Математика для тех, кто боится математики

Tags: математика

ISBN: 978-5-00223-331-1

Similar

Нелокальность: Феномен, меняющий представление о пространстве и времени, и его значение для черных дыр, Большого взрыва и теорий всего

Комбинаторная оптимизация. Теория и алгоритмы

Задачи Ферми, книги Перельмана, Алкуин из Йорка и другие способы обсчитать этот мир

Невероятные числа профессора Стюарта

Text

Посвящается Девин,
чьи выражения лица и так говорят больше, чем любые уравнения

M AT H F O R E N G L I S H M A J O R S
A Hu m a n Ta k e o n t h e Un i v e r s a l L a n g u a g e
Ben Orlin

БЕН ОРЛИН

МАТЕМАТИКА

о
т
к
,
х
е
т
я
л
д

БОИТСЯ
МАТЕМАТИКИ
Е Щ Е О Д Н А К Н И ГА
С Д У РА Ц К И М И Р И С У Н К А М И

Перевод с английского

Москва
2025

УДК 51
ББК 22.1
О-66

О-66

Переводчик Мария Елифёрова
Научный редактор Константин Кноп
Редактор Пётр Фаворов

Орлин Б.
Математика для тех, кто боится математики: Еще одна книга с дурацкими
рисунками / Бен Орлин ; Пер. с англ. — М. : Альпина нон-фикшн, 2025. — 296 с.
ISBN 978-5-00223-331-1
Говорят, математика — это универсальный язык. Автор бестселлера «Математика с дурацкими рисунками» Бен Орлин подумал: а что, если воспринять эту
идею буквально? Не «математика — это что-то вроде логической поэзии» или
«математика — это, метафорически выражаясь, язык вселенной». Нет. Что, если
математика — это язык в том же смысле, в каком языками являются испанский,
арабский или дотракийский: средство, с помощью которого маленькая группа
людей выражает свои маленькие человеческие мысли? Но если языки объединяют, почему тогда математика заставляет так многих из нас чувствовать себя
настолько одинокими?
В своей книге «Математика для тех, кто боится математики: Еще одна книга
с дурацкими рисунками» Орлин предлагает взгляд, который покажется свежим
как тем, кто теряется при виде любого математического выражения (выражаясь
откровенно, гуманитариям), так и знатокам предмета. Орлин ищет и находит
в математическом языке существительные (числа), глаголы (математические
действия) и грамматику (алгебра), забавные идиомы («возведение в квадрат»),
причудливые этимологии («научная запись») и своеобразные неоднозначности
(порядок действий). Там обнаруживается даже особая форма литературы —
равенства и уравнения в диапазоне от житейской мудрости x = 1 до поразительной
глубины eiπ + 1 = 0.
Попутно Орлин делится с читателями историями о собственных математических провалах и прозрениях, а также о трудностях и триумфах своих учеников.
Самое главное: с помощью своих неумелых — но на удивление эффективных —
рисунков он проливает свет на довольно глубокие и очень разные вопросы. Что
именно представляет собой школьная математика? Почему стольким из нас так
трудно извлечь из нее что-то путное? Может ли перетасовка символов научить
нас чему-то новому о реальности? И наконец, как вообще работает математика?
УДК 51
ББК 22.1

Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было
средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. По вопросу организации доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru

ISBN 978-5-00223-331-1 (рус.)
ISBN 978-0-7624-9981-6 (англ.)

© Ben Orlin, 2024
© Hachette Book Group, Inc., 2024
This edition published by arrangement with Black Dog
& Leventhal, an imprint of Perseus Books LLC,
a division of Hachette Book Group, Inc., New York,
USA via Igor Korzhenevskiy of Alexander Korzhenevski Agency (Russia). All rights reserved.
© Издание на русском языке, перевод, оформление.
ООО «Альпина нон-фикшн», 2025

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................11

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ
Вещи под названием «числа» • 19
Счет ............................................................................................................................................... 21
Измерение ..................................................................................................................................27
Отрицательные числа ............................................................................................................ 31
Дроби ............................................................................................................................................38
Десятичные дроби ...................................................................................................................45
Округление .................................................................................................................................50
Большие величины .................................................................................................................54
Научная запись чисел ........................................................................................................... 62
Иррациональные числа ........................................................................................................ 68
Бесконечность...........................................................................................................................77

ГЛАГОЛЫ
Арифметические действия • 85
Приращение...............................................................................................................................87
Сложение .................................................................................................................................... 91
Вычитание ................................................................................................................................ 98
Умножение ...............................................................................................................................104
Деление .......................................................................................................................................112
Возведение в квадрат и куб................................................................................................ 118
Извлечение корней ............................................................................................................... 122

Возведение в другие степени ............................................................................................126
Логарифмирование ...............................................................................................................131
Порядок действий ................................................................................................................. 135
Вычисление..............................................................................................................................140

ГРАММАТИКА
Синтаксис алгебры • 147
Символы....................................................................................................................................149
Переменные ............................................................................................................................. 155
Выражения...............................................................................................................................159
Равенства ..................................................................................................................................166
Неравенства ............................................................................................................................. 172
Графики.....................................................................................................................................178
Формулы ....................................................................................................................................185
Упрощение................................................................................................................................190
Решения ....................................................................................................................................196
Категориальные ошибки ................................................................................................... 203
Стиль ......................................................................................................................................... 207
Правила ......................................................................................................................................211

РАЗГОВОРНИК
Путеводитель по математическому словарю от старожила • 219
Рост и изменение .................................................................................................................. 221
Ошибки и оценка .................................................................................................................. 224
Оптимизация ......................................................................................................................... 227
Решения и методы ............................................................................................................... 230
Фигуры и кривые ...................................................................................................................233
Бесконечность........................................................................................................................ 236
Совокупности ......................................................................................................................... 239
Логика и доказательства.................................................................................................... 243
Истины и противоречия ................................................................................................... 247
Вероятное и возможное ..................................................................................................... 252
Причины и корреляции ..................................................................................................... 255

Данные ...................................................................................................................................... 258
Игры и риск ............................................................................................................................. 262
Свойства ...................................................................................................................................266
Знаменитости и фольклор................................................................................................ 269
ТОНКОСТИ, ССЫЛКИ И МЕЛКИЙ ШРИФТ..................................................................... 275
ЧТО ЕЩЕ ПОЧИТАТЬ ............................................................................................................. 284
СБИВЧИВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ГЛУБОКОЙ ПРИЗНАТЕЛЬНОСТИ ................................ 290
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ............................................................................. 292

Только находящийся вовне наблюдатель может показать прирожденному
носителю языка, что его высказывания, какими бы простыми и ясными они
тому ни казались, являются на самом деле невероятно сложными, потому
что содержат в скрытом виде обширный аппарат настоящего языка*, 1.
ОЛИВЕР САКС. ЗРИМЫЕ ГОЛОСА

Перевод А. Н. Анваера. — Прим. пер.

ВВЕДЕНИЕ

ак-то на лекции я попросил младшекурсников поделиться своими первыми воспоминаниями о математике. Одна студентка рассказала историю столь необычную — и в то же время столь универсальную, — что она глубоко
проникла в мое подсознание и стала ощущаться как мое собственное воспоминание.
В возрасте пяти лет эта девочка получила задание — список
примеров на сложение. Беда была в том, что она не знала, как
читать эти смешные символы на листках бумаги: 2, + и прочее.
Ее никто этому не учил. Спросить она постеснялась — и нашла
обходной маневр, запоминая каждую сумму не как факт сложения чисел, а как произвольное правило, относящееся к фигурам. Например, 8 + 1 = 9 было не утверждением, что 9 на единицу больше 8, а закодированным набором инструкций: если тебе
показывают два кружка, один на другом (8), а за ними идет крестик (+), вертикальная линия (1) и пара горизонтальных линий
(=), то нужно вписать в пустое пространство кружок с загнутым
хвостом внизу (9). Она старательно вызубрила десятки подобных правил, одинаково причудливых и бессмысленных. Это
была кафкианская математика.
Мало кто осваивает 8 + 1 = 9 подобным образом. Но рано или
поздно чуть ли не каждый, кто изучает математику, испытывает то же чувство дезориентации и прибегает к столь же отча-

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

12
янным обходным маневрам. В детском саду, в средней школе
или в аспирантуре — в конце концов замешательство настигает вас и математика становится, выражаясь словами математика Давида Гильберта, игрой с «бессмысленными закорючками на бумаге».

3-Й

КЛАСС

17
34

5-Й

КЛАСС

y=mx+bb

15-Й

КЛАСС

᭙ε>0,
᭚δ>0:
|x–a|<δ

|f(x)–L|<ε

>0:
| – ||< 
|f( )– |<

᭙ >0, ᭚

Со всеми нами такое бывало. Вам попадается незнакомый
символ, вы спотыкаетесь на очередном действии и спрашиваете,
что значит все это месиво знаков. В ответ вы выслушиваете поток
абракадабры. Вы спрашиваете, что значит он. На вас обрушивается лавина белиберды. Так продолжается вновь и вновь, с обеих сторон нарастает раздражение, и в конце концов вы киваете,
улыбаетесь и отвечаете: «Ага. Спасибо. Теперь ясно». Затем, отчаявшись что-либо понять, вы принимаетесь за изнурительную
зубрежку, запоминая, какие закорючки и в каком порядке писать.
Мы любим говорить, что математика — это язык. (Больше того,
«универсальный язык».) Но если языки объединяют людей, то
почему математика вызывает у нас такое чувство одиночества?
Я профессиональный апологет математики. Я использую
слово «апологет» и в классическом смысле (защитник; сторонник; толкователь определенной картины мира), и в современном (тот, кто занят пиаром для клиента, вызывающего всеобщее презрение). На этот путь меня толкнуло — и сделало препо-

13
ВВЕ ДЕ Н И Е

давателем математики — смутное и явно непомерно раздутое
убеждение, что математика нуждается в моей помощи. Похоже,
все сходились в одном: с преподаванием математики что-то
было не так, ужасно — может быть, безнадежно — не так.
Что же именно с ним было не так? Вот здесь-то и возникали разногласия. Последние 15 лет я посвятил тому, что пробовал в этом разобраться.
Одна распространенная жалоба — недостаток «связи с реальной жизнью». Математика слишком абстрактна, слишком темна, слишком высоко сидит в своей башне из слоновой кости.
Вечная мантра: «Как мне это пригодится в жизни?» Многие авторы учебников принимают этот ропот близко к сердцу.
Например, они переводят вопрос о квадратном уравнении
(скучно!) в вопрос о компании, чей доход — хоть в этом допущении нет ни складу ни ладу — вычисляется с помощью квадратного уравнения (так жизненно, так практично!). Другие
просветители отвергают сам посыл жалобы по поводу «реальной жизни». Никто ведь не спрашивает, как им в жизни «пригодятся» музыка или литература, правда? Так почему не последовать мудрости Альберта Эйнштейна и не принять математику как «поэзию логических идей»2?
Как бы мы ни реагировали на сетования по поводу «реальной
жизни», я подозреваю, что мы воспринимаем их слишком буквально. Когда ученики спрашивают о пользе, они имеют в виду
не практическое применение. Они имеют в виду цель. «Как мне
это пригодится в жизни?» означает что-то вроде «Чем мы тут
занимаемся?», или «В чем смысл этой тягомотины?», или «Что
все это значит?».
Они не хотят сказать: «Назовите дату в далеком будущем,
когда эти задачи приведут к поступлению денег на мой банковский счет» или «Объясните, каким неожиданным образом
эти задачи могут оказаться полезными для моей души». Вопрос,
скорее, стоит так: «Скажите мне здесь и сейчас, что такое эти
задачи?»
Математика не просто собрание идей. Это особый способ
говорить об этих идеях. Сами того не подозревая, ученики просят помочь им освоить самый странный язык человечества.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

14
Так что имеется в виду, когда мы говорим, что математика — это язык?
Математика начинается с чисел. Хотя между числами и словами есть немало заметных различий, то и другое — системы
категоризации мира. Числа, как и слова, позволяют нам свести
сложный опыт (например, прогулку вокруг озера) к чему-то
намного более простому. В случае со словами — к описанию
(«Там было много породистых собак»); в случае с числами —
к количеству («3 мили»).
За числами следуют вычисления. Вычисления порождают
из старых чисел новые, то есть новое знание из старого. Например, если наше озеро примерно круглое и имеет береговую линию
в 3 мили, то я могу рассчитать, что до противоположного берега приблизительно 1 миля.
Ладно. Но дальше идет алгебра.
Алгебра, подобно литературе или философии, на шаг отступает от повседневного мира. Мы оставляем конкретные числа
(177) и конкретные вычисления (177 ÷ 3), чтобы постичь саму
природу счета. Алгебра открывает новые возможности: упрощение расчетов, перестановка действий, сравнение подходов
и так далее. Это требует развитой грамматики со специфической системой именных словосочетаний и небольшим табуном
рабочих лошадок — глаголов. Прежде всего, конкретные числа вроде 3 уступают место абстрактным переменным вроде x.
Этот прыжок в темноту — когда от конкретного 3 мы переходим к обобщенному x — знаменует зарю совершенно нового языка, которая для многих людей становится сумерками
понимания.
У этой небольшой книжки высокая цель: научить вас языку математики. Мы пройдем от абстрактных существительных чисел к переходным глаголам вычислений, а затем к тонкой грамматике алгебры. Конечно, сколько-то страниц с дурацкими рисунками не помогут выучить целый язык, но, надеюсь,
эти страницы смогут стать для вас отправной точкой.
То, что я предлагаю, несколько необычно. Когда мы, математики, пишем для широкой аудитории, мы, как правило,
воспеваем идеи своего предмета и способы его применения,

Просто войди
в дверь.

Как? Я не вижу
д
двери.

Ну, дверь обретает
смысл, как только
ты увидишь дерево. Какое дерево?

Д р
Дерево
внутри
у р
дома.
Ладно, но как мнее
попасть в дом?

ВВЕ ДЕ Н И Е

а не язык, с помощью которого эти идеи выражены. Зачастую
мы вообще отказываемся от этого языка, переводя равенства
(по мере сил) на язык прозы.
В этой книге избран иной путь — более тернистый и не столь
торный. Это не литература в переводе, а попытка оживить прекрасный и строгий язык, который делает возможной эту литературу.
В классической загадке спрашивается, была ли математика
открыта или изобретена. Вплетена ли математика в ткань природы? Или это инструмент, созданный нами для изучения природы? Что есть математика — атом или микроскоп?
Мой ответ: конечно и то и другое сразу. Математика — это
открытие внутри изобретения; это дом, построенный вокруг
дерева. Дом — это язык, созданный столь искусно, что кажется творением природы. Дерево — открытие, столь волшебное
по своей архитектуре, что кажется творением зодчего. Математика — это и атом, и микроскоп, слитые воедино столь нераздельно, что порой трудно сказать, где заканчивается открытие
и начинается изобретение.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

16
Это переплетение изобретения и открытия, языка и идеи,
возможно, одна из причин, по которым математику так трудно освоить. Чтобы понять идеи, нужно вначале выучить язык,
но язык имеет смысл лишь как выражение идей.
Я никогда не планировал посвятить свою жизнь апологии
математики. Если что-то и направляло меня на этом пути, то
я походил не столько на античного героя, которого боги ведут
к роковой развязке, сколько на растерявшегося туриста, которого местные жители выталкивают с проезжей части.
И все-таки, сидя в этом доме вокруг дерева и глядя, как свет
играет среди листвы, я невольно жалею, что не все могут оказаться на моем месте. Надеюсь, эта книжка поможет вам туда попасть.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Вещи под названием
«числа»

бычно существительное определяется как «слово, обозначающее лицо, место или вещь». В детстве это определение меня всегда смущало. Казалось очевидным, что
люди и места — тоже вещи, так зачем эта избыточность? Почему бы не определять существительное просто как «слово, обозначающее вещь»? Оглядываясь назад, я вижу, что этот приступ
детского педантизма служит примером одного из необычных
принципов математического языка: все есть вещь.
Возьмите наш случай: числа. Они — древнейшие, самые привычные математические вещи, только на самом деле они вовсе
не вещи. Объехав весь свет, вы переплывете семь морей, попробуете семь пицц или сразитесь с семью ниндзя, но вы никогда
не встретите такую вещь, как «семь».

7 ПИЦЦ

7 НИНДЗЯ

ПРОСТО 7
...где?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

20
Не существует никакого «семь», бывает только семь чего-то.
Сказать «семь шариков» все равно что сказать «синие шарики» — это свойство, характеристика. Не существительное,
а прилагательное.
По крайней мере, так скажет здравомыслящий человек. Но
математики далеки от здравомыслия. Они больше похожи
на взбесившихся философов или потерявших берега логиков.
Как от прилагательного «красивый» образуется существительное «красота», так и от прилагательного «семь» образуется существительное, которое тоже (чтобы окончательно нас
запутать) называется «семь» и определяется как таинственное свойство семеричности — характеристика, общая для всех
групп из семи предметов.
Таким образом, число — это существительное, образованное от прилагательного. Это неосязаемое свойство, столь убедительное, что мы изучаем его само по себе, как если бы оно
было предметом. Как мы увидим дальше, числа не единственные существительные в математике, но они самые основные,
и поэтому им будет отведен первый раздел этой книги.

7
Писательница Карен Олссон характеризует математику как
«облачный край соблазнительных абстрактных структур, кривых, плоскостей, полей и векторных пространств, доступных только тем, кто владеет изощренным облачным языком,
средством формулирования истин, которые нельзя выразить
ни на каком другом наречии» 1.

Счет
Несколько лет назад во время похода по горному Уэльсу я наткнулся на табличку с валлийскими числами от 1 до 20. Так как я обожаю таблички, числа и валлийцев, я тут же погрузился в чтение.
Один: un.
Два: dau.
Три: tri.
Никаких неожиданностей, пока я не добрался до 16: un ar
bymtheg. Это число, похоже, было составлено из un (1) и pymtheg (15).
На мой англоязычный слух это звучало необычно и очаровательно, и я был рад обнаружить, что 17 следует этой же закономерности (dau ar bymtheg, «2 плюс 15»), как и 19 (pedwar ar bymtheg,
«4 плюс 15»). Казалось бы, нетрудно угадать, как будет 18:
tri ar bymtheg, 3 плюс 15. Так?
А вот и нет. Валлийский язык отказывался следовать моей
приземленной логике. «Восемнадцать» это deunaw: буквально
«две девятки». Посреди туманов Сноудонии мое сердце замирало от восхищения валлийским народом и числом, которому
он дал столь прекрасное название.

пер.

Сноудония — горный регион и национальный парк в Северном Уэльсе. — Прим.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Как и положено облачному языку, мы начнем его изучение
в облаках. Давайте отправимся на прогулку по лесам Сноудонии * — на окутанный туманом горный склон...

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

22
Назвать что-либо — значит выделить это, придать ему индивидуальность. Поэтому мы даем имена детям, клички животным, названия песням, городам и групповым чатам — но мы не
даем их, скажем, отдельным скрепкам. Мне хочется отличать
своего ребенка от вашего, но эта потребность не столь насущна
в случае с канцтоварами.
Без названия число не может стать настоящим числом. Оно
будет как скрепка — неотличимым от других. Легко ли отличить
•••••••••••••••••• от ••••••••••••••••• или •••••••••••••••••••? Математика начинается только тогда, когда каждое число получает имя,
а с ним и индивидуальность. В Книге Бытия Адам дает имена
тварям земным — скажем, от трубкозуба (aardvark) до зебры
(zebra). В XVIII в. то же самое проделал ботаник Карл Линней,
от Orycteropus afer до Equus quagga. То, что Адам и Карл сделали для
форм жизни, нам придется повторить для количеств. Процесс
называния чисел по порядку называется счетом.
Число •••••••••••••••••• называется «восемнадцать», т. е. буквально «восемь на десяти». Это точное описание, однако
•••••••••••••••••• можно также описать как «трижды шесть», или
«полторы дюжины», или «девять пар». Зачем говорить «восемнадцать», когда существуют более симпатичные альтернативы?
К чему неуклюжая, кособокая конструкция «восемь на десяти»
вместо наглядной симметрии deunaw?
Этот вопрос влечет за собой более глубокий. Чего именно мы
хотим от системы счета?

тришесть

двадевять

девятьпар

восемнадцать

Минуточку... Что?

А, элементарно

+ 125
124
249
*

Перевод Е. М. Лысенко.— Прим. пер.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Рассказ Хорхе Луиса Борхеса «Фунес, чудо памяти»2 повествует о мальчике, который упал с лошади и потерял сознание.
Очнувшись, Фунес обнаруживает себя чего-то лишенным
и чем-то наделенным: его тело парализовано, но его ум полон
образов. Все, что он видит, он навсегда запоминает в мельчайших подробностях. И вот, лежа в кровати, Фунес изобретает
собственную систему счета. Каждое число он связывает с определенным образом: «“сера”, “трефи”, “кит”, “газ”, “котел”,
“Наполеон”» *. В его системе каждое название великолепно
и неповторимо.
Но, как тщетно пытается объяснить Фунесу рассказчик, такая
математика — вообще не математика.
Наш способ называния чисел, известный как «десятичная система счисления», основан на том, что все разбивается
на десятки. Сотня — это десять десятков, тысяча — это десять
десятков десятков; миллион — это десять десятков десятков десятков десятков десятков. Когда все числа составляются
из одних и тех же стандартных частей, их легко сравнивать
и проводить расчеты: например, нетрудно понять, что 125
на единицу больше, чем 124, и нетрудно сложить эти два числа
(100 + 100, 20 + 20 и 4 + 5), чтобы получить сумму 249.
С числами Фунеса дело обстоит не так. Как определить,
например, что за «Максимо Перес» идет «железная дорога» или
что их сумма равна «треснувшему красному кирпичу»? Выражаясь словами рассказчика, «этот набор бессвязных слов как
раз нечто совершенно противоположное системе нумерации».

Вот почему мы отказываемся от поэтичного deunaw в пользу прозаичного «восемнадцать». Чтобы дать названия бесконечному множеству чисел, нам нужна четкая система, и наша
система основана на десятках.
В самих десятках изначально нет ничего особенного. Просто
так уж вышло, что мы происходим от обезьян с десятью пальцами на верхних конечностях. Если бы мы считали восьмерками, как могли бы предпочесть осьминоги или пауки, то обозначали бы «восемнадцать» как 22: две восьмерки плюс два
в остатке.

22
2 восьмерки

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

2 единицы

А если бы мы считали семерками, мы обозначили бы то же
число как 24: две семерки и четыре в остатке.

2 семерки

24
4 единицы

Или, если бы мы считали девятками, у нас получилось бы 20:
два раза по 9 и ноль в остатке.

2 девятки*

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

20
нет единиц

Это ведь и есть deunaw, правда? Да, но это обойдется недешево. Чтобы перекрестить 18 в 20, нам придется отринуть наш
язык десятков (10), сотен (10 × 10) и тысяч (10 × 10 × 10). Вместо
них нам придется членить числа по 9, 81 (9 × 9) и 729 (9 × 9 × 9).
Это решение изменило бы всю нашу систему именования чисел.
700 (семь групп по 10 × 10) потеряет свое звонкое круглое
название. Оно будет уныло зваться 857 — восемь групп по 9 × 9,
пять групп по 9 и семь в остатке.

700

“857”
Прелестно!

Нелестно

В бейсбольной команде 9 игроков. — Прим. пер.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

26
Между тем непримечательное 729 (семь групп по 10 × 10, две
группы по 10 и девять в остатке) обернется прекрасным круглым числом 1000 — одной идеальной группой 9 × 9 × 9.

729

“1000”

Классно!
Ужасно

Сами числа не изменились — изменились только их названия. Однако названия формируют наш мир. В мире deunaw
одноклассники праздновали бы 27-ю годовщину со дня выпуска (а не 30-ю, как у нас). Города устраивали бы пышные парады в честь своего 81-летия (столетие в девятеричной системе).
Водители останавливались бы на обочине и фотографировали
одометр, на котором набежало 59 049 км (цифры читались бы
как 100 000).
Числа значат для нас так много: десятый день рождения,
полувековой юбилей, двухсотлетие памятного события. Но что
именно нам дорого — сами числа или только названия, которые мы им дали?
В цикле романов Урсулы Ле Гуин о Земноморье фигурирует мистический язык истинных имен. Вещь и ее имя на нем
каким-то образом тождественны, так что, зная истинное имя
человека, можно обрести власть над его жизнью и смертью.
Порой я думаю в том же ключе о математике: я записываю
название 18, за ним — название 61, а затем скромная капелька магии дает их сумму, 79. Как волшебник Земноморья, я могу

Измерение
Как-то раз во время поездки в Бостон на День благодарения
моя дочь — ей было тогда три года — копалась в нашем багаже
и нашла термометр, который я захватил с собой. «Ага! — сказала она. — Это я умею!» На моих глазах она сунула его под мышку, подождала чуть-чуть, вытащила и стала рассматривать.
«Четырнадцать десятых кило, — объявила она. — Я все расту!»
Конечно, ее лабораторным методам недоставало совершенства. И тем не менее в столь нежном и неуправляемом возрасте
она уже ухватила основу математического языка: количественное определение.
Определять количественно — значит переводить мир на язык
чисел. Мы начинаем с реальности — с загадочной и неупрощаемой ткани нашего бытия. Затем, так как мы люди, мы приписываем ей численное значение. Мы сводим длинное к числу,
именуемому длина, тяжелое к числу, именуемому вес, а умное
к числу, именуемому оценка на экзамене. Такое количественное определение не знает границ (и меры). Чуть ли не каждую
неделю какая-нибудь новая, прежде не определяемая количественно составляющая жизни — будь то ностальгия, горе или
суп с лапшой — попадает в лапы какого-нибудь предприимчивого мизантропа и получает численное выражение.
Количественное определение называется также измерением.
А для измерения, как известно, нужны инструменты. Чтобы
*

Перевод Л. Н. Ляховой. — Прим. пер.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

«вызвать на самом деле вещь, которой не существует, назвав ее
истинным именем» *,3.
Увы, Земноморье лишь плод фантазии. В реальном мире нам
приходится выбирать между полуправдами. С одной стороны, язык упорядоченных и систематических имен; с другой —
язык имен ярких и запоминающихся. С одной стороны, унылая
асимметрия «восемнадцати», а с другой — валлийское совершенство deunaw.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

НЕВЫРАЗИМЫЙ

КОМПОНЕНТ

КАК

МЫ ЕГО ИЗМЕРЯЕМ

ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОПЫТА

длина змеи

тяжесть камня

Ая
Даю
2 доллара
2 доллара!
50 центов!

ценность
искусства
измерить время, нужен секундомер; чтобы измерить общественное мнение — социологический опрос; чтобы измерить
температуру — термометр; а чтобы измерить рост или вес,
если верить моей дочери, — тоже термометр. Даже простейшие измерительные действия — например, сосчитать игрушки в ванне или вспомнить свой возраст — требуют инструментов в виде указательного пальца или настенного календаря.
Измерение никогда не бывает идеально точным. Я много
лет говорил окружающим, что мой рост 175 см, пока однажды
не заглянул в свои водительские права и не узнал, что мой официальный рост равняется 172 см. Это не (только) самообман;
дело в том, что мой рост попадает в промежуток между этими двумя значениями и, что еще хуже, меняется в зависимости от того, как измерять. Ботинки добавляют сантиметр, носки добавляют миллиметр; необходимо учитывать даже такие
как будто бы не имеющие отношения к делу факторы, как время
суток. (Гравитация слегка сжимает наш позвоночник, поэтому

Как вы оцениваете сплоченность своей команды
по шкале от 1 до 10?
М-м...
7,6?

В свете всего этого меня несколько удивляет, что математики не особо склонны размышлять об измерениях. Более того,
объясняя природу чисел, они вообще редко упоминают измерения.
Вот, например, отрицательные числа. Нельзя насчитать
–3 собаки, пройти –3 километра или проспать –3 часа. В действительности никакое измерение никогда не даст результата в –3 (если только мы не смухлевали, написав «–3» на шкале
термометра, хотя ртуть поднимается на положительное расстояние).
Если числа возникают в результате измерений, откуда тогда
берется –3?

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

мы выше по утрам и ниже по вечерам.) В любом случае засечки
на рулетке имеют ширину в ⁄ мм, так что большей точности
добиться невозможно.
Ни одно измерение не застраховано от ошибок. Самые точные часы в мире за год-другой отстают на одну наносекунду.
Даже счет как таковой не совершенен. Дайте среднестатистическому человеку сосчитать леденцы в банке, и неизбежные сбои
в концентрации приведут к погрешности примерно в 1%4.
Результаты измерений кажутся чистыми до скрипа, однако
их порождает процесс, грязный по самой своей природе. В этом
смысле измерение больше всего напоминает отмывание денег.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

–3

собаки
и

Три отрицательных
собаки?

То же относится к иррациональным числам, таким как 2 и π.
Чтобы измерить иррациональную длину, понадобилась бы
рулетка бесконечной точности. Но если ни одно измерение
не дает иррационального числа, то в каком смысле «иррациональное число» вообще можно назвать числом?



собаки
и

Три
с чем-то
иррациональных
собаки?

А есть еще мнимые числа (такие как i, квадратный корень
из –1). Название «мнимые» первоначально возникло как бранное — его придумал математик, отказывавшийся верить, что
такие числа существуют5. Их можно найти не только на числовой оси, но также над ней и под ней. Странно, правда? Это уж
точно не результаты измерений. И все-таки это числа.
Или нет?

собаки
и

Три
мнимых
собаки?

Да, числа. Отрицательные, иррациональные и мнимые числа возникают вполне естественным путем — не в результате
самих измерений, а из закономерностей и расчетов, связанных
с измерениями. Вычтите из пяти восемь, и — бам! — получит-

Отрицательные числа
В старшей школе у меня был одноклассник, печально известный
своими дикими выходками, срывавшими нам уроки. «Смотрите, — однажды сказал он, — я кое-что привношу в наше обучение. Может быть, это и отрицательное число, но, как по мне,
перед ним все равно стоит знак сложения»6.
Мне всегда нравилась эта его реплика. Она передает дух отрицательных чисел: присутствие отсутствия. Избыток недостатка.
Отрицательные числа — лингвистический фокус, способ соединения противоположностей. Алиса говорит Черной Королеве: «Холм никак не долина. Это полная чепуха» *, 7.
Однако в случае с отрицательными числами холм и есть долина — точнее, долина и есть отрицательный холм. Вместо «100 м
ниже уровня моря» или «5000 м над уровнем моря» можно
назвать высоты –100 и +5000 (порой опуская плюс). Аналогичным образом, вместо «через 8 минут после запуска ракеты» или
«за 15 минут до запуска» можно сказать «+8:00» и «–15:00».
Некоторые слова («после», «выше», «вперед», «более») преобразуются в +, а их антонимы («до», «ниже», «назад», «менее»)
оборачиваются –.
*

Перевод В. А. Азова и Т. Л. Щепкиной-Куперник. — Прим. пер.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

ся отрицательное число. Рассчитайте длину диагонали квадрата, и — бум! — длина выйдет иррациональной. Решите простое
уравнение типа х2 = –1, и — бряк! — решением окажется мнимое
число. Хотя язык чисел начинается с измерений, числа быстро
начинают жить собственной жизнью.
Когда-нибудь моя дочь познает весь причудливый зоопарк
неизмерительных чисел. Чуть раньше ей придется усвоить, что
температура под мышкой не слишком точна, особенно в том,
что касается определения роста и веса. Но пока я рад, что она
уловила элементарную истину: математический язык начинается с того, что вы суете термометр под мышку реальности
и вынимаете его, чтобы объявить число.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

32
Положительные и отрицательные числа представляют собой
зеркальные отображения, которые соединяются и образуют
совокупность, известную как числовая ось. Так как понятие числовой оси возникло в XVII в., новизна его теперь померкла — но
не его значение8.

ДЕНЬГИ
–4

–3
3

–2
–

–1

долг

благосостояние

ГОЛЬФ
–2

–1

2
хуже
ху

лучше
ше

ТТЕМПЕРАТУРА
А
–4

–3
3

–2
–

слишком
холодно

–1

все еще слишком
холодно

Ныне мы называем счетные числа (1, 2, 3 и т. д.) натуральными.
Добавим сюда ноль и числа, противоположные натуральным (–1,–2, –3 и т. д.), и мы получим группу, которую называют целыми числами. Это все несложно. Так почему же математики веками отказывались признать отрицательные числа за
настоящие? Почему Михаэль Штифель называл их «нелепыми»
и «выдуманными»9? Почему Бхаскара отмечал, что «людям они
не нравятся»10? Почему Фрэнсис Мейзерис считал их «полной
чепухой или невразумительным жаргоном»11?

У меня в корзине четыре яблока.
Дай мне семь.
Хм... ладно.

Что ты там видишь?
Я не вполне
могу это
объяснить.

Отрицательные доллары обычно принято называть долгом.
Чтобы составить мысленную картину отрицательных чисел,
представьте себе, что у зеленой купюры в 1 доллар есть злой
двойник: красная купюра в один отрицательный доллар, обозначающая задолженность на эту сумму. Смешивая два разных
типа банкнот, одну и ту же денежную сумму можно наглядно
выразить разными способами.

2 доллара тоже 2 доллара

++++
––

тоже 2 доллара

+++++++
––––—

Подобные образы позволяют нам осознать арифметику
отрицательных чисел. Например, прибавление положительного числа к вашему бюджету — то есть получение зеленых
купюр — всегда является приобретением. Оно повышает ваше
благосостояние.
В то же время вычитание положительного числа — то есть
расставание с зелеными купюрами — всегда является потерей и снижает ваше благосостояние. Более того, если исходно
вы располагали комбинацией зеленых и красных купюр (ска-

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Все сводится к простому вопросу: как, имея только 2 доллара,
умудриться потратить 3?
Всякий, у кого есть кредитная карточка, способен на него
ответить: запросто.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

–5 – – – – –
+3
= –2

+++
Ура! Мой долг уменьшился!

жем, семью зелеными и одной красной), то, потеряв достаточно много зеленых, вы останетесь в долгу.

6
–7
= –1

+++++++
–
Черт! Я потратился
не по средствам!

А что происходит при прибавлении отрицательного числа?
То есть при получении красных купюр? Ничего хорошего. Такое
приобретение делает вас беднее.

+++++
+

+ –4 – – – –
=1

Зачем я принял этот
проклятый подарок?

4
– –3
=7

+++++++
–––
Ах, как приятно, когда
прощают долги!

В этой системе два знака (+ и –) выражают четыре идеи: положительных чисел (+), отрицательных чисел (–), действия сложения (+) и действия вычитания (–). Когда символ выполняет
много задач, математики называют его «переопределенным».
Такого рода переопределенность приводит некоторых преподавателей в ярость и отчаяние: они готовы проклясть любого студента, перепутавшего «минус 7» как число и «минус 7»
как действие.
Я восхищаюсь их энергией, но не разделяю их философии.
–7 в смысле отрицательного числа и –7 в смысле вычитания
не просто легко спутать — их нужно путать. Если перестать считать их разными вещами, можно заметить красивую закономерность — это что-то вроде «волшебных» трехмерных картинок, которые нужно разглядывать только при расфокусированном зрении (см. табл. на с. 36).
Эта таблица объясняет странное, но распространенное утверждение, согласно которому «два минуса дают плюс». Если рассматривать его как общее правило, оно бессмысленно. Задолжав
20 долларов, а потом еще 30, вы не станете на 50 долларов богаче.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Напротив, вычитание отрицательных чисел — то есть избавление от красных купюр — это сплошная выгода, такая потеря, которая делает вас богаче. Если у человека имеется некоторый капитал (скажем, 7 долларов) и некоторый долг (скажем,
3 доллара), то устранение долга делает его чистый капитал
(и так положительный) еще больше.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

+
–
вычитание

+
+
положительные

положительные
числа

прибавление

числа

прибавление

–

вычитание

–

гаче
делает вас богаче

–

днее
делает вас беднее

–

отрицательные
числа

днее
делает вас беднее

отрицательные
числа

гаче
делает вас богаче

–

Поэт Уистен Хью Оден вспоминал присказку своих школьных времен: «Минус на минус всегда только плюс, / Отчего так
бывает, сказать не берусь»12.
Так вот, я берусь сказать, отчего так бывает. Дело в том, что
противоположность противоположности какой-то вещи есть
сама эта вещь. Противоположность дня — ночь. Противоположность ночи — день. Следовательно, противоположность «противоположности дня» — это день.
Когда я говорю «Избегай непрыганья!», я велю вам попрыгать. По той же самой логике минус, помноженный на минус,—
это противоположность противоположности.

Прыгай!

Не
прыгай!

Избегай
непрыганья!

Не
избегай
непрыганья!
Хм...

–1 –(–1)

–(–(–1))

Не
избегай
НЕнепрыганья!

ЗАТКНИСЬ!

–(–(–(–1)))

Очевидно, одна из корзин содержит
некие подозрительные не-яблоки.
Предметы, равные и в точности
противоположные «гренни смит».

ax2

Все выглядит логичнее, когда одна корзина равняется другой. Или сумма двух корзин равняется третьей. Так обстояло
дело в представлениях аль-Хорезми — и вот почему он решал
не одно квадратное уравнение, а целых шесть, тщательно
выстраивая их так, чтобы избежать отрицательных количеств
(см. рис. на с. 38).
Признаю, отрицательные числа напрягают воображение.
Но если его не напрягать, неудобство возрастает в шесть раз,
поскольку одна головная боль раскалывается на полдюжины
новых.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Когда я объясняю эту логику ученикам, они реагируют так,
словно я показал им хитрый карточный фокус. То есть они
не вполне уверены: им кажется, что здесь явно замешана какая-то ловкость рук. Тогда мне приходится признаться,
что отрицательные числа вообще представляют собой ловкость
рук — что в действительности вполне разумно вовсе отрицать
отрицательные числа.
Спросите аль-Хорезми, математика IX в., которого часто
превозносят как отца алгебры13. Он понял, как нужно решать
квадратные уравнения, но, если бы вы показали ему образец
из современных учебников, ax2 + bx + c = 0, он прыснул бы средневековым чаем вам в лицо. «Что это за богохульство? — воскликнул бы он.— Вы хотите сказать, что сумма трех чисел дает ноль?
Сколько-то яблок плюс сколько-то яблок плюс еще сколько-то
яблок равняется... нулю яблок?»

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

38
Знаете, вы могли бы избавиться от кучи проблем, если бы...
Нет! Не пори чушь!
2

ax = bx + c
ax2 + bx = c
ax2 + c = bx
ax2 = bx
ax2 = c
bx = c

Положительные числа отлично подходят для счета и измерений. Но у отрицательных задача иная: создавать единую гармоничную систему. Два понятия («над уровнем моря» и «ниже
уровня моря») становятся одним («высотой»). Два действия
(«сложение» и «вычитание») становятся одним (в современной
алгебре любое вычитание переосмыслено как «прибавление противоположного»). А шесть формул (частные случаи аль-Хорезми)
становятся одной (компактным современным обобщением).
В этом смысле отрицательные числа улучшают математику,
упрощая ее. Они прибавляют посредством вычитания. Они напоминают старый анекдот о госте столь отрицательном, что, когда
он заходил в комнату, все присутствующие задавались вопросом:
«Кто это сейчас вышел?» Пусть это и странноватый тип улучшения, но, как по мне, перед ним все равно стоит знак сложения.

Дроби
Как-то, выпивая на вечеринке с одним профессором, мы предались жалобам на первородный грех школьного курса математики, на беду, которая влечет за собой тысячу других бед: на дроби.
Для многих, слишком многих учеников дроби — это медленно
нарастающее смятение, туман, который никогда не рассеивается.

