/
Author: Очан Ю.С.
Tags: математика теория множеств теория функций сборник задач издательство просвещение
Year: 1963
Text
Ю. С. 04АН
СБОРНИК
ЗАДАЧ и ТЕОРЕМ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ"
«ССИВА 1ВВИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория функций действительного переменного уже давно прочно
вошла в программы математических факультетов университетов и
педагогических институтов. Это и понятно, так как теория мно-
жеств и теория функций являются в настоящее время базой мате-
матического образования каждого грамотного математика. Однако
освоение этой базы может быть достаточно успешным лишь в том
случае, если изучение теоретического материала будет сопровож-
даться овладением методом этой науки, т. е. если изучающий тео-
рию сможет применять излагаемые в этой теории методы к само-
стоятельному решению задач, к самостоятельному доказательству
несложных теорем или конструированию примеров.
К сожалению, в существующей учебной литературе по теории
функций еще мало имеется книг, которые имели бы достаточное
количество материала для самостоятельных упражнений. Из отече-
ственной и переводной литературы можно указать лишь несколько
книг, которые содержат рад интересных задач по теории множеств
и теории функций, — это учебники: И. П. Натансона «Теория функций
вещественной переменной», 1957, П. С. Александрова и А. Н. Кол-
могорова «Введение в теорию функций действительного перемен-
ного», 1938, И. П. Макарова «Теория функций действительного
переменного», 1962, Г. Е. Шилова «Математический анализ, спе-
циальный курс», 1962, а также книга Халмоша «Теория меры». Неко-
торые задачи из указанных книг включены и в настоящий сбор-
ник.
Многие задачи и примеры, помещенные в этой книге, носят со-
вершенно элементарный, учебный характер; они приспособлены в
основном к программе курса теории функций действительного пе-
ременного, читаемого для студентов математических специальностей
пединститутов и университетов. Однако наряду с элементарными зада-
чами сборник содержит также ряд задач повышенной трудности;
решение таких задач требует от учащегося известной изобретатель-
ности и некоторых навыков математического исследования. Эти бо-
лее трудные задачи (или циклы задач, объединенные общей темой)
могут служить материалом для спецсеминаров и кружков; их мож-
но предлагать также в качестве тем для курсовых работ.
3
Теперь несколько слов о построении книги.
а) Ввиду того что в различных учебниках употребляется различ-
ная терминология и различные обозначения, автор дает перед каж-
дой главой сводку основных определений и обозначений, а также
формулировку тех теорем, которые предполагаются известными и
на которые следует опираться при решении задач.
б) Книга разбита на две части. Вся теория множеств, начи-
ная с общей теории (операции над множествами, вопросы взаимно
однозначного соответствия и мощности) и кончая теорией меры Ле-
бега, заключена в первой части. Вторая часть посвящена теории
функций, начиная с общих вопросов, связанных с отображениями
множеств, и кончая теорией интеграла Лебега в евклидовом про-
странстве.
в) Топологические вопросы теории множеств (предельная точка,
сходимость, открытые и замкнутые множества) рассматриваются в
произвольном метрическом пространстве. В связи с этим изложению
этих вопросов предпослана глава 4 («метрические пространства»).
Затем в главе 5 даются задачи, использующие основные топологи-
ческие понятия в произвольном метрическом пространстве. Глава 6
посвящена применению этих топологических понятий к множествам,
расположенным в евклидовых пространствах (и, в частности, к
множествам на прямой), с использованием специфики множеств,
лежащих в евклидовом пространстве. В тех вузах, где изложение
теории множеств дается только в евклидовом пространстве, все за-
дачи главы 4, а также те задачи из глав 5 и 6, которые помечены
звездочкой, могут быть опущены.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить
искреннюю благодарность всем товарищам, которые своими совета-
ми и критическими замечаниями во многом способствовали улучше-
нию изложения. В первую очередь это относится к М. Ф. Бок-
штейну, И. Я- Верченко, И. П. Макарову, А. А. Фридману и ре-
дактору книги М. Л. Смолянскому.
Ю. С. Очан
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ГЛАВА 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Основные определения и обозначения
Если а является элементом множества А, то это обозначается так: а ( А.
Если а не является элементом множества А, то это обозначается так:
а£А (или а^А).
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множе-
ством и обозначается 0 (или А, или 0).
Если все элементы множества А являются также элементами множества В,
то говорят, что А включается в В или А содержится в В; говорят также, что
В включает А или В содержит А (это обозначается так: А с В или Bz>A).
Если А с В и В с А, то говорят, что А равно В или А совпадает с В.
Равенство двух множеств обозначается так: А = В.
Если А с В, то говорят, что множество А является подмножеством множе-
ства В. Если при этом А не совпадает с В (А-/В), то говорят, что А является
собственным подмножеством множества В.
Операции над множествами
1. Суммой (или объединением) двух множеств А и В называется множество,
составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств.
Сумма множеств А и В обозначается АЦВ (или А А В),
Суммой (или объединением) некоторой совокупности множеств { А. } назы-
вается множество В, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно
из слагаемых множеств А;. Сумма множеств обозначается так: В= (J At (или
В = ЕАС).
2. Пересечением (или общей частью) множеств А и В называется множество,
составленное из всех элементов, принадлежащих одновременно как множест-
ву А, так и множеству В. Обозначается пересечение так: А Г) В (или А-В).
Два множества А и В называются непересекающимися, если их пересечение
пусто.
Пересечением (или общей частью) некоторой совокупности множеств ( Ас }
называется множество В, составленное из всех элементов, входящих одновре-
менно во все множества At Пересечение множеств обозначается; В= f)Ar
L ь
(или В = П А^
5
Сумма и пересечение обладают свойствами переместительности и сочета-
тельности
ЛиВ = В1М; ЛЛВ=ВЛЛ;
лисвио = (ЛиВ)иС; ЛЛ(ВЛС) = (ЛлВ)ЛС.
Кроме того, справедливы распределительные законы:
ЛП[иВ.] = и(ДЛВЕ); (1)
Ли[ПВё] = л (Лив£). (2)
3. Разностью двух множеств Л и В называется множество, составленное
из всех тех элементов множества Л, которые не являются элементами множе-
ства В. Обозначается разность так: Л\В (или Л—В).
4. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множе-
ство (Л\В) U (В\Л); симметрическая разность множеств Л и В обозначается
символом А Д В:
ЛдВ = (Л\В)и(В\Л).
Очевидно, что Л Д В = В Д Л.
5. Произведение множеств. Пусть Е и F— два множества. Произведением
этих множеств называется множество всевозможных пар (х, у), где xQE,
yQF. Произведение множеств Е и F обозначается ExF.
Если, в частности, Е—какое-либо множество чисел на оси Ox, a F—
какое-либо множество чисел на оси Оу, то ExF является множеством всевоз-
можных пар чисел (х, у), где xQE, yQF-, так как пару чисел можно рассмат-
ривать как точку на плоскости Оху, то ExF можно считать множеством всех
точек (х, у) на плоскости Оху таких, что xQE, yQF.
По аналогии с произведением двух множеств можно говорить о произведе-
нии любого числа множеств. В частности, произведением трех множеств, одно
из которых (Е) расположено на оси Ох, другое (F) — на оси Оу, третье (G) —
на оси Oz, является множество ExFxO, элементами которого являются все-
возможные тройки чисел (х, у, г) (или, что то же самое, точки (х, у, г) трех-
мерного пространства Охуг) такие, что xQE, yQF, zQG.
6. Рассмотрим произвольную последовательность множеств Ег, Е.>, ....
Верхним пределом этой последовательности называется множество lim Еп,
определяемое следующим равенством:
__ со оо
lim£n = Г) U Ет,
п=1 т=п
т. е. lim£n = (EiUE-iUfsU^U • - -)Л (^all^jU^U • - -)Л
л(£8из»и ..злс^и ...)л...
7. Нижним пределом последовательности Е1г Е2, Е3, . . . называется мно-
жество lim£n, определяемое следующим равенством:
оо оо
limE„ = U Л Ет,
п—1 т=п
т. е. Нт£,г=(£1Л£2Л£зП£4Л .. ЛЛ^гЛ^зЛ^Л --.)U
и(Д,Л£4П -)U(£4H ...)U
Если все множества, фигурирующие в некоторой задаче, включаются в мно-
жество R, то это множество R называется пространством.
Разность /?\£ между пространством R и каким-либо множеством £, вклю-
ченным в это пространство, называется дополнением к множеству Е (относительно
6
пространства 7?) и обозначается СЕ (или СГЕ, если мы хотим подчеркнуть, что
’берется дополнение именно до пространства /?), т. е.
СЕ = R\E (или C#E=R\E).
Закон двойственности. Для любой совокупности множеств { Е^ }, каждое
яз которых включается в пространство R, справедливы следующие равенства:
C(U£EJ=nC£g; С(Л££)=иС££.
В частности, для двух множеств А и В закон двойственности записывается
так:
С(див)=слг)СВ; С(ллв)=сдисв.
ЗАДАЧИ
1. Доказать следующие утверждения:
а) из А с В вытекает, что ЛрВ=Л и ЛиВ=В;
б) из А Л В=А вытекает, что A cz В;
в) из АцВ=В вытекает, что Ас В.
2. Доказать:
а) А и (В П С)=(Л и В) л (Л U Q;
б) А Л (В и С)=(Л л В)и(Л п Q-
3. Доказать включения:
а) (Л Л С) U (В ЛО)с(Л и В) Л (С (J D);
б) (В\С)\(В\Л)сЛ\С;
в) Л\Се(Л\В)и(В\С).
4. Доказать равенства:
а) (Л\В)\С=(Л\С)\(В\С);
б) (Л\В) U (В\С) и (С\Л) U (Л Л В Л С)=Л и В U С.
5. Вытекает ли из Л\В=С, что A=BljC?
6. Вытекает ли из A—BUC, что А\В~С?
7. Верны .ни равенства: а) Л\(В и С)=(А\В)\С;
б) Л и(В\С)=(Л (jB)\C; в) (Л\В) и С=(Л и С)\В? Если не вер-
ны, то в какую сторону имеет место включение?
8, Доказать включение:
илА\ивйс и(Л*\Д0-
k k k
Показать на примере, что в общем случае здесь не имеет
место равенство-
9. Доказать, что
1) лдв=(ЛиВ)\(ЛлВ); ‘
2) Л А В=(Л Л СВ) U (В Л С А).
10. Пусть Л — заданное множество; про другое множество —
X — известно, что Л АХ—Л. Доказать, что Х= 25-
7
11. Доказать равенства:
а) ЛА(£А£>)=(Л А£)А£>;
б) А П (В А О)=(Л П В) А (Л Л £>);
в) ЛАЛ=0;
г) ЛА0=Л.
12. Доказать включение:
(Л U В) А Вс(Л A F) и (В А О-
Показать на примере, что в общем случае здесь нет равен-
ства.
13. Доказать равенства:
а) C(£1\£2)=C£1U £2;
б) С [С (СХ и У) U (X и СУ)]=У\Х;
в) (ЛлВ)и(ЛлСВ)и(СЛлВ)=Л ив.
14. Используя закон двойственности, упростить выражение:
С[С(ХиУ)Л(СХиСУ)].
15. Доказать, что __
ИтЕп<Ип1Еп.
16. Пусть дана последовательность множеств Л, В, Л, В, Л,
В, ..., т. е. £„=Л при п нечетном, Еп—В при п четном. Дока-
зать, что тогда Пт Еп= А Л В; Ит Ег= А и В.
17. Пусть (£„}—последовательность попарно непересекающихся
множеств; доказать, что НтЕп~lim£„=0.
18. Доказать, что lim £„ состоит из тех и только тех точек,
которые входят одновременно во все множества данной последова-
тельности, начиная с некоторого номера п. Доказать, что lim£n
состоит из тех и только тех точек, которые входят в бесконечное
число множеств данной последовательности.
19. Доказать, что. изменив в последовательности {£„} первое мно-
жество Е1г мы не изменим ни lim Еп, ни lim Еп.
20. Доказать, что если последовательность множеств монотонно
возрастает: £scz ... или монотонно убывает: £t=)£2=)
□ Ер ..., то ее верхний предел равен нижнему: lim Еп = lim Еп.
21. Доказать, что для любой последовательности множеств {£„}
имеют место включения: П £„<=limEBczlimEncz U £„.
п=\
Построить пример такой последовательности множеств, для ко-
торой ни один из этих знаков включения не может быть заменен
знаком равенства. __
22. Пусть Д=1ш1£в, В=Нт£в. Доказать, что тогда СА=
=limC£B, a CB=\imCEn.
8
23. Доказать, что ддя любых множеств Е, F, G справедливы
равенства:
a) Ex(Fи G)=(ExF) u(ExG);
б) (F(jG)x£=(Fx£)U(Gx£).
24. Доказать, что для любых множеств Е, F, G справедливы
равенства:
a) Ex(F HG)=(£xF)n(FxG);
б) (FnG)xE=(FxE)n(GxE).
25. Справедливо ли равенство
(Л ХД) П (С х D)Л С) х (Я Л Е>)?
26. Справедливо ли равенство
(ДхВ)и(СхЛ)=(Л uC)x(BtW
ГЛАВА 2
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
Если каждому элементу а множества А по некоторому закону поставлен в
соответствие один и только один элемент b множества В, причем различным
элементам множества А отвечают различные элементы множества В, и если при
этом соответствии использованы все элементы множества В, то говорят, что
между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.
Так, например, можно установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех рациональных чисел и множеством всех натуральных
чисел.
Если между некоторым множеством Е и множеством .V всех натуральных
чисел установлено взаимно однозначное соответствие, то говорят, что элементы
множества Е занумерованы с помощью натуральных чисел.
Целью задач настоящей главы является установление взаимно однозначного
соответствия между двумя заданными множествами (т. е. построение функции,
определенной на одном из заданных множеств и взаимно однозначно отображаю-
щей это множество на другое заданное множество).
Среди множеств, с которыми мы будем иметь дело, особенно важными
чвляются числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются
зещественные числа. Приведем примеры числовых множеств: 1) множество всех
ющественных чисел (числовая прямая (—оо; -|-оо)); 2) множество всех чисел х,
удовлетворяющих неравенству х>а {луч [а; +°°)) или неравенству х>а {луч
а-, 4-оо)); аналогично определяются луч (—-оо; а] и луч {—оо ; а); здесь а —
«данное число; 3) множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
icxob, где а < b—заданные числа, называется сегментом [а; Ь]; 4) множество
юех чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х b {интервал (а\ Ь))-, 5) мно-
кество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь {полусегмент [а; Ь))
чли неравенству а<х<Ь {полусегмент {а; 6]).
Сегмент, интервал и полусегмент объединяются одним общим термином
ютрезок».
Числовое множество Е называется ограниченным сверху, если существует
’акое число Ь, что для всех xfE выполняется неравенство: х<Ь. Число Ь,
удовлетворяющее этому условию, называется верхней границей множества Е.
Множество, ограниченное сверху, имеет не одну верхнюю границу, а бес-
юнечно много различных верхних границ. Наименьшая из верхних границ не-
9
пустого, ограниченного сверху множества называется верхней гранью этого
множества. Каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю’
грань, притом единственную. Верхняя грань множества Е обозначается симво-
лом: sup Е.
Если множество Е не является ограниченным сверху, то, по определению,
полагают: sup Е= + оо.
Числовое множество Е называется ограниченным снизу, если существует
такое число а, что х>а для всех х£ Е. Число а, удовлетворяющее этому усло-
вию, называется нижней границей множества. Наибольшая из нижних границ
множества Е называется нижней гранью множества и обозначается inf Е. Каж-
дое непустое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, притом
единственную.
Если множество не ограничено снизу, то полагают, по определению,
inf Е=— оо.
Числовое множество Е, которое ограничено и сверху, и снизу, называется
ограниченным. Верхней и нижней гранями непустого ограниченного множества
являются конечные числа (причем inf £<sup Е). Примерами ограниченных чис-
ловых множеств являются сегмент, интервал, полусегмент*.
Наряду с числовыми множествами мы будем рассматривать также плоские
множества, т. е. множества точек на плоскости. Примеры: 1) множество всех
точек плоскости; 2) множество всех тех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству х2+у2<а2 (замкнутый круг), или неравенству
х2+у2<а2 (открытый круг), и т. д.
Кроме того, мы будем иметь дело с пространственными множествами, т. е.
с такими, которые расположены в трехмерном пространстве (например, сфера —
множество всех точек, отстоящих на одинаковом расстоянии от некоторой фик-
сированной точки — центра).
В некоторых случаях для установления взаимно однозначного соответствия
между числовыми множествами бывает полезно числа, входящие в эти множества,
записывать с помощью систематических дробей.
Если положительное число а может быть представлено в виде суммы схо-
дящегося ряда:
число, а
говорят,
р-ичную
числа а.
. «а . П3 п,
с—А-f- + + +~~+ •••,
Р Р* Р3 Р1
где р > 1 — целое положительное число, А — целое неотрицательное
«1, я4. • — целые неотрицательные числа от 0 до р— 1, то
что а разложено в систематическую дробь с основанием р (или в
дробь). Это записывают следующим образом:
а=А, пг, п2, п3, nt ...
А называется целой частью числа a; nlt п2, п3, .. . — р-ичными знаками
Если все р-ичные знаки п*, начиная с некоторого номера k, равны нулю, то
дробь называется конечной, в противном случае—бесконечной.
При заданном р > 1 всякое положительное число а может быть представлено
в виде бесконечной р-ичной дроби, причем каждому числу а соответствует
только одна бесконечная р-ичная дробь, и обратно — каждой бесконечной
р-ичной дроби отвечает единственное положительное число а. Вместе с тем
* Наряду с верхней и нижней гранями числового множества нередко при-
ходится встречаться с верхней и нижней гранями функции (одной или несколь-
ких переменных). Если функция f (х) определена на множество Е, то под сим-
волами sup f (х), inf f (х) подразумевается верхняя (нижняя) грань множества
хеЕ хеЕ
тех значений функции, которые соответствуют всевозможным значениям незави-
симого переменного х из множества Е. Аналогичный смысл имеют обозначения
sup f(x, у), inf f (х, у), если f (х, у) — функция двух переменных, опре-
<х. у)£Е (х, у)еЕ
деленная на множестве Е.
10
некоторые рациональные числа а (не все!) допускают, варяду с разложением
в бесконечную р-тъую дробь, также разложение в виде конечной р-тгкм
дроби; например, при р=10
63
7-^-=0,63000 ... (конечная дробь);
Числа, которые могут быть разложены в копенную р-ичную дробь, назы-
ваются р-ично рациональными.
Все остальные числа называются р-инно иррациональными.
Систематическая дробь с основанием р=10 называется десятинной дробью;
с основанием р=2 — двоичной дробью; с основанием р=3 — троичной дробью,
и т. д.
63
—=0,629999 ... (бесконечная дробь).
100
ЗАДАЧИ
27. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством N всех натуральных чисел и множеством Q всех четных
положительных чисел.
28. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством N всех натуральных чисел и множеством Р всех четных
чисел.
29. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством R всех рациональных чисел отрезка [0, 1] и множеством N
всех натуральных чисел.
30. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех положительных рациональных чисел и множеством
всех натуральных чисел.
31. Существует ли функция вида / (л)= +апх ... ^где
Ьо"т-Ь1х+ ••• pbmxm
коэффициенты а0, ..., Ьо, ..., Ьт— целые числа), обладающая
следующим свойством: для любого рационального числа г найдется
целое число k такое, что f (k)=r?
32. Найти взаимно однозначное отображение сегмента [0; 1J на
сегмент [а; Ь].
33. Найти взаимно однозначное отображение интервала (0; 1)
на всю числовую прямую.
34. Найти взаимно однозначное отображение числовой прямой
на интервал (а; Ь).
35. Найти взаимно однозначное соответствие между полусегмен-
том [0; 1) и полуосью [0; +«1).
36. Построить взаимно однозначное отображение сегмента [0; 1]
на интервал (0; 1).
37. Построить взаимно однозначное отображение сегмента [0, 1]
на всю числовую прямую.
38. Найти взаимно однозначное соответствие между сегментом
{0; 1] и полуосью [0; 4-°°)-
39. Установить взаимно однозначное соответствие между лучом
[0; Ч-со) и интервалом (а; Ь).
11
40. Отобразить взаимно однозначно луч [0; -(-со) на всю число-
вую прямую.
41. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [а; Ы на всю числовую ось?
42. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [с; Ь] на интервал (с; d)?
43. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [а; Ь] на множество, состоящее из двух
сегментов [0; Ни [3; 4]?
44. Построить взаимно однозначное отображение окружности
единичного радиуса на сегмент [0; 1].
45. Установить взаимно однозначное соответствие между откры-
тым единичным кругом и множеством точек на плоскости, допол-
нительным к замкнутому единичному кругу.
Примечание. Открытым единичным кругом называется мно-
жество таких точек М (х, у) на плоскости Оху, для которых выпол-
нено неравенство: х2-1гу2 <; 1; замкнутым единичным кругом — мно-
жество точек, для которых выполнено соотношение x2-j-y2< 1-
46. Установить взаимно однозначное соответствие между откры-
тым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.
47. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым
единичным кругом и дополнением к открытому единичному
кругу.
48. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым
единичным кругом и дополнением к нему.
49. Установить взаимно однозначное соответствие между ок-
ружностью и прямой.
50. Установить взаимно однозначное соответствие между поверх-
ностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью.
51. Установить взаимно однозначное соответствие между всей
поверхностью сферы и плоскостью.
52. Плоская область А называется звездной относительно
точки О, если на каждом луче, выходящем из точки О, найдется
такая точка М, отличная от О, что отрезок 10; М) включается в Л, а
луч (А1; оо) не содержит ни одной точки из А. (Иначе говоря,
каждый луч, выходящий из О, пересекает границу области только
в одной точке, отличной от О.) Если точка М для каждого луча
входит в А, то звездная область называется замкнутой.
Установить взаимно однозначное соответствие между произволь-
ным замкнутым кругом и произвольной замкнутой звездной об-
ластью.
53. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех иррациональных чисел и множеством всех действи-
тельных чисел числовой прямой.
54. Установить взаимно однозначное соответствие между:
а) точками открытого квадрата------—
я л , , л
—,----— <1 у < — и
2 2 ? 2
12
точками открытого прямоугольника а<
ками открытого квадрата----< х
&, c<Z_y<Zd; б) точ-
— < У < — и точками
2 2
плоскости; в) точками открытого прямоугольника а х < Ъ,
c<Z,y<id и точками плоскости.
55. Запишем в виде бесконечной десятичной дроби координаты
точки М из квадрата 0<^х^1, 0<^у^1: абсцисса х=
=0, ПуП^Пз- .., ордината у=0, т-щгуПз... (если какое-либо из этих
чисел является десятично-рациональным, т. е. допускает двоякую
запись в виде десятичной дроби, выбираем ту запись, которая со-
держит бесконечное число девяток, например, 0,369999.. ., а не
0,370000...). Поставим в соответствие каждой точке М (0, щщп.3 ...;
0, из квадрата — точку Р из отрезка (0; 1] с абсциссой
0, щтщщгщзгп..... Все ли точки отрезка (0; 1] получатся при этом
соответствии? Будет ли эго соответствие взаимно однозначным
соответствием между точками квадрата (0; Пх(0; 1] и точками
отрезка (0; 1 ]?
56. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех рациональных чисел отрезка [0; 1] и множеством
всех точек с рациональными координатами квадрата [0; 1]х(0; 1].
57. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех рациональных точек числовой прямой и множеством
тех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны.
58. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и
множеством всех натуральных чисел.
59. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и
множеством всех целых положительных чисел.
60. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством
всех возрастающих последовательностей натуральных чисел.
61. Установить взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех возрастающих последовательностей натуральных чисел
и множеством всех тех бесконечных двоичных дробей, которые
соответствуют числам полусегмента (0; 1].
ГЛАВА 3
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
Два множества называются эквивалентными, если между ними можно уста-
новить взаимно однозначное соответствие.
Если два множества .4 и В эквивалентны, то это обозначается следующим
образом: А~В.
Легко видеть, что если В-^С, то А^С.
13
Признаки эквивалентности множеств (теоремы Кантора — ф. Бернштейна).
а) Если A CZ В с: С, причем А~С, то А-'В.
б) Если А эквивалентно части множества В, а В эквивалентно части
множества А, то А~В
Множество Е называется конечным, если оно эквивалентно множеству всех
натуральных чисел п, удовлетворяющих неравенству (для некоторого
натурального числа Д').
Пустое множество мы также причисляем к конечным множествам.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковое число элементов.
Для бесконечных множеств нельзя говорить о числе элементов множества;
количественной характеристикой любого множества, обобщающей понятие числа
элементов, является мощность множества; говорят, что два множества имеют
одинаковую мощность, если они эквивалентны друг другу.
Мощность множества А обозначается символом А.
Если два множества А и В имеют одинаковую мощность (т. е. если они
эквивалентны), то это записывают так: А=В.
Если множество В эквивалентно какому-либо подмножеству множества А,
то говорят, что мощность множества В не превосходит мощности множества А;
это записывают так: В<Д, или А>В.
Если два множества неэквивалентны (т. е. между ними нельзя установить
взаимно однозначного соответствия), то это записывают так: АрВ (или
Ло^В).
Если два множества А и В неэквивалентны, но множество В эквивалентно
некоторому подмножеству множества А, то говорят, что множество А мощнее,
чем множество В. Это записывают так: А>В, или В<Л. _
_ Из теорем Кантора — Бернштейна вытекает, что если и В«Д, то
Д=В. _ _ = _
Если же А < В, но А'У-В, то А<В.
Для доказательства эквивалентности двух множеств А и В мы можем по-
ступить следующим образом:
1) либо непосредственно установить взаимно однозначное соответствие
между множествами А и В;
2) либо, если это сделать трудно, установить эквивалентность множества А —
части множества В, и множества В — части множества А, а затем применить
вторую теорему Кантора — Бернштейна.
Если множество А конечно и имеет п элементов, то это записывают с по-
мощью следующего символического равенства: А=п\ в частности, если А—пу-
стое множество, то А=0.
Если множество А эквивалентно множеству всех натуральных чисел, то
множество А называют счетным', если множество_4 счетно, то это записывают
с помощью следующего символического равенства: Д= й0 (читается «.алеф-нуль-»).
Примеры счетных множеств: множество всех целых чисел; множество всех
рациональных чисел; множество всех полиномов с рациональными коэффициен-
тами; множество всех алгебраических чисел, и т. Д.
Если множество имеет мощность большую, чем множество натуральных
чисел, то оно называется несчетным множеством. Так, например, отрезок
[0; 1] является несчетным множеством.
Всякое множество, эквивалентное отрезку [0; 1], называется множеством
мощности континуума. Если множество А имеет мощность континуума, то это
записывают так: Д=с.
Если множество имеет мощность континуума, то иногда, для краткости,
говорят, что оно имеет континуум элементов.
14
Примеры множеств, имеющих мощность континуума (т. е. ту же мощность,
что и отрезок [0; 1]): сегмент [а; 6]; интервал (а; Ь) (при любых а и Ь, а<Ь)-
вся числовая прямая; множество всех бесконечных десятичных дробей; множе-
ство всех иррациональных чисел; множество всех точек любого круга; множество
всех точек квадрата [0; 1]х[0; 1]( и вообще любого прямоугольника); множество
всех точек плоскости; множество всех точек пространства Oxyz\ множество
всех непрерывных функций, заданных на отрезке [0; 1], и т. д.
Если задано некоторое множество Е, то множество gf, элементами кото-
рого являются все подмножества множества Е, имеет мощность большую,
чем Е: <£>Е.
Множество g? называется «множеством всех подмножеств множества Ен.
Если Е—конечное множество мощности п, то g?—тоже конечное мно-
жество мощности 2“.
Если Е — бесконечное множество мощности а, то мощность множества
обозначается так: 2".
В том случае, когда Е является счетным множеством, %? имеет мощность
континуума: 2^°=с.
Если Е является множеством мощности с, то gf имеет мощность большую,
чем континуум: 2е>с.
Всякое множество, мощность которого равна 2е, называется множеством
мощности гиперконтинуума.
Примеры множеств мощности гиперконтинуума: множество всех подмножеств
отрезка [0; 1]; множество всех подмножеств числовой прямой; множество всех
подмножеств плоскости; множество всех функций (не только непрерывных), за-
данных на отрезке [0; 1], и т. д.
В заключение укажем на некоторые свойства счетных множеств.
1) Любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно.
2) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество (это
выражают словами: «Счетное множество является наименьшим из бесконечных
множеств»),
3) Сумма конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счет-
ное множество.
4) Если к несчетному множеству Е добавить или из него вычесть счетное
множество М, то мощность множества Е не изменится:
EljM=E; Е\М=Е.
ЗАДАЧИ
62. Какова мощность множества всех треугольников на пло-
скости, вершины которых имеют рациональные координаты?
63. Какова мощность множества всех рациональных функций
с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?
64. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости,
радиусы которых рациональны и координаты центра которых —
рациональные числа, есть множество счетное.
65. Какова мощность множества всех конечных десятичных
дробей? Какова мощность множества всех конечных р-ичных дробей
при заданном р2> 1?
66. Какова мощность множества всех многочленов, коэффици-
ентами которых служат алгебраические числа?
15
67. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функ-
ции, заданной на сегменте [а; Ь], конечно или счетно.
68. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функ-
ции, определенной на всей числовой прямой, конечно или счетно.
69. Пусть Е — какое-либо несчетное множество положительных
чисел: доказать, что найдется такое число т^> 0, что множество
£f)(r; -фоо) — несчетно.
70. Верно ли утверждение: «Если Е— бесконечное множество
чисел, расположенное на луче (0; -f-co), то найдется такое число
т > 0, что множество £Г)(т; -|-со)-—бесконечно»?
71. Пусть Е—счетное множество точек на прямой. Можно ли
так сдвинуть это множество на величину а (т. е. заменить все
точки х £ Е точками х-|-о), чтобы получившееся в результате сдвига
множество Еа не пересекалось с Е?
72. Пусть Е — счетное множество точек на окружности. Можно
ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол <р так,
чтобы множество Е.,, получившееся из £ в результате поворота,
не пересекалось с £?
73. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точ-
ками множества £ на прямой больше единицы, то множество Е
конечно или счетно.
74. На плоскости задано множество £ такое, что расстояние
между любыми двумя точками этого множества больше, чем а
(где а — данное положительное число). Доказать, что множество £
не более, чем счетно (т. е. либо счетно, либо конечно).
75. Какова мощность множества всех трансцендентных (т. е.
не алгебраических) чисел?
76. Какова мощность множества всех строго возрастающих
последовательностей натуральных чисел?
77. Какова мощность множества всех последовательностей
натуральных чисел?
78. Какова мощность множества всех последовательностей нату-
ральных чисел, не содержащих числа 7?
79. Какова мощность множества всех последовательностей нату-
ральных чисел, содержащих число 7?
80. Какова мощность множеств всевозможных последователь-
ностей рациональных чисел?
81. Какова мощность множества всевозможных многочленов
(с произвольными вещественными коэффициентами)?
82. Какова мощность множества всех сегментов на числовой
прямой?
83. На прямой задано множество попарно не пересекающихся
сегментов. Что можно сказать о мощности этого множества?
84. Какова мощность множества всех кругов на плоскости?
85. На плоскости построено некоторое множество попарно не
пересекающихся окружностей. Может ли это множество быть не-
счетным?
16
86. На плоскости построено некоторое множество попарно не пе-
ресекающихся букв Т (размеры этих букв могут быть и различны-
ми). Может ли множество этих букв быть несчетным?
87. На плоскости построено некоторое множество попарно
не пересекающихся букв Г. Может ли это множество быть не-
счетным?
88. Какова мощность множества всех строго возрастающих
непрерывных функций (заданных на отрезке [а; 6])?
89. Какова мощность множества всех монотонных функций на
отрезке [а; Ь\ (не только непрерывных)?
90. Какова мощность множества всех последовательностей ве-
щественных чисел?
91. Какова мощность множества всех вещественных чисел, за-
ключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых отсут-
ствует цифра 7?
92. Какова мощность множества всех вещественных чисел,
заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых
имеется цифра 7?
93. Какова мощность множества всех вещественных чисел,
заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых
цифра 7 находится на третьем месте?
94. Какова мощность множества всех чисел (заключенных
между 0 и 1), в троичном разложении которых отсутствует
цифра 1?
95. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна экви-
валентность замкнутого круга и открытого круга того же
радиуса *.
96. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна экви-
валентность замкнутого квадрата и открытого квадрата с той же
стороной.
97. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна экви-
валентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости.
98. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна экви-
валентность квадрата 0<х<^1, и отрезка (0; 1]
(использовать результат задачи 55).
99. Пусть А и В-—два эквивалентных бесконечных множества.
Существует ли подмножество А (отличное от А), эквивалентное
множеству В?
100. Доказать, что если Л\В~В\Л, то А—~В.
101. Доказать, что если AczB и Л~ЛиС, то B~B\jC.
102. Верно или нет утверждение: «Если А —С, B — D, причем
А^В, Czz>D, то Л\В~С\П».
* Открытым кругом радиуса г называется множество всех точек, лежащих
строго внутри круга (т. е. множество точек, отстоящих от центра круга на
расстоянии меньшем, чем г); замкнутый круг получится, если к этому множе-
ству добавить точки, лежащие на границе круга. Аналогичный смысл вклады-
вается в понятия «открытый квадрат» и «замкнутый квадрат».
2
Ю. С. Очан
17
103. Верно ли утверждение: «Если А~В, Сгэ A, Cz>B, то
С\А ~ С\В»?
104. Верно ли утверждение: «Если А~В, Az>C, ВтэС, то
Д\С~В\С»?
105. Доказать, что множество всевозможных равномерно схо-
дящихся на [о; Ь] последовательностей непрерывных функций имеет
мощность континуума.
106. Какова мощность множества всевозможных последователь-
ностей непрерывных функций (на сегменте [о; 61)?
107. Доказать следующее утверждение: «Если множество Е на
плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале
координат, который содержит несчетное множество точек из Е».
108. Доказать, что множество всех конечных подмножеств
счетного множества — счетно.
109. Какова мощность множества всех конечных и счетных
подмножеств множества Е, если Е имеет мощность континуума?
110. Какова мощность множества всех функций, определенных
на сегменте [а, 6] и разрывных хотя бы в одной точке этого
сегмента?
ГЛАВА 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество Е, в котором каждой паре элементов х и у поставлено в соот-
ветствие неотрицательное число р (х, у) («расстояние между х и у») называется
метрическим пространством, если р (х, у) удовлетворяет следующим усло-
виям:
1) У)=0 тогда и только тогда, когда х=у («аксиома тождества»),
2) р (х, у)=р(у, х) («аксиома симметрии»),
3) р (х, у)Ср(х, zj+p(z, у) для любых х£Е, у£Е, г£Е («аксиома тре-
угольника») .
Эти три условия называются «аксиомами метрического пространства».
Примеры метрических пространств.
1) Числовая прямая. Здесь в качестве расстояния между двумя элементами
х и у принимается число: «
р(х, у)=|х —у|.
2) Евклидово п-мерное пространство Нг1. Рассмотрим множество всевоз-
можных упорядоченных последовательностей из п действительных чисел:
х(%1, х3, . ., хп). Каждый элемент х этого множества называется точкой, а
числа хг, х3, . . ., хп — координатами этой точки. Обозначим это множество
через Нп. Для того чтобы множество Нп стало метрическим пространством,
введем в нем расстояние между точками х (xlt х2, .... хп), у (ylt у2, . .., уп)
по формуле:
е(х, у)=1/ —у/)2-
(1)
Множество Нп с введенным в нем расстоянием по формуле (1) называется
п -мерным евклидовым пространством.
Легко заметить, что числовая прямая является частным случаем евклидова
пространства (при п=1).
3) Пространство С [а; 6] — множество всех функций, непрерывных на [а; 6];
расстояние между двумя функциями ф (/) и ф (/) в этом пространстве определяем
по формуле:
q (<р, ф) = max |<р (0 — ф (0 |.
Для того чтобы проверить, что то или иное множество (с введенным в нем
расстоянием С> (х, у)) является метрическим пространством, надо доказать, что
оно удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства. В частности,
для того чтобы доказать, что На является метрическим пространством, надо
использовать неравенство I\6iiiu — Буняковского, которое заключается п том, что
для любых конечных числовых последовательностей xj., х2, . . . , хп и
У1> У2> • > Уп имеет место соотношение:
ЗАДАЧИ
111. Доказать, что множество всех функций, ограниченных на
сегменте [а, &1 (не только непрерывных), образует метрическое
пространство, если за расстояние между двумя элементами гр(()
и ф(/) этого множества принять число
6(Ч>, ф)= sup 1ф(0 — ф(0|.
112. Доказать, что множество всех бесконечных числовых по-
следовательностей х{аг, а2, а3, —), таких, что ряд VjaJ
»=1
сходится, является метрическим пространством, если за рас-
стояние между двумя последовательностями x(alt а2, а3, ...) и
ОО
y(blt b2, Ь8, ...) принято число q(x, у)=2|аг-— fyl-
113. Доказать, что множество всех ограниченных бесконечных
последовательностей вещественных чисел образует метрическое
пространство, если за расстояние между двумя последовательно-
стями x{av а.г, а3, ...) и y(bu b2, Ь3, ...) принять число
р(х, у)= sup |аг — 6,|.
l^Z<4-oo
114. Дано множество всех числовых последовательностей
х (аь а2, as, ...), обладающих тем свойством, что сумма квадратов их
Со _
членов S at сходится. Доказать, что оно образует метрическое
Z—1
пространство, если под расстоянием между двумя последователь-
2* J9
костями x(alt а2, а3, ...) и у(Ьг, Ь2, Ь3, ...) подразумевать
число:
/ со
у)=]/
115. Доказать, что множество всех непрерывных на [а; 61
функций образует метрическое пространство, если под расстоянием
между двумя элементами этого множества <р и ф подразумевать
число
ь
Q (Ч>, Ф)=J I Ф W — Ф (х) | dx.
а
Это пространство мы будем обозначать С\ [а\ 6].
116. Является ли метрическим пространством множество всех
вещественных чисел, если под расстоянием между двумя числами
х и у подразумевать число q(x, у)=sina(x— у)?
117. Является ли метрическим пространством множество всех
вещественных чисел, если за расстояние между двумя числами
х и у принять число: р(х, y)=|arctg(x— у) |?
118. Является ли множество вещественных чисел метрическим
пространством, если расстояние между элементами этого множества
определить так: q(x, y)=|Z |у— х| ?
119. Является ли множество точек плоскости метрическим
пространством, если расстояние между двумя точками уг)
и М2(х2, >’а) плоскости определить формулой:
Q (Л1Ъ | х2 Xj. | +1 у2 — У11?
120. Пусть Е — множество всех точек на окружности С; при-
мем в качестве расстояния между двумя точками х(:Е и у^Е
длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей точки х и у.
Является ли Е метрическим пространством?
121. Пусть Е — множество всех точек на окружности С. За-
фиксируем на С точку Л1Л, и определим расстояние q(M, N) между
двумя точками этой окружности следующим образом: если М-;~М()
и N=EM0, то q(M, N) равно длине той дуги окружности, которая
соединяет точки М и N и не проходит через точку Л10; если
M=M0 или N=M0, то Q(M, N) равно длине кратчайшей дуги,
соединяющей точки М и N; если Л1=Л/, то р(Л4, 7V)=0. Является
ли множество Е метрическим пространством?
122. Является ли метрическим пространством множество всех
непрерывных функций, заданных на сегменте [а; 61, если расстояние
между любыми двумя функциями <р(х) и ф(х) определить фор-
мулой:
/Г .
е(ф> Ф)=1/ J (ф (х) — ф (х))2 dx.
г а
20
Указание. Предварительно вывести неравенство Коши — Буня-
ковского для интегралов:
ь Гь ” Г ь
J (х) ф (х) dx < у j [ф (Х)]2 dx • У J [чр (х)12 dx;
а V а * а
оно может быть получено предельным переходом из неравенства
Коши — Буняковского для конечных сумм (см. введение к этой
главе).
123. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если
расстояние между двумя прямыми
1г: xcosctj-f-ysin ctj — рг=0; l2: xcos ct2[-y sin а2 — р2=0
определить по формуле:
qGi, ^) = у/'(p2-p1)2+4sin2^^-?
Замечание. Здесь уравнение прямой записано в так называ-
емом «нормальном виде» xcosa-)-ysina— р=0; уравнение любой
прямой Лх-{-Ву-{-С=0 можно привести к нормальному виду, если
разделить левую часть уравнения на + у А2+В2 (знак перед кор-
нем берется противоположным знаку С).
124. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если
расстояние между двумя прямыми
1г: xcos aj+ysinaj — Pi=0; I.,: xcosa.2-|-ysina2 — р2—0
определить по формуле:
q(/i, 4)=|А—Pi 1+1 cosa2 — cosaj |+| sina2 — sin ctj |?
125. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, если расстояние между двумя прямыми
Zj: х cos Gj 4~у sin dj — рг=0; l2: х cos a2 -j-y sin a2 — A=0
определить по формуле:
Q(4. 4)=Ia — A|+Isina2 — sin a I?
126. Является ли метрическим пространством множество тех
прямых на плоскости х cos ct-J-y sin a — p=0, для которых 0 a л,
если расстояние между двумя прямыми определить так же, как и в
предыдущей задаче?
127. Пусть R — какое-либо метрическое пространство с задан-
ным в нем расстоянием р (х, у): пусть Е — какое-либо подмножество
этого пространства. Является ли Е также метрическим простран-
ством (при том же определении расстояния, что и в Я)?
21
128. Пусть R— какое-либо множество с заданным в нем рас-
стоянием q (х, у); пусть некоторое подмножество EcR оказалось
метрическим пространством при том же определении расстоя-
ния (т. е. в нем выполнены все аксиомы метрического пространст-
ва). Можно ли утверждать, что все множество R также является
метрическим пространством, т. е. что q (х, у) удовлетворяет в R
всем аксиомам метрического пространства?
129. Пусть R— какое-либо метрическое пространство, и —
семейство всех его ограниченных * непустых подмножеств. Опреде-
лим расстояние между даумя элементами из (т. е. между двумя
непустыми ограниченными подмножествами Еу и Еа пространства R)
следующим образом: под Q(Elt EJj подразумевается наименьшее из
двух чисел:
sup iinfg(x, у)] и sup [infQ(x, у)1.
KEt [уеЕ2 J уеЕг L^eBi J
Является ли метрическим пространством? Если нет, то какие
аксиомы метрического пространства выполнены в §??
130. Является ли метрическим пространством совокупность Ф
всех замкнутых ** ограниченных непустых множеств метрического
пространства R, если расстояние между двумя элементами семей-
ства Ф (т. е. между двумя замкнутыми ограниченными непустыми
множествами Ех и Е2) определять так же, как и в задаче 129?
131. Является ли метрическим пространством семейство всех не-
пустых подмножеств метрического пространства R, если расстояние
между двумя множествами EtciR и E^R определять по формуле:
q(Ex, Е2)= inf е(х, у)?
xeEi
ГЛ А В А 5
ПРЕДЕЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
Рассмотрим какое-либо метрическое пространство R (в частности, евклидово
пространство, или числовую прямую). Будем элементы этого пространства для
краткости речи называть точками.
Окрестности. Окрестностью (или е-окрестностью) точки xg(-R называется
множество всех точек х пространства R, которые удовлетворяют условию:
-Q (х, х0)<е. При этом число е>0 называется радиусом окрестности. Окрестность
точки х0 радиуса е>0 обозначается следующим образом: Ve (х0).
* Определение ограниченного множества в метрическом пространстве см.
иа стр. 32 (см. также первую сноску на стр. 32).
** Определение замкнутого множества см. в введении к главе 5.
.22
Если основное пространство R является числовой прямой, то е-окрестностью
точки х„ является интервал (х0— е; х04-е). Если R—плоскость, то УЕ (х0)—
открытый круг радиуса g с центром в точке хе. Если R — трехмерное евклидово
пространство, то VB (х0) — открытый шар радиуса е с центром в точке х0,
И т. д.
Основное свойство окрестностей: если (х0), то найдется такое число
6,>0, что Еб (у)сЕе (х0).
Предельные точки. Пусть Е—какое-либо множество, включающееся в R.
Точка xe£R называется предельной точкой множества Е, если в любой окрест-
ности точки х0 содержится хотя бы одна точка из Е, отличная от х0 (заметим,
что предельная точка не обязана принадлежать самому множеству Е).
Для того чтобы х0 была предельной точкой множества Е, необходимо
и достаточно, чтобы в любой окрестности точки х0 существовало бесконечно
много точек из Е.
Множество всех предельных точек множества Е называется его производ-
ным множеством и обозначается £'.
Множество всех предельных точек производного множества называется
вторым производным множеством множества Е и обозначается Е". Аналогично
определяются производные множества более высокого порядка.
Изолированные точки. Точка хойЕ называется изолированной точкой мно-
жества Е, если существует окрестность этой точки, не включающая ни одной
точки множества Е (кроме самой точки х„).
Граничные точки. Точка х0 называется граничной точкой множества Е, если
в любой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие Е, так и точки, не
принадлежащие Е.
Заметим, что граничные точки могут быть элементами множества Е, а
могут и не быть его элементами.
Примеры граничных точек. 1) У замкнутого круга граничными являются
все точки ограничивающей окружности; все они принадлежат А. 2) У откры-
того круга В граничными точками являются также все точки ограничивающей
окружности; ни одна из этих точек ие принадлежит В. 3) У любого множества
на плоскости все его изолированные точки являются граничными (но, конечно,
обратное утверждение неверно).
Множество всех граничных точек множества Е называется границей этого
множества. Граница множества Е обозначается «Ьогпе Е».
Точки прикосновения. Точка х„ называется точкой прикосновения множе-
ства Е, если в любой ее окрестности имеется хотя бы одна точка из Е.
Легко видеть, что точками прикосновения множества Е являются все пре-
дельные точки множества, а также все точки самого множества (даже не являю-
щиеся предельными).
Замыкание множества. Множество всех точек прикосновения множества Е
называется замыканием множества Е (и обозначается Е).
Очевидно, замыкание множества получится, если к множеству Е добавить
все его предельные точки: Е=Е\]Е'.
Заметим, что замыкание суммы двух множеств равно сумме замыканий:
Ei U U Eg-
Однако это утверждение ие распространяется на сумму бесконечного числа
слагаемых.
Замкнутые множества. Если множество Е включает в себя все свои пре-
дельные точки (т. е. Е'с£), то множество Е называется замкнутым.
В частности, любое конечное множество замкнуто (так как в этом случае
производное множество пусто). Пустое множество, являющееся частным случаем:
конечного, также замкнуто. Кроме того, замкнутым множеством является все
пространство R.
Другие примеры замкнутых множеств: сегмент [а; Ь] на прямой; множество
всех натуральных чисел на числовой прямой; замкнутый крут (т, е. круг вместе
23-
с ограничивающей его окружностью) на плоскости; замкнутый квадрат на пло-
скости, и т. д.
Вместе с тем, например, интервал (a; by, множество всех рациональных
чисел на прямой; открытый круг на плоскости—не являются замкнутыми мно-
жествами.
Следует заметить, что замыкание Е любого множества Е всегда замкнуто.
Для того чтобы множество Е было замкнуто, необходимо и достаточно,
чтобы оно включало все свои точки прикосновения.
Если множество Е включается в свое производное множество (СсН),
то оно не содержит изолированных точек.
Если Е=Е', т. е. если множество Е замкнуто и не содержит изолирован-
ных точек, то оно называется совершенным.
Примеры совершенных множеств на прямой: сегмент [a; fe]; вся числовая
прямая; канторово совершенное множество.
Канторово множество строится следующим образом: из отрезка [0; 1]
i 1 2\
исключается интервал I —; — ; затем из оставшихся двух сегментов выбрасы-
\ 3 3 /
1
ваются интервалы длины —- с центрами в серединах этих сегментов; затем
З3
1
из оставшихся четырех сегментов исключаются интервалы длины — с цент-
З3
рами в серединах этих сегментов и т. д. Множество D, оставшееся после исклю-
чения всех указанных интервалов, является совершенным множеством; оно назы-
вается канторовым совершенным множеством. Его точки разделяются на два
рода: точки 1 рода —концы выбрасываемых интервалов (таких точек счетное
множество) и точки 2 рода (все остальные точки множества О; их — континуум).
Множество D имеет следующую арифметическую структуру: оно состоит
из тех и только тех точек отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде
троичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных знаков.
Замкнутые множества обладают следующими свойствами: 1) сумма конечного
числа замкнутых множеств является замкнутым множеством; 2) пересечение
любой (не только конечной) совокупности замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
Следует заметить, что сумма бесконечной совокупности замкнутых мно-
жеств не обязана быть замкнутым множеством.
Всякое множество, которое может быть представлено в виде суммы счетной
совокупности замкнутых множеств, называется множеством типа Еа (читается:
«эф-сигма»). Так, например, всякое замкнутое множество есть множество типа
Ра; всякое счетное множество точек (в частности, множество рациональных
чисел на прямой) есть множество типа Fo; интервал (а; Ь) (на прямой) — мно-
жество типа Fo; и т. д.
Внутренние точки. Точка х0 С Е называется внутренней точкой множества
Е, если не только сама эта точка, но и некоторая ее окрестность включа-
датся в Е:
(х0) с Е.
Открытые множества. Множество, все точки которого являются внутрен-
ними, называется открытым множеством.
Примеры открытых множеств на прямой: интервал (а; 6); сумма любой
совокупности интервалов; вся прямая.
Примеры открытых множеств на плоскости: внутренность круга (т. е. весь
круг без ограничивающей его окружности); внутренность квадрата; вся плос-
кость.
Примеры открытых множеств в трехмерном евклидовом пространстве: откры-
тый шар (т. е. шар без ограничивающей его поверхности сферы); сумма любой
совокупности открытых шаров; все пространство.
24
Следует заметить, что множество, открытое на прямой, будучи помещено
на плоскость, может перестать быть открытым. Так, например, интервал (а; Ь),
открытый на прямой, не является открытым множеством на плоскости.
Пустое множество в любом пространстве открыто; кроме того, открытым-
множеством является и само пространство.
Свойства открытых множеств: 1) пересечение конечного числа открытых
множеств есть открытое множество; 2) сумма любой (не только конечной) сово-
купности открытых множеств есть открытое множество.
Следует заметить, что пересечение бесконечной совокупности открытых
множеств не обязано быть открытым множеством.
Всякое множество, которое может быть представлено в виде пересечения
счетной совокупности открытых множеств, называется множеством типа Ge
(читается: «же-дельта»).
Так, например, всякое открытое множество есть множество типа G.; мно
жество всех иррациональных точек на прямой есть множество типа Gg. Имеет
место теорема: всякое замкнутое множество есть множество типа G...
Заметим, кроме того, что каждое открытое множество есть множество
типа Fa
Между открытыми и замкнутыми множествами существуют следующие соот-
ношения: 1) дополнение* к любому открытому множеству есть множество замк-
нутое; 2) дополнение к любому замкнутому множеству — открыто.
Внутренность множества. Пусть А — произвольное множество. Множество
всех его внутренних точек называется внутренностью множества А (оно обозна-
О
чается А).
Расстояние от точки до множества. Расстоянием от точки х до множества
А называется нижняя грань множества чисел Q (х, у), когда у пробегает мно-
жество А:
q(x, А)= inf q (х, у).
у е А
Если Q (х, А)=0, то х— точка прикосновения множества А.
Если А — замкнуто, то q (х, А)=0 тогда и только тогда, когда х £ А.
Расстояние между множествами. Расстоянием между множествами А и В
называется нижняя грань расстояний между точками х £ А и у £ В:
q(A, В)= inf q(x, у).
хе А
у е В
Если множества Д и В имеют хотя бы одну общую точку, то Q (Д, В)=0;
однако, обратное не верно: может оказаться, что Q (Д, В)=0, хотя А П В=0.
Отделимость замкнутых множеств. Каковы бы ни были два непересекаю-
щихся замкнутых множества F, и F2 (Fx П F2=0), всегда найдутся два непе-
ресекающихся открытых множества Gx и G2, включающие, соответственно, Fv
н F2 (т. е. G1ZiF1, G2zdF.2, G, f] G3=0).
Это выражают словами: два непересекающихся замкнутых множества отде-
лимы непересекающимися открытыми.
Плотные и нигде не плотные множества. Множество Е называется-Плот-
ным на множестве Д, если замыкание множества Е включает А (т. е. Е А).
Если, в частности, множество Е является плотным в пространстве R, то оно
называется «всюду плотным» в R.
Множество Е, расположенное на прямой, называется нигде не плотным
на прямой, если любой интервал содержит интервал, полностью свободный
от точек множества Е.
* Здесь и всюду в дальнейшем имеется в виду дополнение до всего простран-
ства.
25
Множество Е, расположенное на плоскости, называется нигде не плотным
на плоскости, если любой открытый круг содержит открытый круг, полностью
свободный от точек множества Е.
Аналогично определяется нигде не плотное множество в любом пространстве.
Примеры. 1) Множество рациональных точек на прямой, множество
иррациональных точек-—всюду плотны на прямой.
2) Канторово множество нигде не плотно на прямой.
3) Прямая линия, отрезок, окружность — множества, нигде не плотные
на плоскости.
ЗАДАЧИ
132. Дано некоторое множество Е точек на плоскости. Изве-
стно, что нижняя грань всевозможных расстояний между различ-
ными точками этого множества положительна. Доказать, что мно-
жество Е не имеет предельных точек.
133. Построить множество, для которого производное множе-
ство непусто, а второе производное множество пусто.
134. Построить множество, для которого п—1-е производное
множество непусто, а n-е производное множество пусто.
135. Пусть Е — множество чисел вида 0, —, —, где п и q
П п q
пробегают всевозможные натуральные числа. Является ли Е замк-
нутым множеством? Каково его производное множество? Каковы
его второе и третье производные множества?
136. Построить счетное множество Е, обладающее следующими
свойствами:
а) производное множество Е' имеет мощность континуума;
б) Ev\E'='Z).
137. Доказать, что производное множество любого множества
замкнуто.
138. Доказать, что для любого множества Е имеют место
включения: Е' о Е" о Е’" ___z> ЕМ о ..., где — п-е про-
изводное множество.
139. Доказать, что производное множество суммы двух мно-
жеств А и В равно сумме производных от каждого множества
в отдельности. Показать на примере, что эта теорема не верна
в применении к суммам бесконечного числа множеств.
140. Справедливо ли утверждение: «Производное множество
от пересечения двух множеств Л Г) В равно пересечению производ-
ных от каждого множества в отдельности»?
141. Может ли множество, состоящее только из изолирован-
ных точек, иметь предельные точки? Может ли его производное
множество быть бесконечным? Может ли оно быть несчетным?
142. Построить такое множество Е, для которого все произ-
водные множества Е', Е", .... ... отличны друг от друга,
а пересечение этих производных множеств Л Elti> пусто.
п = 1
26
143. Построить такое множество Е, для которого все произ-
водные множества Е', Е", ..Е(п), ... отличны друг от друга,
ОО
а пересечение их П £(П) непусто.
п = 1
144. а) Привести примеры таких множеств на плоскости, кото-
рые совсем не имеют граничных точек; б) привести пример такого-
множества на плоскости, которое имеет граничные точки, но все
они не принадлежат множеству; в) привести пример множества
на плоскости, включающего часть своих граничных точек; г) при-
вести пример несчетного множества на плоскости, состоящего
только из граничных точек; д) то же на прямой.
145. Доказать: если предельная точка не принадлежит множе-
ству, то она является его граничной точкой.
146. Доказать, что граница суммы конечного числа множеств-
включается в сумму границ этих множеств. Показать на примере,
что это неверно для суммы бесконечной совокупности мно-
жеств.
147. Доказать, что замыкание суммы двух множеств равно
сумме их замыканий. Доказать, что для бесконечной совокупности
множеств всегда справедливо включение (J Д. с (J А?, но не всегда
с с
имеет место равенство.
148. Доказать непосредственно (не пользуясь законом двой-
ственности), что сумма конечного числа замкнутых множеств зам-
кнута.
149. Доказать непосредственно (не пользуясь принципом двой-
ственности), что пересечение любой совокупности замкнутых мно-
жеств замкнуто.
150. Доказать, что замыкание любого множества замкнуто.
151. Дана последовательность концентрических окружностей
радиусов <Д2 ___<_ гп <^ .... Является ли их объединение
замкнутым множеством?
152. Дана последовательность концентрических окружностей
радиусов Г!2>г2^> ... .... Является ли их объединение
замкнутым множеством? Что является замыканием объединения?
153. Дана последовательность замкнутых концентрических кру-
гов радиусов ri<r,< <>',.< .... Является ли их объедине-
ние замкнутым множеством? Является ли оно открытым множест-
вом на плоскости?
154. Является ли совершенным множеством гиперболическая
спираль q=— на плоскости? Является ли совершенным множест-
вом замыкание этой спирали?
155. Будем считать землю идеально гладким шаром. Рассмот-
рим множество Е всех тех точек М на поверхности земли, кото-
рые обладают следующим свойством: если из М пройти 7 км
на север, затем 7 км на запад и, наконец, 7 км на юг, то
27
окажешься снова в точке М. Является ли £ замкнутым множеством?
Если нет, то какое множество является его замыканием? Его про-
изводным множеством?
156. Пусть f(x)— непрерывная функция, определенная всюду
на оси Ох. Доказать, что множество Еа тех точек оси Ох, где
f (х) > а, является замкнутым множеством.
157*. Доказать, что множество £ всех непрерывных на [0; 1]
функций, удовлетворяющих неравенству А < f (х) < В (где А << В —•
заданные числа), является замкнутым множеством в простран-
стве С [0; 1].
158*. Пусть F (х)— фиксированная непрерывная функция на
[0; 1J; доказать, что множество всех функций /(х), непрерывных
на [0; 1] и удовлетворяющих неравенству f (х) < F (х), замкнуто
в пространстве С [0; 1].
159. Всегда ли пересечение двух совершенных множеств является
совершенным множеством?
160. Всегда ли сумма конечного числа совершенных множеств
является совершенным множеством? А сумма счетного числа
совершенных множеств?
161. Построить счетную последовательность замкнутых мно-
жеств, сумма которых не является замкнутым множеством.
162. Доказать, что множество всех граничных точек любого
множества является 'замкнутым множеством.
163. Доказать, что внутренность любого множества есть откры-
тое множество.
164. Доказать, что для любого множества А, множество £
всех тех точек х, для которых имеет место неравенство
q (х, А) < б, открыто (здесь б > 0 — фиксированное число).
165. Верно ли утверждение: «Если £ — замкнутое множество,
то замыкание внутренности £ совпадает с £ (т. е. £=£)»? Если
это утверждение неверно, то имеет ли место одно из включений
£ о £, £ <= £, и какое именно?
166. Верно ли утверждение: «Если £ является открытым
множеством, то внутренность замыкания £ совпадает с £
О
(т. е. £=£)»? Если это утверждение неверно, то имеет ли место
° О
одно из включений: £ о £, £ <= £, и какое именно?
167. Пусть f (х) — непрерывная функция, определенная всюду
на оси Ох. Доказать, что множество Еа всех тех точек оси Ох,
где /(х)2>а, является открытым множеством (на прямой Ох).
168*. Доказать, что множество £ всех непрерывных не [0; 1]
функций /(х), удовлетворяющих неравенству A<^f (х)<^В (где
—заданные числа), является открытым множеством в про-
странстве С[0; 1].
169*. Пусть £ (х) — фиксированная непрерывная на [0; 1] функ-
28
ция. Доказать, что множество всех функций f(x), удовлетворяю-
щих неравенству f (х) > F (х), открыто в С [0; 11.
170. Построить счетную последовательность открытых мно-
жеств, пересечение которых не является открытым.
171. Доказать, что множество всех иррациональных точек
на числовой прямой является множеством типа G3.
172. Доказать эквивалентность следующих двух определений
замыкания Е множества Е:
а) Е=Е U Е'\
б) Е — общая часть всех замкнутых множеств, содержащих Е.
173. Доказать эквивалентность следующих двух определений
О
внутренности Е множества Е:
а) Е — множество всех внутренних точек множества £;
б) Е — сумма всех открытых множеств, содержащихся в Е.
174. Доказать, что если f(x) — непрерывная функция на [а; 61,
то сумма множеств Ех (J Е3 и Д6 U ... U E2k _ j (J ... замкнута;
здесь Еп — множество тех точек сегмента [а; 61, где п<С/(х)<
<«4-1.
175. Показать на примере, что утверждение предыдущей задачи
становится неверным, если в нем сегмент [а; 6] заменить интерва-
лом (а; 6).
176. Доказать, что пересечение счетной совокупности множеств
типа G3 есть множество типа G?.
177. Доказать, что сумма конечного числа множеств типа G3
есть множество типа G3.
178. Доказать, что сумма счетной совокупности множеств типа
Fa есть множество типа Fo.
179. Доказать, что пересечение конечного числа множеств типа
Fa есть множество типа Fo.
180. Пусть {£„}•—последовательность замкнутых множеств;
доказать, что lim Еп есть множество типа FB. Сформулировать
и доказать аналогичное утверждение для верхнего предела.
181. Доказать, что множество всех точек вида 1п (г2 4-1) (где
г — всевозможные рациональные числа) является плотным на луче
[0; ф-00)-
182. Доказать, что множество точек вида sin г (где г—всевоз-
можные рациональные числа) плотно на сегменте [—1; 1].
183. Доказать, что множество чисел вида г3 всюду плотно
на числовой прямой (где г — всевозможные рациональные числа).
п2
184. Найти замыкание множества всех точек вида , где
р и q — всевозможные целые числа (q 0).
185. Найти замыкание множества всех точек вида 2'', где
р и q— всевозможные натуральные числа.
29
186. Найти замыкание множества всех точек вида--~, гд;
4pi-{-q2
р и q — всевозможные целые, отличные от нуля, числа.
187. Пусть f(x) — функция, непрерывная и возрастающая нй
[а; Ь\\ пусть Е— множество, плотное на [а; 6]. Доказать, что
множество точек вида / (L), где £ £ Д, плотно на отрезке
188. Пусть множество Е на прямой обладает тем свойством,
что для любых двух точек х1^Е и х2 £ Е (где х1 < х2) сущест-
вует точка х3^Е такая, что Пусть a=inf£,
b=supE. Можно ли утверждать, что множество Е всюду плотно
на [а; Ы? Может ли множество, обладающее указанным свойством,
быть нигде не плотным на [а; 6]?
189. Построить счетную совокупность попарно не пересекающихся
счетных множеств, каждое из которых всюду плотно на прямой.
190. Пусть £ — иррациональное число. Доказать, что множе-
ство всех чисел вида mJrn'Q (где т и п — всевозможные целые
числа) всюду плотно на прямой.
191. Пусть £•—иррациональное число. Является ли множество
всех чисел вида т-}-п£(где т и п — всевозможные четные числа)
всюду плотным на прямой?
192. Доказать, что множество М точек, расположенных на еди-
ничной окружности Г с центром в начале координат и имеющих
полярные углы 1, 2, ..., п, ..., всюду плотно на Г.
193. Доказать, что множество всех точек с рациональными
координатами всюду плотно на плоскости.
194*. Доказать, что множество всех многочленов всюду плотно
в пространстве С [0; 1]. Указание. Воспользоваться теоремой
Вейерштрасса о приближении с помощью многочленов функции,
непрерывной на сегменте (см. теорему 1 на стр. 56).
195*. Доказать, что множество всех многочленов с рациональ-
ными коэффициентами всюду плотно в С [0; 1 ].
196. Доказать, что канторово множество D является нигде
не плотным на числовой прямой.
197*. Доказать, что множество Е всех функций-констант
у~а таких, что a^D (D — канторово множество) является нигде
не плотным в пространстве С [0; 11.
198*. Доказать, что множество всех функций вида у=пх? (п — це-
лые числа) является нигде не плотным в пространстве С [0; 11.
199. Построим множество Е на сегменте [0; 1] следующим
образом: зададим убывающую последовательность положительных
чисел о1>а22> • •такую, что ^а^А 1. Исключим из [0; 1J
Z = I
интервал длины аг с центром в середине сегмента; далее, из остав-
шихся двух сегментов удалим интервалы длины с центрами
за
в серединах этих сегментов; далее, из оставшихся четырех сегмен-
тов удалим интервалы длины с центрами в серединах этих
сегментов, и т. д.; множество, оставшееся после счетного числа
шагов, обозначим Е. Доказать, что оно нигде не плотно на [0; 1].
200. Доказать, что множество Е точек на отрезке [0; 1], деся-
тичное разложение которых возможно без цифр 4 и 5, является
нигде не плотным множеством.
201. Является ли нигде не плотным на прямой множество, со-
ставленное из тех и только тех точек, десятичное разложение кото-
рых возможно без комбинации стоящих рядом цифр 2 и 6 (в ука-
занном здесь порядке)?
202. Является ли замкнутым множество Е тех иррациональных
чисел на сегменте [0; 1], в десятичном разложении которых отсут-
ствует цифра 5? Если нет, то что представляет собой его замыка-
ние? Содержит ли это множество изолированные точки? Является
ли оно нигде не плотным?
203. Пусть А— нигде не плотное множество на прямой. Дока-
зать, что его замыкание также нигде не плотно.
204. Пусть А-—нигде не плотное множество на прямой. Дока-
зать, что его дополнение С А всюду плотно на прямой. Верно
ли обратное утверждение: «Дополнение к множеству, всюду плот-
ному на прямой, является нигде не плотным множеством»?
205. Верна ли теорема: «Дополнение к открытому всюду плот-
ному множеству на прямой является нигде не плотным множест-
вом»?
206. Доказать теорему: «Для того чтобы замкнутое множество
на прямой, было нигде не плотным, необходимо и достаточно,
чтобы в любом интервале на прямой нашлась хотя бы одна точка,
не принадлежащая этому множеству».
207. Сформулировать задачи 203—206 для множеств, лежащих
на плоскости, и решить эти задачи.
208. Доказать, что сумма F конечного числа нигде не плотных
множеств Еи Е2, ..., Еп в пространстве R (например, на числовой
прямой) является нигде не плотным множеством в R. Сохраняется
ли в силе это утверждение для суммы счетного числа нигде
не плотных множеств?
ГЛАВА 6
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
(продолжение)
Свойства множеств, сформулированные во введении к главе 5, имеют место
Для открытых н замкнутых множеств, расположенных в любом метрическом
пространстве (следовательно, в том числе н в евклидовом пространстве). Те же
свойства множеств, которые будут рассмотрены ниже, используют специфические
31
свойства евклидова пространства; эти свойства, справедливые для множеств,
расположенных в евклидовом пространстве, вообще говоря, перестают быть вер-
ными для множеств, расположенных в произвольном пространстве.
Свойства множеств, расположенных в евклидовом пространстве. Множество
Е называется ограниченным в пространстве R, если расстояние от фиксирован-
ной точки (например, от начала координат) до любой точки множества Е не пре-
восходит некоторого числа.
Диаметром ограниченного множества Е называется верхняя грань всевоз-
можных расстояний между точками множества Е:
diam £’= sup q (х, у).
хе е
1ICE
Последовательность xlt х2> -» хп< ... элементов пространства R называет-
ся сходящейся к элементу а £ R, если для любого в >0 существует такой
номер N (зависящий от е), что для всех номеров п > N выполняется неравенство
Q (хп, а)<е.
Если последовательность сходится к элементу а, то последний называется
пределом последовательности*. Это записывают так: а= lim хп.
, п -> оо
Всякая сходящаяся последовательность ограничена (это означает, что огра-
ничено множество ее элементов). Однако не всякая ограниченная последователь-
ность сходится. Необходимым и достаточным условием сходимости последова-
тельности в евклидовом пространстве является следующий
Критерий Коши**. Для того чтобы последовательность
х1, Х2, Х3, . . ., хп, ... (1]
точек евклидова пространства сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для
любого 8>0 существовал такой номер N, что q (х„, хт) < е для всех n>N,
m>N.
Наряду с последовательностью (1) мы будем рассматривать всевозможные
ее подпоследовательности
> • • •» . ♦ • * •»
ril rtS rife
где пг < п2 < ... < nk< . . .. Если последовательность (1) сходится, то и вся-
кая ее подпоследовательность тоже сходится, притом к тому же пределу. Однако
из расходимости последовательности (1) совсем не следует расходимость всех
ее подпоследовательностей.
Как мы видели, ограниченность последовательности еще не является доста-
точным условием ее сходимости. Но ограниченность последовательности доста-
точна для существования у нее сходящейся подпоследовательности.
Теорема Больцано—Вейерштрасса. Если последовательность
точек в евклидовом пространстве ограничена, то она имеет хотя бы одну
сходящуюся подпоследовательность.
* Определения ограниченного множества, его диаметра, а также сходя-
щейся последовательности имеют смысл не только для евклидова пространства,
но и для любого метрического пространства.
** Критерий Коши имеет место не только в евклвдовом пространстве, но и
в некоторых других пространствах. Такие пространства называются полными.
Дадим точное определение полного пространства.
Последовательность {хя} элементов пространства R называется фундамен-
тальной, если для любого е>0 существует такой номер N, что Q(xn, хт) < е
для всех n>N, m>N.
Легко видеть, что сходящаяся последовательность всегда фундаментальна;
однако обратное утверждение справедливо не во всяком пространстве.
Пространство R называется полным, если любая фундаментальная после-
довательность элементов пространства R сходится к некоторому элементу
этого пространства.
32
Из этой теоремы вытекает важное следствие: Всякое бесконечное ограниченное
множество евклидова пространства имеет хотя бы одну предельную точку.
Теорема Кантора. Если Ап — непустые замкнутые множества в
евклидовом пространстве, такие, что At ZD Л2 Z) ... Z> Ап Z> ...» причем
diam An -> 0 при n-> оо, то существует одна, и притом только одна, точ-
ка, принадлежащая всем Ап.
Теорема о покрытиях. Пусть дана некоторая совокупность мно-
жеств {Л^} (например, некоторая совокупность интервалов или некоторая сово-
купность сегментов). Если (J А, включает множество Е, то говорят, что сово-
купность {является покрытием множества Е. При этом, если совокуп-
ность {Л£} содержит конечное число различных множеств Л„ то мы называем это
покрытие конечным; если совокупность {Лс} бесконечна, то мы говорим о бес-
конечном покрытии. В частности, если совокупность множеств {А} является
счетной, то мы говорим о счетном покрытии.
Теорема Гейне — Бореля. Если замкнутое ограниченное множество
Е в евклидовом пространстве покрыто некоторой совокупностью окрестно-
стей *, то из них можно отобрать конечное число окрестностей, которые
также осуществляют покрытие множества Е.
Короче это можно сформулировать так: «Из всякого покрытия замкнутого
ограниченного множества окрестностями можно выделить конечное покрытие
того же множества».
Расстояние между замкнутыми множествами в евклидовом пространстве.
Если замкнутые ограниченные множества А и В расположены в евклидовом
пространстве, то в множестве А найдется точка а, а в В—точка Ь, такие,
что q (а, 6)=(э(Л, В). (Про эти точки а и b говорят, что в них реализуется
расстояние между множествами.)
Отсюда следует, что если расстояние между двумя замкнутыми ограничен-
ными множествами равно нулю, то они должны иметь хотя бы одну общую
точку.
Эти теоремы остаются в силе и в том случае, когда одно из замкнутых
множеств ограничено, а другое неограничено. Однако эти теоремы перестают
быть верными для двух замкнутых неограниченных множеств.
Точки конденсации. Пусть Е — множество точек в евклидовом простран-
стве. Точка х, в любой окрестности которой содержится несчетное множество
точек из Е, называется точкой конденсации множества Е. Точка конденсации
может принадлежать Е, может и не принадлежать Е. Однако если Е — несчет-
ное множество, то у него всегда существуют точки конденсации, принадлежа-
щие Е. Следовательно, если множество не имеет точек конденсации, принадлежа-
щих самому множеству, то оно не более чем счетно.
Множество всех точек конденсации (как принадлежащих к Е, так и не при-
надлежащих к Е) является совершенным множеством (каково бы ни было
исходное множество Е).
Каково бы ни было Е, множество тех точек Е, которые не являются его
точками конденсации, не более чем счетно.
Мощность совершенных и замкнутых множеств. Если Е—непустое совер-
шенное множество в евклидовом пространстве, то оно имеет мощность конти-
нуума.
Если Е — несчетное замкнутое множество в евклидовом пространстве,
то оно представимо в виде суммы совершенного множества (множества точек
конденсации) и множества не более чем счетного (теорема Кантора — Бендик-
сона).
Отсюда вытекает, что любое замкнутое множество в евклидовом простран-
стве либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.
