитным моментом т°, то
вещество, содержащее N* атомов в 1 cmz, приобретает при включении
Поля магнитный момент на 1 см*9 равный
Коэфициент при Н называют отнесенной к единице объема диамаг-
диамагнитной восприимчивостью. Ее величина, как показывает
эта формула, весьма просто связана со средним значе.
нием квадрата расстояния электрона от центра атома-
Если Z означает число электронов в атоме, а а2 — среднее значение
квадратов их расстояний от центра, то
Поэтому диамагнитная восприимчивость равна
«e-*W. A7.9)
Ьтс*
§ 18. Магнитно:механические эффекты. Момент количества дви-
движения и намагничение. Мы рассмотрим здесь два явления, связанные
с одной стороны, с именами Эйнштейна и де-Гааса (de Haas), a
с другой — с именем Барнетта. Это — эффект вращения вслед-
вследствие намагничивания и намагничивание вследствие
вращения.
Исходной точкой этих опытов было представление Ампера о при-
природе магнетизма, основанное на гипотезе о „молекулярных токаxtt.
Под последними Ампер понимал не встречающие сопротивления круго-
*ые токи, оси которых до включения внешнего магнитного поля рас-
расположены совершенно беспорядочно, а после включения поля постепенно
Принимают направление поля. Природа этих круговых токов, о которых
Ампер не имел более детальных представлений, становится понятной с точки
Зрений теории атома Бора, согласно которой вокруг положительно за-
заряженного ядра обращаются отрицательно заряженные электроны. Таким
образом эти электроны образуют круговые токи, сила которых опре-
определяется соотношением / = ev, где е — заряд электрона, a v — число
оборотов в секунду. Из § 17 известно, что на большом расстоянии
действие кругового тока силы /, обтекающего площадь 5, равносильно
Действию постоянного магнита с магнитным моментом Af = S — • Следо-
Следовательно, орбитальному электрону соответствует магнитный момент
M*=*-vS, A8.1)
с
102 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
Движущийся вокруг ядра электрон обладает массой т, а потому и
(постоянным) моментом количества движения. Выражение для момента
количества движения в полярных координатах будет J=mr2y. Но г2<р
представляет удвоенную площадь, описываемую при вращении радиусом-
вектором в единицу времени. Согласно закону площадей, в случае дви-
движения под влиянием центральных сил эта величина остается постоянной.
Если Т означает время обращения, то
dt — Т — VC>
и, следовательно,
J=2mvS. A8.2)
Сопоставляя A8,1) сA8»2), мы видим, что отношение
зависит только от универсальных постоянных е, т,
с, но не зависит от частот обращения и от площадей
орбит (Вследствие отрицательного знака заряда электрона момент
количества движения и магнитный момент направлены в противополож-
противоположные стороны). Отношение A8.3) применимо также к системе, состоя-
состоящей из многих электронов, если М и J представляют векторные суммы
отдельных моментов. В самом деле, согласно A7.6), для системы элек-
электронов имеет место равенство
с другой стороны,
2 */(*,• X
Значит, если все ei = e и все т~т, то мы снова получим A8.3).
Из этого соотношения между результирующим магнитным моментом
и результирующим моментом количества движения вытекают важные фи-
физические следствия. Если изменить намагничение М куска железа на
величину ДМ, то результирующий момент орбитальных электронов, ко-
который мы обозначим Jm, изменится на ДУЯ1==-~рДМ. Но полный мо-
момент количества движения куска железа должен остаться постоян-
постоянным; следовательно, наш кусок приобретает в виде „отдачи" меха-
механический момент количества движения У= — &Jm- Другими словами,
изменение намагничения сказывается как мгновенное появление момента
силы &, изменяющего механический момент количества движения со-
согласно уравнению — = Ь. При этом & связано с А М соотношением
д / =
е J
МАГНИТНО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
103
При осуществлении этого опыта тонкий железный стержень (с воз-
возможно меньшим моментом инерции!) подвешивается одним концом на
закручивающейся нити. Пусть, для примера, стержень вначале намагни-
намагничен так, что его северный полюс расположен внизу. При перемагничи-
вании стержень начинает вращаться. Наибольшая достигаемая угловая
скорость определяется из уравнения
вш = — А/От = — — ДМ
т е
(О — момент инерции). Наблюдаемое при этом максимальное отклоне-
отклонение <ргаах связано с начальной скоростью соотношением
f
\1
'I
/1
I
I
/
^
/
f
¦M
Г-У \
t '
где D — модуль кручения нити. Амплитуда колебаний, как в этом легко
убедиться, подставляя практически возможные значения постоянных, в
общем очень мала. Поэтому Эйнштейн и де-Гаас, которым впер-
впервые удалось доказать
эффект вращения при
намагничивании, при-
прибегли к методу ре-
резонанса. Стержень
помещался внутри ин-
индукционной катушки,
через которую они
пропускали перемен-
переменный ток, вызывающий
периодическое перема-
гничивание стержня. Рис. 24. К опыту Эйнштейна и де-Гааса. Зависи-
Если частота перемен- мость тока / в катушке, магнитногр момента М
ного тока приблизи- и момента силы & (пропорционального ^)
тельно или точно сов- ^ at'
падает с частотой соб- ог вРемени-
ственных колебаний за-
закручиваемой системы, то амплитуда колебаний, вследствие резонанса,
сильно увеличивается и достигает значений, доступных наблюдению.
Рассмотрим это явление подробнее. Магнитное поле Н, вызываю-
вызывающее перемагничивание стержня, изменяется синхронно с переменным
током частоты <о, протекающим через катушку. Как известно, намагни-
намагничение ферромагнитных тел не пропорционально внешнему полю; после
крутого подъема оно скоро достигает насыщения. Поэтому при доста-
достаточно большой амплитуде тока в катушке намагничение М возрастает
в течение весьма небольшой части периода от минимального о макси-
максимального значения. На рис. 24 представлено изменение тока в катушке
со временем, а значит и изменение Н; далее, кривая намагничения и,
наконец, вращательный момент, вычисленный по формуле & = ~~~Ж-
При этом не принят во внимание обусловленный гистерезисом сдвиг
фаз между кривыми i и М.
104 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
Таким образом, вращательный момент представляет периодическую,
а при соответствующем выборе начала счета времени также и четную
функцию от времени, которую, следовательно, можно разложить в ряд
Фурье по одним лишь косинусам, т. е.
со
Ь = 2 ап cos о)nty
где
т
2 Г
При этом постоянный член отсутствует, так как интеграл вращатель-
вращательного момента по времени, распространенный на целый период, равен
нулю. Так как ш приблизительно совпадает с собственной частотой <о0
колеблющейся системы, то резонансное действие первого члена разложе-
разложения играет гораздо большую роль, чем действие остальных членов, ко-
которые по этому вообще могут быть опущены для упрощения расчета.
Следовательно, все определяется коэфициентом av Но Ъ отлично от
нуля только в узком интервале, в котором косинус близок к своему
экстремальному значению it: 1 и поэтому может практически считаться
постоянным. При интегрировании по целому периоду мы дважды инте-
интегрируем вдоль зубца кривой &. Каждый такой зубец дает:
2тс А ., 4тс ..
зубец
откуда
4 Г а ,, 16тс ял
а1 = Т J bdt= 7>~ЖтаХ-
зубец
Подставим вычисленное таким путем выражение & = ах cos o> t в урав-
уравнение движения колеблющейся системы
которое, после деления его на 6, примет вид:
? Л" Р ? "Ь ^О2 <? = &<*> COS CO t,
R D
где р = -g декремент затухания, о02 = -^ частота собственных
колебаний системы, а Ъу согласно вышесказанному, равно тс вда*
Нетрудно убедиться, что решением этого уравнения будет:
Ь(л COS (<at — х)
9
где сдвиг фаз х определяется из соотношения
МАГНИТНО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 105
Резонанс имеет место при а> = <й0. В этом случае амплитуда колебаний
равна oim = -, т. е. обратно пропорциональна декременту затухания.
Непосредственное определение этих постоянных довольно затрудни-
затруднительно и не дает большой точности. Эйнштейн и де-Гаас избежали этого
прямого пути тем, что сняли полную резонансную кривую, т. е. зависи-
зависимость амплитуды колебаний от разности частот A<d = <d — а>0; при этом
получились кривые типа гауссовской кривой ошибок. По этим кривым
можно для каждого значения Дш сравнительно точно определить соот-
соответствующее значение амплитуды колебаний а. По значениям же послед-
последних легко вычислить р по формуле
Измерив амплитуды колебаний в высшей точке резонансной кривой
и для определенного До>, можно на основании вышеприведенных формул
проверить правильность теоретически найденной зависимости A8.3)
между механическим и магнитным моментом. Первые опыты Эйнштейна
и де-Гааса прежде всего показали, что такой эффект действительно
существует. Однако, точность измерений была недостаточна для каких-
либо количественных заключений, хотя результаты говорили как будто
в пользу приведенной теории. Эти первые опыты вскоре были повторены
в более точной обстановке эксперимента Беком и Арвидсоном,
Клаасеном и др. При этом выяснилось, что измеренный механический
момент примерно в два раза меньше, чем этого требовала теория,
так что формулу A8.3) следовало бы приближенно заменить формулой
^^/я? И8 4Ъ
Me9 '
К этому расхождению между теорией и экспериментом мы еще вер-
вернемся позднее.
Рассмотрим здесь еще второй метод, которым с успехом воспользо-
воспользовался Барнетт для проверки уравнения A8.3), и который также при-
приводит к A8.4). Задача опытов Барнетта заключалась в том, чтобы уста-
установить, что бывшее вначале ненамагниченным ферромагнитное тело
намагничивается при вращении так, как оно намагничивалось бы при
включении внешнего поля
Я=?^©, A8.5)
направление которого совпадает с осью вращения. Опыты производятся
таким образом, что кусок железа сначала приводят в быстрое вращение,
а затем помещают в магнитное поле, напряжение которого определяется
из A8.5), и при этом сравнивают каким-либо методом, — например, при
помощи магнетометра, — возникающее в этих двух случаях намагни-
намагничение.
Теория этого опыта состоит в следующем. Мы попрежнему исходим
из представления об элементарных магнитах, которые мы считаем не-
небольшими круговыми токами, происходящими вследствие быстрого
106 УПРУГО СВЯЗАННЫЙ ЭЛЕКТРОН
вращения электронов вокруг некоторых определенных центров в металле.
При этом нам ничего не надо предполагать относительно силы, дей-
действующей на электроны, кроме того, что это электрическая сила, зави-
зависящая только от расстояния электронов до этих центров.
Задача, очевидно, состоит в решении уравнений движения электро-
электронов в обоих случаях, т. е. в присутствии однородного магнитного поля
Н (направленного по оси z) и при вращении металла (вокруг оси г)
с постоянной угловой скоростью. Из представлений, основанных на тео-
теореме Лармора (§ 16), вытекает следующее: если одновременно с вклю-
включением поля привести металл во вращение вокруг направления Н
с ларморовой частотой—j— Я, то электроны будут двигаться отно-
относительно вращающегося в поле металла так же, как они двигались в не-
неподвижном металле при отсутствии поля. Отсюда следует, что вращение
с частотой.
влияет на движение электронов в металле так же, как магнитное поле Н.
Следовательно, и намагничение, вызываемое вращением, должно быть
равно намагничению, производимому полем.
Не мешает, быть может, вкратце указать на то, каким образом в
этот вывод эффекта Барнетта входит соотношение A8.3), связывающее
магнитный и механический моменты отдельного кругового тока. Это
соотношение, конечно, уже содержится в модельных представлениях о
движущемся по орбите электроне, из которых и получено на основании
законов электродинамики соотношение A8.3).
Уравнение A8.5) можно вывести еще другим способом, показываю-
показывающим его непосредственную связь с соотношением A8.3). Рассмотрим не-
некоторый элементарный магнит (круговой ток), который с Точки зрения
его механических свойств можно рассматривать как волчок с моментом
количества движения J, направленным по его оси. Если мы будем вра-
вращать металл, то, вследствие устойчивости направления гироскопи-
гироскопической оси волчка, J не будет принимать участия в этом движении,
так как его положение неподвижно относительно окружающего про-
пространства, а не относительно металла. Для пересчета изменения вектора
во времени от неподвижной системы отчета к движущейся существует
уравнение
d d*
где -7т представляет изменение в неподвижной системе, а — — измене-
изменение в системе, движущейся вместе с металлом; w — вектор угловой
скорости, направление которого совпадает с осью вращения, а величина
равна угловой скорости со. Согласно закону моментов, изменение момента
dJ ^ ^ dS
количества движения -^ зависит, от момента сил D, а именно D = -т, .
В нашем случае, когда металл приобрел полную угловую скорость,
внешнего момента сил уже нет. Следовательно, D = 0. Поэтому
МАГНИТНО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ 107
т, е. наблюдатель, движущийся вместе с металлом, замечает по отноше-
отношению к своей системе отсчета такое изменение момента количества дви-
движения круговых токов, как если бы оно вызывалось влиянием мо-
момента сил Dj = J X w.
С другой стороны, в магнитном поле Н на элементарный магнит с
магнитным моментом М действует момент сил
Если Di == D2, то
JXw = MXH. A8.7)
Это показывает, что магнитное поле сообщает элементарному магниту
такой же момент количества движения, какой ему сообщает вращение, —
с точки зрения наблюдателя, связанного с вращающейся системой. По-
Поэтому должны быть одинаковы и результирующие магнитные моменты.
Приведенное выше уравнение можно без труда разрешить относи-
относительно Н, если воспользоваться соотношением A8.3) между моментом
количества движения J и магнитным моментом М. Уравнение удовлетво-
удовлетворяется равенством
Н = —w, A8.5а)
которое полностью совпадает с уравнением A8,5). В этом выводе обна-
обнаруживается непосредственная связь между уравнениями A8,3) и A8.5).
Результаты опытов Эйнштейна — де-Гааса и Барнетта, как
было указано выше, качественно согласуются с теорией; однако, числен-
численный коэфициент отличается от выведенного в уравнении A8.3) и при-
принимает для различных веществ значения от 1 до 1,13. Теоретически
найденное значение 2 лежит далеко за пределами ошибок опыта.
Как же объяснить этот неожиданный результат?
Ответ на этот вопрос дали в 1925 году Юленбек (Uhlenbeck) ri
Гаудсмит (Goudsmit). Они высказали гипотезу, согласно которой элек-
электрон, кроме обращения по орбите вокруг ядра, что приводит к выве-
выведенному выше значению для механического и магнитного момента,
обладает еще собственным вращением вокруг оси, проходящей через его
центр тяжести. Исследования спектров и эффекта Зеемана показали, что
такая гипотеза приводит к полному согласию с опытом, если положить,
что электрон обладает механическим моментом количества движения
и связанным с ним магнитным моментом
где h — „постоянная Планка", численное значение которой равно
6,61 -Ю-27 ьрг. сек.
Свойства электронов, определяемые соотношениями A8.8) и A8.9),
обозначаются обычно английским словом „spin". Мы не будем подробно
постанавливаться на значительных успехах, достигнутых благодаря этой
108 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
гипотезе в спектроскопии, и особенно в объяснении аномального эффекта
Зеемана; все это читатель найдет в соответствующей литературе.
Укажем здесь только на то, что из уравнений A8.8) и A8.9) сле-
следует соотношение
Isтс
между спиновым моментом количества движения и маг-
магнитным спиновым моментом. Приблизительное совпадение этого
отношения с экспериментально найденным значением ^показывает,что
намагничение железа должно быть, главным образом,приписано ориен-
ориентировке моментов собственного вращения электронов,
а орбитальные моменты, обусловленные движением электронов вокруг
ядра играют лишь второстепенную роль. Это представление соответствует
современной точке зрения, согласно которой ферромагнетизм обуслов-
обусловлен исключительно электронным спином.
В. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
I. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ИЗ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
§ 19. Усреднение полей. В § 6 мы установили в качестве вполне
строгих основных уравнений электродинамики следующие:
roth= уеН-у
rote = — -i-h, divh = 0.
A9.1)
Непосредственное применение этих уравнений к описанию явлений
внутри материальной среды представляется почти безнадежным. Уже
внутри отдельного атома все величины, входящие в эти уравнения, пред-
представляют настолько сложные и быстро меняющиеся функции координат
и времени, что даже задав их детально, мы получили бы данные, совершенно
непригодные для практически выполнимого описания явлений. Но теория
электромагнитных явлений, созданная Максвеллом задолго до появления
электронной теории, дает гораздо более простой способ описания электро-
электромагнитных свойств материи, а именно, так называемые уравнения
Максвелла:
A9.2)
rotE-»— yB, divB =
Очевидно, что векторы, входящие в уравнения A9.2), имеют прин-
принципиально другой смысл, чем соответствующие им величины в уравне-
уравнениях A9.1). В практически однородных телах (например, ft изоляторе
УСРЕДНЕНИЕ ПОЛЕЙ 109
помещенном между пластинками конденсатора, или в прямолинейном
проводе, по которому течет ток) векторы уравнений Максвелла A9.2)
или вообще постоянны или же изменяются столь медленно,
что их можно непосредственно измерить. В противоположность величи-
величинам е и h уравнений A9.1), векторы уравнений Максвелла заметно из-
изменяются в пространстве только тогда, когда оно содержит очень боль-
большое число молекул, если только вообще речь идет о сплошных телах.
Изменение во времени величин, входящих в A9.1), имеет в общем
тот же характер, что и изменение в пространстве, например, когда мы
имеем дело с быстрыми, а быть может и с беспорядочными движениями
электронов. Напротив, быстрота изменения во времени величин входя-
входящих в уравнения A9.2) определяется, главным образом, быстротою из-
изменения условий опыта.
Поэтому было бы бессмысленно искать непосредственную связь
между величинами, входящими в уравнения A9.1) и A9.2). Связь между
ними можно искать только после пространственно-временного
„сглажив ания" уравнений A9.1). Это „сглаживание" должно
состоять в определении средних значений в таких интервалах простран-
пространства и времени, в которых исчезают нерегулярности, связанные с атом-
атомным строением материи и электричества, но все же сохраняются про-
пространственно-временные изменения, определяемые условиями опыта.
Если /(х9 у, z, f) представляет одну из весьма нерегулярно меняю-
меняющихся функций пространства и времени, входящих в уравнения A9.1),
то искомое среднее значение f(x, yy z, t) может быть описано следую-
следующим образом: если среднее значение должно быть определено в момент
времени t в точке х, yf z> то из этой точки, как из центра, мы описы-
описываем сферу радиуса а и выбираем, кроме того, определенный интервал
временит. Тогда пространственно-временное среднее зна-
значение / внутри сферы а в интервале от t — т до *-|~т
определяется выражением
7(х, у, z, 0 =
A9.3)
Мы написали эту формулу в явном виде с той целью, чтобы пока-
показать, что при заданных а и т нахождение среднего и диференцирование
по любому из 4-х аргументов х, у, z, t являются переместимыми опе-
операциями, т. е. что имеют место равенства
д 7_д/ д * df (\q a\
di' — di и di'—Tv ^Л)
причем эти формулы совершенно независимы от специального вы-
выбора величин а и т и являются математическими тождествами. Об этих
величинах можно сказать следующее: для того, чтобы усреднение по
формуле A9,3) имело физический смысл, очевидно, необходимо, чтобы
НО УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
его результат в определенных пределах не зависел от специального вы
бора величин а и т. Для этого, например, необходимо, чтобы сфера
радиуса а, с одной стороны, содержала весьма большое число атомов,
а с другой стороны, — была все же настолько мала, чтобы при переме-
перемещении на расстояние а не происходило никакого существенного измене-
изменения макроскопических величин Ей Н, входящих в уравнения A9.2). Воз-
Возможность выбора таких значений а и соответственных
значений т является особым допущением, которое мы
здесь вводим в теорию.
После этих предварительных замечаний произведем усреднение в урав-
уравнениях A9.1). Вследствие доказанной в A9.4) возможности переставлять
местами диференцирование и усреднение, последнее выразится в том,
что мы поставим черточки над всеми векторами:
- t _L л г _
rot h = —е -| pv> div e == 4-пгр,
rot"e== — ~h, divh=0.
с
A9.5)
Согласно сделанному нами допущению относительно величин а и т,
в усредненные уравнения A9.5) входят только „сглаженные" функции,
не зависящие от случайных неоднородностей атомной структуры, так
что возможно непосредственное сравнение с уравнениями Максвелла
A9.2), Задача следующих параграфов будет состоять в том, чтобы по-
показать, что уравнения A9.5) для усредненных величин электронной те-
теории идентичны с уравнениями Максвелла. Для обоих последних уравне»
ний это доказательство может быть приведено сейчас же. Плотность за-
заряда р и его скорость v вообще не входят в оба эти уравнения, и по-
поэтому последние переходят в соответствующие уравнения Максвелла,
если положить
ё = Е, h = B. A9.6)
Среднее значение вектора е равно вектору электри-
электрической напряженности Е в теории Максвелла, а сред-
среднее значение h равно вектору индукции В.
Подставляя эти соотношения в первые два уравнения A9.5), мы по-
получаем:
A9.7)
Эти уравнения сильно отличаются от соответствующих уравнений A9.2)
теории Максвелла. Вводя в эти уравнения векторы электрической и
магнитной поляризации Р и М (электрический и магнитный моменты
единицы объема), причем
Н = В —
ТОКИ ЙРОВОДИМОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИЙ 111
мы можем написать:
} A9.7а)
— divP).
Из сравнения формул A9.7) и A9.7а) мы видим, что можно говорить
о выводе уравнений Максвелла из электронной теории только в том
случае, если мы убедимся в том, что среднее значение pv плот-
плотности тока в электронной теории, полученное по формуле
A9.3), состоит из трех слагаемых:
p~v~=j-f P + crotM, A978)
и что, кроме того,
~P = PW — divP. A9.9)
Доказательство правильности уравнений A9,8) и A9.9) составляет
содержание двух следующих параграфов.
§ 20. Токи проводимости и поляризации. Для описания явлений
в материальных телах представим себе, что материальное тело состоит
из нейтральных атомов или молекул, заряженных атомов и молекул
(ионов) и псвободных" электронов. Простейший способ переноса элек-
электричества состоит в передвижении ионов или свободных электронов
между прочими частицами вещества. Этот процесс только тогда дает ток
проводимости, когда электрическое поле (или градиент концентра-
концентрации) создает некоторое преимущественное направление этого движения.
Цели в. 1 смъ тела находится, например,
пг ионов с зарядом ег и со скоростью vlf
п2 » » п е2 » » » ^2
и т. д., то мы можем тотчас же определить л:-овую компоненту тока
Проводимости; очевидно через элемент поверхности dS за время от t до
t-\-dt пройдут ионы первого сорта, находившиеся в момент времени t
й косом цилиндре с основанием dS и высотой vlndt; число таких ионов,
следовательно,равно n^dSv^dt. Если dS нормально к оси х, то через dS
за время dt пройдет в общей сложности количество электричества,
равное
dSdt(e1nivlx-\- e2ntfv2x-\-. • • )•
Полная плотность тока проводимости, следовательно, будет
h — Щ?\УХ + Нв^г + • • •
Если М=я1-(-я2 + ... есть полное число ионов и электронов в 1 смъ>
То мы можем представить \г в виде суммы по всем N частицам:
N
1=1
В этом и заключается наглядный смысл первого из слагаемых вели-
величины pv в уравнении A9.8). Те же ионы и электроны, если их заряды
112 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
взаимно не нейтрализуются, определяют входящую в уравнение A9.9)
плотность заряда
N
Рист. = « + +
Остальные два слагаемых в уравнении A9.8), именно Р и с rot M,
с первого взгляда могут показаться неожиданными, так как они вызы-
вызывают конечную плотность тока ev даже тогда, когда тело состоит только
из электрически нейтральных, в целом не заряженных атомов.
Рассмотрим сначала вектор поляризации Р. В теории Макс-
Максвелла вектор поляризации определяется как электрический диполь-
ный момент единицы объема. Он составляется из векторной
суммы дипольных моментов всех отдельных молекул. Если р? есть мо-
момент /-той молекулы и если в 1 см3 находятся N молекул, то
Р = Р1 + Р2 + ...рлг- B0.3)
Таким образом для дальнейшего вывода мы должны опре-
определить момент р? отдельной молекулы. Этот момент
определяется тем, что электрическое поле молекулы в точке,
расстояние которой от молекулы велико по сравнению с раз-
размерами молекулы, вычисляется из потенциала
? = -pgradel B0.4)
В частности, если диполь, абсолютная величина которого /?,
Рис. 25. находится в начале координат, причем вектор р направлен
Через эле- п0 оси х.ов T0
м ен т по-
поверхности , . д 1 pcos
Sd в тече- *(*¦ У> z) = — PjxT = I*"
ние време-
времени dt про-^ где о — уГ0Л между направлениями векторов риг.
ку^ы^со- Фактическое распределение зарядов внутри молекулы мы
держав-, можем описать двумя способами, которые для наших целей
шиеся в ци- пока в достаточной степени равноценны. Мы можем постро-
линдре с ить молекулу или из непрерывно распределенных зарядов с
вы^от^ю плотностью р, или из отдельных точечных электронов и ядер.
В последнем случае мы выбираем некоторую точку внутри
молекулы и проводим из этой точки векторы sv s2... и т. д.,
на концах которых расположены точечные заряды е{1 е2.... В первом
же случае мы просто задаем плотность заряда внутри молекулы, как
функцию координат и времени p=F=p (?, % С, t). Для того чтобы опре-
определить дипольный момент молекулы, вычислим потенциал <р в заданной
точке х% у9 zy вызываемый зарядом е> координаты которого 5, ^, С, при-
причем мы положим, что |s|<^|r|. Как и в § 17, здесь можно написать:
ТОКИ ПРОВОДИМОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ 113
Но
д$ \Т ) дх\гГ
а следовательно,
1 „ 1
(при этом значок q относится к точке, в которой находится источник,
вызывающий поле, а значок а — к точке, в которой определяется иско-
цая величина). Поэтому потенцчал всех точечных зарядов ev e2i ...
в первом приближении будет:
Если молекула в целом нейтральна, т. е. V^f = 0, то мы получаем, срав-
сравнивая с B0.4), для дипольного момента выражение:
Р =
Если же мы будем описывать молекулы при помощи непрерывно рас-
распределенного заряда, то из такого же рассуждения получим:
p = JJJpS<f;tfY]tf;. B0.5b)
Изменение во времени дипольного момента р отдельной молекулы,
с точки зрения B0.5а), обусловливается соответствующим изменением
векторов s, т. е.
p=2*<v* <20-6a>
i
а с точки зрения B0.5Ь) — изменением во времени плотности заряда р:
Эго выражение может быть, на основании закона сохранения заряда
приведено к виду, соответствующему формуле B0.6а). Для л:-овой ком*
понерты вектора р мы получим:
Интегрируя по всей молекуле, получаем:
Веккер
114 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Следовательно,
р = JJJ pv Л dri Л. B0.6Ь)
Пусть в 1 смъ находятся п одинаковых молекул. Изменим диполь-
ный момент каждой молекулы, передвигая первый электр9н на расстоя-
расстояние Ssj, второй на 8s2 и т. д. Определим снова полный заряд, про-
проходящий при этом через элемент площади dS нормальный к оси х.
Очевидно, что из числа электронов, сдвинутых на 8slf через dS прой-
пройдут dS&^n, из следующих dS$l2n и т. д., так что полное количество
электричества, прошедшего через dS, будет dSn Ve85f, причем сумми-
i
ровать надо по электронам одной молекулы. Если /-ый электрон дви-
движется со скоростью v,., то bbl — WiXdt. Следовательно, при изменении р
мы получим ток
Если мы имеем еще другого сорта молекулы, то, при обозначении
Р. = «iPj-J-л2р2""Ь• • • > полный ток поляризации будет:
1Р = «iPi + >Ч>2 + • •. = Р. B0.7)
В этом выводе, особенно при определении величин dSdb^n и т. д.,
мы допускали беспорядочное, чисто случайное расположение центров
тяжести отдельных молекул. Это может вызвать некоторые сомнения
при применении наших результатов к кристаллическим телам с их строго
закономерным расположением атомов, так как здесь можно получить
совершенно различные значения j в зависимости от того, как проходит,
например, площадка dS: между слоями атомов, или через центры ато-
атомов такого слоя. Но на самом деле здесь никаких затруднений не воз-
возникает; ведь согласно основной формуле A9.3) при усреднении мы,
собственно говоря, должны усреднять плотность тока pv по объему,
а не по поверхности. Поэтому, если мы получаем совершенно разные
значения для различных параллельных друг другу элементарных площа-
площадок dS, что может иметь место в кристалле, то мы должны произвести
усреднение и по всем этим поверхностям. При этом мы снова получим
формулу B0.7). Итак, мы показали в самом общем виде, что
P = (pv).
Отсюда непосредственно следует, что даже тогда, когда рист, опреде-
определяемое из уравнения B0Т2), равно нулю, расходимость Р должна быть
связана с плотностью заряда р. Будем сперва исходить из неполяризо-
ванного состояния тела и выделим в нем некоторый объем. Если dS
есть элемент его поверхности с внешней нормалью п, то при измене-
изменении Р из этого объема через площадку dS выйдет количество электри-
электричества dSdPn. Следовательно,
НАМАГНИЧЕНИЕ 115
или, если при Р = 0 было р = О,
По теореме Гаусса отсюда непосредственно следует:
^ = -div P. B0.8)
Эта плотность заряда, связанная с div P, обнаруживается нагляднее
всего при рассмотрении поляризованного однородного цилиндра, осно-
основания которого являются источниками и стоками вектора Р и поэтому
оказывают такое внешнее действие, как будто на них сосредоточены
поверхностные заряды с плотностью -f- P и — Р.
Другой вывод уравнения B0.8) состоит в определении электро-
электростатического потенциала тела, поляризация Р которого задана
как функция координат. Согласно уравнению B0.4), элемент объема
d?dr\dZ создает в точке x,y,z потенциал (р • grad^yj dldr\d(>. Следова-
Следовательно, потенциал всего объема будет
Интегрируя по всему объему, на основании тождества
d
получаем:
Следовательно, по своему электростатическому действию — div P дей-
действительно эквивалентен плотности заряда.
§ 21. Намагничение. С точки зрения электронной тео-
теории, движущиеся заряды являются единственной при-
причиной возникновения магнитного поля. Для объяснения
магнитного момента m отдельного атома мы должны предположить, что
внутри атома движутся заряды, которые мы можем, как при рассмотре-
рассмотрении поляризации, считать точечными зарядами eh движущимися со, ско-
скоростью V/, или же представлять их себе в виде замкнутых токов с плот-
плотностью j (переменной в пространстве). Если в 1 см* находятся п атомов
С моментами mlt тз ... и т. д., то намагничение определяется как
М = tiitxi^ -{- я2т2 ~f~ • • • •
В § 17 мы уже определяли магнитный момент атома, описываемый при
Помощи плотности тока j или же при помощи квазистационарно дви-
движущихся электронов. Мы нашли для этих двух способов описания два
эквивалентных друг другу выражения:
B1Л)
116 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Нам следует теперь разобрать, каким образом из входящей в эти фор-
формулы плотности замкнутых молекулярных токов можно, при помощи
усреднения в смысле равенств A9.3), получить результирующий ток }т.
Для предварительной ориентировки в этом вопросе рас-
рассмотрим сначала Еесьма упрощенную модель атома. Пусть отдельные
атомы состоят из одинаковых плоских кольцевых токов У, обтекающих
площадки S, причем на 1 смъ приходится п таких токов. Определим
полный ток, проходящий через нормальный к оси л;-ов прямоугольник,
стороны которого а ц Ь направлены по осям у и z. Непосредственно
ясно, что результирующий ток ]х зависит только от тех атомов, чьи
площадки E) пересекаются одной из четырех сторон рассматриваемого
прямоугольника. В самом деле, только у этих атомов круговые токи
пересекают плоскость прямоугольника аЪ
у
i
A
один ра^; круговые токи всех остальных
атомов или вообще не пересекают ab% или
пересекают ее и в том и в другом напра-
влении. Определим результирующий ток
а атомов, пронизываемых стороной АВ на-
.. шего прямоугольника. (Каждый такой атом
дает слагаемое -\-J или —У, в зависн-
зависнмости от того, какова составляющая ту
его момента по оси у: положительна или
отрицательна). Предположим сперва, что
составляющая ту =—Sy одинакова у
»'« "« ™«°*- В%том случае доста-
от намагничения. точно определить число атомов, пересе-
пересекаемых стороной АВ. Для этого рассмо-
рассмотрим вырезанный из данного вещества цилиндр, высота которого а
(в направлении оси у), а площадь поперечного сечения — 1 см2. В *нем
содержится всего па атомов. Если мы проведем через этот цилиндр не-
некоторую прямую в направлении а, то вероятность того, что эта прямая
пересечет какой-нибудь определенный атом, равна отношению площа-
площадей Sy:l. Число всех пересеченных атомов в среднем в па раз больше,
т. е. равно naSy. Если значения Sy различны, то очевидно нужно взять
их среднее. Таким образом, результирующий ток, обусловлен ый всеми
атомами, которые пронизываются прямой АВ, определяется формулой
JnaSy = пасту = асМ у,
где Му обозначает ^у-овую компоненту намагничения.
Применяя аналогичные рассуждения к остальным трем сторонам
нашего прямоугольника, мы получаем для атомов, пронизываемых сторо-
стороной CD, ток — асМу, причем, однако, значение Му должно быть о ipe-
делено в точке z = b. Точно так же мы находим результирующие зна-
значения— Ьс(Мг)у=л0 для стороны AD и -\-bc(Mg)y — a Для стороны ВС.
Согласно определению среднего, значение jxab представляет полный
НАМАГНИЧЕНИЕ
117
ток, прошедший через ab. Складывая величины, полученные для ка-
каждой из четырех сторон, получаем:
jxab — c[a{My)z _ 0 — a{My)z = b — b{Mz)y = 0 + b{Mz)y e a].
Если изменения М непрерывны, а значения а и Ъ малы, это выражение
можно разложить в ряд Тейлора:
или в векторной форме:
1,-crotM.
B1.2)
Но это как раз тот результат, которого нам нехватало для полного до-
доказательства уравнения A9.8).
Нетрудно обобщить этот вывод на случай атомов с любым распределением
тока j и с моментом
Пусть в единице объемт находятся п таких
одинаковых атомов. Найдем величину тока,
который определяется атомами, пересекае-
пересекаемыми стороной прямоугольника А В, Рас-
Рассмотрим со стороны положительной оси у
отдельный атом, пронизываемый этой осью
(рис. 27) Для каждого ат< ма построим
свою координатную систему 5, tj, С оси
которой параллельны осям х, у, з. Коср-
динаты точки А пересечения оси у с
атомом будут в этой сист ме ? = ?0 и
С = Со. Этот атом, очевидно, подает
через плошадь нашего прямоугольника
g +g
& I 1\ («о» *Ь С) di\ = / (?0. Со). (Пределы интегрирования •
So —g
чают, что интегрирование в каждом случае следует производить до поверх-
поверхности атома). Обозначим через q поперечное сечение атома плоскостью, пер-
перпендикулярной к оси у. Тогда, согласно сказанному выше, число атомов, пере-
пересекаемых стороной а, будет anq. При этом любое положение точки пересече-
пересечения 50, Со внутри ? одинаково вероятно, так что средняя величина тока, опре-
определяемого атомом, будет
4- &
7= —
ч
—g ,
Следовательно, полный искомый ток, соответствующий стороне а, равен
•hs +g +g +g
<*?о / ^?о / Л / drJi (So, y], С).
Меняя порядок интегрирования по С и Со, получаем:
+g +g +8
Г Г Г Г
an j dtQ I dC / Ув^^СХС-^^^^^ / Utdx + atig
•/ «/ t/ «/
Рис. 27. Ток, зависящий от моле»
кулы, пересекаемой стороной пря-
прямоугольника а.
g и + g озна-
118
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
где интегрирование теперь следует распространить по всему атому. Второе
слагаемое этого выражения в случае квазистационарных токов равно нулю;
кроме того, согласно A7.3а),
так что полученное выражение мы можем написать и в виде
an fc/^dfr или —an \fy\dz.
ш
ь
юеооооооооооооооо!
ю оо о о о о отез 000,00 от
1000000000000000061
с
1000000000000000091
Рис. 28. а и Ь: стержень и пластинка из диэлектрика в однородном
электрическом поле Ео; end: стержень и пластинка* из ферромаг-
ферромагнитного вещества в однородном магнитном поле Но,
Поэтому ток, обусловленный стороной я, будет
1 anj(ij\ - 5Д) dx = ^J(s X l\dx.
или, согласно A7.5), он равен
acnmv = асМу.
что полностью совпадает с выражением, полученным для частного случая мо-
модели замкнутого кольцевого тока.
Таким образом переход от уравнений Максвелла A9.2) к ос-
основным уравнениям электронной теории A9.1) совершен.
К результату, полученному выше, добавим еще несколько замечаний. В сле-
следующих параграфах мы должны будем изучить, каким образом под^ действием
внешнего поля и вызываемого им внутримолекулярного поля е или h возникает
поляризация Р или намагничение М. Но и не касаясь этих подробных иссле-
исследований, мы можем ожидать, что для получения возможно большие значений
ЭФФЕКТИВНОЕ ПОЛЕ 119
поляризации или намагничения необходимо будет стремиться к созданию воз-
возможно более сильных полей е или h. При заданных внешних полях (напри-
(например, электрического поля между пластинками конденсатора с определенной
разностью потенциалов или магнитного поля внутри катушки, по которой
проходит ток) величины е и h сильно зависят еще и от геометрической формы
данного тела. Известно, что наиболее выгодные значения обеих величин полу-
получаются тогда, когда тело имеет форму, по возможности удлиненную в напра-
направлении внешних силовых линий (например, когда оно имеет вид провода); на-
наоборот, плоская, перпендикулярная полю пластинка находится в наименее вы-
выгодных условиях.
Поясним это при помощи схематических рисунков 28а, Ь, с, d. Пусть
в случае электрического поля B8а и 28b) P есть вектор поляризации вещества.
Этот вектор, имея источник в левом основании стержня (а) или пластинки (Ь)
и сток в правом основании, вызывает соответствующие поверхностные за-
заряды Р. При достаточно длинном и тонком стержне эти заряды не влияют
на внутреннюю часть стержня, так что можно предполагать, что внутри
стержня е равно Ео. В случае же пластинки внешнее поле ослаблено на ве-
величину 47гР, так что внутри пластинки (схема Ь) е = Ео — 4тгР. Условия
электрической поляризации круглой пластинки потому
менее благоприятны, что при этом внешнее поле осла-
ослабляется возникающей поляризацией.
Совершенно иначе обстоит дело в явлениях намагничения (рис. 28 с и d).
Вихри вектора М, которые одни только и влияют на поле h, находятся на бо-
боковых поверхностях круглой пластинки или стержня. В случае пластинки
вихри вектора М не могут оказать заметного влияния на среднюю часть пла-
пластинки, если она достаточно тонка, так что в схеме d внешнее поле Но не
изменяется сколько-нибудь заметно, т. е. И=Н0. В случае же металличе-
металлического стержня (рис. 28с) влияние электрического тока в катушке усили-
усиливается поверхностным током, соответствующим с rot M, на величину 47гМ,
т. е. теперь ?= Но+ 4тгМ. Таким образом мы видим, что форма стержня при
намагничении более выгодна из-за того, что в этом случае внешнее поле
вследствие намагничения^ усиливается. Введя вектор Н, определяемый
обычным соотношением h = В = Н + 4-п:М, мы можем формально выразить
полученный результат равенствами: Н = Но (для схемы 28с) и Н = Но—4яМ
(для схемы 28d). Но мы видим, что на самом деле внешнее поле проникает
без изменений в исследуемую среду именно в схемах аи! Исходя отсюда,
мы получаем в случае электрического поля ослабление поля внутри данного
вещества, если перейти к пластинке, а в случае намагничения — усиление поля
при переходе к стержню.
II. СТАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
§ 22. Эффективное поле. Поляризация какого-либо тела
в электрическом поле определяется как дипольный момент еди-
единицы объема. Мы требуем от теории, чтобы она предсказывала,
как будет зависеть поляризация от поля Е, полученного на опыте. Ис-
Исходной точкой теории является представление о том, как ведет себя
отдельная изолированная молекула вещества в заданном поле Е.
В следующих параграфах мы познакомимся с некоторыми математиче-
математическими предложениями, служащими для рассмотрения этой проблемы. Для
того чтобы вывести из них общее заключение о поведении всего тела,
надо определить электрическую напряженность Е', действующую на о т-
дельную молекулу внутри тела. Эта напряженность, вообще говоря,
отличается от напряженности Е, рассчитанной на основе условий опыта,
так как необходимо принять еще во внимание влияние на рассматривае-
120
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
мую молекулу всех прочих молекул, которые также поляризованы. На
первый взгляд, можно было бы считать Е' равным среднему полю е, опре-
определенному в § 19; это дало бы в точности Е'==Е. Однако, при этом
мы допустили бы две ошибки. _
Во-первых, нас совершенно не интересует среднее значение е в про-
пространстве, а значение напряженности в точке расположения рассматри-
рассматриваемой молекулы. Кроме того, Е' означает то поле, которое оказалось бы
в месте расположения рассматриваемой молекулы, если представить, что
эта последняя оттуда удалена, причем, однако, состояние окружающих
молекул не изменилось. Из-за этих соображений представляется более
целесообразным при определении Е' непосредственно вычислить ре-
результирующее влияние всех присутствующих зарядов
(не прибегая к прежнему методу усреднения).
Пусть йекоторое вещество заполняет простран-
пространство между пластинами конденсатора, заряженного
до разности потенциалов V, Обозначим поляри-
поляризацию этого вещества через Р. Тогда поверх-
поверхностная плотность <s заряда на обкладках конден-
конденсатора (заряд на 1 см*) определяется равенством
4тгз = — -f- 4т:Р или 4тса = Е-\- АкР. Построим
теперь вокруг рассматриваемой молекулы сферу,
радиус которой велик по сравнению с расстоянием
между молекулами, и разложим искомую величину
поля на три слагаемых:
Е; = Ео + Ej + Е2. B2.1)
Ео пусть представляет собой поле, вызываемое обкладками конденсатора:
B2.2)
Рис. 29. Вычисление
эффективного поля Е'.
Ег — поле, вызываемое молекулами, находящимися вне упомянутой сферы,
и Е2 — поле от всех молекул внутри сферы. Мы подчеркиваем, что эта
сфера не должна пересекать ни одной молекулы, так что каждая отдель-
отдельная молекула участвует как целое в создании полей Е: или Е2, в за-
зависимости от того, где лежит ее центр: вне сферы или внутри ее. В этом
заключается существенное различие между только что рассмотренной
сферой и использованной в § 19 для определения средних значений
ей h, так как последняя на самом деле строго геометрически пересе-
пересекала все встречаемые ею молекулы. При вычислении Ег мы можем не
считаться с молекулярной структурой вещества. Так как вещество мы
считаем однородно поляризованным, то вся часть вещества, находящаяся
вне сферы, действует на нашу молекулу как распространенный по по-
поверхности всей этой части заряд с плотностью с' = — Рп (п — внешняя
нормаль). Такой поверхностью является, во-первых, поверхность, при-
примыкающая к обкладкам конденсатора, которая дает составляющую поля
— 4тсР; к этому прибавляется действие нашей сферической поверхности
с плотностью заряда a' = Pcos&, где &—угол между положительным
направлением поля и нормалью в рассматриваемой точке сферы. Такое
ЭФФЕКТИВНОЕ ПОЛЕ
121
распределение зарядов вызывает внутри сферы однородное поле
4?- Р. Тогда
О
Ех = — 4%Р -j-yP, B2.3)
и, следовательно,
Потенциал шара с радиусом R, заполненного зарядом с постоянной объ-
емной плотностью р, в точках г < # равен <р+ = -о-Р'*2 = *"т-рС*24".У2 + ;г3)«
Этот результат можно легко получить на основании формулы для поля внутри
однородно заряженного шара, приведенной выше при разборе томсоновой модели.
Потенциал вюрого такого шара с плотностью заряда — р и с центром в точке
х=у = 0, 2 = — С будет:
В пределе, когда р •
лучаем:
> со и С-*0, причем р?-> с0, мы по-
рсли представить себе, что оба шара существуют
одновременно, то их заряды + р и — р компенсиру-
компенсируются везде, где шары взаимно перекрываются. Только
на поверхности (при малом С) остается заряд с по-
поверхностной плотностью g = pC cos 0. Потенциал этих
двух зарядов составляет вместе:
__ , 4п^ р Л 1_ _?Л Рис. 30. Схематиче-
? — ?+"г 9* — ^ ^ V ' 2 ~г/ ское представление
поверхностного за-
заряда однородно-поля-
однородно-поляризованного шара при
Р _?.?._ .2ZL помощи двух разно-
*~"~ 0z "^ 3 а°* именно заряж иных и
сдвинутых друг отно-
Наконец, мы должны рассмотреть еще Е2, т. е. сительно друга сфер,
влияние молекул, расположенных внутри сферы,
В то время как значение суммы Eq-j-E! было нами вычислено совершенно
строго, мы не можем определить Е2 иначе, как сделав некоторые, в
значительной мере ограничивающие предположения. Предположим сна-
сначала, что поле, вызываемое каждой молекулой в точке нахождения рас-
рассматриваемой нами молекулы, определяется вполне строго, как поле ди-
пЬля. Расположенный в точке х, у, z диполь с моментом р вызывает
в точке S, т], С потенциал
\-у)-\-Р2&-г)
Следовательно, в начале координат это поле равно
Далее допустим, что все молекулы, находящиеся внутри рассматриваемой
нами сферы, обладают одинаковым дипольным моментом. Представим
себе, что молекулы перенумерованы посредством значков 1,2 ...&..,, п$
122 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
и обозначим координаты k-oft молекулы через xk, yki zk. Тогда л:-овая
компонента Е2 равна сумме соответствующих значений е^ т. е.
B2.4)
Входящие в это выражение суммы зависят только от пространственного
расположения отдельных молекул.
Прежде всего покажем, что Е2 точно равно нулю, если это рас-
расположение соответствует кристаллической решетке кубиче-
кубической системы. Если мы направим координатные оси по осям симметрии
кристалла, то вследствие правильной симметрии совокупность точек хь
yk9 zk, заполняющих нашу сферу, перейдет в себя самое при повороте
сферы на 90° вокруг любой из трех осей. Обозначив одним и двумя
штрихами два положения, переходящие друг в друга при повороте сферы
на 90° вокруг оси г, мы имеем до поворота
**' = **> Ун=Ук> zk=z»
а после поворота
xk =Ук> У к —~хк> Ч ==zk- B2.5)
Расстояния rk молекул от начала координат не меняются при пово-
повороте. Кроме того, вследствие правильной симметрии, совокупность то-
точек xk'... тождественна совокупности xk"..., так что, например,
Ч^ в 2 ~$ • B2-5а)
Пользуясь соотношениями B2.5) и учитывая еще вращение вокруг
осей х и у, мы получаем:
г/
следовательно, после сложения всех трех выражений окажется, что
rkb 3 ZA r?%
Кроме того,
XkVk - п
так как эта сумма меняет при повороте свой знак на основании B2.5)
и вместе с тем, на основании B2.5а), остается постоянной. Поэтому Е2,
согласно уравнения B2.4), действительно равно нулю.
Определим теперь Е2 в случае аморфного вещества с совершенно
беспорядочным распределением отдельных диполей.
Мы, конечно, не можем ничего сказать о значении Е2 для каждой опре-
определенной молекулы, но среднее значение Е2, как легко можно понять,
равно нулю. Ведь в изотропном теле несомненно должно быть в среднем
& =3* = 1? = ±.~Р* и ху =0.
ИНДУЦИРОВАННЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ 123
Для отдельных же молекул компоненты вектора Е2 могут иметь то по-
положительные, то отрицательные значения.
Итак, мы получили следующий результат: если взаимодейст-
взаимодействие молекул имеет характер взаимодействия точечных
диполей, то эффективное поляризующее поле Е', дей-
действующее на отдельную молекулу, определяется ра-
в ен ством
Е' = Е+^-Р, B2.6)
где Р — поляризация самого вещества. Это равенство
вполне строго в случае правильных кристаллических
решеток и в среднем справедливо для аморфный тел
(газов, жидкостей). Но оно совершенно неприменимо к кристаллам
с более низкой степенью симметрии, где, вообще говоря, Даже и на-
направление Е' не будет совпадать с направлением Е.
§ 23. Индуцированный дипольный момент. Диэлектрическая посто-
постоянная е какого-либо вещества может быть легко определена в пределах
справедливости формулы B2.6),
E' = E + f P,
выведенной в предыдущем параграфе, если известна поляризуемость от-
отдельных молекул. Ограничимся в этом параграфе рассмотрением молекул,
не обладающих постоянным дипольным моментом. Бу-
Будем определять поляризуемость при помощи характерной для
соответствующих молекул постоянной а, значение которой следует из
формулы:
р = аЕ' B3.1)
(р — дипольный момент молекулы). Если N—число молекул в 1 см2,
то для Р = Л/р получаем уравнение:
^) B3.2)
С другой стороны, восприимчивость 1 и диэлектриче-
диэлектрическая постоянная е определяются равенствами:
Р = ХЕ B2.3)
s=l-f 4*х- B3.4)
Следовательно, для вычисления поляризуемости отдельных молекул
по измеренным значениям х или е» мы получаем, в силу уравнения B3.2),
следующие два равенства:
V
B3.5)
Если d — плотность вещества, М — его молекулярный вес и N —
число Авогадро, то -тт- есть масса отдельной молекулы, a N'-тг = d
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
— масса 1 смъ вещества. Отсюда следует, что мы можем написать по-
последнюю формулу в виде
в каком она обычно и находит себе практическое применение в физи-
физической химии. Впрочем, вместо диэлектрической постоянной чаще всего
измеряется показатель преломления п и отсюда определяется моляр-
молярная рефракция:
Согласно уравнению B3.6), величина ~-z—^Ц>- не должна зависеть от
плотности d и, если не считать множителя -^-, должна быть равна мо-
о
лярной поляризуемости. Многочисленные опыты, проведенные над газами,
показали, что величина -^—^г~^ действительно остается постоянной
вплоть до давлений в несколько сот атмосфер.
Значения молярной поляризуемости, полученные на основании таких
опытов, позволяют непосредственно определить поляризуевюсть а отдель-
отдельных атомов. Последнюю тогда можно сравнить с величиной поляризуе-
поляризуемости, вычисленной на основании какой нибудь модели атома. Рассма-
Рассматривая значения а, теоретически вычисленные в различное время на
основании различных представлений об атоме, мы приходим к замеча-
замечательному результату: если а означает радиус молекулы, представляемой
в виде шара, то все теоретические значения а дают
ая^а3, B3.8)
т. е, поляризуемость, с точностью до некоторого по-
постоянного множителя, близкого к 1, равна третьей сте-
степени радиуса молекулы. Следовательно, принимая во внимание,
что — а3 есть объем отдельной молекулы, мы можем приближенно на-
написать:
p = N^a = Q, B3.9)
где Q — полный объем всех молекул, заключающихся в 1 грамм-моле-
грамм-молекуле.
Перечислим в хронологической последовательности ряд моделей атома,
приводящих к соотношению B3.8) для поляризуемости.
а) Еще задолго до возникновения электронной теории, Мозотти
(Mosotti) предложил описывать диэлектрические свойства атомов в том
предположении, что каждый отдельный атом Еедет себя как идеально
проводящий шар. Дипольный момент, возникающий в таком шаре под
действием внешнего поля, составляет р = Еа3 (см. том I, § 29, стр. 69).
Следовательно, соотношение B3.8) в этом случае выполняется в точ-
точности.
ИНДУЦИРОВАННЫЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ 125
б) В модели Томсона (точечный электрон в однородном поло-
положительно заряженном шаре) квазиупругая сила при элонгации г, согласно
§ 13, равна — -^. Следовательно, при наличии внешнего поля Е рав-
равновесие наступает, когда
При этом дипольный момент равен
р = ег =5 Еа3,
так что соотношение B3.8) соблюдается и в этом случае точно.
в) Подобным же образом ведет себя также модель атома Бора
(в своей простейшей форме). Пусть, например, электрон вращается во-
вокруг ядра по круговой орбите радиуса г с угловой скоростью со. Под
действием внешнего поля, направленного нормально к плоскости орбиты
электрона, ядро несколько выступит из этой плоскости. Если мы обо-
обозначим величину смещения ядра через s, то индуцированный дипольный
момент, очевидно, будет равен se. Величину этого момента мы легко
определим, рассматривая действующие на электрон силы. До включения
поля притяжение ядра просто равно центробежной силе, т. е,
B3.10а)
После включения Е действует еще
сила еЕ, нормальная к плоскости
орбиты. Теперь результирующая цен-
центробежной силы и силы еЕ должна Рис. 31. Поляризация боровской
пройти через ядро; это дает, соглас- модели атома водорода.
но рис, 31,
-^- = — или es = E-^. B3.10b)
Однако, согласно B3.10а), —— = /-*, т. е. снова получаем:
р = es = Ег3.
{Необходимо заметить, что этот вывод верен лишь в том случае, когда
внешнее поле нормально к плоскости орбиты электрона).
г) Квантовая механика, выводов которой мы не можем здесь
рассматривать, также приводит, с точностью до коэфициента порядка 1,
К соотношению B3.8).
Определяемая равенствами B3.8) и B3.9) связь между поляризуе-
поляризуемостью и молекулярьым объемом позволяет опытным путем проверить
связь поляриз>емости с другими величинами, кoтopь^e также зависят
от объема молекул. Напомним только о двух величинах, встречаю-
встречающихся в теории теплоты. Первая из них — постоянная Ъ в уравне-
уравнении ван-дер-Ваальса:
126 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
согласно кинетической теории газов,
6 = 42,
где 2, как и раньше, — объем, действительно занимаемый молекулами
одной грамм-молекулы газа. Вторая такая величина — длина свободного
пути / в газе, содержащем в 1 смв N' молекул радиуса я, — дается
равенством:
Постоянная ван-дер-Ваальса Ъ определяется экспериментально из кри-
критической температуры и критического давления, а длина свободного
пробега /—из теплопроводности и внутреннего трения. На основании
измерений Ъ и / можно получить величину молярного собственного
объема
Для очень многих газов все три метода (электрическая поляриза-
поляризация, внутреннее трение, уравнение ван-дер-Ваальса) дают очень близ-
близкие друг к другу значения 2.
Однако, существуют некоторые вещества, для которых совершенно
не соблюдается соотношение B3.9) между Р и 2, причем поляризуе-
поляризуемость этих веществ, как правило, значительно больше, чем следует
ожидать на основании термических измерений молярного объема. Так,
например, для NH3 и H2S имеем:
NH3
H2S
Q
8,8
7,9
Р
57
30
Кроме того, наблюдается, что поляризуемость таких газов сильно
зависит от температуры, а именно, что при увеличении температуры
поляризуемость всегда уменьшается. Мы покажем в следующем пара-
параграфе, что здесь поляризуемость имеет совершенно иной характер:
здесь мы имеем молекулы, которые обладают постоянным диполь-
ным моментом (типа молекулы НС1); поляризация таких веществ
заключается не в индуцировании дипольного момента молекул, а в том,
что приложенное поле должно лишь ориентировать уже суще-
существующие диполи, перевешивая дезориентирующее действие те-
теплового движения. Уже отсюда можно заключить, что поляризуе-
поляризуемость таких газов, во-первых, не может иметь ничего общего с объемом 2
и, во-вторых, должна уменьшаться при повышении температуры.
§ 24. Молекулы с постоянным дипольным моментом. Молекулы
с- постоянным дипольным моментом р при полном отсутствии теплового
движения могли бы быть полностью ориентированы сколь угодно малым
внешним полем; это приводило бы к чрезвычайно большим значениям ди-
диэлектрической постоянной. Конечная величина этой постоянной опреде-
МОЛЕКУЛЫ С ПОСТОЯННЫМ ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ
127
ляется в первую очередь тем, что ориентирующее действие
поля частично компенсируется влиянием теплового движения. (Типич-
(Типичным примером таких молекул являются ионные соединения
типа НС1, в которых связь осуществляется электростатическим притяже-
притяжением положительного иона Н+ и отрицательного иона С1~.) В предыдущем
параграфе при вычислении поляризуемости можно было ограничиться,
главным образом, рассмотрением отдельных молекул. В данном же слу-
случае нам придется иметь дело с статистической задачей.
Поляризация отдельной молекулы, дипольный момент которой обра-
образуется с направлением поля угол &, очевидно равна р cos д. Если в 1 смь
находится N молекул, то компонента вектора поляризации в направле-
направлении поля будет
р (cos &! -|- cos 92 -|~... 4- cos bN) = Np cos Ь.
Очевидно, при отсутствии внешнего поля cos & = 0.
Для описания действия поля Е' рассмотрим в данном
поле потенциальную энергию F(&) нашего диполя,
определяемую соотношением
| = — E'pcosb. B4.1)
Проще всего можно убедиться в правильности этой
формулы, если представить р в виде р = 1еA — расстоя-
расстояние между зарядами + е и —е). Потенциал поля Е1, ко-
которое направлено по оси z, есть — Е'г% откуда потенци-
потенциальная энергия нашего диполя будет
V (в) = еЕ1 (—*i + z2) = — eE'l cos 0,
что совпадает с выражением, приведенным выше. Далее,
для обусловленного полем Е! момента сил, действующих
на диполь, получается выражение
Рис. 32. Диполь el
в поле Е\
ЗУ
= Е'р sin Ь.
Статистическая механика дает следующее правило для вычисления
вероятностей: вероятности двух состояний A) и B), равновероятных
при ?' = 0, а следовательно и при V==0, при включении поля при-
принимают неравные между собой значения W1 и W2, а именно, отноше-
отношение этих вероятностей составляет:
' kT
B4.2)
kT
где Vi и V2 представляют потенциальные энергии двух указанных со-
состояний в поле ?"'. В этой формуле k — постоянная Больтцмана (k =
= 1,378-Ю-*16 эрг-град"), а Т—абсолютная температура.
Простейшее применение этого соотношения представляет барометрическая
Формула: в этом случае V = mgh (m — масса, g-—ускорение силы тяжести
128
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
h — высота над нулевым уровнем); все значения h здесь a priori равновероятны.
Для высот ht и h% отношение числа частиц в единице объема равно
_ mg(ht — h2)
• = е
kT
В нашем случае вращающегося диполя все направления р (т. е. все
точки сферы единичного радиуса, с помошью которой мы изображаем
направления р при Е' = 0) a priori равновероятны. Введем полярные
координаты 0 и ср и обозначим элемент поверхности нашей сферы че-
через dQ = sin & dydft, а потенциальную энергию, соответствующую этому
направлению, через V; тогда равенство
WdQ = const• е~ кТ dQ
будет выражать вероятность того, что некото-
некоторый произвольно выбранный диполь ориенти-
ориентирован в направлении dQ. Постоянный коэфи-
циент (const) мы найдем из условия / WdQ = 1,
сфера
так как вероятность того, что диполь вообще
примет какое-нибудь направление, несомненно
равна 1. Итак,
Рис. 33. Ориентировка
вращающегося диьоля.
B4.3)
сфера
Если мы имеем N' диполей в 1 смг, то N'WdQ представляет число
диполей, направления которых заключены в телесном угле dQ. Иско-
Искомое среднее значение cos& будет:
cos&= Г
сфера
или, при подстановке сюда указанных выше значений W и dQ,
B4.4)
2гс
Е'р cos Ь
cos be kи sin Ь dbdy
cos & =
B4.4а)
ьт
<р==0 0=0
Интегрирование по ср дает в числителе и знаменателе множители
Введя сокращенные обозначения
а и cos 0
МОЛЕКУЛЫ С ПОСТОЯННЫМ ДйПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ
129
получаем:
Г zeazdz
cos ft =
u_ A
eazdz
Здесь можно не производить интегрирования в числителе, так как
числитель может быть получен из знаменателя диференцированием по а.
Поэтому
B4.5)
Полученная здесь функция
?(а) была впервые введена
Ланжевеном (Langevin)
при аналогичном исследо-
исследовании парамагнетизма (см.
§ 30); поэтому ее и называют
функцией Ланжевена. График
ее приведен на рис. 34. При
а^> 1, т. е. при Ep^>kT,
мы получаем насыщение:
Рис. 34. График функции Ланжевена Ца).
B4.6)
Особенно интересующий нас случай малых значений а получается
при непосредственном разложении формулы B4.5) в ряд:
(cosd)a+o = — -¦
45
Следовательно, поляризация будет пропорциональна полю
только в области а<^1. В этом случае для среднего дипольного
момента в направлении поля Ег мы получаем:
B4.8)
Легко убедиться в том, что во всех практически встречающихся случаях
условие а <^ 1 действительно удовлетворяется. Порядок величины р
(как мы сейчас еще подтвердим) всегда равен элементарному заряду е,
Беккер 5810 9
Уравнений электромагнитного поля б неподвижных средах
0~8
умноженному на размеры атома, т. е. pzze-10~8. Для того чтобы а
равнялась 1, должно быть:
?* = *?'. 300 V(см,
т. е.
е
. з • ю10« г • ю4
4,77.10~1(
При температуре 7 = 100° а принимает
значение 1 в поле Е' = 106 V(cm. Сле-
Следовательно, на практике почти невоз-
невозможно выйти за пределы пригодности
формулы
а 1 Е'р
Необходимо особенно отметить, что
Рис. 35. Температурная зависи- полученный нами результат B4.8) пол-
мость поиртвуемоегм диполь- но^ьщ вклюцая ^ деленный множи-
тель -^-, остается справедливым и в
о
квантовой механике. В этом существенное отличие формулы B4.8)
от выводов вполне аналогичной, в рамках классической физики, теории
парамагнетизма (§ 30), для которой, по квантовой теории, коэфициент у
заменяется выражением
Если молекула по-
помимо этого может быть
поляризована еще и в
том смысле, как было
описано в предыдущем
параграфе, то к эф-
фектуориентацииB4.8)
прибавляется еще мо-
момент <хо?'; эксперимен-
экспериментально будет наблю-
наблюдаться общая поляри-
поляризуемость а0 -f- -g- -?р.
Тогда для молярной
поляризуемости Р по-
получим:
--—¦
зависящим от строения атома
W
0,001 о.оог
Рис. 36. Молярная поляризуемость галоидоводород-
ных соединений. Постоянный дипольный момент
больше всего у НС1. (Дебай „Полярные
молекулы")»
B4.9)
Установив экспериментально зависимость Р от температуры, мы мо-
можем на основании этой формулы определить как поляризацию а0, так
и постоянный дипольный момент р. Если на графике изобразить Р как
МОЛЕКУЛЫ С ПОСТОЯННЫМ ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ
131
функцию, величины у, то мы получим прямую, отсекающую от оси
ординат отрезок ОА — ~ ЛАх0. Угол наклона у этой прямой к оси
абсцисс определяется из соотношения
Для примера на рис. 36 приведены экспериментальные кривые для
галоидоводородных кислот НС1, НВг и HJ; на основании этих кривых
можно непосредственно заключить следующее: полярузуемость а0 иона J~
больше, чем Вг~ и Q~, а дипольный момент у HJ меньше; чем у НС1
и НВг. Обе эти причины обусловливают характерное пересечение всех
трех прямых. Дипольные моменты у всех трех веществ могут быть опре-
определены из наклона соответствующих кривых, причем получаются сле-
следующие значения: *
НВг
НС1
p=l,03.10~18
Другой пример представлен
на рис. 37, где приведены
соответствующие кривые для
хлорных производных метана
СН4, СН3С1, СН2С12, СНС13,
СС14.
Мы видим, что СН4 и СС14
не обладают дипольным мо-
моментом, что и следовало
ожидать из соображений
симметрии.
0,78 . 10"
HJ
0,38 • 1
80
60
го
-ecu
0.9025
о.оозо
I —'-*• ' o!(fO35
Второй метод определе- Рис. 37. Поляризуемость хлорных производных
ния дипольного момента р метана. Четыреххлористый углерод (СС14) и
ич vnaqHeHHff f24 Q1 гогтоит метан (СН4) не имеют постоянного дипольного
из уразнения B4.У) состоит M0MevHTa 4 (д е б а й „Полярные молекулы-),
в сравнении поляризуемости, v * '
измеренной статически, с по-
поляризуемостью, найденной при помощи оптических методов (молярная
рефракция). Вращательные движения молекул происходят очень медленно
по сравнению с быстрыми колебаниями электрического поля световой
волны, так что ориентация молекул не в состоянии следовать за этими
колебаниями, и поэтому доступным наблюдению является только первый
член Р = -?- Шо. Например, для аммиака из статических измерений по-
получается значение Р=57,6 смъ\ в то же время на основании коэфи-
циента преломления аммиака для линии D (п~ 1,000379) следует:
= 5,7 см\
132 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Если разность значений Р обусловливается исключительно эффек-
эффектом ориентации, то мы можем написать:
ИЛИ
Впрочем, этот способ определения р требует более точного изучения
влияния колебаний, которые могут совершать друг относительно
друга различные атомы внутри молекул: ведь надо учитывать возмож-
возможность изменения расстояния между связанными в молекулу ионами под
влиянием внешнего электрического поля. Но мы не будем здесь ка-
касаться этого вопроса подробнее.
III. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ В БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПОЛЯХ.
ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ
§ 25. Дисперсия в прозрачной области. Для описания электро-
электромагнитных явлений в изоляторах теория Максвелла дает уравнения:
rotH = l^, divH = 0,
rotE=— 1^, divD = 0.
Из этих уравнений следует основной закон Максвелла для ко эф и*
циента преломления в случае плоской волны (см. том I, § 62):
п = /7 B5.1)
Известно, что этот закон удовлетворяется только в предельном случае
очень больших длин волн, так как статическое и динамическое значе-
значение диэлектрической постоянной совпадают только при достаточно мед-
медленных колебаниях.
Для более точного рассмотрения процесса распространения волн мы
должны разложить вектор электрического смещения D на его составные
части D = E + 4itP, имеющие различное физическое значение, и найти
связь между Р и Е на основании каких-либо представлений о свойствах
отдельного атома. Связь между вектором Р и поляризацией отдельных
молекул дается равенством
где N' — число молекул в 1 см9, а р—дипольный момент отдельной
молекулы. Сделаем особое предположение, а именно, что поляризация
возникает в результате смещения упруго-связанных элек-
электронов. Рассмотрим сперва электроны с определенной собственной
частотой ш0, уравнения движения которых при действии внешнего поля
мы уже поцрооно разобрали в § 15. Если Ж1) есть число этих элек-
В теорию дисперсии это обозначение ввел Друде; 5R — не вектор.
ДИСПЕРСИЯ В ПРОЗРАЧНОЙ ОБЛАСТИ 133
тронов в 1 см* и г—вектор их смещения, то поляризация определяется
равенством:
P = 9ter. B5.2)
В § 15 мы уже нашли связь между смещением г и напряженностью
поля Е' в точке, в которой находится изучаемая молекула. Там мы
имели:
е
где для упрощения введен коэфициент пропорциональности
т
2 — аK 4"
B5.4)
Если известно значение а, то мы можем вычислить и диэлектрическую
постоянную вещества. Для разреженного газа, в котором эффек-
эффективное поле совпадает с Е, мы можем написать:
и, следовательно,
4-2 * Т-. B5.5)
т ш02 —
В плотных же средах, согласно § 22, эффективное поле Е' дается
равенством
Следовательно,
Р в ЯаЕ' =
или
С другой стороны, диэлектрическая постоянная е удовлетворяет соот-
соотношению Р = -^- Е, так что путем сравнения мы получаем:
и, следовательно,
Последняя формула отличается от B5.5) только дополнительным чле-
членом—у — 31 в знаменателе и переходит в B5.5) при — 9^<С! |<°о2 — ш*|>
т. е. при е мало отличающемся от единицы. Впрочем, если мы напи-
шем о02 — "з"^"^325^2» то получим, вместо B5.6), формулу, аналогич-
134 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
ную B5.5) и отличающуюся от нее только тем, что на месте ш0 здесь
стоит о>1 (смещение линии). Мы будем вести в дальнейшем вычисления
только по формуле B5.5), так как поправки, появляющиеся из-за боль-
большей плотности, можно учесть способом, который нами только что
указан.
Если подставить найденное таким путем значение диэлектрической
постоянной в уравнении поля, то последние примут вид, знакомый нам
из теории Максвелла:
rotH = ~E, divH = 0,
. B5.7)
rotE== Н, divE = 0.
Но следует иметь в виду, что это совпадение — чисто формального
характера, т»ак как наши уравнения B5.5) и B5.6) для е содержат ча-
частоту световой волны со, т. е. имеют смысл только для периодиче-
периодических процессов и именно этой определенной частоты. Кроме того,
следует иметь в виду, что диэлектрическая постоянная е те-
теперь является комплексной величиной, так как мы пред-
предположили, что зависимость световой волны от времени выражается
функцией еш\ Все же, учитывая все эти обстоятельства, мы можем
с формальной стороны производить с уравнениями B5.7), такие же опе-
операции, какие производятся в теории Максвелла. Поэтому мы попробуем
удовлетворить этим уравнениям при помощи линейно-поляризованной
плоской волны, определяемой соотношениями:
B5.8)
Подставляя это в уравнения B5.7), мы получим:
п'Ь = га,
п'а = Ь.
Отсюда для комплексного показателя преломления ri
для отношения амплитуд а и b мы получаем:
b = n'a.
Если мы еще положим, введя вещественные числа я и k,
n' = n — ik ' B5.10)
или
п' = Уп*-\-&е-®, B5.10а)
где ф — фазовый угол и
ДИСПЕРСИЯ В ПРОЗРАЧНОЙ ОБЛАСТИ
то вещественная часть нашего решения будет
135
«kx
B5.11)
Это уравнение определяет смысл постоянных п и k\ n обозначает ве-
вещественный показатель преломления, так как^ согласно уравнениямB5.11),
наша волна распространяется с фазовой скоростью — . При этом из-за
присутствия числа k, называемого коэфициентом экстинкции,
волна при распространении постепенно ослабляется. Численное значение
коэфициента k определяется тем, что амплитуда колебаний уменьшается
в e~2nk раз на расстоянии одной длины волны Хо = — f отнесенной к ва-
вакууму. Амплитуда магнитного поля в \fn?-\~k2 раз больше амплитуды
электрического поля, и, кроме того, магнитное поле отстает от элек-
электрического по фазе на угол ф.
Чтобы определить в отдельности обе важные постоянные п и k из
комплексного уравнения B5.9), надо отделить в нем мнимую часть от
вещественной. Принимая во внимание значение ri из B5.10), мы по-
получаем:
т
Из того, что, согласно B5.12), произведение nk всегда положительно,
следует, что постоянные п и k имеют одинаковые знаки. Это имеет
тот смысл, что ослабление интенсивности всегда имеет
место* в направлении распространения волны.
Определим прежде всего ход коэфициента преломления п в про-
прозрачной области, т. е. в той области колебаний, для которой
(ш02 — о2J ]^> у2оJ' ^ этой области мы можем положить k~0\ тогда
получаем формулу дисперсии: ,
rf-i+?*!-,-!--• B5.13)
1 т <о02 — <о2 v '
т
Если имеется несколько сортов упруго связанных электронов, например
9?! электронов с частотой собственных колебаний ш1э
и т. д., (то для дисперсии имеем формулу:
<25Л4)
136 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Если, кроме того, п—1<СЬ как это, например, имеет место в не
слишком сильно сжатых газах, то
B5.15)
т
—AJ*
Рассмотрим на рис. 38 общий ход кривой дисперсии. Прежде всего мы
замечаем, что во всей прозрачной области коэфициент преломления
растет с увеличением частоты. Для очень малых частот, т. е. частот ма-
малых по сравнению с наименьшими собственными частотами атома, мы
имеем статическое значение показателя преломления по Максвеллу:'
При приближении к первой линии поглощения значение показателя
преломления быстро растет, а затем, непосредственно за линией погло-
поглощения, снова начинает расти
от весьма малых значений.
Когда, наконец, частота па-
падающего света делается боль-
ше максимальной собствен-
собственной частоты атома, коэфи-
коэфициент преломления остается
меньше 1, так как все сла-
слагаемые принимают отрица-
отрицательные значения. Следова-
Следовательно, для такого коротко-
коротковолнового излучения наше
вещество оптически ме-
менее плотно, чем в а-
г~т
со
Со, Шг 0K
Рис. 38. Зависимость показателя преломления
от частоты (дисперсионная кривая) для веще-
вещества с тремя линиями поглощения о>д, <о2 и <о3.
куум, и при падении такого излучения на поверхность тела должно
наблюдаться явление полного отражения* Это явление действи-
действительно наблюдается в случае рентгеновых лучей (В. П. Линник). Если
перейти к предельному случаю весьма жестких рентгеновых
лучей, таких, чтобы собственные частоты атомов были исчезающе
малыми по сравнению с частотой падающей волны, то можно вообще
отбросить а>г в формуле B5.15). Тогда мы получим для коэфициента
преломления формулу:
К91г. B5.16)
Следовательно, для столь жестких рентгеновых лучей характер связи
электрона в атоме не играет больше никакой роли. В этом случае имеет
значение только общее число имеющихся электронов.
Дисперсионная формула квантовой теории. Выведенная выше диспер-
дисперсионная формула B5.15) классической электронной теории с большой точ-
точностью описывает фактически наблюдаемый ход показателя преломления вблизи
отдельных линий поглощения а>г, но лишь в том случае, если рассматривать
числа Щ соответствующих этим линиям .дисперсионных электронов*, как
ДИСПЕРСИЯ В ПРОЗРАЧНОЙ ОБЛАСТИ 137
имеющиеся в нашем распоряжении константы, которые могут быть найдены
из опыта. Для 91Г при этом получаются числа, которые в общем меньше, чем
число атомов N1 в I см*. С другой стороны, в пределах применим кги фор-
формулы B5.15) разность п — 1 всегда пропорциональна N\ так что имеется воз-
возможность характеризовать оптические свойства атомов некоторыми числами /г,
которые определяются из равенства
»r = W>. B5.17)
Тогда формула B5.15) принимает вид:
pJ B5.18)
г
С момента открытия модели атома Бора мы знаем, что уже один
электрон может вызывать чрезвычайно большое число линий поглощения.
В качестве примера можно привести спектр поглощения атома водорода
(ультрафиолетовая серия Лаймана) или же спектр поглощения атома натрия,
начинающийся с известной желтой линии D главной серии. Частота vr0 отдель-
отдельной линии определяется боровским условием частот /ivr0 = Er — Eq.
