/
Author: Свириденко М.Н.
Tags: математика
Text
М.Н.Свириденко
JTb(н<
'М4
лафедра нксте? математики
Автор - Марина Впгалаевна Свириденко, доцент
3
СОДЕРЖАНИЕ
6 I. Схема и распределение Бернулли..............4
§ 2. Неравенство Чебавева .....................13
§ 3. Закон больвих чисел .................... 16
§ 4. Определение и свойства
нормального распределения..................... 20
' 5. Центральная предельная теоугма............27
§ 6. Теоремы Муавра - Далласа .................32
§ 7. Определение и свойства
распределения Пуассона.......................... ~
i 8. Теорема Пуассона.
Применение к схеме Бернухж ..............42
§ 9. Простейший поток событий...................45
ЗАДАЧИ ДДЯ САМОСТОЙТЕЛЬгОГО РЭВЕИЛ...............&
ОТВЕТЫ................ .........................59
ТАИИДЫ........................................ 61
грдчаска длгАЭ1т......................64
4
§ I, Схема и распределение Бернулли.
Предположим, что производятся П испытаний Бернулли.
Испытания Бернулли * это независимые испытания, в каждом
из которых с вероятностью р > О может произойти некоторое
событие А.
Само событие А условно называется "успехом", а противо-
положное событие А , наступающее в каждом из рассматриваемых
испытаний с вероятностью Ср = 1 - р , условно называется
"неудачей".
Каадый элементарный исход СО может быть описан последова-
тельностью длины и из 0 и I , где стоящая на к - м месте
единица означает "успех" при К - м испытании, а ноль
означает "неудачу" .
Вероятность р(Ц)) элементарного исхода nJ , при котором
ровно Ид раз наступает "успех" и (И-ГИ) раз наступает
"неудача", в силу независимости отдельных испытаний есть
Видно, что элементарные исходы не являются равновероятными,
когда р / ср .
Рассмотрим случайную величину Ski , равную общему числу
"успехов" в и испытаниях Бернулли: ГН ,если при эле-
ментарном исходе uj ровно ИД. раз наступает "успех".
Различных исходов а) , приводящих к одному и тому же
Ч1,СЛУ успехов", столько же, сколько можно образовать различных
комбинаций из кН единиц и (И-m) нулей.
Число таких комбинаций равно числу сочетаний из kt по kkL- :
_ nl
m! (и-m)! -
See эти Исходы имеют одну и ту же вероятность
p(")=pV'm
5
Поэтому событие — Wij имеет вероятность
ли-m
Ск. Р
Таким образом, распределение вероятностей случайной вели-
чины Ski задаётся формулой
Р(8п = м) = Рп(т) = СртцЛт m=o,l,...n.
Эта формула выражает так называемое биномиальное распре-
деление.
Биномиальное распределение с параметрами И. и Р - это
распределение случайной величины , которая принимает значе-
ния = О, I, ... И- с вероятностями
р(? = м) = р4и<ь еГ рт(Ч-р)"'м
Числовые характеристики случайной величины Sry .
Рассмотрим случайные величины = i_j 2.}... П.) '
I, если в К - м испытании наступает "успех" ;
О, если в К - м испытании наступает "неудача" .
Тогда
MS; и = 1-р+0-И-р)=р; М?к=Г’р+0г (1-р)=р;
Т^--М^-(М^2=р-р2 = р(1-р) = р<ф.
Отсюда =
Так как случайные величины »••• S|r' независимы,
то Ъ8п=1)[£<+..>+^п) += И-рор.
7щ получили числовые характеристики случайной вели-
чины S„ » равной общем?/ числу "успехов" в р испы-
таниях Бернулли: М х И, П j ZD Sf) = П. р 0^ <
Пример
Вероятность рождения мальчика равна
°’5Г" В некоторой
семье пятеро детей. Найти вероятность того
а/ два мальчика ;
ЧТ° Срели детей
б/ не более двух мальчиков ;
в/ более двух мальчиков .
Решение.
Имеем пять испытаний Бернулли с вероятностью успеха
F=O,M , 5. ,
з/р5(2)=е? рг fi-p) =
(0,51/ (0,^/ = 0,306005049.
б/ Р5 ?') = (Oj+PsW + ^5‘ И - J
= е5° pc(!-pf+р1 (1-рДе| f>2 -р)5=
? 1-1 -(0,49ft 5-0,51-(0,49f+10{0,51f- (0,49)5=
-- 0,0Ш47SZ4+ 0,WOOZW+0,306000049--
-0,WZ5W$
„ Р?(>Я)=1-Ру(^)- |
--i- 0,^12.549^ = 0,5ШЧЭД02
7
2
Пример
Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что
герб выпадет менее двух раз.
Решение.
Имеем пять испытаний Г«рнулли с вероятностью успеха
2 •
Находим
Пример
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака
равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из десяти
знаков: а/ не содержит искажений ;
б/ содержит ровно три искажения .
Решение.
Имеем 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха
р ~ С] 1. Находим
а/ Pi0(0)= С10
- 1Ч-(О,9)1о = О, 34 86^844.
б/ МзН<30рЧН)? =
= ^1)^= 0,0SWb’628
6
Пример
Наблюдениями
установлено, что в некоторой местности
в сен-
тябре в среднем бывает двенадцать дождливых дней. Какова вероят-
ность того, ЧТО ИЗ случайно взятые в этом месяце восьми дней
три дня окажутся дождливыми ?
Решение.
Имеем восемь испытаний Бернулли с вероятностью успеха
п - - f) Ц _ Находим
9 " зо - ч ч •
P«(5) = Cg р3(*-рЛ
= 5-6-0,064- 0,0¥??6 = 0;2?£65Ш.
~1 Пример
Что вероятнее выиграть у равносильного противника
/ничейный исход партии исключён/ : три партии иэ четырёх или
пять из восьми ?
Решение,
Находим
ГЬ“°"’7 Ч = 55 > 32
т.е. вероятнее выиграть три партии из четырёх, чем пять из
восьми.
9
--Пример
Событие В появится в случае, если событие А наступит не
менее четырёх раз. Найти вероятность наступления события В, если
будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А равна 0,8.