* Т. е. интервалами, если множество Е находится на прямой, или откры-
тыми кругами, если Е — на плоскости, нлн открытыми шарами, если Е —
в трехмерном пространстве, и т. д.
3
Ю С. Очан
33
Строение открытых, замкнутых, совершенных множеств на прямой. Любое
открытое множество G на прямой может быть представлено (притом единствен-
ным образом) в виде суммы конечной или счетной совокупности попарно непе-
ресекающихся интервалов. Эти интервалы называются составляющими интерва-
лами множества G. Среди составляющих интервалов могут быть и бесконеч-
ные интервалы вида: (—оо; с), (b; -}-сс), (—со; -(-со).
Всякое замкнутое множество F на прямой может быть получено вычита-
нием из всей числовой прямой конечной или счетной совокупности попарно
непересекающихся интервалов (эти интервалы называются смежными интерва-
лами множества F; они также определяются единственным образом по дан-
ному F). Если замкнутое множество F ограничено (причем inf F=a, sup F=b),
то под смежными интервалами мы будем, обычно, подразумевать только те, ко-
торые лежат на сегменте [а; Ь].
Замкнутое множество является совершенным тогда и только тогда, когда
ни одна пара смежных интервалов не имеет общих концов.
ЗАДАЧИ
209. Дана последовательность чисел ах, а2, as, .... ап, ...;
известно, что следующие ее подпоследовательности:
Gj, с3, cs, а7, . .—i, • ••
G?, G-fi, Gj^, . . ., G(2&—1)-2» • ••
®20> Ggg, • • •> Я(2А—IJ-21» •••
Й2(’ <2з-2г’ 0.5.21< 0-7.С(2й —1).9г,
все сходятся, и притом к одному и тому же числу Ь. Следует
ли отсюда сходимость заданной последовательности?
210. Дана последовательность чисел аг, а2, —, ап, ...; из-
вестно, что две ее подпоследовательности
G-'rn,, • . ., Gm^, . . .
Ял,» Оп9, . . ., G пА, • • •
сходятся к одному и тому же пределу b (индексы [тг, т2,
mk,____} и п2, ..nk, ...[ в своей совокупности составляют
все множество натуральных чисел). Доказать, что данная после-
довательность также сходится (притом к тому же пределу).
211*. Показать на примере, что существует такая ограничен-
ная последовательность {/„(*)} элементов пространства С [а; Ь\
(о (Д> 0) < Л для всех и), из которой нельзя выделить сходя-
щейся подпоследовательности.
212. 1*. Доказать, что если R — полное метрическое пространств
во, а Е — его замкнутое подмножество, то Е также является пол-
ным метрическим пространством.
34
212. 2*. Пусть/? — какое-либо (полное или неполное) метриче-
ское пространство, Е — его незамкнутое подмножество. Доказать,
что Е является неполным пространством.
212. 3*. Пусть [—I; 1] — пространство непрерывных на
1
1—1; 1] функций с расстоянием q(/; g)= |f(x)— g(x)| dx (см. за-
—1
дачу 115). Доказать, что Сг [ — 1; 1] — неполное пространство.
212. 4*. Доказать, что С [а; М—полное пространство.
212. 5*. Доказать, что подмножество пространства С [а; 6], со-
стоящее из всех непрерывных функций, удовлегворяющих неравен-
ству А < Дх) < В (где А < В — заданные числа), есть полное про-
странство.
212. 6*. Пусть F(x) и G(x)— две фиксированные функции, не-
прерывные на [а; &] и удовлетворяющие всюду на 1а; Ь] неравен-
ству F(х)<;G(х). Доказать, что подмножество пространства
С [a; F], состоящее из всех непрерывных функций /(х), удовлетво-
ряющих неравенству F (х) <; / (х) < G (х), есть полное простран-
ство.
213. Л1ожет ли счетное множество Е на плоскости иметь кон-
тинуум предельных точек, ни одна из которых не принадлежит
самому множеству В?
214. Может ли множество Е континуальной мощности, распо-
ложенное на плоскости, иметь континуум предельных точек, при-
чем ни одна из предельных точек множества Е не принадле-
жит £?
215. Доказать существование хотя бы одной точки конденса-
ции у несчетного множества на отрезке; доказательство провести
методом последовательного деления основного отрезка на 2 равные
части; затем на 4 части; на 8 частей и т. д.
216. Пусть At и А2 — два множества на плоскости, Вг и В2—
множества их точек конденсации. Доказать, что множество точек
конденсации множества Аг и А совпадает с множеством Вг (J В2.
217. Можно ли обобщить предыдущую теорему на счетную
совокупность множеств А^, А2, ..., Ak,____на плоскости?
Для дальнейшего нам надо дать определение связного множества
Множество Е, расположенное в пространстве Е, называется несвязным,
если Е можно представить в виде суммы двух непустых множеств Е = A (J В
таких, что А не включает ни одной точки прикосновения множества В,
а В не включает ни одной точки прикосновения множества А.
Если же Е нельзя представить в виде суммы непустых множеств А и В,
обладающих указанным выше свойством, то множество Е называется связным
218. Доказать, что множество Е связно тогда и только тогда,
когда его нельзя представить в виде суммы двух непустых мно-
жеств Е=А и В, для которых выполняется равенство:
(Л и В) и (В П Л)=0.
3*
35
219. Пусть Е — замкнутое множество. Доказать, что Е связно
в том и только в том случае, если его нельзя представить в виде
суммы двух непустых непересекающихся замкнутых множеств.
220. Доказать, что если множество Е связно, то его замыка-
ние Е тоже связно. Показать на примере, что сбратное утвержде-
ние неверно.
221. Доказать, что сегмент является связным множеством.
222. 1) Доказать, что замкнутый круг является связным мно-
жеством. 2) Доказать, что замкнутый шар является связным мно-
жеством.
223. Пусть £t и £2 — два связных множества, имеющие непус-
тое пересечение. Доказать, что множество Е—Ег (J Ее также
связно.
224. Доказать, что для множеств, расположенных на прямой,
имеет место следующее утверждение: «Множество Е на прямой
связно в том и только в том случае, если для любых двух точек
хг £ Е и х2 £ Е отрезок [х1; x2J включается в множество £».
225. Доказать, что следующие множества являются связными
множествами на прямой: а) сегмент [а; Ь]; б) интервал (а; Ь);
в) полусегмент (а; Е1; г) полусегмент 1а; Ь); д) луч [а; Дсо);
е) луч (а; Дсо); ж) луч (— со; а]; з) луч (— сс, а); и) вся прямая
(—со, +оо); к) одноточечное множество; л) пустое множество.
Доказать, что никакое другое множество на прямой, кроме
множеств вида а) — л) (при всевозможных а и Ь, а < Ь), не яв-
ляется связным.
226. Доказать, что плоскость является связным множеством.
227. Доказать, что если для любых двух точек множества £
найдется связное множество Q, содержащее эти точки и включаю-
щееся в £, то £ связно.
228. Доказать, что открытый круг на плоскости является связ-
ным множеством.
229. Доказать, что открытый круг на плоскости не может быть
представлен в виде суммы двух непустых непересекающихся
открытых множеств.
230. Доказать, что на плоскости не существует множества,
которое было бы одновременно открытым и замкнутым (за исклю-
чением пустого множества и всей плоскости).
231. Доказать, что на прямой не существует множества, которое
было бы одновременно открытым и замкнутым (за исключением
пустого множества и всей прямой).
232. Можно ли открытый круг на плоскости представить в виде
пересечения двух открытых множеств, отличных от всей плоскости
и в сумме составляющих всю плоскость?
233. Показать на примере, что расстояние между двумя непе-
ресекающимися замкнутыми множествами может равняться нулю
(если эти множества неограничены).
36
234. Привести пример таких двух замкнутых неограниченных
множеств А и В, что р(Л; В)=1 и что не существует точек
а£А и Ь£В, для которых g(cz; &)=1.
235. Дано счетное замкнутое множество Е = |0; 1; у -Ь ..
...j. Его покрывает система интервалов:
/|___. jj гу В —е 1+е \ /1 — е. 1+е у . /1 — е. 1+е
t с’ Г-), 2 ; 2 / \ 4 ’ 4 /’"’ \ 2« ’ 2П У’ ”
и (—е; е); здесь в — заданное положительное число, меньшее,
чем 1/2. Выделить из этой системы интервалов конечную систему,
покрывающую множество Е.
236. Дано счетное множество E=fl; —; —; ...: —; 1. Его
( 2 4 2я /
покрывает система интервалов:
л । , , .1—е I+e\ 1—е 1+е \
(1 — в; 14-е); ---;-----; i--------;-----; •••,
\ 2 2 / \ 2П 2я /
где 0 < б < Можно ли из этого покрытия выделить конечное
покрытие множества Е?
237. Дано замкнутое счетное множество Е={1, 2, 3, ...,
п, ...}; его покрывает бесконечная система интервалов
(1 — в; 14-е); (2— е; 24-е); (3—в; 3-|е); ...; (и— б; пД-е); ...,
где 0 < е Можно ли из этого покрытия выделить конечное
покрытие?
238. Рассмотрим открытый круг Е единичного радиуса с цент-
ром в точке О; проведем концентрическую окружность С радиуса
1
— и построим семейство всевозможных открытых кругов ради-
2
уса центры которых лежат на окружности С. Эти открытые
круги образуют бесконечное покрытие множества Е. Доказать, что
из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия.
239. Можно ли из того покрытия круга Е, которое рассмот-
рено в задаче 238, выделить счетное покрытие?
240. Совокупность открытых кругов, рассмотренная в задаче
238, покрывает замкнутый круг радиуса I — е с центром в точке
О (где е — заданное число, 0 е < Как из этого покрытия
выделить конечное покрытие?
241. Доказать, что на плоскости имеется счетная последова-
тельность открытых кругов Gb G2, G3, ..., G,„ ..., обладающая
тем свойством, что любое открытое множество Е есть сумма неко-
торой совокупности кругов из этой последовательности.
37
242. Доказать, что из любого покрытия открытыми множест-
вами произвольного множества Е на плоскости можно выделить
счетное покрытие того же множества.
243. Построить пример ограниченного открытого множества
на прямой, покрытого окрестностями таким образом, что из этого
покрытия нельзя выделить конечного покрытия.
244. Верна ли теорема: «Из любого покрытия замкнутого огра-
ниченного множества замкнутыми окрестностями можно выделить
конечное покрытие»? (Замкнутой окрестностью называется замыка-
ние открытой окрестности.)
245. Верна ли теорема: «Из любого покрытия замкнутого огра-
ниченного множества открытыми множествами можно выделить
конечное покрытие»?
246. Множество Е называется компактом, если из любого
покрытия этого множества окрестностями можно выделить конеч-
ное покрытие. Доказать, что всякий компакт является замкнутым
ограниченным множеством.
247*. Показать на примере, что в пространстве С существуют
замкнутые ограниченные множества, не являющиеся компактами.
248. Доказать, что если Е — нигде не плотное множество то-
чек на прямой, то множество А точек вида х-га (где х £ Е, сГ>0
фиксированное число) также является нигде не плотным.
249. Пусть Е — всюду плотное множество на прямой; А — ка-
кое-либо конечное подмножество множества Е. Доказать, что мно-
жество Е\Л также всюду плотно на прямой.
250. Существуют ли такие два всюду плотные несчетные мно-
жества на прямой, пересечение которых пусто?
251. Можно ли построить такую счетную совокупность всюду
плотных несчетных множеств на прямой
F F F
^2» • ♦ • • •»
что пересечение любых двух из этих множеств пусто (т. е.
ЕтГ|Еп=0 при любых 771=^и)?
252. Доказать, что для любого замкнутого множества F на
прямой найдется конечное или счетное подмножество Е такое,
что E=F.
Для дальнейшего (задачи 253—257) нам понадобится понятие предельного
множества последовательности.
Множество F на прямой называется предельным для числовой последова-
тельности щ, о2> • • -> если для каждой точки существует под-
последовательность аП}, аП2, . . ., сходящаяся к х0, и обратно, всякая сходящая-
ся подпоследовательность данной последовательности сходится к некоторой точ-
ке из F.
253. Построить последовательность, предельное множество ко-
торой пусто.
254. Доказать, что если предельное множество некоторой по-
следовательности пусто, то последовательность модулей членов
этой последовательности сходится к -f-co.
38
255. Построить последовательность, для которой предельным
множеством служит вся прямая.
256. Доказать, что предельное множество любой последова-
тельности замкнуто.
257. Доказать, что каково бы ни было замкнутое множество
F на прямой, можно построить последовательность, для которой F
служит предельным множеством.
Введем понятие частичной суммы ряда, которое нам понадобится в зада-
чах 258—267.
ОО
Рассмотрим абсолютно сходящийся ряд £ Un. Пусть 11 = {и,, п2, п3 . .}—
П—\
произвольное множество натуральных чисел (бесконечное, конечное или пустое).
оо
Частичной суммой ряда 2 Un, соответствующей множеству П, называется еле-
П=1
дующая сумма: S Un (в частности, частичной суммой, соответствующей пустому
пен
множеству натуральных чисел, является число 0; частичной суммой, со-
оо \
ответствующей множеству всех натуральных чисел, является сумма ряда 2 Un).
п=1 /
258. Построить ряд с положительными членами, у которого
множество всех частичных сумм совпадает с сегментом' 10; 11.
259. Построить ряд с положительными членами, у которого
множество всех частичных сумм совпадает с канторовым совер-
шенным множеством.
260. Доказать, что множество всех частичных сумм сходящегося
ряда с положительными членами является совершенным множеством.
261. Пусть У ап—-абсолютно сходящийся ряд; доказать,
П=1
что множество частичных сумм этого ряда является замкнутым
множеством.
262. Доказать, что если абсолютно сходящийся ряд содержит
бесконечно много членов, отличных от нуля, то множество его
частичных сумм является совершенным множеством.
263. Доказать, что если сумма абсолютно сходящегося ряда
равна s, то множество Е частичных сумм этого ряда симметрично
относительно точки у ^т. е. если xF-E, то и s — xF-E^.
264. Может ли множество частичных сумм абсолютно сходяще-
гося ряда иметь изолированные точки? Может ли этих точек быть
бесконечно много?
265. Пусть У, ап — сходящийся ряд с положительными члена-
71= 1
ми такой, что cz1>c:2>cz3> ...; доказать следующее утверждение:
«Для того чтобы множество частичных сумм этого ряда было сег-
ментом, необходимо и достаточно, чтобы для любого натурального
СО
числа п выполнялось неравенство 2
»=П-Н
39
266. Пусть У ап — расходящийся ряд с положительными чле-
П=1
нами (а„2>0 для всех п). На такой ряд легко распространяется
определение частичной суммы ряда: если ряд У ап сходится, то
пеП
его сумму будем называть частичной суммой исходного ряда.
СО
Доказать, что если 2 ап — расходящийся ряд с положитель-
П=1
ными членами, причем lim яп=0, то множество всех частичных
сумм этого ряда является лучом [0, со).
267. Может ли множество всех частичных сумм расходящегося
ряда с положительными членами иметь бесконечно много изоли-
рованных точек?
268. Пусть G— открытое всюду плотное множество на прямой.
Доказать, что для любого интервала / найдется интервал /0 такой,
что Ioc:lnG.
269. Доказать, что пересечение счетного числа открытых всю-
ду плотных множеств на прямой является всюду плотным множе-
ством.
270. Доказать, что пересечение счетного числа открытых, всю-
ду плотных на 1а; Ь] множеств на прямой имеет мощность конти-
нуума.
271. Доказать, что сумма счетной совокупности нигде не плот-
ных множеств на прямой не может заполнить всю прямую.
272. Доказать, что пересечение конечного или счетного числа
всюду плотных множеств типа G3 на прямой есть всюду плотное
множество типа Gr~.
273. Привести пример последовательности всюду плотных мно-
жеств Ег, Е2, ..., Еп, ... на прямой, таких, что Е^Е^ ...zs
Еп ... и что их пересечение пусто: П Еп= 0.
274. Доказать, что множество всех рациональных чисел на
прямой не является множеством типа Gfi.
275. Доказать, что множество всех иррациональных чисел на
прямой не является множеством типа Fa. '~
276. Пусть Е — произвольное счетное всюду плотное множест-
во на прямой. Доказать, что оно не является множеством типа G5.
277. Пусть Е — дополнение к счетному всюду плотному мно-
жеству на прямой. Доказать, что оно не является множеством типа F3.
278. Доказать, что множество всех рациональных чисел, рас-
положенных на произвольном полусегменте [а, Р), не является
множеством типа G?j; доказать, что множество иррациональных
чисел, расположенных на том же полусегменте, не является мно-
жеством типа Fa.
279. Построить пример множества на прямой, не являющегося
ни множеством типа Fa, ни множеством типа G6.
40
280. Доказать, что если A1z:A2^) ... ..., где А„—
непустые замкнутые ограниченные множества на прямой (диамет-
ры которых не обязательно стремятся к нулю), то их пересечение
непусто.
281. Пусть ... ...—последовательность не-
пустых ограниченных открытых множеств; показать на примере,
что их пересечение может оказаться пустым.
282. Доказать, что если Л1=зЛ2=) ... =)..., где А„— не-
пустые ограниченные открытые множества на прямой, такие, что
Лп+1сгЛп для любого п, то их пересечение П Ап непусто.
* п
283. Доказать теорему: если последовательность замкнутых ог-
раниченных множеств на прямой А,, Л2, ..., Ап, ... такова, что
пересечение любой конечной совокупности этих множеств непусто,
то пересечение всех множеств этой последовательности также не-
пусто.
284. Остаются ли в силах утверждения, содержащиеся в зада-
чах 280, 282 и 283, если отказаться от требования ограниченно-
сти множеств А,, А2, ..., Ап, ...? Если нет, то привести соответ-
ствующие примеры.
285. Можно ли представить канторово множество в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся .непустых зам-
кнутых множеств?
286. Представить замкнутый квадрат в виде суммы конти-
нуума попарно не пересекающихся непустых совершенных мно-
жеств.
287. Дано некоторое множество Е точек на плоскости. Извест-
но, что нижняя грань всевозможных расстояний между различны-
ми точками этого множества положительна. Доказать, что мно-
жество Е не более чем счетно.
288. Обозначим через Е множество всех середин смежных ин-
тервалов канторова множества. Что представляет собой производ-
ное множество множества Е? Что представляет собой его замыка-
ние Е? Что представляет собой второе производное множество?
Как разложить Е на сумму совершенного и счетного множества?
289. Пусть D — канторово множество, Uv U2, ... — все
его смежные интервалы (конечной длины). Рассмотрим множе-
ство Е, являющееся суммой канторова множества D, сегментов
г , , зб,Л , , 7б„
1ап+-^; + и точек ’ й,! +8’ ГДе йч~левыи ко-
нец интервала U п; &п — его длина.
Является ли множество Е замкнутым? Если да, то разложите
его на сумму совершенного и счетного множеств.
290. На прямой даны сегмент 1а; Ь\ и совершенное множество
Е, причем концы сегмента не принадлежат Е. Доказать, что мно-
жество Е П 1а; Ь] является совершенным.
291. На прямой даны интервал (а; Р) и совершенное нигде не
плотное множество Е. Доказать, что их пересечение является ли-
бо совершенным множеством, либо суммой счетной совокупности
попарно не пересекающихся совершенных множеств.
292. На прямой даны два совершенных нигде не плотных мно-
жества Р и Q. Доказать, что разность этих множеств P\Q явля-
ется либо совершенным множеством, либо суммой счетной совокуп-
ности попарно не пересекающихся совершенных множеств.
293. Доказать, что сумму счетной совокупности совершенных
нигде не плотных множеств можно представить в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся совершенных
нигде не плотных множеств.
294. Доказать, что прямую нельзя представить в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся сегментов.
295. Л1ожно ли представить интервал (a; b) в виде суммы счет-
ной совокупности попарно не пересекающихся сегментов?
296. Л1ожно ли представить сегмент [а; 61 в виде суммы счет-
ной совокупности попарно не пересекающихся непустых сегментов?
297. Представить отрезок [0; 1] в виде суммы двух непересе- .
кающихся множеств А и В, всюду плотных на отрезке [0; 1] и
обладающих тем свойством, что для любых а и [3, таких, что
0<а<^р<1, пересечения (а; Р)пЛ и (а; р)пВ имеют мощность
континуума.
298. Известно, что канторово множество имеет следующую
арифметическую структуру: оно состоит из тех и только из тех
точек отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде троич-
ной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных зна-
ков. Доказать это.
299. Какова арифметическая структура множества точек перво-
го рода (т- е. концов смежных интервалов) канторова множества?
Какова арифметическая структура точек второго рода (т. е. осталь-
ных точек канторова множества)?
300. Найти какую-либо точку канторова множества первого ро-
да, заключенную между числами 0,1 и 0,2.
301. Найти какую-либо точку канторова множества второго ро-
да, заключенную между числами 0,05 и 0,1. Л1ожно ли выбрать
эту точку так, чтобы она была рациональной?
302. Два точечных множества М и N на прямой называются
подобными, если между элементами этих множеств можно устано-
вить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок сле-
дования (иначе говоря, если £ М, £ М, уг£ N, у2 £ N, хг со-
ответствует уг и х2 соответствует у2, то из хг<^х2 вытекает, что
У1<Ь)-
Доказать, что множество всех двоично-иррациональных точек
отрезка [0; 1] подобно множеству всех точек второго рода канто-
рова множества.
42
303. Является ли множество всех рациональных точек отрезка
[0; 1] подобным множеству всех точек первого рода канторова
множества?
304. Доказать, что любое счетное подмножество интервала
(0; 1), плотное на нем, подобно множеству всех двоично-рациональ-
ных точек этого интервала.
305. Существует ли интервал, содержащий точки первого рода
канторова множества, но не содержащий ни одной точки второго
рода?
306. Доказать, что если Е — непустое совершенное множество
на прямой, то для любой точки х С Е найдется такая точка у £ Е,
что расстояние между х и у иррационально.
307. Какова мощность множества всех открытых множеств на
прямой?
308. Какова мощность множества всех открытых множеств на
плоскости? (Указание. Использовать результат задачи № 241.)
309. Какова мощность множества всех замкнутых множеств на
прямой? На плоскости?
310. Какова мощность множества всех совершенных множеств
на прямой? На плоскости?
311. Доказать, что множества, построенные в примерах 199—
201, являются совершенными множествами.
312. Существует ли на прямой непустое совершенное нигде не
плотное множество, все точки которого иррациональны?
313. Пусть Е — произвольное счетное множество точек на пря-
мой. Существует ли совершенное множество точек на прямой,
не содержащее точек множества £?
314. Пусть Ео — совершенное нигде не плотное множество на
отрезке [0; 1], а (ах; 01), (а2; 02) (а„; 0П), ... —его смежные
интервалы. Построим на каждом сегменте [аг-; 0ZJ (i = l, 2, 3, ...)—
совершенное нигде не плотное множество Д-сг [аг, PJ. Доказать,
что 1) множество Е, являющееся суммой множеств £0U£iUE2U
U... U £)и •••, —совершенно и нигде не плотно на [0; 11;
2) все смежные интервалы к множествам Еи Е%, Е3, ... * и только
они являются смежными интервалами к множеству F.
315. Занумеруем все рациональные точки плоскости: Мг, М2,
..., Мп, ... (точка на плоскости называется рациональной, если
обе ее координаты являются рациональными числами). Обозначим
через vn открытый круг с центром в точке Мп радиуса(а—за-
данное положительное число). Доказать, что множество Е на
ОО
плоскости, дополнительное к множеству U vn, является замкну-
п= 1
тым и нигде не плотным.
* Под смежными интервалами к множеству при i > 1 мы подразумеваем
интервалы, дополняющие множество Е, до сегмента [ад 0/].
43
316. Построим на плоскости множество А следующим образом:
12 1
разделим квадрат 0<.у< 1 прямыми , у——,
3 3 3
2
у= — на 9 равных квадратов и выкинем центральный открытый квад-
рат щ. е. квадрат у — <у С ]• ^атем, каждый из ос-
тавшихся 8 замкнутых квадратов делим на 9 равных квадратиков
и выбрасываем все центральные открытые квадратики; далее про-
должаем этот процесс неограниченно. Множество, оставшееся пос-
ле счетного числа шагов, обозначим А (оно называется «ковер
берлинского»). Доказать, что это множество является совершен-
ным и нигде не плотныц. Исследовать арифметическую структуру
этого множества.
317. Построим на плоскости множество В следующим обра-
зом: разделим замкнутый квадрат 0<х<1, 1 прямыми
1 2 1 2 п
х =—, х=—; у=—; у=~ на 9 равных квадратов, и четыре
3 3 3 3
замкнутые квадрата, примыкающие к вершинам основного квадра-
та, назовем квадратами первого ранга, а их сумму обозначим Вг
(рис. 1, а). Затем каждый из квадратов первого ранга разделим на
9 равных замкнутых квадратиков, и те из них, которые примыка-
ют к вершинам соответствующего квадрата первого ранга, назовем
квадратами второго ранга; сумму всех 16 замкнутых квадратов
второго ранга обозначим через В2 (рис. 1, б). Далее, делим каждый
квадрат второго ранга на 9 равных замкнутых квадратов и назовем
квадратами третьего ранга те из них, которые примыкают к вер-
шинам соответствующих квадратов второго ранга; сумму всех 64
Рис. 1, а. Оставлено незаштрихованным Рис. 1,6. Оставлено незаштрихованным
множество Bt. Множество Z?a.
44
замкнутых квадратов третьего ранга обозначим через Bs, и т. д.
Ясно, что .... Общую часть всех Bk назовем «клад-
бищем берлинского» и обозначим через В:В~ y\Bk.
k
Доказать, что В является совершенным нигде не плотным мно-
жеством. Исследовать арифметическую структуру этого множества.
318. «Канторовой гребенкой» называется множество Е на пло-
скости Оху, состоящее из всех тех точек М (х, у), координаты ко-
торых удовлетворяют следующим условиям: 0<х<1, y^D, где
D — канторово множество на оси Оу. Доказать, что оно является
совершенным нигде не плотным множеством, и исследовать его
арифметическую структуру.
319. Можно ли множества А («ковер бернинского»), В («кладби-
ще бернинского») и Е («канторову гребенку») выразить через канто-
рово множество с помощью действий дополнения (до отрезка
[0; 11) и произведения?
ГЛАВА 7
МЕРА МНОЖЕСТВ
Нуль-множества. Множество Е точек на прямой называется нуль-мно-
жествои, если для всякого е > 0 можно найти конечную или счетную систему
интервалов, покрывающую Е и такую, что сумма длин этих интервалов меньше,
чем е.
Примеры нуль-множеств на прямой: любое конечное или счетное множество,
канторово совершенное множество.
Нуль-множество Е на плоскости определяется аналогично, с заменой ко-
нечной или счетной системы интервалов — конечной или счетной системой от-
крытых кругов, сумма площадей которых меньше, чем е.
Аналогично определяется и нуль-множество в трехмерном евклидовом про-
странстве.
Свойства нуль-множеств: 1) любое подмножество нуль-множества есть нуль-
множества; 2) сумма конечной или счетной совокупности нуль-множеств есть
нуль-множество; 3) результат конгруэнтного переноса нуль-множества есть нуль-
множество.
К-семейства и борелевское семейство. Семейство 5£ множеств на прямой на-
зывается К-семейством, если оно обладает следующими свойствами;
а) 81 содержит все интервалы.
б) Из того, что множества Мг, М2, . .. входят в семейство 21, следует,
ОО
что сумма этих множеств U Мп также входит в семейство 21 (т. е. семейст-
п=1
во 21 инвариантно относительно счетного суммирования).
в) Из того, что следует, что СМС-'И (т. е. 21 инвариантно относи-
тельно дополнения).
г) Из того, что Л4£21, следует, что Ма £21, где Ма— множество, полу-
чившееся из М в результате конгруэнтного переноса на вектор а (иными сло-
вами, К-семейство инвариантно относительно конгруэнтного переноса).
Пример К-семейства на прямой: семейство всех множеств на прямой.
К-семейство на плоскости определяется аналогично, с заменой первого
свойства на следующее:
а) Семейство 2i содержит все открытые круги.
Таким же путем определяется К-семейство и в трехмерном пространстве
45
С в о й с т в а Я-се м е й с т в. 1) Всякое Я-семейство включает в себя все
открытые множества, все замкнутые множества, все множества типа Fa и типа Ge ,
2) Всякое К-семейство инвариантно относительно счетного (и тем более
конечною) пересечения.
3) На прямой существует минимальное К-семейство, т. е. такое К-семей-
ство, которое включается в любое К-семейство на прямой; на плоскости и в трех-
мерном пространстве также существуют минимальные К-семейства.
Определение. Минимальное К-семейство на прямой (или на пло-
скости, или в пространстве) называется Борелевским семейством на прямой
(или на плоскости, или в пространстве).
Всякое множество, входящее в Борелевское семейство, называется Боре-
левским множеством или В-множеством. Ясно, что, в частности, В-миоже-
ствами на прямой (на плоскости, в пространстве) являются все открытые мно-
жества на прямой (на плоскости, в пространстве), все замкнутые множества,
все множества типа Fo ,типа Ge и многие другие.
Измеримые множества. Множество Е называется измеримым по Лебегу (или
просто измеримым), если существует такое В-множество А и такие нуль-мно-
жества «ир, что А\« с: Ed A Up. Иначе говоря, множество Е называется
измеримым, если оно отличается от некоторого В-множества А не более чем на
нуль-множество.
Свойства измеримых множеств:
1) Всякое В-множество измеримо.
2) Всякое нуль-множество измеримо
3) Сумма конечной или счетной совокупности измеримых множеств есть
измеримое множество.
4) Дополнение к измеримому множеству измеримо.
5) Результат конгруэнтного переноса измеримого множества есть измеримое
множество.
Из свойств 1, 3, 4, 5 вытекает, что семейство измеримых множеств есть
К-семейство. Поэтому:
6) Пересечение конечной или счетной совокупности измеримых множеств
есть измеримое множество.
7) Разность двух измеримых множеств есть измеримое множество.
Отметим также, что не всякое множество на прямой (на плоскости, в
пространстве) измеримо; иными словами, на прямой (на плоскости, в простран-
стве) существуют неизмеримые множества. Более того, всякое измеримое мно-
жество, не являющееся нуль-множеством, содержит неизмеримое подмножество.
Мера множества. Линейной мерой измеримого множества Е на прямой на-
зывается неотрицательное число тЕ (конечное или +оо), удовлетворяющее сле-
дующим условиям:
а) Если Е является интервалом, то тЕ является длиной этого интервала.
б) Если £х, £2, Е3, ... — конечная или счетная совокупность измеримых мно-
жеств попарно без общих точек, то мера суммы этих множеств равна сумме их
мер:
т (UEn)^ тЕп.
п п
в) Для любого измеримого множества Е и любого числа е > 0 существует
открытое множество G, включающее Е, такое, что m(G\E) < е.
Аналогично определяется плоская мера тЕ измеримых множеств на пло-
скости с заменой (в определении) условия а) следующим условием:
а) Если Е является открытым кругом, то плоская мера тЕ равна площади
этого круга.
Таким же путем определяется объемная мера тЕ измеримых множеств
в трехмерном пространстве.
Свойства меры: 1) Линейная мера, удовлетворяющая условиям а),
б), в), однозначно определена для всех измеримых множеств на прямой.
46
Аналогичное обстоятельство имеет место для плоской меры (по отношению
к измеримым множествам на плоскости) и для объемной меры (по отношению
к измеримым множествам в пространстве).
2) Если А и В — два измеримых множества такие, что А гэ В, то тА>тВ.
3) Если А о В — два измеримых множества, причем тВ < ж, то т(А'\В') =
=т.А — тВ.
4) Если Е1Т .— измеримые множества (может быть, даже пересекаю-
щиеся), то мера суммы этих множеств не превосходит суммы их мер: m(UEn) <.2тЕп
п п
(предполагается, что число слагаемых множеств конечно или счетно).
5) Измеримое множество Е имеет меру нуль тогда и только тогда, когда
оно является нуль-множеством.
6) Для любого измеримого множества Е и любого числа е > 0 существует
такое замкнутое множество F, включающееся в Е, что m(E\F)<s.
7) Мера всякого измеримого множества Е является верхней гранью мер
замкнутых множеств, включающихся в Е, и нижней гранью мер открытых мно-
жеств, включающих Е:
mF= sup mF=inf mG.
FCE G^)E
8) Мера измеримого множества сохраняется при его конгруэнтном переносе.
9) Если Е±се E^cz. Escz ... — возрастающая последовательность измери-
мых множеств, то мера суммы этих множеств равна пределу мер Еп при н->со:
т (7ЛЕп)=Ит тЕп.
п
10) Если EtZ> E2Z> E3z> • - .— убывающая последовательность измеримых
множеств, причем тЕ^-соо, то мера пересечения этих множеств равна пределу
мер Еп при п -> оо:
ггг(П Еп)=ИттЕп.
п П-+О0
ЗАДАЧИ
320. Доказать, что всякое множество Е, расположенное на оси
Ох (даже если оно является неизмеримым множеством на пря-
мой), измеримо на плоскости Оху и его плоская мера равна нулю.
321. Доказать, что совокупность всех измеримых множеств
на прямой (а также на плоскости) имеет мощность 2е (гиперконти-
нуум).
322. Построить на отрезке [0; 1] совершенное нигде неплотное
множество, линейная мера которого равна 0,9.
323. Построить на отрезке [0; I] совершенное нигде неплотное
множество заданной меры а (где 0 а < 1).
324. Можно ли построить на отрезке [0; 1] совершенное нигде
не плотное множество меры 1?
325. Построить на квадрате [0; 1]хЮ; 1] совершенное нигде
не плотное множество, плоская мера которого равна заданному не-
отрицательному числу а (0< а ).
326. Какова плоская мера множества, построенного в задаче
316 («ковер берлинского»)?
327. Какова плоская мера множества, построенного в задаче 317
(«кладбище Серпинского»)?
47
bi— O-i I b;— Cl: \
длины ; такие же интервалы пг I длины ---------1 опишем около
каждой точки Ьг. Покроет ли множество ( U щ) U (U пг) всё множе-
I i
ство £? Что можно сказать о мере множества (U пг) U ( U п,-)?
i i
358. Обозначим через Е множество всех тех точек квадрата
[0; 11x10; 1], у которых обе координаты иррациональны. Построить
совершенное подмножество MczE так, чтобы плоская мера множе-
ства М была положительна.
359. Можно ли представить отрезок [0; 1] в виде суммы двух
непересекающихся измеримых множеств А и В так, чтобы для любо-
го интервала (о; b)c[0; 1] имело место: т{(а; Ь)Г)Л}>>0 и
т {(cz; Ь)П В}>0?
360. Может ли сумма счетной совокупности совершенных нигде
не плотных множеств на отрезке [а; Ь] иметь меру, равную b — а?
361. Может ли сумма счетной совокупности совершенных нигде
не плотных попарно непересекающихся множеств на отрезке [а; Ь]
иметь меру, равную b — а?
362. Существует ли несчетное множество меры нуль, плотное
на сегменте Ю; 11?
363. Пусть Е±, Е2, .. .•— последовательность измеримых множеств
на отрезке [0; 1], обладающая тем свойством, что для любого е^> 0
найдется такое множество Ek из этой последовательности, что
mEk > 1 — в. Доказать, что мера суммы этих множеств равна 1.
364. На отрезке [0; 1] заданы два измеримых множества Аг и
Аг таких, что mA1-j-mA2^> 1. Доказать, что пересечение ДпА
имеет положительную меру.
365. На отрезке [0; 1] заданы п измеримых множеств Аг,
А2,_____, Ап таких, что сумма их мер больше, чем п — 1:
тЛ1+тпЛ8+ ••• +тЛ„>»п—1.
п
Доказать, что пересечение П Лг- имеет положительную меру.
/=!
366. Пусть Е — неизмеримое множество на прямой, а А — мно-
жество меры нуль, расположенное на той же прямой. Доказать,
что множество Е Г) С А неизмеримо.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА 8
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
Если каждой точке х множества R поставлена в соответствие по определен-
ному закону некоторая вполне определенная точка у множества L, то говорят,
что задано отображение R в L; это отображение называется также функцией,
преобразующей R в L. При этом R называется областью определения функции
или множеством определения функции.
Обозначим через f (х) какую-либо функцию, определенную в R и принимаю-
щую значения в L. Пусть AczR. Тогда через / (А) обозначается множество всех
тех и только тех у Q L, которые являются значениями функции / (х) хотя бы
для одного xGA Множество f (А) называется образом множества А. В частно-
сти, образ всей области определения (т. е. множество f(R)czL) называется об-
ластью значений или множеством значений функции f(x).
Пусть В — какое-либо подмножество множества f(R)- Обозначим через f—1 (В)
множество тех и только тех точек х из R, для которых значения функции
включаются в В. Множество f—1(В) называется прообразом множества В.
ЗАДАЧИ
367. Пусть А — произвольное множество из области определения
функции Дх). Верно ли равенство /—|[/(Л)1=А?
368. Пусть В — произвольное множество из области значений
функции Дх). Верно ли равенство: Д/-1(В)]=В?
369. Верны ли утверждения:
длив)=дл) и дву,
ДЛвВ)=ДЛ) В дв)?
Если какое-либо из этих утверждений неверно, то привести проти-
воречащий пример.
370. Доказать, что если y=f(x) является взаимнооднозначным
отображением множества R в множество f(R), то для любой после-
довательности множеств Лъ Л2, Л3, .... Лй ... (ЛАс:Т?) справед-
ливы равенства:
ДиЛй)=иДЛй),
k k
ДпЛ)=пДЛА),
k k
/(lira ЛА)=1пп ДЛД
ДНт Лл)=1пп ДЛД
51
371. Какие из равенств, рассмотренных в предыдущей задаче,
перестают быть верными, если отображение y=f(x) не является
взаимно однозначным?
372. Верно ли, что f(R\A)=f(R)\f 0), где R — область опре-
деления функции?
373. Пусть А и В — два множества из области значений функ-
ции y=f(x). Верны ли равенства:
Г1 (A(yB)—f-1(A)nf~1(B),
f-\A\J B)=f~\A)\J f-\B?)
374. Пусть L — область значений функции y=f(x), а Дс£.
Справедливо ли равенство: /:-1(£\Л)=/~1(£)\/~1(Л)?
375. Пусть y=f(x) — какая-либо функция, а множества Alt
А2, ..., А,.,... являются подмножествами ее области значений.
Верны ли равенства:
/-1 (и А)= и Н (4), f~4 n 4)= п m
k k k 1г
/^(Пт 4)=1im f-1 (Ak), f-1 (lim 4)=lim/-1 (4)?
ГЛАВ A 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть функция y=f(x), заданная в евклидовом пространстве, принимает
числовые значения (иными словами, областью определения функции f (х) является
какое-либо множество А, расположенное в евклидовом пространстве Нп, а обла-
стью значений — некоторое множество вещественных чисел).
Пусть Е — произвольное множество, расположенное в том же пространстве Нп.
Дадим определение непрерывности функции в точке х0 относительно мно-
жества Е.
Определение 1 (Коши). Функция f(x), определенная на множест-
ве А, называется непрерывной в точке х^ относительно множества Е, если
выполнены два условия:
1) «о б А П Е-,
2) для любого в>0 существует такая окрестность U (х0) точки х0, что
для всех х£ Л [].£("] б'Ни) имеет место неравенство
\f(x) — f (х0)\<е,.
Отсюда, в частности, следует, что если х0 является изолированной точкой
области определения функции f (х), то эта функция непрерывна в точке х0 от-
носительно любого множества Е, содержащего точку х0.
Из определения 1 следует также, что если х0 является изолированной точкой
множества Е, то любая функция f (х), определенная в точке х0, непрерывна в этой
точке относительно Е.
Если функция f (х) непрерывна в точке х0 относительно некоторой ее окре-
стности, то она называется полностью непрерывной в точке х0. В тех случаях,
52
когда это не будет приводить к неясности, мы будем опускать слово «полностью»,, i
и будем называть функцию, полностью непрерывную в точке х,„ просто непре-
рывной в этой точке.
Ясно, что если функция полностью непрерывна в точке х(|, то она непрерыв-
на в этой точке также относительно любого множества Е, содержащего точ-
ку х0.
Примеры. 1) Функция у=х3, определенная всюду на Hi, непрерывна в каж-
дой точке xtlQH,.
2) Функция Дирихле
{1 при х рациональном,
О при х иррациональном,
определенная всюду на Hlf непрерывна в точке х0=]/< 2 относительно множе-
ства всех иррациональных чисел; однако она не является полностью непрерыв-
ной в этой точке.
3) Функция
| 10, если х2+у° < 1,
j 5, если х24-у2 > 1,
(УТ УТ А
непрерывна в точке Л4о у-------» ------ I относительно замкнутого единичного
круга Е с центром в начале координат; однако она не является полностью не-
прерывной в этой точке. Та же функция полностью непрерывна в любой точке-
М, (х1? ух), лежащей внутри круга £; следовательно, она непрерывна в точке Л41
также относительно какого угодно множества, содержащего точку М,-
Для функций одного переменного (т. е. функций, область определения ко-
торых лежит на прямой HY) можно говорить также об односторонней непрерыв-
ности.
Функция /(х), определенная на числовой прямой или на ее части, назы-
вается непрерывной справа в точке х(), если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента [х0; Ь), где b > х0; эта функция
называется непрерывной слева в точке х0, если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента (а; х0], где а < х0.
Легко видеть, что если функция непрерывна в точке х0 справа и слева, то
она полностью непрерывна в этой точке.
Дадим теперь другое определение непрерывности функции, эквивалентное
определению Коши.
Определение 2 (Гейне). Функция f(х), определенная на множест-
ве А, называется непрерывной в точке х0 относительно множества Е, если
выполнены два условия:
1) х0£ДГ)£;
2) для любой последовательности точек {хд.} из А П Е, сходящейся к хэ
(т. е. такой., что 1пи q (х/£, х0)=О) имеет место равенство
/г--со
lira f (xfe)=f (х0).
Колебание функции на множестве и в точке. Пусть функция f(x) опреде-
лена на множестве А. Колебанием функции f (х) на этом множестве называет-
ся разность между верхней и нижней гранями этой функции на множестве А:
<о f (х) =sup f (х) — inf f (х).
А А А
Заметим, что мы не требуем, чтобы функция / (х) была ограничена на множе-
стве А. Поэтому sup f (х) может равняться либо конечному числу (если f (х)
А
ограничена сверху на множестве А), либо -|-оо (если эта функция неограничена
53
сверху на Д). Точно так же и inf f (х) может равняться либо конечному числу,
А
либо —оо. Следовательно,
О < о f (х)< + оо.
А
Если ЛхСДз, то sup f (х) < sup f (х); inf f(x) > inf f (x). Поэтому о f (х)<и f (x).
^2 *^1 ^2 *^1 *^2
Пусть функция f (x) определена на множестве А, расположенном в евкли-
довом пространстве; пусть Е — какое угодно множество, лежащее в том же про-
странстве, и пусть хаСЛГ]Е. Колебанием функции f (х) в точке х0 относи-
тельно множества Е (обозначается со [f (х), х0, £]) называется предел, к ко-
торому стремится колебание этой функции на множестве E()V ьп(хй) при
•ё,г->0 (здесь У6 (х0)—окрестность точки х0 радиуса 6„).Этот предел (конечный
или равный +°°) всегда существует и не зависит от выбора последовательности
окрестностей {V6 (х0)} (лишь бы радиусы этих окрестностей стремились к нулю
при п со). Итак*
со[/(х), х0, £']=lim a f(x).
V*0 EClv6 (*.)
С помощью понятия колебания функции в точке можно дать третье определе-
ние непрерывности функции, эквивалентное первым двум.
Определение 3 (Бэр). Функция f (х), определенная на множест-
ве А, называется непрерывной в точке х(1 относительно множества Е, если
х0£А()Е, и колебание функции в этой, точке относительно множества Е рав-
но нулю-.
«[/(«), х0, £|=0.
Точки разрыва. Пусть функция f (х) определена на множестве Е(ЕсНп);
точкой разрыва называется всякая точка из Е, в которой колебание функции
(относительно множества Е) не равно нулю; кроме того, к точкам разрыва мы
причисляем любую предельную точку области определения, не входящую в об-
ласть определения функции.
Пример. Функция z/=sgnx (читается «сигнум икс»), определенная равен-
ствами: sgn х = 1 при х > 0, sgn х = — 1 при х<0, sgn 0 = 0 — разрывна в
точке х0 = 0.
Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если можно так изменить
значение функции только в этой точке (или доопределить функцию в этой точке,
если она в ней не определена), чтобы функция стала непрерывной в точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке. 1) Если ф (х) и ф (х) непрерывны
в точке х0 относительно множества Е, то сумма и произведение этих функций
также непрерывны в этой точке относительно Е.
2) Если <р (х) и ф (х) непрерывны в точке х0 относительно Е, причем
<Р(х)
Ф(Х)
ф (х0) 0, то функция
но Е.
также непрерывна в этой точке относитель-
3) Пусть функция у=ф(х) непрерывна в точке х0 относительно множества
Е (расположенного в пространстве Нп), причем ф (х|,)=у0; пусть, кроме того,
функция одного переменного г=ф (у) непрерывна в точке у0 относительно
некоторого множества F на оси Оу. Тогда суперпозиция этих функций,
т. е. сложная функция а=ф гф (х)], непрерывна в точке х0 относительно множе-
ства ЕПф-1 (F).
* Если, говоря о колебании функции f (х) в точке х0, мы не указываем,
относительно какого множества Е рассматривается это колебание, то подразу-
мевается, что речь идет о колебании в точке хй относительно некоторой окре-
стности этой точки. В этом случае колебание функции f (х) в точке х0 обозна-
чается так: a(f(x), х0).
54
4) Если функция f(x) определена на множестве А и непрерывна в точке х0
относительно Е, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (точнее
говоря, на пересечении множества А f) Е с некоторой окрестностью точки хс).
5) Если функция f(x) определена на множестве А и непрерывна в точке х0
относительно множества Е, причем f (х0) '> 0, то существует такая окрестность Е(х0)
точки хп, что f (х) > 0 для всех х £ А П Е V (х0); аналогичное утверждение
справедливо и тогда, когда f (х0) < 0. Коротко это выражают словами: «Непре-
рывная в точке х0 функция сохраняет свой знак в некоторой окрестности этой
точки».
Ясно, что формулировки всех этих свойств упрощаются, если функции, о ко-
торых идет речь, полностью непрерывны в соответствующих точках.
Укажем на еще одно очевидное свойство.
6) Пусть функция f (х) определена на Е, Etc:E. Если в некоторой точке
хв^Е1 функция f (х) непрерывна относительно Е, то в этой же точке она не-
прерывна и относительно Et.
Заметим, однако, что обратное утверждение неверно: функция может ока-
заться непрерывной в точке х0 относительно Et (где E^czE), но не быть не-
прерывной в этой точке относительно всего множества Е.
Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве.
Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве Е.
Если она непрерывна во всех точках множества Е относительно этого мно-
жества, то она называется непрерывной на Е.
Мы рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на замкнутом
ограниченном множестве евклидова пространства.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве Е, то она ограничена на нем (т. е. существует такое число С > 0,
что | f (х) | < С для всех х^Е).
Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве Е, то она достигает своей верхней и своей нижней грани на этом
множестве, т. е. существуют такие точки хгГ/:, х.2Г/:, что
f(x1) = sup 7(х); /(х2) = М f(x).
xsE ’ хеЕ
Для того чтобы сформулировать теорему 3, дадим определение равномерно
непрерывной функции.
Функция f (х), определенная на множестве Е, называется равномерно не-
прерывной на Е, если для любого е>0 существует б>0 такое, что для всяких
х' ( Е и х" £ Е таких, что р (х', х") < 6, выполнено неравенство:
\f(x')-f(x"}\<a
Легко видеть, что если f (х) равномерно непрерывна на Е, то она непре-
рывна на множестве Е; обратное угверждение, вообще говоря, неверно; однако,,
если Е — замкнутое ограниченное множество, то справедлива и обратная теоре-
ма (теорема 3).
Теорема 3. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном мно-
жестве Е, то она равномерно непрерывна на нем.
Множество точек разрыва. Пусть функция f (х) определена на замкнутом
множестве Е. В этом случае все точки разрыва (если они есть) принадлежат
множеству Е. Имеет место следующее утверждение:
Множество В всех точек разрыва функции, определенной на замкнутом
множестве, является множеством типа Fo
Отсюда легко вытекает, что множество точек непрерывности функции, за-
данной на замкнутом множестве, является множеством типа G6
Характеристическая функция. Пусть Е — произвольное множество, лежащее
в евклидовом пространстве. Характеристической функцией этого множества назы-
вается функция, задаваемая следующими равенствами:
Х£(х)= 1 при х££; (х)=0 при х(;Е
55
Так, например, функция Дирихле, равная 1 для всех рациональных чисел
и 0 для всех иррациональных чисел, является характеристической функцией
множества рациональных чисел на прямой.
Непрерывные функции одного переменного. Пусть у=f (х) функция, об-
ластью определения которой является множество Е, совпадающее с числовой
прямой или являющееся ее частью. Тогда мы говорим, что f (х) является функ-
цией одного вещественного переменного. Для непрерывных функций одного
вещественного переменного справедливы, разумеется, все теоремы, сформулиро-
ванные выше для функций, определенных в евклидовом пространстве; однако,
кроме того, функции одного переменного обладают также некоторыми своими
специфическими свойствами. Сформулируем их.
Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(х) непре-
рывна на сегменте [а; 6], то для любого е>0 существует такой многочлен
Р(х), что для всех xQ[a; 6] справедливо неравенство'.
| f (х) - Р (х) |<е.
Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна
на сегменте |0; 2л], причем f (0)=/(2л), то для любого е>0 существует такой
тригонометрический многочлен Т (х):
а0 п
Т(х)=——[-V (a* cos kx-\-bk sinAx),
2
k=l
что для всех х £ [0; 2л] выполнено неравенство'.
\f(x)—T (х) |<е.
Теорема 3. Если f (х) непрерывна на ]а; 6], причем /(а) = Л; f(b)=B,
и если С — какое-либо число, заключенное между А и В, то существует такая
точка с £ 1а; й], что f(c)=C.
Пусть функция Дх) задана на всей прямой или на некотором ее отрезке.
Точка разрыва х(1 функции f (х) называется точкой разрыва 1-го рода, если су-
ществуют оба односторонних предела при х -> х0:
lim /(х) и lim / (х),
—0 х->хе~рО
и они оба конечны. Если же хотя бы один из этих пределов не существует или
существует, но равен бесконечности, то говорят, что х0 является точкой разрыва
2-го рода
Производная. Для функций одного переменного можно определить произ-
водную в точке х:
........ f(x+h)-f(x)
f (x) = lim----—---------;
/i-»o h
доказывается, что если производная в точке х существует, то функция f (х) не
прерывна в этой точке; обратное утверждение неверно: функция может быть
непрерывной в точке х, но не иметь в этой точке производной. Более того,
как показал Вейерштрасс, существуют функции, непрерывные на fa; 6], но
не имеющие производной ни в одной точке сегмента [а; 6].
Если производная функции f(x), заданной на сегмевте fa; &], существует
всюду иа этом сегменте*, то говорят, что функция f (х) имеет точную производ-
* При этом предполагается, что в точке а функция имеет правую производную
f (a-f-h) — f (а) \
т. е. lim -------------------I, в точке b — левую.
Л ->4-о h )
56
ную на fa, Ь]. В этом случае функцию f'(x) называют точной производной (она
определена всюду на fa; 6]). Если функция имеет точную производную на [а; 6],
то эта точная производная сама не обязана быть непрерывной функцией.
Например, функция
/(Х) =
X2 sin-- При х ^0,
X
О при х=0
имеет производную всюду на (—ос; +со); однако эта производная разрывна,
в точке х=0. Эга производная может быть задана следующими равенствами:
Г W =
2х sin — — cos — при х ф О,
х х
О при х=0.
Однако точная производная не может иметь разрывов 1-го рода (следовательно,
она в каждой точке отрезка [а; Ь] либо непрерывна, либо имеет разрыв 2-го-
рода) Эго вытекает из следующего свойства точных производных:
Теорема Дарбу. Если функция f (х) имеет точную производную на
fa; 6], причем f(a)=A, f'(b)=B, то длялюбого С, заключенного между А и В,
существует такая точка с £ fa; 6], что f (с)=С.
ЗАДАЧИ
376. Доказать, что непрерывным образом всякого замкнутого
ограниченного множества является замкнутое ограниченное множе-
ство.
Примечание. Если функция /(х) определена и непрерывна
на Е, то /(Е) называется непрерывным образом множества Е.
377. Показать на примере, что непрерывный образ замкнутого
неограниченного множества не обязательно является замкнутым-
множеством.
378. Доказать, что непрерывным образом замкнутого множест-
ва является множество типа Fa.
379. Доказать, что непрерывным образом открытого множества
является множество типа Fo; показать на примере, что непрерыв-
ный образ открытого множества не обязан быть открытым множе-
ством.
380. Пусть y=f(x)— непрерывная функция, определенная на
всей числовой прямой, а F — произвольное замкнутое множество
на оси Оу. Доказать, что множество /~1 (Z7) замкнуто.
381. Пусть y=f(x)— непрерывная функция, определенная на
всей числовой прямой, а G—произвольное открытое множество на
оси Оу. Доказать, что множество *(6) открыто.
382. Доказать, что если А — множество типа Ео, а В — мно-
жество типа G6 (оба на оси Оу) и если функция y=f(x) непрерыв-
на на всей числовой прямой (— оо; -f-co), то /^(Л) — множество
типа Fe , а (В) — множество типа Go .
57
383. Может ли прообраз замкнутого ограниченного множества
при непрерывном отображении быть неограниченным?
384. Доказать, что функция y=f(x), определенная на всей чис-
ловой прямой, непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы
всех интервалов а у <Z Ь являются открытыми множествами.
385. Доказать, что если функция y—f(x) определена на всей
числовой прямой и если прообразы всех множеств у а и всех
множеств у > а замкнуты (при любом а), то функция f (х) непре-
рывна во всех точках оси Ох.
386. Пусть функция, определенная на всей числовой прямой,
принимает только целые значения. Доказать, что множество точек
непрерывности такой функции является открытым множеством, а
множество точек разрыва замкнуто.
387. Доказать, что если f(x) — непрерывная на сегменте [а; Ь]
функция, то сумма множества Et II Elo U £io* U U Bi ок U •••
замкнута (здесь Еп— множество всех тех точек сегмента [а; Ь],
где п</(х)<и+1).
388. Говорят, что функция /(х), определенная на [а; Ь], обла-
дает свойством Дарбу на отрезке [а; Ы, если для любых двух
точек на этом отрезке xt и х2(х1<х2) и Для любого числа С,
лежащего между f (xj и f (х3), найдется точка S (xi < S < ха)
такая, что /(t)=C. Является ли выполнение свойства Дарбу доста-
точным условием для непрерывности функции f (х) на отрезке
[а; Ы?
389. Является ли достаточным условием непрерывности функ-
ции /(х) из [а; Ы одновременное выполнение свойства Дарбу и
следующего свойства: для любого у0 множество тех точек х отрез-
ка La; Ы, где /(х)=у0, замкнуто.
390. Пусть Е — произвольное счетное множество точек х отрезка
la; Ы- Построить функцию, разрывную во всех точках множества
Е и непрерывную в остальных точках отрезка [а; Ь].
391. Пусть <р(х) — функция, заданная всюду на числовой пря-
мой, ограниченная на ней и непрерывная во всех точках, кроме
точки х=0; пусть — числовой сходящийся ряд с положитель-
п
ными членами, а множество {хп} — счетное всюду плотное множе-
ство точек на прямой. Найти множество точек разрыва и множест-
во точек непрерывности функции
/(х)= Vaft<p(x —хй).
fe=i
392. Доказать, что функция, определенная на всей прямой, не
может быть непрерывной на счетном всюду плотном множестве Е
и разрывной в остальных точках прямой.
393. Построить функцию, определенную во всех точках число-
вой прямой, разрывную всюду, кроме точек х—1 и х=—1, и не-
прерывную в этих точках.
58
394. Построить функцию, разрывную во всех точках числовой
прямой, кроме точек х—0; ±1; ±2; ...
395. Каковы точки разрыва у функции, равной 1 в точках кан-
торова множества и равной 2 во всех остальных точках числовой
прямой. Будут ли эти точки разрыва первого или второго рода?
396. Построить функцию, определенную на сегменте [0; 3], раз-
рывную в каждой точке, изображаемой конечной десятичной дро-
бью, и непрерывную в точках, которые не могут быть изображены
с помощью конечной десятичной дроби.
397. Найти точки разрыва и точки непрерывности функции /(х),
определенной на сегменте [0; 1] равенствами:
/(х)=0 в точках канторова множества,
/(х)=1 в серединах смежных интервалов,
f(x) линейна на участках — у—1 и Ьп , где
(ап, Ьп) — смежный интервал.
398. Исследовать на непрерывность функцию, заданную на сег-
менте [0; 1] следующими равенствами:
f(x)=0 в точках канторова множества,
Дх)= сп в середине n-го смежного интервала,
f(x) линейна на участках Га„, 0,1
b J. Предполага-
ется, что смежные интервалы канторова множества перенумеро-
/1 2 \
ваны в порядке убывания их длин: (ах; Ьх) = |—; — ]; (а2; Ь2)=
/1 2\ . /7 8\ . /1 2\ . /7 8\
= —; (С-ь Ьа)= —; — ; (с4; Ь4) = —; — ; (а-; Ь-)= —; - ; ...
\9 9/ V V8 9/ \27 27/ v 3 э' (,27 27/
Рассмотреть случаи: а) последовательность }с„) такова, что
lim сп = 0; б) limc„=#0; в) последовательность {с,,} не имеет предела.
399. Построить функцию, непрерывную во всех иррациональных
точках отрезка [0; 1] и разрывную во всех рациональных точках.
400. Существует ли функция, непрерывная во всех рациональ-
ных точках отрезка [0; 11 и разрывная во всех иррациональных
точках?
401. Построить функцию, непрерывную во всех точках канторо-
ва множества и разрывную во всех точках смежных интервалов.
402. Построить функцию, непрерывную во всех точках интер-
валов, смежных к канторову множеству, и разрывную всюду на
канторовом множестве.
403. Исследовать функцию, равную х2 в рациональных точках
числовой прямой и —х2 в иррациональных точках.
404. Функция / (х) определена следующим образом: она равна
нулю во всех точках некоторого совершенного, нигде не плотного
59
'множества на прямой; на каждом смежном интервале ее графиком
является полуокружность, диаметром которой служит этот смеж-
ный интервал (причал у > 0). В каких точках эта функция непре-
рывна?
405. Доказать, что для любой функции, определенной на мно-
жестве А, имеет место равенство:
®/М = sup |/(0 —/(«)!•
л tc/l; цел
406. Доказать, что если функция /(х), определенная на мно-
жестве Е, непрерывна в точке х0^Д, то и функция |/(х), непре-
рывна в этой точке.
497. Привести пример функции f(x) такой, что f(x) разрывна
во всех точках отрезка [0; 1], а | f (х) | — непрерывная на [0; 1]
функция.
408. Функция /(х) определена на числовой прямой следующим
образом:
/(х)=0 в иррациональных точках;
(—IV'
f(x)=-—— в рациональных точках, представимых в виде несо-
ч
кратимой дроби —#=0 (где д^> 0);
Ч
/(х)=1 при х=0.
Найти все ее точки разрыва и точки непрерывности.
409. Пусть Е — произвольное заданное множество типа Fo на
•числовой прямой. Построить функцию /(х), разрывную во всех
точках множества Е и непрерывную в остальных точках оси Ох.
410. Построить функцию f(x, у), разрывную во всех точках
квадрата [0; 1]х[0; 1], но непрерывную, как функция одного пе-
ременного х, при любом постоянном у£ [0; 11.
411. Функция двух переменных /(х, у) определена на квадрате
Ю; 11х(0; 11 следующим образом: в точках, где обе координаты
иррациональны или обе рациональны, /(х, у)=0; кроме того,
f (х, у)=0 там, где х=0 или у=0; в точках, где абсцисса равна
рациональному числу — > 0 (несократимая дробь; д > 0), а орди-
ч
ната иррациональна, /(х, у)=—; в точках, где абсцисса иррацио-
ч
нальна, а ордината равна — >0 (д>0), / (х, у)=------. В каких
ч ч
точках эта функция разрывна и где она непрерывна?
412. Являются ли равномерно непрерывными следующие функ-
ции: 1) y=sin— на интервале (0; 1); 2) y=xsin— на интервале
X X
.(0; 1); 3) у=3х на всей числовой прямой; 4) у=х2 на всей число-
вой прямой; а) у=---- на луче (О; -цсс)?
>60
413. Доказать, что если функция равномерно непрерывна на
ограниченном множестве Е, то она ограничена на Е.
414. Пусть f(x) и g(x)— функции, равномерно непрерывные на
Е. Является ли их сумма равномерно непрерывной на Е функ-
цией?
415. Пусть f(x) и g(x)— функции, равномерно непрерывные
на Е. Является ли их произведение равномерно непрерывной на Е
функцией? Является ли это произведение равномерно непрерывной
на Е функцией, если Е — ограниченное множество?
416. Доказать, что если функция /(х) определена и непрерыв-
на на луче 0<Сх<^4~оо и lim /(х) существует, то она равно-
мерно непрерывна на этом луче.
417. Верно ли, что функция f(x), непрерывная и ограни-
ченная на луче 0<х<^-фоо, равномерно непрерывна на этом
луче?
418. Является ли функция /(х), построенная в задаче 397, не-
прерывной на множестве Е, где Е — дополнение к канторову мно-
жеству до всего отрезка [0; 1]? Является ли эта функция равно-
мерно непрерывной на Е?
419. Зададим /(х) на [0; 1] следующим образом: /(х)=0 всю-
ду на канторовом множестве D; /(х)=у на смежном интервале
первого ранга, т. е. на
/1 2\ /7 8\ ,
лах второго ранга, т. е. на —; —1 и —; —I; вообще,
\ 9 9/ \9 9 /
на всех смежных интервалах /е-го ранга. Найти все точки
интерва-
разрыва
функции / (х).
Является ли эта функция равномерно непрерывной на множе-
стве CD (дополнение к канторову множеству до всего отрезка
10; 11)?
420. Доказать, что если функция y=f(x) равномерно непрерыв-
на на ограниченном множестве Е числовой прямой, то она может
быть продолжена на всю прямую с сохранением непрерывности
(т. е. существует непрерывная функция <р(х), определенная на всей
прямой, и такая, что <р(х)=/(х) всюду на Е).
421. Привести пример функции f(x), которая непрерывна и
ограничена на ограниченном множестве Е, но которую нельзя
продолжить на всю числовую прямую с сохранением непрерыв-
ности.
422. Доказать, что если функция /(х) непрерывна, но не рав-
номерно непрерывна на ограниченном множестве Е, то она не мо-
жет быть продолжена на всю числовую прямую с сохранением не-
прерывности.
423. Пусть f (х) — функция, равномерно непрерывная на всей
числовой прямой. Доказать, что существуют два неотрицательных
61
числа А и В такие, что |Дх)| < А |х|4-£> для всех х, —оо<;х<;
424. Пусть %Е (х) — характеристическая функция множества Е.
Доказать, что для любых множеств Е, Elf Е2 имеют место равен-
ства
Хе1л£.(х) = Хе,(х) Хе2 (х).
Хе, и е2 (х) г %F1 (x)+xe-2 (х) — Хе, (х) Хе2 (х),
Хсе(х) = 1 — Хе(х)-
425. Пусть М=Е1П ...ПЕп, A?=£XU ...\jEn. Выразить %м(х)
и Xw(x) через Хе,(х), -.Хе„(х).
426. Доказать, что характеристическая функция любого множе-
ства Е разрывна в граничных точках этого множества и непрерывна
во всех остальных точках числовой прямой.
427. Доказать, что если <р (х) и ф (х) непрерывны на [а; Ь],
то функция F(x)=max {<р(х); ф(х)} также непрерывна на [а; Ь].
428. Доказать, что если Дх)— непрерывная функция на чис-
ловой прямой, то функция
(Дх). если —а<;Дх)<^а,
а, если Дх)>а,
—а, если 1 (х) <1 —а
также непрерывна всюду на числовой прямой. Здесь а — заданное
положительное число.
429. Пусть функция Дх) определена всюду на числовой пря-
мой. Доказать: для того чтобы Дх) была непрерывна во всех точ-
ках, необходимо и достаточно, чтобы при любом а^>0 функция
[Дх)]"а была непрерывна во всех точках.
430. Построить пример функции Дх), заданной на [0; 1], у ко-
торой как множество точек непрерывности, так и множество точек
разрыва всюду плотны на [0; 1] и имеют мощность континуума в
любом интервале (а, р)с:[О; 1].
431. Зададим функцию /(х, у) на квадрате [0; 1]хЮ; 1] сле-
дующим образом:
Дх, у)=0 в точках множества А (где Л — «ковер Серпинского»,
см. задачу 316);
f(x, у)=1 в центрах всех выбрасываемых квадратов;
Дх, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на кото-
рые делится диагоналями всякий выбрасываемый квадрат.
Является ли функция f (х, у) непрерывной в квадрате
[0; 11х(0; 11? Является ли она непрерывной на множестве
£={[0; 1]х[0; П}\Л? Является ли она равномерно непрерывной
на £?
432. Зададим функцию Дх, у) на квадрате (0; Пх[0; 1]:
Дх, у)=0 в точках множества А (где А — «ковер Серпин-
ского»);
62
f(x, у)— — в центрах всех квадратов, выбрасываемых на п-ом
п
шаге;
f(x, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на ко-
торые делится всякий выбрасываемый квадрат своими диагоналями.
Является ли функция f(x, у) непрерывной в квадрате
[0; 1]х[0; 1]? На множестве Е={[0; 11х[0; 11}\Л? Является ли
она равномерно непрерывной в квадрате? На множестве £?
433. Функция z—-^— непрерывна в открытом
х2+у2
множестве
0 <.' х2+у2 < 4 (открытый круг с выколотым центром); является
ли эта функция равномерно непрерывной в указанном множестве?
Является ли она равномерно непрерывной в открытом кольце
1 < х2+у2 <Z 4?
434. Построить функцию, имеющую производную во всех точ-
ках оси Ох, причем эта производная разрывна в начале координат
и неограничена в любой окрестности начала координат.
435. Построить на отрезке [0; 1] функцию, имеющую производ-
ную во всех точках, причем эта производная разрывна на заданном
непустом совершенном нигде не плотном множестве.
436. Построить на отрезке [0; 1] функцию, имеющую производ-
ную во всех точках, причем эта производная неограничена в любой
окрестности любой точки некоторого множества положительной
меры.
437. Существует ли функция /(х), производная от которой
существует во всех точках и совпадает с функцией Дирихле
(т. е. f (х)=1 в рациональных точках, f (х)=0 в иррациональных
точках)?
438. Функция /(х) имеет производную во всех точках числовой
прямой. Может ли производная f (х) быть разрывной и монотон-
ной?
439. Пусть во всех точках отрезка 1а; Ы существуют и правая,
и левая производные функции f(x). Верно ли, что /жв(х) принима-
ет все промежуточные значения (т. е. обладает свойством Дарбу)?
440. Построить непрерывную на всей прямой функцию, имею-
щую производную во всех точках, кроме точек заданного счетного
ограниченного множества Е (в которых производная не существует).
441. Пусть А — произвольное непустое множество на прямой
Является ли функция р(х, Л) непрерывной функцией от х?
442. На прямой даны два непересекающихся замкнутых множе-
ства Е и F. Построить непрерывную на всей прямой функцию f (х),
равную 1 во всех точках множества Е, и 0 во всех точках мно-
жества F.
443. На прямой даны п попарно не пересекающихся замкнутых
множеств Е±, Е,2, ..., Е„; построить функцию /(х), непрерывную
всюду на прямой и такую, что для любого k, 1 k п имеет
место: f(x)=pk при х£Ек (где pv р.2, ..., рп — заданные числа).
63
444. На прямой дана счетная совокупность попарно не пересе-
кающихся замкнутых множеств Ek, причем ни одно из этих мно-
жеств не включает точек прикосновения суммы всех остальных
множеств. Построить функцию f(x), непрерывную всюду на пря-
мой и такую, что для любого натурального числа k имеет место
f(x)~pk при xQEk (где pk— заданные числа, такие, что ряд ^_pk
k
абсолютно сходится).
445. На прямой дана счетная совокупность попарно не пересе-
кающихся замкнутых множеств Ek, причем Ег содержит точки при-
косновения суммы остальных множеств. Пусть — абсолютно
k
сходящийся ряд, в котором все p*¥=0. Доказать, что не существует
функции f(x), непрерывной на всей прямой и такой, что f(x)=pk
при x^Ek для любого натурального числа k.
446. Сформулировать и решить задачи 441—445, если в их ус-
ловии считать, что множества А, Е, F, Ev ..., Еп,____заданы не
на прямой, а в произвольном метрическом пространстве R (в част-
ности, на плоскости или в трехмерном евклидовом пространстве).
447. Построить функцию, определенную на всей прямой, не-
прерывную в точке х0 относительно канторова множества D, но не
являющуюся полностью непрерывной в этой точке.
448. Верно ли утверждение: «Если р(х) непрерывна в точке ха
относительно любого счетного множества, содержащего точку х0,
то она полностью непрерывна в этой точке»?
449. Пусть функция двух переменных f (х, у) определена в
точке Мо (х0; у0) и в некоторой ее окрестности. Верно ли утвержде-
ние: «Для того чтобы функция f(x, у) была полностью непрерывна
в точке Мо, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна
по любому лучу, исходящему из точки Мо»?
450. Пусть функция /(х, у, г) определена во всем трехмерном
пространстве Н3 и непрерывна в начале координат относительно
любой плоскости, проходящей через начало координат; можно ли
утверждать, что эта функция полностью непрерывна в начале ко-
ординат?
451. Пусть функция f(x, у) определена всюду на плоскости и
непрерывна в точке (0; 0) относительно любой архимедовой спира-
ли р=с (ф — а) (при любых значениях постоянных а У' 0 и а).
Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в
точке (0; 0)?
ГЛАВА 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
До сих пор (в 9-й главе) символом у=/(х) мы обозначали непрерывную
функцию, определенную в я-мерном евклидовом пространстве (или, в частности,
на числовой прямой) и принимающую числовые значения. Здесь мы дадим неко
торое обобщение этого понятия непрерывной функции.
64
Пусть y=f(x) — отображение некоторого множества Е евклидова пространства
Цп в евклидово пространство Нт. Это отображение называется непрерывным в
точке хй£Е относительно £, если для любого е > 0 найдется такая окрест-
ность V6 (х0), что для всех x^£f]V6 (х0) выполнено включение: f(x)£Vz (у0)
(где Уо = 1(хо)). Легко видеть, что многие свойства непрерывных функций име-
ют место и для непрерывных отображений:
1) Если Е— замкнутое, ограниченное множество, и отображение y=f(x)
непрерывно во всех точках множества Е относительно Е, то образ множества
Е (т. е. f(E)) ограничен в пространстве Нт.
2) Если отображение f (х) непрерывно на замкнутом ограниченном множе-
стве Е относительно £, то это отображение равномерно непрерывно* на Е.
Непрерывное отображение множества Е (Ес:Нп) на множество Е1 (fjC/y
может быть задано аналитически с помощью т непрерывных функций от п не-
зависимых переменных:
' У1=Ф1 (*1, х2, . . х„),
. У2=Ф2 (Х1, х2, , , Хп),
Ут=(Рт (xi> х2> • • •> хп)г
где xlf »2, •••> *п—числовые переменные (координаты точки х), а
у1г У...... — координаты точки у.
Рис. 2
Так, например, функции
У2=]/~ xi+x% =
arctg— при лу^О,
Xj
л
— при х,=0, х2>0,
Л
---— При Х1=0> х2<0
осуществляют непрерывное отображение полукольца Е плоскости OxjXg (рис. 2)
на прямоугольник Ег плоскости Оууу2.
* Отображение f(x), определенное на Ес.Е1п, называется равномерно не-
прерывным на Е. если для любого числа е > 0 существует 6>0 такое, что
для всяких х'С-Е и х"С-Е таких, что Q(x', х")<6, имеет место:
О (/ СИ. f(x"))<e.
5
Ю. С. Очаи
65
Кривая. Если Е — отрезок на числовой прямой, то непрерывный образ Е,
этого отрезка в евклидовом пространстве Нт называется кривой, расположен-
ной в Нт. Так, например, уравнения y1=cosx1, y2=sinxx отображают отрезок
на окружность единичного радиуса в плоскости Оу]у2.
