/
Tags: математика естественные науки механика общие вопросы горного дела
ISBN: 5-9221-0411-Х
Text
УДК 5оУ.о74 ^ Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.251+33.14 ^ctp>ii Российского фонда фундаментальных
q 73 ~~ ** ~~ исследований по проекту OS-01-ЦЦО
Споры хин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия
пространственных тел и задачи механики горных пород. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 232 с. - ISBN 5-9221-0411-Х.
Монография посвящена одному из разделов механики деформируемого
твердого тела: трехмерной теории устойчивости состояния равновесия око-
окологорных выработок для сжимаемых и несжимаемых упругопластических и
упруговязкопластических моделей горных пород. Представлены результаты
по линеаризированным задачам теории пластичности сложных сред методом
малого параметра. В рамках общей трехмерной линеаризированной теории
устойчивости малых деформаций изложена теория устойчивости горных
выработок, разработан общий подход к решению цилиндрических и сфери-
сферических задач устойчивости механики для указанных моделей. Рассмотрены
случаи горизонтальных и вертикальных выработок, а также подземных по-
полостей, подкрепленных многослойными крепями. Дано приложение теории
к деформированию и устойчивости целиков, бурящихся скважин, слоистых
массивов, оболочек с заполнителем и т. д.
Предназначена для специалистов по механике неупруго деформируемого
тела и горных пород, преподавателей, аспирантов и студентов старших
курсов вузов, занимающихся вопросами устойчивости пространственных тел
и конструкций.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0411-Х © А.Н. Спорыхин, А. И. Шашкин, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 7
Глава 1. Моделирование процессов деформирования и
потери устойчивости упругопластических сред
1.1. Уравнения, определяющие процесс деформирования
упрочняющихся упругопластических сред 19
1.2. Постановка задач об устойчивости деформирования упру-
упругопластических сред. Линеаризированные соотношения ... 23
1.3. О самосопряженности задач и условиях применимости ме-
метода Эйлера 31
1.4. Представление общих решений трехмерных уравнений
устойчивости для однородных основных состояний 37
1.5. Основные соотношения трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел в цилиндриче-
цилиндрической и сферической системах координат 45
1.6. Метод решения статических упругопластических задач
устойчивости. Алгоритм поиска критических нагрузок ... 56
Глава 2. Моделирование процессов деформирования и
устойчивости горных выработок в упрочняющихся упру-
говязкопластических массивах
2.1. Неустойчивость полупространства со сферической поло-
полостью 60
2.2. Неустойчивость полупространства с вертикальной цилин-
цилиндрической выработкой кругового поперечного сечения.... 70
2.3. Неустойчивость полупространства с горизонтальной выра-
выработкой 75
2.3.1. Упруговязкопластическое состояние круговой цилин-
цилиндрической трубы, находящейся под действием внутреннего
и внешнего давления 76
2.3.2. Линеаризация по малому параметру соотношений тео-
теории течения 78
2.3.3. Линеаризированные граничные условия и условия со-
сопряжения на упругопластической границе 79
2.3.4. Линеаризация по малому параметру функции нагру-
жения упруговязкопластического тела 80
Оглавление
2.3.5. Линеаризованные соотношения трансляционной тео-
теории сложных сред. Плоско деформированное состояние ... 81
2.3.6. Алгоритм решения упруговязкопластической задачи
методом малого параметра 84
2.3.7. Устойчивость цилиндрической горизонтальной выра-
выработки с круговым поперечным сечением 85
2.3.8. Устойчивость цилиндрической горизонтальной горной
выработки с эллиптическим поперечным сечением 94
2.3.9. Устойчивость горизонтальной цилиндрической горной
выработки с поперечным сечением близким к правильному
многоугольнику 103
2.4. Неустойчивость цилиндрической оболочки с упруговяз-
копластическим заполнителем при осевом сжатии 116
2.5. Локальная неустойчивость стенок бурящихся скважин
в сжимаемых упрочняющихся упруговязкопластических
массивах 121
Глава 3. Моделирование процессов деформирования
горных выработок с многослойными крепями
3.1. Уравнения, определяющие процесс деформирования упру-
гопластических сред 130
3.2. Математическая модель горного массива с выработкой и
определение напряжений в многослойных крепях верти-
вертикальных и горизонтальных выработок 133
3.3. Математическая модель горного массива вне области выра-
выработки и определение напряжений в массиве возле подкреп-
подкрепленных вертикальных и горизонтальных выработок 138
3.4. Определение поля напряжений в горном массиве, содержа-
содержащем сферическую выработку, подкрепленную многослой-
многослойной крепью 140
Глава 4. Моделирование отказов горизонтальных, вер-
вертикальных и сферических горных выработок, подкреп-
подкрепленных многослойными разномодульными крепями при
неупругой работе массива и крепи
4.1. Моделирование отказа горизонтальной выработки с много-
многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом
горных пород 146
4.2. Моделирование отказа вертикальной выработки с мно-
многослойной крепью при совместном расчете крепи с мас-
массивом горных пород 161
4.3. Исследование устойчивости многослойной разномодульной
крепи вертикальной горной выработки в массивах, обла-
обладающих упругопластическими свойствами 171
Оглавление
4.4. Моделирование отказа сферической выработки с много-
многослойной крепью 177
4.5. Исследование устойчивости многослойной разномодульной
крепи сферической выработки в массивах, обладающих
упругопластическими свойствами 183
4.6. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными
кольцевыми включениями при упругопластическом поведе-
поведении материалов 187
Глава 5. Исследование устойчивости задач горной ме-
механики при однородных докритических состояниях
5.1. Неустойчивость свободной поверхности 192
5.2. Определение оптимальных поперечных размеров ленточ-
ленточных и цилиндрических целиков 195
5.2.1. Определение оптимального поперечного размера лен-
ленточного целика 197
5.2.2. Определение оптимального поперечного размера ци-
цилиндрического целика 201
5.3. Неустойчивость бесконечного упруговязкопластического
пространства с круговой цилиндрической полостью 204
5.4. Неустойчивость деформирования слоистых массивов,
упрочняющихся в пластических средах 206
5.5. Неустойчивость неоднородного полупространства 208
Список литературы 212
Предисловие
Монография посвящена одному из основных вопросов иссле-
исследования в механике горных пород — устойчивости горных выра-
выработок.
Трактовка разрушения горного массива около выработки,
как следствие достижения напряженно-деформированным со-
состоянием критических значений, соответствующих локальной
потери устойчивости, ведет свое начало от основоположника
этого направления исследований в горной механике Л.В. Ер-
Ершова.
Проблеме локальной неустойчивости горных выработок,
проведенных в массивах с неупругой зоной, посвящен ряд
статей, в том числе и авторов настоящей монографии. Эти
исследования выполнены, в основном, в рамках трехмерной
теории устойчивости деформируемых тел с привлечением при-
приближенного подхода. В строгой линеаризированной трехмерной
постановке практически оставались неизученными классы
задач о состоянии равновесия горного массива возле выработок
для сложных моделей сред.
В монографии излагаются основы трехмерной линеаризиро-
линеаризированной теории устойчивости для сжимаемых и несжимаемых
упругопластических и упруговязкопластических моделей гор-
горных пород. Разработан общий подход решения цилиндрических
и сферических задач устойчивости горной механики.
Изложены результаты решения линеаризированных задач
теории пластичности сложных сред методом малого параметра.
В монографии впервые приводятся результаты исследований
локальной потери устойчивости горных выработок и подземных
полостей подкрепленных многослойными крепями.
Введение
В механике горных пород одним из основных объектов иссле-
исследования являются горные выработки. Анализ возможности раз-
разрушения массива возле них с учетом его последствий, а также
разработка конструктивно-технологических мероприятий, обес-
обеспечивающих безаварийное функционирование выработок, опре-
определяют актуальность проблемы.
Разрушение горного массива возле выработки может про-
произойти в результате следующих причин:
• достижение в массиве возле выработки напряженно-дефор-
напряженно-деформированным состоянием пределов прочности;
• достижение напряженно-деформированным состоянием
критических значений, соответствующих локальной потере
устойчивости возле выработки с последующими изменения-
изменениями и переходом к разрушению.
Исследование первой ситуации является предметом внима-
внимания и активно разрабатываемой проблемой для большого чи-
числа специалистов по механике горных пород [65, 119, 120, 178
и др.]. Исследованию второй ситуации посвящены статьи, часть
которых выполнена с привлечением приближенного подхода
в трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Теорию
устойчивости горных выработок, вообще говоря, следует рассма-
рассматривать как одно из приложений общей трехмерной линеаризи-
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел.
Локальная потеря устойчивости сильно напряженных частей
массива возле выработки может быть начальным этапом процес-
процесса разрушения, особенно при пластических деформациях.
Использовать методы механики твердых деформируемых
тел для определения упругого напряженно-деформированно-
напряженно-деформированного состояния массива в окрестности выработки впервые стали
С.Г. Михлин [190], А.Н. Динник, Г.Н. Савин, А.Б. Моргаев-
ский [110]. Однако натурные наблюдения показали [133], что
вокруг выработки формируется зона неупругих деформаций,
имеющая размеры в 2-9 метров. Это обстоятельство дало толчок
для широкого использования в расчетах моделей неупругих тел,
в частности, модели упругопластического тела.
Исследования устойчивости состояния равновесия горного
массива возле выработок развиваются на протяжении послед-
Введение
них 35-40 лет. Первой работой в этом направлении была опу-
опубликованная в 1962 г. статья Л.В. Ершова [125]. В последующие
годы выполнены исследования отдельных задач, результаты ко-
которых изложены в работах Л.В. Ершова, М.Т. Алимжанова и
других авторов [8, 9-11, 19, 21, 23-25, 122, 126, 132]. Общим
для указанных выше работ и ряда других является примене-
применение приближенного подхода в трехмерной теории устойчивости
деформируемых тел. Сущность этого подхода заключается в
том, что вместо линеаризированных уравнений устойчивости
применяются линейные уравнения, а параметры нагружения
вводятся в граничные условия. Это обстоятельство существенно
упрощает решение задач и дает возможность легко получить
конкретные результаты.
Первоначально решение проблем устойчивости основыва-
основывалось преимущественно на статическом критерии Эйлера. Основ-
Основные результаты исследований, выполненных в такой постановке,
отражены во многих монографиях: Ф. Блейха, А.С. Вольмира,
Б.Г. Галёркина, А.Н. Динника, А.А. Ильюшина, А.Р. Ржаници-
на, СП. Тимошенко, [47, 57, 63, 109, 147, 210, 267, 268]. Одна-
Однако исследования, проведенные В.В. Болотиным, Я.Г. Пановко,
Н.Н. Губановой, Г. Циглером [48, 204, 276, 277] показали, что
методы, основанные на бифуркации форм равновесия, имеют
ограниченную область применения. Статические методы при-
пригодны только в случае консервативных систем, а для некон-
неконсервативных систем следует рассматривать процесс движения
системы во времени, т. е. использовать динамические методы.
Ф. Энгессер, Ф.С. Ясинский и Т. Карман развили теорию
устойчивости сжатых стержней за пределом упругости. В основу
отыскания критических сил ими был положен тот же статиче-
статический критерий Эйлера, который применялся в задачах устой-
устойчивости упругих систем. В настоящее время теория неупругой
устойчивости [99, 100] является самостоятельным разделом ме-
механики, создавшая свои методы и подходы и имеющая прило-
приложения практически во всех отраслях промышленности и строи-
строительства. Однако большинство задач устойчивости ставилось и
решалось для тонкостенных конструкций в рамках прикладных
теорий пластин, оболочек и стержней с введением вспомогатель-
вспомогательных гипотез. К настоящему времени сформировалась теория
устойчивости деформируемых тонкостенных конструкций, что
нашло отражение в работах [51, 215, 274 и др.]. Проблемы же
трехмерной теории долгое время оставались почти неизученны-
неизученными. Под трехмерными задачами теории устойчивости следует
понимать исследования, в которых не привлекаются двумерные
теории пластин и оболочек и одномерные теории стержней.
Оценки погрешностей прикладных теорий, решение задач
устойчивости для толстостенных конструкций, задачи тектони-
Введение
ки и горной механики, теория поверхностных явлений, задачи
полимерных и армированных материалов и ряд других областей
естествознания и техники потребовали разработки трехмерной
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел.
Одной из важнейших сторон трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел является исследова-
исследование отдельных классов задач с сугубо трехмерным или дву-
двумерным (для плоских и осесимметричных задач) состоянием,
к решению которых нельзя привлечь теорию устойчивости тон-
тонкостенных деформируемых систем. При решении таких классов
задач в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчи-
устойчивости деформируемых тел предполагается применение критери-
критериев устойчивости, соответствующих хорошо зарекомендовавшим
себя критериям теории устойчивости тонкостенных деформи-
деформируемых систем.
Для построения трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел обычно используют следую-
следующие два положения.
Первое положение заключается в том, что в основном (до-
критическом) и возмущенном состояниях действуют одни и те
же внешние нагрузки, а напряженно-деформированное состоя-
состояние среды описывается соотношениями одной и той же нелиней-
нелинейной теорией деформируемых тел.
Второе положение состоит в том, что возмущения являются
значительно меньшими величинами по сравнению с величина-
величинами докритического состояния. Таким образом, по постановке
задачи возмущения являются сколь угодно малыми величина-
величинами. Следовательно, в линеаризированной механике деформи-
деформируемых тел (даже при малых начальных деформациях), на-
начальные деформации (деформации невозмущенного состояния)
следует считать конечными величинами по отношению к возму-
возмущениям.
Исходя из соображений физического характера, Р.В. Саус-
велл (R.V. Southwell) [305], а позднее СВ. Бицено и Г. Генки
(СВ. Biezeno, H. Hencky) [291], вывели трехмерные уравнения
упругой устойчивости при малых докритических деформациях.
М.А. Био (М.А. Biot) [293, 295] вывел соотношения трехмерной
теории устойчивости деформируемых тел путем линеариза-
линеаризации уравнений нелинейной теории упругости, Е. Треффтц
(Е. Trefftz) [308, 309] — вариационным методом при некоторых
допущениях. Р. Каппус (R. Kappus) [302], используя идеи
Е. Треффтца, впервые получил строго линеаризированные
уравнения движения деформируемого тела при конечных
докритических деформациях, а для частного случая —при
малых деформациях.
10 Введение
Результаты многочисленных публикаций М.А. Био (М.А. Biot)
по трехмерной линеаризированной теории устойчивости дефор-
деформируемых упругих тел нашли отражение в его монографии [292],
которая является первой монографией по трехмерной ли-
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел.
Позже линеаризированные соотношения трехмерной теории
устойчивости деформируемых тел были получены в лагран-
жевых координатах В.В. Новожиловым [198, 199] и авторами
работы [299] для изотропного упругого тела с произвольной
формой упругого потенциала. В дальнейшем трехмерные
линеаризированные задачи механики деформируемого тела при
конечных докритических деформациях рассматривались также
в работах А. Грина и Дж. Адкинса, А.И. Лурье, А.Н. Гузя,
И.Ю. Бабича, А.Н. Спорыхина [85, 87, 88, 92, 97, 99-101, 184,
218, 219, 224, 227, 230, 231, 247-249, 306] и других авторов.
А.Н. Гузь показано, что результаты исследований явления
внутренней и поверхностной неустойчивости [79, 80] для упру-
упругих и упругопластических моделей деформируемых тел, вычис-
вычисленные в рамках приближенного подхода, могут качественно и
количественно не согласовываться с соответствующими резуль-
результатами трехмерной линеаризированной теории устойчивости де-
деформируемых тел (второй вариант теории малых докритиче-
докритических деформаций). Сделанный вывод в полной мере относится
и к результатам теории устойчивости горных выработок, полу-
получаемым с позиции приближенного подхода.
Вопросам устойчивости деформирования сложных сред
в трехмерной постановке посвящено сравнительно небольшое
количество исследований, так как сложность уравнений
движения для большинства реологических моделей приводит
в задачах устойчивости к значительным математическим
трудностям. В работах [145, 148, 149] были выполнены первые
исследования в этой области. А.А. Ильюшин [149] впервые
описал в лагранжевых координатах вязкопластическое течение.
Методом близких движений исследованы задачи устойчивости
течений полосы и цилиндра, нагруженных осевой силой, а
также вязкопластической трубы, находящейся под действием
внутреннего давления. В работе А.Ю. Ишлинского [148] для
решения задачи о течении полосы и круглого прута при сжатии
и растяжении использован метод Эйлера. А.Н. Спорыхи-
ным [223-233] исследовалась устойчивость деформирования
упрочняющихся упруговязкопластических тел при малых
докритических деформациях, в частности, рассмотрено
выпучивание толстостенной трубы под действием внутреннего
давления [226] и толстых плит при сжатии [223]. С. Загорски
(S. Zahorski) [311, 312], исходя из линеаризированных уравнений
устойчивости [299] и пользуясь динамическим критерием устой-
Введение 11
чивости, исследовал устойчивость медленных установившихся
движений нелинейно-вязкоупругого и упругопластического
материала при конечных докритических деформациях.
При исследовании устойчивости равновесия или движения
трехмерных тел с реологическими свойствами применяется [85,
88, 92] критерий устойчивости, состоящий в том, что состояние
равновесия или движения считается устойчивым, если возму-
возмущения во времени затухают, и неустойчивым, если возрастают.
Ранее [148, 207, 208] был предложен аналогичный критерий
устойчивости в теории ползучести тонкостенных элементов кон-
конструкций. Для упрощения задач часто вводятся дополнитель-
дополнительные предположения [84].
В монографии А.Н. Спорыхина [257], на основе построенных
систем уравнений и общих идей теории возмущений, развита
трехмерная линеаризированная теория устойчивости сложных
сред (в том числе с учетом случайной структуры) при малых
(строгая постановка) и больших (приближенная постановка)
докритических деформациях и теория устойчивости нелинейно-
упругих сред в «большом». Разработаны подходы и методы
решения трехмерных задач устойчивости механики деформируе-
деформируемых тел с усложненными свойствами. Дана постановка и получе-
получено решение классов задач при однородных и неоднородных докри-
докритических состояниях для различных моделей сред. Установлены
новые эффекты и явления для рассматриваемых задач.
Применение теории устойчивости деформируемых тел в ме-
механике горных пород осуществляется в двух направлениях:
первое связано с исследованием задач о складкообразовании
в толще земной коры (задачи об устойчивости слоистых сред);
второе — с исследованием задач устойчивости горных выработок
(устойчивость формы контура выработки, когда докритическое
состояние определяется в результате решения задачи о концен-
концентрации напряжений).
Впервые М.А. Био (М.А. Biot) [292-295] применил к иссле-
исследованию плоских задач о складкообразовании линеаризирован-
линеаризированную (инкрементальную) теорию устойчивости деформируемых
тел, построенную им с привлечением некоторых соображений
физического характера. В последующие годы Ж.С. Ержанов и
его сотрудники [116, 117] развили теорию земной коры в случае
прерывистой, куполовидной и линейной складчатости с привле-
привлечением подхода Лейбензона-Ишлинского.
К основным задачам теории устойчивости горных выработок
можно отнести следующие задачи об устойчивости:
• вертикальных горных выработок (устойчивость шахтных
стволов);
• горизонтальных горных выработок;
12 Введение
• подземных полостей;
• ленточных, цилиндрических и др. целиков;
• крепей горных выработок.
В каждом из указанных классов задачи различаются как по
принятой модели для описания свойств горных пород (упругое,
упругопластическое, вязкоупругое, и т.д.), так и по форме по-
поперечного сечения выработки, по виду граничных условий на
поверхности выработки (по принятой модели крепи) и по ряду
других специфических особенностей.
Задачи об определении критического значения горного дав-
давления для горизонтальных и вертикальных горных выработок
рассмотрены в работах [122, 123, 126] применительно к отдель-
отдельным моделям горных пород. Дальнейшее развитие эти исследо-
исследования нашли в работах [12-14, 21, 233 и др.]. Решения этих задач
были получены с привлечением приближенного подхода.
Применение соотношений трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел к исследованию
задач устойчивости в геомеханике было положено работой
А.Н. Гузя [75]. Дальнейшее развитие эта теория получила
в работах Ж.С. Акопяна [1-6, 200], Ф.М. Асамидинова [37, 38,
169], И.Ю. Бабича [39, 40, 42, 200], Г.Н. Баклановой [39, 45 ],
А.Н. Гузя [3, 4, 5, 38-40, 76, 80, 84, 98], Л.В. Дериглазова
[106-108, 200], Г.Г. Кулиева [38, 94, 168, 169 ], СБ. Лобовика
[42, 179-181], А.В. Навояна [5-7, 44, 98, 192], В.М. Назаренко
[194-196], А.Н. Спорыхина [218, 231, 234-238, 241, 244, 246, 251,
252, 260-262, и др.], А.И. Шашкина [66, 189, 258, 244, 250, 253,
236, 240, 248, 281, 283-285]. Значительное число публикаций,
относящихся к решению задач об устойчивости горизонтальных
и вертикальных шахтных стволов с круглыми, эллиптическими,
квадратными поперечными сечениями и сферических полостей
для хранения нефтепродуктов выполнены для упругой
(с различной изотропией) модели массива горных пород, что
отражено в [6, 84, 98]. В работах [39, 42, 45, 84] рассмотрена
устойчивость выработок при предположении, что массив горных
пород подчиняется теории малых упругопластических дефор-
деформаций при степенном упрочнении. При этом не допускалось
существования поверхности раздела между областью упругих
и неупругих деформаций. Для сложных моделей горных пород
с наличием поверхности раздела зон упругого и неупругого
деформирования устойчивость выработок рассматривалась
в работах [66, 194-196, 232, 233, 236, 248, 250, 253, 258].
Вариационный метод решения задач устойчивости горных
выработок, для различных моделей массива горных пород, из-
изложен в работе [84].
Введение 13
Устойчивость упругого, упругопластического равновесия це-
целиков на основе различных вариантов теории малых началь-
начальных деформаций линеаризированной механики рассматрива-
рассматривалась в работах [16, 248, 284 и др.]. Целики —это участки за-
залежи полезного ископаемого, оставляемые в процессе разра-
разработки месторождений камерно-столбовой системой. К основным
недостаткам такой системы разработки относятся значитель-
значительные потери полезного ископаемого в меж:дукамерных целиках.
Именно поэтому с углублением работ возрастает актуальность
проблемы определения оптимальных размеров целиков. Под оп-
оптимальным размером понимается такой размер, который явля-
является экономичным по расходу полезного ископаемого, с одной
стороны, и обеспечивает устойчивое состояние равновесия це-
целика—с другой. Проведенные до настоящего времени исследо-
исследования касаются только ленточных и цилиндрических целиков.
Основное предположение, принимаемое в большинстве публика-
публикаций по этому вопросу, заключается в том, что докритическое
состояние целиков считается однородным. В работе [14] в рам-
рамках приближенного подхода определены оптимальные размеры
ленточных целиков из упругого и упрочняющегося упругопла-
упругопластического материалов. В уточненной постановке [14], когда
в уравнениях равновесия учитываются углы поворота и в гра-
граничных условиях сохраняются члены того же порядка мало-
малости, решена задача определения оптимального размера ленточ-
ленточного целика из упругого несжимаемого материала. С позиций
приближенного подхода в работе [121] определено критическое
давление на боковые стенки ленточного целика из упрочняю-
упрочняющегося упругопластического материала и количество необхо-
необходимых штанг для крепления целика. Исследована зависимость
оптимального радиуса цилиндрического целика [14] от значе-
значений упругих констант: модуля Юнга и коэффициента Пуассона.
Показано, что осесимметричной формы потери устойчивости
цилиндрического целика в пределах упругих деформаций не
происходит.
Численный анализ и практика эксплуатации горных выра-
выработок, как отмечено в работах [16, 84, 110] показывает, что при-
применение упругого (как изотропного так и анизотропного) тела
в качестве модели массива горных пород не отражает реальную
картину процессов вблизи глубоких выработок. Это обусловлено
тем, что напряжения, соответствующие критическому состоя-
состоянию породы вокруг выработки, во много раз превышают предел
прочности горной породы. В связи с этим порода вокруг выра-
выработки перейдет в состояние неупругого деформирования рань-
раньше, чем произойдет локальная потеря ее устойчивости. При этом
наиболее достоверные результаты исследования устойчивости
горных выработок получаются [16, 84] при привлечении более
14 Введение
сложных моделей, как наиболее полно отражающих поведение
горных пород.
Что касается вопросов о крепях, то здесь главной задачей яв-
является определение минимальной (оптимальной) толщины мо-
монолитной крепи, обеспечивающей устойчивость подземных вы-
выработок. Проанализируем известные решения этой проблемы,
основанные на использовании теории устойчивости деформиру-
деформируемых тел. Почти во всех выполненных до настоящего времени
исследованиях [14, 18, 282] использовался приближенный подход
Лейбензона-Ишлинского, а сами постановки задач являлись су-
сугубо приближенными. В работе [14] отмечается, что «вопрос об
исходных данных для расчета легких и экономичных подкреп-
подкрепляющих конструкций в подземных выработках нельзя считать
решенным, поскольку в расчетных формулах не учтены те фак-
факторы, от которых в основном и зависят эти данные». Давление
на внешнюю поверхность крепи (давление горных пород) в боль-
большинстве работ никак не определяется и считается независящим
от физико-механических свойств горного массива и глубины. Та-
Таким образом, задача определения оптимальной толщины крепи
выработки в существующих исследованиях полностью отожде-
отождествляется с задачей устойчивости толстостенной оболочки, нахо-
находящейся под действием постоянной внешней нагрузки [128, 130].
Однако, как показывают исследования [151 и др.], нагрузка
на крепь в первую очередь определяется перемещениями гор-
горной породы и образованием зоны неупругого деформирования.
Остановимся подробнее на задачах, выполненных в такой поста-
постановке.
В работе [14] определена оптимальная толщина цилиндри-
цилиндрической крепи для случая, когда материал частично перешел
в пластическое состояние. Докритическое напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние считалось симметричным, а прочность
материала, перешедшего в предельное состояние, оценивалась
по прямолинейной огибающей кругов Мора. Решение определя-
определялось в рамках плоского и трехмерного осесимметричного под-
подходов. Приведены значения толщин крепи, при которых на ее
внутренней поверхности возникает предельное состояние. Опре-
Определению оптимальных толщин сферических крепей из несжи-
несжимаемого идеально-пластического материала посвящены работы
[14, 18]. При этом в работе [18] в качестве условия пластично-
пластичности принималось условие Треска, а в работе [14] — уравнение
состояния среды с внутренним трением и сцеплением. Показано,
что потеря устойчивости может произойти до того, как крепь
исчерпает свою несущую способность, т. е. полностью перейдет
в пластическое состояние.
В работе [282] впервые расчет крепи проводился совместно
с расчетом проявления горного давления. Из решения задачи
Введение 15
о докритическом состоянии в ней определялось давление на
крепь выработки как контактное давление на границе крепи и
массива. При найденной таким образом нагрузке на внешнюю
поверхность крепи, далее определялся такой внутренний радиус
крепи, при котором она может потерять устойчивость.
Одной из наиболее сложных задач в разделе математической
теории пластичности является пространственная упругопласти-
ческая (упруговязкопластическая) задача. Сложность уравне-
уравнений для большинства реологических моделей сред приводит к
значительным трудностям принципиального характера, кроме
того, в таких задачах граница раздела областей упругого и
пластического деформирования заранее неизвестна, и ее нужно
определять в ходе решения. Одним из методов, позволяющих по-
получить приближенное аналитическое решение подобных задач,
является метод возмущений, основанный на введении величин,
малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе
«возмущающих» те или иные исходные решения. Применению
этого метода в механике деформируемого твердого тела посвя-
посвящена монография Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [142]. В обзорных
статьях и монографиях М.Т. Алимжанова, А.Н. Гузя, А.Н. Спо-
рыхина [14, 16, 99, 100, 257,] отражено состояние исследований
в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел, прове-
проведенных с помощью метода возмущений.
Л.А. Галин [64] для случая плоской деформации в 1946 г., а
Г.П. Черепанов для случая плоского напряженного состояния
в 1963 г. [278] дали точное решение задачи о двухосном ра-
растяжении плоскости с круговым отверстием. Взяв в качестве
малого параметра полуразность растягивающих напряжений,
отнесенных к пределу пластичности Д.Д. Ивлев [142] показал,
что найденные им четыре приближения методом малого пара-
параметра для задач Л.А. Галина и Г.П. Черепанова в точности
совпадают с соответствующими разложениями точных решений
по тому же малому параметру. Схема Д.Д. Ивлева позволяет
определить и последующие приближения. Однако оказалось,
что для описания точного решения Л.А. Галина достаточно
двух, а для описания решения Г.П. Черепанова — четырех при-
приближений [142]. Н.Н. Остросаблин [202] получил точное решение
для перемещений в задаче Л.А.Галина.
Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов [142] рассмотрели случай, когда
пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком
охватывает ее. В рамках такого подхода в публикациях [17, 24,
25, 59-61, 142, 185, 187, 214] и некоторых других было получено
решение ряда двухмерных и трехмерных задач.
Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков [53-55] применили общий
подход к решению задачи нахождения упругопластической гра-
границы, когда пластическая зона носит локальный характер, т.е.
16 Введение
не охватывает весь контур. В рамках предложенной ими схемы
в работах [55, 275] была решена задача об определении положе-
положения границы раздела упругой и пластической зон при кручении
стержня эллиптического поперечного сечения.
В.Д. Клюшников в работе [162] предложил метод решения
упругопластических задач, основанный на разложении по мало-
малому параметру нагружения. Метод разложения по малому пара-
параметру нагружения применялся и в работах [135-138].
В работах [35, 36, 67, 163, 165, 206, 255] авторы, основыва-
основываясь на схеме Ивлева-Ершова, получили приближенные решения
задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопла-
стического и упруговязкопластического материала с круговым,
эллиптическим и многоугольным отверстием, подверженных
действию внутреннего давления. Развитие этого подхода на
упругопластические задачи с включениями дано в публикациях
[164, 166] и др. Та же схема использована и в работах [260, 261]
и некоторых других при решении задач упругопластического
кручения стержней различной формы.
Таким образом, в первой половине прошлого столетия бы-
были получены уравнения движения в напряжениях и граничные
условия трехмерной линеаризированной теории устойчивости
деформируемых тел при малых и конечных докритических де-
деформациях. В последующие годы второй половины прошлого
столетия разрабатывались общие вопросы трехмерной линеари-
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел и были
решены многие задачи устойчивости (в основном для однород-
однородных докритических состояний упругих тел).
В настоящее время получено достаточно много результатов
по общим вопросам и по решению отдельных классов задач
при однородных и неоднородных докритических состояниях
с использованием сложных моделей сред, актуальных для раз-
различных областей естествознания, в том числе и для механики
горных пород. Это и вызвало необходимость написания моно-
монографии.
Монография состоит из пяти глав.
Первая глава посвящена развитию трехмерной линеаризиро-
линеаризированной теории устойчивости деформируемых сложных сред при
малых докритических деформациях. Изложение трехмерной
теории устойчивости дано в единой форме для следующих
моделей сред: упругопластических, упруговязкопластических,
сжимаемых упругопластических. Построены решения уравне-
уравнений динамической, квазистатической и статической устойчиво-
устойчивости при однородных докритических состояниях. Исследованы
общие вопросы трехмерной линеаризированной теории устой-
устойчивости. Доказана возможность исследования устойчивости
процесса деформирования по предельной системе уравнений;
Введение 17
установлены типы краевых условий, допускающие применение
статических методов определения потери устойчивости, развита
теория устойчивости сложных сред на конечном интервале
времени. Существенное внимание уделено разработке методов
решения конкретных классов граничных задач при однородных
и неоднородных докритических состояниях.
Вторая глава посвящена моделированию процессов дефор-
деформирования и устойчивости горных выработок в упрочняющихся
упруговязкопластических массивах. Исследуется неустойчи-
неустойчивость полупространства со сферической, вертикальной и
горизонтальной полостями.
Получены разложения по малому параметру соотношений
теории течения упрочняющегося упруговязкопластического те-
тела, граничных условий и соотношений на упругопластической
границе. Дан анализ полученных уравнений для величин лю-
любого порядка, построены уравнения, используемые для решения
рассматриваемых задач в случае плоской деформации. Устанав-
Устанавливается тип дифференциальных уравнений для напряжений
и перемещений в пластической зоне. Излагается алгоритм ре-
решения упруговязкопластической задачи методом малого пара-
параметра.
В третьей главе строится математическая модель горного
массива с выработками, подкрепленными многослойными кре-
крепями. Определяется напряженно-деформированное состояние
в массиве и каждом слое многослойных крепей вертикальных
и горизонтальных выработок. Найдены поля напряжений око-
около вертикальной и горизонтальной выработок с многослойной
крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород.
Определяется поле напряжений в горном массиве, содержащем
сферическую выработку, подкрепленную многослойной крепью.
Исследуется напряженно-деформированное состояние пластин
с запрессованными кольцевыми включениями при упругопла-
стическом поведении материалов.
Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости го-
горизонтальных, вертикальных и сферических выработок, под-
подкрепленных многослойными (TV-слойными) крепями в горных
массивах для упругопластической среды с трансляционным
упрочнением в предположении, что слои (крепей) работают сов-
совместно без проскальзывания и отставания, а также с учетом
разномодульности крепей.
Пятая глава посвящена исследованию устойчивости задач
горной механики при однородных докритических состояниях
с позиции трехмерной линеаризированной теории устойчивости.
Рассматривается неустойчивость полупространства со свобод-
свободной границей из сжимаемого упруговязкопластического тела
при сжатии. Определяются оптимальные поперечные размеры
18 Введение
ленточных и цилиндрических целиков. Исследовано явление по-
поверхностной неустойчивости бесконечного пространства с кру-
круговой цилиндрической полостью. Рассмотрена неустойчивость
деформирования слоистых массивов, упрочняющихся в упруго-
вязкопластических средах.
Получено решение задачи о неустойчивости неоднородного
полупространства находящегося под действием гравитационно-
гравитационного поля и горизонтального сжатия.
При написании монографии авторы придерживались обо-
обозначений и аппарата исследования, принятых в большинстве
отечественных научных публикациях в данной области, отдавая
предпочтение при изложении материала своим работам.
Глава 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
И ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД
Постоянно расширяющийся интерес исследователей к зада-
задачам устойчивости механики горных пород, решаемым в рам-
рамках точных трехмерных уравнений свидетельствует об их акту-
актуальности. Явления потери устойчивости реализуются в основ-
основном при неупругих деформациях, поэтому при изучении этого
процесса используются модели деформирования, учитывающие
одновременно упругие, вязкие, пластические, дилатансионные
и другие свойства горных пород и материалов. Наибольшее
распространение получили две теории пластичности — теория
малых упругопластических деформаций (деформационная тео-
теория) и теория течения. Достаточно подробно эти теории из-
изложены в работах [56, 140, 141, 143, 144, 147, 150], а также
в работе [85]. Описание трехмерной теории устойчивости для
этих вариантов теорий пластичности дано в работах [84, 85, 88,
92, 99, 100, 257].
В настоящей главе в рамках простейших и в тоже время
хорошо зарекомендовавших себя на практике моделей слож-
сложных сред для изотермических процессов изложена трехмерная
теория устойчивости деформируемых сред при малых докри-
тических деформациях. В основу материала этой главы легли,
в основном, результаты исследований [99, 100, 223, 226, 227, 230,
231, 238, 241, 242, 243, 257].
1.1. Уравнения, определяющие процесс
деформирования упрочняющихся
упругопластических сред
Будем считать горную породу сплошной средой, напряжен-
напряженное состояние которой характеризуется симметричным тензором
напряжений а?. Напряженно-деформированное состояние такой
среды будет определяться соотношениями геометрически ли-
линейной теории, что вполне оправдано для достаточно жестких
сред. Приведем основные соотношения этой теории.
20 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
Уравнения равновесия имеют вид
Via) + Xj = O, A.1.1)
где символ Vj обозначает ковариантную производную по j-ой
компоненте; Aj — массовые силы.
Граничные условия таковы:
а) в усилиях на части поверхности Si тела
где Nj — орты нормали к поверхности Si тела, Рр — составляю-
составляющие вектора поверхностных сил;
б) в перемещениях на части поверхности S2 тела
щ = Up. A.1.3)
Малые деформации среды могут быть охарактеризованы
симметричным тензором деформации с компонентами еар, ко-
который связан с компонентами вектора перемещений up соотно-
соотношениями Коши
2е) =V/ + V\. A.1.4)
е
Если в теле наряду с упругой зоной (V) существует и пласти-
v
ческая зона (V0, то на границе раздела этих областей S должны
выполняться условия непрерывности перемещений:
[uj]\s = 0 A.1.5)
и поверхностных сил
Здесь квадратные скобки обозначают разность значений вы-
выражений соответствующих упругой и пластической области на
границе S. По повторяющимся индексам, если особо не оговоре-
оговорено, производится суммирование от 1 до 3.
Присоединяя к уравнениям линейной теории A.1.1)—A.1.6)
уравнения состояния для зоны упругого и пластического дефор-
деформирования среды, получим замкнутую математическую задачу.
Связь между напряжениями и деформациями в упругой зоне
будем определять законом Гука
<т? = \еае8? + 2цЦ, A.1.7)
где А и \i — параметры Ламе, g-—смешанные компоненты мет-
метрического тензора.
В зоне пластического деформирования будем использовать
следующие модели упругопластической среды.
1.1] Уравнения, определяющие процесс деформирования 21^
Модель несжимаемого упруговязкопластического тела [223]
с поверхностью нагружения
т-1 _ ( /3 Рр Рр\ ( j Pj I
~~ \ п Со • 77 С • I I S о Со о 77с
\ 3 3 3 ) \ Р Р
Здесь и далее индексы «е» и <ф» вверху обозначают, что
соответствующие величины относятся к упругой или пластиче-
пластической области тела соответственно. s\ = o\ — - C7,gf- —компоненты
з з з к у
девиатора тензора напряж:ений.
Полная деформация в пластической зоне слагается из упру-
е р
гой ?ij и пластической bij составляющей
?••-!••+?•• П19)
причем, упругие деформации вцсвязаны с напряж:ениями зако-
законом Гука A.1.7). Пластическая составляющая объемной дефор-
деформации удовлетворяет условию несжимаемости
?пп = 0. A.1.10)
Скорости пластической деформации ец = 0, если
.?-«!?) D-*,)<*».
Здесь ev{- значения пластических деформаций, достигнутых
к моменту разгрузки.
Компоненты тензора скоростей пластических деформаций
на основании ассоциированного закона течения определяются
следующим образом:
если выполняется условие пластичности A.1.8). Здесь т\ — коэф-
коэффициент вязкости, с — коэффициент упрочнения, к — предел те-
текучести материала, ^ — положительный скалярный множитель.
Очевидно, полагая в соотношениях A.1.8)—A.1.11) г/ = 0,
приходим к модели [56, 141, 150] несжимаемой упругопласти-
ческой среды с трансляционным упрочнением с поверхностью
нагружения вида
df) D 4) = °- A.1.12)
Ассоциированный закон течения в этом случае записывается
следующим образом:
Ц (^Щ A.1.13)
22 Моделирование процессов деформирования [Гл. 1
Для модели упруговязкопластического тела, которая учиты-
учитывает необратимую сжимаемость, функцию нагружения выберем
в виде [257]
4 - сЦ - пЦ) - к = О,
A.1.14)
р'/з р'/з
где а — скорость дилатансии; еа, е^—компоненты девиатора
тензора пластических деформаций и, соответственно, девиатора
скоростей пластических деформаций; о = -о\ — среднее нор-
нормальное напряжение.
Соотношения, определяющие зависимость между компонен-
компонентами тензора скоростей пластических деформаций и напряже-
напряжениями, принимаются в форме [141]
Ц = ф^+Фг(а)^, </>iH = ^, A.1.15)
J дар- J da
где ^i(cr) = ^х—функция объемного нагружения, которая пол-
полностью определяется из экспериментов на всестороннее равно-
равномерное «растяжение-сжатие»; е\ — первый инвариант тензора
пластических деформаций.
При решении отдельных задач далее будем использовать
и модель упругопластического тела с изотропным линейным
упрочнением с поверхностью нагружения вида
F= л/т^-сл/Ё~2-к = {). A.1.16)
Здесь ^2 = - sloS^ — второй инвариант девиатора тензора напря-
напряжений, а Е2 = е3пЕ-— второй инвариант тензора пластических
деформаций.
При наличии необратимой сжимаемости в случае линейного
упрочнения функция нагружения A.1.16) примет вид
F = аа + VS2 - сл/Е2 - к = 0. A.1.17)
Для того чтобы путем интегрирования перейти от соотно-
соотношений между напряжениями и скоростями деформаций для
пластической среды к соотношениям между напряжениями и
деформациями будем предполагать, что имеет место процесс
простого нагружения или мало отличающиеся от него процессы.
Это предположение базируется на соображениях как теорети-
теоретического [147, 212], так и экспериментального [288] характера.
Отмеченные условия применимости приведенных соотношений
сужают класс решаемых задач и дают возможность получения
только приближенного решения.
1.2] Постановка задач об устойчивости деформирования 23
Приведенная система уравнений A.1.1)—A.1.17), относящая-
е V
ся и к зоне упругого V и к зоне пластического V деформирова-
деформирования тела, при определенной форме поверхности нагружения и
соответствующем ассоциированном законе течения представля-
представляет собой замкнутую математическую задачу, которая положена
в основу определения напряженно-деформированного состояния
рассматриваемых далее задач.
1.2. Постановка задач об устойчивости
деформирования упругопластических сред.
Линеаризированные соотношения
Системы, испытывающие упругопластические деформации,
обладают свойством внутренней неконсервативности вследствие
необратимости пластических деформаций. Исследование устой-
устойчивости состояния равновесия такой системы за пределом упру-
упругости должно основываться на анализе движения системы вбли-
вблизи основного состояния равновесия (при сообщении системе
некоторых малых возмущений), т.е. на основе динамического
подхода.
В теории упругой устойчивости при использовании дина-
динамического метода исследования основное состояние считается
устойчивым, если возмущения со временем затухают, и неустой-
неустойчивым, когда возмущения возрастают при t —>• оо.
Появление достаточно малых пластических деформаций
приводит исследуемую систему к неустойчивому состоянию
(в силу необратимости пластических деформаций) в смысле
концепции устойчивости, изложенной выше. В этом состоит
основное затруднение, которое возникает при непосредственном
перенесении понятий устойчивости из механики упругого тела
в механику упругопластического тела. Трудности вызваны и
тем, что при пластических деформациях переход от одной рав-
равновесной формы к другой может сопровождаться появлением
дополнительных зон разгрузки в момент потери устойчивости.
Нагрузки, вычисленные с учетом этого явления, называются
приведенно-модульными по аналогии с результатами, получен-
полученными Т. Карманом для задачи об устойчивости стержня. Появ-
Появление дополнительных зон разгрузки при переходе в смежное
состояние (даже в случае теории устойчивости тонкостенных
элементов) вызывает значительные математические трудности,
связанные с решением задачи с неизвестными границами
раздела зон упругости и пластичности (они определяются
в процессе решения задачи). Это обусловило упрощенную
постановку задач теории устойчивости тонкостенных систем
при упругопластических деформациях, заключающуюся в том,
24 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
что явление разгрузки в процессе потери устойчивости не
учитывается и критические нагрузки определяются, как
для физически нелинейного упругого тела, т.е. по местным
касательным модулям. Критические нагрузки, полученные
при таком подходе, в теории устойчивости тонкостенных
систем называются касательно-модульными по аналогии
с результатами, впервые полученными Ф. Энгессером, для
задачи об устойчивости стержня. Обоснование концепции
касательно-модульных нагрузок было положено Ф. Шенли и
связано с введением концепции продолжающегося нагружения.
Согласно этой концепции критической нагрузкой называется
такая нагрузка, при которой наряду с невозмущенной формой
равновесия возможна смежная форма равновесия, причем
нагрузка для поддержания смежного состояния равновесия
отличается на достаточно малую величину от критической
нагрузки, и эта малая нагрузка прикладывается в процессе
потери устойчивости так, чтобы компенсировать возникающую
дополнительную разгрузку. Следовательно, согласно концепции
продолжающегося нагружения, потеря устойчивости начина-
начинается раньше, чем внешняя нагрузка достигает критических
значений. В связи с этим потеря устойчивости происходит
при незначительном увеличении нагрузки до критических
значений и этого малого увеличения достаточно, чтобы не
возникало дополнительной разгрузки при потере устойчивости.
На простейших моделях было показано [162], что наименьшая
нагрузка, начиная с которой стержень может выпучиться,
соответствует касательно-модульной нагрузке.
Обобщение приведенных результатов на трехмерные зада-
задачи устойчивости при упругопластических деформациях дано
А.Н. Гузем [84] и заключается в следующем. Об устойчивости
основного состояния трехмерных упругопластических тел при
однородных и неоднородных докритических деформациях мож-
можно судить по поведению малых возмущений соответствую-
соответствующей линеаризированной задачи одной из теорий пластичности
при неизменяющихся зонах разгрузки, возникающих в докри-
тическом состоянии. При этом считается, что процесс потери
устойчивости начинается несколько раньше, чем достигаются
критические состояния. В связи с этим процесс потери устой-
устойчивости происходит при незначительном, но продолжающемся
нагружении, и разгрузка в процессе потери устойчивости не
возникает. В рамках указанной концепции приходим к задачам
устойчивости для тел с кусочно-однородными свойствами, при
этом положение границы раздела пластических и упругих зон
известно и определяется из решения задачи о докритическом
состоянии. Таким образом, применение обобщенной концепции
продолжающегося нагружения в трехмерной линеаризирован-
1.2] Постановка задач об устойчивости деформирования 25
ной теории устойчивости деформированных тел для упругопла-
стических тел открывает обозримые возможности исследования
достаточно широкого класса задач.
Согласно исследованиям В.Д. Клюшникова [162] в зависимо-
зависимости от режимов нагружения (активное нагружение, разгрузка,
нейтральное нагружение) возможны различные линеаризиро-
линеаризированные задачи (однородные и неоднородные). Причем не исклю-
исключена возможность существования режимов нагружения (неод-
(неоднородная линеаризированная задача), допускающих нетриви-
нетривиальное решение уже в начале процесса пластического дефор-
деформирования. Для трехмерной упругопластической задачи этот
вопрос является достаточно сложным и еще не решенным. Для
режимов нагружения, сводящихся к однородным линеаризиро-
линеаризированным задачам, изучение потери устойчивости процесса дефор-
деформирования связано с решение задачи об определении основного
процесса [162] деформирования. Таким образом, основная труд-
трудность при исследовании бифуркации состояния равновесия —
это решение задачи устойчивости с неизвестными границами
зон разгрузки, а в случае исследования бифуркации процесса
деформирования она переносится на определение продолжения
основного процесса деформирования. При наличии такого рода
принципиальных трудностях естественны упрощения задач, ко-
которые связаны, как отмечалось выше, с осуществлением перехо-
перехода к задачам с известными зонами разгрузки, решение которых
значительно проще. Переход к ним может быть осуществлен
следующим образом [84, 85]. В случае исследования устойчиво-
устойчивости состояния равновесия вводится обобщенная концепция про-
продолжающегося нагружения без выяснения вида малой дополни-
дополнительной нагрузки, компенсирующей появление дополнительных
зон разгрузки. В случае исследования устойчивости процесса
деформирования, когда зоны разгрузки в исходном невозмущен-
невозмущенном состоянии, в основном и побочном процессах деформиро-
деформирования совпадают (равноактивная деформация по терминологии
работы [162]) опять приходим к той же задаче (о бифуркации
состояния равновесия) с известными зонами разгрузки совпа-
совпадающей по существу с соответствующими задачами для тел
с кусочно-однородными свойствами.
Таким образом, при двух различных подходах (исследование
бифуркации процесса деформации и бифуркации состояния рав-
равновесия), при различных допущениях для каждого из них (для
первого склонность к потери устойчивости при равноактивной
бифуркации, для второго — обобщенная концепция продолжа-
продолжающегося нагружения без выяснения вида малой дополнитель-
дополнительной нагрузки, компенсирующей появление дополнительных зон
разгрузки) приходим к одной и той же однородной линеаризи-
26 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
рованной задаче [85] с известными зонами разгрузки, которые
определяются из докритического состояния.
При изучении бифуркации состояния равновесия или би-
бифуркации процесса деформирования трехмерных тел с реоло-
реологическими свойствами будем исходить из следующего основного
предположения: об устойчивости основного состояния дефор-
деформируемых тел с реологическими свойствами будем судить по
поведению малых возмущений во времени в рамках соответ-
соответствующей линеаризированной задачи.
В качестве критерия устойчивости принимается следующий:
состояние равновесия или процесс деформирования считается
устойчивым, если возмущения во времени затухают, и неустой-
неустойчивым, если возрастают. Аналогичный критерий устойчивости
в теории ползучести элементов конструкций рассмотрен ранее
в работе [207, 208]. При этом для упрощения задач ввиду их
сложности вводится основное предположение: при исследовании
устойчивости систем, для которых наблюдается явление раз-
разгрузки, применяется обобщенная концепция продолжающегося
нагружения и исследуется соответствующая линеаризированная
задача, как и в случае упругопластических тел, т.е. исследует-
исследуется задача с известными зонами разгрузки, возникшими в до-
критическом состоянии. Указанный подход также следует из
теории устойчивости процесса деформирования упругопласти-
упругопластических систем, изложенного выше.
Другие предположения, связанные с упрощением задач трех-
трехмерной теории устойчивости для упругопластических, упруго-
вязкопластических и реологических тел, будем вводить в про-
процессе изложения материала.
Отметим, что в монографии построена трехмерная линеа-
линеаризированная теория устойчивости механики горных пород для
простейших моделей сложных сред и решены отдельные задачи
механики горного давления с привлечением трехмерных урав-
уравнений устойчивости (без введения гипотез и алгоритмов, сво-
сводящих задачи к двумерным и одномерным) и критериев устой-
устойчивости, соответствующих общепринятым критериям неупругой
устойчивости тонкостенных тел. При этом не ставится вопрос
о введении новых или обосновании общепринятых критериев
устойчивости в механике тонкостенных тел с привлечением об-
общей теории устойчивости движения, считая последний вопрос
самостоятельным в силу его специфики и актуальности.
Рассмотрим сплошную среду произвольного объема V. Пред-
Предположим, что на части поверхности S\ упругопластического
тела заданы поверхностные усилия Р^, а на части поверхно-
поверхности тела $2 заданы перемещения щ, причем, величины Pi и
о
щ с ростом времени t стремятся или принимают значения Pi
1.2] Постановка задач об устойчивости деформирования 27
и щ, не зависящие от времени. И пусть жг = хг (?а, ?) есть
поверхность, разделяющая области упругого и пластического
состояния среды, а ^а (а = 1, 2) — криволинейные координаты,
определенные на этой поверхности.
При заданных граничных условиях решение системы урав-
уравнений A.1.1)—A.1.17) (при заданной форме поверхности нагру-
жения) есть
Gij(xk,t), ?ij(xk,t), ?ij(xk,t), Ui(xk,t). A-2.1)
Будем предполагать, что с ростом времени эти решения стре-
стремятся к величинам
°ij(xk), °?ij{xk), ?ij(xk), щ(хк) • A-2.2)
В дальнейшем исследуется устойчивость этого состояния по
отношению к малым возмущениям граничных условий, массо-
массовых сил, отклонений конфигурации тела от заданных геометри-
геометрических размеров. Здесь и далее под состоянием понимаем как
состояние равновесия, так и процесс деформирования, если при
описании последнего время входит как существенный параметр,
который нельзя исключить из рассмотрения.
Решение для возмущенного движения будем искать в виде
°ij (Xk, t) = Gij (Xk, t) + (Jij (xk, t) ,
?ij {xk, t) = lij (xk, t) + tij (xk, t),
^ ij \Xk, t) = ?ij [Xk, t)+ ? ij [Xk, t) ,
щ (xk, t) = щ (xk, t) + щ (xk, t) ,
где верхние индексы — кружочек и плюс — приписаны, соответ-
соответственно, компонентам невозмущенного состояния и возмущениям.
Предполагая, что об устойчивости движения можно судить
по линеаризированной системе уравнений, которую получаем,
считая компоненты с плюсом малыми и сохраняя только линей-
линейные члены разложения.
Рассмотрим второй вариант теории малых докритических
деформаций [85], когда удлинения и сдвиги малы по сравнению
с единицей, а начальное деформированное состояние определя-
определяется по геометрически линейной теории. В этом случае трех-
трехмерные линеаризированные уравнения равновесия для областей
р е
пластического (V) и упругого (V) деформирования тела имеют
вид
V, (Ц + °*'аЧ«Ц + Х3 - р^ = 0. A.2.4)
28 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
V
Граничные условия на внешней поверхности S\ тела (соот-
е
ветственно S\) следующие
^, A.2.5)
при этом [85] в случае «следящей» нагрузки
к j = XkVkUj . (L2-6)
а в случае «мертвой» нагрузки
Pj =Xj =0. A.2.7)
p e
Если на части поверхности тела $2 (соответственно S2) за-
заданы перемещения, то граничные условия принимают вид
и3 = 0. A.2.8)
Для компонент тензора деформаций имеют место формулы
Коши:
= V'piij + V'jiip • A.2.9)
Соотношения A.1.7), A.1.9) в этом случае запишутся таким
образом:
+ +е +Р + л+е с- , о +е
?3C = е 3C + е №•> аЗC = Л е ° + ?