Находим Р(,В) = Р^Ч) = Pg-(4) + P5-(6j ~
= е? (018)4(0l^ + ej(0,g)^0,^=
У
Пример
Проведено 20 независимых испытаний, какдое из которых за-
ключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероят -
ность того, что хотя бы в одном испытании появятся три герба.
Решение.
Будем считать "успехом" выпадение трёх гербов.
Имеем 20 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = g
Значит, искомая вероятность равна
10
Наивероятнейшее число наступлений успехов
Вероятности £ blj при данном И сначала увеличива-
ются при увеличении ГИ от нуля до некоторого числа то , а
затем уменьшаются при изменении И4 от Мд до И .
Ото число Жо называется ^вероятнейшим числом наступлений
успехов в И опытах.
Если число (И + £ ) р целое, то наивероятнейшими будут
два числа : ГПо = (И+£) О и ГИ^ -£ с той же вероят-
ностью ~ -PnfVHoJ.
Например, для И = ? О > р — имеем
(п+<)р = (5-О+4.)% = и-
Наивероятнейшими будут два числа: JY]G = • YV] с ~
"сли число + Р не является целым,то наивероятнейшее
wic.io наступлений успехов в И опытах равно целой части числа
кп+1)р Мо= Г(п+4.)о1.
II
Пример
—— Вероятность получения удачного результата при производстве
сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее
число удачных опытов, если общее их количество равно семи.
Решение.
Находим р — 45 — = 5
Значит, 171g = £ S'tUJ - 5~-
9
Пример
Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попада-
ния в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий
и вероятность этого числа попаданий.
Решение.
Находим (п-t- £) р - (j Н + 0) Z ~ 3
Значит,наивероятнейшими будут два числа:
и Мо -1 = 2 •
Далее,
М2)=
Мз)=
- 44-43
_ 14-43-4Z (L\3[4\\ Ч • Ч1
3!
51Ч
J14 >
Значит,
12
Пример.
Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каадого элемента в момент включения прибора
равна 0,2. Найти:
а/ наивероятнейшее число отказавших элементов ;
б/ вероятность наивероятнейшего числа отказавших
элементов ;
в/ вероятность отказа прибора, если для этого достаточно
чтобы отказали хотя бы четыре элемента .
Решение.
а/ Находим р = + j О, Я = Я
Значит,
б/р,(1) = е^о,яДо,^ =
= 5’(0,^±(0,g}v =0,4096.
+ еь- =
= 5(0Л)Ч-0,8 + (0,2.)^= 0,006¥2
13
§ 2. Неравенство Чебышёва.
Неравенство Чебышева:
если - неотрицательная случайная величина,
то для любого 8 > О имеет место неравенство
Р(?
Докажем неравенство
случайной величины .
Чебышёва для абсолютно непрерывной
Имеем
'xp^ajohc
Так как - неотрицательная случайная величина, то
р? (V =°
при ЭС< 0. Поэтому
М - S хр^ (ос) о1эс
Разобьём интеграл на два слагаемых:
£ 00
М? = $ ocp?(ajcta + (x)do:
Так как первое слагаемое а правой части неотрицательно,
то
Так как
в области интегрирования ОС^- £
то
4
Значит,
откуда
Цр?
(ос) oloc = £ Р( 5 Е);
М£,
что и требовалось доказать.
14
Следствие из неравенства Чебышёва:
если - произвольная случайная величина,
ТО ДЛЯ любого £ > о имеет место неравенство
Применение следствия из неравенства Чебышева.
С помощью следствия из неравенства Чебышёва можно оценивать
вероятности различных отклонений случайной величины от её
математического ожидания IM , зная дисперсию TJj
11
Пример
Используя следствие из неравенства Чебышёва, оценить веро-
ятность того, что ,если С)ООЧ
Решение.
Имеем
15
-j—1 Пример
Дискретная случайная величина задана законом
распределения:
О, 3 0, 5~
Используя следствие из неравенства Чебышёва, оценить
вероятность того, что
Решение.
Находим
м^ = о,4-о^ + о,ч-о,з +о, 6-о, ЧЧ;
= 0,1 * 0,2 +0,Ч*0,3 + 0,б* 0,5" - 0,23;
Ъ£ = М^-(М^ = 0,23-(^ЧЧ)^ 0,0304
р(1^- м£| 2 \Го/Г_) =
v- ptlV^I >
и- 4=-Л =1-^гг
Г С| 4
- 0,909
16
§ 3. Закон больших чисел.
больших чисел понимают ряд теорем .объединённых
род законом
теея ,«.««« «РВД« ВД“'
“C”Zb«*
. чебшёва /31« ЧебнддЛ
если случайные величины
независимы и
постоянная, то для
попарно
< (2 для всех И. > где Q - некоторая
любого 6 7 О
Г
П—»сю
Докажем теорему Чебышева.
Нужно доказать, что для любого
" П
Имеем
Воспользуемся следствием из неравенства Чебышева:
е2
и£2 ’
Теорема доказана.
17
* пример
All Пусть .... £
И ,- последовательность незави-
симых случайных величин, имеющих следующие распределения:
— .1 - гь О И.
р 2п£ 4-1- 1 П2 2п2
Выполняется ли для этой последовательности закон больших
чисел ?
Нс.одаи Mljn = ("п)А12 + 0(1 П А?2 = Су
Т>§П= М|пя -(МЫ2- = i-02 =1.
Поскольку D С- = i ’ т0 пРт,,енима теорема Чебышева
и закон больших чисел выполняется.
—-I Пример
1 । Пусть .... - последовательность незави-
симых случайных величин, имеющих следующие распределения:
- и. п+1
П + 1 и.
р 2п+1 2.П+1
Применим i ли к заданной последовательности теорема
Чебышева ?
Решение,
Находим
М|иЧ-п)
+(и'н)2-п+1 °>
Z И И / .|2Л______ГЙ(Н + (М1п
2М + М 2гн1' Й+1
Таким образом,условия теоремы Чебышева не собладаютс!.
18
Закон больших чисел для схемы Бернулли.
Пусть проводятся и. независимых испытаний, в каздом из
истооьк мо-жет появиться или не появиться некоторое событие А.
Гр— появления события А во всех испытаниях одинакова
И равна О •
П ть Sn “ число появлений события А в этих испыта-
- частота появления события А .
ниях; тогда
Нам известен эмпирический факт: в большой серии независимых
испытаний частота события А примерно равна вероятности этого
события.