Важным примером непрерывного отображения является отображение, зада-
ваемое с помощью кривой Пеано. Под этим подразумевается такое непрерывное
отображение Ух=<Р(О. У2=Ф(0. при котором образом отрезка Е
является замкнутый квадрат О^Ух^'1, 0^у2^1 на плоскости ОухУ2. Сущест-
вование такого непрерывного отображения было доказано Пеано в 1890 году
(пример такого непрерывного отображения приведен ниже, в задаче 465).
Проектирование. Рассмотрим еще один способ непрерывного отображения —
проектирование на ось множества, расположенного на плоскости.
Проекцией точки М £ Оху на ось Ох называется пересечение с осью Ох
прямой линии, проходящей через точку М под заданным углом а к оси Ох.
Проекцией множества ЕсОху на ось Ох называется множество проекций
всех точек множества Е на ось Ох; при этом проектирование всех точек мно-
жества Е проводится под одним и тем же углом а к оси Ох.
Проекция множества, проведенная под углом 90° к осн, называется орто-
гональной (или прямоугольной) проекцией.
Проекция множества, проведенная под углом, отличным от прямого, назы-
вается косоугольной проекцией.
Арифметическая сумма множеств. Для решения некоторых задач нам пона-
добится понятие арифметической суммы множеств.
Арифметической суммой двух множеств Е и F, расположенных на число-
вой прямой, называется множество всевозможных сумм вида х+у, где хС-Е,
y£F. Арифметическая сумма множеств Е и F обозначается ECy>F.
Так, например, арифметической суммой сегмента [1; 2] и интервала (4; 6)
является интервал (5; 8).
ЗАДАЧИ
452. Доказать, что непрерывным образом замкнутого ограни-
ченного множества является замкнутое ограниченное множество.
453. Пусть у=/(х)— непрерывное отображение евклидова про-
странства Нг в евклидово пространство Нт. Доказать, что прооб-
разом всякого замкнутого множества является замкнутое множе-
ство.
454. Доказать, что при тех же условиях прообразом всякого
открытого множества G пространства Нт является открытое мно-
жество.
455. Доказать, что если прообразы всех открытых кругов при
отображении y=f(x) пространства Нп на плоскость Н2 являются
открытыми множествами, то отображение y=f(x) является не-
прерывным.
456. Доказать, что если прообразы всех замкнутых множеств
при отображении y~f(x) пространства Нп на плоскость Н2 явля-
югся замкнутыми множествами, то отображение y=f(x) является
непрерывным.
457. Пусть f(x) — отображение множества Е<^Нп на множество
Ег~Нт. Доказать, что для непрерывности f(x) в точке х0£Е не-
обходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {х/,|
точек из множества Е, сходящейся к х0 (т. е. такой, что
66
в(хь *o)~*O при k—>00), имело место: Пш/(хЛ.)=/(х0) (т. е.
е(/(*Д /(хо)Н° при £->оо).
458. Пусть y=f(x) — взаимно однозначное непрерывное отобра-
жение множества Е на Ег Обязано ли обратное отображение мно-
жества Ех на Е быть непрерывным? Если да — доказать, если
нет — привести примеры.
459. Пусть y=f(x)— взаимно однозначное непрерывное отобра-
жение замкнутого ограниченного множества Е на множество Ev
Доказать, что обратное отображение множества Ех на Е непрерывно.
460. Пусть у.=/(х)— взаимно однозначное непрерывное отобра-
жение замкнутого неограниченного множества Е на Ех. Обязано
ли обратное отображение быть непрерывным? Если нет — привести
примеры.
461. Пусть у=/(х)— взаимно однозначное непрерывное отобра-
жение множества Е на ЕГ Доказать, что если Е не имеет изоли-
рованных точек, то Ех также не имеет изолированных точек.
Остается ли в силе это утверждение, если /(х) — непрерывное, но
не взаимно однозначное отображение?
462. Верно ли утверждение: «Если y—f(x)— непрерывное ото-
бражение множества Е на Ех и если Ех не имеет изолированных
точек, то Е также не имеет изолированных точек»? Будет ли вер-
ным аналогичное утверждение, если f(x) — непрерывное взаимно
однозначное отображение Е на Ех?
463. Пусть у=/(х) — непрерывное взаимно однозначное отобра-
жение Е на Ех; Е — замкнутое ограниченное множество в Нп.
Доказать, что если Ех не имеет изолированных точек, то и Е не
имеет их.
464. Доказать, что не существует взаимно однозначного непре-
рывного отображения сегмента [0; 1 ] на замкнутый квадрат
[0; 1]х[0; 1].
465. Пусть — непрерывное отображение отрезка [0; 1]
оси Ot на весь квадрат 10; IJxlO; 1] плоскости Оху («кривая Пеа-
но»). Это отображение осуществим следующим образом. Разделим
отрезок [0; 1] на четыре равных сегмента первого ранга, а задан-
ный квадрат — на четыре равных замкнутых квадрата первого ран-
га; сегменты первого ранга занумеруем слева направо, а квадраты
первого ранга — в том порядке, как указано на рисунке 3, а. Далее,
каждый сегмент первого ранга разбиваем на четыре равных сегмен-
та второго ранга, а каждый квадрат первого ранга — на четыре рав-
ных замкнутых квадрата второго ранга; получившиеся в результате
16 сегментов второго ранга нумеруем слева направо, а квадраты
второго ранга нумеруем так, чтобы два квадрата с соседними
номерами имели общую сторону (например, так, как по-
казано на рисунке 3, б). Далее, разбиваем каждый сегмент второго
Ранга на 4 сегмента третьего ранга и нумеруем все сегменты
5*
67
6 7 10 11
5 S 9 12
4 3 74 13
1 2 15 16
1235567 8910111213191516
L I I Г_1_ I 1 I I I I I I t I I 1
5
22 23 26 27 38 39 42 45
21 24 25 28 37 90 47 44
20 19 30 29 36 35 46 45
17 18 31 32 33 54 47 98
16 13 12 11 55 53 52 99
15 74 9 10 55 58 51 50
2 3 8 7 58 57 62 63
1 4 5 6 59 60 61 69
69
-Ш
в
Рис. 3
третьего ранга слева направо, а каждый квадрат второго ранга —
на четыре квадрата третьего ранга и нумеруем все квадраты треть-
его ранга по тому же правилу, что и квадраты второго ранга (на-
пример, так, как на рис. 3, в). Далее, продолжаем этот процесс
неограниченно.
Поставим в соответствие каждому сегменту n-го ранга с номе-
ром I квадрат того же ранга п с тем же номером I. Так мы уста-
новим взаимно однозначное соответствие между сегментами и квад-
ратами одного и того же ранга; заметим, что это соответствие
обладает следующим свойством: если сегмент n-го ранга соот-
68
встствует квадрату n-го ранга Vlt а сегмент и4-1-го ранга б2 —
квадрату п+1-го ранга V2, и если б1об2, то
Теперь устанавливаем отображение отрезка [0; 1J оси Of на за-
данный квадрат следующим образом. Пусть /с— какая-либо точка
отрезка [0; 11. Построим последовательность сегментов: бх (первого
ранга); ё2 (второго ранга); ...; бп (n-го ранга); ..содержащих
точку t0; этой последовательности сегментов соответствует после-
довательность квадратов Vt, V2, ..Vn, ..при этом, так как
ёхщб2о.. .=>бп=э ..., то Vx=)V2z?.. ... Так как diam Vn-»0
при н^О, то существует единственная точка Мо, принадлежащая
всем V„. Ее мы и ставим в соответствие точке /0.
Можно доказать (см., например, Фролов Н. А., Теория функ-
ций действительного переменного, 1961, стр. 114—116), что: а)
каждой точке t0 00; 1] отвечает только одна* точка Л40 из дан-
ного квадрата; б) при этом отображении получаются все точки
квадрата (хотя некоторые точки М из квадрата имеют, в качестве
прообраза, не одну точку t из отрезка; иначе говоря, данное ото-
бражение не взаимно однозначно); в) это отображение
непрерывно во всех точках t € 10; 1 ].
Доказать, что при этом отображении прообразом любого верти-
кального сегмента I (х=х0; 0^.у<1), принадлежащего квадрату
[0; 11x10; 1], является совершенное множество на отрезке [0; 1]
оси Ot.
466. Использовав результат предыдущей задачи, доказать, что
отрезок [0; 1] можно представить в виде суммы континуума совер-
шенных множеств попарно без общих точек.
467. Является ли кривая Пеано в той конструкции, которая
дается в задаче 465, замкнутой кривой (т. е. имеет ли место ра-
венство / (0)=/ (1))?
468. Построить трехмерную кривую Пеано (т. е. найти не-
прерывное отображение сегмента [0; 1] на замкнутый куб
[0; 11x10; 11x10; 11).
469. Доказать, что проектирование на ось Ох множества Е,
расположенного на плоскости Оху, является непрерывным отобра-
жением.
* Дело в том, что если — двоично-рациональная точка отрезка [0; 1], то
ей соответствуют две различные последовательности сегментов, содержащих эту
точку. 6хщё2щ. . .. иб,щ62щ . . им отвечают две раз-
личные последовательности вложенных квадратов: УхщУ2щ . . . ... и
VtZjVjz) . . .z3VnZJ. . . . Для того чтобы доказать, что точке (0 соответствует
только одна точка Мо, надо доказать, что r)Vn=r|Vft. Заметим, что в цити-
п п
рованной книге Фролова этот факт не доказывается; предлагаем читателю дока-
зать это самостоятельно.
Отметим также, что на странице 115 этой книги (строки 2—3) имеется опе-
чатка. Напечатано: «имели по крайней мере одну общую точку»; следует чи-
тать: «имели общую сторону».
69
470. Всегда ли проекция на ось Ох плоского открытого мно-
жества является открытым множеством на прямой?
471. Всегда ли проекция на ось Ох плоского замкнутого мно-
жества является замкнутым множеством на прямой?
472. Даны две пересекающиеся оси на плоскости. Доказать,
что при ортогональном проектировании каждое несчетное множест-
во проектируется по крайней мере на одну из этих осей в несчет-
ное множество.
Е E&F
Рис. 4
473. Доказать, что арифметическую сумму множеств Е и F
(т. е. множество £©F) можно построить следующим образом: по-
местим Е на оси Ox, F— на оси Оу, и построим множество ExF
на плоскости Оху, затем спроекти-
руем ExF на ось Ох с помощью
косоугольной проекции (с углом
проектирования, равным 135°);
полученная проекция и будет мно-
жеством EQF (рис. 4).
474. Доказать, что арифмети-
ческая сумма двух замкнутых ог-
раниченных множеств является
замкнутым ограниченным множе-
ством.
475. Что представляет собой
арифметическая сумма двух канторовых совершенных множеств?
476. Доказать, что если множество А на прямой является от-
крытым, то, каким бы ни было множество В, арифметическая сум-
ма ЛД;В является открытым множеством.
477. Пусть Е и F — два множества на прямой. Рассмотрим
множество S всех чисел вида р(£, т)), где t,^E, tj^F. Доказать,
У
Рис. 5
70
что S может быть построено следующим образом; поместим Е на
оси Ox, F — на оси Оу, и возьмем произведение ExF. Затем спро-
ектируем ExF на ось Ох с помощью косоугольной проекции (под
углом 45° к оси Ох). Ту часть этой проекции, которая лежит на
положительной части оси Ох, обозначим через Л, а на отрицатель-
ной— через В. Тогда 5=Л и В±, где В± — зеркальное отображение
множества В относительно начала координат (рис. 5).
478. Пусть Е и F — два замкнутых ограниченных множест-
ва на оси Ох. Доказать, что множество всевозможных чисел вида
е(С> > гДе £ £ Е, "q £ F, является также замкнутым ограниченным мно-
жеством на оси Ох.
479. Что представляет собой множество всевозможных расстоя-
ний между точками канторова множества?
480. Пусть А — открытое множество на оси Ох, В — произволь-
ное множество на той же оси. Доказать, что множество всевоз-
можных расстояний между точками £ £ А и т) £ В является либо
открытым множеством, либо суммой открытого множества и одно-
точечного (начала координат).
ГЛ А ВА 11
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
Монотонные функции. Функция f (х) от одного вещественного переменно-
го называется возрастающей на множестве £, если она определена всюду на Е
и если для любых х^Е, х,гЕ таких, что Xi<x2, выполнено неравенство
f (xi) -C/fe)- Если же для всех X|G£, х^Е, х,<х^ выполнено неравенство
f (xi) < f (х2), то функция называется строго возрастающей.
Аналогично определяются убывающая и строго убывающая функции.
Если функция возрастает на множестве Е или убывает на множестве Е, то
она называется монотонной на Е- аналогично определяется строго монотонная
функция.
Если функция монотонна на отрезке [о; Ь], то множество ее точек разры-
ва не более чем счетно (см. задачу 67 из главы 3), и все ее точки разрыва — пер-
вого рода.
Вариация функции. Пусть функция f(x) задана на [а; Ь); разобьем [а; 6]
на п отрезков точками х1<х2<- . ,<хп—1; обозначим, кроме того, а=Хд, Ь=хп.
Рассмотрим следующую сумму:
<7= S |/(-Гг)-7(Х/_1)|.
/I
Эта сумма зависит от способа разбиения сегмента [а; Ь]. Если для всевозмож-
ных разбиений сегмента [a; bj эта сумма не превосходит некоторого положи-
тельного числа, то говорят, что функция f (х) имеет ограниченную вариацию
(или ограниченное изменение) иа ;а; Ь]. При этом верхняя грань сумм <т при
всевозможных разбиениях а; 6] называется вариацией функции f (х) (или пол-
ь
ным изменением функции f (х)) и обозначается V/:
а
b п
V/=sup S I/(X;) —
а г=|
где sup берется по всевозможным разбиениям отрезка (a; Ь|.
71
371. Какие из равенств, рассмотренных в предыдущей задаче,
перестают быть верными, если отображение y=f(x) не является
взаимно однозначным?
372. Верно ли, что f(R\A)—f(R)\f (Л), где R — область опре-
деления функции?
373. Пусть А и В — два множества из области значений функ-
ции у=[(х). Верны ли равенства:
f-1 (Л Л И) Л Г1 (В),
374. Пусть L — область значений функции y=f(x), а Лс£.
Справедливо ли равенство: 1(£\Л)=/~1(£)\/~1(Л)?
375. Пусть y=f(x) — какая-либо функция, а множества Л15
Л2, ..., Ak,... являются подмножествами ее области значений.
Верны ли равенства:
Г1 (и Ak)= U н (4), гч Л 4)= л rw,
k k k 1г
Лй)=Лйп f-1 (Лй), f-1 (Нт Лй)=1пп/-1 (Л/г)?
ГЛАВА 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть функция y=f(x), заданная в евклидовом пространстве, принимает
числовые значения (иными словами, областью определения функции f (х) является
какое-либо множество А, расположенное в евклидовом пространстве Нп, а обла-
стью значений — некоторое множество вещественных чисел).
Пусть Е — произвольное множество, расположенное в том же пространстве Нп.
Дадим определение непрерывности функции в точке х0 относительно мно-
жества Е.
Определение 1 (Коши). Функция f(x), определенная на множест-
ве А, называется непрерывной в точке хо относительно множества Е, если
выполнены два условия:
1) х0 £ А Л Е;
2) для любого в>0 существует такая окрестность U (х0) точки х0, что
для всех х£АЛЕЛ£(хо) имеет место неравенство
I/W— /(-»о)1<е.
Отсюда, в частности, следует, что если х0 является изолированной точкой
области определения функции f (х), то эта функция непрерывна в точке х0 от-
носительно любого множества Е, содержащего точку хп.
Из определения 1 следует также, что если хв является изолированной точкой
множества Е, то любая функция f (х), определенная в точке х0, непрерывна в этой
точке относительно Е.
Если функция f(x) непрерывна в точке хп относительно некоторой ее окре-
стности, то она называется полностью непрерывной в точке х0. В тех случаях,
52
когда это не будет приводить к неясности, мы будем опускать слово «полностью»,, i
и будем называть функцию, полностью непрерывную в точке х(), просто непре-
рывной в этой точке.
Ясно, что если функция полностью непрерывна в точке х(|, то она непрерыв-
на в этой точке также относительно любого множества Е, содержащего точ-
ку х0.
Примеры. 1) Функция у=х2, определенная всюду на Нг, непрерывна в каж-
дой точке
2) Функция Дирихле
{1 при х рациональном,
О при х иррациональном,
определенная всюду на Нг, непрерывна в точке х0= у 2 относительно множе-
ства всех иррациональных чисел; однако она не является полностью непрерыв-
ной в этой точке.
3) Функция
( 10, если х2+у2<1,
У)=| 5, если х2+у2 > 1,
( V 2 V 2 А
непрерывна в точке Мп . —-— I относительно замкнутого единичного
круга Е с центром в начале координат; однако она не является полностью не-
прерывной в этой точке. Та же функция полностью непрерывна в любой точке
/И, (xt, уД, лежащей внутри круга £; следовательно, она непрерывна в точке Л41
также относительно какого угодно множества, содержащего точку
Для функций одного переменного (т. е. функций, область определения ко-
торых лежит на прямой HY) можно говорить также об односторонней непрерыв-
ности.
Функция /(х), определенная на числовой прямой или на ее части, назы-
вается непрерывной справа в точке х(), если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента [х0; Ь), где b > хя; эта функция
называется непрерывной слева в точке х0, если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента (а; х0], где а < хя.
Легко видеть, что если функция непрерывна в точке х0 справа и слева, то
она полностью непрерывна в этой точке.
Дадим теперь другое определение непрерывности функции, эквивалентное
определению Коши.
Оп р е д е л е н н е 2 (Г е й н е). Функция f(x), определенная на множест-
ве А, называется непрерывной в точке ха относительно множества Е, если
выполнены два условия:
1) ХоСЛГ]£;
2) для любой последовательности точек {хд>} из А Г) Ef сходящейся к xQ
(т. е. такощ что х0)-—0) имеет место равенство
/г--со
lim f (xk)^=f(x0).
Колебание функции на множестве и в точке. Пусть функция f(x) опреде-
лена на множестве А. Колебанием функции f (х) на этом множестве называет-
ся разность между верхней и нижней гранями этой функции на множестве А:
<о f (х) =sup / (х) — inf f (х).
А А А
Заметим, что мы не требуем, чтобы функция f (х) была ограничена на множе-
стве А. Поэтому sup f (х) может равняться либо конечному числу (если f (х)
А
ограничена сверху на множестве 4), либо -|-оэ (если эта функция неограничена
53
444. На прямой дана счетная совокупность попарно не пересе-
кающихся замкнутых множеств Ek, причем ни одно из этих мно-
жеств не включает точек прикосновения суммы всех остальных
множеств. Построить функцию /(х), непрерывную всюду на пря-
мой и такую, что для любого натурального числа k имеет место
f(x)—pk при х£Ек (где рк— заданные числа, такие, что ряд
k
абсолютно сходится).
445. На прямой дана счетная совокупность попарно не пересе-
кающихся замкнутых множеств Ек, причем Et содержит точки при-
косновения суммы остальных множеств. Пусть — абсолютно
/г
сходящийся ряд, в котором все Доказать, что не существует
функции /(х), непрерывной на всей прямой и такой, что f(x)=pk
при х g Ek для любого натурального числа k.
446. Сформулировать и решить задачи 441—445, если в их ус-
ловии считать, что множества А, Е, F, Elt . . ., Еп, ... заданы не
на прямой, а в произвольном метрическом пространстве R (в част-
ности, на плоскости или в трехмерном евклидовом пространстве).
447. Построить функцию, определенную на всей прямой, не-
прерывную в точке х0 относительно канторова множества D, но не
являющуюся полностью непрерывной в этой точке.
448. Верно ли утверждение: «Если f (х) непрерывна в точке х0
относительно любого счетного множества, содержащего точку х0,
то она полностью непрерывна в этой точке»?
449. Пусть функция двух переменных f (х, у) определена в
точке М0(х0; у0) и в некоторой ее окрестности. Верно ли утвержде-
ние: «Для того чтобы функция fix, у) была полностью непрерывна
в точке Л40, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна
по любому лучу, исходящему из точки Д40»?
450. Пусть функция /(х, у, г) определена во всем трехмерном
пространстве /Д и непрерывна в начале координат относительно
любой плоскости, проходящей через начало координат; можно ли
утверждать, что эта функция полностью непрерывна в начале ко-
ординат?
451. Пусть функция /(х, у) определена всюду на плоскости и
непрерывна в точке (0; 0) относительно любой архимедовой спира-
ли р=а(ф — о.) (при любых значениях постоянных а > 0 и а).
Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в
точке (0; 0)?
ГЛАВА to
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
До сих пор (в 9-й главе) символом у=/(х) мы обозначали непрерывную
функцию, определенную в n-мериом евклидовом пространстве (или, в частности,
на числовой прямой) и принимающую числовые значения. Здесь мы дадим неко-
торое обобщение этого понятия непрерывной функции.
64
Пусть y=f (х) — отображение некоторого множества Е евклидова пространства
//„ в евклидово пространство Это отображение называется непрерывным в
точке х,,££ относительно £, если для любого е > 0 найдется такая окрест-
ность ’/6 (xfl), что для всех x^££jVfi (хо) выполнено включение: f (х) £ Vg (у())
(где y,-l = f (х„)). Легко видеть, что многие свойства непрерывных функций име-
ют место и для непрерывных отображений:
1) Если £—замкнутое, ограниченное множество, н отображение y — f(x)
непрерывно во всех точках множества £ относительно £, то образ множества
£ (т. е. f (£)) ограничен в пространстве Нт.
2) Если отображение f (х) непрерывно на замкнутом ограниченном мпоже-
сгве £ относительно £, то это отображение равномерно непрерывно* на £.
Непрерывное отображение множества £ (ЕаНп) на множество Ех {Eyz.Hm)
может быть задано аналитически с помощью т непрерывных функции от п не-
зависимых переменных:
У1 = <Р1 (*i. х3, . . х„),
У2 = ЧМхх, х3.........х„),
Уда~Ч'/л. (х1> ^'2, - - •> Х/г),
где Xj, хч, . . х„ — числовые переменные (координаты точки х), а
ЗЕ, У-2, • Уш — координаты точки у.
осуществляют непрерывное отображение полукольца £ плоскости Охр>ы (рис. 2)
на прямоугольник £х плоскости Оуру2.
* Отображение ^(х), определенное на EezHn, называется равномерно не-
прерывным на Е. если для любого числа 8 > 0 существует 6>0 такое, что
для всяких х'^Е и х" (^Е таких, что р(х', х")<Ь, имеет место:
6 (/ (х'Е К х")) <е.
5
Ю. С. Очан
65
520. Построить пример непрерывной на отрезке (а; й] функции,
которая имеет неограниченную вариацию и не удовлетворяет усло-
вию Липшица на этом отрезке ни при каком а>0.
521. 1. Пусть f(x)— функция ограниченной вариации на 1а; й],
причем /(х)>с>0 всюду на [а; й]. Доказать, что функция
—-— также имеет ограниченную вариацию на [а; й].
f (х)
521. 2. Пусть f(x) определена на {а; Ь] и а<с<й. Доказать
равенство:
Ь с Ь
Vf=Vf+Vf.
о а с
522. Пусть /(х)— функция ограниченной вариации на [а; й],
F(x) = Vf — вариация функции f(x) на участке 1а; й].
а
Доказать теорему: для непрерывности функции f(x) в точке
х0 £ [а; bl необходимо и достаточно, чтобы функция F (х) была не-
прерывна в точке х0.
523. Доказать, что если Цх) — разрывная функция ограничен-
X
ной вариации на [а; й], то F (x)—V f также разрывна на [а; й],
а
причем разрывы обеих функций находятся в одних и тех же точ-
ках, и в каждой точке разрыва х0 имеют место равенства:
I f Uo+0) - f (ХО)|=F (хо+0) - F (х0);
I f (*o) — f Uo — 0)| =F (x0) — F (x0 — 0).
524. Представить функцию ограниченной вариации y=cos2x (на
отрезке [0; л]) в виде разности двух возрастающих функций.
525. Представить функцию ограниченной вариации на [0; 2л{
y=sinx в виде разности двух возрастающих функций.
526. Представить функцию ограниченной вариации на L0; 2J:
— х2 при х £ [0; 1),
fW=
0 при х=1;
1 при х£(1; 2]
в виде разности двух монотонных функций.
527. Чему равна вариация функции
f(x)=
х2 при 0^х<1,
5 при х=1,
х-4-3 при 1О<2
2 1 2
на сегменте [0; 21? Проверить, что Vf=Vf+Vf. Представить /(х)
о О 1
в виде разности двух возрастающих функций.
78
528. Доказать, что если функция f(x) имеет ограниченную ва-
риацию на [а; Ь], то ее абсолютная величина \f(x)\ также имеет
ограниченную вариацию на этом сегменте.
529. Справедливо ли утверждение: «Если |/(х)| имеет ограничен-
ную вариацию на [а; Ы, то и f(x) имеет ограниченную вариацию
на этом сегменте?»
530. Пусть f(x) — непрерывная на [а; Ь] функция. Справедливо
ли утверждение: «Если |f(x)| имеет ограниченную вариацию на
[а; Ь], то и f(x) имеет ограниченную вариацию на этом сегменте»?
531. Доказать теорему: «Для того чтобы функция f(x) имела
ограниченную вариацию на [a; &J, необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая возрастающая функция <р(х), что для любо-
го xQla\ Ы и для любого /г>0 (такого, что x-)~/i£[a; b]) имеет
место: |f (x-j- Л) — f (х)| <<р (x-j- h) — <р (х)».
532. Доказать, что кривая
x2sin
1
— при
X
при
х^О,
х=0
спрямляема на [0; 1].
533. Доказать, что кривая
xsm — при х#=0,
J х
0 при х=0
не спрямляема на [0; 1],
534. Доказать, что функции х=<р(/), у=ф(/) (0<7<1), задаю-
щие кривую Пеано, не могут иметь ограниченной вариации.
535. Рассмотрим линию, заданную параметрическими уравнени-
ями
х=
/sin
0
у- при Z=#0,
при Z=0;
(z sin — при /У0,
[О при /=0;
параметр t пробегает значения от 0 до 1.
Так как обе функции, задающие эти параметрические уравне-
ния, не имеют ограниченной вариации (см. задачу 533), то соглас-
но общей теореме 2 (см. стр. 73), эта линия не спрямляема.
С другой стороны, линия, определяемая этими уравнениями,
79
является отрезком прямой у=х от точки с координатами (а; а) до точ-
ки (Ь; Ь), где а= min [t sin —Y 6=max Ysin — Y но конечный
0<?«Sl \ t } 0<fegl\ t J
отрезок прямой всегда имеет конечную длину.
Чем объяснить это кажущееся противоречие?
536. Доказать, что если f(x) имеет всюду на [0; 1] производ-
ную, которая ограничена на этом отрезке, то график функции у=
=/(%) представляет собой спрямляемую кривую (при 0=Сх<Д).
537. Доказать, что если функции ср (f) и -ф (t) имеют всюду на
[0; 1] производную, причем <р'(0 и ф'(/) ограничены на [0; 11, то
кривая x=q>(t), у=ф(0 спрямляема (при
ГЛАВА 12
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА
Измеримые функции. Функция f(x), определенная на множестве Е (где Е—
подмножество евклидова пространства Нп, или, в частном случае, подмножество
числовой прямой) называется измеримой, если измеримы множество Е и все
множества Е (f (х)>а), для любых а, —оо<;а<^-}-со.
Здесь £(/(х)>а)—множество всех тех точек х из Е, в которых имеет
место неравенство: f(x)>a. Аналогичный смысл имеют обозначения: Е (f (х)>а),
E(f(x)<a), E(f(x)<.a), E(f(x)=a), E(a<f(x)<b) и т. д.
Для измеримости функции f (х), заданной на измеримом множестве Е, не-
обходимо и достаточно, чтобы были измеримы все E(f(x)^a), или чтобы были
измеримы все E(f(x)< а), или чтобы были измеримы все E(f(x)cZa).
1) Если две функции Д(х) и /2 (Ч измеримы, то измеримы также их сум-
ма, произведение, частное.
2) Если дана последовательность измеримых на множестве Е функций
Л (*)> h(x), . . ., fn{x), . . ., сходящаяся всюду на Е к функции F (х), то F(х)
также измерима на Е. Даже если соотношение (х) выполняется
п->-со
не всюду, а лишь почти всюду* на Е, то и тогда F (х) измерима на Е.
3) Если две функции, определенные на Е, отличаются друг от друга па
множестве меры нуль, то они либо обе измеримы, либо обе неизмеримы.
Функции, отличающиеся друг от друга только на множестве меры нуль,
называются эквивалентными.
4) Если f{x) измерима на £ и если измеримое множество А является
частью множества Е, то f (х) измерима на А.
Примеры измеримых функций.
1) Функция, принимающая постоянное значение С во всех точках измеримо-
го множества £, измерима на Е.
2) Всякая непрерывная на отрезке [а; 6] функция измерима на нем.
3) Функция, непрерывная почти всюду на отрезке [а; Ь], измерима на нем.
4) Функция, являющаяся пределом сходящейся последовательности непре-
рывных на [а; 6| функций, измерима на [а; Ь].
Не всякая функция измерима. Так, например, если Е — неизмеримое множе-
ство на прямой, то функция, равная 1 на £ и 0 вне £, неизмерима.
* Напомним, что термин «некоторое свойство выполняется почти всюду на
£» означает, что это свойство выполняется во всех точках множества £, кроме
точек некоторого подмножества меры нуль.
80
Интеграл Римана. Пусть функция f (х) задана на [а; 6]. Разобьем [а; 6]
точками а=х0<хх<х2< - - - <хп=6 и построим суммы:
п п
s= £ т£Дх£ и 5= £ M^xit
i=\ i=\
где
\xt=Xi — xz_х, m£=inf f(x), Mi=supf(x).
x e [xz_z. хД x e K—!; xz]
Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу.
Если существует общий предел верхних и нижних сумм Дарбу при стремлении
шага разбиения X к нулю,* то этот предел называется интегралом Римана от
f(x) на отрезке [а; 6]:
Ь п п
(Я) [7 (х) dx=lim £ rnzAxz=lim Е MzAxz.
J' v>o *-*0 '=i
Если для функции [ (х) на отрезке [а; Ь] существуют пределы нижних и верх-
них сумм Дарбу, и эти пределы равны друг другу, то говорят, что f (х) интег-
рируема на [а; 6] по Риману.
Теорема. Для того чтобы функция f (х) была интегрируема по Рима-
ну на [а; Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на
[a, fe] и мера множества ее точек разрыва равнялась нулю (т. е. чтобы функ-
ция f (х) была почти всюду на [а; 6] непрерывна).
Свойства интеграла Римана: 1) Если ф (х) и ф (х) интегрируемы по Риману
на [a, fej, то для любых чисел а, р имеет место:
Ь Ь ь
J[a ф (х)+Рф (х)] dx=aj\p (х) dx-J-P Jip (х) dx.
а а а
2) Если f (х) интегрируема на [с; 6] и на [6; с], то она интегрируема и на
с Ь с
)с; с] (где а<6<с), причем j / (х) dx==jf (х) dx ф-J/ (х) dx. -
а а b
3) Если (х)<М всюду на [а; 6] и f (х) интегрируема по Риману на
(а; 6], то
m (6— cz)< J" f (b— а)-
а
Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть f (х)—ограниченная
измеримая функция, определенная на измеримом множестве ** Е и принимающая
значения между А и В: А<ф (х)<73 для всех х£Е. Разобьем отрезок [А; В]
оси Оу точками A=y0<J'i<>'s< .. - <Уп=Д. и построим следующие суммы:
а п
S= £ у1—гте1, S= £ y£mez,
/=1 (=1
где et=E (x)<;yz). Эти суммы называются, соответственно, нижней и
верхней суммами Лебега. Наибольшая длина отрезков (у£_х; у£) (при данном
разбиении) называется шагом разбиения и обозначается X.
* Шагом X разбиения называется максимальная длина интервалов (xz_x; х£):
Х=тах (х£ — х£_х).
L
** Здесь и всюду в дальнейшем (в этой главе^ мы считаем, что Е — изме-
римое множество конечной меры.
6 Ю. С. Очан
81
Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лебега при стремле-
нии шага разбиения /. к нулю, то функция f (х) называется интегрируемой по
Лебегу на множестве Е, и этот общий предел сумм Лебега называется интегра-
лом Лебега (от f (х) по множеству Е):
п п
(L) / (х) dx = lim £ £ У tine;.
£ Z->0 r=i х->0 i=l
Множество Е называется областью интегрирования. Если, в частности,
областью интегрирования является отрезок [а; Ь], то интеграл Лебега по этому-
множеству записывают так:
. 6
(L) / (х) dx или (L)f f (х) dx.
[а; 6] }а
Теорема. Всякая ограниченная измеримая на Е функция f (х) интегри-
руема по Лебегу на этом множестве > (предполагается, что Е— множество
конечной меры).
Свойства интеграла Лебега. 1) Если функция f (х) интегрируема по Рима-
ну на отрезке [а; 6], то она интегрируема и по Лебегу на этом отрезке, при-
чем эти интегралы равны друг другу:
b Ь
(Я) J / (х) dx=(L) J / (х) dx.
а а
Таким образом, интеграл Лебега является обобщением интеграла Римана.
2) Если mcf(x)<M. всюду на Е, то m-m£c(L)f f (х) dx<M-mE.
Е
3) Если множество конечной меры Е разбито на сумму конечного или счет-
ного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств {Ей}, то для любой
измеримой, ограниченной на Е функции / (х) имеет место:
С f (х) dx=S ( f (х) dx
•L к J
£ £к
(это свойство интеграла Лебега называется «полной аддитивностью-»').
4) Если <р (х) и ф (х) ограничены и измеримы на Е, то для любых чисел а
и р имеет место:
J (а ф+Р ф) dx=a J ф dx+p [ ф dx.
Е ЕЕ
5) Если две измеримые ограниченные на Е функции ф (х) и ф (х) различа-
ются друг от друга только на множестве меры нуль, т. е. если ф (х) и ф (х)
эквивалентны друг другу на множестве Е, то их интегралы равны друг другу:
У ф (х) dx=y ф (х) dx.
Е Е
6) Если / и ф ограничены и измеримы на Е, причем почти всюду f(x)<
<ф (х), то
(' / (х) dx<y ф (х) dx.
'е е
7) Если f (х) — неотрицательная измеримая ограниченная функция на Е,
причем У f (х) dx=0, то / (х)=0 почти всюду на Е.
Е
8) Если /(х) измерима и ограничена на Е, то
|y/(x)dx|cjpx)|dx.
Е е'
82
9) Если дана последовательность измеримых ограниченных на Е функций
fi (х), f2(x), . .., f (х)..сходящаяся почти всюду на £ к функции F (х),
и если существует такое число /1, что (х)|<Л для всех k, то
lim | fa (х) dx= Г F (х) dx.
fe-*CO£- £
Интеграл Лебега От неограниченной функции. Пусть /(х) — неограниченная
измеримая функция постоянного знака, например, /Чх);,-0 всюду на Е. Постро-
им вспомогательную функцию [/ (х)]г («срезка» функции /(х) числом /), которая
определяется следующим образом:
(/(х) при 0</ (х)<1,
[/(*)]«=
( t при f(x)>t.
Эта функция измерима и ограничена (числом I).
Интеграл Лебега от неограниченной неотрицательной функции f (х) по мно-
жеству Е определяется равенством:
(L)f f (х) dx=lim (L) f [/ (x)]< dx.
E t^+oo £
Указанный здесь предел всегда существует; однако он не обязательно равен
конечному числу (он может равняться и ф-оо). Если (L) f f (х) dx конечен, то
Ё
функция называется суммируемой на Е\ если этот интеграл бесконечен, то функ-
ция называется несуммируемой.
Интеграл от знакопеременной измеримой неограниченной функции f (х) на Е
определяется равенством:
(L) J f (х) dx=(L) f f+ (x) dx — (L) J f_ (x) dx,
E E E
где
(fix) при f(x)>0,
f+(x) = l
I 0 при f (x) < 0.
(I f (x) | при f(x)<0,
LW= „
I 0 при f(x)>0.
Функция f (x) называется суммируемой, и интеграл от f(x) равен конечно-
му числу, если f+ (х) и f_ (х) обе суммируемы.
Функция f (х) несуммируема, если хотя бы одна из неотрицательных функ-
ций f+ (х) или /_ (х) несуммируема.
Свойства интеграла Лебега от неограниченных функций. 1) Если ф(х) и
Ф (х) суммируемы на Е, то для любых чисел а, р функция а ф (х)ф-р ф (х) так-
же суммируема, причем
(L) Г [а-ф(х)+Р-ф(х))йх=а-(1) £ф(х) dx-|-₽-(L) J ф (х) dx.
Е Е Е
2) Если f (х) суммируема на Е, и множество Е разбито на сумму конечно-
го или счетного числа попарно непересекающихся измеримых множеств Eh, то
(L) J f (х) dx=E (L) J f (x) dx
E k Ek
(«полная аддитивность» интеграла Лебега).
3) Если f (х) и ф (х) суммируемы на Е и / (х)« ф (х) почти всюду на Е, то
(L) С f (х) dx< (L) [ ф (х) dx.
6*
83
4) Если f (х) — измеримая на Е функция, то из суммируемости f (х) выте-
кает суммируемость (х)|, а из суммируемости \f (х)| вытекает суммируе-
мость f (х); при этом имеет место неравенство:
I (L) f f W dx I<(L) J\f (x)| dx.
E I E
5) Если две измеримые на Е функции равны друг другу почти всюду на Е,
то из суммируемости одной из них вытекает суммируемость другой, причем их
интегралы равны друг другу.
6) Если /(х) и g-(x) измеримы на Е, причем почти всюду на Е имеет место
неравенство | f (х) | | g (х) |, и если g(x) суммируема на Е, то и /(х) сум-
мируема на Е.
ЗАДАЧИ
538. Доказать, что если [Дх)13— измеримая функция на Е, то
и f(x) измерима на Е.
539. Показать, что из того, что [Дх)]2— измеримая функция
на Е, еще не следует, что f(x) измерима на Е.
540. Доказать, что если функция Дх) измерима на любом от-
резке [а; 0], где то она измерима и на всем сегменте
[а; 6].
541. Измерима ли функция Дх), равная х2 во всех точках пе-
ресечения канторова множества и некоторого неизмеримого множе-
ства Е, и равная х3 во всех остальных точках сегмента [0; 1]?
542. Доказать, что если Дх) имеет производную во всех точ-
ках отрезка [с; &], то эта производная f' (х) является измеримой
функцией на отрезке [а; Ь].
543. Доказать, что если Е — измеримое множество на прямой,
то характеристическая функция %дх) измерима. Если же Е — не-
измеримое множество на прямой, то %£(х)— неизмеримая функция.
544. Построить измеримую функцию, определенную на всей
прямой, разрывную во всех ее точках и обладающую тем свойст-
вом, что как бы ни изменять значения этой функции на любом
множестве меры нуль, она остается разрывной во всех точках
прямой.
545. Доказать, что если функция Дх) измерима на множестве
Е, то функция [Дх)]* также измерима на Е. Здесь символом
[Дх)]а (где о <&) обозначена функция отх, определяемая равенствами:
Дх) для тех х, для которых а<^Дх)<£>,
V (*)]*={ ъ для тех х, для которых Дх)>6;
а для тех х, для которых Дх)<с.
546. Пусть у(х)— характеристическая функция множества ра-
циональных чисел. Доказать, что ее произведение на любую функ-
цию есть функция измеримая.
547. Доказать, что всякая функция ограниченной вариации на
[о; 6] есть измеримая функция на [а; &].
84
548. Пусть функция y=f(x) измерима на множестве Е. Пусть
Ei — произвольное открытое (или замкнутое, или типа Fa, или ти-
па G8) множество на оси Оу. Доказать, что прообразом множест-
ва Et (во всех этих случаях) является измеримое подмножество
множества Е.
549. Пусть функция у=/(х) измерима на множестве Е; пусть
Ег — произвольное измеримое множество на оси Оу. Обязано ли
множество f~1 (Ег) быть измеримым?
550. Пусть функция y=f{x) измерима на множестве Е; пусть-
Ео — измеримое подмножество множества Е. Обязано ли множество
f (Ео) быть измеримым? Если нет — привести соответствующий пример.
551. Пусть x=q>(f) — измеримая на множестве Е функция;
Ег=ц>(Е) — ее множество значений. Пусть у=/(х)— функция не-
прерывная на Ег. Доказать, что суперпозиция этих функций
/[<р(/)1 является измеримой функцией на Е.
552. Пусть x=q>(f)— функция, непрерывная на отрезке Д=
= [а; 0]; Д1=(р(Д)— ее множество значений. Пусть y=f(x) — функ-
ция, измеримая на Et. Обязана ли быть измеримой суперпозиция
этих функций, т. е. функция /1ф(/)]. Если нет — построить соот-
ветствующий пример.
553. Доказать, что всякая функция ограниченной вариации на
[о; 61 интегрируема по Риману на [а; 6].
554. Может ли быть интегрируемой по Риману на 1а; 61
функция, разрывная во всех точках открытого непустого множе-
ства 6с[а; 61?
555. Показать на примере, что из интегрируемости по Рима-
ну функции f(x) на любом отрезке [а; 0], где а<<а<0<6, еще
не следует интегрируемость этой ^функции на всем отрезке [а; 61.
556. Доказать, что если (R) J f(x)dx существует для любых a
a
и 0, таких, что a<^a<^0 <6, и если f(x) ограничена на [а; 6], то
ь
существует (R) J f (х) dx.
а
557. Доказать, что предел равномерно сходящейся последова-
тельности функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а; 6|,
является функцией, интегрируемой по Риману на [а; 6]. Дока-
зать, что интеграл от предельной функции равен пределу интегра-
лов от функций данной последовательности.
558. Верно ли утверждение: «Если Е — множество меры нуль
на [а; 61, то %в(х) интегрируема по Риману на [а; 6]»?
559. Верно ли утверждение: «Если Е — нигде не плотное мно-
жество на [а; 6], то %£(х) интегрируема по Риману на la; 61»?
560. Верно ли утверждение: «Если Е — нигде не плотное мно-
жество меры нуль на [а; 6], то %Е(х) интегрируема по Риману
на [а; 6]»?
85.
561. Пусть Е— замкнутое множество меры нуль, расположен-
ное на отрезке [а; Ь]. Интегрируема ли функция %£(х) на [а; Ь]
по Риману?
562. Верно ли утверждение: «Если Е— множество на [а; &],
замыкание которого имеет меру нуль, то %£(х) интегрируема по
Риману на [а; £>]»?
563. Интегрируемы ли по Риману на отрезке [0; 1] функции
примеров 395, 397, 398 (при сп—>0), 403, 408.
564. Доказать, что все функции, рассмотренные в примерах
395, 397, 398 (при сп —> 0), 403, 408, интегрируемы по Лебегу на от-
резке [0; 1]. Вычислить их интегралы на этом отрезке.
565. Функция f(x) равна х2 в точках канторова множества и
1 1 о
равна — на тех смежных интервалах, длина которых равна —. Вы-
2” 3"
1
числить (L) J f (х) dx.
о
566. Интегрируема ли по Риману функция из предыдущей зада-
чи? Если да, то чему равен ее интеграл Римана?
567. Интегрируема ли по Риману функция
fx3
/(*)={ j
в иррациональных точках,
в рациональных точках
на отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу? Чему равен ее
интеграл на отрезке [0; 1]?
568. Доказать, что если Е — измеримое множество на [а; &],
то его характеристическая функция Х£(х) интегрируема по Лебе-
гу на множестве Е, причем ее интеграл равен мере множества Е:
ь
(L) J yE(x)dx=mE.
а
и
2’
569. На отрезке [0;
ное множество Е меры
построено совершенное нигде не плот-
смежные интервалы этого множества
перенумерованы в порядке убывания их длин: (с^, рх); (а2, р2); ...;
<а„, р„); .... Затем на [0; 11 задана функция f(x):
0 на £;
1 в серединах интервалов (ап, р,,);
f(x)= линейна на сегментах f ап, - 1 и
Г Он+Рп о 1
[ 2 ’ PnJ*
Интегрируема ли эта функция по Риману? Интегрируема ли она
по Лебегу? Чему равен ее интеграл Лебега на отрезке [0; 1]?
.86
570. Пусть / (х) — неотрицательная, измеримая на Е, ограничен-
ная функция, и мера множества тех точек из Е, где /(х)>с, рав-
на а. Доказать, что (L) J f(x) dx>ac.
Е
571. Чему равен интеграл Лебега на множестве [0; 1] от функ-
ции /(х), равной х2 во всех точках пересечения канторова множе-
ства и некоторого неизмеримого множества Е, и равной х3 в ос-
тальных точках отрезков [0; 1]?
572. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x) на отрезке
[0; 1], если f(x)=10 в точках канторова множества, а на смеж-
ных интегралах графиком функции служат верхние полуокружно-
сти, опирающиеся на эти интегралы, как
1
573. Вычислить (L) J f(x)dx, если
о
х2 для х иррациональных,
f(x)={ для х иррациональных,
на диаметры.
больших, чем —;
3
меньших, чем —;
0 в рациональных точках.
574. Вычислить с точностью до 0,01 интеграл Лебега от функ-
ции у=3х2 на множестве Е, которое получится, если из сегмен-
1П п < /1 П /1. /1 И
та 10; 11 выбросить интервалы —; 1); —; —; — I;__________;
\ 2 J \ 4 3 У \ /
• 1 у
\ 2п 2п — 1/
1
575. Вычислить (L) J f (х) dx, если
о
| sinnx для х^|0; -^ПСП;
/(х) = л cos л х для х
I х2 для х££>,
где D — канторово множество, a CD — его дополнение до всего
сегмента [0; 1].
576. Обозначим через Р/г(х)— функцию, равную в каждой точ-
ке х^ [0; 1] — Л-му знаку в двоичном разложении числа х. Дока-
зать, что
1 1
(L) Гр/(х)Рй(х)йх=^-при j=f=k-, (L) JtpjxjFdx—у.
о о
577. Обозначим через <pfe(x) функцию, определенную на отрезке
[0; 1], следующим образом: если на k-м месте в двоичном разложе-
87
нии точки X стоит 1, то <pfe (х)=1; если на k-м месте в двоичном
разложении точки х стоит 0, то фДх)=-—1. Доказать, что систе-
ма функций Ы; ф2; фА; ...} ортономирована на отрезке [0; 1],
1 1
т. е. что (L) j фу (х)ф4 (х) dx=0 при/ (£)J 1фг(х)]2 dx= 1.
о о
578. Доказать, что, если ф (х) имеет производную почти всюду
на [а; 61 и если эта производная ограничена на [а; Ь], то она
(производная) интегрируема по Лебегу на [а; 61.
579. Пусть {/„ (х)} — последовательность ограниченных, измери-
мых на Е, неотрицательных функций. Пусть (L) J fn(x)dx->0 при
Е
Следует ли из этого, что Д(х)->0 при п—>оо всюду на Е
(или хотя бы почти всюду на £)?
580. Пусть на [а; 6| задана ограниченная измеримая функция
С
f(x). Доказать, что если J/(x)dx=0 при любом с (с<с^6), то
а
f (х) почти всюду на [с; 61 равна нулю.
581. Вычислить интеграл Лебега от функции— 1 по отрез-
х—1
ну [1; 21.
582. Суммируема ли функция — на отрезке [0; 11?
X2
1
583. Вычислить (£) J f (х) dx, если
о
/(х)=
0 для х Q D,
1 —г.
для x(-D,
У X
где D — канторово
584. Вычислить
множество.
1
(L) j /(х) dx,
о
если
1
/(*)={ У х
для х иррациональных,
Xs для х рациональных.
585. Если ограниченная функция f(x) интегрируема по Лебе-
гу на множестве Е, то будут ли интегрируемы по Лебегу на
этом множестве функции (/ (х)]10, | f (х) |, —— ?
f (х)
586. Доказать, что если /(х)=0 в точках канторова множест-
ва D и равна п на смежных интервалах ранга п, то
(L)Jf(x)dx=3.
587. Доказать: «Для того чтобы измеримая на множестве Е ко-
нечной меры неотрицательная функция f(x) была суммируема на
Е, необходимо и достаточно, чтобы ряд ^\k-mEk сходился (где
£й=Е(А</(х)<^+1)>.
588. Доказать: «Для того чтобы измеримая на множестве Е
конечной меры неотрицательная функция f(x) была суммируема
на Е, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд Е mEk, где
k
Ek=E(J(x)>k)».
589. Доказать, что если функция f(x) суммируема на отрезке
[О, а], то функция /(/гх) также суммируема на 0; — (где
L k J
1 k
590. Доказать, что функции — cos — несуммируемы на (0; 1)
х х
ни при каком k > 0.
591. Пусть на [а; Ь] расположены п измеримых множеств Еъ
Е%, • - -, Еп; пусть каждая точка отрезка [о; Ы принадлежит по
меньшей мере q из этих множеств. Доказать, что хотя бы одно
из множеств Ег, Е2, ..., Еп имеет меру большую или равную
(Ь — а) Л
п
592. Пусть {/„(%)}—последовательность неотрицательных функ-
ций, интегрируемых по Лебегу на множестве Е (Е — измеримое
множество конечной меры); можно ли утверждать, что если /„(х)->0
(при п->со) для почти всех хЕЕ, jo последовательность ин-
тегралов J fn(x)dx также стремится к нулю при п->со?
Е 1
593. Пусть функция /(х) непрерывна всюду на отрезке 1а; Ы,
кроме точки а. Назовем эту функцию С-интегрируемой на [а; &],
если существует конечный предел интеграла
ь
J f(x)dx (l)f
при t^-a+O; если функция f(x) С-интегрируема на [а; Ь\, то
предел интеграла (1) называется С-интегралом (или несобственным
ь
интегралом Коши) от функции f(x) и обозначается (С) j/(x)dx:
а
b Ь
(О) ff(x) = lim {f(x)dx.
S г-й+о i
Доказать, что если функция суммируема по Лебегу на [а; Ь],
то она и С-интегрируема на [а; Ь], причем оба интеграла равны
друг другу.
89.
594. Показать на примере, что существуют функции, непре-
рывные всюду на [а; 6], кроме точки а, которые С-интегрируемы
на [а; Ы, но не суммируемы по Лебегу на этом отрезке.
595. Пусть /(х)— измеримая функция, определенная на мно-
жестве Е конечной меры. Будем говорить, что эта функция Q-
интегрируема, если существует предел интеграла
[[/(x)]Jdx
Е
при /->-|-со*. Если функция f(x) Q-интегрируема, то предел ин-
теграла (2) (при /->-|-оо) называется Q-интегралом функции /(х)и
обозначается (Q) (/ (х) dx:
Е
(О) f f(x) dx=lim f (x)]_? dx.
E /-»+oo£*
Доказать, что если функция /(х) суммируема по Лебегу на мно-
жестве Е, то она Q-интегрируема на этом множестве, и ее Q-интег-
рал равен интегралу Лебега.
596. Показать на примере, что Q-интеграл шире интеграла Ле-
бега (т. е. что существуют функции, не суммируемые по Лебегу
на некотором множестве Е, но Q-интегрируемые на этом множестве).
597. Доказать, что для неотрицательных функций Q-интеграл
не шире, чем интеграл Лебега (т. е. что если неотрицательная
функция Q-интегрируема на множестве Е, то она также суммиру-
ема по Лебегу на этом множестве).
598. Доказать, что любая измеримая нечетная функция f(x),
определенная на отрезке [— а; а], Q-интегрируема на этом отрезке.
599. Справедливо ли утверждение: «Если функция Q-интегриру-
ема нэ измеримом множестве Е, то она Q-интегрируема и на лю-
бом его измеримом подмножестве».
600. Справедливо ли утверждение: «Если функция f (х) Q-интегри-
руема на Е, то и функция с • j (х) также Q-интегрируема на Е, причем
(Q) J с- f (х) dx=c-(Q) f f (х) dx»?
Е Е
601. Справедливо ли утверждение: «Если функции f (х) и g (х) Q-ин-
тегрируемына Е, то функция f (x)+g(x) также Q-интегрируема на Е»?
602. Справедливо ли утверждение: «Если все три функции / (х),
g(x), /(x)-Eg-(x) Q-интегрируемы на Е, то имеет место равенство:
(Q) J 1/(я)Ч-Е(х)1 dx=(Q) J/(x)dx+(Q)J g-(x)dx»?
Г ЕЕ
603. Назовем измеримую функцию /(х), заданную на множест-
ве Е конечной меры, Л-интегрируемой, если существует конечный
предел интеграла
J[/(x)£o/dx (3)
--------- Е
* Смысл обозначения [/ (х)]см. в условии задачи 545.
во
при t-*co, каковы бы ни были числа а^>0, 0, и если этот
предел не зависит от выбора положительных чисел а и Ь. Если
функция f(x) Л-интегрируема на Е, то предел интеграла (3) назы-
вается Л-интегралом этой функции и обозначается (Л) | / (х) dx:
'е
(Л) J f(x) dx=lim J [f (x)]waZ dx.
E Z-*oo £ •
Доказать, что если функция f(x) суммируема по Лебегу на мно-
жестве Е, то она и Л-интегрируема на этом множестве.
604. Пусть на множестве Е конечной меры задана измеримая
функция /(х); доказать, что соотношения
Пт [{[/(*)№-
tfOO Е
И
lim t-mE(j (х)>/)=0
£->оо
равносильны (здесь а и b — заданные положительные числа, такие,,
что а=гЬ).
605. Доказать следующий критерий Л-интегрируемости функции:
«Для того чтобы измеримая на множестве Е конечной меры функ-
ция /(х) была Л-интегрируема на этом множестве, необходимо и
достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие два усло-
вия:
а) существует (Q) J f (х) dx;
Е
б) t-m Е(/(х)>/)-*0 при t->coy>.
606. Показать на примере, что Л-интеграл шире интеграла Ле-
бега.
607. Доказать, что для неотрицательных функций Л-интеграл
не шире интеграла Лебега.
608. Всякая ли Л-интегрируемая на множестве Е функция
Q-интегрируема. на этом множестве? Всякая ли (^-интегрируемая на
Е функция Л-интегрируема на этом множестве?
609. Справедливо ли утверждение: «Если функция Дх) Л-ин-
тегрируема на множестве Е, то и функция с-/(х) также Л-интег-
рируема на Е, причем
(Л) с • f (х) dx=c • (Л) J f (x)dx»7
Е Е
610. Справедливо ли утверждение; «Если функции Дх) и g(x)
Л-интегрируемы на Е, то и функция /(x)+g(x) также Л-интегри-
руема на Е, причем имеет место равенство:
(Л) f [f (x)+g (х)1 dx=(A) J / (x) dx-ЦЛ) J g (x) dx>?
E "E E
91
611. Справедливо ли утверждение: «Если функция /-интегриру-
ема на множестве Е, то она /-интегрируема на любом его измери-
мом подмножестве»?
612. Назовем Т-иитегралом (Т) J f(x)dx какое угодно обобщение
Е
интеграла Лебега, обладающее следующими свойствами:
а) если функция /(х) суммируема по Лебегу на измеримом
множестве Е конечной меры, то она и Т-интегрируема на этом
множестве, причем ее Т-интеграл и интеграл Лебега по множеству
Е равны друг другу;
б) если f(x)^g(x) всюду на Е (где f(x) и g{x)— измеримые
функции на Е) и если обе эти функции Т-интегрируемы, то
(Т) f f (х) dx<(T) J g (х) dx.
Е В
Доказать, что для неотрицательных измеримых функций такой
интеграл не шире интеграла Лебега (т. е. если неотрицательная
измеримая функция Т-интегрируема на измеримом множестве Е ко-
нечной меры, то она также суммируема на Е по Лебегу, причем
ее Т-интеграл и интеграл Лебега равны друг другу).
В задачах 613—634 будут рассмотрены вопросы интегрирования векторных
«функций.
Векторной функцией (или вектор-функцией) y=f (х) называетвя отобра-
жение тожества ЕаНп в евклидово пространство Нт.
Такие отображения рассматривались нами в главе 9. Только там на них нак-
ладывалось дополнительное ограничение — требование непрерывности. В этой
главе мы будем рассматривать отображения более общего вида.
Термин «.векторная функ.ция'а отражает тот факт, что значения этой функ-
ции расположены в евклидовом пространстве; а элементы евклидова пространст-
ва можно рассматривать как векторы, и, следовательно, их можно складывать
друг с другом, а также умножать на число. Так, например, если даны две точ-
ки у^Нт и zC-Hr!l, где у задается координатами уъ у3, . . ., ут, а г — коор-
динатами гь г3, . . ., гт, то их суммой у+г является точка с координатами
У1+г1> . . ., ym+zm, а произведением а у (где а — число) — точка с
координатами ауг, ау3, .. ., аут. Следовательно, если даны две векторные
функции y=f (х) и z=g(x), определенные на Ес.Нп и принимающие значения
из пространства Нт, то можно говорить о сумме этих функций (это будет фун-
ция f fa.)-\--g (х), ставящая в соответствие каждому х(~Е точку с координатами
fa (x)+gi W. /2 (x)+g2 (x), . . ., fm (x)+gK (x), где fa (x), fa (x), ...,fa (x)—
координаты точки f (x) в пространстве Hm, а щ (x), g2(x), . . ., gm (x) — ко-
ординаты точки g (x) в Hm). Точно так же, если даны векторная функция у=
=/(х) и число а, то можно говорить о произведении этой функции иа а (это бу-
дет функция a f (х) с координатами a fa (х), a fa (х), .... a fm (х), где fa (х),
fa (х), . fm (х) — координаты f (х)).
Для каждой точки у £ Нт можно говорить о модуле | у | этой точки, как о
длине вектора, соединяющего начало координат в Нт с этой точкой; если у
определяется координатами ylt у3, . . ., ут, то [t/[ =]/ у^+у^Е . . . Е .
Для модуля справедливы неравенства: iy-|-z|<|i/|+|z|; |у—z|>||t/| — |г| ].
Если модуль вектор-функции y=f(x) ограничен на множестве Е (т. е. если
существует такое число Л>0, что |/ (х)| < А для всех х f Е), то эта вектор-функ-
ция называется ограниченной на Е. В этом случае множество значений вектор-
функпии, т. е. множество / (Е), является ограниченным множеством в прост-
ранстве Нт.
92
613. Назовем вектор-функцию y=f(x) (где xQEc.Hn, у£Нт)
измеримой, если прообразом любого открытого множества GtzHm
является измеримое множество пространства Нп.
Доказать, что если функция y=f(x) измерима, то прообраз
любого замкнутого множества Fc.Hm измерим; прообраз любого
множества типа С5 измерим; прообраз любого множества типа Д
измерим.
614. Доказать, что произведение измеримой вектор-функции на
число также является измеримой вектор-функцией.
615. Доказать, что если две измеримые вектор-функции опре-
делены на одном и том же множестве ЕсНп и принимают значе-
ния в одном и том же пространстве Нт, то их сумма также
является измеримой вектор-функцией.
616. Пусть f(x} — векторная функция, определенная на Е. До-
казать, что если f(x) измерима, то и функция |/(х)| также изме-
рима. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
617. Пусть ограниченная измеримая функция y=f(x) определе-
на на множестве Е конечной меры и принимает значения на замк-
нутом ограниченном множестве FciHm (т. е. [(E) a F). Разобьем
произвольным образом множество F на конечное число попарно не
пересекающихся множеств типа Fa:
F=F1U/?2U ... UFk, (1)
и выберем в каждом F, по точке уг (у,: £ Д). Обозначим прообразы
множеств Fv F2, ..., Fk через е2,_______, ek (ясно, что е, П е,=
= 0при 4=^/, что и е,=Д и что2 . Построим инте-
i=i г=1 /
гральную сумму Лебега, соответствующую разбиению (1) и выбору
точек уу.
°= 2 У1- met- (2)
1=1
1
Если существует конечный предел I суммы о при стремлении мак-
симального диаметра множеств F) к нулю, то этот предел называ-
ется интегралом Лебега от ограниченной вектор-функции f(x) по
множеству Е:
(£) (7(x)dx=lim Е (3)
Е max diam F. -*0/= 1
(при этом точка I из пространства Нт называется пределом инте-
гральной суммы (2), если для произвольного е2>0 существует о>0
такое, что любая интегральная сумма Лебега при max diam
удовлетворяет неравенству ^2 У1те1—
Доказать, что для любой ограниченной измеримой вектор-функ-
93
ции y=f(x), определенной на множестве Е конечной меры, интег-
рал Лебега существует *.
618. Пусть j(x)— ограниченная измеримая вектор-функция, опре-
деленная на множестве Е конечной меры. Доказать, что для лю-
бого числа с имеет место равенство: (A)fc-/(x)d х=с-(L)f/(х)
Е Е
619. Пусть f(x) и g(x)— две ограниченные измеримые функ-
ции, определенные на одном и том же множестве Е конечной меры
и принимающие значения в одном и том же пространстве Нт.
Доказать, что
(L) J [/ (x)+g (х)1 dx=(L) j f(x) dx+(E) § g (x) dx.
E E E
620. Пусть f(x) — ограниченная измеримая векторная функция,
определенная на множестве Е конечной меры. Доказать, что
|(L)J/(x)dx|<(L)J|f(x)]dx.
Е Е
621. Пусть f(x) — ограниченная измеримая вектор-функция,
определенная на множестве Е конечной меры. Пусть А —. наимень-
шее выпуклое множество, включающее /(Ё)**. Доказать, что су-
ществует такая точка у0£Д, для которой справедливо равенство:
(L) f f{x)dx=y0-mE («теорема о среднем значении интеграла»),
Е
Для того чтобы обобщить понятие интеграла на неограниченные векторные
функции, нам надо будет ввести понятия звездной окрестности нуля.
Звездной окрестностью нуля в Нт называется всякое ограниченное откры-
тое множество в Нт, содержащее начало координат и обладающее тем свой-
ством, что каждый луч, исходящий из начала координат, пересекается с гра-
ницей этого множества только в одной точке.
Частным случаем звездной окрестности нуля является сферическая окрест-
ность, т. е. открытый m-мерный шар с центром в начале координат
Пусть В — какое-либо множество в пространстве Нт. Обозначим через
X, В (где X, — фиксированное положительное число) множество всех точек вида
Х,х (для любых хДВ)
* Определение интеграла Лебега, приведенное здесь, имеет смысл не толь-
ко для функций, принимающих значения в евклидовом пространстве, но и для
более широкого класса функций. Пусть f (х) — функция, определенная на неко-
тором множестве Е пространства с мерой и принимающая значения в каком-ли-
бо банаховом пространстве R. Функция f(x) называется компактной на множе-
стве Е, если образ f (Е) множества Е содержится в некотором компактном
множестве F пространства R
Если функция f (х) измерима и компактна на множестве Е конечной меры,
то интеграл Лебега от f (х) по множеству Е существует (ясно, что интеграл
Лебега в данном случае является элементом пространства R).
Мы здесь не даем определения пространства с мерой, банахова простран-
ства и компактного множества. Читатель, незнакомый с этими понятиями, мо-
жет оставить данную сноску без внимания.
* * Т. е. пересечение всех выпуклых множеств, включающих f(E). При этом
множество А называется выпуклым, если для любых у£А и г£А в это множе-
ство входят также точки ay-j-рг при всевозможных а>0, f£>0 таких, что
а+0=1.
94
Ясно, что если G— звездная окрестность нуля, то ? . G (при любом положи-
тельном X) также является звездной окрестностью нуля.
Введем теперь понятие срезки [/(х)]с векторной функции /(х) с помощью
звездной окрестности нуля G:
f{x) для тех х£Е, для которых /(x)£G;
/0(х) для тех х £ Е, для которых f (х) £ G.
If WIg =
Здесь fG (х) — точка пересечения границы окрестности G с лучем, соединяющим
начало координат и точку f (х) (см. рис. 7).
622. Пусть y=f(x) — неограниченная измеримая вектор-функ-
ция, определенная на множестве Е конечной меры; назовем функ-
цию f (х) Q-интегрируемой на Е, если существует предел интеграла
<4)
при + где —сферическая окрестность нуля радиуса R;
если вектор-функция / (х) Q-интегрируема на Е, то предел интегра-
ла (4) называется Q-интегралом функции f(x):
(Q) f f СИ dx= lira (L) [f (x)Sr dx.
'e R^+oo E
Доказать, что если вектор-функция f(x) Q-интегрируема на Е
то вектор-функция c-f(x) также Q-интегрируема на Е, причем име
ет место равенство
(Q) J с • f (х) dx=с • (Q) f f (х) dx.
Е Е
623. Показать на примере, что
существуют такие две Q-интегри-
руемые на Е вектор-функции f(x)
и £ (х), принимающие значения в
одном и том же пространстве Нт,
что их сумма не Q-интегрируема
на Е.
624. Показать на примере, что
существуют такие две векторные
функции /(х) и g(x), принимаю-
щие значения в одном и том же
пространстве что и они, и их сумма Q-интегрируемы на Е,
однако
(Q) j /(*) dx+(Q) J" g (x) dx#=(Q) J [/:(x)+gf (x)] dx.
E E E
625, Показать на примере, что вектор-функция, Q-интегрируемая
на множестве Е конечной меры, может оказаться не Q-интегриру-
емой на некотором его измеримом подмножестве.
626. Назовем вектор-функцию f(x) абсолютно интегрируемой
на множестве Е конечной меры, если существует интеграл Лебега
от функции |/(х)|, принимающей числовые значения.
95
Доказать, что если /(х) абсолютно интегрируема на Е, то она
и Q-интегрируема. Показать на примере, что обратное утверждение
неверно.
627. Доказать, что если две вектор-функции, принимающие
значения в одном и том же- пространстве 11т, абсолютно интегри-
руемы на множестве Е конечной меры, то их сумма также абсо-
лютно интегрируема на этом множестве, причем
(<?) j f (x)dx+(Q) J g (x) dx=(Q) J [/(x)+g (x)J dx.
E E E
628. Доказать, что если вектор-функция абсолютно интегриру-
ема на множестве Е конечной меры, то она абсолютно интегриру-
ема и на любом его измеримом подмножестве.
629. Пусть у= / (х) — неограниченная функция, определенная
на множестве Е конечной меры. Назовем эту функцию А-интегри-
руемой на Е, если для любой звездной окрестности нуля G суще-
ствует предел интеграла
(L) J [Дх)К cdx (5)
Е
при X- со и если этот предел не зависит от выбора G. В этом
случае предел интеграла (5) называется Л-интегралом * функции
Дх) на Е:
(Л) f Дх) dx=lim(L) f [/(x)kcdx.
'е Л.'Н-оо £•
Доказать, что всякая Л-интегрируемая на Е вектор-функция
(^-интегрируема на этом множестве. Показать на примере, что су-
ществуют вектор-функции, Q-интегрируемые на Е, но не Л-интегри-
руемые на этом множесте.
630. Доказать, что если вектор-функция Дх) Л-интегрируема
на Е, то и функция c-f(x) также Л-интегрируема на Е (где с —
произвольное число), причем имеет место равенство:
(Л) Jс-Дх) dx=c-(A) J f(x)dx.
Е Е
631. Доказать, что для того, чтобы вектор-функция Дх) была
Л-интегрируема на множестве Е конечной меры, необходимо и до-
статочно, чтобы одновременно выполнялись следующие два усло-
вия:
* Определения Q-интеграла и /1-интеграла остаются в силе и для функций,
принимающих значения в любом банаховом пространстве (а не только в евкли-
довом). Однако для того чтобы это определение имело смысл, надо рассматри-
вать только такие функции, которые обладают следующим свойством: для любой
сферической окрестности нуля срезка функции с помощью этой окрестности
является компактной функцией на множестве Е (см. первую сноску на стр. 94.)
Понятия Q-интеграла и Д-интеграла для вектор-функций принадлежат автору;
они впервые вводятся в этой книге.
Теоремы 631, 633, 634 доказаны В. И. Рыбаковым.
96
а) вектор-функция f(x) Q-интегрируема E;
б) мера множества Er тех x£E, для которых значения вектор-
функции лежат за пределами сферической окрестности нуля радиуса
R, есть о ) при
lim Е-тЕд=0.
R -*со
632. Показать на примере, что векторная функция, Л-интегри-
руемая на множестве Е конечной меры, может оказаться не А-нн-
тегрируемой на некотором его измеримом подмножестве.
633. Доказать, что если вектор-функция абсолютно интегрируе-
ма на множестве Е конечной меры, то она и Л-интегрируема на
этом множестве. -
634. Доказать, что если две вектор-функции 'f(x) и g(x) Л-ин-
тегрируемы на множестве конечной меры £ и принимают значения
в одном и том же пространстве Нт, то их сумма f(x)'rg(x) так-
же Л-интегрируема на множестве Е, причем имеет место равен-
ство;
(Л) ,f f (x)dx+(A) f g (х) dx=(A) f I/1 (x)4-g (x)I dx.
E E E
? Ю. C. Очан
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ГЛАВА 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
5. Нет, не вытекает. Из А\В=С вытекает лишь то, что /1С В U С.
6. Нет; из А=-В UC вытекает лишь, что А\ВСС (рис. 8).
7. а) Равенство справедливо; б) нет, не верно; справедливо включе-
ние A U(B\C)Z>(AUB)\C; в) нет, не верно; справедливо включение
(A\B)UC Z>(AUC)\B.
8. Пример см. на рисунке 9.
10. Из ЛдХ=Л следует, что (Л П СХ) U (СЛ П Х)=Л. Следовательно,
СЛПХ=0, т. е. та часть X, которая не входит в А, пуста. С другой сторо-
ны, А П СХ=А, откуда СХ^А, т. е.
X П Л=0, т. е. та часть X, которая
входит в Л, также пуста. Итак, Х=0.
12. Пример см. на рисунке 10.
14. С[С(Х U У) П (СХ U СУ)]=
=С[С (X U У)] U С(СХ U СУ)=
=(Х U У) U (ССХ Г) ССУ)=
= (Х U У) U (ХП У)=Х U У, так
как X U У2 X П У.
19. Указание. Воспользоваться
результатом задачи № 18.
22. Использовать закон двойствен-
ности.
23. Докажем равенство а).
Пусть (х; у) £Ex(F U G); тогда хН£, y£FUG; следовательно, y£F или
yGG; значит, (х; y)GExF или (х; y)f£xG; но в таком случае
(х; y)£(ExF) U (ExG),
Ex(FUG)C2(ExF)U(ExG). (1]
Точно так же доказывается, что
(ExF)U(ExG)<zEx(FUG). (21
Сравнивая включения (1) и (2), получим равенство а).
Равенство б) доказывается аналогично.
24. Доказательство аналогично.
98
Рис. 9. (AUA^X^USa)—
область, заштрихованная
квадратной штриховкой.
(Л1\61)и(Л2\62) — ВСЯ за-
штрихованная область. Здесь
MiUH2)\(6,U62)^
^(A\6i)UW2\62)
Рис. 10. (Лив)Дб — множество,
заштрихованное квадратной штри-
ховкой. (А Д F) (J (вДб) — все за -
штрихованное множество. Здесь
(Лив) Д6^(ЛД6)О(6Д F)
25. Да, справедливо для любых множеств А, В, С, D (доказательство
проводится так же, как и в задаче 23; наглядную иллюстрацию этого равенства
см. на рисунке 11).
У
Рис. 11
(AuC)*(8iJD)
Рис. 12
28. Равенство справедливо не для любых множеств А, В, С, D (см. напри-
мер, рисунок 12); однако всегда справедливо включение
(Лх5)и (Сх-О)С(Д UC)x(BU О),
которое доказывается так же, как и в задаче 23.
ГЛАВА2
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
27. Взаимно однозначное соответствие между множествами 0 и N можнз
установить с помощью функции у—2х, где x.C-N, yC-Q,.
28. Расположим все четные числа (т е. элементы множества Р) в после-
довательность следующим образом:
0; 2; —2; 4; —4; 6; —6; . . 2к, —2/г; . ,.
7*
99
и затем каждому четному числу поставим в соответствие тот номер, который
это число занимает в данной последовательности.
29. Взаимно однозначное соответствие между множеством R всех рациональных
чисел отрезка [0; 1] и множеством N всех натуральных чисел можно установить
следующим образом: запишем каждое число r(R в виде несократимой дроби, и
назовем высотой числа г сумму числителя и знаменателя; ясно, что на отрезке
[0; 1] имеется лишь конечное множество рациональных чисел данной высоты.
Расположим теперь все рациональные числа отрезка [0; 1J в
в порядке возрастания их высот: на первое место поместим
последовательность
0
число 0=~ (из R)
(это число высоты 1), затем единственное число высоты
„ I
2 (число -р из/?),
далее число высоты 3 [ число — и т. д.; если какую-либо высоту имеют не-
сколько различных рациональных чисел, мы их располагаем в порядке возра-
стания. Таким образом, все элементы множества R расположатся в виде следую-
11121123131
щей последовательности: 0; 1; - - - ~ ,
Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу г из R тот
номер п, который это число занимает в нашей последовательности; это соответ-
ствие является взаимно однозначным соответствием между множествами R и N.
