Text
                    К. А. БОХАН,
И. А. ЕГОРОВА,
К. В. ЛАЩЕНОВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ I
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ФАКУЛЬТЕТОВ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
Под редакцией
проф. Б. 3. ВУЛИХА
Издание 2-е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1972

517.2 Б86 Бохан К. А. и др. Б 86 Курс математического анализа. Т. I. Учеб. посо-> бие для студентов-заочников физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. Под ред. проф. Б. 3. Вулиха. Изд. 2-е. М.., «Просвещение», 1972. 51! с. Перед загл. авт.: К. А. Бохан, И. А. Егорова, К. В. Ла- щенов. 4-6-4 517,2 БЗ Л 8—1972—№ 14
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Предлагаемый курс математического анализа рассчитан на студентов-заочни- ков. Хотя существует большое количество учебников по математическому анализу, которыми пользуются студенты стационарных вузов, однако эти учебники рас- считаны, как правило, на то, что студент изучает их параллельно со слушанием лекций и имеет постоянный личный контакт с преподавателем. Заочник работает в других, более трудных условиях, и'поэтому он нуждается в таких дополнитель- ных пособиях, которые могли бы хоть частично облегчить его работу. К такому типу пособий относится и этот курс, составленный сотрудниками кафедры математического анализа Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена. В курсе особенно подробно рассматриваются основные понятия математиче- ского анализа, приводится большое количество столь же подробно решенных примеров, даются не только упражнения обычного типа для самостоятельной работы студента, но также и вопросы для самопроверки, которые помогут студенту-заочнику выяснить, насколько хорошо он разобрался в изучаемом курсе. Если студент пожелает иметь дополнительный материал для упражнений сверх того, который содержится в этой книге, ему можно рекомендовать как различные общие задачники по математическому анализу, например Н. А. Давы- дова, П. П. Коровкина и В. Н. Никольского, или Г. Н. Бермана, или Б. П. Демидовича, так и специальные задачники-практикумы, изданные Мос- ковским заочным педагогическим институтом. В процессе изучения курса студент должен глубоко вникать в сущность всех новых понятий и формулировок всех теорем. При разборе каждой теоремы очень полезно выяснить, где в доказательстве используется то или иное ее условие. Изучение того или иного параграфа можно считать законченным лишь тогда, когда студент может безошибочно воспроизвести все содержащиеся в этом пара- графе определения, теоремы с их доказательствами и ответить на вопросы, поставленные для самопроверки. Только после этого рекомендуется переходить к следующему параграфу. При изложении материала в этом курсе иногда, по более сложным и тонким вопросам, делаются ссылки на учебник Г. М. Фихтенгольца «Основы математи- ческого анализа». При ссылках [1] означает том 1 этого учебника, а [2] — том 2. Кроме книги Г. М. Фихтенгольца, студенты-заочники могут также использовать учебники Н. А. Фролова «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Курс математического анализа», часть 2, и И. Е. Жака «Дифференциальное исчисление». При написании книги авторы пользовались сборниками задач Г. Н. Бермана, Б. П. Демидовича и других авторов. Весь курс состоит из двух томов, содержащих десять разделов. Доцепг К. А. Бохан написал I и II разделы этого курса, главу девятнадцатую раздела VI, а также § 4 главы шестнадцатой раздела V. Доцент И. А. Егорова написала разделы V, VII, VIII, IX и X. Доцент К. В. Лащенов написал -разделы III и IV, а также семнадцатую и восемнадцатую главы раздела VI. В согласова- нии глав и разделов между собой принимали участие все авторы. Проф. Б. 3. Вулих 1*
ОТ АВТОРОВ На кафедре математического анализа Ленинградского государственного педа- гогического института имени А. И. Герцена авторы данного курса в течение многих лет систематически работали над созданием специальных учебных пособий для студентов-заочников педагогических институтов. Эти пособия издава- лись Ленинградским педагогическим институтом имени Герцена, а также боль- шими тиражами Московским государственным заочным педагогическим инсти- тутом. Длительное время пособия использовались в работе многих пединсти- тутов. При подготовке к печати данного курса авторы с благодарностью учли полезные замечания и советы, высказанные рецензентами, а также лицами, работавшими с этими пособиями. Поэтому можно сказать, что настоящее учебное пособие является итогом многолетней работы авторов над созданием специаль- ных учебных пособий для студентов-заочников пединститутов. В течение всех этих лет доктор физико-математических наук, профессор Б. 3. Вулих неизменно оказывал нам большую помощь своими ценными сове- тами и замечаниями и проделал огромный труд по редактированию настоящего пособия. Мы выражаем ему особую благодарность. Выражаем также глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору | И. П. Натансону доктору физико-математических наук, про- фессору С. Г. Михлину и доктору физико-математических наук, профессору Н. Я. Виленкину, которые принимали участие в чтении рукописей и сделали много ценных указаний. Авторы просят присылать отзывы и отдельные замечания по данному курсу по адресу: Ленинград, Д-88, Мойка, 48, ЛГПИ, математический факультет, ка- федра математического анализа. авторы
Раздел I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Г Л А В А I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Понятие вещественного числа принадлежит к основным поня- тиям математического анализа. Средняя школа не дает учащимся достаточного представления о вещественных числах и их свойст- вах. Поэтому естественно было бы начинать изучение математи- ческого анализа с расширения и углубления школьных знаний о числе. Однако теория вещественных чисел сама по себе явля- ется далеко не простой. Хотя существуют различные подходы к построению теории вещественных чисел (метод сечений, опреде- ление вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей и др.), но каждый из них на первых порах работы по математи- ческому анализу, притом заочно, может вызвать значительные затруднения. Здесь для облегчения первоначального знакомства с вещественными числами мы ограничимся краткими сведениями о них, не претендуя на полноту и строгость. Считаем, что этих кратких сведений достаточно для успешной работы над последую- щими главами. Если же читатель пожелает изучить теорию веще- ственных чисел более глубоко и полно, то это можно сделать, например, по рекомендованной нами книге Г. М. Фихтен- гольца [1]. Параграфы, посвященные свойствам абсолютных величин, а также понятиям о границах множеств, о сегментах, интервалах и окрестностях, следует рассматривать как вспомогательный мате- риал для последующих глав. § 1. ПОНЯТИЕ множества Понятие множества также принадлежит к числу основных понятий математического анализа. Оно не поддается определению через более простые понятия и может быть лишь описано или пояснено на примерах. Под множеством будем понимать собрание, совокупность, коллекцию некоторых предметов, объединенных по какому-то опреде- ленному признаку. Так, можно говорить о множестве всех нату- ральных (целых положительных) чисел, о множестве только чет- 5
ных или только нечетных чисел. Все рыбы, находящиеся в вод- ных бассейнах нашей планеты, также составляют определенное множество. Можно, конечно, рассматривать множества рыб опре- деленного вида, возраста, размера и т. д. Примерами множеств могут служить также множество корней данного уравнения, мно- жество всех многочленов, множество чисел, кратных 3, множество целых чисел, больших числа 10 и меньших числа 100; множество стульев в данной аудитории, множество букв данного алфавита и т. п. Предметы, составляющие данное множество, называют его эле- ментами. Если имеем какое-то определенное множество, то относительно любого предмета верно одно и только одно из двух утверждений: либо этот предмет входит в данное множество в качестве его эле- мента, либо не входит. Символическая запись /И = ’х} означает, что множество М состоит из элементов х. В этом случае под х понимают любой элемент множества М. В зависимости, от того, что представляют собой элементы х, определяется и при- рода самого множества М: то ли это будет множество рыб, то ли стульев, чисел и т. д. Если элементы множества можно обозначить отдельными сим- волами, то их выписывают подряд, заключая также в скобки,, например: Л = {а, Ь, с, d, е, f} или М = {1, 2, 3, .... п, ...}. В последнем множестве выписаны не все элементы. Однако доста- точно ясно показано, что N есть множество всех натуральных чисел. В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: Запись х <= М означает, что х является элементом множества М, или х принадлежит множеству М (е —знак принадлежности). Запись х &И означает, что х не является элементом множества М, или хне принадлежит множеству М. Так, например, если М есть множество четных чисел, то число 2еЛ1, а число ЗеЛ4. Будем называть множество А подмножеством множества В или его частью и записывать ЛсВ (или В дэ Л), если каждый эле- мент множества А является также элементом и множества В (сд —знак включения). Так, если Л —множество четных положи- тельных чисел, а В — множество натуральных чисел, то Лсд В (или В дд А). Заметим, что в определении подмножества не исклю- чается случай, когда А совпадает с В. Множества А и В называются равными, А = В, если одновре- менно А сд В и В сд А, б
то есть если множества А и В состоят из одних и тех же элемен- тов. Так, множество {2, 3} и множество корней уравнения х2 — 5х + 6=0 равны. Множество {х} называется конечным, если имеет смысл гово- рить о числе его элементов, то есть если количество его элементов можно выразить каким-то определенным числом. В противном случае оно называется бесконечным множеством. Примерами конеч- ных множеств могут служить множество жителей какого-нибудь города или множество всех людей на земном шаре. Совокупность всех натуральных чисел есть бесконечное множество. Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством. Понятие пустого множества в ряде случаев оказывается весьма удобным. Указывая способ образования того или иного множества, мы заранее не всегда уверены, будет ли это множество содержать хотя бы один элемент. Например, решая задачу об отыскании множества целых корней уравнения ла4-х+1=0, мы придем к ответу, что это множество пустое. Пусть даны два множества Л и В. Если каждому элементу множества А поставлен в соответствие един и только один элемент множества В так, что каждый эле- мент из В при этом окажется соответствующим одному и только одному элементу из А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Если, например, между студентами в аудитории распределены стулья таким образом, что каждый студент имеет стул и больше свободных стульев нет, то можно сказать, что между множеством студентов и множеством стульев, находящихся в аудитории, уста- новлено взаимно однозначное соответствие. При изучении математического анализа нам придется в основ- ном иметь дело с множествами чисел и множествами точек. Введен- ные здесь определения и обозначения в дальнейшем окажутся весьма полезными. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Совпадают ли множества {а, Ь, с, <1, е} и {а, с, е, d, £>}? Отв. Совпадают, так как они состоят из одинаковых элементов. Порядок расположения элементов во множестве не имеет значения. 2. Во время игры назывались номера: 5, 2, 3, 4, 5, 3, 5 и 7. Укажите то множество номеров, которое участвовало в игре. Отв. {2, Я, 4, 5, 7}. 3. Укажите, какие из нижеперечисленных множеств будут конечными и какие — бесконечными а) Множество студентов данного института. б) Множество целых отрицательных чисел. в) Множество натуральных чисел, кратных числу 7. г) Множество маковых зерен данного урожая. д) Множество корней данного многочлена. е) Множество всех прямых, которые проходят через заданную точку. 4. Образуйте все возможные подмножества данного множества А = {а, b, с, d}. Т
5. Дано два числовых множества: А = {2, 3, 5, 6, 7} и В—{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Является ли множество А подмножеством множества В’ _ 6. Тот же вопрос по отношению к множествам А — {2, 3, о, о, 1} и в — = 41 2 3 5 61. 7. Дано два множества' А = -{8, 2, 1, 3, 6, 7} и В = {2, 3, 7, 1, 8}. Которое из них является подмножеством другого’ 8. Почему про пустое множество можно сказать, что оно включается в любое наперед данное множество’ 9. Какими должны быть два конечных множества, чтобы между ними можно было установить взаимно однозначное соответствие’ 10. Даны два множества А—множество, состоящее из десяти стульев, и В — множество, состоящее из десяти студентов. Можно ли сказать, что А = В? Можно ли установить между этими множест- вами взаимно однозначное соответствие’ § 2. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Будем исходить из того, что читатель знаком с натуральными числами, любыми целыми числами (положительными, отрицатель- ными и числом нуль), а также с дробными числами, то есть чис- лами вида где т и п — натуральные. Все эти числа объеди- няются под общим названием—рациональные числа. Заметим, что целые числа также могут быть записаны в виде дробей вида -, если положить л=-1. При т = 0 и любом нату- ральном п имеем: -~=0. Поэтому рациональные числа можно определить как всевозможные числа, представимые в виде дроби , где т может быть любым целым числом (не исключая нуля), а п — по-прежнему натуральное. Если у т и п есть общие делители, то дробь можно сокра- тить. Например, Таким образом, всякое рациональное число, отличное от нуля, представимо в виде несократимой дроби вида ± . Будем считать также известными читателю правила арифмети- ческих действий над рациональными числами. Множество всех рациональных чисел условимся обозначать буквой R. Каждое рациональное число можно изобразить определенной точкой на прямой. В самом деле, возьмем Горизонтальную прямую и отметим на ней произвольную точку. Она будет изображать число нуль и потому обычно называется нулевой точкой. Возьмем затем еще какую-нибудь точку на этой прямой справа от нулевой точки. Она будет изобра- жением единицы. Отрезок прямой с концами в точках 0 и 1 будет, таким образом, единицей длины, или масштабом. Прямую, на которой выбрана нулевая точка, определено напра- вление и указан масштаб, называют числовой прямой или числовой. 8
3 1 1 ъ -3 -2'2-1 0 11 213 .. I -----И 'I I-----+—4——I »- Рис. 1. осью (рис. 1). Чтобы изобразить точкой любое целое число ±р, нужно единицу длины отложить р раз от нулевой точки вправо 1Т , т т или влево в зависимости от знака этого числа. Числам Ч-и----• п п будут соответствовать точки на прямой, которые получатся, если единицу длины разделить на п равных частей и одну часть отло- жить т раз соответственно вправо или влево от нулевой точки (рис/ 1). Точки прямой, соответствующие рациональным числам, называ- ются рациональными точками. Если два рациональных числа а и Ь удовлетворяют неравенству а<Ь, то точка Ь расположена на прямой правее точки а. Если рациональное число с удовлетворяет неравенству а<_с<(Ь, то точка с находится между точками а и Ь. Соответственно говорят, что число с находится между числами а и Ь. Отметим основные свойства множества рациональных чисел R. 1. Для любых двух рациональных чисел а и b справед- ливо одно и только одно из трех соотношений: либо а<Ь, либо а>Ь, либо а = Ь. При этом, если а<Ь и Ь<с, где с — также рациональное число, то а<^с. Это свойство называется упорядоченностью множества R. 2. Если числа а и b—рациональные, то их сумма, раз- ность, произведение и частное (последнее при делителе, отличном от нуля) являются также рациональными чис- лами. 3. Между любыми двумя различными рациональными числами а и b существует промежуточное рациональное число. Так, например, число (по свойству 2) будет рациональ- ним, и если a<z b, то а<^ c<Z b, так как а = —к—-<Г —й—<Z —я—= &• Между числами а и с, с и b таким же способом можно указать еще по рациональному числу и т. д. Таким образом, между любыми рациональными числами а и b содержится не только одно, а беско- нечное множество различных рациональных чисел. Это свойство называется плотностью множества R. Если последнее свойство множества рациональных чисел пере- вести на геометрический язык, то оно означает, что между любыми двумя различными рациональными точками на числовой прямой содержится по крайней мере одна рациональная точка (а тогда и бесконечное множество рациональных точек). 9
Можно доказать и более общее утверждение. Именно, между любыми двумя различными точками на числовой прямой содержится по крайней мере одна рациональная точка (а тогда и бесконечное множество рациональных точек). Иными словами, любой участок числовой прямой, каким бы малым он ни был, содержит бесконеч- ное множество рациональных точек. Указанное свойство множества рациональных точек называют его плотностью и говорят, что множество рациональных точек распо- ложено всюду плотно на числовой прямой. При этом естественно возникает вопрос, а не будут ли рацио- нальные точки заполнять собой сплошь всю числовую прямую? Дру- гими словами: нельзя ли сказать, что каждой точке а на прямой соответствует определенное рациональное число, указывающее на> длину отрезка от 0 до и? Отри- А нательный ответ на этот вопрос / дается следующим примером. / \ Построим равнобедренный пря- / \ моугольный треугольник с кате- / ' том, равным единице длины (рис. 2). / \ Откладывая гипотенузу на прямой, / I получим точку М. Покажем, что / 1 среди всех рациональных чисел не .—-------------— найдется такого числа, которому соответствовала бы эта точка, , Рис‘ 2- то есть что точка М не являет- ся рациональной. Прежде всего заметим, что (0Л)2 = I2 +12 = 2. Следовательно, достаточно доказать, что нет такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2. Допустим обратное: пусть такое число существует. Ясно, что оно не может быть нулем. Остается предположить, что оно представимо в виде несократимой дроби , где т и и— натуральные числа» то есть ~у==2. Тогда m2 = 2n2. (1) Отсюда следует, что т2 есть четное число. Но тогда четным будет и число т, так как в противном случае т3 было бы также нечет- ным, поскольку квадрат любого нечетного числа есть число нечетное: (26+ 1)2 = 4£2 + 4£+ 1=2(2£2 + 2Л) + 1. Пусть m--=--2k, где k — какое-то целое число. Тогда равенство (1) примет вид: 4Л2 = 2п2, или 2&2 = п2. Из последнего вытекает, что и2, а следовательно, и п есть также четные числа. Но тогда т ока- зывается сократимой дробью, что противоречит нашему предположе- нию. Этим самым установлено, что на прямой, кроме рациональных точек, есть еще и другие точки Одновременно доказано, что vрав- нение х2 — 2 = 0 не может быть разрешено в рациональных числах. 10
Таким образом, множества рациональных чисел 7? оказывается недостаточно, чтобы решать даже такие простые задачи, как изме- рение длин, решение уравнений, установление взаимно однознач- ного соответствия между числами и точками прямой и т. д. Можно было бы привести еще много примеров и задач, решение которых невозможно, если иметь в обиходе только рациональные числа. Все это привело к необходимости расширения множества /?. к пополне- нию его новыми, так называемыми иррациональными числами. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Обладает ли свойством плотности множество всех целых чисел? 2. Может ли быть плотным конечное множество чисел или точек? 3. Доказать, что сумма двух рациональных чисел есть число рациональное. 4. Доказать, что число не является рациональным. 5. Доказать, что уравнение х3 —2 = 0 не имеет рациональных корней. § 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Решая задачу о расширении множества рациональных чисел, будем исходить из необходимости создать такое множество чисел, которое можно привести во взаимно однозначное соответствие с мно- жеством точек на прямой. При рассмотрении прямой как множества точек существенную роль играет следующая аксиома. Аксиома (непрерывности прямой). Если множе- ство всех точек прямой разбито на два класса так, что каждый из классов не пуст и все точки первого класса расположены левее всех точек второго, то существует пограничная точка, которая является либо самой правой в первом классе, либо самой левой во втором классе. Из этой аксиомы следует, что прямая является сплошной линией, без «дырок». В каком бы месте мы ни разрезали прямую на две части, разрез пройдет через одну из точек прямой. Это соот- ветствует и нашему наглядному представлению о прямой. Займемся выяснением вопроса, нельзя ли положение произволь- ной точки на числовой прямой определить с помощью одних лишь рациональных точек. Если это можно каким-то образом сделать, то, применяя аналогичную конструкцию к рациональным числам, мы придем и к определению вещественного числа. Пусть а — произвольная точка на числовой прямой. Тогда мно- жество всех рациональных точек можно разбить на два класса А и В следующим образом. К классу А отнесем все рациональные точки, лежащие левее точки а, и будем называть его нижним клас- сом. К классу В отнесем все рациональные точки, лежащие правее точки а, и будем называть его верхним классом. При этом оба класса будут не пусты. В частности если окажется, что а является также рациональной точкой, то ее можно включить в любой из клас- 11
сов. Для определенности в этих случаях будем точку а включать в нижний класс А. Такое разбиение множества рациональных точек называется сече- нием и обозначается А /В. Два сечения A/В и А'/В' будем считать тождественными, если их соответствующие классы совпадают, то есть если А — А'и В —В’. Легко показать, что различные точки а и 0 на прямой задают различные сечения. Действительно, на участке прямой между точ- ками а и 0 найдется по крайней мере одна рациональная точка г. В соответствии с определением сечения она будет принадлежать нижнему классу одного сечения и верхнему классу другого. Следо- вательно, эти сечения не тождественны. Таким образом, любая точка а на прямой определяет некоторое сечение во множестве рациональных точек, причем различным точ- кам соответствуют различные сечения. Точку а называют погранич- ной точкой между классами сечения, определяемого ею. Можно подойти к определению сечения во множестве рациональ- ных точек и с другой стороны, не оперируя точкой а. Будем называть сечением такое разбиение множества рацио- нальных точек на два класса А и В, при котором: 1) А и В —непустые множества, 2) каждая рациональная точка принадлежит одному из классов А или В, 3) каждая точка из А находится левее любой точки из В. Из аксиомы непрерывности можно вывести, что при таком опре- делении сечения во множестве рациональных точек всякому сечению также соответствует некоторая пограничная точка, которая произ- водит это сечение. Однако эта пограничная точка не обязательно будет рациональной. Итак, можно сказать, что между сечениями во множестве рацио- нальных точек и всеми точками прямой существует взаимно одно- значное соответствие. Аналогичными построениями во множестве рациональных чисел R можно определить вещественные числа как границы всевозможных сечений во множестве R. Это делается следующим образом. Разобьем множество всех рациональных чисел R на два класса А и В так, что; 1) Л и В не пусты, 2) каждое рациональное число принадлежит одному из классов А или В, 3) каждое число из класса А меньше любого числа из класса В. Такое разбиение будем называть сечением во множестве R рацио- нальных чисел и обозначать А/В. В качестве примеров сечений в R рассмотрим следующие: 1. К классу А отнесем все рациональные числа г«<5, а к клас- су В—все остальные рациональные числа, то есть г >5. 2. К классу А отнесем все рациональные числа г <' 5, а к клас- су В — все остальные рациональные числа, то есть 12
3. К классу А отнесем все отрицательные рациональные числа, нуль и все такие положительные рациональные числа, квадрат ко- торых меньше 2, а к классу В — все остальные рациональные числа. В первых двух примерах рациональное число 5 является «погра- ничным» числом между классами А и В. Оно будет либо наиболь- шим в нижнем классе А (пример 1), либо наименьшим в верхнем классе В (пример 2). Сечения такого вида называются рациональными. Они всегда имеют в качестве «пограничных» рациональные числа. Что же касается третьего примера сечения, то «пограничного» числа среди рациональных чисел не найдется, так как можно дока- зать, что в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего. Докажем, например, что в А нет наиболь- шего числа, то есть, что, какое бы число а из этого класса мы ни взяли, в нем найдется число а0>а. Пусть а — любое положи- тельное число из А (в случае, когда а<0, ясно, что оно не может быть наибольшим, так как нуль и все положительные числа из А будут больше а). Числа будут больше а при любых п (п=1, 2, 3, ...). Подберем такое п, чтобы было Раскрывая скобки, получим: g । 2(2 1 сэ а 2, а это неравенство равносильно неравенству —* ^2а —2—а^* Отсюда находим: 2<i 4— «>“2=^Г и для выполнения последнего неравенства достаточно взять Тогда / 1 \2 (а+ -М <2 \ “0 / и, следовательно, число аь—а-\-~ будет принадлежать классу А. Поскольку пода мы понимали любое положительное число в классе А, то этим и завершается доказательство. Совершенно аналогично дока- зывается, что в классе В нет наименьшего числа. Сечение во множестве рациональных чисел, обладающее тем свой- ством, что в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем классе нет наименьшего, называется иррациональным сечением.' 13
Соотнесем каждому иррациональному сечению некоторый символ а и будем называть его иррациональным числом. Таким образом, иррациональное число определяется сечением и возмещает недостающее «пограничное» число, как бы становясь между всеми числами класса А и всеми числами класса В. В при- мере 3 таким иррациональным числом является V2. Иррациональ- ных чисел, очевидно, столько, сколько можно осуществить ирраци- ональных сечений во множестве R, то есть бесконечное множество. В силу взаимно однозначного соответствия между множеством всех рациональных чисел и множеством всех рациональных точек прямой каждому сечению во множестве рациональных чисел будет соответствовать определенное сечение во множестве рациональных точек. Следовательно, каждому иррациональному числу будет соот- ветствовать определенная точка прямой. Изложенный здесь способ введения иррациональных чисел с по- мощью сечений в множестве рациональных чисел принадлежит немец- кому математику Р. Дедекинду (1831 —1916). Все рациональные и иррациональные числа в совокупности обра- зуют множество так называемых вещественных или действительных чисел, которое условимся обозначать через, W. Из сказанного выше следует, что каждое вещественное число изоб- ражается некоторой точкой на прямой. Можно доказать, что верно и обратное, то есть что каждая точка на прямой является геомет- рическим образом некоторого вещественного числа. При этом разные вещественные числа имеют разные образы. Тем самым между мно- жеством 1F и множеством всех точек на прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие. Точки числовой оси часто отождествляются с соответствующими числами. Вместо того чтобы сказать: «Точка, соответствующая числу а» —говорят коротко: «Точка а». Отмеченным выше соответствием определяется и упорядочение множества W. Вещественное число а считается меньшим, чем вещест- венное число р, если точка прямой, соответствующая числу а, нахо- дится левее точки, соответствующей числу р. Числа аир равны между собой, если им соответствует одна и та же точка прямой. Безотносительно к точкам прямой понятия «больше», «меньше» и «равно» определяются для вещественных чисел следующим об- разом. Случай 1. Оба числа а и р — рациональные. Для них эти понятия мы считаем уже известными из курса средней школы. Мы пользовались ими при определении понятия сечения. Случай 2. Одно из двух чисел а или р, например сс, раци- ональное, а второе иррациональное. В этом случае число р, будучи иррациональным, определяется некоторым иррациональным сече- нием В/В' во множестве рациональных чисел. Число а, как раци- ональное, должно по определению сечения принадлежать одному из классов, В или В'. Будем считать, что а больше, чем р, и обоз- начать а> р, если а принадлежит верхнему классу В' сечения В/В'. 14
Если же а принадлежит нижнему классу В, то оно считается чис- лом, меньшим, чем р, а <; р (рис. 3). Случай 3. Оба вещественных числа а и Р —иррациональны. Пусть а определяется сечением А/А', а р —сечением В/В'. Будем считать, что а>р, если класс А больше класса В в том смысле, что А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним (рис. 4): Если классы Л и В (а значит, А' и В') совпадают, то числа аир считаются равными, а==Р (рис. 5). Из этих определении можно вывести, что любые два веществен- ных числа аир сравнимы между собой, то есть всегда имеет место одно и только одно из соотношений: а>р, а<р, а = р. Это свой- ство называется упорядоченностью множества W. Можно показать, что из нера- венств а<Р и р<у, где а, р ну — вещественные числа, следует нера- венство а<у. Также нетрудно установить, что среди вещественных чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего. Рис. 5. Множество рациональных чисел всюду плотно в множе- стве IV всех вещественных чисел, то есть если а и р— любые вещественные числа и а < р, то существует рацио- нальное число г, удовлетворяющее неравенству а<г<р. Отсюда уже следует, что между аир содержится бесконечное мно- жество рациональных чисел. Это свойство сразу вытекает из аналогичного свойства множества рациональных точек, но оно может быть выведено и непосредственно из определения иррациональных чисел с помощью сечений. Пусть, например, числа а и р— иррациональные и а<р. Предположим, чго число а определяется сечением А/А', а число р— сечением В/В' в множестве рациональных чисел Л?. Так как а<р, то класс А входит в класс В, не совпадая с ним. Это значит, что существует такое рациональнее число г, которое содержится в В и не содер- жится в А. Из последнего следует, что тогда г должно содержаться в А'. Так как геВ, то г<р. Так как ге=4', то г>а. Следова- тельно, а<г<р. Этим мы доказали, что между любыми двумя раз- личными иррациональными числами существует рациональное число. Если же одно из чисел, например а, иррациональное, а другое, р — 15
рациональное, то из неравенства а<р следует, что число ₽ принад- лежит классу Л' сечения Л/А', определяющего иррациональное число а. Поскольку в Л' нет наименьшего числа, то в этом классе найтется рациональное число г<|3. Так как геЛ', то г>а. Сле- довательно, снова получаем а<г<;р. Случай, когда оба числа а и Р — рациональные, рассмотрен при изучении свойств множества рациональных чисел R (§ 2). Аналогично сечению во множестве рациональных чисел, во мно- жестве вещественных чисел W можно так же ввести понятие сечения как такое разбиение множества IF на два класса X и У, при кото- ром выполняются следующие условия: 1) множества X и У не пусты, 2) каждое вещественное число попадает в один ир классов, X или У, 3) каждое число из класса X меньше любого числа из класса У. При рассмотрении различных случаев сечений в R мы встрети- лись с таким сечением (иррациональное сечение), когда среди рацио- нальных чисел не оказалось числа, которое можно было бы считать «пограничным» в этом сечении. Это было основанием для введения новых, иррациональных чисел с целью пополнения множества R. После определения сечения в W естественно выяснить вопрос, нет ли подобного случая и во множестве вещественных чисел. Иначе говоря, не появляется ли необходимость пополнения тем же методом мно- жества W7 за счет введения еще каких-нибудь новых чисел. Отри- цательный ответ на этот вопрос дает следующая (основная в теории вещественных чисел) теорема. Теорема (Дедекинда). Для любого сеченая X/Y во множеств всех вещественных чисел W существует вещест- венное число, которое производит это сечение, то есть число, которое будет либо наибольшим в X, либо наимень- шим в У. Иначе говоря, во множестве W не существует такого сечения, чтобы одновременно в нижнем классе не было наибольшего числа, а в верхнем-—наименьшего. Это свойство множества W называется свойством полноты или непрерывности. Из сказанного выше следует, что мно- жество R рациональных чисел этим свойством не обладает. Теорему Дедекинда мы приводим без доказательства. Метод сечений позволяет так же определить арифметические дей- ствия над любыми вещественными числами. Эти действия являются обобщением известных действий сложения, вычитания, умножения и деления над рациональными числами и подчиняются основным законам арифметики. На этих вопросах мы также не останавлива- емся и лишь в качестве примера наметим схему определения суммы вещественных чисел. Пусть а и р — два вещественных числа, определяемые соответ- ственно сечениями Л/Л' и В/В' во множестве рациональных чисел R. Обозначим через а произвольное рациональное число из класса А, 16
через а' —произвольное рациональное число из класса А'. Рацио- нальные числа классов В и В' обозначим соответственно через b и Ь\ Тогда ае^а^а' и Л-С В <4. Определим сумму двух вещественных чисел а-(-Р как такое вещест- венное число у, которое удовлетворяет неравенству а 4- b < у < а' Д Ъ', каковы бы ни были рашюнальйые числа a, b, d и V, взятые из соответствующих классов. Можно доказать, что такое число сущест- вует и единственно. В заключение коротко остановимся на представлении веществен- ных чисел с помощью десятичных дробей. Покажем на примере числа ]/2, как строится такое представление. Так как 12=-1 <2, а 22 = 4>2, то 1 <У”2<2 и число 1 можно рассматривать как приближенное значение J/2 с недостатком, а число 2 — как приближенное, значение ]/2 с избытком. Допускаемая погрешность такого приближенного представления, очевидно, меньше, чем 2—1 = 1. Разделим отрезок с концами в точках 1 и 2 на 10 рав- ных частей. Возводя в квадрат последовательно числа 1,1; 1,2; 1,3; .... получим, что 1,4а= 1,96<2; 1,52 - 2,25 >2. Следовательно, 1,4<)/2<1,5. Дробь 1,4 является приближенным значением J/2 с недостатком, а 1,5 —с избытком. Допускаемая при этом погреш- ность меньше, чем 1,5—1,4=0,1. Разделив отрезок с концами 1,4 и 1,5 снова йа 10 равных час- тей и вычислив последовательно значения квадратов чисел 1,41; 1,42, найдем, что 1,4Р =1,9881 <2; 1,422 —2,0164 >2, то есть 1,41 < < V 2 < 1,42, и погрешность приближения меньше, чем 1,42 — 1,41 = = 0,01. Делим отрезок с концами 1,41 и 1,42 снова на 10 равных частей и, действуя аналогичным образом, найдем, что 1,414 < <1/2 <1,415 с точностью приближения до 0,001, и т. д. Очевидно, этот процесс приближения будет бесконечным, так как в противном случае оказалось бы, что некоторая десятичная дробь (рациональное число) равна иррациональному числу ]/ 2. В связи с этим говорят, что число |/2 представимо бесконечной десятичной дробью, и пишут: 1/2 = 1,414 .. . В общем случае можно доказать, что всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, а всякое рациональное число— в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Вопросы для самопроверки а упражнения 1. Отнесем к классу А все рациональные числа, квадрат которых меньше 2, а к классу В —все остальные рациональные числа Почему 'такое-разбиеииа жества R не является сечением’ t „ ,- 2. Каким основным свойством отличается множеств^ ifex чисел W т множества всех рациональных чисел R? 1956
3. Чем обьяснить, что множество всех рациональных чисел R не обладает свойством полноты или непрерывности? 4. Доказать, что среди положительных рациональных чисел, квадрат которых больше двух, нет наименьшего. § 4. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА Понятием абсолютной величины и неравенствами, связанными с абсолютными величинами, нам придется в дальнейшем пользоваться очень часто как в теории математического анализа, так и в его приложениях. Определение. Абсолютной величиной вещественного числа а. называется само число а., если оно неотрицательное, или число —а, если а отрицательное. Пользуясь принятым обозначением |а| абсолютной величины числа, можно записать: , . ( а, если а 2s О, а ==< ( —а, если а<0. Очевидно, для любого вещественного числа а справедливо — |а|=СагС|а| и | — а| = |а|. Теорема 1. Неравенства | а | Р и —равно- сильны. Доказательство. Пусть ja|«gp. Тогда — |a|Ss — р, и так как —| а | гС а | а |, то подавно—р=са=ср. Пусть справедливо неравенство — р «5 а р. Это значит, что одновременно выполняются Неравенства а < р и a 2s—Р- Из послед- него имеем: —а=ср. Так как по определению | а | есть либо а, либо —а, то | <х | р. Теорема 2. Неравенства | а | < Р и р<а<р равно- сильны. Аналогичное предыдущему доказательство этой теоремы представ- ляется читателю. Теорема 3. Абсолютная величина суммы нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных величин этих чисел, то есть для любого п справедливо неравенство I ®1 + a2 "Г • • “Ь ап | * ) al ) + I К2 I 4“ • • • + I an |. (1) Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. В основе этого метода, как известно, лежит следующий принцип: Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: 1) оно справедливо для п=1 и 2) из справедливости утверждения для какого-либо произволь- ного натурального n = k следует его справедливость для n = k+l. 18
Иногда по смыслу вопроса приходится проверять справедливость утверждения не с п=1, а с п = р. Так, в нашем случае установим сначала справедливость неравенства (1) для и = 2. Пусть cq и а2 — любые вещественные числа. Для них справед- ливы неравенства — | oq | | cq | и —|aa|=sSa3<|a2|. Складывая их почленно, получим: — (I «1) +1 a21) < «1 + a2 (| «11 +1 a21) • По теореме 1 это двойное неравенство равносильно неравенству Jcq + a2|sS|oq| + |a2|. (2) Предположим теперь, что неравенство (1) справедливо для n~k, то есть I aJ + а2 + • • • + ak I I ! + I a2 I + • • • + | и докажем его справедливость для п — A-f-l. Действительно, при- меняя неравенство, уже доказанное для двух слагаемых, получим: I cq -Г ос2 ~4~ * • • *4“ ~4~ |z= [ (^i “I- ^2 ~4~ • * • + "4~ ®*л+11 I «1 + a2 + as + • • • + | +1 «л- 11 «С | ax j 1 I +1 аз I + • • • +1 ak I +1 1. Отсюда следует, что неравенство (1) справедливо для любого п. Теорема доказана. Если в неравенстве (2) заменить си на —«а, то получим: I а1-С<2 I I а1 14“ I a2 I > (3) то есть абсолютная величина разности двух чисел не пре- восходит суммы абсолютных величин этих чисел. Далее, так как для любых чисел ах и а2 имеем: а1~ (а1 + аг)— а2> то из неравенства (3) получаем: I аХ I = I (“1 + а2) — «2 ) I «1 + а21 +1 а21- Отсюда К+ «2 12s HI — I «2 I- Заменяя в последнем неравенстве а2 на —а2, получим: I ai — «21 2s| ах | — | а21- Таким образом, абсолютная величина суммы и разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел. Из определения действия умножения чисел следует, что 1 «21 = | осЛ [ - ] а2 [, 19
то есть абсолютная величина произведения равна произведе- нию абсолютных величин сомножителей. Это свойство сохра- няется и для любого числа сомножителей ] ах • а2 • as... ал | = | otj | • ] а21 • | а31... | а„ В частности, если в последнем равенстве положить a1==a2 = a3 = = ... — a„ —а, то получим: П1 = |аГ. то есть абсолютная величина степени с целым положи- тельным показателем п некоторого числа а равна этой же степени его абсолютной величины. Из определения частного двух чисел следует, что I I ! ”11 I “2 I | «2 | ’ то есть абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютной величины делимого на абсолютную величину делителя. Заметим, наконец, что абсолютной величине разности двух ве- щественных чисел можно придать следующий геометрический смысл: если а и Р —какие-то точки прямой, то |а — 0| есть расстояние между этими точками. Например, если а=—5, а |J = 7, то рас- стояние между этими точками равно |а —р| = |— 5 — 7| = 12. Рассмотрим несколько примеров, связанных с понятием абсолют- ной величины. Пример 1. Решить неравенство |2х —5|=^3. Заменим данное неравенство равносильными неравенствами: — 3=sg2x—5г£3. Прибавляя к каждой из частей этих неравенств число 5, получим: 2 sg 2х sg 8. Поделив почленно эти неравенства на 2, найдем искомое решение: 1 х -g 4. Пример 2. Решить неравенство х2 —9<0. Данное неравенство можно записать так:х2<9. Так как Ух2=1х|, то I х | < <3 или — 3<х<3. В общем случае неравенство х2-~а<0 при любом a > О имеет решение: j х I < У а , а неравенство х2—а>0 имеет решение | х j > У а • Пример 3. Решить неравенство х2—5х-|-6 < 0. Зная корни трехчлена, стоящего в левой части данного неравенства (хх = 2; х2 = 3), можем представить его в виде (х--2) (х— 3) < 0. Известно, что произведение двух множителей отрицательно лишь в том случае, когда эти множители имеют разные знаки. Следовательно, возможны два случая: либо х —2<0, ) либо х—2 > 0, ) х-3>0, / х — 3<0. / Первая система неравенств не имеет решения (не совместна), а вторая имеет реше- ние 2 < х < 3. Заметим, что данное в этом примере неравенство можно решить и другим способом. Действительно, представим левую часть неравенства в виде разности квадратов: 20
Отсюда получаем: Г 5V 1 | 5 11 \ 2/ < 4 ’ |* 2 !< 2 * Последнее неравенство равносильно неравенствам: 1 5 1 2 <х 2 < 2‘ 5 Прибавляя к каждой части этих неравенств число получим: 2 < х < 3. Пример 4. Решить неравенство | х2—5x4-6 I > х2—5x4-6. Данное неравенство справедливо для тех значений х, при которых х2—5х 4- 6 < О (так как | а | > а только при а < 0). Как видно из примера 3, реше- нием такого неравенства будет 2 < х <3. Пример 5. Решить уравнение | 2х—-3 | =2х —3. По определению абсолютной величины имеем: |а| = а при agsO. Следова- тельно, в нашем уравнении должно быть 2х—32» 0, 3 откуда 2x^3 и х>:-^-. Пример 6. Решить уравнение |х|=х-|-3. По определению абсолютной величины имеем: , , ( х при х2а0, X | —< ( —х при х<0. Следовательно, при х^О данное уравнение представится в виде . z x = x~j~3. Ойо, как легко видеть, не удовлетворяется никаким значением х. Если жех<0» то получаем уравнение: —х s= х 3. 3 Его решением будет единственное значение х=— Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать равносильность неравенств j a j < р и — Р < а < р. 2. Проверьте на пр: ме >ах справедливость неравенств, установленных для абсолютных величин, взяв вместо букв числовые значения. В задачах 3—12 решить неравенства и уравнения: 3. х2—25<0. Отв. —5<х<5. 4. 16—x2=g0. Отв. xsg—4 и хЭ=4. 5. |х — 31 <2. Отв. 1<х<5. 6. {х[<«4-1. Отв. х>—~. 7. х2-7|>3. Отв. |х| <2 и I х|>}^10. 8. х2—2х—3|>х2—2х—3. Отв. — 1<х<3. 9. х 4- 51 — х+5. Отв. х — 5. 10. x-j-lj ——(х1). Отв. х^—1. 11. |cosx| = cosx. Отв. — 2Ал =< х 4 2Ал, k=0, ±1; ±2; ... 12. |х24-х—2 | —2 —х—х2. Отв. —2<х<1. 21
13. Какие значения х удовлетворяют одновременно неравенствам |х 2 | < 3 я |х —6К4? Отв. 2<х<5. 14. Записать с помощью неравенства и знака абсолютной величины условие того, что точка х отстоит от точки х0 на расстоянии, большем пяти. Отв. |х—. — х01>5. 15. Найти значения х, отстоящие от точки х0 = 3 на расстоянии, не превос- ходящем 10. Отв. —7г^Хг^13. 16. Отклонение температуры t от нормальной t0 не превышает 0,3°. Как это записать с помощью неравенства и знака абсолютной величины? Отв. \t — ta ^0,3. 17. Найти все значениях, при которых справедливы соотношения: а) /(х) = 0; б) /(х)>0 и в) / (х) < 0, если f(x)=x — х3. Отв. а) х = 0 и х=1, б) 0 < х < 1, в) х<0 н х > 1. § 5. О ГРАНИЦАХ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ Множество, элементами которого являются числа, называется числовым множеством. Определение. Числовое множество Д = {х} называется огра- ниченным сверху, если существует такое вещественное число М, что все числа, являющиеся элементами данного множества, не пре- восходят М, то есть x^szM. Число М в этом случае называется верхней границей множества А. Если существует такое число т, что все элементы множества А удовлетворяют неравенству то множество А называется ог- раниченным снизу, а число /п —его нижней границей. Числовое множество А называется ограниченным, если оно ог- раничено как сверху, так и снизу, то есть если выполняется нера- венство для всех xcz.i. В этом случае множество А лежит на отрезке прямой с концами т и М. Если .М — верхняя граница некоторого множества А, то, оче- видно, всякое число М', большее И, будет также верхней границей этого множества. Если т — нижняя граница множества А, то вся- кое число т', меньшее т, будет также нижней границей этого мно- жества. Следовательно, можно сказать, что всякое ограниченное множество имеет бесконечно много как верхних, так и нижних границ. Легко видеть, что множество, все элементы которого удовлетво- ряют неравенству |х|^К, будет ограниченным, так как в этом случае — K^xs^K. и—К будет его нижней границей, а К — верхней границей. Обратно, если множество А = {х} ограничено, то есть т^х^М, то всегда можно найти такое число К, что \х\^%. Достаточно за число К взять наибольшую из абсолютных величин \т \ и | М j. Тогда АД>Л! (так как К.^\М\^М), а — К^т (так как — | m | sgm). Следовательно, для всех элементов множества А справедливо неравенство — К -С х К, то есть Если ограниченное числовое множество представить себе как множество точек на числовой оси, то его границами будут концы отрезков, содержащих все точки этого множества. Очевидно, таких 22
отрезков бесконечно много и по ним нельзя судить о протяжен- ности расположения точек множества по оси. Поэтому вводят по- нятие точных границ множества, что соответствует концам наи- меньшего отрезка, содержащего все точки данного множества. Определение. Наименьшая из всех верхних границ дан- ного множества называется точной верхней границей или верх- ней гранью этого множества. Наибольшая из всех нижних границ множества называется точной нижней границей или нижней гранью. Точные границы множества А обозначаются: sup А (точная верхняя граница) и inf А (точная нижняя гра- ница) (читается — супремум и инфимум). Если множество А не ограничено сверху, условимся писать: sup Л = +°о. Аналогично, если множество А не ограничено снизу, пишем: inf А= —оэ. Рассмотрим несколько примеров множеств. Множество всех натуральных чисел А = {1, 2, 3,..., п,...} явля- ется бесконечным ограниченным снизу множеством. Числа msSA будут его нижними границами, а число 1—его точной нижней гра- ницей. Сверху это множество не ограничено, так как для него не существует верхних границ. Каксе бы число М мы ни взяли, в множестве А всегда найдется число п>М. Множество B = ... , , .. jявляется бесконечным ог- раниченным множеством. Его точными границами являются числа О и 1. Рассмотрим множество С = {(—2)"}. Его элементами являются различные степени числа —2. Это пример бесконечного множества, не ограниченного как сверху, так и снизу. Множество всех рациональных чисел R является также беско- нечным множеством, не ограниченным как снизу, так и сверху. Множество же положительных рациональных чисел /?+ ограничено снизу, а множество отрицательных рациональных чисел R_ огра- ничено сверху. Легко видеть, что любсе конечное множество будет ограничен- ным, так как среди чисел, составляющих это множество, всегда найдутся наибольнее и наименьшее числа, которые и будут точ- ными границами этого множества. Сбратное утверждение неверно. Из ограниченности множества не следует его конечность, как это видно на примере множества В. Представляет интерес выяснение вопроса о том, всегда ли у ограниченного множества сушествуют точные границы. Иначе гово- ря, всегда ли среди бесконечного множества верхних (нижних) гра- ниц найдется наименьшая (наибольшая). Вообще говоря, среди бесконечного множества чисел может и не быть наименьшего (наи- большего) числа. Например, среди правильных положительных дробей нет ни наименьшей, ни наибольшей дроби (см. ниже при- мер 3). Что же касается существования точных границ у ограни- 23
ченного множества, то вопрос решается положительно следующей теоремой. Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множе- ство имеет точную верхнюю границу. Всякое непустое огра- ниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу. Доказательство. Докажем существование точной верхней границы. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Пусть множество Д = {х} ограничено сверху. Может оказаться, что среди чисел х найдется наибольшее число х. Тогда оно и будет точной верхней границей множества А, так как, с одной стороны, число х будет границей (выполняется условие х^х), с другой стороны, любое число, меньшее х, уже не будет верхней границей. Предположим теперь, что среди элементов множества А не най- дется наибольшего числа. Осуществим во множестве всех вещест- венных чисел W сечение X/Y следующим образом. Отнесем к клас- су Y все верхние границы множества А, а к классу X — все остальные вещественные числа. Проверим, что такое разбиение в W есть действительно сечение. В самом деле, класс Y не пуст, так как по условию теоремы у множества А имеются верхние границы и они по условию обра- зования классов отнесены в класс Y. Класс X также не пуст: его элементами будут, например, все элементы множества А, то есть A cz X. Далее, каждое вещественное число принадлежит одному из классов, поскольку оно либо является верхней границей мно- жества А (в этом случае принадлежит Y), либо не является тако- вой (и, следовательно, принадлежит X). Наконец, каждое число из класса X меньше любого числа из класса Y. Действительно, пусть а — произвольное число из класса X, а произвольное чи- сло из класса Y. Тогда в А найдется такое число х0, что а < (в про- тивном случае а было бы верхней границей для А и находилось бы в классе Y). С другой стороны, поскольку Р —верхняя граница множества А, а х0—элемент этого множества, то х0<:р. Из двух полученных нами неравенств следует, что а<р. Итак, мы доказали, что наше разбиение есть сечение. Следова- тельно, существует «пограничное» вещественное число у. Оно по теореме Дедекинда должно быть либо наибольшим числом в нижнем классе X, либо наименьшим в верхнем классе Y. Так как мно- жество А содержится в классе X, то все его элементы х-су. Зна- чит, у — верхняя граница множества А. Но тогда у должно при- надлежать верхнему классу Y. Следовательно, у будет наименьшим в У, а значит, будет наименьшей из всех верхних границ мно- жества А или точной верхней границей для А. Точная верхняя граница у обладает следующим важным свой- ством. Как бы мало ни было число е>0, у — & уже не будет верхней границей и в множестве А найдется число х>у — Если бы такого числа х не нашлось, то у — в было бы также верхней гра- ницей, и тогда у не было бы точной верхней границей. Аналогичным свойством обладает и точная нижняя граница. 24
Пример 1. Числовое множество {х} состоит из всех чисел, для которых |x|sg3. Какие числа будут границами этого множества? Заменим неравенство |х|г£3 ему равносильными неравенствами: — 3sgx=^3. Отсюда видно, что число 3, а следовательно, и всякое большее число будет верхней границей данного множества, а число —3 и всякое меньшее число — его нижней границей. Числа —3 и 3, очевидно, будут точными границами. Пример 2. Числовое множество {х} состоит из всех чисел, удовлетво- ряющих условию — 6<х^4. Найти наименьшее число К, удовлетворяющее неравенству |х| < К для всех х из данного множества. Какими границами этого множества будут числа Д’ и —Д? Так как неравенство |х| <Д равносильно неравенству —К <. х< Д, то в данном случае за Д нужно взять такое положительное число, чтобы все значе- ния х, удовлетворяющие неравенству — 6<xsg4, удовлетворяли и неравенству — Д < х < Д. Это, очевидно, будет при Д, равном наибольшей из абсолютных величин чисел —6 и 4, то есть при Д = 6. При этом число —6 будет точной нижней границей, а число 6 —верхней (неточной) границей данного множества. Пример 3. Показать, что число 1 является точной верхней границей множества всех положительных правильных дробей. Гак как по определению любая правильная дробь меньше 1, то 1 является верхней границей данного множества. Остается доказать, что 1 наименьшая из всех его верхних границ. Будем рассуждать от противного. Предположим, что среди верхних границ данного множества есть число Л4<1; при этом М. >0. Как известно, между вещественными числами М и 1 найдется рациональное чис- ло г (М <т < 1). Но положительное рациональное число, меньшее 1, может быть только правильной дробью. Таким образом, оказалось, что нашлась правильная положительная дробь, которая больше Л4. А это значит, что М не может быть верхней границей данного множества. Из доказанного следует, что среди верхних границ множества наименьшей является 1, то есть 1 является точной верхней границей. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Докажите, что множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю границу. 2. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества? 3. Приведите примеры множеств, которым принадлежат их точные границы. 4. Приведите примеры множеств, которым не принадлежат их точные границы. 5. Приведите пример множества, точная нижняя граница которого ему при- надлежит, а точная верхняя граница не принадлежит. 6. Можно ли утверждать, что в неограниченном множестве найдется бесконеч- ное множество элементов, больших, чем любое наперед заданное число М > 0? Рассмотреть возможные случаи. 7. Ограничено ли снизу множество всех отрицательных чисел? Ограничено ли сверху это множество? Если да, то указать его точную верхнюю границу. 8. Может ли конечное числовое множество не иметь наибольшего числа? Мо- гут ли точные границы конечного числового множества не принадлежать этому множеству? 9. Множество {х} состоит нз всех чисел, удовлетворяющих условию — 2sgx<3. Найти наименьшее число К такое, чтобы для всех х данного множества выпол- нялось неравенство |х|<К. Какими границами этого множества будут числа ~К и К? 10. Доказать, что число 0 является точной нижней границей множества всех положительных правильных дробей. 25
§ 6. СЕГМЕНТ, ИНТЕРВАЛ, ОКРЕСТНОСТЬ Определение. Множество вещественных чисел х, удовлетво- ряющих неравенству a<x-s~b, называется сегментом или отрез- ком и обозначается [а, &]. Множество вещественных чисел х, удов- летворяющих неравенству а<Сх<_Ь. называется интервалом и обозначается (а, Ь). Числа а и Ь называются концами, а число b — а — длиной как сегмента [а, Ь], так и интервала (а, Ь). Так, например, сегмент [2, 5] и интервал (2, 5) с концами 2 и 5 имеют одинаковую длину, равную 3. На числовой оси интервал (а, Ь) представляет собой множество всех точек, содержащихся между точками а и b (рис. 6). Точки а и b в это множество не входят. Если же к этому множеству доба- вить точки а и Ь, то получим сегмент [а, Ь] (рис. 7). Таким обра- о b а ь Рис. 6. Рис. 7. зом, интервал (а, Ь) отличается от сегмента [а, Ь] лишь тем, что ему не принадлежат концы а и Ь. Однако это малое отличие во многих вопросах математического анализа играет существенную роль. Множество (а, Ь) не содержит в себе ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как во множестве [а, такие чис- ла (а и Ь) имеются. На рисунках (см., например, рис. 6 и 7) концы промежутков отмечаются жирными точками, если они при- надлежат промежутку, и остриями — в противном случае. Определение. Множество вещественных чисел х, удовлетво- ряющих неравенству a^S,x<z b или a<zx Ь, называется полусег- ментом или полуинтервалом и обозначается соответственно так: [а, Ь) или (а, Ь] (рис. 8 и 9). Интервалы и полуинтервалы могут быть и бесконечными. Так, для обозначения множества всех вещественных чисел пользуются символом (— со, 4- сю) и это множество называют бесконечным интервалом. Знаки —<х> и 4-со не являются числами, и для них нельзя указать соответствующих точек прямой. Поэтому в обозначениях интервалов и полуинтерва- лов со стороны таких знаков квадратной скобки никогда не ставят. Полуинтервал [0, 4~оо) есть множество всех вещественных чисел х^О, а (—оо, а] есть множество всех вещественных чисел х-хха. Сегменты, интервалы и полуинтервалы (конечные и бесконечные) условимся объединять под общим названием — промежутки. й b a b Рис. 8. Рис. 9. 26
Определение. Если а — неко- торое вещественное число, то интер- вал (а — 6, a-j-б), где 6 — любое * * *~~ ' положительное вещественное число, называется окрестностью точки Рис- 10- а. Точка а лежит в середине интер- вала и называется центром окрестности, а число 6 — радиусом окре- стности (рис. 10). Например, множество точек х, удовлетворяющих неравенству — 5 | < 3, есть окрестность точки 5 радиуса 3. В об- щем случае окрестность (а — 6, «4-6) может быть задана неравен- ством —а\ <6. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Определить, какие множества заданы неравенствами —3|sg2; |x4-2j5i4; | | <- 2; _5 | > 2. Оте. [1, 5]; (—со, —6] и [2, -f-oo); (—1, 3); (—со, 3) и (7, 4~со)- 2. Какая окрестность точки а определяется неравенством |х — а [ < 5? Отв. (а—5, а 4-5). 3. Из сегмента [—3, 5] удален интервал (—3, 5). Что осталось? 4. Из сегмента [2, 10] вырезан интервал (3, 8). Как записать множество оставшихся точек сегмента с помощью промежутков? 5. Из интервала (—4, 5) вырезано два сегмента [—2, 0] и [1, 3]. Какие промежутки остались? 6. Можно ли из конечного числа интервалов составить сегмент путем склеивания? 7. Какова наибольшая окрестность нуля, содержащаяся в промежутке (— 6, 5] ? § 7. ДРУГОЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА* В конце § 3 было упомянуто о возможности представления любого вещественного числа с помощью бесконечной десятичной дроби. Существует и такой подход к построению вещественных чисел, при котором бесконечные десятичные дроби используются для определения самого понятия вещественного числа. Будем рассматривать всевозможные бесконечные десятичные дроби как некоторые формальные символы. Каждую такую дробь а, щща3.. ,ап.. где « — любое целое число, а «1; «2, «3 «„,... — «десятичные знаки», принимающие определенные целые значения от 0 до 9 (включи- тельно), будем называть вещественным числом. Число а называется целой частью данного вещественного числа. Два вещественных числа » а = «, аха2а3...ап... и 0 = 6, bxb2b3...bn... * Когда авторы уже полностью подготовили к печати рукопись этой книги, была утверждена новая программа по математическому анализу для педагогических институтов, которая вместо метода сечений рекомендует другие подходы к поня- тию вещественного числа. При подготовке материала к экзамену студенты могут опираться на этот параграф, ограничившись лишь прочтением § 3. 27
считаются равными, если прежде всего а — Ь и а„ = Ья при всех п, то есть если равны их целые части и равны десятичные знаки, стоящие на одинаковых местах. Кроме того, числа аир считаются равными еще в одном случае. Именно, пусть а содержит девятку в периоде, например, а = 2499,999..., а р получается из а заменой всех девяток, стоящих в периоде, нулями и увеличением цифры, непосредственно предшествующей этим девяткам, на одну единицу. В нашем примере р— 2500,000... Тогда тоже а = р. Конечные десятичные дроби отождествляются с бесконечными 23 дробями, содержащими нуль в периоде. Например, ^=2,3 = = 2,3000... Согласно сказанному выше о равенстве двух бесконеч- 23 ных десятичных дробей дробь [0 можно записать и с помощью 23 десятичной дроби с девяткой в периоде: — 2,2999... Таким обра- зом, все конечные десятичные дроби также включаются в множе- ство вещественных чисел. Множество всех вещественных чисел бу- дем по-прежнему обозначать через W. Из школьного курса известно, что всякое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби и, обратно, всякая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число. Таким образом, множество 7? всех рациональных чисел совпадает с множеством всех бесконеч- ных периодических десятичных дробей. Непериодические бесконеч- ные дроби составляют множество иррациональных чисел. Заметим, что если целая часть вещественного числа а отрица- тельна, например, а = 6,215000..., то есть а==— 6+1Q + (1) то обычно пишут: а =—5,785000..., что означает: а = — ^5 + -jo + jog + -jooo) • (2) Ясно, что выражения (1) и (2) равны между собой. Исходя из понятия вещественного числа как бесконечной деся- тичной дроби, можно определить, что означает неравенство а>0. Именно, полагаем по определению а>Р, если а=+р и при этом или 1) а>Ь (то есть целая часть числа а больше целой части числа Р), или 2) а = Ь, но существует такое k, что ап = Ьп при n<Zk, а ak>bk*. С помощью понятий равенства и неравенства между двумя вещественными числами можно показать, что множество W вещест- * Оговорка, что а + р, в этом определении существенна. Например, пусть а = 3,000..., 6 = 2,999... В этом случае целая часть числа а больше, чем целая часть числа р. Однако эти числа равны между собой. 28
венных чисел обладает свойством упорядоченности, а множество R рациональных чисел всюду плотно в W. Если а = a, ata2a3то числа । di , da । da । । dn Cn == • • • &n ==^4~ "jo 4™ 1Q2 + 1Q3 + • + 10rt называются десятичными приближениями к числу а с недостатком, а числа , 1 Сп сл4~ 10„ — десятичными приближениями с избытком. Рассмотрим все конечные дроби вида 6 = dn 4- — 4- ~г -к- — 4- 4- d- °0' 10 ' 102 г 10з -Г • •• Т ion, которые меньше а. Если число а имеет вид: а=а, ata2.. .ал000..то с„ — а и 6<с,.., Если же среди десятичных знаков числа а, стоящих после ап, есть хоть одна цифра, отличная от нуля, то среди всех конечных дро- бей б дробь сп является наибольшей, то есть 6=С-с„. Таким обра- зом, в любом из этих двух случаев можно утверждать, что Это замечание будет использовано в конце параграфа. Легко также видеть, что между любыми двумя неравными вещественными чис- лами содержится некоторая конечная десятичная дробь. Например, если а--2,5.314..., р = 2,4832..., то между ними содержится число 2,5. Тем самым подтверждается свойство плотности множества R в множестве U". Наметим определение суммы двух вещественных чисел. Пусть а и Р —некоторые вещественные числа, сп и —десятичные при- ближения к числу а соответственно с недостатком и с избытком (Cn^a^c'n), a dn и d'n — десятичные приближения к числу р (dn^ р «4dn). Суммой «4Р называется то вещественное число, которое при любом п содержится между числами cn + dn и ck4 dn'. сп + dn < а + р < сп 4- dn. Не останавливаясь на доказательстве существования и единст- венности такого числа, покажем на примере способ его получения. Пусть сс = 2,523523..., р = 4,680808. ..Тогдаq = 2,5;q = 2,6; d^~-4,6; di = 4,7 и потому 7,1 «С а 4* Р 7,3. Отсюда видно, что целая часть числа а4~Р равна 7. Далее, с2 = 2,52; cj = 2,53; d2 = 4,68, d2 = 4,69 и потому 7,20 < а 4-р< 7,22. Следовательно, первый десятичный знак числа а-фр равен 2. Таким же путем определяются и последующие десятичные знаки числа а4~р. * Мы считаем, чго сложение конечных десятичных дробей уже известно. 29
В заключение покажем, как с помощью десятичных дробей можно доказать теорему из § 5 о существовании точной верхней границы у ограниченного сверху числового множества. Пусть непустое множество А = {х} ограничено сверху, например, числом М. Не уменьшая общности, можно считать М целым числом, так как в противном случае вместо М мы могли бы взять в ка- честве верхней границы множества А любое целое число, большее М. Тогда существует лишь конечное множество целых чисел, которые не превосходят М и являются верхними границами множества А. Среди них выберем наименьшее и обозначим его через q. Если взять число сп = сё—1, то оно уже не будет верхней границей множества А. Далее, перебирая числа вида , 1 ,2 . 9 со, со+то> со + то> •••> со + то’ Сй’ найдем наименьшее из них, которое является верхней границей множества А. Обозначим его через с,'. Тогда число ст=с[ — уже не будет верхней границей множества А. Аналогично, перебирая числа вида . 1 .2 . 9 П, ^1+100> с1 + гоо* ••• с1 + 100> найдем среди них q и 1(')0, где cj —верхняя граница мно- жества А, а с, уже не является верхней границей этого множества. Продолжаем этот процесс до бесконечности. Ясно, что числа сп получаются друг из друга по следующему закону: где 0*£а!=с9, с2 = сх4 —, где 9, + где 0<а„<9, , , 1 а числа c„ = c„ + y0-s. Образуем вещественное число а = с0, и покажем, что оно и есть точная верхняя граница множества А. Сначала установим, что а —какая-то верхняя граница мно- жества А. Допустим противное. Пусть а не является верхней границей множества А. Тогда существует такое хе А, что х>а. Между а и х вставим некоторую конечную десятичную дробь: «<0 = &о + тб+ ioa + ^ + -• - + <х- 30
Тогда тем более число Сп co~l 1Q-j- 102-r 10з10„ <гр« При этом |3—Отсюда следует, что Р^=ся + р^, то есть Р>с„. Таким образом, мы получили, что сп<.х. Это противоречит построению, согласно которому сп было верхней границей мно- жества А. Тем самым доказано, что а — верхняя граница мно- жества А. Теперь покажем, что а—точная верхняя граница. Рассуждая снова от противного, предположим, что существует верхняя гра- ница у, меньшая, чем а. Между числами у и а вставляем конечную десятичную дробь: у <6=d0+^+A-4-A+. ,.+Аг<а. Тогда по сделанному выше замечанию Ь‘$^сп. Следовательно, с„>у и потому сп тоже оказывается верхней границей множества А, вопреки построению. Полученное противоречие полностью завершает доказательство теоремы.