Общее число имеющихся в наличии дисперсионных электронов в обоих упо-
упомянутых случаях равно N', т. е. по одному электрону на атом. Но этот
единственный электрон может совершать различные переходы
с уровня Eq на уровни Еj, ?2> ?з • • •» поглощая при этом частоты
Очевидно, уже не имеет смысла говорить о различных сортах электро-
электронов Nfr. Скорее мы должны толковать уравнение B5.18) в том смысле, что N'
представляет число атомов в 1 см& вещества, a fr дает „интенсивность" одного
из абсорбционных переходов Ео-> Ег.
Точное определение чисел fn характеризующих отдельные переходы, со-
составляет задачу квантовой механики, которой мы здесь не можем касаться.
Впоследствии (к § 70) мы вкратце вернемся к свяш величин /г с коэфициен-
тами А и В эйнштейновской теории равновесного излуче-
излучения. Тем не менее мы можем уже сейчас в виде предположения указать на
одно важное свойство величин /г. Согласно B5.16), в области весьма малых
длин волн специальный характер модели атома вообще не имеет значения, так
как в формулу входит лишь общее число 2^ всех электронов. Если пред-
предположить, что в этом предельном случае формулы классической и квантовой
теорий совпадают, то для случая только одного излучающего электрона мы
приходим к равенству:
2
или, вследствие B5.17),
Последнее равенство действительно подтверждается на опыте и сыграло
важную роль в развитии квантовой теории.1)
Укажем еще, что дисперсионная формула B5.18) квантовой теории
является не вполне строгой в двух отношениях. Во-первых, известно, что
к области линейного спектра поглощения примыкает, с коротковолновой сто-
стороны, область непрерывного поглощения, что следовало бы учесть добавле-
добавлением к сумме B5.18) еще некоторого интеграла по этой области. Однако обу-
обусловленная таким интегралом поправка к величине п — 1 обычно весьма незна-
незначительна. Во-вторых, формула B5.18) справедлива только тогда, когда
атомы, влияющие на дисперсию, находятся в не возбужденном состоянии, т. е,
*) См. примечание в конце книги.
138 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
не способны к спонтанному излучению. Если же среди атомов имеются и воз-
бужденные (как, например, в светящемся положительном столбе газового раз-
разряда) то в формуле дисперсии следует принимать во внимание также и такие
частоты <ог которые соответствуют переходам к более низким уровням энергии.
Эти переходы, как впервые теоретически вычислил Крамере и затем под-
подтвердил на опыте Ладенбург, приводят к слагаемым с отрицательными зна-
значениями / (о т р и ц а те л ь#а я дисперсия).
§ 26. Аномальная дисперсия и поглощение. Для более детального
исследования хода кривых поглощения и показателя преломления в не-
непосредственной близости от собственной частоты мы должны вернуться
к уравнениям B5.12) предыдущего параграфа. Мы ограничимся, впрочем,
лишь тем случаем, когда диэлектрическая постоянная весьма мало отли-
отличается от единицы, как это наверняка имеет место в достаточно раз-
. реженных газах. В этом случае, на основании B5.9), имеем:
n—ik — V в =1
т
отсюда
02 —
Щ
<»0
_ 0,2J + Y2o,2
т
B6.1)
Рис. 39. Зависимость коэфици-
ента экстинкции k и показателя
преломления п от г = —
Так как нас теперь интересует только об-
область, непосредственно примыкающая к
отдельной линии поглощения, то обозна-
обозначим расстояние от середины линии через
' 7] = (О 0)о
и будем считать, что г\ мало по сравне-
сравнению с (о и (»0, Тогда приближенно можем
написать:
V — <о2 = — 2юо1Г),
откуда получаем:
B6.2)
/ПоH
4
вблизи линии поглощения.
Обозначив для удобства буквой z отношение расстояния от середины
линии к полуширине этой линии, т. е. положив г\ — -^г, мы имеем:
•1 =
к =
— z
B6.3)
АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ 139
Это дает для коэфициента экстинкции k и для показателя преломления п
кривые, изображенные на рис. 39. Максимум поглощения соответ-
соответствует z = 0; при z = ± 1 поглощение достигает половины максималь-
максимальной величины, а показатель преломления имеет экстремальные
значения. Между этими точками показатель преломления уменьшается
с увеличением длины волны, т. е. ведет себя как раз противоположно
тому, что имеет место в прозрачной области спектра. Такое убывание
показателя преломления при увеличении частоты называют аномаль-
аномальной дисперсией.
Рассмотрим подробнее процесс поглощения. Прежде всего убедимся
в том, что энергия, отнятая у световой волны при прохождении через
поглощающее вещество, равна работе, произведенной над отдельными
атомами данного вещества. Согласно общим уравнениям теории Мак-
Максвелла, со световой волной B5.11) связан поток энергии, определяемый
вектором Пойнтинга S = -^ Е X Н. Рассмотрим слой нашего вещества
Толщины dx, расположенный нормально к оси лг-ов. В этот слой через
^евую его поверхность входит ежесекундно энергия S, а через правую
поверхность выходит уже несколько меньшая энергия 5\ Поглощен-
Поглощенная в нашем слое энергия dS = S — S' по закону сохра-
сохранения энергии должна быть равна работе, произведен-
произведенной световой волной над отдельными атомами. Убе-
Убедимся, что на основании наших формул это действительно имеет место.
Исходя из значений Е и Н, выведенных в B5.11), мы получим, согласно
B5.10а), для среднего во времен А значения вектора Пойнтинга в точке х
выражение V
-costy=:-^a2ne~~x. B6.4)
Его уменьшение на пути dx дается поэтому формулой:
dS j 2iuk г, j апкч* о — _j se\f* т?\
'¦ -d?dx:=—Sdx—wa'e dx- <26-5)
Если подставить сюда значение 2nk из B5.12), то окажется, что энер-
энергия, поглощаемая на пути dx, равна
dS , 1 Ше* Y«>2a2*~
С другой стороны, на основании сказанного в § 15, работа, произво-
производимая электрическим полем с
связанным электроном, равна
Oik
димая электрическим полем с амплитудой ае Т * над отдельным у пру го -
2cofe
J з <?з аЧ с х
J_ з <?з аЧ
2 ?Ш т* («,02—a>2
Таким образом мы видим,»что энергия, оставшаяся в поглощающем слое,
действительно равна работе, произведенной над каждым электроном,
Умноженной на 3i dx.
1Ш УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
О дальнейшей судьбе этой энергии можно сказать следующее:
если затухание у обусловливается исключительно излучением,
поглощенная энергия будет тратиться на излучение рассеянного
света. Это имеет место в достаточно разреженных газах. Однако, при
больших плотностях затухание вследствие излучения начинает играть все
меньшую ролы по сравнению с эффектами взаимодействия,
например, по сравнению с описанным в § 15 затуханием вследствие
столкновений. Такого рода столкновения связаны с непосредствен-
непосредственным превращением лучистой энергии в кинетическую
энергию сталкивающихся атомов. Следовательно, поглощен-
поглощенное излучение превращается непосредственно в теплоту.
Мы только ч>то вычислили поглощение энергии в том случае, когда
на электрон действует строго монохроматическое излучение.
Рассмотрим теперь случай, когда "падающая волна содержит всевоз-
всевозможные частоты. Интенсивность этой волны можно написать
в виде
со
jrfa), B6.7)
где S(<o)rf(o представляет часть интенсивности, приходящуюся на спек-
спектральную область между о и а>-{-*/(о. Энергия излучения, поглощаемая
в слое dx'y на основании B6.5) определяется формулой
-fop
— dS = dxff— 5(ю)?*ш. B6.8)
У С
Вычислим этот интеграл в случае среды на столько разреженной, что
для k можно пользоваться формулой B6.1). В этом случае
-dS -~ dxj ы_ш2)*.
О
При не очень широкой линии подинтегральное выражение заметно от-
отличается от нуля только в непосредственной близости к спектральной
линии (о — соо. Поэтому введем в качестве переменной интегрирования
расстояние от середины линии yj = o>— <о0 и, кроме того, заменим
везде со на оH, за исключением разности ш0 — ш. Заданная функция
S (со) наверняка позволяет это проделать, если только ее можно счи-
считать практически постоянной в области линии поглощения. Тогда
имеем:
—U>0
причем в качестве нижнего предела интегрирования можно без особой
ошибки взять не—<в0, а —оо. Подставив 7) = -—., мы получим:
<26-9>
АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ 141
Таким" образом полная энергия, отнятая у непрерыв-
непрерывного спектра, не1 зависит от ширины л ин и и у. Этот ре-
результат, в сущности, означает, что площадь кривой k (рис. 39) не за-
зависит от ширины линии.
Так как на 1 см2 поглощающего слоя приходится ровно $ldx дис-
дисперсионных электронов, то наш последний результат может быть сфор-
сформулирован еще следующим образом: каждый дисперсионный элек-
электрон, находящийся под действием излучения, интенсивность которого
для частоты^ соответствующей собственной частоте электрона, равна
?(а>0), поглощает энергию -^- 5 (со0). Вместо интенсивности падающего
излучения можно задать то поглощение энергии, которое имеет место,
когда атом находится в поле излучения с определенной плотностью
энергии и. Очевидно, что энергия а(а>) в 1 см2 поля в случае нашей
бегущей волны определяется выражением
Если вместо а> ввести частоту v, т. е. число колебаний в одну секунду,
то для пересчета надо иметь в виду, что
5 (со) du = S (v) rfv = 5 (со) 2ir rfv,
т. е.
Следовательно,, если атом находится в поле излучения,
в котором спектральное распределение объемной
плотности энергии определяется выражением
со
И<= / U (v) rfv,
S
то за время dt он поглощает энергию
^§ B6.10)
Этот результат поможет нам в дальнейшем (в § 68) получить особенно
простой вывод формулы Рэлея-Джинса для распределения энер-
энергии в спектре черного излучения.
Эта формула описывает поглощение энергии упруго связанным электро-
электроном, имеющим три степени свободы. В теории равновесного излучения мы
встретимся с атомной моделью в виде ли не й н ого осциллятора. Эта
модель представляет заряд, совершающий упругие колебания только в одном
направлении (например, по оси лг-ов). Такой осциллятор реагирует толь о на
*е компоненты электрического поля, которые соответствуют этому направлению;
поэтому в изотри пном поле излучения он поглощает только треть энергии,
определяемой выражением B6.10), а именно
JM* B6.11)
142 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ Ч
Другое важное применение выражения B6.10) состоит в том, что
при его помощи можно привести классическую формулу дисперсии
B5,15) к виду, соответствующему требованиям квантовой теории. Впо-
Впоследствии (в § 70) мы вкратце вернемся и к этому вопросу.
§ 27. Магнитное вращение плоскости поляризации (эффект
Фарадея). В 1848 году Фарадей сделал следующее открытие. Если
через вещество, помещенное в достаточно сильное магнитное поле,
пропустить в направлении поля поляризованный пучок света, то пло-
плоскость поляризации повернется на некоторый угол, пропорциональный
магнитной напряженности и толщине слоя вещества.
В этом параграфе мы увидим, что количественное объяснение этого
эффекта может быть непосредствено дано на основании открытого
50 лет спустя эффекта Зеемана. Для этого мы прежде всего ука-
укажем на более удобный способ описания поляризованного света, пло-
плоскость поляризации которого непрерывно поворачивается при распро-
распространении. Если свет распространяется вдоль оси лг-ов, то вектор элек-
электрического поля расположен всегда в плоскости yz. Вместо того чтобы
отдельно задавать компоненты Еу и Е2У мы будем в дальнейшем описы-
описывать поле при помощи одной комплексной величины, вещественная часть
которой равна компоненте по оси у, а мнимая — по оси z. Поэтому,
если мы напишем
то это будет означать, что E2 = AsinaL и Ey = Acosa. Следовательно,
А есть абсолютное значение напряженности, а а — угол, образуемый
направлением Е с положительной осью у. Линейно поляризованная
в определенном направлении волна с частотой со, в среде с показателем
преломления п, может быть представлена в общем виде формулой
Еу+Шж = « cos •(*—?),
где а — произвольное комплексное число, абсолютное значение которого
определяет амплитуду, а фазовый угол — направление плоскости поля-
поляризации. Если при передвижении на 1 см по направлению оси х-ов
фазовый угол поворачивается на угол у, то это можно выразить про-
простым добавлением множителя elix к комплексной амплитуде. Поэтому
волна с вращающейся плоскостью поляризации должна быть задана
в виде:
cos ю (* —™) • B7 -1)
Заменив косинус соответствующими показательными функциями, полу-
получим для вектора электрического поля выражение, тождественное с B7.1):
. B7Ла)
Последнюю формулу можно истолковать следующим образом. Рассма-
Рассматриваемое колебание состоит из двух волн) вращающихся одна налево,
а другая направо, с одинаковыми амплитудами, но с разными показа-
МАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
143
телями преломления. Показатель преломления положительно вращаю-
вращающейся волны равен *
а отрицательно вращающейся —
Таким образом это чисто формальное описание привело нас к следую-
следующему результату: вращение плоскости поляризации в ка-
каком-либо веществе будет иметь место тогда, когда это
вещество обладает „двойным вращательным прелом-
преломлением*, т. е. когда оно имеет различные показатели преломления
для двух волн, поляризованных по кругу в противоположных направле-
направлениях. Если п+ и я_ — показатели преломления двух таких волн, то из
нашего рассмотрения следует, что с прохождением расстояния / пло-
плоскость поляризации поворачивается на угол
11= B7.2)
= («--«
Разность показате-
показателей преломления двух
противоположно поля-
поляризованных волн мож-
можно определить на осно-
основании нашего рассмо-
рассмотрения эффекта Зе-
!емана. Известно, что
магнитное поле Н на-
налагает на невозмущенное движение электронов внутри атома равно-
равномерное вращение вокруг направления поля с угловой скоростью
Рис. 40. Сведение эффекта Фарадея к продоль-
продольному эффекту Зеемана.
СО;
е_ гг
•~~ 2тс
B7.3)
Если на эту аЮмную систему падает волна с частотой со, поляризо-
поляризованная по кругу в положительном направлении, то ее частота по
отношению к вращающейся координатной системе будет, очевидно, на
<о? меньше, т. е. ш — <aL. Волна с той же частотой ш, но лево-поляри-
зованная по кругу, имеет во вращающейся координатной системе боль-
большую частоту, а именно <u-\-<ul. Соответственно этому следует ожидать,
что показатели преломления для двух рассматриваемых волн будут
различны. Если л(ш) означает показатель преломления данного сорта
^атомов в присутствии магнитного поля для волны с частотой ш, то
/для право-поляризованной волны мы получим показатель преломления
:Л + (<о) = я(<о — о)?), а для лево-поляризованной n-.(<a) = ti(&-\-(QL).
Это соотношение наглядно представлено на рис. 40: под влиянием
'магнитного поля вместо одной линии поглощения ш0 появляются две
144 уравнения Электромагнитного поля в неподвижных
таких линии; первая из них (линия поглощения волны, право-поляри-
право-поляризованной по кругу) расположена соответственно частоте ш0 ~j— <o^f другая
же (линия поглощения лево-поляризованной волны) — соответственно
% — »?.
В соответствии с этим мы ожидаем, что ход показателя преломления
для указанных двух волн будет с качественной стороны таков, как по-
показанный пунктиром на рис. 40.
На основании рис. 40 может быть чисто качественно объяснен ход
кривой магнитного вращения плоскости поляризации.
В частности, видно, что вне спектральной линии вращение плоскости
поляризации повсюду сохраняет неизменный знак. Кривая изменения
разности /г_ — п+ совершенно симметрична по отношению к сере-
середине линии. Только внутри самой линии поглощения можно ожидать
найти вращение в противоположном направлении (с большим^ трудом
наблюдаемое на опыте).
Так как ларморова частота очень мала по сравнению с частотами
видимого света, то легко определить разность я_ — п+, именно:
л- — n + = n(v + <»L) — п(ш — mL) = -^-2vL. B7.4)
Если сюда еще подставить известное значение частоты Лармора B7.3),
то мы получим формулу вращения плоскости поляризации, выведенную
впервые Беккерелем (Becquerel):
, о> , dn e т.
у/ = тг-1-z Н*
*• 2с йа> тс •
или, так как
dn - dn
ш d* — ~ к Ж9
'** (ад
Из этой формулы мы можем прежде всего вывести следующее
заключение относительно знака вращения плоскости поляризации: зна-
значение-^- в прозрачн ой области всегда отрицательно, точно
так же отрицателен и заряд электрона еу так что в общем мы получаем
всегда положительное вращение плоскости поляризации, т, е. вра-
вращение совпадает с направлением тока, вызывающего в соленоиде магнит-
магнитную напряженность Н.
Дальнейшая возможность проверки этой формулы состоит в том, что
на основании ее, с помощью измеренной каким-либо образом кривой дис-
дисперсии, определяется отношение заряда электрона к массе —. Исходя из
/tic
указанного вывода формулы B7.5), можно ожидать, что она будет спра-
справедлива только в случае свободных атомов газа. В действительности же
эта формула была применена с хорошим практическим успехом к моле-
молекулам и даже . кристалл ам. На основании измеренных вели-
величин X и хГ ^ыли полУчены для РяДа веществ следующие значе-
МАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ 145
ния —: водород—1,75• 107, углекислый газ—1,00-107, ка-
171С
менная соль—1,5Ы07, плавленный кварц —1,37- 10т, в то
время как опыты с отклонением электронов (§ 3) дают значение 1,759 • 107.
Мы видим, что наша формула B7.5) дает правильный порядок вели-
величины —, однако, результат всегда оказывается меньше истинного
тс
значения. Причина такого отклонения, наверно, зависит отчасти от
того, что мы при вычислениях исходили из нормального эффекта Зеемана
в то время как в большинстве случаев он бывает аномальным.
Затем другая причина расхождения состоит в том, что мы подставляли
dn
вместо —=г экспериментально измеренную величину изменения показателя
преломления с длиной волны. Это изменение, однако, только отчасти
связано с движением электронов. Существенное влияние на показатель
преломления оказывают, кроме того, инфракрасные линии погло-
поглощения, обусловленные движением целых атомов. Эти инфракрасные соб-
собственные колебания, вследствие большой массы атомов, по крайней мере
в 2.000 раз превышающей массу электрона, вызывают во столько же раз
меньший эффект Зеемана, который поэтому лишь весьма незначительно
влияет на вращение плоскости поляризации. Для более строгого рас-
рассмотрения эффекта Фарадея следовало бы разложить показатель пре-
преломления п ни два слагаемых пг и ns, соответствующих вращению и коле-
колебанию молекул (пг) и движению электронов (ns). Только эту последнюю
часть показателя преломления имеет смысл применять в формуле Бек-
кереля B7.5).
«
Уточним приведенный выше наглядный вывод формулы вращения пло-
плоскости поляризации, принимая во внимание только чго упомянутое обстоя-
обстоятельство. При эгом учтем еще и тот факт, что напряженность Е', действующая
на каждую отдельную молекулу, не равна вектору электрической напряжен-
напряженности Е, а определяется, согласно § 22, формулой
Е' = Е + 4?- Р. B7.6)
о
Рассмотрим снова некоторый волновой процесс, распространяющийся в напра-
направлении положительной оси л:-ов,, Тогда на каждый упруго связанный эле-
электрон с собственной частотой o>s действует, во первых квази-упругая
сила г, во-вторых, лорентцова сила — vXH, обусловленная маг-
ТТЬ С
нитным полем Н, параллельным оси дг-ов, и, в-третьих, сила еЕ1 от падаю-
падающей световой волны.
Уравнения движения нашего электрона будут:
тс
Веккео 5S10 10
146 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Умножая третье уравнение на / и складывая его со вторым, мы получаем наи-
наиболее удобное для наших целей комплексное уравнение движения:
Рассмотрим частный случай поляризованной по кругу волны с частотой «>,
т. е. положим Еу + 1Е2' = ье*ф*. Тогда все комплексные величины, будут про.
порциональны ei(i>tf так что для амплитуды вынужденного движения нашего
электрона по кругу мы получим:
Так как ларморова частота <oL всегда очень мала по сравению с частотой
световой волны <о, то можно, не меняя заметно величины написанного выраже-
выражения, добавить в знаменателе — а>?2; тогда для амплитуды мы получим:
m
При положительной частоте со это соотношение справедливо для право-врашаю-
щейся волны. Лево-вращающуюся волну мы получим, считая частоту а> по-
прежнему положительной, но положив Е'у -\- iE1 z~ ае~ш. Тогда для вынужден-
вынужденной амплитуды такой волны мы получим выражение: •
е
m
Общая, результирующая диэлектрическая поляризация Р определяется
смещением всех электронов и всех ионов. Если мы имеем $is электронов
с собственной частотой «у и кроме того, 9tr ионов с зарядами ег и частотами
а>г (преимущественно в инфракрасной области), то общая диэлектрическая
поляризация будет:
Ру + 1Р2 = %%e(ys + izs) + %%er(yr + izr).
s r
Внешнее магнитное поле не будет оказывать заметного влияния на смещение
положительных ионов (вследствие их большой массы), так что для смещения
уr + izr можно непосредственно написать:
Таким образом, для право-вращающейся волны мы, в общем, имеем:
)' B7J)
С другой стороны, показатель преломления п, вообще определяется из урав-
уравнения
Р=^?Е, B7.8)
МАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЙЛОСкОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИЙ 14?
так что, исключая величины Р и В из уравнений B7.6), B7.7) и B7.8), мы по-
получаем:
B7.9)
-1 4. Г? *JT ,У 41
ЛЗ..
Таким образом, если отвлечься от влияния инфракрасных собственных частот,
можно подтвердить правильность приведенных на рис. 40 кривых для показа-
показателей преломления.
Для определения магнитного вращения плоскости поляризации мы должны
знать разность показателей преломления п- — п+. Так как эта разность всегда
очень мала по сравнению с показателем преломления /г, то для ее вычисления
можно поступить следующим образом. Вычислим непосредственно, на основа-
основании B7.9), разность
д __ Я2- — 1 П2+ — 1
"" л2- +2 /г2+ +2
И ПОЛОЖИМ
Л- =Л + С И Я+ =а/1—С,
где
мы можем считать величиной весьма малой по сравнению с л. Разлагая вы*
ражение для А в р<*д по степеням С, мы получим:
А 6л О|, 6л .
Поэтому из нашего уравнения B7.2) для угла поворота следует выражение
* ~~ 2с 6л
или, согласно B7.9),
^^2 + 2K^Y^-gJ * ^.J I ('27.10)
ZC ОЛ w ^нш /Л I We — (О) —р (Or !•" <О«^ — (Ш — в)гг I
Для того чтобы отсюда прийти к формуле Беккереля B7.5), обозначим через
л показатель преломления, обусловленный одними лишь электронами. Очевидно,
для этого показателя преломления мы можем написать:
«2-1 4**V *'?
S
или, диференцируя по <*>,
(ла + 2J rfw 3
.У
148 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Разлагая наше уравнение B7.10) в ряд по степеням малой, величины mL% по-
получаем:
со/ (яз-1-2J 87го) у 1?
s
или, приняв во внимание B7.11) и B7.3),
1=_ Ы (п* 4-2J 6/1 flfn g
2с 6/1 («3 + 2K da> /ис
Воспользовавшись еще соотношением
dn * dn
flfu) d\ *
получаем исправленную формулу Беккереля
для вращения плоскости поляризации на участке пути / в присутствии
магнитного поля Н. В этом выражении п представляет истинный пока-
показатель преломления, а п есть часть показателя преломления, обусловлен-
обусловленная только движением электронов.
Для экспериментальной проверки этой формулы нужно прежде всего
проанализировать ход показателя преломления, принимая во внимание и
инфракрасные и ультрафиолетовые собственные частоты. Для п нужно
подставить в эту формулу лишь последнюю часть показателя преломле-
преломления. Формула B7.12) много раз проверялась на различных кристаллах
(каменная соль, сильвин и плавиковый шпат), причем практически полу-
получалось почти полное совладение с измеренными значениями вращения
плоскости поляризации. Дальнейшие подробности см. обзор Ладен-
бурга, „Ldubuch der Physik" Muller Pouillet, Optik II, 2, 1929.
§ 28. Влияние внешнего ориентирующего поля. Если молекулы,
обладающие постоянным магнитным или электрическим моментом, поме-
поместить в магнитное или электрическое поде, то они частично ориентиру-
ориентируются, так как поле старается направить их моменты параллельно сило-
силовым линиям. Этот эффект может быть обнаружен различными способами
в оптических явлениях, причем магнитная или электрическая ориентир «вка
может быть исследована при поперечном или продольном наблюдении.
Мы ограничимся здесь двумя типичными случаями, а именно магнит^
ной ориентировкой при продольном наблюдении (пара-
(парамагнитное вращение плоскости поляризации) и электрической
ориентировкой при поперечном наблюдении (эффект
Ксрра).
а) Парачагнчтное вращение плоскости поляризации. Мы рассмотрим
это чрезвычайно интересное с экспериментальной толчки зрения явление
только с качественной стороны. В предыдущем парагрзфе, при разбрре
эффекта Фараде я, мы сделали молчаливое допущение, что у раз-
различных молекул все направления вращения в среднем равновероятны*
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ОРИЕНТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ
149
Рис. 41. Парамагнитное вращение плоскости
поляризации.
Если же отдельная молекула заранее обладает преимущественным напра-
направлением вращения электронов, то это обстоятельство эквивалентно тому,
что данный атом имеет магнитный момент, ось которого совпадает с этим
преимущественным направлением оси вращения. При отсутствии внешнего
поля все направления осей отдельных молекул в пространстве равнове-
равновероятны. При включении магнитного поля, параллельного направлению
светового луча, про-
произойдет частичная ори-
ориентировка молекул —
в том смысле, что чи-
число молекул, в кото-
которых электроны вра-
вращаются направо по
отношению к напра-
направлению поля, увели-
увеличится, а число моле-
молекул, в которых враще-
вращение происходит вле-
влево — уменьшится. Это
приведет по сравнению
с рис. 40 к увеличе-
увеличению показателя пре-
преломления право-вра-
право-вращающейся волны и к уменьшению показателя преломления волны, вра-
вращающейся влево, так что при очень сильных полях ход показателей
преломления будет иметь вид, изображенный на рис 41. Отсюда сле-
следует, что в этом случае величина п_ — п. определяющая эффект Фа-
радея, может стать совершенно несимметричной по отношению
к середине линии. В частности, вполне возможно, что вращение пло-
плоскости поляризации с одной стороны линии станет положитель-
положительным, а с другой — отрицательным, что действительно и на-
наблюдалось. На основании дальнейшего исследования этого явления как
с теоретической, так и с экспериментальной стороны удалось получить
из магнитного вращения плоскости поляризации очень точные заключения
относительно парамагнитной ориентации молекул.
б) Электрическое
j двойное лучепреломле-
лучепреломление (эффект Керра).
Обычная аппаратура
для наблюдения и тех-
технического применения
эффекта Керра
(рис. 42) состоит из
двух пластин конден-
конденсатора, между которыми налита подходящая жидкость (бензол или
нитробензол). Через поляризатор (николь) эта жидкость освещается
светом, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с напра-
направлением поля в конденсаторе. Пройдя через жидкость, свет попадает
в анализатор, повернутый на 90° относительно поляризатора. При не-
Рис. 42. Схема установки для изучения эффекта
Керра.
150 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
включенном конденсаторе эта установка не пропускает света; наоборот,
при включении электрического поля в поле зрения анализатора наблю-
наблюдается свет.
Это явление происходит следующим образом. Под действием эле-
трического поля конденсатора (например, параллельного оси z) жид-
жидкость становится анизотропной, т. е. электрическая поляризуемость
ее делается различной в зависимости от того, как колеблется электри-
электрический вектор световой волны: в направлении поля Ео или же в перпен-
перпендикулярном направлении. Следовательно, мы можем говорить о различ-
различных диэлектрических постоянных еу й е2, т. е. о различных показателях
преломления пу и п2 в зависимости от того, как колеблется электриче-
электрический вектор: по направлению оси у или оси z. В соответствии с этим
компоненты диэлектрической поляризации будут:
Е
B8.1)
Отсюда мы получим решения волнового уравнения для плоских
линейно-поляризованных волн в виде:
Из этих уравнений видно, что не следует ожидать никаких особен-
особенных явлений, если падающий свет линейно поляризован в направлении
поля Ео {а = 0) или в перпендикулярном ему направлении (р = 0).
В обоих случаях в жидкости распространяется линейно-поляризованная
волна; только ее скорость в двух случаях будет не совсем одинакова.
Но мы получим нечто новое, когда падающий свет поляризован под
какимцшбудь углом к направлению поля, например под углом
в 45° (Ь = а). Разберем вкратце, какой вид будут иметь в этом случае
выражения B8.2) для поля световой волны в какой-либо точке х. Дли
этого введем пока сокращенные обозначения
где
Тогда уравнения для поля световой волны примут вид:
Еу = а cos (Ы—r-\-s) — a {cos (atf— г) coss — sin (atf—r) sin s},
Ef = a со? (со/— r — s) = a {cos (a>/—r) cos $ -j- sin (a>?— r) sin $} r
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ОРИЕНТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ 151
Из этих уравнений легко исключить t Складывая и вычитывая эти два
уравнения, мы получим для компонент поля равенство:
\ 2а cos 5 ) ~ \ 2а sin s ) v '
Из этого равенства мы можем заключить, что в заданной точке х конец
вектора Е описывает эллипс, главные оси которого всегда наклонены
под углом 45° к осям у и z. Следовательно, в установке, изображенной
на рис. 42, одна из осей эллипса всегда совпадает с направлением поля-
поляризатора, а другая — с направлением анализатора. Если s последовательно
принимает значения
получим колебания, схе-
схематически изображенные Рис. 43. Колебания электрического вектора на
на рис. 43. Из значений s различных расстояниях от поляризатора,
мы можем заключить: луч
линейно-поляризованный параллельно анализатору, становится поляри-
поляризованным по кругу, пройдя расстояние х = -| -(—¦?-—г-. Пройдя
удвоенное расстояние, т. е. -? -.—-—г- , исследуемый свет ста-
новится линейно-поляризованным перпендикулярно к анализа-
анализатору. Следовательно, в этом случае свет без ослабления проходит через
анализатор. Если ввести длины волн
л 2тге . * • 2-тгс
v <&Пу z omz y
то наше условие для круговой поляризации примет вид:
jc х 1
Мы получаем с Bet, поляризованный по кругу, если
число укладывающиеся на отрезке д; волн одного на-
направления поляризации отличается от числа волн
другого направления пол яризации ровно на у.
Опыт показал, что разность пг — я , определяющая величину наблю-
наблюдаемого эффекта, пропорциональна квадрату напряженности Ео между
пластинами конденсатора. Коэфициент пропорциональности Б, фигури-
фигурирующий в равенстве
nz-tiy = B\E,\ B8.5)
называют постоянной Керра для данного вещества. В это равен-
равенство входит еще длина волны в пустоте Хо, так как длина пути, необ-
необходимая для получения максимума освещения в анализаторе, определяется
отношением этой длины волны к разности показателей преломления.
152 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
-?-есть та длина пути, на которой при ?0 =*= 1 происхо-
происходил бы поворот плоскости поляризации на угол 360°.
Теперь мы покажем, каков тот атомный механизм, при помощи кото-
которого объясняется появление электрического двойного лучепреломления,
и как можно простым способом составить себе понятие о порядке вели-
величины постоянной Керра. Основное предположение, которое надо сделать
для объяснения этого явления, состоит в том, что отдельным молекулам
приписывается поляризуемость, зависящая от направление поля. Рассмо-
рим лишь простейшую модель молекулы, обладающую этим свойством.
Простейшее предположение — это то, что отдельная молекула вообще
может быть поляризована лишь в одном определенном для нее направле-
направлении. Грубую механическую модель такой молекулы представляет заряд,
который вынужден скользить по прямому стержню и мо&ет совершать
вдоль этого стержня упругие колебания относительно середины. Если
такую модель поместить в электрическое поле, то на движение элек-
электрона оказывает влияние только та компонента напряженности, которая
совпадает с направлением стержня. Следовательно, если обозначить че-
через а поляризуемость, т. е. дипольный момент, производимый напряжен-
напряженностью, равной единице и направленной параллельно стержню, то при
заданном направлении стержня его дипольный момент буцет равен
a?cosi>. Следовательно, компонента дипольного момента, совпадающая
с направлением действующего поля, будет
ос?со$2&.
Если снова обозначить через N' число молекул в 1 см*, то мы получим
для поляризации, производимой полем световой волны Е, выражение ,
P = A/r'aEcos2&.
Здесь cos2!) = -^г (cos2 &x -f- cos2 ft2 -J-... -f- cos2 &^) представляет сред-
среднее значение, взятое по всем молекулам, причем в эту формулу подставляется
для каждой молекулы угол 0 между направлением ее поляризуемости и
направлением электрического поля. До тех пор,. пока внешнее поле не
создает ориентацию молекул в некотором преимущественном направле-
направлении, все направления поляризации равновероятны. В этом случае cos2 ft =
= -77-. Поэтому для диэлектрической постоянной нашей среды мы по-
получаем выражение:
е0 — 1 = 4iriVa ^i^?== i^ . B8.6)
Следовательно, при не слишком больших значениях ЛЛ,
«о-1 = ^. B8.6а)
Если создать преимущественное направление при помощи
какой-либо внешней силы, — например электрического поля в конденса-
конденсаторе,— то может случиться, что направления осей отдельных молекул уже
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ОРИЕНТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ * 153
не будут распределены в пространстве изотропно, а будут ориентиро-
ориентированы, например, преимущественно в направлении электрического поля Ео.
В этом случае среднее значение cos2 & для электрического вектора све-
световой волны будет неодинаково для различных направлений поляриза-
поляризации. Для более подробного разбора этого явления рассмотрим октант
единичной сферы (рис. 44). Пусть Z — направление постоянного поля Ео,
X—направление распространения света, а Р — направление оси отдель-
отдельной молекулы. Последнее направление образует с осями Y и Z углы ф,
ср и 0. Согласно уравнению B8.6), для волны, электрический вектор
которой колеблется в направлении оси Z, мы можем написать:
а для волны, поляризованной в перпендикулярном
направлении,—
еу =
Введем еще угол <р = <?: (YZP), для которого всегда
имеет место соотношение х
cos ф = sin » cos о, рис 44 Ориентировка
оси молекулы Р в
эффекте Керра.
cos2 ф = sin2 0 cos2 ср.
Из соображений симметрии мы не должны ожидать какого-либо пре-
преимущественного значения угла ср. Напротив, все направления диполей,
образующие данный угол & с направлением Z, будут равновероятны.
Поэтому в последнем уравнении мы можем произвести усреднение по <р
при заданном &, причем получим:
cos2^ == ~- cos2&= -^- A — cos*&)
или
Таким образом, для разности диэлектрических постоянных и, следова-
следовательно, для разности квадратов показателей преломления, мы получаем
выражение
ег — еу = л/ _ П2 = 4тсЛЛх — (cos2"» — -1-) .
Так как на практике всегда
то можно положить с достаточной степенью точности:
пг~ V = 2/*0 ("* — пу)'
Введя еще определяемый выражением B8.6а) показатель преломле-
преломления щ для вещества при отсутствии поля, получим для интересующей
154 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
нас разности показателей преломления, а тем самым и для двойного
лучепреломления, выражение:
Таким образом, в нашей модели теоретическое вычисление эффекта
Керра сводится к вычислению cos2&.
В общем случае можно указать две причины, определяющие
преимущественную ориентацию молекул. Прежде всею, молекула может
обладать постоянным электрическим моментом р0, на кото-
который может действовать ориентирующее поле Ео. Но и при отсутствии
такого постоянного момента внешнее поле будет стремиться вызывать
параллельную ему ориентацию молекул, так как это поле само инду-
индуцирует дипольный момент, на который оно затем может дей-
действовать. Заметим, что эта в некотором смысле наиболее общая модель
молекулы может быть описана следующим образом: каждая моле-
молекула поляризуется в различной степени в трех взаимно
перпендикулярных направлениях, связанных с моле-
молекулой (главные оси поляризуемости молекулы). Кроме того, молекула
имеет еще постоянный дипольный момент, расположен-
расположенный под некоторым углом к главным осям поляризуе-
поляризуемости. Так как здесь мы должны рассмотреть лишь наиболее суще-
существенные черты этого явления, то мы ограничимся предельным случаем
этой модели, а именно, предположим, что поляризуемость по двум из
трех главных осей молекулы равна нулю. Кроме того, примем, что
-постоянный момент или направлен по оси поляризуемости молекулы или
вовсе отсутствует. Рассмотрим оба эти случая.
Молекулы с постоянным моментом. Обозначив снова
величину момента через р0 и угол, образованный им с направлением
поля Ео, через 0, мы получим для потенциальной энергии моле-
молекулы в поле Ео величину U==—p0EQcosft. Вероятность того, что
ось некоторой молекулы образует с направлением поля угол, заключен-
заключенный между & и &-|-д?9, согласно § 24 равна
р0Е0 cos О
W(&) db = const• е —kT~~ sin
Положив
» = a: и ^ =
мы получим искомое среднее:
"x4**-dx
Ь =
I:
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ОРИЕНТИРУЮЩЕГО ПОЛЯ 155
Так как число (S можно считать всегда малой величиной, то последнее
выражение можно разложить в ряд Тэйлора, что дает:
+'''"*+^+'" B8'8)
Молекулы б'ез постоянного момента. Применяя стати-
статистическую формулу Больтцмана, мы должны принять во внимание, что
теперь потенциальная энергия рассматриваемой молекулы определяется
двумя переменными, а именно: направлением ее оси относи-
относительно поля и величиной ее дипольного момента в дан-
данном поле. Легко сообразить, что работа, затрачиваемая на преодоле-
преодоление квазиупругих внутренних сил при индуцировании дипольного мо-
момента, равна -rt-~' Сюда следует добавить потенциальную энергию по
отношению к внешнему полю ?0, равную—pEQcos$, так что полная
потенциальная энергия составляет:
С помощью этой формулы мы можем снова вычислить выражение
и
Ясов2»* kTdp d (cos 0)
Vi^
cos2 Ь =sL-^z у . B8.9)
"ьт dp d (cos Э)
Вместо U сюда надо подставить приведенную выше функцию. Интегри-
Интегрирование производится: порот —оо до +оо, а по & — от 0 до тс. При
заданном & интегрирование по р может быть непосредственно выпол-
выполнено. Положив
о _ ?oCOS*
2kT
и принимая во внимание тождество
мы получим интеграл по р в виде:
Оставшийся здесь невычисленным интеграл не зависит от Ь и поэтому
может быть сокращен в числителе и в знаменателе формулы B8,9).
Положим затем
cos & = к
156 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Тогда из B8.9) мы получаем:
+1
x*e**dx
— 4-1
fe**dx
Для единственно встречаемого на практике случая, когда величина
аЕс?
~ 7kf мала по сРавнению с единицей, окончательный результат
будет:
cos^ = 4--4-AH B8Л0)
Подставляя найденные в B8.8) и в B8.10) значения в уравнение B8.7),
мы получаем для вычисления постоянной Керра: для молекул с по-
постоянным дипольным моментом выражение
а для молекул без постоянного дипольного момента —
В последнюю формулу можно еще подставить значение а, выражен-
выраженное через показатель преломления по формуле B8.6а).
В качестве численного примера найдем величину постоянной Керра нашей
модели Для показателя преломления /20=1,о. Возьмем число молекул N1
в 1 си3, соответствующее бензолу. Так как молекулярный вес равен 78, а плот-
плотность 0,9, то мы получим
следовательно, по формуле B8.6а), для Т = 300°
Для того, чтобы найти приближенное значение вяияния постоянного дипольного
момента, предположим, что диполь состоит из двух элементарных Зарлдов на
расстоянии 1(Г"8 см.
Тогда
18
ДИАМАГНЕТИЗМ 157
Если мы примем, что длина волны X = 0,5 • 10 * см, то для постоянной Керра
В = —ч Татг в случае нашей модели мы получим: при наличии дипольного
момента
В«18.1(Гб>
а при отсутствии дипольного момента
Яда1,Ы(Г6-
Сопоставим эти числа, получевные путем весьма грубого подсчета, с наблюден-
наблюденными значениями Б. Опыт дает
для бензола 0,6»1(Г~7,
для сероуглерода 3,2 -1СГ7,
для нитробензола . .22,0«КГ*6,
Эти результаты склоняют нас к тому, что в случае бензола и сероуглерода
следует исходить при объяснении явления Керра главным образом из инду-
индуцированного дипольного момента, а в случае нитробензола — обьяснигь
значительно большую величину постоянной Керра наличием большого по-
постоянного дипольного момента.
IV. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 29. Диамагнетизм. Магнитность какого-либо вещества всегда со-
состоит в том, что под действием магнитного поля оно приобретает маг-
магнитный момент. В диамагнитных телах этот момент направлен
против вектора поля, в парамагнитных же он расположен по'на-
по'направлению индуцирующего поля. Однако, это вполне верно только
в тех случаях, когда мы имеем дело с аморфными или с полисристал-
лическими телами. В монокристаллах же магнитный момент может со-
составлять любой угол с направлением поля.
При теоретическом вычислении намагничения следует существенно
различать, обладают ли отдельные молекулы вещества собственным маг-
магнитным моментом или нет. В последнем случае наблюдаемое намагни-
намагничение обусловливается только тем, что внешнее магнитное поле инду-
индуцирует в атомах магнитный момент, как нами уже было показано в § 17.
Момент, который вызывает эта индукция, всег<а направлен против поля,
это — диамагнетизм. Такое индуцирующее действие поля не зависит от
того, существует ли помимо этого и постоянный магнитный момент,
так что принципиально индукция имеет место во всех без исключения
веществах. Если же отдельные молекулы обладают постоянным маг-
магнитным моментом, то происходящий отсюда парамагнетизм, как
правило, значительно сильнее, так что в этих случаях можно прак-
практически не принимать во внимание существующего одновременно диа-
диамагнетизма.
Теоретические соображения о вычислении диамагнитной, вос-
восприимчивости были в общих чертах уже приведены в § 16. По
теореме Лармора, при включении магнитного поля Н движение
электронов в атоме меняется таким образом, что на невозмущенное
движение налагается равномерное вращение вокруг направления поля
с угловой скоростью
158
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Это дополнительное вращение всей электронной системы эквивалентно
конвекционному току, магнитный момент которого проявляется как
намагничение вещества. Согласно § 17, диамагнитнай воспри-
восприимчивость, отнесенная к отдельному атому, равна
6тс*а *
Здесь Z означает число электронов в атоме; а — средний радиус
орбиты, описываемый этими электронами (а определяется из соотноше-
z \
V, е, т и с имеют обычный смысл. Вычислим отсюда
ния Za2 =
диамагнитную восприимчивость % , отнесенную к еди-
единице массы. Если А — атомный вес, а N — число Авогадро, то
N
в 1 грамме вещества находятся -^ атомов, так что восприимчивость
1 грамма будет
B9.1)
Подставив известные значения входящих сюда универсальных постоян-
постоянных, получим:
X = —--а2-2,85«1010. B9.1а)
* z
Для всей периодической системы элементов дробь -д довольно близка
к -^ Средний радиус электронной орбиты есть величина порядка
10~8 см, следовательно а2 примерно равно 10"~16 см. У тяжелых эле-
элементов а2 заметно меньше, так как ядро обладает большим положитель-
положительным зарядом и ближе притягивает к себе электроны.
Не
С (алмаз)
С1
Вг
Hg
Bi
А
4
12
35,5
80
200
209
Z
2
6
17
35
80
83
—0,45
—0,50
-0,59
-0,40
—0,19
—1.0
п 2,85 Z
ЗЫ0~18
35-Ю-18
43-Ю-18
32- Ю-18
17-Ю-18
(88- Ю-18)
Сравним это теоретическое предсказание с приведенными в таблице
измеренными значениями диамагнитной восприимчивости. В послед-
последнем столбце приведены значения а2, вычисленные из измеренных
диамагнитных восприимчивостей по формуле B9.1а). Мы видим,
что наши ожидания полностью подтверждаются. Существенное исклю-
исключение представляет, собственно говоря, только висмут, обладающий
ДИАМАГНЕТИЗМ 159
ненормально большой восприимчивостью. Это аномальное поведение
висмута до сих пор еще не объяснено. Оно, вероятно, обусловлено
особенностями движения электронов в висмуте; эти особенности при-
приводят к тому, что этот металл является аномальным в отношении и дру-
других свойств.
Примечание. В этом параграфе мы изложили классическую теорию диа-
диамагнетизма в ее обычной формб; дальше мы рассмотрим такую же теорию
парамагнетизма. В действительности мы, однако, молчаливо ввели во все пре-
предыдущие рассуждения некоторое допущение существенно квантового ха-
характера, а именно мы предположили, что в атомах существуют элек-
электронные орбиты или замкнутые токи1). В последовательной класси-
классической теории следовало бы заменить это предположение общей теоремой
статистической механики, согласно которой вероятность dW некоторого состоя-
состояния, характеризуемого элементом фазового пространства от Х\ до Х\ \ d
и от рп до рп + dpm определяется из равенства
dW^ const е kT dx1...dpm
где % — гамильтонова функция для данной системы. Если провести эту теорию
последовательно, то мы пришли бы к пугающему результату, а именно, что
в рамках классической электронной теории вообще не су-
существует намагничения.
Это может быть очень легко доказано в общем виде на основании рассмо-
рассмотренных в § 12 общих свойств гамильтоновой функции. Для этого мы должны
только подробнее рассмотреть фазовый интеграл A2.14):
f
kT
dxt...dpn
производная логарифма* которого по напряженности магнитного поля Я, со-
согласно A2.15), дчет средний магнитный момент. При этом гамильтонова функ*
ция % дается равенством A2.7). Эта функция содержит импульс рг только в ком*
бинации рх Аь где Аъ представляет соответствующую координате х1 ком*
с
поненту вектора-потенциала А, вихрь которого равен магнитному полю, и ко*
торый зависит только от координат, но не от импульсов. Покажем, что значе-
значение Z совершенно не зависит от величин Л/, а следовательно, и от магнитного
поля И. Для этого, вместо переменных интегрирования хг...рП9 введем новые
переменные 5j,...тсл, определяемые соотношениями
Теперь мы должны только принять во внимание, что функциональный опреде-
определитель
d(xt...pn) '
и что все А( после этого преобразования совершенно исчезнут из выражения
для Z. Следовательно, Z не зависит от Н, и поэтому, согласно A2.15), средний
магнитный момент (в классической теории) всегда равен нулю.
1) См. примечание после текста.
160 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
§ 30. Парамагнетизм. Если отдельные атомы обладают магнитным
моментом, то магнитность может происходить оттого, что отдельные
атомы под действием внешнего магнитного поля отчасти ориентируются.
Результирующее намагничение при этом определяется статистиче*
ским равновесием между ориентирующим действием
магнитного поля и дезориентирующим действием те-
теплового движения. Если jt — магнитный момент отдельной моле-
молекулы, а & — угол, который этот момент образует с направлением поля,
то pi cos 0 представляет ту часть результирующего магнитного момента,
которая создается этой молекулой. Для вычисления парамагнитной вос-
восприимчивости мы должны определить, какова вероятность различных
углов при статистическом равновесии. Результаты этого вычисления бу-
будут различны в зависимости от того, будем ли мы принимать во вни-
внимание, согласно представлениям классической статистики, все геоме-
геометрически возможные ориентации, или же будем допускать,
в духе квантовой механики, только дискретные значения ком-
компоненты магнитного момента в направлении поля (пространственное
квантование). Решение этой задачи методами классической статистиче-
статистической механики, данное впервые Ланжевеном, вполне аналогично
тому, с которым мы познакомились в § 24 при рассмотрении электри-
электрических диполей в электрическом поле. Потенциальная энергия диполя,
расположенного под углом & к направлению поля, равна — [x//cos&.
Отсюда следует, что вероятность ориентации в направлении, заключенном
между углами 0 и &+d&, согласно основной теореме Больтцмана, равна
\».Н cos Ь
dW= const-e kT
Отсюда для среднего магнитного момента в направлении поля мы
получим:
1С |Х// COS Ь
f \l cos be kT sin&i&
о*
e sin&d»
о
Вводя сокращенные обозначения
|? *, C0,1)
мы получаем отсюда:
+ i
fxe*xdx
ITJ^ifl+JHL
C0-2)
e* — е-* а
«x dx
— l
+1
f e«x
l
ПАРАМАГНЕТИЗМ 161
Найденная здесь функция числа а называется функцией Лан-
жевена:
(а) = ctgh а — 1. C0.3)
Мы снабдили ее значком оо, чтобы показать, что при ее вычислении
было учтено бесконечно большое число возможностей ориентации. Ниже
мы подробно обсудим ход этой функции. Формула C0.2), вытекающая
из классической теории, не согласуется с современными представле-
представлениями. Именно, по квантовой теории существует только конечное
число дискретных возможных ориентации. Обозначив через 2)-\-\ число
этих различных возможных ориентации, мы будем иметь всего 2/—(— 1
дискретных значений компоненты магнитного момента в направлении
поля:
/—1 / — 2 , у—1 ¦
V't I1* J 9 И* 1 > • • * 9 ""TV* у~"" > Т~ Р>
причем для вычисления jjl снова должен быть применен закон Больтцмана.
Тогда мы получим более -общую формулу:
+' s "-
'- = L,(a). C0.4)
В формуле C0.4) мы имеем обобщенную функцию Ланжевена Ly(a),
где значок у указывает на чило 2/-J-1 возможных ориентации, для ко-
которого определена эта функция. Наименьшее значение, которое может
принимать у, согласно квантовой механике, равно у. В этом случае воз-
возможны только два направления момента: одно — параллельное полю и
другое — антипараллельное. Этот случай имеет место, когда магнитный
момент атома обусловлен исключительно электронным спином
(орбитальный момент равен нулю). Тогда мы получаем функцию Лан-
Ланжевена
1 10ь1 5= ' ¦' ' === Т2П ОС. luU.Oi
Z. * ' ?<х -i- Q—а » v /
2
В другом предельном случае, при j = оо, выражение C0.4) переходит
в C0.3). Все остальные функции, определяемые соотношением C0.4),
заключены между предельными значениями L г и L^. Приведем здесь
Т
выражения обеих наиболее важных функций Ланжевена L х и Loo при
Т
больших и при малых значениях а; эти выражения нам понадобятся
в дальнейшем.
Бекквр 6810 11
162 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Обозначения
Т
Формула
е*-е-*
еа+е~а
<?«+*-* 1
для а<1
а» . 2аб
а 3+15-
а а« 2а&
3 45+SU5'"
для а > 1
1 2 в'
, 1
а
Мы не будем подробно вычислять функцию ?Дос) по формуле C0.4),
а ограничимся рассмотрением характера ее изменения при малых зна-
значениях а, т. е. тогда, когда магнитная энергия ft// мала по
сравнению с тепловой энергией kT. Согласно C0.4), для
малых значений а имеем:
Входящая сюда сумма
2
2j
/
может быть вычислена элементарным путем и равна-?-/(/+1) B/+1).
Отсюда для а <^; 1 имеем:
1
C0.6)
Таким образом, рогласно C0.4) и C0.1), среднее значение на-
намагничения, производимого одной молекулой, соста-
составляет
. О Г I • I 4
C0.7)
Эта формула дает теоретическое объяснение явления, открытого
Кюри (Curie), который нашел, что восприимчивость парамагнитных ве-
веществ обратно пропорциональна абсолютной температуре. Таким обра-
образом, для восприимчивости, отнесенной к одной грамм-молекуле, мы мо-
можем написать:
1м — 7/ —-Т"
Входящая сюда величина С называется постоянной Кюри.
Значение измерений парамагнитной восприимчивости атомов и ионов
состоит в том, что таким путем могут быть определены магнитные мо-
моменты атомов. На основании только что приведенных соображений, п о-
стоянная Кюри, отнесенная к отдельному атому, определяется из
формулы
Л* . «к / S I Ч \
C0.8)
ПАРАМАГНЕТИЗМ 163
Эту формулу можно еше улучшить, если определить значение jx из
спектроскопических данных о состоянии атома. Состояние
атома характеризуется, во-первых, квантовым числом у, которым мы
уже пользовались, и кроме того, еще так называемым фактором
Ландэ g, который показывает, во сколько раз магнитный момент атома
больше результирующего момента количества движения. Пока мы не
учитываем электронного спина, фактор Ландэ равен 1, т. е. магнитный
момент (х связан с механическим моментом количества движения J со-
соотношением
Вследствие наличия электронного спина, это соотношение должно быть
в общем случае заменено формулой
Согласно квантовой теории, механический момент количества движения
равен
1
На основании C0.9а), этому соответствует магнитный момент, равный
\>- = PBgJ, C0.10)
где введено сокращенное обозначение
Величина рв— так называемый магнетон Бора, является естествен-
естественной единицей магнитного момента в атомной физике. Значение магне-
магнетона Бора, отнесенное к одной грамм-молекуле, мы получим, умножив
C0.11) на число Авогадро N. Подставляя соответствующие константы,
получаем
Мв = -^ = 5593. (ЗОЛ 1а)
Отнесенную к одной грамм-молекуле постоянную Кюри С для
атома, характеризуемого спектроскопическими величинами g и у, можно
выразить через Мв следующим образом (это выражение было впервые
дано Хундом):
_ ШПЛ _ ад7(У+1) /30 12)
— /г з/ з/? ' v
Обратное определение магнитного момента атома по измеренной постоян-
постоянной Кюри возможно только тогда, когда известно „внутреннее кванто-
квантовое число" атома /.
В старых работах, в которых считалась правильной классиче-
классическая теория, магнитный момент обычно вычислялся из постоянной С
с помощью формулы
Y C0.13)
164 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Этот метод особенно часто применялся в многочисленных работах Вейсса
и его сотрудников. На основании своих исследований Вейсс считал,
что магнитный тиомент многих» элементов, найденный на основании его
измерений по формуле C0.13), равен целому кратному некоторой ве-
величины
Mw=* 1123,5. C0.14)
Этой величиной, называемой магнетоном Вейсса, пользуются даже
и теперь во многих экспериментальных работах лля характеристики ре-
результатов измерения, т. е. магнитный момент атома оределяется числом р
содержащихся в нем магнетонов Вейсса. Согласно C0.13) и C0.14),
Р —
Ysrc
1123,5 '
Магнетон Вейсса несомненно лишен теоретического значения. То об-
обстоятельство, что магнитный момент, вычисленный на основании фор-
формулы C0.13), вообще говоря неверной, часто оказывается целым, крат-
кратным магнетона Вейссе Mw, может объяс-
объясняться отчасти случайным совпадением, а
главным образом — особенно при больших
значениях р — оно должно быть'отнесено за
счет преувеличенной оценки точности изме-
измерений.
При работе с парамагнитными веществами
мы обыкновенно находимся на прямоли-
прямолинейном начальном участке кривой
Ланжевена (рис. 45). Искривление кривой
становится заметным только тогда, когда
1
У
и
1
/Г
/
ЧГ 5
Рис. 45. Графики функций
Ланжевена ?i/9(<*) и ^(а).
дробь —^ уже перестает быть малой по срав-
сравнению с единицей. Это условие может быть осуществлено на опыте как
путем увеличения магнитного поля, так и понижением
температуры. Последний способ был избран Камерлинг Онне-
сом (Kamerlingh Onnes) и его сотрудниками, которые измеряли воспри-
восприимчивость ряда веществ вплоть до температуры жидкого гелия. Особенно
подходящим оказался сернокислый гадолиний, для которого при пониже-
понижении температуры до 1,3° К и увеличении магнитного поля до 22000 эрстед
оказалось возможным получить значительный отрезок кривой Ланжевена.
Приведение результатов к шкале чисел а = ^ производилось таким об-
образом, что значение момента jx определялось на основании классической
теории (т. е. помощью Zoo) из постоянной Кюри, измеренной при обыч-
обычных температурах. Полученная величина была jx = 7,2-10—20, что дает
для а, при //=20 000 эрстед и Г= 1,3°, значение, приблизительно
равное 7.
Аналогичные опыты были позже произведены Беккерелем
(J. Becquerel) и де-Гаасом (Z. f. Phys. 52, 678, 1928). Эти авторы
измеряли не намагничение непосредственно, а парамагнитное вращение
плоскости поляризации — эффект, о котором мы вкратце упомянули
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ВЕЙCCA 165
в начале § 28. При этих опытах, производившихся главным образом
с тизонитом, тоже удалось экспериментально получить значительную
часть кривой Ланжевена.
§ 31. Теория ферромагнетизма Вейсса. Ферромагнитные вещества,
каковы в особенности железо, кобальт, никель и гейсле-
ровы сплавы, отличаются от прочих веществ ненормально большим
значением магнитной восприимчивости, а также и тем, что их магнит-
магнитный момент достигает почти полного насыщения в сравнительно слабых
полях — порядка нескольких сот эрстед. Впрочем, в чрезвычайно силь-
сильных прлях (порядка 10—30 тытяч эрстед) этот характерный для дан-
данного вещества предел намагничения, соответствующий насыщению в не
очень сильных полях, может быть немного превышен. Как показано на
рис. 47 (см. ниже стр. 171), при понижении температуры этот предел
характерным образом уменьшается — сперва медленно, а потом очень
быстро. Вблизи так называемой температуры Кюри 0 наблюдается более
сложное явление, которое можно рассматривать как переход от ферро-
ферромагнетизма к парамагнетизму. Эта температура равна для железа 1047° К,
для никеля 645°К, для кобальта 1422° К. Выше точки Кюри ферромаг-
ферромагнитные вещества обладают парамагнитным намагничением, кото-
которое при достаточном удалении от этой точки следует закону Кюри, но
с той лишь разницей, что вместо абсолютной температуры в знамена-
знаменателе стоит температура, отсчитанная от точки Кюри, т. е.
На основании аномально большой магнитной восприимчивости ферро-
ферромагнитных веществ приходится заключить о наличии в них особой
силы, помогающей приложенному внешнему полю. Пьер Вейсс выска-
высказал гипотезу, согласно которой поле, действующее на элементарные маг-
магниты, может быть выражено формулой:
Н' = Н-ЬаМ. C1.2)
Здесь Н — напряженность магнитного поля, М— намагничение, отнесенное
к единице объема, и а—„вейссова постоянная внутреннего
молекулярного поля". Выражение C1.2) показывает, что к внеш-
внешнему приложенному полю прибавляется величина, пропор-
пропорциональная намагничению тела. С аналогичным соотношением
мы уже познакомились раньше в § 22. Оно относилось к эффективному
электрическому полю и описывалось такой же формулой, где, согласно
электронной теории, число а имеет приближенное значение -%¦, Есте-
о
ственно ожидать коэффициент такого же порядка и в явлениях намагни-
намагничения. Строго говоря, такой коэфициент мы должны были ввести также
во все выкладки предыдущих параграфов. Однако, намагничение М во
всех диамагнитных и парамагнитных телах столь незначительно, что по-
поправка такого рода не имела бы на практике никакого значения. Но
если мы хотим объяснить свойства ферромагнетиков, то оказывается,
что коэфициенту а необходимо приписать значение порядка от 1000
до 10 000. В действительности, пользуясь методами классической физики,
166
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
нельзя объяснить возникновение такого сильного внутреннего поля.
Только квантовая механика, как показал Гейзенберг, позволяет
свести внутреннее поле к электростатическим силам и удовлетворительно
вычислить порядок величины этого поля. Но мы здесь не будем зани-
заниматься происхождением внутреннего поля, а примем вместе с Вейссом
соотношение C1.2) в качестве гипотезы и рассмотрим все вытекающие
из этой гипотезы следствия.
Для этого мы воспользуемся рассуждениями предыдущего параграфа,
с той лишь разницей, что в выражении для аргумента функции Лан-
жевена будет фигурировать не поле //, а результирующее поле Н'. Сле-
Следовательно, для вычисления намагничения мы получим, вместо уравне-
уравнений (ЗОЛ)—C0.5), два уравнения:
М
C1.3)
Рис. 46. Графическое определение намагничения М по заданным
Н и Т [формула Вейсса C1.4)].
Таким образом, отношение намагничения к абсолютному насыщению Мо
определяется в параметрической форме соотношениями
'* со
м
kT
И
C1.4)
которые весьма удобны для качественного истолкования явлений. Если
отложить -jjr- по оси ординат, а а по оси абсцисс (рис. 46), то точка В,
абсцисса и ордината которой удовлетворяют уравнению C1.4), во-пер-
во-первых, лежит на кривой Ланжевена, а во-вторых, на некоторой прямой.
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ВЕЙССА 167
ил t-i
Эта прямая отсекает на отрицательной оси -г,— отрезок -, Ее угол
наклона $ к оси абсцисс дается равенством
Следовательно, наклон этой прямой зависит только от температуры,
а отсекаемый ею отрезок оси ординат О А—только от магнитного
поля. Точка ее пересечения с кривой Ланжевена дает величину на-
намагничения, соответствующего данным значениям Т и Н. Изменению
поля при постоянной температуре, следовательно, соответствует переме-
перемещение прямой АВ параллельно самой себе. Если у— Угол наклона каса-
касательной в начале кривой 1(а), т, е.
tgT = I'(O), C1.5а)
то, в зависимости от температуры, возможны два различных случая:
1) Угол §, как показано на рисунке, меньше угла ?• Тогда точка
пересечения В при уменьшении поля Н перемещается в направлении
к точке В', которой она достигает при Н = 0. Намагничение, соответ-
соответствующее точке В\ которое должно иметь место при Н = 0, мы назо-
назовем спонтанным намагничением Ms, соответствующим данной
температуре.
2) Пусть угол § больше угла у* Тогда при уменьшении поля на-
намагничение также стремится к нулю, причем при достаточно слабых
полях оно убывает пропорционально Н\ вещество будет обладать маг-
магнитной восприимчивостью в обычном смысле этого слова. Назовем
температурой Кюри ту температуру в, которая разграничивает
только что указанные области ферромагнитного и парамагнитного по-
поведения вещества. Она определяется тем условием, что углы у и &
равны друг другу. Таким образом из C1.5) и C1.5а) мы получаем
для температуры Кюри формулу:
Введя эту величину, мы можем написать второе уравнение C1.4)
в виде
-. C1.7)
Воспользуемся этими соображениями для описания явлений в парамаг-
парамагнитной области G>в). Пусть характеристической прямой будет,
например, прямая АС (рис. 46). Предположим, что температура так вьь-
сока или поле так мало, что точка С расположена еще в прямолиней-
прямолинейной начальной ^части кривой Ланжевена, т. е. что мы можем заменить
первое уравнение C1.4) равенством
Nl Tf/f\\
168 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЦДАХ
Это дает возможность исключить а из уравнения C1,7), и мы полу-
получаем:
М
Отсюда получаются для парамагнитного намагничения две равносиль-
равносильные друг другу формулы:
н
в
C1.8)
Тем самым мы вывели закон Кюри-Вейсса. Для восприимчивости
%р отнесенной к грамму вещества, мы получим, разделив C1.8) на
плотность р, два выражения:
в
_ (
*g— ра(Г—в) ~ РЛ5 (Г — 0) ' ^1Л^
которое мы сравним с результатами измерений в случае железа и ни-
никеля. Измеренные восприимчивости этих веществ приведены во втором
столбце нижеследующей таблицы. Отсюда точно так же, как и из пер-
первого равенства C1.9), можно непосредственно определить температуру
Кюри и постоянную ос внутреннего поля Вейсса.
Железо . . .
Никель ....
0,0395
Г—1047
0,0055
Г—645
в
1047°К
645еК
а
3500
14000
z
3,4
0,87
Ms
при
18Х
1700
500
ж, Ms атомн. вес
Мв плотность
2,2
0,64
Магнитный момент элементарного магнита можно определить из
второго соотношения C1.9) только на основании несколько более слож-
сложных рассуждений. Можно, например, как это сделал Вейсс, отождествить
число элементарных магнитов с числом атомов и ввести для вели-
величины L'@), согласно § 30, классическое значение -тт.
С другой стороны, можно считать носителями ферромагнетизма сво-
свободные электроны, т. е. заранее предположить, что Мв равно магне-
магнетону Бора \ьв C0.11), и затем определить число z магнетонов Бора,
соответствующих в среднем одному атому. Так как в 1 см4 вещества
N
с атомным весом Лис плотностью р находится -j- p атомов, то при
параллельной ориентации всех магнетонов*
<31Л0>
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ВЕЙССА 169
Если положить Мв = N\*>b и L(a) = L\ (я), что безусловно верно
1
для свободных электронов, то для определения числа z в случае ни-
никеля мы имеем уравнение:
Здесь Mb=N}Ib есть молярное значение магнетона Бора C0.11а)
и R = Nk — газовая постоянная. Подстановка значений Мв = 5593,
# = 8,3-107 и А = 59 (никель) дает 2 = 0,87. Такой же расчет для
железа дает z = 3,4. Позже мы увидим, что вычисленное другим спо-
способом значение z для железа значительно меньше. По этому поводу
обратим внимание на то, что определение парамагнитной восприимчи-
восприимчивости железа выше точки Кюри связано с особой экспериментальной
трудностью, а именно: при температуре 1179° К решетка железа с цен-
центрированными кубами превращается в решетку с центрированными гра-
гранями, так что измерение восприимчивости возможно только в сравни-
сравнительно узком интервале — от точки Кюри до этой температуры, при
которой происходит изменение решетки.
В ферромагнитной области (Т< в) мы связывали описание
явлений намагничения с прямой АВ на рис. 46. Теперь мы можем
подробнее установить положение этой прямой, так как на основании
измерений в парамагнитной области мы уже знаем значение коэфициента
Вейсса а. Предельное намагничение железа Моо лишь немного больше,
чем измеренное при комнатной температуре технически достижимое на-
насыщение в 1700 гауссов. Следовательно, при ос = 3500 значение осМоо
приблизительно равно 5-106 гауссов. Отсюда можно заключить, что
даже при полях в несколько тысяч эрстед точка А на нашем рисунке
46 практически всегда будет совпадать с началом координат. Замет-
Заметного перемещения точки Вг по направлению от точки В вообще можно
достигнуть только в исключительно сильных нолях; поля, обычно
встречающиеся в технике, практически не оказывают влияния на вели-
величину намагничения.
Изменение намагничения 8М, вызываемое изменением Н на ЬН, можно без
трупа определить по формуле C1.3).
Имеем:
откуда, принимая во внимание C1.6), мы получим после простых преобразо-
преобразований:
Ш 1 L'(a)®
W atr@) Г—F
При
Ца) « Ща) « tgh a
L'(О) = 1 и L'(а) = 1 -
170 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Следовательно,
3/7—ST'T^T C1Л1)
где
Если вместо Af подставить сюда значение спонтанного намагничения Ms, соот-
ветствующего точке В' на рис. 46, то мы этим определим приращение магнит-
магнитного поля ЬИ, необходимое для увеличения М от Ms до Ms + Ш.
В области, лежащей значительно ниже точки Кюри, вещество, со-
согласно указанным выше представлениям, обладает спонтанным намагни-
намагничением Ms, зависящим только от температуры. Эго спонтанное намаг-
намагничение совладает с тем намагничением, которое в технике обычно на-
называют намагничением насыщения, и которого можно дости-
достигнуть полями в несколько сот эрстед. В таблице на стр. 168 приведено
намагничение насыщения для никеля и железа, .а также вычисленные
отсюда числа z магнетонов Бора в атоме.
В рамках теории Вейсса нельзя дать сразу ответ на вопрос, осо-
особенно важный для техников: почему вообще надо брать поле конечной
силы для того, чтобы вызвать насыщение? — Ниже мы увидим, что
характер технической кривой намагничения в основном обусловливается
другими факторами, а именно кристаллической структурой
вещества, а также и упругими напряжениями. С точки зрения
излагавшейся до сих пор теории, техническое намагничение есть вторич-
вторичный процесс, обсуждение которого мы откладываем до § 34. Таким об-
образом, мы будем считать, что ниже точки Кюри намагничение отдель-
отдельных малых объемов вещества равно спонтанному намагничению Ms.
Области, в которых намагничение Ms имеет постоянное направление,
мы назовем областями Вейсса, причем выставляем требование,
чтобы они содержали очень много атомов; впрочем, о размерах этих
областей мы не даем более определенных указаний. Тогда кажущееся
немагнитное состояние всего вещества будет объясняться тем, что от-
отдельные области Вейсса намагничены в различных направлениях, и по-
поэтому их магнитные поля вне тела взаимно уравновешиваются. Задача
процесса технического намагничивания состоит лишь
втом, чтобы ориентировать эти области в направле-
направлении внешнего поля, не меняя при этом заметно вели-
величину намагничения отдельных областей.
Зависимость спонтанного намагничения от температуры легче всего
исследовать графически с помощью представление й на рис. 46 пара-
параметрической зависимости при # = ()• Получаемая отсюда кривая для от-
отношения ~- изображена на рис. 47. Сплошная кривая относится к
классическому значению L^ функции Ланжевена, пунктирная кривая —
к значению Zt/a (случай свободных электронов). Мы видим, что в по-
последнем случае спонтанное намагничение очень быстро увеличивается
при падении температуры, достигая, например, для половины темпера-
температуры Кюри 95°/0 абсолютного насышения.
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ВЕЙССА
171
Воспользуемся еще нашими уравнениями для того, чтобы определить
ход спонтанного намагничения вблизи температуры Кюри. Здесь отно-
отношение rr~- = 7j мало по сравнению с 1. Поэтому мы можем в C1.4)
разложить функцию Ланжевена в ряд по возрастающим степеням ее
аргумента. Принимая во внимание C1.6), мы получим для г\ уравнения:
-yL @) + ...; а — т] ти^
или
о.э
0.7
ОС
4*
OJ
о.г
at
LMs
ИЗ
^^
меренные а
х Fe
. о А//
л Со
+ магне
чачень
mum
я
А
>
\
\
V ¦
\
X
ч
х
V
1
1
о
0.1 02 0,3 ОА 45 Qj OJ 0,8 0,9 1,0
Рис. 47. Зависимость спонтанного намагничения от темпе-
температуры. Кривые вычислены по C1.4) при // = 0, причем
сплошная кривая соответствует функции L^ (a),
а пунктирная — Ly (a).
(Z/"@) отрицательно). Следовательно, вблизи точки Кюри
C1.12)
Если теперь подставить вместо функции Ланжевена найденные выше
значения (см. таблицу на стр. 162), то при 7"яйв мы получим
C1.13)
для?./а(а): Ч»-3A-
172 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Экспериментально найденный ход кривой спонтанного намагничения
различных веществ приведен на рис. 47. Мы видим, что эксперимен-
экспериментальные значения гораздо лучше совпадают с кривой Ь/а, чем с клас-
классической кривой Lqo.
§ 32. Термические эффекты при намагничении. Веским аргументом
в пользу теории Вейсса и особенно в пользу ее утверждения, что ниже
температуры Кюри ферромагнетик всегда намагничен до насыщения,
является экспериментальное подтверждение двух термодинамиче-
термодинамических следствий, которые мы сейчас выведем из основных уравнений
этой теории. Для этой цели рассмотрим 1 см* ферромагнетика и обо-
обозначим через U его энергию, через 5—энтропию и через М —
его магнитный момент. Изменение энергии может произойти или
вследствие притока тепла или вследствие электромагнитной работы.
(Мы оставляем в стороне возможные изменения объема и связанную
с этим механическую работу). Тогда основное уравнение термодинамики
гласит:
dU= TdS-\-HdM. C2.1)
Если считать в вытекающем отсюда уравнении для изменения энтропии
C2.2)
температуру Т и намагничение М за независимые переменные, то по-
получим:
Так как dS должно быть полным диференциалом, то из этого уравне-
уравнения вытекает условие:
или
Зависимость энергии от намагничения определяется соотношением C2.4),
если известна кривая намагничения, т. е. зависимость магнитного мо-
момента от поля и от температуры. Далее, согласно формуле C2.3)
\дТ I пРеДставляет количество тепла, необходимое для нагревания 1 см*
вещества, при постоянном намагничении, на 1°. Обозначим эту удель-
удельную теплоемкость, отнесенную к единице объема, через ум) тогда из
формулы C2.3) мы получим для изменения энтропии выражение
C2.5)
С другой стороны, если мы будем рассматривать как независимые пере-
переменные температуру Т и магнитное поле //, то уравнение C2.2) при-
примет вид:
JEPMHMECKHE ЭФФЕКТЫ ПРИ НАМАГНИЧЕНИИ 173
Коэфициент при dT обозначает здесь, очевидно, измеренную при по-
постоянном поле удельную теплоемкость, которую мы обозначим через у#.
Если мы представим энергию U как функцию от М и Т, то получим:
\дт)н~\д1 )м + \дМ)т\дТ )н*
Поэтому
fdU\ ,(dU\ (дМ\
или, если воспользоваться соотношением C2.4),
¦Г <32-6)
В уравнениях C2.5) и C2.6) содержатся два важных следствия, кото-
которые можно проверить экспериментально: 1) если намагничивать терми-
термически изолированное вещество (tfS = 0), то, согласно формуле C2.5),
изменение намагничения сопровождается изменением температуры. Это
явление называется магнето-калорическим эффектом; 2) из
уравнения C2.6) вытекает аномалия удельной теплоемкости
в областях, где намагничение сильно меняется в зависимости от темпе-
температуры; следовательно, аномалия должна особенно резко сказываться в
области, лежащей непосредственно ниже температуры Кюри.
Для количественной оценки этих двух эффектов нам необходимо
точно знать величину (-r= J , т. е. мы должны ответить на вопрос, как
следует изменить напряжение поля, чтобы при повышении температуры
намагничения оставалось постоянным. Мы определим эту величину из
основного уравнения нашей теории:
C2.7)
Обозначим производную от функции Ланжевена по ее аргументу через
Z,'; тогда в случае одновременного изменения намагничения поля, и тем-
температуры мы получим:
Отсюда находим связь между такими изменениями Н и Г, при которых
dM равно нулю:
() C2.8)
Подставив это в C2.6), мы получим выражение для удельной теплоем-
теплоемкости при постоянном поле:
Тя = 1м ~ (Я+ Ш) (™.)н. C2.9)
174 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
В частности, если мы нагреем вещество, не внося его в магнитное поле
то удельная теплоемкость будет:
C2.10)
Ход удельной теплоемкости ферромагнетика, вытекающий из представ-
представленной на рис. 47 зависимости спонтанного намагничения Ms от тем-
температуры, качественно изображен на рис. 48. На большом расстоянии
от точки Кюри удельная теплоемкость имеет нормальное значение
Y// = fA|, при приближении же к точке Кюри со стороны низких тем-
температур теплоемкость заметно возрастает и сразу снова падает до
своего нормального значения после перехода через точку Кюри. Про-
Произведенные до сих пор измерения относятся в большинстве случаев
как раз к этому скачкообразному па-
падению удельной теплоемкости при пе-
переходе через точку Кюри. Мы можем
вычислить скачок в точке Кюри, рас-
рассматривая характер изменения величины
—-?- = in, определяемой уравнениями
Т C1.12) и C1.13). С помощью выра-
выражения C1.12) мы получаем:
Рис.48. Аномалия удельной тепло- oi^rrw
емкости вблизи точки Кюри. M^-SL з@)
Если еще принять во внимание, что температура Кюри определяется
формулой C1.6):
то оказывается, что
Если теперь вместо функции Ланжевена, о которой до сих пор мы не
делали еще никаких предположений, подставить сначала классическое
выражение ?«>, а потом выражение Li/2, требуемое квантовой механикой,
то для разности двух удельных теплоемкостей получатся
выражения:
- k — для L =
- k — для L =
Дробь —22 дает как раз число элементарных магнитов, находящихся
в 1 смь вещества. Таким образом, наши уравнения C2.12) позволяют
сделать следующие простые выводы: при переходе через точку
Кюри удельная теплоемкость одного элементарного
ТЕРМИЧеСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ НАМАГНИЧЕНИИ
175
магнита претерпевает скачоку* п0 квантовой теории
и -к~k по классической теории. Сравним этот результат
с экспериментальными значениями для никеля и железа, приведенными
в следующей таблице:
Ni . . .