30. Задача решается так же, как и предыдущая.
31. Нет, не существует. Всякая функция f (х), представимая в виде част-
ного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел
при х—Если lim/:(x)=9 (конечное число), то существует такое Л', что
для всех k>N имеет место: q—1 </(/г)<//-]-1. Но тогда тем рациональным чи-
слам, которые лежат вне интервала (q—1; с/+1), может соответствовать лишь
конечное число номеров k (только те номера k, которые предшествуют числу
N). Следовательно, не все рациональные числа получатся в виде значений
f(k).
Если lim f(x) = oo, то рассуждения аналогичны (в этом случае рациональ-
х->-Ч-сс
ным числам, принадлежащим фиксированному интервалу (—А; А), может соот-
ветствовать лишь конечное число номеров k).
32. Линейное преобразование х=(Ь— a)t+a отображает взаимно однознач-
но сегмент 0<7<1 на сегмент а<х<Ь.
33. Функция x=ctgrtZ, рассматриваемая на интервале 0</<1, взаимно
однозначно отображает этот интервал на всю прямую —со <х<+ со.
b — а
34. Функция х=а+------arcctg/ взаимно однозначно отображает ось
зт
—со<t< + оо на интервал а<х<Ь.
О
о
Х6Х5Х4Х3 Х2 Х1 }
-------------------------------------Г---------
\ \ ' ч J интервал
! (0;1)
—А. \ 1 ч. - 1______
£ X,
Сегмент
Рис. 13
100
3'5. Решается аналогично.
36. Выделим какую-либо последовательность точек на интервале, например:
111 1
.; хп=---г; . • Установим следующее соответ-
я+1
Х1 =
ствие: точке 0 из сегмента ставим в соответствие точку хг из интервала; точке 1
из [0; 1] — точку х2 из интервала; точке xt=— из [0; 1] — точку xs из (0; 1);
точке х2=~ из [0; 1] — точку из (0; 1) и, вообще, точке ‘хп из [0; 1] —
точку Хп+г из (0; 1); ... Всем остальным точкам х £ [0; 1] ставим в соответ-
ствие точки с теми же абсциссами из (0; 1). Полученное в итоге соответствие
взаимно однозначно (рнс. 13).
37. Отобразить [0; 1] на (0; 1) (задача 36) и затем (0; 1) на (—то, +<х>)
(задача 33).
38. Использовать метод, которым решена задача 36.
39. Отобразить [а; 6) на [я; 6) тем методом, каким решена задача 36; за-
1л \ о Г л \
0; — ) с помощью линейной функции; наконец, 0; — 1 на
{0; 4-со) с помощью функции tg х.
41. Нет, так как непрерывная функция, определенная на сегменте fa; 6],
должна быть ограниченной.
42. Нет; если бы существовала непрерывная функция x=y(t), отображаю-
щая [а; 6] на интервал (с; d), то на сегменте [а; Ь] не нашлось бы точки /0,
такой, что <p(Z0)=d (тогда как sup <p(Z)=d). Это противоречило бы теореме
a^i^b
о том, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте свою
верхнюю грань.
43. Нет, так как непрерывная функция, определенная на [а; 6], должна
принимать все промежуточные значения (в частности, пусть ф(14)=1, ф(^2)=3,
где G£[a; 6], тогда должна была бы найтись точка fa; 6|, та-
кая, что tp(Zn)=2).
44. Отображаем окружность на полусегмент [0; 2 тс), ставя в соответствие
каждой точке окружности численное значение угла, составленного радиус-век-
тором этой точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем полусегмент
[0; 2тс) линейным преобразованием отображаем на полусегмент [0; 1); наконец,
последний полусегмент отображаем на [0; 1J методом, рассмотренным в задаче 36.
Круг х2+у2<1.
Круг с выколотым центром
0<х2+у2 < 1.
Рис. 14
101
и затем каждому четному числу поставим в соответствие тот номер, который
это число занимает в данной последовательности.
29. Взаимно однозначное соответствие между множеством R всех рациональных
чисел отрезка [0; 1] и множеством N всех натуральных чисел можно установить
следующим образом: запишем каждое число r(R в виде несократимой дроби, и
назовем высотой числа г сумму числителя и знаменателя; ясно, что на отрезке
[0; 1] имеется лишь конечное множество рациональных чисел данной высоты.
Расположим теперь все рациональные числа отрезка [0; 1] в
в порядке возрастания их высот: на первое место поместим
последовательность
0
число 0= — (из R)
(это число высоты 1), затем единственное число высоты
2 (число -у из/?),
далее число высоты 3 число и т. д.; если какую-либо высоту имеют не-
сколько различных рациональных чисел, мы их располагаем в порядке возра-
стания. Таким образом, все элементы множества R расположатся в виде следую-
1112 112 3 13 1
щей последовательности: 0; 1; —; —; —; —; —; —; —; —; —; —; — ...
2 3 4 3 5 6 5 4’7 5 8
Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу г из R тот
номер п, который это число занимает в нашей последовательности; это соответ-
ствие является взаимно однозначным соответствием между множествами R и N.
30. Задача решается так же, как и предыдущая.
31. Нет, не существует. Всякая функция f (х), представимая в виде част-
ного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел
при х—Если lim/(x)=9 (конечное число), то существует такое Л', что
для всех k>N имеет место: q—1 <f (fe)<^<j+l. Но тогда тем рациональным чи-
слам, которые лежат вне интервала (q—1; с/+1), может соответствовать лишь
конечное число номеров k (только те номера k, которые предшествуют числу
N}. Следовательно, не все рациональные числа получатся в виде значений
/(й).
Если lim /(х) = со, то рассуждения аналогичны (в этом случае рациональ-
х-^-1-со
ным числам, принадлежащим фиксированному интервалу (—А; А), может соот-
ветствовать лишь конечное число номеров k).
32. Линейное преобразование х= (о — a) t-f-a отображает взаимно однознач-
но сегмент 0</<1 на сегмент а<х<Ь.
33. Функция x=ctgrt/, рассматриваемая на интервале 0</<1, взаимно
однозначно отображает этот интервал на всю прямую —со <x<-f-со.
„„ b — а
34. Функция х=а+-------arcctg/ взаимно однозначно отображает ось
ЭХ
—со</<4-оо на интервал а<х<6.
О
о
Х6Х5Х4Х3 Х2 Х1 }
-----------------------------------Г---------
\ \ ' ч J интервал
\ I X "'"—.л
\ ' \ ! х
—А. \ 1 ч. - 1_______
£ X,
Сегмент
Рис. 13
100
35. Решается аналогично.
Зв. Выделим какую-либо последовательность точек на интервале, например:
Xi=—х2=—; х3=—; . . .; х«= ——... Установим следующее соответ-
2 о 4 fi-f-* *
ствие: точке 0 из сегмента ставим в соответствие точку из интервала; точке 1
из [0; 1] — точку %2 из интервала; точке — из 1Р’> И — точку х3 из (0; 1);
точке х2=— из [0; 1] — точку х4 из (0; 1) и, вообще, точке из [0; 1] —
точку Хп+2 из (0; 1); ... Всем остальным точкам х£ [0; 1] ставим в соответ-
ствие точки с теми же абсциссами из (0; 1). Полученное в итоге соответствие
взаимно однозначно (рис. 13).
37. Отобразить [0; 1] на (0; 1) (задача 36) и затем (0; 1) на (—со, -|-со)
(задача 33).
38. Использовать метод, которым решена задача 36.
39. Отобразить [а; 6] на [«; Ь) тем методом, каким решена задача 36; за-
1Л \ Г л \
0; — I с помощью линейной функции; наконец, 0; — 1 на
(0; 4-со) с помощью функции y=--tgx.
41. Нет, так как непрерывная функция, определенная на сегменте (а; Ь],
должна быть ограниченной.
42. Нет; если бы существовала непрерывная функция х=<р (t), отображаю-
щая [а; Ь] на интервал (с; d), то на сегменте [а; &] не нашлось бы точки t0,
такой, что <р (tD)=d (тогда как sup <р (Z)=d). Это противоречило бы теореме
о том, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте свою
верхнюю грань.
43. Нет, так как непрерывная функция, определенная на [а; 6], должна
принимать все промежуточные значения (в частности, пусть <р(14)=1, <p(Z2)=3,
где b], 6]; тогда должна была бы найтись точка fa; 6], та-
кая, что tp(Zn)=2).
44. Отображаем окружность на полусегмент [0; 2 тс), ставя в соответствие
каждой точке окружности численное значение угла, составленного радиус-век-
тором этой точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем полусегмент
[0; 2тс) линейным преобразованием отображаем на полусегмент [0; 1); наконец,
последний полусегмент отображаем на [0; 1J методом, рассмотренным в задаче 36.
Круг х2+у2<1.
Круг с выколотым центром
0<х2-|-у2 < 1.
Рис. 14
101
45. Сначала отображаем открытый круг х2+у2<1 на круг с выколотым
центром 0<х24-у2< 1 Для этого выделяем в открытом круге какую-либо после-
довательность точек: М„, Mt, М2, . . ., Mk, . . . , где Мо — центр круга, и
устанавливаем следующее соответствие: каждой точке Mk из круга х24-у2<1
ставим в соответствие точку M^+i из круга с выколотым центром. Остальные
точки обоих кругов (т. е. точки, отличные от всех М^) ставим в соответствие
по принципу идентичности (т. е. каждой точке N (х, у) из первого круга ставим
в соответствие точку N' с теми же координа-
тами из второго круга) (рис 14).
Затем открытый круг с выколотой точкой
/у' , отображаем на дополнение к замкнутому кругу
0
с помощью инверсии: через произвольную точку
М из Круга и центр О Проводим луч ОМ и из
его продолжении находим точку М', такую, что
0М-0М'=1. Тогда точке М из круга с выколо-
тым центром ставится в соответствие точка М'
из дополнения к замкнутому кругу (рис. 15).
Это соответствие взаимно однозначно.
46 Возьмем точку А на границе, и отобра-
зим полусегмент (О; /1] (из замкнутого круга)
на интервал (О; /1) (из открытого круга) Здесь
О—центр круга. Такое отображение произво-
дится на каждом радиусе. Затем центр замк-
Рис. 15
нутого круга ставится в соответствие центру открытого круга.
Полученное отображение является взаимно однозначным отображением
замкнутого круга на открытый.
47. См. задачу 45.
48. Отобразить замкнутый круг на открытый (см. задачу 46), а затем от-
крытый — на дополнение к замкнутому (задача 45).
49. Указание. См. решение задачи 44. Другой способ: решать методом,
аналогичным тому, которым рещены задачи 50 и 51.
50. Отображение производится с по-
мощью так называемой «стереографиче- рд
ской проекции». Обозначим через Рп вы-
колотую точку на сфере, а через Мо — f \
диаметрально противоположную точку на / \ \
сфере Построим плоскость, касающуюся I ^\. I
сферы в точке Мо. Далее проведем пря- .—V----------ЛД------------у
мую через точку Ро и произвольную / \ Л. /
точку М на сфере. Точку N, в которой / \ /
эта прямая пересечет плоскость, ставим / 77^ /
в соответствие точке М Это соответствие /________________ 3 /
между точками М на сфере и точками
Л’ на плоскости является взаимно одно- Рис 16
значным (рис. 16).
51. Отобразим сначала всю поверхность сферы на поверхность сферы с вы-
колотой точкой (это можно сделать тем. же способом, каким круг отображался
на круг с выколотым центром, см. решение задачи 45). Затем сферу с выколотой
точкой отображаем на плоскость с помощью стереографической проекции.
52. Помещаем центр круга в точку О, и устанавливаем взаимно однозначное
соответствие между точками отрезка ОМ (где М— произвольная точка на гра-
нице звездной области) и точками того радиуса ОА, который лежит на луче
ОМ', соответствие устанавливаем так, чтобы точка О соответствовала самой
себе.
53. Выделим в множестве А иррациональных чисел какую-либо последова-
тельность, например 2, 2V2, 3]/ 2, . . ., п\^2, . . .; обозначим через В мно
жество всех вещественных чисел; множество всех рациональных точек обозна-
чим через R (а сами рациональные точки занумеруем: rlt r2> rs, , Oi, • .);
102
множество всех чисел вида пу 2 обозначим через L; множество всех иррацио-
лальных чисел, не представимых в виде пК2 (п > О, целое), обозначим
через С. Тогда
Z=CUT, B=CU(L(JR).
Элементы множества L ставим во взаимно однозначное соответствие элементам
множества L[JR, например, следующим способом:
L: Vi 2/2 3]/2 4'/ 2 ... (2/г—1)]/2 ikV 2 ..
LAjRt f\ Vi r2 2V2 ... rk kVi. ..
С ставим во взаимно однозначное соответствие самим себе,
взаимно однозначное соответствие между А и В.
Точки множества
В итоге получится
54. а) Каждой точке (g; 1]) прямоугольника (a; b)X(c; d) ставим в соот-
следующим образом:
ветствие
л £ — а л т] — с
+ л ; у=— — +л----.
2 о — а 2 d— с
(ЗТ ЗТ \ f 3"С ЗТ \
— —; т)х| ——I ставим в соот-
2 ' \ 2 2 ]
ветствие точку (Л; У) плоскости следующим образом: X=tgx, Y=tgy.
в) См. а) и б).
55. При этом соответствии получатся не все точки отрезка (0; 1]; при задан
ном соответствии не получится ни одной точки, разложение которой в беско-
нечную десятичную дробь содержит нули на всех четных местах, начиная с
некоторого номера; например, не получится точка 0,35703070 .. . Итак, это не
будет взаимно однозначным соответствием между точками квадрата (0; 1]х
Х(0; 1] и отрезка (0; 1]. Однако это соответствие является взаимно однознач-
ным соответствием между точками квадрата и точками некоторого подмножества
отрезка (0; 1].
56. Перенумеруем все рациональные числа отрезка [0; 1]:
Г1,Га,Г3, . Гп, ... (1)
Все рациональные точки квадрата расположим в следующую таблицу:
(Г1, гх) (гъ г2) (гъ г3) . . .
(G, и) (г2, г2) (г2, г3) . . .
(rs, rj (r3, r2) (r3, rs) . . .
('+ G) (ft, r2) (riy r3) . . .
выпишем все точки из этой таблицы в одну последовательность в следующем
порядке: сначала (гх, г,); затем точки, у которых сумма индексов абсциссы и
ординаты равна 3; точки, у которых сумма индексов равна 4, и т. д.;
(Ti, Г1У, (Г1, ЪУ (Пь ^1); (Го ГзУ, (Пь ГгУ, (Пь f\Y, (fi, бО; (r2. +) (2)
Теперь устанавливаем взаимно однозначное соответствие между членами после-
довательности (1) и членами последовательности (2) обычным способом: п-му
члену последовательности (1) ставим в соответствие я-й член последовательно-
сти (2).
57. Указание. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех квадратов (т; и множеством всех полусег-
ментов (р; р+1] (где т, п, р — всевозможные целые числа). Затем установить
взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных точек квад-
рата (т; /п+1]х[я; п+1] и множеством рациональных точек соответствующего
Полусегмента.
103
58. Указание. Всякий многочлен с рациональными коэффициентами
можно представить в виде частного от деления многочлена с целыми коэффд.
циентами на натуральное число.
59. Установим сначала взаимно однозначное соответствие между совокуп.
ностью всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством всех
двоично-рациональных точек полусегмента [0; 1): каждому конечному множеству
(п1г . . ., п.%) (где п,<п2< ... <nk) ставим в соответствие двоичную
дробь, у которой на местах с номерами пи п2, . . ., после запятой стоят
единицы, а иа остальных местах нули; например, множеству (2, 3, 5) соответст-
вует двоичная дробь 0,01101, т. е. двоично-рациональная точка
2 2 2 32
После того как такое соответствие установлено, остается только перенуме-
ровать все двоично-рациональные точки полусегмента [0; 1). Это можно сделать,
например, следующим образом:
1 j_ £ _1_ А. 5 Л. 1 А. 5. 7. 9 1.
’ 2’ 22’ 2s’ 2s’ 2s’ 2s’ 21’ 24’ 24’ 21’ 21’ 25’ '
Тем самым множество двоично-рациональных дробей полусегмента [0; 1)
поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных
чисел.
60. Каждой последовательности натуральных чисел
«ь п2, п3, . . пь, ...
ставим в соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел
m1<m2<m3< ... <mk< ....
где т^п^+п^+п^, . . .; ть=пх-\-------(- nk; •••
Это соответствие является взаимно однозначным.
61. Последовательности п1<п2<п3< ... <п^< - ставим в соответствие
бесконечную двоичную дробь, у которой после запятой на местах с номерами
пь п2, п3, ., nk, . стоят единицы, а на остальных местах — нули (ср. с
решением задачи 59).
ГЛАВА 3
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
62. Счетное множество.
63. Счетное множество.
65. Счетное множество (см. для случая р=2 решение задачи 59).
66. Счетное множество.
67. Прежде всего заметим, что каждая точка разрыва х0 монотонно возра-
стающей функции f (х) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так
как функция f (х) монотонна и ограничена на [а; х0), то она имеет предел при
х->х0 — 0; аналогично этому проверяется, что функция f (х) имеет предел и
при х->хо4-0.
Назовем скачком функции в точке разрыва х0 разность f (хо+0) — f (х0 — 0).
В каждой точке разрыва монотонно возрастающей функции скачок положителен.
Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше «
(где а— какое-либо положительное число) конечно, а именно: число этих точек
не больше, чем --------Н£1_. Обозначим через Ek множество точек разрыва со
а
104
1
скачком>—. Очевидно, что множество Е всех точек разрыва равно сумме
всех Е^:
---IjEfeU ...
•рак как все Е/, конечны, то Е не более чем счетно.
Для монотонно убывающей на [а; Ь] функции доказательство аналогично.
68. Обозначим через А;— множество точек разрыва функции на отрезке
[—«; ']
Множество А всех точек разрыва (на всей числовой прямой) равно сумме
всех А(:
Л = ЛхиЛи4и •- U/lfeU -
каждое А; не более чем счетно (см. задачу 67). Сумма счетного числа таких
слагаемых также является не более чем счетным множеством. Итак, А не бо-
лее чем счетно.
69. Обозначим Еп=Е(ц—; +°°). Ясно, что ЦЕп=Е, так как
\ ft / и
иЕл=и(£Г)(-; +~У|=ЕГ) Ы-;
н н I \П / J
4-oo^j = Ef)(0;
+ со)=Е.
Если бы все Еп были не более чем счетны,
более чем счетна — что противоречит условию
по крайней мере одно из Еп несчетно.
70. Нет, неверно. Пример: Е=р; ~
то и сумма всех Еп была бы не
(Е несчетно по условию). Итак,
1
. Само мно-
жество Е бесконечно; однако для любого т>0 множествоЕГ)(т; 4-со) конечно.
71. Да, можно. В качестве а можно взять любое положительное число,
отличное от всех чисел | X/— х/г| (где {х[}—данное множество Е). Различных
чисел | Х( — X/, | счетное множество. Поэтому всегда найдется число а>0, от-
личное от всех |хе- — х%\.
72. Да, можно. Доказательство производится так же, как и при решении
предыдущей задачи.
73. Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками 0; ±1; ±2;
+3; ... Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества;
следовательно, между точками множества Е и некоторой совокупностью постро-
енных отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит, множе-
ство Е не более чем счетно.
74. Доказательство проводится так же, как и в задаче 73. При этом пло-
скость следует разбить прямыми x=const и y=const на счетное множество
2
п
квадратов со стороной —
/2
75. Мощность континуума.
76. Мощность континуума (см. задачу 61).
77. Мощность континуума (см. предыдущую задачу, а также задачу 60).
78. 79. Мощность континуума.
80. Мощность континуума. Указание. Установить взаимно однозначное
соответствие между множеством всех рациональных чисел и множеством всех
натуральных чисел. Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответ-
ствие между множеством всех последовательностей рациональных чисел и мно-
жеством всех последовательностей натуральных чисел. После этого задача сво-
дится к задаче 77.
81. Мощность континуума. '
82. Мощность континуума (каждому сегменту [а; Ь] соответствует точка
с координатами а, b на полуплоскости у>х; это соответствие взаимно однознач-
но, а множество точек полуплоскости у>х имеет мощность континуума).
105
83. Мощность этого множества является конечной или счетной
84. Мощность континуума. Указание. Каждому кругу (х—
+(У — Ь)2=/?2 следует поставить в соответствие точку трехмерного пространства
с координатами a, b, R и затем найти мощность полученного множества точек
Рис 17
пространства.
85. Множество этих окружностей может быть и несчетным (например, мно-
жество всех окружностей, имеющих общий центр).
86. Любое множество попарно не пересекающихся букв Т будет не более
чем счетным. Докажем это. Поставим в соответствие каждой букве Т из дан-
ного множества тройку рациональных точек М, N, Р на плоскости так, чтобц
отрезок MN пересекал ножку буквы Т, а отрезки МРнрр
пересекали боковые отростки этой буквы (рис. 17) Тогда
одной и той же тройке рациональных точек М, N, P мо-
жет соответствовать не более одной буквы Т (легко до-
казать, что если бы этой тройке соответствовали две раз-
личные буквы Т, то они бы пересекались). Итак, между
заданным множеством букв Т и некоторым множеством
троек рациональных точек на плоскости установлено вза-
имно однозначное соответствие. Так как множество таких
троек не более чем счетно, то и множество попарно не
пересекающихся букв Т также не более чем счетно.
87. Такое множество может иметь любую мощность,
меньшую или равную мощности континуума. Для того
чтобы в этом убедиться, построим произвольное множество Е на прямой у=—х
и через каждую точку этого множества проведем букву Г (приняв эту точку за
вершину угла буквы Г и направив отрезки буквы Г параллельно осям коорди-
нат). Все построенные буквы будут попарно ие пересекающимися, и множество
этих букв имеет мощность, равную мощности множества Е.
88. Мощность континуума (обозначим через А множество всех функций
вида kx, где /г>0; через В —множество всех строго возрастающих непрерывных
функций, через С — множество всех непрерывных функций. Тогда АсВсС. Но
А и С имеют мощность континуума; следовательно, В также имеет мощ-
ность континуума).
89. Мощность континуума. (Указание. Учесть, что множество всех то-
чек разрыва монотонной функции не более чем счетно и что у такой функции
все точки разрыва являются точками разрыва первого рода. Учесть также то,
что множество различных счетных подмножеств на отрезке [а; 7>] имеет мощ-
ность континуума.)
90. Мощность континуума.
91. Мощность континуума. Для доказательства установим взаимно одиозна
ное соответствие между множеством А всех бесконечных десятичных дробе
в десятичном разложении которых отсутствует 7, и множеством В всех беско-
нечных девятиричных дробей на отрезке [0; 1]: каждой десятичной дроби из
А ставим в соответствие дробь из В, которая получится из первой дроби, если
в ней повсюду цифру 9 заменить цифрой 7. Это соответствие взаимно однознач-
но. Но В= [0; 1]=с; следовательно, А=с.
92. Мощность континуума.
93. Мощность континуума. Взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством А десятичных дробей указанного вида и множеством В всех десятич-
ных дробей устанавливаем следующим образом: каждой бесконечной дроби из А
ставим в соответствие бесконечную дробь из В, которая получается из первой
дроби вычеркиванием цифры, стоящей ва 3-м месте. Например: дроби х=
=0,257361 . . . соответствует дробь у=0,25361 ... ^ В; дроби №
=0,237758 ... £ А соответствует дробь у=б,23758 ... £7? Множество В име-
ет мощность континуума; следовательно, А также имеет мощность континуума.
94. Мощность континуума (см. -задачу 91)-
95. Обозначим замкнутый круг радиуса г буквой А, открытый круг с тем
106
}ке центром и того же радиуса — буквой
В, а замкнутый круг радиуса —
с тем же центром — буквой С. Тогда AzjBzjC. Множества А и С имеют одина-
ковую мощность (взаимно однозначное соответствие между ними устанавливается
с помощью преобразования подобия, с центром подобия в общем центре кругов).
Из эквивалентности множеств А и С вытекает (на основании теоремы Кан-
тора— Бернштейна), что Л эквивалентно В
96. См. задачу 95.
S7. Если А—вся плоскость, В — замкнутый квадрат, С—включенный в
него открытый квадрат, то Az>Bz>C. Но А эквивалентно С (см. задачу 54 в).
Следовательно, А эквивалентно В
99. Да; любое множество Л\С (где С—какое-либо конечное подмножество
множества Л) эквивалентно В.
100. Л=(Д\б)иМГ)Д); B=(B\A)U(ABlB). При этом Л\б и А(~]B не име-
ют общих точек так же. как и множества б\Л и Лрб. Так как Л\В-^В\Л
по условию, и ЛПЙ^-ЛПЙ, то А~В.
101. В условиях задачи имеют место легко проверяемые соотношения:
В=Ли(5\Л),
(1)
ВиС=[Д и (С\В)1 и (Й\Л).
(2)
Оба слагаемых множества в правой части равенства (1) не имеют общих
точек; то же самое верно и для правой части равенства (2).
Множество А и ЛП(С\Й) эквивалентны; это следует из того, что
ЛсЛи(С\й)сЛиС, и что, по условию, A~A[JC. Итак, Л~Ли(С\Д)- Из
этого соотношения, а также из равенств (1) и (2) вытекает, что B~BIJC.
102. Нет, неверно. Пример;
Л={1, 2, 3, 4, . .}, В={2; 3; 4; . . .}; С=А; D={3-, 4; 5, . . .}.
Здесь Л~С, B~D, AzjB, CuD, но Л\В не эквивалентно C\JD (А\В состо-
ит из одного элемента, С\£> — из двух элементов)
103, 104. Нет, неверны.
106. Мощность континуума.
107. Доказательство. Обозначим через Сп — круг радиуса п с цент-
ром в начале координат Ясно, что
СО
£= и (СпГ)й) '
П=1
Если бы все СпГ\Е были не более чем счетные, то таким же было бы и мно-
жество £; но, по условию, Е несчетно; следовательно, хотя бы одно из мно-
жеств СпПЕ также несчетно.
108. См. задачу 59.
109. Мощность континуума.
ПО. Мощность гиперконтинуума.
ГЛ А В А 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
111. Выполнение первых двух аксиом очевидно. Выполнение аксиомы тре-
угольника проверяем следующим образом: для любых ограниченных на [а; Ь]
функций <p(i), ф(0> Х(0 и для любого t £ [а; Ь] имеет место:
1Ф(П —-Ф (О I — Х(*)1+|Х(О~Ф(О1<
<supi <₽ (о -х (о |+sup | % (/) — ф (/) |=е (<р, х)+е (%,
107
Итак, число Q (ф, X) + Q (X, ф) является верхней границей для функции
|ф(1)— ф(/)|. Верхняя грань—это наименьшая из верхних границ. Поэтому
sup I ф (0 — Ф (О К е(Ф, х)+е(х, ф).
т. е.
е(ф, Ф)<е№, х)+е(х, Ф).
112. Прежде всего докажем, что для любых последовательностей
х (и1( а2, аа, .. .) и у (bt, b2t bs, . . .), у которых ряд из модулей членов сходится,
расстояние g (х, у) будет определено. Действительно, ряд |аг- — Ьг-1 сходится,
i ’
так как | а(- — b-t | < j а, 1+| bt |, а ряды У, | а(-1 и У | Ьг | сходятся по условию
i i
Для проверки выполнимости аксиомы треугольника (выполнение первых
двух аксиом очевидно), заметим, что для любого i
I at — bL | < j at — ct |+| Ci — bi |,
и поэтому
2 I ai — bi I < 2 I <Ц — Ci 1+21 Ci — bi\,
i i i
T. e.
Q(x, y)<6 (x, z)+q(z, у), где 2=2 (Cj, Cjj, c3, . . .).
ИЗ. Проверка выполнимости всех аксиом проводится так же, как в за-
даче 111.
114. Ряд У (aj — bj? сходится всегда, когда ряды 2^2 Ь? сходят-
i i i
ся; это следует из того, что
(ii+tfc
(at — bt)^a?+2\afii | + ^ < а? + 2 —-— +&? = 2а® + 2^?.
Выполнение первых двух аксиом метрического пространства очевидно. Третья
аксиома проверяется так: для n-мерного евклидова пространства справедливо
неравенство:
<fli — bt? < j/^ 2 (й/ — Ci? + |/Г .2 {Ci — bi?
(аксиома треугольника в n-мерном евклидовом пространстве). Переходя в этом
неравенстве к пределу при п->оо, получаем:
/со /со /со
У 2(«.-Ьг)2<У 2(Ъ-С1?+у E(Ci-bi?.
115. Аксиома треугольника проверяется интегрированием (в границах от О
до 1) неравенства
I Ф (х) — ф (х)|< | ф (х) — X (х) |+| X (х) — ф (х) |.
116. Нет, не является (не выполнена аксиома тождества: из равенства
sin2 (х—у)=0 не вытекает, что х=у).
117. Да, метрическое пространство. Первые две аксиомы проверяются легко.
Чтобы проверить третью аксиому, сначала надо доказать, что для любых а>0,
Р>0 имеет место неравенство: arctg a+arctg P>arctg (а+Р) (для этого доста-
точно доказать, что при фиксированном Р>0 функция от a: f (a)=arctga+
+arctgp — arctg (а+Р) возрастает; а так как f (0)=0, то при а>0, /(а)>0).
118. Да. Выполнение аксиомы треугольника следует из неравенства
j/Ct+P^l/К +1/Р , которое имеет место при любых а>0, Р>0 (проверяется
это неравенство извлечением квадратного корня из обеих частей очевидного не-
равенства а+Р<а+р+2И аР).
108
119, Да, метрическое пространство.
120. Да, метрическое пространство.
121. Множество Е не является метрическим пространством; здесь выполнены
две первые аксиомы, но не выполнена аксиома треугольника: если точки М и N
очень близки к Мо и находятся по разные стороны от Мо, то
е(м, м)>е(Л1, ai0)+q(ai0, м).
122. Для того чтобы вывести неравенство Коши — Буняковского для интегра-
лов, разделим отрезок [а; Ь] на п отрезков д^(А>=1, 2, .... п) и внутри каж-
дого из иих выберем произвольную точку tK. Затем, применяя неравенство Коши —
Буняковского для конечных сумм к двум конечным последовательностям:
<р (<i) VД0; <р (У VД •; <₽ (tn)Vд tn-
ф (0) V Д0; Ф (Г) V Д0; •; Ф (Дг)V Д0>,
получим
п / п / п
2<р(^)Ф(ш^<1/ 2[<р(^)т 1/ Жадт.
k=l г k~l г k= 1
Переходя в этом неравенстве к пределу при Д0г^О, будем иметь:
ь Гь Гь ’
рР(0Ф(0Л< I/ J[<₽(012^ У ([Ф(01а<й.
а ’ а * а
Это и есть неравенство Коши — Буняковского для интегралов, справедливое для
любых непрерывных функций <р (0 и ф(0. Умножая обе его части на 2 и за тем
прибавляя к обеим частям J [<р(0]2 dt + |[ф (Z)]sdZ, получим после преобразова-
а а
ний: ___________________________________
/ ь Гь [ ь
У |(<Р4-ф)2Л <|/ [<р2^+у J tyzdt.
Пусть теперь х (t), у (0, z (0 — три произвольные непрерывные функции на
[а; &]; подставляя в последнее неравенство <р (0 = х (0 — г (0, ф (0 = г (0 —у(0,
получим:
Q(*•> у)<е(-к; z)+e(z; у);
следовательно, аксиома треугольника имеет место в данном пространстве. Лег-
ко проверяется также выполнение аксиом тождества и симметрии. Следователь-
но, данное пространство является метрическим.
123. Да, метрическое пространство.
Указание. Для проверки аксиомы треугольника проще всего привести
предварительно формулу для расстояния к следующему виду:
g(Zx; y = V (Ра — Pi)2+(sinct2 — sina1)2+(cosa2 — cos a,)2,
и затем воспользоваться тем фактом, что неравенство треугольника выполняется
в трехмерном евклидовом пространстве.
124. Да, метрическое пространство.
125. Нет, не является метрическим пространством; здесь не выполнена
аксиома тождества: две прямые
/(: х cos а+у sin a — р=0; Z2 : х cos (л—a)+y sin (л—a) — p=0
не совпадают друг с другом, тогда как Z2) = 0. С другой стороны, прямые
Бг: х cos а+у sina=0; L2: xcos(n-pa)4-y sin(n-pa)=0
совпадают, хотя q(Li, Ls) = 2|sina| =£0 (при 0<а<л).
109
126, 127. Да, метрическое пространство.
128. Нет, R может оказаться не метрическим пространством (см., например,
задачи 125 и 126).
129. В выполнены все аксиомы, кроме аксиомы тождества; если, напри-
мер, R— числовая прямая, £1=(а; Ь), Е2—[а; Ь], то Q (Ег, Е3)=0, тогда как
Е1У=Е2. 1
130. Семейство Ф является метрическим пространством
131. Это семейство не является метрическим пространством: если Егс.Е&г
то q(E,, Е2)=0, тогда как ЕуГ=Ег.
ГЛ АВА 5
ПРЕДЕЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
132. Пусть inf q (х, y)=d > 0. Докажем, что никакая точка а, принадле-
у1ех^у
жащая плоскости, не может быть предельной. Для этого докажем, что в
—-окрестность точки а попадет не более одной точки из Е. Действительно,
если бы сюда попали две точки из Е: х£Еиу£Е, то было бы
d d
Q (х, у) < Q (х, a)+Q (а, у) < —+~=d, t. e. g (x, y) < d.
Но это противоречит условию, что d=inf g (x, у).
133. Этому условию удовлетворяет, например, множество Ег точек на
прямой:
—;... и 0.
п
1; —; 4; -
2 3 4
Здесь Е| — {0} (одноточечное множество), Ej = 0.
134. Прн п=2 см. предыдущую задачу. При п=3 соответствующее мно-
жество Е строим, например, следующим образом к каждой точке вида — (где
(1 1 1
i — натуральное число) пристраиваем последовательность <—4-~}, k=l, 2,
1 k i J
1 1 1
3 . . сходящуюся к точке —. Тогда множество всех точек вида —4-— (А>1,
t kt
i > 1) с добавленной к нему точкой 0 дает искомое множество Еа. Его произ-
водным множеством является Ei (множество, построенное в предыдущей
задаче): Е2=Еу, отсюда
E2=Ej = ;0), Е'"==0.
Аналогично строятся множества при п > 3. Вообще, для любого п > 2 удовле-
творяет условию задачи, в частности, множество En—r, составленное из всех
(11 1 )
точек вида <— 4-—4- 4-—} и точки 0, где 1 «С/г < п, а знаменатели
I '1 h ‘i J
/1( i2, , ik пробегают всевозможные натуральные значения 1, 2, 3.. . Легко
показать, что Еп_х=Еп—2, откуда следует (по индукции), что Е^~^={0]г
£^21 =0-
по
1 \
— I для всех
135. Множество Е замкнуто. Его производным множеством является мно-
жество всех чисел вида — и 0; Е"= (0}; f"=B (см. предыдущую задачу).
/ k
136. Например, множество Е точек с координатами: I—,
\
целых чисел k и всех натуральных чисел п. Здесь Е' — вся ось Ох, причем
ни одна точка из данного множества не входит в Е' (рис. 18).
Другой пример приведен в задаче 288.
Ц
Ё '
Рис. 18
137. Пусть а — предельная точка для Е'. Докажем, что а является пре-
дельной точкой также и для Е. Опишем около а произвольную окрестность
V (а). В ней содержится бесконечно много точек из Е’. Возьмем какую-либо
из них, например bQE', и опишем около нее окрестность У6 (Ь), целиком ле-
бесконечное множество точек из Е (так
жащую внутри V£ (а). В ней имеется
как Ь£Е' и, значит, Ь является пре-
дельной точкой для £). Но тогда все
точки из Е, попавшие в (Ь), ока-
жутся и в окрестности У£ (а); зна-
чит, любая окрестность 1/£ (а) точки а
1
содержит бесконечно много точек из
Е. Следовательно, а является предель-
ной точкой для Е, т. е. а^Е'. Итак,
всякая предельная для Е' точка а вхо-
дит в Е', а это и означает, что мно-
жество Е' замкнуто.
138. Так как Е' замкнуто (см.
предыдущую задачу), то все его пре-
дельные точки входят в £', т. е.
E"czE'. Аналогично, E'"<zE" и т. д.
В
Рис. 19
0 ILL 1
и 651» 3
139. Пример. Пусть Ак — сег-
мент на плоскости, соединяющий точки
/ 1 \ / 1 \
I—; 0) и (—; 1). Тогда Ak =Ak
\ К / \ к /
У^=иАЛ> (U40'=(lW (JB,
k k k k
где В — сегмент, соединяющий точки (0; 0) и (0; 1) (рис. 19) Здесь
(U A/J'zdUно равенство не имеет места.
k k
Вообще, для любой последовательности множеств {А^} справедливо вклю-
чение: ((JAfe)'z>(J Ад.
k k
140. Нет, неверно. Пример. А = (1; —; —;
13 5
1
2k — 1
(111 1 )
- } 3^Апв=0,
(АГВ)’=0, А'={0}, В'={0}, А'Г)В' = {0}.
141. На все вопросы ответ положительный (см. пример, построенный
в качестве решения задачи 136).
142. Пример. На отрезке [0; 1] строим множество Ег всех точек вида
— (где п=1, 2, 3, .. .); на [1; 2]—множество £2 всех точек вида14-— 4-'—-
п пх fi2
(где п,=2; 3; 4; . . . ; п2=2; 3; 4; . . .); вообще, на [А— 1; k] — множество
1 1 1
Eh точек вида k—1 +------1-----Ь 4----, где ni=--k, A-f-1, k+2, . . •
П2 tlft
n2=k, &-J-1, А4-2,n^—k, k 4-1, А 4-2, . . . Тогда объединение Е всехЕ^:
ОО
Е = U Eh удовлетворяет всем требованиям задачи.
fe=l
143. Достаточно к множеству Е, построенному в задаче 142, добавить
отрезок!—1; 0]. Тогда множество A1=7?(J [—1; 0] таково, что #= Л1^
при 1> / и 0 Л4(А)=[—1; 0] =f= 0.
k
144. а) Пустое множество и вся плоскость, б) Любое открытое множество
на плоскости (отличное от пустого и от всей плоскости), в) Любое множество,
не являющееся ни открытым, ни замкнутым (например, множество точек (х, у)
таких, что 0 < х < 1, 0 < 1). д) Множество всех иррациональных чисел
на прямой.
145. В любой окрестности такой точки найдутся как точки, не принадле-
жащие множеству (в частности, сама эта точка), так и точки множества (так
как эта точка является предельной).
146. Пусть Д=Д1С1Л2 и х^Ьогпе А. Тогда в любой окрестности точки х
найдутся как точки из С А (эти точки не входят ни в Лх, ни в Az), так и точки
из Ai или из А2. Возьмем последовательность окрестностей точки х с радиусами
е„=— и в каждой такой окрестности выделим точку, принадлежащую к At или
п
к А2. Хотя бы одно из множеств Ас или А2 (для определенности будем
считать, что множество Лх) имеет точки в бесконечном числе этих окрестностей,
например в окрестностях
W, ^_1_ (X)........V_1_ (X), .. .
Тогда любая окрестность точки х содержит точки из Аг; действительно, пре
извольная окрестности Vr (х) включает V j (х) для некоторого номера k (до-
пк
статочно взять n% > —но V , (х) содержит хотя бы одну точку из Л]
"й
следовательно, это же имеет место и для VT (х).
Итак, любая окрестность точки х содержит точки из Аъ а также точки,
не входящие в Аг. Но тогда x^bome Аг. Следовательно,
х(: (borne Л t)U (borne Л2), т. е. borne Л с (borne Л,) (J (borne Л2).
Если бы Л было суммой не двух, а любого конечного числа множеств
AltA2, . . . Лп, доказательство было бы аналогичным.
Если же Л является суммой бесконечной совокупности множеств, то анало-
112
гичное утверждение уже неверно. Например, если А1г— прямая линия, располо-
1 со
женпая на плоскости Оху и заданная уравнением х = —, то множество (J Аь
k £=1
имеет в числе своих граничных точек, в частности, все точки оси Оу; однако
эти точки не являются граничными ни для одного из множеств Ak.
147. Так как Аг с АгЦ А2, то А, с аналогично ~А2 с ARJA^ сле-
довательно, -dtlMa CZ Л11_М2.
Обратное включение Ас (J А2 С Д (J Аг доказывается тем же путем, каким
доказывалось включение Ьогпе (Aj (J А2) с (Ьогпе AJ (J (borne Л2) (см. решение
предыдущей задачи).
Сравнивая эти включения, получаем требуемое равенство AjU А2=А1[) Л2.
Включение U А^ с U Ag для бесконечной совокупности множеств доказыва-
ется так же, как и включение Л1иЛ2сЛ1иЛ2 для суммы двух множеств.
148. Если At и А2 замкнуты, то Л1=Л1, А2=А2; поэтому на основа-
нии результата предыдущей задачи (для суммы двух множеств) имеем Аг (J Л2 =
=AjU Л2=Лхи Л2; следовательно, AtljA2—замкнутое множество.
Доказательство для суммы любого конечного числа множеств аналогично.
149. Пусть Л^ — замкнутые множества. Докажем, что f) Ag тоже замкнуто,
т. е. докажем, что f) А- = Г|ЛГ .
Е Е
В одну сторону включение очевидно: П Л>. с р Лг .
Е £
Для того чтобы доказать обратное включение, рассмотрим произвольную
точку xf Г) А,- . В любой ее окрестности найдутся точки из ПЛ.; следова-
тельно, в этой окрестности найдутся точки из каждого множества А^ . Значит
х является точкой прикосновения для каждого множества Ag , т. е. х(:А,.
для любого Л^ (в силу того, что множества Ag замкнуты). Но тогда х £ П Ag .
Итак, f)A*cQ А^
£ £
Сравнивая оба полученных включения, приходим к выводу, что f) Д£ =
= Л Л ; значит, множество f) Аг — замкнуто. Е ь
Е 6 Е _
150. Пусть а— точка прикосновения для Е. Докажем, что а является так-
же точкой прикосновения для Е. Опишем произвольную окрестность V (с) и
найдем в ней точку bQE. Ranee, построим окрестность V(6), включающуюся
в V(a). Так как b £ Е, то Ь является точкой прикосновения для Е. Следовательно,
V(6) содержит хотя бы одну точку из Е. Но тогда эта же точка входит и в У(а).
Итак, произвольная окрестность V(a) точки а содержит хоть одну точку из Е, а
значит, а является точкой прикосновения для Е. Но тогда а(- Е. Таким образом,
доказано, что всякая точка прикосновения множества Е вход тт в Е, т. е. Е замк-
нуто.
151. Если последовательность rlt г2,.... гп, . . . неограничена, то объ-
единение этих окружностей замкнуто.
Если последовательность r\, г2, .... гп, . . . ограничена, причем lim гп=а,
п-^-со
то объединение этих окружностей не замкнуто; замыкание суммы окружностей
получится, если к этим окружностям добавить предельную окружность радиуса а.
152. Объединение этих окружностей не замкнуто; мы получим замыкание
суммы, добавив к данным окружностям концентрическую окружность радиуса а,
если lim гп=а >0 (или одну точку — общий центр, если lim rn=0).
n->co n->oo
8 Ю. С. Очан
113
153. Это множество замкнуто, если lim гп=-\-оо (в этом случае оно сои-
11—>СО
падает со всей плоскостью); оно не замкнуто, если lim rn=a<+co. В обоих
п->со
случаях это множество является открытым.
154. Это множество не является совершенным; но добавление к нему
одной точки (начала координат) делает его совершенным.
7
155. Обозначим через Сп окружность радиуса —- км с центром на зем-
ной оси, расположенную в северном полушарии на поверхности земли; длина
7
этой окружности равна — км (рис. 20). Через Вп обозначим окружность, распо-
ложенную на поверхности земного шара иа 7 км южнее, чем Сп. Тогда искомое
множество Е таково:
... (JPO>
где Ро — одноточечное множество (южный полюс).
Множество Е не замкнуто. Кроме
точек окружностей Вг, В2, . . ., предель-
ными являются также все точки окруж-
ности Л, отстоящей на 7 км южнее се-
верного полюса (окружность А не входит
в £). Поэтому:
E=E[JA, Е'—(Е(]А)\Ра.
156. Пусть — предельная точка
множества Еа. Возьмем последователь-
ность {хп} (где xnQEa), сходящуюся к
Тогда f (хп) > а для всех п. В силу не-
прерывности f (х) имеет место: f (£)=
= lim f (хп). Но из анализа известно:
хп
если все члены сходящейся последова-
тельности больше или равны а, то ее
предел тоже больше или равен а. Итак,
lim / (хя)> а, т- е- f (?) >«• Следо-
хп*
вательно, Значит, множество Еа
замкнуто.
элемент множества Е. Тогда найдется
сходящаяся
<р (х)| -»0 при
157.
Пусть <р (х) — предельный
последовательность элементов множества Е: fa (х), fa (х), .
к <р (х) (в смысле сходимости в пространстве С, т. е. max IA (х)
п^оо). Иными словами, fa(x) равномерно сходится к <р(х). Но если fn(x)
сходится к <р (х) равномерно, то и для каждого х, х£[0; 1], имеет место:
lim/„ (х)=<р (х). Так как, для каждого х£[0; 1], А < fa (х) В, то и в пре-
деле А lim fa (х) < В, т. е. А < <р (х) < В.
п-*оо
Итак, <р (х) £ Е. Таким образом, всякий предельный элемент множества Е
принадлежит Е. А это и означает, что Е замкнуто.
158. Доказывается аналогично.
159. Нет (например, Два сегмента на плоскости, пересекающиеся в одной
точке).
160. Сумма конечного числа совершенных множеств всегда является
совершенным множеством; сумма счетного числа совершенных множеств не
обязательно является совершенным множеством (см. пример к следующей
задаче).
114
161. Пример: сумма счетной совокупности сегментов
3
1—:
4
1;
2 J I 2
и - и|2-^г= 2-5^1
Здесь каждое множество замкнуто (даже совершенно), а сумма не замкну
та: суммой является полусегмент [1; 2).
162. Для этого надо доказать, что если р — точка прикосновения для мно-
жества граничных точек, то она сама является граничной точкой исходного
множества Е (доказательство этого факта похоже на доказательство аналогич-
ного факта в задаче 150)
163. Пусть £ — данное множество, А — множество его внутренних точек
О
(т. е. А=£). Пусть х0£Д— какая-либо точка А. Надо доказать, что х0— вну-
тренняя точка множества А. Для этого опишем около х0 окрестность V (х0),
входящую в Е (что возможно, так как х0— внутренняя точка множества Е).
Каждая точка х С V (х0) язляется также внутренней точкой множества Е (так
как около х можно описать окрестность V (х), входящую в I/ (х0) и тем самым
входящую в £). Итак, всякая точка xfV (х„) является точкой из А. Значит,
хп является внутренней точкой множества А. Таким образом, каждая точка
множества А язляется его внутренней точкой, т. е. А — открытое множество.
164. Это следует из того, что £ является суммой е-окрестностей всех
точек из множества А:
Е= U Ve (х)
хеЛ
165. Нет, неверно. Пример. £ — множество на плоскости, являющееся
суммой двух множеств: замкнутого круга D и одноточечного множества, лежа-
щего вне D. Тогда E=D и E==D', но E^D.
Однако для всякого замкнутого множества £ имеет место включение £ cz £.
166. Нет (пример: £ — открытый круг с выколотым центром; здесь
£
Однако для всякого открытого множества £ справедливо включение: £ zd£.
167. Для доказательства надо использовать следующее свойство непрерыв-
ной функции: если непрерывная функция положительна в точке х„, то она
оложительча и в некоторой окрестности этой точки.
168. Пусть <р££. Тогда А < <р (х) < В всюду на [0, 1]. Обозначим
sup <р (х)=р, inf <р (х)=а. Ясно, что sup го (х) не может равняться В, так как
по свойствам функций, непрерывных на сегменте, sup <р (х) достигается в неко
торой точке х' сегмента [0; 1]:<р(х')=р. Но q> (х') < В; следовательно,
р < В. Аналогично, а > А. Обозначим через е наименьшее из чисел а — А
и В — р Тогда все функции у(х), удовлетворяющие неравенству
<р (х)—е < у (х) <<р(х)-)-е, принадлежат множеству £. С другой стороны, все
такие функции у (х) образуют е-окрестность функции <р, так как все эти функ
ции—и только они — удовлетворяют условию: Q (<р, у) < е. Итак, вместе с
функцией <р (х) в множество £ входит также некоторая окрестность функции <р,
а это значит, что £ —открытое множество в пространстве С.
169. Доказательство аналогично.
170. Пример. Пусть £й — открытый круг на плоскости с центром в на-
1
чале координат и радиусом —. Тогда
k
со
П £/; является одноточечным множеством
/г=1
(началом координат). Оно не является открытым множеством.
171. Перенумеруем все рациональные точки числовой прямой: . . .,
гк, . . ., и обозначим Gk—I\(rk] (т. е. Gk— вся числовая прямая 7, из кото-
8*
115 ’
рой исключена одна точка г^). Каждое Gtl — открытое множестго, а пересечение
всех G/, равно множеству всех i ррациональных точек. Итак, это последнее мно-
жество является множеством типа Gg .
172. Пусть А = Е[)Е', В-—пересечение всех замкнутых множеств, вклю-
чающих Е. Докажем, что, каково бы ни было Е, имеет место равенство: А=В.
1) А — замкнутое множество (см. задачу 150), включающее Е; следова-
тельно, A 2D В.
2) Любое замкнутое множество F, содержащее Е, содержит также все
его предельные точки; поэтому F E(JЕ', т. е. F ZD А. Но тогда и пересече-
ние всех таких замкнутых множеств F содержит А; значит, В А.
Из того что A В и В ZD А вытекает, что А=В.
173. Доказательство аналогично.
174. Каждое из множеств Еп замкнуто (см. задачу 156).
Функция f(x), непрерывная на сегменте, ограничена на нем (например,
для всех [°’> *])! следовательно, все Еп при n>N пусты. По-
этому сумма E||JE3(J . . сводится к сумме конечного числа
непустых замкнутых множеств. А такая сумма является замкнутым множеством.
1
175. Пример. Функция у=— непрерывна на интервале (0; 2). Здесь
EiU Eg U Es (J U Е2д—1U • • •
...U
—;------41 .
2k 2k —1 Г
1 1
“Б и‘
а это — незамкнутое множество на числовой прямой.
176. Пусть А[ множества типа Gg , Az= ПА/,ft, где 4;,/.— открытые мне-
k
жества. Если Е=ПА/, то Е=ПА/,/г- Следовательно, Е является пересечением
I i,k
счетной совокупности открытых множеств Д/,д, т. е. Е является множеством
типа Ge.
177. Пусть А и В два множества типа G. , Л=П Л, Е=ПВ/; (где Аг, Вк —
° / k
открытые множества). Множество E=A(JS может быть записано в виде
E=(FiA1)i)(riB/!). Дважды применяя распределительный закон*, получим:
i k
Е=П{(ПА/)иЕА| = П(П[Л;иВ*1}= ЛМ/UEfe]-
k i k i i,k
Так как каждая сумма /l/UB/г является открытым множеством, то мно-
жество Е, как пересечение счетной совокупности открытых множеств, является
множеством типа Gg .
Мы доказали, что пересечение двух множеств типа Gg является множест-
вом типа Ge . Доказательство того, что этот же факт имеет место для пересе-
чения любого конечного числа множеств типа Gg , производится по индукции.
178, 179. Доказательства проводятся аналогично.
180. Доказательство вытекает непосредственно из определения нижнего пре-
дела.
181. Функция у=1п (х24~1) строго возрастает и непрерывна на участке
Е : 0 < х < -(-со; при этом функция принимает значения на луче Ег: 0 < у < -(-со.
Возьмем произвольную точку у0 £ Ег и опишем около нее произвольную окрест-
* См. введение к первой главе, стр. 6, формула (2).
116
ность (у0— s, Уо+е)*. Докажем, что в ней найдется хоть одна точка вида.
1п (1+г2)(где г — рациональное число).
По свойствам непрерывных функций заключаем, что на множестве Е оси
Ох найдутся точки и х2(хх<х2), такие, что
1п (1+4)=Уо —е; in (1 + х£)=уд+е.
Между X] и х2 найдется по крайней мере одна рациональная точка; обо-
значим ее г: х, < г < х2. Так как на Е функция 1п (l-j-х2) строго возрастает,
то ln(l+xj) < 1п(1-|-г2) < 1п(1-|-х|), т. е. у0 — е < 1п(1-|-г2) < у0+е- Итак,
в любой, сколь угодно малой, окрестности каждой точки у0 £ Е найдется точка
вида 1п(1+г2). Значит, множество точек такого вида плотно на Et.
182, 183. Доказательства аналогичны.
184. Замыканием является луч |0; -}-оо); действительно, любой интервал
р2
(а; 6)(где О а < 6) содержит число вида — (это число легко иайти:
92
р .— р ,—
чала найдем рациональное число —, такое, что у а < — < у р , а затеи
сна-
ВОЗ-
, Р2 Д
ведем его в квадрат; тогда будем иметь а < —- < р .
185. ~
186. Замыканием является сегмент [0; 1}.
187. Доказательство проводится так же, как и при решении
188. Нет. Например, множество, являющееся суммой двух
7 1 \ /3 \
0; —1 (J —; II, обладает указанным свойством, но не является
\ 4/ \4 J
[0; 1]. Можно построить даже пример множества, обладающего
свойством и нигде не плотного на основном сегменте. Таким будет, например,
множество E=D\Dr на сегменте [0; 1], где D — канторово множество,
a D] — множество концов его смежных интервалов.
189. Перенумеруем все простые числа: pi=2, р2=3, ps=5, р4=7, . . .
и обозначим через Ek множество всех чисел вида г 4- f Pk , где г пробегает
множество всех рациональных чисел, a рк фиксировано. Тогда
счетно и всюду плотно на прямой (оно получается из множества
нальных чисел сдвигом на ]/Рь). Докажем, что множества Ек
пересекаются.
Пусть k+i и, следовательно, Pk~r-Pi- Возьмем произвольный элемент-
?=/-!+/ Pk из множества Ek и произвольный элемент т]=г2-}-|/р, из множе-
ства Е[ и докажем, что £=£т|. Допустим, что £=Т); тогда rt 4- if pk=r2+ V Pt,
откуда вытекает, что (гг — r2)2 = (]fpi~ Vfk) или V PiPk =
—Pi+Pk (ri rz) . мы получили заведомо неверный результат (квадратный
2
корень из произведения двух различных простых чисел оказался рацио-
нальным числом). Следовательно, наше допущение, что £=Т], является невер-
ным; значит, при любых i/=k.
190. Пусть k > 0 — целое число. Тогда существует такое целое число nk,
что nk<_kt, <^пку\-, обозначим хк-=—n-k+kt;, ясно, что для лю-
бого натурального числа k.
Замыканием является луч [1; 4-со).
181.
задачи
интервалов
плотным на
указанным!
каждое Efi
всех рацио-
попарно не-
* Конечно, е>»0 выбираем достаточно малым с тем, чтобы эта окрест-
ность уместилась на луче Ег. Если уо=О, то вместо окрестности берем полу-
окрестность (0; е).
117.’
Возьмем теперь произвольный интервал и и докажем, что найдется число
вида m-f-n £, попавшее в этот интервал. Пусть i — натуральное число, такое,
что — < |и| (|tz| означает длину интервала и). Тогда средн чисел. xlt xs, . . ., хг+1
найдется по меньшей мере два таких, расстояние между которыми меньше,
1
чем —:
i
1
«ли. считая, что xk xk^:
0<хй>—хйг<р
Обозначим &=xk' — xks и разобьем всю прямую точками:
. . .. — 36, —26, —6, 0, 6, 26, 36,. ..
Так как 0 < б |и|, то по крайней мере одна из этих точек (например, рб,
где р — целое число) попадет в интервал и. Но
р 6=р (xkj — xft5)=Р [(— nkt -Hi £) — (— nks+k2 t,)]=m+n g
Следовательно, выбранный наугад интервал и содержит по меньшей мере одну
точку вида т-\-п £; значит, множество этих точек всюду плотно на прямой.
191. Да. Доказательство проводится так же, как и в предыдущей задаче
1 1«1
только I надо выбирать так, чтобы имело местоТогда в интервал и
попадут по меньшей мере две соседние точки из последовательности . . ., —36,
— 26, —6, 0, 6, 26, 36, . . . и, значит, найдется четное число р, такое, что
р 6 £ и Следовательно, в произвольный интервал и обязательно попадет число
(гДе т и п — четные)', значит, множество чисел такого вида плотно
на прямой.
192. Допустим, что существует дуга ДосГ, свободная от точек множе-
ства М. Обозначим через Дй дугу, которая получается в результате поворота
. дуги До на k радиан. Ясно, что если Д_, не
имела точек из М, то и Д/г (при любом целом k)
/г также не имеет точек из М.
\ Дуги До, А,,___________ Дк, . . ., имеющие одина-
flJ \ ковую длину и расположенные на окружности
1| | Г конечной длины, не могут не пересекаться,
m I Пусть, например, Д^Л д^ =£ 0. При этом
/ Д/о Дг-оЧ:т (так как угол т не может быть
у кратным углу 2л в силу иррациональности чис-
ла it).
О Из того что Д/(] П Д/оЧ_т¥= 0 вытекает, что
Рис. 21 при повороте любого Д^ на угол т мы получим
Дугу Д/;+т> пересекающуюся с Д/г по непусто-
му множеству. В частности, по непустому множеству пересекаются любые две
соседние дуги из последовательности
Но тогда сумма этих дуг покрывает всю окружность Г, что невозможно, так
как Г М, а ни одно Д* не содержит точек из М (рис. 21).
Итак, на окружности Г не существует дуги, свободной от точек множе-
ства М Значит, 7И=Г.
118
193. Опишем около произвольной точки М (х0; у0) плоскости Оху произволь-
ную е-окрестность. Эта окрестность содержит рациональную точку Р(г'; г"),
где е г е е в
х0— —- <г Уо-----7=<г <>'о+"7Г
1/2 V 2 Уч Иг
(рис. 22). Итак, множество рациональных точек плотно на плоскости.
194. Пусть <р (х) — произвольная функция из С [0; 1], Ve (ф) — в-окрестность
этой функции (где е >• 0 — произвольное число) Согласно определению рассто-
яния в С, окрестность (ф) состоит из всех функций у(х), таких, что*
Ф (х)—е (х) <ф (х)+б. Согласно первой теореме Вейерштрасса (см. стр. 56),
существует такой многочлен Р(х), что ф (х)—е<;Р(х) <^Ф(х)-}-е; таким об-
разом, множество всех многочленов плотно в С.
195. Пусть в > 0 — произвольное положительное число. Для любой ф(х)£С
е
можно найти такой многочлен Р (х), что q (ф, Р) < — (первая теорема Вейершт-
расса). Пусть Р (х)=а0-(-а1х-(- • • • -}-tz„xn. Заменим в нем все сц рациональными чис-
е
лами Ь/, такими, что |аг- — Ьг-| < —--—, и обозначим через Q (х) получившийся.
~ 1)
многочлен с рациональными коэффициентами бг-:
Q (x)=fc0+bIx4-b2^2+ ••• pbnxn.
Тогда
\Р (х) — Q (х)|=|(й0 — Ьо)— bj х+(я2 — 62) хЧ------+(а„ — Ь,г) х"| <
< |оо — M-M+te — *2[-1-*3Н— ьп\ |х«| <
< | Оо — —bil + te — 62I+ •" +1сл—^п\ < п, , п («+1) = 7Г-
е
Следовательно, q (Р, Q) < —. Но тогда:
е е
е (ф. <3) <е (Ф. р)+е (р.<2) <у+-^=е.
Итак, множество многочленов с рациональными коэффициентами плотно в С [0; 1].
119
196. Назовем сегменты
оставшиеся после исключения
.интервала
г 2
I 3’
[7_ _
\ 9 ’
сегментами 1-го ранга; сегменты
71
9 J’
8\
— I — сегментами 2-го ранга, и т. д.; вообще, сегмент
оставшиеся после исключения интервалов
£
9’
п-го
ранга
I-
0
Рис. 23
п-1-1-го
ранга,
длину —; чтобы получить из него сегменты
1
исключить из него интервал длины с центром в середине сегмента.
имеет
надо
Заме-
3
2
9
тим, что при любом п сумма всех сегментов п-го ранга покрывает канторово
множество D.
Чтобы доказать, что D является нигде не плотным на прямой, надо дока-
зать, что любой интервал содержит внутри себя другой интервал, полностью
свободный от точек множества D. Возьмем наудачу интервал 7= (а; Р). Если он
не содержит точек из D, то в качестве интервала, содержащегося в I, берем сам
этот интервал. Если же имеется точка содержащаяся в /, то мы
можем найти сегмент какого-либо, достаточно высокого, ранга п, содержащий
х0 и включающийся в I (рис. 23). Найдем интервал длины с центром
в середине этого сегмента. Этот интервал не содержит точек из О и вместе
с тем содержится в I.
Следовательно, D — нигде не плотное множество на прямой.
197. Возьмем произвольную окрестность Vs (ф) произвольного элемента ф из С.
Если ft const, то в Ve (ф) найдется меньшая окрестность V (ф), пол-
120
ностью свободная от функций-констант. В качестве ех достаточно взять
|ф (xi) — ф (^s)l
любое число, меньшее чем 2---------------L, где Xj и х2 — какие-либо точки на
[0; 1J, такие, что <р (х,) ф <р (х2) (рис. 24).
Если же <p=b (Ь== const), то на интервале (Ь — е; Ь-f-e) оси Оу находим
содержащийся в нем интервал (a; f), полностью свободный от точек канто-
рова множества D. Тогда множество функций X (х), Для которых а < х (х) < р,
является некоторой окрестностью в пространстве С, принадлежащей к \'е (ср),
и полностью свободной от элементов множества Е (рис. 25).
Итак, Е нигде не плотно в С.
Рис. 25
198. Доказательство аналогично.
199. Доказательство того, что Е нигде не плотно на прямой, проводится
тем же путем, как и для канторова множества (см. задачу 196).
200. Это множество строится следующим образом: Делим отрезок на 10
равных частей и выбрасываем интервал (0,4; 0,6) Затем каждый из остав-
шихся сегментов 1-го ранга: [0; 0,1], [0,1; 0,2], [0,2; 0,3], [0,3; 0,4], [0,6; 0,7]
и т. д. делим на десять частей и выбрасываем в каждом из них два средних
интервала (вместе с разделяющей их точкой), т. е. из сегмента [0; 0,1] —
интервал (0,04; 0,06), из сегмента [0,1; 0,2] — интервал (0,14; 0,16) и т. д.
Затем каждый из оставшихся сегментов 2-го ранга [0; 0,01], [0,01; 0,02],
[0,02; 0,03], [0,03; 0,04] и т. д. делим на 10 частей н выбрасываем два средник
интервала (вместе с разделяющей их точкой) и т. д.
Доказательство того, что Е нигде не плотно на прямой, проводится так же,
как и доказательство аналогичного факта для канторова множества (см. задачу 196).
201. Да, это множество нигде не плотно на прямой (доказательство анало-
гично тому, которое проводится при решении задачи 200).
202. Это множество не замкнуто. Его замыкание состоит из всех (не
только иррациональных, но также рациональных! точек отрезка [0; 1], разло-
жение которых в десятичную дробь возможно без цифры 5. Как само заданное
множество, так и его замыкание, не содержат изолированных точек. Как задан-
ное множество, так и его замыкание, нигде не плотны на прямой.
203. Пусть А—нигде не плотно, I—какой-либо интервал на прямой,
а — включающийся в него интервал, свободный от точек множества А.
Тогда не содержит также предельных точек множества А (в самом деле,
если бы Хо^Л было бы предельной точкой для Л, то в любой окрестности
точки х(), в частности, в той, которая целиком лежит в /х,—нашлись бы
точки из А, что противоречит определению интервала 1г). Следовательно, вся-
кий интервал I содержит интервал /х, свободный от точек множества. А (т. е
от точек замыкания). Поэтому А нигде не плотно на прямой.
121
204. Прямое утверждение доказывается без труда. Обратное утверждение
неверно. Пример. Множество рациональных чисел всюду плотно на прямой,
®о его дополнение не является нигде не плотным.
205. Это утверждение верно. Доказательство. Если Е всюду плотно,
то любой интервал I содержит точку х0 из Е. Но так как Е открыто, то
вместе с х0 в Е входит некоторая окрестность Ve(x0). Общая часть Д интер-
вала I и окрестности 1/Е ^0) является интервалом, включающимся в I и состо-
ящим только из точек множества Е. Но тогда интервал 1г свободен от точек
множества СЕ\ следовательно, любой интервал I содержит подинтервал /х,
лишенный точек множества СЕ. Значит, СЕ нигде не плотно на прямой.
206. Необходимость условия очевидна (и не только для замкнутого, но и
для всякого нигде не плотного множества на прямой). Достаточность доказы-
вается следующим образом: если Е замкнуто, и всякий интервал I содержит
точку Хо^СД, то он содержит также некоторую окрестность Ve (х0) С СЕ (так
как СЕ открыто). Значит, всякий интервал I содержит подинтервал Уе (х0),
свободный от точек множества Е. Следовательно, Е нигде не плотно.
208. Пусть Еъ Е2, . . ., Еп—нигде не плотные множества на прямой R.
Пусть (а; Ь) — произвольный интервал на прямой. Так как Е, нигде не плотно
на R, то найдется интервал (ах; рх), включающийся в (а; Ь) и свободный от
точек множества Ег. Далее, так как Е2 нигде не плотно, то в (alt pi) най-
дется интервал (а2, р2), свободный от точек множества Е2\ а так как
(а2, Рг) CZ(Oi, Pi), то («2, р2) не содержит также точек множества Ег. Анало-
гично построим интервал (as, Р8) с (а2, ра), свободный от точек множеств
Ег, Е2, Е3. Продолжая этот процесс, мы получим, после п шагов, интервал
(а„, р„), свободный от точек множеств Е1г Е2, Es, . . ., Еп я, следовательно,
•свободный от точек множества F, причем
(«л. ₽л)С(«л-1, ₽л-1) С •" <=(<Х1, Р1) с (а; 6).
Итак, произвольный интервал (а, Ъ) содержит интервал (ап, р/г), полностью
свободный от точек множества F. Следовательно, F нигде не плотно на пря-
мой R. Если R не прямая, а какое угодно пространство, то доказательство
аналогично.
Доказанное утверждение перестает быть верным для счетного числа слага-
емых нигде не плотных множеств. Приведем пример.
Занумеруем все рациональные числа на прямой: rlt г2, . . ., гп, ... и
возьмем в качестве множества Е], (k > 1) одноточечное множество: Ek={rk}.
Тогда каждое Е^ нигде не плотно на прямой, тогда как (J Е^ (множество всех
Й=1
рациональных чисел) не является нигде не плотным множеством.
ГЛАВА 6
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА (продолжение)
209. Нет, не следует. Например, если последовательность {еп! такова, что
на местах с номерами п—1, 2, 4, 8, 16....2£, ... стоят единицы, а на ос-
тальных местах — нули, то все подпоследовательности, данные в условии задачи,
сходятся к нулю, тогда как сама последовательность [ап] расходится.
210. Возьмем произвольное е>0. Если Nr — такое число, что при
имеет место | — Ь|<е, а АД— число такое, что при ni>N2 имеет место
|цп —b |<е, то для всех п>М (где Л'=тах (АД, N2)) выполнено: \ап — b |<е,
а это и означает, что liman=6.
п->оо
122
211. Последовательность
f„ (x)=sin x; (x)=sin 2x; /2(x)=sin4x; ...; ft (x)=sin2z x; ... (1)
ограничена в пространстве C[0; 2л j (здесь g (//; 0)=l для любого номера /).
Вместе с тем не только сама эта последовательность, но и никакая ее подпоследо-
вательность не может сходиться в С [0; 2л|, так как расстояние между любыми
двумя членами этой последовательности не меньше единицы:
q(A; пРи l+k-
Для того чтобы убедиться, что g (fz; Дг)>1 при i<k, заметим, что функция
ft (x)=sin2£x равна 1 при х= ~£+1 > а функция fk (х) =sin 2/;х равна 0 при
том же значении х. Поэтому
е (Л-. fk) = supl h w - fk (x) I > | ft (- fk 1=1.
Следовательно, ни данная последовательность, ни ее подпоследовательности
не являются фундаментальными; значит, они все расходятся.
212. 1. Пусть {хп}—фундаментальная последовательность в £; тогда она
фундаментальна и в R. Так как R полно по условию, то эта последовательность
имеет предел, принадлежащий R; limx„=a (где a£R). Докажем, что а£Е.
Действительно, в любой окрестности точки а существуют точки из £ (а именно,
все члены последовательности {х„}, начиная с некоторого номера). Значит,
а — точка прикосновения для Е. Так как Е замкнуто, то аС-Е.
Итак, всякая фундаментальная в Е последовательность имеет предел, при-
надлежащий Е. Значит, Е — полное пространство.
212. 2. Если Е незамкнуто в R, то в Е существует последовательность
{хп}, сходящаяся к некоторому элементу a£R такому, что а £ Е. Эта последова-
тельность фундаментальна в R (так как всякая сходящаяся последовательность
фундаментальна); следовательно, она фундаментальна и в £« Однако, она не
имеет предела, принадлежащего £: если бы такой предел Ь^Е сушест
вовал, то последовательность {х„} в пространстве R имела бы два различ-
ных предела а и Ь, что невозможно. Итак, в Е нашлась фундаменталь-
ная последовательность, не имеющая предела, принадлежащего Е. Значит, Е
неполно.
212. 3. Добавим к Сг один элемент — разрывную функцию ф (x)=sgn х.
Расстояние между Ф (х) и произвольной функций f (х) £ С1 определим равенством
-J-1
q (<р; Д)= J I ф (х) — f (х)] dx. Обозначим пространство, получившееся в резуль-
—1
тате добавления к Ct функции ф(х), через R. Тогда С, является незамкнутым
подмножеством пространства R. Действительно, в Cj существует последова-
тельность /я(х)= у х, сходящаяся (в смысле метрики пространства R) к
Ф(х), причем ф(х) не принадлежит Сг. Итак, С, не замкнуто в R. Но тогда,
согласно результату предыдущей задачи, оно и неполно.
212. 4. Указание. Пусть (/„(х)}—фундаментальная последователь-
ность из С 1а; 6]. Сначала доказывается, что она сходится в каждой точке
х0£[а; Ь]. Затем доказывается, что эта сходимость является равномерной,
откуда вытекает, что предельная функция ф(х) непрерывна, и что g (Ф, fn)^&
при n -s- оо.
212. 5. Воспользоваться результатами задач 212. 1, 212. 4 и 157.
212. 6. Воспользоваться результатами задач 212 1, 212. 4 и 158.
123
213. Может. См. пример, приведенный в качестве решения к задаче 136.
214. Нет, это невозможно, так как всякое несчетное множество на плоско-
сти имеет хотя бы одну точку конденсации, принадлежащую самому множеству.
215. Метод доказательства указан в условии задачи.
216. Ясно, что каждая точка конденсации множества /lj и каждая точка
конденсации множества А2 будет вместе с тем точкой конденсации дпя суммы
/UlMa. Следовательно, если обозначить множество точек конденсапии для
A (J Л2 через С, то Bi(JB2CTC. Докажем теперь, что и обратно, СсВ,()Р2-
Пусть а0(;С — точка конденсации множества Aj^U-^2- Построим убывающую
последовательность положительных чисел е1>б2>е8> ... -»• 0 и рассмотрим
•окрестности
Vei (х0) => (x0)oVes (x0)z>...
(1)
Каждая из них содержит несчетное множество точек из A1IJA2 (так как
х0 — точка конденсации для При этом, например, первая из окрестно-
стей VEi(x0) содержит несчетную совокупность точек хотя бы из одного данных
множеств /1, или А2 (она не может иметь только конечное или счетное мно-
жество точек и из Alt и из ASl так как в этом случае она имела бы не более
чем счетное множество точек из AjlMa). Те же рассуждения применимы и к
окрестности Ve (х), и к (х0), и т. д. Пусть, например, А1 имеет несчетное
•множество точек в бесконечном числе окрестностей из последовательности (1):
(xo)> (хо)> W> - •> . (хо) • • •
fej kz k3 кп
Тогда любая окрестность точки х0 содержит несчетное множество точек из Аъ
Действительно, произвольная окрестность Vr (х0) включает Ve (х0) с некото-
рым, достаточно большим, номером (достаточно взять < г); но Ve (хс)
kn
содержит несчетное множество точек из Ах; следовательно, это же имеет место
и для произвольно выбранной окрестности Vr (х0).