1
3
1

4
7
2

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

10
6

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

— Что им необходимо понять,— кипятился профессор,—
чему мы должны их научить, так это тому, что в первую очередь дроби представляют собой классы эквивалентности.
Я притворился, будто кашляю, а на самом деле захохотал.
Конечно, дружище. Блестящий план. Нам нужно просто сказать
школьникам, что дроби — это упорядоченные пары целых чисел
(a, b) в таких отношениях эквивалентности, что (a, b) = (c, d)
в том и только в том случае, если ad = bc. Как же я раньше не догадался? Я кивнул и мысленно пополнил свой список доказательств того, что профессора математики — инопланетяне.
Несколько лет спустя, когда я сидел и пытался найти общую
нить в своих заметках для этой главы, истина вдруг треснула
меня по лбу, словно я наступил на грабли.
Что вам необходимо понять, так это то, что... да, то, что дроби представляют собой классы эквивалентности.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

40
Дроби — это язык промежуточных значений. Если вы желаете покупать торты целиком — скажем, три, четыре или 17 тортов,— тогда вам достаточно целых чисел. Но чтобы покупать
торты порционно, вам понадобятся дроби, состоящие из двух
чисел. Число ниже черты деления, знаменатель, показывает,
на сколько кусков порезан каждый торт. Число над чертой, числитель,— это количество кусков, которые мы покупаем.
У этого языка есть одна головокружительная особенность.
Каждая дробь принадлежит к бесконечному ряду синонимов.
Или, выражаясь математически, дроби образуют классы эквивалентности.
Скажем, я мечтаю о половине торта. Я могу разрезать его
пополам и съесть половину. Или разделить его на четыре части
и съесть две из них. Или на шесть частей и съесть три. Или
на восемьсот и съесть четыреста. Мне незачем беспокоиться, что
я так бестолково его раскрошу; в математике дроби — абстракции.
При желании я могу нарезать 100 триллионов тонких до невидимости ломтиков и затем слопать 50 триллионов. Математически это все равно что разрезать торт пополам и съесть половину.
Вот почему дроби вызывают такое смятение. Как ориентироваться в языке бесконечных синонимов?

Один из способов избежать лабиринта синонимов —
не резать больше, чем это необходимо. Используйте наименьшие

Но ведь вы заказали
именно столько?

Да, но не в таком виде!

Такое упрощение зачастую удобно, но порой контрпродуктивно. В стремлении избежать присущих дробям проблем мы
в итоге вредим сами себе.
Например, когда нам нужно выразить идею ⁄ часа, разве
не нагляднее использовать синоним ⁄ ? Точно так же, разве
⁄ столетия понятнее, чем ⁄ ? Зачем упорно стремиться нарезать как можно меньше кусков, если столь многие количества
уже нарезаны заранее?
0
4/5

11
1/5

1
2

10
9

3/5

2/5

Часы, что вы
несете?

3
4

8
7

А 12/60 после
Ага,
семи вечера.
С
Спасибо, часы.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

возможные числа. (Такие дроби удачно зовутся «несократи.
мыми».) Говорите ⁄ , а не ⁄ . Говорите ⁄ , а не
⁄

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

42
Синонимы дробей важны также для сложения и вычитания.
Если мне хочется ⁄ торта, а вам ⁄ , то сколько торта хватит нам
обоим? Если мы разрежем торт на четыре куска, ваша порция
окажется слишком большой. Если на шесть, то мои куски будут
слишком маленькими. Что же делать?

Сложение без перенарезки...
ужасная морока!

+
= ???
Решение — нарезать торт так, чтобы его можно было разделить и на четыре части, и на шесть. Это отлично получится, если
кусков двенадцать. Теперь моя порция составляет ⁄ , а ваша ⁄ .
В сумме это ⁄ . Синонимы приходят на выручку.

Сложение после перенарезки:
точно и аккуратно

Как насчет умножения? Скажем, у меня имеется ⁄ торта и я хочу отдать вам ⁄ из того, что у меня есть. И снова нам
поможет подбор синонимов: торт нужно разрезать на более

Моя доля:
трудно разделить на три.

Моя доля:
теперь легко
разделить
на три.
Ваша доля:
две трети
моей.
Тут мне стоит признаться, что на самом деле никто так дроби не перемножает. Существует способ проще: просто перемножить числители и знаменатели. Умножьте 2 на 4 и 3 на 5, затем
8
2 _
4 =_
. Тот же верный ответ, а думать
сделайте вывод, что _
3×5
15
приходится меньше.
Но удобство этого метода как раз и таит в себе подвох: он
не создает картинки в сознании. Это не столько мысленный
процесс, сколько бессмысленный. И именно поэтому он плодит
глупые ошибки.
Например, школьники, которые освоили «перемножение
числителей и знаменателей», нередко переносят этот прием
1 +_
1 =_
2
,
на сложение. Они могут прийти к нелепому выводу, что _
4 6
10
а это еретическое вычисление, в котором ответ меньше, чем
сумма слагаемых. Когда ученики спрашивают у меня: «А скла-

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

мелкие части. Возьмем мою нынешнюю долю (четыре куска
из пяти); нарежем каждый кусок на три более тонких ломтика
(теперь у меня 12 из 15); теперь я отдам вам два из каждых трех
(так что вы получите восемь из 15). Математически мы только
что перемножили ⁄ на ⁄ и получили ⁄ .

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

44
дывать числители и знаменатели тоже можно?», в моем организме вырабатывается столько гормонов стресса, словно меня
спросили: «А пальцы в розетку совать можно?»

2
_
Ведь это 10
, да?

1 1
4 +6 =

...

От дробей никуда не скрыться. Любой старшеклассник,
у которого трудности с математикой, втайне испытывает смятение при виде дробей — неловкое чувство, которое преследует
его, словно стыдное детское воспоминание.
Спросите у сети ресторанов A&W14. В 1980-е гг. в продаже полностью провалился их разрекламированный «гамбургер весом в треть фунта» — продававшийся по той же цене,
что четвертьфунтовый гамбургер в McDonald’s, и, по мнению
фокус-групп, такой же вкусный. Публика им не вдохновилась.
«С чего нам платить за одну третью фунта мяса,— спрашивали люди,— столько же, сколько мы платим за одну четвертую?»
Тот, кто сказал «клиент всегда прав», должно быть, никогда не сталкивался с клиентами, утверждающими, что ⁄ меньше ⁄ . Но все-таки эти клиенты были по-своему правы: правы
насчет проблем с дробями и насчет сложности сравнения чисел,
в запасе у которых бесконечное множество масок. Даже тем
из нас, кто понимает, что ⁄ больше, чем ⁄ , может быть трудно
сравнить, к примеру,
⁄ и ⁄ .
Конечно, ни одна кондитерская не делит торты на 5001 кусок.
Но математика не опускается до ножей и крошек. Она подает
свои лакомства непосредственно разуму.

Однажды я нарисовал картинку, которая получила два миллиона просмотров за неделю — больше, чем мой блог обычно набирает за год. Естественно, шутка мне не принадлежала.
Ее идею предложил мне Хоуи Хуа, самый дружелюбный учитель
математики в интернете, и она обыгрывала глубокий и древний конфликт.

СБОРНАЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДРОБЕЙ

СБОРНАЯ ДЕСЯТИЧНЫХ
ДРОБЕЙ

Только мы всегда
рациональны!

A/Б

Что проку в вашей
рациональности,
если вы даже запятые расставить не
можете?

А, Б

Я обожаю обыкновенные дроби. Они напоминают мне
семейную кондитерскую, где торт охотно порежут так, как
вы пожелаете («14 кусков из 17? Пожалуйста, милочка»). Но
мне порой непросто разглядеть обаяние в десятичных дробях. Они представляют собой бездушное промышленное
производство, фабрику с автоматизированными линиями,
на которых все торты режут на 10 кусков. Всегда на 10: ни больше
ни меньше.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Десятичные дроби

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Нужны более тонкие градации? Нарежьте каждую десятую
на десятые.

0,2

0,3

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29

Еще более тонкие? Разделите каждую из этих долей еще
на десять частей.

0,2

0,3

0,25 0,26

0,251 0,252 0,253 0,254 0,255 0,256 0,257 0,258 0,259

Таким образом, десятичные дроби развивают логику десятичной системы счисления. Точно так же, как мы строим большие числа из десятков десятков десятков, мы можем точно указывать малые числа, используя десятые доли десятых десятых.

Отгадай загадку: что
больше — 0,680 или 0,675?

Ясное дело, 0,680.

Черт! Мне нужны
загадки потруднее.

Но за этими преимуществами скрывается ужасный недостаток: на языке десятичных дробей некоторые идеи невыразимы.
Там существуют мысли без слов, числа без названий.
Взять, к примеру, ⁄ : простое, житейское количество, которое не могут выразить десятичные дроби. Треть проскальзывает между шестеренками этого механизма. Она попадает в промежуток между 0,33 и 0,34, между 0,3333333 и 0,3333334. Хотя
эти значения подбираются до боли близко к ⁄ , они никогда
не достигают ее. Чтобы выразить непосредственно треть, нам

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Поэтому слово «десятичный» одинаково применяется и к дробям, и к системе счисления с основанием 10.
Десятки до самого верха и десятки до самого низа.
Не могу отрицать пользу этой системы. В то время как сравнение обыкновенных дробей зачастую представляет собой
непростую задачу ( ⁄ — это больше или меньше, чем ⁄ ?),
сравнивать десятичные дроби легче легкого (ясно, что 0,680
больше, чем 0,675). Аналогичным образом, арифметика обыкновенных дробей требует хитрых новых алгоритмов (чтобы сло3
2
15
16
_
_
_
жить _
8 и 5 , нужно перевести это в 40 + 40), а для арифметики
десятичных ничего такого не требуется (сложив 0,375 + 0,400,
мы просто получаем 0,775).

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

48
понадобится десятичная дробь бесконечной длины, нескончаемый парад троек. Даже если у вас сведет судорогой руку, или
закончится тетрадь, или цифры упрутся в границу известной
Вселенной — если шеренга троек по той или иной причине оборвется,— вы все равно напишете не число ⁄ , а всего лишь его
приближение.

1
3

0,3

1
3

0,4

0,33

1
3

0,34
0,3
34

1
3

0,333

0.33
0.
3 4
0.334
Охохонюшки...
ки...

Ничего не имею против приближений. Чаще всего «и так
сойдет» действительно означает, что так сойдет. Например,
если вам нужно ⁄ метра зубной нити, то 0,333 даст вам нужную
длину с точностью до толщины кредитной карточки, 0,33333 —
до толщины волоса, а 0,33333333333333333333333333333333333 —
до наименьшего расстояния, на котором вообще возможны
какие-либо измерения. Дальше идти незачем. Все принимают
ограничения, налагаемые квантовой механикой,— даже ценители зубной нити.
И все же странно, что десятичные дроби пользуются репутацией точных. Верно как раз противоположное: десятичные

Скажем, 2 метра

НЕ

ОЧЕНЬ ТОЧНО

Скорее, 1,8 метра

ЧУТЬ

ТОЧНЕЕ

Лазер показывает
1,832 метра

ДОСТАТОЧНО

ТОЧНО

Так или иначе, поскольку ни одна десятичная дробь не равняется ⁄ , а расходовать все чернила на планете в тщетной попытке достичь бесконечности не стоит, мы избираем более творческий подход. То есть мошенничаем. Мы пишем 0,(3) (произносится как «ноль целых три в периоде») и считаем, что победили.

КАК ЗАПИСЫВАТЬ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ,
ЕСЛИ У ВАС КОНЕЧНЫЙ ЗАПАС БУМАГИ И ТЕРПЕНИЯ
0,3333333333 и т. д. → 0,(3)
0,189189189 и т. д. → 0,(189)
0,4682676767 и т. д. → 0,4682(67)
Когда я в первый раз учил одиннадцатилеток и им давались примеры с решениями вроде ⁄ или ⁄ , я ожидал ответов
в обыкновенных дробях. Ожидания не оправдались. Мои ученики отказывались предоставлять последнее слово обыкновенной
дроби и упорно писали 0,6666666... или 0,83333333... Я попытался положить конец этой глупости. Я сказал:
— Представьте себе, что вы владеете двумя языками.
На одном есть слово, означающее «дверь». На другом его нет:
приходится говорить «тук-тук-тук-тук-тук...» до бесконечности. Когда вам нужно поговорить о дверях, каким языком вы
воспользуетесь?

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

дроби — это язык приближений. Их математика — это сплошное «и так сойдет».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

50
Раздался дружный хор:
— Тук-тук-тук-тук.
И я понял, что сборная десятичных дробей выиграла этот
раунд.

Округление
Вы идете по улице и встречаете пророка. Развевающиеся одежды, горящие глаза и все такое. У вас есть возможность задать
ему только один вопрос, и вы спрашиваете: «Сколько еще просуществует наша цивилизация?» В ответ он шепчет: «1000 лет».
Вы уходите, немного успокоенные. Тысячелетие — это много,
и в любом случае нет причин ожидать, что все закончится ровно через 1000 лет. Может быть, конец наступит через 1017 лет,
или через 1194 года, или настолько постепенно, что нельзя будет
определить конкретный год, когда...
Простите, все было не совсем так. На самом деле пророк прошептал нечто куда менее утешительное: «997 лет, 119 дней,
14 часов и 33 минуты».

ТЫСЯЧУ ЛЕТ!

Нет, простите... на несколько
минут меньше.

Этот мрачный мысленный эксперимент проливает свет
на важный элемент математической грамматики: округление. Округлять — значит переводить число на определенный

82 771
81 000

82 000

83 000

84 000

85 000

Округление размывает детали. «Книга в 83 000 слов» может
в реальности содержать любое количество слов от 82 500
до 83 500. Если же мы округляем до десятков тысяч, то «книга в 80 000 слов» может содержать и 75 000, и 85 000 слов. Разброс велик, и возникает вопрос: какому такому беспринципному махинатору понадобилось специально размывать картинку?
Видите ли, в хаосе, именуемом реальностью, мы размываем детали потому, что они и так размыты. Как заметил однажды физик Нильс Бор, «никогда не выражайтесь точнее, чем
вы можете мыслить».
Иногда числа применяются для решения приблизительной задачи. Например, если вам интересно, за сколько часов вы
прочитаете «Математику с дурацкими рисунками», то точный
объем книги в 82 771 слово не нужен — или, что хуже, обманчив.
Люди читают с разной скоростью. Это все равно что с точностью
до десятой доли километра высчитывать расстояние, не зная,
будете ли вы ехать со скоростью 40 или 120 км/ч.
Бывают также случаи, когда число получено в результате грубых измерений — а любые измерения грубы. Ни одна пипетка
не совершенна. Ни один секундомер не лишен погрешности.
Измерив рост трехлетнего ребенка, сказать «93,7 см» будет ложным притязанием на точность. Честнее будет сказать «94 см»
(или даже вовсе «90 см», в зависимости от того, насколько
вертляв ваш карапуз).

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

уровень точности. Можно, например, округлить длину моей
книги «Математика с дурацкими рисунками»15 (82 771 слово)
до тысяч. В этом случае мы определяем количества тысяч,
между которыми попадает наше число (82 000 и 83 000),
и выбираем ближайшее. (Срединное значение 82 500 можно
было бы округлить в любую сторону, но по традиции мы округляем его в бóльшую.)

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

52
В своей книге «Доказательность» (Proofiness) Чарльз Сейфе приводит анекдот о смотрителе в музее естественной истории, который сообщает посетителям, что скелету тираннозавра
65 000 038 лет. «Надо же, — удивляется кто-то, — как его сумели
так точно датировать?» Смотритель объясняет: «Ну, ему было
65 миллионов лет, когда я сюда только устроился на работу,
а это было 38 лет назад».
Соль шутки очевидна: с округленным числом (65 млн лет
с точностью до миллиона) обращаются так, как будто оно точное (65 млн с точностью до года). Это фантазия об идеальном
знании в мире, познаваемость которого не идеальна. Сейфе
называет этот род ошибки «расценкой» (disestimation), в противоположность «оценке»16.
Оглядитесь, и вы увидите такие расценки повсюду. Я вырос
с идеей, что нормальная температура человеческого тела составляет 98,6 °F. На самом деле она варьирует от 97 °F (или ниже)
до 99 °F (или выше). Похоже, кто-то взял температуру в 37 °C,
затем перевел ее в градусы Фаренгейта — но почему-то забыл,
что значение в 37 °C само изначально было округленным17.
Невозможно указать нормальную температуру тела с точностью до одной десятой градуса. Нормальные температуры тела
бывают разными.

НЕТОЧНАЯ ИСТИНА
35 oC

36 oC

37 oC

38 oC

39 oC

Разумное округление

НЕТОЧНАЯ ИСТИНА
96 oF

97 oF

98,6 oF

100 oF

Неразумное округление
Это подводит нас к самой глубокой причине числовой размытости: неизбежной размытости самого нашего мира.

НЕТОЧНАЯ ИСТИНА
81 000

82 000

83 000

84 000

85 000

Разумное округление
Возможно, самая глупая из дурных привычек современности — ожидание точности по первому требованию. Я тоже тут
грешен. Помню, как я сетовал, что на Олимпийских играх время пробега стометровки подсчитывают с точностью только
до 0,01 с, а не до 0,001. «Они что, не могут себе позволить более
точные часы? — восклицал я. — Мне, что ли, купить им секундомер за шесть долларов?»
И тут я сообразил: спринтер за 0,001 с не пробегает и 1 см.
С учетом раздувающихся футболок и развевающихся волос,
можно ли в действительности установить местоположение
бегуна с точностью до сантиметра? Ограничительным фактором служит не время, а пространство — не наша неспособность
к измерению, а неспособность реальности быть измеренной.
Округление — размытый язык, подходящий для размытого мира.
Необходимость округления — причина, по которой ученые
всех мастей предпочитают десятичные дроби обыкновенным.
Каждая десятичная дробь сама по себе отражает соответствующий уровень точности: арбуз в 5,0 кг взвешивают с точностью
до одной десятой килограмма, арбуз в 5,000 кг — до одной тысячной килограмма, а арбуз в 5,00000000000000000000000 кг —

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Например, что означает утверждение, что в «Математике с дурацкими рисунками» 82 771 слово? Входят ли в это число
примечания? А как насчет слов на картинках? А выражения типа
6 + 4 = 10 идут за одно слово или за пять? Различные варианты
ответа дадут разные результаты: например, 82 775 или 82 894.
Кому решать, какое значение правильное? Кто вообще уполномочен сказать, что тут существует «правильное» значение?
Если значения этой величины могут различаться на сотни, то
последние три цифры в числе 82 771 бессмысленны. Округление
до 83 000 вернее передает истинное состояние нашего знания.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

54
МИРОВОЙ РЕКОРД
100 (или около ттого)
ог метров за 9,58 ((и
(или
и около того) секунд
секунды
ды
ы

с точностью до атома углерода. С обыкновенными дробями дело
обстоит иначе. Если я скажу, что яблоко весит 1/5 килограмма,
это ничего не говорит о том, какова погрешность моих кухонных весов. Для математика обыкновенные дроби воплощают
точность; они представляют собой четкий язык, не подходящий для размытого мира.
Давайте напоследок вернемся к нашему сказанному шепотом
пророчеству: «997 лет, 119 дней, 14 часов и 33 минуты». Подобная точность выражений подразумевает конкретное событие. Наше угасание не будет постепенным, как упадок Римской
империи или нарастающая непопулярность рок-музыки. Апокалипсис можно датировать с точностью до минуты. Армагеддон наступит мгновенно.
А может, если нам повезло, пророк просто допустил очередную расценку.

Большие величины
На ферме было столько всего интересного — контактный зоопарк, поле с тыквами, катание на тракторе,— что я не мог
понять, почему четырехлетняя Фрида потащила нас прямо
к зернохранилищу. Что там особенного, детка? Какая-то яма

Фрида

Фридино зернышко

Я люблю большие числа. Мне нравится их себе представлять.
Мне нравится, когда они так велики, что у меня отказывает
воображение. Мне нравятся количества столь огромные, что
даже назвать их кажется кощунством.
Древние культуры не обязательно испытывали те же чувства. Самые большие римские цифры, ↂ (10 000) и ↈ (100 000),
вышли из регулярного употребления; для повседневных нужд
было достаточно М (1000)19. Но мы, современные люди, живем
среди противоестественного изобилия: городов с миллионами жителей, социальных сетей с миллиардами пользователей,
каналов информации, по которым пересылаются квинтил-

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

с зерном? Но, когда я увидел ее, я все понял: это был участок
площадью в несколько плавательных бассейнов, огороженный
тюками сена и заваленный пшеницей по пояс — столько зернышек, сколько и взглядом не окинуть.
— Вот,— сказал я своему на тот момент двухлетнему сыну,
собрав всю свою житейскую мудрость,— целая куча зерна.
Но куча — это сколько? Мне нужно было знать. Походив
вокруг и пробормотав себе под нос цифры, я оценил общее
количество в 300 млн зерен. Примерно численность населения
США. Фридина мама, будучи поэтессой, тут же прибегла к поэтическому образу18.
— Смотрите, дети,— объявила она,— здесь есть по зернышку для каждого жителя нашей страны. Может быть, вы сумеете найти свое.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

56
лионы байтов. Для нашей стратосферной жизни нужен стратосферный язык.
Важный элемент нашего словаря — «степень»: небольшой
индекс, сидящий на плече у другой цифры. Он обозначает «перемножьте это число само на себя столько-то раз». Например, 102
обозначает 10 × 10 (то есть 100), а 106 значит 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
(что соответствует 1 миллиону). Таким образом, маленькое
изменение в степени дает огромное изменение результата: 1019
в десять раз больше, чем 1018, и в миллион раз больше, чем 1013.
Эти степени числа 10 иногда называют порядками величины.

НАЗВАНИЕ

ПОРЯДОК

Один

ЦИФРЫ
1

Десять

Сто

102

100

Тысяча

103

1000

Десять тысяч

10 000

Сто тысяч

100 000

Миллион

1 000 000

Десять миллионов

10 000 000

Сто миллионов

100 000 000

Миллиард

1 000 000 000

Десять миллиардов

1010

10 000 000 000

Сто миллиардов

1011

100 000 000 000

Триллион

1 000 000 000 000

Десять триллионов

10 000 000 000 000

Сто триллионов

100 000 000 000 000

Квадриллион

1 000 000 000 000 000

Но зачем на этом останавливаться? В Тихом океане
1020 галлонов воды20. Земля весит 1025 фунтов. Видимая Вселенная содержит 1080 атомов. В шахматах возможно 10120 комбинаций21, а в го — 10500. У вас уже закружилась голова?
Конечно закружилась. Никому не под силу вообразить такие
вещи. Ей-богу, мы даже с 106 и 109 не справляемся. За послед-

ЕДИНИЦЫ

МИЛЛИОН

МИЛЛИАРД

Доллары

Можно купить хороший
дом

Можно купить небоскреб
в 100 этажей

Люди

Население города Сан-Хосе, Население всего
штат Калифорния
Западного полушария

Секунды

Около 12 дней

Около 32 лет

Футы

Расстояние от Нью-Йорка
до Бостона

Расстояние от НьюЙорка до Луны

Байты

Аудиофайл Eleanor Rigby
(только первая половина
песни)

Аудиофайлы всех песен,
когда-либо выпущенных
The Beatles (по два
экземпляра каждой)

Килокалории

Хватит на пропитание
одного человека в течение
16 месяцев

Хватит на пропитание
одного человека
в течение 1300 лет

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

ние три года в газете The Los Angeles Times 23 раза перепутали
«миллион» и «миллиард»22. Но ей далеко до The New York Times,
где сделали 38 подобных ошибок. На Уолл-стрит такие ляпы
(как в случае, когда трейдер компании Bear Stearns попытался продать акций на 4 млрд долларов вместо 4 млн23) называют «ошибками толстого пальца». И не забудем новоизбранного
члена Конгресса США, который, декларируя семейное состояние,
указал сумму в 1 млрд, а затем смущенно поправил на 1 млн24.
Вину тут легко свалить на наш язык. «Миллион» и «миллиард» звучат похоже; 106 и 109 отличаются одним символом;
1 000 000 и 1 000 000 000 — всего лишь тремя как будто бы ничего не обозначающими нулями. Разницу можно прояснить, если
отказаться от нашей изысканной современной системы записи
и обратиться к добрым старым черточкам. Миллион черточек
заполнит эту книгу; миллиард потребует около шести книжных шкафов. Так их спутать гораздо труднее. Но — и тут, видимо, пояснения не нужны — написать шесть шкафов черточек
замучаешься. Когда дело доходит до больших чисел, небольшая
путаница — разумная плата за краткость.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

58
Так как же нам преодолеть это головокружение — симптом,
который ученый Дуглас Хофштадтер назвал «числовым отупением» (number numbness)25? От него помогает конкретика. Возьмите единицу, любую единицу, и разница между миллионом
и миллиардом сразу станет наглядной.
Джон Аллен Паулос в своей книге «Математическое невежество» (Innumeracy) предлагает соотнести с каждым числом яркий образ26. (Десять тысяч: примерно за столько лет гору
Фудзияму можно перевезти на грузовике.) Я предлагаю пойти дальше. Запомните как можно больше подобных образов.
Возьмите одну единицу, естественную и значимую, а затем
выстройте целую башню образов, по одному на каждый порядок величины, взбираясь вверх, пока числа не потеряют смысл.
Например, представим себе каждое число в виде групп людей:

ЧИСЛО ЛЮДЕЙ

НАСЕЛЕНИЕ...

однокомнатной квартиры

дома на две семьи

100

многоквартирного дома

1000

поселка

10 000

пригорода

100 000

небольшого города

1 миллион

крупного города (например,
Остина) или малой страны
(например, Джибути)

10 миллионов

мегаполиса (например, Бангалора)
или средней страны (например,
Греции)

НАСЕЛЕНИЕ...

100 миллионов

большой страны (например,
Египта) или крупной социальной
сети (например, Twitch)

1 миллиард

огромной страны (например,
Индии) или огромной социальной
сети (например, TikTok)

10 миллиардов

всего земного шара (плюс второй
Китай)

100 миллиардов

всего земного шара за всю историю
человечества

Увы, задолго до того, как мы дойдем до триллиона, эти образы начнут расплываться. Я могу представить себе 105 человек как
огромный стадион, а 106 — как толпу на инаугурации президента, но мой внутренний взор спотыкается на 107. Группы такого размера — все жители парижского региона, или население
Доминиканской Республики, или аудитория супервирусного
видео — представляются слишком смутно, чтобы дать наглядную картинку. Это не более чем факты. Инертные. Абстрактные.

ЧИСЛО ДОЛЛАРОВ

СТОИМОСТЬ...

сладкого батончика

книги

100

дешевой собачьей конуры

1000

дорогой собачьей конуры

10 000

гаража на одну машину

100 000

модульного дома

1 миллион

большого загородного дома
(а в некоторых городах —
квартиры с одной спальней)

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

ЧИСЛО ЛЮДЕЙ

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

ЧИСЛО ДОЛЛАРОВ

СТОИМОСТЬ...

10 миллионов

публичной библиотеки в городе
средних размеров

100 миллионов

исследовательского корпуса
в университете

1 миллиард

100-этажного небоскреба

10 миллиардов

всей недвижимости в городе
Гэри, штат Индиана

100 миллиардов

всей недвижимости
в Индианаполисе

1 триллион

всей недвижимости в Бостоне

10 триллионов

всей недвижимости
в Великобритании

100 триллионов

всей недвижимости в США

1 квадриллион

всех вещей в мире

Энни Диллард когда-то писала: «На данный момент в Китае
проживает 1 198 500 000 человек. Чтобы ощутить, что это
значит, просто возьмите себя — со всей своей уникальностью, значимостью, сложностью и любовью — и помножьте
на 1 198 500 000. И что? Ничего»27. Диллард прекрасно понимает,
что это задание абсурдно. И все же мы не оставляем попыток
представить себе миллиарды — по той простой и уважительной
причине, что нас действительно миллиарды.

ЧИСЛО ЛЕТ

СТОЛЬКО ЛЕТ НАЗАД ПОЯВИЛИСЬ...

сегодняшние младенцы

сегодняшние пятиклассники

100

мои дедушка и бабушка

1000

первые люди, увидевшие фейерверки

10 000

первые горожане

100 000

первые люди, владевшие речью

1 миллион

первые гоминиды, использовавшие
каменные орудия

10 миллионов

наш первый предок, отличный
от предков горилл

100 миллионов

первые млекопитающие

1 миллиард

первые многоклеточные организмы

10 миллиардов

первые галактики

И снова воображение спотыкается посреди этой лестницы. Мне
под силу грокнуть* 106 долларов (двадцать лет заработка среднестатистического американца), но не 107 (двести лет при той же
* Глагол со значением «понять, постичь», выдуманный фантастом Робертом
Хайнлайном. — Прим. пер.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Еще одна единица, которую стоит рассмотреть,— скромный
(или, в зависимости от ваших политических взглядов, зловредный) доллар.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

62
зарплате). Вспоминается строчка из романа Томаса Гарди «Двое
на башне»: «Есть величина, с которой начинается достоинство...
Далее есть величина, с которой начинается великолепие... Далее —
величина, с которой начинается омерзение»*, 28. Итак, если 105 долларов — это достоинство, а 106 — великолепие, то что тогда 107?
Давайте не будем заканчивать на ноте омерзения перед
неприличным богатством. Вместо этого предлагаю нам с вами
под занавес поразмышлять не о пустой роскоши капитализма,
а о роскошной пустоте времени.
Как осмыслить эти величины? Хоть убейте, не знаю. Бывают стихи, которые мне нравится повторять наизусть, хотя я
и не понимаю их смысла; точно так же мне просто нравится
запускать руки в зернохранилище времени и бормотать себе под
нос: «Вот это куча зерна».

Научная запись чисел
Когда я жил в Великобритании, я завел список мелких различий в математическом языке — небольших разногласий между
диалектами моей старой и новой родины. Вот несколько моих
любимых примеров.

В США
В ВЕЛИКОБРИТАНИИ
НАЗЫВАЕТСЯ
НАЗЫВАЕТСЯ
trapezoid

trapezium

Британцы. Название
trapezoid возникло
по ошибке, которую
допустил какой-то
олух в XVIII в.29

indices

Американцы, особенно когда британцы образуют в единственном числе
вместо правильного
index — словарный
кошмар indice

(трапеция)
37 или 10–5
exponents
(показатели
степени)

КТО ПРАВ?

Перевод А. В. Гринько. — Прим. пер.

математика math

maths

КТО ПРАВ?
Эти слова взаимозаменяемы, и спорить с этим станут
только педанты30

Но одно различие озадачило меня больше всего.

В США
НАЗЫВАЕТСЯ
6,02×1023
scientific notation
(экспонен(букв. «научная
циальная
запись»)
запись числа)

В ВЕЛИКОБРИТАНИИ
НАЗЫВАЕТСЯ
standard form
(букв.
«стандартная
форма»)

КТО ПРАВ?
Расскажу в этой
главе

Хотите, обзовите меня националистом, но по этому пункту
я склоняюсь в пользу США. Для меня «стандартная форма» —
это «8 200 000 000» или, может быть, «8,2 млрд». Покажите
запись вида 8,2×109 вашим родственникам, и они, возможно,
скажут: «Ага, записано по-научному», но вряд ли: «Ага, стандартная форма записи чисел».
И все-таки я улавливаю, что имеют в виду британцы. Научная запись, хотя она и не является стандартом для новостных
выпусков или семейных застолий, возможно, пригодилась бы
и там.
Огромные числа зачастую бывает трудно различить. Разница между 80000000 (население Турции), 800000000 (население
Европы) и 8000000000 (население земного шара) огромна, но
практически незаметна невооруженным глазом. Приходится
считать знаки, нолик за ноликом, прилагая немалые усилия.
Чтобы снять эту головную боль, мы используем пробелы, разбивая знаки на тройки: 80 000 000 — Турция, 800 000 000 — Европа, 8 000 000 000 — весь мир.
Но есть некий предел длины, за которым от пробелов толку мало. Попробуйте-ка прочесть такое число: 800 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Это 800 дуодециллио-

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

В США
В ВЕЛИКОБРИТАНИИ
НАЗЫВАЕТСЯ
НАЗЫВАЕТСЯ

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

64
нов или 800 тредециллионов? И кстати, что это за штука — тредециллион? Тут нам явно нужен иной подход.
На сцену выходит научная запись. Идея проста: называя число, определите сначала порядок величины, а затем — сколько
у нас этого порядка.

ЧИСЛО

ПОРЯДОК
ВЕЛИЧИНЫ

СКОЛЬКО?

ИМЕЕМ...

5 880 000 000
000 (миль
в световом
годе)

триллион (1012)

5,88
(триллиона)

5,88×1012

340 000 000
(население
США)

сто миллионов
(108)

3,4 (сотни
миллионов)

3,4×108

602 200 000 000
000 000 000 000
(атомов в моле
вещества)

сто
секстиллионов
(1023)

6,02 (сотни
секстиллионов)

6,02×1023

Научную запись удобнее читать справа налево. Основное значение имеет порядок величины. Затем, ради дополнительных
подробностей, можно взглянуть и на множитель. Так, 3,4×108
исчисляется сотнями миллионов; если уж вам нужна конкретика, то это 340 млн.
Такой подход удобен не только ученым. Моя мачеха Ларк,
юрист по образованию, руководитель некоммерческой организации по должности и «человек, далекий от математики» по собственному признанию, однажды объяснила, как она понимает
строки в бюджете: «Вначале надо разобраться, о каких цифрах мы
говорим, о десятках тысяч или всего лишь о тысячах? А уж потом
можно смотреть точнее, сколько — скажем, 3000 или 8000».
Когда я рассказал ей, что именно так мыслят математики, она сверкнула глазами, будто я сказал не «математики»,
а «наемные убийцы». Приношу свои извинения Ларк, но это
правда. Научная запись — это всего лишь формализация здравого смысла, стандартная форма числового мышления. Может
быть, британцы в итоге и правы.

Степень Выражение Цифры Название
103

10×10×10

1000

тысяча

102

10×10

100

сотня

101

десяток

100

единица

10–1

1/10

0,1

десятая

10–2

1/10×10

0,01

сотая

10–3

1/10×10×10

0,001

тысячная

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Но стоп — я рассказал только половину истории.
Да, ученые ворочают телескопами и триллионами. Но они
имеют дело также с микроскопами и миллионными долями.
Как нам говорить о малых вещах и малых числах?
Каждое крошечное число — зеркальное отражение огромного: тысяча и тысячная доля, миллион и миллионная, миллиард и миллиардная. И так далее (и, конечно, в обратную сторону
тоже). Когда математик XVII в. Джон Валлис придумал символ ∞
для обозначения бесконечно большого, он предложил также
1 31
_
. (Полезный совет, детки:
способ записи бесконечно малого: ∞
используйте эту запись, чтобы взбесить вашего учителя алгебры!)
Мы применяем ту же симметрию к степеням числа 10. Если
положительные степени велики, то отрицательные степени
должны быть малы. Если 1012 равно триллиону, то 10–12 — одной
триллионной.
Логично? Строго говоря, нет. Мы определили 10 5 как
10×10×10×10×10. Невозможно перемножить –5 десятков, так что
в этом отношении 10–5 — нелепость.
И все же эта нелепость симпатична и симметрична. Если
102 означает повтор умножения, то почему бы 10–2 не означать

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

66
повтор деления, правильно? Шаг на один порядок вверх (от 102
к 103) означает умножение на 10. Шаг на один порядок вниз (от 103
к 102) означает деление на 10. Просто продолжайте спускаться
вниз (от 101 к 100 и к 10–1) и делить на 10 (от 10 к 1, затем к 0,1),
и отрицательные степени сами собой встанут для вас на места.

10

10
0–1

110
00

1101

10
02

110
03

0,1

100

1000

Эти малюсенькие масштабы играют для ученых важнейшую роль, потому что в определенном смысле «малая» реальность больше «большой». Имеющие смысл пространственные
величины падают от 1026 м (поперечник видимой Вселенной)
до 10–35 м (планковская длина). Аналогичным образом осмысленные величины времени растут от 10–44 с (планковское время)
до 1018 с (время с момента Большого взрыва). В том и другом
случае с нашей наблюдательной позиции во Вселенной больше
малых величин, чем больших32.

СТЕПЕНЬ

НАЗВАНИЕ

ЦИФРЫ

СЕКУНД

МЕТРОВ

100

один

один удар человеческого сердца

трехлетний
ребенок

10–1

100 милли-

0,1

моргание глаза

колибри

10–2

10 милли-

0,01

взмах крылышек
мухи

кофейное зернышко

НАЗВАНИЕ

ЦИФРЫ

СЕКУНД

МЕТРОВ

1 милли-

0,001

лопается мыльный пузырь

крупная
песчинка

10–4

100 микро-

0,0001

звук проходит
один дюйм

человеческая
яйцеклетка

10–5

10 микро-

0,00001

пуля пролетает
полдюйма

белое
кровяное
тельце

10–6

1 микро-

0,000001

вспышка самого
быстрого стробоскопа

частица
глины

10–7

100 нано-

0,0000001

промежуток между вирус
двумя высокочастотными
радиоволнами

10–8

10 нано-

0,00000001

стадия ядерной
реакции

кристаллическая
ячейка
льда

10–9

1 нано-

0,000000001

свет проходит
один фут

углеродная
нанотрубка
ру

10–10

100 пико-

0,0000000001

свет проходит
один дюйм

атом
кислорода

–3

Хотя у отрицательных показателей степени есть небольшой
недостаток в виде нелогичности (по крайней мере, в том смысле,
в котором логичны положительные степени), преимуществ у них
больше: они позволяют нам выражать малые числа столь же ясно

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

СТЕПЕНЬ

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

68
и кратко, как и большие. В первую очередь, они позволяют нам
распространить научную запись чисел на квантовую реальность.

ЧИСЛО

ПОРЯДОК
ВЕЛИЧИНЫ

СКОЛЬКО?
3 (стотысячных)

ИМЕЕМ...

0,00003
(метра — размер клетки
кожи)

стотысячная (10–5)

0,00000024
(метра — размер вируса)

десятимиллионная 2,4 (десятимилли(10–7)
онных)

2,4×10–7

0,00000000017
(метров —
размер атома
золота)

десятимиллиардная (10–10)

1,7×10–10

1,7 (десятимиллиардных)

3×10–5

Как я уже говорил, у малых величин в мироздании есть границы. На 10–35 м кончается пространство. На 10–44 с — время. Вселенную невозможно нарезать тоньше определенного предела.
В этом смысл понятия «квант» — дискретная единица, наименьшее возможное количество.
Но в случае с числами нарезка не прекращается. Подобно
тому, как тысячу можно разбить на сотни, из 10–44 можно получить 10–45, затем 10–46, и так далее, хоть до 10–96782 и дальше. Здесь
нет квантового уровня, дна, последнего предела. Числа образуют бесконечно делимый континуум.
В этом смысле не правы ни янки, ни британцы. Выражения
типа 10–500 не являются ни стандартными, ни научными. Это
плоды чистой математической причуды.

Иррациональные числа
Каждое 14 марта математический мир отмечает свой любимый
праздник, отменяя занятия, объедаясь тортиками и декламируя наизусть десятичное выражение самой уважаемой константы в математике. Стар и млад, теоретик и прикладник,

вок

ВОКРУГ

ру

 3×

поп

ере

ПОПЕРЕК

Говоря точнее, вокруг — это примерно 3,14 раза поперек.
Еще точнее — примерно 3,141592653589793.
Сверхточно — примерно 3,14159265358979323846264338327
9502884197169399375 105820974944592307816406286208998628
034825342117...
Могу сказать еще точнее, но полной точности никогда
не достичь, потому что это число, известное как π, или пи,
иррационально. То есть, буквально, не выражается никакой
пропорцией (ratio). Его невозможно выразить ни обыкновенной дробью, ни тем более десятичной. Тут нельзя даже применить тот трюк, который мы используем, записывая 1/3 как 0,(3),
потому что цифры числа π не образуют повторяющейся последовательности.
За каждым углом нас там поджидают новые, невиданные
прежде наборы цифр. Я слышал, как 12-летние дети по памяти называют сотню знаков числа π. И это ничто в сравнении
с 70 030 знаками, которые Суреш Кумар Шарма оттараторил
в октябре 2015 г. за 17 часов (надо полагать, мучительных).

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

алгебраист и аналитик — все мы собираемся, чтобы отметить
День числа пи.
Кроме... Ну ладно, беру свои слова обратно. Большинство
из нас его празднует. Некоторые зануды предпочитают ворчать
на этот счет.
К ним мы еще вернемся, но для начала: что такое пи? Это
количество диаметров (расстояний поперек круга), которое
укладывается на окружности (линии, проведенной вокруг круга).
Грубо говоря, вокруг — это три раза поперек.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

70
Так почему это выносит мозг математикам? Приношу
извинения доктору Сьюзу *, но лучше всего их непраздничное
настроение выразить в стихах.

День
Д
Де
н пи — это праздничный день для ребят,
Но Гринч из учительской вовсе не рад!

С ДНЕМ
ПИ!

3/14

* Доктор Сьюз — псевдоним американского детского писателя Теодора Сьюза
Гайзела (1904–1991), среди прочего — автора книги «Как Гринч украл Рождество»
(How the Grinch Stole Christmas!, 1957). — Прим. пер.

71
СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Для Гринча тот праздник — глупейший сезон,
И тут же изложит все доводы он:
«Во-первых, ребята, скажу без истерики,
Что 3 и 14 только в Америке
Читается вроде “четырнадцать марта”.
Весь мир же, держась иного стандарта
(Наверное, американцам назло),
На первое место ставит число.
И в этом прочтенье, вообще говоря,
Получится третье у нас мартобря!
А даты такой отродясь не бывало,
И это, скажу я вам, только начало.

