Text
                    ТЕОРИЯ И ТЕХНИКА
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
Под редакцией заслуженного деятеля науки
и техники РСФСР и ТАССР доктора технических наук,
профессора В. К. ЩУКИНА
Допущено Министерством высшего и среднего спе-
циального образования СССР в качестве учебного
пособия для студентов инженерно-физических и энер-
гомашиностроительных специальностей вузов
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985

ББК 31 32 ТЗЗ УДК 536 01/08(075 8) Рецензенты кафедра Э6 МВТУ нм Н Э Баумана н доктор технических наук, проф Г А. Дрейцер Теория и техника теплофизического эксперимеи- ТЗЗ та Учеб пособие для вузов/Ю Ф Гортышов, Ф Н. Дресвянников, Н С. Идиатуллин и др.; Под ред. В К. Щукина — М.: Эиергоатомиздат, 1985 — 360 с, ил
ПРЕДИСЛОВИЕ Центральная задача нынешнего этапа развития экономики в нашей стране — повышение производительности труда Одно из важнейших направлений решения этой задачи состоит в повышении уровня и результативности научно-исследовательских работ и уско- рении реализации результатов этих работ в народном хозяйстве Усиление роли науки в жизни общества, высокие темпы раз- вития техники, тесная связь научных исследований с производ- ством породили много проблем, среди которых одна из важней- ших — совершенствование подготовки специалистов с высшим обра- зованием Это совершенствование сейчас идет по нескольким основным направлениям усиление роли фундаментальных наук в высшем образовании, усиление методологических аспектов в учеб- ном процессе в ущерб информационным аспектам, максимальное развитие творческих способностей будущих специалистов разными способами, среди которых важная роль отводится учебно-иссле- довательской работе Учебно-исследовательская работа стала обязательной частью учебного процесса на всех инженерных спецналыостях Она не только расширяет научный кругозор будущего специалиста, но и является мощным средством привития навыков самостоятельного творческого труда Для организации учебно-исследовательской работы необходима специальная учебная литература Настоящая книга может служить пособием при изучении курсов, готовящих студентов к исследова- тельской работе, при проектировании экспериментальных установок и выполнении курсовых исследовательских работ Книга состоит из двух частей В первой части рассмотрены способы получения научной инфор- мации— физический эксперимент (наблюдение явления в специ- ально создаваемых и точно учитываемых условиях), математиче- ский эксперимент (получение информации на основе численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих явление), аналоговый эксперимент (наблюдение явления иной природы, чем исследуемое, но имеющего одинаковое с ним мате- матическое описание) Здесь рассмотрены также погрешности экс- периментального исследования, методы планирования эксперимен- тов статистической обработки и обобщения их результатов Вторая часть книги содержит информацию о методах изме- рения и устройствах для их реализации Здесь приведен обзор
существующих способов измерения, их сравнительная оценка в области применения, схемы современных измерительных устройств и погрешности измерения. Кратко рассмотрены принципы изме- рения давления, температуры, скоростей, расходов и более под- робно — методы, которые часто используются в современном экспе- рименте, но слабо освещены в учебной литературе, — лазерная диагностика, измерения турбулентности и характеристик погра- ничного слоя, измерения тепловых потоков, диагностика дисперсных потоков, хроматографические исследования и методы исследования явлений на вращающихся объектах. В заключительной главе вто- рой части рассмотрены принципы автоматизации эксперименталь- ных работ, схемы и возможности предназначенных для этого ин- формационно-измерительных систем. Книга отражает многолетний опыт авторского коллектива кафедры теоретических основ теплотехники Казанского авиацион- ного института, накопленный при чтении курса «Теория и техника эксперимента», а также при проведении учебно-исследовательской работы. Введение и гл. 16 написаны В. К. Щукиным, гл. 1 — В. К. Щу- киным и А. А. Халатовым, гл. 2 и 3 — Н. Н. Ковальноговым,. гл. 4 — В. А. Филиным, гл. 5 — Н. Н. Ковальноговым и Ю. Ф. Гор- тышовым, гл. 6 и 14 — Ю. Ф. Гортышовым, гл. 7 — Н. Н. Коваль- ноговым и Н. С. Идиатуллиным, гл. 8 — И. И. Калмыковым, гл. 9 — Н. С. Идиатуллиным, В. А. Филиным и Ю. Ф. Гортышовым, гл. 10—В. Г. Летягиным, И. И. Калмыковым и А. А. Халатовым,. гл. 11 — А. А. Якшиным, гл. 12 — В. Г. Тонконогом, гл. 13 — А. А. Халатовым, гл 15 — Ф. Н. Дресвянниковым, гл. 17 — В. Г. Ле- тягиным и Н. Н. Ковальноговым. Авторы благодарны рецензентам — коллективу кафедры Э-& МВТУ и заведующему кафедрой проф. В. И. Крутову, проф. МАИ Г. А. Дрейцеру — за ценные советы. Авторы благодарны также чл.-кор. АН УССР О. А. Геращенко, проф. А. П. Меркулову и проф. П. Ф. Зубцу за замечания и пожелания, высказанные при просмотре рукописи. Авторы будут признательны за все замечания и пожелания к книге, которые просим направлять по адресу: 113114, Москва» М-114, Шлюзовая набережная, 10.
ВВЕДЕНИЕ Развитие науки и техники в XX столетии характеризуется не только большими темпами, но и такими яркими достижениями, как открытие и практическое использование ядерной энергии и лазер- ного излучения, выход человека в космическое пространство, созда- ние электронно-вычислительных машин и телевидения. Это разви- тие представляет собой не просто научно-технический прогресс, а научно-техническую революцию. Научно-техническая революция стала возможной благодаря тесной связи науки и техники, их взаимному влиянию и обога- щению. Фундаментальные научные открытия быстро становятся основой технических систем, машин и аппаратов. При этом реали- зация научных идей сопровождается выполнением большого числа прикладных исследований, которые проводятся не только в иссле- довательских институтах, но и в конструкторских бюро и на про- изводстве. Цель научных исследований в области техники — выявить объективные закономерности, определяющие протекание рабочих процессов в машинах и аппаратах, изучить физические и физико- химические явления, из которых состоят эти процессы, эффективно использовать полученные научные результаты для создания раз- рабатываемой конструкции, оптимальной с точки зрения экономич- ности, металлоемкости, ресурса эксплуатации или какого-либо другого важного качества. Различают теоретические и экспериментальные исследования. Такое подразделение в наше время!становится все более условным, так как в большинстве теоретических исследований привлекаются экспериментальные результаты, а при анализе и обобщении ре- зультатов эксперимента используются теоретические концепции. Результаты теоретического исследования обладают большей общ- ностью, чем закономерности, выявленные экспериментально. Но при теоретическом исследовании изучается не само явление, а только его математическая модель, которая с той или иной степенью пол- ноты отражает основные свойства изучаемого явления. Чем полнее и точнее модель описывает изучаемое явление, тем она сложнее и тем труднее решить уравнения, которые эту модель отражают. Поэтому в теоретических исследованиях часто используются упро- щенные модели. Например, при теоретическом исследовании газо- вых потоков иногда пренебрегают силами вязкости. При этом расширяется круг доступных для теоретического решения задач, 5
но сужается область возможного использования полученных ре- зультатов. Классический путь теоретического исследования физического явления состоит в том, что с помощью наблюдений и построенных на основе их гипотез устанавливаются основные законы, управ- ляющие явлением. При этом привлекаются и известные к настоя- щему времени законы (например, закон сохранения энергии). Строится физическая модель явления, и на ее основе составляется система уравнений, описывающая изучаемое явление. Устанавли- ваются важные для изучаемого явления краевые условия (физи- ческие свойства тел, форма системы, в которой протекает явление, особенности протекания процессов на границах, начальное состоя- ние системы). Система дифференциальных уравнений вместе с краевыми условиями представляет собой математическую форму- лировку задачи или математическую модель, которая подвергается ^теоретическому исследованию. Иногда математическая модель оказывается не замкнутой. В этом случае при решении задачи приходится использовать до- полнительные гипотезы или выявленные опытным путем связи. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений после согласования его с краевыми условиями задачи приводит к расчетным соотношениям, отражающим зависимость основных параметров явления от определяющих его факторов. Однако труд- ности математического характера ограничивают возможность по- лучения аналитического решения, поэтому многие физические за- дачи, имеющие математическую формулировку, не решены пока аналитическим путем. Возможен и другой путь решения систем дифференциальных уравнений — численный метод. Этот путь исследования также относится к категории теоретических, хотя и называется матема- тическим экспериментом. Численное решение дифференциальных уравнений выполняется с помощью ЭВМ. При этом краевые усло- вия задаются в виде чисел, а не в виде символов или уравнений, как это делается при аналитическом методе решения. Поэтому получаемое численным путем решение характеризует только одно из многих состояний системы или процессов в ней (при конкретных краевых условиях). Изменяя численные значения параметров, вхо- дящих в краевые условия, можно выявить влияние на изучаемое явление различных факторов. Следует заметить, что разработка методов численного решения сложной системы дифференциальных уравнений представляет собой самостоятельную научную работу, а реализация этих методов на ЭВМ связана с затратой значи- тельного времени. Для исследования физических явлений применяется также ме- тод аналогий. В природе существуют явления, имеющие различную физическую сущность, но одинаковое математическое описание. Такие явления называют аналогичными. Аналогичными, например, являются процессы передачи тепла и электричества через твердое тело. Существует аналогия и между некоторыми другими физиче- 6
ск им и явлениями, но наиболее широко используется аналогия между электрическими и другими явлениями, так как она позво- ляет достаточно просто с помощью аналоговых устройств или машин с электрическими схемами получить информацию об иссле- дуемом физическом процессе. Здесь математические уравнения, описывающие физические процессы, решаются с помощью электри- ческих моделей. Поэтому метод аналогий объединяет в себе теоретическую постановку задачи с экспериментальным методом ее решения. При использовании метода аналогий, так же как и при числен- ном методе решения задач, удается получить только дискретную информацию об изучаемом явлений при конкретных краевых усло- виях задачи. Исследование элементарного явления или совокупности явлений, составляющих рабочий процесс в машйне или аппарате или какую- либо стадию этого процесса, можно осуществить также с помощью физического или технического эксперимента. Такой эксперимент выполняется на специально созданной для этих целей эксперимен- тальной установке, рабочий участок которой устроен так, что позволяет изменять и измерять важные для процесса параметры. Иногда в качестве рабочего участка используется элемент машины или аппарата (например, активная зона ядерного реактора, камера сгорания газотурбинного двигателя). В физическом эксперименте исследованию подвергается само явление, протекающее в машине или аппарате, но чаще на экспе- риментальном участке воспроизводится только часть процессов, характеризующих явление. Например, при исследовании процессов 'теплообмена в активной зоне ядерного реактора на соответствую- щем экспериментальном стенде процесс тепловыделения в ядерном топливе моделируют тепловыделением в электрическом нагрева- теле. В этом случае погрешности получаемых результатов будут обусловлены отличием физической модели, реализованной в экспе- риментальном участке, от реального явления, а также точностью измерений. Экспериментальные исследования существенно дороже теорети- ческих, но дни обычно позволяют получить конкретную и надежную информацию за достаточно короткое время. Теоретические методы пригодны для ограниченного круга задач, результаты теоретиче- ских исследований подвергаются экспериментальной проверке (когда это возможно). Вместе с тем есть проблемы, которые в настоящее время можно решить только теоретическим путем (на- пример, исследование теплофизических свойств газов при очень высокой температуре). При экспериментальном исследовании обычно выявляется за- исимость основных характерных параметров явления от многих »акторов. При достаточно широком диапазоне изменения этих Факторов возникает необходимость проведения большого числа пытов при различном их сочетании. Математические методы лавирования и анализа эксперимента позволяют выбрать для 7
исследования минимальное число режимов, обеспечивающих полу- чение надежной информации об изучаемом явлении Результаты экспериментального исследования после их обра- ботки дают информацию о поведении важнейших характеристик системы при различном сочетании влияющих факторов или крае- вых условий (например, зависимость коэффициента теплоотдачи от скорости жидкости, ее физических свойств и размеров системы) Обработка этих результатов на основе теории подобия или теории локального моделирования с последующей корреляцией обобщен- ных параметров (чисел подобия) позволяет получить зависимости, пригодные не только для исследованных режимов, ио и для ре- жимов, подобных изученным Такая обработка расширяет область применения полученных результатов Полученные опытным путем данные имеют такой же частный характер, как и данные, полученные численным путем в резуль- тате математического эксперимента и на основе метода аналогии вания эксперимента и обобщения опытных данных применимы также при численном и аналоговом методах исследования физиче- ских явлений Закономерности явлений, определяющие рабочий процесс ма-
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТА СПОСОБЫ ОБОБЩЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ 1 1 ОСНОВЫ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Для многих физических явлений математическая формулировка задачи является основой ее научного исследования Она включает в себя уравнение нли систему уравнений (дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных), описывающих изучае- мое явление, и краевые условия, отражающие его частные особен- ности Краевые условия называют также условиями однозначности Дифференциальные уравнения, формулирующие задачу, описы- ! вают целый класс явлений, а краевые условия выделяют из этого г класса конкретный вид явления Краевые условия, заданные в виде численных значений, определяют конкретное явление Индивидуальные особенности явления обусловлены геометри- I1 вескими характеристиками системы, физическими свойствами уча- | ствующих в процессе тел, особенностями протекания явления на i границах системы и начальным состоянием системы, если это со- I стояние изменяется во времени При рассмотрении явлений, про- J текающих в полях массовых сил, необходимы количественные характеристики этих полей Таким образом, следует различать «‘геометрические, физические, граничные, временные и динамические Т условия однозначности Геометрические условия отражают форму if 1 размеры участвующих в процессе тел или их поверхностей. | Физические условия характеризуют физические свойства этих тел I Граничные условия определяют особенности протекания явлений г на границах изучаемой системы Временные условия определяют обычно начальное состояние системы и изменение граничных усло- " внй во времени Динамические условия характеризуют ускорение, определяющее массовую силу, или связь этого ускорения с харак- >- теристиками движения всей системы или жидкости в ней Временные условия однозначности задаются только при изуче- л кии нестационарных процессов " Граничные условия формулируются для каждого уравнения в отдельности Например, для уравнения движения, определяющего распределение скоростей в системе, граничные условия содержат I информацию о распределении скоростей на границах системы к Численное или аналоговое решение задачи, основанное на Г' использовании ее математической формулировки, дает информацию , только о конкретном физическом состоянии изучаемой системы, «.соответствующем численно заданной совокупности краевых усло- мй Такие же частные результаты дает эксперимент Количест- венным результатом исследования единичных явлений можно
придать более общую форму, если их представить с помощью обобщенных переменных. В таком обобщенном виде эти резуль- таты могут быть использованы не только для исследованного явле- ния, но и для целой группы явлений, подобных исследованному. Уравнения, входящие в математическую формулировку задачи и отражающие внутренние связи между существенными для явле- ния параметрами, могут быть преобразованы к безразмерному виду. В такой форме они будут отражать связь между безраз- мерными комплексами, характеризующими явление. Уравнения, входящие в математическую формулировку задачи, обычно имеют вид ^i + ^a+ . . '+'&/+ • . - + ^п = 0» где D{ — некоторые операторы (обычно дифференциальные), каж- дый из которых определяет какой-либо физический эффект, суще- ственный для изучаемого явления, и представляет собой комбина- цию из физических параметров (t= 1, 2, 3,...,п). Для приведения этого уравнения к безразмерному виду умно- жим и разделим каждый из параметров, входящих в оператор, на его масштабное значение и выявим масштабы каждого эффекта /7<. Например, если <1.2> где р — давление среды, ах — координата, то, выбрав в качестве масштаба для р давление ро, а для координаты — линейный размер системы 4, уравнению (1.2) можно придать вид (1.3) *о дх Здесь р=р1Рь\ х=хЦ0— безразмерные величины; Пг=роЦо — мас- штаб эффекта; <4= — безразмерный оператор. дх Следовательно, уравнение (1.1) можно записать в форме /7^4-/72*44" • • •4"^^г4“ • • -Л- nndn=Q. (1.4) Все члены уравнения, а следовательно, и масштабы эффектов имеют одинаковую размерность. Поэтому, разделив уравнение (1.4) на один из масштабов приведем его к безразмерному виду + • • - + dt+ . . .4-л,Д, = 0. (1.5) Здесь ль яг ... — безразмерные (относительные) комплексы физи- ческих величин, число которых меньше числа операторов, входя- щих в уравнение, на единицу. Среди относительных параметров, которые входят в уравнения, приведенные к безразмерному виду, имеются независимые пере- 10
менные (относительные координаты х, у, z и относительное время т) и зависимые переменные (<р). Краевые условия задачи также должны быть приведены к без- размерному виду. При этом могут появиться новые безразмерные комплексы. Так из геометрических условий может появиться ком- плекс, представляющий собой соотношение двух геометрических размеров системы (например, отношение длины трубы к диаметру), из физических условий — соотношения физических параметров при двух значениях температуры (например, отношение динамических коэффициентов вязкости жидкости, взятых при температуре стенки и температуре потока) и т. д. Уравнение, записанное в безразмерной форме, определяет связь между относительными переменными. Форма этой связи, отра- жающая механизм изучаемого явления, зависит от безразмерных комплексов, составленных из краевых условий. Заданной совокуп- ности численных значений этих комплексов будут соответствовать тождественные поля распределения относительных параметров, определяющих явление. Совокупность численных значений безразмерных комплексов определяет множество однородных явлений, так как одному и тому А же численному значению комплекса соответствует бесконечное 1 множество сочетаний входящих в него конкретных параметров ц процесса. Поэтому относительные переменные и безразмерные ком- н плексы представляют собой обобщенные переменные. Если на К основе информации о конкретном состоянии системы определить № совокупность численных значений безразмерных комплексов, то К. распределения относительных переменных, найденные в этом кон- К кретном состоянии, будут такими же для бесчисленного множества К других явлений с иными числовыми значениями параметров, но Е'. с теми же значениями безразмерных комплексов. Это множество № явлений образует группу подобных явлений. Рассмотрим вопрос подобии явлений более подробно. ® Безразмерные комплексы представляют собой соотношения масштабов эффектов и в итоге определяются совокупностью мас- № штабов параметров, определяющих явление. Следовательно, кон- ar Третные явления, входящие в группу, отличаются только масшта- Ж бами определяющих их параметров. Геометрические фигуры, от- к л.ичающиеся масштабом построения, геометрически подобны. Физи- I ческие явления, отличающиеся масштабами определяющих их Ь параметров, называют подобными, а безразмерные комплексы, ^Конкретная совокупность численных значений которых выделяет К и>уппу подобных между собой явлений, называют числами по- № о Как будет показано ниже, числа подобия могут включать 1‘зацисимые переменные и величины, входящие в условия однознач- Е> «ости (масштабы). Из уравнения, записанного в обобщенных Пере- S. ^ецных, очевидно, что распределение зависимой обобщенной пере- Кменной однозначно определяется совокупностью чисел подобия, Которые входят в уравнения и составлены из параметров, входя- К 11
щих в условия однозначности, а также чисел подобия, полученных из анализа самих условий однозначности. Числа подобия, состав- ленные из условий однозначности, называют критериями подобия. Критерии подобия, представляющие собой соотношения одноимен- ных величин (такие критерии получаются из анализа условий одно- значности), называют параметрическими. Заметим, что для реализации подобия каждого из условий однозначности иногда возникает необходимость вводить не один, а несколько параметрических критериев. Так, чем сложнее форма системы, тем больше параметрических критериев потребуется для того, чтобы сформулировать условия подобия ее с другими систе- мами. Иногда для строгого выполнения подобия по условию однознач- ности требуется очень большое число параметрических критериев. Например, соотношение динамических коэффициентов вязкости при температуре жидкости на входе в канал и температуре стенки при изменении последней по длине канала приведет к необходи- мости вводить этот критерий для каждой точки поверхности. Если же отнести коэффициент вязкости к средней по поверхности ка- нала температуре стенки, то достаточно использовать один пара- метрический критерий, которым, строго говоря, можно пользоваться только при исследовании усредненных по площади характеристик исследуемого процесса трения или теплообмена. Из сказанного выше очевидно, что подобными могут быть только явления одинаковой природы. Группа подобных между со- бой явлений характеризуется одинаковыми значениями одноимен- ных чисел подобия (включая и критерии подобия). Следовательно, произведения чисел подобия или частное от их деления будут иметь одинаковые значения и также будут представлять собой числа подобия. Таким образом, решение системы дифференциальных уравне- ний, согласованное с краевыми условиями задачи, можно предста- вить в виде функциональной зависимости, определяющей поле ис- следуемой величины <р: Ф = У» Z, Т, Лд, л2, . . ., Р„ Р2 . . .), (1.6) где л,- — критерии подобия; Pt- — параметрические критерии по- добия. При приведении уравнения к безразмерному виду искомую переменную не всегда удается представить в виде соотношения одноименных величин, так как иногда в краевых условиях не со- держится масштаба ее величины. Например, при исследовании теплоотдачи коэффициент теплоотдачи не входит в краевые усло- вия и неизвестен ни в одной точке системы. В этом случае зави- симая переменная вместе с масштабами других величин образует безразмерный комплекс, который представляет собой число подо- бия, но не является критерием подобия, так как содержит вели- чину, не входящую в краевые условия. В этом случае решение 12
представляется в форме n = f2(x, у, z, т, л2, . . Р2, . . .), (1.7) где л — число подобия, содержащее зависимую переменную, кото- рая является предметом исследования. Выражения (1.6) и (1.7) определяют пространственно-времен- ное распределение локальных значений переменных ф и л. При исследовании часто эти переменные содержат не локальные, а интегральные параметры. Например, при изучении гидравлического сопротивления интересующей исследователя величиной является перепад давления между входом и выходом жидкости из канала, при изучении интегральных характеристик теплоотдачи — средний коэффициент теплоотдач на поверхности канала. Для таких слу- чаев при стационарных условиях выражения (1.6) и (1.7) при- ведутся к виду Ф = /з(л1. л2, . . ., Pt, Р2, . . .); (1.8) л = /4(л!, Лг, . . ., Рь Р2, . . .). (1-9) Связи между числами подобия, выражаемые функциональными зависимостями (1.6) — (1.9), называют уравнениями подобия. Сле- дует заметить, что уравнение подобия описывает множество непо- добных между собой групп явлений, а каждая группа подобных явлений характеризуется конкретной совокупностью числовых зна- чений критериев подобия. Метод обобщенных переменных выявляет только форму чисел подобия, входящих в уравнение подобия. Строго вид функции мо- жет быть выявлен только при аналитическом решении задачи. Однако на основе информации о конкретных состояниях изучаемой системы, полученной с помощью численного, экспериментального или аналогового метода, для изученного диапазона изменения кри- териев подобия эту функцию можно приближенно представить в виде зависимости, аппроксимирующей конкретные результаты. Аппроксимация этих результатов обычно выполняется в форме зависимости л = сл?лТ . . .РМ .... (1-Ю) которая не имеет теоретического обоснования, но удобна при обра- ботке результатов исследования. § 1.2. ВЫЯВЛЕНИЕ ФОРМЫ ЧИСЕЛ ПОДОБИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧИ Числа подобия могут быть получены из уравнений и краевых условий, входящих в математическую формулировку задачи, путем приведения их к безразмерному виду или с помощью констант подобия. Здесь используется первый метод. Методику выявления чисел подобия на основе математической формулировки рассмотрим сначала на примере стационарного 13
изотермического движения жидкости с постоянными (не завися- щими от параметров состояния) свойствами в условиях, когда влиянием массовых сил и сжимаемости на течение можно прене- бречь. Для такой задачи в прямоугольной системе координат урав- нения движения (ниже записано только уравнение для коорди- наты х) , и сплошности имеют вид / др дх ~*1 I Л I • ду* di* J ’ dwx dwv dw2 dZ-+V + T = °- (111) (112) Здесь Wi (i=x, g, z) — составляющие скорости w по осям коорди- нат x, у, z; p — давление; p — плотность жидкости; p — динамиче- ский коэффициент вязкости. Выберем в качестве масштабов а>0, 1о, ро и введем обозначения безразмерных величин p = S~. (1.13) Ро Заменим в уравнении движения размерные переменные на про- изведения из безразмерных величин и масштабов в соответствии с выражениями (1.13). Заметим, что преобразование вторых про- зах d*wx ,, изводных выполняется по схеме ~ - = -?----г-. Уравнение дви- % дх* жения приведется к виду wo (- дй>х - дй>х - дшх\ р--- wt,—— -f- —— + w, —— I = /0 \ * дх У ду 2 дг ) _ Ро fy / d*wx d*wx j d*wx \ (1.14) h dx ll \ dx* fy* d? J ‘ После деления уравнения на ро>о//0 [Получаем + ---£L_i+_t_x дх у ду дг Pwo дх Pwolo х + (1.15) \ дх* ду* д& ) Давление ро обычно не входит в краевые условия задачи, по- этому безразмерный комплекс ро/ри’о2 введем под знак диффе- ренциального оператора и с учетом того, что -В*-»______р—, о г 9 pwj pwj (1Л6> 14
уравнение (1.15) перепишем в окончательной форме Wx^-+w= + + дх ду дг дх \ дх2 + J^+2Sl\ (1.17) \ дуг да2 / Здесь Еир=р/(ра>о2) — число Эйлера; Re = pu>oVp — число Рей- нольдса *. \ Давление р, содержащееся в числе Эйлера, в уравнении дви- жения входит, под дифференциальный оператор, поэтому вели- чину р можно Хзаменить на р — ро=Др при po=const. Если под р понимать давление в произвольном сечении канала, а под ро — давление на входе в канал, то величина Др может использоваться как характеристика гидравлического сопротивления канала. В этом случае число Эйлера записывается в форме Ей = Др/(р®о). (1.18) Уравнение сплошности, записанное в безразмерной форме, не содержит чисел подобия. Из условий однозначности получают параметрические крите- рии Р,. Их число может быть различным. Например, для потока в круглой диафрагмированной на выходе трубе из геометрических условий однозначности получаются параметрические критерии l/d и da/d (I — длина трубы, d — ее внутренний диаметр, dK — диа- метр свободного сечения диафрагмы). Для трубы без диафрагмы остается только первый критерий, а если ограничить задачу только гидродинамически стабилизированными потоками, то из геометри- ческих условий параметрических критериев не получится. Следовательно, при исследовании движения жидкости в рас- сматриваемых условиях результаты исследования можно предста- вить в виде функциональных зависимостей, характеризующих сопротивление движению и распределение скоростей: Eu = f (Re, Р,); wt = ft (x, у, z, Re, P,). (1.19) В технике часто встречаются системы, в которых движение жидкости обусловлено не только внешним градиентом давления, но и массовыми силами, которые могут иметь гравитационную или инерционную природу. Инерционные массовые силы могут воз- никнуть благодаря ускоренному, замедленному или вращательному движению системы, а также благодаря криволинейному движению жидкости. Анализ уравнения движения для этого случая позволяет вы- явить дополнительный критерий подобия, влияющий на характери- * Наиболее широко употребляемые числа подобия принято называть име* нами ученых, оказавших существенное влияние на развитие данной отрасли на- уки. 15
стики течения жидкости: К = А>ДМро’о). > / (120) Здесь Д^о — разность между максимальным и минимальным зна- чениями массовой силы в системе; /0 — расстояние между точками, где массовые силы достигают экстремальных значений; Критерий К используется при исследовании потоков жидкости наряду с критерием Re, в который также входит скорость w0. По- этому часто вместо критерия К используется критерий/ P=KRe® =/gAF0/(pv2), у (121) rife содержащий скорости а>0 (здесь v — кинематический коэффи- циент вязкости). / ''' При исследовании неизотермических систем физические свой- ства жидкости измёняются в соответствии с изменением темпера- туры, которая описывается дифференциальным уравнением энергии. Дцализ безразмерной формы этого уравнения позволяет заключить, что поле безразмерной температуры зависит от безразмерных ско- ростей и критерия Пекле Pe=wolo/a (а=Л/(ср)—коэффициент температуропроводности; к — коэффициент теплопроводности; с — удельная теплоемкость жидкости]. Вместо критерия Ре обычно используется критерий Прандтля, не содержащий скорости и раз- Мёра: \ Рг = Pe/Re = v/a. (1.22) системах с высокой степенью неизотермичности развитие титаовых и гидродинамических процессов зависит от диапазона изменения всех физических свойств в системе. Анализ физических УСЛОВИЙ однозначности для уравнений движения и энергии показы- вай, что в 9Т0м слУчае появляются дополнительные параметриче- сКие критерии вида Р„ =nflnw, (1.23) Г^ п — физические свойства жидкости: вязкость, теплопровод- ^сть, плотность, теплоемкость при температуре жидкости (ин- декс f) и стенки (индекс w). В ограниченном диапазоне температуры, соотношение физиче- ских свойств при температуре жидкости и стенки можно выразить через соотношения температуры: (1.24) Поэтому при высокой степени неизотермичности в уравнении подо- бия необходимо дополнительно ввести параметрические критерии или температурный фактор TflTw. Такая форма учета влияния неизотермичности на теплоотдачу используется для газов, причем показатель степени при температурном факторе в уравнении по- добия, строго говоря, зависит от природы газа. Для жидкостей 16:
вместо температурного фактора используется соотношение крите- риев Прайдтля при температуре жидкости и стенки. При исследовании неизотермических систем физические свой- ства рабочего тела, входящие в числа подобия, определяются по определяющей температуре, в качестве которой обычно выбирается средняя температура стенки, средняя температура жидкости или полусумма этах значений температуры. Физические параметры при определяющей температуре играют роль масштабов этих величин. Заметим, что при приведении дифференциальных уравнений к безразмерному виду для условий существенной неизотермичности в них появляются безразмерные комплексы типа n/ло, где п — физический параметр в произвольной точке изучаемого простран- ства, а п0 — его\ масштабное значение. Эти комплексы опреде- ляются температурным полем и представляют собой зависимые переменные. Следовательно, они не относятся к категории крите- риев подобия и в уравнение подобия не войдут. При течении газа с большой скоростью (околозвуковой или сверхзвуковой) энтальпия потока изменяется в результате не только теплообмена, но и изменения кинетической энергии. В этом случае уравнение энергии дополняется членом, отражающим выде- ление теплоты вследствие торможения газового потока, а в резуль- тате появляется дополнительный критерий подобия, характеризую- щий движение газа — критерий Маха М = и>0/а0, (1.25> где а0 — скорость звука в той же точке потока, в которой выбран масштаб скорости w0. Рассматривая различные случаи движения жидкости, мы не делали различия между ламинарным и турбулентным течениями, так как уравнения, описывающие ламинарные и турбулентные потоки, одинаковы, если они включают актуальные (истинные) значения входящих в них скорости, давления и т. д. Особенность, турбулентного потока состоит в том, что в каждой его точке режим- ные параметры имеют пульсационный характер изменения во вре- мени, который не поддается аналитическому описанию. Поэтому при исследовании турбулентных потоков вводятся осредненные по времени значения этих параметров, которые измеряются при экспе- риментальном исследовании и позволяют получить объективную информацию о таких потоках. При использовании осредненных параметров процесса изме- няется форма описывающих его уравнений. В самом деле, актуаль- ные параметры можно представить суммами осредненных и пуль- сационных составляющих: Wi^Wt + wa р = р + р'-, t = <+[Г; р = р,’+р', (1.26) где осредненные параметры отмечены чертой, а пульсационные — 'штрихами. 17<
Для несжимаемых изотермических потоков учитываются только пульсации скорости и давления. Подстановка двух первых выра- жений (1.26) в уравнение движения (1.11) после несложных пре- образований позволяет получить / / dwx . dwx , dwx \ / P(wx-T- + wv—s-+wz*}= / \ дх ду дг / / ____+ n+ + (1.27) Лс дх2 ду* dz2 ) Т ' ’ Это уравнение выражает связь между осредненными характери- стиками процесса (черточки над буквенными обозначениями опу- шены) и пульсационными составляющими скорости, которые объ- единены параметром X. В уравнениях движения, записанных для осей у и г, появляются члены Y и Z, также содержащие пульса- ционные составляющие скорости. ' Из уравнения (1.27), приведенного к безразмерному виду, получаются те же числа подобия, что и из уравнения (1.11), но •выраженные через осредненные параметры процесса, а кроме того, появляются безразмерные комплексы, включающие пульсационные составляющие скорости, типа w'x/wo;; w'xWy/wo, (1-28) где wx'2, wzwv'—осредненные по времени произведения пуль- сационных составляющих, зависящие от координат. Появление дополнительных безразмерных комплексов, не со- держащихся в краевых условиях, вносит неопределенность в задачу о турбулентных течениях. Поэтому, следуя Карману, предпола- гают, что при изменении осредненных скоростей пульсационные скорости изменяются подобным образом, т. е. комплексы типа (1.28) остаются неизменными. Это позволяет не вводить их в уравнения подобия, предполагая, что их количественные харак- теристики отразятся на числовых коэффициентах этого уравнения. Таким образом, уравнения подобия для турбулентных потоков со- держат те же числа подобия, что и уравнения для ламинарных потоков, только эти числа включают осредненные параметры по- тока. Опыт использования такой концепции при анализе подобия в условиях турбулентного течения подтверждает ее справедливость. Так формула Блазиуса, отражающая выявленную опытным пу- тем связь коэффициента сопротивления трения трубы с критерием Рейнольдса в условиях турбулентного течения жидкости, оказа- лась справедливой в широком диапазоне изменения числа Re. Заметим, что в числа подобия всегда входят масштабы величин, содержащихся в условиях однозначности, но индексом «О» отме- чены только масштабы тех величин, которые в пределах изучаемой системы изменяются. Иногда при записи чисел подобия индекс «О» опускается для всех масштабных величин. 118
§ 1.3. ПОЛУЧЕНИЕ ЧИСЕЛ ПОДОБИЯ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ Математическая формулировка задачи является надежным основанием для выявления перечня и структуры чисел подобия, определяющих исследуемое явление. Однако часто возникает не- обходимость^ исследовать явление, которое не имеет математиче- ского описания. В этом случае перечень и структуру чисел подобия можно выявить на основе анализа размерностей. Сущность метода состоит в том, что составляется перечень размерных величин, которые могут\влиять на протекание исследуемого явления, и из этих величин формируются безразмерные комплексы. Надежность полученных этим методом результатов зависит от правильности и полноты перечням влияющих на явление величин, а последнее за- висит от глубины понимания механизма изучаемого явления. Число безразмерных комплексов, которое получается на основе анализа размерностей, определяется на основе л-теоремы. С ее доказательством можно ознакомиться в [3]. Величины, характеризующие явление, связаны между собой элементарными соотношениями (например, скорость выражается через длину пути и время). Поэтому единицы измерения можно выбрать только для некоторых основных величин, а для остальных они будут производными. Принятые для основных величин раз- мерности называют первичными (или основными), а для осталь- ных— вторичными (или производными). Если общее число физи- ческих параметров, характеризующих явление, составляет т, а число первичных размерностей п, то число независимых безраз- мерных комплексов г, которое можно образовать из т параметров, определяется равенством • г=т—п. (1.29) > Это выражение отражает содержание л-теоремы. ; В механической системе единиц число первичных размерностей принимается равным трем, но в различных задачах их число раз- | лично. 1 ; Для получения чисел подобия на основе анализа размерностей используют различные методы. Наиболее простой и удобный из них — метод Рэлея. В соответствии с этим методом искомая вели- чина выражается через влияющие на нее параметры с помощью ' степенного комплекса, включающего безразмерный коэффициент и все используемые в анализе параметры в различных степенях. На- >, .пример, при выявлении чисел подобия, которые надо использовать ) при обобщении опытных данных, полученных при исследовании £ ^теплоотдачи в трубе при вынужденном течении, искомая вели- f чина — коэффициент теплоотдачи а. Качественный анализ этого г .явления показывает, что если не учитывать влияния массовых сил и других усложняющих факторов на процесс теплообмена, то ин- тенсивность теплоотдачи должна определяться линейным размером ? системы 10, скоростью жидкости плотностью р, удельной тепло- 1
•емкостью с, коэффициентом теплопроводности X и динамическим коэффициентом вязкости р. Для анализа размерности связь между характеристиками изучаемого процесса можно представить в виде a = C^peceXV- / (1.30) Заметим, что форма зависимости (1.30) не отражает внутрен- них связей между параметрами и может быть использована для аппроксимации существующих закономерностей только в ограни- ченном диапазоне изменения влияющих факторов. Примем в каче- стве основных размерности длины L, времени Т, массы М и тем- пературы 0. Тогда ' [а] =Л1Т-*0-1; [Z0] = L; [a»0] = LT-1; ,'[р] = Л4£-8; [с] = L’T-’G"1; [X] = LAfT-8©-1; [р] = AfL"1?”1. (1.31) Размерности правой и левой частей уравнения (1.30) одина- ковы. С учетом (1.31) получаем Л4Т-30-1 =£₽(£7’-l)v(M£-3)« х X (Ь2Т~26~1)е (1.32) Приравняв показатели степеней при каждой размерности в пра- вой и левой частях равенства, найдем l=6-f-r]+x; —3 = —у — 2е — Зт]—х; —1=—е — я; О = 04-у — Зб4~2е + т) — х. (1.33) Благодаря этим уравнениям из шести показателей степени •четыре можно выразить через два остальных. Выразим все пока- затели степени через б и в. Из (1.33) следует, что Р = б — 1; у = 6; г] = 1—в; х = е — б. (1.34) Подставляя эти показатели степени в уравнение (1.30), получаш a = = C(Zo/Zo) u,gpece (АД8) (pe/pe). (1.35) Объединяя параметры с одинаковыми показателями степени, находим Nu = CRe»Pr®, (1.36) тде Nu=a/0/X—число Нуссельта; Re=wopZo/p — число Рейнольдса; Pr=pc/A,=v/a— число Прандтля. Число безразмерных комплексов, полученных при анализе уравнения (1.30), соответствует л-теореме, так как /и=7, п=4 и, следовательно, z=3. Отсутствие уравнений, отражающих внутренние связи между параметрами, определяющими процесс, не препятствует формули- ровке краевых условий. Так, в рассматриваемой задаче могут быть заданы геометрические условия в форме: труба цилиндрическая с диаметром d и длиной Z. Если в качестве характерного размера принять диаметр, т. е. положить lo=d, то из геометрических усло- 20
вий получается параметрический критерий l/d. Если в системе наблюдается существенная зависимость физических свойств от температуры, то из физических условий получаются параметри- ческие критерии, представляющие собой соотношения физических лараметрбв при температуре жидкости и стенки. С учетом пара- метрических критериев уравнение (1.36) приводится к виду Nu = CReflPr8PTP? . . (1.37) где Рь Р2 ...'— параметрические критерии подобия. § 1.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ' Обобщенные переменные используются при любом способе исследования физических явлений, но при разных способах иссле- дованиях их ройь различна. Результаты аналитического исследования представляют в виде •связи между числами подобия. Обычно математическую формули- • ровку задачи приводят к безразмерному виду до ее решения. При этом уменьшается число переменных, входящих в итоговые рас- четные соотношения, а также упрощается сопоставление резуль- татов аналитического и опытного исследований. i При использовании численного метода решения уравнений, входящих в математическую формулировку задачи, а также при использовании метода аналогий уравнения предварительно приво- дят к безразмерному виду. При этом не только уменьшается число переменных задачи, которыми необходимо варьировать в процессе ее решения, но и облегчается выбор режимов, которые необходимо подвергнуть исследованию, так как виды этих режимов опреде- ляются диапазоном изменения критериев подобия в машинах и •аппаратах, для расчета которых выполняется исследование. При экспериментальном исследовании перечень и форма чисел подобия должны быть установлены до начала проектирования ра- бочего участка и создания или выбора экспериментального стенда. Численная оценка критериев подобия по типичным условиям работы машин и аппаратов, в которых эти явления наблюдаются, позволяет выявить основные характеристики экспериментального стенда. Например, диапазон изменения числа Прандтля опреде- ляет виды рабочих тел, которые должны быть использованы в эксперименте; часто в экспериментальной установке используется то же рабочее тело, что и в натурных условиях. Пределы изме- нения числа Рейнольдса определяют диапазон изменения расхода рабочего тела, его давления и температуры (от давления и тем- пературы зависят кинематический коэффициент вязкости и плот- ность, а от плотности и расхода — скорость рабочего тела). При проектировании рабочего участка экспериментальной уста- новки необходимо предусмотреть измерения, которые позволили бы по результатам опыта подсчитать цифровые значения всех чисел подобия, входящих в уравнение подобия. Не все параметры, вхо- дящие в числа подобия, измеряются непосредственно. Например, 21
для определения физических свойств рабочего тела достаточно1 знать его параметры состояния — температуру и давление; при необходимости получить более подробную информацию о свой- ствах рабочего тела измеряется поле параметров состояния или диапазон их изменения в рабочем участке. Средняя скорость рабо- чего тела обычно определяется по его расходу и плотности. Поток теплоты можно определить по температурному состоянию стенки,, участвующей в теплообмене, или каким-либо другим способом. Иногда краевые условия задачи не удается выявить ни пря- мыми, ни косвенными измерениями. Например, при исследовании теплоотдачи между криволинейной поверхностью и газовым пото- ком, содержащим конденсированные частицы, интенсивность теп- лообмена существенно зависит от распределения инерционных мас- совых потоков частиц, движущихся к поверхности. При обобщении опытных данных, по теплоотдаче значения этих потоков обычно определяют на основе математического эксперимента. Результаты каждого опыта дают возможность подсчитать циф- ровые значения всех чисел подобия, входящих в уравнение подо- бия. Результаты серии опытов используются для получения урав- нения подобия. При обобщении результатов эксперимента урав- нением (1.10) его используют в логарифмической форме Igji = lgС-f-Л 1gЛд-)-л 1gл24* • • +»ilgPi+ • • • (1-38> Зависимость 1g л от логарифма какого-либо критерия при постоянном значении других критериев линейна. Поэтому на гра- фик, построенный в логарифмической шкале, наносят результаты эксперимента точками, отбраковывают резко выпадающие из общей зависимости точки и выявляют участки, в пределах которых ре- зультаты эксперимента можно аппроксимировать линейной зави- симостью. При аппроксимации результатов исследования прямой * легко найти коэффициенты линейной зависимости, один из которых будет представлять собой степень при критерии подобия. Так вы- являются все степени при критериях подобия. Затем, представив уравнение (1.10) в форме 1g “ ’gC+ (1 39> «2Я. • .Р? аппроксимируют его линейной зависимостью и определяют коэф- фициент С, а также уточняют (при необходимости) показатель к. Степенная аппроксимация результатов эксперимента в форме уравнения (1.10) имеет ограниченные возможности. Если все ре- зультаты экспериментов не представляется возможным обобщить такой зависимостью, то их подразделяют на ряд диапазонов, в пределах которых такая аппроксимация становится возможной, или используют для обобщения другие формы уравнений подобия. Этот вопрос более подробно рассмотрен в гл. 5. * Процедуры отбраковки результатов исследования и методы их аппрокси- мации рассмотрены в гл. 5. 22
Уравнения подобия отражают исследованные закономерности только в том диапазоне критериев подобия, который наблюдался в опытах. § 15. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ В машинах и аппаратах тесно переплетаются процессы различной природы. Поэтому их основные параметры, полученные на основе испытания натурных образцов, обычно не соответствуют значениям этих параметров, заложенным в расчет конструкции в процессе ее проектирования. В связи с этим возникает необходимость доводочных испытаний опытных образцов машины или аппарата. Большую помочь в доводочных испытаниях оказывает математическая модель машины или аппарата, представляющая собой совокупность уравнений, формул, констант и логических условий, которые определяют взаимосвязь параметров рабочего процесса. Дифференциальные уравнения, входящие в математическую модель, при ее использовании решаются численным методом. Математическая модель позволяет предсказать, с помощью изменения ка- ких параметров можно изменить основные характеристики испытываемой кон- струкции. Таким образом, математическая модель является средством достиже- ния в разрабатываемой конструкции характеристик, предусмотренных техничес- кими условиями, или выявления условий оптимальности конструкции, соответ- ствующих экстремальному значению критерия оптимальности. Иногда математическое описание задачи содержит дифференциальные урав- нения, которые удобно решать на аналоговых машинах *. В этом случае мате- матическое моделирование включает в себя элементы аналогового моделирова- ния. Математическая модель машины или аппарата отражает их рабочие про- цессы с известным приближением. Расчетные соотношения, входящие в матема- тическую модель, как правило, отражают закономерности отдельных явлений, составляющих рабочий процесс, без учета взаимного влияния. Например, фор- мулы для определения гидравлического сопротивления различных участков гид- равлического тракта получены на основе экспериментов в идеализированных условиях (равномерное поле скоростей на входе, однородное температурное поле, отсутствие внешних возмущений и т. д.). В реальных конструкциях эти условия не соблюдаются. Поэтому иногда при разработке новых конструкций прибегают к техническому моделированию устройств, когда до постройки ма- шины или аппарата их отдельные качества или итоговые характеристики изу- чаются на моделях в лабораторных условиях. Например, при продувке умень- шенных моделей самолетов или автомашин в аэродинамических трубах можно выявить их сопротивление движению и зависимость этого сопротивления от формы их отдельных элементов, устойчивость машины при движении и режимы, опасные с точки зрения потери устойчивости, и т. д. Таким образом, техническое моделирование представляет собой разновидность экспериментального исследо- вания, при котором изучаются характеристики рабочего процесса конкретной машины или аппарата на модельной установке. Основное требование, которое предъявляется к модели, состоит в том, что протекающие в ней процессы, подлежащие исследованию, должны быть подобны соответствующим процессам в натурном образце. Следовательно, процессы в ♦ Методика такого решения будет рассмотрена в гл. 4. 23
модели и образце должны иметь одинаковую физическую природу, протекать- в геометрических подобных системах, иметь подобные распределения режимных параметров на границах системы и численно одинаковые значения критериев- подобия, характеризующих процесс. Следствием подобия процессов в модели и натурном образце будет одинаковость чисел подобия, включающих зависимые переменные, во всех точках с одинаковым значением относительных координат х, у, ~z и относительного времени т. Это следствие обусловлено внутренними связями, существующими между параметрами процесса и отраженными в* ма- тематической формулировке задачи. Часто в эти числа подобия включаются не локальные, а интегральные значения зависимых переменных (например, не мест- ный, а средний коэффициент теплоотдачи). При исследовании рабочих процессов на моделях упрощается размещение измерительных устройств на объекте исследования, а главное — появляется воз- можность трансформировать объект исследования или характер протекания изучаемого процесса так, чтобы упростить постановку исследования: можно уве- личить или уменьшить размеры исследуемого объекта, изменить вид рабочего- тела, замедлить или ускорить протекание процесса. Однако возможности этих изменений ограничены требованиями подобия образца и модели Критерии подобия составлены только из величин, входящих в краевые ус- ловия. Поэтому требование одинаковости одноименных критериев подобия в об- разце и модели равносильно требованию подобия условий однозначности в них. Требование геометрического подобия сводится к необходимости иметь у мо- дели и образца одинаковую форму элементов, определяющих протекание рабо- чего процесса, и одинаковые одноименные параметрические критерии, включаю- щие геометрические размеры. Например, для круглой цилиндрической трубы не- обходимо, чтобы l'/d'= 1" Id”. (1.40> Здесь штрихом отмечены параметры натурного образца, а двумя штрихами — параметры модели. Равенство (1.40) перепишем в форме <Г/4'жГ/Г-Сь (1.41> где Ci — константа геометрического подобия. Если геометрия системы характеризуется несколькими параметрическими1 критериями, то они могут иметь различные числовые значения, а константа геометрического подобия будет иметь одно и то же значение для всех сходст- венных размеров. Поэтому при моделировании технических устройств удобно- использовать константы подобия. Требования подобия по физическим условиям однозначности (по физичес- ким параметрам) могут иметь различную форму. Если свойства жидкости в- системе не изменяются, то физические условия не содержат параметрических критериев, и поэтому каких-либо условий на выбор физических параметров рабочей жидкости (кроме их постоянства) физические условия однозначности не накладывают. При изучении тепловых явлений, когда развитие процесса за- висит от температурного поля системы, необходимо, чтобы число Прандтля для’ образца и модели было одним и тем же, Рг'=Рг". Это условие выполняется автоматически, если в образце и модели используется одна и та же жидкость и: одинаковый температурный уровень систем. В общем случае условие одинако- вости критериев Прандтля в образце и модели накладывает дополнительные ус- 24
ловия на выбор констант подобия по физическим параметрам. Так как Но соАо= Но соАо» 70 С|АА = 1 * (1-42) где = iV'/Ho'; Cc^Cq'!cq\ — константы подобия по физическим параметрам. Физические свойства, входящие в число Прандтля, в неизотермической системе •определяются по характерной граничной температуре (например, по температу- ре на входе в канал) или по средней температуре жидкости в системе. Поэтому одинаковость критерия Рг в образце и модели не затрагивает вопроса о харак- тере изменения физических свойств в системе. Для строгого соблюдения подо- бия процессов в образце и модели должны быть подобными поля всех физи- ческих параметров, влияющих на процесс. Это требование автоматически выпол- няется при использовании в образце и модели одинаковой жидкости и при оди- наковых температурных полях t—f(x, yt z, т). В других условиях это требо- вание реализовать практически невозможно. Для реализации подобия граничных условий однозначности в образце и в модели необходима одинаковость критериев подобия и подобное распределение входящих в граничные условия режимных параметров. Например, при изучении движения жидкости в образце и модели должно быть одинаковым число Рей- нольдса, включающее скорость потока, которая входит в граничные условия • задачи. Из условия одинаковости чисел Re для образца и модели l'0/v' = w0 Zq/v" (1.43) •следует связь между константами подобия ад/Су= 1, (1.44) где Cw = t0o'7^o'; Cv=v'7v' — константы подобия по скорости и кинематической вязкости. Равенство (1.43) обеспечивает подобие скоростей в образце и модели для какой-либо характерной точки системы (например, на оси входного сечения) или средних скоростей для систем в целом или их отдельных участков. Кроме того, должно обеспечиваться подобие скоростей на всех участках системы. Обычно для этого достаточно обеспечить подобие распределения скоростей на входе и на выходе модели и образца, так как на поверхностях стенок скорости одинаковы и равны нулю. При моделировании устройств, работающих в неизотермических условиях, необходимо обеспечить подобие температурных полей при граничных условиях в образце и модели. При анализе подобия нестационарных или периодически повторяющихся процессов появляются критерии подобия, содержащие время. Например, урав- нение движения, записанное в нестационарной форме, содержит критерий гомо- хронности, который записывается в виде Но =и>ого//о, (1-45) где Но — критерий гомохронности, т0 — масштаб времени. Например, для пе- риодически повторяющихся процессов этот масштаб равен продолжительности периода повторяющегося процесса. 25
