А. С, КОРЕНЯКО,

Л. И. НРЕМЕНШТЕЙН,

С, Д. ПЕТРОВСКИЙ,
Г. М. ОВСИЕНКО.

В. Е. БАХАНОВ,

П. М. ЕМЕЦ

НУРСОВОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ПО ТЕОРИИ
МЕХАНИЗМОВ
И МАШИН

ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ

Под редакцией

канд. техн, наук А. С. Кореняко

Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования
УССР в качестве учебного пособия
для студентов технических вузов
Курсовое проектирование по теории меха-
низмов и машин. К о р е н я к о А. С. и др. <Внща
школа», 1970. 332 стр.

В предлагаемой книге кратко изложены ос-
новные теоретические вопросы курса теории ме-
ханизмов и машин и даны кинематические схемы
29 заданий по курсовому проекту нз различных
областей машиностроения с краткими указаниями
к ним.

Для ознакомления студентов с общей схемой
н последовательностью проектирования, а также
с методикой исследования и расчета механизмов
в конце книги помещены подробно разработанные
в расчетной части и графическом оформлении три
типовых проекта механизмов двигателя и рабочей
машины.

Руководство по курсовому проектированию
составлено в соответствии с программами маши-
ностроительных и механических специальностей
втузов и предназначено в качестве учебного по-
собия для студентов этих втузов. Оно также мо-
жет быть использовано инженерно-техническими
работниками конструкторских бюро промышлен-
ных предприятий и проектных организаций.

Табл. 61. Илл. 114. Библ. 30. Прилож. 5.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Пятое издание учебного пособия
«Курсовое проектирование по теории ме-
ханизмов н машин» по объему и содержа-
нию незначительно отличается от чет-
вертого.

Наиболее существенные изменения,
внесенные в пятое издание, состоят в
следующем:

1)	написана заново гл. I «Структур-
ный анализ плоских механизмов»;

2)	с целью улучшения методики из-
ложения материал некоторых глав час-
тично переработан;

3)	добавлен § 5 в гл. X «Определе-
ние момента инерции маховика методом
средних мощностей».

Кроме того, при подготовке этого из-
дания к печати весь материал был тща-
тельно пересмотрен и замеченные в пре-
дыдущих изданиях опечатки и неточности
устранены.

Авторы выражают глубокую призна-
тельность сотрудникам кафедры при-
кладной механики Одесского политехни-
ческого института (зав. кафедрой докт.
техн, наук К. И. Заблонский), сделав-
шим в своей обстоятельной рецензии
ценные предложения и замечания, кото-
рые по возможности были учтены авто-
рами при окончательной подготовке ру-
кописи.
Работа по составлению настоящего
учебного пособия выполнена под общим
руководством и при научном редактиро-
вании А. С. Кореняко и распределена
между авторами следующим образом:
А. С. Кореняко написаны: введение, гла-
вы III, VIII, IX, § 4 гл. V; Л. И. Кре-
менштейном — главы I, II, § 4—9, 13,
16, 17 гл. VII, § 4,5 гл. X; С. Д. Петров-
ским— гл. IV, § 1—3 гл. V, § 1—3, 10—
12, 14, 15 гл. VII, § 1—3 гл. X, приложе-
ние V; Г. М. Овсиенко — гл. XI, § 1—18
гл. XII, приложение I (задания 1—28),
приложения II, III; В. Е. Бахановым —
гл. VI, § 18 гл. VII; П. ЛА. Емцем — § 19,
20 гл. VII, § 19—26 гл. XII, приложение
I (задание 29), приложение IV.

Все пожелания и замечания, направ-
ленные на улучшение книги, просим на-
правлять по адресу: Киев-54, Гоголев-
ская, 7, издательство «Вища школа».
ВВЕДЕНИЕ

В свете задач, стоящих перед советским машиностроением, особое
значение приобретает качество подготовки высококвалифицированных
инженеров. Советский инженер-конструктор должен владеть современ-
ными методами расчета и конструирования новых быстроходных авто-
матизированных и высокопроизводительных машин. Рационально спро-
ектированная машина должна удовлетворять социальным требовани-
ям — безопасности обслуживания и создания наилучших условий для
обслуживающего персонала, а также эксплуатационным, экономиче-
ским, технологическим и производственным требованиям. Эти требова-
ния представляют собой сложный комплекс задач, которые должны
быть решены в процессе проектирования новой машины.

Решение этих задач на начальной стадии проектирования состоит
в выполнении анализа и синтеза проектируемой машины, а также в раз-
работке ее кинематической схемы, обеспечивающей с достаточным при-
ближением воспроизведение требуемого закона движения.

Для выполнения этих задач студент — будущий инженер — должен
изучить основные положения теории машин и общие методы кинемати-
ческого и динамического анализа и синтеза механизмов, а также приоб-
рести навыки в применении этих методов к исследованию и проектиро-
ванию кинематических схем механизмов и машин различных типов,;

Поэтому наряду с изучением курса теории механизмов и машин
в учебных планах предусматривается обязательное выполнение сту-
дентами курсового проекта по теории механизмов и машин.'Проект со-
держит задачи по исследованию и проектированию машин, состоящих
из сложных и простых в структурном отношении механизмов (шарнир-
но-рычажных, кулачковых, зубчатых и др.). Курсовое проектирование
способствует закреплению, углублению и обобщению теоретических
знаний, а также применению этих знаний к комплексному решению
конкретной инженерной задачи по исследованию н расчету механизмов
и машин; оно развивает у студента творческую инициативу и самостоя-
тельность, повышает его интерес к изучению дисциплины и прививает
некоторые навыки научно-исследовательской работы.

Приступая к составлению настоящего руководства, авторы стреми-
лись привести содержание, объем и методику изложения учебного ма-
териала в соответствие с указанными задачами курсового проектиро-
вания по теории механизмов н машин. Учебная и инженерная ценность
курсового проекта определяется в значительной степени комплексно-
стью проектного задания и реальностью объектов проектирования.
Поэтому помещенные в руководстве проектные задания в виде кинема-
тических схем механизмов и машин, применяемых в различных от-
раслях промышленности, по своему объему и содержанию отвечаю!
указанным задачам и требованиям в отношении их комплексности и
реальности.

При решении задач проектирования кинематических схем механиз-
мов необходимо учитывать структурные, метрические, кинематические
и динамические условия, обеспечивающие воспроизведение проектируе-
мым механизмом заданного закона движения.

Современные методы кинематического и кинетостатического анали-
зов, а в значительной степени и методы синтеза механизмов увязаны
с их структурой, т. е. способом образования. Поэтому в руководстве
основам учения о структуре механизмов и методам структурного ана-
лиза их уделено значительное внимание.

В каждом из проектных заданий представлены преимущественно
плоские механизмы, включающие и низшие и высшие пары.

В руководстве приведены схемы наиболее распространенных в тех-
нике видов шарнирно-рычажных механизмов, принадлежащих ко II
и III классам.

Каждый из этих классов имеет свои особые методы кинематического
и динамического анализа и синтеза.

Наиболее ответственным этапом в проектировании машины является
разработка структурной и кинематической схем машины, которые в зна-
чительной степени определяют конструкцию отдельных узлов и дета-
лей, а также эксплуатационные качества машины.

Ввиду того, что студент, приступающий к выполнению первого
проекта, не имеет еще систематических специальных знаний и опыта, и
потому не-может учесть влияния различных факторов на общую схему
проектирования и найти оптимальное решение поставленной перед ним
задачи, авторы считают целесообразным в качестве проектного задания
выдавать студенту разработанную кинематическую схему существую-
щей машины.

Первая задача, требующая самостоятельного разрешения, состоит
в подборе недостающих параметров по некоторым наперед заданным
условиям, вытекающим из требований технологического процесса либо
из других рациональных условий (повышения износоустойчивости,
уменьшения размеров, времени холостого хода и т. п.). Так, например,
при синтезе кинематической схемы рабочей машины или двигателя тре-
буется по заданному коэффициенту изменения скорости хода машины
или по заданному значению угловой скорости ведущего звена и макси-
мальному или минимальному значению угловой скорости ведомого зве-
на, а также по другим данным определить недостающие основные раз-
меры и т. д. В состав большинства проектных заданий входят, кроме
шарнирно-рычажных механизмов, также кулачковые и трансмиссион-
ные механизмы-приводы, предназначенные для передачи движения
к исполнительным органам. В руководстве рассмотрены лишь меха-
низмы с жесткими звеньями, кинематические цепи которых образованы
в основном зубчатыми и червячными колесами; эти механизмы, как
обеспечивающие постоянство заданных передаточных отношений, наи-
более распространены в машинах и приборах самого разнообразного
назначения.

При исследовании привода уделено значительное внимание анали-
тическим и графическим способам, а также методам подбора по заданно-
му передаточному отношению числа зубьев рядового соединения колес
и планетарного соосного редуктора.

Вопросы синтеза и анализа привода увязаны с вопросами геомет-
рического синтеза зубчатого зацепления (геометрия и кинематика зу-
бчатых передач).

Определение основных элементов зацепления приведено для нор-
мального и для исправленного (корригированного) эвольвентного за-
цепления. Расчет исправленной передачи, имеющей своей целью не
только устранение подрезания и заострения зуба, но и улучшение экс-
плуатационных качеств эвольвентного зацепления, производится по
системе, разработанной советскими учеными и ЦКБР.

Задача построения профилей эвольвентного зацепления по найден-
ным параметрам сопряженных колес решается графическим путем
(лист 1 приложений II, III и IV); кроме того, на листе 1 приведены ки-
нематическая схема редуктора и выполненные графические построения
картины скоростей и плана угловых скоростей редуктора.

В современных машинах и приборах широкое применение получи-
ли также кулачковые механизмы. При проектировании по заданной
схеме кулачкового механизма рабочего профиля кулачка студент, ис-
ходя из технологических, динамических и других требований, предъ-
являемых к машине, задается законом движения ведущего и ведо-
мого звеньев, выраженным уравнением движения или диаграммами.

Закон движения может быть представлен как диаграммой переме-
щения ведомого звена в функции угла поворота ведущего при его рав-
номерном вращении, так и графиком скорости, или графиком танген-
циальных ускорений в функции того же угла. Характер этих уравнений
или диаграмм может быть различным в зависимости от заданных усло-
вий движения. Исходя из соображений динамической целесообразности
(отсутствие ударов в механизме), обычно в качестве закона движения
ведомого звена задаются кривой тангенциальных ускорений и по ней
методом последовательного графического интегрирования при заданных
начальных условиях строят диаграмму скоростей и диаграмму переме-
щений, являющуюся исходным графиком для построения профиля ку-
лачка. Проектирование профиля кулачка можно осуществить общими
приемами построения взаимоогибаемых кривых (лист 2 приложений II,

При проектировании кулачкового механизма, кроме задачи профи-
лирования кулачка, обеспечивающего воспроизведение заданного за-
кона движения (кинематический синтез), приходится определять еще
и рациональные размеры механизма (динамический синтез). Выбор этих
размеров, т. е. определение области возможного расположения центра
вращения кулачка, обусловливается не только конструктивными оо-
ооражениями, но и предельными значениями заданного угла передачи,
при которых создаются благоприятные условия работы проектируемого
кулачкового механизма. Для оценки работы механизма и проверки от-
дельных его параметров спроектированный кулачковый механизм дол-
жен быть подвергнут анализу с целью установления динамических
свойств, а также степени точности и правильности воспроизведения
им заданного закона движения.

Кроме построения графика углов передачи в функции положения
кулачка, целесообразно для двух-трех характерных положений (точки
сопряжения кривых, образующих профиль кулачка, и др.) найти ско-
рости и ускорения ведомого звена; по этим скоростям и ускорениям
можно судить об имеющихся отклонениях от заданного закона движе-
ния ведомого звена.

По заданной диаграмме перемещений [s = s(t) ] диаграммы скоро-
стей и тангенциальных ускорений в любом случае можно построить ме-
тодом графического дифференцирования. Однако во избежание воз-
можных искажений, сопровождающих процесс графического диффе-
ренцирования ^особенно в диаграмме тангенциальных ускорений w1 =
— -gpj , Для двух-трех положений в целях получения более точных ре-
зультатов следует пользоваться методами планов скоростей и ускоре-
ний, заменяя высшие пары кулачкового механизма кинематическими
цепями с низшими парами при сохранении кинематической эквивалент-
ности.

Имея расчетные размеры звеньев отдельных механизмов и составив
круговую циклограмму движения, можно приступить к компоновке
машины и построению ее кинематической схемы (лист 1 приложения II
и лист 2 приложения III), обеспечивающей выполнение требуемой по-
следовательности в работе отдельных механизмов.

Выполняя эту часть проекта, студент приводит технологическую
задачу к кинематической, что и является основной целью проектиро-
вания.

Прежде чем приступить к дальнейшей задаче — кинематическому
анализу шарнирно-рычажного механизма, необходимо произвести его
структурный анализ, т. е. выяснить характер кинематических пар,
подсчитать число их и число подвижных звеньев и определить описывае-
мые точками этих звеньев траектории. В результате этого анализа
после отбрасывания всех цепей наслоения должен получиться механизм
I класса (начальный механизм), содержащий неподвижное и начальное
звено, закон движения которого задан в предположении однократной
степени подвижности механизма.

Структурный анализ дает возможность определить порядок и ме-
тоды кинематического исследования. Задачи кинематики комплексно
связаны с задачами кинетостатики. Произведенный структурный ана-
лиз позволяет решить задачу кинетостатического расчета в последо-
вательности, обратной порядку кинематииеского исследования, т. е.
начиная расчет с последней, считая от ведущего звена, ассуровой груп-
пы и кончая ведущим звеном.
Пространственная задача кинетостатического расчета в примене-
нии к плоским механизмам пока еще не решена. Поэтому авторы дают
приближенное решение, которое для большинства технических задач
вполне удовлетворяет требованиям практики.

В первом приближении расчет производится без учета сил трения.
Учитывая затем силы трения, возникающие в кинематических парах,
вносят изменения в методику расчета, применяя способ последователь-
ных приближений. Для большинства технических расчетов вполне
достаточно ограничиться вторым приближением. Определив силы и мо-
менты трения в парах за один полный цикл установившегося движения,
можно найти приближенное значение коэффициента полезного действия
проектируемой машины.

Кинетостатический расчет дает возможность определить реакции
в кинематических парах, уравновешивающий момент или уравновеши-
вающую силу на ведущем звене и усилия, действующие на отдельные
звенья механизма. Эти усилия необходимы при расчете звеньев на проч-
ность и определении их рациональных конструктивных форм. Для конт-
роля правильности графических построений по определению величины
уравновешивающей силы, произведенных методом планов сил, для
одного-двух положений механизма целесообразно найти величину этой
силы также по методу Н. Е. Жуковского и определить относительную
величину расхождения в обоих случаях. В методах исследования боль-
шое внимание уделено кинематическим и динамическим диаграммам
как ортогональным, так и полярным (листы 3 и 4 приложений II, III и
IV). Диаграммы дают наглядное графическое изображение изменения
одной величины в зависимости от другой; закономерность в характере
изменения подлежащих рассмотрению параметров просто и наглядк о
выясняется путем сопоставления их между собой на построенных гра-
фиках.

Проект должен заканчиваться определением мощности двигателя, .
если проектируется рабочая машина, и махового момента. В некоторых
случаях для спроектированной машины вместо момента инерции ма- -
ховика целесообразно определить коэффициент 6 неравномерности дви-
жения механизма.

В процессе выполнения курсового проекта составление объяс-
нительной записки по каждому разделу должно предшествовать
оформлению графической части проекта. В начале объяснительной за-
писки студент на основе исходных данных составляет по этапам проек-
тирования план проведения анализа расчета механизмов и необходи-
мых графических построений, а также указывает те способы и мето-
ды, которыми он предполагает пользоваться при решении поставленной
перед ним задачи.

В записке должны быть помещены вспомогательные построения,
схемы, графики, таблицы, а также приведены структурные формулы, .
кинематические и кинетостатические расчеты отдельных звеньев, групп
и механизмов проектйруемой машины и указаны те соображения, ко-
торые легли в основу этих расчетов.

В записке должно быть уделено значительное внимание подбору
и определению числовых масштабов планов сил, скоростей, ускорений
и диаграмм. Диаграмму можно использовать для характеристики зако-
номерности процесса, ею изображаемого, только в том случае, если оп-
ределены числовые масштабы всех величин, характеризующих процесс.

В записке должны быть изложены вопросы, не нашедшие отражения
в графической части проекта, например, вопрос о подборе уравновеши-
вающих масс. Содержание вопросов всех разделов записки излагается
в определенной системе, их взаимосвязи с вопросами структуры, ки-
нематики и динамики механизмов. Изложение должно быть сжатым,
четким, технически грамотным.

Теоретические сведения излагаются в записке лишь в том объеме,
который необходим для расчетов и уяснения свойств и структурных
особенностей механизмов.

Искомые величины, рассчитываемые по известным формулам, необхо-
димо вычислять в соответствии с точностью заданных параметров (коэф-
фициентов сдвига, моментов инерции ит. д.) по правилам приближенных
вычислений и с точностью, допускаемой графическими построениями.

При защите проекта, являющейся особой формой проверки его вы-
полнения, студент должен дать исчерпывающие объяснения по всем
вопросам, связанным с анализом и расчетом проектного задания. В от-
ветах на задаваемые вопросы студент должен показать, что он овладел
методами исследования механизмов и приемами графических построе-
ний. Знание студентом общих методов исследования и проектирования
кинематических схем механизмов является необходимым условием
удовлетворительной оценки проекта.

Для ознакомления студентов с общей схемой и последовательностью
проектирования, а также с методикой исследования и расчета конкрет-
ных механизмов в конце руководства помещены подробно разработан-
ные три типовых проекта (механизма поперечно-строгального станка,
механизма четырехтактного двигателя внутреннего сгорания и меха-
низма пресса-автомата с плавающим ползуном). Каждый из этих про-
ектов за время, отведенное по учебному плану на курсовое проектиро-
вание, не может быть полностью выполнен студентом. Поэтому объем
отдельных листов (например, 3 и 4-го) может быть уменьшен путем
сокращения количества исследуемых положений механизма (можно по-
строить, например, планы скоростей и ускорений механизма, а также
произвести силовой расчет его для двух-трех положений).

Объем и содержание курсового проекта должны отвечать уровню
подготовки студента и времени, отведенному по учебному плану на
курсовой проект.

В зависимости от специализации вуза и объекта проектирования
может оказаться необходимым уделить большее внимание одному ме-
ханизму проектного задания, сокращая работы по проектированию
другого. Таким образом, один из вопросов темы проекта на основе об-
щего решения задачи может быть разработан подробнее, чем другие.

Объем и содержание курсового проекта в каждом отдельном случае
определяются руководителем курсового ' проектирования и утверж-
даются кафедрой.
ГЛАВА I

СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ

ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ

§ 1.	СТЕПЕНЬ ПОДВИЖНОСТИ МЕХАНИЗМА

В приложениях, помещенных в конце книги, приведены схемы ме-
ханизмов различных машин. Подробное исследование механики этих
машин составляет содержание проекта студента по теории механизмов.

В соответствии с общепринятыми программами изучению подле-
жат в основном плоские механизмы, однако в заданиях встречаются
и пространственные цепи, включающие высшие кинематические пары
(например, коническая зубчатая или червячная передача). Теория
этих зацеплений изучается в курсе теории механизмов и, следовательно,
их проектирование не должно встречать затруднений.

Сознательное выполнение задания требует от проектирующего
четкого понимания работы всей машины в целом. Поэтому, приступая
к выполнению задания, следует прежде всего разобраться в структуре
исследуемой системы, т. е. определить число кинематических пар,
выяснить характер их и подсчитать число подвижных звеньев.

После такого разбора можно уяснить метод образования механизма,
а вместе с тем и схему передачи движения от ведущего звена к рабоче-
му органу.

Напомним приступающим к проекту, в каком порядке и как необ-
ходимо выполнять курсовой проект.

В плоском механизме предварительно наложенные общие связи
лишают каждое из звеньев трех степеней свободы, а именно: вращения
вокруг двух координатных осей, лежащих в плоскости движения ме-
ханизма и скольжения вдоль оси, перпендикулярной этой плоскости.
Поэтому кинематические пары могут наложить на относительное дви-
жение звеньев, образующих кинематическую кару, либо одно, либо два
условия связи. Таким образом.в плоском механизме могут быть только
следующие пары:

а)	высшие кинематические (например, сопрягающиеся профили
зубчатых цилиндрических колес или система профиль кулачковой
шайбы — толкатель.) Число этих пар механизма будем обозначать р1.

б)	вращательная (шарнир) или поступательная (ползун в направ-
ляющих). Число таких пар механизма будем обозначать /?2.

В заданиях на проект приведены механизмы, в которых пассивные
связи отсутствуют. Поэтому, подсчитав число звеньев механизма, чи-
сла рг и р2 кинематических пар, можно по структурной формуле
П. Л. Чебышева для плоского механизма подсчитать его степень
подвижности

W = 3п — 2Pi — Pl.

(1-1)

В приведенной записи п обозначает только число всех подвижных
звеньев механизма; стойка, следовательно, приведенной формулой не
учитывается. Точно также при подсчете степени подвижности системы,
имеющей в своем составе кулачковый механизм, обычно в число звеньев

дда

Рис. 1

не следует включать ролик. При этом условии во всех наших заданиях
на проект будем иметь W = 1, т. е. положение механизма определяется
ааданием одного параметра, например, угловой координаты звена, за-

Рис. 2

кон движения которого задается.
Здесь уместно напомнить, что при под-
счете степени подвижности с учетом

ролика получаем W = 2 — факт хо-
рошо известный и легко объясняю-
щийся теорией. Однако для упроще-
ния задачи анализа и синтеза меха-
низмов не следует принимать во вни-
мание наличие ролика на первом эта-
пе исследования, так как он не ме-
няет характер движения рабочего ор-
гана (звена, выполняющего техноло-
гический процесс).

Пример 1. Степень подвижности меха-
низма двигателя с компрессором, показан-
ного на рис. 1, а, определяем по формуле
(1.1). Здесь п = 7, р2 = 10, рх = 0. Следо-
вательно,

«7 = 3-7 — 2-10= 1.

Пример 2. На рис. 2, а представлена схема транспортера швейной машины 4-го
класса ПМЗ. Здесь п = 7, р2 = 9, рх = 2 (II и XI — высшие кинематические па-
ры)- Отсюда по формуле (1.1) имеем

«7 = 3 • 7 — 2 - 9—1 • 2= 1.
§ 2.	МЕТОД ОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ

Во всех заданиях на проект указываем неподвижное звено (под-
штриховкой) и непосредственно связанное с ним вращательной либо
поступательной парой ведущее звено (стрелка показывает направление
движения).

Совокупность указанных двух звеньев образует так называемый
нулевой, или начальный, механизм (механизм 1-го класса). Легко убе-
диться, что эта система обладает одной степенью подвижности. В са-
мом деле, здесь п = 1; р2 = 1 и поэтому по формуле (1.1) получаем

IF = 3 • 1 —2 • 1 = 1.

Более сложные схемы механизмов получаются последовательным
присоединением к начальному механизму ряда кинематических цепей.
Для того, чтобы получаемый сложный механизм также обладал одной
степенью подвижности, нужно, чтобы эти последовательные наслоения
не изменяли степень подвижности начального механизма, равную еди-
нице. Это значит, чТо степень подвижности присоединяемых цепей
должна равняться нулю. Такие простейшие цепи, степень подвижност. i
которых равна нулю, называют нормальными цепями, или группами
Ассура. Число звеньев и число кинематических рар таких групп, как и
способы их образования, весьма различны.

В заданиях встречаются только группы двух типов: двух- и четырех-
звенные, присоединяемые свободными элементами кинематических пар
к механизму, либо их структурные видоизменения.

Механизм, образованный наслоением одних только двухзвенных
групп, называют механизмом 2-го класса; механизм, в состав которого
входят и четырехзвенные группы, называют механизмом 3-го класса.

Последние получают из нормальных групп упрощением их струк-
туры, которое состоит в том, что одно звено с двумя низшими кинема-
тическими парами заменяют одной высшей кинематической парой.
Такая замена не меняет степени подвижности нормальной цепи. В са-
мом деле, звено с двумя низшими парами налагает на систему одну
связь: Зп — 2р2 = 3 — 4 = — 1.

Высшая кинематическая пара также налагает одну связь и, следо-
вательно, не только нормальная цепь, нои ее видоизменение обладает
нулевой степенью подвижности. Таким образом, с точки зрения струк-
туры двухзвенная группа, состоящая из двух звеньев и трех низших
кинематических пар, может быть заменена группой, состоящей из од-
ного звена, одного элемента высшей кинематической пары и одного эле-
мента низшей пары. Четырехзвенная группа, состоящая из четырех
звеньев и шести низших кинематических пар, может быть с точки зре-
ния структуры заменена цепью, состоящей из трех звеньев, четырех
низших кинематических пар и одной высшей пары.

На рис. 2, б четырехзвенной группой является цепь, состоящая
из 4 звеньев а, 3, 4, 5', а ее видоизменение представлено на рис. 2, а
звеньями 3, 4, 5 с низшими кинематическими парами III, IV, V, VI и
высшей парой II.
На рис. 1, а и 2, а изображены схемы двух механизмов: двигателя
с компрессором и транспортера швейной машины 4-го класса ПМЗ,
а на рис. 1, б и 2, б — соответственно их структурные схемы. Отличие
последних схем от первых состоит в том, что структурные видоизменения
заменены соответствующими нормальными группами, в которых доба-
вочные звенья обозначены буквами вместо цифр, а поступательные пары
заменены условно вращательными.

Таким образом, легко усмотреть, что механизм, показанный на
рис. 1, с, образован последовательным присоединением трех двухзвен-
ных групп следующим образом:

а)	к нулевому механизму присоединена группа 3, 4\

б)	к звеньям 3 и / присоединена группа 5, 6\

в)	к звеньям би/ присоединена группа 7, 8.

Механизм, изображенный на рис. 2, а, образован так: на звене
2 нулевого механизма 1, 2 жестко закреплен круглый эксцентрик, со-
единенный с бугелем 7 вращательной парой VIII. Таким образом, пер-
вым наслоением является двухзвенная группа 7, S; вал 8 соединен вра-
щательной парой X со стойкой /. Следующим наслоением является
видоизменение четырехзвенной группы (5, 4, 5), о котором упомина-
лось. Оно присоединено высшей кинематической парой II к кулачко-
вой шайбе, жестко закрепленной на звене 2 и образующей с ним, сле-
довательно, одно твердое тело, и вращательной парой VI к стойке.
И, наконец, последним наслоением является звено 6 с двумя элемента-
ми кинематических пар. Это звено входит во вращательную пару VII
со звеном 5 и в высшую пару XI со звеном 8.

Работа рассматриваемого механизма сводится к следующему: от
вала 2 звено 6, на котором расположена транспортирующая гребенка
{на рис. не показана) через группу 7,8 получает почти вертикальное пе-
ремещение; с другой стороны, то же звено 6 с гребенкой от вала 2 через
группу 3, 4, 5 получает перемещение, близкое к горизонтальному.

В результате сложения указанных движений гребенка описывает
растянутый в горизонтальном направлении овал. При этом зубья гре-
бенки захватывают обрабатываемую деталь и перемещают ее за один
оборот главного вала на один шаг, равный длине шва.

§ 3.	ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ МЕХАНИЗМА

Методы исследования механики машины находятся в прямой зави-
симости от типа наслаиваемых ассуровых групп. Следовательно, встре-
чающиеся в заданиях двух- и четырехзвенные группы исследуются раз-
личным образом. Поэтому, приступая к проектированию механизма,
изображенного в задании, для выяснения метода исследования механи-
ки этого механизма, следует предварительно начертить его структур-
ную схему. Наиболее простым является метод прямого изучения струк-
туры, который начинается с нулевого механизма и идет в порядке на-
слоения ассуровых групп:

1.	Выделяется нулевой механизм.

2.	Поскольку ассуровы группы должны присоединиться своими
свободными элементами к различным звеньям имеющегося механизма,
то наслаиваемая группа не может быть присоединена только к одному
звену. В последнем случае она образовала бы одно твердое тело с этим
звеном. Таким образом, первое наслоение может быть присоединено
только к стойке и ведущему звену. Поэтому двухзвенная группа каж-
дым свободным элементом присоединяется к другому звену, а три сво-
бодных элемента четырехзвенной группы присоединяются двумя эле-
ментами к одному звену и одним — к другому.

3.	Следующая нормальная группа может быть присоединена к об-
разовавшейся схеме подобным же образом, т. е. свободными элемента-
ми к звеньям нулевого механизма и первого наслоения (только не к
одному звену). Аналогично все следующие наслоения присоединяются
указанным способом к звеньям нулевого механизма и ранее присоеди-
ненных групп.

Наслоения в виде двухзвенных групп находятся легко, так как два
звена, из которых каждое связано с ранее присоединенными группами,
должны быть связаны непосредственно друге другом. Если такая груп-
па отсутствует, то в заданиях следует искать четырехзвенную группу
так: выбирая два звена, связанные со звеньями уже существующей
схемы, но не соединенные между собой непосредственно, надо отыскать
между ними еще два звена так, чтобы в образовавшейся из четырех
звеньев группе было шесть низших кинематических пар.

4.	Встречающиеся видоизменения ассуровых групп заменяются
нормальными группами заменой высшей кинематической пары доба-
вочным звеном с двумя низшими парами.

5.	Для большего единообразия структурной схемы поступательные
пары условно заменяются вращательными. При такой замене число
условий связи не меняется, так как поступательные пары, как и враща-
тельные, тоже налагают по две связи на относительное движение
звеньев.

При построении структурной схемы для избежания ошибок и об-
легчения чтения чертежа рекомендуется:

а)	сохранять на ней те же буквенные обозначения в местах сочле-
нения звеньев и ту же нумерацию звеньев и кинематических пар, ко-
торые имеются на заданном чертеже;

б)	двухчленные звенья (звенья, включающие только два элемента
кинематических пар) изображать отрезками прямых, трехчленные —
в виде заштрихованных треугольников, четырехчленные — в виде
заштрихованных четырехугольников и т. д.

ГЛАВА II

СИНТЕЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ

С НИЗШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ

Одна из задач проектирования механизмов состоит в таком подборе
размеров звеньев (точнее— расстояний между осями шарниров), при
котором за все время работы механизма удовлетворялись бы некоторые
наперед поставленные требования, а именно: чтобы определенные точ-
ки звеньев перемещались по заданным траекториям или по определен-
ному закону.

§ 1. СИНТЕЗ КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА

Примем следующие условные обозначения (рис. 3):
г — длина кривошипа;

Ф — угол поворота, отсчитываемый от направления АМ против
движения часовой стрелки;

Ф/ и ф// — острые углы, образованные кривошипом с направлением
АМ в крайних положениях ползуна;

I — длина шатуна;

е — смещение (дезаксиал);

X — величина, равная отношению ~ ;

Н — ход ползуна;

k — коэффициент изменения скорости хода, определяемый

как отношение	где © = фп — ф1 12};

0 = 18О°-4гт’’	(21)

АС п — I— г;

ACf = / + г;

(2-2)

(2 3)

vc — скорость ползуна в положении механизма, определяемом

углом ф;

Остах — наибольшая скорость ползуна.

Для построения кинематической

Рис. 3

схемы механизма в положении,
заданном углом ф, достаточно
знать г, I и е. Последователь-
ность построения по этим дан-
ным такова:

1)	выбирают произвольно на-
правление К.М (рис. 3);

2)	проводят прямую LN па-
раллельно КМ на расстоянии е
от КМ;

3)	из произвольно выбранной на прямой КМ точки А радиусом
АВ = г описывают траекторию точки В;

4)	траекторию точки В размечают в соответствии с заданным зако-
ном движения кривошипа ф = ф (t). Обычно о == const и потому удоб-
но делить окружность на п равных частей, т. е. на участки, пропорцио-

нальные истекшему времени;

5)	из полученных точек деления Во, Ви В2, .... В„ (на рис. 3 пока-
зана только одна точка В) радиусом, равным ВС = /, делают засечки
на прямой LN в точках Со, Ct, С2,..., Сп (на рис. 3 показана только одна
точка С). Эти точки определяют положения шарнира ползуна, соот-
ветствующие различным положениям кривошипа.

Для облегчения дальнейшего исследования нужно, чтобы в число
размеченных точек входили точки В], Вц, С/, Си, соответствующие
крайним положениям ползуна;

6)	соединяя последовательно точки Во, В1г В2, Вп с точкой А
и с соответствующими точками Со, Clt С2, Сп, получают кинемати-
ческую схему механизма в различных положениях.

Рассмотрим несколько простейших задач синтеза кривошипно-пол-
зунного механизма.

Задача 1. Дано: Н, е и к.	*

I

Для построения схемы следует определить недостающие размеры г и I. Из — =
= к находим

АС/ _ 1+г — *•+ 1	(2 4)

АСП 1~г	к—1

Таким образом, в треугольнике ACjfij (рис. 3) известны: основание С/;С7 = Н,
высота е, опущенная из вершины А на основание СцС^ и отношение сторон

АС1 _ к + 1

АСп ~ к— 1 ’

Построение такого треугольника производим следующим образом (рис. 4):
1. Строим отрезок СцС] = Н.

2.	Проводим прямую ММ параллельно C[fC[ на расстоянии е от нее.

3.	Так как геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух
заданных точек (С77 и С^) остается постоянным (2.5), есть окружность (так называе-

мая окружность Аполлония), то для ее построения поступаем так- находим на прямой
С fin точки D и Е, удовлетворяющие равен-

Рис. 4	Рис. 5

4.	На отрезке DE как на диаметре строим окружность. Искомая точка А лежит
Ла пересечении окружности с прямой Л4Л4. Теперь можно определить по длине сторон
полученного треугольника AC^Cj неизвестные размеры г и /:

/4-х==АС/;

l — r = AClh

Задача 2. Задано: Н,кн k. Определению подл£жаТ*р4зШря I Ъ
1.	Находим величину в по уравнению (2.1).

2.	Находим по уравнению (2.4) отношение

/ Ч- г Я. 1

1 — г ~ к —1'

3.	Строим по хорде Н~ дугу CnDC] (рис. 5), стягивающую вписанный
угол в (2.1).

4.	Строим геометрическое место точек (окружность LK), отношение расстояний
которых от точек и С77 постоянно (см. предыдущую задачу). Точка пересечения
(рис. 5) дуги сегмента CIIDCI с дугой Аполлониевой окружности (показана штрихо-
вой линией) определяет третью вершину А треугольника АС^С].

По-прежнему

АС, = / + г;

АСП = 1 — г.

Высота этого треугольника AD' = е.	ч

Задача 3. Задано: Н, е и k. Найти I и г.	{

1.	Находим 0 по уравнению (2.1).

2.	Строим на хорде CjC,, — /У (рис. 5) дугу СПКС,, стягивающую вписанный,
угол в.

3.	Проводим прямую ММ параллельно 0,0,, на расстоянии е от нее. Этим по-
строением определяют положение точки А и значения АС7 = 1т г и АСп — I —
— г (рис. 3). Дальнейшее решение приведено выше.

Задача 4. Задано: е, ф р ф	Найти / иг.

Из чертежа, приведенного на рис. 3, видно, что

, е 1 , е

I — Г = —---- И I 4- Г = —;---.

sin <р/7	sin ф7

Из последних двух уравнений находим / и г.

Задача 5. Задано: г, <р7, <р7/. Найти I и е.

Из чертежа, представленного иа рис. 3,

/-}-г	1—г

sin ф77 ~ sin ф7 ’

откуда определяем /.

Затем находим из уравнения

е = (/ -|- г) sin ф7.

Задача 6. Задано: г, Н, ф 7. Найти I и е.

Из чертежа, представленного на рис. 3,

1+г	1—г	И

sin ф7/ sin ф7 sin (ф77 — ф7) ’

отсюда

Н	2г

5ш(ф/7—ф7) “ sin ф77 — sin ф7

После некоторых элементарных преобразований находим

51п(ф7/ + ^) = -^^,	(2.5)
где

tgY =

2rsin<p/

H — 2r cos <p7

Найдя <p77 из уравнения (2.5), приводим задачу к известному уже варианту
(см. задачу 5).

Задача 7. Задано: г, efis в положении, определяемом углом <р, и угловая ско-
рость са кривошипа. Найти I.

Строят для заданного положения повернутый план скоростей (рис. 6) в «масшта-
бе кривошипа».

Пусть ej, •=	• ра,

где — числовой масштаб плана скоростей.

Рис. 6

Проведем прямую BE до пересечения с NN в точке С. Отрезок ВС => I.

Задача 8. Задано: г, е, vc max и <а. Найти I.

Строим повернутый план скоростей в «масштабе кривошипа» (рис. 7).

ПУСТЬОС max = АЕ ' Ра-

Проведем касательную BE к траектории точки В — пальца кривошипа и про-
должим ее до пересечения в точке С с NN.

Отрезок ВС — I.

Задача 9. Задано: г, k,	—угол передачи движения от шатуна к ползуну в момент,

соответствующий крайнему левому положению ползуна. Найти I и е (рис. 8).

1.	Находим О по уравнению (2.1).

2.	Из треугольника АС]СП

1+ г
I — г

 I п . I
sin гт+

sin[li----(Т/ + 0)
или

А, 4-1 C0ST/

А — 1 cos(y7 + 0) ’

отсюда находим А.

Из равенства А = — находим I.
г

3.	Из прямоугольного треугольника АС/D находим е:

CjD = е — (/ — г) cos yj'

Задача 10. В коромыслово-ползунном механизме (рис. 9) задано: ход ползуна
CjCjj = Н; к =, е и максимальный уголф качания коромысла г. Требуется опре-
делить длины звеньев г и I.

Установим механизм в такое положение, чтобы хорда В1ВИ была параллельна
траектории точки С ползуна. В отличие от'кривошипно-ползунного механизма в край-
них положениях ползуна г и / не лежат на одной прямой.

По рис. 9. видно, что прямоугольные треугольники	и ВцВцСц равны,

так как BjCj = ВцСц и BjDj— ВцВц. Следовательно, равны и углы: 07 = &]/
Таким образом, четырехугольник С7В7В/7С/7 есть параллелограмм. Поэтому В{Вц =
•= CjCjj = н.

Отсюда

BjBrj

АВ,=------i-4L_

2 sin

или

Н

2 sin —

и, значит,

I- }'Н

2 sin-2-

§ 2. СИНТЕЗ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА

Примем следующие условные обозначения (рис. 10)1

аг — длина ведущего звена АВ\

а2 — длина шатуна ВС\

а3 — длина ведомого звена CD-,

в4 — длина стойки AD\

Ф — угол поворота ведущего звена, отсчитываемого от направления
AD против движения часовой стрелки;

•ф — угол поворота ведомого звена, отсчитываемого от направления
AD против движения часовой стрелки;

k — коэффициент изменения скорости, равный jgg q •» где 180° 4-

-f- 0 — уюл BiABn поворота звена АВ при переходе звена
CD из крайнего правого положения С/D в крайнее левое по-
ложение CnD. Из формулы (2.2) 0 = 180°

Для построения кинематической схемы механизма в положении,

заданном углом ф, достаточно знать длины четырех его сторон: а1г а2,
а3, а4. Порядок построения по этим данным будет следующим:

1)	выбирают произвольно направление ММ и на нем отмечают от-
резок AD — а4;

2)	из точек А и D соответствующими радиусами at и а3 строят

окружности (или дуги окружностей, если эти звенья являются коро-

мыслами, а не кривошипами);

3)	в соответствии с заданным за-
коном движения <р = <р (/) разме-
чают траекторию точки В. Если со =
=const, то удобнее всего делить эту
траекторию на п равных частей. В
этом случае длины участков деления
пропорциональны времени;

4)	из полученных точек деления
Во, Bv, В2, ..., Вп, лежащих на

траектории пальца В кривошипа АВ, радиусом ВС = а2 делают засеч-
ки на траектории точки С. Таким образом, на этой дуге получают ряд
точек Со, Ci, Си...С„.

Соединяя последовательно точки на траектории пальца кривошипа
В с точкой А, точки на траектории шарнира С с точкой D и точки В{
и Ci с одинаковыми индексами, получаем кинематические схемы меха-

низма в п положениях.

Если ведомое звено а3 является коромыслом, то необходимо в про-
цессе разметки траектории найти два его крайних положения. Эти по-
ложения определяются засечками дуги окружности радиуса DC, сде-
ланными из точки А радиусами, соответственно равными а2 + at и
Оа — aL.

Задача 11. Задано: положение координатной системы и три положения шатуна
ВС плоского шарнирного четырехзвенника ABCDt

Bi (*1> Ух), (хр ух) — первое положение;

В2 (х2, Уз), Тг = (В2С2, х) — второе положение;

В3 (х3, у3), у3 = (В3С3х) — третье положение.

Найти alt а2, а3, at (рисунок дня этой задачи не приводится, так как его нетруд-
но построить по тексту). Длину шатуна ВС находим из уравнения

°2 = X (*1 — Хх)* +(^1 — Ух)2-

После того как определено а2, выбрав положение координатной системы, можно по-
строить три положения шатуна BjCj, В2С2, В3С3.

Точка А пересечения перпендикуляров, восстановленных к отрезкам ВхВ2 и
через их середины, является центром вращения звена АВ.
Длина этого звена ак= АВг. Аналогично находят положение точки D на пересе-
чении перпендикуляров к отрезкам СХС2 и СХС3, восстановленных из середин этих
отрезков. Величины а3 и а4 находят по чертежу [2J:

DCX = а3; AD = а4.

Задача 12. Задано два положения шатуна ВС (см. предыдущую задачу), угол а
поворота звена АВ при переходе шатуна из первого положения во второе (рис. 11)
н направление скорости точки Сх шатуна в первом положении. Найти ах, а3, а4.

' Строим два положения шатуна бхСхи В2С2. Положение точки А определяется
построением равнобедренного треугольника
ВхВ2А по основанию ВХВ2 и углу а при
вершине.

М

Точка D лежит на пересечении перпендикуляра КК к отрезку СХС2, проведенного
через его середину, с перпендикуляром LL к направлению скорости vc , проходящим
через точку Сх.

Задача 13. Задано: а3, а4 и два крайних положения звена CD (рис. 12), определя-
емые углами гру и Найти ах, аг.

Строим точки A, D, Ср Сц по заданным условиям. Тогда

ACj = п2 “I- ах; ACи = а2 — ах.

Из последней системы уравнений находим ах и а2.

Задача 14. Задано: а3, Va, k. Найти а,, а2, а3.

По заданному k находим в из формулы (2.1). Строим затем по данным условиям
CjD и СЦО (рис. 12). На хорде С£ц строим сегмент, вмещающий угол 0. Пересе-
чение дуги сегмента с прямой ММ определяет положение центра вращения А звена
АВ (рис. 10) и длину AD — ал. Тогда ACf = а2 ах; АСЦ — а2 — ах.

Дальнейшее решение известно.

Задача 15. Задано: значение угловой скорости ведущего звена АВ (рис. 13) <вх =»
•= const; tocxtr з — максимальное или минимальное значение угловой скорости ведо-
мого звена CD, длины звеньев а4, ах, а также угол<р, определяющий положение звена
АВ в момент, когда звено CD имеет наибольшую (или наименьшую) угловую скорость.

Определению подлежат размеры а2, а3.

Допустим, что задано (Bmin3

®min 3

По равенству х =а4------'----,[20) и заданным условиям строим (рис. 13)

®1 ^rnin,3

последовательно точки А, В, D, отрезок АЕ — хи прямую BE. Через точку Е про-
водим перпендикуляр ES к прямой BE до пересечения с продолжением прямой АВ в
точке Р. Далее соединяем прямой точки D и Р и продолжаем ее до пересечения в точ-
ке С с прямой BE.

Четырехзвенник A BCD и будет искомым, в котором ВС = а2 и CD — а3. Если
задается <ап,ах 3 , то точка Е строится справа от точки D.

Задача 16. Задано: ах = 1, три значения углов поворота ведущего и ведомого зве-
ньев: <рх, ¥х;<р2, T2;<p3, Т3, соответствующие трем положениям механизма.

Требуется найти а2, а3, а4 (рис. 14).
Из трех уравнений

cos <р( = р0 cos У; + Pj cos — <р£) 4- р2; (‘ = 1; 2; 3)
находим неизвестные р0, рх, р2, которые связаны с искомыми величинами при = 1
следующим образом [2J:

ая	°4 + аз +1 ~ а2

Ро-аз! Р1 = — -^-5	2а<

При at Ф 1 остальные величины а2, а3, а4 возрастают пропорционально вели-
чине вх.

Задача 17. Построить шарнирный четырехзвенник ABCDE (рис. 15) из условия,
что точка Е шатуна описывает на некотором участке траекторию, весьма близкую к
прямой.

Примем АВ = di, BE = I.

Строим кривошипно-ползунный механизм с такими размерами: кривошип г =
= АВ = ах; шатун BE =• /; смещение е — произвольное, например е = 0.

Рис. 14

Рис. 15

Соединим жестко с шатуном несколько точек: Сх, С2, ..., С£ и построим траекто-
рии этих точек по п положениям механизма.

В качестве третьей точки С шатуна выберем ту из них (С,), которая описывает иа
части своей траектории дугу MN, весьма близкую к дуге окружности. Найдем гра-
фически радиус R этой дуги и ее центр D. Освободим теперь точку Е от связи с ползу-
ном и введем два звена ВС и CD с двумя вращательными парами в точках С и О. При
этом получается четырехзвенник ABCD, у которого точка Е шатуна на некотором
участке описывает с достаточным приближением отрезок прямой, параллельный LL.

В полученном механизме длины сторон будут

АВ = 01, CD — R = а8; AD — а4; BE = I;

длина ВС = а2 может быть принята произвольной, лишь бы точка С лежала на дуге
AW. Ее, следовательно, нужно подобрать таким образом, чтобы обеспечить возмож-
ность проворота звена DC на возможно большей части дуги AW. Таким образом, вы-
бор длины ВС = а2 определяет и длину СЕ [8J.

§ 3. СИНТЕЗ КУЛИСНОГО МЕХАНИЗМА

На рис. 16 представлена схема кулисного механизма с двумя кри-
вошипами. Условие проворачиваемости кривошипа АС и кулисы ВС
состоит в том, чтобы длина стойки была меньше длины кривошипа, т. е.
а < г, а длина шатуна DE была больше кривошипа BD, т. е. с > Ь.

Положению Ci пальца кривошипа соответствует крайнее левое
положение ползуна Ej (например, резца строгального станка), положе-
нию Сц — крайнее правое положение Ец.

Повороту кривошипа г на угол 2<рх из положения АС и в положение
ACj соответствует холостой ход, а повороту на 360° — 2<рх из положе-
ния ACi в положение АСЦ — рабочий ход машины.

Для построения механизма в произвольном положении достаточно
знать величины а, г, Ь, с.

На рис. 17 представлена схема качающейся кулисы. Условие не-
проворачиваемости кулисы ЕС состоит в том, что длина кривошипа г
 должна быть меньше длины стойки а.

Задача 18. Задано: длина кривошипа г, ход резца Н, — = X и коэффициент из-

менения скорости

t 360° —2<pj
2<h

Определить длину стойки а вращающейся кулисы.

„	180°

Находим <pj =	j—р и затем а = г cos <рх.

Остальные размеры, т. е. b и с определяются так же, как в задачах синтеза кри-
вошипно-ползунного механизма, так как двухповодковую группу (шатун DE и ползун
Е) вместе с кривошипом BD можно рассматривать как кривошипно-ползунный ме-
ханизм.

„	,	360° — 2<< г

Задача 19. Задано: г; k = ---—— . Определить длину стоики а качаю-

щейся кулисы (рнс. 17).

180°

Определяем <pj = 	. . Крайние положения кулисы ВС{ и ВСИ определяются

Я “Т" 1

геличнной угла '1\, образованного осью кулисы со стороной ВЛ.Но по рис. 17 видно,
что в крайних положениях кулисы ее ось перпендикулярна к кривошипу. Поэтому

¥1 = 90°— фх;

г _ г

sin Чгх “ coscp, ‘
ГЛАВА III

ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

§ 1. КИНЕМАТИКА МНОГОЗВЕННЫХ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

Зубчатая передача является одним из наиболее распространенных
приводов, предназначенных для передачи вращения от одного вала
к другому с заданным отношением угловых скоростей. Передача
вращения сопровождается передачей крутящего момента, а следова-
тельно, передачей механической работы и мощности. В большинстве
рабочих, транспортирующих и других машин ведущим звеном является
вал двигателя, передающий движение ведомому звену данной машины.
Двигатель работает более экономично при больших скоростях враще-
ния, между тем как скорость ведомого звена обычно бывает значитель-
но ниже, что обусловливается требованиями технологического про-
цесса, выполняемого машиной, или в транспортирующих машинах —
допускаемыми скоростями перемещения масс. Так, например, вал элек-
тродвигателя тележки мостового крана, приводящий в движение меха-
низм подъема груза, вращается со скоростью 960 o6Jmuh, а барабан
этого механизма 10—20 об/мин.

Поэтому между электродвигателем и барабаном ставится промежу-
точная зубчатая передача, состоящая из нескольких пар зубчатых ко-
лес и носящая название зубчатого редуктора. Зубчатые передачи в виде
пары сцепляющихся колес (так называемая одноступенчатая передача)
могут воспроизвести лишь небольшие значения передаточных отноше-
ний. Передаточное отношение й,2 пары зубчатых колес выражается
формулой

?2

*1 ’

.	_<!)!_ Щ

II .2 — '- = --

’	С02	«2

(3-1)

следовательно, с конструктивной стороны величина 1'1,2 зависит от
числа зубьев и z2. Чтобы получить компактную и легкую переда-
чу, число зубьев на меньшем колесе должно быть наименьшим. Наи-
меньшее (предельное) число зубьев ограничивается явлением подре-
зания и наименьшей допустимой величиной коэффициента перекрытия
е. В среднем можно принять

Zimin = 12-4-20.

При выборе числа зубьев г2 на большем колесе следует исходить
из ограничений в отношении габаритных размеров и веса конструкции.
В металлообрабатывающих станках, подъемно-транспортных и других
машинах принимают

^2шах“ 125 “ 150.

Таким образом, в среднем можно принять предел передаточного от-
ношения для одной пары зубчатых колес imax «10.

В практике машиностроения для механических (от электродвига-
теля) передач принимают еще меньшие значения Л,2, примерно 0,2 =
= 14—6, а для ручных й,2 < 10 ~ 12.
. Если по условиям работы требуется воспроизвести большее переда-
точное отношение, то передача движения от ведущего вала к ведомо-

му осуществляется при помощи нескольких промежуточных валов.
На каждый промежуточный вал насаживаются обычно два зуб-

чатых колеса, из которых одно является ведущим, а другое — ведомым.
Такое соединение зубчатых колес, валы которых вращаются в непо-

2

Рис. 18

движных подшипниках, называется последовательным кратным
(рис. 18). В этом соединении каждый
из промежуточных валов соединяется
с предыдущим и последующим валами
при помощи особой пары цилиндри-
ческих колес. Таким образом, на пер-
вом ведущем валу будет находиться
одно колесо, на втором, третьем, ...
... (п — 1)-м валу — по два колеса и
последнем ведомом n-м валу — одно
колесо.

Обозначим буквами ©j, со2, ...»
со„ угловые скорости вращения ва-
лов /, 2, ..., п, ведущее колесо на
валу 1 — через г1( а ведомое колесо

на валу п — через Z„. На промежуточных валах обозначим ведущие
колеса через z^, г3, .... zn-i, ведомые — через Z2, Z3, ..., Zn. Пусть
число зубьев каждого колеса выражается теми же буквами zlt z2, z3, ...
... , zn-i и Z2, Z3, .... Z„. Отношение угловой скорости чц от первого
(ведущего) вала 1 к угловой скорости последнего (ведомого) вала п
называется общим передаточным отношением ii,n всего механизма;

_ (Й!