14 - МАРТОБРЬ
Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Вс

Сб

Педант N1*

* В той мере, в какой педантизм может быть оценен с помощью порядковой
шкалы.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

72
Сей день, что ввергает умы в помраченье,
Основан на грубом весьма приближеньи,
И если уж хочешь отметить День пи,
До 22 июля терпи.



3,14
3,140

3,141
дальше

22/7
3,142

3,143

3,144

ближе

К тому же и пи устарело почти —
Среди математиков тау в чести33.

  3,14
радиусов
в полуокружности

  6,28
радиусов
в окружности

3, дальше 14, дальше 15,
За ними же 9 и 2, 6 и 5 —
Мучительно все это запоминать!
А дальше — ей-богу, трещит голова —
3 5 8 9 7 9 3 2!
О глупые цифры! Лишь трата усилий!
Они меня просто ужасно взбесили!

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

И правда, вам что, больше нечем заняться?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

74
Я всем говорил — повторю без сомненья,
Что вне десятичной системы счисленья
В тех знаках нет смысла. Добавлю притом:
Уже на 30-м иль 40-м
В них проку не более, чем во всемнужке * —
Зачем нам такие пустые игрушки?
Попробуй помыслить, не падая замертво,
Круг в полмиллиона парсеков диаметром.
Так вот, чтоб окружность его рассчитать,
Нам знаков довольно всего 25,
И вычислить можно длину той окружности
С погрешностью уровня микроненужности,
До тысячной доли толщины волоска.
Дальнейшие знаки — одна лишь тоска!

3,141592653589793
2384626433832795
02884197169399375
10582097494459230
78164062862089986
280348253421...

* Всемнужка — разрушительный для природы товар из книги доктора Сьюза
«Лоракс» (The Lorax, 1971). — Прим. пер.

В День пи вы науку сменяли на торт!»

Если отставить в сторону календарные доводы и сосредоточиться на математических, я вижу два сильных аргумента
в пользу таких гринчей.
Во-первых, иррациональные числа вовсе не редкость. Метните дротик в числовую ось — и в какое-нибудь обязательно
попадете. Если дело в иррациональности, то День пи с тем же
3e
успехом можно заменить Днем 17 (12 апреля) или Днем _
7
(16 января). Да, π играет более важную роль, чем эти числа, но
ссылаться на его иррациональность — все равно что праздновать День Мартина Лютера Кинга на основании того, что его
рост составлял 171 см34. То есть вообще не по делу.
Во-вторых, даже если бы иррациональные числа и были редкостью, запоминать их знаки — все равно глупое времяпрепровождение. Как правило, π можно округлить до 3,14159, или
до 3,14, или даже до 3. Для любых практических целей — и даже
для непрактичных — его можно считать рациональным.
Однако мало кто из гринчей следует этой логике до конца и приходит к кошмарному выводу: иррациональных чисел
не существует.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Я истине верен, и в этом я тверд:

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

76
Бесконечная точность невозможна. Ни одна линейка, шкала или секундомер не имеют бесконечно много десятичных
делений. Рано или поздно придется округлять. А как только вы
округляете, иррациональное число исчезает, сменяясь унылым
рациональным приближением.
Так в каком смысле иррациональные числа существуют гделибо, кроме нашего воображения?
364 дня в году нам приходится принимать тоскливую реальность того факта, что, не считая нескольких первых знаков,
цифры иррационального числа эмпирически (а то и экзистенциально) бессмысленны. Но раз в году мир предается фантазии, что иррациональные числа существуют. На этот день мир
замирает в восхищении перед числом, ускользающим от описания, — существительным, которое невозможно произнести.
Кроме того, мир до отвала наедается ореховыми пирожными.
Что тут может не нравиться?

А что было дальше? Слыхал я рассказы,
Что Гринч стал добрее примерно в три раза.
Но, впрочем, уж будем точнее в расчетах:
Пожалуй, в 3 целых 14 сотых...

«Только три вещи бесконечны, — заметил однажды писатель
Гюстав Флобер, — небо в его звездах, море в его каплях воды
и сердце в его слезах»35.
Неправда, неправда и еще раз неправда.
Звезд, видимых в ночном небе, максимум 104, в нашей
Галактике их примерно 1011, а в известном космосе — около 1024.
В любом случае, это конечное число. Что касается воды, на Земле
ее около 1025 капель. Тоже конечное число. А насчет слез у меня
для Гюстава две новости. Во-первых, слезы вытекают из слезных протоков, а не из сердечной мышцы. Во-вторых, как бы
много их ни было, их количество определенно конечно.
По правде говоря, бесконечных вещей не бывает. Бесконечности как вещи — тоже. Бесконечность — скорее указание, вроде фразы «Езжай на восток и не останавливайся». Когда математики говорят о чем-то, что оно «уходит в бесконечность»
или «становится бесконечным», на самом деле имеется в виду,
что оно растет и растет, становясь больше миллионов, миллиардов и триллионов, а потом и любого вообразимого нами
уровня. Но на каждом этапе оно всегда конечно. Оно никогда
не «становится» бесконечным, потому что бесконечность — это
не вещь, которой можно стать.
Бесконечность — не пункт назначения, а направление.
Вот и все. Я указал в направлении бесконечности — ровно это
и имел в виду Гюстав; по правде говоря, никто и не может сделать большего. Теперь вы можете спокойно забыть об этой идее.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Бесконечность

Вы еще здесь?
Ладно же. «Что такое бесконечность?» — спрашиваете вы.
Ну, ответ дает само слово: нечто без конца. Аналогично устроены
синонимы слова «бесконечный»: «безграничный», «бескрайний», «безбрежный», «безмерный». Мы определяем бесконечность через то, чем она не обладает (границей, краем), через то,
чего она не делает (заканчивается), через то, чего нельзя сделать с ней (измерить). Мы не можем обсуждать бесконечность
саму по себе, но только ее отрицание того или иного рода: как
противоположность всему сущему, опровержение всего того,
что мы знаем.
Умоляю, давайте на этом остановимся. Хватит с нас загадок
и проклятий. Наслаждайтесь этим чудесным конечным днем.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Бесконечность

Вы все еще хотите познакомиться с бесконечностью? Затея
дурацкая, но, как патентованный дурак, я считаю своим долгом
к вам присоединиться. «Быть может, всемирная история, —
писал Хорхе Луис Борхес, — это история нескольких метафор» *, 36. Бесконечность — одна из них, метафора для обозначения невыразимой огромности. Ученый XVI в. Джордано Бруно в попытке сделать понятнее космологию Коперника набрел
на образ бесконечной сферы, у которой «центр везде, а окружность нигде» — это тот же образ, с помощью которого богословы
веками выражали природу Бога. Однако бесконечность, несмотря на всю свою огромность, всегда рядом с нами. Противоположность бесконечно большого — бесконечно малое, и здесь-то
и заключается проблема, потому что бесконечно малое мучит
математиков издавна, с V в. до н. э., когда философ Зенон впервые сформулировал свои проклятые парадоксы. Вот почему
многие поколения математиков после Джона Валлиса сопро1
_
, интуитивно
тивлялись введению его подозрительной дроби ∞
ощущая, что это обозначение годится лишь для каши в голове.
Бесконечно малое — а следовательно, и бесконечно большое —
стало символом грани, на которой разваливается логика, парадоксальной точки, в которой все получается из чего-то и что-то
получается из ничего. Бесконечность — это юнговская змея,
пожирающая собственный хвост; это мысль, которую нельзя
по-настоящему помыслить — по крайней мере, так обстояло
дело до конца XIX в., когда Георг Кантор зажал бесконечность
в тиски строгой математики. Он посадил бесконечное в клетку
языка множеств, подчинив алогичное своей логике (или, быть
может, наоборот). Сквозь прутья этой клетки стало возможно ясно разглядеть бесконечность: выяснилось, что при умножении на два бесконечность не увеличивается, а при делении
на два не уменьшается; что, если в бесконечное число ящиков
положить по одному шарику, а затем заменить каждый шарик
*

Перевод Е. М. Лысенко. — Прим. пер.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ

Бесконечность

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

82
на бесконечное число шариков, всю бесконечность бесконечностей шариков по-прежнему можно будет разложить по тем же
ящикам по одному в каждом. Кантор показал, что все парадоксы бесконечности — вовсе не парадоксы, а элементарные факты о немыслимой вещи, свойства понятия, отныне подвластного нашей логике и языку, но навсегда неподвластного нашему воображению. Кантор научил нас, что существуют меньшие
и бóльшие бесконечности, целая иерархия бесконечностей,
сама бесконечная по охвату, и он назвал эти бесконечности 0,
1, 2 и т. д. в честь буквы «алеф» еврейского алфавита — буквы, которую Борхес (опять Борхес!) впоследствии использует
для названия рассказа, где бесконечность описана лучше, чем
ее мог бы описать любой известный мне математик. Это короткий текст о точке в пространстве: точке, содержащей в себе все
другие точки, так что все мироздание можно разглядеть в щели
между досками лестницы. Кульминация рассказа «Алеф» —
один нерасчлененный на предложения абзац, в котором описывается, как рассказчик узрел заглавный предмет: «Я видел
густо населенное море, видел рассвет и закат, видел толпы
жителей Америки, видел серебристую паутину внутри черной пирамиды... видел циркуляцию моей темной крови, видел
слияние в любви и изменения, причиняемые смертью, видел
Алеф, видел со всех точек в Алефе земной шар, и в земном шаре
опять Алеф, и в Алефе земной шар, видел свое лицо и свои внутренности, видел твое лицо; потом у меня закружилась голова, и я заплакал, потому что глаза мои увидели это таинственное, предполагаемое нечто, чьим именем завладели люди, хотя
ни один человек его не видел: непостижимую вселенную»*, 37.

Перевод Е. М. Лысенко. — Прим. пер.

ГЛАГОЛЫ

Арифметические действия

лагол — слово, обозначающее действие. Существительные — вещи; глаголы — то, что они делают. Кролики (существительное) бегают (глагол). Цены (существительное) скачут (глагол). Демоны (существительное) спят (глагол). Авторы (существительное) забалтываются (глагол), если вы
(существительное) понимаете (глагол), о чем я (существительное) говорю (глагол).
А что является глаголом в математике? Выражаясь одним словом — «операции», они же «действия». Четыре наиболее известных арифметических действия — сложение (+), вычитание (–),
умножение (* или × или, в некоторых случаях, отсутствие символа) и деление (÷ или /). Когда-то люди осуществляли эти операции физически, на абаке, передвигая камешки (calculi), чтобы получить ответ (отсюда слово калькуляция). Затем их потомки
стали пользоваться бумагой и чернилами, орудуя не камешками,
а письменными знаками. Теперь мы все чаще используем компьютеры, двигая не камешки и не знаки, а электроны.

4+8
33

33 × 5

6
2
9– 7
85

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

86
На этом история про вычисления не заканчивается. Числа
как картошка: их можно приготовить множеством способов.
Доказательство тому — операции возведения в квадрат и в куб,
извлечения корня, возведения в любую степень, логарифмирования и т. д. До того как слово computer стало обозначать компьютер, оно обозначало счетчика — это был специальный человек, чаще всего женщина, который выполнял такие операции
на потоке, орудуя числами, словно изделиями на конвейере.
Все это глаголы математиков: то, что мы делаем с числами.
В этом разделе мы рассмотрим некоторые из таких операций. Мы также зададимся вопросом о том, как они связаны друг
с другом. Как эти глаголы складываются в язык?
Во-первых, эти действия обычно образуют пары противоположностей: сложение и вычитание, умножение и деление,
возведение в квадрат и извлечение квадратного корня, возведение в любую степень и логарифмирование. Эти пары объединяют обратные операции, каждая из которых отменяет
другую. Произведите действие, а затем обратное ему (заприте
дверь и потом отоприте ее) — и вы вернетесь в исходную точку
(с незапертой дверью).
Во-вторых, операции образуют некую иерархию. Многократное повторение приращения на единицу дает сложение; многократное повторение сложения дает умножение; многократное
повторение умножения дает возведение в степень. Мы увидим,
что математические операции читаются не слева направо; они
читаются в порядке от более значимой к менее значимой. Эта
иерархия структурирует язык.
Пока все нормально. Но в конечном итоге нам придется столкнуться с неудобной истиной. Эти действия — вообще
не глаголы.
Возьмем пример 2 + 3. Если «плюс» — это глагол, то что тут
подлежащее, выполняющее сложение? Ни 2, ни 3 не выполняют никаких действий, они просто сидят сложа руки в качестве
существительных. Складываете вы сами, но вас в математическом языке нет. Таким образом, в строгом грамматическом
смысле 2 + 3 не настоящее предложение, потому что + на самом
деле не глагол. Это всего лишь словосочетание «два плюс три» —

Погодите, а кто
делает плюс?

Никто
не «делает»
плюс.
Что
я такое?

Но об этом позже. Пока мы будем обращаться с + и – как с элементарными математическими глаголами. Но сперва вспомним о глаголе еще более элементарном, столь же бессознательном и фундаментальном, как ваше сердцебиение. И в точности
как оно, он требует внимания подготовленного специалиста,
чтобы правильно его истолковать.

Приращение
Однажды утром я наблюдал, как моя сестра Дженна — она тоже
преподает математику, причем лучше меня, — приветствует
старшую группу детского сада.
— С добрым утром! — сказала она. — Сколько вам годиков?
— Пять! — отвечали дети.
— А тогда, — сказала Дженна, подмигнув, — сколько вам
будет на следующий год?
Этот вопрос не показался мне многообещающим. Конечно же, пятилеткам известно, какая цифра следует после 5.
Разумеется, как я и ожидал, многие выкрикнули: «Шесть!»
Но тут-то и выяснилось, что Дженна мастер своего дела,

ГЛ А ГОЛ Ы

что-то вроде «кошка и птица» или «собака с костью». Знак +
скорее похож на союз (2 и 3) или предлог (2 с 3).
Это вроде бы мелкое техническое замечание на поверку оказывается совсем не мелочью: это техническое замечание, способное изменить язык и сознание.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

88
а я младший братишка: некоторые дети удивили меня, повторив всю свою хронологию. Чтобы ответить на этот вопрос, им
понадобилось перечислить все предыдущие цифры, подобно
тому, как мы с вами перебираем в уме алфавит, чтобы вспомнить, идет ли Р перед С.
— Один, два, три, четыре, пять... шесть. Мне будет шесть!

...

Мне будет... сейчас... вычисляю... вычисляю...

Операции — это то, что мы делаем с числами: делим, возводим в степень, извлекаем кубические корни или попросту складываем. Но, если уделить минутку философствованию, делаем ли мы с ними что-то вообще? Немного странно говорить, что
я складываю 4 и 3, чтобы получить 7, так как 4 и 3 и без того 7,
безотносительно моих действий. Умножаю ли я, делю или вычисляю логарифм, результат равен тому, чему он равен, вне связи
с моими стараниями. Строго говоря, я не изменяю числа, а просто обнаруживаю или раскрываю их. Операции воздействуют
не на сами количества, а лишь на наше понимание этих количеств.
Однако в более простом и не столь философском смысле
мы воздействуем на числа постоянно. Как скажет вам любой
школьник, вся математика в этом и состоит.
Это возвращает меня к непритязательному вопросу Дженны,
который незаметно вовлек детей в элементарное математическое действие: приращение, т. е. переход от предыдущего числа к последующему. Приращение — это достаточно просто, но
только в том обманчивом смысле, в котором просты атомы. Это
кирпичик, из которого выстроены все остальные операции.

5+3
сложение

многократное приращение
А что в таком случае есть умножение, как не многократное
сложение, т. е. многократное многократное приращение?

5×3
умножение

115
5

многократное
многокр
ратное сложени
ра
ссложение
А что касается возведения в степень, разве это не всего лишь
многократное умножение, т. е. многократное многократное
сложение, т. е. многократное многократное многократное приращение?

возведение
в степень

0
1 5

2
25

многократное умножение
ножение

120
125
12

150

ГЛ А ГОЛ Ы

Например, что есть сложение, как не краткое выражение
многократного приращения?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

90
Но зачем на этом останавливаться? Многократное возведение в степень дает операцию четвертого уровня, которая
называется тетрацией (от лат. τέτταρες, что значит «четыре»)1.
Мы деликатно замалчиваем ее в школьном курсе математики, поскольку она дает числа чудовищной величины. В то время как сложение 5 + 3 дает 8, умножение 5 × 3 дает 15, а возведение в степень 53 дает 125, тетрация 5 ↑↑ 3 дает дикое число длиной более чем в 2000 знаков.
Однако же эта выносящая мозг операция с ошеломляющими
результатами — по сути всего лишь многократное многократное многократное многократное приращение.

многократное
возведение
в степень

5 3
тетрация

Признаюсь, это упрощенная схема. Это взгляд на операции
с высоты птичьего полета, способ поместить их на одну карту.
В ходе этого процесса теряется специфика, которая определяет
особенности каждой операции. Охарактеризовать тетрацию как
«многократное приращение» — все равно что охарактеризовать
своего супруга как «скопление частиц». Не то чтобы неверно, но
вряд ли признак счастливого брака.
Я предпочитаю относиться к операциям как к городам, каждый из которых обладает своим местным колоритом и культурой. Сокровенная геометрия возведения в квадрат; двойственная природа деления; лингвистические загадки квадратных корней. Операция — это уникальное выражение частной
истины, даже если это операция, предшествующая всем остальным, операция столь элементарная, что мы едва замечаем ее,
операция, высвеченная проницательным вопросом Дженны.
Для некоторых пятилеток приращение оказалось пределом
их возможностей. Однако другие дети — те, кто тут же ответили

Сложение
В моем детстве, когда деньги еще делали из металла и бумаги,
а не из компьютерных программ и вранья, я узнал, что два четвертака в сумме дают 50 центов: 25 + 25 = 50. Я обрадовался этому знанию. На фоне этих огромных чисел другие факты представлялись ничтожными; теперь я презирал дешевые штучки
вроде 2 + 2 = 4 или 5 + 5 = 10. Мне хотелось пойти дальше, вычисляя новые, еще более увлекательные факты.
И вот я рассудил, что, если 24 на единицу меньше, чем 25,
а 49 на единицу меньше, чем 50, то 24 + 24 = 49. Я поделился
этой мудростью с учительницей, словно Прометей, несущий
огонь человечеству. «Мне нравится ход твоих мыслей,— сказала учительница.— Но на самом деле единицу нужно отнять
и от первых 25, и от вторых. Поэтому ответ не на единицу меньше 50. Правильно будет на два меньше, то есть 48. И все же ход
твоих мыслей мне нравится!» Она рассмеялась и ушла.
Я сидел, уязвленный и униженный, как король в рушащемся замке.

ГЛ А ГОЛ Ы

«Шесть!»,— уже начали работать с числами, заставляя их принимать более осмысленные формы.
Оперировать ими.
В рассуждениях об интеллектуальном развитии переход
от «раз, два, три, четыре, пять, шесть» к простому «пять,
шесть» кажется малозначительным шагом. Но ведь любое путешествие — это последовательность приращений: шаг за шагом,
снова, и снова, и снова, и снова...

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

Как же все так неудачно вышло?

24 + 24
= 49 48

В нашей культуре факты сложения — символы определенности. «2 + 2 = 4» вкратце выражает мысль «Некоторые истины неоспоримы». В романе Джорджа Оруэлла «1984», когда
тоталитарная власть хочет сломить дух героя, его пытают
до тех пор, пока он не согласится, что 2 + 2 = 5. Не просто скажет
это, но поверит в это. С точки зрения Оруэлла, простое сложение — последнее прибежище истины, реальность, которую труднее всего отрицать; таким образом, для амбициозных тиранов это
высшая стадия тотального контроля2. Сложение — первая операция, которой мы учим детей, и последняя, которая у многих
из нас не вызывает сложностей. Она служит напоминанием о более
простых временах, когда мир казался полностью логичным.
Впрочем, спросите об этом мальчика, в тетради у которого
расплывается от слез и катышков ластика пример «24 + 24 = 49».
Он скажет вам, что сложение не такая уж простая штука.
При первом знакомстве сложение напоминает сортировку
посуды. Вы ставите тарелки к тарелкам, миски к мискам, а чашки к чашкам. Тот же принцип применим, скажем, к 634 + 215:
складываем сотни с сотнями (600 + 200), десятки с десятками
(30 + 10), а единицы с единицами (4 + 5). В сумме получается 800
плюс 40 плюс 9, более известное как 849.

93
ГЛ А ГОЛ Ы

600

= 849
200

Но на этом аналогия с посудой заканчивается. Сколько
ни складывай чашки, миска из них не получится. Сколько
ни складывай миски, тарелки не выйдет. Однако 10 единиц
дает один десяток, 10 десятков дает одну сотню, а 10 сотен —
одну тысячу.
Отсюда следует основная идея сложения, первоисточник
всех связанных с ним радостей и проблем: перегруппировка.
Например, сложим 46 и 28. Складываем десятки (40 + 20).
Складываем единицы (6 + 8). Но теперь у нас достаточно единиц, чтобы они образовали новый полный десяток. Так что мы
создаем этот новый десяток: по сути, превращаем кучу чашек
в одну большую миску — и передвигаем ее в стопку десятков.

=
новая группа
из десяти

оставшиеся
единицы

Этот метод, известный как перенос, представляет собой «стандартный алгоритм»: надежную технологию, которая освещается в каждом учебнике, классе и видеокурсе. Как все стандартное,
он широко распространен, эффективен и несколько переоценен.
Большинство учителей математики (включая меня) оживляются не от стандартных алгоритмов, а от нестандартных.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

94
Что я имею в виду? Попробуйте выдернуть две единицы
из числа 46 (так что оно уменьшится до 44) и прибавить их
к 28 (увеличив его до 30). Подобно тому, как политики порой
уклоняются от вопросов, отвечая на другие вопросы, которых
никто не задавал, перегруппировка позволяет нам избежать
трудных операций (46 + 28), преобразовав их в легкие (44 + 30).
Мы получаем аккуратную сумму в 74, и нам не нужен никакой перенос.

Сколько будет 46 + 28
28?

Вы имеете в виду, сколько
30? Легко!
будет 44 + 30

На старости лет математик Карл Гаусс любил вспоминать
свой детский интеллектуальный триумф над грозным учителем Бюттнером3. Господин Бюттнер велел классу просуммировать числа от 1 до 100; закончив, каждый ученик должен был
сдать свою грифельную доску. Всего через несколько мгновений семилетний Карл подошел к учительскому столу и положил на него доску, выкрикнув «Готово!». Бюттнер приготовился наказать озорника за легкомыслие. Но нет, Карл рассчитал
сумму правильно.
Как маленькому Гауссу удалось так быстро проделать такую
утомительную работу?

95
ГЛ А ГОЛ Ы

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 +
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30
+ 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 +
40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 +
9
50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59
+ 60 + 61 + 62 + 63 + 64 + 65 + 66 + 67 + 68 +
69 + 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78 +
79 + 80 + 81 + 82 + 83 + 84 + 85 + 86 + 87 + 88
8
+ 89 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98
+ 99 + 100
Просто: он подменил вопрос. А именно, объединил 100 чисел
в 50 пар: наименьшее с наибольшим (1 + 100), затем вторые
с конца и начала (2 + 99) и так далее вплоть до пятидесятых
с конца и с начала (50 + 51).
При такой расстановке каждая из 50 пар дает сумму в 101.
Таким образом, получается 50 сотен (5000) и 50 единиц (50), что
в сумме дает 5050.
Такова магия перегруппировки. Меняется вопрос, а ответ
сохраняется.

(1+100) + (11+90)
(1+
+ ((2+99) + (12+89)
+ ((3+98) + (13+88)
+ ((4+97) + (14+87)
+ ((5+96) + (15+86)
+ ((6+95) + (16+85)
+ ((7+94) + (17+84)
+ ((8+93) + (18+83)
+ ((9+92) + (19+82)
+ ((10+91) + (20+81)

+ (21+80)
+ (22+79)
+ (23+78)
+ (24+77)
+ (25+76)
+ (26+75)
+ (27+74)
+ (28+73)
+ (29+72)
+ (30+71)

+ (31+70)
+ (32+69)
+ (33+68)
+ (34+67)
+ (35+66)
+ (36+65)
+ (37+64)
+ (38+63)
+ (39+62)
+ (40+61)

каждая из пар
дает в сумме 101

+ (41+60)
+ (42+59)
+ (43+58)
+ (44+57)
+ (45+56)
+ (46+55)
+ (47+54)
+ (48+53)
+ (49+52)
+ (50+51)

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

96
Оруэлл и прочие поклонники 2 + 2 = 4 славят сложение за его
жесткость. Но Гаусс и остальные любители перегруппировок
воспевают его противоположное достоинство: гибкость. Когда
имеет значение только итог, части можно переставлять как
угодно. Можно перекладывать предметы из одной кучки в другую (как в примере 46 + 28). Можно объединять меньшие кучки
попарно, чтобы получить бóльшие (как делал юный Карл). Можно даже придавать кучкам красивую форму, привнося в арифметику немного геометрии.
Например, что, если бы вместо всей первой сотни чисел
Бюттнер задал Гауссу сложить только нечетные из них?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
+ 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35
+ 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51
+ 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67
+ 69 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83
+ 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99
=

???

Лучше всего приступать к делу постепенно. Начнем с единицы и выложим простой квадрат один на один.

1×1

Теперь прибавим 3, пристроив аккуратный уголок. Получится квадрат два на два.

1+3

2×2

Прибавим 5, тоже уголком, и у нас получится квадрат три
на три.

1+3+5

3×3

1+3+5+7

4×4

Так и будем продолжать. Первые пять нечетных чисел дадут
квадрат пять на пять. Первые 10 нечетных чисел дадут квадрат
10 на 10. Наконец, первые 50 нечетных чисел — а именно столько
нам нужно просуммировать — дадут квадрат 50 на 50.
Следовательно, вся требуемая сумма равна 502 = 50 × 50 =
= 2500.

Не так давно я вспомнил историю про Гаусса и Бюттнера,
выступая на одной конференции, и некий профессор подошел ко мне после моего доклада с вежливым возражением.
Я думал, он усомнится в достоверности этого сюжета — историки спорят, случилось ли что-то подобное на самом деле,—
но у него на уме было другое. «Эту историю рассказывают так,
словно Бюттнер — отрицательный персонаж,— сказал мой

ГЛ А ГОЛ Ы

Далее, прибавление 7 дает квадрат четыре на четыре.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

98
собеседник. — Но он стал горячим сторонником Гаусса, нашел
ему наставника и ввел его в математику». Мне нравится эта
версия. За суровой личиной Бюттнера скрывались золотое
сердце и гибкий подход — так же как за жесткой определенностью 2 + 2 = 4 скрывается гибкость перегруппировок и перестановок.
Надеюсь, Оруэлл согласился бы: если народ — это сумма
граждан, то, возможно, демократия — это процесс, посредством которого мы перегруппировываемся, стремясь обратить
непростые вопросы в такие, на которые можно дать общий
ответ.

Вычитание
Когда мне было пять лет, моя сестра Дженна дала мне как-то
вечером список арифметических примеров. (Не самый вдохновляющий урок, но уж простим начинающую учительницу,
тем более восьмилетнюю.) Я старательно выполнил все примеры на сложение. Но половина заданий осталась нерешенной. Эти примеры были незнакомого мне вида: вместо знака +
между числами стояла странная и бессмысленная горизонтальная черта –. Что от меня требовалось?
Наконец я понял, в чем фокус. У плюсов были пропущены
вертикальные части — должно быть, это была какая-то разминка для читателя. Я дорисовал черточки, превратив каждый – в +, и решил примеры, которые теперь выглядели осмысленно: вместо 7–4 получалось 7 + 4, то есть 11.
Дженна отреагировала так, словно я разрисовал ее пижаму.
«Это не сложение, — заявила она мне. — Это вычитание».
Спустя тридцать лет тот эпизод повторился, но наоборот.
Я заговорил об этой главе с моей женой Тарин. Она нахмурилась и осторожно осведомилась, так ли нужна такая глава.
«Ты хочешь сделать вид, что вычитание — самостоятельная операция? — спросила она. — Или сразу объяснишь, что
на самом деле это просто сложение?»

2022

Нет, это не просто сложение.

7+4=11

ВЫЧИТАНИЕ
Когда мне было
пять лет, моя
сестра Дженна
дала мне
как-то вечером
список...

Нет, это просто сложение.

Дело в том, что Тарин — математик. В обычаях ее племени рассматривать вычитание просто как сокращенный способ прибавления отрицательного числа. То, что для вас 5–3, ее
соплеменники зовут 5 + –3. Вместо того чтобы отдать три яблока из пяти, к пяти яблокам они добавляют три антияблока.
Такой подход, мягко говоря, контринтуитивен. Он, кажется, не учитывает тот простой факт, что сложить вместе две
вещи не то же самое, что отнять одну от другой.
Допустим, я прихожу в магазин с 71 долларом (семью десятидолларовыми купюрами и одной однодолларовой) и трачу 48
на манго и газировку (что примерно соответствует моим еженедельным магазинным тратам). Очевидно, что я не приобрел
никаких денег. Напротив, деньги вышли из моего владения.
Если я хочу узнать, сколько у меня осталось наличности, сложение бесполезно; мне надо вычесть 48 долларов из 71.

К оплате

$48

ГЛ А ГОЛ Ы

1992

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

100
Вычесть первые 40 долларов нетрудно; у меня остается 31.

К оплате

Легко после этого вычесть еще 1 доллар. У меня остается 30.

К оплате

Но как вычесть последние 7 долларов? Мне понадобится
разменять одну из моих десятидолларовых купюр на купюры
по одному доллару.

101
ГЛ А ГОЛ Ы

Тогда я смогу заплатить последние 7 долларов, которые
я должен, и у меня останется 23.

К оплате

Это — приблизительно — и есть стандартный алгоритм
«одалживания». Если сложение вынуждает нас превращать
пачку мелких купюр (скажем, десять по 10 долларов) в крупную
(одну стодолларовую), вычитание требует противоположного — превращения одной крупной купюры (скажем, десятки)
в пачку мелких (однодолларовых). Возможно, термины «перенос» и «одалживание» стоит заменить на «объединение мелких купюр» и «размен крупных купюр».
Но, какую бы терминологию вы ни предпочли, «сложение»
и «вычитание» не синонимы. Это антонимы. В математике мы
называем это обратными операциями: каждая из них отменяет другую. Прибавить 3 и затем вычесть 3 означает вернуться
в исходную точку: запереть дверь и снова ее отпереть.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

102
Однако подход Тарин кажется более обоснованным при
ином использовании вычитания: для вычисления расстояний.
Например, если я находился в 71 миле от дома и уже проехал
48 миль, сколько мне осталось ехать?

80
???

Для начала, через 2 мили у меня за плечами останутся круглые 50.

80
48 50

Затем, еще через 20 миль, я проеду 70.

80
50

Остается только 1 миля. Итак, всего мне надо проехать 2 + 20 + 1,
т. е. 23 мили.

80
70 71

Точка зрения Тарин вдруг приобретает оттенок правдоподобия. Только что я, чтобы решить задачу на вычитание, произвел
последовательное сложение: плюс 2, плюс 20, плюс 1. Этот процесс
сложения дал тот же результат, что и поход за манго и газировкой, но при этом ничего не отнималось. Да и что значит «отнять»
48 миль от 71 мили? Я просто еду по шоссе, а не краду его участок.
Высказанная Тарин идея, что «вычитания не существует»,
сводится к простому предложению. Вместо того чтобы рассма-

103

5+3
5–3
То же число, проротивоположныее
процессы

5+3
5 + –3
Тот
Т же процесс,
противоположные
пр
числа

У этой причудливой догмы есть свои преимущества. Во-первых,
она упрощает математику, сводя две операции к одной.
А во-вторых, помогает разрешить некоторые коварные двусмысленности.
Например, в случае 8 долларов –3 доллара –1 доллар, что из чего
вычитается? Очевидно, изначально у меня было 8 долларов,
и я потратил 3 доллара — возможно, на кофе. Но что случилось дальше? Что такое «– 1 доллар»? Это новая трата, скажем,
на пирожное, которую тоже нужно вычесть из первоначальных 8 долларов? Или это сокращение предыдущей траты, скажем,
скидка на кофе, которую нужно вычесть из 3 долларов? Первая
интерпретация дает нам 4 доллара (что учителя математики
считают правильным). Вторая дает 6 долларов (что они считают неправильным).
Позиция Тарин предлагает простой выход: переписать всю
задачу как 8 + –3 + –1. Не надо вычитать положительные числа, просто прибавим отрицательные. В то время как вычитание зыбко и капризно, со сложением обращаться легко, и оно
дает тот же результат, независимо от того, какой порядок действий вы выберете.
Так если Тарин в итоге права, зачем все-таки в книге эта
глава? Может, мне стоит ее убрать? Или, точнее, заставить ее
исчезнуть, прибавив к ней ее противоположность?

ГЛ А ГОЛ Ы

тривать +3 и –3 как противоположные процессы с использованием одного и того же числа, почему бы не рассматривать их
как один и тот же процесс с использованием противоположных
чисел?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

104
Боже упаси! Я имею в виду, познаЯ хочу, чтобы ты...
сократил этого
Думаю, да... комь его поближе с его противоположностью! Все время забываю,
типа. Понял?
Вы имеете
что вы окончили матев виду, убил?
матический факультет.

В теории да, вычисление сводимо к сложению. Но мы с вами,
в отличие от Тарин и ей подобных, обитаем не в Стране теории.
Мы живем на шумных вонючих улицах реальности, где нам
приходится тащиться по шоссе, покупать манго и выполнять
другие задачи, решению которых не способствует абстрактное
мировоззрение математиков. Лучше поступать так, как некогда
велела мне мудрая восьмилетняя девочка, и считать вычитание самостоятельным действием. Как заметил однажды Нильс
Бор, противоположность любой глубокой истины — другая глубокая истина.

Умножение
Шел октябрь, шестиклассники готовились к сдаче большого
экзамена и мой класс стал засыпать меня вопросами о том, как
проходил такой экзамен в прошлом году. Сколько он длился? Он
был трудный? Сплошное мучение? Я сообразил, что сам-то его
не сдавал, и, рассудив, что должен испытать на себе то, чего требую от своих учеников, быстренько прорешал задания за пять
минут.
Наверное, мне стоило потратить еще пять минут, так как
я не смог ответить правильно на 100% вопросов. Я ошибся, перемножая 2573 на 389.

105

Умножение иногда описывают как многократное сложение.
Но, как по мне, это операция по построению прямоугольников.
Умножить 8 × 4 — значит найти площадь прямоугольника размером восемь на четыре или вычислить количество предметов,
разложенных в четыре ряда, в каждом по восемь штук.
Прямоугольники многое объясняют. Например, почему
от перемены мест множителей произведение не меняется?
Почему 7 × 3 равняется 3 × 7? В терминах «многократного сложения» это неочевидно: с какой стати 7 + 7 + 7 должно давать
тот же результат, что и 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3? Но прямоугольники хорошо это демонстрируют: a × b и b × a — это один и тот
же прямоугольник, только повернутый набок. На математическом жаргоне эту мысль принято выражать фразой «умножение коммутативно».

Семь троек
ек

Три семерки

ГЛ А ГОЛ Ы

Или калькулятор мне
наврал, или я сам
себе наврал.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

106
К несчастью, от подобных прямоугольников мало проку, когда речь идет о 2573 × 389 — разве что вы очень терпеливы в подсчете точек. Для решения таких задач мы прибегаем
к стандартному алгоритму: жонглируем числами на странице, применяя правила, которые нужно запоминать. Разумеется, правила я знал; просто глупо ошибся.
Но мой тщеславный и упрямый внутренний голос отказывался признать поражение. Поэтому я без объяснений попросил
своего коллегу Эда — обладателя острого математического ума
и развитой интуиции, а также самого здравомыслящего из всех
моих знакомых — провести то же умножение самостоятельно.
Эд запорол задание. Я облегченно выдохнул.
Тут к нам подошел наш друг Том. Его, Эда и себя я считал тремя мушкетерами нашего математического отделения, бравыми молодыми учителями с исключительными навыками фехтования. Но когда Том услышал о ляпах, которые допустили мы
с Эдом, я испугался, что мушкетерам пришел конец: он воззрился на нас с жалостью и презрением, а потом взялся показать нам, как нужно решать этот пример.
Том отказывался верить, что допустил ошибку, пока его
не убедили в этом два разных калькулятора.
Обнаружив, что мои друзья такие же разгильдяи, я перестал терзаться из-за ошибки и предался своей самой дурной
привычке — неприкрытому философствованию. «Видите? —
сказал я.— Нам вообще не стоит задавать такие примеры. Это
не то, что интересно в умножении».

6×4

2×12

8×3

4×6

3×8
12×2

107

Эх, 17, упрямое ты существо. Ты просто отказываешься раскладываться
на множители, так?

Разве эта история с множителями и простыми числами
не интереснее, чем 2573 × 389?
— Конечно,— сказал Эд, всегда терпеливо сносивший мои
полеты фантазии.— Но разве нашим единственным приоритетом в преподавании должна быть «интересность»? Или, возможно, нашим ученикам все-таки стоит — если вы простите
мне такую ересь — научиться перемножать два числа?
Я со скрипом признал, что в его рассуждениях есть резон.
Затем на сцену вышел гуру нашего отделения Ричард, обладатель кандидатской степени по математике и мой интеллек-

ГЛ А ГОЛ Ы

Меня, например, больше интересовало разложение на множители: запись одного числа как произведения двух других. Или,
рассуждая геометрически, расположение заданного числа точек
в виде правильного прямоугольника.
Некоторые любопытные числа, такие как 24, можно разложить на множители массой разных способов.
Еще интереснее числа, которые вообще не поддаются разложению на множители. Для них невозможно подобрать прямоугольник (разве только скучный прямоугольник в один
ряд). Я бы назвал их «глыбистыми числами» или, может быть,
«непрямоугольными уродствами», но математики присвоили
им более возвышенное название, звучащее, соглашусь, поизящнее: «простые числа».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

108
туальный герой. Мы показали ему 2573 × 389 и объяснили, что
никто из нас не справился с этим примером.
— Ого,— сказал он, как будто речь шла об увлекательной загадке. — Имеются в виду множители в разных системах счисления?
Или сравнение по модулю? Или какой-то фокус с записью чисел?
— Нет, нет,— отвечали мы.— Просто перемножь два числа.
Мы с этим не справились.
Радость в его глазах потухла.
— Прискорбно,— сказал он и взялся за ручку.
В скором времени счет самого прославленного математического отделения на северо-западе Англии составил 0:4
не в нашу пользу.

2573
×
389

Как именно осуществляется умножение? Джо Морган в своей
книге «Компендиум математических методов» (A Compendium
of Mathematical Methods) изложила чертову дюжину соответствующих алгоритмов4. Тут и метод сетки, и метод решетки, и метод палочек, и различные географические вариации
от древнеегипетского до русского крестьянского. Мы с коллегами провалились, используя традиционный метод, известный
как умножение в столбик. «Этот метод эффективен и достаточно нагляден,— пишет Джо,— хотя, как и другие алгоритмиче-

109

17 × что угодно

10 × что угодно 7 × что угодно
Умножение в столбик сводится к свойству дистрибутивности, применяемому столько раз, сколько это необходимо, чтобы сделать задачу элементарной. Например, чтобы умножить 27
на 38, мы вначале рассматриваем это как «38 чего-то», а затем
разбиваем его на «30 чего-то» и «8 чего-то».

27×30

27×8

ГЛ А ГОЛ Ы

ские подходы, зачастую применяется учениками без понимания того, как он работает».
Умножение в столбик, как и большинство других методов,
основано на свойстве дистрибутивности. Его можно описать как
тот простой факт, что большой прямоугольник можно разбить
на два маленьких. Например, 17 × 6 можно разбить на 10 × 6 плюс
7 × 6. Логично; в конце концов, 17 чего-то равняется 10 чего-то
плюс 7 чего-то.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

110
Затем, так как каждое из этих произведений представляет собой «27 чего-то», мы разбиваем их на «20 чего-то»
и «7 чего-то».

20×30

20×8

7×30

7×8

Один нерешаемый в уме пример на умножение превращается в четыре вполне решаемых. Остается только сложить ответы.