Итак, х0 является точкой конденсации для А-, (или, если бы А2 имело не-
счетное множество точек в бесконечном числе окрестностей из (1), то х0 явля-
лось бы точкой конденсации для /12). Значит, Хо^В^В?; а так как х0— про-
извольная точка из С, то CcBjtjB-a-
Сравнивая это с полученным ранее включением Bt[jB2czC, заключаем, что
C=B1(jB2-
217. Нет, нельзя. Вот пример: рассмотрим на плоскости последовательность
концентрических окружностей Ап радиусов —. Множество точек конденсации
п
Вп каждого множества Ап совпадает с самим Ап. Однако множество точек кон-
денсации С суммы не совпадает с (JВп, а получается добавлением к ЦВп
п п п
еще одной точки — общего центра. Итак, в Данном случае Cz:>lJBn, но С^ЦВп.
п п
Включение Cz>UBn, очевидно, всегда имеет место (ведь каждая точка кон-
п
денсации для отдельного слагаемого Ап является вместе с тем точкой конден-
сации Для суммы).
218. Равенство (АЛВ)О(АПВ) = 0 равносильно тому, что оба множества —
А f~) В и АП В — пусты; в свою очередь условие АПВ = 0 означает, что А не вклю-
чает точек прикосновения множества В, а условие А ПВ=0— что В не вклю-
чает точек прикосновения множества А. Отсюда вытекает, что несвязность мно-
жества Е равносильна тому, что Е возможно представить^ в виде суммы
E=A{JB, где А и В — непустые множества, причем (АПВ)П (АПВ) = 0.
219. Пусть Е — замкнутое множество.
Если E=AljB, где А и В — замкнутые непустые непересекающиеся множе-
ства, то (АП-В)иИЛ£О = 0 (так как здесь А=А, В=В, AflB=0) и, следо-
вательно, Е — несвязное множество.
124
Докажем обратное утверждение. Пусть замкнутое множество Е несвязно,
т. е. Е=АЦВ, где __
(АПВ)и (AQB) = 0, (1)
причем Л#:0, £Д0. Докажем,-что_ тогда Л и В оба замкнуты.
Так как A cz А, В с В, то Е=А(JB гэ A(JB=E. Но £=£ (в силу замк-
нутости множества Е). Поэтому
AUB^AUB. (2)
Допустим, что А незамкнуто и х£Л\А Так как x£A(JB, то из равенства
(2) следует, чтох(:ЛЦВ; но значит, В. Итак, х£В, х£Л и, следо-
вательно, множество ЛПВ непусто, что противоречит условию (1). Следова-
тельно, множество А замкнуто. Аналогично доказывается замкнутость множества
В. Так как множества А и В замкнуты, то дпя них равенство (1) равносильно
равенству ЛПВ=0.
Таким образом, если множество Е замкнуто и несвязно, то его можно пред-
ставить в виде суммы двух непересекающихся замкнутых множеств Л и В. Из
доказанного сразу следует то утверждение, которое содержится в условии.
220. Пусть Е — связное множество. Докажем, что Е также связно. Допустим,
что Е — несвязное множество. Тогда существуют такие непустые замкнутые
множества Л и В, что АцВ=Е. Рассмотрим множества Л1=АП£, Вг=ВП£-
Они непусты (если бы, например, Л1 = ЛП£' было пустым, то имело бы место
включение £с£с£, где В замкнуто и отлично от £; а это невозможно, в силу
результата задачи 172). Кроме того, AjIjB^E. При этом _Л1ПВ1сЛДВ =
= 0 (так как Аг с Л, Вг с В и В=В); следовательно, Л1ПВ1=0. Таким же
способом проверяется, что ЛХПВх=0. Но тогда (ЛгПВ^С/(^1ПД1) = 0 и, зна-
чит, множество Е несвязно, что противоречит условию.
Итак, допущение, что Е — несвязное множество, привело к противоречию;
следовательно, множество Е связно.
Пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Пусть Е — мно-
жество всех рациональных чисел на прямой. Тогда Е несвязно, а £ связно.
221. Допустим, что сегмент [а; Ь] представлен в виде суммы двух замкну-
тых непустых множеств F и Ф: [с; 6]=F(J®. Докажем, что их пересечение
не может быть пустым.
Разделим отрезок [а; 6] пополам, и назовем первым отмеченным сегментом
ту половину сегмента [а; 6], которая содержит как точки из F, так и точки из
Ф.* Обозначим первый отмеченный сегмент через [сх; и разделим его на
две равные части; назовем вторым отмеченным сегментом ту половину первого
сегмента, которая содержит как точки из F, так и точки из Ф; обозначим вто-
рой отмеченный сегмент через [с2; Ь2]. Продолжая этот процесс неограниченно,
мы получим последовательность вложенных сегментов
[«1! М Ь2] о .. . => [ak; bk]=) ....
длины которых стремятся к нулю, причем каждый из этих сегментов содержит
как точки из F, так и точки из Ф. Обозначим через с общую точку всех этих
сегментов; любая ее окрестность включает некоторый отмеченный сегмент; зна-
чит, в любой окрестности точки с найдутся как точки из F, так и точки из Ф.
Но тогда с является точкой прикосновения как для F, так и для Ф. Оба эти
множества замкнуты, следовательно, они включают все свои точки прикоснове-
ния; поэтому с(-Е и <Ф. Значит, с^РрФ, т. е. пересечение РДФ непусто.
* Заметим, что по крайней мере одна половина сегмента [а; Ь] обладает
этим свойством; убедимся в этом: пусть середина сегмента принадлежит, напри-
мер, множеству F; тогда в качестве первого отмеченного сегмента берем ту
половину сегмента [а; Ь], которая содержит хотя бы одну точку множества Ф.
125
>• Таким образом, доказано, что сегмент [с; 6] нельзя представить в виде
суммы двух замкнутых непустых непересекающихся множеств.' Следовательно 1
сегмент является связным мюжеством. 1
222. 1) Допустим, что замкнутый крут Е является суммой Двух замкнутых
непересекающихся непустых множеств: E=FIJ®. Пусть а — какая-либо точка
__________ из F, b — какая-либо точка из Ф (рис. 26). Со-
единим эти точки отрезком [а; 6]. Он, очевидно
S у. Е целиком принадлежит кругу Е. При этом:
/\ \ [a;
I \ ср | где F1=FD[o; Ь]; Oj=®n[c; 6]. Множества
I Л \ I F, и Ф| замкнуты, непусты и не пересекаются;
I \ / в сумме они составляют весь отрезок [с, 6]’
\ \ / Но, как мы знаем, это невозможно (см. задачу
\ / 221). Следовательно, допущение, что Е можно
\. у представить в виде суммы двух непересекаю-
щихся замкнутых непустых множеств — невер-
но. Значит, замкнутый круг Е является связ-
Рис 26 ным множеством (см. задачу 219).
2) Доказательство аналогично.
223. Пусть Е, и £2— связные множества, такие, чтоЕ^Ег^О, £,[)£<,=
= Е. Допустим, что Е несвязно. Тогда Е можно_ представить в виде суммы двух
непустых множеств E=A(JE, таких, что (АПЕ)и(АПЕ) = 0- Хотя бы одно
из множеств Ег или Е2 (например, EJ имеет непустое пересечение как с А,
так и с В. Но тогда Е^ДиЕ^ где Л1=ЛГ1Е1^0, B1=BQE1=^0; при этом
(AnSOLKAflBi) G ИГ)В)U (АЛЕ) и, следовательно, (>ЦПВГ)(J (А1ЛВ1)=0.
А это противоречит условию связности множества Ej. Итак, Допущение, что
множество Е несвязно, привело к противоречию. Значит, Е — связное множество.
224. Пусть Е — связное множество на прямой. Возьмем две произвольные
точки этого множества Xj^E, х^Е, х3<х2 и докажем, что любая точка с,
лежащая между х, и Х2, принадлежит Е. Если бы нашлась такая точка с,
х1<с<х2, которая не принадлежит Е, то Е можно было бы представить в виде
суммы двух непересекающихся множеств А=(с-, -|-оо)f]E и В=(—оо; с) ЛЕ.
Ясно, что (АГ)В)и(^4Г)Е)=0, и, следовательно, Е—несвязное множество, что
противоречит условию. Итак, если Е связно, то любая точка с, заключенная
между xt и Хг, принадлежит Е.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любых точек х, f Е,
хг£Е (где х,<х2) сегмент [хг; х2] полностью входит в Е. Если бы при этом Е
было бы несвязно, то нашлись бы два непустых множества А и В, такие, что
A(JB=£, ЛГ)В=0, _
(АП В) U (АЛВ)=0. (1)
Возьмем точки хг£А и х2£В, и рассмотрим сегмент [х/, х2]. Множества
А1=[хг; х2]П А и В,=[х1; х2]ЛВ непусты, не пересекаются, в сумме составляют
сегмент [хх; хД и для них выполняется равенство (A, nBJ(J(A| П-В,) = 0 (по-
следнее следует из соотношения (1) и из того, что А, С А, В, С В). Но это
невозможно, так как сегмент х2] связен. Итак, сделав допущение, что
Е—несвязное множество, мы пришли к противоречию. Следовательно, Е—связ-
ное множество.
225. Каждое из данных множеств связно; это вытекает из результатов пре-
дыдущей задачи.
Докажем обратное — что этими множествами исчерпываются все связные
множества на прямой.
Пусть Е — свизное непустое множество на прямой, а= inf Е, 6=sup Е. Рас-
смотрим сначала тот случай, когда а и Ь—конечные числа (с<;6). Тогда лю-
бое с, заключенное между а и 6, входит в Е. Действительно, так как b=sup£,
то существует точка bt (где с < 6, < 6), входящая в Е. Точно так ж.е устанав-
126
ливается, что существует аг£Е, где о<а1<с. Но тогда, в силу связности Е,
на основании решения предыдущей задачи заключаем, что [ог; 6,] с Е и, зна-
чит, сСЕ. Итак, интервал (с; 6) включается в Е, а точки, лежащие за преде-
лом сегмента [а; Ь], не принадлежат Е. Следовательно, Е является одним из
следующих множеств:
(а; Ь), (а; &], [а; Ь), [а; Ь).
Если а=Ь, то £={с).
Если а=—оо, а b конечно, то Е равно (—со; 6) или (—оо; 6]; если а
конечно, a b=-f-oo, то Е равно (а; -|-оо) или [а; -|-оо); наконец, если а=—оо,
F= + °°, то Е=(—оо; —J—оо). Во всех этих случаях доказательство проводится
так же, как и в том случае, когда а и Ь конечны.
226. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 222.
227. Если бы множество Е было несвязным, то его можно было бы пред-
ставить в виде суммы двух непересекающихся непустых множеств А и В, таких,
что А не включает точек прикосновения множества В, а В — точек прикосно-
вения множества Л. Пусть М^СА, М2СВ>-, рассмотрим связное множество QczE,
содержащее точки и М2 (такое существует по условию задачи). Множества
СП Л и QQB непусты и в сумме составляют множество Q; при этом каждое из
множеств и QDB не включает точек прикосновения другого; а это не-
возможно, в силу связности множества Q. Итак, допущение, что Е—несвязное
множество, привело к противоречию; значит, Е—связно.
228. Это следует из результата предыдущей задачи, если учесть, что любые
две точки открытого круга можно соединить сегментом, принадлежащим этому
кругу (а сегмент — связное множество).
229. Допустим, что открытый круг Е представим в виде суммы двух не-
пустых непересекающихся открытых множеств:
E=G1(JG2; G1E)G2=0.
Построим замкнутый круг М С Е концентрический с Е и пересекающийся
по непустым множествам как с G1T так и с G2. Обозначим Л1 C~i G, через F^ Ft
является замкнутым множеством, как пересечение двух замкнутых множеств:
F^MftCG^
Обозначим MQG2 через Fa; F2 также замкнуто, так как F2=Mp,CG-l. Но
тогда замкнутый круг М представим в виде суммы двух непустых непересекаю-
щнхся замкнутых множеств Рг и F2:
M^FMF* F1pF2=0,
а это невозможно (см. задачу 227). Следовательно, наше первоначальное пред-
положение — что открытый круг можно представить как сумму двух открытых
непустых непересекающихся множеств — неверно.
230. Если бы на плоскости было такое множество Е, то его дополнение
СЕ также было бы непустым множеством, одновременно открытым и замкнутым
(оно замкнуто, так как является дополнением к открытому множеству Е). Но
тогда вся плоскость была бы представлена как сумма £(JCE двух замкнутых,
непустых, непересекающихся множеств, что противоречит связности плоскости
(см. задачу 227).
231. См. решение предыдущей задачи.
232. Нет, нельзя. Допустим, что открытый круг Е можно представить в
виде E=G1nG2, где G, и G2 —открытые множества, отличные от всей плоско-
сти и в сумме составляющие всю плоскость. Тогда мы имели бы (в силу закона
двойственности):
CE=CG1UCG2; CG1C)CG2=0.
Но это означает, что замкнутое множество СЕ представимо в виде суммы двух
непересекающихся непустых замкнутых множеств CGl и CG2, т. е что мно-
жество СЕ несвязно*.
* CG, и CG2 замкнуты как дополнения к открытым; они непусты, так как
и Glt и G2 отличны от R.
127
На самом же деле множество СЕ связно; это следует из того, что любые
две точки а и Ь множества СЕ можно соединить ломаной, принадлежащей СЕ
(рис. 27). а ломаная является связным множеством (связность ломаной выте-
кает из связности сегмента и из результатов задачи 223).
Итак, сделанное допущение привело к противоречию; значит, это допуще.
ние неверно.
233. Пример. Гипербола и ее асимптота.
234. Пример. Кривая у=---- и прямая у=—1.
235. Найдем k0
1 1
2*о + 1’ 2*о + 2
такое, что <е. Тогда точка 0, а также точки j
,... покрыты интервалом (—е, е), принадлежащим наше"
/1 — е 1 -|-е\
системе интервалов; остальные точки покрыты интервалами ———, —г- ,
\ 24 * * * В 2В )
й=0, I, 2, . . ., k0— 1. Все эти интервалы (вместе с интервалом (—е; е)) осу-
ществляют конечное покрытие замкнутого мно-
жества Е (рис. 28).
236. Здесь каждая точка множества Е п
крыта только одним интервалом из данной си
стемы интервалов; поэтому каждая конечная си-
стема интервалов, выделенная из данной систе-
мы, будет покрывать лишь конечное число то-
чек множества Е (и, следовательно, не будет
покрытием этого множества).
Множество Е незамкнуто; поэтому здесь
нет противоречия с теоремой Гейне—Бореля.
237. Здесь также нельзя выделить конечно-
го покрытия множества Е из заданной бесконеч-
ной системы интервалов.
Множество Е, хотя и замкнуто, но неогра-
ничено. Поэтому теорема Гейне — Бореля не применима и в данном случае.
238. Допустим, что из данного покрытия можно выделить конечное покры-
11
тие круга £; пусть это будут круги Сх, С2, . . ., Сп. Тогда и, значит,
___ __ i— 1
п _______ п п _
(JC,zd Е . Но для конечного числа множеств (JC,= (JC/ (см. задачу 147).
4=1 Т=1 i=l
2
4----------}
Рис. 28
п _ _
Следовательно, (J С,- ZD Е, что невозможно, так как каждый замкнутый круг
;=1
_ __ п _____________
С( содержит лишь одну точку контура круга Е и, значит, (J Сг- не покрывает
_ '=1
всего круга Е.
Наше Допущение привело к противоречию. Значит, из данного покрытия
множества Е нельзя выделить конечного покрытия.
239. Можно. Для этого достаточно из всего покрытия выделить те круп
128
1
центры которых лежат в рациональных точках окружности L радиуса — с цент-
3
ром в О (при этом мы назовем точку окружности L — рациональной точкой, если
ее радиус-вектор составляет угол ап с фиксированным неподвижным радиусом,
где а — какое-либо рациональное число).
Для того чтобы доказать, что каждая точка круга Е покрыта этой счетной
системой кругов, рассмотрим произвольную точку Р с Е (рис. 29). Пусть она
отстоит от ~
этом
тром в Ро
6 на расстоянии d (d < 1), причем луч ОР пересекает L в точке Рд
PPn=d — — . Если Ро — рациональная точка, то круг с цен-
3 3 '
содержит точку Р. Если же Ро — иррациональная точка, то легко.
пользуясь свойством плотности рациональных точек, найти вблизи Ро рациональ-
ную точку Pi, такую, что PCPV <. 1—d (рис. 29). Тогда круг с центром в Рг
содержит точку Р, так как
Q(P, ₽!)<Q(P. Po)+Q(Po,-Pi)< +(1-Ф=“-
Итак каждая точка Р круга Е содержится в том или ином круге из выбран-
9
ной счетной системы кругов радиуса —.
241. Назовем рациональным кругом на плоскости всякий круг, у которого
координаты центра и радиус рациональны. Множество всех рациональных кру-
гов счетно (см. задачу 64 из главы 3). Докажем, что любой круг С радиуса г
с центром в точке О включает рациональный круг, содержащий точку О. Для
этого опишем круг радиуса —, концентрический С (рис. 30), и возьмем внутри
этого круга точку Ог с рациональными координатами. Если теперь описать круг
радиуса R с центром в Oi (где R — какое-либо рациональное число, такое, что
г _ 2г \
~ —), то этот круг будет искомым: он содержит точку О (так как
г \
Q (О, Oj) •<— и включается в С, так как всякая точка Р, отстоящая от Oi
на расстоянии, меньшем, чем R, лежит внутри круга С; действительно:
г 2г г
6 (Л 0)<q(R, 00+6(0, 01)<R + -<-+~=r.
О о о
Теперь легко доказать, что последовательность всех открытых рациональ-
ных кругов
Gi> G2, Gs......Gn, ... (1)
9 Ю. С. Очав
129
обладает тем свойством, что любое открытое множество Г есть сумма некото-
рой совокупности кругов из этой последовательности.
Опишем вокруг каждой точки xQi' открытый круг V(х) с Г (что всегда
возможно, так как х— внутренняя точка множества Г). Далее, найдем рацио-
нальный круг G, содержащийся в V (х) и включающий точку х. Сумма всех ото-
бранных таким образом рациональных кругов составит все множество Г. Дей-
ствительно, каждая точка множества Г содержится в некотором из отобранных
рациональных кругов; следовательно, Г с (J G. С другой стороны, каждый из
построенных здесь рациональных кругов входит в Г; следовательно, IjG cz Г
Итак, окончательно, r=(jG. Таким образом, из последовательности (1)
можно выделить некоторую совокупность кругов, сумма которых равна Г.
242. Пусть Е покрыто некоторой системой открытых множеств {Г}. ДЛя
каждой точки xGЕ опишем рациональный круг, содержащий точку х и вклю-
ченный в то открытое множество Г из заданной системы, которое покрывает
точку х (см решение предыдущей задачи). Перенумеруем все отобранные
рациональные круги: Glf G.2, . . , Gn, .... и поставим в соответствие каждому
из этих кругов открытое множество из системы |Г}, содержащее этот круг
(открытое множество, содержащее круг Gn, обозначим Г„). Тогда счетная си-
стема {Г.;} покрывает множество Е; действительно, ljGn^>E (так как каждая
п
точка xf-E входит в некоторый круг 6;!). С другой стороны, Tnzz>Gn. Следо-
вательно,
(J Гп 2D (J G712D Е.
п п
243. Пример. Открытое множество (0; 1) покрыто следующей системой
интервалов:
(— —Y (— —Y I—• —У /— • —I- - ( 1 JV
\3; Т И’ 2f U’ 3/’ U’ 4 /’ \ 7 ’ 5/’”’:(л+2; п!’"'
Из этого покрытия нельзя выбросить ни одного интервала: если выбросить
хоть один интервал из заданной системы, то оставшаяся система не будет по-
крывать всего множества (0; 1). Следовательно, тем более из заданной системы
интервалов нельзя выделить конечного покрытия.
Приведем и другой пример: интервалы (п=1, 2, 3, . . .) образуют
бесконечное покрытие открытого множества (0; 1); из этого бесконечного по-
крытия нельзя выделить конечного покрытия.
244. Нет, неверна. Вот пример: замкнутое множество [0; 1] покрыто систе-
Г 1 1 Г 1 1] Г 1 1] Г 1 11
МОЙ сегментов: |-; 1], -j, -j, . . ., | ; -j, . . . и [—1;0].
Из этой системы нельзя выделить конечного покрытия (более того, из этой си-
стемы нельзя исключить ни одного сегмента).
245. Эта теорема верна; ее доказательство можно провести так же, как и
доказательство теоремы о покрытии замкнутого ограниченного множества окре-
стностями (теоремы Гейне — Бореля).
Впрочем, эту теорему можно и не доказывать вновь, а получить ее как
следствие из теоремы Гейне — Бореля; для этого опишем около каждой точки х
данного замкнутого множества Е окрестность V (х), целиком включающуюся в
соответствующее множество из покрытия. Далее, из всех V (х) отбираем конеч-
ное покрытие V (х,), V (х2), . . ., V (хГ!), что возможно в силу теоремы Гейне—
Бореля. Затем находим те открытые множества из заданного покрытия, которые
содержат отобранные окрестностп: Gj 2D V (х2), . . ., Gn zd V (хп).
Эти открытые множества Gly . . ., Gn образуют искомое конечное покрытие
множества Е
246. Пусть Е—компакт. Докажем, что Е ограниченное множество. Опишем
130
около каждой точки этого множества окрестность радиуса 1 и выделим из это-
го покрытия конечное; пусть это будут окрестности
VUj), V(x„), . . V(xn). (1)
Обозначим через А наибольшее из расстояний от центров этих окрестностей
до некоторой фиксированной точки О (например, до начала координат). Докажем,
что любая точка х(Е отстоит от О на расстоянии меньшем, чем Л-|-1; действи-
тельно, так как все множество Е покрыто окрестностями (1), то среди них най-
дется такая (например, 1’(х(-)), которая включает точку х. Тогда
g (х, О) . g (х, X,) (X,, О) < 14-Л
Итак, неравенство g (х, О) <1+Л имеет место для любой точки х£Е; а это
и означает, что Е ограничено.
Докажем, что Е замкнуто-, для этого достаточно будет доказать, что его
дополнение СЕ открыто. Пусть 'СхСЕ. Покроем Е окрестностями, описав око-
1
ло каждой точки х(-Е окрестность радиуса — g (х, £), и выделим из этого по-
крытия конечное. Обозначим через b наименьшее из расстояний от центров ото-
бранных окрестностей до точки Тогда все точки множества Е будут отстоять
от £ на расстоянии большем, чем
b b
— . Значит, в —-окрестности точки £ нет ни
одной точки множества Е, т. е. £ является внутренней точкой множества СЕ.
Так как £ — произвольная точка из СЕ, то все точки этого множества являются
внутренними; следовательно, СЕ открыто; но тогда Е замкнуто.
247. Пример. Счетное множество Е функции (Л: (x)=sin 21 х} ограничено
в С (см. задачу 211). Кроме того, Е замкнуто; действительно, для любых двух
элементов f ,• СЕ и fjCE имеет место g при///; следовательно, мно-
жество Е не имеет предельных точек; значит, оно замкнуто.
Вместе с тем Е не является компактом, так как, например, из семейства
е-окрестностей элементов множества Е (при е = 0,1) нельзя выделить конечного
покрытия, так как каждая из этих окрестностей содержит только один элемент
множества Е.
248. Пусть I — произвольный интервал на прямой. Интервал 10, полученный
is I сдвигом влево на величину а, содержит подинтервал /Ио. свободный от
точек множества Е (так как Е нигде не плотно по условию). Но тогда интер-
вал М, который получится из М„ сдвигом вправо на а, включается в I и не со-
держит нн одной точки из А.
Следовательно, А нигде не плотно па прямой
249. Если множество Е всюду плотно на прямой, то любой интервал (а; Р)
содержит бесконечно много точек из Е; в самом деле, если бы на интервале
(а; р) оказалось только конечное число точек из Е, то на (а; р) нашелся бы
интервал, полностью свободный от точек множества Е.
Если теперь из Е исключить конечное подмножество А, то на произвольном
интервале (а; Р) все же останется бесконечно много точек из Е\Л Значит,
множество Е\Л всюду плотно на прямой.
250. Да, существуют. Пример. А — множество всех иррациональных отри-
цательных чисел, сложенное с множеством всех рациональных положительных
чисел; В — дополнение к множеству А до всей прямой Оба множества несчетны и
всюду плотны на прямой, а их пересечение пусто.
Этот пример можно видоизменить так, чтобы множества А и В были не-
счетными на любом интервале (а; р); для этого можно использовать ту конст-
рукцию, которая приведена ниже, при решении задачи 297.
251. В задаче 189 была построена последовательность счетных множеств
Ej, Ео, . . ., каждое из которых всюду плотно на прямой, причем эти множе-
ства попарно не пересекаются. Обозначим дополнение к сумме этих множеств
через I (оно несчетно па любом интервале) и рассмотрим следующую последо-
вательность множеств:
Д^ЕгС/НП (0; 1)]; Aj=E2UUn(l. 2)1; . . [2П(* — 1; A)J;
9*
131
Ясно, что множества Л/г попарно не пересекаются и каждое из них всюду
плотно на прямой. При этом все множества Ak являются несчетными. Следова-
тельно, совокупность множеств является искомой.
252. Если F — конечное множество, то в качестве Е можно взять само
множество F.
Если F — бесконечное замкнутое множество, то в качестве Е берем сумму
следующих двух множеств: Ег — множество всех концов смежных интервалов;
Е2 — множество всех рациональных точек, принадлежащих внутренности мно-
жества F (конечно, £3 может оказаться и пустым; это будет в том случае
когда множество F нигде не плотно). Легко видеть, что каждая точка хд мно-
жества F является точкой прикосновения для Е: если хд является внутренней
точкой для F, то в любой окрестности V (х0) найдутся точки из £3; если же
хд — граничная точка множества F, то в любой окрестности V (х0) найдутся
точки из £]. С другой стороны, за пределами множества F точек прикосновения
множества Е не существует (так как F замкнуто и Е С F).
Итак, E—F, где Е— счетное множество, равное сумме E|(JE2-
253. Пример. Натуральный ряд чисел (и вообще всякая монотонная
неограниченная последовательность).
254. В любом отрезке с центром в начале координат имеется лишь конечное
число членов данной последовательности (если бы их было бесконечно много,
то, по теореме Больцано — Вейерштрасса, из них можно было бы выделить схо-
дящуюся подпоследовательность). Следовательно, для любого Л1>0 существует
такое N> 0, что для всех номеров п > N имеет место: | ап | > М\ а это и оз-
начает, чго lim |а;г |=4-оо.
п->оо
255. Примером может служить последовательность, составленная из всех
рациональных чисел и занумерованная произвольным образом.
256. Пусть F — предельное множество для данной последовательности |оп},
a Z — предельная точка множества F. Докажем, что F.
Так как £— предельная точка множества F, то существует последователь-
ность точек {%*.} из F, сходящаяся к
Найдем точку принадлежащую к заданной последовательности 1ап) и
отстоящую от Xj на расстоянии, меньшем, чем 1. Такая точка найдется, так
как Xj принадлежит предельному множеству последовательности {arl).
Далее, найдем точку из заданной последовательности, отстоящую от ха
1
на расстоянии, меньшем, чем —; при этом позаботимся, чтобы номер п2 был
больше, чем пг.
Если теперь построены точки ап^ ап^ . . . , ^nK_1, то в качестве возь-
мем тот член из заданной последовательности, который отстоит от х/г на рас-
1
стоянии, меньшем, чем —; при этом надо позаботиться, чтобы было
k
Докажем, что построенная подпоследовательность ап^ аПр1 . . . основной
последовательности )ап} сходится к £. Действительно,
1
; х*)4-с(*й; 0<-^+е(ад Q,
откуда следует, что ; £)-*0 при й-*оо, т. е. liman. — А это озна-
k-*oa R
чает, что t> принадлежит множеству F.
Итак, любая предельная точка £ множества F принадлежит этому множе-
ству; следовательно, оно замкнуто.
257. Для доказательства построим сначала счетное множество Е, замыка-
ние, которого равно F (возможность построения такого множества доказана
в задаче 252).
132
Если Е не имеет изолированных точек, то, занумеровав произвольным обра-
зом точки множества Е, получим искомую последовательность.
Если же среди точек множества Е имеются изолированные, то поступаем
следующим образом: выпишем сначала таблицу
bjb^bg . .. bfe ...
С'СуСу ... Су ...
С^2С2 • • • с2 • •
Cffin.Cn • • • Сц ...
Здесь 62, Ь3, 6/г, .. . — все неизолированные точки множества Е,
а Су, с,, с8, . . . , сп, ., .— изолированные точки того же множества. Развернем
теперь любым способом эту таблицу в простую последовательность, например,
следующим образом:
by, Су, Ь2, Су, с2, b3, Су, с2, с3, bif Су, с2, с3, cir Ь~, Су, ...
Эта последовательность и будет искомой.
258. Множество всех частичных сумм
падает с сегментом [0; 1].
259. Множество всех частичных сумм
1 1 1
ряда у+—+ + -+ ... сов-
2 2 2
ряда ~4-—4- 4-—4- совпа-
дает с канторовым совершенным множеством.
со
260. Докажем, что множество Е всех частичных сумм ряда ап с по-
п=1
ложительными членами замкнуто.
Каждому множеству натуральных чисел соответствует определенная частич-
ная сумма ряда. Но между множествами натуральных чисел и точками канто-
рова множества D можно установить взаимно однозначное соответствие следую-
щим образом: множеству натуральных чисел {пу<п2< .. . <.nk < .. .} ставится
в соответствие точка х=—4-—+ + „~+ ••• , принадлежащая множе-
3"» 3"' 3 k
ству D\ в частности пустому множеству натуральных чисел ставится в Соответ-
ствие точка х — 0, а множеству всех натуральных чисел — точка х = 1. Легко
видеть, что построенное соответствие между: семейством всех множеств нату-
ральных чисел и канторовым совершенным множеством является взаимно одно-
значным.
Но тогда можно сказать, что каждой точке x£D отвечает некоторая частич-
ная сумма ряда. Обозначая частичную сумму, соответствующую точке xCD,
через у, мы получим функциональную зависимость y = f(x). Докажем, что она
непрерывна во всех точках множества D.
Пусть x0£D, y0 = f(x0). Возьмем произвольное е>0 и найдем такое N, что
ОО
остаток ряда £ аг- меньше, чем е для любого n>N. Рассмотрим следующую
i=n
окрестность точки х0:
И докажем, что для всех x£D, попавших в эту окрестность, выполняется-не-
равенство |/(х)— f (х0) |<е. Действительно, троичное разложение любой точки
Ю Ю. С. Очаы
133
x(-D может отличаться от троичного разложения точки хв только теми знаками
номера которых превосходят N. Но тогда множество натуральных чисел, соот-
ветствующих точке х, отличается от множества натуральных чисел, соответ-
ствующих точке х0, только числами, превосходящими N. Следовательно, частич-
ная сумма, отвечающая точке х, отличается от частичной суммы, отвечающей
точке хс, только членами, номера которых превосходят N, а их сумма меньше
чем е. Итак, | f (х)— /(х0)|<е для всех x(-Dy попавших в найденную окрест-
ность точки х0. В силу произвольности числа е>0, отсюда следует, что
функция у = f (х) непрерывна в любой точке x0QD (относительно D).
Итак, функция y=f(x), отображающая замкнутое ограниченное множе-
ство D на множество Е всех частичных сумм ряда £ cz, является непрерывной.
/—1
Но в таком случае образ множества D (т. е. множество Е) также является
замкнутым ограниченным множеством (см. ниже задачу 376).
Докажем теперь, что Е не имеет изолированных точек. Пусть у0£Е,
yv= £ а1у где П — какое-либо множество натуральных чисел. Пусть е > 0. Тогда
ген
в е-окрестности точки у0 найдется хотя бы одна точка из Е, отличная от у0.
Действительно, если ряд £ а,- содержит бесконечно много членов, то в силу
геп
того, что cf!->0 (при n-i-cc), среди членов этого ряда найдется такой (напри-
мер, ап ), который меньше, чем е. Тогда частичная сумма £ at отличается
0 ’ 1еП\ {п0}
оту„= £ Cj меньше, чем на е, и не равна у0 (так как ап^Оу Если же ряд
Уо= S а1 содержит лишь конечное число членов, то из членов основного ряда
ген
можно найти такой (например, ат^ ), который не входит в эту сумму и меньше,
чем е. Тогда частичная сумма £ ai отличается от у0 меньше, чем на е,
«сп(J {Wo}
и не равна у0.
Итак, в произвольной е-окрестности любой точки У0^Е имеются точки
из Е, отличные от ув; следовательно, Е не содержит изолированных точек. Так
как множество Е замкнуто и не имеет изолированных точек, то оно совер-
шенно.
261. Доказательство аналогично тому, которое было проведено в первой ча-
сти решения задачи 260. При этом число N надо выбирать так, чтобы имело
место неравенство £ | а{ | < е для любого п > N.
i—n
262. Доказательство аналогично тому, которое было проведено во второй
части решения задачи 260.
263. Если у = £ di есть частичная сумма ряда £ а(, то z = £ аг так-
/6П 1=1 /се и
же является частичной суммой этого ряда (где СП — дополнение к П до мно-
СО
жества всех натуральных чисел). Но y+z = £ a, = s. Итак, из того, что у£Е,
1=1
вытекаем что s—у а это и означает, что Е— симметричное множество
s
с центром симметрии в точке —.
со
264. Если среди членов абсолютно сходящегося ряда £ а( имеется лишь
1=1
конечное число членов, отличных от нуля, то множество частичных сумм этого
ряда состоит только из изолированных точек. Если же среди членов абсолютно
сходящегося ряда имеется бесконечно много членов, отличных от нуля, то мно-
жество частичных сумм этого ряда совсем не имеет изолированных точек (см.
задачу 262) и, следовательно, является совершенным множеством,
134
265. Необходимость. Допустим, что существует такое N, что
Од/ > £ 0/1 Докажем, что в этом случае множество частичных сумм не мо-
г=д/+1
жет заполнить всего отрезка [0; s]. Возьмем какое-либо число £, такое, что
ОО
£ а/<£<Пдг; оно не может быть получено в виде частичной суммы ряда
Действительно, если L = S й/, то П не должно содержать ни одного из чисел
/еп
1, 2 . . . , N, так как все ai (при больше, чем но тогда П является
подмножеством множества {N+1, Л'-|-2, Л’4-3, . ..}, а это также невозможно,
потому что если llcz {W-J-1, /V4-2, . . .}, то £ аг< £ а,<^-
геП г=ЛМ-1
Итак, если хотя бы для одного номера п имеет место неравенство
ап> £ <Д, то множество всех частичных сумм не заполнит сегмента [0; sj.
i—пЛ-1
Достаточность. Пусть для любого п имеет место неравенство
оо
ап< £ а/! пусть £— произвольное число, такое, что 0<g<s. Найдем такое
!=«-}-1
множество натуральных чисел П, что £ at = £. Для этого найдем сначала такое
/еп
пи что
al + tta + + С«Х й1+аз + + й«1 + ^(2, + 1>£.
Далее, среди членов ряда аП1 + j-|-аП1 + 2-|-fliij + 3+ ••• найдем первый по по-
рядку такой, что, добавив его к сумме ах+а2+ +С1п1г мы получим число,
меньшее, чем пусть это будет пи ; такой член обязательно найдется, так
как сГ!->0. Далее, будем добавлять члены ату + х, ami + 2, ат1 + 3, ... до тех
пэр, пока не будем иметь: (
Gi+ ••• +ant + ami +amj +1+ ••• +°n2
014- • • 4-flnj + ~гат1 + 1+ • • • +G«, +an2 + 1
CO
Такое na найдется, что вытекает из того, что ат _х< £ а(.
i=ml
Продолжая неограниченно этот процесс, получим следующую частичную сумму:
<Д+ — +апх + атг + йтх + 1+ — + cng + ат2 +
+ат2 + 1+ ’ ‘' +а«3 + аиг8 +----
Легко проверяется, что сумма этого ряда равна для этого достаточно исполь-
зовать тот факт, что последовательность чисел а,7| 4. х, 4. х, аПз 4. х, .. .
сходится к нулю.
Таким образом, доказано, что множество частичных сумм заполняет весь
отрезок [0; s].
266. Доказательство проводится так же, как и доказательство достаточности
в задаче 265.
267. Да, может, если общий член ряда не стремится к нулю. Например,
множество всех частичных сумм ряда 14-14* +1+ Совпадает с мно-
жеством всех целых неотрицательных чисел.
268. Так как G всюду плотно на прямой, то интервал I содержит точку
Xo^G. Но хс — внутренняя точка множества G. Поэтому некоторая окрестность
/0 этой точки также входит в G. Эту окрестность можно выбрать столь малого
10*
135
радиуса, чтобы она вместе со своим замыканием входила в /. Поэтому
ToC/PG.
269. Пусть Gx; G2; G3; . . Gn; . . . — последовательность открытых всюду
плотных множеств на прямой. Докажем, что их пересечение также всюду
плотно.
Пусть / — произвольный _интервал. Согласно результату задачи 268, най-
дется интервал /х такой, что 1г С I ClGi- Согласно тому же результату, найдется
интервал /2 такой, что /2С/1Г)О2; далее, найдется /3 такой, что Ts с /2 Г) G3
и т. д. В итоге у нас получится последовательность вложенных друг в друга
сегментов:
.. .r)Tnz)...,
которые все включены в ранее выбранный интервал I. Следовательно, общая
точка этих сегментов £ также включается в /. С другой стороны, g включается
в каждое из множеств Gfr (так как iCGft).
Таким образом, в произвольном интервале I нашлась точка ££nGft. А это
k
означает, что f)Gft всюду плотно на прямой.
k
270. Доказательство этого утверждения проводится примерно так же, как
и доказательство того, что всякое совершенное множество в евклидовом про-
странстве имеет мощность с.
Пусть G, ZD G2 Gs ZD . . . ZD Gk zd . . . — открытые, всюду плотные на
[«; fc] множества; обозначим E=f}Gk. Возьмем на [а; 6] какие-либо два непе-
k
ресекающихся интервала 1д_к 1±, и в каждом из них выберем интервалы б0 и бъ
такие, что 60 GZ 10 Г) Gx, SiC/iPGj (такие интервалы 60 и бх найдутся—см.
задачу 268).
Назовем интервалы б0 и \ интервалами первого ранга.
Рассмотрим теперь какие-либо два равных непересекающихся интервала /Оо
и Zol, включающиеся в б0, и два равных непересекающихся интервала Iw и /Х1,
включающиеся в б,; в каждом из них найдем интервалы б00, б01, 610, бц так,
чтобы имело место:
боо A>(>r)G2, б01 С /01Г)О2, б10 cz ZionG2, бх1 С ZxlnG2.
Интервалы б00, 601, б10, 61х назовем интервалами второго ранга.
Вообще, если построены интервалы й-го ранга, то для построения интерва-
лов й-J-l-ro ранга поступаем следующим образом: пусть i>i ^ ... tk (где числа
/’1, /2, . . . , ik — нули или единицы)-—какой-либо интервал k-ro ранга. Выделим
в нем два равных по длине непересекающихся интервала t . . . 0 и
Ц i - • • ih i> и внутри каждого из них найдем интервалы б. 2- . . . г- 0
12 л! 1 2 А?
б,- ; ...i,. 1, такие, что
‘1__'г Чг х’ ’ _
6('i i2 • i/i о С Ц1 i2 . . . l(i, 0 П Gft+j, 6tl i2 . . ,tk 1CZfl i2 . . . ik i fl G/b-i-j.
Все полученные таким образом интервалы б£1 г2 • • • ih назовем интерва-
лами й-|-1-го ранга. Их вдвое больше, чем интервалов k-ro ранга.
Ясно, что: а) различные интервалы й-го ранга (при фиксированном k),
и даже их замыкания, не пересекаются друг с другом; б) с возрастанием номе-
ра k длины интервалов стремятся к нулю;_в) для любой последовательности
нулей и единиц /г, is, ... имеет место: б21 ZD б(1 ZD 6t ( Z) . ..
Из свойств б) и в) вытекает, что для любой последовательности нулей и
единиц ilt Е, is, существует единственная точка х^ • - - » являющаяся
пересечением сегмента бг- П б^ П б;1 is Г\ . вместе с тем из свойства
а) следует, что двум различным последовательностям ilf i2, is, ... и
i: j, 1’2 , гз,.. .соответствуют две различные точки 1% is • • лхц i2 /3 ..
136
следовательно, множество всех таких точек х^ ls • • • будет рметь ту же
мощность, что и множество всевозможных последовательностей из нулей и
единиц, т. е. мощность континуума.
Обозначим множество всех точек х^ is • через А и докажем, что
А С Е. Возьмем для этого какую-либо точку х^ i ... £ А и докажем, что
она входит в Е. Так как _ _ _
Х‘1 >2 *8 ‘ ' = *2 8*1 *2 *3 П • • •
и так как, согласно построению,
в»! С Glt С G%, 6Z1 ;2 c GSi . . . ,
TO xtl i2 is... £ Gk при любом k\ значит, xi± ti ls .. .^[}Gk,t. e. xti is...£E.
Следовательно, любая точка множества А является элементом множества
Е, т. е. ДсЕ. Но, как доказано выше, множество А имеет мощность кон-
тинуума; значит, множество Е тоже имеет мощность континуума.
Замечание. Как видно из самого процесса доказательства, результат
остается в силе и тогда, когда множества Glt G2, Gst . . . являются открытыми
множествами на плоскости (плотными в некотором замкнутом круге) или в трех-
мерном пространстве (плотными в некотором шаре).
271. Пусть Alt А2, As, . . . , Ak, . . . — нигде не плотные множества на
прямой. Тогда замыкания этих множеств Аг, А2, As, . . . , А;г, . . . также нигде
не плотны (см. задачу 203). Следовательно, дополнения к множествам Ak являют-
ся открытыми множествами, всюду плотными на прямой. Но тогда их пересече-
ние Г)СЛ^ также является множеством, всюду плотным на прямой (см. зада-
k
чу 269) — значит, во всяком случае, не пустым.
Теперь легко проверить, что дополнение к сумме всех Ak непусто;
действительно:
nCAk^0
(здесь мы сначала учли, что, так как U4cU Ak, то С ((J А^ 2Э ;
далее мы применили принцип двойственности). Итак,
С (и
откуда следует, что множество 1)71д отлично от всей прямой (более того, на любом
k
интервале найдутся точки, не принадлежащие к LMs).
272. Пусть Вг, В2, В3, .... Вь, . . . —множества типа G6 , всюду плотные
на прямой. Тогда, для любого k, Bk=E\Gk, t, где Gk, t — открытые множества;
i
так как Gk, i ~2> Вд. для любых i, k, то все Gk, , также всюду плотны на
прямой.
Обозначим через Е пересечение всех Вд; тогда:
Е=пвк= лт Gi,k\ = nGt, k.
k k I i j I, k
Следовательно, E является пересечением счетной совокупности всюду плотных
открытых множеств {G;, д,}. Но тогда (см. задачу 269) Е само является всюду
плотным множеством. Итак, E=QBk является всюду плотным множеством
k
типа Ge на прямой.
273. Пример: Er= {rlt r2, rs, г2, ...}, В2= (r2, rs, r.t, ...}..
Ek= {rk, rk+i, rk+z, . - ... (здесь rlt r2f r3, ——множество всех рацио-
137
нальных чисел, занумерованных каким-либо способом). Множество Ет плотно на
прямой. Остальные множества также плотны на прямой, так как каждое из этих
множеств получается в результате вычитания из некоторого конечного мно-
жества (см. задачу 249).
С другой стороны, пересечение всех Е^ пусто: какую бы точку ни взять
она не может входить сразу во все
274. Множество Ег рациональных чисел всюду плотно на прямой. Допустим,
что оно имеет тип G6 . Тогда множестве) Е2, полученное из Ел сдвигом на
j/2 (т. е. множество чисел вида г+У2, где r^-Ej), также было бы всюду
плотным множеством типа G6 . Но в этом случае и их пересечение было бы
всюду плотным множеством (см. задачу 272), тогда как, на самом деле,
Е1Г)£з = 0- Следовательно, допущение, что Ег является множеством типа G6’
неверно. Значит, множество Ег всех рациональных чисел на прямой не является
множеством типа Gg.
275. Доказательство проводится с помощью принципа двойственности; при
этом надо использовать результат предыдущей задачи.
276. Доказательство аналогично тому, которое было проведено при решении
задачи 274; только сдвиги надо производить на число а, выбранное так, чтобы
множество точек вида Х'4-а (где х £ Е) не пересекалось с Е (это возможно
в силу счетности £).
277. Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
278. Если бы множество [0; 1)р/ (где / — множество всех иррациональных
чисел) имело бы тип Fo , то любое множество вида [к; к-J-l) ЛI (при любом целом к)
также имело бы тип FB , так как оно конгруэнтно данному. Но тогда сумма счет-
ной совокупности множеств (J {[й; й-|-1)£/} (где суммирование производится по
всем целым k) также была бы множеством типа Fo , что невозможно, так как эта
сумма совпадает со всем множеством I (см. задачу 275).
Доказательство того, что [а; р) £)/ не имеет типа Fo при любых аир
(а<;Р), проводится аналогично; только сдвиги производятся не на 1, а на
какое-либо фиксированное рациональное число г такое, что 0 < / <^р — а.
Чтобы доказать, что [а; р)Г]Л4 (где М — множество всех рациональных
чисел) не имеет типа G6 , достаточно заметить, что [а; Р) (") A'l является допол-
нением к множеству [а; р)Л / (до всего полусегмента [а; Р)), а оно не является
множеством типа Fo
279. В качестве такого примера можно взять множество Е, составленное
из всех отрицательных рациональных и всех положительных иррациональных
чисел. Если бы Е имело тип Go , то часть этого множества, попавшая в полу-
сегмент [—1, 0), также имела бы тип Go , что неверно (см. предыдущую
задачу); если бы Е имело тип £ то часть, попавшая в полусегмент [1; 2),
также имела бы тип Fo, что тоже неверно. Итак, Е не является ни множе-
ством типа Ge , ни множеством типа Fo
280. Надо свести эту задачу к случаю последовательности вложенных замк-
нутых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю.
Для этого рассмотрим отрезок [а; Ь], включающий Аг (следовательно,
[a; b] Z3 А/г для всех k). Разобьем этот отрезок на два равных сегмента, и на-
зовем первым отмеченным сегментом 1А ту его половину, которая пересекается
с каждым из Аь по непустому множеству*. Далее, разобьем первый отмеченный
сегмент f1 на два равных сегмента и назовем вторым отмеченным сегментом /2
тот из них, который пересекается по непустому множеству с каждым из А&.
* Если обе половины сегмента обладают указанным свойством, то первым
отмеченным сегментом /, назовем, например, левую половину сегмента [а; 6].
1ЯЯ
Вообще, если построены отмеченные сегменты /х, . . ., In—i, то под /„ мы
подразумеваем ту половину сегмента In—i, которая пересекается по непустому
множеству с каждым: из Ak-
Рассмотрим теперь последовательность {В*}, где Bk = Ak(~]Ik-
Ясно, что
В! 2D В2 2D В3 2D . . . ZD Bk .
и diamB&-*0 при й-*со (так как Bk<Zlk, и поэтому diamBfcsrdiam/fc). Следо-
вательно, по теореме Кантора, существует точка х0, общая всем: В*. Но В& С2 Ak
для любого k. Поэтому х0£ ЛBfeC2 Г)Ak, т. е. ЛЛЛ, непусто.
k k k
281. Приведем пример. Пусть = (0; 1), А2 = 0; — j, ...,
Ап= (о, —|, .... Тогда все Ап непусты, каждое последующее множество со-
\ п;
держится в предыдущем, а ПАп= 0.
п
282. Если Аг Z) Л Z) . . . 2D Ап 2D. . . и Ап+1 С2 Ап, то Л Аг = Г)Ап. Но
_ п п
Л Ап непусто (так как все Ап являются непустыми замкнутыми ограниченными
п _ _ —
множествами, причем A^A^Z) .. ^>Anz>. . .). Следовательно, Г)Ап также не-
п
пусто.
283. Пусть множества At, А2, . . , Ak, . . замкнуты и ограничены. До-
кажем, что если пересечение всех этих множеств пусто, то найдется такая
конечная совокупность этих множеств, пересечение которой также пусто (тем
самым будет доказана требуемая теорема).
Пусть 0 A,t = 0. Тогда С ( Л А£) = R, где R — вся прямая, и, по закону
двойственности, иСЛ/. = Д. Множества CAk — открытые множества, в сумме
к
составляющие всю прямую. Но тогда они образуют покрытие замкнутого ограни-
ченного множества Д1# Выберем из этого покрытия конечное (см. задачу 245):
U СД,-2 U . . . UCAip => Ах.
Тогда (снова по закону двойственности):
А^ Л Л2 П . - • Л С2 СДЪ
т. е.
АЛА1 ПА,-2 Л ... Г) А„= 0-
Итак, если ЛА'Л, = 0. т0 найдется конечная совокупность jAj, А^ А{ , ...,
к
Atn [ множеств из данной системы, пересечение которых пусто. Следовательно,
если пересечение любой конечной совокупности множеств {/L} непусто, то и
пересечение всех Ak тоже непусто.
Замечание. Из доказательства видно, что теорема остается верной и
тогда, когда хотя бы одно из замкнутых множеств Аъ А2, , Ak, . . . огра-
ничено (даже если остальные неограничены).
284. Нет, для неограниченных множеств все эти утверждения неверны.
Примеры. Пусть ДГ! = [н; 4-со). Тогда Аг 2D А2 2D А3 2). . . 2D Ап 2D.. .,
причем все Ап замкнуты (хотя и неограничены). Их пересечение пусто. Этот
пример показывает, что утверждение задачи 280 теряет силу для неограниченных
замкнутых множеств. Для того чтобы убедиться, что утверждение задачи 283
также теряет силу при неограниченности всех множеств Ап, достаточно рассмот-
реть тот же пример: Ап = [п; 4-°о). Здесь пересечение любой конечной сово-
купности этих множеств непусто, тогда как пересечение всех Ап пусто.
139
285. Да, можно, например, следующим образом: пусть сг — середина смещ.
кого интервала 1 ранга (т. е. с, = 0,5), с2 — середина смежного интервала
„ /7 8\
2 ранга, лежащего справа от сх (т. е. середина интервала I—; — I), и вообще
c*+i—середина интервала k-j- 1-го ранга, лежащего справа от <у,. Тогда канторово
множество D разбивается на следующую сумму попарно не пересекающихся не-
пустых замкнутых множеств:
D=(DD[O; CiDUCDnfCb c2])U(Dr)[c2, cg])U...
(ЯШ, Q+tDU U{1}
(здесь {1}—одноточечное множество — точка с абсциссой 1).
286. Квадрат [0; IJxfO; 11 можно разбить на сумму вертикальных отрез-
ков: х = const Ocycl. Множество этих отрезков имеет мощность континуума.
Каждый из них является совершенным непустым множеством, они между собой
не пересекаются и в сумме составляют данный замкнутый квадрат.
287. Все точки этого множества изолированы (см. задачу 132). Но тогда
это множество конечно йли счетно (если бы оно было несчетным, то оно имело
бы хотя бы одну точку конденсации, принадлежащую самому множеству).
288. Производным множеством является все канторово множество D (таким
образом, множество Е, построенное в этой задаче, может служить еще одним
примером, иллюстрирующим задачи 136 и 213). Замыкание E=E\JD
Второе производное множество совпадает с первым производным (т. е. рав-
но D). Замкнутое множество Е разбивается на сумму совершенного множества D
и счетного множества Е.
288. Множество Е замкнуто. Оно раскладывается на сумму совершенного
множества и счетного множества следующим образом: совершенное множество
состоит из множества D и суммы всех сегментов
,36„
Опт , , Опт ,
4 4
счетное множество — это множество всех точек
76, г
йп+ о , , где п — 1, 2. 3, ...
о о
290. Пересечение [а; 6]Г)Е является замкнутым множеством Докажем, что
оно не содержит изолированных точек.
Пусть х0£[а; Ь]Г)Е. Так как а СЕ, ЬСЕ, то х0 является внутренней точкой
сегмента. Опишем произвольную окрестность V (х0) с [с; 6]. В этой окрестности
найдется точка х£Е, отличная от х0. Но х0а; 6]Г)Е. Следовательно,
в произвольной окрестности точки х0 нашлась отличная от х0 точка хС]а; 6]Г)Е;
значит, х0 не является изолированной точкой множества [а; Ь]Г]Е
Итак, множество [а; bjEiE совершенно.
291. Рассмотрим два случая: 1) концы интервала а и Р оба не принадле-
жат множеству Е; 2) хотя бы один из этих концов принадлежит множеству Е.
В первом случае имеет место равенство (а; Р)рЕ = [а; PJOE; в правой
части этого равенства стоит совершенное множество (см. предыдущую задачу);
следовательно, и множество (а; Р) Г) Е является совершенным.
Рассмотрим теперь второй случай: пусть aQE и Р£Е (если бы только одна
из точек а, Р принадлежала множеству Е, доказательство было бы аналогич-
ным). Так как множество Е является нигде не плотным, то на любом интервале
(а; а') найдутся точки, не принадлежащие к Е. Отсюда следует, что сущест-
вует последовательность точек а1>а2> .. . >ап> . . ., не принадлежащих к Е,
сходящаяся к а. Из тех же соображений вытекает, что найдется последователь
ность точек bl<bz< . . . <Ьп< . . . , не принадлежащих к Е, сходящаяся к Р;
140
'HHIIIH'-I 14---- Yl-l I I Illi——I
a
Рис. 31
при этом всегда можно считать, что ai<6j (рис. 31). Но тогда множество
(а; Р)Г)£ является суммой следующих множеств:
(«1! («2; а^ПЕ, (ар, арГ\Е, (а4, a3)f)E, -
и
(Ьр, bp)(~\E, (62; bs)QE, (63; 64)Г)£, ...
Если все эти множества пустые, то и (а; Р) Г) Е является пустым (и, следо-
вательно, совершенным). Если среди этих множеств имеются непустые, то каж-
дое из них является совершенным (см. первый случай). Если этих множеств
конечное число, то их сумма (т. е.
(а; Р)Г)Е) также является совер-
шенным множеством; если же сово-
купность этих множеств является
счетной, то их сумма (т. е.
(а; Р) Г) Е) является суммой счетной
совокупности попарно не пересекаю-
щихся совершенных множеств.
292. Заметим сначала что P\Q=PpCQ, где CQ— открытое множество.
Пусть CQ=(J(a;-, рг), где (аг-, рг) — составляющие интервалы. Тогда Р\С=
i
= (J[(az; P/)nE]. Если P\Q непусто, то среди множеств (а,-; Рг)ЛР найдется»
i
хотя бы одно непустое. В силу решения предыдущей задачи, каждое непустое
множество (аг-; р/)ЛЕ либо совершенно, либо является счетной суммой попарно
не пересекающихся совершенных; но тогда и сумма множеств (аг-; р/)Г)Е (т. е-
множество P\Q) является либо совершенным, либо счетной суммой попарно не
пересекающихся совершенных.
293. Пусть A=(jEn, где Еп — совершенные нигде не плотные множества
11
Эту сумму можно записать следующим образом:
4=E1U(E2\Ei)U[Es\(EiUE2)1U. -U[En\"u E/l U- - • (D
г=1
В этой сумме слагаемые попарно не пересекаются; каждое из них является
либо совершенным нигде ие плотным множеством, либо разностью двух совершен-
ных нигде не плотных; если оно является разностью двух совершенных нигде
не плотных, то, на основании результата предыдущей задачи, оно представимо-
в виде счетной суммы попарно не пересекающихся совершенных множеств.
Отсюда следует (в силу равенства (1)), что и множество А представимо
в виде счетной суммы попарно не пересекающихся совершенных нигде не плот-
ных множеств.
294. Пусть [пх; Ьг], [<%; J, . .. , [ар Ьг-], ... — какая-либо счетная сово-
купность сегментов попарно без общих точек. Докажем, что сумма этих сегмен-
тов (J [a;; не может заполнить всю прямую. Рассмотрим сначала сумму внут-
!=1
ОО
ренностей этих сегментов, т. е. сумму интервалов (J (ар, 6/). Обозначим допол-
г=1
некие к этой сумме через Е. Оно замкнуто и непусто (непустота следует из
того, что точки alt Ь1г а^, Ь% .. . входят в это дополнение). Кроме того, Е
является совершенным множеством, так как его смежные интервалы попарно не
имеют общих концов (если бы два интервала (ар, Ьр и (ар, ЬР) имели бы общий •
конец, то сегменты [ар, Ьр и [ар, bpj пересекались бы по непустому множеству,
что противоречит условию). Из того, что Е — совершенное множество, вытекает
что оно имеет мощность континуума.
Вернемся теперь к сумме заданной последовательности сегментов. Дополне-
ние к этой сумме отличается от Е только на счетное множество точек:
C(U[az; 6iI[=E\{a!; bp, ар, bp, ...}.
Но тогда множество С {(J [ад также имеет мощность континуума и, следо-
вательно, непусто.
Значит, сумма счетной совокупности попарно не пересекающихся сегментов
не может заполнить всю прямую
(зт
—
л \
— j можно было пред-
ставить в виде суммы счетной совокупности попарно не пересекающихся сег-
ментов, то, отобразив этот интервал на всю ось Оу с помощью непрерывной
функции y=tgx, мы смогли бы представить всю эту ось Оу в виде счетной
суммы попарно не пересекающихся сегментов, что невозможно (см. задачу 294).
Аналогично доказывается и тот факт, что любой интервал (а; Ь) нельзя
представить в виде счетной суммы попарно не пересекающихся сегментов.
296. Нет, нельзя. Допустим, что сегмент [а; 6] представим в виде такой
ОО
суммы: [a; b]= (J [а,:; рг-];
/=1
пусть при этом левый конец
сегмента [а; 6] принадлежит
сегменту [а,; рг| (и, значит,
0=0]), а правый конец—сег-
менту [а2; р2] (и, значит,
Ь=р2). Тогда все остальные
совокупности составили бы ин-
296. Нет, нельзя. Допустим, что сегмент
<*1 fil
i______I—
а
аг Рг
Рис 32
•сегменты [а3;Р8], [а4; В4], [а5; РЕ], ... в своей
тервал (Р4; а2) (рис. 32), что невозможно (см. предыдущую задачу).
297. Построим иа [0; 1) последовательность совершенных множеств Аъ Д2,
As, ... следующим образом: в качестве А] возьмем канторово множество. Для
построения А,
Го; —1; Г—
п I п
(при п>1) разобьем отрезок [0; 1] на п равных отрезков
2 и. ’
п---1
-----; 1 , и на каждом из этих отрезков построим
п
, J , n u ..
'совершенное множество тем же процессом, что и канторово множество *. Сумму
всех этих множеств назовем Ап.
Обозначим теперь A=\JAn, В = [0; 1]\А. Докажем, что для любых а и р
п
(0<а<Р<1) пересечения АП (а; Р) и ВП(а‘. Р) имеют мощность континуума.
Каков бы ни был интервал (а; Р), в нем всегда найдется сегмент вида
Г 1 '+1
п п
для некоторого, достаточно большого п. Пересечение Ап с сегмен-
п
является, по построению, совершенным множеством (подобным
Г 1 1+11
канторову). Следовательно, А;гП|—;------- имеет мощность континуума. Атак
L п п J
как А А„, (а; р) 2Э ------; —— , то множество АП (а; Р), подавно, имеет
п п J
мощность континуума.
Множество ВП(а; Р) может быть получено как пересечение открытых, всюду
плотных на (а; Р) множеств CAlt СА2, CAS, .. . (здесь дополнения берутся
-относительно интервала (а; Р)). Но пересечение таких множеств имеет мощность
том —
п
континуума (см. задачу 270). Следовательно, BQ(a; р)=с.
------------: Г 1 1
* Например, на отрезке 0; — построение произведем так: разобьем отре-
зок на три равные части и выбросим средний интервал; затем каждый из остав-
шихся сегментов разобьем на три равные части и выбросим средние интервалы
и т. д. Множество, оставшееся после счетного числа шагов, будет искомым со-
вершенным множеством.
142
298. Смежный интервал первого ранга состоит из всех чисел, в троичном
разложении которых первый знак обязательно равен единице*. Каждый смежный
интервал второго ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых
(при фиксированном первом знаке) второй знак обязательно равен единице. Вооб-
ще, каждый смежный интервал k-ro ранга состоит из всех чисел, в троичном
разложении которых (при фиксированных первых k — 1 знаках) на А-м месте
обязательно стоит единица. Отсюда вытекает, что множество, оставшееся после
исключения из [0; 1] всех смежных интервалов, состоит из тех и только тех
чисел отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде троичной дроби, не
содержащей единицы в числе своих троичных' знаков.
299. Точки первого рода канторова множества состоят из всех тех чисел,
которые являются троично-рациональными (т. е. могут быть представлены в виде
конечной троичной дроби), и вместе с тем допускают троичное разложение, не
содержащее единиц в числе своих троичных знаков.
Точки второго рода — это те точки, в троичном разложении которых отсут-
ствуют единицы и которые являются троично-иррациональными (т. е. в их разло-
жении имеется и бесконечно много нулей, и бесконечно много двоек).
300. Между числами 0,1 и 0,2 имеется бесконечное множество точек пер-
1
вого рода; одна из них х==~^~ (ее разложение в троичную дробь таково:
х=0,0100. . . ; следовательно, эта точка троично-рациональна; ее троичное раз-
ложение может быть записано без единиц: х=0,00222 .. . ; следовательно, эта
точка принадлежит канторову множеству).
301. Между этими числами имеется бесконечно много точек второго рода.
Например, точкой второго рода, заключенной между числами 0,05 и 0,1, является
точка х, троичное разложение имеет вид: 0,00202020202. . . (легко видеть, что
2 2 2 1 1 1
эта точка является
Х З3 + 3® + З7 +
—; следовательно, — < х < —
1 1 и
точкой второго рода канторова множества, так как ее троичное разложение со-
держит бесконечно много двоек и бесконечно много нулей); притом она рацио-
нальна.
302. Любая двоично-иррациональная точка отрезка [0; 1] единственным
способом разлагается в бесконечную двоичную дробь 0, аг а2 а3 . . , где
а(-=0 или 1, причем в разложении имеется как бесконечное множество нулей,
так и бесконечное множество единиц. При этом всякая бесконечная дробь та-
кого типа изображает некоторую двоично-иррациональную точку отрезка [0; 1].
Любая точка второго рода канторова множества D единственным образом
разлагается в бесконечную троичную дробь 0, b2 bs. . , где 6г-=0 или 2,
причем в разложении имеется как бесконечное множество нулей, так и беско-
нечное множество двоек. При этом всякая бесконечная дробь такого типа изобра-
жает некоторую точку второго рода множества D.
Между двоично-иррациональными точками х=0, aY а2 as . . . отрезка
[0; 1} и точками второго рода канторова множества у=0, Ьг b2 bs . . . уста-
навливаем взаимно однозначное соответствие следующим образом: точке
х=0,а1 «а а3 . . . ставим в соответствие точку у=0, bY b2 bs . . . , такую, что
6г=2аг- (т. е. 6/=0, если сг=0, и 6Х=2, если аг=1). Ясно, что такое соответ-
ствие взаимно однозначно и что оно сохраняет порядок следования, т. е. это
соответствие устанавливает подобие между множеством двоично-иррациональных
точек на [0; 1] и множеством точек второго рода на D.
* Слово «обязательно» надо понимать в том смысле, что если х допускает
два различных разложения в троичную дробь — одно с единицей на первом месте,
а другое — без единицы на первом месте (например, х=— I, то мы х не вклю-
чаем в интервал первого ранга; иными словами, в интервал первого ранга войдут
те и только те числа х, которые при любом разложении в троичную дробь имеют
на первом месте после запятой единицу.
143
303. Нет, эти множества не подобны, хотя и имеют одинаковую мощность
(оба — счетны). Докажем, что эти множества не подобны, идя от противного-
допустим, что между элементами г множества R рациональных чисел отрезку
[0; 1] и элементами х множества X всех точек первого рода канторова множе-
ства существует взаимно однозначное соответствие сохраняющее порядок
следования. Пусть хх и х2 — два конца одного и того же смежного интервала-
им соответствуют точки гх и г2 из Я (причем, если хх < х2, то гх < г2).
Обозначим через г3 какое-либо рациональное число, заключенное между г
и г2. Пусть г3<->х3(-Х Так как между хх и нет точек множества X, то либо
х3 < хх, либо xs > х2. Но тогда соответствие г*-»х не является соответствием
подобия (в самом деле, г1<г3<г2, тогда как х3<хх<х2 или хх<х2<х3). Зна-
чит, установить соответствие подобия между множествами R и X невозможно.
Следовательно, эти множества не подобны.
304. Доказательство этого факта можно найти, например, в книге
П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», Гостех-
издат, 1948, стр. 68—69 (теорема 1 и следствие).
305. Нет, не существует. Докажем это. Возьмем точку х0 первого рода
канторова множества D и опишем около нее произвольную окрестность 1. Так
как D не имеет изолированных точек, то пересечение IfiD также не имеет
изолированных точек. Следовательно, замыкание /ПО является совершенны
множеством. Но совершенное непустое множество (а оно является непусты
так как содержит хотя бы одну точку xv) имеет мощность континуума. Мно
жество ff~]E> также имеет мощность континуума (оно отличается от своего за-
мыкания не более чем на Две крайние течки). Следовательно, множество /р£>
не может состоять только из точек первого рода (их всего счетное множество),
но должно содержать также точки второго рода. Таким образом, всякий интер-
вал I, содержащий хотя бы одну точку первого рода множества D, содержит
бесконечно много точек второго рода множества D.
Следует заметить, что эти рассуждения остаются в силе не только для кан-
торова множества, но и для любого совершенного множества D на прямой.
306. Множество Е, будучи непустым совершенным множеством, является
несчетным; следовательно, различных расстояний от данной точки х до любой
точки у£Е должно быть также несчетное множество (на прямой найдется не
больше двух точек ух и у2, отстоящих от х на одинаковом расстоянии). Значит,
среди всевозможных расстояний р (х, у) (у£Е) найдутся иррациональные рас-
стояния (так как рациональных чисел имеется только счетное множество).
307. Мощность континуума. Это следует из того, что каждое открытое
множество может быть представлено в виде суммы интервалов с рациональными
концами (в самом деле, если Г — открытое множество, то каждая точка хг,
может быть включена в интервал с рациональными концами, входящий в Г; но
тогда Г является суммой таких интервалов) Всего интервалов с рациональными
концами имеется счетное множество; следовательно, различных наборов из таких
интервалов имеется континуум Так как каждое открытое множество предста-
вимо в виде суммы рациональных интервалов не единственным способом, то
множество всех открытых множеств на прямой имеет мощность меньшую
или равную с : (j; < с.
С другой стороны, среди открытых множеств на прямой имеется континуум
различных интервалов вида (0; а) (где с>0) Следовательно, мощность множе-
ства всех открытых множеств на прямой не меньше, чем с: с.
Сравнивая полученные два неравенства, получаем: (£=с.
308 Мощность континуума Доказательство проводится аналогично преды-
дущему (при этом надо использовать тот факт, что любое открытое множество
на плоскости представимо в виде суммы рациональных кругов — см. задачу
241).
309. Мощность континуума. Это следует из того, что между множество)
всех открытых множеств на прямой и множеством всех замкнутых множеств на пря
мой существует взаимно однозначное соответствие (каждому замкнутому мно
жеству ставится в соответствие дополнительное к нему открытое).
144
Так как множество всех открытых множеств на прямой имеет мощ-
ность с (см. задачу 308), то множество всех замкнутых множеств на прямой
также имеет мощность с.
310. Мощность континуума. Доказательство. Мощность множества
всех совершенных множеств на прямой не больше, чем мощность множества
всех замкнутых множеств; следовательно, с с.
С другой стороны, среди совершенных множеств имеются всевозмож-
ные сегменты вида [0; и] (где с>0). Множество этих сегментов имеет мощ-
ность континуума. Следовательно, мощность множества ® всех совершенных
множеств больше или равна мощности континуума: ® > с.
Сравнивая полученные два неравенства, заключаем, что ф=с.
311. Для доказательства того, что эти множества совершенны, достаточно
убедиться, что все смежные интервалы к каждому из этих множеств попарно
не имеют общих концов.
Читателю предлагается найти также непосредственное доказательство того
факта, что каждое из этих множеств не имеет изолированных точек (не прибе-
гая к общей теореме о строении совершенных множеств на прямой).
312. Построим непустое совершенное множество, не содержащее ни одной
рациональной точки. Для этого сначала перенумеруем каким-либо способом все
рациональные точки на прямой;
Г1, г2, . гк, . . .
Опишем произвольным иррациональным радиусом е, окрестность около гг; назо-
вем ее 11. Далее, среди точек г2, rs, ... . , гк, . . . найдем первую, не вошед-
шую в Ii, пусть это будет гК2- ясно, что она не совпадает ни с одним из кон-
цов интервала (концы этого интервала — иррациональные числа). Опишем
около гКз окрестность иррационального радиуса е2, не пересекающуюся с 1г и
не имеющую с ним общих концов; обозначим эту окрестность /2.
Следующим шагом находим среди точек гКг+ 1э гК2+ 2, . . . первую, не вхо-
дящую ни в 11, ни в /2; пусть это будет гКз-, она не совпадает ни с одним из
концов интервалов 1г, /2; поэтому около нее можно описать окрестность ирра-
ционального радиуса е3, не пересекающуюся ни с 1г, ни с 12 и не имеющую с
ними общих концов. Обозначим ее Is.
Продолжая далее таким же образом, мы построим последовательность непе-
ресекающихся интервалов 1Ъ /2, . . . Дополнение Е к сумме этих интервалов
является искомым совершенным множеством.
То, что множество Е замкнуто, вытекает из того, что оно является до-
полнением к открытому (к сумме интервалов /,с). Оно непусто, так как содер-
жит, например, все концы выброшенных интервалов 1К. Оно не имеет изолиро-
ванных точек, так как, по построению, его смежные интервалы 1г, 12. . . . не
имеют общих концов. Следовательно, построенное множество совершенно и
непусто.
Кроме того, это множество не содержит ни одной рациональной точки (все
они вошли в интервалы 1г, /2, . . .); следовательно, оно состоит только из ир-
рациональных точек.
Наконец, заметим, что оно является нигде не плотным, потому что любой
интервал (а; Р) содержит точки, не входящие в совершенное множество Е (на-
пример, рациональные точки). Так как Е замкнуто, то это является достаточ-
ным условием для того, чтобы Е было нигде не плотным (см. задачу 206).
313. Да, существует. Построение такого совершенного множества произво-
дится тем же методом, что и в предыдущей задаче.
314. Множество F не имеет изолированных точек, так как ни одно из его
слагаемых множеств Ео, Ег, Е2, Е3, ... не имеет изолированных точек.
Множество F замкнуто, так как его дополнением до всего отрезка [0; 1]
является открытое множество — сумма всех смежных интервалов множеств Ег,
Е2, Es, ... . ; отсюда также следует, что все смежные интервалы к множест-
вам Ei, Е2, Е3, ... и только они являются смежными интервалами к множест-
ву F.
145
Множество F нигде не плотно на отрезке [0; 1]; докажем это. Пусть
(а; Ъ) — произвольный интервал на отрезке [0; 1J; в силу того, что нигде не
плотно, этот интервал содержит интервал I, полностью свободный от точек мно-
жества Ео- но тогда /с(аП(); Рп0) для некоторого п0 (где (аП(); Рп0) — некото-
рый смежный интервал множества Ео). Этот интервал полностью свободен от
точек множества Elt Е2, . . . , E„0—i, ЕП(1-\1, . . . ; а так как ЕП() — нигде
не плотное множество, то в интервале I найдется подинтервал /0, свободный
также и от точек множества EnQ. Итак,- интервал 10 свободен от точек всех
множеств Ев, Elt Е2, . . . , т. е. от точек множества F.
Значит, произвольный интервал (и; 6) содержит подинтервал /0, свободный
от точек множества F; следовательно, множество F нигде не плотно на прямой.
315. Замкнутость множества Е следует из того, что оно является допол-
нением к открытому множеству (к сумме всех открытых кругов п„).