Теперь мы можем обосновать эту закономерность, применив
закон больших чисел в форме Чебышёва.
Мы знаем, что Sn= £ ру » где
“ независимые случайные величины,причём
м?к =р; = Р (i'P)-
Значит,выполнены условия закона больших чисел в форме
Чебышёва: случайные величины ,... попарно незави-
симы и Для всех И .
В данном случае
. П Л
< Z м?к= VnP'-p-
К “4
ТНким образом, из закона больших чисел в форме Чебышёва
следует закон больших чисел для схемы Бернулли:
если - частота успехов в И. испытаниях Бернулли
С вероятностью успеха в одном испытании, равной р > то
для любого 8 7 О
^-р »Е)-0
19
Замечание.
Следует отметить, что характер приближения частоты
к вероятности при увеличении числа опытов несколько отлича-
ется от "стремления к пределу" в обычном смысле.
Когда мы говорим, что переменная с возраста-
нием И. стремится к постоянному пределу ОС , то это озна-
чает, что разность |oon-ci| становится меньше любого поло-
жительного числа £ для всех значений И > начиная с неко-
торого достаточно большого числа.
Относительно частоты события и его вероятности такого
категорического утверждения сделать нельзя. Действительно,
нет ничего физически невозможного в том, что при большом
числе опытов частота события будет значительно уклоняться
от его вероятности; но такое значительное уклонение явля-
ется весьма маловероятным, тем менее вероятным, чем большее
число опытов произведено. Например, при бросании монеты
10 раз физически возможно /хотя и маловероятно/ , что
все 10 раз появится герб и частота появления герба будет
равна I ; при 1000 бросаниях такое событие всё еще
остаётся (физически возможным, но приобретает настолько
малую вероятность, что его смело можно считать практически
нео сущее твимым.
Таким образом, при возрастании числа опытов частота
приближается к вероятности, но не с полной достоверностью,
а с большой вероятностью, которая при достаточно большом
числе опытов может рассматриваться как практическая досто-
верность.
20
нормального распределения.
имест^я^ормальное распределение_с_пара-
.„оПнаЯ ве^чкна,—i——
7^7 это случайная величина £ , плотность
(а. ) >
распределения которой равна
(ос-ос) 2
£б-2
Найдём числовые характеристики случайной величины ,
имеющей нормальное распределение с параметрами («Я, О'2) .
Имеем
- сю
сх>
Так
то
сю
Мр й+ 5 =
21
/ интеграл равен нулю, тал как это интеграл от нечётной
функции по всей числовой прямой /.
Далее,
= 5 (?-а) Р?(эс)оЬс =
__ (%-осу
22
Здесь под знаком интеграла стоит плотность
распределения случайной величины, имеющей нормальное
распределение с параметрами . Поэтому этот
интеграл равен I.
Значит,
23
Итак, мы получили числовые характеристики случайной вели-
чины, имеющей нормальное распределение с параметрами fp( (д^) :
Нормальное распределение с параметрами (0,1j называется
Плотность и функция распределения стандартного нормального
распределения задаются формулами:
2
/ди функций
имеются таблицы.
fycTb случаи,
с параметрами (
ТЬ nonj—
„ £ имеет нормальное распределение
айная величина
, ^2) Найлём вероятность попадания случайной
>- 1 « С»^Ь и“““
„ИЯ»»» ? » >«гери“ I
при
при
ОС - (X
£6'
Введём новую переменную
Тогда
Определим новые пределы
Значит,
2.
2 = 6 '
о(ос - б" &£
интенрирования:
имеем
имеем
2.
e
dx
S' olx
25
Наряду с функцией используется функция Лапласа:
X _^2
ФоИ= ® Se“2 ск
Функция Лапласа часто более удобна, так как она обладает
свойством (-эе) _ - Фо (х).
Ясно, что ф (а) = i- +(£0£х) и
Ф - Ф (ОЩ) = Фо (ЭС1) - Фо (Х|).
Итак, вероятность попадания в заданный интервал случайной
величины, имеющей нормальное распределение с параметрами (<Х,
определяется следующим образом:
Значения 1q X) находятся по таблице
26
р-—1 Пример
рЭ ] Случайная величина £ ^имеет
с параметрами С.
что случайная величина
а= 2 , б2= 9
примет
нормальное распределение
. Найти вероятность того
значение, принадлежащее
интервалу [l, 4] .
Решение.
По условию
Значит,
- (o,666.,.J + 333,,J.
Значения то(ос) находятся по таблице £
Чтобы воспользоваться этой таблицей , значение аргумента
функции нужно округлить до сотых. Получаем
P(1Q<4) = $о(0,33/
надаём Фо (О, ОУ) . В левом столбце таблицы ищем зна-
чение 0,6 , а в верхней строчке значение У ; значение
^О(0,67} находится на пересечении соответствующих строки и
столбца: f о (0, (>?) = £ I] g £ у
Аналогично находим ( 0, 3 3) = 2 9 3 0 -
Получаем
Р(<£ !•£<() = (),2 W7+ 0,12950 = 0; ЗУ?#?
27
5» Центральная предельная теорема.
Дентральналд^редельнаа^тё^рема ~ эт° группа предельных
теорем, определяющих условия возникновения нормального распре-
деления.
А именно, нормальное распределение возникает тогда, когда
суммируется много независимых случайных величин, вносящих при-
мерно одинаковый вклад в общую сумму.
Рассмотрим примеры возникновения нормального распределения.
Примеп I.
Цусть производится некоторое измерение. На результат неиз-
бежно действует большое количество факторов, порождающих ошибки
в измерении: атмосферные или механические помехи, особенности
физического или психического состояния наблюдателя и т.д. Каж-
дый из этах факторов порождает ничтожную ошибку. Но на измерении
сказываются сразу все эти ошибки, наблюдается "суммарная ошибка".
Иначе говоря, фактически наблюдаемая ошибка измерения будет слу-
чайной величиной, являющейся суммой огромного числа ничтожных
по величине и независимых между собой случайных величин. Поэтому
на практике обычно считают, что ошибка измерения имеет нормальное
распределение.
Пример 2.