30×20

30×7

8×20

8×7

600 + 210 + 160 + 56 = 1026
Но если умножение — это так просто, почему мы все попали впросак?
Дело в том, что 2573 × 389 разбивается не на три-четыре операции умножения. Их в данном случае 12. А после этого, чтобы
найти их сумму, вам нужно выполнить 11 операций сложения.
На каждом этапе имеется возможность ошибки. Если вы ошибаетесь по невнимательности всего лишь в одной из любых 30 операций, вы с большой вероятностью решите пример 2573 × 389
неправильно.

111

2573
× 389
Я рассказываю эту историю не для того, чтобы макнуть своих дорогих коллег в грязь, но для того, чтобы показать, что язык
умножения работает на двух уровнях. На глубинном уровне это
язык прямоугольников, выражающий абстрактные понятия
типа коммутативности, простоты и дистрибутивности. Чтобы
рассуждать на этом уровне, требуются интуиция и понимание.
Но на другом уровне умножение — это язык вычисления произведения, система нахождения ответов. Для работы на этом
уровне требуются терпение и точность — качества, которые
у нас отсутствовали (по крайней мере, в тот день).

ГЛ А ГОЛ Ы

Уверен, что в обычный день мы все четверо легко справились бы с этим заданием. Но тот день был какой-то необычный.
Саймона я нашел в учительской. Среди всех преподавателей
математики он был самым внимательным и наиболее склонным к соревновательности — он из тех, кто готов нарушать
правила дворового футбола, чтобы выиграть у собственного
девятилетнего сына. Если кто и может выполнить 23 операции,
не допустив оплошности, так это Саймон.
Угадайте, что случилось дальше.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

112
Наконец мы показали этот пример заведующему отделением Нилу. Изложив длинную и путаную историю нашего провала, мы попросили его тоже попробовать.
— Ну уж нет,— рассмеялся он и ушел.
Мы все еще переминались с ноги на ногу, дружно соглашаясь,
что Нил мудрее всех нас, когда мимо прошла Эмили — веселая
практикантка с латинского отделения, которая не имела дела
с математикой с 16 лет.
— Дайте я попробую! — объявила она.
На глазах у всех нас она проделала 12 умножений и 11 сложений, получив правильный ответ 1 000 897.

Деление
Однажды в колледже мой профессор по педагогике дал нам
задание превратить арифметические действия в истории. Вы
получали, скажем, пример 28 ÷ 4, а от вас требовалось воплотить его в каком-нибудь сценарии. Например: «Четверо делят
28 печений. Сколько штук получит каждый?»

284
Как новоиспеченный студент-математик, я счел это задание
оскорбительным. «Да ну! — подумал я.— Я знаю про группы Ли.

113

1712–

???

Я всегда представлял себе деление как операцию по раздаче печенья. Сюжеты с раздачей печенья остаются осмысленными, когда в результате получается дробное число (17 печений на двоих) и даже тогда, когда делимое количество дробное
(17 ⁄ печений на двоих). Но как насчет дробного числа людей?
Что значит разделить 17 печений на полчеловека?
— Ну предположим... — сказал я. — Половина доли каждого
составляет 17 печений. Сколько печений в целой доле у каждого?
Профессор покрутил кистью руки из стороны в сторону — универсальный жест, обозначающий: «Э-э, вроде так, но
не совсем».
— Вы не думаете, что этот сюжет лучше подходит к примеру 17 × 2? — спросил он.
Ха! Я его подловил.

ГЛ А ГОЛ Ы

По крайней мере, я прослушал курс по группам Ли. С какой стати мне заниматься арифметикой на уровне четвертого класса?»
— А сейчас, — произнес мой профессор, — вот вам задача
на деление, с превращением которой в историю справляется чуть ли не каждый учитель математики в Японии, но лишь
малая доля американских учителей.
Я вздохнул, ожидая очередной легкотни. Разделить 61 печенье на 60 человек? Разделить восемь с половиной печений
на троих? Как остроумно!
— Как бы вы рассказали историю о делении 17 на ⁄ ?
Мои наполовину закатанные к потолку глаза вылезли
из орбит.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

114
— Да, конечно,— ответил я, — но дело в том, что умножение и деление — обратные действия. Разделить на ⁄ — это то
же самое, что умножить на 2. Поэтому любой сюжет, пригод1
, по определению пригоден для 17 × 2,
ный для примера 17 ÷ _
2
и наоборот.

деление на 1/2

34
деление на 2

— В теории, полагаю, да,— сказал он.— Но если бы у меня
было два ящика по 17 книг в каждом, вы бы описали это как
1
?
17 ÷ _
2
Он был прав. Терпеть не могу, когда люди правы.

Увы, вас не очень удобно описывать делением.
Скажите на милость! А он сообразительный.

С одной точки зрения — той, которой я придерживался
в 21 год,— красота математического языка заключается в его
нереальности. Математика позволяет нам уйти из этого мира
крошек и грязи в царство строгих абстракций. Чем более фундаментальна логика — то есть чем дальше она от физической

115

Где мне это
пригодится?

Здесь и сейчас! Для этого непонятного и тягостного разговора!

a—cb = ac
—
b

Чтобы лучше понять деление, необходимо вновь вернуться
к умножению. Любой акт умножения допускает две слегка различные интерпретации, в зависимости от того, каким числом
выражается размер групп. Когда вы говорите 2 × 5, вы имеете
в виду две группы по пять? Или пять групп по два?
Это две разные картины: пара пятерок и пять пар.

ГЛ А ГОЛ Ы

реальности,— тем глубже истина. «В той мере, в какой математические законы имеют отношение к реальности, они ненадежны,— говорил Эйнштейн,— а в той мере, в какой они надежны,
они не имеют отношения к реальности»5.
Я считал, что реальный мир — не слишком большая потеря
в стремлении к истинной надежности. С моей точки зрения,
1
17 ÷ _
2 и 17 × 2 не различались. Разделить на некую величину — это то же самое, что умножить на величину, обратную ей,
и иначе быть не может.
Но это ли истинное владение предметом? Или я напоминал
в тот момент знаменитого повара, не знающего, как сделать
бутерброд с арахисовым маслом? Что проку уметь разделить
17 на ⁄ , если вы не можете описать ситуацию, в которой это
требуется? «Деление одного числа на другое — это просто
вычисление,— написал однажды математик Джордан Элленберг.— Определить, что нужно разделить на что,— вот это
математика»6.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

116

2×5 = две пятерки

2×5 = пять двоек

Так вот, поскольку деление противоположно умножению,
оно допускает две соответствующие интерпретации. Говоря
«10 ÷ 2», вы разбиваете 10 предметов на две группы? Это печеньераздаточное деление, или, как говорят профессора педагогики,
партитивное деление.

102

число
групп

Но вот тонкость, которую я упускал: а если вы делите 10 предметов на группы по 2? Я называю это ведронаполнительным
делением: если у вас 10 галлонов воды, сколько двухгаллонных
ведер вы сможете наполнить? Эксперты в области преподавания математики используют термин квотативное деление.

102

размер
групп

117

девятигаллонный
бак

нульгаллонные
ведра

Хотя я свободно владею английским, иногда меня в нем ошарашивают простые вещи. Например, в нашем языке есть слово
feed («обеспечивать едой, кормить»), но нет аналогичного слова
для обеспечения питьем (когда-то давно это был глагол drench).
Любовь к языку — это готовность постоянно ему изумляться.
И как же я изумился, когда спустя две мучительные минуты мой профессор изложил простой сюжет для деления 17 на ⁄ .
«Сколько полтинников в 17 долларах?» — спросил он.
Как же я сам не сообразил?

ГЛ А ГОЛ Ы

Какова бы ни была тут причина (капитализм?), мы в США
по умолчанию думаем о раздаче печенья. Но, чтобы по-настоящему овладеть языком деления, нужно понять оба его типа.
Возьмем знаменитую истину: «на ноль делить нельзя».
В категориях раздачи печенья 9 ÷ 0 — бессмыслица: это означает распределение девяти печений среди нуля человек — и получается абсурд. Но в категориях наполнения ведер 9 ÷ 0 ставит
вопрос: если у нас 9 галлонов воды, сколько ими можно наполнить ведер объемом в ноль галлонов? Это вопрос осмысленный,
но на него нет определенного ответа, потому что любого количества ведер вам перестанет хватать намного раньше, чем воды.
Поэтому деление на ноль — невозможная операция (хотя она
и указывает в направлении «бесконечность»).

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

118

Я так старательно думал
о печеньях, что забыл о твоем
существовании.
*вздыхает*

Мне так часто говорят.

Порой математика представляется мне башней. Она поднимается из почвы бытового опыта (кучек печенья; ведер воды;
полтинников) и достигает разреженной атмосферы абстрактных понятий (групп Ли, что бы это ни значило). Когда ты карабкаешься на самый верх, это приносит и удовольствие, и ощущение собственного могущества. Но столь же велико удовольствие — и ощущение иного рода могущества — в том, чтобы
спуститься до самого низа. Там, внизу, можно прикоснуться
к камням фундамента, нащупать связи между математикой
и реальным миром и наполнить свое ведро в полгаллона знанием нового типа.

Возведение в квадрат и куб
Я стараюсь не удивляться человеческому невежеству. Никогда
не слышали о канадцах? Ладно, они не очень громко о себе заявляют. Не знали, что говядина — это мясо коров? Не ваша вина;
коровы и сами об этом не догадываются. Никого не судить — вот
моя философия. Мир велик, моря глубоки, и даже величайшие
эрудиты не могут знать любую ерунду.
И все-таки я не могу поверить, как много людей изумляются тому, что «возведение в квадрат», оказывается, связано
с реальными квадратами.

119
ГЛ А ГОЛ Ы

Почему мне никто не сказзал, что «пять в квадрате»
дает настоящий квадрат?

Мы
пытались!

Выражение 52 и его произношение «пять в квадрате» означают одно и то же. Но у них разные этимологии, вроде того,
как в английском языке не совпадают слова «говядина» (beef)
и «корова» (cow). В средневековой Англии есть мясо могли
позволить себе только представители франкоговорящей элиты.
Отсюда слово beef — от старофранцузского boef. Между тем бедные англосаксы работали в полях и пасли скот. Отсюда слово cow, от древнеанглийского сū. Одна этимология для дорогого продукта питания, вторая для низменной скотины — пусть
даже речь идет об одном и том же существе.
Так же и в математике. Оборот «возведение в квадрат» происходит из приземленного языка геометрии, тогда как вознесшаяся над своим окружением двоечка2 — из возвышенного языка алгебры.
Возведение в квадрат — это одно существо с двумя именами.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

120
Начнем с геометрии. Как вам, возможно, известно, квадрат — это особый вид прямоугольника — такой, у которого
все стороны равны. Таким образом, возведение в квадрат — это
особый тип умножения, с равными множителями.

Квадрат

2×4
5×3

3×3

То же относится к «возведению в куб». Умножение трех
чисел образует стопку прямоугольников, известную как прямоугольный параллелепипед. Когда все эти числа одинаковы,
такой параллелепипед называется кубом.

Куб

2×4×3

6×3×5

3×3×3

В геометрической картине мира число никогда не бывает просто числом, это всегда какое-то измерение. Одно число дает длину. Два числа (длина и ширина) дают площадь. Три
числа (длина, ширина и высота) дают объем. Веками математики записывали число, его квадрат и его куб, используя три
совершенно разных обозначения: к примеру, l, q и c. Различные
названия для разной геометрии.
Что касается четырех чисел — это был деликатный вопрос.
Длина, ширина, высота и... что именно? Очевидного четвертого измерения не существует. Поэтому во времена Евклида

121

А, я знаю, сколько это будет!

Посттой!

2
2

Нееееееет!

ГЛ А ГОЛ Ы

ученые старались всячески избегать перемножения четырех
чисел.
Но со временем геометрическая картина мира померкла.
Математики стали рассматривать числа, их квадраты и кубы
как принадлежащие к единому семейству «многократного
умножения». Квадрат А стал A2 (A × A), куб — A3 (A × A × A), и даже
аномальное A × A × A × A получило доступ в приличное общество
под именем A4.
Этот новый режим позволяет нам формулировать широкие
обобщения в краткой запоминающейся форме. Он очень полезен для быстрых расчетов. Но у него есть и свои недостатки.
А именно, распространенное, но ошибочное убеждение, что
(a + b)2 равняется a2 + b2.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

122
Мы, учителя, боремся с этой ошибкой как можем. Мы даем
примеры. Представляем доказательства. Вопим в пустоту. Толку особого нет. Соблазн ошибки слишком велик; алгебраический
язык степеней практически заставляет ее совершить.
Напротив, геометрический язык квадратов позволяет легко
от нее избавиться. Сходите к коровам на пастбище, и вы тут же
убедитесь, что квадрат 13 на 13 по площади больше, чем 10 на 10
плюс 3 на 3. Геометрически (a + b)2 не состоит из двух квадратов
меньшего размера.
Оно состоит из двух квадратов меньшего размера и двух прямоугольников.

132
102

10×3

Ага, понял! Тут не просто a2 + b2. Тут еще
два участка, каждый
площадью в a×b.

3×10

«Квадрат» и x2 — два названия одной и той же идеи. Одно
геометрическое, другое алгебраическое; одно конкретное, другое абстрактное; одно с пастбища, другое из пиршественного
зала. Каждому известно что-то такое, что недоступно другому.
Так и должно быть: мир велик, моря глубоки, и даже самая лучшая запись не способна выразить всех истин.

Извлечение корней
Однажды во второй половине дня Эшли заглянула к нам с математическим вопросом.

123

Она недавно поступила в 12-й класс школы для одаренных
детей, где я преподавал. В то время как ее одноклассники провели в этом горниле много лет, вырабатывая устойчивость
к двойкам и огромным домашним заданиям, для Эшли такой
головокружительный темп был новым — и слегка пугающим.
— Итак,— сказал я, указывая на пример,— что значит
«в степени ⁄ »?
Она опустила голову и начала извиняться. Не очень ободряющий зачин.
Чтобы ответить на математический вопрос ученика, нередко
приходится закапываться в прошлое. Вы превращаетесь в педагога-археолога, который снимает слой за слоем в поисках навыка, так и не освоенного спрашивающим.
— Ладно,— сказал я.— Что такое квадратный корень?
Она замялась, и я понял, что отыскал пропавший артефакт.
Эшли умела возводить число в квадрат, знала, что 5 в квадрате означает 5 × 5, т. е. 25. Но обратный процесс — постановку вопроса «Какое число в квадрате дает 25?» — она пока еще
не освоила, не научилась говорить на этом языке.
Понятно почему. Квадратные корни — это что-то с чем-то,
математический аналог неправильного глагола.
У корней есть немало названий. В США они называются
radicals. В Англии их иногда называют surds. Но настоящая беда
с корнями — то, что в них так бесит,— это не их радикальные
замашки и не их экзистенциальная абсурдность.
Беда в том, что корни — ужасно вредные числа.
Вы когда-нибудь пробовали вычислить квадратный корень
вручную? Поганое дело. Когда калькуляторы стали общедоступ-

ГЛ А ГОЛ Ы

47/2 = ???

ными, мы выбросили это задание из школьной программы7 —
по той же причине, по которой перестали отправлять детей
на работы в угольные шахты.

возведение в квадрат
Чему равно три, помноженное сам
само на себя?

площадь = 9

извлечение
квадратного корня
Какое число, умноженное само на себя,
дает 9?
Конечно, не все корни настолько ужасны. Некоторые, например 4 или 9, представляют собой симпатичные целые числа.
Но промежуточные между ними иррациональны и выразимы
только в виде бесконечных десятичных дробей. Сколько
это — 7? Калькулятор может выдать приблизительное значение (2,646 с чем-то), но, так как у нас нет бесконечных запасов
бумаги и времени, единственный способ точно записать квадратный корень из 7 — это что-то вроде «число, которое при
возведении в квадрат дает 7».
Язык квадратных корней может показаться неудачно придуманным. Но истина еще хуже: это язык, удачно придуманный
для описания неудачно придуманной реальности. Пройдитесь
по диагонали квадрата размером 1 × 1; вы только что прошли
расстояние, равное 2. Кратчайший путь через простейшую
фигуру, оказывается, имеет иррациональную длину, выражаемую числом, которое мы не можем назвать иначе, кроме как
описав операцию, которая его дает: 2.

длина стороны = 3

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

124

125

Кто я?

— Ладно,— сказал я Эшли, пытаясь собраться с мыслями.—
Вот, думаю, тебе это понравится.
Честно говоря, я не знал, понравится ли, но был уверен, что
она с ходу уловит мысль. Я написал на доске несколько знаков
и повернулся, чтобы задать вопрос.
Эшли не смотрела на доску. Она плакала.
— Простите,— сказала она.— Подождите секундочку. Просто... мне всегда было так сложно...
Ее голос стих, но я догадался. Эшли годами пыталась справиться с символами, которых не понимала. Она день за днем теряла
веру в язык, который ей ничего не говорил. Я стоял, не зная, что
сказать, чувствуя себя беспомощным и бесполезным.
Через несколько недель Эшли забрала документы. Мы пожелали ей успехов. Не знаю, удалось ли ей окончить другую школу.
Мне хочется верить, что наш разговор подарил Эшли недолгий миг озарения — что пусть всего на несколько минут, но она
ощутила себя такой умной, какой она и вправду была. Я говорю, что мне хочется верить, но на самом деле мне нужно в это
верить, ведь я знаю, что в своей вечной спешке я нередко вызывал у учеников противоположные ощущения: что, перескакивая через целые стадии алгебраических выкладок на доске,
или допуская, чтобы в мои интонации закрались раздражение и нетерпение, или бесцеремонно вручая проваленные кон-

ГЛ А ГОЛ Ы

Корни, таким образом, размывают грань между существительными и глаголами. Мы записываем операцию, но обращаемся с ней как с числом.
Да уж, радикально и абсурдно.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

126
трольные, или еще многими мелкими способами я заставлял их
чувствовать себя дураками.
Через пару месяцев после того, как Эшли ушла из нашей школы, я увидел ее из окна автобуса. Мы улыбнулись и помахали друг
другу, и я умудрился не разрыдаться, пока не добрался до дома.

Возведение в другие степени
Вот вопрос, который часто меня озадачивает: почему люди так
плохо понимают, что значит экспоненциальный рост?

Конечно, это поганый вирус.
Но число ежедневных заражений невелико: 4, 8, 16...
При таком темпе роста, чтобы
заразить весь мир, понадобится...
Один месяц.

Разве экспоненциальный рост — неестественная идея? Нет,
это закономерность, встречающаяся в природе повсеместно.
Численность всех популяций, от бактерий до кроликов и людей,
обычно растет экспоненциально.
Разве экспоненциальный рост — сложная идея? Не особенно.
Линейный рост — это когда вы прибавляете на каждом шаге
определенное количество (2, 4, 6, 8, 10...), а экспоненциальный
рост — когда вы умножаете на каждом шаге на определенное
количество (2, 4, 8, 16, 32...).
Разве экспоненциальный рост — непривычная идея? Опять же
нет. Если вам доводилось наблюдать рост популярности соци-

127

Мы годами говорим ученикам, что степень — это многократное умножение: например, 23 означает 2 × 2 × 2. Затем, пооруэлловски вывернув все наизнанку, мы заявляем им, что
ничего подобного. Одни степени — обратные величины, другие степени — корни, а третьи, по некоему указу, всегда равны
единице. Это как если бы государство переопределило понятие
«кража» так, чтобы оно включало не только «присвоение чужих
вещей», но также «вождение некрасивой машины» и «чихание на публике». Как гражданину чувствовать себя в безопасности, если юридические термины подвергаются произвольному переопределению?
И все-таки правила возведения в степень не так прихотливы, как кажется. Более того, они жестко предопределены. Если 23
есть многократное умножение, то все эти правила, естественно,
вытекают из этого факта. В совокупности они образуют систему
из взаимосвязанных частей.
Отрицательная степень, например 2–3,— это многократное
анти-умножение.
Дробная степень, например 21/3,— это частичное умножение.
А нулевая степень, например 20,— это не-умножение.
Чтобы понять, что я имею в виду, давайте запишем степени числа 2 вдоль числовой оси. Эти числа выглядят красиво,

ГЛ А ГОЛ Ы

альной сети, или пандемию, или распространение вирусного
видео, то вы видели экспоненциальный рост своими глазами.
Так в чем же дело? Одна из причин, боюсь, в языке. Это важное понятие облечено в непонятные символы. Я имею в виду
великие и ужасные «правила возведения в степень».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

128
но пока еще ничего не значат, так что давайте представим себе
колонию бактерий, которая удваивается каждый час. Изначально она имеет вид кляксы. Через час клякса становится
в два раза больше. Через два часа учетверяется. Через три часа
она уже в восемь раз больше своего первоначального размера.
И так далее.
Таким образом мы привязываем возведение в степень к картине экспоненциального роста.

2
–3

–2

–1

первоначальная
клякса
Для начала, что происходит в нулевой момент времени?
В этот момент мы начали измерения, так что клякса была
попросту своего первоначального размера: размером в одну
кляксу. Это случай не-умножения.

–3

–2

–1

первонарв
чальная
клякса
Каждый раз, когда мы проматываем видео на час вперед,
колония удваивается. Поэтому, если мы промотаем видео на час

129

1
8

2–3
–3

1
4

1
2

первоначальная
клякса

2–2

2–1

–2

–11

Наконец, как насчет промежутков между целыми часами?
Какого размера клякса не через ноль часов или один час, а через
полчаса?
Будьте внимательны. Когда мы идем от 1 к 2, полпути будет
не на отметке 1,5, как вы могли подумать. Это аддитивное мышление, т. е. мышление сложением: 1 + 0,5 + 0,5, безусловно, равняется 2. Но экспоненциальный рост не аддитивен — он мультипликативен: не сложение, а умножение. Нам не нужно, чтобы
1 + нечто + нечто равнялось 2; нам нужно, чтобы 1 × нечто × нечто
равнялось 2.
К счастью, это нечто имеет название: 2. Через полчаса размер колонии бактерий составит 2 (примерно 1,41) от размера
исходной кляксы.
Это можно назвать частичным умножением.

ГЛ А ГОЛ Ы

назад, популяция окажется вдвое меньше. Продолжая отматывать назад, вместо многократного умножения мы будем многократно делить.
Значит, в момент –1 (за час до того, как мы начали наблюдение), размер кляксы должен был составлять ⁄ от изначального. В момент –2 (за два часа до того, как мы начали наблюдение) он должен был составлять ⁄ от изначального. И так
далее.
Это многократное деление, т. е. многократное антиумножение.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

130

1,414 с чем-то

1
2

21
1

Рассуждая таким образом, можно рассчитать размер колонии бактерий на любой момент: в положительные часы, в отрицательные часы, в нулевой час, даже в дробные часы. Вуаля, эти
размеры точно соответствуют этим ужасно трудным «правилам возведения в степень».
Третья степень — это многократное умножение.
Нулевая степень — это не-умножение.
Минус третья степень — это многократное деление.
А степень ⁄ — это частичное умножение.

1
8

1
4

1
2

2–3

2–2

2–1

1,414 с чем-то

20 21/2 21

Старая банальность гласит, что поэзия — «искусство называть одну и ту же вещь разными именами». Математик Анри
Пуанкаре однажды заметил в ответ, что «математика — это
искусство называть разные вещи одним и тем же именем»8.
Возведение в степень — как раз прекрасный пример. Мы
берем четыре разные вещи и называем их одним и тем же именем. Многократное умножение (2 × 2 × 2), многократное деле1
ние 2 × 2 × 2, различные корни ( 2) и даже старая добрая единица — все они объединяются понятием степени. Почему это
искусство, а не бред сивой кобылы? Потому что это работает.

131

Логарифмирование
На одном острове к северу от Великобритании, в уютной книжной лавке в городе Стромнесс, я приобрел «Исчезающий словарь» (The Disappearing Dictionary). В этой книге лингвист Дэвид
Кристал собрал слова из различных диалектов английского —
слова, которые излучают местный колорит, но которым грозит
опасность выйти из употребления: например, dabberlick («высокий тощий человек»), rumgumption («здравый смысл, сметка»)
и squinch («узкая трещина в стене или полу»)9. Лично мне там
больше всего понравилось слово logaram. Я его полюбил не только за значение («ерунда, чепуха; долгая приукрашенная история»), но и за этимологию.
Слово logaram произошло от названия предельной формы
галиматьи: логарифма.
Слово «логарифм» было изобретено несколько столетий
назад, в нескольких сотнях миль к югу от Стромнесса. Оно образовано от греческих слов λόγο («разум») и ἀριθμό («число»);
буквально — «логичное число». Похоже, не все разделяли эту
лестную оценку.
Так или иначе, логарифмы появились с определенной целью.
Они преобразовывают трудные расчеты в простые.

ГЛ А ГОЛ Ы

Эти четыре как будто бы не связанные операции — всего лишь
разные фазы экспоненциального роста.
Не то чтобы это делало идею экспоненциального роста «простой». Вспомним, что численность вида Homo sapiens исходно
составляла, скорее всего, около 10 000 человек. Понадобилось
несколько тысяч поколений, чтобы она достигла миллиарда.
А чтобы она достигла двух миллиардов — еще четыре или пять.
Не тысяч поколений. Четыре или пять поколений. 3 млрд нас
стало еще через одно поколение, а 4 млрд — всего через десятилетие. Пусть экспоненциальный рост нельзя назвать неестественным, сложным или непривычным, но он точно очень
странный.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

132
Когда калькуляторов еще не было, умножение или деление в столбик отнимало кучу времени. (Вспомним мои мучения в главе об умножении.) Но сложение и вычитание? Это куда
легче. Отсюда идея логарифма: вместо того чтобы перемножать
два числа, нужно посмотреть их логарифмы в толстой книге,
сложить логарифмы и затем преобразовать результат обратно
в обычное число. Логарифмы, таким образом, переводят умножение в сложение.

2573
×
389

1000,897

3,4104398
2,5899496
6,0003894

Получается своего рода сжатие. Логарифмы сжимают умножение до сложения, деление до вычитания, возведение в квадрат до удвоения, квадратные корни до деления пополам,
а огромные числа до крошечных.
Короче говоря, логарифм — это математический усадочный
луч.
Долгое время у каждого ученого всегда была под рукой таблица логарифмов. «Явился некий шотландский барон [Джон
Непер], — писал другу астроном Иоганн Кеплер,— который
совершил великое дело, преобразовав все умножение и деление в сложение и вычитание»10. В 1823 г. математик Чарльз Бэббидж обещал английскому министерству финансов обеспечить

133

большие числа

малые числа

2573

3,41

умножение
ние

сл
сложение

2573 × 389

3,41 + 2,59

деление

вычитание

2573  389

3,41 – 2,59

возведение в квадрат
25732

удвоение
3,41 × 2

В наши дни картошка все еще представляет определенную ценность, а вот логарифмические таблицы давно вышли
из употребления. Для нас логарифм уже не инструмент экономии времени.
Скорее, это операция. Выражаясь конкретнее, логарифмирование — операция, обратная возведению в степень: если возведение в степень охватывает многие порядки величин, то логарифмирование их сжимает.
Взять хотя бы землетрясения. При крупнейшем за всю историю наблюдений (в Чили 22 мая 1960 г.) выделилось почти
в миллиард раз больше энергии, чем при безобидных толчках,
от которых часто дрожали стекла в моей квартире в Окленде, штат Калифорния. Как поступить со столь несоразмерными масштабами? Применить логарифмическую шкалу, известную как шкала Рихтера, — и экспоненциальный скачок (×1000)
сожмется до линейного (+2).

ГЛ А ГОЛ Ы

«логарифмические таблицы по цене картошки». Эта перспектива министерство явно обрадовала.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

134
миллионы раз в год,
неощутимые

самое сильное
на моей памяти

Сан-Франциско, 1906

Чили,
1960

×1000
То же относится к звуковым волнам. Гром в миллиард раз
громче шепота, но логарифмическая шкала децибел (дБ) сжимает эти огромные различия до подвластных нашему уму. Шаг
умножения (×10) становится шагом сложения (+1).

шепот

разговор

звук блендера

ночной клуб гром

90 100 110 120

×1000
Повсюду в науке, от кислотности веществ до блеска звезд,
нам приходится переводить мультипликативные шкалы
в аддитивные. Логарифмирование — наш словарь для перевода
с языка × на язык +.
И это чрезвычайно полезный словарь. Помимо науки, логарифмирование веками было основой основ инженерного дела
и навигации; как выразился научный журналист Джеймс
Глейк, «логарифмы спасали корабли». Однако логарифм проложил дорогу к более совершенным способам расчетов; он сам
подписал себе приговор, обрекающий его на забвение. Этот словарь оказался в самом деле исчезающим словарем.
Или, скорее, так казалось. Хотя логарифм был создан для
облегчения расчетов, он обернулся полезным далеко за их пределами. В этом отношении логарифм — повторение в миниатюре всего языка математики: созданный для узких практических задач, он породил глубокую и всеобъемлющую литературу — литературу, в которой иногда находится место чистому
логараму.

135

Однажды я наткнулся на остроумную подборку двусмысленных
газетных заголовков11. Три из них навечно застряли у меня в памяти — каждый вызывал в сознании яркие, пугающие образы:
«Топим камин своими руками»
«Белки — причина коровьего бешенства»
«Футболисты остались без голов»
Вопреки первому впечатлению, ни о чем таком уж необычном речь не идет. Никто в камин собственные руки не бросает.
Причина коровьего бешенства — особые белки́, а не выводящие
коров из себя бéлки. Футболистам не засчитали голы, но головы
у них целы. Каждый из этих заголовков можно прочесть двояко, но наши знания об окружающем мире не оставляют сомнений, какое прочтение правильное.
Всякий язык подвержен двусмысленности — риску, что ваше
высказывание поймут не так, как вам хотелось. Но особую проблему двусмысленность представляет для математиков, ведь их
язык — язык чистой грамматики. Когда вы видите математическое выражение, у вас нет контекста, который смог бы вам помочь.
Например, какую операцию здесь нужно проделать первой —
сложение или умножение?
2+3×4
Если вначале сложить, получится 5 × 4, что равно 20. Если
сперва умножить, получится 2 + 12, что равно 14. Так как правильно? Голы или головы?

сперва сложить

сперва умножить

ГЛ А ГОЛ Ы

Порядок действий

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

136
А вот еще:
2 × 32.
Если сперва умножить, получится 62, то есть 36. Если сперва возвести в квадрат, выйдет 2 × 9, т. е. 18. Как это правильно
читается? От чего случается коровье бешенство — от белков или
от белок?

сперва
умножить

сперва
возвести в квадрат

Нам необходимо договориться, как разрешать эти двусмысленности, т. е. нам нужна система для определения того, какие
действия выполнять первыми. К счастью для нас, математики
выработали простое правило.
Более мощные операции обладают приоритетом.

возведение
в степень

умножение
и деление

наиболее мощная

5+4 3

× 2

5+4×9

сложение
и вычитание

наименее мощная

5+36

137

Сначала я!

2+3
2+
3×4

А теперь я!

2+
2+12

Однако возведение в степень мощнее умножения. (Естественно, это ведь многократное умножение.) Поэтому в примере 2 × 32 мы сначала возводим в квадрат, а потом умножаем.
Получается 18.

Сначала я!

2×32

А теперь я!

2×9

А как насчет 8 – 2 – 5 + 4? Сложение и вычитание обладают
одинаковой мощностью. (Они ведь обратны друг другу.) Поэтому мы сводим матч вничью и просто действуем слева направо:
6 – 5 + 4, т. е. 1 + 4, т. е. 5.
От двусмысленности мы избавились. Но встает проблема:
что, если мы хотим выполнить первой менее мощную операцию? Неужели нет способа выразить эту мысль? Как поднять
тревогу в маловероятном случае топки камина отрезанными руками? Нам недостаточно порядка действий, принятого
по умолчанию; нам нужен также способ преодолеть его. И здесь
на сцену выходят скобки.
Выполняйте операции в порядке от наиболее мощных к наименее мощным, если с помощью скобок не предписано иного.

ГЛ А ГОЛ Ы

Например, умножение — более мощная операция, чем сложение. (Естественно, это ведь многократное сложение.) Поэтому в примере 2 + 3 × 4 мы вначале умножаем, потом складываем.
Получается 14.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

138
Итак, чтобы сложить прежде умножения, я могу записать
тот же пример так: (2 + 3) × 4. Теперь 2 + 3 — изолированный
отсек, группа, замкнутая сама на себя. Мы выполняем действие в скобках, а затем выглядываем наружу. Окончательным
результатом будет 20.

Сначала я!
А теперь я!

(2+3)
2+ )×4

5×4

Или, чтобы умножить прежде возведения в степень, я запишу (2 × 3)2. Теперь 2 × 3 — пара чисел, повенчанных скобками.
Между ними нельзя вклинить никакую постороннюю операцию. Окончательным результатом будет 36.

Сначала я!
А теперь я!

(22×3
3)2

А если мне нужно сложить, потом умножить, а потом возвести в степень? В таком случае я нагромождаю скобки, оборачивая
их вокруг чисел, как слои упаковки, чтобы не оставить сомнений,
что к чему относится. Вместо 1 + 4 × 32 я записываю ((1 + 4) × 3)2.

Сначала я!

Потом я!
Ну наконец-то!

((1+4)
1+ )×3)2

(5
5×3
3))2

152

В математике есть два рода правил: их можно назвать договоренностями и законами. Договоренности связаны с тем, как

139

82(4)
8 8
1

82(2+2)

Получается 1,
уроды!
Невежды,
выходит
16!

82(4)
4(4)
16

ГЛ А ГОЛ Ы

использовать и интерпретировать математический язык.
1
. Если бы
Например, есть договоренность, что 4½ — это 4 + _
2
мы захотели, мы могли бы созвать всемирный конгресс и договориться поменять эту договоренность так, что 4½ будет отны1
. Как если бы все носители некоего языка
не читаться как 4 × _
2
решили бы, что слово «дружба» отныне обозначает «мороженое». Странно, но вполне допустимо.
Между тем законы отражают математические истины. Хотя
они выражены на языке, они глубже, чем язык: например, тот
факт, что a × b равно b × a. Никакой всемирный конгресс не способен изменить эту истину. С языком можно мудрить сколько
угодно, но, о каком бы языке мы ни договорились, глубинный
смысл останется тем же.
Порядок действий представляет собой курьез. Это договоренность, которую часто принимают за закон.
Обсудим особый жанр примеров, которые регулярно становятся вирусными в социальных сетях. Один типичный образец
всплыл как раз тогда, когда я начинал работать над этой книгой,— и математик Стивен Строгац, колумнист газеты The New
York Times, назвал его «преднамеренно извращенным, словно
сконструированным из вредности»12.
Вот этот пример: сколько будет 8 ÷ 2(2 + 2)?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

140
Проблема состоит в том, чего тут не хватает,— в отсутствии
символа между первой двойкой и скобкой. Такое отсутствие
означает умножение, т. е. мы умножаем 2 на (2 + 2). Но умножаем до или после деления? Деление стоит слева, так что, следуя порядку слева направо, мы должны разделить 8 на 2, получив 4, а затем умножить этот результат на (2 + 2) и получить 16.
Но разве не странно разводить 2 и (2 + 2), если их даже
не разделяет никакой символ? Что, если правило чтения слева
направо применимо только тогда, когда умножение обозначено реальным символом, таким как × или *? По этой логике мы
должны сначала умножить 2 на (2 + 2) и получить 8; затем деление 8 на 8 дает 1.
Так кто прав: те, кто говорят «16», или те, кто говорят «1»?
Если честно, мне все равно. Это вопрос не о законах; это
вопрос о договоренностях, а договоренность в данном случае
неустойчива. Это можно сравнить не с вопросом, что случится,
когда ученый бросит камень в пруд, а с вопросом, что ученый
имел при этом в виду.
Так как математика — это язык, то, когда люди используют
его неудачно, единственный выход — спросить у них, что они
имели в виду.

Вычисление
Одну из моих самых любимых задач придумала преподавательница Клэр Лонгмур:

Что-что?

Оркестру из 120 музыкантов
нужно 40 минут, чтобы сыграть
Девятую симфонию Бетховена.
Сколько времени понадобится
60 музыкантам, чтобы сыграть
ту же симфонию?

141

В стаде 125 овец и 5 овчарок.
Сколько лет пастуху?

На этот вопрос невозможно ответить на основании имеющейся информации. Возраст не измеряется в «овцах на собаку».
Однако в классическом исследовании (неоднократно воспроизведенном) примерно три четверти учеников начальных классов
предпринимали попытки каких-то вычислений, чтобы решить
эту задачу. Большинство делили одно число на другое и получа-

ГЛ А ГОЛ Ы

В последние годы вопрос Клэр гуляет по интернету, неизменно вызывая скепсис и возмущение (и не только потому, что для
надлежащего исполнения Девятой симфонии нужно больше
часа). В такой формулировке вопрос не имеет смысла. Увольнение одного скрипача не влияет на темп симфонии. «Это работает
не так,— пренебрежительно написал один автор твита, набравшего миллионы просмотров.— Это вообще так не работает».
Другой встрял в дискуссию со сравнением: «Одной женщине
нужно девять месяцев, чтобы выносить ребенка; сколько времени понадобится двум женщинам, чтобы выносить ребенка?».
Их отношение нетрудно понять. В конце концов, что это за преподаватель, задающий такие глупые вопросы?
Как выясняется, умный преподаватель. Клэр тем самым
высказала простую, важную и странным образом оставшуюся
незамеченной мысль: иногда правильнее всего вообще не проводить вычисления.
Возьмем еще одну задачу13, придуманную за десятки лет
до Клэр.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

142
ли 25. Другие выводили среднее арифметическое, получая 65,
складывали, получая 130, и даже умножали, так что пастух приобретал библейский возраст в 625 лет.
Многие ученики понимали, что это глупо. Но мудрость Клэр
была им недоступна. Они не могли сопротивляться порыву чтонибудь вычислить.
Прежде всего, зачем вообще нужны вычисления? Затем, что
измерению поддается не все. Мы не можем, к примеру, измерить расстояния до звезд. Вместо этого мы измеряем то, что
можем, — скажем, сезонные изменения угла склонения звезды
на небосводе,— а затем вычисляем то, что хотим знать. Вычисления превращают старые числа в новое знание.
Но только если это правильные вычисления.
Вот менее очевидный пример. Три посетителя в ресторане
получают счет на 25 долларов. Каждый вносит по 10 долларов,
и они получают 5 долларов сдачи. Решив, что каждый оставит
себе по доллару, они оставляют оставшиеся 2 на чай.
Но постойте! Так как каждый гость в конечном итоге уплатил
9 долларов, суммарно выходит 27. Вместе с чаевыми в 2 доллара
это будет 29. Но исходно у них было 30!
Куда делся последний доллар?

Это похоже на настоящую задачу, которая как будто требует настоящего ответа. Однако на самом деле эта задача столь

143
ГЛ А ГОЛ Ы

же бессмысленна, как задача о возрасте пастуха. Предполагаемый «недостающий доллар» — лишь фантомный артефакт бессмысленной операции. Я сложил 27 (общую потраченную сумму) и 2 (чаевые), хотя на самом деле эти 2 доллара уже входят в 27. Как сказала бы нам Клэр Лонгмур, это глупо. Если вы
пытаетесь объяснить, куда делись 30 долларов, то 25 уплачено по счету, 2 оставлено на чай, а 3 посетители забрали с собой.
Единственная загадка тут — это зачем нам понадобилось производить совершенно не имеющую отношения к делу операцию 9 + 9 + 9 + 2.
Мы говорим невоспитанным детям: «Не можешь сказать
ничего хорошего — лучше промолчи». У этого высказывания есть математический эквивалент: «Не можешь поставить
разумную задачу — лучше вообще не вычисляй». Но, как и с умением воздерживаться от грубости, тут проще сказать, чем сделать. Вернее, проще сказать, чем не сделать. Школьная математика — арена бурной деятельности: сложение, вычитание,
умножение, деление, не говоря уже о вычислении расстояний,
площадей и объемов... Когда вы годами живете в такой суматохе, труднее всего просто остановиться.
В самом начале этого раздела я признался, что операции не совсем глаголы. Плюс в выражении 2 + 3 устроен скорее как союз (2 и 3) или как предлог (2 с 3). Я сказал тогда, что это
«как будто бы мелкое техническое замечание», и отложил его
на потом. Так вот, «потом» уже настало. Мы читали + и – как
глаголы, указывающие нам, что вычислять. Теперь нам нужно
научиться читать математику совершенно по-новому.
Не как инструкции, но как структуру.
Например, вот самое простое действие, которое я могу себе
представить: 1 + 1. Мы все время читали это как команду «Сложи
эти числа». Но в математической грамматике это не команда.
Это всего лишь объект: два существительных, объединенных
в именное словосочетание. «Один и один» сродни выражению
«собака и другая собака». При желании это можно перефразировать как «две собаки». Но подобная замена не обязательна.
На этом языке 1 + 1 — не вопрос, ответ на который равняется 2;
это существительное, синоним которого 2.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

144
Я над этим работаю...