Fe . . .
ЬСА
2,2
6,3 до 8,5
ЬСМ
3
3
г = ЬСА:ЬСм
0,73
'* 2,1 до 2,7
В этой таблице АСА представляет скачок удельной теплоемкости*
отнесенной к грамм-молекуле вещества. Это число не может быть непо-
непосредственно сопоставлено с нашей теорией, так как заранее неизвестно,
сколько элементарных магнитов приходится на один атом. Согласно
квантовой теории скачок &СМ молярной удельной теплоемкости должен
о
быть равен-J-/? = 3 грамм-калориям, если на каждый атом в среднем
приходится один ферромагнитный электрон. Легко понять, что измерен-
измеренными значениями АСА можно воспользоваться для того, чтобы на осно-
основании их вычислить число ферромагнитных электронов, приходящихся
на один атом. Это число должно быть равно отношению &СА\кСм.
Для этого числа получаются значения, приведенные в последнем столбце.
Мы видим, что это число как для никеля, так и для железа довольно
близко совпадает с числом магнетонов Бора, которое, согласно таблице
на стр. 168, необходимо для объяснения величины абсолютного насы-
насыщения.
Теперь рассмотрим магнето-калорический эффект, опре-
определяемый уравнением C2.5) при dS — О. Если мы снова подставим
сюда из C2.8) значение производной \-^=) , то для адиабатического
повышения температуры, связанного с изменением намагничения, мы
получим:
Это уравнение можно применять к измерениям как ниже, так и выше
точки Кюри. Ниже точки Кюри поле всегда исчезающе мало по
сравнению с аМ. Поэтому здесь можно вообще пренебречь полем.
В этом случае мы получаем:
C2.13)
Выше точки Кюри, т. е. в парамагнитной области, согласно закону
Кюри-Вейсса C1.8), намагничение равно
е
а (Г-в)
я.
176 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
Отсюда следует:
Следовательно, для магнето-калорического эффекта выше точки Кюри
получается:
i
Для сравнения с опытом здесь можно еще выразить коэфициент ос вейс-
совского поля, на основании C1.9), через постоянную Кюри Cg — ~,
отнесенную к грамму вещества.
Тогда получаем:
d(M2). C2.15)
Результаты измерений, произ-
произведенных Вейссом, изображены
графически на рис. 49. На этом
рисунке адиабатическое повыше-
100 200 300 400 -*~бг ние температуры представлено как
Рис. 49. Магнетокалорический эффект функция квадрата намагничения
в никеле по Вейссу (а —намагничение при различных температурах.
на один грамм). Эгот рисунок весьма убеди-
тельно доказывает реальность
спонтанного намагничения. Мы видим, что ниже точки Кюри C72°С)
возрастание наблюдаемого намагничения вначале не вызывает повышения
температуры. Это и есть та область значений поля, в которой поле
только ориентирует вейссовы области спонтанного намагничения. Лишь при
применении очень больших полей, заставляющих намагничение возрасти
выше Msi появляется повышение температуры, зависящее линейно от М2,
как и требует наше уравнение C2.15). Экстраполяция этих прямых до
пересечения с осью абсцисс представляет, по Вейссу, наиболее точный
способ экспериментального определения спонтанного намагничения. При
измерениях выше точки Кюри повышение температуры начинается тот-
тотчас же вместе с появлением намагничения. В этом случае измеренное М
тождественно с истинным намагничением. Можно еще сличить с теоре-
теоретической формулой C2.15) подъем прямой, изображенной на рис. 49.
Вейсс, например, наблюдал в никеле при температуре 697СК для зна-
значения ДМ2 = 470 повышение температуры на 0,06°. Удельная теплоем-
теплоемкость никеля равна 0,11 грамм-калорий на градус. Следовательно, при
плотности р = 8,8, получается в абсолютных единицах:
Тд1 = 0,11.8,8- 4,2- 107 = 4,Ы07.
Этими данными, отнесенными к 1 см*9 мы можем воспользоваться
для того, чтобы вычислить из C2.15) постоянную Кюри. Мы находим:
697-470
2.8,8.4,1-107.0,06
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ
177
в то время как упомянутые выше (стр. 168) непосредственные измере-
измерения дали значение этой постоянной, равное 0,0055.
§ 33. Намагничение монокристаллов, а) Зависимость свободной
энергии от направления. Согласно теории Вейсса, техническое намагни-
намагничение (т. е. намагничение при температуре много ниже точки Кюри и
при напряженностях поля до нескольких сот эрстед) состоит исключи-
исключительно в том, что находящиеся в веществе области, уже обладающие
спонтанным намагничением Ms, ориентируются в направлении поля. Для
описания этого процесса необходимо поэтому указать природу тех сил,
против которых должна быть произведена работа при ориентировке
областей Вейсса. Экспериментально обнаруженный факт конечного зна-
4
800
40t
400
300
Ж
wo
400 бООэрст.
100 гоо ж зрт.
Fe l Ni
Рис. 50. Кривые намагничения монокристаллов железа и никеля
в различных кристаллографических направлениях.
чения работы намагничения указывает на то, что вектор спонтанного
намагничения имеет определенные преимущественные направления, из
которых он может быть выведен только за счет некоторой конечной
работы.
Рассмотрим это сначала на примере ферромагнитных монокристал-
монокристаллов. Эги кристаллы дают совершенно различные кривые намагничения,
в зависимости от кристаллографического направления,
в котором их намагничивают. На рис. 50 представлена зависимость на-
намагничения от поля у железа и никеля для трех кристаллографических
направлений: ребра куба A00), диагонали грани A10) и диагонали
куба A11). Мы видим, что во всех случаях намагничение в самом начале
чрезвычайно быстро растет с увеличением поля. (Правда, при очень
малых полях наблюдается значительно меньшая начальная магнитная
восприимчивость, которая, однако, вследствие малости масштаба на рис. 50
незаметна). Крутой подъем кривой намагничения для определенного кри-
кристаллографического направления, A00) у железа и A11) у никеля, при-
Беккер 5810 12
17JS
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
водит почти сразу к насыщению, которое достигается довольно быстро, при
резком изгибе кривой. Для других направлений кривые намагничения
еще раньше, более или менее резко загибаясь, отходят от оси ординат
и только в более сильных полях достигают насыщения. Когда поле снова
начинают уменьшать, намагничение пробегает по этим кривым почти без
гистерезиса. Правда, и здесь существует конечная коерцитивная
сила, однако, она так мала, что мы можем ею пока пренебречь.
Интеграл
ms
C3.1)
взятый по определенной кривой намагничения, дает нам накопленную
в кристалле свободную энергию, полученную при намагничении
в данном направлении. Если мы примем, что кристаллы до намагничения
находятся всегда в одинаковом начальном состоянии, то разность двух
величин W для двух разных направлений даст работу, которую надо
затратить для того, чтобы перевести вектор намагничения из одного
направления в другое. Следовательно, направлениями наименьшей энергии
у железа являются, очевидно, ребра куба/у никеля же — диаго-
диагонали куба. В дальнейшем мы не будем вычислять ту небольшую ра-
работу, которую нужно затрачивать на намагничение по этим направле-
направлениям, а ограничимся лишь тем, что будем теоретически вычислять
отступления остальных кривых намагничения от кривой, соответствую-
соответствующей направлению „наиболее легкого" намагничения.
Для этого мы предположим, что зависимость энергии намагничения
от направления определяется главным образом магнитными силами. Мы
убедимся в том, что такая зависимость от направления действительно
может установиться благодаря энергии магнитного взаимодействия отдель-
отдельных элементарных магнитов.
Предварительно рассмотрим энергию взаимодействия двух параллельных
друг другу элементарных магнитов, расположенных на рассюянии г один от
другого, и притом так, что соединяющая
их прямая составляет угол 0 с напра-
направлением магнитного момента. 6 дальней-
шем мы убедимся в том, что недоста-
недостаточно рассматривать магниты как эле-
элементарные диполи. Поэтому припишем
им с самого начала некоторую конеч-
конечную протяженность. Можно схе-
схематически представить каждый такой маг-
магнит или в виде двух равных заря-
зарядов противоположного знака,
расположенных на конечном расстоя-
расстоянии а друг от друга (рис. 51 Л), или же
в виде круговых токов конечного
радиуса а (рис. 51,11). Обозначив маг-
магнитный момент каждого такого маг-
и их энергию взаимодействия через 2ш, мы найдем, разлагая по
возрастающим степеням—, в случае I:
Рис. 51. Изображение элементарных
магнитов в виде магнитных стрелок A)
и круговых токов A1).
нита через
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 179
а в случае II:
-1«-^Ря(сов») + 8^-Р4(со##) + ... C3.2)
Здесь Р2 (cosfl) и Р4 (cos 0) — обычные обозначения 2*й и 4-й шаровых функ-
функций:
Р4 (cos &) = ~ C5 cos* 0 — 30 coss 0 + 3). C3.3)
о
В разложении для <о первое слагаемое, пропорциональное г~3, называется
дипольным членом, след>ющее слагаемое — квадрупольным чле-
членом и т. д.
Теперь мы должны вычислить энергию взаимодействия Fcex элементарных
магнитог, находящихся в рассматриваемом теле, после чего, разделив на объем
тела V, мы получим искомую плотность энергии в виде:
w=Ь 22w (г/*э •|*>' C3-4)
i к
При суммировании значки i и k пробегают значения, соответствующие
всем находящимся в теле магнитам. При вычислении этой суммы для всех ди-
польных членов мы найдем, что результат суммирования сильно зависит от
формы тела. Это происходит вследствие влияния размагничивающего поля,
создаваемого фиктивными поверхностными зарядами. Наличие та ко о поля мо-
может иметь следствием, например, то, что эллипсоид вращения будет обладать
минимумом магнитной энергии, когда вектор Ms направлен по большой оси.
Для того,чтобы исключить эту тривиальную зависимость от направления, опре-
определяемою формой тела, допустим в дальнейшем, что рассматриваемое тело имеет
форму шара.
Для суммирования сначала дадим одному значку (напр, k) Постоянное зна-
значение и вычислим половину энергии k то магнита по отношению ко всем
остальным. Мы получим однократную сумму
i
Для ее рычисления опишем из &-го магнита, как из центра, сферу радиуса g,
которая вся должна лежать внутри большой сферы радиуса О. Од ако, ^ должно
быть очень велико по сравнению с постоянной решетки ?. Разложим сумму C3.4а)
на две составные части:
(в)
где первая сумма распространена на все магниты, лежащие внутри малой
сферы (g), а вторая — на остальной объем, который мы обозначим (G — g). Мы
поьа>ьем, что последней суммой можно пренебречь по сравнению с первой.
Так как все rik последней суммы очень велики по сравнению с постоянной ре-
шетки, то мы можен заменить эту сумму интегралом. Если выполнить это
интегрирование по г для квадрупольных членов от нижнего предела r = g, то
мы получим выражение, которое по порядку величины в —у раз меньше суммы,
распространенной на объем малой сферы. Поэтому мы Moxcevi в интеграле опу-
опустить квадрупольный член, так как согласно нашему условию радиус g гораздо
больше постоянной решетки Ь. В сумме, распространенной на объем (G — g),
существенны поэтому только дипольные члены. Мы можем учесть их влияние
180 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
тем, что припишем этому объему постоянное намагничение Ms и вычислим
магнитную напряженность, создаваемую им в точке fc-го магнита. Это поле
может быть описано кач происходящее от плогности заряда—div Ifts. Источники
вектора Nls в объеме (G—g) расположены в виде поверхностных зарядов на
внутренней и внешней шаровых поверхностях. На основании §22 легко вывести,
что поле, создаваемое такими шаровыми слоями, строго однородно внутри этих
слоев. В частности, поверхностный заряд большой сферы (G) создает внутреннее
поле напряженности —~- М5, а заряд малой сферы (g) — напряженности 4- — М*.
о о
Следовательно, внутри сферы (g) поле, обусловленное диполями остального
объема (G—g), равно нулю, так что мы действительно можем вычеркнуть вто-
вторую cyvwy в выражении для w^
Особое значение этих соображений состоит в том, что w^ не зависит от
того, в каком месте находится отдельный магнит, обозначенный значком k. По-
Поэтому в выражении C3.4) для W мы можем заменить суммирование по k умно-
умножением на число магнитов nV, заключенных в сфере (G). В качестве &-го маг*
нита мы можем специально выбрать магнит, расположенный в центре сферы (G).
Наконец, мы можем заставить совпасть радиусы g.uG. Тогда, опуская индекс/г,
мы получим:
(Q)
<•> (О, »i), C3.5)
где Г( есть расстояние /-го магнита от центра, a fy — угол между г,- и магнит-
магнитным моментом.
В решетке правильной системы все дипольные члены в сумме C3.5) взаимно
компенсируются вследствие симметрии, в чем легко убедиться на основании
соображений, указанных в § 22. Следовательно, при вычислении W мы можем
ограничиться квадрупбльными членами. На основании C3.2), мы находим:
где
н
— 1 в 1-м случае,
+ 3 во И-м случае.
Если ах% 02 и а3 — направляющие косинусы вектора намагничения, то
где xi% yif zt — компоненты вектора rt. Чтобы найти значение суммы C3.6), вве-
введем сокращенные обозначения.
Тогда из соображений симметрии, вследствие того, что хр + у? -\- zp = гД вы-
вытекает:
у у _
rf ~Zl rf - Zi rt» - 6 2 •
Далее, исчезают все суммы, содержащие нечетные степени хь уг или zt —
на том же основании, что и сумма ^^ —^ в § 22. Если подставить эти зна-
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 181
чения в C3.5), воспользовавшись C3.3), то вследствие того, что ctj2 -f a22 + аз3 == Ь
после коротких выкладок мы получим для плотности энергии выражение:
W = nCytcfl _- (A — SB) < (а^осоЗ + «„ад л. а,2*2) —-?-?• C3.8)
о ( О j
Следовательно, магнитное взаимодействие элементарных магнитов приводит
к тому, что плотность энергии зависит от направления (член «i2a22 + а22з32+
+ аз2а12)' Впрочем, этот р1зультат, как показывают выводы § 33 Ь (см. ниже),
можно было заранее ожидать из соображ* ний симметрии. Преимущество при-
приведенного здесь вывода состоит в том, что он позволяет указать порядок вели-
величины постоянного множителя.
Для специальных кристаллических систем (кубическая решетка с центри-
центрированными гранями или с центрированными диагоналями и т. д.) могут быть
найдены численные значения сумм, определяемых формулами C3.7); впрочем,
мы можем заранее ожидать, что порядок их величины будет — * где&—по-
где&—постоянная решетки. Если мы еше примем во внимание, что пЬг как раз пред-
представляет число магнитов, находящихся в элементарной ячейке решетки, т. е. по
порядку величины близко к 1, то, опуская дополнительный член, не зависящий
от направления намагничения, мы находим:
W = СМ? ^ (йг*а? + сс22а32 + otfafl. C3.8а)
Порядок величины численного множителя С близок к 1. В чястности, он
зависит от специального вида элементарного магнита (ср. рис. 51) и от типа
рассматриваемой решетки правильной системы.
Для зависимости магнитной энергии от кристаллографического на-
направления намагничения мы, следовательно, получаем выражение:
F = /C(«i2a2a + «22<*32 + «вЧ1)- C3-9)
Постоянную К мы можем с одной стороны, получить из нашей при-
приближенной формулы C3.8), а с другой стороны — вывести ее из упомя-
упомянутых выше измерений фактической кривой намагничения монокристал-
монокристаллов. Согласно C3.9), для кристаллографических направлений A00), (ПО),
A11) мы получаем:
Измерив разность энергий Fm — Fi0Q (т. е. площадь, заклю-
заключенную между двумя кривыми намагничения A00). и A11) на рис. 50),
мы получим величину постоянной К\
1 г^
(Ш) A00)
С другой стороны, согласно C3.8) и C3.9), имеем:
C3.10)
Следовательно,' мы можем воспользоваться этими измерениями для
того, чтобы дать порядок величины отношения размеров элементарного
182
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
магнита а к постоянной решетки Ь и посмотреть, получим ли мы при
этом правдоподобную величину. В следующей таблице даны значения
энергии для кристаллических решеток железа и никеля:
Fe
Ni
К измеренное
4,3-105 эрг/с^з
-3,7-104 эрг/^з
Ms
1700
500
Ь ~ У Ms*
0,36
0,38
В этой таблице приведены значения спонтанного намагничения и
вычисленного на основании C3.10) отношения а\Ь\ в обоих случаях
оно равно приблизительно 1:3. Хотя весь этот расчет не может пре-
претендовать на большую строгость и должен быть заменен квантово-теоре-
тическим исследованием }), все же на основании его можно показать,
что зависимость энергии намагничения от кристаллографического напра-
направления по порядку величины можно свести к чисто магнитным силам.
Правда, причина различия знаков для Fe и Ni еще совершенно не
выяснена.
Для интерпретации кривых намагничения, приведенных на рис. 50,
заметим в частности следующее: очень крутой подъем в начале всех
кривых мы должны объяснить тем, что при слабом внешнем магнитном
поле намагничение почти беспрепятственно принимает наиболее благо-
благоприятное направление — направление самого легкого намагничения. Если,
например, поле направлено по диагонали грани, то в случае
железа все векторы намагничения сперва принимают направление ребер
куба, расположенных ближе всего к данной диагонали. Намагничение,
очевидно, при этом составляет с внешним полем угол в 45°. Поэтому
мы ожидаем, что первый излом кривой для направления (ПО) будет
при
±
C3.11)
Для намагничения же в направлении диагонали куба мы, в соот-
соответствии с вышесказанным, предполагаем первый излом кривой при
Оба эти числа хорошо подтверждаются на опыте.
Е ли мы теперь захотим вычислить весь ход кривой намагничения,
то для этою следует определить минимум общей свободной
энергии при за шнной напряженности Н внешнего магнитного поля.
Если д — угол между направлением поля и направлением спонтанного
1) Початку такого исследования сделали Bloch и Gentile, Z. f, Phy*
sik 70, 395, 1931,
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 183
намагничения Ms, то угол &, относящийся к заданному полю //, следует
определить так, чтобы свободная энергия
^(«iV + «242 + «32«i2) — /Ш, cos ft . C3.12)
имела наименьшее значение. Это вычисление оказывается очень простым
для намагничения в поле, приложенном в направлении (ПО). В этом
случае вектор намагничения поворачивается в плоскости грани куба,
а именно от направления ребра к диагонали грани. Обозначив через <р
угол между вектором и ребром куба, мы получаем в этом случае:
«j =з cos у, а2 = sin ср, а3 = 0.
Кроме того, угол 8- связан с углом <р соотношением 0-}-ср=з45о;
следовательно,
cos 9 = — (cos & -f- sin &), sin cp = — (cos & — sin &).
Отсюда следует:
ai42 4-ai*as* + W — cos2(P sin2(P — -\- (cos2 & — sin2&J.
Если еще положить cos& = a;, to свободная энергия C3.12), как
функция от х, оказывается равной
Она будет наименьшей при тех значениях jc = cos&, для которых
Так как М — хМ8, то это уравнение непосредственно определяет кри-
кривую намагничения (М как функцию Н). В частности, мы находим, что
насыщение (лг= 1) достигается при
н=2ж>
Для железа, при указанной выше энергии К, насыщение в направле-
направлении A10) достигается при Я=2*4,3-105:1700 = 500 эрстед.
Дальнейшие подробности относительно теоретических кривых для
других направлений намагничения приведены в исследованиях Аку-
Акулова, Z. f. Phys. 67, 794, 1931 и 69, 78, 1931, а также Р. Ганса,
Ann. d. Physik 15, 28, 1932.
6) Зависимость энергии от направления в случае ферромагнит-
ферромагнитных монокристаллов. В теории чясто встречаются следующие вопросы:
кубический кристалл намагничен в направлении av a2, oc3 до насыще-
насыщения Ms. Требуется определить:
1. Как зависит его энергия от направления af?
2. Как меняются при намагничении размеры кристалла в направле-
направлениях рь Р2, р3 (магнетострикция)?
3. Как велико сопротивление электрическому току в направлении §2?
184 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
4. Пусть кристалл подвергнут однородной деформации Aik (Alt —
растяжение в направлении л; и т. д.; Aik есть симметричный тензор:
Aik = Aki). Как зависит энергия от at и Aik?
5. Как зависит энергия от Аш когда Ms — 0?
Пусть все направления отнесены к трем ребрам кристалла кубиче-
кубической системы, выбранным в качестве осей х, у, z. Искомые функции
должны удовлетворять требованиям симметрии кубического кристалла.
Это означает следующее: представим себе, что заданные векторы и тен-
тензоры неподвижны в пространстве, а кристалл повернут, например так,
что точка кристалла с координатами х1У х2, хв после вращения имеет
координаты хг'9 л*'а, x3f (по отношению к первоначальной системе ко-
координат). Пусть старое и новое положения связаны друг с другом орто-
ортогональным преобразованием
где, например, civ c12, с13— направляющие косинусы первого ребра
куба (после вращения) относительно первоначального положения ребер
куба и т. д. Компоненты неподвижного в пространстве вектора <хь а2, а3
по отношению к повернутому кристаллу равны
а/ = 2^а, C3.14)
р
Компоненты тензора Aih после поворота будут:
V = 2<V^V C3.15)
р,<*
Допустим, что мы нашли одну из искомых функций. В этом случае
мы можем сразу определить ее значение после поворота (ЗЗЛЗ), если
заменим аг и Aik через а/ и Aik' на основании C3.14) и C3.15). Если
же (ЗЗЛЗ) представляет „тождественное преобразование"
кристалла, т. е. такое, которое переводит совокупность узло-
узловых точек решетки в самое себя, то наши функции не могут
при этом измениться. Такими „тождественными преобразованиями" для
правильной кристаллографической системы являются, например, поворот
на 90° вокруг одного из ребер и зеркальное отражение в одной из
граней куба. В дальнейшем мы воспользуемся, в частности, зеркальным
отражением в плоскости -хи х29 а также и в плоскости, содержащей
ось лг3 и делящей пополам угол между осями хг и xv Для этих
„тождественных преобразований" имеем:
/1 0 0\ /0 1 0\
с = 01 О и ciu=A00 C3.16а, b)
ik \0 0-1/ ik \0 0 1/ v ' '
Требование инвариантности всех физических величин
относительно тождественных преобразований до некоторой степени уже
позволяет ответить на поставленные выше вопросы, правда — с суще-
существенным ограничением: мы должны знать заранее, с каким показателем
степени данные векторы и тензоры входят в искомые функции. Опре-
Определенное заключение об этом мы можем сделать только для вектора (^,
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 185
о котором речь идет в вопросах 2 и 3. Компоненты этого вектора
могут входить в искомые функции только в виде квадратов и про-
произведений по два. Для отрезка /, имеющего направление р1э В2, р3
и меняющего свою длину на 8/ при деформации кристалла, это непо-
непосредственно вытекает из уравнения, справедливого для любой однород-
однородной деформации:
Для электрического сопротивления квадратичная зависимость
получается из линейного характера закона Ома для анизотропных ве-
веществ: Ei — ^r.fJb (Et и Ji=j$i — слагающие электрической напряжен-
k
ности и плотности тока, a rik — тензор омического сопротивления). Сле-
Следовательно, для слагающей напряженности по направлению (^ мы можем
написать:
Коэфициент при j представляет омическое сопротивление /?р? току, иду-
идущему в направлении C?. Следовательно, fyt тоже всегда зависит от (J
квадратично.
Теперь ответим на 1-й вопрос. Тождественное преобразование
C3.16а) дает перемену знака перед одной из компонент вектора. Сле-
Следовательно, энергия может содержать величины at только в четной сте-
степени. Далее, C3.16b) означает перестановку двух <х?. Поэтому энергия
может содержать квадратичные члены только в комбинации аг2 -|- а22 -J- а32.
Эта сумма равна 1, т. е. не дает никакой зависимости от направления.
Из четвертых степеней можно составить две комбинации, инвариантные
по отношению к (ЗЗЛба) и C3.16Ь):
Но так как всегда А -J- 2В = (а22 -|- а22-f- а32J = 1, то в действитель-
действительности мы получаем только одну функцию четвертой степени, например В.
В шестой степени имеются три подходящих выражения, а именно: .
Однако, первое из них, вследствие соотношения (аг2 -]- а22 -}- а32K = 1,
может быть выражено через два последние. Кроме того, во втором
выражении
«iV+«»V=«iV(i--«i').
так что оно может быть заменено через В и через третье выражение.
Следовательно, если энергия содержит а? в степени не больше шестой,
то она выразится формулой вида:
Рк = ^о + WV + *2 V + «з V) + АЧЧ V- C3.17)
Таким образом зависимость от направления исчерпы-
исчерпывающим образом описывается при помощи двух кон-
констант К и К*. В приложениях до сих пор пробовали ограничиваться
186 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
членами четвертой степени, т. е. одной постоянной К. По Гансу,
однако, результаты опытов могут иногда потребовать введения членов и
шестой степени. Впрочем, в дальнейшем мы не будем принимать их во
внимание.
Ответ на вопросы 2 и 3. Согласно C3.16а), / не должно изме-
измениться, если одновременно переменить знаки af и $( на обратные. Кроме
того, согласно C3.16Ь), / не должно измениться, если одновременно
переставить местами &. с cnk и % с рл. В-третьих, оно должно быть
второй степени относительно $-. Если ограничиться членами, квадратич-
квадратичными по отношению к а,, то всем этим требованиям удовлетворяют
только два выражения: (а^ + а^ + ^з2) и (ai7-Ah + a2(XA\ +
+ a3ocip3^i) или их линейные комбинации. Такой комбинацией является,
между прочим,
Следовательно, длина определяется следующей функцией:
/^-Ml+^aA + aA+a^ C3.18)
с двумя постоянными А и В. Аналогичная формула должна иметь место
для сопротивления /?«. р?, о котором идет речь в вопросе 3, т. е.
% Р, = # о + *i («А + «А + *з?зJ + Я2 (e?^ + «]?* + «2э|). C8.19)
Ответ на вопрос 4 вытекает из того, что тензор Aik преобразуется
так же, как тензор ^8А, построенный из единичных векторов р/# Сле-
Следует лишь иметь в виду, что „след" (диагональная сумма) этого тен-
тензора B Pi2) всегда равна единице, в то время как для 2 Ад это
условие не имеет места; 2 Ад есть увеличение объема вследствие одно-
однородной деформации. Следовательно, если мы потребуем, чтобы в энергию,
о которой идет речь в вопросе 4, аг входили в степени не выше
второй, а Aik — линейно, то она может содержать только три
величины:
Лц +Л22 + Л33, ^п*12 + А>а«22 + А$заз2 и ^l8a1cB2+i4l8a2as + i481«^a1,
из которых только последние две зависят от направления а/# Невычислен-
ные пока множители при этих величинах мы назовем 5 и 2р\ коэфи-
циент при ^ц + ^22 + ^зз> конечно, также еще совершенно не опре-
определен; однако, на основании соображений, которые будут приведены
ниже, мы произвольно положим его равным ^-.
о
Тогда мы получаем ответ на вопрос 4 в таком виде:
C3.20)
5-й вопрос относится к упругим свойствам монокристаллов.
В границах применимости закона Гука энергия квадратично зависит
от Aikr Из тождественных преобразований C3.16а) вытекает, что
в слагаемом виде AikAlm каждый значок должен входить только четное
число раз. Согласно C3.16b), перестановка местами .двух каких-либо
НАМАГНИЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ 187
значков не должна изменять значение функции. Существуют только три
линейно независимые выражения, которые удовлетворяют этому требо-
требованию. Из них мы получаем:
*W = 4" Ci (Л11 + А™ + ЛззJ + С2 (Ли* + Л22* + ^зз2) +
2), C3.21)
куда входят три константы упругости Си С% и С3. В изотропных
телах
C2 = CZ=G, C3.22)
где О — модуль сдвига вещества (англ. rigidity).
с) Магнетострищия. До тех пор, пока не действуют внешние силы,
равновесное состояние определяется минимумом свободной энергии.
В немагнитном веществе, согласно C3.21), энергия есть однородная
квадратичная функция от Aik. Следовательно (так как упругие постоян-
постоянные Cv С2, С3 положительны), ее минимум соответствует деформации,
равной нулю (Alk = 0). Совершенно иначе обстоит дело в намагни-
намагниченном кристалле. Здесь, согласно C3.20), энергия содержит также
члены, линейные относительно Aik. При заданных значениях а, (которые,
например, могут быть обусловлены внешним полем) должна установиться
такая деформация, что сумма FA -f- fynp. будет минимум. Эют минимум
соответствует уже не деформации Aik = 09 а той деформации, для
которой имеет место соотношение
^ p.)^0. C3.23)
Эту деформацию называют магнетострикцией. Практическое зна-
значение ее состоит главным образом в том, что она позволяет нам опре-
определить введенные выше постоянные sup. Согласно C3.20) и C3.21),
первое из уравнений C3.23) (/ = А = 1) гласит:
s (*i2 ~ т
Если записать под ним соответствующие уравнения для (i, А)=8=зB,2)
и C,3), то сложением всех трех уравнений мы получим:
П
= 0-
Это означает, что объем тела не изменяется при повороте вектооа
намагничения. Если бы мы заменили выше в уравнении C3.20)
число о~ каким-нибудь другим, то пришли бы к результату, что
Лп +Л22-{-Л3з не зависит от а.. Таким образом объем за-
зависит разве только от величины, но не от направления
вектора М^. Положив в C3 20) зависящую от нас постоянную
равной ^-, мы вводим в качестве недеформированного объема тот
объем, который кристалл действительно имеет при данном значении М5
188
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
(зависящем только от температуры). Таким образом мы можем сейчас
же решить уравнения C3.23) относительно Aiki и получаем:
S f о 1
Д'
C3.24)
и т-
В магнетострикционных опытах всегда измеряется изменение длины,
которое испытывает отрезок /, расположенный в направлении р1э C2, р3.
Это изменение длины при любых значениях АХк определяется формулой
Подставляя значения C3.24), мы получаем:
к
к
1), C3.25)
что вполне согласуется с приведенными выше соображениями симметрии.
Легче всего доступна измерениям так называемая „продольная
магнетострикция", при которой направления ai и C? совпадают.
Обозначив ее через К, «а, «3, мы получаем (воспользовавшись тожде-
тождеством 2а/= 1):
(Й C3.25а)
Отсюда следует для двух наиболее важных кристаллографических
направлений:
C3.25Ь)
Если кристалл изотропен в отноше-
отношении своих упругих свойств, то обе
постоянные С2 и С3 равны модулю
сдвига G. В этом случае числа Х100
и Хш вполне определяют функ-
функцию Fs в C3.20). Для этих напра-
направлений измерением были найдены
следующие значения:
Пользуясь этими стандартными значениями, мы можем, согласно C3.25а),
написать для любого направления:
К «„ «з = >юо + 3 (Хш — Х100) (V i,« + «22 а32 + «з2 а^). C3.26)
Для того, чтобы выражения C3.25 Ь) действительно представляли наблю-
наблюдаемое при насыщении изменение длины, разумеется, необходимо,
чтобы 8/ в совершенно размагниченном состоянии было равно нулю
Fe
Ni
^100
+ 1,8-10~5
— 5,2-10—5
-»1,3.10~5
— 2,8-Ю"
tEXHHMECKAfl КРИВАЯ НАМАГНИЧЕНИЯ 189
для любого направления Р?. В размагниченном состоянии кристалл со-
состоит из одних только областей Вейсса, причем каждая область намагни-
намагничена в одном из наиболее легких направлений (т. е. по ребру куба у
железа, по диагонали куба у никеля), и эти возможные направления
встречаются одинаково часто. Следовательно, в железе по каждому из
шести направлений ребер куба намагничена одна шестая часть всех
областей, у никеля же по каждому из 8 направлений диагоналей куба —
восьмая часть всех областей. Если подставить соответствующие значения af
в C3.25), то окажется, что в обоих случаях среднее значение -у-, взя-
взятое по всем областям, действительно, равно нулю, и притом для любого
направления §v
Если производить наблюдения не над монокристаллами, а над по-
поликристаллическими агрегатами, то при этом, конечно, будет измеряться
среднее значение, взятое по всем кристалликам. При изотропном рас-
расположении отдельных кристалликов, мы можем, например, написать:
Поэтому для поликристалла продольная магнетострикция в случае насы-
насыщения, согласно C3.26), равна
В поликристаллическом железе \ имеет небольшое отрицательное зна"
чение, что полностью согласуется с измерениями. В начале же кривой
намагничения наблюдается увеличение длины кристалла, которое только
непосредственно перед насыщением переходит в требуемое формулой
C3.26) уменьшение длины (эффект Виллари). Это обстоятельство
совершенно понятно: в малых полях намагничение состоит ведь только
в том, что направление Ms переходит в наиболее благоприятно распо-
расположенные ребра куба. Этот переход, однако, связан с положитель-
положительной магнетострикцией. И только в более сильных полях Ms при-
принимает такие направления, которые связаны с отрицательной
магнетострикцией
§ 34. Техническая кривая намагничения. Мы видели, каким
образом можно объяснить верхнюю часть кривой намагничения моно-
монокристаллов (рис. 50) с помощью представления о повороте вектора
спонтанного намагничения от направления с наименьшей энергией (ребро
куба у железа, диагональ куба у никеля) к направлению поля. Для
понимания процесса технического намагничения очень
важно то, что преимущественные направления намагничения, согласно
C3.20), могут быть обусловлены не только симметрией кристалов, но
также и упругими напряжениями. На основании C3.25), роль
таких напряжений тесно связана с магнетострикцией. В упруго
деформированном теле направление наиболее легкого намагничения
определяется теми значениями а?, при которых сумма FK-\-FA функ-
функций C3.17) и C3.20) имеет минимальное значение. При этом, конечно,
190 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
от величины деформации зависит, какое из двух слагаемых, FK или РА,
имеет наиболее существенное значение для магнитной структуры. Из
приведенных выше цифр вытекает, что при растягивающих усилиях
свыше 10 fczJMM2 (никель) или 40 кгjмм2 (железо) слагаемое, зависящее
от деформации, играет преобладающую роль.
Рассмотрим несколько подробнее это влияние напряжений в случае
никеля; впрочем мы откажемся от строгого вычисления, а будем вести
подсчет так, как будто никель изотропен как в отношении своих
упругих, так и в отношении магнетострикционных постоянных. Итак,
мы положим Х100 = >.111= X = — 3,7 • 10~5. Тогда, согласно C4.20),
C3.22) и C3.25Ь), слагаемое Fa, зависящее от деформаций в той своей
части, которая содержит а^, просто равно
FA = — 3 0X2 *i *Лк- C4.1)
Пусть деформация состоит в том, что проволока, расположенная в на-
направлении Yi» Ys> Тз> подвергается растягивающему усилию. В коорди-
координатной системе, ось х' которой расположена в направлении yi> мы
имели бы в этом случае деформацию
Лц' = -^, Л22/ = Л33' = — -[*, AV = ° ПРИ '=?*•
Здесь Е—известный из теории упругости модуль Юнга, а \ь — ко-
эфициент поперечного сжатия. По отношению к первона-
первоначальным осям мы тогда получим деформацию
[ср. C3.15)], где oift=l при / = ? и 8^ = 0 при izjzk. Поэтому из
C4.1) вытекает:
—т+\
)
Воспользовавшись формулой теории упругости G(l -\-\^) = -^Е и опу-
опустив несущественную здесь аддитивную постоянную j* 1 , мы получим:
FA = — Та-| cos8», C4.2)
Где & — угол между направлениями намагничения (а?.) и_растягивающего
усилия (у,-). В случае отрицательной магнетострикции X величина FA
имеет минимум при 9=90°, в случае положительной—при& = 0. Следо-
Следовательно, под действием растяжения предпочтитель-
предпочтительными направлениями спонтанного намагничения будут
направления, перпендикулярные или параллельные рас-
растяжению, в зависимости от того, какой знак имеет ма-
гнетострикция: отрицательный или положительный. Так
как при выводе формулы C4.2) мы рассматривали никель как изотроп-
ТЕХНИЧЕСКАЯ КРИВАЯ НАМАГНИЧЕНИЯ 191
ное вещество, то эта формула с той же степенью точности будет иметь
место и для поликристаллической никелевой проволоки. Следо-
Следовательно, мы можем ожидать, что достаточно сильное растяжение нике-
никелевой проволоки будет ориентировать все области перпендикулярно к
ее оси. Наоборот, в случае проволоки, у которой X везде положительно,
что действительно имеет место у некоторых сплавов Ni и Fe, при рас-
растяжении должна произойти ориентация параллельно оси проволоки.
Уравнение C4.2) позволяет также определить всю кривую намагничения
сильно натянутой никелевой проволоки. Если в направлении оси такой
проволоки действует еще и магнитное поле Н1 то к Fk надо еще при-
прибавить величину потенциальной энергии — MSH cosb. Угол О должен
теперь соответствовать минимуму выражения —'уХ <з cos2 &— MSH cos &.
Это имеет место в случае отрицательного X, когда
3( — Х)а
M = Mscos$ — компонента намагничения, взятая в направлении прово-
проволоки; следовательно,
Поэтому теоретическое значение восприимчивости будет
ХЯ_Д.
Зв(-Х)
C4.3)
или, на основании приведенных выше численных значений, если а изме-
измерено в kzjmm2:
х = ~. C4.3а)
Измерения Керстена показали, что при большом напряжении о кри-
кривые намагничения действительно вырождаются в прямые линии, почти
проходящие через начало координат. Наклоны этих прямых количественно
удовлетворяют уравнению C4.3). Правда, полное осуществление условий,
нужных для C4 3), практически невыполнимо. Согласно всему нашему
выводу, о должно быть так велико, чтобы можно было пренебречь
энергией кристаллической решетки FK. Однако, при столь
больших напряжениях всегла появляются пластические деформации, а
следовательно, и такие перемены в веществе, которые обязательно вы-
вызывают нерегулярные внутренние напряжения с( по всевозможным на-
направлениям. Эти внутренние напряжения накладываются на приложен-
приложенное извне напряжение а и мешают, конечно, одинаковой ориентации
областей.
Таким образом мы видим, что во многих случаях увеличение намаг-
намагничения при возрастании поля действительно может быть описано как
постепенный поворот вектора Ms по направлению поля. Это имеет место
в верхней части кривой для монокристаллов при намагничении в
„трудном" направлении, а также для сильно растягиваемого никеля.
192 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕПОДВИЖНЫХ СРЕДАХ
6*0
В обоих случаях мы имеем сравнительно весьма малые магнитные про-
проницаемости.
Посмотрим теперь, как обстоит дело с гораздо большими проницае-
мостями, которые имеют место в начале кривых для монокристаллов,
а также, в первую очередь, для
хорошо прокаленных и технически
чистых материалов. Если вычертить
кривые для монокристаллов в уве-
увеличенном масштабе, то видно, что
кривые вовсе не поднима-
поднимаются вначале вертикально
кверху; напротив, всегда наблю-
наблюдается некоторая конечная на-
начальная проницаемость, не
зависящая заметно от кристаллогра-
кристаллографического направления. Зависимость
от направления становится заметной
Лишь в конце крутого подъема.
С точки зрения теории начальной
магнитной проницаемости, монокри-
монокристаллы не являются каким-либо ис-
исключением. Исключение они пред-
представляют только с точки зрения
техники измерений, так как
до сих пор точное измерение очень
больших проницаемостей было вы-
выполнимо только для поликристалли-
поликристаллических материалов.
Это обстоятельство связано с той важной ролью, которую при всех таких
измерениях играет так называемый фактор размагничивания. Если
внутрь катушки с током, в которой магнитное поле равно Яо, поместить вытя-
вытянутый эллипсоид вращения из исследуемого вещества, то внутри эллипсоида,
намагниченного до значения М, устанавливается меньшее поле, а именно Н =
= Hq — NM, причем фактор размагничивания N обусловливается „магнитными
полюсами" на концах эллипсоида (это N не имеет никакого отношения к числу
Аво1адро).
По Кольраушу, дтя раз-
различных значений отношения —
а
(длины к толщине) можно напи-
написать:
Из приведенного выше урав-
уравнения следует:
Щ
Рис. 52. Кривые намагничения нике-
никелевой проволоки при различных рас-
растягивающих усилиях а (предста-
(представлена только верхняя часть симме-
симметричной петли гистерезиса.)
т
N
10
0,25
50
0,018
100
0,0054
м-~м
или
Здесь *0 — непосредственно измеренная восприимчивость, а % — та восприимчи-
восприимчивость, которая нас интересует с физической точки зрения. Если — значительно
ТЕХНИЧЕСКАЯ КРИВАЯ НАМАГНИЧЕНИЯ
193
меньше, чем N, то наблюдаемая восприимчивость определяется только величи-
величиной N. Получаемые до сих пор монокристаллы очень невелики (т. е. имеют
большие значения N), в то время как в поликристаллах можно сделать N сколь
угодно малым, если применять длинные проволоки или замкнутые кольца.
Кроме того, монокристаллы обычно имеют форму
цилиндрических стержней, у которых, в противо-
противоположность эллипсоиду, размагничивающее дей-
действие вообще не может быть описано при помощи
одного только числа N.
Приблизительный расчет показывает, что
с помощью представления о вращении могут
быть объяснены только малые значения вос-
восприимчивости. Ведь уже энергия кристалличе-
кристаллической решетки C3.9) или C3.17) так сильно
связывает направление намагничения с напра-
направлением ребра куба (в железе), что заметное
отклонение от этого направления может иметь
место только в значительных полях. Для того рис 53 Начальная чаСть
чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, крИвых намагничения для
процесс в плоскости @01) (рис. 54). Пусть монокристаллов,
сначала fAs направлено по ребру куба A00);
попробуем повернуть этот вектор на угол 8 при помощи напряжен-
напряженности Я, направленной под углом т) к A00). Положение & опре-
определяется из условия минимума функции
* («iV + «22*32 + «3 V) — НМ$ COS @ — Т,)
& i& 0)
Ограничиваясь малыми значениями &, мы получаем отсюда выражение
АГа2 — HMS (cos т) + » sin tj),
имеющее минимум при
Поворот вызывает изменение компоненты
намагничения, взятой в напраьлении Я, на
M^&sinrj. Зависимость от кристаллографи-
кристаллографического направления, определяемая чи-
числом К, позволяет в лучшем случае (при
) = yj довести восприимчивость до
величины порядка
Рис. 54. Зависимость энергии
намагничения от направления
в плоскости @01) (железо);
сплошная кривая — без растя-
растяжения, пунктирная — при го-
горизонтальном растяжении.
откуда, принимая во внимание численные
значения на стр. 182, мы получим при-
17 002 5002
мерно 1м(р == 1,7 для железа и 15 1Q4 =
= 1,7 для никеля. В действительности же в чистом железе наблюдается
обратимая начальная восприимчивость, доходящая до 400, а у никеля —?
Беккер 6810 23
\м$
194 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
У
до 20. Следовательно, представление о процессе поворота может объ-
объяснить в случае железа не более, чем 1°/0 наблюдаемой величины.
Поэтому при описании начальной проницаемости мягких в магнитном
отношении веществ мы можем вообще не принимать во внимание пово-
поворот вектора tAs относительно ребра куба.
Однако, можно принципиально понять наблюдаемые большие значения
восприимчивости, рассматривая поверхность соприкосновения двух со-
соседних областей Вейсса в веществе с малыми внутренними напряжениями.
На рис. 54 схематически представлена векторная диаграмма зависимости
энергии кристалла железа от направления вектора намагничения. Под
действием, например, небольшого горизонтально направленного растя-
растягивающего усилия энергия изменяется таким образом, что горизон-
горизонтальное направление вектора М6. становится энергетически несколько вы-
выгоднее, чем вертикальное направление. Пусть с такой областью, подвер-
подвергнутой растягивающему усилию, граничит другая
^JL ^ область, которая сжата с боков, и в которой век-
вектор М5, следовательно, имеет преимущественное
направление сверху вниз. Из рис. 55 мы видим,
что под действием направленного направо внеш-
внешнего поля „область растяжения" будет
иметь тенденцию увеличиваться за счет „обла-
Рис. 55. К объясне- сти сжатия" [переход „стенки" из положения A)
НИЮ яицаемости. ПР°" в положение B)]. Если растяжение и сжатие не-
непрерывно переходят друг в друга, то мы факти-
фактически получаем модель в виде стенки, квази-упруго привязанной к по-
положению равновесия. Ее способность к смещению будет тем больше,
чем меньше градиент внутренних упругих напряжений ct.
Если разобрать это представление подробнее, то можно для случая
малых упругих напряжений получить для восприимчивости формулу, ко-
которая похожа на формулу C4.3), подробно выведенную выше для рас-
растягиваемого никеля; только теперь внешнее растяжение а должно быть
заменено напряжением о?, которое можно рассматривать как амплитуду
нерегулярных внутренних напряжений, а ( — X ) должно быть заменено над-
надлежаще выбранным средним значением магнетострикции, зависящей от
направления. Мы ограничимся здесь этими указаниями, дальнейшие же
подробности читатель может найти в специальной литературе.
Г. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
§ 35. Теория свободных электронов по Друде. Прохождение тока
через металлы характеризуется тем, что оно не связано, с переносом
весомого вещества, в противоположность электролитиче-
электролитической проводимости, которая всегда приводит к выделению
ионов на электродах. Поэтому проводимость металлов должна про-
производиться движением электронов. Необычайно большую проводимость
металла по сравнению с другими телами обычно объясняют существо-
существованием внутри металла весьма подвижных или „свободных" электро-
электронов проводимости. Эта гипотеза непосредственно подтверждается пре-
прекрасными опытами Толмэна, которые были рассмотрены в § 5.
ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ДРУДЕ 195
Таким образом, мы приходим к представлению, что металл состоит
из положительно заряженных ионов, которые неподвижно
стоят на определенных местах, определяемых строением решетки, и из
электронов проводимости, которые с йебольшим сопротивле-
сопротивлением могут двигаться между этими ионами. При включении электриче-
электрического поля на беспорядочное (тепловое) движение электронов накла-
накладывается направленное движение, которое мы воспринимаем как элек-
электрический ток. Заметному увеличению кинетической энергии электро-
электронов, соответствующему работе, производимой внешним полем, препят-
препятствует взаимодействие с атомами решетки; работа, произведенная полем,
проявляется в металле в виде беспорядочного теплового движения
(джоулево тепло).
Для того, чтобы из этих представлений вывести количественные за-
заключения об электрических свойствах металлов, мы вынуждены, прежде
всего, значительно схематизовать нашу модель. Такая схематизованная
модель, которую мы рассмотрим подробно, была впервые предложена
Друде и затем усовершенствована Лорентцом, а впоследствии
Зоммерфельд подчинил ее требованиям квантовой теории. Эта
модель отличается тем, что мы считаем электроны проводи-
проводимости совершенно свободными, на подобие атомов иде-
идеального газа. Мы предполагаем, что в первом приближе-
приближении влияния остальных электронов и положительных ионов на рассма-
рассматриваемый электрон проводимости взаимно уравновешиваются. Это не-
несомненно существующее взаимодействие электрона с другими состав-
составными частями металла мы грубо учтем тем, что будем приписывать
электрону "некоторую среднюю длину свободного пробега /,
в духе кинетической теории газов. Хотя траектории отдельных элек-
электронов проводимости в действительности должны быть кривыми ли-
линиями, в наших вычислениях мы будем заменять их зигзагообразными
траекториями, на отдельных отрезках которых электроны движутся
с постоянной скоростью, причем скорость на данном отрезке в среднем
совершенно не зависит от скорости на предыдущем отрезке. Длина /
есть средняя длина такого отрезка. При этом положим, как принято и
в теории газов, что /, по крайней мере в первом приближении, не за-
зависит от скорости v.
Для описания состояния электронов проводимости нужно знать
следующие величины:
п — число электронов проводимости в 1 смъ металла,
/—длину свободного пробега электрона. C5.1
Кроме того, необходимо знать и распределение скоростей. Если обо
значить через ?, ц, С слагающие скорости v, то через
/& % Q <ЙЛ|Л C5.2)
мы можем обозначить число электронов проводимости в 1 смь, слагаю-
слагающие скорости которых находятся в интервале от ? до ?-}-<#;> от т) до
7]-|-dfr}, от С до С-}~^« Если состояние металла не одинаково во всех
его точках, как например при наличии температурного градиента вдоль
оси лг-ов или при неоднородности химического состава (место спая),
196 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
то / зависит также и от координат; тогда следует пользоваться обоб-
обобщенной функцией распределения
/(лг, у, z, ?, т], QdxdydzdZdrtdL C5.2а)
Функция распределения C5.2) должна удовлетворять равенству
-f-oo
*)> С) d\ dn tfC = п. C5.3)
Если пользоваться обобщенной функцией распределения C5.2а), фор-
формула C5.3) дает концентрацию п, как функцию координат.
Если известна функция /(?, 7j, С), то можно непосредственно вычи-
вычислить перенос заряда и энергии, связанные с движением электронов.
Вычислим лг-овую компоненту того и другого переноса. Для этого рас-
рассмотрим элемент поверхности dS, расположенный нормально к оси #-ов,
и найдем число электронов dZ в интервале скоростей от I до ?-\-dk
и т. д., которые проходят через поверхность слева направо за время
от t до t-\-dt. Очевидно, это будут те электроны, которые в момент t
находятся в косом цилиндре с основанием йис высотой \dt. Таким
образом мы получаем:
C5.4)
Для электронов с отрицательным ? мы получим отрицательное значе-
значение dZ. Но такие электроны проходят через поверхность справа налево,
так что при суммировании по всем ?, yj, С мы получим разность
между числом электронов, прошедших слева направо и прошедших
справа налево.
Каждый отдельный электрон переносит через dS заряд е и энергию
Y /иЛ Следовательно, количество электричества, перено-
переносимое в секунду через 1 см2, равно
C5.5а)
а соответствующее количество энергии
w ™ т///(S2+^+с2) lf^ % с) Л dY1 Л- C5-5)
Фактически у означает плотность тока, а №—поток тепла.
Непосредственно видно, что обе величины равны нулю, если функция
/симметрична по отношению к I [т.. е. если /($)=/(—?)]. Только
в том случае, когда симметричность / нарушается благодаря приложен-
приложенному электрическому полю или градиенту температуры,
появляются потоки, отличные от нуля.
* Для вычисления j и W прежде всего необходимо составить функцию
распределения для случая равновесия (однородный металл при от-
отсутствии поля и градиента температуры) и затем сообразить, как будет
теория свободных электронов по друде 197
изменяться эта функция в результате внешних возмущений. Прежде
чем приводить точные вычисления Лорентца, которые мы рассмотрим
в следующих параграфах, сперва составим себе представление об элек-
электрической и тепловой проводимости более простым и наглядным спо-
способом. Согласно Друде, для такого ориентировочного подсчета можно
поступить следующим образом.
Выражение для электрического тока C5.5а) можно перепи-
переписать в виде
J = enT. C5,6)
Для вычисления ? в присутствии приложенного извне электрического
поля Е проинтегрируем уравнение движения
В9 А* С
К1
в промежутке времени от 0 до t: тятяя
т% (f) = /и*0 -{- еЕхЬ
Рис. 53. К вычислению
Пусть при ?= О электрон претерпевает столк- теплопроводности,
новение. В этот момент не существует ни-
никакого преимущественного направления скорости, так что при усред-
усреднении для большого числа электронов ?0 должно равняться нулю.
Возрастание 5 под влиянием поля Е продолжается до следующего
столкновения, т. е. приблизительно до момента т = ~, где / означает
v
длину пробега, a v — скорость электрона. Во всех практически встре-
встречающихся случаях прирост скорости —Exz под влиянием поля очень
ш
мал по сравнению со скоростью теплового движения, так что при вы-
вычислении т мы можем пользоваться независящей от поля скоростью v.
При усреднении величины 6 по времени мы получаем для отдельного
электрона:
Следовательно, при усреднении по большому числу электронов плот-
плотность тока будет:
Этому соответствует электрическая проводимость
чэл
пеЧ ( 1 \
Вводя в эту формулу среднее значение -i , мы учитываем то обстоя-
тельство, что скорости различных электронов различны.
198 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Для вычисления теплопроводности мы рассмотрим число
электронов Z, проходящих в течение одной секунды слева направо
через 1 см2. Согласно C5.4), оно равно
или короче.
где | ? | означает среднее значение абсолютной величины лг-овой компо-
компоненты скорости.
Вычислим количество тепла, переносимого через за-
заданную поверхность при отсутствии электрического
тока. В этом случае число электронов, проходящих через поверхность
с обеих сторон, одинаково. Но мы должны принять во внимание, что
электроны, проходящие через сечение АА1 слева направо, испытали
последнее столкновение, в среднем, в сечении ВВ\ которое находится
от АА' на расстоянии к. Это расстояние определяется, конечно, дли-
длиной свободного пробега, но оно не равно последнему, а не-
несколько меньше, так как при движении электронов все направления
равновероятны, и поэтому те электроны, которые проходят через опре-
определенное место сечения АА1, испытали свое последнее столкновение,
в среднем, на сфере радиуса /. Если принять во внимание это обстоя-
обстоятельство, то легко можно показать, что
Итак электроны, пролетающие через сечение АА' слева направо, в сред-
среднем имеют такую кинетическую энергию, какая соответствует сече-
сечению ВВ'. Таким же образом электроны, проходящие в противопо-
противоположном направлении, исходят из слоя СС; с координатой x-\-h. Следо-
Следовательно, для полного потока тепла мы получим:
_ От^ЫтЮ- ¦ C5-8)
Наконец, для определения зависимости W от градиента темпера-
дТ , г
туры — мы должны задать функцию распределения / в явном виде.
ох
Согласно классической статистической механике, здесь должно иметь
место распределение Максвелла-Больтцмана:
/оE, Ч, С) = п(^тУе Ш , C5.9)
теория свободных электронов по друде 199
из которого, как известно, легко можно вывести соотношения:
Тогда формула C5.8) принимает вид:
w ~ 4 v 2 * dx '
или, так как
то
W = ±v>kl^. C5.8a)
Отсюда видно, что теплопроводность, зависящая от движения
электронов, равна
Kenn=^kl. C5.10)
Истинная теплопроводность металла вообще больше, чем только что
вычисленная, так как опыт показывает, что даже изолятор, который
не имеет свободных электронов, обладает конечной теплопроводностью.
Лишь в том случае, когда теплопроводность C5.10) гораздо больше,
чем теплопроводность изоляторов, можно думать, что перенос тепла
производится главным образом движением свободных электронов.
Мы получим весьма важный результат, хорошо подтверждаемый
опытом, если составим отношение двух проводимостей C5.7)
и C5.10). Тогда величины п и /, характерные для данного металла,
сокращаются, и мы имеем:
Х t V C5.11)
Кп
С той же степенью приближения мы можем заменить
v
через V" а=
tn
Тогда для искомого отношения C5.11) мы получим значение —2- Т.
Отсюда, умножив числитель и знаменатель на квадрат числа Авогадро,
получаем:
/ЛЧ2 ; C5.12)
200
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
где R — обычная газовая постоянная (8,ЗЫ07 эрг/моль-град.), a F —
постоянная Фарадея (9650 эл.-магн. CGS-ед.). Таким образом, в этих
единицах имеем:
Чепл
Если измерять Хтепл в м, кал./град. см*сек, а Хэл в ом см , то
получается формула, удобная для сравнения с экспериментом:
те
кал* )
см-сек \ _
—у
град, см
т—j—у
10
—9
т—j—у
Л (ом-см f
4,2 • 10 7
Например, при 7=300° получаем для рассматриваемого отношения
значение 1,6-10е6, которое мы сравним с соответствующими опытными
данными для трех различных металлов.
А1
Си
РЬ
Чепл
0,48
0,90
0,08
1:0,029-10~4 = 34,5 • 104
1:0,017.КГ4 = 59,0.104
1:0,21 .10~4= 4,8-104
Теоретическое значение по
Друде
Чепл
^эл
1,39-10~6
1,53-Ю-6
1,68-10~6
1,6-10~6
Тот факт, что отношение
Хтепл
почти одинаково для всех металлов,
был впервые отмечен Видеманом и Францем как закон, вытекаю-
вытекающий из опыта. Теория Друде дает не только простое объяснение этого
факта, но также и численное значение отношения, изумительно хорошо
совпадающее с опытом. Поэтому вполне понятно, почему именно этот
результат когда-то считали решающим доказательством существования
внутри металла электронного газа, описанного Друде. Теперь же можно
сказать, что при нашем рассмотрении лишь чисто случайно полу-
получилось „правильное* значение C5.12) для отношения ^^ в законе
Аэл
Видемана-Франца.
С экспериментальной точки зрения против рассуждения Друде можно
сделать очень веское возражение: согласно больтцмановской
функции распределения C5.9), которая лежит в основе всех рассужде-
рассуждений, для электронов должен иметь место „закон равномерного распре-
распределения энергии".
*я —- 3 , «,
МЕТОД ЛОРЕНТЦА 201
Если число электронов, находящихся в металле, приблизительно равно
числу атомов, что можно считать вполне правдоподобным, то наличие
этих электронов должно увеличивать удельную теплоемкость
металла. Молярная теплоемкость должна была бы равняться не ве-
величине
м. кал.
3/?;
град, моль '
которой она на самом деле равняется согласно закону Дюлонга и
П т и, а величине
Q м. кал.
град, моль
Кроме того, из формул C5.7) и C5.10) нельзя вывести температурную
зависимость для Х9Л и >Тепл> находимую на опыте. Опыт показывает,
что >эл пропорционально -у-, а Хтепл в первом приближении не
зависит от температуры. Таким образом, содержащееся в фор-
формуле C5.12) утверждение jp^tt const • Т верно. С другой стороны,
в формуле C5.7) ф пропорционально ^Г, значит, для того, чтобы >.9Л
было пропорционально -у- , стоящее в числителе произведение nl должно
быть пропорционально 7rf\ H0 тДк°й зависимости никак нельзя обос-
обосновать теоретически. ,
§ 36. Метод Лорентца. Дополним данное в предыдущем па-
параграфе наглядное изложение классической электронной теории, при-
принадлежащее Друде, и покажем, как та же задача более строгим методом
решается по Лорентцу; при этом мы встретимся с формулами, кото-
которые являются исходными и для более современной теории Зоммер-
фельда.
Для этого исследуем, как меняется со временем некоторая заданная
функция распределения
?. Ч, С, дг, у у г)
и попытаемся найти такое распределение, при котором эта функция
стационарна. Предположим, что на отдельные электроны, вследствие
приложенного извне поля Ех в направлении оси д;-ов действует уско-
ускорение
Х= — Ех.
Выберем определенный элемент объема dxdydz^=dz и интер-
интервал скоростей dldi)d(, — dS и рассмотрим те причины, по которым мо-
может изменяться со временем число электронов
% С х, у, z)dSdzy
находящихся в этих пределах. Полное изменение AZ разложим на два
слагаемых:
202 электроннАя теория металлов
где AiZ — изменение, вызываемое поступательным движением электронов
и ускорением X, a AnZ— изменение, вызываемое столкновениями.
Вычисление AiZ. За время dt координаты каждого электрона
меняются, а именно х переходит в х -f-1 dt,
У * » У + ridt,
Кроме того, благодаря ускорению X, 5 изменяется на величину А' Л;
что же касается у\ и С, то они не меняются. Благодаря этим измене-
изменениям, в момент времени t-\-dt в заданной области ЛМт будут нахо-
находиться все те электроны, которые в момент времени t имели коорди-
координаты х — %dt, у — v\dt> z — l>dt и скорости ? — Xdt% т), С. Таким обра-
образом для искомого изменения мы получаем выражение:
AIZ=[/f(Ar —U/, y—f\dty z — ^dt, \-Xdt, т|, С) —
—/(^, У, *Л Ч, С)]
или
Ход вычисления AnZ мы укажем лишь кратко. Лорентц при
вычислении ограничивался одними лишь столкновениями с положитель-
положительными ионами; последние он рассматривал как идеально твердые, непо-
неподвижные шарики. Число Z каждый р!з уменьшается на единицу, когда
один из электронов, соответствующих интервалу dSdx, сталкивается
с таким шариком. Наоборот, Z увеличивается на единицу, если электрон,
не принадлежащий области dS dx, испытывает такое столкновение, бла-
благодаря которому он попадает в эту область. Поэтому AnZ вновь может
быть разложено на два слагаемых:
AnZ = — A + B,
где А и В — числа столкновений описанного только что типа, проис-
происходящих за время dt. При этом Лорентц принимал во внимание только
такие столкновения, при которых не менялась абсолютная величина
скорости электронов. В этом, конечно, заключается большой недостаток
всего этого вычисления; он приводит к тому, что при отсутствии внеш-
внешнего поля любая функция распределения / (^), зависящая только
от абсолютной величины скорости, должна была бы соответствовать
равновесию.
Мы ищем то стационарное распределение /, которое установится при
заданных внешних условиях, так что
Согласно Лорентцу1) положим, что функция f удовлетворяет урав-
уравнению:
/& ч, С, х, у, z)=fo(x, *)
Теория электронов, ОНТИ, Л.-М. 1934, прим. 29, стр. 349 и дальше.
МЕТОД ЛОРЕНТЦА 203
где функции /о и х содержат только абсолютную величину скорости.
При этом часть /0, изотропная по отношению к v, должна быть велика
по сравнению с анизотропным добавочным членом fy> рассматриваемым
как малое возмущение. Мы приводим без вывода вычисленную Ло-
рентцом с помощью C6.1) величину AnZ: если / есть длина свобод-
свободного пути, то
Уже после получения можно наглядно истолковать этот результат
следующим образом: у есть число столкновений, которые испытывает
отдельная частица в одну секунду. Следовательно, v частиц за время dt
испытывают v-y d/столкновений. Итак, AnZ учитывает как раз те столкно-
столкновения, которые испытывает за время dt количество электронов x
соответствующее несимметричной части функции /. Если бы не су-
существовало никаких других причин для изменения Z, то AnZ имело бы
тенденцию уничтожить неизотропную часть распределения ?х> т- е«
вновь восстановить изотропное распределение /0 (х, v), при
котором столкновения, соответствующие числам А и В, компенсиру-
компенсируются.
Итак, вследствие C6.1), условие AjZ-j-AnZ = 0 для стационар-
стационарного распределения принимает вид:
Так как, согласно предположению, ?x<d/o> C3.6), то мы можем в пра-
правой части уравнения C6.2) заменить / через /0. Но /0 зависит от \
неявным образом через скорость ?•> = "jA2~{-Y]2-|-C2; поэтому
4l = ^r-> C6.3)
Тогда в уравнении C6.2) ? сокращается. Уравнение принимает вид:
Подставив это значение х в уравнения C5.5а) и C5.5Ь), мы получим
для переноса заряда и тепла следующие выражения:
J = e f f fl
так как часть интеграла, куда входит /0, исчезает вследствие симме-
симметрии. Если заменить здесь элемент объема dtd?\d? пространства ско-
скоростей через v2 dv d<o9 то этим будет охвачена область <1S всех тех ско-
скоростей, величина которых заключена в пределах от v до v-\-dvt а на-
204 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
правление — в телесном угле da>; тогда мы сможем непосредственно
взять интеграл
по единичной сфере в пространстве скоростей. Очевидно, что
а следовательно, при заданной скорости v9
Значит, для вычисления j и W достаточно найти интегралы
<36-5а>
W = ~J <v*xd<v. C6.5b)
Мы вычислим сначала электрический ток в химически и терми-
термически однородном веществе. В этом случае -^ = 0; из уравнения C6.4)
для х получается выражение
поэтому, согласно C6.5а),
о
Интегрирование по частям дает:
о
так как ф2/0 исчезает при v = 0 и при v = оо. Если мы заменим уско-
ускорение X его значением —Ех и примем во внимание, что, по опреде-
определению среднего значения, должно иметь место равенство
' = — J /о«
то для плотности тока мы получим:
Таким образом, мы опять получили, не считая числового коэфициента 4/8,
выражение C5.7), найденное раньше более простым путем. Подставив
МЕТОД ЛОРЕНТЦА 205
в C6.7) распределение Максвелла-Больтцмана C5.9), мы найдем среднее
значение C6.7):
т
Следовательно, для электропроводности мы получим, согласно
C6.8):
л 4 еЧп
3
Теплопроводность вычисляется по методу Лорентца следую-
следующим образом. В присутствии градиента температуры в направлении
оси лг-ов функция распределения /0 тоже будет зависеть от х. Это
обстоятельство, согласно C6.4) и C6.5), всегда приводит к возникнове-
возникновению электрического тока, если ему не препятствует приложенное поле
Ед — ^Х. Теперь следует решить, измерять ли теплопровод-
теплопроводность при токе, равном нулю, или при разности потен-
потенциалов, равной нулю. На самом деле измерения обычно произво-
производятся при токе, равном нулю, так как при создании градиента темпе-
температуры в рассматриваемом металле автоматически возникает такое паде-
падение электрического потенциала, благодаря которому не может появиться
электрический ток. Отсюда вытекает следующий прием для вычисления
переноса тепла по формуле C6.5Ь). Пусть задана изотропная часть
функции распределения /0 (х, v)\ эта часть в общем случае зависит от дг,
благодаря тому, что концентрация п и температура являются функциями
от х. Мы ищем сначала такое поле Ех = —Х, которое должно уста-
установиться, чтобы, согласно C6.4) и C6.5а), получился ток, равный нулю.
Условием для этого будет:
C6.9)
1°
Значение X, определяемое условием C6.9), следует подставить в C6.4),
после чего и вычисляется по C6.5Ь) поток тепла.
Если мы представим /0, согласно классической теории, в виде:
то из C6.9) получится уравнение для X:
dx
С другой стороны, из C6.4) следует:
°-^-Т?-2А^' C6.9а)
206 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
следовательно, принимая во внимание C6.9а), получаем:
При этом значении х. формула C6.5Ь) дает следующее выражение для
потока тепла:
_, 2'кт 1А d$
W ~'~b~~^dx'
/ ft \8/ т
Заменим теперь, по формуле C5.9), А через п(—) а и р через 9,^ ;
тогда мы получим для потока тепла:
8 ЫУТ dT
3
3 у 2™*Г dx
и для теплопроводности:
8 lnk?T Гоа 1 с\\
C6.10)
откуда при помощи C6.8а) получается отношение Видемана-
Франца:
тепл с% № т* too. 1ля\
—— а 2 - Т. E6.10а)
Л9Л в
Выведенная примитивным путем формула Друде C5.11) имеет коэфи-
циент 3, вместо коэфициента 2, полученного в этом параграфе путем
более строгих вычислений. Числа, приведенные на стр. 200, показывают,
что коэфициент 3 дает значительно лучшее совпадение с опытом; мы
уже указывали, что такое совпадение следует считать случайным, так
как в действительности распределение электронов
в металле не подчиняется закону Максвелла-Больтц-
мана.
Если нет градиента температуры, т. е. от х зависит только я,
а не Т, то поток тепла равен нулю. Но зато устанавливается, согласно
формуле C6.9а), некоторое падение потенциала <р(*), которое вы-
вызывает ускорение ЛГ = — Ех = ~1Г * ПРИ постоянной температуре
условие отсутствия тока C6.9) имеет вид:
ИЛИ
kT
Эта формула дает для разности потенциалов <р2 — срх между двумя точ-
точками с различной концентрацией электронов nt и п2 следующее выра-
выражение:
(g) C6.12)
ЭФФЕКТ ХОЛЛА 207
Уравнение C6.11) аналогично барометрической формуле; только
вместо электрической энергии еу в барометрическую формулу входит
энергия тяготения mgh. Если применить формулу C6.12) к двум сопри-
соприкасающимся металлам с различными концентрациями электронов, то она
дает существующий на поверхности раздела этих металлов скачок по-
потенциала в случае равновесия. Если же сравнить внутренность металла
при заданной концентрации электронов пх с окружающим металл пустым
пространством, то, при заданном скачке потенциала („работе выхода"),
формула C6.12) дает концентрацию электронов п2 в этом пространстве
(давление электронного пара).
Вычислим еще по формуле C6.9а) падение потенциала, свя-
связанное с градиентом температуры в однородном веществе (л = const).
Так как A = n(^jl
<*1 I _?_^_.а
dx » т ах~ '
Ig-+ *? = ^-+ *Р = const-
то
и, следовательно,
Отсюда для падения потенциала внутри неравномерно нагретого металла
при отсутствии тока получается равенство:
«(?! -?i) = -J-КТг - Tt). C6.13)
Если спаи проволочного кольца, составленного из двух метал-
металлов, имеют различную температуру Т и V, то C6.12) дает значение
термоэлектродвижущей силыФ, возникающей благодаря раз-
разности двух скачков потенциала:
в то время как падение потенциала C6.13) ничего к результирующей
э. д. с. не прибавляет, так как в обоих металлах оно имеет одинаковое
значение. Однако, эти формулы не сравнимы с эксперимен-
экспериментальными данными, так как положенное в их основу
максвелловское распределение скоростей здесь оказы*
вается совершенно непригодным.
§ 37. Эффект Холла. Весьма важное для электронной теории
металлов явление представляет эффект Холла. Представление
о свободных электронах дает как в классической, так, и в квантовой
теории чрезвычайно простое выражение коэфициента Холла.
Пусть через металлический стержень толщины d и ширины Ъ про-
протекает ток / в продольном направлении (а:). Если теперь в направлении
оси z (параллельно ребру d) включить магнитное поле И, то вдоль
оси у возникает разность потенциалов, которая при заданных значе.
ниях / и Н обратно пропорциональна толщине пластинки d. Гальва
208
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
метр, присоединенный к точкам А и В, покажет разность потенциалов
Ф = 2у, = /?™. C7.1)
Коэфициент пропорциональности R называется константой Холла
для соответствующего металла.
Объяснение этого эффекта весьма просто. Заряды, которые создают
идущий направо ток /, при своем движении через магнитное поле,
направленное, как показано на рисунке, все время отклоняются кверху,
так как положительные заряды должны двигаться направо, отрицатель-
отрицательные же — налево. Следовательно, эти заряды накопляются в верхней
части пластинки до тех пор, пока вызванное ими электрическое поле
не уравновесит отклоняющего действия магнитного поля Н. Тогда опять
наступает стационарное состоя-
состояние, и ток может течь снова
как раз в направлении оси л>ов.
Из предположения, что свобод-
свободные электроны являются един-
единственными носителями тока, сле-
следует, что определенный выше
коэфициент Холла R должен
иметь отрицательное значение.
Могло бы казаться, что для
вывода теоретического значе-
значения R нужно потребовать, что-
чтобы в стационарном состоянии
jz-овая компонента силы, дей-
действующей на заряды, в сред-
среднем равнялась нулю:
Рис. 57. Схема наблюдения эффекта Холла.
Движущиеся в направлении х заряды от-
отклоняются кверху магнитным полем Нг.
Однако, на самом деле нам нужно уравнение для среднего смещения
в направлении оси у. Для этого, как будет доказано ниже, получается
несколько иное выражение:
-ТНг = °-
C7.2)
Если п — число электронов в 1 смв и е — заряд электрона, то
в схеме опыта, изображенной на рис. 57,
/ sss Ь dne v~x.
Значит, согласно C7.2), разность потенциалов Ф = Evb между точками
А и В равна у
Ф = Я ±. Щ
Ъс пе d *
Следовательно, постоянная Холла
R =
Зс пе
C7.3)
ЭФФЕКТ ХОЛЛА
209
т. е., если не считать коэфициента-j-, просто равна единице, делен-
деленной на заряд всех электронов проводимости в 1 см*. В эксперимен-
экспериментальной литературе постоянная Холла, большей частью указывается
в электромагнитных единицах. Измеренное в этих единицах значе-
значение /?Эл.-м получается из C7.3) умножением на с2. Заряд электрона,
измеренный в электромагнитных единицах, равен -^-. Если считать, что
один свободный электрон приходится на каждый атом металла, то заряд
свободных электронов в одной грамм-молекуле металла равен —
(ЗТОМН В6С \
— т^г )»
ПЛОТНОСТЬ /
о
0
составляет 10 смь> то — — —1000 и /?M..ir«10 °. Если Z есть число
, с
электронов на один атом металла, то, согласно C7.3), следовало бы
ожидать, что
~ 12 атомный вес
9650 3 Z-плотность *
C7.3а)
Для ряда металлов равенства C7.3) или C7.3а) довольно хорошо дают
порядок величины наблюдаемого эффекта Холла. Однако, для некоторых
металлов эта простая, теория совершенно не оправдывается; например,
ненормально большой эффект Холла наблюдается у висмута. Особенно
интересно то, что некоторые вещества (Fe, Co, Zn, Cd, Pb) обладают
положительной константой Холла, что совершенно не совместимо
с представлением о свободных электронах и с принципиальной стороны
было объяснено только при помощи квантовой теории.
В нижеследующей таблице мы сравним выводы теории с опытными
данными, вычислив для некоторых металлов, на основании наблюдаемых
значений /?Эл.-м> число свободных электронов на один атом, т. е.
число Z, необходимое для объяснения выражения C7.3а).
Ag
Си
А1
Аи
Pt
Li
Na
*эл.-м • Ю
-0,944
— 0,609
— 0,343
— 0,736
-0,230
— 1,70
-2,50
Атомный вес
108
63,6
27
197
195
7
23
Плотность
10,5
8,9
2,7
19,3
21,4
0,53
0,97
Z по C7.3а)
0,75
0,8
2,0
0,9
2,7
0,53
0,65
Таким образом у этих металлов с „нормальным" эффектом Холла мы
получаем значения Z, которые в общем изменяются от одного металла
к другому примерно так, как можно ожидать на основании химической
валентности этих металлов.
Для обоснования уравнения C7.2), объясняющего нормальный эффект
Холла, вернемся непосредственно к уравнению движения отдельного свобод-
Бевкер 5810 4 14-
210 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
но го элекгрона. При постоянных во времени и в пространстве полях Б и Н
оно имеет вид:
Если Н совпадает с осью z (Н2 = Н)> то
mvx^e\Ex-
C7.4)
mv2 = eEz.