Подобие временных краевых условий в этом случае будет реализовано при- шото/ zo = woxo/ 1о cwCt/ci = 1. (1 -46> где Ст —константа подобия по времени. При моделировании систем с неоднородным полем массовых сил модель и образец должны иметь одинаковый критерий Р, т. е. в соответствии с форму- лой (1.21) I^F^p'v'2) - /;3AF;/(p'V2) или C3CAF/(CpC2)=l. (1.47> Связи между константами подобия, выражаемые уравнениями типа (1.42), (1.44), (1.46) и (1.47), определяют возможное число степеней свободы при мо- делировании технического устройства. Например, если при однородном поле массовых сил выбран вид жидкости в соответствии с равенством (1.42) (сле- довательно, известно и другие константы подобия физических параметров) и линейный масштаб Ctt то константа Cw определяется равенством (1.44). При этом константа подобия по времени Ст также не может быть выбрана произ- вольно, так как она определится равенством (1.46). Строгое соблюдение всех условий подобия процессов в натурном образце и модели связано с большими трудностями, а иногда вообще оказывается не- возможным. Поэтому широкое применение получили приемы приближенного мо- делирования. При моделировании неизотермических систем практически невозможно осу- ществить подобное распределение физических свойств жидкости в модели и об- разце. Особенно это относится к случаям, когда неизотермический процесс в натурном образце предполагается изучать на изотермической модели. В этом случае процесс моделируется при средней температуре образца. Для некоторых процессов соблюдение условий подобия в образце и модели облегчается благодаря свойству автомодельности. Степень воздействия крите- риев подобия на характеристики процесса различна. В некоторых условиях это- влияние ослабевает настолько, что им можно пренебречь. В этом случае гово- рят о вырождении критериев подобия и проявлении свойства автомодельности. Например, при течении жидкости в трубе за пределами начального участка распределение скоростей перестает зависеть от длины трубы, и, следовательно, параметрический критерий ljd (или x/d) вырождается. При небольшом значении критерия Маха процессы течения и теплообмена не зависят от явления сжима- емости, которое этот критерий отражает, они автомодельны по отношению к этому критерию. Независимость процесса от каких-либо критериев подобия упрощает построение модели и поэтому желательна. Следует заметить, что при создании моделей существует опасность выйти за пределы автомодельности по какому-либо параметру. Например, при доста- точно больших размерах системы влиянием шероховатости стенок на течение жидкости обычно пренебрегают. При уменьшении размеров системы параметри- ческий критерий, характеризующий влияние шероховатости на процесс и равный отношению средней высоты выступов шероховатости к характерному размеру системы, увеличивается и влияние шероховатости на течение возрастает. Поэто- му если в натурном образце влиянием шероховатости на процесс можно пре- небречь, то выбор размеров модели необходимо ограничить условием, чтобы это влияние не проявилось и в модели. 26
В ряде случаев приемы приближенного моделирования не позволяют преодо- леть трудности, возникающие при создании модели технического устройства. Тогда используется местное моделирование, при котором подобие процессов, протекающих в модели и образце, реализуется не во всей модели, а только ;в отдельном ее элементе. В процессе испытания модели местное подобие после- довательно осуществляется в различных ее элементах, и таким образом после ряда опытов получается информация о работе натурного образца в целом. Осо- бенно широко местное моделирование используется при моделировании машин и аппаратов, в которых важную роль играют тепловые процессы, так как в этом случае трудно реализовать подобие температурных полей на всех границах модели, а реализация подобия этих полей в отдельных элементах модели не •создает больших трудностей. § 1.6. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЛОКАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В реальных технических устройствах процессы течения и теплообмена происходят в сложных термогазодинамических усло- виях, что приводит к существенному изменению температуры по- верхности и скорости в ядре потока по длине канала. Однако пред- ставленные в литературе уравнения подобия для трения и тепло- обмена соответствуют частным граничным условиям (чаще всего Tw=const или qw=const). Они, строго говоря, не могут использо- ваться для расчета этих процессов с иными граничными условиями вследствие нарушения условий подобия. Дальнейшим шагом в развитии метода обобщенных перемен- ных явилось создание теории локального моделирования. Согласно этой теории определяющими размерами системы являются некото- рые динамические (изменяющиеся по длине) интегральные пара- метры пограничного слоя, характеризующие распределение ско- рости и температуры в данном сечении (локальное моделирование). Эти параметры получаются при интегрировании дифференциальных уравнений пограничного слоя. При обобщении опытных данных на основе теории локального моделирования эмпирические зависимости, характеризующие про- цессы трения и теплообмена, имеют достаточно общий характер и могут использоваться для произвольных законов изменения гранич- ных условий по длине канала. Такое свойство уравнений подобия, которые в этом случае называют законами трения и теплообмена, обусловлены их консервативностью к изменению граничных условий. Таким образом, теория локального моделирования представ- ляет собой более совершенный метод обобщения опытных данных. Рассмотрим неизотермическое течение газа около плоской поверхности с достаточно малыми числами Маха и постоянными значениями изобарной тепло- емкости сР, динамической вязкости ц и теплопроводности X. Дифференциальные 27
уравнения динамического и теплового пограничных слоев dou dwx dp dx + pWy + “7“ ’ U Л8> dx y dy dx dy d d (P«M + (pw«) = 0; (1 -49> dT ST dq PCpWx~^ + pC^~d^=~^ • (1*50> Здесь p — статическое давление, постоянное по толщине пограничного слоя / dp \ I—— = 01; wXt wy — продольная и поперечная составляющие скорости потока; ' dy 1 Т — температура; х, у — прямоугольные координаты; т и q—касательное на- пряжение трения и плотность теплового потока в пограничном слое. Для тур- булентного потока величины q и т являются суммой молекулярных и турбулент- ных значений этих параметров. За пределами пограничного слоя, толщина которого о, -^"=0 и поэтому дх —=0. Записывая уравнение (1.48) для области внешнего потока (у>6)> ду вследствие неизменности статического давления по высоте пограничного слоя получаем РоЛоо ^00 dx dp dx (1.51> где pa,, iWoo — значения соответствующих параметров вне пограничного слоя. После подстановки выражения (1.51) в уравнение (1.48) &0Х ^оо eov ptt)x — + р«>, — - . (1,52> Проинтегрируем уравнение (1.52) поперек динамического пограничного слоя (0<z/<6) в* произвольном сечении р dwx г dwx г da,oo р dx Jpa)3c__dj,+ jp^ d^jp^—_dy + y —(1.53) 0 0 0 o’ После преобразований это уравнение приобретает вид где Хю — касательное напряжение трения на поверхности канала. Первый из интегралов, входящих в левую часть уравнения (1.54), представ- ляет собой толщину потери импульса и обозначается б**, второй — толщину вытеснения и обозначается б*, 28
Параметры 6* и 6** имеют вполне определенный физический смысл, они могут рассматриваться как некоторые линейные динамические (изменяющиеся по длине) масштабы пограничного слоя. Поэтому локальными числами Рей- нольдса, характеризующими развитие динамического пограничного слоя, явля- ются безразмерные параметры Re** = 6**/v; Re* = Таким образом, уравнение (1.54) с учетом изложенных выше соображений можно представить в следующем виде: <16** 2в** + в* dw°o б** cf -----7Г- + — ——(1.56) где q/2=Tw/(Poo^2oo) —коэффициент трения. Используя локальные числа Рейнольдса, интегральное соотношение им- пульсов можно представить как л Re** Ct -- +ReL(l+H)/ = ReL-^-, (1.57) где Re**=poo^oo6**/H* —число Рейнольдса, построенное по толщине потери импульса б**; x=x/L; L — характерный геометрический размер поверхности^ —характерная динамическая вязкость, не зависящая от х; /7=б*/б**— формпараметр пограничного слоя; f = (6**/t0oo) (dw^/dx) — параметр продоль- ного градиента давления; Рег=роошооЛ/ц* — число Рейнольдса, построенное по характерному размеру поверхности L. Интегральное соотношение (1.57) выполняется для ламинарного и турбу- лентного режимов течения. Однако вид функции wx=f(y) и коэффициент тре- ния для этих режимов характеризуются различными зависимостями. Интегральное соотношение энергии для теплового пограничного слоя имеет следующий вид: d&** <*(РоЛо) бт,Ф d(&T) dx + РЛ dx + ДТ dx (1.58) где St=f7w/(poo^ooCpAT)—число Стантона; qw — плотность теплового потока, в стенку; ДТ=Т/—Tw — текущий температурный напор. Параметр .. _ pw*_ / _ Tw-T \ т J Роо^оо k Tw-T, ) У о является интегральной характеристикой теплового пограничного слоя и назы- вается толщиной потери энергии. Величина бт служит динамической линейной: характеристикой теплового пограничного слоя и может быть использована в качестве определяющего размера при построении локальных чисел Рейнольдса. В связи с изложенным выше введем в рассмотрение число Рейнольдса, построенное по толщине потери энергии ReT =poot0oo6T /н*- Тогда урав- нение (1.58) преобразуется к виду Re” d(AT) d x ДТ d x L' (1.59) Это уравнение называется интегральным соотношением энергии. 29»
Таким образом, интегральные соотношения импульсов и энер- гии образуют систему обыкновенных дифференциальных уравне- ний, связывающих искомые параметры Су/2. и St с линейными динамическими характеристиками пограничного слоя и условиями обтекания поверхности. Они также включают граничные условия на внутренней (у=0) и внешней (f/=6; f/=6T) границах погра- ничного слоя. Для решения интегральных соотношений импульсов и энергии необходимо задать условия на входе в канал. Например, для случая, когда динамический и тепловой пограничные слои формируются от начала пластины, они имеют следующий вид: х=0; Re** = Re? = 0. Заметим, что теория локального моделирования разработана не только в приложении к задачам трения и теплообмена, рас- смотренным выше, но и в приложении к задачам массообмена [5]. § 1.7. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА Система интегральных уравнений пограничного слоя является незамкнутой: для ее решения необходимо иметь дополнительные уравнения, устанавливающие функциональную связь коэффициента трения и числа Стантона с локальными и интегральными харак- теристиками пограничного слоя, входящими в левую часть инте- гральных соотношений импульсов и энергии. Для уравнений (1.57) и (1.59) функциональная форма допол- нительных уравнений должна иметь следующий вид: -^ = Л^е**, б** dwx Woo dx Tw Tf ’ (1.60) St = f2(Re~ ‘ (1-61) \ A T dx T j / Выражения (1.60), (1.61), которые по своей физической при- роде являются уравнениями подобия, называются законами тре- ния и теплообмена. Для некоторых частных случаев ламинарного течения законы трения и теплообмена могут быть установлены аналитическим путем. Для турбулентных потоков эти законы получают экспери- ментально или на основе полуэмпирической теории турбулент- ности. / dw^ При отсутствии продольных градиентов и А7Ч —= 0; (d (Ы* = (р и квазиизотермическом течении (7\r/Tf->l) для плос- dx кой непроницаемой пластины законы трения и теплообмена могут быть представлены [5] степенными зависимостями Cfj2 = М (Re**)~m; St0 = М (к£"Гт Pr~”, (1.62 30
в которых численные значения констант М, т, п определяются диапазоном изменения чисел Рейнольдса. Например, при Re**<104; ReT**<104 М=0,0128; m=0,25; n=0,75. Рассмотренный выше пограничный слой на плоской пластине развивается при отсутствии «возмущающих» факторов, к числу которых относятся неизотермичность, вдув, продольный градиент давления, сжимаемость потока и т. д. В связи с этим такой погра- ничный слой называют иногда эталонным, а соответствующие ему законы трения и теплообмена — стандартными законами. Стандарт- ные законы трения и теплообмена всегда обозначаются нулевым индексом [см. уравнения (1.62)]. В 1952 г. В. М. Иевлевым [2, 3] было показано, что в некото- ром диапазоне режимных параметров законы трения и теплооб- мена консервативны к изменению граничных условий по длине поверхности — скорости wx и перепада температуры ДГ. На рис. 1.1. приведены результаты обобщения различными методами опыт- ных данных по теплоотдаче при существенно отличающихся зависимостях ДТ=/(х) для плоской стенки. Рис. 1.1. Результаты обобщения опытных данных по местной теплоотдаче [6] для различных значений ДГ: X —185,6 К; О —222—152_х: V — 137—81_7; □ - 204--140 7 Д — 159—100 7" _▼ — 44+ + 170 х; —0,19 ехр (70ХУ, Л —34+159 х; ® —38+110 х; +— <1,г=3.4 ехр (5,8 х) Bt/ms; / —AT=const: Sto-O,O288Re—°-2 Рг-о.б; 2 - Stc=O.OI28 Re 0125 Pr_ °'75 X T При обобщении опытных данных в форме уравнения подобия St=f(Rex, Рг)г где Rex=poott>ooX/|x — число Рейнольдса, экспериментальные точки разделяются в зависимости от вида граничных условий (рис. 1.1,а). При обобщении по методу локального моделирования независимо от вида граничных условий большинство опытных данных для исследованного диапазона изменения числа ReT группируются около единой зависимости (рис. 1.1,6), которая является законом теплообмена для рассматриваемых условий (стан- дартный закон теплообмена). С учетом свойства консервативности из зависимости (1.60) мо- dwco жет быть исключен член, содержащий производную » а из зависимости (1.61) — член, содержащий производную ^1) dx 31
Для сложных условий теплообмена в некоторых практически важных случаях в ограниченном диапазоне изменения режимных параметров при записи законов трения и теплообмена можно ис- пользовать принцип суперпозиции отдельных воздействий. С учетом этого принципа законы трения и теплообмена записываются в виде St = StoYT¥BYM . . (1.63) тде Тв, Тм — — относительные функции, учитывающие соот- ветственно влияние неизотермичности, вдува *, сжимаемости и т. д. на закон теплообмена; V,*, Чгв*, Ч*м* - — те же функции для за- кона трения. Для определения относительных функций разработана [5] оригинальная теория пограничного слоя с вырождающейся вяз- костью. Например, для дозвуковых скоростей относительная функ- ция неизотермичности определяется выражением тде ^p—TwfTf — температурный фактор. Аналитические выражения для других относительных функций приведены в [5]. При получении законов трения и теплообмена на основе опыт- ных данных по трению и теплообмену кроме интегральных харак- теристик процессов (Cf/2 и St) необходимо знать распределение скорости и температуры по сечению пограничного слоя. Это позво- ляет вычислить условные толщины пограничных слоев б** и $7 и числа Re** и ReT. Однако в некоторых случаях для определения чисел Re** и ReT« не требуется проводить измерений локальных параметров потока в пограничном слое. Запишем интегральное соотношение энергии (1.59) в более компактной форме: Л (Re^AT) = StReL AT. dx Интегрируя это уравнение для условий, когда тепловой погра- ничный слой формируется от начала пластины (х=0; Re,* =0), получаем Re** = J St Ret AT dx. * Заметим, что вдув газа через поверхность теплообмена отражается на ме не только законов теплообмена и трения, но и интегральных соотноше- импульсов и энергии [5]. фор НИЙ 32
Учитывая далее, что StReLA7=<7roL/(Z,Pr) при условии ХРг= =const выводим уравнение для определения числа ReT: X У qw (х) dx • (1.65) ХДТРг ' ' Таким образом, при исследовании местной теплоотдачи на непроницаемой поверхности для вычисления ReJ* необходимо измерить изменение температуры стенки и плотности теплового потока по поверхности теплообмена. При обобщении опытных данных по трению выражение для числа Re**, полученное интегрированием уравнения (1.57), яв- ляется громоздким и не используется для практических целей. В связи с этим в общем случае для определения толщины потери импульса б** выполняют измерение профиля скорости в погра- ничном слое с последующим вычислением б** и Re**. В том случае, когда изменение скорости на внешней границе / dw \ пограничного слоя незначительно1 jwOJ, Re** удается выра- зить в явном виде из интегрального соотношения импульсов. Для непроницаемой поверхности в случае, когда динамический погра- ничный слой начинает формироваться с сечения х=0, из (1.57) следует _ х х Re** = f -^Retd£ = —— f xadx. (1.66) J 2 И.®» J о 0 Для вычисления формпараметра пограничного слоя Н необ- ходимо замерить профиль скорости в пограничном слое и далее провести интегрирование в соответствии с выражениями (1.55). § 1.8. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Законы трения и теплообмена не позволяют в явном виде определить изме- нение гидродинамических и тепловых характеристик по длине поверхности теп- лообмена. Это обусловлено тем, что связь Re**, Re/ и Rei, определяется конкретными условиями рассматриваемой задачи и может быть найдена только в результате решения интегральных соотношений импульсов и энергии. В качестве примера использования законов трения и теплообмена в прак- тических расчетах рассмотрим несжимаемое (Чгм=11гм*в1), безградиентное (f=0), неизотермическое течение около плоской пластины. При этом будем счи- тать, что динамический и тепловой пограничные слои развиваются одновременно с сечения х=0. Поскольку рассматриваемый процесс характеризуется только одним «возмущающим* фактором (неизотермичностью), исходная система урав- 2 Зак. 117 33
нений имеет следующий вид: dRe** dx — Re* 2 ReI’ d~x ReT Й(ДТ) _____ = stRe£; (1.67> = M (Re**)“w iF*; St = M (Re^*)“m Рг“Л¥т, где значения Vt, Tt* определяются выражением (1.64); ReL = poo^ooL/pi|s. Рассмотрим уравнение импульсов; учитывая в правой части закон трения, получаем дифференциальное уравнение d Ре** —J=— -Af(Re**r«YTReL. Решение этого уравнения будет этого уравнения Re** = Л1(1+m)Re£jYTdx О 1 1-Нп (1-68) закон трения, т 14-/п Подставляя далее (1.68) в уравнение, характеризующее окончательно находим 1 _ т _ т Г 1 = м 1+т (1 _|_ т) 1+» Re 1+<п ш J хртЛс Г 2 и о J Это уравнение характеризует изменение коэффициента трения на пластине для различных законов изменения температуры поверхности по длине. В част- ности, для постоянной температуры стенки из уравнений (1.68) для Re**< кЮ4(М=0,0128; /п=0,25) следует выражение = 0,029 Re70>2 ¥°«8 А 1,6 которое широко используется в инженерной практике. Здесь Rex=pootfyoox/pe — число Рейнольдса. Рассмотрим далее решение интегрального соотношения энергии. Подставляя в правую часть этого уравнения математическую запись закона теплообмена, получаем дифференциальное уравнение dRe** Re** ^(ДТ) z т -«-+ ST После преобразования это уравнение можно привести к форме ==- [(Re*,A7’)l+'n] - М (1 + т) Re£Pr“nYTAT,+m. Решение этого уравнения позволяет определить связь чисел ReT** и Re^ для рассматриваемых условий. Оно имеет следующий вид (х =0; ReT**=0): 1 Г 7 -I-1 ReJ‘ = НИ (1 + т) Re£Pr-” j ТтДТ1+'в4х 1+m . 34
Подставив это решение в выражение закона теплообмена, получим уравне- ние, характеризующее изменение числа Стантона по длине пластины для различных законов изменения температуры поверхности по длине: St = M *+'” (!+m) l+m Re£ 1+m рг !+"* Ч'тД7'т X X _ X f ФтДТ1+'вЛс (1.69) В частности, при постоянной температуре поверхности (4rT=const) для об- ласти Re* <104(ЛГ=0,0128; /и=0,25) из (1.69) находим хорошо известное уравнение St = 0,029 Re70’2 Рг~° '6Т° -8. Рассмотренный пример показывает, что в случае, когда скорость внешнего Потека известна, решение интегральных соотношений импульсов и энергии вы- полняется раздельно. В тех случаях, когда она неизвестна (чаще всего внутрен- ние неизотермические течения), решение интегральных соотношений выполняется совместно, чаще всего методом последовательных приближений. Большое число Примеров, характеризующихся совместным воздействием нескольких факторов {неизотермичности, вдува, сжимаемости и т. д.), рассмотрено в [5]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Г у хм ан А. А. Введение в теорию подобия. — М.: Высшая школа, 1963. 1253 с. 2. Иевлев В. М. Некоторые вопросы гидродинамической теории теплообмена £ при течении газа. — Докл. АН СССР, 1952, т. 87, № 1, с. 21—24. г 3. Иевлев В. М. Некоторые вопросы гидродинамической теории теплообмена при течении несжимаемой жидкости. — Докл. АН СССР, 1952, т. 86, № 6, .у с. 1077—1080. ' 4. Кирпичев М. В. Теория подобия. — М.: Изд-во АН СССР, 4953. 96 с. t 5. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбу- । Рентном пограничном слое. — М.: Энергия, 1972. 341 с. 6 . Кутателадзе С. С., Миронов Б. П., Накоряков В. Е. и др. Эксперимент • тальное исследование пристенных турбулентных течений, Новосибирск: Наука, I 1975. 164 с. 7 . Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 8-е изд. — М.: Маука, 1977. 440 с. Глава 2 ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ § 2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОГРЕШНОСТЯХ ЭКСПЕРИМЕНТА Результаты математического, аналогового и физического экс- . перимента не могут быть получены абсолютно точно. Причинами, приводящими к отклонению этих результатов от их истинных ч значений, являются приближенность числовых параметров, которые 2* 35
содержатся в уравнениях, описывающих исследуемое явление; неточность величин, входящих в условия однозначности задачи; приближенность метода решения задачи; несовершенство методов и средств измерений; непостоянство условий, при которых прово- дятся измерения, и т. д. Под точностью эксперимента понимают его качество, отражаю- щее близость полученных результатов к истинному значению иско- мой величины. Точность эксперимента тем выше, чем меньше его погрешность. Разность Д между результатом эксперимента х и истинным значением искомой величины X называют абсолютной погреш- ностью эксперимента Д = х—X. (2.1) Погрешность, выраженную в долях или процентах действи- тельного значения искомой величины, называют относительной погрешностью. Относительная погрешность 6 определяется соот- ношением 6 = Д/Х. (2.2) Следует заметить, что истинное значение величины, ойределяе- мой в результате эксперимента, всегда остается неизвестным, поэтому и погрешности эксперимента могут быть оценены лишь, приближенно. В зависимости от свойств погрешности подразделяют на случай- ные, систематические и грубые. Случайной называется погреш- ность, обусловленная действием ряда причин, меняющихся случай- ным образом от эксперимента к эксперименту. Значение этой по- грешности не может быть определено в каждом эксперименте, и на него невозможно оказать влияние. В то же время в результате большого числа экспериментов могут быть выявлены некоторые закономерности, присущие этому типу погрешностей. Систематической называется погрешность, которая при повтор- ных экспериментах остается постоянной или изменяется законо- мерным образом. В зависимости от источника возникновения раз- личают следующие разновидности систематических погрешностей: методические, инструментальные и субъективные. Методические погрешности обусловлены приближенностью математического опи- сания исследуемого явления и возможной приближенностью мето- дов их решения; неточностью соотношений, описывающих физиче- ские законы и явления, на которых основан принцип измерения; возможным несоответствием условий проведения измерений тем условиям, для которых эти соотношения получены, и т. д. Методи- ческие погрешности не зависят от точности применяемых при проведении физического и аналогового эксперимента средств из- мерения. Инструментальные погрешности определяются точностью ис- пользуемых средств измерения. Принято различать основную по- 36
грешность средств измерения — погрешность в условиях, принятых за нормальные, и дополнительные погрешности, вызванные откло- нением влияющих параметров (давления, температуры, влажности окружающей среды, уровня вибраций, ориентации в пространстве i и т. д.) за пределы области нормальных значений. В некоторых ' случаях инструментальные погрешности могут быть исключены путем внесения поправок. 'l Специфический смысл имеет инструментальная погрешность ’л,- применительно к математическому эксперименту, выполняемому с «' помощью ЭВМ. В роли средства измерения здесь выступает ЭВМ, i а инструментальная погрешность вызвана округлениями при вы- ji числениях, проводимых с сохранением хотя и большого, но огра- & пяченного числа значащих цифр. В • Субъективные погрешности обусловлены индивидуальными осо- s.!. бенностями человека, выполняющего измерения в процессе экспери- к ‘ мента. Это, например, запаздывание или опережение регистрации Ik сигнала, неправильная интерполяция при отсчете показаний в пре- № делах одного деления шкалы и т. д. Совершенствование средств № измерений позволяет уменьшить эту составляющую погрешности к Пли полностью ее исключить. Так при применении цифровых при- К боров субъективные погрешности исчезают. в,..»;' Грубой называется погрешность эксперимента, существенно «превышающая погрешность, оправданную характером и условиями Икего проведения, а также свойствами используемых средств изме- каения. Причиной грубой погрешности может быть сбой в работе ЕрЭВМ, резкое кратковременное изменение напряжения, питаю- Ирщего прибор, описка, сделанная экспериментатором при записи К результатов измерения, или неправильное снятие показаний прибора. В последнем случае грубую погрешность называют про- Кдаахом. К Грубые погрешности могут быть обнаружены, например, стати- Ийстическими методами, и содержащие их результаты следует ис- ключать из рассмотрения. Кл Все параметры, определяемые в процессе эксперимента, можно ^подразделить на две группы. К первой группе относят величины, «которые находятся в результате прямых измерений, например КЙлина. измеренная линейкой, время, измеренное секундомером, И» т. д. Ко второй группе относят величины, которые определяются Ев ..результате вычислений и представляют собой функции некото- Е||ых аргументов. Определенным преобразованием функциональной Ейависимости, определяющей искомую Величину, можно добиться, Идаобы эта величина зависела от одной или нескольких из слёдую- Е*виу разновидностей параметров: от параметров, которые можно Дочитать точными (независимые переменные, числовые коэффи- цииенты. в том числе такие как л, основание натурального лога- Др^ифма е, которые могут быть представлены со сколь угодно высо- ДеКой точностью, и т. п.); от приближенных величин, определенных ИВ ограниченной, но известной точностью, например табличных Иканных о теплофизических свойствах вещества; от приближенных 37
величин, найденных в результате прямых измерений с ограничен- ной, но неизвестной заранее точностью. Теория экспериментальных погрешностей открывает возмож- ность для решения следующих основных задач, возникающих при постановке эксперимента: определения погрешности прямых изме- рений; определения погрешности величины — функции при извест- ных погрешностях ее аргументов (прямая задача); оценки погреш- ностей аргументов, если задана погрешность функции и известен вид функциональной зависимости (обратная задача); нахождения наивыгоднейших условий эксперимента, при которых погрешность функции является наименьшей. § 2.2. ПОКАЗАТЕЛИ ТОЧНОСТИ И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА При анализе погрешностей эксперимента широко используется аппарат математической статистики и теории вероятностей, поэтому рассмотрим сначала некоторые основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики, которые будут использованы также и в последующих главах при рассмотрении вопросов, связанных с математической обработкой результатов эксперимента и его планированием. Пусть случайное событие £ при проведении серии из п независимых испы- таний произошло раз. Предел, обозначаемый Р{|), к которому стремится отношение ng/n при неограничеином увеличении числа испытаний п, называют вероятностью этого события: Pg} = limA . (2.3) «->00 П Совокупность всех возможных в данных условиях результатов наблюдений над случайной величиной называют генеральной совокупностью, а некоторую часть этих результатов — выборкой. Количество результатов наблюдений, вхо- дящих в выборку, называют ее объемом. Случайная величина может быть непрерывной и дискретной. Непрерывная случайная величина принимает любые значения из диапазона своего изменения, а дискретная — только строго определенные значения. Например, продолжитель- ность человеческой жизни — величина непрерывная, а число студентов, присут- ствующих на лекции, — величина дискретная. Число степеней свободы f представляет собой разность между числом имею- щихся' данных и числом наложенных на них связей. Полностью свойства случайной величины g и, в частности, результата экспе- римента х, содержащего случайную погрешность, или самой погрешности А опи- сываются интегральной функцией распределения F(g) или дифференциальной функцией распределения f(g), называемой еще плотностью распределения Функция F(g) определяет вероятность выполнения условия g<go, где go — некоторое фиксированное значение случайной величины: (2-4) 38
Плотность распределения f(g) определяется выражением /(£) = dF&) • (2.5) Часто для характеристики случайной величины используют не сами функции распределения, а некоторые числовые параметры. Важнейшим параметром, ха- рактеризующим случайную величину g, является ее математическое ожидание, называемое еще центром распределения или средним значением и обозначаемое Mg} или I Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определя- ется выражением 1 = А1Ш= J У© Я, (2.6) J —00 а для дискретной случайной величины . __ п {В-g(2.7) Ц'^десь п — объем выборки. № Другими параметрами, которые характеризуют степень рассеяния случайной йрйеличины около ее среднего значения, являются дисперсия D{g} и среднеквадра- кШчное отклонение (?{§}, называемое еще среднеквадратичной погрешностью. Эти Итараметры определяются равенствами К D «}-«<«-5*}; (2-8) = (2.9) Выражение (2.8) для непрерывной и дискретной случайной величин может быть раскрыто следующим образом: К 7 (6-I)2f(g)«; (2.10) —°° К. 7>«} = g(^-T)a7’(gi}. (2.11) Очень часто при анализе случайных погрешностей оказывается Мифавданным использование так называемого нормального закона Имепределения, полученного Гауссом. Для нормального закона штвпределения погрешностей функции F(A) и f (Д) имеют вид Е I «₽ (- <212> —°0 Е (2лз> . Встречаются и другие законы распределения погрешностей, при Ик&м реальные функции Г(Д) или /(Д) могут быть представлены И&риде таблиц, графиков или формул с указанием численных значе- Иг 39
Таблица 2.1 Наименование функции Сокращенное обозначение Форма кривой распределения (рис. 2.1) Нормальная норм. Линия 1 Треугольная А Линия 2 Трапециевидная трап. Линия 3 Равномерная равн. Линия 4 Антимодальная I ам I Линия 5 Антимодальная II ам II Линия 6 Рэлея — Линия 7 Рис. 2.1. Стандартные функции плотности распределения (расшиф- ровка линий дана в табл. 2.1) ний входящих в них параметров, но могут быть аппроксимированы и стандартными функциями распределения. Перечень стандартных дифференциальных функций распределения f(g), называемых еще стандартными функциями плотно- сти распределения, сделан в табл. 2.1, а графики этих функций изо- бражены на рис. 2.1. Систематическая погрешность имеет неслучайный характер, одна- ко реализацию того или иного ее значения в каждом конкретном слу- чае можно рассматривать как явле- ние случайное. В этой связи раз- личия между случайной и система- тической погрешностями имеют зна- чение при анализе способов их оп- ределения, но не при рассмотрении способов их представления и описа- ния. Сказанное дает основание для использования в качестве показате- лей точности результатов экспери- мента, содержащих систематиче- скую погрешность, характеристик, рассмотренных выше применительно к случайным погрешностям. Однако характер погрешности должен учитываться при выборе соответствующих законов распределения. ГОСТ [4] устанавливает следующие способы выражения точ- ности и соответствующие им формы представления результатов эксперимента: а) точность выражается интервалом (доверительным интерва- лом), в котором с установленной вероятностью (доверительной вероятностью) находится суммарная погрешность, а результаты представляются в форме А; Д от Дн до Дв; Р, где А — результат эксперимента, выраженный в единицах СИ (системы интернациональной); Д, Дн, Дв — соответственно абсолют- 40
ная погрешность, ее нижняя и верхняя границы, выраженные в тех же единицах; Р — доверительная вероятность; б) точность выражается интервалом, в котором с установлен- ‘ ной вероятностью Рс находится систематическая . составляющая погрешности Дс, стандартной аппроксимацией функции плотности распределения случайной составляющей погрешности f°A (А) и численным значением среднеквадратичного отклонения этой состав- О ляющей а {А}, а результаты представляются в форме о ст А; Дс от Дс.н до Дс.в; Рс; а {A}; f°A (А), где Дс.н, Дс.в — соответственно нижняя и верхняя границы систе- матической составляющей погрешности (например, результат измерения давления можно представить так: Л = 10,75 Па; Дс от 0,15 до 0,23 Па; Рс=0»95; <т{Д}=0,20 Па; равн.); / в) точность выражается стандартными аппроксимациями функ- ! ций плотности распределения систематической /дтс (Д) и случай- ной (Д) составляющих погрешности и численными значениями их среднеквадратичных отклонений а{Дс} и <т{Д}, а результаты ; представляются в форме t о рт» А; о{Дс}; Дтс(Д); <т{Д}; & (А); и случайной (Д) состав- представляются в форме /о (А). д могут задаваться таблицами, Число значащих цифр, сохраняемых при записи числовых зна- г) точность выражается реальными функциями плотности рас- пределения систематической fA (Д) ляющих погрешности, а результаты A: причем функции fA (Д) и (Д) С графиками и формулами с указанием численных значений входя- j щих в них параметров, но обязательно в одинаковой форме. г чений показателей точности, не должно превышать двух, а число [ значащих цифр, сохраняемых при записи числовых значений ре- L, зультата эксперимента, выбирается с таким расчетом, чтобы млад- „ ,шие разряды значений результата эксперимента и показателей его точности были одинаковы. । § 2.3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ; Различные виды погрешностей (случайные или систематиче- } ские) требуют использования различных приемов их оценки. ; Характеристики случайной составляющей погрешности прямого L измерения определяются по результатам повторных измерений, f проводимых одними и теми же средствами в одних и тех же 41
условиях. Поскольку в большинстве случаев оправдано использо- вание нормального закона распределения случайной погрешности, то остановимся на определении параметров, входящих именно в этот закон. Дисперсия Д{Д«} и среднеквадратичная погрешность ст{Д,} от- дельного измерения определяются с помощью выражений Г 1 п 1 D{AJ = lim -Ц. П*->оо I П — 1 (2-14) ст{Д{} = VD {AJ. (2.15, Здесь п — число измерений (объем выборки); х,— результат i-ro измерения; х—среднее значение результатов измерения, опреде- ляемое соотношением - 1 " х = lira — V х,. п-00 П 1=1 (2.16) Доверительная вероятность Р для любого значения доверитель- ного интервала в, выраженного в долях среднеквадратичной по- грешности ст, может быть подсчитана по выражению, полученному из (2.12): , • -- (2.17) —8 Здесь е=Л/ст, где Д— значение доверительного интервала. Функция (2.17) называется нормированной функцией Лапласа. Для облегчения расчетов эта функция представлена таблицами, приведенными, например, в [1]. Так доверительному интервалу Д, равному значению среднеквадратичной погрешности ст, соответ- ствует доверительная вероятность 0,68; доверительному интервалу, равному 2а, — доверительная вероятность 0,95; доверительному интервалу, равному Зст, — доверительная вероятность 0,997. Заметим, что расчеты с использованием выражений (2.14) — (2.17) предполагают проведение достаточно большого числа изме- рений (теоретически п->-оо). На практике оценку точности прихо- дится производить на основании ограниченного числа измерений. В этом случае выражения (2.14), (2.16) представляются в форме D{AJ = _L-y (хг-х)’; п — 1 Л=1 — 1 п (2-18) (2-19) f=i но доверительная вероятность, соответствующая тому или иному значению доверительного интервала, определяется при этом не по 42
Таблица 2.2 п Р п р 0.68 0,95 0,997 0,68 0,95 0,997 2 1,9 12,7 454,6 10 1,1 2,3 4,3 3 1,3 4,3 24,4 20 1,0 2,1 3,5 4 1,2 3,2 10,5 30 1,0 2,0 3,2 5 1,1 2,8 7,3 оо 1,0 2,0 3,0 выражению (2.17), а с помощью так называемого распределения Стьюдента. Коэффициенты Стьюдента I, представляющие собой (так же как и величина е) значения доверительного интервала, выраженного в долях среднеквадратичной погрешности, приве- дены в табл. 2.2 для трех различных значений доверительной веро- ятности Р и различного числа измерений п. При достаточно боль- шом числе измерений п (п->-оо) расчеты с использованием распре- деления Стьюдента и по выражению (2.17) приводят к одинаковым результатам (см. последнюю строку в табл. 2.2). Более подробные таблицы коэффициентов Стьюдента приведены в справочной лите- ратуре (см., например, [1]). Среднеквадратичная погрешность отдельного измерения сг{Дг} характеризует точность применяемого способа измерения, но не точность полученного результата при многократных измерениях. Погрешность результата многократных измерений характеризуется среднеквадратичной погрешностью среднеарифметического о{Д): (2.20) о{Д) = -^У-. "1/д Доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу результата многократных измерений, определяется также с использованием распределения Стьюдента, но доверитель- ный интервал относится •в этом случае к среднеквадратичной погрешности среднеарифметического. Анализ выражения (2.20) позволяет сделать важный практиче- ский вывод: если точность результата измерения определяется случайной погрешностью, то повышение этой точности возможно в результате не только увеличения точности применяемого способа измерений, т. е. уменьшения <т{Д,}, но и увеличения числа изме- рений п. Соотношение (2.20) позволяет также правильно выбрать необходимое число измерений. Так очевидно, что для повышения точности результата есть смысл увеличивать число измерений до тех пор, пока случайная составляющая погрешности является преобладающей. Дальнейшее увеличение числа измерений не будет приводить к заметному повышению точности результата измерения, поскольку преобладающей становится систематическая погреш- ность, значение которой от числа измерений не зависит. 43
Характеристики систематической составляющей погрешности прямого измерения могут быть определены либо с помощью более точных средств измерений, либо косвенным путем с использова- нием паспортных данных о характеристиках точности применяе- мых средств измерений. На практике применяется обычно второй путь, поскольку нецелесообразно использовать при измерении одной и той же величины в одинаковых условиях средства измере- ния различной точности. При определении систематических погрешностей возникают две задачи: нахождение поправок и оценка диапазона изменения той составляющей систематической погрешности, точное значение кото- рой определить не представляется возможным. Поправки определяются в процессе поверки средств измере- ний. В дальнейшем результат измерения корректируется на значе- ние поправки, поэтому фактически систематическая погрешность измерений определяется лишь составляющей, точное значение кото- рой неизвестно. Эта составляющая, в свою очередь, складывается из неучтенной поправками части методической и инструментальной погрешностей, а также из субъективной погрешности и из погреш- ности определения самой поправки. Для определения результирую- щей систематической погрешности нужно оценить диапазон изме- нения всех этих составляющих (иногда с этой целью приходится использовать методы, которые изложены в следующем параграфе). При нормальном законе распределения составляющих погреш- ностей выражение, позволяющее определить результирующую по- грешность, имеет вид Дх= ± |/ 2 . (2.21) г /=1 При использовании формулы (2.21) все значения Д< должны быть выбраны при одной и той же доверительной вероятности. Этому же значению доверительной вероятности соответствует и ре- зультирующая погрешность. При равномерном законе распределения составляющих погреш- ностей выражение для определения результирующей погрешности удобно представить в форме ____________ Д2=±й|//ГДд< . (2.22) Здесь значения величин Д< выбираются при доверительной вероят- ности, равной единице. Численное значение константы k, входящей в формулу (2.22), зависит от доверительной вероятности>Р, с ко- торой требуется определить величину As, а при Р>0,99 еще и от числа слагаемых т. Значения величины k для различных зна- чений Рит приведены в [2]; в частности, при Р=0,95 Л«1, а при Р=1 *=Д • <2-23) 44
После определения случайной и систематической составляющих погрешностей может быть найдена суммарная погрешность анало- гично тому, как это делалось для различных составляющих систе- матической погрешности. Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически т^5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нор- мальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение. § 2.4. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЛИЧИН-ФУНКЦИЙ Необходимость в определении погрешности величин-функций по известным значениям погрешностей их аргументов возникает при оценке точности результатов математического и аналогового экс- периментов, а также результатов так называемых косвенных изме- рений. Во всех этих случаях искомая величина находится из со- отношения y=<p(Xlt Х2, . . .,Х„), (2.24) где X], Х2, ..., Хп— аргументы, определенные независимо друг от . друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешность определения величины У обусловлена лишь неточностью численных значений величин Xi, Хъ...., Хп, входящих под знак функции, а дополнитель- ; пая погрешность, связанная с округлениями при вычислениях или I возможным использованием приближенных методов решения урав- нения (2.24), во внимание не принимается. Вопросы, касающиеся двух последних составляющих погрешности, рассмотрены в гл. 3. г Погрешность определения каждого аргумента Xi приводит к появлению составляющей погрешности ДУ< величины У. Если погрешности малы по сравнению с соответствующими величинами, > -то каждая составляющая ДУ,- может быть найдена из соотношения = (2.25) dXt 1 Доверительная вероятность, соответствующая величине ДУ,-, • -численно равна доверительной вероятности, с которой найдена I погрешность ДХ,. р Для относительных погрешностей вместо «©отношения (2.25) используется выражение AXf. (2.26) Соотношения (2.25), (2.26) применимы для расчета как слу- чайных, так и систематических погрешностей. 45
Общая абсолютная (ДУх) или относительная (6s) погреш- ности определения функции могут быть найдены с помощью вы- ражений дк2 = ± 1/2 (дг;)2 + л» 2 <ду/)2 5 <2-27> Г i=l /=1 Й2 = ± 1/ 2 (б'су + ^2 м2 • <2-28> Г /=1 /=1 Здесь п и т — число составляющих погрешности, имеющих со- ответственно нормальный и равномерный закон распределения; параметры, снабженные одним штрихом, представляют собой погрешности, имеющие нормальный закон распределения, а снаб- женные двумя штрихами — равномерный закон распределения. Доверительная вероятность абсолютной ДУх и относитель- ной 6х погрешностей, определенных из соотношений (2.27) и (2.28), численно равна доверительной вероятности, при которой выбираются составляющие погрешности, имеющие нормальный за- кон распределения, а также параметр k. Составляющие погреш- ности, имеющие равномерный закон распределения, при подста- новке в формулы (2.27) и (2.28) выбираются при доверительной вероятности, равной единице. Соотношения (2.27), (2.28) получены при допущении, что результирующая погрешность от составляющих с равномерным распределением имеет нормальное распределение. Таблица 2.3 Вид функции Y Абсолютная погрешность ДУ 2 Относительная погрешность &£ у=х1+х8 + + • • • + Y = Xt-X9 Y = ХгХ2 Y = аХ Y = Xn Y = sinX Y=» cosX y=tgx K=ctgX ± V +д^2+• • •+д^2 ±/ AXj-hAXf ± У(Х1ЛХ2)3+(Х2ДХ1)2 ±аДХ ± пХл—*ДХ ±cosX ДХ . ±sinX ДХ / ± ДХ/cos2 X ± AX/sin2X ]Ах2 + дх1+... + д4 + ^2 + • • • + %П V ДХ? + дх| АХх у / ДХ2 V х J + Us / ± дх/х ± пДХ/Х ±ctgX ДХ ± tgX ДХ ± 2AX/sin2X ±2zXX/sin2X 46
Для доверительной вероятности Р=0,95 параметр kctt 1, а выра- жения (2.27), (2.28) можно представить в более простой форме: В табл. 2.3 приведены готовые соотношения для оценки абсо- лютной А Ух и относительной б погрешностей некоторых часто встречающихся функций, полученные на основе выражений (2.29), (2.25), (2.26). Частные производные, входящие в соотношения (2.25) и (2.26), не всегда могут быть взяты аналитически. Часто не удается раз- решить исходную задачу в явном виде относительно искомой вели- чины У или же функция <p(Xi, Х2,..., Хп) имеет чрезвычайно сложный вид. В этих случаях предпочтительным или даже един- ственно возможным оказывается численный метод определения производных. § 2.5. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ( Целью обратной задачи является определение погрешностей величин-аргументов, если известны погрешность функции и вид функциональной зависимости (2.24). Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекта изме- рительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной по- грешностью. Как показывает анализ соотношений (2.27) и (2.28), обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение и п+т неизвестных. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений по- грешностей аргументов. Однако на практике в дополнение к усло- вию об обеспечении требуемой точности определения искомой вели- чины возникает обычно ряд других требований и ограничений, связанных, например, со стоимостью оборудования; эти дополни- тельные условия позволяют выбрать из множества возможных ре- шений одно или несколько наиболее приемлемых. Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи ока- зывается возможным при использовании так называемого прин- ципа равных влияний. Этот принцип заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражения (2.27) и (2.28) оказывали одинаковое влияние на погрешность функции. Применяя принцип равных влияний к относительной погреш- ности функции, определяемой соотношением (2.28), получаем (8;)! = (s;)!_ (s;>2- 47
Далее находят отдельные составляющие погрешности функции: 6J = ±——----: 6/=±——-------. ' (2.30) у п 4- т k ~уп 4- т С учетом (2.26) легко получить выражения для определения абсолютных ДХ и относительных 6Х погрешностей всех аргументов: dln<p(Xi. X,........Хп+т) ’ dXt , _ 1 Xj У« 4* w 31пф(Х1, Xj, . . , , Xn+m) dXt — г __________________________J_____________. Л"|/л + т dln<p Х2, . .. , ^n+m) dXj Я* < 1 Xl = * XjkVn+m dlntf(Xlt Xt...............Xn+m) dXj (2.31) (2.32) (2.33) (2-34) В дальнейшем могут иметь место три возможных случая: а) значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точности, доступной при измерениях с помощью имею- щихся в распоряжении исследователя средств измерений; б) зна- чения некоторых погрешностей аргументов настолько малы, что обеспечить соответствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным; в) значения по- грешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить соот- ветствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попы- таться выйти из создавшегося положения путем увеличения по- грешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначально точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов. Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения вели- чины У. Этот выход является единственно возможным и для слу- чая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При выборе другого метода измерений меняется вид функции <р, а следова- тельно, меняются аргументы и значения их погрешностей, позво- ляющих обеспечить требуемую точность определения величины У. 48
Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d=20 мм и высотой h=50 мм с относительной погрешностью. 6у==±0,(М, соответствующей доверительной вероятности Р=0,95. Найдем по- грешности\измерения величин d и h, соответствующие тому же значению дове- рительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Объем Цилиндра V определяется из соотношения V=itd2h/4. Численное зна- чение ронстанты л/4 можно считать точным, поскольку • имеется возможность веять л с таким числом значащих цифр, чтобы погрешность, обусловленная округлением, оказалась пренебрежимо малой по сравнению с погрешностью измерения величин d и h. Приняв закон распределения погрешностей величин d и h нормальным, с помощью соотношения (2.31) найдем М = ± d\n(affihll) = =*= -у = ± °-07 “м; dd 6 1 6» dln(rePft/4)~ =± Tyft = :fc0’35 dh V Обеспечить в результате однократных измерений определение диаметра d с погрешностью, не превышающей ±0,07 мм при доверительной вероятности Р=0,95, можно с помощью микрометра, а высота h может быть измерена штан- генциркулем. § 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИВЫГОДНЕЙШИХ УСЛОВИЙ ЭКСПЕРИМЕНТА » И Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наи- меньшее значение. Следует заметить, что не всегда условия проведения экспери- мента могут быть выбраны исходя из требований получения наи- более высокой точности результата. Часто эти условия выбираются из других соображений, например необходимости исследования режимов, имеющих место в натурных объектах, и т. д. Математически рассматриваемая задача решается путем отыска- ния минимума функции (2.28). Но поскольку не всякая функция имеет минимум, постольку не всегда задача об определении наи- выгоднейших условий эксперимента имеет решение. Условия экстремума погрешности 6s имеют вид ^2 -0- — 0- • —0 (2 351 "ЭХТ-0’ dXt “°’ • ’ *’ ЭХп+то “°’ (2,35) Раскрывая величину 6s в соответствии с выражениями (2.28) (2.26), систему уравнений (2.35) можно представить в форме Э1пф У1пф ду2 . dlnq> д*1пф ду2 дХг дХ\ 1 *Xt дХгдХг 2 р З.М УМ, дх* + . . . дХп+1 dXidXn+i + 49
^_Й1ПФ-----ЗМпф_ДХ2^ = 0: 5Xn+m dXJXn+m d In ф da In ф дy2 din ф d2Inф ддг2 . dxt dxtdxa dx2 ax| 2 л,_а1пф—^1п<е_дХ2 + ’ • • dXn+l <?X2dXn+l "+ + А2_51пф---^ML_ax^,= O; dXn+m dX^Xn+m + dXx dX^Xn+n I № d In ф d2 1пф d 1пф d21пф 2 । d lfl Ф d2 In ф д^2 . ,+ ax. ax^xn.m i + - • ДХ5+.+ • . J1'”- О- d*n+i A^n+i^n+m ^n+m dX^m (2.36) Система (2.36) состоит из n+m уравнений и содержит п+т неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величин Х2,...»Xn+m, при которых погрешность 62 принимает экстремальное значение. Дальнейший анализ направлен на получение ответа, соответ- ствует ли найденный экстремум минимуму величины бх. С этой ^в2 целью вычисляются значения вторых производных при най- денных значениях переменных Х{. Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму вели- чины 62. В качестве примера рассмотрим следующую задачу: при каком соотношении сторон а и b прямоугольника, имеющего площадь So, относительная погреш- ность определения этой площади будет наименьшей. Пусть при этом абсолютная погрешность измерения сторон а и &, соответствующая одному и тому же значе- нию доверительной вероятности, одинакова и равна А. Площадь прямоугольника S определяется с помощью соотношения S = ab. Имея в виду справедливюсть равенства lnS=lna+lnd, находим dlnS _J_ d2InS_______1 да — а да2 a2 d2lnS d / 1 \ d ( b \ I dadb db \ a J db \ SQ ) So dlnS 1 d2lnS _ 1 db b ’ db2 ~~ b2 1 d2lnS d2lnS__________1_ dbda. dadb So 50
Полагая далее закон распределения погрешностей величин а и b нормаль- ным, получаем для функции S систему уравнений вида (2.36): _1L_1_a2+J—— д2 = о; — —л2—-—^-д2 = о. V a2 b S„ a So b b2 После несложных преобразований найдем bSQ = a3; aS0 = F. ; Далее получаем условия, при которых относительная погрешность опреде- i ления площади принимает экстремальное значение k a-&=VV (2.37) ш Последующий анализ показывает, что условию (2.37) соответствует мини- Е мальное значение относительной погрешности определения площади S. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К 1. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. — Л.: Наука, 1974. 108 с. к 2. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Л.: Энергия, 1978. 261 с. № 3. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. 381 с. 4. ГОСТ 8.011-72. Показатели точности измерений и формы представле- R ния результатов измерений. Глава 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ § 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ КАК СРЕДСТВО ПОЛУЧЕНИЯ НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Математический эксперимент — это мощный метод исследова- В ния, основанный на численном решении уравнений, описывающих ’физическое явление. Получение важных научных результатов на основе этого метода стало возможным только тогда, когда при еп> реализации стали использовать ЭВМ. Поэтому математический эксперимент часто называют машинным (или численным). . ЭВМ позволяет решать широкий круг физических задач, имею- ЭДих математическое описание и неразрешимых аналитическим путем. Решение таких задач осуществляется с помощью специаль- ного математического аппарата — численных методов. Численные- отоды представляют собой определенную последовательность «операций над числами, т. е. вычислительный алгоритм, позволяю- щий получить приближенное решение исходного уравнения или Системы уравнений в виде совокупности числовых значений иско- Ншх величин, которая соответствует конкретным значениям влияю- Нщих параметров, входящих в условия однозначности задачи. В':'Ь Характерной особенностью численных методов является боль- щой объем вычислительной работы при их реализации, поэтому" К 51.