ГЛАВА II ФУНКЦИИ Центральным вопросом данной главы является понятие функции. Изучающему нужно глубоко осмыслить определение этого понятия и различные способы задания функций. В дальнейшем сведения о функциональных зависимостях будут постепенно расширяться. Поэтому тем более необходимо, чтобы первоначальные исходные понятия о них были усвоены безошибочно и прочно. Понятие обрат- ной функции, а также свойства четности и периодичности функции используются при построении графиков. Кроме того, они будут необходимы и при изучении последующих глав. Рассмотрение элементарных функций продиктовано необходимо- стью восполнения или закрепления знаний, полученных студентом в средней школе, и подготовки его к успешной дальнейшей работе по математическому анализу. § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Человеку, изучающему различные явления и процессы, прихо- дится иметь дело с различными величинами (длина, площадь, объем, время, скорость, масса, вес, сила и т. п.). Для каждой величины z выбрана своя единица измерения. В результате сравнения некото- рой величины с ее единичной мерой получаем число или числовое значение данной величины. Величины, значения которых с течением изучаемого процесса не меняются, то есть остаются одними и теми же, называются постоянными величинами Те же величины, значения которых меняются, называются переменными величинами или просто пере- менными. Так, например, при движении некоторого твердого тела его масса, вообще говоря, остается величиной постоянной, а путь, пройденный этим телом, в различные моменты времени будет раз- личным, то есть будет величиной переменной. Далее, из формулы длины окружности l = nd следует, что при изменении диаметра окружности d будет изменяться ее длина / и, обратно, изменение длины окружности влечет за собой изменение 32
диаметра. Что же касается числа л, равного то оно является величиной постоянной, как бы ни менялись I и d. Заметим, что некоторые величины остаются постоянными не все время, а лишь в том или ином конкретном течении процесса, при тех или иных условиях его осуществления. Так, число пассажиров в поезде можно считать величиной постоянной, пока поезд нахо- дится в движении. На остановках эта величина может измениться. По закону Ома простейшая зависимость между силой тока /, электродвижущей силой Е и сопротивлением R выражается следую- щей формулой: В этой формуле все три величины можно считать переменными. Однако если хотят ее экспериментально проверить, то одну из вели- чин обычно сохраняют на некоторое время постоянной (не меняют) и изучают зависимость между двумя остальными величинами. Числовые значения величин являются абстракциями, они не учитывают качественных свойств той или иной величины. Между тем сами величины, отражая качество предмета, обычно конкретны. В мате- матике, таким образом, происходит отвлечение от конкретного ка- чественного содержания величины. Вместо нее рассматривается лишь абстрактная величина, символически обозначенная какой-либо бук- вой. Однако в этом следует усматривать не слабость, а силу мате- матики, не уход от действительности, а стремление сделать матема- тическую теорию более полной и всеобъемлющей, чтобы затем с ее помощью обеспечить успешное исследование всего разнообразия конкретных величин. Множество значений, которые может принимать переменная величина при своем изменении, называется областью изменения этой переменной. Так как на числовой прямой каждому вещественному числу соответствует определенная точка, то каждое значение переменной изображается некоторой точкой на прямой и, следовательно, гео- метрическим изображением области изменения переменной является определенное множество точек прямой. Заметим, что постоянную величину можно рассматривать и как частный случай переменной, множество значений которой состоит всего из одного числа. Следовательно, областью изменения постоян- ной величины в таком случае будет множество, состоящее из одной точки. Понятие переменной величины является основным понятием математического анализа. Введение переменной в математику оказало решающее влияние на дальнейшее развитие математической науки. Увеличились познавательные возможности математики. Это привело к значительному расширению области математических исследований. Помимо установления количественных соотношений между постоян- 2 Бохаи и др, 33
ними величинами, математика смогла изучать процессы, связанные с изменением величин и движением вообще. Все явления в окружающем нас мире находятся в постоянном изменении и развитии. При этом изменение различных величин протекает в определенной зависимости между ними. Математический анализ и занимается изучением зависимостей между различными переменными величинами. Если две величины связаны между собой так, что каждому зна- чению одной из них соответствует определенное значение другой, то будем говорить, что эти величины находятся в функциональной зависимости. Примерами функциональных зависимостей могут слу- жить: зависимость длины окружности от ее радиуса, зависимость пройденного пути от времени движения, зависимость площади квад- рата от длины его стороны, и т. д. Переменные х и у, находящиеся в функциональной зависимости, не могут одновременно принимать любые значения. Если одной из них мы будем давать произвольные значения из области ее измене- ния, то другая будет получать значения уже в зависимости от первой. В этом случае первую переменную называют независимой переменной, а вторую — зависимой переменной или функцией. Пример 1. Формула длины окружности / = 2лг выражает зависимость между радиусом г и длиной окружности Z. Если г давать произвольные значения, например 1, А, то / будет принимать соответственно значения 2, 2ге, 3. В этом случае радиус окружности будет независимой переменной, а длина окруж- ности—зависимой переменной или функцией. Однако если эту формулу предста- I вить в виде г = 2^., то получим зависимость радиуса от длины окружности. Давая различные значения I, будем получать соответствующие значения г. Пере- менные г и I, таким образом, поменялись ролями: I стала независимой перемен- ной, а г—функцией. Дадим теперь более точное определение функции. Определение*. Пусть даны две переменные х и у. Перемен- ная у называется функцией от переменной х, если каждому значе- нию х из области его изменения ставится в соответствие по некоторому закону определенное значение у. Переменная х называется в этом случае аргументом функции у. Заметим, что аргумент не обязательно должен быть независимой переменной. Он может, в свою очередь, находиться в зависимости еще от одной или нескольких переменных. Тот факт, что у есть функция от х, обычно обозначают симво- лом y = f(x), который читается так: «игрек равен эф от икс». Такое обозначение, однако, не раскрывает существа самого закона / зави- симости у от х. Если же функция представлена, например, форму- лой у=х2 — 2x4-4, то здесь дается и закон зависимости у от х, * Определение функции, близкое к данному, было высказано великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1793—1856) (см. [1], гл. II, п° 21). 34
так как указывается, какие действия и в каком порядке следует произвести над значениями аргумента х, чтобы получить соответст- вующие значения функции у. Так, при х—0 получим: у=4, при х — 3 получим: у = 7, и т. д. Обозначение функций при помощи различных букв, например: y=f(x), z/ = <p(x), у=$ (х), г/ = Д(х) и т. д., используется лишь для того, чтобы показать, что законы зависимостей у этих функций различны. Значение функции y=f(х) при х = х0 обозначается так: f(x0). Пример 2. Дана функция: f (х)=х3 — 2х-|~ —------ У 1 +х2 Найти: /(0), f (2) и f(a + b). Вместо х подставим соответствующее значение и произведем Получим: подсчет. Н— 1) = (— 1)з_2(— .--jiff - = /1 + (-1)2 /2 * f(0) = 2; f (2) = 4 + ^; V 5 f (а -Т b) = (а + 6)3 — 2 (а -|- Ь) -|—т— , М ’ /1 + (а + &)3 Пример 3. Дана функция: /'(х) = |х| — х. Найти значения: f(0), f(2) и f (— 3). Имеем: f (0) = • 0 [—-0“0 — 0 = 0; / (2) = 12 | — 2 = 2 — 2 = 0; f (— 3) = | 3 | — _ (_ 3) = 3-|-3 = 6. Вообще для любого числа a5s0 f (а) = | а | — а = а — а = 0 и для любого числа а<0 f (а) =} а | — а =* — а — — 2ct. Пример 4. Дана функция: <р (х) = х3 + 2х. Доказать, что ф (— х) = — ф (х). Найдем значение ф(—х). Для этого достаточно в выражение ф(х)=х3+2х вместо х подставить —х. Получим: Ф (— х) = (™ х)3 2 * (— х) = — х3 — 2х = — (х3 у 2х). Сравнивая выражения для <р(—х) и для <р(х), заключие I, что <р(—х) = —-ф(х). Пример 5. Функция y—f(x) задана формулой f(х) =х3 —Зх2 + 8х+1. Какими формулами заданы функции: z/ = f(2x), y=[f (х)]2 и y = 2f (х)? Функция у = /(2х) отличается от функции y — f(x) лишь тем, что вместо аргумента х подставлено 2х. Что же касается самого закона образования /, то он не изменился. Следовательно, если в формулу для / (х) подставить 2х вместо х, то получим формулу для функции y = f(2x): f (2х) = (2х)3 - 3 (2х)2 + 8 (2х) + 1 = 8х3 - 12х2 + 16х +1. Аналогично получаем: f I х\ /х\3 (х\2 / х\ 1 3 \2j \2/ 3\2/ ”*~8\2/+ 8Х 4 х +4х+1. 2* 85
Так как функция у=[/(х)]2 есть квадрат функции y=f(x), то [f (х)]2 = (х3 — Зх2 + 8х+ 1)2 = хв + 9х4+ 64х2 + 1 — 6х6 + 16х4 + 2Х3 — 48х3 — 6х2 + 16х = хв— 6х5 + + 25х4 — 46х3 + 58х2 + 16х + 1. Аналогично, г 2f (х) = 2 (%з — Зх2 + 8х + 1) = 2х3 — 6х2 + 16х + 2. Из определения функции не следует, что различным значениям аргумента х должны соответствовать различные значения функции у. Важно, чтобы каждому значению х соответствовало определен- ное значение у. Например, f(x) — a тоже есть функция, хотя при любых значениях х она принимает одно и то же значение а. Такие функции называются постоянными функциями. Понятие функции является основным понятием не только мате- матического анализа, но и всей математики в целом. Специально изучением функций занимается математический анализ. Функция y—f(x) считается заданной, если: а) указана область изменения аргумента х (ее обычно называют областью определения или задания функции); б) дан закон функциональной зависимости между х и у. При этом не имеет значения, как этот закон зависимости представлен: то ли формулой, то ли описан словами, то ли еще как-нибудь. Это уже относится к способу задания функции. Заметим, наконец, что мы будем все время рассматривать только вещественные функции от вещественного аргумента, то есть будем считать, что х и у принимают только вещественные значения. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. В чем состоит различие между понятиями «аргумент функции» и «незави симая переменная»? 2. Дана функция: f(x) = (x—2)2 + Зх-------Найти значения: f(0), f (2), Отв. 5, 5, Ю-i и э!. 3 2 3. Дана функция: <р (х) = | х + 3 |4-2х. Найти значения <р(0), <р(— 4), <р(— 3) и <р (4). Отв. 3, —7, —6 и 15. 4. Выразить радиус шара как функцию его объема. 5. В треугольник АВС (рис. 11) с основанием b и высотой h вписан / (—2) и f (3). прямоугольник К.МРН, высота которого х. Выразить периметр L и площадь S прямоугольника как функции от х. Отв. Ь = 2Ь-Ц2 fl—х, S — b fl — , где 0<х<Л. 6. Дана функция: f (х)==х4 —cosx. Доказать, что f (—x) = f(x). х / х\ 7. Дана функция: f (х) = -ф sin 2х. Найти функции: /(Зх), Н-х- , f (х2) и о \ z у f (х !)• 36
§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ 1. Аналитический способ. Существует несколько способов зада- ния функций. Среди них наиболее распространенным в математи- ческом анализе является так называемый аналитический способ. Он состоит в том, что функциональная зависимость между величи- нами изображается в виде формулы, указывающей, какие действия (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, нахождение синуса, косинуса и др.) нужно выполнить над аргументом, чтобы получить значение функции. Примерами такого задания могут быть функции: w=—Ц, w = arcsinx, у — 1g х, S — ~ и другие встречавшиеся в курсе средней школы. Определение. Множество всех значений аргумента, при которых функция, заданная аналитически, имеет определенный смысл, будем называть областью существования или областью определения этой функции. В соответствии с этим определением, функция у = ^-^ сущест- вует для всех х^2, так как только при х = 2 выражение —тл лишено числового смысла. Область существования в данном случае складывается из двух интервалов: (—от, 2) и (2, ф-оо). Функция j/ = arcsin х существует для х, удовлетворяющих нера- венству — Ее областью существования будет отрезок [_ 1, -ф-1]. Так как отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют, то функция у — 1g х, очевидно, существует на (0, ф-оо). Заметим, однако, что в тех случаях, когда функция y=f(x), заданная некоторой формулой, отражает зависимость между совер- шенно конкретными величинами (например, физическими, геометри- ческими или еще какими-нибудь), область ее существования может не совпадать с той областью, где формула имеет смысл. Так, например, если рассматривать функцию 5 = ^, не связывая ее с какой-нибудь физической задачей, то областью ее существования будет (—со, +от). Но, как известно, таким аналитическим выра- жением в физике изображается закон свободного падения тела в пустоте, где / — время, g~ускорение, S —пройденный путь. Если это последнее учитывать, то бессмысленно было бы рассматривать отрицательные значения t. Точно так же сама по себе формула у = 2пх имеет смысл при любых х (—оо<^х<ф-оо). Однако если этой формулой предста- вить длину окружности как функцию радиуса, то естественно счи- тать х положительным (0<х<;ф-от). В этом случае уже областью существования будет (0, ф- от). Таким образом, формулам, как аппарату, созданному для описания функциональных зависимостей, 37
свойственны некоторые недостатки Как видно из рассмотренных примеров, бывают случаи, когда формула не может отразить всей особенности нужной нам функциональной зависимости. В частности, если по смыслу функция имеет более узкую область задания, чем это следует из изображающей ее формулы, то нужно соответственно указать и область рассмотрения формулы. Если же функция задана формулой без каких бы то ни было дополнительных ограничений, как это чаще всего и бывает, то областью задания будет считаться вся область, где формула имеет смысл. Пример 1. Определить область существования функции у = ]/'4~х. Данная функция существует для таких значений х, при которых квадратный корень принимает вещественные значения, то есть подкоренное выражение неот- рицательно: 4 — х^О. Отсюда получаем: х sg 4. Значит, данная функция сущест- вует на промежутке (— со, 4] (рис. 12). Пример 2. Определить область существования функции _ х_________ V ~ (х +1) (х — 3) ‘ Очевидно, эта формула имеет смысл при любых значениях х, кроме х==— 1 и х = 3. В данном случае область существования функции складывается из трех интервалов: (—оэ, —1), (—1, 3) и (3, + со) (рис. 13). Пример 3. Определить область существования функции , у = ..Л*2 —х ]g (X —|-* 1). Данную функцию мы считаем существующей при всех тех зна- чениях х, при которых все три слагаемые имеют конечные вещест- венные значения. Поэтому находим сначала область существования для каждого слагаемого в отдельности. Выражение ]/4 — ха имеет смысл при Т—Л'й -О: отсюда х2.-с4 или Iх| =С2. Область существования—отрезок [—2, 4-2]. Выражение Ух имеет смысл при любых значениях х. Следова- тельно, его областью существования будет (— со, 4" °0)- Выражение 1g (х 4-1) имеет смысл при х4"1>0, то есть при —1. Область существования — интервал (—1, 4~ °°)- Теперь остается определить область, представляющую собой общую часть областей существования всех трех слагаемых. Ею будет полу- интервал (—1, 2]. Рис. 13. 38
Для того гтобы легче найти область существования функции, представленной в виде суммы нескольких слагаемых, прибегают к геометрическому изображению областей существования всех сла- гаемых на одной числовой оси. Тогда сразу видно, что следует принять за область существова- ния всей функции. В нашем z примере такое геометрическое изображение представлено на / ।,1 н\________________* рисунке 14. ^2 л Пример 4. Известно, что -1<х^2 lgx(x—2) = lgx4*lg (х—2). Одинако- .. вы ли области существования функ- ций lgx(x —2) и lgx + lg(x—2)? Область существования функции lgx(x — 2) определяется условием х(х —2)>0. Отсюда получаем, что либо х>0 и х — 2>0, либо х<0 и х—2<0. Решая системы неравенств х>0) х<0] х-2>0 J И х — 2 < 0 f * находим, что lgx(x —2) существует для х>2 и для х<0, то есть область суще- ствования этой функции состоит из двух частей: (—оо, 0) и (2, -роо). Для определения области существования функции 1g х 4-1g (х —2) следует, как и в примере 3, найти сначала области существования для каждого слагаемого в отдельности. Функция 1g х существует для всех значений х > 0, то есть на (0, 4-со). Функция 1g (х —2) существует для х, удовлетворяющих неравенству х—2>0, то есть на (2, 4-со). Следовательно, функция lgx4~lg(x—2) существует на (2, 4-со). Таким образом, получили, что области существования функций lgx(x —2) и lgx4-lg(x —2) не совпадают. Поэтому равенство Igx (х —2)—Igx-f-lg (х—2) не является тождественным. Оно представляет тождество только па промежутке (2, 4*со). Заметим, что функция может быть задана не одной, а несколь- кими формулами. Если закон соответствия между аргументом и функцией на всей области определения функции не удается изобра- зить одной простой формулой, то иногда возможно изображение его несколькими формулами, отображающими это соответствие на отдельных ее участках. Пример 5. Задание функции в виде [X3 при —2 X 1, у = <2х при 1<х^2, (4 — х при 2 < xsg3 следует понимать так: функция определена на отрезке [— 2, 4-3], причем на [—2, 1] она изменяется по закону у = х3, на (1, 2] —по закону у = 2х и на (2, 3]—по за- кону г/= 4—х. Пример 6. Задание функции в виде , , fl для рациональных значений х, Ф(х)=< „ (— оо<х<4-со) I 0 для иррациональных значении х 39
следует понимать так: функция определена на всей числовой оси. В каждой рацио- нальной точке значение функции равно единице, а в каждой иррациональной точке — нулю *. Пример 7. Функция f (х) определена на отрезке [0, 1]. Каковы области определения функций: /(х2), f (sin х), /(х —2), /(х + 2), f (2х) и f Под / (х2) мы понимаем функцию, получаемую из х2 по тому же закону, как из х получается /(х). Например, если / (х) = Зх2-|-5х— 1, то / (х2) = 3 (х2)2 + 5 (х2) - 1 = Зх* + 5х2 - 1. Так как по условию f (х) определена на отрезке [0, 1], то f (х2) имеет смысл для всех тех х, для которых 0sgx2sg 1, то есть при | х | 1. Таким образом, областью определения функции /(х2) является отрезок [-—1, 1]. Функция f (sin х) определена для х, удовлетворяющих неравенству 0 sg sin1, откуда 2 йл -g х-< (2т : П) л (Л: . О, I. 1, ±2, ± 3, ...). Область определения такой функции состоит, как выяснилось, из бесконечного множества отрезков: [0, л], [2л, Зя], [—2л, — л], [4л, 5л), [—4л, — Зя] и т. д. Область определения функции /(х —2) характеризуется неравенствами Osgx — — 2sgl, откуда 2sgx<£3, Функция определена на отрезке [2, 3]. Аналогичными рассуждениями легко установить, что функция /(x-J-2) опре- делена на отрезке [—2, —1], функция /(2х) —на отрезке Q), yj и функция f — на отрезке [0, 2]. Читателю предлагается получить это самостоятельно. В примере 7 мы, по существу, встретились с понятием функ- ции от функции или с так называемой сложной функцией. В даль- нейшем это понятие будет рассмотрено более подробно. Познакомимся еще с двумя способами задания функции — таб- личным и графическим. 2. Табличный способ. Если функция задана в виде таблицы, в которой различным значениям аргумента сопоставлены соответ- ствующие значения функции, то такой способ называется таблич- ным способом задания функции. Иногда в технике и естествознании сам факт зависимости между некоторыми величинами не вызывает сомнения, а закон этой зави- симости не известен. Тогда проводят эксперимент, в результате которого путем измерений получают ряд значений аргумента и соответствующих значений функции в виде некоторой таблицы. Так, например, известно, что рост любого растения является функ- цией времени. Для того чтобы установить закономерность измене- ния роста L при изменении времени t для конкретно выбранного растения в определенных условиях, будем производить измерение * Эта функция называется функцией Дирихле, по имени немецкого математика ' Петера Густава Л е ж е н а-Д и р и х л е (1805 —1859). 40
высоты через определенные промежутки времени, начиная с мо- мента /о = О. В результате получим таблицу: функции, так как при измерении неминуемы погрешности, зави- сящие как от качества измерительных приборов, так и от личных качеств экспериментатора. Но тем не менее таблица будет отражать зависимость величин L и t, характеризующую рост растения. Таблицами можно задавать различные функциональные зависи- мости. Так, если записывать пройденный путь автомобиля через определенные промежутки времени, то получим таблицу зависимо- сти пути пробега от времени движения. Измеряя давление пара в котле при различных температурах, можно получить таблицу, отображающую закон зависимости давления от температуры при постоянном объеме, и т. д. Недостатком табличного способа задания функции является то, что по таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые имеются в таблице. Однако у этого способа имеется и ценное качество. Таблица позволяет непосред- ственно, без всяких вычислений, получать значения функции, соответствующие определенным значениям аргумента. Последнее обстоятельство настолько важно, что иногда функции, заданные другими способами, представляют в виде таблиц. Имеются, напри- мер, готовые таблицы логарифмов, тригонометрических функций, различных степеней натуральных чисел и др. Различные таблицы широко используются и в производстве при технических расчетах. При этом часто с помощью таблиц находят (хотя и приближенно) те значения функции, которых в таблице нет. Например, существует так называемый способ линейного интерполирования, с которым знакомятся в школе при вычислении логарифмов. 3. Графический способ. Введем сначала понятие графика функции. Определение. Графиком функции y=f(x), заданной в некоторой области X, называется множество всех точек плоскости (х, у), координаты которых х и у связаны соотношением y = f(x). При этом х может иметь любое значение из X. Само равенство y=f(x) называется уравнением этого графика (рис. 15). Графики часто встречающихся функций представляют собой не- которые сплошные кривые или, в частности, прямые линии. Однако график может состоять и из отдельных изолированных точек; напри- мер, график функции у — п, заданной на множестве натуральных чисел {«} (рис. 16). Функция считается заданной графически, если начерчен ее график. Например, для измерения давления атмосферы 41
О 1 2 3 Ь 5 6 7 8 Рис. 16 X на различных высотах пользуемся специальным самопишущим аппа- ратом-барографом, который на движущейся ленте записывает в виде кривой линии изменение давления в зависимости от высоты. В данном случае имеем графический способ задания функции. Если функция задана графиком, то по нему можно получить значения функции для любых значений аргумента. Значения функции f (х), соответствующие различным значениям аргумента х, можно получить измерением на чертеже соответствующих ординат (рис. 15). Такая операция обычно называется «снятием» значений с графика. Для того чтобы множество точек плоскости XOY могло служить графиком некоторой функции, необходимо (и достаточно), чтобы в нем не содержалось никаких двух различных точек с одинаковыми абсциссами. Если это условие нарушено, то найдется значение х, которому сопоставляется по крайней мере два различных значения у, что противоречит требованию однозначности в определении функ- ции (рис. 17). Например, парабола у* — х не служит графиком ка- кой-нибудь одной функции вида y=f(x). Однако часть этой пара- болы, лежащая в верхней полуплоскости, представляет график функции у —Ух, а другая ее часть, лежащая в нижней полупло- скости,—график функции у — — Ух (рис. 18).
Легкая обозримость и наглядность графического способа изображения функ- ций делают этот способ весьма удобным при различного рода исследованиях. В связи с этим часто прибегают к графи- ческому изображению даже функций, которые заданы с помощью таблицы или формулы. Пусть функция У=Цх) задана таблицей. Пользуясь тем, что на плос- кости с заданной системой координат каждой паре чисел соответствует опре- деленная точка, отметим на плоскости точки, соответствующие парам чисел, помещенным в таблице. Затем, соединяя эти точки «плавной» кривой, получим графическое изо- бражение данной функции Если функция задана формулой, то для ее графического изобра- жения сначала нужно составить таблицу значений аргумента и функ- ции, а затем действовать указанным выше способом Пример 8 Построить график функции, заданной формулой у — хг — x-f-1. Выбираем по нашему усмотрению несколько значений х и находим соответ- ствующие значения у В результате получим таблицу дой из осей выбираем масштаб В данном случае практически удобнее по оси ординат взять более мелкий масштаб по сравнению с масштабом по оси абсцисс, так как в таблице для у имеются существенно большие значения, чем для х. Затем отмечаем точки, соответствующие парам чисел, указанным в таблице, и соединяем эти точки «плавной» кривой. Получим график, изображенный на ри- сунке 19. Заметим, наконец, что способ задания функции формулой хотя по наглядности и уступает таблич- ному и графическому способам, но зато является более точным по сравнению с ними. По фор- муле можно найти значения функции для любых значений аргу- мента либо абсолютно точно, либо Рис. 19. с любой степенью точности. 43
В дальнейшем, поступая, как и в примере 8, получим график функции, ко- торый изображен на рисунке 20. Естественно, в точках х, которые не входят в таблицу значений, график может не отображать точных значений функции. Чтобы график был бопее точным, нужно при составлении таблицы брать более частые значения для х. Тогда получим больше пар чисел, а следовательно, и больше точек на плоскости. От этого график станет более точным. Иногда по ходу исследования функции нужен более точный график не на всей области, а в окрестности неко- торой точки Тогда нужно брать больше значений аргумента именно в окрестности этой точки. Следует также заметить, что не вся- кую функцию можно изобразить графи- чески одной или несколькими «плавными» кривыми. Так, для функции Дирихле (пример 6), как бы густо мы ни брали точки на числовой оси и сколько бы то- чек на плоскости мы ни получили, ника- кие две из них нельзя соединить «плавной» кривой, так как между любыми двумя значениями х имеются в неограниченном количестве как рациональные, так и иррациональ- ные значения и, следовательно, в любом промежутке сколь угодно часто будут встречаться значения функции, равные 0 и 1. Пример 10. Построить график функции, рассмотренной в примере 5. График такой функции будет состоять из трех графиков, построенных отдельно для каждой ча- стичной области задания функции. Каждый из них строится обычным образом. Общий вид гра- фика показан на рисунке 21 Если смотреть на график, состоящий из нескольких частей, то иногда бывает неясно, какое значение ординаты следует считать значением функции в точке стыка между отдельными частями области за- дания функции. В случае примера 10 такой точкой является точка х—1. Если не иметь под руками аналитического зада- ния функции, то по графику неясно, считать ли /(1) = 1, или 44
f(l)=2, или, может быть, какое-нибудь промежуточное значение. Чтобы избежать этой неясности условимся тот конец графика, который соответствует точке стыка, отмечать более жирной точкой, а другой конец —стрелкой, как это показано на рисунке 21. Символом Е (х) условились обозначать функцию, значение ко- торой в каждой точке х равно целой части х, то есть наибольше- му целому числу, не превосходящему х *. Например, £^2^ = 2, Е(0)=0, ^(у) = 0, Е(5) = 5, Е(/20) = 4, и т. д. График функции у = Е (х) изображен ниже, на рисунке 57 (стр. 112). Две функции, f(x) и g(x), заданные на некотором промежутке, называются тождественно равными на этом промежутке, f(x) = = g(x), если их значения в каждой точке промежутка совпадают. Так, например, функции f(x) = l и g(x) = sin2х + cos2х тождест- венно равны на (—оо, + оо), так как для любого х справедливо равенство sin2x + cos2x= 1. Функции f (х) = 1g х2 и g (х) = 2 1g х имеют разные области определения (первая определена для любых х^О, а вторая —только для х>0). Однако эти функции тождест- венно равны на промежутке (0, + со). Пример 11. Тождественны ли функции f(x)=VxYx — 2 и ф (х) = У~х (х — 2) на промежутке [2, +со)? Не выясняя, каковы области существования данных функций, заметим, что обе функции, во всяком случае, определены в промежутке [2, -|-оо). Ясно, что в этом промежутке значения / (х) и ср (х) совпадают, то есть в указанном проме- жутке функции f (х) и ф (х) тождественно равны. Пример 12. В каком промежутке тождественны функции /(х) = хи ф (х) = 10'» v? Функция )(х) = х существует при любом значении х, то есть на промежутке (—со, -фсо). Функция ф (х) = 10l?х существует лишь для значений х>0, то есть на промежутке (0, -фсо). Поскольку на (0, -}-оо) функции f (х) и ф (х) сов- падают (х — 10lsI '), то они тождественны на этом промежутке. В заключение параграфа заменим, что иногда, определяя функ- цию, не требуют, чтобы каждому значению аргумента соответство- вало только одно значение функции. В этом случае допускаются многозначные функции —функции, у которых каждому значению аргумента соответствует не одно, а два или несколько значений функции. Например, функция у, определяемая из уравнения у2 = х, * Обозначение Е (х) по начальной букве французского слова «entier», что озна- чает «целый» (читается «антье»). 45
двузначна, так как каждому значению х соответствуют два зна- чения у (у — ± УхУ Функция z/=Arcsinx является бесконечно- значной, как хорошо известно читателю из школьного курса. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Дана функция: sin х при — 1 < х < О, 1 4-х2 при 0 sg х < 2. Найти /(1), и /(0). 2. Функция y=f(x) определена на отрезке [а, Ь]. Каковы области определения функций: Цх—а), /(*4-а), /(Зх) и/^? В задачах 3—J2 определить области существования функций. 3. / (х) = х34-бх2 — Зх4-1. Оте. (—со, 4~с°)- 2x4-1 4. /(х)= ^77-3^75. Оте. (—<х>, 1), (1, 2) и (2, ф-со). 5. f (х)= Igsin (х —3)4-]/16 —ха. Оте. (3, 4J и (3 —2л, 3 —л). 6. f (х) = 1 4-х + Кх2 — 9. Оте. (—оо, —3] и [3,ф-оо). 7. / (х) = arc cos ------Д lg2v. Оте. [1, 4]. О 8. f(x) = Llkt-L. Оте. (— со, 0) и (0, 4-со)- 9. f (л) = |"Е (х) — х 4_ 2х. 10. f (х) = (х — 11. f (х) = ]/4х2 — 9х. Оте. При х=0, ±1, ±2,... Оте. (—оо, —1) и [2, 4-оо). Г9 \ Оте. (—со, 0] и 4-со)- 12. f (х) = /^Д-х^х2? _____ Оте. [-1, 2]. 13. Дана функция: <р (х) = У 1 — xs. Доказать, что <р [<р (х) | =; х 14. Дана функция: )(х) = х34--^ — Зх — —, Доказать, что Ц—)=ф(х). 15. Тождественны ли функции: а) /(х) = х и <р (х) = | х | на [-—2, 4*2]. Оте. Нет. б) f(x) = x и <р(х) = (|/х)2 на [1, 3]. Оте. Да. в) /(х) = х и <р(х) = |/х2 на (— со, Д-оо). Оте. Нет. 16. Построить по точкам графики следующих функций: а) # = х24-сх4~1 при с = —2, 0, 2. б) в) У X— 1 • |х2 У = <4 14 — х при — 2=^х<2, при 2 йД х < 3, при 3=gXsg;4. § 3. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ Будем рассматривать функции, заданные на промежутках, сим- метричных относительно начала координат: [ — а, ф-о], ( — а, 4-а) или ( — со, ф-co). 46
Рис. 22. Определение. Функция y=f(x), заданная на симметричном промежутке, называется четной, если для любых значений х из ее области определения справедливо равенство f (-—x) = f (х). Примерами четных функций являются: у = х2, y = cosx, z/ = |x|. Они представляются графиками, изображенными на рисунке 22. Как видно из определения и приведенных примеров, графики всех четных функций симметричны относительно оси ординат. Учитывая последнее, при построении графика четной функции нет надобности строить ее по точкам для положительных и отрицатель- ных значений х. Достаточно построить график только для или №5 0, а затем зеркально отобразить полученную часть гра- фика относительно оси ординат. Определение. Функция у—~Цх), заданная на симметричном промежутке, называется нечетной, если для любых значений х из ее области определения справедливо равенство f (—*- х) “ —"* f (х). В качестве примеров нечетных функций могут служить: г/^5- Рис. 23. 417
Особенностью нечетных функций является то, что их графики симметричны относительно начала координат. Чтобы построить график нечетной функции, достаточно сначала построить его часть только для х;>0 или только для х-сО. Затем двойным отобра- жением относительно осей координат (безразлично в каком порядке) получается и вторая часть графика. Неправильно было бы считать, что любая функция, заданная на симметричном промежутке, непременно будет либо четной, либо нечетной. Большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Например, у—хф\, у=ах и z/ = x24-2x— 3. По отношению к четным и нечетным функциям справедливы следующие утверждения: Теорема 1. Сумма и разность двух четных (нечет- ных) функций есть функция четная (нечетная). Доказательство. Обозначим сумму f(x)-\-g(x) через F (х). Тогда, если f (х) и g(x) четные, то F(-x) = f(-x)+g(-x)=f(x) + g(x) = F(x). Следовательно, F (x) по определению есть четная функция. Если же f (х) и g(x) нечетные, то F (х) будет также нечетной, так как F (_ Х) = f Х) + g (_.. х) = — f (х) —g (х) = = -|7(.v)4.g(.v)] = _f(x). Совершенно аналогичное доказательство теоремы для случая разности функций предоставляется читателю. Теорема 2. Произведение двух четных или двух нечет- ных функций есть функция четная. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная. Доказательство. Введем обозначение F (x')-f(x') • g(x'). Тог- да, если f(x) и g(x) четные, то F(-x)^f(-x).g(~-x) = f(x).g(x) = F(X)-, если f (х) и g (х) нечетные, то F(—х)=/(—х)-^(— *)=[-Н*)Н-^Wl = F(x); если, наконец, f (х) четная, a g(x) нечетная, то F(-x)=f(-x).g(-x)=f(x)-[-g(x)] = -F(x). Этим теорема доказана полностью. .Теорема 3. Всякая функция у =f(x), заданная на неко- тором симметричном промежутке, может быть пред- ставлена в виде суммы четной и нечетной функций, задан- ных на этом же промежутке. Доказательство. Пусть на некотором симметричном про- межутке задана функция f(x). Рассмотрим функции: i \ ?W+/( — х) । i \ /(«) — /( — х) ф (х) == -->. и ф (х) = 'V. -L. 48
Первая из них будет четной, а вторая —нечетной, так как ф (—х) ~ х)2+ - = ф (х), При этом ф W -И (х) = +_ f (л.). Пример 1. Представить функцию f(x)=5x в виде суммы четной и нечетной функций. В данном случае Ф(х)=у[/(х)+/(-х)]=у[^ + 5^1. ф (х) = 1 [/ (х) - f( - х) ] = 1 [5* - 5-Н. Следовательно, В отдельных случаях функцию, заданную на [0, а], требуется доопределить на [ — а, 0) таким образом, чтобы она после этого стала четной или нечетной на всем отрезке _|-й]. эт0 делается так. Пусть, например, / (х) — любая функция, задан- ная на [0, а]. Тогда функция Для 0=Cx=sSa, ф(А/ )/( — х) для — а=Сх<0 будет четной на [ — а, +«], а функция для —д-?:х<0 будет нечетной. Это легко проверить, пользуясь определением четной и нечет- ной функций. Во втором случае дооп- ределение возможно лишь для тех функ- ций f(x), для которых / (0) = 0 (иначе не выполнится условие /(0) =—/(0)). Заметим, что такому доопределению функции геометрически соответствуют рассмотренные выше способы построе- ния графиков четных и нечетных функ- ций на [ — а, +н], если они уже по- строены на [0, а]. Операцию доопределения функции указанным способом иногда называют четным или нечетным продолжением функции. На рисунке 24 продолжения изображены пунктирными линиями. 49
Пример 2 Функцию / (х) = <а i-x, заданную на отрезке [0, 3], продолжить гетным и нечетным образом hi отрезок [—3, -|-3] Очевидно, четная функция ср (х) запишется в виде при при О -'3 х -'3 3, —3 сД х < О, а нечетная функция ф(х) —в виде Ф W = { х2-|-х —х2ф-х при при О х “У 3, —3 < х < 0. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Установить, какие из данных ниже функций f (х) являются четными, а какие нечетными a) f (х) = х34-3х4~-5хв, б) f(x)=x —х3, в) f (х) = ах + а~х, г) ?(х)==1§-~^, Д) f(x) = W 2. Можно ли по графику функции судить о ее четности или нечетности’ 3. Представить в виде суммы четной и нечетной следующие функции a) f (x) = x24-3x24~5x-[~4, б) fix'}—2х, в) /(x) = tgx, г) f (х) = |^ха 4 Выполнить четное и нечетное продолжение на всю ось функций, заданных при x=s0 формулами а) /(х) = х, б) f (x) = sm х, в) /(x) = 3v—1 Построить их графики § 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция y = f(x), заданная в некоторой обла- сти называется периодической с пеоиодом I (короче—Апериоди- ческой), где 1^=0, если для любого х из этой области числа х zt I тоже входят в область задания функции и при этом справедливо равен- ство f(X-rl)^f(x). Примерами периодических функций могут служить три- гонометрические функции. Так, sinx и cosх имеют пе- риод / = 2п, a tgx и ctgx— период 1 = п Легко проверить, что функция у = х — Е(х) будет также периодической с периодом 1 = 1 (рис 25) Из определения периодической функции следует, что функция периода I имеет также период — I, так как f (х— /) = f[(x — /)-(-/] = = / (х) Более того, покажем, что числа вида ±nl, где п — любое натуральное число, также являются периодами /-периодической функции Действительно, об
f(x + 3l)=f f(x-2l)=f f(x—3l)=f (x + /)4-/]=/(x + /)=/(x)> (x + 2l) + l] = f(x + 2l) = f(x), и т (x_/)_/]=f(x_Z)=f(x), \x-2l)-l]^f(x-2l)==f(x), и i f(x-\-2l')=f Д Часто периодом функции называют наименьший из всех положи- тельных периодов. Функция sinx называется 2л-периодической, хотя ее периодами будут также числа 2kn, где k = ± 1, ± 2, ± 3, ... Заметим, однако, что не всегда среди периодов функции можно найти наименьший. Например, постоянная функция f(x)=c будет периодической, и ее периодом можно считать любое вещественное чисто а=£0, так как f (x + d)=c=f (х). Чтобы построить график 1-периодической функции, оче- видно, достаточно его построить в пределах одного периода, то есть от любого значения х до хф-/. Затем, сдвигая построенный график вправо и влево на расстояние I, 2ф 31, . , получим графическое представление функции на всем желаемом промежутке. Изучение периодической функции также достаточно ограничить изучением ее на промежутке одного периода, так как особенности в ее поведении будут также периодически повторяться. Функцию f(x), заданную на некотором отрезке [а, Ь], можно доопределить на всей числовой оси таким образом, чтобы она стала периодической с любым наперед заданным периодом 1>Ь — а. Эта операция называется периодическим продолжением функции. Пример 1 Построить для функции /(х) = х®, заданной на отрезке [—1, ф-1], периодическое продолжение с периодом 21 (l> 1). Прежде всего данную функцию следует доопределить на проме- жутках [—/, —1) и (1, /] Это можно сделать различными спосо- бами, однако с таким расчетом, чтобы ср (—/) = ср(/). Пусть, напри- мер, Ф(х) = 1 при X2 при 1 при 1 < х I (рис. 26). 51
Полагая для любого значения х из [—I, 4-/] <р (х ± 21) =<р (х), получим периодическое продолжение функции на [—3/, фЗ/]. Поло- жив ф (х±4/) = ф (х), ф (X .1 6/) ф (х) и т. д., можем получить периодическое продолжение (периода 21) функции ф (х) на всю числовую ось. При этом на [—1, 4-1] будет ф(х)=/(х). Заметим, что если функция f (х) первоначально задана на отрезке [а, /э] и при этом f(a)=f(b), то f (х) допускает /-периодическое продолжение на всю ось и с периодом 1 = Ь— а. Предоставим чита- телю самостоятельно убедиться в этом. Пример 2. Функция f (х) с периодом 21 задана на всей оси. Какой период имеет функция ф(х) = /(ях), где а > 0 — заданное положительное число? 21 Покажем, что функция ф (х) имеет период Действительно, для любого х имеем: Ф ^х 4~ =/ £а ^х 4- —= f (ах 4~ 21) — f (ах) = ф (х). Если, в частности, положить а = ~, то ф (х) будет иметь период 2л. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Определить, какие из данных функций !шляются периодическими, и устано- вить их наименьший положительный период: a) f (х) = sin х + tg у. б) /(x)=cos2x. в) f(x)=cosx2. г) f(x)=Vtix. д) f (х) = sin 2х. е) f (х) = A sin kx-\- В cos Кх (X > 0). Ош. 2л-периодическая. Отв. л-периодическая. Отв. Непериодическая. Отв. л-периодическая. Отв. л-периодическая. _ 2л Отв. -^--периодическая. Л 2. Доказать, что если f (х) есть /-периодическая функция, то функция <р (/) — = будет р-пер иодической. 3. Для функции /« = построить периодическое продолжение с периодом 2/ (Z > 1). 4. Можно ли по графику функции судить о ее периодичности или непериодич- ности? § 5. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ В курсе средней школы рассматриваются конкретные примеры обратных функций: логарифмическая функция как обратная пока- зательной функции и обратные тригонометрические функции. Здесь рассмотрим понятие обратной функции в общем случае. о2
Пусть на некотором промежутке X* определена функция y = f(x), значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток Y на оси ординат. Это значит, что для любого значения у = уй из про- межутка Y существует такая точка х(, из г р жежутка X (одна или несколько), что f(x0) = y0. Тем самым каждому значению у из Y ставится в соответствие одно или несколько определенных значений х из X. Значит, х можно рассматривать как функцию от у, опре- деленную на промежутке Y, со значениями в X, то есть х=ф(«/). Отыскание аналитического ' выражения функции х = ф (у) сводится к решению уравнения y = f(x) относительно х. Функция х = ф (у) называется обратной функцией по отношению к функции y=f(x). Пример 1. Функция «/ = 2x4*3 определена на (—со, 4-со). Областью ее значений будет также (—со, 4* °0)- Обратной функцией будет функция х == ~—, определенная на (— оо, 4* °0)- Пример 2. Для функции у = ха обратными будут две функции: х = Уу и х = — Уу, или, как иногда говорят, двузначная функция х— ±Уу, существующая только для у4г0. Перейдем теперь к выяснению вопроса о взаиморасположении графиков прямой и обратной функций. Так как связь между пере- менными х и у в прямой функции y = f(x) и обратной ей функции х = ф(у) одна и та же, то графики этих функций совпадают. Если же обратную функцию представить в обычно принятых обозначениях (ар- гумент обозначить через х, а функ- цию—через у, то есть записать // = ф(х), при этом функцию г/ = ф(х) мы по-прежнему будем называть об- ратной по отношению к функции z/ = f(x)) и если аргумент снова от- кладывать на горизонтальной оси, то график обратной функции повер- нется. Чтобы получить его новое расположение, нужно перегнуть плос- кость чертежа по биссектрисе первого и третьего координатных углов. Можно сказать также, что график обратной функции г/ = ф(х) является зеркальным отображением гра- фика прямой функции y=f(x) в биссектрисе первого и третьего координатных углов. Графическое изображение функций, рассмотрен- ных в примерах 1 и 2, а также им обратных функций, дано на рисунках 27 и 28. * Здесь X может обозначать промежуток любого типа: Х = [а, &], Х = (а, Ь) и пр. То же относится и к У, 53
Пример 3. Какая функция у = у(х) будет обратной для функции t/ = xs4- + 4х? Построить ее график. Из уравнения х2 + 4х — у —О находим: х — — 2 ± ]/4-1~у. Значит, обратных функций две. Если обозначения х и у поменять местами, то эти две функции примут вид: у ' 2 —4 —|— %* у =з —— 2 ф7'4 —ф х. Так как графики прямой и обратной функций взаимно симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то, построив один из графи- ков, легко получить и второй. Для построения графика прямой функции, пред- ставляющего собой параболу, замечаем, что X'2 4Х в (л ; - 2)а — 4, то есть вершина этой параболы находится в точке (—2; —4) и ветви направлены вверх. Если еще учесть, что она проходит через начало координат, то построение графика не вызовет затруднений (рис. 29). Вопросы для самопроверка и упражнения 1. Для заданных ниже функций найти обратные. Построить графики тех и других функций, используя свойства обратных функций: а) г/ = 2х, б) j/ = x2-—2, в) z/ = g—г) f/ = ~, Д) r/=2*-l, е) i/=log6x. 2. Возможен ли случай, когда графики прямой фрнкции y—f (х) и ей обрат- ной функции y = <f(x) совпадают? 3. Найти обратную функцию для функции !х при —со < х < 1, х2 при 1 X ' 4; 2х при 4<х<ф-со. Построить графики прямой и обратной функций, расположив их на одном чертеже. 1 — X 4. Доказать, что функция у-=-,—— обратна сама себе, то есть что обратная х X функция для данной функции тождественна с ней. .4
5. На промежутке (0, +со) задана функция у = хп (п — натуральное). Найти обратную функцию на этом промежутке и установить, при каких значениях л значения прямой функции больше значений обратной функции, а при каких — меньше. § 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ После введения понятия функции внимание математиков было обращено на изучение большого количества различных функциональ- ных зависимостей. В результате непрерывного развития математики и в настоящее время появляются все новые и новые классы функ- ций. Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой обла- стью применения. Это так называемые простейшие элементарные функции. Основное значение простейших элементарных функций состоит в том, что они составляют базу для изучения более слож- ных функций, являясь в большинстве своем составленными элемен- тами последних. Поэтому уже в средней школе первое знакомство с функциями начинают с изучения простейших элементарных функций. Поскольку в дальнейшем нам неоднократно придется прибегать к иллюстрации многих математических понятий на простейших элементарных функциях, то здесь мы дадим краткое описание последних, оставаясь на «школьном уровне». В главе IV наши све- дения об элементарных функциях, будут существенно дополнены. К простейшим элементарным функциям обычно относят следую- щие: 1 .^Степенная (Ьинкиия. то есть функция вида у—х^, где у — любое вещественное число. Эта функция имеет то или иное конкретное содер- жание в зависимости от значений п. Рассмотрим возможные случаи. а) Пусть р есть целое положительное число, р = п. Тогда функ- ция у = хп существует на (—сю, -фею) при любом п и ее график проходит через начало координат и точку (1,1). При различных значе- ниях п получаются различные кривые (рис. 30). Среди них будут: у == х (п=1) — прямая линия, проходящая через начало коорди- нат и образующая с осью ОХ угол в 45°. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. у~х2 (и = 2) —парабола. Проходит через начало координат, сим- метрична относительно оси OY. у — х3 (п=3) — кубическая парабола. Расположена в первой и тре- тьей четвертях симметрично относительно начала координат. у — хп (п —любое четное число) — кривая, расположенная в первой и второй четвертях симметрично относительно оси OY (в силу чет- ности функции). По виду график напоминает график функции y = xi. у = хп (п — любое нечетное число) — кривая, расположенная впер- вой и третьей четвертях симметрично относительно начала коорди- нат (в силу нечетности функции). По виду график напоминает гра- фик функции у = х3. б) Пусть р —целое отрицательное число, р = — п. Тогда имеем дробно рациональную функцию у = х~п = -^. Она существует для 65
Ул Рис. 30. всех х-=^0, то есть на промежутках (—оо, 0) и (0, ф-оо). Ее гра- фиками будут (рис. 31): i/ = j (п = 1) —гипербола. Расположена в первой и третьей четвертях и в силу нечетности функции сим- метрична относительно начала координат. Как видно из чертежа, биссектрисы координатных углов у = х и у — —х будут также осями симметрии. у = ^ (п = 2) — кривая, расположенная в первой и второй четвер- тях симметрично относительно оси OY. X _ / у х* 58
у=^(п — 3)— кривая, расположенная в первой и третьей чет- вертях симметрично относительно начала координат. у —i (п—любое четное число) — кривая, расположенная в первой и второй четвертях симметрично относительно оси 0Y. По виду гра- фик похож на график функции У=±у- У=~Ап— любое нечетное число) — кривая, расположенная в пер- вой и третьей четвертях симметрично относительно начала коорди- нат. По виду график похож на график функции У — уу- в) Пусть р, —положительное дробное число, то есть у — где т и « — натуральные числа, не имеющие общих множителей. Тогда т имеем функцию: у — хп —у хт. При этом будем считать, что при извлечении корня четной степени из положительного числа берется его арифметическое (положительное) значение. При нечетном п под- коренное выражение может быть любого знака. Следовательно, областью существования будет (—оо, 4-оо). При четном п число т будет нечетным и корень будет иметь вещественные значения только для x2s=0. Следовательно, в этом случае областью существования будет [0, 4-со). Рассмотрим частные случаи функции вида у-у^х”1. Функция у = у/Гх (т=1) является обратной функцией по отноше- нию к функции у = хп. Следовательно, графики функций у--уг х при различных п симметричны относительно биссектрисы у = х гра- фикам функции у = хп при соответствующих п. На рисунке 30 они изображены пунктирными линиями. П г-—— Функция у— у хт при нечетных п и т будет нечетной и ее гра- фик расположится в первой и третьей четвертях симметрично отно- сительно начала координат. Если п нечетное, а т четное, то функ- ция будет четной и ее график будет симметричен относительно оси OY, располагаясь в первой и второй четвертях. Наконец, если п четное, а т нечетное, то функция определена только при хУэО, а ее график расположится в первой четверти. Заметим также, что поведение графика функции у=уГхт еще существенно зависит от того, будет ли ^->1 или 1 (рис. 32). г) Пусть ц —отрицательное дробное число, ц = — Тогда функ- ция представится в виде 57
т и п- печетн. т- печати т-четп , п-нечетн о -чети. Рис. 32. Задачу построения графиков таких функций при различных п и т можно значительно облегчить, используя построенные графики для функций вида у = угхт. В каждой точке х ордината функции равна обратной величине ординаты функции у=угхт. у7хт Общий вид графиков функций у = Дан на рисунке 33. /Ри В случае иррационального ц необходимо сначала определить, что следует понимать под символом х" Этим мы займемся несколько позже, после ознакомления с понятием предела и непрерывности функции (см. § 8, гл. IV). Рис. 33. 53
2. Показательная функция где а —любое положительное вещественное число (случай, когда д=1, обычно не рассматривается, так как не представляет ника- кого интереса). Однако следует иметь в виду, что мы еще не дали определения степени с иррациональным показателем. Когда это определение будет дано (§ 8, гл. IV), мы увидим, что показательная функция ах определена при всех х, то есть областью существования показа- тельной функции является вся числовая ось (—оо, ф-оо). На рисунке 34 изображены графики показательной функции у=ах при различ- ных а. Характерной особенностью показательной функции является то, что она нигде не обращается в нуль, каково бы ни было число а>0. Иначе говоря, гра- фик показательной функ- ции нигде не пересекает ось ОХ. 3. Логарифмическая функция У~ loga где а —любое положитель- ное число (отличное от 1). Поскольку нуль и от- рицательные числа лога- рифмов не имеют, то об- ластью существования ло- гарифмической функции будет (0, ф-оо). Логариф- мическая функция по оп- ределению является обрат- ной по отношению к пока- зательной функции. По- этому ее график легко представить по графику показательной функ- ции. На рисунке 34 график логарифмической функции изображен пунктирной линией. 4. Тригонометрические функции z/ = sinx, у = cos х, i/==tgx, z/ = ctgx, y = secx и y — cosecx. Здесь аргумент х — числовая переменная, которую вовсе не обяза- тельно изображать в виде угла или дуги окружности. Однако под значением тригонометрической функции от числовой переменной х понимают значение той же тригонометрической функции от угла, радианная мера которого равна х (рис. 35 и 36). Характерной особенностью тригонометрических функций явля- ется их периодичность. Функции tg х и etg х имеют период л, а 69
Рис. 35. остальные четыре функции - период 2л. Областью существования для функций sinx и cos х является вся числовая ось ( — оо, ф-со). - , sin х 1 Функции tgx —------ и secx =---- существуют для тех значении х, при которых cos х #=0, то есть для x^=[k-\~^n, а функции ctgx=||f и cxxsec х==------ существуют для x=/t=kn(k=Q, ±1, ±2, нн 3,.. 5. Обратные тригонометрические функции i/ = arcsinx, //---arccosx, у=ardgx и у —arcctgx. Рассмотрим функцию z/=sinx. Она определена на (— оо, ф-сю), и ее значения сплошь заполняют отрезок [—1, ф-1]. Это значит, что для любого у.. из [—1, +1] найдется такое хй, что sinx0 = i/0. В силу периодичности sinx множество значений х, удовлетворяю- щих уравнению sinx = z/0, будет бесконечным. Таким образом, обратная функция для sin х является многозначной функцией с об- ластью определения [—1, ф-1] и областью значений (—оо, ф-сю). Эту обратную функцию обозначают х = Aresing или в обычных обозначениях аргумента и функции у — Arcsinx. Использование такой функции затруднительно из-за ее многозначности, так как Рис. 36. 60
неизвестно, какое из многих значений следует в том или ином случае брать. Чтобы этого избежать, выберем такой промежуток на оси 0Y, чтобы в этом промежутке каждому значению аргумента х из [—1, +1] соответствовало одно и только одно значение у. Так как при изменении х от —у до -фу функция y = sinx по одному разу принимает все значения от —1 до +1, то каждого значениях из [—1, -ф 1J выделить то значение z/ = Arcsinx, которое содержится в про- межутке —у, Такие значения Arcsinx называются главными значениями и обознача- ются arcsinx. Функция у— arcsinx является однозначной функцией на [—1, -ф1], обратной для функции y = sinx, если последнюю считать заданной только на [ — у, +yj. Ее графиком является часть кривой у — Arcsinx, выделенная на рисунке 37 сплошной линией. Чтобы получить график функ- ции z/==arcsinx, достаточно зеркально отобразить в биссектрисе первого и третьего координатных углов график функции i/—-sinx, рассматривае- мый на отрезке л 'У' -ф у . Это достигается по- воротом чертежа на 180° вокруг вышеуказанной биссектрисы. Все остальные значения функции у = Arcsinx можно получить с помощью формулы Arcsinx = ==kn -ф (— l)ft arcsin x, где k = 6, ± 1, ±2, ± 3, .... Аналогичным образом определяется многознач- ная функция у — Arccos х как обратная по от- ношению к функции у — cosx. Ее значения из промежутка [0, л] называются главными значе- ниями и обозначаются arccos х. График функции у—Arccos х изображен на рисунке 37. Его часть, условились для \ X Рис. 37. соответствующая функции у — arccos х, выделена сплошной линией. Все остальные значения арккосинуса выражаются через главные значения следующим образом: Arccos x = 2kn ± arccos х, где k = Q, ±1, ±2, ±3, ... Функция z/ = Arctgx является обратной по отношению к функции y=tgx. Так как последняя принимает все значения из (— со, -ф сю), то и областью определения функции r/ = Arctgx будет вся ось ( —оо, -фоо). В силу периодичности tgx каждому значению у соответствует бесконечное множество значений x = Arctgr/. Следова- тельно, функция z/ = Arctgx является также многозначной. Ее значе- ния из промежутка у, называются главными и обозначаются 61