На упругопластической границе жг = xl-\-xl напряжения и пе-
перемещения непрерывны, т.е. \ац + ац \ Uj = 0, m^ + глJ = 0 ,
линеаризуя эти соотношения, получим
, = 0, [tii + ^кщхк (Г, <)] = 0
A.2.11)
при хк (^а, t) = хк (^а, t). Здесь квадратные скобки означают
разность соответствующих величин, принадлежащих упругой и
пластической областям тела, Uj — нормаль к поверхности х =
= °xk(^,t).
V
В области V несжимаемого упрочняющегося упруговяз-
копластического тела A.1.8), A.1.11) линеаризированное
условие пластичности и ассоциированный закон течения
1.2] Постановка задач об устойчивости деформирования 29
принимают соответственно вид
+ i $ Tf ^f)
с? r,
Условие пластической несжимаемости таково
е% = 0. A.2.13)
Исключая из соотношений A.2.12) вариации упругих s *L a
также пластических ? i деформаций и величину ф, получим
v
в области тела V
[Р* - 2-1л (ЗА + 2/i) J«^ - с
- r, (\t№ + 2^g^taP - '^)] (%, - c?y - Л-) = 0,
A.2.14)
) 2сф
= k~2 (>
op op \ /o-• op-• op-Л
-ce^ -f]ekij [slJ - celJ -r]elJj
+ 2°ф ]pppi - | /i (ЗЛ ?
e
В упругой области тела V вариации деформаций связаны
с вариациями напряжений законом Гука A.2.10).
В выражениях A.2.14), A.2.15) деформации связаны с пе-
перемещениями по формулам A.2.9). Для других моделей сред,
приведенных в § 1, процедура получения линеаризированных
уравнений аналогична. Таким образом, линеаризированные
р
уравнения состояния A.2.14), A.2.15) для области тела V
е
и, соответственно, A.2.10) для области тела V совместно
с соотношениями A.2.9) и линеаризированными уравнениями
второго варианта трехмерной теории устойчивости при малых
докритических деформациях A.2.4) с краевыми условиями
A.2.5), A.2.8) и условиями A.2.11) представляют собой
замкнутую краевую задачу. Согласно принятому критерию
устойчивости невозмущенный равновесный процесс будет
30 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
устойчивым или неустойчивым в зависимости от поведения
возмущений при неограниченном увеличении времени t. Если
все решения системы уравнений A.2.4), A.2.14), A.2.15),A.2.9),
A.2.10) с краевыми условиями A.2.5), A.2.8) и условиями
A.2.11) затухают во времени, то основной процесс будет
устойчивым. Если среди решений найдется хотя бы одно,
неограниченно возрастающие во времени, то процесс деформи-
деформирования является неустойчивым.
Уравнения A.2.4)—A.2.15), описывающие возмущенное со-
состояние упрочняющегося упруговязкопластического тела, пред-
представляют собой сложную систему дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных с нестационарными коэффициентами.
Точных аналитических решений для подобных систем пока не
имеется. Поэтому большое практическое значение в решении
проблем устойчивости неупругих сред получил приближенный
подход [257], позволяющий исследование устойчивости основ-
основного (докритического) состояния производить по предельной
системе уравнений.
Устремляя время t к бесконечности, и учитывая, что при
ОГ) °
этом ег. _^ о ф _^ о , получим предельную систему уравне-
р е
ний. В области пластического (V) и упругого (V) деформирова-
деформирования тела уравнения равновесия таковы
Xj - puj = 0. A.2.16)
v
Уравнения состояния в области тела V принимают вид
>' - | М (ЗА + 2М) t%gi - с
- rj (\t№ + 2wTgi/3eQ/3 - 'a *)] (^ - c°itj) = 0, A.2.17)
- Pi = k~2
-Pl) (skl ~ с?ы) (Р - c?«) , A.2.18)
e
а в области тела V имеют вид
Р %№ ^t A.2.19)
V
V
Краевые условия на загруженной поверхности тела (Sin Si)
таковы
(^ ^i)Pj. A.2.20)
1.3] Условия применимости метода Эйлера 31
Условия A.2.11) на упругопластической границе S принима-
принимают вид
В уравнениях состояния для области пластического дефор-
деформирования тела A.2.17), A.2.18) и в уравнениях состояния для
области упругого деформирования тела A.2.19) вариации ком-
компонент тензора деформации связаны с вариациями компонент
вектора перемещений формулами Коши A.2.9).
Очевидно, полагая в предельной краевой задаче A.2.16)—
A.2.21) коэффициент вязкости г/ = 0, получим краевую зада-
задачу с поверхностью нагружения вида A.1.12) для пластической
области.
Для упруговязкопластического тела, учитывающего необра-
необратимую сжимаемость, когда условие предельного состояния ма-
материала имеет вид A.1.14), а соотношения определяющие зави-
зависимость между компонентами тензора скоростей пластических
деформаций и напряжений приняты в форме A.1.15), предель-
предельная система также состоит из уравнений A.2.9), A.2.16), A.2.19)
и соотношений
3i/
+ l + i +
?ij = —=- °ij agij + fa
ь hi \ а\
( сУ т\-Х
Iа-—ет 1
V а\ /
(°ii °ЩЛ\+ + + c(l + i/) + 3ci/ +
= [sJ -се J)\(Jij- agij - csij - o^- -—crgij -
v / L hi hi
7/A+1/)*+ 3l/77 •+ 1 /-, o ооч
E aiJ~-^ aSij\ ? A.2.22)
E ^ \
a\ = —aa + К, К = —,
у 2
которые следуют из соотношений A.1.7), A.1.9), A.1.14),
A.1.15). Краевые условия и условия на упругопластической
границе прежние —A.2.20), A.2.21). В соотношениях A.2.22) и
далее v — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга.
1.3. О самосопряженности задач и условиях
применимости метода Эйлера
Задачи об устойчивости можно классифицировать по мето-
методам исследования: динамическому методу изучения поведения
малых возмущений около основного состояния и статическому
методу (методу Эйлера). При динамическом методе основное
32 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
состояние называется устойчивым, если возмущения со време-
временем затухают, а неустойчивым, когда возмущения возрастают
неограниченно при t —>• оо. При статическом подходе (метод
Эйлера) основное состояние считается неустойчивым, если на-
наряду с исходным состоянием имеют место смежные близкие
к нему другие состояния равновесия. При статическом методе
исследования задача сводится к отысканию точек бифуркации
состояний равновесия. Для статических задач можно применять
динамический метод и метод Эйлера. Поскольку метод Эйлера
значительно проще динамического, важно указать достаточные
условия использования метода Эйлера к исследованию статиче-
статических задач устойчивости упруговязкопластических тел при ма-
малых докритических деформациях. При этом под достаточными
условиями будем понимать те условия, при которых результаты
статического метода совпадают с результатами динамического
метода.
Достаточные условия применимости метода Эйлера для
упругопластических тел при малых докритических деформаци-
деформациях получены в работах [84, 85], а для упруговязкопластических
тел в работе [257]. Следуя результатам работы [257], приведем
условия применимости метода Эйлера для случая, когда все тело
находится в упруговязкопластическом состоянии. Выкладки
проведем в декартовых координатах.
Рассмотрим краевую задачу A.2.9), A.2.16)—A.2.18) и
A.2.20).
Решение этих уравнений будем искать в виде
Uj (хк, t) = Uj (хк) est; оц (хк, t) = оц (хк) est , A.3.1)
т.е. в компонентах векторов и тензоров, характеризующих воз-
возмущения, выделим временной множитель est (s = ш — ком-
комплексная величина), и для амплитудных величин оставим преж-
прежние обозначения, опустив значок плюс.
Подставляя решения A.3.1) в уравнения A.2.16), получим
(ai3 + азкщЛ + Xi + рио2щ = 0. A.3.2)
v ' ,з
Соотношения A.2.17) и A.2.18) в результате этой подстанов-
подстановки примут вид
с + sV) ац - [2 ^-±^ + сХ + sXrj] ekk5l3 -
-2ц (с + sti) eij} (sij ~ c°4) = 0; A.3.3)
+ 2fj,?ij - aij = k~2 [XennSki + 2/jski - аы] х
X [Ski - C?kij [Sij - CSijj . A.3.4)
1.3] Условия применимости метода Эйлера 33
Из соотношений A.3.3), A.3.4) получим
4// I Sij — csij J
Gij (xfi = \snn5ij + 2/j?ij - -—± f x
k2 B// + с + st])
?nn^J (^ e/ьг) ; s = iw. A.3.5)
Соотношения A.3.5) можно трактовать как зависимость
между напряженным и деформированным состоянием в упру-
упругом теле с комплексными модулями упругости.
Связь между амплитудными величинами деформаций и пе-
перемещений, а также граничные условия A.2.20) на поверхности
v
тела Si, согласно уравнениям A.2.9) и A.3.1), имеют вид
2sij = щ^ + Uj9i, A.3.6)
{(Tij + ajkuiik)Nj = Pi. A.3.7)
Таким образом, статические задачи устойчивости при ис-
использовании динамического метода в случае геометрически ли-
линейной теории сводятся к однородной линейной задаче A.3.2),
A.3.5)—A.3.7). Следовательно, при использовании динамическо-
динамического подхода статические задачи сводятся к задачам на собствен-
собственные значения относительно параметра ио. Обозначим собствен-
собственные значения за иоа (а = 1, 2, ..., оо). Для принятого нами кри-
критерия устойчивости основное состояние тела будет устойчивым,
если для собственных значений иоа выполняются следующие
условия:
Imc^ ^ 0, (а = 1, 2, ..., оо). A.3.8)
Условия A.3.8) определяют область устойчивости в про-
пространстве параметров нагружения, характеризующих рассма-
рассматриваемую конкретную задачу (собственные значения иоа зави-
зависят не только от геометрии тела и вида соотношений A.3.5),
но также и от параметров нагружения — величин характеризу-
характеризующих внешние нагрузки).
Граница области устойчивости и соответствующие критиче-
критические комбинации параметров нагружения для рассматриваемой
задачи определяются из условия
min{Ima;a} = 0, а = 1, 2, ..., оо. A.3.9)
Приведем, следуя работе [257], условия самосопряженности
статической задачи для упруговязкопластических тел при дина-
динамическом подходе исследования. Пусть щ и од—дважды диф-
дифференцируемые комплекснозначные функции действительного
переменного, удовлетворяющие граничным условиям A.3.7). Крае-
Краевая задача A.3.2), A.3.5)—A.3.7) является самосопряженной,
2 А.Н. Спорыхин и А.И. Шашкин
34 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
если выполняется равенство [197]
JLuwdV = fuTwdV A.3.10)
V V
при любом выборе векторов щ и г^, удовлетворяющих этим
условиям. L—левые части уравнений A.3.2), черта сверху обо-
обозначает комплексную сопряженность. Оператор L, как следует
из уравнений A.3.5), A.3.6) и A.3.2), имеет вид
) \ Jjk X
) J
дхш \ dxj J dxk/ k2 (iujt] + Ko)
ik
% \(x д t г д \ 2 , д ]\
Jnl\ [ dnm — + Olm -— ) - -Oni >
L V OXi OXn / 3 OXm J J
(crjkSim -r—)+Xi (um) + pu>25im; A.3.11)
c); fkl = s^ - се/,/.
Нетрудно убедиться, что сопряженный оператор L имеет вид
A.3.11), лишь ио следует заменить на сопряженное число cJ, и
перед г в подчеркнутом снизу выражении следует поставить
знак минус.
Подставляя выражение A.3.11) в A.3.10) и применяя фор-
формулу Гаусса-Остроградского, приходим к записи условия само-
самосопряженности краевой задачи A.3.2), A.3.5)—A.3.7):
р
Si
ij dS - 11 \\wm,m5ij + /л (Wij + Wj^i
v
Sl 2 _
+Bfijfnl [wn,l+Wl,n--Wm^
/ Uij
° ° / 2
Bfijfnl [wn,l +Щ,п~- W
- / Wij IXUm^mSij + /i (Uij + Uj^i) +
У
Bfijfnl (ип,1+Щ,п ~ ^Um,mSnlj\ dV + J ЩХг (uk) dV -
V
Xt (wk) dV + (ы2-п2) PJukwkdV = 0, A.3.12)
1.3] Условия применимости метода Эйлера 35
В = - ^ ; В = - Ы- . A.3.13)
Выражения, стоящие под знаком первого и второго интегра-
р _
ла по Si, в силу граничных условий A.3.2) есть W{Pi и щР{,
соответственно. Подчеркнутые слагаемые, как легко видеть, вза-
— о
имно уничтожаются. Выражения при5 иВв силу того, что Sij —
op о op о op
— ceij = Sji - ее ji и skk - cekk = 0, приводится к виду
о о
(В - В) umiSfmsfi:jWij dV.
v
Таким образом, условие самосопряженности A.3.12) оконча-
окончательно запишется в виде
[[
dS- II щР{ dS + I WiXi dV - I щХ{ dV +
p v V V
Si Si
+ 2J{B-B) um,sfm8fiju>ijdV + (^2 ~^2) pfuiWidV = 0.
V V
A.3.14)
Запишем достаточные условия самосопряженности краевой
задачи A.3.2), A.3.5)—A.3.7) для случаев «мертвой» и «следя-
«следящей» нагрузок. Пусть на тело действует «следящая» нагрузка,
для которой Xi и Pi, определяемые соотношениями A.2.6), от-
отличны от нуля. Тогда, для того чтобы краевая задача A.3.2),
A.3.5)—A.3.7) была самосопряженной, необходимо и достаточно,
чтобы выражение, определяемое A.3.14), обращалось в нуль.
В случае «мертвых» сил (Рт = Хт = 0) условие A.3.14)
принимает вид
2 (В - В) jum,s°fmJl3wh3dV + (о;2 - по2) р jщЩ dV = 0.
V V
A.3.15)
Откуда следует, что краевая задача A.3.2), A.3.5)—A.3.7) в слу-
случае «мертвых» сил будет самосопряженной, когда Re о; = 0.
Известно [48], что внешние силы, для которых выполняется
условие
- ГщХ{AУ = 0, A.3.16)
р р V V
S S
называются консервативными, в противном случае — неконсер-
неконсервативными. Для «мертвых» сил A.2.7) условие A.3.16) выпол-
выполняется.
36 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
В силу того, что соотношения A.3.5) трактуются как за-
зависимость между напряженным и деформируемым состоянием
в упругом теле, то условие A.3.16) для консервативных внеш-
внешних нагрузок будет выполняться. Следовательно, если внешние
силы подчиняются условию A.3.16), то краевая задача A.3.2),
A.3.5)—A.3.7) будет самосопряженной тогда, когда Re о; = 0.
Если же выполняется равенство Re о; = 0, то из условия A.3.9)
следует, что и ио = 0.
С учетом проведенных выше рассуждений, при нахожде-
нахождении критических значений параметра нагрузки следует ио по-
положить равным нулю не только в слагаемом, учитывающем
силы инерции, но и в слагаемом уравнения состояния A.3.5),
учитывающем вязкие свойства среды. Формально принятие ио =
= 0 в соотношениях A.3.5) приводит к тому, что реологиче-
реологическое уравнение для упрочняющегося упруговязкопластического
тела вырождается в реологическое уравнение упрочняющегося
упругопластического тела, так как в этом случае (при ио = 0)
слагаемое, учитывающее вязкость, обращается в нуль. Следо-
Следовательно, условие самосопряженности A.3.14), записанное для
упруговязкопластического тела, при таком формальном подходе
вырождается в условие самосопряженности для упругопласти-
упругопластического тела.
Таким образом, мы выяснили, что статический подход (ме-
(метод Эйлера) не применим для консервативных задач устойчи-
устойчивости упрочняющегося упруговязкопластического тела, так как
достаточное условие самосопряженности A.3.14) в этом случае
не выполняется.
Повторив вышеизложенный ход рассуждений также можно
установить невыполнимость достаточных условий A.3.10) для
упруговязкопластических тел, учитывающих необратимую сжи-
сжимаемость.
Как было отмечено ранее, предельная краевая задача
A.2.16)—A.2.21) для упрочняющегося упруговязкопласти-
упруговязкопластического тела при т\ = 0 соответствует краевой задаче для
упрочняющегося упругопластического тела, когда поверхность
нагружения имеет вид A.1.12). Получим достаточные условия
применимости метода Эйлера. Очевидно, что при г/ = 0
величины В и В, определяемые соотношениями A.3.13),
совпадают. Следовательно, условие самосопряженности этой
краевой задачи, согласно A.3.14), принимает вид
//'
; dS- 11 щРг dS + WiXi dV - щХ{ dV +
J J
V V
+ (oo2 -U2)p I UiWidV = 0. A.3.17)
V
1.4] Представление общих решений уравнений устойчивости 37
Пусть внешние силы являются консервативными, тогда, как
было отмечено выше, выполняется условие A.3.16). Покажем
вначале, что в этом случае собственные значения задачи A.3.2),
A.3.5)—A.3.7) при г\ = 0 действительные (Imo; = 0). Так как
при выводе условия самосопряженности A.3.12) предполагалось,
что существует комплексное собственное число, то из A.3.16) и
A.3.17) получаем равенство
(ш2 -п2) р I uiWidV = 0. A.3.18)
v
Из равенства A.3.18) следует Imo;2 = 0, что противоречит
предположению.
Таким образом, если имеет место соотношение A.3.16), то
рассматриваемая задача A.3.2), A.3.5)—A.3.7) при г/ = 0 имеет
действительные собственные числа. Следовательно, собствен-
собственные частоты uj могут быть или мнимыми, или действительными.
Потеря устойчивости происходит, когда Imo; из положительной
становится отрицательной, т. е. когда Imo; переходит через нуль.
Поскольку в этом случае и Re uj = 0, то для определения гра-
границы области устойчивости нужно положить оо = 0. Итак, при
нахождении критической нагрузки в уравнениях A.3.2), A.3.5)-
A.3.7) нужно положить ио = 0, в результате получим, стати-
статическую задачу, которую можно решать с применением метода
Эйлера. Этот результат согласуется с выводами работы [84].
Таким образом, достаточными условиями использования ме-
метода Эйлера при исследовании статических задач устойчивости
упрочняющихся упругопластических тел (совпадение результа-
результатов при применении метода Эйлера с результатами при приме-
применении динамического метода) являются условия A.3.16).
В случае неконсервативных сил для выявления типа потери
устойчивости для каждой задачи требуется специальное иссле-
исследование. Здесь возможны оба типа неустойчивости.
1.4. Представление общих решений
трехмерных уравнений устойчивости
для однородных основных состояний
В настоящем параграфе, следуя результатам работ [88, 257],
в явной форме записаны решения статических линеаризирован-
линеаризированных задач для однородных основных напряженных состояний
в круговой цилиндрической и прямоугольной системах коор-
координат для упругопластических тел при малых деформациях.
Решение представлено в единой форме для всех приведенных
в § 1 моделей упругопластических сред в случае плоской и
пространственных задач.
38 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
При выводе общих решений считалось, что возмущения мас-
массовых сил отсутствуют и начальное состояние является однород-
однородным. Под однородным состоянием понимается такой вид дефор-
деформирования, при котором перемещения в начальном состоянии
определяются выражениями
где Ат — коэффициенты удлинения, обычно Am = const. Для
второго варианта теории малых начальных деформаций будем
иметь
?nm = <С (Am - 1) • A.4.1)
Рассмотрим устойчивость деформирования трехмерного те-
тела при сжатии его вдоль оси Ох% усилиями интенсивности р, а
вдоль осей Ох\ и Ох2 усилиями интенсивности q. Напряженно-
деформированное состояние упругопластического тела до поте-
потери устойчивости определяется соотношениями (при t —>> оо)
о о о о
ор ор ор о -1 ор
?п = ^22 = — 0,5бзз = sc~ , ?ij = 0, ъфз\ A.4.2)
s = - (p - q - кл/)
для упрочняющихся упруговязкопластических тел, и соотноше-
соотношениями
^
= ^2 = -9, ?зз = -р, ^j =0, гф j;
op' op' op' Го / o\ Д] _г A.4.3)
eii = -?22 = -0,5 ?33 = 5зз+ (^ - 2aJ А/3 Г
для упруговязкопластических тел, учитывающих необратимую
сжимаемость.
Линеаризированные уравнения движения A.3.2) в этом слу-
случае представимы в виде
]j ~ ps2Ui = 0. A.4.4)
Граничные условия A.3.7) принимают вид
[dij -qEjiUi,i + 5j2Ui^) ~pSj3Ui,3]Nj = P^ A.4.5)
Линеаризированная связь A.3.5) между амплитудными ве-
величинами напряжений и деформаций для сжимаемых упроч-
упрочняющихся упруговязкопластических сред для основного состоя-
состояния, определяемого соотношениями A.4.2), может быть пред-
представлена в форме
A - 5ij)Gij(uij + ujj) (?&), A.4.6)
1.4] Представление общих решений уравнений устойчивости 39
где Т,к означает, что по индексу к суммирование производится
от 1 до 3,
о о
a>jk = А + 2/iJjfc - afkkfjji Gij = V = G, A4 7)
a = 4/i2 [A;2 B/i + с + sr/)]~*.
При а = 0 получаем коэффициенты a^ и G^ для сжимаемой
упругой среды
ajk = А + 2/ifyb, G^j = /i. A.4.8)
Для упругопластического тела с трансляционным упрочне-
упрочнением A.1.12) коэффициенты а^ и G^- вычисляются из A.4.7)
при г/ = 0, и они имеют вид
ajk = А + 2/i?j/c - afkkofjj dj = // = G, a = 4/i2 [A;2 B/i + c)]-1.
A.4.9)
о
При а = 0 эти соотношения переходят в соотношения для
сжимаемой упругой среды.
Для упруговязкопластического тела, учитывающего необра-
необратимую сжимаемость (соотношения A.2.9), A.2.22)) также можно
получить зависимость вида A.4.6), для которой коэффициенты
ajk и Gij имеют вид
Е ° Е
азк = Y^T 5Эк + fkkBjj + Ajj, °ij = 2A ) =G Ф
( )
A.4.10)
Здесь %k, j означает отсутствие суммирования по индексам к и j,
Е а2аъ I , aaiSij +
Aij
3(aai - c^
1 + i/ L clq
a2 = 1 + —— (c - 7/s), fi;j = «s^ - с е ij,
A.4.11)
CL4 = 1 — —
о о
\ULa\ukl + 3/ ь,Л f ь,1 1 + 1/ U2 л р
«5 = ар ? «6 = ^^ - Ам/м,
3(aai — csnn
aai - csnn
40 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
Линеаризированная связь между амплитудными величина-
величинами напряжений и деформаций для несжимаемых упругопласти-
ческих сред в этом случае представима в форме
aij = Uij (c
где величины с
имеют вид
ljkUk,k
ijk и G
+ о
jk в
) + A - Sij) G,
пластической
ij (Uij +
области
Uj i) (SA;),
A.4.12)
деформирования
ajk — ^l^vjk — «Jkk J i i i ii — /^ — (-L.4.-L0)
для несжимаемого упруговязкопластического тела, и
о ° °
ajk = 2и,5пи — afh,h,fa a. Gjj = и, = G A.4.14)
для несж:имаемого упругопластического тела.
В упругой области деформирования тела величины ajk и Gjk
определяются следующим образом
ajk = 2/j,Sjk, Gij = \i = G'. A.4.15)
Очевидно, что для величин ajk в соотношениях A.4.7),
A.4.9), A.4.13)—A.4.15) выполняются равенства
«11 = «22? «13 = «23 = «31^ «12 = «21*
Такая единая форма представления линеаризированных
уравнений состояния для представленных здесь моделей
(A.4.6) и A.4.12)) позволяет построить решение уравнений
трехмерной теории устойчивости A.4.4) в общей форме.
Ограничимся сжимаемыми средами. Подстановка выражений
A.4.6) в уравнение A.4.4) приводит к системе уравнений
в амплитудах перемещений
LijUj = 0 (ij = 1, 2, 3). A.4.16)
Дифференциальные операторы L^-, имеют вид
fm— - pS I + A - Sij) Fij (Sn),
rinr / гУт (it '
ть ъ 1
Fij = aij + Gij, A.4.17)
M _ j an — Q (Sin + $2n) — phn (i = n),
in ~\Gin-q Eln + 52n) - P83n (i ф n).
Решение системы дифференциальных уравнений A.4.16)
можно представить в одной из трех форм [183]:
u(j) = уюъ^тп)фи^ ^ . = ^ 2^ 3_ A4Л8)
1.4] Представление общих решений уравнений устойчивости 41
Функции Ф^) являются решениями уравнения
det (Lmn) Ф«) = 0. A.4.19)
Проделав выкладки, аналогичные преобразованиям, выпол-
выполненным в работе [88], получаем общее решение системы A.4.16),
A.4.17) в следующей форме:
д , д2 , д , д2 ,
иг = -—фг- ф, и2 = - — фг - ф,
ОХ2 oxidxs дх\ дх2дхз . .
ац — q dxi. ац—q
Для цилиндрического тела с криволинейным контуром по-
поперечного сечения общее решение представимо в виде
д , д2 , д , д2 ,
U Ф Ф, UT ф ф
фХ ф,
on дтдхз /-, л слл\
ац — q oxi ац—
где п и т — нормаль и касательная в плоскости поперечного
сечения; иП1 ит — перемещения в направлении нормали и каса-
касательной. Функции ф и ф\, входящие в соотношения A.4.20) и
A.4.21), являются решениями следующих уравнений:
G-qdxl G-qJY ' дх\ Oxf
Г / уч ?»2 2 \ / о2 2 \
/л, Lr — v о ps \/л, азз — V о ps \ /-, , г^ч
( А + — — А + — —— — A.4.22)
LV ац — q дх\ a\\—q)\ G — q дх\ G — q)
— l^JA —L/\ \ф = 0.
(an-q)(G-q) дх2\
Выраж:ения A.4.20) и A.4.21) являются исходными при ди-
динамическом методе исследования устойчивости упругопластиче-
ских тел. Если в момент потери устойчивости деформирование
происходит в плоскости xiOxs, то решение системы уравнений
A.4.16), согласно A.4.18), можем представить в одной из форм
A) A) B) B)
A.4.23)
или в виде их линейной комбинации. Для определения функции
ф получаем уравнение
G-p д2 ps2 \ ( д2 , азз -Р д2
ац — q дх\ ац — q) \дх\ G — q дх\ G — q/
\дх\У V '
(au-q)(G-q) дх\дх
42 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
Решение уравнения A.4.24), периодическое по оси Ожз, за-
запишем в следующей форме:
ф = (сУ2Ж1 + С2пе~^ + С^ЗЖ1 + С^е"*3*1) sinGo*3),
N = f 2 , ps2(G + an-2g)
J '° 2(G-g)(an-g)'
(G - p) (ass - p) 7o ~ Р^2 (G + азз - 2p) 7^ + p2s4
(G - q) (an - g)
г = 1 Газз-P ,
2|Gg
j
2|_G-g an-g (an - q) (G - g) J '
Здесь / — характерный размер вдоль оси Ох%.
В зависимости от характера деформирования в момент по-
потери устойчивости приходим к краевой задаче A.4.21), A.4.22),
A.4.5), A.4.6) или A.4.23), A.4.24), A.4.5), A.4.6). Из условия
существования нетривиальных решений этих задач требуется
определить значение s как функцию параметров нагрузки р и q.
Условие устойчивости в этом случае, согласно A.3.8), записыва-
записывается в виде
max {Re sk] < 0. A.4.26)
Критические значения величин р и q определяются из усло-
условия
max {Re sk} = 0. A.4.27)
Безусловно, использование динамического метода приводит
к большим трудностям вычислительного характера.
При квазистатическом подходе исследования устойчивости
деформирования тел пренебрегают инерционными членами
в уравнениях движения A.4.4), что позволяет в замкнутой
форме провести решение многих задач. Общее решение
уравнений устойчивости как в прямоугольной, так и в круговой
цилиндрической системах координат при этом подходе следует
из A.4.20) и A.4.21) при ps2 = 0, а для плоских задач —из
A.4.23), A.4.24), A.4.17).
Так, для тела с криволинейным контуром поперечного сече-
сечения находим
д , д2 , д , д2 ,
Uri = W\ — W, UT = — W\ — W,
дт dndxs дпГ дтдх3
/ ri я2 \ A.4.28)
_ an -q ( д + G-p д2 х
an — q дп
1.4] Представление общих решений уравнений устойчивости 43
В этом случае из A.4.22) выводим уравнения
(A + g-j^iPi = 0, B«) , ф = ф2 + ф3. A.4.29)
Здесь величины ?| определяются таким образом
Для напряженного состояния, периодического по оси
решения для упругопластического тела имеют вид
а) плоская деформация:
ф = (C^e^i + с^е-^) 8т A 4 31)
(г = 1, 2; п = 1, 2, ...,оо),
где С^1 и С^2— произвольные постоянные; п — число полуволн
вдоль оси Охз]
б) пространственная задача
] sin (То^з) sin (тв),
^г = [Cjln/m (ТО^Г) + C^nKm GоСгГ)] COS G0^3) COS (тв) ,
(i = 2' 3)^ A.4.32)
где С^п и С^п (г = 1, 2, 3) — произвольные постоянные,
/ш GоСгг) и ^т GоСгг) ~~ функции Бесселя и Макдональда,
777, — ЧИСЛО ПОЛНЫХ ВОЛН ПО ОКруЖНОСТИ.
Граничные условия при х% = 0, /, в случае представления
решения в форме A.4.25) будут автоматически выполняться
в интегральном смысле.
После подстановки решения A.4.28)-A.4.32) уравнений
устойчивости в граничные условия A.4.5) получаются
характеристические уравнения (как и при использовании
динамического метода) относительно s. Критические значения
величин р и q находятся затем из условия A.4.27).
Наибольших упрощений при решении задач устойчивости
дает статический метод исследования (метод Эйлера), который,
как отмечено в § 3, применим лишь для упругопластических тел,
если существует потенциал внешних сил.
Очевидно, в этом случае общие решения уравнений ква-
квазистатической устойчивости являются решениями уравнений и
статической устойчивости. Характеристические уравнения при
этом необходимо рассматривать как уравнения для определения
критических значений нагрузок в зависимости от параметров
среды и конструкции.
В ряде прикладных задач механики деформируемых слож-
сложных сред с ярко выраженными вязкими свойствами целесооб-
44 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
разно изучение основного процесса деформирования A.2.1) на
конечном интервале времени. В качестве критерия устойчивости
в этом случае принимаем критерий, аналогичный предложен-
предложенному в работе [208]. Будем исследовать поведение возмуще-
возмущений на небольшом интервале времени в окрестности точки
линеаризации to. Коэффициенты линеаризированных уравнений
состояния будем считать не зависящими от времени и опре-
определенными в момент t = to, время t для возмущений будем
отсчитывать от момента to- Процесс деформирования будем
считать устойчивым, если возмущения затухают во времени.
Определяющие вариационные отношения A.2.14), A.2.15)
для сжимаемых упруго-вязко-пластических тел могут быть за-
записаны в виде следующих зависимостей (временной множитель
выделен)
j - at (Збшп - ekk5mn) fmnfij, A.4.33)
где
A = L_, В =
= A \\ - I fiti (ЗА + 2/jI ,
L 6 J
°? о op op ° 1_2°P
fij = Sij ~ ceij -Veij, Ф = k eij
f ij — °IJ <-c IJ
'at = —-—-— , bt =
Таким образом, исследование устойчивости процесса дефор-
деформирования тела сводится к решению уравнений в вариациях
A.3.2) с краевыми условиями A.3.7) совместно с соотношениями
A.4.33).
При переходе к предельной системе уравнений, полученной
в § 2 для упруговязкопластических тел, в коэффициентах лине-
линеаризированных уравнений A.3.2), A.3.7) и A.4.33) с принятой
степенью точности при to —>• оо следует положить
ор °
eij = О, ф = 0 •
Рассмотрим случай трехосного напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного докритического состояния упруговязкопластического тела,
которое определяется соотношениями
о о о о
суц = а22 — ~Ч-> азз = ~Р-> ciij = 0 (г ф j);
ор ор ор Г ( с \Л° — Л °Р / / \
2бц = 2?22 = —^зз= 1 — exp —-to )\sc , eij = 0 [г ф j);
L V г] /J
2°ец = 2°е22 = -°езз = -ехр(--*0 ), °е^ = 0 (г ф j)(i ф j).
A.4.35)
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 45
Линеаризованные трехмерные уравнения движения и гра-
граничные условия имеют прежний вид A.4.4), A.4.5). Линеаризо-
Линеаризованная связь A.4.33) между амплитудными величинами напря-
напряжений и деформации для упрочняющихся упруговязкопласти-
ческих сред для этого случая A.4.35) может быть представлена
в форме A.4.6), где ajk и G^j, имеют вид
о о
ajk = 2fiASjk + B8jj - 3afkkf
j j:j, ^ 4 3g,
Gij = »A = G, ф = k~lVb °eп.
Если устойчивость основного состояния исследовать по пре-
предельной системе уравнений, то в коэффициентах ajk и Gij
op
A.4.36) при to —>> оо необходимо положить А = 1, В = А (е^- =
о
= 0, ф = 0) и тогда приходим к выражениям A.4.7).
Система уравнений в амплитудах перемещений будет иметь
тот же вид A.4.16) с той же формой дифференциальных опе-
операторов A.4.17). Следовательно, построенные общие решения
уравнений динамической, квазистатической и статической
устойчивости остаются в силе и в случае исследования устой-
устойчивости упруговязкопластических сред на конечном интервале
времени, необходимо лишь иметь в виду, что величины ajk и Gij
определяются соотношениями A.4.36). Условие устойчивости
имеет вид A.4.26) при всех 0 < t ^ to-
Заметим, что если в приведенных решениях трехмерных
уравнений устойчивости для упруговязкопластических тел ис-
использовать соотношения A.4.7), A.4.36), в которых положено
о
а = 0, соответственно, а* = 0 и ф = 0, то приходим к результа-
результатам, полученным в работах [85, 88] для упругих тел.
1.5. Основные соотношения трехмерной
линеаризированной теории устойчивости
деформируемых тел в цилиндрической и
сферической системах координат
Приведенная в § 4 явная форма решений статических упру-
гопластических задач при однородном трехосном докритиче-
ском состоянии позволяет получить [257] характеристические
определители для простейших задач. Представляющие интерес
для практики задачи в основном являются задачами с неодно-
неоднородными докритическими состояниями. Их решение связано со
значительными математическими трудностями. Однако можно
выделить класс сферических и цилиндрических задач, к кото-
которым, в частности, относятся и некоторые задачи горной меха-
механики, для которых докритическое состояние зависит от одной
46 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
переменной, и их решение, безусловно, значительно проще. Для
таких задач линеаризированные уравнения состояния в криво-
криволинейной системе координат также представимы соотношения-
соотношениями вида A.4.6) и A.4.12):
E a
A.5.1)
для сжимаемых тел и
о) = (
г=1
A.5.2)
для несжимаемых тел. При этом коэффициенты ац и G1-
в области пластического деформирования (Vp) для сжимаемой
упруговязкопластической среды, согласно соотношениям A.4.7),
имеют вид
о о
aia = А + 2/j,gia - afaafu, G) = /i = G. A.5.3)
В области упругого деформирования они таковы
аш = А + 2/^ш, Gj=/i . A.5.4)
Для сжимаемого упругопластического тела с трансляцион-
трансляционным упрочнением коэффициенты ац и Gij определяются сле-
следующими соотношениями:
в пластической области
о
Ща = \ + 2^gia ~ afaafii'i A.5.5)
в упругой области
aia = A + 2/ifta. A.5.6)
Для несжимаемого упруговязкопластического тела коэффи-
коэффициенты a,ij и Gij определяются следующим образом:
в пластической области
о
aia = 2fjLgia - afaafu, G^ = /i = G; A.5.7)
в упругой области
aia = 2/jSia, G^ = /i. A.5.8)
Для несжимаемого упругопластического тела коэффициен-
коэффициенты dij и Gij имеют вид
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 47
в пластической области
о о
aia = 2/j.gia - afaafn, G) = /i; A.5.9)
в упругой области
aia = 2mcn G) = ц. A.5.10)
Для модели упруговязкопластического тела, учитывающей
необратимую сжимаемость, величины ац и Gij определяются
соотношениями A.4.10), A.4.11), в которых только 8ц следует
заменить на gij.
V е
Уравнения равновесия в областях тела V и V имеют вид
Xj + pui2Uj = 0. A.5.11)
v
Граничные условия на загруж:енной поверхности тела [S\
е
и Si) представимы в форме
Ns(as3+GsaVau3) =P3. A.5.12)
На упругопластической границе выполняются условия
непрерывности напряжений и перемещений
[aj]iVs|5 = 0, [щ]\3 = 0. A.5.13)
Для несжимаемых сред, кроме того, выполняется условие
несжимаемости
Л/з = 0. A.5.14)
Системы уравнений A.5.1), A.5.11)-A.5.13) и A.5.2),
A.5.11)—A.5.14) при соответствующей конкретизации коэф-
коэффициентов dij и Gij) представляют замкнутые статические
краевые задачи устойчивости для сжимаемых и, соответственно,
несжимаемых сред.
Представим основные соотношения задач устойчивости в ци-
цилиндрической и сферической системах координат, считая, что
alj = 0 при г ф j.
В цилиндрической системе координат (г, 6, z) уравнения
равновесия A.5.11) при квазистатическом подходе и Xj = 0
запишутся в виде
1 12 1/1 2\ Я ° Л ( 1
а + а + (^ а) + а + а (и1 И +
1 2 + " (^1 - а2) + а1 3 + а1 (и1, И + ~
48 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
ГСГ2,1 + а2,2 + ГСГ2,3
+ а + <* (^ + ™) + <3"
2,22 + 2гх1э 2 - и2) + г (aj^2,з) g = О,
A.5.15)
+ а + а + °1 + <^ (^з и +
з 2 + " аз + °1 з + <^1 (^з, и + -
+ ^— (~™3,1 +^3,22 +rU3,l) + @-31/3,3) = О.
Введем обозначения г^х = гл, U2 = v, u% = w. Ограничимся
случаем несжимаемых сред. Тогда, используя уравнения со-
состояния A.5.2), получим запись уравнений равновесия A.5.15)
в перемещениях в цилиндрической системе координат
и,гг(а>п + 0>) + - u^r(ai2 + аи — a2i + от + гсгг?г) —
- 4 ( а22 + T^)+-;W^(g+- а^ ) + ujZZ(G + а^) -
Г2 V Г2 у Г2 ' \ Г2 /
- — ^^ (G + a22 + — а0 ) +-^,r^(ai2 + G) + -гу ^ (ai3 - а23) +
Г2 V Г2 у г ' г '
+ w,r^(ai3 + G) +а г = О,
- г/ я (<7 + а22 + — а^ ) + г/,гв (G + a2i) + v,r(G + ar + rar?r) -
r \ r2 J
A.5.16)
- -v [G + — ав) +rv,rr(G + az) + -v ее («22 + — °o) +
r \ r2 у Г \ Г2 /
+ rv,zz(G + <rr) + w^z(a2z + G) + cr;6> = 0,
-4^ (a32 + G) +г/ r^ (G + a3i) + -г; яг (G + a32) +
r r
+ -^5r(G + ar +rar,r) +^r(G + (jr) + — гу 00 (G + — ав) +
Г r2 ' \ r2 у
+ ^гДазз + az) + а г = 0.
Граничные условия в напряжениях A.5.12) примут вид
a{Ni + a^i,iJVi + a^ (и^2 - -и2) N2 + ?^1,3^3 = О,
u2)i - —) Nx + a\\ («2,1 + r«i) iV2 + а\и2^ъ = О,
Г / Г2
l o9 oo A-5-17)
[ ^ = 0.
Исходя из соображений геометрического плана (форма сооруже-
сооружения, форма подземной выработки и т. д.) выберем компоненты
( + ) +
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 49
вектора нормали следующем образом N\ = 1, N2 = N3 =
= 0. Тогда граничные условия A.5.17) для несжимаемой среды
A.5.14) запишутся в следующей форме:
+ - аи (v^e + и) + aiswjZ + а + crri/jr = 0,
rv,r = 0, A.5.18)
G (w^r + г^) + orw,r = 0.
При этом если в пластической зоне среда упруговязкопластиче-
ская, то коэффициенты asa имеют вид A.5.7), а в упругой зоне —
v
A.5.8). Если в области V среда упругопластическая, то коэффи-
е
циенты dij и Gij имеют вид A.5.9), а в области V определяются
соотношениями A.5.10).
v
В случае заданных перемещений на части поверхности *§2
е
(соответственно S2) граничные условия, согласно A.2.8), имеют
вид
^=0 (j = 1,2,3). A.5.19)
Условие несжимаемости A.5.14) запишется в форме
u,r + - (v,e+u)+w,z = 0. A.5.20)
Условия непрерывности A.5.13) вектора поверхностных сил
и перемещений на границе раздела упругой и пластической
областей выписываются аналогично.
Отметим, что если все тело находится в пластическом со-
v
стоянии (у = V), то цилиндрическая задача состоит из уравне-
уравнений A.5.16), A.5.20) с краевыми условиями A.5.18). При этом
в случае упруговязкопластических тел коэффициенты ац и Gij
имеют вид A.5.7), а в случае упругопластических тел— A.5.8).
Решение приведенных уравнений для цилиндрических задач
представим двойными тригонометрическими рядами [123]:
оо оо
и = ^2 ^2 Апт (г) cos (тв) cos (nz),
п т
оо оо
V = Y^ Y1 Впт (Г) Sln (m(9) COS (UZ)'
w = ^2 ^2 Cnm @ cos (тв) sin (nz),
n m
oo oo
& = У2У2-Dnm (r) cos (тв) cos (nz).
n m
50 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
где n, m—параметры волнообразования. Так как система урав-
уравнений A.5.16), A.5.17) является линейной и однородной, то ее
можно записать для каждого члена с одинаковыми значениями
тип рядов A.5.21). Для упрощения записи в дальнейшем
индексы n, т будем опускать. В этом случае система уравне-
уравнений A.5.16)—A.5.20) в терминах функций A(r), B(r), C(r), D(r)
запишется таким образом:
уравнения равновесия
- А(г) {^ [«22 + оо + т2 (G + ав)] + п2
+ - А'(г) (а\2 — O21 + оц + аг + гстГ;Г.) + А"(г) (аи + о>) —
- -1 B{r)m{G + а22 + 2а0) + 1 Б'(г)га (ai2 + G) +
i C(r)n (da - а23) + С"(г)п (G + ап) + D'(r) = 0,
- i А(г) [m(G + а22 + 2ав)] - A'(r)m (G + а21) -
- В (г) [\[G + ae + т2(а22 + ав)] + п2г} + A.5.22)
+ B'(r)(G + гаГ)Г + ст°г) + B"(r)r(ar + G)-
- С(г)тп (а23 + G) - mD(r) = 0,
(г) [п (G + а32)] - A'(r)n (G + o3i) -
- i B(r)mn (С + а32) - С (г) [^ (G + ав) + п2а33] +
+ i C7'(r) (G + rar,r + аг) + C"(r) (ar + G) - nD(r) = 0,
А'(г)(ап + ar) + B(r)™a12 + annC(r) + D(r) = 0,
граничные условия
-A(r)mG - B(r)G + rB'(r) (G + ar) = 0, A.5.23)
-A(r)nG + C'(r) {G + °ar) = 0,
условия несжимаемости
A' (r) + i (B (r) m + A (r)) + С (r) n = 0. A.5.24)
Из последнего уравнения выразим С (г)
С (г) = -1 JA'(r) + 1 [Б(г)т + А(г)]} . A.5.25)
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 51
Здесь приведена запись основных линеаризированных уравне-
уравнений. Очевидно, аналогичным образом могут быть выписаны
в терминах функций A(r), i?(r), C(r), D(r) и условия непре-
непрерывности A.5.13) на поверхности, разделяющей зоны упругого
и пластического деформирования, а также другие соотношения,
входящие в сформулированную выше краевую задачу.
Отметим, что в случае сжимаемого материала в соотно-
соотношениях A.5.22), A.5.23) следует опустить члены, содержащие
функцию О и ее производные. Коэффициенты aij и G^j, в за-
зависимости от модели, будут определяться формулами A.5.3),
A.5.4), или A.5.5), A.5.6), или A.4.10), A.4.11).
После подстановки соотношений A.5.25) в A.5.22) и исклю-
исключения функций D (г) и С (г), уравнения равновесия запишутся
таким образом
?7() ,
A.5.26)
ЫА'"(г) + ЫВ{г) + ?13В'(г) +
ЫВ"(г) = 0,
где
fi = - [-°о + т2 (G + go) + 2r^,r + G(n2r2 - l)],
^2 = Г [пи — 0,22 + «12 — «21 + 2(a23 — «1з) — G+
О О О -I
+аг + тоТ^Т — 2а е\,
^з = г2 (an - ai3 + a23 - a2i - G + crr),
n2r2G]
(e ) ^r ( )
m m \ m2 J m
J
= r ra(ai2 - ai3 - a22 + a23 + G - gq) - — (G + g0) -
L ?77/ J
— — (nG — oT TT) + —oT r,
?тг m
(G + a32 - a33 - a22 - 2^6» + а2з) + ^-^ (G + gq) -
— - [b + Gr — Gr^r),
о
r
о
= nr [G + a3i - a33 + а2з - a2i) (G + go) -
r (n i
52 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
Ы = r- BG + 2аг + птг,г), Ы = r- {G + <тг),
2 = г2ш (а32 - а33 - а22 + а23 + 2G) - —— - — (G + ав) \-
L m m J
rrn x о о ч Г3П
= —(rar>r -G-ar)- —
Граничные условия A.5.23) преобразуются к виду
A(r) i (ai2 - ai3 - a22 + a23 - 2cre) +
+ A7(r) (an + ar - ai3 - a2i + a23) + Б(г) х
a^+m2(a22+^-a23-
J
х < - \т [аи — ais) —
+ B'(r) — (ar +rar r + G) + В"(г) — (G + аг) = О,
-mGA(r) - GB(r) + гБ7(г) (G + ar) = 0 A.5.27)
A (r) (nG - ?±p) +i [i A' (r) - ^ S (r) + = S' (r) + A" (r)l x
у nr2 J n ir r2 r J
X (G + ar) =0.
Теперь приведем основные линеаризированные уравнения
в сферических координатах. В сферической системе координат
(г, 0, ф) уравнения равновесия при о\ = о\ запишутся так [240]:
1 о ^к 2il/^ ^ \ 1 о 1
(Ул 1 ~\ (Ул 1 ~\ (У~\ 1 ~\ — ^Ул — — I(Уо ~г ^У~*\ I ~г (Уо ^^К и ~г (Ул 1^1 11 ~п
' ' ' г г у у '
°2 1 Г 2 . 1 / . 2
V^ 1/11 __ /1J_ _ I /V^» /1* /1J I 1/1* I Л--» ?J 1 -^-| ^^
— ki, 22 - - ^2, 2 + ^1,1 - Ui + —-2-т ( Ul,
+u\ 2 cos б sin 6 — u\ sin2 0 — - ад 3 — - sin 0 cos 0 ) =0,
' r ' r / J
2,l +a2,2 +a2,3 + -a2
1 ( 2 2 \ . o2/ 1 ,2 2
1 1^2,11 - -^2,1 - — ^2 +^2 — ^2,22 + -^2,l- —
\ r r2 / \r2 r ' r2
, ctg0 , 1 2ctg(9 1 \ n
+ —|— ^2,2 + 9 . 2д^2,33 - 9 . 2fl^3,3 - 9 . 2 д ^2 = 0,
r2 r2 smz 6> r2 smz в r2 smz 6> /
A.5.28)
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 53
аЗ, 1 + аЗ, 2 + аЗ, 3 + - а1 + alr sin2 # + а2 sin О COS 6 +
,ll - -г/3,1 - Т^з) +^—^3,22 + " (^3,1 + ^1,з) +
г г2 J Lr2 r
4 ( —h~E ^з, зз-2 ctg 0г/2, з - 2^з - ctg 0г/3, 2I=0
г2 V sin2 0 / J
Как и в предыдущем случае введем обозначения г^х = гл, и2 =
= г;, г^з = ги. Тогда уравнения равновесия A.5.28) в перемеще-
перемещениях с использованием соотношений A.5.2) запишутся так:
(аи + оЛи гг + - ац - a2i + <70 + - (ai2 + ai3 + гац г) и г
v ' r L 2 J
+ ai3,r) + «12 + «13 - 2(а22 + а23 +
rz
r2 sm 0 r2 r2 ' гз
/^ _i_ i
+ 9 • 2^ ^,^ + о . о л (rai3,r — 2fei — a22—а2з) w m + cr r = 0,
r2 sm 0 r2 sm 0
>,°\ .I/ i ° \ ^2 , A;i
г + Gr J V ^ rr -\- — ^fl22 + CTQjV^ 0$ — — U5 r ~r T^— ^, (^(^ ~r
Ctg0 / . ,°\ . 1 Л х2л ол
—-|—(a22 + а2з — аз2 + O0)v^ + — ^/c2 — а2з — азз ctg # — 2G —
G + <323 . .
r0 + - (a22 + a23
2r ) ^ + (G+ a2i)i/ r0 + (a22 + a23 + 2fci)i/g+ 9 2л^,(р +
sm б'/ r r2 sin 0
+ ctg^(a2i - a3i)^5r + ^— (a22 + a23-a32 - a33)^ + cr56i = 0,
A.5.29)
kiw^rr - — w^r + -^-гу 00 + -^w+ ав + ^3^ г^?w - -± ctg6we +
r r2 r2 Г2 Sin 0 Г2
+ (G + a31)u,rv + ^u,v +G±^1V + G + азз ct в +
+ — ctg 0w9 ipOQV^ <p + a5 <p = 0,
где
О / О О \
&i = G + ao, k2 = 2(ar - a^J, fc3 = a33 + a32 + 2fei.
Здесь, как и в случае цилиндрических задач, величины ац и Gij
конкретизируются моделью тела.
Граничные условия в напряжениях A.5.12) в сферической
системе координат принимают следующий вид:
a\Nt + a\NlUhl + a\N2 1 („1>2 - ^
г2 V г
sin2 0
54 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
a\Nx («2>1 - ^-) + a22N2 \ («2J + ™i) +
V г / rz
= P2, A.5.30)
г2 sin2 0
(u2)i - ^) + a|iV2l (u3J - ctg0«3) +
(u2 з+ sin6>cosви2 + rsin2^i) o l 9 = P3.
v y r2 sin2 6>
r2 sin
Если внешние нагрузки «мертвые», то Pj = 0 (j = 1, 2, 3).
Условие несжимаемости A.5.14) представимо в форме
r2u r + v т + 2г^ + гл ctg (^9 + —^— ги 0 = 0. A.5.31)
' ' sin2 9? '
Аналогично может быть записано и условие A.5.13) на упруго-
пластической границе.
Отметим, что если все тело находится в пластическом со-
р
стоянии (V = V), то сферическая задача состоит из уравнений
A.5.29), A.5.31) с краевыми условиями A.5.30). При этом коэф-
коэффициенты dij и Gij конкретизируются моделью тела.
Решение линеаризированных уравнений для сферических за-
задач представляем рядами по сферическим функциям [128, 257]
т=1 j=m
сю сю
m=lj=m A.5.32)
(X (X
m=l j=m
(X (X
m=l j=m
Здесь Yjm @, if) = Pp (cos в) (ajm cos rrnp + /3jm j
сферические функции, Pj71 (cos в) — присоединенные функции
Лежандра первого рода степени j и порядка т (Р™ = О
для т > j ). Функции Yjm являются решениями уравнения
Можно показать, что в случае симметричного начального
состояния (о\ = ад, (J1- = 0 при г ^ j) из соотношений A.5.2)
1.5] Основные соотношения линеаризированной теории устойчивости 55
следуют равенства а\2 = «13, «22 = «зз, «23 = «32, «31 =
= a2i, «22 — «23 = 2G. Отсюда получаем
Sjm {r) = Cjm (r) .
Так как рассматриваемая задача линейна и однородна, то ее
можно записать отдельно для каждого члена из каждого ряда
A.5.32) с одинаковыми индексами т и j. В дальнейшем для
краткости записи индексы т и j опустим. В терминах функций
А, В, D основные уравнения A.5.29)—A.5.31) запишутся в сле-
следующем виде:
уравнения равновесия
(аи + аг) А"(г) + ^{гап,г + 2(ац + а12 - «21 + его) }А'(г) +
+ — {2(rai2,r + «12 -«22 -«23 -сгв) ~ (f + j)(G + ав)}А(г) -
rz
Г ) — 1 VCL12 г — «22 — «23 — л
г- Г3 '
+ ?>'(г)=0,
A.5.33)
(G + аг)Б"(г) + -(ав- аг)В'(г) + -
Г Г2
~~ (j + j) (а22 + °~в) }^(г) + (G + «2l)
граничные условия
(аи + °ar)A' (r) + 2a-fA(r)-a-^ {f + j) В (г) + D (r) = О,
(G + аг)В' (г) + GA (г) - BG + аг) \ В (г) = 0; A.5.34)
условия несжимаемости
А' (г) + -А (г) - - (j2 + j) В (г) = 0. A.5.35)
Г Г2
Аналогично в терминах функций А, В, D записывается
условие A.5.13) на упругопластической границе. Конкретизация
v
уравнений A.5.33)—A.5.35) для области пластического (V) и
е
упругого деформирования (V), осуществляется соответствую-
соответствующим выбором коэффициентов ац и Gij. Очевидно, когда все
v
тело находится в пластическом состоянии (V = V), то краевая
задача содержит только уравнения A.5.33)—A.5.35).