Ох, опять ты за свое.

1+1
Вот более интересный пример: 3 × 7 × 11. Это не команда.
Это число. При желании его можно заменить на синоним 231,
но при этом кое-что теряется. Попросите меня разделить
231 конфету на равные кучки, и я стушуюсь. Попросите меня
разделить 3 × 7 × 11 конфет на равные кучки, и я буду знать,
что делать: я могу разложить их на три кучки по 7 × 11, или
на семь кучек по 3 × 11, или на 11 кучек по 3 × 7. Замена 3 × 7 × 11
на 231 стирает всю эту информацию; только воздерживаясь
от вычисления, можно сохранить ясное понимание характера этого числа.
Иногда правильное решение — вовсе ничего не решать. Игнорируйте инструкции и сосредоточьтесь на структуре.

3 × 7 × 11
Сейчас сделаю
из них одно
число!
О, симпатичное
число.

145
ГЛ А ГОЛ Ы

Когда я показал черновик этой книги своему дядюшке Полу,
на этом месте я его и потерял. «Не инструкции, а структура? —
переспросил он. — Не понимаю. Для меня математика — это
и есть инструкции».
Я знаю, что Пол не одинок. Многим не с руки читать 3 × 4 как
вещь в себе, как существительное, синоним которого 12. Этот
способ прочтения математики (которому будет посвящен следующий раздел моей книги) когда-то носил очень подходящее
ему название «коссизм», от итальянского cossa, «вещь». То есть,
одним словом, «вещизм».
Однако я буду использовать более привычный термин —
«алгебра».

ГРАММАТИКА

Синтаксис алгебры

очувствую учителям грамматики. У их предмета, как
и у моего, дурная слава. Ученики обычно рассматривают его как узаконенное капанье на мозги, придуманное
для того, чтобы делать естественную речь молодежи («Извиняюсь...») плоской и безжизненной, как у стариков («Приношу
свои извинения...»).
В моем понимании дело обстоит почти с точностью до наоборот.
Возьмем для примера пиджин. Пиджин возникает, когда
носители разных языков сталкиваются в одном месте и вынуждены как-то общаться. Сообща они кое-как вырабатывают достаточный для своих задач разговорник — случайно
собранный перечень базовых выражений, позаимствованных
из несхожих языков. Пиджин представляет собой практическую необходимость, но он ни для кого не является родным, да
и вообще его не назовешь настоящим языком.
Затем у первых пользователей пиджина появляются дети.
Дети идеально приспособлены для освоения языка своего окружения — но что, если у окружения нет языка? В этом случае
дети без видимых усилий совершают чудо: просто разговаривая между собой, они усложняют пиджин до состояния полноценной коммуникационной системы. Как деревянный Пиноккио превратился в живого мальчика, так и пиджин оживает,
становясь настоящим языком — такой язык называется креольским1.
Различие состоит в том, чего нет у пиджина и что есть
у креольского языка: в грамматике. Живая речь молодежи
не противопоставлена грамматике; она и есть грамматика.

147

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

148
Одним словом, грамматика — это структура. Разрозненным словам она позволяет зажить языковой жизнью. Ее правила подобны не столько правилам этикета, сколько правилам
химии: они объясняют, как крошечные частицы (звуки, слова,
суффиксы) сочетаются, образуя многообразную и неисчерпаемую материю языка.
А что тогда грамматика математики?

Мне ужасно жаль,
но я тобой не владею.

2
+
–b
b
– 4ac
–
x=
2a

До сих пор речь в этой книге шла об арифметике. Ее существительные — числа, ее глаголы — операции, а вместе они способны выражать некоторые практические, конкретные мысли,
например 9 = 2 + 7.
Но арифметика — это скорее пиджин, чем настоящий язык.
Почему разные операции иногда дают одинаковый результат?
Когда можно упростить нудный расчет? Как неточность измерения влияет на дальнейшие вычисления? Арифметика поднимает эти вопросы, но не может на них ответить (по крайней
мере, арифметика в той форме, в которой мы ее учили). Пиджин не позволяет формулировать суждения о самом себе.
Но сейчас все изменится. В этой части книги пиджин расцветает, становясь креольским языком. Из словосочетаний арифметики рождается язык алгебры.

149
Да, 12, и... ого...

x(x+x2)?

Пиджин
арифметики

x2+x3!

Креольский
язык алгебры

Термин «алгебра» восходит к арабскому «аль-джабр» (‫ﺎب‬
ِ ‫) ِﺣ َﺴ‬.
Это слово означает соединение обломков, как при лечении
перелома. В математику оно пришло в роли метафоры: подобно тому, как хирург сращивает сломанную кость, алгебраист
соединяет обломки неизвестных количеств. Можно развить эту
метафору и в другом направлении: если арифметика — россыпь
фрагментов кости, то алгебра сращивает их в единое целое,
в новую конечность, готовую послужить человеческому разуму.

Символы
Когда я спрашиваю математиков, какое у них любимое математическое обозначение, они обычно ощетиниваются. Реакция понятная: это несколько напоминает вопрос музыканту, какая у него
любимая нота, или вопрос повару, какая у него любимая температура готовки. Не то чтобы такое любопытство свидетельствовало
об уважении к тонкостям их искусства. Однако, если математики
снисходят до ответа, они демонстрируют удивительное единодушие: все они обожают сигму, символ суммирования.

Г РА ММАТ И КА

2(2+4)?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

150

Слово «символ» происходит от древнегреческого σύμβολον —
это косточка надкопытного сустава животного, которую разламывали пополам, вручая половинки двум разным людям наподобие нынешних медальонов-сердечек с надписью «Друзья
навеки». Симболон связывал вас с далеким товарищем; символ
связывает вас с далеким понятием. Это знак смелой абстракции.
Как таковой математический алфавит не похож на английский. Каждый его символ выражает идею. Вместо 26 букв, обозначающих несколько десятков звуков, тут мы имеем тысячи
символов, значения которых находятся в состоянии перманентной неопределенности, связанной с нашими попытками
отразить непрерывно расширяющийся репертуар идей.
В математике наш алфавит включает:

СЛЕГКА ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ПАЛОЧКИ

СЛЕГКА ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ КРУЖОЧКИ

СЛЕГКА ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ КРЕСТИКИ
И

151

ПЕРЕЧЕРКНУТЫЕ ШТУКИ

ВСЕВОЗМОЖНЫЕ СКОБКИ

МАЛЕНЬКИЕ СКОПЛЕНИЯ ТОЧЕК

ЛИПОВЫЕ ЗНАКИ РАВЕНСТВА

БУКВЫ В ДИКОВИННЫХ ШАПОЧКАХ

СЛОВА, КОТОРЫЕ ЗНАЧАТ НЕ ТО,
ЧТО ДОЛЖНЫ *

* Совпадают с английскими словами log («бревно»), tan («загар»), sec («секунда»), sin («грех»).— Прим. пер.

Г РА ММАТ И КА

ПО-РАЗНОМУ ДЕФОРМИРОВАННЫЕ БУКВЫ Е

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

152

ЗНАКИ, КОТОРЫЕ ТОЧНО ПОВЕРНУТЫ
НЕ В ТУ СТОРОНУ

ЛОГОТИП ФИЛЬМА «ДЮНА»

СЛИШКОМ МНОГО СПОСОБОВ
СКАЗАТЬ «УМНОЖАЙ»

ВЕЩИ, КОТОРЫЕ ПРОСТО НЕ ВЫЗЫВАЮТ ДОВЕРИЯ

Чтобы прочувствовать, как работает математический алфавит, давайте разберемся в кучке символов, которую мы видели выше:
.
Импозантная  (заглавная греческая буква «сигма») обозначает сумму. Выражаясь конкретнее, она складывает в единую
сумму много копий того, что стоит справа от нее (в данном слу1
). Значения k начинаются с числа под сигмой (в данном
чае _
k2
случае k = 1), а затем с каждым шагом увеличиваются на единицу (2, 3, 4), пока не достигают числа над сигмой (в данном случае 50).

153

1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +
_
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2
1
_

1
_

+ 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 + 15 2 + 16 2 + 17 2 + 18 2 + 19 2 + 20 2 +
+_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +
+_
21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 27 2 28 2 29 2 30 2
+_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +_ +
+_
31 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 2 40 2
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 +_
1 .
+_
41 2 42 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 49 2 50 2

Сложите все это, и получится приблизительно 1,625. Или,
если вы предпочитаете неокругленные ответы, получится
в точности
3 121 579 929 551 692 678 469 635 660 835 626 209 661 709 .
1 920 815 367 859 463 099 600 511 526 151 929 560 192 000

Впечатляет, правда?
Как мы узнаем в следующей главе, переменная k — торжество краткости. В то время как у числа типа 4 или 7 есть единственное определенное значение, у скользкого числа k его нет.
В приведенной выше фразе оно в одно мгновение принимает
50 значений (1, 2, 3 и т. д.). Чудесная лаконичность!
Между тем  достигает сжатия другого рода. В то время как k
выражает 50 простых идей,  выражает одну сложную: сложить
все эти вещи в единую сумму. Подобная краткость — обычное дело
в математике, где несколько незамысловатых знаков — скажем,
SLn(k) или O(n3) — способны выражать идею столь изощренную,
что вам понадобится несколько лет в университете, чтобы ее
понять. Это как если бы всего одна музыкальная нота выражала
всю Девятую симфонию Бетховена или одна буква — весь текст
романа Джейн Остин «Разум и чувства».
Так или иначе, когда символы  и k действуют заодно, получается нечто особенное. Пятьдесят дробей в каких-то девяти
знаках. Это нечто вроде математического аналога клоунского
автомобиля, когда десятки клоунов втискиваются в простран-

Г РА ММАТ И КА

Вот то же самое, развернутое как обычная сумма:

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

154
ство немногим большее, чем словосочетание «десятки клоунов». Что еще удивительнее, мы можем (просто изменив число над сигмой) с той же легкостью втиснуть туда 50 000 клоунов — или 50 млрд.

Лаконичное выражение
изощренной идеи

Одно число, обладающее
силой пятидесяти

Одна моя коллега как-то в расстроенных чувствах спросила,
почему ее ученики отказываются читать учебник по математике.
Первое образование у нее было биологическим, а в этой области учебник — сколь бы трудным и насыщенным он ни был —
служит незаменимым источником знаний. Теперь же она преподавала алгебру, и ее выводила из себя неспособность учеников почерпнуть из текста учебника хотя бы что-то. «Почему им
надо все разжевывать?» — вопрошала она.
Мне пришлось признаться, что я и сам не очень-то умею
читать математические тексты. У меня два образования —
психологическое и математическое. Так вот, чтение десятистраничной статьи по психологии занимает у меня 20–30 минут,
тогда как на десятистраничную статью по математике может
уйти пара дней. А то и десятилетий.
Проблема не в дремучести читателей, а в дремучем лесу символов.
Желающие освоить английский начинают с алфавита.
В математике это просто невозможно: вы учите алфавит
по ходу дела. В итоге получается язык мучительно медленный —

155

Переменные
Дайте угадаю: вы перестали ладить с математикой в тот
момент, «когда появились буквы».
Возможно, лично к вам это не относится. Возможно, вы,
к примеру, лауреатка Пулитцеровской премии Натали Уолховер, обозревательница журнала Quanta Magazine, — в таком случае должен признаться, что обожаю ваши статьи, Натали! И все
же, лауреат вы или нет, я готов поклясться, что вам знакома
вечная жалоба: «С числами у меня было все в порядке, но буквы я не осилил». Сам я слышал слишком много вариаций на эту
тему, чтобы их сосчитать — разве только мне позволят обозначить их количество буквой, и тогда я слышал их n раз.
Так в чем дело с этим n? Или, если уж на то пошло, с x, y, m и q,
не говоря уже об их греческих родственниках — , ,  и прочих?
Что они такое? Если одним словом, то переменные.
Что они делают? Если одним словом, то они меняют свое
значение.
Но мой совет таков: думайте о них как о математических
местоимениях.
Английские местоимения употребляются по-всякому, но
я имею в виду одно конкретное употребление: местоимения
как дублеры имен собственных. Например, вместо того чтобы
сказать «Бен поганец», можно сказать «Он поганец». Местоимение «он» заменяет существительное «Бен». Местоимения
типа «он», «она» и «они» позволяют нам говорить о поганцах,
не упоминая их имен — более того, даже не зная их имен.

Г РА ММАТ И КА

и необыкновенно красивый. При ближайшем рассмотрении
непритязательная маленькая k или  оказываются фамильной
драгоценностью, концентрирующей в крохотном пространстве
целые бездны ценности.
Это еще одна причина, по которой математикам бывает непросто выбрать любимое математическое обозначение: когда каждый символ наделен таким смыслом, трудно не любить их все.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

156
Аналогичным образом в математике переменные позволяют нам говорить о неназванных или неизвестных числах.
3 + x расшифровывается как «на три больше, чем какое-то другое
число». Можно сказать, «на три больше, чем она».

3 + –1,78

Не обращайте
на меня внимания.
Я просто дублер.

Переменная, как и местоимение, зачастую отсылает к конкретной сущности. Если я спрошу, не проплывала ли тут поющая русалка, вы можете ответить: «Да, она поплыла вон туда».
В этом случае «она» — кто-то конкретный, чье имя вам неизвестно (хотя «Ариэль» — вполне вероятный вариант). Точно так
же, если мы говорим, что 3 + x = 5, то х отсылает к конкретному числу, названия которого мы пока не произнесли (хотя, возможно, у вас есть на этот счет свои догадки).
И все-таки переменные способны на большее: они позволяют нам обобщать. Одна-единственная переменная может одновременно отсылать ко множеству чисел.
В английском языке для обобщения обычно используется
множественное число. «Коровы едят траву». «Страны нуждаются в мудрых лидерах». «Последующие альбомы чаще всего хуже
дебютных». Но в математике нет множественного числа. Нам
приходится использовать единственное. «Корова ест траву».
«Страна нуждается в мудром лидере». «Последующий альбом
чаще всего хуже предшествующего».
Сходную задачу могут выполнять местоимения единственного числа. Например, если я хочу запретить своим знакомым
детям опасное поведение, я могу составить список конкретных
запретов: «Кейси нельзя бегать с ножницами», «Ронье нельзя
бегать с ножницами», «Рейхан нельзя бегать с ножницами» и т. д.
Но проще и универсальнее будет сформулировать общее правило: «Никому нельзя бегать с ножницами». Слово «никому» —

157

1 пиццы хватает на 3 едоков

2 пицц хватает на 6 едоков

3 пицц хватает на 9 едоков

р пицц
хватает
на 3р
едоков

С английскими местоимениями бывают рискованные ситуации: не всегда ясно, к кому они относятся. Например, о чьем
пароле идет речь в предложении «Он сказал ему его пароль»?
И тот, кто сказал пароль, и тот, кто его услышал, относятся
к мужскому роду, поэтому «его» может относиться к обоим.
Возникает грамматическая двусмысленность *.
* В современном английском отсутствует местоимение «свой», которое помогает в таких случаях в русском.— Прим. пер.

Г РА ММАТ И КА

местоимение, общее понятие, одновременно замещающее Кейси, Ронью, Рейхан, Рейчел, Ханана и всех прочих маленьких ангелочков.
Так же обстоит дело и с математическими правилами. Можно сказать: «Одной пиццы хватает на трех едоков», «Двух пицц
хватает на шестерых едоков», «Трех пицц хватает на девятерых едоков», «Миллиарда пицц хватает на три миллиарда едоков» и т. д. Но этот список никогда не закончится. Проще сказать: «Любого числа пицц хватает на втрое большее число едоков». А еще лучше: p пицц хватает на 3p едоков.
Переменная p — чудо краткости. Она сжимает бесконечный
список утверждений до всего лишь одного.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

158
Можно представить себе аналогичную путаницу и в математике. «Одно число равняется второму числу плюс его квадрат». Чей квадрат — первого числа или второго числа? Мы
избавляемся от этой путаницы, сопоставляя с каждым числом свою уникальную переменную. Этот язык настолько гибок,
что у каждого тут особое местоимение. «Одно число» будет x,
«второе число» будет y, а равенство полностью, в зависимости
от того, чей квадрат мы имеем в виду, будет выглядеть либо как
x = y + x2, либо как x = y + y2.
Такая множественность местоимений ставит вопрос, какие
из них выбирать для обозначения данного конкретного числа.
Ответ (и здесь все совсем не так, как в английском) заключается
в том, что это оставлено на усмотрение говорящего. Вы можете
приписать числу любое местоимение, какое пожелаете.
Например, выше я сказал, что p пицц хватает на 3p едоков. Почему p? Тут нет никакой глубокой причины; просто
слово pizza («пицца» ) начинается на p. Буква — всего лишь
заменитель, у нее нет самостоятельного значения. С тем же
успехом я мог бы сказать, что x пицц хватает на 3x едоков,
пицц хватаили что  пицц хватает на  едоков, или что
ет на 3 едоков. Все эти предложения передают одну и ту же
мысль.
Учил я как-то восьмой класс, страдавший от эпидемии
скверного почерка. Ученики не могли разобрать то, что сами
писали: они путали b с шестерками, g с девятками, а t с плюсами. Некоторые из них в отчаянии заменяли все переменные
на х и у — единственные символы, которые они могли уверенно различать. Подобная замена вполне законна, но несколько
мешает общению. Это все равно как если бы кто-то сказал: «Вот
история о двух вымышленных персонажах, которых зовут Алиса и Боб», на что вы отвечаете: «Нет, я буду звать их Хочитль
и Юсуф». Ясно, что вы имеете в виду, но взаимопонимание это
затрудняет.
Переменные — это средства общения. Вот почему математики выработали общие привычки для выбора обозначений переменных. Эти широко принятые договоренности помогают нам
структурировать общее знание.

159

классический
ребенок

неизменяемый
ребенок

зависимый
ребенок

средний
ребенок

близнецы
бли

огромный
ребенок

комплексный
ребенок

крохотный
ребенок



Никто не заставляет вас делать так под дулом пистолета.
Вы можете, если вам угодно, обозначить большое число как ,
а малое число как N. Но это будет примерно как назвать фирму
по продаже половой доски «Джиллиан», а ребенка — «Мир паркета». Абсолютно законно, но вызывает невероятную путаницу.
Я понимаю, почему людей нервируют буквы. Но математика
без переменных выглядела бы языком без местоимений. Только
представьте себе: я мог бы написать эту книгу для Натали Уолховер,
или для своих бывших учеников Шижу, Кайсы и Локеша, или для
барда Джоша Риттера, или для любых других людей... но я никогда
не смог бы написать ее для вас. (Если, конечно, вы не Джош Риттер.
В таком случае сообщаю, что обожаю вашу музыку!)

Выражения
В студенческие годы я вообще не понимал Хемингуэя. Телеграфный стиль, грязь, вкрапления испанского — все это меня озадачивало (притом что я владею испанским). Когда я рассказал

Г РА ММАТ И КА

Таблица имен для новорожденных переменных

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

160
о своих трудностях другу Майку, он кивнул. «Мне кто-то говорил, что, прежде чем понять Хемингуэя,— сказал он,— нужно
сделать три вещи: напиться в стельку, поучаствовать в уличной
драке и влюбиться».
Не на 100% уверен насчет конкретных деталей, но в основном Майк прав. Чтобы понимать литературу, нужен опыт. Прежде чем размышлять о жизни, нужно пожить.
Так какой необходим опыт, что требуется пережить, чтобы
понять выражение 4n + 2?

Прежде
чем
понять...

«И восходит
солнце»

«Старик
и море»

Хемингуэй

«По ком
звонит
колокол»
Хемингуэй

???

Нужно
сперва...
напиться

подраться

4n+2

влюбиться

В английском языке слово «выражение» может означать расхожее клише, вроде «Не было бы счастья, да несчастье помогло»
или «Никогда не знаешь, где найдешь, где потеряешь». Эти два
примера — законченные предложения, но другие выражения
представляют собой всего лишь словосочетания, выполняющие
грамматическую роль существительных: например, «идеальный
шторм», или «белая ворона», или «последняя капля». Именно
такие примеры указывают нам путь к алгебраическим выражениям.
В математике выражение — это описание одного числа
с помощью другого. Это все равно что сказать «чей-то любимый
певец» или «чей-то бывший остеопат». Например, выражение
x + 3 означает число, которое на три единицы больше другого.
Аналогично, 5x — это число, которое в пять раз больше другого.
Как и в случае с Хемингуэем, эти краткие выражения проще
выговорить, чем понять. Прочитать их легко, но прочесть их
трудно.

161

6 10 14 18 22
Задача состояла в том, чтобы выработать методику расчета любого члена этой последовательности — седьмого, семитысячного, даже семимиллионного,— а затем свести эту методику к наиболее лаконичному выражению. Создать такое выражение — значит превратить процесс в объект, как во что.
Я приготовился к долгому и трудному уроку. Но, к моему
удивлению, несколько мальчишек закричали: «Я знаю, как это
сделать!» — и тут же написали:

4n+2
Как они получили это выражение? «Нужно взять второе число,
вычесть первое,— стал взахлеб объяснять один мальчик.— Потом
поставить рядом с n. Затем нужно вычесть это из первого числа
и сложить результаты». Остальные энергично кивали, соглашаясь.
Но постойте: как именно этот непроницаемый сгусток алгебры
связан с первоначальной цепочкой чисел? Что вообще означает n?

Г РА ММАТ И КА

Впервые мне довелось преподавать алгебру одиннадцатилетним детям на северо-западе Англии. Одним из наших первых заданий было продолжить числовые последовательности —
например, такую:

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

162
На эти вопросы они лишь хлопали глазами. Для них задание было
выполнено, а мои вопросы были столь же неуместными, как «Что
есть время?» и «Может ли человек быть истинно благим?».
С моей же точки зрения, они понимали алгебру не лучше,
чем я Хемингуэя. Так что за следующие несколько недель я разработал целую процедуру объяснения, откуда берется 4n + 2.
Для начала мы все вместе смотрим на эту последовательность и нумеруем ее члены:

Если хочешь,
можем называть
их «штучки».

Почему «члены»?

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6 10 14 18 22

Потом я спрашиваю, что происходит на каждом шаге. Большинство учеников догадывается, что всякий раз прибавляется по 4.

А, это как годы Олимпиад!
1-й

2-й

3-й

4-й

Да. Вот тебе
золотая
медаль.

5-й

6 10 14 18 22
+4

Это позволяет нам переписать данную последовательность
следующим образом:

163

Теперь я не знаю,
какие это числа.
1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

+4
+4

+4
+4
+4

6 +46 +4
6 6+4 6+4

Все хорошо — но разве не красивее будет (задаю я наводящий вопрос), если в первом члене будет одна четверка, во втором две, в третьем три и так далее?
Мои ученики соглашаются — возможно, просто из вежливости,— и я получаю эту дополнительную четверку, вычтя ее из 6:

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

4
4
4
4
+2 +4 +4 +4
+2 +4 +4
+2 +4
+2

4
+4
+4
+4
+4
+2

Вы это все
зачем?

Сейчас
увидишь!

Все это оказывается лишь прелюдией к следующему шагу.
Я начинаю ритмичный речитатив — нечто вроде песни о числах без мелодии.

Г РА ММАТ И КА

Ты знаешь кое-что
получше: из чего они
состоят.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

164

Смотри, что выходит
1 член равен четырем плюс два.
1-й
2-й член равен двум четверкам
плюс два.
3-й член равен трем четверкам
плюс два.
4-й член равен четырем четверкам
плюс два
К этому моменту некоторые ученики уже улавливают закономерность. Но в большинстве случаев требуется побольше примеров, побольше жизненного опыта. Это превращается в игру:
я называю член, а они сообщают его значение.

10-й член?
10 четверок плюс два.
20-й?
50-й?
700-й?

20 четверок плюс два.
50 четверок плюс два.
700 четверок плюс два.

Неважно, какие тут будут точные значения (в данном случае
42, 82, 202 и 2802). Закономерность видна все четче. Внешние
слои последовательности отваливаются, как комья грязи. Под
ними уже можно рассмотреть блестящее металлическое ядро.
Продолжаем...

165

Миллиард четверок
плюс два.
ТТарарамный?
Тарарам четверок
плюс два.
nn-ный?
n четверок плюс два.

Пылевое облако
арифметики

к или...
ро

4× 3

четве
уча

+2
4× 9

целая к

2+
4 ×1+

д в а пл

юс

4×

+2
4× 7

Вот и он, рожденный из вихря камней и пыли, словно новорожденная звезда. n-ный член: n четверок плюс два. Или, если
угодно, 4n + 2. В этом маленьком квартете символов закодирован рецепт вычисления любого члена: седьмого, семитысячного, даже семимиллионного. Наше выражение содержит в себе
члены всей бесконечной последовательности. Такая крупица
алгебры рассказывает бесконечную историю.
Это и есть алгебраический скачок: мы уходим от операций
с конкретными числами. Теперь мы описываем эти операции,
используя обобщенные числа. Такая математика, пишет Карен
Олссон, есть «первый шаг в сторону от самих чисел, перенос
внимания на их общую динамику, от неповоротливых существительных к связывающим их вертким глаголам»2.
Бесконечно длинная последовательность сжимается в одно
выражение, излучая члены, как звезда излучает фотоны.

Протозвезда
абстракции

4n+2
Новорожденная
звезда алгебры

Г РА ММАТ И КА

М
Миллионный член?
Миллион четверок плюс два.
М
Миллиардный?

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

166
Я так и не сумел придумать, как научить этому целый класс.
Скорость обучения слишком различна, слишком непредсказуема. Вместо этого я повторял эту процедуру снова и снова,
по отдельности для каждого ученика. Иногда мне требовался
десяток примеров, иногда несколько десятков, а порой лишь
три или четыре. Не существует универсального порога опыта, за которым наступает математическое озарение — момент,
когда процесс («Умножьте на 4, затем прибавьте 2») вдруг кристаллизуется в объект (4n + 2). Мы, обучающиеся, индивидуальны — это и выводит из себя, и одновременно прекрасно. Возможно, вы получали удовольствие от Хемингуэя в 15 лет, а мне,
быть может, уже исполнится 75, когда я ввяжусь в пьяную драку и наконец сумею оценить «Прощай, оружие».

Равенства
Во время своих пробежек от Сент-Пола до Миннеаполиса
я порой вижу демонстрантов: с полдесятка пенсионеров стоят на шумном мосту над Миссисипи, вцепившись руками
в варежках в протестные плакаты, объявляющие, что они против... Ну, я толком не уверен, против чего именно. Слова разобрать нетрудно, но смысл их туманен. Все, что я могу сказать
с уверенностью,— это то, что они, по-видимому, с подозрением относятся к войнам.
СПРАВЕДЛИВОСТЬ
по мере
возможности

СВОБОДА
когда она уместна

167

У вас есть что сказать публике?
Да! 9 = 7 + 2.

Не могу отрицать, что это верно, как
и притворяться, будто это интересно.

Г РА ММАТ И КА

И все же я машу им рукой в знак солидарности. Я тоже
с подозрением отношусь к войнам, а кроме того, обожаю тот
абстрактный символ, который украшает единственный запомнившийся мне плакат.
В языках существуют три основных вида предложений.
Повествовательные — это утверждения («Небо голубое»); вопросительные — это вопросы («Небо голубое?»); и побудительные — это команды («Покрась небо в голубой цвет»). Что касается математики, среднестатистический ученик воспринимает
ее как язык предложений вопросительных («Какова площадь?»)
и побудительных («Реши это уравнение»), в котором едва ли
есть место повествовательным.
Но все как раз наоборот. Всякое равенство — это повествовательное предложение, утверждение, что две вещи тождественны.
Знак равенства — это не восклицательный знак («Сосчитай!»)
и не вопросительный («Чему это равно?»), а глагол настоящего времени.
Знак = представляет собой краткую запись слова «равняется».
Таким образом, математическая грамматика несколько
однообразна. В переводе на обычный человеческий язык страница равенств будет выглядеть как монотонный перечень: «А равняется В. Между тем С равняется D. Более того, Е равняется F...».
Но на родном языке математиков эти повторы — не стилисти-

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

168
ческие ошибки. Они наделены четкостью и эффектностью. Когда
у всех предложений одна и та же форма, наше сознание может
сосредоточиться на их дивно разнообразном содержании.
Так что это за содержание? Что говорят равенства?

Итак, ваш возраст... на год
меньше, чем ваш возраст?

Да. Я выгляжу моложе,
чем выгляжу.

x=x–1

Откровенно говоря, некоторые равенства (как и некоторые
повествовательные предложения) достаточно заурядны. Они
представляют собой математические эквиваленты фраз «Я уже
пообедал» или «Моего брата зовут Фредерик».
Другие равенства — бесстыдное вранье. Например, x = x – 1.
Так как ни одно число не может быть меньше себя на единицу,
это категорически неверно.

Тссс... вы слышали, что
3x + 2 = 22 – x?

Какой позор!

Ничего себе!

169

2x + 3x = 5x
Ого! Какая вечная мудрость!
Что? Это же
самоочевидная
банальщина!
И я о том же.

Теперь, когда мы перечислили разновидности равенств,
можно было бы на этом завершить урок и вприпрыжку пуститься домой — если бы не проблема математического «та-дам!».
Рассмотрим такое неполное высказывание: 7 + 2 = __ + 3.

Г РА ММАТ И КА

Третьи равенства условны: они верны при определенных значениях переменной, но не при иных. Они отсылают к конкретным, но не названным числам, словно алгебраические сплетни.
Равенство 7 + x = 11 говорит нам о том, что семь плюс некое число в сумме дают 11. Это как сказать «Я видел, как кто-то обнимался с вашей кузиной» или «Похоже, кто-то съел последнюю
булочку с корицей».
Наконец, некоторые равенства верны для всех значений.
Такие равенства мы называем тождествами, и они, по сути,
представляют собой банальности: общие места, числовые
штампы. В некотором смысле это делает их неинформативными; однако вспомним афоризм «Не стоит недооценивать могущество избитых истин».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

170
Что подставить на пустое место? Если прочесть это равенство
как предложение, оно переводится так: «7 + 2 — то же самое, что
__ + 3». Это достаточно просто; так как левая часть равна 9, то
недостающим числом будет 6.
Но ученики часто пишут по-другому3:

7 + 2 = 9+ 3

Теперь это высказывание гласит: 9 = 12. Не самое верное
утверждение, которое мне приходилось слышать. Однако дело
в том, что такие ученики читают это высказывание не как
утверждение. Для них знак равенства — не глагол, а своего рода
барабанная дробь, под которую оглашают ответ, математическое «та-дам!».
Это характерный признак до-алгебраического мышления:
рассматривать равенство не как утверждение, а как своего рода
действие. Фраза 7 + 2 = автоматически ведет к ответу 9, как если
бы мы вбивали цифры в калькулятор внутри вашей головы.
Так поступают не только дети. Многие люди тащат представление о «та-дам!» во взрослую жизнь, воспринимая алгебру
не как ряд утверждений, а как ряд невнятных инструкций.
Если выражение 8–5 = __ велит мне вычесть, то что велит мне
2x = x2? Впасть в истерику? Заорать? Поступить на филологический факультет?

171

Вчера я видел ту женщину
в ярко-желтом платье,
и она была...
Ни слова больше!
Я берусь за это дело.
Но я просто рассказывал историю...
Моя такса —
1000 долларов в день.
Демонстранты на мосту, похоже, это понимают. Ровно
посредине между двумя городами-близнецами они держат
плакат с идеями-близнецами. Мимо трусят глупые бегуны,
ошибочно понимающие их знак как команду, призыв к действию. Но демонстранты на мосту знают: «Мы все равны» —
это всего лишь простая констатация истины.

Г РА ММАТ И КА

В реальности 2x = x2 вообще ничего не велит вам делать. Будучи условным равенством, оно делится пикантной сплетней:
«Одно число, умноженное на два, дает собственный квадрат».
Человеческим эквивалентом этого утверждения было бы «Коечей зубной врач — одновременно ее любовник» или «Кое-чей
ветеринар — одновременно его злейший враг».
Конечно, тут естественно полюбопытствовать, о ком мы
говорим. На самом деле огромная часть алгебры — это собрание
методик извлечения информации из таких условных равенств,
или уравнений, для того, чтобы найти неизвестное число. Этот
процесс напоминает разгадку детективного сюжета и даже
называется соответственно — решением уравнения.
Но помните, само по себе равенство никогда не требует от вас
и пальцем пошевелить. Это только утверждение о факте.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

172

Неравенства
Когда мне было 15, один приятель рассказал мне о «правиле
половины и семи»: в романтических отношениях минимальный возраст партнера должен составлять половину вашего
возраста плюс семь лет. Я тут же принялся мысленно подставлять в эту формулу разные возрасты и сопоставлять результат
с тем, что подсказывала мне собственная интуиция — непогрешимый авторитет, не отягощенный опытом реальных знакомств.
Например, 20-летний может знакомиться с 17-летней, но
не с 16-летней. Выглядело здраво.

слишком юная

достаточно
точччно
но
взрослая
ая

13 14 15 16 17 18 19

21 22 23

В свою очередь, 26-летний может знакомиться с 20-летней,
но не с 19-летней. Тоже резонно.

слишком юная

достаточно
взрослая

17 18 19 20 21 22 23 24 25

А 40-летний может знакомиться с 27-летней, но не 26-летней. Спорить не о чем.

173
Г РА ММАТ И КА

достаточно
взрослая

слишком юная

22 24 26 28 30 32 34 36 38

Наконец, если вам меньше 14, тогда вы... вообще ни с кем
не можете знакомиться. Правило потребует партнера старше
вас, но для такого партнера вы сами будете непозволительно
юны. Возможно, именно поэтому мне пришлось по душе правило «половины и семи»: по этой логике, раньше 14 лет знакомиться с девочками нельзя. Я не отставал от сверстников; я всего лишь следовал протоколу.

она слишком юна
для тебя

ты слишком юн
для нее

Правило «половины и семи» представляет собой неравенство. В то время как равенство объявляет две вещи равными,
неравенство объявляет, что одна из них больше (или меньше), чем другая. Всякий раз, когда мы говорим «больше, чем»,
«меньше, чем», «по меньшей мере» или «самое большее», мы
выражаемся неравенствами. Ими кишат статистика, инженерное дело и многие другие области. Неравенства — это язык ограничений, рамок и допусков.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

174
В то время как в равенствах всегда используется один и тот
же глагол, в неравенствах задействованы четыре разных.
Во-первых, x > 4 означает, что x больше, чем 4. Он может быть
совсем чуточку больше (хоть 4,0001), но не может быть равен 4.

Во-вторых, x ≥ 4 означает, что x равен как минимум 4. Четыре — допустимое значение. Эту черточку снизу мы понимаем
как нижнюю половину знака равенства и читаем такой символ
как «больше или равно».

В-третьих, x < 4 означает, что x меньше 4. Сюда входит значение 3,9999, но не само 4.

Наконец, x ≤ 4 означает, что x составляет максимум 4. Это
читается как «x меньше или равно 4».

Неравенства обычно не такие жесткие, как равенства, в том
смысле что они допускают множество возможных значений.
В то время как x = 4 подразумевает конкретное число, x > 4 допускает безграничный диапазон возможностей, от 4,3 (и меньше) до 4,3 трлн (и больше). Подобная свобода может утомлять.
Равенства подобны партнеру, который требует пойти в конкретный ресторан, тогда как неравенства с улыбкой отвечают:
«Ой, да мне неважно, а куда бы тебе хотелось?» Больше вариантов выбора для вас — и больше работы.

175

На аттракцион
допускаются
ся
дети ВЫШЕ
Е
этого роста
а

или

На аттракцион
допускаются
ся
дети ТОЛЬКО
О
такого роста
а

«Люди ошибочно считают, что математика состоит из одних
равенств,— сказал как-то физик Стивен Хокинг.— На самом
деле, равенства — это скучная часть математики»4. Подозреваю, что он имел в виду геометрические идеи, запрятанные
внутри уравнений, но математик определенного склада мог бы
воскликнуть: «Да, именно! Интересная часть математики — это
неравенства».
Тем не менее равенства и уравнения господствуют
в популярных представлениях о математике. Никто не пишет
книги с названиями вроде «Неравенство счастья». Слово
«неравенство» ассоциируется с протестующими леваками,
а не с инженерами, рассчитывающими допустимую погрешность при строительстве моста. Однако без неравенств язык
математики был бы безнадежной кашей. «Чтобы разобраться в задаче, нет ничего лучше хорошего неравенства,— писал
когда-то математик Седрик Виллани.— Неравенство выражает

Г РА ММАТ И КА

С другой стороны, подобная гибкость — зачастую именно то,
что нам нужно. Равенство «половина плюс семь» предписывает конкретную возрастную разницу для пар: 60-летние должны
знакомиться с 37-летними и ни с кем больше. Напротив, неравенство «половина плюс семь» допускает диапазон: 60-летние
могут знакомиться с 37-летними, с 46-летними, с 51-летними и т. д.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

176
главенство одного члена... над другим, одной силы над другой, одной сущности над другой»5. Даже если наше мышление
кишит равенствами, наша жизнь кишит неравенствами.
Например, знак ограничения скорости означает, что вы
можете ехать со скоростью максимум 65 миль в час. Нет необходимости ехать со скоростью точно 65 миль в час.

Ограничение
скорости

Для ясности,
это значит

65
65

А не

65
65,
психи!

Точно так же, когда моя дочь просит побыть «еще пять минуточек» на детской площадке, она не требует точно пять минут.
Ее вполне устроят шесть или семь (или сто).

Время > 5 минут?
Нет.
Время  5 минут?
Ладно.

177

С работы
по делам

От дел
домой

С работы
домой

Работа

ПОНЧИКИ
И

Дом
Дела
Неравенства занимают не слишком много места в воображении широкой публики. Они прозябают в тени своих красивых
собратьев с симметричными лицами — равенств. Я часто ловлю
себя на том, что выступаю в защиту неравенств, как будто эти два
рода математических высказываний конкурируют друг с другом.
Но, разумеется, это глупо. Они сотрудничают: ключом к решению уравнения часто служит неравенство, и наоборот. Полагаю,
это результат моего собственного опыта с правилом «половины и семи»: мы с моей женой Тарин — ровесники с точностью
до недели. В алгебраических категориях можно сказать, что
x
равенство y = x удовлетворяет условиям неравенства y > _
2 + 7.
По крайней мере, при x > 14.

Г РА ММАТ И КА

Вот мой любимый пример: когда по дороге с работы домой
вам нужно еще куда-то забежать по делам, самый короткий
путь всегда — напрямик из пункта А в пункт Б, а не через пункт В.
Этот непримечательный факт, известный как неравенство треугольника, играет основополагающую роль в том, как математики представляют себе расстояния.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

178

Графики
Когда ученик не в силах решить математическую задачу, мы, учителя математики, часто даем один и тот же совет: «Нарисуй картинку». С этим мудрым советом только одна проблема: не всегда
понятно, что именно рисовать. Мой друг Майкл Першан как-то
1 _
2 6
дал этот совет третьекласснику, пытавшемуся сложить _
4 + 3 . Он
надеялся, что дитя нарисует пару кружочков и затем разрежет их
на куски. Но когда через пять минут он подошел снова, ученик,
вместо того чтобы делить кружок на четверти, пририсовывал
тени и ценники к очень реалистичному изображению прилавка
в кондитерской. А что, он же нарисовал картинку...
Подобная путаница свойственна не только детям. Вполне
взрослые авторы учебников иногда ставят картинки ненужных
военных самолетов и не имеющих отношения к делу гепардов,
как будто секретный ключ к математике состоит в том, чтобы
хоть что-то вообразить. Но сложность этого предмета — вовсе
не в том, чтобы вспомнить, как выглядят кошачьи. Она в том,
чтобы разобраться в абстрактных идеях.
Труднее всего в алгебре сформировать зримый образ незримого.

y=x

Алгебра — это изучение отношений. Не в романтическом
смысле, а в смысле «двух чисел, которые соотносятся между
собой». Температура по Фаренгейту соотносится с температурой
по Цельсию. Диаметр пиццы соотносится с количеством едоков,
которых она накормит. Время, за которое вы успеете пройти
одну милю, соотносится со скоростью, с которой вы двигаетесь.

179

на сколько
градусы Фаренгейта =
едоков хватит минут на преодоление одной
мили = 60 / скорость
1,8 × градусы Цельсия + 32
пиццы =
2
диаметр / 64

Если же мы хотим показать отношения на немногих ясных
и конкретных примерах, мы пользуемся таблицами. Таблицы
воспринимаются легче, чем равенства, но они неполны — как
несколько кадров, извлеченных из многочасового видео.

