/
Author: Лейтес Л.В. Пинцов А.М.
Tags: электротехника электрические сети электроустановки трансформаторы
Year: 1974
Text
Л. В. ЛЕЙТЕС, А. М. ПИНЦОВ
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
МНОГООБМОТОЧНЫХ
ТРАНСФОРМАТОРОВ
«Э Н Е Р Г И Я»
МОСКВА 1974
6П2.1.081
Л 42
УДК 621.314.21,012.8
Лейтес Л. В. и Пинцов А. М.
42 Схемы замещения многообмоточных трансфор-
маторов. М. «Энергия», 1974.
192 с. с ил.
В книге рассмотрены способы определения характеристик холостого
хода и короткого замыкания трансформаторов и показаны области приме-
нения схем замещения. Изложена методика расчета сопротивлений корот-
кого замыкания трансформаторов, обмотки которых состоят из параллель-
но, последовательно или смешанно соединенных частей. Предложены
приближенные схемы замещения многообмоточных трансформаторов. Ука-
заны особенности схем замещения автотрансформаторов, трансформаторов
с расщепленной обмоткой и т. п. Дан ряд примеров.
Книга рассчитана на инженеров, занимающихся конструированием
трансформаторов или проектированием и эксплуатацией электроустановок
с трансформаторами.
„ 30307-391
Л 051(01)-74 155-74 6П2.1.081
© Издательство «Энергия». 1974
ПРЕДИСЛОВИЕ
С развитием энергетики возрастает потребность
в трансформаторах самого различного назначения и
конструктивного исполнения, усложняется их внутрен-
нее устройство.
Для ограничения токов короткого замыкания широ-
кое распространение получили трансформаторы с рас-
щепленной обмоткой. Электропередачи постоянного тока
высокого напряжения и преобразовательная техника на
полупроводниковых приборах вызывают необходимость
создания сложных многообмоточных трансформаторов.
Вероятно, уже в ближайшее время потребуются силовые
трансформаторы, связывающие четыре системы шин
различного напряжения. Многообмоточные трансформа-
торы нужны для некоторых специальных установок, на-
пример для крупных МГД-генераторов.
Для регулирования напряжения под нагрузкой при-
меняют обмотки грубого и топкого регулирования, рас-
положенные на основных стержнях, или регулировочные
и компенсационные обмотки на боковых ярмах основ-
ного магнитопровода, или же регулировочный трансфор-
матор, находящийся в общем или отдельном баке.
Мощные трансформаторы или агрегаты с глубоким ре-
гулированием напряжения, например для электрических
печей, часто содержат несколько отдельных обмоток.
Повышение напряжения электропередач до 1 МВ и вы-
ше приводит к необходимости разнесения последова-
тельно соединенных частей обмотки по разным стерж-
ням магнитопровода, на каждом из которых располо-
жены параллельно соединенные части обмотки НН.
Во многих случаях трансформатор или агрегат на
определенных стадиях расчета рассматривается как мно-
гообмоточный трансформатор, даже если он имеет лишь
два или три комплекта внешних зажимов.
Для расчета и исследования установившихся и пере-
ходных процессов и режимов в сетях полезны простые
3
схемы замещения многообмоточных трансформаторов,
ветви которых не содержат взаимных сопротивлений и
источников, эквивалентные трансформаторам с точки
зрения остальной части цепи. Схемы замещения нужны
также для расчета напряжений короткого замыкания
трансформаторов со сложным устройством обмоток,
если известны напряжения короткого замыкания всех
пар частей обмоток. Особенно удобны упрощенные и
вместе с тем достаточно точные древовидные схемы
замещения.
Особо следует отметить потребность в схемах заме-
щения, учитывающих насыщение стали. Это связано
с необходимостью уточненных расчетов токов включе-
ния и учета влияния насыщения трансформаторов на
перенапряжения, а также с разработкой метода опре-
деления допустимого перевозбуждения трансформато-
ров. Учет намагничивающего тока необходим при рас-
чете токов нулевой последовательности (при отсутствии
обмотки, соединенной в треугольник), так как сопро-
тивление холостого хода для этих токов обычно лишь
в несколько раз превышает сопротивление короткого
замыкания. Нельзя пренебречь намагничивающим то-
ком при расчетах шунтирующих реакторов, имеющих
автотрансформаторное ответвление для отбора мощно-
сти. Полные схемы замещения нужны для расчета изме-
рительных трансформаторов, когда требуется повышен-
ная точность.
Эквивалентным схемам трансформаторов посвящено
много публикаций. Однако отсутствуют работы, в кото-
рых весь материал был бы обобщен и систематизирован.
До последних лет не было достаточно полной и точной
и в то же время наглядной и простой методики вычис-
ления сопротивлений короткого замыкания сложных
многообмоточных трансформаторов с различными схе-
мами соединения частей обмоток по известным напря-
жениям короткого замыкания пар этих частей. Недоста-
точно исследованы удобные для практики древовид-
ные схемы замещения; не был разработан общий ме-
тод их составления; нет расчетных формул для сопро-
тивлений ветвей этих схем и для расчета их погреш-
ностей.
В предлагаемой вниманию читателей книге сделана
попытка систематизировать и осветить основные вопро-
сы, связанные со схемами замещения трансформаторов
4
й определением их параметров с учетом указанных
факторов. *
Главы 1—3 написаны Л. В. Лейтесом, гл. 4—6 —
А. М. Ппнцовым.
В списке литературы указаны книги по общим и
смежным вопросам (Л. 1, 2, 4, 6—8] и важнейшие перво-
источники [Л. 3, 5, 9—18]. Подробная библиография по
частным вопросам содержится в изданиях последних
лет [Л. 3, 6, 12, 15, 19]. По отдельным частным вопросам
ссылки на литературу даны в тексте.
Авторы выражают благодарность канд. техн, наук,
лауреату Ленинской премии И. С. Калиниченко за
большую работу по рецензированию, канд. техн, наук
А. Г. Крайзу за редактирование, инж. Л. П. Кубареву
и канд. техн, наук А. Г. Левиту за просмотр рукописи
и ряд ценных замечаний.
Авторы надеются, что проделанная ими работа по
расчету сопротивлений к. з. и получению простых схем
замещения многообмоточных трансформаторов будет
полезна читателям при решении практических задач, и
будут признательны за замечания и пожелания по книге.
Просьба направлять их по адресу: 113114, Мосюва,
Шлюзовая набережная, д. 10, изд-во «Энергия».
Авторы
Глава первая
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ
ЗАМЕЩЕНИЯ
1-1. Назначение схем замещения.
Основные допущения
Преобразование переменного тока одного напряже-
ния в ток той же частоты, но другого напряжения про-
изводится с помощью трансформаторов, которые имеют
две или больше индуктивно связанных обмоток.
По числу фаз различают трансформаторы одно-,
трех- и многофазные, по числу обмоток — двух-, трех-
и многообмоточные. Если преобразование трехфазного
напряжения производится тремя однофазными транс-
форматорами, то такое устройство называется трехфаз-
ной трансформаторной группой. Трансформатор, две
или большее число обмоток которого гальванически
связаны так, что они имеют общую часть, называют
автотрансформатором. Важнейшими частями трансфор-
матора являются обмотка, магнитопровод, изоляция.
Магнитное поле трансформатора, создаваемое в нем
совокупностью намагничивающих сил (н. с.) всех его
обмоток, может быть условно разделено на две взаимо-
связанные части—основное поле и поле рассеяния,
подробнее рассмотренные ниже. Основные термины и
определения понятий в области силовых трансформато-
ров даны в ГОСТ 16110-70.
Реальный трансформатор является относительно
сложным электромагнитным устройством, характеризуе-
мым большим числом характеристик.
Если рассматривать однофазный двухобмоточный
трансформатор с разомкнутой вторичной обмоткой как
двухполюсник, то при постоянном токе можно измерить
электрическое сопротивление первичной обмотки. При
6
медленно изменяющемся токе основным параметром
рассматриваемого двухполюсника является индуктив-
ность, определяемая числом витков обмотки, кривой
намагничивания материала магнитопровода и его раз-
мерами. При процессах, скорости которых соответствуют
промышленной частоте, становятся заметными потери
энергии в магнитопроводе, связанные с изменениями
магнитного потока. Дальнейшее повышение скорости
процессов приводит к некоторому уменьшению индуктив-
ности за счет вытеснения магнитного поля из пластин
стали магнитопровода вихревыми токами. Одновремен-
но ускорение процессов ведет к существенному увеличе-
нию роли емкости, обусловленной электрическим полем,
возникающим в обмотке. При определенной частоте
имеет место резонанс токов, которому соответствует
относительно большое чисто активное входное сопро-
тивление. При несколько большей частоте сопротивление
уже имеет не индуктивный, а емкостный характер.
Затем при дальнейшем повышении частоты начинают
играть роль индуктивности и взаимные индуктивности
частей обмоток и их емкости. Это приводит к ряду
чередующихся резонансов токов и напряжений. Нако-
нец, для очень быстрых процессов рассматриваемый
двухполюсник ведет себя как конденсатор.
Если замкнуть накоротко вторичную обмотку, то уже
при медленно изменяющемся токе (единицы герц
в мощных трансформаторах и десятки герц в неболь-
ших) со стороны первичной обмотки будет измерена
индуктивность рассеяния, на 2—3 или даже 4 порядка
меньшая, чем индуктивность при разомкнутой вторич-
ной обмотке. При этом измеренное активное сопротив-
ление примерно вдвое превышает сопротивление пер-
вичной обмотки. При повышении скорости процессов
активное сопротивление значительно увеличивается,
а индуктивность немного снижается за счет вихревых
токов в проводах обмоток и металлических деталях
конструкции трансформатора. Дальнейшее ускорение
процессов, как и при разомкнутой вторичной обмотке,
ведет к увеличению роли емкости. При синусоидальных
напряжениях имеет место ряд чередующихся резонан-
сов токов и напряжений. Для очень быстрых процессов
остается существенной только емкость, относительно
мало отличающаяся от емкости при разомкнутой вто-
ричной обмотке.
1
Очевидно, что для описания столь сложных харак-
теристик необходимо указывать очень много данных,
а схема замещения должна соответственно содержать
много элементов. При столь универсальном подходе
определение исходных данных и сам анализ явлений
и расчет процессов будут неприемлемо сложны.
Поэтому практически всегда ограничивают круг рас-
сматриваемых процессов и пренебрегают параметрами
и явлениями, не слишком существенными в исследуемой
группе задач. Заметим, что постановка математической
задачи обычно является самой сложной и самой важ-
ной частью работы1. В данной книге рассматриваются
только параметры и схемы замещения трансформаторов,
связанные с магнитным полем и потерями в обмотках
и других проводящих деталях.
'1. Первым является предположение об отсутствии
электростатического поля и токов смещения в изоляции
обмоток трансформатора. Пренебрегаем также электри-
ческой проводимостью изоляции и токами утечки. При
этом ток во всех участках обмотки фазы трансформа-
тора (или ее части в случае параллельного или смешан-
ного соединения частей обмотки) одинаков, что позво-
ляет получить схему цепи с сосредоточенными пара-
метрами.
2. Предполагаем, что степень вытеснения магнитного
поля из проводов обмоток и деталей конструкции транс-
форматора неизменна и не зависит от скорости рас-
сматриваемых процессов, токов и напряжений, темпера-
туры и других внешних факторов. При этом зависимость
параметров трансформатора и, следовательно, схемы
замещения от внешних факторов может быть представ-
лена в виде произведения простых функций зависимо-
сти данного параметра от каждого из аргументов в от-
1 Эту мысль очень четко сформулировал К. Шимони [Л. 1]:
«Главное часто состоит в таком упрощении поставленной задачи,
чтобы она стала доступной для математической обработки, а полу-
ченное решение при этом лишь ненамного отличалось бы от точного
решения. Следовательно, при математических упрощениях должны
как можно меньше затрагиваться физические условия. Для этого
требуются, во-первых, большой опыт и, во-вторых, воображение.
Точность полученных таким путем результатов должна проверяться
измерениями. Как правило, невозможно определить точность при-
ближенных расчетов путем их сопоставления с точным математиче-
ским решением, так как обычно речь идет не о приближенном мате-
матическом методе, а об упрощении условий первоначальной, под-
лежащей решению физической задачи».
8
Дельности. Если степень вытеснения поля пли ро1Ь
добавочных потерь существенно изменяются, то это мо-
жет быть учтено изменением соответствующего индук-
тивного или активного сопротивления на основе зависи-
мостей, рассмотренных в обширной литературе по до-
бавочным потерям. В частности, в [Л. 2] приведены
эти зависимости для обмоток и бака. При несинусои-
дальных токах или напряжениях индуктивность и актив-
ное сопротивление или проводимость ветви можно при-
нимать равными соответствующим параметрам ком-
плексного сопротивления при частоте, примерно экви-
валентной по скорости изменения тока (и, следователь-
но, магнитного поля) рассматриваемому процессу в наи-
более важной области.
3. Принимаем, что магнитные свойства каждой части
магнитопровода (магнитная проницаемость ее материа-
ла) определяются только потокосцеплением ближайшей
к ней обмотки и не зависят от токов в обмотках, а маг-
нитная проницаемость всех остальных деталей постоян-
на. Без такого допущения пли подобных ему удается
получить лишь практически бесполезные схемы замеще-
ния, в которых сопротивления ветвей зависят от всех
или многих токов и напряжений. При промежуточных
выкладках в некоторых случаях принимаются постоян-
ными все параметры трансформатора (характеристики
всех материалов — линейными). Это дает возможность
относительно легко проводить анализ и преобразования
уравнений и схем.
4. Предполагаем, что схема и внутреннее устройство
трансформатора неизменны. В частности, для регули-
руемого трансформатора получаем схему замещения,
соответствующую определенному положению (или со-
стоянию) регулирующего устройства. При других поло-
жениях параметры трансформатора и, следовательно,
сопротивления ветвей схемы замещения будут другими.
5. Считаем известными с нужной для анализа точ-
ностью параметры рассматриваемого трансформатора,
например ток холостого хода и напряжения короткого
замыкания пар обмоток или их частей, или собственные
и взаимные сопротивления обмоток и т. п. Эти данные
в принципе могут быть определены экспериментально
или рассчитаны на основе известных характеристик ма-
териалов, устройства и геометрических размеров обмо-
ток, магнитопровода и других узлов трансформатора.
9
На практике очень часто точность определении парамет-
ров недостаточна для построения полных схем замеще-
ния. Например, ни расчетом, ин измерением не удается
уловить различие в токах холостого хода при возбу-
ждении обычного силового трансформатора со стороны
разных обмоток. Поэтому упрощенные схемы замеще-
ния, основанные на оправданных допущениях о картине
магнитного поля трансформатора, часто более достовер-
ны и точны, чем более полные н, казалось бы, более
точные схемы. В равной мере эти соображения отно-
сятся также к полной и упрощенной системам уравне-
ний, описывающих режим работы трансформатора.
6. Предполагаем, что электрические цепи, присоеди-
ненные к разным сторонам (обмоткам) трансформато-
ра, не соединены между собой помимо рассматриваемого
трансформатора. В отдельных, особо оговоренных слу-
чаях (например, при параллельном соединении обмоток
с одинаковыми числами витков, находящихся на одном
магнитопроводе) это условие излишне. Однако в общем
случае для построения схемы замещения такие соеди-
нения необходимо разорвать и заменить соответствую-
щими уравнениями, отражающими условия баланса
токов и напряжений. Это допущение необходимо, чтобы
условное (воображаемое) электрическое соединение за-
жимов разных обмоток в схеме замещения трансфор-
матора не создавало новых контуров для внешних цепей.
При указанных условиях для расчета режима рабо-
ты сети реальный трансформатор можно представить
в виде эквивалентной электрической схемы с сосредото-
ченными параметрами (схемы замещения).
Простота схемы замещения является весьма важным
показателем ее качества. Сложную для расчета схему,
даже равноценную трансформатору с точки зрения
внешних характеристик и влияния на остальную часть
цепи, нельзя называть схемой замещения. Например,
схему со взаимными индуктивностями следует считать
упрощенной схемой трансформатора, а не его схемой
замещения.
С учетом указанных допущений для дальнейшего
изложения используем следующее определение схемы
замещения (эквивалентной схемы) трансформатора:
электрическая схема, содержащая простые (не взаим-
ные, сосредоточенные) индуктивности и активные со-
противления, с достаточной точностью замещающая
10
трансформатор при расчетах электрической цепи и
предназначенная для облегчения этих расчетов. При
такой замене электрические условия во всей остальной
цепи (установке) не должны измениться, а энергетиче-
ские соотношения в схеме замещения должны быть те
же, что в замещаемом трансформаторе.
Кроме основного назначения—расчета электриче-
ских цепей (установок, систем), схемы замещения мож-
но использовать вместо моделей трансформаторов для
физического моделирования электрических установок и
энергосистем, если требуемый коэффициент трансфор-
мации близок к единице. При этом легче обеспечить
требуемые характеристики нескольких отдельных кату-
шек индуктивности, чем в случае общей модели транс-
форматора. Основное затруднение при электромагнит-
ном физическом моделировании па частоте оригинала
вызвано относительным увеличением активного сопро-
тивления модели при уменьшении ее размеров. Мощ-
ность реактора, моделирующего сопротивление коротко-
го замыкания трансформатора, гораздо меньше, чем
мощность модели трансформатора, и, следовательно,
для получения требуемого активного сопротивления
в него достаточно вложить гораздо меньше материалов.
Схемы замещения и основанные на них методы рас-
чета можно применять для анализа ряда процессов
внутри трансформатора, например расчета распределе-
ния тока по параллельно соединенным частям обмоток,
расчета напряжения «короткого замыкания сложного
трансформатора или трансформаторного агрегата, рас-
чета добавочных потерь в сложном (комбинированном)
режиме работы многообмоточного трансформатора
и т. п.
Расчет добавочных потерь по общему методу (через
расчет поля) для каждого режима обычно требует гро-
моздких вычислений. Еще сложнее задача поиска наи-
более опасного комбинированного режима, при котором
полные потери или потери в отдельной детали достигают
максимального значения. В этих случаях целесообразно
применять схемы замещения, основанные на даннь^х
о рассматриваемых потерях в опытах короткого замы-
кания пар обмоток. В таких задачах, как правило, не
нужно искать зависимость тока в обмотках от полных
сопротивлений короткого замыкания или ветвей схемы
замещения. Поэтому в схемах можно показывать лишь
11
одни активные сопротивления, соответствующие иско-
мым потерям [Л. 3]. Например, для расчета температуры
прессующего кольца в режиме, когда все три обмотки
трансформатора нагружены разными токами, сдвину-
тыми по фазе, необходимо знать полные потери корот-
кого замыкания и потери в данном кольце в каждом
из трех простых парных режимов. По этим потерям и
номинальному току стороны приведения рассчитывают-
ся составляющие сопротивлений короткого замыкания,
а по ним — сопротивления ветвей схемы замещения
(в частности, трехлучевой), соответствующие потерям
данного вида. Сумма произведений сопротивлений вет-
вей на квадраты токов в них в рассматриваемом режи-
ме равна потерям данного вида в этом режиме. По
потерям определяются превышения температуры (по
полным — масла относительно воздуха или воды, по по-
терям в кольце — кольца над температурой масла).
Многие считают, что расчет добавочных потерь по схе-
мам замещения неточен из-за изменения картины поля
рассеяния от режима ik режиму. В действительности
(см. приложение 1) расчет добавочных потерь, в том
числе потерь в отдельной детали или местных, с по-
мощью схем замещения не менее точен, чем по любому
другому методу, не учитывающему изменение магнит-
ной проницаемости от режима к режиму.
Все рассматриваемые схемы замещения пригодны
для исследования и расчета не только установившихся,
но и переходных электромагнитных процессов, если для
этих процессов приемлемы принятые допущения. До
последних лет схемы замещения почти не применяли
для анализа переходных процессов, видимо, ввиду не
слишком высоких требований к точности и заменяли
трансформатор только его индуктивностью рассеяния
или индуктивностью холостого хода (указанные индук-
тивности, строго говоря, являются схемами замещения,
состоящими из одного элемента каждая). Для анализа
можно использовать все обычные методы, записывая
параметры трансформатора и элементов схемы замеще-
ния в виде активных сопротивлений и индуктивностей,
или операторный метод, записывая параметры в виде
операторных сопротивлений (Л. 1].
Для синусоидальных токов обычно применяют сим-
волический метод, записывая параметры в виде комп-
лексных сопротивлений Z.
12
Для установившихся несимметричных режимов в це-
пях с трехфазными и многофазными трансформаторами,
как правило, можно пренебречь различием в устройстве
и характеристиках фаз трансформатора и использовать
метод симметричных составляющих. Тогда расчет каж-
дого симметричного режима ведется как расчет одно-
фазной цепи, а несимметричный режим рассматрива-
ется как наложение нескольких симметричных (для
трехфазной цепи—трех: прямой, обратной и нулевой
последовательностей).
Для анализа переходных процессов с учетом маг-
нитной связи обмоток разных фаз или для учета не-
симметрии в устройстве фаз трансформатора необхо-
димо рассматривать каждую обмотку фазы как отдель-
ную обмотку, соединенную с обмотками других фаз
только вне трансформатора. Однако согласно указан-
ному шестому предположению такое соединение несо-
вместимо со схемой замещения и должно быть заме-
нено уравнениями. Кроме того, как видно из § 3-2,
сама схема замещения трансформатора с общей маг-
нитной системой нескольких фаз, получаемая на основе
схемы магнитной цепи, имеет непривычный вид. По-
этому в подобных случаях, если магнитную связь фаз
действительно необходимо учитывать и нельзя обойтись
схемами замещения отдельных однофазных трансфор-
маторов, рекомендуется использовать схему магнитной
цепи, а не электрическую схему замещения трансфор-
матора.
При использовании схем замещения особенно важны
форма их изображения и расположения и нумерация
зажимов. Нечеткость в упрощенных изображениях схем
или в понимании их на практике ведет к существенным
затруднениям или даже ошибкам. В данной книге за
положительные приняты токи, входящие в начало об-
мотки, и соответствующие им напряжения. Для трех-
фазных трансформаторов при симметричных режимах,
как правило, применяется однолинейное изображение
всех трех фаз при соединении фаз в звезду (в том числе
в случаях соединения обмотки оригинала в треуголь-
ник). В схемах с учетом намагничивающего тока (гл. 3)
обязательно дается двухпроводное изображение, хотя
в принципе не исключено и однопроводное.
Начало обмотки, если его нужно отметить, обозна-
чается точкой. Предполагается, что все обмотки, нахо-
13
дящиеся на одном стержне, имеют одинаковое направ-
ление намотки. Начала обмоток, расположенных на
разных стержнях, соответствуют согласному направле-
нию намотки по отношению к однофазному магнитному
потоку в однофазных трансформаторах и к потокам
нулевой последовательности в трехфазных. Если точки
нет, то из пары зажимов началом является изображен-
ный выше.
1-2. Приведение параметров к одной стороне
Токи и напряжения разных обмоток трансформато-
ров обычно в несколько раз отличаются друг от друга,
что очень неудобно для расчетов, особенно при исполь-
зовании схем замещения. Поэтому обычно напряжения
делят, а токи умножают на коэффициент приведения r|m
(где т — номер обмотки). Одновременно сопротивления
и индуктивности обмотки и присоединенной к ней цепи
делят на т]2т, взаимные индуктивности обмоток делят
на т]тТ]р (где р— номер второй обмотки), а емкости
умножают на r|2m. Полученные параметры называют
«приведенными» и обозначают индексом «штрих».
В большинстве случаев в последующих главах этот
индекс опущен, так как на практике для схем замеще-
ния используют только приведенные параметры.
Для контура номер т, индуктивно связанного с кон-
турами 1, 2, ..., т~ 1, т+1, ..., р, ..., п, можно за-
писать следующее уравнение [Л. 1]:
п
Um ^пр^р, О "О*
р=1
где гтр — оператор;
t
d . 1 с
%тр —^тр Д" Lmp ~~р I 1 (1’2)
6
imm и Стт — сопротивление, индуктивность и ем-
кость контура т\ rmp, Lmp и Стр— взаимные сопротив-
ление, индуктивность и емкость контуров тир; прак-
тически всегда Стр = 0, очень часто гтр^0.
Разделим левую и правую части уравнения (1-1)
на Y]m и, кроме того, умножим и разделим каждый член
* Основные обозначения указаны в приложении 2. Система еди-
ниц СИ.
14
правой части па г|р:
п
Чт LA Мр Р 'Р
Р=1
где т]Р— коэффициент приведения обмотки р.