Эти уравнения без труда интегрируются. Вводя комплексную переменную
С = vx + ivy> мы находим из первых двух уравнений:
Вводя еще комплексное электрическое поле
получаем:
с== —
причем мы распорядились (комплексной) постоянной интегрирования так, что
С = Со при t = 0, Дальнейшее интегрирование дает 5 = х + (у как функцию
времени; пусть
тогда
')• C7'5)
Это и есть строгое решение для любых значений И и Е.
Нормальный эффект Холла мы получим, если предположим, что период
Лармора, порядок величины которого равен ^? велик по сравнению с време-
временем х между двумя столкновениями электрона с ионами решетки. В этом
случае электроны будут проходить лишь небольшую часть кругового пути,
соответствующего данному магнитному полю. Поэтому мы можем считать
-—t малой величиной и заменить экспоненциальную функцию в формуле C7.5)
степенным рядом. Для получения всех членов, линейных относительно И, раз-
разложение в ряд следует производить до члена 3-й степени. Для смещения элек-
электрона за время т между столкновениями мы найдем Г положив -г) = -—J:
При усреднении по очень большому числу частиц получится Со = 0. Следова-
Следовательно» средняя скорость за время i равна
> — S@) 1 * 1 <??
ТЕПЛОВАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 211
Вещественная часть уравнения дает:
а мнимая —
— с
Подставив в последнее слагаемое значение Vx, мы найдем, ограничиваясь чле-
членами первой степени относительно yj:
Условие для эффекта Холла есть
или, если подставить значение -ц,
что совпадает с формулой C7.2). Причина того, что при замене среднего при-
приращения скорости средней скоростью появляется коэфициент 2/3| может быть
проще всего объяснена следующим образом: так как vx возрастает со временем
линейно, то, согласно формуле C7.4), vy имеет вид
vy = а + bt,
следовательно,
При усреднении за время от 0 до х будет vy = 0, если а + у Ьч = 0; напротив
г
из выражения vy = 0 следует условие
§ 38. Тепловая эмиссия электронов. Ток насыщения. Если ме-
металл, находящийся в вакууме^ достаточно сильно нагреть, то, приложив
соответствующую разность потенциалов, можно наблюдать электронный
ток, выходящий из металла. Экспериментальная зависимость тока от
приложенной разности потенциалов качественно изображена на рис. 58.
При отрицательной разности потенциалов наблюдается сравнительно
очень небольшой „начальный ток", который объясняется тем, что самые
быстрые электроны, выходящие из металла, все же проникают через
замедляющее поле. Если для выходящих электронов принять больтцма-
новское распределение скоростей, то окажется, что в области больших
отрицательных напряжений изменение тока происходит пропорционально
е kT. В области же положительных разностей потенциалов сначала наблю-
наблюдается быстрое возрастание тока, а именно, ток возрастает приблизительно
з
пропорционально V2 .Эту часть кривой называют областью объем-
объемных зарядов. Она находится примерно в интервале напряжений от
О до Л. С дальнейшим возрастанием напряжения V начинается пере-
212
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
ходная область и, наконец, при напряжениях, больших чем В, мы
достигаем насыщения. Теперь ток при дальнейшем возрастании на-
напряжения остается почти постоянным. Однако, при тщательном наблю-
наблюдении и при максимально сильных полях оказывается, что даже и в этой
области ток продолжает медленно возрастать с напряжением. Но здесь
мы будем этим обстоятельством пренебрегать.
Описанный ход кривой тока в области положительных напряжений,
может быть объяснен следующим образом. Как показывает опыт, практи-
практически свободные электроны, движущиеся внутри металла, вообще говоря,
не могут из него вырваться Это объяснимо только при одном условии,
а именно, если электроны, двигающиеся к поверхности металла, отра-
отражаются на его границе существующим там электрическим полем. Следо-
Следовательно, между внутренностью металла и окружающим
его вакуумом должна существовать разность потен-
потенциалов Ь, которая и отбрасывает
большую часть электронов обратно
в металл.
PS До сих пор еще не удалось теоре-
теоретически вычислить этот потенциальный
скачок (а, следовательно, и ту работу Ь,
которую необходимо затратить, чтобы
перевести электрон из металла в ва-
вакуум). Часть этой работы, несомненно,
совершается силами „электриче-
„электрического изображения"; если элек-
электрон е находится, скажем, на расстоя-
расстоянии а от плоской поверхности металла,
то он испытывает притяжение к инду-
индуцированному им самим положитель-
положительному заряду. Это притяжение равно
тому, которое создал бы заряд — е,
находящийся в точке, симметричной
с зарядом -\-е относительно поверхности металла, т. е. равно ^. Для
того, чтобы перевести в бесконечность электрон, находящийся уже вне
металла, на расстоянии а от него, необходимо затратить работу -j-. Это
рассуждение, конечно, применимо только к расстояниям, которые велики
по сравнению с атомными расстояниями внутри данного металла, т. е.
примерно для а^ 10~ см. При меньших расстояниях следовало бы поль-
пользоваться более детальными представлениями об ^томе. При а—\0~7 см
та часть работы выхода, которая обусловлена силой электрического изо-
изображения, равна
О А
В
Рис. 58. Ток термоэлектронной
эмиссии / в зависимости от раз-
разности потенциалов V при двух
различных температурах. Началь-
Начальная область — DO, область объ-
объемных зарядов — ОЛ, насыще-
насыщение — за В.
4)8.10
-10
4- 1(
-7
= 1,2 • 10~3 эл.-ст. ед. = 0,36 вольт; C8.1)
в то же время наблюдаемые значения величины Ьу как мы увидим
ниже, составляют, примерно, от 2 до 4 вольт.
ТЕПЛОВАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 213
Наиболее просто можно объяснить ток насыщения. Электрон,
который внутри металла движется к его поверхности, может выйти на-
наружу только в том случае, если его кинетическая энергия
достаточно велика. Ток насыщения наступает тогда, когда, благодаря
достаточно сильному полю, все вылетающие электроны убираются на-
настолько быстро, что не может возникнуть объемный заряд. Этот ток
состоит, следовательно, из всех тех электронов; которые попадают на
поверхность металла, имея достаточно большую кинетическую энергию.
Если мы направим ось х-ов нашей координатной системы по нор-
нормали к поверхности, то мы должны предположить, что вблизи поверх-
поверхности существует потенциал, зависящий от х. Уравнение движения для
дг-овой компоненты в этом случае имеет вид:
¦ •*—•#.
или, взяв интеграл для двух точек по обе стороны от поверхности,
f V = f V -е(ъ~ «Pi) = f ^- eb.
Поэтому через поверхность будут проникать только те электроны, ско-
скорость которых в направлении оси дг-ов превышает определенное значе-
значение Ео, где ?0 задается условием
^=еЬ. C8.2)
Мы знаем, что ?/(&, у\9 С) d\dr\d?> есть число тех электронов со скоростями
от Е, т|, С до %-{-&, ч + А) ,С + Л, которые в одну секунду падают
на 1 см* поверхности металла. Эти электроны могут проникнуть через
поверхность только в том случае, если % > Ео. Следовательно, мы ожи-
ожидаем, что ток насыщения должен равняться
ffC8.3)
При распределении Максвелла,
_ „ ( 9 У
мы получаем интегрированием выражения C8.3) и подстановкой значе-
значения 60 из C8.2),
""и" C8.4)
ИЛИ
*7, C8.4а)
куда входят две характерные для металла постоянные Си J, Эта фор-
формула для тока насыщения была впервые выведена Ричардсоном.
214 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Если ток js измерен при различных температурах, то формулу C8.4)
проще всего проверить, откладывая на графике lg (-~l J как функцию
Тогда должна получаться прямая линия (рис. 59), которая отсекает на
оси ординат отрезок, равный lg С, и угол наклона которой определяется
еЪ
формулой tgty = — . Таким образом наклон 6 этой кривой дает экспе-
/с
риментальное значение работы выхода.
Объяснение этого же явления с точки зрения квантовой тео-
теории, которое будет изложено в § 42, дает, вместо формулы Ричард-
Ричардсона C8.4а), следующее выражение:
eb
kT
куда входит новая постоянная В, опре-
определяемая из теории, и множитель Г2
вместо У Т. С первого взгляда кажется
удивительным, что наибольшую трудность
представляла задача экспериментально
определить, какой множитель сто#т перед
Рис. 59. Температурная завися- экспоненциальной функцией— Т* или У Т.
мость тока насыщения. Это можно понять, если в обобщенной
формуле
js = const -ГГ^
попытаться по относительному изменению js при возрастании Т опре-
определить неизвестный показатель степени а. Мы имеем:
dT :
Если выразить работу выхода Ь через „эквивалентную" ей температуру Ъ
О
по формуле eb = kv,b то рядом с а стоит отношение -у. При 6 = 4V
мы, примерно, получаем &== 44 000°, так что даже при 7=2000° это
отношение еще равно 22. Отсюда видно, что js при всех температурах
должно быть измерено очень точно, если мы хотим, чтобы а было за-
заметно по сравнению с —. Поэтому для большинства практических за-
дач безразлично, стоит ли в законе электронной эмиссии Т2 или
Теперь рассмотрим еще другой вывод формулы Ричардсона C8.4а),
введя понятие о давлении электронного пара. Если потен-
потенциал в вакууме, окружающем металл, больше, чем потенциал внутри
металла, на величину Ь, то, как мы отметили в C6.11), условие тепло-
теплового равновесия приводит к обобщенной барометрической формуле для
ОБЛАСТЬ ОБЪЕМНЫХ ЗАРЯДОВ 215
отношения концентрации электронов п1 в металле к концентрации п2
в пустоте:
n2=*nie'kT . C8.5)
Итак, пусть при температуре Т в пустоте в состоянии равновесия
находится электронный газ с числом электронов я2 в 1 смъ. (При стро-
строгом проведении термодинамического расчета, на который здесь мы только
намекнули, следует принять во внимание, что пар, находящийся в равно-
равновесии на большом расстоянии от металла, электрически нейтрален.
Следовательно, он содержит, кроме нейтральных атомов металла и п2 эле-
электронов, еще ровно л2 положительных ионов. Однако, это обстоятель-
обстоятельство не окажет существенного влияния на результат). По простым фор-
формулам кинетической теории газов мы можем вычислить, сколько электро-
электронов в случае равновесия попадают со стороны вакуума на 1 см2 по-
поверхности металла в одну секунду. Число этих электронов равно
Из этих Z электронов часть А будет поглощаться металлом, а осталь-
остальная часть A—А) будет отражаться. Так как существует равновесие,
то такое же число электронов, т. е. Z, должно двигаться в направлении
от металла в пустоту. При этом оно должно состоять из только что
упомянутых отраженных 1—А электронов и испущенных металлом
новых А электронов. Теперь представим себе быстро действующий
„насос", непрерывно откачивающий все электроны из пустого про-
пространства. Тогда на поверхность металла из пустоты больше уже не
попадает ни один электрон, но из металла в вакуум ежесекундно испу-
испускается AZ электронов, в виде „тока электронной эмиссии". Таким
образом, из формулы C8.5) мы получаем термоэлектронный ток насы-
насыщения:
/Е~?' C8-6)
отличающийся от C8.4) коэфициентом Л, который всегда оказывается ле-
лежащим в пределах от 0 до 1. Выше мы обозначили буквой А вероятность
того, что электрон, падающий на металл, проникнет внутрь. Возвра-
Возвращаясь к кинетическому выводу уравнения C8.4), мы можем ту же
самую величину А интерпретировать, как вероятность того, что
электрон, летящий изнутри металла к его поверхности и обладающий
достаточно большой кинетической энергией для того, чтобы проскочить
через эту поверхность, действительно пройдет через эту поверхность.
На самом деле в квантовой механике доказывается, что даже и такие
электроны обладают некоторой конечной вероятностью отражения от
этой поверхности.
§ 39. Область объемных зарядов. Теперь мы должны обсудить
вопрос, почему на кривой (/, V) (рис. 58) только-что рассмотренный
ток насыщения наблюдается лишь в том случае, когда приложенное
напряжение превышает некоторую конечную величину (примерно, вели-
216
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
чину В на рис. 58). Чтобы это понять, заметим, что средняя кинети-
кинетическая энергия электронов, покидающих катод, имеет порядок вели-
величины kT. (Она равна в точности 2&Г, а не 3/2АГ, так как на поверх-
поверхность металла, в среднем, чаще падают быстрые электроны, чем медлен-
медленные). Температуре 1000° соответствует напряжение порядка 0,1 вольт.
Если бы' электроны, обладающие столь малыми сравнительно скоро-
скоростями, должны были переносить весь ток насыщения, то их концентра-
концентрация п в пустоте вблизи металла должна была бы стать сравнительно
весьма большой. Но с такой концентрацией электронов был бы связан
соответственно большой объемный заряд р = пеу который задерживал бы
вылетающие из металла электроны. Если не удалять вылетающие
электроны при помощи внешнего
А поля, то образующееся у поверх-
Рис. 60, Вычисление влияния объемных зарядов в плоской (а)
и в цилиндрической (Ь) установках.
ности металла облако объемных зарядов практически вообще
не даст возникнуть термоэлектронному току.
Для количественного описания этого явления рассмотрим, согласно
Шоттки и Лангмюру, схему на рис. 60а, где между двумя бес-
бесконечно длинными пластинками (катод К и анод А) включена опре-
определенная разность потенциалов V. На рис. 60Ь представлена анало-
аналогичная схема, обладающая осевой симметрией (нить накала К и ци-
цилиндрический анод А). Обозначим через ср потенциал в какой-нибудь
точке между двумя электродами; п — чисЛо электронов в 1 смъ, j—
плотность тока. Для простоты мы с самого начала вообще будем пре-
пренебрегать малыми тепловыми скоростями электронов и будем им при-
приписывать на самой поверхности К скорость, равную нулю. Тогда ско-
скорость электрона в какой-нибудь точке пространства определится только
пройденной им разностью потенциалов; следовательно, в каждой точке
будет иметь место равенство
-^-ш**™ — exf. C9.1)
Для самого же потенциала всегда справедливо уравнение
Дер = — 4iup.
C9.2)
ОБЛАСТЬ ОБЪЕМНЫХ ЗАРЯДОВ 217
Так как здесь р и е имеют отрицательные значения, то плотность тока
равна
/---Р*. . C9.3)
Исключив из этих трех уравнений *& и р, мы получим искомую связь
между ср и ). Из C9.3) и C9.1) следует:
и, следовательно, на основании C9.2),
^. C9.4)
Проинтегрируем это уравнение при следующих пограничных усло-
условиях. Пусть катод заземлен; тогда
9^ = 0. C9.5а)
Кроме того, пусть приложенное напряжение равно
срА=К. C9.БЬ)
В стационарном состоянии должно также выполняться следующее
условие:
в случае плоской схемы (рис. 60а)
y = y=const,
в случае цилиндрической схемы (рис. 60Ь)
2irry = J = const. C9.5c)
В этих формулах J в случае а означает ток, приходящийся на 1 см2
плоского катода, а в цилиндрической установке b — это ток на 1 см
длины нити. Наконец, последнее и физически наиболее важное усло-
условие гласит, что поле на самом катоде должно равняться нулю, т. е.
Для обоснования этого условия заметим следующее. Электроны, по-
покидающие катод, имеют в действительности среднюю кинетическую
энергию Щ-^kT. Если, несмотря на это, при напряжении V=0
удается наблюдать только исчезающе малый ток, то это происходит по-
потому, что перед катодом находится отрицательный объемный
заряд, который тормозит почти все выходящие электроны. Поэтому
мы ожидаем, что на неизвестном пока расстоянии хт от катода бу-
будет минимум потенциала, равный VmttkT. Как уже было указано
выше, слабый начальный ток может быть обнаружен также и
при отрицательных значениях V, благодаря тому, что в максвел-
ловском , распределении скоростей существует некоторое количество
электронов, обладающих достаточно большой кинетической энергией.
Строго говоря, мы должны бы потребовать, вместо условия C9.5d),
218 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
условие минимума энергии на расстоянии хт от катода (рис. 61), а
вместо условия C9.5d) — наличие разности потенциалов v\-Vm между
этим минимумом и анодом А. Но так как хт и Vm зависят от условий
опыта, то мы приближенно удовлетворимся тем, что будем пренебрегать
величиной хт по сравнению с расстоянием между пластинами и вели-
величиной Vm по сравнению с V, В дальнейшем мы отчасти устраним эти
неточности тем, что в окончательной формуле заме-
заменим V на V-\-Vmn расстояние между пластинами а
на а—хм.
Выведем сначала общее следствие из уравнений
C9.4) — C9.5 d). Прежде всего ясно, что условия
C9.5) могут выполняться только при вполне опреде-
определенном значении У, так что формулы C9.4) и C9Л>)
действительно определяют У как функцию от V. Пред-
Предположим теперь, что мы* имеем решение ©г и Ун со"
ответствующее приложенному напряжению Vx и силе
„.__„: Распре- тока j если s — произвольное число, то формулы
деление потен-
циала вблизи на- о =s<o
каленного ка- 4 2 з/
тода /(. /2 = s7i
также дают решение уравнения C9.4) (в этом легко
убедиться, сделав соответствующую подстановку), которое удовлетворяет
условиям C9.5а) и C9.5d) и приводит к значениям:
1^ = 5^ и y2 = s8/7r
Но из этого следует, что
— =-^~ или У = const- V3/s. . C9.6)
В области объемных зарядов ток растет пропорцио-
пропорционально напряжению в степени 3/2; Но этот закон имеет место
только до тех пор, пока можно пренебрегать величинами хт и Vm.
Интегрирование уравнения C9.4) в случае плоской схемы выпол-
выполняется без труда. Из выражения
по умножении на 2^ получается
dbcXdxl
или, так как, согласно C9,5а) и C9.5d), на катоде (т. е. при х = 0)
ср и ~ исчезают,
их
ОБЛАСТЬ ОБЪЕМНЫХ ЗАРЯДОВ 219
Отсюда следует, что
(Это решение можно получить и непосредственно, если попытаться
удовлетворить уравнению C9.7) подстановкой <р = Сх*). Следовательно
при расстоянии между пластинами х = а из уравнений C9.4) и C9.5)
получаем:
что полностью подтверждает уравнение C9.6). Замечательно в этом
уравнении C9.8) то, что коэфициент, стоящий перед V^% зависит только
от универсальных постоянных, если не считать расстояния между
пластинками. В частности, в формулу не входит ни температура, ни
свойства металла, испускающего электроны. Условием правильности
этой формулы является то, что вычисленный по уравнению C9.8) ток,
соответствующий области объемных зарядов, должен быть малым по
сравнению с током насыщения. В самом деле, мы производили вычисле-
вычисления так, как будто ток насыщения бесконечно велик, и, следовательно,
фактическая величина тока ограничена только наличием объемных за-
зарядов.
Измерение тока в области объемных зарядов дает возможность про-
произвести по формуле C9.8) совершенно новое определение о т н о ш е
ния заряда электрона к массе —. Но такие измерения едва
ли возможно осуществить практически с помощью плоской схемы; они
осуществимы на цилиндрической установке, схематически изображенной
на рис. 60Ь. По этой причине с практической точки зрения инте-
интересно повторить для случая цилиндрической схемы только что приве-
приведенное вычисление.
В цилиндрической схеме <р зависит только от радиуса г
наше уравнение C9.4), если принять во внимание C9.5), примет вид:
г dr\r dr)
так как
Пограничные условия были приведены уже раньше; они заключаются
в следующем: если а — радиус внутренней нити, a R — радиус цилин-
цилиндрического анода, то
Кроме того, <?R — 9а == ^ представляет приложенное напряжение.
220 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Интеграл диференциального уравнения найти не трудно. Если под-
подставить ср = Сг*у то получается:
}_d_( d^
Т dtV dr
Для того чтобы это равнялось правой части диференциального уравнения,
необходимо, чтобы
2
г
2
и, следовательно, v==-^-; определив отсюда значение постоянной С, мы
находим:
Это уравнение, будучи применено к точкам г = /?, в которых <р == V,
дает следующую зависимость между У и V:
Но хотя функция <р, заданная формулой C9.9), есть решение диферен-
диференциального уравнения, она не удовлетворяет пограничному условию на
катоде: ср исчезает не при г=а9 а при г = 0; кроме того, не выпол-
выполняется условие, что касательная к кривой ф (г) горизонтальна при г = а\
вместо этого •? обращается в бесконечность при г = 0. Но не трудно
показать, что, несмотря на это, в предельном случае бесконечно тонкой
нити накала наше уравнение C9.9) должно быть решением поставленной
задачи. В самом деле, в случае конечного тока J плотность тока и
плотность заряда на поверхности такой нити должны быть бесконечно
велики. Поэтому кривая потенциала, даже если она у поверхности
катода имеет горизонтальную касательную, должна вслед за тем очень
быстро подниматься кверху. Итак, при переходе к предельному случаю,
когда радиус нити а = 0, мы получаем потенциальную кривую, которая
у поверхности проволоки имеет вертикальную касательную.
Если нужно учесть конечный радиус нити накала, то интегрирование можно
произвести только с помощью приближенного метода, который мы
укажем вкратце. Полезно исходить из решения диференциального уравнения
C9.9) и постараться исправить это решение так, чтобы выполнялись погранич-
пограничные условия при г = а, т. е. <р(д) = 0 и l-~ J =0. Для этого мы напишем <р
в виде
где у., как легко убедиться, должно удовлетворять диференциальному уравнению
rf?2+ 3r dr + 9
СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ 221
Следует, конечно, ожидать, что при г>а величина х будет очень мало отли-
dy
чаться от 1; с другой же стороны, при г = я как х» так и -~ должны обра-
обращаться в нуль.
Метод, которым пользовался Лангмюр1) "для определения х» состоит
в том, что х разлагают в ряд по возрастающим степеням величины -у = lg —•
Мы не будем здесь приводить самых вычислений, а укажем лишь их резуль-
результат: для у^* получается сравнительно быстро сходящийся ряд
из которого видно, что х(я) = 0 и (-Л) =0; с другой стороны, численные
выкладки показывают, что у.(i) при — ж 20 отличается от1 меньше, чем
н а 1%. Это означает, что практически всегда можно пользоваться приближен-
приближенным решением C9.10).
§ 40. Статистика Ферми для электронов в металле. Изложенная
выше классическая теория электронов во многих случах позволяла нам
качественно объяснять экспериментальные факты, в то же время в дру-
других случаях она терпела полную неудачу: например, в величине общей
теплоемкости металла не наблюдается того увеличения за счет
электронов, которого требует теория. Причина этой частичной неудачи
классической теории, как мы теперь знаем, заключается в том, что для
электронов в металлебольтцмановское распределение
скоростей
не имеет места. Эту функцию распределения следует заменить рас-
распределением Ферми-Дирака; интересующихся строгим выводом
мы отсылаем к специальной литературе. Тем не менее, мы попытаемся
здесь обосновать введение этой новой функции распределения.
Экспериментальным исходным пунктом является в атомной физике
существование заполненных электронных оболочек. Оно
объясняется „запретом Паули", согласно которому на „эквивалентных"
орбитах никак не может находиться два электрона. При этом под
^эквивалентными орбитами" следует понимать такие два состояния от-
отдельных электронов, в которых все их квантовые числа совпадают. По-
Покуда мы не принимаем во внимание энергию взаимодействия отдельных
частиц, мы можем приписать каждой отдельной орбите, дозволенной с
квантовой точки зрения, определенную энергию sk. Теперь представим
себе, что значения энергий различных орбит даны в виде ряда чисел
«1» Ч> «8,---. D0-1)
причем каждое последующее значение е не меньше предыдущего значе-
значения. Например, в нормальном атоме значения гг и е2 соответствуют
энергии электрона в АТ-слое, е3, ..., е10 — энергии в L-слое и т. д. Со-
J. Langmuir и К. В. Blodgett, Phys. Rev. 24, 49, 1924.
222 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
гласно принципу Паули, в рассматриваемой системе может обла-
обладать энергией ея, или, как говорят, находиться в я-ом состоянии, не
более чем один электрон. Следовательно, если система должна содер*-
жать N частиц, то состояние с минимальной энергией определяется тем,
что первые N уровней D0.1) заняты, а все последующие — свободны.
Общая энергия в этом состоянии должна равняться:
Попавшая в систему N-f-1-я частица должна обладать, по крайней
мере, энергией здг_|_1. Это рассуждение, конечно, очень схематично, по-
поскольку при таком последовательном построении реального атома нужно
было бы учесть взаимодействие между электронами. Однако, это рас-
рассуждение непосредственно применимо к нашему электронному газу, если
только можно пренебречь взаимодействием между электронами.
При переходе к системе с огромным числом уровней и электронов,
вместо ряда чисел D0.1), задается функция
z(s)de, D0.2)
которая указывает, сколько дозволенных значений энергии (или сколько
состояний) находится между значениями в и e-f-de. Состояние всей
такой системы частиц может быть достаточно хорошо описано заданием
среднего заполнения w(s) состояния с энергией е, где w(e)—
число электронов, которое в среднем (т. е. в среднем за большой
промежуток времени) находится в состоянии с энергией е. Смысл функ-
функции w можно точнее охарактеризовать также и тем, что w (e) z (e) de
есть число частиц, энергия которых заключена в пределах от е до
e-j-rfe. Очевидно, что, согласно принципу Паули, всегда
^(s)^l. л D0.3)
Если обе функции w(e) и z(s) известны, то общее число частиц
равно
оо
N= fw(e)z(e)de, D0.4)
6
а их общая энергия
оо
Е= few(e)z{e)de. D0.5)
6
В состоянии с наименьшей энергией, т. е. при абсолютном нуле темпе-
температуры, w=l для всех тех значений е, которые меньше определенной
предельной энергии % напротив, w — 0 при е > yj. При этом
предельная энергия, согласно D0.4), определяется полным числом
частиц
z(e)ds.
о
Для вычисления числа частиц с энергией, заключенной между е и
e-j-de, т. е.
F (в) de в. w (e) z (e) de, D0.6)
СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ 223
сначала следует определить не зависящее от числа частиц N и от тем-
температуры Т число мест z(e)de, которыми мы располагаем в интер-
интервале от e до e-\-da, а затем вероятность заполнения w{s)>
определяемую главным образом числом частиц N и температурой Т.
Формально наиболее простой метод вычисления z(e) для газа, за-
заключенного в объеме V, основан на понятии фазового объема.
„Фаза" частицы в смысле статистической механики определяется сово-
совокупностью шести чисел х, у% z, рл, ру, рг, где х, у, z — координаты
частицы, а рх, ру, рг — три компоненты ее импульса. Фазовым объ-
объемом называют участок шестимерного пространства
Jdxdydzdpxdpydp2.
Мы особо рассмотрим фазовый объем Ф, который ограничен имеющимся
в нашем распоряжении трехмерным объемом V = / dx dy dz и, кроме
того, тем условием, что абсолютная величина импульса должна быть
меньше заданного значения р. Очевидно,
В этом случае принцип Паули эквивалентен следующему правилу, ко-
которого мы здесь не будем обосновывать подробнее: если разделить
фазовый объем на отдельные весьма малые ячейки раз-
размером А3, где А = 6,610-10~27 эрг. сек. (постоянная Планка), то
каждая такая ячейка может быть занята не более чем
двумя частицами. Возможность нахождения в ячейке двух частиц
основывается на существовании электронного спина, так как два
электрона, эквивалентные в других отношениях, могут отличаться друг
от друга тем, что их спин ориентируется параллельно или антипарал-
лельно некоторому приложенному магнитному полю. Таким образом,
для числа ячеек Z в указанном выше объеме получаем:
или, если мы ограничиваем фазовый объем не импульсом р9 а кинети-
кинетической энергией г = 2- , то
Z = ^Bme)%. D0.7а)
Следовательно, число клеток, соответствующих импульсу в пределах
от р до р-\- dp или энергии от е до e + tfte, определяется формулой
^ D0.8)
или
^V/3rfe. D0.8а)
224 электронная теория металлов
Наконец, формулу D0.8) можно переписать так, чтобы она определяла
число ячеек в заданном интервале скоростей d\dt\dX.\ так как р2=>
= л*2 (?2 + *12 + ?2)> то из D0-7) следует, что
= Ц^ d\ d-ц Л. D0.8b)
Следовательно, z(?, r\y С) есть постоянная, зависящая только от объема
и от массы.
Более удовлетворительный в некоторых отношениях вывод формулы
D0,7) можно получить с помощью де-бройлевской длины волны X = —,
которую приписывают электрону с импульсом р. При этом рассматривают
объем V кубической формы и считают дозволенными стационарными
состояниями стоячие колебания в этом объеме. Стоит только вычислить
из чисто геометрических соображений число собственных колебаний в
интервале волн от X до \-^d\, как получится (не считая спинового
коэфициента 2) выведенное выше выражение D0.7). Заметим, что этот
расчет аналогичен тому, который употребляется, согласно Дебаю, для
вычисления удельной теплоемкости твердого тела, и которым мы будем
пользоваться позднее (см. 68.14) при рассмотрении |равновесного из-
излучения.
Для вывода функции w(e) мы воспользуемся наглядным, хотя и
нестрогим методом (более строгое рассмотрение того же вопроса можно
найти в специальной литературе). В классической кинетиче-
кинетической теории газов функцию распределения Максвелла можно вы-
вывести из рассмотрения столкновений типа
«i + Ч^' + Ь'. D09)
Это уравнение означает, что две частички с энергиями ех и е2 сталки-
сталкиваются так, что после удара они обладают энергиями ег* и г2'. В равно-
равновесном состоянии число столкновений S, соответствующих чтению фор-
формулы слева направо, должно быть равно числу обратных столкновений S'.
Но 5 пропорционально числу частиц с энергией е1Э а также числу
частиц с энергией е2. Поэтому можно ожидать, что
S=Cw{et)w{s2)9 D0.10)
где С коэфициент, который может быть вычислен при помощи более
строгой теории и, конечно, может зависеть как от ej и е2, так и от е2'
и е/. Таким же образом получаем для столкновений противопаложного
типа число
^(е2/). D0Л0а)
Из более подробных рассуждений в кинетической теории газов полу-
получается, что С всегда равно С; следовательно, из условия равно-
равновесия вытекает, что всегда
если
СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ 225
Из этого следует, что равенство
w (гх) w (е2) = w (гх — х) w (е2 + х)
должно иметь место при любых в1э е2 и х. Если продиференцировать
последнее уравнение по х и потом подставить лг = О, то уравнение
выполняется при любых значениях е1 и е2. Поэтому величина,
не должна зависеть от е. Следовательно, мы получаем «для числа частиц
в ячейке выражение
т(е) = Ае-*\ D0.11)
в которое входят две постоянные Лир. А это вместе с D0.6) и
40.8а) дает как раз распределение Максвелла-Больтцмана (если ввести
обозначение Р = хтг
Как изменить это рассуждение для того, чтобы оно не противоре-
противоречило принципу Паули? Очевидно, мы должны учесть то обстоятельство,
что число 5 должно равняться нулю, если w{et') или w(e2') равно 1.
В этом случае в уравнении D0.9) не может иметь места переход слева
направо, так как он привел бы к запрещенному переполнению одной
из двух ячеек. Эту зависимость числа 5 от заполнения конечного со-
состояния мы проще всего выразим с помощью следующего соотношения:
S = Cw (Sl) w (ч> A - w (./)) A - w «)).
Ведь 1—^(s/) есть та часть общего числа ячеек с энергией (гг'),
которая действительно может быть заполнена в результате рассматри-
рассматриваемого столкновения. Соответственно этому, число обратных столкно-
столкновений равно
Если мы положим также и здесь С=С, то теперь условием
равновесия будет следующее уравнение (которое мы получим, раз-
разделив на произведение всех четырех w):
") \wM ~
Таким образом, функция
J 1
*(•)
теперь удовлетворяет тому же функциональному уравнению, которому
раньше (в случае столкновений, происходящих в согласии с распреде-
Беккер 5810 15
226 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
лением Больтцмана) удовлетворяла функция w(s). Таким же образом,
как и раньше, мы получаем:
или
куда входят тоже две постоянные Л и р, Одну из них, а именно р,
мы определим, потребовав, чтобы в области w(e)<^\, т. е. при
весьма больших значениях в наше новое распреде-
распределение переходило в распределение Больтцмана: в самом
деле, из наших рассуждений, очевидно, следует, что при таких значе-
значениях w принцип Паули перестает иметь практическое значение. Сле-
Следовательно, и здесь мы можем положить р = ^. Кроме того, вместо
постоянной А мы введем другую постоянную е kT'• Таким °б-
разом, мы получаем формулу распределения Ферми:
^0)= е-^ > D0.12)
которую положим в основу наших дальнейших рассуждений. Сопо-
Сопоставляя результаты D0.8) и D0.12), мы можем теперь написать функ-
функцию распределения D0.6) в двух видах:
^^rfe D0.13)
e'bT + l
или . '
, С) Л rftj К = 2-^ -^— Л А] Л. D0.13а)
В обеих формулах еще не вычисленная постоянная w1 получит опре-
определенное значение, если будет задано общее число частиц N:
оо -4-оо
N= f F (e) rfe = f f ff& 4 С) Л ^ <^. D0.14)
0 —oo
Качественный хоД функции w(e), данной уравнением D0.12), можно
легко себе представить; очевидно мы имеем:
w(e) = T при г — Wi,
W.—e
— е кТ при е<«1| и Wi —
6—W.
при е>од и е —
D0.15)
СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ 227
При Г, равном нулю, эта кривая переходит в изображенную на
рис. 62 ломаную линию ABCD, углы которой В я С при повыше-
повышении температуры постепенно закругляются. При этом следует за-
заметить, что величина wi, определяемая равенством D0.14), тоже меняется
с повышением температуры. Уравнение кривой на рис. 62, кроме тем-
температуры, содержит только разность е—Wi. Так как наименьшее значе-
значение кинетической энергии равно нулю, то часть кривой, имеющая
физический смысл, начинается при е = 0. Поэтому, если число Wi от-
отрицательно и \wi\^>kT9 то кривая w(e) начинается лишь в некоторой
точке D, лежащей направо от Wi и, согласно D0.15), выражается по-
8
всюду максвелловской формулой const «в кТ. Напротив, для больших
положительных значений wi мы действительно имеем кривую, похожую
на ломаную линию ABCD; это означает, что почти все ячейки до значе-
значения e = wi заняты, а при s = wi они почти все свободны. Такое от-
отличие от распределения Максвелла называют вырождением.
При абсолютном нуле значение Wi вытекает непосредственно
из формулы D0.7а), если положить Z (wj) = N. Если мы опять обо-
обозначим число частиц в 1 смъ
через п и положим л шГйи4
*о "~ ТЬ wF)
то
или
Yj =-— (^5. j D0.16) Рис. 62. Распределение Ферми по D0.12).
Для средней энергии при Г=0 получается:
D0.17)
Значение т), определяемое соотношением D0.16), т. е. предельная
энергия при Т=0, является фундаментальной констан-
константой, в значительной мере характеризующей свойства данного металла.
Для электронов в металле формула D0.16) дает довольно большие зна-
значения т) как вследствие большой концентрации п, так и вследствие
малой величины массы электрона пь\ вычисленные значения tq, приведен-
приведенные в таблице (стр. 228), для большей наглядности сопоставлены
с указанной в последнем столбце температурой 0 =-~, которая эквива-
эквивалентна энергии i|. В предпоследнем столбце стоит, кроме того, еще
число вольт 1/ = -^-, соответствующее вычисленной энергии т].
228
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Na
Аи
Си
А1
Плот-
Плотность
<0,97
19,3
8,9
2,7
Атом-
Атомный вес
23,0
197,2
63,6
27,0
Число
своб.
электр.
на 1 атом
1
1
1
3
2
т) (эрг)
5,0 . Ю-12
8,8 . Ю-12
11,1. ИГ12
18,6 . Ю-12
14,2 • Ю-12
-3- (вольт)
3,4
5,54
7,00
11,6
8,8
35 500
64000
81000
135 000
103000
Смысл формулы D0.16) для максимальной энергии при Г=0 можно
нагляднее уяснить себе и другим способом, если вычислить соответ-
соответствующий импульс po = |/^2wY], или еще лучше, связанную с этим им-
импульсом длину волны де-Бройля >0 = —. Из D0.16) следует:
D0.18)
Если представить себе п частиц, расположенных в виде простой куби-
-7s
ческой решетки, то п как раз равно постоянной а этой решетки.
Множитель
писать
приблизительно равен 2, так что приближенно можно
Хо * 2а.
D0.18а)
Самая короткая длина волны де-Бройля, существующая еще
при абсолютном нуле, приблизительно равна удвоен-
удвоенному среднему расстоянию между двумя соседними ча-
частицами. Этот результат полезно иметь в виду при объяснении элек-
электрического сопротивления рассеянием волн де-Бройля ионами решетки.
Интегралы, встречающиеся в статистике Ферми, всегда оказываются
вида
»<«>-
D0.19)
где <р — какая-либо функция от и, о которой мы сделаем специальное
предположение, что вблизи точки и = а она может быть разложена
в ряд по возрастающим степеням и — ос. Пусть число а положительно
и велико по сравнению с единицей. Тогда подинтегральное выражение
в D0.19) при #<а в первом приближении равно <?(и), а при и>а
равно 0. Поэтому мы сначала выделим из В (ос) часть / <р (и) du; тогда
мы можем написать: о
а а оо
В (а) = J<p (a) du — J9 (аI1 eu-\+l }du + J
СТАТИСТИКА ФЕРМИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ 229
Если мы заменим во втором интеграле а — и, а в третьем и — а бук-
буквой z> то получим выражение (пока еще совершенно точное):
Так как мы предположили, что а велико по сравнению с единицей, то
мы можем во втором интеграле (благодаря знаменателю ег-\-1) заменить
верхний предел а на оо. Если затем развернуть функцию ср в ряд
9 (а + г) = ? (а f
то получится:
Оставшиеся еще невычисленными определенные интегралы по z могут
быть определены вполне точно. Разлагая г в ряд по степеням е~~гу
находим:
J ez+x —
Такие ряды можно просуммировать с помощью формул, которые выво-
выводятся в теории рядов Фурье. Имеем:
и, следовательно, для интеграла D0.19) при а ^> 1 получается выра-
выражение:
Если в частности <р(и) равно, например, иг, где г есть любое положи-
положительное число, то из D0.20) вытекает:
со
а \ 1 л г(г + 1) .
1++
Sfr-{Ofr-J)rfr + 1) } D0.20а)
Воспользуемся этой формулой для того, чтобы найти явную зависимость
величины wi от N и Г, неявно даваемую формулами D0.13) и D0,14),
230 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
и чтобы определить энергию как функцию от температуры.
Если ввести концентрацию электронов п = -v,, то D0.14) принимает вид:
о
Средняя энергия электрона будет
J ^ftr +1 J e kT +1
+1 J e kT +
Отсюда, пользуясь функцией Вг(а) D0.20а), мы получим:
Если подставить сюда D0.20а), развернуть все выражение в ряд по
kT
возрастающим степеням малого числа — и ввести вместо п характер-
Wi
ную предельную энергию у\ по формуле D0.16), то получится:
Решение уравнения D0.21) относительно wi в нашем приближении
гласит:
Значит, согласно D0.22),
Формула D0.23) показывает, как зависит в случае сильного вырожде-
вырождения параметр wit входящий в распределение Ферми D0.13), от посто-
постоянной tq, характеризующей данное вещество, и от температуры.
Применим еще выражение D0.24) для определения удельной тепло-
теплоемкости газа Ферми. Из D0.24) следует, что удельная теплоемкость,
отнесенная к одному электрону, равна
где в есть соответствующая энергии т) температура, приведенная в та-
таблице на стр. 228. Удельная теплоемкость газа Ферми при
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ЗОММЕРФЕЛЬДУ 231
температуре Т отличается от теплоемкости идеального
7Г2 Т
газа в классической теории множителем -j-g-»
Таким образом, благодаря введению статистики Ферми отпадает наи-
наиболее веское возражение, которое можно было сделать против класси-
классической электронной теории металлов. В самом деле, согласно D0.25),
доля общей удельной теплоемкости металла, привносимая движением
электронов, примерно в 100 раз меньше чем по классической
теории. Поэтому при сравнительно небольшой точности, с которой
вообще выполняется для металлов закон Дюлонга-Пти, эту поправку
к удельной теплоемкости обнаружить невозможно. Иначе будет обстоять
дело, если перейти к весьма низким температурам. В этом случае
согласно D0.25), удельная теплоемкость свободных электронов зависит
от температры линейно, в то время как удельная теплоемкость
твердых тел, зависящая от колебаний решетки, как известно, изменяется
пропорционально третьей степени Г. Таким образом, всегда можно
найти такую температуру, при которой теплоемкость, обусловленная
электронным газом металла, будет велика по сравнению с теплоемко-
теплоемкостью, создаваемой колебаниями решетки. Следовательно, в такой обла-
области температур формула D0.25) может быть экспериментально про-
проверена. Подобные измерения были произведены Ф. 3 и м о н о м (F. Simon).
При этом было установлено, что даже и та теплоемкость электронов, кото-
которая определяется формулой D0.25), в действительности не существует.
Это обстоятельство можно объяснить только тем, что спектр энергии
вполне свободных электронов, указанный нами в формуле D0.8), не суще-
существует в действительности, а искажается вследствие взаимодействия с
ионами решетки. См. подробные исследования Блоха, Пайерльса и др.
§ 41. Теория электропроводности и теплопроводности по Зом-
мерфельду. Попробуем теперь, следуя идеям Зоммерфельда, применить
законы, изложенные в предыдущих параграфах, к свободным электронам,
движущимся внутри металла. Для этого мы просто заменим во всех
рассуждениях §§ 35—39 функцию распределения Максвелла C5.9) функ-
функцией распределения Ферми D0.13). В остальном мы не будем менять
наших рассуждений и, в частности, примем без всякого изменения по-
понятие средней длины пути /. При этом мы всегда будем
считать / независящим от ^.
В действительности 1акая зависимость несомненно существует; кроме того,
предположение о совершенно свободных электронах в металле является лишь
очень грубым приближением к действительности. Поэтому самое большое, чего
мы можем ожидать от дальнейшего вычисления, это—качественное описание
процессов, происходящих в металле, но отнюдь не количественное совпадение
результатов теории с опытом.
Для начала мы будем исходить из более грубого метода Друде,
чтобы выяснить с качественной стороны, что должно измениться при
вычислении электропроводности и теплопроводности. Прежде всего заметим,
что при выводе формулы C5.7) мы вообще не пользовались функцией
распределения. Поэтому соотношение
пеЧ A \
232 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
остается без изменений. Формула C5.8) для переноса тепла в ос-
основном тоже остается верной. Если мы заменим входящее туда выра-
выражение ^ v2 через е, то получим, как и прежде, формулу:
которая при классическом значении ^, = у А совпадает с формулой
C5.10). Теперь же сюда следует подставить, согласно D0.25), значе-
значение атомной теплоемкости по Ферми, которое гораздо меньше. Пусть
будут заданы значения ли/; тогда замена классического распределе-
распределения распределением Ферми вызовет следующие изменения: кинетиче-
кинетическая энергия увеличится приблизительно в -у- раз, где в = ^~ озна-
означает температуру, приведенную в таблице на стр. 228; следовательно,
v увеличится в 1/ у раз. Наоборот, j. уменьшится в у раз. Та-
Таким образом, в окончательном результате и Хэл и Хтепл. уменьшатся
в у у раз по сравнению с классической теорией, так что порядок
величин коэфициентов в законе Видемана-Франца в обеих теориях дол-
должен быть одинаковым.
Для более точного вычисления воспользуемся снова методом Ло-
рентца, который мы ввели в § 36. Мы можем даже непосредственно
применить полученные формулы, если только вместо функции /0 E, iq, С)
подставим не C5.9), а функцию Ферми
f —2mB * D1 П
Тогда выражение C6.1) для функции распределения при наличии
электрических или тепловых возмущений, а также условие C6.4) ста-
стационарности этой функции и выражения C6.5) переноса заряда и тепла
останутся в силе. Формула C6.8)
X — 2 еПп П-
тоже останется верной, если мы только будем вычислять (—) , исходя
из нового распределения. До тех пор, пока мы не имеем дела с очень
высокими температурами (Г<^в), мы можем пользоваться значением
—) при абсолютном нуле. Из формулы -^ mv2 = е следует:
2\уи-
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ЗОММЕРФЕЛЬДУ 233
Но при Г~0 имеем:
._ / е
3
2
о
так что получается формула
которая, как и следовало ожидать, по сути отличается от классической
формулы C6.8а) лишь тем, что вместо kT стоит ч\. Для вычисления
теплопроводности мы должны снова, пользуясь уравнением C6.4), опре-
определить функцию
4§
исходя из того, что /0 заданным образом зависит от координат, и что
поле Ел= — Х как раз таково, что плотность тока, вычисленная по
формуле C6.5а), равна нулю. Специальный вид D1.1) функции /0 по-
позволяет легко преобразовать выражение D1.3). Функция
? 2/Я3 1 ,ЛЛ Л\
е kT +1
содержит х лишь постольку, поскольку wi n T зависят от х. Кроне
того, имеет место равенство
так как
Заметим также, что fQ содержит е, w, и Т только в комбинации е ***.
/5/
Поэтому
Таким образом, на основании D1.3), мы получаем для у;, пока еще
в самом общем виде, следующее выражение:
Отсюда можно будет вычислить ] и W, согласно C6.5). Если мы преобра-
преобразуем встречающиеся там интегралы по V в интегралы по е, то следует
положить
О А.
-—rsde и vbdv = —5-
234 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Тогда мы получим плотность тока
о
и поток тепла
dWi д. W: dT\ Г df0
о
О
Интегрирование по частям дает:
оо оо
О
/
О О
Отсюда, принимая во внимание формулы D0.20а) и D1.4), получаем:
Если ввести еще концентрацию п свободных электронов по формуле
D0.16):
то после простых выкладок мы получим плотность электриче-
электрического тока
^Sl*^^! D1.6а)
v
Y\ [ х dx Zwt dx
и поток тепла
Следовательно, при отсутствии тока (у==0) должно иметь место ра-
равенство
еи dWi **kTdW—i\ Г41 8^
6 этом случае поток тепла в первом приближении будет
СВОЙСТВА МЕТАЛЛА, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ ПРОБЕГА 235
а теплопроводность
" ' '"" D1.10)
Сопоставляя D1.2) и D1Л0), получаем закон Видемана-Франца
в теории Зоммерфельда:
Хтепл = ^ (Ь\* Т= ^ ( *V Г.
Множитель^- очень близок к старому значению 3 по Друде в C3.12),
которое, как мы уже указывали раньше, удивительно хорошо подтвер-
подтверждается опытом.
Однако, несмотря на это хорошее численное совпадение, следует
подчеркнуть, что непосредственное применение метода Лорентца, осно-
основанного на классической механике, к сильно вырожденному в смысле
квантовой механики электронному газу вызывает серьезные сомнения.
Мы вынуждены здесь ограничиться указанием на новейшие исследования
Блоха, Пайерльса, Нордхейма и др.
§ 42. Свойства металла, не зависящие от средней длины про-
пробега, а) Термоэлектронный ток насыщения. В § 38 мы вычислили ток
насыщения, исходя из того представления, что при насыщении покидают
металл все те электроны, которые подходят к его поверхности с кине-
кинетической энергией, достаточной, чтобы пройти наружу f-^-S2>e&J. Та-
Такое же рассуждение мы применим теперь к газу Ферми с функцией
распределения
/о & Ч* Q = -^—л^. . D2« 1)
е kT -f-1
Если мы теперь обозначим энергию, необходимую для пре-
преодоления поверхностных сил, через wa и положим -~tQ*=way
то получим, как и прежде,
f
D2.2)
Очевидно, wa значительно больше, чем wb так как преобладающее
большинство электронов всегда должно оставаться в металле. Поэтому
мы требуем, чтобы было - g^l -*^> 1, и замечаем, что тогда во всей
области интегрирования мы можем пренебречь единицей, стоящей в зна-
знаменателе подинтеграпьного выражения, по сравнению с акспоненциальной
функцией. Тогда интегрирование D2.2) может быть выполнено до конца;
оно дает:
*e kT . D2.3)
236 ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Это выражение тока насыщения — только без спинового множителя 2—
было впервые получено Дэшманом (Dushman). Если обозначить здесь
разность wa — wi через eb (работа выхода), то новая формула будет
отличаться от старой формулы Ричардсона C8.4) уже упомянутым
выше множителем Т2 вместо У^ Т. В остальном же численный мно-
множитель содержит только универсальные постоянные, что следует считать
большим успехом. Если подставить значения этих постоянных, то ока-
окажется, что
eb
[^] D2.3а)
Таким образом, при заданномзначении работы выхода
ток насыщения не зависит от числа электронов в ме-
металле. Эгот на первый взгляд удивительный результат становится
понятным, если взглянуть на кривую функции распределения /0 (е) на
рис. 62. Эта кривая изменяется при увеличении плотности электронов
только в том отношении, что нулевая точка оси е передвигается влево.
Таким образом ход кривой при е > w. не меняется при изменении п.
Экспериментальная проверка формулы D2.3а) имеет свою историю.
Дэшман при выводе своей формулы еще не мог учитывать электронного
спина. В нашем выводе формулы D0.7) спин вызывает удвоение числа
ячеек. Поэтому Дэшман нашел в D2.3а) вместо 120,4, коэфициент 60,2.
Этот коэфициент с точностью до нескольких процентов был подтвержден
при проверке формулы Дэшмана на особенно подходящих к этой цели
тугоплавких металлах — вольфраме и молибдене. Введение же множи-
множителя 2 всегда значительно ухудшает совпадение. Но уже в § 38 мы
упоминали, что согласно квантовой механике даже те электроны, кото-
которые обладают достаточной энергией для прохождения через поверхность,
все-таки имеют заметно меньшую, чем 1, вероятность вылета А; таким
образом формулу D2.3а) следует заменить формулой
eb
[^f\ D2.3b)
где А можно назвать коэфициентом трансмиссии. Согласно
вычислениям Нордгейма и Фаулера (Fowler), весьма правдопо-
правдоподобно, что А близко к 1/21 и, следовательно, благодаря тому, что 2Л»1,
опять восстанавливается старая формула Дэшмана. Впрочем, более точное
исследование формулы D2.3b) требует еще одной предосторожности,
так как величина wif входящая в разность eb = wa — wt% согласно D0.23),
несколько зависит от температуры. Также и величина wa> которая до
сих пор еще не получила теоретического истолкования, может оказаться
зависящей от Т.
б) Ход потенциала при электрическом и тепловом равновесии. Из
формул D1.6) и D1.7) получаются условия для у = 0 и W=0;
Л.-0 . ?-0. D2.4)
СВОЙСТВА МЕТАЛЛА, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ ПРОБЕГА 237
Таким образом при статистическом равновесии Ех имеет потенциал cp(jc),
для которого справедливо равенство
wt + е<? — const. D2.5)
Это соотношение должно быть верным как для места соприкос-
соприкосновения двух различных металлов, так и для перехода
из металла в вакуум. Обсудим смысл формулы D2.5), рассматри-
рассматривая респределение в незамкнутом кольце, состоящем из двух металлов
I и II (рис. 63). Если мы будем отсчитывать координату х вдоль кольца
от точки Л, находящейся внутри металла I, то получим потенциальную
кривую, изображенную на рис. 64. Постоянная величина wt-{-e(? D2.5)
обозначена на рисунке пунктирной прямой. На месте спая В между
двумя металлами имеется разность потенциалов
е (?2 — ?i) = ™п — W/2-
•fc
"аг
Кг/
д
Рис. 64. Распределение потенциала в цепи из двух
металлов, изображенной на рис. 63.
Последняя необходима для того, чтобы (в случае wa > wi2) самые бы-
быстрые электроны не могли переходить из I в II. Согласно D0.23), для
каждого из двух металлов мы имеем (в области сильного вырождения):
D2.7)
где характеристическая энергия ч\ определяется, согласно D0.16), только
числом электронов в 1 смь:
_ Ш /Зл\3/з
D2.7а)
Таким образом, для контактного потенциала D2.6) мы полу-
получаем:
е (<р, - ъ) = % -
D2>8)
Эта температурная зависимость играет, конечно, огромную роль при
вычислении термоэлектродвижущей силы в цепи из двух металлов
с различной температурой спаев.
При переходе из металла II в вакуум, ер увеличивается на wal =
= ^2 + ^2 (см- обозначения предыдущего параграфа) и, следовательно,
находится выше пунктирной линии на величину, равную работе выхода eb2.
238
электроннля теория металлов
Таким образом мы можем приписать вакууму вблизи металла II значение
wt = — eb и вычислить с помощью общей формулы Ферми
плотность п „электронного пара" в этой точке. Так как eb^>kT, то
единица в знаменателе не играет роли, и, следовательно, мы имеем вне
металла газ с распределением Максвелла
eb
2kT
концентрация которого
Ялар ="
eb
"ТЕГ
D2.9)
CHC
Рис. 65. Термоэлек-
Термоэлектродвижущая сила и
эффект Пельтье.
Отсюда, конечно, опять получится формула Дэшмана D2.3) для тока
насыщения js, если рассматривать число электронов, которые в случае
равновесия падают на поверхность металла из про-
пространства, заполненного паром.
При переходе от С к D (рис. 64) потенциал
возрастает на величину Ь1 — Ь2. Это возрастание,
очевидно, необходимо для равновесия, так как
иначе, вследствие различной величины токов на-
насыщения js% выходящих из двух металлов, должен
был бы иметь место непрерывный ток, идущий из
одного металла в другой. Таким образом в про-
пространстве между двумя металлами существует
электрическое поле, величину которого можно
получить из контактной разности по-
потенциалов между металлами:
V=b1 — b2, D2.10)
где Ьх и Ь2 означают работу выхода, которая может быть определена
по термоэлектронной эмиссии. Мы видим, что в формулу D2.10) не
входят величины wi9 так что наша теория не может сказать о них
ничего нового.
в) Термоэлектродвижущая сила. Рассмотрим теперь условие отсут-
отсутствия тока для того случая, когда температура не везде одинакова. Мы
ограничимся распределением потенциала внутри замкнутого метал-
металлического проводника (рис. 65), так что мы можем пользоваться
пригодной в случае сильного вырождения приближенной формулой D1.6а)
которая дает следующее условие отсутствия тока:
ec* 4x~~^l^~dlc °' DJ.11J
В замкнутой цепи условию отсутствия тока можно удовлетворить только
введением добавочной э. д. с, например, между точками А и А' ме-
металла I. Мы предположим, что Л и Л' состоят из одного и того же
СВОЙСТВА МеТАЛЛА, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ ПРОБЕГА 239
металла и находятся при одинаковой температуре. Будем опять отсчи-
отсчитывать координату х от А через В и С к А! и вычислим по формуле
D2.11) разность потенциалов между А и А'. Имеем:
-wt(A). D2.12)
Теперь воспользуемся предположением, что металл в точках А и А1
находится в одном и том же состоянии. Тогда в правой части послед-
последнего уравнения остается только интеграл. Из D2.7) следует, что
wt ~~ у] + 12 yj3 >
причем внутри однородного металла tj постоянно. Теперь предположим,
что изменение iq в месте спая (например, при переходе от В' к В")
происходит на столь небольшом отрезке длины, что температуру этого
отрезка можно считать везде постоянной. Тогда интегрирование, если
ът
ограничиться небольшими степенями —, дает:
Таким обра ом мы получаем:
?(^ \) D2.13)
Это есть э. д с, даваемая термоэлементом, который схематически изо-
изображен на рис. 65. Бросается в глаза то обстоятельство, что эта э. д. с.
ровно в два раза больше той, которую можно было бы ожидать на
основании уравнения D2.8), выведенного для одного спая. Это проис-
происходит благодаря тому, что уже в однородном металле при наличии тем-
температурного градиента необходимо электрическое поле для того, чтобы
удовлетворить условию j = 0.
г) Эффект Пелътье. Если пропустить через спай двух металлов
электрический ток, то в этом спае наблюдается выделение тепла, кото-
которое пропорционально силе тока и имеет тот или иной знак (нагревание
или охлаждение спая), в зависимости от направления тока. Наряду
с этим еще всегда выделяется положительное джоулево тепло. Но оно
пропорционально квадрату силы тока; поэтому при достаточно малом
токе можно пренебречь джоулевым теплом по сравнению с теплом
Пельтье. В дальнейшем речь будет итти только о слабом токе. Мы рас-
рассмотрим спай С (рис. 65), через который движутся электроны в направ-
направлении, указанном стрелкой (от I к II), и вычислим количество тепла Q,
которое передается каждым см2 спая окружающему его тепловому резер-
резервуару, если через спай протекает ток j.
Сначала рассмотрим отдельный электрон, который движется
к спаю, обладая кинетической энергией tle Так как у спая существует
разность потенциалов ср2 — <ри то в металле II электрон продолжал бы
двигаться с кинетической энергией e^eOpi — <р2)> если бы в Дальней-
240 электронная теория металлов
шем на него не действовали никакие силы. Если же его кинетическая
энергия е2 в металле II меньше, то мы должны заключить, что разность
ei~b*(?i — ?г) — е2 теряется при прохождении через спай, и что она,
следовательно, передана тепловому резервуару или другим частям ме-
металла. Таким образом тепло Пельтье можно получить, суммируя это
выражение по всем электронам, проходящим в секунду через 1 см2 спая.
Если z есть число электронов, а е1 и е2 —их средняя кинетическая энер-
энергия в первом и во втором металле, то
Но ze есть не что иное, как поток тепла W, который мы вычислили
в D7,7а). Комбинируя формулы D1.6а) и D7.7а), мы получаем для
однородного металла с температурой, одинаковой во всех его точках,
следующее выражение:
Кроме того, согласно D1.6),
e(?i
Так как j = ег, то
С достаточно хорошим приближением мы можем заменить здесь wn и
wi2 на i)i и т]2. Тогда тепло Пельтье окажется равным
D2.14)
Между теплом Пельтье D2.14) и термоэлектродвижущей силой D2.13)
существует важная связь, вытекающая из термодинамики. Для
того, чтобы найти эту связь, рассмотрим термоэлемент, изображенный
на рис. 65, который мы хотим употребить для совершения электриче-
электрической работы. Если Тс больше, чем Тв, и % >т]2, то выражение D2.13)
положительно. Следовательно, электроны движутся во внешней цепи от
Л к Л', в металле же от А' через С и В к Л. Используемая мощность
при токе j равна У(<рд—?л')- Источниками энергии для этой мощности
являются тепловые резервуары, которые поддерживают температуру Тв
и Гс. Сначала мы ограничимся тем случаем, что Тс лишь немного вы-
выше, чем Тв% т. е. положим, что Гс=Ги ТВ = Т—dT, В этом случае
мы имеем дело с типичной обратимой тепловой машиной, у которой
коэфициент полезного действия Карно должен равняться
ит
"Y" • Из количества тепла Q, полученного от нагревателя, часть, равная
г/Т*
Q—jr-y превращается в работу, в то время как остаток отдается холо-
холодильнику. Но на основании D2.13) и вследствие того, что для близких
друг к другу температур можно писать
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ТЕОРИИ МАСКВЕЛЛА 241
мы находим, что мощность будет
Но это, согласно D2.14), равно — Q-~-, как того и требует термо-
термодинамика.
При конечных разностях температур Тс—Тв дело обстоит сложнее,
так как тогда наличие обоих тепловых резервуаров уже недостаточно
для поддержания стационарного режима. Дело в том, что в однородном
металле при наличии градиента температуры происходит выделение тепла,
известное под названием эффекта Томсона. Для поддержания
постоянного режима необходимо было бы представить, что весь металл
окружен непрерывным рядом тепловых резервуаров. Термодинамический
расчет, в подробности которого мы здесь входить не можем, дает в этом
случае связь между тремя эффектами: термоэлектродвижущей силой,
эффектом Томсона и эффектом Пельтье.
Д. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В МЕДЛЕННО
ДВИЖУЩИХСЯ НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
§ 43. Вывод уравнений поля в теории Максвелла. Мы уже ви-
видели в §§ 19—21, каким образом из основных уравнений электронной
теории можно вывести уравнения Максвелла для неподвижной среды.
Соответствующая задача для случая движущихся тел значительно
труднее. С окончательным решением этого вопроса мы познакомимся
позднее в отделе теории относительности. Уравнения, которые
там будут получены, для случая, когда скорость тела мала по сравнению
со скоростью света, переходят в уравнения, которые мы выведем
из электронной теории в этом параграфе.
В теории Максвелла закон индукции может быть написан в такой
форме, что он остается верным и для движущихся тел, А именно, если
мы напишем
j\^fndS, D3.1)
то это уравнение дает возможность сделать вывод об эффективной
электродвижущей силе, которая появляется в движущемся проводнике.
Правая часть уравнения представляет изменение потока индукции, про-
проходящего через поверхность, которая ограничена контуром интегри-
интегрирования и движется вместе с проводником. Индукция В вследствие
отсутствия истинных магнитных зарядов всегда удовлетворяет соотно-
соотношению
divB = 0. D3.2)
Если мы применим уравнение D3.1) для изменения потока индукции
через движущуюся поверхность, то закон индукции можно будет напи-
написать еще в форме (см. том I § 19)
Беккер 5810 7 16
242 урдбнений Электромагнитного поля ё немагнитных телах
Мы снабдили вектор Е звездочкой для того, чтобы указать на его осо-
особое значение. Последнее согласно элементарнейшим принципам электро-
электротехники, состоит в том, что Е*, при данной электропроводности X,
определяет возникающую в проводнике плотность тока
Из этого уравнения следует, что Е* следует рассматривать как электри-
электрическое поле, которое измерил бы движущийся вместе с про-
проводником наблюдатель при помощи переносимого вместе с собой
единичного заряда.
Однако, в дальнейшем мы станем на точку зрения неподвижного
наблюдателя, мимо которого движется тело. Для этого наблюдателя
заряд, неподвижный по отношению к движущемуся телу, имеет ско-
скорость v. Согласно основным уравнениям электронной теории, на такую
единицу заряда действует сила Е -f- (— X ВJ, где Е обозначает электри-
электрическое поле, измеренное неподвижным наблюдателем. Следова-
Следовательно, эффективное поле Е* определяется формулой Е* = Е-(- (^- X В\
Если мы подставим это выражение в закон индукции D3.3), то по-
последний примет простой вид:
rotE = -lf. D3.4)
что в точности совпадает с уравнением для неподвижного тела. Следует
заметить, что теперь плотность тока определяется уже не одним
вектором Е; теперь
[ (?)] D3.5)
Соответственно с этим также и поляризация в движущейся среде
определяется величиной Е*, т. е. мы ожидаем, что для поляризации
будет иметь место соотношение:
[(|)] D3.6)
Теперь нам остается так преобразовать второе уравнение Максвелла
чтобы оно было справедливо и для движущихся тел. Так как мы огра-
ограничиваемся здесь немагнитными телами, то вектор Н заменен вектором В.
В самом деле, из того, что было изложено в § 21, мы знаем, что
вектор Н является величиной сложной, вектор же В обладает непосред-
непосредственным физическим смыслом, будучи усредненной величиной микро-
микроскопического поля h. В правой части уравнения D3.7), рядом с произ-
производной от электрического поля по времени, стоит еще плотность тока.
В случае неподвижного тела этот ток состоит из тока поляризации
и тока проводимости. Если же тело движется, то к этому прибавляется
еще ток, вызываемый всеми теми зарядами, которые проходят через
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В TBOFHH МАСКВЕЛЛА 243
неподвижный в пространстве элемент поверхности благодаря движению
тела. Соответственно с этим мы делим ток на две части, а именно, на ток
относительно движущегося тела, который мог бы быть
обнаружен также и наблюдателем, связанным с этим телом, и на кон-
конвекционный ток, производимый зарядами, движущимися вместе
с телом. Мы можем сразу же написать выражение для этой второй
части тока. Заряд, находящийся в элементе объема, состоит, во-первых,
из истинного заряда рист = — divD, и во-вторых, из заряда, возникаю-
возникающего благодаря неоднородности поляризации. Этот последний равен
— divP. Таким образом полный конвекционный ток, переносимый
движущимся телом, равен
(Рист — divP)v.
К этому прибавляется еще ток относительно движущегося тела. Он
состоит из тока проводимости jz и тока поляризации. Ток,
который проходит через движущуюся вместе с проводником поверхность
вследствие изменения поляризации со временем, равен
Это выражение мы можем преобразовать по правилам векторного ана-
анализа. Рассматриваемый элемент поверхности движется вместе с телом,
и обозначение Р представляет производную от Р по времени с точки
зрения наблюдателя, движущегося вместе с телом. Эта производная
равна
Р = J + v div P + rot (P X v), D3.8),
где вектор Р в правой части равенства следует рассматривать как
функцию координат и времени с точки зрения неподвижного наблюда-
наблюдателя. Тогда общий ток, который наряду с ~тт определяет rot В, со-
состоит из:
конвекционного тока v(pw — divP),
тока проводимости j, и
тока поляризации Р -}- vdivP-\-rot(P X v).
Следовательно, для вихря вектора В мы получаем:
rotB = -iE + -^-[P + jz + vpHCT + rot(PXv)]. D3.9)
Теперь мы имеем полную систему уравнений Максвелла в дви-
движущейся немагнитной среде для случая малых ско-
скоростей:
rot E = — -1 В,
div В = О,
rot В = 1 Ё + ~- {Р + h + vPhct + rot (P X v}),
D3.10)
244 УРАВНЕНИЯ ЭЛеКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
В § 45 мы разъясним наглядно, на основании некоторых опытов, смысл
входящего в эти уравнения выражения для силы тока. Но перед этим
мы выведем еще раз это выражение непосредственно из представлений
электронной теории. Этот вывод несколько более громоздок, но зато
и более удовлетворителен, так как мы сможем детально рассмотреть
происхождение различных составных частей тока. Подчеркнем еще раз,
что входящие в эти уравнения векторы j и Р, согласно D3.5) и D3.6),
связаны с вектором поля посредством материальных констант X и е.
Магнитное поле Н вообще не входит в эти уравнения. Можно
подумать, что оно в нашем случае всегда совпадает с В. Однако, это
не так: как мы увидим ниже, при движении электрически поляризован-
поляризованной, но не намагниченной среды появляется магнитный момент, который
и приводит к различию между Н и В.
§ 44. Вывод уравнений поля из электронной теории. Мы хотим
еще раз убедиться в том, что основные уравнения электронной теории
непосредственно приводят к соотношениям, уже полученным нами
в предыдущем параграфе. При усреднении по способу, описанному
в § 19, эти уравнения принимают вид:
_ | т 4тс — - —
rot h = — е -| pu, div е = 4тср
rote=— у h, divh = 0.
D4.1)
В два последние уравнения вообще не входят константы, относящиеся
к веществу. Поэтому мы положим, так же как и в случае непо-
неподвижных тел, что
ё = Е, h = B. D4.2)
Тогда наши основные уравнения принимают вид:
rotE=— |в, divB = 0. j
Оба последние уравнения совпадают с соответствующими уравнениями
предыдущего параграфа. Роль векторов Е и В при вычислении силы,
которая действует на электрон, движущийся вместе с телом, видна
непосредственно из лорентцовского выражения силы
} D4.4)
которое при усреднении переходит в
(vXBI. D4.4а)
Для дальнейшего исследования уравнений D4.2) необходимо рассмотреть
средние значения pu и р. Мы исследуем отдельно влияние электронов
(или ионов проводимости) и влияние электронов поляризации. Атомов
с магнитным моментом, как и раньше, мы здесь рассматривать не будем.
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ ИЗ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 245
1. Электроны проводимости. Пусть в 1 смъ вещества имеется пг
ионов с зарядом elf /г2 ионов с зарядом е2 и т. д. Пусть скорости от-
отдельных ионов относительно тела, в котором они движутся, заданы
в виде векторов wu w2 и т. д. Кроме того, обозначим макроскопиче-
макроскопическую скорость всего тела в заданной точке через v. Тогда скорость
первого рода инонов относительно неподвижного наблюдателя равна
U1 = v-|-w1, и т. д. Плотность заряда в данной точке тела
равна
рист = пхех + п2е2 + • • • D4.5)
тогда как плотность тока, вызываемого ионами проводимости,
равна
«A«i + *а« А +... = v {пхег + п2е2 + •••)+ D4 6)
+ n1elwl + /z2e2w2 +... = vpw +JY
Найденный здесь ток проводимости есть количество электричества,
переносимое относительно движущегося тела. Как мы уже указывали
в предыдущем параграфе, он прибавляется к конвекционному току vpw.
2. Электроны поляризации. Поляризация Р по определению равна
сумме дипольных моментов всех молекул, находящихся в 1 см*. Мы
ограничимся случаем, когда в теле находятся молекулы только одного
сорта, и когда дипольные моменты всех молекул, находящихся в доста-
достаточно малом элементе объема, одинаковы. Тогда в каждой точке про-
пространства Р = /ф, причем пир заданы как функции координат и вре-
времени. Состояние поляризации может измениться или вследствие измене-
изменения числа п, или вследствие изменения дипольного момента р. Так как
мы здесь исследуем влияние движения среды, то предположим, что эти
диполи движутся со скоростью v, причем v также произвольно зависит
от координат и времени. Однако между функциями п и v должно су-
существовать соотношение, выражающее то обстоятельство, что общее
число молекул не меняется со временем. Легко убедиться в том, что
это соотношение имеет вид:
-^ + div(vn) = 0. D4.7)
Долю общего заряда, обусловленную вектором Р, мы подробно рассмо-
рассмотрели в § 20. Там мы нашли, что объемный заряд, связанный с поля-
поляризацией, составляет
рр=* —divP.
Прибавив это к плотности ионов проводимости D4.5), мы получим,
что для р следует подставить в D4.3) выражение
Р = рист —divP. D4.8)
Теперь наша главная задача состоит в вычислении количества электри-
электричества, которое проходит через неподвижный в пространстве элемент
поверхности 5 вследствие изменения поляризации. Для этого предста-
представим себе диполь, состоящий из двух равных, но противоположных по
знаку зарядов — ег и + е*', которые соединены между собой вектором s,
проведенным от — ег к -\-е\ так что p = e's* Рассмотрим сначала число
246 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТвЛАХ
диполей, рассекаемых на части площадкой 5. Это число может увели-
увеличиться на единицу лишь благодаря тому, что или положительный
заряд пройдет через площадку S слева направо, или отрицательный заряд
пройдет справа налево. Но оба эти перехода равносильны переносу
количества электричества-)-#' через 5 слева направо. Общее
число диполей, пересекаемых площадкой S, очевидно, равно числу всех
тех диполей, отрицательные заряды которых находятся в плоском ци-
цилиндре с основанием 5 и высотой sn> где sn есть проекция вектора s
на нормаль к площадке 5. Это число, очевидно, равно nsnS. Следова-
Следовательно, за время dt через S проходит количество электричества
(e'nsnS)t + dt— {e'nsnS)t.
Таким образом вследствие изменения числа диполей, пересекаемых пло-
площадкой 5, возникает плотность тока
К этому току прибавляются еще краевые эффекты, возникающие
благодаря тому, что векторы отдельных диполей пересекаются контуром
нашего элемента поверхности. У подобного диполя положительный
заряд может, например, пройти через поверхность, в то время как от-
отрицательный заряд пройдет мимо нее. Поэтому такие диполи дают
некоторый ток, несмотря на то, чго они не пересекаются поверхностью
5 ни в момент t, ни в момент t-\-dt. Для того чтобы вычислить эту
составную часть тока, рассмотрим элемент длины da, который является
частью контура нашего элемента поверхности. Найдем число диполей,
у которых векторы s за время dt пересекаются этим элементом длины.
Очевидно, это все те диполи, у которых отрицательные заряды в момент
t находятся в косом параллелепипеде, образуемом тремя векторами s,
vdt, da. (Легко убедиться, что у этих и только у этих диполей век-
векторы s и da пересекутся друг с другом за время dt). Объем рассматри-
рассматриваемого параллелепипеда равен (s X vdt) da. Отсюда, умножая на пе\
получим ток, соответствующий элементу длины da:
(Р X v)da.
Теперь проинтегрируем по всему контуру площадки dS\ теорема Стокса
дает нам выражение вызванного краевым эффектом тока, проходящего
через наш элемент поверхности;
<j) (P X v) da = /(rot (P X v))ndS.
Таким образом полный ток, вызываемый поляризацией, равен
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ ИЗ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ 247
Принимая во внимание уравнение D4.6а), мы получаем, наконец,
среднее значение величины ри, которое надлежит подставить в уравне-
уравнение D4.3):
f v). D4.9)
Это в точности совпадает с D3.10).
Другой вывод уравнения D4.9), с помощью электро-
электромагнитных потенциалов.
Весьма поучительно вывести полученное здесь выражение для полного тока
еще и другим путем, а именно описывая сперва поле отдельного движу-
движущегося диполя и переходя только потом, путем суммирования по всем
диполям, к вычислению поля любых движущихся тел. Рассмотрим отдельный
диполь, характеризуемый зарядами —е* и +*' и вектором s, направленным
от _*>' к -f e*. Мы хотим вычислить потенциал в начале координат. Обозначим
через г и гх векторы, проведенные из начала координат к этим зарядам. Тогда
тг = г + s, и если v есть скорость отрицательного заряда, a Vj —скорость поло-
положительного, то V! = v + s. Введя эти обозначения, мы можем непосредственно
написать потенциалы в начале координат. Скалярный потенциал имеет вид:
е1 е' ,/ л 1 . Л ,лл 1ЛЧ
Ф = = в' ( s grad— ) = р grad—. D4.10)
/*! г \ г/ г
Для векторного потенциала мы получаем:
или
Заметим, что последнее выражение для векторного потенциала допускает инте-
интересное преобразование, а именно: прибавив и отняв от него
и приняв во внимание правило
аХ(Ь
мы можем написать выражение для А в следущем виде:
<44Л1а>
где первый член формально обозначает „векторный потенциал магнитного мо-
мента т = рХ — • Появление этой величины становится ясным, если предста-
представить себе элементы тока, которые возникают в том случае, когда диполь дви-
движется в направлении, поперечном по отношению к своей оси. Третье слагаемое
в D4.11а) выражает то обстоятельство, что два равных, но противоположно
направленных элемента тока -\-e'v и — e'v, при помощи которых можно опи-
описать магнитное действие зарядов диполя, находятся в двух различных точках,
которые соединяет вектор s.
Наши дальнейшие рассуждения основываются на формулах D4.10) и D4.11).