В процессе массового производства изготовляются большие
партии одинаковых предметов. В соответствии с техническими нор-
мами изделия должны иметь, например, определённую длину. В дей-
ствительности же всегда наблюдается некоторое отклонение от этой
величины. При правильно поставленном процессе производства такие
отклонения могут вызываться лишь случайными причинами, каждая
из которых производит незаметный эффект; суммарное отклонение
при этом имеет нормальное распределение.
Приведём одну из самых простых форм центральной предельной
теоремы - центральную предельную теорему для независимых оди-
наково распределённых случайных величин.
28
Антральная предельная теог^уа дЛч неза; и. .-унг
распределенных случайных величин.
Цусть .... .... - последовательность неэа .
симах одинаково распределённых случайных величин И
М^к = т, Т^ = <5^ у О. ’ п₽ИЧе‘-
Положим 3 и -
Тогда для любого ЭС& (- при и ______?
имеет место сходимость
Замечания.
Эта теорема означает, что при больших И случайная
величина ~имеет примерно нормальное распреде-
ление с параметрами (О,l) . или, что то же самое, случайная
~е Р“—' ‘ -
Пр* больиа И имеем
/г)X- М£и \ -г /о*-М8н ].
}/ с / г)/с^~М£и .9п~МЗи х 6 ~ М~
v I ' tfCDSn J I V^Sn J
Можно записать приближённое выражение для плотности
1?ной величине Sn :
1 (х-МЗи)2 ,
Mz~= П 2CDSn _ \ .JX-ЦЧЛ
29
——I fe-vc-
В предположении, что размер одного шага пешехода разномерно
распределен в интервале от 70 до 80 см и размеры разных
шагов независимы, найти вероятность того, что за 10 000 шагов
пешеход пройдет расстояние не менее 7495 и не более 7505
Решение.
Докажем, что если случайная величина распределена равно-
мерно на отрезке ,то М j
Имеем
-со
| + «( .
х 5. /
30
/.,>u (в + а\г
tf-2+a# +- а г_ 6 4 2^_£jA2 - Ч0'+ WHfl2-3l-6ag - 2
" 5 4l “ 42 -
tf-jaA+az _
-----TT~ <5. •
Имеем S-fOCOO “ ^1+-- + -(0000 }
M>- o.¥ + o,8 _.^lr. (O^-O^f X
где М^к = ----— -0,75, 4- >
Значит,
MS«MO = «oco.fl,¥f=?500;
££<0600 ~ WOOO ^2 60 - "72 " "s’
Согласно центральной предельной теореме для независимых
одинаково распределённых случайных величин
s<0000
- zj/y^-Mgfpooo \ _ т fy-495-МЗхооссЛ
NjDS^oooo ' X^DS-ioooo 2
z ф J _ ф ^495-4600^ =
= ад-Н^Мо(^з)-<М-1ф
^0(V3)+f0(V3) = 2<?0(|/з) --
-2^o(l|¥5) = Z-0|i|584X =0,^636
31
Пример
Складываются
распределённых на
108 независимых случайных величин, равномерно
отрезке tc,2j . Найти вероятность того, что
их сумма заключена между 102 и 120. Написать приближённое
выражение для плотности суммы.
Решение.
Имеем Swg = 4 + j
м?к. <Ц2 Л; = <
Значит,
MSwg = W8-1=108;
5) 2{оя - "з = 36
Согласно центральной предельной теореме для независимых
одинаково распределённых случайных величин
P('IOZ^S4Cg £uo)~
г /120 - MS-teS A Лог-MS10£\
Ф5ПсГ“J Mi>s<o8 J
120-W8
<56
= $ (г) -$(-{)=?<> (2) -f0(-i) =
= $0 [2] + $o(l) = 0,Ч^2?4-0,ЗЧСЧ = 0,?«И
Для плотности суммы S{0 & имеем приближённое
зыражение: , .о п
fr-Mgnp (x-(og)
] 2ЪЗп j '
Psn №OSn
32
5 6. Теоремы Муавра - Лапласа.
Теоремы Муавра - Лапласа
предельной теоремы, относящиеся к
Пусть проводятся И испытали'1
это iJopMH центральной
схеме Бернулли.
Бернулли с вероятностью
успеха в одном испытании, равной р ; S - число успехов
в этих И испытаниях.
Мы знаем, что Sn можно представить в виде
Sn '
И,
4
<
где ,... <~и ♦ ••• " последовательность независимых
случайных величин, причём
> Г I с вероятностью р ;
Ь И ' | о с вероятностью 0^ - 1 ~ р.
В § I мы вычислили числовые характеристики случайной
величины Sn ! MSr) — = KL р 0^
Из центральной предельной теоремы для независимых одинаково
распределённых случайных величин следует, что при больших И.
Vh получили интегральную теорему Муавра - Лапласа ;
<_>Н “ число успехов в И. испытаниях Бернулли с вероят-
но успеха в одном испытании, равной р , то при больших И
33
18
Прямсг
Найти вероятность того, что в столбике из 100 наугад
отобранных монет число монет, расположенных гербом вверх, будет
от 45 до 55 .
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой i«iyaspa - Лапласа:
= Фо(1) -ф0(-1) = £Ф0(Ч) = 2 -0,34434= 0,622 68
। q Пример
Лэ Производство даёт 1% брака. Найти вероятность того, что
из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не
больше 17 .
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра - Лапласа :
По условию n-HOOj р = 0,01^=0)99j ol=0j = 4.V.
Получаем Р ~ 01 ~
_ гЬ f ^-4400-0,01 \ _ ф /о- моо-0,01 \
~ U 0 W400-0,01-0,9~9у 0 \\]i4 оо - 0,04-^99у
-Фо({?У$о(^) = Ф0(1;«2уФ0 (3,3) =
= 0,46562 + 0,4995'2 = 0, 965-14
34
Псимер
йероятност
испытаний равна
20
ь появления события в каждом из ТОО независимых
0,8. Найт;' вероятность того, что событие поя-
вится: а/ от /5 до 90 раз ;
б/ не меньше 75 раз ;
в/ не больше 90 раз .