Отметим, что в случае сжимаемого материала в соотно-
соотношениях A.5.33), A.5.34) следует опустить члены, содержащие
функцию Д и ее производные. Коэффициенты ац и Gij в этом
56 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
случае определяются в зависимости от выбранной модели тела
соотношениями A.5.5), A.5.6) или A.4.10), A.4.11).
При a,ij = const^-, dij = dji из системы уравнений A.5.33)-
A.5.35) можно исключить функции В и D. Таким образом, при-
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению чет-
четвертого порядка относительно функции А(г):
r2(G + аг)А^ + r{2DG + Заг + ав) + mr,r}A'" +
+ [4CG + ar + 2ae) + 2rBar,r + ae>r) - (j2 + j) (ац+а22-
-ai2 - a2i + ar + ae - 2G)] A" + ^{6ra^r + (j2 + j) x
x [2(G - an + ai2 + a2i - 2ae) - a22 - a23
+ ^ (J2 + J)(J2 +j-2)(G + ae)A = 0. A.5.36)
Граничные условия A.5.34) при этом перепишутся в виде
r
2
(G + ar) A1" + 2rCG + 2ar + ав)А" + [Q(G + ав)
+ (j2 + j) {G - an + ai2+a2i - a22 - ar - ae)] Л' = 0,
A.5.37)
r2(C + аг)Л" + rBG + Заг)Л' + (j2 + j - 2) GA = 0,
а условия на границе раздела зон упругого и пластического
деформирования S имеют вид
{r2{G + ar)A'" + 2rCG + 2ar + ав)А" + [6(G + ae) +
+ (i2+i) (G-ац +ai2+a2i - a22 - crr - ae)]A'}\s = 0,
A.5.38)
[r2{G + аг)Л" + rBG + Заг)Л' + (j2 +j-2)GA]\s = 0,
= 0, [A]\s = 0.
Приведенные краевые задачи, полученные с использованием
трехмерных уравнений устойчивости, будем применять как для
решения задач горной механики, так и для некоторых других.
1.6. Метод решения статических
упругопластических задач устойчивости.
Алгоритм поиска критических нагрузок
Найти точное аналитической решение полученных в § 5 кра-
краевых цилиндрических и сферических задач не представляется
возможным в виду их сложности. Безусловно, трудности полу-
1.6] Метод решения статических задач устойчивости 57
чения аналитических решений статических упругопластических
задач горной механики при наличии границ раздела сред для
неоднородного докритического состояния становятся еще зна-
значительней. Поэтому для нахождения приближенного решения
задач воспользуемся методом конечных разностей. Суть этого
подхода заключается в замене производных неизвестной функ-
функции разностными соотношениями, что в свою очередь приводит
к замене дифференциальных уравнений разностными, решения
которых в любой конечной области сводятся к решению ко-
конечной системы алгебраических уравнений. Для определенной
и непрерывной на сегменте [а, Ь] функции у = у (г) это осу-
осуществляется следующим образом: сегмент [а, Ь] разбивается
точками г = 0, 1, ..., 7W на равные промежутки длины г =
= (Ь — а) /М. Производные функции на данном интервале за-
заменяются во внутренних точках центральными разностями вто-
второго порядка аппроксимации:
/ _ Vi+i -yi-i л _ у%+1 -2yi + yi-i 7- _ i о МЛ
У г — ~ •> Уг — 2 ' ~~ ' ' ' ' ' ' '
/// _ г/г+2 - 2г/г+1 + 2г/г-1 - г/г-2 A
г + 1 + буг ~ tyi-l + Vi-2 • _ 9 о М
' ~~ ' ' ' ' ' '
Уг 4
В крайних точках tq и гм производные будем аппроксимиро-
аппроксимировать следующими конечными разностями (верхние знаки в этих
формулах соответствуют г = 0, нижние г = М):
(% + % - Уг±2) ,
- уг±3), A.6.2)
Вопрос определения критических параметров сводится
к разрешимости уравнения вида
det(Xij)=0, i, j = l, 2, ...,п, A.6.3)
при выполнении условия A.3.8). Однако анализ такого урав-
уравнения затруднен ввиду того, что элементы определителя для
среды со сложными реологическими свойствами будут зависеть
не только от приложенной нагрузки, геометрических размеров
рассматриваемой задачи, физико-механических характеристик
материала, но и от произвольного комплексного числа ио (вре-
(временного множителя). Для упрощения вычислений при числен-
численном анализе можно считать, что ио = /3 — действительное число.
При этом, очевидно, что случай — оо < /3 < 0 будет соответ-
соответствовать затуханию амплитуд возмущений с течением време-
времени, а случай 0 ^ /3 < оо будет соответствовать неограниченному
58 Моделирование процессов деформирования [ Гл. 1
возрастанию возмущений перемещений и напряжений. В этом
случае для определения критической нагрузки уравнение A.6.3)
можно представить в форме:
Ф (Р,/3, Хг) = О, A.6.4)
здесь Xi ~ параметры материала и конструкции.
При фиксированных значениях параметров Хг поиск крити-
критической нагрузки при однородных и неоднородных докритиче-
ских состояниях будем проводить по следующей схеме:
• при заданном значении /3 численно решается уравнение
Ф (Р, /3, Xi) = 0> что позволяет определить зависимость Р =
• проводим минимизацию нагрузки Р в зависимости от /3
в области неустойчивости 0 ^ /3 < оо и в качестве крити-
критической нагрузки примем минимум функции Р = Р(/3) при
фиксированных значениях Хг-
В случае задач, для которых в число переменных Xi может
входить /о — параметр волнообразования — в качестве критиче-
критической нагрузки будем принимать величину Ркр = min{P(/o)}, т. е.
будем проводить дополнительную минимизацию по параметру
волнообразования Iq. При этом в число параметров по которым,
наряду с /3 необходимо проводить минимизацию входят: т —
шаг разностной сетки; га, п — параметры волнообразования по
контуру и образующей. Таким образом, получаем задачу много-
многомерной оптимизации величины Р в зависимости от /3, га, п при
условии Ф (Р, /3, 777,, п, Хг) = 0- Задачу определения критической
нагрузки, при фиксированном значении т и параметрах х%будем
решать в два этапа.
На первом этапе в пространстве параметров Р, /3, m, n опре-
определяется область, в которой происходит смена знака функции
Ф (Р, /3, га, п, т, Хг), 0 ^ /3 < оо, 0 < Р < 1, га, п = 1, 2, ...
На втором этапе вычисляется величина Ркр = min P(/3, га, п),
C,тп,п
При КОТОРОЙ Ф (Р, /3, 777, 77, Т, Хг) = 0.
Для вычисления характеристического определителя приме-
применяется ^[/-разложение: det (с^) = det LU = u\\U22 • • • ипп. Вы-
Вычисление треугольных матриц L (с единицами на главной диа-
диагонали) и U связано с методом Гаусса. В процессе исключения
наибольший по модулю элемент в столбце выбирается в качестве
главного элемента [271]. Для выбора главного элемента исполь-
используются масштабные множители. Масштабирование строк произ-
производится неявно, путем запоминания соответствующих коэффи-
коэффициентов, а не с помощью действительного изменения матричных
элементов.
Постоянные горной породы (аргиллит, песчаник, не опас-
опасный по выбросам и другие) определялись по результатам опы-
1.6] Метод решения статических задач устойчивости 59
тов [265] по трехосному нагружению цилиндрических образцов.
Используя значения напряжений и деформаций, соответствую-
соответствующих пределу пропорциональности, из закона Гука определялся
модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона г/, а из уравнения
поверхности нагружения — значение предела текучести. Для на-
напряженно-деформированных состояний за пределом пропорци-
пропорциональности из уравнения поверхности нагружения находилось
значение коэффициента упрочнения с, при котором выполняется
постулат Драккера. Значения констант горных пород определя-
определялись для каждого приведенного в работе [265] варианта нагру-
нагружения. В качестве окончательного результата брались средние
значения этих постоянных.
Отметим, что поскольку системы, испытывающие упруговяз-
копластические деформации, обладают свойством внутренней
неконсервативности вследствие необратимости вязких и пласти-
пластических деформаций, то исследование устойчивости состояния
равновесия за пределом упругости следует проводить на основе
динамического подхода.
Глава 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И
УСТОЙЧИВОСТИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК
В УПРОЧНЯЮЩИХСЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ
МАССИВАХ
Создание подземных сооружений различного назначения,
в том числе глубоких подземных сооружений всевозможной кон-
конфигурации, непосредственно связано с необходимостью разра-
разработки обоснованных методов их расчета. Этого в первую очередь
требуют условия безопасности труда и сохранности находяще-
находящегося в сооружениях сырья, оборудования и т. д. Исследование
локальной неустойчивости задач геомеханики в первую очередь
связано с определением основного (докритического) напряжен-
напряженно-деформированного состояния. В случае нестандартных попе-
поперечных сечений горных выработок не удается построить точных
аналитических решений. Поэтому в данной главе значительное
внимание уделено развитию метода малого параметра [142] для
определения докритического состояния цилиндрических выра-
выработок эллиптического, многогранного, квадратного и т. д. по-
поперечных сечений, когда горный массив в приконтурной зоне
выработки считается упруговязкопластическим упрочняющим-
упрочняющимся телом [257]. Применение схемы расчета Ивлева-Ершова [142]
для упругопластических задач уже описано во введении. Дела-
Делается также попытка связать воедино: сложную модель упруго-
пластического поведения горного массива в приконтурной зоне;
метод малого параметра определения напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного докритического состояния; постановку и исследование
локальной неустойчивости задач геомеханики в рамках точных
трехмерных уравнений. Приводится оценка точного и прибли-
приближенного подходов в рассмотренном классе задач геомеханики.
Результаты этой главы излагаются в соответствии с публи-
публикациями авторов [26, 66, 67, 152, 163, 165, 206, 232, 233, 236, 239,
240, 248, 250, 253, 255, 257, 258, 263].
2.1. Неустойчивость полупространства со
сферической полостью
Для хранения нефти, газа, размещения насосных станций и
т. д. в настоящее время все шире используют подземные поло-
полости сферической формы. В связи с этим проведенный в этом
2.1] Неустойчивость полупространства со сферической полостью 61
параграфе анализ возможности потери устойчивости состояния
равновесия массива возле таких выработок имеет практическое
значение. Согласно гипотезе С.Г. Михлина, напряженное состоя-
состояние нетронутого массива считается гидростатическим
° 1 ° 2 ° Я
ох = о2 = а3 = -gh.
Устойчивость сферической выработки в упругопластическом
массиве, имеющем поверхность раздела зон упругого и
пластического деформирования впервые рассмотрена в ра-
работе [281]. Наличие поверхности раздела зон с различными
физико-механическими свойствами, безусловно, влияет на
критические значения параметров нагружения. Выявление
характера и степени этого влияния представляет несомненный
интерес. Грубые приближения критических значений нагрузок
для полостей можно получить с позиции образования свода
обрушения по формуле
P = g(j-R), B.1.1)
где 7 — Радиус поверхности раздела областей упругого и пласти-
пластического деформирования массива; R — радиус полости; Р — дав-
давление, приложенное к внутренней поверхности полости. Иссле-
Исследуем устойчивость сферической полости радиуса Rq в невесомом
полупространстве. По контуру полости равномерно распределе-
распределена нагрузка интенсивности Р, например, давление газа, неф-
нефтепродуктов на породный контур. На бесконечности действуют
усилия gh, где g— средний объемный вес вышележащих пород;
h — глубина заложения полости.
Напряженно-деформированное состояние массива в осесим-
метричном случае (eq = e<p) определяется уравнением равнове-
равновесия
dr r
и законом Гука для упругой области. Решая эту систему урав-
уравнений, находим
и = % <Tr = -4/i^ + C2, ав = 2ц^ + С2. B.1.3)
Из условия отсутствия объемного расширения в пластической
зоне получаем
dr
Отсюда
62 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Из ассоциированного закона пластического течения A.1.11)
имеем
ег =
р р \ it р р \
- сег - 7/ег), ев = ^{se - сев - ее),
Так как sq = ?^, то из этих равенств следует, что sq =
Sr
Функция нагружения A.1.8) принимает вид
(sr - сег - rferf = Р; Р = - к2. B.1.4)
о
Учитывая, что
е Р du и
?г = ?г - ?г, ?г = —, 60 = -, 5Г
из соотношения B.1.4) выводим:
е
дег , 2// + с Р ? 4// D ^ P
~г ^г ^ —~~ — ^2i = &V
dt г] г] г]г3 dt
Для пропорционального нагруж:ения интегрирование этого
уравнения приводит к следующему результату:
V
еТ = —
2/,
1 /г . 4/1 D \ ^ / 2// + с Л
А; + -7S1 +Сехр --^ 1 .
+ с\ г6 / \ г] /
Рассмотрим установившееся течение [226], переходя к пре-
предельному случаю при t —>• оо. Так как — > 0, то для
пластической деформации имеем
р _ 1
r 2fi + c
Вычисляя
За (г 2с
аг — G0 = sr — S0 = —-— [к — —j
2/i +с V г3
из уравнения B.1.2) найдем
+ с
--Si + A;C1nr + 1,5)
L г3 J
У B.1.6)
Для определения констант интегрирования Ci, C2, -Bi, S2 и ра-
радиуса поверхности раздела областей упругого и пластического
2.1] Неустойчивость полупространства со сферической полостью 63
деформирования 7 имеем граничное условие аг = —Р при г =
в в
= R; условие на «бесконечности» оТ = о$ = — g/i при г ч оо и
условия сопряжения решений при г = 7 A-1-5), A.1.6).
Отсюда находим
1 1 ^, 2 g, 2 (
и уравнение для определения радиуса упругопластической гра-
границы 7 B массиве
Перейдя к безразмерным величинам, получим
ое ,73-3 ое ^73
_ д-3) _61n L] _
*J B.1.7)
2гг
op
er = — z
2 + c v ' J //
При этом уравнение для определения радиуса упругопластиче-
ской границы 7 принимает вид
c^3R-3 + 2 + 6 In GЯ) + B + с) (Р - q) к'1 = 0. B.1.8)
Здесь величины, имеющие размерность напряжения, отнесены
к модулю сдвига /i, а имеющие размерность длины к ^-значению
радиуса г, при котором ставятся условия локальности возмуще-
возмущений, и им сохранены прежние обозначения.
Из уравнения B.1.8) следует, что пластическое состояние
возникает на поверхности выработки G = R) при q = Р + к.
Для осесимметричной формы потери устойчивости из систе-
системы уравнений A.5.28), учитывая силы инерции, получаем
dar , г> <Jr — ere ° d2u ° 2 f du u^
+ Z + от + С0— I — — —
dr r dr2 r \dr r у
р е
Компоненты с кружочком наверху для областей V и V опре-
определяются соотношениями B.1.7). Из выражений A.4.12) полу-
получаем
, о/ \du . о и . du . /о \ и 1 ^2
от = q-rZyfi—ao) — -\-ZaQ —, gq = q~rQ>o —H~(^/^~ttoJ —•> ao = — cl™ .
dr r dr r 3
Для деформирования, происходящего без изменения объема,
имеем и = const/r2. Интегрируя уравнение B.1.9), получаем
64 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
выражения для напряжений в области пластического деформи-
v
рования массива V:
V 2 / Зка о . о \^ , 3/сс 3^y , 2^y I , ^y
^r = -(т—^--2/л + Зао)С3+ ... ^ , 67 Сз + рц С3- + С4,
r3 V 2// + с / 2B// + c)r6 r
^0 = err + 3B/i + За0)— C3,
r3
e
и в области упругого деформирования массива V:
ar = ( T-r 7 - -f + P^ - J S3 + Б4, a0 = ar + 6/i —-.
Постоянные интегрирования Сз, С4, ^з и i?4 определяются
из предполож:ений локальности возмущений
ее е
гл = 0, аг = 0, сг^ — 0 при г —)> оо;
сопряж:ения векторов перемещений и поверхностных сил
е р е р
и = и, аг = аг при г = 7
и граничных условий
сгг + сгг — = i> при г = п.
dr
Из первых двух условий находим: i?4 = О, С3 = В%. Для
определения оставшихся двух констант получаем систему двух
линейных алгебраических уравнений. Условие существования
нетривиального решения этой системы запишется так:
«о + ais + a2s2 + a3s3 = 0, B.1.10)
где s = Ш,
73
2
0L2 = pR2 B/i + c), «3 =
Значение E = 0 соответствует «мертвой» поверхностной нагруз-
нагрузке A.2.7), (постоянной по величине и по направлению), а значе-
значение 6 = 1 соответствует случаю «следящей» нагрузки A.2.6).
Стандартный полином B.1.10) удовлетворяет условию
Раусса-Гурвица, если положительны все главные миноры его
матрицы Гурвица
Ai = ai > 0, А2 = ^ 2 = аха2 - а0а3 > 0, А3 = а3А2 > 0.
2.1] Неустойчивость полупространства со сферической полостью 65
В этом случае Resj < 0, где Sj — корни полинома B.1.10). Таким
образом, условие устойчивости A.3.8) выполняется.
Если рассматривать медленное движение, то в уравнении
B.1.9) можно пренебречь силами инерции. В этом случае ве-
величина s действительна и на основе формулы B.1.10) получаем
условие устойчивости в следующем виде:
OL\
B.1.11)
Таким образом, при использовании квазистатического подхо-
подхода, критические значения параметра нагрузки Р определяются
из уравнения ао = 0 при 6 = 1.
На рис. 2.1.1 представлены результаты численного решения
при 6 = 1, полученные из условия B.1.11). Штриховыми линия-
линиями изображены кривые, полученные по приближенной теории
Лейбензона-Ишлинского. Для этого случая имеем
«о = -
с) BР -
= -?? BР -
Кривые 1 на рисунке соответствуют результатам, полученным
при c//i = 0 и k111 = 0,00052, а кривые 2— при с/ц = 0,01 и
к/II = 0,00089. В первом слу-
случае горная порода считает-
считается аргиллитом, во втором —
алевролитом. В областях, за-
заключенных между осью абс-
абсцисс и кривыми, выполня-
выполняется условие неустойчивости
Im(a;) < 0, на самих кривых —
условие Im(a;) = 0.
Для исследования произ-
0,04
0,02
/f I
'Л
:
У"
0,02
Рис. 2.1.1
0,04 gh/fi
вольной формы потери устой-
устойчивости равновесия горного массива воспользуемся линеаризи-
линеаризированными уравнениями устойчивости A.5.36) с граничными
условиями A.5.37) на поверхности выработки (г = R). Коэффи-
Коэффициенты dij и Gij в граничных условиях и в уравнениях устой-
устойчивости A.5.36), когда они применяются к пластической обла-
области, определяются соотношениями A.4.9) с индексом <ф» над
буквой. Компоненты тензора напряжений и функция А должны
также иметь в этом случае индекс <ф». Для рассматриваемого
случая
= 2 — 4ао,
= 2 —
«23 = «32 = -
2
а0 = - B + с0) - 1,
о
B.1.12)
= 1, г, j = 1, 2, 3.
3 А.Н. Спорыхин и А.И. Шашкин
66 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Для упругой области коэффициенты а^ и Gij определяются
формулами A.4.15) ац = 2<^j, G^ = 1, г = 1, 2, 3, а компо-
компоненты тензора напряжений и функция А должны иметь в этом
случае индекс «е». К приведенным уравнениям следует присо-
присоединить также условия непрерывности векторов перемещений и
поверхностных усилий на поверхности раздела области упругого
и пластического деформирования A.5.38) при г = j и условия
локальности возмущений упругих перемещений А = О, А1 = О
при г —>> оо.
Найти точное аналитическое решение полученной краевой
задачи не представляется возможным. Для нахождения при-
приближенного решения можно воспользоваться методом конечных
разностей. Заменив производные функции А(г) конечными раз-
разностями второго порядка аппоксимации A.6.1)—A.6.2), получим
систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты
которых зависят от параметров задачи, шага разностной сет-
сетки и степени j присоединенных функций Лежандра. Из усло-
условия существования нетривиального решения этой системы одно-
однородных алгебраических уравнений получим характеристическое
уравнение, которое надо решать совместно с уравнением B.1.8).
Значения ненулевых элементов характеристического определи-
определителя А = det (стп) (га, п = 0, 1, ..., N + 1), согласно результа-
результатам работы [244], имеют следующий вид:
5р р 3 ор ip
соо = -- Ьп + 2т&12 - -г bis + т6Ъи,
р р р р
с01 = 9Ьц - 5r6i2 + 2t26i3, c02 = -12Ьц
V V V V з Р оР
соз = 7Ьц - rbi2, co4 = -Зт Ьц, сю = 2Ьц
р р р р р
= -5&21 + 2т622, ci2 = 462i - 0, 5т622, ci3 = -г 62
р р
bmn = bmn(R), n = 1, 2, 3, га = 1, 2;
р р р р р
^31 - 0,5т632, cij+i = -4Ь31 + т632 + т^633 - 0, Ьт6
р 9р ар
= 6631 - 2т 633 + т 635,
р р р р
= -4Ь31 - т632 + т 633 + 0, 5т 634,
р р
Сг j+4 = &31 + 0, 5т632, г = 2, 3, ..., iVp + 2, j = г;
р р
При г = Np+3, -/Vp+4, ..., TV— 1; j = г—1 в приведенных выше
р е
формулах функции Ътп должны быть заменены на функции Ътп.
2.1] Неустойчивость полупространства со сферической полостью 67
Элементы сц при г = Np — 1, j = Np — 4, ..., TVp — 1 и
при г = Np — 1, j = TVp + 5, ..., Np + 2 также определяются
приведенными соотношениями для сц при г = 0, j=0, 1,2,3
р
с той лишь разницей, что функции Ьтп во втором случае должны
е
быть заменены на функции Ьтп. В обоих случаях эти функции
V V ее
вычисляются в точке rNp = 7, т. е. 6mn = bmn(j), bmn = ЬшпG),
как и в следующих выражениях:
с
i j =
J+2 :
CNP-1 Np
, -?"'. -"
'i i-1 = Cj г-^4
: D г+3 = C^+i
= Ci i+i = 5,
cn n-i = 0,5,
5 и
= —2h
= -b-l
2
, Cii-
= -14,
,+з = 1
Cij+3 =
В этих формулах г о = i
>
e
?11 +
1 — c
Ci
, сг
= c^ ^
-2,
p
e
г-2 = С
J + l = C
= -2,
3 2
3
- - r
2
'г г+3
^гг+2
г =
cat tv+1 =
V+1
Р
2 е
=
=
--N
3
2'
=
з е
24, г = iVj,;
-4, Cj+i i =
р + 1, J = A
CJV+1 ЛЧ-1 :
= 2,
: -1
Р-
= 1.
3;
1. Для сокращения
записи использованы обозначения b\j и &2j (j — 15 2, 3) для
коэффициентов при функции А и ее производных первого и
второго уравнений системы A.5.38) соответственно и &3j (j =
= 1, 2, 3, 4, 5) для коэффициентов уравнения A.5.36).
Для получения критических значений параметров проводит-
проводится минимизация по параметру j.
Теперь рассмотрим задачу устойчивости сферической поло-
полости в несжимаемом упругопластическом массиве с изотропным
линейным упрочнением с поверхностью нагружения A.1.16).
Докритическое осесимметричное состояние массива в этом слу-
случае совпадает с начальным состоянием B.1.7), B.1.8) преды-
предыдущей задачи, если положить к = B/у/3)к. Значения коэффи-
коэффициентов dij и Gij для пластической зоны A.5.9) в этом случае
определяются следующими соотношениями:
\ E
B.1.13)
Для упругопластических несжимаемых массивов с трансля-
трансляционным и изотропным линейным упрочнением получены кри-
критические значения параметров.
68
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
В табл. 2.1.1 приведены значения осредненных величин Е, v,
/с, fco, с и со для аргиллита и песчаника, не опасного по выбросам,
в случае трансляционного упрочнения (вариант 1) и изотропно-
изотропного линейного упрочнения (вариант 2) для несжимаемого тела.
Таблица 2.1.1
Материал
Аргиллит
Песчаник,
не опасный
по выбросам
Е, 105Па
199555
297255
V
0,357
0,171
Вариант
1
2
1
2
со
2,6814
2,5439
2,9496
2,1726
105Па
к
1022,48
724,99
2208,01
1493,26
ко
0,1351
0,986
0,1740
0,1177
с
197151
187049
374379
275752
На рис. 2.1.2 для подкрепленной сферической выработки,
проведенной в несжимаемом массиве с трансляционным упроч-
упрочнением, показаны зависимости критических значений Pq = P//J,
от q = ghf/j, при R = 0,1 определенные по линеаризированной
± in
0,015
0,005
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
/
/
/
/
р /
/
/
/
#
0,45 0,47
Рис. 2.1.2
0,59 gh/fj,
теории (сплошные линии), по приближенному подходу (штри-
(штриховые линии) и, с позиции образования свода обрушения (кри-
(кривая 3) при gR/ц = 0,125 • 10~4. Кривые 1,3 относятся к вы-
выработке, проведенной в аргиллите, кривые 2—в песчанике, не
опасном по выбросам. В табл. 2.1.2 для свободной выработки
(Р = 0) в массиве с трансляционным упрочнением приведены
критические значения параметра нагрузки q*, деформации кон-
контура выработки ?* и радиуса упругопластической границы 7о-
Кроме того, для сравнения приведено: д*е — критическое значе-
значение безразмерной нагрузки для случая линейно-упругого масси-
массива, полученное в работе [180] и д*ф, ?*ф — критическое значе-
значение нагрузки и деформации контура выработки в несжимаемом
2.1] Неустойчивость полупространства со сферической полостью 69
упругопластическом массиве без упругопластической границы,
полученное по деформационной теории при степенном законе
упрочнения аи = As™ (aUi eu— интенсивности напряжений и де-
деформаций). Эти результаты получены в рамках приближенного
подхода. Для аргиллита были найдены [196] следующие значе-
значения параметров Аипв степенном законе: А = 112976 * 105, п =
= 0,751.
Таблица 2.1.2
Материал
Аргиллит
Песчаник,
не опасный
по выбросам
3
2
2
0,464
0,471
7*
0,525
0,472
0,230
0,205
0,581
—
Ядеф
0,478
—
?деф
0,302
—
Qnp
0,582
0,595
В табл. 2.1.3 приведены критические значения параметров
свободной сферической выработки, вычисленные при разных
шагах разностной сетки т, для несжимаемого массива с изотроп-
изотропным линейным упрочнением.
Таблица 2.1.3
Материал
Аргиллит
Песчаник,
не опасный
по выбросам
Т
0,05
0,025
0,05
3
2
2
2
0,461
0,460
0,470
7*
0,532
0,530
0,429
е*
0,248
0,244
0,219
Анализ числовых результатов свидетельствует о том, что
если порода вокруг горных выработок переходит в состояние
пластического деформирования, то потеря устойчивости проис-
происходит раньше, чем в упругом массиве. Поэтому при исследова-
исследовании устойчивости сферических выработок глубокого заложения
должна изучаться устойчивость неупругого состояния равнове-
равновесия горного массива вокруг выработок.
Полученные для свободной (Р = 0) сферической выработки
критические значения нагрузки качественно согласуются
с критическими нагрузками для несжимаемого линейно-
упругого массива (табл. 2.1.3). Различие по критическим
нагрузкам и деформациям для рассмотренных несжимаемых
горных пород с трансляционным упрочнением и линейным
изотропным упрочнением незначительно (см. таблицы 2.1.2,
2.1.4) и составляет не более 3 и 5% соответственно.
Определенные по теории течения критические деформации
контура сферической выработки существенно (до 28 %) отличают-
отличаются от критических деформаций в случае деформационной теории.
70 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Результаты, полученные для сжимаемого и несжимаемого
материала с изотропным линейным упрочнением, отличаются
по критическим нагрузкам не более 9 % , а по деформациям —
не более 4 % для сферических выработок.
Сравнение результатов, полученных для подкрепленной сфе-
сферической выработки, показало (рис. 2.1.1), что отличие крити-
критических значений параметра q*, определенных по приближен-
приближенной теории типа Лейбензона-Ишлинского, от соответствующих
значений линеаризированной теории достигает 30 % для рас-
рассмотренных горных пород. Наиболее существенны эти отличия
(рис. 2.1.1) для свободных (Р = 0) выработок. Значения па-
параметра Р, найденные из предположения об образовании свода
обрушения, являются сугубо приближенным и не отражают ка-
качественного характера явления.
2.2. Неустойчивость полупространства
с вертикальной цилиндрической выработкой
кругового поперечного сечения
При добыче ряда полезных ископаемых должно быть прой-
пройдено большое количество вертикальных стволов, которые явля-
являются долговременными и дорогостоящими инженерными соо-
сооружениями, жизненно важными для функционирования шах-
шахты в целом. Состояние горных выработок в зависимости от
их назначения должно удовлетворять различным требовани-
требованиям, основным из которых является обеспечение безопасных
условий для работающих людей. Под влиянием действующих
усилий массив возле выработки может потерять устойчивость,
что, безусловно, нежелательно. Поэтому анализ возможности
потери устойчивости массива возле выработок представляет со-
собой важную и актуальную задачу. Устойчивость вертикальных
выработок в упругих массивах изучалась многими авторами
[1, 2, 5, 108, 200]. В частности, в работе [200] показано, что
потеря устойчивости выработки кругового поперечного сечения
происходит по осесимметричной форме. Ниже рассматривается
задача о пространственной форме потери устойчивости выра-
выработки в упругопластическом массиве с поверхностью раздела
зон упругих и пластических деформаций.
Будем рассматривать устойчивость состояния равновесия
нижнего полупространства с цилиндрической вертикальной вы-
выработкой, выходящей на дневную поверхность. Для этого класса
задач можно ввести специфические упрощения за счет следую-
следующих предположений:
• при определении докритического состояния и исследовании
линеаризированной задачи устойчивости можно не учиты-
учитывать эффекты, связанные с тем, что выработка имеет ко-
2.2] Неустойчивость полупространства с вертикальной выработкой 71
нечную глубину. Учитывая это предположение можно ввести
еще одно;
• при исследовании задач устойчивости можно не учитывать
наличие дневной поверхности и рассматривать устойчивость
состояния равновесия бесконечного пространства с бесконеч-
бесконечной цилиндрической полостью под действием нагрузки на
глубине h.
Задача определения докритического осесимметричного со-
состояния решается в рамках плоской деформации. В результате
получаем соотношения для безразмерных напряжений и дефор-
деформаций [232]:
crr = -q+ ^-, GQ = -q- —L
2 2
2
op op 2K /72 , o\ °P °P К
2 _ Д-2) _ 41nr] - P,
B 2
fJL Л/2
и уравнение для определения радиуса упругопластической гра-
границы
1±^ (д _ р) _ 2 - 4 In 1 - ^ = 0. B.2.2)
К КЧ ) R В? У J
Здесь, как и ранее, величины имеющие размерность напряжений
отнесены к модулю сдвига /i, а имеющие размерность длины —
к величине с/, и для них сохранены прежние обозначения; г —
текущая безразмерная координата вдоль оси Or, R — радиус
выработки, Р — давление на контуре выработки.
Рассмотрим осесимметричную (и = гл(г, z\ v = 0, w =
= w(r, z)) форму потери устойчивости состояния равновесия
массива возле выработки. Согласно A.5.2) имеем
оТ = о + B — а*) и г + а* -, gq = о + B — а*) - + а*и г,
2 B.2.3)
arz =u,z+w,r, а* =
2 + c
Нетрудно заметить, что, приняв в этих соотношениях вели-
величину а* равной нулю, получим соотношения упругого деформи-
деформирования. Поэтому все необходимые выкладки будем делать для
пластической области, а затем от них перейдем к соответствую-
соответствующим уравнениям для упругой области.
Решения линеаризированной системы уравнений устойчиво-
устойчивости A.5.16) в случае осесимметричной формы потери устойчи-
устойчивости (г; = 0), когда имеют силу равенства B.2.3), согласно
72 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
A.5.21), выберем в виде
оо оо
и = ^2 An(r) cos nz, v = 0, w = У^ Cn(r) s'mnz,
п п
оо
а = ^^ D(r) cos П2.
п
Оставшиеся два уравнения системы A.5.22) можно представить
для краткости таким образом:
D'(r) = Фх(г), D{r) = -- Ф2(г). B.2.4)
п
Продифференцировав второе уравнение по г, и вычтя его из
первого, получим
1ф/2 + ф1 =0. B.2.5)
п
Условие несжимаемости материала A.5.24) дает еще одно урав-
уравнение
B.2.6)
П \ Г J
Теперь, исключив с помощью соотношения B.2.6) функцию С,
уравнение B.2.5) при ац = а^ можно переписать в терминах
функции А:
I [Ciller ~ «33, г ~ (Jz^r)~^~
п2/ о |О ° °\ 1 /о° ° \ I
\ — («11 — ^«13 "~ «33 ~г ^«23Н—г^в ~ & z) ~ — \?ОТ т ~ &Q г ) ~г
г г2 ' '
3 (Л I О° ° ЛП >t/ , Г 3 (Л I О° ° \ ,
П ( . \ . П ( .
— (аЗЗ — «22 — &в + °z) + —(tti2,r + «32,г ~ «33,г ~ ^z,r~
)] = 0. B.2.7)
Для второго уравнения B.2.4) получаем
D = 1 {-A + ar)A'" - iB + ar + a,)A"+
[1 A + 2ar - ae) + n2 (a33 - a3i - 1 + az)] A' +
+ I [1 (ae - 2ar - 1) + n2(a33 - a32 - 1 + ^)] ^} . B.2.8)
2.2] Неустойчивость полупространства с вертикальной выработкой 73
Запишем граничные условия A.5.23), принимая во внимание
равенства B.2.6) и B.2.8),
- а в) + п2 (а33 + «п - 1 + аг+ аг - 2ai3)] А1 -
~ 1)+п2(«зз -«32 -«13
B.2.9)
и условия локальности возмущений перемещений в упругой
е е
области А = О, А' = 0 при г —>> оо.
В нашем случае коэффициенты ац = const^- определяются
е
из соотношений B.2.3). Уравнения относительно функции А для
упругой области можно получить из уравнения B.2.7), положив
в нем коэффициент а* равным нулю и заменив индекс «р» на
«е».
Условия сопряжения перемещений и вектора поверхностных
усилий A.5.13) при г = 7 запишутся так:
ре р е Р е Р -, Р
А-А = 0, А'-А' = 0, А"-А" = 0, Af--A = 0. B.2.10)
7
Таким образом, получим замкнутую краевую задачу, коэф-
коэффициенты уравнений которой зависят от безразмерных парамет-
параметров материала /с, с, радиусов 7? R-> интенсивности нагрузки Р,
величины (/, параметра выпучивания п по оси Oz. Используя,
как и ранее, конечные разности A.6.1), A.6.2), получим разност-
разностную задачу с определителем det (cmn) = 0 (га, п = 0, 1, ..., N +
+ 1), ненулевые элементы которого определяются следующими
формулами (см. [244]):
5р р 3 <2Р яр
соо = -- Ьц + 2т&12 - - г Ьи + т Ьн,
с01 = 9Ьц - ЬтЪ12 + 2t26i3, с02 = -12Ьц 2
3 32
ОЗ = 7Ьц - Г&12, С04 = -- &21? Сю = 2Ьц - - Тб22 + Т &23
р р р р р
сц = -5&21 + 2т622, ci2 = 4&21 - 0,5т622, ci3 = -&21,
() (п = 1, 2, 3, 4), Ъ2п = Ъ2п{Щ (п = 1, 2, 3);
р р р р
= -4&31 + т632 + т^бзз - 0, Ьт6Ъм
74 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Р JP J>
Cij+2 = 6631 - 2т 633 + Т 635,
Р Р 2Р JP
Cij+3 = -4Ьз1 - Тб32 + т ^33 + 0,5т 634,
с* j+4 = &31 + 0,5т632 г = 2, 3, ..., Np - 2, j = i - 2,
) (п = 1, ..., 5), гд^ = 7-
Элементы определителя при i = Np + 2, Np + 3, ... ,7V — 1
вычисляются по этим же соотношениям, в которых только ин-
индекс «р» над буквой заменяется на «е»:
cjj+3 = Cjj-i = 0,5, Cjj+2 = cjj = -2, cjj+i = 3, j = Np- 1,
ci j-3 = cjj+3 = 1, C7J-2 = cjj+2 = -4,
cjj-i = cjj+i = 5' cjj = ~4' 3 = ^P'
cjj-3 = 0, 5, Cjj-2 = -2, cjj_i = - - -, j = iVp + l,
-3 = CNN-2 = 0, C7V7V-1 = 0,5, Cjy N = —2,
3
-,
В этих выражениях tq = R — безразмерный радиус выра-
выработки; гщ = 7> rN — 1? т — шаг разностной сетки, &зг (* =
= 1, ..., 5) —коэффициенты уравнения B.2.7), bi^ (г = 1, ..., 4)
и Ь2г (г = 1, ..., 3) —коэффициенты первого и второго соответ-
соответственно уравнений системы B.2.9) при функции А и ее произ-
производных.
Применяя обычную методику, получим характеристическое
уравнение вида
А (д, к, с, Р, Д, 7, п) = 0,
которое необходимо решать совместно с уравнением B.2.2).
Теперь рассмотрим случай несжимаемого массива с изотроп-
изотропным линейным упрочнением, уравнение поверхности нагруже-
ния для которого имеет вид A.1.16). Докритическое осесим-
метричное состояние массива около вертикальной выработки
при плоском деформировании совпадает с начальным состоя-
состоянием массива в только что рассмотренной задаче и будет также
определяться соотношениями B.2.1), B.2.2), в которых только
следует положить К = к. В уравнениях B.2.7) и B.2.9) крае-
краевой задачи коэффициенты а^- и Gij определяются формулами
B.1.13).
Численная реализация проводилась для свободных вырабо-
выработок при R = 0,05. В каждом рассмотренном случае с помощью
ЭВМ проводились расчеты для конкретных горных пород, по-
постоянные которых указаны в табл. 2.1.1. При вычислениях про-
проводилась минимизация по параметру волнообразования п.
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 75
В табл. 2.2.1 помещены критические значения параметров
вертикальных свободных выработок кругового поперечного се-
сечения для случая несжимаемого массива с трансляционным
(вариант I) и изотропным линейным упрочнением (вариант II).
В таблице используются следующие обозначения: п — параметр
волнообразования по оси Oz, q*, 7*5 ?* —безразмерные критиче-
критические значения нагрузки, радиуса упругопластической границы
и деформации контура выработки соответственно, д* — критиче-
критическое значение нагрузки для случая несжимаемого изотропного
линейноупругого массива, полученное в работе [200].
Таблица 2.2.1
Материал
Аргиллит
Песчаник,
не опасный
по выбросам
I
II
I
п
4
4
6
0,482
0,473
0,491
0,580
0,569
0,579
г*
0,273
0,279
0,265
0,864
2.3. Неустойчивость полупространства
с горизонтальной выработкой
Рассмотрим устойчивость состояния равновесия нижнего по-
полупространства возле цилиндрической горизонтальной полубес-
полубесконечной выработки, пройденной на глубине h и выходящей на
полу бесконечный пласт полезной породы, механические свой-
свойства которой отличаются от свойств горного массива. В этом
случае представляется естественным ввести следующие предпо-
предположения.
При определении докритического состояния и исследовании
задач устойчивости можно считать, что выработка и пласт по-
полезной породы имеют одинаковую форму поперечного сечения.
При исследовании задач устойчивости (после определения
докритического состояния) можно не учитывать наличие днев-
дневной поверхности.
В зонах, близких к границе раздела выработки и пласта по-
полезной породы, возникает под действием внешних нагрузок по-
повышенная концентрация напряжений. Если исследуется устой-
устойчивость не в призабойной части выработки, возможна несколько
другая постановка задачи, основанная на следующем предполо-
предположении.
При определении докритического состояния и исследовании
задачи устойчивости можно не учитывать наличие границы раз-
раздела пласта и выработки.
76
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
2.3.1. Упруговязкопластическое состояние круговой
цилиндрической трубы, находящейся под действием
внутреннего и внешнего давления. Исследование задач
устойчивости горных выработок в первую очередь связано
с определением докритического состояния. Точные анали-
аналитические решения задачи о докритическом состоянии удается
получить лишь в простейших случаях, например, для выработки
кругового поперечного сечения при определенных предположе-
предположениях. Очевидно, что одним из путей определения напряженно-
деформируемого докритического состояния горных выработок
усложненной формы поперечного сечения, является построение
приближенных решений в рамках метода возмущений, а
именно — метода малого параметра. Построение приближенных
решений для докритического (основного) состояния рассматри-
рассматриваемых далее задач требует выбора нулевого приближения.
В качестве нулевого приближения выберем решение задачи
типа Ламе (при b —>> оо), которое приводим здесь, следуя ре-
результатам работы [257]. Рассматривается бесконечная круговая
труба, радиусов а и b (a > 6), под-
подверженная действию равномерно-
равномерного внешнего и внутреннего давле-
давления (рис.2.3.1).
Материал трубы— несжимае-
несжимаемый, упруговязкопластический,
упрочняющийся.
В качестве определяющих со-
соотношений принимаются соотно-
соотношения теории упрочняющегося
упруговязкопластического мате-
материала [223], приведенные в § 1
первой главы. Решение приво-
приводится для плоской деформации
в цилиндрической системе коор-
координат. Все соотношения записываются в безразмерном виде.
За масштаб напряжения выбран предел текучести при чистом
сдвиге, за масштаб длины — радиус упрочняющейся границы rs,
расположенной между внутренним и внешним контуром трубы.
Граничные условия на внутреннем и внешнем контуре трубы
запишутся так:
при г = а (а = a/rSl г = г/rs)
Рис. 2.3.1
при г = b (b = b/rs
гв = 0 (q0 = Po/k)
= P/k).
B.3.1a)
B.3.16)
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 77
На упругопластической границе rs напряжения и перемеще-
перемещения считаются непрерывными.
При указанных граничных условиях и условиях сопряже-
сопряжения на упругопластической границе, распределение напряжений
в пластической зоне имеет вид (а ^ г ^ 1)
e~at ( 1 1 \ /-, -аг\л г]
b) {l-e )lnd'
f ц а
B.3.2)
ttq = 0, x = sign (go -q), ol= -z ,
K)
a в упругой зоне A ^ r ^ b) следующий вид:
B.3.3)
Перемещения и полные деформации в упругой и пластиче-
пластической зонах определяются по одним и тем же формулам
2\it2 2\iT
B.3.4)
Пластические деформации определяются соотношением
2[i + с
На упругопластической границе выполняется следующее со-
соотношение для внешних усилий
+ I* " ?|) B/i + с) - 2/i + 4/ilna(l - е""*) - B/Ае"^ + с) = 0.
B.3.6)
Упругопластическая граница расположена между а и 6, если
В случае осесимметричного растяжения пластины с круго-
круговым отверстием F —>> оо) , уравнение для определения упруго-
упругопластической границы записывается следующим образом:
- q\ Bfi + c)-2fi + 4nlna(l - e~at) - B/fe + c) = 0,
a2
B.3.8)
78
Устойчивость горных выработок
[Гл. 2
а распределение напряжений в упругой зоне принимает вид
1
q+
в 1
ar = -q- —,
= 0.
B.3.9)
Полученное решение принимаем в качестве нулевого прибли-
приближения для исследуемых далее задач.
2.3.2. Линеаризация по малому параметру соотноше-
соотношений теории течения. При решении задач методом малого па-
параметра все функции представляются в виде рядов по степеням
малого параметра S (S <^1):
{&ij, ?ij, Cij, . . . , A, Xfc, . . . } =
= Е П4°' in)' "I- • • • >A(n)' xt\ ¦ ¦ ¦} B-з.ю)
n=0
Выражения с верхним индексом (п) всюду ниже будем на-
называть величинам n-го порядка.
Учитывая представление B.3.10) для соотношения, опре-
определяющего поверхность нагружения и ассоциированный закон
пластического течения, выполнив разложение функции по мало-
малому параметру и приравняв слагаемые при одинаковых степенях
E, получим следующие уравнения:
при п = 0
(^Л^Р^^\H B.3.11)
B.3.12)
при п
Pin) Яп-1)
Р(п) Яп-1)
Р@) (п)
Р@)
@)
n=0
где
in) i
(n—m)
5=0
B-3.14)
B.3.15)
Процедуру разложения функции по малому параметру бу-
будем так же называть линеаризацией функции, это объясняется
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 79
тем, что при п > О F^ будут линейными функциями величин
n-го порядка (при п = 0 функция F^ в общем случае нелинейна
так как в нее входят смешанные инварианты тензоров напряже-
напряжений и пластических деформаций (скоростей деформаций)).
Учитывая линейный характер этой зависимости, уравнения
B.3.13) и B.3.14) можно представить в виде:
(n) dF^p(n) dF™P(n) Г|Ы , ф(п) = 0
-» @) г? ' n »(o)°'
B.3.16)
(n) a2FW g(n) a2F<°> P(n)
ks 9@)9l[0) ks д^д^ ks
(n)
B 3 17)
Здесь функции Ф^п) и иг^' обозначают все прочие слагаемые
рядов, они зависят от величин не выше (п — 1)-го порядка, т. е.:
ф(п) _ ф(п) /^ (п-1) @). Р(п-1) Р@). Р(п-1) Р@).
. B.3.17a)
Исходя из линеаризованных соотношений B.3.16) и B.3.17),
можно построить алгоритм нахождения приближенного реше-
решения упруговязкопластической задачи для конкретного вида
функции нагружения. В общем случае этот алгоритм позво-
позволит получить лишь численное решение, так как функции F^
зависят от компонент пластической деформации n-го порядка
е\- и, соответственно, скоростей пластических деформации е\-\
следовательно, для каждого приближения имеет место стати-
статически неопределимая задача. Задача усложняется еще и тем,
что выполнить интегрирование линеаризованных соотношений
ассоциированного закона пластического течения невозможно,
1 (п)
ввиду того, что они содержат неизвестные функции а\- .
Введение дополнительных предположений позволяет, при
конкретизации вида функции нагружения, получить прибли-
приближенное аналитическое решение упруговязкопластической зада-
задачи методом малого параметра.
2.3.3. Линеаризированные граничные условия и
условия сопряжения на упругопластической границе.
При постановке граничных условий может оказаться, что малый
параметр будет входить в уравнения, описывающее границу
области, в которой ищется решение задачи. Такую границу
80 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
будем называть возмущенной. При этом если в выражениях
определяющих границу положить 6 = 0, то уравнения будут
описывать невозмущенную границу области.
Разложение по малому параметру приводит к тому, что гра-
граничные условия, определенные на возмущенной границе, заме-
заменяются для каждого приближения новыми граничными услови-
условиями на невозмущенной границе. При этом решение для каждого
приближения находится в области, определяемой невозмущен-
невозмущенной границей.
Так, если уравнение невозмущенной границы имеет вид
где ^—параметр, г—радиус-вектор, а г\$=о = П)(?) —уравнение
невозмущенной границы, то граничные условия на возмущенной
границе для некоторой функции j можно записать в виде
7(r(f, 5M) = 7о-
Раскладывая 7 п0 параметру #, имеем
т = V 5п-уп 4п) = - ^-L
Очевидно, для определения функций 7^ можно воспользо-
воспользоваться треугольником Ли.
Для каждого приближения граничные условия на невозму-
невозмущенной границе будут иметь вид
При решении упруговязкопластической задачи необходимо
учитывать условия сопряжения решений в упругой и пласти-
пластической зонах. Условия сопряжения, записанные на упругопла-
стической границе, заменяются новыми условиями для каждого
приближения, записанными на невозмущенной упругопластиче-
ской границе, согласно [142].
Далее, при решении задач, каждый раз будет приводиться
конкретный вид условий сопряжения на упругопластической
границе.
Очевидно, что в виду линейности соотношений A.1.1)—A.1.7),
A.1.9), их линеаризация по малому параметру также приводит
к линейным соотношениям.
2.3.4. Линеаризация по малому параметру функции
нагружения упруговязкопластического тела. Для слу-
случая изотермических процессов А.Н. Спорыхин, следуя идеям
Д.Д. Ивлева [140], предложил для описания поведения ма-
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 81
териалов, проявляющих упрочняющиеся упруговязкопластиче-
ские свойства, функцию нагружения следующего вида [257]:
F(<t%) = F (atJ - се% - $ц) = 0, B.3.18)
где с — параметр, характеризующий произвольное упрочнение
материала; г/ —параметр, характеризующий вязкость материа-
материала. Частный вид такой зависимости представлен соотношением
A.1.8).
Используя B.3.10) и B.3.17а), находим
ОО
n=0
,
n=l
B.3.19)
Из выражения B.3.19) следует, что при п > 1
?"} - ce)f - Ve)f ) + Ф^ = 0. 2.3.20
J 4 4}
Так как Ф^)=0, то при п=1, из B.3.20) имеем
= 0. B.3.21)
Видно, что соотношение B.3.20) определяет в пространстве на-
напряжений плоскость, ортогональную вектору
dF $$№)
^ B-3-22
Дальнейшее исследование ограничим случаем плоско-
деформированного состояния и решением класса задач
в цилиндрической системе координат.
2.3.5. Линеаризованные соотношения трансляцион-
трансляционной теории сложных сред. Плоскодеформированное со-
состояние. Далее, для упрощения записи, все величины, имею-
имеющие размерность напряжений, отнесены к пределу пластичности
при чистом сдвиге, а величины, имеющие размерность длины —
к некоторому масштабу длины (он определяется при рассмотре-
рассмотрении конкретных задач).
Рассмотрим случай, когда поверхность нагружения B.3.18)
описывается уравнением A.1.8)
c? f]ej (s c? f]ej = 2. B.3.23)
82 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Здесь сиг/ — безразмерные коэффициенты упрочнения и вяз-
вязкости сответственно.
В цилиндрической системе координат (г, 6, z), уравнение
B.3.20) запишем в виде (сг^ = 0)
B.3.24)
где
К = sign (aJ0) - а(°) - 240) - 2^) , B.3.25)
при n ^ 2 имеем
<"> = 2с?<п) + 2гДп) - ^ ?
т=1
, , / (т) Р(т) о Р(т)\ ( (п-т) Р(п-т) о Р(п-т)
B.3.26)
Введем функцию напряжения Эри Э. Тогда
Sij = -9,ij + Sij9M (i, j, k = 1,2). B.3.27)
Используя соотношения B.3.27) и B.3.24) получим
а ^ _ 1 ас^ _ J_ ° & — ф(п) B 3 28)
дг2 г дг г2 дв2 у - - ;
Отметим, что уравнение B.3.28), служащее для определения
напряжений в пластической области, в рассматриваемом случае
отличается от аналогичного уравнения для случая идеально
пластического материала тем, что функции ф(п) содержат де-
деформационную часть.
Соотношения ассоциированного закона пластического тече-
течения, для функции B.3.23) имеют вид
d er = —a eg = - ал ( от — о$ — 2сег — 2г/ег 1 ,
2( м B-3-29)
6> - сеге -
Линеаризируя последнее соотношение, получим:
B.3.30)
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 83
где
При п > 2
(га) (га) Р(п) Р[п) , 1 ^ [о / (т) Р(т) Р(т)\ де
(га) (га) Р(п) Р[п) , 1 ^ [о /
1 ^ [о /
1
е{п~ш)
171=1
4т) Г) ^?] • B-3-32)
Учитывая соотношения A.1.4), A.1.9), B.3.32) из B.3.30) по-
получаем систему уравнений для определения перемещений в пла-
пластической зоне
л(°)
4) (п) ,л @) , 1 Ы)
» B.3.33)
ди™ и^ 1 диР _
дг г г дв '
где /i — безразмерный модуль сдвига.
Введем функцию Ф, так чтобы
1 дф дф /о о ол
иг = — -?-, щ = -^. B.3.34)
Тогда из соотношений B.3.33), получим уравнение для ее опре-
определения
Л
?± _ I ^ _ i «^ = 2 / WW «« + I т^>. B.3.35)
0
Очевидно, решение этого уравнения позволит определить
перемещения в пластической зоне. Условие несжимаемости (вто-
(второе уравнение из B.3.33)) выполняется автоматически.
Уравнения B.3.28) и B.3.35) являются уравнениями гипер-
гиперболического типа, что устанавливается обычным способом.
Интегрирование соотношений B.3.30) и B.3.35) требует
определить величину
В нулевом приближении первое соотношение B.3.29) дает
^ B.3.36)
где х = =Ы
Интегрируя B.3.36), получаем
84 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Таким образом, для случая плоской деформации выведены
линеаризированные соотношения упруговязкопластического те-
тела и показано, что задача определения напряжений и перемеще-
перемещений, для любого приближения, может быть сведена к решению
уравнений B.3.28) и B.3.35). Метод разложения по параметру
нагружения, описанный в работе [142], сводит решение упруго-
пластической задачи теории течения к последовательному реше-
решению задач упругости. Изложенный выше метод сводит решение
упруговязкопластической задачи теории течения к последова-
последовательному решению менее сложных задач теории течения.
2.3.6. Алгоритм решения упруговязкопластической
задачи методом малого параметра. Изложим алгоритм по-
построения приближенного решения упруговязкопластической за-
задачи теории течения с произвольным упрочнением.