Пусть в 1 см* вещества содержатся п диполей рассмотренного типа. Для вычи-
вычисления поля, создаваемого ими в начале координат, нам нужно просуммировать
по всем диполям. Это суммирование мы заменим интегрированием по
всему объему тела. В элементе объема содержится ndV диподий, Умно-
248 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
жая иа ndV и принимая во внимание соотношение Р = рл, мы получим ту
часть потенциала всего тела, которая создается поляризационными
эффектами. Согласно D4.10), скалярный потенциал <р, интегрированием по частям
приводится к виду:
<р = Г (р grad ~)dV^ — f^y- dV. D4.12)
В согласии с предыдущими нашими результатами, мы можем считать, что этот
потенциал вызывается объемным зарядом с плотностью
9р = — div P.
Для векторного потенциала мы получаем из формулю D4.11) сумму, состоящую
из двух частей:
/l(l) y\Lnf 4V. D4.13)
Первую из них мы можем преобразовать интегрированием по частям. Легко
доказать, проверив векторное равенство для одной его компоненты, что
-1-) dV = у*-!, {rot (P X v) - (v grad) P - P div v} dV.
Подинтегральное выражение во втором слагаемом суммы D4.13) содержит
такое изменение выделенного диполя со временем, которое констатировалось бы
наблюдателем, движущимся вместе с диполем. Но для наших формул нам нужно
знать изменение со временем поляризации Р сточки зрения неподвиж-
неподвижного наблюдателя. Для того, чтобы установить эту зависимость, рассмотрим
сначала то изменение общей поляризации, которое констатировал бы наблюда-
наблюдатель, движущийся вместе с диполем. Этот наблюдатель, очевидно,
сравнивает состояние поляризации в точке г в момент времени / с состоянием
в точке г + vdt в момент t + dt. Следовательно, для такого наблюдателя изме-
изменение Р равно
d? дР f ,
+ (g
С другой стороны, если мы описываем поляризацию произведением яр, то
dP ___ dp dr^
Согласно закону сохранения общего числа моаекул,
dn дп . , , ч л
~dt ~ ~dl "^ ^V §га П^ ** ~ П V>
так что мы можем написать:
Комбинируя два полученные выражения для —, мы получаем подинтеграль-
подинтегральное выражение второго слагаемого в D4.13); оно равно
»^ +(
Итак, для векторного потенциала мы имеем простое выражение
D4.14)
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНвНИЙ 249
мы можем считать, что векторный потенциал вызывается плотностью
тока
rot (P Xv)+ -??-.
Сравнивая это выражение с обычным выражением векторного потенциала, вы-
выведенным нами в томе I, §48, стр. 122, мы можем истолковать его также и следую-
следующим образом: если поляризованный диэлектрик движется, то производимое
дР
им магнитное поле определяется, во-первых, током поляризации
который имеется и в случае покоя; во-вторых, движущийся диэлектрик обнару-
живает еще и намагничение М = Р X — • Для описания возникающего при этом
поля вектора В, конечно, совершенно безразлично, говорить ли о подобном
магнитном моменте или о плотности тока, равной rotf РХ — )•
§ 45. Экспериментальное подтверждение основных уравнений.
Рассмотрим некоторые опыты, и в особенности — опыты Роулэнда,
Рентгена и Эйхенвальда. Целью этих опытов было непосред-
непосредственное экспериментальное доказательство существования различных
видов тока, описанных в предыдущих параграфах и связанных с движе-
движением тел. Полный ток, которым вызывается магнитное поле, согласно
D4.9), равен
Pwv-H + ^ + rot(PXv). D5.1)
Однако, с экспериментальной точки зрения целесообразно это выра-
выражение преобразовать. Если принять во внимание уравнение D3.8),
то нетрудно заметить, что выражение D5.1) эквивалентно сле-
следующему:
(P«,-divP)v + jz + P, D5.2)
где отдельно появляется первое слагаемое, представляющее собой за-
заряд, переносимый путем конвекции.
Первая группа опытов относится к тем процессам, в которых исче-
исчезают все производные по времени, т. е. с точки зрения как движуще-
движущегося, так неподвижного наблюдателя имеют место только стацио-
стационарные процессы. В этом случае для тока, вызывающего магнитное
поле, остается только величина
Это выражение можно толковать следующим образом: одно и то же
магнитное поле может вызываться как током проводимости \19
так и движущимися заряженными или поляризованными
телами.
Для доказательства рассмотрим установку, изображенную на рис. 66а.
Круглый эбонитовый диск толщины d может вращаться вокруг верти-
вертикальной оси. Сверху и снизу от него находятся приложенные к нему
вплотную металлические кольца; ширина каждого из них равна Ь.
Каждое металлическое кольцо в одном месте имеет небольшой разрез.
Кольца связаны с полюсами некоторого источника напряжения и по-
250
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
этому заряжены до разности потенциалов Е. Установку можно при-
привести во вращение, причем имеется возможность или вращать металли-
металлические кольца, или оставлять их неподвижными. В обоих случаях мы
имеем дело со следующими зарядами:
истинный поверхностный заряд металлических пластинок
О)ист =
Ег
(фиктивный), поверхностный заряд на эбонитовом диске
Написанные знаки относятся к стороне диска, соединенной с положи-
положительным полюсом. Для другой стороны диска оба знака, конечно, сле-
следует переменить на обратные.
Рис. 66а. Схема опытов Рентгена и
Эйхенвальда. Два металлических
кольца, разделенные эбонитовой про-
прокладкой, заряжаются до разности по-
потенциалов ?.
Рис. 6бЬ. Измерение тока /,
вызывающего такое же маг-
магнитное поле, как конвекци-
конвекционный ток в опыте на
рис. 66а.
Если диск привести во вращение вместе с металлическими
кольцами, то верхняя металлическая пластинка будет нести конвек-
конвекционный ток, равный у?о>ист, а прилегающая к ней поверхность эбонито-
эбонитового диска — ток v&od. Таким образом, в целом мы получим силу
тока
«* Кет+ «)«=«^
Этот ток можно наблюдать по отклонению маленькой магнитной стрелки,
поднесенной к вращающемуся диску. Теорию можно проверить, если
при неподвижном диске пропустить ток через оба разрезанных метал-
металлических кольца и при помощи включенного амперметра (рис. 6бЬ)
определить ту силу тока, которая вызовет такое же отклонение магнит-
магнитной стрелки, какое мы наблюдали перед этим. Согласно теории, эта
сила тока должна быть равна
l=vb
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
251
Особенно интересно здесь то, что эффект, при вращающихся вместе
с диском металлических кольцах, совершенно не зависит от ди-
диэлектрической постоянной эбонитового диска, так что
мы можем получить такое же отклонение магнитной стрелки и без
диэлектрика между вращающимися кольцами. Этот результат, с боль-
большой точностью установленный Эйхенвальдом, в свое время обра-
обратил на себя большое внимание; с точки зрения электронной теории он
разумеется сам собой. В особенности просто и прямо можно было бы
его предсказать на основании той картины явлений поляризации, кото-
которая была дана в томе I, в §§ 30 и 311).
Если в описанном выше опыте вращать диск между неподвиж-
неподвижными металлическими кольцами, то ток будет произво-
производиться только переносом поверхностных
зарядов на диэлектрике конденсатора; та-
таким образом, движение диэлектрика по
своим магнитным действиям в этом случае
эквивалентно току
Это тоже было подтверждено Эйхенвальдом. Ш
До сих пор мы объясняли опыты рис. 67. Вычисление rot (Р X v)
Эйхенвальда в духе уравнения D5.2). в опыте на рис. 66а.
В последнем из рассмотренных случаев
(движение диска без колец) для тока существенен только член — v div P,
который при интегрировании по очень плоскому цилиндру, одно осно-
основание которого находится в воздухе, а другое — внутри эбонита, и
поперечное сечение которого равно 1, действительно дает поверхност-
поверхностную плотность тока, равную
|л| е-1? Е
Точно такой же результат даст, конечно, и член rot (P X v) в формуле
D5.1). В нашем диске вектор PXv имеет радиальное направление, а
именно, в схеме (рис. 66а) он направлен от оси вращения. Этот вектор
в эбоните повсюду одинаков, а вне его он равен нулю. При интегри-
интегрировании по узкому прямоугольнику abed, с длиной 1, у которого сто-
сторона ab находится в эбоните, а сторона cd — в воздухе, теорема
Стокса и формула D5.1) дают следующее выражение для тока, прохо-
проходящего через прямоугольник:
/ = Jr ot (P X v) dS = (j) (P X v)sds = v | P |,
т. е. мы получаем прежнюю формулу.
Существует еще и третий способ описания результата опытов. На-
Напишем общее уравнение D3.10) в виде:
1)См. примечание после текста.
252
УРАВНЕНИЯ ЗЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
Это уравнение при отсутствии истинных зарядов (рист = 0) отличается
от уравнения для неподвижной среды только тем, что в нем вместо Н
стоит выражение В ~(PXV)-
Но если положить В = Н--|-4гсМ, то оказывается, что движущийся
электрически - поляризованный эбонит обнаруживает намагничение
М = — (Р X v). Эбонит на рис. 66а кажется намагниченным в ра-
радиальном направлении: на внешней поверхности у него северный полюс,
на внутренней — южный. Поэтому про магнитное поле, наблюдаемое
в опыте Эйхенвальда, по желанию можно полагать, что оно образуется
или поверхностным конвекционным током или радиальным намагни-
намагничением диска.
Видоизменив описанную выше уста-
установку, можно интересным способом дока-
доказать также существование тока смеще-
смещения Р. Это тоже показано Эйхенвальдом.
На рис. 68 изображена схема установки
в плане (наверху) и в разрезе (внизу).
Эбонитовый диск снова вращается между
двумя неподвижными кольцеобразными ме-
металлическими обкладками, из которых
верхняя теперь разделена на два полу-
полукруга. Нижнее металли-
металлическое кольцо заземлено;
две половины верхнего
кольца заряжены до рав-
равных, но противоположных
по знаку потенциалов
( + ? и —Е). Непосред-
Непосредственно над диском, вбли-
вблизи оси вращения, нахо-
находится магнитная стрелка,
которая может вращаться
вокруг вертикальной оси.
В этой установке, как и
в предыдущей, будет итти ток Рентгена, в виде конвекционного тока —
vdivP, связанного с движением индуцированных на эбонитовом диске
поверхностных зарядов; но он будет отличаться от тока в предыдущей
установке тем, что в правой и левой половинах диска он будет иметь
одинаковую величину, но противоположные напра-
направления. Поэтому действия этих двух токов на магнитную стрелку
взаимно уничтожаются. Но кроме этого тока пойдет еще ток поля-
поляризации в направлении, параллель ном оси вращения; у точки
диска а он будет направлен сверху вниз, у точки же а', наоборот,
снизу вверх. Найдем величину тока, текущего от а к Ь, исходя из
уравнений D5.1) и D5.2). В уравнении D5.2) отличен от нуля только
член Р, так что при интегрировании по горизонтально расположенному пря-
прямоугольнику, окружающему место с током, мы получим полный ток в виде
Рис. 68. Схема измерения магнитного поля, вы-
вызываемого поляризационным током Р в эбони-
эбонитовом диске, вращающемся между неподвижными
металлическими кольцами; в правой части поля-
поляризация направлена вниз, в левой направлена
вверх.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ 253
? Cjdx^b f i>dx = bv f^dx = 2 to P = *^
(координатная ось х направлена по v, у— по Р, и при vx = v$
Py=iP). Подобный же результат мы получим, исходя из D5.1). Век-
Вектор Р X v направлен опять радиально, но он меняет знак при переходе
через место с током. При интегрировании по выше указанной площади
мы получим опять 2bvP. Впрочем, такой же результат получится непо-
непосредственно, если рассмотреть распределение тока на рис. 68. Во
время вращения эбонитового диска в верхней его поверхности с обеих
сторон приходит к точке а ток Рентгена bvP, в то время как в ниж-
нижней поверхности такой же ток расходится в обе стороны. Эги токи
составляют замкнутый контур, так как от а к b идет ток только что
указанной силы в вертикальном направлении.
Опыты, произведенные Вильсоном, непосредственно указывают
на то, что фактически на все заряды еу находящиеся внутри вещества,
V
которое движется в магнитном поле, действует сила Лорентца е — X В.
Этот факт можно выразить также иначе: наблюдатель, движущийся
вместе с телом, констатировал бы электрическое поле величины
«г
Е = — X В. Установка Вильсона состоит в том, что полый цилиндр, тол-
толщина стенок которого равна Ь, вращается вокруг своей оси, причем
этот цилиндр подвергается действию магнитного поля, направленного
параллельно оси. Тогда внутри цилиндра возникает радиально напра-
направленное электрическое поле напряженности — X В. В металличе-
металлическом цилиндре эта сила вызвала бы перемещение электро-
электронов проводимости к внешней стороне цилиндра до того момента,
пока заряд на поверхности цилиндра не создаст противодействующего
поля, которое как раз уравновесит силу Лорентца. При этом между
внешней и внутренней поверхностью возникнет разность потен-
потенциалов b — X В. Поэтому, если при помощи скользящих контак-
с
тов соединить эти две поверхности проволокой с сопротивлением /?, то
bv r»
в цепи пойдет электрический ток I—jz- В.
Но если полый цилиндр является изолятором, то сила Лорентца
вызовет в нем радиально направленную диэлектрическую
поляризацию
Это можно доказать, например, следующим образом: вращающийся
цилиндр окружается снаружи и изнутри плотно приложенными к нему
металлическими полыми цилиндрами. Оба металлических цилиндра со-
соединяются с клеммами электрометра. Если вращать изолятор в магнит-
магнитном поле, то в электрометре получится заряд, соответствующий вычи-
вычисленной поляризации.
254
Равнения электромагнитного поля в немагнитных телах
§ 46. Опыт Физо. Кроме рассмотренных в предыдущем параграфе
чисто электромагнитных опытов с движущимися телами, рассмотрим
теперь один чисто оптический опыт, относящийся к распростране-
распространению света в движущейся среде. Согласно теории, как мы увидим дальше,
в направлении движения среды свет должен распространяться,
быстрее, чем в противоположном направлении, т. е. свет как бы
увлекается движущейся средой. Пусть и0 есть скорость распростра-
распространения света в неподвижной среде. Тогда скорость света в среде, движу-
движущейся со скоростью v, будет
D6.1а)
если свет распространяется в направлении движения среды, или
u = uo — kv D6.1b)
в случае распространения света в противоположном направлении.
Число k называют коэфициентом увлечения. Ниже мы опреде-
определим его величину теорети-
чески. Если бы коэфици-
/\ | Кг | |~Тч ент * Равнялся 1, то ско-
скорости света и среды склады-
складывались бы векториально. Но
мы увидим, что в действи-
действительности k меньше еди-
единицы.
Первое эскперименталь-
ное исследование с целью
измерения коэфициента уве-
увеличения было произведено
Физо. Его установка изо-
Рис. 69. Измерение коэфициента увлечения
по Физо.
бражена на рис. 69. Луч,
выходящий из источника I, разлагается полупосеребренной стеклянной
пластинкой Р на два луча, которые проходят путь, изображенный на
рисунке, в двух противоположных направлениях. С помощью той же
полупосеребренной пластинки оба луча снова соединяются и могут быть
наблюдаемы в интерференционном приборе В. Световые лучи на своем
пути проходят через трубки Rx и /?2> наполненные водой, которая
течет в противоположных направлениях (рис. 69). При этом один луч
проходит через обе трубки в направлении течения воды, другой — в про-
противоположном направлении. Это приводит к тому, что первый луч про-
проходит свой путь (от стеклянной пластинки через систему трубок обратно
к пластинке) за более короткий промежуток времени, чем второй луч.
Если / есть длина трубок, то разность времен прохождения
обоих лучей равна
2J2/ ^ 4tkv
Следовательно, лучи приходят в интерференционный прибор, нахо-
находясь в различных фазах. Из положения интерференционных полос, по-
получающихся в приборе, можно определить Д^, а, следовательно, и вели-
величину коэфициента увлечения.
ОПЫТ ФИЗО
Результат опыта Физо гласит:
255
где п—показатель преломления воды. Попытаемся объяснить этот
результат на основании формул, выведенных в § 43. Согласно D3.10),
основные уравнения для электрического поля в незаряженном нема-
немагнитном изоляторе (j —0, pw = 0, ц=1), движущемся со скоростью v
имеет следующий вид:
_
D6.3)
Для сравнения напишем еще обыкновенные уравнения Максвелла для
неподвижной среды:
rot H =;
rotE = — -(
div D = 0.
divB = 0,
D6.3a)
Между этими двумя системами имеются два существенных различия.
Во-первых, член—rot(PXv) дает конвекционный перенос
состояния поляризации (ток Рентгена). Это является причиной
того, что, как уже было показано в § 44, магнитная индукция В
в движущейся среде, несмотря на предположение р=1, не совпадает
с магнитным полем Н, как это имеет место в случае неподвижной
среды. Второе различие состоит в том, что поляризация Р опре-
определяется не только электрической напряженностью, но и магнитной
индукцией, потому что, как было показано выше, на движу-
движущийся заряд действует сила Лорентца
Мы будем искать решение уравнений D6.3) для плоской волны. Для
этой цели попытаемся подставить в эти уравнения следующие выраже-
выражения для В и для Е:
из которых следуют, что
D6.4)
256
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
Здесь (о означает частоту, и — скорость распространения волны, an —
направление распространения. Теперь нам следует определить постоянные
векторы Ео, Во, Ро и Do и скорость распространения волны и так,
чтобы уравнения D6.3) были удовлетворены. В случае неподвижной
среды подстановка выражений D6.4) в систему уравнений D6.3а) дает
известные формулы:
n-Bo=O,
D6.5)
из которых следует, что в этом случае векторы Е и В, а поэтому также
D и Р, перпендикулярны к направлению распространения п, и что
индукция В перпендикулярна к электрическому вектору. Кроме того,
из уравнений D6.5) следует, что скорость распространения
волны и диэлектрическая постоянная s связаны соотно-
соотношением
Другой результат получается в случае движущейся среды; здесь
подстановка D6.4) в систему уравнений D6.3) дает:
n-D0
D6.6)
Из этих соотношений
вообще говоря, п не
так как из уравнения
следует, что D и В перпендикулярны к п, но
перпендикулярен к электрическому вектору Е,
видно, что п«Е отлично от нуля тогда, когда три вектора n, v и В не
лежат в одной плоскости. Аналогичное утверждение справедливо и для
магнитного поля Н = В Р X v. Это значит, что в общем случае,
когда направление движения и направление распространения волны п
не совпадают, вектор Пойнтинга — Е X Н направлен не по п.
ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА
257
Для дальнейших выкладок полезно в уравнениях D6.6) выразить
вектора Ео и Ро через Do и Во. Очевидно что
—1 П t V
i === — *-^л ~~—* ~
D6.7)
Если мы ограничимся малыми скоростями — такими, что можно пре*
небречь величинами порядка [J2 по сравнению с единицей, то подставив
выражения D6.7) в первые два уравнения D6.6) и принимая во вни-
внимание, что (пВ0) = (nD0) = 0, мы получим:
— ti VD — Iй
"'V
D6.8)
При этом мы воспользовались известным векторным правилом
АХ(ВХС) = В(А-С) — С (А-В).
Из D6.8) видно, что при р2 <^ 1 вектор Во также перпендикулярен
к Do. Исключая Во или Do, мы, ввиду того, что n-B0 = n-D0 = 0,
получаем:
j | ^_______ \
\С е с ) s *
Отсюда
С , е — 1
П-V.
Так как п = Y г и — = uQ> мы имеем:
D6.9)
что является общим законом распространения света в любом
направлении. Этот результат можно для наглядности представить
себе так, что свет при распространении в движущейся среде частично
„увлекается" в направлении движения среды, причем величина этого
увлечения определяется коэфициентом Ф и з о
fe=l-ij. D6.10)
Ниже в главе о специальной теории относительности, мы
выведем эту формулу еще раз, но с совершенно другой точки зрения.
§ 47. Опыт Майкельсона. В предыдущем параграфе мы видели,
каким образом электронная теория вполне естественно объясняет най-
найденное Физо частичное увлечение света в движущейся среде.
Распространение света в движущейся диспергирующей среде можно
на основании этого описать еще следующим образом: все распростра-
распространение света составляется из волны, падающей в среду из
Бевкер 53Ю 7 11
258
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
пустоты, и из накладывающихся на нее сферических волн,
испускаемых отдельными молекулами-диполями. Для
объяснения опыта Физо следует предположить, что движение среды
совершенно не влияет на волну, падающую из пустоты.
Эффект Физо возникает лишь благодаря тому, что сферические волны
теперь уже создаются движущимися диполями. Это сложение плоской
волны в неподвижном эфире со сферическими волнами, рассеиваемыми
движущимися диполями, в действительности дает наблюдаемый в опыте
Физо коэфициент увлечения. Поэтому долгое время результат опыта
Физо рассматривали как экспериментальное доказательство существо*
вания неподвижного светового эфира, который не принимает
участия в движении материи.
Но из этого представления неми-
неминуемо должно следовать, что ско-
скорость света, измеряемая дви-
движущимся относительно эфира
наблюдателем, должна зави-
зависеть от направления движе-
движения этого наблюдателя. Если с
есть скорость света относительно не-
неподвижного эфира, a v — скорость
наблюдателя, то величина измеренной
им скорости света должна равняться
с — v или c-\~v в зависимости от
того, по какому направлению он дви-
движется: по направлению распростране-
распространения света или против этого направле-
направления. Если наблюдатель с самого на-
It
7
Рис. 70. Схема опыта Майкельсона.
чала ничего не знает о своем движении, то он мог бы экспериментально
обнаружить его, если бы он послал из определенной точки световой
сигнал, распространяющийся во все стороны, и измерил те промежутки
времени, в которые свет достигнет различных мест сферы, описанной
вокруг этой точки. Действительно, если наблюдатель движется относи-
относительно эфира, то „эфирный ветер" повлияет на распространение свето-
светового сигнала так, что сигнал позже всего придет в точку поверхности
сферы, которая движется в том же направлении, что и сигнал, и раньше
всего — в точку, движущуюся в противоположном направлении.
Этот опыт и был произведён Майкельсоном, задавшимся целью
определить движение земли по отношению к эфиру, который предпола-
предполагается неподвижным. Скорость движения земли по ее орбите приблизи-
приблизительно равна 30 км\сек. Так как мы с самого начала ничего не знаем
о состоянии движения эфира, то можно было бы предположить, что в
данном месте орбиты земли эфир движется как раз с этой же скоростью
и, следовательно, земля неподвижна относительно эфира. Но тогда через
полгода можно было бы наблюдать эфирный ветер, обладающий двойной
скоростью.
Установка Майкельсона схематически изображена на рис. 70. Вся
аппаратура установлена на массивной плите, плавающей в ртути, так
что можно ее поюрачивать на любой угол, не вызывая сотрясений.
ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА
259
Свет, выходящий на источника L, частью отражается от полупосереб-
полупосеребренной стеклянной пластинки 6*0, расположенной под углом в 45° к лучу,
а частью проходит насквозь. Отраженный луч еще раз отражается от
зеркала 52, проходит через пластинку 50 и попадает в В. Другой луч
после отражения от Sx отражается пластинкой So и, попадая в В,
интерферирует с первым лучом. При соответствующей установке прибора
можно наблюдать в В интерференционные полосы. Всякое изме-
изменение оптических путей 1Х или /3 вызывает смещение интерференционных
полос.
Например, мы получим смещение интерференционных полос на ширину
одной полосы, если сместим одно из зеркал Sx или S2 на половину длины
световой волны. В этом заключается принцип, которым вослользовался Май-
Майке л ь с о н для сравнения нормального метра с дли-
длиной волны красной линии кадмия. Другое применение интер- +
ферометра состоит в том, что в один из оптических путей 12
помещают преломляющую среду. Тогда по наблюдаемому
смещению полос можно очень точно измерить показа-
показатель преломления среды.
В нашем случае прибор был использован для того,
чтобы наблюдать влияние движения земли на распро-
распространение света. На рис. 70 стрелка v показывает напра-
направление, в котором прибор движется по отношению
к эфиру. Нужно вычислить для обоих лучей (отражен-
(отраженного от стеклянной пластинки SQ и прошедшего через
нее) промежутки tx и t2, где tx — время, которое нужно ' ?V
свету для того, чтобы пройти от 50 до зеркала Sx и рис 71 вычи.
обратно до SQt и где аналогичный смысл имеет и /2 сление времени
(зеркало S2 вместо St). Вследствие движения прибора прохождения лу-
по отношению к эфиру свет распространяется отно- ча, отраженного
сительно прибора в прямом направлении со ско- от зеРкала 52-
ростью с — vt а в обратном направлении — со скоро-
скоростью c-\-v. Так как отрезок 1Х параллелен скорости, то для tx мы по-
получаем выражение
C — V
С-\- V
х —"*
Чтобы вычислить время t2 для второго луча, мы должны рассмо-
рассмотреть действительный путь этого луча (рис. 71). Пусть А есть поло-
положение полупрозрачной стеклянной пластинки в момент времени / = 0
и В — ее положение в момент времени t2, когда луч, отраженный от
«S2, опять попадает на стеклянную пластинку. Расстояние АВ равно
vt2. Весь пройденный светом путь, очевидно, равен
и должен равняться ct2. Отсюда мы находим, что
260
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 8 НЕМАГНИТНЫХ ТЕЛАХ
Следовательно, разность времен, которой определяется и разность хода
лучей в точке 23, равна
D7.1)
Если повернуть весь прибор на 90°, то оба оптических пути 1Х и /2
взаимно обменяются своими направлениями движения относительно эфира,
так что после поворота мы получим разность
h
D7.2)
Таким образом, при вращении можно было бы наблюдать смеще-
смещение полос, которое соответствует разности & между двумя только что
вычисленными разностями времен. Вычитая, мы находим:
10 /
¦-¦? у1-
или, при не слишком больших скоростях
с2),
D7.3)
D7.3а)
Подсчитаем теперь порядок величины смещения полос. Для
этого сравним только что вычисленное время Ь с периодом светового
колебания т = —. Изменение разности хода на т должно вызвать сме-
смещение интерференционных полос на ширину одной полосы. Так как
скорость земли х>=3«106 см\секу то для того, чтобы при длине волны
порядка Х = 5«10"~5 см получить смещение на 1 полосу, нужно, чтобы
/х --]- /2 = 50 м. Фактически этого значения /х -f-/2 можно достигнуть
только тогда, когда световой луч проходит один и тот же путь не два
раза, а большее число раз, т. е. при многократном отражении.
Чувствительность этой установки, при повторении опыта Йоосом
(Joos), была повышена настолько, что эфирный ветер, обладающий ско-
скоростью 1,5 KMJcefc, был бы все еще доступен наблюдению. Однако,
в пределах ошибок опыта, смещения полос при враще-
вращении установки на 90° не было обнаружено. Повторение опы-
опытов в различное время года также всегда приводило к этому же отри-
отрицательному результату.
Таким образом эти опыты показали, что скорость света не
зависит от движения наблюдателя. Объяснение этого резуль-
результата с точки зрения электронной теории наталкивается на серьезные
трудности; с одной стороны, при объяснении предыдущих опытов едва
ли можно избегнуть предположения о неподвижном эфире; с другой
ПОПЫТКИ ОБЪЯСНЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА ОПЫТА МАЙКЕЛЬСОНА 261
стороны, всякая попытка экспериментально доказать существование не-
неподвижного эфира приводит к отрицательному результату.
§ 48. Попытки объяснения отрицательного результата опыта
Майкельсона. Для объяснения отрицательного результата опыта Май-
кельсона был предложен целый ряд гипотез, которые впоследствии,
однако, оказались несостоятельными. Мы вкратце разберем важнейшие
из них. Первое объяснение заключается в том предположении, что све-
световой эфир у поверхности земли движется вместе с нею,
т. е. что эфир увлекается землей примерно так же, как атмосфера.
Это объяснение становится весьма маловероятным, если принять во
внимание опыт Физо с распространением света в движущихся средах;
этот опыт требует как раз того, чтобы эфир не увлекался движу-
движущимся телом. Все же можно было бы подумать, что степень увлечения
эфира зависит от массы движущегося тела, и что поэтому, например,
обладающая большой массой земля может при своем движении увлекать
за собой эфир, а движущаяся жидкость в опыте Физо не в состоянии
этого сделать. Все подобные предположения уже на первый взгляд
кажутся очень искусственными и мало удовлетворительными, но пред-
представление об увлекаемом эфире окончательно опровергается явлением
аберрации. Это явление состоит в том, что неподвижная звезда,
которую рассматривают в трубу, находящуюся на земле, видна не в
том направлении, в котором она действительно находится; а именно,
трубу нужно наклонять на весьма малый угол, зависящий от скорости
земли относительно звезды. Рассмотрим, например, луч света, который
падает на движущуюся поверхность земли нормально. Световые волны
при попадании в движущиеся вместе с землей слои эфира всегда будут
оставаться параллельными поверхности земли, а поэтому, если эфир
увлекается движущейся землей, они будут наблюдаться как плоские
волны, распространяющиеся перпендикулярно к поверхности земли.
Поэтому, в противоположность ошибочным соображениям С т о к с а, если
бы эфир двигался вместе с землей, то было бы невозможно наблюдать
явление аберрации.
Другая попытка объяснения принадлежит Ритцу. Он пытался
объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона, сделав пред-
предположение, что скорость света зависит от движения излучаю-
излучающего источника, и притом так, что скорость света в пустоте век-
ториально складывается со скоростью источника. Действительно, легко
убедиться, что эта гипотеза объяснила бы опыт Майкельсона. Но про-
против этой гипотезы прежде всего можно возразить, что с точки зрения
теории близкодействия, которая описывает оптические явления
при помощи диференциальных уравнений, она совершенно непонятна,
так как нельзя себе представить, каким образом скорость распростра-
распространения световой волны в какой-нибудь точке пространства может быть
связана со скоростью источника света. Но и с чисто экспери-
экспериментальной точки зрения эту гипотезу можно считать опровергну-
опровергнутой. Особенно разительным ее опровержением являются наблюдения
над двойными звездами. Согласно гипотезе Ритца, у звезды, кото-
которая состоит из центрального тела и обращающегося вокруг него спутника,
свет спутника должен достигать земли с различной скоростью, в зависи-
262 урлвнения электромагнитного поля в немагнитных телах
мости от его положения на орбите. Так как свету приходится проходить
при этом очень большое расстояние, то уже небольшое различие в ско-
скорости вызывает такое большое различие во времени, необходимом, чтобы
свет прошел это большое расстояние, что в некоторых случаях мы
одновременно видели бы спутника во многих местах его орбиты. Однако,
как указал де-Ситтер, не существует даже и намека на подобный
эффект. Кроме того, гипотеза Ритца опровергается тем, что опыт Май-
кельсона, производимый не с земным источником света, а со светом
неподвижной звезды, также приводит к отрицательным результатам.
Такой опыт был действительно произведен Томашеком (Tomaschek).
Третьей попыткой объяснения является высказанная Лорентцом
и, независимо от него, Фицджеральдом (Fitzgerald) гипотеза
сжатия, которую можно считать непосредственной предшественницей
теории относительности. Эта гипотеза утверждает, что линейные раз-
размеры тел, движущихся со скоростью v, сокращаются в направлении
движения в|/ 1 ^ раз. Сначала мы вкратце рассмотрим, как воз-
возникла эта гипотеза, которая кажется с первого взгляда весьма произ-
произвольной, а затем покажем, что она действительно может объяснить
отрицательный результат опыта Майкельсона.
Для того, чтобы понять, как возникла гипотеза сокращения, вер-
вернемся к рассмотренному нами в § 9 электромагнитному полю движу-
движущегося заряда и, в частности, к конвекционному потенциалу
(9.19), с помощью которого описывается сила, действующая на другой
заряд, движущийся с той же скоростью.
В § 9 было показано, что эквипотенциальными поверхностями явля-
являются не сферы, а эллипсоиды, сплюснутые в направлении движения
в отношении 1/1 ^. Из этого вытекает, что заряды на движу-
движущемся металлическом шаре передвигаются от экватора и концентри-
концентрируются на полюсах. Этого неожиданного следствия можно избежать,
если ввести гипотезу, что поверхность нашего шара во время движе-
движения остается эквипотенциальной поверхностью, благодаря тому, что ее
диаметр тоже сокращается в направлении движения
в отношен ии|/ 1 ^. Гипотеза сжатия утверждает, что подобное
сокращение всех линейных размеров, параллельных направлению движе-
движения (а следовательно и всех движущихся масштабов), происходит на
самом деле. Такое укорочение масштабов приводит к тому, что наблю-
наблюдатель, движущийся вместе с шаром, не заметил бы никакого укорочения,
так как он, измеряя во всех направлениях длину радиуса шара при
помощи движущегося вместе с ним масштаба, получал бы всегда одну
и ту же величину.
Хотя приведенная здесь гипотеза сжатия масштабов может считаться
непосредственной предшественницей теории относительности, тем не
менее следует подчеркнуть, что она противоречит основному прин-
принципу этой теории; с точки зрения гипотезы сжатия, если бы дви-
движущийся наблюдатель сравнил свой масштаб с неподвижным масштабом,
то он мог бы обнаружить, что его собственный масштаб действительно
ПЕРЕСМОТР ПОНЯТИЙ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 263
стал несколько короче. Таким образом мы имели бы принципиальную
возможность экспериментально обнаружить состояние абсолют-
абсолютного покоя, наблюдая за большим числом одинаковых масштабов,
движущихся с различными скоростями, и отметив тот из них, который
обладает наибольшей длиной.
Убедимся теперь в том, что гипотеза сжатия действительно объясняет
отрицательный результат опыта Майкельсона. Для этого введем эту
гипотезу в уравнения D7.1) и D7.2) предыдущего параграфа. В урав-
уравнении D7.1), определявшем разность времен, совпадала с направлением
движения длина /1Э а в уравнении D7.2), наоборот, /2. Если для этих
двух длин ввести укорочение в отношении у 1 -v то обе рассма-
рассматриваемые разности времен будут равны друг другу, а именно, мы полу-
получим для них одно и то же значение:
/ 4 /' /' jL Jb~zh-
2 * 2 l с у\р
Отсюда видно, что при вращении прибора нельзя ожидать изменения
разности хода.
Е. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
§ 49. Пересмотр понятий пространства и времени. Сопоставим
еще раз экспериментальные факты, изложенные в предыдущей главе.
И опыт Физо с увлечением света и явление аберрации
могли быть объяснены проще и удобнее всего при помощи гипотезы
о существовании абсолютно неподвижного световогоэфира,
т. е. при допущении, что можно указать такую привиллеги-
рованную систему координат, в которой скорость света оди-
одинакова во всех направлениях. Но все попытки экспериментально уста-
установить существование такой привиллегированной системы координат,
в частности попытки Майкельсона и Траутона-Нобля, потер-
потерпели неудачу, и это заставило вводить специальные гипотезы, объясняю-
объясняющие, почему этот неподвижный эфир ускользает от наблюдения. Таким
образом получилось неприятное нагромождение гипотез, из которых
вторая придумана только для того, чтобы объяснить, почему нельзя
наблюдать световой эфир, постулированный в первой гипотезе.
При таком положении дел открытие Эйнштейном теории отно-
относительности явилось большим шагом вперед. Эйнштейн исходил непосред-
непосредственно из отрицательного результата опыта Майкельсона, из которого
он заключил, что принципиально нельзя отличить, какая из двух
систем, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью,
находится в покое, и какая движется. Поэтому он задался вопросом:
каковы законы природы, вызывающие невозможность установить прин-
принципиальное различие между двумя движущимися друг
друга системам**?
264 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Такой принцип относительности давно уже был известен
в классической физике. Рассмотрим, например, уравнения дви-
движения материальных точек, взаимодействие между которыми опреде-
определяется потенциалом, зависящим только от расстояний:
Рассмотрим теперь движение этих точек в другой координатной си-
системе, которая движется по отношению к первой со скоростью v;
тогда, очевидно, уравнения, связывающие координаты материальных
точек в первой и второй координатных системах, будут следующие:
r/^rj + W, D9.1)
и значит,
Теперь мы можем написать уравнения движения в новой координатной
системе. Мы получаем закон движения в виде
который полностью совпадает с первым законом движения, если не счи-
считать штрихов при координатах. Преобразование D9.1), связывающее
координаты в этих двух системах, называется преобразованием
Галилея. Полученный только что результат можно выразить следую-
следующим образом: классические уравнения движения Нью-
Ньютона инвариантны по отношению к преобразованию Га-
Галилея. Следовательно, с точки зрения законов механики две коорди-
координатные системы, связанные преобразованием D9.1), эквивалентны. Само
собой разумеется, что этого уже не будет, если рассматривать электро-
электромагнитные процессы, так как световой сигнал, который распростра-
распространялся бы в первой координатной системе по всем направлениям со
скоростью с, в штрихованной системе имел бы скорость от c-\-v до
с — v, в зависимости от направления, в котором наблюдают распростра-
распространение света.
Согласно Эйнштейну, вся трудность заключается в том, что до
сих пор физика принимала понятия пространства и времени совер-
совершенно некритически, как нечто абсолютно данное. В частности, мы
представляли себе время, как нечто повсюду равномерно текущее, и
считали, что имеет смысл говорить об абсолютной одновремен-
одновременности двух событий, происходящих в различных местах.
Утверждение о месте и времени какого-нибудь события получает
для физика определенный смысл только тогда, когда даны численные
координаты места и времени, как результат вполне определенного и
принципиально выполнимого измерения. Для осуществления подобных
измерений служат масштабы и часы, существование которых мы
вводим в качестве особого допущения. Чтобы описать событие в вы-
выбранной нами системе координат, мы должны указать, в каком месте
и в какое время оно происходит. Эта задача осуществлена, если мы в
каждой точке пространства поместим метку, указывающую простран-
ПЕРЕСМОТР ПОНЯТИЙ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 265
ственные координаты, и кроме того, если в этой точке будут нахо-
находиться часы, по которым мы могли бы отметить момент времени, в
который происходит событие в этом месте. Мы будем считать, что
для задания места и времени события достаточно отметить отсчет по
той метке и по тем часам, которые совпадают с данным событием.
Теперь подумаем, каким образом нам ввести в нашу координатную
систему эти метки и как отрегулировать находящиеся в этих точках
часы. Метки мы введем обычным способом, при помощи перекладыва-
перекладывания единичного масштаба, существование которого мы предположили
заранее. Например, на оси х мы получим метку х = 6, если от начала
координат отложим наш единичный масштаб шесть раз. Теперь в каж-
каждой отмеченной таким образом точке поставим часы. Относительно всех
Часов мы должны, конечно, предположить, что они идут одинаково,
т. е. что их ход не зависит от той точки, в которой они находятся.
Наши основная задача — отрегулировать часы так, чтобы все они по-
показывали одно и то же время. При этом мы не можем поступить,
например, следующим образом: сначала поместить все часы в начало
координат, синхронизовать их и затем отрегулированные таким образом
часы расставить по различным заранее отмеченным местам. Ведь мы
не знаем, испытывает ли скорость хода часов какое-либо временное
изменение при их переносе из одного места в другое. Поэтому мы
должны, если не желаем вводить новых гипотез, сначала расставить
часы по их местам и лишь после этого отрегулировать их так,
чтобы они показывали то же время, какое показывают часы, нахо-
находящиеся в начале координат.
Для этого мы будем поступать примерно следующим образом. Из
начала координат мы пошлем в тот момент, когда находящиеся там
часы покажут 0, световой сигнал по направлению к регулируемым
часам, расположенным на расстоянии г от начала координат. Наблю-
Наблюдатель, находящийся у этих часов, имеет инструкцию поставить на
них время / = — в тот момент, когда получит световой сигнал. Поло-
Положим, что таким способом отрегулированы все часы, находящиеся в этой
координатной системе. Лишь после этого мы можем дать определе-
определение понятия одновременности в нашей системе; два события,
происходящие в разных точках системы, считаются одновременными
в том случае, если часы, находящиеся в этих точках, показывают для
этих событий одинаковое время. Это правило регулирования часов —
как определение одновременности — является центральным
пунктом специальной теории относительности.
Мы видим, что на основании такого определения результат опыта
Майкельсона приобретает принципиальное значение, так как тот факт,
что свет распространяется по всем направлениям с одинаковой скоро-
скоростью, положен нами в основу представления о времени.
Теперь выясним, каким образом следует производить измерения в
случае таких объектов, которые движутся относительно нашей системы
с метками и часами. Например, для того чтобы определить длину дви-
движущегося масштаба, мы должны найти положение его начала и конца
в один и тот же момент времени. Отсюда ясно, что не имеет смысла
263 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
говорить о длине движущегося масштаба, если предварительно
не ввести отчетливое понятие об одновременности, Для такого измере-
измерения длины нужно, чтобы все наблюдатели, находящиеся в различных
точках координатной системы, получили инструкцию отметить тот мо-
момент времени, в который мимо них проходит начало или конец дви-
движущегося масштаба. Из всех полученных таким образом показаний
нужно использовать для определения длины показания двух наблюда-
наблюдателей, из которых один видел около себя начало, а другой — конец
масштаба в один и тот же момент времени t. Подобным же образом
следует измерять продолжительность процесса, происходящего в дви-
движущемся теле. Для этого, конечно, существенны показания тех часов,
в непосредственной близости от которых началось и кончилось событие.
До сих пор мы говорили только об одной координатной системе и
выяснили, каким образом возможно производить измерения принци-
принципиально безукоризненным способом. Точно такие же правила можно
дать для любой другой координатной системы, движущейся по отноше-
отношению к первой с постоянной скоростью. В следующих параграфах мы
рассмотрим, каким образом должны быть связаны координаты и время
этих двух систем. Никоим образом нельзя заранее допускать как нечто
само собой разумеющееся, что понятие одновременности
для обеих систем одно и то же. Мы, напротив, увидим, что два
события, одновременные в одной системе, не могут уже считаться
одновременными в другой.
§ 50. Преобразование Лорентца. Рассмотрим две движущиеся
друг относительно друга координатные системы и предположим, что
масштабы и часы в каждой из них размещены и отрегулированы по
правилам предыдущего параграфа. Тогда, очевидно, каждое реальное
событие, как например появление вспышки на экране или прохожде-
прохождение стрелки через нуль какого-нибудь измерительного прибора, может
быть измерено в обеих системах. Если мы будем штрихами отличать
результаты измерений второго наблюдателя от результатов измерений
первого, то первый наблюдатель припишет событию координаты ху у,
z, t, а второй — координаты х', у\ z\ f. Говоря о преобразова-
преобразовании одной координатной системы в другую, мы будем подразумевать
под этим аналитическую связь, существующую между координатами
х\ у', z', t'n координатами л:, у, z, t Определенным событием можно
считать показание t стрелки часов, расположенных в точке х, у, z
первой координатной системы. В этом случае уравнения преобразова-
преобразования должны указать нам, в какой точке х\ у'} г' и в какое время V
это событие происходило с точки зрения второй координатной системы.
Для того чтобы найти эту зависимость между штрихованными и не-
штрихованными координатами, сделаем следующие предположения:
1. Зависимость должна быть линейной. Это необходимо
для того, чтобы начало координат по своим физическим свойствам не
отличалось от других точек.
2. Две системы движутся по отношению друг к другу
с постоянной скоростью, т. е. каждая точка х\ y'f z1 второй
системы движется по отношению к первой системе со скоростью v, и
наоборот» каждая точка х, у, z первой системы движется цо отношении?
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 267
ко второй со скоростью — v. Ограничение, связанное с этим предполо-
предположением, характеризует точку зрения специальной теории отно-
относительности. (Только общая теория относительности, о которой
в этой книге совсем не будет речи, рассматривает и ускоренно движу-
движущиеся координатные системы.)
3. Измерение скорости света в обеих системах дает
во всех направлениях величину с. Это требование, собственно
говоря, является исходной точкой всех наших рассуждений; в частности,
оно уже содержится в определении времени t или /' и в эйнштейнов-
эйнштейновском правиле регулирования часов.
4. Не существует такого физического метода изме-
измерения, при помощи которого принципиально можно
было бы установить разницу между двумя системами.
Это требование уже заключает в себе все содержание теории относи-
относительности, поскольку оно далеко выходит за пределы измерения ско-
скорости света и претендует на применимость ко всем физическим явле-
явлениям. (В дальнейшем это условие нам понадобится только для спе-
специального случая, именно — для гипотезы сокращения Лорентца.)
Теперь выведем формулы преобразования для того случая, когда
скорость v (см. пункт 2) имеет направление положительной оси дг, и
ось х все время совпадает с осью х\ Кроме того, пусть начало коор-
координат одной системы в момент времени *=0 совпадает с началом
координат другой в момент /' = 0. Совпадение осей х и хг имеет
место только в том случае, когда из условия у = 0 и z = 0 всегда
следует, что уг = 0 и z' = 0. Поэтому формулы преобразования для у
и z должны иметь вид:
Мы исключаем чисто пространственное вращение, так как оно для нас
несущественно; поэтому мы требуем, чтобы плоскость z = 0 переходила
в плоскость zr = 0 и т. д. Так как направления у и z совершенно
равноправны, то
/ = еу, z/ = sz.
Коэфициент е означает, что единичный масштаб, лежащий в направле-
направлении у первой системы, с точки зрения второй системы имеет длину е.
Таким образом второй наблюдатель заметил бы удлинение масштаба
в е раз, в то время как первый наблюдатель, измеряя длину единич-
единичного стержня, неподвижного во второй системе, получил бы в резуль-
результате измерения —. Если бы это изменение длины при переходе от
одной системы к другой отличалось от изменения длины при обратном
переходе, то существовало бы объективное различие между двумя
системами, что исключено пунктом 4. Следовательно, должно иметь
место равенство — = е, т. е. е = 1. Поэтому
У=Л z' = z. E0.1)
Теперь остается еще найти уравнения преобразований для х и t.
Согласно предположению, точка х' = 0 должна двигаться вдоль qch *
268 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
со скоростью v, т. е. задание х' = 0 должно быть эквивалентно зада-
заданию х = vt. Соответственно этому, х = 0 эквивалентно заданию х' =
= — vt\ Значит, искомое преобразование должно иметь вид:
E02)
где числа у' и у следует еще определить. Сначала убедимся в том,
что, согласно требованию 4, они должны быть равны друг другу. Для
этого сперва измерим с точки зрения второй системы длину масштаба,
который неподвижен в первой системе и имеет в ней длину /. Затем
придадим этому же масштабу скорость второй системы и измерим его
длину с точки зрения первой системы. Мы требуем, чтобы оба раза
получился один и тот же результат. При первом измерении начало и
конец стержня имеют координаты х = 0 и х = /. Во второй системе
в момент времени f = 0 обе эти точки имеют, согласно второму ура-
уравнению E0.2), координаты х' = 0 и х' = — . Следовательно, длина
стержня, измеренная с точки зрения второй системы, равна —. Стер-
Стержень оказывается укороченным в у Раз« При втором измерении
стержень неподвижен во второй системе. Следовательно, его начало и
конец имеют координаты jt' = O и х' = 1. С точки зрения первой си-
системы, в момент времени /=0 эти точки, согласно первому уравне-
уравнению E0.2), имеют координаты л; = 0 и х = -7-. Теперь стержень уко-
укорочен в Y раз. Таким образом требование 4 приводит к равенству
Т = Т', E0.3)
как мы и утверждали. Теперь для окончательного определения значе-
значения у остается применить третье требование — требование постоянства
скорости света. Пусть в момент времени t = if = 0 из начала коорди-
координат испускается световой сигнал, который производит вспышку на
экране, находящемся на каком-нибудь месте оси х. Это событие
(вспышку) один наблюдатель будет описывать, пользуясь координатами
х и t, а другой — координатами х' и f, причем
x = ct и x' = ct'y
где с имеет одно и то же значение для обоих наблюдателей.
Если мы подставим это в E0.2), то получим:
Перемножив эти уравнения друг на друга, мы найдем:
с2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 269
Для того чтобы найти искомую формулу преобразования, вычислим еще
из E0.2) V как функцию от х и t:
Итак, подставляя значение y> мы получаем:
E0.5)
V
Если решить эти уравнения по отношению к нештрихованным величи-
величинам, то получится следующая система уравнений, которая, как и следо-
следовало ожидать, отличается от E0.5) только знаками перед v:
* -4- — х'
х' 4- vt' с2
Зависимость между координатами двух указанных систем, описы-
описываемая уравнениями E0.5) или E0.5а), называется преобразова-
преобразованием Лорентца. Это преобразование должно заменить собою пре-
преобразование Галилея D9.1). Непосредственно видно, что в пределе,
когда с->о°, оба преобразования становятся одинаковыми. В частности,
в этом случае, согласно E0.5), будет t = f, т. е. мы получим абсолют-
абсолютную одновременность. Традиционное понятие абсолютной одновремен-
одновременности, как выяснилось только благодаря анализу Эйнштейна, содержит
в себе молчаливое предположение о том, что для определения одновре-
одновременности двух событий, происходящих в разных местах пространства,
в нашем распоряжении имеется сигнализация с бесконечно
большой скоростью распространения.
Пользование скоростью света с для определения одновременности
неявным образом содержит в себе утверждение, что большая скорость
распространения сигналов принципиально невозможна. Ведь если бы
существовало действие, которое распространяется со скоростью v > с,
то можно было бы осуществить координатную систему, в которой это
действие влияло бы на уже прошедшие события.
Наше преобразование обладает тем свойством, что законы распро-
распространения света не зависят от постоянной скорости относительного по-
поступательного движения. Это можно показать также следующим обра-
образом. Сферическая волна, выходящая в момент времени ?==0 из начала
координат, в момент t достигает сферической поверхности, даваемой
уравнением
2+ *
270 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Попадание световой волны на эту сферическую поверхность, отмечаемое,
например, вспышками на экранах, с точки зрения второй системы тоже
должно описываться уравнением
Легко убедиться на самом деле в том, что при преобразовании Лорентца
всегда имеет место равенство:
E0.6)
В дальнейшем мы воспользуемся этим обстоятельством как исходной
точкой для введения более глубоких понятий. В диференциаль-
ной форме мы получаем следующий результат. Световые явления
всегда удовлетворяют диференциальному уравнению
Li??, —о
дх2 ' dy2 * дг2 с2
Если это уравнение преобразовать к системе, движущейся со скоростью v9
то в функции <р (л:, у у zt t) следует сделать подстановку E0.5а). Тогда
получится:
v
дер 1 дер "с2"
дх' —"
Аналогично этому,
дер
dx*
V
1-
-ж
1-
V2
" с2
¦1-2 ^
"У
1 " dxdi
V
1
1 J-
1
1—5-'
Отсюда видно, что при преобразовании Лорентца действительно полу-
получается:
d2ep L д^ер t д2<р 1 д^ер д2ср t д2ер , д2ер 1 ^ср
Диференциальное уравнение распространения света
инвариантно по отношению к преобразованию Ло-
Лорентца.
§ 51. Следствия из преобразования Лорентца а) Масштабы и
часы с точки зрения преобразования Лорентца. Уже в предыдущих
параграфах мы видели, что масштаб, имеющий в состоянии покоя
длину /, имеет с точки зрения движущегося относительно него наблю-
наблюдателя меньшую длину, а именно /1/ 1——-. Это явление называют
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛО*>ЕНТЦА 271
сокращением Лорентца, хотя, как мы видели в § 48, гипотеза
сжатия, введенная самим Лорентцом, не удовлетворяла постулату отно-
относительности.
Подобным же образом мы можем рассмотреть с точки зрения пер-
первой системы ход часов, которые неподвижны во второй системе коор-
координат. Согласно уравнениям E0.5а), моменту времени V в точке xf со-
соответствует время
Х с*
а моменту t'-\-l соответствует время
Поэтому движение стрелки часов, находящихся во второй системе, от
показания if до *'-{-1 с точки зрения неподвижного наблюдателя пер*
бой системы (х = const) происходит за время
т. е. движущиеся часы идут медленнее, чем неподвиж-
неподвижные, в —г раз.
В приложениях часто встречается одна важная величина — соб-
собственное время движущегося тела. Это время мы определим просто
как то время х, которое показывают часы, движущиеся вместе с рас-
рассматриваемым телом. Связь этого собственного времени с тем време-
временем, которое доступно наблюдению в координатной системе, принятой
за неподвижную, можно весьма просто определить с помощью данных
выше преобразований. Пусть тело в момент времени х движется со
скоростью v. Рассмотрим теперь два события, происходящие в близкие
Друг к другу моменты времени, а именно пусть этими событиями бу-
будут показания х и x-f rfx движущихся вместе с телом часов. Непо-
Неподвижный наблюдатель отметит по своим часам для этих событий даты
t и t-\-dt. Так как за очень малые промежутки времени каждое дви-
движение можно приближенно заменить прямолинейным движением с по-
постоянной скоростью, то мы можем применить к промежуткам времени
dt и dx полученный выше результат:
Л—=?==. E1.1)
272
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Наблюдатель найдет при помощи неподвижных часов
несколько большее значение интервала времени, чем то,
которое соответствует собственному времени, измерен-
измеренному при помощи часов, движущихся вместе с телом.
Напишем этот результат еще в несколько ином виде. Мы имеем:
= dfl (l — -J) = -^ {сЧР— v
А»
Мгновенная скорость тела v определяется из
формулы
о dx* + dy2 + dz%
так что мы получаем:
dtf = -i- (Аи* — dx2 — dy2 — dz*).
в плоскости (x9 и). Ско-
Скорость в точке Р равна
ctgft.
Рис. 72. Изображение
движения точки посред-
посредством мировой линии Вследствие преобразования Лорентца, правая
часть этого равенства всегда имеет одно и то
же значение, независимо от того, в какой ко-
координатной системе ее измеряют. В частности,
если измерять ее в системе, движущейся вместе с телом, т. е. в системе,
по отношению к которой это тело неподвижно (dx = dy = dz = 0), то
в правой части останется только квадрат времени dt2, которое пока-
показывают часы, неподвижные в этой системе, и которое, согласно опре-
определению, как раз является собственным временем движущегося тела.
б) Геометрическое изображение преобразований Лорентца. По-
Последнее и подобные ему следствия уравнений E0.5) станут значительно
нагляднее, если представить эти уравне-
уравнения геометрически, что было
впервые сделано Минковским. При
этом мы будем игнорировать коорди-
координаты у и z, которые не меняются при
преобразовании E0.5), если относи-
относительное движение наших двух систем
происходит вдоль оси х. Мы изобразим
совокупность всех возможных событий
в первой системе при помощи простран-
пространственно-временной диаграммы, в кото-
которой по оси абсцисс откладывается ко-
координата ху а по оси ординат — время,
умноженное на с (и = ct). На этой
схеме (рис. 72) движение материальной Рис# 73. Переход от координатной
точки изображается кривой (миро- системы (лг, и)_к координатной си-
вая линия точки), касательная к
которой составляет с осью времен угол
0 = arctg-p = arctg — , где v есть мгно-
мгновенная скорость точки. Так как мы исключаем скорости, превышающие
скорость света, то угол наклона этой кривой к оси времени всегда дол-
стеме (*', и'). Гиперболы отсекают
на осях единичные отрезки в си-
системах (х, и), (а*', и1).
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА 273
жен быть меньше 45°. Распространение света описывается прямой, на-
наклоненной к оси под углом 45°.
На ряду с первой нештрихованной системой, рассмотрим вторую
систему, движущуюся по отношению к первой со скоростью v в напра-
направлении оси х (рис. 73). Зведя обозначения и = ct> u' = cft f} = —, мы
можем переписать рассматриваемые уравнения E0.5) в виде:
•
— Ъх+ и
и = —„ , и =
у 1 — рз * у 1 — ^2'
E1.2)
у
•
/
А'
у
Системе II, движущейся по отношению к I, будет на нашей диа-
диаграмме соответствовать новая координатная система, оси которой мы
найдем следующим образом: согласно опре-
определению, точки аг = О, и = 0 и х' = 0, и' = 0 \и fu'
совпадают. Точка х1 = 0 движется но отноше-
отношению к 1 со скоростью v. Ее мировая линия
поэтому есть прямая, проходящая через 0 и со-
составляющая с осью времен угол ср = arctg p.
Так как для этой прямой х' = 0, то она есть
не что иное, как ось времен штрихованной си- ____________
стемы. Что же касается оса пространств, то 0 *
она получится из E1.2), если положить и' = 0. Рис.74. Относительность
Уравнение этой прямой поэтому есть ct = и = $х, одновременности,
и она составляет с осью х угол ср = arctg C.
С этой геометрической точки зрения мы особенно ясно видим отно-
относительный характер одновременности. Все события, лежащие на оси х\
второму наблюдателю кажутся одновременными, с точки же
зрения первого наблюдателя они происходят в разное время. Для
него событие Д' (рис. 74) происходит позднее события 0 на время
_?__!_ Л Л'.
с с
Для полноты геометрического изображения преобразований Лорентца
необходимо еще задать единицы длины для соответствующих осей. Для
этой цели проведем на рис. 73 равносторонние гиперболы
х* — и* = \ и и2_**___1. E1.3)
Они пересекают ось и и ось х нештрихованной системы как раз в точ-
точках и=1, „ = 0 и х=19 и = 0. Покажем, что точки пересечения
гипербол E1.3) с новыми осями будут:
и что, следовательно, гиперболы отсекают и от новых осей единицы
длины и времени. Правильность этого утверждения можно доказать,
исходя из уравнений E1.2). Точка и' = 1, х' — О имеет в первой си-
системе координаты
1
х- в и „_
-^ 1 _ 02 у 1 — 02
Бвккео 5810 2 18
274
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
которые удовлетворяют второму уравнению E1.3). Соответственно этому,
точка х
и' = 0 в первой системе имеет координаты
х-
которые удовлетворяют первому уравнению E1.3). Значит, мы можем
при помощи многократного перекладывания единичного масштаба до-
дополнить наш рисунок координатной сеткой системы х\ и'.
ЯвЛение взаимного укорочения масштабов мы можем изобразить
следующим образом (рис. 75). Пусть О А — единичный масштаб, не-
неподвижный в первой системе. Мировые линии его концов суть ODC
и АА'. Для наблюдателя, неподвижного во второй системе, одновремен-
одновременное положение (и' = 0) начала и конца этого отрезка задается миро-
мировыми точками О и А'. Следовательно, для него этот отрезок кажется
короче, чем его единичный масштаб ОВ1.
Наоборот, начало и конец неподвижного во
второй системе единичного масштаба ОВ1,
с мировыми линиями ОС и ВВ'9 находятся
для первого наблюдателя в момент времени
к = Ов точках О и В, т. е. отрезок опять
кажется короче, чем единичный масштаб ОА
неподвижной системы.
Совершенно аналогично этому произво-
производится сравнение часов. Пусть, например,
часы, неподвижные во второй системе, дви-
движутся по мировой линии OCD'. В точке
Dr(ti=\) часы совершили один оборот,
после того как его уже совершили (в точ-
точке на прямой СС) часы, находящиеся в том
же месте пространства первой системы (и=1).
Таким образом движущиеся часы идут мед-
медленнее, чем неподвижные. Часы, неподвижные в первой системе, совер-
совершили в точке С один оборот, между тем как часы, находящиеся в том
же месте пространства второй системы, закончили оборот уже в точке
на прямой D'D.
Таким образом можно совершенно наглядно убедиться в том, что
утверждение о взаимном укорочении масштабов и о замедлении часов
не приводит ни к каким парадоксам, если только с самого начала отка-
отказаться от понятия абсолютной одновременности.
в) Теорема Эйнштейна о сложении скоростей. С помощью пре-
преобразований Лорентца мы выведем теорему Эйнштейна о сло-
сложении скоростей. Согласно старой кинематике, это сложение
скоростей заключается просто в векторном их сложении: если v есть
скорость судна (координатной системы) по отношению к первой ко-
координатной системе, а и' — скорость материальной точки относительно
судна, то скорость этой точки относительно неподвижного наблюдателя
равна
О ЗА
Рис. 75. Взаимное относи-
относительное укорочение движу-
движущихся друг относительно
друга масштабов. Контроль
хода часов.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА
275
В теории относительности эта связь значительно сложнее. Рассмо-
Рассмотрим опять две координатные системы, связанные уравнениями E0.5), и
предположим, что материальная точка движется относительно штрихо-
штрихованной системы в плоскости х\ у1 со скоростью и1, так что ее ско-
скорость составляет с осью х1 угол &. Уравнения движения этой точки
в штрихованной системе имеют вид:
х' = u'f cos
/ = иГ sin
E1.4)
Теперь представим ту же самую мировую линию с точки зрения пер-
первой системы. Для этого нам надо определить величины и и &, и притом
так, чтобы уравнения
x = ut cos &,
у = ut sink, 1 E1.5)
J
после преобразований E0.5а) превратились в уравнения E1.4). Для
этого заменим в первом уравнении E1.5) х на —^ , а дс' на
его выражение из первого уравнения E1.4). Кроме того, последнее
уравнение E0.5а) вместе с первым уравнением E1.4) дает нам зависи-
зависимость между t и ?. Итак, мы получаем:
ut sin & = z/7' sin $',
1 _j cos 0
t= f f.
Деля первые два уравнения на третье, мы получим:
и cos & =
и sin 0 s
ц' cos 0' + v
a' sin »' УТ=
E1.6)
Отсюда мы находим величину и направление искомой ско-
скорости:
) cos 0' г-
E1.7)
о+$»,».)-
и' cos V + v *
276 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если, в частности, и1 совпадает по направлению с v, то 9' = 0 и
0 = 0, и, следовательно,
u==J±±v__ E18)
Результирующая скорость всегда меньше, чем сумма u}-\-v двух скла-
складываемых скоростей. В частности, из E1.8) следует, что в результате
сложения двух скоростей, меньших чем с, нельзя получить скорость,
превышающую скорость света. Даже если «' = ?, то и = с, как бы
ни была велика скорость v. Этот результат сам собою понятен, так
как формула преобразований E0.5) как раз построена на той, гипотезе,
что процесс, распространяющийся в одной системе со скоростью с,
в другой системе распространяется с той же скоростью.
Особенно поучительное применение уравнения E1.8) состоит, как
показал Лауэ, в следующем объяснении опыта Физо: световой сиг-
сигнал движется в среде, имеющей показатель преломления п, со ско-
скоростью иг = — (если мы пренебрежем дисперсией и поэтому не будем
различать групповую и волновую скорости). Если же эта среда сама
движется со скоростью v, то, согласно E1.8), неподвижный наблюдатель
найдет скорость
1+ -i-
1 ПС
или в первом приближении (в случае малых —J,
что вполне совпадает с результатом электронной теории (§ 46) и с из-
измерениями Физо.
§ 52. Содержание специальной теории относительности. В по-
последних параграфах мы построили кинематику, т. е. главным образом
описание поведения движущихся масштабов и часов, удовлетворяющее
принципу относительности и принципу постоянства скорости света.
Основные уравнения E0.5), характеризующие нашу кинематику, были
выведены как раз из того утверждения, что путем измерений при по-
помощи масштабов и часов невозможно установить принципиального раз-
различия между двумя координатными системами, равномерно движущимися
друг относительно друга.
Утверждения теории относительности идут гораздо дальше: они тре-
требуют, чтобы такое различие было принципиально ненаблюдаемым,
т. е. чтобы все законы природы, а не только законы распро-
распространения света, были инвариантны по отношению к пре-
преобразованию Лорентца. Выше мы показали, что уравнения
движения классической механики инвариантны по отношению к преобра-
преобразованию Галилея. Однако, из приведенного там вывода непосредственно
СОДЕРЖАНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 277
следует, что эти уравнения ни в коем случае не инвариантны по от-
отношению к преобразованию Лорентца. Уже из этого замечания мы видим,
что проведение принципа относительности Эйнштейна невозможно без
одновременного радикального изменения классической механики. Для
того чтобы установить, удовлетворяет ли какое-либо уравнение физики,
например закон индукции rot E~[~—H = 0, принципу относительности,
нужно сперва найти законы преобразования для Е и Н, т. е. опреде-
определить поля Е' и Н', которые измерил бы движущийся наблюдатель, а
затем проверить, удовлетворяют ли эти величины уравнению
1 с
По такому пути и пошел Эйнштейн. Он обнаружил при этом, что
уравнения электродинамики Максвелла действительно удовлетворяют
принципу относительности. Этот, во многих конкретных случаях очень
трудный способ можно заменить математическим методом Минков-
ского, который позволяет сформулировать всякий закон природы
так, что его инвариантность по отношению к преобразованию Лорентца
может быть проверена непосредственно. Мы познакомимся с этим мето-
методом в следующих двух параграфах. Прообразом этого метода в некото-
некотором смысле является простое векторное исчисление в трехмерном про-
пространстве. Последнее возникло в результате стремления исключить из
уравнений движения несущественное для нас положение координатной
системы (как, например, в уравнении Ньютона mv = F). Однако, все
же нельзя избежать введения координатной системы, если нам надо знать
численное соотношение между v и F; оказывается, что последнее,
в общем, может быть описано только при помощи трех уравнений
mvi = Fi (?=1,2, 3) в произвольно выбранной координатной системе.
Эти три уравнения мы будем рассматривать, как уравнения между век-
торами v и F, если при повороте координатной системы компоненты <vt
и Ft будут связаны такими же соотношениями mv[ = F{ (i = l, 2, 3),
но отнесенными к новой координатной системе. В обеих частях урав-
уравнения, имеющего физический смысл, могут стоять только величины,
преобразующиеся одинаковым образом, например вектор = вектору,
тензор = тензору и т. д.
Кратко поясним на одном примере, как это простое требование может
уже в случае трех измерений облегчать открытие законов природы. Будем
искать компоненты напряжения рхх, рху... произвольно движущейся вязкой
сжимаемой жидкости. При этом мы заранее предположим, что напряжения
линейно содержат первые производные от компонент скорости vXf vyi vz no
координатам f •* , —^-- •.) . Заменим индексы х, yt z на 1, 2, 3. Известно,
б й С
что pik образуют симметричный тензор. Симметричным тензором всегда является
и величина bik. где bikz= 1 при i = k и lik = 0 при I ф k. Из величин -^—- мож-
можно составить симметричный тензор •^-L-\ -• Поэтому мы с самого начала
пишем: "хк oxi
278 теория относительности
Коэфициенты R и [х должны быть скалярными инвариантами. Единственным
инвариантом, который можно получить из тензора путем линейной операции,
является его диагональная сумма
dvt , dv^ dvs
дхг 'Г дх2 ~*~ дхг '
Это выражение не может входить в \х% так как pik должны зависеть от -^— ли-
линейно. Таким образом наиболее общим выражением искомого напряжения
будет:
куда входят три скалярные величины: р (гидростатическое давление), [х (вяз-
(вязкость) и X.
Метод теории относительности, предложенный Минковским, состоит
в целесообразном обобщении трехмерного векторного анализа, причем
требование инвариантности по отношению к поворотам координатной
системы в трехмерном пространстве должно быть заменено требованием
инвариантности по отношению к преобразованию Лорентца. Это пре-
преобразование, как мы увидим в следующих параграфах, действительно
можно представить как некоторый поворот в четырехмерном простран-
пространстве с координатами х, у, z, ct.
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 53. Преобразование Лорентца (в общем виде). В рамках наме-
намеченного в предыдущем параграфе плана, мы начнем прежде всего со
вспомогательных математических методов. Прежде всего,
поставим перед собой задачу найти наиболее общее преобразование,
соответствующее переходу от координат одной системы к координатам
другой системы, которая равноправна с первой. Пусть даны две коор-
координатные системы
xi = id i
Х2' =у'
xJ = ict
причем нам известно, что законы распространения света в них одина-
одинаковы, т. е., что эти системы отсчета равноправны в смысле теории
относительности. Мы хотим найти формулы преобразования
для перехода от xt к х/.
Прежде всего отметим, что мы не ограничим общности вывода,
если выберем оба начала координат так, что они будут совпадать в
четырехмерном пространстве, т. е. что точке х- = О (I = 1 . . . 4) будет
соответствовать точка х[ = 0. Кроме того ясно, что формулы преобра-
преобразования должны быть линейными; в противном случае, например, пло-
плоскости в одной системе будет соответствовать искривленная поверхность
в другой и, следовательно, плоской волне в одной системе — искри-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 279
вленная волна в другой. Таким образом мы можем представить обоб-
обобщенное преобразование в виде
4
**' = 2в«Л» E3.1)
причем^ коэфициенты aik пока совершенно произвольны.
Так как обе системы должны быть „равноправными системами от-
отсчета" в смысле принципа относительности, то в обеих системах скорость
света с должна быть одинаковой. Не ограничиваясь этим, потребуем,
чтобы x2-{-y*-\-z2 — c2t2 имело одинаковое значение для всех систем,
т. е., чтобы было
2**2^2хЛ E3-2)
Это требование налагает существенное ограничение на свободный вы-
выбор 16 коэфициентов a\k. Подставляя E3.1).в E3.2), получаем:
2**'2 = 2 B
Эта сумма только тогда равна 2*Л когда aik удовлетворяют соотно-
соотношениям
* A если & = /
E3-3)
Теперь можно легко получить формулы, обратные по отношению
к E3.1): умножив E3.1) на ап и просуммировав по I от 1 до 4, мы
получим на основании E3.3):
4
2 *«*,' = 2 ап 2 «1Л=2^
il i k k
2 «,2 п 2
i=l i k
или (изменив значки)
** = 2*лЛ'- E3.1а)
Если снова составить сумму 2^i2 и потребовать, чтобы это выраже-
выражение было инвариантным, то получится соотношение, аналогичное соот-
соотношению E3.3):
л
2 »4f E3.3а)
Однако подчеркнем, что соотношение E3.3а) не накладывает новых
ограничений на коэфициенты aibi а удовлетворяется автоматически, если
удовлетворены условия E3.3). Легче всего в этом можно убедиться,
подставляя полученные на основании E3.3) соотношения E3.1а) в
E3.1) и сравнивая коэфициенты при x-J в обеих частях уравнения; при
этом снова получаются уравнения E3.3а).
280 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Вычислим значение определителя | aik |; для этого образуем по пра-
правилам умножения определителей нрвый определитель, равный произве-
произведению A2 — \aik\ • \aik\. На основании E3.3), элементы главной диаго-
диагонали этого определителя равны 1, а остальные равны нулю, поэтому
сам определитель равен 1. Следовательно,
Л = |ай| = ±1. E3.4)
Требуя, чтобы было А = -\-1, мы вносим еще одно ограничение, вы-
выходящее за пределы условия E3.3). Это мы делаем потому, что среди
всех преобразований E3.1) должно существовать , также и тожде-
тождественное преобразование, при котором x/=jc/ и, следовательно,
все элементы матрицы (aife) равны нулю, кроме элементов главной диа-
диагонали, которые равны единице. В этом случае, очевидно, Л = -|-1.
Исходя из соображений непрерывности, мы требуем, чтобы и при всех
преобразованиях было Л= -f-1 (в противном случае мы допустили бы
также преобразования, соответствующие зеркальному отражению коор-
координатной системы в одной из координатных плоскостей).
Докажем еще, что преобразование E3.1) представляет группу. Если
произвести два таких преобразования одно за другим, т. е. перейти
от системы xi к системе х{ посредством преобразования {aik), а потом
от х{ к х" посредством преобразования (bib), то х" будут связаны
с xt преобразованием (cQ; из
х" = 2 bikxk', xk' = 2 <*«*,
следует, что
xi" = S хг 2 bikakl = 2 спхг,
ik i
где
*« = 2*iAi- E3-5)
k
Остается доказать, что cik удовлетворяют соотношению E3.3), если
этому соотношению удовлетворяют aik и Ь-1к. В самом деле,
2 Wtm = S B bihakl) ^2 binanm) =2 2 4lanm 2 bikbin =
= 22 aklanmhn = 2 aklakm = hm-
k n k
Следует указать на то, что существенное значение имеет порядок,
в котором производятся преобразования. Если бы мы, например, вы-
выполнили сначала преобразование bik, а потом преобразование аш то
пришли бы к координатной системе х{"9 которую можно получить
непосредственно из x-t при помощи преобразования с коэфициентами
^=2«;Аг, E3.5а)
отличными от си.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНТЦА 281
Преобразование, даваемое формулой E3.1) или E3.1а) с доба-
добавочными условиями E3.3) и E3.3а) (так называемыми „соотноше-
„соотношениями ортогональности") и определителем | aik\ =-J-l, назы-
называется ортогональным преобразованием.
Такой же характер имеет преобразование, соответствующее обыкновен-
обыкновенному вращению системы осей вокруг начала координат в трехмерном про-
пространстве. Поэтому мы будем и в случае ортогонального преобразова-
преобразования E3.1) говорить о „вращении в четырехмерном простран-
пространстве". Такое преобразование представляет наиболее общий переход ме-
между двумя релятивистскими эквивалентными координатными системами.
Предыдущие рассуждения должны быть дополнены рассмотрением
вопроса о том, каковы коэфициенты преобразования a-lk^ в смысле их
вещественности или мнимости.
По определению, xv х2, х3 вещественны, а лг4 — чисто мнимое.
Когда мы переходим при помощи преобразования aik к новой коорди-
координатной системе xk\ то все aik должны быть выбраны так, чтобы и
в новой системе координат три пространственные координаты были
чисто вещественными, а временная — чисто мнимой. Согласно E3.1),
это, очевидно, возможно только тогда, когда все aik вещественны, кроме
д14, а24, аи и #41, я42, и я43, которые должны быть чисто мнимыми; но
аи должно быть вещественным. Можно легко удостовериться в том,
что снова получаются правильные (в смысле вещественности и мнимо-
мнимости) коэфициенты, если по формуле E3.5) слить два преобразования
aik и bik в одно преобразование са. Если i и / не равны 4, то в E3.5),
входят при &z?4 только вещественные величины, а при k = 4 — произ-
произведение двух мнимых величин; следовательно, соответствующие им
сп вещественны; то же самое имеет место и для с44; напротив, cik бу-
будут чисто мнимыми, если один из двух индексов равен 4.
Мы знаем, что перемножение двух ортогональных преобразований дает то-
тоже ортогональное преобразование. Поэтому напрашивается вопрос, не может
ли наиболее общее ортогональное преобразование быть разложенным на более
простые преобразования. В качестве таких преобразований мы рассмотрим:
1. Обыкновенные повороты. Это такие повороты, при которых
отсчет времени не меняется. Их матрица поэтому имеет вид
1 #12 ^13 О
!й!23!й! I- E3.6)
#31 #32 #33 U
0 0 0 1
(Повернутые друг относительно друга координатные системы представляют
тривиальный случай релятивистски эквивалентных систем).
2. Чистые преобразования Лорентца; при этих преобразо-
преобразованиях обычная (трехмерная) система координат движется относительно другой
координатной системы с постоянной скоростью v. Выведем для этого преобра-
преобразования матрицу (aik). Найденное в § 40 частное преобразование Лорентца
гласит, что для слагающей вектора, параллельной направлению движения, имеют
место соотношения:
(vx )
х}> = " , V = —. , E3.7а)
II y^l pa Yl p
282
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
в то же время слагающая, перпендикулярная к направлению движения, остается
без изменения:
х .' =
E3.7Ь)
Для того чтобы вывести зависимость х' от х, сделаем дополнительное пред-
предположение, что х' лежит в плоскости векторов х и V; таким образом мы, как
и в § 50, исключим из рассмотрения пространственные повороты вокруг на-
направления v, как несущественные. Значит, х' должно иметь вид
х' = ax-\-bv.