г/= arctg х. Все остальные значения Arctg х могут быть вычислены по формуле Arctg х = arctg хф-&л, где & = 0, ± 1, ±2, ±3, ... График функции y = arctg х (рис. 38) получается уже известным нам способом построения графиков обратных функций. Областью ее определения является (— оо, ф-оо), а областью значений / JT . «п \ \ Т’ +'2/- Аналогично, многозначная функция г/= Arcctg х определяется как обратная по отношению к функции z/ = ctgx. Ее главные зна- чения составляют интервал (0, л) (рис. 38). Все значения Arcctg х выражаются через главные значения следующим образом: Arcctgх —arcctgx-ykn, где k = 0, ±1, ±2, ±3, ... Из определения обратных тригонометрических функций следует, что sin (arcsin х) = х, cos (arccos х) — х, tg (arctg х) = х, ctg (arcctg x)=x. И так как cos — arcsin xj — sin arc sin x, ctg i у — arctg xj = tg arctg x=x, arcsin x=< ,-r, 0 < у — arctg x < л, TO arccos x = y —arcsin x и arcctg x = у —arctg x. Далее, пользуясь формулами связи между тригонометрическими функциями, получим: sin arccos х= V1 -—cos2 arccos х —К 1 — х2, cos arcsin х — К1 — sin2 arcsin х = ]К1 — х2, . sin arcsin х х tg arcsin х ------------— -у— cos arcsin x У 1—X2 Учитывая, в каких четвертях находятся главные значения arcsin х и arccos х, легко проверить, что во всех трех формулах следует брать положительное значение радикала. Если над простейшими элементарными функциями производить различные арифметические действия, то будем получать новые функции. 6. Целая рациональная функция, или многочлен, у=== а,}хп -ф- а1хп 2 -ф- а.гх 2 -ф-... ф- а.п_уХ -ф- ап, где п — любое натуральное число, указывающее на степень много- члена, а ай, alt аг, ..., «„ — любые вещественные числа —коэффи- 62
циенты многочлена (а0 0). Эта функция названа так потому, что получается в результате только рациональных действий сложения и умножения над аргументом х и постоянными а0, аг, а2, ап. Как легко видеть, областью существования целой рациональной функции является вся числовая ось (— оо, -|-оо). Рассмотрим несколько частных случаев. а) Если п=1, то имеем многочлен первой степени, или линейную функцию: г/ = йох4-с1- При любых значениях коэффициентов с0 и аг графиком этой функции будет прямая линия (рис. 39). В частности, у — х(ай— 1, ах = 0)— уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов. График функции y = aQx (ах = 0) — прямая, проходящая через начало координат. Для каждой точки отношение ординаты к абсциссе равно а0. Число а0 есть тангенс угла между этой прямой и поло- жительным направлением оси ОХ. Его иначе называют угловым коэффициентом прямой. График функции у = аох + а1 — прямая с угловым коэффициен- том ай, пересекающая ось ординат в точке ах. Эту прямую можно получить параллельным сдвигом на । аг \ единиц прямой у = айх вдоль оси OY вверх (при ах>0) или вниз (при ах<0). б) Если п — 2, то имеем многочлен второй степени, или квадра- тичную функцию: У = а0хъ-}-а1х-\-а2. (1) Покажем, что при любых значениях коэффициентов а0, ах и а2 графиком этой функции является парабола, но ее расположение на плоскости зависит от этих коэффициентов. Нач- нем с более простых слу- чаев. §3
При a0=I> fli = a2 = 0 имеем степенную функцию: у=х2. Ее графиком, как упомянуто выше, является парабола, симметричная относительно оси 0Y, направленная вверх и проходящая через начало координат (см. выше рис. 30). Точка (0, 0) пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. При произвольном а0 и ax = a2 = 0 имеем функцию: у = аах2. Ее график есть также парабола, симметричная относительно оси OY, проходящая через начало координат (рис. 40). Однако направление ее зависит от знака а0. Парабола направлена своими ветвями вверх при ао>0 и вниз при а0<0. Абсолютная величина сказывается на степени «расхождения» ветвей. Чем меньше | aQ |, тем ветви больше «расходятся», как это видно из рисунка 40. Вершина па- раболы у — а0х2 по-прежнему в точке (0, 0). Рассмотрим функцию у — a0x2-|-d (то есть полагаем в (1) 01 = 0, a2 = d). Ее графиком является парабола, получающаяся из графика параболы у = айх2 сдвигом на | d | вверх (при d>0) или вниз (при d<0) (рис. 41). Соответственно и вершина перемещена в точку (0, d). Направление и ось симметрии остаются такими же, как и у параболы у=айх2. Рассмотрим теперь функцию у/= (л*- с)2- с/. Легко убедиться, что ее график получается из графика функции y=o0x2 + d сдвигом на |с| вправо (при с<0) или влево (при с>0) (рис. 42). Это есть также парабола, симметричная относительно прямой х=—с. Ее ю квадратичной функции (1). Ее можно преобразовать к виду у —а» (x-i-c)2-|-d. (2) в точке общему вершина находится Возвратимся к У" X у-- '8 ’10 64
Действительно, так как по условию а„ 0, то // = @1Х Н" = @0 " Г" х ~Ь • К трехчлену, находящемуся в скобках, применим известный способ выделения полного квадрата суммы двух членов. Рассматривая № как квадрат первого члена (отсюда вытекает, что первым членом будет х'), а — х как удвоенное произведение первого члена на вто- рой ^отсюда заключаем, что произведение первого члена на второй равно х и вторым членом будет , получим: 17 г । М2 , («з «Ц1 л «Л2 , 4аоа2-а? У~ 0|АХ + '2а~) У~а°\ +^J +~45Г~- • Положив в последнем выражении ^=си 4a,>a^-ai = d, получим (2). Следовательно, можно утверждать, что квадратичная функция (1) представляет собой параболу, симметричную относительно прямой х — —4*- и направленную вверх (при а0>0) или вниз (при а0<0). Вершина этой параболы находится в точке ( — . - в) Если п — 3, то имеем многочлен третьей степени, или куби- ческую функцию, у == аих'л + щх? 4* а2х Ц- а.л. В частности, график у = х? (а0=1, а1 = а2 = а3 = 0) —кубическая парабола, рассмотренная нами выше. . , 3 Бохан и др, 65
Можно было бы провести более глубокое исследование много- членов различных степеней. Однако теми средствами, которыми мы сейчас располагаем, это сделать затруднительно. Средства матема- тического анализа "значительно облегчат эту работу. 7. Дробно-рациональная функция а°хП+а1ХП1+а2*”~2 + +an_ix+ап У ЬйХт + Ь1Х^ + Ь2>ст~* +... + Ьт_лх+Ьт (й0 #0, Ьо # 0), то есть функция, представляющая собой отношение двух многочленов. Область существования ее составляют все точки х, не являющиеся корнями знаменателя. Нами уже рассмотрен частный случай дробно-рациональной функции у—-^. К рассмотрению осталь- ных случаев вернемся также после изучения дифференциального исчисления. Рассмотренные нами элементарные функции будут неоднократно встречаться в дальнейшем. Сведения о них, данные здесь в порядке первого знакомства, будут постепенно пополняться новыми резуль- татами исследования. Можно получать новые функции и так называемым способом наложения (или суперпозиции). Этот способ состоит в том, что вместо аргумента некоторой функции подставляется новая функция от другого аргумента. Например, наложение функций г = у* и y = sinx дает функцию z = siirx. С другой стороны, функцию //-= lg:l (2л'2-у 5)''« можно рассматривать кал результат наложения функций: y=zs, z = \gu, и~Уv и v = 2x2 + <5. Функции, получаемые из более простых функций способом нало- жения, обычно называют сложными функциями. В первом из наших примеров z есть сложная функция от х. Переменная у в этом примере играет роль промежуточной переменной, так как она является функцией по отношению к х и аргументом по отношению к z. Во втором нашем примере у есть сложная функция от х, причем зависимость у от х осуществляется посредством уже трех промежуточных переменных: г, и и V. В общем виде, если на [а, Ь] определена некоторая функция г = ф(х) с областью значений, составляющей [с, d] (то есть c«£z=^d), и на [с, d] определена некоторая функция y = f (z), то у будет сложной функцией от х, a z—промежуточной переменной. Сложную функцию можно записать так: f [<р (х)]. Если у=Д(х), где х = ф(0 и /=ф(н), то сложная функция у от и запишется в виде y=f {ф [ф(и)]}. ' Заметим, что введение термина «сложная функция» относится лишь к способу задания функции. С его помощью можно более обозримо описать функциональную зависимость. К самой же при- роде функциональной зависимости этот термин никакого отношения не имеет. Одну и ту же функцию можно рассматривать и как непосредственно заданную, и как сложную. Например, функцию i/ = tg3x можно считать и сложной, полагая ^ = tg«, где и = 3х. 66
Все функции, получаемые из простейших элементарных функций путем четырех арифметических действий или наложений, последо- вательно примененных конечное число раз, составляют так назы- ваемый класс элементарных функций. Например, у = lg3 arctg 2Т<Л +sin3x. 8. Функция f (х) = |х| (рис. 43) тоже относится к числу элемен- тарных. Она получается с помощью наложения простейших эле- ментарных функций по формуле = Y>' Если же воспользоваться определе- .Z нием абсолютной величины, то можно / записать, что / ( х при х5?0, / f (х) = X .........* - ......... Шиг„ ( — х при х<0. - О х Эта функция определена на всей оси (— ОО, -фоо). Существуют также функции, кото- Рис- 4,3. рые нельзя выразить через простейшие элементарные функции вышеуказанным способом. Про такие функ- ции говорят, что они не выражаются через элементарные функции в конечном ви£е. С ними мы познакомимся в дальнейшем при изу- чении рядов и интегралов. В заключение параграфа снова вернемся к вопросу о построении графиков функций. Если дана какая-то функция //-- /’(л'), то, прежде чем приступить к построению ее графика, следует выяснить вопрос о ее четности и периодичности. Как уже отмечалось раньше, это может значительно сократить работу. Иногда при построении графиков функций можно использовать уже известные графики. Так, если график А функции y — f(x) построен, то различными передвижениями и деформацией его можно получить графики многих других функций (рис. 44). а) График функции г/ = /(л' + а) получается сдвигом графика А параллельно оси ОХ на единиц вправо (при а<0) или влево (при а>0). б) График функции у=) (x) + b получается движением графика А параллельно оси 0Y на \Ь\ единиц вверх (при й>0) или вниз (при b < 0). в) График функции y = kf(x) (&>0) получается из графика А умножением ординат всех точек графика А на число k. Это будет либо так называемое растяжение ординат в k раз (при k> 1), либо сжатие в раз (при £<1). г) График функции y=f(kx) (Л>0) получается как бы сжатием или растяжением (к оси OY) графика А в направлении, парал- лельном оси ОХ. Абсциссы всех точек уменьшаются в k раз (при 3* 67
Рис. 44. Л>1) или увеличиваются в у раз (при А<1), а величины соот- ветствующих ординат сохраняются. д) График функции f(x)+g(x) получается добавлением в каждой точке к ординате функции f (х) соответствующей ординаты функ- ции я(х). Пример 1. Построить график функции z/ = 3cos(2х-(-1) путем движения и деформаций графика функции y — cosx. Предположим, что график функции y — cosx уже построен. Измеряя ординаты отдельных точек графика этой функции и увеличивая их в три раза, получим точки графика функции p = 3cosx. Если затем абсциссы всех точек полученного графика уменьшить в два раза, не меняя ординат, то получим график функции {/ = 3 cos2x. Так как cos(2x-|-l)=cos2 (x + yj, то, двигая график функции у — 3 cos 2х параллельно оси ОХ влево на 1 >2 единицы, получим искомый гра- фик (рис. 45). Пример 2. Построить на одном чертеже графики следующих функций: f(x) = 2x, g(x)=2 —4х, f(x)+ +g(x), fw— g(x), f(x+2), g и g (2x). Сначала строим обычным спо- собом по точкам графики функций f(x) — 2x и g(x) — 2 — 4х. Для построения графиков функций f (х) + g (х) и f (х) — g (х) воспользуемся тем, что ординаты последних в каждой точке х рав- ны соответственно сумме и разно- сти ординат графиков функций 68
Рис. 46. f(x) и g (х) в той же точке. На чертеже точки графиков функций Г (х) -ф g (х) и f (х) — g (х), соот- ветствующие различным абсциссам х, могут быть отмечены либо после вычисления соответствующих ординат, либо непосредственно с помощью чер- тежных инструментов. График функции / (х-ф2) получается сдвигом графика функции f (х) влево на две единицы. (X \ получается «растяжением» графика функции g (х), то есть если, сохраняя ординаты графика функцииg (х). абсциссы увеличить в два раза. График функции g(2x) получается «сжатием» графика функции g (х), то есть если, сохраняя ординаты графика функции g (х), абсциссы уменьшить в два раза. На рисунке 46 изображены графики всех этих функций. Пример 3. Построить графики функций: a)f/ = lg|x|; б) y = sin х |-' sin х |; в) у = I х-ф2 |. а) Строим сначала график функции j/=lgx. Так как для х>0 будет |х|=х и Ig|x| = lgx, то график функции y = lg|x| на положительной части оси (0, -фею) совпадает с графиком функции p = lgx. Поскольку для любого xrZ:0 имеем | —х| = ]х| и 1g х | = 1g | х то функция 1g | х | является четной. Следова- тельно, ее график симметричен относительно оси OY. Воспользовавшись этим, достраиваем часть графика функции p==lg | х|, соответствующую значениям х<0 (рис. 47). б) Строим сначала график функции </ = smx. Так как ( sinx при sin х 2s О, I sin х | — { (— stax при stnx<0, {2 sin x при n „„„ и при sin х 3:0, sin x<0. 69
Удваивая неотрицательные ординаты графика функции у = sin х и принимая у = О в точках, где sinx<0, получим график функции j/ = sin х+| sin х | (рис. 48). в) Строим график функции y — x-^l. Так как ( х + 2 при х4-2э=0, т. е- при хэ=—2, I — (*4-2) при х + 2<0, т. е. при х< —2, то график функции у = |х4-2| на [ — 2, +со) совпадает с графиком функции j/==x+2, а на (— оо, —2) получается симметричным отображением последнего относительно оси ОХ (рис. 49). Вопросы для самопроверка и упражнения 1. Построить графики степенной функции у~хп при: а) п=1, 3, 5; б) п = 2, 4, 6. 2. Построить графики степенной функции у — хп при: а) и---— 1, —3; б) —-2, —-4. 3. Построить графики функции т — у=>у xk при: а) гн-~2, б) г; = 4, А»«1; в) ж —3, А —1; г) /н--5, А*=1; д) 2, А---3; е) /п = 3, А = 2; ж) т«=4, А==2; з) т — 3, £ — 4. 4. Построить графики функций: a) t/=lg( —х); б) у— — 1gх. 5. Построить графики функции // = ?1cosx при А =2, — 2, —1, 3. 6. Построить графики функций: а) //—-2 б) i/ = | sin х |; в) у = sin |х г)^ = |х3—1J. 7. Зиая график функции y=f(x), построить графики функций: a) y=—f(x); б) у=[/(х)|; в) р--/( —х); г) y^-f(x). 8. Построить графики следующих функций: f(x) = |x| — х, g(x) = | х ,4-х, (X \ •у). Построение выполнить на одном чертеже. 9. Путем движения и деформации графика функции t/ = sinx получить гра- фик функции у = 2 sin (3x4-2). 10. Можно ли из функций и usinx составить функцию способом наложения? Оте. Нет. 11. Определить целую рациональную функцию 2-й степени по условиям: I (1)=0, /(2) = 3 и /(0) = 1. Указание. Написать в общем виде целую рациональную функцию 2-й сте- пени f (х) — ах'~-^Ьх-1-с. Затем, используя условия задачи, найти а, b и с. 12. Из каких простейших элементарных функций с помощью наложения могут быть получены следующие функции: а) у = sin2 Зх; б) г/==/(х4-2)3; в) у = а1 arccos8*s; X — 1 г) У" 1g v2 , ,; д) z/ = cos2 sin2x2; е) y = x” (lg х-|-1)8? л* —J— 1
ГЛАВА HI ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Начало изучению понятия предела положено в средней школе. Там с помощью предельных переходов определяется длина окруж- ности, площади боковых поверхностей и объемы цилиндра и кону- са, площадь поверхности и объем шара. Понятие предела исполь- зовано также при определении суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Здесь нам предстоит изучить теорию предела на более общей основе, с необходимой глубиной и стро- гостью, что позволит расширить круг приложений теории пределов к решению теоретических и практических задач. Понятие предела вместе с понятием функции составляют основу математического анализа. Все остальные разделы курса так или иначе используют теорию пределов. § 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Пусть каждому натуральному числу п сопоставлено веществен- ное число, обозначенное х„. Тем самым нам заданы некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: хх имеет номер 1, х.,-—номер 2, и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность: Xj, Х2, Хд, ..., Хя, ... (1) Числа, составляющие последовательность, называются ее чле- нами, а хп—общим или п-м членом последовательности. Из способа образования числовой последовательности видно, что характерным для каждой последовательности является уста- новление порядка следования чисел в ней: для любого п число xn+i следует за числом хп, а хя предшествует хя+ь Что же касается значений этих чисел, то xn+i может быть больше, меньше и рав- но хп. Если в данной последовательности изменить порядок сле- дования членов, то получим уже другую последовательность. Так, например, числовые последовательности 2, 4, 6, 8, 10, 12...2п, 2п-\-2, ..., 4, 2, 8, 6, 12, 10, ..., 2п + 2, 2п, ... являются различными, хотя и состоят из одинаковых чисел. 71
В отличие от числового множества, у которого все элементы различны, числовая последовательность может иметь среди своих членов и одинаковые. Иначе говоря, множество чисел, из которых составлена та или иная последовательность, может быть беско- нечным, конечным и, в частности, может состоять даже из одного элемента, например: а, Ь, а, Ь, а, Ь, а, Ь, , (2) а, а, а, а, а, а, ..., а, а, ... (3) Числовая последовательность (1) считается заданной, есла указано правило или закон, с помощью которого по номеру места в последовательности всегда можно назвать число, стоящее на этом месте. Таким образом, числовое зна- чение члена последовательности хп зависит от п, то есть является функцией от п. Сама числовая последовательность может рассмат- риваться как функция, заданная на совокупности всех натураль- ных чисел (функция натурального аргумента). С другой стороны, если задана функция натурального аргумента f(n), то ее значения x„ = f(n) образуют числовую последовательность. Так, если f (п)= , то, давая в равенстве xn = -^~j переменной п натураль- ные значения 1, 2, 3, .... получим последовательность: 12 3 п ... jq——-g-, xa —..., — , ... (4) 14-(— 1)" ’ Общим членом x„ = ——— задается последовательность О, 1, 0, 0, |, 0.....1...................... (5) а последовательность 2, 4, 8, 16, 32, .... (6) состоящая из степеней числа 2 (с натуральным показателем), имеет общий член х„ — 2". Последовательность (3) может быть задана об- щим членом хп = а, а выражение общего члена последовательности (2) может быть дано в виде ( а, если п — нечетное, Ха~~ \ Ь, если п — четное или xn^[a + b + (-l)n(b-a)]. Перейдем теперь к основному в математическом анализе понятию предела числовой последовательности. Определение. Число а называется пределом числовой по- следовательности (1), если для любого сколь угодно малого положи- тельного числа е можно указать такое натуральное число N, что 72
для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство \хп—а\<в. (7) Иначе говоря, число а будет называться пределом последователь- ности (1) в том случае, если, какое бы малое положительное чис- ло е мы ни взяли, абсолютная величина разности — а, начиная с некоторого п, станет и при дальнейшем возрастании п останется меньше этого е. Тот факт, что последовательность (1) имеет своим пределом чис- ло а, обозначается так: limxn = a или хп->-а (lim есть сокращенное обозначение латинского слова limes, означа- ющего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют последовательностью, сходящейся к а. Остановимся подробнее на выяснении понятия предела, исходя из его определения. Прежде всего заметим, что величина N зави- сит от того, каково е, которое мы выбираем по произволу. Чем меньше е, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением явля- ется случай, когда последовательность состоит из одинаковых чле- нов. Например, последовательность (3) имеет пределом число а, и неравенство (7) выполняется для любого п, какое бы е>0 мы ни взяли. Совершенно очевидно, что если и неравенство |х„—йР<е выполняется прн всех n>Nt, то оно подавно будет выполняться и при п>Л/2. Рассмотрим несколько примеров. Показать, что последовательность (4), своим пределом число I. заданная общим членом 1 ----[—г, ТО для оты- Л-р 1 е, достаточно решить Пример 1. п х„ =——J-, имеет « n-f-l ’ Itl ................................................___ I л-р1 скания значений п, удовлетворяющих неравенству | хп — 1 I ।е неравенство ——г < е. Получим: п >--------. Следовательно, за можно взять fl 1 с „ 1 —е „ /1 — е\ ~ наибольшее целое число, содержащееся в -----, то есть Е[----- . Тогда нера- 8 \ 8 / венство I хп~ 1|<е будет выполняться при всех n^>N. Если окажется, что £ I—-—^0, то N можно взять равным 1. Поскольку е брали произвольно, то этим и доказано, что 1 есть предел последовательности (4). В частности, если |, если e = i, то N = E 8 = 0,01, то У = £ ~ 2 \ -j— = 1, и т. д. Вы- ч 2 / вранные таким образом N для различных значений е будут наименьшими из воз- можных. Пример 2. Показать, что числовая последовательность с общим членом *я = (— 1)” не имеет предела. 73
Эта последовательность имеет вид: -1, +1, -1, +1, ... (8) Будем вести рассуждение от противного. Предположим, чю данная последователь- ность имеет пределом некоторое число а. Это значит, что для любого е > 0, в частности и для е= , найдется такое N, что \хп— а‘,С % Для п> X. Посколь- ку хп принимает попеременно значения 1 и — 1, то должно быть । 1—а|< g и К— 2- Тогда получим: 2=j 1-а + а-(_ 1)1 1-а| + |а —(— 1)| <| + 1 = 1, то есть 2 < 1, чего быть не может. Для доказательства того, что некоторое число а не является пределом заданной последовательности, достаточно убедиться, что не все требования, сформулированные в определении предела, вы- полнены. Действительно, по определению предела, как известно, число а будет в том случае пределом последовательности х2, хя, ..., х„, .... если для любого £ > 0 найдется такое .V, что для всех п>Х выполняется неравенство х„ — а|<е. Допустим, что а не является пределом данной последовательности. Выясним, что это означает (обращаем внимание читателя на логическую цепь после- дующих заключений). Из нашего допущения следует, что нельзя для любого е>0 найти соответствующее N (то есть такое (У, чтобы при п> X выполнялось неравенство хп — а|<е). Иначе го- воря, существует хоть одно такое е = е0> 0, для которого соот- ветствующего N найти невозможно; какое бы натуральное число за N мы ни взяли, неравенство \х„ — a\<Ze0 не будет выполняться для всех n>N- Это в свою очередь означает, что найдется по крайней мере хоть одно значение n = nu>N, для которого В частности, если найдется такое число те>0, что I х„—« ' ш. при всех п, то а не может быть пределом данной последовательно- сти. Действительно, взяв е0==+т (е0>С), будем иметь )хл — о не только для некоторых, но и для всех ч. Пример 3. Доказать, что число не является пределом последовательно- ’сти, заданной общим членом хп 3/1 + 2 5п— 1 ‘ Оценим снизу абсолютную величину разности 3/1 +2 2 v—!—г — v. Имеем: 5га — 1 5 I Зп + 2 2 1 I 5п+12 1 1 5п+12 1 |5n—1 5 I ~ I 5 (5/1—1) | 5 ' 5га—1 > 5 , 5«+12 , „ 1 (так как -=—!—— > 1 при любом га). Следовательно, если взять е0< — то 0/1 ““ 1 о |Зп + 2 2| 15/1-1 5|>е° при всех значениях га, и уж, конечно, искать W в соответовии с определением 74
1 5 (9) л ТЛ 2 предела бессмысленно. Из полученного неравенства сразу следует, что число -g- не является пределом данной последовательности. Пример 4. Показать, что последовательность 1 11 7 Зп-1 3 ’ 11’ 2 ’ 21’ 13’ ‘" ’ 5п+1’*'* 3 имеет своим пределом число Возьмем любое е > 0. Так как I 3 | I Зп—1 3 | 8 Г" 5 | ~ |5п+1 — 5 I ~ 5(5«+1)’ 8 8 —5е то из неравенства =—=—< е получим, что п> , то есть достаточно с !8 — 5е\ I 3 I взять N~E I....2д~~1 и тогда х„—5| < 8 ПРИ п> N. Если, например, е = 0,1, ,, „/8— 0,5 \ „ „ „. . „/’8 — 0,2 \ то n = E — 3; если е = 0,04, то N = E —;---------- =7, и т. д. \ 2,5 / \ 1 ] Пример 5. Рассмотрим последовательность 1, q, q\ q3, ..., qn, ..., (10) представляющую собой геометрическую прогрессию со знаменателем q. Покажем, что эта последовательность сходится к 0 при | q | < 1. Действительно, неравенство </” —0 <е равносильно неравенству | q |п < е. Логарифмируя последнее, получим: Ige (знак неравенства изменился на обратный из-за того, что мы делили на lg | q | < 0), Следовательно, для любого е соответствующее число М = 4—fe-т) • Пример 6. Показать, что последовательность с общим членом хп сходится к нулю. Эта последовательность имеет вид: Л п 2 9 2 2, 0, -Х-, 0, 4, 0, 4, о О ( 1-(— 1)" п (11) |1__(_1)Л I I 1-(_ 1)«| 2 2 Гак как ---——— — 0 = ------— и неравенство — < е (где е —про- извольное сколь угодно малое положительное число) равносильно неравенству п> -, то, взяв N = Е(—), мы получим: |хл —0|<е при n>N, то есть —0. Обратимся теперь к геометрическому истолкованию предела числовой последовательности. Числовую последовательность (1) можно рассматривать как после- довательность точек прямой. Точно так же и о пределе можно гово- рить, как о точке на прямой. Так как неравенство |хп—а\<ъ рав- носильно неравенству— е<хл—а <е, которое, в свою очередь, равносильно такому: а — е<;х„<а-{-8, 75
о-t a-t’ o + t' a + t * / / & ' -----,—/ ( .... 1 _-----------,—♦ Z? Л2 '*6---------------------------------------*7 *л 1 Xs / Xj X Рис. 50. то определение предела можно сформулировать и так: точка а будет пределом последовательности точек (1), если, какую бы окрестность (а — е, йфв) точки а мы ни задали, найдется такое число N, что все точки последовательности (1) с номерами п > N попадут в за- данную окрестность (рис. 50). Вне этой окрестности может оказаться разве лишь конечное число точек х1( х2, х3,..., Xn. Если взять е'<8, то окрестность (а—s', a-f-e') будет также меньше окрестности (а —е, а-4-s). Следовательно, в нее попадут точки последовательности, вообще говоря, начиная с более высокого номера. Общий член хп последовательности (1) представляет переменную, принимающую эту последовательность значений. Поэтому предел по- следовательности (1) называют также и пределом переменной хч. Выражение общего члена последовательности есть одновременно и аналитическое представление переменной хп как функции от п. 2Л Так, например, хя = можно рассматривать и как переменную, принимающую последовательно значения 2 4 8 16 2я 3 ’ 5’9’17* •••’ 2"-М ’ и как выражение общего члена этой последовательности. Отсюда обозначение limx„ = a можно рассматривать и как предел перемен- ной хп, и как предел последовательности значений этой переменной. Пример 7. Показать, что переменная хп~—имеет своим преАелом 1. Возьмем любое е>0. Так как I 2и + 1 I 2” 11=1 4--!— 1=1 ' 2” I 2Л ’ о-о неравенство —™--------1 < е равносильно неравенству < е. Отсюда 2Л ^> 11 /, 1\ 1 1 ° е I “ g I I2п । 1 > g . п 1g 2 > 1g — и Если взять N = Е 1™ ~-------1 <«- I 1 для n^>N. А это и значит, что Нт—~—= 1. 76
Кроме рассмотренного, существуют и другие способы задания последовательности, например способ рекуррентных зависимостей. Последний состоит в том, что указывается, какие действия нужно произвести над уже вычисленными членами последоватечьности (всеми или несколькими), чтобы получить следующий член. Так, если дана рекуррентная зависимость ап+1 = (л+1) а„, где п=1, 2, 3, ... и начальный член ^ = 1, то последовательными действиями можем вычислить любой член: (/1=1) а2 = 2 - аг = 2 1=2!, (п = 2) а3 = 3-а2 = 3 • 2! =3 2 • 1 =3!, (п = 3) at = 4 • а3 = 4 31 = 4!, и т. д. Следовательно, можно сказать, что данная рекуррентная зави- симость определяет последовательность факториалов *: 1!, 2!, 3!, ... , п!, .... где ал = п! В заключение параграфа заметим, что не все величины изме- няются таким образом, как рассмотренные нами переменные вида хп. Окружающая нас действительность дает больше всего примеров таких переменных, значения которых не могут быть занумерованы и представлены в виде числовой последовательности. Они изме- няются непрерывно, без скачков, то есть при переходе от одного своего значения к другому принимают и все промежуточные числа. Например, такими переменными являются: высота растения, атмосферное давление, скорость движения поезда, путь, пройден- ный автомобилем, и другие. К изучению таких переменных мы подойдем несколько позже, а пока ограничимся рассмотрением пе- ременных вида х.:. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Выпишите по пяти первых членов каждой из последовательностей, задан- ных их общими членами: a) х,, б) х„ = ^+1, в) хп = ———Ц Г) х„ = (—1)л п. 2. Напишите общий член последовательности, состоящей из положительных чисел, кратных трем и расположенных в порядке возрастания. 3. Составьте последовательность по следующему условию: an L--a„ -d. где at-—a, л = 1, 2, 3, ... Напишите выражение общего члена этой последователь- ности. 4. Составьте последовательность по следующему условию: а- ?- = q, где щ= ап = а, п—1, 2, 3, ... Напишите выражение общего члена этой последовательности. 5. Почему из определения последовательности следует, что она бесконечна, то есть бесконечно множество ее членов? 6. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, . 1 — 2л 2 „ , II — 2л '211. что hm -=——X = —=-. Начиная с какого п будет v~ | 5л+ 3 5 | 5л-|-3 \ 5 /1 5 * Напоминаем читателю, что факториал некоторого натурального числа л, то есть л!, есть произведение всех натуральных чисел от 1 до л включительно, л! = 1.2.3-...-л. П
7. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что ,. Зп-|-4 3 ,, 13/1 4 3 I _ ллл1^ lim _ = Начиная с какого п будет -=——« «£ 0,0001? 2п — 3 2 - | 2п —3 2 | 8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что пг 2 1 I л2 2 11 lim 7г-;—-х- = -Х-. Для каких значений п величина —w не превосхо- 2п2 + 3 2 I 2п2Н-3 2 I г 7, ДИТ 19? 9. Определить площадь прямоугольного треугольника ОАВ (рис. 51), огра- ниченного прямой у = -~х, осью ОХ и прямой х=а, рассматривая ее как пре- тельности. дел суммы площадей вписанных прямоугольни- а ков с основаниями— при п —сю. 10. Определить площадь криволинейного треугольника ОАМ, ограниченного параболой / х \2 ;/ = & — ( осью ОХ и прямой х=а, рас- сматривая ее как предел суммы площадей впи- а санных прямоугольников с основаниями -- _ ab при п —< сю. Оте. .у. 11. Составить такую ограниченную сверху последовательность, чтобы точная верхняя гра- ница не была членом этой последовательности. 12. Составить последовательность сегментов, стягивающихся к какой-нибудь заранее выбранной точке. 13. Привести пример ограниченной последовательности, не имеющей предела. 14. Дана последовательность точек xj, хг, х3, ..., хп, ... Объяснить геометри- ческий смысл того факта, что точка х0 не является пределом этой последова- 15. Доказать, что число 1 не является пределом переменной хп 1 1 16. Дана последовательность точек 3, 2, 5, 4, 0, у, 0, у, 0, 5п— 1 йп'+З’ у, ... Все точки этой последовательности, начиная с пятой, находятся в окрест- ности нуля (—1;-|-1). Почему из этого, однако, не следует, что точка нуль является пределом данной последовательности? § 2. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ Определение. Переменная величина хп называется беско- нечно малой, если она имеет предел, равный нулю. Следуя определению предела, можно сказать, что хп будет беско- нечно малой, если для любого сколь угодно малого е>0 найдется такое N, что для всех п > N выполняется неравенство | хп I < е. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная вели- чина хп, которая при своем изменении, начиная с некоторого но- мера п, становится и остается по абсолютной величине меньше любого наперед заданного числа е>0. 78
Необходимо различать термин «бесконечно малая величина» от выражения «сколь угодно малая величина». Бесконечно малая вели- чина по определению является величиной переменной. Когда же мы говорим, что «е есть любое сколь угодно малое число», то под этим понимаем, что е может быть выбрано произвольно, но после того, как его выбрали, оно становится определенным фиксирован- ным числом. Нельзя также думать, что все бесконечно малые величины обязаны принимать только «очень малые» значения. Характерным для бесконечно малой является не то, насколько малые значения она принимает, а то, что она имеет своим пределом число нуль. Так, например, переменная = 1001(Г2'г, принимающая значения ЮО8, ЮО6, ЮО4, юо2 1 — — — — , ’ ЮО2’ ЮО4’ 100® ’ ЮО8........... будет бесконечно малой, хотя ее отдельные значения сравнительно велики. Пусть переменная хп имеет своим пределом некоторое число а, тогда разность — а — ап будет бесконечно малой величиной, так как для любого 8>0 найдется такое N, что для n>N выпол- няется неравенство | ап | = |хл — а\ <е. Из последнего следует и обратное утверждение: если ап — бесконечно малая, то число а бу- дет пределом переменной хп. Таким образом, можно сказать, что всякую переменную хп, имеющую предел, можно предста- вить в виде суммы этого предела и бесконечно малой величины, хл=а + ал. Обратно, если переменную х„ удается представить в виде суммы некоторого числа и бесконечно малой, то это число будет пределом переменной х„. Отме- ченная нами связь будет часто использоваться при доказательствах многих теорем. Примерами бесконечно малой могут служить переменные хп= = Хп= — « , хл=-Ц^-, xn = qn при \q |< 1, и др. Бесконечно малыми также будут: амплитуда затухающего колебания маятника, длина стороны правильного вписанного в окружность многоуголь- ника (а также разность между его периметром и длиной окружно- сти) при неограниченном удвоении сторон. Пример 1. Показать, что хп = ----------— есть бесконечно малая. I i_| 1 Возьмем произвольное е>0. Из неравенства | хл | = == — < е полу- чаем п> —. Если взять N~e(— ), то для п > N будет | хп | <е. При е= 8 \ 8 У 1 4 /15\ = 10 получим: N = E (10) = 10, при e = yg получим: N = Ei —1 = 3, и т. д. А это (—1)л и значит, что х„=------— есть бесконечно малая. ’ " п Определение. Переменная хп называется бесконечно боль- шой величиной, если, какое бы сколь угодно большое число М мы 79
ни взяли, найдется такое натуральное число N, что \хп\> М для всех n>N. Иначе говоря, хп есть бесконечно большая величина, если при своем изменении, начиная с некоторого п, она становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед задан- ного положительного числа М. О бесконечно большой переменной х„ говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел, и пишут: хл-*оо или Нтхл = со. Последнее обозначение бесконечного предела услов- ное, так как знак равенства можно ставить между числами. Вообще в данном случае говорить о пределе в том смысле, как он опре- делен нами выше, нельзя, так как оо не представляет никакого числа. В связи с введением нового понятия — «бесконечный предел» — условимся предел в ранее определенном смысле называть конечным пределом. Пример 2. Пользуясь определением бесконечно большой величины, дока- зать, что хп — 2^п есть величина бесконечно большая. Возьмем произвольное положительное число М и решим неравенство. {хп\>- то есть неравенство 2^п > М. Предварительно его следует прологарифмировать. Получим у'« 1g 2 > 1g м И ‘К Возводя в квадрат обе части последнего неравенства, получим- п> -2-у) , ]g m2 -jg-g-l , то для всех п > N будет выполняться нера- венство хп ; >Л1. Так как М может быть любым сколь угодно большим числом, то согласно определению величина хп = 2^п будет бесконечно большой. Если бесконечно большая величина хп принимает значения одного знака (все или начиная с некоторого п), то в зависимости от знака ее называют положительной (и пишут: х„ оо) или отри- цательной (и пишут: х„-> —оо) бесконечно большой. Так, напри- мер, хп — п будет положительной, а х„ = —«—отрицательной беско- нечно большой величиной. Переменная хп = (— 1)" • п есть бесконечно большая величина, но ее нельзя назвать ни положительной, ни отрицательной, так как ее значения все время меняют знак. Укажем на важную связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами. Теорема. Пусть хп =£ 0*. Если хп — бесконечно большая, то уп — бесконечно малая; если хп—бесконечно малая, то уп--------бесконечно большая. Если теперь взять N 2: * 0 означает, что значения хп отличны от нуля при любом п. Таким обозначением будем пользоваться и впредь. 80
Доказательство. Предположим, что хп—бесконечно боль- шая. Возьмем произвольное е>0 и положим М=~. По этому М найдется такое N, что для n>N будет |хл| >М. Тогда |^я| — _ 12. ! = < 1 == е> т0 есть |уп। < е для п> N. А это значит, что есть бесконечно малая. Аналогичное доказательство второго утверждения теоремы предоставляется читателю. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что переменная величина хп = n-j-2 n2i-п является бесконечно ма- лой. Для каких значений п будет | хп | < 10 s? Покажите, что величина — хп является бесконечно большой. 2. Доказать, что переменная" величина хп — Зп является бесконечно большой. Для каких значений п будет | хп | > 5 000? Покажите, что величина — является хп бесконечно малой. / 3 \ Ош. п > Е 1 + . \ *8 5/ . . ,я 3. Доказать, что переменная хп — п' ' не ограничена, но не является бесконечно большой. В чем различие между неограниченной и бесконечно боль- шой величинами? 4. Может ли переменная стремиться к нулю возрастая? Приведите пример. 5. Приведите пример бесконечно большой величины хп, значения которой при возрастании п убывают. Как называется такая бесконечно большая? 6. Можно ли назвать бесконечно малой величину х„=0 при всех значениях ге? Ill 1 7. Дана числовая последовательность 1, 2, -х-, 3, —, 4, .... п, —, 2 0 4 rt Почему нуль не является пределом этой последовательности, несмотря на то что любая окрестность нуля содержит бесконечное, множество членов последователь- ности? Почему эта последовательность не имеет своим пределом оо, несмотря на то что, какое бы большое число /И мы ни взяли, найдутся среди членов последова- тельности большие по абсолютной величине, чем /И? § 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Из определения предела и примеров следует, что хп может различными способами стремиться к своему пределу. В примере 4 . Зге— 1 3 § 1 все значения переменной хп = =—-г- меньше ее предела -=-, Э/t -j- I 1 э . Зге — 1 Зге 3 так как =——г <=- = -=-, и хп+1>хп при любом п, так Ort -j— 1 Ort о кяк у _______ у ___ 3n-i-2 ___ Зге — 1 _ (5re-j- 1) (Зге4-2) — (5ге-|-6) (Зге— 1) _ Ля”1 5л + 6 5я+1 (5« + 6)(5ге4-1) “ = 7-..гА—гл > 0- Следовательно, в данном случае переменная х„ (Ort о) (Ort -j- *) стремится к пределу^ возрастая. В примере 7 § 1 все значения пе- 2Л -4-1 2^ I 1 2rt ременной хп= - больше ее предела 1, так как >2^=1, 81
2»+i-f-l 2n + l и x„+1<x„ при всех n, так как хп+1 — хп = —^~----------= 2«+i -L 1_2n+1_2 1 ,, _ =-------gn+i----= ~~ <'®‘ Следовательно, хп стремится к пре- делу убывая. Переменная хп = -—— (пример 1, рассмотренный в § 2} стремится к своему пределу 0 колеблясь (принимая поочередно по- I_______________________________________________________/_п» ложительные и отрицательные значения), а переменная хп =— - - (пример 6, § 1) при своем изменении принимает наряду с другими значениями и значения, совпадающие с пределом 0. Однако во всех возможных случаях остается справедливым сле- дующее утверждение: Теорема 1. Если, переменная хп имеет пределом число а, и а больше некоторого числа Ь, то значения переменной, начиная с некоторого п, будут также больше этого числа Ь. Доказательство. Пусть хп имеет пределом число а и а>Ь. Возьмем окрестность (а —в, а4-е)точкиа, где в меньше расстояния между точками а и Ь, то есть 8<а — b (а~ъ>Ь). Такое е жела- тельно взять для того, чтобы точка b оказалась вне окрестности (рис. 52). Тогда по определению предела для любого (а значит, и для выбранного нами) е>0 найдется такое N, что |х„ — а\<е. или а — е < x„ < а 4-в для всех значений n>N. Следовательно, начиная с п = Л'4-1, имеем хп> а — е.> Ь, то есть хп>Ъ. Теорема доказана. Геометрически данную теорему можно истолковать так: если последовательность точек прямой {хД сходится к точке а, и точка а лежит правее какой-то точки Ь, то и все точки последовательности, начиная с некоторой, также лежат правее этой точки Ь. Теорема 2. Если переменная хп имеет пределом а, и а меньше некоторого числа с, то значения этой переменной, начиная с некоторого п, будут также меньше этого числа с. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Предлагается провести его самостоятельно, сопровождая рисунком. Теорема 3. Если переменная хп имеет пределом число а > 0 (а < 0), то и все ее значения, начиная с некоторого п, будут положительны (отрицательны). а-с а + г Ь X Д . Zj Xg хе Ху x^ Рис. 52. £2
Эта теорема непосредственно следует из теорем 1 и 2, если в них положить Ь = 0 и с = 0. .Теорема 4 (о единственности предела). Если пере- менная имеет предел, то он единственный. Иначе говоря, переменная не может иметь двух различных пределов. Доказательство. Допустим противное. Пусть хп имеет два предела: limx„==a и limx„ = b, где а^Ь. Для определенности будем считать а< Ь. Тогда между этими числами можно взять неко- торое число г (а<_ г < Ь). Так как хп -► а и а < г, то по теореме 2 найдется такое натуральное число, которое в данном случае удобно обозначить через Na, что хп<г для всех значений n>.Va. Так как хп-+ b и b > г, то по теореме 1 найдется такое натуральное число Nb (не обязательно совпадающее с Na), что х„> г для всех значений n>Nb. Получили два неравенства: х„<г для п> Nа, хп>г для n>Nb. Если же теперь взять за А' наибольшее из чисел Na и Л%, то, оче- видно, для всех значений n>N выполняются одновременно оба эти неравенства: хп<г и хп> г, что невозможно. Полученное про- тиворечие и доказывает теорему. Теорема 5 (о предельном переходе в равенствах). Если имеем две переменные величины хп и уп, имеющие пределами соответственно числа а и Ь, причем хп=уя для всех п, то а = Ь. Справедливость этой теоремы вытекает из того, что х„ и уп по существу обозначают одну переменную, а потому в силу единствен- ности предела а = Ь. Теорема 6 (о предельном переходе в неравенст- вах). Если переменные хп и уп имеют своими пределами соответственно числа а и Ь, причем хл-:-уп для всех п, то а^. Доказательство. Допустим противное. Пусть при выполне- нии условий теоремы будет а > Ь. Возьмем какое-нибудь число г между а и b (а>г>Ь). Так как хп~>а и а>г, то по теореме 1 найдется такое Nx, что хп > г для всех значений п > Nx. С другой стороны, так как уп~+Ь и b<zr, то по теореме 2 найдется такое Ny, что уп<г для всех значений n~>Ny. Если через N обозначить наибольшее из чисел Nх и Ny, то для n > N будут одновременно выполняться неравенства:.хп> г и уп<г. Отсюда получаем, что хп>уп для всех п> N. Это противоречит условию теоремы. Теорема доказана. Замечание. Из теорем 5 и 6 следует, что знаки равенства и нестрогого неравенства сохраняются при переходе к пределу. Что же касается предельного перехода в строгом неравенстве, xn<zy„, то здесь в пределе может появиться и знак равенства, то есть можно лишь утверждать, что lim хп lim у„. В качестве примера рассмот- 83
1 1 рим переменные хп—— — и Уп~п Очевидно, хп<уп для всех п, в то время как limxn = limy„ —0. Теорема 7 (о сжатой переменной). Пусть имеем три переменные хп, уп и zn, связанные неравенствами хп ^уп < z„ для всех п. Тогда если переменные хп и zn имеют один и тот же предел а, то переменная уп также имеет предел и этот предел равен а. Доказательство. Возьмем любое е > 0. По этому е для пере- менной хп найдется такое Nx, что |хл —«|<е для всех «>Аа, то есть а— е <хп <а + е. (Q По этому же 8 для переменной гп найдется такое что 12Я — о | < 8 для всех п > Nt, то есть а— е<«4-8. (2) Обозначим через N наибольшее из чисел Nx и Ne. Тогда для п> N будут выполняться одновременно неравенства (1) и (2). Используя подчеркнутые их части, а также неравенства, данные в условии теоремы, можем записать: а — е < хп < уп < гп < а 4- е для п > N. Отсюда а— 8<1/„<Н !-8 для n>.V. Последнее означает, что limy,,-о. Теорема доказана. Геометрически эту теорему можно пояснить следующим образом. Возьмем произвольную окрестность (а— 8, точки а. Так как переменная %„->«, то все ее значения, начиная с некоторого, нахо- дятся в этой окрестности. Аналогично, из следует, что и значения г„, начиная с некоторого, находятся в этой же окрестно- сти. Так как xn<yn<z„ для всех значений п, то и значения у„, начиная с некоторого, будут в той же окрестности (а— е, а4-е). Поскольку окрестность выбиралась произвольно, то этим доказано, что любая окрестность точки а содержит все значения у„, начиная с некоторого. Последнее означает, что уп-+а. Свойства предельного перехода в равенствах и неравенствах, доказанные в теоремах 5, 6 и 7, наглядно могут быть представлены следующими схемами: Хп=-уп а — Ь Хп Уп I I а Хп<Уп 4 4 а b Определение. Переменную хп будем называть ограниченной, если ограничено множество всех ее значений, то есть если существует такое положительное число К, что | хп j < К ( — К''~хп для всех п. 84
Теорема 8. Если множество значений переменной хп, начиная с некоторого значения п, ограничено, то хп явля- ется ограниченной величиной. Доказа i ельство. Пусть множество значений переменной х„, начиная с хп„, то есть множество 1 > Хг, 2, • • * , -f- k, • • •}» ограничено. Это значит, что существует такое положительное число- А, что для всех значений выполняется неравенство х.., то есть — A ^xns^A. Иными словами, все значения хп для п>п0 находятся на отрезке [—А, Л]. Вне этого отрезка могут нахо- диться лишь значения хп с номерами п<п„. Таких значений конеч- ное множество { xlt х2, хПо_| }• Возьмем число т, меньшее чисел Xi, х2, х3, . ., Хп„_|, — А, и число Л4, большее чисел xv х2, х3, .... хп<,-ъ А. Тогда для всех значений п будет выполняться неравенство m<Zxn<.M. (3} Действительно, если п 2г п0, то х„ А < М и х„ — А > пг. Если же п<п0, то по выбору т и М снова имеем: т<х„<А1. Нера- венство (3), справедливое для всех значений п, означает, что пере- менная хп ограничена (см. § 5, гл. 1). Теорема 9. Если переменная хп имеет конечный предел, то она ограничена. Доказательство. Пусть х„->-а. По определению предела это означает, что для любого е> 0 найдется такое N, что для n> N (то есть начиная с н0==Л^+1) выполняется неравенство |х„ — а\<е или а— а <х„ <«--«• Получили, что множество значений хп, начи- ная с п0=«Л(4-1, ограничено. Следовательно, по теореме 8 перемен- ная х„ является ограниченой. Замечание. В данной теореме доказано, что из существования конечного предела переменной следует ее ограниченность. Обратное утверждение неверно. Из ограниченности переменной не следует существование предела, так как существуют ограниченные перемен- ные, не имеющие предела. В качестве примера может служить пере- менная хп = (— 1)", рассмотренная в примере 2, § 1. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Приведите примеры возрастающих, убывающих и колеблющихся перемен- ных, имеющих конечные пределы. 2. Переменные хп и уп удовлетворяют неравенству 0 < хп < уп для всех значе- ний п. Известно, что уп есть бесконечно малая. Существует ли lim хп и если да, то чему он равен? 3 Может ли положительная переменная иметь отрицательный предел, а отри- цательная переменная — положительный предел? Могут ли эти переменные иметь пределом число нуль? 4. Докажите самостоятельно теорему 2. 5. Приведите пример, когда при предельном переходе строгое неравенство сохраняется. 85
$ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ Докажем сначала два вспомогательных предложения. Лемма 1. Сумма любого числа k бесконечно малых есть величина бесконечно малая. Доказательство. Рассмотрим случай двух бесконечно малых. Для k бесконечно малых доказательство аналогично. Пусть ап и бесконечно малые. Возьмем любое е>0. Так как в определении бесконечно малой величины е может быть любым положительным чис- лом, то по у для ап найдется такое N*, что | ал | < у для всех п > N*. По этому же у для найдется такое N , что | |3Я | < у для всех n>N,. Возьмем за N наибольшее из чисел Na и Тогда для n>N будут выполняться одновременно оба неравенства: ,a„|<y и ₽п.<2'- Следовательно, [ + Рга [ [ <Х„ [ 4- | [ < у + у = 8, то есть I «« + <е для п> N. А это и значит, что величина а„-: есть бесконечно малая. Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что в лемме речь идет о сумме хотя и любого, но вполне определенного числа бесконечно малых а„, р,„ . щ,. Лемма 2. Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Доказательство. Пусть хп — ограниченная переменная вели- чина. Значит, существует такое число М, что | хп|< М для всех п. Пусть ап — бесконечно малая. Возьмем е>0. По Д для ал найдется такое N, что [ал|<^для п~> N. Тогда для ti>N получим: | хп • ап । = | хп | • | ап | < М • = е, то есть | хп • ап | < е. Следовательно, хл-ал есть бесконечно малая величина. Из доказанных лемм, в частности, следует, что’ 1) произведение постоянной величины на бесконечно ма- лую есть величина бесконечно малая (так как постоянную можно рассматривать как частный случай ограниченной переменной); 2) произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая (так как любая бесконечно малая является величиной ограниченной); 3) разность двух бесконечно малых ап — есть вели- чина бесконечно малая (так как —₽л = ал + (—1) где произведение ( —1)0Л есть бесконечно малая). 86
Теорема 1. Если переменные хп и уп имеют конечные пределы, то сумма и разность этих переменных также имеют конечные пределы, причем lim (хп Д-_у„) = lim хп Д- lim уп. 1 im (хп — уп) = 1 i m хп — 1 im уп. Другими словами, предел алгебраической суммы двух переменных, имеющих конечные пределы, равен алгебраи- ческой сумме пределов этих переменных. Доказательство. Пусть хп-+а и уп->Ь. Тогда хп и у„ можно представить в виде хп = аД- ап, 1 = /> + ₽«, J где ап и — бесконечно малые величины (см. § 2). В таком случае и сумма Хп + Уп представима в виде хп + уп = (а Д- а„) Д- (Ь Д- р„) = (а Д- Ь) Д- (а„ Д- рл). На основании леммы 1 величина а„ + рп является бесконечно малой (как сумма бесконечно малых). Следовательно, переменную величину хп Д- уп удалось представить в виде суммы некоторого числа а + b и бесконечно малой. А этого, как установлено в § 2, и дос- таточно для того, чтобы число а + b было пределом переменной Хп + Уп- То есть имеем: lim (д-„- //„) - limx,. -J-liin уп. Аналогичное доказательство теоремы в случае разности х„ — уп предоставляем читателю. Здесь же заметим, что доказанная теорема остается справед- ливой и в случае алгебраической суммы любого, но вполне опре- деленного числа слагаемых. Доказательство теоремы в этом случае совершенно аналогично только что проведенному доказательству. Теорема 2. Если переменные х„ и уп имеют конечные пределы, то их произведение также имеет предел, причем lim (x„ y„) = limxn- limy>„, то есть предел произведения переменных, имеющих конеч- ные пределы, равен произведению пределов этих перемен- ных. Доказательство. Пусть хп-+а и уп~^Ь. Тогда, воспользо- вавшись выражениями (4), можем записать: хп • Уп = (а Д- а«) (Ь + Р«) = ab Д- (^Рл Д- ЬапД- апрп). Величина ар„ Д- Ьап Д- а,гр„ есть бесконечно малая (как сумма бес- конечно малых) (см. выводы из лемм 1 и 2). Следовательно, lim (хп-Уп) = аЬ==\ш1Хп-\1туп и теорема доказана. 81
- Заметим, что эта теорема также справедлива в случае любого, но вполне определенного числа сомножителей и доказывается методом математической индукции. Теорема 3. Если переменные хп и уп имеют конечные пределы, причем limy,, ф 0, то их частное — имеет также Уп предел и Уп то есть предел частного двух переменных равен частному их пределов, если предел знаменателя отличен от нуля *. Доказательство. Пусть хп-+а и уп->Ь^О. Для доказа- тельства теоремы достаточно установить, что разность ——у есть величина бесконечно малая. Представим — у, используя (4) в виде *п а .._bx-„~-ayn__ & (a j a (Z, ; fi„) _ 1 Уп & byn byn ~~Ьуп аР->- Легко видеть, что множитель (ban—af>n) есть бесконечно малая. Покажем, что есть величина ограниченная. Тогда с помощью леммы 2 получим требуемое. Так как --> 0, то найдется такое АГ, „ | < L* I для всех п > N. Тогда | уп | = | b -J- 12=s [ b | — । । > |&| |&| —и> следовательно, I 1 1............ 1 1 2 I Ъуп | |&| ’ образом, установлена ограниченность переменной й— для *Уп но тогда она будет и вообще ограниченной (см. теоре- му 8, § 3). Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что во всех трех теоремах этого параграфа условие существования конечных пределов у переменных хп и уп является существенным. Без этого условия, как будет показано в дальнейшем на отдельных примерах, теоремы неверны, хотя предел суммы, разности, произведения и частного все же может существовать. Таким * Поскольку b то и yn^Q, по крайней мере начиная с некоторого номера п0, а тогда и частное — имеет смысл при п пп. Следовательно, говоря Уп Хп о lim —, мы рассматриваем предел последовательности Уп хп„ *п,-Н + а Упв Уп,11 Уп,‘-1 Уп 88
Леммы и теоремы, установленные в этом параграфе, имеют очень большое не только теоретическое, но и практическое значение. Если до сих пор мы могли лишь проверять, пользуясь определением предела, будет ли то или иное заранее угаданное число пределом данной переменной величины, то теперь открывается возможность и для вычисления предела переменной. Пример 1. Переменная хп имеет предел а ф 0. Найти предел переменной ^4~2«2 Vn~я + % + « • Воспользуемся теоремами о пределе суммы, разности, произведения и част- ного. Получим: х2—2а2 limx2 —Нт2«2 а2 —2«2 а lim уп = lim х„ 4- lim ——— = lim + --х-птт,— « а +—q-— ==т' хп~у-а ПшлдтШПД я ~г а Пример 2. Найти предел переменной _ 2п , sinn Так как предел суммы равен сумме пределов слагаемых, то lim x„ = lim 2п , sin п ---—г- 4- > IП1-. п+ 1 1 п Поделив в первом слагаемом числитель и знаменатель на п и применив теорему о пределе частного, получим: 2 , 2п 2 2 2 .. hm —__ = hm-----р ---------р=-т- = 2 я+* 14.2 14-lim — п п так как 1^0 при «-.со). _ мп п Второе слагаемое —— можно рассматривать как произведение ограниченной 1 величины sin п (| sin п | г£ 1) и бесконечно малой —. Следовательно, по лемме 2 второе слагаемое есть величина бесконечно малая и предел его равен нулю. Таким образом, окончательно получаем, что lim хп = 2 0 == 2. 1 Пример 3. Пусть х„==п + ~, уп=—п. Тогда limxn=4’«3t = — оо,. a lim (x„4-pn) = lim -i-=0. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Где при доказательстве теоремы 3 использовано, что 6^0? 2. Переменная хп имеет предел aytO. Чему равен предел lim -X42k? Отв. к 3. Переменная хп имеет предел а^О. Найти предел переменной уп = хп + хп~~2 а2 + а—2 Отв. - _ , ,--_ 2a2 4- а 2х24-*п ? 5" 4. Найти предел переменной хге — к о 4- * Указание. Предварительно числитель и знаменатель поделить на 5". Отв. к 5. Доказать лемму 1 для случая любого числа k бесконечно малых. 89;
§ 5. ОСОБЫЕ ^СЛУЧАИ ПРЕДЕЛОВ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В теоремах предыдущего параграфа указаны способы нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного двух перемен- ных, хп и уп, имеющих соответственно конечные пределы а и Ь. Остановимся теперь на рассмотрении отдельных возможных случаев вычисления пределов, которые не охватываются указанными выше способами. I. Рассмотрим сначала частное — («/„#; 0). Уп 1) Пусть х„-*а, а уп—бесконечно большая. Тогда — будет бес- Уп 1 конечно малая, так как его можно представить в виде—х„, где Уп ----бесконечно малая, а хп — ограниченная величина. Следовательно, Уп lim — = 0. Уп 2) Пусть хп->а:^0, а «/„—бесконечно малая, не принимающая Нулевых значений. Тогда — будет бесконечно большой, так как Уп 1 1 обратная величина ^ — уп- — есть бесконечно малая ( — хп хп \ХП & / 3) Пусть хп — бесконечно большая, а уп— бесконечно малая (Уп^- 0). Тогда — будет бесконечно большая, так как обратная вели- Уп ti * чина — может быть представлена в виде произведения двух беско- хп нечно малых ^=—• уп и является, следовательно, бесконечно малой. хп хп 4) Пусть хп — бесконечно большая, а уп-*Ь^Ъ. Тогда *" будет бесконечно большая, так как обратная ей величина по установлен- ному в 1) есть бесконечно малая. 5) Пусть хп и «/„ — бесконечно малые величины. В этом случае о пределе отношения — никакого общего заключения сделать нельзя, Уп так как в зависимости от характера изменения переменных хп и уп возможны различные ответы. Так, например, а) если х„ — 1^0, п 1 Уп~ п 0, то Уп 1 -> 1; б) если х„ = -->о, п _ 1 Уп~~'^ 0, то хп Уп~ Н-» - оо; в) если хп = 1->о, __ 1 0, то хп Уп~ п >0; г) если х„ = (-1)" . п л 1 ' 0, «/„ п ->о, то хп Уп~~ 1)” предела вовсе не имеет. * Так как «„ — бесконечно большая, то ее значения, начиная с некоторого, отличны от нуля. 90