После разложения по малому параметру системы уравнений
A.1.1)—A.1.11), описывающих рассматриваемую задачу, после-
последовательность действий такова:
1. привлекая решения для предыдущих приближений, вычис-
вычисляются правые части B.3.28), служащие для определения
напряжений в пластической зоне; эти уравнения решаются;
2. определяются граничные условия для краевой задачи
в упругой зоне: на внешней границе, исходя из заданных
при постановке задачи граничных условий; на границе
раздела упругой и пластической областей, исходя из условий
сопряжения решения на этой границе. Согласно [142],
граничные условия для величин любого порядка сносятся
с искомой упругопластической границы на невозмущенную.
При этом необходимо знать все предыдущие приближения;
3. ищется решение в упругой зоне;
4. полученное решение для перемещений в упругой зоне ис-
используется в условиях сопряжения перемещений на упру-
упругопластической границе, с помощью которых определяются
значения компонент вектора перемещений для пластической
зоны;
5. интегрируются уравнения, полученные из соотношений ассо-
ассоциированного закона пластического течения B.3.30), и тем
самым определяются компоненты тензора пластической де-
деформации текущего приближения;
6. решаются уравнения B.3.35) для определения функции ф и
по соотношениям B.3.34), находятся перемещения в пласти-
пластической зоне;
7. вычисляются слагаемые текущего приближения, входящие
в уравнение упругопластической границы. Уравнения для
определения этого слагаемого получим из уравнения непре-
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 85
рывности компонент тензора напряжений текущего прибли-
приближения на упругопластической границе.
Затем процесс повторяется. По алгоритму, изложенному
выше можно искать следующее приближение.
Метод разложения по малому параметру уравнений
A.1.1)—A.1.11), описывающих поведение упруговязкопла-
стического упрочняющегося тела приводит к линейным
соотношениям B.3.28) и B.3.35) относительно компонент п-
го порядка (n ^ 1). При этом линеаризированная функция
нагружения B.3.20) определяет в пространстве главных
напряжений плоскость, вектор нормали к которой определяется
соотношением B.3.21).
Так как системы уравнений для определения напряжений
и перемещений зависят от компонент тензора пластической де-
деформации и компонент тензора напряжений, то для их решения
нужно привлечь алгоритм, описанный выше, который приводит
к статически определимой задаче. Отличие этого алгоритма от
известных состоит в том, что уравнения для определения напря-
напряжений всегда содержат деформационную часть. Следователь-
Следовательно, соотношения ассоциированного закона надо интегрировать
для каждого приближения. Правые части уравнений B.3.28) и
B.3.35) содержат неизвестные функции, обусловленные произ-
произвольным упрочнением и вязкостью, поэтому алгоритм предло-
предложенный в работах [29-34] не может быть применен. В данной
работе за нулевое приближение принимается решение задачи
для модели упрочняющегося упруговязкопластического тела,
в отличии от работ [29-34], где за нулевое приближение при-
принималось решение для модели идеального пластического мате-
материала, а в [35, 36] —для модели упрочняющегося упругопласти-
ческого тела. Представленный выше алгоритм отличается от из-
известных алгоритмов решения задач теории течения идеального
пластического материала и теории упрочняющегося упругопла-
стического тела [35, 36] Ивлева-Ершова тем же, что и алгоритм
предложенный в [29-34].
2.3.7. Устойчивость цилиндрической горизонтальной
выработки с круговым поперечным сечением. Задача
определения докритического состояния массива возле выработ-
выработки решается в рамках плоской деформации. Для чего стро-
строится решение классической задачи Л. Галина [64], которое
можно использовать в качестве докритического напряженно-
деформированного состояния массива около выработки. Рассмо-
Рассмотрим толстую бесконечную пластину с круговым отверстием
радиуса а (рис. 2.3.2). На бесконечности действуют взаимно-
перпендикулярные усилия интенсивности Р\ = gh и Р2 = k$P\
(g— средний объемный вес вышележащих пород, h — глубина
86
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
заложения полости, ко—коэффициент бокового отпора). По кон-
контуру отверстия действует нормальное давление Pq.
Исследуем случай, когда пластическая зона охватывает контур
отверстия. Безразмерные величины Ро/к, Pi/к, ?2/к обозначим
через Gо? Gъ и 42 соответствен-
соответственно. Величины, имеющие размер-
ни
как
ность длины, отнесем к г.
и в п. 1 этого параграфа.
Введем малый параметр 5,
полагая (qi — G2)/2 = Sq, где q —
ограниченная величина.
Будем использовать цилин-
цилиндрическую систему координат,
начало которой совпадает с цен-
тром отверстия, тогда на бес-
бесконечности радиальные и каса-
касательные напряжения будут определятся следующими формулами:
от = q' - S q cos 26, тгв = 5 q sin26, B.3.37)
где qf = (qi + G2)/2.
На контуре отверстия (г = а) имеем
от = 9o, тгв = 0. B.3.38)
Решение задачи ищем вблизи невозмущенного осесиммет-
ричного состояния F = 0) (см. п. 1 данного параграфа), когда
пластическая зона полностью охватывает контур а ^ г ^ 1.
Так как граничные условия на внутреннем контуре и урав-
уравнения контура отверстия не содержат малого параметра 8, то из
B.3.37) следует, что при г = а
7(п) = (п) =
,гв =0, п>1. B.3.39)
Согласно описанному в этом параграфе алгоритму найдем
первую итерацию первого приближения.
Используя B.3.5), находим правую часть уравнения B.3.28)
1 - e~at) + 2e~at. B.3.40)
Определяя решение уравнения B.3.28) и учитывая граничные
условия B.3.39), находим компоненты напряжений в пластиче-
пластической зоне для первой итерации
P(i) _ mi A 1 _2_21 П*Л
-и
Здесь нижний индекс указывает номер итерации.
B.3.41)
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 87
Из уравнений B.3.32) следует, что напряжения первого по-
порядка в упругой зоне на бесконечности имеют вид
а^°° = -дсо$2в, rr(j)o° = gsin26>. B.3.42)
Из условий сопряжения компонент тензора напряжений [142]
следует, что на невозмущенной упругопластической границе
= 0. B.3.43)
Учитывая, что ( —^- 1 =0 (следствие уравнения равновесия),
V дг ) \г8
находим, что при г = 1
aJJJj = miao, т${1) = 0, B.3.44)
где а0 = - у— - 1 + 2 In a).
Из B.3.43) следует
^ 2 + i}J B.3.45)
Компоненты тензора напряж:ений и вектора перемещений
первого порядка первой итерации в упругой зоне A < г < оо)
при условиях B.3.44) и B.3.42) имеют вид
4 , 3 \
~ ^ + й Jcos
2г//
B-3-46)
_ ~J_ Л + 2 _ J_\ ^
2/г V г г3 У
д г3
Из соотношения B.3.45), используя B.3.41) и B.3.46), находим
A) = _ B/г + с)т1ао
s(x) 4(lto)
Из условия сопряжения для перемещений при г = 1 имеем
мA) miao_gcos2^ „С1} - ? sin20. B.3.48)
Равенства \J^ = 0 и e^J = 0 приводят к тому, что правая
часть уравнения B.3.35) становится равной нулю. Решение же
88 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
однородного уравнения B.3.35) при условиях B.3.48) приводит
к следующим выражениям для перемещений в пластической
зоне
7 + 4= sin;/) cos26>, B.3.49)
v 3 /
7 - Л= sinx'l sin 20, B.3.50)
v3 /
где xf — л/31пг.
Так как известны выражения для напряжений и переме-
перемещений первого приближения (первой итерации), то из A.1.4),
A.1.9) можно определить компоненты пластических деформа-
деформаций в форме
4A) = -4(i) = "^7 " ДСО8Х + 7!smx J ' ^w =
B.3.51)
Таким образом, компоненты напряжений и перемещений
первой итерации в первом приближении полностью найдены.
Теперь найдем вторую итерацию первого приближения. Со-
Согласно B.3.51) правая часть уравнения B.3.28) имеет вид
ф$ = М (cos х1 - Vl sinX') cos 20 + (l - 22O + 1Vcmi + 2е-
^ > fir \ r2 / V 2/i
B.3.52)
Граничные условия на контуре отверстия г = а имеют вид
B.3.39).
Решая уравнение B.3.28), учитывая при этом соотношения
на границе B.3.39), получим выражения для компонент вектора
перемещений и тензора напряжений в пластической зоне:
сг;^ =
Щ-Ы- sin (V + -) + 4= s'mx'i cosxol cos 26, B.3.53)
fir L a V 6 / V3 J
B.3.54)
B.3.55)
где Xo = л/3 ba, xi = л/31п(г/а), m2 = (cmi/4//) + e"at.
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 89
На бесконечности граничные условия имеют вид B.3.42), а на
упругопластической границе (г = 1) условия сопряжения имеют
вид B.3.43), откуда для г = 1 получаем следующие уравнения
оТ = т2а0 + К cos 26, rr0 = D sin 26, B.3.56)
где
Ts 4cq (\ Л 1
Соотношение, определяющее радиус упругопластической
границы имеет вид B.3.45).
С учетом граничных условий B.3.42) и B.3.56) приходим
к выражениям для компонент тензора напряжений и вектора
перемещений в упругой зоне:
е A) = пг^ар + Г4?+ 2(К - D) + 2D - К - Зд _ J ^
A)
ТгвB)
e(i) пг^ ^(ВКЩ +*2P + 3g_fr\ 2g
rB) 2r// 2// V r 3r3 ^ / '
B.3.58)
e(l) 1 fK-2D + 3q . o~ \ .
ад^ч = — ^ + 3gr si
Из соотношения B.3.45) находим уравнения для определения
радиуса упругопластической границы во второй итерации:
B.3.59)
Учитывая, что условия сопряжения имеют вид B.3.43), при
г = 1 находим
^ B.3.60)
— [K-2D + 6q\ sin 20.
90 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Во второй итерации правая часть уравнения B.3.35) отлична
от нуля и имеет вид
Л(о)
2гA) - 2 Г (т{1) - ггA) - Г7РA) ^ rfA(°) 4- 1 тA) гA) - 0
0
B.3.61)
Для определения А^0) подставим в B.3.37) соотношение
B.3.5), получим
Л(о) = 1-е-" /1 _ А B<3.62)
Откуда следует, что в процессе нагружения рассматривае-
рассматриваемая частица тела переходит в пластическое состояние в момент
прохождения через нее упругопластической границы, что соот-
соответствует г = 1. Следовательно, в процессе пластической дефор-
деформации безразмерный радиус в данной точке изменяется от 1 до
некоторого значения г, соответствующего текущему значению
приложенных внешних усилий.
Полученное соотношение B.3.62) позволяет перейти в ра-
равенстве B.3.61) от интегрирования по А^0) к интегрированию
по г. Производя интегрирование обеих частей равенства B.3.61),
получим
х ^sin2xi + — In^ sinx'++— sinxosinxij sin2#-
- Ш I1":si" (*'" I) +T, si"(^ " i) ainW- <2
Решая B.3.35) с известной правой частью B.3.63), получим
следующие выражения для компонент вектора перемещений
в пластической зоне во второй итерации
A) ш2а0 2cq
гB) 2г//
/ л/3 . о / 2 о / Л
г [— Sin 2у 1 — - COS 2у 1 — 1 —
V7 Л1 7 Л1 /
- sin (У + j) - л/ЗЬасоэ (х' ~ j) + sin (x* ~ f) ~
— 2 cos ( Хо — -) sin х' ] cos 2^ — 2 @21 cos x' + С22 sin x') cos 2^,
B.3.64a
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 91
Г Г2л/3 /о / тг\ .
{ г —— cos 2y — - +
+-smBXl--j-lj+-[ln-smX-7!cosX
^ sin (У - J) + л/3 sin (х' + fj + j= cos х'о cos xi] } sin 29 +
\/31nacos(x' - J) + 2sin (X' - j) - 2cos (х'о " fj *™x' +
lnr[-2\/31n- sinfx'- -) +41nrcos (x' - —) -2cosx' +
L a\3/ V36/
+ \/3cos (x' " -) + 2\/31nasin (x' - -) -
- 4 cos (x'o - J) cos (xi - J) ] } sin 26 +
+ 2 [c22 cos (x' - j) + C2i sin (x' ~ f)] sin Ж B.3.646)
Постоянные c2i и с22, входящие в B.3.64), находятся из гра-
граничных условий B.3.60) и имеют вид
021 = — [-— sin2xn - - cos 2x'n + - In a - 5 -
- cos x'o sin (x'o + ?) ] - ^ (D - 2K - 6q),
cq
cos Bx[) + ^ _^ sin
Таким образом, первое приближение (в двух итерациях) за-
задачи Л.А. Галина с круговым отверстием определено. Очевидно,
что полагая в приведенных выше соотношениях с = 0 и г\ =
= 0, приходим к результатам работы Ивлева-Ершова [142],
соответствующим идеально пластическому материалу; при с ^
/ 0 и ?] = 0-к результатам [36], соответствующим идеально
упругопластичному материалу с произвольным упрочнением;
при с < 1 и ?] = 0 — к результатам [30], соответствующим
идеально пластическому материалу с малым упрочнением.
Из полученных соотношений B.3.41) для первой итерации
следует, что характер нагрузки, действующей на бесконечности,
92
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
не сказывается на распределение напряжений в пластической
зоне. Очевидно, это является следствием того, что задача для
определения напряжений в пластической зоне локально стати-
статически определима, а все граничные условия для задачи форму-
формулируются на свободной границе (соотношения B.3.39)).
Так как компонента \2^ в пластической зоне равняется
нулю, что обусловлено видом граничных условий B.3.39), то
г0A) = ' и слеД0вательн05 в первой итерации для несжимае-
несжимаемого упруговязкопластического материала с произвольным ли-
линейным упрочнением соотношения теории течения простейших
сложных сред и деформационной теории приводит к одному и
тому же результату.
Во второй итерации \2^ ф 0 в пластической зоне и соотно-
соотношения для компонент перемещений B.3.64) при использовании
теории течения сложных сред иное, нежели при использовании
деформационной теории.
Из полученных выражений B.3.53)-B.3.55) следует, что они
содержат слагаемые, обусловленные влиянием характеристик
материала: модуля сдвига, вязкости, упрочнения и внешних на-
нагрузок.
Результаты численного эксперимента представлены на
рис. 2.3.3. Здесь демонстрируется зависимость радиуса
-1,50
-0,50
0^0
0 0,50
-0,50
-1,00
1,50
Рис. 2.3.3
упругопластической границы rs от угла в. При этом значения
безразмерных характеристик принимались следующими: вну-
внутреннее давление на контуре до = 1? 7; малый параметр 8 = 0,17;
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 93
коэффициент упрочнения с = 0,2; коэффициент вязкости г\ =
= 0,001; модуль сдвига /i = 1; радиус отверстия а = 0,7.
Замкнутая кривая 1 соответствует контуру отверстия. Замк-
Замкнутые кривые 2—4 характеризуют положение упругопластиче-
упругопластической границы rs в моменты времени t = 1 • 10~4 (кривая 2),
t = 2 • 10 (кривая 5), t = 3 • 10 (кривая 4)-
Дальнейший рост времени приводит, как показал анализ чис-
численного эксперимента, к тому, что кривые определяющие радиус
упругопластической границы совпадают с кривой 5, которая
соответствует упрочняющейся упругопластической задаче. Сле-
Следовательно, имеет место ограниченная ползучесть. Кривые 2—5
на графиках соответствуют первой итерации. Учет второй ите-
итерации, как показал численный анализ, приводит к тому, что
кривые практически совпадают.
Теперь можно перейти к решению задачи устойчивости гори-
горизонтальной выработки, для чего рассмотрим осесимметричную
(и = гл(г, z\ v = 0, w = ги(г, z)) форму потери устойчивости
состояния равновесия массива возле этой выработки. Решения
линеаризированной системы уравнений устойчивости A.5.16)
в случае осесимметричной формы потери устойчивости (г; = 0)
выберем, согласно A.5.21), в виде
сю
и = У^ Ап (г) cos nz, v = 0,
оо
w = ^Cn(r) sinn^, a = ^D^) cosnz.
n n
При этом компоненты основного состояния (с индексом нуль
вверху) определяются в области пластического деформирова-
v
ния V соотношениями B.3.53)—B.3.55), а в области упругого
е
деформирования V соотношениями B.3.57) (при t —>• оо).
К приведенным уравнениям следует присоединить также
условия непрерывности векторов перемещений и поверхностных
усилий на поверхности раздела области упругого и пластическо-
пластического деформирования A.5.13) при г = rs и условия локальности
возмущений упругих перемещений при г —>• оо. Очевидно, что
в терминах функций A(r), C(r), D(r) основные линеаризирован-
линеаризированные уравнения следуют из приведенных в § 5 гл. 1 соотношений
A.5.22)—A.5.25), где следует только опустить слагаемые содер-
содержащие функцию В (г) и ее производные и положить m = 0.
В этом случае линеаризированная краевая задача может быть
записана в терминах одной функции А(г). Она представлена
соотношениями B.2.4)-B.2.10).
Таким образом, получим замкнутую краевую задачу,
коэффициенты уравнений которой зависят от безразмерных
94 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
параметров материала, геометрических параметров, величин q
иРо и параметра выпучивания п по оси Oz. Используя, как и
ранее, конечные разности A.6.1)—A.6.2) и применяя обычную
методику, получим характеристическое уравнение вида
А ((/, а, г/, с, /с, Ро, ^, /г, rs, п) = 0, которое необходимо решать
совместно с уравнением для определения радиуса упругопласти-
ческой границы B.3.47), если использовать результат первой ите-
итерации или B.3.59), если использовать результат второй итерации.
2.3.8. Устойчивость цилиндрической горизонтальной
горной выработки с эллиптическим поперечным сечени-
сечением. В этом параграфе исследуем устойчивость горизонтальной
горной выработки с эллиптическим поперечным сечением, для
чего определим напряженно-деформированное состояние масси-
массива вокруг выработки. С этой целью построим решение класси-
классической задачи Ивлева [142].
Рассмотрим задачу об определении напряженно-деформиру-
напряженно-деформируемого состояния толстой пластины с эллиптическим отверстием,
с полуосями аA + d) и аA — d)
(рис. 2.3.4). На бесконечности
действуют взаимно ортогональ-
ортогональные растягивающие напряжения
с интенсивностями Р\ = gh и
Р2 = kP\ (g— средний объем-
объемный вес вышележащих пород,
h — глубина заложения полости,
к — коэффициент бокового от-
отпора). На контур отверстия
действует нормальное давление
Рис 2 3 4 интенсивности Pq . Решение ищем
в безразмерных переменных.
Характерные размеры такие же, как и в рассмотренной выше
задаче Л. Галина о двухосном растяжении толстой пластины
ослабленной круговым отверстием (п. 7).
Введем, следуя работе [142], малый параметр 6:
Q\ — Q2 с— Р\ Р2 7 с 7/
= иЦ-) Я\ — —•> Я2 — —•> d = od .
ZiA/ A/ A/
Величины q vl d' характеризуют отклонения от исходного невоз-
невозмущенного состояния.
Уравнение контура отверстия представим в виде [142]
^0 в л/1 - 2Sd' cos 2(9 + 82d12
= a [l + 6df cos26> - - 62df2(l - cos 40 + ...)], B.3.65)
где а = a/rs.
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 95
В нулевом приближении, согласно [257], имеет место осесим-
метричное состояние пластины.
Нормальные и касательные напряжения на внутреннем кон-
контуре представляются, следуя работе [142], таким образом:
dr
r=a
=-q0, q0 = ^ B.3.66)
k
k
Из B.3.65) и B.3.66) находим граничные условия для величин
первого порядка при г = а
ar = -2d'A cos 26, тгв = -Ы1 A sin 26, B.3.68)
где
Правая часть уравнения B.3.28) для определения напряже-
напряжений имеет вид
Тогда напряжения в пластической зоне в первом приближении
первой итерации с учетом B.3.68) будут следующие:
mi / 1 1 oi r\ , AAad' ..
arfi) V B1nj +sin[xi
ту1) 2 \а2 г2 а/ г \ 6
P(l) mi / 1 . 1 о о1 г\ . 4Аас/' • / 1 тг\ о/э
сгл/1 ч = — — + — — 2 — 21п-+ sm у! — - cos 26,
#(!) 2 Va2 r2 a) r \A1 6/
B.3.69)
4Aad'
Граничные условия для упругой зоны согласно B.3.43) при
г = 1 имеют вид
crV. = mxao — 4:Aad' sin (xn ~ ~ ) cos 26,
V 6J B.3.70)
= —AAad' cos Xo si
а условия «на бесконечности» (при г —>> оо) имеют вид
а^°° = -q cos 26, rr(j)o° = g sin 26.
В упругой области компоненты напряжений и перемещений
при учете соотношений B.3.70) будут следующими:
еA)
(^^)]} B.3.71а)
96 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Ь Sm \Хо + 6
—
B.3.716)
m1eo 1 ЬГ2 11
Радиус упругопластической границы, исходя из соотношений
B.3.45), B.3.6) и B.3.71), определим в виде
A) = _BAi + c)m1ao ^ + с (д + 2АасГ COS^o) COS
s(!) 4(l "*) 2A "*)W А0;
)
B.3.72)
Граничные условия для перемещений в пластической зоне
согласно B.3.71) принимают вид
— - cos 26 \q — —= Aad! sinx'o ?
/I L v 3 J
r=1 2\ " \ ^ J B.3.73)
A)
Ur(l)
Путем интегрирования соотношений ассоциированного зако-
закона пластического течения B.3.30), получим правую часть для
уравнения B.3.35), которое далее используем для определения
перемещений в пластической зоне:
4Aad' \Bue-at+c) , . 2A - e~at)u
= i C°SX +
B.3.74)
Итак, решая уравнение B.3.35) с правой частью B.3.74)
с граничными условиями B.3.73), получим перемещения в
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 97
пластической зоне для первой итерации:
= -—L-^ - i -p-cos xi - - +2cicosxi +
lnr sinxi [ cos 2^,
^ "' B.3.75)
л/3
где
B// + cN/u I
-л/l [ц{1 + 2,e~at) + 2c] sinx'o} ,
Л\
Правая часть уравнения B.3.28) для определения компонент
тензора напряжений в пластической зоне во второй итерации
имеет вид
= (?^ + 2еЛ (l - ^±1) I cos2в{^sin (^ - И
B) V 2// / V г2 J г I fj, \6
/0 ^ ч -^(!-е ) со8(х;+Хо) + ^ тИ sm(x +Хо)-
B/1 + с)// L V3
'1 + j) + 2cosX'i] - ^ B^-at + c) sin^l -
c) lnrcosx'i + 2 2/^ + C cos(xi - J)] -
4aAd'e-at t
x [ - Ml - e~at) cos(X' + X'o) + M7e"Q^3) + 2C sm(X' + x'o)
Очевидно, граничные условия B.3.68) остаются в силе и
для второй итерации. Решим уравнение B.3.28) с правой ча-
частью B.3.76) с использованием B.3.68), получаем распределение
4 А.Н. Спорыхин и А.И. Шашкин
98 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
напряжений в пластической зоне во второй итерации
Ь ~s (*' f
— + — 1 -—sin Xi~- +lnr lnr v p _ ^ sin % --
L2 2J I r2 VA1 6/ L л/3 VA1 6/
АB
-at
+c)
, B.3.77a)
1 Г 4ca Г , r . / / . тг\ . 1 . / / • ( i тгЛ "I
;{1Г i; Sm(* + e) +75«»X1coSXo-Sm(x - -jj -
+ c) cos (xi --) -
4c • ( i тг\ . 4
- 7! S14Xl - б) + Ts
- ^ [cosxi + 2sin(x'1 + J)] + | (sinxl + cosx'i) -
^ +c) sin(x' + xi) - | {^e~at + с) х
cos(x' + Xo + I) } + f { lnr [ - 4sinx'i - 10sin(x' + Xo) -
- 6cos(x'1 - fj - 6cos(x' + Xo - I)] + ^cosx'i +
+ Xo+ f)}}cos2^, B.3.776)
2.3] Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой 99
[D + Z]{lnr [ - 4B^ +С) сов(Х; + ^) - А BМе-^ + с)х
х sin(X' + Хо) - 2/i(l - e~at) sm(X' + Хо + J) +
- 3sinXi + a/3cos(x4xo) - -^sin(x4xo - j)]}}, B.3.77b)
где D = , К = — — , Z = 1 — — .
/1B/1 +с)' л/3 2/i +с \ а2)
Константы с\ и С2 имеют вид
_ T/cosxo , Tisinxo i 2Aasinxo , T^cosxo
t^i — I .— I .— I •
6 2л/3 л/3 З
= Tisinxo ^cosxo 2Aacosxo ^
2 6 З/3 /3
6 Зл/3 л/3 З '
где введены обозначения Т[ и Т^:
Ti'= (f + f) (i [3//A" e~at) + 2{2e~atfi + c)]cos 2x'° ~
e~at + с) , Г 1 /o/o _at ,
81П2х0 +
sin 2xo - 2c + ц{1 - e~at) cos 2x'o
^2B^+0I
/3 J
a2 4J'
c) cos 2xo + [/хл/3A - e~at) - ^CA - e~at)
с))] втгх'о - 2^B^"af + c) lna}
100 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Определим решение в упругой зоне, используя соотношения
B.3.76). Условия на бесконечности и на границе раздела зон
упругого и пластического деформирования представим в виде
при г = оо
aW = -q cos 26, r^J = q cos 2в, B.3.78а)
при г = 1
cos ^i 2), ^iB) Pi 2)
B.3.786)
При заданных условиях B.3.78) решение в упругой зоне для
второй итерации находим в следующем виде:
+2{к[ -2D[)
-BD[ -K[-Zq-K'2 + 2?>21 - q\ cos 26,
Г4 J J
+ ^(^i - 2D'i +^ + K'2~ 2D'2)] cos20,
-ABD[ -K[-3q-K'2 + 2Г>з)] sin 20, B.3.79)
^4
+ — (K( - 2D[ + 3g + K. - 2Df2) - qr] cos 26>,
fiW} = J_ \bqr + 1 Cg + R[ - 2D[ +K'2- 2^)] sin26,
где
Kx = —M -lna- —
KJ = -3ci + ^c2 + {„ [I cos xi + ^ sin xj,
f
D'2= (z> + z){j[3cosx'o + 5>/3sinx/o] + /x(l - e"at) cosX'o
«* + c) sinX'o + ^ ~fat)
V3
V3
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой101
Для упрощения записи значений компонент напряжений со-
соотношения B.3.77) и B.3.79) при г = 1 представим для кратко-
краткости в форме
г=1
= -m2ai + (В' + В[) cos 26».
<7
0B)
rB)
г=1
Радиус упругопластической границы, согласно B.3.45),
B.3.77) и B.3.79), определится так
B.3.80)
где
Р' = т2 [Bа0 + l) (-1 - ^) + 2 - 21па],
В' = К[ - 2D[ + 4q, B[=K2- 2D'2,
R[ = ( - ^ [4 cos xo - 2л/3 sinxol ^ °:"л/ ^ 2C ^ 4pe"
L L J
[f + f ] + f {9sinx'o - 6^/3cosx'o} - 3ci
+
Задача определения перемещения в пластической области
во второй итерации связана с разрешимостью уравнения для
функции тока Ф, т. е. интегро-дифференциального уравнения
B.3.35)
'г^. B.3.81)
О
Однако в силу громоздкости подынтегрального выражения
(учитывая B.3.77)), решить аналитически это интегро-диффе-
интегро-дифференциальное уравнение в этом случая не удается. Поэтому здесь
в качестве перемещений в пластической зоне ограничимся пер-
первым приближением, которое имеет вид B.3.75).
Вторая итерация может быть получена только численно.
Очевидно полагая в приведенных выше соотношениях с = 0 и
г\ = 0, приходим к результатам работы Ивлева-Ершова [142],
а при т\ = 0 к результатам [36]; при с < 1 и г/ = 0 к результа-
результатам [33].
102
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
Результаты численного эксперимента представлены на
рис. 2.3.5. Здесь показана зависимость радиуса упругопласти-
ческой границы rs от угла в. При этом значения безразмерных
характеристик принимались следующими: внутреннее давление
на контуре до = 1,7; малый параметр 8 = 0,06; коэффициент
упрочнения с = 0,2 и г/ = 0,001; модуль сдвига \i = 1; радиус
отверстия а = 0,7.
-1,00
Рис. 2.3.5
Замкнутая кривая 1 —контур отверстия. Замкнутые кривые
2—4 характеризуют положение упругопластической границы rs
соответственно в моменты времени t = 4 • 10~4 (кривая 2\ t =
= 5 • 10 (кривая 5), t = 6 • 10 (кривая 4)-
Дальнейший рост времени приводит, как показал анализ чис-
численного эксперимента к тому, что кривые все меньше отличают-
отличаются от кривой 5, которая соответствует радиусу упругопластиче-
упругопластической границы для упрочняющейся упругопластической задаче.
Следовательно, имеет место ограниченная ползучесть. При-
Приведенные кривые 2-5 соответствуют первой итерации. Учет вто-
второй итерации, как показал численный анализ, приводит к незна-
незначительному изменению результатов.
Процедура получения характеристического уравнения для
краевой линеаризированной задачи устойчивости горизонталь-
горизонтальной горной выработки с эллиптическим поперечным сечением
может быть выполнена по ранее примененной в пунктах 7 и 8
схеме. Это уравнение вида A (q, /с, с, go? R-> rs, h, n) =0 необхо-
необходимо решать совместно с уравнением для определения радиуса
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой!^
упругопластической границы B.3.72) при учете первой итерации
или B.3.80), если учитывать вторую итерацию первого прибли-
приближения.
2.3.9. Устойчивость горизонтальной цилиндрической
горной выработки с поперечным сечением близким
к правильному многоугольнику. Для определения напря-
напряженно-деформированного докритического состояния горного
массива в этом случае рассмотрим задачу о растяжении толстой
пластины с отверстием близким к правильному многоугольнику.
Пусть, как и в предыдущих зада-
задачах с круговым и эллиптическим
отверстиями, на бесконечности
действуют взаимно ортогональ-
ортогональные растягивающие напряже-
напряжения с интенсивностями Р\ = gh
и Р2 = kPi (g — средний объем-
объемный вес вышележащих пород,
h — глубина заложения полости,
к — коэффициент бокового от-
отпора). На контуре отверстия
действует нормальное давление Рис 2 з 6
Ро (рис. 2.3.6).
Контур многоугольника опишем уравнением гипоциклоиды,
параметрическое уравнение которой имеет вид
X = (Ъ1 — a) cos if + Ха cos
b'-a'
a'
if I
У/1 I 1\ \ I • О — CL
= [о — а ) sin ср — Xa sin <р,
а'
B.3.82)
где Ъ' > а' > 0 и —оо < ср < оо.
Введем обозначения tq = Ъ' — а', п = (bf — а')/а' и 5 = Х/п и
перепишем уравнения B.3.82) гипоциклоиды следующим обра-
образом:
X = го (cos (р + 6 cos тр),
Y = го (sin у? — S sin nip).
B.3.83)
Приведенные уравнения при 6 = 0 описывают окружность
радиуса го, а при п > 1 контур L имеет п + 1 точку возврата и
приближается по форме к правильному п + 1-угольнику.
Разложим функцию ср в ряд по 5:
(р = в + 6в1 + 52в2 + 5363
где в — полярная координата контура L.
B.3.84)
104 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Очевидно, что в этом случае для cosпер и siring имеет место
аналогичное разложение по S
~ — л ~ л с • ~ л $2 (—п2 0\ cos пв — 2п02 sin пв)
cos тр = cos пи — nvidsmnv +— +...,
B.3.85)
• ~ • ~л ~л с -л ^2 (-п2 6>f sin n(9+ 2n(92 cos п(9)
sinny? = sinnc/ + nc/io cos пв +— ^ +...,
z
где п ? N. Подставляя B.3.85) в B.3.83) и учитывая, что у =
= ж tg в находим
#i=sinra#, e2 = (m-lN>i cosшб, m = n+l. B.3.86)
Уравнение контура в полярных координатах, согласно
B.3.83) и B.3.86), запишем так:
+ Scosfhe - ?™—±S2 [1 - cosBm6>)]}
B.3.87)
где m, как отмечено выше, количество углов контура L.
Для упрощения, как и в предыдущих задачах (см. § 2 и § 3 на-
настоящей главы), решение находим в безразмерных переменных.
Характерные размеры вводим такие же, как и в предыдущих
задачах.
Граничные условия для рассматриваемой задачи определим
так:
при г = а
аг = -2А cos тв, тгв = -2mAsmm6. B.3.88)
Правая часть уравнения B.3.88) имеет вид ф\А =
= mi[(l/r2)-l].
В первом приближении (первая итерация) напряжения
в пластической зоне с учетом B.3.28) определяются по
формулам
cosm#,
B.3.89)
— 1 sin xi — cos xi) cos m0,
cos >
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкойЮБ
Здесь и далее % = л/т2 — 1 In г, хо = лЛ^2 — 1 In a, xi =
= л/т2 — 1 1п(г/а).
Запишем граничные условия для упругой зоны
при г = 1
cr A = тщао — 2Aa(vm2 — 1 sin^o + cos^o) cosm#,
em „ . B-3-90a)
T = 2A i#
при г = оо
?(*) = -g cos 20, т$ = g sin 20. B.3.906)
В первом приближении (первая итерация) с учетом гранич-
граничных условий B.3.90) решение в упругой зоне выводим в форме
е A) miao ~ |~i 4 . 3 I ^п
а А ч = — q 1 — — + — cos 16 —
7V J r2 I r2 r4J
_ I kf Г^^ - -^^ +7v(^±! - ^-^^1 cosm6>,
) +
_ I \m (JL. - "Zl) + iV f ™I
1 Гл/г
— - M
2 |
2
e(l)
j ^ ^ C
—- — —з— + N [ —z— — —- smm6,
(l) miao q Г , 2 11 ол 1 ГЛ/Г / m 1
гг/ч = — —^ — — г + - — — cos26 — — \М [ —
rA) 2r/i 2// L r r3J 4// L Vm + 1 г^+!
m 1 \ . АТ f fh 1 m + 21\l
m-lr™-1/ Vm-lr771-1 m + lrm+1/J
A) g Г . 1 1 - о/э ! \
^л/i ч = — \г + — sm 26 — — М
6/(lj 2/i L r3J 4// L Vm + lrm+1
i\/r ( ™ 1 ™ ~ 2
m-lr m + lrm
где
M = 2Aad! ( ym2 — 1 sinxo + cos xo) ? Л/" = 2fhAad' cos xo-
Из B.3.45) с учетом B.3.89) и B.3.91) для радиуса упругопла-
стической границы в первой итерации находим
A) 2п + с / ??iiao , — ол i ~ л j/ ^л^
г \ L = —-— ( — + q cos 16 + гпАаа cos хо cos mt) j.
B.3.92)
106
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
Найдем перемещения в пластической зоне. При г = 1 перемеще-
перемещения, согласно B.3.91), имеют вид
ш __
Ur(l) -
и ~л mAad1
- — cos 20 - —,_ sinxo
\i\lm1 — 1
= isin20 + —(
11 LL \
cos xo
\ . — л
sm xo ) sm mv.
/
B.3.93)
При a ^ r ^ 1 перемещения в пластической зоне, согласно
B.3.35), следующие:
*ьц + с)т2 т . 11 — л
^2 :—Inrsinxi ^cosm6>,
/т2 — 1 J J
х B-3.94)
= - cos х — —/= sin X sin 20 + s [c\ + v m2 — 1сг) cos x +
7=
- lei +c2) smx
mAad!
B// + c)fi
! |"(
—
)u I
cos xi -
1
/m2 -1
где
Be /i + c) lnr sinxi + Be /i + c)у m2 — 1 lnr cos xi
Be
c)] si
- e~at)(m2 + 1) - m x
xB/i+c) ] cosxo+l/™2;B/ie at + c) + A — e at)(m2 —
Используя A.1.4), A.1.9), B.3.30), получим выражения для пла-
пластических деформаций
2(i) _ ™
h — I cos x -
1Г~ /^ 7, . ч Аас/' ГЛ-, , ^2
— -< mymz — l(ci smx — С2 cosx) ~ I A + га
г L B/i + с)a L V
/m2 -1
-lsinXi)A '2°f)P +
х f sinxi + V га2 — 1 lnr cosxi) ^cosra0. B.3.95)
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой107
Для определения напряжения в пластической зоне во второй
итерации определим правую часть уравнения B.3.28). Она имеет
вид
()
= (спп + 2е-аЛ
V 2д / \
_
') COS 26 +
г
хA-
/m2-l L 2
m2Be~at +c
где
D =
Решая уравнение B.3.28), с учетом B.3.88) и B.3.96), получим
во второй итерации выражения для напряжений в пластической
зоне в виде
In- si
' + -) cos20 + -j fci(l -in2) +с2л/"г2 - ll cosx
с2A -m2)j sinx+ (f + f
^ cos(x + Xo) -
2
- e
~at
) - 2) - c] si
lnr
{sinxi [(
— e
2(ra2 - 1
-^ - 2m) - тс)л/т2-!-
cos xi
108
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
— lnr ym2 + 1 cos(x + Xo) + (m2 — 1) V ^i2 + 1
+ (m2 - l)(m2 - 1) sin xi + (m2(m2 - 1) + 1) sin(x + Xo)] }
r f(m2-l)sinxi- л/ш2 + 1 cosxil 1
L J J
2(m2 — 1)
f + f
+ -< ci(l — m2)+C2V m2 — 1 cosx — ci ym2 — 1 —
C2(l — m2) sinx + ( — + — ) s lnr f/i(m2 — 2m) — me-
f (/i(m^(l - e at) - 2m) - me) x
-at\
sin(x + Xo)
x л/т2-1 cos(x+Xo)J -^ ]гпл
+ [sinxil
fh2 — l(m2 — 2)sinxi
/?71Z — 1
^ cos xi
-2m)-
Xo)
2(ma-D
x In r f v m2 — 1 cos xi — (^2 — 1) sin Xi) r
— j In r — Bm2 — 1) sin xi
+
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкой!^
- (т2(т2 - 1) + 1) sin(x + Хо) - л/ш2-1(ш2 - 1) cos(x + Хо)] +
+ [ - Bт2 - 1) sinxi + 3^4 cos xi + {т2 ~ 2) sin(x + Хо) +
L у/т2 — 1
+ ™ cos(x + хоI ) } cos тв,
у/т2 — 1 л ) )
= f
v{ (f + f) {lnr [ ^(™2A" e~at) ~2fh) ~ ™c)
sinxi -/i(l - e"at) cos(x + Xo) -
2y/m2 — 1
Xo))l + ^ fe(^2 + 1) cos Xi-
/J r2 Lm2
l(m2 + 1) sinxil - sinxi [ ,f (m2(l - e"a*) - 2m) -
J ly/m2 — 1
me 1 m2Be"aV + c) • /
y/m2 — 1J 2(m2 1)
-lnrI "' ^1 p^w lnr ( \/m2 - lcosxi - (mz - l)sinxi) \ +
L 2(m2 — 1) V / J J
+ — I In r — Bm2 — 1) sin xi — л/т2 — l(m2 — 1) cos xi —
— (m2(m2 — 1) + 1) sin(x + Xo) — vfn2 — l(m2 — 1) cos(x + Xo) +
+ [ - Bm2 - 1) sinxi + 3^-l4 cosXi + (m2 ~ 2) sin(x + Xo) +
L y/m2 — 1
+ ,™ 1 cos(x + Xo) j } } cos тв,
y/m2 — 1 J J J
где
l sin xo , 2a A sin xo T2 cos xo
_ Ti cos xo ,
^7T \
m(! — m2) my/m2 — 1 y/m2 — 1 1 — m2
_ Ti sin xo Ti cos xo 2a A cos xo T2 sin xo
??гA — m2) my/m2 — 1
/m2 — 1 1 — m?
110
Устойчивость горных выработок
[Гл. 2
cos
*ы=
2(m2-
;-at)(m2-l)]sin
— e~at)(fh2 — 2m) — cm] + /j,A — e~at) cos 2^o
+ \na-{2e~atfl + c) \ _ Ml - e"Qt) m4 + m' + 2
T^}
)•
D . Z
+
2ymz —
a2 2m2
\-e al)-2rn)-mc)-
—^ " L cos 2xo + /i(l — e ) v m — 1 —
-atw~2 i\ , m2Be~aV + c)M • о
-e шЖ-1) + —ь—_^ П sin2xo-
Z / J
+ c) i /^ 71 , m2Be"aV + c) ,
L h\a\/mz — 1> + ^ 7 J +
) J 2(m2 - 1)л/т2 - 1
о
cos 2xo-
2(m2 -
j
fi(l-e~at) . o // m2 +
" /~2 1" Sm 2X° " 2 ~~
Vm2 — 1 a2 2
Условия на упругопластической границе и на бесконечности
для упругой зоны, используя полученные выше соотношения
для напряжений в пластической зоне, запишем таким образом:
при г = оо
?(*) = -q cos 26, г;У = <f sin 26,
при г = 1
гB) =
^1 cos -^
= TV! sin 26 + 7
Решение в упругой зоне с учетом этих условий во второй итера-
итерации определяем в виде
е A) =гп2а1+ Ш+ 2(Кг - Dl) + 2Рг - Кг - 3? _ ~1
^V^J 7 L Г2 Г^ J
ГК2 /
—^ (
I О V
-т . ш-2
+
m + 1 m
. D2 (т + 2 ш + 2\1 ^л
+ — [ ——- — ——- cos тв.
я] cos 2^
B.3.97а)
^ /_т_ _ т^2А ^ /_т + 2
L 2 Vrm+2 rm ) 2 V rm+2
^
2.3] Неустойчив ость полупространства с горизонтальной выработкойШ
(i) = _
+ I \к2 (-_™_ + ™Л +D2 (™±1 - Щ si
2 L V rm+2 rm/ V rm+2 rm/J
1 Г ~ Di — K\ — 2q 1/s(Ki — 2Di) + q~\
г — —ЦТ -\- +
2гц 2fi L r r3 J
4^
m+lrm+1 m-lr"
J ( ^Z! _ _ ™ _ ) Cos 777,0,
Vm-lr™-1 m+lrm+1/J
B.3.976)
m + 1 r
m-2 1
m — 1 r™-
m-2
где
+
m + 1 rm+1 m - 1
—^ - In a — —= sin Yn cos
// L2 л/3 Л0
-^—y j Sin 7770,
= c2(l -m2)
. (D . Z
\2 H
+
K/ m2
cos
1
mD (D
/m2 + l
2(m2-
-2
cos xo ^ +
- \/m2 - l(m2
— 1
- 2m) -
me , nil — e~a*)
+ >
— 1 J
- e at) cos xo \.
Для удобства введем обозначения
= Р + R COS 20 + i?i COS 7770,
+ Scos20 + Sicosm0.
r=l
О at с
0B)
r=l
112 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Радиус упругопластической границы во второй итерации, со-
согласно равенству B.3.45), определяется по формуле
Г% = ~W-e-«) [P + m2ai + {R-B) C°
+{Ri - Bi) cos тв], B.3.98)
где
= m2 [Bo0 + 1) (-1 - ^) + 2 - 2 In a] ,
B = K1-2D1+ 4g,
= Q— + -J I - A* I™2 cos Xo + Vm2 - 1 (m2 - 2)
Таким образом, в первом приближении (две итерации) опре-
определены поля напряжения в упругой и пластической зоне, а так-
также уравнение для границы раздела зон упругого и пластическо-
пластического состояний в пластине с многоугольным отверстием. При этом
свойства материала в зоне пластичности описываются моделью
упруговязкопластического тела. Определение поля перемеще-
перемещений во второй итерации в зоне пластичности связано, как и
в предыдущем случае, с разрешимостью уравнения типа B.3.35).
Однако в силу громоздкости подынтегрального выражения
аналитически решить интегро-дифференциальное уравнение ви-
вида B.3.35) при упруговязкопластическом поведении в зоне пла-
пластичности не удается, поэтому в качестве перемещений в пласти-
пластической зоне в первом приближении, ограничимся результатом
первой итерации, которая определена в виде B.3.94).
Как видно из B.3.92) и B.3.98) в данной задаче форма упру-
упругопластической границы зависит от формы контура внутреннего
отверстия. При этом, если в B.3.87)-B.3.98) положить т =
= 2, то мы придем к задаче Ивлева о растяжении пластины
с эллиптическим отверстием, рассмотренной в п. 8.
Если в соотношениях B.3.87)-B.3.98) положить 5 = 0, то
они будут описывать напряженно-деформированное состояние
пластины с круговым отверстием и соответствовать результатам
решения задачи Галина для модели упруговязкопластического
тела, рассмотренной в п. 7.
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкойИЗ
Результаты численного эксперимента представлены на ри-
рисунках 2.3.7-2.3.9. Здесь показана зависимость радиуса упруго-
пластической границы rs от угла в (первая итерация).
Г-1,00
Рис. 2.3.7
-1,00
Рис. 2.3.8
Значения безразмерных характеристик принимались сле-
следующими: внутреннее давление на контуре qo = 1,7; малый
параметр 5 = 0,035; 0,005; коэффициент упрочнения с = 0,2 и
г/ = 0,001; модуль сдвига /i = 1; радиус отверстия а = 0,8.
114
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
На рис. 2.3.7 показана зависимость радиуса упругопластиче-
ской границы гs от угла в в случае, когда контур отверстия по
форме близок к правильному четырехугольнику; на рис. 2.3.8 —
зависимость гs от в в случае, когда контур отверстия по форме
близок к правильному шестиугольнику; на рис. 2.3.9 контур от-
отверстия по форме близок к правильному двенадцатиугольнику.
Кривая 1 на рис. 2.3.7 соответствует контуру отверстия в виде
правильного четырехугольника; кривая 1 на рис. 2.3.8 соответ-
соответствует контуру отверстия в виде правильного шестиугольника;
кривая 1 на рис. 2.3.9 соответствует контуру отверстия в виде
-1,00
Рис. 2.3.9
правильного двенадцатиугольника. Кривым 2~4 на рис. 2.3.7
и 2.3.9 соответствуют моменты времени t = 4 • 10~4 (кривая 2\
t = 5 • 10~4 (кривая 5), t = 6 • 10~4 (кривая 4)- Дальнейший рост
времени приводит, как показал анализ численного эксперимента
к тому, что кривые приближаются к кривой 5, которая соот-
соответствует радиусу упругопластической границы для упрочняю-
упрочняющейся упругопластической задаче. Учет второй итерации, как
следует из численного анализа, вносит несущественные поправ-
поправки, так как соответствующие кривые практически совпадают.
Очевидно, что, применяя обычную методику, получим харак-
характеристическое уравнение вида
Д(</, к, с, до, г), h, n, rs) = 0
для линеаризированной краевой задачи устойчивости горизон-
горизонтальной горной выработки с многоугольным поперечным се-
сечением, при этом это уравнение необходимо решать совмест-
совместно с уравнением для определения радиуса упругопластической
2.^Неустойчивость полупространства с горизонтальной выработкойИЪ
границы B.3.92) или B.3.98), в зависимости от числа итераций
первого приближения.
Таким образом, полученные в данном параграфе приближен-
приближенные аналитические решения классических задач, определяющие
докритическое состояние класса задач устойчивости горной ме-
механики, а также численный анализ построенных решений позво-
позволяет сделать следующие выводы.
Численный анализ решения задачи Галина показал, что если
упрочнение мало, то его влияние на величину радиуса упруго-
пластической границы несущественно. С ростом времени упру-
гопластическая зона из круга постепенно переходит в эллипс.
Из построенных решений (первого приближения первой ите-
итерации) задач о двухосном растяжении пластины с эллиптиче-
эллиптическим отверстием или близким к правильному многоугольнику
отверстием установлено, что \2-^ ф 0 (следствие вхождения
малого параметра S в уравнение контура отверстия) и не зависит
от параметра нагружения г$ . Решения для этих задач будут
совпадать с решениями деформационной теории, как и в задаче
Галина.
Из полученных выражений для полей напряжений и контура
упругопластической границы для всех задач следует, что они
содержат слагаемые, обусловливающие влияние на них модуля
сдвига, коэффициента упрочнения, вязкости и внешних нагрузок.
Полученные аналитические решения рассмотренных в § 3
задач при с = 0 и t —>> оо переходят в известные решения [142];
при с < 1, г/ = 0 (t -^ оо) в решения [30, 33], а при с< 1 иг/ = 0
(t —>> оо) в решение [36].
Установлено, как особенность данного алгоритма решения
задач, что упругопластическая граница для случая с = 0 и
t —>• оо частично оказывается поглощенной границей при с ф
фО и г/ фО.
Результаты численного счета задач показали, что на кон-
конфигурацию упругопластической границы существенное влияние
оказывает возмущение границы внутреннего контура.
Из сравнения значений критических нагрузок для сфериче-
сферической выработки, полученных по линеаризированной и прибли-
приближенной теории устойчивости, а также по теории образования
свода обрушения, следует, что для решения подобных задач
целесообразнее прибегать к трехмерной линеаризированной тео-
теории устойчивости.
Определено, что учет сжимаемости горного массива в боль-
большой мере сказывается на критических нагрузках — увеличивает
их. Следует также отметить, что исследование устойчивости
различных цилиндрических задач горной механики может быть
проведено в рамках разработанного единого подхода.
116 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
2.4. Неустойчивость цилиндрической оболочки
с упруговязкопластическим заполнителем
при осевом сжатии
Моделированию отказов цилиндрической оболочки с упру-
гопластическим заполнителем при осевом сжатии посвящена
работа [92]. При этом заполнитель описывался соотношениями
теории малых упругопластических деформаций [147] в предпо-
предположении степенной зависимости между интенсивностями напря-
напряжений и деформаций.
Необходимость предсказаний отказов различных конструк-
конструкций из металла, бетона и т. д. требует разработки и применения
более сложных математических моделей сред, описывающих
с большей степенью точности процессы деформирования. С этой
точки зрения использование моделей сложных сред, в которых
учитываются такие свойства, обнаруживаемые у реальных фи-
физических тел, как пластичность, вязкость, упрочнение, не может
не представлять интереса.
В данном параграфе в точной трехмерной постановке задача
устойчивости цилиндрической оболочки рассматривается, когда
заполнитель обладает упрочняющимися упруговязкопластиче-
скими свойствами [223]. В этом случае функция нагружения
имеет вид A.1.8), т.е.
F = [sij - c?ij - rjeij) [sij - c?ij - rjeij) - k2, B.4.1)
а соотношения ассоциированного закона течения представляют-
представляются в форме
Р if Р Р \ /о л о\
Sij = ф ^ij - csij - rjeijj . B.4.2)
Полная деформация в заполнителе слагается из упругой ец
» р
и пластической вц составляющей:
?ij =hj +?ij, B.4.3)
причем упругие деформации связаны с напряжениями законом
Гука A.1.7). Полные деформации связаны с перемещениями
формулами Коши A.1.4). Уравнения равновесия и граничные
условия примем в форме A.1.1) и A.1.2) соответственно. Ис-
Исследуем неустойчивость шарнирноопёртой упругой цилиндри-
цилиндрической оболочки толщины h и длины /, скрепленной с упруго-
упруговязкопластическим заполнением при сжатии усилиями Р вдоль
образующей, причем усилия действуют как на оболочку, так и на
заполнитель, которые одинаково деформируются на величину
4зH = 4 = е. B.4.4)
2.4] Неустойчивость оболочки с заполнителем 117
Здесь и далее верхний индекс A) приписан величинам, относя-
относящимся к оболочке.
Исходя из уравнений равновесия и граничных условий на
боковой поверхности и торцах оболочки с заполнителем, при-
привлекая при этом соотношения B.4.1)-B.4.4), учитывая усло-
условия несжимаемости A.1.10), а также условия на линии спая
оболочка-заполнитель, находим докритическое напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние, которое в цилиндрических координа-
координатах имеет следующий вид:
в оболочке
0A) _ _ci_ _ ? 0A) _ сл_ _ ?_
г Г2 2' в г2 2'
.0A) _ а _ _
2'
B.4.5)
в заполнителе
.0 _ _0 _ ? о _
ег — ев — — -, ez —
т = а^ = -2тгA + ^) ц f\p
R
2
V 7
р = _ / _ 3^? _
2тг (г, ч2'
7Г \П + .
2тг
P7 ^Т^
2тг (я + /ГJ Р + (з//е + 6//1°) Я2
(R + h) -R2
где У— давление на наружной поверхности оболочки, R— радиус
цилиндра заполнителя.
Исследование устойчивости основного состояния B.4.5),
B.4.6) составной оболочки сводится к решению уравнений
равновесия в вариациях для областей оболочки и заполнителя
при соответствующих граничных условиях A.5.12).
118 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Условия непрерывности напряжений и перемещений на гра-
границе г = R контакта оболочки и заполнителя таковы
^ + (a) + а^кщ)м=0, «^ - щ = 0,
B.4.7)
здесь Nj — орты нормали на границе г = R.
Зависимость между значениями амплитуд напряжений и пе-
перемещений для несжимаемой упруговязкопластической среды
в заполнителе и упругой оболочке представима в виде A.5.2).