хотя многие из этих методов были известны и до появления ЭВМ, широкое практическое использование их стало возможным лишь с помощью ЭВМ, что, в свою очередь, привело к созданию новых методов, специально ориентированных на применение ЭВМ, и к развитию их теории. Численное исследование того или иного явления имеет много общего с физическим экспериментом. В том и другом случае ре- зультаты получаются в виде совокупности числовых значений параметров, а в дальнейшем могут быть обобщены на основе тео- рии подобия; программа расчетного исследования, так же как и программа физических экспериментов, может быть разработана с использованием теории планирования экспериментов и т. д. При этом роль экспериментальной установки выполняет ЭВМ, а физи- ческое явление заменяется его математическим описанием или, точнее, математической моделью. Последний термин более точен, поскольку, с одной стороны, всякое физическое явление бесконечно сложно, а наши знания о нем не являются абсолютными, поэтому в любом случае математически возможно описать лишь какую-то модель этого явления, соответствующую современному уровню зна- ний; с другой стороны, всегда целесообразно оперировать с наи- более простой моделью, отражающей, однако, важнейшие для рас- сматриваемой задачи стороны явлений, поэтому при формулировке задачи сознательно не принимаются во внимание многие несуще- ственные особенности реального явления. Возможности математического эксперимента как одного из спо- собов исследования физических явлений в значительной степени определяются техническими характеристиками ЭВМ: быстродейст- вием, объемом оперативной памяти и т. д. Первая отечественная электронная универсальная цифровая вычислительная машина М-3, созданная в 1952 г., имела среднее быстродействие 30 опера- ций в 1 с и объем памяти 1024 ячейки. Быстродействие совре- менных ЭВМ приближается к 109 операций в 1 с, а объем опера- тивной памяти становится практически неограниченным. Совершенствование вычислительной техники и развитие теории численных методов способствуют расширению круга задач, решение которых становится возможным на основе математического экспе- римента. Особое значение математический эксперимент приобретает в случаях, когда решение задачи другими способами невозможно или чрезвычайно затруднено. Так, например, точное определение за короткий промежуток времени траекторий движения космиче- ских объектов и выбор оптимальной траектории спуска их на Землю или другие планеты не могут быть выполнены иначе, как на основе математического эксперимента; при исследовании явле- ний и процессов в плазме, термоядерных реакторах и т. д., проте- кающих при высоких температуре и давлении, когда зачастую физический эксперимент технически трудно осуществим или даже невозможен, математический эксперимент позволяет определить необходимые параметры системы. Предварительный численный эксперимент может избавить исследователя от риска, связанного 52
с постановкой физического эксперимента при исследовании высоко- температурной плазмы и т. д. Во многих других случаях поста- новка математического эксперимента требует меньших материаль- ных затрат по сравнению с экспериментом физическим. Нередко из-за ограниченности наших знаний об окружающем мире математическая формулировка задачи оказывается незамкну- той. В результате численного исследования таких явлений, выпол- ненного с привлечением различных гипотез для замыкания недо- стающих связей и последующего сопоставления результатов рас- чета с данными физического эксперимента, появляется возможность анализа достоверности той или иной гипотезы, а значит, и позна- ния механизма протекающих процессов. Процесс исследования физического явления с помощью мате- матического эксперимента можно подразделить на четыре этапа: конструирование физической модели и ее математическая фор- мулировка; разработка численного метода (вычислительного алгоритма) и его реализация в программе для ЭВМ; расчетное исследование; анализ полученных результатов и их обобщение. Первый этап требует глубоких знаний закономерностей изучае- мых явлений, проникновения в их взаимосвязи. Эти знания. при- обретаются при изучении фундаментальных и специальных дисцип- лин. Наиболее сложным и ответственным моментом на первом этапе является выбор тех сторон исследуемых явлений и их связей с другими явлениями, которые существенны для данной задачи и подлежат включению в математическую модель. Различают феноменологические, асимптотические математиче- ские модели и модели ансамблей. Феноменологические модели воз- никают как результат прямого наблюдения, изучения и осмысления того или иного физического явления; асимптотическая модель по- лучается как частный случай некоторой наиболее общей модели; модель ансамблей представляет собой результат обобщения или синтеза отдельных частных моделей. На втором этапе, как правило, приходится заменять исходное уравнение или систему уравнений некоторыми другими уравне- ниями, которые позволяют построить численные методы их реше- ния. При разработке численного метода исследователь сталки- вается с целым рядом проблем. Во-первых, вычислительный алго- ритм должен быть устойчивым, т. е. малые ошибки, допущенные на каком-либо этапе вычисления (например, при округлении числовых данных), при дальнейших вычислениях не должны иметь тенден- ции к существенному возрастанию. Во-вторых, численный метод должен обеспечивать сходимость к искомому решению. Дать стро- гое доказательство сходимости и устойчивости разработанного чис- ленного метода оказывается возможным далеко не всегда. В этой связи исследователь вынужден часто разрабатывать и использовать численный метод без строгого математического обоснования его применимости. 53
Наконец, численный метод должен разрабатываться с учетом возможностей вычислительной техники (быстродействия ЭВМ, объема памяти и т. д.), чтобы обеспечить проведение исследования в приемлемые сроки с приемлемыми затратами машинного вре- мени. При создании вычислительного алгоритма важно правильно- выбрать соотношение в нем формализованных (предусмотренных программой) и неформальных процедур. Это связано с тем, что неразумно стремиться разработать универсальный алгоритм, спо- собный преодолеть все возможные трудности поиска решения, обус- ловленные теми или иными особенностями исследуемого явления, поскольку, во-первых, высокая степень универсальности чрезмерно- усложняет алгоритм и приводит к увеличению затрат машинного- времени, а во-вторых, предусмотреть заранее все эти особенности попросту невозможно. Поэтому у исследователя должна быть воз- можность вмешиваться в процедуру вычислений, внося при необ- ходимости коррективы в алгоритм или исходные данные расчета (неформальная процедура). Такая возможность появляется при работе ЭВМ в режиме диалога человек — машина, а для того чтобы машинное время не тратилось впустую, пока исследователь анализирует полученные результаты и принимает какое-либо ре- шение, в современных ЭВМ имеются системы разделения времени, позволяющие одновременно решать несколько задач. На третьем этапе математического эксперимента проводится серия расчетов, позволяющая получить решение поставленной за- дачи. При анализе полученных результатов, проводимом на четвертом этапе математического эксперимента, уточняется программа иссле- дований с целью детального изучения тех или иных особенностей явления. На этом же этапе после накопления и анализа доста- точного количества информации о рассматриваемом явлении может быть сделано заключение о достоверности разработанной мате- матической модели, границах ее применимости или необходимости ее совершенствования. В дальнейшем полученные результаты мо- гут быть обобщены с использованием теории подобия и представ- лены в форме, удобной для проведения инженерных расчетов. § 3.2. СТРУКТУРА ПОГРЕШНОСТИ Можно выделить четыре источника погрешности математиче- ского эксперимента: математическая модель, исходные данные, чис- ленный метод и округления в процессе вычислений. Погрешность математической " модели связана с приближен- ностью математического описания физического явления, обуслов- ленной как сознательной его схематизацией с целью упрощения задачи, так и относительностью и ограниченностью существующих знаний об окружающем мире. Количественно оценить эту состав- ляющую погрешности результатов математического эксперимента можно лишь путем их прямого сопоставления с данными физиче- ского эксперимента. Однако провести такое сопоставление часто 54
не представляется возможным. В этой связи условием достовер- ности математической модели следует считать ее удовлетворение критерию практики, при этом требование критерия практики — это не только соответствие полученных результатов прямому экспери- менту, но и то, что полученные с помощью данной модели резуль- таты способствуют достижению целей, стоящих перед исследова- телем. Исходные данные задачи, как правило, неточны: например, это могут быть величины, найденные из эксперимента. Ошибка в за- дании исходных данных приводит к погрешности решения, которую называют неустранимой погрешностью. Эта составляющая погреш- ности математического эксперимента может быть определена по Методике, используемой для оценки погрешности величин-функций (см. гл. 2). Погрешность численного метода обусловлена заменой исходных уравнений, описывающих принятую модель физического явления, другими аппроксимирующими уравнениями, позволяющими по- строить вычислительный алгоритм, а также приближенностью ме- тодов решения этих аппроксимирующих уравнений. Численные методы обычно строятся так, что они содержат некоторый пара- метр, при стремлении которого к определенному пределу погреш- ность сходящегося алгоритма стремится к нулю. Таким образом, (значение погрешности численного метода можно регулировать, а выбирать ее целесообразно в 2—5 раз меньшей неустранимой погрешности. Если сходимость метода доказана, то представление о его точности дает сопоставление расчетов, выполненных при раз- личных значениях параметра численного метода. Для проверки вычислительного алгоритма широко используется также система тестов. Тестом служит задача, содержащая специ- фические трудности данного класса задач, с известным точным ее решением. Погрешность округления обусловлена тем, что любые вычисле- ния на ЭВМ или ручные расчеты выполняются с ограниченным числом значащих цифр. При выполнении одной арифметической операции с числами погрешность округления лежит в пределах единицы младшего сохраняемого разряда. Так ЭВМ оперирует с числами, содержащими обычно 10—12 разрядов, поэтому погреш- ность единичного округления здесь Д=10~104-10-12 пренебрежимо мала по сравнению с неустранимой погрешностью. При расчетах на ЭВМ могут выполняться миллиарды операций, однако если нет систематических причин для накопления погрешностей округления, то их увеличение происходит не слишком существенно, поскольку .при различных операциях погрешности будут иметь разные знаки хи компенсировать друг друга. Тем не менее если численный метод таков, что возникают систематические причины накопления погреш- ностей округления, то очень быстро суммарная погрешность воз- растает до катастрофических размеров и сделает невозможным получение достоверного результата. Такие условия возникают, (например, при вычитании близких по величине чисел. 55
§ 3.3. ПОСТРОЕНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ Итерационный способ (метод последовательных приближений), представляющий собой разновидность численного метода, является универсальным методом решения алгебраических и трансцендент- ных уравнений, а также их систем. Разумеется, не всегда этот способ является единственным и наиболее рациональным, однако на его примере удобно иллюстрировать общие принципы построе- ния любого численного метода. Рассмотрим построение итерационного процесса на примере . нахождения действительного корня уравнения /(х) = 0, (3.1) причем из всего многообразия возможных вариантов итерацион- ных процессов выберем наиболее эффективные из них, которые обобщаются и на случай решения систем уравнений. Будем пола- гать, что искомый корень существует и лежит внутри некоторого известного (например, из физики явления или соображений здра- вого смысла) интервала. Заменим исходное уравнение (3.1) эквивалентным ему уравне- нием х = <р(х). (3.2) Далее выбирается начальное приближение х0, а последующие приближения вычисляются с помощью соотношения Хп ~ Ф (,ХП— 1)» (3’3) где п — номер итерации. Если итерационный процесс (3.3) сходится, т. е. если вели- чина хп стремится к некоторому пределу х при гь-+оо, то этот предел и является корнем исходного уравнения (3.1). Практически сходящийся итерационный процесс прерывается при некотором значении n=N, а полученная величина xN прини- мается за приближенное решение исходной задачи. Очевидно, что соответствующим выбором величины N, представляющей собой в рассматриваемом случае параметр численного метода, можно до- биться любой близости приближенного решения Xn к точному х, а погрешность численного метода в данном случае обусловлена конечностью числа итераций. Исследуем условия сходимости итерационного процесса, опи- сываемого уравнением (3.3). Условие сходимости хп-+х при /w-оо можно представить в форме (хп х)п-»оо -* О или I хп— х I < |хп_х — х| . (3.4) 56
С учетом соотношения (3.3) выражение (3.4) представим в виде ф (Хд-1) — ф (х) хп_х—х < 1. (3-5) Поскольку корень х заранее не известен, то условие (3.5) непо- средственно проверить нельзя, поэтому практически используется более жесткое условие 6 = max ^ф(х) dx <1, (3.6) где max ищется на предполагаемом интервале от хп до х. Условие (3.6) получено на основании очевидного неравенства ф(хп-х) —ф(х) хп_х —~х стах 4ф(х) dx Таким образом, запись уравнения (3.1) в форме (3.3) лишь при выполнении условия (3.6) дает сходящийся итерационный про- цесс, а условие (3.6) накладывает органичение на выбор функ- ции <р(х). Рисунок 3.1 иллюстрирует сходящийся, а рис. 3.2 — расходя- щийся итерационные процессы. Среди различных функций <р(х), для которых выполняется условие (3.6), лучшей будет та, которая обеспечивает более высо- кую скорость сходимости итерационного процесса. Очевидно, что чем меньше величина 0, тем быстрее скорость сходимости. Можно показать, что функция <р(х), определяемая выражением <р(х)=х-[/(х)/Г(х)] (3.7) и порождающая итерационный процесс хп = хп—1 If (^п—1)// (хп—i)L (3-8) Рис. 3.2. Расходящийся итера- ционный процесс Рис. 3.1. Сходящийся итерационный процесс 57
Рис. 3.3. Графическая интерпретация метода Ньютона дящей через точку с координатами обеспечивает очень высокую скорость сходимости в окрест- ности корня. Итерационый процесс, опи- сываемый соотношением (3.8), известен под названием мето- да Ньютона. Графическую ин- терпретацию метода Ньютона иллюстрирует рис. 3.3. Здесь очередное приближение хп к корню х определяется точкой пересечения с осью Ох каса- тельной к кривой f(x), прохо- Хп—1» f (^п—1) • Рассмотренные итерационные процессы являются устойчивыми, т. е. ошибки вычислений, допущенные на каком-либо этапе, в даль- нейшем не накапливаются. Действительно, ошибка вычислений может привести лишь к увеличению числа итераций, но не по- влияет на точность окончательного результата. На основании изложенного можно сформулировать следующие общие принципы построения численных методов: 1) исходная задача заменяется другой задачей — вычислитель- ным алгоритмом [в рассмотренном случае исходная задача (3.1) заменяется вычислительным алгоритмом (3.3)]; 2) вычислительный алгоритм содержит параметр (в рассмот- ренном случае параметр N), которого нет в исходной задаче; 3) неточная реализация алгоритма, обусловленная, например, округлениями при вычислениях, не должна приводить к существен- ному изменению его свойств; иными словами, вычислительный алгоритм должен быть устойчивым; 4) вычислительный алгоритм должен обеспечивать в принципе возможность получения решения исходной задачи со сколь угодно высокой точностью путем соответствующего выбора параметра численного метода; иными словами, вычислительный алгоритм дол- жен быть сходящимся. § 3.4. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Очень многие задачи прикладного и теоретического характера сводятся к решению дифференциальных уравнений. Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений и их систем является разностный метод, называемый еще методом конечных разностей или методом сеток. Сущность этого метода заключается в том, что в области изменения пере- менных величин вводят некоторую сетку, а все производные, вхо- дящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заме- няют алгебраическими комбинациями от значений функции в узлах сетки. Решая полученную в результате такой замены систему 58
алгебраических уравнений, называемую разностными уравнениями или разностной схемой, находят приближенные значения функции в узлах сетки. Таблица этих значений и принимается за решение исходной задачи. Рассмотрим наиболее простой пример построения разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть требуется для области х>0 получить решение диффе- ренциального уравнения = и), (3.9) dx ' ' принимающего при х=0 заданное значение и = «о. Заменим область непрерывного изменения аргумента х дис- кретным множеством точек (вводим сетку) xt = Дх( (Z = 0, 1, 2 . . .), где Дх — шаг сетки, являющийся здесь параметром численного метода, а вместо функции и(х) будем оперировать с таблицей значений xit щ. Далее, заменяя производную в уравнении (3.9) отношением конечных разностей (й<+1— и.)/Дх, получаем вместо дифференциального (3.9) разностное уравнение (ыг+1—й,-)/Дх = /:(х/, wf) (3.10) или «z+i = “?+ Ах/=(хь йг). (3.11) С помощью соотношения (3.11) можно последовательно найти все значения й,-, т. е. получить решение поставленной задачи. Заметим, что при достаточно малых значениях Дх решение уравнения (3.11) устойчиво и сходится к точному решению исход- ного уравнения (3.9). Численный метод решения дифференциаль- ных уравнений с использованием разностной схемы вида (3.11) носит название метода Эйлера. Для одного и того же дифференциального уравнения могут быть построены различные разностные схемы. Например, диффе- ренциальное уравнение (3.9) может быть также аппроксимировано разностным уравнением «i+i— uj _ f(xj, ~ц<)+ f ~йж) ф (3 12) Дх 2 ’ \ / В отличие от (3.10) разностное уравнение (3.12) в общем случае не позволяет явно выразить величину йг+1 через й<, поэтому для его решения можно воспользоваться итерационным методом, огра- ничиваясь, например, двумя приближениями. Сначала вычисляют первое приближение й°г+1 по формуле (3.11), а затем, подставляя полученное значение й°{+1 в правую часть (3.12), производят пе- 59
ресчет: u,+, = u, + ix ,,м’ + “?+'> . (3.13> Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О(Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации О (Ах2). Здесь буква О представляет со- кращение слова Order, что в переводе означает «порядок». Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального опера- тора разностным, или тем более крупная сетка может быть исполь- зована при обеспечении той же точности. Однако при этом суще- ственно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характери- стика, называемая порядком точности разностной схемы. Разност- ная схема имеет порядок точности р, если погрешность результа- тов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. Построение разностных схем для обыкновенных дифференци- альных уравнений более высоких порядков, а также дифферен- циальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к урав- нениям в частных производных возникают и некоторые специфи- ческие трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. Наиболее часто для двумерных задач применяется прямоуголь- ная сетка, узлы которой лежат на пересечении прямых, парал- лельных координатным осям (рис. 3.4), а для трехмерных — сетка из прямоугольных параллелепипедов, узлы которой лежат на пере- сечении плоскостей, параллельных координатным осям (рис. 3.5). Если область исследования является кругом, цилиндром или ша- ром, то обычно переходят к полярной, цилиндрической или сфери- ческой системе координат; соответственно меняется и вид сетки. Для областей сложной формы иногда используют треугольную, шестиугольную сетки (для трехмерных задач соответственно сетки 60
Рис. 3.4. Прямоугольная сетка для двумерной задачи Рис. 3.5. Сетка из прямоугольных параллелепипедов для трехмерной за- дачи Рис. 3.6. Пример построения сетки для области сложной формы: X — граничные узлы; О — внутренние уз- лы из прямоугольных трехгранных и шестигранных призм), а также сетки иного вида, связанного с формой области исследования. Одна из независимых переменных может иметь смысл вре- мени т. Совокупность узлов сетки, лежащих на линии или плоско- сти т= idem, называют слоем. В дальнейшем из всей совокупности узлов требуется выделить узлы внутренние и граничные. В общем случае узлы сетки могут не попадать на границу области Г (рис. 3.6), поэтому в качестве граничных узлов используют либо дополнительные узлы, образую- щиеся при пересечении линий сетки с границей области, либо границу Г приближенно заменяют другой границей Г', проходящей через ближайшие к границе Г естественные узлы сетки (см. рис. 3.@), которые и принимают за граничные. Значения искомой функции во внутренних узлах находят в результате решения си- стемы разностных уравнений, аппроксимирующих исходные диф- ференциальные уравнения, а в граничных узлах определяют из граничных условий. При решении нестационарных задач значение функции во всех узлах в начальный момент времени находят из начальных условий. При записи разностного уравнения для какого-либо узла ис- пользуют значения функции в узлах, лежащих в окрестности рассматриваемого. Конфигурацию этих узлов называют шаблоном разностной схемы. На рис. 3.7 показаны варианты шаблонов для нестационарной одномерной задачи. При составлении разностной схемы по шаблону, приведенному на рис. 3.7, а, для вычисления 61
i,x+1 i+f,K+1 о о -ч> x i-1,K i,K i*1,K a) x i,K S) Рис. 3.7. Примеры шаблонов для нестационарной одномерной задачи: и — явная схема; б — неявная схема функции в узле i слоя k4-1 используют значения функции в узлах i—1, i и t-Н слоя k. Такую разностную схему называют явной. Каждое разностное уравнение здесь содержит только одно неиз- вестное значение функции, которое легко выразить и вычислить через известные значения. Разностная схема, построенная по шаб- лону, показанному на рис. 3.7, б, содержит в каждом уравнении для вычисления неизвестного значения функции в узле i слоя &4-1 еще две неизвестные величины: значения функции в узлах I — 1 и /4-1 слоя k 4-1, а также ее известное значение в узле i слоя k. Такую схему называют неявной. Расчет значений функции на слое k 4-1 в этом случае осуществляют путем решения системы раз- ностных уравнений, записанных для всех узлов слоя k4-1. Разностное уравнение не для всех узлов может быть записано по принятому шаблону. Например, для граничных узлов разност- ная схема имеет свои особенности. Узлы, для которых разностное уравнение записано по принятому шаблону, называют регулярными, а остальные узлы — нерегулярными. После выбора сетки и шаблона составляют и решают разност- ные уравнения. § 3.5. МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ. СХОДИМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ Можно выделить три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне: метод разностной аппроксимации, ме- тод баланса и метод неопределенных коэффициентов. Метод разностной аппроксимации заключается в том, что все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют отношением конечных разностей соответствую- щих величин, взятых в узлах сетки. Этим способом были состав- лены разностные схемы (3.10) и (3.12). Разностная аппроксима- ция дифференциальных операторов может быть представлена в разной форме. Например, производная dujdx аппроксимируется схемами du ___ Uj+i — Uj . du ___ Uj — . dx ~ Ax * dx ~ Дх ’ dx ~ 2Дх 62
Разложив функцию и в ряд Тейлора и подставив результаты раз- ложения вместо величин й,-1, щ, щ+\, можно показать, что две первые схемы соответствуют 1-му порядку аппроксимации, а по- следняя схема имеет 2-й порядок и является более точной. Метод разностной аппроксимации легко реализовать на прямо- угольной сетке (сетке из прямоугольных параллелепипедов) для уравнений с непрерывными коэффициентами. В других случаях применение метода разностной аппроксимации может оказаться за- труднительным. Наиболее универсальным является метод баланса. Здесь об- ласть исследования разбивают на элементарные ячейки, связанные определенным образом с выбранным шаблоном, а далее для каж- дой ячейки составляют баланс, соответствующий физическому за- кону сохранения, на основе которого получено исходное диффе- ренциальное уравнение. Разностная схема, составленная таким образом, что закон сохранения выполняется для каждой элементарной ячейки и не нарушается в результате суммирования по всем ячейкам, т. е. выполняется и для всей области исследования, называется консер- вативной. Такие схемы могут быть с успехом применены для уравнений с негладкими и разрывными коэффициентами, при вы- боре произвольных сеток и т. д. Использование консервативных схем, как правило, приводит к повышению точности решения. Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что разностная схема формально представляется в виде линейной комбинации значений функции в узлах шаблона. Например, для уравнения ди , д2и — — к----------, дх дх2 (3-14} используя шаблон, изображенный на рис. 3.7, а, можно искать разностную схему в виде ^-i, k + buit k + сйс+1, + Ч, л+i = °- (3.15) Неизвестные коэффициенты a, b, с, d находят исходя из усло- вия обеспечения наименьшей для выбранного шаблона погреш- ности аппроксимации. Раскладывая функцию и в ряд Тейлора в окрестности узловой точки i слоя k (предполагается, что необходимые условия для этой операции выполняются), получаем “<.«.1 - 77 + 0 <Дт!); £+0(4х’,; = “7.77 + 63
Подставив полученные выражения в равенство (3.15) и вычитая послед* нее из исходного уравнения (3.14), найдем невязку ф: ф = — k — (а + b + с + d)u( k — dAx + (а—с) х дх дх2 ох X Дх — — — (а + с)Дх2^— dO (Дт2) — (а—с) О (Ах3), дх 2 дх2 ' Невязка ф будет иметь наивысший порядок малости для рас- сматриваемого случая, если сумма членов, имеющих порядки ма- лости ниже чем О (Ах2) и О (Ах3), окажется равной нулю. Послед- нее имеет место при выполнении условий > a + b-)-c-l-d = 0; dAx = 1; а — с = 0; (а + с) Дх2 = — k. Разрешая полученную систему уравнений, находим Л _ k и 1 , 2k . fe.jl О, =------! и = — " “т~ * , С = — _ • d — ~ 1 — • Ах2 Ат Ах2 Ах2 Ат (3.16) Подставив полученные значения коэффициентов в уравнение (3.15), представим разностную схему уравнения (3.14) в оконча- тельной форме: Дх2 )и1,л+ дх2 “ж.дх2 <ЗЛ7) Метод неопределенных коэффициентов более удобен по сравне- нию с методом разностной аппроксимации при использовании треугольных, пятиугольных и т. д. сеток, однако по сравнению с первыми двумя методами применяется реже из-за его сравни- тельной громоздкости. Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разност- ными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., на- пример, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физи- чески более понятным способом для определения условий устой- чивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотно- шению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция Ui,k+i в любой момент времени т удовлетворяет условию Umin, k Ui, Ж <Umax, «> (3-18) где йшш, k йтах.л — минимальное и максимальное значения функ- ции й в узлах сетки I—1, i, i+1 на слое k. 64
Рис. 3.8. к выводу условия устойчивости явной разностной схемы Представим уравнение (3.17) в несколько иной форме: й й 4- 2МТ ( “<-».*+ ИЖ.ft Г \ /3 1Q4 ui. *4-1 -“<.*+ ------2--------1а' Из уравнения £3.19) следует, что независимо от того, какая из величин йг-1, а, к или Ui+i,h принимает максимальное и ми- нимальное значения, условие (3.18) будет выполняться, если 0<2^Дт/Дх^<1. Это иллюстрирует рис. 3.8, где символом А обо- значена величина сомножителя в правой части уравнения (3.19), заключенного в скобки. При положительном значении величины k условие устойчивости можно записать в виде Дт<ТПГ- (3-В * * * * * * * * * * * 20) А К В отличие от явных неявные разностные схемы являются безусловно устойчивыми, т. е. устойчивыми при произвольном со- отношении шагов по времени и пространственным переменным. В этой связи при использовании неявных схем есть возможность проводить расчеты при больших значениях шага Дт. В этом преиму- щество неявных схем. Следует в то же время иметь в виду, что чрезмерное увеличение шага Дт приводит к существенному возра- станию погрешностей аппроксимации, поэтому фактором, ограни- чивающим размеры шага Дт при использовании неявных схем, является требуемая точность вычислений. Решение явных разностных схем затруднений не вызывает. Здесь для расчета неизвестных значений функции в каждом узле каждого слоя используется одно уравнение с одним неизвестным, которое легко разрешается относительно этого неизвестного. В этом большое преимущество явных разностных схем перед неявными. При использовании неявных разностных схем значения функции в узлах сетки на каждом слое находят в результате решения си- стемы уравнений. Наиболее удобным и экономичным с точки зрения затрат машинного времени при решении таких систем часто ока- 3 Зак. 117 65
зывается метод прогонки. Высокая экономичность метода обуслов- лена учетом специфической особенности системы разностных урав- нений, заключающейся в том, что матрица из коэффициентов этих уравнений содержит много нулевых элементов. Другим важным достоинством метода прогонки является то, что в процессе вычис- лений не происходит существенного накопления ошибок округления. Более детально с этим методом можно ознакомиться в [5]. Разработка разностных схем для дифференциальных уравнений,, описывающих стационарные процессы, также приводит к необхо- димости решения системы разностных уравнений. Однако иногда оказывается целесообразным использование специального приема,, позволяющего избежать трудностей, связанных с их решением. С этой целью исходное стационарное дифференциальное уравнение- заменяют на нестационарное с тем же пространственным опера- тором, а решение исходной задачи ищут как предел, к которому стремится решение нестационарной задачи при т->со. Граничные условия для нестационарной задачи сохраняют такими же, как для стационарной, а начальные условия выбирают произвольно. Для нестационарного уравнения составляют явную разностную- схему, решение которой принципиальных трудностей не вызывает. Рассмотренный способ называют методом установления. § 3.6. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В настоящее время разработаны и успешно применяются численные методы» решения многих теплофизических задач: расчет температурного состояния» твердых тел, температурных полей в потоках жидкости и газа, в жидких и га- зовых прослойках, заключенных в неподвижные или вращающиеся полости; ис- следование закономерностей движения теплоносителя с целью выявления ме- ханизма процессов теплообмена; исследование структуры пограничного слоя,, теплообмена и трения на твердой поверхности и т« п. Одним из наиболее успеш- но развивающихся направлений использования математического эксперимента & теплофизических исследованиях является изучение закономерностей тепломас- сообмена и трения в потоках жидкости и газа с использованием теории погра- ничного слоя. Поэтому в качестве примера рассмотрим более подробно основ- ные этапы математического эксперимента по исследованию сопротивления тре- ния и теплоотдачи турбулентного потока к твердой поверхности. Ограничим за- дачу случаем стационарного течения несжимаемой жидкости с постоянными теп- лофизическими свойствами около гладкой плоской поверхности (в общем слу- чае проницаемой). Физическая и математическая модели процесса. Решение поставленной за- дачи целесообразно выполнить, используя модель пограничного слоя, которую - можно рассматривать как частный случай более общей модели течения и тепло- обмена вязкой сплошной среды. Система уравнений, описывающая стационарное двумерное течение и теплообмен несжимаемой жидкости в плоском турбулент- ном пограничном слое, может быть представлена в следующем виде: уравнение энергии ^“^+₽cp°V=^[(X + Xt)'§’]; (3JU> 66
dx (3.22) (3.23) уравнение движения ди , ди еи~^+е° Vp“' уравнение неразрывности ди ди дх + ду = * Здесь х, у — координаты, направленные вдоль поверхности, обтекаемой жид- костью, и по нормали к ней; р, X, ср, р — плотность, теплопроводность, удельная ^теплоемкость и динамическая вязкость жидкости; Хт, Цт — коэффициенты тур- булентного переноса теплоты и количества движения; Т — осредненная во вре- мени температура; u, v — проекции вектора осредненной во времени скорости шотока на координатные оси х и у соответственно; — скорость жидкости за пределами пограничного слоя. Граничные условия однозначности для рассматриваемой задачи можно пред- « Чггавить в виде (3.24) (3.25) (3.26) — (3.23), включающая три уравнения, содержит пять неиз- vt Т, цт, Хт и является незамкнутой. Для ее замыкания нуж- У -= 0; u=0; v = vw (х); Т « Tw (х); у = °°; « = «„(*); т = х=0; и = и(у); Т = Т{у). ' Система (3.21) : вестных величин и, «но определить величину рт и установить связь между и Хт. В настоящее вре- » мя используются различные гипотезы для вычисления величины рт* В частности, используя гипотезу Прандтля о пути перемешивания Z, получаем ‘’-‘'’Ivl- (3.27 Для расчета пути перемешивания можно использовать соотношение Z=0,4y[l—ехр (_у/Л)Ь (3.28) Г, тде А — характерная длина затухания пульсаций скорости по мере приближения Зс стенке, А =» A*v/u*. (3.29) ' Здесь v — кинематическая вязкость; —динамическая скорость I о, = \ Р ; 1*де Tw — касательное напряжение трения на поверхности стенки I. Безразмер- г мая величина А* определяется [7] соотношением р А* = 26 i—0,5 (3.30) . dU" . Vw р == —i' vw = “ tp dx w v. (3.31) 3* 67
При известном значении величина к, находится на основе связи Хг == |Мд/РгТ, где Ргт — турбулентное число Прандтля. Исходную систему уравнений и граничные условия приведем к безразмер- ному виду. С этой целью все размерные величины, входящие в математическое описание явления, отнесем к соответствующим масштабным величинам. После несложных преобразований уравнения энергии, движения и неразрывности бу- дут иметь вид - дТ , - ЭТ 1 д Г/ , Рг -\ д7 и-^г 4-v—~ —-----г ( 1 + ”^— ц) — дх ду dy |Д Ргт / ду -ди -ди д П , -х ди и—г +о — = К^ + — (1 + н) — дх ду $У [ ду J #+Л-о. дх ду Выражение для коэффициента турбулентного переноса количества движе- ния (3.32) (3.33) (3.34) (3.35) ц = 0,160я [1 — ехр(—т]/А*)]2. (3.36) ди ду Зцееъ и=и1и<й где — скорость потока в начальном сечении (за пределами пограничного слоя); Г=Г/То, где То — температура потока в началь- — — v ном сечении (за пределами пограничного слоя);х=иох/г;/?; УаЩу1^\ К=---V X------— параметр ускорения потока; Рг== цср/к—число Прандтля. Ргт — цтср/Хт— dx __ турбулентное число Прандтля; ц=Ит/и; i\=v*y/v — безразмерная координата. Граничные условия: у = 0; 5=0; 5=ию(х); Т = Тю(х) У “ оо; (х); Т = Т„ ; х=0; 5»5(5); Т=Т(у). (3.37) (3.38) (3.39) Численный метод. Анализ различных разностных схем для решения систе- мы уравнений пограничного слоя показывает, что наиболее удобными здесь являются неявные шеститочечные схемы. Для составления такой схемы на коор- динатной плоскости х, у выбирается основная и две вспомогательные сетки. Основная сетка х<=/Дх; yj=j&y. Вспомогательные сетки а) у, . 1 / + 2 б) х ! ‘+4 Д*; у}. 68
Здесь i, / — числа из ряда О, 1, 2...; Дх; Ду — шаги сетки вдоль коорди- нат х и у соответственно. Значения любого из параметров и, о, Т, ц и т. п. в узлах основной или ^вспомогательных сеток будем обозначать следующим образом: и 1в - — - _ _ X,’ « 1 ; «<±1, ,±1; и 1 I и т. д.; значения параметров и», Тж, vWt 7 в расчетных сечениях i и значения параметров у, т) в расчетных сечениях / обо- значим соответствующими индексами (например, «>, yj). ( Используя метод разностной аппроксимации производных применительно к уравнениям (3.33) — (3.36), получаем их разностную схему: уравнение энергий , - s(Ti,l+l~Ti. 1-1) + (* 1 * * * ~ pi-u+l~Ti-l,/-l) + v. 1 , - - ‘ У/4-1—У/-1 __________2 Г / Рг - \ Рг (у/+1 - У/_1) [ \ “ Г’/+ Т / Х V/+1~ ъ S (Ti.l - Ti. /-1) + (1 —S) (7\1, ! ~ Tt x, уравнение движения ui,i~ ui— 1, f a 1 i-±.l Ax i s (ui. ж — “i.z-iJ + C1 —S) (ut—i.i+i ~i) ( -J. t, _ _ _ 1 2‘1 У/+1~ У/-1 -0,25(К1 + К<_1)$>те + «з_1(вв) + ------(1+Й i t !fj+l — У I—l L ' 1 2 ‘ l + 2 7 v S (ui.j+l — uij)+(l~s^(ui-l.i+l — ui-l.l) fy,- A V i. x z z 11 -t- j* i i i x УЖ— ' 1 2’ 2' x S + —lS) . 41) s Vi-Vl-l J ’ ?• 69
уравнение. неразрывности. 2д; («/./-“<-!./ +“л/->-“г-1./-1)- (3.42) Выражение для коэффициентов турбулентного переноса количества движения „ , -0.04(5,+;,+1у х 1 Г 2 У/+1 У/ X [ 1 - ехр ( - )I2. (3.43) Величина 5, входящая в выражения (3.40) — (3.43), представляет собой параметр усреднения, выбираемый из диапазона S=0,54-1. Разностные уравнения (3.40), (3.41) представим в более компактной форме: аА, Z-1 + + ТуЛ, /+1 = бу ; (3.44) ajui, j—\ + /4-1 = (3.45) где величины Лу', Лу", Ру*, Ру", Ту’» Ту", бу', бу" определяются из условий тождественности соотношений (3.40), (3.44) и (3.41), (3.45). Система алгебраических уравнений (3.44), (3.45) совместно с уравнениями (3.42), (3.43) решается методом прогонки, при этом решение уравнений. (3.44) и (3.45) ищется в форме 5’с/-лЛ.ж+в/’ <3-46) Ajuit /4-1 + В,. ' (3.47) Здесь прогоночные коэффициенты Ajt Ay, Bj, By определяются соотношениями л:_ // Л’ . /О ло\ а/л/~ 1 + Р/ aiAi—1 + Р/ (d.48) д' _ б/~а/В/-1 о,_ б;-а#-, 1 aiAl-\ + Р/ а;Ау_1 + ру (6.4У) Расчет структуры пограничного слоя осуществляется последовательно, на- чиная с сечения г=1, при этом все параметры потока в предыдущем сечении i=0 известны из граничных условий (3.39). В первую очередь определяются значения скоростей во всех узлах / сечения L Для этого сначала вычисляют прогоночные коэффициенты Ay", By" во всех узлах /, начиная с /=1, по фор- мулам (3.48), (3.49). Эту операцию называют прямой прогонкой. Значения прогоночных коэффициентов Ау^, Ву=0 на поверхности стенки (/=0) нахо- дят из граничных условий (3.37) для скорости и. Для рассматриваемой задачи ^/=о= 5/=о =0- При вычислении величин aj, Ру, Ту, бу в первом приближении приходится задаваться неизвестными заранее значениями и i и uit j. Значения этих ве- 70
личин при этом принимаются равными их известным значениям в предыдущем сечении. В дальнейшем по уравнению (3.47) во всех узловых точках /=1-г-(М—1) сечения i находятся значения величин uit jt при этом радчет начинается с точки j—M—1, где М — общее число расчетных точек в направлении оси Значение выбирается таким образом, чтобы оно было заведомо больше максималь- ной толщины теплового и динамического пограничных слоев в исследуемом диа- пазоне изменения величины х, поэтому uit M=Ui, «>. Процесс определения величин j по выражению (3.47) называют обрат- ной прогонкой. После расчета величины и во всех узловых точках рассматри- ваемого сечения по выражению (3.42) находят соответствующие значения ве- личин v *, а далее уточняют значения величин u f t и ц i .. путем пересчета по формуле (3.43). Указанные операции в рассматриваемом сечении повторяют до получения требуемой точности (до тех пор, пока разница пара- метров в одной и той же точке, но полученных в предыдущем и последующем приближениях, отнесенная к значению одного из этих параметров, не окажется меньше наперед заданной малой величины 8). После расчета величин и и ,|л во всех точках j рассматриваемого сечения i прямой прогонкой по формулам (3.48), (3.49) определяют прогоночные коэф- фициенты Aj и By, при этом значения А/=о, #/=о находят из граничных условий (3.37) для величины Т :Ду=о=О; By=0=7\,w. Далее в результате обратной прогонки по формуле (3.46) определяют ве- личины Т во всех узловых точках / рассматриваемого сечения i. Здесь также расчет начинают с точки j=M— 1, при этом 7\,м=7\, «». Положение верхней границы пограничных слоев определяют из условий (Ч=о-«С/)^.«<0.01; | |<0,01. После определения всех параметров в сечении i переходят к расчету в сечении Z+1. Расчет заканчивается при выполнении условия х > храСч, где Храсч— наперед заданное значение безразмерной координаты; х — ее текущее значение. Шаги сетки Дх и Дг/ выбирают по результатам контрольных расчетов исхо- дя из условия обеспечения требуемой точности вычислений. Если сетку выбрать неравномерной по толщине пограничного слоя, то удовлетворительную точность расчетов можно обеспечить при небольшом (до 30) числе узлов поперек полосы интегрирования; 2—4 узла при этом должны располагаться в пределах вязкого подслоя. Можно рекомендовать следующее соотношение шагов сетки поперек полосы интегрирования (за единицу принят минимальный шаг сетки около твер- дой стенки): 1; 1; 2; 2; 4; 4; 6; 6; 10; 15; 20; 30; 40; 50; 60; 60...60. Шаг Дх может быть выбран обычно в 10—20, а иногда в 50 раз большим минимального * Расчет проводят начиная с точки / = 1, при этом значение j определяют из граничных условий (3.37). 71
шага Ду. Абсолютный размер минимального шага Ду min должен выбираться в зависимости от толщины пограничных слоев в начальном сечении (х=0). Обычно можно принять Ду mln = 10-4-50. По результатам расчета структуры турбулентного пограничного слоя в за- данных сечениях определяются его локальные и интегральные характеристики. __ . , И / ди \ Коэффициент трения = —— = —— [ —-— ) ; 2 р£ к ду cf = 2 ui.i (3.50) Л Здесь касательное напряжение трения на поверхности стенки тю находится на основе закона Ньютона. а Число Стантона St= -------- P<PWoo (а — коэффициент теплоотдачи): (^00 Р^оо \ &У J У=° St- (3.51) Число Рейнольдса Re*=i/oo6*/v; построенное по толщине вытеснения б*, 1 — тМ" 1 + (1 — ' — и1,м / \ Ui,M Число Рейнольдса Re** — uOQd**/vi построенное по толщине потери импульса б**, I и<,/ (1— и<,/) I I . и1,ы ' Uf “ ' “z, /-1 Re*-0,5«<tM2 /=1 Re»* - 0,5«< м2 /“1 Qj-Vi-l) • (3.52) + “У— (1 Ui.u \ “г.. Число Рейнольдса Re** = и^б^/г, построенное’по толщине потери энергии б’ (3.53) Re** в0Д,и2 /-1 (yj-Vj-l) • “<./-1 / J (3.54) ui.i A _ + . . ui,M \ / \ * 1 /J J Формпараметр пограничного слоя H = б*/б** H = Re*/Re**. 6** ^ОО Формпараметр пограничного слоя f = —----- f = KtRe”. (3.55) (3.56) 72
Безразмерная скорость <р -= и/иф и безразмерная координата т] = v*ylv- Безразмерная температура <рт и безразмерная координата Т]т: Фт/ s “ Тц о)/[% (Tt м — Tt 0)]; т)Т; = (3.59) Расчетное исследование, анализ и обобщение полученных результатов. Ре- зультаты тестовых расчетов, выполненных для стандартных условий — безгра- диентного обтекания непроницаемой пластины квазиизотермическим (с пренебре- жимо малой неизотермичностью) несжимаемым потоком, следует сопоставить с известными из литературы опытными данными о структуре пограничного слоя, о закономерностях трения, теплоотдачи и оценить степень достоверности мате- д матической модели. Для стандартных условий при Re**<104; Re** <10* законы трения и теп- лообмена, установленные опытным путем, имеют вид , = 0,0128 (Re**)-0,28; St - 0,0128 (Re‘‘)-0,2SPr-0,78 . (3.60) - 1 Л Сопоставление полученных данных по трению и теплоотдаче с расчетом по уравнениям (3.60) удобно выполнить графически. С этой целью строят графики зависимостей lg(ty/2)—ft(lgReee) и lgSt=f2(lgRe**)» полученные расчетом по уравнениям (3.60). На эти же графики наносят точки, полученные. численным расчетом. Профили скоростей и температуры в пограничном слое следует сопоставить с универсальными профилями: Ф = П при 11,5; (3.61) <р = 5,751g 1) + 5,5 при П > 11,5; (3.62) Фт = % при т)т< 11,5; (3.63) фт = 5,75 1g Т|т + 5,5 при 1)т> 11,5. (3.64) Сопоставление профилей скоростей и температуры также удобно выполнить графическим путем. Для этого строят графики зависимостей Ф=/з(18'П) и фт= 73
М^Лт), полученные расчетом по уравнениям (3.61)—(3.64). На эти же гра- фики наносят точки, полученные в результате численных расчетов. Результаты расчетного исследования, выполненного для условий, отличных от «стандартных», когда обменные процессы осложняются вдувом в погранич- ный слой, воздействием продольного градиента давления и т. д., представляют в обобщенном виде в форме уравнений подобия, срязывающих обобщенные пе- ременные. Например, St=<pi(Re**, Рг...); c//2=q)2(Re**...) и т. д. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. 631 с. 2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Ч. 1, 2. — М.: Физмат- гиз, 1959. 464 и 620 с. 3. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 439 с. 4. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М.: Наука, 1977. 126 с. 5. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. 512 с. 6. Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент.—М.: Наука, 1979. 223 с. 7. Романенко П. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое: Справочник.—М.: Энергия, 1974. 464 с» Глава 4 МЕТОД АНАЛОГИЙ § 4.1. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ И ВИДЫ АНАЛОГИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Явления разной физической природы могут иметь одинаковое математическое описание (в виде дифференциальных уравнений и условий однозначности). Такие физические явления принято на- зывать аналогичными, В методе аналогий исследование явлений одной природы заменяется изучением аналогичных явлений дру- гой природы, экспериментальное исследование которых оказы- вается более доступным. Одинаковость математического описания аналогичных явлений имеет глубокие физические корни. Общность законов сохранения энергии, количества движения, массы и т. д., вытекающая из за- кона сохранения материи, и общность законов переноса энергии, количества движения и т. д. в физических полях приводит к тому, что распределения температуры, потенциала скорости, электриче- ского потенциала, магнитной напряженности и т. д. в однородных потенциальных полях описываются одинаковыми по форме диффе- ренциальными уравнениями. Все процессы, описывающиеся одинаковыми дифференциаль- ными уравнениями, являются аналогичными; физические величины, входящие в эти уравнения, являются величинами-аналогами, а исследование любого из этих процессов может быть заменено изучением другого аналогичного процесса. Например, температур- 74
ное поле в теле может быть определено посредством измерений, выполненных на электрической, гидродинамической и т. п. моделях (моделирующих устройствах). Для установления количественной связи между величинами- аналогами дифференциальные уравнения и условия однозначности приводят к безразмерному виду, при этом выявляются масштабные коэффициенты (масштабы моделирования), позволяющие делать пересчет параметров одного физического поля в соответствующие параметры другого поля. Отметим, что в отличие от чисел и кон- стант подобия масштабные коэффициенты являются размерными величинами. В настоящее время наиболее широкое распространение полу- чили методы электрического моделирования. В них исследование тепловых, гидродинамических, гидравлических, магнитных, электро- магнитных, акустических и других неэлектрических полей заме- няется изучением полей электрических. Преимущества электриче- ского моделирования состоят в том, что электрические измерения осуществляются сравнительно просто и быстро и обладают высокой точностью и надежностью, а сами электрические модели отлича- ются универсальностью, стабильностью свойств, компактностью и простотой эксплуатации. При создании электрических моделей применяют два способа. В первом из них электрическая модель в определенном масштабе воспроизводит геометрию исследуемой системы и изготавливается из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная бумага, фольга, электролит и т. д.) — это модели с непрерывными параметрами процесса. Во втором способе исследуемые системы заменяют моделирующими электрическими цепями [сетками оми- ческих сопротивлений (/?-сетки) и сетками омических сопротивле- ний и емкостей (7?С-сетки) ] — это моделй с сосредоточенными параметрами. Принцип действия сеточных моделей основан на воспроизведении с помощью электрических схем конечно-разност- ных аппроксимаций дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс. Применяются также комбинированные модели, чаще всего со- четания сплошных моделей с /^-сетками. Электрические модели с непрерывными свойствами применяют для исследования одномерных и двумерных (плоских и осесиммет- ричных) стационарных полей, а сеточные модели позволяют решать и более сложные, пространственные задачи по определению как стационарных, так и нестационарных полей. Методы электромоделирования позволяют решать прямые и обратные задачи как в линейной, так и в нелинейной постановке. В прямых задачах на основе решения заданного математического описания (дифференциального уравнения и условий однозначности) определяется поле потенциала (температуры, скорости и т. д.), в обратных — по известному полю потенциала определяются гра- ничные условия, например коэффициент теплоотдачи на поверх- ности тела. 75
Описанные выше электрические модели представляют собой модели прямой аналогии. В отличие от них аналоговые вычисли- тельные машины (АВМ) состоят из отдельных функциональных блоков, моделирующих алгебраические, дифференциальные и ин- тегральные операторы уравнений, описывающих процесс. По сравнению с численными методами, основанными на исполь- зовании цифровых ЭВМ, и аналоговыми методами, основанными на использовании АВМ, методы прямой аналогии являются наиме- нее точными и наименее универсальными. Однако если скорость решения не играет существенной роли, а погрешность решения в 2—5 % оказывается допустимой, то этот метод является весьма эффективным для решения многих задач теории поля, поскольку здесь решение относительно сложных дифференциальных уравне- ний сводится к сравнительно несложному физическому экспери- менту. § 4.2. ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ АНАЛОГИЯ (МОДЕЛИ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ) Электротепловая аналогия (ЭТА) — аналогия между процес- сами теплопроводности и электропроводности. Стационарные двумерные поля температуры и электрического потенциала в однородной среде с постоянным коэффициентом теплопроводности (Х=const) и в токопроводящей среде с постоян- ной электрической проводимостью (o=const) описываются диффе- ренциальным уравнением Лапласа . д*и ___q дх2 + дуг ~ (4.1) (4.2) Здесь Т и и — соответственно температура и электрический по- тенциал, индекс «т» относится к координатам в тепловой системе. Математические формулировки задач теплопроводности и элек- тропроводности наряду с дифференциальными уравнениями (4.1) и (4.2) включают условия однозначности — геометрические, физи- ческие и граничные. Геометрическими условиями задаются форма и размеры тела и электрической модели: 4.» /т„ 4. . • (4.3) 4, 4, 4 . . . (4.4) Физическими условиями задаются значения коэффициентов теплопроводности и электропроводности: К = const; (4.5) о = const. (4.6) 76
Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами. При граничных условиях I рода задается распределение темпе- ратуры и электрического потенциала на поверхности тела и на границе электрической модели: Т'и, = Т1» (Хт, ут); (4.7) Що = ию(х, у). (4.8) При граничных условиях II рода задается распределение Плотности теплового потока на поверхности тела и распределение идотности электрического тока на границах модели: = (4.9) \ 0% /W I» = — о (х, у), (4.10) \ /ш ifffi пт и п—нормали к поверхности тела и к границе электриче- ской модели. При граничных условиях III рода в тепловой системе задаются Температура среды, омывающей тело, Tf и коэффициент тепло- отдачи на поверхности тела а, а в электрической модели — электри- ческий потенциал «/, соответствующий температуре Т/, и добавоч- ное сопротивление Ra, имитирующее термическое сопротивление теплоотдачи ₽ат = 1/а. Математическая запись граничных условий третьего рода имеет вид = «(Tf-Tu); (4.11) ди \ uf — uw дп )w (4.12) Здесь S — площадь граничной поверхности электрической модели. При граничных условиях IV рода задается равенство темпе- ратур и тепловых потоков и соответствующих электрических потенциалов и плотностей электрического тока на границах кон- тактирующих тел. Приведем математическое описание процессов теплопроводности и электропроводности к безразмерному виду. За масштабы преоб- разования примем максимальные избыточные параметры 0о= =Ti — Т2; vQ=Ui — и2, характерные линейные размеры тела /от и модели /о, масштабные значения коэффициентов теплопроводно- сти Ко и электропроводности о0- В безразмерном виде математическое описание процессов тепло- проводности и электропроводности имеет вид + ft (4.13) Д. + -^=0; (4.14) дх* ду*
геометрические условия Gt Gt Gt Gt * Gt Gt 1 (4.15) к к -1*. (4.16> физические условия % == X/XqJ (4.17) o = a/a0; (4.18) граничные условия: I рода 8» ~~ ®w(^T> Ут)» (4.19> Vw = Vw<X, tfr, (4.20) II рода KiT= =KiT(xT, yT); \ d/ij J уд (4.21) Ki = (-=-) =Ki(x,F); \ ^71 / W (4.22) III рода 1 .(JL) =BiI; \ dn? / w (4.23) =Bi. \ dn J vo (4.24) Здесь 0 = 0/0о = (Л — 7')/(Т1 — Т2) — относительная избыточная температура; v = п/»о= (ui — “)/(«1 — «2) — относительный избы- точный потенциал; хт=хг//От,; Ут=Ут/^от; пт=пт//от — безразмерные координаты и нормаль в тепловой системе; х=х[1$, у=у!1о\ п= =п/10 — безразмерные координаты и нормаль в электрической мо- дели; ht/lor, /2? Дот; 4т/^от; А/4; WAr, I3/I0— размеры тела и модели в относительном виде; — Т2) —критерий Кирпичева; Ki=Mo/o(«i — u2)—электрический аналог критерия Кирпичева; BiT=a/orA — критерий Био; Bi = Z0/cr7?aS — электрический аналог критерия Био; 0W= (Л — Tw)/(Т{ — Т2) — относительная избыточ- ная температура на поверхности тела; »ш=(«1 — «w)/(«i— «2) — относительный избыточный потенциал на поверхности электриче- ской модели. Сопоставляя дифференциальные уравнения (4.13), (4.14) и со- отношения (4.15) — (4.24) для процессов теплопроводности и элек- тропроводности, заключаем, что при численном равенстве выраже- ний для условий однозначности этих процессов решения дифферен- те
циальных уравнений будут тождественными, т. е. для всех сход- ственных точек исследуемого тела и электрической модели 0 = о или (Ti — — T^ = (Ui—«)/(«! — “г)- (4.25) Таким образом, необходимыми и достаточными условиями суще- ствования электротепловой аналогии являются равенства хт = х\ у^ = у; (4.26) 4т/4т= 4/4; 4т/4т= 4/4; = 4/4; (4 27) 1=о*; (4 28) 0Ш = vw (для граничных условий 1[рода); (4.29) KiT = Ki (для граничных условий II рода); (4.30) В1г = В1'(для граничных условий}!!! рода). (4.31) Реализация метода электротеплового моделированиях на моде- лях с непрерывными свойствами осуществляется следующим •образом. Электрическая модель, геометрически подобная тепловой системе, изготавливается из электропроводной среды. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели из электропроводной бумаги. Масштаб геометрического моделирова- ния Ci^xlx^—yly^loll^n выбирается произвольно исходя из удоб- ства монтажа модели и проведения на ней измерений. Технология монтажа моделей из электропроводной бумаги подробно описана в [6]. Постоянство коэффициента теплопроводности X [условие (4.28)] обеспечивается однородностью электропроводящих свойств бу- маги. Электропроводная бумага, используемая при электромоде- лировании, обычно обладает некоторой неоднородностью по удель- ной проводимости а. Для повышения точности решения применяют многослойные модели; модель, изготовленную из трех-четырех слоев, можно считать практически однородной. При решении задач теплопроводности с граничными условиями I рода на контур электрической модели подаются напряжения, определяемые по соотношению (4.29). Подвод напряжений осу- ществляется через плоские или цилиндрические шины, прижимае- мые или приклеиваемые к модели специальным электропроводным клеем. Моделирование граничных условий II рода осуществляется путем задания плотности электрических токов, пропорциональных тепловым потокам [условие (4.30)]. Ток плотностью i подается непосредственно к поверхности модели с делителя напряжений или через регулируемые сопротивления Rg, которые включаются между границей модели и делителем напряжения. При этом плотность тока i определяется либо с помощью миллиамперметра, либо непо- * Если в качестве масштабных значений %о и о0 принять теплопроводность тела Х=const и электропроводность модели o=const, то Х=1 и о=1, и тож- дественность физических условий становится автомодельной. 79
средственно по разности электрических потенциалов на достаточно малом участке электрической модели, непосредственно прилегаю- щем к ее границе li« a . При решении задач теплопроводности с граничными условиями III рода в электрической модели приходится переходить к гранич- ным условиям I рода. Для этого между шиной, на которую по- дается электрический потенциал, соответствующий температуре среды Tf, и поверхностью модели включается дополнительное элек- трическое сопротивление из электропроводной бумаги, имитирую- щее термическое сопротивление теплоотдачи RaT=l/a. Дополни- тельное электрическое сопротивление Ra и длина дополнительного слоя бумаги определяются из соотношения (4.31); в случае, когда это дополнительное сопротивление изготавливается из той же электропроводной бумаги, из которой изготовлена модель, длина дополнительного слоя бумаги будет определяться соотношением laon=RaeS = Cikla; в случае, когда модель изготовлена из бумаги с удельным электрическим сопротивлением рм, а дополнительное сопротивление из бумаги с рдоп, — /ДОп=Сг-^- — . Рдоп а При моделировании граничных условий III рода необходимо устранить или свести к минимуму перетечки электрического тока в дополнительном слое вдоль границы модели. Для этого допол- нительный слой электропроводной бумаги с помощью прорезей разбивается на полоски небольшой ширины (обычно 1ДОп/Ьдоп>10). Таким образом, дополнительный слой бумаги, моделирующий тер- мическое сопротивление теплоотдачи, имеет вид гребенки (рис. 4.1). Задание граничных условий IV рода обеспечивается непосред- ственным соединением (например, путем склеивания электропро- водным клеем) соответствующих поверхностей двух участков мо- дели. При решении задач теплопроводности для многослойных стенок, состоящих из слоев с разными коэффициентами теплопро- водности (Xi, Х2> А,з и т. д.), электрическая модель изготавливается из разных сортов электропроводной бу- маги, удельное электрическое сопротив- ление которых связано друг с другом так же, как и коэффициенты теплопро- водности слоев (p2/pi=Ai/X2; рз/Р1=%1Аз и т. д.). На моделях из электропроводной бу- маги можно приближенно моделировать и двумерные осесимметричные стацио- Рис. 4.1. К моделированию граничных условий III рода на моделях из электропроводной бу- маги: 1 — модель исследуемого тела; 2 — граница моде- ли; 3 — дополнительное сопротивление («гребен- ка»), обеспечивающее подвод напряжения по нор- мали к границе модели; 4 — шина для подачи на- пряжения, соответствующего температуре среды Т? 80
нарные температурные поля. Для этого используются некоторые искусственные приемы [5, 6]. Один из них заключается в сле- дующем. В осесимметричных телах радиальные термические сопротивле- ния элементарного участка толщиной Дгт, угловой шириной Дф и длиной Дгт на радиусе гт определяются соотношением Д2?ЛТ = ДгтДХГтАгтДф). Как видно, радиальное термическое сопротивление изменяется обратно пропорционально радиусу гт, следовательно, и радиальное электрическое сопротивление модели должно изменяться обратно пропорционально произведению гтЛ, т. е. <4-1 = ,"<4-1.т^'<+1^(^>т^'<)- Здесь i — номер элементарного участка. Это условие выполняется на моделях, составленных из несколь- ких слоев электропроводной бумаги или из нескольких сортов ее с различной электрической проводимостью. При %=const осесимметричное тело разбивается на п элемен- тарных участков с равным шагом Дгт. В этом случае электрическое сопротивление любого i-ro участка будет равно Д7?1 = Д/?|//, т. е. участок модели радиусом riT должен состоять из i слоев бумаги, используемой при моделировании участка радиусом г1т. С помощью многослойных моделей приближенно может быть осуществлен учет зависимости коэффициента теплопроводности X от температуры. При этом радиусы разбивки должны выбираться из соотношения Пт/Gt = Для решения стационарных задач теплопроводности с помощью электрических моделей из электропроводной бумаги применяются серийно выпускаемые электроинтеграторы. Модели из электропроводной бумаги, обеспечивая достаточную точность (погрешность 2—5 %) и наглядность решения при прием- лемой трудоемкости, обладают рядом недостатков, наиболее важ- ными из которых являются: сложность обеспечения и изменения граничных условий (особенно II и III рода), а также изменение во времени из-за старения электропроводных свойств бумаги и используемого при монтаже модели клея. От этих недостатков Свободны электрические модели, создаваемые из сеток электри- ческих сопротивлений. § 4.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ на R- И ДС-СЕТКАХ Моделирование непрерывного температурного поля электриче- скими сетками с сосредоточенными параметрами равнозначно переходу от решения дифференциального уравнения теплопровод- ности к решению его конечно-разностной аппроксимации. В этом! 81 г
2 1-/ i 1*1 л Рис. 4.2. К моделированию температурного поля на Р-сетках: случае производные в дифференциальном урав- нении заменяют прибли- женными значениями, вы- раженными через соот- ношения разностей соот- ветствующих величин в отдельных дискретных точках (узлах расчетной сетки). Сущность моделиро- вания нестационарных температурных полей электрическими сетками рассмотрим на примере однородной плоской стен- ки толщиной б с одно- мерным нестационарным температурным полем (рис. 4.2,а). На левой <7) поверхности (х=0) зада- но граничное условие III рода (коэффициент теп- л —схема разбивки стенки расчетной сеткой; б— ЛООТДЭЧИ а И ТвМПврЭТура электрическая модель «-сетка) ОМЫВЭЮЩей СТСНКу ЖИД- КОСТИ ТА, а на поверх- / дТ \ ности х=6 задано условие теплоизоляции ( ) =0. Начальное \ дх /х=л условие имеет вид: при т=0 Т=Т(х). Для стенки с постоянными физическими свойствами (а = const) дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид дТ д*Т — = и------. дх дх2 (4.32) где Т — температура; х — координата; а=к/(рс)—коэффициент температуропроводности; к — коэффициент теплопроводности; р — плотность; с — теплоемкость. Введем расчетную сетку с шагом Дх. Узловым (расчетным) точкам присвоим номера с 1 по га. Будем считать, что термические свойства элементарных слоев (температура и теплоемкость) со- средоточены в узловых точках 1=1—п. Введем шаг по времени Дт. Вид температурного поля в моменты времёни т — (Г) и т+Дт — (Г) показан на рис. 4.2, а. Для получения конечно-разностной аппроксимации дифферен- циального уравнения (4.32) можно воспользоваться математиче- скими преобразованиями с заменой производных отношениями ко- нечных разностей или методом тепловых балансов. Воспользуемся первым из этих способов. £2