E3.8)
Из формулы E3.7Ь) непосредственно следует, что д=1, в то время как, со-
согласно E3.7а),
v2 \
|Л — pa"
и отсюда
Кроме того,
)
E3.9)
*' = ¦
Если написать обе эти формулы в виде E3.1), то получится, как легко под-
подсчитать, следующая матрица козфициентов:
Wy
где для сокращения положено
iv.
— 1.
ivv
— P2
E3.10)
В частном случае, когда vy — vz — 0, эта схема превращается в знакомую нам
схему частного преобразования Лорентца:
1
о,
0,
0, 0,
1. о,
0, 1,
о, о,
0,
о,
J
E3.10а)
Следует заметить, что преобразование E3.10) можно получить путем по-
последовательного применения трех частных преобразований типа E3.10а) по
направлениям трех координатных осей. Отметим, кроме того, что два частных
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 283
преобразования Лорентца, произведенные одно за другим, не могут быть заме-
заменены одним частным преобразованием Лорентца, а к нему следует еще доба-
добавить обыкновенный пространственный поворот.
Перейдем теперь к задаче, поставленной нами раньше. Пусть даны две
эквивалентные системы отсчета, связанные преобразованием х{ = ^^ikxk-
Спрашивается, можно ли достаточно простым способом разложить это общее
преобразование на несколько элементарных. Покажем, что такое преобразова-
преобразование может быть всегда однозначным образом представлено как
произведение одного элементарного преобразования Ло-
Лорентца, типа E3.10а), на последующий пространственный пово-
поворот.
Из значений aik мы можем сейчас же определить движение начала коор-
координат обычной трехмерной (штрихованной) системы, т. е. движение точки
x'=y!==zf = Q относительно нештрихованной системы. Из уравнения E3.1а)
следует:
С=Ь % 3, 4).
Исключая лг4' на основании четвертого уравнения, мы получаем:
пал гспал , 1Спло . 1спло .
Xi = X=— -ЛГ4= — I, Х2=У = — h X%=zZ~—- Г,
«44 «44 Л44 «44
и поэтому
J*2 ^ = -^42^, vz-±^~. E3.11)
Зная скорость штрихованной системы относительно нештрихованной, можно
теперь при помощи одного элементарного преобразования Лорентца E3.10)
Перейти от хг- к новой системе х{\ движущейся в направлении, определяемом
равенством E3.11) и имеющей с системой х{ общее начало координат х' =
= у1 z= z' = 0. Поэтому система xf может отличиться от системы х{ лишь
обычным трехмерным вращением вокруг общего начала координат. Мы легко
можем определить матрицу коэфициентов этого вращения: обозначим ее через
ifiik)% B то время как матрицу выведенного только что элементарного пре-
преобразования Лорентца обозначим через (с/#). Эти два последовательно выпол.
ненные преобразования должны иметь результатом данную матрицу («/д.). Сле„
довательно, на основании E3.5) мы можем написать:
«й = 2 bircn-
г
Отсюда, умножая на c^i и суммируя по /, мы получаем:
Легко убедиться в том, что матрица коэфициентов E3.12) действительно пред-
представляет пространственное вращение, т. е. обладает таким же характером, как
схема E3.6).
§ 54* Четырехмерные векторы и тензоры. В предыдущем пара-
параграфе мы подробно ознакомились с преобразованием координат, опре-
определяющим переход от одной координатной системы к другой, реляти-
релятивистски ей эквивалентной.
Во всех этих координатных системах физические законы должны
иметь одинаковый вид; они не должны изменяться, если мы перейдем
от одной системы к другой при помощи общего преобразования типа
E3.1). Мы хотим найти некоторый формальный метод, в рамках кото-
которого могут быть представлены наши уравнения, и который не зависел
284 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
бы от специального выбора системы отсчета. Вспомним об аналогичных
соотношениях в трехмерном пространстве, где все координатные си-
системы, получаемые друг из друга путем вращения вокруг начала коор-
координат, заранее признаются равноправными. В случае трехмерного про-
пространства мы вводим трехмерные векторы и основанный на них
метод вычисления, инвариантный относительно вращения координатной
системы, причем с помощью этого метода все физические закономер-
закономерности могут быть записаны в форме векторных или скалярных соотно-
соотношений.
Попробуем построить такое векторное исчисление, которое обеспе-
обеспечивало бы инвариантность относительно четырехмер-
четырехмерного вращения, а, следовательно, и относительно наиболее об-
общих преобразований Лорентца. Начнем с частного слу-
случая, для чего рассмотрим две точки в четырехмерном пространстве:
Р(хи х2} хь, л:4) и Q(yu У2У Уг> -Vj- Назовем величины у.—хг слагаю-
слагающими Aj четырехмерного вектора А по направлениям осей координат.
Вектор А будем себе представлять как прямую в четырехмерном про-
пространстве, связывающую точки Р и Q; положение последних опреде-
определяет направление вектора. Все это следует представлять себе так же, как и
в трехмерном пространстве, хотя четырехмерное пространство, конечно,
трудно изобразить наглядно.
Покажем, что „четырехмерное расстояние"
не зависит от выбора системы отсчета. На основании E4.1) имеем:
4 4
*'2 = 2(у* —х^2 = 2 __
4 4 4 4
— 2j 2а^Ь Xk) \У1 Xl) 2j uikail — 2а {Уft — Xk) У
как и следовало ожидать. Ведь относительное положение двух точек Р
и Q задано наперед и не может измениться вследствие четырехмерного
вращения координатной системы.
Назовем четырехмерными векторами величины, которые
преобразуются так же, как только что описанный вектор, соединяющий
точки Р и Q. Заметим еще, что у только что рассмотренного вектора
четвертая слагающая
чисто мнимая, остальные же три слагающие вещественны.
Этим свойством обладают все четырехмерные векторы: или три про-
пространственные слагающие вещественны, а временная чисто мнимая, или
пространственные слагающие чисто мнимы, а временная — вещественна.
Это свойство вектора, благодаря характеру коэфициентов преобразова-
преобразования aiky сохраняется и после преобразования. Умножением на / можно
всегда достичь того, что пространственные слагающие будут веще-
вещественны. Условимся, что все векторы, с которыми мы в дальнейшем
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 285
будем иметь дело, обладают именно этим характером. Благодаря этому
мы всегда можем представить себе три первые слагающие в обыкновен-
обыкновенном пространстве, в то время как четвертая слагающая должна откла-
откладываться по четвертой мнимой оси.
Правила сложения и вычитания векторов могут быть заимствованы
из соотношений для трехмерного пространства. Равенство А4-В = С
эквивалентно равенству
Ал + Вй = Сй (i=lf 2, 3, 4).
Выше мы уже имели пример абсолютного значения вектора. Анаг
логично этому, мы назовем и в общем случае абсолютным значением
вектора инвариантную величину
-/]
Мы получаем здесь тот парадоксальный результат, что квадрат вели-
величины А может быть нулем и даже отрицательным числом: ведь только
пространственные слагающие вектора вещественны, а четвертая слагаю-
слагающая чисто мнимая, и поэтому Л42 — отрицательное вещественное число;
следовательно, если Аг2-{-А22-\-Аъ2-^— ^Л то А2 или равно нулю,
или отрицательно.
В случае А2 > 0 мы говорим о „пространственно-подоб-
„пространственно-подобном", а при А2 < 0 о „временно-подобном" векторе. Эти назва-
названия объясняются следующим образом: в трехмерном пространстве с по-
помощью надлежащего вращения системы координат всегда можно до-
добиться того, чтобы любая из трех координатных осей была направлена
по заданному заранее вектору. Однако, это невозможно в четырехмер-
четырехмерном пространстве из-за особого поведения четвертой, мнимой оси.
Правда, и здесь можно путем четырехмерного вращения координатной
системы (общее преобразование Лорентца) добиться того, чтобы задан-
заданный вектор совпадал с направлением одной координатной оси, однако
не каждая координатная ось может быть приведена к совпадению с
данным вектором. Это очевидно. В самом деле, если у рассматри-
рассматриваемого вектора Л2 > 0, то это соотношение, вследствие его инвариант-
инвариантности, должно иметь место и тогда, когда А совпадает с одной из
осей координат, т. е. когда А обладает только одной отличной от
нуля слагающей; поэтому эта слагающая должна быть вещественной,
т. е., вращая координатную систему, мы можем совместить такой век-
вектор только с пространственной осью; в этом случае мы говорим „о про-
пространственно-подобном" векторе. Если же А2 < 0, то мы сможем совме-
совместить с направлением такого вектора только мнимую ось времен; мы на-
назовем в этом случае А „временно-подобным вектором". Приведем здесь
два примера:
1) Четырехмерная скорость. Мы можем описать движение мате-
материальной частицы, задав ее четыре слагающие дгг- как функции от некоторого
параметра; в качестве такого параметра мы изберем „собственное время*
точки, т. е., согласно § 51, то впемя, которое показывают часы, движущиеся
вместе с рассматриваемой точкой:
хг = xt (т). E4.3)
2S6 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Возьмем производные от этих координат по собственному времени:
_6^j(T)_
Эти производные имеют следующий смысл: если мы переходим от некоторой
точки Р на мировой линии нашей материальной частицы к какой-либо сосед-
соседней точке, отстоящей от точки Р на четырехмерный вектор As с компонен-
компонентами А*/, то -~- представляет отношение приращения координаты частицы,
происшедшее за время, показываемое движущимися часами, к этому времени.
В обычной механике, в которой исчезает различие между обычным и собствен-
собственным временем, предел отношения lim —^~ называют скоростью частицы. Мы
сохраним это определение и в четырехмерном пространстве и назовем век-
вектор E4.4) „четырехмерной скоростью". Из определения следует, что че-
четырехмерная скорость действительно является четырехмерным вектором: в самом
деле, Д^ — слагающая вектора, Ах — инвариант, следовательно, --—• есть век-
вектор, причем это утверждение не перестает быть верным при переходе к пре-
пределу. Кроме того, заметим, что четвертая компонента
dx± . dt
и± = = ic —г—,
* dz d-z
если не считать множителя ic9 представляет собой коэфициент перехода от
обычного счета времени к времени наблюдателя, движущегося вместе с ча-
частицей.
Найдем связь между четырехмерной и обыкновенной скоростью частицы.
Обыкновенная скорость может быть вычислена, если в качестве параметра,
описывающего движение, избрать обычное время t и положить 1^=—ит. д.
На основании соотношения лг4 = ict можно написать:
х dz dz щ
Согласно § 51,
" " " ' -it, <54-5)
E4.6а)
откуда, следовательно,
щ ic
Мы видим, что три пространственные слагающие четырехмерной скорости
(с точностью до членов порядка 02) совпадают с слагающими обыкновенной
скорости.
На основании E4.6) легко сообразить, что четырехмерная скорость есть
временно-подобный вектор, так как в системе, в которой материальная частица
неподвижна (v = 0), мы имеем:
Hlo = к2о = що — о, и4о = ic. E4.4а)
При этом верхним значком ° мы обозначаем координаты, относящиеся к си-
системе, а которой частица неподвижна. Так как абсолютная величина четырех-
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 287
мерной скорости инварианта, то ее значение может быть определено из этого
частного случая:
2 щ2 = 2 («Л2=- °2- E4-7)
i i
Конечно, то же значение получается, если вычислить 2и*а на основании E4.6).
2. В качестве второго примера рассмотрим четырехмерное уско-
ускорение, которое тоже является четырехмерным вектором и определяется
уравнением
*«~?. E4-8)
Четырехмерное ускорение, точно таким же способом, как четырехмерную ско-
скомы мо-
моE4.9a)
рость, можно выразить через компоненты векторов v и v; например, мы мо-
можем написать:
-JLL-. E4.9)
с A~рJ
На основании этих формул легко вычислить, что
!= v*-(-LXvJ
f7X)
Ъ? = V с / > 0, E4.10)
С1 — р«У»
и поэтому 6 есть пространственно-подобный вектор. Если перейти к системе,
в которой частица неподвижна (v = 0), то это можно показать еще проще.
В такой системе
bxo=:vx, Ь?г=х>у, bfsbv'z, ^4° = °» E4.8а)
т. е. три пространственные слагающие совпадают с обыкновенными слагаю-
слагающими ускорения, — как и должно быть в системе координат, в которой части-
частица неподвижна, — а временная слагающая исчезает.
Будем развивать дальше четырехмерное векторное исчисление. По
аналогии со скалярным произведением в трех измерениях, введем и здесь
скалярное произведение
а-в = 2лА' E4Л1)
которое, как легко показать, действительно является инвариантом, т. е.
скаляром. По аналогии с трехмерным пространством, мы будем называть
два четырехмерные вектора взаимноперпендикулярными, если
их скалярное произведение равно нулю, хотя наглядно представить себе
перпендикулярность в четырехмерном пространстве невозможно.
Примером может служить скалярное произведение четырехмерных скоро-
скорости и ускорения:
4
2 «А-^0- E4.12)
i—1
Это равенство легче всего можно доказать, диференцируя уравнение E4.7).
Иначе это доказывается еще и так: в координатной системе, по отношению
288 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
к которой частица неподвижна, только четвертая слагающая ее четырехмерной
скорости отлична от нуля, четвертая же слагающая ускорения исчезает, а по-
поэтому их скалярное произведение равно нулю.
Совершенно другим типом произведения является тен зори ал ь-
ное произведение двух векторов А и В, характеризуемое совокуп-
совокупностью 16 величин (слагающих). Расположим для удобства эти слага-
слагающие в схему, похожую на матрицу:
АгВ% AXBS
Л/? Л R Л Е>
Мы назовем это образование „тензором"; рассмотрим обобщенный тен-
тензор Г, слагающие которого даются схемой:
У33 У34 ' V '
По определению мы будем называть тензором любую величину типа
E4.14), преобразующуюся так же, как E4.13), т. е. по формулам:
V= 2S 2 «iflbJun- E4Л5)
Будем различать два частных вида тензоров: симметричные и анти-
антисимметричные; первые удовлетворяют равенству Tik = Tki% вторые
же — равенству Tik = — Tki. Любой тензор можно представить в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензора:
Tik = 4 (Tik + Tki) +1 {Ttk —
E4.16)
симметрия- антисимме-
ная часть тричная часть
Характер симметрии тензора не нарушается при преобразования E4.15).
Если, например, 5 — симметричный тензор, т. е. 5^ = 5^/, то согласно
E4.15),
Sik' — Su' =22 aUa*m (Slm - Sml) = О,
/ m
так что тензор 5' тоже симметричный.
Особую роль играют антисимметричные тензоры. Вслед-
Вследствие того, что Tik = — Ты, элементы главной диагонали антисимме-
антисимметричного тензора должны равняться нулю. 12 отстающихся компонент
попарно равны по величине и противоположны по знаку, так что анти-
антисимметричный тензор имеет только 6 существенно различных компонент:
42» ^23> 7з1> М4» '24» ^34' E4.17/
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 289
Прототипом антисимметричного тензора является выражение
Tlk=,AtBk — AtBit E4.18)
соответствующее „векторному произведению" в трехмерном простран-
пространстве. Но в то время как в трехмерном пространстве можно однозначно
сопоставить три слагающие антисимметричного тензора с некоторым
вектором, в четырехмерном пространстве, где имеется б величин E4.17),
этого сделать нельзя; поэтому эти величины на самом деле приходится
рассматривать как слагающие антисимметричного тензора.
Что касается вещественности или мнимости слагающих тензора, то,
сравнивая E4*14) и E4.13), можно сказать, что все слагающие веще-
вещественны, за исключением тех, у которых один значок равен 4; эти по-
последние— чисто мнимые. Поэтому из шести компонент E4.17) анти-
антисимметричного тензора три вещественны, а остальные три — мнимые.
Дальнейших подробностей векторной алгебры (произведение вектора
и тензора, произведение двух тензоров, определитель из четырех век-
векторов и т. д.) мы касаться не будем, так как эти понятия или оче-
очевидны на основании предыдущего, или же в дальнейшем не будут упо-
употребляться. Вместо этого мы перейдем к векторному анализу и
начнем с определения градиента. Если © = ?(**) представляет функ-
функцию, данную во всем четырехмерном пространстве, то мы можем вы-
вывести из нее векторное поле следующим образом: будем исходить из
некоторой точки */, в которой функция имеет значение <р> и зададимся
целью определить изменение этой функции при переходе вдоль четырех-
четырехмерного вектора ds к некоторой другой точке Xi-\-dxi. Это изменение
равно
Приращение dy является некоторой объективной величиной и поэтому
не зависит от системы координат. Справа же стоит выражение, соот-
соответствующее скалярному произведению двух четырехмерных векторов —
вектора dxi и величины с четырьмя слагающими ~-. Так как это
произведение должно быть инвариантно, то естественно считать
jp- слагающими четырехмерного вектора. В правильности этого пред-
предположения можно убедиться, рассматривая закон преобразования для
•gjL; на основании E3.1) и E3.1а) можно написать:
Л ft
это и есть закон преобразования четырехмерного вектора. Вектор со сла-
слагающими ^2- называют градиентом ср; его можно формально пред-
д
ставить как произведение векторного оператора j- на
скал яр ср.
Беккер 5810 24 19
290
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Из этого замечания следует, что скалярное произведение этого век-
векторного оператора и вектора А
2дА*
E4.20)
является инвариантом; его называют, по аналогии с трехмерным случаем,
четырехмерной расходимостью вектора А. Если при этом
вектор А сам является градиентом, т. е.
то
E4.21)
представляет инвариантное диференциальное выражение, которое мы
обозначим символом Qtp, где Q есть четырехмерный опера-
оператор Лапласа:
U — 2d дх* ~ дх* + ду*+ dz* c* dt* '
E4.22)
Итак, четырехмерный оператор Лапласа является инвариантом, что само
собой очевидно, поскольку именно инвариантность этого выражения
была исходным пунктом при выводе формулы общего преобразования
Лорентца.
С помощью диференциального оператора ^ можно образовать из
вектора At еще одно важное диференциальное выражение, а именно
антисимметричный тензор
дАь дА(
F——Г E423)
Это диференциальное выражение, также по аналогии с выражением
для трехмерного пространства, называют четырехмерным вихрем
вектора А.
На этом мы заканчиваем наше изложение векторного анализа. Мы
выпишем лишь формулы, которые нам понадобятся в дальнейшем. Это —
формулы, по которым преобразуются слагающие вектора или тензора
в частном случае преобразования Лорентца, соответствующего движе-
движению по оси х. Схема коэфициентов такого преобразования дана выше
E3.10а). В случае четырехмерного вектора формулы преобра-
преобразования имеют вид:
E4.24)
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
291
Эти соотношения уже известны нам для того частного случая, когда
А^ совпадает с координатой xt. Для общего случая четырехмер-
четырехмерного тензора они гласят:
mi
М4 I 02
E4.25)
В случае антисимметричного тензора эти соотношения упрощаются и
сводятся к следующим 6 уравнениям:
23
— г.
7" /
7 14
24
E4.26)
III. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 55. Уравнения поля. Согласно задачам, поставленным в § 52, мы
займемся в этой главе приведением электродинамики к реляти-
релятивистскому виду. С точки зрения математики, задача будет заклю-
заключаться в том, чтобы переписать основные уравнения электродинамики
в четырехмерной векторной форме, причем, как мы сейчас уви-
увидим, это легко выполнимо по той причине, что сами уравнения инва-
инвариантны по отношению к преобразованию Лорентца; доказательством
этого как раз и является возможность четырехмерной формулировки
законов электродинамики.
Такого рода преобразование основных уравнений имеет два пре-
преимущества: во-первых, они принимают с чисто формальной стороны
очень простой по сравнению с трехмерными уравнениями и замеча-
замечательный по своей симметричности вид. С другой стороны, что
Для нас особенно важно, мы получаем целый ряд физических зависимо-
зависимостей между отдельными величинами в теории Максвелла, как напри-
между электрическим и магнитным полем, между энергией, вектором
292 теория относительности
Пойнтинга и максвелловским тензором напряжений и т. д. Все эти зави-
зависимости очень важны для более глубокого понимания электромагнитных
процессов.
Для простоты начнем с преобразования уравнений для потенци-
потенциалов:
1 d2A 4it
E5.1)
и связанного с ними уравнения
Комбинация уравнений E5.1) и E5.2) дает уравнение непре-
непрерывности электрического заряда:
| 0. E5.3)
В левой части уравнений E5.1) стоят диференциальные выражения,
которые получаются в результате применения диференциального оператора
А ^ к слагающим вектора А или к о.
с2 at2 r T
С этим оператором, который мы назвали оператором Лапласа
и обозначили символом Q> мы познакомились уже в § 54. С вектор-
векторной точки зрения он является скаляром,—точно так же, как трехмерный
оператор Лапласа в трехмерном пространстве.
Из четырех совершенно одинаково построенных уравнений E5.1)
три первых уже слиты в обыкновенное векторное уравнение. Поэтому
естественно предположить, что при четырехмерном обобщении <р будет
играть роль той четвертой слагающей, которую следует присоединить
к пространственным слагающим вектор-потенциала А. К тому же пред-
предположению мы приходим благодаря уравнению E5.2), которое после
введения координат (xv x2, #3, *4), вместо (лг, у, z, t), принимает
вид:
дАх | дАу , ЬАг | diy q
дхг * дх2 * ^л*3 ' дх4
Если в этом уравнении мы будем рассматривать Axt Ay, Аг как три
пространственные слагающие Ф1э Ф2, Ф3 четырехмерного потенциала,
четвертая слагающая которого равна Ф4 = /ср, то уравнение E5.2)
примет инвариантный вид:
Аналогично этому мы можем также рассматривать вектор pv и скаляр щ
как три пространственные и одну временную слагающую четырех-
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ 293
мерного тока s4 = (pvX9 pvy> pvZi icp), благодаря чему уравнение
E5.3) переходит в
4
Тогда уравнения E5.1) примут четырехмерную векторную форму:
ПФч=_^. E5.6)
Пользуясь этим четырехмерным толкованием потенциала и плотности
тока, мы сразу видим, как меняются эти величины при переходе к дру-
другой координатной системе. В частности, исследуем, как изменится век-
вектор тока Sv при переходе от системы, в которой заряд покоится,
к другой системе, по отношению к которой заряд движется со скоро-
скоростью v в направлении оси х-ов. В этом случае имеют место формулы
преобразования:
причем
5l° = s2° = s30 = 0.
Это дает:
s4 = tpc
E5.7a)
Эти уравнения показывают, что в новой системе заряд, как и пред-
предполагалось, движется в направлении оси х со скоростью v, и кроме
того, что в этой системе плотность заряда имеет значение
Таким образом плотность заряда увеличивается при переходе от си-
системы, в которой заряд неподвижен, к системе, по отношению к которой
он движется. Напротив количество электричества de в опре-
определенном заданном элементе объема одинаково для
обеих систем, так как
E5.9)
Поведение dV при переходе от второго к третьему члену в этой цепи
равенств определяется лорентцовым сокращением линейных размеров
в направлении движения. Таким образом, можно сказать, что плотность
движущегося заряда увеличивается вследствие того, что тот же самый
заряд вынужден в силу сокращения Лорентца помещаться в меньшем
294
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
объеме. В частности, оказывается, что заряд электрона одинаков для
всех систем отсчета.
Форма уравнений E5,7а) указывает на возможность обобщения их
на случай произвольного направления скорости:
_ Po?jr
Y 1 — P3 '
Y i _ pa »
E5.7)
Множители, на которые помножается плотность в состоянии покоя р0,
оказываются слагающими четырехмерной скорости wv, так что четырех-
четырехмерный ток можно выразить также в виде
5v = powv. E5.10)
(Это — правильное векторное уравнение, так как р0, очевидно, есть
скаляр, а ^ и и, — четырехмерные векторы).
Перейдем теперь от потенциалов А и <р к векторам напряжен-
ностей Е и Н; последние связаны с потенциалами посредством уравнений:
1 д А
Н = rot А, Е = — grad <р ±- -^.
Преобразуем эти соотношения, введя слагающие четырехмерного по-
потенциала Ф„ и четыре координаты хч:
дФ
дФв
дФ2
E6.11)
Единый принцип построения этих уравнений естественно приводит
к мысли ввести антисимметричный четырехмерный тензор:
дх-,
E5.12)
Слагающие этого тензора связаны со слагающими векторов Е и Н
следующим образом:
О Hz —Ну —iEx
-и.
у
iEx
"
Нх -I
О —iE,
1Ег
E5.13)
Следовательно, электромагнитное поле в четырехмерном пространстве
уже ие может быть описано посредством двух векторов, а должно опи*
сываться посредством одного антисимметричного тензора
второго ранга. Таким образом электрическая и магнитная напряжен-
напряженности ЕиН уже. не независимы друг от друга, а сливаются в единый тен-
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ 295
зор. При преобразовании Лорентца, слагающие Е и Н преобразуются
не отдельно, а вместе. Напишем такие формулы преобразований для
перехода от одной системы (нештрихованной) к другой системе (штрихо-
(штрихованной), движущейся по отношению к первой в направлении оси х;
эти формулы получаются из рассуждений § 54:
Е ' = Е
(б514)
Если электрон неподвижен в штрихованной системе, то на него в этой
системе действует сила еЕ'. Из E5.14) мы видим, что это как раз со-
совпадает с выражением для силы Лорентца
если пренебречь релятивистскими поправками, т. е. членами порядка В2.
На основании формул преобразования E5.14) легко проверить, что
оба выражения ЕН и Е2 — № являются инвариантами, т. е. их зна-
значения не меняются при переходе к штрихованной системе. Позднее мы
сумеем это обстоятельство использовать.
Теперь напишем в четырехмерной форме уравнения Макс-
Максвелла и затем проверим, правильны ли они. Эти уравнения имеют
вид:
Первая система содержит четыре уравнения (v=l, 2, 3, 4) и экви-
эквивалентна уравнениям:
, „ 1 дЕ , 4 rcpv 1 л *> 1
rot Hs=- 1F+-T- ДЛЯ ^ = 1,2,3. E)
div E = 4irp для v = 4, j
t чем можно убедиться непосредственно, если подставить в E5.15) выра-
выражения E5.13) и E5.7). Во второй системе уравнений v, ^ и X могут прини-
мать, независимо друг от друга, все значения от 1 до 4; но мы видим,
что, вследствие антисимметричности F^9 левые части не исчезают тож-
тождественно только в тех уравнениях, в которых все значения v, ji и X
различны. Но давая тройке чисел (v, р, \) значения B, 3, 4), C, 4, 1),
D, 1, 2) и A, 2, 3), мы получаем всего четыре уравнения. С помощью
296 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
E5.13) мы находим из первых трех полученных таким образом ура-
уравнений:
rotE=-4-§, E5.16)
и из четвертого:
div H = 0.
Уравнения Максвелла в четырехмерной формулировке имеют особенно
простой вид, что обусловлено, с одной стороны, симметричной трак-
трактовкой пространственных и временных координат, с другой стороны —
слиянием Е и Н в один тензор. Впрочем, при определении поля по
заданному распределению заряда можно и не пользоваться уравне-
уравнениями E5.15), а сперва, как это делается и для трехмерного пространства,
определить потенциалы и затем с помощью E5.12) и E5.13) вычислить
векторы ЕиН,
Из нашего вывода само собой понятно, что четырехмерные уравнения
Максвелла не противоречат уравнениям для потенциалов E5.6) и
E5.4). Тем не менее, приведем здесь простое доказательство того, что уравне-
уравнения для потенциалов действительно могут быть выведены из уравнений поля.
Если тензор F^ представлен, согласно E5.12), в виде
т. е. в виде четырехмерного вектора, то вторая система уравнений E5.15) удо-
удовлетворяется тождественно. Подставляя E5.12) в первую систему, мы получаем:
д
Второе слагаемое в правой части равно — QOV; первое исчезает, если мы вве-
введем добавочное условие
= 0, E5.4)
что возможно благодаря тому, что Ф^ определяется формулой E5.12) неодно-
значно, а только с точностью до градиента ~, где ф может быть совер-
совершенно произвольной функцией от х^. Добавочное условие E5.4) является урав-
уравнением, определяющим ф; если потенциалы Ov не удовлетворяют уравне-
уравнению E5.4), то <!> следует подобрать так, чтобы было
откуда
плотность силы
297
Тогда
удовлетворяет уравнению E5.4). Итак, мы получаем в результате:
что совпадает с E5.6).
§ 56. Плотность силы. Для силы, которая действует на заряд, на-
находящийся в единице объема, электронная теория Лорентца дает выра-
выражение:
E6.1)
f есть плотность силы и поэтому имеет
ной на объем. Если ввести вместо р,
слагающие четырехмерного тока sv и
fva, то E6.1) можно переписать в виде:
размерность силы, делен-
деленpv, Е и Н соответствующие
четырехмерного тензора поля
E6.1а)
в чем легко убедиться, принимая во внимание E5.13). Симметричная
структура уравнений E6.1 а) наводит на мысль ввести четырехмерный
вектор
три первые слагающие которого совпадают с выражениями, стоящими
в правых частях уравнений E6.1а) (так как /%v = 0). Таким же обра-
образом из векторного характера четырехмерного тока и тензорного харак-
характера поля /%,х следует, что слагающие вектора / можно рассматривать
как пространственные слагающие четырехмерного вектора /v. Поэтому
мы имеем право отождествлять fx, fy, fz с этими тремя слагающими /v,
а введя и четвертую слагающую /4, дополнить / до четырехмерного век-
тОра. Смысл /4 можно найти из E6.2):
Поэтому с помощью E6.1) можно написать:
E6.3)
298 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Эта слагающая, как и следовало ожидать, является чисто мнимой вели-
величиной и, не считая множителя—, равна работе, которую производит
сила f в единицу времени и в единицу объема: в самом деле работа,
производимая силой idV, которая действует на элемент заряда pdV,
передвигающийся на расстояние dr, равна dA — (i-dr)dV. Работа, про-
производимая в единицу времени, равна поэтому
а значит, отнесенная еще и к единице объема, равна (f«v), как и было
указано выше. Согласно E6.3), в системе, по отношению к которой
заряд неподвижен, четвертая слагающая исчезает: над неподвижными
зарядами не совершается никакой работы. Этот результат можно непо-
непосредственно вывести из E6.2), так как в неподвижной системе отсчета
только четвертая слагающая четырехмерного тока sv отлична от нуля.
Следовательно, в этой системе
/о L.f о « о
и, значит, четвертая слагающая исчезает из-за того, что Ги = 0, Заме-
Заметим, что всегда имеет место тождество
2М=0 E6.4)
Левая часть этой формулы есть инвариант, величину которого мы мо-
можем вычислить в любой выбранной нами системе координат, а если
мы изберем для этой цели систему, по отношению к которой заряд
неподвижен, то в этой системе отличается от нуля только s4, но зато/4°
равно нулю. Соотношение E6.4) можно доказать и без специального
выбора координатной системы, так как согласно E6.2) мы имеем:
4
В правой части равенства написано внутреннее произведение антисим-
антисимметричного тензора F^ и симметричного тензора s^. Следовательно,
перестановка значков v и \i изменила бы знак этого выражения; с дру-
другой стороны, его значение не меняется после такой перестановки. По-
Поэтому это выражение должно равняться нулю.
До сих пор мы рассматривали только плотность силы и выяснили,
что ее можно считать пространственной частью четырехмерного вектора.
Теперь найдем полную силу, действующую на определенное коли-
количество заряда или на определенный объем. Согласно определению, ее
можно вычислить, интегрируя плотность силы по упомянутому объему:
,fuv.
E6.5)
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 299
Так, например, полная сила (сила Лорентца), с которой поле дей-
действует на электроны (если это поле можно считать однородным в пре-
пределах объема электрона), равна
/p
p [E + (-7-XTl)]rfV-e[E + (-f XHJ]. E6.5а)
Здесь F нельзя дополнить до четырехмерного вектора, так как хотя f
и является пространственной частью четырехмерного вектора, но эле-
элемент объема dV не инвариант, что было бы необходимо для этой цели,
а меняется при переходе от одной системы координат к другой вслед-
вследствие лорентцовского сокращения. Поэтому интересно ответить на
вопрос, как меняется сила E6.5) при переходе от одной системы к дру-
другой. При решении этой задачи мы ограничимся тем частным случаем,
когда в исходной системе заряд неподвижен. Для того, чтобы получить
формулы преобразований для силы, будем исходить из известных фор-
формул преобразований для плотности силы, которые вследствие того, что
/4<> = 0, имеют вид:
=/.*-/Л
E6.6)
/ _/ /о—/о
Проинтегрируем левые и правые части этих выражений по объему и
примем во внимание, что
dV=*dV*Vl—p. E6.7)
Тогда, согласно E6.5), мы получим связь между силой F0, действую-
действующей в неподвижной системе, и силой F, измеренной в координатной
системе, по отношению к которой заряд движется со скоростью v:
Fx = JV, Fy = /у VT^pi, Fg = /V VT=J\ E6.8)
С этими уравнениями мы встретимся снова при релятивистском обоб-
обобщении механики.
Проверим уравнения E6.8) на примере силы Лорентца, действующей на
движущийся электрон. Эта сила определяется формулой E6.5а). Но в системе,
движущейся вместе с зарядом, действует только сила
F0 = еЕ<>. E6.9
Из § 55 мы знаем, как меняется электрическое поле при переходе к другой
системе координат; т.м мы нашли:
Умножая эти уравнения на е и вводя компоненты силы E6.5а) и E6.5), мы
непосредственно получаем формулы E6.8).
§ 57. Тензор энергии и импульса электромагнитного поля.
Вернемся снова к рассмотренному в § 7 вопросу о связи между плот-
плотностью энергии, плотностью импульса и пондеромо»
торными силами и представим эту связь в четырехмерной форме,
300 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
инвариантной по отношению к преобразованию Лорентца. Переписав эти
величины в четырехмерной форме, мы тем самым решаем вопрос об их
преобразовании при переходе от одной координатной системы к дру-
другой, движущейся относительно первой. Выведенные таким образом фор-
формулы преобразований окажутся полезными для построения релятиви-
релятивистского обобщения механики.
Мы начнем с того, что перепишем в ином виде выражение силы
E7Л)
а именно, покажем, что его можно представить как четырехмерную
расходимость четырехмерного тензора второго ранга:
<67-2>
Введем в формулу E7.1) вместо s^ выражение, вытекающее из первого
уравнения E5.15). Тогда мы получим:
Вместо этого можно написать:
4 4 4 4
Второй член мы преобразуем, переставив значки jx и X и приняв во
внимание антисимметричный характер тензора поля:
|JL=rl X=l
4 4
Выражение в скобках, стоящее в правой части равенства, согласно вто-
рому уравнению E5.15), равно —з-^Ч так что, продолжая нашу цепь
равенств, мы можем написать:
2 Za Id Г*х дхн ~ 4
тензор энергий и импульса электромагнитного поля
301
Таким образом мы получаем:
* - iS ^ (S w»)+ш -зй-S S 0W-- <57-3>
Это выражение совпадает с E7.2), если мы (изменив значки) напишем:
4 4 4
7v = ^2F^+isr**S S (F^J- E7-4>
где Svlt равно 0 или 1, в зависимости от того, будет ли v ф р. или
v = p..
Тензор Т^у который мы, как общепринято, назовем тензором
энергии и импульса, является симметричным тензором, что видно
из строения формулы E7.4). Для того чтобы определить его смысл,
выразим его слагающие через Е и Н с помощью таблицы E5.13). Для
члена, входящего только в диагональные слагающие 7V,, мы получим:
4
Второй член -т- S] FnFxp, в случае диагональных слагающих будет со-
х=1
стоять из трех слагаемых; например, он равен
при v = I* - 1: -^ (- Яу» - Ня* + ЕЛ
Недиагональные слагающие состоят только из двух слагаемых, из них
чисто пространственные, например v=l, f* = 2, имеют вид
-^ (НХНУ + ЕХЕУ),
а смешанные, как например, v=l, [а==4, имеют вид
Если мы для сокращения положим
(
Тху = ТуХ = -^ (ЕХЕУ -\- НХНУ),
= Тгу = — {ЕуЕг + НуНг)у
Тхг == -I. (Е2ЕХ + НгНх),
E7.6а)
302
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
а также
1-iEXH
E7.5b)
E7.5с)
то тензор энергии и импульса примет вид:
л хх
ТуХ
Tzx
i ху
1УУ
Txz —icgx
Ту2 —ii
Tzz -
1 о
E7.6)
Теперь попытаемся оправдать введенные обозначения E7.5) или E7.6)
для различных слагающих тензора Г7р., а именно, выясним их смысл,
заключенный в уравнении E7.2).
Для этой цели проинтегрируем E7.2) по трехмерному элементу
объема dV=^dxxdx2dxB. Сперва мы получим для временной слагающей
Если это уравнение умножить на —ic, то его левая часть будет пред-
представлять работу, производимую силами, которые действуют на заряды,
находящиеся в объеме V, так как, согласно E6.3), — /c/4 = fv есть
работа в единицу времени на единицу объема. Таким образом, все
уравнение должно быть тождественно с законом сохранения
энергии G.4). Итак, мы можем заключить, что должны выполняться
соотношения
где и есть плотность энергии, a S — вектор потока энер-
энергии (энергия, проходящая через 1 см2 в секунду). Поэтому наше по-
последнее уравнение действительно принимает известный вид:
E7.8)
Этим мы оправдали обозначения в последней строке тензора E7.6).
Теперь рассмотрим первое из четырех уравнений E7.2). Интегри-
Интегрирование по трехмерному объему V дает:
Так как fx =fx, то в левой части стоит дг-овая слагающая результи-
результирующей силы F, действующей на все заряды в объеме V. Следовательно,
все уравнение должно быть эквивалентно закону сохранения
импульса G.9). Так как по правилам классической механики сила
обусловливает приращение импульса Омат всей связанной с зарядами
ТВНЗОР ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 303
инертной массы, то мы можем переписать (при условии, что эта зави-
зависимость будет впоследствии доказана и в релятивистской механике) ле-
левую часть уравнения в виде
F—%• E7-9)
Первый интеграл в правой части может быть преобразован в интеграл
по поверхности:
ff(Tn cos (пх) -f Г12 cos (пу) + Ти cos (nz)) dS.
Поэтому его можно истолковать, как л:-овую слагающую всех поверх-
поверхностных сил, действующих на поверхность объема V. Поэтому и
последний интеграл должен быть истолкован как плотность им-
импульса, связанная с электромагнитным полем:
^ = —Lru==J_ri4. E7.10)
Итак, первые три уравнения E7.2) дают:
/л^, E7.11)
где вектор Пя составлен из вектора нормали п и слагающих
тензора напряжений E7.5а) по формуле
(Пп)х = Тхх cos (пх) + Тху cos (пу) + Тхг cos (nz). E7.12)
Доказывая таким образом целесообразность обозначений E7.6), мы нигде
не пользовались специальной зависимостью E7.5) между слагающими
Tik и слагающими векторов электромагнитного поля. Наши рассуждения
годились бы для любой плотности силы, которую можно представить
в виде E7.2).
Принципиально весьма важным свойством нашего тензора E7.4)
является его симметрия. Согласно E7.7) и E7.10), из одного только
этого факта следует основное соотношение между потоком энергии
и импульсом:
S = gc\ E7.13)
впрочем, пока только для случая электромагнитного поля в пустоте.
Позднее, после того как мы включим в наши формулы все механиче-
механические силы и импульсы, мы сможем придать этому уравнению более
общий смысл.
До тех пор, пока нет никаких зарядов, плотность силы в уравнении E7.2)
также равна нулю. Рассмотрим, например, распространяющееся в вакууме излу-
излучение, которое перед этим было испущено каким-нибудь источником света. Во
всей области такого волнового пакета тензор энергии и импульса удовлетво-
удовлетворяет уравнению
* E7Л4)
304 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
По этому поводу мы докажем следующую теорему: Пусть четырехмер-
четырехмерный тензор TV{JL отличен от нуля только в конечной области
пространства, и пусть в этой области его расходимость
везде равна нулю, согласно уравнению E7.14). Тогда инте-
интеграл
Ъ*У. E7.15)
распространенный на все пространство, имеет характер
четырехмерного вектора. В частном случае нашего четырехмерного
тензора 7*V(Jt, который мы рассматривали до сих пор, это означает, что четыре
величины, а именно три слагающие общего импульса и общая энергия конеч-
конечного волнового пакета, т. е.
Ох = T
оу = -y
E7.15а)
при переходе к движущейся координатной системе преобразуются как четыре
слагающие вектора.
Для доказательства выведем сначала вспомогательную теорему.
Пусть Ач есть четырехмерный вектор, расходимость которого везде равна нулю,
и который также отличен от нуля лишь в конечной области пространства.
В этом случае формула Гаусса дает:
где интегрирование нужно распространить по поверхности некоторой четырех-
четырехмерной области. В качестве такой области мы выберем четырехмерную область,
ограниченную двумя трехмерными пространствами
хА = const, и Х4 = const.,
т. е. двумя совокупностями одновременных событий, причем одновременность
следует понимать для одной совокупности с точки зрения одного наблюдателя,
а для другой — с точки зрения другого наблюдателя. Для выделенной таким
образом области четырехмерного пространства формула Гаусса дает:
С AidXidxzdxs^ f A^dx^dx^dx^1. E7.17)
Следовательно, распространенный на все (трехмерное
пространство интеграл четвертой (временной) слагающей
четырехмерного вектора Иу, расходимость которого равна
нулю, инвариантен по отношению к преобразованию Ло-
Лоре н т ц а.
С помощью этой вспомогательной теоремы наш вопрос разрешается сле-
следующим образом. Пусть ру — некоторый произвольный четырехмерный вектор,
постоянный в пространстве и во времени. Построим с его помощью вектор
ПЛОСКАЯ СВЕТОВАЯ ВОЛНА 305
который удовлетворяет всем условиям нашей вспомогательной теоремы при
условии, что Т^ удовлетворяет уравнению E7.14); тогда следовательно, мы
можем заключить, что величина
есть инвариант. Но так как/?v есть некоторый четырехмерный вектор, то
мы этим доказали, что величина / T^dV имеет характер четырехмер-
четырехмерного вектора.
§ 58. Плоская световая волна. В этом параграфе мы применим
результаты релятивистской электродинамики к случаю плоской све-
световой волны. Тем самым мы ответим на целый ряд вопросов, свя-
связанных с оптикой (эффект Допплера, аберрация, отраже-
отражение от движущегося зеркала). Эти вопросы, конечно, можно
рассматривать и без теории относительности, пользуясь только уравне-
уравнением Максвелла, так как эти последние, как мы видели, все равно
удовлетворяют принципу относительности. Но применение методов тео-
теории относительности приводит к значительному упрощению, так как
уже сами формулы преобразования величин, характеризующих свето-
световую волну, при переходе от одной координатной системы к другой,
движущейся относительно первой, дают возможность непосредственно
вывести эффект Допплера и т. д.
Мы начнем с рассмотрения линейно поляризованной волны, распро-
распространяющейся в направлении п === (пХУ пу9 п2), с частотой у и с длиной
волны X в нештрихованной системе; такая волна описывается урав-
ненями:
о_( E8.1)
где выражение
? = 2uv It iLTJULT—* E8.2)
есть „фаза" светового колебания, Ео и Но — два постоянных вектора,
равные по величине и перпендикулярные друг к другу и к вектору п.
С точки зрения штрихованной системы эта волна описывается уравне-
уравнениями:
где ср' имеет вид, аналогичный E8.2):
f - *'я* + ^/+*У). E8.4)
Рассмотрим сначала преобразование фазы. Фаза, очевидно,
должна быть инвариантом преобразования Лорентца, так как утвержде-
утверждение, что электромагнитное поле в определенной точке четырехмерного
пространства-времени равно нулю (т. е. фаза равна нулю или целому
Беккер 5810 2 20
306 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
кратному 2тс), является объективным утверждением, независящим от
координатной системы. Следовательно,
<р = Т', E8.5)
или, если ввести сюда E8.2) и E8.4) и выразить штрихованные коор-
координаты через нештрихованные на основании формул преобразования
Лорентца E0.5), то
х — vt . ,
П \yn + ZYlj
Z
с W l — (
])•
Так как это уравнение должно выполняться тождественно при всех зна-
значениях х, у, Zy ty то мы непосредственно получаем следующие ф о р-
мулы преобразования для частоты и направления пло-
плоской волны:
v = v'
1-1
E8.6)
В формулах E8.6) содержится эффект Допплера, заключающийся
в изменении длины волны света, излучаемого движущимся источником.
Пусть источник света, неподвижный в штрихованной системе, излучает
по всем направлениям (т. е. по всевозможным п') свет частоты v'. Тогда
частота света v, измеряемая наблюдателем, который движется по отно-
отношению к источнику света со скоростью v параллельно оси х, зависит
от направления п, в котором производится наблюдение, или, точнее го-
говоря, от косинуса угла пх между этим направлением и направлением
движения. Эту зависимость проще всего найти из первого уравнения
E8.6), если в нем переставить местами штрихованные величины с не-
штрихованными и одновременно заменить C на — (J (обе системы равно-
равноправны):
Vaa=v/ V^-LJ?!. E8.7)
Это уравнение описывает эффект Допплера для любого направления
движения. Если, в частности, источник света движется от наблюдателя
или, наоборот, прямо к нему, то мы получаем продольный эффект
Допплера, известный уже из элементарной физики: при пх = пх' =
= + 1 формула E8.7) дает:
(б8-7а>
1 См. примечание после текста.
ПЛОСКАЯ СВЕТОВАЯ ВОЛНА 307
Нечто новое мы получаем в том случае, когда источник света движется
перпендикулярно к направлению, в котором производится наблюдение
(т. е. когда пх = 0):
у = у' Vl —р2. E8.7b)
Так как это изменение длины волны в поперечном эффекте Допп-
лера, в противоположность продольному эффекту, пропорционально (i2,
то оно должно быть небольшим, и поэтому его до сих пор еще не
удалось экспериментально наблюдать.
Содержащееся в трех последних уравнениях E8.6) утверждение об
изменении направления луча света при переходе к другой координат-
координатной системе (аберрация) удалось экспериментально проверить, на-
наблюдая свет, излучаемый неподвижными звездами. Пусть звезда, нахо-
находящаяся практически на бесконечно большом расстоянии, неподвижна
в штрихованной системе и излучает в направлении пхг — 0, пу* = 1,
nzf = 0, и пусть в штрихованной системе луч света распространяется
перпендикулярно к направлению скорости, т. е. в нашем случае по
нормали к траектории земли. Для наблюдателя, движущегося вместе
с землей со скоростью v, направление светового луча, согласно E8.6),
будет определяться соотношениями:
E8.8)
Следовательно, для такого наблюдателя фронт волны кажется накло-
наклоненным на угол а, где
tga= ^ = —1= или sin a = р. E8.8а)
пу \ 1 — р2
Такой наклон фронта волны является непосредственным следствием
эйнштейновского определения одновременности. В штрихованной системе
„фазовыми плоскостями*, т. е. плоскостями, в которых фаза ср' в опре-
определенный момент времени f имеет определенную постоянную величину,
являются плоскости, параллельные (x'z1). Эти плоскости, расматривае-
мые как нечто объективное, не зависящее от координатной системы,
однако, уже не являются фазовыми плоскостями с точки зрения нештри-
хованной системы, так как в этих плоскостях фаза ср в различных точ-
точках имеет одинаковую величину уже не в одинаковые моменты времени;
два события (в нашем случае событием является тот факт, что фаза
в определенной точке пространства принимает заданную величину), ко-
которые в одной системе являются одновременными, в другой системе
происходят в разные моменты времени.
Рассмотрим, наконец, еще одно очень важное физическое явление,
а именно — отражение плоской волны от движущегося
308
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
зеркала; на этом явлении, между прочим, основан термодинамический
вывод закона смещения Вина в теории излучения. Это явление можно
вывести очень просто из формул преобразований E8.6), если принять
для координатной системы, движущейся вместе с зеркалом, обычный за-
закон отражения. Предположим, что зеркало расположено перпендику-
перпендикулярно к оси х\ пусть оно имеет в нештрихованной координатной си-
системе скорость v в направлении положительной оси х. Пусть на это
зеркало падает плоская световая волна частоты v0> и пусть направление
распространения волны составляет с осью х угол &0. Эти данные отно-
относятся к нештрихованной системе. Теперь мы перейдем с помощью
уравнений E8.6) к штрихованной системе, движущейся вместе с зерка-
зеркалом. Для частоты и для направления распространения мы получим:
*nJL = v
пх — р cos ftp — 3
1 — §пх 1 — 3 cos ftp '
1 —
1 — р cos ftp
E8.9а)
J
Так как в штрихованной системе зеркало неподвижно, то в ней имеют
силу обычные законы отражения, которые в данном случае гласят, что
частота и вектор распространения отраженной волны получатся из соот-
соответствующих величин для падающей волны путем одного только изме-
изменения знака перед пх>. Поэтому отраженная волна в штрихованной си-
системе определяется формулами:
E8.9b)
V
c<
1
sin?
DSft0—3
— p COS ftp '
\qY i~32
— р cos #о
Теперь вернемся при помощи уравнений E8.6) опять к нештрихованной
системе. Для отраженной волны в этой системе мы получим соотно-
соотношения:
sin& = «v= —ppj
1—23 cos'
cos ftp —23-
1 — 2,3 cos
sin ft0 A -
&0 + P2
|2
h 3s cos ftp
ftp+ 32
-32)
— 2g cos
E8.10)
ПЛОСКАЯ СВЕТОВАЯ ВОЛНА
309
В нерелятивистском приближении, т.е. для случая C2<СЧ, который на
практике имеет место всегда, мы получим, разлагая E8.10) в ряд:
v^vo(l— 2pcos&0),
cos & те — cos &0 + 20 sin2&0,
sin & те sin 80 + 20 sin &0 cos &0.
E8.10а)
В § 67 мы воспользуемся этими формулами при выводе закона сме-
смещения Вина.
Из законов преобразования световой волны мы до сих пор пользо-
пользовались только свойством инвариантности фазы по отношению к преоб-
преобразованию Лорентца. Теперь мы исследуем, как меняются при переходе
от одной координатной системы к другой амплитуды световой
волны.
Прежде всего мы устанавливаем, что вследствие инвариантности урав-
уравнений Максвелла, свойство света, заключающееся в том, что векторы Е
и Н перпендикулярны друг к другу и имеют одинаковую величину,
остается в силе для всех координатных систем. Это обстоятельство ма-
математически выражается в том, что выражения (ЕН) и Е2 — Н2, как мы
показали в § 55, инварианты по отношению к преобразованию Лорентца;
в случае плоской волны оба выражения равны нулю.
Теперь мы подробно произведем преобразование амплитуд пло-
плоской волны в том частном случае, когда вектор нормали к волне и
электрический вектор лежат в плоскости (ху). Если мы обозначим ам-
амплитуду буквой Л, а направляющие косинусы нормалей волны — бук-
буквами пх и пу, то поле волны E8.1) будет:
пг — ле 9
?^ = — Апуегф,
E8.11)
Соответствующие формулы имеют место и в штрихованной системе.
При этом, согласно § 55, нештрихованные и штрихованные величины
связаны формулами:
E8.12)
из которых мы получаем следующие соотношения:
V
А'пу,.
E8.13)
310 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Из этих уравнений, делением второго и третьего на первое, мы полу-
получаем формулы преобразования для направления нормалей волны, тожде-
тождественные с формулами E8.6):
С другой стороны, сравнение первого уравнения E8.13) с первым урав-
уравнением E8.6) показывает, что амплитуда А преобразуется так же, как
и частота, т. е.
<58Л5>
Теперь мы перейдем к рассмотрению полной энергии огра-
ограниченного ряда последовательных волн, заключенного
в определенном конечном объеме, который движется вместе с волной
E8.16)
Исследуем, каково значение энергии U1 этого же ряда волн с точки
зрения штрихованной координатной системы. С преобразованием
амплитуды мы только что познакомились. Теперь выведем еще фор-
формулы преобразования для (движущегося) объема. Трудность, возникаю-
возникающая при этом, состоит в том, что рассматриваемый объем движется со
скоростью света, так что мы не можем приписать ему никакого „соб-
„собственного" объема (объема в состоянии покоя). Для того, чтобы обойти
эту трудность, рассмотрим сперва определенную область, обладающую
„собственным1* объемом V09 которая движется по отношению к штри-
штрихованной системе координат со скоростью и' в направлении, образую-
образующем угол &' с осью х'; тогда, с точки зрения штрихованной системы
координат, объем области равен
~m E8.17а)
По отношению же к нештрихованной системе та же область движется
со скоростью и, которую можно вычислить по теореме сложения ско-
скоростей, и для которой мы нашли в § 51 значение:
и'* ??
G+ $ cos О-I
Поэтому в нештрихованной системе рассматриваемая область имеет
объем
у-у лГ \ -~ - V V с* V х * . E8.17Ь)
1-1—- cos bf
ПЛОСКАЯ СВЕТОВАЯ ВОЛНА 311
Сравнение с E8.17а) показывает, что V и V связаны соотношением
у — у1 У* —Р2 т
1 + — р cos &'
В этом уравнении мы можем прямо перейти к пределу и' -> с и тогда по-
получаем окончательную формулу преобразования для объема,
движущегося со скоростью света:
Если мы сравним это выражение с формулой для частоты E8.6), то
увидим, что V преобразуется как —, так что произведение Vv яв-
является инвариантом. Поэтому из E8.16) мы выводим, что энергия U
должна преобразовываться как v, так что мы получаем соотношение
¦V" = V-- E8.20)
Итак, значения энергии ряда волн, измеренные различ-
различными наблюдателями, относятся друг к другу как
частоты, измеренные теми же наблюдателями.
Этот результат приобретает особый интерес, если принять во вни-
внимание теорию световых квантов, согласно которой свет при
взаимодействии с материей ведет себя так, как будто бы он состоит
из отдельных световых квантов Av, где h — постоянная Планка.
Предположим, например, что ряд волн состоит из Z таких, световых
квантов, и что, значит, его энергия ?/ = ZAv. Инвариантность величины
— означает, что произведение Zh также должно быть инвариантным.
Но так как Z, как некоторое дискретное число, естественно является
инвариантным, то из E8.20) следует, что постоянная Планка А
инвариантна по отношению к преобразованию Лорентца.
Наряду с полной энергией, рассмотрим полный импульс плоской
световой волны, который по величине и направлению задан равенством:
1&V. E8.21)
Прежде всего мы видим, что абсолютная величина импульса составляет
О = -у-. E8.22)
Далее, если мы обозначим инвариантную величину — через С, т. е.
напишем:
312 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
то слагающие импульса и энергии можно написать в виде:
J1 = GX — Счпх,
= Gy = Cmy,
J E8.24)
Это значит, что полный импульс и полную энергию, в согласии с рас-
рассуждениями в конце последнего параграфа, можно объединить в четы-
четырехмерный вектор, так как четыре величины
(vnx, v/ty, v#2,/v) = (vlf v2, v3, v4) E8,25)
можно рассматривать как слагающие четырехмерного вектора. Это сле-#
дует не только из формул преобразований E8.6) для этих слагающих'
мы могли бы прийти к тому же заключению уже раньше при рассмо-
рассмотрении фазы E8.2), которую, при пользовании четырехмерной символи-
символикой, можно представить в виде
4
"" *.. E8.26)
Так как фаза является инвариантом, то четыре слагающие v? должны
представлять собою четырехмерный вектор. Между прочим, этот вектор
имеет то особенное свойство, что его величина 2 v*2 равна нулю. То
i
же самое справедливо, конечно, и по отношению к вектору импульса и
энергии E8.24), причем это утверждение приводит снова к соотноше-
соотношению E8.22).
§ 59. Излучение движущегося электрона. В этом параграфе мы
вычислим поле электрона, движущегося с любой скоростью, а из поля
вычислим и излучение. Хотя результаты этого параграфа будут в общем
совпадать с результатами § 11, тем не менее приводимые здесь выводы
представят некоторый интерес, как пример применения четырехмерной
векторной символики.
Мы начнем, по аналогии с § 11, с вычисления потенциа-
потенциалов Ф„, определяющих поле электрона, движущегося произвольным
образом. Координаты этого электрона yt будем считать заданными
функциями его собственного времени:
y.=y.(z). E9.1)
Можно было бы попытаться проинтегрировать уравнение потенциала
способом, аналогичным тому, который применяется в трехмерном случае.
Однако, этот прием наталкивается на значительные математические
трудности, и поэтому мы не пойдем этим путем.
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА 313
Укажем кратко, в чем состоят эти трудности. Основным приемом решения
уравнения потенциала в трехмерном случае является применение теоремы
Грина, причем приходится пользоваться решением / = — диференциального
уравнения Лапласа А/ = 0. Четырехмерным аналогом функции / явлйется
функция F = -щ-, которая представляет решение уравнения ? F—O, причем R
теперь означает четырехмерное расстояние. Однако, при применении теоремы
Грина к четырехмерному пространству, в противоположность трехмерному слу-
случаю, интегралы по поверхности при У?->оо не только не исчезают, но имеют,
напротив, бесконечно большую величину: при /—>оо потенциалы не исчезают,
так как имеющаяся в пространстве постоянная сумма зарядов продолжает со-
создавать поле и после того, как прошло бесконечно большое время. Другая
трудность заключается в том, что в противоположность трехмерному случаю,
в котором подинтегральное выражение в интеграле <р = / — dv принимает бес-
бесконечно большое значение только в данной точке, где вычисляется потенциал,
в четырехмерном случае знаменатель R2 исчезает в целой трехмерной области
(на „конической сверхповерхности"), а именно повсюду, где R2 = г2—с2 (t— тJ = 0
(здесь г означает трехмерное расстояние, a t — z — разность времен между
двумя точками в четырехмерном пространстве).
Мы ограничимся выводом четырехмерного выражения
потенциалов Вихерта A1.5). Пусть данная точка четырехмер-
четырехмерного пространства имеет координаты xl9 x2, x3, x^ — ict. Введем
наряду с пространственным вектором г четырехмерный радиус-век-
радиус-вектор Rt:
R. = Xi—yiy г = (/?!, /?2, Я3). E9.3)
При выводе потенциалов мы будем исходить из того известного факта,
что всякое электромагнитное действие распространяется со скоростью
света. Поэтому потенциалы в точке Р в момент t определяются поло-
положением и скоростью электрона в пространственно-временной точке Q,
трехмерное расстояние которой от Р как раз равно c{t—t'), где
?' = -Д. Эту зависимость между координатами и вре-
временем точек Р и Q мы можем представить в четырех-
четырехмерной инвариантной форме; она определяется условием
Я2=2Я*2 = 0. E9.4)
В самом деле, это условие эквивалентно равенству
Так как при вычислении потенциалов мы всегда имеем дело с последним
добавочным условием, то мы можем в дальнейшем всегда писать слага-
слагающие четырехмерного радиуса-вектора в виде
#1 == гх, /?2 = гу, #3 == rzi #4 = ir. E9.5)
Мы знаем, что в той специальной системе, в которой электрон
(источник) в данный момент времени неподзижен, потенциалы в данной
точке определяются формулами
фхо = ф2о = фзо = о, ф4о = /?о = i A_ % E9.б)
314 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
При этом, конечно, координаты электрона и точки Р связаны соотно-
соотношением E9.5). Теперь мы должны переписать уравнения E9.6) в виде
одного векторного уравнения, которое для системы, в которой электрон
неподвижен, переходило бы в E9.6). О добавочном условии E9.4) нам
при этом уже не надо будет заботиться, так как ему уже придана
инвариантная форма. Система, в которой электрон неподвижен, харак-
характеризуется тем, что четырехмерная скорость ?7; = -»^ обладает в ней
слагающими
и* — и%* = иь* = 09 а40 —fc. E9.7)
Естественно предположить, что четыре уравнения E9.6) могут быть
заменены уравнениями
Ф, = ^. E9.8)
Это — правильное векторное уравнение, так как г0 (расстояние в системе
неподвижного электрона) есть инвариант. Кроме того, формула E9.8)
для этой системы переходит в E9.6). Заменим теперь г0 инвариантным
выражением, построенным из четырехмерных векторов Rt и ttt\ очевидно,
можно писать
roc = — ]S ЯЛ, E9.9)
что можно доказать непосредственно, если написать выражение инва-
инварианта 2^?Л для системы> в которой электрон неподвижен. Таким
образом, окончательно мы получаем для потенциала Вихерта-
Льенара в четырехмерной форме выражение
^г E9-10)
i
при добавочном условии
2Я*2 = 0. E9.4)
Убедимся, что E9.10) совпадает с найденным ранее выражением
A1.5) для потенциалов Льенара-Вихерта. [Заметим еще, что, предполо-
предположив справедливость равенства E9.5), мы тем самым уничтожаем симме-
симметрию между прошедшим и будущим, о которой речь шла в § И и ко-
которая еще содержится в формуле E9.4)]. Если с помощью известных
соотношений
V 1С
(и и #) и
мы введем, вместо четырехмерной скорости электрона, его обыкновен-
обыкновенную скорость V, то получим:
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА 315
где sf как и в A1,8), определяется равенством:
Г. V
о *¦¦ ¦ Г ' " •
С
Таким образом, из E9.10) непосредственно получаются потенциалы
Вихерта в виде A1.7).
Перейдем теперь к вычислению из потенциалов E9,10) поля посред-
посредством формул
При диференцировании необходимо иметь в виду, что потенциалы зави-
зависят от координат точки xi не только явно, но кроме того, еще и
неявно, благодаря тому, что из-за добавочного условия E9.4) соб-
собственное время электрона т при заданных формулами E9.1) функциях
j^OO становится функцией координат точки xt. Так как положение
электрона дается как функция собственного времени, то для подста-
подстановки в потенциалы нужно найти такое собственное время, для кото-
которого 2 /?,2 = 0. Поэтому, если какую-нибудь функцию от координат
xt и у. нужно продиференцировать по jcv, то мы сначала должны ди-
ференцировать по координатам jcv, входящим в эту функцию явно,
а потом составить производную по т и умножить ее на ~ . Вследствие
того, что
dRt _ dyt _ с!иг _
мы можем легко найти ^— , если продиференцируем добавочное условие
E9.4) по atv:
Отсюда
Далее, воспользовавшись тем, что 2И*2== — ^2» мы получаем:
С помощью этих формул легко показать, что
316 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
и, следовательно,
<59-13>
Подобным же образом можно доказать, вычислив вторые производные
от потенциалов, что везде, за исключением точки, в которой находится
электрон, выполняются уравнения П Ф^. = 0. Далее, из рассмотренного
выше уравнения для • . -, приравнивая v и jx и затем суммируя по v,
мы получаем уравнение V-^— = 0. Таким образом, выражение E9.10)
действительно удовлетворяет всем условиям, которым должны удовлетво-
удовлетворять потенциалы. Тот факт, что вычисленное здесь столь простым спо-
способом поле совпадает с выражением (НЛО), может быть обнаружен,
если мы введем обыкновенные величины вместо четырехмерной скорости
и ускорения. Мы не будем здесь приводить общего доказательства, а
ограничимся лишь тем, что вычислим, пользуясь формулой E9.13), поле
в той системе отсчета, в которой электрон в данный момент времени
неподвижен. Принимая во внимание E9.7) и E9.9), а также известные
соотношения
(V, Ь\, V)«V0, V = <>- E9.7a)
мы получаем следующие выражения для векторов поля:
E9.14)
причем в эти формулы следует подставить, по формуле E9.4), „заиа-
здывающие" значения векторов г0 и v0. Формулы E9.14) находятся в
полном согласии с формулами, которые при v = 0 получаются из
A1.10). Поле E9.14) представляет результат наложения
электростатического поля —? на поле излучения, по-
появляющееся вследствие ускорения электрона.
Перейдем теперь к вопросу об излучении ускоренно дви-
движущегося электрона. В конце § И мы уже рассматривали излу-
излучение энергии таким электроном и пришли к следующему результату:
если скорость электрона как раз в момент излучения равна нулю, то
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА 317
изменение со временем его энергии и импульса, зависящего от излучения,
дается формулами:
flfx 3 с*
= 0.
E9.15)
. = п
dt
Если электрон во время излучения движется со скоростью v, то вы-
вычисление дает выражения A1.21) и A1.22):
dW
~df— ъ~& A-Р2K
dQ 2 e*vV К с X
Л — 3 с5 A-ра)в ' <о
В § 11 вывод этих формул для краткости был опущен. Теперь мы вы-
выведем эти формулы с помощью математического аппарата теории отно-
относительности. (Мы будем писать dt вместо диференциала diy которым мы
пользовались в § 11, так как формулы A1.21) и A1.22) относятся к
координатной системе, по отношению к которой электрон движется).
Для того, чтобы облегчить переход к четырехмерным символам,
перепишем E9.15) в виде
= ~44v2> ^-0, E9.17)
3 с3 ' di ' v '
где под — dW° и — dG° мы будем понимать энергию и импульс той
части волнового поля, которая излучается за время d~. Эта часть поля
распространяется независимо от остального поля. Ее энергия не интер-
интерферирует с энергией, испущенной прежде или потом. Поэтому мы можем
рассматривать излучение, испущенное за время dx, как законченный ряд
волн. Но у такого ряда волн, согласно изложенному в § 58, энергия и
импульс образуют четырехмерный вектор, который мы здесь обозна-
обозначим— dJk. Поэтому мы можем следующим образом объединить оба
уравнения E9.17) в одно четырехмерное векторное уравнение:
Jg- ^V«, E9.18)
Это уравнение является правильным векторным уравнением, которое в
системе координат E9.7) дает уравнение E9.17).
Теперь подставим в E9.18), вместо ускорения v0, измеренного в той
системе, в которой электрон имеет скорость нуль, ускорение v отно-
относительно любой системы координат. Для этого вспомним то, что было
сказано в § 54. Там мы рассматривали четырехмерное ускорение bit у
которого в той системе, где частица неподвижна, три пространственные
318 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
слагающие превращаются в слагающие обыкновенного ускорения, а чет-
четвертая слагающая исчезает; это означает, что
Vo2== 2*i2. E9.19)
Поэтому, пользуясь четырехмерной символикой, мы можем написать
уменьшение в одну секунду энергии и импульса в виде
-S—
С другой стороны, в § 54, исходя из значения bt в любой координат-
координатной системе, мы нашли величину E4.10):
/v • \2
V3- -Xv
2^2 = A-ра)8 • E9.19а)
Переходя к обыкновенным обозначениям и вводя по формуле dx =
= dtY I — Р2 время t, вместо собственного времени, мы получаем два
уравнения:
dW _ 2е* " ' _ ______
т. е. уравнения E9.16).
IV. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
§ 60. Уравнения поля. В отделе Д мы вывели уравнения поля для
медленно движущихся тел, исходя из представлений электронной теории.
Уже в разобранном там частном случае немагнитных тел нам понадо-
понадобилось детальное рассмотрение движения электронов внутри вещества.
Но теория относительности, как впервые показал Минковский,
без каких-либо дополнительных гипотез об атомных явлениях, из
одного лишь требования инвариантности уравнений поля по отно-
отношению к преобразованиям Лорентца, позволяет написать уравнения для
движущихся тел, если они известны для неподвижных тел. В этом
нельзя не усмотреть поразительного успеха теории.
Для неподвижных тел уравнения поля нам известны: это — обыкно-
обыкновенные уравнения Максвелла. В системе отсчета, по отноше-
отношению к которой тело неподвижно, и которую мы будем обозначать
значком °, они гласят:
rot Н° = — D0 4- — j°, div D° = 4тср°,
rotE° = i-B°, divH° = 0.
К ним присоединяются еще соотношения
D° = eE°, В°==|хН° F0.2)
j° = XE°, F0.3)
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
319
если мы ограничимся лишь такими телами, поведение которых опреде-
определяется только тремя материальными константами: \ (электропроводность),
е (диэлектрическая постоянная) и ji. (магнитная проницаемость).
При построении уравнений поля для любой координатной системы
мы будем руководствоваться, согласно Минковскому, аналогией с соот-
соответствующими уравнениями для пустоты (§ 55), в которые должны
превращаться искомые нами уравнения поля в отсутствии вещества,
т. е. при е = ц.= 1,Х = О. В § 55 мы видели, что уравнения поля для
пустоты могут быть написаны в четырехмерной форме, если векторы
поля Е и Н слиты определенным образом в один антисимметричный
тензор. Однако, в нашем случае имеются не 2, а 4 вектора поля,
всего с 12 компонентами, и поэтому естественно предположить, что
здесь, вместо одного тензора поля, следует ввести два таких тензора.
Так как в первых двух уравнениях системы F0.1), в которые входит
заряд, стоят только Н и D, то мы их соединим в один тензор, а из
величин Е и В, входящих в остальные два уравнения, образуем второй
тензор. Итак, мы вводим два тензора Fik и Hik следующим образом:
0 Hz — Ну — ID
Hz 0 Hx —iD
Я, — Я, О — Ш
iD..
iD.
В, —
ВУ
О
— вх
вх
о
IE.
F0.4)
F0.5)
Легко видеть, что обе системы уравнений:
дН,к ¦ дНт
= ^-s., (/=1, 2, 3, 4),
4?lL = O> (/, ft,/, = 1, 2, 3, 4)
F0.6)
в случае неподвижного тела совпадают с уравнениями F0.1), если в этой
системе отсчета вектор тока имеет слагающие
(*,°) = (/Л )у\ А0, ^Р0)- F0.7)
Таким образом, формулы F0.6) представляют в четырехмерном про-
пространстве систему уравнений, которая благодаря соотношениям F0.4)
и F0.5), совпадает в случае неподвижного тела с уравнениями Макс-
Максвелла F0.1). Но согласно основным принципам теории относительности,
уравнения F0.6) должны остаться верными для всех координатных
систем, так что они и являются искомыми уравнениями для дви-
движущихся тел. В пустоте они совпадают с системой уравне-
уравнений E5.15), так как в этом случае Е = D и В = Н, что следует из теории
Максвелла, и что мы позднее покажем еще более подробно, и поэтому
оба тензора Fik и Hik в пустоте совершенно тождественны друг другу
320
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Итак, посредством формул F0.4) и F0.5) мы определили векторы
поля Е, В, Н, D во всех координатных системах. Связь этих векторов
с соответствующими векторами системы отсчета, в которой тело непо-
неподвижно, определяется тензорными свойствами величин Fik и Hik, а именно,
здесь имеют место следующие соотношения:
р Р О D , Р О
X """"" х у ж ""~~ х
D=
1
нх=нх«,
ну = 7Т^?{и>°-
F0.8)
Для определения электрической напряженности Е нужно знать не элек-
электрическую и магнитную напряженности системы, в которой тело непо-
неподвижно, а электрическую напряженность и магнитную инцукцию; этот
результат мы вывели совершенно другим путем в § 43.
Если пренебречь членами порядка р2, то уравнения преобразова-
преобразования F0.8) принимают более простой вид:
= B°-f—ХЕ°,
F0.8а)
Эти формулы мы отчасти уже вывели в отделе Д.
Плотность силы /. для движущегося элементарного заряда полу-
получается из трехмерной плотности силы f°=pE0, действующей на непо-
неподвижные заряды. В инвариантной (четырехмерной) форме это уравнение
имеет вид:
F0.9)
Поэтому, согласно F0.5) и F0.7), трехмерный вектор плотности силы
равен
F0.10)
в согласии с классической электродинамикой.
Особого рассмотрения требует четырехмерный ток si9 три
пространственные компоненты которого в системе, связанной с телом,
представляют, согласно F0.7), ток проводимости]0, а временная
компонента пропорциональна плотности заряда р°. В любой коор-
координатной системе, по отношению к которой тело движется со ско-
скоростью v в направлении оси лг-ов, мы ожидаем кроме тока проводимости
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
321
появление еще конвекционного тока, вызываемого движением
плотности заряда р°. Итак, мы различаем две части, из которых адди-
аддитивно складывается общий ток st: конвекционный ток (s?)K и ток про-
проводимости (^пров- Если мы проследим изменение этих двух частей
тока при переходе от неподвижной (по отношению к телу) системы
к движущейся, то на основании преобразований Лорентца получим сле-
следующую схему:
Si
*2
*3
*4
Конвекционный ток
неподвиж-
неподвижная система
0
0
0
движущаяся
система
0
0
Ток проводимости
неподвиж*
ная система
0
движущаяся
система
л° _ (/}
Jz === С/г:)пров.
О конвекционном токе нельзя сказать ничего нового; он совпадает
с тем током, который был рассмотрен в § 55. Более удивительным
оказывается появление временно-подобной слагающей тока про-
проводимости. Оно означает, что всякий проводник с током, даже
если движущемуся вместе
с ним наблюдателю он ка-
кажется незаряженным (р° = 0),
обладает электрическим за-
зарядом с плотностью
Рпров
(VJnpoe)
— Р2
.F0.11)
по Л а у э. Мировые линии положи-
положительных ионов пунктирные, электро-
нов — сплошные.
Этот результат является прямым
следствием эйнштейновского опре-
определения одновременности, и с по-
помощью этого определения он может Рис. 76. Наглядное толкование рпров,
быть истолкован наглядно. Рассмо-
Рассмотрим, например, неподвижный метал-
металлический стержень, по которому
идет ток в направлении его длины.
В таком стержне положительные ионы неподвижны, а электроны дви-
движутся в направлении, противоположном направлению тока. Таким обра-
образом, если в плоскости (*°, ct°) мы начертим мировые линии электронов
и положительных ионов (рис. 76), то для последних получатся пунктир-
пунктирные прямые, параллельные оси ctQ, а для электронов — наклонные сплош-
Ееккер 5*10 24 21
322 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ные прямые. Вследствие электрической нейтральности стержня из каж-
каждого конечного отрезка его должно выходить в среднем одинаковое
число мировых линий того и другого сорта. Рассмотрим теперь эту
картину с точки зрения движущейся координатной системы с осями Ох
и Oct; окажется, что на данном отрезке оси х число электронов и ионов
уже не будет одинаковое. В случае, изображенном на рисунке, на 11 ионов
приходится примерно 10 электронов, так что стержень оказывается заря-
заряженным положительно.