Рнс. 33
Чтобы доказать нигде не плотность этого множества, надо заметить, что
любой открытый круг V содержит, в качестве внутренней точки, хотя бы одну
рациональную точку (см. задачу 193). Пусть это будет точка Мп. Опишем око-
ло Мп окрестность Un, входящую в V, и такую, чтобы ее радиус бьи меньше,
а
чем —. Тогда эта окрестность будет полностью свободна от точек множе-
ства Е. Итак, произвольный открытый круг V на плоскости содержит меиыпий
круг Un, полностью свободный от точек множества Е; а это и означает, что Е
нигде не плотно на плоскости.
316. Назовем замкнутыми квадратами первого ранга те восемь замкнутых
квадратов, которые остаются на плоскости после выбрасывания центрального
открытого квадрата, а сам этот выбрасываемый центральный квадрат назовем
открытым квадратом 1 ранга (рис. 33, о). Аналогично определяются замкну-
тые квадраты 2 ранга (их число равно 82, сторона каждого из них равна — см.
З2
рис. 33, б) и открытые квадраты 2 ранга (их число равно 8, сторона каждого равна
"р"). Легко видеть, что таким путем можно определить открытые и замкнутые
квадраты всех рангов.
14(1
Ясно, что 4=()jPfl, где Рп — сумма всех замкнутых квадратов ранга п. Так.
п
как каждое множество Рп замкнуто, то и их пересечение (т. е. множество 4)
тоже замкнуто.
Чтобы доказать, что А нигде не плотно, рассмотрим произвольный откры-
тый круг J. Этот круг либо полностью свободен от точек множества 4, либо'
содержит хотя бы одну точку М этого множества; докажем, что и в этом по-
следнем случае в круге J найдется меньший круг, полностью свободный от то-
чек множества 4. Для того чтобы убедиться в этом, найдем замкнутый квад-
рат Кп некоторого ранга п, содержащий точку М, и такой, чтобы его Диагональ
была меньше расстояния от точки М до границы круга J (это можно сделать,
так как диагонали замкнутых квадратов стремятся к нулю при стремлении их
ранга п к бесконечности). Этот квадрат целиком лежит внутри круга J (рис. 34)
Тогда открытый квадрат «4-1-го ранга, лежащий в середине квадрата Кп,
полностью свободен от точек множества 4 (и тоже лежит внутри круга J).
Вписав в этот открытый квадрат круг о, мы найдем круг, лежащий внутри кру-
га J и полностью свободный от точек множества 4. Итак, 4 — нигде не плот-
ное множество на плоскости.
Подобным же путем доказывается, что 4 не имеет изолированных точек:
пусть Л40£4. Опишем около М, пооизвольную окрестность J и построим за-
мкнутый квадрат Кп, содержащий М, и включающийся в J (рис. 35). Тогда гра-
ницы этого квадрата принадлежат к 4 и входят в J. Значит, Л1П не является
изолированной точкой. ,
Так как 4 замкнуто и не содержит изолированных точек, то 4 — совер-
шенное множество.
Выясним арифметическую структуру множества 4: на первом этапе мы ис-
ключаем из основного квадрата такие точки М{к, у), у которых и абсцисса, и
ордината обязательно содержат единицу на первом месте (при разложении в
троичную дробь); на втором этапе исключаются, кроме того, все такие точки,
у которых и абсцисса, и ордината содержат единицу на втором месте, и т. д.
Таким образом, в множестве 4 останутся все такие точки М (х, у), у которых
абсциссу и ординату можно разложить в троичные дроби: xn=0, а2 а3 . . . ;
уо=0, bt b2 bs ... , так, чтобы ни при каком к не выполнялось равенст-
во: ак=Ьк=\. Так, например*, (0,212121 . . . ; 0,121212 . . .) (4;
Л42 (0,202020 . . . ; 0,202020 . . .)£4; М3 (0,1000 . . . ; 0,1111 . . ’.)£4 (в по-
следнем случае хотя a1=fe1=l, но абсциссу этой точки можно переписать так;
0,02222 . . . ; следовательно, Af3f 4). С другой стороны, Л1( (0,1010 . . .;
0,1021 . . ,)£4 (эта точка исключается уже на первом шаге; она входит в от-
крытый квадрат первого ранга).
* Здесь и далее координаты точек Л12, /И3, Л44 заданы с помощью
троичных дробей.
147
317. Исследование проводится аналогично тому, как и в задаче 316. Ариф-
метическая структура множества В такова: в это множество входят все точки
М (х, у) основного квадрата, у которых как абсцисса х, так и ордината у, мо-
гут быть записаны в виде троичных дробей, не содержащих единицы среди сво-
их троичных знаков.
318. Исследование проводится аналогично. Арифметическая структура мно-
жества Е такова: оно состоит из всех точек М (х, у) основного квадрата, абс-
.циссы которых произвольны (0<х< 1), а ординаты могут быть записаны в виде
троичной дроби, не содержащей единицы среди своих троичных знаков.
319. А={[0; Цх[0; 1]| \, {CDxCD}, где CD — дополнение к канторову
•множеству D до всего отрезка [0; 1J;
B=DxD;
£=[0; IJxD.
ГЛАВА 7
МЕРА МНОЖЕСТВ
320. Ось Ох является нуль-множеством на плоскости, а всякое подмножество
«уль-множества является также нуль-множеством. Но все нуль-множества из-
меримы. Следовательно, все подмножества числовой прямой измеримы иа плос-
кости Оху, и их плоская мера равна нулю.
321. Канторово'совершенное множество D имеет линейную меру нуль. Сле-
довательно, каждое его подмножество также имеет линейную меру нуль и по-
этому измеримо. Но семейство всех подмножеств канторова множества имеет
мощность гиперконтинуума (2е), так как D=c. Значит, семейство 51 всех измери-
мых множеств на числовой прямой имеет мощность большую или равную 2е:
2Ь2-.
С другой стороны, семейство всех вообще множеств, расположенных на
^прямой, имеет мощность 2е. Так как 51 является частью семейства всех мно-
жеств, расположенных на прямой, то 21 <2-.
Сравнивая эти два неравенства, получим окончательно:
322. В качестве примера можно взять то совершенное множество, которое
бьио построено в задаче 199; только здесь в качестве А надо взять число 0,1.
Тогда сумма длин выброшенных интервалов равна А=0,1, а, значит, мера остав-
шегося совершенного множества равна 1—0,1 =0,9.
323. См. задачу 199 (здесь в качестве А надо взять положительное чи-
сло 1—а).
324. Нет, нельзя. Дополнением к такому множеству Е (до всего отрезка
[0; 1]|) было бы открытое множество СЕ меры нуль. Но открытое множество
меры нуль пусто (если бы СЕ содержало хотя бы одну точку Мв, то нашлась
бы окрестность V (М,), включающаяся в С£; то тогда было бы: тСЕ >
>mV (Мо)>О). Так как СЕ пусто, то Е заполняет весь отрезок, что противо-
речит условию (в условии сказано, что Е нигде не плотно на отрезке [0; 1]).
325. Построение этого примера проводится примерно так же, как и построе-
ние совершенного множества в задаче 199. Зададим произвольный положитель-
ный ряд с убывающими членами сх-|-с2-|-с3-|-. . . , сумма которого равна 1 —а.
Проведем теперь в основном квадрате [0; 1]х[0; 1] Две вертикальные и две
горизонтальные прямые так, чтобы площадь креста, вырезаемого этими прямыми,
равнялась а1г и чтобы четыре четырехугольника, оставшиеся после отбрасывания
этого креста, были замкнутыми квадратами (рис. 36, а). Эти замкнутые
•квадраты назовем квадратами первого ранга; их сумму обозначим Рх (Рх— за-
148
минутое множество). Далее, в каждом из квадратов первого ранга проведем по
две вертикальные и по две горизонтальные прямые так, чтобы каждый крест,
°2
вырезаемый этими прямыми, имел площадь — и чтобы после отбрасывания
этого креста в каждом квадрате первого ранга осталось по четыре замкнутых
квадрата; назовем последние квадратами 2-го ранга, их сумму обозначим Р2;
число квадратов второго ранга равно 42 (рис. 36, б). Вообще, если построены
квадраты Л-го ранга (их число равно 4К), то дальнейшее построение проводится
так: в каждом нз квадратов k-vo ранга проводим по две вертикальные и по две
горизонтальные прямые так, чтобы крест, вырезаемый этими прямыми, имел пло-
£7^ j- 1 .
щадь ------- и чтобы оставшиеся четырехугольники были замкнутыми квадрата-
4х
ми (назовем их квадратами А+1-го ранга; обозначим их сумму PK+i’> число
гсех квадратов й-pl-ro ранга равно 4К+1).
Рис. 36
Если взять теперь пересечение всех Рк, то мы получим совершенное мно-
жество меры а. Последнее следует из того, что дополнением к этому множе-
ству является сумма всех выброшенных крестов; а мера множества, образован-
ного и? всех этих крестов, равна 1 —а:
П1+4-—4-42-~ + . . . + 4х-— + ... =
1 4 42 4х
=aj4-a2+as+ . . . 4-0k+i+ . . . =1 —а..
Итак, дополнение к построенному совершенному множеству имеет меру
1 — а; значит, само совершенное множество имеет меру а.
326. Мера дополнительного множества равна сумме площадей выбрасывае-
мых квадратов всех рангов, т. е.
Ill 1
тС4=---8+——-82Ч-----83 + . . . 4-—-8х+ ... =1.
9 92 93 9х
Следовательно, тА=0.
327. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех выбрасы-
ваемых «крестов», т. е.
5 5 5 , 5
тСВ= +—Г-4+—-42 + . . . +--------4К + - - - = !•
9 92 93 ' 9KTi
Следовательно, тВ=0.
149
328. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех выбрасы-
ваемых прямоугольников, т. е.
Ill 1
тСЕ= +— -2+—--22 + . . . + ---------2*+ ... =1.
, 3 З2 3s 3*+*
Следовательно, тЕ=0.
329. Пусть множество Е расположено на отрезке [п; 6]. Рассмотрим следу-
ющую функцию f(x), определенную на [а; 6]:
f(x)=m([cr, х] П Е).
Очевидно, что f (а) = 0, f (Ь)=тЕ=р и что f (х) монотонно возрастает (хотя н
обязательно строго возрастает). Докажем, что функция f (х) непрерывна во все
точках отрезка [а; 6]. Пусть х£[а; 6]. Тогда
f(x+h) — f (х)=/п([а; х+й]Г)£) — т ([а; х]Г)В) =
=т {([а; x+A]f|E)\(|a; х]Г|Д)}-т {(х; х+Л-]Г)Е} < т (х; x-\-h}=h.
При f (x+/i) — f (x) также стремится к нулю, т. е. f (х) непрерывна
справа (так как й>0) в точке х. Аналогично доказывается, что /(х) непрерыв-
на слева в точке х. Итак, f (х) непрерывна во всех точках сегмента.
Функция, непрерывная на сегменте [с; Ь], принимает все промежуточны
значения. В частности, найдется £, а<С<6, такое, что f(C)=? (так ка
f (a) '' q< f(b). Но f (С)=т([а; С]/")£). Следовательно, множество [с; С] f)Е
включающееся в Е, име.ет меру, в точности равную q.
330. Если Е — ограниченное множество на прямой, то все доказано в ре
шении предыдущей задачи. Если же Е — неограниченное множество на прямо
то поступаем следующим образом: обозначим через Еп множество:
£п=АЛ[— nJ.
Ясно, что EjCE^cE^c . . . сЕпа . . . , причем (J Еп=Е. Тогда тЕ--
п
=lim тЕп, т. е. lim тЕп=р. Так как, по условию, q<p, то мы можем найт
/?->оо п—
такси номер пв, что тЕп >q. Обозначим тЕП()=г (причем ''>?)
Множество Е„о ограничено и имеет меру г. Согласно результату предыдуще!
задачи, мы можем найти в нем такое измеримое подмножество А, мера которо-
го равна ?. Но Л с ЕПо< а Еп0 Е. Следовательно, A CZ Е.
Итак, даже если Е неограничено, и его мера равна р, мы можем найти для
любого q<p такое ограниченное измеримое подмножество А множества Е, что
тА=д.
331. Пусть mE=p>0, q — заданное положительное число, меньшее, чем р.
Обозначим через q' какое-либо число, заключенное между р и q. Согласие
результату предыдущей задачи, существует ограниченное измеримое подмноже
ство А множества Е, такое, что mA—q'. Пусть Л<Т| с; Ь].
. По свойствам измеримых множеств, для любого е>0, найдется замкнутое
подмножество А такое, что мера этого подмножества больше, чем mA-—е
В частности, найдется такое замкнутое подмножество В, что mB q.
Наконец, совершенно таким же путем, как это бьио сделано в 329 задаче
мы можем найти на отрезке [а; 6] точку £ такую, что т ({а; С] П B)=q (ес.4
учесть, что
т([а; a]QB) = 0; т ([а; 6]ПВ)>ц).
Множество [а; С] Г1 В является замкнутым, как пересечение двух замкну
тых множеств. Обозначим его через С:
С=[с; ЦПВ; mC=q.
Всякое замкнутое множество на прямой можно разложить на сумму счет-
ного множества N и совершенного D:
C=D[jN.
150
Так как мера счетного множества N равна нулю, то mD=m.C=q.
Итак, D — совершенное множество заданной меры q. Ойо включается в исход-
ное множество Е (так как DcC; CtB; ВсЛ; АаЕ).
332. Пусть тЕ=р, р>0. Согласно предыдущей задаче, мы можем найти в
множестве Е совершенное подмножество D любой меры, меньшей, чем р, на-
пример меры Но совершенное
множество D положительной меры непусто.
Следовательно, его мощность равна континууму. Так как Ez^D, то Е>с. С дру-
гой стороны, Е является подмножеством числовой прямой, которая также имеет
мощность континуума. Поэтому Ст с. _
Сравнивая эти неравенства, получим: Е=с. Итак, любое измеримое множество
положительной меры, расположенное на прямой,
333. Если Е — ограниченное плоское множе-
ство, то мы поступаем следующим образом: пусть
Е проектируется на ось Ох в отрезок [а; 6].
Рассмотрим множество £х, которое отсекается
от множества Е вертикальной прямой с абсцис-
сой к (имеется в виду та часть .множества Е,
которая расположена слева от этой прямой)
(рис. 37). Обозначим f (х)=тЕх. Тогда f (о)=0,
f (Ь)=р. Легко доказать, что f (х)— непрерывная
на [а; Ь] функция. Следовательно, на [п; 6]
найдется точка I такая, что f (0=<7, так как
f (a)<q<f (Ь). Тогда Е. и будет искомым мно-
жеством: Е, с Е, причем infq =q.
Если Е—неограниченное измеримое мно-
жество, мы поступаем так же, как в задаче 330.
334. При доказательстве поступаем так же,
как и при решении задачи 331 (использовав, конечно, результат задачи 333 для
плоских множеств).
ЗЗБ. Пусть zn£=+co; для определенности считаем, что Е лежит на число-
вой прямой и что рассматривается линейная мера. Обозначим Еп=Е/"][— п; и].
Так как £х сг Е2 сг £., CZ . . . С Еп с ... и ЦЕп=Е, то lim тЕп=тЁ,
а
т. е. lim /п£„=-1-со. Следовательно, найдется такое п,:, что тЕп >q. Пусть
mEno=p>q (заметим, что, так как £П()—ограниченное множество, то тЕ„о
конечна).
Далее, применяя метод решения задачи 331, докажем, что найдется совер-
шенное множество D меры q, включенное в ЕПо. А так как ЕПд с: Е, то DcE,
336. Her, не может. Если множество £ содержит внутреннюю точку х0,
то в £ входит некоторая окрестность точки х0, V (х0). Мера окрестности V (х0)
положительна (это длина интервала в случае линейной меры, или площадь кру-
га— в случае плоской меры). Но тогда mE^mV (хв) >0.
337. Нет, нельзя; если бы мера замкнутого множества £ (где Е с[се, .Ь],
Е=р[а; 6]) равнялась Ь — а, то разность [а; Ь]\Е содержала бы внутренние
точки и имела бы меру нуль. А это невозможно (см. решение предыдущей за-
дачи).
338. Пересечение f) Еп может иметь бесконечную меру, конечную меру,
п
отличную от нуля, и меру нуль. Примеры:
а) если £ц=|^—+со^, то Л £п=[0; 4-оо),
б) если £„=[—1; 0](J[л; +»), то Л £„=[—1; 0];
п
в) если £„=[м; -j-oo), то Л £п=0.
п
№
339. Сумма (JЕп может иметь конечную или бесконечную меру. Примеры.
п
а) если £„= [б; 1 — — Y то (J^n=[0; 1);
L п 1 п
б) если £п=[0; п], то U^n=[0; +со)-
п
340. Обозначим через Ег множество тех точек отрезка [0; 1], в разложении
которых в бесконечную двоичную дробь нули стоят на втором месте; через Е2-~
множество тех точек, в разложении которых нули стоят на втором и четвертом
местах; через Es — множество тех точек, в разложении которых нули стоят на
втором, четвертом и шестом местах, и т. д. Ясно, что Ег Z2Е,, о Е3 о . . , и
что тЕк=— при любом k. Множество Е является пересечением всех Ек:
Следовательно,
Е= П Е,
А=1
тЕ= limm£s= lim —=0.
k СО &--С/Э 2к
341. Примером такого множества может служить £>\Д, где D—канто-
рово множество, а А—множество всех правых концов его смежных интервалов
(включая точку 0). Так как D\AcD, то т (£>\4)=0. Подобие между по-
лусегментом (0; 1] и множеством П\Л устанавливается следующим обра-
зом: каждой точке х£ (0; 1], записанной в виде бесконечной двоичной дроби
х=0, аг а.2 а3 ... , ставим в соответствии точку Л, имеющую следую-
щее разложение в виде бесконечной троичной дроби: 0, 6Х Ь> bs ... , где Ь;=2а[.
342. Примером такого множества может служить совершенное нигде не
плотное на отрезке множество заданной положительной
было построено при решении задачи 323.
СО /
343. Да, может; например, множество Е= (J I Z?; k
k=i \
меры; такое множество
1 \
| неограничено, а
его мера равна единице.
344. Пусть Е—замкнутое множество меры нуль на прямой. Докажем, что
оно нигде ие плотно на прямой.
Пусть I — какой-либо интервал. Он не может быть весь заполнен точками
множества Е (в противном случае было бы тЕ>т!~>0). Пусть х0~1, х(1^Е.
Тогда (так как Е—замкнуто, то СЕ — открыто) найдется окрестность V (х0)
точки хп, не содержащая точек множества Е. Пересечение I f)V (х0) представ-
ляет собой интервал, включающийся в / и полностью свободный от точек мно-
жества Е. Так как I — произвольный интервал на прямой, то этим доказано, что
Е нигде не плотно на прямой.
Доказательство для плоскости и трехмерного пространства аналогично.
345. Замыкание множества меры нуль не обязано иметь меру нуль. При-
мер: Пусть £—множество рациональных чисел на отрезке [0; 1]. Тогда тЕ=0,
тЕ=\.
346. Замыкание нигде ие плотного множества меры нуль также не обязано
иметь меру нуль. Пример. Пусть F—нигде не плотное на отрезке [0; 1] со-
вершенное множество положительной меры (см., например, задачу 323), а £—
множество точек первого рода этого совершенного множества (т. е. £— мно-
жество всех концов смежных интервалов). Тогда £ — счетное, нигде не плотное
множество; /п£=0. В то же время, E=F и, следовательно, mE=mF>0.
347. Если £ — множество положительной меры, то оно имеет мощность
континуума. Пусть лд— произвольная точка из £. Тогда всевозможных чисел
вида р (л'о, х) (где х(:Е) будет континуум; следовательно, не все эти числа мо-
гут быть рациональными. Иначе говоря, найдется такая точка х£Е, что
р(х0, х) — иррационально.
J.52
348. Пусть Е—измеримое множество на [a; t>], такое, что т£=р>0
Занумеруем все рациональные числа интервала (0; 1):
Г1, Г2, ..., Гк, ... ,
и обозначим через Ек множество, получившееся из Е сдвигом на гк (т. е. Ек —
множество всех точек вида х+/\, где гк фиксировано, а хЕЕ). Множества Ек
конгруэнтны друг другу и в сумме составляют некоторое множество Н, распо-
ложенное на отрезке [а; &+Ц. Докажем, что среди множеств Ек найдутся хотя
бы два множества, имеющие непустое пересечение. Действительно, если бы все
множества Ек попарно не пересекались, то имело бы место
mH = mE14-rriE.i+ . . . ^-тЕк+ . . . =р.-)-р+ . . . +р+ . . . =-f-co,
что невозможно, так как Нс [а; Ь-f-l] и, значит, тН<Ь-}-\—-а.
Итак, среди множеств Ек существуют такие два множества Et и Е:
что EiftEj-^0- Пусть £££;, tQ_Ej- Тогда (1=х+гг, С=у+г?- (где х£Е, у£Е)\
следовательно, х-}-гг=у-)-гу, откуда |х— у|=|г4-— гу-|^0, т. е. р (х, у) — ра-
ционально.
Таким образом, мы доказали существование по меньшей мере двух различ-
ных точек х(-Е и у ЕЕ, расстояние между которыми рационально.
349. Если £—неограниченное множество положительной меры, расположен-
ное на прямой, то оно содержит ограниченное подмножество £0, мера которого
также положительна (см. задачу 330). На основании результата предыдущей
задачи, мы можем заключить, что существуют такие точки хГ-£0, УС:ЕП (хУ=У),
что р (х, у) рационально. Но Ев G £; следовательно, точки х и у принадлежат
множеству £, и расстояние между ними рационально.
350. Построим для каждого натурального п такое замкнутое множество Fп
I 1
и такое открытое Gn, что Fnc Ес Gn и что т (E\Fn) <*—, т (G„\ £) <г-----.
п п
При этом, не ограничивая общности, можно считать, что fn+1Z) Fn, Gn+1c Gn
(если бы это было не так, то можно было бы £«+i заменить
п-|-1 ri-|-l
на (J a G„+1 — на Г) Gz).
/=1 i=l
Рассмотрим теперь последовательность множеств:
£\£х; £\£2; - - -; £\£„; • • •
Очевидно, что для любого п имеет место: E\Fnz> E\FK+1; поэтому
lim/те (E\Fn)=m {П (£\F„)}; следовательно, т{ П(£\£п))=0. Но Л(£\ЕП) =
«-►по п п п
=E\(JFn (это следует из принципа двойственности). Поэтому т (£\(jFn)=0.
п п
Итак, множество А= |J Fn является искомым множеством типа Fa : оно вклto-
rs
чается в £ и т (£\А)=0.
Аналогично доказывается, что пересечение всех Gn является искомым мно-
жеством типа G, (если £=T)Gn, то ВоЕ и т (В\£)=0).
п
351. Это множество является совершенным, нигде не плотным (см., напри-
Asep, задачи 199—201). Мера дополнительного множества равна су.мме длин
смежных интервалов:
z 1 9 92 9й
/reC£=W+l№+10^+ +10ft+i + *”=1-
Следовательно, мера данного множества равна нулю.
352. Это множество является дополнительным к тому, которое рассмотрено
в предыдущей задаче; поэтому оно является открытым, всюду плотным на
[0; 1]; его мера равна 1.
И Ю. С. Очаи
153
353. Часть этого множества, расположенная на отрезке [п; п-|-1], имеет
меру нуль при любом целом п (при п=0 это доказано в задаче 351; при других
целых п доказательство аналогично).
Все данное множество представляет собой сумму этих частей:
E=U (ЕП[п; п+1]).
п
Так как мера каждого слагаемого множества равна нулю, то и мера всего мно-
жества Е также равна «нулю.
354. Обозначим через А^ множество всех чисел отрезка [0; 1], в бесконеч
ном десятичном разложении которых фигурирует цифра k. Мера Ak равна 1
(см. задачу 352); это множество плотно в [0; 1]. Множество Ак можно полу-
чить, если к множеству точек, десятичное разложение которых невозможно без
цифры k, добавить те точки, которые допускают два различных способа разло-
жения и у которых в бесконечном разложении имеется цифра k. Таким обра-
зом, Afi является суммой открытого и счетного множеств; следовательно, А%
является множеством типа Fo
Искомое множество Е является пересечением всех А^ (k=l, 2, ... 9).
Следовательно, это множество типа Fa (см. задачу 179, гл. 5). Чтобы найти
меру Е, найдем сначала меру его дополнения относительно отрезка [0; 1J:
С£'=С(ПЛй)=иСДА;;
k k
mCAf;=0 для любого k, следовательно, /?z(jC/lA=O, т. е. тСЕ~0. Значит
k
т£—1.
Так как мера интересующего нас множества равна мере всего отрезка [0; 1],
то это множество плотно на данном отрезке.
355. Это множество является совершенным, нигде не плотным; его мера
равна 0,99.
356. Сумма Е всех этих интервалов представляет собой открытое множе-
ство:
/ 1 1 М / 2 1 1 1W- J — — (— 1 1 \
\ 20’ 9+20/и^9— 20’ 3 +20/ U \ 3 ~ 20’ 9 +2oJUU ~20’
, / 1 1 \ 38
Его мера равна 4- — 4-— =—.
\1и У / 4о
357. Оценим меру суммы всех интервалов щ и г/. Мера их суммы не пре-
восходит суммы их длин; поэтому
Ж'lb;—а, — а,- 1 жг-1
™[(u«i)u(u^-)]< У,—гл+ У «/)
i i
Сумма S (bt—af) равна мере дополнения к £; таким образом, 2(6;-аг)=
= 1—0,6=0,4. Итак,
OT[(u«au(u»i)i<o,2.
i i
Так как мера множества ((Jtif) (J ((Jог) меньше, чем мера Е, то это множество
i i
не может покрыть всего множества Е.
358. На отрезке [0; 1] оси Ох построим совершенное множество Ел. меры
а > 0, состоящее из одних только иррациональных точек (см., например, зада-
чу 312). Такое же множество Еу построим на отрезке [0; 1] оси Оу.
Теперь искомое множество Е можно построить, взяв все такие точки
М (х, у) плоскости Оху, для которых одновременно х£Ех, у£Еу.
Легко доказать, что множество Е является совершенным, нигде ие плот-
ным, и его плоская мера равна а2 (сравните с задачей 325).
154
359. Построить такое множество ВсТО; 1], что т{(а; Ь)("]В} > 0 и
т {(а; Ь)Г)СВ) > 0 для любого интервала (а; й)с[0; 1], возможно. Покажем
на примере, как построить такое множество В.
Пусть ух>у2> > у/>---------------какая-либо последовательность положи-
СО
тельных чисел, такая, что ряд 2 у;- сходится, и его сумма меньше 1. Пусть,
1=1
кроме того, т]г> т]2> ••• > тр>------какая угодно убывающая последователь-
ность положительных чисел, стремящаяся к нулю.
Впишем* в сегмент [0; 1] совершенное нигде не плотное множество Дг
меры Yj, такое, что все его смежные интервалы имеют длину <T]t.
Далее, в каждый смежный интервал (а; р) множества Д, впишем совершен-
ное множество, мера которого равна (|3 — a) Y?. и у которого все смежные ин-
тервалы, расположенные на (а; |3), имеют длину <т]2. Сумму всех таких совер-
шенных множеств обозначим Д2; ясно, что тА2=у2тСА1 < у2 (здесь и дальше
символ С обозначает дополнение до всего отрезка [0; 1]).
Сумма ДхиД2—совершенное нигде не плотное множество, такое, что
0<т (ДхиА) <Y1+Y25 все его смежные интервалы имеют длины <т]2 (см. зада-
чу 314).
п
Пусть теперь построены множества Дъ . . ., Ап, такие, что (J Дг- —
i=l
совершенное множество; построим множество Д„+х. Для этого в каждый смеж-
п
ный интервал (а; |3) множества (J Дг впишем совершенное множество, мера
/=1
которого равна (Р— а)н у которого все смежные интервалы, располо-
женные на (а; р), имеют длины <Т]П4-1- Сумму всех таких совершенных мно-
п
жеств обозначим Д„+1; ясно, что тАп+1=уп+1т{С ((J Д()}<Уп+х.
i—1
n+1
Сумма (J Д£— совершенное нигде не плотное множество; его мера меньше,
1=1
«+1
чем 2 у(-; все его смежные интервалы имеют длину <т]п+1.
i=i
. оо
Взяв сумму всех At, 1 < / < Д- оо, получим искомое множество В~ (J Д;.
11
Пусть (а; Ь)—произвольный интервал, (а; 6)G[0; 1]; докажем, что
m {(«; Ь)ПД) > 0 и что tn {(a; b)PiCB} > 0. Для доказательства найдем такое
6 — а , п „
число п, что <----------, Множество (J Д(- является нигде не плотным, совер-
3 /= 1
шенным, и длины всех его смежных интервалов меньше, чем т]л. Поэтому внутри
интервала (а; 6) найдется хотя бы один смежный интервал этого множества;
обозначим его/. Тогда inAt = 0 для всех /=1, 2, . . . , п; т {/Л'4п+1} =|/]уп+1,
где 111 — длина интервала/; далее, т {/nAi+a} < I / I’Yn+zI т {/ПДп+3} <
< 11 l-Yn+s, и т. д.
Заметим, кроме того, что ВгэДп+1; (а; Ь) гэ I. Поэтому (а; b)[~]BziIП-^л+iI
следовательно,
т {(а; Ь)ПВ\ >т {IЛ Дп+х} = 11 |-Yn+i > 0.
ОО
Чтобы доказать теперь, что т ((а; 6)('|С'В} > 0, напомним, что В= (J Д(-,
1=1
где А,- попарно не пересекаются.
* Вписать в сегмент [a; 6j или в интервал (а; Ь) совершенное множество—
это значит построить совершенное .множество, включающееся в [а; 6] или в (а; 6).
II* 155
Поэтому /RB=U {/Г)Лг},и
1=1
со
/и{/ПВ}=2т{/ПЛ) <|/|-уп+1+|/|-у„+2+|/|-у„+з+ ••• <
/=1
со
<Г1-2у/ <|/|.
t=i
Итак, т{1ПВ} < | / |; во (/££)(J(1ПСВ)=/, откуда ,?!{/££}-|-7?г{/RGB} ==| / I
Следовательно, т {/ R Св} >0. А так как IG (а; 6), то и подавно
т {(a; 6)RCB} > 0.
Таким образом, доказано, что построенное множество В удовлетворяет всем
требуемым условиям.
360. Да, может. Приведем соответствующий пример. Построим для каждого
натурального числа п совершенное нигде не плотное множество Еп на отрез-
1 со
ке [а; Ь] такое, что тЕп=Ь — а——. Докажем, что (J Еп имеет меру Ь — а.
п п=1
Для этого построим вспомогательную возрастающую последовательность совер-
шенных множеств А, с А.2С2 • • • G Апс • следующим образом:
Ai=£i'. A2=£'1U£'2; A3=£1U£2UAs5 ••• J •z^n=^TxU£aU (JЕп\ ...
1
Ясно, что для любого п имеет место: Ь — а — — < тАп < Ъ — а (так как
п
(AnZ) Еп, то тАп> тЕп). Следовательно, lim/nAfi=6 — а А так как последо-
п=со
вательность Ап возрастает, то m(ljAn)=limmAn=b— а. Заметив, наконец, что
п П-МХ)
со 00
(J Ел = U Ап, получим окончательно:
п=1 п=1
т( U Е^) = Ь — а.
П=1
361. На сегменте [а; 6] можно построить счетную совокупность попарно
не пересекающихся совершенных нигде не плотных множеств, сумма которых
имеет меру Ь — а. Проведем соответствующее построение на отрезке [0; 1].
Прежде всего, построим на отрезке [0; 1] совершенное нигде не плотное
множество Ег меры— .
Далее, в каждый смежный интервал рьг-) множества Е± впишем со-
вершенное нигде не плотное множество Elti, мера которого равна половине
СО |
длины интервала («i,,; Pi,/). Тогда т ((J
i=i 2s
СО
'Множество £2=£iU( (J Е1г1)—совершенно и нигде не плотно (см. зада-
1=1
3
чу 314). Его мера равна —.
Далее, в каждый смежный интервал (с^,,-; p21t-) множества £2 впишем со-
вершенное нигде не плотное множество £2,z> мера которого равна половине
СО 1
длины интервала (а2,(-; р2,г). Тогда га( (J £2./)=—•
г=1 23
СО j
Множество £S=£2U( (J £2,() совершенно и нигде неплотно; mEs=l— —.
i= 1 23
Продолжив этот процесс неограниченно, мы получим следующую счетную
156
совокупность совершенных нигде не плотных множеств, попарно не имеющих
общих точек:
Et< Eltll Elt2, £1>3, . . . , Е1г[г .. . • E2,2, ', E2ti~, . . . ;
• • > Eft,!, E)!t2, . . . , Ek,i, . . . ; ...
При этом
111 1
m£i=—; m (Ufj,m(U£'2>i-) = —; . . .; tn (u£'ft>/)=-^—; ...
z г 22 t 22 г 2K+1
Так как все множества данной совокупности попарно не пересекаются, то мера
суммы этих множеств равна сумме их мер. Поэтому:
... U(U^,z)U ... } =
i i i
=— 1-+1 1
2 + 22 + 23 + + 2ft+i + ’ ’ ‘ = •
Таким образом, построенная выше последовательность совершенных нигде
не плотных множеств Ev и Ек<1 (k=l, 2. . . ; z=l, 2 . . .) удовлетворяет всем
условиям задачи.
362. Существует; в качестве такого множества можно взять [0; 1]\£,
где Е — сумма всех множеств, построенных при решении предыдущей задачи.
363. Обозначим Так как A ZD Ek при любом k, то mA > тЕ^
для всех k. Возьмем теперь произвольное е > 0 и найдем k0 такое, что
mEh >1 —е; тогда mA > пгЕь > 1 — е. Итак, для любого е > 0 имеет место:
«о «о
1 — е < mA < 1.
Следовательно, mA не может быть меньше, чем 1. Значит, тА=1.
364. Это следует из более общего результата, содержащегося в задаче 365.
п п
365. По закону двойственности имеем: С (fi Л/) = U САь откуда
£=1 г=1
п п
C\Ai=C(\jCAi). Поэтому
1=1 1=1
m(CiAi)=l-m(.LlCAi). (1)
/=1 1=1
Но
« ( и СAi) < 2 mCAi= 2 f1 - mAi)=n— £ mA;.
'=1 (=1 j=l Z=1
n n
А так как, по условию, 2 /ЛА > п —1, то п — 2 mAi < 1. Следовательно,
i= 1 1= 1
m(UCA)<l. (2)
1=1
Сопоставляя неравенства (1) и (2), получим окончательно:
т ( Л Л) > 0.
i=l
366. Разобьем Е на сумму двух непересекающихся множеств
Е=(Е(~)А) IJ(E(:CA). Первое из слагаемых множеств (множество £’ПЛ) изме-
римо (как часть множества А меры нуль). Если бы было измеримо и второе
слагаемое (множество Е('.СА), то была бы измерима н сумма (множество £),
что противоречит условию. Следовательно, множество £рСД неизмеримо.
157
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА 8
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
367. Нет, неверно. Прообраз множества f (А) может включать точки, ле-
жащие за пределами множества А; папример, если /(х)=х2; А=[0; 2] с Ох, то
f (А)=[0; 4] с Оу, а /-![/ (А)]=[— 2; 2] G Ох. Здесь f~i[f (А)] А.
Вообще, всегда f~l [f (А)] 2Э А, но равенство не всегда имеет место.
368. Равенство f[f~ 1(В)]=В справедливо для любого В из множества зна-
чений функции /(х).
369. Равенство f(A{jB)—f(A){jf(B) справедливо для любых множеств А
и В из множества определения функции f(x).
Равенство f (ApB) = f (А) f (В) справедливо не всегда; однако всегда верно
[Ззх 1 Г тт ЗзтТ
0; —| , В=|— ; —|,
/"(x)=sinx, то
/(А)=[0; И, f(B)=[-i; 1];
/(4ПВ)=/
; 1ИЖ)Ш(В)=[0; 1].
370. Первое из этих равенств справедливо при любом отображении f (х) (не
только взаимно однозначном);
HUAft)=UHAfc). (1)
k k ' '
Для того чтобы доказать равенство
НП^)=ПДАЙ),
k k (2)
докажем, что здесь имеет место включение в обе стороны.
а) Пусть УоС ЦП А*); тогда в множестве Г}Ак найдется точка х0 такая что
Уо=/ (Ai)’> х0 £ П Afc—значит, x0£Ak для всех k\ f (х0) £ f (Afe) для всех fe;
т. е. Для всех k\ у0£ nf(.Ak). Итак, ДПА^с fif(Ak). При дрка-
k k k
зательстве этого включения мы не пользовались тем, что отображение y~f(x)
взаимно однозначно; следовательно, это включение справедливо для любого
отображения f (х)-
б) Докажем, теперь обратное включение. Пусть у0 (J f),f (Ай). Тогда Уо С/(Aft)
к
для любого k. Так как отображение у = Дх) является взаимно однозначным, то
существует одна (и притом только одна) точка х0, такая, что f (х0)=у0. Значит,
эта точка х0 принадлежит всем А*: х0£Аа при любом k\ хв£ Г)Аа Поэтому,
f М € Н n Aft), т. е. Уо€НП А,;). Итак, Г, ДАл)с / (П, А/;).
k k k k
158
Объединяя теперь результаты, полученные в а) и б), получим равенство (2).
Используя формулы (1) и (2), легко доказать для взаимно однозначного
преобразования /(х) равенство (3):
/(lim Zfe)=lim/(/A). (3)
Для этого достаточно вспомнить определение ннжнего предела:
ОО ОО оо со оо со
/(НтЛ*)=Д U П 4}= U/{ П4}= U П /(4А)=Нт/(ЛА).
-- п—1 к—п П==1 К=П п= \ k=n --
Аналогично доказывается равенство:
j (ИтЛА.)=Пт/(Лй)- (4)
371. Равенство (1) справедливо для любого отображения /(х).
Равенства (2), (3), (4) перестают быть верными, если преобразование f (х)
не является взаимно однозначным.
372. Равенство f (R\A)=f (R)\J(A) справедливо только для взаимно одно-
значного преобразования f (х). Если же преобразование не является взаимно
однозначным, то имеет место лишь включение: f (Д\Л) f {R)\f (А). Так,
например, если /(х)=ха, R = (—со; 4-оо), Л=[0; +°°), то f (Е\А) =
=/{(—оо;0)} = (0; +со). Следовательно, f (R\A) гэ f (R)\f (А); однако равен-
ство здесь не имеет места (в данном случае f (R)\f (А)= 0).
373. Оба приведенных равенства справедливы при любом отображении / (х)
(для любых множеств 71 и В из множества значений функции Дх)),
374. Равенство f—1(L\A)=f— 1(E)\f~*(Л) справедливо всегда (при любом
отображении).
375. Приведенные равенства всегда справедливы.
ГЛ АВ А 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
376. Пусть y=f (х) — функция, заданная на замкнутом ограниченном мно-
жестве Е н непрерывная на нем.
Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е, то она
ограничена на нем. Следовательно, / (Е) — ограниченное множество. Докажем,
что оно замкнуто.
Пусть т] — предельная точка множества f (£’), ylt У2, . . . , уп, .. .—по-
следовательность точек из/(Е), сходящаяся к т). Пусть xlt х2, . . . , х„, .. .—
точки яз Е такие, что /(хп)=уп. Так как Е—-ограниченное множество, то из
последовательности {xnJ можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{xn.j; так как Е — замкнуто, то предел последовательности {xn/} принадлежит
множеству Е. Пусть lim xn/=££E. По условию, функция /(х) непрерывна на
множестве Е; в частности, она непрерывна в точке £ относительно множества
Е; поэтому
f (£)=1 im f (хп.) =lim yn.=i]
х„ Ч
(здесь мы учли, что если последовательность уп стремится к т), то ее подпосле-
довательность уп; также стремится к ч]). Итак, т]=/(^), т. е. т)£/(Е). Значит,
любая предельная точка множества / (Е) принадлежит этому множеству; сле-
довательно, / (Е) замкнуто.
377. Пример. Пусть /(x)=ev; эта функция непрерывна, в частно-
сти, на замкнутом множестве (—оо; 0]. Однако образом этого множества
159
является незамкнутое множество (0; 1J. Другой пример: пусть f (х) =arctg х
(л лЛ
— Множество Е замкнуто, тогда как /(£)___
незамкнуто.
378. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на замкнутом множе-
стве Е. Если Е ограничено, то f (Е) замкнуто и ограничено (см. задачу 376) —
а это частный случай множества типа Fo . Пусть теперь Е неограничено; пред-
ставим его в виде суммы замкнутых ограниченных множеств, например, следую,
щим образом: E=UEn, где £п=ДП[—п; п]. Тогда f(E)= (Jf (Еп) (см. зада-
п п
чи 369 и 370). Но f (Еп) —замкнутое множество при любом п; следовательно
f (£) является суммой счетного числа замкнутых множеств, т. е. f (Е) — мно-’
жество типа Fo.
379. Пусть y=f(x)— функция, определенная и непрерывная на открытом
множестве/:. Так как всякое открытое множество является множеством типа Fo
то Е=ЦАп, где Ап—замкнутые множества; поэтому f (E) = f (UAn) = U f (AfJ.
п п п
Так как каждое f (Дп) является множеством типа Fc (см. предыдущую задачу)
то сумма множеств f (Дп) также является множеством типа Fc. Итак, f (£)
имеет тип Fo.
Приведем пример, показывающий, что непрерывный образ открытого мно-
жества не всегда является открытым множеством. Пусть Дх)=зтх, £=(0; 2п).
Тогда f(E) = [—1; 1], т. е. Д£)— не открытое множество.
380. Пусть y=f(x)— непрерывная функция, определенная на всей оси Ох;
F—произвольное замкнутое множество на оси Оу. Пусть х1э х2, xs, . . .— схо-
дящаяся последовательность точек из f~1(F). Докажем, что если g=limxK,
то
Так как функция f (х) непрерывна всюду на Ох, то, в частности, она непре-
рывна в точке поэтому
f g)=limf (хп)=Иш уп.
п-»сс
п-»со
гДе Уп=/(хп)> Vn^F. Значит, точка f (Q на оси Оу является пределом после-
довательности точек уп, принадлежащих к F. Так как F замкнуто (по условию),
то lirnyn£F, т. е. f(t)(-F. Следовательно, ЦД).
п-*оо
Итак, предел произвольной сходящейся последовательности точек из /—1 (F)
принадлежит к 1(F); значит, множество (F) замкнуто.
381. Пусть функция у=f (х) непрерывна на всей прямой, и G— произволь-
ное открытое множество на оси Оу. Пусть Xg^f—'fG), y0=f (x0)£G. Построим
окрестность V (у0), включающуюся в G; пусть это будет (у0—е; у0-)-е). В силу
непрерывности функции в точке х0 существует такое б > 0, что для всех х
таких, что х0 — б <; хх0 + б, значения функции f (х) удовлетворяют нера-
венству: |/(х) — Уо| <е, т. е. для всех этих значений х, f (х) (у0). Следо-
вательно, все х£(х0—б; х0-)-б) входят в f—1 (G):
(х0— б; х0+б) с: f-1 (G).
Таким образом, вместе с точкой х0 (J (G) в это множество входит и некото-
рая окрестность точки хв. Значит, /— х(6) — открытое множество.
382. Это вытекает из результатов задач 380 и 381, а также из того, что
прообраз суммы множеств равен сумме их прообразов, а прообраз пересечения —
пересечению прообразов (см. задачу 375).
383. Да, может. Примеры, а) /(х) = с; здесь прообразом ограниченного
одноточечного множества {с} является вся числовая прямая; б) f (х) = sin х; здесь
прообразом сегмента [—1; 1] является вся ось Ох.
384. Необходимость условия доказана в задаче 381. Докажем, что данное
условие является также достаточным для непрерывности функции y=f(x).
Д60
Пусть прообразы всех интервалов а < у < Ь для функции y=f (х) являются
открытыми множествами. Докажем, что она непрерывна в любой точке х0.
Опишем для этого произвольную окрестность (ув— е; ув+е) около точки
yB=f (х0); прообразом этой окрестности является некоторое открытое множест-
во G, причем х0 £ G.
Пусть (х8—б; х04-6) — окрестность точки х0, входящая в G. Тогда для
всехх£(х0—б; х.,-1-6) значения функции f (х) попадут в наперед заданную
s-окрестность точки ув; а это означает, что функция y=f(x) непрерывна в
точке хв.
Так как х0—произвольная точка оси Ох, то функция f (х) непрерывна для
всех значении х.
385. Эта задача сводится к предыдущей: если f—1 (у > Ь) замкнуто и
f—1 (у < а) замкнуто, то f—1 (а <^у <; Б) —открытое множество; для того чтобы
доказать это, надо заметить только, что интервал (а; Ь) есть дополнение к мно-
жеству (—ао; a](J[6; -}-оо); прообраз этого множества замкнут по условию, сле-
довательно, прообраз дополнения (т. е. прообраз интервала (а; 6)) открыт
(см. задачу 374).
Итак, прообразы всех интервалов открыты; но тогда, на основании решения
предыдущей задачи, функция y=f(x) непрерывна.
386. Пусть функция y=f (х) определена всюду на числовой прямой и при-
нимаем только целые значения. Пусть х0—точка непрерывности этой функции,
причем f(xB)=nB, докажем, что существует окрестность V (х0), в которой все
точки являются точками непрерывности.
Опишем около точки х0 такую окрестность И(х0), что для всех x£V(x0)
11 1 1
имеем место f(xB) — — < /(х) <f(x0) + у или пв— —< f(x')<n0+~. Но, по
условию, функция принимает только целые значения; значит, всюду в этой
окрестности f (х) = пв. Итак, функция постоянна во всех точках окрестности
V (х0), откуда следует, что она непрерывна во всех этих точках.
Итак, если х0 £ Е, где Е — множество точек непрерывности функции f(x),
то некоторая окрестность V (х0) этой точки также входит в Е; а это означает,
что Е—-открытое множество.
387. Доказательство аналогичного факта см. в решении к задаче 174.
388. Нет, недостаточно. Пример. Функция
Лх) =
1
sin— при х О,
X
О при х=0
обладает свойством Дарбу на всей числовой прямой (в частности, на отрезке
[—1; 1]), однако она терпит разрыв в точке хо=О.
Вместе с тем можно доказать, что если функция обладает свойством Дарбу,
то ее точки разрыва могут быть только точка.ми разрыва второго рода.
389. Имеет место теорема: «Если функция f (х) обладает свойством Дарбу
на сегменте [а; Б] и для любого ув множество тех точек х отрезка [a; 6J, где
f (х)—ув, замкнуто, то функция у=/(х) непрерывна на [а; Б]». Докажем это.
Пусть Ё — какая-либо внутренняя точка отрезка [а; Ь] (для граничных точек
этого отрезка доказательство аналогично). Допустим, что £— точка разрыва
функции f (х). Тогда колебание функции в этой точке положительно (пусть
<о ([; £)=с>0). Но в таком случае в любой окрестности точки $ колебание
функции f (х) будет больше или равно с. Опишем ’вокруг £ произвольную ок-
рестность Еб (£); в ней найдется точка х, в которой значение функции отли-
чается от f (£) не меньше, чем на с. Здесь могут быть две возможности: либо
f (х )>/ (0+с; тогда, в силу свойства Дарбу, в окрестности Еб (£) найдется
точка х, где f (x)=f (t)4-c; либо /(x)<f(Q— с; тогда в окрестности V6 (Q
161
(найдется точка х, где f (x)--=f g) — с. Итак, если £ — точка разрыва с колеба-
нием функции в этой точке с>0, то в любой окрестности точки £ найдется ли-
бо такая точка х, где f (£)+с, либо такая, где f(x) = f(Q — с.
Рассмотрим теперь последовательность окрестностей V6 g), Vg2©, . .
•стягивающуюся к точке £, и в каждой из этих окрестностей выберем по точке
х/, в которой функция равна либо f ('С)+с, либо f g)— с:
Из этой последовательности (х,) выберем подпоследовательность jx;-ft), во всех
точках которой значения функции f (х) одинаковы; например, g)+c
для всех ik. Тогда все точки х1/г входят в прообраз точки / (Е)-(-с. Ноэтотпро-
образ оказался незамкнутым: все точки х,к входят в множество f—1 [f g)+c}
.(так как f (x/fc)=7 (?) +с), а предельная точка С, не входит в это множество
(так как f (g)4-c) ♦.
Таким образом, мы пришли к противоречию: допустив, что в точке J функ-
ция разрывна, мы получили, что прообраз точки f g)-)~c'—незамкнутое множе-
ство, а это противоречит условию теоремы. Следовательно, функция f (х) не
может иметь разрывов ни в одной точке отрезка [а; 6] (т. е. функция f (х) не-
прерывна всюду на [a; 6J).
390. Пусть г\, га, г3, . . гь, ... —заданное счетное множество точек на
ютрезке [а; 6]. Построим следующую функцию:
1
— при x=rk,
k
fW =
гдей=1,
2, 3, . ..
0 при х^гг, га.....Гь, . . .
Эта функция разрывна в каждой точке г/е; действительно, в любой окрестности
V (гЛ) найдутся точки, не принадлежащие к заданному счетному множеству {rfej;
в этих точках функция равна нулю; поэтому co f (х) >— ДЛЯ любой окрест-
V(r& )
ности V точки rk; следовательно, колебание функции в
1
точке гь также > —:
k
значит, функция разрывна в точке г^.
Пусть теперь Хо(Пгй} Зададим произвольное е>0 и найдем такую окрест-
ность точки х0, которая не содержит нн одного г^ с номерами k, меньшими,
чем — (таких точек rk лишь конечное число). Тогда для всех точек х, попав-
ших в эту окрестность, имеет место неравенство 1А(х) | < в, т. е.
I f W — f (х0) | < в. В силу произвольности числа в > 0, отсюда вытекает, что
функция непрерывна в точке хв.
Итак, функция разрывна во всех точках и непрерывна во всех осталь-
ных точках.
ОО
391. Так как ряд £ а^<р(х-—хА) равномерно сходится на всей числовой
й=1
прямой, то его сумма непрерывна в тех точках, в которых все функции
а/; <р (х — хк) непрерывны; следовательно, сумма ряда непрерывна во всех точ-
ках х, отличных от хх, х2, xs, ... В каждой же из точек хь х2, х3, ... сум-
ма ряда терпит разрыв.
392. Это следует из того, что множество точек разрыва любой функции,
определенной на всей прямой, является множеством типа Fo. Множество же
* £ является пределом последовательности точек x,-fc, так как окрестности
V&,ftg) стягиваю!си в точке С, a x,-ft (J g) для любого номера ik.
ГКО
СЕ, дополнительное к счетному всюду плотному множеству Е, не может быть
множеством типа Fo (см. задачу 277).
393. Пример. у=(х2—1)-Х(х), где X (х)— функция Дирихле; таким об-
разом,
(х2 — I Для х рациональных,
О для х иррациональных.
394. Пример. у=% (х)-sin лх, где X (х) — функция Дирихле.
395. Все точки, принадлежащие смежным интервалам канторова множества,
являются точками непрерывности функции f (х). Все точки канторова множест-
ва— точки разрыва (так как в любой окрестности любой точки канторова мно-
жества имеются точки из смежных интервалов). Все эти точки являются точка-
ми разрыва 2-го рода.
396. Пример: у=/(х), где
1
—г для точек
10я
р / р \
где —т =£0 — несократимая дробь ;
10к \ 10я /
м*)=
п Р
О для точек х, не представимых в виде —г;
10я
1 при х=0.
Исследование этой функции производится так же, как функции в примере 390
397. Заданная функция непрерывна во всех точках смежных интервалов и
разрывна во всех точках канторова .множества.
398. Функция непрерывна во всех точках сегмента [0; 1], если lim сп=0.
Эта функция разрывна во всех точках канторова множества и непрерывна на
смежных интервалах, если lim сп^=0, или если последовательность {с„} не имеет
предела.
399. В качестве примера можно взять функцию, определенную следующими
равенствами:
1
— при X—
Я
0 при х иррациональном;
. 1 при х=0.
Р [ Р , г, А \
—— [где —=£0 — несократимая дробь ;
Я ' Я 1
Исследование этой функции производится так же, как в примере 390.
400. Нет, не существует (см. задачу 392).
401. Пример. Функция F (х), равная произведению функции f(x), по-
строенной в примере 398 (при сп~*0), на функцию Дирихле:
F (x)=f (х)-Х(х).
Эта функция F (х) непрерывна во всех точках канторова множества и разрывна
всюду на отрезке [0; 1] вне канторова множества.
Другой пример. Функция, равная произведению функции Дирихле, на
функцию, построенную ниже, в задаче 404.
402. Пример. Функция, равная 1 в точках канторова множества и 0 вне
его.
Другим примером может служить функция, построенная в задаче 397.
403. Данная функция разрывна во всех точках числовой прямой, кроме точ-
ки х=0; в этой точке функция непрерывна.
404. Данная функция непрерывна во всех точках отрезка [0; 1].
405. Если функция f (х) неограничена на множестве А, то равенство оче-
видно: обе его части равны -)-оо.
Докажем это равенство для того случая, когда f (х) ограничена на А. Пусть
sup f (х)=М, inf f (х)=т.
А А
163
Так как для любых £ £ А и т] G А имеет место т < f g) < М, Л'1 .> f (rj) > т,
то
т—М < f(Q— f (tj) < М—т,
т. е.
I f (?) — f 01) I < At — т=а f (х),
А
откуда следует, что (1)
sup 1 f (?) — f (П) I < “ f (*)
А А
Для того чтобы доказать, что имеет место и обратное неравенство, возьмем
произвольное оО и найдем в множестве А такие две точки х, и х2, что
f (Xj) <т+е, f (х2) > М — е.
Тогда
] f te) — f (>-i) | -> f (x2) — f (%i) > M — tn — 2e
и, следовательно, sup | f (g) — / (т]) | M — m — 2e. В силу произвольности e> 0,
A
отсюда вытекает, что sup | f (Q — f (rj) I > M — mt t. e.
A
sup If (?) — Нп) I > ® f W- (2)
A A
Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем требуемое равенство.
406. Так как для любых ? С А и т] G Е имеет место неравенство:
Пн?) I-1f(n) II < 1/(?)-f(n)I,
то (см задачу 405) co (| f (х) |) < v>f (х) для любого множества АаЕ. Отсюда
А А
вытекает, что со (| f (х)1; х0) < со (f (х); х0). А так как функция f(x), по усло-
вию, непрерывна в точке х0, то со(У(х); хп)=0; но тогда в силу доказанного
неравенства, и со (| f (х) |; хо)=0; а это означает, что функция I/(х)| также не-
прерывна в точке х0.
407. Пример, f (х)=1 в рациональных точках отрезка [0; 1] и f(x) =—1
в иррациональных точках этого отрезка. Эта функция разрывна во всех точках от-
резка [0; 1], тогда как функция | f (х) | = 1 всюду непрерывна.
408. Эта функция непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна
во всех рациональных точках; исследование этой функции проводится примерно
так же, как исследование функции в задаче 390.
409. Представим Е в виде суммы счетной совокупности замкнутых множеств:
e=f1uf2ue3u- -UFAU- ;
всегда можно считать, что эта последовательность возрастает, т. е. что
fjCFgCFgC . . . (если бы это было не так, то .мы заменили бы F2 на A, (JA2,
Fs на -FiU-FalJAg, и т. д ; тогда новая последовательность замкнутых множеств
возрастает, сумма же этих множеств по-прежнему дает все множество Е).
Построим теперь следующую последовательность функций {/,- (х)}:
1
—г в рациональных точках, принадлежащих множеству Ft',
КУ5
/ь(х)=( 2
—в иррациональных точках множества Fk;
0 в точках, не принадлежащих к F^.
Эта функция разрывна во всех точках множества Ff, и непрерывна на CF^
(действительно, около каждой точки x^FCFi, можно описать окрестность V (х0),
которая входит в CF^; всюду в этой окрестности функция постоянна и, значит,
непрерывна).
164
Теперь легко построить искомую функцию; в качестве этой функции можно
взять сумму ряда из Д (х):
= S fkW-
k=l
Этот ряд равномерно сходится ^так как | (х) | < для всех Fj. В любой
точке х0£СЕ каждая функция (х) непрерывна: из равномерной сходимости
ОО
ряда Е fk (х) вытекает непрерывность функции f (х) в этой точке.
fe=i
Для того чтобы убедиться, что f (х) разрывна в точке £ £ £-, рассуждаем
следующим образом: пусть Тогда £ является точкой непрерыв-
ности для функций ft (х), f2 (х), . . fk—i (х) и точкой разрыва для fk (х),
fk+1 (х), . . при это.м колебание функции (х) в точке £ больше или равно —
а сумма колебаний остальных функций в этой точке не больше, чем сумма
2 2 2
IQfe+i + iQfe+8^~ ’ ' ~=g ю**~‘ таким Аразом, колебание суммарной функции f (х)
в точке больше или равно числу
2
9.10*'
1
10*
следовательно, функция f (х)
разрывна в точке
Итак, функция f (х) непрерывна всюду на множестве Е и разрывна всюду
на СЕ.
410. Пример, f (х; у)=0 в тех точках (х; у), где у иррационально (при
любом х), f (х; у) = 1 в тех точках (х; у), где у рационально (при любом х).
Эта функция разрывна в любой точке (х; у); вместе с тем, если зафикси-
ровать у, эта функция постоянна (как функция от х) и, следовательно, является
непрерывной функцией от х.
411. Функция f(xr, у) непрерывна во всех тех точках квадрата [0; 1]х[0; 1],
где обе координаты иррациональны; она непрерывна также в точках, где одна
из координат иррациональна, а другая равна 0; кроме того, она непрерывна в
точке (0; 0). Во всех остальных точках функция разрывна: она разрывна в тех
точках, где обе координаты рациональны (кроме точки (0, 0)), а также в тех
точках, где одна координата рациональна и отлична от нуля, а другая иррацио-
нальна.
(р Pi\
—; —, где
9 91/
— > 0, — > 0 — рациональные числа. В этой точке функция равна нулю. В лю-
q 9i
бой окрестности этой точки найдутся точки с иррациональной абсциссой и с ор-
Pi 1
динатой —; значение функции в таких точках равно ——. В любой окрестно-
9i 91
сти точки (—; —) найдутся также точки, где абсцисса равна —, а ордината
\ 9 91/ ! 9
иррациональна; в них функция равна —. Итак, колебание функции в любой ок-
9
/ р pt \ 1 1 „
рестности точки —; — больше или равно числу —+—. Следовательно,
\ 9 91 / 9 91
* Для доказательства этого надо использовать равномерную сходимость ряда
ь.
165
колебание
в точке
Я ’ <71/
положительно. Значит, эта точка является точкой
разрыва.
Исследование функции в остальных точках проводится аналогично.
412. 1) Во всех точках интервала (0; 1) функция f (х) =sin — непрерывна
х ’
но она не является равномерно непрерывной на этом интервале; чтобы в этом
убедиться, возьмем какое-либо е>0, е<2 (например, е=1). Какое бы ё > 0 ни
взять, колебание функции на интервале ^0; — j (длина которого меньше, чем 6)
равно 2 (и, следовательно, превосходит е). Это и означает, что функция не
является равномерно непрерывной на (0; 1).
2) Да, равномерно непрерывна. Докажем это. Доопределим данную функ-
1
цию, задав ее еще в точках 0 и 1: положим /(0)=0, /(l) = l-sin—; получен-
ная в результате функция
1
xsin— при х=/=0,
х
0 при х=0
непрерывна всюду на сегменте [0; 1]. Но тогда она и равномерно непрерывна
на этом сегменте.
Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она равномерно не-
прерывна и на любом его подмножестве. Следовательно, функция f (х), будучи
равномерно непрерывной на сегменте [0; 1], является равномерно непрерывной
и на интервале (0; 1). А на этом интервале она совпадает с функцией
1
y=xsin —-
х
3) Да, равномерно непрерывна: каждому е > 0 соответствует ё= такое,
что при любых х', х" таких, что | х' — х" | < ё, имеет место:| f (х') — f (х") I < е.
4) Нет, не равномерно непрерывна.
5) Да, равномерно непрерывна.
413. Пусть функция f (х) равномерно непрерывна на ограниченном множест-
ве Е<^.Нп. Найдем такое число ё > 0, что | f (х') — f (х") | < 1 для любых
х'Г£, х"££. таких, что q(x',x")<6. Разобьем множество Е на конечное число
множеств Ei, диаметр каждого из которых меньше, чем ё (так разбить множество
Е возможно, в силу ограниченности этого множества). На каждом из Et коле-
бание функции f (х) не больше 1; следовательно, яа каждом из £, эта функция
ограничена; пусть sup / (х)=Л4г-, inf f (x)=mt. Беря наибольшее из чисел Mlt мы
Ei Ei
найдем верхнюю грань функции f (х) на множестве £; беря наименьшее из
чисел mi, найдем нижнюю грань этой функции на £. Итак, f (х) ограничена
на множестве £.
414. Да, сумма двух функций, равномерно непрерывных на £, также рав-
номерно непрерывна на £. Это следует из неравенства:
I И <*") +g (x')J — [/ (x")+g (x")J | < | f (*') — f (x") |+| g (x') — g (x") |.
415. Если £—неограниченное множество, то произведение двух функций,
равномерно непрерывных на £, не обязательно является равномерно непрерывной
функцией. Пример. Функции /(х)=х и g(x) = x разномерно непрерывны на
всей числовой прямой; однако их произведение f (х) g (х)=х2 не является равно-
мерно непрерывной функцией на (—со; -|-оо).
166
Если же Е — ограниченное множество, то произведение двух функций, рав-
номерно непрерывных на этом множестве, также является равномерно непрерыв-
ной функцией; это следует из неравенства:
I f (х') g(x’)-f (X") g (х") I < | f (xl) g (x') - f (x’) g (x") I +| f (x') g (x") -
- / (x") g (x")|=| f (%') I - I g (X’~) ~ g (X") | + | g (x') 1-7 (X') - f (x") I <
< A. I g (x') - g (Xs) ]+B I f(x') - f (x") I,
где X=sup | f (x)|, B=sup Ig (x) | (ограниченность функции, равномерно непрерыв-
Е Е
ной на ограниченном множестве, была доказана в задаче 413).
416. До к аз ат е льет в о. Зададим произвольное е > 0, и найдем такое-
g
N, что для всех х > N имеет место: ] f (х) — 6| < — (где 6=lim f (х)). Тогда
4 х-*со
g
для любых точек хг > N, х2 > TV справедливо неравенство | f (xj — f (х2) | < —.
На сегменте [0, IV] функция непрерывна; следовательно, она равномерно-
непрерывна на этом сегменте. Найдем б>0 такое, что для х' Г[0; N], х"£[0; TV],
сегменте. Найдем б> 0 такое, что для х' Г [0; TV], х" £ [0; TV],
е
б имеет место: | f (х') — f (х") | < —. Докажем, что это число б-
луча [0; +оо).
«годится» для всего
Возьмем две точки хх и х2 на луче [0; +со) такие, что | х, — х2 | < б, и
рассмотрим разность | f (хх)—f (х2) |. Если х( + [0; N] и х2 £ [0; N], то эта раз-
е
ность по модулю меньше, чем — (и подавно меньше, чем
выбора числа б. Если xt > N, х2 > /V, то | f (хх) — f (х2) |
если одна из этих точек (например, хх) принадлежит [0; TV],
I f (хг) - / (х2) I < I z (Xi) - f (TV) |+| — f (x2) I
e), что следует из.
e
< — < e. Наконец,
а другая x2 > TV, to-
e e
’2 + 2’=e’
Итак, при любом расположении точек хх, х2, из | х,—х2 | < б следует
|/(хх)— f (х2) | < е. В силу произвольности числа е > 0, из этого вытекает рав-
номерная непрерывность функции f (х) на всем луче [0; +«=).
417. Нет, неверно. Пример. Функция y=sin(x2) непрерывна и ограничена
на всей числовой прямой, однако она не равномерно непрерывна на ней. Дейст-
вительно, каким бы малым ни нзять положительное число б>0, всегда найдется
интервал вида У(*Ч-1) л), длина которого меньше, чем б (так как
длины этих интервалов стремятся к нулю при й->ос). Вместе с тем колебание*
функции y=sin (х2) на этом интервале равно 1. Следовательно, для е=1 не су-
ществует такого б>0, чтобы на всяком интервале длины меньшей, чем б, коле-
бание функции было бы меньше, чем е.
418. Эта функция непрерывна во всех точках множества Е, но ие является
равномерно непрерывной на этом множестве.
419. Эта функция разрывна во всех точках первого рода множества D и не-
прерывна во всех точках множества CD, а также во всех точках второго рода
множества D. На множестве CD функция не является равномерно непрерывной.
420. Докажем сначала, что функция f (х) может быть продолжена с сохра-
нением непрерывности на замыкание Е множества Е. Пусть х0 — предельная
точка множества Е, не входящая в Е. В силу равномерной непрерывности функции
f (х) на Е, для любого е>0, найдется б-окрестность точки х0, в которой колебание
функции меньше, чем е. Докажем, что /(х) имеет предел прих- >х(1. Пусть {х&} —
произвольная последовательность точек из Е, сходящаяся к х0. Рассмотрим после-
довательность {/(х*)}; она фундаментальна; это вытекает из того, что колебание
функции в окрестности точки х0 стремится к нулю при стремлении радиуса окрест-
162
пости к нулю. Следовательно, последовательность {/ (x>,)} имеет предел. Этот
предел не зависит от выбора последовательности {х^}, сходящейся к х0.
Примем найденный предел за значение функции в точке хв. Из такого опре-
деления функции в точке х(1 вытекает ее непрерывность при х=х0.
Итак, функция / (х) доопределена (с сохранением непрерывности) на замк-
нутом множестве Е. Для того чтобы продолжить эту функцию на всю прямую,
достаточно продолжить ее линейно во всех смежных интервалах. Делается это сле-
дующим образом: если смежный интервал (а; Р) конечен, то в нем задаем функцию
х— а
f(x)=f(a)+-----(ИР) ~/(а)).
Р — а
f(x) равенством:
Если же смежный интервал
бесконечен (например, (а; +со)), то на нем полагаем функцию постоянной:
f(x) = f(a). Построенная таким образом функция определена и непрерывна
всюду на (—оо; +оо); на множестве Е она совпадает с заданной функцией f(x).
421. Пример. Функция y=sin— непрерывна и ограничена на (0; 1),
однако ее нельзя продолжить с сохранением непрерывности на всю прямую (и да-
же на сегмент [0; 1], так как эта функция не имеет предела при х>+0).
422. Если функция не является равномерно непрерывной на ограниченном
множестве £, то она не может быть продолжена на всю ось с сохранением не-
прерывности: если бы она могла быть продолжена на всю ось, то она могла бы
быть продолжена и на Е. Но тогда продолженная функция была бы равномерно
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е, а значит, и на множестве
Е, которое является частью множества Е, что противоречит предположению.
Итак, функцию, не являющуюся равномерно непрерывной на ограниченном мно-
жестве Е, нельзя продолжить на всю ось с сохранением непрерывности.
423. Возьмем е,— 1 и подберем по этому е число б (из условия равномерной
непрерывности функции f (х)). Пусть х—произвольное число, —со < х < +°о.
Разобьем отрезок [0; х] (при х>0) или [х; 0] (при х<0) точками
1 2 п— 1
— х, —х, .... ----х,
п п п
где п подобрано так, что — | х |
б < ----| х I. Тогда
п— 1
I /2 \ /1 \| I /1 \
+ f — х) —/ — х + Л — х — f (0)
I \п ) \п /| | \п /
Так как, в силу выбора числа б, каждая разность в правой части неравенства
меньше, чем 1, то
1Ш-Н0)1 <«,
1 , |х|
•откуда |f (х) | < | f (0) |+п; далее, так как --j|x|>6, то п < — + 1;
поэтому
I f W I < I f (0) l+^+’g’ Iх = А [х 1+В,
где
A=j, B=|f (0)|+1.
424. Доказательство сводится к непосредственной проверке формул.
168
425. (х) 1 (х) Zr2 (х) . . . %£ (х);
п
xJvW=24w~2^W’t£w+ S хЕ (х)%Е wxe(%) —...
'=1 i+J 1 7 й к'Г, J/!’- 1 1 k
i
•-+(— If+^E (x)XE,W .. XE (X).
1 2 n
426. Если точка x0 является граничной для множества Е, то в любой ок-
рестности этой точки колебание характеристической функции равно 1, и, следо-
вательно, функция разрывна в точке х0.
Если же точка х0 не является граничной, то онт является внутренней либо
для Е, либо для СЕ. Но тогда найдется окрестность точки х0, в которой коле-
бание функции ХЕ (х) равно нулю; следовательно, в этой точке функция непре-
рывна.
427. Пусть х0— произвольная точка отрезка [а; 6]. Докажем, что F (х) не-
прерывна в этой точке.
Если ф (х0) > ф (х0), то Ф (х) > ф (х) также в некоторой окрестности точки
х0. Но тогда всюду в этой окрестности F (х) = ф (х); из непрерывности ф (х) в
точке х0 следует непрерывность F (х) в той же точке.
Если ф (х0) <ф(х0), то рассуждения аналогичны.
Наконец, пусть ф(х0)=ф(х0). Тогда для любого® > 0 найдется окрестность
V (х0), во всех точках которой | Ф (х) — ф (х0) | < в, |ф (х) — ф (хч) | < в.
Так как F (х0)=ф (х0)=ф (х0), то эти неравенства можно переписать так:
F (х0) — е < ф (х) < F (х0)+в; F (х0) — е < ф (х) < F (х0)+е.
А отсюда вытекает [так как F (х)=шах (ф (х), ф (x))J, что для всех xfV'(x0)
имеет место неравенство:
F (х0) — е < F (х) <F (х0)+е,
которое и означает (в силу произвольности е > 0), что F (х) непрерывна в
точке х0.
428. Пусть х0 — произвольная точка числовой прямой. Докажем непрерыв-
ность функции [/ (х)]^_а в этой точке
Если —а < f (х0) < а, то найдется окрестность V (х0) точки х0, во всех
точках которой также справедливо неравенство —а < / (х) < а. Но тогда всюду в
V (х0) имеет место: [f (x)Jf_o=f (х). Отсюда следует непрерывность функции
[/ (х)11а В точке х0.
Если f (х0) > а, то f (х) > а в некоторой окрестности точки х0. Тогда всю-
ду в этой окрестности [f (х)]^а = а, откуда опять вытекает непрерывность
этой функции в точке х0.
Если f(x0)=a, то в любой, достаточно малой, окрестности V (х0) имеет
место:
sup sup f(x); inf [/(x)]lH= inf f(x).
xev(x0) xev (x0) xev(xo) xev (x8)
Поэтому <o w f(x).
V(x„) V(x„)
Стягивая эту окрестность к точке х0, получим:
« ([/ (х)]!,,; х0) < <о (/ (х);х0)
А так как <o(f(x); хо)=О в силу непрерывности функции f(x). то и
м([нх)]1й; хо)=0, т. е. функция [/ (х)]2_о непрерывна в точке х,
Рассуждения аналогичны в тех случаях, когда f (х0) =—а 1UH f (хо) <—а.
Итак, функция [/ (x)]Lj непрерывна в любой точке х0.
12 ю. С. Очан
169
429. Необходимость этого условия доказана в предыдущей задаче. Докажем
теперь, что это условие достаточно для непрерывности функции f (х).
Пусть [/ (х)]^_а непрерывна во всех точках х, —<х><х<со, при любом и>0.
Допустим, что на прямой нашлась точка х0, в которой функция f (х) терпит
разрыв, и пусть колебание функции '/(х) в точке х0 равно у>0. Построим
функцию [/ (х)]^_а, где а> | f (х0)|+у. Тогда около точки х0 можно будет опи-
сать окрестность, в которой [/(х)]2_д s f (х); но тогда и функция [/(х)]^_о раз-
рывна в точке х0.
Если же в точке разрыва х0 колебание функции f(x) равно Ч-оо, то коле-
бание функции [/(х)]1а не меньше, чем а—| f (х0) |, в любой окрестности
точки х0 (если только tz>| f (х0) |). Следовательно, и в этом случае функция
И (Л')]1Д разрывна в точке х0.
Итак, разрыв функции f (х) в какой-либо точке х0 влечет за собой разрыв
функции [/ (х) }°_а в той же точке (для достаточно больших а).
Следовательно, непрерывность функции [f (х)]^_а для любых а>0 является
достаточным условием непрерывности функции f (х).
430. Разобьем отрезок [0; 1] на два непересекающихся множества: множество
А типа £о , всюду плотное на [0; 1], и множество В типа Gfi , также всюду плотное
на [0; 1], причем каждое из них имеет мощность континуума в любом интерва-
ле (а; Р)С[0; 1] (пример такого разбиенич см. в задаче 297).