— /л

0)п

(3-2)

Общее передаточное отношение i\,n последовательного кратного
соединения выражается следующей формулой:

h,n =	= Й.212Д, .... ^-1)„ = (- 1)* • zZf3’"-’Zn , (3.3)

где k — число точек касания начальных окружностей колес с внешним
зацеплением.

Таким образом, передаточное отношение последовательного крат-
ного соединения зубчатых колес равно произведению частных переда-
точных отношений, а по абсолютной величине равно отношению произ-
ведения чисел зубьев ведомых колес к произведению чисел зубьев
ведущих колес. Так, например, при передаче вращения от вала элек-
тродвигателя, вращающегося со скоростью пг = 960 об/мин, к рабоче-
му валу транспортера (п2 — 16 об/мин) общее передаточное отношение

Й.2 = -£ = 60. '
Одноступенчатый зубчатый редуктор, включенный между электро-
двигателем и транспортером, получился бы очень громоздким, так как
диаметр большего колеса должен быть в 60 раз больше диаметра мень-
шего колеса. Для воспроизведения указанного передаточного от-
ношения целесообразно установить
трехступенчатый зубчатый редуктор	м'

со ступенями

| й,2 [ = 4, 11’2,31 = 5 и 11'3,41 = 3;

I й,41 = 1'1,21’2, 3Z3 д = 60.

Если на каждом из параллель-	Рис. 19

ных валов насажено только одно зуб-

чатое колесо (последовательный ряд с паразитными шестернями,
рис. 19), то общее передаточное отношение ii,n в этом случае

=	= (-!?•	(3-4)

(й/г	Zj

§ 2; ПОСТРОЕНИЕ РЯДА ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

ПО ЗАДАННОМУ ПЕРЕДАТОЧНОМУ ОТНОШЕНИЮ

Задача составления ряда зубчатых колес по заданному или опреде-
ленному расчетом общему передаточному отношению допускает
в общем случае большое число решений. Выбор решения, однако, при-
ходится ограничивать конструктивными и технологическими требова-
ниями. Одним из условий проектирования ряда, удовлетворяющего
этим требованиям, является наличие возможно меньшего числа п ва-
лов. Это число п валов определяется по допустимому наименьшему zmm
и наибольшему zraax числу зубьев на колесе, т. е. по наибольшему пере-
даточному отношению

Imax

 ^max

(3-5)

для двух смежных валов.

Рассмотрим решение задачи в общем виде. Пусть общее передаточ-
ное отношение Zi,n в последовательном кратном соединении зубчатых
колес представляет собой несократимую дробь

Разлагая числитель и знаменатель этой дроби на множители
.	^1^2» • • • >	...	.

11 " =	, Ьп = Г1-2'2 3'3-4..

комбинируем эти множители таким образом, чтобы каждое из частных,
входящих в состав Zi,n, удовлетворяло указанному выше требованию
относительно Zmax. При определении чисел зубьев часто предпочитают
брать для значении t‘i,2, t'2.3,дробные числа; в этом случае каждый
зуб меньшего колеса входит в зацепление не с одними и теми же зубьями
большего колеса, а с разными (вразбивку), поэтому износ зубьев более
равномерен.

Если рассматриваемая задача не имеет точного решения, то можно
ограничиться приближенным, так как в практике машиностроения не-
большие отклонения от заданного вполне допустимы. Общее пе-
редаточное отношение ii,n можно представить в следующем виде:

; _ а _ А ± и	пах

1,-п ~ b ~ b ’	(3-6)

где и по сравнению с b невелико, А и b удобно разлагаются на мно-
жители.

В результате замены передаточного отношения й,„ приближенным
значением

А

11-п ~ Т

допускаемая погрешность

А .	. U

At = ± т*-

Для достижения большей точности в решении задачи можно вос-
пользоваться свойствами непрерывных дробей. Метод приближенного
решения задачи при помощи непрерывных дробей заключается в следу-
ющем. Заданное общее передаточное отношение i\,n = обращаем
в непрерывную дробь и определяем подходящие дроби

Pl	Рз	Рз	Pn-l	„ Рп	Р

— . —, — , . .., ------------ и ------= —-.

4i	Яз	Яз	Яп-1 Яп	Я

Последняя подходящая дробь ~ равна точному значению ~ непрерыв-
ной дроби.

Первая — и вторая подходящие дроби вычисляются непосред-
Я1	Яг

ственно. Все остальные дроби вычисляются по формуле

Pi

Я1

Р^Ч + Ъ-г

4i-.tae + Pi-2 ’

где а( — неполное частное непрерывной дроби.

Затем составляем ряд следующих дробей:

Рп + Р„1	Рл-1	Р„-1 + Рп—2	Рп—2

Яп + Яп—1	’ Яп—1 '	Яп—1 + Яп—2	’ Яп—2

Рз 4~ Рз	Рз	Рз Р1 и	Р1 .

Яз 4" Яз ’	Яз	’ Яз 4“ Я1	Я1

(3.7)
Пробуем разложить числитель и знаменатель каждой из этих дро-
бей, начиная с первой, на такие множители, каждый из которых пред-
ставлял бы собой число гь удовлетворяющее требованию в отношении
его наибольшего и наименьшего значений

?max 5^ ^min-

Чем ближе к началу ряда (3.7) будет лежать та дробь, числитель
и знаменатель которой могут быть разложены на указанные выше мно-
жители, тем с большей точностью будет решена поставленная задача.
Пусть задано, например, общее передаточное отношение

р 2767

И,П — — — 1219 •

Обращая эту дробь в непрерывную, получаем

-gg- = (2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4),

де числа, помещенные в скобках, представляют собой неполные част-
ные непрерывной дроби. Таким образом, получим значения следующих
подходящих дробей:

Pi .... 2 Р2	_ 9 I J_____?_	Рз	9 Рд	= 25 Рб	_ 59

<71 ~ 1 ’ <72	3	3 ’	%	4	’ qt 11 ’ q5 26	’

ре___84 pi	_ 143 р8	_ 656 р9	_ р	_ 2767

qs	37 ’ q?	~ 63	’ qa 289	’ q9 q 1219	'

Составляем ряд дробей согласно формуле (3.7)

3423	656	799	143

1508 ’ 289 ’ 352 ’ 63 И Т' Д'

Из этих дробей вторая дает решение, так как
656 _ 41 • 16 _ . .	z2z3

'l.n= 289 ~ 17-17 — *1.2»2.3— гхг2 '

Ошибка, получаемая от замены истинного передаточного отношения
i\.n приближенным i'in,

— —zb_J— -р р д/ — —zb_!—
1219-289’ *• с- 352 291

§ 3. ЭПИЦИКЛИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ

Зубчатые механизмы с подвижными осями некоторых зубчатых ко-
лес называются эпициклическими. Эпициклическая передача, в которой
на отдельные звенья наложена дополнительная кинематическая связь,
называется планетарной. Эта связь может быть осуществлена закреп-
лением одного из центральных колес передачи или соединением двух его
звеньев замыкающей цепью (замкнутая планетарная передача). Эпи-
циклическую передачу, не имеющую дополнительной кинематической
связи, принято в технике называть дифференциальной.
Эпициклические передачи дают возможность при небольшом числе
колес воспроизводить большие передаточные отношения. Поэтому они
получили широкое распространение в современном машиностроении.
При помощи эпициклических механизмов можно осуществить передачу
движения одному валу от вращающихся независимо двух других валов.
Существует несколько методов определения передаточных отношений

эпициклических механизмов.
Рассмотрим аналитический ме-
тод, основанный на принципе
обращения движения, и графи-
ческий метод картин скоростей.

На рис. 20 показана схема
простейшего дифференциально-,
го механизма. В этом механизме
три зубчатых колеса 1, 2 и 3.
Центральные колеса / и 3 вра-
щаются вокруг неподвижной
оси О с угловыми скоростями

вместе с закрепленным на нем колесом (сателлитом)
угловой скоростью co2s в подвижном подшипнике, закреп-

и со3. Вал А

2 вращается с

ленном на водиле S и вместе с этим водилом вращается независимо
от колес 1 и 3 с угловой скоростью со$ вокруг общей осн О механизма.
Находим по структурной формуле (1.1) число W степеней подвижности
механизма:

W = Зп — 2р2— рх — 3 = 15 — 8 — 2 — 3 = 2.

Таким образом, дифференциальный механизм имеет две степени по-
движности. Следовательно, для получения определенности движения
механизма необходимо задаться законами движения двух звеньев
(иметь два ведущих звена). Можно, например, задаться угловыми ско-
ростями сох центрального колеса и «s водила 5. Тогда угловая ско-
рость со3 центрального колеса 3 будет вполне определенной.

Для того чтобы найти угловую скорость какого-либо звена диффе-
ренциального механизма по заданным угловым скоростям двух других
звеньев, обратим механизм, сообщив ему дополнительное вращение с
угловой скоростью, равной (— со$), вследствие чего звено (водило) S
станет неподвижным, и дифференциальный механизм превратится
в обыкновенный зубчатый механизм с неподвижными осями. В этом об-
ращенном механизме вследствие добавления ко всем звеньям угловой
скорости (— со$) угловая скорость af колеса 7 равна (coj — со$), а уг-
ловая скорость <о| колеса 3 равна (со3— со&). Поэтому передаточное
отношение с?,з такого механизма:

s Cof ОД-Ws «i-«s

И.з = —= =--------=---------•	(о.8)

Cof со3 — C0s я3 — ns	v '

В этой формуле индекс S при угловых скоростях оф и со? показывает,
что в данном случае рассматриваются угловые скорости колес 1 и 3
в предположении, что звеноS неподвижно; передаточное же отношение
<f3 представляет собой не отношение действительных угловых
скоростей ©! и «>3 центральных колес 1 и 3 рассматриваемого диффе-
ренциального механизма, а отношение угловых скоростей этих колес
в обращенном механизме. Величину и знак передаточного отношения
1?,з определяют в соответствии со схемой механизма по формуле (3.3)
или (3.4). Если жестко закрепить одно из центральных колес, например,
колесо 3 (<о3 = 0), то такой механизм называется планетарным и фор-
мула (3.4) для него принимает такой вид:

if,3 =

И1 — 03s

<os

— и$

или

l'l,s =1 — lf,3.

(3.9)

где i'i.s — передаточное отношение планетарного механизма с непо-

п	(01

движным колесом 3, равное —— .
ws

Таким образом, для определения передаточного отношения ii,s пла-
нетарной передачи необходимо из единицы вычесть передаточное от-
ношение if,3 обращенного механизма. Планетарный механизм имеет,
очевидно, одну степень подвижности. Передаточное отношение is,t
в том случае, если ведущим звеном является водило S, а ведомым ко-
лесо 1,

•S

1	1	__	«3,1

*S,1 —	_ ,S — ;S _ < •

1	‘1,3 l3,l 1

(3.10)

Для определения передаточных отношений планетарных передач х
можно применить также весьма удобный и наглядный метод картин
скоростей, предложенный Л. П. Смирновым. Определим этим методом
передаточное отношение рассматриваемого планетарного механиз-
ма (<о3 — 0). Проводим прямую линию OjClt параллельную линии
центров ОС (рис. 20), и проектируем на эту прямую точки О, Р, А, С.
Из точки Pt откладываем скорость vp точки Р колеса 1 в виде отрезка
PiP, представляющего собой в масштабе рь скорость vP, т. е.

vP:=Jlv(piP)-

Так как скорость точки О равна нулю, то, соединив прямой линией
ее проекцию с точкой р, получим картину скоростей колеса 1 в виде
треугольника Закон распределения скоростей точек колеса /,
лежащих на прямой ОР, будет изображаться прямой линией Otp. Точ-
ка Р является общей для колес 1 и 2, поэтому скорость точки Р колеса 2
будет также равна vP. Скорость же точки С колеса 2 равна нулю, так
как это колесо находится в зацеплении с неподвижным колесом 3. Сле-
довательно, закон распределения скоростей колеса 2 изображается
|прямой Сгр. Отрезок Аха представляет собой в масштабе р0 скорость
vA центра А колеса 2. Эту же скорость будетиметь и центр А подвиж-
ного подшипника водилаS. Так как водило вращается вокруг оси О,
то закон распределения скоростей водила представится прямой линией
(\а, проходящей через точку а. Передаточное отношение »i;s этого
планетарного механизма:

;	_ Р*Р	/Qin

^пл— h.S— .. — ..	— ~й	(3.11)

Так как векторы Ргр и PYb направлены в одну сторону, то передаточ-
ное отношение h,s положительно.

§ 4.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СООСНЫХ
ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ

В практике машиностроения и приборостроения одной из наиболее
важных проблем является подбор чисел зубьев планетарного меха-
низма.

Для разгрузки центральных подшипников и возможности передачи
большей мощности в планетарных редукторах устанавливается не-

Рис. 21

сколько симметрично располо-
женных сателлитов (рис. 21).
Число k сателлитов обычно ко-
леблется в пределах от 2 до 12,
иногда больше; в машинострое-
нии чаще всего применяют пере-
дачи с числом k = 3 -г- 6. Числа
зубьев центральных колес и са-
теллитов должны быть подобра-
ны так, чтобы, кроме условия
соосности, когда ведущий и ве-
домый валы расположены на од-

ной геометрической оси (соосные редукторы), и воспроизведения ре-’
дуктором заданного передаточного отношения были выполнены еще

два условия:

а)	условие соседства, т. е. при размещении сателлитов на общей
окружности их центров не должно быть наложения окружностей вы-
ступов зубьев смежных сателлитов;

б)	условие сборки, т. е. возможность одновременного зацепления
всех сателлитов с соответствующими центральными колесами при сим-
метричной геометрии зон зацепления.

Рассмотрим задачу о подборе чисел зубьев для соосных планетар-
ных передач следующих основных типов.

Одноступенчатый планетарный редуктор. На рис. 21 показана схе-
ма планетарной передачи с внешним (А) и внутренним (/) зацеплением
(обозначим ее условно символом А1 — внешне-внутренняя передача).

Чтобы выяснить сущность условия сборки, предположим, что сател-
литы 2 расположены равномерно в пределах угла 2п (рис. 21). Тогда
при числе k сателлитов угол, образуемый осевыми линиями двух смеж-
ных сателлитов, проходящими через центры сателлитов и центрального
2л

колеса, равен -р- .

Допустим, что первый сателлит находится с центральными коле-
сами 1 и 3 в некоторой фазе зацепления, что легко может быть осущест-
влено, если сначала ввести сателлит в зацепление с колесом 3, а затем,
оставив его неподвижным, повернуть колесо 1 на такой угол, чтобы оно
вошло в зацепление с сателлитом. После этого зубья колеса 1 будут
занимать определенное положение относительно зубьев колеса 3.
При установке второго сателлита, смежного с первым, на заданном
межцентровом расстоянии между ними может оказаться, что его зубья,
направленные во впадины одного из центральных колес, не попадают
во впадины другого и таким образом этот сателлит нельзя ввести
одновременно в зацепление с центральными колесами 1 и 3. Сборка
механизма в таком случае становится невозможной.

Чтобы осуществить симметричное расположение сателлитов при за-
данном их числе k, необходимо выполнить определенное соотношение
между числами зубьев и г3 центральных колес 1 и 3. Обозначая об-
щий шаг зацепления всех сопряженных колес редуктора буквой 4
при симметричном размещении сателлитов в пределах угла 2 л будем
в общем случае иметь:

Р2.3Р2Д =	= tbs + с3,	(3.12)

где и Ь3 — целые числа, а сх и с3 — отрезки, каждый из которых по
величине меньше величины шага t.

Складывая почленно выражения для дуг Pi,2Pi.2‘, /Дз-Рг.з, после
преобразований получим

*i + = k (b, + b3) + k	(3.13)

Так как левая часть этого равенства должна быть числом целым, то и
правая часть равенства также должна представлять собой целое число
при любом значении величины k. Это возможно, если сумма (сг + с3)
отрезков q и с3, меньших убудет равна величине шага t. При этом
условии будем иметь

г1 + г3 = й(61 + 63+ l) = kC,	(3.14)

где С — произвольное целое число.

Из этого уравнения сборки следует, что если сумма чисел гх и г3
зубьев центральных колес 1 и 3 кратна числу k сателлитов, то сборка
редуктора при установке k сателлитов, симметрично размещенных
в пределах угла 2л, возможна. Для возможности сборки необходимо
также, чтобы было выполнено условие «соседства» (смежности). Это

2 1328
условие будет выполнено в том случае, если расстояние между осями
двух смежных сателлитов будет больше диаметра окружности их выс-
тупов, т. е.

2 (ri + r2) sin -^ > 2 (r2 + fjn)

или

(zi + z2) sin-J- — z2>2/',

(3.15)

где fo — коэффициент высоты головки зуба сателлита.

Для внутреннего зацепления условие «соседства» выражается фор-
мулой

(z3 —- z2) sin— z2 > 2f3,	(3.16)

где z3 — число зубьев коронки 3;

Zg — число зубьев сателлита 2.

Из условия соосности получим равенство

, _ гз —г1

г2-----о *

(3.17)

Поэтому неравенства (3.15) и (3.16) для рассматриваемого механизма
тождественны. Исходя из условий сборки, соседства и соосности пере-
дачи, а также заданного значения передаточного отношения, составим
общее уравнение для определения чисел зубьев данного редуктора.

Если ведущим звеном является колесо /, то передаточное отношение
1‘лл = ii,s от первого колеса к водилу S рассматриваемого планетарно-
го редуктора (коронка 3 неподвижна)

.	. со,

^пл — h,s — ~
cos

= 1 — if з,

«s i’3

(3.18)

где if,3 = — 57--передаточное отношение от колеса 1 к колесу 3

в обращенном движении (в предположении неподвижности водила S).

Из формул (3.18) следует, что планетарные механизмы могут вос-
производить очень большие и очень малые передаточные отношения.
В этом случае передаточное отношение редуктора в его обращенном

движении должно быть близким к единице.

Значение передаточного отношения ii,s рассматриваемого механиз-
ма всегда положительно, поэтому колесо 1 и водило 5 вращаются в
одном направлении. Так как t'l.s > 1, то передача этого типа при веду-
щем звене 1 служит для уменьшения скорости вращения ведомого
звена — водила S и при ведущем звене 5 — для увеличения скорости
вращения ведомого звена — колеса 1.

Из формулы (3.18) получим	\

га = г1(Ь-1).	(3.19)

Подставив это значение Zs в уравнение (3.17) соосности и уравнение
(3.14) сборки, соответственно будем им^ть

2z2 = z1(ii.o-2)	(3.20)
и

-^-=С.	(3.21)

Сопоставляя уравнения (3.19), (3.20) и (3.21), получим общее урав-
нение для определения чисел зубьев редуктора:

г1:га:гз:С=1:-Ц=^:(Ь-1):-^-	(3.22)

Решение этой задачи возможно в неопределенном числе вариантов, так
как при трех неизвестных числах зубьев имеем два уравнения с допол-
нительными условиями сборки и «соседства».

Исходя из требований наименьших габаритов передачи и условий
отсутствия подрезания, выбираем возможно наименьшее число гг зубь-
ев центрального колеса 1 и по заданному передаточному отношению
ii.s находим из уравнения (3.22) числа z2 и г3 зубьев сателлитов 2 и
коронки 3.

Условие «соседства» выражается неравенством (3.15). Подставляя
в эту формулу значение z2 из уравнения (3.17) соосности и значения z3
из уравнения (3.19), после элементарных преобразований получим

2-^

'•»<—(3.23)
1 —sin —

к

Принимая t*i,2 = 4, по диаграмме Фогеля [2] находим число zt —
~ 15 зубьев на центральном колесе 1 редуктора. Это число является
минимальным, допустимым при нарезании колеса без сдвига исходного
контура (fo— 1, стандартный угол зацепления ао = 2О°); для полу-
чения возможно меньших габаритов принимают наибольшее число
зубьев = 50; изменению числа зубьев в интервале 50 > гх > 15
соответствуют изменения передаточных отношений ti,s редуктора
(3.23) в следующих интервалах:

14,3 > ti,s > 13 (6 = 3);

6,6 > ti s >6 (k = 4);

4,6 >- й,$ > 4,2 (k = 5) и т. д.

(3.24)

(3.25)

(3.26)

При числе сателлитов k = 2 условие соседства всегда удовлетворяется.

Задача подбора чисел зубьев решается в следующем порядке: по
заданному передаточному отношению ii,s в соответствии с неравенства-
ми (3.24—3.26) выбираем число k сателлитов и по формуле (3.22)
находим возможное число зубьев; если это число при проверке по фор-
муле (3.15) или (3.23) не удовлетворяет условию «соседства», то, прини-
мая меньшее на единицу число сателлитов, по формуле (3.22) опреде-
ляем в окончательном варианте возможное число зубьев. Если z2<C ?i,
т- е- ti.s < 4, то условия «соседства» для & = 3, /г = 4 и Л = 5 всег-
да удовлетворяются.
Пример 1. Подобрать числа зубьев, если задано передаточное отношение редук-
тора (рис. 21)

i] s = 4,5, т. е. 4,6 > t] s > 4,2.

Принимаем соответствующее этому неравенству число сателлитов k = 5 и по формуле
(3.22) определяем числа зубьев:	,

z4 = 20; z2 = 25; z3 = 70.

Это число зубьев не удовлетворяет условию «соседства» (3.15), поэтому, приняв k=4,
находим

г4 = 16; z2 = 20; z3 == 56.

Схема четырехзвенного планетарного редуктора с двумя внешними
зацеплениями и с двухрядными сателлитами показана на рис. 22.

Редуктор состоит из двух пар колес 1, 2, 3, 4 и водилаХ. Централь-
ное колесо 4 закреплено. Для определения передаточного отношения
h'S от колеса 1 к водилу X вос-
пользуемся формулой (3.9):

*пл = ii,s =	(3.27)

cos

Таким образом, задача подбора
чисел зубьев рассматриваемого ре-
дуктора заключается в составлении четырех уравнений для определе-
ния четырех неизвестных — чисел зубьев z1, z2, zs, z4 — колес меха-
низма. Этих уравнений можно составить только два — уравнение
(3.27) для определения передаточного отношения i„„ механизма и урав-

нение соосности:

«1,2 (?! + z2) = m3,4 (z3 + z4),

(3.29)

где mi,2 — модуль сопряженных колес 1—2;

«з,4 — модуль сопряженных колес 3—4.

Следовательно, решение задачи возможно в неопределенном числе
вариантов, так как при четырех неизвестных числах зубьев мы имеем
два уравнения; однако при подборе числа зубьев, как указывалось
выше, должны быть приняты во внимание требования наименьших
габаритов механизма, отсутствия подрезания зубьев, а также условия
сборки и «соседства» сателлитов.

Как видно из формулы (3.27), передаточное отношение ii,s механиз-
ма в зависимости от величины числового значения if,4 может быть и
положительным и отрицательным, т. е. водило5 и центральное колесо 1
могут вращаться либо в одном и том же, либо в противоположном на-
правлении.

В первом случае будет неравенство

1 > i'i,s > 0	(3.30)

и при ведущем колесе 1 передача будет являться ускоряющей, т. е.
ведомое звено 5 будет вращаться с большей угловой скоростью, чем
ведущее колесо 1, а во втором случае неравенство

h,s<0,	(3.31)

т. е. абсолютная величина | ti,s| может принимать любые значения;
поэтому в зависимости от абсолютного значения передаточного отно-
шения jti.sl передача может быть как ускоряющей при | r'i.s I < 1, так
и замедляющей при |z'i,s| > 1.

Обозначим отношение величины модуля mi,2 к величине модуля
mi,4 буквой q:

тх о	, ~

т3,4

а отношение — чисел зубьев колес 1 и 2 и колес 4 и 3 соответст-
г2 '	z3

венно буквами х и у.

=	(3.33)

^2,	z3

Уравнение соосности запишем так:

(Zi 4-22) q = г3Ч-г4 = (х+ \)z^q.	(3.34)

Отношение

х   ZIZ3   AS

У	чч	4Д’

Задаваясь значением х, определяем из этого равенства величину у.

У = xisiA.	(3.35)

При подборе количества зубьев планетарного механизма необходи-
мо, как указано выше, учитывать уравнение сборки [13]:

Z4	zlz3   z->  k	kz2	(3.36)
ИЛИ	
tJkx -%-c.	(3.37)
При выборе в этой формуле значения х необходимо исходить	из уело-
вия «соседства» для обеих пар колес	
(21 + 22)sin^—z2>2/';	(3 38)
(z8 4~ z4) sin- z3>2f'	(3.39)
или	
(x4-l)sin-2- — 1 >—•; «	(3.40)
(^4- l)sin-2— х~>~ я	г3	(3.41)
Принимаем число сателлитов k = 3; 4; 5; 6 и т. д., а возможное макси-
мальное и минимальное число г зубьев на каждом из них —150 и 15;
подставив в формулы (3.40) и (3.41) соответствующие величины г и k,
получим нижние минимальные (г — 150) и максимальные (г = 15)
пределы значений х и у, удовлетворяющие условиям соседства:

х > eh; у> еь,	>

где ek, в зависимости от числа k сателлитов, принимает следующие'
значения:

е3 >0,17 4-0,31; е4> 0,43 4-0,6; е5 >0,72 4-0,92;

е6> 1,03 4-1,25 и т. д.	(3.42)

Наибольшая величина передаточного отношения i<n-i)n для одной
зубчатой пары = 6 4- 10 в зависимости от числа зубьев Z(„-i)
меньшего сопряженного колеса.

Таким образом, при подборе чисел зубьев редуктора рассматривае-
мого типа задаемся вначале параметром х, ограничивая его величину
указанными выше предельными значениями,
при tf,4 > 1

ifyi—i)n > х	У < Чп—i)n>	(3.43)

.S ' ,
при h,4 < 1

i{n—1)л > У >• х	i(n—1)«.	(3.44)

Для того чтобы получить простые числовые соотношения в расчет-
ных формулах и, следовательно, уменьшенные габариты передачи,
необходимо задаваться в указанных выше пределах таким значением
параметра х, числитель или знаменатель которого имел бы общие де-
лители соответственно со знаменателем или числителем сомножителя
if,4 произведения xii,4 = у, это же условие по возможности должно
быть выполнено и в отношении сомножителей (х + 1) и q произведе-
ния (х + 1) q. Сокращение сомножителей указанных произведений
на их общие делители приводит к простым соотношениям в расчетных
формулах и вследствие этого к наименьшим габаритам и компактности
планетарной передачи.

Если х > 1 и у > 1, то при числе сателлитов k = 3; 4; 5 условия со-
седства всегда удовлетворяются.

Задачу подбора чисел зубьев рассматриваемого редуктора следует
выполнять в следующем порядке:

1)	в соответствии с формулами (3.43) и (3.44) подбирают значение
параметра х, определяя его нижний предел при возможно наибольшем
числе k сателлитов;

2)	определив по формуле (3.35) значение у = -у-, из уравнения
сборки (3.37) находят величины, пропорциональные количествам г3
зубьев сателлита 3 и z4 = г3у центрального колеса 4;

3)	составляют уравнение (3.34), из «которого определяют коэф-
фициент пропорциональности а и затем числа зубьев колес 1, 2, 3, 4\
4)	расчет заканчивают проверкой по уравнению «соседства» (3.15)
найденного числа зубьев и по формуле (3.27) — полученного переда-
точного отношения it.s редуктора.

Если вместо niS задано передаточное отношение i’s,i, т. е. ведущим
звеном является водило 5, то задачу решают аналогично рассмотрен-
ной в соответствии с формулой

;s

15,1 = -^-=-^—.	(3.45)

»1,S	- 1

Подобрав числа зубьев редуктора и зная угловую скорость cos во-
дила 5, можно легко определить угловую скорость to2 = а3 сателли-
тов 2 и 3. Так как скорость va точки А водил а и скорость центров сател-
литов равны, а точка С является мгновенным центром вращения'коле-
са 3, можно написать:

• О At = ы3 • СгД1

или

“s(z3 + z4) = to323,
откуда определяют величину to3.

(3.46)

Пример 2. Подобрать числа зубьев редуктора, если дано:
*1,5= И» 9=1.6; f0=l.

Так как if 4 = 12, то величина х должна быть меньше 1.

16

Число 12 = 2 • 2 • 3, а --

10

2•2-2 . 2
275

следовательно, можно предвари-

тельно задаться величинами

x — 3/s> Ч» ®/з. % и др.

Принимаем:

а)	х = 3/8; по формуле (3.35) находим у = в/2,

1	 гз = g # з  г3 = С; z3 = 8а; z4 = 36а;

(г1 + *г) <7 = (* + 1) г2  1.6 = г3 + г4, или п/8 г2 • 1,6 — 44а,
откуда г3 = 20 а, а= 1; 2; 3; 4 ... Принимаем а = 2, тогда будем иметь
га = 40; zt = хг2 = 15; г3 = 16; г4 = 72.

б)	х = V2; у = 6;

---‘ г® = ‘гз~С’ гз = 6а; г4 = 36aj

(х + 1) z2 • 1,6 = 42а, ?а = 35 •	, а = 2; 4; 6; 8...

При а = 4 числа зубьев

га — 70t гх = xza = 35; г3 = 24; г4 = 144;

,	2

в)	У^8'>

о
'll----z® = ' 3  4~ • z3 = C; z3 — z4 = 48a; -3- ад = 54a;

81a	, „

z2 =—4— = z2; a =4; 8; 16...

При a = 4 имеем:

z1 = xz2 = 54; z2 = 81; z3 = 24; z4=192;

3

r) x = — ; у = 9;

у — x 33 r 1fi .	...	400a	,

~T~ ‘ Z3 = 4 .' 4~  гз = C’ z3 = 16«; z4 = 144a; z2 =—; a = 7; 14; 21...

При a = 7 получаем:

Z1 = 300; z2 = 400; z3 = 112; z4 = 1008.

Приняв число сателлитов k =• 3, получим редуктор с меиьшим числом зубьев

zt = 75; г2 = 100; г3 — 28; г4 = 252.

Во всех рассмотренных вариантах подобранные числа зубьев удов-
летворяют условиям «соседства», сборки, наименьшим габаритами вы-
численное передаточное отношение ti,s равно заданному.

Пример 3. Определить числа зубьев колес, если дано передаточное отношение
редуктора

h,s ~ fo — 1» 9 —

Рассмотрим несколько вариантов решения этой задачи.

Учитывая числовые значения передаточного отношения = 0,9 и q== 1,5, на
основании изложенного выше задаемся следующими значениями параметра я:

V __ '	.	.	8	. 9.5.	V х , ______ р.

х ~	3	’	3 ’	3	’ ’ ’ k Zs ’

принимаем

а)	k = 3, х = —. Следовательно, z3 = 90a; z4 = 27a. Из уравнения

117a

(я + 1) z2 q= (z3+ z4) определяем z2 = —где a = 2; 4; 6... Таким образом, при
наименьшем значении коэффициента а = 2 получаем наименьшее число зубьев редук-
тора:

zt = 39; z2= 117; z3 = 180; z4 = 54;

2

б)	x =• — ; у = 0,6; k = 4;

zt = 128; z2 = 192; z3 = 300; z4 = 180;

при k => 3 числа зубьев уменьшаются:

z4 = 96; z2 = 144; z3 = 225; z4 = 135.

в)	x = ®/3; у = 3/2; k = 6;

z4 = 75; z2 = 45; z3 = 72; z4 = 108.

r) x— 2; y= 1,8; k= 6;

Zj = 112; z2 == 56; z3 = 90;. z4 = 162;

Д) x = 5; у = ®/2; k = 6;

Zj = 110; z2 = 22; z3 = 36; z4 = 162.
Схема планетарного редуктора с двухрядными сателлитами, с внеш-
ним и внутренним зацеплениями показана на рис. 23; справа построе-
на картина скоростей механизма. Передаточное отношение inJI = hts
рассматриваемого редуктора при ведущем звене 1 и ведомом S опре-
деляется по формуле (3.18):

где
ts____________________

м ztz3 •

Таким образом,

1ПЛ = 11.5 = 1+-^.	(3.48)

zlz3

Из этого уравнения следует, что
ii,s > 1 и следовательно, эта переда-
ча при ведущем звене 1 является за-
медляющей и направление угловой
скорости водила совпадает с направ-

лением ведущего звена (колеса /.) Уравнение соосности

Я (*i + г2) = zt — z8 = (х + 1) z2q.	(3.49)

Задаваясь величиной х = определяем величину у = из

Z2	Z3

равенства

х _ г1гз _	,-з

У	Z2Z4	4'Р

т. е.

У = — xif4.	(3.50)

Напишем уравнение сборки [131 этой передачи по аналогии с уравне-
нием (3.36):

Z4	I Z1Z3 _ £

k.	' kz2

или

у + х
к

•zs~C.

(3.51)

(3.52)

Предельные значения входящих в это уравнение х и у для колес
с внешним и внутренним зацеплением определяются из условий сосед-
ства, выражаемых неравенствами

(x + l)sin^-l > А;	(3.53)

(z/-l)sin-^-l>-^,	.	(3.54)

«	«я
по формулам

i(n—i)n % ^k<	(3.55)

fyn—i)n У	fk>	(3.56)

где fk по аналогии с неравенствами (3.42), (3.43) и (3.44) принимает
в зависимости от числа k сателлитов следующие значения:

^>2,17 4-2,3; /=4 > 2,43 4-2,6; /^>2,72 4-2,93; /=в > 3,03 4-3,27.
Подбор чисел зубьев колес рассматриваемой передачи проводится
в изложенном выше порядке.

Пример 4. Подобрать числа зубьев редуктора по заданному передаточному отно-
rz	5

шенню il s = 12; '0 = 1,0; q = 1,1. Задаваясь значением х = —, находим величину

у= х (— «f 4) = 5; в соответствии с формулами (3.55) и (3.56) принимаем число сател-
у х

литов k — 3; по формуле —-— • г3 = С определяем количество зубьев г3 на сател-
k

лите 5: г3=11а; z4 = уг3 => 55а; нз равенства (х + 1) z2q = г4— г3 находим
55а

величину г3 =	, где а = 2; 4; 6 ... Принимая а = 2, получаем г4 = 25;	= 55;

г3 = 22; г4 = 110.

Полученные числа зубьев удовлетворяют условиям соосности, соседства н сборки,
а также требованиям наименьших габаритов механизма.

ГЛАВА IV

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ

ПРЯМОЗУБОГО ВНЕШНЕГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

§ 1.	ЗАДАЧА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЗУБЧАТОГО
ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Задачей геометрического синтеза зубчатого зацепления является
определение его размеров, а также качественных характеристик (ко-
эффициентов перекрытия, относительного скольжения и удельного
давления), зависящих от геометрии зацепления.

Ниже мы рассмотрим геометрический синтез внешних прямозубого,
косозубого и конического зацеплений, внутреннего прямозубого за-
цепления, а также реечного зацепления.

Подробно мы остановимся на геометрическом синтезе внешнего пря-
мозубого зацепления.

§ 2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Размеры колес, а также всего зацепления, зависят от чисел и za
зубьев колес, от модуля т зацепления (определяемого из расчета зуба
колеса на прочность), общего для обоих коЯес, а также от метода их
обработки.
Предположим, что колеса изготовляются по методу обкатки (огиба-
ния) инструментом реечного типа (инструментальной рейкой, червяч-
ной фрезой), который профилируется на основе исходного контура
(ГОСТ 3058—54).

Приступая к изготовлению колес, образующих зубчатое зацепле-
ние, нужно для каждого из них выточить заготовку радиуса (ра-
диус окружности выступов), об определении которого будет сказано
ниже, а также подсчитать ради-
ус гд делительной окружности
и общий для обоих колес шаг t
на делительных окружностях по
формулам

у

Рис. 24

обрабатываемому колесу в процессе

t = тп. (4.2)

Все остальные размеры каждо-
го из колес определяются гео-
метрическими параметрами ин-
струментальной рейки, а также
положением ее по отношению к
его изготовления.

Ознакомимся с размерами инструментальной рейки (рис. 24), а
также с процессом обработки колес по методу обкатки.

Прямая линия, делящая высоту зубьев рейки пополам, называется
средней (модульной) прямой. Прямые, параллельные средней прямой,
называются делительными. Расстояние между правыми или левыми
профилями двух соседних зубьев, измеряемое по любой делительной
прямой, называется шагом рейки. Для обработки колеса нужно взять
рейку, шаг которой р авен шагу t колеса на его делительной окружности,
определяемому формулой (4.2).

Ширина впадины и толщина зуба равны между собой только на сред-
ней прямой. На делительных прямых они не равны, причем чем ближе
делительная прямая к линии выступов, тем ширина впадины больше,
а толщина зуба меньше. Ширину впадины обозначим буквой вд. Высота
ho зуба рейки состоит из отрезка Лоз и двух равных отрезков с0. Отре-
зок Лоз — глубина захода рейки, с0 — радиальный зазор, а0 — про-
фильный угол рейки. У основания и у вершины зуба имеется закругле-
ние радиуса ри. Все размеры рейки зависят от модуля т:

t — тп;	(4.3)

h03 = 2f0/«;	(4.4)

с0 = с'т;	(4.5)

ри = 0,38/п,	(4.6)

где f0 — коэффициент высоты зуба рейки;
с' — коэффициент радиального зазора.
Для образования угла заострения, необходимого при снятии струж-
ки, боковые грани зубьев рейки скошены (пунктир на рис. 24).

Процесс изготовления зубчатого колеса (рис. 24) инструментальной
рейкой по методу обкатки заключается в том, что рейка в движении
по отношению к обрабатываемому колесу перекатывается без скольже-
ния одной из своих делительных прямых или средней прямой по дели-
тельной окружности колеса (движение обкатки) и одновременно совер-
шает быстрые возвратно-поступательные перемещения вдоль оси ко-
леса, снимая при этом стружку (рабочее движение).

Для осуществления такого перекатывания нужно рейке сообщить
поступательное движение влево со скоростью v, определяемой по фор-
муле

г» = гдго,	(4.7)

где — угловая скорость колеса.

Расстояние между средней прямой рейки и той делительной прямой,
которая в процессе обкатки перекатывается по делительной окружно-
сти колеса, называется смещением b рейки. Очевидно, что смещение b
равно расстоянию, на которое отодвинута средняя прямая рейки от де-
лительной окружности колеса. Смещение считается положительным,
если средняя прямая отодвинута в направлении от центра нарезаемого
колеса. Величина смещения b определяется формулой

Ъ = 1т,	(4.8)

где £ — коэффициент смещения, который может иметь положительное
или отрицательное значение. О выборе коэффициента смещения рейки
при изготовлении колес будет сказано ниже.

Анализируя изготовление зубчатых колес инструментальной рей-
кой по методу обкатки, приходим к следующим выводам:

1.	Делительная прямая рейки и делительная окружность изготов-
ляемого зубчатого колеса являются центроидами в относительном дви-
жении рейки и колеса. Следовательно, делительная окружность из-
готовляемого колеса является начальной окружностью при зацеплении
этого колеса с инструментальной рейкой (станочное зацепление).

2.	Шаг t инструментальной рейки должен уложиться на делитель-
ной окружности ровно z раз, так как шаг рейки равен шагу колеса
на делительной окружности.

3.	Какая бы делительная прямая ни перекатывалась по делитель-
ной окружности колеса, она делит ее на шаги t одной и той же длины.

4.	Толщина зуба изготовляемого колеса на его делительной окруж-
ности равна ширине $д впадины рейки на той ее делительной прямой,
которая перекатывается по делительной окружности колеса. Такая же
связь существует между шириной впадины колеса и толщиной зуба
рейки.

5.	Все зубчатые колеса, независимо от числа зубьев, имеющие один
и тот же модуль т, могут быть изготовлены одной и той же инструмен-
тальной рейкой.
6.	Профильный угол а0 рейки является углом зацепления рейки
и всех колес, которые изготовляются при помощи этой рейки.

7.	Радиус го основной окружности изготовляемого зубчатого колеса
определяется из треугольника ONP (рис. 24) по формуле

го = ON = OP cos а0 = гд cos а0.	(4.9)

Зубчатые колеса, изготовленные без смещения инструментальной
рейки, называются нулевыми; изготовленные при положительном сме-
щении рейки — положительными, при отрицательном смещении —
отрицательными.

Для любых зубчатых колес, изготовленных одной и той же инстру-
ментальной рейкой, могут образовать правильное плотное зубчатое
зацепление, т. е. зацепление без боковых зазоров между зубьями.

Основной величиной, характеризующей зацепление, является угол
зацепления а, который определяется по формуле

inv а = — — а° + inv а0.	(4.10)

гс

Здесь

inva = tga— а;	(4.11)

inva0 = tga0 — а0;	(4.12)

= +	(4-13)

zc = Zj + г2.	(4.14)

Из формулы (4.10) видно, что угол а зависит только от отноше-
ния -I5- .

Так как zc =/= 0, то a =/= a0, если £с =£ 0. Если же £с — 0, то a = a0-

В зависимости от значения £с зубчатые зацепления классифици-
руются следующим образом:

1.	Если £с = 0, причем = 0, то зацепление называется
нормальным (нулевым).

2.	Если = 0, причем = —£2 = g > 0, то зацепление назы-
вается равносмещенным (компенсированным).

3.	Если Ес =# 0, то зацепление называется неравносмещенным, при-
чем при £с > 0 зацепление называется положительным неравносме-
щенным, а при |с<0 — отрицательным неравносмещенным.

В табл. 1 помещены формулы», необходимые для определения раз-
меров всех перечисленных зацеплений. При пользовании таблицей нуж-
но учесть, что

а0 == 20°; f0 = 1;	= 0,25 и z2 > zx.

В последней графе даны формулы для подсчета размеров нулевого зуб-
чатого зацепления. Следует обратить внимание на характерные особен-
ности этого зацепления: делительные окружности колес являются

Индекс 1 принадлежит меньшему колесу, индекс 2 — большему.
Таблица 1

Формулы для подсчета размеров элементов зубчатого цилиндрического зацепления с прямым зубом

Что требуется найти		Зацепление		
Наименование	Обозначение	Неривносмещенное 1е + 0  а Ф 0; ЧГ > 0:	Равное мещенное =0  = - g2 > 0; a = V = 0	Нулевое ic = o  €1 =	~ 0  a= V = 0
Шаг зацепления по делительной окружности	t	t — пт	t = trm	t ~ nrn
Радиус делительной окружное- ти	ГД1	tnzx  г =-	£  Д1 2	mzx  Г z=z.		  Д»	2	mzA  rRi	2
	ГДг	г  р» 2	_ mz2 2	r — mZ*  Д* 2
Радиус основной окружности	ч	'о1 = ГД1С0£а‘>	ro, =»«, c°sao	rOl=rR1C0&a«
	V	ro8 = 4COSa«	г =r cosao  °2	Д2	ro1 = rA,C0Sa0
Толщина зуба по делительной окружности	®д.	s^-^t + ^mtga»	sfii=4"r+2^mtgao	s«i ~ T1
	®д«		s&==4‘<+2^mtga°	®Дг = V
Радиус окружности впадин		Rlt = ГД1— m(f0 + Сд—gj	= rRl — m (fo + co— £1)	Ril=rH—m<fo + coi
	Ri	Rit= rn>~ m(f° + co~fe)	Ri, = rns — m (A> + co— ^2)	
				
Межцентровое расстояние	А	Л = т('Т+°')	. tnZc A = —	A“ 2
Радиус начальной окружности	ri	, 2а \		
	г*	/, . 2а \  Га = ГД.(1 1 aj		га = гд,
Глубина захода зубьев	Лз	fi3 = (2f0 — W)m	h3 = 2mf0	h3 = 2mfо
Высота зуба	h	h = hs + с'ат	h ~ hs + com	h = h3 -f- c0 m
Радиус окружности выступов	Re	Rei=Rit + h	Ret = Rtl + h	Rei=RCt+h
		Res-R(i + h	Re^R^+b	Re-Rie+h
				

Примечание. Индекс 1 относится к размерам колеса, имеющего меньшее число зубьев, а индекс 2 — к размерам ко-
леса, имеющего большее число зубьев.
также начальными окружностями, т. е. центроидами в относительном
движении колес, угол зацепления равен профильному углу а0 инстру-
ментальной рейки, толщина зуба и ширина впадины равны каждая
у, высота зуба h = (2f0 + ф т, высота головки равна модулю т,
а высота ножки равна т (f0 + cQ-

Равносмещенное зацепление имеет много общего с нулевым зацепле-
нием. В нем делительные окружности также играют роль начальных,
угол зацепления а равен углу а0, высота зуба h = (2f0 + Со) т- От-
личие от нулевого зацепления заключается в том, что зуб у меньшего
колеса > 0) располагается дальше (на расстоянии ^т) от центра
колеса, чем в нормальном зацеплении, а у большего (£а < 0) — на рас-
стояние | 1 m ближе. Поэтому высота головки /гг, у меньшего колеса
увеличивается на а высота ножки hHi уменьшается на ту же вели-
чину. У большего колеса, наоборот, высота головки /гг, уменьшается
на |g2|/n, а высота ножки ha, увеличивается на ту же величину. Отли-
чие от нулевого зацепления заключается также и в том, что каждое
из колес имеет ряд размеров, зависящих от того смещения инструмен-
тальной рейки, которое было сделано при его изготовлении. Сюда от-
носятся размеры радиусов окружностей впадин /?,,), толщин
зубьев по делительным окружностям (8Д1; 8Д2), радиусов окружностей
выступов (/?е,; RCt). В зависимости от положительного смещения ин-
струментальной рейки, которое задают при изготовлении меньшего
колеса, размеры 8Д1; оказываются большими, чем такие же раз-
меры у нулевого колеса, имеющего тот же модуль т и то же число
зубьев zv У большего колеса в связи с отрицательным смещением про-
исходит уменьшение размеров 8Д2; Rtl; Re,.

Неравносмещенное зацепление во многом отличается от нулевого.
В нем, как и в равносмещенном зацеплении, имеются (см. табл. I)
величины, зависящие только от того смещения, которое было сделано
при изготовлении каждого из них. Сюда относятся толщины 8Д1 и
зубьев по делительным окружностям, радиусы /?/, и Rlt окружностей
впадин. Помимо этого, имеется ряд величин, зависящих от двух сме-
щений инструментальной рейки. Этими величинами являются: угол
зацепления а, радиусы и г2 начальных окружностей, межцентровое
расстояние А, глубина захода /г3, высота зуба h и радиусы и RCi
окружностей выступов. Неравносмещенное зацепление изображено
на рис. 25. Формулы, приведенные в табл. 1 для подсчета размеров А,
ri, г2, h3, взяты из [22].

В этих формулах введены коэффициенты а (отклонения межцентро-
вого расстояния) и Т (обратного смещения). Коэффициент а опре-
деляет расстояние ат между делительными окружностями на линии
центров, а коэффициент Y — уменьшение xVm высоты h зуба по сравне-
нию с высотой зуба в нормальном и равносмещенном зацеплениях.
Об определении этих коэффициентов будет сказано ниже.

Характерной особенностью неравносмещенного зацепления являет-
ся также и то, что в нем угол зацепления а не'равен углу а0 и что дели-
тельные окружности не являются начальными. Угол зацепления а
можно определить по формуле (4.10), для чего следует воспользоваться
таблицами инволют (эвольвентных функций), приводимыми в справоч-

никах. Проще [221 можно опреде-
лить угол а по номограмме (рис. 26).

Если, например, zc = 59 и

= 1,75, то, определив величину
lOOOSc ОП -7

—-—- = 29,7, находим по номо-
гс

грамме против числа 29,7 значе-
ние угла а = 26° 36'.

Следует заметить, что радиусы
делительных и основных окружнос-

/З-q

23°го'

26

39

53-

'72бУ

12

If

10

23°10'

75-

23Г0'

22°®

23

22°90'

•22¥

95

<5

Рис. 25

22

г22°И)'

-П°Ш‘
[22"0'

-2I°SS‘

'ht°3(f

-2t°20'

-2ft0' I
hfo'

21

20

19 -

td-

-20°5«
~.20°4tf
'.20°3t?

-20W I
how
20°0' 1

16 -

15 5

19

13

T25°5ff

38

25°90

37

-25^30

36

-2570'

-25°10

-25°0‘

52

27°50

mo‘

51

50

35

39

~29°50'

33

--79°30

31

30

~20°l5

29

2d

27--

-23°30'

-27*30'

~27°20'

99-

-2Г10'

-2Г01

97

96-

95-

-2B°50

44-

-26%(Г

93

92-

-26*20

~-26°10'

91

26 JF-ar»'

39- -

-гп'

-29°30r

-29°20*

-29°10f

-29V

2&W

-28°3Q'

2в°20'

-26° IO1

Phc. 26

тей подсчитываются по одним и тем

же формулам

чатого зацепления и от смещений не зависят.

для всех

типов зуб-

\29*W 32

W



M

17 4



\25W



«

§ 3.	ВЫЧЕРЧИВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Подсчитав все размеры элементов зацепления по формулам, приве-
денным в табл. 1, и определив для неравносмещенного зацепления угол
а по формуле (4.10) или по номограмме, приведенной на рис. 26, при-
ступаем к вычерчиванию зубчатого зацепления.

Масштаб построения выбираем таким образом, чтобы высота зуба
на чертеже была не менее 50 мм.

Профили зубьев вычерчиваем в такой последовательности (рис. 27).

1.	На линии центров колес от точки Р (полюса зацепления) откла-
дываем радиусы t\ и г2 начальных окружностей и строим эти окруж-
ности.

2.	При больших размерах зацепления построение основных окруж-
ностей и касающейся их прямой Л\Д2 (рис. 27) затруднительно. Для

Рис. 27

облегчения построений можно использовать два способа. По перво-
му способу (рис. 28) из точки Р проводим дугу радиуса РА = 2q sin а
и засекаем начальную окружность 1-го колеса в точке А. Очевидно,
прямая АР образует угол а с касатель-
ной ДР. Соединяя середину отрезка
РА с центром 01г получаем радиус 0^
основной окружности 1-го колеса. Если
точка В пересечения прямой АР с на-
чальной окружностью 2-го колеса по-
лучилась в пределах чертежа, то, со-
единяя середину Д2 отрезка РВ с цент-
ром 02, получаем радиус 02Д2 основной
окружности 2-го колеса. После этого
строим обе основные окружности. Если
же точка В получается за пределами
чертежа, то откладываем отрезок РЛГ2 =
= r2 sin а от точки Р и определяем радиус
02N2 основной окружности 2-го колеса.

Второй способ следует применить, когда точка А также оказывается
за пределами чертежа. В этом случае сначала строим угол а. Для этого
откладываем (рис. 28) отрезок РК — ЮО-т-200 мм; подсчитываем
отрезок KL = РК tg а и, отложив его на перпендикуляре к РК, про-
водим прямую LP. Тогда / KPL = а. Затем подсчитываем отрезки
PNX = Гл sin a; PN2 — r2 sin а и откладываем их от полюса Р. Очевидно,
отрезки OjPj и 02N2 являются радиусами основных окруж-
ностей.

3.	Строим эвольвенты, которые описывает точка Р прямой
при перекатывании ее по основным окружностям. При построении 1-й
эвольвенты откладываем на основной окружности 1-го колеса от точки
Ni (рис. 27) дугу Л^Р', равную длине отрезка А\Р, пользуясь извест-
ным построением (рис. 29). Отрезок А\Р (рис. 29) делим на четыре
равные части (NrB = ВС = CD — DP) и из точки В проводим дугу
радиуса р = ВР до пересечения в точке Р' с основной окружностью;
тогда v_>A\P' = NiP. После этого (рис. 27) отрезок PNt снова делим
на произвольное число равных частей (Р/ = 12 = 23 =...) длиной
15 — 20 мм (число делений целесообразно взять ___
четным). Дугу А\Р' также делим на такое же TZXL.
число равных частей (о Р'Г = о 1'2' =

— о 2'3' — ...). На прямой PNX заточкой от- '	~~г-ф-У Х

кладываем отрезки (45 = 56 =...), равные Pl,

а на основной окружности — дуги (\^4'5' =	/ X. : // \

= 5'6' = ...), равные дуге Р'Г.	(

Через точки Г; 2'; 3'; 4'... проводим перпен-	4i

дикуляры к соответствующим радиусам 0х/'; рис 2д
0^2'-, 013'... На этих перпендикулярах (они ка-

саются основной окружности) откладываем отрезки Г Г ; 2'2"; 3'3"...,
соответственно равные отрезкам IP, 2Р, ЗР...