ºF
113
86
59
32
5
–22

ºC
45
30
15
0
–15
–30

Диаметр Едоков
8 дюймов
1
12 дюймов
2
14 дюймов
3
16 дюймов
4
132,2 фута 40 000

Как ощущается
Слишком жарко
Жарко
Прохладно
Холодно
Жуть как холодно
Не рекомендуется
Размер
Маленькая
Средняя
Большая
Супербольшая
Мировой рекордд

Г РА ММАТ И КА

Если мы хотим обозначить эти отношения предельно обобщенно и точно, мы используем равенства. Равенства содержат
головокружительное количество информации, но ее порой
трудно из них извлечь.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

180
Скорость
3 мили/час
8 миль/час
15 миль/час
30 миль/час
120 миль/час

Время Способ передвижения
20 мин
Пешком
7,5 мин
Бегом
4 мин
На велосипеде
2 мин
На машине
0,5 мин
Затяжной прыжок
в парашютном спорте

Если равенства полны, но непонятны, а таблицы понятны,
но неполны, есть ли способ соединить достоинства того и другого? Существует ли визуальный язык, благодаря которому все
отношение становится понятно с первого взгляда?
Подсказка: название этой главы.
Графики работают по логике широты и долготы. Передвигаясь по планете, вы можете описать свое точное местоположение
с помощью двух чисел: широты (насколько вы удалены к северу
или югу от экватора) и долготы (насколько вы удалены к востоку или западу от нулевого меридиана). Эта система превращает
географию в числа: каждой точке на земном шаре соответствует уникальная пара значений.
Графики представляют собой то же самое, но наоборот: каждой паре чисел соответствует уникальная точка на плоскости.
Графики превращают числа в географию, и в результате получается картинка более полезная, чем любой натюрморт с тортами.
Для начала нужно нарисовать ось х (наш аналог экватора) и ось у (наш аналог нулевого меридиана), пересекающиеся
в точке, которая называется началом координат.

ось y

44,9o с. ш.
9,2o з. д.

ось х
начало
координат

181

Значения x

Значения y

–

Таким образом, пара значений становится точкой на графике.
Например, эквивалентные температуры –12 °C и 10,4 °F становятся одной точкой: 12 шагов влево и 10,4 шага вверх. Сокращенно мы записываем эту точку как (–12; 10,4).

–12 oC,
10,4 oF

8
4

градусы Цельсия
–12
–8
–4

градусы Фаренгейта

Несколько пар из одного и того же отношения образуют череду точек на общем графике.

Г РА ММАТ И КА

Для любой пары чисел первое (х) указывает, насколько правее нулевого меридиана вы находитесь, а второе (у) — насколько выше экватора. Отрицательные значения обозначают противоположные направления — слева от меридиана и снизу
от экватора.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

182
число едоков
8
4

16 дюймов;
4 едока
8

диаметр
пиццы

Отношение целиком, с его бесконечным числом пар, образует на графике непрерывную линию — прямую или кривую.

минут на преодоление мили
20
16
12
8
4

15 миль/час;
4 минуты
4

скорость
28 (миль/час)

Когда я только начал преподавать математику в старших
классах, я задавал на дом по 10, 15, а то и 20 задач на построение
графиков. Ученики роптали, как рабочие на графиковой фабрике с плохой организацией труда.
Виноват тут был только я: заставляя их рисовать график
за графиком вместо того, чтобы дать им задуматься, осмыслив
или как-то применив свои творения, я побуждал их воспринимать графики как конечный продукт — которым они, безусловно, не являются.

183

минут на преодоление мили

Нельзя пройти милю со скоростью 0 миль/час или за 0 минут

ПРЕОДОЛЕНИЕ
1 МИЛИ

16
12
8
4

скорость
ть
(миль/час)

число едоков

Графики также выявляют закономерности. Пропорционально ли растет одно число с увеличением другого? Улетает
ли оно в стратосферу? Или постепенно достигает потолка (либо
пола)?

РАЗМЕР
ПИЦЦЫ

4
4

8
12
16
диаметр пиццы

Чем больше
пицца, тем
больше едоков
накормит
каждый новый
дюйм

Графики даже могут указывать на особые пары значений.
Например, существует ли такой момент, когда обе переменные
равны? И что случится, если одна из переменных станет равна нулю?

Г РА ММАТ И КА

Так для чего нужны графики?
Например, они демонстрируют диапазон отношения. Ноль —
это осмысленная величина? Допустимы ли отрицательные значения? График показывает нам это моментально.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

184
градусы Фаренгейта
60
Особая точка!
0 oC равно около 30 oF

40
20
градусы Цельсия
–40
–20

Особая точка!
0 oF — это чуть выше –20 oC
20

–20
–40

Особая точка!
В районе –40 oF
и –40 oС температуры
на обеих шкалах
одинаковые

Графики сочетают полноту равенств с понятностью таблиц.
Но за это приходится платить неточностью. Например, при
x = 7 чему именно равен y? 8,5, 8,6 или 8,5714? Равенство или
таблица скажут нам это точно, но графики слишком грубы, чтобы различить соседние возможности, — примерно как
фотокарточка в неформальной обстановке не сообщит нам рост
человека до миллиметра. Для такого рода точности графики
не очень-то пригодны.
Зато графики — исторически самая ранняя форма визуализации данных: метод превращения огромного множества чисел
в единую картинку, которую можно охватить одним взглядом. «Дело не в том, сколько у вас информации,— провозгласил
Эдвард Тафти, непререкаемый авторитет в области визуализации
данных,— а в том, насколько эффективно она представлена»7.
Графики представляют ошеломляющее количество информации
(бесконечное множество пар значений) в исключительно эффективной форме. «Преимущество графиков,— писал Тафти,—
в том, что они подсказывают максимальное количество идей
в кратчайшее время, обходясь минимумом чернил и места».
Старая мудрость и впрямь верна: если не справляешься с математической задачей, нарисуй картинку. Но, чтобы избежать типо-

185

y=x

Формулы
У писателя-фантаста Джона Скальци есть безумная теория,
которая мне очень нравится: в каждой клубничине на Земле,
неважно, большой или маленькой, одно и то же количество
вкуса8. У больших клубничин вкус сильно размазан, в каждой
части ощущается лишь слабый след. У мелких ягод вкус упакован плотно, он буйствует в любом кусочке. Назовем это клубничной формулой: интенсивность вкуса обратно пропорциональна объему ягоды.
Подозреваю, что это не очень точно. Но в мире почти безвкусной клубники размером с яблоко это несомненно кажется точным.

1
интенсивность
=
вкуса
размер

Когда я только обдумывал эту книгу, моя редактор Бекки
спросила, собираюсь ли я писать главу о формулах. Мне при-

Г РА ММАТ И КА

вых ошибок с гепардами, самолетами и тщательно отрисованными прилавками с тортами, к ней нужно уточнение: если
не справляешься с математической задачей, нарисуй картинку,
которую бы одобрил Эдвард Тафти.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

186
шлось уточнить. Она имеет в виду формулу решения квадратного уравнения? Формулу расчета площади трапеции? Клубничную формулу Скальци?
— Просто мне кажется, что школьная математика состояла
из сплошных формул,— ответила она.— Формул, которые приходилось запоминать. Формул, которые мы применяли снова
и снова.
Я и забыл, как такие равенства тяготят учеников. Как вы
сидите ночи напролет, вписывая числа в A2 + B2 = C 2. Как физика
становится в старших классах длящимся десять месяцев упражнением по обращению с одними и теми же шестью или семью
стандартными выражениями. Какими неизменными и вечными выглядят все эти формулы, словно химическая формула
воды (H2O) или секретная фирменная формула кока-колы (УДАЛЕНО ПО НАСТОЯНИЮ ЮРИСТОВ). Короче говоря, я забыл, каково
это — учить математику.
Я забыл обо всем этом, потому что для математика само
понятие «формула» невнятно. Формулы — это всего лишь
равенства, а равенства — всего лишь утверждения, что две
вещи равны. Нет четкой границы, отделяющей A = πr2 (знаменитая формула вычисления площади круга) от A = P 2–3d (незнаменитая формула, которую я только что придумал). Просто A =
= πr2 полезнее.
Формула — это всего лишь мудрое равенство.

1
K= — mv2
2

187

И все?

среднее число слов в предложении × 0,39
+ среднее число слогов в слове × 11,8
– 15,59 =

УРОВЕНЬ ТАКОГО-ТО КЛАССА

Эта формула игнорирует смысл слов и предложений. Короткие предложения из коротких слов? Для младших классов. Пространные, тяжеловесные предложения, кишащие многосложными латинскими терминами? Для старшеклассников.
По этой формуле теоретический минимальный уровень требуемого для текста читательского навыка составляет –3,4. Это
будет череда предложений, состоящих из одного слова, причем
каждое слово будет односложным. Самое близкое к этому, что
можно найти, — наверное, книга Доктора Сьюза «Зеленые яйца
и ветчина» (Green Eggs and Ham), которая содержит предложения различной длины, но почти исключительно из однослож-

Г РА ММАТ И КА

Так что же считается формулой? Тут не все согласны. Некоторые учебники включают формулы, которые я бы отверг как
слишком частные рекомендации — не столько «Хочешь изменить мир — начни с себя», сколько «Поверни направо на Рэндольф-авеню». Другие формулы кажутся мне самоочевидными примерами здравого смысла — не столько «Не экономь
на свадебном фотографе» (совет, который я оценил), сколько «Не бей свадебного фотографа» (совет, в котором я не нуждался).
Третьи формулы столь же произвольны и надуманны, как
клубничное уравнение Скальци. Например, в детстве я всегда недоумевал, кто определяет, что та или иная книга предназначена «для пятиклассников» или «для шестиклассников».
Какой-то читатель-эксперт? Специально отобранная фокусгруппа?
Не-а. Издатель попросту применяет к тексту формулу Флеша — Кинкейда9:

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

188
ных слов. Эта книга набирает –1,3, так что, полагаю, ее можно
читать за год до поступления в детский сад.
Противоположную крайность являет собой удостоенный
многих премий роман Люси Эллман «Утки, Ньюберипорт»
(Ducks, Newburyport), который состоит из единственного предложения на тысячу страниц10. По моей оценке, индекс этого
романа по шкале Флеша — Кинкейда составляет свыше 150 000.
Вот почему никто из моих знакомых не обладает достаточной
квалификацией, чтобы его прочесть (за исключением моей
подруги Кэти — она литературный критик и, наверное, имеет
35 000 высших образований).

Текст

Сложность

Ешь. Молись. Люби.

Уровень младенца

Я пришел. Я увидел. Я победил.

Уровень детского сада

Не тормози, сникерсни!

Довольно сложно!

Онтогенез повторяет филогенез.

То, что говорила нам
в 10-м классе учительница биологии,
но мне понадобилось
четыре кандидатских
степени, чтобы это
понять

Формула Флеша — Кинкейда для определения уровня сложности текста — полезный инструмент. Но одновременно она
откровенно глупа. Она приписывает примерно равный уровень сложности фразам «Милый крокодильчик зашел в воду»
и «Законодательная власть впадает в маразм». Но я не виню
ни Флеша, ни Кинкейда. Никакое простое равенство не способно оценить сложность всех книг, по той простой причине, что

189

Площадь =  × радиус

9 cм2

3 cм

А формуле A2 + B2 = C2 действительно подчиняются стороны
любого прямоугольного треугольника.

12 см

13 с
м

A2 + B2 = C2
5 см
Формула V + F = E + 2 действительно описывает любой куб,
призму или пирамиду11.

вершины (V) + грани (F) = ребра (E) + 2
6 граней
8 вершин

12 ребер

Г РА ММАТ И КА

ни одно из них не совершенно. Единственная универсальная
истина — в том, что ни одна истина не универсальна.
Исключение — математика. Видите ли, формула A = πr2 действительно относится к площади любого круга.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

190
В реальной жизни у формул ограниченное применение.
Иногда они встречаются как шуточные афоризмы. (Говорят,
философ Уильям Джеймс однажды определил «самооценку»
как «успех, деленный на притязания».) В других случаях они
становятся грубыми бюрократическими инструментами. (Формула Флеша — Кинкейда была разработана по заказу ВМФ США,
чтобы сделать инструкции к оборудованию простыми и удобочитаемыми.) Но все мы знаем, что самооценку, сложность
текста или насыщенность вкуса клубники невозможно измерить или подсчитать, разве только в самом приблизительном
смысле.
Математика, скажем мягко, не реальная жизнь. Она населена идеальными абстракциями, для которых формулы —
не упрощенные приближения, а вся правда и ничего, кроме правды. Если мои ученики, оглядываясь назад, вспоминают формулы как то, что требовало отупляющей зубрежки, значит, я как учитель потерпел поражение. Формулы — это не просто инструменты, это канон математической литературы, ее
непреходящие ценности.

Упрощение
В одном осеннем семестре я выбрал математический курс,
который оказался слишком сложным и для меня, и для всех
остальных студентов. Профессор не хотел заваливать всю группу, поэтому, когда на горизонте замаячила сессия, он дал нам
на дом экзамен по материалу, который был намного легче всего, что мы проходили. В тот день, когда мы сдавали работы, мой
одногруппник Даниель задал очевидный вопрос: «Какое отношение это имеет к курсу?» Профессор ответил оживленным
объяснением на несколько минут.
Когда он закончил, Даниель подытожил: «Ну то есть, по сути,
никакого».
Профессор улыбнулся и пожал плечами, не в состоянии оспорить эту формулировку.

191

Но это
равно
нулю!

Зачастую работа математика — лишь перефразирование под
видом оригинальности. Мир ставит вас перед неким сложным
выражением; ваша задача в том, чтобы снова и снова заново
формулировать эту информацию, всякий раз чуть яснее и короче, чем в предыдущий. В ходе этого процесса речь из нескольких сотен слов («Связь этого задания с предметом нашего курса состоит в том, что симметрии гиперболического пространства с сохранением ориентации допускают интерпретацию
в виде...») может обернуться единственной фразой («По сути,
никакого»).
Перефразирование такого рода называют «упрощением».
Само это слово спорно, как мы еще убедимся, но принцип отрицать трудно: простота ведет к ясности, а ясность — к пониманию. «Мы растрачиваем нашу жизнь на мелочи,— писал натуралист Генри Дэвид Торо.— Упрощайте же, упрощайте!» *

Перевод З. Е. Александровой.— Прим. пер.

Г РА ММАТ И КА

Смотрите, коэффициент релевантности задания отражен в этом выражении.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

192

Кошка матери моего брата возобновила невоздердержание от перорального употребления злаковых.
ых.
проясним семейные отношения

Наша кошка возобновила невоздержание
от перорального употребления злаковых.
уберем двойное отрицание

Наша кошка возобновила пероральное
употребление злаковых.
заменим глупые напыщенные слова

ы.
Наша кошка возобновила поедание травы.
сделаем фразу более
естественной

Наша кошка опять ест траву.

Чтобы проиллюстрировать этот принцип, полезно представить себе его языковой эквивалент. Начнем с рыхлого, разбухшего предложения, а затем поколдуем над ним.
Мы не поменяли смысла предложения. Скорее, мы прояснили его, переведя текст в форму, более пригодную для человека
(или кошки).
Конечно, это искусственный пример. Подобная напыщенность редко встречается в языке, если не считать продукции
корпоративных юристов. Но в математике подобные сложности
попадаются на каждом шагу. Мир предоставляет нам информацию в неупорядоченном, фрагментарном виде, и только продуманное перефразирование способно придать ей более удобоваримую форму.
Вот, например, суть одного из моих любимых тригонометрических доказательств. Не вдавайтесь в детали; просто сле-

193

(cos
(
(a−b)−1)2 + (sin (a−b)−0)2 =
= (cos
(
a − cos b)2 + (sin a − sin b)2
Хммм. Сложно.

cos2 (a−b) − 2cos (a−b) + 1 + sin2 (a−b)
b) =
= cos2 a + cos2 b − 2cos a cos b + sin2 a + sin2 b − 2sin a sin b
Стало еще хуже!

cos2 (a−b) + sin2 (a−b) − 2cos (a−b) + 1 =
= cos2 a + sin2 a − 2cos a = cos b − 2sin a sin b + cos2 b + sin
n2 b
То же самое, только в другом порядке.

1 − 2cos (a−b) + 1 = 1 − 2cos a cos b − 2sin a sin b + 1
Ого!

− 2cos (a−b) = − 2cos a cos b − 2sin a sin b
Аааааа!

cos (a−b) = cos a cos b + sin a sin b
Ооооо!

Вся эта деятельность не изменяла информацию. Это была
череда перифразировок. Перебирая синоним за синонимом, мы
проложили путь к более лаконичному выражению.
Это яркий пример глубинного принципа математического языка: чтобы внести ясность, мы упрощаем. «Душу и сердце математики,— пишет математик Барри Мазур, —составляет тот факт, что “один и тот же” объект может быть представлен разными способами»12. Доказательство или расчет зачастую

Г РА ММАТ И КА

дите, как корявое выражение постепенно переходит в окончательную форму, великолепную в своей краткости.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

194
являются не более чем умелой и остроумной подменой терминов.
Взять хотя бы процесс «решения» уравнения. На первый
взгляд, мы как будто слой за слоем сдираем покровы. Но концептуально мы всего лишь переформулируем факт. Например,
нам сообщают, что две одинаковые коробки неизвестно с чем
плюс 4 доллара в сумме стоят 30 долларов.

2x + 4

Если отложить в сторону лишние 4 доллара, то две коробки
в сумме будут стоить 26 долларов.

2x
?

Но сказать, что две одинаковые коробки в сумме стоят
26 долларов — это сказать, что каждая из них стоит 13. Уравнение решено.

?
К сожалению, не всегда очевидно, что именно будет «проще».
Рассмотрим два равнозначных выражения: 3x + 6 и 3(x + 2). Первое представляет собой сумму: три икса плюс шесть единиц.
Второе представляет собой произведение: три группы, каждая

195

3(x+2)

Двусмысленность слова «упрощение» бесит некоторых учителей. Руки опускаются, когда в учебнике от вас требуют упростить 3x + 6 до 3(x + 2), а через несколько страниц упростить 3(x + 2)
обратно до 3x + 6. В таких случаях можно добавить немного
профессионального жаргона, чтобы достичь большей точности: вместо «упростить» и «упростить» говорят «разложить
на множители» и «раскрыть скобки».
И все-таки, когда самые решительные педагоги предлагают
сделать следующий шаг и вообще запретить слово «упрощать»,
я отвечаю, что они заходят слишком далеко. «Упрощайте по мере
возможности,— советовал Эйнштейн,— но не более того»14. Да,
простота — смутный идеал. Но то же самое можно сказать про
все, чем мы дорожим, — от красоты и истины до природы бутерброда. Запрет на слово «упрощать» — чрезмерное упрощение.

Г РА ММАТ И КА

размером в x + 2. Обе формулировки полезны. Обе осмысленны.
Но ни одна из них сама по себе не проще другой.
«Суть занятий алгеброй,— пишет преподаватель математики Пол Локхарт,— в том... чтобы переключаться между
несколькими равнозначными представлениями в зависимости от ситуации и от нашего вкуса. В этом смысле все алгебраические манипуляции — психологические»13.
Информация старая, формация новая.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

196
Простая замена названия не проясняет стоящей за ним реальности.
Разве только, скажу я, в самой математике. Там устранение
одной фразы и замена ее другой может действительно привести к некоему просветлению. На языке математики — и, возможно, только на этом языке — для постижения мудрости иногда достаточно просто перефразировать.

Решения
Я обожаю детективы, но совершенно не умею предугадывать
их развязки. Даже если смонтировать фильм так, что с самого начала все указывает на убийцу, я все равно буду ошарашен
решением в финале. «Ага,— скажу я.— Все сошлось: пропавшая драгоценность, поддельная подпись, мигающая стрелка ОН
УБИЙЦА. Какая хитроумная головоломка!»
Возможно, мне не стоит отвлекаться от математических
детективов. Хотя они кое-чем отличаются, основа там та же
самая. Мы начинаем с описания (зачастую неизвестного числа).
Дальше, «решить» это описание — означает разобраться, что
именно описано.
Например:

x =3x+10
2

197

ОДНО

РЕШЕНИЕ

7=X+1

БЕСКОНЕЧНОЕ

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ

3X=X+2X

Ага! Вот вы
и убийца!
Мы *все*
убийцы...

Г РА ММАТ И КА

«Вот число, известное исключительно как x,— сообщает нам
это уравнение,— и его квадрат на 10 больше, чем оно же, умноженное на три». Это не вопрос и не указание к действию, а простая констатация факта. Кто же этот таинственный x? Мы становимся своего рода детективами и ищем подозреваемого, подходящего под это описание,— в математических категориях,
ищем такое число, которое удовлетворяет этому уравнению.
Единственная наша улика — само уравнение.
Один из подходов в подобном случае — угадывать методом
случайного перебора. Не рекомендую этот метод при криминальных расследованиях, но в расследованиях математических перебор часто работает, потому что наши догадки нетрудно проверить.
Например, подходит ли под описание выше число 1? Его квадрат равен 1. Умноженное на три, оно равно 3. Теперь посмотрим, его квадрат — на 10 больше, чем оно же утроенное? Увы,
и близко не подходит. Вычеркиваем 1 из списка подозреваемых.
Ладно, как насчет 2? Снова нет: его квадрат (4) меньше, чем оно
же утроенное (6). Как насчет 3? И тут не то: его квадрат и оно же
утроенное равны (то и другое равно 9).
Продолжайте в том же духе, и вы набредете на решение —
а именно: 5. Его квадрат (25) точно на 10 больше, чем оно же
утроенное (15). Тайна разгадана.
Или нет?
Математика отличается от книги Агаты Кристи тем, что
у математических детективов не обязательно только одно
решение. Описанию может соответствовать бесконечное множество решений, или ноль решений, или любое число решений
в этом диапазоне: например, 17 или 5836.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

198

НОЛЬ

РЕШЕНИЙ

??? РЕШЕНИЙ

X=X+1

X2=3X+10

Убийцы не существует.
Более того, убийство
описанным способом
невозможно.

Мы нашли
одного убийцу... Но что,
если кто-то
еще совершил
такое же преступление?

Очень часто математика, по сути, представляет собой анализ различных типов детективных сюжетов. Вы разбираетесь,
сколько решений ожидается. Учитесь внимательно и с толком
подходить к уликам. Усваиваете методы, применимые в каждом случае. Вы становитесь своего рода числовым Шерлоком
Холмсом.
В приведенном выше примере мы можем опереться на прием, которому нас обучили в полицейской академии (не вдавайтесь в подробности), и преобразовать наши улики в более полезную форму:
(x – 5)(x + 2) = 0.
Теперь наш детективный рассказ гласит: «Два числа, перемноженные между собой, дают ноль». Это алгебраический
эквивалент дымящегося ружья. Черт побери, да это же фактически чистосердечное признание. Когда произведение равно
нулю? Только когда один из множителей — ноль.
Если нулю равно первое число (x – 5), то x равен 5. Это решение мы уже обнаружили.
Между тем, если нулю равно второе число (x + 2), то x равен –2.
Это свежее решение — убийца, которого мы прежде проглядели.
Не соучастник; скорее, другой правонарушитель, который, так
уж вышло, совершил идентичное преступление.
Вот теперь тайна разгадана.

199

Меня бы никогда
не поймали,
не будь ты таким
балбесом.
Мне плевать
на твое
мнение,
подражатель.

Не все детективы настолько увлекательны. В некоторых случаях можно наткнуться на дешевое или неинтересное решение — как в романе, где все очевидно со второй страницы. Такие
решения известны как тривиальные. Например, x2 + 2x = x3 —
достаточно заманчивый детектив: «Куб числа равен его квадрату плюс это же число, умноженное на два». Однако, прежде чем
вы придете к какому-либо интересному решению, вы натолкнетесь на скучное x = 0. Ноль в кубе, ноль в квадрате и ноль,
умноженный на два, равны нулю, поэтому уравнение сводится
к тому, что 0 + 0 = 0. Верно, но неинтересно.
В этом смысле тривиальное решение логически удовлетворительно, но неудовлетворительно эмоционально. Оно удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет наше любопытство.

Интересно, был ли кто-нибудь
свидетелем убийства.
Ну, сам убийца
так точно.

Это тривиальный свидетель. Нам
нужен нетривиальный.

Г РА ММАТ И КА

Ага! Я подозревал, что вас двое.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

200
И все-таки тривиальное решение это настоящее решение.
Куда опаснее посторонние решения: самозванцы или фальшивки, возникающие как побочный продукт при наших поисках
реальных решений. Например, давайте решим уравнение x+ 2 +
+ x = 0. Если подходить к этой задаче обычным образом (опять же,
не переживайте насчет деталей), вы получите два решения: 2 и –1.
Однако только –1 представляет собой настоящее решение.
Подставьте в исходное уравнение 2, и у вас получится абсурдное утверждение, что 4 = 0. Это постороннее решение 2 — вообще не решение, а отходы производства, от которых нам необходимо избавиться, используя исходное уравнение в качестве
фильтра. Уточним: мы не совершили ошибки. Просто процесс
поиска истинных решений (таких, как –1) иногда дает посторонние (такие, как 2).

В хитроумно расставленную вами ловушку
попался известный рецидивист. А также вот
этот напуганный ребенок.
Заключите настоящее решение под
стражу и принесите мои извинения
постороннему.

У традиционных детективов и детективов математических
много общего. Мы начинаем с описания (преступления/вычисления). Мы ищем виновника (преступника/ число). Мы рассматриваем улики (отпечатки пальцев/уравнение), исключая
подозреваемых с убедительным алиби («Я был во Франции» /
«Я не удовлетворяю условиям этого уравнения»). Мы задействуем наши дедуктивные способности (или смущаем доктора Ватсона, называя его вопросы «элементарными»). А главное,

201

Например:

x+y=10
x–y=6
Здесь мы ищем не одно число, а команду из двух. Соответственно, у нас две улики. Во-первых, их сумма равна 10, вовторых, их разность равна шести.
Как выясняется, сумму в 10 дает бесконечное множество пар
чисел, от 6 + 4 до 13,7 + –3,7. Аналогично, бесконечное множество пар чисел дает разность в 6, от 9 – 3 до 1006 – 1000. Но красота разгадки состоит в том, что только одна пара присутствует в обоих списках.
Это и есть наши преступники.

Г РА ММАТ И КА

мы приходим к решениям, в каждом случае идеально подходящим, как ключ к замку.
Но погодите. Тут есть нюанс. Как же без него?
В математике числа редко действуют поодиночке. Мы изучаем сети взаимосвязанных чисел. Любая формула — например,
классическое PV = RT в химии — демонстрирует, как именно
связаны друг с другом несколько переменных (в данном случае
давление P, объем V, температура T и количество молекул газа ).
Поэтому вместо одного уравнения, описывающего одного
виновного, мы можем столкнуться с целой системой уравнений, описывающих целую преступную группу, как в «Одиннадцати друзьях Оушена».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

202
Отлично, брат! Идеальное
преступление.

Точнее, идеальная
пара преступлений.

Как сыщику, только что раскрывшему дело, мне есть что
порассказать о подобных загадках со множеством неизвестных.
Они — идеальная кульминация алгебраического языка, именно тот жанр литературы, для которого была создана эта грамматика. Переменные позволяют нам рассуждать о неизвестных числах; уравнения позволяют нам описывать отношения
между ними; а различные хитроумные упрощения позволяют
нам определять неизвестные, сколько бы их ни было и какими бы они ни были. Тут можно даже задействовать графики
и посмотреть, как детектив превращается из текста в произведение визуального искусства с его поразительной геометрией
пересекающихся линий и плоскостей...
Но эти детали я оставляю авторам более толстых книг.
Когда мы начали это путешествие, я заявил, что математические идеи подобны дереву, а математический язык — дому,
построенному вокруг него. Я обещал помочь вам попасть в этот
дом; если вы дочитали до этой страницы, я полагаю, что мое
обещание выполнено. Но наша работа еще не окончена. Нам
нужно отыскать ответы на более общие вопросы, начиная
с неизбежного: что делать, когда математический язык путает нас и сбивает с толку? Как относиться к нашим неизбежным
ошибкам?

203

Мы осваиваем новый язык, совершая ошибки. Взять моего друга
Розуэлла: испанский у него настолько беглый, что бежит далеко вперед моего — отчасти потому, что Розуэлл гораздо больше
склонен выходить за пределы своего знания и не боится ошибаться. Когда мы в старших классах приехали в Мадрид по программе обмена, он представил меня хозяину дома, где гостил:
Esto es mi amigo Ben. Хозяин в ответ отчитал его по-английски:
«Нет, Розуэлл. О человеке мы говорим este, а esto — о предмете.
Ты только что сказал: “Эта штука — мой друг Бен”, словно он
камень».
Ну ладно. С точки зрения камня, ничего страшного не случилось. Así se aprende *.
При освоении алгебры один из распространенных типов
ошибок — это категориальная ошибка. Категориальная ошибка —
это не просто ошибка вроде «3 + 4 равно 6». Это когда вы в принципе относите объект к неправильной категории, сказав, что
3 + 4 равняется тыквенному пирогу. В одном из своих романов
Дуглас Адамс описывает подобную ошибку как «некую неувязку,
как если бы, к примеру, кто-то заявил бы, что Суэцкий кризис
вспыхнул из-за булочки» **, 15. Лемони Сникет в своем первом
романе предлагает пример с официантом, который не просто
приносит вам не то блюдо или напиток, но и еще и кусает вас
за нос16. Совершить категориальную ошибку — значит не разобраться не просто в словах или предложениях, но в ситуации
в целом. Не просто перепутать части речи, но неверно понять
цель высказывания.
Вот распространенная категориальная ошибка. (Не беспокойтесь из-за точного смысла вопроса; мы к нему еще вернемся.)

«Так и учатся» (исп.). — Прим. пер.

** Перевод О. А. Корчевской. — Прим. пер.

Г РА ММАТ И КА

Категориальные ошибки

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

204

Чему равен lim
x2

ВЕРНЫЙ

НЕВЕРНЫЙ

ОТВЕТ

x2–4
x–2

КАТЕГОРИАЛЬНАЯ
ОШИБКА

–3

X+2

На первый взгляд такая ошибка выглядит не так уж ужасно.
Более того, на пути к правильному ответу выражение x + 2 появляется в предпоследней строке. «Я просто забыл сделать заключительный шаг,— может резонно возразить ученик.— Это
не равносильно тому, чтобы укусить клиента за нос. Скорее, это
все равно что забыть положить кусочек лимона в холодный чай».
Но если взять аналогичную ситуацию в языке, различие становится нагляднее:

КОТОРОМ ЧАСУ НАЧИНАЕТСЯ УРОК?

ВЕРНЫЙ
ОТВЕТ

НЕВЕРНЫЙ

КАТЕГО-

ОТВЕТ

РИАЛЬНАЯ
ОШИБКА

ЧАСА
ДНЯ

ЧАСА
НОЧИ

Через
два часа

Ответ «3 часа ночи» откровенно глуп, но, по крайней мере,
это время суток. Того же самого нельзя сказать о категориальной ошибке, когда время указано лишь относительно непонятного, пока еще не упомянутого события. Через два часа после
чего?

205

х+y

Г РА ММАТ И КА

Термин «категориальная ошибка» ввел философ Гилберт Райл17 в своей книге о человеческом мышлении. Подобные ошибки чаще всего возникают именно в таком контексте: не в повседневной жизни, где все категории четко определены и хорошо известны, а в научной жизни, где категории
могут быть несколько смутными и трудноуловимыми. Вы вряд
ли перепутаете кафе с парикмахерской, но вы запросто можете
сослаться на одну абстракцию, имея в виду другую.
У нас в математике есть привычка обращать все в существительные. Числительное («три», как в «три поросенка») становится существительным (3). Глаголоподобное вычисление
(вроде «умножьте на четыре, затем прибавьте два») становится именной группой (4n + 2). С чем бы мы ни встретились, будь
то свойство или процесс, мы обращаемся с ним как с вещью,
с существительным.
Но если все на свете — существительные, то как определить,
какой тип существительных нам нужен?
Возьмем приведенную выше категориальную ошибку.
х2 – 4
, в котором переменВ вопросе фигурирует вычисление
х–2
ная х используется для описания хода вычисления. Затем
спрашивается: «Если вы проведете это вычисление с использованием чисел, близких к 2, то получите результат, близкий к некоему другому числу. Что это за число?» В такой
формулировке ясно, что ответ должен быть числом. Хотя
ответ –3 неверен, это по крайней мере правильный тип ответа.
Ответ x + 2 обладает противоположными свойствами: хотя он
имеет кое-какое отношение к правильному, это совершенно
неправильный тип ответа. Я задавал вопрос о числе, а вы описываете вычисление (прибавление 2).
Ошибка со временем начала урока очень похожа. Там я тоже
спрашивал о числе (4 часа дня), а вы описывали вычисление
(прибавление двух часов). Но в математике подобную ошибку совершить намного легче. Для этого нужно лишь подменить
одно существительное другим.
Будь я более озлобленным и несчастным субъектом, я бы
мог сделать из этой книги один сплошной перечень ошибок.
Не записывайте (a + b)2 как a2 + b2. Не сокращайте иксы в х .

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

206

Нет, не эту загогулину!
Другую загогулину!

Не горбитесь, не ковыряйте в носу и никогда, вообще никогда
не делите на ноль.
Но зачем закатывать истерику из-за честных ошибок? Мне
больше по душе мудрость Розуэлла, которую, возможно, лучше
всех выразил изобретатель (и любитель математики) Пит Хейн:
Дороги к познанью прямы и негибки.
Весь путь к мудрецу от невежды —
Одни лишь ошибки,
и снова ошибки.
Но реже... и реже... и реже*, 18.
Категориальные ошибки — это провалы коммуникации.
Они случаются, когда что-то теряется в переводе, когда все эти
существительные превращаются в кашу, так что вы не в состоянии отличить одну категорию от другой. Кто друг, а кто камень?
Единственное решение в такой ситуации — сделать шаг назад
и начать задавать вопросы, внимательно следя за категориями и старясь разделять существительные разного типа. Así se
aprende.

Перевод Давида Сеглевича.— Прим. пер.

207

Из-за чего математический язык столь труден в изучении?
Мы уже познакомились с большим числом таких препятствий:
с абстрактными существительными, с трудными символами,
с глаголами, которые на самом деле не глаголы. Однако за всем
этим скрывается еще одна смутная, непроговоренная проблема — пресловутый слон, которого и не приметили.
Необходимо отделять описываемый языком мир от описывающего его языка.

КОТ
слово

животное

В естественном языке это нетрудно. Это даже почти не требует труда. Вы без всякого сознательного усилия отделяете символ (буквы к-о-т) от того, что он обозначает (животное с усиками). Это разделение — суть языка: у вещей есть имена, но
имена — не вещи.
В математике эта граница иногда размыта. Давайте уделим
минутку тому, чтобы ее уточнить.
Например, обычно мы пишем ⁄ , а не ⁄ . Но это всего лишь
языковая условность: вопрос формы, а не содержания. Аналогией в языке могло бы быть противопоставление активного и пассивного залога: «Я направил лодку» или «Лодка была направлена мной». Хотя эти две фразы передают один и тот же смысл,
большинство носителей языка предпочтут активный глагол.
Аналогичным образом, когда мы выбираем ⁄ вместо ⁄ , это,
по существу, вопрос стиля.

Г РА ММАТ И КА

Стиль

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

208

ФАКТИЧЕСКОЕ СТИЛИСТИЧЕСКОЕ
Что мы говорим
Чт
Содержание
Кто направил лодку?
Какое это число?

Как мы это говорим
орим
Форма
в
Пассивный/активный
залог
Выбор знаменателя

Приведу еще один пример. Как известно, при перемножении двух чисел порядок сомножителей на результат не влияет.
Таким образом, 3 × x значит то же, что x × 3.
Однако по традиции мы никогда не пишем x3, а только 3x.
Дело не в том, что x3 — неточное выражение. Все поймут,
что вы имели в виду. Но тем не менее это ошибка, вроде «двух
мышов» или «спей песню». Трогательно, немного отвлекает
и не вполне грамотно.

x3 ответ будет

Аналогично выражение x × y × z можно записать шестью различными способами, каждый из которых соответствует своей
картинке.

209

yzx
1-е число — ширина

xzy

zyx

zxy

yxz

2-е число — высота

3-е число — глубина

Но пытаться жонглировать всеми шестью неудобно; проще
выбрать один и сделать его стандартным. Поэтому мы договорились всегда записывать переменные в алфавитном порядке — не xzy или yzx, а xyz.
Я люблю это правило, потому что ему вообще редко учат. Математики применяют его автоматически — так же как люди, хорошо владеющие английским, говорят «уродливая большая надувная игрушка», а не «надувная уродливая большая игрушка».
На самом деле, как указывает Марк Форсайт в своей книге «Основы красноречия» (The Elements of Eloquence), английские прилагательные обычно расставляются в определенном
порядке: мнение, размер, форма, возраст, цвет, происхождение, материал, цель. Поэтому правильно говорить «красивый
маленький прямоугольный старинный зеленый французский
серебряный перочинный ножик»19.
Схожим образом в математике множители обычно ставятся
в определенном порядке: числовые значения, корни, константы, переменные. Поэтому мы пишем 3 2πxy2z, но никогда (если
только не хотим вывести кого-то из себя) zy2 2πx3.
Тут можно привести и другие примеры, но, я надеюсь, смысл
понятен. Математическая речь — это не только про «верно» или
«неверно». Как и в английской речи, в ней важен стиль.
Различие в том, что в естественной речи никто не испытывает трудностей с различением фактических и языковых оши-

Г РА ММАТ И КА

xyz

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

210
бок. «Собаки уметь плавать» — верно, но с грамматической
ошибкой. «Собаки не умеют плавать» — грамматически безупречно, но неверно. Но если подобные различия настолько очевидны, почему тем, кто обучается математике, бывает трудно
отличить форму от содержания?
Соблазнительно обвинить в этом преподавателей вроде меня.
Мы склонны давать бинарные ответы: да/нет, верно/неверно,
правильно/неправильно. Ошибки содержания (запись 3x как
3 + x) и формы (запись 3x как x3) влекут за собой одинаковый
вердикт («неправильно») и одинаковое наказание (снижение
оценки). Это как если бы родители одинаково строго реагировали на отклонения от норм грамматики («Я тебя любить,
мамочка») и норм морали («Я тебя ненавижу, мать»).
Можно возразить, что мы так поступаем, чтобы обучить языку в его чистейшем виде, но результат оказывается противоположным: игнорируя разницу между тем, что говорит ученик
и как он это говорит, мы замутняем саму природу языка.
И все-таки я не виню в этом учителей. Не виню и учеников.
Вина тут, по-моему, на самой математике.
Слово «математика» относится к невидимому и неосязаемому царству идей. Оно также относится к тому языку, который
мы используем для описания этого царства. Это одновременно
мир и слова для этого мира, символы и то, что они символизируют. Удивительно ли, что мы путаем одно и другое? Я могу
показать на кота и научить вас слову «кот», но как можно показать на переменную? Как мне продемонстрировать вам, что х
и у — только названия, что слова — это не сам мир?

?
?
?
? ?? ?

x
слово

животное

211

Бойкий шестиклассник по имени Киран поднял руку в самом
конце урока20.
— Я не особенно понимаю все, что вы говорите,— сообщил
он мне с терпеливой улыбкой,— но я все равно могу дать правильный ответ.
Я подавил вздох:
— С чем конкретно тебе помочь?
— Нет, мне не нужна помощь,— сказал он.— Просто вы объясняете столько всего дополнительного. Например, какие идеи
за этим стоят. Это, знаете ли, не для меня.
Я моргнул. Он моргнул. Между нами повисла долгая пауза.
— Так же можно? — заключил он.— В смысле, если я все равно знаю правильный ответ?
Вот он, как на ладони: подтекст чуть ли не каждого урока,
который я проводил в тот год. День за днем я пытался продемонстрировать детям логику, стоящую за символами. День за днем
мои ученики вежливо игнорировали мои разглагольствования
и сосредоточивались на самих символах. Этот урок отличался
лишь тем, что Киран проломил четвертую стену. Он произнес
название постановки, в которой мы все были заняты.
Можно ли заниматься математикой, сосредоточившись
только на символах и не думая об идеях?