Входящие в уравнение (4.32) производные могут быть прибли- женно представлены в конечных разностях: ат T’i—Tt . дТ rf+i — T'i или дТ . дт Дт дх Ах дх Дх * д*Т_____1 ( Ti+\ — Ti _ ~ Ti-i \ _ Ti—\ — , dx2 Дх \ Дх Дх J Дх2 Подставляя производные в конечных разностях в дифферен- циальное уравнение (4.32), получаем неявную конечно-разностную аппроксимацию этого уравнения Т'-Т' _.£<='7.2Г^ТЖ.. (4.33) Дт/(рсДх) Дх/Х В уравнении (4.33) Дх/Х представляет собой термическое со- противление теплопроводности элементарного слоя стенки, а Дт/(рсДх) характеризует количество теплоты, аккумулированной элементарным слоем за промежуток времени Дт в процессе про- грева стенки; поскольку единица измерения этого комплекса совпадает с единицей измерения термического сопротивления [К/(Вт/м2)], назовем его термическим сопротивлением теплоемко- сти элементарного слоя. Обозначив Дх/Х=/?хт и Дт/(рсДх) =7?тг» перепишем уравнение (4.33) в виде (т’{ - =(?;_, - 2?;+т;+1)//?Лт. <4.з4> В соответствии с расчетной сеткой (см. рис. 4.2, а) составим электрическую цепь, состоящую из омических сопротивлений ; (рис. 4.2,6). Здесь ₽ — электрические сопротивления. По закону Кирхгофа в узле i алгебраическая сумма электри- ческих токов равна нулю: р Л—1, i + Ц + 4+1, t = О, !.> где 1 — сила тока. Г В соответствии с законом Ома (4.35) ui+i ~ui * Ri+i. { Подставляя выражения для Л-i, <» Л, 4+i,i в (4.35) и полагая находим ul~ui _ ui—\ ~2ц< + цн-1 Rx (4.36> Здесь Ui-i Ui+i — электрические потенциалы, моделирующие температуры Tt-i, 1\, Ti+l в узловых точках в момент времени т; ti'i-i, u'i, u'i+i — то же в момент времени т+Дт; Rt — электриче- ское сопротивление, моделирующее термическое сопротивление теп- лоемкости Rtv 83
Сопоставляя уравнения (4.34) и (4.36), замечаем, что они имеют формально одинаковую запись. Приведем уравнения (4.34) и (4.36) к безразмерному виду. В качестве масштабов выберем следующие величины: 0 = Гтят— — Там—максимальная разность температур в системе; о=«тах— — «min—максимальная разность потенциалов в электрической цепи; Яппах и /?тах— максимальное термическое и электрическое сопротивления соответственно. В безразмерном виде конечно-разностные уравнения (4.34) и (4.36) будут иметь вид ~_______ef-i ~. .. Я^т/Ятшах ^т/^ттах ’ _s;+v;+l /лооч ЗДпах ~ «х/Лтах ’ 1 ° ' Здесь 0= (Т'тах Т)/(7'тах 7mln); V = («max «)/(«тах — «mln) — соответственно безразмерные избыточная температура и электри- ческий потенциал. Сопоставляя уранения (4.37) и (4.38), заключаем, что при УСЛОВИИ Т?тт/Т?ттах=Т?т/₽тах И Яьт/Яттах=#ь//?тах ОНИ ТОЖДвСТ- венны, т. е. форма функциональной зависимости переменных 0 и v ют координат и времени одинакова. При этом термическое сопро- тивление /?Ттах и электрическое сопротивление /?шах связаны мас- штабом моделирования «1н=^тах/₽тта1х- Необходимым условием аналогии рассматриваемых двух систем является тождественность условий однозначности (в безразмерном виде). Тождественность геометрических условий однозначности обес- печивается одинаковой последовательностью взаимных соединений сходственных элементов расчетной сетки для процесса теплопро- водности и электрической цепи, а также равенством масштабов /«я=/?тах/^ттах на всех сходственных элементарных участках •стенки и модели. Тождественность физических условий однозначности в случае постоянства физических свойств стенки и электрических сопротив- лений является автомодельной, так как безразмерные физические свойства во всех точках стенки и электрической модели равны единице (АД»—1; рэ/рэо=1 •••; здесь Аю и рао— масштабные значения коэффициента теплопроводности и удельного электрического сопро- тивления, равные соответственно л и р8). Начальные условия обеспечиваются подачей электрического по- тенциала, соответствующего начальному распределению темпера- туры 0’=о=г7*=°, в узлы электрической модели i=2-i-n. Условие теплоизоляции на поверхности стенки х=6 для элек- трической модели означает отсутствие стока электрического тока. Моделирование граничных условий III рода осуществляется подачей в точку i=l заданного потенциала »<=1=0<=1 через допол- 84
яительное сопротивление Ra, эквивалентное термическому сопро- тивлению теплоотдачи /?ат=1/а. Из тождественности уравнений (4.37), (4.38) и условий одно- значности следует 0 = й или, что то же, (^*тах Wmax ^min)= (“max “)/(“тах “min)* (4.39) Выбор сопротивлений электрической цепи выполняется на основе Соотношений = Яттах ^шах = = рсДГ тИ’ (4.40) р Дх р 1 = Яттах ^шах = т^ = ~а тК (4.42) Подавая в узел 1 электрической сетки (см. рис. 4.2, б) потен- циал, соответствующий температуре Tf (vf=Qf), а в узлы i'=2-4-n — потенциалы, соответствующие температуре в начальный момент времени т=О(гУт=о=0т=о), в узлах сетки Г=2Ч-п' получаем элек- трические потенциалы для следующего момента времени т+Дт. “"аким образом, последовательно шаг за шагом, начиная с нуле- ого момента времени, можно вычислить значения температуры ! узлах расчетной сетки в любой момент времени (т+Дт, т+2Дт 1 т. д.). Расчетный шаг времени выбирается из условия обеспечения еобходимой точности решения. Определить его можно следующим бразом. Выбрав произвольное, но достаточно малое значение Дт, южно вычислить температурное поле на первом шаге времени (т=Дт). Затем необходимо уменьшить шаг времени вдвйе (Дт/2) : вычислить температурное поле при этом уменьшенном шаге. ;сли температура, вычисленная при шаге Дт и при Дт/2, будет различаться незначительно, то дальнейший расчет можно выпол- :ять с шагом Дт, если же разница будет существенной, то необ- ходимо уменьшить шаг в 4 раза (Дт/4) и т. д. Отметим, что, как и при численном методе расчета, здесь нельзя 'Получить решение для всех точек пространства—приближенное решение может быть получено в некотором множестве точек (в узлах расчетной сетки) в некоторые моменты времени т+Дт, т+2Дт и т. д. ' ( В пределах каждого элементарного промежутка времени Дт • Температурное поле считается неизменным. Это дает возможность Ц процессе решения изменять граничные условия и параметры сетки, в частности учитывать зависимость граничных значений температуры и коэффициента теплоотдачи от времени, а теплофи- зических свойств тела (X, р, с) — от температуры. Отметим, что при стационарном тепловом режиме* в уравнениях (4.37) и (4.38) 0/ — 0j=O и —гч=0, и эти уравнения прини- 85
Рис. 4.3. К моделированию температурного поля на 7?С-сетках: а — схема разбавки стенки расчетной сеткой; б — электрическая модель (ЛС-сетка) мают более простой вид fy-i — 2fy + fy+i =0; ЛХт/Лттах ^1-1 — 2t^ + Pi+i =0 RfjRmax (4.43) (4.44) В этом случае моделирующая электрическая сетка будет состоять только из сопротивлений и /?а. Сеточные модели могут быть использованы для решения задач теплопроводности в телах сложной конфигурации с одномерным, двумерным и трехмерным температурным полем, в телах с сосредо- точенными, полосовыми и распределенными источниками теплоты при граничных условиях I—IV рода, в том числе и нелинейных задач, в частности решение может быть получено с учетом зависи- мости теплофизических свойств тела от температуры [5, 6]. Рассмотрим теоретические основы электромоделирования тем- пературных полей на /?С-сетках. Для t-й узловой точки тепловой системы (рис. 4.3, а) и /?С-сет- ки, составленной из электрических сопротивлений R и емкостей (конденсаторов) С (рис. 4.3,6), запишем соответственно уравнение теплового баланса и закон Кирхгофа * AQi — Qt—i ,i + Qi+i.i» (4.45) (4.46) Здесь AQi= (ртст) ,Д Vj —изменение теплового потока из-за дх? * При использовании /?С-аналогии расчетные точки удобно размещать в центрах элементарных объемов (схема разбивки «узлы внутри*). 86
аккумуляции теплоты элементарным объемом ДУ<; Mi = Ci —----- 1, дт , сила избыточного тока, идущего на зарядку конденсатора Се, i« — тепловой поток, передаваемый в результате । теплопроводности от точки i—1 к точке i; — ; —г — сила электрического тока между узлами i — 1 и i электрической сетки; Ti+1^Ti &F—тепловой поток, пе- < редаваемый в результате теплопроводности от точки i+1 к точке i; . 7<+i, г= (ui+i — ui)/Ri+i, i — сила электрического тока между узлами i+l и i электрической сетки. В этих соотношениях &F=Ky&z— i площадь поперечного сечения стенки, через которую проходит теп- ловой поток (для плоской стенки с одномерным температурным полем обычно принимают AF=Ai/Az=1 м2); ДУ=ДхД#Дг= ! =ДГДх— объем элементарного слоя (с учетом AF=1 м2 ДУ= =Дх м3); индекс <т» отличает величины, относящиеся к процессу теплопроводности. , Принимая Ri-\,i=Ri+i,i=R}.\ Ci=Ci-i=Ci+i=C, с учетом со- отношений для AQi, Qi+i, i, ДЛ, Л-i, i, уравнения (4.45) ! я (4.46) можно записать в виде (PA)i= Л-i - 2Л + Тж; (4.47) I -тг=“i-i - 2“‘+“l+i- (4.48) < дх ' Правые части этих уравнений представляют собой конечно-раз- ' постные аппроксимации оператора Лапласа, а в целом уравнения (4.47) и (4.48) соответствуют уравнению Фурье, решаемому в дискретизированном пространстве при непрерывном изменении вре- ; меннбго аргумента. В безразмерном виде уравнения (4.47) и (4.48) запишутся как 20, +вж; (4.49) : + (4-60) । Здесь Fot=tt/ (Rkict) —число Фурье (безразмерное время) в про- : дессе теплопроводности; Ru=Ахт/(AAFT) — термическое сопротив- ; дение теплопроводности между соседними расчетными точками, j^K/Вт^при ДГТ= 1 м2 Rkt= Ст«р,с,ДУ— теплоемкость эле- ментарного объема ДУ, Дж/К (при ДУ=Дх м3 Ст=ртстДхт); Fo = =т/(#лС) — электрический аналог числа Фурье (безразмерное ; время в процессе электропроводности); Rk — электрическое сопро- тивление, Ом, моделирующее термическое сопротивление теплопро- 1 годности; С — электрическая емкость, моделирующая теплоемкость Элементарного объема, Ф. 87
Рис. 4.4. Узел ЯС-сетки для тела с дву- мерным температурным полем При численном равенстве со- ответствующих условий однознач- ности для процессов теплопро- водности и электропроводности (4.28) — (4.31) в сходственных точках расчетной сетки (рис. 4.3, а) и электрической модели (рис. 4.3, б) в сходственные моменты вре- мени (FoT=Fo) решения уравнений (4.49) и (4.50) будут численно одинаковыми, т. е. 0=г? или, что то же, ^тах— Г _ “max — “ ^max—T’mln “max — “mln Связь между остальными параметрами-аналогами рассматри- ваемых явлений теплопроводности и электропроводности устанав- ливается из равенства Fot=Fo: тхЦтцгпс) = 1, (4-52) где тт=т/тт; шд=/?//?т; mc=CjC^ — масштабные коэффициенты (масштабы моделирования) соответствующих величин. Таким образом, в электрической модели с /?С-сетками терми- ческое сопротивление воспроизводится электрическим сопротивле- нием, теплоемкость — электрической емкостью, а выбор масштабов моделирования ограничивается условием (4.52). При выборе мас- штабов тх, mR и тс обычно исходят из возможностей электроин- теграторов и величин ожидаемых результатов. Реализация условий однозначности на 7?С-сетках мало чем от- личается от их реализации на /?-сетках. При решении задач теплопроводности для тел с двумерным температурным полем схема разделения тела на элементарные объемы и участок моделирующей сетки для узла 1 будут иметь вид, показанный на рис. 4.4. Соответствующий участок электриче- ской сетки для решения трехмерной задачи содержал бы шесть резисторов и один конденсатор. Погрешность определения температурного поля с помощью ^-се- ток, так же как и с помощью /?С-сеток, в основном обусловлена заменой дифференциального уравнения теплопроводности его ко- нечно-разностной аппроксимацией, неточностью параметров элек- трической модели, неточностью задания условий однозначности и неточностью измерений. Главным достоинством электромоделирования на /?С-сетках является возможность получения непрерывного во времени реше- ния для тел сложной формы с большим числом расчетных точек. В электроинтеграторах, основанных на использовании /?С-се- ток, время решения задачи составляет от 5 до 200 мс. Поэтому такие интеграторы имеют специальные электронные устройства, 88
позволяющие регистрировать напряжения в строго фиксированные I моменты времени. Быстротечность процессов в /?С-сетках суще- и ^твенно осложняет реализацию переменных во времени граничных К-условий (особенно граничных условий III рода), а также учет К Зависимости теплофизических свойств тела от температуры. Если процессе решения необходимо учитывать зависимость а и Tf от Времени, а X, рт и — от температуры, то проще и с меньшими № затратами решать задачу с помощью /?-сеток. 5. <• На электроинтеграторах с ₽С-сетками можно моделировать и •( стационарные температурные поля. Для этого достаточно задать .'постоянные граничные условия и выбрать достаточно большой про- межуток времени. J Более полная информация и рекомендации по использованию | электрических сеточных моделей для решения различных задач ; теплопроводности приводятся в [4, 5, 6]. I § 4.4. ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА) — это аналогия между потен- .циальным течением жидкости* и течением электрического тока в проводящей 'Среде. Эти явления описываются одинаковыми по форме дифференциальными ^равнениями Лапласа. Для несжимаемой жидкости и для проводящей среды с постоянной электро- проводностью эти уравнения имеют вид (4.53) = 0. (4.54) д*Ф Э*ф , д2ф _ <Ри д2и д2и ~дх* + ду* + дг2 Здесь <р — потенциал скорости; и — электрический потенциал; индекс «г> отно- сится к координатам гидродинамического явления. Как видно из уравнений (4.53) и (4.54), потенциал скорости ф и электри- ческий потенциал и являются параметрами-аналогами. Это означает, что изу- чение потенциального течения жидкости в гидродинамической системе может быть заменено изучением распределения электрического потенциала на электри- ческой модели. В случае плоского потенциального течения жидкости поле электрического потенциала и д2и , д2и дх2 ду2 моделирует не только поле потенциала скорости ф Уф Уф (4.55) (4.56) * Потенциальным называется безвихревое течение идеальной (навязкой) ’ жидкости, когда составляющие скорости могут быть выражены через потен- г циал скорости. i 89
но и поле функции тока ф 02ф 02ф + (4.57) Следовательно, в» этом случае имеют место два типа аналогии: аналогия и — ф, когда электрический потенциал и моделирует потенциал скорости ф; аналогия и—ф, когда электрический потенциал и моделирует функцию тока ф. Целесообразность применения того или иного типа аналогии для решения аэрогидродинамических задач определяется в основном трудоемкостью и тре- бованиями к точности изготовления электрических моделей обтекаемых тел. В случае применения аналогии и — ф на поверхности обтекаемого тела должно удовлетворяться условие-^£-=0. Для реализации этого условия на электри- дп ческой модели обтекаемого тела модель должна быть изготовлена из диэлект- рического материала. В случае применения аналогии и—ф контур обтекаемого тела является линией тока, поэтому контур электрической модели обтекаемого тела должен быть линией равного потенциала и, следовательно, модель должна быть изготовлена из электропроводного материала. Графическое представление картины обтекания с помощью линий тока (ф=const) получается более наглядным, чем с помощью эквипотенциальных линий (ф=const), поэтому рассмотрим далее аналогию и—ф. Для выявления условий, при которых явления в электрической модели и исследуемом объекте будут аналогичными, удобно воспользоваться безразмер- ными параметрами: —_ т ~ тт1п — относительное избыточное значение функции тока; Фшах —Фтш — и — Цпип - - *. v =---------------относительный избыточный электрический потенциал; wmax — wmin — xr ~ Уг хт = —----; ут = —----— относительные координаты в исследуемой ги- *ог *ог дродинамической системе; — X х = ~0 В первых двух безразмерных параметрах за масштаб преобразований при- - У у = — — относительные координаты в электрической модели. . *о . няты максимальные избыточные величины фтах—фтш и «тах—wmin. Относи- тельные координаты получены делением их абсолютного значения на характер ные линейные размеры в соответствующих системах (Zor, /о)- Дифференциальные уравнения (4.57) и (4.55) в безразмерной форме имеют вид д2Ф д2Ф_0 + (4.58) д2и “ + = 0. дх2 ду2 d2v ду2 (4.59) Для того чтобы функции ф и и, определяемые уравнениями (4.58) и (4.59), были одинаковыми, требуется тождественность безразмерных параметров, вы- ражающих условия однозначности для гидродинамической системы и электри- ческой модели. 90
Тождественность геометрических условий однозначности обеспечивается геометрическим подобием гидродинамической системы и электрической модели, которое характеризуется масштабом геометрического моделирования Ci—lofloT. В сходственных точках рассматриваемой системы безразмерные координаты чис- ленно равны (хг=х; г/г=у). Тождество физических условий однозначности в случае постоянных физи- ческих свойств гидродинамической системы (плотность жидкости) и электричес- кой модели (электропроводность) является автомодельным, так как безразмер- ные значения физических свойств гидродинамической системы и электрической модели во всех точках равны единице. Тождественность граничных условий однозначности обеспечивается числен- ным равенством безразмерных параметров (фгр = ^гр) во всех сходственных точках границ системы и модели. При моделировании граничных условий на поверхности тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости, принимают их такими же, как на внешней границе пограничного слоя. Таким образом, тождественность уравнений (4.58) и (4.59), а также усло- вий однозначности позволяет заключить, что X *“ * — ^min и — wmln ф = v или —---------------= -------------. (4.60) Фтах — Фтщ wmax — wmm Связь между размерными значениями этих параметров имеет следующую форму: Ф = К^и 4- const или Аф = , (4-61) де „ Фтах — Фт1п wmax — wmin Электрическая мидель позволяет построить линии тока ф=const, которым на этой модели соответствуют линии постоянного потенциала v=const. Линия тока обладает тем свойством, что каждая частица жидкости, нахо- дящаяся на ней, имеет скорость, вектор которой направлен по касательной к этой линии в данной точке. При стационарном режиме течения линия тока совпадает с траекторией частицы, поэтому линию тока можно представить себе как непроницаемую стенку воображаемого канала, по котому течет жидкость: сужение канала указывает на ускорение, а расширение, наоборот, — на замед- ление течения жидкости. На взаимосвязи скорости и функции тока основано определение относитель- ной скорости течения жидкости с помощью электрического моделирования. На основе измерений, выполненных на электрической модели, можно вычис- лить также коэффициенты давления, коэффициент подъемной силы профиля и другие параметры [7]. Метод ЭГДА может применяться для исследования как плоских, так и пространственных течений жидкостей и газов с дозвуковыми скоростями. Мо- делирование плоских течений несжимаемых жидкостей осуществляется преиму- щественно на электропроводной бумаге, а иногда в ванне с электролитом. Для моделирования пространственных течений используют ванны с электролитом, а для моделирования плоских течений газа с дозвуковыми скоростями — ванны с электролитом переменной глубины, при этом толщина слоя электролита изме- няется в соответствии с изменением плотности газа. 91
Для решения аэродинамических задач наряду е ЭГДА применяют также магнитогидродииамическую аналогию (МАГА) и газогидравлическую аналогию (ГГА), причем последняя может быть использована как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений газа [1,7]. Подчеркнем, что методы аналогий позволяют исследовать лишь потенциаль- ное движение-жидкости или газа — ни один из них не дает возможности смо- делировать силы вязкости. § 45. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ПРОЦЕССАМИ ТЕПЛООТДАЧИ И МАССООТДАЧИ Распределения температуры Т и концентрации С в стационар- ном плоском безградиентном потоке бинарной смеси с постоян- ными физическими свойствами описываются дифференциальными уравнениями энергии и массообмена (4.62> (4.63) где а=Х/(рср) — коэффициент температуропроводности; D — коэф- фициент диффузии бинарной смеси, определяемый по изменению концентрации. „ - Т — Т, Введем обозначения: 9=-^-----=---безразмерная температура; * W- * f __ Q __ Q 1 С=—-----L — безразмерная концентрация; Tf nTw — температура Cw — Сj потока вдали от стенки и температура поверхности стенки; Cf и Cw—концентрация компонента вдали от стенки и на поверхности стенки; х=~г » У — где — характерный линейный размер си- *0 ‘о стемы. С учетом этих обозначений уравнения (4.62) и (4.63) при- водятся к следующему виду: дС . дС D i К , К wx—^ + wy —=~ = — —+ —— дх ду \ дх2 ду2 (4.64) (4.65) Распределение скоростей в системе при тепло- и массоотдаче для смеси в целом определяется дифференциальными уравнениями движения и сплошности, которые одинаковы для обоих процессов. На границах системы значения 9 и С численно одинаковы: на поверхности тела 9=^=1, вдали от тела (за пределами погранич- ного слоя) 9 = С=0. Одинаковая структура уравнений, описывающих процессы тепло- и массоотдачи, и тождественность граничных условий позво- ляют заключить, что при условии Le=£>/a=l, где Le — число 92
Льюиса — Семенова, эти процессы аналогичны, а поля темпера- , туры и концентраций связаны соотношением [ 6 = С или — = -С~ С} . (4.66) [ Tw-Tf Cw-Cf I Дифференциальные уравнения теплоотдачи и массоотдачи в без- I, размерном виде для случая, когда можно пренебречь конвектив- ! ными потоками массы компонентов по сравнению с диффузион- f ными потоками, имеют одинаковую структуру: I Nu = — ; (4.67) I \ дп /п=0 • NuD = —f-CV , (4.68) \ дп Jn=Q где Nu=——число Нуссельта; а — коэффициент теплоотдачи; А Nud=-^------диффузионное число Нуссельта; р — коэффициент мас- • соотдачи; n = nlltf, п — нормаль к поверхности тела. I С учетом (4.66) из (4.67) и (4.68) I Nu = Nud. (4.69) | Соотношение (4.69) широко используется в исследованиях про- ГС цессов тепло- и массоотдачи; с его помощью можно получить I информацию об интенсивности процесса теплоотдачи, если в ре- | зультате экспериментального исследования процесса массоотдачи j определить число NuD. К ним относится, например, метод, осно- ) ванный на использовании сублимации нафталина. В этом случае f коэффициент массоотдачи р определяется из соотношения > g* = P(Cu,-C/). (4.70) f Плотность массового потока паров нафталина (массовая ско- : рость сублимации нафталина) g* определяется по толщине уне- р сенного за время эксперимента Дт слоя нафталина 6: ! g* = бРю/Ат, (4.71) где pw — плотность нафталина. £• Концентрация паров нафталина на поверхности сублимации определяется из соотношения Ca = Pa.MRTw), (4.72) L где рп.н—давление насыщенных паров нафталина; М — молекуляр- k ная масса нафталина; R — универсальная газовая постоянная; Р Tw — температура сублимирующей поверхности. ( Концентрацию паров нафталина вдали от стенки С/ можно принять равной нулю при внешнем обтекании тела или при тече- нии в начальном участке трубы, а для стабилизированного течения в трубе Cf = m/aycp, (4.73) 93
где m = 4gw*lld — плотность массового потока паров нафталина в рассматриваемом поперечном сечении трубы; I — длина трубы до рассматриваемого сечения; d — диаметр трубы; о>ср— среднерас- ходная скорость потока; gcp* — осредненная по поверхности суб- лимации плотность массового потока паров нафталина. Определив на основе экспериментального исследования С/, Cw, /7* и р, можно найти NuD, а затем, используя соотношение (4.69), вычислить и коэффициент теплоотдачи a=Nui>A,/^- В реальных условиях аналогия между процессами тепло- и массоотдачи является приближенной; она нарушается по ряду причин, и в первую очередь из-за наличия конвективных потоков пара, а также из-за взаимного влияния одновременно протекающих процессов тепло- и массоотДачи. Тем не менее при небольших кон- вективных потоках пара рассматриваемая аналогия дает хорошие результаты. При исследовании локальной теплоотдачи в сложных системах, например в радиальных вращающихся трубах, где коэф- фициент теплоотдачи вследствие действия массовых центробежных и кориолисовых сил изменяется как по длине трубы, так и по периметру ее поперечного сечения, метод сублимации нафталина является наиболее простым и в то же время наиболее информа- тивным. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Виноградов Р. И., Жуковский М. И., Якубов И. Р. Газогидравлическая аналогия и ее практическое приложение. — М.: Машиностроение, 1978. 152 с. 2. Витенберг И. М., Танкелевич Р. Л. Аналоговые вычислительные машины с последовательным выполнением операций. — М.: Энергия, 1968. 127 с. 3. Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач.— М.: Физматгиз, 1960. 451 с. 4. Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля.— М.: Изд-во иностр, лит., 1962. 487 с. 5. Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопере- •носа. — М.: Энергия, 1972. 296 с. 6. Расчетные и экспериментальные методы определения теплового состояния •основных узлов газовых турбин с воздушным охлаждением. Т. 2. Руководящие указания. — Л.: ЦКТИ и ИТТФ АН УССР, 1972. Вып. 29, 224 с. 7. Сунцов Н. И. Методы аналогий в аэрогидродинамике. — М.: Физматгиз, 1958. 324 с. 8. Чудаков А. Д. Электрические моделирующие сетки и их применение.— М.: Энергия, 1968. 135 с. Глава 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА § 5.1. СПОСОБЫ ПРОВЕРКИ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ При проведении физического, аналогового или математического эксперимента даже использование самых современных средств из- мерений, тщательно проверенных методик проведения эксперимента и обработки его результатов, отлаженных и апробированных вы- '94
числительных программ для ЭВМ и т. д. не гарантирует от полу- чения недостоверных результатов. Причинами, приводящими к получению недостоверных данных, могут быть: выход из строя средств измерений во время эксперимента, промахи, допущенные при снятии показаний приборов, ошибки, допущенные при подго- товке исходных данных для аналогового или математического экс- перимента, сбой в работе ЭВМ, потеря устойчивости вычисли- тельного алгоритма и пр. Для того чтобы исключить влияние указанных случайностей на результаты экспериментов, исследователь должен предусмот- реть систему проверок результатов эксперимента. Часть этих про- верок может быть основана на использовании аналитических приемов, которые в некоторых случаях позволяют обнаружить источник ошибки. Остановимся на основных из них. Применение законов сохранения. Возможна проверка только- тех опытных данных, для которых можно записать одно или не- сколько уравнений сохранения (уравнения сохранения массы,, количества движения, энергии, электрического заряда и т. д.). Критерием достоверности результатов эксперимента является удо- влетворение их с требуемой точностью уравнению сохранения. Реализация такой проверки может потребовать некоторого усложнения экспериментальной установки и методики проведения эксперимента или вычислительного алгоритма с целью определе- ния дополнительных величин, необходимых для составления мате- риального баланса. Использование известных закономерностей поведения исследуе- мой величины. Во многих случаях оказывается возможным еще до проведения эксперимента теоретически или из анализа физической природы явления определить значение исследуемой величины в некоторых характерных точках системы, например ее предельное значение, а также оценить степень влияния на нее различных фак- торов. Так, сила тока равна нулю при нулевом напряжении, тепловой поток между телами равен нулю при отсутствии между ними перепада температуры и неограниченно возрастает при его неограниченном увеличении, расход жидкости в трубопроводе ра- вен нулю при отсутствии перепада давления и т. д. Проверка результатов эксперимента рассматриваемым мето- дом заключается в сопоставлении данных, полученных в процессе исследования, с имеющимися сведениями о характере их изменения. Анализ резко отклоняющихся значений. Практически почти в каждом эксперименте среди опытных данных содержится некото- рое число точек, существенно отклоняющихся от общей закономер- ности. Часть этих точек или даже все они могут быть ошибочными, и их следует отбросить, чтобы они не могли исказить результа- тов эксперимента и повлиять на окончательные выводы. Следует, однако, иметь в виду, что при отбрасывании таких выпадающих из общей закономерности точек существует риск исключить верные данные и потерять важные результаты, поскольку отклонение опыт- ных точек может быть обусловлено физической природой явления, 95
поэтому при их выбраковке следует руководствоваться следую- щими правилами: а) резко отклоняющиеся точки необходимо исключить из даль- нейшего рассмотрения, если их ошибочность подтверждена с по- мощью какого-либо другого метода, описанного выше;\ б) если подтвердить ошибочность опытных точек с помощью других методов не удалось, то точки, лежащие вблизи границ диапазона изменения в экспериментах влияющего параметра, не- обходимо сохранить, так как они могут характеризовать особен- ности изучаемого явления; точки, лежащие в середине этого диа- пазона, следует сохранить только в том случае, если статистиче- ский анализ данных подтверждает принадлежность этих точек и всей остальной массы к одной и той же совокупности. Существует ряд статистических критериев, устанавливающих условия для исключения опытных точек [1, 3, 6, 7]. Некоторые из этих критерив будут рассмотрены ниже в § 5.4. § 5.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА После получения достаточного количества экспериментальных данных и отсева ошибочных результатов проводят их дальнейший анализ и обработку, позволяющие выявить новую информацию об изучаемом явлении. Для этого приходится аппроксимировать опыт- ные данные аналитической функцией, выполнять операции интер- поляции и экстраполяции, дифференцировать и интегрировать по- лученные результаты и т. д. Аппроксимация результатов эксперимента. Аппроксимации экс- периментальных результатов должно предшествовать изучение характера их поведения на определенном участке изменения аргу- мента и его сопоставление с характером изменения хорошо изучен- ных функций. Вид аппроксимирующей функции Р(х) выбирается на основе этого сопоставления, а если возможно, то и исходя из условия соответствия физической природе явления или имеющимся представлениям об особенностях поведения исследуемой величины. Близость значений функции Р(х) и экспериментальных резуль- татов <р (х<) в точках х=х{ обеспечивается введением в аппрокси- мирующую функцию п свободных параметров ап и соответствую- щим их выбором. Существуют два различных способа нахождения свободных параметров. Выбор того или иного из них определяется целями и задачами, стоящими перед исследователем, точностью получен- ных результатов, их количеством и т. д. Первый способ базируется на • удовлетворении условию, чтобы функция Р(х, а) совпадала с экспериментальными значениями в п точках, выбранных в качестве опорных (число свободных пара- метров не должно превышать числа имеющихся опытных точек). В этом случае для определения п неизвестных значений парамет- 96
Рис. 5.1. Аппроксимация опытных дан- ных: / — аппроксимирующая функция с большим числом свободных параметров; 2 — аппрок- симирующая функция с небольшим чис- лом свободных параметров, определенная методом наименьших квадратов; О — опыт- ные точки ров ап используется система п уравнений P(xt, ait а2......ал) = ф(х1); P(xz, ai> Ог......ап) = ф(Хг); (gj) Р(ха, ait Oj, . . ая)=<р(хв). После определения численных значений параметров ап прове- ряется качество аппроксимации путем сопоставления значений функции и экспериментальных данных в оставшихся точках х< рас- сматриваемого интервала. Если обнаруженные между ними рас- хождения превышают допустимые по условиям точности, то аппро- ксимацию следует повторить, приняв в качестве опорных другие точки или увеличив число свободных параметров. В предельном случае, когда число свободных параметров равно числу экспериментальных точек в рассматриваемом интервале из- менения аргумента, все экспериментальные точки будут совпадать со значениями функции- Следует заметить, что добиваться точного совпадения значений функции и экспериментальных данных путем значительного увеличения числа свободных параметрон часто не- разумно, поскольку экспериментальные результаты получены с боль- шей или меньшей погрешностью, и такая функция может не отра- жать действительного характера изменения исследуемой величины (кривая 1 на рис. 5.1). На этом рисунке о — среднеквадратичная погрешность результатов эксперимента. Второй способ определения свободных параметров основан на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспе- риментальных точек от соответствующих значений аппроксими- рующей функции была минимальной. Этот способ носит название метода наименьших квадратов. Заметим, что можно оперировать и суммой других четных степеней этих отклонений (невязок), но тогда вычисления будут сложнее, однако руководствоваться сум- мой самих невязок нельзя, так как она может оказаться малой и при больших отклонениях противоположного знака. Математическая запись приведенного выше требования имеет вид N S = J}[P(xlt alt Ог.......а„) — ф (*<)]’ = min, (5.2) 4 Зак. 117 97
где- Л£ —^число экспериментальных точек в рассматриваемом интер- вале изменения аргумента х. Неизвестные значения свободных параметров ап определяются, в результате решения задачи на поиск минимума функции s. Не- обходимыми условиями экстремума функции являются • n a ......а4)_фМ]^_)=0; АГ ^-=2У|Р(х„ а„ аг, ч . fln)_<p(Xf)]-^-| = 0; да2 I да2 I | (5.3> ’-?---ai> ...................ая)-ф(*|)1-^-|=0. Отп 1 1 • ‘ ‘ ‘.............- ®an J Из физического смысла решаемой задачи следует, что условиям (5.3) соответствует минимум функции s. Таким образом, для определения п неизвестных параметров ап имеется система п уравнений. Часто в качестве аппроксимирующей; выбирается функция вида Р = а1 + агх + а3х2+ . . . +а„хп~1. (5.4> Применительно к выраже шю (5.4) система уравнений (5.3) примет в ds N j ад = 2 2 + a^Xi + а»х2 + . • .+an*£ *—4>(*i)l = 0; 1 Z=1 j ds N -7— = 2 2 + аэ*?+ . . . + an*"_1—Ф (•*«)! = °; ' 2 2 “f" a^Ci a9Xl'i~ • • • 4" anxl 1 Ф(•*«)]** }—0. (5-5) После несложных преэбразований системы уравнений (5.5) получается aiN + a2'^xi + a3^xl+ . . .+a„^xt =Д<р(х,); Xi + Ог^^ + аз • • • + an^*‘ = Д N , N N .. N , „ Oigx?-1 + афхЧ + а3^+*+ . . . + an^x2tn-2 x ф(хг). (б4 98
Система (5.6) представляет собой систему п уравнений первой степени с п неизвестными значениями параметров ап. Величины N, х{, <p(xf) известны из эксперимента. При.п^ЛГ система имеет единственное решение, которое может быть получено с использованием ЭВМ. При n=N численные значения свободных параметров, определенных по первому и второму способам, иден- тичны, а все опытные точки совпадают с аппроксимирующей зави- симостью. При ti>N системы уравнений (5.1), (5.3) и (5.6) пере- определены и допускают множество решений. Так же как и в пре- дыдущем случае, стремиться к значительному- увеличению числа свободных параметров обычно нецелесообразно не только из-за существенного усложнения аппроксимирующей функции и ее даль- нейшего использования, но и из-за того, что. хорошее сглаживание погрешностей эксперимента будет иметь место лишь в случае В то же время для удовлетворительного описания доста- точно сложного характера изменения определенной опытным путем величины требуется увеличить число п. ! . Оптимальное число свободных параметров определяют из усло- вия 6П — о, где б„ — среднеквадратичное отклонение опытных точек от аппроксимирующей зависимости бп=|/~^2.i ? q — среднеквад- [ ратичная погрешность эксперимента. | . Условие бп^>о означает, что математическая погрешность ап- / проксимации много больше погрешности опытных данных, поэтому ! следует увеличить число свободных параметров. При 6n<Jo часть 1 свободных параметров недостоверна и надо уменьшить п. Если I при выбранном исходя из указанных соображений значении п вы- ti .лолняется условие n<^N, то вид аппроксимирующей функции вы* S -бран удачно. При n^N следует подобрать более подходящий вид г аппроксимирующей функции. Пример аппроксимации опытных данных функцией вида (5.4) методом наименьших квадратов с числом параметров л=2, близким к оптимальному, показан на рис. 5.1 (линия 2). В тех случаях, когда отыскивается функция, зависящая от нескольких факторов, задача несколько усложняется, хотя рассмот- ренные выше применительно к функции одного переменного прин- ципы сохраняются и здесь. При достаточно большом числе влияю- ,щих факторов оправдано использование теории планирования экс- .леримента, открывающей возможность отыскания аппроксимирую- . щей функции наиболее рациональным путем с одновременным контролем качества адшроксимации (см. гл. 6). Интерполяция и 'экстраполяция. Если проведению операций Интерполяции предшествовало нахождение аппроксимирующей «функции, то значение искомой величины в нужных точках проще ? всего найти с использованием полученного уравнения, в противном «случае можно воспользоваться графическим способом или, что осо- бенно удобно при обработке данных на ЭВМ, готовыми интерпо- ляционными формулами. Так, если в результате эксперимента по- лучена совокупность значений (хь <pt); (х2> Ф2); —; (хп, <рп), то 4» 99
величина <р при значении аргумента х, не реализованном в опыте» определяется с использованием интерполяционной формулы Лаг- ранжа (х—х»)(х—х,) . . . (х — хп) (*i—х,) (хх—х,) . • . (xi —Хп) "г |, (х —хх)(х —ха) . . . (X —Хп) + **(хх —хх) (х, —х,) . . . (х,—хп) * , (х—хх)(х —ха) ♦ . (х —хп-1) /5 7х (хп — хх) (хп хх)... (Хп Хп—х) В последнее время все чаще применяется интерполяция опыт- ных данных с использованием так называемых сплайнов. При этом предварительно весь диапазон исследования разбивают на некоторое (в общем случае произвольное) число участков, а в пределах каждого участка результаты эксперимента аппроксими- руют многочленом вида (5.4). Часть свободных параметров каж- дого такого многочлена, имеющего степень п—1, определяется из условия обеспечения непрерывности функции и ее производных до (п— 2)-го порядка включительно на границах соседних участ- ков. Остальные параметры определяются методом наименьших квадратов. Функцию вида (5.4), аппроксимирующую эксперимен- тальные результаты на каждом выделенном участке изменения аргумента и непрерывную вместе со своими производными до (п — 2) -го порядка включительно на внутренних границах участ- ков, и называют сплайном. Экстраполяцию результатов исследования во избежание серьез- ных ошибок следует применять с большой осторожностью, но в то же время полностью игнорировать ее возможностей нельзя, так как в некоторых случаях это единственный путь получения или проверки новых результатов. Дифференцирование и интегрирование. При численном диффе- ренцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть полу- чены лишь после выполнения каким-либо способом операции сгла- живания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (и<У). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. Интегральные характеристики гораздо менее чувствительны к погрешностям эксперимента, поскольку погрешности противополож- ного знака компенсируют друг друга; поэтому возможно числен- ное интегрирование таблицы экспериментальных результатов без их предварительного сглаживания. Однако если ранее была полу- чена аппроксимирующая функция, то операцию интегрирования удобно проводить над ней аналитическим способом. 100
§ 5.3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Редкое экспериментальное исследование обходится без построе- ния графиков и их анализа. Обладая большой простотой и на- глядностью при небольших затратах труда, графический способ анализа позволяет получить решение многих из стоящих перед исследователем задач. По сравнению с математическими приемами анализа графический способ обладает невысокой точностью, по- этому его наиболее целесообразно использовать в процессе пред- варительной обработки данных для выявления качественных зако- номерностей исследуемого явления, для иллюстрации результатов математического анализа и представления полученных резуль- татов. Для того чтобы с помощью графика можно было получить максимум информации об исследуемом явлении, его размеры, мас- .штабы для координатных осей и разметка шкал должны быть выбраны такими, чтобы цена наименьшего деления соответство- "вала примерно значению среднеквадратичной погрешности иссле- Рис. 5.2. К выбору масштаба для координатных осей 101
Таблица 5.1 Вид функции Новые переменные Ось абсцисс £ Ось ординат т) у — ax-j-fr X У у =- ахь logx* , logy* y = a-l(flx X logy* у = aebx X logy* а + 6х 1 1 » X X 1 X У ' У « + !» +С X 1 и у = a + Ьх сх2 X У~У? . X—Х1 y = a-106jc+ex* X log У -‘hog у** X — Xi у = aeftx+«’ X logy —logy** X — Xi * Логарифмы с произвольным основанием. *♦ Xi, Vi~ координаты произвольной точки, лежащей на аппроксимирующей кривой. дуемой величины. Если будет выбран значительно более крупный или мелкий масштаб, то соответственно в первом случае большой разброс опытных точек может затруднить или даже сделать невоз- можным установление закономерности изменения исследуемой ве- личины, а во втором случае случайные отклонения полностью сгладятся и из графика невозможно сделать заключение о качестве эксперимента. Сказанное иллюстрирует рис. 5.2. Масштаб среднего графика выбран правильно. Очень часто бывает удобным или даже необходимым систему координат выбрать так, чтобы экспериментальные точки в этой 102
системе группировались около прямой линии. Имея результаты, которые в той или иной системе координат могут быть представ- лены в виде прямой, легко найти одним из описанных выше мето- < дов ее уравнение и после преобразования координат получить | эмпирическую формулу. В табл. 5.1 приведена сводка формул для I, преобразования системы координат с целью получения линейной v зависимости применительно к некоторым часто используемым ь, функциям. Рекомендуется следующий порядок построения линейных гра- фиков: а) полученные данные наносят на график с координатами х, у и проводят плавную кривую; б) из табл. 5.1 выбирают функцию, характер изменения которой L В) наибольшей степени совпадает с характером изменения опытной L кривой; К в) преобразование осей координат производят в соответствии к С указаниями табл. 5.1. I В новой системе координат получается линейная зависимость, If; которую можно использовать для дальнейшего анализа. К. В координатах g, т) функция, аппроксимирующая опытные дан- Н» ные, принимает вид | П = + (5.8) £ . В этом случае система уравнений (5.1) или (5.3) для бпреде- | ления свободных параметров и включает два уравнения и & легко решается. к. Расчетные формулы для определения параметров ai и а2 мето- Е' ДОм наименьших квадратов имеют вид Р N N N N N N лг L'; ч = N \» N ’ °2 " 7Т АГ Я*I? (Sit) -АГТ преобразованием системы координат 103 I (5.9) I Значения величин тц находят по результатам эксперимента. Параметр а\ определяет длину отрезка, отсекаемого аппрокси- Ь,:мирующей прямой на координат- LflKH оси t|, построенной от нача- координат, а параметр п2 ха- Вгеризует угол наклона этой мой к координатной оси £. чение а2 численно равно тан- йгевсу этого угла (рис. 5.3). Иног- Е.Ж значение одного из свободных ^параметров (аг или а2) удается £ определить из теоретических со- 1 Обряжений. В этом случае один из параметров фиксируется, а f Другой свободный параметр нахо-
дится с помощью полученных опытных данных методом наимень- ших квадратов. Расчетные соотношения метода наименьших квад- ратов: а) известно значение at, N — aiN (5.10) <% = N б) известно значение а^ N Л; — at (5.11) «1 = По найденным значениям свободных параметров at и о2 строится аппроксимирующая прямая. § 5.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ И ИХ ПРОВЕРКА Измерение любой экспериментальной величины осуществляется при воздействии помех, поэтому исследователь имеет дело со слу- чайными величинами. Кроме расчета статистических характери- стик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и т. д., см. § 2.2) основной зада- чей статистического анализа результатов исследования (наряду с дисперсионным и регрессионным анализами, см. § 5.5) является проверка статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимаются некоторые пред- положения относительно свойств генеральной совокупности той или иной случайной величины. Например, предполагают, что гене- ральная совокупность распределена по нормальному закону — гипо- теза нормальности, гипотеза о равенстве математического ожидания заданному значению и др. Проверка гипотезы заключается в со- поставлении некоторых статистических показателей, критериев проверки, вычисляемых по выборке, со значениями этих показате- лей, определенных теоретически в предположении, что проверяе- мая гипотеза верна. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, еще до получения вы- борки задаются уровнем значимости а. Наиболее употребителен в технике уровень значимости 0,05 (хотя могут быть использованы и другие — 0,1; 0,02; 0,01; 0,001 и т. д.) Меньшие а соответствуют данным, полученным с высокой точностью и в большом объеме. Уровню значимости соответствует доверительная вероятность р — = 1 — а. По этой вероятности, используя гипотезу о распределении оценки 0* (критерия значимости), находят доверительные (кван- тильные) границы, как правило, симметричные 0а/г и Gi-a/г. Числа 104
Оа/2 и 01-а/2 называют критическими значениями гипотезы; значе- ния 0*, меньшие чем 0<х/2 и большие чем 01-а/г, образуют крити- ческую область гипотезы или область непринятия гипотезы. Если найденное по выборке значение 0О попадает между 0а/2 и 01-а/2, то гипотеза допускает такое значение в качестве случайного, и поэтому нет оснований ее отвергать. Если же найденное значе- ние 0о попадает в критическую область, то гипотеза отвергается. При этом можно совершить ошибку и отвергнуть гипотезу, которая на самом деле верна. Однако вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Например, при а=0,05 можно со- • вершить ошибку в пяти случаях из ста. Рассмотрим кратко лишь те законы распределения или крите- I. рии, которые наиболее часто применяются в теории эксперимента *. , Критерий распределения Стьюдента применяется, когда необ- ' ходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое [ ожидание М{х} генеральной совокупности некоторому предпола- £ ремому значению с, или когда нужно построить доверительный | интервал для величины Л1{х}: It=^Vn. (5.12) i Здесь х — нормально распределенная случайная величина;/! — объем выборки; под р, здесь подразумевается либо с, либо М{х}; i « — корень квадратный из выборочной дисперсии. Если при расчете t по (5.12) окажется, что то делается j. вывод, что гипотеза М{х} = с не противоречит результатам наблю- ’дений при принятом уровне значимости а, в противном случае эта гипотеза отвергается. Критерий Пирсона (х2-критерий) применяется в основном для г того, чтобы по известной выборочной дисперсии s2 судить о гене- ральной дисперсии о2: : ‘5,3, С его помощью рассчитываются доверительные границы для генеральной дисперсии: < ая{х}< (»—l)saM (5.14) . Х2 Х1 где xi2 и Х22 находят из таблиц по f=n— 1 степеням свободы и по уровням значимости ai = l—a/2; a2 = a/2 (здесь а—принятый уровень значимости). f Критерий Фишера (F-критерий) применяется для решения задач от однородности генеральных дисперсий путем сравне- ния выборочных дисперсий «!2 и s22 (проверка однородности * Критические значения статистических критериев приводятся в специаль- ных таблицах (см., например, [6]). 105
дисперсий: F = s?/s!, (5.15) причем в числитель ставится большая из двух дисперсий. Если F<Fkp, то принимается гипотеза о равенстве генеральных дис- персий Oi2{x}=o22{x} при принятом уровне значимости а. Критерий Кохрэна (G-критерий) применяется для проверки однородности многих дисперсий, но определенных с одними и теми же степенями свободы (т. е. определенных по одним и тем же выборкам): (516) где S]2 — наибольшая выборочная дисперсия. т-критерий служит для выявления промахов или грубых ошибок: т=|х—xf/s; (5.17) здесь х — крайний (подозрительный) элемент выборки. Применяется этот критерий так: по таблицам определяют зна- чение та-а, и если t<ti-а, то выпадение х случайно и выбрасы- вать его нельзя, если т>Т1-а, то это промах и его следует отбро- сить. . , § 5.5. ДИСПЕРСИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗЫ Цель дисперсионного анализа определить, влияют ли факторы х на у на фоне помех. Различают однофакторный (у зависит от одного фактора) и многофакторный (у зависит от нескольких факторов) дисперсионный анализ. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соот- ветствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ. В самом простом случае дисперсия наблюдений о2 известна заранее и ис- следуется один переменный фактор х. Пусть в этом случае при изменении фактора х получились результаты наблюдений yi, у2,... уп. Найдем выборочную дисперсию s2. Сравним эту дисперсию с генеральной дисперсией ст2. Если s2 от о2 отличается незначимо, то и влияние фактора х нужно признать незначимым. Если же s2 отличается значимо от о2, то это может быть вызвано только влиянием фактора х, которое следует признать значимым. Факт значимости устанавливается по критерию Фишера F=s2lcF. Задав- шись уровнем значимости а, найдем табличное значение F\-a. Если F<F1_a, то дисперсии s2 и о2 однородны и х не влияет на у. Если F>Fi-a, то s2 и о2 неоднородны и х влияет на у на фоне помех. Однако часто бывает так, что заранее дисперсия о2 неизвестна. Рассмотрим снова действие единичного фактора х, который при- 106
нимает п различных значений (уровней фактора). На каждом Лм уровне производится т наблюдений (примем т одинаковыми для каждого уровня, в этом случае расчеты наиболее просты). Обозна- чим через уг среднее значение наблюдений на i-м уровне: т S Уи Уг = -^-- <518> ч Вычислим выборочную дисперсию на каждом уровне: о 1 т _ s? = ——(5.19) in—1 Для проведения дисперсионного анализа необходимо общую выборочную дисперсию п т S Ё (^-у)4 sa = ------- (520) тп — 1 : разложить на составляющие, которые характеризовали бы вклад I фактора х и фактора случайности. Ь Если дисперсии (5.19) однородны (это можно проверить по *' критерию Кохрэна), то хорошей оценкой дисперсии, характери- * зующей фактор случайности, является п ‘ . (5.21) п Общее среднее для всей выборки из пт наблюдений равно п = Xyt У= —----. (5.22) п Дисперсия, характеризующая вклад фактора х, рассчитывается по соотношению я > — Далее, используя критерий Фишера и сравнивая его с табличным значением при выбранном уровне значимости, можно сделать вывод о значимом или незначимом влиянии х на у. С двухфакторным дисперсионным анализом можно познако- миться в специальной литературе [3, 6]. (5.23) 107
Если дисперсионный анализ отвечает на вопрос, влияет ли данный фактор (факторы) на у, то задачей регрессионного ана- лиза является выяснение количественных характеристик этого влияния. При использовании статистических методов уравнение связи* параметров процесса чаще всего представляется в виде уравнения регрессии N N N „ y = b0 + S}btxt+ V bulxuxl + 'VbiiXlt + . . . (5.24) , Коэффициент b0 называют свободным членом уравнения ре- грессии; коэффициенты Ь,- — линейными эффектами; коэффици- енты Ьц — квадратичными эффектами; bui— эффектами парного взаимодействия. Коэффициенты уравнения (5.24) определяются методом наименьших квадратов с учетом среднеквадратичных по- грешностей зависимой и независимой переменных. Для случая, когда независимые переменные определены точно, этот метод рас- смотрен в § 5.2. С более сложными случаями можно ознакомиться в специальной литературе, например [3, 6]. После того как уравнение регрессии найдено, необходимо про- вести статистический анализ результатов. Он заключается в про- верке значимости всех коэффициентов регрессии и адекватности уравнения. Предварительно необходимо проверить однородность дисперсий. Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента (5.25) где bi — t-й коэффициент уравнения регрессии; Sbf — среднеквад- ратичное отклонение i-ro коэффициента. Для линейной регрессии от одного параметра Если больше табличного ta для выбранного уровня значи- мости а, то коэффициент bi значимо отличается от нуля. Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрес- сии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку они статистически связаны друг с другом. Уравнение связи в литературе часто называют математической моделью. 108
Проверить адекватность уравнения — это значит убедиться в том, что оно достаточно верно описывает качественно и количе- ственно реальный процесс. Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера F — Sag/ Ssocnp- (5.27) Здесь £ад2 — дисперсия адекватности. Для одинакового числа дублирующих опытов $ад2 вычисляется по соотношению п __ т X (и —уа* £-------------------- (5-28) где у — значение у, рассчитанное по уравнению регрессии. Если F меньше табличного значения F]_o для уровня значи- мости а, то уравнение адекватно эксперименту. Случай, когда уравнения регрессии имеют более сложный вид, а также многофакторный регрессионный анализ рассматри- вается в специальной литературе (например, в [6]). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. — Л.: Наука, 1974. 108 с. 2. Калиткин Н. И. Численные методы. — М.: Наука, 1978. 512 с. 3. Кацев П; Г. Статистические методы исследования режущего инструмен- та. — М.: Машиностроение, 1974. 240 с. 4. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Л.: Энергия, 1978. 261 с. 5. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский Н. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — М.: Наука, 1965. 512 с. 6. Химмельблау Д. Анализы процессов статистическими методами. — М.: Мир, 1973. 957 с. 7. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. 381 с. Глава 6 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ § 6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВИДЫ ПЛАНОВ Математическое планирование экспериментов, которое пред- шествует постановке физического, математического и аналогового экспериментов и сопровождает их выполнение, является средством сокращения числа экспериментов и повышения достоверности вы- являемых при исследовании зависимостей. Целью математического планирования эксперимента может быть также отыскание экстре- мальных значений исследуемых зависимостей с наименьшей за- 109
тратой средств и времени или уточнение коэффициентов в выра- жающих их уравнениях. Эмпирическую зависимость, которая выявляется в эксперименте, будем называть уравнением регрессии. Она выражается функцией отклика, связывающей результат эксперимента (или параметр оптимизации) с переменными параметрами, которыми варьируют при проведении опытов: У = ф(*1» х2, . . ., xN). (6.1) Независимые переменные хх, х2....xN принято называть фак- торами, а их значения (для каждого фактора п значений) — уров- нями факторов. Координатное пространство с координатами Xi, x2;...,xN называют факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве — по- верхностью отклика. Различают основные и случайные факторы. К основным факто- рам относятся все изучаемые факторы, а также другие учитывае- мые и измеряемые факторы, служащие для стабилизации процесса. Все прочие неустраняемые факторы, не поддающиеся учету и измерению, относят к случайным факторам. Если в эксперименте выявляется зависимость у от одного фак- тора х, то такой эксперимент называют однофакторным. Когда на у влияет несколько факторов, то имеет место многофакторный эксперимент. До недавнего времени считалось, что единственно правильной является методика однофакторного эксперимента, при использо- вании которой в многофакторном эксперименте предполагается, что> исследователь может с любой степенью точности стабилизировать все независимые переменные системы, затем, поочередно изменяя некоторые из них, он может установить интересующие его зави- симости. Такой эксперимент называют еще пассивным. Необоснованно завышенное число уровней факторов п, имею- щее место при использовании методики однофакторного экспери- мента, приводит при многофакторном исследовании к резкому увеличению необходимого числа опытов (nN). Так, например, для полного исследования влияния четырех факторов, каждый из кото- рых может принимать по 5 значений (5 уровней), потребуется проделать 54=625 различных комбинаций экспериментов. Исследо- ватели, пользующиеся классической методикой однофакторного эксперимента, как правило, вынуждены ограничивать число экспе- риментов путем исследования только части существенных факто- ров (уменьшение N), уменьшения числа уровней каждого из фак- торов (уменьшение и) или исследования влияния каждого из факторов только при некоторых частных значениях других фак- торов. При этом страдает прежде всего достоверность уравнения регрессии. Лишь недавно возникла новая научная дисциплина — матема- тическая теория планирования эксперимента. Под планированием эксперимента (ПЭ) понимается постановка опытов по заранее- 110
’составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свой- ствами. В настоящее время можно выделить два основных направления в теории ПЭ: планирование экспериментов по выяснению меха- низма явлений и планирование экстремальных экспериментов. Пла- нирование первого типа применяется для нахождения уравнения регрессии. Во втором случае экспериментатора интересуют усло- вия, при которых изучаемый процесс удовлетворяет некоторому критерию оптимальности. Планирование эксперимента представляет собой новый подход к исследованиям, который позволяет успешно решать наиболее важные для исследователя вопросы: сколько и каких опытов сле- дует провести, как обработать их результаты, чтобы решить поставленную задачу с заранее заданной точностью при мини- мально возможном числе опытов. Методы ПЭ применимы к любым простым и сложным системам, -обладающим свойством управляемости (значения факторов можно менять по желанию экспериментатора) и необходимой степенью воспроизводимости результата. В теплофизическом эксперименте, имеющем свою специфику, математическое планирование пока используется не часта, хотя возможности для более широкого использования ПЭ имеются, так как в этом случае существует воспроизводимость результатов и возможность измерять и целенаправленно изменять переменные. Теплофизический эксперимент часто обладает высоким уровнем априорной информации, т. е. процессы (например, процессы тепло- массообмена и трения) с той или иной степенью приближения -описываются системой дифференциальных уравнений. В таком эксперименте есть возможность предварительно выявить методами обобщенных переменных или локального моделирования зависи- мые и независимые обобщенные переменные. Использование этой возможности позволяет сократить число переменных, влияние ко- торых предполагается изучать. При использовании методов ПЭ в таком эксперименте в качестве факторов следует использовать эти обобщенные переменные. В той области теплофизического экс- перимента, где не удается выявить обобщенные переменные, в качестве факторов при ПЭ используют абсолютные величины влияющих параметров. Следует отметить, что ПЭ предъявляет повышенные требования к тщательности проведения эксперимента. Статистические оценки результатов реализации плана эксперимента неизбежно отразят недостатки в экспериментировании. В ПЭ используются понятия планов первого и второго поряд- ков, ортогональных и ротатабельных планов. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести ак- тивный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содер- жащего только первые степени факторов и их произведения. Планы, второго порядка позволяют провести активный экспери- мент для отыскания уравнения регрессии, содержащего вторые 111
степени факторов. В дальнейшем увеличении порядка планов чаще всего нет необходимости. Уравнение регрессии должно быть адекватным, т. е. оно должно в некоторой области соответствовать реальному процессу с тре- буемой точностью. Ортогональные планы — это специальным образом составлен- ные планы, обладающие диагональной матрицей системы нормаль- ных уравнений (в такой матрице все члены, кроме расположенных по диагонали, равны нулю) и в связи с этим обеспечивающие простоту вычислений, независимость определения всех коэффи- циентов уравнения регрессии. Каждый коэффициент в таких планах определяется по результатам всех опытов. Ротатрбельные планы — это таким образом составленные пла- ны, что все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией. При построении плана эксперимента каждый исследователь стремится сделать этот план в определенном смысле оптимальным. К параметрам плана, которые обычно оптимизируются, относят число опытов в плане, степень использования факторного про- странства, среднюю или максимальную дисперсию найденных коэффициентов, среднюю или максимальную дисперсию результата эксперимента и т. д. Естественно, что каждому оптимизируемому параметру соответствует свой критерий оптимальности, на осно- вании которого производят выбор наилучшего варианта плана. Ис- пользуют. например А — (/-оптимальные планы, обеспечивающие наименьшие значения соответственно средней дисперсии найден- ных коэффициентов уравнения и максимальной дисперсии резуль- тата эксперимента. Более подробные сведения о критериях опти- мальности и видах планов содержатся в [2, 4]. § 6.2. РАЦИОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Рациональное планирование экспериментов позволяет при ми- нимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю пло- щадь таблицы возможных сочетаний влияющих факторов. В этом случае эксперимент планируется так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было повторных сочетаний. На рис. 6.1 показан один из возможных планов такого сочетания четырех факторов, каждый из которых может принимать пять значений. Номер столбца средних (по значению) квадратов соответствует номеру уровня фактора Xi, а номер строки средних квадратов — номеру уровня фактора х3. Из 25 возможных сочетаний факто- ров х2 и Х4 в каждом из средних квадратов мы выбираем только одно, обозначенное зачерненной клеткой, причем в каждой строке и в каждом столбце мелких квадратов должна быть только одна такая клетка. Нетрудно убедиться, что для каждого уровня одного из факторов, например для xi = l, все уровни прочих факторов встречаются одинаково часто. Так, в этом случае: х3=3, 4, 5, 2, 1; х3=1, 2, 3, 4, 5 и х4=1, 2, 3, 5, 4. Поэтому при определении 112
t Ряс. 6.1. Рациональный план эксперимента для четырех факторов и пяти L уровней | результатов для Xi = 1 влияние трех других факторов усреднится Ви результат будет соответствовать хг=3; х3=3; х<=3. I Производя такое усреднение для каждого уровня фактора xIt. гможно найти зависимость результата только от этого фактора |при нейтрализации влияния остальных трех факторов. Анало- гично можно выявить влияние только фактора х2 при нейтрали- зации Xi, х3 и х4. Меняя порядок усреднения, можно из одних я тех же данных 25 опытов найти влияние всех четырех первичных факторов. Таким образом, данная методика позволяет заменить Ьолное число сочетаний влияющих факторов, равное 625, всего оишь 25 специально подобранными сочетаниями факторов, т. е. Сократить объем экспериментов в 25 раз. № Методика построения комбинационных квадратов. Весь после- дующий анализ проводится для четырех первичных независимых Круг от друга факторов. При этом решение более простых случаев Зависимости результатов от трех или двух факторов может быть Июлучено из основного случая при условии, что один или два Вактора будут постоянными. Случаи с пятью и более первичными пасторами рассмотрены в [5]. К: Отроится большой комбинационный квадрат (рис. 6.2) и рядом Июмещается средний квадрат в окружении четырех таких же сред- Ник квадратов, примыкающих к нему крест-накрест (см. верхнюю' В&сть рис. 6.2). Пронумеруем в среднем квадрате все клетки от 1 Кк) 25. Центральную клетку в большом квадрате обозначим циф- дой 13, т. е. цифрой, располагающейся в центральной клетке сред- 11?