Введем подстановки:
Н = I р~ Ip^Pi 2 тр — 2тр/Л^Лр> (1‘3)
ИЛИ
Г тр == ^тр/^]тЦр’, Г7тт= Гтт/Ц2т И Т. Д.
Тогда вместо уравнения (1-1) получаем тождествен-
ное ему по форме выражение
п
Urт '== Jtj 2 mpi р. (1’4)
Р=1
Можно рассматривать приведение как включение
обмотки р через идеальный трансформатор (без потерь,
рассеяния и тока холостого хода) с коэффициентом
трансформации т]р или же как воображаемое изменение
числа витков обмотки в т]р раз при неизменных массе
провода и размерах обмотки. Очевидно, что приведение
не изменяет электромагнитные нагрузки, потоки, н. с.
и мощности в трансформаторе.
Коэффициент приведения удобно принимать равным
коэффициенту трансформации, т. е. отношению напря-
жений на зажимах двух обмоток (высшего к низшему
или среднему и т. д.) при опыте холостого хода. Для
двух обмоток силового трансформатора, расположенных
на одном стержне, коэффициент трансформации прини-
мается равным отношению чисел их витков (п. 212
ГОСТ 16110-70):
(1'5)
где wo и wm — числа витков базисной обмотки и обмот-
ки номер т, находящихся на одном стержне.
В случае сложной схемы трансформатора применяют
коэффициент трансформации
Лт — ^тп/^б, (1"6)
где umlub — отношение напряжения обмотки номер т
к напряжению базисной обмотки, рассчитанное исходя
15
Из бесконечно большой магнитной проницаемости MaV-
нитопровода, т. е. по отношениям чисел витков обмоток
каждого стержня; именно подсчитанные таким спосо-
бом напряжения указывают на щитках силовых транс-
форматоров.
Соответственно для обмоток, расположенных на до-
полнительных стержнях магнитной системы или на бо-
ковых ярмах с неполным магнитным потоком, коэффи-
циент трансформации принимают равным отношению
чисел витков обмоток, умноженному на отношение маг-
нитных потоков в соответствующих частях магнитной
системы. Например, в одностержневом трансформаторе
с двумя боковыми ярмами, на которых расположены
одинаковые параллельно соединенные части дополни-
тельной обмотки с числом витков гсд в каждой, имеем
т]д = ^д/2^б- Если п одинаковых магнитопроводов транс-
форматора имеют одновитковые первичные обмотки,
соединенные параллельно, и одну общую одновитковую
вторичную обмотку, охватывающую все магнитопроводы
(провод или пучок электронов, проходящий через окна
всех магнитопроводов), получаем Wi = z^2= 1 и т]2=^.
При наличии сдвига фаз напряжений соединяемых
обмоток, например при «поперечном» регулировании
напряжения, коэффициент трансформации является ком-
плексным числом, что очень неудобно. В таких случаях
обычно желательно, используя принцип наложения или
разделяя схему на части, свести расчет к расчету ряда
схем с чисто вещественными коэффициентами приве-
дения.
В особо сложных трансформаторах, например при
незамкнутой магнитной системе, при регулировании
коэффициента трансформации подмагничиванием и т.п.,
необходимы особые рассмотрение и оговорка в каждом
случае.
В качестве базисной целесообразно выбирать или
обмотку, присоединенную к основной сети (цепи), для
которой ведется расчет режима, или первичную обмот-
ку. Если же целью расчета является анализ процессов
внутри трансформатора, то иногда бывает удобно при
нять wq= 1. При этом приведенный ток тождествен н. с.,
а приведенное напряжение — среднему напряжению на
виток рассматриваемой обмотки.
После приведения напряжения и токи всех обмоток
имеют одинаковый порядок величин и их легко сравнь-
16
бать между собой; номинальные напряжения всех обмо-
ток одинаковы, номинальные токи обмоток пропорцио-
нальны их номинальиЫхМ мощностям.
Точное значение коэффициента приведения, рассмат-
риваемого как удобный масштабный коэффициент, ка-
залось бы, не играет роли. Однако численно ничтожная
(в обычных силовых трансформаторах) разница между
отношениями чисел витков обмоток и их напряжений
в опытах холостого хода очень сильно влияет на кон-
фигурацию схемы замещения и практическую возмож-
ность и точность определения ее параметров по рас-
четным и опытным данным трансформатора. Поэтому
вопросы о выборе точного значения и принципиальной
сущности этого коэффициента и связанных с ним опре-
делений важнейших для теории и практики трансфор-
маторов терминов «коэффициент трансформации», «ос-
новное поле» и «поле рассеяния» не раз вызывали
острые дискуссии (в которых участвовали Е. Г. Марк-
вардт, Г. Н. Петров, Э. А. Меерович, А. И. Вольдек
и другие) [Л. 13, 14]. Разные авторы предлагали раз-
личные определения указанных понятий. Рассмотрение
показывает, что все определения, кроме основанных на
отношении чисел витков обмоток, имеют существенные
недостатки:
коэффициенты трансформации, строго говоря, явля-
ются комплексными числами;
коэффициенты трансформации зависят от степени
насыщения стали и, следовательно, изменяются от ре-
жима к режиму;
для определения коэффициентов трансформации не-
обходимо либо иметь трансформатор и тщательно испы-
тать его, либо знать его конструктивные данные и очень
точно рассчитать индуктивности и взаимные индуктив-
ности или токи и напряжения в соответствующих опытах.
Следовательно, во всех случаях, кроме сугубо спе-
цифичных (например, измерительных) трансформаторов,
следует рекомендовать выбор коэффициента трансфор-
мации соответственно числам витков или четко зафик
сированным в документации (паспортной табличке,
стандарте) номинальным напряжениям. При отсутствии
Документации можно рекомендовать измерить отноше-
ние напряжений в опыте холостого хода при понижен-
ном напряжении, т. е. при очень высокой магнитной
проницаемости стали.
2—685
17
Поэтому в данной книге коэффициент приведений
принят строго равным отношению чисел витков обмоток
[или идеализированных напряжений по формуле (1-6)].
Вместо приведения можно выражать все параметры
в относительных величинах, приняв за базу номиналь-
ную мощность трансформатора или произвольно вы-
бранную «базисную» мощность и номинальные напря-
жения сторон (обмоток) трансформатора, связанные
между собой через коэффициент трансформации. При
этом необходимо иметь в виду, что номинальные мощ-
ности отдельных обмоток многообмоточного трансфор-
матора могут отличаться от номинальной мощности
трансформатора.
1-3. Схема замещения двухполюсника
Прежде чем перейти к параметрам и схемам заме-
щения трансформаторов, рассмотрим более простое
устройство — двухполюсник, например однофазный реак-
тор, который условно можно считать однообмоточным
трансформатором. Схему замещения реактора можно
непосредственно использовать в качестве ветви схемы
замещения трансформатора.
При синусоидальном токе (или напряжении) реаю
тор характеризуется одним комплексным сопротивле-
нием Z или одной комплексной проводимостью У, соот-
ветствующим схемам замещения на рис. 1-1,а или б.
Указанные сопротивление и проводимость однозначно
связаны соотношением
гг + /(0^! Z ь J г2 ' /со£2 ’
из которого следует:
г? +
Г2— п И L2—
или (1-7)
Г ? 2^*2
ri== г| + о>< И + •
При изменении частоты или насыщении стали маг-
нитопровода характеристики этих двух схем существен-
18
но отличаются друг от друга, особенно по зависимости
потерь от изменяющегося параметра.
Потери реактора обычно во много раз меньше его
реактивной мощности. Поэтому in<Co)Ai; /'2 /а~^>2
и можно в первом приближении считать напряжение на
реактивном сопротивлении /coLi или ток в проводимости
l//o)L2 равным соответственно напряжению на реакторе
или току в нем. Тогда потери по схеме на рис. 1-1,а
пропорциональны квадрату тока в реакторе, а по схеме
на рис. Т-1,б — квадрату напряжения.
Реактор имеет потери нескольких видов.
Основные потери в обмотке пропорциональны квад-
рату тока. Следовательно, их нужно учитывать после-
довательно включенным активным сопротивлением по
схеме рис. \,а.
Потери от вихревых токов в частях, где вытеснение
магнитного поля несущественно (например, в пластинах
стали магнитопровода или
проводах обмотки), про-
порциональны квадрату
скорости изменения маг-
нитного потока, т. е. квад-
рату напряжения. Следо-
вательно, эти потери нуж-
но учитывать параллель-
ным активным сопротив-
лением по схеме рис. 1-1 ,б.
Гистерезисные потери
примерно пропорциональ-
ны квадрату амплитуды
индукции и частоте, т. е.
квадрату среднего значе-
ния напряжения, делен-
ному на частоту. Такую
зависимость потерь от частоты простые схемы рис. 1-1,а
и б не дают. Однако в первом приближении эти потери
равны сумме двух составляющих одного порядка, одна
из которых пропорциональна квадрату действующего
значения напряжения, а другая — квадрату тока:
Р ( ^ср У <0* _ ( ^ср \2Г 1 г 1 / у] ~
Рь \уср.б J ~ ^сР.б Д 2 т 2 < У J ~
_ 1 / и у J___1 / / у
- 2 J 2 /б ) ’
где индекс «б» относится к базисной точке — потери Ръ
2* 19
ol) 6) 6)
Рис. 1-1. Схемы замещения реак-
тора с последовательным (а), па-
раллельным (б) и смешанным (в)
соединениями активных и индук-
тивных сопротивлений или прово-
димостей.
соответствуют режиму при частоте Об, напряжениях
t/ср.б и <7б, токе /б.
Последнее выражение соответствует потерям в двух
сопротивлениях г3 и схемы рис. 1-1,в. Например, при
синусоидальном напряжении и неизменной индуктивно-
сти реактора относительная погрешность определения
потерь по такой схеме замещения с постоянными пара-
метрами равна +25% в случае увеличения частоты
вдвое и +67%—втрое. Схема рис. 1,а или б дала бы
погрешность соответственно —50%; +100 и —67%;
+ 200%. Если же в схеме рис. 1-1,в сопротивление г3
взять соответствующим 30% потерь в базисном режиме,
а г4 — 70%, то погрешность будет равна лишь —5% при
двукратной частоте и +13% при трехкратной.
Потери в массивной проводящей детали (например,
в электромагнитном экране бака реактора без стали)
пропорциональны квадрату напряженности магнитного
поля у ее поверхности и квадратному корню из частоты.
Если пренебречь изменением общей картины поля при
изменении частоты, эти потери можно также учесть по
схеме рис. 1-1,в аналогично гистерезисным потерям. При
этом сопротивление последовательной ветви должно
соответствовать не 50—70% всех потерь, а 75—80%.
Потери от циркулирующих токов (от неравномерно-
сти деления тока по параллельным ветвям обмотки)
пропорциональны квадрату э. д. с. в контуре этих токов.
Следовательно, этот вид потерь изображается на схеме
замещения параллельной ветвью (рис. 1,6). Если роль
индуктивности контура циркулирующих токов заметна,
то потери следует разбить на две составляющие, одна
из которых пропорциональна квадрату тока, а другая —
квадрату напряжения. Оба эти вида потерь учитываются
в схеме рис. 1,в.
Таким образом, практически все виды потерь удает-
ся относительно точно учесть в достаточно простой
схеме замещения, имеющей две параллельные ветви
(рис. 1,в). Заметные трудности возникают лишь при
необходимости учета добавочных потерь в насыщаю-
щемся реакторе. Для учета зависимости потерь от насы-
щения стали соответствующее сопротивление следует
включать последовательно с основной (нелинейной)
индуктивностью, а для учета влияния формы кривой
индукции магнитного поля и, следовательно, кривой на-
пряжения — параллельно.
20
Индуктивность реактора со сталью (с магнитопро-
водом) может резко изменяться при насыщении магнит-
ной системы или ее частей. Для режимов, связанных
с сильным насыщением стали, обычно удается упростить
нелинейную магнитную (вебер-амперную) характеристи-
ку и схему замещения реактора и впоследствии транс-
форматора.
Рассмотрим основную кривую индукции (часто на-
зываевую кривой намагничивания) трансформаторной
стали, например марки ЭЗЗО (рис. 1-2). Как видно, в об-
Рис. 1-2. Кривая индукции холод-
нокатаной трансформаторной ста-
ли марки ЭЗЗО.
-------аппроксимация по (1-8) при
Внас=2,04 Т соответственно данным на
стр. 5 сборника «Электротехническая
промышленность. Серия Аппараты вы-
сокого напряжения, трансформаторы,
силовые конденсаторы», 1972, вып. 7(16);
-------по данным рис. 2-2 книги
Дружинина В. В. «Магнитные свой-
ства электротехнической стали». М.,
Госэнергоиздат, 1962; точки в круж-
ках—гарантированные значения по
ГОСТ 802-58.
ласти до насыщения (точнее, до 0,95Внас) кривая прак-
тически сливается с осью ординат. Выше индукции на-
сыщения (точнее, выше 1,03ВНас) наклон кривой прак-
тически не отличается от магнитной постоянной По-
этому примем идеальную кусочно-линейную аппрокси-
мацию кривой индукции в стали (первое допущение):
Н =
0 при IВI < Ввас;
4| |В|7В- при
D I Но
(1-8)
где Внас — координата точки пересечения оси ординат
с касательной к кривой индукции (или к кривой намаг-
ничивания) после полного насыщения стали (рис. 1-2).
21
Кроме того, используем еще три допущения, обычно
практически приемлемые для реальных магнитных си-
стем реакторов (и трансформаторов):
до насыщения стали индукция В во всех точках маг-
нитной системы (или в ее значительной части, например
в стержнях) одинакова, т. е. все участки рассматривае-
мой части одинаково нагружены; тогда индукция во всех
точках одновременно достигает индукции насыщения
В11йс и вся сталь этой части одновременно переходит
в насыщенное состояние;
направление вектора магнитной индукции в стали
до насыщения совпадает с направлением вектора на-
пряженности магнитного поля в этой же точке при от-
сутствии стали в насыщенной части магнитной системы
(магнитопровода);
вихревых токов или замкнутых проводящих конту-
ров нет.
При указанных условиях магнитная (вебер-ампер-
ная) характеристика ЧД/) является кусочно-линейной
(рис. 1-3,а). Каждая точка ее излома соответствует
Рис. ,1-3. Вебер-амперная характеристика и схема замещения реакто-
ра со сталью.
а—кусочно-линейная аппроксимация характеристики и разложение ее на не-
сколько простых характеристик; б — схема замещения реактора с характери-
стикой по рис. 1-3,а; в, г — магнитная характеристика и схема замещения на-
сыщающегося реактора.
насыщению одной из частей магнитной системы. Для
расчета и схемы замещения такую характеристику удоб-
но представить в виде суммы нескольких более простых
характеристик (рис. 1-3,а): 1) совершенно линейной,
соответствующей индуктивности реактора (Li) при
22
Полностью насыщенной всей стали; 2) кусочно-линейной
с горизонтальным вторым участком, обусловленной на-
магничиванием части магнитопровода, насыщающейся
последней; 3) кусочно-линейной, обусловленной намаг-
ничиванием части магнитопровода, насыщающейся пред-
последней, и-т. д. На схеме замещения этому соответст-
вует ряд последовательно включенных индуктивностей,
шунтируемых ключами при насыщении соответствую-
щей части магнитной системы (рис. 1-3,6). В реальных
устройствах достаточно рассматривать насыщение всего
магнитопровода сразу или одного его участка, и схема
замещения будет содержать две индуктивности и один
ключ.
В реакторе (или трансформаторе) с замкнутой маг-
нитной системой без зазоров индуктивность до насыще-
ния стали очень велика (рис. 1-3,в), и схема замещения
содержит только одну индуктивность, называемую ин-
дуктивностью насыщенного реактора (ЛНас, рис. 1-3,г),
и один ключ, управляемый в зависимости от потокосце-
пления:
если |ЧТ| <ЧГнас, L = —ключ разомкнут;!
если I ЧТ | > Фнас, L = Лиас — ключ замкнут, /
t
где Ф = — ir)dt\ L — dW/dt\ Тиач— потокосцеп-
-o
ление в начальный момент (/ = 0).
Значение индуктивности насыщенного реактора (или
одной обмотки трансформатора при разомкнутых осталь-
ных обмотках) при сильно насыщенной стали близко
к индуктивности обмотки при отсутствии магнитопрово-
да или стержня, и его можно подсчитать. При этом
желательно выполнить расчет дважды—при допуще-
ниях, приводящих к заведомому занижению индуктив-
ности (т. е. при отсутствии всей стали) и к некоторому
завышению (например, при отсутствии только той части
магнитопровода, которая находится внутри обмотки).
Для уточнения методики расчета потокосцепления насы-
щения и индуктивности насыщенного реактора следо-
вало бы вводить эмпирические коэффициенты (имеющие
порядок единицы), учитывающие неодновременность
Насыщения участков магнитопровода, изменение карти-
ны поля при насыщении стали, влияние вихревых токов
и другие отличия реального устройства от идеализиро-
23
ванного. Поэтому желательны измерения вебер-ампер-
ных характеристик реакторов (и трансформаторов),
а также магнитных потоков в их отдельных частях
с помощью измерительных витков при сильном насыще-
нии стали.
Пользуясь изложенными способами, обычно можно
достаточно просто учесть в схеме замещения относи-
тельно сложные явления (конечно, если известен их
характер). Например, активным сопротивлением, вклю-
ченным параллельно индуктивности Lnac в схему заме-
щения на рис. 1-3,г, можно учесть вихревые токи в про-
водах обмоток и других частях насыщающегося реак-
тора, имеющие место только при насыщенной стали.
Однако не следует увлекаться учетом многих факторов,
приводящим к усложнению постановки задачи, схемы
замещения и решения. Необходимо всегда помнить, что
точность полученного результата не может быть выше
точности исходных данных.
1-4. Параметры трансформатора.
Ток холостого хода и напряжение короткого замыкания
Трансформатор представляет собой электротехниче-
ское устройство с несколькими комплектами зажимов,
не имеющее внутри источников энергии и не изменяю-
щее свое внутреннее строение. Если обмотки (в том
числе обмотки фаз) не соединены друг с другом, то
токи через два зажима каждой обмотки одинаковы,
а напряжения между зажимами разных обмоток не
играют роли. Поэтому такой n-обмоточный трансфор-
матор, имеющий 2п зажимов, является пассивным
2п-полюсником, режим работы которого характеризуют
п токов и п напряжений.
Автотрансформаторное соединение не изменяет это
положение, если сети разных сторон не соединены меж-
ду собой помимо автотрансформатора и баланс токов
в пределах каждой пары зажимов сохраняется. Напри-
мер, если схему рис. 1-4,а изобразить согласно рис. 1-4,6,
то = и = и указанное положение правильно.
Если ту же схему изобразить согласно рис. 1-4,в, то
вместо двух появляются три разных тока и не удается
рассматривать это устройство как четырехполюсник
(2п-полюоник). Поэтому при изображении автотранс-
форматора нужно обращать внимание на четкую марки-
24
ровку его сторон. Ведь тот же автотрансформатор
можно рассматривать как трехполюсиик или же как
двухобмоточный трансформатор без электрического сое-
динения обмоток (рис. 1-4,г). Последний вариант при-
годен и в случаях более сложных внешних схем, напри-
мер по рис. 1-4,д, на которой даже не видно, какая
из обмоток является общей и какая — последовательной
Рис. 1-4. Варианты изображения схемы двухобмоточного автотранс-
форматора с нагрузкой z.
(см. ГОСТ 16110-70). Оба варианта (рис. 1-4,6 и г)
принципиально равноправны. Первый удобнее для рас-
чета режимов сетей, не связанных между собой, вто-
рой— для некоторых внутренних процессов в трансфор-
маторах. Споры о принципиальных преимуществах од-
ной из схем оказались вызванными арифметической
ошибкой в примере расчета — см. [Л. 3, стр. 21].
Линейный пассивный 2п-полюсник полностью харак-
теризуют п(п+1)/2 независимых постоянных коэффи-
циентов. Их можно определить из соответствующего
числа (п или более) опытов, обеспечивающих п(п+1)/2
независимых измерений пар величин. Для этого соот-
ношения токов и напряжений разных обмоток не долж-
ны повторяться от опыта к опыту. Избыточные (допол-
нительные) данные могут служить для проверки резуль-
татов, оценки погрешностей и статистического уточнения
результатов измерений. При наличии стали коэффициен-
ты непостоянны и магнитные потоки при опытах должны
хотя бы приближенно соответствовать режимам, для
анализа которых будут использованы параметры и схе-
ма замещения трансформатора.
25
Ввиду метрологических затруднений на переменном
токе обычно предпочитают проводить измерения с од-
ной стороны трансформатора (со стороны источника
питания) и выбирать такие режимы испытаний, при
которых на другой стороне (сторонах) требовалось бы
измерять как можно меньше величин. Это опыты холо-
стого хода (х. х.) и короткого замыкания (к. з.), при
которых вторичные соответственно ток и напряжение
равны нулю и не подлежат измерению. Вторичные же
напряжение при опыте х. х. и ток при опыте к. з. сило-
вого трансформатора обычно так мало отличаются от
первичных напряжения и тока, пересчитанных пропор-
ционально числам витков в обмотках, что вторичное на-
пряжение измеряют для проверки числа витков, а вто-
ричный ток не измеряют совсем. В многообмоточных
трансформаторах при опытах к. з., как правило, не
измеряют напряжения на разомкнутых обмотках из-за
затруднений в определении фазы этих напряжений.
Поэтому обычно каждый опыт дает только один пара-
метр трансформатора, и число опытов должно быть
не меньше числа независимых коэффициентов. На-
пример, для двухобмоточного трансформатора нужно
три опыта — опыт х. х. и два опыта к. з. или два опыта
х. х. и один опыт к. з. В первом случае два опыта к. з.
(питается первая обмотка при замкнутой второй или
наоборот) практически не отличаются друг от друга по
соотношению токов, так как напряжения невелики и
сталь магнитопровода не насыщена. При двух опытах
х. х. (питается первая или вторая обмотка) легче уло-
вить разницу в результатах, тем более, что в опыте х. х.
гораздо легче обеспечить нужное насыщение стали.
Поэтому вариант двух опытов х. х. предпочтительнее.
Однако при таких опытах основные трудности связаны
уже не с техникой измерений, а с источником питания,
способным обеспечить насыщение стали. Поэтому прак-
тически всегда делают только один опыт х. х., причем
в этом случае пренебрегают сдвигом напряжении
по фазе.
При указанных выше (§ 1-1) допущениях относи-
тельные параметры опытов к. з. не зависят от тока или
напряжения при измерениях. Поэтому достаточно одного
опыта к. з каждой пары обмоток. Результаты могут
быть представлены в виде напряжения и потерь при
номинальном токе или комплексных сопротивлений.
26
содержащих индуктивности и активные сопротивления,
обычно включаемые последовательно (рис. 1-1,а).
Параметры опыта х. х. связаны с насыщением стали
и сильно зависят от величины напряжения на объекте.
Поэтому, если речь идет не только об основных рабо-
чих режимах (когда напряжения близки к номинальным
и изменением намагничивающего тока можно прене-
бречь), необходимо иметь не одну точку, а характери-
стику х. х. (зависимость действующего значения тока
и потерь при опыте х. х. от напряжения) или даже маг-
нитную вебер-амперную характеристику (зависимость
потокосцепления от тока). Параметры опыта х. х. мож-
но представить в виде нелинейной индуктивности и
активного сопротивления, обычно включаемых парал-
лельно (рис. 1-1,6).
Поскольку значения и точность параметров схем за-
мещения и, следовательно, достоверность результатов
использования этих схем непосредственно определяются
значениями и точностью основных исходных данных,
необходимо обращать особое внимание на достоверность
значений тока и потерь х. х. и напряжения и потерь к. з.
Методика и техника измерений указанных па-
раметров достаточно четко и подробно рассмотрены
в ГОСТ 3484-65 и книгах, посвященных испытаниям1.
Там же оговорены условия испытаний и методы введе-
ния поправок на отклонения температуры, формы кри-
вой напряжения и частоты. Не рассмотрены лишь усло-
вия опытов для определения параметров (сопротивле-
ний) нулевой последовательности, так как эти параметры
относительно редко нормируются и измеряются.