Соединяя последовательно точки Р';	2"; 3" ... плавной кривой,

получаем эвольвенту для первого колеса. Таким же способом строим
эвольвенту для второго зубчатого колеса.

4.	Строим окружности выступов обоих колес. Для более точного
их построения целесообразно предварительно подсчитать высоты голо-
вок РР и PL зубьев по формулам Аг, = Ре, — ч; hTt = Рсв — г2,
а затем отложить их в масштабе на линии центров от точки Р. Очевид-
но, OjP и 02Ь — радиусы Рс, и Ре,. Построив окружности выступов,
найдем точки пересечения их с соответствующими эвольвентами —
крайние точки на профилях головок.

5.	Строим окружности впадин обоих колес. Здесь также целесооб-
разно предварительно подсчитать высоты РК'. и PL' ножек зубьев по
формулам Ан, = t\ — Pi,; h„t = r2 — Plt, а затем отложить их в мас-
штабе от точки Р. Очевидно, 0хК' и OJL' — радиусы Р,-,, Р,2.

Следует заметить, что радиус окружности впадин может быть боль-
ше, равен и меньше радиуса го основной окружности. Это зависит от
числа z зубьев колеса и от коэффициента смещения	\

Р{ >- г0, если	’

2,5 — 2g	,. ,г.

2>~~сда~ ;	<41°)

Р(< г0, если

Z <

2,5-2g .

0,06	’

(4.16)
для нулевых колес Р, > го, если

9 5

2^адб‘==425	(4.17)

< г0 если

z < 42.	(4.18)

Независимо от того, какое положение занимает окружность впадин,
полный профиль ножки зуба состоит из эвольвентной части и переход-

Рис. 30

ной кривой (галтели), которая соединяет эвольвентную часть с окруж-
ностью впадин. Переходная кривая образуется автоматически в
процессе изготовления колеса инструментальной рейкой. Построение
переходной кривой и определение положения крайней нижней точки
эвольвентного участка профиля показано на рис. 30. На касательной
к делительной окружности размечаем равные отрезки Ро1, 12, .... 56.
На делительной окружности с помощью построения, приведенного на
рис. 29, откладываем дугу Ро6', равную длине отрезка Р06, и делим ее
на такое же число дуг Ро/'; 1' 2';...; 5'6’, как и отрезок Р06. Через точ-
ки деления Г, 2', ..., 6' проводим касательные 1'Р3, 2'Р2; ..., 6'PS
к делительной окружности (они перпендикулярны к радиусам 0Г,
02', ..., 06', которые на рис. 30 не показаны). На касательных откла-
дываем отрезки РРг; 2'Р2, ..., 6'Рв, соответственно равные отрезкам
JP0, 2Р0,..., 6P,j. Далее строим профиль DFE зуба инструментальной
рейки так, чтобы делительная прямая, определяемая заданным коэф-
фициентом смещения £, совпала с касательной Рй6 к делительной
окружности. При перекатывании без скольжения делительной прямой
Р06 по делительной окружности центр закругления головки профиля
рейки опишет удлиненную эвольвенту Оо, Оъ ...,0е. Положение точки Ot
определяется пересечением дуг радиусов РоОо-и 1Оо, проведенных соот-
ветственно из центров Pi и Г. Положение точки 02 определяется пе-
ресечением дуг радиусов РоОо и 2Оо, проведенных соответственно
из центров Р2 и 2'. Точки 03, 0it 05 и 0е строятся аналогично.
Из точек Оо, Ор, 0в проводим окружности радиуса ри = 0,38 т, а затем
строим кривую АР, их огибающую. Через точку F, ограничивающую
прямолинейный участок профиля зуба рейки, проводим прямую FC,
параллельную касательной Ро6, до пересечения в точке С с касатель-
ной P0N к основной окружности. Из центра О колеса дугой радиуса ОС
засекаем огибающую А К в точке В. Участок В А огибающей между точ-
кой В и точкой А касания огибающей и окружности впадин является
искомой переходной кривой. Переходную кривую нужно снять на шаб-
лон, которым следует воспользоваться при вычерчивании профилей но-
жек зубьев на рис. 27. Чтобы определить на рис. 27 точку эвольвенты,
от которой начинается переходная кривая, следует засечь эвольвенту
дугой радиуса ОС, взятого с рис. 30.

Профиль ножки у основания зуба можно построить упрощенно. Если
Pi го, то получают точку пересечения окружности впадин с эволь-
вентой, а затем у основания делают закругление дугой радиуса 0,2 т.
Если Pi < го, то от основания эвольвенты до окружности впадин прово-
дят радиальный отрезок, а затем у основания зуба делают закругление
радиуса 0,2 т. Если разность го — Р, < 0,2 т, то радиального отрез-
ка не проводят и окружность впадин сопрягают с эвольвентой дугой
радиуса 0,2 tn. Упрощенное построение профиля ножки зуба не отра-
жает истинного его очертания, а является только чертежным приемом.

1	6. Подсчитав отрезок РА (рис. 27) по формуле РА = гг — гД1, стро-

им делительную окружность первого колеса и получаем точку D пе-
ресечения ее с соответствующей эвольвентой. От точки D откладываем
на делительной окружности (пользуясь построением, показанным на
рис. 29) дуги: влево ^DE, вправо <jDF, равные каждая длине шага t.
От точек Е, D, F влево откладываем (пользуясь тем же построением)
дуги ЕР, DM, FH, равные каждая толщине 5Д1 зуба.

Делим дуги DM, ЕР и FH пополам в точках Т, Y, Q. Соединяя
эти точки с центром Оъ получаем оси симметрии зубьев. После этого
вырезаем из твердой бумаги шаблон половины зуба, которым пользу-
емся для построения остальных зубьев. Обязательным является по-
строение трех зубьев — первого, профиль которого построен по точ-
кам, и двух, находящихся справа и слева от первого.

ч \ Аналогично строим три зуба для второгб колеса.

4L.§ 4. ПОСТРОЕНИЕ АКТИВНОЙ ЧАСТИ ЛИНИИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ,
ДУГ ЗАЦЕПЛЕНИЯ И РАБОЧИХ УЧАСТКОВ ПРОФИЛЕЙ ЗУБЬЕВ

Линия зацепления. Различают теоретическую линию зацепления
и активную часть линии зацепления.

Теоретической линией зацепления называют отрезок A\Af2 касатель-
ной к основным окружностям, заключенный между точками касания
(рис. 31).

Активной частью линии зацепления называют отрезок ab теорети-
ческой линии зацепления, заключенный между точками пересечения ее
с окружностями выступов колес. Активная часть линии зацепления
является геометрическим местом точек зацепления (касания) профилей
зубьев на неподвижной плоскости.

Если колесо является ведущим и вращается по направлению вра-
щения часовой стрелки, то зацепление зубьев начинается в точке а
и заканчивается в точке Ь. При этом точка касания на профиле первого
колеса (ведущего) перемещается от основания к вершине, на профиле
второго колеса (ведомого) — от вершины к основанию.

Если первое колесо (ведущее) вращается против направления вра-
щения часовой стрелки, то теоретической линией зацепления будет

Рис. 31

отрезок AfjAfa, а активной частью линии зацепления — отрезок гщт^.
В этом случае точка касания на профиле ведущего колеса (первого)
также перемещается от основания к вершине, а на профиле ведомого
колеса (второго) — от вершины к основанию.

Сопряженные точки профилей зубьев. Сопряженными точками на-
зывают две точки соприкасающихся профилей, которые встречаются
(зацепляются) на активной части линии зацепления.

Чтобы найти те сопряженные точки, которые зацепляются в данной
точке d активной части линии зацепления (рис. 31), нужно из центра
О2 провести через точку d дугу радиуса 02d до пересечения с профилем
второго колеса в точке D2 и через ту же точку d провести дугу радиуса
Otd из центра Ог до пересечения с профилем первого колеса в точке
Dt. Точки Dl и D2 являются сопряженными точками профилей.

Если задана точка на профиле первого колеса и требуется найти
сопряженную точку на профиле второго колеса и точку зацепления,
то нужно из центра Ot через точку Dt провести дугу радиуса
до пересечения с активной частью линии зацепления в точке d, а за-
тем через точку d провести дугу радиуса 02d из центра 02 до пересе-
чения с профилем второго колеса в точке D2. Точка D2 является сопря-
женной с точкой Dlt а точка d — точкой зацепления.

Рабочие участки профилей зубьев. Те участки профилей зубьев,
которые участвуют в зацеплении, называют рабочими. Чтобы найти эти
участки, нужно на профиле зуба первого колеса найти точку, сопря-
женную с крайней точкой головки второго колеса, а на профиле зуба
второго колеса — точку, сопряженную с крайней точкой головки пер-
вого колеса. Для этого через точку а из центра 0t проводим дугу ра-
диуса 0La до пересечения в точке At с профилем зуба первого колеса
и через точку b из центра О2 проводим дугу радиуса О2Ь до пересече-
ния в точке В2 с профилем зубд второго колеса. Участки AtBt и А2В2
профилей зубьев являются рабочими участками профилей. Чтобы обо-
значить на чертеже эти участки; нужно провести линии, параллельные
AlBl и А2В2 на расстоянии 1,5—2 мм и заштриховать получив-
шиеся полоски. Так как сопряженные профили зубьев не являются цен-
троидами, то они перекатываются друг по другу со скольжением. По-
этому длины рабочих участков профилей зубьев неравны между собой.

При вычерчивании профилей зубьев нужно помнить следующее:
а) профили зубьев могут касаться только на активной части линии
зацепления;

б)	наличие зазора на активной части линии зацепления между про-
филями, пересекаемыми линией зацепления, свидетельствует о непра-
вильном выполнении чертежа;

в)	так как рассматриваемое зацепление является плотным, т. е.
без боковых зазоров, то сказанное в предыдущих пунктах относится
также к зацеплению зубьев на линии Л^Л^.

Дуга зацепления. Каждую из дуг начальных окружностей, которые
перекатываются одна по другой за время зацепления одной пары со-
пряженных профилей, называют дугой зацепления. Так как начальные
окружности перекатываются друг по другу без скольжения, то дуги
зацепления для обоих зацепляющихся колес равны между собой.

Можно дать другое определение: дугой зацепления называют дугу
начальной окружности, которая проходит мимо полюса Р за время
зацепления одной пары сопряженных профилей.

Построение дуги зацепления производится следующим .образом.
Через крайние точки Аг и рабочего участка профиля первого колеса
проводим в направлении вогнутости нормали А^сц и Btbi к этому про-
филю (они являются касательными к основной окружности первого
колеса). Находим точки аг и bt пересечения этих нормалей с начальной
окружностью первого колеса. Дуга является дугой зацепления
на начальной окружности первого колеса.

Аналогичным построением находим дугу зацепления а%Ь2 на на-
чальной окружности второго колеса.

Длину k дуги зацепления определяют по формуле

(419)

где I — длина активной части линии зацепления.
На основании этой формулы можно графически определить длину k
дуги зацепления. Для этого через крайние точки а и b активной линии
зацепления проводим перпендикуляры к ней до пересечения в точках
а' и Ь' с общей касательной (в точке Р) к начальным окружностям.
Отрезок а'Ь' равен длине k дуги зацепления.

§ б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Качественными показателями зацепления являются коэффициенты
перекрытия е, относительного скольжения А, и удельного давления у.

Коэффициент перекрытия е. Коэффициентом перекрытия называют
отношение длины k дуги зацепления к длине шага tB по начальным
окружностям колес:

k I
е = — = —--------------.

?н »н COS Ct

(4.20)

Формула неудобна для подсчетов, так как в нее входит шаг tH, ко-
торый не задан. Так как

cos а — t cos а0 — to,	(4.21)

где t0 — основной шаг, т. е. шаг зацепления на основных окружно-
стях, то

е = ~— = — ----------= 4~ 	(4.22)

t cos а0 msi cos а0 to	'	'

Формулой (4.22) удобно пользоваться тогда, когда зацепление
двух колес уже вычерчено. В этом случае длину I можно измерить
непосредственно на чертеже и значение ее подставить в формулу.

Коэффициент перекрытия можно подсчитать также по формуле

„=(4 931
mjicosa0	* ’ '

Формулой (4.23) целесообразно пользоваться до того, как зацепле-
ние вычерчено.

Коэффициент перекрытия е дает возможность определить число
пар профилей зубьев, находящихся одновременно в зацеплении. Для
этого нужно воспользоваться теми целыми положительными числами,
между которыми находится числовое значение коэффициента е. Эти
целые числа определяют те числа пар профилей зубьев, которые попе-
ременно участвуют в зацеплении. Если, например, е = 1, 3, т. е.
2 > е > 1, в зацеплении попеременно находятся одна или две пары
профилей.

Коэффициент перекрытия е не должен быть меньше единицы, так
как это приводит к перерывам в передаче движения от ведущего ко-
леса к ведомому и к ударам зубьев колес. При проектировании зацеп-
ления коэффициент перекрытия берут не меньше 1,1.

Коэффициент перекрытия е позволяет определить (при равномер-
ном вращении колес) те промежутки времени, в течение которых
происходит зацепление соответствующих чисел пар профилей зубьев.
Например, если е = 1,3 и время, в течение которого мимо полюса про-
ходит шаг 4 зацепления, равно т, то промежутки времени и т2 за-
цепления одной и двух пар профилей определяются по формулам

т, = (2 — е) т = 0,7т; 1
т2 = (е — 1) т = 0,3т. ]

(4.24)

При помощи коэффициента перекрытия е можно определить тот
участок активной части линии зацепления, на котором происходит за-
цепление одной пары профилей зубьев, а также те участки, на которых
происходит одновременное зацепление двух пар профилей (имеется
в виду внешнее зацепление колес). Для этого (рис. 32) откладываем

от крайних точек а и Ь активной
части линии зацепления ab отрезки
аВ, ЬС, равные длине to основного
шага (to = t cos а0) и получаем
участки аС, СВ и ВЬ. Так как
ab = е/о, то будем иметь

оС = В6=(е—1)/0; (4.25)

СВ=(2—е)/о.	(4.26)

	^0	ж	
		В
С	р	
		Je-DttL

Рис. 32

В то время, когда точка зацепления одной пары профилей переме-
щается на участке йС, точка зацепления второй пары перемещается
на участке ВЬ. Следовательно, на участках аС и ВЬ происходит одно-
временное зацепление двух пар профилей. На участке СВ зацепляется
одна пара профилей, причем одновременно с ней никакая другая пара
в зацеплении не находится. Если, например, е = 1,3, то аС — ВЬ —
= 0,34 и СВ = 0,74.

При помощи коэффициента е можно также определить, какую часть
активной части линии зацепления ab составляют участки аС, ВЬ и СВ.
Очевидно,

аС = ВЬ =	 ab;	(4.27)

СВ = — — • ab.

8

(4.28)

3	7

В нашем примере аС = ВЬ = ab и СВ ab.

10	10

Коэффициенты относительного скольжения. Так как рабочие уча-
стки профилей зубьев перекатываются друг по другу со скольжением,

то на этих участках возникают силы трения и происходит процесс из-
нашивания. Характеристикой вредного влияния скольжения являют-
ся коэффициенты и Х2 относительного скольжения, которые опре-
деляют по формулам

Xi = 1 + 4,1--------------— • i2,i;

Х2 = 1 + й,2-------------------- • /1,2,

с *•“ л	t

(4.29)
где е — NiN2 — длина теоретической линии зацепления, а
j12=-^==^j

<»2 Z1 ’

*2,1

й2	Z1 .

wx	г2 ’

х — расстояние от точки Nt касания теоретической линии зацепления
с основной окружностью первого (меньшего) колеса, отсчитываемое
в направлении к точке N2.

Пользуясь формулами (4.29), составим табл. 2 значений Хх и Х2.
Для этого измеряем длину е на рис. 31, подставляем полученное зна-
чение в формулы (4.29), а затем подсчитываем ряд значений Лх и Х2,
изменяя х в границах от 0 до е с интервалами 15-г-ЗО мм.

Необходимо знать, что в полюсе зацепления Р коэффициенты Лх
и Х2 равны нулю.

Таблица 2

Значения коэффициентов Хх и Х2

X	0			NtP			е
Хх	— ОО			0			1
х,2	1			0			— ОО

Пользуясь данными, приведенными в табл. 2, строим диаграммы
для значений коэффициентов Хх и Х2 в прямоугольной системе коорди-
нат (рис. 31). Через какую-либо точку О линии OxjVx проводим ось
абсцисс Ох, параллельную прямой N^N^. Тогда линия 0N± будет осью
ординат. Пользуясь табл. 2, строим диаграммы для Хх и Х2 (кривые
PJ\S и QP.U).

Необходимо отметить, что таблица значений Хх и Х2 составлена
в предположении, что окружности головок колес проходят через точки
Nx и N2, т. е. зацепление зубьев происходит по всей теоретической ли-
нии зацепления от точки Л\ до точки и что рабочие участки профилей
зубьев кончаются у соответствующих основных окружностей. Поэто-
му построенные диаграммы для Лх и Х2 дают значения коэффициентов
удельного скольжения также для тех участков профилей на ножках
зубьев (участки ЛХС и В2£), которые не участвуют в зацеплении,
а также и для тех участков профилей на головках, которые в действи-
тельности отсутствуют.

Для того чтобы выделить те части диаграмм, которые дают значе-
ния Хх и для фактически имеющихся на зубьях рабочих участков
профилей, нужно через точки а и b провести перпендикуляры к ли-
нии зацепления, которые отсекут на диаграммах интересующие нас
участки (заштрихованы на рис. 31).
Далее строим круговые диаграммы, откладывая от соответствую-
щих точек рабочих участков профилей зубьев на концентрических
окружностях дуги, равные (или пропорциональные) ординатам пря-
моугольных диаграмм.

На рис. 31 приведены круговые диаграммы AtBi и Л2В2.

Для уяснения техники построения круговых диаграмм покажем
построение ординаты D1D1 круговой диаграммы А1В1, которая соответ-
ствует ординате уг прямоугольной диаграммы PS. Продолжая ординату
уъ находим точку d, являющуюся точкой зацепления, в которой име-
ет значение, определяемое ординатой уг. Засекая профиль AtBi, в точ-
ке Di дугой dDi радиуса 0rd находим точку Di профиля зуба, для ко-
торой имеет значение, определяемое ординатой уг. На дуге dD{
отложим от точки Di дугу D\D\, равную (или пропорциональную)

ординате yt.

Аналогичным построением находим дугу D2D2, которая является
ординатой круговой диаграммы А^В?, соответствующей ординате у2
диаграммы QU.

Коэффициент удельного давления. Этот коэффициент имеет значе-

ние при расчете зубьев колес на контактную
прочность и определяется по формуле

’=-S7-	<430)

Здесь

Рпр = Т£&.	(4-31)

Pi т Ра

где pi и р2 — радиусы кривизны профилей
зубьев в точке зацепления k
(рис. 33).

Имеем

Pi Рг= Л\Л72 — е- (4-32)
Отсюда получаем окончательно

— те

Pi(e —Pi)

Рис. 33

(4.33)

На рис. 33 представлена диаграмма изменения коэффициента у в
зависимости от радиуса кривизны рх. Коэффициенту имеет минималь-
ное значение в середине теоретической линии зацепления

При расчете зубьев на прочность особенно важное значение имеет
коэффициент ур в полюсе зацепления Р:

mN -^N• 2

^Р NtP • N%P ZiZ2 cos a0 tg a

(4.34)
§ 6. ВЫБОР КОЭФФИЦИЕНТОВ СМЕЩЕНИЯ

При заданных числах зубьев колес качественные характеристики
зубчатого зацепления (коэффициенты перекрытия, относительного
скольжения, удельного давления) зависят от величины коэффициентов
смещения и £2 инструментальной рейки.

Изменение этих коэффициентов, способствующее улучшению одной
из характеристик зацепления, ухудшает некоторые другие его харак-
теристики.

Стойкость и долговечность зубчатого зацепления, работающего
в определенных условиях, в значительной мере обусловливается от-
дельными характеристиками этого зацепления. Отсюда возникает
задача такого подбора величин коэффициентов смещения и £2, в ре-
зультате которого предельно улучшились бы характеристики зубчатого
зацепления, обусловливающие его стойкость и долговечность в данных
условиях работы, при одновременном сохранении в допускаемых пре-
делах величины других характеристик.

Среди характеристик имеются такие, которые должны удовлетво-
рять определенным требованиям, обязательным для всех зацеплений,
независимо от условий их работы.

Во-первых, не должно быть подрезания зубьев колес при обработке
их инструментальной рейкой. Суть явления подрезания заключается
в том, что зуб инструментальной рейки, проворачиваясь во впадине
изготовляемого колеса, срезает своей режущей кромкой часть эволь-
вентного профиля зуба. В результате этого уменьшается прочность
зубьев у основания. Помимо этого, подрезание может уменьшить ко-
эффициент перекрытия е и даже сделать его меньшим единицы, если
оказывается срезанной часть рабочего участка профиля зуба. Под-
резание имеет место в том случае, если делительная прямая АВ рейки
пересекает теоретическую линию зацепления в станочном зацеплении
за точкой N (см. рис. 24). Коэффициент смещения рейки, при котором
прямая АВ проходит через точку N, обозначается £llun и определяется
по формуле (при а0 = 20°)

(4.35)

Отсюда следует, что подрезание будет устранено, если коэффициент
смещения g, принятый при обработке данного колеса, удовлетворит
неравенству

(4.36)

В настоящее время считают возможным [81 в некоторых случаях
допустить такое подрезание зубьев, при котором остается нетронутым
рабочий участок профиля зуба.

Во-вторых, нельзя допустить чрезмерного заострения зубьев ко-
лес, так как при этом уменьшается прочность головок зубьев. Заост-
рение зубьев колеса усиливается вместе с увеличением коэффициента
смещения, принятого при его изготовлении. Заострение зуба обычно
характеризуется его толщиной se на окружности выступов. Во многих
случаях расчета требуется, например, чтобы величина se удовлетворяла
неравенству

se 0,3т.	(4.37)

Коэффициент смещения, при котором se = 0,3 т, обозначают £о,з.
Следовательно, коэффициент смещения, принятый при обработке ко-
леса в этом случае, должен удовлетворять неравенству

I |о.з.	(4.38)

Из формул (4.36) и (4.38) следует, что коэффициент смещения,
задаваемый для обработки данного колеса, должен быть выбран в гра-
ницах, определяемых неравенствами	,

'	(4.39)

В-третьих, должно быть выполнено требование, чтобы коэффициент
перекрытия е удовлетворял неравенству

в >1,1.	(4.40)

Так как величина коэффициента перекрытия зависит от двух ко-
эффициентов смещения, то третье требование приводит к необходимо-
сти такого подбора этих коэффициентов, при котором они, удовлетво-
ряя каждый в отдельности неравенствам (4.39), обеспечили бы не-
равенство (4.40).

В-четвертых, должна быть исключена возможность заклинивания
зацепления, при котором головка зуба одного из колес упирается
своей крайней точкой в галтель другого колеса. При заклинивании
зуб одного колеса не может вывернуться во впадине другого колеса
и работа колес становится невозможной. Коэффициенты смещения
и £2 нужно выбрать таким образом, чтобы исключить возможность
заклинивания.

Подбор коэффициентов смещения, удовлетворяющих всем перечис-
ленным требованиям, представляет собой сложную задачу. Эта задача
еще более усложняется при выполнении дополнительных требований
к зацеплению, обусловленных спецификой его работы в определенных
условиях.

Рассмотрим два способа подбора коэффициентов смещения: 1) при
помощи «блокирующих контуров», 2) при помощи специально состав-
ленных таблиц.

Блокирующие контуры. Определение коэффициентов смещения при
помощи блокирующих контуров является наиболее удобным и уни-
версальным способом, позволяющим удовлетворить любые требования,
предъявляемые к зацеплению условиями его работы. В настоящее
время имеются [7] альбомы, содержащие блокирующие контуры для
большинства встречающихся в практике комбинаций чисел зубьев zt
и z2.

Построение блокирующего контура рассмотрим на рис. 34. Здесь
имеется координатная система с осями 0^ и Og2. Каждая точка на
плоскости определяет пару коэффициентов смещения и |2.
На рисунке имеется ряд кривых, подштрихованных с одной сто-
роны. Часть плоскости, расположенная от кривой в сторону подштри-
ховки, является «запретной» при выборе точек, определяющих коэф-
фициенты смещения. Точки, расположенные в сторону подштриховки
от кривой АА, определяют коэффициенты смещения, при которых е <
< 1. Точки, расположенные в сторону подштриховки от пересекаю-
щихся пар кривых (В В и СС) и (DD и ЕЕ), определяют соответственно
коэффициенты, при которых будет
иметь место заклинивание зубьев
2-го (большего) колеса или l-ro
(меньшего). Точки, расположенные
в сторону подштриховки от кривых
FF и ЕЕ, определяют соответ-
ственно коэффициенты, при кото-
рых будет срезана часть рабочего
участка профиля 1-го или 2-го коле-
са. Кривые LL и AW определяют
границы заострения (se = 0) для
1-го и 2-го колес. Пересекаясь меж-
ду собой на плоскости, подштрихо-
ванные кривые образуют контуры
сфубра. и брлтб, внутри которых
можно выбирать точки для опре-

деления коэффициентов смещения («разрешенная зона»). Эти кон-
туры называются «блокирующими». Они очерчены толстыми
линиями.

На рис. 34 имеются также неподштрихованные кривые и прямые.
Прямые kk и тт дают границы подрезания соответственно для 1-го
и 2-го колес. Прямая qq и другие (на рис. 34 их нет), образующие углы
45° с координатными осями, являются каждая геометрическим местом
точек плоскости, дающих определенное постоянное значение %с. Кри-
вая dd — геометрическое место точек, определяющих выравненные
наибольшие коэффициенты относительного скольжения на ножках
обоих колес.

Заметим, что контур сорусУ7со ограничивает часть плоскости, точ-
ки которой определяют коэффициенты смещения, исключающие под- -
резание зубьев обоих колес.

Прежде чем воспользоваться блокирующим контуром для подбора
коэффициентов смещения, необходимо ознакомиться с конкретными
услош ями работы зацепления и установить наиболее вероятный вид
разрушения его зубьев.

Основные виды разрушения зубьев следующие:

а)	усталостное выкрашивание поверхностного слоя (питтинг),
вызываемое действием переменных контактных напряжений;

б)	усталостный излом зуба, вызываемый действием переменных
напряжений изгиба у корня;

в)	абразивный износ — истирание поверхности зуба в результате
действия сил трения;
г)	заедание зубьев, возникающее от разрыва масляной пленки
под действием высоких контактных напряжений.

При выборе коэффициентов смещения можно руководствоваться
следующими общими соображениями. Если зубчатое зацепление рабо-
тает в закрытой масляной ванне, то для негц опасны контактные на-
пряжения. Эти напряжения уменьшаются с увеличением угла зацеп-
ления а, т. е. с увеличением коэффициента £с. В этом случае точку
для определения и g2 нужно выбирать на наклонной линии с наиболь-
шим £с.

Если зубчатое зацепление открыто и возможно его загрязнение,
причем поверхности зубьев не упрочнены (цементация, азотирование,
поверхностная закалка), то опасен абразивный износ. В этом случае
точку следует выбирать на линии dd, где Л] = лг. Если в открытой пе-
редаче поверхности зубьев уплотнены, то опасен излом зуба. В этом
случае для каждого из колес нужно получить наибольший «коэффи-
циент формы» у (о нем будет сказано в курсе деталей машин), который
увеличивается для каждого из колес вместе с увеличением коэффици-
ента смещения

Заедание опасно для быстроходных и сильно нагруженных зубча-
тых передач. В этом случае следует по возможности уменьшить кон-
тактные напряжения, увеличивая угол а, который растет с увеличе-
нием £с.

Во всех случаях подбора коэффициентов смещения при помощи бло-
кирующего контура нужно избегать точек, лежащих вблизи контура.

Когда коэффициенты и g2 выбраны, определяется угол а или
по формуле (4.10) или по номограмме на рис. 26. Коэффициенты Q (от-
клонения межцентрового расстояния) и ¥ (обратного смещения) можно
найти двумя способами:

а)	по формулам (с помощью таблиц инволют)

4F = gc — а,	(4.42)

б)	при помощи номограммы проф. В. Н. Кудрявцева (рис. 35)
определяют ¥. Например, если гс = 64,	= 1,75, то -000^с- = 27,4.

2С

и	1000	V _ сп	„	w гс 3,69

На	номограмме находим —-------= 3,69.	Отсюда	Т	— -jggg— =

~ 0,236. После этого коэффициент а определяют по формуле

а =	(4.43)

Имея Zi, z2; m; J;2; |с> с и подсчитываем размеры зацепления по
формулам табл. 1. В приложении V приведены блокирующие контуры
для таких комбинаций чисел зубьев колес:

г, ..............12 12 13 13 14 15 15 15 16

z2 ............. 42 46 42 46 42 25 38 42 46
W3F

-0.70

юр-.

200-

0,60

\^°3OP-

-2,10

-ш

- \42oa0

Jh® J

to,00
№
sso

6S° 500

600	0.70

д,о~

_r '1J>-

C.50	;

:7-W29fiz

-too j

^°30О

14.00 ;

8,0'

Tfi

6,0

5fi

4,0-

^TF

8,0

!7,0

0,30

7^26,07

300

[320 '

,6,10
\6J50
600
:6.4C

250
[IfiO

№..0-

-1,60

330^6,80410-

L ЦО-
7430

[ЗРОЦОу

16,0-

IfiO :
 26,0-.

-3,50

-620

-6J0

470

-600

9,№
9.50

9.40
№
0.20
9,10

9.00
8,90
'.6,80

7,0~.

80

0.10

24;y

0,40

Ц0

71,60

23J-

1,50

0,30 '

140

[1,40

tfio j де<?

-0,20	- -	:

tw\ l’.3O?5fi

-0,16	

-0,14 i

-OK 

- „W

-OJO -

120 1

 24,0-

1320
3№~.

[3J0

[3.00

'	34fi.

72,40

3,0-

2fl-

-0,0613fl-.

-0.04 J

:0P3 "

-OP?KJ1-

[001 [

-!J0 '
[lfi023,0:

-5.00	8,70

1500 46,,- 8,60

[500
A60
1^50

iW

7200

330

[210	

OfiO

L 220-

[Z60
[200™'

-OfiO

/.cjI np[

фО

Sfitl
£20
[5.10

8,50

6,40

6,30

6,20
6,Ю

4fi~

WJl 8,00

[s.oo1^ j-

k®	:

k.70	i

1Ц50 : L
41031

IfiO
IfiO
1.10
IfiO
IfiO
1,40
1,30
7,20

3,0-

310

21.0^

4.00 
3,90 "
3,80^
зла :
320 z

3.503Ij0.

-3,40 

-3.30

22l- гЗ.ЮЗЦО2

030

7120

2!/

-IM

tZO-

-OJO

70.09 -
7028 -

-0,07 :

'-006"fi-.

-0,05
78,04
-0,03

2fi-l

3J0

6.70	;

£60 
55® „ :

6,30 J
620 
6J0 [
[6JIO340
690 ;

5fiO
[5M380

-3,00 :

-Z9O!S°'-.

-2S0

-1.00260

[2,60 :

-5.60

-550

-540

-5.30

520

-5.10

1500'

3I.0-.

,350-,

rOff!

2,50

19.

70.80

b,40^

-2,30

-Ofi2lO0 -02018, I 220260-

420 -

4.80

410350

4.60	

400
[400340.

400

te-'OJO
[10,00
[9.90
19.80
[9.10
[9,60
[3.50
[9.40
[9,30
4920
'79,10
[9,00
[8,90
[6,60
[o.io
[860
[6,50
[840
[830
[8,20
[8M
'-8№

[1,90
[1,80
[1.10
--7.60
11.50

&30

720
17.10
-1,00
6,90

i 210

-0,&

; -OJ50
9,0 33-

Рис. 35









i-i.aflo-

1



, - rW

'‘,'>3№

56Hf

 r

: -020 :

5,0-. - 13fi-.

: [420 I
ZiO^'0 33J)^

Tаблииа 3

Значения коэффициента ’F для неравносмещениого внешнего зацепления
при 2 > /1>2 > 1

4	11	12	13	14	15	16	17
Чг	0,127	0,145	0,160	0,175	0,190	0,202	0,215

Ч	18	19	20	21	22	23	24
’К	0,227	0,239	0,250	0,257	0,265	0,272	0,278
Специальные таблицы. В настоящем руководстве приведены
табл. 3—6 для неравносмещенного зацепления, составленные проф.
В. Н. Кудрявцевым, и табл. 7 для равносмещенного зацепления, со-
ставленная ЦКВР (Центральным конструкторским бюро редукторо-
строения).

Таблицы проф. В. Н. Кудрявцева содержат значения коэффициен-
тов и |2, сумма которых является максимально возможной при вы-
полнении изложенных выше основных требований.

Данными, приведенными в этих таблицах, нужно пользоваться
таким образом:

1.	Если 2 > й,2 > 1, то сначала в табл. 3 по заданному zx находят
коэффициент Т. Затем в табл. 4 по заданным zx и z2 находят коэффи-
циенты gj и Е2. Коэффициенты Ес и а определяют по формулам (4.13)
и (4.43). Угол зацепления а определяют по номограмме, приведенной
на рис. 26. После этого все размеры зацепления подсчитывают по фор-
мулам, приведенным в табл. 1.

2.	Если 5 > t'1,2 > 2, то сначала в табл. 5 по заданному zx находят
коэффициенты и Затем в табл. 6 по заданным гх и z2 находят
коэффициент |2. Далее поступают так, как описано в первом случае.

Табл. 7 содержит коэффициенты смещения для равносмещенного
зацепления. При подборе этих коэффициентов, помимо основных тре-
бований, выполнено требование, чтобы наибольшие значения коэффи-
циентов Zi' и 72 на ножках были достаточно малы, а также равны
между собой. При использовании табл. 7 нужно помнить, что должно
выполняться условие zc 34.

§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Вариант 1 (используют блокирующий контур). В этом случае
работу выполняют в такой последовательности:

а)	по заданным гх и z2 выбирают блокирующий контур и на нем под-
бирают коэффициенты и Е2, пользуясь указаниями параграфа 6;

б)	определяют угол зацепления а, пользуясь номограммой на
рис. 26 или формулой (4.10);

в)	определяют коэффициент обратного смещения Т, пользуясь
номограммой на рис. 35;

г)	определяют коэффициент отклонения межцентрового расстоя-
ния а по формуле (4.43);

д)	определяют размеры зацепления по формулам табл. 1;

е)	определяют коэффициент перекрытия по формуле (4.23);

ж)	вычерчивают зацепление, пользуясь указаниями § 3;

з)	строят активную часть линии зацепления, рабочие участки про-
филей зубьев, дуги зацепления и выпрямленную дугу зацепления,
пользуясь указаниями § 4;

и)	определяют коэффициент е по формуле (4.22);

к)	составляют таблицу значений коэффициентов 7^ и 72, а затем
строят прямоугольные и круговые диаграммы этих коэффициентов,
пользуясь указаниями § 5;
	Значе												
	1	1	12		L	1	14		1Е		16	1	17
	1,		5,				Е,	5.		6.	Е,		61
11	0,395	0,395											
12	0,432	0,372	0,444	0,444									
13	0,464	0,354	0,479	0,423	0,486	0,486	—-	—	—-	—	—	 "	—
14	0,490	0,341	0,515	0,400	0,524	0,462	0,525	0.525	—	—	—	—	—
15	0,513	0,330	0,543	0,386	0,557	0.443	0,565	0.506	0-571	0,571	—•	—	—
16	0,534	0,322	0,566	0,376	0,588	0,426	0,600	0.485	0,609	0,547	0,608	0.608	—
17	0,551	0,317	0,589	0,365	0,614	0,414	0,631	0,468	0.644	0,526	0,644	0,58b	0,646
18	0,568	0,312	0 609	0,358	0,636	0.405	0,661	0,452	0,677	0,508	0,678	0.566	0,683
19	0,584	0,308	0,626	0,353	0,659	0,394	0,686	0,441	0,706	0,492	0,716	0.542	0,720
20	0,601	0,303	0,646	0,345	0,676	0.389	0,706	0,433	0,371	0,481	0,744	0,528	0,756
21	0,617	0,299	0,663	0,341	0,694	0.384	0,726	0,426	0,754	0,472	0,766	0,519	0,781
22	0,630	0,297	0,679	0,337	0,714	0,376	0,745	0,419	0,775	0,463	0,793	0.507	0,809
23	—	—	0,693	0,334	0,730	0,372	0,763	0,414	0,792	0,458	0,815	0,497	0,833
24	—	—	0,706	0,333	0,745	0,369	0,780	0,409	0,813	0,449	0,834	0,491	0,856
25			—.		,	—	0,758	0,368	0,796	0,405	0,830	0,445	0,854	0,483	0,878
26			—.		—.	0,773	0,365	0,813	0,400i	0,848	0,4401	0,869	0,480]	0,898
27		—			—.							0,826	0,399	0,862	0,438	0,892	0,470	0,916
28				—			—»	—	.—	0,840	0,397	0,881	0,431	0,907	0,46/	0,936
29									0,894	0,430	0,921	0,465	0,952
30								—				—-	—	0,908	0,428	0,936	0,462	0,968
31											0,951	0,459	0,981
32												—	——	—-	—	—.	0,967	0,455	0,999
33												—	1,014
34													1,030
35													
36													
37													
38													—
39													-—
ДО													
41  42													—
43	—	—.											—-
44	—	—							—	—	—_	—	—	—	—.	—--	—
45	—.	—											—
46												—	—
47												—	~—
48															—

л)	составляют таблицу значений коэффициента у, а затем строят
диаграмму, пользуясь указаниями § 5.

Вариант 2 (используют табл. 3—7). В этом случае работа выполня-
ется в таком порядке:

а)	на основании известных и z2 и заданного преподавателем вида
зацепления (неравносмещенное, равносмещенное) находят в табл. 3—7
ние при zi

0 755
0,731

0,64 b
0,624
0,601
0,580
0,568
0,554
0,543
0,534
0,526
0,517
0,511
0,504
0,500
0,496
0,495
0,490
0,487
0,483

0,684
0,723
0,756
0,792
0,814
0,849
0,871
0,898
0,916
0,937
0,958
0,976
0,994

1,011
1,026
1,041

1,059
1,072
1,088

0,684
0,658
0,639
0,617
0,609
0,588
0,579
0,566
0,561
0,552
0,543
0,537
0,532
0,528
0,525
0,522
0,516
0,515
0,511

0,720
0,756
0,793
0,830
0,860
0,888
0,915
0,937
0,959
0 080
0,997
1,017
1,038
1,054
1,071
1,088
1,102
1,117
1,131
1,145

0,720
0,699
0,676
0,652
0,636
0,622
0,609
0,601
0,592
0,583
0,578
0,571
0,562
0,559
0,554
0,550
°,547
0,545
0,542
0,540

0,755
0,793
0,831
0,866
0,893
0,926
0,948
0,976
0,997
1,018

0,707
О 686
0,673
О 654
о’б45
О 632
О 624
0>15
0 608

0,782
0,821
0,861
0,892
0,925
0,951

0,782
0,758
0,732
0,715
0,696
0,683

0,812
0,850
0,884

0,924
О,95о

0,812
0,787
0,767
0,742

0,839
0,872
0,913

1,038 о

1,056 0 602

1,076 0,594

0,976 0,672 С,;,^
1,000 0,662 1,007
1,023 0,651 1,031

1,045 0,641

0,984

1,051

0,7290,946

0,708

0,979

0,700 1,0Ю

1,093
1,110

1,127

1,141

1,159
1,173

1,187
1,201

0,594

0 589
0,584
0,580
0,578
0,573
0,570
0,об8
0,567

1,065 0,634 1,075
1,082 0,629 1,094
1,102 0,6221,114

1,122 0,614 1,131
1,140 0,6081,154
1,157 0,603 1,172

1,171 0,601

0,689
0,681

1,03®
1,055

0,839
0,820
0,793
0,774
0,755
0,737

0,865 0,865
0,898 0,845

0,934 0,822

0,966 0,804

1,000

0,659 1,084

0,662 1,101

0,655 1,121

0,7231,033

0,718-----

0,784
0,764

0,701

1,060 0,750

1,081 0,741

0,696 1,105 0,729

0,689 ' ' - ’ -

1,127 0,720
0,678 1,1490,710

1,187

0,650 1,145	„,,<v

0,639 1,163 0,672 1 170 0,702
0,634 1,180 0,667 1,188 ---

1,186 0,599 1,204

1,201 0,595 1,222

0,631

1,200 0.659 1,206

1,218 0,653 1,223

1,218 0,591

1,231 0,589

1,247 0,586

0 626

0,6221,232 0,651 1*241

1,23з 0,621 '

1,250 0 616

0,612

1,249 0,647

0,696
0,690
0,685
0,680

1,266

1,279

1,293

0,611
0,609

1,265 0,643

1,279 0,640

1,295 0,636

1,310 0,634

1,260 0,673

1,276

1,291

1,306

1,321

1,325 0,631 1,336

1,338 0,629

1,350

0,669
0,665
0,662
0,659
0,657
0,654

1,365 0,651

1,379 0,649

Таблица 5

Значения коэффициентов V и для иеравносмещенного внешнего зацепления
при 5 > /Ь2 > 2

	н	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
	0,16 0,66	0,17 0,73	0,18 0,80	0,19 0,86	0,20 w	0,21 0,98	0,22  1,04	0,23  1,10	0,24  1,16	0,25 1,22	0,25 1,27
Значения коэффициента |2 для неравносмещенного внешнего

Таблица 6
зацепления при

*2	Значение при zt										
	и	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
25	0,442	0,425															
30	0,501	0,486	0,471	0,463														
35	0,556	0,542	0,528	0,522	0,518	0,512	0,505								
40	0,610	0,596	0,582	0,577	0,575	0,569	0,564	0,560	0,553	.		___
45	0,661	0,648	0,635	0,632	0Ж	0,624	0,620	0,616	0,611	0,606	0,566
50	0,709	0,696	0,685		0,682	0,677	0,674	0,671	0,667	0,662	0,623
55	0,754	0,745	0,734	0732	0,731	0,728	0,727	0,722	0,720	0,716	0,677
60	—	0,789	0,782	0,780	0,779	0,778	0,777	0,773	0,772	0,769	0,729
65	—	—	0,822	0,825	0,826	0,827	0,825	0,823	0,821	0,820	0,778
70	—	—	—	0,866	0,870	0,872	0,874	0,871	0,869	0,868	0,828
75	—	—	—	—	0,909	0,914	0,917	0,920	0,919	0,916	0,876
80	—	—	—	—	—	0,954	0,957	0,961	0,962	0,965	0,924
85	—	—	—	—	—	—	0,998	0,101	1,003	1,008	0,964
90	—	—	—	—	—	—	—	1,042	1,046	1,048	1,005
95				—					1,086	1,088	1,045
100										1,129	1,087
105	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	1,131

коэффициенты смещения и|2 а для неравносмещенного зацепления
также коэффициенты а и Т, пользуясь указаниями § 6;

б)	определяют угол зацепления а (для неравносмещенного зацепле-
ния), пользуясь номограммой на рис. 26 или формулой (4.10). Дальше
работа выполняется в соответствии с пунктами д, е, ж, з, и, к, л
варианта.

§ 8. «ВПИСЫВАНИЕ» В ЗАДАННОЕ МЕЖЦЕНТРОВОЕ
РАССТОЯНИЕ

В некоторых случаях задают передаточное отношение й,2, межцент-
ровое расстояние А и модуль зацепления т. Требуется «вписаться»
в заданное межцентровое расстояние А.

Прежде всего выясняют, нельзя ли так подобрать числа зубьев
zi, z2 колес, чтобы зацепление было нормальным (нулевым). Для этого
пользуются формулами:

т (z'i + г'2)

А =-----------х--------:

(4.44)

Й,2

г1

(4.45)
- Таблица?

Значения коэффициента S =	= Вз > 0 для равносмещенного внешнего зацепления с выравненными коэффициентами

относительного скольжения

	Значение при г.											
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
17		—	—	—	—	—	0,000	—	—	—.	—	—
18	—	—	*—•	—	—	0,060	0,032	0,000	—	—	—	—
19	—	—	—	——	0,124	0,094	0,060	0,030	0,000	—	—	—
20	—	—	—-	0,182	0,159	0,120	0,086	0,056	0,027	0,000	—	—
21	—	—	0,241	0,220	0,181	0,144	0,110	0,080	0,052	0,025	0,000	—
22	—	0,300	0,283	0,239	0,201	0,165	0,131	0,101	0,073	0,047	0,023	0,000
23	0,358	0,343	0,299	0,256	0,219	0,183	0,149	0,119	0,092	0,067	0,043	0,021
24	0,400	- 0,350	0,313	0,271	0,235	0,199	0,165	0,136	0,109	0,085	0,062	0,041
25	0,400	0,350	0,326	0,285	0,248	0,213	0,180	0,151	0,125	0,101	0,079	0,058
26	0,400	0,350	0,337	0,297	0,260	0,226	0,191	0,168	0,138	0,115	0,094	0,073
27	0,400	0,350	0,347	0,308	0,271	0,238	0,205	0,178	0,152	0,128	0,107	0,087
28	0,400	0,350	0,356	0,318	0,281	0,249	0,216	0,189	0,163	0,140	0,119	0,100
29	0,400	0,350	0,364	0,327	0,291	0,258	0,226	0,199	0,173	0,150х	0,130	0,111
30	0,400	0,350	0,372	0,335	0,300	0,266	0,235	0,208	0,183	0,160	0,140	0,122
31	0,400	0,350	0,379	0,343	0,308	0,274	0,243	0,216	0,192	0,170	0,150	0,132
32	0,400	0,350	0,385	0,350	0,315	0,282	0,251	0,224	0,200	0,178	0,159	0,141
34	0,400	0,350	0,390	0,363	0,329	0,296	0,265	0,238	0,215	0,194	0,175	0,158
о

Продолжение табл. 7

Z2	Значение при											
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
36	0,400	0,350	0,390	0,375	0,341	0,309	0,279	0,253	0,230	0,210	0,191	0,174
38	0,400	0,350	0,390	0,385	0,353	0,322	0,293	0,266	0,246	0,226	0,207	0,190
40	0,400	0,350	0,390	0,395	0,363	0,333	0,306	0,282	0,260	0,240	0,222	0,225
44	0,400	0,350	0,390	0,409	0,378	0,350	0,325	0,301	0,280	0,260	0,242	0,225
48	0,400	0,350	0,390	0,422	0,392	0,366	0,341	0,319	0.297	0,277	0,260	0,243
52	0,400	0,350	0,390	0,430	0,404	0,378	0,354	0,332	0,312	0,292	0,275	0,252
56	0,400	0,350	0,390	0,430	0,414	0,399	0,364	0,343	0,324	0,305	0,287	0,271
60	0,400	0,350	0,390	0,430	0,423	0,397	0,374	0,353	0,334	0,316	0,299	0,283
66	0,400	0,350	0,390	0,430	0,435	0,409	0,388	0,366	0,349	0,331	0,315	0,300
72	0,400	0,350	0,390	0,430	0,445	0,421	0,398	0,378	0,361	0,344	0,328	0,313
78	0,400	0,350	0,390	0,430	0,454	0,430	0,407	0,387	0,370	0,353	0,336	0,320
84	0,400	0,350	0,390	0,430	0,459	0,436	0,414	0,394	0,376	0,360	0,344	0,328
90	0,400	0,350	0,390	0,430	0,460	0,440	0,419	0,400	0,382	0,365	0,350	0,335
96	0,400	0,350	0,390	0,430	0,460	0,446	0,425	0,406	0,388	0,370	0,355	0,340
100	0,400	0,350	0,390	0,430	0,460	0,448	0,428	0,408	0,390	0,373	0,357	0,342
105	0,400	0,350	0,390	0,430	0,460	0,450	0,431	0,411	0,393	0,376	0,361	0,346
НО	0,400	0,350	0,390	0,430	0,460	0,452	0,433	0,414	0,396	0,379	0,364	0,350
Решая совместно уравнения (4.44) и (4.45), получают значения г’,
Z2. Если эти значения оказались целыми числами, то задача решена.
Если же оба значения (или даже одно из них) оказались неправильны-
ми дробями, то оставляют только целые числа и в пределах этих чисел
подбирают Zi и г2 так, чтобы они удовлетворяли равенству (4.45).

Далее можно применить два способа: аналитический и графоанали-
тический.

Аналитический способ. 1. Подсчитывают по формуле
л m(Zi + z?) _ mzc
^о—	2	— 2 '

2.	Определяют по формуле коэффициент

3.	Определяют угол зацепления а по формуле

(4.46)

(4.47)

(4.48)

(4.49)

(4.50)

4.	Определяют по формуле

Р  гс (inv а — inv а0)

5.	Определяют по формуле

6.	Для разбивки найденного коэффициента gc на слагаемые gx и g2,
удовлетворяющие всем перечисленным ранее требованиям, находят
в справочнике блокирующий контур для чисел зубьев zx и г2, чертят
в осях и g2 прямую, образующую с осями углы 45° и соответствую-
щую найденному значению gc (прямая qq на рис. 34), выбирают на этой
прямой точку внутри блокирующего контура и определяют коэффи-
циенты смещений gx и g2.

7.	После этого подсчитывают все размеры зубчатого зацепления,
пользуясь формулами (табл. 1), затем вычерчивают зацепление, руко-
водствуясь указаниями §§ 3—5.

Графоаналитический способ. Пункты 1 и 2 совпадают с такими же
пунктами для аналитического способа.

3.	По номограмме (рис. 35, б) находят коэффициент Т.

4.	Определяют коэффициент по формуле

gc = « + 4f-	(4-51)

5.	По номограмме (рис. 26) находят угол а. Пункты 6 и 7 совпадают
с такими же пунктами для аналитического способа.
'глава V

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ
ВНУТРЕННЕГО, КОСОЗУБОГО,
РЕЕЧНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЙ
И КОНИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

§ 1.	ВНУТРЕННЕЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

Рассмотрим геометрический синтез только нулевого внутреннего
зацепления. В этом зацеплении (рис. 36) центры зубчатых колес рас-
положены по одну сторону от полюса Р зацепления, что приводит,
в отличие от внешнего зацепления, к сопряжению выпуклого профиля
меньшего колеса с вогнутым профилем большего.

Рис. 36

Все размеры зацепления определяют по формулам крайней правой
графы табл. 1, за исключением Rt2, Ре2 и А, которые подсчитываются
по следующим формулам:

Я», = гДг + т (f0 ф- с');	(5.1)

Re2 = Rt2-h;	(5.2)

А = т(гг~г1) .	(5.3)

Построение профилей зубьев, активной части линии зацепления,
выпрямленной дуги зацепления и рабочих участков профилей произ-
водят так же, как и для внешнего зацепления. е

Коэффициент перекрытия е определяется по формуле (4.22). Для
его предварительного определения пользуются следующей формулой:

Е	=	+ AsitIa°.	(5.4)

tnst cos а0
(5.5)

Коэффициенты относительного скольжения подсчитывают по фор-
мулам:

^1 = 1 — «2.1--— • fe,iJ

^2 = 1 -Й,2 + ’е Ц1 ~ ' Й.2,

где е = NrN2, мм (рис. 36);

х — расстояние от точки Л\ касания линии AZXAZ2 с основной
окружностью первого (меньшего) колеса, отсчитанное в направ-
лении к точке Р.