него квадрата. Затем отметим клетки отдельного среднего квад- рата, идущие по диагонали слева направо и сверху вниз 1, 7, 13, 19, 25, и аналогичные им клетки в третьем столбце большого квадрата просто сверху вниз. Отметим также клетки отдельного -среднего квадрата, идущие сверху вниз и справа налево, 5, 9, 13, 17, 21 и аналогичные им клетки в третьей строке большого квад- рата, идущие справа налево. Таким образом, клетки, располагаю- щиеся на диагонали отдельного среднего квадрата 1, 7, 13, 19, 25, расположатся на большом квадрате вдоль крутой наклонной ли- ли
I I I ЙРис. 6.3. Заполненный комбинационный квадрат |яии в третьем столбце. Клетки, располагающиеся вдоль другой [Диагонали 5, 9, 13, 17, 21, при переносе со среднего квадрата на (большой квадрат расположатся полого в третьей стрбке большого* Ййадрата. № Если использовать этот же прием, но отсчет вести не от цен- тральной клетки 13, а от какой-либо другой, например 19, то вридется продолжить диагональ в квадраты, примыкающие к от- дельному среднему квадрату, т. е. взять клетки 2, 23, 19, 15, 6. (При переносе этих клеток в большой квадрат они расположатся юдоль ломаной линии в четвертой строке большого квадрата. Про- |должая это построение, получаем расположение всех 25 клеток ЦТ1 большом комбинационном квадрате, причем все клетки будут ВЬеть различные номера, т. е. соответствовать различным соче- Цаниям первичных факторов. иР Аналогичными приемами могут быть построены комбинацион- Epie квадраты для 7-го, 8-го и т. д. уровней каждого из четырех Пгакторов. №< Методика обработки данных. Сущность методики рассмотрим Ка примере для четырех факторов Хъ х2, х3, х4, каждый из которых Иржет принимать одно из пяти следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5. РЭпыты выполнены по плану, изображенному на рис. 6.3. В клетках, г^бозначающих комбинации уровней факторов в опытах, записаны РЖачения переменной величины у, полученные в результате про- 'Шдения эксперимента. Данные опытов сгруппируем по значениям факторов (табл. 6.1, 6.2). П5
Таблица 6.1 X» *1 Среднее 1 2 3 4 5 1 29 15 33 24 49 30 2 23 34 42 28 33 32 3 22 43 36 32 37 34 4 26 37 20 56 41 36 5 30 21 39 50 50 38 среднее 26 30 34 38 42 — Таблица 6.2 х4 х» среднее 1 2 3 4 5 1 22 39 34 49 56 40 2 33 26 33 50 43 37 3 24 37 30 37 42 34 4 21 28 41 36 29 31 5 20 15 32 23 50 28 среднее 24 29 34 39 44 — Для каждого уровня первого, второго, третьего и четвертого факторов находим средние значения величины у. Нанося в системе координат средние значения величины у, соответствующие уровням фактора Xi, получаем график зависимости у от Xi. Аналогично строятся графики зависимостей у от остальных факторов. Согласно полученным данным функция у линейно зависит от каждого из факторов. Параметры этих зависимостей найдем с использованием метода наименьших квадратов. Так как все графики частных за- висимостей величины у от каждого из факторов аппроксимируются с достаточной точностью прямыми, то зависимость у от всех фак- торов может быть представлена суммой частных зависимостей. Свободный член этой зависимости Ьо определяется следующим образом. Подставляя в найденное уравнение значения факторов первого опыта и величину уъ полученную в этом опыте, находим значение ЬОь Аналогично находим для последующих опытов вели- чины бог. ^оз,..., bOk. Искомый параметр Ьо определяем как средне- арифметическое величин Ьоь &02. .... ЬОк, где k — число проведен- ных опытов. Более сложные примеры обработки опытных данных, когда зависимости имеют нелинейный вид, рассмотрены в [5]. Таким образом, методика рационального планирования экспе- римента, существенно уменьшая число необходимых опытов, позво- ляет исследовать некоторые многофакторные системы, однако она имеет и ряд недостатков. К числу основных недостатков отно- 116
сятся: отсутствие статистического обоснования результатов, что может привести к ошибочным выводам; ограниченная область при- менения (описанная методика построения плана эксперимента при- годна не для всякого числа уровней факторов); несовершенство недостаточная обоснованность способа получения эмпирических зависимостей. Эти недостатки устраняются в методах статистического пла- нирования эксперимента, рассмотренных в следующих параграфах. ’ § 6.3. ПЛАНИРОВАНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Представление неизвестной функции отклика (6.1) полиномом Является наиболее удобным. На первой стадии исследования [доычно принимают полином первой степени. Так для трехфак- Иорной задачи теоретическое уравнение регрессии в этом случае Йдееет вид М {у} = 00 + Ч" 2 4~Pi23Xl (6-2) К. Ки к Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного выше теоретического уравнения, имеет вид Ч , з 3 I, у=4+2 bi*t + S *»*»> (6-3) К “ i,1Si К- 1<м Кде коэффициенты регрессии Ьо, Ьг, biu, Ьцз являются оценками Кля теоретических коэффициентов регрессии р0, pt-, ptu и р12з> т. е. К. bt — pt; btu -► pJe; -* рш; b0 —Po. t Выбор основных факторов и их уровней. В качестве факторов Можно выбирать только контролируемые и управляемые перемен- ные, т. е. такие, которые исследователь может поддерживать по- И&оянными в течение каждого опыта на заданных уровнях. В число факторов должны быть включены параметры процесса, Указывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Для Выяснения наиболее важных факторов анализируется априорная «формация, ранее проведенные аналитические и эксперименталь- ное исследования. При необходимости с этой целью проводят специальные опыты, получившие название «отсеивающий экспери- мент». Для каждого фактора надо указать тот интервал изменения |йараметров, в пределах которого ставится исследование. Для [этого на основе априорной информации устанавливаются ориен- рТйровочные значения факторов (при оптимизации они выбираются Итак, чтобы их комбинации давали наилучший результат или близ- t 117
кий к нему). Этой комбинации значений факторов соответствует многомерная точка в факторном пространстве, которая и прини- мается за исходную точку при построении плана эксперимента. Координаты этой точки называют основными (нулевыми) уров- нями факторов. Интервалом варьирования факторов называется некоторое- число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основ- ному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни фак- тора. Этот интервал принимается за единицу нового масштаба измерения фактора. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выби- раются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний —1, а основной соответствовал 0. Для факторов с непрерывной областью определения это дости- гается с помощью формулы преобразования Хг = (хг—'х<0)/Дхг, (6.4> где Xi — кодированное значение фактора; Xi— значение фактора в натуральных единицах; х«> — значение основного уровня в нату- ральных единицах; Axi — единица масштаба (интервал варьиро- вания) ; i — номер фактора. Выбор интервалов варьирования производится на основе опыта, и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов, оценивать силу влияния фактора на от- клик у, погрешность измерения величины у. Все это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение у. Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспе- риментов такую единицу масштаба, которая давала бы возмож- ность для шагового движения к оптимуму. При описании процесса единица масштаба должна охватывать всю область, подлежащую* описанию интерполяционным полиномом. Минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка интерполяционного полинома. Поскольку резуль- таты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить пг параллельных опытов (обычно т=2-4-4), осреднение результатов которых дает возможность уменьшить погрешность оценки истинного значения отклика & Vm раз. Эксперимент делится на пг серий опытов. В каждой серии последовательность опытов рандомизируется, т. е. с по- мощью таблицы случайных чисел определяется случайная после- довательность реализации опытов в каждой серии. Рандомизация позволяет ослабить или исключить вовсе влияние неконтролируе- мых случайных или систематических погрешностей на результаты исследования. Рандомизация подробно описана, например, в [2]. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все воз- 118
Таблица 6.3 № точки плана (о) *• xl Xt X» XtXt XiXi. *1*3 XiXtXi Отклик 1 fl —1 —1 —1 4-1 4-1 4-1 —1 У1 t 2 f 3 +1 4-1 —1 —1 —1 —1 4-1 4-1 Уз +1 —1 4-1 —1 —1 4-1 —1 4-1 Уз 4 +1 4-1 4-1 —1 +1 —1 —1 —1 У4 h 5 +1 —1 —1 4-1 +1 —1 —1 4-1 Уь 6 +1 4-1 —1 -Ы -1 4-1 —1 —1 Уз 7 +1 —1 4-1 4-1 —1 —1 +1 —1 Уч 8 +1 4-1 4-1 4-1 +1 4-1 +1 +1 У? J ' L кожные неповторяющиеся комбинации уровней независимых фак- , -торов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций равно 2х. Нахождение уравнения регрессии * методом ПФЭ состоит из: а) планирования эксперимента; б) соб- i ственно эксперимента; в) проверки воспроизводимости (однород- «ости выборочных дисперсий); г) получения уравнения регрессии t «е проверкой статистической значимости коэффициентов регрессий; [• д) проверки адекйатности уравнения регрессии. [ Условия эксперимента записывают в виде матрицы планиро- вания. Пример матрицы планирования для трех факторов. дан в табл. 6.3. Здесь столбцы Xi, х2, х3 образуют матрицу плана; Эти ; «столбцы задают планирование — по ним определяются условия опытов. Последующие столбцы матрицы получаются перемноже- нием соответствующих значений факторов хь х2 и х3. В матрицу , добавляется еще один столбец — фиктивная переменная Хо для j расчета свободного члена Ьо в уравнении регрессии. Значение Хо '-одинаково во всех строчках и равно +1. Матрицу плана можно представить геометрически (рис. 6.4). Условия проведения опытов соответствуют координатам вершин куба, центром которого является основной уровень, а ребра соот- ветственно параллельны коорди- натным осям, их длина равна двум интервалам. Номера вершин :куба соответствуют номерам то- чек в матрице планирования. 1 Рис. 6.4. Геометрическое I, изображение полного «факторного эксперимен- : та 23 119
Рис. 6.5. Иллюстрация принципа увеличения точности определения уравнения регрессии при планиро- вании эксперимента Можно наглядно показать, что точность определения уравнения регрессии с использованием мето- дов ПЭ выше. Иллюстрируем ска- занное примером. Пусть требуется найти коэффициенты регрессии Ьо и bt уравнения y=b0+btx по двум опытам. При одинаковых погрешно- стях с увеличением интервала или радиуса области изменения фактора х точность определения коэффици- ентов регрессии растет. Перенесем этот принцип повышения точности линейного уравнения регрессии на многофакторные процессы. Это можно сделать двумя путями. Пер- вый путь — увеличение интервалов варьирования по каждому фак- тору (точно так же, как и в однофакторном процессе). Однако в многофакторном пространстве есть еще один принципиально иной путь увеличения радиуса области изменения факторов — путь од- новременного варьирования уровней всех факторов без увеличения интервала каждого фактора. Рассмотрим, что это дает при Д'=2 (при —1, +1). Опыты, спланированные по методике однофактор- ного эксперимента, в факторном пространстве, очевидно, будут представлены точками (0, +1), (0, —1), (+1, 0), (—1, 0) (рис. 6.5), лежащими на осях х^ и хг. Если же изменить значения уровней факторов одновременно, то точки плана, построенного в соответствии с концепцией много- факторного эксперимента, расположатся в вершинах внешнего квадрата ( + 1, +1), (—1, +1), (—1, —1), ( + 1, —1) (см. рис. 6.5). Ясно, что при этом исследованная область изменения факторов будет больше. Отметим, что этот эффект тем ощутимее, чем больше размерность N факторного пространства. В самом деле, при пла- нировании по методике однофакторного эксперимента опорные точки всегда располагаются на концах хорд длиной 2 единицы, при многофакторном планировании опорные точки располагаются на концах диаметров, длина которых 2 , т. е. в раз больше. При М=2 построение матриц ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема. Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки чередуются пооче- редно, во втором — через 2, в третьем — через 4, в четвертом — через 8, в пятом — через 16 и т. д. по степеням двойки. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить ком- бинации уровней исходного плана сначала при значении нового» фактора на верхнем уровне, а затем — на нижнем. 120
Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, делающих их опти- мальным средством получения уравнения регрессии по результатам эксперимента. Для любого числа факторов коэффициенты будут вычисляться по формуле k _ , (6.5) К т У где i=0, 1, 2,.., N — номер фактора; yv = ------средний отклик tn по т опытам в точке с номером v (здесь / — номер параллельного опыта в точке »); k — число опытов в матрице. Планирование эксперимента исходит из статистического харак- тера зависимостей, поэтому полученные уравнения связи подвер- гаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимум информации и убедиться в до- стоверности полученной зависимости и ее точности. Каждый эксперимент несет в себе какую-то погрешность, для повышения надежности производят повторения опытов при тех же условиях, т. е. повторяют для каждой строки таблицы планиро- вания. Построчные дисперсии подсчитывают по формуле т где т — число повторных опытов в точках плана. Дисперсия отклика s2{y} есть среднеарифметическая дисперсий всех k различных вариантов опытов: k km S У У (t/vj — у»)г 52 М = “4“ = 0=1 Г/т П------------• (6-7) к к (т — 1) Прежде чем производить объединение дисперсий, надо убе- диться в их однородности. Проверка производится с помощью критериев Фишера и Кохрэна (см. гл. 5). Гипотеза об однород- ности дисперсий принимается, если экспериментальное значение критерия Кохрэна или Фишера не превышает табличного зна- чения. Далее на основе метода наименьших квадратов находится уравнение регрессии, после чего предстоит выполнить статистиче- ские оценки полученного уравнения. Проверка значимости каждого коэффициента проводится неза- висимо. Для этого можно использовать проверку по /-критерию Стьюдента. Прежде всего находят дисперсию коэффициента ре- грессии. При равномерном дублировании опытов по точкам с чис- 121
лом повторных опытов т она определяется по формуле s'tb"=^~- (6-8> кШ Далее рассчитываются значения /«-критерия. Если /г>/Кр, то коэффициент Ь{ признается значимым, в противном случае &г- считается статистически незначимым, т. е. йг=0. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выход- ного параметра у и переменных х«, включающего только значимые коэффициенты. После вычисления коэффициентов уравнения следует прежде всего проверить его пригодность или адекватность. Для этого- достаточно оценить отклонение выходной величины у, предсказан- ной уравнением регрессии, от результатов эксперимента у в раз- личных точках факторного пространства. Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения связи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью остаточной дисперсии или дисперсии адекватности оад2> оценка которой, справедливая при равном числе дублирующих опытов, находится по формуле 4Д = -^-(69> R г и=1 где г — число членов аппроксимирующего полинома. Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией адекватности $ад2 и дисперсией воспроизводи- мости s2{y] и проводиться с использованием критерия Фишера Fr который в данном случае формируется как отношение F=s^ /s2{y}. Если вычисленное значение критерия меньше критического FKp для соответствующих степеней свободы fajl=k — r и fE=k(m— 1) при заданном уровне значимости а (см. § 5.4), то описание признается адекватным объекту. Рассмотрим пример использования полного факторного эксперимента. Урав- нение подобия, описывающее теплоотдачу на дне прямоугольной полости, кото- рая расположена поперек основного потока, при организации перед ней струйной завесы, полностью изолирующей полость от основного течения, можно предста- вить в виде Sts = ^Ref^?>, (6.10) где Ste, Ree — числа Стантона и Рейнольдса, построенные по параметрам струи и длине полости L; H=HIL — относительная глубина полости; z=z/L — относи- тельная координата вдоль дна полости. Коэффициенты д0, Ьь Ь2 и Ь3 найдем методом планирования эксперимента. Прологарифмировав (6.10), получим линейное уравнение регрессии, где в ка- честве факторов служат xi = lnRes; х2:=1п// и x3=lnz. Запишем его в кодиро- ванных значениях факторов хг (6.4), учтем также их возможное взаимное 122
влияние: 3 з У = 6о + 2 blxl + S btuXiXu + (6.11) i=l i, ct=l i<u _ _ _ 3 _ Здесь ^=lnSte; Ь< = Ь{£хс &0=lnb0+ У, b^xi0. /=1 Уровни факторов Xi и интервалы их варьирования представлены в табл. 6.4. Таблица 6.4 Уровни факторов Факторы xi Основной 0 Верхний +1 Нижний —1 _ Интервал варьирования Axj 16,242 16,545 15,9387 0,303 —0,634 0,1823 —1,4503 0,8163 —1,007 —0,1727 —1,8413 0,8343 Для нахождения коэффициентов уравнения (6.11) проведем ПФЭ с числом опытов 23. Опыты будем выполнять согласно матрице плана, приведенной в табл. 6.3, в случайной последовательности, а в каждой точке плана повторим их 3 раза. Далее вычислим построчные дисперсии (6.6), проверим их однородность по критерию Кохрэна (см. гл. 5) и определим дисперсию отклика (6.7). Коэф- фициенты уравнения (6.11) вычисляются по формуле (6.5), после чего по вы- ражению (6.8) находятся их дисперсии и по критерию Стьюдента (см. гл. 5) проверяется значимость каждого коэффициента. Обработка 24 опытов (8 опытов в матрице плана, повторенные 3 раза), проведенных на воздухе, позволила вычислить коэффициенты регрессии и после потенцирования уравнения (6.11) привести его к виду (полученное уравнение t записано в натуральных знначениях факторов и с учетом лишь значимых коэффи- циентов) п о97-(12,847-0,817 In Re -0,165 InzT St, = 1224,9Re7e’927/T s ’ z0-458. (6.12) Проверка его адекватности с использованием критерия Фишера показала, (Что в диапазонах изменения Re,= (0,836-5-1,533) 107; //=0,2345-5-1,2 и z= =0,1586-5-0,8414 оно достаточно точно описывает опытные данные. Дробный факторный эксперимент. Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследова- ния часто нужно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном 'числе экспериментов. Поэтому использовать полный факторный эксперимент для определения коэффициентов лишь при линейных членах и парных произведениях неэффективно из-за реализации 123
большого числа опытов (2N), особенно при большом числе факто- ров N. При увеличении числа независимых переменных N числа опытов (число точек в плане) растет по показательной функции, т. е. число оцениваемых коэффициентов JV-+-1 становится меньше числа точек плана 2N, в результате чего остается излишне много степеней свободы на проверку гипотезы адекватности. Разность vH=2N—(Л^+1) будет в этом случае характеризовать избыточ- ность плана; например, v«=l при N = 2; vr=11 при W=4; vb=57 уже при TV=6 и т. д. Полная матрица планирования (см. табл. 6.3) позволяет рас- считать восемь коэффициентов уравнения. Если есть основания счи- тать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной зависимостью, то достаточно определить четыре коэффициента Ьо, Ъ\, Ь2 и Ь3 уравнения у = b0 + frpfj 4- b^2 +baKa. (6.13) Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опы- тами, если в планировании ПФЭ для двух факторов (2^) исполь- зовать столбец табл. 6.5 XiX2 в качестве плана для х3 (табл. 6.6). Такой сокращенный план — половина ПФЭ 2s — носит название полуреплики от ПФЭ 23. Пользуясь таким планированием, можно определить свободный член и три коэффициента уравнения регрес-' сии при линейных членах. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то найденные коэффициенты b будут смешанными оценками для теоретических коэффициентов 0: ”*• Р1 + 023> ^2 “*• Ра 4" Р13> ^3 “*• Рз + Р12- (6-14) Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов. Для того чтобы опреде- лить, какие теоретические коэффициенты смешаны, удобно поль- зоваться таким приемом: поставив х3 на место Х]Х2, получим со- отношение х3 = XiX2, (6.15) называемое генерирующим соотношением. После умножения его на х3 получаем x32=xix2x3. Учитывая, что х32 = 1 (х3 равняется 124
+ 1 или —1), получаем 1 = XtXtXa. (6.16) Это произведение носит название определяющего контраста-, с его помощью удобно определять, в каких столбцах содержатся одина- ковые элементы, т. е. какие коэффициенты смешаны. Умножив по очереди определяющий контраст на хь хь х*, найдем Xj= Xi x2x8 = x2x8; x2 = XjXs; xs = x1x2. Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок (6.14), т. е-Pi смешан с 02-, 02— с 0i3, Рз — с 0i2. При использовании дробного факторного эксперимента (ДФЭ) необходимо иметь четкое представление о так называемой разре- шающей способности дробной реплики, т. е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для со- ответствующих теоретических коэффициентов. Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из экспери- мента. Например, в задаче с четырьмя факторами (N=4) в каче- стве генерирующего соотношения можно взять Х4=Х1Х2х3 или лю- бой из эффектов двойного взаимодействия, например X4=XjX2. Воспользовавшись определяющим контрастом 1=Х1Х2ХзХ4, по- лучим такую систему смешанных оценок: &i->-0i+0234; 6г->-02+0134; Ьз~>"03 + 01241 Ъг-*-04 + 01231 Ь12“>"012 + 034; &1Э->"01з+024! Ь14~>"014 + 023- В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если нас более всего по физическому смыслу задачи интересуют оценки для линейных эффектов, следует выбирать генерирующее соотношение X4=xix2x3. При генерирующем соотношении Х4=Х1Х2 определяющий кон- ; траст выражается соотношением l=XiX2x4. Получается следующая система оценок bi—>-0i + 024; &2—>-02+0i4; Ьз—>-03+0i234; Ь(-►04+012; &13->"01з+0234; ^23~>"02з+ 0134’, ^34“>"034 + 0123- Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотноше- нием x4=X]X2 имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты 0ХЗ, 023 и 034. Применяют дробные реп- лики и большей степени дробности (1/8 реплики, 1/4 реплики i и т. п.). » Дробные реплики позволяют резко сократить число экспери- ментов для описания процесса. Следует иметь в виду, однако, что применение ДФЭ имеет весьма серьезный недостаток — исклю- f чаются из исследования некоторые взаимодействия факторов. Как г правило, весьма затруднительно даже в практически известных ; процессах априорно установить отсутствие взаимодействия факто- ров. Поэтому использование ДФЭ, особенно большой дробности, г требует весьма осторожного подхода. 125
Рассмотрим пример использования дробного факторного эксперимента*. Ис- следования тепло-массообмена при конденсации химически реагирующего газа на основе теории подобия показали, что процесс* можно описать уравнением подобия вида Nud = Ar*“ Scr‘ Ref‘ рГ« (у У ‘. (6.17) тде Nud — диффузионное число Нуссельта; члены в правой части характеризуют 'влияние отдельных факторов на процесс (Аг — свободной конвекции, Sc — пе- реносных свойств газовой смеси, Кх — кинетики химических реакций, ReT — отво- димого теплового потока» р — концентрации неконденсируемого газа, ц'/н— тре- ния на границе раздела жидкой и газообразной фаз). Для определения коэффициентов уравнения применим метод планирования. Прологарифмировав (6.17) и перейдя от натуральных значений факторов _ р' \ jcf(xi=lnAr, x2=lnSc; x3=lnKx; x4=lnReT; x5=lnp; x6=ln—)к кодирован- Ц / ным значениям согласно формуле преобразования (6.4), получим следующее линейное уравнение регрессии процесса: 6 у=6о + 2Мь (6.18) f=l _ 6 __ __ _ где ^=lnNujD; Ьо=1п6о+ S bt=6tAxt*. Поскольку зависимость (6.18) линейная, для определения величин 6о и bi можно составить ортогональный план первого порядка на основе 1/8 реплики ПФЭ для шести факторов с числом опытов, равным 2б“3=8. При этом будем использовать следующие генерирующие соотношения: x4=XjX2x3; *5=*1*2; JC6=xIx3. Матрица планирования приведена в табл. 6.7. же последовательности, как и в предыдущем примере (см. с. 122). * Пример заимствован из [3] 126
§ 6.4. ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Часто для описания поверхности отклика полинома первого порядка уже ! недостаточно. Во многих случаях вполне удовлетворительная аппроксимация f может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка. ! Уравнение регрессии второго порядка имеет вид ' N N N М{у} = Т) = ₽о + 2 М+ 2 huXtXu + % (6.19> £=1 /,и=1 /=] 1<и Основное требование к плану второго порядка состоит в том, что план должен допускать получение раздельных, не смешанных оценок коэффициентов регрессии. Для этого необходимо, чтобы число разных опытов было не меньше числа коэффициентов в уравнении регрессии, равного числу сочетаний из (jV + 2) (JV + 1) _ #+2 по два, т. е. -------------------= С2лг+2. Кроме того, требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. 1 Полный факторный эксперимент содержит слишком большое числа ’ опытов (^=3, 3 х=27; #=4, З2'г=81; #=5, 32'г=243). Сократить число опытов, можно, если воспользоваться так называемыми композиционными или последо- вательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. «Ядро» таких пла- t нов составляет ПФЭ 2N при #<5 или дробная реплика от него при jV>5. Согласно этим планам, если линейное уравнение регрессии оказалось неаде- кватным, необходимо добавить 2 N «звездных» точек, расположенных на коор- динатных осях факторного пространства (±а, 0, ...» 0), (0, ±а,..., 0), ... • ...»(0, 0,..., ±а), где а — расстояние от центра плана до «звездной» точки — ' «звездное» плечо, и увеличить число экспериментов в центре плана Ко. Такие- - планы называются центральными, ибо все опыты расположены симметрично ; вокруг основного уровня эксперимента, и композиционными, т. е. последова- тельно строящимися, а сокращено ЦКП. J Общее число опытов в матрице композиционного плана при W факторах составит К=22'г+2#+Ко для N<5 и K=2J'r”14-2N4-Ko для #>5. Рассмотрим построение композиционных планов на примере ^=2 (рис. 6.6). . Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 22, точки 5, 6, 7, 5—«звездные» точки с коорди- t иатами (±а, 0) и (0, ±а), координаты $ Ко опытов в центре плана нулевые (0, 0). Такое планирование требует значитель- но меньшего числа опытов по сравнению с ПФЭ З2*. Например, при трех факторах для ПФЭ требуется 33= 27 опытов, а для ’ ЦКП при Ко=1 К=23+2-3+1 = 15; анало- гично при четырех факторах 34=81 и К- i =24+ 2-4+1=25 и т. л. Значение «звездно- го» плеча а и число опытов в центре плана Ко зависят от выбранного вида плана. Ортогональные планы. Композицион- ные планы легко проводятся к орто- гональным выбором «звездного плеча» а. При числе факторов ДО=2 а выбира- Рис. 6.6. Композиционный план второго порядка для двух фак- торов 127
ется равным 1,0, при #=3 а=1,215, при #=4 а= 1,414, при Л/=5 а—1,547 (здесь величина а приведена для случая, когда в качестве генерирующего со- отношения в дробной реплике 25-1 используется х5'=х1х2х3х4). Обычно Ко в этом случае принимают равным единице. Ротабелыше планы. Для того чтобы композиционный план был ротата- бельным, величину «звездноп» плеча а выбирают из условий а=2я1* (N<5), <x=2<*_1)/4 (АГ>5). Число точек в центре плана Ко увеличивают (например, при N**2 Ко выбирают равным 5, при #=3 Ко“6, при 1V—4 Ко^7, при Af—5 Ко-Ю). Более подробно с ортогональными, ротатабельными и другими типами планов второго порядка можно ознакомиться в (1, 2]. § 63. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Изменяя условия процесса, можно получить значения того или иного отклика и при необходимости оптимизировать процесс по этому отклику, принятому за критерий или параметр оптимизации. Для решения задач оптимизации используются два Принципиально различных подхода: 1) каким-либо способом определяется полная математическая модель и далее задача решается аналитическим или численным методом; 2) осуществляется экспериментальный поиск экстремальной точки в факторном пространстве переменных х1г х2,.... xN в про- цессе эксперимента; местоположение этой точки в факторном пространстве определяется вектором х0. Первый подход рассматривается в литературе по методам оптимизации. Здесь же остановимся подробнее на методах второй группы. Экстремальное значение отклика в них достигается с по- мощью многократной последовательной процедуры изучения по- верхности и продвижения в факторном пространстве. Методы раз- личаются способом определения направления движения и орга- низацией самого движения. Для отыскания точки максимума можно воспользоваться мето- дом сечений (методом Зайделя — Гаусса). По этому методу выби- рается произвольная точка Мо, фиксируются все переменные, кроме одной, и отыскивается точка Afi, соответствующая услов- ному экстремуму при х2=х2д, затем фиксируется переменная Xi = =Xi,2 и отыскивается точка М2 и т. д. Поиск оптимума здесь не только малоэффективен, но и весьма длителен и удлиняется при увеличении числа факторов, причем при определенной форме зави- симости у от факторов поочередное изменение аргументов может привести.к ошибке в определении экстремума. На рис. 6.7 показан один из таких частных случаев, когда поочередное изменение каж- дого из двух аргументов в любую сторону (вдоль осей координат) от точки А1 вызывает уменьшение у (отклик у откладывается пер- пендикулярно к плоскости рисунка). Из-за этого создается ложное впечатление, что точка А1 соответствует максимуму, в то время 128
Рис. 6.7. Схема движения к оптимуму методом Зайделя- Гаусса: Л1—ложный оптимум; Л—дей- ствительный оптимум; / — линии постоянного уровня как в действительности максимум у (точка А) располагается при больших значениях Xj и меньших значениях х2. Рассмотрим более совершенные методы. Метод градиента. При оптимизации процесса этим методом рабочее движение совершается в направлении быстрого возраста- ния выходного параметра, т. е. в направлении градиента целевой функции у(х). Причем направление движения корректируется ' после каждого рабочего шага, т. е. каждый раз заново вычисляется значение вектора grad у(х) по результатам специально сплани- рованных пробных экспериментов. Координатами вектора градиента > *rad^»=i-i+^-i+ • <6 20> ’служат коэффициенты при линейных членах разложения функции 'у(х) в ряд Тейлора по степеням xt- (t=l, В выражении ! ; (6.20) i, j,..., k — единичные векторы вдоль координатных осей х<. /Тогда соответствующие компоненты вектора градиента могут быть J получены как коэффициенты b2,..., bN линейной аппроксимации i поверхности отклика вблизи исходной точки х: у(х) = &о + М1 + &Л+ • • .Л-ЬыХы- (6.21) » Для получения оценок линейных коэффициентов b0, bi.....bit ; можно воспользоваться любым из известных способов эксперимен- .тального получения уравнения (6.21) (например, можно реалн- зовать ПФЭ с центром в точке Xi). По результатам пробного эксперимента вычисляется вектор grady(x1) = &1i + bj + . . . -Ь&^к. (6.22) Совершается рабочий шаг в направлении grad^(xi) х, = X] + a grad у (хД (6.23) ; Здесь а — параметр рабочего шага. В точке х2 описанная выше процедура полностью повторяется. ; Поиск прекращается, когда модуль градиента у становится малой Я ак. 117 129
Рис. 6.8. Метод градиента для двух факторов* Рис. 6.9. Крутое восхождение для двух факторов величиной (| grad у(х) |«0), т. е. все коэффициенты b{ (i= = 1, 2,...,N) в уравнении (6.21) получаются незначимыми. Характер движения к оптимуму при использовании градиент- ного метода иллюстрирует рис. 6.8. Существуют модификации метода градиента, в которых, напри- мер, параметр рабочего шага а зависит от номера шага, и неко- торые другие. Следует отметить, что если целевая функция if сложная, то и градиентный метод приводит к значительным вы- числительным трудностям. Метод крутого восхождения. При использовании этого метода в отличие от градиентного корректировка направления произво- дится не после каждого следующего шага, а по достижении в некоторой точке хп на данном направлении частного экстремума целевой функции (рис. 6.9) аналогично методу Гаусса — Зайделя. Важной особенностью процедуры крутого восхождения является также регулярное проведение статистического анализа промежу- точных результатов на пути к оптимуму. Практически поиск оптимума по методу крутого восхождения осуществляется в несколько этапов: 1) с центром в исходной точке Xi проводится ПФЭ (или ДФЭ) для определения grady(xi); результаты эксперимента подверга- ются статистическому анализу (проверяются значимость оценок коэффициентов линейного уравнения регрессии и адекватность этого уравнения); 2) вычисляется направление градиента; 3) проводятся несколько опытов в направлении градиента функции, выбирается опыт с наибольшим значением у, затем весь цикл повторяется. Поиск прекращается, когда все коэффициенты bi (i=l, 2,...,N) линейного уравнения получаются незначимыми, что свидетельст- вует о выходе в область экстремума. 130
Относительно выбора шага для движения по градиенту заметим, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг создает опасность проскакива- ния области оптимума. Симплексное планирование. По- следовательный симплексный метод планирования (ПСМ), предложен- ный в 1962 г., является одним из эф- фективных методов поиска экстре- мума. В этом методе не требуется вычисления градиента, поэтому он относится к безградиентным мето- Рис. 6.10. Схема движения симп- лекса дам поиска оптимума и связан с простыми расчетами при шаговом Движении к оптимуму. Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, образо- ванный 1V+1 вершинами в У-мерном пространстве. Так, например, на плоскости (ЛГ=2) симплекс — любой треугольник, в трехмер- •пом постранстве — любая треугольная пирамида и т. д. - ; Симплекс называется правильным или регулярным, если все 1 расстояния между образующими его вершинами равны. Приме- ' нение правильных симплексов упрощает процедуру последователь- ного расчета вершин симплекса. Процедура ПСМ состоит в выборе начального симплекса и по- ;а Ьледовательном отражении его вершин с наихудшим откликом 4' в новую точку относительно противоположной грани. Процесс за- S канчивается при достижении экстремальной области. Для N=2 ч Сущность симплексного метода движения к оптимуму для пра- : Сильного симплекса можно иллюстрировать на примере рис. 6.10. Начальный симплекс (опыты 1, 2, 3) располагают в факторном пространстве на основе априорной информации об объекте иссле- дования. Результаты опытов в вершинах /, 2, 3 упорядочивают, т. е. ранжируют по значению отклика, далее выбирают наихудший результат (пусть для примера это будет точка /). Для первого шага к оптимуму на грани 2, 3, противоположной наихудшему опыту, симметрично строят новый правильный симплекс 2, 3, 4, опытные результаты опять ранжируют и т. д. Координаты каждой новой вершины симплексов xUiH рассчиты- вают по формуле 9 / т . Xui ~ I Xui I Xui, (6>24) \«=1 / где N — число факторов; и — номер опыта, т. е. вершины сим- плекса («=1, 2,..., W-l-1); i — номер фактора; хй—координата х-фактора в наихудшем опыте (i=l, 2,..., N). По достижении области экстремума симплекс начинает вра- 5* 131
щение вокруг вершины с максимальным значением отклика. Здесь- необходимо прекратить процедуру ПСМ. Важным свойством ПСМ является то, что он не боится ошибок эксперимента, которые могут лишь задержать, но не остановить, продвижение к оптимуму. В связи с этим при ПСМ дублировать опыты не обязательно. Осложнения при применении ПСМ возни- кают тогда, когда симплекс попадает на гребень поверхности’ отклика, в этом случае он начинает колебаться. В. схеме оптими- зации, изображенной на рис. 6.10, такое колебание возникает при достижении области оптимуму — симплекс 9, 10, 11 возвра- щается на место предыдущего 9,10, 8. В случае, когда колебание возникло на гребне вне оптимума, для устранения колебаний рекомендуется отражать не самую худшую вершину, а ближайшую, несколько лучшую в ранжиро- ванном ряду откликов. При достижении оптимальной области можно уточнить при не’ обходимости положение оптимума (если отсутствует его дрейф). Для этого можно использовать в этой области симплекс меньших, размеров или применить ЦКП второго порядка. Симплексный метод широко используется для поиска оптимума как на реальных объектах, так и по математической модели. Его эффективность по сравнению с другими методами тем заметнее,, чем больше число факторов. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ахназарова С. П., Кафаров В. В. Оптимизация эксперимента в химии1 и химической технологии. — М.: Высшая школа, 1978. 320 с. 2. Кацев П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмен- та.— М.: Машиностроение, 1974. 240 с. 3. Любарский А. И. О математическом планировании тепло-массообменного- эксперимента. — В кн.: Тепломассообмен — V. Т. 10. Методы экспериментальных: исследований и измерений. — Киев: Наукова думка, 1976, с. ПО—114. 4. Михайлов В. И., Федосов К. М. Планирование экспериментов в судостро- ении.— Л.: Судостроение, 1978. 159 с. 5. Протодьяконов М. М., Тедер Р. И. Методика рационального планирова- ния экспериментов. — М.: Наука, 1970. 76 с.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕХНИКА ИЗМЕРЕНИЙ Глава 7 ИЗМЕРЕНИЯ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА § 7.1. ВИДЫ, МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ Измерение — это опытное определение численного значения :: физической величины в принятых единицах с помощью специаль- ных технических средств. Под результатом измерения понимается t численное значение физической величины в принятых единицах, | подученное путем измерения. Для того чтобы определить погреш- г иость измерения, технические средства, с помощью которых оно выполняется, должны иметь нормированные метрологические ха- рактеристики (характеристики, позволяющие судить о точности & результатов измерения). j» Технические средства, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологические характеристики, называют сред- К етвами измерений. Основными видами средств измерения являются к меры, измерительные приборы, измерительные преобразователи, Кг Измерительные устройства и информационные измерительные си- стемы. Е- Мера — это средство измерения, предназначенное для воспро- К -наведения физической величины определенного размера, выражен- Е кого в принятых единицах. Например, гиря — мера массы, изме- К рительный резистор — мера электрического сопротивления и т. д. Е Измерительный прибор — средство измерения, предназначенное № для выработки сигнала измерительной информации в форме, до- Е’ ступной для непосредственного восприятия. $ По характеру показаний различают показывающие и регистри- К; уующие измерительные приборы. Прибор, допускающий только ВЮОТсчитывание показаний, называют показывающим. Если в приборе ^'Предусмотрена возможность регистрации показаний, то его назы- вдмют регистрирующим. Регистрирующий прибор, в котором запись ^' Показаний осуществляется в форме диаграммы, называют самопи- Вущущим, а прибор, в котором предусмотрено печатание показаний к! » цифровой форме, называют печатающим. ; По форме представления показаний измерительные приборы ВК подразделяют на аналоговые и цифровые. Аналоговые приборы ^представляют информацию в виде непрерывной функции измеряе- Е|*к>й величины. Цифровые приборы представляют информацию в В? виде отдельных дискретных сигналов в цифровой форме. К Измерительный преобразователь ^-это средство измерения, К предназначенное для выработки сигнала измерительной информа- Е ции в форме, удобной для обработки, хранения, дальнейшего пре- К образования или передачи, но недоступной для непосредственного № 133
восприятия. Измерительные преобразователи в зависимости от их назначения и выполняемых функций подразделяют на первичные, промежуточные, передающие, масштабные и др. Измерительное устройство — это средство измерения, включаю- щее измерительные приборы и измерительные преобразователи. Информационная измерительная система — средство измерения с автоматическими многоканальными измерениями и контролем, а в некоторых случаях и с обработкой информации по заданному алгоритму. Средства измерения в зависимости от их назначения делят на три категории: рабочие, образцовые и эталоны. Рабочими называют средства измерения, 'Предназначенные для ровседневных измерений. Их подразделяют, в свою очередь, на лабораторные (средства измерения повышенной точности) и тех- нические. ( Образцовые средства измерений предназначены для поверки и градуировки рабочих мер, измерительных приборов и преобразо- вателей. Эталоны служат для воспроизводства и хранения единиц из- мерения с наивысшей точностью, достижимой на данном уровне развития науки и техники. Измерения в зависимости от назначения и предъявляемых тре- бований к точности результатов подразделяют на лабораторные й технические. Лабораторные измерения отличаются повышенной точностью и производятся при выполнении научно-исследователь- ских работ, а также при поверках измерительных приборов. Тех- нические измерения обладают относительно невысокой точностью и выполняются для контроля работы различных устройств. По способу получения численного значения искомой величины измерения подразделяют на три вида: прямые, косвенные, сов- местные или совокупные. При прямых измерениях результат получают непосредственно по показаниям средств измерения. Примерами прямых измерений являются: измерение длины линейкой, температуры — термомет- ром, давления — манометром и т. д. При косвенных измерениях результат находят на основании известной зависимости между определяемой величиной и некото- рыми другими величинами, которые, в свою очередь, находят с помощью прямых, а иногда и косвенных, совместных или совокуп- ных измерений. Примером косвенного измерения является опреде- ление расхода жидкости с помощью сужающего устройства. При совместных и совокупных измерениях искомые величины определяют в результате решения системы уравнений. При этом числовые коэффициенты и некоторые члены уравнений, входящие в эту систему, находят в результате прямых или косвенных изме- рений. Отличие между совместными и совокупными измерениями заключается в том, что в первом случае при определении искомой величины измеряют несколько других разноименных величин, а во втором — несколько других одноименных величин. Примером сов- 134
местных измерений является определение коэффициентов, характе- ... .ризующих зависимость сопротивления резистора от температуры. ^'Значения этих коэффициентов находят по результатам измерений Е^рпротивления и температуры, выполненных при различных зна- гаэдениях температуры резистора. Примером совокупных измерений К’-Является определение массы отдельных гирь из набора путем «Ьайоавнения массы различных сочетаний гирь этого набора с извест- аж)й массой одной или нескольких гирь другого набора. «Зр. Любое измерение базируется на каких-либо физических явле- Екяшях. Совокупность физических явлений, на которых основанр ЦрЙмерения, называется принципом измерения, а совокупность при- ИОмов использования средств измерения и принципов измерений мДрсит название метода измерений. Различают два основных метода Измерений: метод непосредственной оценки и метод сравнения К» мерой. Метод непосредственной оценки заключается в определе- ИВйии искомой величины по отсчетному устройству измерительного ИКрибора. Метод сравнения с мерой состоит в том, что измеряемую Ннйличину сопоставляют со значением, воспроизводимым соответ- ^Кгвующей мерой. Сравнение может быть непосредственным или ^ВЬрез другие величины, однозначно связанные с измеряемой вели- Мкиной и величиной, воспроизводимой мерой. В первом случае метод ««равнения называют еще методом противопоставления, а во btq- №вм — методом опосредованного сравнения или методом заме- йцения. По способу проведения измерения метод сравнения подразде- |ИЙяют на нулевой, разностный (дифференциальный) методы и метод ВВввпадения. Нулевой метод заключается в том, что эффект воз- ДВрйствия измеряемой величины полностью уравновешивается эф- Мувктом воздействия известной величины. Примером нулевого ме- Кода является измерение массы тела на рычажных весах с уравно- юешиванием ее калиброванными грузами. В разностном методе Яввлного уравновешивания не происходит и разность между сравни- вВ|аемыми величинами оценивается измерительным прибором. Зна- Явение измеряемой величины определяется в этом случае не только ЭДКйачением, воспроизводимым мерой, но и показаниями прибора. Щиетод совпадений состоит в том, что уровень какого-либо сигнала, 1|Двднозначно связанного со значением искомой величины, сопостав- ДЙНется с уровнем такого же сигнала, но определяемого соответ- ЯрТаующей мерой. По совпадению уровней этих сигналов судят .имЬ значении измеряемой величины. Ж 8 Ж’>!' § 7.2. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ яЛЙч Метрологическими характеристиками называют характеристики МиУёдств измерений, которые дают возможность судить об их при- .?,де>дности для измерения в определенном диапазоне с определенной t Точностью. у''.. Одной из основных метрологических характеристик средств лЙЗмерения является диапазон измерений. Для измерительных пре- 135
образователей аналогичную роль играет диапазон преобразования, а для некоторых разновидностей мер — номинальное значение вос- производимых ими величин. Внутри диапазона измерения связь между сигналами на выходе и входе средств измерения определяется функциональной зависи- мостью y = f(.x), (7.1) которая называется статической характеристикой средств измере- ния. У показывающих приборов статическая характеристика за- фиксирована шкалой, поэтому иногда ее называют уравнением шкалы прибора. Величина s, определяемая соотношением s = lim = (7.2) дх-о \ Дх / ах называется чувствительностью средства измерения. Важнейшими метрологическими характеристиками являются погрешности средств измерений и нормы для них. Часто оперируют приведенными погрешностями, которые представляют собой отно- шение абсолютной погрешности средства измерений к диапазону его измерения или преобразования. Для всех средств измерения устанавливаются пределы до- пускаемых основной' и дополнительной погрешностей. Пределом допускаемой основной погрешности называют наибольшую (без учета знака) основную погрешность средства измерений, при кото- рой оно еще будет признано годным и допущено к эксплуатации. Пределом допускаемой дополнительной погрешности называют наибольшую (без учета знака) дополнительную погрешность сред- ства измерения, при которой оно еще будет признано годным и допущено к эксплуатации. Средствам измерений присваиваются классы точности, условное обозначение которых совпадает с выраженным в процентах зна- чением приведенной допускаемой основной погрешности. Класс точности обозначается числом из ряда Л = (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)10", (7.3) где я=1; 0; —1; —2 ... Средства измерений, имеющие несколько диапазонов измерения, могут иметь несколько классов точности. Важными метрологическими характеристиками средств измере- ния являются также порог чувствительности измерительного при- бора или преобразователя и вариация. Порогом чувствительности называют наименьшее изменение значения измеряемой величины, способное вызвать малейшее доступное для регистрации изменение показания измерительного прибора или выходного сигнала преоб- разователя. Вариацией измерительного прибора или преобразователя назы- вают наибольшую разность в показаниях прибора или наибольшую 136
разность между выходными сигналами преобразователя, соответ- ствующими одному и тому же значению входного сигнала, но полученными в одном случае при плавном увеличении, а в дру- гом — при плавном уменьшении значения измеряемой величины. Рассмотренные выше метрологические характеристики средств измерений позволяют оценить их пригодность для измерений вели- чин, не меняющихся во времени (в статических условиях). В ис- следовательской практике очень часто возникает необходимость в измерении (или преобразовании) величин, меняющихся во вре- мени. Результаты таких измерений искажены дополнительной погрешностью, которая возникает только при измерении меняю- •• щихся во времени величин (в динамических условиях). Эта состав- ляющая погрешности измерений носит название динамической 1 /погрешности и представляет собой разность между погрешностью средств измерений в динамических условиях и соответствующей по- грешностью в статических условиях. Причиной появления динамической погрешности является инерт- г,- ность средств измерения. Вследствие этой инертности происходит tv запаздывание в показаниях или регистрации мгновенных значений '"i.' измеряемой величины. I Мгновенное значение динамической погрешности определяется выражением Ь = Уй~У- (7-4) Здесь у — показание идеального прибора, у которого отсутствует , динамическая погрешность; уо—показание реального прибора. Характер динамического преобразования сигнала средствами измерений может быть описан дифференциальным уравнением. Для описания динамики линейных средств измерений используют линей- ные дифференциальные уравнения. Под линейными понимаются такие средства измерений, которые подчиняются принципу супер- позиции воздействий. Для таких средств выходной сигнал от сово- Купности воздействий равен сумме сигналов от каждого воздей- ствия в отдельности. / Применяются и нелинейные средства измерений, однако с целью упрощения их описаний часто проводят линеаризацию характери- •< стик таких средств измерений, что позволяет для их анализа также Использовать линейные дифференциальные уравнения вида dPy , d" . dy . . dnx an —T + a'»-1 —ГТ + • • + ai Т—I" а<>^ = bm —~ di” Л"-1 dr d-e" I . + + (7.5) К' где г — время; x, у — функции, описывающие изменение во вре- де, мени входного и выходного сигналов. т. Линеаризация характеристик средств измерений осуществляется К йутем введения в измерительную цепь корректирующих элементов. I* 137