Опыты х. х. и к. з. являются основой для опреде-
лений понятий в терминологическом стандарте ГОСТ
16110-70: ток х. х. — ток первичной обмотки трансфор-
матора при разомкнутых остальных обмотках, причем
напряжение на ее зажимах равно поминальному и
синусоидально, а частота равна номинальной частоте
трансформатора; напряжение к. з. — приведенное к рас-
четной температуре напряжение, которое нужно под-
вести к одной из обмоток пары обмоток трансформатора,
чтобы в этой обмотке установился ток, соответствующий
1 Каганович Е. А. Испытание трансформаторов малой и средней
мощностей на напряжение до 35 кВ включительно. М., 1969; Алек-
сенко Г. В., Ашрятов А. К-, Фрид Е. С. Испытания высоковольтных
и мощных трансформаторов и автотрансформаторов. М., 1962.
27
меньшей из номинальных мощностей обмоток пары при
замкнутой накоротко второй обмотке пары и разомкну-
тых остальных обмотках.
Именно измеренные значения параметров нормиру-
ются и указываются в паспорте и на табличках транс-
форматоров (для относительно небольших трансформа-
торов разрешается указывать значения, измеренные не
при контрольных, а при типовых испытаниях). Лишь
для второстепенных параметров, например для значений
потерь и напряжений к. з. крайних ступеней, допуска-
ется указывать расчетные значения (ГОСТ 11677-65).
Однако в большинстве случаев схемы замещения
нужны до того, как трансформатор изготовлен и испы-
тан. Поэтому кратко рассмотрим методы расчета тока
х. х. и напряжения к. з.
Глава вторая
РАСЧЕТ ТОКА ХОЛОСТОГО ХОДА И НАПРЯЖЕНИЯ
КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
2-1. Расчет характеристики холостого хода
Характеристикой холостого хода называют зависи-
мость действующего значения тока х. х. /х или его
активной и реактивной составляющих 7а и /р, обычно
выражаемых в процентах номинального тока /н, от дей-
ствующего значения напряжения U при опыте х. х.
Параметры опыта х. х. связаны соотношениями:
о (20
/p°/o = Qx «/о-^-ЮО »/0;
7 __ U _______ ____Г/ °/о_
Х— /а + //р /н.ф /а°/о + //рО/о ’
где Рх —потери х. х.; Qx — намагничивающая мощность
(включающая реактивную мощность и мощность иска-
жения); 5н=Пф/п.фС/н.ф —номинальная мощность; Zx—
сопротивление х. х. трансформатора; Пф— число фаз:
/п.Ф и t/н.ф — номинальные фазные ток и напряжение;
28
6 случае однофазного трансформатора индекс «ф» опу-
скают, а в случае трехфазного всегда принимают
1н.ф = 1н.л = 1н и С,н.ф=[/п.л/К 3=[7П/КЗ. Поэтому при
расчете в размерных величинах (а не в относительных
или в процентах) при соединении трех однофазных
трансформаторов в треугольник возможны недоразуме-
ния (вдобавок усугубленные изменением третьих гармо-
ник в линейных токах по сравнению с фазными).
Для расчета характеристики х. х. до насыщения
стали можно не учитывать магнитное поле вне стали
магнитопровода. Тогда с каждым витком обмотки (или
обмотки фазы) трансформатора сцеплен одинаковый
магнитный поток:
Ф = С7/ош, (2-3)
где Ф — магнитный поток, действующее значение; U —
синусоидальное напряжение на обмотке, действующее
значение; w—ее число витков; со — угловая частота.
Кроме того, пренебрегают неравномерностью рас-
пределения магнитного потока по сечению рассматри-
ваемого участка магнитопровода (стержня или ярма).
При этом амплитудное значение магнитной индукции
Вт= у 2Ф/5, где s — активное сечение (стержня или
ярм<1 соответственно). Далее по характеристикам стали
и руководствам по расчету трансформаторов, например
[Л. 4], определяют значения удельных потерь р и намаг-
ничивающей мощности q и поправочных коэффициентов
к ним (Кру КР2, ..Kqy Kq2 . • •) соответственно индук-
ции, марке стали, конструкции магнитопровода и тех-
нологии обработки стали и изготовления магнитопрово-
да. В частности, обычно учитывают роль отжига стали,
вида стыка в углах магнитопровода, способа прессовки
стержней и ярм. Иногда учитывают влияние числа пла-
стин в каждом положении при шихтовке, способа снятия
заусенцев и т. д.
Расчетные формулы имеют вид суммы произведений:
Рх— S KpiJiKp2k ••• PkGk,
k=\,<2t„
Qx Kq ikKq2k ••• qitGk —j— k q •[C'xK q _Qy ... q^^SH ,
£-1,2...
(2-4)
где k — номер участка магнитной системы; Gk — масса
стали участка; п — число стыков в плане шихтовки;
индекс «ст» обозначает «стык».
29
Для ориентировочной оценки потерь х. х. и намаг-
ничивающей мощности более удобны формулы
Рхср/?сG И Qx~Kq ^pq^G, (2-5)
где рс и qc — значения р и q, соответствующие индукции
в стержне; G — масса стали всего магнитопровода;
КР ср и Kq ср — усредненные отношения средних удель-
ных потерь и намагничивающей мощности в готовом
магнитопроводе к соответствующим показателям ото-
жженной стали при испытании ее образца; обычно
КР ср— 1,15—1,40 (иногда до 2,0) и КдСр—1,3—3 (иногда
до 7).
Для индукций, заметно превышающих номинальную
(выше 1,8—1,9 Т), исходных данных для расчета по
формулам (2-5) нет. Поэтому в этой области (Вг) пара-
метры трансформаторов приходится оценивать простым
пересчетом известных данных (Рх1 и Qxi) при менее
высокой индукции (Bi):
РХ2 = РХ1 (B2/B.r и Qx2 ~ Qx. (S2/51)’q, (2-6)
где показатели степени (2,5л-3,5) и (5л-10).
При увеличении индукции относительная роль по-
терь и активной составляющей тока х. х. резко падает.
Одновременно уменьшается влияние конструктивных и
технологических факторов. Все более резко искажается
форма кривой тока. Поэтому при индукции выше
1,9—2 Т следует использовать в качестве основной не
вольт-амперную характеристику х. х., а магнитную
вебер-амперную характеристику, т. е. зависимость мгно-
венного значения потокосцепления обмотки Т от мгно-
венного значения тока в ней I.
Расчет магнитной характеристики основан на обыч-
ных методах расчета поля и магнитных цепей, в част-
ности на формулах:
W
Ф = B = f(H); г =-Л-Н (2-7)
*=' sk i
где k — номер витка обмотки; w — число витков; -
площадь, охваченная витком номер А; I — контур, охва-
тывающий все витки обмотки.
При этом в области до 1,8—1,9 Т значения Н, опре-
деляемые (для соответствующих значений В) по ослов
30
ной магнитной характеристике (кривой намагничива-
ния) образца стали, следует умножать на коэффициент
Kqw, применяемый в формуле (2-5), или на соответст-
вующие коэффициенты Kq из формулы (2-4).
В простейшем случае (например, тороидальный
трансформатор с однослойной равномерной обмоткой,
причем средний радиус тороида намного больше разме-
ров витка; магнитопровод отожжен) имеем следующий
порядок расчета точки характеристики: выбираем зна-
чение В (или Н) и по нему находим Н (или В) для
соответствующей марки стали; подсчитываем потоко-
сцепление
Т = wBsQ + (s06m—Sc) (2-8)
и подсчитываем ток
i — HIJw,
(2-9)
где sc — сечение стали; $Обм — площадь, охваченная
каждым витком обмотки; /м — средняя длина магнитной
линии.
При /наибольшей индукции выше 2,1 Т для транс-
форматорной стали целесообразно принять кусочно-
линейную аппроксимацию кривой намагничивания по
Рис. 2-1. Кривые потока (а) и тока (б) и соотношения различных
значений тока (в) при синусоидальном напряжении в случае силь-
ного насыщения стали и отсутствия потерь.
выражению (1-8) и дополнительные допущения, рас-
смотренные в § 1-3. Тогда вебер-амперная характери-
стика намагничивания трансформатора также кусочно-
ЗДнейна согласно рис. 1-3,в, причем 4rIiac = 5liacSc? где
31
Suae— 2,05—2,1 T для стали марок ЭЗЗОА и М6Х и
Внас~1,95 Т для Э43. Наклон характеристики опреде-
ляется как индуктивность обмотки при замене насы-
щенной стали воздухом.
По такой характеристике можно построить и вольт-
амперную характеристику. В частности, при синусои-
дальном напряжении и = Um cos если пренебречь
потерями, потокосцепление синусоидально (рис. 2-1,я),
а кривая тока имеет вид отрезков синусоид (рис, 2-1,6),
причем
п ф __ф /ф \
I пас ; ? -= arccos (; (2-10)
w ^нас у tn J
при ~ — ср < «>/ < ср;
(2-11)
/д И6<р — 3 sin 2у — 4<о sin2 и 1 / 16у /< у2
(1—cos у) г 15к у 84 у
/сР _ 2 sin у — у cos у ~ 4у А________1_ 2 V
Im п 1 — cos у 3~ у 60 Y J *
Цт ____ 2у — sin 2у _ 8у А________7 Л
1т (1 —COSy) 37С у 60 J
где /д, /ср и /im — действующее и среднее значения и
амплитуда первой гармоники тока. Зависимость этих
параметров от ЧДг/ЧДас дана на рис. 2-1,в.
2-2. Расчет напряжения короткого замыкания
Для расчета напряжения короткого замыкания (к. з.)
пары обмоток трансформатора — напряжения, которое
нужно подвести к одной из обмоток пары при замкну-
той накоротко второй, чтобы установился номинальный
ток, — сначала уточним постановку задачи (условия
воображаемого опыта к. з.).
Принимаем:
один комплект внешних зажимов замкнут накоротко,
а другой питается от источника с симметричной систе-
мой синусоидальных напряжений (при одной фазе —
пара зажимов, одно напряжение);
остальные комплекты внешних зажимов разомкнуты.
нет замкнутых проводящих контуров (кроме рас-
сматриваемых обмоток), сцепленных с магнитопроводом.’
32
фазы трансформатора симметричны;
нет параллельно включенных реакторов, конденсато-
ров и резисторов с мощностью, соизмеримой, например,
с номинальной мощностью трансформатора;
магнитные проницаемости всех частей постоянны, и,
следовательно, сопротивление к. з. (входное сопротив-
ление в рассматриваемом опыте) не зависит от тока
в обмотках;
все магнитопроводы (кроме магнитопроводов после-
довательно включенных реакторов) замкнуты, и их маг-
нитная проницаемость бесконечно велика, т. е. суммар-
ная н. с. обмоток в каждом окне магнитной системы
равна нулю (кроме указанных реакторов); при двух
обмотках на однохм стержне их суммарная н. с. равна
нулю:
z’iWi -j- kw2 = 0 или /2w2 = 0. (2-15)
Магнитное поле при этом
рассеяния. Параметры опыта
ниями:
опыте называют полем
к. з. связаны соотноше-
«а 7о = гк70 = 4^-100°/о;
rap Он
«Р°/о = Хкв/о = ?!5--100«/0;
°н
(2-16)
7 ____r I : v _____U& ~г ]'Up ___^н.Ф % + J'up % , 1 7\
Zk — Гк ф /-Гк - —7^ 7^- 100% ’ I2’1 ''
Гк = —хк = или хк = ш£к = (2-18)
^Ф^Н.ф ^Ф^Н.ф Н’Ф
где (7К, Ua и [7Р — напряжение к. з. и его активная и
реактивная составляющие; Рк— потери к. з. (см. § 2-6);
Qk = g)Wm — реактивная мощность поля рассеяния (см.
§ 2-3); — амплитуда энергии магнитного поля рас-
сеяния при номинальном токе; ZK, и хк—‘сопротивле-
ние к. з. и его активная и реактивная составляющие;
хк часто называют «сопротивление рассеяния»; SH, /н.ф
и ^н.ф — номинальная мощность и номинальные фазные
ток и напряжение [см. обозначения к формуле (2-2)
в § 2-1]; Пф—число фаз; £к — индуктивность рассеяния
(см. § 2-3); Тк — потокосцепление питаемой обмотки
при опыте к. з.
При расчете напряжения к. з. сложных трансформа-
торов и трансформаторных агрегатов, содержащих не-
3-685 33
сколько основных, регулировочных и других частей
обмоток, часто расположенных на нескольких магнито-
проводах, систематически встречаются затруднения,
а иногда даже ошибки, связанные со знаками слагае-
мых, приведением к одному числу витков и к одной
мощности и т. п.
Примером такого устройства может служить агрегат
для питания мощной электропечи, содержащий, кроме
главного понижающего трансформатора, автотрансфор-
матор грубой регулировки, регулировочный трансфор-
матор тонкой регулировки и токоогранпчпвающий реак-
тор, причем каждый из элементов имеет свои номи-
нальные данные; трансформатор тонкой регулировки
может быть включен как согласно, так и встречно.
Хотя в целом этот агрегат является' двухобмоточным
трансформатором, но использование при его расчете
схем замещения отдельных элементов не решает вопрос.
В то же время в сложных трансформаторах, где части
обмоток расположены на общих магнитопроводах в од-
них и тех же окнах, использование схем замещения
часто помогает весьма точно и наглядно решить задачу
(см. гл. 5 и 6).
В данном разделе изложен порядок расчета, прак-
тически исключающий возможность появления каких-
либо методических ошибок при суммировании, приведе-
нии и выражении результата в относительных величи-
нах. Он основан на теореме Ланжевена, по которой
суммы активных и реактивных мощностей всех источни-
ков энергии равны соответственно суммам активных и
реактивных мощностей всех приемников этой цепи. При
этом в отличие от потерь, которые в пассивной цепи
всегда положительны, реактивные мощности, потреб-
ляемые катушкой индуктивности (реактором) и конден-
сатором, имеют разные знаки. В частности, в [Л. 5]
сказано: «Реактивная мощность, входящая в сеть (цепь,
устройство), равна разности средних значений электро-
магнитной и электростатической энергий, запасенных
в этой сети, умноженной на удвоенную угловую частоту».
Следовательно, знак «минус» может появляться только
при наличии конденсаторовОтделенный от основного
расчета перевод конечного значения мощности в опыте
1 К цепям с управляемыми вентилями указанные правила могу г
быть неприменимы.
34
к. з. в относительные величины или выражение его
в виде сопротивления заставляет четко записать базу
(номинальные ток, напряжение, мощность), к которой
эти параметры приведены.
Для расчета напряжения к. з. сложного трансфор-
маторного агрегата, в котором параллельно соединены
только симметричные части обмоток или части, находя-
щиеся в разных окнах магнитной системы (другие схе-
мы практически не применяются), рекомендуется сле-
дующий порядок:
1. Нарисовать принципиальную схему соединения об-
моток агрегата, рассчитать все токи при опыте к. з. и
указать их на схеме. Для этого используются условия
баланса токов в каждом узле схемы (1/ = 0), баланса
н. с. во всех окнах магпитопровода каждого трансфор-
матора (2/сО = 0) 'И симметрии токов в одинаковых
параллельно включенных частях обмоток. Ток одной из
сторон .принимается равным номинальному (Л = /н).
Например, в однофазном трансформаторе с регулиро-
вочной обмоткой на боковом ярме (рис. 2-2) имеем: из
баланса токов в узле на стороне НН /нн — /2-|- /3; из
баланса н. с. в окне между стержнем и боковым ярмом,
не несущим обмоток, Д- J2w2 = 0; из баланса н. с. в
окне между стержнем и ярмом с регулировочной и ком-
пенсационной обмотками 73w3 —|—= 0; из последова-
тельного соединения основной части обмотки ВН и регу-
лировочной обмотки Ц = /вн.
Тогда
А ВН^1/^2> А 1 (2-19)
где q — номер ступени (положительный или отрицатель-
ный соответственно согласному или встречному включе-
нию РО с ВНосн); Wi, w2 и w3 — числа витков обмоток
соответственно ВНосн, ННосн и КО; оц —число витков
одной ступени регулировочной обмотки; a==W2wJw3Wi—
относительная величина (размер) ступени регулирова-
ния.
2. Подсчитать н. с. каждой обмотки и расставить
знаки н. с. на принципиальной схеме расположения
обмоток на каждом магнитопроводе. Желательно про-
верить баланс н. с. на каждом стержне.
3* 35
Рис. 2-2. К расчету напряжения к. з. при параллельном соединении
неодинаковых частей обмотки.
а — схема соединения частей обмоток; б — расположение частей обмоток; 1 —
стержень; 2 — боковое ярмо; Я//осн и В//оси — основные части обмоток НН
и ВН, расположенные на стержне; РО и КО — регулировочная и компенса-
ционная обмотки.
3. Подсчитать потери и реактивную мощность маг-
нитного поля рассеяния в каждом из элементов — си-
стеме обмоток каждого из стержней, реакторе, токо-
проводе. Расчет реактивной мощности или индуктивно-
сти рассеяния и потерь рассмотрен в § 2-3 и 2-6.
Если в схему входит трансформатор, содержащий не-
сколько обмоток или частей обмоток, причем известны
(например, достаточно точно рассчитаны) сопротивле-
ния к. з. пар всех частей, то для расчета потерь и реак-
тивной мощности, потребляемых этим трансформатором,
можно использовать формулы [Л. 5]:
п п
JzKP?/p7,=
р=1 q=l
п п
=- 4-У) S<2-20)
р=1 <7=1
ИЛИ
п п п п
Р + £Z.P9/PM=S S Z1P9(/'pZ'?+/"p/",),(2-21)
р=2 q—2 р=2q=2
где. п — число частей обмоток; р и q—номера час-
тей обмоток; ZKP7 — сопротивление к. з. между частями
р и q\ jp — комплексный ток в части р (действующее
36
Значение); Iq — сопряженное значение тока в части q\ V
и /" — ортогональные составляющие токов; 1 = Г jl"',
Zipq — 0,5 (Z^ip + Zkiq—Z^pq). (2-22)
Формула (2-20) удобнее для расчета на ЦВМ,
а формула (2-21), содержащая меньше слагаемых за
счет предварительных расчетов по (2-22), лучше для
расчета вручную. В [Л. 6] выведено более простое, чем
(2-21), выражение сопротивления к. з., если каждая
обмотка состоит из ряда последовательно соединенных
частей. Однако такие расчеты относительно громоздки
и мало наглядны. Поэтому для наиболее распростра-
ненного случая нескольких концентрических обмоток
гораздо удобнее и нагляднее упрощенный расчет с ис*
пользованием коэффициента Роговского, изложенный
в § 2-4.
4. Арифметически сложить значения реактивной
мощности всех элементов трансформатора (агрегата) и
потерь в них и подсчитать составляющие напряжения
к. з. по формулам (2-16).
2-3. Расчет индуктивности рассеяния
Для расчета реактивной составляющей напряжения
к. з., или индуктивности, или сопротивления рассеяния
нужно знать либо потокосцепление, либо реактивную
мощность, либо энергию поля рассеяния. Эти парамет-
ры можно рассчитывать по любому из трех методов,
различающихся областью интегрирования [Л. 1 и 7],—
см. табл. 2-1.
Расчет через потокосцепления [выражения (2-23) —
(2-25)] всегда очень нагляден. Именно на этом подходе
основан вывод формул в большинстве учебников.
Например, при тонких равномерных обмотках, доходя-
щих до ярм ненасыщенного магнитопровода (рис. 2-3,а),
все магнитные линии вне стали параллельны обмоткам
и со всеми витками каждой из обмоток сцеплен одина-
ковый магнитный поток. Для упрощения выкладок пред-
положим, что остаточный поток в стали и активное
сопротивление короткозамкнутой обмотки отсутствуют.
Тогда по любой из указанных формул, используя законы
37
Принципиальные методы расчета индуктивности
Таблица 2-1
Область интегрирования или суммирования Определяемая величина
Потокосцепление 4^— Энергия магнитного поля №м~ ~
Сечение магнитного по- тока рассеяния (5ф) 4'K = f шсцВ<«ф, (2-23) где пусЦ — число витков, с которыми сцеп- лена магнитная линия, проходящая через эле- мент dS в точке с индукцией В —
Витки, сечение или объем проводов обмотки (w, 50бм или Уобм) W «'к =2 (2-24) <7=1 где Фд—поток, сцепленный с витком номер q\ - f Фсц 5 dSo6M, (2-25) J °витка обм где Фсц — поток, сцепленный с тонким вит- ком, проходящим через элемент dSo6M; SBIITKa—площадь сечения витка с равномерно распределенным током ^-rfV03M, (2-26) у обм где А — магнитный вектор-потенциал; J — плотность тока в элементе ^Vo6M
Весь объем магнитно- го поля (Vn); если в ста- ли у/=оо, то Уп—объем поля рассеяния вне стали — С ВН ГВ2 "2~ <^п=J 2^rfVn = j ya HW„. Vu Vn “ \ (2-27) где В и H—индукция и напряженность поля в элементе dVn\ р,а™р,ор/—абсолютная маг- нитная проницаемость (вне стали р.а — р0)
полного тока и электромагнитной индукции, получаем:
+ i2w2 = di = 0; Ф2«=0) = 0; и2 = 0;
t
r2 = 0; ф2 = j(«2 — i2r2)dt = 0; Фг = -^=
о
= 0; Ф, — Ф12; (рк —
LK = 4"=Т~ = '^1 (2-28)
Н (м {м
где Ф12 — магнитный поток в канале между обмотками
1 и 2; $12 — площадь канала; /м — длина магнитной ли-
Рис. 2-3. К расчету индуктивности рассеяния пары концентрических
обмоток.
а — идеальные тонкие обмотки; б — идеальные обмотки конечной толщины и
эпюра поля; в — «реальные» равновысокие обмотки.
нии вне стали, равная высоте *окна и обмоток Л; /ср—•
средняя длина витка обмоток; Д12— ширина канала
рассеяния между обмотками.
Эта же формула применима для обмоток с конеч-
ными радиальными размерами ai и а2, если вместо Д12
в нее подставлять Д — ширину канала рассеяния, при-
веденную по среднеквадратичной напряженности осевой
составляющей поля, — см. эпюру поля на рис. 2-3,6.
На основе решения для двух прямолинейных шин
прямоугольного сечения, расположенных между двумя
ферромагнитными полупространствами (рис. 2-3,в),
39
В. Роговский и впоследствии (с меньшим числом
допущений) Е. Г. Марквардт ввели в формулу (2-28)
множитель рр, названный коэффициентом Роговского и
позволяющий заменить реальные простые концентриче-
ские обмотки с высотой h (рис. 2-3,в) условными с вы-
сотой /i/рр, доходящими до стали (рис. 2-3,6). Именно
эту формулу наиболее широко применяют на практике:
т 2 рр в» . । । CLn . X
Lx = W^-^PPL4==-T+a„+-^; РР= 1-
(2-29)
где Dcp — средний диаметр обмоток; Dcp= (Z?i4-Z>2)/2;
h — осевой размер обмоток; т — радиальный размер
СИСТеМЫ обмОТОК, Т = ОД -f- (2i2 +
Аналогичная, но с более громоздким, чем (2-29),
выражением коэффициента Роговского формула выве-
дена и для чередующихся обмоток. Используют анало-
гичные выражения и для учета неравномерности рас-
пределения н. с. по высоте концентрических обмоток.
Эти формулы и графики для них подробно изложены
в литературе (например, {Л. 6, 8] и др.) и поэтому здесь
не приведены. Заметим лишь, что при чередующихся
обмотках стержень влияет гораздо сильнее, чем при
концентрических.
Однако для расчета через потокосцепления необхо-
димо установить картину линий магнитного поля, поло-
жение поверхностей раздела потока и координаты точек
(витков), вокруг которых замыкаются магнитные линии.
В зависимости от схемы соединения, расположения и
направления намотки обмоток значения ^сц, Фд и Фен
в отдельных частях области интегрирования могут быть
отрицательными, что часто является источником оши-
бок. Поэтому расчет через потокосцепление можно ре-
комендовать только для простейших случаев.
Расчет индуктивности через вектор-потенциал по
формуле (2-26) значительно менее нагляден, хотя в слу-
чае плоскопараллельного или осесимметричного поля
это выражение переходит в формулу (2-25); часто мож-
но представить выражение (2-26) как обобщенный вид
выражений (2-25) или (2-24) и в более сложных слу-
чаях. Для непосредственного расчета индуктивности
рассеяния трансформаторов выражение (2-26) неудоб-
но, тем более, что произведение AJ в части объема
обмоток может быть отрицательным. Однако выражение
40
энергии поля через вектор-потенциал можно использо-
вать при выводе формул для расчета индуктивностей.