После этого построение искомой функции f (х) может быть проведено так
же, как в задаче 409, а именно: положим f (x)=S fk (х), где
А
1
в рациональных точках множества 7%
fk (х) = 2
—в иррациональных точках множества F^,
0 в точках множества [0; 1
Здесь F1czF2cF3d . . . -— возрастающая последовательность замкнутых множеств,
в сумме составляющая множество А.
Тем же способом, как и в задаче 409, доказывается, что функция f (х) не-
прерывна во всех точках множества В и разрывна во всех точках множест-
ва А.
431. Эта функция разрывна во всех точках множества А и непрерывна во
всех точках множества £ =[0; 1]х [0; 1]\Л. Равномерно непрерывной функцией
f (х; у) на множестве Е не является. Исследование этой функции аналогично
исследованию функции в задаче 397.
432. Эта функция непрерывна (а следовательно, и равномерно непрерывна)
на замкнутом квадрате [0; 1] х[0; 1]. Исследование этой функции аналогично
исследованию функции в задаче 398.
433. В кольце 0<х2+у2<4 функция непрерывна, во не равномерно непре-
рывна. В кольце 1 <х2+у2<4 эта функция равномерно непрерывна: действитель-
но, она непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в замкнутом
кольце Е (1<х2+у2<:4). Но если функция равномерно непрерывна на множест-
ве Е, то она равномерно непрерывна и на любом его подмножестве (в частно-
сти, в открытом кольце 1<х2-|-у2<4).
434. Пример.
1
х2 sin — при Хт^О,
f W =
0 при х=0.
170
Здесь
f (*) =
2 1 1
— — cos—-|-2x-sin— при x^=0,
X x^ x^
О при x=0.
435. Пусть E — заданное ограниченное совершенное, нигде не плотное мно-
жество; (ап, р„) — его смежные интервалы (п=1, 2, 3 . . .), ро — нижняя грань
множества Е, аа — верхняя грань множества Е.
Функцию f (х) строим следующим образом:
(X- ап)2 (Р„- Ху sin — *----— при х£ (а„, ₽„);
V* ^п) 1Рп х)
f 0 при х££;
О при х£(—со; ро) и при х£(а0, +оо).
Функция f(x) непрерывна и имеет производную во всех точках числовой оси;
эта производная определяется формулами:
Г W =
2 (х — ап) (Р,г — х) (а,г+р,г — 2х) sin --——----—- —
(х — а„)2 (р„— х)г
2(И«+Рп — 2х) 1
О при х£Е, при х£(—оо; (jJ и при х^(а0; +°о).
Производная f (х) непрерывна всюду вне множества Е и разрывна во всех точ-
ках этого множества. ,
436. Построим на отрезке [0; 1] совершенное, нигде не плотное множество
положительной меры. Пусть (ап, рп) (п=1, 2, 3, . . .) — смежные интервалы
этого множества. Тогда функция, построенная в предыдущей задаче, будет удов-
летворять всем предъявляемым требованиям.
437. Нет, не существует. Точная производная f' (х) должна принимать все
промежуточные значения (т. е. обладать свойством Дарбу). Этим свойством не
обладает функция Дирихле.
438. Нет, так как точная производная может иметь точки разрыва только
второго рода (тогда как разрывная монотонная функция имеет точки разрыва
только первого рода).
439. Нет. Пример. Функция f (х) = | х | имеет во всех точках как правую,
так и левую производную; однако ни та, ни другая не обладают свойством Дар-
бу. Например,
, J— 1 при х<0,
/левМ = | 1 при Х>0.
440. Примером такой функции может служить сумма ряда f (х) =
СО
Iх — xk |
= > ---------—, где х1г х2, - - х^., . . . —всевозможные точки множества Е
k = 1
Эта функция непрерывна, как сумма ряда непрерывных функций, равномерно
сходящегося на любом отрезке. Найдем производную от f (х) прих^Е:
f (x-j-ft) — f (х)_1^\ 1 / | х-р/г — хк | I x — xk\\
, h ~ Л ДД 2й 2* Г
1 k= 1
|х4-/1 —Xftl —lx —Xfe] .ХА" \x+h —xk\ — \x — xk\
< =2j +2j
12*
w171
где сумма £' распространена на те k, для которых |х— х/, |>|/г|, а сумма у,"—
на остальные k. В первой из этих сумм x-\-h — Х[г их — х/г имеют одинаковый
|х+й —хА| —|х—xfe| sgn(x — хк)
знак; поэтому в этой сумме -------------г-----------=------—г-----. Вторая
2Rh
из этих сумм может быть сделана сколь угодно малой при достаточно малом h\
в самом деле:
| x+h — xk\~\x — xb\
PI _УУ I.
2*й р ZJ 2fe I h | 2s’
пусть N— произвольное натуральное число; всегда можно выбрать й столь ма-
лым, чтобы в окрестность (х— \h |; х+| h |) попали только те х/г, для которых
1 VI 1 1
k>N; тогда | / J9fe=~o^~ Следовательно, £ стремится к нулю при
Переходя теперь к пределу в равенстве (1) при /г->0, получим, что при
х^х^.
2й
*=1
Итак, f (х) существует во всех точках xQE. Убедимся теперь в том,
что ни в одной точке множества Е производная f (х) не существует.
Пусть xk° — какая-либо точка множества Е. Представим f (х) в виде суммы
двух функций:
1*—
2k ’
&#=&£)
Тем же способом, которым мы доказывали существование производной у функ-
— |х — Xfr I
ции f (х) в точках х Е, проверяется, что функция -----------------имеет про-
f(x) =
взводную в точке х/гу, функция же------------не имеет производной в этой то
ке. Следовательно, сумма этих функций (т. е. функция f (х)) не имеет произ
водной в точке xko.
441. Да, непрерывна во всех точках числовой прямой. Докажем это.
Пусть g—-произвольная точка множества А. Тогда
e(*i, (*i, *2)+е(*2, t),
или q (хх, t) — Q (х2, t) < Q (?Т, х2). Отсюда следует, что тем более
Q (Xi, А) — Q (х2, Q « q (хх, х2)
(так как q (хх, А) < Q (хх, £)).
Неравенство (1) справедливо для любого ££А; но тогда и верхняя грань
выражения, стоящего в левой части этого .неравенства (взятая по ££А), не
превзойдет числа q (хх; х2):
sup[Q(xx, A) —q(x2, t)J<Q(xx, х2),
(1)
откуда
Q(xx, Л)— HlfQ(x2, 9<Q(X,, х2),
т. e.
е(хъ Д) —q(x2> xs).
172
Меняя в неравенстве (2) ратями jq и х2, получим:
е(х2, л) — q(xh Л)<е(%1, х2). (3)
Из неравенств (2) и (3) вытекает неравенство
I Q (%1 Л) — q (х2, Л) | < Q (Xj, х2),
справедливое для всех точек х2^Н1. Из этого неравенства сразу сле-
дует, что функция q (х, Л) непрерывна в любой точке х Нг (и даже равно-
мерно непрерывна на всей числовой прямой И У).
442. В качестве такой функции можно взять функцию
/(х)=e(^Q
Q <х, Л+Q (X, Е) ’
легко видеть, что /(х)=0 при xCF', f(x) = l при хУ-Е; 0 </ (х) < 1 при
х£С [E|JE]- Непрерывность функции f(x) следует из непрерывности функций
q (х, f) и о (х, Е) и из того, что они не обращаются одновременно в нуль
(последнее вытекает из того, что множества Е и F не имеют общей точки
прикосновения; если бы такая точка была, то она — в силу замкнутости мно-
жеств Е и F— принадлежала бы каждому из них, что невозможно, так как их
пересечение пусто).
443. В качестве искомой функции можно взять, например, следующую:
е(х, и Л)
f (х) = Р-. ------------------4- р„-----------:----------+
Q(X, Е1Н £><Х, C(*> E2)+q(x, (jEf)
е (х, и ел
X 1фП /
+ +Р" QU, E„) + Qfx, (J ЕЛ '
\ i+n '
То, что f(x)=Pk при хУЕ^, проверяется непосредственно.
Проверим, что функция f(x) непрерывна: множество (J Ег- замкнуто (как
сумма конечного числа замкнутых множеств Е2, Е3, .. ., Е„); следовательно,
множества Ег и (J Е{ не имеют общих точек прикосновения; поэтому знамена-
1+1
тель первой дроби ни в одной точке не равен нулю; это же справедливо и для
знаменателей всех остальных дробей. Но тогда из непрерывности функций
2(х, E^.gfx, (J ЕЛ, q (х, Е2) и т. д. сразу вытекает непрерывность функции
V 1+1 2
/(х).
444. Искомую функцию можно задать следующим образом:
Q (х, U ЕЛ
х i=f=k /
е(*, ea)+q (х, и ел '
\ i+k /
445. Допустим, что [(хУ^р^ при х£Е* для любого натурального числа k.
Пусть х0ГЕ,— точка прикосновения для (J Ег-. Тогда /(х(1)=р1, и при этом
1+1
в любой окрестности точки х0 найдутся точки из Ег- для сколь угодно больших
номеров г; следовательно, в этой окрестности найдутся точки, в которых f (х)
сколь угодно близка к нулю (так как р£-->0 при z->oo); но тогда в любой ок-
рестности точки х0 колебание функции f (х) больше или равно | |; а это оз-
начает, что функция f (х) разрывна в точке х0.
Итак, если функция /(х) принимает значения pk при х£Е& для всех k, то
эта функция разрывна хотя бы в одной точке числовой прямой.
446. Решения задач 441—445 для произвольного пространства ничем не от-
личаются от решений этих задач для множеств, расположенных на прямой.
447. Так как /(х), по условию, непрерывна в точке х0 относительно
173
множества О, то x0£D. В качестве функции f (х) можно взять, например, фгнк-
f 1 при x£D,
цию f(x) = { „
( 0 при х С D.
448. Да, верно. Для доказательства этого утверждения достаточно носполг
зоваться определением непрерывности по Гейне.
449. Нет, неверно. Из того что функ-
ция f (х, у) непрерывна по любому лучу,
исходящему из точки (х0, у0), еще ие сле-
дует, что она полностью непрерывна в этой
точке. Приведем пример.
Обозначим через о замкнутую область,
ограниченную первым завитком архимедовой
спирали Q=aq> (0 < <р -с 2зт) и отрезком на
оси абсцисс 0 < х < 2ла (рис. 38). Пусть
{1 при х£ о,
О при х£о.
Эта функция непрерывна по любому лу-
чу, исходящему из начала координат; одна-
ко она не является полностью непрерывной
в точке (0, 0).
450. Нет, это утверждение неверно. Вот пример. Пусть L — винтовая ли-
ния, расположенная в трехмерном евклидовом пространстве:
x=acost, у=а sin t, г=Ы-,
пусть Д,— точка с координатами (а, 0, 0). Определим функцию f(x, у, г)
следующим образом:
0 всюду на L, кроме точки Мо\
1 в точке Д)( а также во всех точках пространства Оху г.
не принадлежащих кривой L.
f(x, У, г)=
Эта функция непрерывна относительно любой плоскости, проходящей через
точку Мо\ однако она не является полностью непрерывной в этой точке.
451. Нет, это утверждение неверно; вот пример:
{1 во всех точках плоскости с координатами (х, 0), где х>0;
0 во всех остальных точках плоскости (включая и начало ко-
ординат) .
Функция f (х, у) непрерывна в точке (0, 0) относительно любой архимедо-
вой спирали, однако она не является полностью непрерывной в этой точке.
ГЛАВА 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
452. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 376.
453. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 380.
454. Решение аналогично решению задачи 381.
455. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 384.
456. Доказательство. Если прообраз замкнутого множества FaH^
замкнут (т. е. f—1 (F)— замкнутое множество в Нп), то дополнение к F (т. е.
H£\F) имеет в качестве прообраза открытое множество в Нп:
f-1 (FWXf-1 (F).
174
Но любое открытое множество в ff2 является дополнением к некоторому замк-
нутому, следовательно, прообраз любого открытого множества в Н2 есть откры-
тое множество; в частности, прообраз любого открытого круга в Н2 открыт.
Отсюда вытекает (в силу результата, полученного при решении задачи 455),
что отображение y=f(x) является непрерывным.
457. Доказательство этой теоремы проводится таким же способом, каким
доказывается для функций, принимающих числовые значения, что определение
непрерывности по Коши равносильно определению непрерывности по Гейне.
458. Прежде всего заметим, что в силу взаимной однозначности отображе-
ния Е на Et, обратная функция существует; обозначим ее х=ф(у). Она отоб-
ражает на Е. Это обратное отображение не обязано быть непрерывным.
Покажем это на примерах, а) Занумеруем все рациональные числа на оси
"" как непрерывное взаимно од-
Оу. Тогда эту нумерацию можно рассматривать
позначное отображение множества Е натураль-
ных чисел оси Ох на множество Ег всех раци-
ональных чисел оси Оу: г,г=/(п).Однако обрат-
ное отображение п=<р (г„) разрывно в каждой
точке rn CEl. б) Приведем также другой при-
мер. Пусть Е — полусегмент [0; 2л) оси Ох,
Ег — окружность на плоскости Оху с центром
в точке О. Поставим в соответствие каждой
точке х £ [0; 2л) — ту точку М окружности,
радиус-вектор которой составляет с положитель-
ным направлением оси абсцисс угол х (рис. 39).
Ясно, что эго отображение Л4=/(х) непрерывно
и взаимно однозначно. Однако обратное отоб-
ражение х=<р (Л4) терпит разрыв в той точке ок-
ружности Л1о, которая соответствует точке х=0.
459. Пусть y—f(x)—-взаимно однозначное непрерывное отображение
нутого ограниченного множества Е на Et. Тогда Ег также замкнуто и
ничено (см. задачу 452). Обозначим обратную функцию через х=ф(у) и
жем, что она непрерывна в каждой точке y0^Et.
Опишем около х0 (где х0=ф (у0)) произвольную е-окрестность V£ (х0)
кажем, что около у0 найдется такая окрестность V (у0), что для
У С V (Уо) П А имеет место: Ф (у) £ УЕ (х0).
замк-
огра-
дока-
и до-
всех
Для этого заметим, что множество Е\Ге (х0) замкнуто и ограничено; сле-
довательно, его непрерывный образ F=f(E\Vs (х0)) является замкнутым иог-
раниченным подмножеством множества Ег. При этом (в силу взаимной одно-
значности функции f (х)) у0 Q F. Следовательно, около у0 можно описать ок-
рестность V (у0), не содержащую ни одной точки из F. Но тогда ф (V (у0))
не содержит ни одной точки из ф (Г), т. е. ни одной точки из Д\УЕ (х0).
Значит, ф (V (у0))СГЕ (х0).
Итак, около у0 нашлась такая окрестность V (у0), что для всех у Г V (у0) (~) Ех
имеет место: ф (у) £ Ге (хо) • В силу произвольности окрестности Ve(x0), от-
сюда вытекает, что функция ф (у) непрерывна в точке у0 относительно множе-
ства Ег. А так как у0 — произвольная точка из Et, то ф (у) непрерывна на
множестве Ег.
460. Нет, не обязано. Одним из примеров является отображение множества
всех натуральных чисел на множество всех рациональных чисел отрезка
(—со, -|-со) (см. решение задачи 458).
Приведем еще одни пример. Пусть Е — луч [0; -|-со) числовой прямой;
ясно, что множество Е замкнуто и неограничено. Пусть Ег — окружность еди-
ничного радиуса с центром в точке С. Отобразим Е на Ег следующим образом:
точке 0££ поставим в соответствие некоторую фиксированную точку РоС-Е^;
затем любой точке xQE поставим в соответствие такую точку Р окружности
Ег, что угол РСР0 (отсчитываемый в определенном направлении от неподвижно-
175
го радиуса СР0) равен 4 arctg х. Это отображение Е на Ег взаимно однозначно
и непрерывно. Однако обратное отображение терпит разрыв в точке Р0(^Е1,
461. Пусть y=f(x)— взаимно однозначное непрерывное отображение Е на
Ег, причем Е не имеет изолированных точек. Допустим, что £, имеет изолиро-
ванную точку, например пусть х0££— прообраз точки у0. Обозначим
через Ve (у0) ту окрестность точки у0, которая не содержит других точек из
Ег. В силу непрерывности функции f (х) найдется окрестность V (х0) такая, что
/ [К(х0) Л £]GKe (у0). А это невозможно: по условию х0 не может быть изо-
1
fl ]
и —; 1 . Образом первого из сег-
лированной точкой множества Е\ но тогда V (х0) содержит бесконечно много
точек из £; в силу взаимной Однозначности отображения f, образ множества
V (х0) f] Е также должен содержать бесконечно много точек из Ег — что проти-
воречит тому, что этот образ включается в
Vs (у0) (так как Vs (у0) содержит только
одну точку из ЕО-
Итак, допущение, что Et имеет хотя бы
одну изолированную точку, приводит нас к
противоречию: значит, множество Ег не мо-
жет иметь изолированных точек.
Это утверждение теряет силу, если ото-
бражение y=f (х) не взаимно однозначно.
Так, например, функция, определенная на
отрезке £=[0; I] равенством [ (х) = 3, не-
прерывна на £; при этом множество £ не
имеет изолированных точек, a £т содержит
изолированную точку у=3 (оно само состо-
ит из одной только этой точки).
462. Нет, неверно. Примером является
отображение множества £ натуральных чи-
сел оси Ох на множество Ег всех рацио-
нальных чисел оси Оу [см. пример а), приве-
денный в решении задачи 458].
463. Если y=f (х) — непрерывное взаимно однозначное отображение замк-
нутого ограниченного множества £ на £ь то обратное отображение х=ф(у)
множества Ег на £ также непрерывно и взаимно однозначно (см. задачу 459).
Но для функции х=ф(у) множество Ег (не имеющее изолированных точек) яв-
ляется областью определения; следовательно, множество значений этой функции
(т. е. множество £) также не имеет изолированных точек (см. задачу 461).
464. Допустим, что существует взаимно однозначное непрерывное отобра-
жение Л4=ф(х) отрезка [0; 1] на замкнутый квадрат £!=[0; 1]х[0; 1]. Разобь-
ем сегмент [0; 1] на два сегмента 0; —
ментов (при отображении Л4=<р (х)) является некоторое замкнутое множество
ft, а образом второго — замкнутое множество £2. В сумме эти множества со-
ставляют весь квадрат £г; эти множества имеют единственную общую точку
( i \
Мо=ф|—I (то, что они не имеют других общих точек, следует из взаимной
однозначности отображения). Каждое из множеств £х и £2 бесконечно (они
имеют мощность с, так как каждое из них эквивалентно отрезку). Следователь-
но, на £j можно найти такую точку Л!,, а на £2 —точку Л1->, что три точки
Мг, Мо, М2 не лежат на одной прямой (рис. 40). Но тогда замкнутый отрезок
[Л4Т; М>] можно было бы представить в виде суммы двух непересекающихся не-
2-
пустых замкнутых множеств
[Afi; Л4В]={[Л41; М2] ЛЕД U {[АД; Л12]ЛК2}
Как известно, это невозможно (см. задачу 221). Следовательно, высказан-
ное предположение о существовании непрерывной функции, взаимно однозначно
отображающей отрезок на квадрат, — неверно.
176
465. Пусть — непрерывное отображение сегмента [0; 1J на квадрат
Л>[0; 1] Х[0; 1], построенное в условии задачи. Пусть I — какой угодно вер-
тикальный сегмент (х=х0; 0<у<1), включающийся в А. Докажем, что прооб-
раз сегмента I (т. е. f—1 (/)) есть совершенное подмножество отрезка 0<7<1.
Замкнутость множества 1 (/) очевидна; она следует из того, что прооб-
раз любого замкнутого множества (при непрерывном отображении) замкнут. До-
кажем, что f~l (/) не имеет изолированных точек.
Пусть fog/—1(1). Опишем около t0 произвольную окрестность на оси Ot:
(t0— е; <0+е). и докажем, что в ней найдется бесконечно много точек из f~~l (/).
Г k k-y1] „
Найдем внутри этой окрестности сегмент вида —; —— . Такой всегда най-
дется при некотором, достаточно большом п
но построению отображения, этот сегмент
отображается на некоторый квадрат Ло со
1
и
каком-либо k, 0<&<4”. Соглас-
to to+E
сторонами длины
—, параллельными
ОСЯМ
координат.
Пусть 7И0=/(£0). Тогда 7И0£Л0. Вместе
с точкой Мо в квадрат Ло входит вертикаль-
ный отрезок Л4|М2, являющийся частью от-
резка I (рис. 41). Так как прообразы всех
точек квадрата Ло лежат на сегменте
\k fe-HI
14Й’ оси С® (этот сегмент отобража-
ется на весь квадрат Ло), то на этом сегмен-
те, в частности, окажутся прообразы всех
точек отрезка МЛМ.Л. Значит, в окрестно-
сти (f0 — е; £0+е) найдется бесконечно
много точек из множества f—1 (/). Но
это означает (в силу произвольности е>0),
что точка tB является предельной для мно-
о------Н* ] I---------г
К
жества f~1 (/).
Итак, любая точка tB£f~1 (/) является предельной для множества f—1 (/);
значит, f~1 (/) не имеет изолированных точек.
Если сопоставить этот результат с тем, что (/) замкнуто, мы получим,
что f—1 (/) — совершенное множество.
466. Для того чтобы разбить сегмент [0; 1] оси Ot на континуум попарно
непересекающихся совершенных множеств, поступаем следующим образом: отоб-
разим сегмент [0; 1] с помощью пеановской кривой на квадрат [0; 1]Х[0; 1]
плоскости Оху. Затем разобьем этот квадрат на континуум непересекающихся
отрезков / (х=const; 0<у<С1).
Прообразы этих отрезков на оси Ot попарно не пересекаются и в сумме со-
ставляют весь сегмент [0; 1]; согласно результату предыдущей задачи, все мно-
жества f—1 (/) являются совершенными.
Итак, сегмент [0; 1] разбивается на континуум попарно непересекающихся
совершенных множеств вида f~1 (/) (где I — всевозможные вертикальные отрезки,
принадлежащие квадрату [0; 1]х[0; 1]).
467. Кривая в приведенной конструкции незамкнута; образом точки <=0
является точка (0, 0), а образом точки f=l является точка (1, 0).
468. Построение пространственной кривой Пеано аналогично построению
плоской кривой Пеано; для этого надо разделить отрезок [0; 1] оси Ot на 8 ча-
стей, затем на 8s, 83, ... частей; соответственно этому, заданный куб делится
сначала на 8 одинаковых кубов, затем на 82, 83, ... кубов. На каждом этапе
сегменты отрезка [0; 1] нумеруются слева направо, а порядок нумерации кубов
выбирается так, что кубы с соседними номерами имели одну общую грань.
Затем каждой точке t0, являющейся пересечением последовательности вло-
женных сегментов ставится в соответствие точка М„,
177
принадлежащая одновременно всем кубам • • •> которые отвечают
сегментам 6g, 63 и т. д.
Так же, как и в плоском случае, доказывается, что это отображение явля-
ется непрерывным в любой точке t0 и что при этом отображении образы точек
сегмента [0; 1] заполняют весь куб [0; 1]х[0; 1] Х[0; 1].
469. Если проектирование проводится под углом а к оси Ох, то для любых
двух точек Л1, и М2 множества Е имеет место следующее соотношение:
„(О.
sm а
отсюда следует, что проектирование является непрерывным (и даже равномерно
непрерывным) отображением множества Е, каково бы ни было это множество.
Рис. 42
Здесь — проекция точки Мг
на ось Ох, Р2— проекция точ-
ки М2 (рис. 42).
470. Да, проекция плоского
открытого множества всегда яв-
ляется открытым множеством на
прямой.
471. Если Е — замкнутое
ограниченное множество на пло-
скости, то его проекция на ос
всегда замкнута (см. задачу 452'
Если же Е—замкнутое неог-
раниченное множество на пло-
скости, то его проекция можс
оказаться и незамкнутым множе
ством; так, например, графи!
функции y=tgx является замк
нутым множеством, а его орто-
гональная проекция на ось абсцисс незамкнута.
472. Допустим, что проекции некоторого плоского множества Е на обе оси
являются счетными множествами. Проведем через каждую точку множества Е
прямые, перпендикулярные как первой, так и второй оси; таких прямых окажет-
ся лишь счетное множество; следовательно, и точек пересечения перпендикуля-
ров на первую ось с перпендикулярами на
жество. Но Е содержится в этом множе-
стве точек пересечения; значит, и £ —-
счетное множество, что противоречит
условию.
473. Непосредственно проверяется,
что каждая точка г0 той косоугольной
проекции, о которой идет речь в условии
задачи, изображает сумму двух чисел
хп£Е и УпуР и обратно, что любая сумма
указанного вида изображается некоторой
точкой z0 из этой косоугольной проекции
(рис. 43).
474. Сначала надо доказать, что если
множество EyF тоже замкнуто и огранич£
£®F, надо спроектировать EyF на ось Ох под углом 135°. Но проектирование
является непрерывным отображением (см. задачу 469), а непрерывный образ
замкнутого ограниченного множества является замкнутым ограниченным мно-
жеством; следовательно, множество £fg£— замкнуто и ограничено.
475. Арифметическая сумма двух канторовых совершенных множеств совпа-
дает с отрезком [0; 2]. Докажем это.
Произведение DxD совпадает с «кладбищем Серпинского» (см. задачу 319).
Проведем через произвольную точку г0 сегмента [0; 2] оси Ох прямую, накло-
вторую
лишь
У
о
Е
Уо-
yoe.F хоеЕ zoe£eF
Рис. 43
X
и F замкнуты и ограничены, то
Для того чтобы получить теперь
178
ненную к оси абсцисс под углом 135°. Ясно, что эта прямая пересечет по край-
ней мере один из квадратов первого ранга (рис. 44); обозначим этот квадрат
через Сх. Далее, та же прямая пересечет по меньшей мере один квадрат второго
ранга (из числа квадратов, входящих в Сх); обозначим его Са. В нем найдется
квадрат третьего ранга С3, с которым эта прямая пересечется по непустому мно-
жеству, ит. д.
Обозначим общую часть прямой и квадрата С/, через tik", эти множества и/,
замкнуты, ограничены и каждое последующее вложено в предыдущее: Ufe+jGUfe.
Но тогда Quk непусто; пусть это будет точка Мо. Эта точка принадлежит мно-
k
жеству DxD, и его косоугольная проекция совпадает с точкой z0.
Итак, каждая точка zo£[0; 2] принадлежит арифметической сумме DQ)D.
С другой стороны, непосредственно ясно, что ни одна точка, лежащая вне сег-
мента [0; 2], не может принадлежать этой арифметической сумме. Следователь-
но, £Щ)=[0; 2].
476. Пусть с —произвольная точка множества тогда с=а+Ь, где
а£А, Ь£В. Так как А открыто, то существует такая окрестность V (а), кото-
рая целиком входит в А. Но тогда множество всех точек вида х-l-b, где x£V(a),
179
образует окрестность точки а+b (т. е. точки с); это множество входит в AQB.
Следовательно, для любой точки c£AQ)B существует окрестность, входящая в
Л@В- Значит, множество AQ)B открыто.
477. Доказательство проводится следующим образом: пусть z0 — произволь-
ная точка множества XljB,; если z0QA (рис. 45, а), то z0 является косо-
угольной проекцией точки Мо (х0, у0), где xni^E, y0£F, х0>у0; тогда
г0=хв—У0=С?(хй, у0); если же z0£BY, то —z0£B (рис. 45, 6); тогда —z0 яв-
ляется проекцией точки No (х'о, уд), где x'0QE, y^F, х'о<у'о’, значит, Zo=
=Уо—4=е(4> у о)-
У№
а) О
-Zo£B zDeB}
Рис. 45
Итак, любая точка г0 из множества A U В1 изображается числом вида
о(х, у), где х£Е, y£F, откуда вытекает, что AU^iGS.
Аналогично проверяется, что
Следовательно, S=AU^i-
478. Доказательство проводится так же, как и в задаче 474.
479. Сегмент (0: 1] Доказательство проводится так же, как и в задаче
475.
480. Доказательство аналогично тому, которое проводилось при решении за -
дачи 476.
ГЛАВА 11
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
481. Если <р (t) — возрастающая на [а; Ь] функция, a f (х) — функция, мо-
нотонная на [ф (а); ф (6)], то суперпозиция /[ф (f)] монотонна на отрезке [а; Ь]
(при этом, если f — возрастающая функция, то и суперпозиция возрастает; если
f убывает, то и суперпозиция убывает).
482. Нет, не обязана. Пример Пусть х = ф (<) определена на отрезке
0<<<2 равенствами:
№ I 1 при °<*< 1;
ЧЧО- V+1 при 1<?<2.
Эта функция разрывна при t0 = Г, при этом ф (0)=0; ф (2)=3. Определим теперь
на отрезке [0; 3] оси Ох следующую монотонно возрастающую функцию f (х):
( х при 0<х<1;
/(х)=< 1 при 1<х<2;
(х— 1 при 2<х<3.
180
Легко видеть, что суперпозиция f [ср (<)] тождественно равна t (при 0<f<2);
следовательно, суперпозиция непрерывна всюду (и, в частности, в точке /0).
Заметим, однако, что если внешняя функция f (х) строго монотонна, а
внутренняя функция х = ср (<) разрывна в точке t0, то суперпозиция /[<₽(£)]
обязательно терпит разрыв в точке tg.
483. Пусть функция у = f (х) строго монотонна (для определенности будем
считать, что она строго возрастает) на [а; Ь], причем для некоторой последо-
вательности точек хп(Е[сг, 6] имеет место: lim f (хп) = f (b); докажем, что
п-*-оо
lim хп = Ь.
П-ЭСО
Возьмем произвольное е>0*и докажем, что найдется такое N, что для
всех п > N имеет место: b— е < хк:СЬ. Для этого вычислим f (b — е). В силу
строгого возрастания функции f(x), число f(b — е) меньше, чем f(b). Най-
дем такое N, что для всех п^> N имеет место: f(xn) > f (b—е). В силу стро-
гого возрастания функции, из f(xn) > f (b— е) вытекает, что xn> b — е; сле-
довательно, для всех п^> N выполнено: b—e<fxn<b, или ] хп — Ь| <е. Но
это и означает (в силу произвольности числа е>0), что lim xn=b.
п~*оо
484. Рассмотрим функцию М (х) = sup f (г). Легко видеть, что она моно-
z е [а; х]
тонно возрастает (какова бы ни была функция /(г); это следует из того, что
если ЙХ), то sup f(z)>snp /(z), так как [а; х] G [a; x-f-b]).
ze[a;x-j-k] ге[а;х]
Если функция f (г) непрерывна, то М (х) также непрерывная функция. Для
того чтобы доказать это, докажем сначала, что для любых чисел a<^c<^d
имеет место неравенство:
sup f(z)< sup f (г)+ co f(z). (1)
[a: d] [a; c] [c; d]
Это неравенство вытекает из следующих соображений: sup f(z) равен наиболь-
[а; Д
шему из чисел sup f (z) и sup f(z). Если наибольшим является sup f(z), то
[a; с] [с; d] [a; с]
sup f(z) = sup /(z)< sup f(z)+ CO f(Z),
[a; d] [a; c] [a; c] [c; d]
так как co f (z) > 0. Если же наибольшим из sup f (z) и sup f (z) явля-
[c; d] [a; c] [c; d]
ется sup f (z), to
[c;d]
sup Hz)= sup / (z) = sup f (z)+[ sup f (z) — sup /(z)].
fa; dj [c; d] [a; c] [c; d] [a; c]
Ho sup f(z)>f(c)> inf f (z); поэтому:
[a; c] [c; d]
sup /(z)« sup /(z)+[sup f(z)— inf f(z)],
[a; c] [c; d\ [c; d\
t. e.
sup Z(z)< sup f(z)+ co f(z)
[a; d] [a; c] [C; d]
Таким образом, неравенство (1) доказано для всех случаев. Из него, в частно-
сти, следует:
sup /(£)< sup /(z)+ (О /(г)
[а; х-ЬЛ] [a; х] [х; x-j-h]
при h 0; отсюда вытекает
М (x-f-й) — 7И(х)< со /(г)>
[х; х-|-Л]
* Не ограничивая общности, мы можем считать, что е •< b — а.
181
или, так как М (х) возрастает, то
0<Л4 (x+h) — М (х)< <о /(z).
[х; х-[-/г]
При й->0 правая часть неравенства стремится к нулю (так как f (г) непрерывна).;
но тогда и М (x-\-h)-+M (х); значит, М (х) непрерывна справа в точке х.
Для того чтобы доказать непрерывность М (х) в точке х слева, применим
неравенство (1) к точкам а<х— й<;х (где h > 0):
sup f (z) < sup f (z) + <o f (z),
[a; x] [a; x — Л] [x — h; x]
откуда
0<Af (x) — M(x — <o f(z).
[x — h; x]
Следовательно, M (x— h)->-M(x) при Л->0; значит, M (х) непрерывна и слева в
точке х.
Итак, если функция f (х) непрерывна всюду на [а; Ь], тоиТИ(х) непрерыв-
на всюду на [а; Ь].
Аналогично доказываются монотонность и непрерывность функции т(х).
485. Пусть f (х) — возрастающая функция на [а; £>]; тогда sup / (z)= /(х),
[а; х]
т. е. М (х) = f (х) для всех х £ [а; Ь].
Для функции М (х)= sup f (z) аналогичное равенство не всегда имеет место.
[а; х)
Приведем пример.
Пусть
f X для 0<_х < 1,
' I ' (х-|-1 для 1<х^2.
Эта функция возрастает (и даже строго возрастает) на отрезке [0; 2]. Построим
для нее функцию М (х);
м(х)=! Л для
4 ’ (х-}-1 для 1 <х<2.
Как мы видим, / (х)=И= М (х) в точке х0 = 1-
Обобщая этот пример, можно построить такую монотонную функцию f (х),
для которой равенство f (х) = М (х) не выполняется на счетном множестве
точек.
486. Пусть функция у = f (х) определена и монотонна (для определенности,
f (х) возрастает) на отрезке [а; Ь]. Допустим, что эта функция разрывна в
точке с, где a<Zc^b; тогда по крайней мере на одном из интервалов оси Оу:
(/(с— 0); /(c)); (/(с); /(c-f-O)), нет значений функции. Но это значит, что
функция / (х) принимает в качестве своих значений не все числа отрезка
[/(«); /(&)]-
Следовательно, если функция монотонна на [а; Ь] и принимает на этом от-
резке в качестве своих значений все числа из [/(a); /(b)], то она непрерывна
на [а: Ь].
487. Да, можно; достаточно положить
Ф(х)=
/ (х) при х £ Е,
sup/(£) при x|[a; b]\£, х>х0,
С<х
inf / (О при х£[а\ Ь]\Е, х<х0.
Здесь х0 = inf Е.
Ясно, что <р (х) — монотонно возрастающая функция; она определена всюду
на [а; Ь], причем на множестве Е она совпадает с /(х).
488. Нет, нельзя. Если / (х) не ограничена, например, сверху, то она не
определена в точке b (иначе было бы / (х) / (Ь) всюду на Е). Но тогда и до-
определить в точке Ь ее нельзя с сохранением монотонности. Если же / (х) не-
182
ограничена снизу, то ее нельзя доопределить с сохранением монотонности в
точке а.
489. Достаточность очевидна: если f (х) непрерывна на [а; Ь], то
для любого у0, лежащего между f (а) и f(b), существует хотя бы одно
хп^[а; ЭД, такое, что f (х„) = у0 (в силу теоремы о промежуточных значениях
непрерывной функции). Если, кроме того, f (х) строго монотонна, то такое х0
только одно (если бы была, кроме х0, еще точка хг^=х0, такая, что /(х1)=уп,
то имело бы место равенство f (х,) = f (х0), которое противоречит строгой моно-
тонности функции f{x)). Значит, обратная функция существует.
Необходимость. Пусть f (х) — непрерывная на [а; ЭД функция, и пусть
для каждого у0 £ £х (где Ег — множество значений) существует" одна и только
одна точка х0£[а; Ь] такая, что f(x0)—y0. Докажем, что f (х) строго монотонна
на [с; £>].
Сначала заметим, что f(a)^=f(b) (если бы было f (а) = f (b) = А, то точке
у = А отвечали бы два значения х£[а; Ь]:х = а и х=Ь; следовательно, функ-
ция у = /(х) не имела бы обратной). Положим, для определенности, что f (а)
<Zf(b). Тогда в точке b функция f (х) достигает наибольшего значения на
[а; ЭД, а в точке а—наименьшего: если бы, например, в точке хп-/=Ь функция
принимала бы наибольшее значение и было бы / (х0) > f (b), то, в силу теоремы
о промежуточных значениях непрерывной функции, между точками а и х0
нашлась бы точка Е, такая, что /(£,) = f(b) (так как f (а) < f (6) < f (х0),
см. рис. 46). Но тогда одному и тому же значению у (y=f(b)) отвечали бы две
точки £ и b на отрезке [а; £>]; в этом случае функция f (х) не имела бы обрат-
ной. Аналогично убеждаемся в том, что наименьшее значение функция f (х)
принимает в точке а.
Докажем теперь, что функция f (х) строго возрастает на [а; ЭД. Допустим,
что это не так; тогда найдется хотя бы одна пара точек хх <х2 такая, что
f (x1)>f (х2). Равенство здесь исключено (если бы было f (х,) = /(х2), то функ-
ция не имела бы обратной). Значит, f (х,) > f (х2). Но тогда на участке [а; х,]
найдется точка т] такая, что f (т;) = f (х2) (так как f (a) <Zf (х2) <; f (xj,
см. рис. 47). А это противоречит тому, что функция f (х) имеет обратную. Итак,
предположение о том, что найдется пара точек х, <х2 таких, что f (хх)>/ (х2),
неверно. Значит, для любых точек хх<х2, лежащих на отрезке [а; ЭД, имеет
место неравенство: f (xj •< f (х2), т. е. функция f (х) строго возрастает i. t
[п; Ь].
490. Если обе функции монотонно возрастают или обе монотонно убывают,
то их сумма тоже монотонна. Однако если одна из этих функций монотонно
возрастает, а другая — монотонно убывает, то сумма может оказаться немоно-
тонной. Пример. Если ф(х)=х, а ф(х)= —х2, то обе эти функции моно-
тонны на [0; 1]; однако их сумма f (х)=х+(—х2) не монотонна на [0; 1].
491. Пример. <р(х)=х, ф(х)==х—I; обе эти функции монотонно возра-
стают на [0; 1]; однако их произведение /(х)=х(х— 1) не монотонно на этом
отрезке.
183
492. Пусть rlt r2, rs, . . — все рациональные точки числовой прямой 7?,
занумерованные каким-либо способом; построим функцию f (х) следующим обра-
зом: для любого x£R положим
f(x)= 2
гк<х
где суммирование проводится по всем номерам k, таким, что г^<^х. Ясно, что
эта функция определена для всех х (так как данный ряд всегда сходится) и
что эта функция строго возрастает (так как для любых чисел хг <х2 найдется
хотя бы одно рациональное число rko , такое, что х, < rkl. < х2; поэтому f (х2) >
1
>/(Х1)+-тт— > /(Х|)). Эта функция разрывна в каждой рациональной точке г;
действительно, для любого х > г имеет место:
„ 1 1 _ 1
пусть номер числа г равен и; тогда 2, —> —; значит, f (х) > 2 ой +
r^rK<x2 2 гк<гЛ
1 1
-J-— = f (r)+~; переходя в этом неравенстве к пределу (при х->г+0), полу-
1
чим*: f (r+O')>f(r)+—. Значит, в каждой точке гп функция f (х) разрывна спра-
1
ва, и ее правый скачок /(г«+0)— — •
Докажем, что функция f (х) не имеет разрывов в других точках и что в
рациональных точках гп скачки равны в точности —. Это вытекает из следую-
щих соображений: для монотонно возрастающей функции разность между ее
верхней гранью и нижней гранью больше или равна сумме всех скачков; но
sup f W = E"T=1’, inf f (x)=0. Следовательно, сумма s всех скачков удов-
R ft 2й R
летворяет неравенству: s<l. С другой стороны, сумма всех скачков больше или
равна сумме правых скачков в точках поэтому Сравнивая это с
полученным выше неравенством, находим, что s = 1. Следовательно, правые
скачки в точках гп исчерпывают все возможные скачки функции (т. е. в осталь-
ных точках функция непрерывна); при этом в самих точках гп скачки равны в
1 1
точности — (если бы хотя бы в одной из этих точек скачок был больше, чем — ,
то сумма всех скачков была бы больше единицы).
493. Эта задача является обобщением предыдущей; построение строго
возрастающей функции, разрывной в точках данного счетного множества а2,
а2, . . ., и только в них, проводится так же, как в предыдущей задаче.
494. Монотонное возрастание функции т (х) на отрезке [0; 1] вытекает из
самого построения функции.
* Символами /(<2-|-0) и f(a— 0) обозначены пределы функции f (х) при
x-i-c+О и при х-><2—0. Разность /(<з-|-0)— / (с) называется правым скачком
функции в точке а, разность f (а) — f (а—0) — ее левым скачком. Сумма пра-
вого и левого скачке®, т. е. число f(a-j-O)— /(а—0), называется скачком
функции f (х) в точке а.
184
Для того чтобы доказать, что т (х) непрерывна на [0; 1], достаточно заме-
тить, что если бы эта функция была разрывна в какой-то точке хо£[О; 1], то
(в силу монотонности функции) хотя бы один из интервалов (т (х0— 0); Т(л0)),
(т (х„); т (xo-f-O)) на отрезке 0 < у 1 не- содержал бы ни одного значения функ-
ции. Однако это невозможно, так как значениями функции являются, в частности,
все двоично-рациональные числа, а они расположены всюду плотно на отрезке
0^у<1. Итак, функция т (х) не имеет ни одной точки разрыва; значит, она
непрерывна во всех точках сегмента [0; 1].
495. Да, может. В качестве примера такой функции можно взять функцию
Кантора т(х), построенную в предыдущей задаче. Она монотонна и непрерывна
всюду на отрезке [0; 1], и отлична от постоянной; вместе с тем, ее производ-
ная т' (х) существует всюду на CD, и во всех точках множества CD она равна
нулю. Следовательно, т' (х)=0 почти всюду на [0; 1] (так как mCD~l).
496. Пусть f (х) монотонно возрастает на (а; £>), непрерывна и ограничена
на этом интервале. Доопределим ее на концах интервала, положив: f (а)= f(a-f-O),
f(b) = f(b— 0).* Теперь функция определена и непрерывна на всем сегменте
[а; Ь], в том числе также в точках а и Ь. Но тогда она равномерно непрерывна
на [а, 6], а из равномерной непрерывности функции на [с; £>] вытекает ее рав-
номерная непрерывность на любом подмножестве сегмента [с; 6] и, в частности,
на интервале (а; Ь).
497. Да, справедливо. Если функция f (х) ограничена и монотонна на
(—со; -[-со), то она имеет конечные пределы lim f (х) и lim /(х). Но тогда
х->-{-со — оо
равномерная непрерывность функции на всей прямой (—со; -|-со) доказывается
тем же методом, которым мы решали задачу 416.
498. Разделим отрезок [0; 1] точками
0 = х0 Xj х2 %п—1 < Хп “ 1
так, чтобы на каждом сегменте [x^f, х^] колебание функции f (х) бцло мень-
е
те, чем —. Далее, на каждом отрезке, [xk—i, х/ц определим функцию ф (х)
следующим образом:
Ф (xk-]) = f (хл-i); ф (хк) = / (xfe);
Ф (х) монотонна и непрерывна на [xft_,; xfeJ; ф' (х) = 0 почти всюду на
(х£_Г, Xfe]. Функцию ф(х), удовлетворяющую этим условиям, можно построить
так же, как строилась функция Кантора в задаче 494.
Построенная таким способом функция ф (х) определена и непрерывна на
всем отрезке [0; 1] и удовлетворяет условиям а) и б). Нетрудно также прове-
рить, что для любого х^[0; 1] она удовлетворяет неравенству |/(х)—Ф(х)|<е.
499. Построим непрерывную функцию Ф(х), равную нулю, на множестве Е
н положительную вне его (например, ф(х) = @(х, £), см. задачу 441). Далее
обозначим f (x) = J Ф (f) dt. Тогда f (х) = ф (х) для всех х£[а; £>]; в частности,
а
f (х) = 0 для всех х £ Е. Кроме того, f (х) является строго возрастающей функ-
цией; для проверки этого возьмем две точки х1 и х2 (а<Х1<ха«5Л) и найдем
между этими точками интервал (а; Р) свободный от точек множества Е. Тогда
х2 В
f (Xi) — f (xi) = j ф (t) dt> J ф (/) dt = ф (с) (P — a).
X, a
Здесь a < c<;P; так как с С Е, то Ф(с)>0; следовательно, /(х2)> / (х,).
500. Нет, не имеет решения. Пусть (a; Р) — интервал, целиком содержа-
щийся в Е (если Е замкнуто и не является нигде не плотным, то такой интер-
вал наверняка найдется, см. задачу 206). Если для некоторой функции f(х) ее
производная равна нулю всюду на Е, то, в частности, f (х) = 0 всюду на ин-
тервале (a; Р), и, значит, на этом интервале функции f (х) постоянна. Следова-
тельно, она не может быть строго монотонной на fa; 6]
* Пределы функции f (х) при х--я—0 и при х-* 6-1-0 существуют, так как
эта функция монотонна и ограничена на (а; Ь).
13 Ю. С. Очан 185
501. Сначала докажем, что f(0) = 0; действительно,
f (0+0) =/ (0)+/ (0); f (0) = 2 / (0); f (0) = 0.
Далее, для любого целого А>0 имеет место: f (kx) = k-f (х); тогда /(!)==
= f \ откуда = T (гДе й=7(1))- Наконец,
\ к/ \ k; \k/ k к
(р\ /IX а р
— =р.т — =р.— =а-~, т. е. f(x)=ax для любого рационального х >0.
q> \q! q q
Пусть теперь х > 0 — иррациональное число; построим возрастающую после-
довательность рациональных чисел Г1<г2<гз< • • •> сходящуюся к х, и убы-
вающую последовательность fj > г2> г3> .... также сходящуюся к х. Тогда,
В силу МОНОТОННОСТИ f(x), / (гд.) (x)<J (rft) для любого А, т. e. cr^</(x)<
<arK. Устремляя теперь k к бесконечности (т. е. г/, к х и гК к х), получим:
ax<f (х)<ах, откуда f (х) = ах. Значит, f (х) = ах при любых положительных
х (как для рациональных, так и для иррациональных х).
Наконец, если х<0, то f (x)+f {—х) = /(0), т. е. f (х) = f (0)— —х)=
= — f (—х); но в этом случае —х>0; поэтому /(—х) = с-(—х). Следова-
тельно, f (х) = — f (— х)= — а-(— х)= ах.
Итак, f (х) = ах для всех х.
502. Вариация функции y~k-f (x)+m равна |А|-Д.
503. Вариация функции равна 7. В этом убеждаемся следующим образом:
разобьем отрезок [0; 1] точками 0 = х0<х1<х2<---<;xJ1_1<xn= 1. Тогда
п
21 f м - f 1 = 1/ - f <х») 1+
i—1
+ { I f (хг) -' f (*1) 1+-+ I f (xn— 1)-f (.хП—2> |}+| f (,xn) - f (ХП—x) I =
= (1 — Xj)+ {xn—x *x}+[5 (1 xn—x)l — 5 + 2 (xn—i — Xx) < 7.
tl
При этом сумма S | f (xz-) — f (xt-_x) I может быть сделана сколь угодно
\ Z=1
п
близкой к числу 7. Поэтому sup 2 I f (xi) — f (xz—i) 1 = 7, т. e. вариация функ-
Z= 1
ции f (x) на участке [0; 1] равна 7.
504. Вариация функции равна 23.
505. Для того чтобы вариация функции f (х) стала минимальной, следует по-
ложить /(1) = с, где а—-какое угодно число, заключенное между /(1 — 0) и
/(1 +0) (т. е. O+a<Jl). В этом случае вариация функции будет равна 5.
506. Докажем, что данная функция имеет ограниченную вариацию на от-
резке [0; 1]. Эта функция непрерывна и имеет производную во всех точках от-
резка [0; 1]:
{ JT r jt
2x-cos— 4- ft sin — при x^0,
X X
0 при х=0.
На участке [0; 1] производная ограничена:
Ijt jt I 3"С I зт I
2х cos— + я sin — < 2xcos— jtsin— <2-J-n.
x X I * I xl
А непрерывная функция с ограниченной производной является функцией огра-
ниченной вариации (см. задачу 510).
507. Для того чтобы доказать, что f (х) имеет неограниченную вариацию на
186
_2
st
2j
л
достаточно для любого числа Д>0 построить такое разбиение отрезка
при котором сумма модулей приращений превосходит число А.
С этой целью разобьем отрезок
точками
2 2 2 2
0<------------<----------— <" ••• <-------<—
Л (264-1) л (2k— 1) Зл Л
2/г-Ь1 — нечетное число, которое будет выбрано позднее. Сумма для это-
где ' _
го разбиения такова:
/2 \ / 2 2 \ [ 2 2 \
— I *—' 014- ( 4~ 14* I 4~ 14-
\л (264-1) I (2/е4-1) л(26—1)/ \л(26—1) л(26—3)/
/221/2212(222 21
4- ••• 4-—4-— 4-—4— =—14-—4-—4-—4- ••• 4----------L
\5л Зл/ \3л л/ л[ з 5 7 2А4-1J
В квадратных скобках стоит k-я частная сумма расходящегося ряда 14-
2 2 2 2
4-—4-“Г4~—+ ••• +~—г+ •••; ПРИ достаточно большом k эта сумма мо-
3 5 7 264-1
жет быть сделана сколь угодно большой. Следовательно, для любого Д>0 мож-
2
но найти такое число 2&4~ 1 (и, следовательно, такое разбиение отрезка 0; — I,
л J/
что Gk > А.
Но это и означает, что сумма модулей приращений может быть сделана
сколь угодно большой, т. е. что функция f (х) имеет неограниченную вариацию
на отрезке и; — .
508. Допустим, что F (х) = f(ax+b) имеет неограниченную вариацию на от-
[ b 1 — 61
резке ——; ------- . Тогда для любого натурального числа N можно было бы
Г b 1 — 61 6
найти такое разбиение отрезка — —; ----- точками* — —=£0 '< < Сг < • • • <
[ a a J а
j___h п
=, что сумма 2 |^(&)— >^-
а k=i
Произведем теперь разбиение отрезка [0; 1] точками т]^, такими, что т]/г =
= ° £k+b;
°=По <41 <42
Тогда
п п '
21 f Olfe) - f (4ft-i) I = 2 I На Zk+b) - / (а &-!+*) I =
k=i 6=1
= 2|т(£й)-р
k=\
Итак, если бы функция F (х) имела неограниченную вариацию на
; ---1, то f (х) также имела бы неограниченную вариацию на [0; 1]
а а I
(сумма модулей приращений функции f (х) может быть сделана больше любого
* Точки деления Zn—i зависят, конечно, от N.
13*
157
числа N > 0). Следовательно, функция F (х) имеет ограниченную вариацию на
[Ь 1 — 61
а ’ а J
509. Решение этой задачи совершенно аналогично решению предыдущей.
510. Пусть | f (х) | А всюду на [с; 6]; тогда при любом разбиении отрез-
ка [а; Ь] точками
й — < £1 < ?2 < ‘ 1 < S« — Ь
имеет место (в силу формулы Лагранжа):
I f (Sfe) - f (Sft-i) 1 = 1/' to) (Sfe - Sft-1) К л I Sfe — Sft-11-
Здесь г*—некоторая точка, лежащая между х и Поэтому
21 f (Sft) — / (Eft—i) I < 2Л1 Sft-Sft-11 = A 2l Sfe-Sfe-I I = A (b-a).
k=l k=\ k=l
Итак, при любом разбиении отрезка [а; 6], сумма модулей приращений не пре-
восходит числа А (Ь—а). Значит, функция f (х) имеет ограниченную вариацию на
[с; 6].
511. Если Е имеет лишь конечное число граничных точек, то (х) имеет
ограниченную вариацию на любом интервале; это утверждение тривиально. Если
же Е имеет бесконечное множество граничных точек, то 7,Е (х) имеет неограни-
ченную вариацию на отрезке [с; Ь]. Докажем это. Зададим произвольное нату-
ральное число N, и из множества всех граничных точек, лежащих внутри (а; Ь),
выберем N точек и расположим их в порядке возрастания:
a<zxi <х2ч; < Хд, < b.
Около каждой из этих точек построим попарно непересекающиеся окрестности
V (Xj), V (х2), . . ., V (xN) и в каждой из этих окрестностей возьмем по две
точки Zi и гр-, такие, что ^,(^Е, 'Ц^Е. Тогда
Ь
V ?.Е (X) > 2 I У-Е to) - (Si) I =
а i=l
Итак, вариация функции %£(х) на отрезке [с; 6] больше любого наперед задан-
ного натурального числа N-, следовательно, она равна бесконечности.
512. Нет, не обязательно. Вот пример.
Пусть
fk W =
— sin k л [х (А 4-1)—1] на сегменте
k
. 0 вне этого сегмента.
' 1 J_1
&4-Г А]’
Ряд 2ffe(x) равномерно сходится на сегменте [0; 1]; каждая из функций fk (х)
k
имеет ограниченную вариацию на этом сегменте, однако сумма ряда представая-
ет собой функцию неограниченной вариации на [0; 1].
513. Пусть | f (х)—f (у) 1 х — у| для всех х£[а; 6]; у [«; 6]. Тогда
для любого разбиения отрезка [с; Ь] имеет место:
Д(Ь-Й).
Следовательно, функция f (х) имеет ограниченную вариацию на [с; 6].
514. Если]/^)— f (х2) |<Д | Xj — х2 1° Для любых точек отрезка [с; 6],
то, в частности, | f (х) — f (а) | < А для всех х £ [а; Ь], т. е. f (а) — А <5/ (х) «С
^/(с)+Л, а это и означает, что функция f (х) ограничена на [с; 6].
Доказательство обратного утверждения очевидно.
188
515. Возьмем две произвольные точки £ и т], принадлежащие заданному от-
резку [а; 4>], и докажем, что f (Q = / (т]). Для этого разделим отрезок [g; ц]
на п равных частей, где п — пока произвольное натуральное число:
T] — £
£ = х0<х1<ха< ••• <xn=iq; xz —xZ—I =--------.
п
Тогда
п
\f 01) - f (QI = I f (Xn) - f (x0) к 21 f - f к
i—1
i=1 i=l
n-da
J--- = A
n
'r_ Л|т]-£|п
na-’
•n —g
n
Неравенство | f (tj) — f (0 1 -------г— справедливо при любом натуральном.
па~ 1
числе п. Следовательно, оно остается в силе и при n-s-оэ. Учитывая, что а>1
и что поэтому а — 1 > 0, получим
д| ______г 1 а
I f (П) - f © К Нт - ‘ =0,
пч-оо па
откуда / © =/(*])• Итак, значения функции одинаковы для любых двух точек
отрезка [с; Ь], т. е. функция f (х) постоянна на этом отрезке.
516. Пусть | f (xj — f (х2) |< Д | хх — х2 |“ для любых хг £ [а; £>], х2 £ [с; 6].
Пусть р<а. Тогда
а Д Р Д1 Xi — XglP .
/(xj — /(Х2)|<Д| Xi — Xgl =----——-|X1—Ха1 <----------——-
Ui-XaP-3 (b-af-0
Итак, для любых двух точек хь х2 сегмента выполняется неравенство
I/ (*i) — f(xz) К-В I xi — х2 | Р, где В=-----------. Следовательно, функ-
(Ь — а)Р~а
ция f(x) удовлетворяет условию Липшица порядка р.
517. Пусть | f (xt) — f (х2) К Д | Xi — х2 | “ для любых х, £ [с; t>], х2 [с; 6].
Будем считать для определенности, что т>0. Возьмем два произвольных числа
(а — п b — п1 Га — п b — /Г|
-----; ---- , I---------------- и оценим разность F (у—F (in):
т mJ Гт mJ
IF (Q— f 01) 1=1^1 •!/('«?+«)— f(mt\+n) KI К l-Д -|mC —тт]|а=
=|К|-Дт- £ — т]|
[a — n b — nl
----; ---- , to m Z+n n
m mJ
mt]~Fn принадлежат сегменту [с; />]; поэтому мы имели право применить нера-
венство Липшица к разности f (mt,+n) - f (mi|-|-n)]. Итак, F (x) удовлетворяет
условию Липшица порядка а на соответствующем отрезке с константой | К I Ат,
518. Пример. Функция
1 1
—;----- при 0<х < —,
1п х 2
Нх)=
0 при х=0
является непрерывной на сегменте ^0; —j и строго возрастающей на этом сег-
менте (следовательно, она имеет на нем ограниченную вариацию). Докажем, что
189-
эта функция не удовлетворяет условию Липшица ни при каком а>0. Пусть
а — какое-либо число, заключенное между нулем и единицей. Покажем что для
любого А > 0 найдутся две точки
Х1€[°; 2]
такие,
что
'I f — f (х,) I > А | х2 — %! | “ - В качестве хг возьмем точку хт = 0; для то-
17 W -f(0)|
то чтобы подобрать х2, проверим, что , ->°о при х >0:
И
€ [о; — j,
1
I7W-7(0)1 ,. 1пх -х~°-
lim----------— = lim---= hm---------= lim а х = оо.
х^о ] х_ о Iа х-»о 1пх х_0
Но тогда для любого Д>0 можно подобрать такое х2, что- >Д,
|х2 — о|“
откуда | 7 (х2) — 7 (0) | > А | х2 — о|“. Следовательно, f(x) не удовлетворяет ус-
ловию Липшица при 0<а<1.
519. Пусть ••• 4-оп+ ••• произвольный сходящийся положитель-
ный ряд с монотонно убывающими членами; пусть его сумма равна s. Построим
.на [0; s] функцию f (х) следующим образом:
7 (х) = 0 в точках 0, а1( <31т-а2+а3, . ..;
1 ап
7(х) =— в точке с1+а2+ 4-—(прип= 1, 2, 3, . ..);
ц 2
7(s) = 0;
7 (х) линейна на любом отрезке вида [<3]+ - - - + ап—х; о.-Ь • • +cn_1-|- ,
ап
а также на любом отрезке вида [ci+ • • • 4-сп_; л, -}- • • • -j-cin—1+ол] и
01
на отрезках 0; —
рис. 48). Эта функция непрерывна на сегменте [0; s] и имеет на нем неог-
1 ,
—; о, । (схематический график этой функции см. на
Рис. 49
X
190
раниченную вариацию, каков бы ни был исходный ряд С[4-са4- • - - -}-
+йп+ Для того чтобы убедиться в том, что вариация неограничена,
разобьем отрезок [0; а] точками:
Ci «а as
—; ах; а2+~;С1+а2; Ci+Cj-p—; . . 01+02+03 + — +с&,
где k — произвольное натуральное число; вычислим сумму 2/г модулей прираще-
ний функции для этого разбиения:
2*=
+ f (°i)
— / (ci) + • • • +
+|/(й1+ ••• +а.%)—/(ai+ +a*—1 + njmH5) — f («1+ +<?/,)! =
1 1 1 1 j_ 1 X И
= I + 1+ 2+2+3+3+ +k + k ~2(1+2 + 3+ "• +Т)-
Отсюда видно, что, выбрав достаточно большое k, можно сделать сумму S&
S
сколь угодно большой. Следовательно, V f (х)=+со.
о
Подберем теперь ряд 0x4-02+ • • • +ап + • так, чтобы функция f (х)
удовлетворяла условию Липшица заданного порядка. Пусть Мг (х1г уг) и М2 (х2,у2)
— две точки графика, принадлежащие одному и тому же отрезку графика
, , й«
+<7п+1+g , го
(см. рис. 48). Если О[4-
+о«—j <^Xi < х2 -|-
1
О 2 _
I Уз — У11 = К I х2 — xil> где . Следовательно,
Оп Поп
2
, 2 . 2|х2 —xj’-0 „ 2a^-a
У2 У1 1 = I Х2 Х1 | — 1 х2 I < ,| х2—’ Х1 I ‘
пап пап пап
2 а
— I Х2 Х1 I •
пап
2
Подберем {аге} так, чтобы -- было ограничено (по всем и). Это можно-
/и“
сделать, не нарушив сходимости ряда S для этого достаточно взять ап =
п
=—j—. Тогда для любых двух х, и х2, для которых точки графика принадлежат
п “
одному и тому же отрезку графика, имеет место
I f (хг) —f (*1) I < 2 | х2 — хг | а.
Пусть теперь и х2 — два числа на отрезке [0; £],для которых точки графика
не лежат на одном и том же отрезке графика, например:
й1+ • • +ak—1! й1+ ’ ’ ’ +ЙА—1+“
Й1+ — +Йп— 1+ g ; Й1+ +Й?г—1+йл ,
191
где /г^п (см. рис. 49)*. Проведем через точку М2 графика (с абсциссой х2)
горизонтальную прямую и найдем ее точку пересечения с тем отрезком графика,
на котором лежит точка (с абсциссой хг); пусть это будет М2 (g; iq). Легко
проверить, что | х2 — хг | > | g — х2 |; кроме того, f (х2) = f (g). Следовательно.
1/(х2) - f(xi) | = | /(g) - f(K1) |< 2 | g - Х11 “ < 2 |х2 - Х1|а.
Итак, неравенство | f (х2) — f (х,) | 2 | х2 — х11 “ выполняется для любых
двух чисел отрезка [0; л]; значит, функция f (х) удовлетворяет на этом отрезке
условию Липшица порядка а.
Заметим, что f (х) не удовлетворяет на отрезке [0; s] условию Липшица ни
\f{bn) — f{cn)\
для какого порядка р, где р > а, Это следует из того, что lim ---- —=оо
|6п_ Сп|Р
(О-П
если положить Ъп — а^-}- • • сп = Cj+ • • • +ctt_x4- — у ; дей-
ствительно:
_1_ 1
I f (М — f (сп) | = п = п =2₽ 4“1
|4>п—с«|₽ / 1
V2/
-а последнее выражение стремится к бесконечности при п->оо.
520. Обозначим через <ра (х) функцию, построенную в предыдущем примере.
Она удовлетворяет условию Липшица порядка а, но не удовлетворяет условию
Липшица ни для какого порядка 0 > а. Обозначим, кроме того, через ап сумму
со 1
.ряда S —
k=i kn
Построим теперь искомую функцию /(х). Для этого нанесем на отрезок
ДО; 1] последовательность точек
0 = g2 <g3<g4< ••• <1п <
(где g„-s-l при л^-оо), и на каждом отрезке [gn; gn+d зададим f (х) следую-
щим образом:
(«*п -(х —gn)\
----------- I (эта функция
/
получается из <Pj (х) сжатием в п раз по оси ординат, сжатием в отношении
п
--------по оси абсцисс и переносом вдоль оси абсцисс вправо на величину grt),
1 / '(^«4'1 *) |
б) если и —нечетное, то полагаем f (х) = —------------------- I.
И —\ I
* Если одна из точек хг или х2 равна s, то доказательство аналогично.
192
Таким образом, функция f (х) определена всюду на полусегменте [0; 1); до-
определив ее еще в точке х = 1 равенством f (1) = 0, мы получим функцию/(х),
определенную и непрерывную всюду на сегменте [0; 1]. Функция f (х) имеет
неограниченную вариацию на этом сегменте (схематический график функции
f (х) см. на рис. 50).
Эта функция на отрезке [gn; gn+i I удовлетворяет условию Липшица поряд-
ка —, но не удовлетворяет условию Липшица порядка -------следовательно
п п — 1
на всем отрезке [0; 1] она не удовлетворяет условию Липшица ни для какого
порядка а > 0.
Рис. 50
521. 1. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [а; Ь]:
а = хв<х1<х2< •••
оценим сумму модулей приращений
функции -------(для выбранного разбиения)?
f (х)
1
Ж-i)
I f(xi) I I i) I
s 1 f (Xi) — f (Xz-1):
c1 2 * * * &
так как | f(x-) |>c, | /(*(_j) |>c. Неравенство
1 1
f(xt) f (Xi-i)
1 n
Z=1
справедливо для любых разбиений отрезка [с; £>]. Беря верхнюю грань (по все-
возможным разбиениям) от правой и левой части этого неравенства, получпм:
& 1 1 Ь
a f (х) С“ а
1
откуда следует ограниченность вариации функции -—-.
/ W
Я 93
522. а) Достаточность. Пусть функция F (х) непрерывна в точке х0;
докажем непрерывность функции f(x) в точке х0. Пусть h>0; тогда
xo+h
WUo+Л) — f(x0) К V f (х);
НО Xo+h Xe+h х0
V f(x)= V f(x)—Vf(x) = F(xB+h) — F(xB).
х0 а а
Значит, | f (xB+fi) — f(x0) [ < F (xB+h) — F (x0). В силу непрерывности функции
F (х) в точке х0, отсюда следует, что f(xB+h)— f(x(l)->0 приЛ>-}-0, т. е.
функция f(x) непрерывна справа в точке х0. Аналогично доказывается, что f (х)
непрерывна слева в точке хв
б) Необходимость. Пусть /(х) непрерывна в точке х0 Qa; Ь]. Дока-
жем непрерывность справа функции F (х) в этой точке. Возьмем произвольное
е>0 и докажем, что найдется Л>0, такое, что | F (g) — А(х0)|<е при
x0<g<x0+h. Для этого построим такое разбиение отрезка [х0; Ь| точками
х0< х,<х2 < • < хп = Ь, при котором сумма модулей приращений функции от-
ь е
личается от вариации V f (х) не больше, чем на —; при этом всегда можно счи-
Хо 2
е
тать точку хь столь близкой к х0, что | f (Xj) — f (х0) | <— (если бы точка
X! была далека от х0, мы бы добавили к точкам деления еще одну точку, до-
статочно близкую- к х0; добавление одной точки к точкам деления может только
увеличить нашу сумму). Итак,
V Ь е
k=l х0 2
т. е.
6 V 6
v f (х) < I f (Xk) — f (Xfc-1) |+— =
k= 1 2
" e e ь e t>
= i f (xi)—f (*o) 1+ 51 f — f (Xk~J1 + T +У f(x)+ = Уf (x) + e-
Поэтому
ь b
Vf(x)-Vf(x)<e,
xo Xt
t. e.
V f (x)<e, откуда V f(x) — V/ (x) <e.
x0 а а
Обозначив теперь хг — x04-/z, получим:
F(xB+h)~ А(х0)<е.
Так как F (х) — возрастающая функция, то отсюда следует, что для любого g,
Xo<^<xo-}-ft имеет место
1^(ё)- FM 1<е.
откуда и следует непрерывность справа функции F(x) в точке хв.
Непрерывность слева доказывается аналогично.
523. Утверждение, содержащееся в этой задаче, является непосредственным
следствием той теоремы, которая доказана в предыдущей задаче.
Ь94
524. Функция f (%) = cos2 x пред-
ставима в виде разности возрастающих
следующим образом:
f{x) = V f (х) — <$ (х),
а
где Ф(х) = Vf(x) — f(x). Здесь
а
v f (х)=
1---COS2 X при 2
1-f-cos2 х при —<х<зт,
ф(х)=
зт
1 — 2 cos2 х при 0<х<—,
при ~ <X<Qt.
(см. рис. 51).
525. sinx = ф (х) — ip(x), где
п
sin х при 0 < х<
зт Ззг
ф(х)=,2 — sinx при — <
I Зл
I 44-sinx при —<х<2зг.
I 2
О при 0<х <
ф(х)={2
I
I
I
31 Ззг
— 2 sin хпри ~<х< ~ ,
Ззг
4 при — <х<2зг.
(см. рис. 52).
526. f (х) = ф (х) — ф (х), где
Гх2 при 0<х< 1,
Ф(х)=< 2 при х = 1,
I 3 при 1 < х 2.
, . . |2х2 при Os х< 1,
ф(х)—j 2 при 1<х<2.
1
(см. рис. 53).
195
2
527. Вариация функции на всем отрезке [0; 2]: V f (х) = 7, на отрезках
о
1 2
(0; 1] и [1; 2J:V/:(x) = 5, V f(x) = 2. Функцию f (х) можно представить сле-
о 1
дующим образом в виде разности монотонных: f (х) = ф (х) — ф (х), где
[ х2 при 0 < х< 1,
ф(х)=| 5 при х= 1,
1x4-5 при 1<х<2.
|0 при 0 <х < 1,
Ф (х)=1 н
1.2 при 1 < х < 2.
528. Это следует из того, что |а — Р| > 11 а | — |р|| (для любых чисел а
и Р). Поэтому при любом разбиении имеет место:
n
k = i
f М | — | f (xk - 1) |
f Ы — f(xk- i)
k
ь
<Vf(x).
a
Следовательно, функция | f (x) | имеет ограниченную вариацию, причем
Ь b
V|/(x)|<V f(x).
a a
529. Нет, неверно. Вот пример. Пусть
— 1 при х иррациональном,
1 при х рациональном.
Тогда | f (х) | = 1; следовательно, | f (х) | имеет ограниченную вариацию
на любом отрезке [а; 6], тогда как f (х) — функция неограниченной вариации
на том же отрезке.
530. Да, если f (х) — непрерывная функция и | f (х) | — функция ограни-
ченной вариации на [«; Ь], то f (х) также имеет ограниченную вариацию
на [а; Ь]. Докажем это.
Возьмем произвольное разбиение отрезка [«; Ь] и обозначим через <т сумму
модулей приращений функции f (х) для этого разбиения. Если на каком-либо
участке (хд. — i, х^) этого разбиения функция f (х) не меняет знака, то на этом
участке приращение функции равно по абсолютной величине приращению мо-
дуля функции. Если же на участке (хд. — xk) функция f (х) меняет знак, то
в силу непрерывности она обращается в нуль в некоторой точке
xft_1<g/!<xfe. Так как на каждом из участков (х^_ j; £&) и (£&; х&) при-
ращение функции равно по абсолютной величине приращению ее модуля, то
\f(xh)-f(xk-l)\<\f(xk}-f^\+\f(t<k)-f(xk^1)\ =
=i । fM । -1 m) 11 +i i i -i Hxft-i) 11-
Итак, сумма о модулей приращений функции f (х) для заданного разбиения
не превосходит суммы о* модулей приращений функции | f (х) | для некоторого
разбиения (а именно для того разбиения, которое получится, если к точкам
Xfe добавить точки выбранные выше). Но о* не больше вариации функции
Д(х)| (по условию, | [ (х) | —функция ограниченной вариации). Поэтому
ь
G с* V | f |. Итак, для любого разбиения отрезка [а; Ь] сумма о не превосходит
а
196
ь
числа V | f I; следовательно, f (х)— функция ограниченной вариации, причем
а
ь ь
Vf<V|/|.
а а
b b
Замечание. Из решения задачи 528 вытекает, что VI/I^V/. Сравни-
а а
вая это неравенство с полученным выше, заключаем, что для непрерывной
ь ь
функции f (х) имеет место равенство: V/ = V|f|.
а а
531. а) Необходимость. Пусть f (х) — функция ограниченной вариа-
X
ции на [a; 6J; функция ф (х) = V f является возрастающей на [«; 6] функцией;
а
очевидно, что она удовлетворяет заданному неравенству при любом h > 0, так
как
х + Л x-f-h х
lf(x-bft)-f(x)|< V f= V f-Vf =ф(х+Л)-ф(х).
>- a a
б) Достаточность. Пусть f (x) — функция, заданная на [о; 6],
и ф (х) — такая возрастающая на [«; Ь] функция, что для любого х£[«; 6]
и любого /г>0 (при условии, что х-|-/г0«; 6]) выполнено неравенство:
I f (x+h) — f (х) К ф (хДЛ) — ф (х).
Для того чтобы доказать, что f (х) — функция ограниченной вариации, разобьем
отрезок [«; 6] точками а = х(| < Xj < х2 < ... < хп _ х < хп = Ь и оценим сумму
модулей приращений f (х):
п п
0= 2 —Нл7г-1)К 2 [фС**)— Ф(^-1)1 = Ф(^—Ф(а)-
1 k=1
Итак, указанная сумма не превосходит числа ф (6) — ф («) при любом разбиении
отрезка [a; bj; следовательно, f (х) — функция ограниченной вариации, причем
Ь
VZ < ф (Ь) — ф («).
а
532. Спрямляемость этой кривой следует из того, что функция
1
х2 sin — при х =7= О,
X
О при х — О
имеет ограниченную вариацию на отрезке [0; 1]; доказательство того, что эта
функция имеет ограниченную вариацию, проводится так же, как и при решении
задачи 506.
533. Неспрямляемость этой кривой вытекает из того, что заданная функция
не имеет ограниченной вариации на отрезке [0; 1J; неограниченность вариации
этой функции доказывается тем же методом, который был использован при
решении задачи 507.