При этом коэффициенты а^ и Gij в заполнителе определены
выражениями A.5.7), а в оболочке — выражениями A.5.8). К со-
соотношениям A.5.2), A.5.7), A.5.8) для заполнителя и оболочки
следует присоединить условия несжимаемости
Vnun = О, Vnu^n = 0. B.4.8)
Уравнения A.5.2), A.5.7), A.5.8), A.5.11), A.5.12), B.4.7),
B.4.8) представляют собой связанную краевую статическую за-
задачу устойчивости относительно амплитуд компонент векторов
перемещений и, v, w и и^\ v^\ w^ средних нормальных на-
напряжений a, (J^l\ соответственно, для заполнителя и оболоч-
оболочки. Нетривиальное решение этой задачи соответствует потере
устойчивости основного состояния, описываемого соотношени-
соотношениями B.4.5), B.4.6). Для нахождения собственных значений за-
задачи перемещения и гидростатическое давление в заполнителе,
согласно A.5.21), представим следующим образом:
и = А (г) cos (тв) cos (jz), v = В (г) sin (тв) sin (jz) ,
w = С (r) cos (тв) sm(y2:), a = D (r) cos (тв) sin (jz) ,
где 7 = птг/l.
В оболочке перемещения и^\ v^\ w^ и среднее нормальное
напряжение а^ имеют вид B.4.9), где величинам i, В, С и Д
следует приписать верхний индекс A). Выбор решения задачи
устойчивости в форме B.4.9) предполагает, что заполнитель и
оболочка работают совместно без проскальзывания и отставания
и соответствует неосесимметричному деформированию.
Подставляя функции и, v, w, a, u^\ v^\ w^\ a^ в линеа-
линеаризованные уравнения устойчивости A.5.11) и учитывая при
этом соотношения A.5.2) и B.4.8), после ряда преобразований
получаем системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка:
для оболочки
= Cl (r) y^ (r) (R^r^R + 2h), B.4.10)
dr \ /
2.4] Неустойчивость оболочки с заполнителем 119
для заполнителя
^l = D1(r)y(r) (r^R), B.4.11)
dr
гле v^(r) = ( А^> В^> С^> А^У RW CW} v(r) =
= (А, Б, С, А1\ В1\ С) —векторы, С\ и D\ —матрицы шесто-
шестого порядка. Элементы сц и dij матриц С\ и Z?i, отличные от
нуля, таковы:
С14 = С25 = С36 = 1,
arr L г 9 \
1 Г /1 , \ , 0A)~2 , /о , \1 гп
С42 = — Ш A + Г) + СГл4 У7 + /^m W + Г) , С51 = —
аг0A)
1 / 0A) daur{i) ,0 .
С44 — \ ' и Й 1 * ^г11 I 1 С45 — 1 С46 — 1
агг V dr / rarr CLrr
mfij rifij /j/y 1 dar
- 2)],
(Т
c55 = ; [-r^ - м (r - 2)
du = ^25 = ^36 = 1, B.4.12a)
d42 = ^- \<4 B + r) + 2m//m D + r) + ar^l,
rzar L rz J
J LS2 + a0~2 + °A) ^ + m2) + ^ D + m2) + Or 3 1 ?
ТА
43 = --1- [rag B + r) + 2r//m + У
— (ш//ш + агв^ ), rf46 = -^
rarr V r2 / rar
(A*
r2(crr
+ r-ra2) +r2(ra2 -2)],
120 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
^62 — —J~ [~azr H~ r/J>0- ~ r) ~ raOz]i d,Qi = —1~ (—CLZr + /i — ®>Qz)i
rsar rar
dw = i- [w(l - 7) + m2 {ii + ar)], B.4.126)
r2(ar + /i) crr
При этом для заполнителя
arz = a^r = a^^ = clzq = 6iaK , B.4.13)
a^ = 2/i — 12aX , X = fc/v 6,
а для оболочки эти элементы имеют вид B.4.13) при a = 0.
Запишем граничные условия и условия контакта в терминах
функций А, В, С, D и А^, Б^, CW, Д^1).
Условие контакта B.4.7) при г = R представимо в виде
LJL — LJL , U — U Ш — Ш ,
A1 (arr + a°r)+Bare ^-Aare±-Cjarz+D = A1^ [ar
\ B.4.14)
Условия на поверхности, согласно A.5.23) при г = R\ = h + R
запишутся так:
°r) + B^oro ^ + А^агв\ - C^arzj + D^ = 0,
X B.4.15)
Поскольку точное аналитическое решение краевой задачи
B.4.10)—B.4.15) найти не удается, то, как и ранее, будем искать
приближенное решение методом конечных разностей. В резуль-
результате получим однородную систему линейных алгебраических
уравнений, которую можно представить в матричной форме
(Xij) (Yi) = 0. Отсюда следует, что определение критических
параметров е (деформаций) сводится к разрешимости уравнения
X^) =0. B.4.16)
При вычислении определителя необходимо учитывать соотно-
соотношения B.4.5), B.4.6), описывающие напряженно-деформируе-
напряженно-деформируемое докритическое состояние. Минимизация должна проводить-
2.5] Локальная неустойчивость стенок бурящихся скваснсин 121
ся по шагу разностной сетки т, параметрам волнообразования
по контуру т и образующей п, параметрам материала оболочки
и заполнителя Aj и величине s. Таким образом, получаем задачу
многомерной оптимизации величины е в зависимости от «s, m, n
при условии
Ф = det [Xij (б, s, га, n, A^)] = 0. B.4.17)
2.5. Локальная неустойчивость стенок
бурящихся скважин в сжимаемых упрочняющихся
упруговязкопластических массивах
Известно, что решения задач горной механики, относящихся
к процессу бурения нефтяных и газовых скважин, сводятся
к постановке и решению задач локальной неустойчивости пород
приствольной зоны при упругопластических деформациях [15,
232, 233]. Это обусловлено тем, что вокруг вертикальных вы-
выработок и скважин напряжения уже на небольших глубинах до
1 км превосходят предел прочности горной породы, в результате
она переходит в состояние неупругого деформирования раньше,
чем происходит локальная потеря упругой устойчивости. Оче-
Очевидно также, что для изучения проблемы устойчивости горных
выработок необходимо применять более сложные модели, наибо-
наиболее полно отражающие поведение горных пород [16]. В отли-
отличие от [15] ниже локальная неустойчивость пород приствольной
зоны моделируется соотношениями сжимаемого упрговязкопла-
стического тела с трансляционным упрочнением [140, 141, 223].
В этом случае функция нагружения A.1.14) и соотношения
ассоциированного закона течения имеют вид
F = aa + J (s{ - ce{ - rje{) (s{ - ce{ - rfe() - V2K, B.5.1)
* = ?• B5-2)
которые следуют из A.1.15) при *i = 0. В соотношении B.5.2)
учитывается ассоциированная сжимаемость материала, связан-
связанная с возникновением в теле сдвиговых пластических деформа-
деформаций.
Исследование устойчивости основного состояния тела
объема V, характеризуемого вектором перемещения щ(хк, ?),
тензором напряжений aj (ж^, ?), вектором объемных Xi и
о
поверхностных сил Р^, сводятся к решению системы дифферен-
дифференциальных уравнений A.5.11) в вариациях при соответствующих
122 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
граничных условиях A.5.12) соответственно для области пласти-
пластического и упругого деформирования.
Связь между амплитудными значениями напряжений и пе-
р е
ремещений в пластической V и упругой V областях представима
в форме A.5.1)
о) = aiagaaVaukg) + A - g)) gUG) (ViUj + VjUi) ti\ J-
B.5.3)
При этом в пластической области коэффициенты ща, Glj имеют
вид A.4.10), т.е.
^ }Агг, G) = ^—^ = G ti\<*. B.5.4)
Здесь Aij и Bij имеют вид A.4.11), где Фх =0. В упругой обла-
области коэффициенты ща, Glj определяются соотношениями B.5.4)
при А^ = В^ = 0, т. е.
aia = (А + 2ц) gia, G) = /i. B.5.5)
Здесь A, \i — параметры Ламе. Заметим, что представление
B.5.3) возможно только в случае однородного докритического
состояния или в случае зависимости его только от одной
переменной.
Условия непрерывности на упругопластической границе име-
имеют вид A.5.13).
Приведенная система уравнений представляет собой замкну-
замкнутую связную систему уравнений для исследования задач устой-
устойчивости, когда имеется граница раздела областей упругого и
пластического поведения материала при нагружении.
Пусть круглая скважина, вертикально проведенная в масси-
массиве горных пород, заполнена жидкостью с удельным весом ~g и
испытывает давление на стенки q = ~gh (h — глубина).
Давление q называется противодавлением бурового раство-
раствора, препятствующим изменению формы и размеров поперечного
сечения ствола скважин. Заменим горный массив со скважиной
невесомой бесконечной плоскостью с круговым отверстием ра-
радиуса а, по контуру которого приложено равномерно распреде-
распределенное давление q. На бесконечности напряжения в пластине
стремятся к gh, (g— удельный вес горной породы). Распределе-
Распределение напряжений в нетронутом массиве горных пород принима-
принимается гидростатическим: р = gh.
При определении компонент напряженно-деформируемого
основного состояния в осесимметричном случае все функции
представляются в виде рядов по степени параметра а (скорости
2.5] Локальная неустойчивость стенок бурящихся скваснсин 123
дилатансии)
?•• %¦¦ Ф 1-f
J
n=0
B.5.6)
Нулевое приближение соответствует несжимаемому упруго-
v
вязкопластическому массиву в области V и имеет следующий
вид
в пластической области (а* < г < 1)
— + — - — V
а* а*2 г2/ '
c + 2G
x f1 A =_?(o)
c + 2G
_ X
в упругой области A < г < оо)
@) х @) X @) X
Здесь все величины, имеющие размерность напряжений, отне-
отнесены к к = у/2К/2, а имеющие размерность длины — к радиусу
r*s упругопластической границы в нулевом приближении. Ве-
* / @)
личина а = a/rs определяется из уравнения
\q -p\(c + 2G) - 2G + 4G In а* - — = 0.
а*2
Первое приближение запишем в виде соотношений:
в пластической области (а* < г < 1)
- lnr +
2 у B.5.7)
2г2
и« =
¦2GV г
в упругой области A < г < оо)
JD = Сз A) = _Сз A) = _Сз_
124 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
где
В = 2qA + А2 + ^ - 2А2 In о*,
d CAc^ 5 2Л2 Д Ас
2с
d=BG + .
2а*2 ) lc + 2G
al _ J_ 1\ ?
2 4a* 4У 2
— B\na + E [ + — — — (Ina ) ,
V2a*2 4a*/ 2 V J '
2а*2
^ G
Уравнение для радиуса rsi пластической границы в первом при-
приближении имеет вид
Г Sl = -7—{±J
\ ° J \ ° ) г—\ Т~
B.5.9)
Для определения нулевого и первого приближений исполь-
использованы уравнения равновесия, условие пластичности B.5.1),
соотношения ассоциированного закона пластического течения
B.5.2), соотношения, связывающие полные, упругие и пластиче-
пластические деформации, общие уравнения теории упругости, гранич-
граничные условия, а также условия сопряжения решений в упругой и
пластической областях.
Таким образом, соотношения B.5.7)-B.5.9) определяют до-
критическое напряженно-деформированное состояние задачи.
Далее величины докритического состояния снабжаем верхним
индексом «О».
Граничные условия на поверхности скважины г = а в случае,
когда q — «следящая» нагрузка, согласно A.5.18), где а = О,
таковы:
tr+^.Vj + 2llu + al3WiZ)\ =0,
г г /|г=о B.5.10)
(r«,r + ив- v)\r=a = 0, (w>r + uz)\r=a = 0.
Условия затухания возмущений при г —>> оо запишем в виде
и^О, v^O, w^O. B.5.11)
Условия сопряжения A.5.13) на упругопластической грани-
границе гs для амплитуд возмущений перемещений и напряжений,
2.5] Локальная неустойчивость стенок бурящихся скважин 125
согласно B.5.3), принимают вид
[и] = О, [v] = 0, [w] = О,
\) игГ + ^ v,e + счзго,*] = О,
а\
)Г] = 0.
г«)Г] =
Если коэффициенты а^а, G*- линеаризированных уравнений
состояния B.5.3) есть функции одного аргумента г, тогда в ква-
квазистатической постановке линеаризированные уравнения рав-
равновесия A.5.11) приводятся к следующей системе дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных с переменными
коэффициентами:
,1 + "(а12
G\ +
,zz(Gl + az)
ai3ji+ - (au - a23) +^,г^(^з+а13) = О,
L r J
v,00 -r (a22 + ^ ^) + v, zzr (Gl + ar)+w,0z (G\ + a23) = 0,
B.5.13)
\a + -r (a32 + Gj)] + u^rz (a3i + Gj) +u^J (a32 + G§) +
ar)
^,^(азз + ^) = 0.
Очевидно, эти линеаризированные уравнения равновесия
принимают вид уравнений A.5.16) при ац и G^j, не зависящих
от аргумента г.
В области пластического деформирования коэффициенты
dij и G^j определяются выражениями B.5.4), а в области упру-
упругого деформирования выражениями B.5.5).
126 Устойчивость горных выработок [Гл. 2
Решение уравнений B.5.13) будем искать в виде
р
и = А (г) cos (тв) cos (nz),
р
v = В (г) sin (ra0) cos (пг) ,
р
гу = С (г) cos (ra0) sin (nz) ,
где 771, п — параметры волнообразования.
р р
Систему уравнений B.5.13) в терминах функций А(г), В(г),
р р
С (г) в области пластического деформирования V, запишем сле-
следующим образом:
v v, v „ v v „ v v v,
Aix + А'Ь + А"& + Б^4 + В'ЧЬ + ССе + СС'Ь = О,
Р Р , V V , Р „ Р /о г П А\
А& + АЧъ + Б?ю + S'Cn + ^"^12 + СЫ = О, B-5Л4)
ки + а'^15 + beie + hl7 + &ei8 + с"ы = о.
е
Для области упругого деформирования V в системе уравне-
р р р е е е
ний B.5.14) функции А, В, С необходимо заменить на А, Б, С.
Граничные условия B.5.10) при г = а запишутся так
Аа12 - + А1 аи + В^^- + Cnai3 = 0,
г г B.5.15)
р р р р р
Ат + В - В'г = 0, An - С' = 0,
а условия затухания возмущений B.5.11) при г —>> оо принимают
вид
А(г)->0, Б(г)^О, С(г)^0. B.5.16)
Нам осталось только привести условия сопряжения B.5.12) на
упругопластической границе rs:
^l + A1 fan +а\)+В^^ + Спа13 = 0,
г V /г
+ Б (^2aj - G^) + Б'г (g^ + a\) = 0, B.5.17)
-AnG\ + С (G\ + a\) = 0.
2.5] Локальная неустойчивость стенок бурящихся скваснсин 127
В соотношениях B.5.14)—B.5.17) введены следующие обозна-
обозначения:
с ai2,i Q22 + crj т2 (Г2 , °2\ 2 (ГЪ , %Ъ\
& = "V" " и " 7^ V 1 + V ~ V l + 3 J '
t , ai2+ац-a2i+а-2
6 = ац,1 +
\
B.5.18)
G
= r(G\
6з = -тп (а2з
023),
P о
Для коэффициентов ^ (г = 1-17) в области V значения <тг,
<70, <т^ определяются по формулам B.5.7), а^- и G*- — по B.5.4),
е
в области V — по формулам B.5.8) и B.5.5) соответственно.
Точное аналитическое решение связной краевой задачи
B.5.14)—B.5.18) найти не удается, будем искать приближенное
решение методом конечных разностей. Метод основан на
замене производных от функций А (г), В (г), С (г) конечно-
разностными выражениями. В результате получаем однородную
систему линейных алгебраических уравнений, которую можно
представить в матричной форме: (Хц) (Yi) = @). Отсюда
следует, что определение критических параметров (нагрузок)
сводится к разрешимости матричного уравнения
Xi3) = 0. B.5.19)
128
Устойчивость горных выработок
[Гл.2
При вычислении определителя, наряду с соотношениями
B.5.7), B.5.8), определяющими докритическое напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние каждой области, необходимо учиты-
учитывать и уравнение B.5.9), определяющее положение упругопла-
стической границы. Минимизация должна проводиться по шагу
разностной сетки т, параметрам волнообразования по конту-
контуру 771 и образующей п, параметрам материала и конструкции Aj
и величине s. Таким образом, как и в предыдущем параграфе,
получаем задачу многомерной оптимизации величины давле-
давления q в зависимости от s, га, п при условии Ф (g, s, га, n, Aj) = 0.
Задача определения критической нагрузки при фиксиро-
фиксированных значениях h и параметрах Aj решалась в два этапа.
На первом этапе определялась область в пространстве пара-
параметров g, «s, 771, п, в которой происходит смена знака функ-
функции Ф (?/, «s, 771, п, /г,, Aj), 0 ^ s < оо, 0 < q < 1, га, п =
= 1, 2, ..., на втором, согласно B.5.19), вычисляется значение
я* = min a(s, га, п), при котором Ф (я*, s*, га*, n*, /i, А7) =
s,m,n
= 0. Оптимизация по параметру т проводилась следующим
образом. Вычисление критической нагрузки прекращается, если
после уменьшения шага разностной сетки в 2 раза получае-
получаемые значения нагрузки отличаются друг от друга с заданной
точностью. Результаты числен-
численного эксперимента приведены
на рисунках 2.5.1-2.5.3.
На рис. 2.5.1 приведена за-
зависимость критического давле-
давления ~q^ от гравитационного па-
параметра р* при Е/к = 100, щ =
= 0,1, со = 0,1. Кривые 1-3 со-
соответствуют значению v = 0,3;
кривые l'-3' — v = 0,5; кривые
1, 1'-а = 0,1; 2, 2'-а = 0,4;
5, 3' — а = 0,8. С ростом гравитационного параметра величина
критического давления увеличивается, с ростом коэффициента
Пуассона она увеличивается на 10-15%.
На рис. 2.5.2 представлена зависимость критического зна-
значения гравитационного параметра р* для свободной выработки
(значения нагрузки на бесконечности, при котором свободная
выработка начинает терять устойчивость) от скорости дилатан-
сии а при Е/к = 100, cq = 0,1, v = 0,3 (кривая 1 соответствует
значению 770 = 0,1; 2—щ = 0,001). Как следует из рис. 2.5.2,
критическая нагрузка при увеличении вязкости возрастает, т. е.
вязкость увеличивает область неустойчивости, в этом смысле
можно говорить о дестабилизирующей роли вязкости в среде.
0,522
8 Юр*
Рис. 2.5.1
2-51
Локальная неустойчивость стенок бурящихся скваснсин
129
На рис. 2.5.3 приведена зависимость отношения радиуса
упругопластической границы R к радиусу выработки Rq от гра-
гравитационного параметра р* для свободной выработки. Кривым
1-5 соответствуют значения а = 0,70; 0,55; 0,40; 0,25; 0,10 при
Е/k = 100, г/о = 0,1, со = 0,1, v = 0,3. Видно, что радиус
1,54
1,49
R/Ro
6,891
5,168
3,445
1,723
0,2 0,4 0,6
Рис. 2.5.2
0,8 а
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Р*
Рис. 2.5.3
упругопластической границы возрастает с ростом гравитацион-
гравитационного параметра и увеличением скорости дилатансии. Кривые
на приведенных рисунках отвечают безразмерным значениям
механических параметров материалов, близких по свойствам
к горным породам аллгериту и углю.
5 А.Н. Спорыхин и А.И. Шашкин
Глава 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК С МНОГОСЛОЙНЫМИ КРЕПЯМИ
В настоящее время в большинстве случаев добыча и хране-
хранение ряда полезных ископаемых продолжительное время ведется
в одних и тех же месторождениях. В связи с этим возника-
возникают требования по проведению укрепительных работ подземных
сооружений, в частности, горных выработок, для безопасности
условий труда. Указанное требование обеспечивается, как пра-
правило, тем, что в выработках возводится крепь. Крепь может
быть монолитной (однослойной) и разномодульной (многослой-
(многослойной) . Использование многослойных крепей позволяет учитывать
требования экономического характера по расходу материала —
с одной стороны, и обеспечивать более надежную эксплуата-
эксплуатацию — с другой. Учитывая вышесказанное, проведенные в этой
главе моделирование и анализ напряженно-деформированного
состояния массива возле горных выработок и многослойных
крепей выработок имеют большое практическое значение. При
изложении материала используются результаты, приведенные
в работах [68-71, 152, 189, 232, 233, 244, 257, 283, 285].
3.1. Уравнения, определяющие процесс
деформирования упругопластических сред
Как и прежде будем считать реальную горную породу
сплошной средой и использовать для описания напряженно-
деформированного состояния следующие системы координат:
произвольную криволинейную, цилиндрическую и сфериче-
сферическую.
Напряженное докритическое состояние будем определять
в рамках геометрически линейной теории (l.l.l)-(l.l.f), т. е. в
рамках следующих соотношений:
уравнения равновесия
Vyjof = 0, C.1.1)
соотношения Коши
i(Sy) C.1.2)
где V/з, V^ — ковариантная и контравариантная производная по
/3-й координате;
3.1] Уравнения, определяющие процесс деформирования 13^
смешанные граничные условия
на части поверхности S\ в напряжениях
Що? = Pj, C.1.3)
на другой части $2 в перемещениях
up = Up. C.1.4)
Здесь, как и ранее в гл. 1, Np — компоненты орта нормали к
поверхности тела в недеформированном состоянии; Pj, Up — со-
составляющие поверхностных сил и перемещений соответственно.
На поверхности S внутри тела, разделяющей упругую и
пластическую зоны, все компоненты тензора деформаций и
напряжений предполагаются непрерывными, т. е. выполняют-
выполняются условие сплошности среды, что равносильно непрерывности
компонент вектора перемещений
и вектора поверхностных сил
= 0. C.1.6)
Ы]
Здесь, по-прежнему, квадратные скобки обозначают разность
значений выражений, соответствующих упругой и пластической
области.
Присоединяя к уравнениям линейной теории C.1.1)—C.1.6)
уравнения состояния в зоне упругости и, соответственно, в зоне
пластического деформирования среды, получим замкнутую ма-
математическую задачу.
Связь между напряжениями и деформациями в упругой зоне
будем определять законом Гука:
of = Ae2g? + 2Gef, C.1.7)
или, что то же самое, в форме
C.1.8)
где A, G = /i — параметры Ламе, Е — модуль упругости, v —
коэффициент Пуассона, причем
Ev ^ E
В зоне пластического деформирования горного массива и
крепи, следуя [141], используем модель несжимаемой упруго-
пластической среды с трансляционным упрочнением с поверх-
поверхностью нагружения A.1.12), т. е.
C.1.10)
132 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [Гл. 3
где с, к — параметры среды. Здесь и далее индексы «р» и «е»
вверху обозначают принадлежность величин к пластической
или упругой области соответственно. Для несжимаемой среды
выполняется условие
е% = 0. C.1.11)
Допустим возможность представления тензора полных де-
деформаций в виде
Ассоциированный закон течения для условия C.1.10) имеет вид
?? = *(,?-с??). C.1.13)
Причем е^ = 0, если F < 0 или же F = 0 и —^ da^ ^ 0.
" 3
Для удобства дальнейших вычислений запишем уравнения
равновесия C.1.1) и формулы Коши в цилиндрической системе
координат:
д(Тгг _|_ 1 дагв d(Trz , &rr — сгвв q
дг г дв dz r ~ '
^П + lEZil + д^1± + 2^ = 0, C.1.14)
d(jrz , 1 0cr^z dcrzz i ^>? _ q
дг г дв dz r ~ '
0r г дв г
вгг = —, ев, = ^-_ + _) C.1.15)
1 /0^r . 0^\ 1 /0M0 ^ . 1 dur\
2 V dz dr J 2 V дг г г дв J
Главные значения симметричных тензоров о,, е- будем обозна-
обозначать символами аа1 еа (а = 1, 2, 3).
Приведенная система уравнений C.1.1)—C.1.13), которая
р
должна применяться как для зоны упругого (F), так и
е
пластического (V) деформирования, представляет собой
математическую задачу, которая далее будет положена
в основу определения напряженно-деформированного состояния
в горном массиве и крепи. Постоянные v, к, с, Е для массива
горных пород и крепи различны.
3.2] Определение напряжений в многослойных крепях выработок 133
3.2. Математическая модель горного массива
с выработкой и определение напряжений
в многослойных крепях вертикальных и
горизонтальных выработок
Моделируя горный массив с выработкой, подкрепленный
многослойной (TV-слойной) крепью, как это обычно делается,
невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием ра-
радиуса Ддг, в которое с некоторым натягом помещена система
из N колец (слои крепи), последовательно запрессованых одно
в другое. К внутреннему контуру первого кольца радиуса Rq
приложена равномерно распределенная нагрузка q$. На линиях
сопряжения колец и пластины возникают сжимающие усилия
(/1, б/2, • • • 5 Qn- Будем считать, что величины qi (г = 1, 2, ..., N)
таковы, что образовавшиеся пластические области полностью
охватывают внутренние контуры колец. На бесконечности на-
напряжения в пластине стремятся к величине gh (g— объемный
вес породы, h — глубина заложения выработки); рис. 3.2.1.
Рис. 3.2.1
Так как горный массив моделируется бесконечной пласти-
пластиной, то компонентами тензора напряжений aZl arZl a$z мож-
можно пренебречь, положив равными нулю. Компоненты аг$ = О
в силу отсутствия закручивания. Оставшиеся компоненты аг
и (jq можно заменить их средними значениями по толщине,
134 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [Гл. 3
т. е. ar = ar (г), gq = gq (г). Толщина пластины в этом случае не
имеет значения, поэтому в дальнейшем она принимается равной
единице. Для осесимметричной задачи все компоненты тензора
напряжений, деформаций и вектора перемещений не зависят от
угла поворота в. С учетом вышесказанного из трех уравнений
равновесия C.1.14) остается одно
dr г
Соотношения Коши C.1.15) перепишутся в виде
er = ——, ее = —, ez = ——, sre = ?oz = ezr = U. {6.2.2)
dr r dz
Условие несжимаемости C.1.11) примет вид
er + ee + ez = 0. C.2.3)
Используя закон Гука C.1.7), находим
Учитывая условие несжимаемости, запишем
Из C.2.1) с учетом C.1.15) получим
Gr - Ge = 2G (ег - ее), gt + g0 = 6G (er + ев). C.2.5)
Тогда
ar = 2GFr + 6^). C.2.6)
Подставляя gt в уравнение равновесия C.2.1) и используя
соотношения Коши C.2.2), приходим к следующему дифферен-
дифференциальному уравнению относительно перемещений иг:
dr \ dr г
решая которое, находим
иг = А1Г + ^, C.2.8)
Г
Здесь А\ и В\ есть константы интегрирования. В этом случае
компоненты тензора деформаций примут вид
er = A1-^, se = A1 + ^, ez = -2АЪ C.2.9)
Г2 Г2
Г2
3.2] Определение напряжений в многослойных крепях выработок 135
Рассмотрим вопрос о концентрации напряжений в г-м слое
крепи, т. е. в г-м кольце. Здесь и далее индекс г обозначает
принадлежность величины к г-му слою крепи, причем г =
= 1, 2, ...,N.
Найдем область зарождения пластической зоны в г-м кольце.
Для этого исследуем вместо sr, s$, sz их выражения через аг и
<т#, определенные в процессе решения указанной выше задачи.
В результате получим (Ti/r4) + Т2 = /с2, где Т\ и Т2 константы
вычислений. Введем обозначение / (г) = (Ti/r4) + T2, тогда
/' (г) = -«!, где Тг = *(««?
Так как константа Т\ всегда положительная величина, то
ff (г) < 0 при любых значениях г, а, следовательно, зарожде-
зарождение пластической области начинается с внутреннего контура
кольца.
Будем считать, что под действием данных нагрузок пласти-
пластическая зона целиком охватывает внутренний контур г-го кольца
(г = 1, 2, ..., N) и в ней реализуется обобщенное плоское на-
напряженно-деформированное состояние.
Из условия несжимаемости C.2.3) и соотношения Коши
C.2.2) находим
(ur)t = f, (ег)г = -(ев)г =f, C.2.10)
где А\ (г = 1, 2, ..., N) —константы интегрирования. Тогда из
ассоциированного закона пластического течения C.1.13) следу-
следует, что
(*г){ = -Ы{. C.2.11)
Подставив C.2.11) в условие пластичности C.1.10) приходим
к следующей записи функции нагружения:
= kl C.2.12)
где Ci, ki —параметры материала для г-го слоя крепи. Учитывая,
что (sr)г = 2G \(ег){ - (еЛ 1, а так же C.2.10) и C.2.12) найдем
(%) =-^>2^^. C.2.13)
V r)i г2л/2BС + сг) V У
Вычисляя
i = 2 Mi = 4G [(ег)г - (I) ] ,
136 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [Гл. 3
из уравнения равновесия C.2.1) получим
C214)
В упругой области г-го кольца с помощью закона Гука получим
следующие выражения:
(V) =-2GB{\ + Ci, (ав) =2GB\\ + C[. C.2.15)
V / г г2 \ J г г1
Перемещения и деформации определяются из C.2.8) и C.2.9).
На границе раздела упругой и пластической областей г-го
слоя крепи (г = 1, 2, ..., N) перемещения не должны терпеть
разрыв, т. е. (иг)^ — (иг)^ = 0. Откуда следует условие: А\г +
+ (в\ - 4) /г = о.
Из закона Гука C.1.8) и из формул C.1.9) выразим константу
А\ через С\ при этом учитывая, что коэффициент Пуассона
v = 1/2. Имеем А\ = Cf/FG) г = 1, 2, ..., N. Оставшиеся
константы интегрирования В\, С\, А^ D\ и радиус границы
раздела упругопластической области ф1 (г = 1, 2, ..., N) найдем
согласно C.1.3), C.1.5) и C.1.6) из следующей системы гранич-
граничных условий
/ е \
!) аг =-%-ь при г = Дг_1;
V /г
/ е \
2) аг = -%, при г = i?i;
V /г
3) (аг) - (аг) = 0, при г = ^; C.2.16)
4) (ад) - (ад) = 0, при г = фг]
\ /г \ /г
5) [иЛ - \иЛ = 0, При Г = фг.
V /i V /г
Здесь г = 1, 2, ..., N.
Привлекая соотношения C.2.14), C.2.15) из системы уравне-
уравнений C.2.16), получим
Ы = 1>?B?Cy/2ki+Ciqi/G) Ci = G i _}__
1 2G(№tatf/G) X l Щ
Щ
6G '
fe In i?j_i.
a/G
3.2] Определение напряснсений в многослойных крепях выработок 137
Уравнение для определения ipi запишется в виде
Сг ( 1 | 1 \ qilpi Фъ -
о . //^7 \ /2 г>2 / о/^
X
г- + 0 + *-1 - ft = 0. г = 1, 2, ..., TV.
Далее запишем все соотношения, соответствующие области
г-ro слоя крепи, в безразмерном виде. Величины, имеющие раз-
размерность напряжений, отнесем к модулю сдвига горного массива
G, а имеющие размерность длины — к внешнему радиусу перво-
первого слоя крепи R\\
aj ) —
r k а
\l * C.2.17)
L = ^-, Ri = —, i = l, 2, ...,JV
-Ttl -Ttl
Для упрощения записи знак «*» в дальнейшем опустим.
Тогда докритическое напряж:енно-деформированное состоя-
состояние, соответствующее i-му слою (г = 1,2,..., iV) крепи вер-
вертикальной (горизонтальной) горной выработки в безразмерном
виде запишется в следующей форме:
в пластической области (Ri-i < г < ф^
\иг\ = —, \er) = — \?q) = — _—-—-
/М 2сМ^/ 1 1\ 2л/2^1 Яг_1 /о 9 -ion
(^г ). = — [-^Г~ ~ "Г ) + 7- 1п -9г-Ь C.2.18)
V /г 2 + с» V Щ_х г2 У 2 + а г
(X)
V /г
X) =ц( +) +
V /г 2 + сг- \Rf_x г2/ 2
в упругой области (ipi < г <
l)ft, C.2.19)
где
138 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [Гл. 3
Уравнения для определения радиуса ipi упругопластической
границы в г-м кольце имеет вид
сгкг) х
ъ ( 1 1 \ дгф2
сД^? R2_J 3
бЩ-сгф2
qi-1-qi = 0. C.2.20)
В соотношениях C.2.18)-C.2.20) г = 1, 2, ..., N.
Решения, приведенные в этом параграфе для многослой-
многослойной крепи вертикальной (горизонтальной) горной выработки
позволяют перейти к нахождению напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного (докритического) состояния в горном массиве возле выра-
выработки.
3.3. Математическая модель горного массива
вне области выработки и определение напряжений
в массиве возле подкрепленных вертикальных и
горизонтальных выработок
Как и ранее, горный массив вне области вертикальной (го-
(горизонтальной) выработки моделируем невесомой бесконечной
пластиной с круговым отверстием радиуса Ддг, по периметру
которого приложена равномерно распределенная нагрузка qjy.
Рассмотрим упругую область пластины (массива). Устремим
г —>> оо, тогда из C.2.8) следует, что А\ = 0. Следовательно, и% =
= —. С учетом того, что в пластической области выполняется
г
условие ?? = 0, находим iff = —. Теперь из условия сплошности
г
C.1.5) будет следовать, что В\ = A<i. Для упругой области G <
< г < оо) решения будут иметь вид C.2.15). Для пластической
области справедливы решения:
V V 2V2GB! - кг2
ег = -ее = --
V 2GB\ I ZU л \ . ZVZUK т . т^ /о о i\
аг = — 1 + — In г + ил, (o.o.l)
2y/2Gk
Константы интегрирования В\, С\, Z?i, а такж:е уравнение для
определения радиуса упругопластической границы j найдем из
3.3] Напряжения в массиве возле подкрепленных выработок 139
граничных условий C.1.3), условий непрерывности вектора по-
поверхностных сил на поверхности тела, разделяющей упругую и
пластическую зоны, C.1.6) и условия на бесконечности:
1) оТ = -qN при г = RN;
е °
2) ar = -gh при г -> оо; C 3 2)
3) от — от = 0 при г = 75
4) <т# — (J0 = U при г = 7-
Привлекая соотношения C.2.15), C.3.1) из C.3.2) получим
Таким образом решения, соответствующие области горного
массива (пластины) в безразмерном виде запишем в следующей
форме:
в пластической области (Rjy < г < 7)
- кг2
C.3.3)
oq = —— A + -) +—— (lnr + 1) -qN;
2 + с V г2/ 2 + с
в упругой области (j < г < оо)
ar = — — gh, (jq = — gh, B\ = —. C.3.4)
r2 r2 4
Уравнение для определения радиуса упругопластической
границы 7 имеет вид
Г , ч91
— и. i о .о .о j
"iV ° 2 B +с)
В соотношениях (З.З.З)-(З.З.б) величины, имеющие размер-
размерность напряж:ений отнесем к модулю сдвига горного массива G,
а имеющие размерность длины —к внешнему радиусу первого
слоя крепи i?i, с, к — коэффициент упрочнения и предел теку-
текучести для материала массива.
140 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [ Гл. 3
3.4. Определение поля напряжений
в горном массиве, содержащем сферическую
выработку, подкрепленную многослойной крепью
Напряженно-деформированное состояние, соответствующее
i-му слою (г = 1,2,..., iV) многослойной крепи сферической
выработки в осесимметричном случае (е$ = е^) в сферической
системе координат (г, 6, ф), определено, следуя [257], в виде:
в пластической области при Ri-\ < г < ipf.
-3\
C.4.1)
в упругой области при ipi < г < R^.
Bi-4Gir-3A[,
C.4.2)
(ur) =A[
r-2, (ar
V
Неизвестные константы интегрирования А\, Аг21 В\ и В\ (г =
= 1, 2, ..., N) и радиус упругопластической границы ^ найдем
из следующих граничных условий для г = 1, 2, ...,7V:
/р \
!) аг = -%-1 при г = Ri-i]
V /г
/е \
2) ( стг ) = —^ при г = Ri.
V /г
Откуда, учитывая C.4.1), C.4.2), а также условия C.1.5),
C.1.6) непрерывности решений на поверхности раздела ф^ (г =
= 1, 2, ..., N) упругой и пластической областей, получим
А\= 3k^f
4(G)
= А\
4(cG) ^3.4.3)
4 )
Уравнение для определения радиуса упругопластической грани-
границы fa имеет вид
ф1_1\ ^^ Г Jk^ ( _ g\ ,фЛ ]
+ qi-i-qi = O. C.4.4)
3.4] Определение напряжений возле сферической выработки 141
Соотношения C.4.1) и C.4.2) будут справедливы и для области
массива (упругой и пластической), если в них у всех величин
опустить индекс г, величину ф{ заменить на 7? ^г-i на Rn и
положить: Ri = oo, G{ = 1. При этом неизвестные константы ин-
интегрирования и радиус упругопластической границы j найдем
из следующих граничных условий, условия на бесконечности и
условий сопряжения решений:
1) ar = -qN при г = RN,
2) ar = gq = —gh при г —)> оо,
' Л Л ^1
М = А2 = при г = 7-
4 (Сг - 1)
При этом уравнение для определения радиуса упругопласти-
упругопластической границы 7 имеет вид
1 Г 3fcc Л 73 Л ,^7i /^ 7 Л1 ЗА; . , п
c + 2[c-l\ R%J \RnJ) с-1 ^ 6
C.4.6)
Равенства C.4.1)—C.4.6) записаны в безразмерном виде. Вели-
Величины, имеющие размерность напряжений отнесены к модулю
сдвига G для материала массива, а имеющие размерность дли-
длины— к радиусу выработки, Ддг, с, к — безразмерные параметры
для материала массива.
На основе полученных аналитических решений проведены
численные расчеты для случаев, когда:
горный массив содержит вертикальную (горизонтальную)
выработку, подкрепленную двухслойной крепью, материал мас-
массива — аргиллит, внешний слой крепи — бетон, внутренний — же-
железобетон (случай 1);
горный массив содержит сферическую выработку, подкреп-
подкрепленную, двухслойной крепью, материал массива — аргиллит, ма-
материал крепи —бетон (случай 2).
Результаты численного расчета представлены на рисунках
3.4.1-3.4.4.
На рис. 3.4.1 представлена зависимость величины границы
раздела упругой и пластической областей ф\ во внутреннем слое
крепи от сочетания нагрузок q\ и qo (случай 1). Кривая 1 —
соответствует отношению Rq/Ri = 0,1/1; кривая 2—Rq/Ri =
= 0,3/1.
На рис. 3.4.2 представлена зависимость величины границы
раздела упругой и пластической областей ф2 в0 внутреннем слое
крепи от сочетания нагрузок q2 и q\ (случай 2). Кривая 1 —
142 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [ Гл. 3
соответствует отношению i?i/i?2 = 0,3/1, кривая 2—R\/R2 =
= 0,6/1.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
чЬ*- Л
ъ? ъ? ъ? ъ*
Рис. 3.4.1
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
Ъ" Ъ" ^
Рис. 3.4.2
На рис. 3.4.3. представлена зависимость величины ф\ от
геометрии конструкции (случай 1). Кривая 1 — соответствует
фиксированной комбинации нагрузок q\ — qo = 0,019, а кри-
кривая 2— q\ - qo = 0,03.
На рис. 3.4.4. представлена зависимость величины фъ от
геометрии конструкции при фиксированном сочетании нагрузок
0.1 •> 02 (случай 2). Кривая 1 —соответствует комбинации нагру-
нагрузок qi — g2 = 0,02, а кривая 2 — q\ — #2 = 0,05.
Безразмерные характеристики материалов: песчаник, аргил-
аргиллит, бетон и железобетон выбирались исходя из результатов
известных опытов [265] и приведены в табл. 3.4.1.
3-41
Определение напряжений возле сферической выработки
143
Заметим, что выбор бетона и железобетона обусловлен тем,
что они являются основными материалами для изготовления
крепей выработок [17].
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34 0,38 Rq/
Рис. 3.4.3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,10 0,14 0,18 0,23 0,27 0,31 0,35 0,39 0,43 0,47 Ri/R2
Рис. 3.4.4
Из анализа решений следует:
величина радиуса упругопластической границы, как в слое
крепи, так и в массиве, зависят от величины контактных давле-
давлений и от геометрии конструкции;
исчерпание локальной несущей способности зависит от ши-
ширины слоев крепи;
144 Деформирование горных выработок с многослойными крепями [ Гл. 3
при увеличении внутреннего радиуса слоя крепи, а также при
росте контактных давлений, величина границы раздела упругой
и пластической областей в этом слое увеличивается.
Таблица 3.4-1
Физико-механические
характеристики
Песчаник
Аргиллит
Бетон
Железобетон
с
2,9496
1,5533
0,4252
0,4698
к
0,017
0,008
0,006
0,007
Е-105 Па (модуль Юнга)
297 255
199 555
242 910
242 910
Глава 4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКАЗОВ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ,
ВЕРТИКАЛЬНЫХ И СФЕРИЧЕСКИХ
ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ
МНОГОСЛОЙНЫМИ РАЗНОМОДУЛЬНЫМИ КРЕПЯМИ
ПРИ НЕУПРУГОЙ РАБОТЕ МАССИВА И КРЕПИ
Так как добыча и хранение ряда полезных ископаемых про-
продолжительное время ведется в одних и тех же месторождениях,
то, как отмечено в гл. 3, возникают условия, требующие проведе-
проведения укрепительных работ горных выработок. Существуют раз-
различные пути решения этого вопроса. Один из них — это создание
многослойных крепей из бетона, железобетона и т. п. Поэтому
изучение разрушения горных пород возле выработок с много-
многослойными крепями с позиций локальной потери устойчивости
является важным и актуальным вопросом.
Вопрос об определении критических контактных давлений
(при которых конструкция теряет устойчивость) внутри крепи
и на крепь может быть решен разными методами, например
из условия возникновения на внутренней поверхности крепи
предельного состояния. Однако в этом случае у упругой кре-
крепи имеются существенные резервы несущей способности. Этот
же вопрос можно решить и из условия перехода всего мате-
материала (одного из слоев или всей конструкции) в пластическое
состояние. В этом случае потеря устойчивости может произойти
раньше, чем крепь достигнет указанного состояния. В связи
с этим для определения критических контактных давлений вну-
внутри крепи и на крепь желательно привлекать аппарат теории
устойчивости деформируемых сред. В такой постановке с пози-
позиции приближенного подхода Лейбензона-Ишлинского, как от-
отмечено во введении, определялась оптимальная толщина мо-
монолитных цилиндрических [14] и сферических [14, 18] крепей.
Однако в этих работах вопросы горного давления в выработках
и расчета крепи исследовались обособленно друг от друга, т. е.
давление на внешнюю поверхность крепи полагалось независя-
независящим от глубины и от физико-механических параметров массива.
Однако показано [151], что нагрузка на крепь в первую очередь
определяется перемещениями породы и образованием области
неупругих деформаций. Указанное противоречие можно прео-
преодолеть путем совместного расчета крепи с массивом горных
пород.
146 Моделирование отказов горных выработок [ Гл. 4
В данной главе исследуется потеря устойчивости (отказ) го-
горизонтальной, вертикальной и сферической выработок с мно-
многослойными крепями при совместной неупругой работе крепи
и массива, в предположении, что слои (крепей) работают сов-
совместно без проскальзывания и отставания, а также с учетом
разномодульности крепей.
Для описания пластических свойств горной породы вос-
воспользуемся несжимаемой упругопластической моделью среды
с трансляционным упрочнением, определяющие соотношения
которой приведены в § 1 первой главы. Согласно гипотезе
С.Г. Михлина, напряженное состояние нетронутого массива
считается гидростатическим а\ — cr^ = cr^ = —gh>.
Материалы этой главы изложены в соответствии с публика-
публикациями [68-71, 256, 257, 262, 281-283].
4.1. Моделирование отказа горизонтальной
выработки с многослойной крепью при совместном
расчете крепи с массивом горных пород
Рассматривается задача о пространственной форме потери
устойчивости горизонтальной выработки радиуса Ддг, подкреп-
подкрепленной многослойной (TV-слойной) крепью с внутренним ради-
радиусом Rq. К внутреннему контуру крепи приложена равномерно
распределенная нагрузка q^. Из-за натягов на линиях сопря-
сопряжения слоев крепи и массива действуют сжимающие усилия
(/1, б/2? • • • •> Q.N-) величины которых таковы, что возникающие пла-
пластические области целиком охватывают внутренние контуры
слоев крепи.
Неоднородное докритическое состояние в г-м (г = 1, 2, ...
...,7V) слое крепи описывается системой уравнений C.2.18),
C.2.19). Граница раздела ipi упругой и пластической зон опре-
определяется из C.2.20). Для области массива верны соотношения
C.3.3), C.3.4). Граница раздела j вычисляется по формуле
C.3.5). Линеаризированное уравнение состояния примем в фор-
форме A.5.2). Тогда величины asa и GSj в области пластического
деформирования, согласно A.5.9), таковы
аи = а22 = 2 - а*, а3з = 2, ai2 = а2\ = а*,
^13 = аз1 = а23 = «32 = U, а* = , G = 1.
2 + с
В упругих областях следует приравнять а* = 0.
В случае пространственной формы A.5.21) потери устойчи-
устойчивости из линеаризированных уравнений равновесия в вариа-
вариациях A.5.16), учитывая при этом выше сказанное, получаем
4.1] Моделирование отказа горизонтальной выработки 147
следующую систему уравнений в терминах функций А (г), В (г):
А(г) \ае A - га2) - га2 - 2гав,г ~ r2n2 + ll +
+ Af(r) [r2ar,r - г B°ав + 1 - ar)] + A"(r) (l - 2а, + аг) г2 +
\т / т3
т - 1
^ (ar,rr -
"(г) №- (ar + ar,r + l)l +B'"(r) \r- (ar + l)l = О,
D.1.2)
A{r)[r2n(a* - 1 -2а,) + ^(l + a,) - I (l + аг - гаГ)Г)] +
А'(г) [г3п A - ^) - ^ (l + ае) -г-{\ + аг- гаГ)Г)] +
+ Л» [? B (l + ar) + гаГ|Г)] + Л"'(г)^ (l + *r)+B (г) х
Заметим, что эти уравнения следуют из A.5.26) при G = 1.
Система уравнений D.1.2) относится к областям пластического
v е
(V) и, соответственно, при а* = 0 упругого (У) деформирова-
деформирования массива. Если же функциям А, В и компонентам тензора
напряжений приписать нижний индекс г, то система уравнений
v е
D.1.2) будет соответствовать зонам Vi и Vi i-ro слоя крепи
(г = 1, 2, ...,iV).
Граничные условия A.5.27) на внутреннем контуре первого
слоя крепи при г = Rq с учетом D.1.1) примут следующий вид:
i; [2 - 2», + (Sr) J
1
148 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
V V V , г /ро \ I
+ B1-R0B[ \1+Гаг) = 0,
L V AJ D.1.36)
1 + Urj Гр ш р р р 1
Из условий сопряжения A.5.13) на упругопластической границе
фг (г = 1, 2, ..., N) с учетом A.5.2), A.5.21) получаем
р е
4' - ^ = о.
На границе раздела j упругой и пластической областей мас-
массива имеют место условия аналогичные условиям D.1.4), в ко-
которых только следует опустить индекс ги^ заменить на 7-
На границе запрессованных i-го и г + 1-го слоев крепи, соглас-
согласно C.1.5), C.1.6), и соотношений A.5.2), A.5.21), D.1.1) имеют
место условия
D15)
1^1-1? = 0 (г = 1, 2, ...,iV)
Из условия локальности возмущений i/j —)> 0 при г —>> оо (j =
= 1, 2, 3) следует:
А; = 0, А/7 = 0, Б7 = 0, В" = 0. D.1.6)
Таким образом, математическая модель локальной потери
устойчивости подкрепленной горизонтальной выработки
представляется в виде бесконечной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений D.1.2), D.1.4), D.1.5) с краевыми
условиями D.1.3), D.1.6). Для решения этой системы уравнений
относительно параметров Апт(г), Впт(г), будем использовать
метод конечных разностей (§ 6 первой главы). Обозначим через
Мф^ М#., М7, Ме — количество точек разбиения в областях
V V е е
У%•> У-> У%-> У соответственно {% = 1,2, ...,7V); M =
N
= ^2 (Мфк + Мцк) + М7 + Ме — общее количество точек
к=1
4.1]
Моделирование отказа горизонтальной выработки
149
разбиения. Заменяя производные функций А(г) и В (г) в D.1.2)
через конечные разности A.6.2) для каждой из областей
в точках j = 2, 3, 4..., М& — 2, где А; = ф\, ф2-> • • • ? ^tv,
i?i, i?2, • • •, ^?7V, 7, e соответственно, получим
D.1.7)
j (Ci2 ^14) J+l (Ы Ci4) = 0.
Здесь и далее ^ (г = 1, 2, ..., 14) — коэффициенты в уравнениях
равновесия A.5.26).
В точках j = 1, j = Mk - l(k = фи ф2, • • •, ^7V. ^Ь Я2, • • •
..., Ддг, 7^ e)i согласно тому, что в крайних точках производные
будут аппроксимироваться другими разностными соотношения-
соотношениями A.6.2), для уравнений равновесия D.1.2) получим
Bт& Т
+ Вт
+ Bj±1
Bт6о Т
±
Bt3?i -
Т ЗЫ +
5 Т
= 0,
,
Bт3?8 - 4т?10 ± Щп)
Br?
i4
Br3?i2 - 4^14) +Bj±1
4 ±
x
= О.
Верхние знаки (+ или —) соответствуют j = 1, ниж:ние — j =
pep
= М^ — 1. Шаг г разностной сетки в каждой из зон V\, V\, V,
е
V определяется соотношениями
MRi ' r^
* = 1, 2, ..., ЛГ)
м7
Величины границ раздела зон упругого и пластического пове-
поведения сред фг и 7определяются по формулам C.2.20) и C.3.5)
соответственно.
150 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
Производные функций Апт(г), Впт(г) в условиях D.1.3-4.1.6)
аппроксимируются конечными разностями типа A.6.2). При
этом условиям D.1.3) соответствует разностный вид
\Ао)
(8<P5 - тф1щ) - 2(bj+3) v>5 = 0,
1 l D.1.10)
L V Ro
Здесь
_ 2
Ro
(f2 = 2A — a*)
2a*aA\
If 1 \ Л .
= — [m- -) A+
(q), p
— A - q0)
m
На границе г — фг (г = 1, 2, ... N) имеем
(АЛ (- - -!-) + (А^х) -?- + (А^з) (J-) + (?Л
V J J г\ф1 2тф{/ \ J ) ir^i \ J Ji\2r^iJ \ J J г
4
r|.
TRi
+з)J =0, D.1.11a)
4.1] Моделирование отказа горизонтальной выработки 151
= 0.
Тд.1. V J ' J i \ J ' J i \ J ' J i\
Здесь
^9 = " ( /2 - fl*v2fej ),
Для условий на границе г = j в соотношениях D.1.11)
следует заменить индексы pi и е^ на р и е, шаг разностной сетки
Тгф{ на т7 и тд^ на те, величину ^ на 7, коэффициентам <рд и
присвоить значения
= ^13 = 0, (рю = <pi4 = -^— B - \/2А;),
4та* V /
На границе г = Ri (i = 1, 2, ..., TV, при г = Npi+\ = _р,
1 = ^) представим условия D.1.5) в виде
г+l
г+l
D.1.12)
+ 4fl_2V-
Здесь
2ma*
152 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
Условия на бесконечности D.1.6) преобразуются к виду
3Aj - Щ-i + Aj-2 = 0, 2Aj - 5Aj-i + Щ-2 - Aj_3 = 0,
D.1.13)
Wj - 4B,_i + Bj_2 = 0, 2Bj - ЪВ^Х + 4Б^_2 - Bj_3 = О,
В соотношениях D.1.10)—D.1.12) константы В\, А\ (г = 1, 2, ...
...,7V) определяются формулами C.2.19).
В результате получаем бесконечную систему однородных
алгебраических уравнений, линейных относительно парамет-
параметров Апт, Впт, Агпш, Вгпш [г = 0, 1, ..., N). Отсюда следует,
что определение допустимых комбинаций критических парамет-
параметров контактных давлений qi {г = 0, 1, ..., 7V), соответствую-
соответствующих локальной потери устойчивости горизонтальной выработки
с многослойной крепью сводится к разрешимости матрично-
матричного уравнения, что в свою очередь соответствует равенству
нулю определителя конечной разностной системы уравнений
D.1.7)—D.1.13) при ограничении числа членов в рядах A.5.21).
При вычислении определителя наряду с основным напряженно-
V е
деформированным состоянием для каждой области V\, V\ {% =
V е
= 1, 2, ..., N) крепи C.2.18), C.2.19) и областей V, V масси-
массива C.3.3), C.3.4) необходимо учитывать уравнения C.2.20) и
C.3.5), определяющие положения упругопластических границ
ipi многослойной крепи и 7 B горном массиве. Минимизация
должна производиться по шагу разностной сетки, параметрам
волнообразования по контуру т и образующей п, параметрам
материала и конструкции Aj.
Таким образом, получаем задачу многомерной оптимизации
величин qi (г = 0, 1, 2, ..., N) в зависимости от m, n при усло-
условии равенства нулю определителя полученной алгебраической
системы: det(^, га, n, Xj) = 0.
Ненулевые элементы определителя \х^\ следующие:
Хц = 2т2(р
2т2(^з - ЗТ(^4 + 4(р5, ^15м+3 = 4
1 = 2тга,
2тV7
где т =
4.1] Моделирование отказа горизонтальной выработки 153
Вышеприведенные элементы записаны в точке г = Rq:
, м+2 = 2тСе - т2^5 - З^т, ж4,м+з = 2т3?4 - 4т?6 + 10fг,
D.1.14)
6^7, ^4, M+6 =
D.1.10)
здесь j = 5, 6, 7, ..., Мф1 + 1, j = г - 4, А; = j + М + 1, Сп =
При г = 2М^ + 5, 2М^ +6, ..., 2М^ + МЙ1 + 1, j = г -
М^х - 4 в D.1.15) следует принять ^п = Кп(г) I 2гдх ^ г ^
Ri - 2rRl, t = tRi.