В частности, на нем основан широко применяемый ме-
тод расчета индуктивности рассеяния в цилиндрических
координатах на ЦВМ. Оно же может являться базой
весьма эффективного для сложных случаев, но пока
неоправданно мало применяемого при расчете транс-
форматоров метода средних геометрических расстояний
[Л. 7, 8], подробнее рассмотренного в § 2-5.
Расчет индуктивности или индуктивного сопротив-
ления рассеяния через плотность энергии магнитного
поля по выражению (2-27) весьма прост и в то же
время нагляден. Для его применения нет необходимости
знать картину магнитного поля, направление магнитных
линий, положение поверхностей раздела потоков и точек
с нулевым полем. Подынтегральное выражение в (2-27)
ни в одной точке поля не может быть отрицательным.
Этот метод рассмотрен в следующем параграфе.
2-4. Расчет индуктивности рассеяния
по плотности энергии магнитного поля
Значения энергии поля или реактивной мощности всех частей
сложного трансформатора всегда складываются арифметически не-
зависимо от схемы включения и направления намотки обмоток и от
соотношений чисел витков.
Если расчет ведется с разложением реального магнитного поля
на ортогональные составляющие напряженности или индукции поля,
например осевую и радиальную, арифметически суммируются также
составляющие энергии .поля, обусловленные разными ортогональными
составляющими поля [Л. 2].
Аналогично арифметически складываются составляющие энер-
гии, обусловленные разными пространственными гармониками поля
при представлении его в форме тригонометрического ряда [Л. 2].
Для расчета необходимо знать значения индукции или напря-
женности в каждой точке магнитного поля. Их можно определять
и интегрировать либо числовым расчетом с помощью ЦВМ, либо
аналитически, приняв такие допущения, которые делают реальную
задачу достаточно простой. Чаще всего удобно сводить поле к пло-
скопараллельному с помощью коэффициента Роговского. Этот при-
ближенный метод дает очень хорошие результаты, если им рацио-
нально пользоваться.
Покажем применение метода на примере относительно распро-
страненного случая — нескольких концентрических обмоток. Вместо
системы реальных обмоток (рис. 2-4,а) рассматриваем систему рав-
номерных обмоток высотой I с такими же радиальными размерами
и н. с., заключенную между двумя неограниченными полупростран-
ствами с ц = оо (рис. 2-4,6). Тогда все магнитные линии параллельны
оси и имеют одинаковую длину /. Напряженность магнитного поля
ыражается через н. с. IwCUl между магнитной линией, проходящей
41
<9
Рис. 2-4. Реальная (а) и упрощенная (б) системы нескольких кон-
центрических обмоток и варианты эпюры поля (в, г).
через данную точку, и осью. Задача становится одномерной, так как
поле зависит только от одной координаты — радиуса текущёй точ-
ки г. Эпюра н. с. содержит участки в виде прямоугольников, тре-
угольников и трапеций (рис. 2-4,в, г и 2-5).
Для определения эффективной длины магнитной линии исполь-
зуем коэффициент Роговского: l = hlp? (см. выражение (2-29)]. При
этом под шириной (радиальным размером) системы обмоток т сле-
дует подразумевать некоторый эквивалентный размер — ширину
основания трапеции, горизонтальный участок которой в 2—3 раза
меньше основания. Следовательно, размер т равен ширине реальной
системы обмоток только при типичных соотношениях размеров двух
обмоток. При согласном и встречном токе в регулировочной обмотке
по сравнению с расположенной рядом с ней одной из основных обмо-
ток 1(эпюры на рис. 2-4,в, г) за т следует принимать размер, соответ-
ственно лишь немного больший и немного меньший радиального раз-
мера системы из двух основных обмоток. Следует подчеркнуть, что
ошибка в размере т на 10% вносит в рр ошибку лишь на 0,5—1% и,
следовательно, т можно определять приближенно.
Для расчета удобно ввести произвольные базисные н. с. Iw6 и
радиус /?б- Тогда из выражения (2-27), используя dVn=2nrl dr и Z-
42
=h!pv, получаем:
LK
--f (H V2 )2 dVn = p.o
(/„/2^ 2
f I w$ \2 Д2тг/?б
= ) h~ pp-
(2-30)
где д — ширина канала рассеяния, приведенная к и. с. Iwq и ра-
диусу /?б‘,
(2-31)
Если радиальные размеры системы обмоток значительно меньше
среднего радиуса, то г//?б~1 и вместо '(2-31) имеем:
Д I (7аусц//ауб)2 dr.
(2-32)
Сводка выражений для Д, соответствующих выражениям (2-31)
и (2-32) при /?б= (/?14-/?г)/2 для разных участков эпюр н. с.
(рис. 2-5), приведена в табл. 2-2. В подавляющем большинстве слу-
чаев вполне достаточную точность обеспечивает расчет приведенной
ширины канала через сумму произведений Д по приближенным фор-
мулам из правого столбца табл. 2-2 и средних арифметических рас-
стояний этих участков от оси (7?i Ч-Т?2)/2 Лишь иногда при больших
б) в)
Р1ИС. 2-5. Типичные участки эпюр н. с. для концентрических обмоток.
Расстояние от оси; /шсц//ауб — н. с. (осевое поле) в относительных едини-
цах; а — ширина участка.
43
Выражения для расчета приведенной ширины канала рассеяния
Таблица 2-2
Фор ла эпоры на участке Выражение
Стро го з по (2-31) Приближенное по (2-32)
через и через Rcp= 0,5 (/^+/?a)
Прямоугольник, рис. 2-5,а а2# а2а а2Я
Треугольник, рис. 2-5 ,б (внутренняя обмотка) R ' — j «г - 4 3 0,5 (А?, +Л2) 1 / а \ 3 аа(1+‘4/?ср ) 1 ~7~ a2d <7
Треугольник, рис. 2-5,в (на- ружная обмотка) а ] R1 +т ~“2а0,5(А'1 +/?г) з 4Яе₽ ) 1 -ТС- а2<2 О
Трапеция, рис. 2-5,г (сред- няя часть подразделенной обмотки) 1 Г / а2\ (\ 1 ^2 4’ j “J"j 0,5 (/?, + /?г) »2+«?+?! / |?2-«2 а \ з 4RePJ «2 + «]3 + Р 3 а
Трапеция, рис. 2-5,д (сред- няя обмотка при двойной концентрической обмотке) у^а2Я1^1+ 0,5 (R, + RJ а2—( [З2 — а2 а \ з яг_а{)+^ 4/?cPJ а2 — оф 4- £2 3’ а
радиальных размерах следует применять строгие формулы из
табл. 2-2 для треугольных участков эпюр (рис. 2-5,6 и в). В про-
стых двухобмоточных трансформаторах, как правило, приемлема
простейшая формула Д/?ср-
Промежуточное выражение из (2-30) может служить основой
формул для некруглых (например, прямоугольных) обмоток.
Если для дальнейшего расчета нужна энергия магнитного поля,
из (2-30) имеем:
1 Д2л/?бор
^м = —£k(/hK2P = p.0(W------------~h-- (2-33)
При частоте 50 Гц из (2-33) следует практически удобная фор-
мула:
coWM • 100о/о Д^бРр
Хк °/о==---- SH ' .» (2-34)
где SH — номинальная мощность на стержень в вольт-амперах; Д,
/?б и h — размеры в метрах; Iwt— н. с. в амперах.
Для расчета энергии и мощности магнитного поля или индуктив-
ности рассеяния системы концентрических обмоток, находящихся на
одном стержне магнитопровода, рекомендуется следующий порядок:
1. Нарисовать принципиальную схему расположения и соедине-
ния частей обмоток, указать токи, н. с. и их знаки, проверить баланс
н. с. Представить себе или грубо нарисовать эпюру н. с. Выбрать
базисные н. с. Iwб и радиус /?б. Базисную н. с. удобно выбирать
равной величине /куСц в главном (наибольшем) канале рассеяния
или н. с. наиболее мощной из обмоток. Базисный радиус удобно
брать равным среднему арифметическому радиусу главного канала
рассеяния.
2. Нарисовать в масштабе эпюру продольного поля — график за-
висимости IwcvJIwt от текущего радиуса г. На эпюре указать зна-
чения расстояний точек излома эпюры от оси, радиальных размеров
(ширины) aq и средних радиусов участков Rq, где q — номер уча-
стка. Для участков с треугольной эпюрой за средний радиус жела-
тельно принимать /?1,2±ц/4 в соответствии с табл. 2-2. Эта же эпюра
будет полезна для расчета радиальных усилий и добавочных потерь
в обмотках от продольного поля.
3. Определить значение коэффициента Роговского. При этом,
если эпюра н. с. переходит через нуль или высоты обмоток заметно
различны, можно для разных частей объема поля (групп обмоток)
ввести разные значения длины магнитной линии. Тогда в (2-30),
(2-33) и (2-34) вместо /i/рр войдет базисная длина /б, а в (2-31)
и (2-32) добавится множитель /б/Zg, где lq — длина магнитной линии
на участке номер q, Iq = hqlp?q.
4. Свести данные в таблицу, содержащую столбцы (или строки):
номер участка q\
ширина участка aq\
средний радиус участка Rq;
значения /шсц//шб на концах участка —aq и (с учетом
знака);
коэффициент приведения (а^ + ад|?д + $/з;
множитель /б//д (если он не равен 1);
45
приведенная ширина участка &q — aq -ф ag^g -ф |ф '3;
произведение Дд/?д.
Подсчитать и Для проверки S<?g и ХДд; подсчитать
<7=1,2 ...
Д = ^g^g/^б и сравнить Д с 2Дд (большое расхождение свиде>
<7=1,2...
тельствует об арифметической ошибке).
При одинаковых знаках ag и рд и значениях aq/f>q от 0,33 до 3
вместо расчета трети неполного квадрата их суммы можно подсчи-
тывать значения IwcuJIw6 в середине участка, т. е. (ag + pg)2/4, так
как при этих условиях среднеквадратичное значение очень близко
к среднему арифметическому, которое можно снимать с эпюры ли-
нейкой. При разных знаках и ag/Pg или pg/ag от 0,2 до 0,8 можно
подсчитывать квадрат половины большего из них, т. е. (рд/2)2 или
(ag/2)2 [Л. 2].
5. Подсчитать нужный параметр по одной из формул (2-30),
(2-33), (2-34). Например, реактивную мощность поля рассеяния
удобно подсчитывать по формуле
Q= 2480-/0
/ /юб у /?еРД
I 000 у /б
(2-35)
6. В случае необходимости надо ввести поправки, учитывающие
неравномерность распределения и. с. по высоте обмоток, например
по методу [Л. 8, § 71].
2-5. Расчет индуктивности рассеяния методом
средних геометрических расстояний
Для расчета индуктивностей рассеяния можно использовать ма-
тематическое понятие «среднее геометрическое расстояние» (с. г. р.)
и свести вычисление индуктивностей к определению с. г. р.
Рассмотрим участок неограниченно длинной двухпроводной ли-
нии (рис. 2-6,а). При равномерном распределении тока по сечению
каждой из шин и магнитной проницаемости Цо индукция в точке на
Рис. 2-6. К определе-
нию понятий «сред-
ние геометрические
расстояния».
а — между площадями s{
и- Sj-, б — площади Sf от
самой себя.
46
расстоянии р от трубки тока (элемента, линии тока) сечением ds
будет:
ds
dB
Магнитный поток поля этой трубки тока, сцепленный с прямо-
угольным контуром длиной / (две параллельные стороны которого
удалены от указанной трубки на расстоянии г и 7?), равен:
R
,, C/z/R / Р<Л(1п/? — In г) </.<?
d<$> = J I dB (If --------
Учитывая, что токи в обеих шинах одинаковые и противополож-
ны по направлению (q = —— и выбирая расстояние R очень
большим (/?>г, где г имеет порядок поперечных размеров шин или
расстояния между ними), получаем выражение для магнитного по-
тока, сцепленного с рассматриваемым контуром при R—>оо:
Искомая индуктивность L связана с указанным потоком через
энергию магнитного поля
A/2 TTZZ f AJ ГФ/ РФ/
2 = = j 2 rfl'— J ds, — I ~2^ds2.
V Si s*
В результате получаем:
L
-in
5i
In r dsi dSi —
P-»l ,n, , , P-o* , £12
2Г (21ngl2-lng,-ln£r2) = -^ln —
где
47
г — расстояние между элементами ds (рис. 2-6); glj— с. г. р. Между
площадями Si и s7; gi— с. г. р. площади от самой себя; i и /—
номера шин (для рассмотренной выше линии 1=1 и / = 2).
В более общем случае согласно {Л. 7] по принципу с. г. р.
индуктивность плоского контура из шин постоянного сечения при
равномерном распределении тока по сечению равна взаимной индук-
тивности соответствующих эквидистантных нитей (нитей, имеющих
такую же форму и размеры, как средняя линия шины рассматривае-
мого контура и расположенных в параллельных плоскостях так, что
соответствующие точки обеих нитей лежат на общем перпендикуляре
к плоскостям), отстоящих одна от другой на расстоянии, равном
с. г. р. площади поперечного сечения шины от самой себя. Аналогич-
но взаимная индуктивность двух эквидистантных контуров с конеч-
ными размерами поперечных сечений приближенно равна взаимной
индуктивности двух эквидистантных нитей, отстоящих на расстоянии,
равном с. г. р. площадей ближайших друг к другу поперечных сече-
ний контуров. Ошибка расчета по методу с. г. р. тем меньше, чем
меньше линейные размеры поперечного сечения по сравнению с раз-
мерами самого контура.
Для трансформаторов (Л. 7, 8] систему обмоток заменяют систе-
мой бесконечных прямолинейных шин такого же сечения, как обмот-
ки с равномерным распределением тока по сечению. За индуктив-
ность рассеяния принимают индуктивность участка указанной систе-
мы шин с длиной, равной средней длине витка обмоток Z, умножен-
ной на квадрат числа витков w:
Ди » + La - 2L{3- = In (2-36)
Формулы для расчета с. г. р. ряда фигур приведены в {Л. 7].
Обмотки (или участки, зоны обмоток) трансформаторов, как прави-
48
jjo, -имеют прямоугольное сечение. Используя теорему о четырех
прямоугольниках '[Л. 7], с. г. р. площадей двух прямоугольников
можно выразить через несколько с. г. р. площадей прямоугольников
от самих себя. В частности, для двух прямоугольников равной высо-
ты (рис. 2-7,а) справедливо следующее выражение (Л. 7]:
F (1 X 3) = ~[F (1, 2, 3) + F (2) - F (1, 2) F (2t 3)]t (2-37)
где
F (1 X 3) — In g13; F (1,2,3) = sf>2>3 In g112>3; F (2) = s22 In g2;
F (1, 2) = S|_2 lngb2; F (2,3) = S23lng2,3;
s,; s2; si.2’ s2>3 ” s-.2,3—соответственно площади прямоугольников
1; 2; 3; 1 U 2; 2 (J3 и 1 (J 2 (J 3; g2; g,:2; g2,3 и g,.2,3 — соответст-
венно с. г. p. площадей прямоугольников 2; 1 (J 2, 2(J3 и 1(J2(J3
от самих себя; |J — знак объединения.
Приняв во внимание, что высота всех прямоугольников равна h,
из уравнений (2-36) и (2-37) находим:
I 1 г/ gl,2,3g2 ,
Lk,3~ 2л |4дс + с +^)ln g)2g2j +
+ 2ad In ^'•2-3^2-3 + 2cd In — '2’3gl'a |_|_ ]n 81.2.38281.282.31, .^3g.
gtgl.t g2g2.3 J gigs J ' ’
где d — расстояние между серединами прямоугольников; 2а и 2с—
ширина прямоугольников 1 и 3.
Для прямоугольников с. г. р. площадей от самих себя можно
приближенно выразить^лкх полупериметр
g=kg{2a+hy (2-39)
где kg — почти постоянный коэффициент: при 2а]Ь или Ь)2а, состав-
ляющем 0,00; 0,05; 0,10; 0,25; 0,50 и 1,00, он равен соответственно
0,22313; 0,22346; 0,22360; 0,22369; 0,22360 и 0,223525. Приняв kg по-
стоянным, из (2-39) окончательно получаем:
р.0ш2/ Г 1 / а8 d O.'f d aS \
Lx'3~~ 2л |_ 2 ^е1п уо + а 1п 03 + с ln J +
Уп 1
+ “7л~Г~о V/i, Г о ’ (2-40)
' (h + 2а) (h + 2с) J ' 7
где a=/i + d+a-{-c; $ = h + d—а—с; y=h+d+a—с\ §=h+d—a+c\ е=
= (а2 + с2 4- d2) {2ас\ П = сфуб.
Формула для расчета индуктивности рассеяния обмоток одина-
ковой высоты '(рис. 2-7,а) с помощью с. г. р. была получена
Г. Н. Петровым еще в |[Л. 8, стр. 241]. Однако при использовании
этой формулы возникают трудности вычислительного характера, так
как отдельные члены в ней могут быть много больше результата их
алгебраического суммирования. Формула (2-40) тождественна фор-
муле Г. Н. Петрова, но лишена этого недостатка.
4—685 49
В более простом частном случае обмоток одинаковой шйрийы,
т. е. а = с, из (2-40) имеем:
^ойУ2/ Г d2 aS cl а а(3 ]
Z'K13^_lT'[lF'lnV'+^ ПТ + 1п(/г + 2«)3 J’ <2’41>
где y = /i+d; а = у + 2а; |3 = у—2а.
Заметим, что для этого случая в (Л. 7] есть простая формула,
коэффициенты для которой табулированы.
‘В еще более простом случае d = 2a (рис. 2-7,6) получаем:
Р-о / 2/7 \
(2-42)
Если h а, то
г Р-о , „ 4 2а 4а / 4а \ ~1
L^~2^ lw '4Г+2а (* +“2l) ’
тогда как метод Роговского, весьма точный в этом случае, дает:
r t 4а ( 4а \
L^\>.olw 3^(1—
Видимо, погрешность 5% в этом предельном случае вызвана до-
пущением о постоянстве коэффициента kg.
Всего возможны три вида взаимного расположения прямоуголь-
ных обмоток (шин) со взаимно перпендикулярными сторонами
(рис. 2-7,в—д). Рассмотрим их [Л. 9], дополнив обмотками с такой
же плотностью тока до двух равновысоких прямоугольников
и^и^и^Для них справедливо следующее уравнение [Л. 7]:
з 6
F (1, 2,3X4, 5, 6) = S 1>ех/). (2-43)
1 = 1 ]'=4
Это выражение преобразуем, используя теорему о четырех пря-
моугольниках, таким образом, чтобы в правой части искомого урав-
нения все'величины вида F (iXj) относились к прямоугольникам оди-
наковой высоты.
Для расположения по рис. 2-7,в
F (/ХО =4"[F (Л 2,ЗХ4,5,6)+Е(2Х5)~
— F (1, 2 Х4, 5) — F (2, 3 Х5, б)]; (2-41)
для расположения по рис. 2-7, г
F (1, 2X5, 6) =d-[F(/, 2, 3X4, 5, 6) +
+ F(2X5)-F (1X4) -F(3X5)]; (2-45)
для расположения по рис. 2-7, д
F(l,2. 3X5)=~^(F(1, 2X4. 5) +
+ F(2,3X5.6)-F(1X4) -F(3X6)l, (2-rf,
50
F UX6) In g16 = 4лс/г1/г3 In g16;
F (1, 2, 3 5,6) — S],2,3s4,5,6 ln ,2,3-4,5,6 “
— 4ac (/?i4- h2 + /z3)2 1° £1,2,3.4,5,6»
gi6 и £1 2 3,4,5,6 — соответственное, г. p. площадей прямоугольни-
ков / и 6, / и 2 и 5 и 4 U 5 U 6 друг от друга; остальные обозна-
чения аналогичны приведенным выше.
В дальнейшем
Л4 = hi + h2, h5 — h2 + Л3; h6 — hx h2 /z3; i — 1, 2, 3, 4, 5, 6;
cij ~-= hi -J- d -f~ cl -f~ c\ (?£ —~ hi -J- d — cl — c,
Yi — hz 4- d + a — с; дг — ht d — a -j- c;
л . d a?Y? d a,Sy
щ = A = e in^г+-а-ln -p7+vln 777 + 1пП‘:
Atj = Ai — A-6 Bt — At — In Щ; e ~ (a2 + c2 + d2)/2ac\
Из уравнений (2-36) и (2-40) для двух прямоугольников I и /
одинаковой высоты hi шириной 2а и 2с следует:
Р*л Г 1 "1
А.э =^“(2 In gtj— In^gj) ==’27^-2-^i — 1п</гг + 2d)(A + 2c) j .
Учитывая, что
In gli = ' 4 Г - и ln gigi = ln kg + 2£()(^ + 2C),
^n^ac
имеем:
F(l'ac!}' + 4 111 ' <2’47)
Здесь /=1, 2, 3, 4, 5, 6, причем j^=i.
Из уравнений (2-44) и (2-47) для случая рис. 2-7,в получаем:
2F(1\6) n п
---к ас - hl (А + 4 In А) + hl (А2 + 4 In А) -
— (А + 4 In А) — hl (А5 А 4 In ks).
Если учесть, что индуктивность рассеяния обмоток 1 и 6 равна:
, ^0/ге»гГ 1 2F(/X0 1
Лк,6 = ~аГ'[4МГ-------ас------1п (/г‘ + 2a)(/*3 + 2с)~2 ln kn J ’
го окончательно найдем (рис. 2-7,в):
» \^qIl2)2 Г 1 л 9 9
= 2П- 4hxh3 ^5 ^65 + ^2 Аб) +
, 1 „ 7а 1
+^- в« + ln(A+WTTWr (2-48)
И 51
Аналогично для прямоугольников/(J2 И приняв во вним
ние формулы (2-45) и (2-47), можно написать:
2F (1’ а^5’6}' = Аб (А + 4 In kg) + h?2 (Аг + 4 In kg) -
— (-^i + 4 In Z?g) — (A + 4 In /^g).
В результате получаем (рис. 2-7,г):
[^0lw2 Г 1 2 2 9
^к5б — 2гё 4h4h5 Ai + + ^2 Ав) +
+ 2 б« + 1п (Л4 + 2а)(/г5 + 2с) J ' (2’49)
Для прямоугольников 1 U 2 U 3 и 5 (рис. 2-7, д) по формулам
(2-46) и (2-47) имеем:
2F (7, 2, 3X5) 9 л 9
—------~ас .... = (Л4 + 4 In *g) +,hl (Л5 + 4 In kg) -
— h\ (Л] + 4 In kg) — hf (Л3 4- 4 In kg);
U2 IP’ 5= 2" | 4h2h3 + A3 ^s3 + hz (^i h3) Л45] +
, 1 „ fMs I
+-4 + Bs) + In (Ae + 2a)(ft2 -h 2c) J ' (2’5">
В частном случае h2=0 (рис. 2-7,e) из формул (2-48) или (2-49)
получаем:
Г 1 , л3 \ 1 /и, I
ь«“ 2г. [ 4 \Я3 61+ Л, 2 Сб + 1П (Й! + 2а)(Л3 + 2с) I
(2-51
Если шины одинаковые (hx — h3 = h, а ~ с), то
(h + 2a) Ра,?,
(2-52
где у! = /г + 3; ai = Yi + 2a; pi=Yi—2а; у6 = ^+у1; a6 = ^ + ai; p6 = Mpi
При 53 = 0 из формул (2-49) или (2-50) находим (рис. 2-7,лт)
?ХП/(С/2Г 1 2 2
= 2гс [ 4/z2/z4 (^1 At + ^2 А4) +
+ J о , 1 VA _ 1 /о -
+ 2 ^4 + in + 2a)(/l2 + 2с) J (2‘э‘
При расчете по приведенным выше формулам [Л. 9] разнос?
близких величин не появляются и высокая точность вычислений н
52
нужна. Влияние стального магнитопровода на индуктивность рассея-
ния можно учесть по методу зеркальных изображений [Л. 1, 7, 8].
Для этого заменяехМ поверхность стержня (роль которого больше,
чем ярм) плоскостью. Тогда при большой магнитной проницаемости
его влияние такое же, как и влияние на реальные обмотки i и / их
зеркальных изображений i' и j' с такими же токами (рис. 2-8). При
этом, учитывая, что g^, = ёц, и все токи одинаковы по размеру,
вместо (2-36) получаем:
~ + £/// — ~ —
2 2
„ 1 , &Ц
(2-54)
При концентрических обмотках расстояние gCj, мало отличается
от У^и'ёц' и» следовательно, магнитопровод слабо влияет на
индуктивность рассеяния. Если же обмотки ближе к стали, чем друг
к другу, то магнитопровод может вызывать существенное увеличение
индуктивности. В предельном слу-
чае, когда тонкие обмотки
дятся у поверхности стали,
= ёИ, gii' = gi И gjj'~gy т.