Таким образом, отношение двух бесконечно малых может быть величиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь пре- дела. Следовательно, на вопрос о том, чему равен предел отношения бесконечно малых, можно ответить только тогда, когда известны законы изменения этих бесконечно малых, то есть если бесконечно малые заданы. В связи с этим говорят, что отношение бесконечно малых в общем случае представляет собой неопределенность, и этот вид неопределенности обозначают символом -д- (говорят: неопреде- 0\ TZ ' ленность вида I. Когда на основании исследования характеров изменения данных бесконечно малых предел их отношения найден или установлено, что его нет, то говорят, что неопределенность раскрыта. 6) Пусть х„ и уп — бесконечно большие величины. В этом случае о пределе отношения также никакого общего заключения сделать нельзя. Так, например, а) если Хп -— / —> ОО, Уп = П -> ОО, то Хп _ Уп П -+ ОО б) если Хп = fl ОО, Уп = П2 —► оо, то хп _ Уп 2. _> о- п ’ в) если Хц = п —> оо, уп = п -► оо, то хп _ Уп ~ 1 —> 1; г) если Хп == fl ( 1 )п —оо, Уп = П —► оо, то ^п = Уп предела не имеет. Из этих примеров следует, что отношение двух бесконечно боль- ших может быть величиной бесконечно большой, бесконечно малой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а также может вовсе не иметь предела. Поэтому говорят, что отношение двух беско- нечно больших в общем случае представляет собой также неопределен- ность, но уже вида —. Если бесконечно большие хп и уп конк- ретно заданы и нам удалось найти предел их отношения или доказать, что он не существует, то мы, так же как и выше, будем говорить, что неопределенность раскрыта. II. Рассмотрим сумму двух переменных хл + уи. 1) Пусть х„->оо, уп-+Ь. Тогда (хл + */и)-> оо. Действительно, величина уп будет ограниченной. Пусть | уп | < М для всех п. Пере- менная хп, начиная с некоторого п, будет удовлетворять неравенству \хп\> Р + М, где Р — любое сколь угодно большое число. Тогда, начиная с некоторого п, получим: i Хп + Уп | | Хп I - I уч i > (Р + М) - М = Р, то есть ,хп + уп\>Р- В частности, если xn-^J[-oo(—оо), то и (х„ + !/„)-+ +ею (—оо). 91
2) Пусть х„->4-оо(— оо) и £/„->4-00 (—оо). Тогда х„4-г/„-> ->4-оо(—оо), так как сумма бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая. 3) Пусть х„ и уп есть бесконечно большие разных знаков. Тогда о пределе суммы x„ + z/„ ничего определенного сказать нельзя до тех пор, пока не будут известны законы изменения х„ и уп. Этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а также может и вовсе не существовать. Например: а) если х„==^п4--* + оо, £/„ = — п-> — оо,тох„4-{/п = ~-*-0; б) если х„ = 2п->4-оо, г/„=-п-> —оо, то хп + уп — п -> 4- оо; в) если х„ = (п42)->4-оо, //„= — «-> —оо, то хп-\-уп = 22; г) если х„ = п4-(—l)”->4-oo, £/„=-«-> —оо, то х„ + {/„ = = (—1)" предела не имеет. Таким образом, сумма двух бесконечно больших разных знаков представляет собой в общем случае неопределенность, которая обозна- чается символом оо — оо. III. Рассмотрим произведение двух переменных х„-уп. 1) Пусть х„ и у„ являются бесконечно большими. Тогда их произве- дение будет также величиной бесконечно большой, так как в данном случае — и -1-, а значит, и —-— будут величинами бесконечно хп Уп хп * Уп малыми. 2) Пусть одна из переменных имеет конечный предел, отличный от нуля, а другая — бесконечно большая. Тогда их произведение будет величиной бесконечно большой. Действительно, если x„->a=/=O, а ^—бесконечно большая, то — будет бесконечно малой, a J— величиной ограниченной (—►—). Следовательно, их произведение ------будет бесконечно малой, а тогда хп • уп будет бесконечно большой. хп ’ Уп 3) Пусть хп — бесконечно малая, а у„ - бесконечно большая. Тогда имеем случай неопределенности, которая обозначается симво- лом О-оо. Например: а) если х„=^-->0, уп — п? ->оо, то x„i/„==n->oo; б) если х„ = ^->0, t/„=n->oo, то хпуп = -> 0; в) если х„=А_>о, z/„ = n—>оо, то x„z/„=3->3; г) если хп = ^~—>0, £/„ = /1->оо, то хпуп — (—0я предела не имеет. „ „ 0 оо Кроме рассмотренных нами неопределенностей вида , оо — оо и О-оо, существуют еще другие случаи неопределенностей, связанные с рассмотрением степеней. С ними мы познакомимся в дальнейшем (см. § 10, гл. IV). 92
Раскрытие неопределенностей в некоторых случаях представляет собой значительную трудность. В каждом отдельном случае прихо- дится изыскивать особый прием, позволяющий преобразовать выра- жение к такому виду, когда о пределе возможно дать определенный ответ. Рассмотрим на примерах наиболее типичные приемы раскрытия неопределенностей. Пример 1. Пусть хп есть многочлен степени k относительно л: хп = айпк + + a2nk‘t 4-... 4- я^п 4- (я0 56 0). Как ведет себя этот многочлен при п~-4~оо? Если бы все коэффициенты были одного знака, то, очевидно, хп была бы бес- конечно большой такого же знака. При разных знаках коэффициентов имеем неоп- ределенность вида оо — оо. Для раскрытия этой неопределенности вынесем за скобки высшую степень п: 1,1 , а1 । а2 । , «*-1 । ak\ хп = пк + у + ------b-Fr+n*)- В скобках все слагаемые, кроме первого, являются бесконечно малыми. Следо- вательно, предел выражения, стоящего в скобках, равен я0. Множитель пк есть величина бесконечно большая. Отсюда заключаем, что хп стремится к 4-оо или — оо в зависимости от знака а0. Пример 2 Пусть хп представляет собой частное двух многочленов: Хп^' 4-...................... (ao °, &0 °)- Рассмотрим все возможные случаи поведения частного при п-*4-со. Как уже установлено в примере 1, числитель и знаменатель являются вели- чинами бесконечно большими. Следовательно, имеем случай неопределенности вида —. Вынося за скобки в числителе пк, а в знаменателе пт, получим: , аг , а» , , ak i , ао + А + Л_|-----4-^4-4 . „ п па пк 1 пк V ___ , .. ,, . . .......Ill’ 1Г..1." . bo + -n+n^+ +nii^i + nm Предел второго множителя равен Что же касается предела первого мно- жителя, что он будет зависеть от соотношения чисел k и т. Если k > т, то —> со и> следовательно, х„ — ±ао (знак совпадает со знаком 2#). Если же \ »о/ k = m, то пк~т = п° = 1 и х»-——. Наконец, если k < т, то пк~т=^=-------► О и Ь9 пт~к -п —* 0. п 9 и - (Ч —1) (ч — 2) Пример 3. Найти предел переменной х„=-—' Это частный случай предыдущего примера: hm = hm \________________in______и 1. 2n*4-l 1 2 2 + 93
Здесь для раскрытия неопределенности вида — мы поделили числитель и знаме- натель на п2. Пример 4. Найти предел переменной хп=Уп2~р2 — У2п — 1. Выражение переменной хп представляет собой неопределенность вида со —с©. Если правую часть умножить и разделить на сумму Уп2-{-2-{- У2п — 1, то мы со придем к неопределенности вида —, которая раскрывается приемом, изложенным в примере 3: lim Г2Т=Т) - 11ш _ /п«+2 + /2п-1 1_ Л - 1 п2— 2n-f-3 п ' п2 — lim-T^-r^----....= lim —, ....... = со. Уп2+2 + У2п- 1 1/1 , Л . 1/2 _ V п2'п*‘т' п3 п* В этом примере мы использовали еще и теорему о пределе корня: если хп а, то У хп—* у а (при любом натуральном Р). Мы ее не формулировали отдельно, по- скольку она входит как частный случай в более общую теорему о пределе степе- ни с любым показателем (ср. также § 6, гл. IV). П р и м е р 5. Найти предел переменной хп — _Lil ~h.n . П2 + 5 В данном случае имеем неопределенность вида — . Так как 1 4- 2 4- 3 4- п (п + 1) 4™ п = — —- , то п (п 4- 1) hmx„ =1^5/5// lim-------— о 10 2 + — Пример 6. Найти предел переменной Так как 1 q q2 -|- ... qn есть прогрессии со знаменателем q и 1 + у +"4 + ••• + 2й 1+4+1 +••+ i , 1 , ,1 + 4 + "•+ 2« 1 j j— . y+g- + ••• + 3Й сумма п 4-1 членов геометрической 1 -q™ —.—.1- то l-q Пример 7. Найти предел Если то ап = 1 2 I 4 Г -3 2 она равна (1 —!— \ 2Л+1/ \ ------j-r-j----j—г , a lim х„ = (1 LW 1---------! 1 \ 2 I \ 3ffi+1 / ап переменной х„ = (а > 0). 0<а<1, то ап будет бесконечно малой и lim хп — 0. Если а =1, и limxn= у. Наконец, если а>1, то ап будет бесконечно боль- 1 2 1 2 шой и мы имеем неопределенность вида — ; раскрывая ее, получим: lim хп = lim ап 1 4-ал = lim -j----- 1 4- 1 ап = 1. 94
Здесь неопределенность раскрылась путем предварительного деления числителя и знаменателя на ап. Приведем некоторые примеры, при решении которых используется формула бинома Ньютона. Читатель, не знакомый с этой формулой, может примеры 8—10 пропустить. П р и м е р 8. Доказать, что lim^ = 0. Знаменатель 2я с помощью формулы бинома Ньютона можно представить в виде 2" = (1 + 1)" = 1 + ft + —+...+ 1 = 1+«-Ь (у—£) + ••• + /ц \ 1fi \ п2 4-1. Но 1 + n 4-(у-—g-1 4- ••• + 1 > 1 + n 4- (у—g-l >y, так как все про- пущенные слагаемые из формулы бинома Ньютона положительны. Отсюда получаем, что 0 < или, умножая почленно на п, будем иметь: Поскольку —— 0, то по теореме о сжатой переменной и 0. Пример 9. Показать, что lim^ra =1. Для решения задачи достаточно установить, что переменную Уп можно представить в виде суммы 1 4- ая, где а„ есть бесконечно малая при п —оо. Пусть уЪ = 1 4-ал. Очевидно, для любого п. Возводя обе части послед- него равенства в п-ю степень, получим: П = (1 +«/1)"= 1 + —7>~ <Х? 4- • + “п- 1-2 tl ri Так как все члены справа неотрицательны, то для любого n> 1 справедливо не- равенство i -1) , fl (fl—1) S п > 14—\-f—-д а2, то есть н — 1 > —L-—2- ап. 1 ’ « 1*2 fi 2 Сокращая на (га—1), получим: 1 > у а*. Отсюда следует, что ,f > a,i или j/ У >a,SsO. Так как j/"у—»0 при то по теореме о сжатой переменной будет стре- миться к нулю и ап, то есть а„ есть бесконечно малая. п >- Пример 10. Показать, что lim у а — 1 при любом а > 0. Для всех п, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство — < а < С п. Тогда 1/ — < у а < у п . п. — п/~~Г 1 Так как при п — оо будет /га — 1 и 1/ — = _ — 1 (см. пример 9), то по ' п Уп теореме о сжатой переменной получаем, что и у а — 1. Пример 11. Найти предел переменной: 1 , 1 , 1 , , 1 Хп~ 1.2+ 2-3 + 3-4 * •••+ (га-1) п- 95
Вопросы для самопроверка и упражнения 1. Какой смысл придается слову «неопределенность» при вычислении пределов^ 2. Что означают слова «неопределенность раскрыта»? 3. Подобрать две такие бесконечно малые величины, чтобы их частное было величиной бесконечно большой. 4. Подобрать две такие бесконечно большие величины, чтобы их разность: а) была величиной бесконечно малой, б) имела предел, равный 5. В задачах 5—17 найти пределы последовательностей. 2п cos п з«+8 2л 1 6. х„ = sin п . " г п Отв. Отв. Предел не существует. „ sin л , п +1 “ п ' } Н2 ОЛ г 6 ’ /л-14-/п+1 • Отв. 0. в х — 1 +П + 1 Отв. 2. ” М 1 1 10. хп = |/,/ ft® - 2— л® —~ 2 • Отв. 0. ,, п — У^п 11. х„=——— . Этв ос. Уп Ул-Ь 1 — 1 12. хп = \ Отв. 1. J/H+1 + 1 w , _ (л+1) (л —2) (« +2) Отв. 1. ia. х„ п3-л3 + 5л —2 • 14 х - 1+4 + 9 + -.. + + п3-+-Зп + 2 Указание. Предварительно преобразовать числитель, используя формулу Р+22 + 32+... + п2=111+1Ж+2). отв. 1 1з_^2э-|-334-... + пз п 15. хп~ -3 -у Указание. Воспользоваться сначала формулой суммы кубов натуральных чисел: 13 + 23 + 33 + ... + л3 = (1+2 + 3 + ..- + л)2, а затем—формулой суммы на- туральных чисел, приведенной в решении примера 5. Отв 96
§ 6. МОНОТОННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Определение. Если переменная хп изменяется так, что хп <Z. то она называется возрастающей в узком (или строгом) смысле. Если же Хп -^л+1 то переменная хп называется убывающей в узком (или стро- гом) смысле. Иногда переменную хп называют возрастающей и в том случае, когда Х1 Л'3 *з понимая под этим возрастание в широком смысле (неубывание). Аналогично, если zzzZz %2 223- Xjj 22^- • • • 22S- "^л+l 22S- • • • $ то переменная xn называется убывающей в широком смысле (невоз- растающей). Переменные, возрастающие и убывающие в узком и в широком смысле, объединяются под общим названием моно- тонных *. Легко заметить, что возрастающая не ограниченная сверху пере- менная будет положительной бесконечно большой, а убывающая не ограниченная снизу переменная —отрицательной бесконечно боль- шой. Действительно, если, например, хп возрастает и не ограни- чена сверху, то для любого числа А1 > 0 найдется такое щ, что хп„>М.. А тогда для всех п>п0 и подавно хп~>М. Монотонные переменные по сравнению с другими переменными обладают и той особенностью, что для них из ограниченности сле- дует существование конечного предела. Теорема (о монотонной переменной). Любая воз- растающая переменная х„, ограниченная сверху, имеет ко- нечный предел. Любая убывающая переменная хп, ограни- ченная снизу, имеет конечный предел. Доказательство. Докажем теорему для случая возрастания в широком смысле. Пусть хп возрастает и ограничена сверху. Сле- довательно, на основании теоремы из § 5 главы I у множества значений хп (Существует точная верхняя граница. Обозначим ее через А и покажем, что А и будет пределом для хп. Действительно, по определению верхней границы х„±уА для всех п. Возьмем 8>0. По свойству точных границ, для этого 8 Хдг> А — б. Тогда в силу возрастания хп найдется такое А\ что для всех п^>1\ будет * Слово «монотонный» происходит от греческого слова «монотос», что озна чает «однотонный». Здесь употребляется в смысле характеристики изменения функ ции 4 Бохан и др. 97
хп>А — е. Таким образом, для п > N получим: А—в < хп < А 4-е. А это и означает, что limx„ = A. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Доказательство ее рекомендуется провести самостоятельно. В теореме о монотонной переменной устанавливается только факт существования предела без указания способа для его отыска- ния. Однако и это имеет очень важное значение в теории пределов. Если по отношению к некоторой переменной уже известно, что она имеет предел, то во многих случаях этим предрешается и вопрос о его нахождении. Пример 1. Доказать, что переменная хп--- (а > 0) имеет конечный пре- дел. Найти этот предел. Докажем сначала существование конечного предела. Так как _ ал'1 _ а ап _ап _ а Х"+1~ («-}-1)1 «4* 1 n! ~~ nf «4-1 Хп< то при п-|-1>а, то есть при п>а—1, переменная хп становится монотонно убывающей. Кроме того, она ограничена снизу, например нулем. Следовательно, по теореме о монотонной переменной хп имеет конечный предел. Теперь, опираясь на факт существования предела, можно найти и его значение. Пусть limx„ = A. Тогда и limxn+1 = A, так как хпл1 пробегает ту же последовательность значений, что и хп. Переходя в равенстве хл+1 =—тт*» к пределу, получим: А—О-А, п 1 отсюда А=0. Таким образом, lim ^ = 0. Пример 2. Доказать существование предела у переменной 1 , ! 1 , ,1 *”“24-1 +2« + 1 + 2’+Т+ 2"4-Г Переменная х„ возрастает, так как хп+1=хп-]- гуй+гзрр и> следовательно, 11 хп+1> Кроме того, она ограничена сверху, так как -..............г при любом п, Л -J- 1 £. И 1 , 1 , 1 , , 1 -1,1.1, ,1 + ...+2?Гр<т4- 22+2» + + J___1 Следовательно, на основании теоремы о моно гонкой переменной заключаем, что данная переменная имеет конечный предел. Относительно этого предела также на основании упомянутой теоремы можно утверждать, что он не превосходит 1. Пример 3. Последовательность задана, рекуррентным соотношением xn+i= V xi=)Aa, где а > 0. Найти предел этой последовательности. Заданная последовательность имеет вид: I а , ]/а 4- У а , р а 4- У а |- \а > • • •, 1/ а 4~ lz а 4- 4~ • • 4* Va 93
Сравнивая значения для хп и хп+1, легко заметить, что х„+1 > хп. Используя последнее, получаем: хп = Уа+хп_1 < Уа + хп Отсюда х^<а-{-хп и х^ — хп — а<0. Решая последнее неравенство, найдем, 1,ч/ТТ- что < -g- + I/ -4- + я Для всех значени п. Таким образом, установлено, что данная последовательность возрастает и ограничена сверху. Но тогда по теореме о монотонной переменной она имеет ко- нечный предел. Для определения предела будем рассуждать, как и в примере 1. Пусть Нтхп = А. Тогда также limXnj^A (так как значения переменной образуют ту же последовательность, что и хп) и, переходя к пределу в равенстве хя = получим: А —Уа-\-А. Отсюда А2 = а-|-А, или А2 — А — а = 0, откуда А = ± "|/ -^-+° . Так как по условию а > 0 и по доказанному хп возрастает, то должно быть А>0, то есть А + а. Таким образом, 11гпхя=—-{- j - n. Пример 4. Дана окружность. В нее вписываются последовательно пра- вильные многоугольники, каждый последующий из которых образуется удвоением числа сторон предыдущего (рис. 53). Периметры этих многоугольников образуют числовую ность: последователь- Pi, Ръ Рз> > Р п, эта последовательность (1) имеет конечный Доказать, что предел. Так как двух других на рисунке 53, Рп < Р„+1 для всех есть последовательность (1) возрастает. Кроме того, периметр любого вписанного многоугольника меньше периметра любого описанного многоугольника. Это значит, что последовательность ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять, напри- мер, периметр описанного шестиугольника. По теореме ной последовательность имеет конечный предел lim Р„. n-tco сторона треугольника сторон, то, как видно меньше суммы из обозначений значений п, то о монотонной перемен- Задача решена. За- метим, что предел limP„ принимается за длину окружности. Именно так вво- п-*оэ дится понятие длины окружности, известное читателю из элементарной геометрии. Теоремой о монотонной переменной мы будем пользоваться еще неоднократно, начиная со следующего параграфа. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать теорему о монотонной переменной для случая убывания. 2. Сформулировать теорему о монотонной переменной в терминах последо- вательности. 3. Доказать, что последовательность, заданная рекуррентной зависимостью хл+1=——2—j где > 0 — произвольное число, сходится. Найти предел этой последовательности. Отв. 0. 4. Доказать существование предела переменной хп= -|- 4- 57Т-0+ 4* 99
1 on 5. Дана переменная хп = сг . Составить рекуррентную зависимость между значениями х„.) и хп, доказать существование предела и найти его. Отв 1. 6. Дан равносторонний треугольник со стороной а; из трех высот его строится новый равносторонний треугольник, и так п раз. Найти предел суммы площадей всех треугольников при п —► со. Отв. а2 У'З . § 7. ЧИСЛО е Лемма (Бернулли)*. Для любого натурального числа т и любого вещественного числа й> —1 справедливо нера- венство (l+/i)mSsl+mh, (1) называемое неравенством. Бернулли. Доказательство проведем методом математической индук- ции. При т = \ соотношение (1) очевидно (в этом случае оно пере- ходит в равенство). Предположим, что (1) справедливо при m—-k, и докажем его справедливость при m = k + 1. Учитывая, что l+fe> > 0, имеем: (1 4-/Z)A’ 1 = (1 +h)k (1+h) > (1+kh) (l+h)=l+(k+l)h + kh^ +=l + (k+l)h (так как k+'S^O). Лемма доказана. Рассмотрим теперь переменную = С первого взгляда может показаться, что она имеет своим пределом единицу. Однако это не так. Применяя только что доказанную лемму Бернулли, видим, что для любого п С помощью этой леммы можно доказать существование конечного предела переменной +-£-)"• Рассмотрим сначала переменную /, . l\«+i yn=\l+-j • Покажем, что она монотонно убывает. Действительно, Уп = [~-^ \ _ / п \п УпЛ ___ rt" • Пл+1 ______ / П2 п— 1 ~ (л-1 ) и ~ (и-1)".(п+!)"+» “ W-1 / ‘ ~п~ Так как в силу неравенства (1) ^при ft="2 -Л > m = n-|-lj ! пг у+1 / 1 V+1 , . , . .. 1 . , 1 п (па—1) у+п2—1) •— 1 + («+ О • „2_ 1 1+„ — 1 — > то “1^1, то есть Уп-+^Уп для всех nSs2. Ограниченность уп Уп * Якоб Бернулли (1654— 1705) —швейцарский математик. 100
снизу очевидна, в силу (2) у„+=2. Следовательно, уп имеет конеч- ный предел. Но тогда существует конечный предел и переменной хп, так как хп=- Уп-г и limxn =—ll'm->t1v- = lim 1 -|- lim (1 -|-) i n V n j Этот предел принято обозначать буквой е: 1- 1 \п е — lim 14— . \ п/ Число е является иррациональным числом и, следовательно, пред- ставляется в виде бесконечной непериодической дроби: £? = 2,718281828459045... В качестве простейшего приближенного значения для числа е полезно запомнить, что ея»2,7. Немного точнее: е = 2,72. Подчеркиваем, что предыдущими рассуждениями мы не дока- / 1 \п вывали равенство e = limfl+ — j ; мы доказали, что указанный предел существует, и назвали его числом е. По мере изучения математического анализа будет обнаружи- ваться все большее значение числа е во многих вопросах теории и практики. Пока укажем лишь, что число е принято за основание так называемых натуральных логарифмов, которые в силу особых свойств числа е имеют бог ее широкое применение в математическом анализе, чем десятичные логарифмы. Натуральные логарифмы имеют специальное обозначение: In х (In х-— log^ х). Установим связь между In х и 1g х при любом значении х>0. Для этого прологарифмируем тождество x = e"lj; по основанию 10. Получим: lgx==lnx-lge или lgx=M-lnx. Число М называется модулем перехода: M-lge=-—=0,434294... / 1 Пример I. Доказать, что переменная х„=(1 + —1 стремится к своему пределу е возрастая Для доказательства достаточно установить, что —— > 1 при любом п. Так как И х„+1 = 1 + 1 \п-Н _/п+2\«+1 п+1/ ~ \п+1 / то zn+i ___ /п + 2\д+1 / п /п + 2\д+1 / п \я+1 п +1 ХП ~ \п + 1 / V* + 1I ~ \п + 1/ \П + 1 / п = Г (^4-2) • п ' I п +1 L (n + l)2 J ’ п 101
Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем к виду п (п + 2) _ п2-|-2п _ (п +1)2— 1 _ 1 (п+1)а ~ (п + I)2 («+1)2 “ (п+1)2' Тогда с помощью леммы Бернулли получим: Г. 1 ++1 . 1 / I 1\ 1 1 п (п+1)2] (п+1)2 „+1 -’++Г* „ Хп+1 __ п п + 1 Следовательно, . —I—=1. хп п +1 п Заметим, что лемму Бернулли можно уточнить следующим образом: если h>—1, но Л + 0, то при т>4 (т— натуральное) (1+Л)т> 1+«-/г. Учитывая это замечание, легко видеть из предыдущего вывода, что ^"±1. > 1, хп / 1 \п то есть что переменная хл==(1+~\ стремится к своему пределу строго воз- растая. Пример 2. Найти предел переменной x„ = n [In («+1) — Inn], / 1 \n Воспользуемся пределом Получим- Пт п [In («+1) —In n] = lim n In —“ Hni In f 1 + =ln e= 1. < Пример 3. Население страны ежегодно возрастает на 2%. Во сколько раз оно увеличится за 200 лет? Обозначим через N первоначальное число жителей. Очевидно, через год будем иметь: N ! ^'2,,,.Лг 4 через два года оно снова умножится на 11 + , то есть будет равно \ ‘Э’"' / / 1 \ / 1 \ / 1 \2 IV [1+до)(1+55) = ^-(1+5б/) , через три года и т. д. Через 200 лет число жителей будет равно то есть увеличится в 1 + =+ раз. Чтобы легче представить себе это число, L \ / J / 1 \п выразим его приближенно. Так как lim 1 -|---1 =е, то при больших значениях п / 1 \" ' II+~) =ке> и> чем больше п, тем точнее это приближенное равенство. Так / 1 \5й ’ ' .+ можно рассматривать как выражение вида 1 >50 Г/ 1 50 I4 п = 50, то y+ggj и jjl + j =»е4. Получили, что население страны за 200 лет увеличится примерно в е4 раз. Принимая е =«2,72, получим: е4 55. как число при 102
Вопросы для самопроверки и упражнения / 1 \п 1. Почему выражение: «Мы доказали, что — I равен числу е» — не- правильное? 2. Найдите приближенное значение е из приближенного равенства^! «е при п = 6. Отв. 2,521. / 1 \'!+1 3. Найти предел переменной = ---\ , Отв. е. § 8. ТЕОРЕМА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ Пусть имеем последовательность отрезков, вложенных друг в друга таким образом, что каждый последующий содержится в предыдущем: [01. М дэ ... о [ап, Ьп] =>..., (1) причем при возрастании п длина и-го отрезка Ьп—ап -> 0. Такую последовательность отрезков называют стягивающейся. Теорема. Для всякой стягивающейся последователь- ности вложенных отрезков (1) существует точка с, при- том единственная, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, то есть такая, что ап^с^Ьп для всех п (рис. 54). Доказательство. Левые концы отрезков последовательно- сти (1) образуют монотонно возрастающую последовательность: а, Щ о3 ап ., (2) а правые концы—монотонно убывающую последовательность: 2?- b.2 b3 2® • • 5» bn 2» ... (3) При этом последовательность (2) ограничена сверху, а последова- тельность (3) ограничена снизу, так как Ьг, a bn:^ai для всех п. Следовательно, на основании теоремы о монотонной переменной эти последовательности имеют пределы. Пусть lim ап=с', a limb„=c". Тогда из соотношения 0 = lim (&„—«„) = lim bn—-\iman—c"~c' получаем, что с'=с". Общее значение с' =с" обозначим через с, Рис. 54. 103
то есть с'=с" = с. И поскольку ап^с, а Ьп^с при всех п, то точка с принадлежит всем отрезкам последовательности (1). Остается показать, что точка с является единственной точкой, удовлетворяющей этому условию. Допустим противное. Пусть суще- ствует точка clt отличная от с и также принадлежащая всем отрез- кам последовательности (1). Тогда для любого п должно выполняться неравенство Ьп — ап^\Сх — с\. Следовательно, Ьп — ап-/*0 (не стре- мится к нулю), что противоречит условию теоремы. Заметим, что доказанная теорема становится неверной, если в ней вместо отрезков рассматривать интервалы. Действительно, возьмем, например, интервал (0, 1) и разделим его пополам. Выбе- рем в качестве второго интервала левую половину, то есть (^0, yj. Делим [о, снова пополам и выберем левую половину, то есть 10, jj, и т. д. Этот процесс деления и выбора интервалов беско- нечный. Следовательно, получится бесконечная последовательность вложенных интервалов: (0, 1) (о, тЦ => (б, ... :э (о, =>... (4) \ “ 7 \ ** / \ " / Интервалы этой последовательности не имеют ли одной общей точки, так как, какую бы точку а на промежутке (0, 1) мы ни взяли, найдется такое п0, что и интервалы последователь- ности (4), начиная с (о, j, не содержат точку а. Точка нуль явля- ется общим левым концом всех интервалов, но не принадлежит им. Доказанная теорема будет в дальнейшем неоднократно исполь- зована нами при доказательстве других весьма важных теорем. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Построить последовательности вложенных отрезков, стягивающиеся: а) к точке с = 5; б) к точке с—-—2. 2. К какой точке стягивается последовательность вложенных отрезков: § 9. ЧАСТИЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пусть дана некоторая числовая последовательность Xi, х^, х3, ..., хп, ... (1) Если из этой последовательности выписывать не все члены подряд, а с пропуском (например, брать члены через один, или каждый пятый, или как-нибудь иначе), то получим новую последователь- ность: x«j> хп.^, хл.(, • х„А, ..., (2) 104
которая называется частичной последовательностью или подпоследо- вательностью по отношению к последовательности (1). Здесь nt означает номер первого из членов хп последовательности (1), вошед- ших в (2), п2 — номер второго из членов хп, вошедших в (2), и т. д. Например, если последовательность (2) состоит из х3, хЙ, xllt то «1 = 3, «а = 8, «3=Н и т. д. Порядковый номер члена в (2) определяется уже не числом «, а числом k, и «х < «2 < «3 <... < <«*<«а+1 <• • • Покажем, что для любого k справедливо nk^k, то есть что при любом k член xnk есть либо хк, либо один из чле- нов, следующих за ним в (1). Воспользуемся методом математической индукции. При k=l неравенство « t 1 очевидно, так как х„ есть либо хъ либо один из последующих членов в (1). Предположим теперь, что неравенство пт^т справедливо при k = m. Тогда Н/п + 1 =5= пт + 1 JS5 т + 1 • Из последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ..., п, .... можно, например, выделить такие частичные последовательности: 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2«—1, ..., 2, 4, 6, 8, 10, .... 2я, .... 2, 5, 10, 17, 26, ..., «3 + 1, .... и др. Заметим, что в частном случае последовательность (2) может и совпадать с последовательностью (1), тогда хПк = хк> где £=1, 2, 3, ... Теорема 1. Если последовательность (1) имеет своим пределом число а, то выделенная из нее любым способом подпоследовательность (2) будет также иметь предел, рав- ный а. Доказательство. Пусть последовательность (1) сходится к числу а. Это значит, что для любого е>0 найдется такое N, что для п> N выполняется неравенство |х„—а|<в. Так как х„.к либо совпадает с хк, либо правее его в последовательности (1), то для k> N будет \хПк—а\<ъ, что и доказывает теорему. Если последовательность (1) стремится к бесконечности, то легко доказать, что любая ее подпоследовательность также стремится к бесконечности. Предлагаем это сделать читателю. Если же последовательность (1) не имеет предела, то из этого еще не следует, что всякая ее подпоследовательность также не будет иметь предела. Известно, например, что последовательность + 1, -1, +1, -1, 4- 1, .... (-1)", ... не имеет предела (см. пример 2, § 1), в то время как ее подпосле- довательности 4- 1, 4- 1, 4-1, 4-1... 4- 1 • ••• — 1, —1, -1, -1........ —1, ... сходятся (первая к 1, вторая к —1). 10&
Теорема 2 (Больцано — В ейер штр асса)*. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходя- щуюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть последовательность (1) ограничена, то есть существуют такие числа а и Ь, что а^хп^Ь для всех п. Это значит, что все члены последовательности находятся на отрезке |а, Ь]. Разделим этот отрезок пополам точкой d = -—^~, тогда по крайней мере одна из частей, [«, d] или [d, 6], будет содержать бесконечное множество членов последовательности (4)- Обозначим эту часть через [аъ ЬД. Может оказаться, что обе части содержат по бесконечному множеству членов последовательности (1), тогда через [alt 6Х] можно обозначить любую из них. Делим отрезок [ах, 6J пополам точкой dx — 01 у-— и часть, содержащую бесконеч- ное множество членов последовательности (1), обозначим через (а2, Ь2|. Отрезок [а2, 62| делим в свою очередь пополам и часть, содержащую бесконечное множество членов последовательности (1), обозначим через [а3, 63] и т. д. Этот процесс деления никогда не закончится. Получим последовательность вложенных отрезков: К Ы гэ [п2, 6.,] о (а3, 63| о... о \ат Ьп\ о... (3) При этом длина n-го отрезка 1>„ —О при п->оо. Следо- вательно, по теореме о вложенных отрезках существует такая точка с, что lim ап= lim bn=c. (4) Возьмем какой-нибудь из членов последовательности (1), содер- жащихся в [ах, и обозначим его через х„. Затем возьмем любой из членов последовательности (1), содержащихся в |а2, Ь2| и следу- ющих за и обозначим через xrii и т. д. Такому выбору ничто не препятствует, поскольку в каждом отрезке последовательности (3> имеется бесконечное множество членов последовательности (1). Выде- ленная таким образом последовательность хП), лц, х„3, ..., xnk, ... будет сходиться к числу с, так как ak^xnk^bk для любого k, и имеет место равенство (4). Замечание. Условие ограниченности последовательности явля- ется существенным, так как существуют неограниченные последова- тельности (например, 1, 2, 3, .... п, ...), из которых нельзя выде- лить сходящуюся подпоследовательность. Однако отсюда не следует, что только из ограниченных последовательностей возможно выделе- ние сходящихся подпоследовательностей. Например, последователь- ность хп — п(~1}п является неограниченной, но из нее можно выделить сходящуюся к конечному пределу подпоследовательность. Достаточно придавать п только нечетные значения. * Больцано Бернард (1781 —1848) —чешский математик. Вейер- штрасс Карл Теодор Вильгельм (1815— 1897) — немецкий математик. 106
Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что если последовательность хп (п=1, 2, 3, ...) не ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность x,lft —< оо. 2. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-нибудь ее подпоследовательность. „ „ 1113 17 1 2«—1 3. Из последовательности j, у, —, —, —, —..... —, ... выделить сходящиеся подпоследовательности. 4. Из данной последовательности выделено несколько подпоследовательностей, сходящихся к одному и тому же пределу. Можно ли на этом основании утвер- ждать, что и сама последовательность также сходится? 5. Из данной последовательности выделена расходящаяся подпоследователь- ность. Можно ли утверждать, что сама последовательность также расходится? § 10. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y—f(x) задана на некотором промежутке X, за исключением, может быть, точки х0 этого промежутка. Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0: ^1> '*'3’ •••> Хп, •••> (1) сходящуюся к хв. Значения функции в точках этой последователь- ности также образуют числовую последовательность H*i), f(x3), .... f(xn), .... (2) по отношению к которой можно ставить вопрос о существовании и нахождении предела. Поскольку составление последовательности (11 ничем не обусловлено, кроме того только, чтобы она сходилась к точке х0, то ее можно составлять различными способами. Соот- ветственно будем получать и различные последовательности (2). Если последовательности (2), соответствующие всевозможным последова- тельностям (1), имеют один и тот же предел, например число А, то будем говорить, что функция y—f (х) имеет в точке х0 предел, равный А, и обозначать: limf(x) = X. Если же хотя бы для одной последовательности (1), сходящейся к х0, последовательность (2) не имеет предела или имеет предел, но отличный от предела другой последовательности (2), то говорят, что в точке х0 функция y=f(x) предела не имеет. Дадим теперь строгое определение предела функции в точке. Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке х0, если для любой последовательности точек (1) из про- межутка X, отличных от х0, сходящейся к точке х0, последователь- ность соответствующих значений функции (2) сходится к числу А. Существует и другое определение предела функции. Определение 2. Число А называется пределом функции f (х) в точке х0, если для любого сколь угодно малого числа е > О найдется такое число б >0, что для всех хр х0, хе X, удовлетво- ряющих неравенству | х — х01 < б, выполняется неравенство j f (х) — A j < s. 107
Первое определение основано на понятии предела числовой после- довательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Определение же второе использует понятие s-окрестности и 6-окрестности и потому его называют определением «на языке 8 — 6». Теорема 1. Первое и второе определения предела функ- ции эквивалентны, то есть если функция имеет предел в точке х„ согласно одному из определений, то этот же пре- дел функция будет иметь и по другому определению. Доказательство. Пусть А есть предел f (х) в точке х0 по первому определению. Рассуждая от противного, предположим, что А не является пределом этой функции по второму определению. Это значит, что не для любого 8 > О можно найти такое 6>0, чтобы из неравенства | х—х0 \ < 6 следовало бы неравенство \f (х)-— А | <8, то есть существует такое 8 = е0, для которого нельзя подобрать 6, удовлетворяющего указанному условию. А это, в свою очередь, озна- чает, что для 80, какое бы 6 мы ни взяли, найдется хоть одна точка х х0 такая, что |f(x)— A|Sse0, хотя \х—х01 <; 6. Возьмем в ка- честве 6 последовательно числа: Для 6 = 1 в X найдется такая точка хх & х0, что 5—- л-01 < I, а |/(Xj) —A I ^S8O. Для 6=у в X найдется такая точка х2 х,„ что |х2 —х0|<у, a \ — A |Sse0. Для 6=у в X найдется такая точка х;! х,„ что |х8 —х0|<у, a I f (хз) — А ) Ss е0, и т. д. j 1 Для д — — в X найдется такая точка х„^хп, что \ xn — x0'<Z—, a I f (х„) — А | =аей, и т. д. В результате выделится последовательность точек, отличных от х0: х1, Х3> * • • , хп> • • • » сходящаяся к точке х0, так как \хп—хо|<у->0 при п->оо. Тогда согласно первому определению lirn/(x„) = А. Следовательно, по ей найдется такое число N, что для п > N будет । f (хп)—А I < е0. Но этого быть не может, так как для всех п выполняется неравенство |f(x„) — A|2se0. Полученное противоречие и доказывает что число А есть предел функции f (х) в точке х0 по второму определению. Пусть теперь А есть предел f (х) в точке х0 в соответствии со вто- рым определением. Возьмем любое е>0. По нему найдется такое 6 > 0, что из неравенства |х—xoj<6 будет следовать неравенство |/(х)—А|<е. Возьмем последовательность точек х1( х2, х3, ..., х„,..., сходящуюся к точке х0(х„^х0). Тогда по 6 найдется такое N, что для п> N будет |х„—х0|<6. Но вместе с этим будет выполняться 108
и неравенство \f (х„)—Л|<е. Следовательно, \\mf(xn) = A. По- скольку последовательность точек, сходящаяся к х0, выбиралась про- извольно, то можно утверждать, что А будет пределом f (х) в точке ха по первому определению. После того как мы установили эквивалентность обоих определений предела функции, можно пользоваться любым из них, в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи. Следует заметить также, что оба определения сами по себе еще не дают способа отыскания предела данной функции. С их помощью иногда можно лишь установить, будет ли то или иное число преде- лом функции, или можно убедиться, что данная функция вовсе не имеет предела. Пример 1. Показать, что функция f (х) =х в любой точке х0 — а имеет пре- дел, равный а, то есть lim f(x) — a. х->а Возьмем е> 0. Из неравенства \f(x)—a\=\x--a\ < е заключаем, что 6 нужно взять sge. Тогда, если | х — х0 | = J х—а | < 8, то | /(%) — а | < 8. Пример 2. Показать, что функция / (х) = 3х —5 имеет в точке х = 2 предел,- равный 1. Каково должно быть 6, если в равно 1, и ™ ? A vzVa Возьмем любое е > 0. Задача состоит в том, чтобы по этому к найти такое 8>0, при котором из неравенства 1х — 2'<6 следовало бы неравенство |(3х—5)—1 | < 8. Последнее преобразуется к виду 13 (х — 2) |<е или |х — 2 | < X 1 ТО О = ’—г~ о Отсюда 3 ; если s = видно, что можно взять б — В частности, 3 • . 1 то 6= зад. если е=1, 1 2*, то о 1 1 ---- " ТТГЛ С —...... ..... g , CV.J1H & -------- IQQ ) Пример 3. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что функция f (х) = х2 — Зх — 1 имеет в точке х = 2 предел, равный —3, то есть lim (х2 — Зх — 1) = — 3. х -» 2 Этот пример проще решить, используя определение предела функции «на последовательностей». Пусть {х„} — произвольная последовательность к 2, то есть х„-*2. Тогда, применив теорему о пре- §4), получим: limx2 — lim (хп Х,Г2 Х,Г2 языке значений х, сходящихся деле произведения (см. lim Зх„ = 3 • 2=6. «-> 2 71 По теореме о пределе 2 = 4С суммы и разности получим: m / (х„) = Иm (х2 —- Зх„ — 1) = 4 — 6—1 = — 3. —2 х„->2 Поскольку последовательность {х„} предполагалась произвольной (с одним лишь требованием, чтобы х„ — 2), то на основании определения предела функ- ции заключаем, что lim (х2 — Зх — 1) = — 3. х-*2 Таким образом, решение свелось к тому, что в выражение данной функции мы подставили х = 2. Легко понять, что прове- денное рассуждение применимо к любому многочлену, и мы можем сделать следующий общий вывод: для того чтобы найти пре- дел многочлена 109
cIqX ci^x i -j— ... -j- an_]X + On при стремлении x к некоторому числу а, достаточно подставить в выражение этого многочлена вместо х число а, то есть lim (аохп + (цх^1 +... + + ап) ~ = аоа" + Gja"-1 +... + ап-Ла + ап. Для сравнения решим тот же пример 3, исходя из опрэделения предела функции «на языке е — 6». Возьмем произвольное в>0 и найдем такое б > О, чтобы для всех точек х, удовлетворяющих неравенству |х— 2)<б, выполнялось неравенство | (х2—-Зх—1) — ( —3) | < 8. Выражение, стоящее под знаком абсолютной величины, можно преобразовать так: (3 \2 J X—- -g-j-= Г / з \ 1 1 г / з \ . 1 1 . . = '^Х “—2~\ —• ~2~J • |_ уХ--f- -g-j (X Z) (X —" 1). Следовательно, должно выполняться неравенство (х —2) (х — 1)|<8 или ] х —21 • | х—1 ] < е. (1) Пусть 6 пока еще не определено. Но если предположить выпол- ненным неравенство |х —2|<б, то |х—1 | = |(х—2) +1 =С| х —2|+1 <6 +1 и тогда | х—21 • | х •— 1 | <z 6 (6 -J-1). (2) Сравнивая (1) и (2), заключаем, что б достаточно взять таким, чтобы 5 • (6-|- 1) = в. Решая последнее равенство, получаем: б2--6 = г, или б2-4-б — е = 0. Отсюда б = —— ± |-;-е. ¥ Так как б должно быть положительным, то из двух возможных решений берем: с 1 . -| Г 1 , j/Т 4е — 1 6==~т + | т + 8=----------g----. В частности, если е = 2, то 6 = 1, если б * 8=|^, то 6 = 0,009, ит. д. Заметим,что если для конкретных значений е нахождение соот- ветствующих значений б по полученной формуле затруднительно (как в нашем примере при е = у^), то можно вычислять его при- ближенно. Однако округлять результат следует только в сторону уменьшения. 110
Рис. 55. П р и м е р 4. Показать, что функция / (х) = sin—, определенная для все х ф О, в точке х = 0 не имеет предела (рис. 55). Возьмем в качестве последовательностей значений х, сходящихся к нулю, сле- дующие последовательности-» 1 1_ Зл пл'"’ 2 2 9л’ ” (4п —3) я’ шх соответствующие последовательности значений данной функ- П± 1 1 л ’ 2л’ А ’ л ’ 5л’ Составим для ции: Ця/’ Цбл)’ ЦЭл) ’ 'f\(4n—3) я/ ’ / 1 \ г 2 \ Так как при любом п значения / — sin пл=0, a f -п----------------— = ' ' \пл] ' \(4п — 3) л j = sin 5--g—~~~ = 1> то для первой последовательности lim / (х„) — lim smnn = 0, 4п___з а для второй — lim f (хп) = lim sin —— л = 1. Оказалось, что для выбранных таким образом последовательностей значений аргумента соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. А это и значит, что в точке х — 0 функция sin —предела не имеет. Кроме рассмотренного нами понятия предела функции в точке, существуют также понятия предела в точке слева и предела в точке справа. 111
Если в определении предела функции потребовать, чтобы х стремилось к х0 не любым способом, а только слева (оставаясь все время меньше х0), то получим определение предела слева в точке х0- Аналогично, если существует предел функции f(x) в точке х0 при условии, что х стремится к х0 только справа (оставаясь все время больше х0), то такой предел называется пределом справа. Пределы слева и справа иначе называются односторонними пределами и соответственно обозначаются так: lim f (x) — f (х0 — 0), lim f (х) = / (х0 + 0). —0 x-»xo + 0 Из определения предела следует, что если функция имеет в ка- кой-либо внутренней точке промежутка предел, то она имеет в этой точке и односторонние пределы, причем lim / (х)=/(х0—О)=/(хо + О). Х-+Х0 Но функция может иметь односторонние пределы и при отсутствии предела в точке. Приведем пример такой функции. ( X2 при Xsg 1, П р и м е р 5. f (х) = ( I х+1 при х > 1. В точке х=1 эта функция не имеет предела, но имеет предел слева, равный 1, и предел справа, равный 2 (рис. 56). Если же функция в некоторой точке имеет односторонние пре- делы, равные между собой, то их общее значение будет пределом функции в этой точке. Пример 6. Вычислить односторонние пределы функции у = Е(х) в точках, соответствующих целочисленным значениям аргумента х. График этой функции изображен на рисунке 57. 112
Пусть х — п. На промежутках [п, п+1) и [п—1, п) функция постоянна, причем Е (х) — п на [п, п+1) и £(х) = п—1 на [п—1, п). Следовательно, Пт £(х) = п—1, lim £(х) = п. х-*п — 0 Аналогичная картина и в точках п. Для функции f (х), заданной в некотором промежутке X, можно ввести также понятие бесконечного предела в точке х0 (при х —> х0). По аналогии с двумя определениями конечного предела функции в точке сформулируем два эквивалентных определения бесконечного предела. Определение 3. Если для любой последовательности значений х: сходящейся к х0 (х„+=х0), limf(xn) = oo, то говорят, что функция f (х) имеет в точке х0 бесконечный предел. Определение 4.Функция f (х) имеет в точке х0 бесконеч- ный предел, если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такое число 6>0, что для всех значений х из X (хЦ=х„), удовлетворяющих неравенству ) х — ха | < 6, выполняется неравенство | f (х) | > М. Бесконечный предел функции f (х) в точке х0 записывается сле- дующим образом: limf(x) = оо или /‘(х)-> С'Э при х->х0. Аналогичным образом определяются и соотношения lim/(x)= + оо и lim f (х) = —оо. л-—Хо х—х„ Последнее, например, означает, что f(x) удовлетворяет условию из определения 3 или 4, и, кроме того, известно, что в некоторой окрестности точки х0 функция f (х) принимает отрицательные зна- чения. Если бесконечный предел функции f (х) в точке х0 получается при стремлении х к х0 только слева (х->х0—0) или только справа (х->Хо + О), то в этом случае имеем дело с односторонними беско- нечными пределами. Если функция f (х) задана в бесконечном промежутке, то для нее имеет смысл вводить определение предела «на бесконечности». Например, если /(х) задана в промежутке (а, ф-оо), то можно ввести понятие lim f (х). X — Определение 5. Число А называется пределом функции f (х) при х -*- + оо, если для любого е > 0 найдется такое вещест- венное число К, что \f(x)— А|<е для всех значений х>К- 113
В этом случае число А называют пределом функции на бесконеч- ности и обозначают: lim f(x) = A. л-* 4-°° Неравенство |f(%) — Aj<e равносильно неравенству А—е< < f (х) < А + е. Учитывая последнее, можно дать следующее геомет- рическое истолкование предела функции на бесконечности: lim f(x) = A хco геометрически означает, что кривая y = f(x) при х->4-оо неогра- ниченно приближается к прямой у —А, то есть, какое бы е>0 мы ни взяли, найдется такое /С, что для всех значений х> К кривая y=f(x) будет находиться между прямыми у = А — е и y=A-f-e (см. рис. 58). Аналогично определяется и геометрически истолковывается предел lim/(x) = A. х-~> — оо Можно дать равносильное определение предела функции на бес- конечности «на языке последовательностей». Рекомендуем читателю сделать это самостоятельно. Пример 7. Используя определение предела функции на бесконечности, дока- зать, что lim ех =1. X —* со Возьмем произвольное е > 0 и определим значения х, для которых выполня- ется неравенство —1 |<е. Так как ех> 1 при любом х>0, то наше нера- венство можно переписать так: е х — 1 < е, или ех < 1 -|- е. Логарифмируя обе части последнего неравенства по основанию е, получим: —< In(l-f-e), откуда 1 Х „ х>:—л-;—Если за К Рзять число -=—;—г, то для всех значении х >К In (l-pe) In (1 + е) ’ будет | е х — 1 | < е. Следовательно, lim е х 1. Очевидно, график функции у — е х при х>/< будет лежать в полосе между прямыми у=1+е и у=1 —8. Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать определение «бесконеч- ного» предела функции на бесконечности, то есть, например, соотношения lim f(x) = -фоо. X—ют Пример 8. Исполйзуя определение предела функции на бесконечности, дока- зать, что lim а* = +со (при а> 1). X —*-|~со Покажем, что, какое бы большое положительное число М мы ни взяли, начи- ная с некоторых значений х будет | ах | = ах > М. Возьмем любое число М > О и будем искать значения х, при которых ах> М. Логарифмируя обе части послед- него неравенства по основанию а, получим: х > loga М. Итак, по М нашлось такое число /< = Iog„A/, что для всех значений х>К выполняется неравенство ах>М. Это и означает, что величина ах при х—»-j-co является бесконечно большой, именно lim ал' = -|- со (см рис. 34). со 114
Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Пользуясь определением предела функции, доказать, что в точке х = 2 функция f(x) = 3x2— 2 имеет предел, равный 10. Каково должно быть 6, чтобы из неравенства | х—2 | < 6 следовало неравенство | f (х) — 10 | < 0,01? 2x4-8 2. Пользуясь определением предела функции, доказать, что lim —4-—- = 2*. Х-*ОО X 1 3. Пользуясь определением 4. Пользуясь определением предела функции, доказать, что Ита* = 0 {а > 1). X —*—• со .. Зх—1 предела функции, доказать, что lim -=——- ф 1. х->со Ьх-\-2 5. Показать, что функция у = х—Е (х) не имеет предела ни при каком целом значении х. Чему равны односторонние пределы функции в этих точках? § 11. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ПРЕДЕЛАХ НА СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Пользуясь определением предела функции f(x), можно было бы доказать заново все теоремы о пределах. Однако в этом нет необ- ходимости. Если исходить из определения предела функции «на языке последовательностей» и применить доказанные выше теоремы к по- следовательностям типа f (х„), то легко получить соответствующие теоремы для функций общего вида. В качестве примера того, как можно доказанные теоремы рас- пространить на случай функций f(x), заданных в промежутке, рас- смотрим теорему о пределе суммы, разности, произведения и част- ного. Прежде всего заметим, что арифметические действия над функци- ями можно производить только в общей части их областей опре- деления. Теорема. Пусть функции f(x) и g(x), определенные на некотором промежутке, в точке х(1 этого промежутка имеют конечные пределы, Нт/(х) = Д и limg'(x) = fi. Тогда функции, представляющие собой сумму, разность, произве- дение и частное этих функций (последнее при условии В^О**), имеют в точке хй также конечные пределы, причем 1 im [/ (х) ± g (х)] = А ± В; 1 im [f (х) • g (x)] = А В; X —х„ х—х0 .. У(х) А lim \ х-х. «•(*) Доказательство. Условия limf(x) = X и limg(x)=B на X Х$ X Xq «языке последовательностей» означают, что для любой последователь- В • * Если функция / (х) имеет один и тот же предел при х-»фсои при х—— со, то этот предел можно записать так: hmf(x). Х-»оо ** Из условия В^О вытекает, что для х, достаточно близких к х0, будет , . , rt f (х) g (х) уЬ 0 и для этих х отношение & не теряет числового смысла. на
ности значений х: х1г х2, х3, ..., хп, .... сходящейся к х0(хп^х0), будет f(xn)->A и g(xn)-*B. Если к этим двум функциям (уже от натурального аргумента) применить теорему из § 4, то мы получим, что f(xn)+g(xn)->A + B. Отсюда вытекает (вследствие произволь- ного выбора последовательности {хп}), что f (х) + g (х)-> А +В. Другие случаи разбираются аналогично. Таким же образом переносятся на случай функции, заданной в промежутке, и все остальные теоремы о пределах (исключение составляет теорема 8, § 3), а также все изложенное в § 5 относи- тельно неопределенностей. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х —> х0, если lim/(x) = 0. Функция f(x) называется бесконечно большой при х->х0, если lim/(x) = oo. Например, функция f(x) — —является бесконечно малой при х->2 (так как lim *..~-у- —0) и бесконечно большой при х->3 х—2 х — d (так как пт——я-=оо). л-*3 х ” Решим несколько примеров на вычисление пределов функций. При этом в первых двух будут выведены весьма важные формулы, которые необходимо запомнить. Пример 1. Рассмотрим функцию f(x) — (l +х)х. Она сущест- вует для всех х> — 1, кроме х = 0. Покажем, что 1 lim (1 + х)х —е, (1) пользуясь определением предела функции «на языке последователь- ностей». / 1 \п В параграфе 7 мы установили, что переменная х„ = (1-|-—) имеет предел. Его мы назвали числом е: / 1 \п e = lim 1 4— . \ п / Используем этот предел для доказательства равенства (1). Пусть х стремится к нулю справа, пробегая любую последовательность значений хх, х2, х3, ..., х*,... Можно считать, что все хА<1. Поло- жим Тогда nk^~<nk+i и ---1. < xft ~ . \XkJ xk nk + I Пц Поскольку хй->-0, ясно, что nk-^oo. Следовательно, Пределы крайних выражений могут быть вычислены следующим 116
образом: _ Т — е Следовательно, применяя теорему о сжатой переменной к неравен- ству (2), в пределе получим: JL lim (1 —е. Поскольку последовательность х*->0 (справа) выбиралась про- извольным образом, мы уже доказали формулу (1) «на языке после- довательностей», но лишь для предела справа: 1 lim (1-{-х)х=е (3) х—+0 (вместо х->0 + 0 пишут х->4-0). Пусть теперь хь стремится к нулю слева (х*>—1). Положим yk=—xtl. Тогда 0<щ. <1, yk будет стремиться к нулю справа и 1 1 — (14-xft)**=(l—yk) Хь = (гАг}k ~ }Vh • (1 4“ • Так как lim (1 4- Л&—'j Ук = e, a lim (1 4-=» 1, то 1—Ук1 ук^'л' I lim (1 -\xk)Xk=--e. Как и выше, отсюда вытекает формула (1) для предела слева: 1 lim (1 х)х =е. (4) х->-0 Из (3) и (4) следует, что рассматриваемая функция в точке нуль имеет одинаковые односторонние пределы, что и завершает доказа- тельство нашего утверждения. Пример 2. Рассмотрим функцию /(х) = -^2Д Она существует для всех х # 0. Покажем, что Inn—— =1. (5) л-^0 х С этой целью в окружности радиуса 7? построим острый централь- ный угол, радианную меру которого обозначим через х (о<х<-^. 117
a Рис. 59. Построив затем хорду AB и линию тангенсов, можем утверждать, что площадь Л АОВ < площади сектора АОВ < площади Л АОС (см. рис. 59). Пользуясь соответствующими формулами для вычисления указанных пло- щадей, получим: y/?2sinx<y7?2x< ~В2 tgx. Разделив все части неравенства на у/?2, будем иметь: sinx<x<tgx^O<x<yj. (6) Заметим, что соотношение (6) между функциями sin х, tg х и их аргументом х имеет самостоятельный интерес и будет использовано нами ниже. Для решения данной задачи подвергнем неравенство (6) некото- рым преобразованиям. Разделим sin х на каждую из частей нера- венства. Получим: sin x ---> COS X. Вычитая из единицы все части полученного неравенства, находим: 0<; j — 5ДД < 1 — cos х. Так как siny<l, то sin2 sin у. Следовательно, в силу (6) получим: 1 — cos х — 2 sin2 у < 2 sin-y < 2 • у = х.. Тогда Л , sin х 0< 1-------<х. х Возьмем е>0. Если за 6 взять наименьшее из чисел е и у, то при 0 < х < 6 будем иметь х < 8, а потому I < sin х | _ 1-------< е. I х I Тем самым доказано, что Игл 1. Однако здесь мы предполагали, х-*0 х что х->0 справа (х>0). Но так как -у- является функцией четной (рис. 60), то есть не меняется при замене х на —х, то предел остается равным единице и при х->0 слева (х<0). Таким образом, равенство (5) доказано полностью. 118
Заметим, что из выведенной выше оценки для 1— cos к сле- дует, что lim cosx=l. Установим попутно еще один результат, который понадобится нам в дальнейшем. Покажем, что для любого х справедливо нера- венство: | sin х | | х |. (7) Действительно, для 0 < х < у оно уже установлено выше (см. неравенство (6)). При х=0 оно очевидно. Пусть Так как у>1, а | sin х | sC 1 для всех х, то I sin х | < | х |. Остается доказать неравенство (7) для х<0. Пусть х<0, тогда — х>0 и по только что доказанному имеем: |sin( — х) | <| — х!. Таким образом, и в этом случае | sin х) ! х |. Как уже отмечалось выше, для раскрытия неопределенностей даже одного какого-нибудь вида нельзя указать единого способа. В зависимости от конкретного примера неопределенность раскры- вается тем или иным способом. В дальнейшем с помощью диффе- ренциального исчисления будут получены некоторые общие способы раскрытия неопределенностей (§ 2, гл. VI). Здесь же продолжим рассмотрение некоторых наиболее употребляемых способов и при- емов раскрытия неопределенностей, начатое в конце § 5. Пример 3. Найти предел многочлена n-й степени при 4-со: lim (at,x" + tM'"1 + а2л'"2 + ... + а,1Ах + ап) (а0 & 0). х —* -J- со В данном случае можно повторить все рассуждения, проведен- ные нами при решении примера 1, § 5. В случае коэффициентов с разными знаками имеем неопределенность вида сю —оо. Для раскрытия этой неопределенности вынесем за скобки высшую сте- пень х, получим: lim Vя Iп I а1 । °2 I , ап-1 , ап\ lim X flo + v + Ta + ••• +-й=г + ой . Х-»4-0О \ л X X X / Предел выражения в скобках, очевидно, будет равен первому сла- гаемому а0 (так как остальные слагаемые являются бесконечно 119