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра - Лапласа :
S„4 pj = Фо (-^) - Фо
По условию п - 0 0, р = Ц8 2 ~ Of 2-
>/ ^ = 75-; в = 90; Р(Т5- i Swe 90)ъ
_ ф (9о-<оо-о,1 А _ Ло ф5ч(ю-о,% \ _
~ 4 0 J 4° \M<00-(9r g' qrzy
= Ф(,(2,?-)+Фо({,2^=0|Ч9?Ж(]3№?=(]СТ^'/,'
6/ = й= 100; P(y^Sw £100)^
_ Ф НОО-WO-C^ j _ ф f^-WO-ОЛ \
= Фо (^с (1,^) -- о, о, г9 w = о,
^-0' ^90; P(O^Qwo £90)^
d) _ ф /о-осо о, I '
“° \\J ioo-ng-o^J (фОО-ОфОф)
Фо (2, ^Фо(^0)--0^9^ ^0^-0,935^9.
35
Локальная теорема Муавра - Лапласа .
Используя центральную предельную теорему для независимых
одинаково распределённых случайных величин, можно записать при-
ближённое выражение для плотности случайно ’ вел;чины S и :
Рм*' \JtsA V \Гъзп J
Учитывая, что MSn-np/bSn- npq,, получаем
локальную теорему Муавра - Лапласа:
если Sn - число успехов в И испытаниях Бернулли
с вероятностью успеха в одном испытании, равной р , то
при больших Н.
'I ( А ~ ]
P(Sn = Д) ~ \ГгГр^ < \Пгр0р7
п Л Пример
Радиотелеграфная станция передаёт цифровой текст, содержащий
1100 цифр. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других
может быть непревильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероят-
ность того, что будет сделано ровно 7 ошибок.
Решение.
По локальной теореме Муавра - Лапласа
\l1400 -0,04'0)99
Ч -1400-0,04
^14 0 0-0,04-0,99
" ( Ъ,Ъ) ’ V3 ’ 3,3
= -L-0 4949 х о,0^8Z
/ значения находятся по таблице 2.
при этом / •
36
Оценка вероятности отклонения
частоты появления события в И испытаниях
Еернулли от вероятности его появления
в одном испытании .
Из интегральной теоремы Муавра - Лапласа следует.что
- Р(- Ей £ Sn-np ~
- Р( и р - £ и пр+(?п)~
Игах,
- 37
г—Л ПЕимеЕ
L.L Вероятность появления успеха в каздом из 625 независимых опытов
равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления
успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности
не более чем на 0,04 .
Решение.
Имеем
= 2 $0(z,5j= Я-0,49379 = 0,92^
23
Пример
Пятьсот раз подбрасывается игральная кость. Какова вероят-
ность того, что частота выпадения шестёрки окажется в интервале
i + °,05] ?
Решение.
-2^(3) = Я- О,ЧШУ = 0,9Ш
38
' Пример
2Ч Вероятность появления события в кавдом из 400 независимых
ТотгганиЯ равна 0,8. Найти такое полодательное число Е , что
с вероятностью 0,99 абсолютное отклонение частоты появления
события от вероятности его появления не превысит £ .
2$о(£^)= 0, 99
$оЗД) = С'^5'
По таблице функции Фо находим, что
Фо foe) = Ц Ч 9 5~ "Ри я = 2, б’Е
Значит, 2 il = 2., 58- Отсюда
с 1Ги
2, Vo, g. о,2
\ГШ“
- Q 0616
Пример
Игральную кость бросают 80 раз. Найти такое положительное
число £ , что с вероятностью 0,9973 абсолютное отклонение
частоты появления шестёрки от вероятности её появления не превы-
сит £ .
Решение.
Из условия
получим
~771 Пример
Z-v| Вероятность появления события равна 0;6. Найти число испытаний
,при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать,что относи-
тельная частота появления события отклонится от его вероятности по
абсолютной величине не более,чем на 0,02.
Решение.
По условию задачи
°тсив $oU^)=o>S?49)
П= = = 864
О^О?/
пу Пример
' Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы
с вероятностью,не меньшей 0,92, можно было ожидать отклонение
частоты выпадения герба от теоретической вероятности 0,5 на аб-
солютную величину,меньшую, чем 0,01.
Решение.
По условию задачи
Ото’да
сл qtV 1
^»УМП -
40
§ 7. Определение и свойства распределения Пуассона.
Распределение Пуассона с параметром /\ > О - это
распределение дискретной случайной величины ,для которой
p(W =
Найдём числовые характеристики случайной величины ,
имеющей распределение Пуассона с параметром 2l > (9 . Имеем
оо °° Q к СК
мг= z кр(^^к) = 2_ к 4л- -е
s к=о ' к=о к1.
Так как при К = 0 выражение под знаком суммирования
обращается в нуль, то можно начинать суммирование с ;
41
4=
Итак, мы нашли числовые характеристики случайной величины
, имеидей распределение Пуассона с параметром 2\ 0 :
42
§ 8. Теорема Пуассона. Применение к схеме Бернулли.
Рассмотрим предельную теорему Пуассона.
Будем предполагать,что для каждого И. > Я. задано р;
независимых случайных величин .... h . Иначе говоря,
пусть задана треугольная таблица случайных величин:
%2,L ", К 2,2
В каждой строчке случайные величины независимы между собой.
Такая модель называется схемой^серий случайных величин.
Предельная теорема Пуассона.
Пусть при каждом KI 1 независимые одинаково распреде-
лённые случайные величины таковы, что
?(^и,к , P(?n,K
где р И •+ Ц и и
рп—> 0 . ирл—ПРИ .
Положим Sn - П, И
Тогда при И -э оо
7\
P(Sn -mJ —, --------
м!
- 43 -
Применение к схеме
Бернулли.
Пусть " последовательность независимых
случайных величин, причём
= р; р(Л" = °) = 1-р-ср
Положим Sп - + И
При больших И и малых р
женной формулой:
P(?n = ml (ил) «
можно воспользоваться прибли-
v] I
6
Закон Пуассона является хорошим приближением для биномиаль-
ного распределения при очень малых р , поэтому его иногда назы-
вают "законом редких событий".
Обычно считают, что Q 1; пр £ 9,
Если мало значение Ор = {- р , этим приближением можно
воспользоваться для числа неудач.
Итак,сформулируем теорему Пуассона для схемы Бернулли:
если Sn_ число успехов в И испытаниях Бернулли с вероят-
ностью успеха в одном испытании,равной р ,то при больших И
и малых р ил
Pt%-vu) = Р„(м) « е ^-0,1,2,...