дуктивность с учетом стали
больше, чем при ее отсутствии.
Пример. Рассмотрим транс-
форматор с регулировочной зоной
нахо-
ёгу =
е. ин-
вдвое
•пП
НН
L_j I
14
Г’П I
ВН1
fJL=OQ
Рис. 2-8. Две обмотки и их
отражения от поверхности
стали.
вн2
0350
ZO^S '54
110
расчета
рассея-
Рис. 2-9. Пример
индуктивности
ния.
Трехфазный трансформа-
тор типа ТАМГ-3200/110,
мощность 3 200 кВ • А,
номинальное напряже-
ние НН 11 кВ, число
витков обмотки НН 420,
схема соединения Уо/Д.
53
5
6
1
2
3
в середине обмотки ВН, состоящей из двух симметричных частей
(рис. 2-9). Благодаря равенству токов частей 2 и 3 приведенные
токи связаны соотношением h — h — h = h = —0,5Л =—0,5/4- При этом
из выражений *(2-18) и (2-20) следует:
2 + ^К13 2 ^К14 ~Ь ^К15 + ^К16
__ ^К25______^к2б ^К36
4____________2 4
(2-55)
Учитывая симметрию частей 2 и 3, окончательно получаем:
J , ^К23 . J ^К1 1 __ ^К25 __ ^К26
— ^К12 4 Г ^К15 2 4 4 ’
(2-56)
где первые два члена (LKi2—0,25£к2з)—индуктивность рассеяния
при отсутствии магнитопровода.
Используя выражения (2-16) и (2-18) и определяя среднюю дли-
ну витка по полусумме средних диаметров обмоток, при данных по
рис. 2-9 получаем:
1 = jti[350 + 20 + 38 + 0,5 (38 + 2 • 54+110)] = л • 536 мм;
по формуле (2-50) выражение в фигурных скобках для обмоток 1 и 2
3 200 000 4тс
равно 1,185 и хк12 % = 2я-50- зТГПЖПтЮ ’ 10~7л0-536Х
Х4202 * 1,185 • 100 = 19,5%; аналогично для обмоток 1 и 5 имеем
Хк15 %=24,8%; по формуле (2-40) Хки % =5,4%; хк23 %=44,7%;
Хк25 % =33,8%; по формуле (2-48) хК2в % =51,5%. По уравнению
(2-56) находим: при отсутствии магнитопровода хк % = 19,5—
—44,7/4 = 8,3%; с учетом магнитопровода хк % =8,3 + 24,8—0,5 • 5,4—
-0,25 • 33,8—0,25 -51,5=9,1%.
Аналогичным образом можно учесть влияние стали верхнего и
нижнего ярм, отстоящих от обмотки 1 на 168 и 72 мм соответствен-
но. При этом хк % =9,5%.
Для сравнения выполнен расчет без учета регулировочной зоны
и различия в высотах обмоток, т. е. для случая по рис. 2-7,а при
h ---- 1 090 мм. Тогда хк1> 2j3 % — 8,1 %; хк1 5j6 % = 13,5 °/0;
XK2|J3, 5|J6 °/° — %® °/° и хк % — 8,95 %. Как видно, в данном
примере регулировочная зона и различие в высотах влияют менее
чем на 2%. Расчет по Роговскому для последнего случая дает 9,2%.
Как видно, метод принципиально очень прост и не требует расче-
та или даже качественного анализа поля рассеяния. Судя по неко-
торым опытным данным, точность этого метода не ниже, чем мето-
дов, основанных на коэффициенте Роговского, особенно при резко
смещенных в осевом направлении обмотках. Недостатком методе*
является лишь произвол в определении средней длины витка I или
среднего диаметра D, существенный при значительном влиянии
стержня. Видимо, до уточнения можно использовать среднее ариф-
метическое значение диаметра двух обмоток.
54
2-6. Расчет потерь короткого замыкания
Расчет активной составляющей сопротивления корот-
кого замыкания трансформаторов, как правило, ведут
через потери к. з. — см. (2-18).
Потери к. з. представляют собой сумму основных
потерь в токоведущпх частях и добавочных потерь, воз-
никающих в обмотках, магнитопроводе и других метал-
лических элементах конструкции трансформатора.
Основные потери определяются током данной об-
мотки или токоведущей части и ее электрическим со-
противлением, измеренным при постоянном токе. Токи
обычно можно определить по закону полного тока
(S/w = 0) и в случае параллельного соединения одина-
ковых частей обмотки из соображений симметрии. При
параллельном соединении неодинаковых частей обмоток
токи в них можно найти, например, с помощью рассмот-
ренных ниже схем замещения. В этих случаях токи
обычно не обратно пропорциональны электрическим со-
противлениям этих частей. Поэтому использование для
расчета основных потерь в такой обмотке ее электри-
ческого сопротивления со стороны внешних зажимов
может привести к значительной ошибке.
Рассмотрим в качестве примера основные потери
в обмотке НН однофазного трансформатора с регули-
ровочной обмоткой на боковом ярме (см. рис. 2-2).
Параллельно основной части обмотки НН внутри бака
присоединена компенсационная обмотка (КО). Прене-
брегая основными потерями в общих отводах и вводах,
на основе выражений (2-19) имеем:
Л»=ннн = Ъ r2 +I23 r3 =l2m r2 [ 1 + <7v'j I (1 +
(2-57)
где Pqch.hh — основные потери во всей обмотке НН; Гг
и гз — сопротивления обмоток ННосн и КО при постоян-
ном токе; 7; а = ад^(^з); w2\ w3 и w^ — см.
рис. 2-2 и § 2-2.
Если же использовать сопротивление со стороны за-
жимов НН гнн — г2Гз/ (г2 + г3), то потери /2ннГнн сущест-
венно отличаются от действительных потерь Р0Сн,нн.
='0ЧршНОСТИ’ если гз=Юг2, то гнн = 0,91 г2 и /2ннГнн =
— ,91/нн^ независимо от положения переключающего
55
устройства. На самом деле при qa, равных —16%,
— 10%; 0; +10% и +16%, рассматриваемые основные
потери равны соответственно (1,78; 1,36; 1,00; 0,91
и 0,93) /2ннГ2, т. е. погрешность расчета основных потерь
по измеренному сопротивлению со стороны НН в данном
примере доходит почти до —50%.
Для расчета и оценки основных потерь обычно ис-
пользуют формулу
1=1,2... /=1,2...
где Ц — ток на участке номер i; р и у — удельное со-
противление и плотность материала; //, Si и Wi — сред-
няя длина витка, сечение и число витков на i-м участке
(для отводов Wi= 1 или числу одинаковых отводов);
п — число участков; Ц — Iilsi — плотность тока на z-м
участке; G; —масса металла провода на z-м участке;
Ge —полная масса токоведущих частей; 7Ср — средняя
плотность тока в токоведущих частях (при среднеквад-
ратичном значении плотности тока формула точная,
а не приближенная).
Добавочные потери в токоведущпх частях склады-
ваются из потерь от циркулирующих токов, потерь от
вихревых токов в проводах обмоток, обусловленных осе-
вой и радиальной составляющими поля рассеяния, и
потерь от вихревых токов в отводах. Потери в элемен-
тах конструкции вызваны полем рассеяния, попадающим
в стенки, крышку и дно бака, в ярмовые балки, прес-
сующие кольца, нажимные пластины и крайние листы
активной стали магнитопровода, в стяжные шпильки
и т. д., а также магнитным полем отводов и вводов
в крышке или стенке бака.
По порядку значений добавочные потери в мощных
трансформаторах часто близки к основным, а в некото-
рых условных режимах, нужных для построения схем
замещения, могут в несколько раз превышать основные
потери. Однако расчет большинства видов добавочных
потерь относительно сложен [Л. 2]. Простые и достовер-
ные формулы имеются для потерь от вихревых токов
в относительно тонких проводах, вызванных осевой со-
ставляющей поля рассеяния в концентрических обмот-
56
ках трансформаторов [Л. 8], например:
= (2-59)
V
где Рв — потери от вихревых токов в обмотке; V — объем
провода обмотки; b—толщина провода (размер, пер-
пендикулярный направлению индукции); р — удельное
электрическое сопротивление материала провода; В —
действующее значение синусоидально изменяющейся
индукции.
При очень больших добавочных потерях в обмотках,
например в трансформаторах высокой частоты, расчет
потерь можно вести без разделения их на основные и
добавочные, непосредственно используя понятия «по-
верхностный эффект» и «глубина проникновения поля».
Однако в обычных силовых трансформаторах промыш-
ленной частоты такие случаи не встречаются.
Глава третья
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ С УЧЕТОМ
НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
3-1. Основные уравнения и общая схема
замещения трансформатора
При отсутствии емкостных токов и токов утечки
в изоляции /г-обмоточный трансформатор (рис. 3-1) опи-
сывает система из п уравнений:
ир—\lprp~\ fa~ > (3"1)
где ир, ip, гр и — напряжение, ток, электрическое
сопротивление постоянному току и потокосцепление
обмотки р; р = 1, 2, ..., п.
Потокосцепление Тр зависит от значений токов во
всех обмотках, от остаточного намагничивания магнит-
ных материалов и ввиду влияния вихревых токов от ско-
ростей изменения и предыстории всех токов 1Р.
Такая система уравнений практически неразрешима.
Если пренебречь влиянием вихревых токов (см. допу-
щение 2 в § 1-1), т. е. принять, что нет других контуров,
кроме рассматриваемых п обмоток, можно выразить
57
потокосцепление через токи f2, .ip, .in и
записать систему нелинейных уравнений. В этой системе
каждый коэффициент (индуктивность, сопротивление)
будет зависеть от всех параметров режима и изменяться
в ходе процесса. Соответственно будут нелинейными
индуктивности и сопротивления всех ветвей схемы за-
мещения, полученной на основе этих уравнений, и схема
окажется практически бесполезной. Однако для боль-
шинства реальных видов конструкции трансформаторов
можно принять упрощенные соотношения, при которых
нелинейными оказываются лишь некоторые из ветвей
схемы замещения. Более того,
Рис. 3-1. Многообмоточный
трансформатор.
1, 2, .... р, . . q, . . ., п — но-
мера обмоток; точками обозна-
чены начала обмоток.
высших гармоник тока
насыщения стали часто
реальная вебер-амперная ха-
рактеристика участков магнит-
ной цепи часто близка к кусоч-
но-линейной, и в течение каж-
дой части процесса цепь мож-
но считать линейной (различая
лишь статическую и динамиче-
скую индуктивности — см. ни-
же § 3-5).
В случае установившихся
процессов при переменном то-
ке, если нет необходимости
в учете формы кривой или
или напряжения, для учета
можно использовать метод
эквивалентных синусоид, например принимать, что на-
пряжения синусоидальны, а под токами понимать пер-
вые гармоники, эквивалентные реальным токам по пол-
ной и активной мощностям. Весь расчет ведется как
для линейной цепи, но можно учесть зависимость ком-
плексного сопротивления от напряжения или тока.
Можно также ввести генератор высших гармоник, ток
или напряжение которого зависит от напряжения на
соответствующей обмотке трансформатора, рассматри-
ваемой как источник этих гармоник.
С учетом сказанного запишем уравнения как для
линейной цепи, не отмечая в них различие статической
и динамической индуктивностей и ненулевые начальные
условия. Тогда
Т*р—Lpqiq\
Р=1
(3-2)
58
п п
иР = 1РгР + ^ЬРЧ-^-, или Up=JJzp?z?> (3-3)
q=\ q=[
где Lpq^Lqp—взаимная (при p~q—собственная) ин-
дуктивность обмоток р и q\ Zpg = rpq -}-Lpq-^- — опера-
тор [Л. 1].
При синусоидальных токах и напряжениях вместо
уравнения (3-3) имеем:
=£ Zpglg, (3-4)
<7=1
где Up и Iq — комплексные напряжение и ток в обмотках
р и q; Zpq = rpq + jxpq — взаимное сопротивление обмоток
р и q (при p = q — собственное сопротивление обмотки);
rpq— активная составляющая взаимного сопротивления,
учитывающая также потери в стали и добавочные поте-
ри (указанное выше допущение о пренебрежении вихре-
выми токами отпадает); при p = q учитывается также и
сопротивление обмотки постоянному току rq, xpq—ин-
дуктивное взаимное сопротивление обмоток, xpq = (£)Lpq.
Все указанные выражения в равной мере применимы
как непосредственно к оригиналу, так и к «приведенно-
му» трансформатору.
Число независимых сопротивлений Zpq (или операто-
ров zpq) в рассматриваемой системе уравнений равно
числу сочетаний по два из п различных элементов плюс
п собственных сопротивлений:
с2 4-я— п' 4-Й —п(п + 1)
2! (п—2)! ~' 2
Не меньшее число сопротивлений должно быть в схе-
ме замещения. Именно такое число ветвей содер-
жит полный (n+1)-угольник (рис. 3-2,а), т. е. мно-
гоугольник, имеющий п+\ сторону и все возможные
диагонали:
(я + 1) (л + 1 — 3) _п(п+1)
2 2
Следовательно, полный (п4-1)-угольник на рис. 3-2,а
может явиться схемой замещения /г-обмоточного транс-
форматора. Схемой замещения может быть не только
59
Рис. 3-2. Схемы замещения n-обмоточиого трансформатора с учетом
намагничивающего тока.
а — полный (/г + 1)-угольник; б — полный (n+1)-угольник с вынесенными элек-
трическими сопротивлениями обмоток и графически выделенными ветвями
намагничивающего тока.
полный многоугольник, но и схема любой другой конфи-
гурации, содержащая не менее п(лг+1)/2 независимых
(не сводящихся тождественными преобразованиями
к меньшему числу) ветвей, при соответствующем выборе
параметров ветвей. Ряд таких схем рассмотрен в §4-L
Параметры ветвей схемы замещения должны быть
такими, чтобы схема удовлетворяла уравнениям (3-3)
или (3-4). При этом уравнения оригинала всегда могу г
60
быть приведены к уравнениям схемы замещения с помо-
щью тождественных преобразований, из которых непос-
редственно вытекают формулы, однозначно связываю-
щие сопротивления ветвей схемы замещения с собствен-
ными и взаимными сопротивлениями обмоток.
Трансформатор (рис. 3-1) имеет 2п зажимов. Для
создания схемы замещения соединим вместе по одному
зажиму каждой обмотки в общий зажим, который обоз-
начим цифрой «нуль». Совместим его с одной из вершин
схемы замещения, например, многоугольника (рис. 3-2,а).
Остальные п зажимов совместим с остальными п верши-
нами (/г+1)"Угольника- Напряжение обмотки р прило-
жено между вершинами О и р схемы замещения, ток
обмотки р входит в вершину р.
Можно связать параметры ветвей схемы замещения,
присоединенных к зажиму О, с параметрами отдельных
участков магнитной системы трансформатора. Разобьем
магнитопровод на участки соответственно расположению
обмоток и предположим, что магнитный поток в сечении
участка р равен потокосцеплению ближайшей к нему
обмотки р, деленному на ее число витков.
Приведем все обмотки к одному числу витков. Тогда
суммарный ток в зажиме О пропорционален н. с. по
замкнутому контуру, охватывающему все обмотки, т. е.
сумме н. с. всех рассматриваемых участков:
—(F)Hdl= —У ГНсЛ,
w у w с \
или
(3-5)
Это дает возможность выбрать параметры ветви, сое-
диняющей вершины О и р, так, чтобы по ней проходил
ток /ор, соответствующий н. с., нужной для замыкания
по^участку р указанного магнитного потока при реаль-
ной магнитной характеристике (зависимости потока от
н. с.) этого участка.
Остается связать состояние участка р и ветви Ор
с напряжением на обмотке р. Для этого вынесем элек-
61
трическое сопротивление постоянному току обмотки р
в отдельную ветвь, присоединенную к вершине
Гг,..., гр,..., гп на рис. 3-2,6), и пренебрежем влиянием’
добавочных потерь на потокосцепления обмоток. Тогц
t
Фр^ = Тр= 5rp(t=0) + J(^P— ipfp) dt
о
или
Фрда==Фр= ' (ёр_/рГр). (з-б)
Следовательно, зависимость интеграла напряжения
на ветви Ор от тока <в ней должна совпадать с магнит
ной характеристикой участка р магнитопровода, а со-
стояние (степень насыщения) участка определяется по-
токосцеплением обмотки р.
Для определения параметров остальных ветвей, не
присоединенных к зажиму О, удобно принять, что маг-
нитная проницаемость всех участков магнитопровода
бесконечно велика. Тогда намагничивающие токи /,ч
равны нулю, и все ветви zQp (рис. 3-2,6) можно опустить.
Оставшаяся часть схемы является полным п-угольником
и 'Содержит п\(п—1)/2 ветвей. Эта схема изучения в § 4-1
Поскольку в реальном трансформаторе не каждая из
п обмоток имеет «свой» участок магнитопровода, доста-
точно нескольких нелинейных сопротивлений г0Р. Напри-
мер, в многообмоточном однофазном одностержневом
(с боковыми ярмамп) трансформаторе с концентриче-
скими обмотками согласно допущению 3 из § 1-1 доста-
точно двух таких ветвей: у внутренней обмотки для уче-
та намагничивания стержня и у наружной обмотки для
учета намагничивания ярм, а остальные ветви гор (где
2^Ср^л—1) можно опустить.
Иногда появляется желание иметь только одну ветвь
намагничивающего тока. Для этого можно было бы пре-
образовать полный (n+1)-угольник (рис. 3-2,в)
в (п+ 1)-угольник с уменьшенным до 0,5п(п+1) -
—2(п+*1) = 0,5(n + 1) (п—4) числом диагоналей, межд\
каждым из углов которого и внешним зажимом вклю-
чено сопротивление (точнее, оператор z или комплекс-
ное сопротивление Z). Значения сопротивлений опреде-
ляются по методу [Л. 10]. Так как при таком преобразо-
вании остается неясным, сопротивления каких ветвей
62
$удут существенно нелинейны, рекомендовать такую схе-
1ду в общем случае не представляется возможным.
В качестве расчетного приема иногда может быть
удобно ввести дополнительную фиктивную обмотку но-
М^Р с током, равным намагничивающему. Это дает
возможность рассматривать все магнитное поле /г-обмо-
точного трансформатора как поле рассеяния (п+^-об-
моточного трансформатора и использовать методы ана-
лиза и расчета, основанные на предположении об отсут-
ствии намагничивающего тока. Указанную обмотку мож-
но представить как очень тонкую (с малыми размерами
витка) равномерную замкнутую накоротко обмотку без
сопротивления со сведенными вместе торцами, сцеплен-
ную со всеми рассматриваемыми реальными обмотками.
Это может быть тонкий замкнутый пояс Роговского
с? короткозамкнутой сверхпроводящей обмоткой, охва-
тывающий все витки всех реальных обмоток, например
расположенный рядом с магнитопроводом однофазного
трансформатора. Взаимная индуктивность этой фиктив-
ней обмотки с любой из реальных обмоток (приведенная
^ базисному числу витков) будет равна ее собственной
индуктивности, так как при питании этой обмотки током
внешнее магнитное поле не возникает. При наличии та-
КОЙ обмотки из условий
> ' п + 1
t/n + 1 Л (n + i)p^* р О И Z (п + 1)1 ~
Р=1
••• == 2 (п + 1)р ... = Z (п + 1)п Z (п + 1)(п + 1)
следует:
п + 1
Р=1
т+е. характерный признак поля рассеяния.
•Все сопротивления к. з. пар реальных обмоток от
введения фиктивной обмотки, конечно, не изменяются,
а сопротивления к. з. между фиктивной обмоткой и ре-
альными равны собственным сопротивлениям последних
(^K(n+i)p = Z/pp).
Следует еще раз обратить внимание на то, что основ-
ные трудности обычно связаны не с громоздкостью вы-
числений [при использовании ЦВМ это не играет замет-
вой роли и система исходных уравнений типа (3-3) или
(3-4) часто удобнее, чем система уравнений схемы за-
63
(3-7)
(3-8)
мещенпя], а с возможностью определения исходных дан-
ных для решения задачи. Именно для наглядного пред-
ставления задачи, приводящего к формулированию до-
полнительных допущений и уменьшению числа данных,
нужных для решения, чаще всего и требуются схемы за-
мещения.
3-2. Построение электрической схемы замещения
трансформатора по схеме его магнитной цепи
Если схему магнитной цепи трансформатора можно
изобразить на плоскости без пересекающихся ветвей, ею
электрическую схему замещения можно построить по
простым формальным правилам дуального преобразова-
ния цепей [Л. 11].
По этим правилам каждый контур магнитной цели
нужно заменить узлом электрической схемы замещения.
Каждая ветвь магнитной цепи принадлежит двум конту-
рам, т. е. по разные стороны от ветви имеются два узла
электрической цепи. Эти узлы нужно соединить между
собой параллельными ветвями, число которых равно
числу элементов в ветви магнитной цепи. При этом каж-
дое магнитное сопротивление заменяется соответствую-
щей ему индуктивностью, а источник н. с. или магнит-
ного потока — источником тока или напряжения соглас-
но выражениям
L ; I = —iw\ и' = w6--TT- (3-9
6 "м ’ dt 4 '
с соответствующими номерами, где wq — базисное число
витков, к которому приведены все обмотки.
При синусоидальном токе вместо (3-9) имеем:
Z' = jwie? Uf — дж»бФ. (3-10)
Переход к источнику, присоединенному к внешним
зажимам обмотки, требует введения в схему замещения
приведенного электрического сопротивления обмотки
rw2§lw2. На рассматриваемых ниже схемах оно считает-
ся внутренним сопротивлением источника и не показано.
После преобразования уравнения баланса магнитных
потоков в узлах магнитной цепи превращаются в урав-
нения баланса напряжений в контурах схемы замеще-
ния, а уравнения баланса и. с. в контурах магнитной це-
64
Рис. 3-3. Простейшие электромагнитные устройства с параллель
ным (а) и последовательным (б) соединениями участков магнитной
цепи, их схемы магнитных цепей (виг) и электрические схемы за-
мещения (дне).
пи — в уравнения баланса токов в узлах схемы замеще-
ния. Например, идеальные устройства по рис. 3-3,а и б
с бесконечно большой магнитной проницаемостью маг-
нитопровода при отсутствии магнитных потоков вне ста-
ли имеют схемы магнитных цепей соответственно по
рис. 3-3,в и г и схемы замещения по рис. 3-3,д и е. Как
видно, уравнениям
Ф1 + Фг + Фз + Ф4 = 0 и iiwi = i2W2 = hW3=UWik
магнитной цепи на рис. 3-3,в соответствуют условия
§—685
+ и'2 + и'з~\~ и\ = 0 и ifi = i'2 = if3 — i\
65
электрической схемы рис. 3-3,д. Для схемы на рис. 3-3 г
и е имеем соответственно:
ф1 = ф2=ф3=ф4 и /i^i + z2^2 + f3w3 + Z4W4 = 0;
U 1 = 11^2 == и'з = и\ И i\ + fZ2 + fZ3 -J- iZ/4 = 0.
Возможно также обратное преобразование электри-
ческой схемы в соответствующую ей магнитную цепь по
таким же правилам.
6)
Рис. 3-4. Трехстержневое трехобмоточное электромагнитное устрой-
ство (а), схема его магнитной цепи (б), построение электрической
схемы замещения (в) и полученная схема замещения (г).
Л Л 4 4 4 4
Рассмотрим электромагнитное устройство с тремя
обмотками (без сопротивления) на трех разных стерж-
нях магнитной системы (рис. 3-4,а). Заменим части ярм
у их стыков со средним стержнем на узлы магнитной
цепи. Предположим, что магнитное сопротивление (про-
водимость) пространства снаружи обмоток для потоков
от ярма к ярму присоединено к этим узлам, а других
потоков вне стали нет. Тогда получаем схему магнитной
цепи рис. 3-4,6. Приведем обмотки к одному числу вит-
ков и применим изложенные выше правила преобразо-
вания. Для этого на рис. 3-4,в пунктиром повторим схе-
му магнитной цепи рис. 3-4,6. В каждом контуре (участке
плоскости, на которой изображена схема магнитной цепи)
66
!^авйм узел. Затем через каждый элемент каждой
ри проведем ветвь, присоединенную к узлам. В вет-
пересекающих магнитные сопротивления, изобразим
йотивления, в ветвях, пересекающих источники, пока-
j источники. Расставим номера и обозначения эле-
пгов. Затем полученную электрическую схему заме-
шя перерисуем в более удобной форме (рис. 3-4,г),
рис. 3-5 даны еще два примера подобных схемза-
(1Я для шестиобмоточного и четырехобмоточного
ств с двумя боковыми ярмами.