малыми), а предел хп — бесконечности. Следовательно, все выраже- ние будет иметь своим пределом 4-оо или — оо, в зависимости от знака а0. п л it - ~ 1 - х34~5х2 + Зх !- 4 Пример 4. Наити предел lim —4_———4— 2х34-Зх4-8 Имеем неопределенность вида —. Такие неопределенности, как уже показано в примере 2, § 5, раскрываются делением числителя и знаменателя на высшую степень х, в данном случае — на х3: 1 , 5 3 ± х3 4- 5х2 4- Зх 4- 4 .. "г х ~ х2 ' х3 1 ..2х34-Зх4-8 - Дд 3 _8 “ У* + х2 г X3 __ q3 Пример 5. Найти предел lim-я-т—=----------г-=--- х^,а Зх2 — Зах + 5х — 5а В данном случае имеем неопределенность вида В подобных примерах проще всего разделить предварительно числитель и знаменатель на х — а. Атле- те всегда будет без остатка, так как х = а является корнем обоих этих много- членов (вспомните следствие из теоремы Безу). Получим: х3 -* a3 v™ х2 4™ах 4“ а3 За2 Зх2 — Зах — 5х —5а 3x4-5 За4-5* Пример 6. Найти предел lim (х—j^x2—-4). Х-*4“О° Имеем неопределенность вида оо —оо. Решаем аналогично примеру 4, § 5. Разделив и умножив на х+|/х2 — 4, получим: 1* / т/—у—та т (х — Ух2—-4)(х + угх2 — 4) 4 Нт \Х—У X2—4) = lim ------------угу...':"":==-----------------у—....1 x —.-f-oo x—-Д-со x4™ V x2—-4 X“*4"Cox4~"t x- — 4 Иногда при раскрытии неопределенностей бывает очень удобно воспользо- ваться тем или иным уже вычисленным пределом. Так, например, с помощью «редела (5) можно найти многие другие пределы. Пример 7. tgx smx 1 smx .. 1 , , , lim -S— — lim •—- • —- = lim lim w 1.1 = 1, x_»o x A._o x cosx x_*o x x->-0cosx „ . „ X I . X , 2 Sin® 7Г , / Sin -Д- \ , , Пример 8. .. 1—cosx 2 1 ( 2 ) 1,1 lim — hm — hm . = . P . x—*0 X2 x->0 л X\2 2 X/2 2 4Ы \ T / Пример 9. Найти предел lim 2n-sin^ —постоянная), n—»co Имеем случай неопределенности вида оо • 0. Обычно такую неопределенность , 0 ОО г> сначала преобразуют к виду или —, затем раскрывают. В данном случае выра- . х sin 2" 0 жение - j - уже представляет собой неопределенность вида Следовательно, 2« 120
Пример 10. Найти предел lim (1 —x)tg-=. х 1 2 Здесь также неопределенность вида 0 • со. Воспользуемся приемом решения примера 9. Кроме того, полезно еще положить 1— х=г. Тогда при х-• ! будет- 2 — 0 и .. , лх , л (I — г) , , /я лг\ hm (1-X)tgv= lim z-tg-\—= lim z tg = X—>1 2 —* 0 2—*0 / nz TSZ = lim z ctg — z-»u 2 2 .. 2 — hm---------- 3T 2 0 , JT2 °tgT 2.1=2. Л 3T Пример 11. Найти предел lim Воспользуемся примером 1. Там установлено, что lim (1 4-a)“ —е. Попробуем а—»0 представить в виде выражения (1 + а) предел которого при a—>0 нам» г, Х известен. Для этого положим - х 2 4- (х зится через а в виде х=-—!—. Следовательно, Г 1 12 lim L(l+a)aJ 1 = 1-f-a. Тогда a —0 при x —* co и x выра- lim I —“т) = 1 ini (1 -j~ ct) ,* / a—*0 Пример 12. Найти предел lim л ^4 о Имеем неопределенность вида -д-. sin 2X -—COS 2х- sin x~cosx , sin 2х — cos 2х — 1 .. lim----------------- = hm я sin х—cosx 4 2 sin x cos x — 2cos2 x /г ----------------=, hm 2cosx=2.^K- = y2. oil J Jv VAyo A-ffY £ Можно было также воспользоваться подстановкой х----= г (то есть х — 4 \ л \ = 2+т)- В заключение рекомендуем читателю при раскрытии неопределенностей поль- зоваться и пределами, вычисленными в § 10 следующей главы; lim IggHH-*) х-^0 X 1) = log«e; lim x-^0 — = log aP = lna; lim 0+*)и-» = и. 4 4 X 3)
Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Функция y = f(x) имеет в точке х0 конечный предел Д>0 (<0). Что можно сказать о знаке этой функции в достаточно малой окрестности точки х0? У казакие. Сравните с теоремой 3 из § 3. 2. Сформулируйте основные теоремы о пределах из § 3 (кроме теоремы 8) для случая произвольных функций f (х). В задачах 3—26 вычислить пределы. 3. lim Iх2- 8х 5х2-|-Зх* „ 8 Отв. g-. 4. 1;т-х2~5х+6 x_2Xs — 2х2 —x-j-2’ 1 Отв. 0 5. lim а.г-5*±£. х —*оо х2 18х — 8 Отв. 3. 6. lim x8+2x+j. X —► co X —1 Отв. co. 7. Пт 8x2 + Зх 4 х —* со X3 + 8 Отв. 0. z. 1 Отв. —. e 8. lim /?£+?? X-*00 \2x-f- 1/ * Отв. e. 9. lim f / У х-+со \1 4~Х/ 10. lim (l-J-tgx)ctgx. x-*0 Отв. e. 11. Пт (х —-Ух2+ 5% х~*оо — 8). Отв. — -g-. i- Ух2 4-1 — у x2—: 12. hm — I —- x-» + oo у X—1—Уху1 1. Отв. 0. 13. hm = . х-. 16 у х — 4 z. 1 Отв. Т”» 4 .. tgmx 14. lim t , x_,0 tgnx Отв. —. n ,. sin2(x—а) Х^ах® —2ах + а2 Отв. 1. ,Л sinx—sin а 16. hm . x-.ii x~a Отв. cos а. 13 tgx—sinx 17. lim -2—г . х->0 X3 Отв. у. 18. hm (2— x) • tg^. x-*2 ’ 4 Отв. —. л 19. lim я 1 — tg X x-*'4 У2 Отв. — --g- • Г . x—3 . nx] 20. lim | sin —x— • tg ~=r1, x->3L 2 6 6 у з Отв, . л 21. HmL— x-»0 x Отв. 3. „ Inx—1 22. hm - —. x~.e x—e 1 Отв. — е _ .. In x3 — 3 23. hm . 1-.1 x — e Л 3 Отв. —. е eX — e2 24. hm x_2 X — 2. Отв. е2. Указание, Предварительно в числителе вынести за скобки А I х I х2_____________1 1 25. lim i-—' ~г ---. Указание. Обозначить х-|-ха = г. Отв. —, х-о х+ха п <)Х_у2 2 26. lim --=- Указание. Обозначить х—2 —г. Отв. 4 In —. х_2 х —2 е 27. Найти в точке х—0 односторонние пределы функции (х+1 при х<0, f(x)=l 0 при х—0, |х— 1 при х>0. 28. Найти в точке х=1 односторонние пределы функции I ПРИ Х<У ' ' ' ] x-f-2 при х^ 1. 29. Вычислить предел lim ()/(х+I)2—j/(x—I)2)- X—>00 122
Указание. Предварительно воспользоваться формулой ———- а2 + ab + Ь2 /^2 I 1 \ 30. Найти постоянные а и b из условия, lim —!—------ax—b =0. х —»оэ \ * / v Указание. Привести выражение к общему знаменателю х-J-l и в числи- теле коэффициенты при х и х2 приравнять к нулю. ' 31. Стеклянная пластинка поглощает 1% падающего на нее свега. Какая часть света будет пропускаться пачкой в 400 пластинок? Указание. Воспользоваться решенной задачей (пример 3) из § 7 и форму- лой (1) из § 11. Отв. «se ! л: . § 12. МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Понятие монотонной функции является аналогом понятия моно- тонной переменной хп. Определение Функция f(х), заданная на некотором проме- жутке, называется возрастающей (убывающей) на этом про- межутке в узком или строгом смысле, если для любой пары то- чек промежутка х' и х”, удовлетворяющих неравенству х' < х“, вы- полняется соотношение Если при условии х' < х выполняется соотношение (Ж)С'f(x"))> то f(x) называется возрастающей (убывающей) в широком или не- строгом смысле или неубывающей (невозрастающей). Функции указанных в этом определении видов объединяются под общим названием монотонных. Для монотонных функций справедлива следующая теорема. Теорема. Монотонно возрастающая или убывающая в широком смысле функция f(x), заданная на некотором промежутке, имеет конечные односторонние пределы в каж- дой точке этого промежутка*. Доказательство. Пусть f (х) монотонно возрастает в широ- ком смысле слова. Возьмем какую-нибудь точку с, не совпадающую с левым концом промежутка. В силу монотонности функции мно- жество значений f(x) для всех х<с будет ограничено сверху. Сле- довательно, по теореме из § 5 главы I существует точная верхняя граница. Обозначим ее через А и покажем, что эта точная граница будет пределом слева функции f(x) в точке х=с. Действительно, f(x)^A для всех х<с. По свойству точных границ для любого е>0 найдется такое х' <с, что f(x')>A—е. Тогда для x'c_x<Zc и подавно /(х)>Л—е. Итак, с одной стороны, для всех х<р_с бу- дет f(x)=^A и тем самым f (х) <АА-е, с другой стороны, для * Ясно, что на конце промежутка можно рассматривать лишь один односто- ронний предел. 123
x' <Zx<Zc имеем: f(x)>A — е. Следовательно, для х' </х</с вы- полняется неравенстве» А — е < f (х) •< А + е. А это значит, что lim f(x) = A, так как если за 6 взять число, с — О не превосходящее с—х', то \f(x)— А | <е для всех х<_с, удовле- творяющих неравенству |х—с|<6. Существование предела справа в точке с доказывается аналогично. Доказательство же второй части теоремы, когда f(х) монотонно убывает, очень напоминает только что проведенное доказательство. Рекомендуется провести его само- стоятельно. Если некоторая функция f(x) задана на отрезке [a, ft] и послед- ний можно разбить на частичные промежутки так, что на каждом из них f (х) будет монотонной, то такую функцию называют кусочно монотонной. Из известных нам функций кусочно монотонными яв- ляются: y — sinx (рис. 35), у=х2 (рис. 28), y = |xl (рис. 43), =х — Е (х) (рис. 25), функция, изображенная на рисунке 21, и Другие. Пример 1. Определить промежутки монотонности функции f (х) =ах2 + &. Будем считать, что а > 0. Пусть xt и х2 —любые две точки на числовой оси, удовлетворяющие неравенству хг < х2. Тогда f (х2) — f (Xj) ЧХ.': 4“ Ь — Ь = С1 (х/ — Xj'/ == d • (Х3 — Х|) (х2 Х|) и из последнего можно заключить, что a) f (х2) — f (xt) > 0 при 0^х1<ха, б) f (х2) — i (Л'|) < 0 при x1<x2«sO. Таким образом, при а>0 функция f(x) = axa4-b убывает на (—со, 0] и возра- стает на [0, +оо). Если же предположить, что а < 0, то легко обнаружить противоположную картину: на (—оо, 0] функция будет возрастать, а на (0, 4-аз) —убывать. Пример 2. Определить промежутки монотонности функции f(x)=axa-|- 4- Ьх 4- с. Преобразуем квадратный трехчлен, дополняя его до полного квадрата: , , , / „ , b , с \ Г/ . b\2 , 4ас —62 ах2Мох-Мс — а х24---хй— = а х4- =- -4- ——— ‘ 1 \ а 1 а / [\ 2а/ 4а2 Получим: / b \2 4ас—&2 /(х) = а^4-за) +-^~. И для дальнейшего исследования можно воспользоваться результатами предыду- щего примера, так как функция / (х) имеет такой же вид и лишь х заменено на b ь / -x4-f>^. Следовательно, при а>0 функция возрастает, если х4~ —^01то есть х^ —и убывает, если х4-^-<0 [то есть xsg—, Промежутком возра- стания функции будет а промежутком убывания будет —оо, 61 2а] ’ Если считать, что а < 0, то промежуток возрастания функции станет проме- жутком убывания и наоборот. 124
Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что функция /(х) = х3 возрастает на (—•», 4-со). [л П О, — функция sin х возрастает, а функция cos х убывает. 3. Исследовать на монотонность следующие функции: a) f (х)—ах-}-Ь, б) (,(*) = = ах (а > 0). Отв. а) На (—со, 4-со) возрастает при а>0 и убывает при а СО. б) На (—со, 4"°°) возрастает при я>1 и убывает при а С 1. 4. Следует ли из неравенства f <х) С !> (х) неравенство / [/ (х)] sgg- [g (х)], если функции f (х) и g (х) возрастающие? 5. Привести примеры монотонных и немонотонных бесконечно малых, а также монотонных и немонотонных бесконечно больших величин. 6. Доказать, что монотонно убывающая функция, заданная на [л, &], имеет в каждой точке односторонние пределы. § 13. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ При изучении различных вопросов, связанных с понятием бес- конечно малой величины, часто приходится различать бесконечно малые по характеру их изменения. Одни бесконечно малые стремятся к нулю «быстрее», другие «медленнее». Так, например, бесконечно малая а = — стремится к нулю при х -* оо с «большей скоростью», чем бесконечно малая 0== —. Действительно, еслихпробегает, например, значения 1, 2, 3, ..., п,..., то а— 1, 8 , 27 , 64, ........... R-1 2 1 1 1 J р ’ 2’ '3’> 4 ’ 5 ’ *” ’ п ’ Определение. Бесконечно малая а называется бесконечно ма- лой высшего (низшего) порядка по отношению к бесконечно ма- лой р, если Игл ^-=0(= оо). В этом определении подразумевается, что аир суть функции от одной и той же переменной (например, х) и а и р стремятся к нулю при одном и том же условии, накладываемом на аргумент (например, при х, стремящемся к некоторому пределу). В соответствии с определением 2 ПрИ х->оо будет бесконечно £ 1 X® X малой более высокого порядка, чем —, так как Нт-. = Нтт = * х—^оо . х-+ооХ 1 х z = Jim 2=о. Определение. Две бесконечно малые а и р называются беско- нечно малыми ооного порядка, если предел их отношения равен 125
некоторому числу, отличному от нуля, то есть если lim-p =-/! =40. Бесконечно малые одного порядка характеризуются как бы «оди- наковой скоростью» стремления к нулю. В частности, если lim -^-= 1, то а и 0 называются эквивалент- ными бесконечно малыми, что обозначается так: а=-р. В отдельных случаях оказывается недостаточно знать, что из двух данных бесконечно малых одна является бесконечно малой высшего порядка, чем другая. Нужно еще как-то оценить, насколько выше или как высок этот порядок. Последнее имеет немаловажное значение при изучении характера изменения бесконечно малых. Определение. Бесконечно малая а называется бесконечно малой к-го порядка по отношению к бесконечно малой р, если а и Р* будут бесконечно малыми одного порядка, то есть если lim Л Так, второго скольку например, 1—cosx при х-*0 является бесконечно малой порядка малости по отношению к бесконечно малой х, по- х / . х\^ у smv „.- = 2 lim I——I = 2• -г x2 r^n\ x ] 4 lim , 2 sm2 1—cosx .—-— = lim X2 2 • Пример 1. Функции sin x и x являются при x-~0 эквивалентными беско- ,. sin x вечно малыми, так как lim ---=1. «—о х Пример 2. Функции sin Зх и sin 5х являются при х - 0 бесконечно малыми ,. sin Зх 3 одного порядка, так как lim .=...— -=-. х-т ЯП 5х 5 Пример 3. Бесконечно малые х и х sin — будут несравнимыми бесконечно малыми, поскольку их отношение (см. пример 4, § 10). . 1 х sm — . х . 1 п -------= sm — при х—-0 не имеет предела Пример 4. Сравнить бесконечно малые: /т (х) = 2х, /2 (х) — sm х2, /3 (х) — = sm х, (х) = ]Т14-х— 1 с бесконечно малой <р(х) = х. 2х 1) lim — = 2. Следовательно, 2х и х одного порядка. х-*0 х . sin х2 ,. Г sin х2 х2 2) hm ---= hm —=— • — Х^О X х2 х sinx2 = limx = 0, hm—— = 1. x->o x2 Следовательно, sinx2 является бесконечно малой высшего (второго) порятка. „. .. .. 1 I hml^=hm 1/^=1 3) |Пп'__=11т 1/ . =ю; х_^ ± нт у х л-*и х x-+0Lr х У X J 2 126
Значит, /sin x есть бесконечно малая низшего порядка. Ее порядок по отно- шению к бесконечно малой х равен . В то же время х будет бесконечно малой высшего (второго) порядка по отношению к бесконечно малой \sin х. /Т+7—1 . (/Гм-1) (/Г/Г-1) 1 I 1 л —> О X х-U X (/1 +*+1) х_»о/1+х+1 2 Следовательно, /1-|-х—1 и х одного порядка. Теорема 1. Для того чтобы бесконечно малые вели- чины а и р были эквивалентными, необходимо и доста- точно, чтобы их разность а—р представляла собой беско- нечно малую более высокого порядка, чем они сами. Доказательство. Необходимость. Пусть а^р, то есть lim = 1. Тогда limlim ! 1 — = 1 — lim — =0. а \ а / а Это значит, что бесконечно малая а —р имеет более высокий по- рядок, чем а. Аналогично доказывается, что а —Р —бесконечно ма- лая более высокого порядка, чем р. Достаточность. Пусть -0. Тогда lim 1 — -^==0 и по- лучаем, что lim^ — l, то есть с< р. Из этой теоремы следует, что при замене некоторой бесконечно малой величины а эквивалентной ей величиной Р допускаемая по- грешность не только абсолютная |а — р |, но и относительная 1^—~| может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому часто при раз- личных действиях над бесконечно малой прибегают к приближен- ной замене одних бесконечно малых другими, им эквивалентными, но имеющими более простой вид. Q При раскрытии неопределенностей вида -д- во многих случаях полезно пользоваться следующей теоремой. Теорема 2. Если имеем две пары величин а, р и а', Р' бесконечно малых, причем р~р', то а, .. а,' lim-5- = lim^7 Р Р (предполагается, конечно, что хоть один из этих пределов сущест- вует). Доказательство. Отношение j можно представить в сле- дующем виде: « _ а а' р' Р “ а' ‘ Р' ‘ J (здесь мы числитель и знаменатель первого отношения умножили на одну и ту же величину а'Р'). Переходя в этом равенстве к пределу 127
и используя теорему о пределе произведения, получим: ct ,. а а В'\ а а 6 hm ь- = 11ш - - хт • ig- = hm — hm hm Р \а р р j а Р' р Так как по условию lim^= 1 и то получаем: hm-3-=hm <гг. р р Эта теорема означает, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить любой эквивалентной бесконечно малой и от этого предел не изменится. При удачно выбранной замене задача раскрытия неопределенности может быть значительно упрощена. Пример 5. Так как при имеют место соотношения sin2x^2x и у(х+х2) ]| х J lim-------= Ит-~-=—. х-о 2х х^0 4 4 х 1 х 4- .—’— то hm ~-----’-г—~— 2 ’ sm 2х ах—1 Пример 6. Так как при х—*0 будет tgx~ х и ах— 1 х In а, то lim —— = х — 0 tg х х-1па = hm —— = In а. x-t 0 х Пример 7. Так как при х-^0 будет 1—cosx~-g- и sinx~x, то .г1 2 x3 * * * * Вcosx х3 cos х „ hm --------г— = Inn —:----г,------r-= hm —— = 2. д .г,‘ir v - sin х x_»0 sm x(l — cos x) j-o , 2 Замечание. В тех случаях, когда в числителе или знамена- теле стоит сумма, при раскрытии неопределенности нельзя заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами, так как такая замена может привести к неверному результату или вовсе к потере смысла. В теореме 2 доказана возможность замены! только всего выражения, стоящего в числителе или знаменателе, на эквивалент- ную ему величину. Так, если бы в данном примере мы заменили слагаемые в зна- менателе на эквивалентные величины (tgx на х и — sinx на — х), то х3 в знаменателе получили бы нуль и выражение -^не имело бы смысла. В тех же случаях, когда числитель или знаменатель представ- ляют собой произведение нескольких бесконечно малых или беско- нечно больших, то каждую из них можно заменять эквивалентной величиной, так как в этом случае и все произведение заменится эквивалентной ему величиной. Обычно при сравнении бесконечно малых одну из них условно принимают за основную. Пусть а — основная бесконечно малая. Тогда бесконечно малые вида с-а* (где с—постоянный коэффициент и А>0) естественно считать простейшими бесконечно малыми. 128
Будем сравнивать различные бесконечно малые не с основной бесконечно малой и, а с простейшими бесконечно малыми вида с-ак. При этом для каждой бесконечно Малой р будем подбирать числа с и k такие, чтобы с-а*^р. Определение. Простейшую бесконечно малую сак, эквивалент- ную данной бесконечно малой р, называют ее главной частью. Например, если х принять за основную бесконечно малую, то главной частью бесконечно малой (1 -(-х)^—1 будет цх, так как llmL-X4T----=1- (1) х-*0 г* Термин «главная часть» имеет тот смысл, что после вычитания из бесконечно малой Р ее главной части сак остается величина р — сак, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем р и чем с-ак (см. теорему 1). Следовательно, при замене бесконечно малой р ее главной частью с-ак допускаемая абсолютная погрешность д р— — c-aft| будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с р. Но тогда и относительная погрешность | L12L | будет величиной бесконечно малой. Последнее означает, что относительная погреш- ность приближенного равенства Р с • а.к может быть сделана сколь угодно малой при а->0. Из рассмотренных нами примеров известно, что если х считать основной бесконечно малой, то: а) для sinx главной частью будет х, то есть sinx«=;х, 1 j б) для 1 — cos х главной частью будет ух2, то есть 1 —cos х ««ух2, в) для tgx главной частью будет х, то есть tgx«^x, и т. д. Заметим, что, выбрав основную бесконечно малую а, мы можем находить главные части многих других бесконечно малых, сравни- мых с а. При этом для заданной бесконечно малой р может суще- ствовать много эквивалентных бесконечно малых, однако главная часть у нее одна. Например, при х~>0 функция sinx будет экви- валентной функциям: х, tgx, In (14-х), 2—— и др., но главной частью будет только функция х; все остальные не являются про- стейшими. Выделение главной части бесконечно малой величины можно про- изводить следующим образом. Пусть а — основная бесконечно малая. Требуется выделить главную часть бесконечно малой р. Определим сначала, если это возможно, порядок малости р по отношению к а, то есть найдем такое число k> 0, при котором lim Д- = с=^ 0. Тогда, а* очевидно, величина сак и будет искомой главной частью, так как lim—^- = 1. сак 5 Бохан и др. 129
Пример 8. Выделить главную часть вида схк бесконечно малой |1 = (1 4- + х2)3-1. ! /14-Х2)3__ 1 Так как lim —-—i------=3, то величина Зх2 является главной частью вели- х-0 *2 ЧИНЫ (1 --Х2)3—1. Формула (1) часто используется в приближенных вычислениях. Так, напри- мер, для функции (l-j-x)!1—1 формула (1) принимает вид: (l + x)i<- —1«=ц-х. В частности (при натуральном п), 'У 1 + X — 1 — • X, F п и по этой формуле можно приближенно вычислять корни п-й сте- пени (где « — натуральное). Пример 9. Найти приближенное значение корня |/1051. Сначала преобразуем корень таким образом, чтобы целая часть подкоренного количества стала равной единице. Сделать это всегда возможно делением или умножением на соответствующее число. В данном случае |/"1д5Г = 1000 • 1,051 = = 103/Н0бТ = 10 ^Т+ДОбТ. К корню применим приближенное равенство (2), положив в нем п = 3 и х = 0,051. Получим: $/Т+0/)51 - 1 «а• 0,051. Отсюда 3/Тб51 =« 1 + X X 0,051 = 1,017, и окончательно имеем: >/'1051 = 10 j/"l,051 як 10-1,017=10,17. На вопросе об оценке погрешности нашего вычисления мы не останавливаемся. Эквивалентность бесконечно малых In (14-х) и х при х->0 можно использовать для приближенного вычисления логарифмов по формуле 1п(1+х)№х (при малых значениях х). Классификация бесконечно больших проводится на основании следующих определений. Если lim -j — оо( = 0), то бесконечно большая а будет высшего {низшего) порядка по отношению к бесконечно большой р. Если lim — А у-О (Д—число), то а и р будут бесконечно большими одного порядка. В частности, если А ~ 1, то бесконечно большие эквивалентны, Если lim = А 0, то бесконечно большая а будет k-ro порядка по отношению к бесконечно большой [3. Для бесконечно больших функций можно сформулировать теорему, подобную теореме 2 об эквивалентных бесконечно малых. Пример 10. При х—-со бесконечно большая f (х) = х24-5х-(-4 низшего порядка по сравнению с бесконечно большой <р(х) = х3 — 2, так как / (х) х2 + 5х4-4 .. lim -Х-С = цт —L—' = hm -* СО ф 1х) Л' —* СО Х 2 X —> о: 1+А+± X ~Х2~ X3 1—А X3 130
Пример 11. При х—-со бесконечно большая 2х24-3 и бесконечно большая (х—I)2 имеют одинаковый порядок, так как 24- — .. 2ха4-3 .. Гх2 11га 11га‘7----TV^2' \ X J Пример 12. При х—со бесконечно большая У х-]-а и бесконечно большая Ух эквивалентны, так как с Ух~Ьа 1. I Гx-j-a q Г а . hm r——-= hm I/ hm 1/ 1+—=1. X —> оо ух X —. ОО Г А Л -.СО Г х Пример 13. Определить порядок бесконечно большой x^-f-Sx—1 по отно- шению к бесконечно большой Зх24-2 при х-—со. Решение сводится к отысканию такого числа k, при котором многочлены (Зх3 + 2)А и х44-5х—1 будут при х — со бесконечно большими одного порядка. Из примера 2, § 5, следует, что два многочлена при х —»со будут бесконечно большими одного порядка в том случае, если они одинаковой степени. Предо т их отношения в этом случае равен отношению коэффициентов при высших степенях х (см. также пример 4, § И). Следовательно, многочлен Зх2 4- 2 нужно возвести в квадрат (& = 2), чтобы получить многочлен как бесконечно большую величину одного порядка с многочленом х4 + 5х—1. Действительно, lim х45х — 1 j(m .г1o.v- -1 1 х-оо (Зх2 4- 2)2 9х4 + 12х2 +~4 “ ¥ ’ Итак, х-* ~ 5х —1 есть бесконечно большая 2-го порядка по отношению к бес- конечно большой Зх2 4- 2. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что если бесконечно малые а, р и у удовлетворяют условию: а ~ Р и р ~ у, то а ~ у. 2. Будут ли объем и поверхность шара бесконечно малыми функциями его радиуса, если последний стремится к нулю’ Определите порядок малости этих функций относительно радиуса. Отв. Объем есть бесконечно малая 3-го порядка, а поверхность —бесконечно малая 2-го порядка. 3. Сравнить следующие бесконечно малые функции в окрестности точки х = О с функцией <р (х) = х: a) f(x) = 5x; б) f (х) = y~sm х ; в) f (х) = 1 — cos 2х; г) / (х) = х 4-sin х; д) / W = УУ-У* — У1 — х ; е) / (х) = 1g х — sin х. 4. Определить при х —2 порядок малости следующих функций по отношению к функции ф(х) = х—2: а) /(х) = х3 —8. Отв. Одного порядка, в) /(x) = tg(x—2). Отв. Эквивалентна. б) f (х) = Ух—2. Отв. . г) f (х) — х— 1 — 1. Отв. Одного порядка. 5. Считая х —- 4-со, сравнить следующие бесконечно большие функции. a) f (х) = х2 — Зх-}-5 и <р (х) = х34-8х2 —3x4-2. б) f (х) = х34-2х— к и <р (х) = (х — 1 )3. в) f (х) = Ух2-]-5х—3 и ф (х) = 2х 4- 5. г) = 3 и <Р (*) = • д) Г(х) = У x-j-V^x-i-Ух и <у(х)^У~х. 5 131
Определить при х—1 порядок роста бесконечно больших функций по отно- шению к функции <р (х) = -—j-: л2 a) f(x) = ——р. Отв. Одного порядка. б) Нх) = ту=- Оте-~. у 1 — х3 3 в) = Отв. 7. Считая центральный угол АОВ (рис. 61) основной бесконечно малой, определить порядок малости следующих величин: а) хорды АВ, б) стрелки CD, в) площади сектора АОВ, г) площади Л АВС, Рис. 61. д) площади трапеции АВВУУ е) площади се- гмента АВС. 8. Используя эквивалентные бесконечно ма- лые, найти пределы: a) lim х — о sin пх ’ б) lim х -* о 5х2 + 4х3' в) lim (>z H~tg х — 1) (У 14-х х—о 2x-sinx Отв. Отв. 1) п — .Отв. т п ' 1 5 * ~1 4п‘ 9. Выделить главные части относительно бесконечно малой х (вида ex'1) следующих функций: а) 2х —Зх24~х3. Отв. 2х. б) | 14" х — У1 — х. Отв. х. 10. Выделить главные части относительно бесконечно малой (х — 1) (вида с(х—1)*) следующих функций: a) Xs —3x4-2. ” Отв. 3(х— 1 )а. б) In х, Отв. х — 1. з л-..у | — % в) У 1—Ух. Отв. .......... 2 fi 1 11. Использовать эквивалентность бесконечно малых у 14-х—-1 и—х прц х —0 для приближенного вычисления корней: |/Т018; j/ 10042; У 1,1. Найти зна- чения этих же корней с помощью логарифмических таблиц. Результаты сравнить. 12. Использовать эквивалентность In (1 ф-х) и х при х—0 для приближен- ного вычисления натуральных логарифмов чисел: 1,01; 1,03; 1,1; 1,3.
ГЛАВА IV НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа. Изучение этой главы следует начи- нать. только после изучения теории пределов, так как непрерывность функции теснейшим образом связана с понятием предела функции. Непрерывные функции обладают целым рядом важных свойств, которых лишены функции разрывные. Эти свойства создают боль- шие удобства при использовании непрерывных функций в различ- ного рода исследованиях, имеющих огромное теоретическое и прак- тическое значение. Во многих случаях изучение функций более сложной структуры удается свести к изучению непрерывных функ- ций, благодаря чему непрерывные функции составляют основной и самый важный для анализа клабс функций. Понятие непрерывности позволяет более обстоятельно изучить простейшие элементарные функции, в частности строго обосновать введение таких функций, как показательная, логарифмическая, степенная, обратные тригонометрические функции. В некоторых случаях при изучении настоящей главы придется заглядывать и в теорию пределов, что не только поможет лучше разобраться в понятии и в свойствах непрерывной функции, но будет также способствовать повторению и более глубокому усвое- нию материала предыдущей главы. § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА Пусть на некотором промежутке определена функция f(x) и хй— точка этого промежутка. Определение. Если предел функции в точке ха и значение функции в вшой точке равны, то есть lim /(х)=/(х0), (1) X — Хо то функция f (х) называется непрерывной в точке хп. Из этого определения прежде всего следует, что о непрерывно- сти функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам, в которых функция определена, то есть существует f (х0). Как 133
известно, при определении предела функции такого условия не ставилось. Это объясняется тем, что значение /(х0) в определении предела не участвовало. Заметим также, что равенство (1), определяющее понятие непре- рывности функции в точке, можно представить в виде lim /(x)=/(lim х) X -> Х9 X — х0 и словами можно сказать так: функция /(х) непрерывна в точке х0, если предел функции в этой точке равен значению функции от пре- дела аргумента, то есть если возможен предельный переход под знаком функции. Таким образом, если функция /(х) непрерывна и нужно вычислить ее предел при х—-х0, то достаточно в выраже- ние функции вместо х подставить х0 и подсчитать соответствующее значение /(х0). Это и будет искомый предел. Соответственно двум определениям предела функции можно дать два определения непрерывности функции: «на языке последователь- ностей» и «на языке е — 6». Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности значений х: Xl> Х2> Х3’ • • > ХП’ • • • 1 сходящейся к ха, последовательность соответствующих значений функ- ции /(Xj). /(х2), /(х8),..., /(х„),... сходится к /(х0). При этом х, стремясь к х„. может принимать, в частности, и значение х„. Определение 2. Функция /(х) называется непрерывной • в точке х„, если для любого е > 0 найдется такое 6 > О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х—xoj <б, выполняется нера- венство | f (х) — f (х0) | < е. Эквивалентность этих определений нами уже доказана, поскольку доказана эквивалентность соответствующих определений предела функции (см. § 10, гл. III). Наконец, дадим еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой первоначального определения, но иногда оказывается более удобным для практиче- ского использования. Предположим, что аргумент х при своем изменении переходит от значения х0 к новому значению xv Величина х1 — х0 называется приращением аргумента х и обозначается Ах (читается: дельта х). (Таким образом, X! = x04-Ax.) Соответственно этому функция у — —f(x) также изменит свое значение с /(х0) на /(x0-j-Ax). Разность f (х0 + Ах)—/(х0) называется приращением функции в точке х0, вы- званным приращением аргумента Ах, и обозначается А у (читается: дельта у). Пусть дана, например, функция /?(х) = х2ф-2х—3. Она опреде- лена на всей числовой оси. Выберем некоторое значение х0 аргу- мента х и дадим этому значению приращение Ах, x=x0-f-Ax. По- 134
лученную в результате точку вновь обозначим через х. Прира- щение функции Ду определится из соотношения: Д_у=/(х04- Дх) — /(х0) = [(х04-Д *)24-2(х04-Дх) — 3] — —(х#4- 2х0—3) = Хо + 2х0 Д х + Д х2 + 2х0 + 2 Д х — 3 — xj — 2х9 4- 3 = — 2х0 Д х + 2 А х ф Д х2 = 2 (х0 4-1) А х 4- Л х2 *. В частности, если х0 = 2 и А х = 0,1, то А у = 2 (2-[-1) 0,1 4-0,12 = 0,61; если х0 = 2 и Дх = 0,01, то Ду = 2 (24-1) 0,01 + 0,012 = 0,0601; если х0 = 3 и Дх=0,1,то Ду = 2 (Зф-1) • 0,1 4-0,12 = 0,81. Из этого примера уже видно, что величина приращения функ- ции Ду зависит как от величины приращения аргумента Ах, так и от точки х0, в которой это приращение функции вычисляется. Геометрически приращение аргумента Дх представляет собой изменение абсциссы точки кривой y=f(x) при переходе от значе- ния х0 к значению х04-Дх, а приращение функции Ду есть измене- ние ординаты точки этой кривой при переходе от значения / (х0) к значе- нию/ (х04- Д х) (рис. 62). Определение 3. Функция f(x) назы- вается непрерывной в точке х0, если бе- сконечно малому при- ращению аргумента в этой точке соответст- вует бесконечно малое приращение функции, то есть если из Дх -> 0 следует &у-+0. Действительно, это условие означает, что lim [/ (х)—-f (хо)] = О. х — х„ Последнее же равносильно равенству lim/(x) = /(x0), с помощью х-*х„ которого мы и определили непрерывность функции. Иногда приходится пользоваться понятием так называемой односторонней непрерывности. Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0 справа (слева), если lim f (х) = f (х0) [ lim f (х) = /?(х0).. х->-хо + 0 \х^х0 — 0 / Сравнивая это определение с определением непрерывности в точке, можно убедиться в том, что функция, непрерывная во внутренней точке, будет одновременно непрерывной справа и слева. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна * Обозначение Дх следует рассматривать как единый символ. Поэтому под Дх2 понимают не Д • х2, а (Дх)2. То же относится к Sy. ♦ 135
в некоторой точке слева и справа, то она будет и непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Примером может служить функция у = Е (х) (рис. 57), которая при каждом целом значении х непрерывна только справа. Читатель легко может убедиться в этом самостоя- тельно. Определение. Функция f (х) называется непрерывной на не- котором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. В частности, если промежутком является отрезок [a, bj, то на его концах подразумевается односторонняя непре- рывность: в точке а — непрерывность справа, а в точке b — не- прерывность слева. Определение. Точка х0, принадлежащая области опреде- ления функции f(x), называется точкой разрыва функции f(x). если функция f (х) не обладает свойством непрерывности в ней. Другими словами, функция / (х) имеет разрыв в точке х0 <= X, когда либо f (х) не' имеет конечного предела в точке х0, либо конечный предел в точке х0 существует, но не совпадает со зна- чением функции в этой, точке, lim f (х) Ф f (х0). X Ху В соответствии с данным определением функция должна быть определена в каждой точке разрыва. Однако часто к точкам раз- рыва причисляют точки еще одного вида, в которых функция не определена. Именно, рассмотрим случай, когда функция f (х) опре- делена в некоторой окрестности (х0 —б, х„-4-б) точки х,„ за исклю- чением самой точки х„. В этом случае говорить о непрерывности функции в точке х„ нельзя, поскольку f (х) не определена в этой точке. По той же причине х0 не подходит и под данное выше определение точки разрыва. Тем не менее, если в'точке х„ не су- ществует конечного предела /(х), то х„ тоже считают точкой раз- рыва функции /(х). Например, говорят, что х = 0 есть точка раз- рыва функции z/ = — (здесь lim — = оо). Если же f (х) имеет конечный Х Х--0 х предел в точке х(|, то достаточно дополнительно определить функ- цию в этой точке, положив f (x0) = lim/(x), х-*х0 и она становится непрерывной в точке х0. В этом случае точку ха не считают точкой разрыва первоначальной функции, а просто говорят, что функция может быть доопределена в точке х0. Напри- мер, функция f(x)==^^ в точке х = 0 не определена (рис. 60). Но известно, что lim— - = 1 (см. пример 2, § 11, гл. III). Если мы х—>0 х дополнительно примем, что f (0) = 1, то функция f (х) окажется непрерывной в точке х=-=0. Ниже (§ 2) будет установлено, что. эта функция непрерывна и во всех прочих точках. 136
Ясно, что при отсутствии конечного предела функции f (х) при х -> х0 доопределение ее в точке х0, после которого она стала бы непрерывной в этой точке, невозможно. Разрывы функций можно классифицировать следующим образом: Определение. Если в точке разрыва хп существуют конеч- ные односторонние пределы функции, то разрыв функции называ- ется разрывом первого рода. К разрывам первого рода относятся так называемые устрани- мые разрывы. Именно, если f (х0 — 0) =f (хо4~0) / (х0), то разрыв устраним в том смысле, что достаточно изменить значение функ- ции в точке х0, положив f(x0) = lim f(x), и функция станет непре- рывной в х0. Определение. Если в точке х0 функция терпит разрыв, причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом второго рода. Различные случаи разрывов и характера непрерывности функ- ции для наглядности изображены на рисунке 63. В точке а функция непрерывна справа, так как f (аф-0) =f (а). В точке х4 функция непрерывна, так как lim х—х, В точке х2 функция имеет разрыв -первого рода, так как -/./(х2но непрерывность слева имеет место, В точке хя функция имеет устранимый разрыв первого рода, так как существует lim ] (х) Ф f (л;..). В точке лу функция имеет разрыв второго рода, так как limf (х) — = —оо, lim 4“со. х —0 В точке х5 функция имеет разрыв второго рода. Положение, аналогичное точке х4, хотя и существует /'(.у,,). 137
В точке х6 функция имеет разрыв первого рода, так как /(хв— 0) f (xe-}-0) — f (хв), но непрерывность справа имеет место. В точке х7 функция не определена, однако предел функции в этой точке существует и конечен. Приняв этот предел за зна- чение f (х7), получим функцию, доопределенную и непрерывную в точке х7. В точке b функция непрерывна слева, так как f (b— Q) — f(b). Термин «непрерывная функция» связан с интуитивным пред- ставлением о непрерывности (сплошности) кривой, то есть такой кривой, которая может быть получена непрерывным движением точки. Точно так же термин «разрывная функция» связывается с представлением о разрывной (порванной) кривой. Поэтому гра- фики функций, как видно из рисунка 56 и многих других рисун- ков, встречавшихся нам, наглядно показывают, где функция непре- рывна и где имеет разрыв. Заметим, однако, что понятие непрерывности функции, опреде- ленное нами выше, имеет более глубокий смысл и может быть иллюстрировано графически лишь для сравнительно простых функ- ций. Вообще же существуют настолько сложные функции, что их графическое изображение либо очень затруднительно, либо вовсе невозможно; более того, нелегко даже мысленно представить себе их графики. Тем не менее среди таких функций имеются как раз- рывные, так и непрерывные функции в том смысле, как это сле- дует из принятых нами определений. В математическом анализе чаще всего приходится встречаться с функциями, допускающими графическое представление. Однако нам уже встречались и такие функции, как функция Дирихле (см. пример 6, §2, гл. II), график которой построить невозможно, и функция у- sin ' (см. пример 4, § 10, гл. III), график которой можно построить лишь вне некоторой окрестности нуля (— 6, Д- 6). В самой окрестности (-6,4-6) график этой функции построить не- возможно, так как нельзя на ограниченном участке графически воспроизвести бесконечное множество колебаний этой функции. На рисунке 55 дано лишь очень приближенное графическое изо- бражение функции у — sin—. Перейдем к рассмотрению некоторых свойств непрерывных функций. Теорема 1. Если функции f(x) и g(x), заданные на не- котором промежутке, непрерывны в точке хп этого про- межутка, то в этой точке будут непрерывными также функции: f(x)±g(x), f{x)g{x) и {последняя при & (А) *). Эта теорема непосредственно следует из теорем о пределе суммы, разности, произведения и частного. Так, например, не- * См. сноску на стр. 115. 138
f (*) прерывность частного --в точке х0 следует из того, что S W lim f (х) lim u fW x-.xag(x') Hmg(x) gW x-+x0 Рассмотрим подробнее монотонные функции. Пусть на некотором промежутке X определена возрастающая или убывающая в широком смысле функция f (х). Поскольку любая монотонная функция в каждой точке области ее определения имеет конечные односторонние пределы (см. § 12, гл. Ill), то она может иметь только разрывы первого рода. Теорема 2. Монотонная функция у =f(x), заданная на промежутке X, непрерывна на этом промежутке, если множество всех ее значений Y заполняет некоторый про- межуток на оси ординат. Доказательство. Пусть f (х) — возрастающая функция. Пред- положим, что в некоторой точке х0 из X, не совпадающей с правым концом промежутка X, она имеет разрыв справа. Тогда /(х0)т^ =5* f (х0 4- 0), точнее, f (х0) < f (х0 + 0). В силу монотонности функции будет /(х) si f (х0) для х < хп, /(x)Ss/(x0 + 0) для х>х„. Таким образом, получается, что функция f (х) не может иметь значений между числами f (х0) и /(х0 • •-()). Следовательно, совокуп- ность значений Y функции /(х) не может состоять из одного про- межутка. Это противоречит условию теоремы. Аналогичное доказательство теоремы для случая убывающей функ- ции предоставляется читателю. Замечание. В данной теореме установлено достаточное усло- вие непрерывности монотонной функции. Из теоремы 2 § 5 будет следовать, что это условие является и необходимым. Пример 1. Пользуясь определением непрерывной функции, доказать, что многочлен f (х) => х3 —- 3№ + 5х — 4 непрерывен на промежутке (—от, +со). Возьмем любую точку х0 на числовой оси. Вычислим в этой точке предел и значение функции. По теоремам из теории пределов находим: lim / (х) = lim (х»-3x2 + 5Х_ 4) = х; - 3<; + 5х0 - 4, X—XQ а подстановкой в f (х) значения х —х0 получаем: /(х0)=»х^— Зх^ф- 5х0— 4. Так как оказалось, что lim /(х)=/(х0), то по определению непрерывности функция / (х) непрерывна в точке х0. Поскольку точка х0 выбиралась произвольно на ( — со, 4-со), то этим доказана непрерывность данной функции в каждой точке, а следовательно, и на всей числовой оси (— от, -f-oo). Пример 2. Пользуясь определением непрерывности функции «на языке Зу । 2 е —б», доказать, что функция f непрерывна в точке х = 1. В каких границах должно изменяться х, чтобы выполнялось неравенство | f (х)—f (I) | < Показать, что эта функция имеет в точке х = ^- разрыв второго рода. 139
Возьмем произвольное s>0 и найдем окрестность точки х=1, для всех точек которой будет выполняться неравенство । f (х) — /(1) | < s. Так как /(1) = 5, то II \ Зх-'- 2 - Зх-|-2 — 10х-|-5 7(1 х) 7 1 х IW о- 2х-1 2х-1 2 j Х 2 и неравенство запишется в виде 7 х-1 < е, или что равносильно неравенствам Так как абсолютная величина суммы не меньше разности абсолютных величин слагаемых, то последнее неравенство будет выполнено, если выполнено неравенство 1 2 , 7 1 . 7 | х— 1 I 2е’ 2 I х—11 2е Отсюда получаем, что ' х— 1 I <-л—т-~-, то есть достаточно взять 6=—— и 1 2еф-7 ’ 2е-|-7 из неравенства jx—11<б получим, что | f (х) — f (1) | <е. В частности, если 1 У 1 В= ду, ТО б=—_— 2 14-7 16 1 Таким образом, неравенство |/(х)—-/(1) | < -9 будет выполнено во всяком слу- , , , 1 15* 17 чае, если х—1 < то есть в интервале rF<x<T?. 16’ 16 16 1 1 Данная функция определена при всех а прих^у знаменатель обра- щается в нуль и функция не определена. Так как при этом hmf(x)=oo (точнее, X - ту lim /(х)=+<х>, hm /(х)=—со ), то мы говорим, что функция имеет в точке х -* -л -f~0 х — —о z 2 1 х= -g разрыв второго рода. Пример 3. Доказать, что функция ( 1 -ДО Дх)=Д х (0 при х = 0 разрывна в точке х = 0. В примере 4, § 10, гл. III, нами установлено, что функция y = sin— в точ- ке х = 0 предела не имее1 Следовательно, остается заключить, что она не может быть и непрерывной в этой точке. В точке х = 0 имеет место разрыв второго рода. 140
Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Почему из непрерывности функции слева и справа в точке следует ее обыч- ная непрерывность, в то время как из существования односторонних пределов функции в точке не следует существование обычного предела? 2. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция /(х)=х3 — — 5х-|-8 непрерывна на промежутке (— со, Ц-со ). 3. Пользуясь определением непрерывности функции «на языке е—-6», доказать, , р . . X -j- 3 1 ,, что функция f{x) = „ „ непрерывна в точке х = ~^, В каких границах может 2, — оХ Z изменяться х, чтобы выполнялось неравенство | f(x)—f | < -у? Имеет ли эта функция точки разрыва? Назвать их. Примечание. Поскольку решение этой задачи проводится с помощью некоторых приближенных вычислений, читатель может получить и несколько иную оценку для искомых значений х. Поэтому данный ниже ответ следует рассматри- вать как ориентировочный. Отв. o+<x<++ разрыв при х~ . Vo О 4. Пользуясь определением непрерывности функции «на языке-последователь- ностей», доказать, что функция /W cos ~ при х ф О, О при х = 0 разрывна в точке х=0. 5. В какой максимальной окрестности точки хо=1ОО ордината графика функции у = /х отличается от ординаты y0 — W меньше, чем на b = Отв. (10 —0,001)2<х< (Ю+0,001)2. 6. Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку со стороной —10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону пластинки х, чтобы ее площадь отличалась от проектной площади = 100 сма не более, чем на О 0,01 см*? _____ Отв. /99,99 ssx «с/100,01. § 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В этом параграфе мы проверим непрерывность некоторых элемен- тарных функций, пользуясь непосредственно определением непре- рывности функции. Другие элементарные функции будут рассмотрены в § 6, 7 и 9. 1. Рассмотрим постоянную функцию f(x) = c на всей прямой (—со, /ос). Так как равенство f(x0) = c выполняется в любой точке х0, то при х-+х0 будет f (х) = с-+ с~ f (х0), то есть lim/(x) — Х-+Хо = f(x0). Таким образом, постоянная функция непрерывна в каждой точке прямой. Но тогда она непрерывна и на всей прямой (—оо, + оо). 2. Функция f(x) — x непрерывна на (—со, + оо), так как для любой точки хп при х -+ v0 имеем: f (х)=х-+ Xo = f (х0), то есть lim f (х)=/(х0) (см. пример 1, § 10, гл. III). Л-* х0 141
3. Одночлен f(x) — axn («—натуральное) есть непрерывная функ- ция на (—сю, 4-оо), так как его можно представить в виде произ- ютения функций, непрерывность которых уже доказана в пунктах 1 .1 2: ахп — а-х-х-х ... х. п раз 4. Многочлен или целая рациональная функция /(х) = похге4- + а1хп~1-]-а2х'1-2'-\-ап^х-]-ап есть непрерывная функция на (—оо, + сю), как сумма непрерывных функций. 5. Дробно-рациональная функция f а<Х'1 +а1хп~14- а2хп~2 + .. + а^х 4- ап ' w 6oXm4.6iXm-1+62xm-a+...+6zn_iX4.6m непрерывна на (—оо, + оо), за исключением точек, в которых знаменатель равен нулю, то есть кроме корней знаменателя, как частное непрерывных функций. 6. Рассмотрим тригонометрические функции! sin х, cos х, tgx, ctgx, secx, cosec x. Покажем, что функция sinx непрерывна в любой точке прямой. Возьмем произвольную точку х0. Тогда 1 sinх — sm х01 = 2 sin . cos —=2 sm —cos —. г-, | х”4“Хп I « | • X—Хп I |х—~Хл I Заменяя cos—уМ единицей, a sin—уМ — числом —g-Д (на основании свойства, доказанного в конце § 11, гл. 111), получим неравенство: | sin х— sin хД jx — х01. Для любого е>0 достаточно взять 6=8, и тогда из неравенства )х —xa.j<6 будет следовать неравенство | sin х — sinx01 < е. Это и доказывает непрерывность sinx в произвольной точке х0. Непрерывность функции cosx в любой точке прямой доказывается совершенно аналогично. Из непрерывности функций sin х и cos х по теореме о непрерывности , .. , sin х 1 частного следует непрерывность функции tgx=—— и secx=-—- во всех точках, где cos х =4= О, то есть везде, кроме точек х=(2&-р 4- 1) 9 , и функции ctgx = —r—— и cosec х = -^— во всех точках, кроме sin х sin X x — kn (k = 0, ±1, ±2, ±3, zt ...). 7. Функция f(x) = |x| непрерывна на всей прямой. Действительно, на (0, 4-сю) она непрерывна, так как f (x) = |xj = x для х>0, а непрерывность f(x)=x доказана в пункте 2. На (—оо, 0) функ- ция f (х) также непрерывна, так как для х<0 она принимает вид: f(x) = |x| = — х, a f (х)== — х = (— 1) • х непрерывна на основании доказанного в пунктах 1 и 2, а также на основании теоремы о непрерывности произведения. Остается установить непрерывность 142
данной функции в точке х = 0. Для этого вычислим односторонние пределы в этой точке: lim |х|= lim (—х) =— lim лг=О, lim |х! — lim х = 0. х-+—0 х-* —О х—>—0 х-*Н-0 х->4-0 Итак, lim f(x) = lim f (x) =0=f (0), то есть f (x) непрерывна и x —— 0 v — 4-0 в точке х = 0. Таким образом, оказалось, что все рассмотренные здесь функции непрерывны в областях их существования. Но тогда на основании теоремы о непрерывности суммы, разности, произведения и частного можно утверждать, что функции, получаемые из них при помощи конечного числа арифметических действий, являются также непре- рывными функциями в областях их существования. Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию f (х) = x2-J-2 sin х. Функция / (х) представляет собой сумму двух функций: х2 и 2 sin х. Поскольку каждая из этих функций непрерывна на (— со, 4* оо), то и сумма их f (х) яв- ляется непрерывной на (—со, + со) (см. теорему 1, § 1). Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию f (х) х24-3 х2 — 5х + 6 Так как /(х)—дробно-рациональная функция, она непрерывна на (—со, 4-со), за исключением точек, в которых знаменатель равен нулю, то есть за исключением корней знаменателя. Для определения последних решаем уравнение х2 —5х-|-6 = 0 и получаем, что точками разрыва второго рода являются х = 2 и х = 3. Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию COSX 1 - sin X • Как частное двух непрерывных функций f (х) непрерывна на (—со, + со), за исключением тех точек х, для которых sinx=l, то есть за исключением лишь точек х = (4k -j-1) -5- (k=0, ±1, ±2, ...). Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Пользуясь непосредственно определением непрерывности, доказать непре- рывность функции cos х. 2. Почему можно утверждать, что функция х5 —2х3 + х2 + 9х—17 ------- непрерывна на (— со, 4- со)? 3. Непрерывна ли функция х3 Д- 5х2 - 9х + 1 f() х2 —9 на [—2, +2]? Отв. Да. 4. Непрерывна ли функция f (х) = (х2 -ф- 5х 4- 2) tg х на [0, я]? Отя. Нет. 5. Сколько точек разрыва может иметь функция ' ' ox54-6x34-cx4-d’ где а, Ь, с и d—вещественные числа? Указание. Воспользоваться тем, что многочлен n-й степени может иметь не больше чем п вещественных корней. 143
§ 3. ПРИМЕРЫ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИИ Пример 1. Рассмотрим функцию, заданную следующим образом1 /(•*)={ х2 при х <2. хф-1 при х Зг 2, Эта функция определена на (— со, + сгй. На промежутке (— со, 2) функция /(х)=х2 всюду непрерывна, на промежутке [2, + со) / (х) =-х-{-1 татже всюду непрерывна. В частности, в точке х —2 функция f (х) непрерывна спр".тс Следо- вательно, разрыв функции f (х) возможен только в точке х =2 Найд>1 левосто- ронний предел функции в этой точке: lim f (x)— hm х2 = 4. Сравнивая этот л->2—о х-»2 —о предел со значением / (2) =-=3, видим, что в точке х = 2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 64). Пример 2. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция / (*) = х» 2х tgx при х < О, м Я при . 31 при Х>у. HI а промежутке 1-^ На промежутке (—со, 0) функция /(х)=х3 определена и всюду непрерывна, промежутке 10, 1 функция f (х) =2х также определена и в „ду непрерывна. \ , 4-со^) функция /(x)=tgx определена и непрерывна всюду, за исключением точек х = (2£ф-1)(fe=l, 2, 3, ...). Следовательно, можно ска- зать, что данная функция f (х) определена на (— со, -ф оэ), зч исключением точек x = (2k-\-\)~ (k=l, 2, 3, ...). В точках х = (2/г-{- 1) 'j функция {(х) имеет раз- рывы второго рода, так как в них предел функции слева равен -{-оо, а справа равен — со. Остается еще исследовать точки ешка промежутков: х=0 и х = ^-_ Поскольку 11ш/(х)= hm х3 = 0=/(0), lim/(х)- = lim 2х = 0—/(0), х~»0 х-» — О X-+-J-0 х- { 0 Рис 65. 144
то в точке х = 0 функция непрерывна слева и справа, а значит, и просто непре- рывна. Поскольку lim /(х)= lim 2х — л ==f l-~ j, lira f(x)— lim tg x = — co zfifj, я „ я „ \ 2 / л , л.„ \2 / лг —► ~— 0 х —* t — 0 х~> (j 0 х —* 4~ О Л то в точке х= g- функция имеет разрыв второго рода (но непрерывна слева) (рис. 65). Пример 3 Функция f(x)~ ——(рис. 66) определена и непрерывна на (—со, 4-со), за исключением точки х = 2. Определим род разрыва. 1 , 1 1 Поскольку lim ——= = со точнее, lim —- = — со и lim -----------------s == Х — Л \ Ж_*2._()Х — 2 — 2 = + coj, то в точке х = 2 имеем разрыв второго рода. Пример 4. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеет функция х2 при — 2 х < О, ., . 4 при х=--0, /(*) = -- при 0<xsg2. Эта функция (рис 67) определена на [-—2, 4-2]. Так как № и — непрерывны соответственно в промежутках [—2, 0] и (0, 4-2], то разрыв может быть только на стыке этих промежутков, то есть в точке х = 0. Поскольку в этой точке односторонние пределы равны 0 и 4-со: hm /Сх)^= hm ха = 0, lim /(х) = hm — = 4-00 х——0 х—> — 0 лг-»4-0 х-» + 0 х то х = 0 является точкой разрыва второго рода. Пример 5. Можно ли устранить разрывы функций: а) / (х) = х~ - в точке х — а; 6) g (х) = | 1 — х2 при xsg 2, х — 3 при х > 2 J X2 при X ZJZ 1, I. 2 при х = 1 в точке х — 2; в точке х= 1. В) ф W = 145
Как известно из определения, устранимыми могут быть разрывы только пер- вого рода и только в том случае, когда в точке разрыва существует конечный предел (то есть существуют равные конечные односторонние пределы). О примере а) сразу можно сказать, что разрыв функции f (х) в точке х = а устранить невозможно, так как в этой точке односторонние пределы — бесконечные I lim -----= — со; lim --------= + оо') Ох а х—а-|-0* а / ' Функция g (х) хотя имеет конечные односторонние пределы в точке разрыва х = 2 (lim g(x)— lim (1—ха) =—3, lim g (x) = lim (x — 3) =—1), 0 x—2—0 x-2+0 x—24-0 но они не совпадают. Разрыв также неустранимый. Функция <р (х) в точке разрыва х = 1 имеет равные односторонние конечные пределы ( lim <р(х)= lim <р (х) = lim ха= 1). Следовательно, разрыв может быть х-1—О x^l-i-o х-1 устранен переопределением функции в точке х —1. Для этого достаточно положить /(1) = 1 вместо f (1) — 2. Пример 6. Доопределить функцию /(х) = ^^ в точке х = 0 таким обра- зом, чтобы она стала непрерывной в этой точке. В точке х=0 эта функция не определена, но имеет конечный предел tg X lim / (х) —Иш--—=1. Следовательно, при определении значения функции в точ- .V- 0 х-*0 х ке х = 0 нужно исходить из того, что значение функции в этой точке должно рав- няться пределу функции в этой же точке. Для этого достаточно положить / (0) = 1„ Тогда функция (tgx , п —— при х 0, 1 при х — 0 будет непрерывной в точке х = 0. Пример 7. Переопределить функцию Isin х . ,, “-=— при X ZZ- 0, 2х г 2 при х = 0 в точке х = 0 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке. Данная функция в точке х = 0 разрывна (разрыв первого рода), так как limf(x)=lim ^Ц = ^#:/'(0) = 2 Х-*0 * Переопределим ее в этой точке, положив / (0) =вместо /(0)=2. Тогда полу- чим, что функция С sin х при х#:0, /(*)== j -- при х = 0 уже непрерывна в точке х = 0, так как выполняется равенство lim /(х)=)(0). х-0 Строго говоря, изменив значение функции f (х) даже в одной точке, мы получаем уже другую функцию, которую следовало бы обозначить другой буквой (напри- мер, g (х)). Однако, несколько нарушая эту строгость, мы обозначили измененную функцию по-прежнему через /(х), чтобы подчеркнуть ее тесную связь с первона- чально заданной функцией. 146
Пример 8. Функция {1, если х—рационально, О, если х—иррационально, называемая функцией Дирихле, уже встречалась нам во второй главе (пример 6, § 2, гл. II). Показать, что она разрывна в каждой точке числовой оси. Пусть х0— любая точка из (—оо, +оо). Будь она рациональной или ирра- циональной, в любой ее окрестности найдутся как рациональные, так и иррацио- нальные точки. Следовательно, в любой окрестности точки х0 функция <р(х) будет иметь значения, равные 0 и 1. В таком случае не может существовать предела функции в /о ни слева, ни справа. Следовательно, функция Дирихле в каждой точке числовой оси имеет разрывы второго рода. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Установить, в каких точках и функции: (х24~ 1 при xjs 1, 1 при х < 1, х 4— 2 х — 2. какого рода разрывы имеют следующие ( £(*) б) /(х) = < 1 I х — 2 при xsg 2, при х > 2. х при х 0, в) / (х) = 1 —х при 0 < х 5g 1, 1 т-—- при X > 1. 1—X г г) /(х) = х2 при х < О, 1 при х = 0, tg х Д-1 при х > 0. Построить графики этих функций. Отв. а) В точке х=1 разрыв первого рода, в точке х =—2 разрыв второго рода, б) В точке х — 2 разрыв второго рода, в точках х — 1, 0, — 1, —2, —3, ... разрыв первого рода, в) В точке х = 0 разрыв первого рода, вточкех=1 разрыв второго рода, г) В точке х = 0 разрыв первого рода, в точках х = (2&Д-1) ” (k — 2 = 0, 1, 2, 3, ...) разрыв второго рода. ( х2 при X 1 2, Будет ли функция / (х)=7 непрерывна на (0, 2J? Отв. Да. I х3 при х > I 3. Доопределить функцию f(x) = ~—~^~ в точке х = 0 таким образом, чтобы 1 она стала непрерывной в этой точке. Отв. )(0)=-g-. 4. Переопределить функцию |V 1 4-х — 1 ппи f(x) = j х Р | — 1 при х = 0 в точке х = 0 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке. I X I 5. Доказать, что разрыв функции f (х) — "д в точке х = 0 устранить невоз- можно. Построить график этой функции. 6. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрыв- ная функция? Проверить это на примере 7. Справедливо ли утверждение: «Если функции f (х) и g (х) имеют разрыв в точке х0, то их сумма /(x)4~g(x) есть также разрывная функция в точке х0»? 147
Проверьте это на примере, положив /(*)=! О при х О, 1 при х > 0; ( 1 при Х<0, g W = I п „ ( 0 при х ;> 0. Постройте графики. Отв. Нет. 8. Справедливо ли утверждение: «Если в некоторой точке х0 функция f (х) непрерывна, а функция g (xj разрывна, то их сумма /(x)+g(x) является разрыв- ной функцией в этой точке»? Отв Да. 9. Если функция f (х) непрерывна в ин- тервале (а,Ь) и определена на его концах a и Ь, то из этого еще не следует, что она непрерывка на отрезке [а, Ь]. Убедитесь а этом на примере функции — ?ля 0<х< 1, I (х) — < х (0 для х = 0 и х— 1. Постройте график этой функции. 10. На горизонтальной плоскости р стоят один над другим три цилиндра, ра- диусы оснований и высоты которых соответ- ственно равны: нижнего 3 и 2, среднего 2 и 3, верхнего 1 и 1 м (рис. 68). а) Выразить обьем части тела, заклю- ченного между плоскостью р и плоскостью горизонтального сечения, как функцию расстояния этого сечения от плоскости р. Будет ли эта функция непрерывной? Построить график этой функции. б) Выразить площадь горизонтального сечения тела, образованного этими цилиндрами, как функцию расстояния сечения от плоскости Р (площадь сечения, отделяющего один цилиндр от другого, считать равной площади сечения ниж- него цилиндра). Будет ли эта функция непрерывной? Построить ее график. V(x) = Отв. а) Объем б) Площадь 9лх при 0-с xs£ 2, 10л-|-4лх при2 5=:хес5, 25л-j-лх при 5 х: - . 6, 31л при 6 Sgx< СО, S(x) = 9л 4л я 0 при 0 Хг£ 2, при 2 < х < 5, при 5 < х < 6, при 6<х<со, V (х) — непрерывная функция на [0, ф-оо); S (х) —непрерывная функция на (0,2), (2,5), (5,6), (6,-|-оо). В точках х==2; 5; 6 имеет разрывы первого рода. § 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ С понятием сложной функции мы уже познакомились в конце §6, гл. II. Здесь выясним вопрос об условиях, обеспечивающих непрерывность сложной функции. Теорема. Пусть на промежутке X задана функция z = = ф (х), все значения которой содержатся в промежутке Z, а на Z задана функция y=f(z). Тогда, если у(х) непрерывна в точке х0, a f(z) непрерывна в точке z0, причем zB = ф (х0), то и сложная функция y=f[q(x)\—F(x) непрерывна в точке хй. 148