Пг 2М2М
[V -I
?n(r) , 2t^2 ^ г
ф ф
При г = 2М^1 + 2МЯ1 + 2М^2 +5, ..., 2М^1 + 2MRl
+ MR2 + 1, j = i — Мфх - MRl - Мф2 - 4 в D.1.15) необходимо
положить ?п = [L(r)J2> т = тя2, 2тя2 ^ г ^ i?2 - 2тя2.
Проводя аналогичные выкладки, получим соотношения для
р е р е ре
областей Уз? ^з? ^4^ Va-> ••••> Vn-> Vn- В общем виде эти
соотношения можно записать в следующей форме:
при i = 2Мф1 + 2MRl + 2Мф2 + ... + 2МЯа_! + 5, ..., 2Мф1 +
+ 2МЯ1 + 2Мф2 + ... + 2МЯа_х + Мфа + 1, j = i-Mi,1-MRl -
— Мф2 — ... — MRa_1 — 4 в D.1.15) требуется положить ?п =
гР -|
= Кп(г) ? 2т^а ^ г ^ ^а -2т^а, т = Тфа1 а = 1, 2, ..., 7V;
L J а
при г = 2M^X + 2МЯ1 + ... + 2Мфа +5, ..., 2М^1 + 2МЯ1 +
+ ... + 2Мфа + МЯа + 1, j = г - Мф1 - MRl - ... - Мфа - 4 в
D.1.15) надо положить ?п = [|п(гI , 2тЯа ^ г ^ Да - 2rRa,
г = гда, а = 1, 2, ..., ЛТ;
154 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
при г = 2Мф1 + 2MRl + ... + 2Мфн + 2MRn + 5, ..., 2Мф1 +
М 2М2ММ 1 j iMM
v
-M^n-MRn-4:B D.1.15) примем ?n = fn(r), 2т7 ^ г ^ 7~2г7,
Обозначим через р = ^ (M^k + M#fc) + М7, тогда в соотно-
к=1
шениях D.1.15) при г = 2р + 5, 2р + 6, ..., 2р + Ме + 1, j = г —
о е
— р — 4 положим ?п = ?п(г), 2те ^ г ^ R* — 2те, т = те. Здесь и
далее Д* — безразмерный радиус, при котором ставятся условия
локальности возмущений:
Здесь г = М^ + 2, М^ + 3, ..., 2М^ - 2, j = i - М^ - 1,
А; = j + М + 1, ?п
— MRl — 1 в D.1.16) надо положить ?п = |п(г) , 2тдх ^ г ^
^ Ri - 2rRl ,t = tRi.
V е
В общем виде соотношения для i, j, (n, т в областях Va, Vai
V е
V, У (а = 1, 2, ..., 7V) можно представить следующим образом:
при г = 2Мф1 + 2MRl + 2Мф2 + 2МЯз + ... + 2Мфа +
+ 2, ..., 2М^: + 2MRl + ... + 2М^а - 2, j = i-Mi,1- MRl -
- Мф2 - ... - Мфа - 1 в D.1.16) положим ?п = [Сп(^Ж, 2т^а ^
^г ^фа- 2тфа ,т = тфа, а = 1, 2, ..., N;
при г = 2М^: + 2MRl + 2М^2 + ... + 2MRa + 2, ..., 2М^: +
+ 2МЯ1 + ... + 2МЯа - 2, j = ъ - Мф1 - MRl - ... - MRa - 1 в
D.1.16) надо положить ?п = Kn(r) , 2rRa ^ r ^ Ra - 2rRalr =
L J a
= гда, a = 1, 2, ..., ЛГ;
при г = гм^+гМд^.-.+гм^+гМд^+Му+г,..., 2^-2,
О L
j = i — p — 1b D.1.16) примем ?n = ?n(r), 2r7 ^ r ^ 7 — 2r7,
при i = 2p + Me + 2, 2j9 + Me + 3, ..., 2M - 2, j = г - M - 1
e
в D.1.16) положим ?n = ?n(r), 2re ^ r ^ R* — 2те, т = re.
4.1] Моделирование отказа горизонтальной выработки 155
Элементы: x^i+i, x^i+2, ^г,/+з, Xi,i+s+M (I = Щх + MRl +
+ ... + Мфа_1 + MRa_x, 5 = 2, 3, ..., 6, г = 2/ + 3) совпадают
с соответствующими элементами в D.1.14), где необходимо толь-
ко положить in = ?п(Да_1 + Тфа)\ , т = Тфа1 а = 2, 3, ..., N.
То же справедливо и для элементов Жг,г+ъ жг,/+25 ^г,/+з5
^ +МЯ1 +... + МЯа_1 + М^, 5 ='2, 3, ..'., 6,
п= kn(Ra-i + тфа)] , т = rRal а = 1, 2, ..., N,
а так же для элементов: ж^р+i, ж^р+2? ^г,р+з5 ^^/+5" (/ = М +р,
= 2, 3, ..., 6, г = 2/+3), где надо положить ?п = Сп(т + ^у) '
т:
т = те:
D.1.17)
Здесь 1 = М + Мф1,{ = 2Мф1 + 4, Cn = [fnW>i + r«i)] 1? r = rRl.
Элементы x^i+s (l = Щ± + Мйи 5 = 1, 2, ..., 5), х^м+1+2,
ж^м+г+з5 жг,м+г+4 ПРИ г = 21 + 4 определяются из соответ-
соответствующих выраж:ений D.1.17), где следует только положить
\р 1
in = ?n(^i+TV;2) 5 т = т^2- Отличные от нуля элементы
ер V е V е
в областях Т^2? ^з? • • • ? ^tv5 ^tv5 ^5 ^ имеют вид
элементы ж (^ M +
+ МД1 + М^2 + ... + МЯа_15 S = 1, 2, ..., 5, % = 21 + 4) опре-
определяются из соответствующих выражений D.1.17), где следует
ГР 1
положить ?п = \€n(Ra_i + Тфа)\ , т = т^а, а = 2, 3, ..., N + 1;
элементы a^j+s, ?г,м+г+2, ^г,м+г+з? ^г,м+г+4 (^ = М^х +
+ МД1 + Мф2 + ... + МЯа_!; 5 = 1, 2, ..., 5; г = 2/ + 4) опре-
определяются из соответствующих выражений D.1.17), где следует
\р 1
положить ?n = \€n(Ra_i +Тфа)\ , г = г^,а, а = 2, 3, ..., iV + 1;
элементы ж^/+5, ^, , 5 ^
+ MRl + ... + Мфа; 5 = 1, 2, ..., 5; г = 2/ + 4) определяются
из соответствующих выражений D.1.17), где следует положить
, г = гДа,а = 1, 2, ...,7V + 1.
156 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
е ер р
При а = TV + 1 следует положить Уа = V, Va = У
D.1.18)
Здесь / = Мф1 +MRl + .. . + М^а, г = 2/-1, fn = fnWv* - т^а) ,
L Jq
т = т^а, а = 1, 2, ..., TV + 1; при а = 7V + 1 следует положить
р р
Вид аналогичный соотношениям D.1.18) имеют следующие
группы элементов ж^_ь x^h ж^г+ь x^M+i+s (I = ^i + MRi +
+... + M^a; 5 = —2, —1, ..., 2; г = 2/ — 1), где следует положить
, г = тЯа, а = 1, 2, ..., N:
,
Здесь / = Мф1 + МД1 + ... + Мфа1 г = 21 - 1, ?n = [
~ тФа)\ •> т = Нос•> а = 1j 2, • • •, N + 1; при a = TV + 1 следует
J a
р р
ПОЛОЖИТЬ Vа = V.
Вид аналогичный D.1.19) имеют следующие группы элемен-
элементов: Xij+s, Х^м+и X^M+l+Ъ xi,M+l+2 (I = Щг + Mrx + ...
... + MRa, S = -3, -2, ..., 1, г = 2/), где надо принять ?п =
= [In (^a - TRa)] ,r = TRa,a=l,2,...,N.
L J a
В строке г = 2Мфа +1 (а = 1, 2.., TV) расположены элементы
вида г 2 1 3
2 2
4.1] Моделирование отказа горизонтальной выработки 157
Для г = 2Мгфа + 2 (а = 1, 2.., 7V) верны соотношения
1 4 5
Ж Х х
о f 1 1
= 2 I — - —
тфа rRa
— _JL — _L + /2 2
В этих строках B7V строк) вычисления соответствуют точкам
r = il>a{a = l,2,...,N).
При i = 2l + l {1 = Мф1 + МЙ1 + ... + MRa, а = 1, 2, ..., N)
элементы определителя вычисляются по формулам
_ 1 , 3 _ 2 _ *
- 4- ) , D-1.20)
При i = 21 + 2 имеем
1
= Z
г2
1
Эти 27V строк соответствуют граничным условиям на линии
сопряжения i-го и % + 1-го слоев крепи и массива. При а = N
р р
следует положить Vа+\ = V', т^а+1 = т7.
о
При г = 2р + 1 имеют место элементы:
_ _ 1 _ 2 _ 1 _ 3
%i,p—1 — ^ ^ ^гр — ^ ^г,р+1 — ~ ~ 1
D.1.21а)
^?14 4(^14 5^14
-1 — ~^~? xi,M+p — ——-> X
т г
158 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
т . ( 2 2
7 W г}) г} D.1.216)
о
При г = 2р + 2 элементы имеют вид
5 _4
—, ^,р+з — —,
ге те те
Эти две строки соответствуют условиям на границе j раздела
упругой и пластической областей массива.
Оставшиеся элементы соответствуют значению г = R*:
Х2М-1,М-1 = 1? Х2М-1,М = —4, Ж2М-1,М+1 = 3,
Х2М,М-2 = —1, Х2М,М-1 = 4, Х2М,М = —5,
^2М,М+1=2, ^2М+1,2М = 1, ^2М+1,2М+1 = —4, D.1.22)
#2М+1,2М+2 = 3, ^2М+1,2М-1 = ~ 1, ^2М+2,2М = 4,
^2М+2,2М+1 = —5, ^2М+1,2М+2 = 2.
Таким образом, в рамках конечно-разностной схемы, задача
локальной потери устойчивости (отказа) горизонтальной вы-
выработки с многослойной крепью в трехмерном случае сведена
к разрешимости матричного уравнения det (xij) = 0, элементы
которого имеют вид D.1.14-4.1.22)
Результаты вычислительного эксперимента приведены на ри-
рисунках 4.1.1-4.1.4 для случая, когда горный массив содержал
выработку, подкрепленную двухслойной крепью. Рассмотрены
варианты: 1 — материал массива — песчаник, не опасный по вы-
выбросам, внешний слой крепи —железобетон, внутренний — бе-
бетон; 2 - материал массива — песчаник, не опасный по выбросам,
внешний слой крепи — бетон, внутренний - железобетон; 3 - ма-
материал массива — аргиллит, внешний слой крепи —железобетон,
внутренний - бетон; 4 - материал массива — аргиллит, внешний
слой крепи —бетон, внутренний —железобетон.
На рисунках 4.1.1-4.1.4 показана область критических значе-
значений контактных давлений gi, 6/2, при различной геометрии вы-
выработки и крепи, которым соответствуют значения параметров
волнообразования m = п = 4. При этом безразмерное значе-
значение гидростатического давления в нетронутом массиве gh =
= 0,01, геометрические параметры i?o/i?2 изменялись в интер-
интервале 0,001/1,1 -=- 0,005/1,1.
Анализ численного расчета показал:
локальная потеря устойчивости горизонтальной горной вы-
выработки с разномодульной двухслойной крепью происходит по
4-11
Моделирование отказа горизонтальной выработки
159
30,37
30,20
gh = 0, 01
— qo = 0, 005
- до = 0
Ro
11,1 14 16,0 1д21,23 2425,2
29
0,005
1,1
0,003
1,1
0,001
1,1
Рис. 4.1.1
27,31
Яо
4,0
Э,5 13'5 15,0 18'4 20,5 26,0 gi • 10
0,005
1,1
0,003
1,1
0,001
1,1
Рис. 4.1.2
160
Моделирование отказов горных выработок
[Гл.4
12,26
,5 11,0 qi • 10"
Рис. 4.1.3
7,0 8'4 9,0 10 11,0
Рис. 4.1.4
4.2] Моделирование отказа вертикальной выработки 161
осесимметричной форме, которой соответствуют значения пара-
параметров волнообразования т = п = 4. По-видимому, осесиммет-
ричная форма потери устойчивости горизонтальной выработки
будет реализовываться и при любом конечном количестве слоев
крепи;
область значений критических параметров, существенно за-
зависит как от физико-механических, так и геометрических пара-
параметров конструкции — рисунки 4.1.1-4.1.4;
при увеличении давления q$ на внутреннем контуре первого
слоя крепи значения критических контактных давлений, соот-
соответствующих локальной потери устойчивости, увеличиваются
(см. рис. 4.1.1).
4.2. Моделирование отказа вертикальной выработки
с многослойной крепью при совместном расчете крепи
с массивом горных пород
При добыче полезных ископаемых должно быть пройдено
большое количество вертикальных шахтных стволов, которые
являются долговременными и дорогостоящими инженерными
сооружениями. Устойчивость вертикальных выработок в упру-
упругих и упругопластических массивах, как отмечено во введении,
изучалась многими авторами [1, 2, 5, 108, 232, 257, 283]. При
этом в частности, показано, что локальная потеря устойчивости
вертикальной выработки кругового поперечного сечения проис-
происходит по осесимметричной форме.
Рассмотрим задачу о моделировании отказа вертикальной
выработки с многослойной (TV-слойной) крепью при совместном
расчете крепи с массивом горных пород, в предположении, что
слои работают совместно без проскальзывания и отставания.
Внутренний радиус i-го слоя — Д^-ъ внешнего — Щ. На внутрен-
внутреннем контуре i-го слоя приложена сжимающая нагрузка (/г-ъ на
внешнем qi (г = 1, 2, ..., N).
В этом случае начальное (докритическое) состояние в г-м
слое крепи описывается уравнениями C.2.18) и C.2.19). Грани-
Граница раздела ipi упругой и пластической областей определяется
из C.2.20). Основное напряженно деформированное состояние
в массиве определяется соотношениями C.3.3) и C.3.4). Граница
раздела 7 вычисляется из C.3.5).
Будем рассматривать осесимметричную форму потери
устойчивости, тогда и = u(r, z\ v = 0, w = w(r, z). Согласно
A.5.2) имеем соотношения B.2.3), т. е.
аг = а + B — а*)и г + a*-, gq = а + B — а*)- + а*и г,
Т т ' D.2.1)
az = a-\-2w^z, arz = uiZ + w^r.
При а* = 0 в D.2.1) приходим к решению в упругой области.
6 А.Н. Спорыхин и А.И. Шашкин
162 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
Решение линеаризированной системы уравнений устойчиво-
устойчивости A.5.16) для цилиндрических задач в случае осесимметрич-
ной формы потери устойчивости (v=0) с учетом D.2.1), выберем
в виде
ОО ОО
и = ^ An(r) cos(nz), w = ^^Cn(r) sin(n^),
п
а = ^Dn(r) cos(nz).
п
Тогда повторяя результаты § 2 второй главы оставшиеся два
уравнения системы A.5.22) для краткости запишем в виде
D'(r) = Фг(г), D(r) = -1 Ф2(г). D.2.2)
Дифференцируя второе уравнение D.2.2) по г и вычитая его из
первого, получим
1ф/2 + ф1 =0. D.2.3)
п
Из условия несжимаемости A.5. 24) следует
С = -- (А1 + -а) . D.2.4)
Исключая, с помощью равенства D.2.4) функцию G, уравнение
D.2.3) можно переписать в терминах функции А:
r) + &A(r) = 0, D.2.5)
где
fi = 1 + <тг, 6 = ^ B + ог + ere + rar,rJ ,
?з = п2 (ап - а33) + - (сгг^ + ов г ) - — A + 2<тг - а^ ) ,
г \ / г2 V /
Сб = --г A + 2аг -а^) + — 2crr?r -GQ г)
г4 V / г3 \ /
Система уравнений D.2.5) соответствует областям пластиче-
р е
ского У и упругого V при а* = 0 деформирования массива. Если
же функции А и компонентам тензора напряжений припишем
v е
нижний индекс г, то D.2.5) будет соответствовать зонам Vi и Vi
г-ro слоя крепи {г = 1, 2, ..., N).
Граничные условия A.5.23) на внутреннем контуре первого
слоя крепи при г = Rq с учетом D.2.1) и выбора формы потери
4
-п .
4.2] Моделирование отказа вертикальной выработки 163
устойчивости таковы:
=0.
Из условий сопряжения A.5.3) на упругопластической границе
фг (г = 1, 2, ..., N) в этом случае получим
(А).-(А).-о, (А-).-(А').-с
\ / г \ / г \ / г \ / г (Л О 7\
/Р \ /е \ /р \ -1 /Р\ \ • • /
I /1" 1 I Aff \ П I /lM ( Л 1 П
\ /г V /г V / г ipi \ / г
На границе раздела 7упругой и пластической областей мас-
массива имеют место условия аналогичные D.2.7), в которых сле-
следует опустить индекс ги^ заменить на 7-
На границе i-го и (г + 1)-го (г = 1,2,..., iV) слоев крепи
согласно A.5.12) имеют место соотношения
(а) -(А) =о, Га') -(А')=о,
V /г+1 V /г V /г+1 \ Ji (ло qn
= 0, [А1] -—(А) =0.
г+1 V /г V /г+1 Ri V /г+1
Из условия локальности возмущений Uj —)> 0 при г —)> оо
следует
А1 = 0, А" = 0. D.2.9)
Таким образом, получили замкнутую краевую задачу
D.2.5)-D.2.9), коэффициенты уравнений которой зависят от
безразмерных параметров материалов сг-, /сг-, с, /с, радиусов i?o,
г/ji, i?z-, 7 интенсивности нагрузок qi, q$ (i = 1,2, ...,7V),
параметра волнообразования п и глубины h. Эту задачу
в терминах функции А полож:им в основу исследования
отказов вертикальных выработок с многослойной крепью
при упругопластическом поведении массива и крепей и
докритическом состоянии определенном выше в § 2 и 3.
Для решения задачи, как и ранее, будем использовать ко-
конечно-разностный метод. Обозначим через 6зг' (i = 1, 2..., 5)
коэффициенты уравнения D.2.5) и через Ьц (г = 1,2..., 4)
164 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
и &2г (* = 1? 2, 3) коэффициенты уравнений D.2.6). Функции
v
А(г) и ее производным следует в каждой зоне конструкции V{,
е
Vi (г = 1, 2, ..., N) присвоить индексы pi и е^ соответственно.
Перейдем с помощью аппроксимаций A.6.1), A.6.2) от диффе-
дифференциальных уравнений к разностным уравнениям.
Уравнение равновесия D.2.5) преобразуется к виду
+А/FЬ31 -2т26зз+т46з5)+^+1 (-463i - т632 + т2633
+ Aj+2(b3i + ^b32) =0, D.2.10)
а граничные условия D.2.6) принимают вид
(А3) i (т%и - 3-тЧ13 + 2тЪ12 - hu) + (Vi) l х
х (96ц - 5тЬ12 + 2т2Ь13) + (Ii+2)i Dт612 - \ т2613 - 126ц) +
7Ъп-тЬ12) + (Aj+A (-^тЧп) = 0,
(
D-2-11)
Ij) i B621 - \ тЪ22 + т263з) (V)
- Т-Ъ22) + (Ii+3)i (-621) = 0.
Условия сопряжения D.2.7) при г = фг (г = 1,2,...,
перепишутся в форме
Р \ /Р \ /Р \ /Р
D.2.12)
Если в соотношениях D.2.12) убрать индексы г, а величину ф{
заменить на 7, то получим условия на границе г = j.
4.2] Моделирование отказа вертикальной выработки 165
Условиям D.2.8) соответствуют соотношения
1 / е \ /е \ /е \ /Р \ Л /Р \
±(А,-_2) -2(Aj-1) + 3L4 -2[Aj+1) +-[Aj+2) =0,
z\ /г V /г \ / г V / г+1 ^ V /г
/е \ /р \
-4МЛ +5L4i+i
V /г V /г+1
= 0, D.2.13)
г+1 V /г+1
Условия на бесконечности D.2.9) преобразуются к виду
34;- 4Vi + Aj-2 = 0,
D.2.14)
2Л^ - 5Aj_i + 4:Aj-2 ~ Ajs = О
Система уравнений D.2.9)-D.2.14) представляет собой беско-
бесконечную систему однородных алгебраических уравнений линей-
линейных относительно величин Ап, Агп (г = 1, 2, ..., N). Следова-
Следовательно, как и в предыдущем параграфе, исследование вопроса
о локальной потере устойчивости (об отказе) вертикальной вы-
выработки с многослойной крепью при совместном расчете крепи
с массивом горных пород сведено к определению допустимых
комбинаций критических параметров контактных давлений qi
[г = 0, 1, ..., 7V), из условия равенства нулю определителя
конечно-разностной системы уравнений D.2.9)—D.2.14).
Ненулевые элементы определителя det (xij) следующие:
хц = т3&14 - - г2bis + 2r6i2 - - Ьп, х12 = 9Ьц - 5rb12 + 2т2Ь13,
х13 = 4r6i2 - - r2b13 - 12Ьц, хи = 7Ьц - тЬ12,
з з D2Л5)
-^ т2&1Ь Ж21 = 2621 - " Тб22 + Т2623,
здесь Ьц = biz-(r) , г = 1, 2, 3, 4; &2г = ^2гМ ? * — 1? 2, 3,
L J1 V /1
Элементы
(Mi = М^х + МД1, j = Mi - 3, Мг - 2, ..., Mi)
166 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
^Mi+2, j+i (Mi = Мф1 + МД1, j = Mi - 2, Mi - 1, Mi)
определяются по соотношениям D.2.14) для хц (г = 5, 4, 3, 2)
и Ж2г (« = 4, 3, 2) соответственно, в которых только следует
ПОЛОЖИТЬ Ъц = &1г(г) , &2г = К>2г(О > г = ^1 • ОтЛИЧНЬЮ ОТ
ре ре
нуля элементы для областей V<2, V2, • • • , V n, Vn представимы
в следующей форме.
Элементы а
j = Ма_ь Ma_i + 1, ..., Ma_i + 4)
и
ЯМа_1+2, j+l (Ма = ^ (M^fc + Мдл),
/с=1
j = Ма-и Ма-1 + 1, • • • , Ма_г + 3)
определяются по соотношениям D.2.14) для хц (г = 1, 2, ..., 5)
и Ж2г (* = 1, 2, 3, 4) соответственно, где надо положить Ъц =
= bii(i?a-i) , &2г = &2i(^a-i) • Здесь а = 1, 2, ..., N и
L J a L J а
а = 1 принято Na-i = 0.
Элементы
при
жма+и+1 (Ма = ^ (M^fc + MRk), j = Ма-3, Ма-2, ..., Ма)
/с=1
и
жма+2,^+1 (Ма = ^ (M^fc +МЯ,), j =Ма-2, Ма-1, Ма)
k=l
определяются по соотношениям D.2.14) для хц (г = 5, 4, 3, 2)
и Ж2г (i = 4, 3, 2) соответственно, в которых полож:им Ъц =
= \bii(Ra)] , &2г = [б2»(ЛаI а = 1, 2, . . . , ЛГ.
Элементы
= f^
к=1
j = MN, MN + l,..
N
XMN+2,j+l
k=l
j = MN, MN + 1, ..., MN + 3)
4.2] Моделирование отказа вертикальной выработки 167
определяются по соотношениям D.2.14) для хц (г = 1, 2, ..., 5)
и %2% (i = 1, 2, 3, 4) соответственно, где надо положить Ьц =
р р
b() b Ь()
2
= -4Ь31 + Тб32 + Т2633 - у Ь34,
31 33 + %6,
з * *
г, j+З = -4Ь31 - Тб32 + Т2633 + у &34,
При г = Ma_i + 3, Ma_i + 4, ..., Ma_i + М^а - 1, j = г -
Ма = ^ (Мфк + МдЛ), Мо = 0, а = 1, 2, ..., 7V в D.2.16) надо
к=1
ПОЛОЖИТЬ bss = &1г(^) ; Да-1 + 2т ^ Г ^ ^а ~ 2т.
При г = Ma_i + М^а + 3, ..., Ма - 1, j = г - 1, Ма =
а
= ^2 (Мфк + Мцк), а = 1, 2, ..., N в D.2.15) надо положить
к=1
bss = \bii(r)] ,фа + 2т^г^11а-2т.
При г = MN + 3, Мдт + 4, ..., Мдт + М7 - 1, j = г - 1,
TV p
Мдт = ^ (^А/е + M-Rk) в D.2.16) надо положить bss = &1г(^)?
/с=1
RN + 2т ^ г ^ 7 - 2т-
При г = Мдт + М7 + 3, ..., MN + М7 + Ме - 1, j = г - 1,
^ D.2.16) надо положить b3s =
к=1
7+2т ^ г ^ i?* —2т; Mg — количество точек разбиения в упругой
области массива, R* — радиус массива, при котором ставятся
условия локальности возмущений:
при j = Ma_i + Мфа
X X X = ^JJ = ~~ ' хЗ>3 + 1 = ^'
при j = Ma_i + Мфа + 1
XJ,J-3 = xj,j+3 = 1? ^J,J-2 = X
Xj^j — i — Xj^j-\-\ — O, Xjj — 4;
168 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
при j = Ma_i + Мфа + 2
1 q 3 т<фа
xJJ-3 = -j xj,j-2 = ~А X3,3-1 = 2 ~~ "X"'
при j = Ма
X x Х
2 ~ Х33 ~ ~^">
при j = Ма + 1
^¦,j-i = ^-, j+i = 5> жл = -4;
при j = Ма + 2
xh3-% = 2' Х3,3-Ъ = ~^' xh3-^ = 2 ~~ ^^
Здесь а = 1, 2, ..., 7V и при а = 1 принято iVa-i = 0;
при j = Мдг + М7
x3J+z = xh3-± = 2' ^ ж 2 х
при j = Mn + M7 + 1
x j,j-i — xj,j+i — 5, Xjj = —4;
при j = Мде + M7 + 2
_ 1 _ _9 _ 3 _ r7 ш
xh3-% ~ 2' xh3-i ~ A-> xJJ-i — 2 '
при j = Мде + M7 + Me
x3J+z = xh3-± = 2' ^J+2 = ^ = -2, xi5j-+i = 3;
при j = Мде + M7 + Me + 1
x j,j-i — x 3,3+1 — 5, Xjj = —4;
при j = Мде + M7 + Me + 2
xh3-z = 2' xi'i-2 = ~2' xj,j-i = 2 ~ "д7
,m-2 = xm+i,m-i = 0, жм+1,м = -j
3
N
%М+2,М+2 = 1, М = Yl (Mi>k + MRk)
k=l
4-21
Моделирование отказа вертикальной выработки
169
Таким образом, в рамках конечно-разностной схемы, задача
локальной осесимметричной формы потери устойчивости вер-
вертикальной выработки с многослойной крепью сведена к раз-
разрешимости матричного уравнения det (хц) = 0 с элементами
отличными от нуля, приведенными выше. При этом при вычис-
вычислении определителя det(x^), наряду с основным напряженно-
р е
деформированным состоянием для каждой из областей V\, V\
[г = 1, 2, ..., N) крепи C.2.18), C.2.19) и областей V, V массива
C.3.3), C.3.4), необходимо также учитывать уравнения C.2.20)
и C.3.5), определяющие положения упругопластических границ
*фг многослойной крепи и j — в горном массиве. Минимизация
должна проводиться по параметру волнообразования п, пара-
параметрам материала и конструкции Aj.
Таким образом, как и в предыдущем параграфе, получаем
задачу многомерной оптимизации величин qi (г = 0, 1, 2, ..., N)
в зависимости от п при условии равенства нулю определителя
полученной алгебраической системы: det (qi, n, Xj) = 0.
Численный расчет проводился для случая, когда горный мас-
массив аргиллита содержал выработку, подкрепленную двухслой-
двухслойной крепью. Причем материал внешнего слоя крепи — бетон,
внутреннего —железобетон. Результаты расчета представлены
на рисунках 4.2.1-4.2.3.
74 -
72,92 -
71,84 -
70,76-
69,69 -
q2 • 1U "
P
gh = 0,001
^^^ -qo = 0,01
64,60
65,70
66,80
67,90
69 q1 • 10"
1,3
0,03
Рис. 4.2.1
0,01
1,3
На рис. 4.2.1 показана область критических значений пара-
параметров контактных давлений gi, 6/2 при различной геометрии
170
Моделирование отказов горных выработок
[Гл.4
конструкции, которым соответствует значение параметра вол-
волнообразования п = 2. При этом принималось безразмерное зна-
значение гидростатического давления в нетронутом массиве gh =
= 0,01, геометрические параметры Rq/R2 изменялись в интерва-
интервале 0,01/1.3-=-0,1/1,3. На рис. 4.2.2 показана область критических
96,600 -
96,595
87,481
87,475-
83,359
78,101.
78,095"
70,118
56,877
43,642
43,636
i-з
Ro 0,01
42,240
42^237
55,220
qi • Ю
-з
,203 76,118 81Д86 85,240 94,167
76,120 94,170
Рис. 4.2.2
значений параметров контактных давлений q\, q% при значениях
безразмерной величины гидростатического давления gh изменя-
изменяющихся в интервале 0,03 -=- 0,07, при этом геометрические пара-
параметры R0/R2 = 0,01/1,1. На рис. 4.2.3 представлена зависимость
оптимальной толщины крепи от
безразмерной величины гидро-
гидростатического давления (от глу-
глубины заложения выработки).
Анализ численного расчета
показал:
осесимметричная форма по-
потери устойчивости вертикальной
выработки с разномодульной
двухслойной крепью происхо-
происходит при значении параметра
0,1 I
1,1
0,06
1,1
0,02
1,1
Ro/Ri
\
\
V
\
к
\
о — и
1
0,01 0,03
Рис. 4.2.3
0,04 gh
волнообразования п = 2;
с ростом гидростатического давления критические контакт-
контактные давления ^ {% = 1, 2) возрастают (см. рис. 4.2.2);
4.3] Устойчивость многослойной разномодульной крепи 171
при увеличении давления qo на внутреннем контуре первого
слоя крепи значения критических контактных давлений, соот-
соответствующих локальной потери устойчивости, увеличиваются
(см. рис. 4.2.1);
оптимальная толщина крепи существенно зависит от глуби-
глубины заложения выработки (см. рис. 4.2.3);
область значений критических параметров, определяющая
отказы выработки существенно зависит от геометрических па-
параметров.
4.3. Исследование устойчивости
многослойной разномодульной крепи
вертикальной горной выработки в массивах,
обладающих упругопластическими свойствами
Как отмечалось выше крепежные конструкции (крепи) гор-
горных выработок являются долговременными и дорогостоящими
инженерными сооружениями. Поэтому вопрос об устойчиво-
устойчивости самих крепей является также актуальным вопросом, как
в плане их безаварийной эксплуатации, так и в экономическом
плане.
В этом параграфе моделируется потеря устойчивости мно-
многослойной (TV-слойной) крепи, подкрепляющей вертикальную
выработку. Действие массива на внешний слой крепи опреде-
определяется соотношением C.3.3) при г = Rjy. Предпологается, что
слои работают совместно без проскальзывания и отставания.
Внутренний радиус i-го слоя — Д^-ъ внешнего — Щ. На внутрен-
внутреннем контуре i-го слоя приложена сжимающая нагрузка (/г-ъ на
внешнем qi (г = 1, 2, ..., N).
Докритическое напряженно-деформированное состояние в
г-м слое крепи описывается уравнениями C.2.18) и C.2.19). Гра-
Граница раздела фг упругой и пластической областей определяется
из C.2.20). Основное напряженно деформированное состояние
в массиве определяется соотношениями C.3.3), C.3.4). Граница
раздела 7 вычисляется из C.3.5).
Математическая модель для исследования потери устойчиво-
устойчивости состояния равновесия разномодульной крепи вертикальной
выработки, в случае осесимметричной формы потери устойчи-
устойчивости и = гл(г, z), v = 0, w = ги(г, z\ как и в предыдущем
параграфе, сводится к бесконечной системе обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений состоящей из
уравнений равновесия D.2.5) для каждой из областей упру-
е V
того V и пластического V деформирования слоев крепи (г =
= 1, 2, ..., N)\ условий на внутреннем контуре первого слоя
крепи при г = Rq D.2.6);
172 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
условий на внешнем контуре последнего слоя крепи при г =
= Rn D.2.6), где надо опустить индекс 1, при этом действие
op ор
массива на крепь, т. е. величины оТ и оq определяются из
соотношений C.3.3);
условий сопряжения на упругопластической границе ф^ (г =
= 1,2,..., iV) D.2.7); условий сопряжения на границе i-го и
(г + 1)-го (г = 1, 2, ..., N - 1) слоев крепи D.2.8).
Таким образом, получили замкнутую краевую задачу в тер-
терминах функции А, коэффициенты уравнений которой зависят
от безразмерных параметров материалов с^, А;^, радиусов ^, i?^,
интенсивности нагрузок q^ qo [г = 1, 2, ..., TV), параметра вы-
выпучивания п.
Отметим, что если в полученной краевой задаче количество
слоев крепи N положить равным 1, то приходим к результатам
работы [283].
Для решения задачи, как и ранее, будем использовать ко-
конечно-разностный метод. Обозначим через &зг (i = 1, 2..., 5)
коэффициенты уравнения D.2.5) и через Ьц (г = 1, 2..., 4) и Ь2%
(г = 1, 2, 3) коэффициенты уравнений D.2.6). Функции А(г) и
V е
ее производным следует в каждой зоне конструкции Vi, V{ (г =
= 1, 2, ..., N) приписать индексы р , е и г соответственно.
После применения обычной процедуры получим бесконеч-
бесконечную систему однородных алгебраических уравнений линейных
относительно параметров Агп (г = 1, 2, ..., N).
Ненулевые элементы определителя det(xij) полученной си-
системы следующие:
хп = т3Ъи - - r2bis + 2rbu - - Ьц,
х12 = 9Ьц - 2
-
3 - 12Ьц, Ж14 = 7Ьц - тЬ\2, D.3.1)
= -" Т2Ьц, Ж21 = 2Ь21 - -
здесь Ьи = [ЬнИ]1? г = 1, 2, 3, 4; Ь2г = [^(г)]^ г = 1, 2, 3,
о
Элементы xMi+i,j+i (Mi = М^ + Мд1? j = Mi - 3,
Mi - 2, ..., Mi) и xmi+2, j+i (Mi = Мф1 + МД1, j = Mi - 2,
Mi — 1, Mi) определяются этими же соотношениями D.3.1) для
хц (г = 5, 4, 3, 2) и Ж2г (« = 4, 3, 2) соответственно, в которых
4.3] Устойчивость многослойной разномодульной крепи 173
следует положить Ьц = ЬнО") , b2i = ^2г(^) 5 r — R\- Для
ре ре
областей V2-, У 2^ ••• , Vn, Vn отличные от нуля элементы
определителя запишутся так:
элементы
j = Ма_ь Ma_i + 1, ..., Ma_i + 4)
и
а
^Ma_1+2,J+1 (Ма = ^ (Щк + МдЛ),
/с=1
j = Ма_ь Ma_i + 1, ..., Ma_i + 3)
определяются по соотношениям D.3.1) для хц (г = 1, 2, ..., 5)
и Ж2г (« = 1, 2, 3, 4) соответственно, где надо положить Ьц =
, b2i = [b2i(i2a-i)l ; здесь а = 1,2, ...,7V и
принято при а = 1, -/Vq-i = 0;
элементы
а
жма+и+1 (Ма = ^ (Л^,Л + МдЛ), j = Ма-3, Ма-2, ..., Ма)
/с=1
И
^ + МдЛ), j = Ма- 2, Ма - 1, Ма)
/с=1
определяются по соотношениям D.3.1) для хц (г = 5, 4, 3, 2)
и Ж2г (« = 4, 3, 2) соответственно, в которых положим Ьц =
= \bu(Ra)] , &2г = [Ь2г(ДаI а = 1, 2, ..., N:
:%¦ = &31 - | ^32, Ж», j+i = -4Ьз1 + Т&32 + Т2633 - у &34,
xitj+2 = 6&31 - 2т2Ьзз + т4635, D.3.2)
Жг, j+З = -4&31 - тЬ32 + Т26з3 + у ^34, Жг>:?-+4 = &31 + ^32-
При г = Ma_i + 3, Ma_i + 4, ..., Ma_i + М^,а - 1, j = i - 1,
^fc + МдЛ), Мо = 0, а = 1, 2, ..., N в D.3.2) надо
/с=1
ГР 1
^ Va - 2т;
ГР 1
положить b3s = \Ьц(г) , Да_1 + 2т
L J a
174 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
при % = Ma_i + Мфа + 3, ..., Ма - 1, j = % - 1, Ма =
а
^2 ), а = 1, 2, ..., 7V в D.3.2) надо положить
к=\
\
= \bii(r)] , V>a + 2т ^ г ^ Да - 2т:
L J a
при j = Ma_i + М^а
х x
2 ~ хп ~ ~^">
при j = Ma_i + Мфа + 1
при j =
при j = Ma
X3,3+3 = xj,j-l = -?
при j = Ma + 1
^¦, j-i = ^-, j+i = 5> жл = -4;
при j = Ma + 2
_ 1 _ _o _ 3 _ гяа
Xh3-S — 2' Xi'i-2 ~ Z' X3,3-1 — 2 ^R~
здесь a = 1, 2, ..., TV и принято -/V^-i = 0 при а = 1:
,m-i = 0, жм+1,м = -j
3
+ MRk).
к=1
Очевидно, при вычислении определителя det {хц) вместе
с нахождением основного напряженно-деформированного со-
V е
стояния для каждой из областей Vi, Vi {% = 1, 2, ..., N) крепи —
C.2.18), C.2.19) и областей V, V массива C.3.3), C.3.4) необ-
необходимо учитывать уравнения C.2.20) и C.3.5), определяющие
положения упругопластических границ ipi многослойной крепи
и j — в горном массиве.
4-31
Устойчивость многослойной разномодульной крепи
175
Таким образом, как и в случае ранее рассмотренных задач
устойчивости, задача устойчивости многослойной крепи, когда
действие массива на крепь определяется величинами аг и Gq
согласно C.3.3), сводится к задаче многомерной оптимизации
величин qi (г = 0, 1, 2, ..., N) в зависимости от п при условии
равенства нулю определителя полученной алгебраической систе-
системы, т. е. det(^, n, Xj) = 0.
Численный расчет проводился для случая, когда горный мас-
массив содержал выработку, подкрепленную двухслойной крепью.
При этом материал массива — аргиллит, внешний слой крепи —
бетон, внутренний —железобетон; Безразмерные характеристи-
характеристики песчаника, аргиллита, бетона и железобетона выбирались
согласно табл. 3.4.1.
На рисунках 4.3.1, 4.3.2 показана область критических
значений параметров контактных давлений q\, 6/2 при различной
геометрии крепи, которым соответствует значение параметра
д2 • Ю
56,11
55,69
55,64
55,28
54,48.
54,45
52,53 53,20
52,50 52,92 53,35
53,90 Qi
53,77 54,20
Ro
R2
0,
1
13
,1
0,
1
Рис.
12
Д
4.3.
.1
0,
1
11
I
0,1
волнообразования п = 2. При этом в первом случае на внутрен-
внутреннем контуре первого слоя крепи принято qo = 0,03, во втором —
qo = 0,01, безразмерное значение гидростатического давления
в нетронутом массиве во всех случаях принималось gh = 0,01,
176
Моделирование отказов горных выработок
[Гл.4
геометрические параметры i?o/i?2 изменялись в интервале
0,001/1,1-=-0,005/1,1.
54,52
53,32.
53,27
52,03
51,73
51,70
50 78
49,57.
49,54
10"
3
q0 = 0,01 gh = 0,01
А
/
/у
/
у
.,,'¦¦
/
47,83 49,70 51,40 52,77 Qi •
47,80 49,05 50,30 51,55 52,80
Ro
R2
0,13
0,12
Рис. 4.3.2
0,11
1,1
ОД
1,1
54,00
53,98
53,20
51,75
49,50
47,25
45,00
i = 37, 48-10"
i = 41, 66-10"
g/i = 44, 52-10
-з
^ = 45, 28-10"
434745,67 50,07434745,67 50,07^^45,67 50,07^^45,67 50,07^
0,13 0,12 0Д0001 0Д2 0Д0001 0Д0
Рис. 4.3.3
0,01
1,1
0,01
1,1
На рис. 4.3.3 показана зависимость области критических зна-
значений параметров контактных давлений q\, q2 от безразмерной
величины гидростатического давления gh, при геометрии крепи
4.4] Моделирование отказа сферической выработки 177
R0/R2 изменяющейся в интервале 0,01/1,1 -=- 0,13/1,1. Мате-
Материал массива — аргиллит, внешний слой крепи —железобетон,
внутренний —бетон. Здесь на внутреннем контуре первого слоя
крепи принято qo = 0.
Из анализа решений следует:
как и в случае, рассмотренным в § 2 этой главы, область
критических контактных давлений существенно зависит как от
геометрических, так и от физических параметров (см. рисун-
рисунки 4.3.1 и 4.3.2);
потеря устойчивости двухслойной разномодульной крепи
в осесимметричном случае происходит при значении параметра
волнообразования п = 2;
с ростом давления q$ на внутреннем контуре первого слоя
крепи значения критических контактных давлений gi, 6/2, со-
соответствующих локальной потери устойчивости, увеличиваются
(см. рисунки 4.3.1 и 4.3.2);
при увеличении гидростатического давления, а, следователь-
следовательно, при увеличении давления массива на внешний контур двух-
двухслойной крепи, критические контактные давления возрастают
(см. рис. 4.3.3).
4.4. Моделирование отказа сферической выработки
с многослойной крепью.
Для хранения нефти и газа, а также при размещении на-
насосных установок на практике часто используются сферические
полости. Для более надежной эксплуатации таких полостей их
укрепляют.
Далее рассмотрим вопрос моделирования потери устойчиво-
устойчивости сферической выработки с многослойной (TV-слойной) кре-
крепью при совместном расчете крепи с массивом горных пород.
Внутренний радиус i-го слоя крепи обозначаем через Дг-ъ а
внешний — Ri.K внутреннему контуру i-го слоя приложено сжи-
сжимающее усилие #г-ъ к внешнему qi (г = 1, 2, ..., 7V), величины
которых таковы, что образующиеся пластические области пол-
полностью охватывают внутренние контуры слоев.
Докритическое напряженно-деформированное состояние
массива около сферической выработки определяется соотноше-
соотношениями C.4.1), C.4.2), C.4.5) а в г-ом слое крепи соотношениями
C.4.1)-C.4.3), в которых следует провести соответствующую
замену, указанную в § 4 гл. 3. Уравнения для нахождения границ
раздела ipi [г = 1, 2, ..., N) и 7 зон упругого и пластического
деформирования в г-м слое крепи и в массиве горных пород
определяются уравнениями C.4.4) и C.4.6) соответственно.
Исследование устойчивости сферических выработок с мно-
многослойной крепью при совместном расчете крепи с массивом
178 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
горных пород сводится к решению сферической задачи
A.5.36)—A.5.38), которая состоит из уравнений равновесия,
граничных условий и условий непрерывности вектора поверх-
поверхностных сил и перемещений. Как и в предыдущих задачах этой
главы, в случае сферической задачи также будем пользоваться
конечно-разностной схемой.
После обычной процедуры применения конечноразностных
соотношений A.6.1)—A.6.2) к системе уравнений A.5.36) и гра-
граничным условиям A.5.37) при г = Щ (г = 0, 1, ..., 7V), в ко-
которой коэффициенты ац определяются по формулам A.5.9),
A.5.10) получим систему линейных алгебраических уравнений.
р р
При этом для аппроксимации производных функций А{, А (г =
= 1, 2, ..., N) в граничных узлах использовались односторон-
односторонние разности A.6.2) при г = Щ (г = 0, 1, ..., 7V), при г =
= ф{ (г = 1,2,..., iV) и при г = 7- Для внутренних узлов
применялись соотношения A.6.1). Аналогично заменялись про-
е е
изводные функций А{ и А (г = 1, 2, ..., N): в узлах г = ф^
[г = 1, 2, ..., N) и г = 7 разностями A.6.2), в узлах г = Ri
и г = Дх) (г = 1, 2, ..., N) разностями A.6.2), во внутренних
узлах разностями A.6.1).
Обозначим коэффициенты первого и второго уравнений си-
системы A.5.38) соответственно через b\s и &2s5 a коэффициенты
уравнения A.5.36)—Ьз*?. Тогда ненулевые элементы характери-
характеристического определителя алгебраической системы будут опреде-
определяться следующим образом:
Ь + 2тЪ - - T26i3, жО1 = 9Ьц - 2
= -12&Ц + 4r6i2 - - T26i3, жоз = 7Ьц -
т2623, D.4.1)
х12 = 462i - - т622, х13 = -r2b2i,
631 - -
26
Т633 Т634,
+ 6&31 - 2т2633, D.4.2)
б32 + Т2633 + " ^"^34,
4.4] Моделирование отказа сферической выработки 179
При г = 2, 3, ..., Мфг +2, j = г в D.4.2) надо положить bsk =
, RO <: Г <: Фъ Т = Т^1-
г = М^+3, М^+4, ..., M^+M^-IJ = г-1вD.4.2)
/е
положим 6s/c = (^s/cJ
При i = М^ + МД1 + 2, Мф1 + МД1 + 3, ..., Мф1 + MRl +
ф2 + 2, j = г в D.4.2) положим 6s/c = ^s/cJ ,
/ е \
- 1, j = г - 1 в D.4.2) положим bsk = [bskj ,
Ф2^г ^R2,r = tr2.
р е р е р е р е
Для областей Уз, ^з5 ^4, ^4, • • • , Vn, VN, V", У отличные
от нуля элементы определителя можно записать в форме:
при i = M^+ MRl + ... + Мфа_1 + MRoc_x + 2, ..., Мф1 +
+ МД1 + ... + М^а-1 + M^_: + Мфа + 2, j = г, а = 1, 2, ..., 7V
в D.4.2) положим 6s/c = f 6s/c 1 , Да_х ^ г ^ фа, т = Тфа (при
а=1, М^а_х =M^_: =0);
при ъ = Мф1 +MRl+.. . + MRa_1 +Мфа +3, ..., Мф1 +МЯ1 +
+ .. . + M^a+MRa — I, j = г —1, а = 1, 2, ..., iV в D.4.2) положим
, Фа ^ Г ^ Ra, T Ra;
р /с=1
j = г, в D.4.2) положим 6^^ = 6^^, Ддт ^ г ^ 7? т = тт5
при г = Mn + М7 + 3, ..., Mn + M7 + MR* — 1,
N ( W
= Yl \МФк +MRk) Ь J = i - !> B D.4.2) положим 6s/c = 6s/c,
/c=l
7 ^ г ^ Д*, г = тя*.
При г = M^1 — 1, j = М^1 — 4, ..., М^1 — 1 элементы
#ij совпадают с соответствующими элементами хц (г = 0, j =
= 0, 1, 2, 3) в D.4.1) где надо положить
/Р
При г = М^1 - 1, j = М^1 + 5, Мф1 +4, ..., Мф1 + 2 в соот-
соответствующих элементах D.4.1) положим
180 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
Аналогично выписываются отличные от нуля элементы для
р е р е р е р е
областей 1/2, У 2, Уъ, Уъ, ••• ? Vn, Уы, V, У- В общем виде
их можно записать в форме:
при г = М^1+Мд1+...+Мда_1+М^,а-1,<7 =г-3, г-2, ..., г,
а = 1, 2, ..., N элементы хц совпадают с соответствующими
элементами в D.4.1), где надо положить
при г = М^ + МЙ1 + • • • + МЯа_! + Мфа - 1, j = г +
+ 6, г + 5, ..., г + 3, а = 1, 2, ..., N элементы хц совпадают
с соответствующими элементами в D.4.1), где надо положить
/е \
= [bsk ) ,
V /а
N
k=l
— 3, г — 2, ..., г элементы ж^- совпадают с соответствующими
элементами в D.4.1), где надо положить
Ь3к = bsk, г = 7;
N
при г = Мдт + М7 — 1, Mn = ^ (М^ + Млк), j = i +
k=l
+ 6, г + 5, ..., г + 3 элементы ж^- совпадают с соответствующими
элементами в D.4.1), где надо положить
е
bsk = bsk, r = 7-
Для областей Уа, Уа, У, F (а = 1, 2, ..., N) получаем
при г = Мфх + MRl + ... + MRa_± + M^a - 1, j = г + 1
__5, . о Л -32/) - 3b b - (b } - I •
при г = М^ + МД1 + ... + МЯа_! + М^а - 1, j = г + 2
_^5 о Л /е
2 2
N
при i = M^v + M7 - 1, M^v = Y.
-- Ьп + 2r6i2 - - T26i3 - r36i4, 6s/c = bsk, r = 7;
4.4] Моделирование отказа сферической выработки
при г
Xij = -
При г
= Мм + М
2 И
^ - 1, MN
Ьх2-\т2Ь
ф1 + MRl 4
N
= ^ (Мфк
к=1
13 — Г bi4,
-М^2, М^
+ Мдй), j
е
+ MRl + 7^
/V
= г + 2,
г = 7-
xi,i—4 ^ жг,г+5 ^ ^5 xi,i—1
Жгг = ^,г+1 = 2, ^,г+4 = -14,
При г = М^ + 1, Мф1 + МД1 +
+ ... + М^^ + М^ + 1.J2 (Щ* + мДв) + Щ + 1, j = г - 4
1? ^,г+1 = ^,г+2 = -4,
1 _ 3
OL
При г = J2 (Щ* + M«J' J = « - 3, г - 2, ..., г,
= 1, 2, ..., N элементы хц вычисляются по тем же формулам,
что и XQi в D.4.1) (г = 4, 3, 2, 1), где надо положить
к) , г = Да.
/ а
элементы хц вычисляются по тем же формулам, что и хц
в D.4.1) (г = 3, 2, 1), где надо положить
sk = (bsk) , r = Ra.
TV
При г = ^ (M^s + Мя,) + М7 + Мд., j = г - 3, г - 2, ..., г,
элементы хц вычисляются по тем же формулам, что и х^ (г =
е
= 4, 3, 2, 1), где надо положить Ь3^ = 6^^, г = R*.
N
При г = J2 (Щз + мДв) + Щ + Мя* + 1, J = г - 2, г - 1, г,
элементы ж^- вычисляются по тем же формулам, что и ж^ в
е
D.4.1) (г = 3, 2, 1), где надо положить bs^ = 6^, г = Д*.
182
Моделирование отказов горных выработок
[Гл.4
+MRa),j = i + l, а = 1, 2, ..., N
s=l
Ж^ = 2621 -
= Ra.
Таким образом, как и в случае цилиндрических задач
(см. § 1-3), здесь, в случае сферических задач, получаем
задачу многомерной оптимизации величин qi (г = 1, 2, ..., N)
в зависимости от параметра волнообразования, при условии
равенства нулю определителя det (xij) = 0, отличные от нуля
элементы которого приведены выше.
Численный эксперимент проводился для случая, когда двух-
двухслойная сферическая крепь состоит: внешний слой крепи —же-
—железобетон, внутренний — бетон, горный массив — материал ар-
аргиллит.
На рис. 4.4.1 показана зависимость области критических
значений параметров контактных давлений q\, g2 от безразмер-
безразмерной величины гидростатического давления gh, при этом гео-
геометрические параметры крепи Rq/Ri изменялись в интервале
0,432
0,339
0,247
0,192
0,162,
0,154
0,132
0,097
°'062 0,065 0,14 0,4 0,10 0,13 0,4 0,16 0,4
0,03 0,122 0,215 0,307 0,03 0,122 0,215 0,307 0,03 0,122 0,215 0,307
/
gh =
0,02
/
|go =
gh =
= U|
0,09
gh--
= 0,15
/
V/
До 0,04 0,03 0 Q2 0,036 0,03
0,02
0,1
0,027
0,02
0,1
Рис. 4.4.1
0,02/0,1 4-0,04/0,1, а также принято qo = 0. На рис. 4.4.2 показа-
показана область критических значений контактных давлений gi, g2,
при этом геометрические параметры крепи Rq/Ri изменялись
в интервале 0,02/0,1 4- 0,04/0,1, безразмерная величина гидро-
гидростатического давления gh = 0,02, а также принято до = 0,01.
4.5] Устойчивость многослойной крепи сферической выработки 183
50
Из анализа результатов следует:
локальная потеря устойчивости сферической
с двухслойной крепью происходит при т = 2;
при увеличении давления q$ на
внутреннем контуре первого слоя кре-
крепи значения критических контактных
давлений q\, q2, соответствующих ло-
локальной потери устойчивости, увели-
увеличиваются (см. рисунки 4.4.1 и 4.4.2);
область критических контактных
давлений существенно зависит от
геометрических параметров крепи и
выработки;
с ростом глубины заложения вы-
выработки, контактные давления воз-
возрастают (см. рис. 4.4.1); при gh —>> оо
величины qi (г = 1, 2) неограниченно
возрастают;
при Rq —>> 0 (сплошной шар) по-
потеря устойчивости не наблюдается.