: видно, такой подход в обще^м случае приводит
звольному соединению источников (сторон, обмо-
а схеме замещения (рис. 3-5,в), тогда как для
орматоров привычны только схемы с одним об-
злом для всех сторон по типу рис. 3-3,е. Чтобы
ть такие схемы непосредственно дуальным преоб-
яием магнитной цепи, нужно иметь возможность
вать н. с. всех обмоток одним контуром
Р5,г, д). Если этот контур проходит через все уз-
нитной цепи и, кроме того, его возможно изобра-
1ружным (рис. 3-5,е), то схему замещения можно
зить с общим узлом для всех источников, при-
ема будет содержать только сопротивления, вклю-
параллельно источникам или между одноимен-
ными зажимами соседних источников (обмоток),—
Ж -3-5, ж.
всегда возможно в одно- и двухстержневых
^реформаторах, не имеющих обмоток на боковых яр-
Мах, т. е. почти во всех однофазных трансформаторах,
^ехфазные трансформаторы при установившихся про-
весах часто можно рассматривать как три одинаковых
^нофазных, разложив токи (напряжения, потоки) на
ЗЙмметричные доставляющие прямой, обратной и нуле-
последовательностей.
' В случаях, когда изложенным способом певозмож-
НФйзобразить схему замещения с общим узлом для всех
срочников, не удается сформулировать определение
Понятия «намагничивающий ток», пригодное для всех
возможных режимов. Более того, становится неясным
Понятие «коэффициент трансформации». В частности,
при одинаковых числах витков в устройстве на рис. 3-4,а
отношения напряжений холостого хода сильно отличают-
ся от единицы. В случае^/?М1 = ^мз и /?М4 = оо при возбуж-
дении обмотки 2 имеем t/i/t/2 = ^3/^2 = V2, а при воз-
5*
67
1 7 10
Рис. 3-5. Многообмо-
точные многостержне-
вые электромагнитные
устройства (а иг), их
схемы магнитных цепей
при отсутствии магнит-
ных потоков вне магни-
гопровода (б и д, е) и
электрические схемы за-
мещения (в и ж).
1, 2, 10 и 1, 2, .... 9 —
участки магнитопровода;
& И /4;, ^2»
«1, а2 " обмотки; /?м — маг-
нитные сопротивления уча-
стков магнитопровода; Z —
сопротивления; Z=/to&y26//?M„
Суждении обмотки 1 имеем 1 > [72/[Л>’/2 и х12>^з1У\>
g>0 (если окно квадратное и магнитная проницаемость
Постоянна, то U2lUi = 3l!> и £А/£Л = Vi)- В таких случаях
Сложно создать «трансформаторную» схему замещения
£ числом элементов, превышающим число элементов
3 магнитной цепи, в частности, с числом ветвей, равным
0,5n(n+1), — см. § 3-1.
При известной магнитной цепи можно составить си-
стему ее уравнений, совпадающую с системой уравнений
электрической схемы замещения, и схема замещения не
'нужна для облегчения решения задачи. Например,
.^устройство на рис. 3-4 описывают уравнения
Ь ii Wi — Ф1А’м1 = I2W2—<W?M2 = I3W3—Фз^мз =
= (Ф1 + Фг + Фз)^?м4л
Обычно решаемые не слишком сложно, особенно если
заданы магнитные потоки Фь Ф2 и Ф3 или соответствую-
щие электрические напряжения. Однако такой подход не
Цспользует внешние электромагнитные характеристики
трансформатора, хотя некоторые из них, например на-
пряжения к. з. пар основных обмоток, известны с гораз-
до более высокой точностью, чем магнитные сопротивле-
ния воображаемых условных участков магнитного поля.
В то же время для формального использования под-
хода по методу § 3-1 необходимо знать все п(п+1)/2
внешних параметров, большинство из которых не из-
вестно с достаточной точностью. Поэтому целесообразно
использовать имеющиеся сведения о внутреннем устрой-
стве трансформатора и на их основе составить прибли-
женную схему магнитной цепи, от которой можно перей-
ти к упрощенной схеме замещения. Затем параметры
Элементов этой схемы следует определять по внешним
Параметрам трансформатора или по геометрическим раз-
мерам и свойствам материалов участков его магнитной
Цепи (в зависимости от того, какой метод точнее и удоб-
нее), а лучше всего — комбинируя эти два метода.
3-3. Схема замещения двухобмоточного
трансформатора
Двухобмоточный трансформатор как четырехполюс-
ник может быть заменен Т-, П- и Х-образной схемами
(рис. 3-6) [Л. 1].
69
Однако до последних лет в большинстве работ
о трансформаторах рассматривалась лишь Т-образная
схема замещения с одной ветвью намагничивающего то-
ка. Это объясняется, по-видимому, тем, что инженерам-
электрикам более привычны понятия «сопротивление» и
«источник напряжения», чем «проводимость» и «источ-
ник тока». История вопроса и список литературы имеем-
ся в [Л. 12]. Здесь подчеркнем лишь, что еще в 1935 -
Рис. 3-6. Двухобмоточный трансформатор (а) и его Т-образная (б),
П-образная (в) и Х-образная (г) схемы замещения.
1938 гг. Е. Г. Марквардт и др. [Л. 13] и в 1952 г.
А. И. Вольдек [Л. 14] подробно анализировали недостат-
ки Т-образной схемы. В частности, отмечались отсутст-
вие так называемых «потоков рассеяния отдельных об-
моток» и, следовательно, бессмысленность понятий
«индуктивности рассеяния отдельных обмоток», приме-
няемых в Т-образной схеме. Подобные же выводы вы-
текают из опытных данных [Л. 15].
Х-образная схема заметных достоинств не имеет,
а для трехфазных цепей опа совсем неудобна. Поэтому
проведехМ сравнение широко распространенной Т-образ-
ной и рекомендуемой ниже П-образной трехэлементных
схем замещения двухобмоточного трансформатора и со-
ответствующих им -схем магнитных цепей, обратив осо-
бое внимание на допущения, приводящие реальный
трансформатор к одной из этих схем.
Основные уравнения двухобмоточного трансформато-
ра можно с равным правом записать как через собст-
70
Ценные и взаимные сопротивления обмоток (сторон че-
рярехполюсника) Zib Z22 и Zi2, так и через собственные
взаимные проводимости четырехполюсника Гц, У22 и
^12 — см. системы уравнений (3-11) и (3-12) в табл. 3-1.
Проводимости не являются просто величинами, обрат-
ными сопротивлениям (измеряемым или рассчитывае-
мым в опытах х. х.), а представляют собой отношения
доков к напряжениям при замкнутой накоротко одной из
^бмоток (сторон четырехполюсника), т. е. в опытах к. з.
к Простые подстановки (3-13) и (3-14) приводят эти
сравнения к формам (3-15) и (3-16), которым соответст-
вуют Т- и П-образная электрические схемы замещения
Врис. 3-7,а и б). В общем случае каждый из трех пара-
метров (элементов) каждой схемы нелинеен и зависит
Бг обоих токов или напряжений. Уравнения (3-11) —
13-16) одинаково приемлемы при любых коэффициентах
Приведения. Далее, приводя все параметры в уравнениях
Модному числу витков w и используя подстановки (3-17)
к (3-18), получаем уравнения (3-19) и (3-20), которым
^гласно § 3-2 соответствуют схемы замещения магнит-
Ых цепей на рис. 3-7,в и г, где Ф = [7//со^ — условные
Комплексные магнитные потоки обмоток, учитывающие
|ртери в обмотках; Iw—и. с. обмоток; со—угловая ча-
Цота; GM и — комплексные магнитные проводимости
^сопротивления (учитывающие электрические сопротив-
ления обмоток).
В Этим уравнениям и схемам соответствуют простей-
шие устройства на рис. 3-7,д и е, причем каждое из них
Вдержит три участка магнитной цепи и две обмотки
fcta рис. 3-7,6 и е принято, что через незаштрихованные
Области магнитные потоки не проходят).
Ц' Изложенный путь не является единственно возмож-
ем. Например, можно использовать преобразования
ректрических схем замещения в дуальные им электри-
ческие схемы. В частности, П-образную схему на
рс. 3-7,6 можно получить из 3-7,а преобразованием
|везды в треугольник или из выражений (3-11), исполь-
Вя вместо (3-14) более громоздкие и менее удобные
подстановки:
у 1 ^11^22 ^12. У 1 ^11-^22 ^]2ф
^01 ~у 7 7 ' * ^°2 ~V 7 7 »
/ 01 Л22 "12 '02 А11 ^12
ZB=Y~= Z"Z»~Z\ (3-21)
f И ^1?
71
Таблица 3-1
Соотношения между параметрами двухобмоточного трансформатора и его Т- и П-образной схемами
замещения и схемами магнитной цепи
Соотно пения Форма электрической схемы замещения
Т-образная П-образная
Исходные (рис. 3-6, г/) l\Zx j 4- /22j2; | (311) ^2 = /1^21 4~ Л^22 1 Л-^.Уп+^ЩЩ /2=i/,y2. + u2y22 I
Связывающие рис. 3-6, < рис. 3-7,а и б — см • ** • см см N N № N N + + ' i; 1 I _ ~ см © ° СМ СМ ~ см N N N N N L 'L " _ н 11 г ч ~ , 04 - ё <=> я я N N S N N N (3-13) 1 Ги-Уо.+ r„; У22 = У02 +у„; У12 = У г 1 ~ " Тт ’ или ( (3-14) Уп— У,2 -У21; Уо. -=Ул + У12; У02 == У22 + У,2
Соответствующие рис. 3-7,(1 и б ~ = Л^к1 + (Л + Л)20; ) (3 15) — Л^К2 + (Л + Л) -^0 । /1=C,y01 + (f/l-C2)yn; | /2-С2Уо2 + (^2-б'1)У., 1
Связывающие рис. 3-7,а и б" с рис. 3-7,в и г 2„ GM12jo>ay2; 1 ZK1 - GM,/Wffi.2; (3-17) 2к2 GK2jww- I ^м127^2; ] Го1 ~ ^м1/ j^^'2 г (3-18) То2 ~ ^M2/7W^'2 J
Соответствующие рис. 3-7,в и г и рис. 3-7,0 и е Ф1~ Л^1СМ1 + (/]wx + /2tC’2) Gm12; 1 з Ф2 — 72^2Gm2 +(/1^1 + /2^2)^М12 J / 1tC’1 = Ф,/?м1 4- (0J Ф2)^М12> | /2W2 Ф‘2^м2 + (Фг Ф]) ^М12 1
Как видно, формально Т- и П-образная электриче-
ские схемы замещения двухобмоточного трансформато-
ра равноправны, хотя им соответствуют разные электро-
магнитные системы — рис. 3-7,д и е. Выясним, к какой
из этих двух систем ближе реальный трансформатор.
рис. 3-7. Т-образная (а) и П-образная (б) электрические схемы за-
мещения, применяемые для двухобмоточного трансформатора, логи-
чески соответствующие им схемы магнитной цепи (виг) и принци-
.М пиальные схемы устройства (дне).
У При этом следует иметь в виду, что в устройстве с пе-
ременной магнитной проницаемостью в общем случае
Шждый из параметров (индуктивности и взаимные ин-
дуктивности, сопротивления, проводимости) зависит oi
|М>ков или потокосцеплений всех обмоток. Практически
73
полезной и удобной будет лишь такая схема замещения,
в которой параметры каждой из ветвей с приемлемой
точностью зависят только от одного аргумента и извест-
ны пути однозначного определения параметров ветвей
по конструктивным данным трансформатора или по его
опытным характеристикам (желательно по опытам х. х.
и к. з.).
Рассмотрим реальный трансформатор с двумя кон-
центрическими обмотками (рис. 3-8,а). Картина магнит-
ного поля в его окне (рис. 3-8,6) весьма сложна и не
Рис. 3-8. Принципиальное устройство (а), картины магнитного поля
в окне (б, в) и варианты модельных задач (г, д, е) двухобмоточно! о
трансформатора.
поддается простому анализу. Еще сложнее картина поля
вне окна и в магнитной системе. Магнитные проницае-
мости участков магнитного поля различаются на не-
сколько порядков, и в формулы, например (3-13) и
(3-14), входят разности близких величин, каждая из ко-
торых вычисляется приближенно. Поэтому необходимо
привести реальный трансформатор к виду (к модельной
задаче), доступному для точной математической обр.н
74
Ж)тки, а именно к такому виду, при котором интеграль-
ные характеристики участков поля (например, магнит-
ные сопротивления) поддаются очень точному расчету
ЙЛИ входят в разные уравнения совершенно одинаково.
Дри этом появится возможность вместо вычисления раз-
ностей близких величин раскрывать неопределенности
непосредственно в формулах. Для этого достаточно при-
нять, что в пределах объема обмоток и канала рассея-
НИЯ магнитные линии параллельны оси (рис. 3-8,в) и
tpo картины магнитного поля внутри внутренней и сна-
ружи наружной обмоток не зависят друг от друга.
Д Сформулируем допущения:
.р 1. Имеются узлы магнитных потоков, например вооб-
ражаемые кольца Т-образного сечения на рис. 3-8,г, пе-
рекрывающие торцы обмоток и канала между ними, из
Материала с бесконечно большой магнитной проницае-
Цостью ц.
2. Имеются цилиндрические поверхности (показан-
ные на рис. 3-8,г пунктирными линиями), не пропускаю-
щие через себя магнитные потоки. Для тонких или рав-
номерных (доходящих до плоскостей Т-образных колец)
обмоток достаточно двух таких поверхностей: у внут-
ренней поверхности внутренней обмотки и у наружной
фверхности наружной обмотки (рис. 3-8,д).
7*:'3. Имеются четкие границы между участками 1 и 2
Магнитного поля вне трансформатора (например, по-
верхность, показанная на рис. 3-8,г линиями из жирных
Щчек).
5г 4. Проводящих контуров и деталей (кроме обмоток)
вытеснением магнитного поля из проводов обмоток
Ложно пренебречь.
Указанные допущения сводят расчет трехмерного
Йектромагнитного поля к расчету одномерного (завися-
. fero от одной координаты) поля в сечении обмоток и
^расчету магнитной цепи с сосредоточенными парамет-
||ми в остальных областях (т. е. по существу к расче-
магнитных сопротивлений 7?м или проводимостей GM
^астков поля). Эту задачу удается свести к расчету
ЩЛктРической схемы замещения с пятью сосредоточен-
В«и параметрами. Хотя задача по рис. 3-8,г поддается
огому решению, примем два дополнительных допу-
Й^ния, чтобы избежать громоздких выкладок:
5. Добавочные потери отсутствуют.
6. Обмотки тонкие (рис. 3-8,д).
75
Роль радиального размера обмоток и добавочных
потерь в них можно учесть по методу, подробно рас-
смотренному ниже или в [Л. 2].
Кроме того, выделим в отдельные члены уравнений
падения напряжения в электрических сопротивлениях
обмоток и, г2 и изобразим приведенные электрические
сопротивления постоянному току отдельно на схеме за-
мещения, так как эти сопротивления загромождают вы-
ражения проводимостей в (3-12), (3-14) и (3-16).
В результате для тонких обмоток без потерь получа-
ем устройство на рис. 3-8,д, полностью соответствующее
рис. 3-7,е и, следовательно, цепям с сосредоточенными
параметрами на рис. 3-7,г и б. Если учесть основные по-
тери в обмотках, вместо (3-12) и (3-16) имеем выраже-
ния:
/, = (Ц - /.г.Ц,, + (U2 - 12г2) Г12;- )
i2 (U. - /,г,) y12 + (U2- i2r2) YJ Ц
и
+ | (323)
/2 = ((72_72г2)у02 + [({72_/;г2) _([7,_/1г1)]уП) j
которым соответствует электрическая схема замещения
рис. 3-9,а или, если пренебречь потерями в стали,
рис. 3-9,6. При этом полностью остаются в силе выраже-
сь) Ю
Рис. 3-9. Схема замещения упрощенного двухобмоточного трансфор-
матора (по рис. 3-7,е или 3-8,6) с учетом (а) и без учета (б) потерь
в стали.
ния (3-14), (3-18) и (3-20). Буквы и Ф2 обозначают
уже не условные, а истинные магнитные потоки обмоток
1 и 2, и становится возможным четкий переход к мгно-
венным значениям (рис. 3-9,6):
t
или~Ф = Ф|=о+-^-^ — ir)dt. (3-24)
о
76
Так как магнитное сопротивление канала между об-
мотками /?М12 постоянно, а состояние (степень насыще-
Ния стали) каждого из двух нелинейных элементов /?М1
и Ям2 однозначно определяется одним из потоков Ф1 и
ф2, то соответственно постоянны сопротивление Zri и ин-
дуктивность £п в электрической схеме замещения
(рис. 3-9), а каждая из проводимостей У01 и У02 или ин-
дуктивностей £oi и Ао2 зависит только от «своего» маг-
нитного потока-
Для расчета характеристик участков магнитной цепи
можно использовать методы, изложенные в § 2-1, под-
разумевая под длиной магнитной линии /м длину рас-
сматриваемого участка. При затруднениях в расчете
можно ввести воображаемые протяженные плоские яр-
ма (диски) с бесконечно большой магнитной проницае-
мостью, прилегающие к торцам тонких равномерных
равновысоких обмоток, — рис. 3-8, еа Тем самым затруд-
нения переносятся на стадию выбора длины магнитной
яинии /м, а собственно расчет становится очень про-
стым— см. формулу (3-32).
Для обычного трансформатора при ненасыщенной
стали вопрос о форме схемы замещения имеет лишь ме-
тодическое значение. В стандартных сухих и масляных
силовых трансформаторах (в том числе трехобмоточных
и с повышенным значением напряжения к. з.) отноше-
ние сопротивления х. х. к сопротивлению к. з. при номи-
нальных условиях согласно ГОСТ 14074-68, 12022-66,
11920-66, 12965-67, 17546-72, 15957-70, 17545-72-и 17544-72
не должно быть меньше 350, а с учетом до-
пусков— 240. Если же рассматривается режим с резко
пониженной индукцией в магнитопроводе (например,
опыт к. з. или проверка коэффициента трансформации
при испытаниях), магнитная проницаемость стали ока-
зывается намного выше и отношение сопротивлений бу-
дет намного больше указанных значений. Поэтому раз-
ница между Т- и П-образной схемами, как и между раз-
ными значениями ’коэффициента приведения, совершенно
незаметна, и следует пользоваться простейшими Г-об-
разными схемами замещения или даже опускать ветвь
намагничивающего тока.
Например, если трансформатор с током х. х. 10% и
напряжением к. з. 5% заменить простейшими Г-образ-
ными схемами с ветвью zQ со стороны обмотки 1 или 2,
определяя сопротивления их элементов непосредственно
77
по простейшим формулам
<7Н % ? _7 _ и« u^Q/«
г'~~/Т 4 % “ к " Л. Ro «/»’
(3-25)
то при номинальной нагрузке расчет токов и напряже-
ний по этим схемам дает погрешность менее 0,5%,
а расчет мощности — менее 0,02%.
В обычном трансформаторе с равномерными концен-
трическими обмотками, как правило, ярма насыщены
слабее стержней, а длина их меньше, чем стержней. При
насыщении стали площадь пути для магнитных потоков
между стержнем и внутренней обмоткой гораздо мень-
ше, чем для потоков за наружной обмоткой вне ярм.
Поэтому ветвь z0 следует включать со стороны внутрен-
ней обмотки.. По аналогичным причинам в случае двой-
ной концентрической обмотки ветвь следует включать
со стороны этой обмотки. Такая Г-образная схема по-
лезна и достаточна, в частности, для расчета режимов
работы многих видов измерительных трансформаторов,
силовых трансформаторов и автотрансформаторов при
перевозбуждении, трансформаторов с глубоким (до ну-
ля) регулированием напряжения, для расчета тока к. з.
автотрансформаторов при замыкании общей обмотки.
Рассмотренные схемы относятся к однофазным транс-
форматорам и к режимам с токами и потоками прямой
и обратной последовательностей трехфазных трансфор-
маторов. В последних, если имеются обмотки с выведен-
ной нулевой точкой, могут иметь место режимы с тока-
ми нулевой последовательности. Для таких режимов
магнитное сопротивление от ярма к ярму снаружи обмо-
ток гораздо больше, чем внутри (по стержням). Поэто-
му ветвь z{} будет включена со стороны наружной обмот-
ки. При этом в схеме замещения сопротивление 2П прак-
тически совпадает с обычным сопротивлением к. з., zQ
при отсутствии боковых ярм на несколько порядков
меньше сопротивления х. х. и соизмеримо с сопротивле-
нием к. з. Если трансформатор содержит обмотки, сое-
диненные в треугольник, в схеме замещения*для токов
нулевой последовательности зажимы, соответствующие
этим обмоткам, должны быть замкнуты накоротко.
Полная П-образная схема замещения для практиче-
ских расчетов нужна очень редко, лишь в режимах, ког-
да ярма насыщаются сильнее (или раньше), чем стерж-
ни. Однако эта схема необходима для оценки погрешно-
78
Стей при переходе к упрощенной Г-образной схеме и для
ясного понимания связи параметров магнитной системы
И обмоток с параметрами каждого из трех элементов
схемы замещения: при приведении обмоток к одному
числу витков сопротивление zn отражает канал между
обмотками, a zOi и Z02— области пространства внутри
внутренней и снаружи наружной обмоток.
Для трансформаторов с чередующимися обмотками
(относительно мало распространенных) четкого соответ-
ствия нет и приемлемость допущений, аналогичных при-
веденным выше, менее очевидна. Поэтому такие транс-
форматоры, если для них возникнет необходимость
в уточнении схем замещения, требуют особого рассмот-
рения. Однако, как показывает предварительный ана-
лиз, и они, видимо, ближе к П-образной схеме замеще-
ния, чем к Т-образной.
Для Т-образной схемы до сих пор не удалось дать
столь же наглядной связи параметров схемы и участков
пространства в трансформаторе, хотя такие попытки не-
однократно делались. При этом пытались рассматривать
Згак называемые «потоки рассеяния отдельных обмоток»
й «индуктивности рассеяния отдельных обмоток». Одна-
ко этот путь для реальных трансформаторов совершенно
бесплоден, так как значения zKi и zK2 могут значи-
тельно меняться при изменении режима работы транс-
форматора из-за насыщения тех или иных участков маг-
нитной системы. Более того, эти значения могут суще-
ственно изменяться даже в течение одного периода из-за
•сдвига по фазе потоков в стержне и ярме. Схема за-
мещения, в которой меняются все три элемента (хотя
сумма двух из них Zki + Zk2 = 2k остается постоянной),
практически неприемлема, и указанные представления
бессмысленны.
Т-образная схема может быть полезна лишь в исклю-
чительных случаях: для трансформаторов с магнитными
.шунтами, приближающимися по устройству к рис. 3-7,д;
для агрегатов с последовательно включенными реакто-
рами; для автотрансформаторов с расположением после-
довательной обмотки ближе к стержню (причем сопро-
тивление ветви схемы со стороны высшего напряжения
существенно отрицательное — см. [Л. 2, стр. 294]); для
трансформаторов без магнитной системы.
Все известные опытные данные не противоречат при-
веденныхм положениям и рекомендациям. Однако в рас-
79
чете характеристик пока не все коэффициенты полностью
обоснованы опытными данными, особенно при сильном
и очень сильнохм насыщении стали — см. [Л. 12].
3-4. Схема замещения многообмоточного
трансформатора с концентрическими обмотками
Практически все отечественные и почти все зарубеж-
ные мощные многообмоточные (в том числе трехобмо-
гочные) трансформаторы выполняют с концентрическим
расположением обмоток. В них почти всегда можно раз-
делить все магнитное поле на участки, изображаемые
на схеме магнитной цепи как отдельные ветви, имею-
щие магнитные сопротивления и соединенные между со-
бой в узлах. Следовательно, для них приемлемы допу-
щения и упрощения, аналогичные принятым в § 3-3 для
двухобмоточного трансформатора, а именно:
1. Имеются узлы магнитных потоков (на рисунках —
воображаемые кольца Т-образного сечения).
2. В пределах сечения каждой из обмоток все маг-
нитные линии или трубки потока параллельны оси.