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности функции «на языке последовательностей». Возьмем на промежутке X любую последовательность точек xlt х2, х3, ..., хп.... сходящуюся к точке х0, и положим z„ — (p(xK). Тогда по непрерыв- ности функции z — ф(х) в точке х0 имеем: lim zn = lim ф(хл) = Ф (х0) = z0, то есть последовательность точек г1; z2, z3,..., zn,. . про- межутка Z сходится к точке z0. В силу же непрерывности функции f (z) в точке z0 получаем: lim f (z,t) = f (z0), то есть lim / [ср (%«)]— = /[ф (*о)]> или lim F(x„)=F(x0), что и доказывает непрерывность функции F (х) в точке х0. Пример 1. Доказать непрерывность функции y=sin х2. Функцию у — sin х2 можно рассматривать как сложную функцию, считая у= = sin.2, где г = №. Тогда поскольку функция z = x2 определена и непрерывна при любом значении х, то есть на ( —со,-|-со), а функция у = sin г определена и непрерывна при любом значении г, то на основании доказанной теоремы можно утверждать, что функция y = sin № определена и непрерывна в любой точке, то есть на (—-со, -|-оэ). Пример 2. Доказать непрерывность функции у = cos3 (х2+5х-|-8). Функцию у = cos3 (х2-(-5х-|-8), рассматривая как сложную, можно представить через простейшие элементарные функции следующим образом: y = z3, где z = cos/r, а и = х2-|-5х-|-8. Так как функция ц = х2+ 5x4-8 определена и непрерывна при любом значении х, а функция z = cos и определена и непрерывна при любом значении и, то из теоремы о непрерывности сложной функции следует, что функ- ция г — cos (х2 -j- 5х8) определена и непрерывна при любом значении х. Далее, так как функция у = z3 определена и непрерывна при любом значении г, а функ- ция г = cos (х3 + 5х-|-8), как мы только что доказали, определена и непрерывна при любом значении х, то по той же теореме можно утверждать, что функция у = cos3 (х2 + 5х + 8) также определена и непрерывна при любом значениие х, то есть на ( — со,-|-оо). Пример 3. Установить область существования и непрерывности функции 1 У= —-. 8ШХ Эту функцию можно рассматривать как сложную, если положить у = —, где z=sinx. Функция z==sinx определена и непрерывна всюду. Функция у = = — определена и непрерывна при всех z:^0. Тогда по теореме о непрерыв- ности сложной функции функция у = .определена и непрерывна на всей оси (—оо,+оо), за исключением тех точек, где sinx = 0, то есть точек х=+л(£ = 0, ± 1, ± 2, ...). Пример 4. Установить область существования и непрерывности функции *=^27=-г Функцию у можно представить через простейшие элементарные функции сле- дующим образом: y = z2, где z = tg«, а и= ——j. Поскольку функция 1 и = определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х=1, а функция z = tg и определена и непрерывна при всех значениях и, кроме и = (2& + 1) -5- (/г==0, 149
±1, ±2, ...), то функция г = tg ~।, как сложная, определена и непрерывна 1 л для всех значений хУ. 1, при которых ——j-yt(2^4-l)—Последнее условие 1 (2&4~1)л 2 2 можно преобразовать:--— • х— 1 =£ .„.-.-тг-: хзЫ4- . г х—1г 2 ’ (2й+1)я’ r (2^4~1)п Таким образом, получаем, что функция z = tg-~—j- определена и непре- 2 рывпа для всех значений х, кроме х — 1 и х=И 4- (k = 0, ±1, ±2, ...). Далее, так как функция у — г2 определена и непрерывна для всех значений г, а область существования и непрерывности для функции г = tg ——j-уже уста- новлена, то на основании теоремы о непрерывности сложной функции можно утверж- дать, что данная функция существует и непрерывна па всей оси ( — со,4-со), за 2 исключением точек х—1 и х—14--^---тт— (k — 0, ±1, + 2, .,,). (2/г4- 1)л ' Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Исследовать на непрерывность следующие функции, рассматривая их как сложные: a) i/ = sin3x. Отв. Непрерывна на (—оо, 4-со)- б) г/=соз (1 — sin х). Отв. Непрерывна на (—со, -|-со). в) y = cos——г. Отв. Непрерывна при хД 1. г) z/ = ctgn2n. Отв. Непрерывна при х-/х^ (k = 0, ± 1, 2.2, ...). 2. Доказать теорему о непрерывности сложной функции, используя определе- ние непрерывности функции «на языке в —6». § 5. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 1 (первая теорема Больцано—Коши)*. Пусть на &] определена функция f{x), непрерывная на этом отрезке, причем на концах отрезка она име- ет значения разных зна- ков. Тогда на [а, &] найдет- ся по крайней мере одна точка с(а<.с<.Ь),в кото- рой функция равна нулю. Иначе говоря, непрерыв- ная функция при переходе от значений одного знака к зна- чениям другого знака прохо- дит и через нулевое значение. Док аз а те ль ств о. Пусть для определенности f (а) < 0 и f(b)>0 (рис. 69). Разделим отрезок [а, Ь] пополам точкой Если окажется, что f[~y~! = 0, то точка и будет искомой точ- * Огюстен Луи Коши (1789—1857) — французский математик. Теорема. отрезке [а, 150
кой с. Если же то на концах одной из частей отрезка |д, ^-g—] или [~у~> функция будет иметь значения разных зна- ков. Обозначим эту часть через [а1( 6J. Легко видеть, что f(«i)<0, f (Ю > 0. В самом деле, если f (^-g~^) > 0, то значения f (х) имеют разные знаки на отрезке а, —g- . В этом случае ах = а, Ьх = —~ и f(^i)>0. Точно так же разбирается случай, когда j <-• q Итак, мы получили отрезок [аъ Щ, на концах которого значе- ния функции имеют разные знаки. Разделим этот отрезок пополам « (It, + 6, ТОЧКОЙ -J-y-i . Если = 0, то -Ц-! есть искомая точка. Пусть f « Г «i+bil Ri + ^i l 1 ° тогда ту из частей, |п1( или -Ц—I на концах которой функция имеет значения разных знаков, обозначим через [а2, При этом непременно снова будет /(а2)<0, а ?(Ь.г)>0. Делим от- резок [а2, +] пополам и повторяем такие же рассуждения. Воз- можно, что на каком-то шагу точка деления окажется такой, что в ней функция будет равна нулю. Тогда она и будет искомой точ- кой с. Но возможно, что, как бы долго мы ни производили деление отрезка [«, b|, f^~^=/=0 для всех п. Тогда получим такую бес- конечную последовательность вложенных отрезков [«„ Щ о [а2 Ь2] о Щ, э... □ [ап, Ь„\ что при всех п f(an)<0, 0 (1) и длина n-го отрезка Ьп — ап~^^ -> 0. Следовательно, по теореме о вложенных отрезках (см. § 8, гл. Ш) существует точка с и при- том единственная, принадлежащая всем отрезкам последовательности lim ая=Ит Ь„—с. В точке с, как точке отрезка [а, Ь], функция f (х) п —»оо п —* со непрерывна. Следовательно, переходя к пределу в неравенствах (1), получим, с одной стороны, f(c) = limf (а„) =ssO, п—»сс с другой стороны, Н<?) = lim/(&„)=>= 0. п->оо Отсюда остается заключить, что /(с) = 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы. Непрерывная кри- вая при переходе с одной полуплоскости по отношению к оси ОХ на другую непременно пересекает эту ось. 151
Теорема 2 (вторая теорема Больцано—Коши). Пусть на от- резке [а, 6] определена непрерывная функция прини- мающая на концах отрезка различные значения, напяимер f(a)=A,f(b) = B. Тогда, какое бы число С между числами А и В мы ни взяли, на отрезке \а, найдется такая точка (a<zc<zb), что f(c) = C. Иначе говоря, непрерывная функция при переход’ ст одного значения к другому проходит и все промежуточные числа. Доказательство. Пусть для определенности A<zB (рис. 70). Возьмем какое-нибудь промежуточное число С(А<.С<_Б) и рас- смотрим вспомогательную функцию ф(х)==/(х)— С. Эта функция непрерывна на [а, Ь], как разность непрерывных функций f (х) и ф(х) = С. Кроме того, ее значения на концах отрезка имеют разные знаки: ф (а) = f (а) — С = А — С <; 0, ф(Ь)=ЦЬ)-С--=В-С>0. Следовательно, по 1-й теореме Больцано—Коши существует такая точка с (а<с<Ь), что ф(с) = 0, то есть /(с) — С=0. Отсюда /(с)-=С, что и требовалось до- казать. С л е д с т в и е. Если функция f(x), заданная на промежутке X, непрерывна на этом про- межутке, то совокупность У ее значений тоже представ- ляет некоторый промежуток. Доказательство. Положим Л1 = зпр f(x), m — ini f (х), где обе хеХ хех точные границы вычисляются для всего множества значений f (х) (не исключено, что == 4-со или т==—оо, см. § 5, гл. I). Тогда ъ точек, расположенных ниже т или выше М. Покажем, что интервал (т, Л1)СУ. Возьмем любое у0 £ (т, Л1) и подберем два значения нашей функции уг и у2 так, что т <_У1<. Уо < У% < М. Существование таких значений вытекает из определения точных границ. Пусть yi = f(x1), y2 = f (х2). При- меняя к функции f (х) на отрезке от хг до х2 вторую теорему Больцано--Коши, мы сразу заключаем, что у0 тоже встретится среди значений функции fix). Следовательно, справедливо вклю- чение (т, Л1)сУ. Концы интервала (т, М) могут как принадлежать, так и не принадлежать совокупности У, а потому У может быть либо интервалом (т, Л1), либо отрезком [m, М,] либо полуинтервалом (т, М\ или [m, М). Заметим, что 1-я теорема Больцано — Коши является частным случаем 2-й теоремы (достаточно но 2 й теореме считать Д<0, в совокупности У не может 152
В > 0 и С = 0). Однако из этого не следует, что 1- я теорема не нужна. Она используется при доказательстве 2-й теоремы. Доказанные теоремы Больцано - Коши имеют большое значение для дальнейших теоретических исследований как в математическом анализе, так и в других смежных областях. Кроме того, они имеют и непосредственные практические приложения. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Доказать, что уравнение Xs— 8х + 4 = 0 имеет корень на отрезке [ — 2, + 2]. Воспользуемся свойством непрерывной функции, отмеченным в теореме 1. Для функции /'(+)=--. +— 8хД4 имеем: /( -- 2) = — 32 + 16 + 4 = — 12 < О, f( + 2) = 32 -- 16 + 4 = 20>0. Следовательно, существует такая точка с, что /(c) —0. А это значит, что данное уравнение на указанном отрезке имеет, по крайней мере, один корень с. Пример 2. Показать, что любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Рассмотрим многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами f = щл'-* ' 1 + </+* + ... + a^k +1 х -[ + 2. Как следует из примера 3, § 11, гл. Ill, при достаточно больших по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак высшего члена a1x2ft’rl, то есть при достаточно больших х>0 — знак и при А<0—противоположный знак. Таким образом, многочлен нечетной степени, будучи непрерывной функцией, принимает зна- чения разных знаков. Следовательно, существует, по крайней мере, одна такая точка с, что f (с) — 0. Пример 3. Доказать, что функция f(x)—---5- + З принимает значение, и о равное 2 у, внутри отрезка [ — 2,+ 2]. Данная функция непрерывна на [ — 2,+ 2]. Кроме того, 8 4 1 8 4 4 /(-2)==-|-у+3=Г5, Л2) = 1-з+3 = 3Г5. Следовательно, по второй теореме Больцано — Коши функция принимает значе- ние 2 j в некоторой точке, лежащей внутри отрезка f — 2, + 2]. Пример 4. Найти приближенное значение какого-нибудь корня уравнения X5 д. Х2 __ + 2 = 0. Функция f (х) = х6 + х2 —5%+ 2 непрерывна на всей оси. Будем вычислять ее значение для целых значений х. Так как /(!)= —1<0, а /(2)=28>0, то уравнение имеет между числами 1 и 2 хотя бы один корень. Разделим отрезок [1, 2] на десять равных частей точками: 1,1; 1,2; 1,3;...; 1,9. Будем вычислять значения функции в этих точках: /(1,1)=—0,68; /(1,2) =—0,08; /(1,3)= +0,87. На этом, можно вычисление приостановить, так как уже между точками 1,2 и 1,3 меняется .знак функции и, следовательно, имеется хотя бы/один корень уравнения. Делим отрезок [1,2; 1,3] на десять равных частей точками 1,21; 1,22; 1,23;...; 1,29 ненова 153-
будем вычислять значения функции в этих точках: ((1,21) = —0,01, / (1,22)= 4-0,08. Следовательно, между числами 1,21 и 1,22 находится хотя бы один корень нашего уравнения. Таким образом, мы вычислили значение корня уравнения с точностью до 0,01. Если бы мы продолжили аналогичные действия дальше, то точность можно было бы довести до 0,001, 0,0001, 0,00001 и т. д Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М, что для всех х из [а, й] выполняется неравенство mz ^f(x)^M. Доказательство. Докажем ограниченность функции f (х) сверху (ограниченность снизу доказывается аналогично). Пусть f (х), будучи непрерывной, не ограничена сверху на [а, Ь]. Это значит, что нет такого числа М, чтобы f(x)«S/W для всех х из [а, &], то есть, какое бы число мы ни взяли за М, найдется хоть одна точка х из [а, 6] такая, что f(x)>M. Будем давать М после- довательно значения: М = 1, 2, 3,.п,... Для Л1 = 1 найдется такая точка хх из [а Ь\, что f(xx)>l; » М — 2 » » » х2 » [а, Ь], » /(х2)>2; » /И = 3 » » » х8 » [а, 6], » f(xa)>3; Для М — п » » » хп » [а, Ь\, » /'(х„)>п; В результате получим ограниченную последовательность точек хх, х2, хя,..., х,„.... По теореме Больцано — Вейерштрасса (теорема 2, § 9, гл. III) из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность xrtft->x0. Точка а,., будет принадлежать отрез- ку [а, Ь] и, следовательно, в ней f (х) непрерывна. Тогда lim f (x„k) = k -*oo = f (x0). С другой стороны, точки xn выбирались так, что f (xnk) > nk. Значит, lim / (x„?e ) — . Полученное противоречие и доказывает fe-*C0 теорему. Замечание. Теорема становится неверной, если в ней отрезок [а, Ь] заменить интервалом (а, Ь) Так, например, функция /(%)== = -непрерывна на (0,1), но не ограничена: lim - = оо. д X--* + О х Доказательство не проходит в том месте, где мы утверждали, что в точке ха функция непрерывна. Для интервала х0 может совпасть с его концом и f (х0) не будет определено. Пусть на некотором промежутке X определена функция f (х). Будем говорить, что эта функция в точке х0 имеет наибольшее (наименьшее) значение на X, если для всех остальных значений х выполняется неравенство f (х) f (х0) (/ (х) f (х0)). Если рассматривать множество значений функции, то наибольшее (наименьшее) значение функции (если оно существует) будет точной верхней (нижней) границей этого множества (см. определение точных границ множества на стр. 23). В случае, когда точные границы функции являются ее значениями, говорят, что функция f (х) 154
достигает своих точных границ. Однако, как известно, не всякому множеству принадлежат его точные границы. Если множество всех значений некоторой функции, заданной на X, не включает в себя своих точных границ, то такая функция не имеет на X наибольшего и наименьшего значений. Пример 5. Функция f(x) = x— Е(х), заданная на [0, й], где й S== 1, не имеет наибольшего значения на этом отрезке, но имеет наименьшее значение нуль Мно- жеством ее значений будет [0, 1], а точными границами чис та 0 и 1 (рис. 25). Следовательно, можно сказать, что функция достигает своей точной нижней и не достигает своей точной верхней границы. Пример 6.Функция/(х) = х3, заданная на ( — 2, -|-3), имеет своими точными границами чи- сла— 8 и 27, но они не достига- ются функцией ни в одной точке ( — 2, ф-3) (рис. 71). Из этих примеров видно, что ограниченные функции могут и не достигать своих точных гра- ниц. Это происходит из-за того, что в рассмотренных примерах либо функции не были непрерывными там, где они заданы, либо области их определения не являлись отрезками. Тео рема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, й], то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее значения. Иначе говоря, функция f (х), непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своих точных границ. Точная верхняя граница является наибольшим значением функции, а точная нижняя гра- ница — наименьшим. Доказательство. Пусть f (х) непрерывна на [в, й]. Тогда по теореме 3 она будет ограниченной на этом отрезке. Следовательно, существуют точная верхняя и точная нижняя границы, которые обозначим соответственно через М и т. Покажем, что f (х) достигает М. на [а, Ь], то есть существует такая точка х1; что f(x1) = M. Будем рассуждать от противного. Пусть такой точки на [п, й] нет. Тогда /(х) <Л4 для всех х из [а, й]. Рассмотрим вспомогательную функцию Ф (х)~м—?(*)' Эта функция непрерывна на [а, й] как частное двух непрерыв- ных функций (причем знаменатель отличен от нуля). Следовательно, по теореме 3 она ограничена. Пусть ее верхней границей будет 155
некоторое число ц > О, то есть . , <ф. Тогда Цх)<.М—'. /и I [X) ц. Получилось, что число М------меньшее, чем М, является верхней границей для f(x). Но это противоречит тому, что М есть точная верхняя граница функции f(x). Этим и доказано, что существует точка х1( в которой f(x1) = Al. Аналогично доказывается, что f (х) достигает и своего наимень- шего значения, которое равно т. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\, то совокупностью ее значений будет отрезок [т, М], где т и М — точные границы функции. Действительно, по только что доказанной теореме f (х) ограни- чена на [a, b], (х) <^М, а по второй теореме Больцано— Коши любое число Р, взятое из отрезка [т, М], является значением функции f(x) в некоторой точке хр из [а, &], f(Xp) — P. Обращаемы внимание читателя на большое сходство данного след- ствия со следствием из второй теоремы Больцано — Коши. Однако там было доказано лишь то, что совокупность значений f (х) есть какой-то промежуток с концами т и М. Сейчас, предполагая функ- цию f (х) непрерывной на отрезке, мы доказали, что совокупность значений fix) есть также отрезок. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а, &] и на концах этого отрезка имеет значения одного знака. Можно ли утверждать, что на [а, 6] нет такой точки, в которой функция обращается в нуль? Подобрать соответствующий пример. Отв Нет. 2. Имеет ли уравнение х8 + 18х3 + 2 = 0 корни, принадлежащие отрезку f—1, +Ц? Отв. Да. 3. Имеет ли функция х3 — 2х3 х — 2 в Какой-Либо точке отрезка [1, 3] зна- чение, равное нулю? Отв. Да. 4. Имеет ли уравнение х7 — 2х3-|-х2 = 2 хотя бы один корень между числами — 1 и 2? Отв. Да. 5. Принимает ли функция f (х)=2х9 —4х8 + 5х5 + 7 значение, равное 7, в ка- кой-либо точке отрезка [ — 2, 4-2]? Отв. Да. 6. Имеет ли уравнение х7 — 4х6 + х3 — Зх2 = 4 корень, больший 2? Отв. Да. 7. Найти приближенное значение какою-нибудь корня уравнения х3 — 2х2 — — 5х 4-8 = 0 с точностью до 0,01. 8. Доказать, что функция (2х при—IsgxsgO, х+^ при 0<xs£ 1 разрывна в точке х = 0 и тем не менее имеет на [—1, 1] как наибольшее, так и наименьшее значения. Построить график этой функции. 9. Доказать, что функция f (х) = sin х на отрезке | — 1 имеет единствен- ную точку, в которой f(x)=c (где с —любое вещественное число, удовлетворяю- щее условию | с | < 1. 156
10. Показать, что любой многочлен четной степени имеет по крайней мере два вещественных корня, если он принимает хотя бы одно значение, имеющее знак, противоположный знаку коэффициента при старшем члене. 11. Имеет ли уравнение sin х—х~р 1 =0 на отрезке [0, л] хотя бы один корень? 12. Доказать, что функция ,, . f sin—при 2, Ш-Д х-2 к ( 0 при х = 2 принимает на отоезке [2, Ь] (где b — любое вещественное число, большее 2) все промежуточные числа между числами /(2) и f(b), однако не является непрерыв- ной на эгам отрезке. § 6. СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ, КОРНЯ и СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Понятие функции, обратной по отношению к некоторой фун- кции у~f(x), дано в глаге II. Там же рассмотрен и вопрос о гра- фике обратной функции Свойства непрерывной функции, изучен- ные в предыдущем параграфе, дают возможность доказать следую- щую теорему. Теорема. Пусть на некотором промежутке X опреде- лена непрерывная строго возрастающая функцияy=f(x) с совокупностью значений У. Тогда на У существует обратная функция х = ф(у), также непрерывная и строго возраста- ющая. Аналогично, для непрерывной строго убывающей функ- ции y=f(x), заданной на X с совокупностью значений У, на У существует обратная функция х = у(у), также не- прерывная и строго убывающая. Доказательство. Пусть y=f(x) есть непрерывная строго возрастающая функция на X. Как известно, областью значений непрерывной функции будет некоторый промежуток У (см. след- ствие из второй теоремы Больцано—Коши). По условию для каждого значения у0 из Y на промежутке X найдется такая точка х0, что f(x0) — у0. Такая точка будет единственной, так как в силу монотонности в строгом смысле f (хТ) f (х2) при # х3. Следовательно, каждому значению у0 из Y соответствует опреде- ленное единственное значение х0 из X. Таким образом, обратная функция х=ф(у) будет однозначной. Покажем, чтох = ф(у) строго возрастает. Пусть й<1?2- Введем обозначения: <p(£/i)=Xi, ф(£/3) = = х2. Тогда =/(х1), y2 = f(x2). Если бы оказалось, что х1^=х2, то благодаря возрастанию функции y = f(x) мы имели бы t/i2st/3, что противоречило бы предположению. Следовательно, х}<[х2. Непрерывность функции х = <р(у) следует из того, что она мо- нотонна и ее значения сплошь заполняют промежуток X. В случае строгого убывания функции доказательство анало- гично. Замечание. Требование строгой монотонности функции f(x) существенно. Если бы оно было нарушено, то х = ср(у) могло бы 157
не удовлетворять определению функции, так как нарушилось бы свойство однозначности. Немонотонную функцию нужно поста- раться разбить на интервалы монотонности и на каждом интер- вале строить обратную функцию. С помощью доказанной теоремы легко доказать существование арифметического корня п-й степени, где п— любое натуральное число. Рассмотрим функцию у = х" при некотором натуральном п. Она непрерывна и строго возрастает на промежутке [0,+ оо). Непре- рывность нами установлена в пункте 3, § 2, а строгое возраста- ние можно доказать непосредственной проверкой условия моно- тонности. Действительно, для любой пары значений хх и х2 из [О, + '-о), удовлетворяющей неравенству хг < х2, имеем По следствию из второй теоремы Больцано — Коши множество значений функции y — xf1, рассматриваемой на промежутке Х = = [О, -|-оо), представляет некоторый промежуток У. Так как наи- меньшее значение функции хп на промежутке X равно 0 (оно получается при х = 0), то 0 и будет левым концом промежутка У. С другой стороны, хп-> +оэ при -фоо, то есть справа промежу- ток Y не ограничен. Следовательно, Т=[0,4-оо). Тогда по до- казанной здесь теореме на [0, ф-оо) существует обратная функ. ция х = ]/ у. Меняя обозначения, мы можем записать эту функцию и как Пг- 1 Уу Эта функция также непрерывна и строго возрастает на проме- жутке [0, ф-сю). Проведенным рассуждением мы доказали теорему о существо- вании корня: для любого неотрицательного числа а и лю- бого натурального числа п существует такое неотрица- тельное число а, что р" = а. Число называют арифметическим корнем п-й степени из числа а. Полезно заметить, что если a 2s 0, то у а!1 = а; в частности, !/а2~ = а. Однако если а< 0, то |Лх2= —а. фГак как мы рассматри- ваем арифметический корень из а2, то р/"а2 = |а1. Отметим еще, что если число « — нечетное, то функция //=/"х определена уже при всех значениях х из ( — ею, ф-оо). Легко про- П /- — верить, что и в этом случае функция у х непрерывна и строго возрастает на всей оси. С помощью корня вводится понятие степени с рациональным показателем. Пусть х>0 и г —некоторое положительное рацио- нальное число. т Последнее можно представить в виде д, где т и /г —натуральные 158
tn числа (см. § 2, гл. I). Определим хг, то есть х"как у^хт, т Хп = Легко проверить, что при таком определении степени с раци- ональным показателем сохраняются все основные свойства степе- ней с натуральным показателем. В частности, хп • хт = х'"т, (Лm = хпт, {ху)п = хпу'1, Y ~ и др. \У) У Степень с отрицательным рациональным показателем — г опре- деляется равенством х-г=\г(х^О). Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать теорему о существовании и непрерывности обратной функции для случая строгого убывания. 2. Покажите на примере, прибегнув к графическому представлению функции, что теорема о существовании и непрерывности функции становится неверной, если в ней предположить вместо строгой нестрогую монотонность функции. 3. Найти обратную функцию для функции '/ | заданной на [0, -~|-оэ). Установить область существования и непрерывность обратной функции. 4. Доказать, что всякая функция вида y = a0x2n+1 4- + апх 4* где а0, Oj, аг, . . . , ап — положительные числа, имеет обратную функ- цию, непрерывную и возрастающую на ( — оо, 4-со). 5. Дана функция f (х) = х3. Показать, что f [f (х)] = х. Какая функция будет для нее обратной? 6. Найти обратную функцию для функции у чае обратная функция совпадает с данной? ct.x [ b сх4“ d Оте. f (х). (асфЫ). В каком слу- Оте. Прий—ч/. § 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В главе II (§ 6, п. 5) мы уже познакомились с обратными тригонометрическими функциями. Однако там не давалось строгого доказательства их существования. Здесь же мы сможем легко сде- лать это, опираясь на общую теорему о существовании и непре- рывности обратной функции. I. Рассмотрим функцию t/ = sin х. Она непрерывна и строго возрастает на отрезкеJ+ Множество ее значений, соот- ветствующих этому отрезку, заполняет отрезок [ — 1, 4-1]. Следо- вательно, на основании теоремы о существовании обратной функции можно утверждать, что для функции t/ = sinx, рассматриваемой на | ~2 > + 2 | ’ сУЩествУет на [ — 1,4- 1 ] обратная функция у = arc sin х, также непрерывная и строго возрастающая (см. рис. 37). 159
. Множество ее значений на этом интервале со- Выбор отрезка |—у, +'>| 113 всс'31 области (—оо, +оо) существования функции z/ = sinx обусловлен тем, что нам нужен был промежуток монотонного изменения этой функции, имеющий максимальную длину. Таковым и является отрезок у, +у|- Конечно, можно было бы взять и другие промежутки монотон- ности sinx, например |у, -у | или |^, но обычно принято брать промежуток [ — у, +у]> так как он наиболее близко рас- положен от начала координат. 2. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что для функ- ции y — cosx, строго убывающей на [0, л], существует на [— 1, + 1] обратная функция t/ = arccosx, непрерывная и строго убы- вающая на этом промежутке (см. рис. 37). 3. Функция у— tgx непрерывна и строго возрастает на интер- f л . я вале I — у, +у ставляет всю ось (—оо, -фоо). Следовательно, на основании тео- ремы о существовании обратной функции для нее существует на ( —оо, Ц-оо) обратная функция i/ = arctgx, изменяющаяся на ин- тервале у, +yj, также непрерывная и строго возрастающая (рис. 38). г 4. Аналогично устанавливается, что для функции i/ = ctgx, убывающей на интервале (0, л), существует обратная функция //--arcctgA на (-оо, -f-co), непрерывная и строго убывающая на этом интервале (рис. 38). Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Докажите существование обратной функции t/ = arccosx на отрезке [— 1, _|_ ]] 2. Докажите существование обратной функции j/=arcctgx на всей оси (—со, + сю) 3. Сопоставьте сведения об обратных тригонометрических функциях, получен- ные здесь, с описанием обратных тригонометрических функций в п. 5, §6, гл. II. 4. Можно ли рассматривать функции sin х, cos х, tg х и ctg х как обратные тригонометрическим функциям соответственно arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х? Отв. Нет. 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ При рассмотрении элементарных функций (§ 6, гл. II) значе- ние символа а'- при иррациональном р и любом вещественном а> О осталось нераскрытым. Иначе говоря, осталось неизвестным, что следует понимать под степенью с иррациональным показателем. Те- перь этот символ можно определить, воспользовавшись понятием пре- дельного перехода. При этом мы будем исходить из уже извест- ного нам понятия степени с рациональным показателем. 160
Сформулируем сначала одно свойство иррациональных чисел, которое может быть строго доказано i развернутой теории Ес- тественного числа: для каждого иррационального числа р су- ществует возрастающая последовательность рациональ- ных чисел г1> г2, г3,..„ сходящаяся к ц. Например, если число ц представлено в виде бесконечной де- сятичной дроби с целой частью k и десятичными знаками сп |1 = k,CiC2Ca. . .сп.. то можно принять rn = k,c1c2c3...cn, то есть г — А । C1 | I . с3 I t сп п 10 ' 100 1000 ••• -г )Оп • Таким образом, в качестве гп мы берем «десятичные приближения к р» по недостатку. Так как при эгом ,и - гп < , то ясно, что г,, • и. Кроме того, zn+i^r„ при всех п ' ,’1емма 1. Для любой последовательности рациональ- ных чисел r-i, г2, Л, .... гп, ..сходящейся к нулю, последова- тельность аг>, аг*, аг, ..агп, ... {где а>0) сходится к 1, то есть lim аГп= 1. га —♦ со Д о к а з a i е л ь с т в о. Ограничимся рассмотрением случая, когда а> 1. Докажем заново, не опираясь на рассуждение из примера 10, § 5, гл. Ill, что при натуральном р - оо Так как Руа>1 Р Г при любом натуральном р, то можно положить/а — 1 ф-/г, где h> . Согласно неравенству Бернулли из § 7, гл. Ш, (1 ф-//)р-7й 1-i-рй. Гюдпавляя h--'i a — 1, получим, 1 ф-р(y'ci — 1), откуда 0 <J/a — 1 . r р 1 По теореме о сжатой переменной отсюда следует, что а? — р _[ j — у^а - 1. Но тогда на р — —j--• 1. Из доказанных соотношений ар вытекает, что для любого е>0 найдется такое натуральное р0, что ) __i_ цр»<;1ф-е и а ₽»>1— е. (1) Так как гп—• 0, то для всех п, начиная с некоторого « Ро 11т - „1 то есть----< гп <—. Тогда, начиная с того же п, а Р1> <.аГп < Ро Ро 6 Бохан и др. — 161
<Za P« и в силу (1) имеем: 1-8<аг“<1 + ?, то есть 1 аГп — 1 ' <8, что и доказывает лемму. Лемма 2. Пусть а>()и р — какое-нибудь иррациональ- ное число. Тогда для любой последовательности рациональ- ных чисел Гъ г2, ........................... (2) сходящейся к р, последовательность а!\ аг*~, а\ ...» аГп, ... сходится к одному и тому же пределу А. Доказательство, а) Если а—1, то лемма очевидна. В этом случае Л = 1. б) Пусть а>1. Рассмотрим сначала некоторую фиксированную неубывающую последовательность рациональных чисел pis;Sp2sS «^Рз «£ •. • sg рп • > сходящуюся к р. Тогда а'> а°2 «С . .«S (rr,‘'Z... (3) Возьмем рациональное число г>р. Тогда для любого п будет рп < г. Следовательно, а°п С аг, то есть последовательность (3) ограничена сверху. По теореме о монотонной переменной она имеет пределом некоторое число A; lim а°п=А. При этом 4>0, так как а'ч >0 и последовательность (3) — неубывающая. Возьмем теперь произвольную последовательность рациональ- ных чисел г,.-—>р. Тогда последовательность рациональных чисел Л — рь Гч — р2, г3 —р3,.... г„ —р„,... будет сходиться к нулю и, по лемме 1, lim o’" " f«= 1. Но г/"г/"*г". Следовательно, п со lim а'“ = lim • lim аг» ~г" = А. в) Остается рассмотреть случай, когда 0<о<1. В этом слу- 1 чае положим -~Ь. Тогда &>1 и по доказанному выше для лю- бой последовательности рациональных чисел га, сходящейся к р, существует один и тот же предел: lim = В >• 0. Отсюда 1 1 lim аг« = lim -т-== -5 > 0. Ьгп В Лемма доказана. Таким образом, мы получили, что для любой последователь- ности рациональных чисел r2, rs........ гп,..., сходящейся к р, последовательность аг', cf*, аГп,... сходится к одному и тому же пределу А. Число Л = Пт аГп принимается за значение аи» <:C = lim аГп, если г„->р. (4) Заметим, что формула (4), которую мы приняли за определе- ние ца в случае иррационального р, может быть доказана и для случая рационального р. Действительно, в этом случае аГп==а‘х xarn~v’. Но гп— р->0, а по лемме аГл~!Х—> 1 и по теореме о пре- деле произведения lim аГп~ а11. 162
При а >• 1 легко проверить, что если г и г' — такие два рацио- нальных числа, для которых то аг<а‘'<аг (при д< 1 получится противоположное неравенство: аг > а11 > аг'). Поэтому если г и г’ — рациональные приближения к р. с недостатком и с избытком соответственно, то аг и аг' будут приближениями (но уже не обя- зательно рациональными) к а' тоже с недостатком и с избытком. Нетрудно показать, что основное свойство степени, выражаемое тождеством ах'+х" — ах' -ах", сохраняется и для любых вещественных значений х'и х". Для этого достаточно взять последовательности ра- циональных чисел г'п -+ х' и г"п х" и перейти к пределу в равенстве Г' I г* Г' Г'‘ а п+гп^а п-а ". Можно доказать и формулу (ах'),:" = ах'х", (5) справедливую при любых вещественных значениях х' и х". Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Сформулируйте кратко, что понимается под степенью с иррациональным показателем. 2. Докажите, что если г>р (г— рациональное, р — иррациональное) иа>1, то ar > аI1, а если г < и, то аг < а'1. 3. Докажите формулу (а'ф = аяР, где а и р — любые вещественные числа. § 9. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ Возьмем некоторую постоянную величину а > 0 в качестве осно- вания и переменную величину х в качестве показателя. Получим функцию ах, которая теперь уже определена при всех веществен- ных значениях х. Эта функция и называется показательной. Таким образом, показательной функцией называется функция вида у=ах (а>0), заданная на множестве всех вещественных чисел ( — со,-|-со). Так как при а~1 функция 1Х=1 есть постоянная и ее свойства нами изучены, мы будем в дальнейшем предполагать, что а^ 1 Выясним некоторые свойства показательной функции. Будем предполагать для определенности, что й> 1 Докажем, что в этом случае функция ах строго возрастающая Пусть х1<х2. Подберем такое1 рациональное число г, чтобы xx<v<;x2. Тогда, как отме- чено в предыдущем параграфе, aXi<Zar, аг<ах-. Отсюда и следует, что ах' < aXs, то есть ах возрастает. Теперь докажем, что показательная функция ах непрерывна на всей оси. Пусть х0 — произвольная точка на (— оо, ф-оо) и дана не- которая последовательность точек х„ -► х0. При каждом значении п подберем два рациональных числа г'„ и г”п так, что гп<хи<г„ и г'п — гп<±- Тогда хп—гп->0 и г'п — х„->0. Следовательно, гп->х0 б* 163
и Гп -► хп По формуле (4) из предыдущего параграфа имеем: arn ах" и агп -> ах°. С другой стороны, arn < ах" < агп. Тогда по теореме о сжатой переменной аХп-*ах°. Тем самым мы до- казали, что limav = ar«, а это и означает непрерывность функции ах Г—Ло в точке х0. Так как аг>0 при любом рациональном г, а для любого ве- щественного значения х существует рациональное число г < х, то на всей прямой (— оо, ф-оо) Последнее означает, что гра- фик показательной функции у=аЛ расположен в верхней полу- плоскости и нигде не пересекает ось ОХ (см рис. 34). Покажем, что совокупность значений функции ах состоит из всех положительных чисел. Для этого благодаря следствию из второй теоремы Больцано — Коши достаточно установить, что sup ах— ф-оо, inf ах — 0 (1) Представим величину а в виде а— 1ф-/г, где н >0. По нера- венству Бернулли при любом натуральном значении п имеем: ап — = (1 4-ft)"-2s 1 ф-пй, откуда сразу ясно, что а"-*ф-оо при п-^оо. С другой стороны, — 0. Отсюда и вытекают формулы (1). Мы уже проверили, что для показательной функции ах выпол- нены условия теоремы из § 6 о существовании и непрерывности обратной функции. При этом областью задания функции будет вся ось, а совокупностью ее значений — интервал (0, ф-оо). Следо- вательно, на интервале (0, ф-со) существует непрерывная и строго возрастающая обратная функция у—\о^ах. Тем самым, в част- ности, доказано существование логарифма для любого положитель- ного числа. Отрицательные числа не имеют логарифмов, так как любая степень числа а(а>0) положительна Число нуль также не имеет логарифма Таким образом, областью существования ло- гарифмической функции z/=logax является промежуток (0, ф-оо) Возьмем теперь в качестве показателя некоторую постоянную величину ц, а в качестве основания — переменную величину к. Получим функцию xtx, определенную, во всяком случае, при всех вещественных значениях х>0, которая называется степенной. Из определения логарифма и из формулы (5) предыдущего па- раграфа следует, что (например, при п>1) ^ = (а1(,®«х)а=^-'08«х. А тогда из монотонности логарифмической и показательной функ- ций сразу вытекает, что х'х тоже монотонна: возрастает при р > О и убывает при р < 0. При р = 0 степенная функция обращается в постоянную: х°=1. 164
Из непрерывности логарифмической и показательной функций и из теоремы о непрерывности сложной функции (§ 4) вытекает, что степенная функция также непрерывна. Действительно, х->-х0, тогда logex -> logax0, ц logax-+u. logax(), a ,08aX -> a 10SaX°, то есть x‘- xg. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что показательная функция ах при а -< 1 является строго убы- вающей. 2. Откуда следует, что число нуль не имеет логарифма? 3. Построить графики функций у = ех и у = е~х. § 10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ При вычислении пределов функций фактически мы уже неодно- кратно пользовались их непрерывностью. Так, например, утвер- ждая, что при x->« sinx -> sin а, х"-> ап, fra и т д., мы были правы, поскольку эти функции непрерывны в точке х = а. Как мы знаем, условие f f (а) при х->а и выражает непре- рывность функций f (х) в точке х—а. Непрерывность элементарных функций позволяет нам найти следующие важные пределы: Пример 1. lim(!-{- — ) =ех при любом вещественном х. П-’ОО\ /I / Так как, считая х#0, имеем: (последний предельный переход сделан на основании непрерыв- ности степенной функции*), а при х = 0 доказываемое соотно- шение очевидно, то требуемое соотношение доказано. Пример 2. lim = |Ogoe. Доказать. JL Действительно, lim lo— Hm — loga (1 +x) = lim loga(I T-x)z v-.O x x —0 x x —0 и в силу непрерывности логарифмической функции получаем тре- буемое. В частности, при а — е имеем: lim—-—!—' — I, то есть х —О х In (1 4-х)~х. Пример 3. lim---------=lna. Доказать. х — о х Для доказательства этого равенства положим ах— 1 — (5. Тогда ar=i+ji, х— logo (I 4-3). При х->0 по непрерывности показатель- * Переменным было п, а показатель х считался постоянным. 165
ной функции ах-+}-, следовательно, f->0 и, пользуясь уже ре- шенным примером 2, получим: ах—1 ,. fJ 1 . Jim-----= lim.-----т~а\~=;-----= In °- x-0 x 0 - о logo 0+W log«e n Л |. (1+*P— 1 n Пример 4. hm——-----------=p.. Доказать. x 0 x Для доказательства положим (1 4-х)11 — 1 = [3. Тогда (I-)-x)|1 = = 14-p и [x In (1 +Д£) = 1п (1 + ₽). Из первого равенства при х-+0 по непрерывности степенной функции р -> 0. Переходя к пределу в очевидном равенстве (1-}-л:)н-—1 р In (14-х) X In(l-j-p) I1 * X получим: .. (14-х)н—1 .. hm а—!—i— = hm х-О х В-0 р In (14-Р) In (14~х) •р. hm——--..- х - О х 1 [X • 1 =р (здесь мы дважды использовали предел, вычисленный в примере 2). Вычисленные здесь пределы будут использованы в дифферен- циальном исчислении. С их помощью легко решаются также мно- гие задачи на раскрытие неопределенностей. Пример Пример Пример _ .. In X—1 , In х — In в 1 ,. 5. lim —— = Inn .............—..- = — lim — л--*е X — e x-f e x —e e X e 1 , 1 lx , \ — — • 1 sz — I *— 1 ss= 2 I e \e j lim Z -» 0 In (24-1) г n — 6. lim E2.= lim cos x = 1 -1 = ± x - 0 tgX X - 0 sin x n n" „ ex—ea ,. ea(ex~a— 1) 7, hm-------= Um —5-------- x —* a x—a x — a x-~a *= ea In e “ ea. 1 1 .. e г (1 + 2x)3 * —-1 n,. (14- 2x)3 — 1 o 1 2 Пример 8. lim1—*-------— 2 lim *—1—x---— 2 • . x-o X x-o 2x 3 3 е-зх_1 Пример 9. lim —=--- x - О XX 3 e~^-\ jlm--- x x — 0 — 3x 3 . 3 2 ' ne~ 2 Рассмотрим функцию y~uv, где и (u>0) и и —функции, от одной и той же переменной х. Функция и® в частном случае мо- жет быть степенной (при постоянной и) или показательной (при постоянной и). В общем случае она не будет ни той, ни другой, это совсем новая функция. Мы назовем ее показательно-степенной функцией. Пусть и->м0>0 и v->Vq при стремлении х к некоторому пре- делу. Найдем при этом условии предел иъ. Выражение и” можно представить в виде уУ--^lnuv 111 i 166
В силу непрерывности логарифмической функции In и -» In u0 при ы-*и0. Значит, lim (v • In и) =v9 In u0. А тогда по непрерывности no- u — u0 V - t’o казательной функции имеем: lim uv = lim ev ln “=evoln “• = «"». U -* Mo и -* «0 v -* va v — Co . В следующих трех случаях произведение v-\nu представляет собой неопределенность вида 0-сю: если «о = О и г>0 = 0; «0=1 и -u0 = iboo; и0 = 4~оо и ®о = 0. Следовательно, в этих случаях и вы- ражение и® будет также неопределенностью, вид которой обознача- ется соответственно 0°, Iе0, оо°. Раскрытие этих неопределенностей возможно только при наличии законов изменения переменных и и v. Способы раскрытия этих неопределенностей изложены в § 2, гл. VI. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Какие функции /(х) для ограниченной последовательности хя обладают свой- ством lim f (х„) = / (lim х„)? 2. Приведите пример функции /(х), для которой из х—х0 не следует /(х) — —/W- 3. Непрерывность каких функций использована в следующих соотношениях: a) lim (х -|- 3)3 = (а -|~ .3)-, б) lim arctg 2х= arctg 1 = 5-? х— а I * х-»2 4. Иногда говорят, что «если некоторое равенство /(х) = <р(х) справедливо для любых значений переменной х, то оно сохранится и тогда, когда вместо х подста- вим его предел (lira х)». Произведя такую подстановку в тождестве £ 2-Д 4-1* \ X / \ X) ' при х — со, показать, что это утверждение может привести к ошибке, если не огра- ничиваться рассмотрением непрерывных функций. § 11. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Частным случаем рассмотренной нами выше показательной функ- ции у==ах (см. § 9) является функция у = е\ где за основа- ние взято число е. С помощью функции ех описываются многие фи- зические явления, такие, например, как радиоактивный распад, из- менение атмосферного давления в зависимости от высоты и др. С помощью этой функции определяются также функции, имеющие широкое применение как в самой математике, так и в ее приложе- ниях. Это так называемые гиперболические функции: sh х=е ~2е (гиперболический синус), qX I Q-X ch х=—— (гиперболический косинус), * Определение функции вида Е (х) и ее свойства даны в § 2, гл. II и в при- мере 6, §10, гл. Ill, а график —на рисунке 57. 167
th x= — e x ex-^e~x cthx ex-f-e ex — e (гиперболический тангенс), (гиперболический котангенс). Из определения гиперболических функций следует, что все они относятся к классу элементарных функций, так как являются результатом арифметических действий над показательными функ- циями вида у = ех и у=е х. Название «гиперболических» эти функции получили потому, что Х = сЬхиУ=5Ьх удовлетворяют уравнению гиперболы X2— _/2=1 Г / ех е~х \2 I ех — е~х \2 eix -|~ 2 -|- eix eix — 2-|-е“2А Т [ 2 j — —2 ) = - 4 = 1 ], подобно тому как тригонометрические функции X — cosx и У— sinx носят название «круговых» в силу того, что удовлетворяют урав- нению окружности Х24-У2 = 1. Названия же гиперболических «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» происходят от того, что между ними имеют место соотношения, во многом напоминающие или совпадающие с соот- ветствующими соотношениями между тригонометрическими функ- циями: sinx, cosx, tgx, ctgx. Так, например, thx=~^, cthx = = , th х • cth х = 1, ch2 x — sh2 x = 1, sh2 x = 2sh x ch x, sh (x 4- w) = shx’ ' 1 --shx-cii (/- clix-sh у, и др. В справедливости этих формул можно убедиться, если восполь- зоваться определением гиперболических функций. Например, о, , пех — е~х ех-\-е~х 4х—е^х 2shx-chx = 2 —g— — =—__ =sh2x. Так как функции ех и е'==-| определены и непрерывны на (-оо,-|-оо), то по теореме о непрерывности суммы, разности и частного непрерывных функций следует, что гиперболические функции sh х, chx, thx и cthx так же определены и непрерывны на (—оо, 4"°°) (.последняя за исключением точки х==0). Непосредственной проверкой условия четности и нечетности функции легко устанавливается, что функции shx, thx и cthx нечетные, а функция chx четная. Так как е > 1, то на промежутке [0,функция ех возра- стает от 1 до 4-оо, а функция е~х = ~ убывает от 1 до 0. Следо- вательно, на этом промежутке разность ех— ех возрастает от О до 4-ос. Можно доказать, что сумма ех-\-е~х также оказывается возрастающей функцией и ее значения изменяются от 2 до+оо. Отсюда заключаем, что на 10,+со) функция shx возрастает от О до+со, а функция chx возрастает от 1 до+оо. Из выражения 168
Рис. 72. следует, что на [0,-|-оо) функция thx также возрастает от О, оставаясь меньше 1. Поскольку cthx =-^, то, очевидно, функция cth.v убывает на (0. -: от -f-oo, оставаясь больше 1. Полученные нами данные о поведении гиперболических функ- ций на (0,+со) дают возможность представить их графически на этом промежутке. Используя же свойства четности и нечетности функций, можно продолжить эти графики на всю числовую ось (рис. 72 и 73). Заметим, что из всех гиперболических функций только одна th х является ограниченной, так как | th х | < 1 или — 1 <thx< 1. Отметим, что кривая i/- - ch д- или кривая более (X __ х \ е<г~[-е а) носит название цепной линии. Это название кривая получила из-за того, что цепь или канат, закреп- ленные с двух концов, принимают под действием собственного веса такую форму прогиба. Уприменения Доказать справедливость следующих формул: , , >. и , , , ,,,,,, th х -k th у 1. ch (% + у) = ch х ch у 4- sh х • sh у. 4. th («4-у) = т—— ' 1 ' 1 ' 1 1 4- th х • th у 2. 5. !_№х= 1 . 2 . ch2 х „ ch2x-|-l 1 3. ch2x =--5~~.. 6. 1 —cth2x=-rr-, 2 sh2 x Сравнить эти формулы с соответствующими формулами из тригонометрии, обра- тив особое внимание на знаки. 169
§ 12. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Пусть на некотором промежутке определена непрерывная функ- ция y = f(x). Как известно, непрерывность f (х) в точке х0 озна- мость 6 от х (при одном и том для той же функции можно чает существование для лю- бого е > 0 такого б > О, что из неравенства 1х—х0|<б следует неравенство |/(х)— — f (х„)| < е. Покажем, что величина 6 может зависеть не только от выбора е, но и от точки х0, в которой определяется не- прерывность. Это легко уви- деть на графике конкретной функции, например функции /(х)=у, заданной на про- межутке (0, 1). На рисунке 74 показана зависимость б от 8 (в одной и той же точке х0), а на рисунке 75—зависи- же е). Но эту зависимость обнаружить и чисто аналитически. Действительно, пусть 0<х0< 1. Возьмем б>0 и 6 = min|y, Покажем, что из неравенства |х —х0|<б следует неравенство )/.(х) — f (х„) | < е. Так как |х—х0|<б, то—б < х--х„< б и, в ча- стности, х — Хо> —6 или х>х(1—б. Поскольку бгС^°, ТО X > х0 — — у, то есть х>|, С другой стороны, I(х) f (х0) | = j •Л «А ц J <a<aq и в силу неравенства х>|- I/(х) — / (х0) | < I хо ~~ х I 2 __ —У Ао ло 2 2 2 Таким образом, мы нашли для произвольного 8>0 соответст- вующее ему 6>0, причем из зависит и от х0. Покажем теперь, что по е>0 невозможно подобрать соответст- вующего б >0, не зависящего от х0. Будем рассуждать от против- но
ного. Пусть е > 0, и допустим, чтое му соответствует некоторое 6 > О, не зависящее от х0, такое, что из неравенства \х—х01 < 6 следует неравенство |f (х)—f(x0)!<e. Возьмем на промежутке (0, 1) такую точку х0, что х0<б, а затем возьмем х так, что 0<х<-гт1—. 1 -f- ех0 Тогда 0<х<х0, следовательно, |х—х(11 < 6. В то же время Л Xq Xq Хф Полученное противоречие убеждает нас в невозможности выбора б, общего для всех точек х0. Из способа определения б через е и х0 по указанной выше фор- муле можно находить и численные значения б в зависимости от е Г> 4, 1 или отх0. В частности, если хп фиксировать, положив, например, х0 — %, то для e=^j будет б —для будет б = у^, и т. д. Если , “11, же фиксировать е, положив, например, e = jg, то для x0 = g- бу- я 1 1 Л я 1 дет o = 5Q0, для хо=1о будет 6 = ^, и т. д. Полученные значения б можно, конечно, округлять в сторону уменьшения. Таким образом, б является функцией от е и х, что обычно обозначают так: б = б (е, х). Поставим теперь вопрос, существуют ли непрерывные функции, рассматриваемые на некоторых промежутках, для которых по любому е > 0 находилось бы соответствующее б > 0, не зависящее от х, то есть одно и то же для всех точек х из рассматриваемого промежутка. Ниже будет показано, что при некоторых условиях, налагае- мых на функцию f(x), выбор б зависит только от е, 6 = 6 (е). Определение. Функция f (х), заданная на некотором про- межутке, называется равномерно непрерывной на этом про- межутке, если для любого е>0 найдется такое б>0, что не- равенство \f (х') - - f (х"); < е выполняется для любой пары точек х' и х" из данного промежутка, удовлетворяющих неравенству \х — х"1 <6. Равномерная непрерывность функции на промежутке означает, что в любом месте этого промежутка одна и та же степень бли- зости значений аргумента х' и х" обеспечивает заданную (выбором е) близость соответствующих значений функции f(x') и f(x’')- Понятие равномерной непрерывности функции относится к наиболее сложным и трудным для усвоения понятиям математи- ческого анализа. Поясним равномерную непрерывность на сле- дующей модели. Представим себе, что график заданной непрерыв- ной функции у = f (х) есть некоторая тонкая, но жесткая сталь- ная нить. Задача состоит в том, чтобы изготовить такую муфту 171
длины 6 с цилиндрическим отверстием диаметра е (рис. 76), ко- торая могла бы свободно передвигаться вдоль этой нити от точки A (a, f (а)) к точке В (b. f (b)), сохраняя при этом положение, при котором ее ось параллельна оси ОХ. Очевидно, длина 6 такой муфты будет зависеть только от величины диаметра ее отверстия е: чем меньше диаметр отверстия е, тем короче должна быть муфта (меньше б). Если Для заданной кривой (нити) y = f(x) такую муфту можно изготовить с любым сколь угодно малым наперед заданным диаметром отверстия е, то функция f (х) равно- мерно непрерывна на (а, б|. Действительно, в этом случае для любой napi ’ точек х' и х", удовлетворяющих неравенству х — х"\ < 6, будет выполняться неравенство \f (х') — f (х") | < е. Пытаясь по- строить такую модель для функции /(х) = ^ на (0, 1), легко убе- диться, что она не является равномерно непрерывной на этом интервале, так как по графику этой функции приблизить муфту в крайнее левое положение невозможно, какой бы малой длины б мы-ее ни изготовили (рис. 77). Теорема (Кантора*). Если функция f(x) непрерывна на отрезке \а, Ь\, то она и равномерно непрерывна на этом отрезке. Доказательство. Допустим противное функция f (х), буду- чи непрерывной на отрезке [а, 6], не является на нем равномерно непрерывной. Это значит, что не для всякого 8>0 найдется таксе б > О, чтобы для любых х' и х", удовлетворяющих неравен- ству х' —х' < б, выполнялось неравенство | f (х') — j (х") | < 8. А это, в свою очередь, означает, что существует такое е0, для которого нельзя подобрать соответствующего 6, то есть, какое бы б мы ни взяли, найдется хоть одна пара точек х' и х" таких, что х'—х" । < б, в то время как 1/(х')— f (х") I 80 * Георг К d нго о (1845—1918) — известный немецкий математик, основа- тель современной теории множесгв. 172
Возьмем последовательность значений 6, сходящуюся к нулю: Для 6=1 найдутся такие точки x't и х'[, что |xj—xf |< 1, но \ f «) |Sse0. Для 0 = 1/2 найдутся такие точки xj и х2, что |х2— х2 | < г/2, НО \ f(x'i)— f(x"t) |Ss-80. Для 8 = г/3 найдутся такие точки xj и х3, что \х3 — х3\<1/а, но |/(Хз)— f (Хз)|2э80. Для 6 = 1/п найдутся такие точки х'п. и х„, что |хп — Хп\<1/п, НО If (Хп)— / (х«) I S3 80. Этот процесс бесконечно продолжаем. В результате из [а, 6] выделяется две ограниченные последователь- ности: > х;, х.;, xj, .... хп, ... (1) 4. xi xi ... , Хп, ... (2) Из последовательности (1) по теореме Больцано —Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не вво- дить новых обозначений, будем считать, что уже сама последова- тельность (1) сходится к некоторой точке х0. Покажем, что тогда последовательность (2) также сходится к х„. Действительно, из очевидного равенства х’п—х0=х’п—хп + х'п — х„ следует, что \ х’п — — x0|sg|x^ — Хп | +1 х’п — х01, и так как при п->оо будет | х„ — х„|<; < —->0 и х'п — Хо -► О, ТО х’п — х0->0. п и v Функция / (х) по условию непрерывна в точке х„. Следова- тельно, при п->оо будет f (х'п) -» f (х0) и f (х«) (х0). Это значит, что разность I f (хД — f (х,Д | должна стремиться к нулю при п->оо. Но это противоречит тому, что | f (хД •— f (хД |5=г80 для всех п. Обнаруженное противоречие и доказывает теорему. Если в теореме Кантора вместо отрезка [а, рассматривать игиервал (a, Ь), то теорема перестает быть верной. Это видно хотя бы из примера функции f (х) = у, рассмотренной нами в начале параграфа. Функция f(x)=* непрерывна на (0, 1), но не явля- ется равномерно непрерывной на этом интервале. Теорема Кантора дает возможность утверждать, что f (х) рав- номерно непрерывна на [а, 6], как только установлена ее непре- рывность на этом же отрезке. Однако иногда можно доказать равномерную непрерывность функции и без теоремы Кантора. Пример. Известно, что функция f(x) — x2 непрерывна на отрезке [0, 1]. Доказать ее равномерную непрерывность на этом отрезке, не ссылаясь на тео- рему Кантора. 173
Возьмем любые две точки из [0, 1]: х' и х". Тогда f (х*) — f (х') = х"2 —х'2 = = (х“’+х') (х'-х'), и так как всегда x’-{-x'sg2, то |f(x")-f(x')|s=2|x'-x'|. g Если теперь взять любое е>0 и положить 6=-^-, то для любой пары точек х' и х", взятых из -fO, 1] и удовлетворяющих неравенству J х" — х' ,1 < 6, будет выполняться неравенство | f (х")—f (х') | < е. А это значит, что функция f(x) = x2 равномерно непрерывна на [0, 1]. В интегральном исчислении используется один факт, который здесь легко получается в качестве следствия из только что дока- занной теоремы. Введем понятие колебания функции. Определение. Если функция f (х) определена и ограничена на отрезке [а, Ь], то разность между ее точными границами на этом отрезке называется колебанием функции на [a, ft], то есть колебание (а = М—т, где М = sup f(x), т= inf f(x). Следствие из теоремы Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, ft], то по заданному е>() можно разбить этот отрезок на конечное число частей так, что на каждой из частей колебание функции не будет превышать е. Действительно, по доказанной теореме /(х) будет равномерно непрерывной на [a, ft]. Следовательно, по заданному в найдется такое 6, что для любых точек х' и х", удовлетворяющих неравен- ству | х' — х" | < 6, будет выполняться неравенство | f (х') — [ (х") | < в. Если отрезок [a, ft] разделить на такие части, чтобы длина каждой из них была меньше 6, то, очевидно, на каждой из отдельно взя- тых частей разность значений функции в любых двух точках по абсолютной величине будет меньше в. В частности, это справедливо и для разности между наибольшим и наименьшим значениями функ- ции на каждой из частей, которая и составляет колебание непре- рывной функции на этом отрезке. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Следует ли из равномерной непрерывности функции на промежутке обыч- ная непрерывность на этом промежутке? Отв. Да. 2. Доказать равномерную непрерывность функций: a) f(x)=x3 на [0, 1], б) /(x)=sin х на (— со, -рсо), не используя теорему Кантора. 3. Доказать, что непрерывная ограниченная функция у = sin — в интервале (О, 1) не является равномерно непрерывной в этом интервале. Будет ли эта функция равномерно непрерывной на [1, 2]? Отв. Да. 4. Доказать, что неограниченная функция f(x)=x-(-sin х равномерно непре- рывна на ( — со, 4-со). 5. Будет ли функция z/ = x2 —Зх равномерно непрерывной на интервале (1, 3)? Отв. Да.