-у Пример
L ° Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий.
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002.
Найти вероятность того, что на базу прибудет три негодных
изделия.
Решение.
Имеем и - 6W' р - Ц 002 ’ ГЪр = d
По теореме Пуассона для схемы Бернулли
4т е" =°;06^
J
Значения Ри |FYlj находятся по таблице 3
44
9о1 пол™* к»0 "Керслию^ воли. Вероятвооть
’’““Т р7‘ °,саз-
того, чти Р" магазин получит разбитых бутылок:
НаЯт* вероятность ти««,
а/ ровно две ;
б/ ыенее двух ;
в/ более двух ;
г/ хотя бы одну .
^ = 4000;Р=0,ОСЗ; пр = 5
По теореме Пуассона для схемы Бернулли ;
4г*’5 = °-22Z<04;
Ы ₽«0« - Р<С»О (°) + (^) -
= 0,0Ч9Т9+ 0J4936 = Oz 199^'
•J Рисе 2 =
~ Р«оо (" Р«со [i ~ Piece =
- 4. -0,94919 - 0,149Ъ6- (Ш ЧОЧ = 0, 51(>Si.
г> Р<ооо(И) -1-PWO(0)-
= 4- 0,04919 - О, ИОН
45
' 9. Простейший поток событий.
Пусть на оси времени случайна» образом возникают
точки - момента появления каких-то однородных событий
/например, вызовов на АТС, приходов посетителей в библиотеку
и т.п. / . Последовательность таких моментов обычно назы-
вают "потоком событий" .
Интенсивностью потока называется среднее число событии
которое появляется в единицу времени.
Прэстейлй /пуассоновский/ по- к ссбьги; - это
поток событий, который обладает следую* ми тремя свойствами:
стационарностью, отсутствием последействия и -тинарнсстьв.
Свойство стационарности для потока событий:
вероятность появления К событий в любом промежутке времени
зависит только от числа К и от длительности t промежутка
времени и не зависит от начала его отсчета.
Свойство отсутствия последействия для потока событий:
вероятность появления К событий в любом промежутке времен;
не зависит от того, сколько событий и в какие момента яв-
лялись до этого промежутка.
Свойство ординарности для потока событий:
вероятность появления более одного события за малый про-
межуток времени есть величина более высокого порядка мало-
сти, чем вероятность появления только одного события, т.е.
появление двух или более событий за малый промежуток вре-
мени практически невозможно.
46
Простейший поток тесно связан с распределением Пуассона.
Возьмём на оси времени участок длины 'С • Пусть случайная
величина £ - число событий, попадающих на этот участок. Дока-
жем, что £ имеет распределение Пуассона.
Разделим участок длины TZ на /7 равных частей длины
Пусть Ро - вероятность того, что за промежуток времени
не появится ни одного события; р£ - вероятность того
что появится одно событие; вероятность появления двух и более
событий есть О (Д "б) •
Математическое ожидание числа событий, попадающих на учас-
ток Д t , равно
0-p^ + l- pitofii) = Pi Я о (Ар
С другой стороны, это математическое ожидание равно
Л Д t , еде Я - интенсивность потока.
Значит,
Рассмотрим у] участков оси времени как Н независимых
опытов, в каждом из которых может появиться событие; тогда
n/t I лИ"1 М / , •> И-М
Р'? = м;= р£ (4- р^
Если И сю , то Д t о , h —? 7\ т
и по теореме Пуассона
- 47 -
|—— Пример
l1£J Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на
сортировочную горку, можно считать простейшим с интенсивностью
% = 4 /составов в час /. Найти вероятности того, что за
30 минут на горку прибудет:
а/ ровно один состав ;
б/ хотя бы один состав ;
в/ не менее трёх составов'
Решение.
По условию *Л=Ч , ^=1,. Имеем
а/ Р1 = — е~г = 0,2-?06¥;
Р о о
« ри =i-po = 1- е’<
- 1- О/Ъб’ЗЧ = 0,86466’
- i-Po-P<Pz =
--1- t>,43?34- О,П06? -0,2.4-06? =
= 0,32332
48
Л Пример
На телефонную станцию в течение определенного часа дня
Щупает в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что
в течение минуты поступит не более двух вызовов. Поток вызовов
предполагается простейшим.
Решение. ,
По условию ft = 30^ ~ 60 ~ 5~'
Имеем g - Ро -р Pj f Р2 -
= 0,606Н-г 0,50322-1- Ц0УМ2 =
= 0,98 «2.
Пример
Э<-- Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры
за 10 000 часов работы равно 10. Определить вероятность
отказа радиоаппаратуры за 100 часов работы. Поток отказов
предполагается простейшим.
Решение.
По условию ~ п ии — -100', 7\Т - О,1.
1UUUU ' ' '
Имеем
- 1- 0,90484 = 0(
49
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕПЕНИЯ
I
Найти вероятность того, что событие А появится
не менее трёх раз в четырёх независимых испытаниях,
если вероятность появления события А в одном
испытании равна 0,4 ,
Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок.
Какова вероятность среди пяти случайно выбранных воло-
кон смеси обнаружить менее двух окрашенных ?
Всхожесть семян данного сорта растений оценивается
с вероятностью,равной 0,8 . Какова вероятность
того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее
четырёх ?
Изделия некоторого производства содержат 5 % брака.
Найти вероятность того, чтот из пяти взятых наугад
изделий:
а/ нет ни одного испорченного ;
б/ будут два испорченных.
50
0
0
0
0
Два равносильных противника играют в шахматы.
Что вероятнее:
а/ выиграть одну партию из двух или две
партии из четырёх ?
б/ выиграть не менее двух партий из четырёх
или не менее трёх партий из пяти ?
Ничьи во внимание не принимаются.
Испытание закликается в бросании трёх игральных
костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых
испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.
Испытывается каждый из 15 элементов некоторого
устройства. Вероятность того, что элемент выдержит
испытание, равна 0,9 . Найти наивероятнейшее число
элементов, которые ввдержат испытания.
Два стрелка одновременно стреляют по мишени.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
для первого стрелка равна 0,8 ; для второго эта
вероятность равна 0,6 . Найти наивероятнейшее
число залпов, при которых оба стрелка попадут
в мишень, если будет произведено 15 залпов.