3. Имеются четкие границы между соседними участ-
ками магнитного поля (на рисунках — пунктирные линии
и линии из точек).
4. Нет проводящих контуров и деталей (кроме обмо-
ток) и нет вытеснения поля из проводов обмоток.
С целью облегчения выкладок сначала предположим:
5. Добавочные потери отсутствуют.
6. Обмотки тонкие.
7. Электрические сопротивления обмоток постоянному
току отсутствуют или учтены отдельно — см. § 3-2 и 3-3.
Чтобы получать только обычные схемы замещения
с одним общим узлом для всех сторон трансформатора,
введем еще одно допущение (точнее, ограничение —
см. § 3-2):
8. Намагничивающие силы всех обмоток можно охва-
тить однихМ контуром, проходящим по 1 разу через все
узлы плоской магнитной цепи.
При этом одностержневому трансформатору, содер-
жащему п тонких концентрических обмоток (рис. 3-10,а),
соответствует магнитная цепь на рис. 3-10,6. На этом
же рисунке пунктиром намечена и на рис. 3-10,в показа-
на дуальная ей электрическая схема замещения. Ее па-
раметры связаны с параметрами магнитной цепи соот-
80
Рис. 3-10. Одностержневой многообмоточный трансформатор с тон-
кими концентрическими обмотками (а), схема его магнитной цепи
(б) и электрическая схема замещения без учета (в) и с учетом (г)
электрических сопротивлений обмоток.
16—685
81
Ношениями (3-9) или (3-10). В соответствии схем мож-
но еще раз убедиться, сопоставляя их основные уравне-
ния, например, при синусоидальных токах:
1 pWp—$PRP-|— (Фр Фр_ i) Rn+p-1 (Фр4-1
^p)Rn+p
и
if Ur р । U' р U'p-1 игр+х Ц'р
1 Р " у | у— у— ,
^ор Ап+р-1 ^п + р
где
7'р=/р^-; й'р = Up~=j^w6^p\
__ jaw* . __ juwl .
^Qp— ; Аг + Р— Rn+p‘,
(3-26)
(3-27)
п+р— номер канала между обмотками р и р+1; индекс
«м» опущен.
При учете нелинейности характеристик участков маг-
нитной цепи символический метод, строго говоря, непри-
меним и вместо уравнений (3-26) следует записать урав
нения
для соответствующих мгновенных значении:
ipWp — f 1р (Фр) -|- (Фр Фр_1
(Фр+i Фр) Rn+p
и
Ф'р-Ф'рч Ф'р + 1-Ф'р
^п+р-1 ^п+р
} (3-28;
)
где
i р —- iр^р/’wб•> ^п+р-1 — JRn+p-к Ф* р — ^бФр» (3-29)
Лр(Фр) и /гр (Фр) —магнитные характеристики р-го уча-
стка магнитной цепи; Фр+1—Фр — магнитный поток ©ка-
нале между обмотками р и р + 1.
При этом теряется возможность учета добавочных
потерь и потерь в стали (если не вводить магнитные ха-
рактеристики с учетом гистерезиса).
Однако электрические сопротивления обмоток посто-
янному току гп можно учесть, введя их в схему замеще-
ния (рис. 3-10,г) и в выражение потокосцепления через
напряжение:
t
’Г'р = ^p(t=0) + J(«'p - *V'p) dt, (3-30)
82
^v=UpW6lwp\ r'p = rp(w^wf:y- Т'р((^0) = Фр«=0)^б- (3-31)
Практически всегда можно пренебречь магнитным
^сопротивлением участков ярм в пределах радиального
размера системы обмоток одного стержня, т. е. вместо
(устройства на рис. 3-10,я, магнитная цепь которого име-
п—1 пару узлов, рассматривать устройство на
фис. 3-11,я, имеющее одну пару узлов. Тогда схема за-
б)
|hic. 3-11. Упрощенный трансформатор с концентрическими обмотка-
ми (а) и его электрическая схема замещения (б).
Есещения (рис. 3-11,6) содержит лишь две ветви намаг-
Ичивающего тока, соответствующие стержню и боко-
ым ярмам одностержневого трансформатора.
Все рассуждения и формулы для одностержневого
трансформатора полностью применимы для двухстерж-
йевого. Например, на рис. 3-10,а ничего не изменится,
|сли сплошную линию, обозначающую правый край бо-
бового ярма, заменить штрихпунктирной, обозначающей
рсь правого стержня и обмоток с номерами п, п—1 и др.
В качестве такого трансформатора можно рассматри-
вать устройство на рис. 3-5,г, если участки магнитной
Цепи 3 н 7 считать каналами рассеяния между обмотка-
ми А1—С.1 и А2—а2> а участок 5 — магнитной проводи-
г ®
мостью от ярма к ярму в пространстве между обмотка
ми А1—А2, условно подсоединенной к серединам торце-
вых ярм. При использовании для двухстержневого
трансформатора упрощенной схемы замещения согласно
рис. 3-11,6 примерно по половине длины и, следователь-
но, по половине магнитного сопротивления торцевых
ярм должно быть учтено в сопротивлениях двух указан-
ных ветвей. Кроме того, нужно принять, что боковые
ярма, входящие в сопротивление рассеяния между на-
ружными обмотками двух стержней, присоединены
к тому же узлу схемы магнитной цепи, что и канал рас-
сеяния между этими обмотками (к середине торцевого
ярма).
Параметры ветвей схемы замещения четко связаны
с размерами и характеристиками участков магнитной
цепи — см. (3-27), (3-29) и (3-31) и рис. 3-10, 3-11. Маг-
нитное сопротивление участка между соседними обмот-
ками
R
П + Р —
1 1-п + р
Цо sn+p
(3-32)
где sn+p и — площадь канала между обмотками р
и р+1 и длина магнитной линии в этом канале.
В модельной задаче с одинаковыми длинами магнит-
ных линий во всех каналах (рис. 3-11,а) можно учесть
роль радиального размера обмоток, если пренебречь из-
менением длины витка и неравномерностью намотки
в пределах сечения каждой из обмоток. Для облегчения
выкладок предположим, что все магнитные сопротивле-
ния постоянны и что слева и справа от рассматриваемой
обмотки (обмотки номер р или 2) есть лишь по одной
обмотке с током (с номерами р—1 = 1 и р+1=3). При-
мем, что последние обмотки тонкие (рис. 3-12,а) и не
имеют сопротивления (г=0). Обозначим площадь кана-
лов между обмотками 1, 2 и 2, 3 соответственно и s5,
а площадь сечения обмотки 2 плоскостью, перпенди-
кулярной ее оси, — S2. Тогда имеем:
в4—
Цо Цо Цо
^*2^2^ В. — <М3 4^3’
84
Рис. 3-12. К учету радиального размера обмоток в схеме замещения
; трансформатора с концентрическими обмотками.
в—модельная задача с одной «толстой» обмоткой; б — схема замещения при
ОДйой «толстой» обмотке для мгновенных значений; в—то же для синусои-
дальных токов; г — схема замещения трансформатора при нескольких
обмотках.
>= Ф. + Вл + f [ + (В5 -В4) dx =
о
= Ф> + В. (st + (В4 - В5) -^;
= Фз = Ф. + BiSi + J |Х + (в5 - В,) А] dx+
+ ВЛ = Ф, + В4 4- + В5 + s8),
откуда следует:
Приводя все параметры к одному числу витков, полу-
чаем:
(3-33?
(3-34
86
Для синусоидальных токов вместо (3-33) и (3-34)
Имеем выражения:
Z5
k 3 z«3 7 (3-35)
м
i\ + i\ + K=-^+^
^01 ^03
Где
Z^ = ](dLi^ = ^2 = /(оЛ2+|/',25 ^oi =
=/a)Loi; Zos=j(i)LQ3, (3-36)
элект-
Очевидно, что этим уравнениям соответствует
^рическая схема замещения рис. 3-12,6 или в.
г В схеме рис. 3-12,в можно строго учесть также доба-
вочные потери, пропорциональные квадрату индукции
Ц данной обмотке или в данном канале. Например, рас-
смотрим потери от вихревых токов в проводах обмотки
В?, обусловленные осевой составляющей индукции маг-
нитного поля:
а
о
а
=4 к*2 -£-j I В4 + (В, ~В4) А- рх .-=
о
[4-В42+4-В^ - 4-1 В5 - В/], (3-37)
где В — осевая составляющая индукции (действующее
значение); а — радиальный размер рассматриваемой об-
мотки; Ь2 и V2— толщина и объем провода обмотки 2;
у— удельная проводимость материала провода; /СВ2—
коэффициент, учитывающий вытеснение поля из прово-
дов вихревыми токами, КВ2^ 1 {Л. 2].
Используя предыдущие выражения индукции через
Напряжения, записанные в символической форме, из
87
(3-37) получаем:
F) 2I/" \T fl j t
^B2 TT ^В2^2^0 /2 1
(3-38)
Сопоставление (3-38) c (3-35) показывает, что для
учета этих потерь в уравнении (3-35) и схеме рис. 3-12/?
достаточно вместо (3-36) ввести следующие выраже
ния Z:
Z4 = /<»L4+^-; Z5-/< + ^-;
Z2 = /W,2 + r'2------(3-39)
где
G2 = 12 ^b2V2Ho ™Jl2.
Аналогичные рассуждения и выкладки можно прове-
сти для каждой из обмоток. В результате получаем схе-
му замещения рис. 3-12,г, причем
(3-40)
rBP = “f2 ~~р~; г'р = Гр —,
р )
где и Rn — магнитные сопротивления от ярма к ярму
пространств внутри внутренней и снаружи наружной об-
моток; — базисное число витков; гр — сопротивление
88
lp-н обмотки постоянному току; sn+p— площадь канала
Ыежду обмотками р и р+1; sp— сечение р-й обмотки,
^перпендикулярное ее оси; Ьр и Vp — толщина и объем
провода р-й обмотки; КВр — коэффициент, учитывающий
вытеснение поля из проводов р-й обмотки [Л. 2].
? Входящие в Zp отрицательные активное сопротивле-
ние и индуктивность не имеют физического смысла. Они
лишь приводят упрощенную схему замещения в соответ-
ствие с реальными соотношениями. В данном случае они
дают возможность выразить среднеквадратичное значе-
ние индукции магнитного поля в объеме обмотки через
’квадраты индукций с разных сторон от данной обмотки
$ через ток в ней. Заметим, что активные сопротивле-
ния, учитывающие потери от циркулирующих токов, при
наличии общей транспозиции, совершенной по отноше-
нию к равномерному полю, положительны и входят толь-
ко в Zp своей обмотки.
। Полученные схемы замещения в виде «цепочки» яв-
ляются по существу развитием П-образной схемы заме-
щения двухобмоточного трансформатора. Они особенно
Удобны благодаря простой и наглядной связи парамет-
ров элементов схемы замещения с параметрами и состо-
янием материала областей магнитного поля трансфор-
матора. Эти схемы легко могут быть упрощены. Напри-
мер, как правило, длина ярм бывает меньше, чем
Стержней. Поэтому часто Ri^>Rn и ветвью ZQn можно
Пренебречь. Для оценки индуктивности LOi удобна про-
стейшая формула:
Aoi ~ (*$ стР* ст Ч~ $01), (3-41)
где s'ct — сечение стали стержня; ц'ст — магнитная про-
ницаемость стали стержня; sOi — площадь внутри обмот-
ки 1 (до ее среднего диаметра), не занятая сталью.
В подобных схемах можно учитывать такие факторы,
как роль изменения диаметра от слоя к слою обмотки,
влияние формы обмотки (например, овальной), добавоч-
ных потерь, стенки бака (для потока нулевой последо-
вательности) и т. д.
Для расчета параметров схем замещения с одной
ветвью намагничивающего тока ZOi по известным собст-
венным и взаимным сопротивлениям обмоток, а также
для оценки погрешностей этих схем можно использовать
выведенные ниже формулы расчета параметров древо-
видных приближенных схем (§ 4-2). Для этого нужно
89
вести фиктивную обмотку номер «нуль», имевшую в
§ 3-1 номер и рассматривать в качестве ZK()/,
собственное сопротивление Zpp обмотки р. В формулах
из § 4-2 нужно заменить 1 на 0; 2 на 1; 3 на 2 и т. д. и
использовать соотношение Zi{pq=Zf pp + Z'qq—2Z'pq. Та-
ким способом для трехобмоточного трансформатора при
нумерации по рис. 3-12,г в соответствии с выражениями
(4-12) и (4-13) получаем:
Zoi — -у- (Z'12 -J- Z' 13); Zj Z'n Z01;
7 — 7' ___7 •
23 ^01 ,
Z2 — Z'22—Z112 Z4; Z3-ZK23 Z2;
4Z'n-4ZK23-0; AZ'22--AZK13 =
“ AZ'33 azk12 == Zf 12 z 13.
(3-42)
Аналогично для четырехобмоточного трансформатора
в соответствии с выражением (4-15) получаем:
AZ'n = AZ'34 — 0; 4Z'22 = -4Zk12 =
AZK23 - (2Z'23 - 2Z'24 -Z'13-]-Z'14);
AZK13^ ... и т. д.
(343)
3-5. Схема замещения при сильном насыщении стали
Для режимов, связанных с сильным насыщением ста-
ли (например, внезапное включение трансформатора,
перенапряжения при неполнофазных режимах электро-
передач, аварийные переходные процессы в мощных ста-
тических преобразователях), вопрос о точности учета
намагничивающего тока в схеме замещения особенно
важен. Для этих режимов обычно приемлемы все допу-
щения, рассмотренные в § 1-3, а именно: магнитная ха-
рактеристика стали кусочно-линейна по выражению
(1-8); во всех точках магнитной системы или ее значи-
тельной части (обычно стержня) сталь насыщается од-
новременно; насыщенная сталь не влияет на изменения
поля; нет вихревых токов, Тогда схема замещения име-
90
|т только постоянные индуктивности и ключи, управля-
емые в зависимости от магнитного потока в соответ-
ствующей части магнитной системы согласно усло-
виям (1-9): в момент насыщения ключ замыкается, при
унижении индукции ниже индукции насыщения — раз-
мыкается. Например, схемам замещения на рис. 3-10,г
h 3-12,г для трансформатора с концентрическими обмот-
ками с учетом конечного радиального размера обмоток
М добавочных потерь соответствует схема с ключами на
^ис. 3-13,а при сопротивлениях согласно выражениям
Рис. 3-13. Схема замещения трансформатора с концентрическими
обмотками для режимов с сильным насыщением стали.
а — полная; б — упрощенная.
(3-27) и (3-40), но при гор, соответствующих насыщен-
ной стали Ч Практически всегда достаточно считать, что
йагнитопровод состоит лишь из двух участков согласно
* 1 В данном параграфе ввиду несинусоидальности токов нельзя
Применять комплексные сопротивления Z. Для сокращения здесь
d
фместо раздельной записи г и L применяем оператор z=-r-\-см.
выражение (1-2) в § 1-2.
91
рис. 3-11,€Z, обмотки тонкие, потерь в стали нет, а доба-
вочные потери (если они важны) учтены в сопротивле-
ниях zp. В схемах рис. 3-13 состояние каждого ключа
определяется потокосцеплением (интегралом напряже-
ния по времени) на зажимах ветви, в которую он вклю-
чен, сечением стали соответствующего участка магии i-
ной системы и числом витков соответствующей обмотки.
Индуктивности LHac ветвей Znac определяются по маю
нитным проводимостям соответствующих участке
устройств при отсутствии стали В НИХ ИЛИ ПО ОПЫТНЫ I
характеристикам трансформатора [Л. 16].
Вопрос о том, насколько реальный трансформатор
близок к модельной задаче, т. е. сильно ли при насыще-
нии стали должны изменяться сопротивления других
ветвей схемы замещения, решается экспериментально.
Опытные данные [Л. 16] показывают, что для мощных
трансформаторов высокого напряжения с концентриче-
скими обмотками схема вида рис. 3-13,6 очень близка
к действительности, причем ветвь Zoinac гораздо мощнее
ВеТВИ ^Опнас, Т. е. Lol нас^7>оп нас-
При полном насыщении всей стали нет необходимо-
сти в разбивке магнитного поля на независимые обла-
сти, так как можно непосредственно достоверно рассчи-
тать все индуктивности и взаимные индуктивности по
методам, например [Л. 7]. Поэтому именно этот случаи
целесообразно использовать как предельный для про-
верки схем замещения.
Для упрощенного построения схемы замещения транс-
форматора с концентрическими обмотками предлагает
ся предъявить к схеме следующие требования: 1) при
ненасыщенной стали схема должна с наибольшей воз-
можной точностью отражать сопротивления к. з. всех
(или определенных заданных) пар обмоток; 2) при на-
сыщенном стержне и ненасыщенном ярме схема должна
давать точное значение собственного сопротивления
внутренней обмотки и взаимного сопротивления ее с со-
седней обмоткой; 3) при насыщении всей стали схема
должна обеспечивать точное значение собственного со-
противления наружной обмотки и 4а) точное зна-
чение взаимного сопротивления этой обмотки с со
седней, или же 46) отсутствие индуктивности в ветви
Zn, т. е. Lyt—0.
Тогда согласно требованию 1 из условия минималь
пой среднеквадратичной погрешности по формула^
92
§ 4-2 определяются параметры последовательных ветвей
схемы замещения: + z2; zn+2; z3; гп+3; .. . ; zp;
Zp+1> • • • i ^2n— 2j Zn—1, ^2n—1 4" ^n-
Затем из условия 2 определяются параметры левых
трех ветвей схемы:
ZO1 нас — Z 12 нас> ^1 — ^11 нас —2 12 нас’, Zn + 1 ~ (Z14" ^п+1)—Z1.
(3-44)
В случае, если бы были известны параметры при не-
насыщенном стержне и насыщенном ярме, аналогичным
Способом МОЖНО было бы найти Zn = Znn нас—£(п-1)пнас,
но таких данных практически никогда нет. Поиск zn на
^основе требования 4а приводит к громоздким выклад-
кам. Поэтому имеет смысл принять zn = 0. Тогда из усло-
вия 46 следует:
___12нас 2 пнас 4~ 'кш
^опнас — пинас 9^7 ___ , _ ___~7
12нас инас “Г ^кш z ппнас
(3-45)
|де гК1П = 21 + гп+1 + гп+2+ ... +z2n-i4-Zn пли сопротивле-
ние к. з. обмоток 1 и п.
В случае, если четко известны все параметры при
|[асыщенном стержне, можно определять параметры вет-
ьей схемы замещения из условия минимума среднеквад-
1атичной ошибки всех собственных сопротивлений об-
iotok и сопротивлений к. з., например для трехобмо-
очного трансформатора по формулам (3-42). Однако
। этом случае одинаковые по абсолютному значению по-
решности в собственных сопротивлениях обмоток к в
опротивлениях к. з. играют существенно разную роль,
, казалось бы, формальное повышение точности схемы
амещения может привести к снижению точности резуль-
татов расчета.
Пример. Рассмотрим трехобмоточный трансформатор с размера-
ми обмоток по рис. 3-14,а [Л. 16]. Значения индуктивностей, приве-
денные к одному витку, рассчитаны трижды (табл. 3-2): по методу
^Роговского— столбец 1; по формулам типа L = iios/l для случая рав-
номерных обмоток высотой 2,06 м (соответствующей усредненному
^Коэффициенту Роговского 0,94), к торцам которых прилегают неогра-
ниченные ярма с ц = оо, причехМ стержень отсутствует, — рис. 3-14,6,
^столбец 2; по методам (Л. 7] для обмоток без стали — рис. 3-14,в,
Столбец 3.
| Как видно, значения индуктивностей рассеяния (например,
|'К12 = ^,11 + ^/22—27/12) в первом и втором случаях практически оди-
93
каковы, а в третьем — значительно отличаются от них (до —^7%)
Схема замещения (рис. 3-14,г), если ее основывать на данных столб-
цов 1 и 2, не имеет ветви Лоз и совсем не учитывает насыщения
ярма. Схема, основанная на данных столбца 3, дает существенную
г)
Рис. 3-14. К примеру схе-
мы замещения трехобмоточно-
го трансформатора при насы-
щении стали. Размеры указа-
ны в миллиметрах.
погрешность, если насыщен только
стержень (ср. столбцы 2 и 5). Ис-
пользование более сложного и той.
ного метода расчета параметров
схемы замещения с введением всь
ви Лоз (в примере — порядка
10 мкГ) приводит лишь к неболь-
шому уменьшению этой погреши >.
сти. Приближенная схема, рассчи-
танная по несложному методу га
основе минимального количества
исходных данных, дает относитель-
но хорошие результаты в обоих
случаях — см. столбцы 6 и 7.
Во всех встречающихся
до сих пор практических за-
дачах было достаточно учи-
тывать лишь насыщение
стержня и два ключа при-
ходилось вводить лишь при
поочередном насыщении
двух трансформаторов
промежуточного и испыты-
ваемого при динамических
испытаниях. Наибольшие по-
грешности, как правило, свя-
заны с неточностями в исход-
ных данных. Например, не
вполне ясно, какое сечение
стали следует брать для оп-
ределения потокосцепления
насыщения трансформато-
ров со стяжными шпилька-
ми в стержнях. По опытным
данным заметно различают-
ся значения индуктивности
насыщенных средней и край-
них фаз трехстержнево» о
трансформатора. Очень не-
определенно наибольшее ре-
ально возможное значение
остаточной индукции в транс-
форматоре [Л. 16]. Поэтому
94
Таблица 3-2
пример схемы замещения трехобмоточного трансформатора
при насыщенной стали (рис. 3-14)
Исходные данные Расчет пэ схеме заме- щения на основе LOi» /оэ из столбца
По рис. 3-14,а По рис. По рис
3-14,6 3-14,в 3 4
Параметр Метод расчета Отмеченные Замкнуты ключи
по Роговскому по табл. 2-2 по (Л. 7] звездочкой в столбцах 1—3 Ki Ki и /<2
1 2 3 4 5 6 7
Инду ктигнють, нГ
К' '
L'lt — 446* 387 446 387 446 406
^22 — 712 580 — 557 717 612
'Ум — 1 312 985* 985 1 008 1 302 985
12 — 459* 377 459 355 459 395
I'u -—• 459 332 — 355 459" 347
^'гз — 749 549 — 549 747 565
£к12 245* 240 213 245 234 245 229
‘/'кгз 525* , 526 467 525 467 525 466
;Ас1з 830* 840 718 830 685 830 1 696
Расчет пс ) формулам
(4-7) (3-42) (3-42) (3-44) и (3-45)
Индуктивность, нГ
^01 оо 459 355 459 —
Л 0 — 13 32 — 13
iz —30 —37 8 —30
^4 275 290 194 288
л» 555 563 459 555
‘^Оз оо оо оо 4 050
Ц. * Используются для расчета в столбце 4.
95
«собственные» погрешности схем замещения при сильно
насыщенной стали обычно не играют большой роли, ,*
усложнение схем не оправдано.
3-6. Особенности автотрансформатора
Для трансформатора, одна из обмоток которого состоит из двуу
последовательно включенных частей (рис. 3-15,а), или автотрансфор
матора (рис. 3-15,г) можно строить схемы замещения двух видов
Рис. 3-15. Принципиальные схемы и внешние зажимы трансформато
ра с подразделенной обмоткой (а, б, в) и автотрансформато
ра (г, д, е).
1) рассматривая в качестве внешних зажимы частей обмоток и запи-
сывая схему соединения соответствующими выражениями, например
ир = иа + йл и 4 = 4 (рис. 3-15, б) или 0р = Uq = Ua •
4“ 4 + 4 (Рис- 3-15, д); 2) рассматривая в качестве внешни'
только зажимы обмоток целиком (рис. 3-15,в или е).
Если обмотка р трансформатора содержит две части а и {>
с относительными числами витков а и $ (рис. 3-15,а), имеем:
а + 8 1;
Z'pp — а22аа + pZ^ Ц- 2сф2а^; Zpq = aZ^q + £Z^;
Z'p? + %'qq — а^ка<7 + ~а^4оф-
(3-46)
По известным Zrpp, Z'qq и Zfpq нельзя однозначно определит.»
параметры Z'aa, Z'^ и Z' даже если даны значения а и Авт< -
трансформатор на рис. 3-15,г можно рассматривать как трансформа-
тор, в котором обмотка q совмещена с частью а обмотки р. Тогда
аа " aq “ ~ $q\
Z^q °; ^Z^q\
7r Z'pq — aZfqq w Z'pp — 2aZrpg -f- O.2Zrqq
z ap - j >z — p
46
Соотношения между параметрами этих схем подробнее рассмо-
трены в сборнике 1[Л. 2, стр. 292—294].