Наиболее удобно и просто осуществляется линеаризация электри- ческого сигнала. В этом случае в измерительную цепь вводят электронные блоки (линеаризаторы), которые выполняют функции корректирующих устройств. Следует заметить, что использование линеаризаторов хотя и создает определенные удобства при экс- плуатации средств измерений, однако, как правило, не увеличи- вает их точности. Порядок дифференциального уравнения (7.5) и значения по- стоянных коэффициентов a,, b, (i=l, 2,..., га; /=1, 2,..., т) раз- личны для различных средств измерений и различных условий их применения. Дифференциальное уравнение полностью характеризует свой- ства средств измерений, однако в ряде случаев для их описания предпочтительным оказывается использование так называемых передаточных функций. Рассмотрим случай, когда при т=0 выполняются условия dny dn~ly dmx x л ----=-------— = . . .=y=-------=-------— = . . . = x = 0. (7.6) dxn dx*-' dxm dx*-1 Применяя к уравнению (7.5) при начальных условиях (7.6) интегральное пре- образование Лапласа, получаем A(s)Y(s) = B(s)X(s), (7.7) где X(s), Y(s) — изображения функций х и у соответственно; s=g+ir) — некото- рая комплексная величина (i = V—1). Комплексные величины Л(з), B(s) определяются равенствами Л (s) = ansn + an_1s" 1 -f-. . . + a,s + ao. В (s) = bmsm + bm_1t>n 1 4- . . . + bts -}- 60. Выражение (7.7) можно переписать в виде K(S)-F(s)X(s). (7.8) Величина W (s), входящая в уравнение (7.8), называется передаточной функцией: W (s) = В (s)/A (s) - Y (s)/X (s). (7.9) Передаточная функция определяет характер динамического преобразования сигнала и полностью характеризует динамические свойства линейных средств измерений. Ее использование удобно в тех случаях, когда вид дифференциального уравнения не ме- няется в зависимости от условий применения средств измерений, а постоянные коэффициенты, входящие в уравнение, от этих усло- вий зависят. Кроме дифференциального уравнения и передаточной функции изменение сигнала на выходе при известном изменении во времени сигнала на входе средств измерений можно полностью определить Совокупностью частотных характеристик, включающей в себя ам- плитудно-частотную и фазо-частотную характеристики. Частотные 138
характеристики описывают реакцию средств измерений на гармо- нические воздействия. Зависимость отношения амплитуд выходного и входного Ах сигналов от частоты колебаний <о называется амплитудно-частот- ной характеристикой (АЧХ) средства измерений А(ш) = Лу(со)/Лж((д). Зависимость сдвига по фазе <р между входными и выходными колебаниями от частоты колебаний называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) средства измерений Ф(®) = ФУ(®) — Фх(“)- Здесь ср*, фр — начальная фаза входных и выходных колебаний. Частотные характеристики могут быть получены эксперимен- * тальным и теоретическим способом. При экспериментальном их | определении на вход средства измерений подаются колебания фиксированной амплитуды и различной частоты. Фиксируя ампли- туды выходного сигнала и сдвиг по фазе между входным и выход- 41 ним сигналами для различных частот, получают искомые харак- ii теристики. I Теоретическое определение частотных характеристик основано на использовании передаточной функции. Применяя подстановку з—1<л, из выражения (7.9) получаем ' Выражение, определяющее комплексную величину W'(itt)), запи- санное в показательной форме, имеет вид W,(i<o) = A(o)ef<₽(“). (7.10) Как следует из (7.10), величина объединяет обе рас- , смотренные выше характеристики: амплитудно-частотную А (со) и р фазочастотную <р(<в). Зависимость W(ito)=f (ш) называется комплексной частотной характеристикой или амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) средств измерений. Типичный вид амплитудно-фазовой характери- •; стики, изображенной на комплексной плоскости £, г), представлен ? на рис. 7.1. С помощью частотных характеристик можно не только опре- делить динамическую погрешность, но и в целом оценить пригод- ность средств измерений для решения той или иной конкретной задачи. В частности, с помощью амплитудно-частотной и фазо- g частотной характеристик можно установить область частот нор- де мальной работы средств измерений или рабочую полосу пропуска- к ния частот. Г Рабочей полосой пропускания частот^ называют диапазон час- к. тот, в котором отклонение параметров А (со) и <р(со) от их значе *_ ний, соответствующих (о=0, не превышает допустимых значений, а Для оценки динамических свойств средств измерений применяют № 139
Рис. 7.1. Амплитудно-фазовая харак- теристика средств измерений Рис. 7.2. Переходные характеристики средств измерений: а — апериодическая форма процесса; б — колебательная форма процесса также параметры, определяемые по переходным характеристикам. Переходной характеристикой называют реакцию средств измере- ний на единичное ступенчатое воздействие. На рис. 7.2 показана переходная характеристика с апериодической (а) и колебатель- ной (б) формой процесса. На практике используются следующие параметры, характери- зующие динамические свойства средств измерений: а) время запаздывания тн — отрезок времени от момента по- дачи сигнала то до начала заметного изменения выходной вели- чины (см. рис. 7.2, а); б) постоянная времени тп определяется как отрезок времени под касательной, проведенной в точке перегиба переходной харак- теристики; в) время переходного процесса Т — время от момента подачи входного сигнала до момента, когда выходная величина достигнет значения, отличающегося от стационарного не более чем на опре- деленную величину 6; г) период колебаний тк (см. рис. 7.2, б); д) первый выброс выходной величины — отношение ампли- туды к диапазону измерения; е) степень затухания ф = 1—(Лз7Л1). Каждый из указанных параметров в отдельности не дает полной информации о динамических свойствах средств измерений, поэтому при изучении вопроса о возможности применения того или иного средства измерения перечень динамических параметров следует выбирать с учетом назначения и условий применения средств из- мерений. Переходная характеристика в целом полностью характеризует динамику средств измерений и может быть использована также для определения передаточной функции и частотных характеристик. 140
§7.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Современные электрические методы измерения дают возмож- ность измерить практически любую физическую величину с исполь- зованием соответствующих измерительных преобразователей в широком диапазоне их значений, измерить величины постоянные и переменные во времени (в том числе и быстро изменяющиеся), з также произвести измерения на расстоянии. Развитие дискретной . измерительной техники позволяет представить результаты измере- ния электрическими методами не только в виде чисел на отсчетном или регистрирующем устройстве (при этом измерения выполня- • лотся с высокой точностью и большим быстродействием), но и ’ в форме, удобной для ввода в вычислительные и управляющие машины. , Для измерения физической величины неэлектрической природы £ электрическим методом ее необходимо преобразовать в электри- ческую величину. Например, такие неэлектрические величины, как линейные и угловые перемещения, скорость перемещения, давление и температура, напряжения и деформации, уровень жидкости, пре- образуются в электрические величины с помощью измерительных преобразователей, которые рассматриваются ниже. Область при- менения этих преобразователей может быть существенно расши- рена с использованием измерительных преобразователей неэлек- трических величин в неэлектрические же величины, которые пере- числены выше. Так, например, усилие или крутящий момент можно преобразовать в линейное или угловое перемещение; в термоане- мометре скорость газа, а в тепловом вакуумметре — давление раз- реженного газа однозначно связывают с температурой нити накала и т. п. В термоэлектрических преобразователях осуществляется пре- образование температуры в термоэлектродвижущую силу (термо- ЭДС); их действие основано на термоэлектрических явлениях, открытых Зеебеком (1821 г.). Термо-ЭДС в цепи, состоящей из двух разнородных проводников — термоэлектродов, зависит от тем- пературы мест их соединения — спаев (t и to) и от рода термо- электродов (Д и В); зависимость становится однозначной при постоянной температуре одного из спаев; обычно температура холодного спая поддерживается постоянной и равной нулю, т. е. /o=const=0°C; тогда уравнение преобразования принимает вид Едв (^» ^о) к,—const = [вдв (О "Ь еВА (Qh„«const = f (0» (7-11) t где eAB(t) и £ba(M—контактные термо-ЭДС в переходах от А ! к В и от В к А. . Для измерения термо-ЭДС используется любой способ, пригод- ‘ ный для измерения малой разности электрических потенциалов J постоянного тока. , Принцип действия пьезоэлектрического преобразователя осно- ' ван на пьезоэлектрическом эффекте. Из кристалла пьезоэлектрика • «(кварца, титаната бария) определенным образом вырезается пла- i 141
стина; при приложении механического усилия к ней на ее гранях возникает электрический заряд, пропорциональный этому усилию; это прямой пьезоэлектрический эффект. Так как пьезоэлектриче- ский преобразователь обладает чрезвычайно малой мощностью и большим выходным сопротивлением, то его выходное напряжение необходимо усилить с помощью усилителя с большим входным сопротивлением. Эти преобразователи применяются для измерения переменных во времени сил (до 10 кН) и давлений (до 400 МПа) в диапазоне частот от 0,5 Гц до 100 кГц. Достоинства/этих пре- образователей— простота конструкции, малые габариты, высокая надежность, возможность измерения параметров быстро изменяю- щихся процессов. Индукционный преобразователь в большинстве случаев пред- ставляет собой сочетание постоянного магнита и подвижной ка- тушки. Под действием входной величины — линейного х или угло- вого <р перемещения катушка меняет положение в магнитном поле; вследствие этого в ней индуктируется ЭДС е, которая опреде- ляется выражением e = s-^~ или е = sr, (7.12) где s — чувствительность преобразователя, зависящая от его кон- струкции. Преобразование осуществляется с высокой точностью (погреш- ность 0,2—0,5 %) и хорошей линейностью. Преобразователи с вращающейся катушкой • широко используются в приборах для измерения скорости вращения — тахометрах. Индукционный преобразователь в сочетании с интегрирующей или дифференцирующей цепью на выходе используется для изме- рения перемещения х или ускорения —- соответственно. Высокая чувствительность преобразователя позволяет измерять малые пе- ремещения, скорости и ускорения, изменяющиеся с частотой да 15—30 кГц. Описанные выше три преобразователя относятся к преобразо- вателям генераторного типа; в них выходной величиной является постоянная или переменная ЭДС, генерируемая под действием входного сигнала, для измерения которой не требуется посторон- него электрического источника. Рассматриваемые ниже преобра- зователи относятся к преобразователям параметрического типа; в них под действием входного сигнала изменяется один из пара- метров электрической цепи (например, сопротивление, индуктив- ность, емкость), для измерения которого необходимо пропустить постоянный или переменный электрический ток через эту цепь от постороннего источника. Реостатный преобразователь представляет собой реостат осо- бой конструкции, движок которого перемещается под воздействием входной измеряемой величины х (линейное или угловое переме- щение); выходной величиной является зависящее от х сопротив- 142
ление R=f(x). Такой реостат выполняется в виде сплошной (виток к витку) намотки тонкой проволоки на каркас (пластину) из изо- ляционного материала. , Реостатный преобразователь дает широкую возможность для функционального преобразования подбором зависимости R=f(x) за счет изменения либо шага намотки, либо сопротивления отдель- ных . витков намотки (например, путем профилирования ширины цластины\ каркаса) или другими способами. Действие терморезисторных преобразователей основано на за- висимости\активного электрического сопротивления проводника от его температуры. Терморезистор позволяет преобразовать изме- нение входной величины — температуры в изменение выходной величины—^электрического сопротивления (см. §9.1). Тензочувствительный преобразователь (тензорезистор) служит для преобразования входной величины — относительной деформа- ции Д//1 упругого элемента в выходную величину — относительное изменение электрического сопротивления преобразователя Д/?//?. В пределах упругой деформации Д/?//? = 6(Д///), (7.13) тде k — коэффициент тензочувствительности; для металлических материалов &=0,5-i-6,0. Тензорезисторы бывают проволочные, фольговые и полупровод^ ' миковые. Наиболее распространенный проволочный тензорезистор лредставляет собой зигзагообразную решетку из тонкой проволоки (диаметром 0,02—0,03 мм) с концевыми контактами из металли- ческой фольги. Проволока обычно находится между склеенными друг с другом полосками тонкой бумаги, предохраняющими ее f ют механических повреждений. Обычно база /о=8-5-15 мм, ширина | а=Зч-10 мм и сопротивление /?«50-j-150 Ом. Для измерения | деформации упругого элемента (или исследуемой детали) тензо- L резистор наклеивается на его поверхность так, чтобы ожидаемая и- деформация растяжения (или сжатия) оказалась вдоль базового j размера преобразователя. Тензорезисторы применяются для изме- рения быстроизменяющихся упругих деформаций с частотой по- рядка десятков килогерц. Действие емкостного преобразователя основано на изменении электрической емкости под влиянием входной величины. Электри- ческая емкость с между двумя параллельными плоскими прово- дящими пластинами площадью s, разделенными малым зазором 6, приближенно выражается формулой с = ез/б, (7.14) t где е — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами. Г Изменение любой величины — 8, з или б под действием входной г величины преобразуется в изменение выходной величины — элек- * трической емкости с. Обычно работа преобразователей построена на изменении только одного параметра при постоянстве остальных, t Измерение емкости основано на измерении емкостной реактивной ! Г 143
составляющей хс полного сопротивления переменному току с по- стоянной частотой (со=const) / Емкостные преобразователи, включенные в цепь переменного тока, с изменяющимся воздушным зазором используются для изме- рения малых перемещений (от долей микрометра до долей милли- метра), с изменяющейся площадью — для измерения больших ли- нейных (более 1 см) и угловых (до 270°) перемещений, с изме- няющейся диэлектрической постоянной — для измерения и кон- троля уровня жидкостей, влажности твердых и сыпучих материалов, толщины изоляционных материалов и т. п. у Индуктивный преобразователь представляет собой/катушку ин- дуктивности. Входная величина х — линейное (или угловое) пере- мещение — оказывает воздействие на параметры катушки, от которых зависит ее индуктивность. Наибольшее распространение получили простейшие преобразователи с изменением длины б или эффективной площади s воздушного зазора в магнитной цепи катушки. В первом приближении (пренебрегая активным сопротивлением катушки и магнитным сопротивлением остальных участков цепи) индуктивность L, электрическое сопротивление z и проводимость у можно выразить формулами Л = y=-L^-l—, (7.16) где w — число витков катушки; цо— магнитная постоянная; <р — частота переменного тока питания. Относительное изменение со- противления преобразователя \zjz линейно зависит от изменения площади зазора Д$/$ при 6=const, а относительное изменение действительного значения силы тока Д///— от изменения длины зазора Дб/6 при s=const n u=const (так как 1=уи). Любой индуктивный преобразователь превращается во взаимо- индуктивный (или трансформаторный) преобразователь, если на магнитный сердечник поместить измерительную (вторую) обмотку; ЭДС в этой обмотке становится выходной величиной. Параметрические преобразователи, основанные на измерении сс противления, емкости или индуктивности, могут быть выполнены одинарными или дифференциальными, т. е. сдвоенными, с изме- нением параметров в каждом из них в разных направлениях. По- следнее позволяет полностью или частично устранить искажающее влияние внешних факторов на измеряемый параметр. § 7.4. ИЗМЕРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Для измерения электрических величин используются методы как непосредственной оценки, так и сравнения. Здесь рассмотрены только некоторые методы для измерения тех электрических вели- 144
чин, которые наиболее часто приходится определять в теплофизи- ческом эксперименте. Более полную информацию об измерении1 электрических величин можно получить из литературы, посвящен- ной специально этому вопросу, например [3]. Для измерения силы тока и напряжения по методу непосред- ственней оценки используются приборы с измерительным механиз- мом (ИМ), основанным на электромеханическом преобразовании. Во всех\ЙМ (за исключением электростатического ИМ) входной' величиной является ток. Электроизмерительные преобразователи' позволяют преобразовать электрическое напряжение в пропорцио- нальную ему силу тока, расширить диапазон применения и повы- сить чувствительность этих приборов путем кратного уменьшения или увеличения входной величины тока по отношению к его изме- ряемому значению (масштабные преобразователи); кроме того, они* могут преобразовать и род тока (переменный ток в постоянный: и наоборот). Наиболее высокое качество измерения достигается магнито- электрическими приборами, которые имеют достаточно широкий) диапазон измерения для напряжения и силы постоянного тока. Для измерения действующих (средних или амплитудных) значений" напряжения и силы переменного тока могут быть использованы - приборы с любым ИМ (кроме магнитоэлектрического), но по каче- ' ству измерения следует отдать предпочтение электродинамическому* ИМ. Обычно шкала прибора градуируется в действующих значе- !ниях напряжения или тока; в случае градуирования шкалы в сред- них или амплитудных значениях делается соответствующее ука- зание на шкале. Для измерения напряжения (и силы тока) по методу сравнения: используются компенсаторы с ручным и автоматическим уравно- вешиванием. i В качестве примера компенсатора постоянного тока с ручным ; уравновешиванием рассмотрим потенциометр с постоянной силой ! тока в компенсационной цепи, принципиальная схема которого' ' показана на рис. 7.3. Постоянное значение силы тока в компенсационной цепи /= = const устанавливается с помощью регулировочного реостата 7?р.. путем компенсации ЭДС нормального элемента EN падением по- тенциала Ucd на участке с постоянным сопротивлением Rn, т. е. j En =* Ucd = IRn- (7.17> (Сопротивление Rc служит для компенсации температурной зави- : симости ЭДС нормального элемента. < Напряжение Ех измеряется путем компенсации его падением потенциала иАВ на участке с сопротивлением Rx между ползун- ками А и В реохорда, т. е. Ex = uAB = tRx, I = EnIRn = const. (7.18> Следует заметить, что при отсутствии тока в измерительной цепи ее сопротивление не влияет на значение измеряемого напря- 145-
Рис. 7.3. Принципиальная схема потенциометра с постоянным то- ком в компенсационной цепи жения Ех; в этом состоит важное преимущество компенсационного метода измерения. Компенсаторы с автоматическим уравношиванием делятся на два вида — со следящим и циклическим уравновешиванием. В компенсаторах со следящим уравновешиванием при измере- нии напряжения Ех происходит изменение компенсирующего напря- жения ик так, чтобы уменьшить разность между ними &и=Ех — ик до нуля путем перемещения ползунков реохорда с помощью ревер- сивного электродвигателя, направление вращения которого опреде- ляется знаком разности Ди. В компенсаторах с циклическим уравновешиванием компенсирующее напряжение периодически ме- няется в заданном диапазоне и регистрируется то его значение, при котором имеет место равенство ик=Ех. Параметры электрической цепи — активное сопротивление R, индуктивность L и емкость с — измеряются по методу как непо- средственной оценки, так и сравнения. Наиболее точное измерение сопротивления можно осуществлять по методу сравнения с помощью простой измерительной цепи на постоянном токе: измеряемое Rx и известное Ro сопротивления последовательно включают в цепь с постоянным значением силы тока /=const и измеряют падение напряжения на них и* и Uo соответственно; тогда I = ujRx = Uo/Ro, Rx = RoUx/Uo- (7.19) Точность измерения повышается, если их и и0 измерять компенса- тором постоянного тока, который исключает ответвление тока по соединительным проводам и влияние их сопротивления на качество измерения. Если при этом значение Rx близко к Ro, то точность измерения Rx определяется исключительно точностью измерения Ro. Для измерения параметров электрической цепи R, L, с широко применяют измерительные цепи, которые называют мостами. Схема простейшего четырехплечего моста для постоянного тока показана 146
на 'рис. 7.4. Постоянное напряжение пи- тания подается к узловым вершинам А и В;\ ветвь АВ называется диагональю питания моста. Если сопротивления плеч моста удовлетворяют соотношению Rf/Ra — Ra/Rt> (7.20) то в узловых вершинах С и D устанав- ливаются одинаковые потенциалы — со- стояние равновесия (/„=0); ветвь CD с указателем равновесия называется нуле- вой диагональю моста. При использо- вании этих мостов для измерения сопро- тивлений Ri = Rx (Rx — измеряемое со- противление), Rz=Rp (Rp— регулируе- мое сопротивление) добиваются равнове- сия на нулевой диагонали; тогда из соотношения (7.20) Rx — (W Rpt Рис. 7.4. Применение мос- товой измерительной цепи для измерения электриче- ского сопротивления (7.21) где R2/R1 — постоянное известное соотношение сопротивлений. Для автоматического уравновешивания моста может быть при- менен тот же принцип, что и для автоматизации процесса уравно- вешивания компенсаторов. Мостовые измерительные цепи используют и на переменном токе. В этом случае соотношение равновесия записывают для пол- ных значений сопротивления Zx/z8 = zjzt, (7.22) где г{—г{+]Хг (i=l, 2, 3, 4); /— мнимая единица комплексного числа. Обычно при измерениях Z4=zx; z3=zp; если реактивные состав- ляющие сопротивления Xi=x2=0, а хх и хр имеют однотипную реактивность, то получаются частотно-независимые измерительные мосты, для которых = (rj/rj) сх = Ср. (7.23) Приборы для измерения частоты, основанные на методе срав- нения, имеют более высокую точность измерения, чем приборы Непосредственной оценки, а область их применения перекрывает весь диапазон измеряемых частот. Для измерения частоты методом сравнения нужен генератор Известной фиксированной или регулируемой частоты. Генераторы частоты высокой точности (с относительной погрешностью от IO-4" до 10“9), как правило, изготовляют на фиксированные частоты. Для измерения частоты fx путем сравнения ее с фиксированной частотой f0 генератора необходимо с помощью делителя (или мно- жителя) частоты кратно изменить одну из них, по возможности до полного совпадения с другой; затем следует измерить разность час- 147
тот Af между ними; тогда /я = с/о±АА (7.24) где с — коэффициент, учитывающий изменение частот делителем. Для измерения частоты fx путем сравнения ее с плавно регу- лируемой частотой f0 генератора величина fo изменяется до полного •совпадения с частотой fx, и по шкале генератора отсчитывается значение измеряемой частоты, так как fx=fo- Но в этой/ случае точность измерения ниже, так как генераторы регулируемой час- тоты в лучшем случае имеют относительную погрешность 0,001. / § 7.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В ДИСКРЕТНУЮ ФОРМУ Наиболее важными требованиями, предъявляемыми современной .наукой и техникой к измерительным средствам, являются повыше- ние точности и быстродействия, автоматизация процесса измерения, .а также представление результатов измерения в форме, удобной для их дальнейшей- обработки. Решение этих задач в значительной степени связано с развитием цифровых измерительных приборов я преобразователей. В цифровых измерительных приборах и преобразователях (ЦИП) осуществляется преобра- зование непрерывной измеряемой s Маска Двоичное Десятич- величины в дискретную форму — в код (преобразователь аналог — код), одной дискретной величины в другую (преобразователь код— код) и дискретной величины в непрерывную (преобразователь код — аналог). Преобразованная в соответствующую кодовую фор- му измерительная информация 23 2г 21 2° число ное число i— 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 1 1 • 0 0 0 1 0 2 • • 0 0 0 1 1 5 • 0 0 1 0 0 4 г • • 0 0 1 0 1 5 • • 0 0 1- 1 0 6 • • • 0 0 1 1 1 7 передается в отсчетное или ре- гистрирующее устройство или для вода в ЭВМ или информа- • 0 1 0 0 0 8 • • 0 1 0 0 1 9 • • 0 1 0 1 0 10 ционно-измерительную систему (ИЙС). Наиболее простыми по прин- ципу действия и устройства яв- ляются цифровые измерительные преобразователи с пространствен- ным (геометрическим) кодирова- наем. Такое кодирование приме- няется для преобразования в чис- ловой код линейных и угловых , перемещений (или любых других физических величин, которые предварительно можно преобра- • • • 0 1 0 1 1 11 • • 0 1 1 О 0 12 • • • 0 1 1 0 1 13 • • • 0 1 1 1 0 74 • • • • 0 1 1 1 1 75* • 1 0 0 0 0 1В • • 1 0 О О 7 17 • • 1 0 О 1 О 18 • • • 1 0 0 1 1 19 ; • • 1 0 1 0 0 20 Рис. 7.5. Кодирующая маска 148
^0 %х Рис. 7.6. Структурная схема цифрового измерительного преобразователя с время- и частотно-импульсным кодированием зовать в линейное или угловое перемещение). Оно основано на ис- пользовании кодирующей маски. Примером такой маски может •служить полоска пластины, полоска перфорированной или маг- нитной ленты; эта полоска разбивается на несколько продольных зон (дорожек), соответствующих разрядам многоразрядного дво- ичного числа; вдоль зон (дорожек) наносятся резко отличающие- ся друг от друга метки, отвечающие цифровым знакам 0 и 1. При- мер кодирующей маски в виде полоски перфорированной ленты показан на рис. 7.5. Преобразуемое в числовой код линейное перемещение сообщает движение кодирующей маске относительно считывающей головки, тем самым изменяя считываемые числовые коды. Для преобразо- вания углового перемещения в числовой код маска выполняется яа вращающемся барабане или диске (в последнем случае зоны — дорожки имеют форму концентрических колец); преобразуемое в •числовой код угловое перемещение сообщает вращение барабану или диску; при этом изменяется считываемый головкой число- вой код. Среди ЦИП наиболее многочисленную группу составляют циф- ровые измерительные преобразователи с время- и частотно-им- пульсным кодированием. Эти преобразователи обладают высокой точностью (можно достичь относительной погрешности 10-6 и ме- 149
нее) и удобством эксплуатации. Такой преобразователь служит для преобразования в числовой код N измеряемых величин — ин- тервала времени между двумя электрическими импульсами ДтЛ. и частот переменного напряжения fx. Упрощенная структурная схема такого типа преобразователя показана на рис. 7.6. Преобразователь имеет два входа и один выход; на вход 1 подается измеряемая fx или известная f0 частота переменного тока, а на вход 2 — два импульса, чередующиеся друг с другом с известным Дто или измеряемым Дт* интервалом времени (при этом может быть Дт0=1//0; Дтж=1//ж); преобразова- тель выдает на выход числовой код Nf который равен сосчитанному им числу импульсов и связан с входными величинами следующим образом: N=fo^Tx или N^faofx. (7.25> В ЦИП с помощью формирующего устройства ФУ слабые синусоидально- изменяющиеся напряжения с частотой f преобразуются в короткие импульсы той же частоты. Эти непрерывно идущие импульсы получают доступ в электронный счетчик импульсов ЭСИ в течение короткого интервала времени Дт при замкну- том ключе KL Интервал Дт определяется двумя следующими друг за другом управляющими импульсами, подаваемыми со второго входа через ключ К2 на триггер Тр; последний замыкает и размыкает ключ К1. После этого управляющее устройство УУ преобразователя размыкает ключ К2 до завершения цикла измерения индикацией на отсчетном устройстве или записью на регистрирующем устройстве или передачей в ИИС или ЭВМ; затем УУ осуществляет сброс показания ЭСИ на нуль и замыкает ключ К2 для ново- го цикла измерений. Таким образом, рассмотренный ЦИП дает возможность непосредственно из- мерить частоту переменного напряжения fx и малые промежутки времени Дт*,. а также период Тх и сдвиг фаз Д<р переменного тока. В последнем случае уп- равляющие импульсы на второй вход подаются по двум параллельным каналам со смещением по времени, пропорциональным сдвигу фаз. Числовой код N, пропорциональный измеряемой величине (Дтж или fx)t а отсчетном устройстве индуктируется в виде числа (обычно десятичного счис- ления), в регистрирующем устройстве фиксируется на носителе (печатается на бумажную ленту цифропечатающим аппаратом либо записывается на магнитную ленту), а в ЭВМ и ИИС подвергается дальнейшему анализу и обработке. С помощью ЦИП с время- и частотно-импульсным кодирова- нием можно преобразовать в числовой код любые физические величины, которые предварительно преобразуются в интервал вре* мени между двумя импульсами или в частоту переменного напря- жения. В качестве примера рассмотрим преобразование электрического напряжения их в интервал времени Дтх. В нижней части рис. 7.6 приведен график измеряемого напряжения мх, и на него наложен график линейно изменяющегося напряжения w, циклически выра- батываемого генератором линейно изменяющегося напряжения. Эти напряжения подаются в сравнивающее устройство, которое, выдает два чередующихся импульса: 1) в момент т0 в начале цикла; 2) в момент тх, когда и = «х, при этом интервал времени 150
Рис. 7.7. Упрощенная схема многодекадного компенсатора напряжения с дис- кретным уравновешиванием между этими импульсами Дтх=тх— то пропорционален значению измеряемого напряжения иХ9 так как 2f£_ = т*~т« = __АЕ*—' (7.26) uh То %k — т0 где ик — максимальное значение линейно изменяющегося напря- жения в конце цикла, т. е. в момент времени тЛ. Цифровые измерительные преобразователи дискретного уравно- вешивания основаны на сравнении измеряемой величины с набором ее дискретных значений; каждому набору соответствует определен- ный числовой код. На рис. 7.7 показана упрощенная схема многодекадного компенсатора на- пряжения. Компенсационная цепь выполнена по схеме замещения и состоит из набора трех основных и трех замещающих декад резисторов. При замыкании накоротко любого из основных резисторов /?< одновременно в цепь включается «соответствующий замещающий резистор /?'<, что обеспечивает неизменность сопротивления компенсационной цепи. Стабильное питание цепи от источника •опорных напряжений ИОН обеспечивает определенное падение напряжения на резисторах. Набор резисторов в трех декадах двоично-десятичного кода 2—4—2—1 позволяет получить компенсирующее напряжение Uk от 0 до 99,9 В с шагом квантования по уровню Ди=0,1 В. Система автоматического управления обеспечивает нарастание компенсиру- ющего напряжения ик путем включения в цепь резисторов Ri поочередно. Пос- ле включения каждого очередного резистора осуществляется сравнение измеря- емого их и компенсирующего uk напряжений с помощью сравнивающего устрой- ства СУ. Если то резистор Ri остается включенным и его ключ фикси- руется в положении /, если ux<Ukt то этот резистор Ri отключается и его ключ фиксируется в положении 0. После полного цикла опроса в компенсационной цепи остаются включенными только те резисторы, сумма дискретных падений напря- жений на которых uft=ux. По фиксированным положениям ключей резисторов числовой код, который дешифратором преобразуется в десятичное число, пода- ется в отсчетное или регистрирующее устройство. В ЦИП дискретного уравновешивания для измерения R, С и L преобразователь обычно выполняется в виде моста, в одно из плеч которого включается измеряемая величина (R, С или L). Процесс уравновешивания аналогичен описанному ранее процессу для ком- пенсатора напряжений. 151
Более подробное описание цифровых измерительных приборов- и преобразователей можно найти в [3]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Преображенский В. П. Теплотехнические измерения и приборы. — М.г Энергия, 1Й78. 703 с. 2. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Л.: Энергия, 1978. 261 с. 3. Электрические измерения. Средства и методы измерения. Под ред_ Е. Г. Шрамкова. — М.: Высшая школа, 1972. 520 с. Глава 8 ИЗМЕРЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ И ВАКУУМА § 8.1. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ И СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ Измерение давления широко используется в научных исследо- ваниях, а также в различных областях промышленности. Давление характеризует работу отдельных систем, агрегатов, узлов, а также ход термо- и газодинамических процессов в энергетических уста- новках. С помощью измеренного давления или разности давлений можно определить скорость, а также расход жидкости, газа или пара. По назначению приборы давления подразделяются на: мано- метры избыточного или абсолютного давления, предназначенные для измерения избыточного или абсолютного давления; барометры — для измерения барометрического (абсолютного > давления атмосферного воздуха; вакуумметры — для измерения разности между барометриче- ским и абсолютным давлением, когда значение последнего меньше 1 кПа; ' мановакуумметры — для измерения как избыточного давления,, так и вакуумметрического; дифференциальные манометры — для измерения разности дав- лений, когда ни одно из них не равно атмосферному; микроманометры — для измерения малых разностей давлений. По принципу действия средства измерения давления и разре- жения подразделяют на следующие группы: жидкостные приборы давления, у которых измеряемое давление уравновешивается дав- лением столба жидкости; грузопоршневые приборы, у которых из- меряемое давление уравновешивается массой груза и поршня; деформационные приборы, действие которых основано на исполь- зовании зависимости упругой деформации и усилия, создаваемого чувствительным элементом, от давления; электрические приборы давления, действие которых основано на свойствах отдельных ве- ществ изменять свои электрические параметры под действием давления; электроразрядные приборы давления, у которых исполь- зуется зависимость ионного тока от давления; теплоэлектрические 152
приборы давления, действие которых основано на зависимости 'теплопроводности газового слоя от давления. Для целей автоматизации технологических процессов и экспе- риментальных исследований с использованием ИИС промышлен- ностью выпускаются соответствующие измерительные средства и устройства на базе унифицированных электрических преобразо- вателей давления и упругих чувствительных элементов. В системе СИ за единицу давления принят паскаль, Па=Н/м2 (1 мм рт. ст. = 133,32 Па; 1 кг/м2=9,8066 Па). § 8.2. ЖИДКОСТНЫЕ И ГРУЗОПОРШНЕВЫЕ ПРИБОРЫ ДАВЛЕНИЯ Жидкостные приборы давления. По конструктивному признаку они подраз- деляются на U-образные (рис. 8.1) и чашечные (рис. 8.2). Эти приборы применя- ются в качестве манометров для определения избыточного давления воздуха и неагрессивных газов до 0,1 МПа, вакуумметров для измерения вакуума до 10 Па и дифференциальных манометров для измерения разности давлений неа- грессивных газов в пределах от 0,1 МПа до 7 кПа, а также неагрессивных жид- костей и паров в пределах от 0,1 МПа до 0,4 кПа. Измерение небольших разностей давления воздуха и неагрессивных газов до 4 кПа производится с помощью микроманометров. Жидкостные приборы давления используются в качестве как рабочих, так « контрольных, а также образцовых манометров и вакуумметров. Жидкостные U-образные манометры изготавливаются из стеклянных трубок (d«=6-4-10 мм), заполненных наполовину рабочей жидкостью (ртутью, водой, спиртом, маслом). В жидкостных приборах измеряется давление или разность давлений Р - А/> - Pg*. (8.1) где р —плотность рабочей жидкости; g — местное ускорение силы тяжести; Л — высота столба жидкости. В U-образных приборах давления h=hi+h2 (здесь hu h2— высота столба жидкости в одном и другом коленах), в чашечных приборах ft=/ii[14-(Fi/Fg)] (здесь Fi, F2—площади сечения трубок в узком и широком сосудах соответ- ственно; hi — высота столба жидкости в узком сосуде); в чашечных приборах с наклонной трубкой — микроманометрах fti=Zsina (Z — длина трубки; a — угол ее наклона). Погрешность отсчета давления по шкале U-образного и чашечного приборов составляет ±2 и ±1 мм соответственно. Микроманометры имеют класс точности 0,5 и 1,0. Кроме того, промышлен- ностью выпускаются микроманометры повышенной точности с оптическим уст- ройством и нониусом. Барометры используются для измерения абсолютного давления атмосфер- ного воздуха. Жидкостные барометры, относящиеся к числу наиболее точных фиборов, широко используются в лабораторной практике. Они представляют собой известную разновидность чашечных жидкостных приборов. В отличие от последних, у которых верхний конец измерительной трубки открыт и сообщается с атмосферой, у барометра этот конец трубки запаян, а воздух из образовав- шейся полости откачан. 153
Рис. 8.1. Схема U-образного манометра Рис. 8.2. Схема чашечного ма- нометра Основным измерительным уравнением чашечного ртутного барометра явля- ется = (8.2> где — атмосферное давление; h — высота столба ртути в трубке; k — посто- янная прибора, k=pg(Fi/F2). Чашечные барометры с нониусом имеют погрешность отсчета 10 Па. В по- казания барометра следует вносить поправки на плотность ртути и длину шка- лы [3]. Грузопоршневые манометры. Они относятся к средствам измерения давле- ния высокой точности и служат в основном для градуировки и поверки маномет- ров при давлениях до 250 МПа. , Принципиальная схема грузопоршневого манометра показана на рис. 8.3. С помощью ручного пресса 1 создается давление, которое измеряется поверя- емыми манометрами 2 и 5. Это давление уравновешивается давлением поршня 3> нагруженного калиброванными грузами 4. Давление может быть вычислено с помощью формулы P = (G» + Gr)/F, (8.3> где Go — сила тяжести поршня с тарелкой; 6Г — сила тяжести калиброванных грузов; F — рабочая площадь поршня. Рабочая площадь поршня определяется путем сложения ’площади сечения поршня и половины площади кольцевого зазора между поршнем и цилиндром. Масса калиброванных грузов*, а также масса поршня с тарелкой, на которой? размещены грузы, подбираются с учетом ускорения силы тяжести =9,80665 м/с2. При несоответствии местного ускорения силы тяжести g величине- gH вводится поправка Др = р№/£Н)-1]. (8.4> Рис. 8.3. Принципиальная схема грузопоршневого манометра В грузопоршневых манометрах в ка- честве рабочей жидкости применяют керо- син (до 0,25 МПа), трансформаторное мас- ло (до 25 МПа) и касторовое масло (до- 250 МПа). Приборы выпускаются с классом точ- ности 0,05 или 0,02 и должны эксплуатиро- ваться при температуре окружающей среды. 154
(293±2) К или (293 ±5) К. соответственно. Нарушение температурного режима при пользовании грузопоршневыми манометрами приводит к появлению допол- нительных погрешностей. § 8.3. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ПРИБОРЫ ДАВЛЕНИЯ Действие деформационных приборов давления основано на за- висимости деформации или изгибающего момента упругих чувстви- тельных элементов от давления. Давление определяется перемеще- нием или усилием, развиваемого чувствительными элементами. Деформационные приборы давления испдльзуют для измерения давления, разности давлений, разрежения (вакуума) в очень широ- ком диапазоне измерений —от 50 Па до 1000 МПа. Их изготов- ляют в виде манометров избыточного давления, манометров абсо- лютного давления, вакуумметров, мановакуумметров, дифмано- метров. Все выпускаемые промышленностью деформационные приборы давления -можно подразделить на две основные группы. 1. Приборы давления прямого действия, у которых перемещение упругого Элемента, обусловленйое воздействием измеряемого давления или разности Давлений, преобразуется в перемещение отсчетного устройства для показания, «или показания и записи измеряемой величины, или измерения и сигнализации, 'Или только сигнализации об отклонении измеряемого давления от заданного зна- чения. ' Приборы этого вида обладают простотой устройства и эксплуатации, имеют ‘Невысокую стоимость, поэтому они нашли широкое распространение в разных об- ластях техники при измерении давления от нескольких паскалей до несколько •сотен и тысяч мегапаскалей. 2. Приборы давления, имеющие передающие преобразователи с унифициро- ванными (стандартными) выходными сигналами переменного, постоянного тока •или пневматическим сигналом. Они выпускаются как с отсчетным устройством, так и без него. Приборы этого вида предназначены для работы с взаимозаменяе- мыми вторичными показывающими приборами, самопишущими приборами, раз- ного рода регуляторами и информационно-измерительными системами. Чувстви- тельными элементами этих приборов являются пластины, мембраны, мембранные жоробки, сильфоны и трубчатые пружины. Основной характеристикой всякого упругого чувствительного элемента яв- ляется зависимость перемещения б характерной его точки от действующей на- грузки р (давления) или сосредоточенной силы z, т. е. бр = ф(р) и бг=ф(2). Качество упругого чувствительного элемента характеризуется жесткостью и •чувствительностью. Если зависимость бР = ф(р) или 62=ф(£) линейна, то жест- кость определяется отношением силы или давления р к соответствующему пе- ремещению. Чувствительность элемента — величина, обратная жесткости. Плоские пластины имеют нелинейную зависимость 6Р=ф(р)- Для получе- ния равномерной шкалы прибора используют в качестве рабочего небольшой ли- даейный участок этих зависимостей, которому соответствует небольшое переме- ацение пластины. Плоские пластины используют в пьезокварцевых, емкостных, индуктивных « других приборах для измерения давления. Эти приборы отличаются малой 155
инерционностью, и поэтому их применяют при измерении переменных давлений с частотой до нескольких тысяч герц. Гофрированные мембраны и коробки имеют зависимость бр=<р(р), близ- кую к линейной. Мембранная коробка представляет собой две спаянные или сваренные гофрированные мембраны. Блоки мембранных коробок являются ос- новным видом чувствительного элемента в дифманометрах. Сильфоны — тонкостенные трубки с поперечной гофрировкой, имеют в» об- ласти рабочих прогибов линейный участок зависимости бР = ф(р). Сильфоны ис- пользуются для измерения избыточного давления до 60 МПа, вакуумметричес- кого давления от 0,06 до 0,1 МПа, разности давлений до 0,025 МПа и, наконец, абсолютного давления до 2,5 МПа. Трубчатые пружины (пружины Бурдона), выполняемые преимущественно в виде одновитковых с центральным углом 200—270°, элиптического или плоско- овального сечения, имеют линейную зависимость 6Р=ф(р). Пружины Бурдона* применяют для измерения вакуумметрического давления от 0,06 до 0,1 МПа, избыточного давления до 160 МПа. При сверхвысоких давлениях от 160 до- 1000 МПа применяют одновитковые трубчатые пружины и прямолинейные труб- чатые пружины с эксцентричным каналом. Упругие чувствительные элементы не лишены известных недостатков, обу- словленных несовершенством упругих свойств материалов, из которых они изго- товлены. В результате этого их работа может сопровождаться явлениями гис- терезиса и упругого последействия. Явление гистерезиса заключается в том, что у чувствительного элемента- зависимости бР=ф(р), полученные при увеличении и уменьшении давления в одних и тех же пределах упругой деформации, не совпадают между собой», образуя петлю гистерезиса. Явление упругого последействия проявляется в том» что стрелка деформационного прибора, находившегося определенное время под нагрузкой, не сразу после снятия ее возвращается на нуль. Явления гистерезиса и упругого последействия проявляются одновременно, причем второе усиливает первое. На практике производится учет совместного действия того и другого явлений под названием «практический гистерезис». Практический гистерезис влияет на погрешность прибора. Гистерезис оценивается обычно в процентах Ч 6Г=^^100%. °шах Приборы давления прямого действия. Благодаря ряду достоинств они полу- чили самое широкое распространение как в промышленности, так и в научных исследованиях при измерении давления от нескольких паскалей до сотен и ты- сяч мегапаскалей. Манометры, вакуумметры и мановакуумметры имеют чувст- вительные элементы, выполненные в форме сильфонов и одновитковых Арубчатых пружин. Приборы давления с сильфонами предназначены для измерения и записи вакуумметрических и относительно небольших избыточных давлений (до 0,4 МПа). Выпускаются приборы классов точностью 1,5 и 2,5. Приборы давления с трубчатой пружиной используются для измерения (и редко записи) вакуумметрического давления, а также избыточного давления от 0,1 до 1000 МПа. Они выпускаются в виде рабочих и образцовых приборов. Ра- бочие приборы бывают повышенной точности, контрольные и технические. Пр»- 156
боры повышенной точности — манометры (МТИ) и вакуумметры (ВТИ) — изготовляются классами точности 0,6 и 0,1, а контрольные приборы — класса точности 0,6. Образцовые приборы (МО, ВО) имеют классы точности 0,16; 0,25 и 0,4 (верхний предел шкалы от 0,1 до 60 МПа). Технические приборы выпускаются классов точности 1; 1,6; 2,5; 4,0. В качестве примера прибора давления пря- мого действия рассмотрим манометр с одновитко- вой трубчатой пруживой, схема которого показа- на на рис. 8.4. Здесь перемещение свободного конца пружины 3 через поводок 5 передается на стрелку 1 помощью секторного передаточного механизма, включающего сектор 4 и зубчатое колесо 2. Прибор имеет концентрическую и равномерную шкалу с центральным углом 270°. По своему устройству вакуумметры сходны с описанным манометром; онв выпускаются с диапазоном измерения от 0,1 МПа до 1 гПа. Для измерения избыточных давлений от 160 до 1000 МПа выпускаются ма- нометры, выполненные на основе одновитковой пружины с эксцентричным ка- налом. Они имеют секторный механизм, аналогичный показанному на рис. 8.4. К приборам давления прямого действия относятся также электроконтактные приборы и реле давления [4]. Приборы давления с унифицированным входным сигналом- Использование вычислительной техники для автоматизации экспе- риментальных исследований, равно как и создание автоматизиро- ванных систем управления технологическими процессами, привело- к разработке и широкому использованию на практике измеритель- ных преобразователей и устройств с унифицированным выходным сигналом. В Советском Союзе унификация средств измерений осущест- вляется в рамках Государственной системы промышленных прибо- ров и средств автоматизации (ГСП). Промышленностью выпускаются электрические и пневматиче- ские измерительные преобразователи унифицированной системы,, именуемые датчиками, в комплекте с вторичными приборами, регу- ляторами и другими устройствами автоматики и систем управления. Датчики предназначены для непрерывного преобразования абсо- лютного, избыточного, вакуумметрического давления, перепад» давления, расхода, плотности, температуры в стандартный пнев- матический или электрический токовый выходной сигнал для ди- станционной передачи на расстояние до 300—800 м. Датчики изготовляются по блочному принципу с широкой уни- фикацией деталей, узлов и целых блоков, что позволяет на базе одних и тех же деталей иметь сотни типов приборов с разными пределами измерений. 157
Выпускаемые промышленностью датчики включают унифициро- ванный электрический или пневматический преобразователь и из- мерительный блок. В последнем размещен первичный преобразо- ватель. Воздействие измеряемого параметра на чувствительный элемент измерительного блока преобразуется в пропорциональное усилие или линейное перемещение, поступающее на вход унифи- цированного преобразователя. В последнем на основе этого сигнала вырабатывается стандартный выходной сигнал постоянного или переменного тока или пневматический сигнал. В качестве чувствительного элемента измерительного блока используются упругие чувствительные элементы деформационных приборов давления (сильфоны, мембраны, трубчатые пружины и др.). Ниже дано описание некоторых электрических измерительных преобразователей типа дифференциально-трансформаторного с маг- нитной компенсацией, электросиловой компенсацией, а также пнев- мосилового преобразователя, которые широко используются в уни- фицированной системе пневматических и электрических датчиков теплоэнергетических параметров. В приборах давления типа МЭД используются электроизмерительные пре- образователи дифференциально-трансформаторного (взаимоиндуктивного) типа. Схема одного из таких приборов показана на рис. 8.5. Здесь деформация одно- витковой трубчатой пружины 1 под действием измеряемого давления р создает линейное перемещение х подвижного сердечника 2 трансформаторного преобра- зователя. При стабильном питании первичной обмотки 4 переменным током на- пряжение во вторичной обмотке 3 определяется положением подвижного сер- дечника, так как от его положения зависит взаимоиндуктивность между обмот- ками трансформатора. Выходной сигнал — переменное напряжение, пропорцио- нальное напряжению во вторичной обмотке 3, снимается с делителя, который состоит из двух сопротивлений — регулируемого Ri и постоянного Rz. В манометрах типа ММ-Э, МНДМ-Э, МП-Э с мембранными и пружинными упругими элементами соответственно используются электроизмерительные пре- образователи, основанные на компенсации магнитных потоков. Этот преобразо- ватель выдает электрический сигнал / — постоянный ток (0—5 мА), сила которо- го пропорциональна измеряемому давлению. Рис. 8.5. Схема мано- метра с дифференциаль- но-трансформаторным преобразователем 158