Таблица 8

Значения коэффициентов Хх и Х2

X	0			NAP			+ со
Хх	— СО			0			1 — *2.1
	1			0			1 — *1.2

При составлении табл. 8 значений коэффициентов Хх и Х2 нужно
иметь в виду, что х в данном случае можно изменять в границах от О
до со. При этом значения коэффициентов и Х2 будут асимптотически
приближаться соответственно к значениям 1 — t2,i и 1 — ti,2. При
подсчете значений Хх и Х2 достаточно ограничиться изменением х (с ин-
тервалами 10—30 мм) от 0 до его значения, немного превышающего
AZxa.

Построение прямоугольных и круговых диаграмм для Хх и Х2 про-
изводится так же, как при внешнем зацеплении.

Выполнение работы по геометрическому синтезу внутреннего ну-
левого зацепления можно производить в последовательности, приве-
денной в § 7 гл. IV, если учесть следующие изменения:

1)	исключить пункты а, б, в и г;

2)	в пункте д принять во внимание формулы (5.1), (5.2), (5.3);

3)	в пункте е вместо формулы (4.23) использовать формулу (5.4);

4)	в пункте к помимо указаний, приведенных в § 7 гл. IV, исполь-
зовать указания, приведенные в настоящем параграфе.

§ 2. КОСОЗУБОЕ ВНЕШНЕЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

В косозубом зацеплении оси колес Параллельны. Боковые поверх-
ности зубьев каждого из колес являются эвольвентными винтовыми
поверхностями, которые в пересечении с основным, делительным и
начальным цилиндрами этого колеса, а также с любыми другими со-
осными цилиндрами дают винтовые линии, имеющие один и тот же шаг,
но наклоненные к оси колеса под разными углами. Угол, который
образует с осью колеса винтовая линия, лежащая на поверхности дели»
тельного цилиндра, обозначают через 0Д. Два косозубых колеса, об-
разующих зубчатое зацепление, имеют одинаковые углы скручивания,
но направление винтовых линий у них разное: у одного колеса правое,,
у другого — левое. Если колеса, образующие косозубое зацепление,
пересечь плоскостью, перпендикулярной к осям, то в сечении получится
эвольвентное зацепление (торцовое), о параметрах которого будет ска-

зано ниже.

Косозубые колеса изготовляют при помощи инструментальной рей-
ки (рис. 24), причем движение обкатки осуществляется перекатыва-
нием одной из делительных плоскостей

рейки по делительному цилиндру колеса
(так же, как при изготовлении колес с
прямым зубом). Однако рабочее возврат-
но-поступательное движение, при кото-
ром снимается стружка, происходит не
параллельно оси изготовляемого колеса
(как при изготовлении прямозубых ко-
лес), а под углом рд к этой оси. При
этом рейка нарезает на делительном ци-

линдре обрабатываемого колеса нор-
мальный шаг tn (рис. 37), равный ее шагу t. Если рейку пере-
сечь плоскостью, параллельной торцовой плоскости обрабатываемого
колеса, то получатся размеры рейки, формирующие зубья колеса в тор-
цовом сечении. Основные размеры рейки и колеса в их станочном
торцовом зацеплении будут:

COS рд ’	(5-6)

ms

т

созрд ’

tg«os

tg«o
соврд •

(5.7)

(5-8)

Здесь ms, ts, соответственно торцовый модуль, торцовый шаг
и угол зацепления колеса и рейки в торцовом сечении.

На рис. 37 изображена схема нормального (нулевого) косозубого
зацепления двух колес.

Угол рд берут в пределах 8—25°.

При исправлении косозубого зацепления коэффициенты и g2
выбирают, руководствуясь изложенными в § 6 гл. IV соображениями,
но не для действительных чисел зубьев и z2, а для чисел зубьев \
и гг на «эквивалентных колесах», которые подсчитывают по формулам:

г' =_____fl___•

1	cosS рд ’

2	— __-___.

2 COS3 рд

(5.9)

(5.10)
Коэффициенты ^is; и а, для торцового сечения зубчатого
зацепления определяются по формулам:

и = £1со:;₽д;	(5-п)

E2s = cos Рд>	(б-1 2)

U = ^ + U;	(5-13)

Ts = ¥cos0fl;	(5.14)

«s = gcs- Ts.	(5.15)

После этого все размеры зубчатого зацепления можно подсчитать
по формулам табл. 1, если в них вместо т\ «0; /; gx; g2; а\ Т вставить со-
ответственно т$, ts; gis и ?2s, подсчитанные по формулам (5.6) —
— (5.8) и (5.11) — (5.15). Помимо этого нужно в формулы табл. 1
вместо со и /о вставить cos и fos, подсчитанные по формулам:

cos = сос05₽д>	(б-16)

Fos= /осоэрд.	(5.17)

Угол зацепления as колес в торцовом сечении определяют по форму-
ле (4.10), которая перепишется в данном случае так:

inv а = 2gcstga°s + inv aOs.	(5.18)

?c

Здесь

zc = z1 + z2.	(5.19)

При подсчете по формуле (5.18) нужно воспользоваться обязательно
таблицами инволют.

Остановимся на преимуществах, которыми обладает косозубое за-
цепление по сравнению с прямозубым. Первое преимущество заклю-
чается в увеличении коэффициента перекрытия косозубого зацепления
по сравнению с коэффициентом перекрытия такого же прямозубого
зацепления. Это увеличение связано с тем, что в косозубом зацеплении
к обычной длине kx дуги зацепления добавляется длина k2 вследствие
смещения торцовых профилей одного и того же зуба по отношению
друг к другу.

Коэффициент перекрытия е для косозубого зацепления подсчиты-
вают по формуле

е = ех 4- е2 = -—~----Н —	,	(5.20)

112 ts cos aos lts	'	’

где

/ — длина активной части линии зацепления в торцовом сечении;
Ь — толщина зубчатого колеса;

ех — обычный коэффициент перекрытия (торцовый);

е2 — добавочный коэффициент перекрытия (осевой).

Второе преимущество косозубого зацепления заключается в возмож-
ности значительно уменьшить минимальное число зубьев на меньшем
колесе, при котором исключается возможность подрезания зубьев при
изготовлении колеса инструментальной рейкой. Это обстоятельство
позволяет сделать зубчатую передачу более компактной. Приводим без
вывода формулу, по которой можно определить zimm для косозубой
передачи при нарезании колес рейкой с профильным углом а0, рав-.
ным 20°:

Zimm = 17СО33РД.	(5.21)

В табл. 9 приведены значения гщщ, подсчитанные для ряда значе-
ний угла скручивания рд в градусах.

На основании заданных т, zx, z3, рд и типа зацепления (неравно-
смещенное, равносмещенное, нулевое) геометрический синтез косозу-
бого внешнего зацепления производят в такой последовательности:

1)	подсчитывают по формулам (5.9) и (5.10) числа zi и z>. зубьев
эквивалентных колес;

Таблица 9

Зависимость zt mjn от угла скручивания

₽«	12	16	21	25	28	32	35	38	41	44	47
	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6

2)	находят в табл. 3—7 или с помощью блокирующих контуров
коэффициенты для чисел зубьев zi и Zi, воспользовавшись методикой,
описанной в § 6 гл. IV;

3)	по формулам (5.11) — (5.17) определяют соответствующие коэф-
фициенты для торцового сечения;

4)	по формулам табл. 1 вычисляют все размеры зацепления в тор-
цовом сечении, пользуясь указаниями, сделанными выше;

5)	определяют угол зацепления as по формуле (5.18);

6)	вычерчивают зубчатое зацепление в торцовом сечении, руковод-
ствуясь указаниями § 3 главы IV;

7)	строят активную часть линии зацепления, рабочие участки про-
филей зубьев, дуги зацепления, выпрямленную дугу зацепления, вос-
пользовавшись указаниями, приведенными в § 4 гл. IV;

8)	определяют коэффициент перекрытия по формуле (5.20);

9)	составляют таблицу значений коэффициентов Хх и Х2, а затем
строят прямоугольные и круговые диаграммы для этих коэффициентов
в соответствии с указаниями, приведенными в § 5 гл. IV.

§ 3. РЕЕЧНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ

Реечное зацепление, изображенное на рис. 38, применяется для пре-
образования вращательного движения в прямолинейное поступатель-
ное. При числе zx зубьев на колесе больше 17 применяется нормаль-
ное (нулевое) реечное зацепление, а при гг < 17 — исправленное.
Размеры зацепления подсчитывают по формулам:

а0 = 20°; t = пт; rRl=t\ = -^;

rOt = гД1 cos а0; 8Д, = -^- + 2Hi^ tg а0; hr, = (/0 + m;

Ьщ = (fo + < — li) m-,	= (2f0 -J- c'o — tn;

R‘t — ГРл (fo + CQ — 51) Re, = Гд, + (fo + 51 — ^1) m;

4 = 4" tg a0; hr, = (f0 — EJ m;

h», = (fo + < + 5i) tn; h2 = (2f0 + c'o) tn.

Рис. 38

Коэффициенты Ei и
В. Н. Кудрявцевым. Если

берут из табл. 10, предложенной проф.
21 > 17, то Е1 = ^! = 0.

Таблица 10

Значения коэффициентов 4rj и Ei для реечного зацепления

«1	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	0,76	0,78	0,44	0,42	0,40	0,37	0,35	0,33	0.31
	0,24	0,20	0	0	0	0	0	0	0

Когда зацепление вычерчено, то коэффициент перекрытия определя-
ют по формуле (4.22). Для его предварительного подсчета используют
формулу

2 (1^ & — sin “о — гД1 sin2 а0 + А )
g —	1 ,	1	___________________ ,

тп sin 2а0

(5.23)
Коэффициенты относительного скольжения и Х2 определяют
по формулам:

= 1

•Д1 sin а0
х

Z2 = 1---------£----,

2	ГД1 Я" а0 ’

(5.24)

гдех отсчитывают отточки Л\ внаправлении к точке Р. При составлении
табл. Н значений коэффициентов и Х2 величину х можно менять
в границах от 0 до сю. При этом кривая асимптотически приближает-
ся к прямой X — 1. Диаграмма для коэффициента Х2 является прямой
линией. При подсчете значений^ достаточно изменять х (с интервала-
ми 10—30 мм) от 0 до значения, немного превышающего Nta.

Таблица 11

Значения коэффициентов и Л2

X	0						+ ОО
Ьг	— ОО			0			1
Х2	1			0			— ОО

Работу следует выполнять в соответствии с указаниями § 7 главы

IV (вариант 1), внеся такие изменения:

1)	пункты а, б, в, г и л — пропустить;

2)	в пункте д использовать вместо табл. 1 формулы (5.22);

3)	в пункте е использовать формулу (5.23);

4)	в пункте к использовать формулы (5.24) и указания настоящего
параграфа.

§ 4. КОНИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ КОЛЕСА

Конические зубчатые колеса (рис. 39) применяют для передачи вра-
щательного движения между пересекающимися осями. Передаточное
отношение й.з будет сохраняться постоянным в том случае, если на-
чальные конусы будут катиться один по другому без скольжения.
Для этого достаточно, чтобы скорости точек соприкасания, принадле-
жащих обоим конусам, были равны между собой, т. е.

vp, = vp!! = “1 ' PiC = ®2 ' P2D-

Поэтому передаточное отношение

й,2 =	= —

Ша Г1

(5.25)
Все основные размеры конического колеса принято относить к на-
ружному торцу. Из треугольников ODP и ОСР следует:

г2   sin S2	'

г,	sin £>! ’

откуда

sin62
sin 6r ‘

(5.26)

i _	_

Для определения углов 6Х и 62 конусности начальных конусов вос-

пользуемся равенством

62 = 6 — fij.

После подстановки в форму-
лу (5.26) значения 62 получим

^ = 7^6-- (5'27>

Точка касания зубьев, оста-
ющаяся во все время вращения
конических колес на постоян-
ном расстоянии ОР от точки О,
находится на поверхности сферы
радиуса ОР = Р. С колесом 1
точка Р описывает на этой сфе-
рической поверхности окруж-
ность радиуса СР с центром в
точке С, а с колесом 2 та
же точка Р описывает на той
же поверхности окружность

Рис. 39

радиуса DP с центром в точке D.
дет совершать любая другая точка Рг

Аналогичное движение бу-
касания зубьев, остающаяся

все время на сферической поверхности радиуса ОРг. Поэтому точные
профили зубьев сопряженных конических колес следовало бы строить
на сферических поверхностях с центром в точке О, имеющих соответ-
ственные радиусы ОР, ОРг и т. д. По аналогии с эвольвентными профи-
лями на плоскости на сферической поверхности могут быть построены
сферические эвольвентные профили.

Таким образом, точная теория зацепления конических колес сво-
дится к изучению условий зацепления двух сопряженных криволиней-
ных контуров, начерченных на поверхности сферы. Однако профилиро-

вание точного эвольвентного конического зацепления представляет
собой целый ряд практических трудностей, так как сферическая поверх-
ность не развертывается без искажения на плоскость, а выполненный
профиль трудно было бы осуществить в производстве.

Поэтому на практике при построении профилей зубьев заменяют
сферическую поверхность радиуса R поверхностями двух дополнитель-
ных конусов; эти конусы касаются указанной сферической поверхности
по окружностям, проектирующимся на плоскость проекций Q,
содержащую оси начальных конусов в виде прямых РСА и PDB.

Получаемая при этом на развертках дополнительных конусов
пара цилиндрических колес имеет основные параметры зацепления,
весьма близкие к параметрам заменяемой пары конических колес.
Ввиду того, что высота h зуба конического колеса незначительна по
сравнению с радиусом R сферы, неточность, происходящая от замены
сферической поверхности поверхностями дополнительных конусов,
весьма невелика. Таким образом, сложная задача построения про-
филей на сферической поверхности условно сводится к приближенно-
му, но простому графическому решению этой задачи на плоскости.

На рис. 39 проекции начальных конусов на плоскость проекций Q
изображаются в виде треугольников ОАР и ОВР. При точном постро-
ении профилей зубьев на поверхности сферы конус головок зубьев
колеса 2 будет проектироваться на плоскость Q в виде треугольника
Оаа, а конус ножек зубьев в виде треугольника Obb. Дуги ab, распо-
ложенные на проекции сферы радиуса R, представляют собой при точ-
ном профилировании сечения торцовых поверхностей зубьев плос-
костью проекций. Конусы, на поверхности которых будут лежать
торцовые поверхности приближенных профилей зубьев, должны ка-
саться сферы по начальным окружностям, поэтому для построения
проекций этих конусов через точку Р (рис. 39) проводим перпендику-
лярно РО прямую О]О2, в пересечении которой с осями начальных
конусов получим вершины Ох и О2 искомых дополнительных конусов.
Треугольники АРОг и ВРО2 будут представлять собой проекции до-
полнительных конусов первого и второго колес. Соответствующие
сечения торцовых поверхностей зубьев вместо кривых ab будут изо-*
бражаться прямыми расположенными на дополнительных конусах.
Заменяя сферу в пределах построения сферических профилей поверх-
ностью дополнительных конусов (рис. 39) с вершинами в точках Ог
и О2 (кривая ab заменена прямой допускаем незначительную
ошибку. Эта ошибка будет тем меньше, чем больше будет отношение
радиуса сферы к модулю зубьев. Так как дополнительные конусы мо-
гут быть развернуты на плоскость, то построение профилей торцовых
поверхностей зубьев не встретит никаких затруднений.

На рис. 39 дополнительные конусы 0}АР и 02ВР развернуты
на плоскость. Эти развернутые конусы изображаются дугами EPF и
KPL окружностей радиусов л и г2 с углами и р2 зубчатых
секторов:

, 2лг. о 2лг,

>1 =--А- И 02=—^.

Г1	г2

(5.28)

Так как начальные окружности конических колес лежат на допол-
нительных конусах, то при развертке этих конусов шаг и модуль за-
цепления остаются без изменения. Поэтому дуги окружностей радиу-
сов л и /*2 могут быть приняты за начальные окружности с центрами
в точках 0х и 02 цилиндрических колес, шаг и модуль зацепления
которых одинаковы с шагом и модулем конических колес. Эти цилин-
дрические колеса называются эквивалентными цилиндрическими
зубчатыми колесами. Далее по общим правилам, указанным выше, на по-
лученных начальных окружностях эквивалентных колес строим эволь-
вентные профили зубьев. Для определения коэффициента перекры-
тия е, скорости скольжения и других параметров конической переда-
чи можно использовать формулы для эквивалентных цилиндрических
зубчатых колес. При этом в указанные формулы нужно подставлять
числа zi и z> зубьев, соответствующие полной длине начальных окруж-
ностей радиусов л и г2 на развернутых дополнительных конусах,
так как они определяют профили зубьев. На неполных же окружностях
разверток разместится то же число zx и z2 зубьев, что и на соответст-
вующих конических колесах. Формулы, определяющие соотношения
между числами зубьев zx, z2 и zi, z> легко вывести, рассмотрев рис. 39.

Имеем

-Д — cos6x и -Д = cos62.

Л	г2

Из условия, что модуль зацепления т будет общим для зубчатых
секторов и колес, получаем

-Д = cos 6Х и -Д = cos 62,

г,	z2

откуда

/	«ci	/	Z-o

z. = —V и z„ = —%-.

1 cos ох 2 cos о2

(5.29)

Таким образом, зацепление пары конических зубчатых колес с числами
zx и z2 зубьев, углом зацепления а и модулем т можно приближенно
заменить зацеплением пары эквивалентных цилиндрических колес
с большими числами zi и zi зубьев и теми же а, т.

В практике машиностроения широкое распространение получили
конические колеса не только с прямыми зубьями, но и с зубьями дру-
гих форм (косые зубья, зубья в форме круговых дуг и др.). При нареза-
нии конических колес по методу обкатки путем придания режущему
инструменту различных движений можно получить различные формы
зубьев.

Геометрические расчеты исправленного зацепления прямозубых
конических колес производят на тех же основаниях, что и эквива-
лентных цилиндрических зубчатых колес, образованных путем раз-
вертки дополнительных конусов на плоскость. Исправление можно
выполнять как в виде неравнесмещенного зацепления (угловая коррек-
ция) при гс.э = гы + Z29 < 60, так и в виде равносмещенного зацеп-
ления (высотная коррекция) при гс.э > 60. При малых значениях сум-
мы гс.э чисел zj3 и Z2a зубьев эквивалентных цилиндрических колес
высотная коррекция не применяется.
ГЛАВА VI

МЕТОДЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ

§ 1. ЗАДАЧА КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ

Задача кинематического исследования механизма состоит в опре-
делении:

1)	положений механизма в различные моменты времени;

2)	траекторий некоторых точек звеньев;

3)	величины и направления линейных скоростей и ускорений точек»,
угловых скоростей и ускорений звеньев.

Для механизмов с одной степенью подвижности задаются законом
движения одного из звеньев, обычно главного вала машины. Это звено
называют ведущим.

Определение перечисленных кинематических характеристик про-
изводится в пределах одного периода (цикла) установившегося движе-
ния механизма для нескольких положений, что дает возможность
с достаточным приближением решить поставленную задачу. Без зна-
ния упомянутых кинематических параметров конструктор не может
решать дальнейшую задачу о рациональном подборе размеров. Так,
например, траектории некоторых точек механизма нужны для опре-
деления хода звеньев, очертания контура машин, а также для уста-
новления соответствия движения рабочих звеньев машины правиль-
ной последовательности технологического процесса.

В некоторых машинах (в долбежных и строгальных станках) не
допускаются большие изменения скорости рабочего звена, так как"
от этого зависит стойкость режущего инструмента. Из сказанного вид-
на необходимость знания скоростей точек некоторых звеньев и умения
для наглядности удобно представлять их в виде графиков.

С помощью планов скоростей определяют приведенную массу
(без знания которой нельзя определить момент инерции маховика),
закон движения машины и т. д.; планы ускорений нужны для нахож-
дения сил инерции звеньев.

Кинематическое исследование механизмов производят в предпо-
ложении, что ведущие звенья вращаются с постоянной угловой ско-
ростью, несмотря на то, что в действительности угловая скорость вра-
щения кривошипа не является постоянной. Такое допущение делается
ввиду небольшого расхождения между средней и действительной
угловой скоростью кривошипа, а также технически облегчает построе-
ние планов ускорений.

Рассмотрим построение планов положений, скоростей и ускорений
механизмов II и III классов (по классификации И. И. Артоболевского).

§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА

Для решения этой задачи должны быть заданы:

1)	кинематическая схема механизма;

2)	закон движения ведущего звена.
Пусть требуется определить положения механизма (кинематическая
схема его изображена на рис. 40, а) через равные промежутки времени
движения ведущего звена ОД, если заданы координаты неподвижных
точек О, С и положение оси направляющей х—х, расположенной
в плоскости чертежа, длины звеньев Iqa, Iab, 1св и 1De. Примем, что
ведущее звено ОА вращается с постоянной угловой скоростью.

Построив структурную схему (рис. 40, б), устанавливаем, что дан-
ный механизм следует отнести к механизмам II класса, так как к на-
чальному механизму 0—1 при-
соединены две двухповодко-	Jie

вые группы: 2—3 и 4—5.	р хШ

По заданным координатам /7	/ \\

определяем на чертеже поло-	// uV/'*3

жение неподвижных точек О,	‘	'

С и направляющей х—х. За- д..
тем проводим окружность ра-
диуса ОА и отмечаем на ней
несколько положений (Дх,
А2, ..., Л8) точки А ведущего
звена, для которых требует-
ся определить положение всех
звеньев механизма. Положе-
ния остальных звеньев меха-
низма, соответствующие за-

данным положениям ведуще-	рис 40

го звена ОА, определяем ме-

тодом засечек. Точка В движется по дуге окружности р—Р ра-
диуса СВ и всегда находится на этой дуге. Ее положение Blt
соответствующее заданному положению звена OAlt получим на пересе-
чении дуги р—р с дугой окружности 6—6 радиуса АВ, описанной
из точки Дх. Соединив точку Вх с точками Лх и С, получим положение
звеньев 2 и 3 первой структурной группы.

Для построения положения звеньев 4—5 второй структурной груп-
пы отметим на звене ЛХВХ положение центра шарнира Dr. Положение
точки £х движущейся по оси х—х, получим на пересечении оси х—х
с дугой окружности у—у радиусом DE, описанной из точки £>х. Со-
единив точку£)хс точкой Ех, получим положение поводка DrEr и пол-
зуна Elt составляющих вторую присоединенную группу.

При вычерчивании нужно указать числовой масштаб чертежа.
Напомним, что под масштабом понимают число, показывающее, ско-

лько единиц некоторой величины изображает один миллиметр чер-

тежа.

Условимся действительные длины звеньев обозначать буквой I
с индексами названия звена, т. е. 10а; 1ав; 1св и т. д., а длины этих же
звеньев, отложенные на схеме в масштабе, через О А, АВ, СВ
и т. д.

Тогда, очевидно, масштаб чертежа можно выразйть, поделив дей-
ствительную величину на длину отрезка в мм, изображающего эту
величину на чертеже, т. е.

1оа 1ав
™— ОА ~ АВ

(6.1)

Линейные масштабы схем должны соответствовать ГОСТ 2302-68
на линейные размеры.

В дальнейшем все масштабы будем обозначать буквой р с индек-
сом величины, изображаемой на чертеже, например, р/ — масштаб
длины, pt, — масштаб скорос-
тей, рж — масштаб ускорений.
Соответственно их размернос-
ти будут:

[pz] = м/мм;

[Pt,] = м • сек.-1/мм;

[рю] = м  сек-2/мм.

Рассмотрим еще один при-
мер. На рис. 41, а, б изобра-
жены соответственно кинема-

Рис. 41	тическая и структурная схе-

мы кулисного механизма III
класса. В его состав, кроме начального механизма, состоящего
из стойки и ведущего звена О АВ, входят: а) трехповодковая группа у
с базисным звеном 5 и поводками 2, 3, 4; б) двухповодковая группа
6—7. Требуется определить положение золотникового штока 7 при
повороте ведущего звена ОАВ на угол ф.

Начертим ведущее звено в новом положении ОА^В^. Точка С в но-*-
вом положении будет находиться на дуге а—а, описанной из точки Аг
радиусом ACi, точки D — на дуге 0—0, описанной из точки Вх радиу-
сом BD, и точка Е — на дуге 6—6 радиуса GE, описанной из точки G.

Далее изготовим шаблон в форме базисного звена CDE и будем
передвигать его на чертеже так, чтобы его точки Сх и £)х все время на-
ходились на кривых а—а и 0—0. Тогда точка Е шаблона опишет не-
которую траекторию у—у, пересечение которой с дугой 6—6 опреде-
лит новое положение Ех точки Е. После этого методом, изложенным
в первой задаче, определим положения всех звеньев механизма, изо-
браженные на рис. 41, а штриховыми линиями.

§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК
МЕХАНИЗМА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАЙНИХ ПОЛОЖЕНИЙ
ВЕДОМОГО ЗВЕНА

Построение траектории точки производят в такой последователь-
ности:

1)	вычерчивают механизм в нескольких положениях в пределах
одного цикла его работы;

2)	в начерченных положениях механизма отмечают положения точ-
ки, траектория которой должна быть построена;
3)	найденные положения точки соединяют последовательно между
собой плавной кривой.

На рис. 42, а приведен пример построения траектории точки С,
принадлежащей шатуну АВ четырехзвенного механизма ОАВОг.

Задавшись рядом положений точки А на окружности а, определяем
соответствующие положения точки В. Положение точки С определяем,

Рис. 42

делая засечки на прямых Л,, Ви А2В2... дугами радиуса АС из точек Аъ
А2, А3... Соединив последовательно полученные точки Со, Сх,..., С7 плав-
ной кривой, получим траекторию точки С за один оборот кривошипа.

В некоторых случаях траекторией точки является дуга кривой,
по которой она двигается сначала в одном, а затем в обратном направ-
лении. Расстояние между крайними положениями точки на ее траек-
тории в этом случае называют ходом точки. На рис. 42, а траекторией
точки В является дуга окружности радиуса О^В, а на рис. 42, б —
отрезок прямой В0В4. Крайние положения Во и .точки В соответст-
вуют тем положениям механизма, при которых шатун АВ и кривошип
ОА лежат на одной прямой; эти крайние положения можно определить,
делая засечки на траектории точки В из центра вращения кривошипа
дугами радиусов (АВ 4- ОА) и (АВ — ОА). В большинстве случаев
бывает полезно за начальное (нулевое) положение механизма выбирать
то его положение, в котором ведомое звено занимает одно из крайних
положений.

Иначе определяют ход точки звена в более сложных случаях.
Определим, например, ход поршня D (рис. 42, в).

Построив траекторию точки С, делаем на ней засечки дугами Г,
2', 3', ..., 11' радиуса DC из произвольно выбранных положений 1,
2, ..., 11 точки D.

Через середины дуг Г, 2', ..., 11' проводим кривую С'С" и полу-
чаем точки С и С" ее пересечения с траекторией точки С.

Засекая траекторию точки D дугами радиуса CD с центрами в точ-
ках С и С", получим крайние положения D', D" точки D.

Расстояние D' и D" равно ходу Н ползуна D.

§	4. ПОСТРОЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ДИАГРАММ

Кинематическая диаграмма представляет собой графическое изо-

бражение изменения одного из кинематических параметров (переме-
щения, скорости и ускорения) точки либо звена исследуемого механизма

Рис. 43

в функции времени, угла
поворота или перемещения
ведущего звена этого меха-
низма.

Пусть требуется пост-
роить кинематическую диа-
грамму изменения рассто-'
яний точки С ползуна ме-
ханизма строгального стан-
ка (рис. 43) от ее левого
крайнего положения Со.

Кривошип ОА вращает-
ся с постоянной угловой
скоростью, равной обо-
ротов в минуту.

Для этого:

1)	вычерчиваем схему
механизма в масштабе р/
в нескольких, например,‘
двенадцати положениях,
соответствующих последо-
вательным поворотам кри-
вошипа ОА на 30°. За на-

чальное положение кривошипа принимаем ОАо, при котором ползун
С занимает крайнее левое положение Со;

2)	строим оси координат sc — t (рис. 44, а) и на оси абсцисс откла-
дываем отрезок I = 00 в мм, изображающий время одного полного
оборота кривошипа в масштабе р<.
Тогда

(6-3)

60	,

pz = -j- сек/мм.

Отрезок I делим на 12 равных частей и в соответствующих точках
1, 2, 3... по оси ординат откладываем расстояния sc„ sc,, пройден-
ные точкой С от ее крайнего левого положения Со.

До крайнего правого положения Ст расстояния возрастают, а на-
чиная с положения Ст, они будут уменьшаться; когда кривошип
придет в начальное положение Ао, ордината кривой (вс— t) будет
равна нулю;

3)	соединяем последовательно плавной кривой полученные точки
О, Г, 2', 3’, ... . Полученная кривая и будет диаграммой расстояний
точки С (рис. 44, а).

При построении кривой пути, пройденного точкой С, нужно,
начиная от положения 7', к ординате прибавлять расстояния СтСв;
СтСд и т. д.; на рис. 44, а часть этой кривой показана штриховой ли-
нией.

Если величины расстояния sCx; sC2; sCs... откладывать прямо со схе-
мы (рис. 43), то масштаб р$ диаграммы (sc — t) будет равен р,/; если же
эти расстояния приходится уменьшить в т раз; то р$ соответственно
увеличивают в т раз, т. е.

P's = m^i-	(6.4)

При равномерном вращении кривошипа можно считать, что по оси
абсцисс отложено не время t, а путь точки А; при этом масштаб
по оси

pz = —-— м/мм,	(6.5)

где значение I должно быть взято с чертежа, мм.

Если же по оси абсцисс откладывать углы поворота кривошипа <р,
отсчитывая их по ходу часовой стрелки от начального положения ОАо,
то данная диаграмма представит функциональную зависимость sc =
= sc (ф) и масштаб по оси абсцисс

рф =	1/мм.	(6Аа)

§ б. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
МЕТОДОМ ГРАФИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Для построения диаграммы скорости (цс — 0 поступаем так:

1)	под диаграммой (sc — t) строим оси координат Охис, Ort
(рис. 44, б) и на продолжении оси Oyt влево откладываем отрезок Оур =
= Ну мм;

2)	из точки р проводим лучи pl; р2; рЗ, ... параллельно хордам
кривой (sc— 0 на участках ОТ; Г2'; 2'3'...

Эти лучи отсекут на оси Охис отрезки Oxj; Оу2; ОуЗ, ..., пропорцио-,
нальные средней скорости vc на соответствующем участке диаграммы;,
3) отложим эти отрезки на средних ординатах соответствующих
участков;

4)	соединим ряд полученных точек /; II; III, ... плавной кривой;
эта кривая будет диаграммой скорости (ис — t).

Следует иметь в виду, что участки, на которых кривая имеет экс-
тремум (как, например, участок 7—8 на рис. 44, а и 9—10 на
рис. 44, б), следует разделить дополнительно на два участка каждый,'
на протяжении которых кривая не имеет экстремума.
Имея диаграмму скоростей (ус — I), аналогично строим диаграмму
тангенциальных ускорений (wl — t), представленную на рис. 44, в.

При построении диаграмм (ис — 0 и (wl — t) описанным методом
нельзя получить те участки этих диаграмм, которые соответствуют
половине крайних участков оси абсцисс. Чтобы закончить построение
диаграмм, нужно дополнительно построить средние значения vc и wc
для одного-двух участков следующего цикла. Соединив плавной кривой
точки, соответствующие последним участкам первого цикла и первым
участкам следующего цикла, отсечем на крайней правой оси ординат
отрезок, который следует отложить на крайней левой оси ординат
цикла. После этого окончательно достраиваем всю кривую, как это
указано на рис. 44, б, в штриховыми линиями.

Масштаб диаграмм (ис — t) и (w? — f) остается таким же, как
и раньше; масштабы по осям ординат определяются по формулам:
для диаграммы скоростей

для диаграммы ускорения

|XW = jv- м - сек-2!мм,	(6.6)

где РЦ и Н2 — отрезки, взятые с чертежа, мм.

Если по оси абсцисс отложено не время t, а угол поворота криво-
шипа ф = ш1/, то в формулах (6.5) и (6.6) нужно поставить вместо

Р<р

величину = р,(. Тогда получим:

!Jswi	х,

р„и = —77- -и • сек~11мм,
Рчр“ 1

и

2

[jaMt PsMi

Р<р^2

(6-7)

(6.8)

м  сек~2/мм,

где

ЛПу 1 !
(ох = \!сек.

Из формул (6.5) и (6.6) видно, что величины масштабов дифферен-
циальных кривых зависят от соответствующего полюсного расстояния
(h'x или Я2), которое выбирают так, чтобы дифференциальная кривая
вместилась на отведенном для нее месте чертежа.

На рис. 44, б показано, что для диаграммы (ис — t) нужно иметь
На ЛИСТе бумаги ПЛОЩаДКу ВЫСОТОЙ h Щтах + f/2max. Но

/ У1тах — Ну tg 0Сх И Угтах — Ну tg <Х2,	(6.9)

где ах и а2 — наибольшие углы наклона хорд (или касательных) на вос-
ходящем и нисходящем участках интегральной кривой (sc — О’>
определение их величины указано на рис. 44, а.
Подставив значения t/imaxi f/2max в уравнение (6.9), получим
/i>//1(tga1 + tga2),

откуда

EJT	________

1	tgai + tga2’

(6.10)

Расстояние между осями абсцисс диаграмм (&—/) и (yc—t)
должно быть ОуО > уг = Ну tg ay

Аналогичным способом определяют необходимую высоту площад-
ки для диаграммы (wl — t) и расстояние ОгО2 между осями абсцисс.

§ 6.	СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДИАГРАММАМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ,
СКОРОСТЕЙ И КАСАТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ (v—s) ИЛИ (ш* — s)

Укажем на некоторые характерные зависимости между интегральной
и дифференциальной кривыми.

1.	Экстремальным значениям ординат интегральной кривой со-
ответствуют нулевые значения ординат дифференциальной кривой.

2.	Точкам перегиба интегральной кривой соответствуют экстре-
мальные значения ординат дифференциальной кривой.

3.	Возрастающим ординатам интегральной кривой соответствуют
положительные значения ординат дифференциальной кривой, а убы-
вающим — отрицательные.

4.	Ординаты дифференциальной кривой, соответствующие началу1
и концу периода установившегося движения, равны между собой.

5.	Касательные, проведенные к дифференциальной кривой в точ-
ках, соответствующих началу и концу периода установившегося дви-
жения, одинаково направлены (параллельны).

Иногда при расчетах необходимо знать изменение скорости v или
тангенциального ускорения wl точки звена в зависимости от величины
ее перемещения s. Для этого нужно построить диаграмму (и — s)
или (wl — s).

Чтобы построить диаграмму (и — s) или диаграмму (w* — s),
нужно графически исключить переменную t из диаграмм (v — t)
и (s — t) в первом случае и из диаграмм (w‘ — t) и (s — t) — во
втором.

Рассмотрим этот метод на примере построения диаграммы (и — s).
Для этого:

1)	вычерчиваем диаграммы (и—t) и (s—t) одну под другой
(рис. 45). Масштабы времени р/ у обеих диаграмм берем равными;

2)	начало координат О’ новой диаграммы (и — s) помещаем на про-
должении оси Ot диаграммы (v — t) и продливаем ее ось O’v до пере-
сечения с осью Ot диаграммы (s — f) в точке О2;

3)	через точку О2 проводим прямую MN под углом 6 = 45° к
оси Oyt,
4)	отмечаем на кривой (s — t) ряд точек 1, 2, 3,... и через эти точки
проводим вертикали до пересечения с кривой (у — /) и горизонтали
до пересечения с прямой MN; соответствующие точки пересечения обо-
значим теми же цифрами, что и на кривой (s — /);

5)	из полученных точек на прямой ТИМ проводим вертикали до пе-

ресечения с соответствующими горизонталями, проведенными из одно-

именных точек кривой (у — i);

6)	соединив полученные точ-
ки /, II, III, ... плавной кри-
вой, получим диаграмму (о — s).

Масштабы р,., и диаграм-
мы (у — s) будут равны мас-
штабам исходных диаграмм (s —
I) и (у — I).

Если новую диаграмму (у —
s) требуется построить не в мас-
штабе jilt, исходной диаграммы, а
в каком-либо ином, например рй,
то прямую MN нужно провести
под углом б' к оси 0х/; величина

Рис. 45

угла определяется из уравне-

ния

tg6' =

(6.11)

§	7. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ

II КЛАССА МЕТОДОМ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ

Построение кинематических диаграмм создает возможность изу-
чить изменение кинематических параметров какой-либо одной точки
или звена механизма за время одного оборота ведущего звена. Метод
планов скоростей и ускорений дает возможность определить линейные
скорости и ускорения всех точек механизма, угловые скорости и уско-
рения всех звеньев механизма в данном его положении.

Кинематическое исследование механизмов методом построения
диаграмм при всей его простоте и наглядности имеет следующие не-
достатки:

1)	неточность, особенно при дифференцировании кривых с большой
кривизной (при повторном дифференцировании неточность возрастает
и кривая (w* — t) часто получается неудовлетворительной);

2)	невозможность полностью исследовать криволинейное движе-
ние, так как дифференцированием кривой скоростей получаем диаграм-
мы изменения лолько тангенциальных ускорений (w1 — /);

3)	диаграммы дают лишь численные значения векторов, направле-
ние которых можно установить лишь после некоторых дополнительных
построений.

Метод планов скоростей и ускорений не имеет упомянутых недо-
статков, поэтому его широко применяют при исследовании различных
механизмов.
Кинематическое исследование этим методом производим в такой по-

следователь ности:

1) производим структурный анализ заданного механизма;

2)* вычерчиваем механизм в положениях, для которых требуется
построить планы скоростей и ускорений;

3)	строим планы скоростей и ускорений сначала для ведущих звень-

ев, а затем для всех ассуровых групп в порядке их наслоения;

4)	по планам скоростей и ускорений строим годографы v или w

для некоторых точек, графики укчовых скоростей и ускорений звеньев,

Рис. 46

если это требуется для исследования. Планы
скоростей и ускорений можно строить в любом
масштабе, в зависимости от площади чертежа.

Для упрощения подсчетов нормальных и
поворотных (кориолисовых) ускорений удобно
строить планы скоростей и ускорений в масшта-
бах кривошипа, т. е. следует выбирать масштабы
планов скоростей и ускорений такими, при ко-
торых модули векторов скоростей и ускорений
точки Д пальца кривошипа изображались бы от-

резками (рис. 46), полученными путем умножения длины кривошипа

ОА в мм на некоторые числа и р2, выбираемые в зависимости от
того, в крупном или мелком масштабе желательно получить планы.

Следовательно, длины отрезков ра и ла, изображающие эти векторы
в каких-то масштабах, будут равны ра = р,г • ОА, мм и ла =
=р2-0Д, мм.

Действительные значения скорости и ускорения точки А опреде-

ляются по формулам:

VA = С%Я	м/сек;	WA =	®РоА М/сек2-	
Отсюда получим масштабы упомянутых			векторов:	
VA = - = ра	М^ОА 	  щОЛ	(>114  Pi	- м • сек-1/мм;	(6.12)
WA	и 1^0/1	2	 м • сек~2/мм,	(6.13)
ла	р.2 • ОА	М2		

где coj — угловая скорость кривошипа.

Приведем пример построения планов скоростей и ускорений для
механизма II класса.

§ 8. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ

И УСКОРЕНИЙ МЕХАНИЗМА II КЛАССА

На рис. 47, а представлена в масштабе щ м/мм кинематическая схема механизма
двигателя внутреннего сгорания с компрессором.

Требуется: а) построить планы скоростей и ускорений механизма в заданном его
положении, если известно, что кривошип ОА вращается с постоянной угловой
92
скоростью (Dx---; б) определить радиус и центр кривизны траектории точки С

шатуна АВС в этом же положении механизма.

Произведя структурный анализ, устанавливаем, что данный механизм состоит
из механизма I класса (звенья 0 и 1) и трех присоединенных двухповодковых групп,
включающих звенья 2—3, 4—5 и 6—7.

Построение планов скоростей для ведущего звена
ОА и звеньев 1-й присоединенной группы (2—3). Выбираем по-

Рис. 47
люс плана скоростей р и откладываем перпендикулярно к ОА в сторону -вращения
кривошипа отрезок ра = рхОЛ, изображающий скорость vA в масштабе

__ p/fi,! м  сек-1
р,х мм

Для определения скорости точки В (центра среднего шарнира) раскладываем
плоскопараллельное движение звена АВС на поступательное вместе с точкой А и на
вращательное вокруг точки А. Тогда, как известно из теоретической механики,

VB~VA~ VBA"

В этой формуле известны величина и направление вектора vA, а также направле-
ния векторов vB и vBA, а именно:

vB II УУ, ~vBA -L АВ.
Для определения этих векторов через точку а (рис. 47, б) проводим прямую линию,
перпендикулярную АВ, а через полюс р — прямую, параллельную оси уу, точка Ь
пересечения этих прямых определяет векторы ab и pb, изображающие искомые ско-
рости VBA и VB.	,

Скорость точки С звена АВС определим на основании теоремы о подобии, по-
строив на отрезке ab треугольник abc, подобный треугольнику АВС и сходственно
сиим расположенный. Для этого через точки а и b проводим прямые, перпендикуляр-
ные соответственно АС и ВС. Соединяя точку с их пересечения с полюсом, получаем
вектор рс, изображающий скорость точки С.

Птаном скоростей звена ОД является отрезок ра, а звена АВС — фигура pa.bc.

Построение планов скоростей для звеньев 4—5 вто-
рой присоединенной группы. Для определения скорости центра D
среднего шарнира разложим плоскопараллельное движение звена CD на поступа-
тельное вместе с точкой С и на вращательное вокруг точки С.

Тогда vD = vc + vDC.

В этом уравнении скорость vc известна полностью, вектор vD перпендикулярен
к ED, а вектор vDC перпендикулярен к DC. Проводя через точки рис перпендикуля-
ры соответственно к ED и CD, получаем точку их пересечения d, определяющую век-
тор pd скорости точки D. Отрезок pf на продолжении прямой dp, изображающий ско-
рость vF, на основании теоремы о подобии находим из пропорции

pd ЕР

Pf ~ ef 

Планом скоростей звена CD является треугольник ped, а звена DF — отре-
зок dpf.

Построение планов скоростей для звеньев 6—7 тре-
тьей присоединенной группы. Для определения скорости точки G
используем векторное уравнение va = vF + vGF и условие va (| уу. Через точку f
проводим прямую, перпендикулярную к GF, а через полюс р — прямую, параллель-
ную уу до пересечения их в точке g. Вектор pg изображает скорость

Планом скоростей звена GF является треугольник pgf.

Имея план скоростей и зная закон движения ведущего звена ОА (сщ = const),
можно построить план ускорений механизма; при этом необходимо придерживаться
той же последовательности, что и при построении плана скоростей механизма.

Построение планов ускорений для ведущего звена
1 и звеньев 2—3 первой присоединенной группы. Так как
<0j = const, то ускорение точки А определим по формуле wA =

Из полюса л плана ускорений (рис. 47, в) отложим отрезок ла= [120А в направле-
нии от А к О. Этот отрезок изображает ускорение шА в масштабе

~ ла [х2

Для определения ускорения точки В используем векторное уравнение, основан-^
ное на идее разложения плоскопараллельного движения звена АВС:

_	WB = WA +	+ ШВА

и условие, что wB || уу.

Здесь wB — вектор абсолютного ускорения точки В;

щ'вд— вектор нормального ускорения точки В в ее вращательном относитель-
ном движении вокруг точки А, направленный от точки В к точке А;

Р>ВА — вектор тангенциального ускорения точки В в том же движении, пер-
пендикулярный АВ.
Величину Нормального ускорения wBA определяют по формуле

„ VBA (ab)2 • P-v , ,	»

wba-----J— = Ав . ц— м1сек •

*лв w

где АВ и ab — отрезки, взятые с чертежа, мм.

Длину отрезка апВА мм, изображающего ускорение на плане ускорений
в масштабе уш, определяют по формуле

	=	2 >	(	4)  Bw	рц
где	(afc)2  т~ АВ •	(615)

Отрезок апВА можно определить графически. Для этого на обеих сторонах про-
извольного угла (рис. 47, г) откладываем от его вершины отрезок ah, взятый из плана
скоростей, а на одной из сторон — отрезок АВ, взятый из кинематической схемы.
Соединяем концы отрезков ab и АВ, лежащих на разных сторонах угла, прямой MN,
а затем проводим прямую KL || MN. Прямая K.L отсекает на стороне угла отрезок т.

Умножая его на отношение получаем отрезок апВА. Отрезок апВА откладываем
К

на плане ускорений от точки а в направлении от точки В к точке А- Через точку пВА
проводим перпендикуляр к АВ, а через полюс л — линию, параллельную уу, и в пе-
ресечении получаем точку Ь. Вектор пВАЬ изображает ускорение wBA, а вектор лЬ —
ускорение wB. Соединяя точки а и Ь, получаем вектор ah, изображающий ускорение

Для определения ускорения точки С строим на отрезке ab треугольник abc,
подобный треугольнику АВС и сходственно с ним расположенный. Соединяя точку с с
полюсом, получаем вектор ле, изображающий ускорение wc.

Планом ускорений звена ОА является отрезок ла, звена АВС — фигура nabc,
звена В (поршня) — прямая лЬ.

Построение планов ускорений звеньев 4 и 5 второй
присоединенной группы. Для определения ускорения точки D (центра
среднего шарнира) используем векторные уравнения

+ wnD с + й£,с; wD =	+ ш'д.

Ускорение а»с известно. Ускорения wBE и wB направлены соответственно от D к С и
отD к Е. Отрезки cnDC и лпВЕ, изображающие эти ускорения в плане ускорений,

подсчитывают по формулам:

v2

VDC	Ц 2

cnDC = 7—7— = « • -Я- >
р.|

т =

где

(*)2
CD

-	[Х2

™DE~	в?

Отрезки cnDC и лпОЕ можно определить графически при помощи построения, описан-
ного выше. Касательные ускорения wBC и шв перпендикулярны соответственно к
DC и DE,
Построения ведем в такой последовательности. От точки с плана ускорений в на-
правлении DC откладываем отрезок cnDC, а от точки л в направлении DE — отрезок
лпСЕ. Через точки nDC и nDE проводим прямые, соответственно перпендикулярные к
DC и к DE, и получаем в их пересечении точку d. Вектор nd изображает ускорение
точки D. Векторы nDCd и nDEd изображают ускорения и ыЕ. Соединяя точки с
и d, получаем вектор cd, изображающий ускорение wDc.

Для построения точки f, лежащей на продолжении отрезка dn, воспользуемся
пропорцией

nf___EF

лd ~ ED '

Прямая df является планом ускорений звена DF, а фигура ncd — планом уско-
рений звена DC.

Построение планов ускорений звеньев 6—7 третьей
присоединенной группы. Для определения ускорения точки G разложим
плоскопараллельное движение звена GF на поступательное движение вместе с точкой
F и вращательное вокруг точки F. Тогда получим

Wa = Wp + wnGF + w‘GF; wG\\yy.

Отрезок fnGF, изображающий ускорение wGF и имеющий направление от G к F, опре-
деляем по формуле

Гп	£g)2tX"	(fe)2'

GF	GF  p;pK,	FG	Pi	pf

На рисунке отрезок fnGF не изображен ввиду его малости. Проводим прямые, первую
через точку f перпендикулярно к GF, а вторую через полюс л параллельно уу до пе-
ресечения их в точке g. Вектор ng изображает ускорение wG.

Планом ускорений звена FG является треугольник nfg, а планом ускорений
поршня 7 вектор ng.

Определение радиуса кривизны траектории точки
Сзвена 2вданном положении механизма. Для определения
радиуса рс и центра кривизны траектории точки С (рис. 47, а) в данном ее положе-
нии нет необходимости вычерчивать эту траекторию. Для этого разложим вектор
этс, изображающий абсолютное ускорение точки С, на направления, перпендикуляр-
ное к вектору рс и параллельное ему. В результате получим векторы лпс и псс,
изображающие соответственно нормальное ю” и касательное wG ускорения точки С.
Направление вектора лпс определяет направление радиуса кривизны траектории точ-
ки С.

Радиус кривизны определяют по формуле

Графическое построение производим в такой последовательности: проводим че-
рез точку С (рис. 47, а) прямую NN, параллельную вектору лпс и, отложив на ней
Рс

величину — от точки С в направлении вектора лпс, получим точку Ох — центр
Р/

кривизны траектории точки С в данном положении.
§ 9	ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ
И УСКОРЕНИЙ МЕХАНИЗМОВ III КЛАССА

На рис. 48, а представлена кинематическая схема кулисного меха-
низма строгального станка в масштабе ц/ м/мм, на рис. 48, б — струк-
турная.

Данный механизм состоит из механизма I класса (звенья 0 и 1)
и присоединенной группы III класса (звенья 3, 2, 4 и 5). В этой группе
звено 3 является базисным, а звенья 2, 4 и 5 — поводками.

Требуется построить планы скоростей и ускорений механизма
в заданном его положении, если известна угловая скорость со( веду-
щего звена ОА.

При построении планов скоростей и ускорений механизма восполь-
зуемся методом особых точек (точек Ассура).

Особой точкой называется точка, определяемая пересечением осей
любых двух поводков группы III класса (3-го порядка).

Осью поводка является прямая, проходящая через центры шарни-
ров поводка, которыми он соединяется с другими звеньями. Если вме-
сто двух шарниров поводок образует один шарнир и одну поступатель-
ную кинематическую пару, то ось поводка проходит через центр
шарнира перпендикулярно к направлению относительного прямоли-
нейного перемещения в поступательной кинематической паре. В
разбираемом примере одна ось определяется точками D и В, дру-
гая (СХ) проходит через точку С перпендикулярно линии хх, а третья
(AS)—через точку А перпендикулярно АВ.

Для построения планов скоростей и ускорений данного механизма
воспользуемся особой точкой X, которая получается в пересечении осей
CS и ДХ. Точку X жестко связываем с базисным звеном 3.

Построение плана скоростей ведущего зве-
н а (рис. 48, в). Выбираем на плоскости полюс р и откладываем перпен-
дикулярно к ОА в сторону вращения кривошипа отрезок раг = ра2 =
=	• ОА, изображающий скорость va, — va2 в масштабе р.о =

_ ' 6>1 м ’ сек~1

Построение планов скоростей звеньев группы
III класса 3-го порядка. Прежде всего определяем ско-
рость точки X звена 5. Для этого воспользуемся уравнениями:

+ гЧ = йАг + Б5 = Бс+Б5С. (6.16)

Из уравнений (6.16), получим

^ = 4 + ^ + ^,.	(6.17)

В уравнении (6.17) последние два вектора объединены стрелкой
сверху, так как они оба перпендикулярны оси ДХ. В уравнении (6.16)
оба вектора правой части перпендикулярны оси CS, поэтому они также
объединены стрелкой сверху.

Точку X в плане скоростей получим в соответствии с уравнениями
(6.16) и (6.17) на пересечении прямых, из которых первая проходит
через полюс р перпендикулярно оси СХ, а вторая — через точку alt а2
перпендикулярно оси ДХ. Вектор ps изображает скорость vs.

Для определения скорости vb воспользуемся уравнением

vb = vs + vbs.	(6.18)

Здесь vb перпендикулярна DB и vbs перпендикулярна SB.