3p
2x

СИМВОЛЫ
k

4n+2

ИДЕИ

Г РА ММАТ И КА

Правила

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

212
В тот конкретный день мы рассматривали правило из главы об умножении: свойство дистрибутивности. Это логический факт, касающийся разбиения бóльших кучек на меньшие.
Например, имея кучки по 17 предметов, вы можете разбить каждую из них на кучку из 10 предметов и кучку из 7. И вообще, имея
кучки по b + c, можно разбить каждую на кучку из b и кучку из c.
Эту общую истину можно выразить в компактной символической форме примерно так:

a(b+c) = ab + ac

кучки по 17

кучки по 10

кучки по 7

Увы, компактные символические формы опаснее, чем кажутся.
Ученики быстро перестают видеть выражение a(b + c) = ab + ac как
глубокую истину об умножении, сложении и логике кучек. Вместо этого они начинают воспринимать его как правило, касающееся букв и скобок, как договоренность о перестановке символов на странице. Они заключают, что текст в форме a(b + c) можно заменить текстом ab + ac, и неважно, что означают знаки21.
Тогда они начинают сыпать уверенными заявлениями вроде:

log(b+c) = log(b) + log(c)
b+c = b + c
(b+c)2 = b2 + c2

213

0,301

log(1+1)  log(1) + log(1))
3

9+16  9 + 16
25

(2+3)2  22 + 32
Ценой огромных усилий ученики усваивают, что все это
ошибки. Но они очень редко приходят к пониманию, почему это так. Они, похоже, предпочитают запоминать каждый
такой факт как дополнительное правило перестановки символов, а все их вместе — как набор мудреных исключений из первоначального правила a(b + c) = ab + ac.
Учителя называют такой подход жонглированием символами.
Просто перебрасывайте символы с места на место, не беспокоясь о том, что они обозначают. Это механический взгляд
на математику, способ говорить, не имея понятия о том, что вы
говорите. Как саркастически отмечал Давид Гильберт, «математика — это игра с определенными правилами, в которую играют бессмысленными закорючками на бумаге»22. Вот самая суть
жонглирования символами. Язык, лишенный связи со смыслом. Любой учитель от такого тяжко вздохнет.
Но через несколько недель после вопроса Кирана я узнал, что
не все математики разделяют мой мрачный взгляд на жонглирование символами. Я рассказал своему отцу (тоже математику), что начал писать эссе под названием «Как не думать на уроках математики»23. Прежде чем я успел сказать что-либо еще,
он одобрил мой план.

Г РА ММАТ И КА

Все это выглядит замечательно, но, как только вы попробуете подставить туда числа, выяснится, что ничего не сходится.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

214
— Отлично,— сказал он.— Я всегда говорю, что суть математического образования в том, чтобы помочь перестать думать.
Я опешил. Нет, объяснил я, название ироническое. На вопрос
«Нужно ли нам думать?» я решительно даю положительный
ответ.
— Да, думать — это неплохо,— великодушно согласился
отец.— Но делать это постоянно слишком трудно.
У него (на самом деле и у Кирана) был свой резон. Например,
алгебраическая истина состоит в том, что (x + 1)(x – 1) равняется x2 – 1. Этот факт сводится к многократному применению
свойства дистрибутивности; таким образом, его можно полностью объяснить в категориях перекладывания между кучками.
Но пытаться это сделать — все равно что лезть вверх по отвесной скале.

(x+1)(x–1)

«У нас есть некое число групп, в каждой
из которых на две единицы больше, чем
имеется групп (например, 9 групп по 11 единиц в каждой). Теперь, если мы возьмем
по единице из каждой группы и соберем
их вместе, то мы уменьшим каждую группу
на единицу, так что теперь в каждой будет
только на одну единицу больше, чем число
групп, а также получим дополнительную
группу на единицу меньше, чем остальные.
Это означает, что нам не хватает одной
единицы до равенства числа групп и коли».
x2 – 1 чества единиц в группе».

Непростое восхождение! Бодрит в качестве упражнения,
если проделывать его время от времени, но добираться так
каждый день на работу немыслимо. Именно это и имел в виду
мой отец: думать — это неплохо, но делать это постоянно слишком трудно.

215

(x+1)(x–1)
= x(x–1) + 1(x–1)
= x2 – x + x – 1
= x2 – 1

Жонглирование символами — это не мошенничество
и не обходной маневр. Это принцип, заложенный в языке.
«Я и не заметила, как мое положение начало меняться,— пишет
Карен Олссон о своем детском знакомстве с символами,— как легко я растворялась в листке бумаги, как репрезентация вещи начала мне казаться иногда более привлекательной, чем сама вещь»25.
На всем протяжении истории математики определенные
формы записи часто приобретали популярность именно потому, что подчинялись простым механическим правилам. Можно сказать, что мы выбираем символы как раз для того, чтобы
ими жонглировать. Благодаря этому мы можем получать правильные ответы без озарения, без вдохновения, без каких-либо
затрат, кроме просиженных штанов. Просто дерните за рычаг —
и выпадет новое знание.
Можно ли себе представить, что естественный язык был бы
устроен подобным образом? Название предмета указывало бы
на его физические размеры, так что чихуахуа (восемь букв) была

Г РА ММАТ И КА

«Мыслительные операции,— писал математик Альфред Норт
Уайтхед,— подобны кавалерийским атакам во время битвы: их
не может быть много, они требуют свежих лошадей и должны
осуществляться только в переломные моменты»24.
В данном случае нет нужды высылать кавалерию. Жонглер
символами, думающий только о буквах и скобках, может покорить ту же вершину в несколько простых шагов.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

216
бы в два с лишним раза больше, чем бык (три буквы). Название еды содержало бы ее рецепт, так что пицца называлась бы
«ТестоСоусСырЗапечь». Химия была бы до скукоты безопасной
дисциплиной, так как мы могли бы проводить эксперименты, просто соединяя названия различных веществ и отмечая,
в каких случаях образуется слово «взрыв».
Жонглирование символами сводит законы логики к законам грамматики. Язык становится масштабированной моделью реальности. Теперь мы можем орудовать идеями, просто
не жалея чернил.
Так кто был прав, я или Киран? Конечно, мы оба. Говорить
на языке математики — значит сновать туда-сюда между двумя мирами, пребывать одновременно в двух различных состояниях сознания: в трудном восторге мышления и в бездумном
трансе жонглирования символами. Без чернил идеи сбивают
с толку; но без идей чернила ничего не значат. Учите логику,
учите ее хорошо, а затем отключайте мозг и просто смотрите,
как знаки танцуют на бумаге под беззвучную музыку сознания.

РАЗГОВОРНИК

Путеводитель
по математическому
словарю от старожила

отя эта книга почти подошла к концу, я так и не обучил
вас математическому языку во всей его полноте. Например, мы пропустили перемножение матриц, транспонирование матриц, матричные группы, каламбуры из «Матрицы»
и, разумеется, само понятие матрицы. Мы также не обсудили дифференциальное исчисление, интегральное исчисление,
нестандартное исчисление, исчисление лет от сотворения
мира и — мне только сейчас пришло это в голову — геометрию.
То есть вообще всю геометрию как таковую. Похоже, если оценивать с точностью до ближайшего целочисленного значения,
я обучил вас 0% математики.
Не беспокойтесь, мой друг. Так и было задумано. Эта книга — не энциклопедия математики, а лишь краткое введение
в язык для ориентирования в математических водах. Вместе
мы постояли на берегу и построили лодочку; нанести океаны
на карту — задача, которую я оставляю вам.
И все-таки перед тем, как вы отдадите швартовы, я хочу преподнести вам один прощальный подарок, более ценный, чем
любое весло или компас: справочник по нашим профессиональным шуткам.
Если вы когда-нибудь встречали математика, вы, должно быть, заметили его своеобразную манеру общения. Даже

219

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

220
в самых банальных разговорах мы щедро используем научный жаргон. При наступлении весны: «Это не монотонное возрастание, но погода определенно улучшается». Сравнивая два
ресторана: «Мне больше нравится новый, но дисперсия меню
там выше». Заблудившись в мебельном магазине: «Я просто
не понимаю топологию IKEA».
Язык математики сформировался для описания абстрактных
отношений. Поэтому он одновременно очень точный и очень
общий. Он проводит четкие технические разграничения, однако применим практически к чему угодно, даже к ситуациям без
определенного количества или формы.
В результате наши выражения иногда проникают
в популярный лексикон. Например, словосочетание «экспоненциальный рост» вошло в широкий обиход в значении
«очень быстрый рост». Неточное употребление, но суть термина оно передает. Аналогичным образом выражение «точка перегиба» стало означать что-то вроде «момента, когда
тенденция стала всем заметной», хотя это чуть ли не обратно его математическому значению — ну да ладно. Есть даже
восходящая звезда: «перпендикулярный». Технически это
«находящийся под прямым углом к чему-то»; приблизительный синоним нового значения — «не имеющий отношения
к делу». В любом случае, это слово вызвало ахи и охи у судей
Верховного суда США1, когда некий юрист употребил его в устных прениях.
«Это циклический процесс, — отмечает Майкл Першан. —
Математика проглатывает слова, приписывает им новые значения и затем выплевывает их обратно в бытовую речь».
В последнем разделе моей книги я приглашаю вас присоединиться к этому процессу. Чтобы объяснить все эти термины в их точном математическом контексте, понадобилась бы целая библиотека. Но чтобы помочь вам составить
о них представление — чтобы вы попали в круг посвященных,
на которых рассчитаны шутки, — по-моему, можно обойтись несколькими десятками картинок, сгруппированных
в 15 широких тем.

221

Как говорится, единственная константа — это перемены *. Времена года сменяют друг друга, империи рушатся, а дети вырастают из своей одежды не по дням, а по часам. Кто способен найти слова для этого непостоянного и текучего мира? Философы?
Поэты? Ну нет: они так же напуганы и озадачены, как и все
остальные. Если мы хотим описать эти зыбучие пески с той или
иной степенью точности, нам поможет лишь ледяная ясность
математики.
дельта — сущ. Разница или различие между двумя величинами.

Ты подрос!
Да, но дельта
не очень
впечатляет.

* Change is the only constant — так называется в оригинале книга Бена Орлина
«Время переменных».— Прим. пер.

РА З ГОВОРН И К

Рост и изменение

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

222
точка разрыва — сущ. Внезапный скачок или резкое изменение,
минующее промежуточные ступеньки.

Когда эта она успела стать
такой популярной?

Понятия не имею. Видимо,
на графике крутизны имелась
какая-то точка разрыва.

хаотический — прил. Отличающийся высокой степенью непредсказуемости, так что почти одинаковые начальные условия
могут привести к совершенно различным результатам (значение отличается от бытового).

Ведь ты заказал то же, что
и я, только без лука? Как они
умудрились добиться такого
чудовищного результата?

Увы, любая служба
доставки еды —
система хаотическая.

223

Что случилось? Минуту назад
все спокойно работали.
Извините. Весеннее
настроение распространяется экспоненциально.

производная — сущ. Темп изменений чего-либо; бывает положительной (что-либо возрастает), отрицательной (что-либо
убывает) или нулевой (что-либо не меняется).

Ты что такой радостный?
Мы проиграли со счетом 8:0!
Именно! А на прошлой
неделе было 10:0.
Производная-то
положительна!

РА З ГОВОРН И К

экспоненциальный — прил. Быстро растущий; в более узком
смысле, удваивающийся за определенный промежуток времени.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

224

Ошибки и оценка
Математики тоже ошибаются. Если вам когда-нибудь случалось
видеть, как я бьюсь лбом о фонарный столб, вы можете заподозрить, что математики вообще все делают неправильно. Истина
где-то посередине: математики так же подвержены ошибкам, как
все другие люди, но у них есть навык распознавать ситуации, когда
ошибки наиболее вероятны, и отличать крупные ошибки от мелких.
Можно сказать, что секретное оружие математиков — это их богатый и выразительный словарь для описания ошибочности.
эпсилон — сущ. Крошечное изменение или различие.

Да, мы так и не нашли отеля, но уверен, что мы
к нему на эпсилон ближе, чем были час назад!

первое приближение — сущ. Полезная отправная точка; грубая оценка, являющаяся важной начальной стадией понимания чего-либо.

Значит... все миллиардеры — злодеи
с манией величия, как в комиксах?

В первом приближении — да.

225

Аааа... ты съел всю пиццу с ананасом?
Я же говорил, что она моя любимая!
Прости. Я помнил, что ты испытывал к ней сильные чувства,
но с точностью до знака.

точечная оценка — сущ. Наиболее удачная догадка.

Тебя еще долго ждать? Нет,
не надо мне рассказывать всю
историю своей жизни, от тебя
требуется просто точечная
оценка.

РА З ГОВОРН И К

с точностью до знака — нареч. Когда путают плюс с минусом
или наоборот.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

226
доверительный интервал — сущ. Разброс значений, с заявленной вероятностью (скажем, в 90%) включающий истинное значение.

Как ты думаешь, это
у них надолго?

С доверительным
интервалом 90%?
От 5 минут
до 3 недель.

опускать подробности — глаг. Игнорировать строгие математические выкладки, передавая только суть.

Выглядит замечательно. Просто проследи, чтобы все было спаяно, или
сварено,
сва
или как там
ам его.

Не
Н думаю, что
можно
опустить
м
подробности
монтажа
несум
щих
щ конструкций
здания.

227

Трагедия человека XXI в. состоит в том, что мы все время стремимся сделать что-то лучше: путешествия — быстрее; еду — вкуснее;
собак — очаровательнее. Наша жизнь — вечное стремление, а значит, вечная неудовлетворенность. Так жить не годится, но если уж
приходится, то нам следует говорить об этом четко и разумно.
оптимизировать — глаг. Сделать значение той или иной переменной по возможности большим (или маленьким).

Давай, уже
поздно. Просто
выбери любой
фильм.

Нет! Нам надо
оптимизировать уровень
удовольствия
и релаксации!

целевая функция — сущ. То, что вы пытаетесь максимизировать или минимизировать.

Тебе нужно есть
больше зелени
Я не это
имела
в виду!

Ладно, я выбираю
зеленые M&M’s.
Я не виноват, что ты
задала неверную целе-вую функцию.

РА З ГОВОРН И К

Оптимизация

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

228
ограничение — сущ. Накладывается на рассматриваемые альтернативы.

Наш ребенок ест все, но с единственным ограничением — название должно рифмоваться со словами «бармеладные бишки».

Эта еда
не в форме медведя...

переопределенный — прил. Имеющий столько ограничений,
что решение невозможно.

Итак, ты веган, у нее непереносимость лактозы, а он хочет
пиццу... М-да, обед теперь официально переопределен.
Пицца!
Пицца!

229

Не надо мне никаких
других видов мороженого.
Мятно-шоколадное — мой
глобальный оптимум.

локальный оптимум — сущ. Лучшее, чего мы можем добиться без значительных изменений; вершина ближайшего холма.

Мой сценарий готов.
То есть вы им довольны?
Ни капельки. Но он доведен до локального оптимума, а я до изнеможения.

градиентный спуск2 — сущ. Процесс поиска локального оптимума с помощью череды мелких улучшений.

Дашь мне свой рецепт соуса
чили?
Нет у меня никакого рецепта. Я просто кидаю фасоль
в кастрюлю
и добавляю специи
методом градиентного спуска.

РА З ГОВОРН И К

глобальный оптимум — сущ. Лучшее, чего мы можем добиться;
высочайшая горная вершина.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

230

Решения и методы
Все мы — инженеры, кондитеры, неработающие родители —
в первую очередь занимаемся решением задач. Но задачи у нас
настолько разные — капризные несущие конструкции, капризное суфле и капризные дети,— что нам бывает трудно найти
общий язык. Здесь на сцену и выходят математики. От них нам
нужны не способности к решению задач, а тщательно проработанный язык для описания этих задач — и, что еще лучше, их
решения.
алгоритм — сущ. Систематический способ решения определенного типа задач.

Как запихнуть все
эти игрушки
на полку?
Не беспокойся.
У меня есть алгоритм.

231

Я же не готовился! Как я осилю этот тест?
Если сомневаешься,
выбирай вариант В.
А, да?..
Хорошая эвристика.

грубая сила — сущ. Метод решения задачи путем последовательного перебора всех возможностей.

Ты помнишь, где
мы припарковали
нашу прокатную
машину?

Не-а. Придется
применить грубую
силу — подергать
все ручки.

РА З ГОВОРН И К

эвристика — сущ. Быстрый и полезный, однако обычно несовершенный метод.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

232
элегантный — прил. Простой, но эффективный; противоположность решению грубой силой.

Ого, твой муж обычно не ходит в гости!
Ты что, силком его приволокла?

Элегантно!

Нет, просто
упомянула между
делом, что твои
торты выигрывали международные конкурсы.

обратная задача — сущ. Задача определения причины при
известном следствии.

Я же чувствую, что ты
на меня дуешься.
Еще бы. Догадываешься почему?
Нет. Обратные задачи
очень трудны.

233

Эта книга посвящена алгебре и полностью игнорирует иную
сторону математики: геометрию. Первая вырастает из числового мышления, вторая — из мышления пространственного.
Великое чудо математики состоит в том, что алгебра и геометрия сливаются, образуя своего рода невозможное дерево
с одним стволом, но двумя корневыми системами. Числа можно понимать в пространственных категориях, а пространство
можно анализировать с помощью чисел. В любом случае некоторые геометрические понятия слишком полезны (и слишком
сногсшибательны), чтобы обойтись без них.
многомерный — прил. Обладающий множеством характеристик, которые нужно учитывать.

Истории сочинять трудно.
Сюжет, тема, герой... это
многомерная проблема.
Неправда. Она
одномерная: чем
ов,
больше хоббитов,
отем лучше история.

ВЛА

СТЕ
КОЛ ЛИН
ЕЦ

РА З ГОВОРН И К

Фигуры и кривые

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

234
геодезическая линия — сущ. Кратчайший путь между двумя
точками. Не обязательно прямая.

Ты должен был как можно скорее уложить
ее спать. Почему вы играете в лошадки?

Поверь, в детской геометрии
это геодезическая
линия.

неевклидов — прил. Не подчиняющийся привычным правилам
геометрии.

Вверх? Я думал, мы
спускаемся
на первый этаж.

Так и есть. Извини,
это здание в значительной степени
неевклидово.

235

Постойте, так при новой организационной структуре ваш
непосредственный начальник —
это вы сами?

Мне нравится эта
модель управления
Мёбиуса.

нелинейный — прил. Не описываемый простыми правилами;
меняющийся с разной скоростью в разное время.

Нас же было всего трое,
как весь танцпол оказался
забит?

Танцевальная математика в значительной
мере нелинейна.

РА З ГОВОРН И К

лента Мёбиуса — сущ. Поверхность, у которой только одна сторона, так что лицо и изнанка — одно и то же; ее можно получить, перекрутив бумажную полоску и склеив концы.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

236

Бесконечность
Мало какие математические идеи захватывают воображение
широкой публики. И все-таки одно понятие стало настоящим
хитом-кроссовером; бесконечность встречается в богословских
доктринах, поэтической риторике и детских дразнилках. Для
математиков бесконечность не просто одна идея; у нее есть различные применения, различные значения и даже различные размеры. «Бесконечность» — это не просто слово, это целый словарь.
неограниченный сверху — прил. Без верхней границы; способный подниматься все выше и выше.

Ого, печенье еще лучше пирога!
О да. Качество этой
выпечки не ограничено сверху.

неограниченный снизу — прил. Без нижней границы; способный опускаться все ниже и ниже.

Я думал, погода уже не может
стать хуже...

Пожив здесь, понимаешь, что
погода не ограничена снизу.

237

Он всегда так
себя ведет?

Да, в его случае позорища образуют
плотное множество. Между любыми двумя
обязательно обнаруживается еще одно.

счетное множество — сущ. В математической иерархии бесконечностей самая маленькая бесконечность.

Тьфу. В твоей программе бесконечно много
ошибок.
Да, но это всего
лишь счетное множество!

РА З ГОВОРН И К

плотный — прил. Вездесущий; проникающий во все закоулки.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

238
несчетное множество — сущ. Бесконечность большего размера.

Может, подписаться на их рассылку?
Хочешь нарваться на несчетное множество мейлов
в конечном
ящике? Ну
давай.

асимптотически — нареч. По мере того как наступает вечность.
(Используется для описания результата, которого мы не обязательно достигнем, но к которому неуклонно приближаемся.)

Похоже, у вас с бывшим
налаживаются отношения.

Да. Асимптотически мы можем
даже стать друзьями.

239

Практически все на свете состоит из множеств. США — это
множество из 50 штатов; альбом Abbey Road — множество
из 17 песен; а июль — множество из 31 дня. Так что даже простое действие — например, составление плейлиста из песен
The Beatles для вашей июльской поездки по США — таит в себе
аспекты теории множеств. К счастью для нас, математики разработали внятный и эффективный язык описания подобных
совокупностей вещей.
пустое множество — сущ. Совокупность, в которой вообще нет
членов.

Я не привередлив. Мне
просто нужен кто-то эмоционально устойчивый,
достаточно привлекательный
и без раздражающих привычек.
То есть ты готова встречаться с любым представителем пустого множества?

РА З ГОВОРН И К

Совокупности

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

240
подмножество — сущ. Меньшая совокупность в составе большей.

И нам это в жизни
пригодится?

Ну, пусть не всем вам, но
некоему подмножеству.

Если А  В и В  С,
то А  С

объединение — сущ. Две совокупности, взятые вместе.

Ого! Перепутав «Звездный путь» и «Звездные войны»,
вы умудрились взбесить не один фэндом, а их объединение.

241

Я думал, что моя «Ода дифференциальным
уравнениям» заинтересует и любителей
математики, и любителей поэзии.

Нет, только пересечение этих множеств.

непересекающийся — прил. Совершенно отдельный; несовпадающий.

Мне просто нужна бюджетная
квартира в Сан-Франциско.
Я что, слишком многого хочу?
Да. «Бюджетная»
и «в СанФранциско» —
непересекающиеся множества.

РА З ГОВОРН И К

пересечение — сущ. Элементы, принадлежащие одновременно
двум совокупностям.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

242
перестановка — сущ. Способ упорядочить элементы множества.

На нашей свадьбе просто невозможно рассадить гостей.

Ага. Любая
перестановка
приводит
к мордобою.

замкнутый относительно операции — прил. О множествах:
если к двум членам множества применить бинарную операцию,
то ее результат тоже будет членом этого множества.

Как у двух таких милых
людей получился такой вредный ребенок?

Увы, множество милых людей
не замкнуто относительно операции деторождения.

243

Только математики производят то, что называется теоремами — утверждениями, верность которых доказана вне всякого сомнения. Доказательство теорем — смысл существования
любого математика. Более того, Альфред Реньи охарактеризовал математика как «автомат по переработке кофе в теоремы»3.
По-немецки это звучит еще смешнее, так как слово Satz означает одновременно «теорема» и «кофейная гуща», так что математик становится машиной для превращения кофе в кофейную
гущу. И если вы хотите попить кофе с математиком, вам нужно
знать язык доказательств.
аксиома — сущ. Исходное положение; фактически предмет
веры.

Можно я прыгну со стола?
Почему?

Нет.

Не хочу, чтобы
ты ушибся.
Почему?
Это меня расстроит.
Почему?
Не знаю, детка, просто
прими это как аксиому.

РА З ГОВОРН И К

Логика и доказательства

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

244
гипотеза — сущ. Предлагаемое утверждение, которое может
оказаться верным, но пока не подтверждено.

Моя гипотеза состоит в том, что он встречается с ней
только потому, что у нее в гараже стоит пинбол.

контрпример — сущ. Исключение, которое опровергает предлагаемое правило.

По-моему, любая комедия
дольше двух часов —
пустая трата времени.

Ладно, убедительный контрпример.

«Типа крутые легавые» —
2 часа 1 минута.

245

Я люблю нашего малыша, но очень боюсь,
что никогда больше
чт
вж
жизни не высплюсь.

Уверена, что это известная теорема.

конструктивное — прил. Доказательство, которое содержит
точные указания, как именно можно создать или отыскать чтолибо.

Эта книга убедила меня,
что истинная любовь существует.
Понятно. Но конструктивно ли это доказательство?

РА З ГОВОРН И К

теорема — сущ. Правило, истинность которого доказана.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

246
теорема существования — сущ. Доказательство, демонстрирующее, что нечто существует, но не сообщающее, где или как его
найти.

Идеальная для тебя девушка все же где-то есть.
Ну и где?
Не знаю. Это теорема существования.

следствие — сущ. Факт, непосредственно вытекающий из другого факта.

Видеть тебя больше
не хочу!
Значит ли это, что ты
не отвезешь меня завтра
в аэропорт?
Да, это как бы следствие.

247

Они накачанные
Ты правда
думаешь, что вегетарианцы, котогориллы умнее рые спят голышом
под звездами. ЧТД.
людей?

Истины и противоречия
Мое любимое определение математики дала математик Евгения Чен, сказавшая, что математика — это изучение с использованием логических правил всего, что следует этим правилам.
Мне это кажется очень точным. Реальная сущность математики
состоит не в операциях с числами, фигурами или уравнениями.
Она состоит в логическом рассуждении: в исследовании не того,
что истинно, но того, как связаны между собой различные возможные истины. Если это звучит несколько абстрактно и напыщенно, то да, так и оно есть — но именно поэтому такая терминология столь полезна во всех сферах жизни.

РА З ГОВОРН И К

ЧТД — межд. Драматическое восклицание, которым завершается неопровержимый довод. Сокращение от «что и требовалось доказать».

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

248
доказательство от противного — сущ. Рассуждение, временно
исходящее из того, что верно противоположное тому, что вы
хотите доказать. Таким образом демонстрируется, что это противоположное безнадежно неверно.

Я нашел идеальную температуру для
жарки сыра!
Ты уверен? Он выглядит
подгоревшим...
Ага, это доказательство
от
от противного.
про
роти
тиввнного

парадокс — сущ. Видимое противоречие, когда два утверждения
кажутся верными, но логически несовместимы.

Молоко было просрочено всего на три
дня. Почему же мне
Не думаю, что твоя
так плохо?
попытка представить это как
парадокс выглядит
убедительной.

249

Не буду ничего
покупать в магазине, в котором меня
отказываются обсл
обслуживать.

Полагаю, они
думали именно
об этой тавтологии, когда вносили тебя в черный
список.

более сильное — прил. Утверждение более общее, чем другое
утверждение; содержащее в себе все выводы из другого утверждения и еще некоторые.

Ты ненавидишь учебники?

Нет, это утверждение
более сильное, чем то,
что я сделал. Я ненавижу только те учебники,
которые я читал.

РА З ГОВОРН И К

тавтология — сущ. Самоочевидное утверждение; нечто истинное по определению.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

250
без потери общности — нареч. По сути значит: «Я буду говорить
о частном случае, но сказанное мною применимо ко всем сценариям».

Болельщики соперничающих команд никогда не смогут
полюбить друг друга по-настоящему.

Почему?
Без потери общности, представь себе
фаната «Манчестер Юнайтед» и фанатку «Ливерпуля»...

частный случай — сущ. Специфический пример общего правила; может отличаться некоторыми особенностями, но должен
в конечном итоге следовать более широкой закономерности.

Мое правило — не бить
морду архитекторам,
с которыми мы
не представлены.
Разве это не частный случай правила «Не применять к людям физическое
насилие»?

251

О нет. Я не знаю, где мой телефон.
Не расстраивайся.
Я как-то потерял
свой, и совершенно посторонний
человек вернул
Хорошо, но мне его полностью
не уверен,
заряженным.
что это
обобщается.

произвольный — прил. Пока не определенный и не уточненный;
может также означать «типичный».

Ты хотела бы сходить сегодня в новый ресторан?
В смысле, в произвольный
новый ресторан?

Если честно, я имел
в виду тот филиппинский.

РА З ГОВОРН И К

обобщать(ся) — глаг. Применять (или быть применимым)
в более широком контексте.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

252

Вероятное и возможное
Бенджамин Франклин однажды сострил, что полностью уверенным можно быть только в смерти и налогах. В наши дни, когда
эксцентричные миллиардеры тратят кучу денег, чтобы избежать смерти, и гору денег, чтобы избежать налогов, даже это
вызывает сомнения. Что нам делать в мире тотальной неопределенности? Отделять вероятное от невероятного. Учиться различать сто значений слова «возможно» и тысячу оттенков оборота «может быть». Иными словами: осваивать язык вероятностей.
вероятность — сущ. Степень возможности чего-либо.

ВЕРОЯТНОСТНО-ЖИТЕЙСКИЙ
100%
гарантированно
95–99,9%
почти наверняка
80–95%
очень вероятно
60–80%
вероятно
40–60%
может быть
20–40%
возможно
5–20%
маловероятно
практически невозможно 0,1–5%
0%
невозможно

СЛОВАРЬ

253

Думаешь, твои
родители придут вовремя?

Я бы сказала,
это событие
с нулевой
вероятностью.

априорное распределение — сущ. То, в чем вы убеждены до того,
как начали собирать информацию.

Ты с ним говорила?

Нет. Но он красавчик, так
что моя оценка априорного распределения сводится
к тому, что он идиот.

РА З ГОВОРН И К

нулевая вероятность — сущ. Когда нечто формально возможно,
но никогда не произойдет.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

254
скорректировать — глаг. Изменить свои представления на основании новой информации.

Нет, госпожа призрак,
я по-прежнему не думаю, что это дом с привидениями. Но признаюсь, что наша беседа
заставила меня скорректировать априорное
распределение.

стохастический — прил. Вычурный синоним слова «случайный».

То есть ваш рекомендательный сайт просто
выставляет фильмам случайные оценки?

Я бы так не стал
формулировать. Но да,
процесс несколько
стохастический.

255

Приедешь ко мне на день рождения?
Не-а.
А если мой богатый
дядюшка всё оплатит?
При таком
условии —
несомненно!

Причины и корреляции
Все тайны мироздания сводятся к одному слову: почему. Почему
шоколадные круассаны такие слоистые и совершенные? И почему, однако, мне становится нехорошо, если съесть всего три или
четыре штуки? Я заболеваю из-за круассанов? Или недомогание заставляет меня есть круассаны? Пусть математика не способна дать все ответы, но у нее есть идеальный язык для того,
чтобы формулировать вопросы: язык, отделяющий корреляцию
(когда одно сопутствует другому) от причинно-следственной связи (когда одно вызывает другое).
коррелировать — глаг. О двух переменных: когда одна из них
больше (или меньше) среднего значения, другая часто демонстрирует то же поведение.

РА З ГОВОРН И К

при условии — нареч. На секунду принять нечто за определенность или истину (даже если это не так).

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

256
Так что, по-твоему, все наши
проблемы — МОЯ вина?

Я только отметил,
что наши проблемы коррелируют
с твоим присутствием.

пропорциональный — прил. О двух переменных: они идеально коррелируют, так что если одна удваивается, удваивается
и другая.

Эти начос изумительны!
В чем секрет?

Все просто: вкуснота
пропорциональна сыру.

257

До чего классно! Почему мы так редко ходим на концерты?

Потому что наши
с тобой музыкальные вкусы отрицательно коррелируют.

нулевая корреляция — сущ. Полное отсутствие взаимосвязи
между двумя переменными.

Не доверяй ей.
У меня предчувствие.

Привет, ребята!

У твоих предчувствий
нулевая корреляция
с реальностью.

РА З ГОВОРН И К

отрицательно коррелировать — глаг. О двух переменных: если
одна растет, другая падает.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

258
перпендикулярный — прил. Не имеющий отношения к делу
(буквально: находящийся под прямым углом).

Давай возьмем на работу этих консультанток. У них такие
прикольные прически.

Боюсь, это перпендикулярно их
квалификации.

Данные
Педантичные преподаватели английского, прости господи, любят говорить нам, что «данные» (data) — множественное число. Единственное число — datum. Поэтому нельзя употреблять слово data как собирательное существительное типа
«багаж», оно должно использоваться только как существительное множественного числа типа «стаканы» или «ведра»: «Эти
данные (data) дают (give, а не gives) корпорациям полный контроль над нашей жизнью». Так или иначе, когда я пишу эти
строки в начале 2020-х гг., становится все более очевидно, что
остаток моей жизни пройдет в Эпоху данных.

259

Не спорю, у этих кексов высокая дисперсия,
но хороший пекарь должен идти на риск.

n — сущ. Количество людей, по которым были собраны данные;
чем больше n, тем достовернее результаты (при прочих равных
условиях).

Всех бесит твоя новая рубашка.
Пффф. Это лишь
твое мнение.
Нет, вот петиция,
которую подписал весь город.
Что ж, признаю, это
достаточно большое n.

РА З ГОВОРН И К

дисперсия — сущ. Непредсказуемость; изменчивость.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

260
равномерно распределенный — прил. Когда все значения одинаково вероятны.

Не могу определиться,
нравится мне этот альбом
или не нравится.

Ну да, песни на нем
равномерно распределены
между «ужасно» и «супер».

стандартные (среднеквадратические) отклонения выше
среднего — сущ., мн. ч. Градация превышения среднего уровня:
одно с. о. в. с.— довольно хорошо, два — очень хорошо, три —
чрезвычайно хорошо, четыре — практически невиданно.

Ого! Такого вкусного бутерброда я еще не ел!
Ей-богу! Он на шесть
стандартных отклонений
вкуснее среднего!

261

Как ты можешь! Мы
Не будем на Хеллоуин раздавать
с
братьями
ее обожаем!
соленую лакрицу. Ее никто не любит.
Это не репрезентативная
выборка!

зашумленный — прил. Об исходе или результате: подверженный влиянию случайных факторов.

Кто хорошо работает,
у того и жизнь лучше
складывается?

В некотором
роде да, но
успех — зашумленная система.

РА З ГОВОРН И К

репрезентативный — прил. О маленькой группе (выборке): она
напоминает большую группу, к которой относится.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

262
нулевая гипотеза — сущ. Посылка, принятая по умолчанию;
нечто, что мы предполагаем верным до тех пор, пока не обнаружены убедительные свидетельства обратного.

Глянь сюда! Говорю
же, она серийная
убийца!

Я по-прежнему
придерживаюсь нулевой
гипотезы, что
она обычный
человек с бензопилой в гараже.

Игры и риск
Хотя математическая область теории игр зародилась как способ
анализа простых игр на везение, она выросла в нечто гораздо
большее: в систему координат для анализа любого стратегического взаимодействия — спортивных соревнований, брачного
поведения ящериц, конкуренции корпораций или межгалактического конфликта цивилизаций. Таким образом, язык теории игр не просто поможет вам перестать проигрывать в покер;
с ним вы научитесь вести интеллектуальные беседы на всевозможные темы (пусть и все равно проигрывая в покер).

263

Я пас!

И каково это —
быть родителем?

На 1/3 недосып,
на 2/3 теория игр.

дилемма заключенного — сущ. Сценарий, в котором каждый
участник сталкивается с выбором между общим благом и своей личной выгодой.

Обед в складчину — это классическая дилемма заключенного.

Да. Скооперироваться,
чтобы испечь брауни, или
дезертировать с пакетом
салата?

РА З ГОВОРН И К

теория игр — сущ. Анализ стратегических взаимодействий
с точки зрения математики.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

264
игра с нулевой суммой — сущ. Сценарий, при котором выгода
для одного обязательно подразумевает убыток для другого.

Почему вы не поЖизнь с братом —
могаете друг
это игра с нулевой
другу убираться?
суммой.
Ни за что!

ошибка игрока — сущ. Ошибочное представление, что если вам
не везет, то вот-вот должно повезти, «для равновесия».

Не сдавайся, ты промазал девять раз подряд.
На десятый-то точно попадешь!

Ох. Видимо, любая
мотивирующая беседа —
в той или иной степени
пример ошибки игрока.

265

Все еще пробуешь этот
трюк? Ты же в 99 случаях из 100 просто расшибаешь физиономию.
Верно, но в каждом
сотом случае бывает
так круто, что математическое ожидание
удовольствия положительное.

избегание рисков — сущ. Предпочтение меньшего риска, даже
если для этого приходится пожертвовать математическим
ожиданием.

Пойдем! Пора!
Зачем? У нас
рейс через
шесть часов.
Именно!
Ты поднимаешь
избегание рисков на невиданный ранее
уровень!

РА З ГОВОРН И К

математическое ожидание — сущ. Средний результат, который
вы получите, если будете повторять что-то снова и снова.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

266
строго доминировать — глаг. Быть лучше по крайней мере
в одном отношении и ни в одном не хуже.

Ты увольняешься? Как
ты мог нас бросить?
Моя новая работа строго
доминирует над этой.
В каком смысле?
Платят больше, график удобнее, а начальник не принимает все на свой счет.

Свой ства
Когда кто-то слишком сосредоточен на деталях, мы говорим,
что он не видит за деревьями леса. Математики, наоборот, скорее грешат обратным — не видят за лесом деревьев. У них принято исследовать не сами объекты, а свойства этих объектов.
(Не деревья, а их количество.) Затем, выделив эти свойства,
они рассматривают свойства свойств. (Не количество, а его
четность или нечетность.) И так далее: свойства свойств свойств вещей. «Содержание не привлекает их внимания,— сказал однажды о математиках Анри Пуанкаре.— Их интересует
только форма».

267

ГЕНДИРЕКТОР

ГУБЕРНАТОР

Я работал в обоих
секторах, и поверь
мне: фирма с тупым
гендиректором и штат
с тупым губернатором
по сути своей изоморфны.

рефлексивное отношение — сущ. Тот факт, что каждый объект
совпадает сам с собой.

Забавно, у этих книг так
много общего! Как ты
считаешь, можно ли сказать, что эти два автора
принадлежат к одной
традиции?
«ГОРДОСТЬ

И ПРЕДУБЕЖДЕНИЕ»

«РАЗУМ
И
ЧУВСТВА»

Ну, они обе
написаны Джейн
Остин. Так как
отношение рефлексивно, думаю,
да.

РА З ГОВОРН И К

изоморфный — прил. Обладающий теми же основными свойствами, невзирая на видимые различия.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

268
транзитивный — прил. Об отношении: если А так относится к Б,
а Б — к В, то А так относится к В.

Вы оба — мои лучшие друзья?
Ну почему вы не ладите?

Потому что дружба
не транзитивна.

инвариант — сущ. Свойство, которое не меняется, даже если
меняется сам объект.

Ты так вырос, сынок. Но остался
один инвариант — твоя полная
неспособность застилать кровать.

269

Мне сначала положить чеснок или
разогреть масло
до кипения?

Без разницы. Этот процесс
коммутативен.

Знаменитости и фольклор
В отличие от естественных наук — которые могут похвастать
громкими именами вроде Марии Кюри и Виктора Франкенштейна,— математика страдает от недостатка настоящих
звезд. Эмми Нётер? Уилл Хантинг? Они в лучшем случае широко известны в узких кругах. Но взамен публичного признания
математикам дано нечто более приятное: признание коллег,
т. е. шутки для своих. Если вы хотите посмеяться в компании
математиков, полезно знать нескольких таких персонажей.

РА З ГОВОРН И К

коммутативный — прил. Свойство операции давать тот же
результат при изменении порядка ее выполнения на обратный.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

270
число Эрдёша — сущ. Количество шагов, отделяющих вас
от Пала Эрдёша, где «шаг» означает соавторство в научной
статье.

Почему вы так хотите быть моим соавтором?
Ваше число Эрдёша равно 2. Я всю жизнь мечтал
стать «тройкой».

гауссов — прил. Относящийся к математику Карлу Гауссу,
в честь которого названо так много вещей, что это прилагательное можно поставить перед практически любым существительным.

Ты опять обыграл меня
в фэнтези-футбол. Твоей
стратегии нужно особое
название.
Да это просто частный случай гауссового разгрома.

271

Она говорит, у нее есть
смешная картинка, но
файл слишком велик для
пересылки.
Ага. Последний мем Ферма.

медаль Филдса — сущ. Знаменитая математическая премия.
Исходно предназначалась для подающей надежды молодежи.
Позже ее стали просто присуждать выдающимся ученым моложе 40 лет.

Я заполнил налоговую декларацию! Без специальных
программ!

Тянет на медаль
Филдса!

Формально я для нее
слишком стар, но все
равно спасибо.

РА З ГОВОРН И К

последний... Ферма — прил. Обещанный, но так никогда и не
случившийся. (В честь «последней теоремы» Пьера Ферма. Ферма оставил на одной из страниц книги заметку, что доказал
некое интересное утверждение, но доказательство слишком
длинно, чтобы уместиться на полях; он почти наверняка ошибался, так как настоящее доказательство было найдено только
через 350 лет после его смерти.)

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

272
задача тысячелетия — сущ. Одна из семи знаменитых и важных
математических задач, отобранных в 2000 г. За решение каждой
полагается премия в миллион долларов.