Рис. 8.6. Структурная схема преобразователя с магнитной компенсацией 5 Электроизмерительный преобразователь с магнитной компенсацией, струк- турная схема которого показана на рис. 8.6, включает чувствительный эле- мент /, жестко связанный с магнитным плунжером (постоянным магнитом) 2Г магнитный преобразователь <?, полупроводниковый усилитель 4 и устройства обратной связи 5. С помощью магнитного плунжера линейное перемещение х, обусловленное воздействием давления на элемент /, преобразуется в управля- ющий магнитный поток Фу. В магнитном преобразователе 3 разность магнитных потоков АФ=ФУ—Фо.с, образованных действием магнитного плунжера (Фу> и устройства обратной связи (Ф0.с), преобразуется в электрический сигнал иг который затем преобразуется в усилителе 4 в унифицированный выходной сиг- нал постоянного тока 0—5 мА. Выходной сигнал поступает в линию дистан- ционной передачи и одновременно в устройство обратной связи, предназначен- ное для получения магнитного потока для компенсации воздействия управляю- щего магнитного потока. Приборы этого типа применяются в комплекте с миллиамперметрами, раз- работанными на основе автоматических показывающих или показывающих и самопишущих, потенциометров, и могут работать с автоматическими регулято- рами и информационно-измерительными системами. Манометр абсолютного давления мембранный МАДМ-Э применяется для из- мерения абсолютного давления и может иметь верхний предел измерения 10 и 60 кПа. Чувствительный элемент — мембранная коробка специальной конструкции. Класс точности прибора 2,5. Манометры мембранный ММ-Э и пружинный МП-Э позволяют замерить избыточное давление до 2,5 и 60 МПа соответственно. При- боры имеют класс точности 1. В унифицированных электрических датчиках давления широко применяются электроизмерительные преобразователи, принцип действия которых основан на электросиловой компенсации с использованием обратных электромеханических преобразователей — измерительных механизмов. Заводом «Манометр* выпускаются электрические приборы давления с силовой компенсацией, у которых избыточное, вакуумметрическое и абсолютное давление с помощью упругого чувствительного элемента (сильфона, трубчатой пружины) и унифицированного электросилового преобразователя преобразуется в непре- рывный унифицированный выходной сигнал постоянного тока 0—5 или 0— 20 мА. Манометры абсолютного давления сильфонные МАС-Э могут йметь верхние пределы измерения абсолютного давления от 0,006 до 2,5 МПа; манометры сильфонные избыточного давления МС-Э — от 0,025 до 2,5 МПа, манометры пружинные МП-Э —от 2,5 до 100 МПа, манометры пружинные сверхвысокого давления МСВ-Э — от 100 до 1000 МПа (они снабжены прямолинейной труб- чатой пружиной с эксцентрическим каналом), вакуумметры сильфонные ВС-Э — от 25 до 100 кПа, мановакуумметры — от 1 до 0,06 МПа и от 0,1 до 2,4 МПа для избыточного давления. 159*
Рис. 8.7. Схема устройства манометра абсолютного давления с пневмосиловой компенсацией Все приборы выпускаются классов точности 0,6; 1; 1,5. Приборы МАС-Э, кроме того, имеют еще дополнительный класс точности 2,5. Завод «Манометр» выпускает также приборы давления, снабженные пнев- мосиловым преобразователем, в которых измеряемое давление преобразуется « унифицированный пневматический выходной сигнал 0,02—0,1 МПа. На рис. 8.7 показана схема устройства манометра абсолютного давления .МАС-П с пневмосиловым преобразователем. Прибор состоит- из измерительного •блока /, пневмосилового преобразователя 4 и пневматического усилителя мощ- ности 7. Измерительный блок включает два сильфона с известной эффектив- ной площадью (0,4 или 2 см2). Из одного сильфона 12 воздух откачан, сам сильфон герметизирован. В полость другого сильфона 11 подается измеряемое давление р. Под действием последнего и упругих сил сильфонов к рычагу 2 сбудет приложено пропорциональное этому давлению усилие F. Это усилие через (рычажный передаточный механизм 2 и 3 автоматически уравновешивается уси- лием Fo.c от сильфона обратной связи 10, полость которого соединена с ма- гистралью выходного давления, поступающего из усилителя мощности 7, к ко- торому подводится с помощью канала 9 сжатый воздух под давлением (0,14± ±0,014) МПа, контролируемый манометром 8. Усилитель мощности формирует выходное давление под воздействием управляющего сигнала сжатого воздуха в линии сопла, которое зависит от взаимного положения сопла 6 и заслонки 5 индикатора рассогласования; положение заслонки определяется положением •рычага 2. Мерой измеряемого давления служит текущее значение выходного сигнала сжатого воздуха усилителя, который лежит в пределах от 0,02 до 0,1 МПа. § 8.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДАТЧИКИ ДАВЛЕНИЯ В большинстве случаев деформационные приборы давления обеспечивают измерение давления как по диапазону, так и по точности. Однако эти приборы не могут быть использованы для 160
измерения сверхвысоких давлений, глубокого вакуума, а- также переменных давлений с высокой частотой пульсаций. Для этих целей широко используются электрические методы измерения дав- ления с помощью электрических датчиков или преобразователей давления. Действие этих средств измерения основано на использо- вании зависящих от давления электрических свойств тела. Так, для измерения давления могут быть использованы электростатиче- ский заряд, возникающий при деформации кристаллов, изменение электрического сопротивления проводника, индуктивности или ем- кости под воздействием давления. Пьезоэлектрические преобразователи давления. Действие пьезоэлектричес- ких преобразователей основано на использовании пьезоэлектрического эффекта, имеющего место у некоторых кристаллов (кварца, турмалина, титаната бария и др.); при их деформации на их поверхности появляются электростатические заряды. В приборах давления в качестве пьезоэлектрического преобразователя обычно используется кварц (S1O2). Кварц негигроскопичен, обладает достаточ- ной механической прочностью, имеет хорошие изоляционные свойства, и, что не менее важно, его пьезоэлектрические свойства практически не зависят от температуры в пределах от 20 до 400 °C. На рис. 8.8 показана схема чувствительного элемента пьезокварцевого ма- нометра. Две кварцевые пластины 4 п 6, обращенные к токосъемной пластине 5 сторонами одинаковой полярности и лежащие в опорах 3 и 7, зажаты между колпачком 9 и плоской мембраной 2. Для равномерного распределения нагрузки на поверхности кварцевых пластин предусмотрен шарик 8. Давление, подводимое с помощью штуцера /, вначале воспринимается мем- браной 2, а затем кварцевыми пластинами 4 и 6. Появляющийся на их гранях положительный заряд отводится через опоры на заземленный корпус преобразо- вателя, а отрицательные заряды с помощью пластины 5 и проводника 10 под- водятся к измерительному устройству, включающему электронный усилитель и магнитоэлектрический осциллограф. Пьезокварцевый прибор давления обладает достаточно высокой собствен- ной частотой колебаний, поэтому позволяет измерять быстропеременные давле- ния в диапазоне частот от 0,5 Гц до 100 кГц при давлениях до 100 МПа. Датчики манометров сопротивления. Эти дат- чики основаны на изменении электрического со- противления некоторых веществ (полупроводников, манганина, платины, вольфрама, константана и др.) под действием приложенного к ним давле- ния. Из числа перечисленных материалов манга- нин в наибольшей степени удовлетворяет требо- ваниям датчика давления: он имеет практически нулевой температурный коэффициент и линейную зависимость между относительным сопротивле- нием &R/R и давлением р: &R/R = kp, (8.5) где k — коэффициент изменения сопротивления манганина, м2/Н. t Рис. 8.8. Схема устройст- ва преобразователя пьезо- кварцевого манометра 6 Зак. 117 161
Линейная зависимость (8.5) подтверждается опытными данными до 3000 МПа включительно. Значение k в уравнении (8.5) очень мало, поэтому из- менение давления на 100 МПа сопровождается изменением электрического со- противления всего на 0,2 %. Последнее обстоятельство приводит к усложне- нию измерительных схем прибора и не дает возможности получить погрешность меньше 1 % верхнего предела измерения. Сам преобразователь представляет собой проволочный резистор (катушку),, размещенный в металлическом корпусе, на одном конце которого имеется шту- цер для подвода давления, а на другом — выводные проводники, которые под- соединяются к измерительному прибору (потенциометру, измерительному мосту). Измерительные тензопреобразователи. В практике научных исследований» для измерения переменного во времени давления, а также деформации деталей механизмов и машин широкое распространение получили тензопреобразователи. (тензорезисторы). Работа их основана на зависимости электрического сопро- тивления упругого тела от его деформации. Измерительный тензопреобразова- тель работает обычно совместно с одним из видов упругих чувствительных эле- ментов (плоской мембраной, трубчатой пружиной и т. д.) и служит для полу- чения выходного сигнала, удобного для дистанционной передачи на вход в изме- рительное устройство давления. Различают металлические и полупроводниковые тензопреобразователи. Металлические тензопреобразователи выполняются из проволоки илю фольги. Для проволоки используют сплавы из меди и никеля, никеля и хрома, никеля и железа и др., для фольги применяют константан, хромоникелевый, сплав и др. Погрешность при определении изменения сопротивления от удлине- ния составляет 1—2 %. В последнее время наряду с металлическими тензопреобразователями полу- чили распространение полупроводниковые преобразователи. Последние выгодно- отличаются от металлических более высокой тензочувствительностью, меньшими размерами и массой. Полупроводниковые тензопреобразователи позволяют после усиления получить унифицированный выходной сигнал постоянного тока 0—5 мА. Емкостный датчик давления. Он представляет собой электрический конден- сатор, у которого одна обкладка выполнена в форме неподвижного электрода,, другая — в форме подвижного. В качестве подвижного электрода обычно ис- пользуется плоская мембрана, которая под воздействием давления изменяет рас- стояние между электродами, а следовательно, и емкость конденсатора. Измеряемое давление или разность давлений в таком приборе будут про- порциональны квадрату напряжения, подаваемого на обкладку преобразователя. Приборы с емкостными датчиками давления обычно используют для измерения вакуума в диапазоне давлений от 0,1 МПа до 0,1 Па. Рассмотренные электри- ческие датчики давления нашли применение в научных исследованиях в лабо- раторных условиях. Индуктивные датчики. Они нашли широкое распространение в научных ис- следованиях, надежны в работе, обладают высоким быстродействием, применя- ются для измерения давления в нестационарных и быстро протекающих про- цессах. Мерой измеряемого давления служит изменение индуктивного сопро- тивления катушки датчика. Индукционный датчик работает совместно с упругим чувствительным эле- ментом— плоской мембраной. Воздушный зазор между мембраной и сердечни- ком катушки входит в магнитную цепь датчика и определяет индуктивное со- 162
противление последнего. Изменение воздушного зазора зависит от обусловлен- ного давлением прогиба мембраны. § 8.5. ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА Измерение вакуума, т. е. измерение давления разреженного газа, производится с помощью вакуумметров. По принципу действия вакуумметры могут быть подразделены на следующие типы: 1) жидкостные, включающие U-образные и компрессионные приборы давления; 2) деформационные вакуумметры — пружинные, мембранные, сильфонные; 3) теплоэлектрические вакуумметры — термопарные вакуум- метры и вакуумметры сопротивления; 4) электроразрядные вакуумметры — ионизационные, магне- тронные ионизационные, магнитные, электроразрядные и др. Жидкостные U-образные приборы давления. Эти приборы используются для измерения давления от 0,1 МПа до 5-102Па (U-образные приборы открытого ти- па обеспечивают диапазон измерения давлений от 0,1 МПа до 104Па, а закры- того типа — от 104 до 5-Ю2 Па). Компрессионный ртутный вакуумметр. Относится к числу жидкостных при- боров давления с предварительным сжатием. Давление в вакуумметре измеря- ется разностью уровней ртути h в сообщающихся сосудах, но в отличие от U-образного манометра здесь в одном из сосудов газ предварительно сжимается, и поэтому значением h измеряется давление сжатого газа, значения которого s соответствии с законом Бойля—Мариотта будет в в раз больше давления в вакуумной системе (здесь 8 — степень сжатия). В компрессионном вакуумметре давление измеряется в достаточно широком диапазоне — от 4-10s до 10”2 Па. Схема компрессионного вакуумметра показана на рис. 8.9. Компрессионный вакуумметр изготовляется из стекла и состоит из двух баллонов 1 и 3, трубки 2, «соединительного трубопровода 6, двух капилляров 4 и 5. Чтобы действие капиллярных сил было оди- наковым, капилляры должны иметь одно и то же поперечное сечение. Перед началом измерений баллон 3 с капилля- ром 4 через трубопровод 6 и азотную ловушку 7 под- соединяют к вакуумной системе, где необходимо определить давление среды р. Под действием атмо- сферного воздуха (или сжатого воздуха) ртуть из баллона 1 поднимается вверх по трубке 2, перекры- вая канал 6t сжимает оставшийся газ в измеритель- ном баллоне 3 и капилляре 4 от давления р до некоторого давления pi. Значение давления pi мо- жет быть замерено разностью уровней ртутн h в капиллярах 4 и 5 (Pi=p+pgh^pght так как Pi^>p). На основе закона Бойля—Мариотта p-PiVi/Vt-khhn (8.6) Рис. 8.9. Схема компрес- сионного вакуумметра 6* 163
где р — давление в вакуумной системе; Уо — объем газа до сжатия, который определяется по известной емкости измерительного сосуда 3 и капилляра 4\ Vi— объем газа после сжатия, который равен произведению площади сечения ка- пилляра f на высоту занимаемую сжатым газом в капилляре 4\ k — посто* янная прибора, k^fpg/Vo; h — разность уровней ртути в капиллярах 4 и 5. Различают два метода измерения давления компрессионным вакуумметром: 1) метод линейной шкалы, когда ртуть в закрытом капилляре при всех из- мерениях будет подниматься до одной и той же отметки; уравнение (8.6) в этом случае может быть представлено в виде Р - М. (8.7> где ki — постоянная прибора; 2) метод квадратичной шкалы, когда ртуть в сравнительном капилляре 5 при всех измерениях устанавливается на одном уровне с закрытым капилляром 4, т. е. /i=Ai; с учетом этого равенства уравнение (8.6) примет вид p~kh*. (8.8> На практике чаще используют метод линейной шкалы. При этом методе измерения на шкале наносят несколько отметок, которым отвечают разные h\. каждой отметке соответствует свое значение коэффициента ki. Давление, измеренное на любом уровне, должно быть одним и тем же: p = k\h' = k\h" =. . .=tfhn. Если это условие нарушается, то это свидетельствует о присутствии в ва- куумной системе паров легко испаряющихся веществ. Компрессионный вакуумметр имеет ряд особенностей. Он не позволяет вест» процесс непрерывного измерения давления при его изменении, измеряет абсолют- ное давление и употребляется в качестве контрольного и образцового прибора для поверки и градуировки других приборов. Прибор содержит ртуть, которая является источником загрязнения вакуумной системы и рабочего помещения парами ртути. Теплоэлектрические вакуумметры. Применяются для измерения давления в диапазоне от 70 до 0,13 Па. Действие их основано на зависимости теплопроводности ограниченного слоя разреженного- газа от давления. Чувствительным элементом прибора является тонкая металлическая нить накала, размещаемая в стеклянном баллоне, куда подводится измеряемое давление. Нить нагревается электрическим током и охлаждается разреженной средой. Выде- ляемая нитью джоулева теплота (I2R) частично отводится в ре- зультате теплопроводности материала через концы нити (Qih частично рассеивается ее поверхностью в результате радиацион- ного теплообмена (Qi), частично отводится газом (Оз). Уравнение теплового баланса вакуумметра имеет вид PR = Qi + Qi + Q9. (8.9> Тепловые потоки Qi и Q2 не зависят от давления, a Qs зависит от давления; ве- личина Qs прямо пропорциональна давлению: = с а{Т«~Тб} р, (8.10> у Р* 164
* Рис. 8.10. Схема термо- парного вакуумметра If где с — постоянный коэффициент; <т — коэффициент аккомодации; р— относительная молекулярная мас- са; р —измеряемое давление; Тн и Тб —темпера- туры нити накала и стенок баллона соответственно. Уравнение (8.10) получено для условий, когда средняя длина свободного пробега молекулы боль- ше или соизмерима с характерным линейным разме- ром датчика (диаметром нити). Этим условиям удовлетворяет давление р<70 Па; р=70 Па является верхним пределом измерения теплоэлектрического вакуумметра. f С уменьшением р тепловой поток Q3 уменьша- ется [см. формулу (8.10)] и при р<0,13 Па достига- I ёт столь малого значения, что в уравнении баланса К (8.9) им можно пренебречь. При этих условиях [I изменение Q3 перестает заметно влиять на темпера- Е‘ туру нити. Значение р«0,13 Па является нижним & пределом измерения прибора. £ Различают два метода работы теплового ваку- J умметра: метод постоянной температуры нити и ме- ; тод постоянного тока. Измеряемое давление определяется в первом случае по ' току накала, во втором — по температуре нити. ( В зависимости от способа измерения температуры нити различают термо- > парные вакуумметры и вакуумметры сопротивления. В первом случае темпе- ‘ ратура нити определяется значением термо-ЭДС термопары, во втором — элект- • рическим сопротивлением нити. Вакуумметр сопротивления менее удобен в эк- : сплуатации и применяется реже, чем вакуумметр термопарный. Вакуумметр состоит из двух частей: вакуумметрической лампы, играющей роль датчика, и переносного электрического измерительного прибора. На рис. ? 8.10 показана схема устройства лампы Л Т-2 термопарного вакуумметра. Там же ' приведена электрическая схема измерительного прибора. i Лампа ЛТ-2 представляет собой стеклянный баллон 1, внутри которого по- * мещена нить накала в виде тонкой платиновой проволоки или ленты, а также I хромель-копелевая термопара 4, приваренная к средней части нити. Действие ». лампы ЛТ-2 основано на изменении температуры нити, через которую пропуска- Е ется электрический ток от батареи 6, с изменением давления газа. Ток г накала регулируется реостатом 5 и контролируется миллиамперметром 7. Тем- | цература нити 3 определяется с помощью милливольтметра 8 по значению термо-ЭДС термопары. Лампа подсоединяется к вакуумной системе через отвод 2. & Вакуумметры сопротивления и термопарные вакуумметры могут работать й в режиме как постоянной температуры нити, так и постоянного тока накала. В Тепловые вакуумметры наряду с известными достоинствами имеют ряд недо- Е- статков, в частности прибор имеет сравнительно узкий диапазон измеряемого | давления, относительно большую инерционность (до 20 с), его показания зави- | сят от рода газа и состояния поверхности нити. Сам прибор не является абсо- г лютным. Тепловые вакуумметры обычно градуируются по компрессионному вакуум- метру. 165
Рис. 8.11. Схема устройства ламп ионизационного вакуумметра: а —лампа ЛМ-2; б —лампа Баярда — Альперта Рис. 8.12. Схема включения лампы ЛМ-2: а —с внутренним коллектором; б —с внешним коллектором Электроразрядные вакуумметры. Действие ионизационных ва- куумметров, относящихся к категории электроразрядных, основано на использовании зависимости ионного тока от давления. Они по- зволяют производить измерение давления от 0,1 до 7-Ю-3 Па. Роль датчика давления в ионизационном вакуумметре обычно выполняет лампа ЛМ-2, принципиальная схема которой показана на рис. 8.11, а. Внутри лампы ЛМ-2 находятся электроды /, 2 и 3: катод 3 из вольфрамовой проволоки, выполненный в форме удли- ненной петли и размещенный внутри бифилярной спирали — сет- ки 2, и анод /, выполненный в форме цилиндра и имеющий вы- вод 4 на боковой поверхности корпуса лампы 5. Выводы катода и сетки размещены в катодной ножке. Лампа ЛМ-2 может работать по схеме с внутренним (рис. 8.12, а) и внеш- ним (рис. 8.12,6) коллектором. В'схеме с внутренним коллектором роль послед- него выполняет сетка, на которую подается отрицательное напряжение н0 (до —25 В). На аноде поддерживается положительное напряжение ua (+200 В). Электроны при своем движении от катода к аноду сталкиваются с молеку- лами газа, ионизируют его. Положительные ионы оседают на сетке, образуя ионный ток /и, который измеряется микроамперметром. При работе лампы по схеме с внешним коллектором, когда роль коллектора выполняет анод, а функции анода — сетка, чувствительность прибора повышается в 2—3 раза из-за увеличения траектории движения электрона, который, двига- ясь к сетке, прежде чем осесть на ней, совершает ряд колебательных движений вокруг нее. Основным измерительным уравнением ионизационного вакуумметра явля- ется равенство P = I*lkIe, (8.11) где k — чувствительность прибора; 1в — электронный ток. В случае работы лампы по схеме с внешним коллектором для сохранения линейной зависимости между р и /и величину /е поддерживают постоянной. Для этого случая уравнение (8.11) приводят к виду р = с/и, (8.12) 166
где с —постоянная прибора, при ис = +200 В; ua=—25В; 7в=5 мкА; о «=750 мкА/Па. Лампой ЛМ-2 можно измерять давление от 0,1 до 7-10”® Па, при этом ионный ток изменяется .в пределах от 100 до 0,005 мкА. Ввиду очень малого ионного тока при низких давлениях для его измерения используют более слож- ные электрические схемы, чем приведенная на рис. 8.12. Лампа ЛМ-2 не позволяет замерять давление ниже 7-10~8 Па из-за очень малого ионного тока, значение которого при р<7-10"в Па становится соизме- римым с фототоком на коллекторе, появляющимся вследствие рентгеновского излучения с сетки (анода) и поступающим с коллектора на измерительный прибор. В лампе Баярда—Альперта (см. рис. 8.11,6, где 1 — коллектор, 2—анод, 3— катод) фототок может быть уменьшен в 100—1000 раз в результате соот- । ветствующего уменьшения поверхности коллектора, роль которого играет тонкая вольфрамовая нить. С помощью этой лампы представляется возможность из- $ мерять давление до 7-10”9 Па. I’. Прибор обладает рядом достоинств, в частности он практически безынер- j ционен, имеет достаточно широкий диапазон измеряемого давления — от .. 0,1 до 7-10“9 Па, его градуировочная кривая представляет собой прямую, про- ходящую через начало координат. Недостатки прибора состоят в том, что он может давать большие погреш- ' кости при измерении низкого давления, а также при воздействии внешних ” электрических и магнитных полей на прибор; возможно перегорание катода в области относительно высокого давления. Г Магнетронный ионизационный вакуумметр. Является улучшен- !! ной модификацией ионизационного вакуумметра. В отличие от ' последнего здесь используется холодный катод, а более высокая ; чувствительность прибора достигается воздействием магнитного < поля на процесс эмиссии электронов. Длина пути электронов су- ; щественно увеличивается из-за их движения по спирали вокруг £ катода. Чувствительность магнетронного ионизационного вакуум- метра в й«/и//е= 1,25-106 раз больше, чем ионизационного. Он Г позволяет измерить давление от 0,1 до 1,3« 10-12 Па. . Вакуумметрическая лампа магнетронного вакуумметра имеет петлеобразный вольфрамовый катод, цилиндрический анод и два торцевых диска, один из которых служит коллектором ионов, дру- гой — экраном. Лампа размещается внутри постоянного магнита. Магнитный электроразрядный вакуумметр. Работа его осно- вана на зависимости разрядного тока от давления. Вакуумметри- ческая лампа, включающая два плоских катода 1 (рис. 8.13) и установленный между ними кольцеобразный анод 2, размещена , между полюсами постоянного магнита. Для зажигания разряда в лампе на катод подается напряже- ние 2—3 кВ. Электроны, выбиваемые ионами, под воздействием электрического и магнитного полей двигаются к аноду по сложным траекториям. Благодаря этому их пути значительно увеличиваются, при этом увеличивается число соударений с молекулами, возра- стает разрядный ток. Разрядный ток /р замеряется микроампер- метром без предварительного усиления. К числу достоинств следует 167
Рис. 8.13. Схема лампы электрораз- рядного вакуумметра отнести очень простую электри- ческую схему включения лампы этого вакуумметра. К недостат- кам вакуумметра можно отнести то, что он имеет сравнительно узкий диапазон измеряемого дав- ления (от 0,13 до 1,3-10-4 Па), а зависимость /р=<р(р) является линейной не во всем диапазоне измеряемого давления. Инверсно-магнетронный ваку- умметр. Представляет собой дальнейшее усовершенствование маг- нитного электроразрядного вакуумметра. В отличие от последнего в лампе предусмотрены два катода, выполненных в форме корот- ких трубок, соединенных между собой пластинами-экранами. По оси катодов размещен проволочный анод, на который подается напряжение 5—10 кВ. В пространстве между катодом и анодом возникает сильное электрическое поле, вызывающее токи авто- электронной эмиссии, которые обеспечивают зажигание и устой- чивость разряда в области низкого давления вплоть до 1,33-10-10 Па. Наличие взаимодействующих между собой электрических и магнитных полей обеспечивает высокую интенсивность ионизации газа и сравнительно большой ионный ток. Токи автоэлектронной эмиссии, которые у магнитного электро- разрядного вакуумметра попадали на коллектор ионов и в измери- тельную цепь, в инверсно-магнетронном вакуумметре отводятся с экрана катодов и не вносят помех при измерении ионного тока. Ионный ток связан с давлением степенной зависимостью Ц = ср^, (8.13) где с — постоянная прибора; п — показатель степени. Значение п зависит от рода газа, а также от напряженности магнитного поля (п= 1,14-1,4). Инверсно-магнетронный вакуумметр позволяет измерять давле- ние от 0,13 до 1,33-IO-10 Па. Радиоактивный вакуумметр. В отличие от ранее рассмотренных ионизационных вакуумметров здесь ионизация газа осуществляется с помощью а-частиц, испускаемых радиоактивным источником. Лампа радиоактивного вакуумметра, например МР-2, включает цилиндрический анод, внутренняя поверхность которого покрыта радиоактивным веществом, и коллектор, выполненный в виде стержня и размещенный на оси анода. Между анодом и коллек- тором поддерживается небольшая разность потенциалов (~75 В), под действием которой образованные а-частицами положительные ионы перемещаются и оседают на коллекторе, образуя ионный ток, пропорциональный давлению. Следует заметить, что ионный ток очень мал (IO-15 А), поэтому для его измерения требуются уси- 168
лители с очень большим коэффициентом усиления. Это недостаток прибора. Достоинствами прибора являются стабильность работы при изменении температуры окружающей среды, неограниченный срок службы, линейный характер тарировочной зависимости, отсутствие горячего катода. Прибор позволяет измерять давление от 0,1 МПа до 0,1 Па. § 8.6. ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМАМ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ И ВАКУУМА Установка приборов давления, а также само место отбора давления и дли* на соединительных трубопроводов должны удовлетворять определенным тре- ( бованиям, выполнение которых гарантировало бы нормальную работу измеритель* ных систем и исключало бы появление дополнительных погрешностей при изме- рении давления. Отбор давления или разности давлений осуществляется с помощью соот- , нетствующих приемных устройств давления, выполненных в форме трубок пол- ного напора, которые устанавливаются в потоке, или в форме специальных от- ; верстий на стенке трубопровода или емкости. Приемное устройство давления I’ Любой формы не должно вносить заметных возмущений в потоке. Например, • отверстие, предназначенное для отбора давления, не должно иметь выступов и ' заусенцев со стороны измеряемой среды. ! Приемные устройства для замера параметров заторможенного потока опи- / саны в гл. 10. f Приборы давления должны устанавливаться таким образом, чтобы на их чувствительный элемент не оказывал добавочного давления столб жидкости, ; находящийся в соединительных трубопроводах. В противном случае следует ввести соответствующие поправки. Чтобы исключить влияние температуры изме* ряемой среды на показания прибора, к последнему должна быть подведена измеряемая среда, предварительно охлажденная до температуры окружающего ; воздуха. Наиболее просто это достигается подбором длины соединительных трубок: увеличение длины способствует уменьшению разницы между температу- рой окружающей среды и температурой среды, в которой измеряется давление. Содинительная линия выполняется обычно из металлических труб диаметром 4—10 мм и длиной, не превышающей 30—50 м. При измерении давления водяного пара и горячей воды перед прибором ; давления устанавливают кольцеобразный сифон, выполняющий функции водя- ного затвора, где пар конденсируется, а конденсат охлаждается до температуры окружающей среды. । Поверка нуля, подключение контрольного прибора давления, а также про- дувка соединительной линии осуществляются с помощью трехходового крана, который устанавливается между прибором и сифоном. При давлениях больше К ^10 МПа у места отбора давления должен быть поставлен аварийный запорный F .«вентиль. <. ; Измерение давления в агрессивных средах осуществляется, как правило, с помощью разделительных сосудов, которые устанавливаются непосредственно у места отбора давления. Разделительный сосуд может иметь разделительную эластичную мембрану [3, 5]. Использование мембранных разделителей вносит дополнительную погрешность измерения в пределах 1—2 %. 169
Особенности измерения давлений двухфазных потоков рассмотрены в гл. 12. При измерении нестационарных давлений следует обращать внимание на частотные характеристики пульсаций прибора и давления. Собственная частота измерительного комплекса (датчика, вторичного прибора) должна быть выше, чем частота пульсаций давления. С целью обеспечения условий для непрерывного или периодического удале- ния газовоздушных пузырей или капель конденсата, образующихся в соедини- тельных линиях, которые заполнены соответственно жидкостью или газом, сое- динительные линии должны быть проложены с уклоном. Более подробно этот вопрос, а также другие вопросы, связанные с монтажом измерительных систем, рассмотрены в [3—5]. Изложенные выше требования к измерительным системам давления относятся в известной степени и к вакуумным измерительным системам. Однако в послед- них имеются свои особенности, связанные с обеспечением герметичности, выбо- ром материала для элементов измерительной линии и ее соединений. Все эти и другие вопросы методики измерения вакуума рассмотрены в [2]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ворончев Т. А., Соболев В. Д. Физические основы электровакуумной тех- ники.— М.: Высшая школа, 1967. 352 с. 2. Левин Г. Основы вакуумной техники. — М.: Энергия, 1969. 688 с. 3. Преображенский В. П. Теплотехнические измерения и приборы. 3-е изд.— М.: Энергия, 1978. 703 с. 4. Чистяков С. Ф. Монтаж теплотехнических приборов и аппаратуры авто- матики на электростанциях. — М.: Энергия, 1966. 152 с. 5. Чистяков С. Ф., Радун Д. В. Теплотехнические измерения и приборы.— М.: Высшая школа, 1972. 392 с. Глава 9 ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ § 9.1. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Температура — это параметр теплового состояния, представ- ляющий собой физическую величину, которая характеризует сте- пень нагретости тела. Степень нагретости тела обусловлена его внутренней энергией. Например, температура идеального газа свя- зана с его внутренней энергией известным соотношением (2/3)(/nca/2)z=AT, (9.1) где А=1,38-10-аз Дж/К — постоянная Больцмана; тс212 — кинети- ческая энергия поступательного движения молекул, определяемая по среднеквадратичному значению скорости. Следует заметить, что температура — понятие статистическое и применимо только для макроскопических тел, представляющих собой совокупность доста- точно большого числа молекул. Непосредственно измерить температуру тела невозможно; она 170
измеряется косвенным путем с использованием температурной зависимости какого-либо, физического свойства термометрического : тела. В качестве термометрического используются тела, у которых J удобные для непосредственного измерения физические свойства | однозначно зависят от температуры (например, объемное рас- I ширение ртути, изменение давления совершенных газов и т. п.). | При измерении температуры какого-либо тела термометрическое I тело должно быть с ним в тепловом контакте; при этом с течением t времени наступает тепловое равновесие между ними (если отсут- | ствуют возмущающие воздействия), т. е. температура этих тел 1 выравнивается. Такой способ измерения температуры называют :. контактным: измеряемая температура тела определяется по совпа- ; дающей с ней температуре термометрического тела. Возможные расхождения между этими значениями температуры составляют 1 методическую погрешность контактного способа измерения темпе- ратуры. В природе нет рабочих тел (веществ), термометрические свойства которых удовлетворяли бы предъявляемым требованиям во всем диапазоне измерения температуры. Поэтому температуру, измеряемую термометром, шкала которого построена на допущении линейной температурной зависимости термометрических свойств, какого-либо тела, называют условной температурой, а шкалу — условной температурной шкалой. Примером условной температурной шкалы служит сто- градусная температурная шкала Цельсия, получившая наиболее широкое рас- пространение из числа старых условных температурных шкал. В ней принят ли- нейный закон температурного расширения ртути, а в качестве основных точек шкалы используются точка таяния льда (О °C) и точка кипения воды (100 °C) i‘ L * при нормальном давлении. Термодинамическая температурная шкала, предложенная Кельвином, осно- вана на втором законе термодинамики и не зависит от термометрических свойств тела. Построение шкалы опирается на следующие положения термодинамики. Если в прямом обратимом цикле Карно к рабочему телу подводится теплота от источника с высокой температурой Т\ и отводится теплота Qz к источни- ку с низкой температурой Тг, то T\IT2=Q\IQ2 независимо от природы рабочего тела. Эта зависимость позволяет построить шкалу, опираясь только на одну по- стоянную или реперную точку с температурой То. Например, пусть температура источников теплоты Т2=Т0; Ti=T, причем Т не известна; если между этими источниками осуществить прямой обратимый цикл Карно и измерить количество подводимой Qi и отводимой Qz теплоты, то неизвестную температуру Т можно Определить по формуле T=T0(Q1/Q2)- Таким же способом можно произвести градуирование температурной шкалы. В качестве единственной реперной точки для Международной термодинами- ческой температурной шкалы (1954 г.) принята тройная точка воды, и ей при- своено значение температуры 4-273,16К (точно). Выбор этой точки объясняется тем, что она может быть воспроизведена с высокой. точностью — с предельной ^погрешностью не больше 0,0001 К, что значительно меньше погрешности воспро- изведения точек таяния льда и кипения воды. Кельвин (К)—единица термодинамической температурной шкалы — опре- деляется как 1/273,16 часть температурного интервала между тройной точкой воды и абсолютным нулем. Такой выбор единицы обеспечивает равенство еди- 171
двух материалов ниц в термодинамической и стоградусной шкалах: температурный интервал в один кельвин равен интервалу в один градус Цельсия. Определение температуры путем осуществления ,прямого обратимого цикла Карно с измерением подводимой и отводимой теплоты оказалось бы сложным и затруднительным. Поэтому для практических целей на основе термодинамиче- ской шкалы установлена Международная практическая температурная шкала (МПТШ). В настоящее время принята МПТШ-68 (1968 г.), которая устанавливает температуру в диапазоне от 13,81 до 6300 К и максимально приближена к Меж- дународной термодинамической температурной шкале. Методика ее реализации базируется на основных реперных точках и на эталонных приборах, градуиро- ванных по этим точкам. МПТШ-68 опирается на 11 основных реперных то- чек, представляющих собой определенное состояние фазового равновесия неко- рых веществ, которым присвоено точное значение температуры. Температура по термодинамической и практической температурным шкалам может быть выражена в кельвинах (К), когда она отсчитывается от абсолютного нуля (обозначается символом Г), ив градусах Цельсия (°C), когда она отсчиты- вается от точки таяния льда (обозначается символом t). Связь между этими температурами выражается формулой. Т =/4-273,15, (9.2) так как точка таяния льда на 0,01 К ниже тройной точки воды (0°С соответст- вует 273,15 К). Контактные термометры различаются по принципу действия. Термометры, основанные на тепловом расширении вещества, широко используются с термометрическим телом в жидком со- стоянии; это жидкостно-стеклянные термометры (см. § 9.2). Но имеются термометры этого вида и с твердым термометрическим телом: дилатометрические и биметаллические; их действие осно- вано на различии коэффициентов линейного теплового расширения (например, инвар — латунь, инвар — сталь). Термометры, основанные на измерении дав- ления вещества, — это манометрические термо- метры, которые представляют собой замкнутую герметичную термосистему (рис. 9.1), состоя- щую из термобаллона 3, манометрической пру- жины 1 и соединяющего их капилляра 2. Дей- ствие термометра основано на температурной за- висимости давления газа (например, азота) или жидкости, заполняющих герметичную термосис- тему, или на температурной зависимости упру- гости насыщенного пара в парожидкостных (кон- денсационных) термометрах. Манометрические термометры выпускаются как технические при- боры для измерения температуры от —150 до 4-600 °C в зависимости от природы термометри- ческого вещества (со специальным заполнением до 1000 °C). Термоприемник, представляющий собой термобаллон (например, у газового мано- Рис. 9.1. Маномет- рический термо- метр 172
метрического термометра его размеры d=20 мм; /=1254-500 мм), ограничивает область применения термометра измерением темпе- ратуры газообразных и жидких сред. Термометры, основанные на температурной зависимости термо ЭДС,— это термоэлектрические термометры или термопары {см. § 9.2). Термометры, основанные на температурной зависимости элек- трического сопротивления вещества, представляют собой электри- ческие термометры сопротивления (см. § 9.2). Многообразие форм температурных зависимостей физических величин открывает широкие возможности для создания термомет- ров, основанных на других новых принципах действия. Подтвер- ждением этому служат термометры, основанные на аэрогидродина- мических методах. § 9.2. СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ КОНТАКТНЫМ СПОСОБОМ Основными средствами для измерения температуры контактным способом являются жидкостно-стеклянные термометры, термоэлек- трические термометры (термопары) и электрические термометры ’ сопротивления, которые широко используются в технике экспе- t римента в области энергомашиностроения. к Жидкостный стеклянный термометр представляет собой тонкостенный стек- | лянный резервуар, соединенный с капилляром, с которым жестко связана тем- li пературная шкала. В резервуар с капилляром заливается термометрическая жид- Г кость, на температурной зависимости теплового расширения которой основано | действие термометра. В качестве термометрической жидкости используют ртуть £ (чистая высушенная) и некоторые органические жидкости (толуол, этиловый ь спирт, керосин и т. п.). i Несмотря на такие существенные недостатки, как большая тепловая инерция, * невозможность наблюдения и измерения температуры на расстоянии, хрупкость I. стекла, жидкостные термометры получили широкое распространение как в ла- ; бораторной, так и в промышленной практике благодаря таким бесспорным до- стоинствам, как простота конструкции и обращения, низкая стоимость и, самое f главное, достаточно высокая точность измерения. Эти термометры применяются для измерения температуры от —200 до +750 °C. Наибольшее распространение получили ртутные термометры благодаря до- стоинствам ртути. Ртуть не смачивает стекло, сравнительно легко получается в чистом виде и применяется в* широком диапазоне температур от —35 до +750 °C. Ртутные образцовые термометры 1-го разряда имеют диапазон измерения тем- пературы от 0 до 600 °C и доверительный интервал 2о= ± (0,002+0,2) К. Из-за значительных размеров термоприемников применение жидкостных стеклянных термометров при экспериментальных исследованиях ограничивается измерением температуры газообразных и жидких сред. Ртутные термометры ши- ’. роко применяются для градуирования других видов термометров, особенно ла- бораторных. Разновидности лабораторных ртутных термометров, их конструкция и ус- ловия применения подробно описаны в специальной литературе, например в [7]. 173
Термоэлектрический термометр основан на температурной зависимости кон- тактных термо-ЭДС в цепи из двух разнородных термоэлектродов [см (7.11 )К При. этом происходит преобразование неэлектрической величины — температу- ры в электрический сигнал — ЭДС. Эти термометры в литературе часто называют просто термопарами. Термоэлектрические термометры широко применяют в диапазоне температу- ры от —200 до +2500 °C, но в области низкой температуры (ниже — 50-?- 4—100 °C) они получили меньшее распространение, чем электрические термомет- ры сопротивления; в области высокой температуры (выше 1300—1600 °C) их: применяют главных образом для кратковременных измерений. Существенным достоинством термоэлектрических термометров при экспери- ментальных исследованиях является то, что они позволяют измерять темпера- туру с достаточной степенью точности в отдельных точках тела или среды, обла- дают малой тепловой инерцией и могут быть легко и просто изготовлены в ус- ловиях исследовательской лаборатории. Размеры этой «точки» определяются размером рабочего спая термопары; чем меньше его размеры, тем меньше его> тепловая инерция (но тем сложнее изготовление). Остальные достоинства этого термометра обусловлены тем, что его выходной сигнал является электрическим. Согласно закону Вольта в замкнутой цепи из нескольких разнородных термоэлектродов с одинаковой температурой во всех переходных спаях термоток не возникает. В соответствии с этим из рассмотрения цепей из двух (Л, В) и из трех (Л, В, С) термоэлектродов можно получить елв (0 = «ас (0 — евс (0- (9.3 Из выражения (9.3) следует, что можно определить контактную термо-ЭДС между двумя электродами (Л и В), если известны термо-ЭДС этих электродов по отношению к третьему электроду (С). Обычно при изучении термоэлектродных материалов определяют его кон- тактную термо-ЭДС в рабочем диапазоне температуры по отношению к элект- роду из платины, которую можно получить в чистом виде и применять в широком; интервале температур. Располагая данными такого исследования, можно вы- числить температурную зависимость термо-ЭДС для любой пары термоэлектро- дов. При подключении измерительного прибора к термопарной цепи возможны две схемы: 1) с разрывом одного из термоэлектродных проводов (рис. 9.2, а) * 2) с разрывом холодного спая термопары (рис. 9.2,6).. Анализ влияния на из- меряемую термо-ЭДС ЕАв(^ /о) подключения в термопарную цепь третьего» электрода (С) показывает, что для исключения возможного искажения измеря- емой термо-ЭДС в термопарной цепи необходимо и достаточно термостатировать Рис. 9.2. Схемы подключения измерительного прибора к термопарной цепи 174
•переходные к третьему электроду спаи этой цепи; одинаковые температуры переходных спа- «ев в цепи первой схемы (рис. 9.2, а) могут иметь любое значение, а в цепи второй схемы (рис. 9.2, б) целесообразно иметь значение, равное температуре холодного спая /0; при этом эти переходные спаи играют роль холод- ного спая [см. (9.3)]. Отсюда же можно сде- лать заключение о том, что измерительный прибор, во внутренней электрической цели ко- торого вполне возможны соединения из разно- родных материалов (переходные спаи), при выполнении измерений должен находиться в однородном температурном поле. Из этого .анализа следует важный вывод, имеющий от- Рис. 9.3. Возможный способ изготовления спая термопарной цепи ношение к изготовлению спаев: способ изготовления спаев термопарной цепи не влияет на измеряемую термо-ЭДС (рис. 9.3), если в момент измерения во всех точках спая (включая места соединений разнородных материалов) температура одинакова [см. (9.3)]. Для измерения малой разности температуры часто используется термобата- рея, состоящая из нескольких последовательно соединенных термопар, — гипер- термопара. Такая термобатарея позволяет повысить точность измерения в ре- зультате увеличения выходного сигнала Е в п раз, где п — число термопар в термобатарее. Термо-ЭДС в термопарной цепи можно измерить по методу как непосредст- венной оценки (милливольтметром), так и сравнения (потенциометром). Следует заметить, что при измерении гальванометрическим прибором (мил- ливольтметром) появляется методическая погрешность, обусловленная падением потенциала в измерительной цепи из-за протекания по ней электрического тока. Поэтому разность потенциалов на клеммах милливольтметра, которую измеря- ет и показывает прибор, не совпадает с измеряемой термо-ЭДС. Чтобы умень- шить эту погрешность до пренебрежимо малого значения, милливольтметры выпускаются с большим внутренним сопротивлением. При измерении компенсационным методом в момент измерения термо-ЭДС компенсируется и ток по цепи не течет, поэтому сопротивление цепи не влияет на точность измерения. В практике измерения температуры встречаются измерительные системы, включающие в себя большое число термоэлектрических термометров (несколько десятков и больше), которые, как правило, подключают к одному измеритель- ному прибору с помощью одного или нескольких переключателей; каждый пе- реключатель позволяет поочередно подключать к прибору до 20 термопар. Чтобы при измерении термо-ЭДС исключить взаимное влияние термопар от разных переключателей, все неиспользуемые переключатели устанавливают в нулевое .положение; при этом подключенные к ним термометры оказываются отключен- ными от прибора. Электрические термометры сопротивления основаны на температурной за- висимости электрического сопротивления термометрического вещества и широко применяются для измерения температуры от —260 до +750 °C, а в отдельных случаях — до +1000 °C. Чувствительный элемент термометра — это терморезис- торный преобразователь, который позволяет преобразовать изменение темпера- 175
туры (неэлектрической величины) в изменение сопротивления (электрической ве- личины). В принципе любой проводник с известной температурной зависимостью со- противления может служить терморезистором. Но к материалу терморе- зистора предъявляют строгие требования: высокой химической стойкости в ус- ловиях работы преобразователя; линейности температурной зависимости сопро- тивления с достаточно высоким значением самого сопротивления и коэффициен- та его изменения от температуры; стабильности и воспроизводимости темпера- турной зависимости сопротивления. Наиболее полно этим требованиям отвечают чистые металлы; сплавы име- ют более слабую температурную зависимость сопротивления. В качестве мате- риала для терморезистора используют такие чистые металлы, как Pt, Си и некоторые другие (Ni, Fe, W, Мо); кроме того, в термометрах сопротивления могут быть использованы некоторые полупроводниковые материалы. Достоинствами металлических термометров сопротивления являются высокая степень точности измерения температуры, возможность применения стандартной градуировочной шкалы во всем диапазоне измерения (основана на стабильности и воспроизводимости термометрических свойств) и другие преимущества, кото- рые проявляются при электрической форме выходного сигнала. Чистая платина, для которой Люо//?о= 1,3925, в наибольшей степени удовлет- воряет основным требованиям по химической стойкости, стабильности и воспро- изводимости физических свойств и занимает особое место в терморезисторах для измерения температуры. Именно платиновые термометры сопротивления исполь- зуются для интерполяции международной температурной шкалы в диапазоне от —259,34 до +630,74 °C. В этом диапазоне температур платиновый термометр сопротивления превосходит по точности измерения термоэлектрический термо- метр. Но термометром сопротивления невозможно измерить температуру в от- дельной точке тела или среды из-за значительных размеров его чувствительного элемента; кроме того, для измерения электрического сопротивления требуется посторонний источник электропитания. К недостаткам металлических термометров сопротивления следует отнести также малое значение температурного коэффициента электрического сопротивле- ния, составляющее для чистых металлов 0,004—0,006 К"1; в связи с этим для из- мерения небольших изменений сопротивления необходимы высокочувствительные и точные приборы. В экспериментально-исследовательской практике терморезисторы широко применяются для измерения как температуры, так и других физических вели- чин в самых разнообразных конструктивных оформлениях. Например, термо- нить термоанемометра, используемая для измерения температуры, скорости, ее пульсаций и других величин, представляет собой терморезистор. Все измерения термоанемометром основаны на температурной зависимости электрического со- противления нити. Такую же роль играет термонить в тепловых вакуумметрах сопротивления. Принцип терморезистора может быть использован для измерения темпера- туры твердых тел, принимающих участие в исследуемом процессе; особенно удобно его применять к телам, которые нагреваются путем пропускания через них электрического тока.