В соответствии с уравнением (6.18) через полюс р проводим прямую,
перпендикулярнуюDB, ачерезточкуХ — прямую, перпендикулярную
SB. Точка b пересечения этих прямых определяет конец вектора pb,
изображающего скорость vb-

Чтобы определить точку с, т. е. конец вектора рс, изображающего
скорость vc, на отрезке bs строим треугольник bsc, подобный треуголь-
нику BSC, для чего через точки bus проводим прямые, соответственно
перпендикулярные ВС и SC. Пересечение этих прямых определяет
точку с. Соединив точку с с полюсом, получим вектор рс, изображающий
скорость vc- Точку а3 — конец вектора ра3, изображающего скорость
сд,, находим на основании теоремы о подобии, как основание а3 перпен-
дикуляра, опущенного из точки s на прямую Ьс. Соединив точку а3
с полюсом, получим вектор ра3.

S8
В результате построений получены планы скоростей для всех звень-
ев механизма. Отрезок рах — план скоростей звена 1, фигура psbc —
план скоростей звена 5, pb — план скоростей звена 4, рс — план ско-
ростей звена 5.

Выбираем на плоскости полюс л (рис. 48, г) и откладываем в направ-
лении АО отрезок лах — ла2 = рг • ОА, изображающий ускорение
wa, = wa2 в масштабе

__ Р/ ‘ Ю1 м • сек-2

~ Иг мм

Переходим к построению планов ускорений звеньев группы III
класса 3-го порядка.

Определение ускорения точки X звена 5.
Составляем уравнения:

“’S = ^ + “’sAs = “iA,+“iS4, + K’U; (6.19)

“’л, = ^А, + ^А,Аг + ™ASA,;	(6-20)

№s = wc + wsc = wc + wsc + ^sc.	(6.21)

Соединяя уравнения (6.19) и (6.20), получаем:

= ^Аг + Ч3Л2 + ™SAa + ^л,л, + “4л,-	(6.22)

В правой части уравнения (6.21) первые два вектора объединены
стрелкой сверху, так как они оба перпендикулярны CS. В правой части
уравнения (6.22) второй и третий векторы объединены общей стрелкой,
так как они параллельны ЛХ; четвертый и пятый векторы также объ-
единены, так как они перпендикулярны оси ЛХ.

В уравнениях (6.21) и (6.22) ускорения wa2 = wa, — известны,
ускорения wsc, wa,a2 и <жл3 можно определить следующим способом.

Вектор wsc направлен от X к точке С. Изображающий его отрезок
nnsc определим так:

z wsc

=• ---

SC Pw

2

vsc _ (sc)2 p2 _ m p2
и . /	’	2	''^1 ’	2 ’

г a? Lsc jc	p-j -

где m — определяют графически.

Ускорение w$as направлено от точки X к точке Л3. Изображающий
его отрезок knsAa определим из равенства:

Рп = ^Л3 _	_ (3«з)2 Й2 _ „	_Й2_

SA°	. lsAa -	• р2	• р2 .

_	(stz3)2	,

где ~ ~SA определяют графически.

Направление ускорения Щл3л2 определим, поворачивая вектор от-
носительной скорости va,a, на 90° в направлении вращения переносной
среды (камня), помня, что направление вращения камня совпадает
с направлением вращения кулисы 5. Направление вращения кулисы 3
определим, перенеся вектор Ьс в точку С механизма.

Величину отрезка a2k, изображающего ускорение wa3a3, определим
из равенства

„ а	_ 2ю2%л2 _ 2я2а3 • а3Ь р2 _ w р2

pw ~ Pw ~ ВА • р2 - т2- р2 ,

где отрезок т2 =	^з.,. определяем графически (рис. 48, д).

Построения на плане ускорений, связанные с определением точки S,
проводам в соответствии с уравнениями (6.21) и (6.22); от полюса л от-
кладываем отрезок ntisc, а через конец отрезка япес проводим к нему
перпендикуляр rises.

По уравнению (6.22) от точки а2 откладываем отрезок a2k\ от точки
k откладываем отрезок knsA3 в известном направлении; через точку
nsA3 отрезка ktisA3 проводам к нему перпендикуляр nsA,s. Пересечение
прямых fiscs и nsAss определяет точку s. Соединив полюс л с точкой
s, получим вектор ля, изображающий ускорение ws.

Определение ускорения точки В звена 5.
Составляем уравнения:

+ wBS = ws + wnB s + w*Bs}	(6.23)

+ ™*в.	(6.24)

Ускорение wbs направлено от точки В к точке S; величину отрезка
sriBs, его изображающего, определим по формуле

_ ”bs _ (bs)2 р2 _ р2

BS~ рда lBS-pw SB ' p.2	и2 >

(6s)2	.

где отрезок m — определяем графически.

Ускорение wbd направлено от точки В к точке D. Изображающий
его отрезок япвв определим по формуле

_ WBD _ VB __ (pb)2 р2 _ Pa

BD Pw ‘bd " Pw BD jLij	p,

(рЬ)г	<

Отрезок ml = определяем графически.

Построения на плане ускорений проводим в соответствии с урав-
нениями_(6.23) и (6.24). По уравнению (6.23) от точки s откладываем
вектор siibs', через точку ties проводим к нему перпендикуляр tiesb-

По уравнению (6.24) от полюса л откладываем отрезок лпво; через
точку пвв проводим к нему перпендикуляр пввЬ. Пересечение прямых
riBsb и пввЬ определяет точку Ь. Соединив точку b с полюсом л, полу-
чим вектор яЬ, изображающий ускорение Wb.
Определение ускорений точек Си А3 звена 3.
Точки С и А3 в плане ускорений находим на основании теоремы о по-
добии, для чего на отрезке sb строим треугольник sbc, подобный и сход-
ственно расположенный с треугольником SBC. В треугольнике sbc
из вершины s опускаем перпендикуляр на сторону Ьс. Основание пер-
пендикуляра определяет точку а3. Соединив полюс л с точками с и а3,
получим векторы лс и ла3, изображающие ускорения шс и км3.

В процессе построения плана ускорений звена 3 были построены
планы ускорений звеньев 4 и 5. Планом ускорений звена 4 является
вектор лЬ, а звена 5 — вектор лс.

§ 10.	ПОСТРОЕНИЕ МГНОВЕННЫХ ЦЕНТРОВ СКОРОСТЕЙ

И УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

Звено механизма, совершающее вращательное или плоскопарал-
лельное движение, в каждом положении имеет точку, жестко с ним
связанную, скорость которой в данном положении равна нулю. Эта
точка называется мгновенным центром скоростей
(вращения) звена. На плане скоростей звена ей соответствует полюс р.

У звена, вращающегося вокруг неподвижной точки, мгновенный
центр скоростей совпадает с этой точкой. Для звена, имеющего плоско-
параллельное движение, мгновенный центр скоростей находят, поль-
зуясь теоремой о подобии. Например, для звена ВС (рис. 48, а)
нужно на отрезке ВС построить треугольник РВС, подобный треуголь-
нику pbc (рис. 48, в) и сходственно с ним расположенный. Точка Р
треугольника РВС является мгновенным центром скоростей звена ВС
в данном его положении. Аналогично можно найти точку звена, аб-
солютное ускорение которой в данном положении равно нулю. Эта
точка называется мгновенным центром ускорений
звена. На плане ускорений этой точке соответствует полюс л плана.
Мгновенный центр ускорений звена ВС (рис. 48, а) определим, построив
на прямой ВС треугольник лВС, подобный и сходственно расположен-
ный с треугольником лЬс. Точка л является мгновенным центром уско-
рений звена ВС в данном его положении. Мгновенный центр ускорений
используется в кинетостатике.

§11.	ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
МЕХАНИЗМОВ С ВЫСШИМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ПАРАМИ

На рис. 49, 50, 51 представлены схемы кулачковых механизмов.
Ведущими звеньями в этих механизмах являются кулачки 1, вращаю-
щиеся с некоторой угловой скоростью cov

Пусть ojj = const; требуется построить планы скоростей и уско-
рений для этих механизмов.

Эта задача значительно упростится, если заменить высшие пары
звеньями, входящими только в низшие пары [20].
Обозначим цифрой 3 добавочное звено. На рис. 49, а заменяющим
механизмом будет кривошипно-ползунный механизм ОАВ с кривоши-
пом ОА, где точка А (здесь и далее) является центром кривизны кри-
вой теоретического профиля кулачков в точке В. Скорость и ускорение
точки В толкателя определим, построив планы скоростей (рис. 49, б)
и ускорений (рис. 49, в) по векторным уравнениям

^в = ^а + йВА и vB || УУ,

WB = WA + WnBA + ^ВА И WB || уу.

Для кулачкового механизма с качающимся толкателем ВС*
четырехзвенник О АВС,

(рис. 50, а) заменяющим механизмом будет

Рис. 49

Рис. 51

Рис. 50

скорость vb и ускорение wb точки В которого определим из следующим
уравнений:

йв=йА + йВА-, vB\_BC-,

WB = WA + WnBA + W*BA uwB = wnB + w‘B'

Построение планов скоростей (рис. 50, 6) и ускорений (рис. 50, в)
производится изложенным выше методом.

Для механизма с плоским толкателем (рис. 51, а) заменяющий ме-
ханизм ОАВС будет состоять из кривошипа ОА и двухповодковой
группы АВС.

Так как звенья 2 и 3 движутся поступательно, то их угловые
скорости

и2 = и3 = 0.

Скорость центра шарнира А, соединяющего звенья 1 и 3, va, = va, =
= ь\1оа, а ускорение км, = км3 = anloA (так как кривошип вращается
равномерно), причем ол3 перпендикулярно ОА, а км3 параллельно
ОА и направлено к центру О. Раскладывая абсолютное движение
звена 3 на переносное поступательное вместе со звеном 2 и на относи-
тельное поступательное по отношению к звену 2, получаем уравнения

Ч = ^Аг +

™A, = ™Аг + ™А3А,.

Здесь

' vAa= ^aJ \ || уу; vAA || XX',
^А^^Аг <11 УУ’ <л211%х-

В соответствии с этими уравнениями на рис. 51, б и 51, в построены
планы скоростей и ускорений механизма. Точность построения пла-
нов зависит от точности определения центра А кривизны кривой про-
филя кулачка. Поэтому в тех случаях, когда центр кривизны профиля
кулачка не задается, его положение,следует определить с особой тща-
тельностью.

.ГЛАВА VII

СИНТЕЗ ПЛОСКИХ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ

§1.	ТИПЫ ПЛОСКИХ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ

Плоские трехзвенные кулачковые механизмы состоят из стойки
и двух подвижных звеньев, причем подвижные звенья образуют с ней
низшие кинематические пары (вращательные или поступательные),
а друг с другом — высшую кинематическую пару.

Ведущее звено в кулачковом механизме называют кулачком, ве-
домое — толкателем. Элемент высшей кинематической пары, принадле-
жащий кулачку, называют профилем кулачка, а элемент, принадлежа-
щий толкателю, называют профилем толкателя.

Рассмотрим синтез кулачковых механизмов, представленных на
рис. 49, а; 50, а и 51, а. ✓

Кулачковый механизм типа I (рис. 49, а) состоит из кулачка 1 и
толкателя 2, совершающего прямолинейное возвратно-поступательное^
движение. Во все время движения механизма толкатель касается ку-
лачка одной и той же точкой В. Если центр вращения кулачка лежит
на продолжении прямолинейной траектории точки В толкателя, то
кулачковый механизм называют центральным. Если же центр враще-
ния не лежит на этой прямой, то кулачковый механизм называют вне-
центренным. Расстояние е от центра вращения кулачка до траектории
точки В толкателя называют эксцентриситетом.

Кулачковый механизм типа II (рис. 50, а) называется рычажным
(коромысловым) и состоит из кулачка 1 и толкателя 2 (рычага, коро-
мысла), который касается кулачка во все время движения одной и той
же точкой В и совершает колебательное вращательное движение во-
круг неподвижной точки С. Расстояние ВС = I называют длиной
толкателя. Буквой d обозначают расстояние ОС между центрами
вращения кулачка и толкателя.

Кулачковый механизм типа III (рис. 51, а) состоит из кулачка 1
и толкателя 2. Толкатель совершает прямолинейное возвратно-посту-
пательное движение и касается кулачка во время движения различ-
ными точками своего прямолинейного профиля хх. Буквой а обозна-
чен жесткий угол между профилем толкателя и направлением переме-
щения толкателя.

§ 2.	ФАЗОВЫЕ УГЛЫ

В большинстве случаев полный цикл работы толкателя в кулачко-
вых механизмах соответствует времени Т одного оборота кулачка
, „	60	-	\

I J = — сек, где п — число оборотов в минуту кулачка).

Промежутки времени, соответствующие удалению толкателя из
самого близкого (по отношению к центру вращения кулачка) положе-
ния в самое дальнее, выстою в самом дальнем положении, возвраще-
нию из самого дальнего в самое близкое положение и выстою в самом
близком положении, обозначают 7У; 7Д; 7В; Тс,. Углы поворота кулачка,
соответствующие этим промежуткам времени, называют углом удале-
ния, углом дальнего стояния, углом возвращения и углом ближнего
стояния и обозначают <ру; <рд; <рв; фб (фазовые углы).

Очевидно:

Ту + тд + Тв + Тб = 7;	(7.1)

«Ру + фд + фв + Фе = 2л.	(7.2)

Сумму фу + фд + фв называют рабочим углом и обозначают <рр. Сле-
довательно,

фу + фд + фв = фр.	(7-3)

§ 3.	УГОЛ ПЕРЕДАЧИ ДВИЖЕНИЯ

Углом передачи движения называют острый угол, образуемый
прямыми, на которых расположены векторы о2 и пОтн абсолютной и от-
носительной (по отношению к кулачку) скоростей той точки толкателя,
которая находится в точке контакта А (рис. 52, а, б). Если пренебречь
силой трения между кулачком и толкателем, то силой, приводящей
в движение толкатель (движущей силой), является давление Q кулач-
ка, приложенное к толкателю в точке А и направленное по общей нор-
мали пп к профилям кулачка и толкателя. Разложив силу Q на взаимно
перпендикулярные составляющие Qj и Q2, из которых первая направ-
лена по направлению скорости п2, получим силы Qx и Q2 в зависимости
от угла у:

Qi = Q sin у;
Qz = Q cos у.

(7-4)
(7-5)
Сила Qj перемещает толкатель, преодолевая при этом все полезные
(связанные с выполнением технологических задач) и вредные (силы тре-
ния) сопротивления, приложенные к толкателю. Сила Q2 увеличива-
ет силы трения в кинематической паре, образованной толкателем и
стойкой.

Как видно из формул (7.4) и (7.5), с уменьшением угла у сила Qj
уменьшается, а сила Q2 увеличивается. При некотором значении угла

Рис. 52

у может оказаться, что сила не сможет преодолеть все сопротивле-
ния, приложенные к толкателю, и механизм не будет работать. Такое
явление называют заклиниванием механизма, а угол у, при котором
оно имеет место, называют углом заклинивания узаКл.

При проектировании кулачкового механизма задают минимальное
допускаемое значение угла у, обозначаемое ymin и значительно пре-
восходящее узакл, И требуют, чтобы угол у ни в одном положении ку-
лачкового механизма не был меньше ymin, т. е. требуют выполнения
неравенств

У Ymta > Узакл-	(7-6)

Как показано на рис. 52, в, в кулачковом механизме с плоским
толкателем угол у передачи движения равен углу а между профилем
толкателя и направлением его движения и остается постоянным во
все время движения механизма. Поэтому при проектировании кулач-
кового механизма этого типа нужно, чтобы

У = «>Утт-

Для кулачковых механизмов можно
(рис. 52, а) и ymin = 45° (рис. 52, б).

Методы определения углов передачи
механизма изложены в § 17 этой главы.

(7-7)
рекомендовать ymin = 60°

в различных положениях
§ 4.	ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ

Задача синтеза кулачковых механизмов состоит в том, чтобы пс£
строить профиль кулачковой шайбы, удовлетворяющий поставленный
технологическим процессом требованиям. Для этого задаются:

1.	Закон движения кулачка в форме <р = <р (/).

Дифференцируя это уравнение последовательно дважды по времени,
определяем угловую скорость и угловое ускорение кулачка:

®к

ек

dtp
dt

dt

= ®K (0;

6к (*)

Для упрощения поставленной задачи в заданиях на проект при*
нимаем:

шг рад	,

юк = "оК--------- = const,

к 30 сек	’

где п — среднее число оборотов в минуту кулачка и при t — 0

Ф — 0.

При этих условиях ф = (f>Kt и ек = 0.

2.	Закон движения ведомого звена (толкателя) в форме уравнения
S= 5(f),

если толкатель перемещается поступательно, либо в форме
W = W (/),

если толкатель (коромысло) вращается вокруг неподвижной оси.-

3.	Некоторые линейные размеры, позволяющие выбрать из мно-
жества решений одно — вполне определенное.

Получаемые при таких данных решения могут оказаться неудов-
летворительными в динамическом отношении (например, в смысле ,
износа). Поэтому иногда задаются дополнительно некоторыми дина-
мическими условиями.

Ниже будут рассмотрены случаи, когда задается допускаемое ми-
нимальное значение угла у передачи движения. Решение таких задач
известно под названием «динамический синтез кулачковых механизмов».

Напомним еще раз, что существует бесчисленное множество ку-
лачковых механизмов, удовлетворяющих заданным законам движения.
Наивыгоднейшим же решением задачи следует считать, очевидно, то,
при котором механизм имеет наименьшие размеры и в то же время яв-
ляется приемлемым как с конструктивной точки зрения, так и в от-
ношении прочности. Поэтому в так называемых задачах кинемати-
ческого синтеза обычно задаются наперед значением rmin минимального
радиуса-вектора кулачка. При динамическом синтезе следует пред-
варительно, пользуясь данными задачи, например, заданным мини-
мальным углом ymin передачи движения, найти неизвестное значение
Tmin. Этим самым приводим решение к уже известной задаче кинемати-
ческого синтеза.
Выше мы указали, что в законе движения толкателя аргументом
функции пути (линейного либо углового) является время /. Однако
такое задание функции не является единственно возможным. В ка-
честве аргумента можно взять также угол поворота ф кулачка, посколь-
ку связь между параметрами ф и t задается (например, при ик = const,
имеем: ф = сок/). Таким образом, закон движения толкателя может
быть задан в параметрической форме: S = 5 (ф) либо Ч1- = Ч1- (ф),
где <р = <р (/).

При таком способе задания закона движения толкателя радиус-
вектор кулачка и, следовательно, профиль последнего строится непо-
средственно по углу поворота ф.

§ 5. ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

При ик = const имеют место такие соотношения:				
	dS	v dS	йк;	(7-8)
	dt	dtp		
	d2S	d2S 		(7.9)
	dt2	dtp2	•4	

если толкатель перемещается прямолинейно (рис. 52, а, в); если же
толкатель колеблется вокруг неподвижной оси (рис. 52, б), то

04!	.	/7 1Л\

dt ~ dtp	(7-10)

Для обеспечения режима технологического процесса к закону из-
менения скорости или ускорения толкателя часто предъявляются
определенные требования. Поэтому в таких случаях вместо функцио-
нальной зависимости S = S (t) при поступательном движении толка-
теля задаются значениями

»)	(712>

или

d2S	d2S . .	/7

dtp2	~	dtp2 fa’)	(7-13)

в функции ф, а вместо Ч; = Чг (ф) при колебательном движении тол- ‘
кателя задается	'	•

dW dW . .	, ..

(7Л4)

или

dtp2 dtp2	(7-15)

Но для построения профиля кулачка достаточно иметь зависимости
S = S (t) или Ч1- = Ч1- (/). Поэтому в указанных случаях приходится
интегрировать один раз заданные зависимости (7.12) или (7.14) или
дважды интегрировать, если заданы зависимости (7.13) или (7.15).

На рис. 53, а представлена кривая у" = у" (х), выражающая,
Рис. 53

в зависимости от типа кулачкового

dq>2 •

- d2S , . л
механизма, либо 2- (ф), либо

Площади Fx и F2, а также F? и F-, должны быть равны между собой,

поскольку скорость толкателя в начале и конце углов удаления и воз-
вращения равна нулю. Проинтегрируем дважды графически заданную
зависимость. Для этого:

1)	построим ординаты ab, cd, ..., соответствующие серединам ин-
тервалов 01, 12... и	отложим отрезки 0b'= ab, Od' = cd на оси

ординат;

2)	соединим произвольно взятую точку Рх на продолжении оси х
с точками b', d‘, ...;

3)	на рис. 53, б из точки 0х проводим отрезок Оф" в интервале 0х/
параллельно лучу Рф', отрезок b"d" в интервале 1—2 параллельно
лучу Рф' и т. д.	\

Полученная ломаная линия (в пределе — кривая) в графической
форме представляет собой первый интеграл заданной зависимости,
т. е. кривую у' — у' (х) и, значит, с учетом масштабов, либо =

dS . .	- dW	dV . .	Ф

= -Т~ (ф), либо —т~ =	— (ф).

dtp	dtp

Аналогично, интегрируя кривую у' — у' (х), получаем вторую
интегральную кривую у = у (х), с учетом масштабов 5 ~ S (ф)
(рис. 53, е), либо W = Ч; (ф).
Для определения произвольных постоянных интегрирования при-
ходится задаваться некоторыми начальными условиями. В дальней-
шем будем полагать, что в нижнем положении толкателя его скорость,
(линейная либо угловая) должна равняться нулю. Естественно также
начало отсчета времени t относить к этому моменту. Таким образом,
получаем следующие начальные условия для кулачковых механизмов:

а)	с поступательно движущимся толкателем

t0 — 0; vc° = 0; So = 0;

б)	с вращающимся толкателем

t0 = 0; <от = 0; То = Тт!п.

§ 6. РЕКОМЕНДУЕМЫЕ МАСШТАБЫ ВЕЛИЧИН,
ОТКЛАДЫВАЕМЫХ НА ОСИ АБСЦИСС

Пусть по оси х (рис. 53) отложен отрезок длиной L мм, представля-
ющий собой угол поворота кулачка, равный 2 л (или 360°). В этом слу-
чае масштаб углов поворота

2л рад	„ ,

^ = —(7Л6>

либо

360° град
И„о = —--1---

гч L	мм	(

При принятом нами законе движения <р = <ок/ из последних ра- 
венств можно определить масштаб времени, если на оси х откладывать
не углы поворота <р кулачка, а соответствующие им значения времени. *
Тогда
mi

Рф —	— -эд- • р«;

отсюда

Рф -3°	2 - 30	60	.	/7 1 7^

р-, = —  = — = -у— сек мм.	К1-11)

r ‘ т	Ln Ln

Равенства (7.16) и (7.17) показывают, что масштабы времени и углов
поворота кулачка определяются выбранной величиной отрезка L (это
и понятно), представляющего собой один оборот кулачка (либо один
период его вращения). Так как обычно при исследовании движения
период делится на I равных частей, где I для удобства вычерчивания
принимается кратным 12, то, очевидно, и отрезок, равный L мм, вы-
годно брать также кратным 12. Поэтому в зависимости от величины
вычерчиваемой диаграммы можно рекомендовать значения L = 120,
180, 240, ЗОЭ, 36Э мм.

Пример. L ~ 360 мм.
360° град	2л	Рад

Тогда р 0 =	= 1 ~, или II = —;= 0,0174 ---------------

f 360 мм	360	мм

„	*	60	1 сек

При этом масштаб времени р, будет: и, =----=7^- = --------, где п — число

‘	‘ J ‘ п  360 6п мм

оборотов в минуту кулачка.
Из приведенных формул видно, что масштабы рф и pt обратно пропорциональны
длине L. Поэтому, уменьшая в предыдущем примере значение £ в 2, 3,4,..,, k раз,
темсамымувеличиваемсоответствующимобразом значения масштабов рф и pz. Напри-

мер, при L == 180 мм будем иметь рф0 => 2 или рф да 0,035

§ 7.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МАСШТАБАМИ ЛИНЕЙНЫХ
И УГЛОВЫХ ПУТЕЙ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЛКАТЕЛЯ
ПРИ ГРАФИЧЕСКОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ

Поступательное перемещение ведомого звена (толкателя). Из кур-
са теории механизмов известно, что между масштабами диаграмм
при графическом интегрировании существуют такие зависимости
(рис. 53):

,	= H^ipP dS >	(7-18)

л Л ( >.	'dip

>	Р^ = ^р^.	(7.19)

dip	dtp2

В заданиях на проект закон движения толкателя дается всюду
d2S

в форме кривой -j-g----<р без указания масштабов, в которых эта

, -	dS

кривая построена. Интегрируя эту кривую, получаем кривую ----------

— <р. Масштабы обеих кривых связаны равенством (7.19), но в нем не-
известными являются значения Н1г р dS и pd„s.

dip dip2

Для того чтобы построенные диаграммы были удобочитаемыми,
л	d2S dS

следует обеспечить такие значения ординат и которые
были бы достаточно большими и вместе с темне выходили за пределы
участков, отведенных для этих диаграмм на чертеже. В наших зада-

ниях, например, можно рекомендовать для ординаты

d2S -

d<p2

| от-
max

резок у"тйк, равный 60—80 мм. Значения определяются также ве-
личиной полюсного расстояния Нг. В заданиях на проект можно брать
величину отрезка Н1 в пределах 40—60 мм. Приблизительно в тех же
границах (или несколько меньших) можно выбрать и Н2. Таким обра-
зом, все три кинематические диаграммы строятся в неопределенном
масштабе. Но в заданиях на проект обычно задается (либо может быть
без труда определен из простейших ^геометрических соображений)
ход толкателя h. На кривой S — <р он представлен максимальной
ординатой утах, величина которой определяется непосредственно на этой
h

кривой. Зная h и утах, можно найти масштаб its, а именно: р$ -------

Утах

(рис. 53). Определив таким образом р$, можно затем по равенствам
(7.18) и (7.19) найти pdS

~d'P dtp2 _
Вращение вокруг неподвижной оси ведомого звена (коромысла)»
d2S

В этом случае вместо диаграммы —t-j- в заданиях на проект дается
d24f

диаграмма ------<р. Интегрируя ее последовательно дважды, по-

лучаем кривые ------<р и Т — ф, масштабы которых связаны между

собой так:

Цф1 —

dtp

(7.18, a)

И ^Ф' '	.	(7.19, 6Z)

dtp	dipt

Значения Нг и Н2 выбирают здесь в пределах 40—60 мм. Максималь-
ный угол поворота коромысла ртах = '1гтах. — 'I'min обычно задается,
либо легко определяется из условий задания на проект. Поэтому и
здесь масштаб цф находится так:
..	_^max

—	1/тах	ММ

После этого определяют масштабы	и р^из равенств (7.18, а)

dtp dtp1

и (7.19, а). Зная масштабы всех кинематических диаграмм, можно оп-
ределить значения пройденного пути, скорости и ускорения толкателя
Ч1Г dS dS dW d4f d2S d2S d2V d2W \	~

S, " , ~T~ .	, ~T~, —ТГ , ~j~9 ,	, -j-y . -^77“ в любом положе-

( ’	’ d<p ’ dt ’ dtp ’ dt ’ dtp2 ’ dt2 ’ dtp2 ’ dt2 I

нии механизма. Эти значения вписывают затем в форме таблиц в объ-
яснительную записку к проекту.

§ 8. СИММЕТРИЧНЫЕ И НЕСИММЕТРИЧНЫЕ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ ТОЛКАТЕЛЯ

На рис. 53, а кривая на участке фу — фд — фв имеет ось симметрии
ММ, параллельную оси ординат и делящую, следовательно, этот
отрезок абсциссы пополам. При таком задании, очевидно, должны
иметь место следующие условия: площади Fi = Fi и F2 = F?.

Вместе с тем, по абсолютной величине должны равняться между
собой площади: Fx = |F21; |F2 | = Fi, так как по условиям работы ско-
рость толкателя как в начале и конце подъема, так в начале и в конце
опускания должны равняться нулю. По аналогичным соображениям
имеет место и равенство: F3 = | Ft |, что вызывается тем обстоятельст-
вом, что величина подъема толкателя должна быть равна величине
его опускания за время одного периода. Из этого следует, что в симмет-
ричных диаграммах угол фу поворота кулачка, соответствующий пол-
ному подъему толкателя, должен быть равен углу фв поворота ку-
лачка, соответствующему возвращению толкателя из верхнего (даль-
него) положения в нижнее (ближнее): фу = фв.

Однако очень часто приходится проектировать кулачковые меха-
низмы, в которых фу =F фв. Это имеет место в тех случаях, когда подъем
толкателя, например, соответствует рабочему ходу, а опускание —
холостому (или наоборот). Естественно, что на холостой ход желатель-
но тратить меньше времени, и, следовательно, соответствующий ему
угол поворота кулачка следует брать возможно меньшим. На рис. 53
также показаны два варианта построения кинематических диаграмм,
соответствующих условию фу > фв.

На рис. 53, е кривая подъема и кривая возвращения толкателя
начерчены только с сохранением равенств: F2 = —F4 и А = —F\,
но не связаны между собой условием фу = фв. Поэтому, вообще го-
воря, Fr У= Fi и значит, после первого интегрирования не получится
Л4 = —F3. Допустим для конкретности, чтоГ3 > |F4|. В этом случае
при дальнейшем интегрировании кривой у’ —х (рис. 53, д) кривая
в конце периода не коснется оси х, т. е. значение ординаты у в указан-
ном положении будет больше нуля, что не соответствует условиям
задачи. Следовательно, f/maxi левой части диаграммы будет больше ах>
правой части в то время, как величина хода толкателя на обоих эта-
пах движения (подъема и опускания) должна быть одинакова.

Отсюда следует, что масштабы диаграммы в левой и правой частях
разные, а именно: us, = —~ и ps = ——, либо р®-, = —та-х- и
//maxi	?/max2	//maxi

..	fmax

Ц'Р'г ~~~ ,,
ymax2

Очевидно, что и масштабы кривых на рис. 53, г, д в соответствии
с масштабами psi и ps2. и также будут различаться между собой.

Само собой разумеется, что применение двойных масштабов к ки-
нематическим диаграммам представляет известные неудобства и яв-
ляется трудоемким.

В примерном расчете предлагается способ, позволяющий построить
всю диаграмму в одном масштабе в случае, когда фу =/= фв и получить,
следовательно, на следующей диаграмме F3 = —Ё4, а значит, и у± =
= у2. Таким образом, можно избежать неудобства применения двух
масштабов. Этот способ справедлив, однако, лишь в тех случаях, когда
оба участка диаграммы (рис. 53, ж) заданы одноименными кривыми.
Способ состоит в том, что наибольшие ординаты h' и h" обоих участ-
ков диаграммы ^2  =	(ф) берутся в отношении, обратно про-

порциональном квадратам углов фу и фв, т. е.

h' <₽в

h” <Р2У

ИЛИ h'tf2? = /l"cp2.

Покажем справедливость последнего равенства на частном приме-
d2S -

ре, когда оба участка кривой ---------ф представлены, например,

синусоидами.

Для этого напомним, что площадь синусоиды в интервале (Ол)
равна двум квадратным единицам при высоте, равной единице. При
других высоте и основании площадь синусоиды изменяется пропорцио-
нально им.
Поэтому

F, = Fг — 2 <py) Л'|

л'-g-2 (-?<

где <py и фв в радианах.

Тогда по абсолютной величине

F3

<рвг; '

После подстановки значений F± и Fi в последнее равенство получим

F3 б'фу
^4 ~ ft"<p2 ’
i

но, как видно из предыдущего, правая часть равенства равна единицей
Следовательно,

§ 9.	ВЫБОР ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ТОЛКАТЕЛЯ

В наших заданиях на проект предлагаются четыре варианта
(см. диаграммы А, Б, В, Г) закона движения толкателя. В соответствии
с условиями работы машины студент должен выбрать наиболее благо-
приятный из них вариант.

В курсе теории механизмов исследуются достоинства и недостатки
типовых кинематических диаграмм толкателя и, в частности, тех, ко-
торые приведены в заданиях.

Большинство технологических процессов различных производств
требует безударности хода рабочего органа и постоянства его ско-
рости в течение определенного отрезка времени. Однако установление
закона движения толкателя при синтезе кулачкового механизма за-
трудняется тем, что эти требования в совокупности с некоторыми дру-
гими, более частного характера, вытекающими из условий конкрет-
ного технологического процесса, часто приводят к противоречиям,
проявляющимся, например, в несовместности системы уравнений ре-
шаемой задачи. В частности, безударность в движении толкателя тре-
бует непрерывности диаграмм скоростей и ускорений, в то время
как постоянство скоростей либо ускорений толкателя приводят к раз-
рыву непрерывности этих кривых. Отсюда ясно, что нужное движе-
ние толкателя редко осуществляется с помощью единого закона дви-
жения, например, синусоидального, трапецеидального и т. п. В таких
случаях задачу можно решить удовлетворительно, приняв диаграм-
му движения толкателя в виде некоторой комбинации простейших
кривых.
Поясним сказанное примером. Допустим, что для повышения про-
изводительности толкатель выполняет нужную работу как при прямом,
так и при обратном ходе. Таким образом, вследствие отсутствия
холостого хода, рабочий процесс заканчивается в течение каждого
полуоборота кулачка и, значит, кинематические диаграммы толкателя
достаточно строить на интервале 0<ф <л.

Разобьем ход Н толкателя на три этапа, которые по аналогии
будем называть р.азгоном, рабочим ходом и выбегом.

На участке разгона скорость должна возрастать от нуля до требуе-

мой величины Краб, на рабочем ходу —
= const, на участке выбега — падать
до нуля.

Естественно потребовать, чтобы на
этапах разгона и выбега кривые были
конгруэнтны и симметрично располо-
жены относительно центральной точ-»
ки С диаграммы (рис. 54). Таким об-
разом, имеем

фразг — фвыб!

фразг фра б + фвыб = Л.

Из перечисленных требований вы-
ясняется форма кривых на участке
Фрае (рис. 54, а, б, в). Остается, сле-
довательно, выяснить вид кривых
только на участке разгона, так как
участок выбега симметрично располо-
жен. На рис. 54, в представлены два
варианта решения (хотя в действи-

оставаться постоянной: 1>р,б =

Рис. 54

тельности число вариантов может
лико): ускорение толкателя .меняется

быть неограниченно ве-
по линейному закону а'А"

и по закону косинуса — по дуге аА". Для того чтобы в обоих вариантах
скорость толкателя в точке А' равнялась требуемой ораб, нужно, чтобы
площадь прямоугольного треугольника А"О"а' была равна площади
криволинейного треугольника А"О"а.

Отсюда выясняется, что в рассматриваемой задаче гармонический
закон оказывается более приемлемым, так как максимальная ордината
О"а этой диаграммы меньше максимальной ординаты О"а', значит,
- наибольшее значение сил инерции при косинусоидальном законе в на-
шем случае окажется меньшим, чем при линейном законе.

На рис. 54, а, б, в представлены все три кинематические диаграммы
толкателя. Нами разобрана здесь задача об установлении закона дви-
жения толкателя в простейшем случае. Разумеется, более сложные
требования к технологическому процессу усложняют и методы выбора
закона движения.
§ 10.	ДИНАМИЧЕСКИМ СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ ТИПА I

Предположим, что все три диаграммы движения толкателя постро-
ены и все масштабы определены.

Эксцентриситет е, угол Ymin и направление вращения кулачка
заданы.

Задачей динамического синтеза в данном случае является опреде-
ление такого минимального радиуса-вектора профиля кулачка г0,
при котором переменный угол у передачи движения ни в одном поло-
жении кулачкового механизма не будет меньше ymin. Построения, свя-
занные с динамическим синтезом, приведены на рис. 55, а (враще-
ние кулачка направлено против вращения часовой стрелки).

Рис. 55

Взяв произвольную точку Т на плоскости, откладываем от нее от-
резок TR, равный ходу h толкателя. Этот отрезок размечаем в соот-
ветствии с графиком s2—фр Через точки деления проводим перпенди-
куляры к линии TR. От точек деления на перпендикулярах откла-
дываем влево при подъеме и вправо при опускании толкателя отрезки
взятые из графика ----------------фР Эти отрезки нужно откла-

дывать в том масштабе, в каком отложен отрезок TR. Соединяем
плавной кривой концы этих отрезков и получаем кривую s2 —
Проводим под углом ymin к горизонтали две касательные НМ и CF
к построенной кривой.

В курсе теории механизмов и машин доказывается, что острый
угол СЕН (заштрихован) определяет на плоскости геометрическое ме-
сто точек, каждую из которых можно принять за центр вращения
кулачка, причем при таком выборе угол у передачи движения ни в
одном положении механизма не будет меньшеymin. Соединив выбранный
центр вращения кулачкам точкой Ао, получим искомый минимальный
радиус-вектор г0 кулачка.

Если эксцентриситет не задан, то, чтобы получить кулачок с наи-
меньшими размерами, следует центр вращения кулачка поместить
в точке Е. Тогда г0 = ЕА0. Если задан эксцентриситет е, то на рас-
стоянии е от прямой QR нужно провести прямую NO, параллельную
QR, др пересечения в точке О со стороной СЕ угла СЕН. Отрезок ОАо
является минимальным радиусом г0 кулачкаприданномэксцентриситете.

Следует отметить, что чем ниже располагать центр вращения ку-
лачка внутри угла СЕН, тем большим будет угол передачи движения,
тем лучше будут условия работы механизма. Однако, одновременно
с улучшением условий работы будет увеличиваться радиус г0 и, сле-
довательно, будут увеличиваться размеры кулачка.

§ 11.	ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ ТИПА II

Предполагаем, что все три диаграммы, о которых говорилось выше,
построены и все масштабы определены. Длина / толкателя, угол утш
и направление вращения кулачка заданы. Вращение кулачка направ-
лено по часовой стрелке.

Задачей динамического синтеза в данном случае является опреде-

ление такого минимального радиуса-вектора г0 профиля кулачка и та-
кого расстояния d между центрами вращения кулачка и толкателя,
при наличии которых переменный угол а передачи движения у ни в
одном положении кулачкового механизма не будет меньше ymin.

Построения, связанные с динамическим синтезом, приведены на
рис. 55, б. Точка С — центр вращения толкателя. Дуга SR радиуса I
является ходом толкателя h = Эта дуга размечена в соответст-

вии с осью ординат диаграммы s2 — <рх (технические приемы разметки

приведены в примерном расчете шестизвенного механизма).

Через точки деления дуги SR из точки С проводим лучи СЛ0; CAt
и т. д. На этих лучах от точек Л( откладываем отрезки AtLt и AtLt,
изображающие в масштабе p.$z величину причем направление от-

резков определяется поворотом вектора скорости точки Л толкателя
на 90° в сторону вращения кулачка. Через концы этих отрезков про-
водим прямые, образующие с соответствующими лучами углы у™in-
Получаем два семейства прямых: прямые первого семейства начина-
ются в точках Lt и идут слева направо (если смотреть с концов пря-
мых к точкам Lt)-, прямые второго Семейства начинаются в точках £е-
и идут справа налево. Часть плоскости RDN, ограниченная пересе-
чением двух кривых QDN и R'DT, из которых первая сгибает край-
ние левые прямые первого семейства, а вторая — крайние правые
прямые второго семейства, определяет геометрическое место точек,

каждую из которых можно принять за центр вращения кулачка, при-
чем при такоУл выборе угол передачи движения у ни в одном положе-
нии не будет меньше ymin.
Поместим центр вращения кулачка в точке О, находящейся внутри
области RDN. Тогда отрезок ОА0 определяет минимальный радиус г0
кулачка, а отрезок ОС — расстояние d между центрами вращения
толкателя и кулачка.

Рисунок 55, б позволяет определить действительный угол у передачи
движения для любого положения механизма. Подробно об этом будет
сказано ниже.

Чем дальше от точки О внутри области R'DN находится центр
вращения кулачка, тем лучше становятся условия работы механизма,
так как углы у увеличиваются. Однако при этом размеры механизма
также увеличиваются, так как возрастает минимальный радиус г0
кулачка и расстояние d.

§ 12.	ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ КУЛАЧКОВОГО

МЕХАНИЗМА ТИПА III

Для осуществления динамического синтеза кулачкового механизма
типа III достаточно потребовать, чтобы угол а (рис. 52, в) удовлетворял
условию

а > Ymin.

§ 13.	МЕТОД ОБРАЩЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Решение задачи кинематического синтеза кулачковых механизмов
связано с определенными трудностями. Эта задача значительно упро-
щается, если при ее решении пользоваться так называемым методом
обращения движения, состоящим в следующем. Если движущейся
системе, состоящей из нескольких тел, сообщить добавочное, общее
для всех тел, входящих в систему, движение, то относительное движе-
ние системы тел, несмотря на изменившееся абсолютное движение каж-
дого из них, останется неизменным. Так, например, изменение движе-
ния вагона, связанное с изменением движения поезда, не отражается
на относительном движении пассажиров, находящихся внутри вагона.

В применении к задаче кинематического синтеза кулачковых ме-
ханизмов этот метод выражается в следующем виде: мысленно при-
даем всему механизму, т. е. кулачковой шайбе, толкателю и стойке,
вращение вокруг центра вращения кулачка с угловой скоростью (—юк),
равной, но противоположно направленной угловой скорости кулачка.
Тогда угловая скорость кулачка становится равной сок+ (—<ок) = О,
т. е. кулачок как бы становится неподвижным. Толкатель, если он
в прямом движении перемещался поступательно, помимо своего аб-
солютного движения приобретает вместе со своими неподвижными па-
раллелями добавочное движение — вращение вокруг оси О2 кулачка
(см. рис. 60) с угловой скоростью, равной (—сок). При этом, однако»
относительное расположение толкателя и кулачка не нарушается»
а именно, абсолютная траектория центра ролика (отрезок прямой),
бывшая ранее неподвижной, вращаясь теперь вокруг центра О2, про-
должает касаться окружности радиуса, равного эксцентриситету е.
Точно так же и в случае кулачкового механизма с коромыслом (рис. 60)
при обращении движения останавливаем кулачок, но придаем доба-
вочное движение толкателю. При этом точка В его подвеса перестает
оставаться неподвижной: она описывает в обращенном движении
окружность радиуса О2В в направлении, обратном абсолютному враще-
нию кулачка, а центр ролика С (ролик не показан), помимо переме-
щения по дуге радиуса ВС, получает добавочное в каждый момент вре-
мени вращение вокруг центра О2. Но при этом его относительное
расположение в сйстеме не нарушается, а именно, в произвольно выбран-
ных положениях ролик всегда касается профиля шайбы и, следова-
тельно, расстояние центра ролика от центра вращения кулачка оста-
ется в обращенном движении равным тому же расстоянию, что и в
прямом. Таким образом, метод обращения движения позволяет при про-
ектировании рассматривать вместо абсолютного движения толкателя
его движение относительно кулачка; сам же кулачок становится как
бы неподвижным звеном. В какой мере при этом упрощается решение
задачи кинематического синтеза кулачковых механизмов, можно видеть
из способов решения, изложенных в следующих параграфах.

§ 14.	КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ ТИПА I

Считаем заданными все величины, перечисленные в § 5, а также
минимальный радиус г0 теоретического профиля кулачка, найденный
на основании динамического синтеза.

А. Случай, когда е = 0 (рис. 56, а) (центральный кулачковый ме-
ханизм). Предполагаем, что кулачок вращается противоположно вра-
щению часовой стрелки. Все построения ведем в масштабе pS2, в ко-
тором отложены ординаты на графике s2 — <рх. Через произвольную
точку Ао (рис. 56, а), лежащую на продолжении оси абсцисс графика
s2 — <р1( проводим вертикаль A0F, траекторию точки А толкателя и раз-
мечаем ее в соответствии с диаграммой s2 — фр Для этого через точки
ai, а2, ... проводим горизонтальные прямые до пересечения в точках

А2 и т. д. с прямой A0F. От точки Ао откладываем вниз отрезок А0О,
изображающий в масштабе минимальный радиус г0 кулачка. Точ-
ка О — центр вращения кулачка. Обратим движение механизма.
Для этого на прямой A0F выберем произвольную точку Во, выделим
из плоскости отрезок ОВ0 и сообщим ему по отношению к неподвиж-
ной плоскости вращательное движение вокруг точки О с угловой ско-
ростью в сторону, противоположную вращению кулачка. При этом
сохраним по отношению к этому отрезку заданные движения кулачка
и толкателя.

В результате сложения относительного поступательного движения
толкателя вдоль отрезка''ОД, и переносного вращательного движения
вместе с отрезком ОВ0 кулачок будет представляться неподвижным
и мы получим относительное движение толкателя по отношению к ку-
лачку, которое будет восприниматься как абсолютное.

Для построения ряда последовательных положений точки А тол-
кателя в обращенном движении поступаем следующим образом:

1.	Строим окружность радиуса ОВ0;

2.	Откладываем от прямой ОВо в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы <ру; <рд; <рв; <рб и получаем
точки В4; В5; В9 пересечения сторон этих углов с окружностью ра-
диуса ОВо.

3.	Дуги В0В4 и В5В9, соответствующие углам <ру и <рв, делим на части
в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы s2 — <р4 (точки
В3', В6\ Bi\ В8).

4.	Засекаем радиусы 0В4; 0В2 и т, д. дугами окружностей радиу-
сов ОА]/, 0А2 и т. д. в точках Лi; Л2 и т. д.

Соединяя плавной кривой точки Ло; Аг, Аг и т. д., получаем тео-
ретический профиль кулачка. Участки теоретического профиля (дуги
А4А5, АдА0), соответствующие фазовым углам <рд и <рб, описывается
дугами окружностей радиусов 0Л4 и ОАо.

Для получения практического профиля кулачка нужно построить
огибающую дуг радиуса г ролика, имеющих центры на теоретическом
профиле. На участках KL и DC практический профиль описываются
дугами радиусов (ОА4 — г) и (ОЛо — г).

Для устранения самопересечения профиля кулачка, а также из кон-
структивных соображений длина г радиуса ролика должна удовлетво-
рять двум условиям: г < 0,8 pmin и г < (0,4 4- 0,5)го. Здесь рт;п —
минимальный радиус кривизны профиля кулачка.

Б.	Случай, когда е 4= 0 (рис. 56, б). Предположим, что кулачок
вращается противоположно вращению часовой стрелки. Все построе-
ния выполняем в масштабе jiS2.

Через произвольную точку Ло, лежащую на продолжении оси абс-
цисс диаграммы s2 — «рх, проводим вертикаль A0F — траекторию
точки А толкателя,— и размечаем ее в соответствии с диаграммой z
s2 — ф1,.для чего через точки а±; а2 и т. д. проводим горизонтальные
прямые до пересечения с прямой A0F в точках Л1; А2 и т. д. Слева от f '
прямой A0F на расстоянии эксцентриситета е проводим прямую ЕО
и засекаем ее из точки Ло дугой радиуса ЛоО, равного (в масштабе
заданному радиусу г0 теоретического профиля кулачка. Точка О яв-
ляется центром вращения кулачка. При заданном вращении кулачка
против часовой стрелки эксцентриситет откладывается влево от тра-
ектории точки Ло, а при вращении кулачка по направлению вращения
часовой стрелки — вправо (см. § 10).

Из точки О опускаем перпендикуляр ODo на прямую А^. Обратим
движение механизма. Тогда кулачок будет представляться нам не-
подвижным.

Траектория абсолютного движения точки Л толкателя (прямая
О(,В()) в ее обращенном движении все время будет касаться окружности
радиуса е в точках Dr, D2, Ds и т. д. Для построения последовательных
положений (Лг, Л2 и т. д.) точки Л толкателя в обращенном движении
поступаем следующим образом:
1)	строим окружность радиуса ОВ0;

2)	откладываем от прямой ОВо в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы <ру; <рд; <рв; <рб и получаем
точки В4; В5; В9 пересечения сторон этих углов с окружностью радиуса
ОД,;

3)	дуги В(Д4 и ВЪВ$, соответствующие углам (ру и <рв, делим на части
в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы s2 — <р4 (точки В^
^2t Вз>	^в)>

4)	проводим из точек В^, В2 и т. д. касательные к окружности ра-
диуса е (B^f, B2D2 и т. д.);

5)	засекаем касательные дугами окружностей радиусов ОЛ4;
ОАг и т. д. в точках Л г, Л 2 и т. д. Соединяя плавной кривой точки Ло;
Л1; Лг и т. д. получаем теоретический профиль кулачка.

Определение радиуса г ролика и построение практического профиля
производим так же, как и в случае, когда е = 0.

§ 15.	КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ

МЕХАНИЗМОВ ТИПА II (рис. 57)

Считаем заданными диаграмму s2 — cpi или f> — <р4 движения толка-
теля (р$ =/рр) и длины: г0 — минимального радиуса теоретического
профиля кулачка, I — толкателя и d — расстояния между центрами
вращения толкателя и кулачка.

Предполагаем, что кулачок вращается противоположно вращению
часовой стрелки. Все построения ведем в масштабе pS2, в котором от-
ложены ординаты на диаграмме s2 — (jjj. На произвольной прямой
OF откладываем отрезок ОВо, изображающий расстояние d в масштабе
Ps2. Из точек О и Во соответственно дугами радиусов г0 и I засекаем
точку Ло—положение точки А толкателя, самое близкое к центру ку-
лачка. От прямой В0Л0 откладываем (по направлению вращения ча-
совой стрелки) угол ртах и засекаем его сторону B0D0 в точке Do дугой
А0Е радиуса /. Очевидно, что дуга Ло£)о является траекторией точки
А, а длина ее — ходом h толкателя. Размечаем траекторию точки А
(точки Лх; А2; А3 и т. д.) в соответствии с законом изменения ординат
диаграммы s2 — <рх, для чего откладываем от точки Ло дуги, равные
ординатам этой диаграммы (оЛ0Л4 = 1а4; оЛ(1Л2 = 2а2 и т. д.).
Метод разметки траектории точки Л приведен в примерном расчете ше-
стизвенного механизма.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом обра-
щения движения механизма.

В результате сложения движений кулачок будет представляться
нам неподвижным, а точки А и В перемещающимися соответственно
по профилю кулачка и окружности радиуса ОВ с центром в точке О.

Для построения последовательных положений (Л1; Л 2 и т. д.)
точки Л толкателя в обращенном движении поступаем следующим
образом:
1)	строим окружность радиуса ОВо;

2)	откладываем от прямой ОВо в направлении, противоположном
вращению кулачка, заданные фазовые углы <ру; <рд; <рБ; <рб и получаем
точки пересечения сторон этих углов с окружностью радиуса ОВо
(точки В4; В5; В9);

3)	дуги B0Bt и В5В9, соответствующие углам <ру и <рв, делим на части
в соответствии с делениями оси абсцисс диаграммы s2 — (точки Вх;
В2; В3; Ве; В,; ,В8);

4)	из точек Вг-, В2 и т. д. проводим дуги радиуса I и засекаем их в точ-
ках Аг, Аг и т. д. дугами радиусов ОАг, ОА2 и т. д.

Соединяя плавной кривой точки Ло; Ai и т. д. получаем теоретиче-
ский профиль кулачка.

Определение радиуса г ролика и построение практического профи-
ля производим так же, как и для кулачка типа I.

§ 16.	СИНТЕЗ КУЛАЧКОВОГО МЕХАНИЗМА С ПЛОСКИМ
ТОЛКАТЕЛЕМ

Геометрический синтёз. Для решения поставленной задачи должны
быть заданы:

1)	закон движения кулачка <р = <р (/); примем ®к = const и, зна-
чит, <р =
2)	закон движения толкателя в форме трех кинематических диа-
грамм:

v v/ v dS _ dS /^.	d2S d2S . ч

s — 5 (ф). drp drp (ф)>	d(p2 — d(p2 (ф)-

r>	d1 2 3 4 5 6S

В наших заданиях дана диаграмма ---------<р; поэтому первые две

диаграммы следует предварительно построить путем последователь-
ного двухкратного интегрирования заданной диаграммы;

3)	7*min “

4)	форма толкателя (т. е. угол у).