Раздел II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ А В А V ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ В этой главе центральное место занимают понятия производной и дифференциала. Исторически эти понятия возникли из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной ма- териальной линии, а также тангенс угла наклона касательной к кривой и Другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщенный, абстрактный смысл, что еще более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математи- чески не только состояния, но и процессы’, движение» (Ф. Энгельс. Диалектика природы. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 587). Таким образом, высшая математика существенно облегчает диалектический подход к изучению различных явлений действитель- ности. Кроме усвоения идейной стороны излагаемых вопросов, эта глава требует от студента продолжительной работы по овладению техни- кой дифференцирования. Нужно довести свое умение дифференци- ровать до такой степени, чтобы дифференцирование элементарных функций любой сложности не вызывало затруднений. Для этого необходимо решить большое количество примеров. Помещенные в конце каждого параграфа примеры для упражнения нужно рассматривать лишь как небольшую часть всей работы по практи- ческому дифференцированию. Следует еще обратиться за примерами к рекомендуемым сборникам задач (см. предисловие). § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Исследование функций является одной из основных задач мате- матического анализа. Методы и средства исследования все время развивались и совершенствовались вместе с развитием математики. Как уже отмечалось, самым важным этапом в этом развитии яви- 175
лось создание дифференциального и интегрального исчисления (XVII век), давшее в руки математиков совершеннейший аппарат исследования. В основе дифференциального исчисления лежит понятие произ- водной и дифференциала функций. Прежде чем перейти к опреде- лению производной, рассмотрим О Н задачу, решение которой под- —1ч J, -----j ведет нас к этому понятию 5 Пусть некоторая материаль- ная точка М совершает примо- гии '°- линейное неравномерное движение. Предположим, что за время/0 пройден путь s0, а за время/ — путь« (см. рис. 78). Тогда за про- межуток времени А/=/ —t0 точка М пройдет отрезок пути As = s — s0. Отношение ~ называется средней скоростью движения (оср) на уча- стке пути As, или за время от момента /0 до момента / = /0Ц-А/. Легко видеть, что с уменьшением дГзначение средней скорости пср будет меняться, характеризуя движение на все меньшем и мень- шем участке пути As. Предел отношения при А/->0 называют скоростью v движения точки М в момент времени /0, lim AZ-» О As At V. (I) Заметим, что если бы движение предполагалось равномерным, то величина была бы постоянной и мы имели бы ,. As As v= um T7 = r/ = Vcn, Az-»oa< дг то есть ц = цср. Рассмотренное нами движение может быть задано некоторым уравнением движения s = f (О- В этом случае, полагая = можно представить среднюю скорость оср и скорость v в данный момент в виде t-ta ' o = lim /(О-ЛА,) t—t0 Говоря о функции, обычно имеют в виду процесс изменения одной величины в зависимости от изменения другой. При этом изучение характера изменения неразрывно связано с вопросом о том, с какой скоростью (насколько быстро) происходит это изменение. Понятие скорости, заимствованное из механики, успешно при- меняется и к исследованию поведения произвольной функции, при- обретая при этом более общий характер. Для характеристики изменения функций точно определяется, что понимать под скоро- стью изменения функции при определенном значении аргумента, 176
то есть в определенный момент ее изменения, и как измерить эту скорость. Пусть на промежутке X определена некоторая функция y = f(x). Возьмем какое-нибудь значение хп из этого промежутка и придадим ему приращение Хх. Это вызовет соответствующее приращение функции Xy—f (Хо + Ах) — f (х0). Заметим, что приращение аргумента может быть выбрано произвольно как по знаку, так и по величине, однако с таким расчетом, чтобы значение хофАх не выходило за границы промежутка X. В противном случае f(x04-Ax) теряет смысл, поскольку вне X функция не определена. Приращение Ху есть величина, на которую изменилось значение функции y=f (х) при изменении значения аргумента от х0 до х0 + Ах. Отношение будет средней скоростью изменения функции на отрезке [х0, х0 + Ах], а предел этого отношения lim —скоростью Лл---.О йх изменения функции при фиксированном значении х = х0. Определяя скорость изменения функции, мы уже подошли, по существу, к понятию производной. Дадим определение производной. Определение. Производной функции y=f(x) в точке х№ называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что послед- нее стремится к нулю, то есть lim^ = Um Если такого предела не существует, то говорят, что данная функция в точке х„ производной не имеет. Впрочем, в случае, когда предел равен бесконечности определенного знака, условимся говорить, что существует бесконечная производная. Функция, имеющая конечную производную, называется диффе- ренцируемой, а действие нахождения производных называется диф- ференцированием . Для обозначения производных пользуются следующими симво- лами: у' (читается: «игрек штрих»), у'х (читается: «игрек штрих по икс»), (читается: «дэ игрек по дэ икс»), f (х) (читается: «эф штрих от икс»). В тех случаях, когда желают подчеркнуть, что производная вычислена в какой-то фиксированной точке х0, пользуются обозна- чениями f (х0) или / Рассмотренная нами задача о нахождении скорости движения есть, таким образом, задача об отыскании производной от пути по ds времени: Вообще, какую бы зависимость ни отражала функция 177
y—f(x), отношение ~ есть средняя скорость изменения у относи- тельно изменения х, а у' есть скорость изменения у при некото- ром заданном значении х = х0. Например, если f(t), как функция времени, отражает какой-либо процесс химического соединения или распада, то производная будет скоростью течения этого процесса; если f (t) описывает процесс какого-нибудь развития, то f'(t) будет характеризовать скорость этого развития в момент времени t; если зависимость скорости некоторого движения от времени дана формулой и = <р(/), то ф' (t) будет уже скоростью изменения скорости или ускорением этого движения в момент времени t, и т. д. Огромное значение производной состоит в том, что при изуче- нии любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорости изменения связанных между собой величин. Поскольку производная в заданной точке есть предел, а предел, как известно, есть число, то и производная в точке есть также число. Однако в различных точках значения производной, вообще говоря, будут различными. Следовательно, производную можно рассматривать снова как функцию точки. Из определения производной функции вытекает и способ ее вычисления. Чтобы вычислить производную функции y — f(x) в неко- торой точке ху, необходимо: 1) значению аргумента х = х0 дать некоторое приращение Ах и получить новое значение аргумента х = х0-фАх; 2) найти соответствующее приращения функции Al/ = ] (х„ Ах) — f (х0); 3) составить отношение (приращение функции к вызвавшему его приращению аргумента); 4) вычислить предел этого отношения при Ах-* О, если он суще- ствует. Пример 1. Найти производную функции f (х) = угх в точке хц = 1. 1) Дадим значению аргумента х0=1 приращение Ах. Новым значением аргу- мента 2) будет 1+Дх. Найдем соответствующее приращение функции: Ар =/ (1 + Ах)-f (1) = /Т+Дх- 1. Составим отношение : 3) 4) Др i/l+Ax-l Ах— Ах Вычислим предел этого отношения при Ах —> 0: .. &у У1 +Ах-1 1 lim --- =з lim ---—г-----= Дх—>0 3 (здесь мы воспользовались известным пределом, вычисленным в примере 4, § 10г •гл. IV). Таким образом, получили, что (1) = -4-. о 178
Пример 2. Пользуясь определением производной, найти производную функ- ции (/=х34-3х—4 в точке у=х0. Дадим значению аргумента х = х0 приращение Дх. Тогда функция у полу- чит приращение Ду = [(х0 + Дх)3 + 3 (х04-Дх)—4] —(х^ + Зх0 —4) = х^ + 3х| Ax-f-3x0 Дх2 + Дх3 -|- Зхд ЗДх—4 — Хо — Зх0 4 = Зх2 Дх Зхо Дх2 Дх3 -f- 3 Дх. Ду „ . А Составим отношение и перейдем к пределу при Дх — 0: lim = lim (Зх2 + Зх0 Дх + Дх2 +3) = Зх2 + 3. Дх->о Д* Дх—»о В точке х0 производная равна числу 3xg-f-3, что удобнее записать так: /' {хо) — Зх2 + 3 = 3 (xg 4~ 1). Если вместо х0 подставлять различные значения (то есть под х0 понимать раз- личные точки), то будем получать различные значения производной. В частности, /' (2) = 3 (22+1) = 15; /'(0 = 6; /'(0) = 3; /' (л) = 3 (л2+1), и т. д. Выражение /'(х) = 3 (х2-]-1) представляет собой значение производной в про- извольной точке х, являясь функцией от х. Пример 3. Пользуясь определением производной, найти производную функ- ции y=cos5x в некоторой фиксированной точке х. Дадим некоторому значению х приращение Дх, тогда функция у получит при- ращение Ду = cos [5 (х + Дх)] — cos 5х , 5 Дх\ . 5 Дх 5х —__ 1 sm ___. „ ДУ * А Составим отношение и перейдем в нем к пределу при Дх —0: ZXX п . /- . 5Ах\ . 5 Ах —-2 sm 5х4—sin —к— \ 2 / х hm ------*---т-------- Дх—*0 ДУ hm л.? -!' СХХ . 5 Дх, sin —тг— 2 lim Дх*0 sin Ax . 5 Дх sin — Дх n V . /'г- , 5Ах\ = —2 lirn sm 5х-|—х— • hm Дх->0 \ I Дх->0 Итак, получили; (cos 5х)'=—5 sin 5х. Пример 4. Закон свободного падения тела в пустоте определяется форму- и ускорение этого дви- 5 2 sin 5х • у — — 5 sin 5х. лой s=где g—постоянная величина. Найти скорость жения в некоторый фиксированный момент времени t. Дадим некоторому значению t приращение Д/. За [/, /4-Д/] пройденный путь s получит приращение Ло—£^ + Д^)2 gt2 _2g-t-At-\~g-AP 2 2 ~ 2 Средняя скорость движения в течение промежутка [/, t Д/]: As , , St t, , St\ Скорость движения в момент времени t\ As v— lim -^5 = д/-»о At промежуток времени дл t h=gt’ то есть v = gt. 179
Найдем ускорение рассматриваемого движения, имея в виду, что ускорение есть скорость изменения скорости V. Для этого некоторому значению t дадим при- ращение А/. Тогда v получит приращение At» = g (t + M)—gt=g М. Среднее ускорение Ду g Ы Ускорение 1- Ду 1- hm —= hm g=g, Л/-.0 Д» д/—о то есть w—g. Таким образом, постоянная g, участвующая в формуле свободного падения, и есть ускорение падения тела в пустоте (g-x. 9,815 м/сек2). Из того, что среднее ускорение шср оказалось величиной постоянной (не за- висящей от Л/), вытекает, что в данном случае скорость падения v изменяется равномерно. В заключение параграфа отметим, что иногда пользуются поня- тием так называемой односторонней производной, понимая под этим „ ,. f (x) — f (х0) ,. f (x) — f (ха) односторонний предел hm '-.'.——- или lim Односто- x-^Xv-Ci х х0 х-*л-о-|-0 х - ронние производные в точке х0 обычно обозначаются символами:, f' (х0—0) — левосторонняя производная, f <х„ 0) — правосторонняя производная. Из существования обычной производной f (х0) следует существо- вание и равенство между собой односторонних производных /' (х0—0) и f (л„ • 0). И обратно, если существуют /' (л<, — 0) и f (х„ - 0 ), равные между собой, то существует и f (х0), равная их общему значению. Но и при отсутствии обычной производной односторон- ние производные могут существовать. Например, функция f(x) — = | sin х в точке х„ 0 обычной производной не имеет, так как не ,. I sin х| ! sin х01 ,. | sin х I ,, существует предела lim i—!-----------— = hm J------1. Что же касается x-z0 X —Xo X односторонних производных в этой точке, то они существуют: ,,, п, ,. I sin х | , г// , г Isin л-1 . •' 0)= hm Д--—^== —1, f (4-0)== hm ——t=l. х-« —0 х х-»4-0 * Вопросы для самопроверки ц упражнения 1. Почему производная от функции есть, вообще говоря, некоторая функция, в то время как по определению производная есть предел, а предел, как известно, есть определенное число? Объяснить это на решенных примерах 1—4. 2. Пользуясь определением производной, найти производные следующих функ- ций: а) у—sin (2х ф5). Отв. р'= 2 cos (2x4-5). б) г/ = Кх24-3. Отв. у'= у х24-3 в) y = e-Xrl. Отв. у' = 2й2Х+'1. 3. Определить среднюю скорость движения, заданного формулой 5 = /2_5/ + 2 180
(где s—путь, а I—время), в течение времени: а) от момента t — 5 сек до момента / = 15 сек; б) от /=10 сек до t = 20 сек. Отв. а) уср=15 ед. дл./сек, б) сср = 25 ед. дл./сек. 4. Закон некоторого движения определяется формулой з = /34-5£2 + 8< — 4, где s—путь в метрах, a t — время в секундах. Пользуясь определением скорости движения, найти скорость и и ускорение w этого движения в моменты времени: а) <=0; б) / = 2; в) t = tn. Отв. а) п = 8 м/сек, ш = 10 м/сек*, б) v = 40 м/сек, to = 22 м/сек*, в) о = (3^+10/о + 8) м/сек, ш = (6/о4-10) м/сек*. 5. Можно ли определить Ду, зная только, что Дх = 2, если: а) у = 3x4-2; б) у=х*\ в) У — ~^ ? Пояснить ответ чертежом. Отв. В случае а) можно, Ду = 6. В случаях б) и в) нельзя. § 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Истолкование производной с точки зрения механики как ско- рости изменения функции не является единственной общей иллю- страцией понятия производной. Можно дать и другое, геометри- ческое толкование производной. Для этого достаточно проследить,' каким геометрическим операциям соответствует каждый этап постро- ения производной в данной точке, если следовать ее определению. Но прежде чем это сделать, введем понятие касательной к кривой. Возьмем на некоторой кривой две точки М и N (рис. 79, а) и проведем секущую М/V. Затем, оставляя точку М неподвижной, будем двигать точку N вдоль по кривой в направлении к точке М. Секущая MN при этом будет поворачиваться вокруг точки М. Если она при MN-^0 стремится к некоторому предельному положе- нию МР, то это предельное положение секущей и называется каса- тельной к кривой в точке М. Дадим более точное определение касательной. Определение. Прямая МР (рис. 79, а) называется касателы. ной к кривой L в точке М, если угол ср между нею и секущей стре- мится к нулю при неограниченном приближении по кривой точки М к точке М. 181
В элементарной геометрии обычно определяют касательную к окружности как прямую, имею- щую с окружностью только одну общую точку. Это определение охватывает лишь частные слу- чаи кривых. В общем случае оно не годится. Так, например, на рисунке 79, б) касательная имеет три общие точки с кри- вой, а на рисунке 79, в) пря- мая имеет одну общую точку с кривой, но касательной не является. Перейдем к геометрическому истолкованию производной. Пусть функция f (х) имеет при х- л-„ производную /'(х0). Покажем, что кривая y=f(x) имеет в точке М (х0, f(x0)) касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен значению производной f' (х0). С этой целью дадим значению аргумента х„ приращение Ах и обозначим через N точку (х04-Ах, f(x0 + Ax)) (рис. 80). Секущая MN образует с положи- тельным направлением оси ОХ некоторый угол (5. Как видно из чертежа, tgP = Z(£o±Aazm = ^ или р = arctg ь г Дх Дх г ® Дх Если Ал* устремить к нулю, то на графике произойдет следующее движение: 1) точка X будет неограниченно приближаться к точке М, дви- гаясь вдоль по кривой y = f(x), 2) секущая MX будет поворачиваться вокруг точки .4, 3) соответственно будет изменяться и угол |J. Так как по условию производная /' (х0) существует, то, поль- зуясь непрерывностью функции arctg х, можем записать: lim arctg =arctg ( lim д- ] == arctg f' (x0). Дх-0 йх Но тогда существует и предел lim (5=arctgf (х0), то есть сущест- Аг-* О вует предельное значение угла р, которое мы обозначим через а. А это значит, что существует предельное положение МР секущей MN, то есть прямая МР является касательной к кривой y = f(x) в точке М и arctg/' (х0) = а или f (x0) = tga. Таким образом, производная функции f(x) в данной точке х0 геометрически представляет собой угловой коэффи- циент касательной к кривой y=f(x) в точке (хй, ф(хй)), то есть тангенс угла между касательной и положитель- ным направлением оси ОХ. 182
Если в некоторой точке производная обращается в бесконечность, то это значит, что касательная к кривой в этой точке параллельна оси ординат. Если же производная в точке равна нулю, то касатель- ная к кривой в этой точке параллельна оси абсцисс (рис. 81). Для того чтобы составить уравнение касательной к кривой y = f (х) в некоторой точке (д-,.. //<>), достаточно написать известное из анали- тической геометрии уравнение пучка прямых, проходящих через эту точку: У—Уп — k (х —х0) (1) и вместо k подставить значение углового коэффициента касатель- ной f (х0). Получим: у—Уо=Г W (X—х0). Прямая, проходящая через точку касания (х0, j0) перпендику- лярно к касательной, называется нормалью к кривой в этой точке. Из аналитической геометрии известно, что взаимно перпендикуляр- ные прямые обладают тем свойством, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, если в уравнении (1) принять & = —777-7, то получим уравнение нор- / ИО/ Мали: У-У»=-гЬ(х~хо)- Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у — х3— 5 в точке (2, 3). Напишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку (2, 3): у—3 = k (х—2). Чтобы определить, соответствующие значения k для касательной и нормали, найдем производную ух при х = 2: Ух = 3х2, у'\х_2 = 3 2“=12. 183
Слёдовательио, для касательной &=12, для нормали k=— Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим: уравнение касательной у~ 3= 12 (х—2), илиу=12х—21, о 1 , 1 19 уравнение нормалиу —3=—^(х— 2), или у —— у^хф- у • Пусть производная f (х0) не существует, а конечные односторонние производные /' (х0 — 0> и f (х0 + С) существуют (в этом случае f (х0 — 0) # f (хоН-О)). Тогда к кривой _у = /(х) в точке (х0, f (х0)) можно провести так называе- мые односторонние касатель- ные, которые образуют между собой некоторый угол. Поэ- тому сама точка (х0, f(x0)) в этом случае называется точкой кривой. |sinx| нечны, ствует (рис. 81,6). хотя они и различны «угловой» Так, на кривой у (рис. 82) такой «угловой» точ- кой является точка х=0. Ле- восторонней касательной яв- ляется прямая у— —х, а пра- восторонней— прямая у = х. Если же односторонние производные в точке беско- по знаку, в точке (х0, f (х0)) суще- то, единственная касательная к кривой, параллельная оси OY Пример 2. Определить угол между касательной к параболе у = у х2 в точке ОХ. 1, и осью Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной у' в точке х= 1, то задача и сводится к отысканию значения производной в этой точке. Дадим значению Х----1 приращение Дх. Тогда функция у получит прира- щение 1 t Аха Ду = у (1 + Дх)2-у • Р = Дх+ . „ Ду Составим отношение -у- ах и перейдем к пределу при Дх — 0: Ду Дх Следовательно, угловой получаем искомый угол Дх .. Ду -S-; hm —- = 1. Дх~* о Дх коэффициент касательной равен 1, или tga = l. Отсюда а = arctg 1=y- Условимся .в дальнейшем под углом подъема кривой в некоторой точке пони- мать угол между осью ОХ и касательной к кривой в этой точке. Пример 3. Определить угол подъема логарифмической кривой у = logax в любой точке х и исследовать зависимость этого угла от изменения х. 184
Для определения угла подъема кривой, то есть угла наклона касательной к кривой, нужно сначала найти угловой коэффициент касательной, то есть про- изводную логарифмической функции. Дадим некоторому значению х прираще- ние Дх. Тогда функция у получит приращение Д'/ = loga (х + Дх) — loga х = 1 oge L—- = loga 11 + — и Лг/ Дх loga + Дх Дх\ X / Поделим числитель и знаменатель этого отношения справа на постоянную ве- личину х (у нас х^О, так как при х = 0 логарифмическая функция не опреде- лена) и воспользуемся известным замечательным пределом: loge(l-|-a) . lim ——.....-—~=logae. <i-.o a Получим 1 , I, , Дх\ . f. , Дх\ .. Д'/ .. х °&а\ х) 1 .. + х / 1 . lim -2.= lim -----------------= — hm —.......\------'= — • log„e, дх—»оДх дх—»о Дх х дх~>о Дх - X х х то есть у х ‘ Из выражения производной видно, что угол подъема логариф- мической кривой обратно пропорционален значению х: увеличи- вается при убывании и уменьшается при возрастании х. Можно также сказать, что логарифмическая кривая по мере удаления х от нуля вправо все более и более «медленно» поднимается вверх, тай как угол подъема постепенно убывает, приближаясь к нулю. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Доказать, что производная строго возрастающей функции неотрицательна, а строго убывающей функции — неположительна. 2. Какой смысл имеет знак минус у производной, если последнюю рассматри- вать как скорость? 3. Под каким углом а кривая y — tgx (см. рис. 36) пересекает ось ОХ? Отв. а = 45?. № 4. На параболе У~~^ есть такая точка, в которой касательная наклонена к оси ОХ под углом 60°. Найти эту точку. Составить уравнение касательной. Отв. (2/3' 3), г/ = /Зх-3. 5. Определить угол подъема кривой у = х3 и исследовать зависимость этого угла от изменения х. При каком значении х угол подъема кривой равен: а) 0°, б) 45°, в) 60°? 6. Найти углы Отв. у' — Зх2. а) х = 0, в) наклона односторонних касательных к кривой 1 /3- при при б) = ( 4 — х 2<х=с4 185
в точке (2, 2). Чему равен угол между этими касательными? Дифференцируема ли функция в этой точке? Отв. 45ч и 135°; 90®. Функция не дифференцируема, так как f (2 — 0) ф ФГ (2 + 0). § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В дальнейшем будет показано, что дифференцирование любой элементарной функции сводится к дифференцированию простейших элементарных функций. Поэтому естественно начать с вычисления производных простейших элементарных функций. 1. Постоянная функция: y = f(x)—C, где С—постоянное число. В данном случае для любых х и Ах будет f(x + Ax) = C и \у = — Дх + Ах)— f (х) — 0- Отсюда при любом Ах=+0 будет ^ = 0 и, следовательно, у' = 0. Таким образом, производная постоянной функции равна нулю. 2. Степенная функция у=х1\ где н — любое вещественное число*. Дадим некоторому значению х приращение Ах. Соответствующее приращение у представится в виде Сосчитаем Аг/ = (х + Ах)'1 — х!\ lim Ах —* 0 Ау Ах lim Дх — 0 (х + Ах)!1—Х11- Ах lim х!'- '’ Ах-» 0 (см. пример 4, § 10, гл. IV). Производная степенной функции х* равна показателю степени р,, умноженному на степень ар- гумента с показателем, меньшим на единицу, то есть (Х1')' ==ЦХ;’ + В частности, если у--х, то у' = 1 • х° =1, если у — — , то у'==(х~т)'== — 1 • х-а ~ r~. (TV i [ если у—ух, то у' = \х2] = у • х 2 =^-р=. Заметим, что при выводе формулы производной от х‘ мы пред- полагали, что х>0 (вспомните область определения степенной функ- ции при произвольном р). Однако при некоторых значениях р функ- ция х;± имеет более широкую область определения. Например, если р равно натуральному п, то область определения функции хп сов- падает со всей осью. Можно доказать, что в этом случае формула (x")' = nxn~i справедлива для всех х без исключения. Мы вернемся к этому вопросу в § 5. * Для функции xi1 область изменения х определяется а зависимости от зна- чений р (см. § 6, гл. II). 186
Пример 1. Найти производную функции у = х3. По формуле дифференцирования степени имеем: г/' = 3-х2. Пример 2. Найти производную функции у=хТх2. £ Представим функцию в виде г/ = х5‘ Тогда по формуле дифференцирования степени получим: , 2 2 У ~ • X 5 = —— . 5 5^Гх3 Пример 3. Найти производную функции у = х~,Тх. Т 7 4 Как и в примере 2, представим функцию в виде у — х^. Тогда г/'=-,,-.х3 О 7 И 3. Показательная функция у — ах, где 0<а=£1. Если значе- нию х дать приращение Ах, то Лу — ах+&х-~ах = ах (а,Хх—1) , &у .. ал (оДх—1) х at>'x—\ у = Inn hm —Ц:------------ — ах hm —-г—. дх-од* д^о д^о Д* Пользуясь пределом, вычисленным в примере 3, § 10, гл. лучим: IV, по- (о*)'=д*. In а, то есть производная показательной функции равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм ее осно- вания. В частности, если у = е\ то у'—е*. 4. Логарифмическая функция: y=\og„x, где 0<а=^ 1. Если зна- чению х дать приращение Ах, то Ау= loga (х+Ах) —loga х и lim U-0 lim = 1 lim дх-,0 Дх Ах X Пользуясь пределом, вычисленным в примере 2, § 10, гл. IV, по- лучим: (logo x)' = ~log0e. Производная логарифмической функции равна обратной величине аргумента, умноженной на логарифм числа е при том же основании. В частности, если z/ = lnx, то у' = ~. 5. Тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx и ctgx. Пусть у~sinx. Для этой функции Az/=sin (х-|- Ах) — sinx и lim = lim д^—дх->о sin (х 4- Дх) — sin х Дх . Дх sin = lim —-г—cos (хф- = Дх-о ) 2. 2 187
Так как функция cos х непрерывна и lim 1^ то получим! «-о х (sin x)' = cosx. Аналогичными рассуждениями устанавливается, что (cos х)' = — stnx (см. пример 3, § 1). Пусть y=tgx. Тогда i9=tg(x+Ax)-tgx-g£±^-^ „ lim ___ lim sm IхCOS X —COS (x-t-Ax) SIU Л Дх_0Ах Ax cos (x + Ax) cos x ,. sm Ax = lim —r- Длг_о Дх COS (х + Дх) COS X ' (tg xY Отсюда, как и выше, — secй х COS2 X Аналогично доказывается, что (ctgx)' = —= — cosec® к. 6. Производная обратной функции. Пусть функция y = f (х) удовлет- воряет условиям теоремы о существовании и непрерывности обрат- ной функции (§ 6, гл. IV) и функция х — у(у) является для нее обратной. Теорема. Если существует f (хп) =/= 0, то существует производная обратной функции в точке у0 =/(•*%), причем то есть производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции. Доказательство. Дадим значению аргумента у0 обратной функции х==ф(у) некоторое приращение Ду#=0. Тогда приращение этой функции будет Дх. При этом Дх#=0, так как в противном случае х04-Дх=х0 и в силУ однозначности прямой функции y — f (х) мы имели бы /(х04-Дх)=/'(х0), то есть Ду = 0. Следовательно, мо- Лх 1 жем записать: — by by bx Перейдем в этом равенстве к пределу при Ду-► 0 (в силу непрерыв- ности функции х —ф(у) будет также Дх->0). В знаменателе правой части получим: f (хо)#=О. Следовательно, существует предел и левой части. Получим: или . В качестве примера найдем производные обратных тригономет- рических функций. 188
Рассмотрим функцию у — arcsin х на (— 1, + 1). Она будет обрат- ной для функции x=siny, рассматриваемой на —у, +yj- На этом промежутке x^ = cos t/=#0. Следовательно, (arcsin х)' = -J- = ..L = гт== (—1<х<4-1), COS у у 1 — SIH2 у у 1 — х2 то есть , . ,, 1 (arcsin х) = г . v /Т-х2 Перед корнем берем знак плюс потому, что cos у > 0 на f— %-, + . Функция у = arctgх определена на (—сю, -{-оо) и является об- ратной для функции х—tgt/. Так как x^ = sec2i/#=0 на + -”)’ т0 (arctgх)' = = _—. (— ОО < х<-4-оо). 14-х2У ' То есть (arctg х)' = —. Аналогично устанавливается, что (arccos х)' ---7..L..(— 1 < х < + 1), У I —х3 (arcctgx/ = — уф? (— сю <У <4-оэ). Поскольку логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными, то, зная производную одной из них, легко по- лучить производную другой Так, например, производная показа- тельной функции у=ах может быть получена следующим образом: (ах ’ — —_J-------------= у in а = ал • In а. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Найти производные следующих функций: а) Ото.у'=— . б) у = Ухг. в) у—-х},гх. Отв. у' = ~ хУ\. г) у — V х]/~х \гх. 2 Отв. у 3f/x „ > 7 Отв. у = 2. Чему равна производная I J/ ^ln cos2 у \ ? Отв- Равна нулю, как производная постоянной. 3. Проверьте монотонность показательной функции ах, используя выражение ее производной. 4. Получите самостоятельно формулы производных для следующих функций: -cos х, ctg х, arccos х, arcctg х. 5. Получите формулу для производной логарифмической функции, пользуясь производной показательной функции. 189
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ И НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ ФУНКЦИИ Пусть на промежутке X определена некоторая функция y=f(x), имеющая в точке х0 этого промежутка конечную производную f (х0). Так как число f (х0) является пределом переменной при Дх->0, то последнюю можно представить в виде = f (х0) + а, где а — бес- конечно малая при Дх->0 (см. § 2, гл. III). Умножая обе части равенства на Ах, получим: Xy = f' (х0) Дх + аДх. (1) Из этого равенства следует, что Дг/ -> О при Дх -> 0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. А это зна- чит, что рассматриваемая функция не- прерывна в точке х0. Отсюда заключаем, что из суще- ствования конечной производной (то есть из дифференцируемости функ- ции) следует непрерывность функ- ции в рассматриваемой точке. Заметим, однако, что обратное утверж- дение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, не имея производной в этой точке. В качестве примера такой функции может служить функция f(x) = |x|, изображенная на рисунке 83. В точке х —0 эта функция непрерывна, так как lim/(x) = /(0) = 0. Производной же №♦0 в этой точке не существует, так как Ж-7 Ф)....Jxj х—0 х ’ lim — ]jm — =—-1, Hm lim — —I, X- — о X x-r — о x x —+ o x x—+ o x i- /(x)-/(0) и, следовательно, не существует lim x^O x~u Существуют непрерывные функции, которые не имеют производ- ных в нескольких и даже в каждой точке их области определения. Первый пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке области определения, был построен Больцано. Ее график не только нельзя построить, но и мысленно трудно пред- ставить себе*. Замечание. В выражении (I) а и Ау будут бесконечно малы- ми только в том случае, если бесконечно мало Дх. Если же Дх * О существовании непрерывных функций, нигде не имеющих производных, можно прочесть, например, в учебнике Г. М. Фихтенгольца [2], гл. XVI, § 2. 190
придать некоторое постоянное значение, то и а, и \у будут также постоянными. Поясним это на примере. Пример. Рассмотрим функцию у = х3. Ее приращение в точке х можно выразить двумя способами: Ду = (хф-Дх)3— х3 = Зх2 Дхф-Зх Дх2ф-Дх3, Дг/ = (/'• Дхф-а • Дх = 3х2 Дхф-а • Дх. Приравнивая правые части и делая возможные упрощения, получим: а = 3х Дх-j-х2. Положим х = 2. Тогда если Дх=1, то а = 7; если Дх = 0,1, то а = 0,61; если Дх = 0,001, то а = 0,0601, и т. д. § 5. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ Чтобы вычислить производную от функции, составленной из про- стейших элементарных функций, нужно знать не только способы вычисления производных от этих простейших функций, но также некоторые дополнительные правила, к установлению которых мы и перейдем. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак про- изводной. Пусть у —си, где с—постоянный множитель, а и — какая-то функция от х, имеющая производную и’ в некоторой точке х0. Найдем if в этой точке. Для этого дадим значению х0 прираще- ние Ах. Тогда и получит приращение Au и, следовательно, у полу- чит приращение Ai/=c(u +Au)—cu = cAu. Получим: // — lim —lim с-^— = си', Дх-М)Д* Дх-*0 Да' то есть (си)' — си'. Пример 1. Найти производную функции у-..5х2. Имеем: г/ = (5ха)’ = 5 • 2х= 10х. 2. Пусть и, v и w являются функциями от х и в некоторой точке х0 имеют производные и', v' и w'. Тогда их алгебраическая сумма y — u + v — w также имеет производную в точке х0 и спра- ведлива формула (и + v — w)' = и' + и' — wr, то есть производная алгебраической суммы равна алгебраи- ческой сумме производных отдельных слагаемых. Дадим значению х0 аргумента х некоторое приращение Ах. Тог- да и, v и w получат соответственно приращения Ди, Aw и Ди/. Последние в свою очередь вызовут приращение А// функции у: \у=[(u + Au) + (о + Av) — (w + Ащ)] — (и ф- v — w), то есть Д//=Ди ф-Ду— Дщ. 191
Составим отношение поделив почленно последнее равенство на Дх (Дх 0): Ди Ли . Av Аи> ,, - 4- -г--г- . (1) Ах Дх 1 Дх Дх ' ’ Перейдем в этом равенстве к пределу при Дх—>0. Так как по условию существуют lim -г- = и , lim = д- — v , lim д- = w , то существует предел всей правой части равенства (1). Но тогда существует предел и левой его части. На основании теоремы о пре- деле суммы получим: Ли I Au , Av Aw\ Ли , Av .. Aw lim ~ = bm —H—*-1= *Im a— + »m t- — lim t- , Дх — (jA* Дх — (Да* &X ! Дх—qA* Дх— 0 А* Ax — то есть l/ = u' + if— Ilf, что и требовалось доказать. Как видно из хода наших рассужде- ний, число членов алгебраической суммы и распределение знаков в ней не играет в доказательстве существенной роли. Следовательно, это правило остается в силе при любой комбинации знаков и любом числе слагаемых. Пример 2. Найти производную функции у = 3х2 + 8х— 2cosx — ах Имеем: i/ = (3x: + 8— 2 cos х — ах)' = (3х2)'4-(8х)' — (2 cos х)' — (ах)' = bx-|-8-f- + 2 sin х — ах In а 3. Если и и v, являясь функциями от х, имеют производные и' и v в некоторой точке х0, то их произведение y = uv также имеет производную в этой точке и справедлива формула (и • и)' — и' • V + и • о', то есть производная произведения двух функций равна сум- ме произведений производной первого сомножителя на вто- рой и производной второго сомножителя на первый. Дадим значению х0 аргумента х приращение Дх. Тогда мио получат приращения соответственно Дх и До. Но тогда и функция у получит приращение Ду Д у = (ц -р Ди) (у + Av) — u-v = U'V + Au-v + u-Au-yAu'Av — и-с, то есть Ау = Дм • v + и • Av + Ди До. Поделив почленно это равенство на Дх, получим: Ду Au , Av , Ли . ~ = v + и • т- + . - Av, (2) Ах Дх 1 Дх 1 Ах ' ’ По условию существуют lim д- = м'и lim = if. Кроме того, из существования и' в точке х0, как известно, следует непрерыв- ность функции v в этой точке (см. § 4), то есть До->0 при Дх->0. Следовательно, величина • Av является бесконечно малой при Дх->0 (как произведение величины, имеющей конечный предел, 192
на бесконечно малую) и ее предел равен нулю. Таким образом, существует предел всей правой части равенства (2). Но тогда существует предел и левой его части. Получим: Ди .. Ди , Ду , /Ди . \ , 11Ш -Л4 = п hm дт + п- hm + lim Ь- • \v i = v-u' + u-if ДХ_»ОЛ% Дх —Ах — 0ах Дх — 0 \ах > (и и v в данном случае можно вынести за знак предела как посто- янные), то есть lj —V - и' + и- v'. Пример 3. Найти производную функции i/ = x2sinx. Имеем: у' = (х2)'. sin х-{-х2 (sin х)' =2х • sin х-|-х2 cos х. Заметим, что правило дифференцирования произведения двух функций легко распространяется и на случай любого числа сомно- жителей. Так, например, (и • v • w)' = [(и • v) ai]' = (u- v)' • w + (u • v) • w' = (u'v + u-t/)u> + + U • V w' = It' V W 4- и • v' • W + U • V • Ulf. Пример 4. Найти производную функции у — ах In х • tg х. Имеем: у' = (ах)' • In х • tg х-\-ах (1пх)' • tg х—ал' lr?(tg х)' = ,, . . 'ix tgx , a*lnx /, , , I , 21nx\ — ax in a in xtg x-(-——--—— = ax tg x Ina In x4--------, x cos2 x \ x sm 2x1 производные имеет также 4. Пусть и и v — функции от .с, имеющие в точке xlt и' и v'. Кроме того, v 0. Тогда их частное У===“- производную в точке хи и справедлива формула / и \,_ V ll'—ll у' \V / У2 ’ то есть производная дроби (частного) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель—разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя. Дадим значению приращение Дх. Тогда и получит приращение Ди, v получит приращение До. Но тогда и у получит соответ- ствующее приращение &.у: А и 4- Ли и и «Ди —и-До J и 4- Ди v п(п + Дп) Разделим обе части этого равенства на Дх: Ди Ди V ---------------------------и.-- Ди Дх Дх Дх v (у + Ду) перейдем к пределу при Дх-> 0. По условию существуют lim ~ = и' н lim — Из существования и' следует непрерывность о, то есть Дх - о ,ХХ (3) 7 bOXdh И др. 193
&.v -> 0 при Ах-* 0. Следовательно, существует предел всей правой части равенства (3). Но тогда существует предел и левой части. Полу- чим: Ди .. Ди . v hm — — и hm -г— , , Ди Дх Дх v-u —u-v пт =----------г——гтт— =-----------5-----> и hm (и-рДи) то есть , V ' и' — и 'V* У ~ ^2 • ГТ К 1-1 " Ач X2 4~ ЗХ 4“ 1 Пример 5. Наити производную функции у = —- . Имеем: , (х+ 1) (X'3 + 3х+ 1)' — (%24-3x4-1) (х +1)' __ (%4-1) (2x4-3)—(х24-3х4-1). 1 У “ (х+1)2 ~ (х~Н)3 “ 2х2 + 2х+3х + 3 —х3 —Зх—1 х2 + 2х + 2 _ —- ......._ - ____ _ Применим правило дифференцирования произведения к выводу формулы для производной от х" при натуральном п. Рассмотрим сначала функцию у = х. Так как при любом значении х и любом Ах приращение Ау = Ах, то z/'~ lim =1 при всехх. Дх —ойх При произвольном натуральном п представим у = х? в виде произведения сомножителей х и найдем производную от этого произведения, ttf —— ( yr^\r ------------------- (У . V . V y\f t4 -- у Hz j -—— • A Hz • • • Лj « п Очевидно, производная будет равна сумме п слагаемых, в каждом из которых все сомножители, кроме одного, остаются равными х, а один сомножитель заменяется своей производной, то есть единицей. Таким образом, получается сумма п одинаковых слагаемых х’' ', то есть /г-х" *. Следовательно, (х”)' = /гхга1. П р и м е р 6. Правило дифференцирования частного можно использовать для отыскания производных от функций tg х и ctg х: ., ,, /sinx\' cos2x+sin3x 1 ftp xY —----= --------5----- =---- V \COS XJ COS2 X COS3 X ’ , , ,, ZcosxV —sin2 x —cos3 x 1 (ctg x) = = -------:—-------= —* —:—jr \sm xJ sin2x sm2-X Пример 7*. Доказать, что если Xj является корнем многочлена /(х) крат- ности k, то для производной f (х) он будет корнем кратности fe—1. Пусть многочлен f (х) имеет /г-кратный корень хх. Тогда, как известно из ал- гебры, этот многочлен можно представить в виде /(х) = (Х— Хх)*ф (х), ¥ Эту задачу можно временно пропустить, если по высшей алгебре еще не изучен вопрос о кратных корнях многочленов. 191
где ф (х)—многочлен, являющийся частным от деления / (х) на (х—Xj)ft. Найдем производную. f (Х) = k(x—хО*"1 ф (х) + (х — хг)к <р' (х) = (х—х, )Л-1 [6<р (х) + (х—хх) ф' (x)J. Из последнего легко видеть, что значение х=хг является корнем уравнения (X— Xj)*-1 [&ф (Х) + (Х — Xj) ф' (X)] = О кратности k— I, то есть хг является (/г—1)-кратным корнем для f' (х). Пример 8. Пользуясь правилами вычисления производных, найти производные гиперболических функций; shx, chx, thx и cthx. Найдем производную гиперболического синуса. Так как shx = = ---, ТО (shx)'= (ex—e~x)' = ~(ex + e~x) = chx, ' то есть (sh x)'=ch х. (Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования разности и тем, что постоянный множитель можно выносить за знак произ- водной.) Производная гиперболического косинуса получается совершенно аналогично. Предлагаем самостоятельно получить формулу (ch x)'==sh х. ’ Найдем производную гиперболического тангенса. Так как thx« sh х 2= —:—, ТО ch х ... ,, /shxV ch х (sh x)' — sh x (ch x)' ch2x—sh2x 1 (tnx) — - ch2 x - ch2 x “cWx’ то есть (thx)'=-4—. (Здесь мы пользовались правилом дифференцирования частного.) Аналогично получается формула (cth х)' =---5^—. ' ' sh2 х 5. Производная сложной функции. Пусть дана функция у = /(х), где x = <p(f), « существуют конечные производные f (хй) и <p'Go) (*о=ф(А>))« Тогда у =/|ф G)] =I(t), как сложная функ- ция от t, будет также иметь производную в точке t0, рав- ную произведению ft (х0) на <р/ (tn), то есть (4) или, короче, yi = Ух Xt (здесь предполагается, что сложная функция F (/) имеет смысл, во всяком случае, в некотором промежутке, содержащем tu). 7” 195
Дадим значению tn аргумента t некоторое приращение At Тогда соответствующее значение х0 переменной х получит приращение Ах". Это в свою очередь вызовет приращение Ду функции y=f(x). Его можно представить в виде Ду=f'x (х0) • Дх + а • Ах, (5) где а->0 при Дх->0 (см. § 4). Заметим, однако, что если прира- щение. Д/ мы выбирали по своему усмотрению (Д/=#0), то соответ- ствующее приращение Ах получилось уже в зависимости от Д/ и могло оказаться, в частности, равным нулю. В этом последнем слу- чае равенство (5) теряет смысл, так как а было определено только при Дх#=0. Чтобы иметь право пользоваться равенством (5) и при Дх== 0, условимся считать в данном случае и а = 0. Тогда равенство (5) будет справедливо и при Дх = 0. Разделив обе части этого равенства на Д/, получим^ &У .. г (у А I „ Дх (6) Устремим в этом равенстве А/ к нулю. Так как по условию функ- ция х=<р(/) имеет в точке /0 конечную производную, то она непре- рывна в этой точке. Следовательно, вместе с А/ устремится к нулю и Дх. Но тогда будет стремиться к нулю и а. В этом случае будем иметь: lim /а • д'-:О • ф'(Л)- 0. Таким образом, правая часть равенства (6) имеет конечный предел fx (х0) (pi (/о). Но тогда имеет конечный предел и левая часть этого . равенства: lim = 7у (4). Предельный переход в равенстве (6) даст равенство (4). В данном случае переменная у зависела от t через посредство од- ной переменной х, которую называют промежуточной переменной. Возможна и более сложная зависимость —с двумя, тремя и боль- шим числом промежуточных переменных. Однако правило дифферен- цирования и в этих случаях остается прежним. ' Так, если y = f(x), где х=<р(ы), а и=ф(у) и о = %(0. то произ- водную y't следует искать по формуле yi —Ух х'и u'v v't. Приведем примеры дифференцирования сложных функций. Пример 9. Найти производную функции у=ех$. Данную функцию можно представить в виде у = еи, где и=х2. Тогда у'х — = уи их=еи 2х. Заменив и на х2, окончательно получим: у' = е*2 • 2х. Пример 10. Найти производную функции y = tg2yx2+l. Данную функцию можно представить через простейшие элементарные функ- ции следующим образом: г/ = «2, где u — tgi', a v — J/ш и tei=x2-pi. Тогда _ , 1 п 2х tg р х2 + 1 • sec2 У х2 + 1 уг~у„ и„ v„. w. — 2и sec2, -—- 2х~-—-..—'----!—. Ух и 1 Л 2рш /х2+1 196
В дальнейшем, когда в практике дифференцирования накопится достаточный опыт, можно будет обходиться и без записи сложной функции в виде цепочки простейших элементарных, которую легко держать в памяти, рассуждая следующим образом. Пусть нужно найти производную от функции у = In sin Уarctg е3х\ Замечаем, что эта функция представляет собой натуральный логарифм некоторого выражения. Берем производную от натураль- ного логарифма по его аргументу, то есть так, как если бы все выражение, стоящее под знаком логарифма, было независимой пере- менной. После этого всматриваемся, что представляет собой выра- жение под знаком логарифма. Это есть, оказывается, синус некото- рого выражения. Следовательно, нужно взять производную от синуса. Выражение, стоящее под знаком синуса, есть квадратный корень от нового выражения. Берем производную от корня. Подкоренное выражение есть арктангенс —берем производную от арктангенса. Под знаком арктангенса стоит показательная функция —находим производную показательной функции. И, наконец, находим произ- водную от показателя по правилу дифференцирования степени. Запи- сав в виде произведения полученные результаты дифференцирования, получим выражение искомой производной: у' -----=1=^==- • cos [/’arctg e3xl-7=L=-------— etx’ 15x*. sin]/arctg e3*5 2] arctg 1+Л'5 Такой способ дифференцирования более быстро приводит к цели и по существу ничем не отличается от вышеизложенного способа. 6. Производная показательно-степенной функции. Пусть y = uv, где и и V — некоторые функции от x(u>0), имеющие в данной точке производные и' и v'. Эта функция не подходит под известное нам определение сложной функции (как функции от функции) и поэтому к ней нельзя применить правило дифференцирования слож- ной функции. Однако существование ее производной не вызывает сомнения, так как возможно представление а производная показательной функции е°|п“ при наших предполо- жениях относительно и и и существует (см. п. 3, § 3). Дифферен- цируя ev51,u как сложную функцию от х, „находим- y'--^(evVnuy =ev Ли (у In u)' = еи1пц (o' In и = иь (o' In «-(- o“--j, то есть (и°У — и” In и • v' + vu^u'. Таким образом, можно высказать следующее мнемони еское привило: Чтобы найти производную показательно-степенной функции, достаточно продифференцировать ее как пока- зательную (то есть предполагая основание постоянным), а затем 197
как степенную функцию (предполагая показатель постоянным) и полученные результаты сложить. Пример 11. Найти производную функции j/ = (sin x)=os;i. Следуя выше указанному правилу, получим: у' = (sin x)cos* In sin x (— sin x)4-cosx (sin x)C05*—1. cosx = = (sin .v)’-os^—1 (cos2 x— sin2 x • In sin x). Пример 12. Найти производную функции |/ = хЛ‘Л. Данную функцию можно представить в виде y=xv, где v~xx. К каждой из этих функций применим правило дифференцирования ‘показательно-степенной функции. Получим: у' = xv In х • v' + v • xv~1 = x'v~1 (x • In x o'4- v), v' = xx In x-}-x • xxl = xx (In x4-l). Подставляя в выражение для у' значения v и v', окончательно будем иметь: у' — ххХ~1 [х In X • Xх (In Хф- 1)4-ХЛ1 ==ТЛ“'’ гЛ'1 [х • In х (In л +1) + 1]. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Пользуясь правилом дифференцирования дроби, вывести формулы: (sec х)’ — sec х • tg л j (cosec х)' — — cosec х • ctg х 2. Найти производную дроби ax-j~6 cx-f-d и объяснить, почему эта производная будет тождественно равна нулю при ad=bc. 3. Покажите, что производная от функции у—In i:х тождественно равна еди- нице. Чем это объясняется? Отв. В силу тождества lne-v=x. 4. Покажите, что производная четной функции есть функция нечетная, а про- изводная нечетной функции есть функция четная. 5. Найти производные следующих функций: а) у = sin 1'1 4- • 6) //- (tg х)v. в) у = х1пх. г) у = хх*. я) x = th (In х). Отв. у' = —4L== cos Kl 4- х2. |/14-х2 / 2х Отв. //'--(tg х)х (In tgx4--r—? \ Sin х! Отв. у’= 2х'";' -' х. Отв. у' — хжа + ’ (2 In х4-1). л , 1 Отв. —- х ch2 (In х) § 6. СВОДКА ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Дадим сводку всех основных формул и правил дифференциро- вания, полученных нами в предыдущих параграфах. Их нужно обязательно запомнить, в особенности формулы, отмеченные номе- рами. 1) Степенная функция-. (X11)'= (1) В частности, 198
2) Показательная функция: (ахУ =ах\п а. (2) В частности, (еху— ех. (3) 3) Логарифмическая функция: (logax)'=4jogae. г —— (4) В частности, (1пх)' = —. (5) 4) Тригонометрические функции: (sin х)' = cosx, .6) (cos х)' = — sinx, (7) (M'-cos**’ (8) sin2x- (9) (sec х)'= secх-tgx, (cosec x)' = — cosec x • ctg x. 5) Обратная функция: если функции y=f(x) и х=у(у) взаимно обратны, то f' (JC) = ИЛИ Ух == ^7 • (Ю) В частности; (arcsin х) —~~ V t — хг ’ (11) (arccos х)' = — ==£=, (12) (arctg х)'=Гр3?, (13) (arcctg х) = — . (И) 6) Показательно-степенная функция: (uvy = и° In а ©' + © • uvlur. (15) 7) Сложная функция: если _у=/(х), где x = <p(f), то y’t=y'xXt. (16) 8) Гиперболические функции: (shx)'=chx, (chx)'=shx, (thx)' = (cthx)' =— 1 sh2x’ Общие правила дифференцирования: (с)'=0 (с = const), (17) {си)' —си', (18) {и ± ©)' и' ± г»', (19) {uv}' = и' V + U1)', (20) / u\ Dll'— uv* \V / v'1. (21) 199
Из правил дифференцирования и формул производных простей- ших элементарных функций следует, что производная любой эле- ментарной функции есть также функция элементарная. Иначе говоря, операция дифференцирования обладает тем свойством, что она не выводит из класса элементарных функций. В дальнейшем будет показано (см. раздел III), что операция интегрирования, являю- щаяся обратной для операции дифференцирования, подобным свой- ством не обладает. Вопросы для самопроверки и упражнения В задачах 1—24, пользуясь формулами и общими правилами дифференциро- вания, найти производные следующих функций: 1. f (х)=х*-Зх3 + 5х2 + 3. Найти f (0), f'(—1), f' (л), f'(a-b). Отв. f (x) =. 4x3—9x2 + lOx; /' (0) = 0; f' (— 1) = — 23; f' (л) = 4л2 - 9л2 + 10л» /* (ц — й) (а — Ь) [4 (ц •— Z>)2—9 (ct — b) 4-10]. 5x^ 2. y=-=----4- 6x. При каких значениях x: a) y'—0, б) y' — 2, в) у' ——2? О * X* ч Отв. a) x=2 и x = 3, б) х=1 и x—4, в) нет таких значений х. 3. 2х-1 Отв. у’-- 14-2х — 2х2 У — X2 — X + 1 ' (Х^ — Х-[- 1)2 ’ 4. (2 —х2) (3—х3) Отв. У' 12 —- 6х “ 6x2 2х3 5х4 — Зх& У (1 —х)2 “ (1—х)3 • 5. V 1-Кх Отв. У' У У 1-j-l^X 2/х (14-/х)' Отв. У' X 6. у — _i_ In - 4 х2+1 • х4—Г 7. У = In (х • sin х У1 — х2). Отв. У' 1_ , X — 4~ ctg х . л 1 —— X 8. у— х arctg2 -}- sin х2. О Отв. У' , q х 6х . х . п п = arctg2 у 4- д—2 arctg j 4- 2х cos х2. 9. 1+х arctg х Отв. У' __ arctg х У 14-Х2 (14-х2)2 10. у- = 5агс^Ч»/1?4-1)г- Отв. «/' = (/4^4-1) 1п5 (^4-1) 4 /4 2}^х (14-х) 3 у х _ garctg/x * II. у— In fin (In х)]. Отв. у' = ~.----, , ” 1 ' " а xlnx-lnlnx 12. у = In tg — cos х In tg х. Отв. у'= — sin x In tg x. 13. у=arcsin 1^1 — х2. Отв. у' — X- |х|У1- x2 X— 1 14. t/ = x1<* - Z-, , ""^/Inx , Отв. y'—x 15. i/ = (lnx)\ Отв. у' — (In x)x (4- In In x 200