В § 55 мы вывели в рамках электронной теории теорему, что общий
заряд fpdV определенной области пространства инвариантен по
отношению к преобразованиям Лорентца; эта теорема вы-
вытекает из того, что при переходе от неподвижной системы к движу-
движущейся плотность заряда увеличивается в отношении 1: ]/l — (З2, а объем,
вследствие сжатия Лорентца, во столько же раз уменьшается. Эта тео-
теорема верна, конечно, также и для замкнутого тока, если рассматривать
общий заряд всей замкнутой системы; напротив, она не верна для
части проволоки, через которую идет ток, так как при движении
зарядов различие в определении одновременности с точки зрения двух
разных систем отсчета приводит также к различной величине суммы
зарядов, одновременно находящихся в этой части проволоки. Самый
факт, что общий заряд замкнутой системы инвариантен и, кроме того,
постоянен во времени, непосредственно следует из электронной теории:
в самом деле, заряд отдельных электронов или ионов во всех систе-
системах имеет одну и ту же величину + ?, а с другой стороны,
число ионов и электронов в замкнутой системе не меняется, и, следо-
следовательно, общий заряд с точки зрения всех систем должен быть оди-
наьов и, кроме того, постоянен во времени. Последнее следует также
из уравнения непрерывности для заряда:
|g = 0 или <"vj + -^P = O, F0.12)
которое можно получить из первого уравнения F0.6), производя опера-
операцию div. Интегрирование уравнения F0.12) по всему объему замкнутой
системы дает
Общий заряд системы, которая с точки зрения движущегося с ней
наблюдателя является незаряженной (р° = 0), равен нулю также и для
всякого другого наблюдателя; в каждой замкнутой системе объемный
интеграл той части плотности заряда, которая связана с проводимостью,
равен нулю даже тогда, когда полный заряд этой системы в неподвиж-
неподвижной по отношению к ней системе координат не равен нулю:
0. F0.14)
Для иллюстрации рассмотрим металлическое кольцо, по ко-
которому течет ток у0 и которое лежит, например, в плоскости ху
(рис. 77). Если это кольцо движется со скоростью v в направлении
положительной оси ,v-ob, to, согласно только что полученному резуль-
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ 323
тату, оно несет с собой плотность заряда, которая в половине кольца ABC
везде положительна, а в половине CDA повсюду отрицательна, причем
общий заряд, обусловленный проводимостью, равен нулю. Следовательно,
это кольцо обладает электрическим моментом, направление
которого перпендикулярно к скорости и к оси кольца. Позднее мы вер-
вернемся к этому явлению, которое может быть сформулировано так, что
с каждым движущимся магнитным диполем m (а наше кольцо может
Считаться таким диполем, в том смысле, что на большом расстоянии
от него его магнитное поле имеет характер поля диполя) обязательно
связан электрический ди-
диполь Я
р = уХш. F0.15)
Рассмотрим еще, как учитывается
в четырехмерной форме разделе-
разделение полного тока на ток прово-
проводимости и конвекционный
ток. Пусть полный ток задан век-
вектором S = (si); кроме того, пусть рас-
рассматриваемый пр водник движется со
скоростью, которую мы представим
в виде четырехмерного вектора щ.
Задача состоит в том, чтобы разло-
разложить 5 на сумму 5к + 5пров, так что- Рис. 77. рпров# в движущемся кольце
бы в неподвижной системе (и^= с током.
ь=м2о = и3о == 0, t/4° = к)» конвекцион-
конвекционный ток обладал только временной слагающей, а ток проводимости —только
пространственными слагающими. Для этой цели составим инвариантам^; его
величину проще всего мы получим в неподвижной системе: она равна — с2р°,
т. е., если не считать множителя —- с3, равна плотности в состоянии покоя (р°).
Но мы знаем, что движение заряда с плотностью р° обусловливает конвекцион-
конвекционный ток (St)K = щр°; следовательно, конвекционная часть тока st равна
F0.16а)
так что для тока проводимости получается выражение
Легко убедиться в том, что в неподвижной системе координат четвертая сла-
слагающая тока F0.16Ь) действительно исчезает г).
Результаты, полученные до сих пор, неполны: мы должны еще со-
сообразить, какую форму принимают уравнения связи F0.2) и F0.3)
с точки зрения любой системы. Мы могли бы, конечно, преобразовать
по формулам F0.8) уравнения, написанные для неподвижной системы.
Однако, мы изберем здесь путь, к которому мы в этом параграфе обра-
обращались уже неоднократно, а именно напишем в четырехмерном виде
уравнения, выведенные для неподвижной системы отсчета.
1) См. примечание в конце книги.
324 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Мы начнем с закона Ома, т. е. будем искать инвариантное урав-
уравнение, связывающее поле с током проводимости (я^пров и переходящее
в неподвижной системе в уравнение F0.3). Мы утверждаем, что этому
условию удовлетворяет уравнение
42 F0Л?)
так как оно является правильным четырехмерным векторным уравнением и,
как легко показать, в неподвижной системе переходит в уравне-
уравнение F0.3). В обыкновенной векторной форме первые три слагающие
этого уравнения имеют вид:
^[ (f)] F0Л7а)
В этих уравнениях полем, вызывающим ток, опять оказывается
комбинация Е -f- Г— X В) • Из четвертой слагающей следует уравнение
fcpnp0. = y~^ E -J- = / jnpOB -f . F0.1 7b)
Это — найденное ранее уравнение F0,11) для плотности заряда, связан-
связанной с проводимостью.
Кроме того, подобным же образом легко проверить, что соотно-
соотношения
I F0Л8)
Hikui -f- Hklu i -f Нцик = \l (Fikui -f FkiUi + FiiUk) j
представляют правильные четырехмерные обобщения равенств F0.2).
Благодаря уравнениям F0.18), векторы Е, Н, D, В в произвольной
системе отсчета связаны друг с другом довольно сложным образом.
В обыкновенной векторной форме эти уравнения гласят:
F0Л9)
Решив их относительно векторов D и В, мы получим отсюда однозначно:
что легко можно проверить непосредственным вычислением или подста-
подстановкой F0.20) в F0.10). Из F0.20) видно, что в пустоте (в = jx == 1),
как мы утверждали раньше, D = Е и В = Н, так что в этом случае
оба тензора поля /^ и Н\ь совпадают.
§ 61, Тензор моментов. Мы вывели результаты предыдущего па-
параграфа чисто формальным образом из уравнений Максвелла для непод-
ТЕНЗОР МОМЕНТОВ 325
вижной среды, исходя единственно из требования релятивистской инва-
инвариантности. При этом вообще не было и речи о таких необходимых для
атомистической теории понятиях, как диэлектрическая поляри-
поляризация Р и вектор намагничения М. Теперь мы рассмотрим и эти вели-
величины с точки зрения теории относительности и исследуем, можно ли
наглядно истолковать полученные только-что результаты в рамках элек-
электронной теории. Для этой цели введем тензор моментов Mik
при помощи уравнений
Hik = Ftk+4TzMik. F1 Л)
Если слагающие этого нового тензора расположить в виде схемы
iPx\
iPy\ F12)
\—iPx—iPy—iPz 0 /
то непосредственно видно, что уравнение F1.1) тождественно уравне-
уравнениям максвелловской теории
0
Мг
М
м2
0
—му
мх
В-D-**. F1-3)
Из четырехмерной формулировки сразу получаются для намагничения и
поляризации общие формулы преобразований. Если мы опять обозначим
буквами Р° и М° диэлектрическую поляризацию и намагничение, изме-
измеренные наблюдателем, движущимся вместе с рассматриваемой средой, то,
согласно формулам E4.26), другой наблюдатель, который движется
относительно этой среды со скоростью v в направлении оси лг-ов, нашел бы
для поляризации и намагничения следующие значения:
Я» ро м м о
F1.4)
Эти формулы представляют своеобразную связь между двумя рассмат-
рассматриваемыми трехмерными векторами. В частности, электрически поля-
поляризованное, но ненамагниченное тело представляется движуще-
движущемуся относительно него наблюдателю еще и намагниченным. На-
Наоборот, тело, которое в неподвижной относительно него системе отсчета
только намагничено (например, намагниченный железный стер-
стержень), приобретает при своем движении электрический момент.
Рассмотрим сначала более подробно случай, когда тело, которое вне-
подвижной относительно него системе электрически
поляризовано, но ие намагничено. Из наших прежних рас-
рассуждений в § 43 следует, что при движении эта поляризация приба-
прибавляет к общему току величину P-f-rot HP X —), так что первые три
326
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
уравнения Максвелла (для медленно движущихся тел) можно написать
в виде
rot
[B-4*(
px
!Г- F1-5)
Этот же результат мы получим теперь с помощью только что выведен-
выведенных формул преобразований F1.4), если мы ограничимся в них малыми
скоростями ((^<С^1)- В том случае, когда тело в неподвижной системе
не намагничено (М° = 0), вообще говоря, имеют место соотношения:
о о
"TTQ2 " *
р о
Р =
Vi-i
\
мх=о,
Рг°>
о о
F1.6)
Следовательно, в предельном случае
малых скоростей получается:
Р = Р°, м = Р°Х— .F1.6а)
с
Если мы подставим этот результат
в уравнение Максвелла F1.5) и при-
примем во внимание связь между В и Н,
даваемую уравнением F1.3), то по-
получим простое соотношение
rotH ^-
F1.5a)
которое является первым уравнением
поля для медленно движущихся не-
немагнитных тел, в полном согласии
с результатами электронной теории
в § 43. Следует заметить, что даже
и в немагнитных телах векторы В
и Н уже не равны друг другу, а
отличаются на вектор намагничения
РХ-"
который в этом случае не
Рис. 78. Движение по кругу F1.8)
с точки зрения двух систем отсчета.
равен нулю. Это различие между
В и Н в немагнитных телах не было учтено в первоначальной теории
Лорентца, а поэтому уравнения этой теории нельзя считать правиль-
правильными.
Теперь рассмотрим тело, которое в неподвижной системе отсчета н е
обладает электрическим моментом, а имеет только маг-
магнитный момент; например, рассмотрим движение постоянного маг-
ТЕНЗОР МОМЕНТОВ 327
нита. В этом случае формулы F1.4) дают новый результат, которого
нельзя было ожидать в классической электронной теории:
°у-уТ^М^' му~уТ^М>'*
р. = ..!- м• ж. = -i_
1^1 р2 * " У\ р
f.
*
F1.7)
Если мы и здесь ограничимся членами первого порядка относительно
fi, то найдем, что движущийся постоянный магнит несет с
собой электрический момент
?) F1.7а)
Уясним себе этот эффект, рассматривая отдельный атом, магнитный момент
которого вызывается электроном, движущимся по круговой орбите. Пусть ор-
орбита этого электрона в системе отсчета, неподвижной по отношению к атому,
дана уравнениями
- F1.8)
= г'sin о>7'. v '
Следовательно, электрон описывает круговую орбиту радиуса г\ лежащую в
плоскости (х'У), двигаясь с частотой <*>'. На рис. 78 изображена проекция ми-
мировой линии электрона на плоскость (xr, ct'). Ось у1 следует представлять себе
направленной нормально к плоскости чертежа. Точки O',*l', 2f..., отмеченные
на рис. 78, являются теми точками, в которых электрон проходит через плос-
плоскость х', ct1, т. е. точками с координатой у' = 0. Само у1 от точки Г до точки 2'
положительно, а от 0' до Г и от 2' до 3' — отрицательно, и т. д. Проекции
этих точек на ось с? находятся, конечно, на равных расстояниях, так как элек-
электрон находится в области положительных значений у' так же долго, как и в
области отрицательных значений. С ре д нее значение у1 за большой
промежуток в р е м ен и равно ну л ю.
Если теперь перейти к другой системе отсчета, относительно которой атом
движется по оси *-ов со скоростью!;, то, согласно Минковскому, это
означает пересчет этого графика к другой системе координат, оси которой по-
повернуты на угол <р == arctg p относительно старых. При этом координаты .у не
изменятся, и точки 0', 1', Т будут и в новой системе точками пересечения
мировой линии с плоскостью х, ct. Изменятся, однако, моменты времени этих
пересечений, что видно из проекций 1, 2... этих точек на новую ось t Путь
от точки 2 до 3 электрон проходит теперь гораздо дольше, чем путь от 1 до 2.
Если он находится между точками 1 и 2 в области у>0, то среднее зна-
значение^ за весь период движения, равное У — ^х I j/^будег отри-
отрицательным. Появление отличного от нуля среднего значения .у означает
существование электрического момента. В самом деле, ядро всегда лежит
в плоскости х, ct(y=zO), а электрон, в среднем, в плоскости у*=у. Величина
электрического момента есть р = — еу, а его направление в данном случае
совпадает с осью у, т. е. перпендикулярно к направлению движения.
328 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Появившийся электрический момент легко вычислить. Для этого применим
формулы преобразований Лорентца к уравнениям движения F1.8); тогда полу-
получим следующие три уравнения движения в новой системе отсчета:
— х' + vi* — 2Ё + r' cos **'*
— р2 1/1 Р2
у=у' = г'sin оO',
V -\—г- V -\—j- cos о>'(
F1.9)
Среднее значение у в новой координатной системе определяется из
равенства
т
ydt
dt
В последнем уравнении F1.9) время t дается как функция t\ так что мы полу-
получаем для искомого среднего значения формулу:
г 2с»
/ш
Умножение на заряд дает электрический момент движущегося
атома:
ру = -ф = ™?-. F1.10)
Магнитный момент, связанный с орбитальным движением F1.8), вычисляется
по простой формуле m = S —, где S — площадь орбиты, a J— количество элек-
электричества, которое проходит в 1 секунду через какое-нибудь поперечное сече-
сечение пути тока. Поэтому магнитный момент нашего атома равен
Таким образом, электрический и магнитный моменты действительно связаны
соотношением
Py = — mzlL9 р=~/йХу. F1.11)
Если мы еще раз сравним два совершенно симметричных результата
F1.6) и F1.7), полученных с помощью теории относительности, то
увидим, что формула F1.6а) с точки зрения классической электронной
теории непосредственно понятна, между тем как для формулы F1.7а)
существенно необходимо эйнштейновское понятие времени. Из рисунка 78
УНИПОЛЯРНАЯ МАШИНА 329
сразу видно, что электрического момента никак нельзя было бы полу-
получить, как того требует формула F1.7а), если продолжать придержи-
придерживаться понятия абсолютной одновременности.
§ 62. Униполярная машина. В § 45 мы познакомились с опытами
Эйхенвальда. Эти опыты доказывают, что при движении поляризо-
поляризованного диэлектрика возникает такое же магнитное поле, как если бы
диэлектрик обладал намагничением
Этот эффект совершенно понятен уже на основании примитивной
электронной теории, но обратный эффект, а именно эле-
электрическая поляризация движущегося магнита, равная
ХМ\ F2.2)
получается только как следствие теории относительности.
В литературе по теории относительности нет указаний на эксперимен-
экспериментальное доказательство реального существования этого второго эффекта.
Поэтому можно было бы думать, что вследствие своей незначительности
он до сих пор не поддавался наблюдению. Но на самом деле эффект,
описываемый формулой F2.2), уже давно известен в технике под наз-
названием „униполярной индукции". Поляризация, определяемая
формулой F2.2), не принадлежит к числу явлений, которые возможно
обнаружить только посредством очень тонкой методики измерения: на-
напротив того, она позволяет технически получать токи, измеряемые
тысячами ампер. Обычные описания униполярной индукции, встречаю-
встречающиеся в технической литературе, не объясняют того, что при этом речь
идет по существу о релятивистском эффекте F2.2).
Техническая схема униполярной машины состоит из цилиндрического
железного тела, которое вращается вокруг своей оси и намагничено
параллельно ей. При помощи скользящих контактов А (на оси) и В
(на экваторе) можно снимать ток, э. д. с. которого обыкновенно вычи-
вычисляется по следующему правилу: необходимо применить закон индукции
§ (Eds) = —T^f/BndS F2.3)
к материальному контуру интегрирования ACBVA. Этот контур за
время dt переходит в ACB'VAy причем угол САС равен mdt (о> — угло-
угловая скорость). Следовательно, приращение потока f Bndt за время dt
равно тому потоку, который протекает через часть поверхности
тела АСВВ'СА. Этот поток равен
в
<s>dtfr\BXds\,
а, значит, э. д. с. равна
в
^f\s\. F2.4)
330
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
При этом путь интегрирования от Л до В проходит по меридиан-
меридианной плоскости, содержащей обе эти точки; г есть расстояние элемента
длины ds от оси вращения. Но на самой меридианной плоскости
путь интегрирования можно выбрать произвольным образом. Это сразу
вытекает из условия divB = 0 или же из того обстоятельства, что на-
направление В всегда лежит в меридианной плоскости.
Впрочем, ту же самую величину разности потенциалов между точ-
точками А и В можно вывести и иным путем, рассматривая свободные
электроны в металле. Последние движутся вместе с металлом со ско-
скоростью v. Следовательно, на них действует сила Лорентца — v0 X В.
с
Равновесие может существовать только тогда, когда внутри металла эта
сила везде компенсируется электрическим по-
— X В. Таким образом, между точ-
должна существовать разность
лем Е
ками А и В
потенциалов
в
— — J(vX
А . А
В
= ~/Ч(ВХ*0, F2.4а)
Рис. 79. Схема унипо-
униполярной машины.
что совпадает с полученным выше результа-
результатом, так как |v| равно or, и оба вектора v и
ВХЛ нормальны к плоскости меридиана. За-
Заметим еще без доказательства, что вычислен-
вычисленный здесь потенциал внутри вращающегося же-
железного тела, обладающего осевой симметрией,
может быть представлен также в виде <р =
= —«А, если А есть вектор-потенциал маг-
магнитной индукции В (В = rot А).
Этот несомненно правильный способ вычисления электрического поля
мы для наглядности разберем подробно не в случае вращающегося
магнита, а в случае поступательно движущегося железного стержня.
При этом мы прежде всего попытаемся выяснить, каким образом воз-
возникает электрическое поле. Рассмотрим очень длинный железный брусок
с прямоугольным сечением. Пусть его продольная ось будет осью д:-ов
и пусть стержень намагничен в направлении оси уу так что его верх-
верхняя поверхность представляет северный полюс магнита, а нижняя —
южный. Если этот стержень движется в направлении оси х со ско-
скоростью v, он может служить нам в качестве униполярной машины.
Между скользящими контактами, находящимися в точках Л и Б, полу-
получится э. д. с, равная
- f jBnds.
УНИПОЛЯРНАЯ МАШИНА
331
Вместо того чтобы говорить об этой э.д. с, можно задаваться вопросом
об электрическом поле Е вблизи поверхности движущегося бруска.
Электротехника, используя упрощенную форму принципа относитель-
относительности, дает на это следующий ответ: на неподвижный заряд со стороны
движущегося бруска действует такая сила, которая возникла бы в том
случае, если бы был неподвижен брусок, а заряд двигался со ско-
скоростью V, Но в этом случае сила равнялась бы е — X В. Следо-
Следовательно, движущийся брусок тоже вызывает электрическое поле, равное
l«-fXB.
F2.5)
Иногда говорят также, что для силы должно быть безразлично, дви-
движется ли заряд относительно силовых линий или силовые линии дви-
движутся относительно заряда.
№
В последнем случае мы пред-
представляем себе, что силовые
линии движущегося магнита
движутся как прикреплен-
прикрепленные к нему шипы. Но это
несовместимо ни с какой
теорией поля, потому что
поле В, которое вызывает
длинный движущийся бру-
брусок в месте нахождения элек-
электрона, постоянно во
времени. Следовательно,
производя измерения вблизи
заряда, мы не можем ре-
Рис. 80. Униполярная машина с поступатель-
поступательным движением. Электрическая поляризация
Р = — v X М равномерно движущегося маг-
с
нита.
шить, находится ли брусок
в покое или движется. Та-
Таким образом причина возникновения поля F2.5) остается при этом со-
совершенно непонятной. На самом же деле поле имеет чисто элек-
электростатическую природу: оно вызывается электриче-
электрической поляризацией магнита, возникающей согласно
уравнению F2.2). На рис. 80 эта поляризация направлена так, что
передняя поверхность стержня заряжена положительно, а задняя —
отрицательно.
Убедимся в том, что вызываемое этими зарядами поле как раз опи-
описывается уравнением F2.5). Для упрощения доказательства будем рас-
рассматривать Ми Р как непрерывные функции координат; поверхно-
поверхности разрыва, если они существуют, мы заменим непрерывным пере-
переходом. Так как каждое векторное поле однозначно определяется своей
расходимостью и вихрем, то достачно показать, что поле F2.5) удо-
удовлетворяет уравнениям
div E = — 4icdivP, rotE
F2.6)
332 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Так как v есть постоянный вектор, то, согласно известным правилам
векторного исчисления, из F2.2) вытекает:
div Р = — rot M.
С другой стороны, rotB = 4irrotM (так как вихрь вектора Н =
= В — 4гсМ, ввиду отсутствия токов проводимости, равен 0). Стало быть,
согласно F2.5), имеем:
Этим мы доказали первое уравнение F2.6). Для доказательства второго
уравнения F2.6) воспользуемся векторным равенством, верным для лю-
любого постоянного вектора:
-rot (JL X В) = ?- div В + \ (v grad) В.
Здесь div В всегда равно нулю. Второе слагаемое исчезает в случае
бесконечно длинного бруска, потому что в этом случае В не может
зависеть от х. Следовательно, F2.5) в самом деле совпадает с элек-
электростатическим полем, описываемым формулами F2.6).
Впрочем, уравнение F2.5) остается верным также в том случае,
когда, вместо длинного бруска, движется со скоростью v постоян-
постоянный магнит произвольной формы. Только в этом случае вихрь
поля уже не равен нулю, а на основании только что написанного урав-
уравнения, равен
rotE = —(v grad) В.
с
Но так как для наблюдателя, движущегося вместе с магнитом, полное изме-
изменение В, т. е. B-J-(vgrad) В, равно нулю, то rotE = В, как того
с
требует закон индукции. Разумеется, поле F2.5) существует и внутри
железа. Действие этого поля на движущиеся вместе с магнитом элек-
электроны проводимости компенсируется силой Лорентца.
Явление, которое давно было известно технике и которое заклю-
заключается в том, что движущийся магнит вызывает электрическое поле,
фактически стало понятно только благодаря релятивистской фор-
формуле F2.2). Последнюю же, как мы видели в предыдущем параграфе,
можно считать непосредственным следствием эйнштейновского
определения одновременности.
V. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 63. Механика материальной точки. В § 49 мы показали, что
основные уравнения ньютоновской механики инварианты по отношению
к преобразованию Галилея. Главное свойство этого преобра-
преобразования заключается в том, что две скорости складываются просто по
правилу сложения векторов: если наблюдатель приписывает какой-нибудь
материальной точке скорость и', а сам при этом движется со ско-
скоростью v по отношению к другому наблюдателю, то последний при-
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 333
пишет той же материальной точке скорость u = v-}-u'. В противо-
противоположность этому, принцип относительности Эйнштейна вместе с резуль-
результатом опыта Майкельсона привел, как мы видели выше, к тому, что
все законы природы должны быть инвариантны по отно-
отношению к преобразованию Лорентца, так что, в частности,
эйнштейновская теорема сложения скоростей должна обладать универ-
универсальной применимостью. Поэтому мы и не можем больше считать ста-
старые ньютоновские уравнения точными законами природы, а должны
попытаться их переделать таким образом, чтобы и они также удовле-
удовлетворяли требованиям принципа относительности. При этой переделке
следует руководствоваться тем, что новые уравнения должны
переходить в предельном случае малых скоростей
в старые уравнения Ньютона. В самом деле, все предсказывае-
предсказываемые теорией относительности отступления от классической электронной
теории действительно стремятся к нулю при уменьшении скоростей.
Мы начнем с рассмотрения движения материальной точки
в заданном силовом поле. Ньютоновские уравнения движения
гласят:
т~ = F. F3.1)
Из этих уравнений вытекает, как известно, закон сохранения
энергии:
*/ 4- mv2) = F- v, F3.2)
dt \ 2 ) ; v '
который утверждает, что изменение кинетической энергии материальной
точки в единицу времени равно работе, произведенной силой в единицу
времени. Теперь сообразим, каким образом можно придать этим уравне-
уравнениям релятивистски инвариантную форму. Для этого можно исходить из
двух различных точек зрения: можно или попытаться непосредственно
придать уравнению F3.1), относящемуся к материальной точке, реляти-
релятивистскую форму, или же исходить из основных уравнений электро-
электродинамики и воспользоваться ранее выведенным там понятием плотности
силы. В § 45 мы уже подробно рассмотрели закон преобразования
электродинамической плотности силы. Непосредственное перенесение
этого закона преобразования на плотность силы в механике на первый
взгляд может показаться рискованным. Но принцип относитель-
относительности как раз требует, чтобы закон преобразования
для всех сил, независимо от их происхождения, был
одинаков, так как равновесие между различными силами, действую-
действующими на материальную точку, является объективным по своей природе
фактом, независящим от какой бы то ни было координатной системы.
Если бы закон преобразования был различен для разного рода сил,
то могло бы случиться, что движущиеся друг относительно друга наблю-
наблюдатели давали бы противоречивые показания о состоянии равновесия.
Сначала мы пойдем по первому пути, т. е. непосредственно
перепишем уравнения движения F3.1) в релятивистской
334
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
форме. Для этой цели заменим скорость v четырехмерной скоростью и§
с компонентами
F3.3)
Кроме того, введем вместо элемента времени dt, зависящего от коорди-
координатной системы, инвариантное собственное время Л. Инерцию мате-
материальной точки мы также охарактеризуем здесь связанной с нею
инвариантной массой, которую обозначим буквой т0. Тогда мы
получим уравнения движения в четырехмерной форме, найденные впер-
впервые Минковским:
=1> 2> 3'
F3.4)
В правой части стоит четырехмерный вектор Ft, который обычно назы-
называют вектором силы Минковского. Для того чтобы найти
физический смысл измененных таким образом уравнений движения и
сделать возможным сравнение их с уравнениями F3.1), заменим
собственное время di на dt "jA—(З2; тогда производная от четырех-
четырехмерной скорости по времени в рассматриваемой координатной системе
будет удовлетворять уравнению:
F3.5)
Если подставить сюда, вместо слагающих к,, их значения из F3.3), то
получатся первые три уравнения движения в следующем виде:
F3.6)
0 dt у 1 pa * г
у 1 _
ttlft
ТПь
dt /flT
)
Связь между первыми тремя слагающими силы Минков-
ского Ft и трехмерным вектором силы F определяется равенством
(F19 F2, Fs) = rF_ . F3.7)
Для того чтобы найти смысл также и четвертой слагающей
вектора Fit помножим уравнение движения F3.4) на и{ и просум-
просуммируем по / от 1 до 4. Вследствие тождества 2 «j2 — — с2 левая сторона
даст нуль, и, следовательно,
\FiUf.
ИЛИ
F-v , Fife
z S5H -р~
F3.8)
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
335
Таким образом четвертая слагающая силы Минковского имеет следую-
следующий смысл:
F3.7а)
Стало быть, четвертое уравнение движения F3.4) имеет вид:
dt -у\
__F v
р2
F3.9)
Правая сторона этого уравнения совпадает с правой стороной урав-
уравнения энергии F3.2) в классической механике. Поэтому
мы будем считать энергией нашей материальной точки выражение
F3.10)
так как производная по времени от этого выражения равна работе
внешней силы в единицу времени. Если мы развернем энергию Е в ряд
по возрастающим степеням отношения — = (S, то получим:
F3.10а)
Впоследствии мы назовем первый член этого ряда, т. е. т0с2, энер-
энергией материальной точки в состоянии покоя. Энергия
в состоянии покоя является величиной, не меняющейся во время дви-
движения; для динамики нашей точки она не имеет никакого значения.
Второе же слагаемое совпадает с обыкновенной кинетической
энергией в классической механике. Поэтому, если ограничиться
малыми скоростями, то энергия Е, если не считать аддитивной
постоянной, действительно равна кинетической энергии в старом смысле.
Позднее мы увидим, что и эта аддитивная постоянная имеет глу-
глубокий физический смыса. С формальной точки зрения это видно уже
из того, что, умножая вектор четырехмерной скорости ий на скалярную
нулевую массу /я0, мы получаем новый четырехмерный вектор Jk>
слагающие которого имеют следующие значения:
О — mov*
_ tTlpVy
J,'
J _Q go?*—
F3.11)
336 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Таким образом первые три слагающие вектора Jk дают вектор
механического импульса О, четвертая же слагающая — вели-
величину — Е. Инвариант этого вектора равен
4
2Л2 = — т02с2. F3.11а)
k—i
Если мы хотим связать динамику материальной точки с понятием
плотности силы, то для этого необходимо- сперва заменить мате-
материальную точку континуумом и задать скалярную функцию координат [х0,
которую мы назовем плотностью нулевой массы этого конти-
континуума. Так как на основании результатов электродинамики плотность
силы ft есть четырехмерный вектор, то уравнения движения предпола-
предполагаются в виде:
ft>3?=/< F3.12)
(это уравнение относится к рассматриваемому элементу массы конти-
континуума). Если четырехмерная скорость иг постоянна на всем трехмерном
протяжении этого континуума, то, интегрируя уравнение F3.12) по
всему трехмерному объему, можно получить уравнение движения всего
тела. Для этой цели умножим уравнение F3.12) на элемент неподвиж-
неподвижного объема dVQ= —. Тогда, введя сокращенное обозначение
то = fpodVOi мы получим уравнение движения всей материальной точки
в виде:
л» /мд_ F313)
Если ввести теперь результирующую трехмерную силу, а именно:
/ !V* Fz=$hdV9 F3.13a)
то, принимая во внимание формулу F3.7), мы опять получим уравне-
уравнения движения F3.4), выведенные Минковским.
Наиболее интересный результат релятивистской механики заклю-
заключается в возрастании инертной массы со соростью.
А именно, новые уравнения F3.11) для импульса можно написать также
в привычной форме G = mv, если считать, что сама масса т зависит
от скорости:1
щ
F3.14)
При этом для малых скоростей она равна нулевой массе, а с при-
приближением v к скорости света стремится к бесконечно
большим значениям. С таким поведением массы мы уже позна-
познакомились при рассмотрении электромагнитного поля, переносимого
электроном. Подобное возрастание массы действительно наблюдалось на
1 См. примечание в конце книги.
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМв 337
опыте у очень быстрых катодных лучей, а в особенности
у fJ-лучей радиоактивного распада. (Вспомним, что говорилось
в конце § 10 о влиянии эффекта изменения массы на опыты Кауфмана
с отклонением электронов). До появления теории относительности счи-
считали, что такое поведение электрона является доказательством электро-
электромагнитного характера его массы. Теперь же мы видим, что эта зави-
зависимость от скорости является совершенно общим за-
законом для любой инертной массы, независимо от того, какое
она имеет происхождение: электромагнитное или нет.
§ 64. Релятивистские уравнения движения в гамильтоновой
форме. Если учесть только что доказанную зависимость массы от ско-
скорости, то уравнения движения электрона в данном
поле Е и Н принимают следующий вид:
В этом параграфе мы перепишем эти уравнения в форме Гамильтона
не изменяя нисколько их физического содержания. С гамильтоновой
формой в случае C2<С^1 мы познакомились ранее в § 12. Общий слу-
случай произвольно большой скорости, который мы рассмотрим здесь,
имеет большое значение для некоторых приложений в квантовой
механике.
Уравнение F4.1) в четырехмерной форме имеет вид:
2
k
Здесь Ф^ есть вектор-потенциал, из которого выводится поле (Е, Н) по
формуле E5.12). Движение можно описывать, задавая или четыре вели-
величины х19 х2, хв, х4 как функции от собственного времени т, или же
три координаты х, у, z как функции от обычного времени t\ со-
соответственно этим двум возможностям, можно искать функцию
Гамильтона в двух видах: или как функцию от восьми пере-
переменных, а именно — от четырех координат и четырех импульсов:
%'(xlt...xtpv...pi), F4.3)
и выводить из нее уравнения движения
или же — соответственно трехмерной форме F4.1) — в виде функции
только от семи переменных:
%(х9 у, г\ рх, ру, pz; /), F4.4)
с уравнениями движения
dt~dpx> ~df— дх' (о*ль)
Мы сначала найдем функцию %', фигурирующую в F4.3) и F4.3а),
а затем выведем из нее „настоящую** функцию Гамильтона % F4.4).
Беккеп 5810 2 22
338 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Промежуточным звеном между F4.2) и уравнениями Гамильтона
F4.3а) является лагранжева форма уравнений, которую мы прежде всего
и выведем. Потенциалы Ф/ заданы как функции четырех координат лг^.
Если мы предположим, что они измеряются всегда в точке, где нахо-
находится электрон, то они окажутся функциями одного только собствен-
собственного времени т, если четыре координаты электрона Хъ заданы как функ-
функции от т. В этом случае
di ~~ 2л dxk dx "~ jU dxk Ufc'
k k
Уравнение F4.2) можно поэтому написать в виде:
<* / ? е /ь N * V дФь
л Г°в' +T ф<) = ТАТх* "*• F4-5>
(В виде упражнения выясните физический смысл четвертого из этих
уравнений в случае поля, постоянного во времени!). Эти уравнения
эквивалентны уравнениям
d ( dL \ Ы
~dz\dZl)-'dxi> F4-6)
если мы введем функцию Лагранжа L от восьми переменных
«1- --^ хг...хА:
L (xh m) == 2( тоиь2 + у и*ф*) • F4.6а)
k
Теперь определим четыре импульса Pj,.-.p4 ПРИ помощи соотношений
Л = |4 = «.«*+ГФ* F4.7)
и предположим, что эти четыре уравнения решены относительно щ.
Полученные таким образом функции и^(хи. , .х±; plf. . .р4) подставим
в функцию L. Тогда мы можем ввести функцию %' от хъ...х^
pv . .. р4 по формуле
ЗС'(*|, л) = 2ра«* — ?. F4.8)
Мы утверждаем, что уравнения F4.3а), построенные с помощью этой
функции, фактически совпадают с уравнениями движения F4.2). Дока-
Доказать это можно, если продиференцировать F4.8), принимая во внима-
внимание F4.6) и F4.7):
dxt ~~ ZiPk dxi dxt
k k
duk \}dL diik dxt
Этим мы доказали эквивалентность уравнений Гамильтона, построенных
с помощью функции F4.8), и уравнений Лагранжа F4.6).
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ФОРМЕ 339
Подставляя вместо р^ вырзжение F4.7), mi/ получим %' в явном
виде:
Т <** Л) = -Ш-о S (** - 7
Численное значение функции %' всегда равно —^у-, так как, со-
согласно F4.7), р <&k=zmQUk, а четырехмерный вектор и& удовле-
удовлетворяет соотношению 2Й*8== — с2-
Соотношение
связывающее восемь величин х\9... л:4; р2,. . .р4» дает нам возможность
найти функцию %, т. е. F4.4). Если мы сначала составим из F4.9) два
первых уравнения:
и разделим их почленно на уравнение
то получим:
ОТ дТ
dx1_dp1 dpt_ дх, (м 1П
d/74 дрА
Предположим теперь, что уравнение F4.10) решено относительно pv
Это дает функцию от семи переменных
> х» *з> *6 Pi> Ръ> Ръ)> F4.12)
которая, при подстановке в уравнение F4.10), превращает его в то-
тождество. Но так как F4.10), вплоть до аддитивной постоянной т02с2 и
множителя^—, совпадает с %'% то, ввиду F4.12), мы получаем семь
уравнений:
W ЭТдр, (*-1,2,3,4).
дХ d%'dPi_
Wr + ^Wr~0' (Г-1> 2> 3)-
Таким образом наши уравнения F4.11) можно переписать в виде:
dx1__dp± dpt = др4
dx± дрх' dxi ж дх± '
340 теория относительности
Если заменить еще л:4 на ict и полЪжить % (х, yt z\ рХ9 ру, pz\ t) =
= — icpi(x1, x2, xg, х4; pu /?2, ps), то получатся уравнения движения
в форме F4.4а). Если в F4.10) заменить четырехмерный потенциал
величинами Ах> Ау> А2, кр, то мы найдем функцию Гамильтона F4.4),
решив уравнение
Из него получается
r (|J F4.13)
где А и ср следует считать данными функциями от xf yy z, t. Посред-
Посредством вычисления можно убедиться в том, что уравнения F4.4а), если
туда подставить функцию F4.13), в самом деле приводят к F4.1).
При малых скоростях член т02с2, стоящий под корнем, значительно
больше остальных. В этом случае, вместо выражения F4.13), можно
применять приближенное выражение:
Ж = т->с* + е? + ±(р-±А)\ F4.13a)
Уже в § 12 мы доказали, что из F4.13а) вытекают уравнения движе-
движения в нерелятивистской форме, т. е.
§ 65. Эквивалентность энергии и массы. В F3.11) мы имели
четырехмерный вектор Л, устанавливающий инвариантную связь между
энергией и импульсом отдельной материальной точки. В координатной
системе, в которой трехмерный импульс G равен нулю, мы имеем:
/о /о /о о /о *^о
если через Ео обозначить энергию в состоянии покоя. Если же мы
будем рассматривать материальную точку в координатной системе, по
отношению к которой она движется со скоростью v в направлении по-
положительной оси л*-ов, то из преобразований Лорентца, примененных
к четырехмерному вектору J, следует:
или ь трехмерной формулировке:
U~ ~уТ=Грс*> Ь—YfZfp7- F5Л)
Наши результаты, написанные в этой форме, допускают широкое и
далеко идущее обобщение, с которым мы познакомимся в этом пара-
параграфе на нескольких простых примерах. Это обобщение заключается в
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И МАССЫ 341
утверждении, что всякая замкнутая система, которой сле-
следует приписать „энергию в состоянии покоя" Ео, одно-
временно с этим обладает инертной массой
= гГ-
F5.2)
При этом под энергией в состоянии покоя понимают полную энергию
в такой координатной системе, в которой результирующий импульс G
равен нулю. Применительно к частному случаю чисто электро-
электромагнитного поля (ограниченный ряд волн) правильность утвер-
утверждения F5.2) уже была доказана в § 58. Теперь мы увидим на двух
примерах из механики, что инертная масса в смысле уравнения
F5.2) соответствует и тепловой энергии.
В качестве первого примера рассмотрим систему мате-
материальных точек, между которыми могут происходить
упругие удары, т. е. рассмотрим модель, подобную той, которая
изображает идеальный газ в кинетической теории газов. Если мы обо-
обозначим отдельные неподвижные массы буквами /иД т20.. ¦, а их ско-
скорости буквами Vi, v2..., то в классической механике при на-
наличии упругих ударов имеют место законы сохранения энергии и им-
импульса:
G = ^ ms°vs = const, E = ^^ms°\s2 = const.
Эти два закона в теории относительности сливаются в один
закон, гласящий, что четырехмерный вектор полной энер-
энергии и полного, импульса
Jt = 2**>,.i (/ — 1, 2, 3, 4) F5.3)
s
не меняется во времени. Отсюда следует, что в трехмерной
формулировке закону сохранения энергии и импульса удовлетворяют
величины:
F5-3а)
Рассмотрим наш газ в такой координатной системе, в которой он как
целое неподвижен, т. е. в которой механический импульс G0 = 0. Если
в этой координатной системе обозначить скорость 5-ой газовой моле-
моле/ то энергия газа в этой системе равна
Е __?./о_У Bs°c2
1 ~ГГ7^И'
с2
Если мы теперь будем рассматривать этот газ с точки зрения системы
отсчета, относительно которой он движется со скоростью у, то, согласно
342
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
известным формулам преобразований, получатся следующие выражения
для импульса и энергии в этой системе:
F5.5)
С»
Результирующий импульс имеет обычный вид G = ?. , если
всему газу приписать „нулевую" массу, равную
Mrs
F5.6)
с*
Если рассматривать газ не как механическую систему, а с точки зре-
зрения макроскопической теории тепла, как сплошное тело с определен-
определенным количеством энергии, то в наших результатах, конечно, ничего не
изменится. Но из уравнений F5.6) мы видим, что в нуле-
нулевую массу всего газа входят не только нулевые массы
отдельных молекул, но и их общая кинетическая энер-
энергия, которая с макроскопической точки зрения экви-
эквивалентна содержащейся в теле тепловой энергии.
Мы докажем этот важный результат еще и другим способом, а именно
с помощью эйнштейновской т е о р е м ы сложения скоростей, при по-
помощи которой мы получим тот же результат, не пользуясь, однако, понятием
энергии. Мы будем употреблять те же обозначения, что и раньше, и только
положим для простоты, что во второй системе газ движется со скоростью v
в направлении оси х-ов. Теперь применим теорему сложения скоростей для
вычисления, на основании скорости в неподвижной системе, скорости vs в си-
системе, движущейся по отношению к газу. В § 51 мы вывели для этого фор-
формулы:
F5.7)
1 +
1 + -
С*
Отсюда, как это легко показать, следует:
с»
<**
F5.8)
Результирующий импульс любой системы точек определяется равенством
G= V—;H!i^=-. F5.9)
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И МАССЫ 343
Если сюда подставить значения F5.7) и F5.8), то, принимая во внимание F5.4),
мы получим для импульса соотношения:
& У с2
v E°
v~-
- = Oy° = Of F5.10)
С*
в точности совпадающие с F5.5). В этом выводе вообще не было и речи об
энергии; напротив, мы вывели здесь нулевую массу нашего газа из одной лишь
релятивистской теоремы сложения скоростей.
Таким образом, мы проверили уравнение F5.2) в том частном слу-
случае, когда тепловая энергия состоит только из кинетической энергии
свободных газовых молекул. Общая масса всего газа действи-
действительно увеличивается, если увеличивается средняя
кинетическая энергия отдельных атомов.
Теперь убедимся на примере неупругих ударов, что эта связь
тепловой энергии с инертной массой совершенно независима от каких
бы то ни было специальных молекулярных представлений о механизме
теплового движения. Мы рассмотрим частный случай неупругого удара,
когда два материальных шара сталкиваются так, что после столкновения
они начинают двигаться вместе. С точки зрения механики Нью-
Ньютона этот процесс описывается законом сохранения импуль-
импульсов. Пусть, например, т1 и т2 — массы сталкивающихся шаров, \t
и v2 — их скорости до столкновения, a v — их общая скорость после
столкновения; тогда можно применить закон импульсов:
(т1-|- т2) v = mlv1 -f- w2v2. F5.11)
Закон сохранения энергии классической механики здесь, конечно, уже
не имеет места: при столкновении кинетическая энергия теряется, пре-
превращаясь в тепло. Количество энергии W, превратившееся в тепло,
равно разности кинетических энергий до и после удара, а потому, со-
согласно F5.11), мы имеем:
2^=ад2 +ВД2 -К + щ) V2 = ,^+w, (Vi-Vi)8. F5.12)
Может появиться искушение придать закону сохранения импульсов
F5.11) ньютоновской механики релятивистскую форму, введя четырех-
четырехмерные скорости и?\ uf* и щ и нулевые массы покоя т^ и т«Д а
именно, написать
344 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Хотя такое уравнение в самом деле релятивистски инвариантно, но оно
бессмысленно, в чем легко убедиться, рассматривая его четвертую сла-
слагающую. Четырех уравнений для определения четырех слагающих ско-
скорости щ слишком много, так как между слагающими всегда должно
существовать соотношение 2uUi = — с*9
Поэтому мы можем придать закону сохранения импульсов F5.11)
лишенную противоречий четырехмерную форму только в том случае,
если допустим, что нулева я масса М° двух объединившихся
после столкновения шаров отличается от суммы их
нулевых масс до удара. Тогда в четырехмерной формулировке
мы получим:
mfuP + mfufb^JHPUi (*=1, 2, 3, 4). F5.13)
По сравнению с уравнением F5.il), мы получили существенно новый
результат. В то время как все три уравнения F5.11) следует рассмат-
рассматривать как уравнения для трех слагающих новой скорости V, теперь
в F5.13) появилось четвертое уравнение для двух сталкивающихся
шаров после их слияния в одно тело. В трехмерной форме это четвертое
уравнение имеет вид:
V" 1' F5J4)
Если рассматривать F5.14) с точки зрения координатной системы,
в которой результирующая скорость v равна нулю, то оно означает
следующее: нулевая масса М° двух слившихся при неупругом столкно-
столкновении шаров содержит, кроме нулевых масс отдельных шаров т\ и т\
еще массу тъ — —^- , где Еши есть кинетическая энергия двух участ-
участников столкновения, превратившаяся при столкновении в теплоту. Впро-
Впрочем, несущественно, превратилась ли эта кинетическая энергия именно
в тепло. Она, например, могла бы превратиться после слияния обоих
шаров в энергию их вращения вокруг общего центра тяжести. В этом
случае такая энергия тоже должна сказаться как возрастание инертной
массы.
На этом примере видно, что релятивистская механика в некотором
смысле проще и изящнее, чем механика Ньютона. В то время как по-
последняя всегда различает такие случаи, в которых закон сохранения
механической энергии выполняется, и такие, в которых он не выпол-
выполняется,— теории относительности это разделение чуждо. В этой теории
закон сохранения энергии всегда выполняется в форме, подобной
F5.14).
В качестве другого примера эквивалентности массы и энергии рас-
рассмотрим тело с нулевой массой М°, которое в течение конечного
отрезка времени испускает энергию Б° в виде электромагнит-
электромагнитного излучения (световое или тепловое излучение). Пусть это из-
излучение обладает такой симметрией по отношению к излучающему телу,
что результирующий импульс излученной энергии равен нулю. Напри-
МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 345
мер, излучение может илтеть форму сферической волны, или — если тело
плоское — форму двух плоских волн, распространяющихся в двух проти-
противоположных направлениях. Ясно, что если тело первоначально было
неподвижно, то и после излучения оно останется в покое.
Рассмотрим этот процесс с точки зрения координатной системы,
относительно которой это тело движется со скоростью v. В этой ко-
координатной системе, согласно формулам преобразования четырехмерных
векторов, результирующий импульс излучения равен
Qe_-5L=. F5.15)
Следовательно, наше тело во время испускания лучистой энергии поте-
потеряло этот импульс, не изменив при этом своей скорости. Это воз-
возможно только благодаря тому, что изменилась нулевая
масса. Если мы обозначим буквой М'° нулевую массу нашего тела
после испускания световой волны, то закон сохранения количества дви-
движения дает:
АУ'оу , ?0у
или
Ж/0 = М° — |?. F5.16)
Таким образом, масса тела действительно уменьшилась на величину —.
С точки зрения нашего основного уравнения F5.2), для этого резуль-
результата совершенно безразлично, в каком виде находилась в теле энер-
энергия Е° до излучения: в виде тепловой энергии или в виде энергии
электрического поля, или наконец, в виде механической энергии. Этот
пример особенно интересен потому, что именно на нем Эйнштейн
впервые вывел закон эквивалентности энергии и массы как
общий закон природы.
§ 66. Механические напряжения, а) Баланс энергии и импульса
электрона. Перейдем теперь к дальнейшему построению релятивистской
механики. При этом мы удовлетворимся тем, что разберем некоторые
важные вопросы релятивистской динамики на примере двух конкретных
задач. Первая из этих двух задач относится к вопросу, затронутому
в §§ 8 и 10, а именно, к вопросу о балансе энергии и
импульса электрона, вторая — к вопросу об отрицатель-
отрицательном результате опыта Траутона и Нобля.
Мы будем исходить из полученного в § 10 результата, согласно
которому полный импульс электромагнитного поля электрона, движуще-
движущегося с постоянной скоростью v, равен
При этом UQ есть полная энергия поля неподвижного электрона. В § 10
мы уже заметили, что формула F6.1) представляет большую трудность
для попытки чисто электромагнитного толкования массы
346 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
электрона. Очевидно, теория дает для электромагнитного импульса ве-
л
личину, в -~- раз большую, чем та, которую мы получили бы, припи-
приписывая электрону, согласно эйнштейновскому принципу эквивалентности
энергии и массы, нулевую массу -| и рассматривая затем электрон как
материальную точку, обладающую такой нулевой массой.
Прежде чем перейти к объяснению этого замечательного коэфи-
циента -~~, мы еще раз выведем формулу F6.1), применяя теперь уже
математический аппарат теории относительности. Для этой цели вер-
вернемся к § 57, где мы вывели тензор энергии и импульса 7^
электромагнитного поля. Его девять чисто пространственных
слагающих суть слагающие максвелловского тензора напряжений; 714,
724, 734, не считая множителя — к, являются слагающими импульса;
741, 742, 73 вплоть до множителя —, равны слагающим вектора Пойн-
тинга и, наконец, 744 есть плотность энергии электромагнитного поля.
В частном случае, когда речь идет о поле одного электрона,
в неподвижной системе исчезают все смешанные (пространственно-вре-
(пространственно-временные) слагающие тензора, вследствие того, что Н = 0; это значит,
что электромагнитное поле неподвижного электрона не обладает им-
импульсом и не дает потока энергии.
Если же Tik есть тензор энергии и импульса электрона в системе,
относительно которой он движется со скоростью v в направлении оси
лг-ов, то слагающая Ох результирующего импульса поля и полная энер-
энергия поля U будут:
^fudV, F6.2)
V. F6.3)
Слагающие импульса Оу и G2, как явствует из соображений сим-
симметрии, равны нулю.
Слагающие тензора напряжения Ти и 744 выражаются, согласно
формулам преобразований E4.25), через тензор T?k неподвижного
электрона следующим образом:
*и 1—рз 1 — рз
ТО + ф(го + ТО)-рто Г° - W
44 v 14 41 11 44 11
так как в случае неподвижного электрона обе смешанные слагающие
Г,4о и 7° исчезают. Интегрирование по трехмерному объему мы мо-
можем производить в неподвижной системе, пользуясь соотношением
dVoy~i — ^ и мы получаем таким образом:
МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 347
F6.3а)
Интеграл Т°4 по объему дает общую энергию t/0 в неподвижной си-
системе. С другой стороны, согласно § 57, имеем:
/ T°n*vo=Ы№- 4- Е°2) *ъ=- 4-и»
так как на основании симметрии,
Таким образом, из F6.2а) мы получаем формулу F6.1), в то время как
F6/За) приводит к соотношению:
Ы ?) FМа)
4
Появление множителя -^- в формуле F6.1) показывает, что дина-
динамическое поведение электрона нельзя понять из рас-
рассмотрения одного только его поля. Этот множитель появляется
в нашем выводе благодаря тому, что в выражении F6.2а) и F6.3а),
наряду с членом, соответствующим энергии поля 7^ в состоянии
покоя, входит еще и добавочный член Г{\, обусловленный макс-
велловскими напряжениями. Позднее, в другой связи, мы еще раз
встретимся с этим добавочным членом. Таким образом ясно, что в ди-
динамике электрона, кроме сил электромагнитного поля, должны играть
роль еще другие силы. К этому приводит также и всякая попытка
построить в рамках классической физики модель электрона: так
как одноименные элементы заряда отталкиваются, то такая модель может
быть устойчивой только в том случае, если существуют и другие силы,
которые уравновешивают силы отталкивания. Эти силы мы будем опи-
описывать так, как будто мы имели дело с механическими напряжениями;
по отношению к преобразованию Лорентца они должны вести себя
так же, как электромагнитные силы, т. е. в движущейся системе они
находятся с ними в равновесии так же, как в неподвижной.
Итак, вычислим эти механические напряжения, которые
мы будем описывать, как обычно, при помощи трехмерного тензора
напряжений /?;&.
Выделим внутри тела прямоугольный параллелепипед с ребрами а, Ь, с.
Со стороны окружающей среды на этот параллелепипед действуют какие-то
силы, действие которых эквивалентно действию поверхностных сил, отчасти изо-
изображенных на рис. 81. Если, как это принято, растягивающие напряжения счи-
считать положительными, то для лг-овой слагающей силы, действующей на парал-
параллелепипед, из рис. 81 следует выражение:
Р, = be (а %-<) + са (Ь *?) + аЬ (с %) . F,5)
Следовательно, мы имеем плотность силы
f дР*х 1 дР*У i и?** F6.5а)
348 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Кроме этой силы, на параллелепипед действует при любом заданном р^ еще
вращательный момент N, г-овую слагающую которого также можно найти не-
непосредственно из чертежа:
Nz = a{bcpyX) — Ь(сарху) = abc(pyx — рху). F6.6)
В классической теории упругости доказывается, что в случае равновесия этот
вращательный момент должен быть равен нулю при любом состоянии напряже-
напряжения, т. е. тензор напряжения должен быть симметричен:
Pik = Pkv F6.7)
Для нашего неподвижного тела мы позаимствуем из классической теории
упругости условие симметричности тензора р/?.
Для того, чтобы придать этому тензору напряжения релятивистский
характер, будем руководствоваться аналогией с максвелловским тензо-
тензором напряжений. Слагающие этого тензора определяют плотность силы
по формуле
г
I — ЛТ ЯТ /ЭТ
F6.8)
А
__jV Эта формула по виду вполне анало-
р гична формуле F6.5а).
"" В § 57 мы видели, что максвел-
*~? ловские напряжения могут быть объ-
объединены с плотностью импульса g<9>,
/ ?и*у с вектором Пойнтинга S и с плотно-
х стью энергии электромагнитного поля и
Рис. 81. Схема упругих напря- в °ДИН четырехмерный тензор Tik; че-
жений. тырехмерная расходимость последнего
представляет собою плотность силы//9),
соответствующую силе Лорентца. Поэтому мы должны рассматривать
и механические напряжения как чисто пространственные слагающие
некоторого четырехмерного тензора; эти механические напряжения мы
должны, присоединив к ним новые слагающие, дополнить до четырех-
четырехмерного тензора.
Мы ограничимся здесь такими системами, отдельные части которых
неподвижны друг относительно друга, так что в неподвижной системе
отсчета все элементы действительно неподвижны. Мы утверждаем, что
в этой системе отсчета (значок °) механический тензор равен
(По)== l^P^P-y. M F6.9)
I Яс Р% Pi ° /
Его пространственные слагающие равны обычным напряжениям в не-
неподвижной системе. В качестве плотности энергии о>° можно взять на-
например величину fi°c2, которая, согласно Эйнштейну, соответствует
материальной плотности массы [х°. Далее, так как в системе отсчета,
неподвижной по отношению к телу, энергия не переносится| то ясно,
МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 349
что в этой системе отсчета слагающие потока энергии тс^, гс^
тг^з равны нулю. Остаются еще слагающие П°4, П°4, П°4 плотности
импульса g, которые, как естественно допустить, тоже исчезают,
так как результирующий импульс равен нулю. Для соответ-
соответствующих электромагнитных величин в электронной теории имело место
уравнение
gMeJLs«. F610)
Это уравнение идентично условию симметрии Та4 = Та*. П л а н к впер-
впервые ввел в теорию относительности гипотезу, что зависимость F6.10)
между плотностью импульса и потоком энергии имеет универсальный
характер. Это требование эквивалентно тому, что вся вообще механика
должна быть построена на симметричном тензоре энергии и
импульса. Очевидно, наш механический тензор F6.9), благодаря
F6.7), тоже удовлетворяет этому условию. Плотность силы, вычисляе-
вычисляемая из этого тензора равна
2^ F6Л1)
Ее пространственные составляющие совпадают с F6.5а).
Для произвольной системы отсчета механический тензор энергии и
импульса, на основании формулы E4.25), вычисляется из F6.9). При
этом для плотности импульса и для потока энергии получаются значе-
значения, которые не могут быть сведены исключительно к движению плот-
плотности массы |х0, а отчасти обусловлены и существованием в теле меха-
механических напряжений. Аналогичное поведение электромагнитного тен-
тензора в разобранном выше случае движущегося электрона как раз и
привело к появлению в импульсе F6.1) интересующего нас множи-
множителя 4/3.
Вернемся теперь к нашей модели электрона и опишем ее динамиче-
динамическое поведение тензором Р/&, который равен сумме электромаг-
электромагнитного и механического тензоров энергии и импульса:
F6.12)
От тензора П^ мы требуем, чтобы он уравновешивал электро-
электромагнитные силы. Это значит, что общая плотность силы, обусловленная
тензором Pik, должна исчезать:
Из этого уравнения можно вывести для неподвижной системы от-
отсчета важное соотношение:
(/, 4=1, 2, 3). F6.14)
Для доказательства заметим, что в неподвижной системе PJ4 = /D24==:
==Р^4 = 0. Поэтому, согласно F6.13), div от трехмерного вектора
350 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
с слагающими P®v Р®2, PJ3 равен нулю. С помощью теоремы Гаусса
легко показать, что объемный интеграл каждой слагающей вектора,
расходимость которого равна нулю, также равен нулю, если этот век-
вектор стремится на бесконечности к нулю быстрее, чем — .
Теперь можно привести в порядок баланс энергии и импульса
электрона. В неподвижной системе отсчета исчезают слагающие Р^ ,
которые соответствуют плотности импульса, в то время как
F6.15)
есть полная энергия электрона в состоянии покоя. Для того, чтобы вы-
вывести импульс и энергию электрона в случае движения, вернемся к фор-
формулам преобразований F6.4) и применим их теперь к тензору Pik ¦
Так же, как и выше, получим:
G - csyZ—-/(Р<°4 - />?i) dV0, F6.2a)
Е = у=~/ (^4 - №) dV0. F6.3а)
Отличие этих формул от предыдущих заключается в том, что в этих
формулах, благодаря равенству F6.14), интеграл от Ph исчезает, так
что* пользуясь выражением F6.15), мы можем получить для результи-
результирующего импульса и полной энергии окончательные формулы:
F6Л6)
которые вполне согласуются с теоремой Эйнштейна об эквивалентности
энергии и массы.
Обычно считают, что энергия электрона в состоянии покоя
имеет чисто электромагнитную природу, т. е., что Ео = Uo и,
значит, оH = 0. Это обстоятельство, конечно, совершенно не меняет ре-
результата F6.16). В наших рассуждениях существенным было не введение
плотности механической нулевой массы jx°, а введение напряжений, кото-
которые уравновешивают электрические силы.
Для появления множителя 4/3 в формуле F6.1) решающим является
то обстоятельство, что в движущейся среде, в которой существуют
какие-либо напряжения, появляется (именно вследствие этих напряжений)
добавочный импульс и добавочная плотность энергии. Как легко пока-
показать с помощью формул преобразований E4.25), из F6.9) вытекает
следующее выражение механического тензора энергии и импульса в коор-
МЕХАНИЧеСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
351
динатной системе, относительно которой все тело движется со скоростью v
в направлении оси х-ов:
„о
1 —
F6.9a)
1 — р2
Теперь попытаемся на простом примере из механики выяснить
появление добавочных членов в плотности энергии и импульса, вызывае-
вызываемое существованием напряжений. Для этой цели рассмотрим неподвиж-
неподвижный стержень длины /0 с поперечным сечением qQ. Ось этого стержня
мы направим по оси х-ов координатной системы. Пусть на этот стер-
стержень с двух сторон в направлении его длины действуют растягивающие
силы
F,— —I
и F2
Следовательно, в стержне существует напряжение, которое описывается
тензорной слагающей
Теперь рассмотрим ту же картину напряжений с точки зрения такой
системы отсчета, относительно которой стержень движется со скоростью v
в направлении оси х-ов. Наблюдатель, который движется вместе с этой
системой, констатирует в стержне добавочную плотность импульса, что
можно наглядно понять следующим образом: пусть А и В — концы
стержня, которые оба движутся со скоростью v по положительной
оси х-ов. На конец В действует сила F2, которая тянет его вперед
и таким образом отдает ему ежесекундно работу FQv. Такая же работа,
но только против силы Flf производится в точке А Поэтому работа Fov
должна каждую секунду передаваться от В к А. Это соответствует сла-
слагающей Sx плотности потока энергии S, причем
Но, согласно гипотезе Планка, всякому потоку энергии S соответствует
плотность импульса
g = "§- F6.17)
Поэтому в стержне должна существовать добавочная плотность импульса
ёх ~ s
352
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Эта величина, с точностью до релятивистских поправок, согласуется с вели-
величиной, получающейся из F6.9а), так как Г14==— icgx.
Эти же значения g и <о мы можем получить и непосредственно, не
прибегая к формулам преобразования. Для этого сообразим, какая энер-
энергия и какой импульс сообщаются стержню или отнимаются от него
во время „включения" растягивающих сил. Предположим,
что стержень в неподвижной системе в момент времени t° = О был сво-
свободен от напряжений. В момент Р = О включаются растягивающие силы
(это достигается, например, тем, что в этот момент к обоим концам
стержня прикрепляются натянутые пружины). Разумеется, при включении
этих сил стержень остается в покое. При этом мы предполагаем, что
стержень является настолько трудно деформируемым, что можно пре-
пренебречь упругим расширением (или сжатием). Если рассматривать теперь
этот процесс включения сил с точки зрения движущейся системы,
то мы получим совершенно иную
картину. На рис. 82 изображены ми-
мировые линии концов стержня в но-
новой координатной системе. При этом
Ло и Во являются теми мировыми
точками, в которых начинают дей-
действовать растягивающие силы (эти
растягивающие силы и в новой си-
системе равны jP0, так как проекция
силы на направление движения при
преобразовании Лорентца не ме-
меняется). Как видно из рис. 82, в но-
новой системе обе силы начинают дей-
действовать не в, один и тот же момент
времени: между их включениями про-
проходит конечный промежуток времени
F6.18)
Рис. 82. Мировые линии концов дви-
движущегося стержня, на которой в мо-
момент времени f = 0 начали действо-
действовать растягивающие силы.
(это следует из обыкновенных формул преобразования Лорентца), в про-
продолжение которого действует только одна сила — на левый конец стержня.
За это время t2 — tl эта односторонняя сила сообщает стержню (или
отнимает от него) импульс
^ vp4*v F6.19)
С2 у 1 _
не изменяя при этом его скорости. За это же время над стержнем произ-
производится работа
W РУ F6.20)
РрххУ
У 1 — g2 1 — 02
Работа F6.20) отрицательна, так как точка приложения силы Л пере-
передвигается со скоростью v против направления силы. Поэтому для энер-
энергии и импульса стержня до момента tx и после момента t2 получается
следующая схема:
МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
353
до момента tx
после момента t2
плотность импульса
t/o>0
V
плотность энергии
1
F6.21)
где ш0 есть плотность энергии в неподвижной системе. Мы видим, что
значения плотности импульса и энергии, после того как силы оконча-
окончательно установились, действительно равны значениям F6.9а), выведенным
из формул преобразования.
о) Опыт Траутона и Нобля. Перейдем теперь к рассмотрению опыта
Траутона и Нобля. Как известно, этот опыт заключался в попытке
обнаружить абсолютную скорость с помощью легкоподвижного заряжен-
заряженного конденсатора. По классической теории на поступательно движу-
движущийся заряженный конденсатор действует момент сил, который должен
привести его во вращение. Однако, даже при очень тщательном произ-
производстве опыта такого вращения обнаружено не было. С точки зрения
классической физики отрицательный результат этого опыта был столь же
непонятен, как, например, и отрицательный результат опыта Майкельсона.
Но в теории относительности такой результат является очевидным: если
конденсатор не вращается с точки зрения неподвижного по отношению
к нему наблюдателя, то он не может вращаться и с точки зрения движу-
движущегося наблюдателя. Однако, мы не ограничимся здесь этим общим
утверждением, а попытаемся понять этот результат с помощью модели.
В качестве упрощенной модели конденсатора Трау-
тона-Нобля рассмотрим два очень небольших заряженных тела, кото-
которые удерживаются на постоянном расстоянии /0 друг от друга при помощи
жесткой связи (стержня). Если оба заряженных тела имеют одноименный
заряд, то они отталкиваются друг от друга (в неподвижной системе)
с силой yj; имея равные по величине, но противоположные по знаку
'о
заряды е% они притягиваются с той же силой. Для большей конкретности
мы допустим, что имеет место первый случай — одноименные заряды.
Если оба заряда движутся со скоростью v в направлении оси *-ов, то
силы, действующие между этими зарядами, направлены уже не по
прямой, их соединяющей, что мы вывели в § 9 из точных решений
уравнений поля; существует момент, который, как мы там видели,
в случае притягивающихся зарядов стремится ориентировать стержень
перпендикулярно к направлению движения, в случае же отталкивания —
ориентировать его по направлению движения.
Здесь мы еще раз выведем этот результат с точки зрения теории
относительности, которая, разумеется, должна привести к тем же
результатам, что и теория Максвелла, так как последняя удовлетворяет
принципу относительности. Мы будем придерживаться рисунка 83, на
котором изображены заряженные тела А и В, которые удерживаются
на постоянном расстоянии /0 посредством соединяющего их стержня и
Беккер 6810 23
354
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
отталкиваются друг от друга с силой Fo> действующей в направлении
стержня. Пусть сам стержень составляет с осью л:-ов угол <х0. Его проек-
проекции на оси координат будут:
IJ> ш /0 cos a0, /у» = /0 sin a0.
На концы стержня действуют силы
F6.22)
'4, F6.23)
где верхний знак относится к А, нижний к В. Пусть теперь вся уста-
установка движется со скоростью v в направлении оси л:-ов. Тогда, вслед-
вследствие сокращения Лорентца, новые проекции стержня будут:
l/l — P2cosa0, ly = ty° = l0 sin a0. F6.22а)
Закон же преобразования силы дает:
Рис. 83. К опыту Траутона
и Нобля.
= ч= Fo 1^1 —^sin a0. F6.23а)
Следбвательно, для движущегося по отноше-
отношению к стержню наблюдателя силы уже не
направлены по соединительной прямой; эти
силы составляют с осью лг-ов угол меньший,
чем угол между осью *-ов и стержнем. По-
Появляется момент сил, вращающий вокруг
оси z, который определяется формулами
N — I X F, Nz = lJPy — lyFx = — F0/0SJ2 cos a0 sin a0. F6.24)
Можно убедиться в том, что этот момент сил совпадает с моментом сил>
вычисленным в § 9 из выражения векторов поля движущегося заряда*
Итак, с точки зрения классической физики появ-
появляется вращающий момент электрических сил, который
не компенсируется никаким другим моментом сил, но, тем не менее, как
показывает опыт, не изменяет момента количества движения и поэтому
не вызывает вращения. Сточки зрения же теории относитель-
относительности дело обстоит так: мы должны здесь включить в наши рассужде-
рассуждения и механические силы, которыми уравновешиваются электри-
электрические. Без этих механических сил система была бы неустойчивой.
Но, если их учесть, то сразу же становится понятным отрицательный
результат опыта Траутона-Нобля: так как в неподвижной системе элек-
электрические и механические силы уравновешиваются, а при переходе к новой
системе эти силы преобразуются одинаковым образом, то они и там
будут взаимно уравновешиваться. Другими словами: вращающий
момент, образуемый электрическими силами, уравно-
уравновешивается равным и противоположным ему моментом
механических сил. Как раз того именно обстоятельства, что меха-
МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 355
нические силы тоже обладают в движущейся системе вращающим момен*
том, классическая механика не умела объяснить.
В связи с этим полезно разобрать следующую задачу. Пусть на стер*
жень действуют извне, как и в только что рассмотренном примере, два
растягивающих напряжения, которые в системе неподвижной относительно
стержня, направлены по его оси, составляющей угол <х0 с осью #-ов.
Если теперь вся система движется в направлении х со скоростью «,
то внешние силы вызывают вращающий момент F6.24), который, однако,
не может вызвать вращения стержня, так как в неподвижной системе
стержень не вращается. Отличие этого примера от предыдущего заклю-
заключается в том, что мы здесь имеем дело с незамкнутой системой,
находящейся под влиянием внешних сил, между тем как
конденсатор Траутона-Нобля представляет собой замкнутую систему,
в которой внутренние силы взаимно уравновешиваются.
В классической механике имеет место закон моментов
N = ^, F6.25)
согласно которому всякий момент сил N производит изменение момента
количества движения. С точки зрения классической механики, на движу-
движущийся растягиваемый стержень никакого момента сил не действует, и
поэтому момент количества движения стержня не меняется со временем,
так что формула F6.25) для вращательного импульса на самом деле
выполняется. Но в релятивистской механике, как мы только что видели,
на стержень действует постоянный момент сил. Следовательно, поскольку
и в теории относительности существует закон, аналогичный фор-
формуле F6.25), мы должны показать, во-первых, что в рассматриваемом
случае движущегося стержня существует изменение момента количества
движения L со временем и, во-вторых, что это изменение соответствует
моменту сил F6.24).
Если опять обозначить плотность импульса в стержне буквой g, то
момент количества движения равен
F6.26)
Изменение этой величины со временем легко вычислить: при поступа-
поступательном движении стержня каждый элемент объема стержня передви-
передвигается на расстояние vdt, причем импульс, заключенный в нем, не ме-
меняется; следовательно, — определяется формулой
Iff =/(vXg) dV= v XG. F6.27)
В частном случае, когда v совпадает с направлением оси х-ов, мы полу-
получаем:
§ = ^ОГ F6.27а)
Таким образом, -п- будет отличаться от нуля в том случае, если суще-
существует слагающая импульса, перпендикулярная к направлению
356 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
движения. Так как в классической механике направление импульса всегда
совпадает с направлением скорости, то F6.27) всегда дает нуль. Обык-
Обыкновенное релятивистское выражение импульса т^у тоже ничего
сюда не прибавляет. Но теория относительности приводит к изменению
момента количества движения со временем, если в стержне существуют
напряжения. Если, например, на стержень действуют внешние силы, то
в стержне имеет место перенос энергии. А этот перенос энергии,
согласно F6.17), связан с импульсом, который не обязательно направлен
по движению стержня. В нашем случае мы можем вычислить добавоч-
добавочный импульс таким же образом, как раньше, если представим себе, что
растягивающие силы начинают действовать только с некоторого опреде-
определенного момента, и притом в неподвижной системе, конечно, одновре-
одновременно. Тогда с точки зрения системы, относительно которой стержень
движется, силы начинают действовать не в один и тот же момент,
а с п ромежутком
Ь — Ь = И^&=. F6.28а)
2 1 С2 /1—02 V '
В течение этого промежутка действует только одна растягивающая сила
(на точку Л), и поэтому она сообщает стержню импульс Fj^—1{)
слагающая Gy которого, согласно F6.23а), равна:
- Fosin «0 VT=W j2 -Ь==± = - /Vo f2 sin «0 cos «0. F6.28)
Таким образом мы нашли изменение момента количества
движения со временем:
§ = - W2 «п ай cos а0. F6.29)
Эта величина совпадает с величиной момента сил F6.24), как и
должно быть на основании уравнения F6.25). Таким образом, как видно
из нашего примера, момент силы F6.24), вычисленный на осно-
основании теории относительности, уравновешивается тем,
что в стержне из-за наличия потока энергии появ-
появляется слагающая импульса, перпендикулярная к ско-
скорости.
Ж. ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 67. Термодинамика излучения, а) Существование универсальной
функции и? (v, T) {Кирхгоф). Если стенку, окружающую какую-нибудь
совершенно пустую полость, нагреть до определенной температуры Т9
то внутри полости возникает электромагнитное излучение, стационарное
состояние которого наступает тогда, когда вещество стенки поглощает
в единицу времени столько же энергии, сколько и излучает. Мы харак-
характеризуем это излучение плотностью энергии и, которая, в силу того,
что здесь идет речь об электромагнитном излучении, равна
^L F7.1)
ТЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ 357
Спектральное распределение энергии этого излучения мы
будем характеризовать функцией #v от v: величина u^<h означает ту
часть плотности энергии и, которая соответствует интервалу частот
от v до v-J-tffr. Разумеется, имеет место соотношение:
оо
и= f и^. F7.2)
Кирхгоф открыл, что функция kv при данной температуре вообще
не зависит от свойств вещества стенок, окружающих полость. Точнее
говоря, #v определяется одной только температурой и
совершенно не зависит от величин, характеризующих
вещество стенок.
Доказательство этого положения, данное Кирхгофом, основывается
на следующих рассуждениях. Предположим, что даны две полости А
и В, стенки которых состоят из различных веществ; пусть в этих поло-
полостях, приведенных в соприкосновение с тепловым резервуаром темпера-
температуры Г, устанавливаются для одного и того же определенного участка
спектра различные значения «v. В таком случае мы могли бы исполь-
использовать это обстоятельство для того, чтобы, не затрачивая работы,
создать конечную разность температур между двумя тепловыми резерву-
резервуарами, которые сначала находились при одной и той же температуре 7.
Для этого стоит только поместить полость А в один резервуар, по-
полость В — в другой резервуар, и при помощи какого-либо оптического
приспособления спроектировать небольшое отверстие, сделанное в А, на
такое же отверстие, сделанное в стенках полости В. Затем нужно при-
прикрыть оба отверстия цветными стеклами, подобрав эти стекла так, чтобы
они пропускали свет только той частоты v, которой соответствуют
различные значения #v. Пусть, например, #v в полости А больше чем
в полости В; тогда В получает от А больше энергии, чем излучает
само в обратном направлении. Следствием этого явится то, что от А
энергия будет отниматься; значит, температура резервуара, окружаю-
окружающего Л, станет понижаться, а температура резервуара В увеличиваться
— до тех пор, пока оба значения hv не сделаются равными. Возникшую
таким образом разность температур можно было бы использовать с по-
помощью какой-либо тепловой машины для получения механической работы,
Следовательно, различие значений «v для полостей А и В дало бы
возможность построить perpetuum mobile второго рода. По-
Поэтому, согласно второму закону термодинамики, значения #v для всех
частот в обеих полостях должны быть одинаковы. Следовательно, так
как hv> кроме v, зависит еще только от температуры, то
должна существовать универсальная функция ич (у, Т),
определяющая спектральное распределение энергии равновесного излу-
излучения при температуре Т.
Кирхгоф поставил перед физикой задачу нахождения этой универ-
универсальной функции, Постепенное решение этой задачи связано с именами
Л. Больтцмана, В. Вина, М. Планка. Для вывода своего закона
Кирхгофу не надо было делать никаких гипотез о физической при-
природе равновесного излучения. Больтцман и Вин существенным образом
358
ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
использовали тот факт, что излучение имеет электромагнитный характер.
Окончательное решение этой задачи удалось только Планку, введшему
для этого квантовые воззрения.
Для дальнейшего нам понадобится еще две величины, а именно
удельная интенсивность излучения К и световое давле-
давление р. Удельная интенсивность К (яркость излучения) определяется
следующим образом: рассмотрим ту лучистую энергию, которая за
время dt проходит через элемент поверхности dq внутри малого телес-
него угла dQ. Если ось конуса dQ образует с нормалью к элементу
поверхности dq угол О, то эта энергия равна
К dq cos Ь dQ dt. F7.3)
Введением множителя cos Ь мы предположили, что излучение является
изотропным в пространстве. Из определения К вытекает связь К
с плотностью энергии и. Для того чтобы найти эту связь,
рассмотрим очень малый объем V, находящийся
внутри нашей полости, и вычислим энергию, ко-
которая должна в нем содержаться, если от стенок
исходит излучение F7.3). Пусть пучок dQ, ко-
который расходится от элемента поверхности
стенки dq, расположенной на расстоянии г от V,
вырезывает из объема V конус с поперечным се-
сечением qr и с высотой /. Тогда dQ = -~9 Внутри
объема V находится часть — излучаемой в секунду
* направлении dQ энергии \ dq cos Ь dQ.
Эта чаСТЬ' сле*>вательно, равна К dq cos & ^.