Требуется построить профиль кулачковой шайбы, удовлетворяющий
заданным условиям:

Рис. 58

1) радиусом rmin (с учетом принятого масштаба) строим окружность
с центром в точке Л (рис. 58, а);

2) отмечаем, как и ранее, углы <ру, <рд, <рв, <рб;

3) делим углы <ру и <рв на несколько частей в соответствии с заданной
диаграммой S (<р);

4) нумеруем точки.пересечения окружности радиуса гт;псо сторо-
нами построенных углов в направлении, обратном вращению кулачка
(на рис. 58, а нумерация не показана). Заметим (рис. 58, а), что рассто-
яние от центра А до плоскости толкателя равно Лщп + sin у в любом
положении последнего. При этом плоскость толкателя во все время
движения должна касаться профиля кулачка. Поэтому такая же кар-
тина имеет место и в обращенном движении. Отсюда вытекает дальней-
шее решение задачи;

5) соединяем центр А с точками деления окружности радиуса rmin
и на этих лучах от центра А откладываем, пользуясь диаграммой S (<р),
соответствующие значения rmin + St sin у;

6) через концы полученных отрезков проводим перпендикуляры
к ним. Эти перпендикуляры представляют собой положения плоскос-
ти толкателя в его обращенном движении.

Огибающая построенных перпендикуляров и будет искомым прак-
тическим профилем кулачка.
Два способа решения задачи, когда минимальный радиус-вектор
кулачка наперед не задан. Первый способ (метод Я. Л. Геронимуса).

d2S

1.	Из диаграмм^ (гр) H—T-j- исключается графически параметр <р.
*	d2S

При этом на получаемой диаграмме S------(Рис- 58, б) масштабы

на обеих осях должны быть между собой равны:

Ms — М d*s 

Полученная криваяХ = X ("dip5-) (рис. расположится в пер-
вом и втором квадрантах координатной системы.

2.	Проводим касательную АВ к той части кривой, которая лежит
во втором квадранте, под углом 45° к оси s. Несколько увеличенный
отрезок ОВ с учетом масштаба является минимальным радиусом ку-
лачка

Гт.п = OB^siny.

Построение профиля кулачка производится в такой последователь-
ности:

а)	из произвольно выбранной точки А (рис. 58, а), принимаемой за
центр вращения кулачка, строим окружность радиуса rmjn;

б)	делим эту окружность на п равных частей и нумеруем точки де-
ления в направлении, противоположном вращению кулачка;

в)	через точки деления проводим лучи из центра вращения кулач-
ка и откладываем на них от точки А соответственно расстояния

/•min + Si sin у;

г)	через конечные точки полученных отрезков проводим к ним
перпендикулярные прямые, которые определяют положения плоскости
толкателя при его движении относительно кулачка;

д)	строим огибающую всех упомянутых перпендикуляров; эта
кривая и будет искомым профилем кулачка.

Что касается направляющих, в которых перемещается стержень
толкателя, то положение их, очевидно, может быть взято произвольно
при одном лишь условии, что они образуют заданный угол ус плоскос-
тью толкателя.

Второй способ. Из курса теории механизмов и машин известно, что
в кулачковом механизме с плоским толкателем имеет место неравенство

. /с . d‘2S \ .

/•min > —	+ -gyS-J SIH у,

где у — угол, образованный направлением движения толкателя с его
плоскостью (касательной к профилю кулачка).

Отсюда вытекает такой способ определения:

/"min — ^min-
Наложим диаграммы (S — <р) и ---------<pj (рис. 59) одну на дру-

гую и просуммируем их. Разумеется, для этого необходимо предвари-
тельно вычертить их в одном масштабе, т. е. нужно, чтобы

Р <ps ~ 9s’
dq>‘

На рис. 59, в приводится уже просуммированная диаграмма при -
у =90 °. Заметим, что гтщ — Smm всегда больше
нуля и поэтому приведенное выше неравенство
показывает, что гтщ должно быть больше наи-
большей отрицательной ординаты, полученной ,
при наложении диаграмм. Это обеспечивает су-
ществование приведенного неравенства во всех
положениях механизма. Обозначим наибольшее
абсолютное значение отрицательной ординаты ।
через а. Тогда, гарантируя «запас», берем с
некоторым увеличением найденное значение, а
именно:

= *$min = ifl "Ь $)

где б определяется из равенства бр$ » 10 мм.

§ 17. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

УГЛА ПЕРЕДАЧИ ДВИЖЕНИЯ

В РАЗЛИЧНЫХ ПОЛОЖЕНИЯХ КУЛАЧКОВОГО МЕХАНИЗМА

Угол передачи движения меняется с положением механизма. Его
величина характеризует в известной мере качество механизма, поэто-
му практически важно для оценки работы механизма иметь диаграмму
у — ср изменения угла передачи в зависимости от положения даже и в
том случае, когда при проектировании профиля некоторые размеры
ВЗЯТЫ ИЗ условия у > Утщ.

Значение угла у в различных положениях можно определить как ана- •
литически, так и графически.

В курсах теории механизмов и машин приводятся формулы для *
определения значений у в зависимости от угла <р поворота кулачка.
Поэтому ограничимся графическим определением у.

Это можно сделать двумя способами: либо воспользовавшись тео-
ретическим определением угла передачи движения, либо используя
построения, приведенные на рис. 55.

В первом случае по различным положениям толкателя в его обра-
щенном движении (рис. 60) находим острые углы, образованные лини-
ями относительной и абсолютной скоростей центра ролика.

На рис. 60, а показаны углы у3 и у4 передачи движения, соответству-
ющие третьему и четвертому положениям теоретического профиля ку-
лачкового механизма с эксцентриситетом, а на рис. 60, б — механизма
с коромыслом.
Рис. 60, б

Рис. 61

Во втором случае (рис. 61, а), соединяя любую точку В овала с цент-
ром О2 вращения кулачка механизма с эксцентриситетом, получаем
-4ClBl02 — yf. Найдем, например, угол CSBSO2. Заметим, что по по-
строению

С0С,  Rs — S.



Hs — Н as •

</<р
Тогда tg С3В3О2 =	а

vn&

Рис. 62

скр е
это 'и есть формула для опреде-
ления угла у3. Следователь-
В но, ^С3ВЯО2 = у3.

т?' Точно так же, соединяя центр
вращения кулачка О2 механизма
с коромыслом с точкой Ь{ (на
рис. 61, б i = 3; 4), получаем,
что -ЗСДО2 равен либо у{, либо
л — yt. Докажем это.

Предварительно заметим, что
нормаль Nfli (рис. 62) к про-
филю кулачка в точке Сг пере-
секает линию центров О2В в точ-
ке Kh которая является мгно-
венным центром относительно
вращения кулачка и толкателя
в данном положении. Вспомним
далее, что

СД-Иг = -^-ВС.Иг;

dip _ toT _ О2К,
d<jp <ок BKi

Отсюда -^0- =	и, следовательно, O2bt II К. fit-

dL.i а(р Dixi

Но по рис. 62 видно, что	как углы с

взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому ^KtCiLi = у,, а
значит, в силу параллельности сторон -^ClblO2 = у£. Определив зна-
чения у в п положениях механизма, можно построить диаграмму у — <р
изменения угла передачи в зависимости от положения кулачковой
шайбы.

§ 18. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО
РАДИУСА г0 КУЛАЧКОВОЙ ШАЙБЫ МЕХАНИЗМА

С ПЛОСКИМ ТОЛКАТЕЛЕМ,

СОВЕРШАЮЩИМ ВОЗВРАТНО-ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Графический метод определения г0, который является трудоемким
и дает приближенный результат, описан в § 16. Более точный резуль-
тат можно получить, пользуясь аналитическим методом.
Законы движения толкателя

Таблица 12

Графическое изображение

1

2

Аналитическое выражение			Примечание
d2S   4$max d<₽2 “ ± ф2  ds     4<->тахФ/  <р  на интервале 0< <р;  ds	„„	<Фу~Ф/]  d<p 22 4dmax <p2  <р  на интервале	ф^ <р  / Ф- \2  s,= 2Sma I —— 1 \ /  Ф  иа интервале 0 < ф( С  s=S — 2S Фу"ФП  s3	°max	co  Чу /  Ф  на интервале < Ф < ф,		и  2	"и D О  (1  <gle- тз |тз  К  а
d2S	2^Sm ахФ,  -		 = -t* 			—			  d(₽2 Ф1 ds _ l2S™^i		2	
d(p 1  на интервале 0 < Ф(<  ds	_ 12Smax (фу — ф.)			
dф 2  Ф на интервале —  Sj = 4Smax  на интервале 0 «  \s2 ~ Smax р ~ 4 1 ф  на интервале ——	Фу  - < ф, < ф;  \чу1 ^Ф,С-/-  ГФУ-ФЛЗ-  Фу ) _ - < ф/ < фу		

5 1328
Продолжение табл. 12
Как отмечалось выше, профиль кулачка будет выпуклым лишь в том
случае, когда радиус г0 удовлетворяет неравенству

> — (s + sin у,	(7.20)

где s — перемещение толкателя;

у — заданный угол передачи движения.

Из формулы (7.20) видно, что для определения величины г0 нужно
вставить наибольшее по модулю отрицательное значение суммы s +

d^s

которое в дальнейшем будем обозначать буквой а:

I . d?s \

(7.21)

— а.

йф2

Наибольшую величину а можно получить, используя аналитиче-
ские выражения законов движения толкателя, приведенные в табл. 12:

1. При движении толкателя с' постоянным ускорением (см.
табл. 12, 1) имеем:

S

2 d2S 4Smax
। И йф2 - ф2

где Smax — максимальное перемещение толкателя.

Максимальное значение величины а будет при <р( — т. е. при

с _ Smax

S-----2~‘

Тогда

Фу — 8

& = *$max Т~2	~ *$шах^»

2фу

где



Фу —8

*Ру

(7.22)

2. Если ускорение толкателя изменяется по закону, представлен-
ному в табл. 12,2, то

d2s  94 “s . ис  4 с
Jq)2 — r^°max	И Ь — ЧОтах

*₽У

3

Здесь максимальное значение а будет при	т. е. когда

„ __ •Smax d?S  12*$тах

Подставив эти значения в уравнение (7.21), получим

а ~	( Smax_______ISStnax ) _ о ( ^У	\ ___ О t

12	„2	| — *Jmax I Г~2 I — *5max£'»
где

2фу

(7.23)

3. При движении толкателя с ускорением, определяемым диаграм-
мой, изображенной в табл. 12, 3 имеем:

rf2S ___

d(p2 — 0*>max

/ <py — 2ф(- \

[/	\2	/	31

3	— 2|-^-1 •

к фу /	V фу / J

Максимальное значение а будет, тогда <р(- = <ру. При этом

»	,	__ $Smax ,

max’ Йф2 —	2	>

Фу —6

*Ру

где

(7.24)



4. При изменении
(табл. 12, 4)

ускорения толкателя по закону косинуса

s — —г^х- Г1 — cos 1л

—'ll-

Фу /J

Максимальное значение а будет, когда <р(- = <ру. При этом

d2s 	 д no $шах .  йф2	ф2 >	•а  и  Е со  II со о>  Е со  II а  S  X  Е со  II со
где	Ф?, — 4,93  Ь = -- у-а —.	(7.25)  Ф?.
5. Если ускорение (табл. 12, 5), то	толкателя изменяется по закону синуса
d2s  Йф2	= 2л  ^i-sin|2n --2Ц ф£	к	Фу /

П S = 5щах ------<у~ • sin 12л • -^-Ц.

х[ Фу 2л у фу у]
Максимальное значение а будет, когда <р(- = 0,75 <ру. При этом
= 6,28	; s=0,91Smax;

a-s	b

w — °max I	2	I —

\	*Py	J

где

В рассмотренных законах движения толкателя значение функции
b зависит от величины фазового угла <р поворота кулачка: чем меньше
ф, тем больше Ь. Поэтому при расчете величин b в формулы (7.22) —
(7.26) следует подставлять наименьшее значение из заданных углов
фу ИЛИ фв.

Подставив в уравнение (7.20) значение функции Ь, получим форму-
лу для определения минимального радиуса кулачка

Го = &Sraax sin у + (5 4- 10) мм.	(7.27)

Чтобы легче определить величину Ь, построены кривые зависимости
этой функции от фазовых углов фу или <рв (рис. 63).

По оси абсцисс отложен фазовый угол фу или % движения толкате-
ля, по оси ординат — функция Ь.

Для различных законов движения функция b выражается следую-

щими уравнениями:

1)	& =

<р2 —8
2<р2

(кривая I) — толкатель движется с

постоянным

ускорением;

2)	b = ф 2~224- (кривая II) — толкатель движется с

ускорением

по

по

прямоугольному треугольнику;

3)	Ь = ~-^76- (кривая III) — толкатель движется с

ускорением

наклонной прямой;

4)	b = g--,4'93
Ф2

(кривая IV) — толкатель движется с ускорением

по косинусоиде;

с\ г 0,91<р2— 6,28	.	у,.

b) b =-----j------- (кривая V) — толкатель движется с уско-

рением по синусоиде.

Минимальный радиус г0 шайбы кулачка определяют по формуле

Го = Фо = I | S sin у + (5 -т-10) мм,

где S — ход толкателя, мм;

у — угол передачи движения.

Пример использования кривых для 1 определения г0, если задано
S = 10; у = 90 и ф = 40°:
16 20 24 28 32 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
1)	из точки на оси абсцисс, соответствующей <р = 40°, проводим
вертикальную линию, пересекающую кривые в точках а, b, с, d, е;

2)	против этих точек на оси ординат получаем значения функции
bi = 7,7; Ьц = 24,1; Ьщ = 11,3; biv = 9,1; by = 12;

3)	подставив эти значения в формулу для г0, для упомянутых зако-
нов движения получим:

Гм = 7,7 • 10 • 1 4- 8 = 85 мм;

Гоп = 24,1 • 10 4- 9 = 250 мм;

Лип = 11,3- 10 • 1 4- 7 = 120 мм;

roiv = 9,1 -10-14-9= 100 мм;

Гоу = 12 • 10 • 1 4- Ю = 130 мм.

При определенных значениях <р функция b < 0. Это обстоятельство
указывает на то, что при таком значении фазового угла <р радиус шайбы
кулачка можно выбирать произвольно, так как профиль кулачка будет
выпуклым при любом значении г0.

§ 19.	ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛОВЫХ ДИАГРАММ

В большинстве машин рабочие процессы представляют собой сово-
купность многих операций, каждая из которых выполняется соответ-
ствующим исполнительным механизмом. В состав последнего входит
рабочий орган, находящийся в непосредственном взаимодействии с
обрабатываемым объектом.

Для обеспечения правильной технологии процесса рабочие органы
должны иметь вполне определенный закон движения, а перемещения
их должны происходить в требуемой производственным процессом
последовательности и должны быть увязаны между собой (синхронизи-
рованы) во времени и в пространстве.

Некоторые рабочие органы машины имеют непрерывное движение,
а некоторые из них — прерывистое. В том и в другом случае необхо-
димо по заданным производственным процессом условиям построить
так называемую цикловую диаграмму машины, которая устанавливала
бы требуемую синхронизацию перемещений рабочих органов за один
цикл движения. Различают два цикла: рабочий и кинематический.

Рабочим циклом машины называется промежуток времени /ц по
истечении которого начинается обработка следующей поданной в ма-
шину детали или изделия.

Кинематический цикл машины измеряется временем 7К, по истече-
нии которого все рабочие органы машины, совершив заданные пере-
мещения, приходят в положение, занимаемое в начале цикла.

Рабочий цикл машины может быть равен нескольким кинемати-
ческим циклам (в частных случаях кинематический и рабочий циклы
совпадают). Так, например, кинематический цикл полуавтомата 27
класса ПМЗ для пришивки пуговиц соответствует одному обороту
главного вала, а рабочий цикл соответствует 21 обороту главного
вала, так как за это время происходит полностью выполнение операции
по пришивке пуговицы. В четырехтактном двигателе рабочий цикл
соответствует двум оборотам главного вала, т. е. равен двум кинема-
тическим циклам.

Кинематический цикл включает периоды рабочих и холостых
перемещений и периоды остановки ведомого звена (рабочего органа).
Число периодов, длительность и последовательность их расположения
внутри кинематического цикла механизма могут быть различными и
определяются требованиями той производственной операции, которую
выполняет данная машина.

Кинематический цикл машины удобно измерять от начального
положения одного из исполнительных механизмов, который в этом

Рис. 64

случае обычно называют цикловым механизмом. В качестве циклового
рекомендуется выбирать механизм, выполняющий в машине основную,
наиболее энергоемкую, операцию.

Кинематический цикл может соответствовать одному или несколь-
ким оборотам ведущего вала. Так, например, ведущий вал насоса с
кривошипно-шатунным механизмом в течение цикла делает один обо-
рот. У четырехтактного двигателя в течение цикла ведущий вал делает
два оборота. В некоторых машинах один цикл соответствует и больше-
му числу оборотов ведущего вала.

Цикловая диаграмма машины (циклограмма) — это графическое
изображение последовательности взаимодействия рабочих органов
машины или синхронности движения их за время одного кинематиче-
ского цикла при выполнении технологической операции.

Циклограммы машины выполняются в полярных либо в прямоу-
гольных координатах. Первые называются круговыми, вторые — пря-
моугольными циклограммами.

Прямоугольные циклограммы строятся в виде прямоугольни-
ков с условными обозначениями рабочих и холостых перемещений
(рис. 64, а). Длина этих прямоугольников пропорциональна времени /к
кинематического цикла механизма.
Отрезок оси абсцисс делится на части, пропорциональные времени,
затрачиваемому на рабочие, холостые перемещения и остановы рабо-
чих органов. Обозначим время и углы поворота главного вала, соответ-
ствующие рабочему перемещению рабочего органа, через tp и «рр, холос-
тому перемещению его — через /х и <рх и останову — to и <ро.

Иногда циклограммы машины строятся в виде графиков S = /(<р)
перемещений рабочих органов (рис. 64, б) в определенном масштабе,
отнесенных к одной оси абсцисс. Эта диаграмма отражает, кроме углов,
соответствующих .началу и концу срабатывания механизмов, также и
величины максимальных перемещений ведомых звеньев и дает полное
представление о характере относительных движений рабочих органов
механизма на протяжении всего кинематического цикла машины.

Предположим, что в состав машины входят три исполнительных ме-
ханизма. Механизмы I и II имеют рабочие и холостые перемещения, а
механизм III — только рабочее перемещение. Время tp и tx нам извест-
но. Производственный процесс, выполняемый данной машиной, требует,
чтобы рабочее перемещение рабочего бргана, выполняющего последую-
щую операцию, начиналось лишь после того, как рабочий орган, выпол-
няющий предыдущую операцию, вернулся в свое начальное положение,
осуществив как рабочее, так и холостое перемещение. Тогда периоды
рабочих и холостых перемещений органов рассматриваемой машины
должны занимать на циклограмме положение, показанное на рис. 64.

Для любого механизма tK = tp + tx + to или <рк = <рр + <рх + <ро.
Из рисунка видно, что для выполнения исполнительными механизмами
заданной последовательности работы нужно, чтобы кинематические
циклы механизмов I и II имели периоды to останова:

(^Р +

Период останова механизма III: /о = /к— tp.

Таким образом, прямоугольная цикловая диаграмма указывает,
в какой последовательности и в какие моменты кинематического цикла
отдельные механизмы машины включаются в работу и когда их работа
заканчивается, т. е. полностью представлен ход одновременного вы-
полнения производственного процесса отдельными механизмами маши-
ны, последовательность и характер перемещения ее рабочих органов
за время кинематического цикла.

В тех случаях, когда кинематический цикл машины равен одному
обороту главного вала, циклограмму удобно изображать в виде кон-
центрических круговых колец (круговая циклограмма), каждое из
которых изображает собой цикл механизма, входящего в состав маши-
ны. Круги колец делятся на секторы, центральные углы которых равны
углам поворота главного вала за период каждого из рабочих, холостых
перемещений и остановки рабочего органа (рис. 64, в).

При последовательном согласовании действия механизмов удли-
няется кинематический цикл машины и снижается ее производитель-
ность. Для уменьшения длительности кинематического цикла смещают
фазы действия механизмов, добиваясь их одновременного движения.
Однако параллельное действие и движение всех инструментов (рабочих
органов) не всегда можно осуществить; тогда решают задачу о
степени совмещения действий механизмов, обеспечивающей возможно
меньшую длительность кинематического цикла.

Предположим, что на машине обрабатывается изделие при помощи
двух инструментов, закрепленных в точках В и С колеблющихся
рычагов (рис. 65, а). На рис. 65, б представлены циклограммы работы

Рис. 65

механизмов при последовательном со-
гласовании действия инструментов.
Совмещаем действия их.

Чтобы траектории движения инст-
рументов не пересекались, нужно,
чтобы координаты точки М инстру-
мента В находились в следующем со-
отношении с координатами инстру-
мента С в момент встречи:

хв < хс и Ув> Ус

Эти координаты аналитически трудно
найти, поэтому чаще всего пользуют-
ся графическим методом.

Графический метод предваритель-
ного нахождения точек пересечения
траекторий основан на совмещении
цикловых диаграмм, изображенных в
виде графиков перемещений рабочих
инструментов машины. Для решения
этой задачи на рис. 65, а находим точ-
ку М пересечения и определяем угол
Фв,, соответствующий повороту инст-
румента В при отходе его от изде-
лия, и угол фс,. Эти углы определя-
ются графическим построением. Одна-
ко, чтобы не было пересечений в точ-

ке М, нужно, чтобы инструмент В в определенный момент времени рас-

полагался выше инструмента С. Относительное угловое смещение
инструмента В — (рвг (рис. 65, в) определяется законами движения,
размерами и формой рабочих инструментов, зазорами в кинемати-

ческих парах механизма, деформациями звеньев, регулировкой и на-
стройкой механизмов. Для построения циклограммы машины нужно

определить степень смещения периодов (фаз) действия одного меха-
низма относительно другого при наименьшей продолжительности
общего кинематического цикла машины.

На рис. 65, в представлена совмещенная -циклограмма работы ма-
шины. В этом случае продолжительность кинематического цикла будет
меньше, чем при последовательной работе инструментов.

(^к, > ^к,)-

Таким образом, не изменяя времени движения отдельных рабочих
инструментов и механизмов, но, смещая фазы их действия, можно
уменьшить продолжительность кинематического цикла.

Циклограмма машины отражает все происходящие в механизме
процессы. Пользуясь циклограммой, легко определить положение, в
котором находится каждый рабочий орган при заданном положении
ведущего звена циклового механизма. Кроме того, построение совме-
щенных циклограмм дает возможность сократить кинематический
цикл работы машины, а значит повысить производительность ее.

§ 20.	КОМПОНОВКА СХЕМЫ МАШИНЫ

Заданная цикловой диаграммой последовательность работы испол-
нительных органов должна быть исключительно точно согласована,
что достигается в основном надлежащим размещением ведущих зве-
ньев на главном валу и таким креплением, которое исключало бы
возможность их произвольного смещения. Начальные положения
ведущих звеньев определяются фазовыми углами исполнительных ме-
ханизмов |51.

Фазовым углом исполнительного механизма называется угол
поворота ведущего звена циклового механизма, отсчитываемый от на-
чального его положения до положения, соответствующего начальному
положению рассматриваемого исполнительного механизма.

Величины фазовых углов можно определить по цикловой диаграмме.

Чтобы фазовые углы были выдержаны, необходимо ведущие звенья
исполнительных механизмов закреплять на ведущем валу под опреде-
ленными углами закрепления а.

С. И. Артоболевский рекомендует [5] определять углы закрепле-
ния по заданному фазовому углу графическим построением. Покажем
это на примерах.

1.	На главном валу швейной машины 22 класса Подольского меха-
нического завода закреплены ведущие звенья (кривошипы) двух меха-
низмов — механизма игловодителя, представляющего собой централь-
ный кривошипно-ползунный механизм О АВ, принятый за цикловой, и
механизма нитепритягивателя, представляющего собой шарнирный
четырехзвенный механизм 0СС0г (рис. 66, а). Вычерчиваем эти ме-
ханизмы в их начальном положении — ОА0В0 и OCqDiPl (за началь-
ное положение механизма игловодителя принимаем положение, когда
игла — ползун находится в верхнем крайнем положении; начальное
положение механизма нитепритягивателя на рис. 66, а показано пунк-
тиром). От линии ОСо в направлении, обратном вращению вала, откла-
дываем фазовый угол W механизма нитепритягивателя. Угол СОАо
будет углом закрепления а, под которым следует закрепить кривошип
ОС механизма нитепритягивателя по отношению к кривошипу ОА
механизма игловодителя.

Как видно из рис. 66, а, в начальном положении механизма игло-
водителя (циклового механизма) кривошип механизма нитепритягива-
теля занимает положение ОС.
При повороте главного вала на угол Т кривошип ОС совпадает с
ОС0, а вместе с этим механизм нитепритягивателя OCDO1 займет свое
начальное положение, как это и следует из определения фазового угла.

На рис. 66, а показана также скомпонованная схема механизма
OAjBl и	в произвольном положении.

2.	Рассмотрим механизм поперечно-строгального станка, состоя-
щий из кулисного механизма, принятого за цикловой, и кулачкового
механизма.

Вычертим оба механизма в начальном положении (кулачковый
механизм, изображенный на чертеже пунктиром, представлен в виде

центрового профиля кулачка Ко и коромысла D,^ без ролика). Тре-
буется найти угол закрепления а, который образует минимальный
радиус-вектор OD кулачка с кривошипом ОАо. Отложим фазовый
угол Ч7 в направлении, обратном вращению вала. Тогда угол АйОО и
будет искомым углом закрепления. В самом деле, когда вал О повер-
нется на угол ¥ из заданного начального положения ОА0, то OD сов-
падет с ODo и кулачковый механизм окажется в начальном положении.
Чтобы не строить дважды кулачковую шайбу, можно определение
угла а вести от начального положения ODo кулачкового механизма.
В этом случае фазовым углом кулисы (рис. 66, б) будет, очевидно,
угол 360° — W.
ГЛАВА VIII
СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

§ 1.	СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МЕХАНИЗМ

При силовом расчете механизмов обычно предполагаются задан-
ными законы движения ведущих звеньев хотя бы в первом прибли-
жении и часть внешних сил.

Основными силами, определяющими характер движения механизма,
являются движущие силы, совершающие положительную работу, и
силы полезного (производственного) сопротивления, возникающие в
процессе выполнения механизмом полезной работы и совершающие
отрицательную работу. К движущим силам относятся: сила давления
рабочей смеси на поршень цилиндра двигателя, момент, развиваемый
электродвигателем на ведущем валу насоса или компрессора, и т. д.
Силы полезного сопротивления — этб те силы, для преодоления кото-
рых предназначен механизм. Такими силами являются: силы сопротив-
ления резанию в токарном станке, сопротивления ткани проколу иглы
в швейной машине и т. д. Кроме этих сил необходимо учитывать также
силы сопротивления среды, в которой движется механизм, и силы
тяжести звеньев, производящие положительную или отрицательную
работу в зависимости от направления движения центра тяжести зве-
ньев — вниз или вверх.

Все эти силы принято называть задаваемыми. При расчете меха-
низма все движущие силы и силы полезного сопротивления должны
быть заданы. Эти силы обычно задаются в виде так называемых механи-
ческих характеристик.

Механической характеристикой двигателя или рабочей машины
называют зависимость момента, приложенного к ведомому валу двига-
теля или к ведущему валу рабочей машины, от одного или нескольких
кинематических параметров. Механические характеристики опреде-
ляют экспериментальным путем или же при помощи различных мате-
матических зависимостей.

При работе механизма в результате действия всех приложенных к
его звеньям указанных сил в кинематических парах возникают реак-
ции, которые непосредственно не влияют на характер движения меха-
низма, но на'поверхностях элементов кинематических пар вызывают
силы трения. Эти силы являются силами вредного сопротивления.

Реакции в кинематических парах возникают не только вследствие
воздействия внешних задаваемых сил на звенья механизма, но и вслед-
ствие движения отдельных масс механизма с ускорением. Составляю-
щие реакций, возникающих в результате движения звеньев механиз-
ма с ускорением, могут быть названы дополнительными динамическими
давлениями в кинематических парах.

Основная задача кинетостатического расчета состоит в определении
реакций в кинематических парах механизмов или, иначе говоря, дав-
лений, возникающих в местах соприкосновения элементов кинемати-
ческих пар, а также п определении уравновешивающих моментов или
уравновешивающих сил. Под последними обычно понимают те неиз-
вестные и подлежащие определению силы или моменты, приложенные
к ведущим звеньям, которые уравновешивают систему всех внешних
сил и пар сил и всех сил инерции и пар сил инерции.

Если механизм имеет несколько степеней свободы, то для его рав-
новесия необходимо столько уравновешивающих сил или пар сил,
сколько имеется степеней свободы. В механизме, обладающем одной
степенью свободы, уравновешивающей силой является сила или пара
сил, приложенная к ведущему звену.

В теории механизмов и машин весьма широкое применение полу-
чил так называемый кинетостатический метод силового расчета меха-
низмов. Этот метод, как известно из курса теоретической механики,
состоит в следующем. Если к точкам несвободной системы вместе с
задаваемыми силами приложить мысленно фиктивные для этой систе-
мы силы инерции, то совокупность этих сил уравновешивается реак-
циями связей. Этот прием, несмотря на свою условность, обладает тем
важным для практики преимуществом, что позволяет свести решение
задач динамики к решению задач статики. Это имеет место, когда по-
ставленная задача относится к типу первой задачи дина-
мики, т. е. задачи об определении сил по заданному движению.

Переходим к определению сил инерции в механизмах.

§ 2.	СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Так как звено механизма состоит из отдельных материальных то-
чек, ускорения которых в общем случае различны, то необходимо
определить те силовые параметры, к которым приводится в общем
случае сумма сил инерции материальных точек звена. Предположим,
что звено имеет материальную плоскость симметрии, параллельную
плоскости движения.

Система сил инерции звена, как и всякая плоская система сил,
приложенная к твердому телу, в общем случае приводится к одной
силе Ри. Ее модуль равен массе звена, умноженной на модуль ускоре-
ния центра масс звена, а направлена она в сторону, противоположную
этому ускорению. Выясним положение прямой АВ линии действия
силы Ри (рис. 67). Из дифференциальных ур_авнений плоскопараллель-
ного движения твердого тела, находящегося под действием некоторых
сил, видно, что это движение может быть осуществлено, если в центре
S масс тела приложить силу, равную главному вектору системы, и
пару, момент которой

М = Jse,	(8.1)

где Js — момент инерции тела относительно оси, проходящей через
точку S перпендикулярно плоскости движения;

е—угловое ускорение тела.
В таком случае система сил инерции, как условно уравновешиваю-
щая заданную систему сил, также приводится к силе

Ря = — mws,	(8.2)

приложенной в точке S и направленной в сторону, противоположную
направлению вектора ускорения центраS масс, и к паре с моментом

М, = — Jse,	(8.3)

направление которого противоположно угловому ускорению е. Мы
привели силы инерции материальных точек звена к силе и к паре.

Однако параллельным переносом в точку К вектора Ри силу и пару
можно заменить одной силой. Момент присоединенной пары:

Л4Н = — Puh.

Отсюда следует, что

Рцк —
и, следовательно,

•А <?8

h =	(8.4)

Итак, система сил инерции звена, находящегося в плоскопарал-
лельном движении, в общем случае может быть приведена либо к одной
силе

РЕ=— mws,	(8.5)

приложенной в некоторой точке К, либо к главному вектору сил инер-
ции

Р„ = — mws,	(8.6)

приложенному в центре S масс звена и к паре сил инерции с моментом

Мв = — Jse.	(8.7)

Если звено движется поступательно, то его угловое ускорение е
равно нулю и в этом случае систему сил инерции его материальных
точек приводят к одной силе (8.5), линия действия которой проходит
через центр S масс.
При вращении звена вокруг неподвижной оси О (рис. 68) глав-
ный вектор и главный моментсил инерции его материальных точек мож-
но определить из равенств (8.6) и (8.7). Основываясь на равенстве (8.4),
главный вектор и главный момент сил инерции можно привести к од-
ной силе.

Разложим силу инерции Ри, приложенную в точке К, на две состав-
ляющие: нормальную Ри и тангенциальную Р„, модуль которой

Ри = tnrse.

Так как момент нормальной составляющей Ри относительно центра S
масс равен нулю, то вместо равенства (8.4) можно написать

~~ J—— J	J

_—mrsP	mrs

(8.8)

Рис. 69
проходящей через эту

Точка К, через которую проходит линия действия результирую-
щей сил инерции звена, называется центром качаний.

Таким образом, силы инерции материальных точек звена можно
привести к одной силе, линия действия которой в случае поступатель-
ного движения проходит через центр масс,
в случае вращательного движения — че-
рез центр качаний и при плоскопарал-
лельном движении звена — через точку,
смещенную относительно центра масс на
расстояние, определяемое равенством (8.8).
Задачу об определении точки приложе-
ния равнодействующей силы инерции звена
можно решить также способом, основанным
на разложении плоскопараллельного дви-
жения звена на поступательное с уско-
рением, равным ускорению произвольной
точки звена, и на вращательное вокруг оси,
точку и перпендикулярной к плоскости

движения. Пусть закон распределения ускорений точек звена АВ
(рис. 69, а) задан планом ускорений (рис. 69, б).

Сила инерции PKl в переносном поступательном движении равна
произведению массы т звена на ускорение любой точки звена, напри-
мер, точки В, и приложена в центре тяжести S звена.

Сила инерции Р„г в относительном вращательном движении звена
вокруг точки В, складываясь с парой сил инерции, дает результирую-
щую силу, которая приложена в центре качания Ко звена, в предполо-
жении, что точкой подвеса звена является точка В. Положение точки
о2	—

Ко определяется по формуле (8.8) Isk0 = -у-2-- Направление силы Рн,
‘BS

противоположно ускорению Wb точки В, т. е. противоположно вектору
nb, а направление силы инерции РИг противоположно ускорению Wsb,
т. е. противоположно вектору bs плана ускорений. Точка пересечения
линий действия сил Ри, и РИг, т. е. прямых, проведенных через точку
S параллельно nb и через точку Ко параллельно bs, определит точку
Т, через которую проходит линия действия результирующей силы
инерции Рн. Величину и направление силыРи определяют по формуле
(8.5).

§ 3. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМОВ

Кинетостатический метод расчета позволяет, как указано выше,
находить реакции в кинематических парах, или, иначе говоря, опре-
делять те давления, которые возникают в местах соприкосновения
элементов кинематических пар, а также находить уравновешивающую
силу или уравновешивающий момент пары сил.

При решении задач кинетостатики механизмов закон движения
ведущего звена, а также массы и моменты инерции звеньев механизма
предполагаются заданными, внешние силы и моменты сил также будем
считать в каждом положении механизма известными.

Силовой расчет механизмов будем вести в предположении, что
трение в кинематических парах отсутствует и все силы, действующие
на звенья механизма, расположены в одной плоскости. При отсутствии
сил трения сила взаимодействия между двумя звеньями всегда направ-
лена по нормали к поверхности их касания. В поступательной паре все
элементарные силы взаимодействия и их равнодействующая будут
расположены перпендикулярно направляющей поступательной пары.

Наиболее удобным методом силового расчета механизмов является
метод планов сил. При силовом расчете механизм расчленяется на
отдельные группы; при этом необходимо придерживаться общеизвест-
ного из статики сооружений положения об установлении порядка
расчета, который будет обратным порядку кинематического исследо-
вания, т. е. силовой расчет начинается с группы, присоединенной
последней в процессе образования механизма, и заканчивается расчетом
ведущего звена начального механизма. Если плоский механизм имеет
одну степень свободы, то начальный механизм состоит из двух звеньев:
неподвижного (стойка) и начального звена. Эти звенья образуют либо
вращательную кинематическую пару (кривошип — стойка), либо по-
ступательную пару (ползун — направляющие). Звено, к которому
приложена уравновешивающая сила Ру, будем считать при силовом
расчете начальным звеном механизма. Реакция в начальном враща-
тельном механизме зависит от способа передачи энергии начальному
звену источником энергии.

При исследовании механизмов двигателей кривошип условно
принимают за начальное звено. В этом случае реакция в начальном
вращательном механизме зависит от способа передачи энергии криво-
шипом рабочему звену. Если кривошипный вал приводится во враще-
ние парой, например, непосредственно от электродвигателя, то в этом
случае к валу приложен уравновешивающий момент (рис. 70)

Му = /?з.2/г н • м	(8.9)
и реакция в опоре О вала (звено 1) будет равна действию звена 3 на
звено 2 (кривошип)

#1,2 = — #3,2-	(8.10)

Если же кривошипный вал приводится во вращение одной силой,
например, через зубчатый редуктор (рис. 71), то на зубчатое колесо 2,
сблокированное с криюшипом, дей-
ствует со стороны сопряженного ко-
леса уравновешивающая сила Ру,
расположенная под углом у =

R12

Рис. 70

«= (90° — а) к линии центров колес (а — угол зацепления); величину
уравновешивающей силы определяют из равенства

Ру == #3,2 • — 
3	П2

(8.Н)

Для определения давления #i,2 звена 1 на звено 2 напишем урав-
нение равновесия сил, действующих на звено 2:

Plc. 72

#3,2 + #1,2 + Ру — 0- (8.12)

Реакцию #i,2 можно полу-
чить непосредственно из урав-
нения построением силового тре-
угольника.

Рассмотрим на примере двух-
поводковой группы с тремя шар-
нирами два способа силового
расчета, основанные на методе
планов сил. Пусть звенья АС и
ВС (рис. 72, а) составляют по-
следнюю двухповодковую груп-
пу в механизме и пусть звено АС
(звено 2) нагружено силой Р9 и
парой с моментом AJ8, а звено ВС

(звено 3) нагружено силой Р3
и парой с моментом М3; линии действия, величина и точки приложе-
ния обеих сил заданы. Приложенные силы откладываем на чертеже в
масштабе рр. При выделении из механизма группы или отдельного
звена необходимо действие отсоединенной части механизма заменить

реакциями, приложенными к соответствующим элементам кинема-
тических пар. Условная силу, действующую на звено I со стороны
звена k, обозначать через Rki. Требуется найти силы взаимодействия
звеньев между собой, т. е. реакцию Т?2.з либо /?з,2 в шарнире С и давле-
ния отсоединенных звеньев 1 и 4 механизма на звенья 2 и 3, т. е. реак-
ции ₽4,з в шарнирах А и В.

Прикладываем в точках А и В неизвестные реакции T?i,2 и Rt,3 и со-
ставляем уравнение равновесия группы АСВ, т. е. приравниваем
нулю сумму всех сил, действующих на группу:

R1.2 + Р2 + Ря + /?4,3 - 0.	(8.13)

В этом уравнении известны: величина, направление, точка прило-
жения сил Р2 и Р3, а также точки приложения реакций R1>2 и Rii3.
Таким образом, написанного векторного уравнения с четырьмя неиз-
вестными для решения задачи недостаточно. Поэтому для определения
величины реакций R\,2 и Ri,3 выражаем как по первому, так и по вто-
рому способу каждую из реакций двухшарнирного звена в виде геомет-
рической суммы двух составляющих. При этом по первому способу
одну из составляющих Ri,2 реакции T?i>2 и R"t3 реакции Rit3 направ-
ляем по осям АС и ВС звеньев 2 и 3, а другую составляющую Rm
реакции Rif2 и М.з реакции Rt,3 направляем перпендикулярно этим
осям; (линии действия составляющих R",2, Ri,2, R",s и М.з на рис. 72, а
показаны пунктирными линиями). Получаем

R1.2 ~ Ra? + Rl,2',
Ri,3 ~ Й.З + /?4,3-

(8.14)

Величины Ri,2 и /?4.з можно получить из уравнений равновесия
составленных для звеньев 2 и 3 в отдельности. Для этого рассмотрим
сначала равновесие звена 2. Звено 2 находится под действием следую-
щих сил и пар: силы Р2, пары с моментом М2, составляющих R",2 и
R\,2 реакции 7? 1.2 и реакции R3.2. Составляем уравнение моментов Mc(Pt)
всех сил относительно точки С. Так как направление составляю-
щей Ri,2 пока неизвестно, то при составлении уравнения моментов
задаемся произвольным направлением ее. Если после определения
величина этой составляющей окажется отрицательной, то ее истинное
направление будет противоположно выбранному. Так как

Мс(Я"2) = 0 и MC(R3 J = G, а Мс (R‘J = Я' 21АС,

то уравнение моментов напишется так:

мс (Л) = мс (Р2) + м,21АС + м2 = о,

откуда

^1,2 =

Мс
^АС

(8 15)
Из этой формулы ясно, что направление показанное на
рис. 72, а пунктирной линией, нужно изменить на обратное (пока-
зано сплошной линией).

Аналогично из условия равновесия звена 3 имеем уравнение мо-
ментов

откуда

Мс (Ps) + Рл,з1вс + М, — О,

Т?4.3 =

МС(Р3) + М3

1ВС

(8.16)

истинное направление /?4,з показано на чертеже сплошной линией.
Полученные выражения для 2 и /?1>3 подставляем в уравнение
(8.13)

Ям 4-1?1,2 4- Р2 4- р3 + Ж.З 4- Я?.з = 0.	(8.17)

В это векторное уравнение входят только два неизвестных скаляра —
величины составляющих /?">2 и R"t3 реакций R1j2 и R4,3, направленных
по осям АС и ВС звеньев 2 и 3. Поэтому задачу можно решить графи-
чески методом построения плана сил. Для этого из любой точки а плос-
кости (рис. 72, б) откладываем в произвольном масштабе рр состав-
ляющую 7?i,2 реакции Rit2 в виде вектора ab. К вектору ab геометри-
чески прибавляем вектор Ьс, изображающий в том же масштабе рр
силу Р2. Продолжая далее геометрическое сложение в порядке, указан-
ном в уравнении (8.17), получаем последовательно вектор cd, изобра-
жающий силу Р3, вектор de, изображающий составляющую ₽4,з реак-
ции Л?4.3.

Далее через начало а вектора ab проводим прямую в направлении
действия второй составляющей Р\Л реакции т. е. параллельно
оси АС звена 2, а через конечную точку е вектора de прямую в направ-
лении действия составляющей реакции R4.3, т. е. параллельно
оси ВС звена 3. Точка f пересечения этих прямых определяет начало
вектора fa составляющей Д",2 и конечную точку вектора ef составляю-
щей R4i3. Полные реакции T?i,2 и R4>3 можно получить согласно урав-
нениям (8.14). Соединив точку f с точкой Ь, получим реакцию Ri,2 в
виде вектора fb. Величину реакции R4t3 в виде вектора df определим,
если соединить точки d и f. Таким образом, определены величины и
направления искомых реакций T?i,2 и R4t3.

Для определения давления R3,2 звена 3 на звено 2 напишем уравне-
ние равновесия сил, действующих на звено 2:

R1.2 4* Р2 4“ Рз,2 = 0.

Единственной неизвестной по величине силой в этом уравнении явля-
ется сила R3,2. Величину ее можно получить непосредственно из урав-
нения построением силового треугольника. Для этого в плане сил
(рис. 72, б) достаточно соединить точки с и f. Очевидно, что реакцию
Д2.з, равную по величине реакции Т?з.2, но противоположную ей по
направлению, можно определить из уравнения равновесия звена 3:

Ri,3 + Р з 4" Rz,3 — 0.

В плане сил вектор ₽г,з представлен тем же отрезком (/с), что и
реакция /?з>2, но противоположно направлен. При определении реак-
ций по второму методу будем полагать, что все внешние силы и пары
сил, приложенные к звену, а также силы инерции и пары их заменены
одной равнодействующей силой. Этот метод заключается в следующем.
Реакцию Ri^, приложенную в центре шарнира А, разлагаем на две
составляющие таким образом, чтобы одна из них была направлена па-
раллельно линии действия равнодействующей сил, приложенных к
звену, а другая — по оси звена. Величину первой из них определяем
непосредственно из условия равновегия звена. Так, выделяя из двух-
поводковой группы звено 3, раскладываем сил у Р3 на две составляющие
Rb и Rc, параллельныелинии дейсгвиясилы Р3 и приложенные соответ-
ственно в центрах ВиС шарниров. Таким образом, одна из составляю-
щих реакций в каждом из шарниров ВиС полностью известна; другая
составляющая Rвс обеих реакций, направленная по оси ВС звена, неиз-
вестна по величине. На рис. 72, а показано разложение силы Р3, при-
ложенной к звену 3. Для этого в центре шарнира С или В параллельно
линии действия силы Р3 откладываем отрезок CD, изображающий в
масштабе р.₽ силу Р3. Конец/) отложенного отрезка соединяем прямой
DB с точкой В. Через точку F пересечения линии действия вектора
Р3 и прямой DB проводим параллельно оси СВ звена прямую FE,
которая и разделит отрезок DC на части, обратно пропорциональные
расстояниям между точками приложения слагаемых сил и равнодей-
ствующей. Таким образом, одна из составляющих Rb = ED реакции
/?4.з, приложенной в центре шарнира В, и Rc = СЕ реакции R2>3, при-
ложенной в центре шарнира С, известна по величине и направлению;
вторые составляющие Rcb и Rbc этих реакций направлены по оси звена
ВС в противоположные стороны. Аналогично раскладываем также и
силу Р2 на составляющие Ra и Rc, приложенные в центрах шарниров
А и С (рис. 72, а). Тогда получаем

Rb -Т Rbc — R4.3',
Rc + Rcb = Rz.3',
Ra + Rac = Riz- 

(8.18)

Для определения реакций Ri,2 и Rit3 применяем способ, вытекаю-
щий из условия равновесия рассматриваемой группы. Из этого усло-
вия следует, что

Rac + Ra 4- Р3 4- Р3 4* Rb 4~ Rbc — 0.

(8-19)
Величины составляющих Rbc и Rac можно легко определить из
построения по указанному выше способу плана сил в соответствии с
векторным уравнением (8.19). Рассмотрим примеры применения мето-
дов силового расчета.

Пример 1. На рис. 73, а изображена кинематическая схема механизма двигате-
ля внутреннего сгорания с компрессором. Начальное звено ОА вращается с заданной
угловой скоростью <£>!• На звенья механизма действуют следующие силы и моменты:
сила Р3, приложенная в точке В звена 3, являющаяся равнодействующей движущей
силы, силы инерции и веса звена 3, сила Р7, приложенная в точке G звеиа 7,— рав-
нодействующая полезного сопротивления, силы инерции и силы веса звена 7, силы
инерции звеньев 2 и 6, звено 4 нагружено силой Р4, приложенной в точке Н звена 4
и являющейся результирующей внешних сил и силы инерции, н моментом Л/4, пред-
ставляющим собой сумму моментов всех внешних пар сил и пары силы инерции;
звено 5 нагружено силой Ръ, приложенной в точке N звена 5,— результирующей
всех сил и пар сил. Веса звеньев и их моменты инерции относительно осей, проходя-
щих через центры тяжести, полагаем известными.

Требуется определить уравновешивающий момент Л1у и давления в кинематиче-
ских парах. Планы скоростей и ускорений рассматриваемого механизма построены
на рис. 73, б, в. Находим величину и точки приложения результирующих сил инерции
звеньев 2, 4 и 6. В технических расчетах кривошип ОА считают уравновешенным,
и потому в этом случае сила инерции Ря его равна нулю.

Силы инерции звена 2 могут быть сведены к силе инерции Ри , приложенной в
центре тяжести S2 звена, и к паре сил инерции, момент которой равен Ми*. Сила инер-
Q

ции	. ns2 • [i^, где б2 — вес звена 2; g— ускорение силы тяжести (£=•

= 9,8! л/се№); зщ — масштабное значение ускорения ws центра тяжести S2 звена 2,
— масштаб ускорений. По способу, изложенному выше, результирующую силу
инерции Р и пару сил инерции с моментом заменяем одной равнодействующей
Р'(, параллельной и равной PHj и приложенной к точке Ra на расстоянии Л2 от центра
тяжести S2 звена:

Л! и	Jо е,

== __b_L.

*	Р	р

и,	* и2

Для определения точки Т6 приложения равнодействующей РИо силы инерции
звена 6 применим способ, изложенный выше и основанный иа разложении плоскопа-
раллельного движения звена на поступательное и на вращательное. Определение поло-
жения точки Tg ясно из построений (рис. 73, а). В точке Тв и может быть приложена
сила РИв, величину и направление которой определяют по формуле (8.5). Точкой при-
ложения силы Ри может быть выбрана любая точка, лежащая на прямой И, прохо-
дящей через точку Tg. Силу Р4 и момент Л!4 пары сил заменяем равнодействующей
Р4, приложенной в точке Q, причем сила Р, расположена от силы Р4 иа расстоянии

Переходим теперь к определению давлений в кинематических парах и уравно-
вешивающего момента Му. Определение давлений в кинематических парах начинаем
с последней группы в порядке ее присоединения, т. е. с двухповодковой группы, об-
разуемой звеньями 6 и 7.

Составляем уравнение равновесия этой группы-

Ps + Р8.7 + Ри. + Р5.6 = 0.	(8.20)
b
В этом уравнении силы Р, и Ри< полностью известны, т. е. известны их точки при- .
ложения, величина и направление. Известны также линия действия реакции Rg 7 и
точка приложения реакции Rg 6. Для определения величины реакций R8 7 и R5 6 рас-
кладываем реакцию R5 6 на две составляющие Rg 6 и R$ 6 по первому способу, из-
ложенному выше. Величину составляющей R$ 6 можно получить из уравнения момен. ,
тов всех сил, действующих на звено 6, относительно точки G. Уравнение (8.20) можно
теперь записать так:

^5,6 + ^5,6 + Ри, + Р1 + ^8,7 = °'

В этом уравнении неизвестны только величины составляющей R"6 реакции R5e,
направленной по оси FG звена 6, и реакции R87, расположенной перпендикулярно
направляющим звена 7. Эти величины можно легко определить из построения плана .
сил (рис. 73, г). Реакция Rg 6 на плане сил получитси, если соединить точки е и Ь:

R5i6 = efcpp-

Реакция R87 на плане сил будет представлена в масштабе рр отрезком (de), а
реакция R7 6 — отрезком (се), получаемым из условия равновесия звена 6. Сила Ръ
приложенная к звену 7, проходит через точку G — центр шарнира. В этой же точке
приложена реакция7?6 7. Поэтому и последняя сила R8 7 из числа действующих на зве-
но 7 также должна проходить через точку G.

Рассмотрим группу, состоящую из звеньев 5 и 4 (рис. 73, д). К звену 4 в точке
Q приложена равнодействующая Р4, а на звено 5 действует сила Р6, приложенная в
точке N.

Для определения давления Rag в шарнире Е разложим его на две составляющие
(рис. 73, е): одну, RE, направим параллельно линии действия приложенной к звену
5 силы Р6, а другую, RED,— по направлению оси FD этого звена; давление R2 4 также
разложим на составляющие Rc, параллельную линии действия Р4, и RCD, направ-
ленную по оси CD звена 4. Составляем общее уравнение равновесия группы:

Red +" Re + ^6,5 + рь + pt + Rc + Rcd = °-

Силы R£> Re,5, P$, P^kRc известны. Сила RED известна по направлению и па-
раллельна оси ED звена 5, а сила RCD параллельна оси CD звена 4. Для определе-
ния величины сил RED, RCD строим план сил (рис. 73, е).

Реакция Ra 5 изображается в виде отрезка bg, а реакция R24 — в виде отрезка
eg. Определение реакции R54 или R45 не представит теперь никаких затруднений.

Рассмотрим последнюю группу, состоящую из звеньев 2 и 3 (рис. 73, ж).

На звено 3 действует сила Р3, приложенная в точке В, а на звено 2 — равно-
действующая Р'^ сил инерции, приложенная в точке Л'2. Аналогично предыдущему
раскладываем реакцию Rt 2 на составляющие: RA, параллельную линии действия
равнодействующей сил Р' , R4 2, и RAE, параллельную оси звена АВ.

Уравнение равновесия всех действующих на рассматриваемую группу сил име-
ет следующий вид:

РАВ + Ra + «4,2 + Ри2 + рз + «8,з = 0.