16. ^=У(х+1)г- Отв. у' 17. у = Х^аХ- 18. v=/l+x2- 19. 20. 21. 22. 2 у = _____arctg у . |/ fl2_ /,2 1 , х2 + х/2~-|-1 1 , х/2 у = —— In —!-----г—---------7=7 arcctg —— 4/2 х2-х/2+1 2/2 1—х2 y=sh3 х. у — In (ch х)4-а-J,- -. » ' 1 2 ch2 х -оУ/гТпЯ 1 1п(1-Нх)1 -2 / (х+1)2 ----------j, Отв. y' = xs,nx (52^+ Inx-cosxV Отв. у’ — ™ /1 + х2. Отв. и' = ——. а + b cos х , 1 у' —------. х*+1 у' — 3 sh2 х ch х. Отв. Отв. Отв. 23. у' = th3 х. , _ 1 У ch2x' у' =eehs v sh 2х. у = arctg (th х). у = gch® X, Отв. Отв. 25. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у = х* — 3 в точке (1. -2). 26. Написать уравнения касательной и точке ее пересечения с параболой у = 2х3. 27. На кривой у = х2 — 6х + 3 найти точку, касательная в которой параллель- на прямой у = 2х—3. Указание. Воспользоваться тем, что у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. ’ Отв. (4, —5). 28. Под каким углом пересекаются кривые: а) у = х2 и у=/х. Отв. «i=4p <ха = arctg. х-фха 3 24. х — Xs б) у— —__ х 7 Отв. у — 4х~-6, у ———-j. нормали к кривой у = х3 -f- 2х2 — 1 в х 15 Отв. у = 7х— 5, у ==—~—|—— * Отв. а = 0. Jg 2 j. и в) х2-р2- 12 к а з а н и е. и ху = 8. Отв. a = -g~. Угол, под которым пересекаются кривые, измеряется углом между касательными к кривым в точке их пересечения. 7 ---------------------------------------------?-----\ выполнено условие fix — — \4уу' = 5. 30. Дана кривая 3x2-j-4y2 = 43. Выразить угол подъема этой кривой в любой точ- ке через координаты точки. Найти угол подъема в точке (3, 2). / 9 \ Отв. а = arctg-----=-1. \ * / 31. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, га t секунд пово- рачивается на угол <f = a-{-bt—ct2, где а, b и с—положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Колесо осгагавливается, когда угловая скорость оказывается равной нулю. Определить, когда это про- изойдет? Отв. v = b — 2ct, ш = —2с. Колесо остановится в момент t—%-. 2с 201
32. Точка движется по параболе у — 5 + Зх2 так, что ее абсцисса х изме- няется с течением времени t по закону х = /3. С какой скоростью изменяется ордината? Отв. y't* *= 18 tb. 33. Закон движения тела дан формулой s — a-\-bt-\-ct2. Показать, что дейст- вующая сила постоянна. Указание. Иметь в виду, что ускорение пропорционально действующей силе. 34. Лестница длиной а, прислоненная к вертикальной стене, падает, скользя одним концом о стену, а другим о пол. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы в момент, когда нижний конец, отодвигающийся от стены с посто- '°v яннои скощсгью V, отстоит от нее на расстоянии о? Отв. -..... -. /ц2-й2 35. Распад радия происходит по закону R = R0 е~м, где — количество радия в начальный момент времени ^=0, a R — количество нераспавшегося радия в момент времени t. Определить закон зависимости скорости распада радия от времени. Показать, что скорость распада пропорциональна наличному количеству радия. 36. Сила постоянного тока определяется как количество электричества, про- текшее через поперечное сечение проводника в единицу времени. Дать в соответ- ствии с этим определение силы переменного тока. Определить силу ,,ока в конце пятой секунды, если известно, что количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t = Q, дается формулой Q = 2^24-3Z-|-1 (кулонов). Отв. 1 = 23«. 37. Точка движется по прямой у = Чх—4 так, что ее абсцисса возрастает с постоянной скоростью о = 7. С какой скоростью изменяется ордината? Отв. 21. х8 38. Точка движется в первом квадранте по кубической параболе 1/ 48 отправляясь от точки (0, 0). Какая из координат, х или у, при этом изменяется быстрее? Отв. На промежутке (0, 4) быстрее изменяется х, на промежутке (4, +со) быстрее изменяется у, при х = 4 скорости изменения х и у одинаковы. 39. Канат висячего моста имеет вид параболы * и прикреплен к вертикаль- ным опорам, отстоящим одна от другой на 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точек под- веса. Найти угол между канатом и опорными колоннами (рис. 84). Указание. Сначала по усло- вию задачи составить уравнение па- раболы, то есть определить величину k в уравнении Рис- y — kx2. Отв. а =-5. — arctg у. 40. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату вре- мени. Первый оборот был сделан колесом за~8 сек. Определить угловую скорость w через 32 сек после начала движения. Отв. ев —2л радиан/сек. 41. Два самолета вылетают (не одновременно) из пункта А и летят: один со скоростью 850 км/час в южном направлении, другой — со скоростью 900 км/час в западном направлении. С какой скоростью возрастает расстояние между само- летами во время полета? Какова эта скорость в момент, когда расстояние первого самолета от пункта А равно 75 км, а второго—180 км? Отв. о= ,850х + 900г/ t> = 1157— км/час при х = 75, у— 180. V^+У2 13 * Как известно (см. § 11, гл. IV), тяжелая нерастяжимая нить, провисающая под действием силы тяжести, имеет форму цепной линии. Но если провисание невелико, то ее форма мало отличается от формы параболы. 202
42. Три измерения кристалла, имеющего форму прямоугольного параллеле- пипеда, х, у и г (в сантиметрах) равномерно возрастают со скоростями 2 см/сек, 5 см/сек. и 3 см/сек.. С какой скоростью возрастают поверхность и объем кристалла? Каковы будут эти скорости в момент t, когда измерения кристалла достигнут величин: х=10, (/ = 4 и г = 7, если при /=0 х = у — г=0? Будут ли поверхность и объем возрастать также равномерно? Отв. 5'= 121 смг!сек, И'=294 см^/сек. Поверхность S и объем К изменяются неравномерно. 43. В уравнении параболы у — х^-^Ьх-^-с определить числа & и с так, чтобы парабола касалась прямой у = 2х — 1 при х=1. Отв. Ь = с = О. § 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Зависимость функции у от аргумента х не всегда выражается формулой, связывающей непосредственно у и х. Связь между ними может осуществляться и через посредство некоторой третьей пере- менной t, называемой параметром: х = Ф(0, • ;р). (1) В этом случае говорят, что функция у or х задана парамет- рически. Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (1) ставят в соответствие каждому зна- чению t из некоторой области его изменения [a, |J>| определенную точку (л\ у) на плоскости. С изменением t точка (х, у) опишет некото- рую кривую на плоскости. Уравнения (1) называются параметри- ческими уравнениями этой кривой. Так, например, уравнения x=acost, 1 Л / „ х , . . } (О I 2л) у = osmZ J суть параметрические уравнения эллипса с полуосями а и Ь, а урав- нения x = acost, y = asint (0<^2л) суть параметрические уравнения окружности радиуса а. Параметри- ческое задание функций удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций. Если в параметрическом задании функции (1) уравнение х=<р(0 решается относительно t, / = Ф(х), то параметрическое задание функции можно свести к явному: 1/=ф [Ф (.<)] =)(.<). Но и не решая первое из уравнений (1) относительно t, мы можем все же рассматривать у как функцию от х, заданную через посред- ство промежуточной переменной t. Предположим, что функции х = = Ф (0 и £/ = ф(/) имеют производные, причем ф' (7) 0 (на некото- ром промежутке). Кроме того, для х = ф(0 существует обратная 203
функция / = %(%), имеющая конечную производную %' (х) *. Тогда, применяя правила1 дифференцирования сложной и обратной функ- ций, находим: y'x = y't-tx — yt -Л, xt то есть = или’ к°Р°че’ Ух==уу Пример 1. Найти производную функции у от х, заданной параметрически уравнениями: х = 2+-С, А !/ = /2-2/8. / Используя формулу (2), получим: у; 2t—6P 2(/-3/2) /(1-3/) Ух~х; 2 + 2/ 2 (]'+/) ..1"+"/ Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой x=acos3/, ) у = а sin8t, j называемой астроидой, в точке А, для которой t==~ (рис. 85).' 1) Находим координаты хну точки А: . „л />Т'8 2а/2 /K2XS ajr2~ X (1 COSa — == I -I = х—~~~ z== --— . U Cl Sin3 — == £1 i —I ----- 4 \2/ 8 4 ’ ° 4 \ 2 1 4 ' 2) Составляем уравнение пучка прямых, проходящих через точку А. а/2 а/2'\ у-----L—= ,fe(x---!—j. (2а) , а V 2 3) Находим производную ух в точке х = ———: у[ За • sin2/ • cos / ‘ У г — —•" — —о—~~—V7"—г-д ™ — tg /; л xt —За • cos2/• sin/ 1 • Отсюда заключаем, что для касательной угловой коэффициент fe=—1. Нор- маль к кривой есть прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Следовательно, искомой нормалью будет одна из построенного нами пучка прямых (2а).- Чтобы ее выделить, нужно воспользоваться тем свойст- вом, что угловые коэффициенты касательной и нормали обратны по величине и противоположны по знаку. В данном случае для нормали k=l. Подставляя в уравнения пучка прямых (2а) значения k для касательной и нормали, после преобразования получим: . , а /2 уравнение касательной у — — x-j--—, уравнение нормали у = х. * Из условия гр'(/) + О можно вывести, что функция х = ср (/) строго моно- тонна. Тогда существование обратной функции /==^(х) вытекает нз общей тео- ремы (§ 8, гт. JV) и эта функция дифференцируема (по теореме о производной обратной ф)нкции). 201
К параметрическому представлению функции приводит решение многих задач из механики, где координаты движущейся точки М (х, у) рассматриваются как некоторые функции времени движе- ния t: х = ф(/), у==Ф(0- В качестве примера рассмотрим задачу о траектории движения тела, брошенного под углом. Пример 3 Пусть некоторое тело М брошено под углом <р к горизонту с начальной скоростью о0. Определить траекторию движения этого тела при усло- Рис. 85. вии, что сила сопротивления воз- духа не учитывается, то есть дви- жение происходит в пустоте. Предположим, что в момент времени t — Q тело М находилось в начале координат (рис. 86). Если бы на тело не действовала сила притяжения Земли, то оно перемещалось бы равномерно и прямолинейно по прямой ОР и через некоторое время t находилось бы в точке М' (х0, у0). Пройденный путь s определился бы по формуле s = OM' = vat, а координаты и уа, точки /И' —по формулам- у, — ОМ' cos if — v„t cos <p, y„ — OM' sin <p — v01 sin <p. Но под действием силы притяжения Земли тело М во время движения будет несколько отклоняться вниз от прямолинейного пути ОР. Как известно из физики, путь, пройденный падающим телом в пустоте под действием силы притяжения Я/2 Земли за время t, равен , где g— ускорение силы земного притяжения. Оче- видно, за время t величина и будет величиной отклонения движущегося тела по вертикали вниз от точки М' Следовательно, в момент времени t тело М будет находиться над горизонтом на высоте of* < gt2 У~Уа~2' = Msmcp—у. Таким образом, координаты движущегося тела выразятся уравнениями: X = i’o t cos ф, j . ? (3) I/—Z sin <р —, j 205
которые называются параметрическими уравнениями траектории движения. Пара- метром является время t. Исключив t из уравнений (3), получим явное уравнение траектории: / =------, y — v0-------sincp—^-7=—;— — х tg ф — х21 У0СОЗф О0СОЗф т 2vJ, COS2 ф 2 О2 COS2 ф то есть у=—g „ x2 + xtg(p. (4) я 2р|соз2ф s t ’ Исследование траектории движения можно проводить как по формулам (3), так и но формуле (4). Из (4) видим, что правая часть представляет собой многочлен второй степени. Следовательно, траектория полета тела, брошенного ь безвоздушном пространстве под углом к горизонту, есть парабола. Чтобы определить полное время полета Т (с момента вылета до падения), до- статочно найти значение t, при котором у = 0. Из (3) получаем: o/i о01 sin ф = О, или t (о0 sin ф—дН = 0. Решение fi=0 соответствует началу полета, а = — kohiiv полета Сле- й 2о0 sin ф довательно, Г=——х.. Легко определить также и дальность полета X. Для этого достаючно наити значение ж, при котором y=Q. Из (4) получаем: х3 4- х tg ф = О, 2vfi cos2 ф ° или x(tg<p g cos2 ф Решение решение x,=0 соответствует моменту вылета тела и нас не интересует. Второе tg ф • 2г^ cos2 ф__2 sin ф cos ф______sin 2ф ---------------------------------------------------— g является искомым, то есть о| sm 2ф Л ~--------- Как видно из полученных формул, полное время Т и дальность полета X за- вися! от начальной скорости о0 и угла бросания ф. Опираясь на геометрический смысл производной, можно определить направ- ление движения тела в любой момент времени t. Для этого достаточно найти вы- ражение углового коэффициента касательной к траектории движения, го есть вы- ражение производной у*. Получим: % s,sin(p- gt gt у. = — =---------------= tg ф---------. А Uu COS ф Uo COS ф Отсюда видно, что направление движения при заданных о0 и ф меняется , „ gt п , tgфП„COSф с течением времени t; Ул>0 при tg ф — cos ф 10 есть ПРИ g—- = 206
r* cin Q) л « % SID (p __ u0 01» у Это значит, что при O^t<C—--------- касательная к траектории полета g ' S образует с осью ОХ острый угол. Следовательно, данному промежутку времени . л . sin Ф соответствует подъем тела: ух = ^ при / — и> следовательно, касательная к траектории параллельна оси ОХ. Этому моменту, очевидно, соответствует наи- л »о sin Ф . 2о0 sin ср / , 2on sin q> больший подъем тела; ух < 0 при <t<—-—1 ^при t=-------------^—2 полет заканчивается). Это указывает на то, что касательная к траектории полета обра- зует с осью ОХ тупой угол. Тело опускается. Любопытно заметить, что, как видно из полученных формул, полное время полета Т поровну делится на время подъема и время спуска. В дальнейшем мы снова вернемся к этой задаче (см. пример 15 из упражне- ний к § 6 главы VII). Мы видим, что все результаты исследования согласуются с тем, что траекто- рия полета есть парабола. Заметим, однако, что движущееся тело будет описывать параболу лишь при условии, когда сопротивление воздуха отсутствует. В про- странстве, окружающем Землю, сопротивление воздуха оказывает существенное влияние на полет тела, и поэтому траектория полета не является в точности па- раболой. Например, задача внешней баллистики (науки о движении в воздухе сна- ряда, ракеты и т. п.) и состоит в том, чтобы вычислить точную траекторию полета с учетом сопротивления воздуха и многих других факторов, влияющих на полет. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. В каких случаях функцию, заданную параметрически, можно преобразо- вать к явному виду? 2. Преобразовать функцию, заданную параметрически уравнениями х= V t, y=\nt, к явному виду. Отв. х = 21пх. 3. Показать, что астроида, заданная параметрически уравнениями х = а cos3 t, 2 2 2 y = awiat, может быть также представлена уравнением х3 + уЛ = а3, или у == { 1 2\3 = V - 4. Найти производные следующих функций, заданных параметрически: а) х = In (1-|-/2), y=t—arctg/. Отв. _ б) За/ За/2 Отв. . /(2 —/3) Ух 1 —2/3 * х ~~ J /з > ~ /з • в) x=acost, y = bw\t. Отв. , & » . w^=-(jctg /. 1 г) х = arc sin /, у = arc sin у i — /2. Отв. И) x = sin/, y = e^cos/. Отв. , sin 2/ + 1 у cos 2/ ' е) x — a ch /, у = b sh /. Отв. х а 5. Написать уравнение касательной к циклоиде х = а (/—sin/), у = а(1—cos/) „ . л В точке, для которой * = . Отв. а (л — 4) У-Х 2 • г-— 6. Определить угол наклона касательной и нормали к кривой х — -^-, у = ]'3t в точке, соответствующей значению /=1. Отв. 60“ и 150°. 7. Найти точки кривой, заданной параметрически, х=-2/3— 9/2+12/-~-1, y—P-\-t-j-1, в которых касательные параллельны оси OY. Ошв. и t — 2. 207
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y — f(x) имеет в точке х0 конечную производную f (х,,). В соответствии с выводом, полученным в § 4 этой главы, ее прирашение Ду в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: Ду=('(х0) Дх-f-oc-Дх, где ос->0 при Дх->-0. Очевидно, если Дх считать бесконечно малой, то оба слагаемые справа будут также бесконечно малыми. Сравним их с величиной Ду, при условии, что f (х0) =/= 0. Имеют место сле- дующие равенства: .. а-Ах hm —г— дх—о &У lim Дх —0 1 I ОС • — Ду Ах = 0- 77-J-T=0, f (Xfl) ,. р (х) Ах 11 m '—у— Дх —0 f'(x0) • lim -rL ——i. ° Ax —0 Ay f M &x Из них видно, что второе слагаемое а-Дх представляет собой бесконечно малую высшего порядка по сравнению с бесконечно ма- лой Ду, а первое слагаемое f(x0) • Дх эквивалентно Ду. Слагаемое f (х0) • Дх получило специальное название дифференциала функции и специальное обозначение: f' (х„) Дх = dy. Таким образом, можно дать следующее определение дифференциала. Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке называется произведение производной в этой точке на приращение независимой переменной: dy=f(xn')’ Nx. (1) Здесь f(x0) может быть и нулем. К понятию дифференциала можно подойти и несколько иначе. Примем Дх за основную бесконечно' малую и сравним с ней Ду. Из определения производной lim4? Дх —0 Дх-0ах (напоминаем, что f (хо)=ДО) сразу следует, что бесконечно малые Ду и Дх одного порядка, а бесконечно малая /'(х0) Дх представляет главную и вместе с тем линейную часть бесконечно малой Ду (см. § 13, гл. III) (линейная — значит содержащая Дх в первой степени). Поэтому можно определить дифференциал функции dy и как глав- ную линейную часть приращения Ny. Понятие дифференциала в некоторой точке, таким образом, свя- зано с существованием производной в этой точке. Поскольку Дх можно брать произвольно, независимо от х, то значение дифференциала dy будет также меняться, оставаясь про- 208
порциональным значению Дх. Таким образом, дифференциал функ- ции есть некоторая часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента Дх: dy — A Дх. Дифференциал функции dy отличается от приращения Ду на ве- личину а-Дх, которая при фиксированном Дх будет величиной по- стоянной. Но если Дх->-0, то разность Ду—dy-+O и притом «быст- рее», чем Дх. Эту разность можно сделать сколь угодно малой. Следовательно, приращение функции можно заменить дифференциа- лом с любой степенью точности. Для этого нужно только взять достаточно малое Дх. Дифференциал функции dy линейно выражается через Дх, в то время как приращение функции Ду находится, вообще говоря, в более сложной зависимости от Дх. Покажем это на примере. Пример 1. Пусть дана функция у = х3. Найдем выражения для Ду и dy при некоторых значениях х и Дх: Ду = (х + Дх)8 —- х3 — х3 + Зх2 Дх+Зх Дх2Дх8 — х3 = Зх2 ДхДЗх Дх24-Дх3, dy=y' • Дх = 3х2 • Дх. Из подчеркнутого видно, что вычисление Ду связано со значительно большим чис- лом действий над х и Дх (в том числе с возведением Дх во вторую и третью степень), чем вычисление dy. Сравнивая правые части, видим, что а.Дх = Ду— dy = ЗхДх2 4- Дх8, откуда а = ЗхДх4-Д№. В частности, если х = 2, Ах —0,1, то Ду =1,261, rfy=l,2 и Ду — dy = 0,061. ' Таким образом, с одной стороны, вычисление । дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения функции, с другой, dy те Ду и допу- скаемая погрешность при замене Ду на dy не только х , л , IД у—dv I абсолютная |Ду — ау \, но и относительная)—| (последняя при условии, что }' (х0) Ф 0. то есть dy ф 0), i может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения Дх. Эти обстоятельства позволяют заме- нять во многих случаях Ду величиной dy, что со- здает большое практическое удобство. Пример 2. Найти приращение и дифференциал функции у = х2 в произ- вольной точке х при некотором значении Дх. Дать им геометрическое истолко- вание. Дадим некоторому значению х приращение Дх. Тогда Ду ==(х4- Дх)2-—х2 = 2х • Дх4- Дх2, dy = уг Дх = 2х • Дх. Пусть х>0 и Дх>0. Тогда, как видно из рисунка 87, приращение Ду есть при- ращение площади квадрата со стороной х, если х увеличить на Дх (все заштри- хованное). Дифференциал dy есть часть приращения площади того же квадрата (на рисунке покрыта одинарной штриховкой, то есть Ду без площади маленького квадратика со стороной Дх). Пример 3. Найти приращение и дифференциал функции у = х34-2х в точке х = 2 при Дх = 0,1 и при Дх = 0,01. Найти абсолютную и относительную погреш- ности, допускаемые при замене приращения дифференциалом. Ду = ](х 4- Дх)8 4- 2 (х 4- Дх)] — (х3 4- 2х) = Зх2 Дх 4- Зх Дх2 4- Дх3 4- 2Дх, dy=(3xM-2) Дх. При х=2 и Дх = 0,1 имеем: Ду = 3 • 22 • 0,14-3 • 2 • 0,124-0,134-2 0,1 = 1,461, dy= (3 • 224-2) 0,1 = 1,4. 209
Абсолютная погрешность \&y~dy\ =0,061, а относительная погрешность j ' &у — 0Ж , „ = 7^-7= (то есть относительная погрешность будет около 4%). 1,461 При х — 2 и Дх = 0,01 имеем: Ду = 3 • 22 - 0,01 +3 2 - 0,0124-0,013 + 2 - 0,01 =0,140601, dy = (3 • 224-2) • 0,01 =0,14. Абсолютная погрешность | Ду—dy | = 0,000601, а относительная погрешность Ду — dy I 0,000601 . п . . \...- = n . (то есть будет уже около 0,4%). l\y I Vjl^rvOvi П р и м'е р 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно изменение, претерпеваемое функцией у — х3—7х24~80 при переходе х от значе- ния 5 к значению 5,01. В данном случае будем считать х = 5, а Лх = 0,01. Изменение функции Дук.- «г dy' Дх= (Зх2 — их). Дх = (3 б2- 14 5) 0,01 =0,05. Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное зна- ® /~ 2—х чение функции у=1/ 5-7— при х=0,15. F Z-f~X При х = 0 значение функции находится легко и равно 1. Остается подсчитать, насколько изменится значение у при переходе х от значения 0 к значению 0,15. Произведем приближенный подсчет с помощью дифференциала. Для нахождения дифференциала данной функции удобнее ее сначала прологарифмировать: 1 2 х 1п у = -= 1п =“*-, у 5 24-х Дифференцируем это равенство, рассматривая In у как сложную функцию от х. Получим: 1 , 1 24-х —4 у У -5 5 ‘ 2-х* (24-х)2 ’ откуда , _ 4у ’’ ~ 5(4 —х2)' Таким образом, имеем: к j , л 4у Дх by dy = у’ • Дх = р-44—п, » » » 5(х2 —4) Подставляя х=0, у = 1 и Дх = 0,15, получим: л 4'0,15 „„„ 4)~ °-03- Следовательно, Ух~о,и — Ух-о + Ду 1 — 0,03 = 0,97. Если вычислить искомое значение с помощью четырехзначных таблиц, то оно будет равно 0,9704. Как видим, сделанное нами вычисление достаточно точное. Пример 6. Найти приближенно sin 60° 3', если уже известно, что sin 60° = = ^ = 0,866025, a cos 60° = ~. Решим эту задачу, также используя дифференциал. Пусть у = sinx. Значение у при х=-= (что соответствует 60°) нам известно. Изменению градусной меры угла О 3 • л от 60° до 60°3' соответствует в радианной мере Дх = =т—= 0,000872. Найдем ои • 1OU х 210
приближенное значение Аг/ при х=у и Аг = 0,000872: Ду яэ у' • Дх = cos х Дх = ~ 0,000872 = 0,000436 и, следовательно, sin 60«3' = sin 6ОЧ -f-\у 0,866025 + 0,000436 = 0,866461. Полученный результат имеет точность, которая обеспечивается только семи- значными таблицами тригонометрических функций. Заметим, что для решения задач на приближенное нахождение значений функции можно получить общую формулу. Пусть y=f(x) есть функция, имеющая производную f (х) в точке х9. Тогда, если х — х0 = Дх, то Ду = ((х)—f(x0) и dy—f (х0)(х— х9). Так как ky^dy, то f (х) — f (х0) f (х0) (х —х0), или f (X) № f (х0) + f' (х0) (X — х0). Эта формула дает возможность приближенно заменять произволь- ную функцию, имеющую производную, линейной функцией. При этом точность при такой замене тем большая, чем ближе х к х„. Геометрически эта замена означает, что участок кривой f (х) в окрест- ности точки [х0, f(xoij заменяется отрезком касательной к кривой в этой точке: у —— Амх—х„), где //„-Д (х.,) , а угловой коэффи- циент k — f (х0). В частности, если хп = 0, то приближенная формула запишется в виде f(x)^f(O)+r (0)-х. Подставляя вместо f (х) различные функции, получим, что для х, достаточно близких к нулю, sinx^wx, tgx«=>х, е*«а 14-х, In (I t-x)- х, (1 4-х)|Х^ 1 + рх и т. д. Перейдем к выяснению геометрического смысла дифференциала. Как уже известно, f (х0) есть угловой коэффициент касательной PQ к кривой f(x) в точке (х0, f (х0)) (рис. 88). Следовательно, f (x0)==tga==^7. С другой стороны, dy = f'(x^kx. Значит, dy = BD. Таким образом, если изменять аргумент от некоторого значения *х9 к значению х0 4- Дх, то дифференциал функции геометрически представит собой приращение ординаты касательной PQ, в то время как приращение функции Ьу — ВС есть прира- щение ординаты самой кривой y=f(x). Из-за того, что дифференциал есть главная часть приращения функции, можно подумать, что дифференциал всегда меньше прира- щения. Однако это не так. Дифференциал может быть меньше (рис. 88.), больше (рис. 89) и равен приращению функции. Послед- нее, например, будет в случае, когда функция является линейной: y = ax-Jrb. Тогда dy = ку = а • Дх. 211
Дифференциалу функции можно дать и механическое толкование. Пусть у=Цх) есть „закон прямолинейного движения некоторого тела (х — время, у —путь) Тогда производная /' (х) есть скорость движения в момент времени х, а дифференциал dy=f (х) Дх — путь, который прошло бы тело в течение времени Ах, если бы оно двига- лось равномерно со скоростью, равной скорости в момент времени к. Выясним, наконец, вопрос о дифференциале независимой пере- менной х. Рассмотрим функцию у — х. В этом случае дифференциал функции будет одновременно и дифференциалом независимой пере- менной: dy — dx. Поскольку dy=y' Дх — 1 • Дх = Дх, то получаем: dx—Дх. Таким образом, если функция совпадает с независимой перемен- ной, то ее приращение и дифференциал равны между собой. В связи с этим, говоря в дальнейшем о дифференциале независимой пере- менной, будем считать его по определению равным приращению этой переменной: dx = Ax. Пользуясь последними соображениями, можно выражение диф- ференциала функции представить в следующем окончательном виде: dy~f’ (x)dx. (2) Отсюда f'(x) = ^~, то есть производную можно рассматривать и как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента. И несмотря на то, что dx можно брать произвольно ((/х==Дх), отношение будет постоянным, равным f (х), так как dy изменяется пропорционально dx и /' (х) является коэффициентом пропорциональности. Способ отыскания дифференциала функции непосредственно сле- дует из его определения. Чтобы найти дифференциал некото- рой функции, достаточно вычислить ее производную и за- тем умножить на дифференциал аргумента. Все формулы 212
для отыскания производных легко преобразуются в формулы для отыскания дифференциалов. Так, например: 1. d(e) = 0 dx=0 (с = const), 5. d(sin x)=cosx<Zx, 2. d (х’) = рх11 dx, 6. d (arcsin x) = , 3. d(ax) = ax Ina dx, log„ e dx 4. d(loga x) = —— dx, 7. d(arctg х) = удг^> и т- Д- Правила для отыскания дифференциалов будут выглядеть так: 1. d(cu) = c du, так как d(cu)~(cu)'dx==c(u'dx')==cdu, 2. d(a±v)-=du±dv, так как d (u±v) = (u±v)' dx = u' dx hv' dx=du±dv, 3. dfuvy^v dii + u dv, так как d(uv) = (uv)' dx=(u'v-)-uv')dx=vu' dx~fuv' dx—vduf-udv, . .! u\ vdu — udt> 4. a — = -—-—?---, так как vu'— uv' , vu' dx — uv’ (lx vdu — udv /7 t- =--------f] у ZZ2 ..........-—r _________ UX V2 UX V1 — V2 5. Пусть у есть сложная функция от t, то есть у - fix], где х = ср (/). Тогда ее дифференциал в случае существования производных у'х и x't запишется в виде dy—y'tdt, где yt=yx-x't, то есть в виде dy=y'x.< Xx'/dt. Но x'tdl есть dx и, следовательно, снова dy=yxdx. Таким образом, получили, что формула (2) верна как в случае, когда х — независимая переменная, так и в случае, когда х — функ- ция от новой переменной t. В первом случае под dx понимается дифференциал независимой переменной (Фх=Дх), а во втором слу- чае—дифференциал функции (и, как правило, dx Дх). Формула (2) носит название инвариантной (неизменной) формы дифферен- циала. Заметим, что формула (1), также представляющая дифференциал функции, свойством инвариантности не обладает. Действительно, если х —функция, то Дх, как известно, вообще говоря, не совпа- дает с dx и справедливость формулы (2) исключает справедливость формулы (1). Инвариантная форма дифференциала имеет существенные пре- имущества при пользовании ею. Так, например, для функции z/=tgx дифференциал запишется в виде dz/=sec2 х dx независимо от того, является ли х независимой переменной или функцией. В случае если х - функция и конкретно задана, например x=t2, то вычисление дифференциала dy можно продолжить. Находим дифференциал функ- ции х (dx=2tdt) и подставляем в ранее полученное выражение для dy. Будем иметь: dx— sec2x • 2t • d/=2/ sec2 Z2 dt. 213
Если бы мы пользовались при этом вместо формулы (2) неин- вариантной формой дифференциала (1), то в случае, когда х— функ- ция (х=£а), мы не могли бы подобным образом продолжать вычис- ление dy. В заключение параграфа покажем еще одно применение диффе- ренциала функции. С помощью дифференциала можно оценивать погрешности расчетов по точным формулам, в которые подставля- ются неточные данные. Пусть некоторая величина у определяется по формуле y=f(x). Если при измерении или неточном вычислении величины х допуска- ется погрешность Ах, то это, в свою очередь, повлечет за собой погрешность Аг/ вычисления у по данной формуле. Так как при ма- лых значениях Ах дифференциал dy мало отличается от прираще- ния Az/, то погрешность при вычислении у можно подсчитать ио формуле dy—tf &х. Величина | dy I будет абсолютной, а | — | — от- носительной погрешностью, допускаемой при определении у по дан- ной формуле. Пример 7. Площадь круга вычисляется по формуле S = яг2. При измере- нии радиус г оказался равным 5,2 см, причем допускаемая максимальная воз- можная погрешность измерения Аг находится в пределах ± 0,05 см. Определить абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при вычислении площади круга по указанной формуле. Абсолютная погрешность: | AS | | dS | = | 2лт dr | «5 2я • 5,2 0,05 = 0,52л =« 1,63. Относительная погрешность: I dS I I 2лг dr I _ | dr I S I I лг2 I I r Оказалось, что относительная погрешность равна удвоенной относительной погрешности при измерении радиуса. В числах получим: I dS I о I dr I 0.05 1 I S I I г I ~~ 5,2 52 ’ то есть относительная погрешность не превосходит 2%. Замечание. Понятия абсолютной и относительной погреш- ности встретились в этом параграфе дважды —в данном примере и в примере 3. Однако речь шла о разных вещах. Если в примере 3 мы находили абсолютную и относительную погрешности приближен- ного равенства dy--i\y, то в данном примере само AS представляет собой величину погрешности при вычислении площади S, и мы оцениваем эту погрешность приближенно с помощью дифференциала, пользуясь тем, что dS«rAS. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Найти дифференциалы следующих функций: a) y = x3sm Ах. Omg. dy = 3x2 (sin 3x-}-xcos3x) dx. 1 , x dx 6)// = -arctg-. Ome.dy=^-^. x в) у = —. Отв. dy = 2- dx. KF W x 214
2. Известно, что и, v и w—дифференцируемые функции от х. Найти дифферен- циал функции у, если: a) y = u-v-w. и2 Отв. dy = v- w-du-j-u-w-dv-j-u-v- dw. _ 2u , ! u\2 , Отв. dy = — du—[ — dv. „ , du + dv Отв. dy = ~—:—r. я 2(« + v) ащение и дифференциал функции у = 2х3 — Зх в точке х=1 1 и Дх = 0,01. Найти для каждого из этих значений Дх абсо- I hy-—dy I —. кото- I Ду I в) y = \nVu + V. 3. Найти прира: при Дх=1, Дх = 0,1 лютную погрешность | Ду — dy\ и относительную погрешность рые допускаются при замене приращения дифференциалом функции. ~ Отв. При Дх=1; Ду =11; dy = 3; абсолютная погрешность 8: относитель- Ду = 0,362; dy = 0,3, абсолютная погрешность 0,062; от- Дх —0,01; Ду = 0,0306; dy = 0,03; абсолютная погрешность Отв. При Дх=1; ная При Дх = 0,1; 1 г, носительная «= При О 0,0006; относительная . 4. Найти приближенно значения функций: a) f (х) = (х —З)2 (х —2)8 (х —4) при х= 4,001; б) f (х) = х In 2) при х = 3,015; в) / (х) = j^3x3-]-2x — 4 при х—1,001. Отв. а) / (4,001) д» 0,008; б) f (3,015) »= 0,045; в)/(1,001)1,0015. 5. Найти приращение и дифференциал площади круга 8 = яг2 при некото- ром приращении радиуса. Дать им геометрическое истолкование. Отв. Д5 = л (г-ф-Дг)2 — лг2 = л(2г Дг-|-Дг2)=2яг Дг4-лДг2 — площадь кольца, содержащегося между концентрическими окружностями радиусов г и г + Дг, dS = «=2лг • Дг —площадь прямоугольника с основанием 2лг и высотой Аг. 6. Вычислить приближенно значения: У*27,0081, sin 29°-, cos 151° и tg48°41'. Полученные результаты сравнить с табличными. Отв. УйдаГ «3,0003, sin 29° я» 0,4849 (по табл. 0,4848), cos 151° =» «=-0,8747 (по табл.-0,8746), tg 44* 41' ««0,9889 (по табл. 0,9890). 7. Цилиндр, диаметр которого был 10 см, высота — 20 см, при шлифовке боко- вой поверхности потерял в весе 2 г. Насколько уменьшился его диаметр, если удельный вес вещества цилиндра 2,5? Отв. Диаметр уменьшился на . 1 8. На сколько уменьшится величина степени З4, если основание уменьшится на 0,0063? Отв. Ду «=0,6804. 9. Сила тока 1 определяется, как известно, по тангенсгальванометру из фор- мулы / = fe-tg <р. Пусть dtp—ошибка, допущенная при отсчете угла ф. Найти абсолютную и отно- сительную погрешности при определении 1. При каком значении угла ф относи- тельная погрешность будет минимальной? I d/ I I k 112 I Отв. — = ---------------dtp = -—=- dtp . Минимум при ф = 45s. | I I | я соь2 ф • tg ф | j sin 2ф | r -r 10. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение функ- ции у=х6 — 2х4-]-Зх3 — 4х2-ф6 при х=1,001. Отв. у «=3,998. 11. С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус R шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до одного процента? Отв. 1 = 41-1 (=£0,33%). 215
12. Период качания маятника вычисляется по формуле Т — л1/ 1 где I — Т 8 ’ длина маятника, g — ускорение силы тяжести (g = 980 см/сек2). Какое влияние на погрешность при вычислении периода Т окажет погрешность в один процент при измерении: а) длины маятника I, б) ускорения g? Отв. В обоих случаях относительная погрешность составляет около 0,5 %. 13. Ход стенных часов регулируется маятником. Передвигая груз маятника, можно изменять его «приведенную длину» I (см), от которой зависит период качания Т (сек) маятника, согласно формуле, приведенной в задаче 12. Часы спешат вследствие того, что маятник совершает одно качание в течение 0,499 сек вместо того, чтобы совершать его в течение 0,5 сек. На сколько должна быть увеличена длина I, чтобы правильный ход часов был восстановлен? Указание. Решение задачи сводится к нахождению дифференциала dl из , , gT2 0,98 „ , формулы I ~ Отв. М я» —я= 0,1 см. 14. По данному расстоянию d светящейся точки от оптического центра двоя- ковыпуклого стекла может быть вычислено расстояние ее изображения согласно , 1 , 1 1 формуле -j у — -р, где /-—постоянная для данного стекла и данного сорта лучей. Как влияет погрешность в измерении d па погрешность в вычислении /? Отв. |Д/| = С| Ad |,| 4|=4-|лг и4 / did § 9. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА Как уже выяснялось в § 1 этой главы, производная функции в некоторой точке является, в свою очередь, функцией этой точки. Следовательно, по отношению к ней можно снова ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Определение. Производная от производной некоторой функ- ции называется производной второго порядка или второй производной. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной, и г. д. Производные, начиная со второй, называются производными выс- шего порядка и обозначаются: у", У'". У{П\ у^, у'”, у^, ... , * или d2y (Ру d3y (Ру d3y dny dx2’ dx3’ dxi’ dx3’ dx3’ dxn > Производная n-го порядка есть производная от производной (п—1)-го порядка, то есть у1"1 = (у(л-1))’- Заметим, что у', которое раньше мы называли просто производной, называют также произ- водной первого порядка. * Иногда при записи производных высших порядков пользуются обозначе- нием ухх, Уххх и т. д. - Л Л Л 216
Второй производной можно дать механическое толкование: /’(х) есть ускорение изменения функции по сравнению с изменением ар- гумента. Выше мы фактически уже пользовались второй производ- ной при отыскании ускорения движения. В дальнейшем будет по- казано, что вторую производную можно использовать и для геомет- рической характеристики функции, например при определении направления вогнутости кривой, ее кривизны и т. п. Пример 1. Пусть дана функция у=х3. Ее производная у'=3х* есть снова степенная функция, имеющая производные у" = 6х, у"' — =6, ^lv)=0. Все производные, начиная с четвертой, равны нулю. Пример 2. Если (/ = ]/ 2х — х2, то ' _ 2~2х = 1 —* У ~2/2х —х2 /2х —х2 ’ (— 1) V2х—X2 — (1 — х) ~=г „ ’________________ /2х — х2 _ — 2х+х2 — (1 — х)2 —1 У ~ 2х—х2 ~ (2х —х2) 1/27=^ — А." (2х — х2) 2 _3 5 У”' = - (2х —х2)”2 (2-Зх) = -^—Ц. и т. д. " р. (2х — х2) 2 Пример 3. Рассмотрим многочлен n-й степени: у = пох" -f- </rvn| 4- (?2х"’2 4-... 4- „х- 4- а„^х 4- ап. Последовательно дифференцируя, получим: у' = c/y/ix” ! <4 (л — 1) х” 2 (« — 2) п~3 4*... 4~ йл„2 2х 4~ , yv = сцп (/z — 1) х" 2 4- (/г — 1) (и — 2) х" 2 • и2 (н —-2) (// — 3) хп 2 4“ 4-...4-«л-s-2, и т. д. Легко видеть, что на л-м шагу получим: у^=аоп(п— 1) (п — 2) (п — 3)...3-2-1, то есть #(га) =а0 • п\ — постоянная. Что же касается производных порядка выше п, то все они равны нулю. В некоторых случаях можно получить общий вид /г-й производ- н ой, по которому сразу записывается производная любого иоряд- ка (предшествующие производные при этом не вычисляются). Пример 4. Для функции у-=ех имеем у' = ех, у" ==ех,у"'=ех,.... Следовательно, можно сказать, что (ех)(Я)==ех для любого п. Пример 5. Для функции z/ = sinx имеем: i/' = cosx, у" = ~—sinx, У”— —cos х, z/(lv)=sinx, z/(V) = cosx, и т. д. 217
Эти производные можно представить также в виде: у' = cosх = sin (х4- -£), у" — cos (x4--£) = sin [x-j-2-^ y'" — cos fx4-2--^ = sin[x + 3-~\, yW — cos [x + (n— 1) ~2~j = sin (x + n- yj . Таким образом, производную любого порядка от sin х можно вычислять по формуле (sin х)(“> —sin (х + п^-). Например, (sinx)(10) = sin^х-}-10--~-^ = sin(x-f- л) ——sinx. Аналогично получается формула для вычисления производной от cos х: (cos х)(я) = cos [х 4- п . Пример 6. « —In х, Закон получения производных может быть представлен следующей формулой: (1П <=(-1)м Пример 7. у = х3 In х. 2 у' = 2х In х + «, z/' = 2 In х 4-3, у'" = 2 (In х)' = — „ ,, Дальнейшее дифференцирование можно производить по формуле , а2(л — 3)! щ>3). Пример 8. Выведем с помощью производных формулу би- нома Ньютона: (а 4- х)п=ап + пап ~ »х 4- ап - 2Ха - зхз 4™ • •. + х • Как известно, при натуральном п выражение (а 4-х)" есть много- член п-й степени. Следовательно, его можно представить в виде (а4*х)п — Ао 4~ AiX4- А2х24- А3х® 4~-• •4_Дп-1Х" 14_Anx", (1) где коэффициенты До, А1У Д2, А3, ..., Ап^, А„ пока неизвестны. Для определения их поступим следующим образом. Положим в тождестве (1) х = 0. Получим: а" = А0. Дифференцируя почленно тождество (1), получим новое тождество: п(а4-х)"^ = А14-2Д2х4-ЗА3х24-...4-(п-1)Ara^x" 24~nA„x" К (2)
Если в нем снова положить х = 0, то получим: пап 1 = Л1. Далее, дифференцируя почленно тождество (2) и полагая х = 0, найдем: п (п— 1) (а 4- х)л 2 = с=2’ 1 4 2 4~3 • 2 • Ад • х +...-}-(п — 1) (п — 2) АпЛх 34~я— 1) X п(п— 1)ал‘2==2-1 А2, то есть А2 = ^7~ап 2 и т. д. Мы видим, что при каждом дифференцировании степени к коэф- фициенту добавляется новый множитель, равный показателю степе- ни, а сам показатель степени уменьшается на единицу. Следова- тельно, после m-кратного дифференцирования тождества (1) (т^п) получим: п (ji — 1) (п —-2)... [п — (т — 1)] (а-А-х)п^т = т (т — 1) (tn -—2)...3-2 -1 • Л m (tn 4-1) tn (tn — 1)... 3 - 2 A m+iX -j-... 4- 4- n (n— 1) (n — 2)... |zi— (tn — 1)] A„ xnm. Полагая в этом тождестве х — 0, получим: п (п — 1) (п — 2) ... (п— т 4-1) а"^т — т (т — 1) (т — 2)... 3 • 2 • 1 • Ат, откуда я И (/1 — 1) (/2 -— 2) ... (tl — Ш -4- 1) п— т = ап т, и т. д. Подставляя вычисленные значения коэффициентов в (1), получим формулу бинома Ньютона. Взяв в формуле бинома Ньютона п = 2 и 3, мы получим из нее хорошо известные читателю формулы квадрата и куба суммы двух чисел. Пример 9. Пусть y = uv, где и и v — некоторые функции от х, имеющие производные любого порядка. Тогда у’ — u'v 4~iw', у’ = u"v-[-u'v' 4- u'v' -f- uv’ = u’’v-\- 2u'v' 4- uv", y’" = u"'v4- u’v' 4- 2u"v' 4- 2u'v" A-U'v" A- uv’" = = u'"v 4- 3u”v' 4- 3u'v" 4- uv’", Правые части разложений напоминают разложения различных степеней бинома по формуле Ньютона, где вместо показателей сте- пени стоят числа, указывающие на порядок производных (и и v можно рассматривать как «производные нулевого порядка» п(0) и ц(0)). Учитывая это, запишем по аналогии общий вид производной п-го порядка от произведения двух функций: у(п) — (и^У") = и<п>ч} 4- пи<п _ 1 )©' 4~п ~ и<“ —2>©" 4- 4-... 4- пУп~^ ••^п ~ * ~Ь О и(п—«©<«). (3> Эта формула носит название формулы Лейбница. Справедливость ее доказывается методом математической индукции. Для п = 2 и 3 она уже проверена нами. Предположим теперь, что она верна для 21Й
некоторого п, и докажем ее справедливость для n+1. С Той целью продифференцируем выражение (3), составленное для г/,л,А у!-п + 1'> = п<л+1) ц-|- u{rt> v’ + п [п(п) v’ + и1"’1J у"]+ - + П 2 v" + u(n~2) +"] + •..+ + +2r l) (n-fe+1) [ц(Л-А+1) y(ft) + u(n-k) У(М)] +... + u,v m + uv(n< 1). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим: у,п Р = и{Пл п и + (n + 1) и1П} v' + [п + zT" "1+" +... + + + U(^+D v(«) +... + + (п+ 1) ll'um + UVl'n + 1>. Но n (п—1) (rt —2) .. (п— & + 2) , п (п — 1) (п — 2) ... (n — k + 1) _ «' , п! п! [ 1 , 1 \ = (/.^1)1 (n__fe + i)! ~Т~ *! («—*)! ” (A—l)t (« —&)! ^л_й + 1 +у;- _ п! «4-1 _ (/1+1)! __(п+1) n (re—1) ... (n—fe+2) (k — 1)’(n — k)1 k (n — й-pl)! A! (n~-A+1)! M Пользуясь этим, можем записать: 4 = у + (^г + i)u(«) + zz(ZW) +' + ..• + X + ... + («+!) u’v^ + uv^). Формула (3) доказана полностью. X Пример 10. Найти пятую производную от функции (/=Л2. X Полагая и v^e2, найдем' и' = 5х«, и" = 20хз, м"'=60х\ m(IV)=120x, i?v’=120, XXX хх , 1 2 ,, 1 2 ... 1 2 (1V^ 2 (\ч 1 2~ c' = ¥ + , v"^Te , v"'=ge , +^=Tg(> , ^> = 32e • Подставляя в формулу (3) при п = 5, получим: = 120 . е1 +5 • 120х • 1 е2 60*г . А е2 +^А2 20хЗ • А .е2 + Z 1 • Z 4 1 ‘ ' о о IV 1 А + / 95 1 \ + 5-5х‘ -Де -Lxs- ~е2 =?120 + 300хф 150x2 + ^xi+ JL х5) lb oZ \ lb oZ ] Пример 11. Пользуясь формулой Лейбница, написать выражение 25-й производной от функции y = x3cosx. В данном случае и = х3, ы' = 3х2, и'' = 6х, и"'= 6, четвертая производная «(IV' и все последующие равны нулю. Далее, o = cosx, и для любого п имеем: (х + п-А. V П| =С08 Подставляя значения в формулу (3) при « = 25, получим 220
справа только те слагаемые, у которых порядок производных от и ниже четвер- того (так как остальные слагаемые будут равны нулю): 25-24...5-4 25-24 ... 4-3 „ , 25 • 24 ... 3 • 2 , , г/'28’ =----—-------u"'V'2Zl + ——---------и’ г/23’4-----О/1, — u'v'211 + 22! 23! 24! , 25-24-23 . 25 - 24 „ ! , ’=----gi---6 cos (х 4- 22 у \ 4-gj—6xcos(x + 23 —! ф- + 25 • Зх2cos (х + 24 • -^4 ф- х3 cos х ф 25 • = = — 13800 cos хф 1800х sin хф75х2 cos х— х3 sin х. Пусть функция задана параметрически уравнениями1. х = <р(0, ) 1/=ф(0- ) Ее производная при условиях, указанных в § 7, вычисляется пи формуле у'х = ^-. (4 xt При отыскании второй производной у* следует исходить из функ- ции, заданной параметрически следующими уравнениями: Х = ф(/), У( Ух — ту. Ф Применяя к ней ту же формулу (4) (и предполагая, что производ- ные второго порядка от х и от у существуют), получим: (здесь дроби). Итак, --ч. ! х-[у- s Ухх у- (Ух)х = ..................- = — на^~пришлось пользоваться правилом дифференцирования УХХ- (5) Аналогичным образом можно получить производную от у по х любого порядка. Пример 12. Найти первую и вторую производные функции х = cos (, 1 i/ = 3sin t. j Находим по формуле (4) сначала первую производную: Uf 3 cos t У’—— = -----г—7= —v 3 ctg t. х Xt — sin t Теперь нужно продифференцировать по х уже найденную производную у’х. Но 221
она выр-ажена через параметр t Поэтому нужно еще раз воспользоваться форму- лой (4), применив ее к функции X = cos t, 1 У'х = —3ctgt J Получим: (У'х)' 3 cosec21 3 ^xx x't —sm t sm3C При решении этого примера мы повторили вывод формулы (5) для частного случая Но можно было бы получить как первую, так и вторую производные путем непосредственного использования формул (4) и (5) Перейдем теперь к определению дифференциалов высшего порядка. Определение. Дифференциал от дифференциала функции у = = / (х) в некоторой точке называется дифференциалом второго порядка в этой точке и обозначается так- d (dy) — d2y. Дифферен- циал от дифференциала второго порядка называется дифферен- циалом третьего порядка и обозначается: d3y и т. д. Вообще дифференциал от дифференциала (л— 1)-го порядка называется диф- ференциалом п-го порядка и обозначается: dny. При этом диф- ференциал независимой переменной все время рассматривается кик постоянная. Из определения дифференциалов высшего порядка следует и спо- соб их вычисления. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х произ- водные любого порядка (х — независимая переменная). Тогда dy = y' dx, d2y = d (dy) — (y' dx)' dx = y" • dx- dx = y" dx2, d*y—d (d2y) = (y" dx2)' dx — y"' dx2 dx — y'" dx3, dny — d(dn Jy) = (yn 1 dxn~1)' dx = y'-n'> dxn 1 dx — yw dx". Из этих выражений следует, что для любого п , dny—yw dxn и 3,<л)=^^> то есть обозначение можно рассматривать не только как символ, обозначающий n-ю производную, но и как дробь. Под обозначениями dx2, dx3, ..., dxn следует дифференциала dx, то есть (dx)2, (dx)3, ..., (dx)n. вать их с дифференциалом от степени переменной значгется так: d(xn), например d (х2), d(x3). Как для производных, так и для дифференциалов высшего порядка справедливы следующие формулы: (с«)<я) = б’-н<я>, d"(cu) — cdnu, (и ± ©)(л> = и(п> ± ©(я>, dn (и ± ©) = dnu zp dnv. Если обе части формулы Лейбница (3) умножить на dx", то получим формулу Лейбница для вычисления дифферен- понимать степени Чтобы не смеши- х, последний обо- 222
циалов высшего порядка от произведения двух функций: («©) — dau • v4-nd"-'udv +n <~n~d“-2u • d?v-\-...-f-udttv. Замечание. Формула dny =y{a} dxa при n> 1 не обладает свойством инвариантности. Она верна, когда х_ независимая переменная, и перестает быть верной, когда х— функция. Покажем это на примере дифференциала второго порядка. Пусть х—независимая переменная, а функция y=f(x) имеет пер- ! вую и вторую производные. Тогда dy=у' dx, (6) d2y = y" dx2. (7) Предположим теперь, что х не является независимой переменной, а есть некоторая функция от t, x = q>(t). Тогда у будет сложной функцией от t. В силу инвариантности формы (6) первого диффе- ренциала, dy представится также в виде (6), хотя в этом случае dx уже будет дифференциалом функции х — ф (7). Так как dx=q>' (t) dt и ф’ (0 — некоторая функция, то dx может не быть постоянной. Диф- ференциал второго порядка d2y — d (у' dx) — dy'-dx^-y'-d (dx) — y" dx2 4- y' d2x или d2y = y" dx2 4- y' d2x. (8) Сравнивая (7) и (8), видим, что форма (7) второго дифференциала изменилась, прибавилось слагаемое у' d2x. Такого дополнительного слагаемого нет (оно равно нулю), если х—независимая переменная, так как в этом случае dx—Ax есть постоянная величина и, следо- в ательно, d2x = d (dx) = 0. Пример 13. Найти дифференциалы dy, d2y и d9y от функции y — xd'~ Зх‘4-2 в случаях, когда: 1) х—независимая переменная, 2) х—функция от другой независимой переменной. Дифференциал первого порядка dy в силу свойства инвариантно- сти его формы представляется в обоих случаях одинаково: dy—у' dx—(4Х3 — 6х) dx = 2 (2х® — Зх) dx. В первом случае под dx понимается приращение независимой пере- менной Ах(<7х = Ах), во втором случае —дифференциал от х как от функции (dx Ф Ах). Что же касается дифференциалов высшего порядка, то для них при отыскании d2y и d?y приходится решать задачу для каждого случая отдельно. 1) Пусть х — независимая переменная. Тогда, имея в виду, что в этом случае dx является постоянной величиной и ее можно выно- 223
сить за знак дифференциала, получим: d2y = d (dy) = d]2('x3 * — Зх) ax) = 2dx d (2x3 — 3x) = = 2dx- (6x2— 3) dx = 6(2x2 — 1) dx2, d3y = d (d2y) = d [6 (2x2 — 1) dx2] = 6dx2 • d (2x2 — 1) = = 6dx2 • 4xdx= 24x dx3. 2) Пусть x является в свою очередь функцией от некоторой дру- гой переменной. В этом случае величина dx уже не будет постоян- ной и выносить ее за знак дифференциала, как мы это делали в первом случае, нельзя. Нужно вычислить дифференциал от у' dx как от произведения двух переменных. Получим: d2y—-d (dy) = d [2 (2х3— Зх) dx] — 2d [(2х3— Зх) dx] = с2 [d (2х3 — 3х) dx ф- (2х3 —- Зх) d (dx)]~2 [3 (2х2 — 1) dxdx\-- ф- (2х3 — Зх) d2x] = 6 (2х2 — 1) dx2 ф- 2 (2х3 — Зх) d2x, d3y=d (d2y) ='d [6 (2x2 — 1) dx2 + 2 (2x3 — 3x) d2x] = = (id [(2x2 — 1) dx2 + 2d [(2x3 — 3x) d2x] = 6 [d (2x2 — 1) dx2 + ф- (2x2 — 1) d («/№)] Ф 21 d (2хя — Зх) d2x ф- (2x8 — Зх) d (d2x)| = = 5 ]4x dx dx2 ф- (2x2 — 1) 2dx d2x] ф- 2 [ (6x2 — 3) dx d2x ф- + (2x3 — 3x) d3x] = 24 x dx3 ф- 18 (2x2 — 1) dx d2x ф- 2 (2xa — 3x) d3x. Вопросы для самопроверки и упражнения 1. Продифференцировать следующие ф