При суммировании по всем пучкам, выходящим
из dq и пересекающим объем V, получится V ?'= V. Таким образом
мы нашли энергию, испускаемую элементом поверхности dq и находя-
находящуюся в объеме V. Суммирование по всем элементам стенки dq дает
всю содержащуюся в объеме V энергию:
?уу
"ло?ност\НюэТнеЮрги^ 1
Но -^^— есть телесный угол, под которым из объема V виден эле-
элемент поверхности dq. Поэтому интеграл дает просто 4тс, так что
При спектральном разложении получится, соответственно этому,
С67.4)
F7.5)
С помощью соотношения F7.4) можно вычислить еще одну практически
важную величину, а именно одностороннее излучение 5, испу-
ТЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ 359
скаелюе элементом поверхности стенки внутри телесного угла 2тс. Так
как dQ = sin ft db d<p, то согласно F7.3),
= K f
2ic
KK. F7.6)
Отсюда, на основании F7.4), имеем:
5 = -J-w. F7.6a)
Световое давление р, существование которого вытекает из эле-
электромагнитного характера излучения, как мы уже видели в § 7, равно
Р—f-- F7J)
С точки зрения гипотезы световых квантов, выражение F7.7) полу-
получается из скорости с, энергии Ы и импульса — отдельного светового
с
кванта, если вычислить импульс, передаваемый при отражении таких
квантов от стенки. Доказательство этого мы предлагаем проделать
читателю.
б) Законы Стефана- Больпщмана и Вина. Законы Стефан а-Больтц-
мана и Вина являются необходимыми следствиями второго начала
термодинамики. Для их вывода воспользуемся тем фактом, что коэфи-
циент полезного действия обратимой тепловой ма-
шины равен -=-, если она работает между двумя тепло-
тепловыми резервуарами с температурами Т и Т—8 Г. Для
вычисления работы используем световое давление р> о котором
мы, на основании соотношения F7.7) и закона Кирхгофа, знаем, что
оно является функцией только температуры. Снабдим нашу полость
движущимся без трения поршнем и приведем ее в соприкосновение
с тепловым резервуаром температуры 7. Если теперь объем, благодаря
медленному вытаскиванию поршня, увеличится на величину V,
то световое давление произведет работу pV. При этом от резервуара
отнимется количество тепла Q, которое состоит из энергетического
эквивалента произведенной работы pV и увеличения количества энергии
в полости uV. Следовательно, в общем Q = (p-[-a) V. Теперь удалим
нашу полость от теплового резервуара и понизим температуру полости
на ЬТ путем адиабатического расширения на 81/. При этом мы получим
работу рЪУ. Установим теперь тепловой контакт с резервуаром темпера-
температуры Т—8 Г и при этой температуре начнем опять вдвигать поршень.
При этом световое давление имеет несколько меньшую величину, чем
раньше, а именно р — 8р, а следовательно, нам для этого придется
затратить работу
Таким образом, в результате мы получим внешнюю работу, равную
Vbp. (Произведение ЬрЬУ есть величина высшего порядка малости,
360 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
и поэтому им мы можем пренебречь). Выигрыш в работе, согласно
второму началу, должен быть равен Q -у, следовательно,
dp_p + u
dT~ T '
Если подставить сюда р = -у- из F7.7), то интегрированием получится
закон Стефана-Больтцмана:
и = const TK F7.8)
В основе доказательства закона Вина лежит следующее
рассуждение. Представим себе полость (с подвижным поршнем), стенки
которой состоят из идеально отражающего вещества. В такой полости
может происходить только отражение, но не может происходить погло-
поглощения и испускания. Следовательно, в такой полости спектральное рас-
распределение любого попавшего туда излучения оставалось бы вечно
неизменным. Но если мы поместим туда маленькую угольную пылинку,
поглощающую свет, то она будет обмениваться энергией с излучением
до тех пор, пока не установится равновесное излучение Кирхгофа «v (v7),
где Т определяется первоначально существовавшей общей энергией
излучения и угольной пылинки. Мы можем предположить, что тепло-
теплоемкость пылинки исчезающе мала по сравнению с теплоемкостью полости,
так что общая энергия излучения uV в этом процессе превращения его
в равновесное излучение не изменяется. После того как в нашей полости
установится распределение Кирхгофа #v, мы опять удалим пылинку и
начнем сжимать находящееся в полости излучение, вдвигая поршень
с постоянной и очень небольшой скоростью v. Этим мы меняем, конечно,
спектральное распределение, так как, согласно принципу Допплера, све-
световая волна частоты vl9 падающая на поршень под углом &, на основании
подробно изложенных в § 58 законов отражения света от движущегося
зеркала, отражается от поршня с большей частотой
v = Vl(l+^cos&). F7.9)
Второе начало термодинамики требует, чтобы при этом сжатии из-
излучение,, заключающееся внутри отражающей полости,
все время сохраняло характер равновесного кирхго-
фовского излучения. Для доказательства предположим, что после
сжатия нашей полости мы имели бы плотность излучения v! (v). Тогда
мы могли бы сравнить последнюю с плотностью равновесного излучения
Кирхгофа hv (v, Г), для которого общая плотность энергии равна той же
величине, т. е. для которого
ОО 00
С uf (v) tfv = fuH (v, T) dv.
Если и1 (v) не везде равно ин (v, T), то оно должно содержать по край-
крайней мере одну частоту vx, для которой ur(yt) > uH (vv T) и одну частоту v2,
ТЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ 361
для которой и1 (v2) < uH (v2, Т). Пусть А к В будут две полости, напол-
наполненные равновесным излучением, и пусть каждая из них находится
в резурвуаре с температурой Г. Тогда мы можем с помощью упомянутого
выше оптического приспособления и соответствующих цветных стекол
привести нашу рабочую полость в оптический контакт с полостью А
при частоте ^ис полостью В при частоте v2. При этом к полости А
будет подводиться энергия, а от полости В — отниматься. Соответствую-
Соответствующим выбором времени освещения можно добиться того, чтобы общая
содержащаяся в рабочей полости энергия не изменялась, а происходил
только сдвиг в спектральном распределении. Тогда и давление в рабочей
полости не испытает изменения, так что после прекращения оптического
контакта опять можно будет при адиабатическом расширении получить
ту же работу, которую мы перед этим затратили на сжатие. В конечном
счете ничего не произойдет, помимо того, что между резервуа-
резервуарами А и В создастся разность температур, что, однако,
невозможно без затраты работы.
Теперь вычислим, как изменяется во время адиабатического сжатия
начальное распределение энергии, т. е. попытаемся сказать что-либо
определенное относительно функции #vdfv, которая описывает спек-
спектральное распределение в момент времени /. Для этого рассмотрим
определенный спектральный интервал flfv. Энергия Viivdv, приходящаяся
на этот интервал, вследствие F7.9), за время dt уменьшается на то
количество лучистой энергии интервала rfv, которое за время dt попа-
попадает на поршень (при этом мы предполагаем, что разность v — v5
в формуле F7.9) велика по сравнению с rfv). Увеличивается же VuHd»
на ту лучистую энергию, которая приходится на другие области частот,
но падает на поршень так, что после отражения, согласно формуле F7.9),
переходит в область от v до v-j-dv. Первая величина (уменьшение Vu>tdv)
может быть сразу же вычислена на основании F7.6). Если Q есть
поверхность поршня, то эта величина равна
QizK,dvdt. F7.10)
Чтобы получить вторую часть (увеличение Viivdv), нам надо рассмотреть
отдельно различные углы падения Ь. В пределах телесного угла dQ
с направлением 0 на поршень падает излучение с частотой в пределах
от Vj до v1-f-dv1, равное
QKn cos 8 dQ dvx dt.
После отражения оно принадлежит к интервалу от v до v-]-dv, если
между v и vx существует соотношение F7.9). Но при отражении от дви-
жущегося зеркала энергия увеличится еще в A -\ cos 0) раз. Это
следует, проще всего, из закона сохранения энергии, так как движу-
движущимся зеркалом производится работа, передаваемая излучению. С по-
помощью теории относительности получается тот же результат, на основа-
основании того, что отношение— не меняется при переходе к движущейся
системе координат. С точки зрения квантовой теории это утверждение
означает лишь то, что число световых квантов не может
362 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
измениться при отражении. Всего в область dv заново посту-
поступает энергия
Q J Кч cos » dQ dvx A + -^ cos о) dU
Если подставить сюда vx из формулы F7.9) и, пренебрегая членами
порядка —j-, написать:
то после интегрирования по полусфере получим:
Q тсЯ, л Л _ Q ^ ^ ^L rfv d? F7.10а)
Разность между F7.10а) и F7.10) дает приращение энергии Vu4dv за
время dt. Следовательно,
Согласно F7.5), —/Cv = «v и, кроме того, Qvdt = — dV, т. е. равно
с
уменьшению объема, так что наш результат можно переписать в виде:
v ди
) ^
Таким образом мы видим, что av зависит от времени лишь постольку,
поскольку при сжатии объем V является функцией времени. Поэтому
наше уравнение мы можем рассматривать как диференциальное уравнение
в частных производных первого порядка, которому должна удовлетворять
функция kv (v, T). Это уравнение имеет вид:
Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, временно введем неза-
независимые переменные
х = V и у = v3 V.
Тогда
Подставив эти выражения в уравнение F7.11), мы получим:
ди д
*-g~ + «v = O или -^
Следовательно, хи^ есть функция только от у. Общий интеграл уравне-
уравнения F7.11) поэтому гласит:
ФОРМУЛА РЭЛЕЯ-ДЖИНСА 363
где ф есть произвольная функция одной лишь переменной v8V. Вводя
другое обозначение вместо ф, мы можем также написать:
av(v, V) = v«y(v«V). F7.12)
Из этого уравнения можно вывести заключение относительно вида ин-
интересующей нас функции и^ (v, Г). Согласно первому началу термоди-
термодинамики, мы можем написать для процесса адиабатного сжатия:
Подставив сюда и = аГ4 и р = -4!-Т4, мы получим:
или
VT* = const.
Следовательно, уравнение F7.12) дает:
(f) F7.13)
Это есть уравнение Вина; которое сводит поставленную Кирхго-
Кирхгофом задачу к нахождению функции / от одной поременной -™-.
Если обозначить лучистую энергию, приходящуюся на интервал длин
волн от X до X-j-rfX через uKd\9 то из уравнения F7.13) получается
следующее выражение:
ъ(КТ) = ±?(кП F7.13а)
так как |rfv| = —|я?Х|. Отсюда вытекает в самой общей форме „за-
„закон смещения" Вина, если задаться вопросом о той длине волны Хт,
для которой функция и\ (X, Г) при данной температуре имеет максимум.
Из условия -^ = 0 для этой длины волны следует уравнение:
5^ (\mT) = inTg* (kmT), F7.14)
согласно которому произведение \тТ должно иметь совершенно
определенное универсальное численное значение w,
равное корню уравнения 5g- (w) = wgr (w).
Закон Больтцмана и = аТ4 и уравнение Вина F7.13) —
это два утверждения о равновесном излучении, выте-
вытекающие из электромагнитного характера излучения
и из общих законов термодинамики. В следующих пара-
параграфах мы познакомимся с теми представлениями, которые необходимо
сюда привлечь дополнительно для того, чтобы окончательно теоретически
вычислить функцию kv (v, 7).
§ 68. Формула Рэлея-Джинса. Согласно закону Кирхгофа, функция
«, =r av (v, T)
364 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
совершенно не зависит ни от физических свойств стенок полости, ни
от тел, находящихся внутри полости. Поэтому в нашей власти выбрать
любой материал стенок и вносить в полость любые тела; мы восполь-
воспользуемся этим для того, чтобы сделать возможно более простым и нагляд-
наглядным рассмотрение энергетического взаимодействия между произвольным
телом и полем лучистой энергии. В качестве такого тела, вносимого
в нашу полость, мы выберем, по примеру Макса Планка, линей-
линейный осциллятор, например тот, который был нами подробно изу-
изучен в § 12, т. е. тело с зарядом е и массой т, которое может совер-
совершать упругие колебания в направлении оси л:-ов около положения рав-
равновесия. Пусть этот осциллятор находится внутри полости с идеально
отражающими стенками. Кроме того, для того чтобы задать
температуру всей этой системы, впустим еще в полость электрически
нейтральный идеальный газ с температурой Г, который не обменивается
энергией непосредственно с излучением, но благодаря столкновениям
молекул газа с осциллятором поддерживает среднюю энергию осцилля-
осциллятора на уровне ДГ), который соответствует температуре Г. Согласно
известному из классической статистической механики закону равномер-
равномерного распределения энергии, средняя энергия осциллятора равна
E(T) = kT. F8.1)
Зная энергию Е(Т), мы можем вычислить плотность лучистой энергии
в полости, находящейся в равновесии с осциллятором. Если, например,
в полости сначала не было вообще никакого излучения, то осциллятор
будет излучать энергию в полость, окруженную отражающими стенками,
и таким образом постепенно наполнит эту полость излучением. С дру-
другой стороны, как только в полости появится излучение, осциллятор
начнет функционировать и как приемник, т. е. будет поглощать
энергию. Только при определенной плотности энергии wv излучение
в полости может притти в равновесие с осциллятором, обладающим
данной энергией колебания.
Вычислим теперь эту энергию колебания. Для этого мы имеем усло-
условие, что энергия, поглощаемая осциллятором, равна излучаемой энергии.
Мы давно уже вычислили обе эти величины. Из уравнения B4.6) видно,
что в поле лучистой энергии с плотностью u^ch осциллятор с собствен-
собственной частотой v, с зарядом е и массой пг за время dt поглощает энергию
С другой стороны, если он сам обладает энергией Е, то, согласно A3.6),
за время dt он излучает энергию
Эти две величины в среднем во времени равны друг другу,
если
2 F8.2)
ФОРМУЛА РЭЛЕЯ-ДЖИНСА 365
Эта зависимость между энергией осциллятора Е и плотностью лучистой энер-
энергии в полости wv имеет столь большое значение, что мы выведем ее еще раз,
причем мы будем исходить непосредственно из уравнения движения
осциллятора. Такой способ имеет то преимущество, что нам не надо будет
рассматривать излучение и поглощение, как независимые друг от друга
явления.
Если Ех есть *-овая слагающая электрической напряженности равновесного
излучения в точке нахождения осциллятора, то, согласно § 13, уравнение его
движения гласит:
т(х + »<?х) - ~ -J х = еЕх. F8.3)
Из этого уравнения при заданной зависимости Ех от времени мы можем вы-
вычислить амплитуду х осциллятора как функцию времени. Самое поле есть, ко-
конечно, очень сложная функция от времени. Но на основании теоремы Фурье,
мы всегда можем для конечного, хотя бы и очень большого проме-
промежутка времени 0, представить его в виде ряда
+ ОО
anein^. F8.4)
гт 2* тт
При этом а есть очень малая частота, равная -у-. Далее, ап есть амплитуда
отдельного колебания с частотой
<ол = т.
В качестве условия вещественности мы требуем соблюдения равенства
«-« = *«•• F8.5)
Числа ап могут зависеть от значка п сколь угодно нерегулярно, так что, на-
например, ап и лл_^1 могут весьма сильно отличаться друг от друга. Не-
Несмотря на это, мы можем говорить о среднем поле Ех в области ампли-
амплитуды ап, определяя среднее значение квадрата амплитуды как
1«я12 = ;
1
При соответствующем выборе числа s, которое должно быть мало по сравне-
сравнению с л, эта величина дает среднюю напряженность Ех в области частоты <оп.
Из формулы F8.4), разумеется, вьпекает и спектральное распределение
энергии равновесного излучения, так как общая плотность энергии и задана
формулой F7.1). Так как в изотропном излучении все шесть слагающих в фор-
формуле F7.1) в среднем равны, то, следовательно,
Но, согласно F8.4) и F8.5), мы имеем:
П'— — оо
При усреднении по времени отпадают все слагаемые, у которых пфп\ Таким
образом с помощью соотношения F8.5) получаехся:
366 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
и, следовательно,
/1 = 0
Для того, чтобы найти отсюда энергию #vrfv, приходящуюся на интервал ча-
частот от v до v + dv, найдем число отдельных колебаний в этом интервале.
Частоте v соответствует целое число п, которое определяется из формулы
2itv = яа или п = — v. Следовательно, на интервал dv приходится — rfv
ос ос
отдельных колебаний, так что мы получаем:
или
и*=ъ;ш2, *=¦?•*• F8.7)
Интегрирование уравнения F8 3), куда подставлено значение F8.4) для Ех,
можно выполнить по известному способу, разложив искомую функцию х (t)
в ряд Фурье:
2 ^ла'- (б8-8)
Если тогда подставить выражения F8.4) и F8.8) в уравнение F8.3), то для
амплитуды €/z получится соотношение:
Отсюда
В особенности нас интересует энергия осциллятора Е. Эта энергия равна
удвоенной средней кинетической энергии, следовательно,
Аналогично тому, что имело место выше при вычислении EJ, при усреднении
во времени мы получим:
Сюда нужно подставить, вместо |6„|2, его значение из формулы F8.9). Заменим
суммирование интегрированием по о> = па. На интервал d& приходится
dn = — отдельных колебаний, так что мы получаем:
ФОРМУЛА РЭЛЕЯ-ДЖИНСА 367
Заметим, что подинтегряльное выражение имеет около точки а> = ш0 весьма
резкий максимум; г оэтому мы можем в подинпегральном выражении везде, за
исключением разности о> — о>0* заменить а> на о>0 и, кроме того, распространить
интегрирование на весь промежуток от —оо до + оо. Далее, введем в качестве
переменной интегрирования разность а> — <iH=p. и_зам<ним (а>2 — W(pJ на
4оH2{л2. Кроме того, заменим \ап\2 средней величиной \ап\2, вычисленной по фор-
формуле F8.E) для точки па = <о0. Тогда получим:
¦/
Оставшийся здесь невычисленным интеграл при соответствующем выборе неза-
независимых переменных может быть сведен к известному интегралу
+ 1
3mcs7c тт Д»Р
и дает в результате -г-г—т. Наконец, если мы заменим еще —-—по формуле
л
F8.7) на-^- «v, то из выражения F8.10) получится следующее выражение для
средней энергии осциллятора:
Наоборот, если нам задана энергия осциллятора, — как в первоначальной по-
постановке вопроса — то мы найдем по формуле F8.2) ту плотность энергии
равновесного излучения, при которой оно находится в равновесии с осцил-
осциллятором.
Если в выражение F8.2) подставить значение энергии осциллятора,
то получится формула излучения Рэлея - Джи нса:
*,(?>T) = ^kT. F8.11)
Однако, эта формула совершенно непригодна, так как она
резко противоречит самым простым опытным фактам. Согласно этой
формуле, плотность энергии с возрастанием v, т. е. с приближением
к ультрафиолетовому краю спектра, должна безгранично возрастать,
оо
так что полная плотность энергии / #vtfv при любой температуре
6
должна быть бесконечно большой. Формула F8Л1) ничего не говорит
также и относительно наблюдаемого на опыте максимума плотности
энергии в области спектра, зависящей только от Т.
Тот факт, что классическая физика оказалась со-
совершенно неспособной решить проблему равновес-
равновесного излучения, явился исходным пунктом для по-
построения всей новейшей физики. Фундаментальное значение
явно бессмысленной формулы F8.11) состоит в том, что она впервые
доказала недостаточность представлений классической физики, которые
до этого считались безусловно правильными. Исследование вопроса
368
ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
о том, какие из предпосылок, приводящих к формуле F8.11), должны
быть отброшены, для того чтобы дать возможность прийти к согласной
с опытом формуле излучения, характеризуют первую стадию развития
квантовой теории. В следующем параграфе мы рассмотрим те предпо-
предпосылки, из которых План к вывел названную его именем формулу излу-
излучения. После этого мы приведем еще более последовательный в теоре-
теоретическом отношении вывод этой же формулы, данный Эйнштейном.
Можно написать уравнение F8.2), описывающее равновесие между осцил-
осциллятором и равновесным излучением, в весьма простой и теоретически важной
форме, если привести его в связь с понятием стоячих волн в замкнутой
полости. Для упрощения вычислений рассмотрим полость кубической формы
с длиной ребра а, окруженную абсолютно проводящими стечками. Пусть
в этой полости имеется стоячая электромагнитная волна частоты v. Условия на
поверхности абсолютного проводника таковы, что тангенциальная слагающая Е
и нормальная с тагающая Н должны на поверхности равняться нулю. Этим тре-
требованиям удовлетворяют следующие формулы:
sin 2*4
F8.12)
где nlt n3i л3 — любые целые числа. Нужно определить три вектора
е(ех, еу, ег\
h(hx, hy, hz),
KV25"' 2a' J/
таким образом, чтобы совокупность формул F8.12) действительно являлась
решением уравнений Максвелла. Из уравнений div Е = 0 и div Н = 0 сле-
следует, что
k.e = 0 и к-Ь = О, F8.13а)
а из уравнений
rotE =
=-Н и rotH = —E
с с
получается:
F8.13b)
Все четыре уравнения удовлетворяются, если |к| = — , т. е. обратному значе-
значению длины волны, и если |h| = |е| и все три вектора k, e и h взаимно перпен-
перпендикулярны. Таким образом, при заданных пь пъ пг, т. е. при заданном к, мы
ФОРМУЛА ПЛАНКА 369
можем еще на плоскости, перпендикулярной к вектору к, произвольно выбрать
вектор е. Этим однозначно определяется вектор h. Таким образом самое
общее решение типа F8.12) мы получим в виде линейной комбинации из двух
векторов е, произвольно выбранных в этой плоскости.
В особенности нас интересует число 2 (v) йч возможных собственных коле-
баний вида F8.12). Для этого напишем условие |к| = — , найденное для вол-
с
нового вектора к, в следующем виде:
л? = (^J. F8.14)
Каждая тройка положительных чисел пь пъ пъ удовлетворяющих условию
F8.14), дает две стоячих волны в нашей полости. Каждой такой тройке целых
чисел соответствует в пространстве „узел решетки", т. е. точка с целочислен-
целочисленными координатами пь л2, Щ- Отсюда мы видим, что все тройки целых чи-
чисел, для которых v меньше, чем некоторая определенная граница v0, соответ-
соответствуют, согласно формуле F8.14), всем узлам решетки внутри шара радиуса
г= -, находящимся в положительном октанте. Следовательно, чи-
с
ело узлов решетки, соответствующее области колебаний
между частотами v и \ -\- dv, равно
Так как каждой узловой точке соответствуют два колебания, то, следова-
следовательно, мы имеем:
Если мы обозначим теперь через UH среднюю энергию отдельного
собственного колебания с частотой v, то общая энергия
излучения в полости, приходящаяся на интервал частот (v, v + dv), бу-
будет равна
Эта же энергия, выраженная через плотность лучистой энергии, равна
u8iyfv.
Следовательно, имеет место равенство:
Таким образом, наше уравнение F8.2) получает неожиданно простой вид:
? = Z7V F8.15)
Средняя энергия осциллятора численно равна сред-
средней энергии отдельного собственного колебания замкну-
замкнутой полости, частота которого находится вблизи точки
резонанса.
§ 69. Формула Планка. Вывод формулы излучения F8.11) по-
покоится на двух столбах — на классической формуле
E=kT F9.1)
Беккер 5810 2 24
370
ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
для средней энергии осциллятора при температуре Т и, кроме того,
на классической электродинамике, связывающей плотность
равновесного излучения и^ с энергией осциллятора Е:
и =
Е.
F9.2)
Эти два утверждения, вместе взятые, приводят к бессмысленному
результату F8.11). Поэтому надо отказаться по крайней мере от одного
из них. Планк поступил так: он сохранил уравнение F9.2), но по-
постарался заменить уравнение F9.1) другим уравнением. Метод, к кото-
которому прибег Планк, можно изложить очень кратко, если вспомнить вы-
вывод уравнения F9.1) в статистической механике. Энергия ли-
линейного осциллятора равна
или же
Согласно Больтцману, вероятность
того, что при температуре Т импульс и
Рис. 85. Вероятность различ- координаты находятся в интервалах от рх
ных значений энергии в слу- до Px + dPx и от л: до x-j-dx, равна
чае непрерывного и дискрет- Е{рх,х)
ного энергетического спектра. ш== cQnst g jf- ^ ^
Отсюда далее следует вероятность W{E) dE того, что энергия находится
в интервале от Е до E-\-dE:
Е
W {E)dE = const, e kr dE.
Такая зависимость функции W(E) от Е представлена на рис. 85. Вы-
Вычисление средней энергии Е по формуле
f Ее kTdE
Е =
оо __Е_
. kT
dE
мы произведем следующим образом: заменим интеграл суммой, причем
разделим ось энергий на равные отрезки (величина отрезка равна е)
и будем суммировать по отдельным отрезкам. В пределе при е -> О
должно, конечно, получиться E — kT. В этом вычислении есть еще не-
некоторый произвол, так как внутри каждого отрезка мы можем выби-
выбирать значение Е произвольно. Предположим, что для энергии Е внутри
интервала от пя до /z(s -f-1) следует выбрать значение (я-{-а)е, где &
ФОРМУЛА ПЛАНКА 371
есть какое-то число между нулем и единицей. Тогда, для Е мы полу-
получим:
2 (П + а)е е
¦р /7=0
kT
e kT
В числителе и знаменателе этого выражения можно вынести за знак
суммы множитель е kT, что дает:
пг
"kT
пг
'kT
При подстановке ? —z первое слагаемое превращается в
т. е. равно . Итак, мы получаем:
?==—~ (-as. F9.3)
При е~>0 отсюда, как и должно быть, получается E = kT.
Планк получил свою формулу излучения не переходя к пре-
пределу е~>0, а непосредственно подставляя выражение F9.3), в кото-
котором он приравнял а нулю, в формулу электродинамики F9.2). Отно-
Относительно выбора величины в очень важное указание дает формула
Вина F7.13), согласно которой функция и должна иметь вид:
Но это может иметь место только при условии, что количество энер-
энергии е пропорционально частоте v, т. е. при условии
Коэфициент пропорциональности — планковская постоянная
h — должен быть универсальной константой, так как фор-
формула излучения не должна зависеть от специфических, свойств осцил-
осциллятора. Итак, если положить число а равным нулю, то мы можем за-
заменить классическую формулу F9.1) формулой
В= ^ . F9.4)
ekT — 1
372 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Тогда для hv получается формула Планка:
8t:/zv3 I
ekT-\
которая, по весьма тщательным измерениям Пашена ив особенности
Рубенса, полностью согласуется с опытом.
Мы не будем входить в дальнейшие подробности по поводу фор-
формулы F9.4), которая играет большую роль также в теории удельной
теплоемкости твердых тел. Но за то мы обсудим подробнее содержание
формулы F9.5) и свяжем ее с некоторыми уже известными законами
равновесного излучения — прежде всего с законом смещения Вина и
законом Стефана-Больтцмана^
Закон смещения Вина. Если спектральное разложение задано
не в шкале частот, а в шкале длин волн, то из формулы F9.5) полу-
получаем:
^Ч-^-- F9-6)
еХкт-\
Определим, для какой длины волны Хт функция и} при заданной тем-
температуре Т будет иметь максимум. Условие -^ = 0 Дает:
he
где для сокращения мы ввели обозначение У = -\—г^-. Корень этого
уравнения, которое не может быть решено в корнях, очевидно бли-
близок к 5. Если мы напишем поэтому у = 5 — iq, то для г\ получится
соотношение:
Так как ?) — малая величина, то можно заменить е^ на l-j^ тогда по-
получится приближенно:
0,035.
Итак, для постоянной в законе смещения Вина получается:
ХЯГ = -??¦ = 4 так- F9J)
т ky k 4,965 v '
Таким образом одновременное измерение \т и Т для черного тела дает
нам отношение двух универсальных постоянных -г- — постоянных Планка
и Больтцмана. Уже тот факт, что максимум интенсивности солнечного
излучения (Гя^бООО0) находится в зеленой части спектра, т. е. при-
примерно при Х^0,5.10~4 см, дает нам приближенное значение отноше-
ФОРМУЛА ПЛАНКА 373
Закон излучения Стефана-Больтцмана. Общая энергия
равновесного излучения и, содержащаяся в 1 см3, может быть вычи-
вычислена, если проинтегрировать выражение F9.5):
0 о — *
Введя новую переменную интегрирования -Я335-^ > мы получаем:
Подинтегральное выражение может быть разложено в ряд по возра-
возрастающим степеням е~~х; интегрируя почленно, мы получаем:
о
Сумма ряда в квадратных скобках равна-^, так что в результате мы
имеем:
Этим мы определили также точное значение коэфициента в законе
Стефана-Больтцмана и = const Г4. Обычно измеряют не плотность энер-
энергии и непосредственно, а энергию S, излучаемую в секунду единицей
поверхности черного тела в одну сторону (т, е. внутри телесного
угла 2тс). Согласно формуле F7.6а), эта величина связана с и соот-
соотношением
так что для лучистой энергии, испускаемой одним см2 поверхности чер-
черного тела, мы получаем:
5-.П,гдеа-^. F9.9)
Следовательно, измерение 5 при определенной температуре Т дает нам
отношение -^, так что всего из двух измерений (закон смещения
Вина и закон Стефана-Больтцмана) можно получить численные
значения универсальных постоянных h и k.
Из лучших данных получаются значения:
h = 6,610- \0-27 эрг. сек.
^== 1,378 • 10~16 эрг. град,
374
ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Постоянная Больтцмана k позволяет вычислить также число Авогадро
и элементарный заряд е:
е «-
= -^^ = 4,796 • 10~ю эл.-стат. CGS-единиц.
Этот метод Планка для определения элементарного заряда на основе
измерений радиации заслуживает особого внимания. В то время A900 г.),
когда Планк ввел этот метод, он являлся самым точным. И только зна-
значительно позднее точность этого метода была превзойдена измерениями
Милликэна, описанными в § 1. См., однако, стр. 12.
Формулу Планка F9.5) можно написать в более простой форме,
/zv
если отношение -^= или велико, или мало по сравнению с единицей.
В этих двух предельных случаях получается:
при hv'^$>kT или
\
\'
при
или
F9.10)
см • град.
F9.11)
Рис. 86. Законы излучения
Рэлея-Джинса (I), В. Вина (II) и
М. Планка (III) при Т = 2000°К.
В видимой области спектра и при
экспериментально доступных температурах
очень хорошо выполняется условие
>.Г<^1,46, приводящее к формуле F9.10).
Фактически уже до открытия Планка фор-
формула излучения F9.10) была найдена Вином, правда с неопределен-
неопределенным коэфициентом пропорциональности. Эта формула, названная фор-
формулой Вина, еще и до сих пор служит основой всех численных выкла-
выкладок, относящихся к излучению накаленных тел в видимой части спектра.
Другая предельная формула, вытекающая из формулы Планка, — фор-
формула F9.11) — совпадает с законом излучения Рэлея-Джинса. Этого и
следовало ожидать, потому что формулу Рэлея-Джинса можно получить
также из формулы Планка при h —> 0. Но этот переход к пределу озна-
означает, что количество энергии е в формуле F9.3) становится бесконечно
малым; тем самым мы попадаем в область применимости классической
формулы E — kT.
Таким образом появление в свое время формулы Планка означало
объединение экспериментально проверенного уравнения F9.10) с выте-
вытекающим из классической теории, но непригодным уравнением F9.11).
§ 70. Вывод формулы Планка по Эйнштейну. Данный здесь в
кратком виде вывод формулы Планка F9.5), несмотря на большой
практический успех последней, является в теоретическом отношении
весьма неудовлетворительным. Введение конечных количеств энергии е =
= Av можно понимать только в том смысле, что осциллятор может при-
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛАНКА ПО ЭЙНШТЕЙНУ 375
нимать только дискр етные значения энергии 0, е, 2е... и т. д.
С другой стороны, мы оставили в силе уравнение F9.2), вывод кото-
которого основан на предположении, что даежду излучением и осциллятором
происходит непрерывный обмен энергией. Очевидно, дискретные
значения энергии осциллятора возможны только тогда, когда его взаимо-
взаимодействие с излучением состоит в обмене исключительно конечными пор-
порциями (квантами) энергии, равными /zv. Дальнейшее развитие этой идеи
привело Эйнштейна к созданию гипотезы о том, что в каждом
акте взаимодействия с материей излучение ведет себя
так, как будто бы вся его энергия состояла из целых
световых квантов с энергией Av. Первые крупные успехи этой
гипотезы состояли в знаменитом эйнштейновском толковании фотоэф-
фотоэффекта и в объяснении коротковолновой границы непрерыв-
непрерывного рентгеновского спектра. И то и другое объяснение осно-
основано на знаменитом уравнении
смысл которого, мы полагаем, читателю известен. Отсюда совершенно
последовательно возникла теория атома Бора A912 г.), которая сле-
следующим образом объясняет взаимодействие между излучением и атомами.
Для каждого атома существует дискретный ряд состояний, которым
соответствуют вполне определенные значения энергии е1? е2 и т. д. Эти
„стационарные" состояния являются единственными вообще суще-
существующими в природе. Единственно возможный способ обмена энергией
с излучением заключаются в том, чго атом каким-то способом, непод-
неподдающимся подробному описанию, переходит из одного состояния (eft)
в другое (г?), причем разность энергий ek—е?. испускается или
по г л ощается (смотря по тому, больше eft, чем ef или меньше) в виде
светового кванта, который равен hv—\ek— е?|. Дальнейшее
углубление этого представления, в частности вычисление значений энер-
энергии еь е2..., является одной из главных задач современной физики, но
здесь мы не будем этим заниматься.
Мы ограничимся здесь рассмотрением следующего воцроса. Пусть
дана такая же полость, как и раньше, но пусть теперь она содержит
большое количество одинаковых атомов, находящихся в равновесии при
определенной температуре Т. В среднем Nt атомов обладают энергией е2
каждый, Л/2 атомов— энергией е2 и т. д., где числа Nu N2 определяются
на основании закона Больтцмана. Если мы ограничимся рассмотрением
только двух состояний 1 и 2 и происходящих между ними переходов,
то обмен энергией с окружающим излучением может заключаться исклю-
исключительно в том, что атомы, находившиеся в состоянии 1, поглощая све-
световой квант, будут переходить в состояние 2, и, наоборот, атомы сорта 2,
испуская такой же квант, будут переходить в состояние 1. Вместо
классического вычисления взаимодействия между осциллятором и равно-
равновесным излучением, мы должны здесь определить, сколько таких про-
процессов испускания и поглощения происходит за время dt при заданных
числах iV| и W2 и при заданной плотности энергии равновесного излу-
376 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
чения. Тогда равновесие между излучением и атомами будет определяться
тем, что оба процесса будут происходить одинаково часто.
Для выполнения этого плана укажем прежде всего отношение N2:Nly
соответствующее температуре Т. Статистическая механика дает следую-
следующее значение этого отношения:
f = ^|. G0.1)
gle пт
В этом равенстве числа gx и g2 означают „статистические веса" двух
состояний. Они указывают, на сколько термов расщепилось бы рас-
рассматриваемое состояние при полном снятии вырождения (например,
с помощью внешнего магнитного поля) или, выражаясь более строгим
языком квантовой механики, — сколько линейно независимых „собст-
„собственных состояний" принадлежат рассматриваемому значению энергии.
to ез-Е1
Впрочем, можно вывести уравнение G0.1) в виде-rf = /<? kT и чисто
термодинамическим путем, например, с помощью известного из физи-
физической химии рассуждения Вант-Гоффа, если рассматривать атомы
в состояниях 1 и 2 как атомы двух химически различных газов, нахо-
находящихся в равновесии по отношению к химической реакции
где е2 — ех есть тепловой эффект реакции.
Относительно числа переходов, происходящих за время dty сделаем
вместе с Эйнштейном следующие предположения: число Zt процессов
поглощения A —> 2), происходящих за время dt, пропорционально
промежутку времени dt9 числу атомов в состоянии 1 и плотности
излучения mv; в общем, следовательно, мы получаем:
Z1 = Bl2N1u,dt G0.2)
Коэфициент В12 определяется тем, что B12u^dt есть вероятность того»
что атом сорта 1 за время dt перейдет в состояние 2. Следовательно,
hvB12Uvdt есть то количество энергии, которое в среднем поглощается
таким атомом в поле излучения wv.
Что касается числа испусканий Z2, происходящих за время dt> то
мы получим:
Z2 = (А21 + B21u,)N2dt G0.3)
Здесь смысл величины А21 непосредственно ясен: A21dt есть вероят-
вероятность того, что атом, находящийся в состоянии 2, за время dt спон-
спонтанно испустит световой квант hv. Следовательно, если плотность излу-
излучения «v, равна нулю, то за время dt из общего количества iV2 атомов
число
N2A2ldt = — dN2
перейдет из состояния 2 в состояние 1. Таким образом, число N2
будет уменьшаться со временем по закону
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛАНКА ПО ЭЙЙШТЕЙНУ 377
(закон радиоактивного распада). Поэтому величина — = т есть сред-
няя продолжительность жизни „возбужденного" атома 2, если пред-
предположить, что переходы из состояния 2 в состояние 1 происходят
только путем радиации.
Второе слагаемое B21u^N2dt в уравнении G0.3) имеет тот смысл,
что наряду со спонтанными актами испускания происходят еще такие
акты испускания, которые индуцируются уже существующим излуче-
излучением hv. Классическим аналогом этого „отрицательного погло-
поглощения" является тот факт, что колеблющийся осциллятор может и
отдать энергию упавшей на него электромагнитной волне, и отнять
у нее энергию, в зависимости от фазового угла между электрическим
вектором волны и колебанием осциллятора. В среднем, при произволь-
произвольных фазовых углах, оба случая будут равно вероятны. Соответственно
этому, как мы далее увидим, величины В21 и В12 будут существенно
совпадать друг с другом.
Условие равновесия, получающееся из G0.2) и G0.3), гласит:
Zt = Z2, или
-щ
А 21
Следовательно, принимая во внимание G0.1), мы получаем:
«v- ?b± • G0.4)
12 ^2 2l
Это уравнение, после подстановки в него боровского условия частот
е2 — e1 = ^v, переходит в формулу Планка, если мы только потребуем
еще выполнения следующих двух условий.
Во-первых, при 71-* ооп лотность ^должна становиться
бесконечной. Это значит, что
%В12 = В.п. G0.5)
Смысл этой формулы ясен: при очень высоких температурах
мы имеем N2:N1 — g2:g1, а по формуле G0.3) при достаточно больших
значениях kv спонтанное испускание должно стать исчезающе малым
по сравнению с индуцированным испусканием. Поэтому из условия
равновесия и получается giB12=g2B2U как написано в уравнении G0.5).
Второе требование заключается в том, чтобы в пре-
предельном случае hv<^kT оказались правильными выводы
классической физики, т. е., чтобы в этом случае формула G0.4)
асимптотически переходила в формулу Рэлея-Джинса F8.11). Это тре-
требование дает:
~ л О—г.. ч
G0.6)
т. е. приводит к универсальному соотношению между коэфициентом
спонтанного испускания А2Х и коэфициентом поглощения Вгг
378 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Характерной чертой трактовки элементарных процессов, данной
в формулах G0.2) и G0.3), является то, что согласно этой трактовке
момент времени, когда происходит такой процесс и, как мы потом
увидим, и самое направление процессов оказываются делом случая.
Сначала большинство физиков склонны были рассматривать такую
трактовку как несовершенную и предварительную. И только дальнейшее
развитие квантовой механики показало, что атомные процессы нельзя
описывать иначе, как только статистически.
Эйнштейновское соотношение G0.6) между испусканием и поглощением
имеет очень важное применение в выводе квантовой дисперсионной
формулы B5.18):
У^^, G0.7)
Щ ОJ2 — 0J
г
которую мы получили в § 25 просто путем переделки классической диспер-
дисперсионной формулы. Последовательный квантовый вывод этой формулы был
указан впервые Шредингером и Гейзенбергом в 1927 г. Если, опи-
опираясь на эксперимент и на аналогию с классической физикой, считать эту
формулу правильной, то можно следующим способом, которым впервые вос-
воспользовался Р. Ладенбург, связать „силу осциллятора" fr с эйнштейновским
коэфициентом А^ Рассмотрим область спектра вблизи определенной линии
<ог = 2т™ и вычислим энергию, которую за время dt поглощает атом, подчи-
подчиняющийся дисперсионной формуле G0 7), когда он находится в поле излучения
с плотностью энергии ujIk Согласно вычислению, произведенному в § 26, зна-
значение этой энергии равно (ср. B6.10))
tr — ^dt.
Если мы опять обозначим начальный и конечный уровни этой спектральной
линии цифрами 1 и 2, то, согласно эйнштейновской трактовке G0.2) процесса
поглощения, та же энергия будет равна
Если приравнять эти два выражения и, воспользовавшись формулой G0.6),
ввести вероятность спонтанного поглощения А21, то получится уравнение
f - #2 А
g\ 21
Согласно формуле A3.7), ?класс = д 2 2 2 есть время, в течение которого по
классической теории энергия свободно излучающего осциллятора уменьшается
в е раз, между тем как —.— есть время, в течение которого все N% атомов, на-
Л21
ходящихся в состоянии 2, кроме их е-ой части, перейдут путем спонтанного
испускания в состояние 1.
Следовательно, выражение
f — Ж 21<Скласс G0.8)
ii 3
равно (вплоть до множителя -ДМ отношению этих времен (Заметим, что у
свободного пространственного осциллятора каждое возбужденное состояние
трехкратно вырождено, между тем как основное состояние не вырождено. Сле-
Следовательно, для такого осциллятора g2 = 3, gt = 1, и поэтому / = ^)
БАЛАНС ИМПУЛЬСА АТОМОВ В ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 379
Уравнение G0.8) указывает, каким путем при помощи измерения дис-
дисперсии можно получить точное численное значение для важной
величины — вер о ят но сти спонтанного перехода А21. Этот способ
является более точным и надежным, чем другой, основанный на продолжитель-
продолжительности свечения каналовых лучей в известных опытах Вина.
§ 71. Баланс импульса атомов в поле излучения. В формулах
G0.2) и G0.3) мы ввели некоторые гипотезы о характере обмена энер-
энергией между атомами и полем лучистой энергии и вывели таким образом
формулу излучения Планка. При этом мы предполагали только одно,
что число атомов в отдельных энергетических состояниях подчиняется
закону Больтцмана, т. е., что внутренняя энергия атомов распределяется
согласно законам статистической механики. Эти соображения были неполны
в том отношении, что при этом мы пренебрегали поступательным дви-
движением атомов. Мы производили вычисления таким образом, как
будто бы центры тяжести всех атомов находились в покое, и удовле-
удовлетворялись констатированием того, что равновесное распределение вну-
внутренней энергии G0.1), вытекающее из статистической механики, не
нарушается рассматриваемыми элементарными процессами. Но с одной
стороны, статистическая механика учит, что атомы в тепловом равно-
равновесии, кроме внутренней энергии, обладают средней энергией по-
Q
ступательного движения, равной -^-kT. С другой стороны,
из наблюдений над световым давлением или над электронами отдачи
в эффекте Комптона мы должны заключить, что при взаимодействии
между излучением и материей, вообще говоря, должен происходить
обмен также импульсами. Следовательно, скорости молекул
в поле излучения должны все время меняться, даже в том случае,
если между ними не происходит столкновений. Но мы должны потре-
потребовать, чтобы в тепловом равновесии не нарушалось максвелловское
распределение скоростей. Это возможно только тогда, когда переда-
передаваемые путем излучения импульсы влекут за собой такое же максвел-
максвелловское распределение, какое устанавливается под влиянием взаимных
столкновений атомов согласно кинетической теории газов.
Таким образом для того, чтобы распределение энергии излучения
при температуре Г, описываемое формулой Планка F9.5), было совме-
совместимо с тепловым равновесием, элементарные процессы G0.2) и G0.3)
должны быть связаны с такими изменениями импульса, чтобы атомы
в среднем имели соответствующее этой температуре максвелловское
распределение скоростей. Это требование позволяет заключить и о ха-
характере того обмена импульсами, который должен быть связан с этими
процессами. Рассмотрим эти указанные Эйнштейном соображения
об обмене импульсом между излучением и атомами.
Классическая теория дает нам простой закон для случая
падения плоской волны на линейный осциллятор. Из §§ 7 и 58 мы
знаем, что плоская волна с энергией U несет с собой импульс,
равный —. Следовательно, если от нее отнимается энергия Ет — Еп,
то она теряет вместе с тем и импульс "т~ п , который, согласно за-
с
кону сохранения импульса, передается осциллятору. Поэтому атом полу-
380 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
чает от плоской волны, вместе с энергией Av, также импульс —. Этот
импульс имеет направление распространения падающей волны.
Особенно простое и независимое от упомянутых параграфов обос-
обоснование этого утверждения получается из следующих соображений.
Пусть линейно поляризованная плоская световая волна распространяется
в направлении положительной оси z. Пусть Е параллельно оси х, а Н
параллельно оси у. Для йолны в пустоте имеем равенство Ех = Ну.
Пусть эта волна падает на электрон, который под влиянием поля Е
может двигаться в плоскости (л:, у). Если х и у суть координаты
электрона, то работа, которую над ним производит поле за время dt,
равна exExdt. С другой стороны, z-овая слагающая импульса, сообщае-
сообщаемого за это время электрону, равна
Следовательно, импульс, передаваемый волной в напра-
направлении ее распространения, равен переданной ею
энергии, помноженной на —. Знак работы exExdt существенно
зависит от соотношения между фазой волны Ex(f) и фазой движения
электрона x(t). Квантовым аналогом этих двух возможностей (-|-или—)
являются два коэфициента В, введенные в § 70.
В дальнейшем мы будем расссматривать только переходы между
двумя энергетическими уровнями 1 и 2. Гипотеза Эйнштейна сводится
к тому, что утверждение, высказанное выше о плоской
волне, остается верным и в случае изотропного поля
излучения. Это следует понимать так: при каждом отдельном акте
поглощения, описываемом формулой G0.2), поглощающий атом полу-
получает энергию Av из пучка лучей вполне определенного направления, и
/IV
при этом получает также приращение импульса —в направлении этого
с
пучка лучей. На языке гипотезы световых квантов это означает, что
свет ведет себя при поглощении так, как будто бы он состоял из от-
отдельных квантов с энергией Av и импульсом —, которые при попадании
с
на атом могут последним поглощаться.
Аналогичное толкование получают и процессы „ отрицательного
поглощения" N2B2lu^ указанные в формуле G0.3). В этих процессах
излучение заставляет возбужденный атом испустить квант Av. Эти про-
процессы тоже следует представлять себе так, что атом взаимодействует
каждый раз только с пучком лучей определенного направления, причем
энергия этого пучка увеличивается на Av, а сам атом испытывает отдачу,
получая импульс— в направлении, противоположном пучку. Выразим
это на языке теории световых квантов: квант Av, сталкиваясь с возбу-
возбужденным атомом, заставляет его испустить такой же квант, который
улетает от атома вместе с первым квантом. В виде отдачи атом полу-
получает импульс —.
БАЛАНС ИМПУЛЬСА АТОМОВ В ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 381
Отдельные акты спонтанного испускания, число которых
в секунду, согласно G0.3), равно Л/2Л21, по классической теории должны
происходить без изменения импульса, так как, согласно классическим
представлениям, такое испускание происходит в виде сферической
волны, в которой все направления равноправны. В противоположность
этому, квантовая теория требует и для этих процессов, чтобы при от-
отдельном акте испускания вся энергия была сконцентрирована в очень
малом телесном угле, т. е. испускалась в определенном направлении.
Получающееся при этом волновое образование иногда называют в не-
немецкой терминологии „Nadelstrahlung" (излучение в форме иглы).
На языке квантовой теории говорят, что испускание заключается в вы-
выбрасывании светового кванта в определенном направлении. С этим
Ну
также связано изменение импульса на —в противоположном направле-
с
нии. Назовем для краткости эти три процесса процессами В12, В21
Нм
и Л21; каждый из них связан с изменением импульса на —. На-
Направление этого изменения импульса о процессе В12 совпадает
с направлением падающего излучения, в процессе Б21 оно имеет про-
противоположное направление. При очень большом числе подобных про-
процессов вероятность того или другого направления передачи импульсов
определяется интенсивностью излучения в этом направлении. Только
при изотропном излучении все направления встречаются одинаково
часто. В процессах же Л21 нельзя ничего сказать заранее о направле-
направлении испускания. Мы считаем направление испускания чисто случайным
в том смысле, что все направления встречаются с одинаковой вероят-
вероятностью.
Теперь исследуем, какую величину средней кинетической энергии
-^-Mv2 должен иметь атом, для того чтобы эта величина не менялась
под действием описанных элементарных процессов. Ход рассуждений
такой же, как в теории броуновского движения. Рассмотрим
сперва изменение импульса, которое испытывал бы атом в среднем
за время х, если игнорировать его движение по отношению к полю
излучения. В равновесии число актов испускания G0.2) равно числу
актов поглощения G0.3). Общее число порций импульса —, получен-
с
ных газом, состоящим из АЛ ч-Л/о атомов, равно, следовательно,
2NiBl^ti^zf и значит, отдельный атом испытывает п= », , Л, 512avt
толчков в чисто случайных направлениях. Если аа, а2...ал суть на-
направления этих п ударов, то приращение импульса атома равно
п
Среднее значение А для большого числа атомов равно нулю. Но сред-
среднее значение Д2 равно
382 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
так как вследствие статистической независимости отдельных ударов
средние значения смешанных произведений ага^ равны нулю. Подста-
Подставляя значение и, найденное выше, мы получаем:
Следовательно, при совершенно изотропном распределении направлений
толчков последние имели бы тот результат, что средний квадрат
импульса, а значит и кинетическая энергия, неограниченно возрастали
бы со временем. Такому возрастанию препятствует то, что для движу-
движущегося атома равновесное излучение уже не изотропно
в дальнейшем мы подсчитаем, что движущийся вместе с атомом наблю-
наблюдатель воспринимает спереди больше лучистой энергии, чем сзади.
В соответствии с этим, импульсы, связанные с процессами G0.2),
в среднем уже не уничтожаются взаимно, а приводят к среднему
импульсу, направленному против движения атома. Следовательно, про-
процессы ?12 в среднем будут тормозить атом. Правда, одновременно
с этим процессы B2U имеющие обратный знак, будут ускорять атом.
Но число этих процессов будет меньше, чем число процессов ?12, на
число процессов Л21, так что в результате всегда существует тормо-
торможение. Спонтанные же процессы А даже и в случае движущегося атома
в среднем не производит изменения импульса.
Таким образом движущийся атом со стороны равновесного излучения
в общем будет испытывать торможение. В дальнейшем мы покажем,
что оно пропорционально скорости v и поэтому эквивалентно некото-
некоторой силе трения — Rv. Следовательно, за время т атом испытывает си-
систематическое изменение импульса — /?vx, не считая того рассмотрен-
рассмотренного выше изменения импульса А, которое обусловлено статистиче-
статистическим характером отдельных толчков. Таким образом, спустя время х,
импульс атома Mv превратится в импульс М\ — /?vt + A. Но в сред-
среднем для всех атомов в состоянии равновесия кинетическая энергия,
а, значит, и квадрат импульса не может измениться. Мы получаем усло-
условие равновесия в виде:
(MV — R\z
Когда мы произведем возведение в квадрат, среднее значение vA ока-
окажется равным нулю, так как систематическое влияние толчков мы уже
учли, введя член, характеризующий трение. Кроме того мы будем пре-
пренебрегать квадратом члена /?vx по сравнению с его произведением на Мч.
Поэтому условие равновесия примет вид:
А = 2 RMv*x.
С другой стороны, мы знаем, что при тепловом равновесии -k-Mv2 =
= ~к-АГ. Таким образом из нашего условия равновесия мы можем
найти ту постоянную трения R, которая при этом значении средней
кинетической энергии как раз компенсирует нерегулярные толчки. Мы
получаем:
БАЛАНС ИМПУЛЬСА АТОМОВ В ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 383
а, следовательно, подставив значение Д2 из формулы G1.1), находим:
Теперь нам остается убедиться в том, что из наших предположений
о характере передачи импульса на самом деле получается это значение R.
Если атом находится в покое, то средняя сила, действую-
действующая на него со стороны излучения, равна нулю, потому что для испу-
испускания, как мы видели выше, все направления равновероятны, а поле
излучения в этом случае изотропно. Энергия излучения в интервале
частот dv, которая находится в определенный момент времени в еди-
единице объема, и направление распространения которой заключено внутри
телесного угла dQ, определяется, независимо от направления, выраже-
выражением
где и (v) = mv есть функция Планка, зависящая только от частоты
(и от температуры). Следовательно, для атома, неподвижного относи-
относительно пространства, занятого равновесным излучением, при всех про-
прочих процессах излучения все направления равновероятны, т. е. не су-
существует преимущественного направления действующей на него силы.
В координатной же системе К\ движущейся вместе с атомом, излуче-
излучение уже не изотропно, как в системе К, которая неподвижна по отно-
отношению к пространству с равновесным излучением. Напротив, наблюда-
наблюдатель в системе К' будет воспринимать излучение, которое мы можем
описать формулой
где и1 зависит от угла &' между направлением луча и направлением
движением молекулы. Эта зависимость от угла &' характеризует анизо-
анизотропию. Кроме того, вследствие эффекта Допплера, v' отличается от v.
Для наблюдателя в системе К движущийся атом поглощает при взаи-
взаимодействии с лучами, имеющими направление его движения, более
жесткую, а при взаимодействии с лучами противоположного направле-
направления — более мягкую частоту, чем неподвижный атом, а именно, в пер-
первом приближении поглощаемая частота равна
?2 —
h
Теперь найдем систематическое приращение импульса движущегося
атома с точки зрения системы К'у вызываемое обеими указанными выше
причинами. Пусть Nx и N2, как и выше, означают числа атомов в со-
состоянии 1 и 2. Тогда, по определению, в единицу времени происходит
процессов поглощения в пучке лучей с направлением dQf. При каждом
таком процессе, атому передается в направлении его движения им-
384 ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
пульс б2 ~~ ?д cos ft'; слагающих импульса, перпендикулярных к направле-
с
нию движения, мы не будем принимать во внимание, так как из со-
соображений симметрии передача по этим направлениям в среднем равна
нулю. Если частоту, поглощаемую атомом, временно обозначить
через v0 = —-тр^, то в целом, благодаря процессам поглощения,
атом получает импульс
Аналогичную величину дадут процессы отрицательного поглощения:
Такии образом мы вычислили тот импульс, который передавался
бы всем атомам Ni~\-Nit если бы все они двигались с одинаковой
скоростью v. Если еще принять во внимание, что
h40
2в21 " "'
N2B21 e kT
"kf
то можно написать общий импульс, в среднем передаваемый в единицу
времени отдельному атому в направлении его движения, в виде
При этом интегрирование распространяется на все значения телесного
угла Q'.
Для интегрирования заметим сначала, что частота / совпадает с
поглощаемой частотой v0, a v есть частота поглощаемого света, изме-
измеряемая в системе К\ она связана с Ь посредством уравнения
v = vo(l -f-^cos &) G1.4)
(если ограничиться членами первого порядка относительно — = [Я .
Интегрировать мы будем не по пространству в системе К\ а по про-
пространству в системе /С, так как мы знаем в этой системе функцию
и(у). Для этого мы должны воспользоваться законом преобразования
для световых волн, выведенным в § 58. Ясно, что плотно ль энергии
должна преобразоваться как квадрат амплитуды плоской волны соответ-
соответствующего направления, т. е. согласно § 58, как квадрат частоты
и' (V, #') dv' d9J \A'\l _ _v^
Благодаря этому, интеграл G1.3) превращается в следующий интеграл
в пространстве К:
j^ COS&' —1.
БАЛАНС ИМПУЛЬСА АТОМОВ В ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 38
С точностью до членов высшего порядка имеют место следующие со-
соотношения (сравни § 58):
v' cos 9' = v (cos Ь — $).
Если мы, согласно формуле G1.4), разьернем k(v) в ряд
то для интеграла получится значение
/{¦ (v.) + v0 P cos 9 ( *L) J(COs »-?)-§ =
Поэтому из формулы G1.3) следует, что в среднем импульс, переда-
передаваемый атому в секунду, пропорционален скорости и направлен проти-
противоположно ей. Если этот импульс написать, как мы делали выше,
в виде — RVy то мы получим, опуская опят значок 0 у v,
При тепловом равновесии tt(v) должно быть таким, чтобы это значе-
значение R совпадало с значением в формуле G1.2). Приравнивая эти два
выражения, мы получаем для «(v) условие:
д lg и 3 h 1 , ч . v3
Г = г- И (v) = COnst —т- .
Это и есть закон излучения Планка. Таким образом доказано
существование равновесия при учете энергии теплового движения атомов
в поле излучения. Из § 70 мы видели, что излучение при взаимодей-
взаимодействии с материей ведет себя так,, как будто бы оно состояло из дискрет-
дискретных квантов с энергией Av. А в этом параграфе мы показали, что при
последовательном проведении этой гипотезы каждому световому
кванту необходимо приписать также импульс-' .
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
К § И (стр. 63).
Из слов Беккера можно было бы вывести заключение, что электродина-
электродинамика содержит, помимо основных уравнений, еще и добавочный постулат,
запрещающий осуществляться „опережающим" потенциалам, как решениям
уравнений поля. Такое заключение было бы неправильным. Если нам даны р
и рт, как функции от х, у, г% t во всем пространстве и для времени /!>0, если
также даны <р, А, -— , -^- для момента времени ?=0 во всем пространстве
Беккер 5810 20 25
386 ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
и требуется отыскать ср и А в какой-то точке в какой-то момент времени t > О,
то уравнения A1.1) определяют искомое решение совер-
совершенно однозначно в виде запаздывающих потенциалов.
Вывод этих формул, данный М. Абрагамом, см., например, в курсе Вебстера—
Сеге: Диференциальные уравнения в частных производных и т. д, ч. II, ГТТИ.
1934 г.
Асимметрия по отношению к двум направлениям времени (прошедшее ~
будущее) не является существенным свойством электронной теории, а возни-
возникает вследствие тех или иных начальных условий задачи. (Если бы при опи-
описанной выше постановке задачи задавалось р и pv для f<0 и искались ср и А
для t<.0, то таким же однозначным решением задачи были бы опережаю-
опережающие, а не запаздывающие потенциалы). А так как каждый протекающий в при-
природе электромагнитный процесс мог бы рассматриваться как решение матема-
математической задачи с начальными условиями как первого, так и второго описан-
описанного типа, то опережающие потенциалы имгют столь же большой, или, лучше
сказать, столь же малый физический смысл, как и запаздывающие потенциалы:
характерная для этих выражений асимметрия по отношению к двум направле-
направлениям времени является не свойством самых законов электродинамики, но лишь
особенностью обычной для нас постановки задачи, в которой дано прошлое,
и ищется будущее, а не наоборот, хотя в некоторых довольно редких случаях
например, когда астроном для решения какого-нибудь исторического вопроса
вычисляет давно прошедшее затмение, встречается и иная постановка задачи.
Отсюда следует также, что решение „проблемы времени*, т. е. объяснение на-
наблюдаемого в природе принципиального отличия между прошедшим и буду-
будущим, не может быть дано в рамках классической электронной теории.
К § 25 (стр. 137)
Наблюдаются, однако, случаи весьма значительных уклонений от правила
сумм (см., например, работу Г. С. Кватера о дисперсии в парах таллия, труды
ГОИ). С классической точки зрения они легко выводятся из допущения,
что колебания данных электронов связаны с колебаниями других зарядов
в атоме. В квантовой теории соответственное значение имеет введение „энер-
„энергии обмена".
К § 29 (стр. 159)
Как мы видели в § 11 (см. 11.19), ускоренный электрон излучает энергию;
при равномерном движении по окружности v = — а>2г, и формула A1.19) дает
dw 2 е2
для этого случая конечную величину ~-тт- = -^ — о>4/*. Таким образом клас-
классическая теория отрицает самую возможность устойчивого обращения эле-
электрона по замкнутой орбите.
К § 45 (стр. 251)
Большое значение опыта А. А. Эйхенвальда заключается в том, что он
является решающим между Лорентцовской теорией неподвижного эфира, при-
приводящей к вышеупомянутому соотношению
tod '
и Гертцевской теорией увлекаемого эфира, из которой для тех же условий
опыта получилось бы
что равнялось бы почти нулю для воздуха
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 387
К § 58 (стр. 306)
Неоднократно указывалось, что формулы для эффекта Допплера несколько
различны в различных теориях, почему точные опытные данные могут быть ре-
решающими между этими теориями. В самом деле, пусть в штрихованной си-
системе какое-нибудь световое явление изображается формулой
2т:
Разберем, как она изобразится в нештрихованной системе: а) с точки зрения
неподвижного эфира и б) с точки зрения теории относительности. В а) мы
должны применить формулы Галилеева преобразования и помнить, что с' ш с — v.
Мы получим тогда
В случае б), с' = сн формулы преобразования суть E0.5) получим
Отсюда видно, что в случае а) при изменении направления v, Д7' =— V по-
получает противоположное, но равное значение; в случае б) напротив у AT по-
является дисимметричный (весьма малый) член + -^ 5-. В 1938г. Г. Айв с у
(Herbert Ives, J. Opt. Soc. № 7, 1938) удалось чрезвычайно тонкими опытами над
каналовыми лучами доказать существование этой дисимметрии и измерить ее
величину, оказавшуюся совпадающей с теоретической. Опыт Айвса прихо-
приходится по его основному значению поставить рядом с опытом Майкельсона:
последний непосредственно доказывает существование множителя —
в первом из уравнений преобразований Лорентца; опыт Айвса играет ту же
роль в отношении последнего из этих уравнений.
К § 60 (стр. 323)
Разделение полного тока на конвекционный ток и ток проводимости
ft = (*/)« + ()
Беккер производит таким образом, что и конвекционный ток и ток проводи-
проводимости оказываются четырехмерными векторами, более целесообразным, однако,
представляется другое разделение, тоже обладающее свойством инвариантности
по отношению к преобразованию Лорентца, но требующее от обеих состав-
составных частей тока не того, чтобы они были четырехмерными векторами, а того,
чтобы одна из них (конвекционный ток) при заданном поле совершенно не за-
зависела от а, а другая (ток проводимости) была пропорциональна а. Это разде-
разделение производится следующим образом: согласно F0.16) и F0.17), имеем:
В трехмерной формулировке это дает:
388 ПРИМЕЧАНИЯ РеДАКТОРА ПЕРЕВОДА
(Левая сторона —это и есть то, что Беккер называет током проводи-
проводимости jnp0B)« Помножая обе частя скалярно на v, мы получаем, после эле-
элементарных преобразований:
Сравнивая два последние уравнения, мы находим:
Левую сторону этого уравнения целесообразно было бы называть током прово-
проводимости jnp0B- Тогда для конвекционного тока получилась бы весьма простая
формула
Jk = Pv>
а для тока проводимости — формула более сложная, чем F0.17а), а именно:
s5LJ F !V R
JnpoB
5L. J F -! ~
К § 63 (стр. 336)
Г. Н. Льюис показал, что формула F3.14) следует из уравнения
#= тс% без каких-либо дополнительных гипотез. В самом деле, напишем упо-
упомянутое уравнение в виде dE=c*dm и присоединим сюда определения
импульса: Fdt = d(m\) и работы: T»vdt = dE. Исключая из этих трех
уравнений F, Е и dt, получим vrf(m-v) = c2dm, или, умножая на т и интегри-
интегрируя .(HLJL) 4- С = т0С что легко приводится к виду F3.14).
\ 2 / 2,
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Монографии:
Н. A. Lorcntz, Theory of Electrons, Leipzig 1916 (русский перевод:
Г. А. Лоренц, Теория электронов, Л.-М. 1934) и Enzykl, d. math.Wissensch.
Bd. 5, Heft 14;
F. Zerner, Die EJektronentheorie (Handbuch der Physik, Bd. 12. S. 146,
Berlin 1927).
A. § 1 и § 3: W. Gerl ach, Elektronen, Handb, d. Phys. 22, I. Tei!, 2. Aufl.
Berlin 1933.
§ 1: R. A. Millikan, Phys. Rev. 2, 136, 1913; Phys. Z. 14, 796, 1913:
E. R e g e n e r. Z. f. Phys 39, 247, 1926; R. Sanzenbacher, там же 39, 251,
1926; E. Regener, BerL Ber. 1909, II. 948.
§ 2: W. Schottky, Ann. d. Phys. 57, 541, 1918; 68, 157, 1922; С A. Hart-
matin, Ann. d. Phys/65, 51, 1921; Hull & Williams, Phys. Rev. 25, 147.
1925; Williams и Vinzent, Phys. Rev. 28, 1250, 1916; Schottky & Rothe,
Physik der GHihelektronen (Handb. der Experimentalphysik, 13, 2. Teil, Leipzig
1928).
§ 3: J. J. Thomson, Phil. Mag. 44, 293, 1897; Nature, 90, 645, 663, 91,
333, 1913; H. Busch, Phys. Z. 23, 438, 1922; Ann. d. Phys. 81, 974, 1926;
F. Wolf, Ann. d. Phys. 83, 849, 1927.
§ 4: F. W. A s t о n, Isotopes (есть русский перевод); F. W. Aston &
R. H. Fowler, Phyl. Mag. 43, 514, 1922.
§ 5: K. F. N i с h о 1 s, Phys. Z. 7, 640, 1906; Tolman & Stewart, Phys.
Rev/8, 97, 1916: 9,164, 1917; Tolman, Karrer & Gu er n s e y, Phys. Rev.
21, 525, 1923; Tolman & Lewis M. Mott-Smith, Phys. Rev. 28, 794, 1926;
S. J. Barnett, Phil. Mag. 12, 349, 1931.
§ 10: Kaufmann, Ann. d. Phys. 19, 487, 1906; A. H. В u с he г er, там же
28, 513, 1909; G. Ne u m a n n, там же 45, 529, 1914; CI. S chafer, там же 49,
934, 1916.
Б. § 18: A. Einstein & de Haas, Verh. D. phys. Ges. 17, 152,1915;
E. Beck, Ann. d. Phys. 60, 109, 1919; S. J. Barnett, Phys. Rev. 6, 239, 1915;
Proc. Am. Acad. 66, 273, 1931.
B. II. § 22—24: P. Deb ye, Polare Molekeln (есть русский пеоевод).
Ill: M. Born, Optik, Berlin 1933 (есть русский перевод); R. Ladenburg,
Muller-PouUlet, Lehrbuch der Physik, 11. Aufl. Braunschweig 1929, Band 2,2,
Halfte, 2 Teil, Кар. 36—39; Korff & Breit, Rev. of mod. Physics 4, 471, 1932.
§ 28: R. Ladenburg, Z. f. Phys. 34, 898, 1925; 46, 168, 1928; J. Becque-
rel, там же 52, 342, 1932; J. Be cqu er el & de H a as, там же 52, 678, 1928,
IV: P. W e i s s & G. F о ё x, Le magnetisme, Paris, 1926; P. D e b у е (Marx
Handbuch der Radiologie, Bd. 6, 1. Aufl. 1925); F. В loch (там же, Bd. 6,
2 Teil, 2 Aufl 1933; «^сть русский перевод: Ф. Блох, Молекулярная теория
магнетизм \ Харьков - Киев, 1934).
§ 31: P. Weiss, Phys. Z, 9, 358, 1908; W. Heisenberg, Z. f. Phys. 49,
619, 1928; F. В 1 och, там же, 57, 545, 1929; 61, 206, 1930; 74, 295, 1932.
§32: Ch Lapp, C. R, 186, 1104, 1928; P. Weiss & R, Forrer, С R. 178,
1347, 1446, 1670, 1924,
§ 33a: Mahajani, Phil. Trans. London (A) 228, 63, 1929; N. S. Akulov,
Z. f. Phys. 52, 389, 1928; 54, 582, 1929; 57, 249, 1929; К- Н otid a, S. К а у а, М a-
390 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
sum о to, Tohoku Sc. Rep. 17, 111, 1928; S. К а у а, там же, 17, 639, 1157, 1928;
W. L. Webster, Proc. Roy. Soc. London A 109, 570, 1928.
§ 33b: K. Honda & V. M a s h i у a m a, Tohoku Sc. Rep. 15, 755, 1926;
V. Mashiyama, там же 17, 945, 1928; Nishiyama, там же 18, 341, 1929;
F. Lichtenberger, Ann. d. Phys. 15, 45, 1932.
§ 34: R. Becker & M. Кersten, Z. f. Phys. 64, 660, 1930; M. Kersten,
Z. f. techn. Phys. 12, 665, 1931; R. Becker, Phys. Z. 33, 905, 1932.
Г. E. Gruneisen. Handb. d. Physik (Geiger-Scheel) Bd. 13, S. 1—76, Ber-
Berlin 1928; F. Bloch, Marx, Handbuch der Radiologie, Bd. 6, Teil 1, S. 226,
2 Aufl. Leipzig 1933.
§ 35: P. Drude, Ann. d. Phys. 1,566, 1900; 3, 369, 1900; 7,687, 1902;
E. Riecke, Phys. Z. 10, 508, 1909.
§ 36: H. A. Lorentz, Theory of Electrons, Leipzig 1916 и Proc. Amst. 7,
438, 585, 684, 1905; P. Deb ye, Ann. d. Phys. 33, 441, 1910.
§ 37: E. H. Hall, Phil. Mag. 9, 225, 1880; W. Gerlach, Handb. d. Physik.
Bd. 13, S. 228, Berlin 1928.
§ 38 и 39: W. Schottky & H. Rothe, 1. с § 2; H. Stucklen, Handb.
d. Physik, Bd. 14, S. 51, Berlin 1927.
§ 38: O. W. Richardson, Phil. Mag. 16, 353, 1908; 17, 813, 1909; 28, 633,
1911, S. Dushman, Phys. Rev. 21, 623, 1923.
§ 39: J. L a n g m u l r, Phys. Z. 15, 348, 1914; J. L a n g m u i r &. К. В. В 1 о d-
gett, Phys. Rev. 28, 317, 1923; W. Schottky, Phys. Z. 15. 526, 624, 1914.
§ 40 и 41: A. Sommerfeld, Z. f. Phys. 47, 1, 43, 1928; A, Sommerfeld
& N. H. Frank, Rev. of mod. »¦ hysics, 3, 1, 1931.
§ 42: W. V. Houston, Z, f. Phys. 47, 33, 1928; 48, 449, 1928; F. Bloch,
Z. f. Phys. 52, 555, 1928; 59, 208, 1930; R. Peierls, Ann. d. Phys. 4, 121, 1930,
5, 244, 1930.
Монографии:
L Nordheim, Ann. d. Phys. 7, 607, 1931;
R. Peierls, Erg. d. exakten Naturw. 11, 264, 1931;
L. В r i 11 о u i n, Quantenstatistik, Berlin 1931 (есть русский перевод).
Д. § 45: W. С. Rontgen, Ann. d. Phys. 35, 268, 1888; 40, 93, 1890;
A. Eichenwald, там же 11, 1, 421, 1903; H. A. W i 1 s о n, Phil. Trans. 204
121, 1904.
§ 46: H. Fizeau, С R. 33, 349, 1851; Pogg. Ann. Erg. Bd. 3, 457, 1853;
G. Sagnac, Journ. d. Phys. 4, 177, 1914; F. Harress, Ann. d. Phys. 62, 389,
1920.
§ 47: A. A. Mich el son, Americ. Journ. 22, 120, 1881; A. A. Michelson
6. E. W. Мог ley, там же, 34, 333, 1887; R. Tomaschek, Ann. d. Phys. 78
105, 1924; G. J о о s, там же 7, 385, 1930.
§ 48: G. G. Stokes, Phil. Mag. 27, 9, 1845; Math, and Phys. Papers, Cam-
Cambridge I, 141, 1883; H. A. Lorentz, Abh. uber theor. Phys. I, 347, Leipzig 1907,
W. Ritz, Ann. de chim. et de phys. 13, 145. 1908; W. de Sitter, Phys. Z. 14;
429, 1267, 1913; H. A. Lorentz, Versl. Akad. Amsterdam 1, 74, 1892-
O. Lodge, London Trans. (A) 184, 826, 1909.
E. Монографии:
M. v. La tie, Die Relativitatstheorie I, 4. Aufl. Braunschweig 1921;
W. Pauli jr. Enzykl. d. math. Wissensch. Bd. V, 2 Teil, S. 543;
M. Born, Die Relativitatstheorie Einsteins. Berlin 1920; H. W e у 1, Raum,
Zeit. Materie, Berlin 1923;
H. Thirring, Handb. d. Phys. Bd. 12, S. 245, 1927;
H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowsju, Das Relativitats-
prinzip, (сборник статей, есть русский перевод). 3, Aufl. Leipzig 1920.
I: A. Einstein, Ann d. Phys. 17, 891, 1905; Jahrb. d. Rad. 4, 441, 1907;
H. A. Lorentz, Proc. Amst. 1904, S. 809.
II: H, Minkowski, Phys. Z. 10, 104, 1909; Gottinger Nachr. 1907, I; Mathem.
Ann. 68, 472, 1910,
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 391
ill: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 32, 749, 1910; 33, 649, 1910.
IV: A. Einstein & J. Laub, Ann. d. Phys. 26, 532, 1908; J. Laub, там
же, 46, 705, 1915; H. Minkowski, Gottinger Nachr, 1908, 53.
V: A, Einstein Ann. d. Phys. 18, 639, 1905; 20, 627, 1906; 23, 371, 1907;
M. v. Laue, там же, 35, 524, 1911; Phys. Z. 12, 919, 1911; G. Herglotz,
Ann. d. Phys. 31, 393, 1910; 36, 453, 1911.
Ж. Монографии:
M. Planck, Einfuhrung in die Theorie der Warme, Leipzig 1930;
M.Planck, Vorlesungen tiber die Theorie der Warrnestrahlung (есть рус-
русский перевод) Leipzig 1921;
W. Pauli jr. Muller-Pouillet, Lehrb. d. Phys. 11 Aufl., 2 Bd., 2 Halfte»
1. Teil, S. 1483—1553, Braunschweig 1929;
M. Cerny & G. Hettner, там же, S. 1401 — 1427.
§ 67a: G. Kirchhoff, Pogg. Ann. 109, 275, 1860; Berl. Ber. 1861.
§ 676: Stefan, Wien. Ber. 79, 1879; L. Boltzmann, Wied. Ann. 22, 291,
1884; W. Wien, Berl. Ber. 1893; Wied. Ann. 52, 132, 1894; 58, 662, 1896.
§68: Lord Ray lei gh, Phil. Mag. 49, 539, 1900; J. H. Je a n s. там же,
10, 91, 1905.
§ 69: M. Planck, Ann. d. Phys, 1, 69, 719, 1900; 4, 553, 1901.
§ 70—71: A. Einstein, Phys. Z. 18, 121, 1917.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
58
207
221
349
Строка
11 снизу
15 сверху
19 снизу
8 сверху
Напечатано
F, + F/=v/(*) + ...
# ,
= сГГт
Та4 = Га4
Должно быть
т d%
4р* d* "*" 'f'
- сГ lf
Б е к к е р — „Электронная теория". Зак. 5810.