§ 9.3. ОСОБЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ГАЗОВОГО ПОТОКА КОНТАКТНЫМ СПОСОБОМ Для диализа процессов в газовых потоках при больших ско- ростях течения используют два значения температуры: Т — термо- динамическую (статическую) температуру и Г* — температуру полного адиабатного торможения (температуру торможения, пол- ную темпёратуру). Связь между ними устанавливается следую- щими выражениями: — = 1 + М»; — = 1------X®, (9.4) Т 2 т* Л+1 ' г где M=w/a — число Маха; Х=ш/акр— коэффициент скорости; й= ^Cpl'Cv\ а, акр —скорости звука в газе при термодинамической и критической температурах; k — показатель адиабаты, представ- ляющий собой отношение изобарной и изохорной теплоемкостей. Значение числа Маха М=0,24-0,3 обычно считается условной границей между умеренными и большими скоростями газа; при М<0,2 различие между Г* и Т менее 1 % и можно принять Т* = Т; при М>0,3 это различие превышает 2 %, а при М=1 достигает 20 % (дляй=1,4). f На поверхности абсолютно изолированной плоской пластины, обтекаемой £ продольным газовым потоком с большой скоростью, устанавливается темпера- | тура Тг, равная температуре тонкого слоя газа, непосредственно прилегающего- к к пластине. Эта температура называется I адиабатной (или равновесной) темпе- ратурой стенки и не совпадает с тем- пературой торможения Т* (в газах Тг<Т*). Это объясняется тем, что пол- ностью заторможенный тонкий слой газа оказывается теплоизолированным только со стороны стенки (рис. 9.4); в сторону газового потока от него отводится тепло. Различие значений температуры Тг и Т* обусловлено процессами энергооб- taena, которые зависят от физических свойств газа. Поэтому коэффициент вос- ; становления г, характеризующий степень различия этих температур, является функцией числа Прандтля, зависящего от физических свойств газа: К . г = (Тг - Т)/(Т* - Т) = f (Рг); (9.5) Рг=цсд/Х, где ц, Ь — коэффициент вязкости и теплопроводность газа. Из выражений (9.4) и (9.5) можно получить формулы для определения* адиабатной температуры стенки Тг: т £>_ 1 Т Ъ__ 1 ^=1+r±_LMS; %®. (9.6) Температура термоприемника, введенного в газовый поток, 177 Рис. 9.4. Обтекание газовым потоком плоской теплоизолированной плас- тины
движущийся с большой скоростью, не будет совпадать ни с одной из трех температур Т, Т*, Тг, но будет близка к адиабатной темпе- ратуре стенки Тг. Объясняется это тем, что термоприемник, как €ы он тщательно ни был изолирован, не является абсолютно тепло- изолированным телом; на его температуру оказывает влияние про- тесе теплообмена между ним и высокоскоростным газовым пото- :ком, который характеризуется критериями подобия Re, Рг и М. С учетом близости температуры термоприемника Для высоко- скоростного газового потока Тгт к адиабатной температуре стен- ки Тг для ее определения приняты выражения, аналогичные по форме выражениям (9.6) для Тг: = 14-г IzlLm2; Т т 2 (9.7) где rT= ^f^- = /(Pr, Re, М). Здесь гт — коэффициент восстановления для термоприемника — условная величина, которая аналогична г, но не является коэф- фициентом восстановления в обычном смысле. В общем случае гт зависит от критериев Рг, Re, М, но термо- лриемники конструируются таким образом, что в широком диапа- зоне изменения Re и М. их коэффициенты гт остаются постоянными .(или изменяются незначительно). Рассмотрим термоприемник (авторы предложения Е. У. Репик и Л. Г. Шихов), показанный на рис. 9.5. Камера торможения «образуется цилиндрическим насадком /, надетым на державку термоприемника 2 из изоляционного материала, и имеет несколько 'вентиляционных отверстий. Чувствительный элемент 3, помещен- ный в центре камеры, представляет собой, тонкостенный цилиндр из высокотеплопроводного металла с припаянными к нему термо- “Рис. 9.5. Термоприемник для изме- рения температуры высокоскорост- ного газового потока (гт=0,96-т- -i-0,98) электродами термопары 5; такое устройство способствует малой тепловой инерции, выравниванию температуры по нему и увеличе- нию поверхности теплообмена. Концентричные экраны 4 умень- шают радиационный тепловой по- ток к корпусу термоприемника. Рассмотренная конструкция ка- меры торможения допускает от- клонение направления газового потока от ее оси на 20° без изме- нения показателей термоприем- ника. Л 78
По измеренной термоприемником температуре Тгт и известной скорости газа w (или М, или X) термодинамическая температура газа Т определяется по формулам (9.7), а температура торможе- j ния Т* — по формулам (9.4). j Для определения температуры потока большой скорости дол- I жен быть' известен коэффициент восстановления гт термоприем- ' ников. Значение коэффициента восстановления гт для каждого > типа конструкции термоприемника определяется эксперименталь- ным путем в заданном диапазоне изменения чисел Re и М. § 9.4. ОСОБЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ БЫСТРОИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ I ТЕМПЕРАТУРЫ I При измерении быстро изменяющейся во времени температуры Е возникают особенности, обусловленные нестационарностью про- [• цесса теплообмена. Они вызываются тем, что термоприемник г (чувствительный элемент термометра) не успевает мгновенно по г всему рабочему объему принять температуру, равную температуре |, окружающей его среды из-за тепловой инерции, а сигнал, возни- I кающий в термочувствительном элементе, передается показываю- |щему или записывающему элементу регистрирующего прибора с I некоторым запаздыванием (в результате механической или элек- I тромеханической инерции измерительной системы). Суммарное воз- I действие этих явлений приводит к тому, что измерительная система I показывает не мгновенную температуру среды t(i), а некоторую* отличную от нее, отстающую по фазе температуру и(т). Следо- вательно, задача состоит в восстановлении истинной темпера- туры t(x) по измеренной термометрической системой темпера- туре и(т). I - Современные регистрирующие приборы, особенно электронные, [характеризуются высоким быстродействием, поэтому чаще всего* [источник погрешности имеет тепловую природу. В связи с этим- [ниже рассматриваются только погрешности, обусловленные тепло- вой инерцией термоприемника. Для ее оценки используется пока- затель тепловой инерции (постоянная времени) термоприемника в.. ^Величина в численно равна интервалу времени, по истечении кото- нного разность температур среды и термоприемника составляет- |Ж368 первоначальной разности. Чем меньше в, тем быстрее реаги- рует термоприемник, а с ростом в его реакция замедляется.. L- В простейшем случае измерения температуры газов или жидко- |стей открытой термопарой, проволочным или пластинчатым термо- метром сопротивления значение в может быть вычислено [10] по I «Соотношению ‘ e = cps/(ap), (9.8> где s и р — площадь и периметр поперечного сечения термоприем- кика; сир — его теплоемкость и плотность; a — коэффициент теп- лоотдачи термоприемника с исследуемой средой. 179'
Рис. 9.6. Форма термоприемников: а — шаровой; б — цилиндрический; в — плоский «лепешечный»; г — удлиненный цилиндрический; д — цилиндрический с дополнительными дисками; е — U-образ- ный цилиндрический; ж -г- цилиндриче- ский спиралеобразный; 1 •/- термоприем- ник; 2 — передаточный элемент термо- приемника Соотношение (9.8) получено при условии однородности тем- пературы по сечению s термо- приемника, отсутствия тепло- обмена излучением, газодинамического нагрева, теплоотвода тепло- проводностью вдоль термоприемника. В общем случае вклад этих факторов должен быть учтен. При измерении температуры твердых тел необходимо учитывать тепловую инерцию системы тел термоприемник — объект [10]. К проблеме точного определения, действительной температуры возможны два подхода: 1) создание термоприемника с достаточно малой тепловой инерцией (идеального термоприемника) без введе- ния поправок в его показания; 2) измерение температуры термо- приемником с конечным значением тепловой инерции с последую- щей коррекцией результатов ее измерения. Первый подход является предпочтительным, поскольку термо- лриемники с «непосредственным отсчетом» удобнее в работе и не требуют точного определения параметров окружающей среды, необ- ходимого в случае внесения поправок. Уменьшение тепловой инер- ции термоприемника полезно и в случае внесения поправок, так как в этом случае поправка — малая величина, и при определении ее даже со значительной погрешностью абсолютная точность из- мерения температуры будет высокой. Уменьшить тепловую инерционность термоприемника можно увеличением теплопроводности вещества, уменьшением его плот- ности и теплоемкости, улучшением теплового контакта со .средой, температура которой измеряется (интенсификация теплообмена между термоприемником и средой, увеличение площади контакта и т. д.), ослаблением такого контакта с телами, температура которых отличается от измеряемой (уменьшение потерь теплоты ют термоприемника в окружающую среду). С некоторыми конкрет- ными способами реализации этих приемов можно познакомиться в [4]. Из (9.8) видно, что интенсификация теплоотдачи приводит к уменьшению (по гиперболе) в. Однако это возможно лишь до •определенного предела, не вытекающего из (9.8), применимость которого с ростом а нарушается из-за возникающей при боль- ших а неравномерности температуры термоприемника. Уменьшить инерционность термоприемника можно изменением его формы (рис. 9.6). Проведенный анализ [14] показал, что при 180
сохранении объема термоприемника для уменьшения в необхо- димо увеличивать один из его линейных размеров. Так замена t шарового термоприемника цилиндрическим уменьшает е примерно в 2 раза. Выбором наиболее выгодной формы возможно умень- шение е в несколько раз. Для примера приведем значения е для некоторых термоприем- ' ников. Термометры сопротивления из оголенной платиновой про- • волоки диаметром 0,1 и 0,3 мм имеют 8 соответственно 0,03 и 0,09 с, применение остеклованной платиновой проволоки с наруж- ; ным диаметром 0,5 мм увеличивает в до 0,14 с [1]. Термометр сопротивления из вольфрамовой проволоки диаметром 50 мкм и длиной 11 мм имеет расчетное значение 8, равное 7,2-lCH с (при расчетах принято «»43«10$ Вт/(м2>К). Медно-константановая бескорольковая термопара, изготовленная из проволоки диаметром > 0,5 мм, и аналогичная термопара с диаметром спая 1 мм имеют в соответственно 1,12 и 2,5 с [коэффициенты теплоотдачи термоэлек- i тродов и спая с воздухом приняты при расчетах соответственно t равными 400 и 260 Вт/(м2-К)], т. е. наличие королька в данных | условиях увеличивает инерционность термопары более чем в 2 раза. К Для сравнения отметим, что для ртутного термометра с наружным диаметром резервуара 7 мм 8 равен 14 с. К - Полное устранение инерционности реального термоприемника ftf невозможно чаще всего из-за ограничений, вызванных условиями ft его механической прочности. В связи с этим при практических В измерениях быстро изменяющейся нестационарной температуры К приходится использовать термоприемники, обладающие ограничен- вной тепловой инерцией. Характерными способами корректировки В измеренной нестационарной температуры, учитывающей инерцион- К ность термоприемников, являются: 1) расчетная корректировка В результатов прямых измерений температуры; 2) электрическая кор- ft рекция сигнала, вырабатываемого термоприемником, с помощью В соответствующих корректирующих устройств; 3) создание комби- ft' нированных измерителей нестационарной температуры, состоящих В. из двух и более термоприемников. № 4 Конечной целью первого способа является получение уравнений В взаимосвязи между истинным /(т) и измеренным и(т) значениями № температуры объекта. Эти уравнения чаще всего устанавливаются В Иа основе элементарной теории тепловой инерции термоприемников. К Так, если температура среды с течением времени изменяется по К Линейному закону t(x)=to+bx (b=const), то изменение темпера- ft туры термоприемника ы(т) при начальном условии w(t)|t=o=«h В будет следующим: ft «W = (мн—Qe-T/E+ 4 +6т—te0(l — е-т/г). (9.9) Г. Для более сложных случаев изменения /(т) связь между /(т) 1 » и(т) рассмотрена в [14]. Соотношения типа (9.9) позволяют ; рассчитывать корректирующие функции Д/=/(т) — и(т) для рас- чета действительной нестационарной температуры среды t(x) по , измеренным значениям и(т). Рассмотренные выше уравнения (9.8) 4 181
и (9.9) выведены при определенной схематизации процесса и со- держат ряд величин, определяемых с относительно высокой погреш- ностью (например а), поэтому этот способ эффективен лишь в тех случаях, когда сами поправки невелики. Сущность второго способа корректировки заключается в изме- нении структуры измерительной цепи путем введения в нее спе- циальных корректирующих устройств. Подбирая параметры кор- ректирующего устройства, можно добиться значительного быстро- действия всей измерительной цепи и уменьшить ее постоянную- времени по сравнению с показателем инерции термоприемника на один-два порядка. Следовательно, введение корректирующего устройства при правильной его настройке фактически приводит к тем же результатам, какие можно было бы получить, применяя малоинерционный термоприемник, рассмотренный в первом случае. Подробно вопросы коррекции выходных сигналов термоприемников-- рассмотрены в [13]. Большинство известных схем коррекции являются эффектив- ными лишь при стабильных условиях нестационарного теплообмена между термоприемником и исследуемой средой. В последние годы начинают применяться самонастраивающиеся корректирующие си- стемы, которые способны учитывать изменение показателя тепловой: инерции термоприемника непосредственно в процессе нестационар- ных измерений. Приборная реализация этих систем находится пока в начальной стадии. С расширением диапазона измеряемой температуры предполо- жения о постоянстве теплофизических свойств измерителя и усло- вий внешнего теплообмена, используемые в элементарной теории тепловой инерции, будут приводить к возрастающей погрешности.. Этот недостаток в значительной степени присущ и методам авто- матической корректировки результатов измерения. Недостатки рассмотренных способов корректировки показаний: термоприемников привели к развитию третьего способа, при кото- ром изменяющаяся во времени температура потока измеряется несколькими (обычно двумя) термоприемниками, имеющими раз- личную теплоемкость, а следовательно, и различную инерцион- ность. Одновременное измерение температуры потока нескблькими термоприемниками, находящимися в одинаковых условиях, позво- ляет получить из опыта дополнительную информацию, благодаря которой действительная температура может быть найдена без при- влечения дополнительных уравнений или корректирующих, устройств. Рассмотрим для примера измерение изменяющейся во времени температуры с помощью двух термопар, спаи которых выполнены в форме тонких пластинок из одних и тех же пар электродов. Различная теплоемкость пластинок достигается благодаря их раз- личной толщине — hi и й2. Пластинки устанавливают параллельно* на небольшом расстоянии друг от друга вдоль потока. При таком расположении пластин коэффициенты теплоотдачи между пласти- нами и потоком си и а2 будут одинаковыми. 182
Уравнения теплового баланса для каждой из пластин имеют вид 2аЛ[Z(t)-ujT)J = р^ДУ, -du^ ; (9.10) uT ' ад[/(т)-«2(т)] =p2c2AV2 , (9.11) г а т ‘ тде р, с, ДУ — плотность, удельная теплоемкость и объем пла- стины. ' Для пластинок ДУ = /?Л, (9.12) । тде F— площадь боковой поверхности пластин. 1 Поделив уравнение (9.10) на (9.11), с учетом того, что ai=a2; ' Р1^1=р2с2 и F\—F2, получим ф) =-------------. (9.13) j_A_ “»(т) «^(т) Здесь «/(т) и и/ (т) —производные от величин щ и и2 по времени. Таким образом, для выявления зависимости истинной темпе- 1 ратуры потока от времени необходимо знать толщину пластинок- I термоприемников, которая может быть измерена с высокой точ- , иостью, и измеренные значения температуры термоприемников ! »1(т) и w2(x). Термоприемники могут иметь форму, отличную от , пластин. S Метод двух термоприемников обладает высокой универсаль- ; ностью, так как здесь не накладывается ограничений на характер ’ изменения температуры и коэффициента теплоотдачи. Однако его использование связано с необходимостью создания специальных термоприемников, а точность метода ограничивается возможностью ’расчета производных «/(т) и и2'(т). Для их определения зависи- мости Mi=f(x) и «2=ф(т) аппроксимируются обычно полиномами ’третьего порядка с использованием метода наименьших квадратов, а производные определяются с помощью этих полиномов анали- тическим путем. Более подробно этот метод и конструкция термоприемников «писаны в [6]. § 9.5. ЯРКОСТНЫЕ ПИРОМЕТРЫ Приборы для измерения температуры тел по тепловому излу- чению принято называть пирометрами излучения или просто пиро- метрами. Измерение температуры тел пирометрами (методами пирометрии) основано на использовании законов и свойств тепло- вого излучения. 183
Рис. 9.7. Зависимость спект- ральной интенсивности излу- чения от длины волны и тем- Рис. 9.8. Определение яр- костной температуры пературы Отличительной особенностью методов пирометрии является то„ что информация об измеряемой температуре передается некон- тактным способом. Благодаря этому удается избежать искажений температурного поля объекта измерений, поскольку в этом случае не требуется непосредственного соприкосновения термоприемника с телом. Действие яркостных пирометров основано на использовании зависимости спектральной интенсивности излучения Л, (или спек- тральной яркости В»,) тела от его температуры. На рис. 9.7 пред- ставлена зависимость /%„ (для абсолютно черного тела) от Т для трех значений длины волны в видимом участке спектра. При Л= =0,65 мкм повышение температуры от 1000 до 2000 К сопровож- дается возрастанием спектральной интенсивности Л.„ в 6,42-104 ра- за. Аналогичные зависимости наблюдаются и для реальных тел. Яркостные пирометры, используемые в видимой части спектра излучения, с регистрацией сигнала при помощи глаза наблюдателя, т. е. субъективно, называются оптическими. Яркостные оптические пирометры являются наиболее простыми в обслуживании и широко распространенными промышленными и лабораторными приборами. Они применяются для измерения тем- пературы от 1000 до 6000 К. Ввиду того что энергия, излучаемая реальными телами, меньше энергии излучения абсолютно черного тела, при измерении действи- тельной температуры тела Та пирометры, основанные на яркостном методе, покажут более низкую яркостную температуру Тя (рис. 9.8). Под яркостной температурой Тя понимается такая условная темпе- ратура, при которой абсолютно черное тело имеет такую же спек- тральную интенсивность излучения 1к, или яркость В%„ что и реальное тело при его действительной температуре Тд, т. е. (9.14> 184
Таким образом, яркостная температура находится в определен- ной связи с действительной температурой тела; эта связь находится из законов излучения. С учетом выражения для спектральной сте- пени черноты (ех=/х//х.) из (9.14) находим 8х/х0(7’д) = 7х.(7’я). (9.15) Используя закон излучения Вина *, получаем ___________________________________ — С1Ь~* zg 16} 1 А ехр (С2/ЛТД) ехр (С^ТЯ) ‘ ' После сокращения и логарифмирования С#ТЯ = In (1М) + (СдКТ^. (9.17) Преобразуя последнее выражение, находим 1/Тя-!/?; = (№) In (1/8%). (9.18) Обозначим (Л/С2)1п(1/ех) =а. Тогда разность между действитель- ной и яркостной температурами будет ; Тд-Тя = аТ^(1-аТя). (9.19) Таким образом, для определения действительной темпера- • туры Тд необходимо измерить яркостную температуру Тя и знать , спектральную степень черноты тела sx при длине волны, на которой [ производилось измерение. Поскольку точное определение значе- \ ния ех в ряде случаев затруднительно, наиболее достоверные зна- чения действительной температуры могут быть получены, когда \ значение ех близко к единице. | Следует подчеркнуть, что соотношение (9.19) является прибли- L женным в той мере, в какой приближенным является закон излу- чения Вина. При измерении температуры в области больших , значений произведения Л.Т для получения связи между яркостной и действительной температурой необходимо использовать закон Планка **. Для измерения яркостной температуры в видимой части спектра широко используются оптические пирометры с исчезающей нитью I переменного и постоянного накала. Яркостная температура тела г измеряется путем сравнения спектральной интенсивности излучения Ь «объекта измерения с интенсивностью излучения нити пирометри- ческой лампы при одной и той же эффективной длине волны Лэ***, г При этом яркостная температура нити лампы устанавливается | градуировкой по абсолютно черному телу (по его модели) или по специальной температурной лампе. ---------- f * Д =----------/z, , где Ci и С2—константы Планка; Л — длина волны; 0 ехр (C^/Az) I индексом «О» отмечаются параметры, относящиеся к абсолютно черному телу. I ** /Хо = — 1) • 1 *** Излучение тела в узком конечном интервале длин волн рассматривается | как эквивалентное излучение с длиной волны %э, находящейся внутри этого ! интервала. h 185
Рис. 9.9. Яркостный оп- тический пирометр с ис- чезающей нитью пере- менного накала Оптическая система пирометра позволяет создать изображение объекта измерения в плоскости нити пирометрической лампы. При использовании лампы переменного накала ее нить является пере- менным эталоном интенсивности излучения — последняя зависит от силы протекающего через нить тока. Таким образом, сила тока является мерой яркостной температуры. В момент достижения равенства спектральных интенсивностей излучения объекта изме- рения и нити лампы вершина нити исчезает на фоне свечения тела. При использовании лампы постоянного накала ее нить имеет постоянную температуру. В этом случае выравнивание интенсив- ностей излучения осуществляется с помощью нейтрального (ослаб- ляющего) клина переменной толщины, пропускательную способ- ность которого можно непрерывно изменять за счет его поступа- тельного движения. Яркостная температура тела определяется положением клина. Схема оптического пирометра с исчезающей нитью переменного накала показана на рис. 9.9. Фокусирование изображения объекта измерения 1 на плоскость нити лампы 4 осуществляется с помощью объектива 2. Окуляр 6, предназначенный для наблюдения нити лампы на фоне изображения объекта измерения, служит для полу- чения резкого изображения нити. Изображение нити лампы через диафрагму 7 воспринимается глазом наблюдателя 8. Для выделения достаточно узкой спектральной области излу- чения служит стеклянный красный светофильтр 5, обеспечивающий выделение участка с эффективной длиной волны около 0,65 мкм. Для облегчения наводки и фокусировки объектива и окуляра» особенно при небольшой яркости объекта измерения, этот свето- фильтр может быть выведен из поля зрения — его можно уста- новить на место непосредственно перед измерением. Стабильность характеристик пирометрической лампы с вольфра- мовой нитью обеспечивается, если температура нити не превышает 1700 К. Поэтому при измерении более высокой температуры перед лампой устанавливают ослабляющий (дымчатый) светофильтр 3. Питание лампы осуществляется от батареи 11. Сила тока ре- гулируется с помощью переменного сопротивления 10 и опреде- ляется с помощью миллиамперметра 9, шкала которого обычно- градуируется в градусах яркостной температуры. В некоторых ти- пах оптических пирометров в качестве регистрирующих приборов 186
используют милливольтметры, а в пирометрах повышенной точ- ности — потенциометры. Показывающие приборы пирометров, рассчитанных на приме- нение ослабляющих светофильтров 3 (на два диапазона измере- ний), снабжены двумя шкалами. Описание оптических пирометров общетехнического применения (ОППИР-017), лабораторного (прецизионного) пирометра (типа •ОП) и их основные характеристики приведены в [7]. Погрешности измерения температуры яркостными оптическими .пирометрами обусловлены главным образом неточностью знания степени черноты объекта измерения 8&; изменением коэффициента пропускания ослабляющего светофильтра при измерениях в поме- щениях, температура в которых заметно отличается от 293 К; •отражением лучей объекта измерения от посторонних источников света; поглощением лучей в слое воздуха, содержащего пары воды и углекислоты; поглощением и рассеянием лучей в слое запылен- ного и задымленного воздуха; ослаблением излучения стеклами, расположенными между объектом измерения и пирометром; неточ- ной наводкой пирометра при небольших размерах объектов изме- рений. Сведения о возможностях расчетной оценки этих погреш- ностей и рекомендации по их уменьшению содержатся в [5, 7, 12]. В яркостных фотоэлектрических пирометрах чувствительным элементом является фотоэлемент, что позволяет освободить этот тип приборов от известной субъективности измерений, присущих оптическим пирометрам, и, следовательно, повысить точность из- мерений, а также дает возможность проводить автоматическую запись температуры и использовать эти приборы в системах авто- матического регулирования. Ток в цепи фотоэлемента пропорцио- нален потоку излучения, падающего на него от объекта измерения, я может служить мерой его температуры. Различают две разновидности фотоэлектрических пирометров. К первой из них относятся пирометры, использующие сравнительно узкий спектральный интервал с эффективной длиной волны Лэ= = 0,65 мкм (как и у оптических пирометров). Во второй разно- видности фотоэлектрических пирометров используются широкие спектральные интервалы с различными значениями эффективной длины волны, зависящими как от спектрального состава излучения объекта измерения, так и от спектральных свойств применяемого фотоэлемента. Отсутствие в настоящее время полных сведений о значениях степени черноты тел в различных интервалах длин волн создает серьезные трудности для пересчета яркостной тем- пературы, измеренной пирометрами этой разновидности, на дей- ствительную, поэтому такие пирометры используют главным об- разом для контроля температуры, когда знание действительной температуры необязательно. Как и оптические пирометры, фотоэлектрические пирометры измеряют условную яркостную температуру. Действительная тем- пература тела определяется с помощью соотношения (9.18) или специальных таблиц. 187
Рис. 9.10. Фотоэлектрический пирометр На рис. 9.10 показана схема фотоэлектрического пирометра типа ФЭП, основанного на использовании узкого спектрального интервала с эффективной длиной волны Ле=0,65 мкм. Поток излу- чения от объекта измерения 1 через объектив 2 и диафрагму 3, одно из двух отверстий в диафрагме 7 и красный светофильтр S попадает на фотоэлемент 9. Наведение пирометра и фокусировка изображения объекта измерения в плоскости отверстия диафраг- мы 7 контролируются визуально с помощью визирного устройства, состоящего из окуляра 5 и зеркала 4. Поток излучения объекта измерения на фотоэлементе сравни- вается с потоком излучения лампы 11, которое попадает на фото- элемент через второе отверстие в диафрагме 7 и светофильтр 8. Поочередное освещение фотоэлемента потоком излучения от объек- та измерения и лампы осуществляется с помощью вибрирующей заслонки 6 модулятора 10. Накал лампы 11, питаемой током вы- ходного каскада электронного усилителя силового блока 13, авто- матически регулируется таким образом, чтобы переменные состав- ляющие сигнала фотоэлемента от сравниваемых потоков излучения объекта измерения и лампы были равны между собой. В уравно- вешенном состоянии падение напряжения на калиброванном сопро- тивлении R является рабочим сигналом; оно однозначно связано с яркостной температурой объекта измерения и фиксируется авто- матическим электронным потенциометром 12. Потенциометр мо- жет быть оттарирован в градусах яркостной температуры. Время, необходимое для установления показаний пирометра (для выхода на режим компенсации), составляет около 1 с. При измерениях температуры, превышающей 1700 К, приме- няются ослабляющие светофильтры. В этом случае фотоэлектриче- скими пирометрами можно измерять температуру до 4000 К- Фотоэлектрические пирометры могут быть использованы в ка- честве датчиков устройств сигнализаций и терморегулирования. 188
Такие приборы, как правило, работают при эффективной длине волны, отличающейся от Хэ=0,65 мкм. Погрешности измерения температуры фотоэлектрическими пиро- метрами имеют те же причины, что и при измерении оптическими пирометрами. § 9Z. ЦВЕТОВЫЕ ПИРОМЕТРЫ • Принцип действия цветовых пирометров, называемых также пирометрами спектрального отношения, основан на использовании зависимости отношения интенсивностей излучения, измеренных в двух достаточно узких спектральных интервалах (А, и Л,), от температуры излучающего тела (рис. 9.11). Эти приборы приме- няются для автоматического измерения температур в диапазоне 1000—3000 К. Рис. 9.11. Зависимость от температуры: / —Xi—0,65 мкм; Ze—0,45 мкм; 2 —Zj— —0,65 мкм, Ze—0,55 мкм Цветовые пирометры измеряют условную цветовую темпера- туру. Цветовая температура реального тела Тц представляет собой такую температуру абсолютно черного тела, при которой отно- шение интенсивностей его излучения для двух длин волн А„// равно отношению hjh* реального тела, имеющего действительную температуру Тд, для тех же длин волн, т. е. 4, (Гц) /х,(Гд) «ЧА„ (Гд) 4, (Гц) /х,(Гд) 8хА..(Гд) ' Используя закон Вина, из (9.20) получаем CiXj 5 ехр ( С2/ХхТц) eXj CxXj®exp(—С2/ХхТд) CxXg ^хр ( О2/Х2Т'ц) СхХ2^ехр(—^а/^аГд) После сокращения и логарифмирования находим J 1 ХхХ, Гц Гд С2 (Хх — Х2) (9.20) (9.21) (9.22) * В соответствии с законом Планка изменение температуры тела сопро- вождается перераспределением энергии по длинам волн. В видимой части спектра изменение длины волны при фиксированной температуре тела сопро- вождается изменением его цвета. Отсюда название — цветовые пирометры. 189
Таким образом, для определения действительной температуры тела Гд необходимо измерить его цветовую температуру Тц и знать спектральную степень черноты тела ех, и ех, в узких спек* тральных интервалах длин волн М и Аг- Из (9.22) следует, что если спектральная степень черноты в данном участке спектра не зависит от длины волны (ех, =8х1), то цветовая температура тела равна его действительной температуре. В этом случае цветовые пирометры не требуют введения поправок, обычных для оптических и радиационных пирометров. Для тел, у которых ех изменяется с длиной волны, цветовая температура может быть как больше, так и меньше действитель- ной. Следует отметить, что в видимой части спектра зависимость ех •от длины волны А для большого числа тел слабая, поэтому для этих тел разность между цветовой и действительной температурой невелика. При измерении температуры в области больших значений АТ для установления связи между цветовой и действительной темпе- ратурами вместо зависимости (9.22) следует пользоваться зави- симостью, полученной на основе закона Планка. Как видно из сопоставления рис. 9.7 и 9.11, цветовые пиро- метры имеют более низкую чувствительность, чем яркостные, в особенности при высокой температуре, но при их использовании поправки на температуру, связанные с отличием свойств реальных тел от свойств абсолютно черного тела, получаются меньшими, нем при использовании других методов. Цветовые пирометры могут быть выполнены по одно- и двух- канальной схеме. При двухканальной схеме для измерения спек- тральных интенсивностей излучения А, и Д, используют два прием- ника излучения (чаще всего ими являются фотоэлементы). При •одноканальной схеме отношение интенсивностей излучения I^JI^ измеряется одним фотоэлементом, который поочередно освещается излучением с длиной волны Ai и Аг. Существенным недостатком двухканальных схем является зависимость характеристик пиро- метра от стабильности свойств фотоэлементов каждого канала, которые с течением времени могут меняться неодинаково. По- этому в большинстве случаев цветовые пирометры выполняются по юдноканальной схеме. На рис. 9.12 приведена принципиальная схема одноканального Рис. 9.12. Цветовой одноканальный пирометр цветового пирометра типа ЦЭП-3. Излучение от объекта измерения 1 через объектив 2, диафрагму 3 и обтюратор 4, вращаемый электродвигателем 9, поступает на фотоэлемент 5. Об- тюратор представляет собой диск с двумя отверстиями, в одном из которых установлен красный све- тофильтр КФ, а в другом — си- ний СФ. При вращении обтюра- 190
тора на фотоэлемент попеременно попадает излучение спектраль- ных интенсивностей, соответствующих красному и синему интер- валам длин волн. Сигналы фотоэлемента (импульсы фототока), пропорциональные спектральным интенсивностям излучения /х, и /%,, через усилитель 6 подаются на автоматический потенцио- метр 7. Синхронный коммутатор 8 позволяет усилителю 6 «раз- личать цвет» входного сигнала. С течением времени характеристики фотоэлемента (в частности его спектральная чувствительность) могут изменяться, поэтому через определенное время градуировку прибора необходимо кор- ректировать. Яркостный, цветовой и рассмотренный ниже радиационный ме- тоды основаны на измерении условной температуры. Пересчет их на действительную температуру требует знания спектральной или интегральной степени черноты тела. Если степень черноты неиз- вестна или изменяется в процессе измерения, то определение дей- ствительной температуры этими методами невозможно. Под руко- водством Д. Я. Света были разработаны теоретические основы метода измерения действительной температуры и созданы приборы, । реализующие этот метод. Приборы основаны на извлечении ин- формации о степени черноты тела из спектра его собственного- ; излучения с помощью нелинейных сигналов, пропорциональных । спектральным энергетическим яркостям [8]. г Наиболее простыми и часто применяемыми приборами этого- типа являются бихроматические пирометры. В качестве примера ; бихроматического пирометра истинной (действительной) темпера- туры с непрерывной автоматической коррекцией можно привести I* ПИТ-5. С описанием схемы и принципа действия его можно озна- I комиться в [9]. | § 9.7. РАДИАЦИОННЫЕ ПИРОМЕТРЫ 5 Радиационные пирометры, называемые также пирометрами пол- ' ного излучения, это приборы для измерения температуры тел по- плотности потока интегрального излучения. Они используются для измерения температуры от 300 до 3800 К. Эти приборы имеют меньшую чувствительность, чем яркостные и цветовые, но изме- рения радиационными методами часто удается осуществить тех- ' нически проще. Радиационные пирометры измеряют не действительную темпе- ратуру тела Тл, а условную, так называемую радиационную темпе- ратуру Тр. Она представляет собой такую температуру абсолютно черного тела 7Р, при которой его плотность потока интегрального- излучения во всем диапазоне длин волн от 0 до оо равна плотности потока интегрального излучения реального тела при действитель- ной температуре Тд. Согласно этому определению ЕО(ТР)-Е(ТД). (9.23> 19В
С учетом закона Стефана — Больцмана * * легко найти £.(Тр) = С0(-^-)‘=£(Т1)-й:0(-^-у. (9.24) Из (9.24) следует, что 7'"’Г"Н <9-26) или е_т.-тр-т,(|/’-1--1). (9.26) Здесь в — интегральная степень черноты тела. Поскольку для реальных тел в<1, то радиационная темпера- тура всегда меньше действительной. Значения интегральной степени черноты е, имеющиеся в спра- вочной литературе, установлены с меньшей точностью, чем значения спектральной степени черноты е»,. Поэтому радиационные пиро- метры обладают меньшей точностью по сравнению с яркостными и цветовыми. Неопределенность значений 8 для некоторых тел часто заставляет ограничиваться измерением только радиационной температуры без пересчета ее на действительную. Радиационные пирометры состоят из телескопа, приемника ин- тегрального излучения, вторичного прибора и вспомогательных устройств. Оптическая система телескопа концентрирует энергию излучения тела на приемник интегрального излучения, степень нагрева которого (температура), а следовательно, и выходной сигнал пропорциональны падающей энергии излучения и опреде- ляют радиационную температуру тела. В качестве приемника излучения (чувствительного элемента) чаще всего используют термобатареи из нескольких последова- тельно соединенных термопар. Наряду с термобатареями в качестве приемников интегрального излучения могут быть использованы и другие теплочувствитель- ные элементы, например болометры, в которых излучение от объекта измерения нагревает чувствительный к температуре ре- зистор. Изменение сопротивления резистора служит мерой радиа- ционной температуры. Оптические системы телескопов радиационных пирометров мо- гут быть двух видов: рефракторная (с собирающей линзой) и / т \« J т \* * £о“Со|— —для абсолютно черного тела; £=еС01 — I —для серых \100/ \1ОО/ тел. Здесь Е — поверхностная плотность потока интегрального излучения; е — интегральная (суммарная) степень черноты; Со— коэффициент излучения абсо- лютно черного тела. 192
Рис. 9.13. Телескопы радиационных пирометров: а —с рефракторной оптической системой; б —с рефлекторной оптической системой; / — объектив; 2 — диафрагма; 3— приемник излучения; 4 —окуляр; 5 —красный или дымча* тый светофильтр; 6 — диафрагма; 7 — зеркало рефлекторная (с вогнутым зеркалом). Схемы телескопов с рефрак- торной и рефлекторной оптическими системами приведены на рис. 9.13. Наибольшее распространение получили телескопы с ре- фракторной системой. Линзы рефракторных систем ограничивают пропускание излучения длинноволнового участка спектра, что вы- зывает значительное отклонение излучения от закона Стефана — Больцмана и делает соотношения (9.25) и (9.26) нестрогими.. Градуировка радиационных пирометров с рефракторной оптической р системой становится чисто эмпирической, не связанной с законами J излучения. При измерениях невысокой температуры и, следовательно, при небольших плотностях потока излучения применяют телескопы £ рефлекторных систем. Ввиду отсутствия в них стекол, ограничи- I вающих пропускание теплового излучения, эти телескопы обеспе- I. чивают соответствие излучения, попадающего на приемник ийте- • трального излучения, закону Стефана — Больцмана. Недостатком . рефлекторных телескопов является изменение отражательной спо- собности зеркала в результате загрязнения и потускнения. В качестве вторичных приборов, регистрирующих сигнал прием- ' ника излучения, используют показывающие самопишущие й регу- . лирующие приборы. Шкала вторичных приборов обычно градуи- руется в градусах радиационной температуры. Для исключения погрешностей, обусловленных нагревом кор- пуса пирометра (телескопа) из-за теплообмена его с окружающей 1 средой и в результате поглощения излучения от объекта измере- ния, телескопы радиационных пирометров могут быть снабжены различными системами температурной компенсации. Температура рабочих спаев термобатареи, а следовательно, и ее выходной сигнал устанавливаются в результате теплового равно- весия между потоком падающей на термобатарею энергии излуче- ния объекта измерения и отводом теплоты в корпус телескопа и окружающую среду. Поскольку это равновесие устанавливается не мгновенно, радиационные пирометры обладают определенной инерционностью. Малоинерционные пирометры имеют время уста- новления теплового равновесия менее 0,5 с, пирометры большой инерционности — более 2 с. 7 Зак. 117 193
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гордов А. Н. Измерения температур газовых потоков. М.— Л.: Машгиз> 1962. 163 с. 2. Гордов А. Н. Основы пирометрии. — М.: Металлургия, 1971. 447 с. 3. Жуков А. Г., Горюнов А. Н., Кальфа А. А. Тепловизионные приборы ж их применение/Под ред. Н. Д. Девяткова. — М.: Радио и связь, 1983. 168 с. 4. Измерение нестационарных температур и тепловых потоков. Под ред_ А. Н. Гордова.— М.: Мир, 1966. 301 с. 5. Линевег Ф. Измерение температур в технике. Справочник. — М.: Метал- лургия, 1980. 544 с. 6. Пантелеев А. А., Трушин В. А. — Авиационная техника, 1976, № 1„ с. 156—162. 7. Преображенский В. П. Теплотехнические измерения и приборы. — М.: Энергия, 1978. 704 с. 8. Свет Д. Я. Некоторые вопросы теории современной оптической пиромет- рии.— В кн.: Оптические методы измерения температур в металлургии. — М.?. Наука, 1979, с. 5—17. 9. Д. Я. Свет, В. В. Левчук, В. И. Саяпина и др. Оптимальный бихромати- ческий пирометр с автоматической коррекцией на излучательную способность.— В кн.: Оптические методы измерения температур в металлургии. — М.: Наука,. 1979, с. 34—40. 10. Точность контактных методов измерения температуры/А. Н. Гордов,. Я. В. Малков, Н. Н. Эргардт, Н. А. Ярышев. — М.: Изд-во стандартов, 1976.. 232 с. 11. Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: Высшая школа, 1977.. 288 с. 12. Чистяков С. Ф., Радун Д. В. Теплотехнические измерения и приборы.— М.: Высшая школа, 1972. 392 с. 13. Шукшунов В. Е. Корректирующие звенья в устройствах измерения? нестационарных температур.— Л.: Энергия, 1970. 118 с. 14. Ярышев Н. А. Теоретические основы измерения нестационарных темпе- ратур.— М.: Энергия, 1967. 300 с. Глава 10 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ, ПОВЕРХНОСТНОГО ТРЕНИЯ И РАСХОДА ЖИДКОСТИ И ГАЗА § 10.1. ПНЕВМОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В настоящее время в исследовательской практике для опреде- ления скорости потоков жидкости и газа наиболее широкое распро- странение получили пневмометрический и термоанемометрический' методы. Для измерения скорости на основе этих методов в дви- жущийся поток вводят чувствительные элементы, которые в той, или иной степени искажают картину течения. Свободными от указанного недостатка являются оптические методы измерения,, которые рассмотрены в гл. 11. Значительно реже применяют дру- гие методы измерения скорости (см. [1, 5—7]). Пневмометрический метод измерения скоростей широко распространен в. • практике экспериментальных исследований благодаря своей простоте и доступ- ности. При малых скоростях течения среды (М<0,3), когда можно не учитывать- 194
Рис. 10.1. Насадок Пито для измерения пол- «ото давления Е «ее сжимаемость, уравнение Бернулли для I' идеальной жидкости имеет вид [ ‘ р + = р* = const. (10.1) в Здесь р*, р— полное давление (давление В торможения) и статическое давление; р, Г яо— плотность и скорость потока; M—wla— Е «число Маха, где а — местная скорость I звука. I. Уравнение (10.1)‘ положено в основу пневм©метрического метода ©пределе- К ния скорости несжимаемого потока. Из (10.1) следует, что I W = У2(р* —/>)/р. (10.2) В "Таким образом, для определения скорости в рассматриваемой точке потока к необходимо знать полное и статическое давление, а также плотность среды. К Простейшим насадком для отбора полного давления является {круглая труб- ка, ось которой совпадает с направлением потока, а открытый конец направлен v против потока. Другой конец трубки соединяется с манометром. Измерительное . устройство такого типа обычно называют насадком Пито (рис. 10.1). £ Статическое давление измеряется с помощью насадков, имеющих специаль- ную конструкцию. Опытом установлено, что давление, воспринимаемое в щелях * или отверстиях, расположенных на боковой поверхности цилиндрического тела ; ш находящихся ца Значительном расстоянии от носка, будет равно статическому .давлению невозмущенного потока. Измерительное устройство такого типа назы- ' вают насадком Прандтля (рис. 10.2). : Плотность газового потока в рассматриваемой точке может быть опреде- лена по уравнению состояния. Для определения скорости потока часто применяют зондй, представляющие «собой комбинацию насадков статического и полного давления. Из числа сущест- вующих комбинированных зондов широко используют насадок Пито—Прандтля, ’ показанный на рис. 10.3. Продольное отверстие 1 насадка воспринимает полное .давление, а отверстия 2 на боковой поверхности цилиндрического корпуса — .статическое давление. Таким насадком можно измерять давление в газовых по- токах с числами Маха М не более 0,85. Следует иметь в виду, что как бы удачно ни была выполнена конструкция комбинированного зонда, динамическое давление измеряется им не вполне точно. Индивидуальные особенности насадка принято характеризовать поправочным коэффициентом £, который учитывает «отличие истинного динамического напора от воспринятого насадком: ш=6/2(р»-р)/р. (10.3) Для тщательно изготовленных комбинированных насадков типа насадка Лито—Прандтля поправочный коэффициент g постоянен и близок к единице ® широком диапазоне чисел Re. В случае, если насадок изготовлен с отклонением 7* 195
4om6=(jLlO)<L Рис. 10.2. Насадок Прандтля для из- мерения статического давления Рис. 10.3. Комбинированный насадок Пито-Прандтля от рекомендуемых размеров и геометрии, то его необходимо тарировать с целью определения Коэффициента Тарировку насадков проводят в аэродинамических трубах или на ротативной машине. Йри тарировке в аэродинамической трубе тарируемый насадок устанавливают рядом с эталонным насадком. Сущность тарировки заключается в сравнении давлений, измеренных тарируемым и эта- лонным насадками. При тарировке на ротативной машине тарируемый наса- док крепят на конце длинного вращающегося рычага. Передача давления от вращающегося насадка на неподвижный манометр производйтся через специаль- ный затвор. Окружная скорость в данном -случае определяется по измеренной частоте и радиусу вращения. В< реальных условиях работы насадки обтекаются не идеальной жидкостью, для которой было записано уравнение Бернулли (10.1), а вязкой жидкостью. Однако многочисленными опытами установлено, что при больших числах Рей- нольдса вязкость не оказывает влияния на показания насадков. При малых Re поправка на влияние Re, найденная экспериментально, для цилиндрического 196
насадка выражается [1] формулой Р*—Р . 5,6 pwa/2 Re ’ где число Рейнольдса Re рассчитано по радиусу приемного отверстия насадка, ? ’выполненного в виде тонкостенной трубки. [ На показания насадков полного и статического давлений может оказать } рачительное влияние угол скоса потока относительно оси насадка. Это влияние £ ,в значительной степени зависит от конструкции приемника давления. Комбиии- е ‘ррванный насадок Пито—Прандтля нечувствителен к углам скоса потока в диа- ^азоне 10—15°. в " Нижний предел скорости, измеряемой пневмометрическим методом, огра- Е ничивается чувствительностью микроманометров и обычно составляет 4—6 м/с. и ; Направление потока в свободных струях или каналах с прозрачными стен- ;• рми можно определить при помощи шелковой (или хлопчатобумажной) нити и флюгарок (флажковых угломеров) по их положению в потоке. Достаточно г просто и точно направление потока может быть определено с помощью пневмо- ; метрических насадков на основе зависимости давления, воспринимаемого прием- * ными отверстиями, от направления набегающего потока. С этой целью, напри* мер, можно использовать насадок для отбора полного давления. Насадок поме- ’ щают в поток, вращают его вокруг оси и по максимальным показаниям мано- ! метра ориентировочно определяют направление потока. Затем насадок поворачи- Г .вают так, чтобы ось приемного отверстия была установлена примерно под углом ^40—45° к ориентировочно определенному направлению потока. В этом положении ‘ насадок наиболе чувствителен к углу атаки потока. По лимбу фиксируется его • угловое положение, а по манометру — давление. Поворачивая насадок в другую * сторону, проходят через максимум давления и находят .второе положение насад- * ка, в котором давление будет равно ранее зафиксированному. Направление пото- ' ка будет совпадать с направлением биссектрисы угла поворота насадка от пер- ; ного до второго положения. i Для измерения направления двумерного потока можно воспользоваться на- ; гадком с двумя отверстиями, которые расположены симметрично относительно г его продольной оси. При этом применяют прямой и косвенный методы изме* /(рения. Прямой метод основан на выравнивании давлений в отверстиях и непосред- .ветвенном определении направления потока. Для этого к приемным отверстиям \ насадка подсоединяют дифференциальный манометр, а сам насадок устанавли* • 'вают в координатник, позволяющий производить его вращение. Вращая насадок, добиваются такого его положения, при котором перепад давления по манометру ’равен нулю. В этом случае ось насадка (биссектриса угла между осями отвер- ди ’Стий) будет совпадать с направлением скорости набегающго потока. t На практике не всегда удобно и возможно поворачивать насадок. В этих , ‘случаях направление потока определяют вторым методом — косвенным. По этому методу насадок устанавливают в определенное положение, ориентирован- ное по началу отсчета или оси канала, и передвигают без вращения в намечен- йые области измерения. Так как в разных точках направление потока не будет f симметричным относительно отверстий, то по манометру будут отмечены неко- £ Торые разности давлений. По разности этих давлений и тарировочной кривой ? Манного насадка определяют направление потока. Предварительную тарировку Г 197
насадка производят в аэродинамической трубе. Сущность тарировки заключа- ется в установлении функциональной зависимости между перепадом давлений в отверстиях и углом скоса потока при различных скоростных напорах. Косвенный метод измерения требует менее сложного оборудования и мень- ших затрат времени на измерения. Однако он менее точен, чем прямой метод, особенно при больших углах скоса потока, и требует предварительной тари- ровки. Прямой метод при тщательном изготовлении координатников и насадка дает возможность измерить угол атаки потока с погрешностью порядка ±0,14-0,2°, но требует значительных затрат времени на проведение самих изме- рений. Преимуществом прямого метода является также независимость измерений от чисел М и Re. При измерении направления вектора скорости в трехмерном потоке в* од- ном насадке располагают четыре приемных отверстия, плоскости которых вза- имно перпендикулярны. Вращая насадок в двух перпендикулярных плоскостях, проходящих через его центр, можно определить направление в трехмерном потоке прямым способом. В случаях, когда насадок невозможно поворачивать, изме- рения проводят косвенным методом. Наиболее удобно проводить измерения, совмещая оба способа, когда один угол определяется вращением, а второй — по показаниям манометра. § 10.2. ОСОБЕННОСТИ ПНЕВМОМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ ГАЗОВОГО ПОТОКА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ МАХА С увеличением скорости газового потока на результаты измерений начинает оказывать влияние его сжимаемость, поэтому при измерениях больших скорос- тей (М>0,3) следует использовать соотношение, полученное из уравнения Бер- нулли для сжимаемого газа: где k — показатель адиабаты; R — газовая постоянная; Т — термодинамическая температура потока. При М>0,85 на цилиндрической части насадка с полусферической головкой появляются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения, расположен- ными впереди приемных отверстий, которые вносят искажения в результаты измерения статического давления. Для уменьшения этих искажений при измере- нии высокоскоростных потоков (М>0,85) приемные отверстия насадка смещают вниз по потоку, а также используют насадки с удлиненной головкой конической или оживальной формы (спрофилированной дугами окружности). В последнем случае длина насадка оказывается меньшей по сравнению с головкой конической формы. При измерении скорости сверхзвукового потока (М>1) перед насадком воз- никает скачок уплотнения. В этом случае полное и статическое давления, изме- ренные с помощью соответствующих насадков, не совпадают с их значениями в невозмущенном потоке, а определяются состоянием потока за скачком уплот- нения. В этой связи использование соотношения (10.4) вызывает дополнитель- ные трудности, связанные с необходимостью определения величин р* и р в не- возмущенном потоке по измеренным их значениям р*0, ро за прямым или соот- 198
ветствующим значениям p*j, pi за косым скачком уплотнения. Поскольку между числом Маха в невозмущенном потоке и любой парой величин из перечня р*, Р, Р*о, Ро, р*ь Pi существует однозначная связь, определяемая известными газодинамическими соотношениями, то измерением любой пары этих величин и решается задача определения числа Маха. Например, при известном статическом давлении в невозмущенном потоке р и полном давлении за прямым скачком р*о число Маха в невозмущенном потоке определяется с помощью формулы Рэлея _^ = _U+i-------------k-±d—, (10.5) Р° (k+1 маУ-1 I ------ Ма ) \ 2 J а при определении числа Маха в сверхзвуковых аэродинамических трубах удобно пользоваться уравнением, связывающим полное давление до и после прямого скачка: 1 k Р* ( 2k fe-1 У-1Г (fe-l)M»+2-|*-i p* ( fe + i * + i) I + J • ( •} Скорость потока связана с числом М соотношениями » = МУШ; а> = М Г---------------. (10.7) У где Т* — температура торможения потока. Для измерения давления р*о насадок должен иметь затупленную форму го- ловки, а диаметр приемного отверстия должен быть значительно меньше на- ружного диаметра насадка с тем, чтобы это отверстие целиком находилось за прямым скачком уплотнения. Для измерения статического давления р, как было показано выше, необходимо использовать насадок с заостренной конической или оживальной головкой. Поэтому в сверхзвуковых потоках полное и статическое давления обычно измеряют различными насадками. При раздельном измерении полного и статического давлений в какой-либо точке потока необходимо уста- навливать насадки так, чтобы в этой точке находился носик насадка полного давления и через нее же проходила плоскость расположения отверстий статичес- кого давления. При измерении скорости в сверхзвуковых потоках поверхность насадка тщательно обрабатывается и полируется. Приемные отверстия делаются с осо- бой аккуратностью, так как при сверхзвуковых скоростях заусенцы, рваные кромки и неровности в зоне приемных отверстий возмущают поток и приводят к большим погрешностям измерения статического давления. Необходимо, чтобы угол заострения головки насадка статического давления был меньше предель- ного угла, при котором возникает отсоединенная волна на конусе. Необходимо также предусмотреть чтобы ударная ^олна, возникающая перед носиком насадка, дойдя до стенки канала или расположенного рядом препятствия, отражалась не в зону расположения приемных отверстий, а к державке приемника. Измере- 199
ние будет неверным, если приемное отверстие насадка попадает в зону влияния отраженного от стенки головного скачка уплотнения. Державка насадка обычно располагается на расстоянии 6—12 калибров от приемных отверстий. С увели- чением М это расстояние можно уменьшить. Насадки для измерения скоростей, близких к М=1, не должны в поперечном сечении иметь площадь более 0,1 % площади сечения канала. В противном слу- чае скорость, измеряемая насадком, будет значительно отличаться от действи- тельного значения в результате сужения им поперечного сечения потока. § 10.3. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОТОКА ТЕРМОАНЕМОМЕТРОМ Принцип действия и устройство термоанемометра основаны на зависимости, существующей между электрическим сопротивлением или температурой нагретого проводника, помещенного в поток, и скоростью его обтекания. Чувствительным элементом термоанемо- метра является проволочный или пленочный датчик, который нагре- вается электрическим током. Теплота, выделяемая в чувствительном элементе датчика при прохождении электрического тока, отводится от него путем есте- ственной и вынужденной конвекции, излучения и теплопроводности. Анализ теплового баланса тонкой нити датчика, нагретой элек- трическим током и размещенной в потоке перпендикулярно к на- правлению осредненной во времени скорости w, позволяет полу- чить следующее выражение: l2Rw/(Rw—Rf) = А + Bi?*, (10.8) где I — сила тока, протекающего через нить датчика; Rw, Rf — со- противления нагретой и холодной нити соответственно; А, В, т — некоторые коэффициенты, зависящие от теплофизических свойств и температуры потока, от материала и размеров чувствительного элемента и т. п. Из соотношения (10.8) следует, что для определения скорости потока w, обтекающего нить, необходимо знать для каждого случая силу тока, протекающего через нить датчика, и сопротив- ление нити. На практике с помощью специальных электрических схем стараются одну из указанных величин (/ или Rw) поддер- живать постоянной, в то время как другая изменяется вместе с изменением скорости потока. В результате можно получить однозначную зависимость между скоростью потока и изменяющейся величиной, которая устанавливается тарировкой прибора. В зависимости от того, какая величина поддерживается по- стоянной, различают два метода измерения скорости термоанемо- метром: метод постоянной силы тока и метод постоянной темпе- ратуры. Метод постоянной силы тока состоит в том, что нить дат- чика нагревается постоянным по величине током, а скорость определяется по изменению электрического сопротивления. При втором методе — методе постоянной температуры (иногда его на- зывают методом постоянного сопротивления) температура нити датчика, а следовательно, и ее сопротивление сохраняются постоян- 200
Датчик Термоанемометр Вольтметр переменного Вольтметр постоянного тока (£) I Г£Г- Осциллограф Рис. 10.4. Схема термоанемометра постоянной температуры ными, а скорость определяется по изменению силы тока, требую- щейся для поддержки постоянной температуры (сопротивления) вити датчика. Второй метод измерения скорости точнее первого и в настоящее время используется чаще. Схема метода постоянной температуры приведена на рис. 10.4. Датчик термоанемометра в виде тонкой нити или пленки включают в одно из плеч моста сопротивлений, к измерительной диагонали которого подключают дифференциальный усилитель, состоящий из усилителя напряже- ния Ун и усилителя тока Ут. Выход дифференциального усилителя подключают к питающей диагонали моста сопротивлений. Электри- ческий ток усилителя проходит через датчик, нагревая его до опре- деленной температуры. Температура датчика поддерживается по- стоянной с помощью сервоуправляемой системы. Мгновенное зна- чение расходуемой электрической энергии равно мгновенной тепло- вой потере на нагревание окружающей среды. Из уравнения теплового баланса (10.8), учитывая, что величины Rf и Rw остаются постоянными, получаем соотношение Е* = А, + В^т. (10.9) где Е — осредненное во времени значение падения напряжения на датчике, а величины Ль Вь т определяются в результате тари- ровки последнего. Конструктивно термоанемометр выполняется в виде отдельных блоков, состоящих из непосредственно термоанемометра (усили- теля) и вторичной аппаратуры — вольтметров постоянного и пере- менного токов, осциллографов, анализаторов спектра, корреломет- ров и др. В простейшем случае комплект термоанемометрической аппаратуры включает в себя датчики, термоанемометр, вольтметр постоянного тока, вольтметр переменного тока. Датчики термоанемометра изготовляют из вольфрамовой или платиновой нити диаметром от 2,5 до 12 мкм и длиной от 1 до 5 мм, натянутой между двумя тонкими иглами (рис. 10.5). Для измерений в потоках с большими скоростными напорами приме- няют пленочные датчики, так как нить в этом случае может оборваться. Пленку из вольфрама или, платины напыляют на осно- вание корпуса датчика. Толщина пленки 1—2 мкм. 201
Рис. 10.5. Проволочный датчик термоанемометра: 1 — нагреваемая нить; 2 — поддерживающие стойки; 3 — корпус; 4 — выводы Тарировку датчиков обычно проводят в аэродинамической трубе, располагая нить датчика перпендикулярно к направлению осредненного течения около насадка Пито — Прантдля, но не слишком близко от него. При этом особое внимание надо обращать на чистоту, отсутствие влаги, пыли, масел в воздухе, который ис- пользуется для тарировки- Необходимо также поддерживать тем- пературу потока, в котором тарируется датчик, одинаковый с тем- пературой исследуемого потока. Измерения показывают [7], что отклонение температуры газа на 1 К от условий тарировки може! привести к дополнительным погрешностям в измерении скорости на 2 %. При измерениях нить датчика размещают в потоке, также перпендикулярно к направлению средней скорости, и, зная напря- жение на выходе из термоанемометра, с помощью тарировочного графика или по формуле (10.9) определяют соответствующую скорость. Принцип определения направления потока с помощью термо- анемометра сохраняется аналогичным рассмотренному в § 10.1 определению этого направления с помощью пневмометрических насадков. С помощью термоанемометра может быть измерена не только осредненная скорость потока w, но и ее пульсационные состав- ляющие wx', wy', wz' в направлении координатных осей х, у, z (пульсации скорости имеют место в турбулентных потоках). С этой целью выделяют постоянную Е и переменную Е' состав- ляющие выходного сигнала термоанемометра. Первую из них измеряют вольтметром постоянного тока, а вторую — вольтметром переменного тока. Если нить расположить перпендикулярно к направлению осред- ненной скорости, то датчик будет чувствителен лишь к пульса- циям скорости wx (ось х совпадает с направлением осредненной скорости), а уравнение, описывающее реакцию нагретой нити на продольные (вдоль оси х) пульсации скорости в изотермичном потоке, примет вид Е' =a(w'x/w). (10.10) 202
Здесь а=и»х —— — коэффициент чувствительности датчика к про- да» дольным пульсациям скорости. Если нить разместить в координатной плоскости xOz под не- которым углом <р¥=90° к направлению осредненной скорости, то датчик будет чувствителен к пульсации скорости в направлениях х и z, а уравнение, описывающее реакцию нагретой нити на про- дольные wx и поперечные wz' пульсации скорости в изотерми- ческом потоке, имеет форму + (10.11) W W д~Ё Здесь р=-------коэффициент чувствительности датчика к по- д<р перечным пульсациям скорости. Нить датчика, расположенная в координатной плоскости хОу под углом ф=^90° к направлению осредненной скорости, чувстви- тельна к пульсациям скорости в направлениях х и у. Уравнение реакции нити на пульсации скорости wx и wv' в изотермичном потоке можно представить в виде Е'=а-^- + у-^, (10.12) W W дЕ .. где у=-------коэффициент чувствительности датчика к пульса- ЦИЯМ скорости Wy. Если поток неизотермичный, то пульсации скорости сопровож- даются пульсациями температуры. В этом случае в правые части уравнений (10.10) — (10.12) должен быть включен в качестве — — дЕ слагаемого дополнительный член %(Т'/Т), где к=Т —=— коэффи- дТ циент чувствительности датчика к пульсациям температуры по- тока Т'; Т — осредненная во времени температура потока. ' Коэффициенты чувствительности а, р, у, % определяются по результатам градуировки датчика. Уравнения реакции (10.10) — (10.12) положены в основу мето- дов определения турбулентных характеристик потока, которые рассмотрены в гл. 13. § 10.4. ОСОБЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Основная особенность измерений в пограничном слое состоит в том, что в ряде случаев скорость определяется на небольших расстояниях от стенки, составляющих несколько микрометров. Из- мерительная аппаратура в этом случае должна вносить в поток минимальные возмущения, обеспечивать достаточно близкий под- ход к поверхности и иметь малую инерционность. 203
Рис. 10.6. Микротрубка для измерений в пограничном слое /(микробинту Рис. 10.7. Поверхностная трубка Пневмометрический метод основан на использовании микро- трубок полного напора, измеряющих полное давление в погранич- ном слое. Статическое давление, необходимое для вычисления скорости потока/ измеряется с помощью отверстия на стенке ка- нала. В отдельных случаях для измерения полного давления используются поверхностные трубки. Микротрубки полного напора конструктивно не отличаются от обычных трубок, применяемых для измерения осредненной ско- рости потока. Приемное отверстие таких трубок имеет, как пра- вило, прямоугольную форму (рис. 10.6), но характеризуется доста- точно малыми размерами. В соответствии с рекомендациями [7] величина h изменяется от 0,07 до 0,10 мм, Н — от 0,8 до 1 мм. Для исключения дополнительных возмущений приемное отвер- стие располагают на расстоянии 20—30 мм от ножки. Перемещение микротрубки осуществляют с помощью коорди- натника с микрометрическим винтом. При измерениях обычно считается, что центр давления соответствует середине приемного отверстия (Я/2). Для отметки начального положения микротрубки, соответствующего ее касанию со стенкой канала, используют мик- роскоп или электрическую цепь. Последняя замыкается при сопри- косновении носика трубки с поверхностью. Многочисленными опытами установлено, что полное давление с помощью трубки измеряется правильно в том случае, когда ReH=wxHfv больше 60—250. При меньших значениях ReH в изме- ренные результаты необходимо вводить поправку, обусловленную влиянием вязкости потока. В соответствии с рекомендациями, при- веденными в [7], истинное й>Ист и измеренное й>изм значения ско- рости связаны между собой уравнением -------------kji—kji, (10.13) «>00 Шоо где Wco — скорость потока вне пограничного слоя; ki, — коэф- фициенты, их значения могут быть получены на основе тариро- вочных опытов с известным профилем скорости в пограничном слое при переменных Hah. Поверхностные трубки используют, как правило, для измере- ний скорости в непосредственной близости от поверхности, вклю- чая вязкий подслой. Такая трубка представляет собой козырек, 204
Нижней, стенкой которого служит исследуемая поверхность (рйс. 1017). Ширина козырька составляет около 1,5 мм, толщина верхней (стенки до 0,05 мм. Перемещение трубки с козырьком Осуществляют с помощью микрометрического винта. 1 ' Поверхностные трубки требуют индивидуальной тарировки в . потоке с (известным профилем скорости. При тарировке опреде- | ляется расстояние от стенки канала h* (эффективный центр), к ( которому следует отнести результаты измерений. ! В последние годы для измерения скорости в пограничном слое Е широко используют термоанемометр. При измерениях вблизи по- ( верхности возникает дополнительный отвод тепла от нагретой иити, что приводит к завышению измеренной скорости по сравне- Т' нию с действительной. Для этих условий необходимо иметь соот- [ветствующие корректирующие зависимости. > '' Измерения! выполненные в [2], показали, что в широком , диапазоне изменения диаметра нити (d=3,44-41,6 мкм) влияние ; стенки канала на показания термоанемометра проявляются только в области вязкого подслоя. Протяженность области влияния стенки i в универсальннбм представлении (r\=ywx/v) одинакова для лами- парного и турбулентного пограничного слоя и линейно зависит j, ют диаметра нитй. При -г) <6,9 разность измеренной и действительной скоростей ' потока может быть значительной и вычисляется по уравнению Дф* = — 0,62 + 4,27/4*, (10.14) ,гае = «..VSJT 5 —динамическая скорость; Дшх— разность между измеренной и 1 действительной скоростями; d*=4 мкм; у—расстояние от стенки. § 10.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО ТРЕНИЯ В трубах на участке гидродинамической стабилизации потока поверхностное трение определяется из простого уравнения т„ = <1Др/4х, (10.15) где тю — касательное напряжение трения на стенке канала; d — диаметр трубы; Др — перепад статического давления на длине * трубы х. Во всех других случаях экспериментальное определение [ поверхностного трения представляет сложную задачу. I Все известные методы экспериментального определения вели- s' чины можно разделить на две группы. К первой относятся прямые методы, в которых сила, действующая на поверхность со стороны потока, определяется непосредственным измерением. Ко второй группе относятся косвенные методы, в