51
Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность
того, что каждый из образцов будет признан годным к
продаже, равна 0,6 . Найти наивероятнейшее число
образцов, которые товаровед признает годными к про-
даже.
Два равносильных противника играют в шахматы. Найти
Ю наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста,
если будет сыграно 2 N результативных /без ничьих/
партий.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха
при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2 ;
для второго 0,4 . Найти наивероятнейшее число залпов
при которых не будет ни одного попадания в мишень,
если стрелки произведут 25 залпов.
12
Батарея произвела шесть выстрелов по объекту.
Вероятность попадания в объект при одном выстреле
равна 0,3. Найти:
а/ наивероятнейшее число попаданий ;
б/ вероятность наивероятнейшего числа
попаданий ;
в/ вероятность того, что объект будет разрушен,
если для этого достаточно хотя бы двух
попаданий .
52
Дискретная случайная величина задана
законом распределения:
§ 0,5 0,0
р 0,2 0,8
Используя следствие из неравенства Чебышёва,
оценить вероятность того, что
0,2.
Пусть £ £ ,... - последовательность
независимых случайных величин, имеющих следующие
распределения:
Выполняется ли для этой последовательности
закон больших чисел ?
имеет нормальное
М£= 50;
Случайная величина £
распределение, причём . .
Найти вероятность того, что случайная величина £
примет значение, принадлежащее интервалу flO. 50]
53
Складываются 1200 независимых случайных величин
равномерно распределённых на отрезке f0, 1/20 ]
Найти вероятность того, что их сумма заключена
между 29 и 31. Написать приближённое выражение
для плотности суммы.
Найти приближённое значение вероятности того,
что число "девяток" среди 10 000 случайных
чисел заключено между 940 и 1060 .
Всхожесть семян данного растения равна 0,9 .
18 Найти вероятность того, что из 900 посаженных
ч__J семян число проросших будет заключено между
790 и 830 .
Найти вероятность того, что в результате
1000 бросаний монеты число выпадений герба
будет заключено в интервале ^475, 525”] .
54
Правильная кость подбрасывается 12 000 раз.
Какова вероятность того, что число выпадений
шестёрки будет лежать в интервале
£1800, 21003 ?
0 Вероятность того, что наудачу выбранная деталь
окажется бракованной, при кавдой проверке
одна и та же и равна 0,2 .
Определить вероятность того, что среди 50
наудачу отобранных деталей бракованных
окажется не менее 6 .
0 Найти вероятность того, что событие наступит
ровно 70 раз в 243 испытаниях, если
вероятность появления этого события
в каждом испытании равна 0,25 .
0 Найти вероятность того, что событие А
наступит 1400 раз в 2400 испытаниях,
если вероятность появления этого события
в каждом испытании равна 0,6 .
55
25
26
Вероятность появления успеха в каждом испытании
равна 0,25. Какова вероятность того, что при
300 испытаниях успех наступит:
а/ ровно 75 раз ;
б/ ровно 85 раз .
В первый классы должно быть принято 200
детей. Определить вероятность того, что
среди них окажется ТОО девочек, если
вероятность рождения мальчика 0,515 ,
Проводятся последовательные испытания по
схеме Бернулли. Вероятность осуществления
события А в одном испытании равна 0,6 .
Вычислить вероятности следующих событий:
В - событие А произойдёт
в большинстве из 60 испытаний ;
С - событие А произойдёт
от Зб до 42 раз
в 60 испытаниях ;
Д - событие А произойдёт
36 раз в 60 испытаниях.
0 Монета подбрасывается 10 000 раз.
Найти вероятность того, что частота выпадения
герба окажется в интервале ^0,49 ; О,бГ] .
56
0 Вероятность появления успеха в каждом из 400
независимых испытаний равна 0,8. Найти такое
положительное число £ , что с вероятностью
0 9876 абсолютное отклонение частоты появления
успеха от вероятности его появления не пре-
высит £ .
0 Сколько надо произвести бросаний правильной
монеты, чтобы с вероятностью 0,99 относительная
частота выпадения герба отличалась от 1/2
не более чем на 0,01 ?
0В урне содержатся белые и чёрные шары в соотношении
3:2. Производятся последовательные опыты по извлечению
одного шара с возвращением, причём каждый раз фикси-
руется цвет вынутого шара. Каково минимальное число
извлечений, при котором с вероятностью, не меньшей
0,9948 , можно ожидать, что отклонение относительной
частоты появления белого шара от вероятности его
появления в одном опыте не превысит величины
6 = 0,05 ?
31
Вероятность попадания в цель при каждом
выстреле равна 0,001. Найти вероятность
попадания в цель двух и более пуль, если
число выстрелов равно 5000 .
57
32
Вероятность того, что любой абонент позвонит на
коммутатор в течение часа, равна 0,001. Телефон-
ная станция обслуживает 800 абонентов. Какова
вероятность того, что в течение часа позвонят
5 абонентов ?
Прибор содержит 1000 микроэлементов, вероятность
отказа для каждого из которых в течение некоторого
времени равна 0,001 и не зависит от состояния
других элементов. Какова вероятность отказа при-
бора, если он наступает при отказе хотя бы одного
элемента ?
34
По каналу связи передаётся 1000 знаков.
Каждый знак может быть искажён независимо
от остальных с вероятностью 0,005 .
Найти приближённое значение вероятности
того, что будет искажено не более трёх
знаков.
35
В таблице случайных чисел цифры сгруппированы
по две. Найти приближённое значение вероятности
того, что среди 100 пар пара 09 встретится
не менее двух раз.
58
0На диспетчерский пункт поступает простейший
поток вызовов такси с интенсивностью два вызова
в минуту. Найти вероятность того, что за две
минуты поступит три вызова.
На АТС поступает простейший поток вызовов
с интенсивностью два вызова в минуту. Теле-
фонистка отлучилась на 30 секунд. Найти
вероятность того, что за это время не поступит
ни одного вызова.
0На АТС поступает простейший поток вызовов
с интенсивностью один вызов в минуту. Найти
вероятность того, что за две минуты поступит
хотя бы один вызов.
0На станцию скорой помощи поступает простейший
поток вызовов с интенсивностью один вызов
в час. Найти вероятность того, что за
два часа поступит не меньше двух
вызовов .