Сделанные выводы согласуются с
общими физическими представлениями.
выработки
13,9 24,3 34,7 45
0,04
0,1
0,03
0,1
Рис. 4.4.2
0,02
4.5. Исследование устойчивости многослойной
разномодульной крепи сферической выработки
в массивах, обладающих упругопластическими
свойствами.
В этом параграфе исследуется потеря устойчивости много-
многослойной (TV-слойной) крепи, подкрепляющей сферическую вы-
выработку, когда действие массива на внешний слой крепи опре-
определяется соотношениями C.4.2), C.4.5) при г = R^. Обозначим
внутренний радиус г-го слоя крепи через Дг-ъ внешнего слоя
крепи через Ri. К внутреннему контуру г-го слоя приложено
сжимающее усилие #г-ъ к внешнему qi (г = 1, 2, ..., 7V), вели-
величины которых таковы, что образующиеся пластические области
полностью охватывают внутренние контуры слоев. Также пред-
предполагается, что слои работают совместно без проскальзывания
и отставания.
Докритическое напряженно-деформированное состояние
в г-м слое крепи моделируется соотношениями C.4.1)-C.4.3),
а в массиве около сферической выработки описывается
уравнениями C.4.1), C.4.2), C.4.5). Уравнения для нахождения
границ раздела ф^ (г = 1,2,..., iV) и 7 зон упругого и
пластического деформирования в г-м слое крепи и в массиве
горных пород определяются соотношениями C.4.4), C.4.6).
184 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
Математическая модель для исследования потери устойчи-
устойчивости разномодульной крепи сферической выработки в этом
случае описывается бесконечной системой обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений состоящей из: уравнений равновесия
е
A.5.36) для каждой из областей упругого Vi и пластического
v
Vi деформирования слоев крепи {% = 1, 2, ..., N); условий на
внутреннем контуре первого слоя крепи A.5.37) при г =
и на внешнем контуре последнего слоя крепи при г =
условий сопряжения A.5.38) на упругопластической границе ф{
(г = 1,2,..., N) и условий сопряжения на границе i-го и
(г + 1)-го (г = 1, 2, ..., N — 1) слоев крепи. При этом в соот-
е
ношениях A.5.36)—A.5.38) в каждой из областей упругого Vi и
v
пластического V\ деформирования слоев крепи {% = 1, 2, ..., N)
функции А и ее производным, а также величинам основного
состояния нужно приписывать индексы «г», «е» и «р» соответ-
соответственно.
Отметим, что если в полученной краевой задаче количество
слоев крепи положить равным 1 (N = 1), то приходим к резуль-
результатам работы [257].
После обычной процедуры применения конечноразностных
соотношений A.6.1), A.6.2) к системе уравнений A.5.36) и гра-
граничным условиям A.5.37) при г = Ri (г = 0, 1, ..., 7V), в ко-
которой коэффициенты а^- определяются по формулам A.5.9),
A.5.10), получим систему линейных алгебраических уравнений.
/Р\
При этом аппроксимация производных функций (А) (г =
= 1, 2, ..., N) проводилась аналогично схеме указанной в пре-
предыдущем параграфе.
Сохраняя те же, что и в предыдущем параграфе, обозначе-
обозначения для коэффициентов уравнений A.5.38) и A.5.36) получим
следующие ненулевые элементы характеристического определи-
определителя det (xij) алгебраической системы:
5 з 2 з
2 2 '
2 12
xqi = 96ц — 5t6i2 + 2т &1з, х$2 = —126ц + 4t6i2 — — т 613,
2 D.5.1)
3 3 2
Жоз — 76ц — тЬ\2ч Жо4 — Зт 6ц, Хю = 26ц — - т622 + Т 62з,
жц = — 562i + 2т622, х\2 = 462i — - т622,
где bsfc = I bsfc) , r = До, т = тЯ1I.
V / 1
4.5] Устойчивость многослойной крепи сферической выработки 185
При г
/Р
bsk = (^sA
При г
положим
При г
xi,j+l
xhj-
xi,j+3 =
= 2,3,
• I , Rq ^
/1
= Мф1+>
/e
bsk = \bi
= мф1 -
xtJ =
~ 31 -
h2 = T4
—4&31
..., M
v ^ ф-
3, M^1
ik J i Ф
^MRl
'- bsi -
4— ТЛп(
T TO3:
&35 +
ll T =
+4, .
1 ^ r
+ 2,-
1 ,
" "т&32,
z
6631 - 2r
2
12 + T ^33
1 + -T&32-
2, j = г
.., Мфх +
^ i?l, r =
_1T36
2
%3,
, 1 ,
+ 2 '
в D.5.
M^ —
?i+3,
34 ->
и ^
2)
1,
D.5.
¦2)
надо положить
j = г — 1 в D.5.
., Мф1 + MRl
¦2)
+
T =
/Р \
+ 2, j = г в D.5.2) положим 6s/c = f 6s/c j ,
/e
1 + M^2 + Мя2 - 1, j = г - 1 в D.5.2) положим 6s/c = ^6s/cJ ,
^2 ^ Г ^ i?2, Т = Тя2.
Проводя аналогичные выкладки, получим элементы опре-
р е р е
делителя отличные от нуля для областей Vs, Vs, V^ V\, •••
V e
..., Удг, Vn в виде:
при г = Мф1 + МЙ1 + • • • + Мфа_х + МЯа_! + 2, ..., М^ +
+ MRl+... + Мфа_х + M^_: + Мфа + 2, j = г, а = 1, 2, ..., N
в D.5.2) положим 6s/c = f 6s/c \ , Да_х ^ г ^ гра, т = Тфа (при
при г = Мф1 +MRl+.. . + MRa_1 +Мфа +3, ..., Мф1 +МЯ1 +
-1,<7 = г-1, а = 1, 2, ..., ЛТв D.5.2) положим
b ) , Фа ^ Г ^ Ra, T = TRa.
/ а
При г = М^ — 1, j = М^: — 4, ..., Мфх — 1 элементы Xij
совпадают с соответствующими элементами хц (г = 0, j =
/Р \
= 0, 1, 2, 3) в D.5.1) где надо положить bsk = [Ъ8^\ , г = ^i.
При г = М^1 - 1, j = М^1 + 5, М^1 +4, ..., М^1 + 2 в соот-
/е \
ветствующих элементах D.5.1) положим bs^ = lbs^j , г = ф\.
186 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
р е р е ре
Для областей V^, V2-, V%, V%, ..., Vn, Vn элементы опреде-
определителя отличные от нуля можно записать в форме:
приг = М^1+Мд1+...+Мда_1+М^а-1,^' = г-3, г-2, ..., г,
а = 1, 2, ..., N элементы хц совпадают с соответствующими
/V \
элементами в D.5.1), где надо положить положим bsk = (bsk ) ,
Т* — II)
при г = Мф1 + МД1 + ... + МЯа_! + Мфа - 1, j = i +
+ 6, г + 5, ..., г + 3, а = 1, 2, ..., N элементы xij совпадают
с соответствующими элементами в D.5.1), где надо полож:ить
а
р е
Для областей Vа, Vа (а = 1, 2, ..., N) справедливы выра-
выражения:
при г = Мф1 + MRl + ... + MRa_x + Мфа - 1, j = i + 1
где bsk =
при г = М^+ МД1 + ... + МЯа_! + М^а - 1, j = г + 2
где bsk =
При г = М^, M^x + MRl + М^2, M^x + MRl + М^2 + МЯз +
+ Мфз, ..., Мф1 + МД1 + ... + MRn_x + М^
^г,г-4 = ^,г+5 = 3, ^,г-1 = ^г,г+2 = -18,
Жгг = ^,г+1 = 2, ^,г+4 = -14, ^,г-2 = ^,г+3 = 24.
При г = М^ + 1, M^x + МД1 + Мф2 + 1, ..., Мф1 + МД1 +
+ ... + Мяд,,! + Мфм + 1, j = г - 4
1, Я^г+1 = ^,г+2 = -4, Жг+1,г = -1,
%i,i+l = 5, Жг, j+з = Хц = -2,
1 _ 3
Z Z
При « = Y, \Щ* + MRs), J = * - 3, г - 2, ...,«, а =
S = l
= 1, 2, ..., N элементы хц вычисляются по тем же формулам,
/е \
что и XQi (г = 4, 3, 2, 1), где надо положить bsk = [Ь8к) , г = Да.
4.6] Локальная неустойчивость пластин 187
а
При г = У2 [Мфз + Mrs 1 + 1, j = г — 2, г — 1, г, а =
= 1, 2, ..., N элементы хц вычисляются по тем же формулам,
что и x\i в D.5.1) (г = 3, 2, 1), где надо положить bsk = \Ь8Л ,
r = Ra.
При i =
s=l
где bsk = (bsjb) , г = Ra.
Таким образом, как и в случае ранее рассмотренных задач,
задача отказа многослойной сферической крепи, когда действие
ор
массива на внешний контур крепи определяется величинами аг
ОТ)
и (jq согласно C.4.1), C.4.5), сведена к задаче многомерной
оптимизации величин qi {г = 0, 1, 2, ..., N) в зависимости от
параметра волнообразования m при условии равенства нулю
определителя, отличные от нуля элементы которого приведены
выше.
4.6. Локальная неустойчивость пластин
с запрессованными кольцевыми включениями
при упругопластическом поведении материалов
Как известно, исследование поведения предварительно на-
напряженных составных конструкций сводится к постановке и ре-
решению задач локальной неустойчивости [256] при упругопласти-
ческих деформациях. Полученные в § 1 четвертой главы резуль-
результаты распространим на исследование локальной неустойчивости
пластины с кольцевыми включениями.
Исследуем явление локальной неустойчивости в пластинча-
пластинчатой конструкции, состоящей из бесконечной пластины с круго-
круговым отверстием радиуса Rn, в которое с некоторым натягом
помещена система из N колец, последовательно запрессованных
одно в другое. К внутреннему контуру первого кольца прило-
приложена равномерно распределенная нагрузка q^. Из-за натягов
на линиях сопряжения деталей возникают сжимающие усилия
(/1, б/2, • • • 5 Qn- Величины ^ (г = 1, 2, ..., N) таковы, что обра-
образовавшиеся пластические области полностью охватывают вну-
внутренние контуры колец.
Определение напряженно-деформированного докритическо-
го состояния составной пластинчатой конструкции при плос-
плоской деформации сводится к решению двух связанных задач о
188 Моделирование отказов горных выработок [Гл. 4
концентрации напряжений. Первая задача сводится к опреде-
определению напряженно-деформированного состояния в г-м кольце,
вторая — к определению напряженно-деформированного состоя-
состояния в пластине.
Докритическое напряженно-деформированное состояние, со-
соответствующее i-му кольцу, в полярных координатах (г, в) опре-
определяется соотношениями C.2.18) в пластической области при
Ri-i < г < фг и в виде C.2.19) в упругой области при
фг < г < Щ.
Уравнение для определения радиуса упругопластической
границы fa имеет вид C.2.20).
В равенствах C.2.18)-C.2.20) г = 1, 2, 3, ..., iV; TV —коли-
—количество колец; ф{ — радиусы упругопластических границ; Щ —
радиусы колец.
Докритическое напряженно-деформированное состояние
в пластине в полярных координатах определяется соотношени-
соотношениями C.3.3) в пластической области при Rn < г < 7 и в виде
C.3.4) в упругой области при j < г < оо. Уравнение для
определения радиуса упругопластической границы 7 имеет вид
C.3.5).
Как и ранее в § 1 исследование устойчивости основного со-
состояния C.2.18)-C.2.20), (З.З.З)-(З.З.б) составной пластической
конструкции сводится к решению уравнений равновесия в ва-
вариациях A.5.16) для областей пластического и упругого дефор-
деформирования при соответствующих граничных условиях A.5.18).
Условия непрерывности напряжений и перемещений на поверх-
поверхностях раздела зон упругого и пластического деформирования
имеют вид A.5.13).
В случае пространственной формы A.5.21) потери устойчи-
устойчивости из линеаризированных уравнений равновесия в вариациях
A.5.16), учитывая при этом соотношения A.5.2), получим систе-
систему уравнений в терминах функций А(г) и В (г) вида
(г) + &А1 (г) + &А" (г) + ^В (г) + ZbB' (г) +
+ &*»+&*>) = о, D61)
(г) + ?9A' (г) + ЫА" (г) + ЫА'" (г) +
+ ?12В (г) + ЫВ' (г) + ЫВ" (г) = 0.
где
?,i = (JqA — т)—т — 2гст0;Г — п г + 1,
Ь = r2ar,r - г B°ов + 1 - аг) , & = г2 (l - 2а* +
4.6] Локальная неустойчивость пластин 189
К \ (л _|_ /г- \ 1 3/п \ 2 п
2ао — 1 — а# ) ш — - — + — (аг гг — п2) + —2аг г,
/ т J n \ / т
2г2
т
2 ( 1
= пг а0 - 1 -
V
+ 1 + а^--1+сгг- гсгг
/ п \ / п \
TT1 tf О \ V ( О О \
- а0) 1 + а^--1 + сгг- гсгг?г ,
г2/ о о \ г3/о\ D-6.2)
= — 2 + 2аг + гсгг,г ), ^ц = — 1 + аг ) ,
гг,г ),
/
2
п3г2 /1 . m3Wo .
i — + —-\ iae +
m \m nr2 / V
rm /о о \ r3n / о о \
Ы = ^r,r -CFr -1) ~ 1+СГг +ГСГГ?Г ,
n \ / m \ J
t (-x , ° \ f mr2 . r4n\
V / V n m /
Граничные условия на внутреннем контуре первого кольца
при г = Rq запишутся следующим образом:
А, {? [оо - ($.), - l] } + (А')> [2 - 2О„ + (?r)t
тА? + Вх - R0B'1 [1 + (ar) J = 0, D.6.3)
IL - 1±Ш + i±fi & -f'Bl+тЬх + rM = о.
[ пЯ§ J nRo I Ro J
На границе ^ (г = 1,2,..., 7V) упругой и пластической зон
включений имеем
Р . ( «U. Г /on \ /op \ 1 "I
+
D.6.4)
ре v y
Л" А и г\
На границе раздела 7 упругой и пластической областей пла-
пластины имеют место условия, аналогичные D.6.4).
190
Моделирование отказов горных выработок
[Гл.4
На границе запрессованных i-го и (г + 1)-го колец имеют
место соотношения
D.6.5)
A"+1-A" = O (i = 1, 2, ..., N)
Из условия локальности возмущений Uj —>• 0 при г —>• оо (j =
= 1, 2, 3) следует
е е е е
А7 = О, А" = 0, В' = 0, Б" = 0. D.6.6)
Приведенные соотношения D.6.1)—D.6.6) соответствуют кра-
краевой задаче D.1.2)—D.1.4). Следовательно, характеристический
определитель для данной задачи будет иметь тот же вид, что
и в § 1 четвертой главы, лишь в выражениях для элементов
определителя необходимо положить гидростатическое давление
равным нулю.
Численный эксперимент проводился для случая, когда в пла-
пластину запрессовано два кольца (N = 2) из того же материала,
что и пластина. В качестве материала использовались сталь Ст. 3
(с = 0,001, к = 0,0014, G = 0,81 • 106 кг/см2) и медь (с = 0,006,
к = 0,0005, G = 0,81 • 106 кг/см2).
42-10
1,188
1,175
На рис. 4.6.1 показаны области критических значений пара-
параметров контактных давлений gi, 6/2 при п = т = 3 в предпо-
предположении qo = 0,001 на внутреннем контуре первого кольца из
Ст. 3. Область I соответствует Rq = 0,002; R2 = 1,1 и включает
4.6] Локальная неустойчивость пластин 191
область II (До = 0,007; i?2 = 1Д), которая, в свою очередь,
содержит область III (До = 0,02; Д2 = 1,1).
На рис.4.6.2 показаны области критических значений пара-
параметров контактных давлений q\, q% при п = т = 4 в предпо-
предположении до = 0,001 на внутреннем контуре первого кольца из
меди. Область I соответствует До = 0,002; Д2 = 1,1 и включает
область II (До = 0,007; Д2 = 1,1), которая, в свою очередь,
содержит область III (До = 0,02; Д2 = 1,1).
Из анализа результатов численного расчета следует:
при увеличении ширины внутреннего кольца область крити-
критических значений параметров gi, 6/2 увеличивается;
при уменьшении значений физико-химических характе-
характеристик с, к область критических значений параметров gi, 6/2
уменьшается;
при одночленной аппроксимации параметров перемещений
значения критических параметров q\, q% оказываются завышен-
завышенными.
Локальная потеря устойчивости в пластине с включения-
включениями для материала Ст. 3 происходит по несимметричной форме
с первоначальным образованием трех полуволн в направлении
оси в и стольких же полуволн в перпендикулярном направле-
направлении z. Для меди локальная потеря устойчивости происходит
при п = т = 4. При Д2 = R\ получим значения критической
нагрузки q\ для пластины с одним кольцевым включением [256].
Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧ
ГОРНОЙ МЕХАНИКИ ПРИ ОДНОРОДНЫХ
ДОКРИТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЯХ
В механике горного давления до последнего времени остава-
оставались нерешенными в трехмерной постановке задачи устойчиво-
устойчивости для однородных основных состояний в случае сложных сред.
Используя записанные в первой главе решения статических ли-
линеаризированных задач для однородных докритических состоя-
состояний, в данной главе рассмотрены простейшие и в тоже время
имеющие важное практическое значение проблемы горной меха-
механики. Задачи подобраны таким образом, чтобы они иллюстри-
иллюстрировали специфические свойства, проявляющиеся при использо-
использовании трехмерной линеаризированной теории устойчивости де-
деформируемых тел. Это такие вопросы как потеря устойчивости
целиков, поверхностная неустойчивость полупространства и т. п.
Результаты этой главы излагаются в соответствии с публика-
публикациями [205, 223, 224, 228, 234, 236, 238, 241, 244, 248, 249, 262, 284]
и др.
5.1. Неустойчивость свободной поверхности
Рассмотрим неустойчивость тела со свободной границей при
сжатии. Явления, происходящие в зоне возле свободной по-
поверхности, получили название «skin effect». Они имеют место
в непосредственной близости от свободной поверхности и зату-
затухают при удалении от нее. Впервые неустойчивость исследовал
Biot M.A. [225].
Исследуем в квазистатической постановке неустойчивость
полупространства из сжимаемого упруговязкопластического те-
тела описываемого уравнениями A.1.7), A.1.9), A.1.10), A.1.14),
A.1.15) при сжатии усилиями интенсивности р вдоль оси Ох%
(рис. 5.1.1). Ненулевые компоненты напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния до потери устойчивости определяются согласно
A.4.3) соотношениями
°П = СГ22 = 0, СГ33 = —Р, CFij =0, ^ j,
7'33 = -2°Рп = -2°е\ =
5.1] Неустойчивость свободной поверхности 193
Граничные условия на свободной поверхности при х% =0
имеют вид
о22 = 0, а23 = 0. E.1.1)
Согласно соотношениям A.4.6) связь между амплитудами
возмущений Gij и Uj примет вид
Я3 = «33^3,3 + «32^2,2, О
G22 = «23^3,3 + «22^2,2, E.1.2)
^23 = G^23 (^2,3 + ^3,2) •>
где коэффициенты ац и Gij опре-
определяются по формулам A.4.10). с'
Уравнения равновесия в перемещениях A.4.16) запишутся
так
L^2U2 ~\~ L33U3 = 0, L22U2 ~\~ L23U3 = 0, E.1.3)
где
д2 д2
L23 = («23 + G) —, L32 = («32 + G)
п п 1 ^6Z — \^6Z 1 ^j n n 1
OX2OX3 OX2OX3
L22 — «22 + (G — p) ,
^Ж2^Ж2 ^Жз^Жз
Loo = G + (ftss ~~ p) •
Представим согласно A.4.23) решение уравнений E.1.3) в виде
^з = -^32*, ^2 = Ьзз*. E.1.4)
Тогда одно из уравнений равновесия тождественно удовлетворя-
удовлетворяется, а из второго уравнения для функции Ф получим уравнение:
(^22^33 - ^23^32) Ф = 0. E.1.5)
Подставляя сюда значения операторов E.1.3) получаем
+ в+с|)*0 EL6)
где введены следующие обозначения:
A = (a22-p)(G-p), C = Ga22, , ,
B = G(G-p)+a22(a22-p)-(G + a)(G + a) [ ' ' '
Решение уравненияE.1.5) представим в форме
Ф = Ф1 + Ф2. E.1.8)
7Y4 A.H. Спорыхин и А.И. Шашкин
194 Задачи устойчивости при однородных состояниях [Гл. 5
Функции Фх и Ф2 будут удовлетворять согласно A.4.29) уравне-
уравнениям
Здесь ^ (г = 1, 2) удовлетворяют уравнению
g2=*-±J(*-J-±. E.1.9)
Функция Ф, удовлетворяющая уравнению E.1.6) и обеспечи-
обеспечивающая затухание компонент Oi^ Uj при ж2 —>> — оо представима
в виде
Ф = [cjexp^frca) +С13ехр(^2Ж2)] й1п(ужз) • E.1.10)
Граничные условия E.1.1) теперь можно записать следую-
следующим образом
С\ {а23 (G + а32) 6 + a22?i [G& - («зз - р)} }) +
+ С\ {а23 [G + а32N + а22?2 [G$ - (а33 -р)]} = 0,
E.1.11)
С1!1 [(озз - р) + а32??] + С? [(озз - р) + а32С22] = 0.
Система линейных однородных алгебраических уравнений
E.1.8) относительно С\, Cf имеет нетривиальное решение в слу-
случае если выполнено условие:
f 1 {«23 (G + а32) + а22 [G^f - (а33 - р)] } (а3з -р + «32^2) ~
- 6 {«23 (G + а32) + а22 [G^ ~ (азз - р)] } («зз - Р + «32^) = 0.
E.1.12)
Критическое значение величины р находится из этого урав-
уравнения в рамках алгоритма численной реализации определения
корня.
Результаты численного эксперимента представлены на ри-
рисунках 5.1.2 и 5.1.3. На рис. 5.1.2 показана зависимость кри-
критической нагрузки ро от скорости дилатансии 0 < а ^ 0,5
характерной для сыпучих сред (песок, гравий) для значений
с0 = 0,1, г/о = 0,01.
Кривая 1 на рис. 5.1.2 соответствует значениям v = 0,5,
Kq = 0,001; кривая I1 — v = 0,5, Kq = 0,1; кривая 2 — v = 0,3,
Ко = 0,001; кривая 2' — v = 0,3, Ко = 0,1.
На рис. 5.1.3 представлена зависимость ро от cq при v =
= 0,3, Kq = 0,001, г/о = 0,01. Здесь все величины, имеющие
размерность напряжения, отнесены к Е и им приписан нижний
индекс «0».
5-21
Определение оптимальных поперечных размеров целиков 195
Кривая 1 соответствует а = 0,7, кривая 2—а = 0,4, кри-
кривая 3 соответствует безразмерным характеристикам материала
типа Ст. 3 при а = 0, v = 0,3, Ко = 0,0014, щ = 0, 0 < с0 ^ 0,008.
Кривая 4 соответствует безразмерным характеристикам мате-
материала типа медь при а = 0, v = 0,3, Kq = 0,0005, 0 < cq ^ 0,006.
0,35^
0,2 0,4
Рис. 5.1.2
0,002 0,006 0,01 со
Рис. 5.1.3
Штрихпунктирная кривая соответствует результатам рабо-
работы [100], построенная для несжимаемых упруговязкопластиче-
ских сред (а = 0).
Расчет показал, что вязкость оказывает дестабилизирующую
роль, т. е. увеличивает область неустойчивости и влияние скоро-
скорости дилатансии и коэффициента Пуассона на величину крити-
критической силы (до 5 %). Однако получающиеся при этом числовые
значения критических нагрузок, физически нереальны, таким
образом, явление поверхностной неустойчивости практически не
наблюдается в рассмотренных пределах изменения параметров
среды характерных для сыпучих сред. Отметим, что скорость
дилатансии а = tgp; p — угол внутреннего трения, в частности
для песка р = 26-400, а а = 0,49-0,82. Это явление не реализу-
реализуется и для материалов типа Ст. 3 и медь.
5.2. Определение оптимальных поперечных
размеров ленточных и цилиндрических целиков
Камерно-столбовая система разработки занимает в настоя-
настоящее время большое место в практике эксплуатации месторожде-
месторождений полезных ископаемых. Эта система разработки отличается
простотой и высокими экономическими показателями. Широкое
использование современных высокопроизводительных механиз-
механизмов значительно повышает эффективность этой системы. По-
Полезные ископаемые извлекаются в этом случае обычно камерами
прямоугольной формы, между которыми оставляются целики
различных размеров: чаще всего ленточные, реже — столбчатые.
Различают барьерные, предохранительные, опорные целики,
функции которых различны. Если оставлять целики больших
774*
196 Задачи устойчивости при однородных состояниях [Гл. 5
размеров, чем необходимо, то это повлечет за собой неоправ-
неоправданно большие потери полезного ископаемого, возрастающие
с углублением работ. Если же размеры целиков оказываются
недостаточными, то могут произойти их разрушение и авария.
Однако разрушение, например, барьерных целиков недопусти-
недопустимо, так как они охраняют поверхность от оседания, локализуют
распространение зон обрушения и выполняют другие функции.
Из вышесказанного становится ясно, как необходимо правильно
рассчитывать оптимальные размеры целиков.
На напряженное состояние целиков оказывает влияние много
факторов, учет которых при теоретических решениях не всегда
возможен. Вследствие этого приходится ограничиваться рас-
рассмотрением наиболее важных факторов, которыми являются,
например, геометрические размеры целиков и их глубина.
Относительно величин нагрузок, действующих на целики,
существуют две группы гипотез.
В первой предполагается, что нагрузка на поддерживающие
целики соответствует полному весу столба вышележащих пород
с основанием, равным приходящейся на целик части поддержи-
поддерживаемой площади (Турнер и др.).
В гипотезах второй группы нагрузка на поддерживающие
целики предполагается значительно меньшей полного веса вы-
вышележащих пород за счет разгрузки поддерживающих целиков
на окружающий массив и опорные целики (Слесарёв В.Д. и др.).
В вопросе о напряженном состоянии поддерживающих це-
целиков большинство авторов полагают распределение вертикаль-
вертикальных сжимающих напряжений по среднему поперечному сече-
сечению целиков равномерным, часть —неравномерным, распреде-
распределенным по какому-либо закону.
Основным допущением, существенно облегчающим ре-
решение задач и принимаемым во всех исследованиях на эту
тему, является предположение об однородном напряженно-
деформированном состоянии целика. При определении опти-
оптимального поперечного размера целика, исходя из принципа
устойчивого состояния равновесия, до настоящего времени
использовался только приближенный подход Лейбензона-
Ишлинского. Ниже эта задача решается с позиции трехмерной
линеаризированной теории устойчивости.
Если в задаче о потери устойчивости нагрузка увеличивается
от нуля до некоторого критического значения при постоянных
размерах, то при определении оптимального поперечного раз-
размера целика при постоянной нагрузке меняется ширина ленточ-
ленточного или радиус цилиндрического целика. При решении этой
задачи считается, что:
выработанное пространство поддерживается равноудален-
равноудаленными целиками одинаковых размеров;
5-21
Определение оптимальных поперечных размеров целиков 197
возмущения перемещений в плоскостях торцов целиков от-
отсутствуют;
целики несут нагрузку от веса всей покрывающей толщи
пород.
5.2.1. Определение оптимального поперечного раз-
размера ленточного целика. Задача определения оптимального
размера ленточного целика шириной а и высотой / решается
по расчетной схеме, изображенной на рис. 5.2.1. Напряженно-
деформированное состояние ленточного целика из упругопла-
стического материала с трансляционным упрочнением A.1.12),
О
Рис. 5.2.1
сжатого равномерно распределенными нагрузками интенсивно-
интенсивности ghL/a вдоль оси Ох\ и Р22 вдоль оси 0x2 (давление со сто-
стороны выработок, создаваемое, например, рядом подкрепляющих
штанг), определяется при плоском деформировании соотноше-
соотношениями
СГ22 = —Р22 = —
op op p
?\l = -^22 = -Г-
ghL
Pn=q= -—,
a
p = sign (p - с
E.2.1)
Здесь L — площадь основания столба пород, приходящегося на
единицу длины ленточного целика, h — глубина, g—объемный
вес вышележащих пород.
Если предположить, что в момент потери устойчивости пе-
перемещения происходят в плоскости xiOx2, т. е. и\ = ui(xij Ж2),
U2 — U2(xi, Ж2), ^3 = 0, то, используя общее решение A.4.23)
уравнений устойчивости A.4.16), A.4.17) и соотношения A.4.6),
198 Задачи устойчивости при однородных состояниях [Гл. 5
A.4.9) получим
д2 Г д2 д2 1
^1 = —\Ц + о>12) Ф? и2 = (flu — q) —- + (/i — р) —- Ф,
^22 = |[fl22(flii -q) -a2i(/i + ai2)] — + a22^ ~ P)^~l\^~ *'
- [fa - ) — -(a + ) —1 — Ф
Здесь ац = а22 = А + 2/л — ао, ai2 = А + ао, ао = 2/i2/B/i + с).
Граничные условия A.4.5) при ж2 = =Ьа/2 в случае «мертвой»
нагрузки со стороны выработки принимают вид
ди2 ди\
(?22=Р—, а12=р-—.
0x2 0x2
Подставив в граничные условия соотношения E.2.2), полу-
получим
дх* V дх\) дх2 ' V^i dxljdx! ' 2'
E.2.3)
где
( - р) (а22 -
В _ (/ р) ( р) в _
(an - g) («22 - p) - CL12 (/i - ai2)' /i (an - q)
Исследуем две формы потери устойчивости: «цилиндриче-
«цилиндрическую» — двухстороннее выпучивание и «стержневую» —одно-
—одностороннее выпучивание. В первом случае функция и% должна
быть четной относительно аргумента ж2, во втором —нечетной.
Решение представим в виде соотношения E.1.10). При этом
в первом случае функция Ф имеет вид
Ф = \С\
а во втором
Ф = \С\
где ?i определяются из соотношений E.1.9). Подставив эти ре-
решения в граничные условия E.2.3), получим систему двух ли-
линейных алгебраических уравнений относительно постоянных С\
и С\. Из условия существования нетривиального решения этой
системы получаем уравнения:
для «цилиндрической» формы потери устойчивости
-1) (gift -1) = thFm) cth^imrC2)- Ж2 = ±2;
E.2.4)
5-21
Определение оптимальных поперечных размеров целиков 199
для «стержневой» формы потери устойчивости
ж2
2
E.2.5)
Из условия отсутствия возмущений перемещений на контак-
контакте целика с кровлей и почвой и^ = 0 при жх = О, Z находим
777, = тгп//, п = 0, 1, ..., оо. Рассмотрим случай, когда п = 1.
Докритическое плоско-деформированное состояние ленточ-
ленточного целика в случае, когда свойства материала описываются
соотношениями A.1.15), A.1.17) определяется в виде
= -q,
и = ^
- 9^ J,
E.2.6)
где (fi = ??х(^) —функция объемного сжатия, а = (р + #)/3, х =
= 2(VS + аа - КJ/с2, S = (р2 + g2 -pg) /3.
Аналогично придем к характеристическим уравнениям
E.2.4), E.2.5). В этом случае коэффициенты а^-, G1- определя-
определяются по формулам A.4.10), A.4.11), где г/ = 0.
Характеристические уравнения E.2.4) и E.2.5) решены чис-
численно. Для конкретных горных пород получены значения оп-
оптимального поперечного размера ленточного целика из упруго-
пластического материала с трансляционным упрочнением и из
сжимаемого с изотропным линейным упрочнением. Осреднен-
ные значения постоянных массива брались из таблиц 3.4.1, 5.2.1,
5.2.2.
В табл. 5.2.1 приведены вычисленные значения констант сжи-
сжимаемых горных пород с изотропным линейным упрочнением.
Таблица 5.2.1
Материал
Аргиллит
Песчаник, не опасный
по выбросам
со
2,8216
2,2921
а
0,212
0,387
105Па
К
758,54
1499,96
Ко
0,1073
0,1199
с
187255
286712
В табл. 5.2.2 первая строка относится к несжимаемому углю
с трансляционным упрочнением, вторая —к сжимаемому с ли-
линейным изотропным упрочнением. Для объемных деформаций
выбирался степенной закон [62]
/ \ 1/ш
a = Sem, щ = (-) ;
\SJ
202
Задачи устойчивости при однородных состояниях
[Гл.5
Воспользовавшись общим решением A.4.21) уравнений
устойчивости A.4.16), получим из A.5.2) выражения для
физических составляющих ком-
компонент аГ1 arQ, сггз тензора на-
напряжений в цилиндрической си-
системе координат. Коэффициенты
dij ylG1a определяем по формулам
A.5.5) :
аи = а22 = А + 2// — ао,
«12 = А — ао,
а3з = А+ 2//- \
E.2.
Рис. 5.2.4
Решения Ф^
а величины ^ (г = 1, 2, 3)—по
A.4.30).
г = 1, 2, 3) выберем в виде:
cos 6»,
E.2.9)
/3 = m-} i = 2, 3,
где /п— модифицированные функции Бесселя n-го порядка.
Используя зависимости A.5.2) для составляющих тензоров
напряжений и перемещений и приведенные выше решения, из
граничных условий на свободной поверхности получим систе-
систему алгебраических уравнений относительно констант Ai (г =
= 1, 2, 3). Для случая п = 1 она принимает вид:
- " 2)
«)= °'
E.2.10)
ai3 +/i Van -p
- ^) - il = o,
//У J
5.2] Определение оптимальных поперечных размеров целиков 203
Осесимметричная форма потери устойчивости (Ф = 0,
— Ф^ = 0, г = 1, 2, 3) исследуется по системе уравнений:
06
+а13 ^( Ji^L_ _ efWfe)/? - (р - au)tlffl№)] = 0,
«13 + Ц Van —p/ J
- ?) -]
^( l) (
3 + /i Van — p / V /i
Из условия существования нетривиального решения линей-
линейной алгебраической системы уравнений E.2.10) или E.2.11)
получим характеристическое уравнение для определения опти-
оптимального радиуса целика R*.
Докритическое состояние целика из сжимаемого упругопла-
стического материала с изотропным линейным упрочнением
определяется соотношениями
о о о
01 = СГ22 = — Р
= т22 =
у; _
~ Я.
3 ' 3
Все уравнения для исследования устойчивости целиков, по-
полученные в предыдущем случае, остаются в силе и для этого
варианта, только при определении коэффициентов а^ и Gj сле-
следует воспользоваться формулами A.4.10) и A.4.11), где следует
положить г/ = 0.
Решение на ЭВМ проводилось для конкретных горных пород
(см. таблицы 2.1.1 и 5.2.2), при этом для вычисления моди-
модифицированных функций Бесселя использовалось их разложе-
разложение в ряд. Для объемных деформаций по-прежнему выбирался
степенной закон с постоянными, приведенными в табл. 5.2.3.
На рис. 5.2.5 показаны зависимости безразмерных критических
параметров и gh/E (E — модуль Юнга материала целика от R/1)
при р = 0. Штриховые линии соответствуют осесимметричной
форме потери устойчивости, сплошные —произвольной.
8*
204
Задачи устойчивости при однородных состояниях
[Гл.5
Вычисления проводились при следующих значениях вели-
величин L/1: кривые 1,2,3,4 ПРИ значении 3; 5, 6, 7, 8 при
значении 5; 9, 10, 11, 12 при значении 7. Номера кривых
соответствуют таким случаям. Аргиллит: 1,5, 9 — сжимаемая
12 3 4
0,04
0,03
0,02
0,01
'10
11
12
0,2
0,4
0,6
Рис. 5.2.5
0,8
1,0 /3 = R/1
модель с изотропным линейным упрочнением; 2, 6, 10 —несжи-
—несжимаемая модель с трансляционным упрочнением; уголь: 3, 7,
11 —сжимаемая модель с изотропным линейным упрочнением;
4, 8, 12—несжимаемая модель с трансляционным упрочне-
упрочнением.
5.3. Неустойчивость бесконечного
упруговязкопластического пространства
с круговой цилиндрической полостью
Рассмотрим явление поверхностной неустойчивости беско-
бесконечного пространства с круговой цилиндрической полостью ра-
радиуса Rq, ось которой совпадает с осью Ох% (Рис. 5.3.1), сжатого
вдоль полости «мертвой» нагрузкой р.
Докритическое состояние определяется соотношениями
A.4.2), где
° ° О, а°33 = -р E.3.1)
5.3] Неустойчивость упруговязкопластического пространства 205
Общее решение трехмерных уравнений A.4.16) имеет вид
A.4.28) при q = 0 и
д_ = д_ _^_=1_^_ E 3 2)
дп дг' дт г дв V • • У
Корни ?? определены A.4.30) при q = 0, а функции ^
соотношениями A.4.32). Выбирая решение, удовлетворяющее
условиям затухания при г —>> оо
в A.4.32) С&„ = 0 (* = 1, 2, 3)
и удовлетворяя граничным уело-
ВИЯМ В^^ ^|О
= 0,
= 0
E.3.3)
Рис. 5.3.1
на свободной поверхности г =
= До круговой цилиндрической
полости, в случае осесимметрич-
ной задачи, когда длина волны
формы потери устойчивости зна-
значительно меньше радиуса полости (/ <^ До), обычным образом
получаем характеристический определитель в виде
det (xij) = 0. E.3.4)
Здесь использованы обозначения
— Р
ац
ац
ttR
Gan '
&
Критические значения нагрузки определяются из условия
A.4.27).
Полученный характеристический определитель для рассмо-
рассмотренной задачи в рамках модели упруговязкопластического тела
верен и для других моделей при соответствующей замене коэф-
коэффициентов dij и bij. При этом, если в величинах ац приведенных
характеристических уравнений а = 0, то они в точности совпа-
совпадут с характеристическими уравнениями для упругих тел.
206
Задачи устойчивости при однородных состояниях
[Гл.5
5.4. Неустойчивость деформирования
слоистых массивов, упрочняющихся
в пластических средах
В квазистатической постановке рассмотрим задачу о
неустойчивости деформирования слоистых массивов, упрочняю-
упрочняющихся в пластических средах. Чередующиеся слои наполнителя
и связующего упрочняющиеся упруговязкопластические
с характеристиками A, /i, с, /с, г/; 2h — толщина. Величинам,
относящимся к наполнителю,
будем приписывать индекс A).
Массив сжат вдоль оси ох%
усилиями интенсивности р
(рис. 5.4.1).
Предположим, что массив
бесконечен в направлении оси
^ 0x2, т. е. исследуем случай плос-
Р кой деформации в плоскости
Рис. 5.4.1
Р
— Рассмотрим возможность
потери устойчивости деформи-
деформирования массива при сжатии,
исходя из общих решений
устойчивости для упрочняющихся
тел. Аналогичная задача в стати-
трехмерных уравнении
упруговязкопластических
ческой постановке для материала, состоящего из чередующихся
ортотропных слоев, рассмотрена в работе [72].
Для решения задачи каждый из слоев (г-е слои связующе-
связующего и наполнителя) отнесем к системам координат (хц,
и [х
1г
X,
2г
3i
), которые получаются из системы координат
O
#1, #2, хз путем параллельного переноса вдоль оси Ux\^ и свя-
связаны со срединными поверхностями соответствующих слоев.
Исходя из общих соотношений упруговязкопластических тел
(см. § 1 гл. 1), можно показать, что напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние массива до потери устойчивости без учета
сжимаемости будет определяться соотношениями
<~> о A) о о A) ор орA)
= °> ат = °> ai3i = 0, аш = 0, е ш = 0, е ш = О,
A)
2y/2h0
13г ~~ 0' ? 13г — 0, t 13j
+ B + с)сA)роA+/*о)
. _ _3г
— - е ЗЗг —
/го ho
/сA)л/2
E.4.1)
2с
, г = —оо, ..., 0, ..., +оо.
5.4] Неустойчивость деформирования слоистых массивов 207
Здесь и далее, величины, характеризующие связующие слои
и наполнитель и имеющие размерность напряжений, отнесены
соответственно к \i и /ii, ро = p/i, /io = /i^'/i, Hq = h (/гл1))
Рассмотрим две формы потери устойчивости: форму потери
устойчивости первого и второго рода. Предположим, что слои
теряют устойчивость по одной форме и в одной фазе. Решения
основных уравнений A.4.16), периодические по оси Ожз, с пери-
периодом 2h-\-2m1\ удовлетворяющие условиям симметрии, согласно
A.4.31) и B.1.23) запишем в форме
где величины <^, определяемые A.4.30), имеют вид
6 E-4-3)
/-у
2 + Со + S7/0
Формулы для вычисления ?} , ?з имеют ВИД E.4.3), необходи-
необходимо лишь в этих формулах всем величинам приписать индекс A).
Так как решение в виде E.4.2) удовлетворяет условиям сим-
симметрии и периодичности, то необходимо удовлетворить только
следующим условиям на линии спая хц = h\
A) A) \о.ъ.ъ)
Из уравнений E.4.4) с учетом B.1.7) и A.4.23), а также E.4.1)-
E.4.3) при условии существования ненулевых решений получаем
трансцендентное уравнение относительно s типа E.3.4) (г, j =
= 1, 2, 3, 4). Элементы хц определителя E.3.4) имеют вид
-21 = A + Ф ch«i), -22 = -21 F), E.4.5а)
-23 = -МО (l + Й1J) Ch («A)d1}) , -24 = -
-31 = 6 sh(a?i), Ж32 = -31 (Ь), -зз = ^Х)
208 Задачи устойчивости при однородных состояниях [Гл. 5
й
= -ch (aA)fp ) , Ж44 = Ж43 К3 ) >
, ь E.4.56)
о = 3 - - 7о + Заззг, « = у,
В результате решения трансцендентного уравнения E.3.4) полу-
получим зависимость р$ = /(/, 5), откуда, минимизируя, имеем
*° = 0, ^ = 0 E.4.6)
^ ' дз У J
Условие устойчивости примем в виде A.4.27)
В случае формы потери устойчивости второго рода, когда
срединные поверхности слоев связующего остаются плоскими, а
слои наполнителя теряют устойчивость по ранее рассмотренным
формам, получаем
Подставляя выражения E.4.7) в граничные условия E.4.4)
аналогично только что рассмотренному случаю получаем од-
однородную систему алгебраических уравнений, из условия суще-
существования нетривиальных решений которой получаем трансцен-
трансцендентное уравнение для определения критических нагрузок
det (bij) = 0 (г, j = 1, 2, 3, 4) E.4.8)
Элементы Ъц совпадают с х^, если при j = 1, 2 sh(a?i) и
sh(a^3) поменять местами с ch(a?i) и сЬ(а^з)-
В общем случае решение полученных уравнений может быть
выполнено численными методами.
5.5. Неустойчивость неоднородного
полупространства
При подходе типа Лейбензона-Ишлинского [257] исследуем
неустойчивость упруговязкопластического тела (полупростран-
(полупространство с непрерывной неоднородностью) значительных размеров
в направлении осей Ох и Оу(ось у направлена вниз), находя-
находящегося под действием однородного гравитационного поля pgy
(р — плотность, g—гравитационное ускорение) и горизонтально-
горизонтального сжатия Р(у) вдоль оси Ох (рис. 5.5.1).
5.5]
Неустойчивость неоднородного полупространства
209
Допустим, что
р = рое-ау
E.5.1)
Таким образом, поле состоит из двух частей: члена pgy, уве-
увеличивающегося линейно с глубиной, и горизонтального сжатия
Рое~ау, уменьшающегося с глубиной экспонентно. Положим, что
в соотношениях напряжения-
деформации для упруговяз- о х
копластической среды
с — спе
С~С°е
~ау
„ 'E.5.2)
где /i0, с0, г/о, к0— значе-
значения физико-механических ха-
характеристик материала на по-
поверхности у = 0. Такая среда
является несжимаемой анизо-
анизотропной и неоднородной.
pgy
= Рое~ау
Рис-
р
Очевидно, что при предположении E.5.2) прочностные ха-
характеристики уменьшаются экспоненциально с глубиной при
постепенном переходе среды от твердого состояния к жидко-
жидкому. Ограничимся случаем плоской деформации, когда потеря
устойчивости происходит в плоскости хОу, и квазистатической
постановкой.
Напряженно-деформированное состояние полупространства
до потери устойчивости определяется соотношениями:
СГ22 = -pgy, CF\2 = U,
1 -ехр -—10 , ?22 = -?ц,
2со L V 77о / -I
2 = 0,
E.5.3)
op op
е22 = -е
°р
12
= О,
если анализ устойчивости этого состояния производить на ко-
конечном интервале времени. Если устойчивость основного состоя-
состояния исследовать по предельной системе уравнений (см.§ 2 гл. 1),
то в соотношениях E.5.3) следует положить to —>> оо. Далее
ограничимся только этим случаем.
Исследование устойчивости этого состояния тела сводится
к решению уравнений в вариациях и соответствующих гранич-
граничных условий, которые имеют вид A.2.16), где р = 0 и соответ-
соответственно A.2.20), где pi = 0. Эта задача замыкается путем при-
210 Задачи устойчивости при однородных состояниях [Гл. 5
соединения вариационных соотношений для упруговязкопласти-
ческих тел A.4.33). Из уравнений равновесия можно получить
д / \ д (Т\2 д (Т\2 /г г л\
E11 — 592) — — •> E.5.4)
дхду дх1 ду2
где, согласно A.4.33), при учете E.5.3) и условия несжимаемости
5и — 2 (/io — а? ) e~a?/^i5i = —522,
р0 оР \ E.5.5)
— + со е и
Граничные условия A.2.20) на свободной поверхности таковы
02 + 01^1,2 = О, СГ22 + СГ22^2,2 = 0 При у = 0. E.5.6)
Используя уравнения равновесия A.2.16), E.5.4), связь между
напряжениями и деформациями A.4.33), а также условие несжи-
несжимаемости, получим следующую систему уравнений:
— п2и^ 2 + Ь\П^ 11 + &2^, 112 — М, 222 ~ 2^ i + V^ щ — V^ 122 = О,
_/ 2 \ 8 E.5.7)
u,i +^,2 = 0, bi = 4а ^1 - -7oJ , ^2 = -То -3,
где и\ = и, U2 = v. Здесь и далее величины, имеющие размер-
размерность напряжений отнесены к /io, а 70 — определено выражением
E.4.3).
Так как решения уравнений E.5.7) удовлетворяют условию
несжимаемости, то должны иметь место следующие соотноше-
соотношения:
и — ——, v — ——. ^о.о. о;
ду дх
В случае деформаций, синусоидальных вдоль оси ж, положим
f = <p(y) sin Aх) E.5.9)
После подстановки E.5.8), E.5.9) в E.5.7) получим уравнение
для функции <р(у):
tp"" + а3ср" + a2ipf + агср = О
ai=/4+S2/2, a2 = bil2, a3 = l2+ a2+ b2l2
Решение E.5.10) представим в виде
(р = С1еб1°у + С2еб2°у, E.5.11)
где Si — корни характеристического уравнения
SA + a3S2 + a2S + ai =0. E.5.12)
5.5]
Неустойчивость неоднородного полупространства
211
Выбор решений в форме E.5.11) обеспечивает затухание
компонентов напряженного и деформированного состояния при
у -> оо.
Пользуясь соотношениями E.5.5), E.5.8), E.5.9) и уравне-
уравнениями равновесия, найдем компоненту напряжения о22 воз-
возмущенного состояния, при подстановке которой в граничные
условия на возмущенной поверхности E.5.6) получаем систему
однородных линейных алгебраических уравнений относительно
постоянных интегрирования:
[A - Ро - poh) {haJ + I2] d + [A -Po- Poh) {haJ + I2] C2 = 0,
(Кг - pohha)Cx + {K2 - poh62a)C2 = 0 E.5.13)
p0 = ?Z, Кг= ^+1 (i = 1, 2).
//о {di — 1) a
При выводе E.5.13) влияние тяготения заменено силой, про-
пропорциональной местному изменению высоты, т. е. гидростати-
гидростатическим давлением, при этом на бесконечности напряжения (при
Ро = 0) стремятся к величине jh G = pg-, 7— объемный вес
породы, h — высота). Для определения критического давления
получим уравнение
42?>i (д2 -1)-А
Рп =
- D2 fa -
E.5.14)
где Ai = l2 + A- poh) {haJ, D{ = 1 + ha - poh {aJ h {h ~ 1),
i = 1, 2
На рис. 5.5.2 представлена зависимость безразмерной сжи-
сжимающей нагрузки Pq от безразмерного числа волн /* = //а при
заданных значениях гравитационно-
гравитационного параметра h* = poh/a и при 0 <
< 7/о <С 1, со = 0,05 близких для
пластических глин [14]. Сплошные
кривые (i, 2) соответствуют упру-
говязкопластическому упрочняюще-
упрочняющемуся массиву, а штриховые E, 4) ~
упругому массиву [292]. Кривые 1
и 4 соответствуют h* = 0,05, а 2
и 3 — h* = 0. Как следует из при-
приведенных результатов, с ростом h*
критическая нагрузка Ро существен-
существенно уменьшается.
1
0
1 м \
1 м \
х м \
\ \\ \
\ \\
д
"——-
2 4
Рис. 5.5.2
Список литературы
1. Акопян Ж. С. О потере устойчивости вертикальной выработки
по неосесимметричной форме // Прикл. механика. - 1976. -
Т. 12, № 5. - С. 116-119.
2. Акопян Ж. С. Числовые результаты для неосесимметричной
задачи об устойчивости вертикальной горной выработки //
Прикл. механика. - 1976. - Т. 12, № 9. - С. 130-131.
3. Акопян Ж.С, Гузь А.Н. О вариационных принципах теории
устойчивости горных выработок для сжимаемых моделей //
ДАН УССР. Сер. А. - 1981. - № 1. - С. 33-35.
4. Акопян Ж.С, Гузь А.Н. О вариационных принципах теории
устойчивости горных выработок для несжимаемых моделей //
ДАН УССР. Сер. А. - 1981. - № 10. - С. 27-30.
5. Акопян Ж.С, Гузь А.Н., Навоян А.В. О задачах устойчивости
вертикальных горных выработок // Прикл. механика. — 1974. —
Т. 10, № 5. - С. 54-62.
6. Акопян Ж.С, Гузь А.Н., Навоян А.В. О построении теории
устойчивости горных выработок // Прикл. механика. - 1982. -
Т. 18, № 5. - С. 3-22.
7. Акопян Ж.С, Гузь А.Н., Навоян А.В. Об устойчивости упру-
гопластических тел при всестороннем сжатии // Прикл. меха-
механика. - 1979. - Т. 15, № 12. - С. 107-110.
8. Алимжанов М. Т. Исследование устойчивости горизонтальных
подземных выработок. // В кн.: Проблемы механики горных
пород. - Новосибирск: Наука, 1971. - С. 39, 40.
9. Алимжанов М. Т. Исследование устойчивости подземных вы-
выработок // В кн.: Материалы первой научной конференции
молодых ученых АН КазССР. - Алма-Ата: Наука Каз. ССР,
1968. - С. 7, 8.
10. Алимжанов М. Т. К определению давления на крепь подзем-
подземных выработок сферической формы // Изв. АН СССР. Сер.
физ.-мат. - 1970. - № 5. - С. 9-13.
11. Алимжанов М.Т., Ершов Л.В. О характере проявления гор-
горного давления вблизи одиночной горизонтальной капитальной
выработки глубокого заложения // В кн.: Проблемные вопросы
механики горных пород - Алма-Ата: Наука Каз. ССР, 1972. -
С. 67-76.
12. Алимжанов М.Т. Об определении оптимальных размеров под-
подземных полостей, используемых для хранения нефти и газа //
Тр. ин-та матем. и мех. АН КазССР. - 1970. - № 1. - С. 172-176.
Список литературы 213
13. Алимжанов М. Т. Об устойчивости вертикального шахтного
ствола // В кн.: Материалы отчетно-научной конференции по
математике и механике. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1967.
14. Алимжанов М. Т. Об устойчивости горизонтальной подзем-
подземной выработки круглого сечения // Изв. АН КазССР, Сер.
физ.-мат. - 1967. - № 5. - С. 80-86.
15. Алимжанов М.Т. Об устойчивости стенок бурящихся сква-
скважин // В кн.: Прикладные задачи механики деформируемого
твердого тела. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1989. - С. 3-14.
16. Алимжанов М. Т. Проблема устойчивости равновесия в зада-
задачах геомеханики // Усп. мех. - 1990. - Т. 13, № 3. - С. 21-57.
17. Алимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи меха-
механики горных пород. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1982. - 270 с.
18. Алимжанов М.Т, Габдулин Б.Ж. Об упругопластическом со-
состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сфе-
сферических оболочек // Вест. АН КазССР. - 1967. - № 10. -
С. 52-67.
19. Алимжанов М.Т., Гордон В.Н. Об устойчивости толстостенной
сферической оболочки // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. -
1980. - № 5. - С. 57-59.
20. Алимжанов М.Т, Евстропов И.А. Расчет устойчивости под-
подземных полостей, созданных внутренними взрывами. // Сбор-
Сборник научных трудов МГИ. - М.: 1971.
21. Алимжанов М.Т., Евстропов И.А. Расчет устойчивости под-
подземных полостей, созданных внутренними взрывами // Сбор-
Сборник научных трудов МГИ. - М.: 1973. - С. 345-347.