Реакцию Ra 3 и составляющую RAB реакции R] 2 определяют аналогично преды-
дущему построением плана сил (рис. 73, з). Полную реакцию R12 можно получить
как результирующую согласно уравнению

^1.2 =	+ RAB-

Реакция R j 2 на плане сил будет представлена в масштабе цР отрезком fb, а реак-
ция 3 —отрезком ef.

Переходим к начальному звену — кривошипу ОА (рис. 73, и). На него действу-
ет сила R2 1’ Равная по величине и противоположно направленная силе 2. Если пе-
редача энергии кривошипом рабочему звену осуществляется парой сил, то к валу
кривошипа в этом случае приложен уравновешивающий момент

М-у = jR2j/zp./.

Реакция Т?81 в опоре О вала: /?8 j = — R2l. Если же передача энергии криво-
шипом осуществляется одной силой, например, зубчатой передачей, то на звено /
Действует уравновешивающаи сила Ру.

Рис. 74

Величину силы Ру можно определить из равенства (8.11), а реакцию Rg ] находят
построением силового треугольника согласно векторному уравнению (8.12) равнове-
сия кривошипа.

При анализе условий работы подшипников и шеек вала обычно строит полярную
Диаграмму давлений на шейку вала, дающую возможность определить среднее и наи-
большее удельные давления. Рассмотрим построение этой диаграммы на примере
кривошипно-ползунного механизма, применяй следующий метод.

Разносим массу шатуна статически в две точки: А и В (рис. 74, а). Сила Т, дей-
ствующая по направлению оси шатуна механизма, определяетси выражением

т= Р^~ PflB
cos Р ’

где Р — давление газа на поршень двигателя;

РцВ— сила инерции поступательно движущихси масс, сосредоточенных в точке В,
и части массы шатуна, отнесенной к этой точке.

На шатунную шейку вала действуют силы Т и РяА — сила инерции части массы
шатуна, отнесенной к точке А. Полное давление R2 j иа шатунную шейку находим
как геометрическую сумму двух составляющих Т и РиА. На рис. 74, б показано по-
строение диаграммы давлений ₽21 для ряда положений механизма.

Относительное движение звеньев не изменится, если всему механизму сообщить
дополнительное вращение с какой-либо общей угловой скоростью. Сообщим всему
механизму дополнительное вращение с угловой скоростью со, равной по величине, но
противоположной по знаку угловой скорости кривошипа. Тогда кривошип ОА ста-
нет как бы неподвижным, а ось ОВ цилиндра будет вращаться относительно криво-
шипа с угловой скоростью (—го). Через точку О проводим под углом ф к линии О А
ряд лучей ОВ (иа чертежеф = 15°, 30°, 60°, 90s и так далее). Из центра А шатунной
шейки проводим окружность а — а радиусом, равным длине шатуна АВ. Точка В
пересечения этой окружности с проведенными лучами определяет положение оси

ОВ цилиндра и шатуна АВ по отношению к колену ОА вала. Для какого-нибудь зна-
чения угла поворота ф вала, например ф= 60°, и соответствующего положения точки
В откладываем от точки А в виде отрезка АС величину силы инерции РиА. От конеч-
ной точки вектора АС откладываем параллельно оси АВ шатуна отрезок CD, представ-
ляющий собой в выбранном масштабе силу Тт. Тогда вектор AD представит собой по
величине и направлению давление /?2,1 иа шатунную шейку вала в данном положении
механизма. Выполняя аналогичные построения для нескольких положений механиз-
ма, получим ряд значений давления R2l. Соединяя последовательно конечные точки
векторов давлений R2 j плавной кривой, получим полярную диаграмму давлений
иа шатунную шейку вала.

Пример 2. На рис. 75 изображена схема кулисного механизма III класса попереч-
но-строгального станка. Начальное звено О А вращается с заданной угловой скоростью
<о1. К звеньям механизма приложены следующие силы: к звену 5 приложена сила Р5 —
равнодействующая силы давления обрабатываемого изделия на резец, силы веса и
силы инерции. К звену 3 в точке D приложена результирующая Р3 всех сил и пар сил
и к звену 4 — Р4. Станок приводится в движение электродвигателем, от вала которо-
го вращение при помощи ременной передачи передаетси звену 1. Раскладываем по вто-
рому способу реакции Rei и <R3>4 на составляющие , ROiB и RB, RBOi, приложен-
ные в точках 0t и В. Реакцию R5 3 раскладываем на две составляющие: одну, 3,
параллельную оси хх, и другую, /?5 3, перпеидикулирную к ней. Затем находим по
предыдущему (глава VI, § 10) особую точку S и составляем уравнение моментов
всех сил, действующих на звено 3, относительно найденной точки S:

MS(RB) + Ms (Р3) + Ms (Ц з) + MS(RBO) = 0.	(8.21)

Так как звено 2 не нагружено, то реакция Р2 з приложена в точке А и направлена
перпендикулярно к оси ВС звена 3. Величина составляющей R3 3 реакции R6 3 оче-
видно, равна величине силы Р6 cos а, но направлена в сторону, противоположную ей,
что следует из условия равновесия звена 5 (уравнения проекций на ось хх).

Моменты сил R23 и R|3 относительно точки S равны нулю. После определения
из уравнения (8.21) величины реакции RB0 составляем общее уравнение равновесия
звена 3 (кулисы), приравнивая нулю геометрическую сумму всех сил, действующих
на ззено:

+ -/?2,з + -^5,3 + ^5.3 ~ ®-

Для определения входящих в это уравнение неизвестных сил /?2 3 и R| 3 строим
план сил. Определение реакций R6 5 и R6 4 после этого не представит затруднений.
Точку приложения реакции R66 на направляющей хх находят из уравнения моментов
сил, действующих иа звено 5 относительно точки С. В этом уравнении неизвестным
будет только плечо/г реакции R65, которое и будет определено. Из условия равнове-
сия звена 2 получим

Я3,2 + Я1.2 = °-

Сила R2 j = — Rj 2 = R3 2 будет являться внешней для начального звена 1.
Рассматривая условия равновесия этого звена, легко найти Му и реакцию R61.

§ 4. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУЛОВСКОГО

Соотношение между силами, приложенными к механизму (включая
и силы инерции), можно получить с помощью вспомогательного рычага
Жуковского. Теорема Жуковского может быть сформулирована так.

Если какой-либо механизм под действием системы сил, приложен-
ных к этому механизму, находится в равновесии, то повернутый на
90° в какую-либо сторону план скоростей механизма, рассматриваемый
как твердое тело (неизменяемая система), вращающееся вокруг полюса
плана и нагруженное теми же силами, приложенными в соответствую-
щих изображающих точках плана, также находится в равновесии.

Теорему Жуковского можно применить и к системе, не находящей-
ся в равновесии. Для этого достаточно, кроме действующих сил, при-
ложить и силы инерции. Получающаяся при этом система сил условно
находится в равновесии, и потому к ней можно применить указанную
теорему. Для доказательства теоремы воспользуемся принципом воз-
можных перемещений. Для системы, обладающей стационарными
связями (т. е. связями, не зависящими от времени), возможные переме-
щения совпадают с действительными элементарными перемещениями.
Математическое выражение принципа возможных перемещений в этом
случае получает такой вид:

S Pi • 6s£  cos (Pt, 6s£) = 0

или, разделив на dt,

2 Pfli cos	= 2 /V, = 0,

1 1

где Pt — задаваемые силы;

vl — скорости точек приложения сил Р£;

v{ cos а, — проекции скоростей тех же точек на линии действия сил Pt;

N( — мощности сил Р,.

Предположим, что в точке J звена Л В приложена сила PL (рис. 76, а),
перенесенная параллельно самой себе в изображающую точку i повер-
нутого на 90° плана скоростей звена (рис. 76, б).

Мощность N, силы Pt можно выразить следующим образом:

AZ, = P,v, cos a, = Pt • pl • p„cos a, =

где ht — перпендикуляр, опущенный из полюса р плана скоростей на 
линию действия силы Р,. Угол между pi и ht равен а£.

Так как полученное выше уравнение, определяющее величину AZ„
имеет место для всех сил Р„ действующих на другие звенья механизма,
то будем иметь:

= ^2^Л = о.
1 1

Поскольку рр =р 0, то

2РД = 0,	(8.22)

что и является доказательством теоремы.

Метод Жуковского можно применить для нахождения величины
какой-либо силы, если точка приложения и линия действия этой силы
заданы, а также известны линии действия, величины и точки приложе-
ния всех остальных сил, действующих на разные звенья механизма.
При исследовании движения механизма, находящегося под действием
приложенных сил, удобно все силы, действующие на механизм, заме-
нить силами, приложенными к одному из звеньев механизма. При этом
необходимо, чтобы работа заменяющей силы на рассматриваемом воз-
можном перемещении была равна сумме работ всех сил, приложенных
к механизму. Заменяющие силы, удовлетворяющие этим условиям,
называют приведенными. Величина приведенной к точке силы, заме-
няющей всю действующую на механизм систему сил, по величине равна
уравновешивающей силе, но по направлению приведенная и уравно-
вешивающая силы противоположны. Применим метод Жуковского к
нахождению приведенной Рп или уравновешивающей Ру силы. Пусть
на звенья 2 и 5 изображенного на рис. 77, а механизма действуют силы

Рй и Р3, приложенные в точках С и D. Силы Р2 и Р3 представляют собой
равнодействующие всех действующих на звенья 2 и 5 сил, включая и
силы инерции. Очевидно, что в общем случае под действием произволь-
но выбранных сил механизм не будет находиться в равновесии. Для
приведения механизма в равновесное состояние необходимо в ка-
кой-либо точке механизма приложить уравновешивающую силу Ру,
задаваясь ее линией действия, или уравновешивающий момент Л1У
пары сил. За точку приложения
уравновешивающей силы Ру при-
нимаем точку А ведущего звена,
направляя ее перпендикулярно к

Рис. 76

0гА. Строим в произвольном масштабе повернутый план скоростей
механизма (рис. 77, б) и переносим векторы Pt и Р3 сил, а также урав-
новешивающую Ру параллельно самим себе в изображающие точки с,
d н а плана скоростей. Принимая план скоростей за рычаг, нагружен-
ный силами Р2, Р3 и Ру, составляем уравнение моментов этих сил отно-
сительно полюса р плана скоростей, причем знаки у моментов выбираем
в зависимости от направления их вращения:

— Pyhy + PJi3 — P2h2 = 0.

Из этого уравнения определяем величину уравновешивающей силы

Р __ ^3

У	hy

Если правая часть уравнения после численного подсчета окажется
положительной, то направление силы Ру было выбрано правильно.
При отрицательном значении правой части направление силы Ру необ-
ходимо изменить на противоположное. Определив уравновешивающую
силу Ру и изменив направление ее на противоположное, получим при-
веденную силу Pj,. Приведенная сила является условной и пользовать-
ся ее величиной можно лишь при решении вопросов, связанных с опре-
делением мощности или работы машины.
§ Б. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ В ШАРНИРНО-РЫЧАЖНЫХ
МЕХАНИЗМАХ

При рассмотрении вопросов кинетостатического расчета механиз-
мов предполагалось, что трение в кинематических парах отсутствует.
Для учета сил трения реакцию Z?i,2 в поступательной паре следует
направлять, как известно, под углом трения р к нормали (рис. 78),
а во вращательной паре реакция Z?i,2 должна быть направлена по каса-
тельной к кругу трения (рис. 79). Эта касательная должна быть прове-
дена так, чтобы реакция
Д1,2 препятствовала враще-
нию тела 2 с угловой ско-
ростью <в2,1- Радиус а кру-
га трения будет прибли-
женно равен rf, т. е. а«
« rf, где г — радиус ци-
линдрического элемента па-
ры, a f — коэффициент тре-
ния во вращательной паре.

Полный учет сил трения в механизмах чрезвычайно усложняет
все силовые расчеты и графические построения. Поэтому на практике
часто пользуются приближенным методом, по которому первый расчет
делается без учета сил трения. Найдя давления в шарнирах и задава-
ясь величиной коэффициента трения, определяют соответствующие

Рис. 80

силы трения в шарнирах, после чего весь расчет повторяют снова, вво-
дя найденные силы трения в число внешних сил, приложенных к рас-
сматриваемым звеньям. Новые значения найденных этим методом давле-
ний обычно мало отличаются от действительных значений. Рассмотрим
простую методику статического исследования кривошипно-ползунного
механизма с учетом сил трения (рис. 80, а). К механизму приложены
результирующая сила Р3, действующая на ползун, и момент на валу,
представленный парой (Т—Г); силами инерции шатуна и кривошипа
пренебрегаем. Шатун, как не нагруженный внешними силами,
подвергается только действию двух реакций, приложенных в точках
А и В; эти реакции должны идти по касательной к соответствующим
кругам трения. Так как сил, приложенных к шатуну, всего две, то
они должны быть направлены по одной прямой в разные стороны; этой
прямой при учете сил трения в парах А и В будет являться касательная
к обоим кругам трения. Из четырех возможных общих касательных
надо взять одну в соответствии с направлением движения. На рис. 80, б
построен план скоростей механизма, из которого видно, что угловая
скорость со2 шатуна при заданном направлении ©! кривошипа в данном
положении механизма направлена по движению часовой стрелки
(направление <о2 показано на рис. 80, а стрелкой). Угловые скорости
(оз.2 ползуна 3 относительно шатуна 2 и <01,2 кривошипа / относи-
тельно шатуна 2:

(0з.2 = ®з —	®1,2 = <о1 — <й2,

так как <о3 = 0, то угловая скорость со3.2. как видно из первого уравне-
ния, направлена против движения часовой стрелки; угловая скорость
(01,2, согласно написанному выше второму уравнению, направлена
также против движения часовой стрелки (направления (o3,2 и <oi,2 по-
казаны на рисунке стрелками).

Реакции 7?г,з и T?2,i — — Rz,3 лежат на одной прямой, которая,
как указано выше, при направлении силы Р3 влево к центру О вала
должна касаться круга трения на шарнире В сверху, а на шарнире
Л — снизу.

Для определения величины реакций Т?2,з и Ri,3 напишем уравнение
равновесия сил, действующих на звено 3:

Rz,3 + Р3 + Rt,3 = 0,

где /?2,з — реакция шатуна, направленная по найденной общей каса-
тельной к обоим кругам трения;

Rt,3 — реакция направляющих, образующая с нормалью угол
трения р (рис. 80, а).

Величину реакций R2,3 и /\з можно получить непосредственно
из этого уравнения построением силового треугольника (рис. 80, в).
Реакция /?4,з должна проходить через точку С пересечения линий
действия сил Р3 и R2,3. Определяем общее давление Rr на кривошип-
ный вал (рис. 80, г) как геометрическую сумму двух известных состав-
ляющих:

Ri — ^2,1 + Q,

где Q — вес вала и всех деталей, вращающихся вместе с ним.

Так как к кривошипному валу механизма приложена пара (Т, Т)г
то реакция T?4,i подшипников будет равна Rlt но направлена в про-
тивоположную сторону и касается круга трения на опоре О сверху.
Пара сил (Rlt (рис. 80, а) должна быть уравновешена парой
(Т—Т).

Для определения коэффициента полезного действия механизма
подсчитываем для ряда положений механизма мощность Л/тр, затрачи-
ваемую на преодоление сил трения за один полный цикл времени уста-
новившегося движения. Общая мощность NTP сил трения в каждый
момент времени:

Л/Тр = S1Vt = Nо 4- Wa -j- Nв, Nвг.

Мощности, затрачиваемые на трение в кинематических парах, вы-
ражаются так:

Mo — foRlfo I 1> RА “ f aR\$PА I 1>

~ /в,^3,2ГВ, I I’ В, ~ fe^Rs.^B-

Реакции Rlt R1>2, Рз,2, Rsa в кинематических парах для каждого
положения механизма можно определить; го, га и гв, — радиусы цапф
соответствующих шарниров, а также fo, /л, /в, и /в, — коэффициенты тре-
ния в соответствующих шарнирах и направляющей ползуна заданы.
Угловые скорости звеньев и скорость vB ползуна по направляющей
определяют из плана скоростей. Построив график изменения мощности
7VTp за один полный цикл, можно определить среднее значение NTp.cp
мощности, затрачиваемой на преодоление сил трения. Аналогично по
заданным силам полезных (производственных) сопротивлений опреде-
ляют мощность Мп.с, затрачиваемую на преодоление этих сил сопро-
тивлений в каждый данный момент времени. По графику изменения
мощности Nnc находят среднее значение Л7пс.ср мощности сил произ-
водственных сопротивлений. Средняя мощность движущих сил

NД.ср = Л'п.с.ср 4- N Тр.Ср"

Общий коэффициент полезного действия механизма

N

п=1_	(8.23)

д.ср

§ 6. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ

На рис. 81, а изображена схема коромыслового кулачкового меха-
низма, план ускорений которого построен на рис. 81, б. При равно-
мерном вращении кулачка («, = const) его сила инерции P„t направле-
на по радиусу 0Sv rAeSr — центр тяжести кулачка:

Put = "htf los_

Сила инерции ролика РИг = m2we и направлена в сторону, обратную
ускорению wb центра ролика. Звено 3 совершает колебательное движе-
ние относительно точки Oj. Силы инерции звена 3 можно привести к
силе РИа, приложенной в центре тяжести S3 звена:

Р», = —
и к паре сил с моментом

Л43

Сила Р на рис. 81, а соответствует величине натяжения пружины.

Определим давления в кинематических парах механизма. Давление
Т?1,2 в кинематической паре Е направлено, если не учитывать трения
в паре, по нормали к профилю кулачка и проходит через центр В ро-
лика. Величину давления T?i>2 можно найти из уравнения моментов

Рис. 81

всех сил, действующих на ролик и звено 3, относительно точки 0х.
Согласно обозначениям, принятым на рис. 81, а,

Риг9г 4* Ри39з + P(]i — Ri#hz + М3 = О,

откуда

Rl,2 —

+ PQ1 + М3

h3

Давление Rit3 определяем из уравнения геометрической суммы
сил, действующих на звенья 2 и 5:

Рцг + Рц3 + Р + Ri,3 + Rl,2 — о.

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 81, в в
виде силового многоугольника abcde. Замыкающий вектор еа этого
многоугольника представляет собой в выбранном масштабе р,р давле-
ние Ri,3. Для определения звена 4 на кулачок напишем уравне-
ние равновесия сил, действующих на кулачок:

R2.1 + Рцг + Rt.i — 0.

Величину реакции /?4д в виде вектора fb можно получить непо-
средственно из уравнения построением силового треугольника fba
(рис. 81, в). Давление ^з,2 звена 3 на ролик находят из уравнения,'
выражающего равенство нулю суммы сил, действующих на ролик:

^?1,2 + Р„, 4- Rs# = 0.

Это давление определится, если на плане сил (рис. 81, в) соединить
точки с и а; тогда вектор са в масштабе представит реакцию /?з,2-

ГЛАВА IX

УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ

§ 1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

При движении механизма в кинематических парах кроме стати-
ческих возникают дополнительные усилия, так называемые динами-
ческие давления. Эти давления, будучи переменными по величине и
направлению, являются причиной вибраций отдельных звеньев меха-
низма. Станина механизма также испытывает динамические давления,
которые передаются на связанный с ней фундамент, оказывая вредное
действие на его крепления и нарушая тем самым связь станины с фун-
даментом; кроме того, возникающие при движении механизма динами-
ческие давления увеличивают силы трения в точках опоры вращаю-
щихся валов, увеличивают износ подшипников и создают в отдельных
частях механизма добавочные напряжения. Поэтому в процессе проек-
тирования механизмов ставится задача полного или частичного пога-
шения указанных динамических давлений. Эта задача называется за-
дачей об уравновешивании масс механизмов или об уравновешивании
сил инерции механизмов.

Звено механизма является уравновешенным, если главный вектор
и главный момент сил инерции его материальных точек равны нулю.
Каждое звено механизма в отдельности может быть неуравновешенным.
Однако даже при неуравновешенных звеньях механизм в целом может
быть уравновешен полностью или частично. Для этого в первом случае
необходимо, чтобы главный вектор и главный момент относительно
произвольного центра приведения динамических (возникающих от сил
инерции) опорных реакций фундамента механизма были равны нулю,
во втором случае не превосходили определенных, наперед заданных
величин. Поэтому проблему уравновешивания сил инерции в механиз-
мах можно разделить на две задачи: 1) об уравновешивании давлений
в кинематических парах механизма и 2) об уравновешивании дав-
лений механизма в целом на фундамент.

Большое практическое значение имеет уравновешивание вращаю-
щихся звеньев. Даже незначительная неуравновешенность (дисбаланс)
быстро вращающихся роторов турбогенераторов и электродвигателей
большой мощности вызывает большие динамические давления на под-
шипники.
§ 2.	УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Задача об уравновешивании вращающихся тел заключается в таком
подборе их масс, который обеспечил бы полное или частичное погаше-
ние добавочных инерционных давлений на опоры. Вращающееся тело
состоит из бесконечно большого числа элементарных масс ягг, удален-
ных на расстояние^ от оси вращения у и на расстояние аг от плоскости
хг, проходящей через центр S масс тела; поэтому результирующая цен-
тробежная сила инерции Р„ и результирующий момент Ми всех сил
инерции тела относительно плоскости, проходящей через центр S масс:

Рк — a2'Zmir[ — a2mrs;

7ЙИ = сй2Хт(7гсг£ = a2Jrn,

где т — масса всего тела, rs — расстояние центра S масс тела от оси
вращения; Jra — центробежный момент инерции относительно оси вра-
щения и плоскости, перпендикулярной-к оси вращения и проходящей
через центр S масс тела.

При вращении тела угол между векторами Ри и М„ сохраняет все
время одно и то же значение а. Тело считается полностью уравновешен-
ным, если результирующая сила инерции Рн й результирующий момент
Л4И сил инерции равны нулю и, следовательно, вращающееся тело не
оказывает никаких динамических давлений на опоры.

В этом случае имеем

mrs — 'Lmirl = 0;	(9.1)

Jra =	= 0.	(9.2)

Условия (9.1) и (9.2) будут удовлетворены только тогда, когда
центр масс тела будет лежать на оси вращения, являющейся одной из
его главных осей инерции. Если одновременно удовлетворяются ра-
венства (9.1) и (9.2), то центробежный момент инерции Jra относитель-
но оси вращения и любой плоскости, перпендикулярной к оси враще-
ния, равен нулю. Тело считается уравновешенным статически, если
выполняется только условие (9.1), и уравновешенным динамически,
если выполняется только условие (9.2), т. е. когда тело вращается во-
круг одной из главных осей инерции, но эта ось не является главной
центральной осью инерции.

Статическая неуравновешенность, или статический дисбаланс Дс,
характеризующий оставшуюся неуравновешенность, измеряется ста-
тическим моментом

Дс = Grs н  м,	(9.3)

где G — вес вращающегося тела, н.

Динамическая неуравновешенность, или динамический дисбаланс
Ад вращающегося тела измеряется величиной

Дд = ^Gtrfli н  м2.	(9.4)

Неуравновешенное тело на практике чаще всего уравновешивают
при помощи добавочных масс (противовесами). Вращающиеся тела, у
6*	163
которых общая длина а значительно меньше их диаметра (шкивы,
маховики, зубчатые колеса и др.), имеют незначительные центробеж-
ные моменты инерции поэтому такие тела достаточно уравновесить
только статически.

Допустим, что тело А (рис. 82) статически неуравновешено. В
простейшем случае противовес помещают на линии, проходящей через
центр тяжести S, по другую сторо-
ну от оси вращения на расстоянии
гпр от нее.

Массу шпр противовеса находим
из уравнения (9.1):

Рис. 82

тпр = т •	(9.5)

'Пр

Вместо установки противовеса
можно удалить часть массы, как
это показано на рис. 82 штриховкой.
Величина удаляемой массы опре-

деляется по формуле (9.5). Иногда плоскость крепления противовеса
не может быть выбрана конструктивно в той плоскости вращения, в
которой расположены неуравновешенные массы В этом случае можно
установить два противовеса в двух перпендикулярных к оси вращения
плоскостях, обычно называемых плоскостями исправления, но при
этом необходимо исключить возможность появления давления на опоры
не только от результирующей силы инерции, но и от моментов сил
инерции. Массы mi и /Иц противовесов определяем в соответствии с
формулами (9.1) и (9.2) из уравнений

mrs = mir„p + шпгпр

и
mxrnp^j	тпгпр^и “

откуда

т, = т-----т—у—. и т., = т • -----:------г—	(9.6)

1	'пГ(в1+вц)	11	''nP(«l + «1l)

Сложив массы этих противовесов, получим

Ш\ 4- ти = т • ~~ = тпр,
гпр

а из их отношения найдем

mi «п

Из приведенных формул следует, что один противовес с массой тпр
всегда может быть заменен двумя противовесами с массами mi и тп,
расположенными на линии, параллельной оси вращения тела, и подо-
бранными так, чтобы их суммарная масса равнялась массе тгр, а их
общий центр S масс совпадал с положением противовеса mnP.
Полное уравновешивание (статическое и динамическое) вращающе-
гося тела может быть достигнуто также при помощи двух противове-
сов, расположенных в произвольно выбранных плоскостях I и II и на
произвольных расстояниях от оси вращения.

Вращающиеся тела обычно выполняют так, чтобы они были уравно-
вешены сами по себе. Чаще всего вращающиеся тела выполняют в

форме одного или нескольких цилиндров, имеющих общую ось, совпа-
дающую с осью вращения тела. Однако во многих случаях такая форма
не может быть выполнена и вращающееся тело без противовесов являет-
ся неуравновешенным. Для определения величины и положения проти-
вовесов необходимо по чертежу выделить уравновешенную часть тела
и определить для оставшихся частей — колен, кулачков и т. д. центры
тяжести их, считая, что в них сосредоточены массы этих частей.

Предположим, что для какого-либо тела все его неуравновешенные
массы свелись к трем неуравновешенным массам (рис. 83, а). Пользу-
ясь методом приведения вектора к заданному центру, можно любое
число вращающихся в различных плоскостях масс уравновесить двумя
противовесами. Пусть центры тяжести масс mlt т2 и т3 расположены
в трех плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Условия от-
сутствия давления на подшипники от главного вектора и главного
момента относительно центра приведения 0£ центробежных сил инер-
ции выражаются уравнениями

п

2 mtr{ — 0;

1

п _______

2	at  mjTi = 0.

i
Строим многоугольники векторов сил (рис. 83, г) и векторов моментов
(рис. 83, д). Уравновешивающим в первом случае является векюр
30 (рис. 83, г), изображенный в плоскости II вектором От (рис. 83, в),'
а во втором — вектор гО (рис. 83, д), изображающий повернутый
момент пары векторов On, расположенного в плоскости 1 (рис. 83, б),
и 0nlt расположенного в плоскости II. Каждый из них равен по вели-
чине . Таким образом, заданные массы mlt т2 и тэ будут полностью
уравновешены двумя массами, расположенными вдоль On в плоскости
I и вдоль равнодействующей 0k в плоскости II. Из изложенного сле-
дует, что:

1)	любое количество вращающихся масс, расположенных в одной
плоскости вращения, уравновешивается одним противовесом, нахо-
дящимся в той же плоскости, при соблюдении условия равновесия

Л ___

2w,rt = 0;	(9-7)

1

2)	любое количество масс, лежащих в разных плоскостях вращения,
уравновешивается двумя противовесами, установленными в двух про-
извольных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, при соблю-
дении двух условий равновесия:

п ____

2 mtrt = 0;

п ________

2 о, • mtr{ — 0.
1

(9 8)

§ 3.	УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ НА ФУНДАМЕНТЕ

Для уравновешивания плоского механизма на фундаменте необхо-
димо и достаточно так подобрать массы звеньев этого механизма, чтобы
общий центр масс движущихся звеньев его оставался неподвижным:

xs = const;
ys = const

(9 9)

и центробежные моменты инерции масс звеньев относительно осей х
и г, у и z были постоянными:

Jxz = const; Jvz — const.

(9.10)

При соблюдении этих условий будут уравновешены главный
вектор сил инерции и главные моменты сил инерции относитель-
но осей хну. Главный момент сил инерции относительно оси г,
перпендикулярной к плоскости движения механизма, уравновешивае-
тся моментом движущих сил и сил сопротивлений на главном валу
машины.
На практике при уравновешивании механизмов указанные ус-
ловия (9.9) и (9.10) выполняются только частично. Пусть, например,
дан механизм шарнирного четырехзвенника ABCD (рис. 84) и требует-
ся уравновесить только главный вектор сил инерции. Обозначим массы
звеньев АВ, ВС и CD соответственно через mlt т2 и m3; длины звеньев —
через 11г и /3, а расстояния центров тяжести S2 и S3 этих звеньев
от точек А, В и С — через s1, s2 и s3. Для удовлетворения условия
(9.9) необходимо, чтобы общий центр S масс механизма находился
на прямой AD, либо меж-
ду точками А и D, либо
за ними. В этом случае
центр S масс механизма
при его движении будет
оставаться неподвиж-
ным и, следовательно,
главный вектор сил
инерции механизма бу-
дет уравновешен.

Массы звеньев и по-	рис. 84

ложения центров тяжес-

ти их должны быть подобраны так, чтобы

^1S1 = -^-(/2-s2);	(9.11)

*2

zn2s2 = —^(ls-s3).	(9.12)

Если механизм состоит из п подвижных звеньев, то при решении
задачи о подборе масс механизма, удовлетворяющих условию уравно-
вешенности главного вектора сил инерции механизма, имеем 2п неиз-
вестных величин; уравнений же, связывающих эти величины, можно
составить (п — 1). После произвольного выбора (н + 1) величин ос-
тальные величины получают определенные значения. В исследуемом
механизме количество подвижных звеньев п = 3, количество подби-
раемых величин 2п = 6, число же независимых уравнений п — 1 = 2.
Таким образом, задаваясь, например, значениями тя и s3, из уравнения
(9.12) получаем значение m2s2, в котором можно задаваться одним из
неизвестных и получать другое. Подставляя полученные значения в
уравнение (9.11), определяем значение т^, в котором также можно
задаться одной величиной. Из уравнений (9.11) и (9.12) при различ-
ных исходных заданиях можно получить три варианта схем уравнове-
шенного четырехзвенного механизма (рис. 84, а, б, в). Следовательно,
если считать, что расположение центра тяжести звена за его шарнира-
ми соответствует как бы установке противовеса, то можно сказать, что
задачу уравновешивания главного вектора сил инерции механизма шар-
нирного четырехзвенника можно решить путем установки противо-
весов на двух его звеньях.

Аналогичным образом можно решить задачу подбора масс отдельных
звеньев для уравновешивания шарнирного шестизвенника и любого
механизма, образованного путем наслоения двух поводковых групп.
Два уравнения (9.9) можно заменить одним векторным уравнением
rs — const,	(9.13)

где rs — вектор, определяющий положение общего центра масс. Усло-
вие (9.13) удовлетворяется, в частности, когда rs = 0; это условие
приводит к способу подбора механизмов с симметрично расположенны-
ми звеньями равных масс, вследствие чего получается самоуравнове-
шивание механизма в целом.

На рис. 85 показаны схемы симметричных кривошипно-ползун-
ного и шарнирного четырехзвенного механизмов. В тех случаях, когда
размещение звеньев в симмет-
ричных механизмах очень гро-
моздко или подбор масс кон-
структивно нецелесообразен,
применяется метод установки

противовесов. Пусть, например, требуется уравновесить только глав-
ный вектор сил инерции кривошипно-ползунного механизма, схе-
ма которого изображена на рис. 86, а. Обозначим массы кривошипа
1, шатуна 2 и ползуна 3 через mL, т2 и tn3 и будем считать их сосредото-
ченными соответственно в центрах тяжести Slt S2 и В звеньев. Устанав-
ливаем на линии АВ в точке D противовес и определяем его массу mnPl
из условия, чтобы центр тяжести масс тпР2, т2 и т3 совпадал с точкой
А. Из уравнения статических моментов относительно точки А имеем

m3L + т2а = и11р с,

откуда

mnP1 = (msL + m2a).

Массу тпР1 противовеса, установленного в точке С кривошипа, опре-
деляем из условия, чтобы центр тяжести масс тпР1, т1 и тл = /ппР2 +
+ т2 + т3 совпадал с точкой О. Из уравнения статических моментов
относительно точки О находим
Радиусы s и с противовесов выбираются произвольно. После уста-
новки противовесов центр масс механизма во всех его положениях
будет совпадать с точкой О и, следовательно, будет во все время работы
механизма оставаться неподвижным. Таким образом, два противовеса
тПР1 и /ппр, полностью уравновешивают все силы инерции рассматри-
ваемого механизма. Однако подобное полное уравновешивание сил
инерции кривошипно-ползунных механизмов на практике применяют
редко, так как при малом значении радиуса с масса нгпРг получается
весьма большой, что ведет к появлению добавочных нагрузок в кине-
матических парах и звеньях механизма. При большом значении радиу-
са с сильно увеличиваются габаритные размеры всего механизма. По-
этому часто ограничиваются лишь приближенным уравновешиванием
сил инерции. Так, в кривошипно-ползунных механизмах метод уста-
новки противовеса на кривошипе является наиболее распространен-
ным методом приближенного уравновешивания сил инерции. В этих
механизмах на практике часто применяют уравновешивание только
массы кривошипа и части массы шатуна.

Пусть, например, имеется кривошипно-ползунный механизм
(рис. 86, б). Массу mL кривошипа, сосредоточенную в его центре тя-
жести Sx, статически приводим к точке А:

т1А=т1--^-.	(9.14)

f\

Массу т2 шатуна АВ разносим статически в две точки А и В. Массы
т2л и /«2в, сосредоточенные в точках А и В, будут соответственно:

ь

т2А =

а
т2В = т2 • -j- .

(9.15)

Полная масса тА, как бы сосредоточенная в точке А,
тА = т\А + т2А ' 'fi' + т1 ' ~Г-	(9.16)

Соответствующая этой массе центробежная сила инерции

Ри - mAa2R = [m-t 	+ тг •	to2/?.	(9.17)

Для уравновешивания этой силы инерции необходимо установить
(рис. 86, б) в точке С на продолжении линии ОА кривошипа с противо-
положной стороны от оси вращения О противовес массы тпр, опреде-
ляемой из условия

mnpsw2 = Ри,

или

= тл • — .

(9.18)

где s — расстояние центра тяжести противовеса от оси вращения О.
Подбирая таким образом массу тгр и расстояние s, можно уравно-
весить все силы инерции от вращающихся масс механизма. Силы инер-
ции поступательно движущихся масс остаются в этом случае неурав-
новешенными, т. е. на фундамент двигателя будет действовать в гори-
зонтальном направлении сила инерции

Рив ~ mBta2R |cos ф -j- -у- cos 2<pj,

где

। а .

тБ = т2В + тлв = т2' ~Г+ т^'

§ 4.	УРАВНОВЕШИВАНИЕ МНОГОЦИЛИНДРОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

В многокривошипных (многоцилиндровых) двигателях или ком-
прессорах полное или частичное уравновешивание можно получить
соответствующим подбором величины и расположения движущихся
масс. Вращающаяся масса гпа характеризуется силами инерции только
1-го порядка. Сила инерции массы т, совершающей возвратно-поступа-
тельное движение, представляет собой бесконечную сумму периоди-
ческих сил порядков 1, 2, 4-го и т. д.

Ограничиваясь членом 2-го порядка, можно написать следующую
формулу для проекции силы инерции Ри поступательно движущихся
масс на ось, направленную от оси вращения по траектории ползуна:

Ри = ma2R (cos ф -f-	,	(9.19)

где <p — угол, образованный кривошипом с указанной осью; k =	—

отношение длины шатуна к длине кривошипа.

Предположим, что в многоцилиндровом двигателе вес поршней и
шатунов, а также длина кривошипов и шатунов во всех кривошипно-
ползунных механизмах, работающих на общий вал, одинаковы. Если
кривошипы образуют с первым кривошипом углы а, 0, у и т. д., то
проекция главного вектора Ри, сил инерции 1-го порядка на указан-
ную выше ось всех поступательно движущихся масс двигателя выра-
зится следующей формулой:

РИ1 — m(o2R [cos ф cos (ф Ч- а) ф- cos (ф + ₽) + cos (ф + у) Ч~ • • • 1 =
= mto27? [cos ф (1 + cos а + cos р -[- cos у + • • •) —

— 81Пф(5ша+sinp + siny + •••)].

Аналогично проекция главного вектора Р„г сил инерции 2-го по-
рядка выразится так:

Ри, = та1-[cos 2ф (1 + cos 2а ф- cos 2р ф- cos 2у + • • •) —

— sin 2ф (sin 2а ф- sin 2р ф- sin 2у ф- • • •)[.
Таким образом, для уравновешивания главного вектора сил инер-
ции 1 и 2-го порядков необходимо, чтобы соблюдались следующие усло-
вия:

1)	1+cosa + cosp 4-cosy + •••=0;

2)	sina + sinp + siny + • • • = 0;

3)	1 + cos 2a + cos 2P + cos 2y + • • • = 0;	' ’ '

4)	sin 2a + sin 2p + sin 2y + • • • =0.

Для двухцилиндрового двигателя (рис. 87, а) кривошипы располо-
жены под углом 180°:

1)1+ cos a = 0;	2) sin a = 0;

3) 1 + cos 2a = 2;	4) sin 2a = 0.

Рис. 87

Следовательно, в этом двигателе главный вектор сил инерции 1-го
порядка будет уравновешен, но сила инерции 2-го порядка, проекция
п

которой равна то2 • -у • 2cos 2ср, не будет уравновешена.

Для трехцилиндрового двигателя (рис. 87, б), кривошипы которого
расположены под углом 120° (а = 120°, Р = 240°, хх = 2а + Ь‘, х2 =
= а + Ь; х3 = Ь), главный вектор сил инерции 1 и 2-го порядков
уравновешивается (условия 1—4 удовлетворяются).

Для полного уравновешивания необходимо добавочное условие,
чтобы главный момент Мк сил инерции поступательно движущихся
масс относительно оси Oz, проходящей через точку О перпендикуляр-
но к плоскости осей цилиндров, равнялся нулю. Это условие можно
выразить в виде следующего уравнения:

Ми = tnK?R (costp 4- _с0$ 2(Р^

f. , . , cos 2 (ш + а) I ,	> п

cos(q> + а) 4----j— 4- • • • | = 0.

Из этого уравнения получаем следующие дополнительные условия
уравновешивания главною момента сил инерции 1 и 2-го порядков:

5)	%! 4- х2 cosa 4- x3cos0 4- • • • =0;

6)	x2sina4-x3sinP4- ••• =0;

7)	4- х2 cos 2а 4- х3 cos 20 4- • • • = 0;	' ’

8)	х2 sin 2а 4- х3 sin 20 4- • • • = 0.

Подставляя значения параметров трехцилиндрового двигателя в
левые части уравнений (9.21), получаем следующие величины:

з уз 3 уз

-та> —°: -га и - -Ч~а-

Таким образом, неуравновешенный момент сил инерции

М" =	acostp----nsintp) 4- /исо2- Л-(4- acos2<p 4-

4- ~^-asin2<p) = /п(о27?]/3а (~^-cosq>--^-sin<p 4-

Уз	i

—s— cos 2ф + -д- sin 2ф v	_ r

+ __f----------f-----у = ты2^ у 3a I COS (cp 4- 30°) 4-

4-	—cos(2cp — 30°) j •

На основании уравнений (9.20) и (9.21) нетрудно показать, что в
четырехцилиндровом двигателе (рис. 87, в) главный вектор и главный
момент сил инерции l-ro порядка будут уравновешены, а главный
вектор и главный момент сил инерции 2-го порядка не будут уравно-
вешены; в шестицилиндровом же двигателе (рис. 87, г) главный вектор
и 1лавный момент сил инерции 1 и 2-го порядков будут уравновешены.

Если массы т1г т2, т3 ... поступательно движущихся звеньев ме-
ханизма не равны между собой, то условия (9.20) и (9.21) напишутся
так:

1)	mi + т2cos а 4- гп-з cos ₽ + • • • = 0;

2)	/n2sina 4-/n3sin0 4- ••• =0;

3)	mi 4- т2 cos 2a 4- /и3 cos 20 4- • • • = 0;

4)	tn2sin2a4-mssin204- ••• =0;

5)	1ЩХ! 4- m2x2 cos a 4- m3xs cos 04- • • • =0;

6)	/n2x2 sin a 4- m3x3 sin 0 4- • • • =0;

7)	4- W4 cos 2a 4- m3xs cos 20 4- • • • =0;

8)	/n2x2 sin 2a 4- /n3x3 sin 20 4- • • • =0.
ГЛАВА X ?

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
МАШИНЫ

В настоящей главе будут рассмотрены следующие задачи.

1.	Определение момента инерции маховика и его махового момента.

2.	Определение переменной мгновенной угловой скорости главного
вала.

3.	Определение коэффициента неравномерности хода машины.

§ 1.	ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Приведенные моменты инерции. Приведенным к главному валу
(звену приведения) моментом инерции какого-либо t-ro звена назы-
вается такой условный момент инерции относительно оси вращения
главного вала, обладая которым главный вал имеет в данном положе-
нии машины кинетическую энергию, равную кинетической энергии
Et t-ro звена в том же положении.

Из определения следует:

£,=4^/’	(Ю-1)

где © — мгновенная угловая скорость главного вала машины.

Из формулы (10.1) получаем

(Ю.2)

В случае плоскопараллельного движения звена

Ei = 4"	+ ~Т	<10-3)

где mt — масса t-го звена;

vs — скорость центра тяжести t-ro звена;

— угловая скорость t-ro звена;

Jst — момент инерции i-ro звена относительно центральной оси,
перпендикулярной к плоскости движения.

В формулу (10.2) подставляем значение Et из формулы (10.3):

г

ni о2 

Угловые скорости <о и ы, выражаем через линейные скорости точек
соответствующих звеньев, а эти последние и скорость vSf — через от-
резки, взятые из плана скоростей, который должен быть предваритель-
но построен для данного положения машины.

В результате преобразований формулы (10.4) в нее войдут отноше-
ния отрезков, взятых из плана скоростей. В теории доказывается, что
эти отношения зависят только от положения машины и изменяются пе-
риодически.

Следовательно, приведенный момент инерции J„. является перио-
дической функцией положения машины. Следует заметить, что планы
скоростей, используемые для определения приведенных моментов
инерции, можно строить в неопределенном масштабе.

Если t-e звено совершает поступательное движение или вращатель-
ное вокруг неподвижной оси, то вместо формулы (10.3) в формулу (10.2)
нужно вставить соответственно одно из следующих выражений для
кинетической энергий:



(10.5)

(10.6)

где J0( — момент инерции г-го звена относительно оси его вращения Ог
Сумму приведенных к главному валу моментов инерции всех звеньев
машины обозначим через Jc. Следовательно/

' Jc = 2Л,-	(Ю.7)

Учтем отдельно момент инерции JM (относительно оси вращения главно-
го вала) так называемого маховика — твердого тела, закрепляемого
жестко на валу и имеющего форму диска или обода со ступицами..Мо-
мент инерции /м — постоянная величина. О назначении маховика
будет сказано ниже.

Сумму приведенных к главному валу моментов инерции всех звеньев
машины (включая маховик) обозначим через J и назовем приведенным
к главному валу моментом инерции машины. Следовательно,

J = +

(10.8)

Приведенные моменты инерции Jc и J являются периодическими
функциями положения машины.	<

Кинетическая энергия. На основании определения приведенного
момента инерции получаем формулы:

Е = -j- • Jcoa;	(10.9)
	(10.10)
Ec = -1-.JX	(10.11)

где Е — кинетическая энергия всей машины (включая маховик);
Ея — кинетическая энергия маховика;
Ес — кинетическая энергия всех звеньев машины (без маховика).
Очевидно,

£ = ЕМ + ЕС.	(10.12)

Так как <о, J и Je — величины переменные, то в уравнениях (10.9)
и (10.11) Е и Ес являются функциями двух переменных величин. В от-
личие от этого Еы является функцией одной переменной величины —
угловой скорости со, так как — величина постоянная.

Приведенные моменты сил. Приведенным к главному валу (звену
приведения) моментом каких-либо сил (движущих, полезного сопро-
тивления и т. д.), приложенных к звеньям машины, называют момент
пары сил, условно приложенный к главному валу, мгновенная мощ-
ность которого в данном положении машины равна сумме мгновенных
мощностей этих сил в том же положении машины.

Из сказанного следует, что для любого положения машины каждый
из приведенных моментов можно определить из условия равенства
мгновенных мощностей этого приведенного момента и соответствующей
группы сил.

Уравнение для определения приведенного момента Мд движущих
сил имеет вид:

= ^Р^ув. cos (Рд? ов_),	4	(10.13)

где РД( — i-я движущая сила;

Ов( — скорость точки приложения т-й движущей силы.

Из формулы (10.13) получим

j COS (Рд? Vb).	(Ю. 14)

Для упрощения подсчета приведенного момента Мд угловую ско-
рость <0' главно! о вала следует выразить через линейную скорость
какой-либо его точки. После этого все линейные скорости, входящие
в формулу (10.14), выражаютчерез отрезки, взятые из плана скоростей.

Приведенные моменты Мп с, Л4В.С, сил полезного, вредного сопро-
тивлений и сил тяжести звеньев определяют аналогично. Для опреде-
ления приведенных моментов сил можно использовать также рычаг
Жуковского.	f

Алгебраическую сумму всех приведенных моментов сил называют
избыточным моментом и обозначают через М. Следовательно,

М = Л1Д — Мп,с — Л1в.с ± Ме.	(10.15)

Уравнение движения машины. Будем пользоваться уравнением
движения машины в форме уравнения, выражающего закон изменения
кинетической энергии машины,

ф

Д£ = А = 4 —Л.с —Л.с±Ас== [Мйр; (10.16)
&Е = Е — Ео,

(10.17)

где	АЕ — приращение кинетической энергии машины,

соответствующее повороту главного вала из по-
ложения, принятого за начальное, в положе-
ние, определяемое углом ср;

Ео — кинетическая энергия машины в начальном
положении;

Е — кинетическая энергия машины в положении,
определяемом углом ср.

А, Ад, Ап.с, Ав.с, Ас — соответственно работа приведенных моментов
М, Мд, Мпс, Мвс, Мс при повороте главного
вала из начального положения в положение,
определяемое углом ср.

В некоторых случаях для упрощения расчетов пренебрегают ра-
ботой сил тяжести звеньев и вредных сопротивлений.

Основные характеристики установившегося движения машины.
Периодом установившегося движения машины называется такой наи-
меньший промежуток времени, по истечении которого положения и
скорости всех точек машины начинают изменяться в той же последо-
вательности, в какой они изменялись в течение этого промежутка
времени.

Из этого определения следует на основании уравнения (10.16),
что: 1) приращение кинетической энергии машины за период устано-
вившегося движения равно нулю; 2) алгебраическая сумма работ всех
сил, действующих на звенья машины в течение периода установивше-
гося движения, равна нулю.

Угловая скорость главного вала машины изменяется в течение
периода установившегося движения машины, колеблясь около некото-
рого 2е среднего значения (осР, и возвращается в конце периода к пер-
воначальному значению.

Здесь

«ср = -f-,	(10.18)

где п — число оборотов в минуту главного вала.

Разность между наибольшим и max и наименьшим и min значениями
угловой скорости, которые она принимает в течение периода устано-
вившегося движения, связана с коэффициентом 6 неравномерности
хода машины такой зависимостью:

6 = (0.max~(0min.	(10.19)

СОср

Обычно принимают, ЧТО (Отах, СО min И (Оср СВЯЗЭНЫ ЗЭВИСИМОСТЬЮ:

©ср = 0)тах +	(10.20)
Отсюда

(10.21)

(10.22)

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА
И ЕГО МАХОВОГО МОМЕНТА

Постановка задачи. В курсе теории механизмов и машин доказы-
вается, что при заданных силах и средней угловой скорости ыср глав-
ного вала коэффициент неравномерности хода машины 6, выражаемый
формулой (10.19), зависит от величины постоянной составляющей
приведенного Момента инерции J машины. Чем больше эта составля-
ющая, тем меньше коэффициент 6.

Практикой установлены значения коэффициента 6 для различных
типов машин:

Насосы ............................

Сельскохозяйственные машины . . . .
Металлообрабатывающие станки ....
Ткацкие, полиграфические машины . .
Судовые двигатели..................

Двигатели внутреннего сгорания, ком-
прессоры ..........................

Электрические генераторы постоянного
тока ..............................

Электрические генераторы переменного
тока ..............................

Авиационные двигатели .............

1/5—1/30
1/10—1/50
1/20—1/50
1/20—1/50
1/20—1/100

1/80—1/150

1/100—1/200

1/200—1/300
1/100 и меньше

В процессе проектирования машины определяют все параметры ее
звеньев, позволяющие подсчитать значение приведенного момента
инерции Jc для всех положений машины. Однако этот момент инерции
часто оказывается недостаточным для обеспечения (при заданном
значении (оСр)границ колебания угловой скорости ы главного вала,
заданных коэффициентом 6. В этом случае возникает задача подобрать
дополнительно маховик с таким моментом инерции JM (см. § 1), при
котором эти границы обеспечиваются.

Способы определения момента инерции маховика разделяют на
приближенные и точные в зависимости от того, делают ли при решении
задачи какие-либо допущения, упрощающие решение, или нет. Ниже
мы рассмотрим два приближенных способа — профессоров Н. И. Мер-
цалова и К. Э. Рериха и метод средних мощностей (см. § 5), а также
два точных — проф. Е. М. Гутьяра и проф. Ф. Витенбауэра.

При рассмотрении этих способов воспользуемся известным приемом
динамики машин, в соответствии с которым исследование движения
всей машины заменяется исследованием движения одного звена (звена
приведения), обладающего переменным приведенным моментом инер-
ции (см. § 1), под действием приложенных к нему приведенных момен-
тов сил (см. § 1). В качестве звена приведения примем главный вал '
машины.

Предполагаем, что машина имеет степень подвижности, равную
единице. Поэтому положение машины задается одним параметром. В
качестве такого параметра выберем угол ср поворота главного вала '
машины, отсчитанный от какого-либо его положения, принятого за
начальное.

Приступая к определению момента инерции маховика, считаем за-
данными следующие величины:

1)	размеры всех звеньев машины;

2)	веса Gt всех звеньев машины;

3)	моменты инерции Js звеньев машины относительно центральных
осей, перпендикулярных к плоскости их движения;

4)	коэффициент 6 неравномерности хода машины;

5)	число оборотов в минуту п главного вала машины;

6)	движущие силы и силы сопротивления в функции положения
машины для периода установившегося движения.

Способ профессоров Н. И. Мерцалова и К. Э. Рериха. Теорети-
ческое обоснование. На основании уравнения (10.12) получаем очевид-
ное равенство

ДЕ = ЛЕМ + ДЕС.	(10.23)

Здесь ЛЕ, ЛЕМ, ДЕС— приращения кинетической энергии всей машины,
маховика и машины без маховика, соответствующие повороту глав-
ного вала (звена приведения) из положения, принятого за начальное
(при ср = 0), в положение, определяемое углом ср.

Для определения момента инерции маховика нужно знать закон
изменения приращения ЛЕН кинетической энергии маховика в зави-
симости от угла ср. Для получения этой зависимости поступаем следую-
щим образом.

Из уравнения (10.23) получаем

ДЕМ = ДЕ —ДЕС.	(10.24)

В равенстве (10.24) величину ДЕ определяют на основании формулы
(10.16). Величина ДЕС определяется по формуле

ЛЕС = Ес - ЕСо = -1- (Jcco2 - JCeMg).	(10.25)

Здесь Jc, со — приведенный момент инерции машины и угловая ско-
рость главного вала в положении, определяемом углом ср, а соо —
те же величины в начальном положении (при ср = 0).