Почему в сушилке
вечно пропадает
один носок из каждой пары?
Понятия не имею.
Если я ничего
не путаю, гипотеза
одиночного носка — одна из задач тысячелетия.

отколоть Перельмана — глаг. Удалиться от общества. Григорий
Перельман решил одну из задач тысячелетия, но затем отказался от премиальных денег и ушел из математики.

Простите, опоздал!

Где ты был?

Мы уж думали, ты
отколол Перельмана!

273

Ты когда-нибудь видел
такой красивый закат?

Прямо как тождество Эйлера!

РА З ГОВОРН И К

тождество Эйлера — сущ. Равенство eiπ + 1 = 0. Оно соединяет
в простом выражении пять фундаментальных констант и часто
приводится как образец математической красоты.

ТОНКОСТИ, ССЫЛКИ
И МЕЛКИЙ ШРИФТ
ВВЕДЕНИЕ
1

Oliver Sacks, Seeing Voices: A Journey into the World of the Deaf
(Berkeley: University of California Press, 1989). Сакс говорит
не конкретно о математическом языке, но о природе владения любым языком.
Albert Einstein, “The Late Emmy Noether,” The New York Times,
May 4, 1935.

СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ
1
2
3
4

Karen Olsson, The Weil Conjectures: On Math and the Pursuit
of the Unknown (New York: Farrar, Straus and Giroux, 2019).
Jorge Luis Borges, Collected Fictions (London: Penguin Putnam,
1998).
Ursula Le Guin, A Wizard of Earthsea (New York: Houghton
Mifflin, 1968).
См., например, Alice Clapman and Ben Goldstein, “HandCounting Votes: A Proven Bad Idea,” Brennan Center for Justice,
November 23, 2022, https://www.brennancenter.org/our-work/
analysis-opinion/hand-counting-votes-proven-bad-idea

275

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

276
5

7
8

9
10
11

12
13

Этим математиком был Рене Декарт. См. David Wells,
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (London:
Penguin, 1997).
Этого одноклассника звали Уильям Коллинз. Кстати, его
лекция на конференции TED, набравшая более 1,5 млн просмотров, называется «Как навыки видеоигр могут помочь
в жизни». “How Video Game Skills Can Get You Ahead in Life.”
Posted March 2021, https://www.ted.com/talks/william_collis _
how_video_game_skills_can_get_you_ahead_in_life
Lewis Carroll, Through the Looking Glass (1871), Project
Gutenberg, https://www.gutenberg.org/files/12/12-h/12-h.htm
Charalampos Lemonidis and Anastasios Gkolfos, “Number Line in
the History and the Education of Mathematics,” Inovacije UNastavi
33 (March 2020): 36–56, 10.5937/inovacije2001036L.
Wells, Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers.
Там же.
J. J. O’Connor and E. F. Robertson, “Frances Maseres,” MacTutor
History of Mathematics Archive, accessed May 15, 2023,
last updated 2004, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk /
Biographies/Maseres/
W. H. Auden, A Certain World: A Commonplace Book (New York:
Viking, 1970).
Gunhan Caglayan, “Algebra Tiles: Explorations of al-Khwārizmī’s
Equation Types,” Convergence, October 2021, https://www.maa.org/
press/periodicals/convergence/algebra-tiles-explorations-ofal-khw-rizm-s-equation-typesal-khw-rizm-s-compendiumon-calculating
“The Truth About A&W’s Third-Pound Burger and the Major
Math Mix-Up,” A&W Restaurants, accessed April 11, 2023,
https://awrestaurants.co m/blog/aw-third- pound-burgerfractions. Эта история гуляет в кругах преподавателей математики, но в ней есть оттенок городской легенды. Может
быть, гамбургер весом в треть фунта потерпел неудачу не потому, что публика не понимает дроби, а потому, что McDonald’s — мировая корпорация, а сеть A&W
известна главным образом своим рутбиром. Во всяком случае, A&W утверждает, что это было на самом деле.

277

19
20

21
22

Ben Orlin, Math with Bad Drawings. New York: Black Dog &
Leventhal, 2018. (Орлин Б. Математика с дурацкими рисунками / Пер. с англ. А. Огнева.— М.: Альпина нон-фикшн, 2021).
По правде говоря, я не знаю, сколько слов в той моей книге.
Charles Seife, Proofiness: The Dark Arts of Mathematical Deception
(New York: Viking, 2010). Как склонны делать все эгоистичные
авторы, я пересказал анекдот Сейфе своими словами в собственных риторических целях.
Готовя эти примечания, я заметил, что Карл Вундерлих
(ученый, от которого и пошло значение в 98,6 °F) действительно указал 37,0 °C, с точностью до десятой доли градуса.
Таким образом, его число уже было слишком точным, еще
до перевода в градусы Фаренгейта.
речь о Клэр Уоманхолм, написавшей прекрасное эссе о той
же экскурсии к зернохранилищу. Claire Wahmanholm, “Get
In Loser, We’re Going Corn-Pitting,” Essay Daily, September
20, 2022, http://www.essaydaily.org/2022/09/the-midwessayclaire-wahmanholm-get-in.html. Также заслуживает упоминания отец Фриды, Дэниел Лаптон, который перепроверил мою оценку числа зерен и знает больше занимательных
математических фактов, чем я.
Stephen Chrisomalis, Reckonings: Numerals, Cognition, and History
(Cambridge, MA: MIT Press, 2020).
Различные не внушающие полного доверия сетевые источники приводят разные не внушающие полного доверия
цифры, но все они находятся в промежутке от 1020 до 1021,
что достаточно точно для наших целей. Это вообще характерно для моего уровня точности в этой главе.
Claude Shannon, “Programming a Computer for Playing Chess,”
Philosophical Magazine, 7th ser., 41, no. 314 (March 1950).
Doug Smith, “But Who’s Counting?” The Los Angeles Times,
January 31, 2010, http://articles.latimes.com/2010 /jan/31/
opinion/la-oe-smith31–2010jan31
Floyd Norris, “Erroneous Order for Big Sales Briefly Stirs Up the
Big Board,” The New York Times, October 3, 2002, https://www.
nytimes.com/2002/10/03/business/erroneous-order-for-bigsales-briefly-stirs-up-the-big-board.html

ТОН КОСТ И , ССЫЛ КИ И М ЕЛКИ Й Ш РИ ФТ

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

278
24 Kent Cooper, “Member of Congress Makes Billion-Dollar Error,”
Roll Call, August 20, 2013, https://rollcall.com/2013/08/20/
member-of-congress-makes-billion-dollar-error
25 Douglas Hofstadter, Metamagical Themas: Questing for the Essence
of Mind and Pattern (New York: Basic Books, 1985).
26 John Allen Paulos, Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its
Consequences (New York: Vintage Books, 1990).
27 Annie Dillard, For the Time Being (New York: Vintage Books, 1999).
28 Thomas Hardy, Two on a Tower: A Romance (1882). Я нашел
эту цитату в отличной популярной книге об астрономии:
Marcia Bartusiak, Dispatches from Planet 3: 32 (Brief) Tales on
the Solar System, the Milky Way, and Beyond (New Haven, CT: Yale
University Press, 2018).
29 Как объясняет википедия (https://en.wikipedia.org/wiki/
Trapezoid#Etymology_and_trapezium_versus_trapezoid), европейские языки обычно используют варианты слова trapezium
для обозначения четырехугольника с одной парой параллельных сторон, а варианты слова trapezoid — для обозначения четырехугольника, не имеющего параллельных сторон.
В 1795 г. Чарльз Хаттон издал математический словарь, в котором случайно перепутал эти термины. Британцы исправили
эту ошибку в XIX в.; американцы так и не исправили.
30 Некоторые настаивают, что множественное число (maths)
лучше, так как отражает множественность областей математики (алгебра, геометрия и т. д.). Это глупый довод, потому что maths — не настоящее множественное число. Оно
согласуется с глаголами в единственном числе. Maths (как
и mathematics) — собирательное существительное, которое
просто оканчивается на s.
31 Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (Mineola,
NY: Dover, 1993). Кстати, если говорить о способах записи,
я в одностороннем порядке решил вставлять пробел между
каждой тройкой цифр в десятичной дроби, так, что вместо 3,14159265 получается 3,141 592 65. Не знаю, почему это
до сих пор не стало общепринятой практикой.
32 Очевидное возражение на это утверждение — что мы
легко можем помыслить большие величины (скажем,

279

35
36

ГЛАГОЛЫ
1

2
3

4
5

Можно, конечно, пойти и дальше тетрации. Но, как мы уже
видели, числа станут абсурдно, бесполезно, бессмысленно
большими. Что-то подобное возникает только в контексте
некой странной комбинаторики.
George Orwell, Nineteen Eighty-Four (London: Secker & Warburg,
1949).
Не могу не порекомендовать исчерпывающий перечень
версий этого анекдота: Brian Hayes, “Versions of the Gauss
Schoolroom Anecdote,” http://bit-player.org/wp-content/extras/
gaussfiles/gauss-snippets.html
Jo Morgan, A Compendium of Mathematical Methods (Woodbridge,
UK: John Catt, 2019).
Wikiquote, атрибутируя это знаменитое высказывание, ссылается на: Geometrie and Erfahrung (1921), pp. 3–4, цит. по: Karl
Popper, The Two Fundamental Problems of the Theory of Knowledge,
trans. Andreas Pickel, ed. Troels Eggers Hansen (2014).
Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical
Thinking (New York: Penguin, 2014).

ТОН КОСТ И , ССЫЛ КИ И М ЕЛКИ Й Ш РИ ФТ

расстояние в 10200 световых лет или временной промежуток в 10500 лет), в то время как рассуждать о меньших величинах (например, 10–200 метров или 10–500 секунд)
бессмысленно.
Vi Hart, “Pi Is (Still) Wrong,” YouTube video, uploaded March 14,
2011, https://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ
Эти данные гуляют по интернету, но, честно говоря, я понятия
не имею, какого роста был Мартин Лютер Кинг, и вообще
мне это — что главное — безразлично.
Gustave Flaubert, The Letters of Gustave Flaubert, 1830–1857, trans.
Francis Steegmuller (Cambridge, MA: Belknap, 1980).
Jorge Luis Borges, “Pascal’s Sphere,” in Other Inquisitions,
1937–1952, trans. Ruth L. C. Simms (Austin: University of
Texas Press, 1964). Оттуда же взята цитата Джордано
Бруно.
Borges, “The Aleph,” in Collected Fictions.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

280
7

8
9
10

Родственная задача, известная как «рационализация
знаменателя», стала предметом одной из самых необъяснимых дискуссий среди преподавателей математики. Главный аргумент в пользу этой практики (что деле1
гораздо труднее, чем деление столние столбиком
2

2
) уже неактуален. Однако второй аргумент (что
биком
2
корни хорошо приводить в стандартный вид, чтобы были
понятны упрощения) все еще работает. Например, трудно понять, почему 98 + 18 = 200, но достаточно очевидно,
что 7 2 + 3 2 = 10 2 .
Henri Poincare, Science and Method (1908).
David Crystal, The Disappearing Dictionary: A Treasury of Lost
English Dialect Words (London: Macmillan, 2015).
James Gleick, The Information: A History, a Theory, a Flood (New
York: Vintage, 2012). Оттуда же взята прекрасная фраза
«по цене картошки».
Оригинальные заголовки см. в “Ambiguous Headlines,” Fun
with Words, http://www.fun-with-words.com/ambiguous_
headlines.html. Понятия не имею, реальные они или
вымышленные, однако они смешные.
Steven Strogatz, “That Vexing Math Equation? Here’s an
Addition,” The New York Times, August 5, 2019, https://www.
nytimes.com/2019/08/05/science/math-equation- pemdasbodmas.html
Kurt Reusser, “Problem Solving Beyond the Logic of Things:
Contextual Effects of Understanding and Solving Word Problems,”
Instructional Science 17, no. 4 (1988): 309–38.

ГРАММАТИКА
1
2
3

Steven Pinker, The Language Instinct: How the Mind Creates
Language (New York: William Morrow, 1994).
Olsson, Weil Conjectures.
Texas A&M University, “Students’ Understanding of the
Equal Sign Not Equal, Professor Says” (news release),
ScienceDaily, August 11, 2010, https://www.sciencedaily.com/
releases/2010/08/100810122200.htm

281
Kristine Larsen, Stephen Hawking: A Biography (Westport, CT:
Greenwood Press, 2005).
5 Cedric Villani, trans. Malcolm DeBevoise, Birth of a Theorem:
A Mathematical Adventure (New York: Farrar, Straus and Giroux,
2015). На самом деле Виллани пересказывает точку зрения
своего коллеги Эллиота Лебба, но, похоже, он ее разделяет.
6 Michael Pershan, “‘Draw a Picture’ Is Too Darn Abstract for
Kids,” Rational Expressions (blog), August 21, 2014, http://
rationalexpressions.blogspot.com/2014/08/draw-picture-istoo-darn-abstract-for.html
7
Edward R. Tufte, The Visual Display of Quantitative Information, 2nd
edition (Cheshire, CT: Graphics Press, 2001).
8 John Scalzi, “The Scalzi Theory of Strawberries,” Whatever
(blog), June 8, 2019, https://whatever.scalzi.com/2019/06/08/
the-scalzi-theory-of-strawberries
9 Я воспользовался автоматическим калькулятором на портале Good Calculators, https://goodcalculators.com/fleschkincaid-calculator
10 Katy Waldman, “Can One Sentence Capture All of Life?” New
Yorker, September 6, 2019, https://www.newyorker.com/books/
page-turner/can-one-sentence-capture-all-of-life
11 David Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the
Birth of Topology (Princeton, NJ: Princeton University Press,
2008).
12 Barry Mazur, “When Is One Thing Equal to Some Other Thing?”
June 12, 2007, Harvard University, https://people.math.osu.edu/
cogdell.1/6112-Mazur-www.pdf
13 Paul Lockhart, Measurement (Cambridge, MA: Belknap, 2012).
14 На самом деле мысль Эйнштейна была несколько сложнее
и зависела от контекста. Однако, придерживаясь собственной логики, он, вероятно, одобрил бы такое упрощение.
15 Douglas Adams, Dirk Gently’s Holistic Detective Agency (London:
Pan Books, 1988). В этом пассаже на самом деле говорится не
о категориальных ошибках вообще, а об идее, что у главного героя Дирка Джентли может быть друг.
16 Lemony Snicket, The Reptile Room, book 2 in the series A Series of
Unfortunate Events (New York: HarperCollins, 1999).

ТОН КОСТ И , ССЫЛ КИ И М ЕЛКИ Й Ш РИ ФТ

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

282
17

18
19
20

22
23

24
25

Ofra Magidor, “Category Mistakes,” Stanford Encyclopedia of
Philosophy, eds. Edward N. Zalta and Uri Nodelman, July 5, 2019,
https://plato.stanford.edu /archives/fall2022/entries/categorymistakes
Piet Hein, “The Road to Wisdom,” Grooks (New York: Doubleday,
1969).
Mark Forsyth, The Elements of Eloquence: Secrets of the Perfect Turn
of Phrase (New York: Berkley, 2013).
История про Кирана была впервые рассказана в моем эссе
под названием «Секта свидетелей правильного ответа» (“The Church of the Right Answer”), посвященном тому,
как забюрократизированное школьное образование убивает любопытство. Ben Orlin, Math with Bad Drawings (blog),
February 11, 2015, https://mathwithbaddrawings.com/2015/02/11/
the-church-of-the-right-answer
Более подробно об этой ошибке я пишу в своем эссе «Все
линейно, или Баллада о жонглировании символами»
(“Everything is Linear (Or, the Ballad of the Symbol Pushers)”).
Ben Orlin, Math with Bad Drawings (blog), July 8, 2015, https://
mathwithbaddrawings.com/2015/07/08/everything-is-linear-orthe-ballad-of-the-symbol-pushers
Исходно эта книга должна была называться «Бессмысленные закорючки на бумаге».
Сначала это эссе вышло в виде серии из четырех постов
в моем блоге. Ben Orlin, “How to Avoid Thinking in Math
Class,” part 1, Math with Bad Drawings (blog), January 7, 2015,
https://mathwithbaddrawings.com/2015/01/07/how-to-avoidthinking-in-math-class
A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics (1911), Project
Gutenberg, https://www.gutenberg.org/ebooks/41568
Olsson, Weil Conjectures.

РАЗГОВОРНИК
1

А именно у председателя Верховного суда Джона Робертса и судьи Антонина Скалии. Robert Barnes, “Supreme Court
Justices, Law Professor Play with Words,” Washington Post,

283

ТОН КОСТ И , ССЫЛ КИ И М ЕЛКИ Й Ш РИ ФТ

January 12, 2010, https://www.washingtonpost.com/wp-dyn/
content/article/2010/01/11/AR2010011103690.html
Новичку покажется, что тут следовало бы говорить «градиентный подъем», ведь мы стремимся достичь метафорической вершины. Безусловно, когда мы что-то максимизируем, это подъем. Но в математике минимизация встречается
намного чаще: то, что мы на самом деле ищем, представляет собой самую глубокую долину. Поэтому «спуск».
Adriana Salerno, “Coffee Into Theorems,” PhD + Epsilon (blog),
American Mathematical Society, April 28, 2015, https://blogs.ams.
org/phdplus/2015/04/28/coffee-into-theorems/

ЧТО ЕЩЕ ПОЧИТАТЬ
Лиричное рассуждение о математическом языке: Olsson, Karen.
The Weil Conjectures: On Math and the Pursuit of the Unknown. New
York: Farrar, Straus and Giroux, 2019. Я неслучайно неоднократно цитировал эту книгу в самых разных главах.
Захватывающее и полезное руководство по методам вычисления без калькулятора: Morgan, Jo. A Compendium of Mathematical
Methods. Woodbridge, UK: John Catt, 2019. Отлично подходит
учителям, ученикам, а также занудам, которым прямо никак
без 13 поразительно разных способов умножения.
Мое любимое произведение в жанре математической фантастики: Borges, Jorge Luis. Collected Fictions. London: Penguin
Putnam, 1998. Эти рассказы подобны математическим
доказательствам: их отличает строгость, глубина и универсальность. Некоторые из них особенно любят математики:
• «Фунес, чудо памяти»
• «Алеф»
• «Приближение к Альмутасиму»
• «Вавилонская библиотека»
• «Сад расходящихся тропок»
• «Тайное чудо»
• «Книга песка»
• «Синие тигры»

284

285
ЧТО Е Щ Е ПОЧИ ТАТ Ь

Размышления самого знаменитого математика на планете:
Tao, Terence. “On Writing.” https://terrytao.wordpress.com/
advice-on-writing-papers. Имена математиков обычно
неизвестны широкой публике, но имя Теренса Тао, вероятно, ближе всего к исключению из этого правила (особенно если у вас в семье есть математик). Его блог содержит кое-какие глубокие и содержательные соображения
о математической коммуникации. В особенности см. следующие посты:
• “Use Good Notation” («Пишите правильно»)
• “Take Advantage of the English Language” («Пользуйтесь
возможностями английского языка»)
• “Give Appropriate Amounts of Detail” («Вдавайтесь
в детали в той мере, в какой это нужно»)
• “On ‘Local’ and ‘Global’ Errors in Mathematical Papers, and
How to Detect Them” («О “локальных” и “глобальных”
ошибках в математических статьях и как их выявлять»)
• “On ‘Compilation Errors’ in Mathematical Reading, and How
to Resolve Them” («Об “ошибках компиляции” в работе с математической литературой и как от них избавляться»)
Еще по теме «Рост и изменения»: Соответствующая область
называется математическим анализом. Я достаточно
тщеславен, чтобы порекомендовать собственную книгу
наряду с еще одной, опубликованной практически одновременно с ней:
• Orlin, Ben. Change Is the Only Constant: The Wisdom of Calculus
in a Madcap World. New York: Black Dog & Leventhal, 2019.
(Орлин Б. Время переменных: Математический анализ в безумном мире / Пер. с англ. В. Краснянской. —
М.: Альпина нон-фикшн, 2024.)
• Strogatz, Steven. Infinite Powers: How Calculus Reveals
the Secrets of the Universe. New York: Houghton Mifflin
Harcourt, 2019.
Еще по теме «Ошибки и оценки»: Здесь я объединяю несколько областей математики — неопределенность вероятности, доверительные интервалы в статистике, ограничение

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

286
ошибок в дифференциальном исчислении и просто ляпы
в любой математической работе. Рекомендую:
• Parker, Matt. Humble Pi: When Math Goes Wrong in the Real
World. New York: Riverhead Books, 2020.
• Paulos, John Allen. Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its
Consequences. New York: Vintage Books, 1990.
• Seife, Charles. Proofiness: The Dark Arts of Mathematical
Deception. New York: Viking, 2010.
Еще по теме «Оптимизация»: В качестве необычной, но познавательной отправной точки очень рекомендую Bosch,
Robert. Opt Art: From Mathematical Optimization to Visual Design.
Princeton, NJ: Princeton University Press, 2019.
Еще по теме «Решения и методы»: Эти вопросы вечно обсуждаются математиками всех специализаций. Если вас
интересуют алгоритмы и эвристика, рекомендую:
• Fry, Hannah. Hello, World: Being Human in the Age of
Algorithms. New York: W. W. Norton, 2019.
• Shane, Janelle. You Look Like a Thing and I Love You: How
Artificial Intelligence Works and Why It’s Making the World
a Weirder Place. New York: Little, Brown, 2019.
Еще по теме «Фигуры и кривые»: Хорошей литературы тут
много, но я рекомендую:
• Escher, M. C. Translated by Karin Ford. Escher on Escher:
Exploring the Infinite. New York: Harry N. Abrams, 1989.
• Parker, Matt. Things to Make and Do in the Fourth Dimension:
A Mathematician’s Journey Through Narcissistic Numbers,
Optimal Dating Algorithms, At Least Two Kinds of Infinity, and
More. New York: Farrar, Straus and Giroux, 2015.
• Roberts, Siobhan. King of Infinite Space: Donald Coxeter,
the Man Who Saved Geometry. New York: Walker Books, 2006.
Еще по теме «Бесконечность»:
• Сверхплотное и суперспециальное изложение можно найти в книге писателя Дэвида Фостера Уоллеса: Wallace, David Foster. Everything and More: A Compact
History of Infinity. New York: W. W. Norton, 2003.
• Легкое и общедоступное изложение можно найти
в книге специалиста по теории категорий Евгении Чен:

287
ЧТО Е Щ Е ПОЧИ ТАТ Ь

Cheng, Eugenia. Beyond Infinity: An Expedition to the Outer
Limits of Mathematics. New York: Basic Books, 2018.
Еще по теме «Совокупности»: Тут мы говорим о теории множеств, которая часто считается логической основой математики. Мое любимое введение в тему: Doxiadis, Apostolos,
and Christos Papadimitriou. Logicomix: An Epic Search for Truth.
New York: Bloomsbury, 2009.
Еще по теме «Логика и доказательства»: Суть математической
работы. Рекомендую:
• Cummings, Jay. Proof: A Long-Form Mathematics Textbook.
Self-published, 2021.
• Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual
Thinking. Originally published by Mathematical Association
of America, 1993.
• Ording, Philip. 99 Variations on a Proof. Princeton, NJ:
Princeton University Press, 2021.
Еще по теме «Истины и противоречия»: Эта пограничная зона
между математикой и философией отлично подходит для
того, чтобы навсегда вас запутать. Для этой цели рекомендую:
• Хорошая отправная точка: Smullyan, Raymond. What Is
the Name of This Book?: The Riddle of Dracula and Other Logical
Puzzles. New York: Penguin Books, 1990. (Смаллиан Р. Как
же называется эта книга. — М.: Мир, 1981.)
• Книга, составленная, как ни удивительно, очень
юным автором: Alsamraee, Hamza E. Paradoxes:
Guiding Forces in Mathematical Exploration. Curious Math
Publications, 2020.
Еще по теме «Вероятное и возможное»: Когда речь заходит
о вероятностях, больше всего меня интересует, как уговорить наш жаждущий определенности ум принять реальность, в основе которой лежит неопределенность. Отличные книги в этом ключе:
• Galef, Julia. The Scout Mindset: Why Some People See Things
Clearly and Others Don’t. New York: Piatkus, 2021.
• Kahneman, Daniel. Thinking, Fast and Slow. New York:
Farrar, Straus and Giroux, 2013.

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

288
•

Mlodinow, Leonard. The Drunkard’s Walk: How Randomness
Rules Our Lives. New York: Vintage, 2009.
Еще по теме «Причины и корреляции»: Как говорится, корреляция не равняется причинно-следственной связи. Это
верно — корреляция не вызывает причинно-следственную
связь. Но то и другое определенно коррелируют.
• Чисто повеселиться: Vigen, Tyler. Spurious Correlations.
https://www.tylervigen.com/spurious-correlations
• Простая, но симпатичная игра (особенно для преподавателей предмета «Введение в статистику», вроде меня): Guess the Correlation. https://www.
guessthecorrelation.com
Еще по теме «Данные»: Здесь литературы так много, что мне
непросто даже попытаться дать ее обзор. Но вот несколько книг, с которых хорошо начинать:
• Cairo, Alberto. How Charts Lie: Getting Smarter about Visual
Information. New York: W. W. Norton, 2019.
• Harford, Tim. The Data Detective: Ten Easy Rules to Make Sense
of Statistics. New York: Riverhead Books, 2021.
• Orlin, Ben. Math with Bad Drawings: Illuminating the Ideas
That Shape Our Reality. New York: Black Dog & Leventhal,
2018. (Орлин Б. Математика с дурацкими рисунками: Идеи, которые формируют нашу реальность / Пер.
с англ. А. Огнева. — М.: Альпина нон-фикшн, 2020.)
Еще по теме «Игры и риск»: Эти термины взяты из теории
игр. Подсуну вам собственную книгу об играх: Orlin, Ben.
Math Games with Bad Drawings: 751/4 Simple, Challenging, GoAnywhere Games — And Why They Matter. New York: Black Dog &
Leventhal, 2022. (Орлин Б. Математические игры с дурацкими рисунками: 75 ⁄ простых, но требующих сообразительности игр, в которые можно играть где угодно / Пер.
с англ. А. Огнева. — М.: Альпина нон-фикшн, 2024.)
Еще по теме «Знаменитые имена и фольклор»:
• Подробнее о Пале Эрдёше см. в замечательной биографии: Hoffman, Paul. The Man Who Only Loved Numbers:
The Story of Paul Erdo’s and the Search for Mathematical Truth.
New York: Hachette, 1998.

289

•

Подробнее о последней теореме Ферма см., вероятно,
лучшую научно-популярную книгу по математике
из когда-либо написанных: Singh, Simon. Fermat’s
Enigma: The Epic Quest to Solve the World’s Greatest
Mathematical Problem. New York: Walker, 1997.
Подробнее о медали Филдса см. в моем интервью
с историком Майклом Барани: Orlin, Ben. “The Forgotten
Dream of the Fields Medal.” Math with Bad Drawings
(blog), July 25, 2018, https://mathwithbaddrawings.com/
2018/07/25/the-forgotten-dream-of-the-fields-medal
Подробнее о задачах тысячелетия можно узнать
из этой книги (но предупреждаю, об эти задачи можно
сломать голову!): Devlin, Keith. The Millennium Problems:
The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time.
New York: Basic Books, 2002.
Подробнее о Григории Перельмане и задаче, которую
он решил: Szpiro, George G. Poincare’s Prize: The HundredYear Quest to Solve One of Math’s Greatest Puzzles. New York:
Plume, 2007.
Подробнее о Карле Гауссе и Леонарде Эйлере: прослушайте практически любой университетский курс
математики.

ЧТО Е Щ Е ПОЧИ ТАТ Ь

•

СБИВЧИВЫЕ
ВЫРАЖЕНИЯ ГЛУБОКОЙ
ПРИЗНАТЕЛЬНОСТИ

бычно эта страничка называется «Благодарности», но
для этой книги такой термин показался мне чересчур
холодным. «Благодарность» — это степенный кивок;
мне нужно было, скорее, передать идею сентиментальных
объятий, чувства неоплатного долга. Вы должны не просто чувствовать, что вас благодарят, — вам должно быть неловко, что
вас благодарят.
Во-первых, спасибо моему редактору Бекки Кох за то, что
она наставляла меня, пока я трудился над этой книгой — труд
исключительно мучительный (для нас обоих), который вместе
с тем принес исключительное удовлетворение (по крайней мере
мне!). Это именно такой учебник математики, который мне
всегда хотелось написать, и мне не удалось бы это сделать без вас.
Спасибо остальному коллективу издательства Black Dog &
Leventhal и нашим умелым помощникам: вам, Бетси Халсебош, Кара Торнтон, Кэти Бенезра и Сара Пуппала (вы проявили особенный героизм, приводя мои рисунки в профессиональ-

290

291
СБИ ВЧИ ВЫЕ ВЫРАЖЕНИ Я ГЛУБОКОЙ П РИ З НАТ Е Л Ь НОСТ И

ный вид), Элизабет Джонсон, Мелани Голд, Зандер Ким, Франческа Бегос и все прочие, кого я непростительно упустил из виду.
Я помню эту книгу неряшливой папкой текстовых документов; не мог дождаться момента, когда благодаря вам она стала
настоящим томом.
Спасибо Дадо Дерваскадику и Стиву Трохе, вкус у которых гораздо лучше моего и без которых я не сделал бы эту странную карьерку
профессионального иллюстратора, не умеющего рисовать.
Спасибо студентам моего курса «Введение в статистику»
в колледже Сент-Пол, любезным сотрудникам из тьюторского
центра, Эньинде Онунвору и Авани Шаху, а также моим новым
друзьям из Американской математической ассоциации двухлетних колледжей в Торонто. Эта книга в большей степени, чем
другие мои книги, неотделима от моей педагогической работы, а эта работа возможна (и увлекательна!) благодаря вам всем.
Спасибо друзьям и родственникам, высказывавшим замечания и поддерживавшим меня на непростом пути этой книги
от «Бессмысленных закорючек на бумаге» (февраль 2021 г.) через
«Словарь математических символов в картинках» (июль 2021 г.),
«Как говорить на математическом языке» (январь 2022 г.) и «Ох,
я никогда это не осилю: Учебник математики, который нельзя
написать и которого никогда не будет» (июнь 2022 г.) к «Математика для тех, кто боится математики» (февраль 2023 г.). В особенности вам (и, пожалуйста, не расценивайте отсутствие имени
в списке как отсутствие благодарности): Джеймс Орлин, Майкл
Першан, Дэвид Кламп, Карен Карлсон, Адам Бильдерзее, Бей Гейлард, Кэш Орлин, Дженна Лейб, Ларк Палермо, Джастин Палермо,
Энди Джуэлл, Дэниел Гала, Сет Кингман, Карен Олссон, Стефан
Хризомалис, Джо Морган, Том Бердетт и Джеймс Пропп. Дополнительные, широкие, смущающие жесты благодарности я делаю
Гранту Сандерсону, который поверил в эту книгу в тот момент,
когда я практически потерял веру, и Пегги Орлин с Полом Дэвисом, которые, вдумчиво и терпеливо вычитывая черновики,
помогали мне не забыть, для чего предназначена эта книга.
И наконец, выражаю свою любовь к Тарин, Кейси и Девину.
Все написанное мною лишь крохотные следы и отметины моей
прекрасной жизни с вами.

ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ
УКАЗАТЕЛЬ

«1984» (роман Оруэлла) 92

Великобритания 60, 62, 131
Виллани, Седрик 175
вычитание 33, 35, 36, 38, 42, 85,
86, 98, 99, 101–104, 132,
133, 136, 137, 143

абстракции 40, 114, 150, 165, 190,
205
Адамс, Дуглас 203
аксиома 243
алгебра 14, 37, 38, 65, 119, 145,
148, 149, 154, 161, 162, 165,
170, 171, 178, 195, 203, 233
алгоритмы 47, 93, 101, 106, 108,
230
«Алеф» (рассказ Борхеса) 82
аль-Хорезми 37, 38
априорное распределение 253,
254
арифметика 33, 47, 113, 148, 149,
165
асимптотически 238

Б
бесконечно малые величины
65, 81,
бесконечности знак (∞) 65
бесконечность 49, 77, 79, 81, 82,
117, 236–238
Бор, Нильс 51, 104
Борхес, Хорхе Луис 23, 81, 82
Бруно, Джордано 81
Бхаскара 32
Бэббидж, Чарльз 132

Г
Гарди, Томас 62
Гаусс, Карл 94, 96–98, 270
гауссов 270
геодезическая линия 234
геометрия 90, 96, 119, 120, 202,
219, 233, 234
Гильберт, Давид 12, 213
Глейк, Джеймс 134
глобальный оптимум 229
градиентный спуск 229
графики 180–184, 202

Д
данные 258, 259
данных визуализация 184
«Двое на башне» (Гарди) 62
деление 40, 66, 81, 85, 86, 90,
113–117
дельта 221
деньги 32, 91, 99
День пи 70, 72, 75

292

293

Ж
жонглирование символами 213,
215, 216

З
задачи тысячелетий 272
заключенного дилемма 263
замкнутый относительно
операции 242
зашумленность 261
Земноморье, цикл
романов о (Ле Гуин) 26, 27
Зенон 81
знаменатель 40, 43, 44

И
игр теория 262, 263
игра с нулевой суммой 264
игрока ошибка 264
избегание рисков 265
изоморфный 267
инвариант 268
иррациональные числа 30, 75,
76

К
Кантор, Георг 81, 82
категориальные ошибки 203–
206
квадрат, возведение в 86, 90,
118–120, 136
квадратные корни 30, 86, 90,
123, 124, 132

квадратные уравнения 13, 37,
186
квотативное деление 116
Кеплер, Иоганн 132
клубничная формула 186, 187
Книга Бытия 22
коммутативность 111
конструктивное доказательство
245
контрпример 244
корреляции и причинноследственные связи 255
креольский язык 147, 148
Кристал, Дэвид 131
куб, возведение в 86, 120

Л
Ле Гуин, Урсула 26
линейный рост 126
Линней, Карл 22
логарифмы 131–134
локальный оптимум 229
Локхарт, Пол 195
Лонгмур, Клэр 140, 143

М
Мазур, Барри 193
математическое ожидание 265
матрица 219
Мёбиуса лента 235
Мейзерс, Фрэнсис 32
местоимения 155–159
«минус на минус всегда только
плюс» 36
мнимые числа 30, 31
множеств теория 239
Морган, Джо 108

Н
натуральные числа 32
научная запись (чисел) 63, 64,
68
неевклидов 234
неравенство 173–177
несчетное множество 238
нулевая вероятность 253
нулевая гипотеза 262

ПРЕ ДМЕ Т Н О -И МЕ ННОЙ УКАЗ АТ ЕЛЬ

десятичная система счисления
23, 74
десятичные дроби 45–50, 53,
124
Джеймс, Уильям 190
Диллард, Анни 60
доверительный интервал 226
договоренности 138–140, 158
доказательства от противного
248
дробные степени 127

М АТ Е М АТ И КА Д ЛЯ Т ЕХ , КТО БОИ ТСЯ МАТ Е МАТ И КИ

294
нулевая корреляция 257
нулевая степень 127, 130

О
обратные операции 86, 101
Оден, Уистен Хью 36
округление 50–53
Олссон, Карен 20, 165, 215
оптимизация 227
Оруэлл, Джордж 92, 96, 98
отклонение 260
отрицательно коррелирующие
переменные 257
отрицательные степени 65, 66,
127
отрицательные числа 29–38,
67, 99
«ошибки толстого пальца» 57

П
парадокс 248
партитивное деление 116
Паулос, Джон Аллен 58
Перельман, Григорий 272
переменные 155–159, 169, 183,
201, 202, 205, 209, 210,
255–257
периодические дроби 49
перпендикулярный 220, 258
Першан, Майкл 178, 220
пи 68–75
пиджин 147–149
пирамиды 189
положительные числа 32, 33,
38, 103
порядок величины 56, 64, 68, 133
порядок действий 103, 137, 139
посторонние решения 200
правило «половины и семи»
172, 173, 177
призмы 189
производная 223
простые числа 107
прямоугольники 105–107, 109,
111, 120
Пуанкаре, Анри 130, 266
пустое множество 239

Р
равенства 167–171, 174–177, 179,
180, 184, 186, 188
равенства знак 170, 174
равномерное распределение 260
Райл, Гилберт 205
Реньи, Альфред 243
репрезентативный 261
рефлексивное отношение 267
решения 71, 177, 194, 196–200,
230

С
свойство дистрибутивности
109, 212, 214
Сейфе, Чарльз 52
сигма 149, 152, 154
символы 11, 35, 57, 92, 125, 127,
140, 149, 150, 152, 153, 155,
158, 165, 167, 174, 207, 210,
211–213, 215, 216
синонимы дробей 42
системы уравнений 201
Скальци, Джон 185–187
сложение 11, 31, 38, 42, 85, 86,
89–93, 96, 98, 99, 101–105,
110, 112, 129, 132–137, 143,
212
стандартные алгоритмы 93, 101,
106
стандартные отклонения выше
среднего 260
степени 56, 65–67, 85, 88–90,
122, 123, 127, 128, 130, 133,
136–138
стиль 209
стохастический 254
с точностью до знака 225
Строгац, Стивен 139
строго доминировать 266
существования, теорема 246
счетное множество 237

Т
тавтология 249
Тафти, Эдвард 184, 185

295

У
Уайтхед, Альфред Норт 215
умножение 42, 43, 65, 66, 85, 86,
89, 90, 105, 106, 108–112,
114–116, 120, 121, 127–130,
132, 134–138, 140, 143, 212
Уолховер, Натали 155, 159
упрощение 41, 191, 194, 195, 202
условные равенства 169–171

Ф
Ферма, «последняя теорема»
271
Ферма, Пьер 271
Филдса медаль 271
Флеша — Кинкейда формула
сложности текста 188, 190
Флобер, Гюстав 77
Форсайт, Марк 209
Франклин, Бенджамин 252
«Фунес, чудо памяти» (рассказ
Борхеса) 23

Чен, Евгения 247
числитель 43, 44
числовая ось 32, 75, 12
«числовое отупение» 58
что и требовалось доказать 247

Ш
Шарма, Суреш Кумар 69
Штифель, Михаэль 32

Э
эвристика 231
Эйлера тождество 273
Эйнштейн, Альберт 13, 115, 195
экспоненциальный рост 126–
129, 131
Элленберг, Джордан 115
эпсилон 224
Эрдёш, Пал 270
Эрдёша число 270

A
A Compendium of Mathematical
Methods (Morgan) 108
A&W, сеть ресторанов 44

I
Innumeracy (Paulos) 58

n (число) 259

хаотический 222
Хейн, Пит 206
Хокинг, Стивен 175
Хофштадтер, Дуглас 58
Хуа, Хоуи 45

Ц
целые числа 32, 39, 40, 129

Ч
частичное умножение 127, 129,
130

Proofiness (Seife) 52

T
The Disappearing Dictionary (Crystal) 131
The Elements of Eloquence (Forsyth) 209
The Los Angeles Times 57
The New York Times 57, 139

ПРЕ ДМЕ Т Н О -И МЕ ННОЙ УКАЗ АТ ЕЛЬ

тетрация 90
тождества 169
Торо, Генри Дэвид 191
точечная оценка 225
точка разрыва 222
транзитивность 268
тривиальные решения 199, 200
тригонометрическое
доказательство 192

Орлин Бен

Математика для тех, кто боится математики
Еще одна книга с дурацкими рисунками

Издатель Павел Подкосов
Руководитель проекта Александра Шувалова
Арт-директор Юрий Буга
Адаптация оригинальной обложки Алина Лоскутова
Корректоры Ольга Смирнова, Наталья Федоровская
Верстка Андрей Фоминов
Дизайн обложки Headcase Design

Подписано в печать 15.07.2025. Формат 70×100/16 модиф.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Объем 18,5 печ. л. Тираж 5000 экз. Заказ №
.

ООО «Альпина нон-фикшн»
123007, г. Москва, ул. 4-я Магистральная, д. 5,
строение 1, офис 13
Тел. +7 (495) 980-5354
www.nonﬁction.ru
Интернет-магазин издательской группы «Альпина»
ООО «Альпина Паблишер»
115093, г. Москва, вн. тер. г. муниципальный округ Замоскворечье,
ул. Люсиновская, д. 12А, пом. 1/2; ОГРН 1027739552136
www.alpina.ru
e-mail: info@alpina.ru

Знак информационной продукции
(Федеральный закон №436-ФЗ от 29.12.2010 г.)

12+

Отпечатано с готовых файлов заказчика в АО «Первая Образцовая типография»,
филиал «УЛЬЯНОВСКИЙ ДОМ ПЕЧАТИ».
432980, Россия, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14, 122