59
ОТВЕТЫ
р 0,1492 <£> f6
f> 0,437-2 8
Т> а/ -0^4
б/ -0,02
5
б> О, 000 244 34
Е> 7-
9> IJr/M <№> N
12> а/ 2
б/ 0,524 в/ QS8
№> Р^о, 64 <3
да
Ц> 0,9Ж
п
16
-2(СС-ЗО)2
Г7> 0,9Ж <№>0,944 <№>0(^6
20> 0,992.
0( ОШ
23
2i> 0.0 Z 4
60
^24^> а/ О, 0632
б/ 0,0249
25> 0,0^1
2б> Р(В) ~ О,9066
Р(е)^ о,^ь9
P(!D)* 0,10^
0,9S4
о, or
46 641
П,№
з£> 0,0042
§> 0;63Я1
з4> 0,265-0
з5> 0,2642
S> O;49W
fP 0/36^g
з8> 0} 86466
39> 0,5~9399
61
Таблица I
Таблица значений функции ф(с) = _' Се 2л,
о
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,00000 00399 00798 01197 0(595 01994 02392 02790 03188 03586
0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07(42 07535 I
0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 1(026 (1409
0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13633 14058 (4431 14803 15173
0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 (8082 18439 18793
; 0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 2(226 21566 21904 22240
ОД 22575 22907 23237 23565 23891 242(5 24537 24857 25175 25490
: 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524
; 0,3 23814 29103 29389 29673 29955 30234 305(1 30785 31057 3(327
1 0,9 । 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891
1,0 34134 34375 34614 34850 35083 353(4 35543 35769 35993 362(4
1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 :
1.2 38493 38686 38377 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40(47
1.3 • 40320 40490 40653 40824 40988 4(149 4(309 41466 4(621 4(774
1.4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189
1,5 43319 43448 43574 43699 43322 43943 44062 44179 44295 44408
1.6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 ,
1,7 43543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 |
1.8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 ।
1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670
2.0 47725 47773 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169
2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574
2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899
2.3 48928 43956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158
2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 ,
2Д 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520
2,6 49534 49547 49560 49573 Ч9585 49598 49609 49621 49632 49643
2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 4972С 49728 49736
2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807
2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49561
зд 0,49865 3,1 49903 3,2 49931 з,з 4995г 3,4 49966
3,5 49977 3,6 49984 3,7 49989 3,8 4999. } 3,9 49995
4Д 499968 -*—
62
Таблица 2
Таблица значений функции гр(х) - с
х 0 1 2 3 4 б 6 7 8 9
0,0 0,1 0,3989 3970 3989 3965 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3988 3956 3885 3986 3951 3876 3984 3945 3867 3982 3939 3857 3980 3932 3847 3977 3925 3836 3973 3918 3825
0,2 3910 3902 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,3 3814 3802 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,4 3683 3668 3503 3312 3101 2874 2637 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,5 3521 3292 3079 2850 2613 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,6 3332 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920
0,7 0,« 0,9 3123 2897 2661 2827 2589 2803 2565 2780 2541 2756 2516 2732 2492 2709 2468 2685 2444
1,0 1.1 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 ' 1109 2396 2155 1919 1691 1476 2371 2131 1895 2347 2107 1872 2323 2083 1849 9099 2059 1826 2275 2036 1804 2251 2012 1781 2227 1989 1758 ута 1965 1736
1.2 1.3 1.4 1,5 1,6 1,7 1 8 1669 1456 1647 1435 1626 1415 1604 1394 1582 1374 1561 1354 1539 1334 1518 1315
1276 1257 1238 •1219 1200 1182 1163 1145 1127
1092 1074 1057 1040 1023 0006 0989 0973 0957
С940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1*9 0656 0644 С632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 2,1 ' 2,2 2з 0,0540 0440 0529 0519 0508 0498 0488 0478 . 0468 С459 0449
0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
0355 0283 0347 0277 0334 0270 1332 0264 0325 0258 0317 0252 0310 0246 0303 0241 0297 0235 0290 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2.8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0.0044 0043 С042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0130 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 СО23 0022 0022 0021 0020 0020 С019 0018 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0514 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 ООН ООН 0010 0010 0010 00С9 0009
3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006- 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
63
Таблица
Значения функции _— с-п
гп ’
3
(распределение Пуассона)
а т о.1 о,э О.з 0.4 0.5
0 J 2 3 0,90484 0,09048 0,00452 0,00015 0,81873 0,16375 0,01638 0,00109 0,74082 0.22225 0,03334 0,00333 0,67032 0,26813 0,05363 0,00715 0,60653 0,30327 0,07582 0,01264
4 0,00006 0,00025 0,00072 0,00158
5 0,00002 0,00006 0,00016
6 0,00301
° т 0.6 0.7 O.S 0.0
0 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657
1 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591
2 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466
3 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940
4 0,00296 0,00497 0,00767 0,01112
5 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200
6 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030.
7 0,00001 0,00002 0,00004
° т 1.0 2.0 3.0 <0 5,0
0 0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,00674
1 0,36788 0,27067 0,14936 0,07326 ’ 0,03369
2 0,18394 0,27067 0,22404 0,14653 0,08422
3 0,06131 0,18045 0,22404 0,19537 0,14037
4 0,01533 0,09022 0,16803 0,19537 0,17547
5 0,00307 0,03609 0,10082 0,15629 0,17547
6 0,00051 0,01203 0,05041 0,10419 0,14622
7 0,00007 0,00344 0,02160 0,05951 0,10445
8 0,00001 0,00086 0,00810 0,02977 0,06528
9 0,00019 0,00270 0,01323 0,03627
10 0,00004 0,00081 0,00529 0,01813
11 0,00001 0,00022 0,00193 0,00824
12 0.00006 0,00064 0,00313
13 0,00001 0,000-20 0,00132
14 0,00006 0,00047
15 0,00002 0,00016
16 0,00005
17 0,00001
64
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
А а альфа N v ню
в₽ бета КСИ
Г? гамма Оо омикрон
А8 дельта Пл пи
Ее эпсилон РР ро
z; дзета Ес сигма
НП эта Тт тау
00 тета Yd ипсилон
II йота Ф ф фи
Кк каппа XX хи
лк лямбда Тф пси
М н мю П о омега