534. Кривая Пеано неспрямляема (в самом деле, так как она заполняет
весь квадрат, то в нее можно вписать ломаную сколь угодно большой длины).
Следовательно, хотя бы одна из функций ф (1) или ф (t) должна быть неограни-
ченной вариации. Но обе эти функции совершенно равноправны, что ясно
из построения кривой Пеано. Следовательно, случай, когда одна из этих функ-
197
ций имеет неограниченную, вариацию, а другая —
ограниченную, исключается. Значит, обе функции
Ф (/) и 4 (i) имеют неограниченную вариацию на
участке 0 t 1.
535. Когда параметр t пробегает значения от
1 до 0, точка М (х; у) на плоскости, действи-
тельно, движется по отрезку, соединяющему точки
(а; а) и (6; Ъ). При атом точка М совершает ко-
лебательные движения по этому отрезку. Таким
образом, линией, заданной этими параметрическими
уравнениями, является не указанный выше отре-
зок, а ломаная ABjB2Bg ... С с бесконечным
числом звеньев (которые все лежат на этом от-
резке) (см. рис. 54). Эта ломаная не спрямляема.
536. Функция у = f (х), имеющая ограничен-
ную производную на ,0; 1], является функцией ограниченной вариации
(см. задачу 510). Следовательно, кривая у = f (х) спрямляема.
537. Функции x=<p(t), У=4(0 имеют ограниченную вариацию на [0; 1J
(см. задачу 510); следовательно, кривая х = ф (£), У = 4 (0 спрямляема.
ГЛАВА 12
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА
538. Пусть а — произвольное число. Легко видеть, что
Е ([/ (х) J3 > а) = E(f (х) > V а).
Так как, по условию, f (х) — измеримая функция, то множество Е (f (х)>у^ а)
измеримо; следовательно, множество £([/(х) р>«) также измеримо при любом
а; значит, функция [/ (х) ]3 измерима.
539. Нет, не следует. Пример. Пусть
{1 на каком-либо неизмеримом множестве А;
-1 на СА.
Функция f (х) неизмерима, тогда как функция | / (х) ] (она равна тождественно
единице) измерима.
540. Построим последовательность точек а1>а2>а3> . . ., сходящуюся
к а, и последовательность < р2 < Ps < . . ., сходящуюся к Ь. Ясно, что
(ц; Ь) = и [а,-; ₽г].
»= I
Так как функция f (х), по условию, измерима на любом [аг-; [4], то, для вся-
кого числа с, множество точек
Ei = [ai; М Г) E(f(x)>c)
измеримо. Но множество Е (J (х) > с) всех точек из интервала (а; 6), в которых
f (х) > с, равно сумме всех Еу.
E(f(x)> c)=U Et.
г
Следовательно, множество Е (f (х) > с) измеримо при любом с; значит, f (х)
измерима на интервале (д; Ь). А так как сегмент [а; Ь] отличается от интер-
198
вала (а; b) лишь множеством меры нуль, то функция f (х) измерима и на сег-
менте [а; Ь].
541. Да, измерима; она отличается от функции ф (х) = х3 только на мно-
жестве меры 0 (на подмножестве канторова множества). Значит, функции f (х)
и ф(х) эквивалентны. Но ф (х) измерима на отрезке [0; 1); следовательно
и f (х) измерима на этом отрезке.
542. Рассмотрим функцию ф„ (х) =-----)--------------; она определена
п
Г 11
и измерима на а; b------. Предел lim ф„ (х) = f'(x) существует для всех
L п J п —г оо
X; следовательно, предельная функция /'(х) измерима на отрезке а; Ь— — .
L п ]
А так как полусегмент [«; 6) является суммой сегментов а; Ь—— , то
L nJ’
f (х) измерима на полусегменте [а; Ь) (в этом мы убеждаемся так же, как
и в задаче 540). Но тогда f (х) измерима и на всем сегменте [а; 6].
543. Если (х) — характеристическая функция множества
£(Х£(х) > a)=R, если а < 0 (здесь R— все пространство);
£, то
Е (У.Е (х) > а) = Е, если О < а < 1;
£(Х£(х) > а)=0, если а > 1.
Отсюда видно, что если Е— измеримое множество, то функция Х^(х) изме-
рима, а если Е—неизмеримое множество, то функция Х£(х) неизмерима.
544. Построим функцию /(х) следующим образом: пусть Е—измеримое
множество на прямой, обладающее тем свойством, что для любого интервала
(а, |3) мера множества Е fl (а; Р) отлична от нуля и мера множества СЕ f) (а;р)
также отлична от нуля (пример такого множества был построен при реше-
нии задачи 359). В качестве искомой функции f (х) возьмем функцию Х£ (х) (харак-
теристическую функцию множества £); она разрывна в любой точке х0 (так как
колебание функции на любом интервале, содержащем эту точку, равно 1).
Если изменить значения этой функции на множестве меры нуль, то колебание
на любом интервале может только увеличиться; следовательно, и после измене-
ния значений этой функции на каком угодно множестве меры нуль, она остается
разрывной в любой точке.
545. Обозначим [/ (х) ] ьа = ф (х). Ясно, что
£ (ф (х) > с) = £ при с < а;
£ (ф (х) > с) = £ (/ (х) > с) при а < с < t>;
£ (ф (х) > с) = 0 при с > Ь.
Так как f (х) измеримая функция, то множества £ (ф (х) > с) измеримы при
любом с. Значит, функция ф (х) измерима.
546. Пусть у = f (х) — произвольная функция; произведение X. (х) • / (х) почти
всюду равно нулю. Следовательно, функция X (х) • f (х) эквивалентна функции,
тождественно равной нулю, т. е. некоторой измеримой функции. Значит, сама
функция Х(х)-/(х) измерима.
547. Всякая монотонная функция измерима; а любая функция ограничен-
ной вариации есть разность двух монотонных; следовательно, она также изме-
рима.
199
548. Пусть Ех — интервал (а; |3) на осн Оу. Тогда (а; р) =
= (—Р) Г) (а; 4-оо). В силу измеримости функции f (х) прообразы бес-
конечных! интервалов (— оо; р) и (a; -f-oo) измеримы, а так как прообраз пере-
сечения двух множеств равен пересечению их прообразов (см. задачу 373), то
(«'• Р) = 1 (—оо; Р)Г)/-1 (а; + оо); следовательно, прообраз интервала —
измеримое множество.
Если Ej — произвольное открытое множество на осн Оу, то оно является
суммой счетной совокупности интервалов; чтобы доказать, что /—1 (Ef) — изме-
римое множество, надо использовать тот факт, что прообраз суммы множеств
равен сумме прообразов (см. зада-
чу 375).
Если Et — замкнутое множе-
ство, то Е1 = £\Е2, где Л— вся
ось Оу, а Е2 — некоторое открытое
множество; так как прообраз всей
прямой — измеримое множество, и
прообраз открытого множества Е2
также измерим, то измеримым являет-
ся и прообраз их разности (см. за-
дачу 374).
Если Ех — множество типа О,
или типа F , то прообраз Ег так-
же измерим (доказательство анало-
гично).
549. Прообраз измеримого мно-
жества не обязан быть измеримым
Приведем пример, подтверждаю-
щий это.
Рассмотрим функцию Кантора
у = т (х) (она бьиа построена в за-
даче 494). Как мы знаем, она моно-
тонна и непрерывна на отрезке Е=
=[0; 1] и отображает его на весь
отрезок Ег = [0; 1] оси Оу. При
этом канторово множество D С Е
отображается на множество всех
чисел отрезка Еъ, а множество CD —
на множество двоично-рациональных
чисел этого отрезка.
Построим ' теперь функцию
Ф (х) = х+т (х). Она строго возра-
стает и непрерывна; она отобража-
ет отрезок [0; I] оси Ох взаимно
однозначно на отрезок [0; 2] оси
Оу, при этом множество CD перей-
дет в множество меры 1 (так как
каждый интервал из CD перейдет в интервал такой же длины) и, следовательно,
множество D — в такое замкнутое подмножество F отрезка [0; 2] оси Оу,
мера которого также равна 1 (схематический график функции у = Ф (х)
см. на рис. 55).
Построим, наконец, функцию, обратную Ф (х) (обозначим ее х=ф(г/)).
Она непрерывна (следовательно, измерима) и отображает отрезок [0; 2] с Оу
взаимно однозначно на отрезок [0; 1 ] с Ох; при этом множество F (мера кото-
рого равна 1) переходит в D (рис. 56).
Множество F (как и всякое множество положительной меры) содержит
неизмеримое подмножество, например подмножество AczF. Образ ф (Л) этого
подмножества будет частью Канторова множества (т е. частью множества ф(Е)).
Но всякое подмножество множества меры нуль измеримо. Следовательно,
200
В = «э (Л) измеримо. Итак, множество В измеримо, тогда как его прообраз *
А = ср—1 (В) неизмерим.
550. Из того, что функция / (х) измерима на Е, и из того, что множество
£0, включенное в Е, измеримо, еще не следует измеримость множества f (£0).
Покажем это на примере.
Рассмотрим функцию Ф (х) = хфт (х), где т (х) — канторова функция (см. пре-
дыдущую задачу). Функция Ф (х) переводит (взаимно однозначно и непрерывно)
отрезок [0; 1]с0х и отрезок [0; 2J С Оу, а канторово множество D с Ох —
в некоторое подмножество F с: Оу, причем mF = 1. Пусть А — неизмеримое под-
множество множества F, а В = Ф—1 (Л) — прообраз множества Л. Тогда мно-
жество В измеримо (как часть канторова множества, которое имеет меру нуль).
Итак, В измеримо, а Л = Ф (В) неизмеримо. Функция, с помощью которой
осуществляется отображение, измерима (даже непрерывна).
551. Докажем измеримость функции y~f[q>(t)]. Пусть а — произвольное
число. Тогда множество тех х f- Ег, для которых выполнено неравенство у > а,
т. е. f (х) > а, является пересечением некоторого открытого множества Г
на оси Ох и множестве Ег **.
Для того чтобы найти теперь на оси t множество тех точек, где
у = f [ф (/)] > а, надо найти множество Л всех тех точек, для которых
ф (!) ( ГГ)£1, нли, что то же самое, множество тех точек, для которых
ф(1) £ Г, т. е. найти прообраз ср-1 (Г) множества Г. Но если ср — измеримая
функция, а Г — открытое множество, то множество ф— 1 (Г) измеримо (см. за-
дачу 548). Итак, для любого а, множество тех I, для которых f [ф (1) ] > а,
измеримо. Значит, функция f [ф(/)] измерима.
552. Из того, что функция х = ф (£) непрерывна на £ = [а; |3], а у = / (х) —
измеримая функция, еще не следует, что суперпозиция у = f [ф (/) ] измерима
на Е Приведем пример.
* В данном случае из равенства В = ф (Л) следует, что Л=тр— 1 (В)
(т. е. что Л является полным прообразом множества В), в силу взаимной одно-
значности функции х = ф (у).
** Если непрерывная функция у — f (х) задана на всей прямой, то прообра-
зом всякого открытого множества на оси Оу является открытое множество
на оси Ох (см. задачу 381). Если же область определения функции (множество
£1) отлична от всей прямой Ох, то тем же методом легко доказать, что про-
образ открытого множества является общей частью множества Ег и некоторого
открытого множества Г на оси Ох.
14 IQ. С. Очан 201
Пусть х=ф(О— функция, обратная к функции £ = х-|-т(х), где т (х)—
канторова функция, определенная на 0<х^1. Тогда х = ф (/)— непрерывная
на 0 <. / <С 2 функция, принимающая значения на отрезке 0 х 1 (схематиче-
ский график функции х=ф(/) приведен на рис. 56). При решении задачи 549
было показано, что на этом отрезке имеется измеримое множество В
(Вс[0; 1] с Ох), прообраз которого А — ф—1 (В) является неизмеримым
множеством на оси 01.
В качестве измеримой функции у = f (х) примем теперь характеристическую
функцию множества В. Она измерима, так как измеримо множество В.
Однако функция от I, у=/[ф(<)1. неизмерима. Для того чтобы в этом
убедиться, достаточно найти множество тех t, для которых у > 0; неравен-
ство у > 0 равносильно тому, что х £ В; а множество тех I, для которых
х £ В, является множеством А, т. е. неизмеримым множеством.
Итак, множество А тех точек t, для которых f [<р (/) ]' > 0, неизмеримо.
Значит, эта функция неизмерима.
553. Всякая функция ограниченной вариации на [«; Ь] ограничена и имеет
не более счетного множества точек разрыва на [«; 6J (следовательно, мера мно-
жества точек разрыва равна нулю). Этих условий достаточно для того, чтобы
функция была интегрируема по Риману на [«; £>].
554. Нет, не может. Если функция разрывна всюду на непустом открытом
множестве G с [а; 6], то множество ее точек разрыва имеет положительную
меру. Такая функция не может быть интегрируемой по Риману на отрезке [«; 6].
555. Из интегрируемости по Риману некоторой функции на любом отрезке
[а; р], где а < а < р < Ь, еще не вытекает интегрируемость этой функции
по всему отрезку [«; 6]. Примером может служить функция
Цх) =
1
— при х =^= 0,
X
0 при х = 0.
Она не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1] (в силу неограниченно-
сти), однако она интегрируема на любом отрезке [а; Р], где 0 С а < р < 1.
556. Если f (х) ограничена на [а; 6] и интегрируема по Риману на любом
отрезке [а; р], где а < а < р < Ь, то она интегрируема по Риману на всем
отрезке [а; 6]. Докажем это.
Так как функция интегрируема по Риману на любом отрезке [а; р],
то она, в частности, интегрируема на отрезках а+—; Ъ — — при п= 1, 2,
L п п |
3, . . .; следовательно, на каждом таком отрезке множество точек разрыва
имеет меру нуль. Обозначим через Еп множество точек разрыва функции
на | а+—; Ъ — — ; тогда множество всех точек разрыва на отрезке [«; Ь|
j /2 Т1 J
равно сумме всех Еп, к которой, может быть, добавлены точки а и b (или
одна из них). Но так как тЕп = 0 при любом п, то и т (J £ft = 0. Добавление
п
к множеству (J Еп одной или двух крайних точек отрезка [«; Ь] не изменит
п
меры этого множества. Итак, множество всех точек разрыва функции на отрезке
[о; 6] имеет меру нуль. Так как функция, по условию, ограничена на [«; 6],
то она интегрируема по Риману на |а; £>].
557. Пусть функции ф„ (х) интегрируемы по Риману на отрезке f«; 6],
и последовательность {фп(х)} равномерно сходится к f (х) на этом отрезке. До-
кажем, что f (х) интегрируема на{«; 6J.
а) Функция /(х) ограничена. Действительно, если последовательность
{фп(х)} равномерно сходится к f(x), то для любого е > 0, и, в частности, для
е= 1, найдется N такое, что для всех п > N имеет место:
|/(х) —фп(х) | < 1.
202
При п = N это неравенство сводится к следующему:
I f W — Фл’ (ж) I < 1
или
Фл- (*) — 1 < f (х) < W+1-
Так как функции Ф дг (х)—1 и ФдГ(х)-[-1 ограничены на [а; 6], то и f (х)
ограничена на [а; Ь].
б) Множество точек разрыва функции f (х) имеет меру нуль. Для того
чтобы это доказать, обозначим через Еп множество точек разрыва функции
фп (х); тогда тЕп = 0. Обозначим через А множество [о; 6J \ (J Еп\ мера
п
множества А равна b — а.
В каждой точке х0 € А все функции <р„ (х) непрерывны; но тогда и пре-
дельная функция f (х) непрерывна в точке х0 (в силу равномерной сходимости
последовательности). Значит, функция f (х) может быть разрывна только в точ-
ках множества (J Еп, т. е. только на множестве меры нуль.
п
Итак, функция f (х) ограничена на [а; 6] и мера множества ее точек раз-
рыва равна нулю. Следовательно, f (х) интегрируема по Риману на [а; Ь].
b ь
Равенство J f (х) dx = lim ( q>n (х) dx доказывается так же, как и анало-
О П ОО й
гичное равенство для равномерно сходящихся последовательностей непрерывных
функций.
558. Из того, что тЕ = 0, еще не следует, что Х.£ (х) интегрируема
по Риману. Пример: Если Е—множество рациональных чисел на [0; 1], то
тЕ = 0, однако Х.£ (х) не интегрируема на [0; 1] (множество точек разрыва
этой функции совпадает со всем отрезком [0; 1]).
559. Из того, что Е — нигде не плотное множество на [«; 6], еще не сле-
дует, что X£ (х) интегрируема по Риману на [а; Ь]. Пример. Пусть Е —
1
совершенное нигде не плотное множество меры —.
расположенное на отрезке
[0; I]. Тогда ХЕ (х) разрывна во всех точках множества Е, т. е. на множе-
стве положительной меры; следовательно, функция X g (х) не интегрируема
по Риману на [0; 1].
560. Из того, что Е — нигде не плотное множество меры нуль, еще
не следует, что %£ (х) интегрируема по Риману. Пример. Пусть F — совер-
шенное нигде не плотное множество меры — на отрезке (0; 1] и Е — множе-
ство концов всех смежных интервалов. Тогда Е нигде не плотное множество
меры нуль (Е — счетное множество). Однако характеристическая функция Х^(х)
разрывна не только в точках множества Е, но и всюду на F, т. е. на множе-
стве положительной меры. Следовательно, она не интегрируема по Риману.
561. Да, интегрируема. Это следует из того, что все граничные точки
замкнутого множества включаются в это множество. Следовательно, мера мно-
жества граничных точек множества Е равна нулю. А характеристическая функ-
ция %Е (х) разрывна только в граничных точках множества Е.
562. Пусть Е—множество на [«; 5], замыкание которого имеет меру нуль;
функция Xjj(x) разрывна во всех точках множества Е и непрерывна во всех
точках дополнения [д; b] \ Е. Следовательно, множество точек разрыва функ-
ции ХЕ (х) имеет меру нуль. Так как эта функция, кроме того, ограничена
на [«; 6], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.
563. Функции примеров 397, 398 (при сл-*0), 408 интегрируемы по Риману
иа отрезке [0; 1]; они все ограничены; функция примера 398 (при ся^0),
14*
203
кроме того, непрерывна; для функций из примеров 395 и 397 множество точек
разрыва — канторово множество, т. е. множество меры нуль; для функции при-
мера 408 множество точек разрыва также имеет меру нуль (множество рацио-
нальных чисел).
Функция примера 403 не интегрируема по Риману на [0; 1]: она ограни-
чена, но множество ее точек разрыва — полусегмент (0; 1] — имеет положи-
тельную меру.
564. Все эти функции ограничены и измеримы на отрезке [0; 1] и, следова-'
тельно, интегрируемы по Лебегу. Вычислим их интегралы:
а) для вычисления интеграла от функции из примера 395 разобьем область
интегрирования на два непересекающихся множества: [0; 1] = D (J CD, где
D—канторово множество, a CD-—дополнение к нему до всего отрезка
[0; 1]. Используя аддитивность интеграла Лебега, получим:
1
(L) [ f (х) dx = (L) [ f (х) dx+(L) f (х) dx
b b cd
Интеграл по множеству D равен нулю, так как tnD = 0. На CD функция
постоянна; поэтому
Рис. 57
(L) (х) dx = 2 • mCD = 2 • 1=2.
Следовательно,
1
(L) [ f (х) dx = 0+ 2 = 2 .
б
б) Для вычисления интеграла от
функции задачи 398 (при сп->0) разобьем
область интегрирования на счетную со-
вокупность попарно не пересекающихся
множеств:
[0, 1] = D U (of, ₽,) U («2; ₽2) (J
U U (ад p„)U
где D — канторово множество а
(а„; р„)— его смежные интервалы, зану-
мерованные в порядке убывания их
длин, т. е. (ах; Pi) — интервал длины —;
О
(а2; Ра) и (а3; Р3) — интервалы длины
—; (rz4; Р4), .... (а,; ₽,) —интер-
валы длины
1
—, и т. д. При
этом интервалы одинаковой длины мы нумеруем
слева направо. Используя полную аддитивность интеграла Лебега, получим:
(Ь) f f(x)dx = (L'f f(x)dx+ У, (I) J f (x) dx.
0 D n = 1 an
Так как mD = 0, то первый интеграл равен нулю. Остальные интегралы вычи-
сляются легко: на каждом интервале (ад рп) функция интегрируема по Риману
и поэтому
(L) j f (х) dx = (R) I f (x) dx.
Cfj
2Q4;
Интегралы Римана в данном случае равны площадям соответствующих треуголь-
ников (см. график функции—рис. 57). Так, например:
1
Pi С1"Г
(R) f f (х) dx =------
a. 2
1
03 Q2
(Я) f f W dx = --------
a, 2
1
Ci----
3s
2
₽7
(R)j f{x)dx =
a,
Суммируя, получим:
1
гг C2' 3®
(R) J f (x) dx =-------------
a3 2
1
₽4 c«* 33
1
с»-----
8 34 .
(Я) f f (x) dx =
a4
₽s
(Л) J f (x) dx =
Cj c2 , C3
’+32 + 3®
Ct
3s
_£l . _£s
з3 34
Ряд, стоящий в правой части равенства, сходится. Вычислив его сумму
(с требуемой степенью точности), мы найдем интеграл Лебега от данной функции.
Легко видеть, что функция f (х), построенная в задаче 398, интегрируема
по Лебегу не только тогда, когда сп-*0, но и тогда, когда {сл| —какая угодно
ограниченная последовательность. Выведенная выше формула для вычисления ин-
теграла остается в силе и в этом случае (в частности, для функции примера 397).
в) Функция f (х) из задачи 403 эквивалентна функции — х®. Поэтому:
1 1 1. !
(L) f (х) dx = (L) J (— х!) dx = (R) | (— х2) dx = — —.
do ’o'*
г) Функция f (х) из задачи 408 эквивалентна функции <р(х)=0. Поэтому
1 1
(Ь) f f (x)dx=(L)[0-dx=0.
о b
565. Разобьем область интегрирования на попарно не пересекающиеся мно-
жества D, Д2, -• , Д&> • гДе О —канторово множество, Ak — сумма
всех смежных интервалов А-го ранга (т. е. интервалов длины —г-). Используя
3й /
полную аддитивность интеграла Лебега, получим:
1 оо
(L)|/(x)dx = (L) f/(x)dx+ У (L) Г f(x)dx.
b b fe = i Ak
Так как mD=0, то (L) J / (x) dx—0. На каждом из остальных множеств функ-
D
ция постоянна. Поэтому для любого номера k имеем:
(£) Г f (х) dx = —г-тАь = ——-2*— 1--—=—Ц~.
L 2k 3fe 2-3fe
Ak
Следовательно,
1 “11
(£)] /(x) dx= 2
0 k=l «
205
566. Функция, рассмотренная в предыдущей задаче, интегрируема по Ри-
ману на отрезке [0; 1], так как она ограничена на этом отрезке и множеств
ее точек разрыва (множество D) имеет меру нуль. Интеграл Римана от этой
функции равен вычисленному выше интегралу Лебега. Следовательно,
г 1
(Я) [ f (х) dx = ~~. '
о 4
567. Эта функция не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1] (она раз-
рывна на множестве положительной меры — ее точками разрыва являются все
точки отрезка [0; 1], кроме точки х=1). По Лебегу, эта функция интегриру-
ема, так как она измерима и ограничена. Для вычисления интеграла Лебега
от f(x), заменим подинтегральную функцию эквивалентной ей функцией
<р (х)=х3:
1 ! 1
(L) f f (х) dx=(L) j <р (х) dx=(L) f xsdx.
ООО
Но функция <p(x)=xs интегрируема по Риману на [0; 1]; поэтому
1 1 1
(£)J x3dx=(P) j xsdx=—.
о 0 4
г1 1
Итак, окончательно, (L) | f (х) dx = —.
о 4
568. Функция Хд (х) измерима и ограничена; следовательно, она интегри-
руема по Лебегу. Для вычисления ее интеграла, разобьем, [с; fc] На два мно-
жества Е и СЕ (где С£=[с; fcj\£). Тогда:
₽
j Хд (х) dx= (х) rfx + j" Хд (х) dx=mE+0=mE.
а Е СЕ
569. Функция / (х) не интегрируема по Риману (она разрывна на множе-
стве Е положительной меры), но интегрируема по Лебегу. Вычислим ее инте-
грал на [0; 1]:
1 00
(L) J f (х) dx = (L) J f (x) dx + 2 J f W dx.
0 E n = 1 an
На множестве E функция постоянна (равна нулю); поэтому (L) f f (х) dx=
h
=0-w£=0. На отрезках (an; р,г) функция интегрируема по Риману; поэтому
рП Рп---- «П
(L)J f(x) dx = (/?)] f(x)dx= — ”-l.
an
Итак:
(£) j f(x) dx ==
0 n = I £
CO
Ho (P„ — an) — это сумма длин смежных интервалов; она равна мере мно-
п = 1
жества СЕ (т. е. —Следовательно, окончательно
' 1
(L) J f (х) dx = —.
О 4
206
570. Разобьем Е на два множества: А — множество тех точек, где f(x) > с,
и В — множество тех точек, где 0 < f (х) < с. Тогда
(I) f / (х) dx =(L) f f (x) dx+(L) J f (x) dx > (L) J f (x) dx,
E A В A
так как (L) J /(x) dx > 0 (в силу неотрицательности подинтегральной функции).
в
На множестве А имеет место f (х) > с; мера А, по условию, равна а. Поэтому
(L) [ f (х) dx > (L) [ f(x) dx > c-inA = с-а.
Е А
571. Данная функция почти всюду на [0; 1] равна Xs. Следовательно,
интегралы Лебега от / (х) и от Xs равны друг другу; поэтому
1 1 1 1
(L) j f (х) dx = (L) ( xsdx = (Я) J x3dx = —.
0 bo4
572. Обозначим смежные интервалы канторова множества, расположенные
в порядке убывания их длин, символами (ап; рп). Тогда
1 , со
(L) f f (х) dx = (L) j f (x) dx + (L) J f (x) dx.
S b n = 1 w an
Интеграл no D равен нулю (так как mD=0); интегралы же по отрезкам
(ап; Р«) могут быть вычислены как интегралы Римана (следовательно, каждый
из них равен площади соответствующего полукруга): >
, С ЭТ(₽п —а„)2
(L) \f(x)dx = ’
6 П=1 8
1 1
Но для канторова множества имеем: 61—0!=-—; 62 — = ₽з — «в = ~;
3 З2
= Рт а, = ; Р3 — а8 — ... — Pig а15 = ; и т. д.
3 3*
Pa — о4 —
Поэтому
1 п Г 1 2 22 2П —1
(L) j W dx - g [ 3S 34 + 36 + * ’ + 32П
Л 1 Л
=Т'7=56‘
и
573. Разобьем отрезок [0; 1] на сумму двух отрезков:
на первом из них функция f(x) эквивалентна функции х3, на втором — функ-
ции Xs; поэтому
I ,? ’ 1 /1 1 \ 35
P(x)dx = J .
з
574. Множество Е является суммой сегментов
1±. А]. ГА. А|. ГА А|. . Г—J А.].
[ 3 ’ 2 ]’ [ 5 ’ 4 ]* [ 7 ’ 6 ‘ " [2«+1’ 2п ]’ " ‘ ’’
а тдкже множества меры 0 (двух точек 0 и 1). На каждом из этих сегмен-
тов функция интегрируема по Риману; поэтому
207
1 1 1
2 4 2n
[ f (x) dx = | 3xsdx+ J 3x3c!x-(- . . . + [ 3x3dx-(- . . . =
fe 1 1 i
з 5 2n+l
1111 1 1 ,
23~ 3s + 4! “ 5s+ ' ‘ + (2n)3 (2n-(-l)3 ’’•••
Этот ряд абсолютно сходится, и его сумма с точностью до 0,01 равна 0,10.
575. .L
1 2 1
(L) J / (х) dx - J sin Л xdx+ J cos л xdx = 0.
0 0 J_
2
576. Функция Pi (х) является характеристической функцией для множества
Ег, являющегося правой половиной сегмента [0; 1]; функция р2 (х) — харак-
теристическая функция множества £2> являющегося суммой сегментов,
Г 1 j *1 з 1
I—; — I (J | ; 1J ; р3 (х)— характеристическая функция суммы сегментов
II 11 Г 3 11 Г 5 31 Г 7 1
| 8 ' Т ] U [Р 2 ] U [ 8 ’ 4 ] U [ 8 ’ ]
(множества £3), и т. д. (см. рис. 58).
208
Далее, произведение ff (х) Ру (х) является характеристической функцией
множества Е{ П Ej. В частности, [₽; (х) ]2— характеристическая функция мно-
жества £/.
Легко видеть, что все множества £г- имеют меру -у-, а множества Е( Г] £.
X 9
1
имеют меру — (при i =f= j). Поэтому
1 1
f Pi W • P; (x) dx = m (E{ p £y) = — (при i =£ /).
0 4
Кроме того,
Г о 1
J [Pi (x) F dx = mEi = —
о 2
>. 1
I Pz (x) dx = mEt =
о 2
577. Функции tpfe(x) легко выражаются через функции Pfe (х), рассмотрен-
ные в прошлой задаче: ср^ (х)=2р^ (х) •— 1. Поэтому
1 1
[ Ф/ (х) фу (х) dx=J [2 pz (х) — 1]- [Эру (х) — 1] dx=0
о о
при i /. Аналогично
1
[ [ф/ (*) ]М% = 1.
о
578. Производная f (х) измерима на отрезке [а; Ь] (см. задачу 542),
и, кроме того, -по условию, ограничена: следовательно, f (х) интегрируема
по Лебегу на отрезке [а; 6].
579. Из того, что fn (х) > 0 всюду на £ и что j fn (х) dx -> 0 при п оо,
Е
еще не следует, что fn (х) 0 при п -> со для всех или хотя бы для почти
всех х £ £. Приведем пример.
Заметим прежде всего, что любое натуральное число « может быть пред-
ставлено, и притом единственным образом, в виде n=2fe-(-z (где Л=0, 1,
2, . .; 0< i< 2k—1). Зададим теперь последовательность функций {fn(x) };
пусть для п== 2*4-1
, ' , г+1
1 при < х <
fn (х) --
О в остальных точках сегмента [0; 1].
1 1
Ясно, что Г fn (х) dx = (см. рис. 59).
о 2
Так как при п -> оо k также стремится к бесконечности, то
1
lim J fn (х) dx=0.
П ->OOQ
Однако {fa (х)} не стремится к нулю нн в одной точке сегмента [0; lj.
209
580. Этот результат можно было бы легко получить из теоремы о том, что
функция от с:
С
(L) J f (х) dx
а
имеет производную для почти всех с (Да; £>], и эта производная почти всюду
равна значению подинтегральной функции в точке с. Из равенства
С
J f (х) dx = 0
а
вытекает, что производные от обеих частей равенства равны друг другу,
т. е. для почти всех с (Да; р] имеет место равенство f(c)=O.
Однако это можно было бы доказать и не прибегая к теореме о произ-
водной от интеграла Лебега. Проведем это доказательство.
С •
Пусть J f (х) dx=0 для любого с (Да; 6]. Докажем, что интеграл от f (х)
а
.равен нулю по любому измеримому множеству £ с [о; 6].
а) Для любого интервала (а; р) с [о; 6] имеет место f f (х) dx = 0.
(а; ₽)
Действительно,
₽ а
f f (х) dx = Г f (х) dx — I f (x) dx = 0.
(a; ₽) a a
б) Для любого открытого множества G cz [a; t] интервал от f (x) по мно-
жеству G равен нулю; это следует из того, что G является суммой конечного
или счетного числа непересекающихся интервалов (а интеграл по каждому
интервалу, как доказано выше, равен нулю).
в) Для любого замкнутого множества F с [о; 6] имеет место:
| f (х) dx = 0;
F
если замкнутое множество F содержит оба конца сегмента [с; Ь], то это следует
из того, что такое замкнутое множество F есть разность между всем сегмен-
том [a; 6] и некоторым открытым множеством G с [a; Д (а интегралы по сег-
менту [a; Д и по множеству G равны нулю); если же замкнутое множество F
210
не содержит одного или обоих концов сегмента [с; б], то добавив к F одну или
две точки, мы не изменим интеграла по этому множеству. Следовательно, и в
этом случае J f(x)dx=0.
F
г) Интеграл по любому множеству М типа Fo равен нулю. Действительно,
если М — множество типа Fa , то A1=F1(J£2 (J • • • UFfeU--•, где Fh — зам-
кнутые множества. Не ограничивая общности, можно считать, что F^F^c- --с
FfeC--- (см. начало решения задачи 409). Но тогда М можно представить,
в виде суммы попарно не пересекающихся множеств следующим образом:
M=Fl(]{Fi\F1) {J {FS\F^ (]{] {Fk+i\Fk)(j--- (I)
Интеграл по замкнутому множеству Ft равен нулю. Интегралы по множествам,
Fk+l—Fk также равны нулю, так как
J f(x)dx= J f (х) dx— У f(x)dx=Q.
Fn+r'xFk pk+l Fk
Используя теперь полную аддитивность интеграла Лебега, мы заключаем, на
основании равенства (I), что \f(x)dx=0.
м
д) Интеграл по любому измеримому множеству Е с [а; Ь] от функции f (х)
равен нулю. Это следует из того, что для всякого измеримого Е существует
такое множество А типа Fa, включающееся в £, что /п(£\Д)=0. Тогда
£ = A U (£\ А) и
[ f (х) dx = у f (х) dx+ f f (x) dx.
e A Е\Л
Но оба интеграла в правой части равенства равны нулю: первый, так как А —
множество типа Fa, второй, так как £\А—множество меры нуль. Следова-
тельно, [ f (х) dx=0.
Е
Рассмотрим теперь множество £+G[c; 61 всех тех точек, где выполнено не-
равенство /(х)>0. Это множество измеримо; следовательно, [ f(x)dx—Q. Но
если интеграл от неотрицательной функции на не-
котором множестве равен нулю, то эта функция
равна нулю почти всюду на этом множестве. Итак,
почти всюду на Е+ имеет место f (х)=0; значит,
f (х) > 0 только на множестве меры нуль.
Аналогично можно доказать (если рассматривать
множество £_ тех точек отрезка [о; 6], где
/(х)'0) что f (х) < 0 только на множестве меры
нуль.
Следовательно, f (х) = 0 почти всюду на отрезке
[а-, 6].
581. Для вычисления интеграла от функции
f(x) =~i—------ построим ее срезку числом 6>1
7x-i
{см. рис. 60)
t при 1<х<1+—;
£
1 1
------ при 1+--<х<2.
> ' X — 1
211
(Ь)
Вычислим интеграл от срезки:
Чтобы вычислить интеграл
(при
0-) J -
[1; 2]
582. Вычисляя аналогично
_ Д _L
“ 2 — 2/2 ‘
от f(x), надо найти предел интеграла от срезки
(3 1 \ з
— — — = —
2 2/2/ 2
С 1
предыдущему, найдем: (L) I —с/х=+оа;слс-
J х2
! Г0; 1]
довательно, функция, —- не суммируема на отрезке [0; 1].
583. Функция f(x) эквивалентна функции ср (х), равной — на всем от-
]/~х
резке [0; И; следовательно,
f (х) dx =
tp (х) dx =
~A=dx.
[0; Ч [о; и
Вычисляя последний интеграл, находим, что он
(L) J f(x)dx=^~.
ро: 1] j z
584. Здесь f (х) эквивалентна функции---—; следовательно,
[0; 1]
3
равен —
Следовательно,
(L) J f(x)dx=
[0; 1]
1
Г—!— Jx. Последний интеграл легко вычисляется (он равен 2). Следо-
о
вательно, (L) J f (х) dx = 2.
[0; 1]
585. Если f (х)— ограничена и измерима на множестве Е, то [/(х)]10 и
| / (х) | также ограничены и измеримы на этом множестве, и, следовательно,
интегрируемы. Функция -------- может оказаться и неограниченной, а неограни-
ченная функция может быть и неинтегрируемой; например, функция f (х) = х2
ограничена и измерима иа Е = [0, 1], тогда как функция — неограничена и
неинтегрируема на этом отрезке (см. задачу 582).
586. Найдем срезку функции f (х) числом t>0:
(0 для xf D,
для x^Efe(l<i<n),
t для х £ Мп,
Л
212
I 2ft-4
где Ek—сумма смежных интервалов ранга k очевидно, mEk=—т-l п____________це-
\ 3й )'
лая часть числа £, Мп — сумма всех смежных интервалов рангов >п (мера мно-
жества Мп равна —j.
Вычислим интеграл от срезки:
1 п
f [/«]zdx= f[f(x)]fdx+ 2 f kdx+ f =
° Ь Ek Mn
n
k=\
Чтобы вычислить интеграл от f (х), надо найти предел интеграла от срезки при
/2\» /2\«
t Заметим, что при г >-|-со, п->4-оо; при этом £1— < (n-f-l)-(— ;
\ 3 / \ 3 /
так как предел последнего выражения равен нулю (прн п~>4-оо), то и
[ 2 \п
£• —I ->0 при £->4-00 Следовательно,
1 1 k • 2й-1
Г/(х)йх= lim Г [f (x)]zdx= lim | У —
n-*-co \ k=l
2\fe-i
+lim
IV1
3й = 3
й=1 А-=1
Найти сумму последнего ряда очень легко следующим образом: обозначим сумму
ОО
более общего ряда £ k -qk~r через ф (q)
т. e.
ф(?) =
k=\
Этот ряд является степенным; следовательно, его можно интегрировать на лю-
бом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости, в частности, на интервале
(0; 9). гДе 1?1<1- Поэтому
Q ОО
рр(<7) dq — ^qh,
0 k=l
? 1
Ф (9) dq = 1----•
0 1 - 9 j
Беря теперь производную от обеих частей равенства, получим: (р (9) = —--------- .
СО |
Следовательно, У! k-qk~~'=-----------. В частности,
(1 - 9)2
2\й—1
Vk.
4J
k=i
1
9.
213
Итак, окончательно:
1 т-
1 1 Ж-'Ч / 9 \Й—1 1
P(x)£Zx=?S%) =Т9=3-
fe=i
587. По условию, Еь= E(k<f (х) <k+V). Очевидно, имеет место неравен-
ство:
k-mEk<, J f (х) dx<c(k+l)mEk. (1)
Ek
СО
Докажем теперь необходимость и достаточность сходимости ряда £ k • mEk для
fe=0
суммируемости неотрицательной функции f(x).
ОО
а) Необходимость. Пусть ряд £ k-mEk расходится. Для любого
k—o
натурального числа N справедливы неравенства
N—1 N—1
J [/ (x)]jydx> У, У f (X) dx^^k-mEk.
Е Л=0 Ek k=0
N— 1
Так как £ k-tnEk стремится к бесконечности (при N->oo), то и | [/(x)]wdx-> оо
fe=o Б
при N->-oo; следоиательно, функция /(х) несуммируема на множестве Е.
СО
б) Достаточность. Пусть ряд £ k-\nEk сходится; тогда остаток ряда
k~Q
£ k-mEk стремится к нулю при ЛЛ-»со.
k=N
Имеет место равенство:
/ ОО \ N 1
У[/ИИ = Д.т U +2 \f{x)dx-,
Е \k=N ' k=0 Ek
принимая во внимание неравенство (1), получим:
г / °0 \ /'t'1
(x)Jw*c и £/г)+ У (Й+1) mEk. (2)
< ‘е k=N 1 k=0
При N->co первое слагаемое в правой части неравенства стремится к нулю (так
СО \ ОО СО со
как N-m ( (J Ek\=N- У, tnEk< У k-mEk, а У k-mEk-^Q при
' k=N ' k=N k=N k=N
ОО
Л’-^О). Далее, ряд £ (k+l)mEk сходится (так как этот ряд может быть раз-
k—о
оо оо \
бит на два сходящихся ряда: £ k-mEk и £ mEk .
*=о fe=o )
Следовательно, выражение в правой части неравенства (2) стремится к ко-
ОО
печному числу £ (^+l)m£fe. Но тогда интеграл у [/ (x)]Ndx имеет конечный
А=° -
предел при N-^oo (он возрастает при возрастании и, как мы доказали, он
ограничен). Итак, функция / (х) суммируема на множестве Е.
214
588. Используя обозначения предыдущей задачи, легко убедиться в том
что для любого натурального числа k имеет место равенство:
Ek = Ek+i UЕ^g(J . . . ,
откуда (так как EL[}Ej = 0 при i^=j)
mEk=mEk+mEk+l+mEk+2+ ...;
в частности, при k = 1, 2, . . имеем:
тЕ^ — тЕ^-у тЕ%—I—тЕ^ ~ЕтЕр~у ...
тЕ%= тЕ2ЕтЕ3-у- • +mEk+ ...
— mEk+mEk+1+ . • -
Суммируя почленно эти равенства, получим:
со
2 тЕь = m£1+2m£a-p3«z£3 Д • • • +fe-m£fe+
Й=1
Итак, сходимость ряда £ тЕ/, равносильна сходимости
k
из результатов предыдущей задачи вытекает, что для
тельной функции f (х) необходимо и достаточно,
со
= ^k-mEk.
fe=i
ряда Е k*mEk. Но тогда
k
суммируемости неотрица-
чтобы ряд Sm£fe схо-
k
дился.
589. Пусть f (х) — ограниченная функция, причем sup f (х) = М\
[0; а]
inf / (х) = т. Разобьем произвольным образом отрезок [т; Мj оси Оу на части;
[0; а]
легко убедиться, что интегральная сумма Лебега для функции f (х) на [0; а],
соответствующая этому разбиению, равна интегральной сумме Лебега для f (kx)
на 0; — I (при том же разбиении отрезка [т; Д4]). Из равенства интегральных
L J
сумм вытекает равенство интегралов; следовательно, для любой ограниченной
измеримой функции / (х) справедливо равенство:
а
a k
[’ f (х) dx=(7 (kx) dx.
о о
(1)
Если f (х) неограничена на [0; а[ и неотрицательна, то мы пишем сна-
чала равенство (1) для срезок [/ (x)]z и [/ (kx)]t, а затем переходим к пределу
при i-s-oo.
Если же [ (х) — знакопеременная функция, неограниченная на [0; а], то мы
пишем сначала равенства (1) для функций Д. (х) и (х), а затем почленно
вычитаем из равенства (1), написанного для /+ (х), аналогичное равенство для
функции f_(x). 1
590. Заметим прежде всего, что если функция —cos— не суммируема на
х х
[0; 11 при каком-либо Л>0, то она не суммируема на этом отрезке и при лю-
бом другом k>0 (это вытекает из результатов предыдущей задачи).
1 2
Докажем, что —cos — — несуммируемая функция. Если бы она была сум-
215
мируема, то была бы суммируема и функция — cos —; но тогда была бы сумми-
11 I 1 1
руема и функция — cos2 —, потому что — cos2 —
XX | X X
2 11 11
cos— = cos2— —sin2— и, следовательно, —sin2 — =
< — cos — .А так как
x x
1 112
— cos2-— cos —, TO
X X X
отсюда вытекало бы, что и функция
1111
мости функций — sin2 — и — cos2 —
X X X X
X XX XXX
1 1
— sin2— суммируема. Но из суммируе-
с ледова ла бы суммируемость их суммы,
1
т. е. функции —, что негерно.
х
Итак, предположение, что функция
1 2
— cos — суммируема, привело к проти-
х х
воречию. Значит, функция —cos— несуммируема. Но тогда и любая функция
1 k
вида —cos— также несуммируема.
х х
591. Пусть %£1(х), ZCz(x), ..., 7.Ell (х)— характеристические функции
множеств £ъ Е2, •••, Еп\ рассмотрим интеграл / от суммы этих функций:
ь
I = j [Xjj, (*)+ — +Хеп (*)1 dx =
a
b b
= { 7.E, (X) dx+ • - + { %Eel (x) dx = тЕг+ +mEn.
a a
(1)
Заметим теперь, что (х)£Хдг (x)+ (x)>q в любой точке х£fa; Ь]
(это следует из того, что любая точка х £ [а; Ь] принадлежит по меньшей мере q
из заданных множеств £г-; поэтому по меньшей мере q слагаемых суммы (х)+
+Х£ W+ ••• Ч-ХепМ в точке х равны 1). Поэтому
ь
I>^qdx=q(b—а). (2)
а '
Сравнивая (1) и (2), получаем:
пг£1+«£2+ ••• +mEn>q(b— а). (3)
q (b — а) п
Если для всех i было бы тЕ:<---------, то отсюда вытекало бы И тЕ; <
п 1=1
<q(b—а), что противоречит неравенству (3). Итак, хотя бы для одного из £(-
имеет место
р 9(Ь — а)
п
592. Нет, это утверждение неверно. Приведем пример. Пусть
( 2п при 2_”<х<2—"+1,
f (х) = f .
(О в остальных точках отрезка [0; 1].
1
Здесь (х) ->0 (при п—оо) для любой точки х£ [0; If. Однако J fn (х) dx = l
о
216
для любого п и, следовательно, J fn (х) dx не стремится к нулю при п->оо.
о
Заметим, однако, что если в условии задачи дополнительно потребовать,
чтобы все fn (х) были ограничены одним и тем же числом С (т. е. | fn (х) | <С
для всех xQE и всех номеров п), то [ fn W dx^O при п-*0.
Е
593. Пусть функция / (х) неотрицательна на [а; Ь] и суммируема по Лебе-
гу. По условию, единственной точкой разрыва функции f (х) является точка а.
Докажем, что
ъ ь
lim Г f (х) dx= Г / (х) dx, (1)
Ja
где интеграл в правой части
рим разность
есть интеграл Лебега. Для доказательства рассмот-
ь ь
J f (х) dx — J f (x) dx
a t
(2)
и докажем, что она может быть сделана сколько угодно малой по модулю
(при t достаточно близком к а). Пусть е > 0 — произвольное положительное
ь ь. 8
число, a N—такое число, что J f (х) dx — j [/ (x)]^dx<—. Преобразуем раз-
а a 2
кость (2) следующим образом:
ь Ь t
§f(x)dx — §f(x)dx = J/(x)dx
a t a
t t
= .[(/ W — If Wk) dx + f [f (x)]Ndx ; (3)
a a
под знаком каждого из интегралов в последней части неравенства стоит неотри-
цательная функция; поэтому здесь знаки модуля могут быть отброшены; оценим
теперь каждый интеграл в отдельности:
/ b b ь е
J (/W — [/ WW dx<J (f (X) —If (X)k) dx = f f (X) dx — [ [/ (x)kdx < —;
а а а а t f [/—а). а
Но N (t — а) < 8 — при 8 (4)
Итак, для всех t, удовлетворяющих неравенству (4), имеет место, на основании
равенства (3):
ь ь
\ f(x) dx — J f (x) dx <8,
a i
b b
откуда следует, что lim [ f (x) dx = \f (x) dx. Следовательно, для неотрица-
] Ja
тельной суммируемой функции несобственный интеграл Коши равен интегралу
Лебега.
Если же суммируемая функция f (х) принимает на [о; Ь] значения разных
знаков и непрерывна всюду на [о; Ь|, кроме точки а, то мы представляем ее
в следующем виде:
f (X) = f+ (X) — f_ (х).
15 КЗ. С. Очан
217
Функции f+ (х) и f— (х) обе непрерывны на полусегменте (а; Ь] и неотрица-
тельны. Поэтому
ь ь ь
(£) J f (х) dx = (L) J f+ (х) dx — (L) J /_ (x) dx =
a a a
b b b
= lim Г (x) dx — lim Г f_ (x) dx = lim j f (x) dx.
t—>q—}—0
Итак, для любой (в том числе и знакопеременной) суммируемой функции /(х),
непрерывной всюду на [а; И. кроме точки с, несобственный интеграл Коши
равен интегралу Лебега.
594. Из существования несобственного интеграла Коши от функции f (х) на
отрезке [с; Ь] еще не следует суммируемость этой функции на [а; Ь]. Вот
пример.
Пусть
— cos — на (0; 1],
х х
0 при х=0.
Эта функция интегрируема по Коши на [0; 1]. Действительно:
t J-co
J’ cos г f cos г
----------dz = I dz,
г J г
1 1
-j-со
fcos 2
---------dz, как известно из анализа, существует.
г
1
Что же касается интеграла Лебега от функции —cos— на участке [0; 1],
то он не существует (см. решение задачи 590).
595. Если функция f (х) суммируема на множестве Е по Лебегу, то на
этом множестве суммируемы также положительная и отрицательная части этой
функции:
. ,, I f (*) \+f W r . . I/WI — fix)
f+ (x) =------------; /- (X) =-----------------.
Так как /4 (x)>0, —(x)<0, f (x) = (x)—f— (x), то для любого £>0
справедливо равенство
[f (*)Lf = [f+ (*)]!_,+ [- f - ix) ]Lf,
откуда
[ [/ W1L( dx =[ [f+ lx)]l_tdx+1"[— /_(x)]Lz dx.
E E E
218
При С>ос, интегралы в правой части равенства стремятся к соответствующим
интегралам Лебега (так как функция (x)]L? является срезкой неотрицатель-
ной функции f+(х) числом t, и аналогично — функция [ — /—(x)]f_z). Итак,
lim J [ f (x)]f_z dx = lim C [/> (x)]f_z dx+lim f [—f_ (x)]Lz dx =
/-OOjP t^OO g t-t-CCg-
= (7+ (x) dx+ [ — f_(x) dx = ( [/+ (x) — /_(x)] dx = (L) J f (x) dx.
E Ё E E
Следовательно, функция f (x) Q-интегрируема, и ее Q-интеграл равен интегралу
Лебега.
596. Примером может служить функция f (х) =—; она Q-интегрируема
на (— 1; 1), и ее Q-интеграл равен нулю; однако по Лебегу эта функция не
суммируема
597. Это следует из более общего утверждения, содержащегося в за-
даче 612.
598. Это следует из того, что для любой нечетной функции f(x), заданной
а
на отрезке {—а; а], имеет место равенство j |7(x)]£zdx = 0 для любых £>0.
—а
Следовательно, это равенство сохраняется и в пределе при /->--|-оо, откуда вы-
текает, что Q-интеграл функции /(х) на отрезке [—а; а] существует и равен
нулю.
599. Нет, неверно. Так, например, функция f (х) =— Q-интегрируема на
Е = [-1: И, но не Q-интегрируема на Ег = (0; 1]. Если бы оиа была Q-интег-
рируема на (0; 1], то, в силу ее неотрицательности на этом множестве, она
была бы суммируема по Лебегу (см. задачу 597), что, как мы знаем,
неверно.
600. Да, это утверждение справедливо. При с = 0 оно очевидно. Проверим
его при с>0 (при с<0 оно проверяется аналогично).
Пусть / (х) — измеримая функция, Q-интегрируемая на Е. Докажем, что
функция cf (х) также Q-интегрируема на Е. Легко проверяется, что для любого
£>0 и для любого х(-Е имеет место равенство
[с/(х)]!_, = с[Нх)Г 2
с *
откуда
t
j'[cAx)]Lzdx = cJ’[/(x)]c tdx.
Е Е — с
Переходя в этом равенстве к пределу при t->co, получим
(Q) j cf (х) dx= c-(Q) J7(x)dx.
Ё Е
15*
219
601. Это утверждение неверно. Вот соответствующий пример. Пусть
Дх) =
gM =
— —— при — 1 <0,
1
— при 0 < х < 1,
х2
0 в остальных точках отрезка [— 1; 2];
— — при —1<х<0,
-—Ц— при 1<х<2,
(х — I)2
0 в остальных точках отрезка [—1; 2].
Q-интегралы от функций f (х) и g (х) по отрезку [—1; 2] существуют и равны
нулю. Однако Q-интеграл от суммы этих функций, т. е. от функции
2
— х2
1
f(x)+g(x)= j —
X2
при — lex <0,
(х-1)2
при 0<х<1,
при 1 <х<2
не существует. Для того чтобы в этом убедиться, вычислим интеграл от
Последнее выражение стремится к бесконечности прн £->-|-со; следовательно,
( [/ W + g (x)]^_tdx не имеет конечного предела при 1->со; значит, функция
—1
f(x)+g(x) не Q-интегрируема на отрезке [—1; 2].
602. Это утверждение также неверно. Покажем это на примере. Пусть
Г(*) =
— при —1<х<0 и при 0<х<1,
0 в остальных точках отрезка [— 1; 2].
g (х) =
х
1
X--- 1
0
при — 1<х<0,
при 1 <х^ 2,
в остальных точках отрезка [— 1; 2].
220
2 2 2
Тогда (Q) J f (x) dx = 0, (Q) J g (x) dx = 0, (Q) Г {f (x) + g (x)} dx = 2 In 2 (no-
—1 —1 —1
следний интеграл здесь вычисляется так же, как и аналогичный интеграл в пре-
дыдущем примере). Итак, каждая из функций f (х), g(x), f(x)+g(x) Q-интегри-
руема на отрезке [— 1; 2], однако Q-интеграл от суммы функций не равен
сумме Q-интегралов от слагаемых.
603. Пусть /(х)—функция, суммируемая на множестве Е по Лебегу;
тогда суммируемы и функции /+(х) и /_ (х). Так как /+(х)>0, —/__(х)<0,
Цх) = f+ (х)+(—f_(x)), то для любого £>0 справедливо равенство:
[/ (x)]*at= [f+ (xrflat+l- f-
откуда
f [/ (x)]blat dx = $[f+ (x)]^z dx+ [ f- f-(x)]^.
EE E
Функции f+(x) и f— (x) — неотрицательны; поэтому
[f+(x)]^ = If+(x)]w,
[ (x)]^= - [/_ (X) }albt = - [/_ (x)]aZ.
Следовательно,
lim ('[/(x)]“QZdx = lim f [f+ (x)]w dx — lim f [/_ (x)]aZ dx =
?-»oo£ /-»oo g ?">0O£
= f f+ (X) dx — ^f— (x)dx = (L) J f (x) dx.
EE E
Здесь мы учли, что если функция /(х) суммируема по Лебегу, то суммируемы
также функции f+ (х) и [— (х).
Итак, доказано, что предел интеграла f [f (x)]^aZ dx (при / - > со) существует
Е
и не зависит ни отс>0, ни от 6>0. Значит, функция f (х) А-интегрируема, и.
ее Д-интеграл равен интегралу Лебега.
604. Будем считать, что Ь>а (случай Ъ<а аналогичен).
Функция (/(хЯо* — [/(-О)? отлична от нуля только на множестве
Е(/(х)>с1), и всюду на этом множестве она удовлетворяет неравенству
С1)'
Кроме того, она равна Ы — at во всех точках множества E(J(x)>bt) (схемати-
чески это изображено на рис. 61). Поэтому мы можем оценить этот интеграл как
сверху, так и снизу.
а) Оценка сверху. Из неравенства (1) вытекает
0< f([Hx)Io'-[f(*)lo')^= .f ([/(*)]“
Е Е U (x)yaf)
<(Ь— а) t-тЕ (f (x)>at).
221
. Рис. 61
б) Оценка снизу. Из тога
что функция постоянна и равна
(Ь—a) t всюду на E(f(x)>bt) и
неотрицательна в остальных точках
множества Е, следует, что
.[([/ (*)1о*~[/«]?>>
> f (l/=(*)lo—
Е (f(x)ybt)
= (b— a) t-mE (f(x)>bt)^Q.
Пусть нам теперь дано, что
t-mE (f (%)>/)>0при £—-j-oo; тогда
(Ь — a) t-mE (f (x)>al) =
b — a
—------at mE (/(%)> at) -^0
при ?-»-+<x>; но в таком случае из
неравенства, доказанного в пункте
а), вытекает, что
lim J([f(x)]“-[/(x)]“9dx = 0.
/—►СО g
Если же нам дано, что
Ъ— а
дует, что lim —-—-bt • тЕ (/(х)>Ы)->0,
<->+оо b
чим,что
при £-*+<», то из неравенства,
доказанного в пункте б), сразу сле-
откуда, заменяя Ы на t, полу-
lim t-mE(f(x)> t) = 0.
/->03
Итак, равносильность обоих утверждений доказана.
605. Достаточность. Пусть (Q)j/(x) dxсуществует,и£-тЕ (/(х)Щ £)->0
£
при /-s-4-оо. Докажем, что f(x) Л-интсгрирусма; для этого рассмотрим интеграл
от [/(х)]*!о/при произвольных «>0, Ь>0:
f [Hx)]blatdx = f [/ (х)]^ dx+ f{[/(x)]^-[/(x)]Qoq dx. (1)
Ё E Ё
Первое слагаемое в правой части равенства (1) имеет конечный предел при
/->4-оо (в силу существования Q-интеграла); второе слагаемое стремится к нулю
при f^-4-оо (в силу результата предыдущей задачи). Итак, предел интеграла
j [/(*))£?at dx при £->4-оо существует и не зависит ни от о>0, ни от Ь>0.
Е
Значит, функция f (х) Д-интегрируема.
Необходимость. Пусть функция f(x) Д-интегрируема; тогда, очевид-
но, она и Q-интегрируема, причем ее Д- и Q-интегралы равны друг другу. Для
доказательства того, что t-mE(f (х)>£)->0 при £->4-со, воспользуемся снова ра-
222
венством (1). Устремляя в этом равенстве t к бесконечности и учитывая, что
.(и (*)]“« dx и f [7 (x)]^aj dx стремятся, в силу Д-интегрируемости функции
Ё Ё
Нх)> к одному и тому же пределу, получим
Нт [{[/(*)]“-И (*)]?} d* = 0.
Отсюда следует, что limEmE(/(x)>Q = O (см. задачу 604).
t-fCX)
606. Построим функцию, Д-интегрируемую на некотором множестве, но не
суммируемую по Лебегу на этом множестве.
Рассмотрим сначала функцию х = —-—,
ylny
заданную на луче 1 <у< +«>.
Она
непрерывна и строго убывает на этом луче; следовательно, она имеет обратную.
Обозначим ее у = (р (х); ясно, что функция у=ср (х) определена, непрерывна
и строго убывает на участке 0<х<+<» (см. рис. 62).
Теперь возьмем в качестве искомой функции — функцию f (х), определенную
следующими равенствами:
f (х\—. /СР (х)
rw- V—<р(— х)
на (0; 1),
на (—1; 0)
(см. рис. 63). Докажем, что эта функция
Д-интегрируема на (—1; I). Действитель-
но, Q-интеграл от этой функции сущест-
вует (так как она нечетна на (— 1; 1)).
Кроме того, для любого t> 2 ; имеет место
тЕ (f (х) > 0 = —----. Следова-
t In t
тельно, lim t-mE(f (x)>/) = 0. На основании результатов предыдущей задачи
/-»оо
отсюда вытекает, что f (х) Д-интегрируема на (—1; 1).
Убедимся теперь в том, что эта функция не суммируема по Лебегу на (—1; 1).
Обозначим ее через Е^ множество тех точек отрезка (0; 1), где f (x)>k; ясно,
~ 1 ОЭ , ОО 1
что тЕ.= 1, тЕь= ——~ (при k>2). Ряд £ тЕ^=1 + £ ——; расходится;
Й1пй fe=2&ln&
следовательно, неотрицательная функция f (х) на отрезке (0; 1) несуммируема
по Лебегу (см. критерий суммируемости неотрицательной функции, приведенной
223
•в задаче 688). Аналогично проверяется, что f (х) несуммируема на (—1; 0).
Но тогда эта функция несуммируема и на всем отрезке (— 1; 1).
607. Это утверждение вытекает как частный случай из результатов
задачи 612.
608. Если функция А-интегрирусма на множестве £, то она и Q-интегри-
руема на Е, причем оба интеграла от этой функции равны друг другу.
Если функция Q-интегрируема на Е, то она не обязательно А-интегрирусма
на этом множестве; так, например, функция у — Q-интегрируема на (—1; 1),
но не А-интегрируема на этом отрезке.
609. Это утверждение справедливо; докажем его. Пусть с > 0; тогда для
-любых а > 0, Ъ > 0, t>0 имеет место:
[cf MtLat=c[f (x)]c_a_t;
С
C[cf (x)]“Qf dx = c J [f (x)]\dx. (1)
Ё E c
’Если же c<0, io
—t
[c/(x)]^ = c [/(*)]%,;
c
J[Cf (*)dx = C C [f (x)]c_b dx. (2)
E Ёс*
Переходя в равенствах (1) и (2) к пределу, получим:
limf [c-f (x)]_%dx=c-(A) Jf(x)dx.
t->oo£ E
Итак, предел интеграла J [c-f (x)]_^dx при t->co существует и не зави-
Е
«сит ни от «>0, ни от 6>0; значит, функция cf (к) А-интегрируема, и ее
А-интеграл вычисляется по формуле:
(A) (c-f(х) dx=c-(A) (f (х) dx.
Ё Ё
Это равенство доказано при с#Э. Для с=0 оно очевидно.
610. Если две функции f (х) и g (х) Д-интегрируемы на Е, то их сумма
также А-интегрируема на Е, причем имеет место равенство
И) ({f (x)-bg (x))dx=(A) [ f (x) dx-b(A) C g (x) dx
E Ё E
(1)
224
Для доказательства этого надо убедиться сначала в том, что неравенство
[f (%) ]4 ?+[g wq w+g J \ (* 2>’
выполняется всюду на множестве Е для любых а>0, b>0, />0: здесь.
, б = max (2a, b).
[ a \
a=minl—, bl, p = max (a, 2b), у = min
Для проверки неравенства (2) следует разбить множество Е на шесть сла-
гаемых множеств Er, Е2, Е3, Eit Еъ, Ее, на каждом из которых все три функ-
ции f(x), g(x), f (х) -|- g (x) сохраняют постоянный знак (например,
E1=E(f>0, g>0, f+g>0); E2=E (f>0, g<0, f+g>0) и т. д.), а затем для
X X
каждого Ei в отдельности проверить, что при х £ £/ неравенство (2) имеет место *
После того как неравенство (2) доказано, проинтегрируем его почленно по-
множеству Е:
П (х)]_И dx+f [g(x)]_^ dx< С [/ (х)+ g (x)]JJ dx<
E E E
<J[f (x)]_₽'dx+f|
E E
Крайние члены этого неравенства стремятся к (Л) J f (х) dx-p(A) f g (х) dx;
Е Е
следовательно, к тому же пределу стремится и средний член этого неравенства.
Так как этот предел существует при любых а>0 н Ь>0 и не зависит от а и Ь,
то функция f(x)+g(x) Д-интегрируема, причем
(A) ((f (x)+g (х)) dx=(A) f f (x) dx+(A) f g (x) dx.
E E 'E
611. Нет, это утверждение неверно. Примером может служить функция.
f (х), построенная при решении задачи 606. Оиа Л-интегрируема на (—1; 1),
но не Д-интегрируема на (0; 1).
612. Пусть /(х)>0— неотрицательная измеримая функция, не суммируемая,
по Лебегу на множестве Е. Докажем, что она ие интегрируема на множестве Е
также и с помощью Т-интеграла. В силу условия а), наложенного на Т-интеграл,
*) При доказательстве неравенства (2) надо иметь в виду следующее:
а) если а(х) и v (х) — неотрицательные функции, то [а(х)]_д совпадает со-
срезкой функции и (х) числом b и аналогично для [у(х)]_д. А для срезок не-
отрицательных функций имеет место неравенство:
[и (х)] ь +[у (х)] ь <[а (х)+о(х)]й^[а (х)]ь+[г (х)]ь;
2 2
б) если и (х) — какая угодно (в том числе и знакопеременная) функция, то-
— № (*)]_£=[—“(*)]-&;
в) если с^а, d>b, то [и (х)]_^[а (х)]
Соотношения а), б), в) справедливы для любых положительных чисел а, Ъ,
с, d (где ска, d>b). Подробное доказательств этих соотношений, а также-
вытекающего из них неравенства (2), предоставляется читателю.
225-
срезка этой функции Г-интегрируема, причем для любого л>0 имеет место
равенство:
(Л J [f M]ndx — {L) f [f (x)]ndx,
E E
Если бы функция f(x) была Г-интегрируема на Е, те, так как f (x)>[f (x)]n,
из условия б) вытекало бы:
(Г) J f (х) dx>(7) f [/ (x)]ndx=(L) f [/ (x)]n dx. (1)
ЕЁ Ё
Ho (L) f[/(x)] ndx может быть сделан — при достаточно большом п — больше
Ё
любого положительного числа (в силу несуммируемости функции f (х)). Следова-
тельно, и (Г) | f (х) dx превосходит любое положительное число (см. (1)), а,
Ё
значит, этот интеграл не может равняться никакому конечному числу.
Итак, если измеримая неотрицательная функция f (х) не суммируема на
множестве Е конечной меры, то она и не Т-интегрируема на Е\ следовательно, ес-
ли она Т-интегрируема на Е, то она и суммируема по Лебегу на этом множе-
стве. Таким образом, в классе измеримых неотрицательных функций (заданных
на множестве Е конечной меры) Т-интеграл не шире интеграла Лебега.
Так как Л-интеграл и Q-интеграл являются частными случаями Т-интеграла,
то и для них справедливо аналогичное утверждение (см. выше, задачи 597 и
€07).
613—634. Читателю предлагается самостоятельно доказать утверждения,
-содержащиеся в этих задачах.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
€ 5 [а; Ь] 9 2а 15 /И) 51
6, $ 5 [а; Ь) 9 2й», 2е 15 /-Т(Л) 51
0 5 (аг, &] 9 Q(x; у) 18 w/W А 54
Ас В 5 (c;-j~co), оо) 9 Нх 18 0) 1/(х), х0, Е] 54
Ас В 5 (—эо; &), (—ос ;Ы9 нп 18 “(/(Д *о) 54
А=В 5 sup Е 10 С, С [а; Ь] 19 sgn X 54
ЛиВ 5 sup /(л) Е 10 С1г Сх [а; Ь] 20 Т.Е W 56
и л5 S 5 inf Е 10 Vе (л'о) 22 V/ В(/(х) >а), 71
ЛпВ 5 inf / (л) Е 10 borne Е 23 Е(а</(%)<&),.. ь .80'
rMg 1 5 А--В 14 Е' 23 н а 81
А\В 6 Ао^В * 14 Е D 23 24 Ь Д (о! 82
6 Л 14 Fn 24 Е а
_лхв 6 1 >=*11 II 1 сон 14 1 0 G6 25 /+W’ /-(х) £ 83
lim Ап 6 л>в 14 О Е 25 й 89
lim Ап 6 Л>в 14 е(*; Л) 25 а
СЕ cre 7 7 » II X > © г* 14 14 е(Л; В) diam Е 25 32 («I Е 90
(а; Ь) 9 Л=с 14 /С-семейство В-множество тЕ 45 45 46 G4)J 90 Е /(а+0), /(а—0)184
227
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Л-интеграл Арифметическая сумма множеств 90 66 Евклидово в-мерное простран-
ство 18
Бесконечные дроби 10 Жордана кривая 66, 72
Бесконечное множество 14 Замкнутые множества 23
Больцано — Вейерштрасса 32 Замыкание множества 23
теорема Звездная область 12
Борелевские множества 45 Измеримые (по Лебегу) множе-
Борелевское семейство множеств 45 ства 45
Вариация функции 71 Измеримые функции 80
Вейерштрасса теоремы о прибли- Изолированные точки множества 23
жении непрерывной функции 56 - Интервал 9
Векторная функция 92 /(-семейство множеств 45
Верхний предел последователь- Кантора теорема 33
ности множеств 6 Кантора — Бендиксона теорема 33
Верхняя граница числового мно- Кантора — Бернштейна теорема 14
жества 9 Канторова гребенка 44
Верхняя грань числового множе- ства 10 Канторово совершенное ство множе- 24
Верхняя грань функции 10 > > » , сегменты к-го
Взаимно однозначное соответ- ранга 120
ствие 9 » » » , смежные
Включение множеств 5 интервалы к-го ранга 74
Внутренние точки множества 24 Колебание функции в точке 54
Внутренность множества 25 Колебание функции на множе-
Всюду плотное множество 25 стве 54
Выпуклое множество 94 Компакт 38
Гейне — Бореля теорема 33 Конденсации точки 33
Г иперконтинуум 15 Конечная дробь 10
Граница множества 23 Конечное множество 14
Граничные точки множества 23 Континуум 14
Дарбу свойство 58 Координаты точки в евклидовом
Дарбу суммы Двоичные дроби 81 11 пространстве Косоугольная проекция ства множе- 18 66
Двойственности закон 7 Коши критерий сходимости 32
Десятичные дроби И Коши — Буняковского неравен-
Диаметр множества 23 ство 19,109
Дополнение к множеству 228 6 Лебега интеграл 81,83
Лебега интеграл, условия суще-
ствования 82
Линейная мера 46
Липшица условие 72
Луч 9
Мера множества по Лебегу 46
Метрическое пространство 18
Множество значений функции 51
Множество определения функции 51
Монотонная функция 71
Мощность континуума 14
Мощность множества 14
Несвязное множество 35
Непрерывная функция, опреде-
ление по Коши 52
Непрерывная функция, определе-
ние ро Гейне 53
» » » по Бэру 54
Непрерывное отображение 65
Непрерывные функции на замк-
нутом ограниченном множестве 55
Непрерывный образ множества 57
Несчетное множество 14
Неэквивалентные множества 14
Нигде не плотные множества 25
Нижний предел последователь-
ности множеств 6
Нижняя граница числового мно-
жества 10
Нижняя грань числового множе-
ства 10
Нижняя грань функции 10
Нуль-множество 45
Область значений функции 51
Область интегрирования 82
Область определения функции 51
Обратная функция 74
Образ множества 51
Общая часть множеств 5
Объединение множеств 5
Объемная мера 46
Ограниченное множество 10,32
Ограниченной вариации функция 72
Окрестность 22
Отделимость множеств 25
Открытые множества 24
Отображение 51
Отрезок 9
р-ичные дроби jo
Пеано кривая gg gg 72
Пересечение множеств 5
Плоская мера 4g
Плоские множества ю
Плотные множества 25
Подмножество 5
Подобные множества 42
Подпоследовательность 32
Покрытие множества 33
Полная аддитивность интеграла
Лебега 82,83
Полная вариация функции 71
Полное пространство 32
Полусегмент 9
Почти всюду 75,80
Предел последовательности 32
Предельное множество числовой
последовательности 38
Предельные точки множества 23
Прикосновения точки множества 23
Проекция множества 66
Произведение множеств 6
Производная 56
» правая, левая 57
Производная точная 57
Производное множество 23
Прообраз множества 51
Пространство 6,18
Пространственные множества 10
Пустое множество 5
Равенство множеств 5
Равномерно-непрерывная функция 55
Равномерно-непрерывное отобра-
жение 65
Разность множеств 6
Разрыва точки 55
Расстояние между множествами 25
» » точками 18
» » точкой и множеством 25
Римана интеграл 81
» » , условия су-
ществования 81
Связное множество 35
Сегмент 9
Серпинского «кладбище» 44
Серпинского «ковер» 43
229
Симметричная разность множеств 6 Суммы Дарбу 81
Скачок функции 184 Суммы Лебега 81
» » правый, левый 184 Сходящаяся последователь-
Смежные интервалы замкнутого ность 32
множества на прямой 34 Счетные множества 14,15
Собственное подмножество 5 Точная производная 57
Совершенное множество 24 Троичные дроби 11
» » его мощность Фундаментальная последователь-
(в евклидовом пространстве) 33 ность 32
Составляющие интервалы откры- Функция 51
того множества на прямой 34 Функция Кантора 75
Спрямляемая дуга 72 Характеристическая функция
Спрямляемости дуги критерии 73 множества 55
Стереографическая проекция 102 Частичная сумма ряда 38
Строго монотонные функции 71 Числовые множества 9
Строение открытых и замкнутых Элемент множества 5
множеств на прямой 34 Эквивалентность множеств 13
Сумма множеств 5 Эквивалентные функции 80
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...............................................
Задачи
Ответы
и указа-
ния к ре-
шению
3
Часть первая. Теория множеств
Глава 1. Операции над множествами ............. 5
Глава 2. Взаимно однозначное соответствие.................... 9
Глава 3. Мощность множеств ................................. 13
Глава 4. Метрические пространства........................... 18
Глава 5. Предельные и внутренние точки множества. Откры-
тые и замкнутые множества.................... . 22
Глава 6. Открытью и замкнутые множества (продолжение) . . 31
Глава 7. Мера множеств ................................... 45
98
99
104
107
ПО
122
Часть вторая. Теория функций 148
Глава 8. Общая теория отображений 51 158
Глава 9. Непрерывные функции в евклидовых пространствах 52 159
Глава 10. Непрерывные отображения . . . . 64 174
Глава 11. Монотонные функции. Функции ограниченной ва-
риации ... 71 180
Глава 12. Измеримые функции. Интегралы Римана и Лебега 80 198
Указатель обозначений............................................... 227
Предметный указатель........................................ 228