22. Алимжанов М.Т, Ершов Л.В. К определению давления на
крепь и смещения контура вертикального шахтного ствола //
Некоторые вопросы механики горных пород. — М.: 1971. —
С. 10-17.
23. Алимжанов М.Т, Ершов Л.В. Устойчивость равновесия тел
и некоторые задачи горного давления. // В кн.: Проблемы
механики твердого деформируемого тела. - Л.: Судостроение,
1970. - С. 47-54.
24. Алимжанов М.Т, Естаев Е.К. Упругопластическое состояние
плоскости, ослабленной круговым отверстием // Мех. деформ.
тв. тела. - 1982. - С. 105-115.
25. Алимжанов М.Т, Исхаков М.Д. Об устойчивости равновесия
в некоторых осесимметричных задачах горных пород. // В кн.:
Проблемные вопросы механики горных пород. - Алма-Ата:
КазССР, 1972. - С. 243-255.
26. Андреева И.Ю., Медведь Н.А., Спорыхин А.И. Моделирование
отказов цилиндрической оболочки с упруговязкопластическим
заполнителем при осевом сжатии // Тр. II Всерос. научно-
техн. конф. «Прикладные задачи механики и тепломассообмена
в авиастроении». Часть 1, Воронеж, 2001. - С. 12-18.
27. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. - Но-
Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.
214 Список литературы
28. Ариаратнам СТ., Дюби Р.Н. Устойчивость упругопластиче-
ской цилиндрической оболочки при осевом сжатии // Тр. Амер.
об-ва инженеров-механиков. Сер. Е. - 1969. - № 1. - С. 47-51.
29. Артемов М.А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллип-
эллиптическим отверстием // Актуальные вопросы теории краевых
задач и их приложения. - Чебоксары, 1988. - С. 4-8.
30. Артемов М.А. Метод возмущений в теории упрочняющегося
тела // Прикладные задачи механики сплошных сред. — Воро-
Воронеж, 1988. - С. 51-53.
31. Артемов М.А. О двуосном растяжении толстой пластины с
круговым отверстием из упрочняющегося упругопластического
материала // Журн. прикл. механ. и техн. физ. - 1985. — № 6. —
С. 158-163.
32. Артемов М.А. Приближенное решение задач теории кинемати-
кинематического упрочнения // Актуальные задачи механики сплошных
сред. - Чебоксары: Чувашек, кн. изд-во, 1986. - С. 8-13.
33. Артемов М.А. Приближенное решение плоской задачи теории
пластичности изотропного материала с анизотропным упроч-
упрочнением // ВГУ. - Воронеж, 1986. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ
13.05.86, № 3481В.
34. Артемов М.А. Эксцентрическая труба из упрочняющегося
упругопластического материала под действием внутреннего
давления // ВГУ. - Воронеж, 1984. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ
05.01.85, № 83-85.
35. Артемов М.А., Ковалев А.В. О локальной неустойчивости
в задаче Галина для сложной среды // Современные методы
в теории краевых задач: Тез. докл. школы. Воронеж: изд-ние
ВГУ, 1992. - С. 7.
36. Артемов М.А., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Метод возмуще-
возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным
упрочнением // ВГУ. - Воронеж, 1995. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ
14.03.96, № 685-695.
37. Асамидинов Ф.М. Устойчивость массива возле горизонталь-
горизонтальной горной выработки эллиптической формы при одноосном
растяжении-сжатии // Прикл. механика. - 1977. - Т. 13, № 11. -
С. 124-126.
38. Асамидинов Ф.М., Гузь А.Н., Кулиев Г.Г. Ос устойчивости
горизонтальных выработок некруговой формы // Прикл. ме-
механика. - 1977. - Т. 13, № 6. - С. 112-115.
39. Бабич И.Ю., Бакланова Т.Н., Гузь А.Н. Плоская упругопла-
стическая задача устойчивости горизонтальных горных выра-
выработок // Прикл. механика. - 1978. - Т. 14, № 3. - С. 68-73.
40. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Потеря устойчивости как возможный
механизм образования выбросов // Прикл. механика. - 1977. -
Т. 13, № 5. - С. 23-26.
41. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Устойчивость стержней, пластин и обо-
оболочек из композитных материалов (трехмерная постановка) //
Прикл. механика. - 1983. - Т. 19, № 11. - С. 3-20.
Список литературы 215
42. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Лобовик СБ. Об устойчивости упру-
гопластического полупространства вокруг сферической поло-
полости // Прикл. механика. - 1978. - Т. 14, № 10. - С. 22-27.
43. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Шульга Н.А. Исследование динамики
и устойчивости композитных материалов в трехмерной поста-
постановке // Прикл. механика. - 1982. - Т. 18, № 1. - С. 3-32.
44. Бабич И.Ю., Навоян А.В. К вопросу об устойчивости горизон-
горизонтальной выработки кругового поперечного сечения // Прикл.
механика. - 1977. - Т. 13. - С. 110-113.
45. Бакланова Г.Н. Пространственная задача об устойчивости
горных выработок при упругопластических деформациях //
Прикл. механика. - 1980. - Т. 16, № 7. - С. 35-40.
46. Беломытцева И.В., Спорыхин А.Н. Устойчивость плит под
действием равномерно распределенных касательных усилий //
В сб.: Трехмерные задачи механики структурно-неоднородных
сред. - Воронеж, 1991. - С. 41, 50.
47. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. - М.: Физ-
матгиз, 1959. - 544 с.
48. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устой-
устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961. - 340 с.
49. Болотин В.В. Нелинейная теория упругости и устойчивость
«в большом» // Расчеты на прочность. — 1958. — Вып. 3. —
С. 311-353.
50. Болотин В.В. Применение методов теории вероятности и тео-
теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Наука, 1971. -
270 с.
51. Болотин В.В., Григолюк Э.И. Устойчивость упругих и неупру-
неупругих систем // В кн.: Механика в СССР за 50 лет. - М.: Наука,
1972. - С. 325-363.
52. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных кон-
конструкций. - М.: Наука, 1980. - 271 с.
53. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагруже-
ния упругопластической плоскости, ослабленной отверстием //
Прикл. матем. и мех. - 1987. - Т. 51, № 2. - С. 314-322.
54. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Концентрация напряжений
в упругопластической плоскости, ослабленной отверстием //
Куйбышевск. гос. ун-т. - Куйбышев, 1983. - 23 с. - Деп. в
ВИНИТИ 05.05.83, № 2443-83.
55. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений
к теории кручения упругопластических стержней // Прикл.
матем. и мех. - 1961. - Т. 45, № 5. - С. 932-939.
56. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. - Владивос-
Владивосток: Дальнаука, 1998. - 527 с.
57. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Нау-
Наука, 1967. - 984 с.
58. Вопросы механизма разрушения горных пород: сб. научн. тру-
трудов / Отв. ред. Шемякин Е.И. - Новосибирск: Наука, 1976. -
152 с; 1978. - 152 с.
216 Список литературы
59. Вульман С. А. О решении осесимметричных упругопластиче-
ских задач методом малого параметра // Изв. АН СССР. Мех.
тв. тела. - 1969. - № 3. - С. 16-169.
60. Вульман С. А. Семыкина Т.Д. Напряженно-деформированное
состояние пластины с включением // Прикл. задачи мех.
сплошных сред. - Воронеж, 1988. - С. 48-51.
61. Вульман С.А., Ивлев Д.Д., Семыкина Т.Д. Коническая труба
под действием равномерного давления // ВГУ — Воронеж:,
1980. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.12.80, № 5337-80.
62. Вялое С. С. Реологические основы механики грунтов. — М.:
Высш. школа, 1978. - 447 с.
63. Галеркин Б. Г. Теория продольного изгиба и опыт примене-
применения продольного изгиба к многоэтажным стержням, стойкам
с жесткими соединениями и системами стоек // Собр. соч. —
М.: Изд-во АН СССР, 1952. -Т.1. - С. 23-124.
64. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача // Прикл. ма-
тем. и мех. - 1946. - Т. 3, № 3. - С. 367-386.
65. Глушко В.Т., Долинина Н.Н., Розовский М.Н. Устойчивость
горных выработок. - Киев: Наука, 1973. - 206 с.
66. Горбачева Н.Б., Шашкин А.И. Устойчивость горизонтальных
горных выработок в упрочняющемся упруговязкопластическом
массиве // В кн.: Математическое моделирование систем. Ме-
Методы, приложения и средства. Тр. конф. - Воронеж. - 1998. -
С. 77-81.
67. Горбачева Н.Б., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. К определению
напряженно-деформированного состояния в задаче Галина для
сложной модели среды // Вест. Воронежск. ун-та, сер. 2. Есте-
Естественные науки. — № 3. — Воронеж. - 1998. - С. 245-249.
68. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустой-
неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями
при упругопластическом поведении материалов // Ж. прикл.
мех. и техн. физ., СО РАН. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 146-151.
69. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Неустойчивость мно-
многослойной крепи в вертикальной горной выработке // Тр. II
В серое, научно-техн. конф. «Прикладные задачи механики и
тепломассообмена в авиастроении». Часть 1, Воронеж, 2001. -
С. 12-18.
70. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Исследование устой-
устойчивости состояния равновесия горного массива возле много-
многослойной сферической крепи при упругопластическом поведе-
поведении материалов // В1стшк Дшпропетровского ушвератету, сер.
мех. - 2001. - В. 1. - Т. 1. - С. 49-55.
71. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустой-
неустойчивость горного массива возле многослойной сферической кре-
крепи при упругопластическом поведении материалов // Вест,
фак-та Прикладной математики, информатики и механики.
Воронеж: Изд-ние ВГУ. - 2002. - № 3. - С. 90-98.
72. Гузь А.Н. Исследование локальной потери устойчивости слои-
слоистых несжимаемых композитных структур // Механика компо-
композит, материалов. - 1991. - № 1. - С. 31-39.
Список литературы 217
73. Гузь А.Н. Локальная неустойчивость слоистых сжимаемых
композитов // Мех. тв. тела. - 1991. — № 2. — С. 49-55.
74. Гузь А.Н. О вариационных принципах трехмерной теории
устойчивости деформируемых тел при действии «следящих»
нагрузок // ДАН СССР. - 1979. - Т. 246, № 6. - С. 1314-1316.
75. Гузь А.Н. О задачах устойчивости в механике горных пород //
Проблемные вопросы механики горных пород. - Алма-Ата,
1972. - С. 27-35.
76. Гузь А.Н. О задачах устойчивости горных выработок // ДАН
СССР. - 1980. - Т. 253, № 3. - С. 553-555.
77. Гузь А.Н. О континуальном приближении в пространствен-
пространственных неосесимметричных задачах теории устойчивости слои-
слоистых сжимаемых композитных материалах // Прикл. механи-
механика. - 1990. - Т. 26, № 3. - С. 23-27.
78. Гузь А.Н. О соотношениях теории пластического упрочняюще-
упрочняющегося тела в регулярной поверхности нагружения // Докл. АН
УССР. Сер. А, 1976. - № 1. - С. 34-37.
79. Гузь А.Н. О трехмерной теории устойчивости деформируемых
тел. Внутренняя неустойчивость // Прикл. механика. - 1985. -
Т. 21, № 11. - С. 3-17.
80. Гузь А.Н. О трехмерной теории устойчивости деформируе-
деформируемых тел. Поверхностная неустойчивость // Прикл. механика. —
1986. - Т. 22, № 1. - С. 24-35.
81. Гузь А.Н. О трехмерной теории устойчивости упругопластиче-
ских тел // Докл. АН УССР. Сер. А, 1976. - № 3. - С. 221-226.
82. Гузь А.Н. Об устойчивости упруговязкопластических тел при
неоднородном докритическом состоянии // Докл. АН УССР.
Сер. А, 1976. - № 5. - С. 410-416.
83. Гузь А.Н. Об общих решениях трехмерной теории устойчиво-
устойчивости деформируемых тел для различных моделей // Докл. АН
УССР. Сер. А, 1976. - № 10. - С. 908-912.
84. Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок. -
Киев: Наукова думка, 1977. - 204 с.
85. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформи-
деформируемых тел. - Киев: Вища школа, 1980. - 512 с.
86. Гузь А.Н. Про стшшсть товстих пластин за границею пруж-
ност1 // Докл. АН УССР. Сер. А, 1969. - № 9. - С.813-816.
87. Гузь А.Н. Трехмерная теории упругой устойчивости при конеч-
конечных докритических деформациях // Прикл. механика. - 1972. -
Т. 8, № 12. - С. 25-44.
88. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. -
Киев: Наукова думка, 1971. - 276 с.
89. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжа-
сжатии. - Киев: Наукова думка, 1979. - 144 с.
90. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформа-
деформациях. - Киев: Наукова думка, 1973. - 272 с.
91. Гузь А.Н. Устойчивость упругопластических тел // Прикл.
механика. - 1969. - Т. 5, № 3. - С. 11-19.
218 Список литературы
92. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости де-
деформируемых тел. - Киев: Наукова думка, 1985. - 280 с.
93. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости
стержней, пластин и оболочек. — Киев: Вища школа, 1980. —
168 с.
94. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев ГГ., Миловапова О.Б. Раз-
Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. - Киев: Нау-
Наукова думка. - 1981. - 186 с.
95. Гузь А.Н. О численных методах в трехмерной теории устойчи-
устойчивости деформируемых тел // Прикл. механика. - 1988. - Т. 21,
№ 1. - С. 3-10.
96. Гузь А.И., Корою Б.П., Чехов Б.И. Неустойчивость слоистых
тел при сжатии с учетом действия поверхностных распреде-
распределенных нагрузок // Прикл. механика. - 1989. - Т. 25, № 5. -
С. 13-22.
97. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В.К. Основы
ультразвукового неразрушающего метода определения напря-
напряжений в твердых телах. - Киев.: Наукова думка, 1974. - 203 с.
98. Гузь А.И., Навоян А.В. Дослщження стшкост1 горизонтально!
ripcbKoi виробки кругового поперечного перер1зу // Докл. АН
УРСР. Сер. А. - 1973. - № 7. - С. 630-633.
99. Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой
устойчивости. Общие вопросы. // Прикл. механика. - 1982. -
Т. 18, № 7. - С. 3-22.
100. Гузь А.Н., Спорыхин А.Н. Трехмерная теория неупругой
устойчивости. Конкретные результаты. // Прикл. механика. -
1982. - Т. 18, № 8. - С. 3-27.
101. Гузь А.Н., Чехов В.Н. Исследование поверхностной неустойчи-
неустойчивости слоистых тел в трехмерной постановке // Прикл. механи-
механика. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 3-24.
102. Гузь А.Н., Чехов В.Н. Линеаризированная теория складкооб-
складкообразования в толще земной коры // Прикл. механика. — 1975. —
Т. 11, № 1. - С. 3-14.
103. Гузь О.М. Про стшкость деформувания нелишйного в'язко-
пружного тривим1рного тша // Докл. АН УССР. Сер. А, 1969. -
№ 1. - С. 1003-1006.
104. Гузь О.М. Стшшсть цилиндричной товтосстшно1 оболочки за
границею пружности // Докл. АН УССР. Сер. А, 1969. - № 10. -
С. 919-921.
105. Дель Г.Д., Балакерев А.И. Растяжение листа с разной началь-
начальной разнотолщинностью // Изв. вузов. Машиностр. - 1984. -
№ 12. - С. 7-11.
106. Дериглазов Л.В. К устойчивости горизонтальной выработки
в изотропном массиве при неравномерном сжатии // Прикл.
механика. - 1979. - Т. 15, № 2. - С. 99-102.
107. Дериглазов Л.В. Устойчивость горизонтальной горной выра-
выработки в ортотропном массиве // Прикл. механика. - 1977. -
Т. 13, № 4. - С. 45-49.
Список литературы 219
108. Дериглазов Л.В. Устойчивость горных выработок в трансвер-
сальном изотропном массиве // Прикл. механика. - 1977. -
Т. 13, № 5. - С. 27-33.
109. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. - М.; Л.: Объед.
науч.-техн. изд-во, 1935. - 183 с.
110. Динник А.Н., Моргаевский А.Б., Савин Т.Н. Распределение
напряжения вокруг подземных горных выработок. // Тр. Сов. по
управлению горным давлением. - М.: Изд-во АН СССР, 1938.
111. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический ана-
анализ или предельное проектирование. // В сб.: Определяющие
законы механики грунтов. - М.: Мир, 1975.
112. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении призматических
стержней из упрочняющегося материала при линеаризирован-
линеаризированном условии пластичности // Изв. АН СССР. Мех. и маши-
ностр. - 1963. - № 3. - С. 115-118.
113. Дудукаленко В.В., Ивлев Д.Д. О кручении анизотропных
упрочняющихся призматических стержней при линеаризиро-
линеаризированном законе пластического течения // Изв. АН СССР. Мех.
и машиностр. - 1963. - № 5. - С. 173-175.
114. Егоров А.К. Об устойчивости полого шара при внутреннем и
внешнем давлениях // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. - 1980. -
№ 5. - С. 29-34.
115. Ержанов Ж.С, Егоров А.К. Об устойчивости сферической
оболочки при внутреннем давлении // Изв. АН КазССР, Сер.
физ.-мат. - 1976. - № 1. - С. 43-49.
116. Ержанов Ж.С, Егоров А.К. Теория процесса складкообра-
складкообразования в толще горных пород (математическое описание). —
Алма-Ата: Наука КазССР, 1968. - С. 210.
117. Ержанов Ж.С, Егоров А.К., Гарагаш И.А. Теория складкооб-
складкообразования в земной коре. - М.: Наука. - 1975. - 240 с.
118. Ержанов Ж.С, Егоров А.К., Ершибаев У.Д. Об упругой
устойчивости весомого полупространства со сферической по-
полостью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. - 1981. - № 5. -
С. 17-20.
119. Ержанов Ж.С, Сагинов А.С, Векслер Ю.А. Расчет устойчи-
устойчивости горных выработок, подверженных большим деформаци-
деформациям. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1973. - 176 с.
120. Ержанов Ж.С, Серегин Ю.Н., Смирнов В.Ф. Расчет нагру-
женности опорных и поддерживающих целиков. - Алма-Ата:
Наука КазССР, 1973. - 140 с.
121. Ершов Л. В. Искусственное усиление устойчивости целиков пу-
путем установки подкрепляющих штанг. // Изв. АН СССР. ОТН,
1963. - № 2. - С. 180-182.
122. Ершов Л.В. Исследование вопросов проявления горного давле-
давления с позиций устойчивости упругопластических тел. // Прикл.
матем. 1963. - Т. 9, № 4. - С. 387-397.
123. Ершов Л. В. К вопросу о проявлении горного давления в вер-
вертикальном шахтном стволе // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и
машиностр. - 1962. - № 6. - С. 103-107.
220 Список литературы
124. Ершов Л. В. К математической теории горного давления. //
В кн.: Аналитические методы исследования и математическое
моделирование горных процессов. - М.: Госгортехиздат, 1963,
С. 19-43.
125. Ершов Л. В. О постановке задачи устойчивости горных вырабо-
выработок // ДАН СССР. - 1962. - Т. 143, № 2. - С. 305-307.
126. Ершов Л. В. О проявлении горного давления в горизонтальных
выработках // ДАН СССР. - 1962. - Т. 145, № 2. - С. 298-300.
127. Ершов Л.В. Об образовании шейки в плоском образце при
растяжении // Ж прикл. мех. и техн. физ. - 1961. - N5 1. -
С. 135-137.
128. Ершов Л. В. Об осесимметричной потере устойчивости толсто-
толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием
равномерного давления // Прикл. механика и техн. физика. —
1960. - № 4. - С. 81-82.
129. Ершов Л.В. Об учете влияния эффекта Баушингера на потерю
устойчивости сжатой полосы // Прикл. матем. и мех. - 1962. -
Т. 26, № 3. - С. 577-579.
130. Ершов Л.В., Ивлев Д. Д. О выпучивании толстостенной тру-
трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв.
АН СССР. ОТН. Механика и машиностр. - 1958. - » 8. -
С. 149-152.
131. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся
дисков // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - № 1. - С. 124-125.
132. Ершов Л.В., Максимов В.А. Математические основы физики
горных пород. - М.: Изд-ние МГИ, 1968. - 293 с.
133. Заславский Ю.З. Исследование проявлений горного давления
в капитальных выработках глубоких шахт Донецкого бассей-
бассейна. - М.: Недра, 1966.
134. Зебриков В. П. Напряженное состояние концентрической тру-
трубы при упругопластическом деформировании под действием
давления // Ж. прикл. механ. и техн. физ. - 1983. - № 3. -
С. 152-159.
135. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. Аналитическое решение задачи
о двуосном растяжении плоскости с круговым отверстием при
определяющих соотношениях теории пластичности с упрочне-
упрочнением // Теор. и прикл. механика. - Минск, 1987. - С. 29-32.
136. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. Метод разложения по парамет-
параметру нагружения в упругопластических задачах для упрочняю-
упрочняющихся тел // Теор. и прикл. механика. - 1986. - № 13.- С. 3-7.
137. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. О сходимости метода разложе-
разложения по малому параметру нагружения в задаче об упругопласти-
упругопластическом изгибе кольцевой пластины // Белорус, политехи, ин-т. —
Минск, 1987. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.87, № 3880-В87.
138. Ибрагимов В.А., Нефагин В.А. Сходимость метода разложения
по параметру нагружения в задачах упругопластического де-
деформирования стержней // Теор. и прикл. мех. - Минск. 1988. -
№ 15. - С. 50-58.
Список литературы 221
139. Ивлев Д.Д. К теории сложных сред // ДАН СССР. - 1963. -
Т. 148, № 1. - С. 64-67.
140. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука,
1966. - 232 с.
141. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластиче-
пластического тела. - М.: Наука, 1971. - 232 с.
142. Ивлев Д.Д., Ершов Л. В. Метод возмущей в теории упругопла-
стического тела. - М.: Наука, 1978. - 208 с.
143. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.1. - М.: Физматлит,
2001. - 445 с.
144. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.2. - М.: Физматлит,
2002. - 448 с.
145. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Учен,
зап. Московск. ун-та. - 1940. - Вып. 39. - С. 3-47.
146. Ильюшин А.А. Нормальное и касательное напряжение при чи-
чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей
об изгибе плит // Инж. сб. - 1954. - Т. 19. - С. 3-12.
147. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.
148. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязко-пластического тече-
течения круглой пластины // Прикл. матем. и мех. — 1943. — Т. 7,
№ 6. - С. 701-715.
149. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязко-пластического тече-
течения полосы и кругового прута // Прикл. матем. и мех. - 1943. -
Т.7, № 2. - С. 109-115.
150. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пла-
пластичности. - М.: Физматлит, 2001. - 701 с.
151. Кацауров И.И. Механика горных пород. - М.: Недра. - 1981. -
161 с.
152. Кирсанов М.И., Спорыхин А.И. О неустойчивости сферическо-
сферического тела при равномерном нагружении // Ж. Прикл. мех. и техн.
физ. - Новосибирск: Наука. - 1979. - № 1. - С. 161-165.
153. Клюшников В.Д. Бифуркация процесса деформирования и
концепция продолжающегося нагружения // Изв. АН СССР.
МТТ. - 1972. - № 5. - С. 16-20.
154. Клюшников В.Д. Изгиб и выпучивание пластин и оболочек за
пределами упругости // Тр. YII Всес. конф. по теории оболочек
и пластинок. - 1969. - М.: Наука. - 1970. - С. 808-812.
155. Клюшников В.Д. К проблемам устойчивости упругопласти-
ческого стержня // Изв. АН СССР. МТТ. - 1967. - № 2. -
С. 132-133.
156. Клюшников В.Д. Неустойчивость пластических конструкций
(обзор). - Механика. Новое в зарубежной науке. - М.: Мир. -
1976. - № 7. - С. 148-177.
157. Клюшников В.Д. О зависимости критических нагрузок от ис-
истории нагружения упругопластических пластин // В сб.: Мех.
деформ. тел и конструкций. - М.: Машиностроение. - 1975. -
С. 220-226.
222 Список литературы
158. Клюшников В. Д. О некоторых особенностях явления неустой-
неустойчивости за пределом упругости // В сб.: Усп. мех. деформир.
сред. - М.: Наука - 1975. - С. 20-27.
159. Клюшников В. Д. Развитие теории устойчивости конструкций за
пределом упругости и критерий бифуркации процесса дефор-
деформирования // Прикл. механика. - 1975. - Т. 11, № 6. - С. 3-11.
160. Клюшников В.Д. Устойчивость пластин за пределом упруго-
упругости // Изв. АН СССР, ОТН. - 1957. - № 7. - С. 41-56.
161. Клюшников В.Д. Устойчивость процесса сжатия идеализиро-
идеализированного упругопластического стержня // Мех. и машинострое-
машиностроение. - 1964. - № 6. - С. 59-68.
162. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем. —
М.: Наука. - 1980. - 240 с.
163. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. , Чиканова Н.Н. К определению
поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очер-
очертаний. // Информационные технологии и системы. - Воронеж. -
1994. - Ч. 3. - С. 11-15.
164. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Двухосное растяжение упруго-
пластического пространства с включением близким по форме
к правильному многоугольнику. // Вестн. ВГУ. Серия 2. Есте-
Естественные науки. - Воронеж. - 1998. - №3. - С. 136-141.
165. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. О двухосном растяжении пласти-
пластины с отверстием. // International information Academij, Инфор-
Информационные технологии и системы. Воронежск. отд. Воронеж:. —
1998. - В.2. - С. 61-65.
166. Ковалев А.В., Спорыхин А.Н., Яковлев А.Ю. Двухосное ра-
растяжение упругопластического пространства с призматиче-
призматическим включением. // Прикладная механика, НАН Украины. -
Киев. - 2000. - Т.36, № 6. - С. 114-120.
167. Кузнецов В.В. Деформированное упругопластическое состоя-
состояние толстой плиты с эллиптическим отверстием, изгибаемой
в своей плоскости // Изв. вузов. - 1980. - № 4. - С. 23-27.
168. Кулиев Г. Г. Разрушение и устойчивость трехмерных тел с тре-
трещинами и некоторые родственные проблемы горной и нефтяной
механики. - Баку: Элм, 1983. - 143 с.
169. Кулиев Г.Г., Асамидинов Ф.М. Устойчивость горизонтальных
горных выработок кругового поперечного сечения при двухос-
двухосном сжатии массива // Прикл. механика. - 1977. - Т. 13, № 4. -
С. 122-124.
170. Куршин Л.М. Устойчивость при ползучести // Изв. АН СССР.
Мех. тв. тела. - 1978. - № 3. - С. 125-160.
171. Легеня И.Д. Об устойчивости сжатой пластины с учетом углов
поворота // ДАН СССР. - 1963. - Т. 149, № 4. - С. 802-805.
172. Легеня И.Д. Об устойчивости толстой квадратной свободно опер-
опертой плиты // Изв. АН СССР. ОТН. - 1962. - № 6. - С. 165-168.
173. Легеня И.Д. Об устойчивости толстой пластически деформиру-
деформируемой плиты // ДАН СССР. - 1962. - Т. 147, № 6. - С. 1314-1317.
174. Легеня И.Д. Об устойчивости толстой плиты сжимаемой в двух
направлениях // Прикл. механика. — 1966. — Т. 2, № 7. — С. 87—94.
Список литературы 223
175. Легеня И. Д. Об устойчивости толстой прямоугольной свободно
опертой плиты под действием сжимающей нагрузки // ДАН
СССР. - 1961. - Т. 140, № 4. - С. 776-779.
176. Легеня И. Д. Цилиндрическая форма потери устойчивости тол-
толстой плиты // Изв. вузов. Машиностроение - 1969. - № 3. -
С. 38-41.
177. Лейбензон Л. С. О применении гармонических функций к во-
вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболо-
оболочек // Собр. труд. - М.: АН СССР. 1951. - Т. 1. - С. 50-85.
178. Лехницкий С. Г. Распределение напряжений вблизи горизон-
горизонтальной выработки эллиптического сечения в трансверсально-
изортопном массиве с наклонными плоскостями изотропии //
Инж. ж. МТТ. - 1966. - № 2.
179. Лобовик СБ. Исследование устойчивости сферической полости
вариационным методом // Прикл. механика. - 1977. - Т. 13,
№ 2. - С. 35-39.
180. Лобовик СБ. Об устойчивости несжимаемого полупростран-
полупространства со сферической полостью // Прикл. механика. — 1977. —
Т. 13, № 12. - С. 117-120.
181. Лобовик СБ. Устойчивость сферической полости при одноос-
одноосном сжатии // В сб.: Прикл. механика. - Физика конденсиро-
конденсированного состояния. - Киев, 1978. - С. 16-20.
182. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых де-
деформируемых тел. - М.: 1970. - 81 с.
183. Лурье А.И. К теории систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. - Тр. Ленингр.
индустр. ин-та. - Т. 3, № 6. 1937. - С. 31-36.
184. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
185. Марушкей Ю.М. Двуосное растяжение упругопластического
пространства с включением // Изв. вузов. Сер. машиностр. -
1975. - № 12. - С. 25-30.
186. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с
включением в виде эллиптического цилиндра // Прикл. меха-
механика. - 1975. - Т. 12, № 2. - С. 126-130.
187. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с
включением в виде эллиптического цилиндра // Прикл. меха-
механика. - 1975. - Т. 12, № 2. - С. 126-130.
188. Медведь Н.А., Спорыхин А.Н. О потере устойчивости круглых
вращающихся полых цилиндров из упругопластического мате-
материала // ВГУ. Воронеж, 1982. - 10 с. Деп. в ВИНИТИ 02.04.82. -
№ 1517-82. Деп. - 10 с.
189. Мешков СИ., Шашкин А.И. О потери устойчивости сфери-
сферической оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - № 5. -
С. 117-119.
190. Михлин С. Г. О распространении напряжений в полуплоскости
с эллиптическим вырезом. // Тр. Сейсмологич. ин-та АН СССР,
1934, № 29.
224 Список литературы
191. Мусаев Д. А., Юсу бое Р. А. Устойчивость двух некруговых ци-
цилиндров в упругой матрице при малых докритических дефор-
деформациях // Прикл. механика. - 1989. - Т. 25, № 11. - С. 3-9.
192. Навоян А.В., Гузь А.И. О постановке и методах решения задач
об устойчивости горизонтальных горных выработок // Докл.
АН УССР. Сер. А. - 1973. - № 3. - С. 263-266.
193. Назаренко В.М. Влияние зоны трещинообразования вокруг
круговой горизонтальной выработки на ее устойчивость //
Прикл. механика. - 1984. - Т. 20, № 4. - С. 114-115.
194. Назаренко В.М. К вопросу об устойчивости горизонталь-
горизонтальной горной выработки при наличии зон раздела физико-
механических свойств пород // Прикл. механика. - 1982. - Т. 18,
№ 6. - С. 121-124.
195. Назаренко В.М. Об устойчивости горных выработок с учетом
зон раздела физико-механических свойств пород // Докл. АН
УССР. Сер. А. - 1980. - № 12. - С. 34-38.
196. Назаренко В.М. Устойчивость горизонтальной горной выра-
выработки в массивах с трансляционным упрочнением // Прикл.
механика. - 1981. - Т. 17, № 9. - С. 124-127.
197. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.:
Наука, 1969. - 526 с.
198. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - М.:
Гостехиздат, 1948. - 211 с.
199. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. -
370 с.
200. Акоплн Ж. С, Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Дериглазов Л.В. О за-
задачах устойчивости вертикальных горных выработок в анизо-
анизотропном массиве // Прикл. механика. - 1978. - Т. 14, № 12. -
С. 23-29.
201. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом те-
течении растягиваемого образца // Сб. перев. и обзоров иностр.
период, лит. - 1965. - № 4. - С. 93-97.
202. Остросаблин Н.Н. Определение смещений в задаче Л.А. Гали-
Галина И Динамика сплошных сред : Ин-т гидродинамики СО АН
СССР. - Новосибирск: Наука, 1973. - Вып. 14. - С. 67-70.
203. Остсемин А.Н., Лунин В.А. Кручение конического стержня из
упругопластического материала // Пробл. прочности. - 1985. -
№ 6. - С. 60-64.
204. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упру-
упругих систем. - М.: Наука, 1964. - 336 с.
205. Подболотов Б.Н., Спорыхин А.Н. Неустойчивость неоднород-
неоднородного полупространства // Вестн. АН КазССР. - 1987. - № 3. -
С. 66-69.
206. Подболотова Н.Б., Спорыхин А.Н. К построению решения
плоской задачи для сложной среды с неизвестной границей. //
Прикл. механика, НАН Украины. - Киев. - 1998. - Т.4, №11. -
С. 67-77.
207. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Нау-
Наука, 1966. - 752 с.
Список литературы 225
208. Работное Ю.Н., Шестериков С. А. Устойчивость стержней и
пластин в условиях ползучести // Прикл. матем. и мех. - 1957. -
Т. 21, № 3. - С. 406-412.
209. Ревуженко А.Ф., Стоневский СБ., Шемякин Е.И. Некоторые
модели деформирования горных пород и грунтов // В кн.:
Некоторые проблемы вычислительной и прикладной матема-
математики. - Новосибирск, 1975. - С. 140-145.
210. Ржаницин А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. —
М.: Гостехиздат, 1955. - 476 с.
211. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. -
Минск: Наука и техника. -1977. - 254 с.
212. Седое Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973. -
Т. 2. - 536 с.
213. Семчинов К.Н. Об одной задаче нелинейной теории упруго-
упругости // Инж. журн. - 1961. - Т. 1, № 1. - С. 104-110.
214. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического
пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН
СССР. Механика и машиностр. - 1963. - № 1. - С. 17-21.
215. Сетх Б.Р. Устойчивость конечных деформаций // В кн.: Про-
Проблемы механики сплошной среды. - М.: Изд-во АН СССР,
1961. - С. 7-30.
216. Скаченко А.В. К вопросу устойчивости многослойных тел //
Прикл. механика. - 1990. - Т. 26, № 2. - С. 88-93.
217. Скаченко А.В. Устойчивость многослойных композитов при
неупругих деформациях // Прикл. механика. — 1980. — Т. 15. —
№ 8. - С. 104-106.
218. Скаченко А.В., Спорыхин А.И. Устойчивость упругопластиче-
ских тел при больших пластических деформациях // Прикл.
мех. - 1976. - Т. 12, № 5. - С. 11-17.
219. Скаченко А.В., Спорыхин А.Н. Устойчивость упругопластиче-
упругопластического шара, нагруженного внешним давлением // Прикл. меха-
механика и техн. физика. - 1977. - № 5. - С. 155-159.
220. Современные композиционные материалы // Под. ред. Л. Бра-
утмана и Р. Кроха. - М.: Мир. - 1970. - 558 с.
221. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки //
ДАН СССР. - 1948. - Т. 10, № 1. - С. 33-36.
222. Сорокин В.И., Швайко Н.Ю. Бифуркация процесса упругопла-
упругопластического деформирования // ДАН СССР. Сер. А. - 1979. -
№ 1. - С. 43-48.
223. Спорыхин А.Н. Об устойчивости деформирования упруго-
вязко-пластических тел // Прикл. мех. и техн. физ. - 1967. -
№ 4. - С. 52-58.
224. Спорыхин А.Н. Об устойчивости плиты при сжатии // Прикл.
механика. - 1969. - Т. 5, № 8. - С. 120-122.
225. Спорыхин А.Н. К устойчивости равновесия нелинейных вязко-
упругих сред // Сб. работ по математике и механике. - Воро-
Воронеж. - 1969. - С. 17-24.
226 Список литературы
226. Спорыхин А.Н. К устойчивости равновесия упруго-вязко-
пластической среды // Прикл. мех. и техн. физ. - 1970. - № 5. -
С. 86-92.
227. Спорыхин А.Н., Трофимов В. Г. К построению общего решения
линеаризированных уравнений плоской задачи устойчивости
упруго-вязко-пластического тела // В кн.: Тр. НИИМ ВГУ. -
1971. - Вып. 4. - С. 111-116.
228. Спорыхин А.Н. Неупругая устойчивость толстых круглых пла-
пластин, находящихся в состоянии трехмерного напряжения //
В кн.: Тр. НИИМ ВГУ. - 1971. - Вып. 4. - С. 107-111.
229. Спорыхин А.Н., Анохин О.Е. Устойчивость толстых круглых
плит из нелинейно вязко-упругого материала // В кн.: Тр.
НИИМ ВГУ. - 1972. - Вып. 6. - С. 6-10.
230. Спорыхин А.Н., Трофимов В.Г. Устойчивость упруговязкопла-
стических тел // Прикл. механика. - 1972. - Т. 8, № 9. - С. 15-19.
231. Спорыхин А.Н., Трофимов В.Г. Задачи устойчивости упруго-
вязко-пластических тел // Прикл. механика и техн. физ. -
1973. - № 4. - С. 144-147.
232. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость вертикальных вы-
выработок, упрочняющихся в пластических массивах // Прикл.
механика. - 1974. - Т. 10, № 11. - С. 76-80.
233. Спорыхин А.Н. К устойчивости горизонтальных выработок
в массивах, обладающих упруговязкопластическими свойства-
свойствами // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. - 1975. - № 1. - С. 67-72.
234. Спорыхин А.Н. О неустойчивости деформирования слоистых
массивов, упрочняющихся в пластических средах // В. кн.:
Механика деформир. твердого тела. - Куйбышев: Изд-во Куй-
Куйбышевского ун-та. - 1975. - № 1. - С. 63-65.
235. Спорыхин А.Н., Чигорев Ю.В. Устойчивость стохастически
неоднородных упруго-вязко-пластических сред // В кн.: Про-
Проблемы надежности в строительной механике. - М. - 1975. -
С. 179-180.
236. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость равновесия тел и
некоторые задачи горного давления // Изв. АН КазССР. Сер.
физ.-мат. - Алма-Ата, 1976. - № 3. - 19 с. (депон. в ВИНИТИ
20.1.76, № 181-76).- 21 с.
237. Спорыхин А.Н., Чигорев Ю.В. Об устойчивости деформиро-
деформирования стохастически неоднородной упрочняющейся упруговяз-
копластической среды // Прикл. механика. - 1977. - Т. 13, № 6. -
С. 24-32.
238. Спорыхин А.Н. К теории устойчивости сжимаемого упругопла-
стического грунта // Прикл. мех. и техн. физ. — 1977. — № 5. —
С. 148-154.
239. Спорыхин А.Н. Устойчивость цилиндрических упругопласти-
ческих тел // Мех. деформ. тв. тела. - 1977. - № 3. - С. 89-93.
240. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость сферической по-
полости в упругопластическом массиве при больших пластиче-
пластических деформациях // Механика деформируемых сред. - Куй-
Куйбышев: : Изд-во Куйбышевск. ун-та. - 1977. — № 2. — С. 75-79.
Список литературы 227
241. Спорыхин А.Н. О влиянии неоднородности на критические на-
нагрузки в задачах устойчивости упругопластических грунтов //
В кн.: Механика деформируемого твердого тела. - Куйбышев:
Изд-во Куйбышевск. ун-та. - 1978. - № 4. - С. 31-36.
242. Спорыхин А.Н. Устойчивость стохастически неоднородных
сжимаемых упругопластических грунтов // Прикл. механика. -
1978. - Т. 14, № 12. - С. 30-37.
243. Спорыхин А.Н. О применимости статического метода к иссле-
исследованию устойчивости упруговязкопластических сред. // Меха-
Механика деформируемых сред. - Куйбышев: изд-во Куйбышевск.
ун-та. - 1978. - С. 115-134.
244. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. К определению оптимальных
размеров горных выработок в упругопластическом грунте //
ВГУ. - Воронеж, 1980. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.10.80,
№ 4388-80.
245. Спорыхин А.Н. К теории устойчивости структурно-
неоднородных сложных сред // Докл. АН УССР. Сер. А. -
1981. - № 1. - С. 46-49.
246. Спорыхин А.Н. К трехмерной теории устойчивости конечно-
деформируемых упругопластических тел. // В кн.: Механика
деформируемых сред. Куйбышев: изд-во Куйбышевск. ун-та. -
1981. - С. 41-46.
247. Спорыхин А.Н. К устойчивости деформирования стохастиче-
стохастически неоднородных материалов с реологическими свойствами //
В кн.: МДТТ. - Алма-Ата: Наука КазССР, 1982. - С. 128-137.
248. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Числовые результаты решения
некоторых неупругих задач в механике горных пород // ВГУ. -
Воронеж, 1982. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.09.82, № 4932-82.
249. Спорыхин А.Н. О поверхностной неустойчивости структурно
неоднородных упругопластических массивов // В кн.: Актуаль-
Актуальные задачи механики сплошной среды. - Чебоксары: Изд-ние
Чувашек, ун-та, 1986. - С. 102-106.
250. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. О потере устойчивости сжима-
сжимаемого упругопластического массива около вертикальной выра-
выработки // Прикл. механика. - 1988. - Т. 24, № 3. - С. 119-123.
251. Спорыхин А.Н. Об одном обобщении в теории устойчивости
упругопластических тел // В сб.: Прикладные задачи по меха-
механике сплошных сред. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1988. - С. 11-16.
252. Спорыхин А.Н. К теории устойчивости конечнодеформируе-
мых сжимаемых упругопластических сред // В кн.: Приклад-
Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. - Алма-
Ата: Наука КазССР, 1989. - С. 41-46.
253. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Устойчивость несжимаемого
полупространства вокруг сферической полости // Прикладные
задачи механики деформированного тела. - Алма-Ата: Наука
КазССР, 1989. - С. 46-52.
254. Спорыхин А.Н. Исследование устойчивости стохастически
неоднородных сред в трехмерной постановке // В сб.: Ак-
Актуальные задачи МДТТ. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 1990. -
С. 123-140.
228 Список литературы
255. Спорыхип А. Н., Чикапова П. Н., Ковалев А. П. К определению
поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очер-
очертаний // Информационные технологии и системы. - Воронеж:
Изд-ние Воронежск. технол. ин-та, 1994. - Ч. 3. - С. 11-15.
256. Спорыхин А.Н., Чиканова П.П. Локальная неустойчивость со-
составных упругопластических конструкций. // Мех. композит,
материалов. - 1995. - Т. 31, № 2. - С. 248-267.
257. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости
сложных сред. - Воронеж: Изд-ние ВГУ, 1997. - 361 с.
258. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Исследование устойчивости со-
состояния равновесия горного массива возле вертикальных ци-
цилиндрических выработок кругового поперечного сечения //
В кн.: Материалы международной 53-й научно-технической
конференции профессоров, преподавателей и аспирантов Бе-
Белорусской государственной политехнической академии. В 4-х
частях. Часть 1. - Минск. - 1999. - С. 149.
259. Спорыхин А.Н., Чеботарев А.С. Локальная неустойчивость
стенок бурящихся скважин в сжимаемых упрочняющихся
упруговязкопластических массивах // Прикл. мех. и техн. физ.
СО РАН. - 1999. - № 6. - С. 177-183.
260. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Метод возмущений в зада-
задаче упругопластического кручения полых стержней. // В сб.:
Математическое моделирование технологических систем. Воро-
Воронеж: Воронежск. государственная технологическая академия. -
1999. - Вып.З. - С. 131-134.
261. Спорыхин А.Н., Щеглова Ю.Д. Метод возмущений в задачах
упругопластического кручения стержней. // Ж. МТТ. РАН. -
2000. - № 5. - С. 54-64.
262. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. Определение оптимальных раз-
размеров горных целиков // Математическое моделирование ин-
информационных и технологических систем. Воронеж: Изд-ние
Воронежск. гос. технол. акад. - 2000. - В. 4. - С. 245-248.
263. Спорыхин А.Н., Шашкин А.И. О потере устойчивости сфери-
сферической полости. // В сб.: Проблемы механики деформируемых
тел и горных пород. - М.: Изд-ние Московск. гос. горн, ун-та. -
2001. - С. 313-323.
264. Суздальская Л.И. Определение неизвестной границы в обрат-
обратных задачах для полосы с отверстием // Изв. АН СССР. МТТ. -
1965. - № 4. - С. 121-124.
265. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных по-
пород. - М.: Недра, 1979. - 301 с.
266. Ержанов Ж.С, Егоров А.К., Гарагаш И.А. и др. Теория склад-
складкообразования в земной коре. - М.: Наука, 1975. - 240 с.
267. Тимошенко СП. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -
М.: Наука, 1971. - 808 с.
268. Тимошенко СП. Устойчивость упругих систем. - М.: Гостехиз-
дат, 1955. - 532 с.
Список литературы 229
269. Толоконников Л. А. Вариационные уравнения задачи устойчи-
устойчивости состояния равновесия // Научн. труды Тульск. горн,
ин-та. - Тула. - 1961. - Вып. - 3. - С. 45-51.
270. Толоконников Л.А., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Наложение
больших упругих деформаций. Проблемы, теория, результа-
результаты // II Всес. конф. по теории упругости: Тез. докл. - Тбилиси,
1984. - С. 271-272.
271. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных
алгебраических уравнений. — М.: Мир , 1969. - 167 с.
272. Хорошун Л. П. К теории изотропного деформирования упругих
тел со случайными неоднородностями // Прикл. механика. -
1967. - Т. 3, № 9. - С. 12-19.
273. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного рас-
расчета физико-механических постоянных композиционных мате-
материалов. - Киев. - 1980. - 110 с.
274. Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. - М.: ИЛ, 1955. -
175 с.
275. Цветков Ю.Д. Кручение упругопластического цилиндрическо-
цилиндрического стержня с поперечным сечением, близким к круговому //
В кн.: Актуальные задачи механики сплошных сред. - Чебок-
Чебоксары, 1986. - С. 117-119.
276. Циглер Г. Об устойчивости упругих систем // Пробл. механи-
механики. - М.: ИЛ, 1959. - С. 116-160.
277. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. - М.:
Мир, 1971. - 192 с.
278. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической
задачи // Прикл. матем. и мех. — 1963. — Т. 27. Вып. 3. —
С. 428-436.
279. Чехов В.И. Влияние «следящей» нагрузки на складкообразова-
складкообразование в земной толще // Прикл. механика. - 1975. - Т. 11, № 5. -
С. 86-92.
280. Чехов В.U. Исследование процесса складкообразования при
нелинейном докритическом состоянии // Прикл. механика. -
1976. - Т. 12, № 4. - С. 32-40.
281. Шашкин А.И. К устойчивости равновесия сферической поло-
полости // Устойчивость пространственных конструкций. - Киев,
1978. - С. 129-133.
282. Шашкин А.И. Определение оптимальной толщины монолит-
монолитной крепи // Тр. НИИ математики ВГУ. - Воронеж, 1973. -
Вып. 8. - С. 50-53.
283. Шашкин А.И. Определение оптимальных размеров неупру-
неупругих крепей вертикальной выработки и сферической полости //
ВГУ. - Воронеж, 1982. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 2.07.82,
№ 3450-82.
284. Шашкин А.И. Определение оптимальных размеров целиков из
сжимаемого упругопластического материала / ВГУ. - Воро-
Воронеж, 1982. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 3.05.82, № 2146-82.
230 Список литературы
285. Шашкин А. И. Определение оптимальных размеров толстостен-
толстостенных крепей горных выработок, проведенных в массивах, имею-
имеющих границу раздела зон упругого и пластического деформиро-
деформирования // В кн.: Прикладные задачи механики сплошных сред. -
Воронеж. - 1999. - С. 341-348.
286. Швайко Н.Ю. Сложные нагружения и некоторые вопросы
устойчивости элементов конструкций // Прикл. механика. -
1979. - Т. 15, № 2. - С. 6-34.
287. Шемякин Е.И. О закономерностях неупругого деформирова-
деформирования в окрестности подготовительной выработки // Горн, дав-
давление в капитальных и подготовительных выработках. - Ново-
Новосибирск, 1975. - С. 3-17.
288. Шевченко Ю.Н., Прохоренко И. В. Теория упругопластиче-
ских оболочек при неизотермических процессах нагружения. —
Киев.: Наукова думка, 1981. - 296 с.
289. Ariaratnam S.T., Dubey R.N. Some cases of bifurcation in elastic-
plastic solids in plane strain // Quart. Appl. Math. - 1969. -
Vol. 27, № 3. - P. 344-358.
290. Bazant Z.P. Correlation study of formulation of incremental
Deformation and stability of continuous bodus // Trans. ASME.
Ser. E. - 1971, - № 4. - P. 107-121.
291. Biezeno C.B., Hencky H. On the general theory of elastic
stability // Koninklijke Akademic van Wettenschappen te
Amsterdam. Proc. of the Soc. Sci., 1928. - Vol. 31.; 1929. - Vol. 32.
292. Biot M.A. Mechanics of Incremehtal Deformation. - N-Y.: John
Willey and Sons. 1965. - P. 506.
293. Biot M.A. Non linear theory of elasticity and linearized case for a
body under initial stress // Phil. Mag. Ser. 7. - 1939. - Vol. 27. -
P. 89-115.
294. Biot M.A. Rheological stability with couple stress and its
application to geological folding // Proc. Roy. Soc. - 1967. - A 298,
№ 1455. - P. 402-423.
295. Biot M.A. Sur la stabilite de l'equilibrie elastique Equations de
l'elasticire d'un milieu soumis a tension initiale // Ann. Soc. Sci.
Ser. B. - 1934. - Vol. 54, Pt. 1. - P. 91-109.
296. Chakrabarty I. Bifurcation phenomenon and the rate problem in
plasticity //Int. J. Mech. Sci. - 1969. - Vol. 11, № 8. - P. 659-666.
297. Chakrabarty I. On the problem of uniqueness under pressure
loading // Int. J. Mech. Ser. - 1969. - Vol. 11, № 9. -
P. 696-706.
298. Dubey R.N., Ariaratnam S.T. Bifurcation in elastic-plastic solids
in plane stran // Quart. Appl. Math. - 1969. - Vol. 27, № 3. -
P. 381-390.
299. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.D. General theory of small
elastic deformations superposed jn finite elastic deformations //
Proc. Roy. Soc. Ser. A. - 1952. - Vol. 211, № 1104. - P. 128-154.
300. Guo Zhong-heng, Urbanowski W. Stability of non-conservative
systems in the theory of elasticity of finite deformations // Arch.
Mech. Stos. - 1966. - Vol. 15, № 2. - P. 111-128.
Список литературы 231
301. Hill R.A. General theory of uniqueness and stability in elastic-
plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1958. - Vol. 6, № 3. -
P. 236-249.
302. Kappus R. Zur Elastizitatstheorie endlicher Verschiebungen //
Z. Angew. Math, and Mech. - 1939. - Vol. 19, № 5. - P. 27-31.
303. Murphy L.N., Lee L.H. Inelastic buckling process of axially
compressed cylindrical shells subject to edge constraints // Int.
J. Solids a. Struct. - 1971. - Vol. 7, № 9. - P. 1153-1170.
304. Naghdi P.M. A Critical Review of the State of Plastisity. //
ZAMM. - 1990. - Vol. 41, № 3. - P. 315-394.
305. Southwell R. V. On general theory of elastic stability // Phil. Trans.
Roy. Ser. A. - 1913. - Vol. 213, № 2. - P. 15-20.
306. Sporihin A.N., Skachenko A.V. Bifurcation in process of
deformation of elastik-plastic body at finite homogeneous
deformations // Arch. mech. stosow. - 1977. - Vol. 29, № 1. -
P. 105-113.
307. Thomas T. Y. Combined elastic and Prandtl-Reuss stress - strrain
relations // Proc. Nat. Acad. Sci. - 1955. - Vol. 41. - P. 251-262.
308. Trefftz E. Uber die Ableitung der stabilitats keiterien des
elastischen Gleichgewiehts aus Elastizitatstheorie der endlichen
Deformationen // In.: Proc. Erd Int. Congr. Mech. (Stockholm,
1930). - 1931. - Vol. 3. - S. 103-110.
309. Trefftz E. Zur Teorie der Stabilitat des elastischen Gleigewichts //
Z. Angew. Math, and Mech. - 1933. - Vol. 12, № 3. - S. 17-30.
310. Wesolowski Z. Stability of on elastic thick-walled spherical shell
loaded by an external pressure // Arch. Mech. Stos. - 1967. -
Vol. 19, № 1. - P. 98-127.
311. Zahorski S. Instability of a non-linear viscoelastic column under
finite compression // Arch. Mech. Stos. - 1965. - Vol. 17, № 6. -
P. 801-821.
312. Zahorski S. Kinematics stability in the case of slow steady plastic
flow // Arch. Mech. Stos. - 1964. -Vol. 16. - P. 514-529.
313. Zahorski S. On plastik instability in some cases of simple flow. -
Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. techn. - 1964. - Vol. 12, № 11. -
P. 523-529.
314. Zahorski S. Small additional deformation in non-linear
viscoelasticity // Bull Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. - 1966. -
Vol. 14, № 1. - P. 17-22.
315. Zahorski S. Some results of the theory of visco-elactic instability //
Bull. Acad. Polon., Ser. Sci. Techn. - 1966. - Vol. XIY, №1.-
P. 23-28.
316. Zahorski S. Theory of small motoin superposed on fundamental
slow deformation of non-linear visco-elastic materials // Arch.
Mech. Stos. - 1965. - Vol. 17, № 5. P. 671-686.
Научное издание
СПОРЫХИН Анатолий Николаевич
ШАШКИН Александр Иванович
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ТЕЛ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 12.02.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 16,7. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московская
типография № 6» Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
115088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24