Однако для периода установившегося движения задана только <йСр-
Поэтому при подсчете величины ДЕС по формуле (10.25) примем

(0 —— (Dg — (О^р.

(10.26)
Тогда приближенное значение величины ДЕС, которое обозначим через
ДЕс, определится по формуле

bEl~±(Jc-Jc№p.	(10-27>

Подставляя в формулу (10.24) вместо величины ДЕС ее приближен-
ное значение по формуле (10.27), получим не точное значение величины
ДЕи, а приближенное, которое обозначим через ДЕМ. Следовательно

ДЕ* = ДЕ —ДЕ*.	(10.28)

Пользуясь уравнением (10.25), подсчитываем ряд значений ДЕС и
строим диаграмму ДЕС — ф (рис. 88, б, кривая 0). Вычитая ординаты
этой диаграммы из соответствующих ординат диаграммы ДЕ — ф
(рис. 88, а, кривая а), получаем диаграмму ДЕМ — ф (кривая у). Диа-
граммы ДЕс — ф и ДЕ — ф строят в одних и тех же масштабах ц<р
и Не-

На основании диаграммы, приведенной на рис. 88, а, получаем урав-
нение	____

™ - A£L “ (АВ + CD)	(10.29)

Получим другое выражение для левой
части уравнения (10.29). Для этого возь-
мем равенства

Смтах	мтах	м0» I	_

ДЕ* , = £* . — Е’ . | (10-30'

м mln	м тт	м0 J

Здесь через Е’1тах, E*imin, Е^> обозна-
чены соответственно максимальное, мини-
мальное и начальное приближенные зна-

чения кинетической энергии маховика.

Подставляя значения ДЕ*(тах и ДЕ*МПЙ11	Рис- 88

из уравнения (10.30) в левую часть уравнения (10.29), получаем
шах ~ min ~ 7'м max min’	(Ю.31)

max 2 ^м^тах’

Е-	Г	<10-32>

м min	М min*

Здесь JM — приближенное значение момента инерции маховика.

Подставляя значения ДЕМ тах и ДЕМ min, из уравнения (10.32) в
уравнение (10.31), получаем

А^мтах	2 Ai (“max “min)-

(10.33)

На основании выражения (10.22) получаем

max	min ~

(10.34)
Сравнивая уравнения (10.23) и (10.34), получаем

или

“ «“ср

(10.35)

900FHpE
л2п26

(10.36)

Отрезок FH изображает в масштабе р£ наибольшее изменение ки-
нетической энергии маховика в течение периода установившегося дви-
жения машины.

Последовательность выполнения работы. Рассмотрим два типичных
случая задания сил.

Случай А. Заданы движущие силы и силы тяжести звеньев.
Приведенный момент Мс всех сил сопротивления — постоянная ве-
личина.

1.	Строим планы скоростей машины для ряда ее положений в про-
извольном масштабе (12—36 планов скоростей для одного оборота
главного вала).

2.	Пользуясь указаниями, приведенными в § 1, определяем для
этих положений приведенные моменты Л4Д и Мс-

3.	Определяем алгебраическую сумму Л4Д ± Мс этих моментов
для тех же положений машины.

4.	Выбрав масштабы рФ и рм, строим диаграмму (7ИД ± Мс) — ф
(рис. 89, а, кривая а в системе осей х и у).

5.	Графическим интегрированием (при полюсном расстоянии Н)
переходим от диаграммы (Л4Д ± Мс) — ф к диаграмме (АД ± Ас) — ф
с масштабом рл = рфрмЯ по оси ординат (рис. 89, б, кривая Р).

6.	Так как приведенный момент Л4С постоянен, то его работа про-
порциональна углу поворота ф. С другой стороны, его работа за период
установившегося движения должна численно равняться сумме работ
Ад ± Ас, изображенной на рис. 89, б отрезком ВС. Соединив точки О
и С прямой, получим диаграмму Ас — ф.

7.	Графическим дифференцированием (при том же полюсном рас-
стоянии И) переходим ог диаграммы Ас — ф к диаграмме Л4С — ф
(рис. 89, а, прямая х' в системе осей х и у). Очевидно, кривая а в систе-
ме осей хи у является диаграммой М — ф избыточного момента.

8.	Откладываем разность ординат диаграмм (Ад ± Ас) — ф и
Ас — ср вверх или вниз от оси абсцисс (в зависимости от ее знака) и
строим диаграмму АЕ — ср (рис. 89, в). Масштаб р£ этой диаграммы
по оси ординат равен, очевидно, масштабу рл. Дальнейшее построение
выполняем в соответствии с рис. 88, на котором кривая а изображает
ту же диаграмму АЕ — ф в новом масштабе р^. по оси ординат. О вы-
боре масштаба р^. изложено ниже.

9.	Пользуясь уравнением (10.25), строим диаграмму АЕС — ф (кри-
вая р на рис. 88, б) в масштабах рф и р^.
10.	От точек кривой а откладываем вниз соответствующие положи-
тельные ординаты диаграммы Д£с — ф и вверх соответствующие отри-
цательные ординаты. Конечные точки этих ординат соединяем плавной
кривой у (рис. 88, а). Кривая у в осях х, и у дает диаграмму ДЕМ — <р
в масштабах рЕ и рф.

И. Проводим две горизонтальные прямые, касающиеся кривой у
в точках наибольшего максимума (В) и наименьшего минимума (О) и
отсекаем этими прямыми отрезок FH на оси ординат (рис. 88, а).'

12. Подсчитываем приближенное значение J’a момента инерции ма-
хозика по уравнению (10.36), в котором используем масштабы ц’. и рф.

Случай Б. Заданы силы полезных и вредных сопротивлений и
силы тяжести звеньев Приведенный момент Л4Д движущих сил —
постоянная величина.

В этом случае выполнение работы начинаем с подсчета приведенных
моментов /ИПс, М,с и Мс в соответствии с указаниями, приведенными
в § 1, после чего строим диаграмму (Мпс + Д4ВС ± Мс) — <р. Даль-
нейшая последовательность выполнения работы аналогична порядку,
описанному для первого случая. Все построения приведены на рис. 90
и 88.

Примечание. Диаграммы на рнс. 88 можно было бы строить в масштабе рЕ =
= Рд= рфрмД, полученном для диаграммы ДЕ —д>на рнс 89, в Однако при боль-
шом численном значении этого масштаба ординаты диаграммы ДЕС — q> на рнс. 88, б
могут оказаться очень малыми, и тогда кривые а и у на рнс. 88, а расположатся очень
близко одна к другой, что затруднит дальнейшие построения. Поэтому, прежде
чем строить диаграммы на рис. 88, следует тщательно подобрать для ннх новый мас-
штаб рЕ по оси ординат.

Способ проф. Е. М. Гутьяра. Теоретическое обоснование. Составим
две новые функции-Еы и Еы в соответствии с уравнениями

Е'Ы=Е-Е’ё	(Ю-37)

Е”ы = Е~Ее	(Ю.38)

Здесь Ес с^тах и Ес ~ «Ас(от1П.
Сравнивая уравнения (10.37) и (10.38) с уравнением (10.24), заклю-
чаем, что функция Ем имеет одно и то же наибольшее значение с функ-
цией Е„ (в положении, когда © = и одно и то же наименьшее зна-

чение с функцией Ем (в положении, когда © = ©п,1п).
На

Рис. 91

основании сказанного

Е' = Е ;
мтах	мтах’

Е’ = Е
Mtnin	Minin'

На основании уравнений

(10.38)	получаем равенства:

ДЕ' = ДЕ — ДЕ';
м	с’

ДЕ" = ДЕ —ДЕ',
м	с

Напишем формулы для

величин ДЕС и ДЕС:

(10.39)

(10.40)

(10.37) и

(10.41)

(10.42)

подсчета

ле; = £;-£;, = 4(Л-4.)<х;	(юлз)

(к>«)

Пользуясь уравнениями (10.43) и (10.44), подсчитываем ряд зна-
чений величин ДЕС и ДЕс и строим диаграммы ДЕС — <р и ДЕС — <р
(рис. 91, б, кривые Р и -у).

Вычитая соответственно ординаты этих диаграмм из ординат диа-
граммы ДЕ — ф (рис. 91, а, кривая а), получаем диаграммы Д£ч — ф
и ДЕм — ф (кривые о и е). На основании этих диаграмм получаем:

=	(10.45)

(10.46)

Вычитая уравнение (10.46) из уравнения (10.45), получаем

ДЕ' — ДЕ’ = (АВ + CD) = цР (10.47)

Диаграммы ДЕ — ф, ДЕС — ф и ДЕС — ф строят в одних и гех же
масштабах pv и р.£.

Получим друюе выражение левой части уравнения (10.47). Для
этого возьмем равенства

ДЕ'	— £'	— £' • 1

мтах	мтах м0>

ДГ	=Г	_£•	(10'48>

min	м min ^м0’ .

Вычитая равенства (10.48) одно из другого, получаем

Л£м max - min = (Е'м max ~ EL mtn) +	~ Е'*>	0 0.49)
На основании выражений (10.39) и (10.40) имеем:

р' 	р’	— р		р	= JL /		m2 \  м max	min	max	min	2	max	min*’	(10.50)
Вычитая равенство (10.37) из равенства (10.38), получаем	
Д — Д = Д — Д. м	м	с	с	(10.51)
Применяя равенство (10.51) к начальному положению, имеем	
к. -	- д;=4- к™ - ел-	(10.52)
Подставляя (10.50) и (10.52) в (10.49), получаем	
тах -min = 4-	(“-х - ч,п)-	(10.53)
Подставляя (10.22) в (10.53), имеем	
АД' —АД . = (Д + Л)&о2 . м max	м mm '*и 1	с«' ср	(10.54)
Сравнивая уравнения (10.47) и (10.54), получаем	
J М 	 с 2	С°»  6“ср	(10.55)
или	
90GFHpE л2п26	Jc°'	(10.56)

Последовательность выполнения работы. Последовательность вы-
полнения в пунктах 1—8 совпадает с последовательностью, описанной
для способа Мерцалова — Рериха.

Далее поступаем так:

9.	Пользуясь уравнениями (10.43) и (10.44), подсчитываем ряд зна-
чений АД и АД, затем строим в масштабах рф и pg диаграммы АД —
— Ф и АД — ф (кривые Р и у, рис. 91, б).

10.	От точек кривой а (рис. 91, а) откладываем соответствующие
ординаты диаграммы АД — ф (вниз — положительные, вверх — отри-
цательные). Соединяя конечные точки отложенных ординат плавной
кривой о, получаем диаграмму АД — Ф (рис. 91, а).

11.	Аналогично строим диаграмму АД — ф (кривая е, рис. 91, а),
используя ординаты диаграммы АД — ф-

12.	Проводим (рис. 91, а) горизонтальные прямые ВН и DF, каса-
ющиеся: первая — кривой о в точке В наибольшего максимума, вто-
рая — кривой е в точке D наименьшего минимума. Прямые отсекают
на оси ординат отрезок HF.

13.	Подсчитываем момент инерции маховика по формуле (10.56).

Способ проф. Ф. Виттенбауэра. Теоретическое обоснование этого
способа можно найти в 116]. Поэтому ограничимся изложением порядка
выполнения работы согласно этому способу (рис. 92).
1.	Строим в масштабах рв и рф диаграмму АЕ — <р. Построение
этой диаграммы описано при изложении способа Н. И. Мерцалова и
К. Э. Рериха и приведено на рис. 89 и 90.

2.	Под диаграммой ДЕ — <р в масштабах |ij и растроим диаграмму
Л — <₽•

3.	Графически исключая угол ср, строим диаграмму ДЕ — Jc (кри-
вая а). Для исключения угла <р нужно через какую-либо точку Е на оси

ординат диаграммы Jc —tp, рассто-
яние которой от оси ф больше наи-
большей ординаты этой диаграммы,
провести прямую EF под углом
45° к оси ф, затем сделать для ря-
да положений построения, подобные
тем, которые указаны стрелками
для положения 3. Очевидно, диа-
грамма ДЕ — Jc будет построена в
масштабах це и p.j.

4.	Проводим касательные АВ и
CD к кривой а соответственно под

Рис	углами фтах и фт!п к оси Jc и отсе-

каем ими на оси ординат отрезок
BD. Этот отрезок изображает в масштабе |х£ наибольшее изменение
кинетической энергии маховика в течение периода установившегося

движения машины.

Углы Тщах и Tmin определяем по формулам *;



(10.57)

(10.58)

(10.59)

(10.60)

tg mln = ^cp t1 — 6)'

5.	Определяем момент инерции маховика по формуле

ВО.ц£

с 2	’

fitocp

ИЛИ

900BD • рЕ
*^м	£л2п2	’

где п — число оборотов в минуту главного вала.

* При подсчете углов Чгтах и ^т1п по формулам (10.57) и (10.58) может оказаться,
что эти углы будут достаточно велики: тогда пересечение касательных АВ и CD с
осью ординат диаграммы &.Е — Jc получится внизу, вне пределов чертежа. В связи
с этим рекомендуется до начала вычерчивания диаграмм на рис. 92 так подобрать мас-
штабы цЕ и р,, чтобы углы Vmax и V min, обычно мало отличающиеся одни от другого,
были каждый не больше 45°—60е. Для этого следует в формуле (10.57) задаться жела-
емым значением угла затем из полученного уравнения определить отношение

Pj

---. Этим отношением нужно воспользоваться при подборе масштабов р£ и рj.

Не
Определение махового момента. Маховым моментом называют про-
изведение GD2, где G — вес обода маховика, н; D — средний диаметр
маховика, м.

Пренебрегая массой спиц и втулки маховика, можно написать

. _ GD2
м ~ 4g ’

где g — ускорение силы тяжести, м!сек2.,
Из формулы (10.61) получим

GD2 = 4^M.

Воспользовавшись уравнениями (10.36), (10.56), (10.60), получим
следующие уравнения для определения махового момента:

GD2 =

3600FH  |д.£

н  м2;

GD2 =

3(>Q0FH • p,£
я26

н • м2;

GD2 =

3600BD  р.£
я26

H  M2.

(10.62)

(10.63)

(10.64)

Зная маховый момент, можно задаться диаметром D из конструк-
тивных соображений, затем определить вес маховика или, наоборот,
задавшись весом маховика, определить его диаметр.

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ГЛАВНОГО ВАЛА
МАШИНЫ

Теоретическое обоснование. При кинематическом исследовании ма-
шины (гл. IV) предполагалось, что главный вал вращается равномер-

U	ЦП	V

но с угловой скоростью ©ср = -эд-. В действительности угловая ско-
рость <о главного вала является переменной величиной.

Зная момент инерции маховика, а также то положение машины, в
котором со = (Отах либо co = <0min, можно определить значения угло-
вой скорости главного вала для любых положений машины внутри
периода установившегося движения. Напишем уравнение (10.17) для
двух положений машины: для положения, в котором угловая скорость
главного вала имеет значение ©max, и для произвольного положения:

ЕЕ1 — Е1 — Е0;	(10.65)

ЬЕ = Е — Е0,	(10.66)

где Е1и Е — кинетическая энергия машины для положения, в кото-
ром угловая скорость главного вала равна ©max, и для
произвольного положения;

Afi и Д£ — соответствующие приращения кинетической энергии
машины.
Вычитая уравнение (10.66) из уравнения (16.65), дме@м'

ДЕ! — ДЕ = Ei - Е.	(10.67)

На основании уравнения (10.9) имеем

Е1 = 4" i “maj	(Ю.68)

Е = 4- Л>2 = 4- (4 + Jc) «л	(10.69)

где и JCl — приведенные моменты инерции всей машины и машины
без маховика для положения, в котором и — <отах.

J и Jс — приведенные моменты инерции всей машины и машины
без маховика для произвольного положения.

На основании уравнений (10.67) ~ (10.69) получаем

и _ (10.70)
Г	JM-f- «/с

Последовательность выполнения работы. 1. Пользуясь диаграммой
ДЕ — <р (рис. 88, а или рис. 91, а), определяем значение ДЕ! для по-
ложения машины, в котором © = сотах, а также значения ДЕ для
ряда положений машины внутри периода установившегося движения.
На рис. 88, а и 91, а ординаты, измеряющие величину ДЕ1 на диаграм-
мах ДЕ — ср, соответствуют абсциссам ОА (эти ординаты на рис. 88, а
и 91, а начерчены неполностью).

2.	Воспользовавшись указаниями § 1 настоящей главы, подсчиты-
ваем ряд значений Jc для тех положений машины, для которых подсчи-
таны значения ДЕ в пункте 1. Для этого можно также использовать те
значения Jc, которые ранее были определены при подсчете значений
ДЕ* по формуле (10.27) (способ Мерцалова — Рериха), или значений
ДЕС и ДЕС по формулам (10.43) и (10.44) (способ Гутьяра).

3.	Определяем значения <о для тех же положений по форму-
ле (10.70).

4.	Строим диаграмму со — <р.

§	4. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА
НЕРАВНОМЕРНОСТИ ХОДА МАШИНЫ (РИС. 93)

Одной из задач динамического анализа машины является определе-
ние коэффициента 6 неравномерности ее хода. Эта задача имеет практи-
ческое значение, так как позволяет установить, нуждается ли дан-
ная машина в добавочных маховых массах для нормального течения
технологического процесса.

Если вычисленное значение 6 окажется больше допускаемого для
рассматриваемой машины, то во избежание нарушения ее нормальной
работы требуется увеличить приведенный момент инерции Л ма-
шины до некоторой величины J = Jc + Ju, где значение маховика

можно определить методом, описанным выше.
Опишем метод определения 6.

Заданы: а) силы, приложенные к машине; б) распределение масс
в виде переменной величины Jc, зависящей от положения машины

в) средняя угловая скорость звена
приведения

_ лл рад

ср 30 сек

Требуется определить коэффици-
ент б неравномерности хода машины.

Строим диаграмму Д£ — Jc в мас-
штабах рс и pj (кривая а в осях х и
у на рис. 93).

Будем искать такое положение но-
вой оси абсцисс этой диаграммы, при
котором ординаты кривой а, отсчи-
танные от этой оси, изображают пол-

положениях,

ную кинетическую энергию Е машины в различных

соответствующую заданному значению <оср. Зная положение этой оси,
можно определить коэффициент б.

Для этого проведем горизонтальные прямые OjX' и О2х", отстоящие

соответственно от нижней В и верхней А точек кривой а на расстояниях,
равных отрезкам £>Oj и С02, изображающим величины -у ЛпахОср и

2-«fmin(OcpB масштабе рЕ. Очевидно, оси Огх'и О2х" расположены соот-

ветственно ниже и выше искомой оси абсцисс.

Через точку 01 — середину отрезка 0г02 проводим горизонтальную
ось О\х"' и касательные Ojf'n О\К' к кривой а, касающиеся ее в точках
F' и К'. Касательные O\F’-, О\К' и ось О\х'" пересекают прямую f'F,
параллельную оси у и произвольно расположенную справа от оси у,
в точках f, k' и V. Обозначим углы наклона касательных O\F' и О\К’
к оси О\х" черезЧгтах и ЧГП1|П. Тогда, как известно, максимальная со max
и минимальная <от1п угловые скорости главного вала, соответствующие
оси О\х’", определяем из уравнений:

Kax)2 = -^-tg^ax;	(10.71)

0072)

Так как

‘В(10.73)
tg^.n = -^.	(10.74)

то

2иР

-/Т: (I0-75r

м1‘ • ю

2иг

(®mm) = 77Г1Г k'1'-	(I0’76)

Очевидно, отрезки fl' и k'l' изображают соответственно (сотах)2 и
(®min)2 в масштабе рю», определяемом равенством

(10.77)

О j t • р> j мм

Следовательно,

«ах)2 = ^-П';	(10.78)

К.п)2 = Но» • k'l'.	(10.79)

Отложим от точки Г вниз отрезок Гп' = k'l' и разделим отрезок f'n'
пополам в точке т’. Из точки т' радиусом т'п' построим полуокруж-
ность fq’n' и найдем точку q' пересечения этой полуокружности с
осью Otx'".

Очевидно,

(q'l')2 = fГ  Гп' = fl'  k'l'.	(10.80)

Умножим равенство (10.80) на квадрат масштаба .

(q'l'  Рш-)2 = (Г • IM (k'l'  рю!).

Из равенств (10 78) и (10.79), получим

(q'l'. М2=«ах)2«1п)2.
или

Я'1' • Ню, = <ах<п.п-	(10.81)

Определим среднюю у1ловую скорость <оср главного вала, соот-
ветствующую оси О\х"':

. . (wmax	tomin)2	(о>max)2+(<n)S +2®тахютш

(®ср) =--------4------= -------------4-------------•	(10.82)

На основании равенств (10.78), (10.79) и (10.81) получим
.	(f'1' + k'1' + 2?'Z')

КР)2 =	----4—— -.......	(10.83)

Если (<0сР)а = <0ср, то ось 01%"' совпадает с искомой осью. Тогда
коэффициент 6 можно подсчитать по формуле

2(<р)2
Подставляя В формулу (10.84) значения (й max)2. (<0min)2,
(10.78), (10.79) и (10.83) получим

...	2(f'l'-k'l')_________2fk'

fl' + k'l' + 2q'l' ~ t'n' + 2q'l' ’

из формул

(10.85)

Если (©ср)2 > ©ср, то ось О\х"' лежит ниже искомой осн. В этом
случае нужно провести новую ось через середину отрезка 0\02, снова
проделать описанные выше построения и подсчитать новое значение
квадрата средней угловой скорости. Еслиже((0сР)2 < <оср. то ось О]Х'"
лежит выше искомой оси. Поэтому новую ось следует провести через
середину отрезка OjO, и т. д. Подобные построения нужно повторять
до тех пор, пока разность между (а>сР)2 и соответствующим значением
квадрата средней угловой скорости не будет превышать 2—3%. После
этого искомый коэффициент 6 неравномерности можно подсчитать по
формуле (10.85).

Графическое определение 6, изложенное выше, можно несколько
упростить, исходя из таких соображений.

Принятое значение средней угловой скорости

Winax + Bmm
=--------§-------

является только приближенным, сильно отличающимся во многих
случаях от его действительного (планиметрического) значения:

Ч>о+Ф

1	С Л

®ср ПЛ - ф J “ф,

4>о

где Ф — угол поворота звена приведения, соответствующий одному
периоду установившегося движения. С другой стороны, принятое сред-
нее значение аср дает

Поэтому
9 /1
®max®tnin = ®ср I *

Отсюда следует, что при малом значении б можно принять
®ср ~ ®max®min>

ИЛИ-	________

<оср = У <0max<0min,	(10.86)

т. е. средняя угловая скорость приблизительно равна среднему
геометрическому наибольшего и наименьшего значений угловой скорос-
‘ти внутри периода установившегося движения.

Из сказанного видно, что нет оснований предпочитать среднее ариф-
метическое наибольшего и наименьшего значений угловых скоростей
(ошах и tomin их среднему геометрическому, тем более, что разность
между ними невелика. Так, например, при б = 0,5 (что мало вероятно)
относительная погрешность при замене среднего арифметического зна-
чения средним геометрическим составляет около 3,5%, при 6 = 0,2;
б = 0,1 и т. д. относительная погрешность соответственно равна
0,5%, 0,1% и т. д. Таким образом, из сравнения (10.81) и (10.86) полу-
чается, что отрезок q'V в принятом масштабе представляет собой вели-
чину (СО ср)2.

Поэтому в соответствии с выражением (10.84) можно найти б по
формуле

в к, (“max)2 - (“min)2	(f'l’ — kT) цю,

О=б = ----------;------- = ---x-п;-----,

2(“ср)а	2?/ .И(й,

или окончательно:

6 = 6' = -Д^-.	(10.87)

2q'l	'	’

Порядок выполнения работы. 1. Пользуясь методом, описанным в
§ 2, строим диаграмму АЁ — Jc в масштабах це и pj (кривая а в осях
х и у на рис. 93).

2.	Проводим горизонтальные прямые 01х',02х", отстоящие соответ-
ственно от нижней В и верхней А точек кривой а на расстояниях, рав-
ных отрезкам ОО! и СОа, изображающим величины у 7тах©ср и -^-JminWcp
в масштабе ре.

3.	Через точку 0[ — середину отрезка 0^0^ проводим горизонталь-
ную ось О\х"' и касательные 0\F' и OiX' к кривой а, наклоненные к
оси 01%'" под углами Ттах и Tmin.

4.	Проводим произвольную прямую /7', параллельную оси орди-
нат и находящуюся справа от нее, и отмечаем точки f, k' и /' ее пересе-
чения с касательными OiF' , 0\К,' и осью О^х"'.

5.	От точки Г на продолжении прямой f’l' откладываем отрезок
Гп’ = k'l'. Из середины т’ отрезка f'n' радиусом т'п' проводим по-
луокружность f'q'n' и отмечаем точку q' ее пересечения с осью Oix'”.

6.	Подсчитываем значение (соСр)2 по формуле (10.82) или (10.83).

7.	Если полученное значение (ыСр)2 отличается от заданного зна-
чения ©ср не более чем на 2—3%, то по формуле (10.85) или (10.87) под-
считываем коэффициент 6.

8.	Если (<0сР)2 отличается от <оср более чем на 3%, причем (<0сР)2 >
> (ч>ср)2, то через середину отрезка О] 02 проводим новую ось, повто-
ряем все построения и подсчитываем новое значение квадрата средней
угловой скорости.

9.	Если (©ср)2 отличается от более чем на 3%, причем ((оср)2 <
< <оср. то через середину отрезка 0J 0} проводим новую ось, повторяем
все построения и подсчитываем новое значение квадрата средней угло-
вой скорости.
Подобные построения нужно повторять до тех пор, пока полученное
значение квадрата средней угловой скорости не будет отличаться от
<Оср менее чем на 3%.

§ б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

МЕТОДОМ СРЕДНИХ МОЩНОСТЕЙ

Приведенные выше методы определения момента инерции маховика
достаточно громоздки. В большом числе случаев, однако, эту задачу
можно решить приближенно более просто. Это можно сделать тогда,
когда развиваемые в процессе движения машины мощности не меняют-
ся заметно по величине и, следовательно, их можно считать постоян-
ными. Кроме того, как это весьма часто бывает, приведенный момент
инерции Jc машины без маховика мал по сравнению с моментом инер-
ции JM маховика и им можно пренебречь.

В заданиях силы трения в расчет не принимаются и поэтому силы
сопротивления на холостом ходу машины отсутствуют. Таким образом,
движущие силы производят работу во все время установившегося дви-
жения, а силы сопротивления только на рабочем ходу. Обозначим вре-
мя рабочего хода внутри периода установившегося движения tp, время
одного периода Т. Тогда за один период работа сил сопротивления
Лс = tp Nc, а работа движущих сил

лд = ™д.

Здесь N означает соответствующую среднюю мощность. Работа движу-
щих сил за время рабочего хода

Лд.р =

Следовательно, избыток работ на рабочем ходу будет:

Лизб “ Лс Лд.р.

Но за период установившегося движения |ЛС| = Лд. Поэтому по
заданной диаграмме одной из приведенных сил (движущих или сопро-
тивлений) и по заданным углам поворота <р и <рр звена приведения
можно определить и другую приведенную силу.

С другой стороны известно, что работа сил на некотором переме-
щении системы равна приращению кинетической энергии на том же
перемещении:

| Лизб | =

Отсюда

, _ Лс~Лд.р

м" Мр 

Пример. Найти момент инерции маховика шестизвенного механизма (исследу-
емого в примерном расчете II (гл. XII, § 18, приложение III, лист V). Д а н о: 6 =»

1 11

= — ; пср = 72 об/мин; <f = 2л;<рр = — л. По данным кинетостатического иссле-
дования (табл. 40) среднее значение приведенного момента сил полезного сопротивле-
ния
Мп с = 208 н • м.

Решение.

©ср = 7,78	; I Ас I = Ад = Мп с<рр = 600 н • м.

Фп

4.р = лд--^ = 275 «-л-
Следовательно,

JM = 161 кг м2.

Более точное решение, приведенное в примерном расчете, дает /м = 159 кг м2.
Следовательно, расхождение между двумя произведенными расчетами моментов
инерции маховика не превышает 1,25%.

ГЛАВА XI

ЗАДАНИЯ ПО КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

§1	. КРАТКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ

В предлагаемых заданиях (приложение I, стр. 298—325) приняты
следующие условные обозначения:

Iab, Icd, АВ, EF и т. д. — длина соответствующего звена;

Н — ход рабочего звена (ползуна);

D — диаметр цилиндра двигателя;

k — коэффициент изменения скорости хода;

е — смещение оси движения ползуна отно-
сительно оси вращения кривошипа;

X — отношение длины шатуна к длине кри-
вошипа;

nii — масса i-ro звена;

Jsi — момент инерции i-ro звена относитель-
но оси, проходящей через центр масс;

JOi — момент инерции i-ro звена относитель-
но оси вращения;

nt — число оборотов в минуту i-ro звена;

6 — коэффициент неравномерности хода
машины;

щ, та и т. д.— модуль соответствующей зубчатой пары;

zt — число зубьев i-ro зубчатого колеса;

h — ход толкателя кулачка;

gj — смещение оси движения i-roтолкателя
относительно оси вращения кулачка;
Ртах — угол качания (размах) коромысла ку-
лачкового механизма;

у — угол передачи;

Ут in — минимальный угол передачи;

<ру, фд, фв, фб — углы поворота кулачка, соответствую-
щие удалению, дальнему стоянию, воз-
вращению и ближнему стоянию тол-
кателя.
Выдавая студенту задание, преподаватель должен задать число
оборотов в минуту ведущего вала и, в большинстве заданий, ведомого,
масштаб диаграммы движущих сил или величину силы полезного
сопротивления Рп.с, вариант диаграммы функции	(ф),

указать зубчатую пару, зубья которой следует профилировать (реко-
мендуется профилировать зубья последней пары), вид зацепления дан-
ной пары (нулевое, равносмещенное, неравносмещенное), а также объем
проекта.

Задание № 1. Двигатель внутреннего сгорания (см. первый
примерный расчет). Рекомендуется недостающие в задании величины
принимать в следующих пределах: Ц/> = 0,054-0,15^^—;под = 500-4-
4- 2500 обIмин.

Опережение открытия: впускного клапана 10—20°, выпускного
25—50°.

Задание № 2. V-образный двигатель внутреннего сгорания.
При синтезе основного механизма требуется определить гол, 1дв, исходя
из величины хода Н± = 2г поршня В и X = ——. Рекомендуется при-
'оа

нимать и.,о = 0,08 4-0,15	; п = 20004- 4000 об!мин\ п2 = 500 4-

!	’	мм 1	’ i

4- 1000 обIмин.

Задание № 3. Паровая машина. Длину год кривошипа опре-
деляют по величине хода Н поршня: Н = 2г, длину 1дв шатуна — из
отношения X = 2d®-, ПоА = 1504-400 об!мин-,	= 0,054~0,1Мк л<—

Т qa	ММ

Задание № 4. Компрессорный двигатель. Длину кривоши-
па год и шатуна 1дв определяют аналогично предыдущему заданию.
Длины остальных звеньев определяют из соответствующих соотноше-
ний: под = 800 4- 1200 об!мин\ рр=0,08 4- 0,12 ^w'л<—; цр = 0,02 4-
ММ

4- 0,03 —

ММ

Задание № 5. Топливный насос авиадизеля. Последователь-
ность работы механизма: от кулачкового вала Ох приводится в колеба-
тельное движение рычаг О2А с роликом. По криволинейной канавке
катится ролик В, который шарнирно закреплен на конце шатуна BD,
перемещающего плунжер D. Шатун связан также серьгой СОа с конеч-
ной точкой рычага О3О4, переставляемого регулятором. При увеличе-
нии скорости регулятор поворачивает рычаг 0403 вправо, вследствие
чего уменьшается подача топлива. Синтез механизма сводится к опре-
делению положения оси Ох. Последнее определяется при динамическом
синтезе кулачкового механизма при п = 2000 4- 3000 об!мин-, ymin =
= 45 4- 60°; Р = 500 4- 1000 н.

Задание №6. Поперечно-строгальный станок (см. второй
примерный расчет). пх = 1000 4- 1500 об!мин-, цр = 50 4-200 н/лц
по.а = 60 4- 150 об!мин.
Задание №7. Поперечно-строгальный станок. Требуется
определить гогл, (Ьогв)ты, пользуясь величиной k. Величины пь
погА, рр такие же, как в задании № 6.

Задание №8. Долбежный станок. Размеры г о, а, 1оав, 1вс
определяют подобно тому, как при синтезе кулисного механизма II
примерного расчета. Величины пг, «о2л и рр такие же, как в задании
№ 6.

Задание №9. Механизм подачи станка-автомата. Требуется
определить /о2л и взаимное положение 02А и штанги х — х. Величи-
ну 1оса определяют по величине хода Н и углу качания а.

Движение звена 0«А рекомендуется принять симметричным отно-
сительно перпендикуляра, опущенного из точки 02 на ось штанги
х— х. При этом условии проекция на ось х — х амплитуды коле-
бания точки А будет равна половине хода положение оси О вра-
щения кулачка определяют при динамическом синтезе кулачкового
механизма.

Скорость вращения кулачка определяют по времени его оборота
t — ty + tz + t3 + t4. Рекомендуется принимать n = 200 4-500об!мин,
Р = 500 4- 1000 н.

Задание № 10. Пресс двойного действия предназначен для
штамповки изделий из листового материала методом глубокой вытяж-
ки. Заготовка прижимается ползуном С к матрице, помещенной на сто-
ле пресса, после чего к заготовке подходит пуансон, укрепленный в
вытяжном ползуне, и производится вытяжка. Требуется определить
гогл и 1ав по величинам Н = 2го,а и Л.

Рекомендуется принимать по2а = 30 4- 60 об!мин', п = 1000 4-
4- 1500 об!мин-, рр = 250 4- 150 н!мм.

Задание № 11. Горизонтально-ковочная машина.

Машина представляет собой кривошипный пресс, предназначенный
для горячей штамповки в разъемных матрицах, укрепленных в непо-
движном блоке /// и боковом ползуне//, который приводится в движе-
ние кулачками от рычагов DE, EF, EL и др. После введения прутка
в штамп боковой ползун подходит к прутку и зажимает его; затем глав-
ный ползун / с установленными на нем пуансонами совершает рабочее
движение.

По величине Н ~ 2го2а хода ползуна I определяют го2л, а 1ав —

из отношения % =	;/?= 10004- 1500об!мин', п0,а~ 504-75об!мин',

ГОеА

Pp = 100 4- 200 н/мм.

3 а д а и и е № 12. Одноударный холодновысадочный автомат с цель-
ной матрицей. Автомат предназначен для высадки головок заклепок,
винтов и других видов подобных стержневых деталей с полукруглой,
полупотайной и потайной головками.

Длины кривошипа г о, л и шатуна 1ав высадочного механизма определяют

по величине Н = 2 го.а хода высадочного ползуна и ошошению Х=—

ГО,А
Синтез механизма подачи производят в соответствии с задачей
13 (гл. II, § 2). Угол качания (<p5max — фзтт) звена 02Е определя-
ют по величине подачи прутка Нг = (фатах— фзтт) -у. Длину й2
поступательно движущегося кулачка определяют методом динамическо-
го синтеза. Для всех вариантов задания № 12 (см. стр. 309)6 = 1/15;

= 0,17;	= 0,29;	= 0,29;	= 0,5;	= 0,5; /BSj =

?ав	12се	>о,е	‘о.е 1се

= 0,25/дВ при п = 1500 4-3000 об/мин; по,а = 150 4- 250 об/мин;
Л1С = 5 4- 10«  м; (Ар = 150 4- 250 н/мм.

3 а д а н и е № 13. Выталкивающий механизм пресса СП-2. Дли-
ну 1вс и 1о.в определяют так же, как и длины кулисы и шатуна в пример-
О А
ном расчете (см. стр. 252). Величину 1о3а определяют из отношения-^2^-;
п = 10004- 1500 об/мин:, п' = 70 4- 120 об/мин', ц/> = 180 4- 120 н/мм.

Задание № 14. Механизм для подрезания шипа черепицы авто-
мата СМ-84. Положение центра вращенйя О3 кулачка определяют при
динамическом синтезе кулачкового механизма. Угол качания рычага ОБ
определяют графически после построения рычажного механизма в двух
крайних положениях, обеспечивающих размах точки F, равный ве-
личине Н; п = 1000 4- 1500 об/мин; и' = 100 4- 150 об/мин; (Лр =
= 50 4- 150 н/мм.

3 а д а н и е № 15. Камнедробилка. Длины /о2в и Iba определяют
путем подбора таких длин, которые обеспечивают величины углов ка-
чания ртах звена 2 И В' = <Р4тах — ф4т1п ЗВСНЭ 4.

Положение центра OL вращения кулачка определяют при динами-
ческом синтезе кулачка; п = 10004- 1500 об/мин; (ip = 504- 150 н/мм;
п' = 100 4- 150 об/мин.

Задание № 16. Механизм игловодителя и нитепритягивателя
универсальной машины 4-го класса ПМЗ. Данный механизм является
составной частью швейной машины. Он состоит из кривошипно-ползун-
ного механизма OtBD (механизма игловодителя) и четырехзвенного
коромыслового механизма О±СРО2 (нитепритягивательного). Длину го,в
определяют по величине хода Н = 2го,в игловодителя D, Ibd— из
отношения -Т5ТГ, а 1о,с и Icf — в соответствии с задачей 13 (гл. II,
DU	х

§ 2).

Рекомендуемые величины п — 10004-1500 об/мин; р,р = 1 4-5 н/мм.

3 а д а н и е № 17. Механизм нижнего натяжного ролика машины
строчки подошвы (МПС). Положение центра вращения О кулачка опре-
деляют при динамическом синтезе кулачкового механизма. Угол кача-
ния звена О}ВС определяют графически после построения механизма
в положениях, соответствующих двум крайним положениям звена
(EDE. п = 2000 4- 2500 об/мин; = 5 н/мм.

Задание№ 18. Гвоздеподающий механизм обтяжной машины
(ОМ) обувного производства. Механизм обеспечивает автоматическую
подачу гвоздей из барабана, соединенного с шестерней 6.
Положение оси О± определяют при динамическом синтезе кулачко-
вого механизма; п' = 20-?-40 об/мин; п = 2504-500 об/мин; Л4П.С=
= 5-?-15 н • м.

Задание № 19. Механизм привода качающегося конвейера (гро-
хота). Требуется определить lAB, 1о2в, 1вс- Длины 1АВ и !Огв определяют по
минимальному значению угловой скорости comin звена О2В (см. задачу 15,
гл. II, § 2), а длину 1ВС — из заданного отношения X = п —
1о,в

= 10004-1500 об/мин; Р = 1000ч- 2000 н.

Задание № 20. Механизм привода качающегося конвейера.
Первоначально определяют длину 10гс по величине Н хода ползуна
и углу Р качания звена О2С (Ртах= фг — Ф1) см. § 13, гл. XII.

Длины 1о2в и Icd определяют из заданных отношений и Вели-
‘о2с 1о2с

чины 1АВ и г01Л находят в соответствии с задачей 13 (гл. II, § 2); п =
= 1000 4- 1500 об/мин; Р = 1000 4- 2000 н.

Задание №21. Механизм грабельного аппарата сеноворо-
шилки. Служит для ворошения скошенной травы. Длины звеньев rolA
и 1Ав определяют в соответствии с задачей 3 (гл. II, § 2). Числа зубьев
z2 зубчатых колес и z3, z4 звездочек цепной передачи подбирают так,
чтобы было обеспечено требуемое передаточное отношение 1'1,4; v —
= 6 4-Ю км/ч; ид = 6-4-10; Р = 50 4- 200 н.

Задание№ 22. Механизм грабельного соломотряса комбайна.
Механизм, являющийся частью молотилки комбайна, служит для
отделения зерна и половы от соломы. При этом требуется, чтобы в
соломе, удаленной из комбайна при помощи данного механизма,
не оставалось зерно. Грабельный соломотряс состоит из двух механиз-
мов, работающих самостоятельно от одного привода: механизма —
О2ВСО3, служащего для выделения мелкого вороха и передачи его на
последующую очистку, и механизма граблин OiEFO;t, служащего для
ворошения соломы.

При ворошении солома будет находиться над ворохом и переносить-
ся граблинами к выходу из комбайна. При этом мелкий ворох (сбоина,
полова, зерно) проваливается сквозь поверхность решетки, кото-
рая совершает плоскопараллельное движение.

Синтез механизма О1ЛВО2 производят в соответствии с задачей 14,
а механизма О2ВСО3— в соответствии с задачей 12 (гл. II, §2).

Числа зубьев zlt z2, z3 и z4 зубчатых колес подбирают из условия
п,4 — п[по,А; п — 800 4- 1200 об/мин; nOiA = 150 4-200 об/мин; Р —
= 500 4- 1000 н; Мс = 20 4- 40 н • м.

3 а д а н и е № 23. Зевообразовательный и батанный механизмы.
Являются основными механизмами ткацкого станка. Процесс обра-
зования ткани протекает следующим образом: нити 2 основы, сматы-
ваемые с навоя /, огибая скало 3, проходят сквозь глазки галев
ремизок 4 и между зубьями берда 6. Ремизки, перемещаясь в вертика-
льных плоскостях, образуют свободное пространство 5, называемое
зевом.
Введенная в зев при помощи челнока 7 уточная нить прибивается к
опушке Q ткани 8 бердом. Одновременно происходит-.закрытие зева и
образование нового зева, при котором ремизки и пробранные в них
нити основы меняют свое положение, в результате чего прибитая к
опушке ткани уточная нить закрепляется у опушки. Во вновь образо-
ванный зев вводится новая уточная нить, которая снова прибивается к
опушке. Наработанная ткань отводится медленно вращающимся валь-
яном 9 и наматывается на товарный валик 10.

Зевообразовательный механизм О1О2СЕ предназначен для пере-
мещения ремизок в вертикальной плоскости. Батанный механизмОАВОа
направляет движение челнока с уточными нитями и удерживает его
во время покоя; он же прибивает введенную челноком нить к опушке Q
ткани.

Длины кривошипа Гоа и шатуна 1дв батанного механизма определяют
в соответствии с задачей 13 (гл. II, § 2). Произведя динамиче-
ский синтез кулачкового механизма, определим положение оси враще-
ния 02 рычага 02С; п = 1000-4- 1500 об/мин', поа = 150-4-250 об/мин:,
М\ = 3 -4- 6 н • м\ Л1” = 5-4- 10 н- м.

3 а д а н и е № 24. Механизм нитеводителя мотальной машины.
Данный механизм предназначен для перемещения нити вдоль оси ка-
тушки при перемотке нитей с початка на катушку. Нить перемещается
штангой АВ, нижний конец которой соединен гибкой связью с бло-
ком О4. При наматывании гибкой связи на блок штанга поднимается,
при сматывании — опускается.

Вращательное движение сообщается блоку с помощью шестерни
z7 и зубчатой рейки. Последняя приводится в движение кулачком О3,
получающим движение от главного вала при помощи зубчатых пар
Zj—z2, z6—ze и червячной передачи z3—z4.

Величину хода штанги EF определяют в зависимости от хода штан-
ги АВ, равного длине / катушки.

Время одного оборота кулачка равно времени, затрачиваемому на
намотку двух рядов нитей пряжи; п = 200 -4- 300 об/мин', Р = 1 -4- 4 н

Задание № 25. Механизм валиковой подачи. Предназначен для
подачи материала в штамповочных прессах. Металлическая лента за-
жимается валиками Ь, которые, вращаясь, протягивают ее через штамп
пресса. На одном валу в валиками насажены зубчатые колеса z7, z8,
z8, zio> получающие вращение от зубчатой рейки NL. Последняя при-
водится в возвратно-поступательное движение кулисой OtB. Кача-
тельное движение кулисы образуется при вращении кривошипа ОА,
находящегося на валу О.

 Вращение вал О получает от кривошипного вала О' пресса через
две пары z3—z4 и z5—ze конических зубчатых колес. Во время штам-
повки валики автоматически приподнимаются и подача ленты прекра-
щается. Подъем валиков осуществляется при помощи кулачка, нахо-
дящегося на валу О, рычагов С02М и С02М', EOaF и E'O3F' и тяг
ME и М'Е'. Изменением положения пальца А кривошипа можно
регулировать величину подаваемого материла. При.синтезе механизма
длины (/ojsJmax и гоа определяют по коэффициенту k и величине хода Ях
рейки NL (гл. XII, § 13). Последнюю определяют по формуле

где Н — величина подачи материала;

d-t — диаметр начальной окружности зубчатого колеса

Д — толщина металлической ленты.

Длину 1ме = 1м’Е' тяги подбирают при компоновке механизма.

Задаваемые величины рекомендуется принимать в следующих
пределах: п = 1000-4-1500 об/мин-, пол— 60-4-150 об/мин-, =
= 5-4-20 н/мм.

Задание № 26. Дифференциальный механизм подачи. Дви-
жение от зубчатого колеса zx передается зубчатому колесу z2, ось кото-
рою проходит через центр В вращательной пары шатуна АВ.
С зубчатым колесом z2 жестко связано зубчатое колесо z2. передающее
вращение зубчатому колесу zs, от которого с помощью зубчатого коле-
са г4 движение передается зубчатому колесу z5, а от него цепной пере-
дачей — ведущему валу транспортера.

Звено OtB получает движение от кулачка, жестко скрепленного с
зубчатым колесом zlt и звеньев СОА и АВ.

Минимальный радиус кулачка и расстояние ООГ определяют при
динамическом синтезе кулачкового механизма, а длину 1ав звена А В под-
бирают при компоновке механизма из условия обеспечения максималь-
но возможных углов передачи движения между звеньями ОА — АВ и
АВ — ВО1У а также отсутствия заклинивания колеса z2 с колесом z4.

Задаваемые величины рекомендуется принимать в предетах: п =
= 750 -4- 1000 об/мин.-, А1П с = 100 -4- 250 н  м.

3 а д а н и е № 27. Фрикционный механизм подачи. При вращении
эксцентрика О2А в направлении, указанном стрелкой, происходит по-
дача изделия а. Величину /о2д эксцентриситета определяют по заданному
межцентровому расстоянию lOiOt и углу ф качания кулисы, который
определяется через коэффициент k изменения скорости хода по формуле
(2-1).

Размеры кулисы подбирают при компоновке механизма из усло-
вия обеспечения контакта между кулисой и подаваемым материалом при
рабочем ходе.

Задаваемые величины рекомендуется принимать в следующих пре-
делах: п— 1000-4-1500 об/мин', по2а = 150-4-200 об/мин-, Рп с= 300-4—
-4- 1000 н.

Задание № 28. Механизм привода печатного цилиндра и талера.
При вращении кривошипа ОА кулиса ОгА качается относительно не-
подвижной оси Ох. На кулисе имеется зубчатый сегмент, передающий
движение зубчатому колесу г2, находящемуся на валу печатного ци-
линдра и жестко связанному с зубчатым колесом z3, которое передает
движение талеру (столу). Зубчатое колесо ze служит дополнительной
опорой талеру.
Длину l0A кривошипа определяют по заданному межцентровому
расстоянию /оо, и коэффициенту k изменения скорости хода (гл. XII.
§ 13). Другие недостающие размеры определяют при компоновке
механизма из условия обеспечения требуемого движения звеньев ме-
ханизма.

Задаваемые величины рекомендуется принимать в следующих пре-
делах: Поа = 30->60 o6jMUH, Рп.с = 200 -4- 400 н.

3 а д а н и е № 29. От электродвигателя через зубчатую передачу
(zr, z2) вращение при помощи фрикционной муфты передается на
главный вал О пресса-автомата. Механизм высадочного ползуна в
основе своей представляет собой шарнирный четырехзвенник OACOlt
длину кривошипа и коромысла которого можно изменять в определен-
ных пределах (рис. НО).

К шатуну Л С на середине его длины в точке В присоединен высадоч-
ный ползун (звено 5), который при своем движении описывает траекто-
рию, представляющую собой эллиптическую кривую, вертикальная ось
которой соответствует ходу ползуна, а горизонтальная — подаче матери-
ала. Ползун перемещается по направляющим колонкам, соединенным
вверху и внизу горизонтальными салазками, образующими поступа-
тельно-движущиеся направляющие. На нижних салазках помещается
матрица I, пуансон II крепится к ползуну в нижней части его. Горизон-
тальное перемещение ползуна вместе с направляющими используется для
подачи материала. Для подачи материла применяются клещи подвижные
III и неподвижные (на схеме показаны). Подвижные клещи переме-
щаются вместе с подвижными направляющими 6. Неподвижные клещи
установлены на станине и удерживают ленту при движении ползуна
в исходное положение.

Механизм ножниц приводится в движение от эксцентрика, располо-
женного на главном валу О. Кулачок 8, установленный на ведомом
валу О2, приводится в колебательное движение от эксцентрика шату-
ном DE, поднимая или опуская нож (звено 9). Движение подвижного
ножа вниз соответствует отрезанию материала.

§ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Задание на курсовой проект, объем и содержание проекта опреде-
ляет руководитель курсового проектирования.

В соответствии с программой курса теории механизмов и машин
для машиностроительных специальностей высших технических учеб-
ных- заведений курсовой проект должен состоять из 5 листов формата
24 ГОСТ 2301—68 и расчетно-объяснительной записки.

Тематика листов проекта.

Лист 1. Синтез зубчатой передачи.

Лист 2. Синтез кулачкового и шарнирно-рычажного механизма.

Лист 3. Кинематическое исследование шарнирно-рычажного меха-
низма.
Лист 4. Кинетостатическое исследование шарнирно-рычажного меха-
низма.

Лист 5. Определение момента инерции маховика.

При выполнении курсового проекта рекомендуется придерживать-
ся следующей последовательности.

Изучение задания. 1. Изучить проектное задание, выяснив назна-
чение машины в целом и каждого механизма ее в отдельности, а также
разобраться во взаимодействии между этими механизмами. Для этого
следует воспользоваться краткими указаниями к заданиям, имеющими-
ся в XI главе, или специальной литературой той отрасли промышлен-
ности, в которой применяется предложенная в задании машина.

2.	Составить кинематические схемы механизмов, входящих в со-

став машины.

3.	Пользуясь данными проектного задания, определить параметры
механизмов, подлежащих определению при проектировании.

Синтез и анализ механизма привода. 1. Определить общее переда-
точное число механизма привода и каждой ступени его в отдельности.

2.	Подобрать числа зубцов колес механизма привода.

3.	Определить скорость вращения каждого зубчатого колеса.

4.	Определить радиусы начальных окружностей зубчатых колес.

5.	Начертить кинематическую схему механизма привода.

6.	Построить картину скоростей и диаграмму угловых скоростей

механизма привода.

7.	Определить размеры зубчатой пары, зубья которой подлежат
профилированию, ег

8.	Начертить элементы зубчатого зацепления. На чертеже нужно
построить, как минимум, три пары зубьев, находящихся в зацеплении,
активную часть линии зецепления, рабочие участки профилей зубьев
и дуги зацепления. Все вспомогательные линии построения должны
быть четко видны на чертеже.

9.	Составить таблицу значений коэфициентов относительного сколь-
жения для обоих колес и на основании этой таблицы построить'
прямоугольные и круговые диаграммы этих, коэффициентов.

10.	Подсчитать коэффициент перекрытия двумя способами:
а) аналитическим, б) по данным, полученным из чертежа зубчатого

зацепления.

11.	Оформить чертеж (лист 1). Кроме графических построений,
требуемых пп. 5, 6, Я, 9 на листе, необходимо в таблицах представить
параметры механизма привода и зубчатого зацепления, а также ско-
рости вращения зубчатых колес.

Синтез кулачкового механизма. 1. На листе 2 построить в неопре-
d2s cPs
деленном масштабе по оси ординат заданную диаграмму -г-*- =	(<р)

cfs ds , .

или 'dqT = ~dqT W' для толкателя кулачкового механизма.

2. Методом графического или аналитического интегрирования по-
строить диаграммы	(<[) и s =. s (q>).