Принципиально обе схемы совершенно равноправны и дают стро-
го одинаковые результаты. Имевшие место в отечественной литера-
туре споры о правомочности лишь одной из этих схем основывались
лишь на арифметической ошибке в примере — см. анализ в {Л. 3,
стр. 22]. Как правило, для энергетиков, интересующихся влиянием
трансформатора на сеть, удобнее схемы второго вида, а трансформа-
торостроителям, изучающим процессы внутри трансформатора,—
первого вида, непосредственно связанные с токами и потокосцепле-
яиями частей обмоток. При схемах второго вида проще расчет сети,
содержащей трансформатор, а при схемах первого вида яснее связь
параметров ветвей с данными участков магнитного поля трансфор-
матора.
В то же время бывают обратные случаи, когда схема замещения
автотрансформатора целиком проще, удобнее и поддается более точ-
ному расчету, чем первая схема.
рис. 3-16. Стержневой (а) или броневой (б) реактор с автотрансфор
^Маторным отбором мощности, упрощенная картина поля в нем при
^возбуждении обмотки ВН (в) и варианты схемы замещения (г, д, е).
Например, рассмотрим шунтирующий реактор с автотрансфор-
|йаторнЫхМ отбором мощности, имеющий ввод в середину и ответвле-
Кя от нескольких катушек вблизи торцов обмотки (рис. 3-16,п
и б) при стержневом или броневом магнитопроводе. В таком
Устройстве картина магнитного поля имеет простой вид только при
возбуждении всей обмотки. Если пренебречь промежутками между
Горцами обмотки и торцевыми ярмами, неравномерностью распреде-
685 97
ления витков (и зазоров) по высоте окна и насыщением ярм, то в
трубки магнитного потока внутри обмоток параллельны о<ч
(рис. 3-16,н). В этом случае индуктивность обмотки ВН легко ра •-
считать. При этом с любой дисковой катушкой обмотки сцеплен один
и тот же магнитный поток и приведенные взаимные индуктивное! f
общей и последовательной обмоток с обмоткой ВН одинаковы i
равны собственной индуктивности обмотки ВН. Поэтому, если пре-
небречь потерями, Т- и П-образная схемы замещения вырождаю! i и
в одну и ту же Г-образную схему на рис. 3-16,г. Индуктивное i ь
рассеяния Лк рассчитать труднее, чем Лвп, так как нужно учитывай,
влияние стали, например методом отражений, но все же гораздо
легче и точнее, чем возможно рассчитать индуктивности и взаимною
индуктивность общей и последовательной обмоток (на которые ста. ь
влияет сильнее, чем на индуктивность рассеяния). Как видно, здеи.
схема замещения двухобмоточного трансформатора утратила сво.-
преимущество перед схемой замещения автотрансформатора, важно
при насыщении стали, — четкую связь магнитных потоков в крупных
частях магнитной системы с потокосцсплениями обмоток, так ка <
в большинстве режимов поток в разных участках стержня или боко-
вого ярма существенно неодинаков. Поток же в торцевых ярмах
одинаково связан с потокосцеплением общей обмотки или обмол ki
НН, так как это одна и та же обмотка.
Если нужна схема замещения или параметры обмоток такою
двухобмоточного трансформатора, их расчет через £квп-пп = ^
и £'вп=^о и отношение чисел витков а = wцn/wBп проще и точнее,
чем прямой расчет. Из рис. 3-16,г и формул |(3-47) следует:
^'вн-нн ^НН ~ ^'общ; !
Ак
Ьк. общ - ПОСЛ ([ _ ар > (34S)
Г а / а V
общ - поел — । а , L посл — ~h Ак I । j •
\ ' )
Из (3-48) и (3-21) для П-образной схемы замещения (рис. 3-16,о5)
имеем:
1 1
^Ообш ^0 а > ^ОПОСЛ — Lq I а *
^п.общ—нос.ч = Ао (1 — а)2 — (I — а) ‘ (3’4lJ)
Аналогично для Т-образной схемы замещения (рис. 3-16,с7)
имеем:
а 1
^ООбщ - ПОСЛ — Lq I д , Ак>0^щ = LK | a t
а
^К.ПОСЛ ~ | а2* (3-5( )
Как видно, в эти формулы не входят разности близких или при-
ближенно определяемых величин. Тем не менее, если возникнет необ-
ходимость в определении параметров такого устройства при полной
98
Насыщении всей стали, следует рекомендовать прямой расчет индук-
тивностей и взаимной индуктивности общей и последовательной
обмоток, так как индуктивности соосных круглых обмоток прямо-
угольного сечения поддаются более точному расчету, чем их индук-
тивность рассеяния.
3-7. Схема замещения для токов нулевой
последовательности
Картина замыкания магнитных потоков для поля токов нулевой
последовательности в трехфазном трансформаторе может существен-
но отличаться от поля токов прямой (или обратной) последователь-
ности, так как направления магнитных потоков обмоток трех фаз
совпадают по фазе (во времени) и потоки не могут замыкаться
Через соседние фазы.
При опыте х. х. трансформатора, не имеющего соединенной в тре-
хугольник обмотки (являющейся короткозамкнутой для токов нулевой
Последовательности), магнитный поток пулевой последовательности
Одолжен замыкаться через боковые ярма (рис. 3-17,а) или, если боко-
вых ярм нет или они насыщены, — снаружи питаемой обмотки, т. е.
1<от ярма к ярму» |(рис. 3-17,6). При этом стенка бака является
электромагнитным экраном (короткозамкнутым витком), хотя до
своего насыщения она может проводить заметный магнитный поток.
|Следователы1о, ток х. х. при возбуждении трансформатора напряже-
нием нулевой последовательноеги гораздо больше, чем обычный,
В сопротивление ветви намагничивающего тока в схеме замещения —
1'ораздо меньше. В то же время сопротивление к. з. для токов нуле-
вой последовательности мало отличается от обычного сопротивления
ж. з. для токов прямой или обратной последовательностей. Поэтому
Б схемах замещения для токов нулевой последовательности сопро-
тивления последовательных и параллельных ветвей могут быть соиз-
меримы даже при ненасыщенной стали стержней и торцевых ярм, и
Допрос о точке включения ветви намагничивающего тока в Т-образ-
деой схеме замещения практически важен.
| Для поля токов нулевой последовательности трансформатора
[р концентрическими обмотками не в меньшей мере, чем для поля
*гоков прямой или обратной последовательности, приемлемы допуще-
ния о разделении магнитного поля на четкие независимые области —
tCM. рис. 3-17,в, аналогичный рис. 3-8, 3-11 и 3-12. Такому устройству
Соответствует схема магнитной цепи рис. 3-17,г и, следовательно,
[дуальная ей П-образная электрическая схема замещения, намеченная
рунктиром на рис. 3-17,г и показанная на рис. 3-17,6. Аналогичным
способом может быть получена схема замещения при нескольких
концентрических обмотках на каждом стержне, соответствующая
Схемам рис. 3-12 и 3-13 и отличающаяся от них лишь сопротивле-
нием правой параллельной ветви — оно соответствует магнитной
Проводимости «от ярма к ярму» вместо магнитной проводимости
Замкнутых торцевых и боковых ярм, рассчитанных па полный маг-
нитный поток, в обычной схеме замещения. 'Поэтому в отличие от
обычной схемы замещения здесь, как правило, можно пренеб-
речь ветвью, соответствующей магнитной проводимости стержня
(рис. 3-17,8).
При этой упрощенной схеме замещения сопротивления к. з. при
питании со стороны внутренней обмотки оказываются в точности
7* 99
Рис. 3-17. Картины замыкания магнитных потоков нулевой после-
довательности и схемы замещения для токов нулевой последователь-
ности трехфазного трансформатора, не имеющего соединенной в тре-
угольник обмотки.
« — трансформатор с боковыми ярмами; б — трансформатор без боковых ярм
в — упрощенный двухобмоточный трансформатор; г — схема магнитной цепи
двухобмоточного трансформатора; д — электрическая схема замещения двух
обмоточного трансформатора; е— схема замещения трансформатора с нс
сколькими концентрическими обмотками; ж — принципиальный вид картине
замыкания магнитных потоков при опыте к. з. с питанием внутренней
обмотки.
равными обычным сопротивлениям к. з., что соответствует виду кар-
тины поля ;(рис. 3-17,т/с). Сопротивление х. х. оказывается равным
сумме сопротивления х. х. наружной обмотки и сопротивления к. з
между наружной и данной обмотками, что достаточно близко к дей-
ствительности.
Из рис. 3-17,6 и в видно, что роль высокой магнитной проницае-
мости стенки бака трансформатора и роль вытеснения магнитного
доля из стенки вихревыми токами неодинаковы в малых и крупных
трансформаторах. Магнитная проводимость неограниченно толстой
стальной стенки при частоте 50 Гц и магнитной проницаемости р/ =
= 1 000, т. е. при «глубине проникновения» 6 = 0,85 мм, равна прово-
димости «воздушного» слоя толщиной ц'6/ У 2 — 0,6 м. Для неболь-
ших трансформаторов это очень толстый слой и значительная маг
нитная проводимость. Поэтому без большой погрешности можно
принять р/=оо. При этом индуктивность нулевой последовательности
определяется магнитным сопротивлением от ярм до стенки бака. Для
крупных трансформаторов эта магнитная проводимость нс очень
существенна и бак следует рассматривать как проводящий электро-
магнитный экран. При этом возможно использование формулы (306)
.из [Л. 3].
Если имеются соединенные в треугольник обмотки, то их на схе-
ме замещения для токов нулевой последовательности следует счи-
тать замкнутыми накоротко. Обмотки, не имеющие выведенной ней-
трали, на схеме можно даже не показывать, так как их токи не мо-
гут содержать составляющей нулевой последовательности.
Трехфазная группа однофазных трансформаторов может быть
заменена тремя одинаковыми, соединенными параллельно, у всех за-
жимов схемами замещения однофазных трансформаторов, по кото-
рым вместе проходит ток нейтрали, т. е. утроенный ток нулевой
последовательности. Следовательно, для тока нулевой последователь-
ности схема замещения трехфазной группы не отличается от схемы
Замещения однофазного трансформатора (кроме замыкания накорот-
ко обмотки, соединенной в треугольник).
3-8. Упрощенный учет намагничивающего юка
В общем случае любой из параметров трансформа-
тора зависит от параметров всех участков магнитной
Системы. Однако практически сопротивления к. з. не за-
висят от магнитной проницаемости стали прд ее изме-
нении от нескольких десятков до многих тысяч. Это поз-
воляет выделить в схеме замещения ветви намагничива-
ющего тока, зависящие от устройства и состояния маг-
нитной системы, и остальную часть схемы, связанную
только с параметрами опытов к. з. Далее в гл. 4—6 рас-
сматривается только эта часть схемы замещения.
Число ветвей намагничивающего тока в общем слу-
чае не меньше числа обмоток. Однако в реальных транс-
форматорах с концентрическими обмотками доля длины
Участков магнитной системы, приходящихся на проме-
101
жуточные по положению обмотки, очень мала, и соот-
ветствующими ветвями схемы замещения практически
всегда можно пренебречь, оставив лишь две ветви на-
магничивающего тока — у внутренней и наружной обмо-
ток.
Как правило, ветвь наружной обмотки (для токов
нулевой последовательности, наоборот, внутренней) на-
много слабее ветви внутренней обмотки. Следовательно,
если нет особо высоких требований к точности, в схеме
замещения достаточно оставить одну ветвь намагничи-
вающего тока у внутренней обмотки.
В обычном силовОхМ трансформаторе сопротивление
к. з. в сотни или тысячи раз меньше сопротивления х. х.
Поэтому при рассмотрении режимов работы, не связан-
ных с сильным насыщением стали или потоками нулевой
последовательности, ветвь наманичивающего тока мож-
но включать там, где это удобнее для расчета сети, на-
пример с первичной стороны или со стороны обмотки,
через которую трансформатор потребляет намагничива-
ющую мощность.
Можно совсем не показывать ветви намагничивающе-
го тока отдельных трансформаторов, а суммировать на-
магничивающие токи всех трансформаторов установки
(например, подстанции или даже сети) и показывать их
на схеме в виде одной общей ветви.
В большинстве нормальных режимов токи в обмотках
трансформаторов во много раз больше тока х. х. В таких
режимах током х. х. можно пренебречь и условно счи-
тать его равным нулю.
Глава четвертая
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ БЕЗ УЧЕТА
НАМАГНИЧИВАЮЩЕГО ТОКА
4-1. Уравнения и схемы замещения многообмоточных
трансформаторов
В § 3-1 была приведена система уравнений (3-4)
n-обмоточного трансформатора, составленная с учетом
намагничивающего тока при синусоидальных токах и
напряжениях (в дальнейшем, как и ранее, предполага-
102
ется, что характеристики магнитных материалов линей-
ны) :
Uv-=j\ZV4iq- (4-1)
^=1
где Up и /р—напряжение и ток обмотки р\ 1,2,, лг —
номера обмоток; Zp(/ = rpq + jxpq— взаимное сопротивле-
ние обмоток р и 7; Zpp — собственное сопротивление об-
мотки (</ = р); грр — активное сопротивление обмотки р\
rpq— активная составляющая взаимного сопротивления,
учитывающая добавочные потери.
Если пренебречь намагничивающим током, дополни-
тельно можно написать еще одно уравнение:
S wp/p = О,
р=\
где wp— тело витков обмотки р.
Схемы замещения целесообразно составлять для
приведенного трансформатора, т. е. для такого, у кото-
рого все обмотки приведены к одному числу витков,
в частности к числу витков 1-й обмотки.
Пусть
Г|2 = . . . ; 7]P = WP/Wi\ . . . ; T\n = wnlw\.
Если все обмотки трансформатора привести к числу
витков первой обмотки, а приведенные токи и напряже-
ния обмотки р обозначить через Гр и Ufp соответствен-
но,
имеем:
/'р—-др/р; Ufp -UPIV
S/'p-O.
Исключив из р-го и /г-го уравнений системы (4-1) ток
а затем умножив первое из полученных уравнений
коэффициент 1/цр, а второе из них — на 1/т|п,
на
дим:
й'р-й'п =
Jjp____^рп____I
Лр Win Дп )
7 97 \ • /7
^РР __ ^^рп \ I г I I / Lnn
I п ~ 1 )____Zpn_____П - 1 )п \ у /
‘ Win-, Wn Чп-^п ) ”*’
нахо-
(4-2)
103
Приняв в этом уравнении напряжение 1Гп и все токи,
кроме Гр, равными нулю, получим уравнение для двух-
обмоточного режима, в котором обмотка п замкнута на-
коротко:
[ J! / ^ПП } Zpp 2Zpn \ / f
Р И" 1 Р‘
Из этого уравнения находим приведенное к виткам
обмотки 1 сопротивление к. з. обмоток р и п:
7 _ U'p___Zpp I Z,nn 2Zpn (л Q\
Лкрп---Т—• ~ I ~~2 —т •
/'р rin r!prin
Если в последней формуле принять, что р=1, нахо-
дим сопротивление к. з. обмоток 1 и п\
К1П“ 11 Чп *
Если же в уравнении (4-3) принять п=1, получаем:
7 ___ 7 | АРР ZZ/ip
ZK1P — ^11-1- ^2 Г)р •
Нетрудно проверить, что
Znn ’ ^ip Zpp_______Zln ___ 1 /7 । 7 __ 7 \___ 7
7)2 V ” W ' Уп ~~ 2 ^7ИР
(4-4)
Заменив в выражении (4-3) индекс р индексом п—1,
получим формулу для определения ZK(n-i)n; если же
в выражении (4-3) индекс п заменить индексом п—1, то
получается формула для определения ZKp(n-i).
Выполнив эти преобразования, можно найти:
^пп I ^р(п - 1 ) __ £рп _ ^(п - 1 )п
7)2 ’ ВДп-1 Лр^п Лп-1Лп
2 (^крп ^К(П- 1)71 ZKp(n-i)-----•Znp(n_1j. (4-5)
Учитывая формулы (4-3)—(4-5), уравнение (4-2)
можно записать в следующем виде:
р U п ^=- Znxpl ! ... --ZKpni р -ф-... —Znp(n_ jj/ и -1-
(4-6
104
и. -U'2 = +
(4-8)
Ниже обозначено:
Zqpn 7=2 Zqnp (Z^qp -j- Z^qn 7Kpn), (4W7)
где q, p, n — номера обмоток, причем q^p^n.
Приняв во внимание формулы (4-6) и (4-7) и считая
намагничивающий ток равным нулю, из системы (4-1)
получаем следующие уравнения, которые описывают
электромагнитные процессы /г-обмоточного трансформа-
тора:
£/'Р = 0;
^21 3^3 + •• + ^21Р^'р
21П^
— й'п ~ zKini 1-\- znJr2 +... + znvpi'р +...
••• п-1-
Таким образом, уравнения многообмоточного транс-
форматора можно полностью построить на основе таких
параметров, как сопротивления к. з. всех пар обмоток.
В отличие от системы уравнений (4-1), которая спра-
ведлива для трансформатора с учетом намагничивающе-
го тока и которая содержит /г(/г+1)/2 независимых со-
противлений, система уравнений (4-3), которая приме-
нима для трансформатора с намагничивающим током,
равным нулю, содержит лишь п(п—1)/2 независимых
сопротивлений к. з.
Если пренебречь намагничивающими токами, экви-
валентную схему /г-обмоточного трансформатора можно
представить в виде полного /г-угольника [Л. 17].
Схемы замещения /г-обмоточного трансформатора
должны удовлетворять уравнениям (4-8). Число сторон
полного /г-угольника равно числу сопротивлений к. з.
трансформатора, т. е. /г(/г—1)/2. К вершинам много-
угольника присоединяются источники или нагрузки.
С другой стороны, любая схема, содержащая не ме-
нее /г (/г—1 )/2 независимых ветвей (не сводящихся тож-
дественными преобразованиями к меньшему числу вет-
вей), при надлежащем выборе сопротивлений ветвей
может явиться схемой замещения /г-обмоточного транс-
форматора.
105
В частности, трехобмоточпый трансформатор может
быть эквивалентироваи двумя схемами! замещения: треу-
гольником и трехлучевой звездой (рис. 4-1). Более удоб-
ной для расчетов схемой является трехлучовая звезда,
так как она не содержит замкнутого -контура.
Рис. 4-1. Схемы замещения трехобмоточиого трансформатора.
а — треугольник; б — трехлучевая звезда.
Сопротивления ветвей трехлучевой звезды через со-
противления к. з. трансформатора определяются следу-
ющими формулами:
^123 \^К12 "Г ^К13 ^К23//^» I
^213 ” (^К12 + ^К23 ^K13)/2j 7 (4-9)
^312 = (2К13 + ^К23 2k12)/2. J
Полный четырехугольник (рис. 4-2,а) возможно за-
менить схемами рис. 4-2,6 или в [Л. 10]. Последняя схе-
Рис. 4-2. Схемы замещения четырехобмоточного трансформатора.
а — полный четырехугольник; б — четырехугольник с четырьмя лучами;
в — четырехугольник с двумя лучами.
ма удобнее полного четырехугольника и схемы рис. 4-2,6,
так как содержит всего один замкнутый контур вместо
сложной схемы полного четырехугольника и шесть вет-
вей вместо восьми в схеме рис. 4-2,6.
106
При начертании схемы замещения трансформатора
нулевой провод обычно опускают.
Для определения сопротивлений ветвей схемы рис.
4-2,в напишем следующую систему уравнений:
ZK12 = Z, + Z2 + Z5 (Z3 + Z4 + Ze)/ZS4;
ZKI3 - Z, + (Z3 + Z.) (Z4 + Ze)/ZS4;
ZKI1-ZI4-Z4(Z3 + Z5 + Ze)/ZS4;
ZK23 = Z2 + Z3(Z4 + Z5 + Ze)/ZI4;
ZK21-Z2 + (Z3 + Z6)(Z4 + Z5)/ZL4;
zK31 = z6 (z3 + z, 4-z5)/zr4,
где Z3 + Z4 + Z5 + Z6-Zl4; Zk12, ZKi3, . •., ZK34-—conpo-
тивлеиия к. з. пар обмоток трансформатора.
Отсюда находим:
Zj ZK13 Z312Z3U/Z321; Z2 •= ZK2l Z423 Z412/Z413;
Z3 = Z324cp; Z4 = Z413cp; Z5 —(Z3U Z324)cp;
^6 ^324Zi13?,/(Z312 Z324),
(4-10)
где
<P= 1 +ZK34(Zsi2-Z324) /Z324Z413.
Полный пятиугольник (рис. 4-3,0) можно заменить
схемой рис. 4-3,6 [Л. 10], сопротивления ветвей которой
Zi, Z2,. . ., Z10 по известным десяти сопротивлениям к. з.
ZKi2, Zk13, . . ., Zk45 можно получить из следующей систе-
мы, состоящей из десяти уравнений:
ZKI2 Zx + Z2 + Z 6 (Z7 + Z8 + Z9 + Z10)/ZL5;
ZK13 - Z1 + Z3 + (Z6 + Z7) (Z8 + ZtJ + Z10)/Zl5;
zk;5 ~ z4 + z5 + Z9 (Z6 + z7 + z’8 + z10 j/zI5,
где = Z6 + Z7 z* + Z9 4- zio.
Из этой системы получаем:
Z1 = Z105 — АС)В- Z^Z2X, — CD/E\ Z3 =
Z4 = Z435-BE/C; Z^Z^~AE/D- Zq =
= F/BE;
Z.^F/AE; Z^FjAC- Z9=-FICD; Z10=-
^FjBD,
107
где
/1=Z124-Z125; B = Z425 -Z435’, C = Z235 -^213*,
^? = ^314 —Z324,’ £ = Z513 Z514;
F = ABE+ACD+ACE + BCD + BDE.
Схема замещения пятиобмоточного трансформатора
(рис. 4-3,6) содержит один замкнутый контур, и поэто-
Z
Рис. 4-3. Схемы замещения пятиобмоточного трансформатора.
а — полный пятиугольник; б — пятиугольник с пятью лучами.
му ее практическое использование не приводит к боль-
шим затруднениям вычислительного характера.
Полный шестиугольник (рис. 4-4,а) не может быть
заменен точной схемой, имеющей один замкнутый кон-
тур, так как он характеризуется пятнадцатью сопротив-
Рис. 4-4. Схемы замещения шестиобмоточного трансформатора.
а — полный шестиугольник; б — шестиугольник с тремя диагоналями и шестью
лучами.
108
фениями, а вершин у него только шесть. Наиболее про-
стая схема, заменяющая полный шестиугольник, изобра-
жена на рис. 4-4,6 [Л. 10], но использование ее в расче-
тах связано с крайне громоздкими вычислениями.
4-2. Древовидные приближенные схемы замещения
Рассмотренные в предыдущем параграфе схемы за-
мещения четырех- и пятпобмоточных трансформаторов
являются достаточно сложными, так как содержат замк-
нутые контуры. Весьма желательно, чтобы схемы заме-
щения не содержали замкнутых контуров. При этом
Любые две вершины (число вершин схемы замещения
равно числу обмоток трансформатора) связаны един-
ственной цепью, состоящей из последовательно соеди-
ненных ветвей. При числе обмоток, большем трех, схема
замещения трансформатора, не имеющая замкнутых
контуров, содержит меньшее число ветвей, чем полная
схема, и становится приближенной. Чем большее число
ветвей IB такой схеме, тем более точной она будет. Схе-
мы, не имеющие замкнутых -контуров, носят название
древовидных. Наибольшее возможное число ветвей в дре-
вовидной схеме с п вершинами равно 2п—3.
Такие приближенные схемы для четырех-, пяти-и ше-
стиобмоточных трансформаторов приведены на рис. 4-5.
Как показано на рис. 4-5,в и г, приближенная схема
шестиобмоточного трансформатора может иметь две
различные конфигурации. Обе они содержат 2п—3 =
= 2-6—3 = 9 ветвей, тогда как в полной схеме замещения
было бы 15 ветвей.
Семиобмоточный трансформатор также имеет два
разных варианта формы древовидных схеде (рис. 4-6,а, б);
для восьмиобмоточного возможны четыре варианта схем
(рис. 4-6,0—е).
К вершинам древовидной схемы присоединяются ис-
точники или нагрузки.
Любые сопротивления к. з. трансформатора в его
приближенной схеме замещения должны быть прибли-
женно равны сопротивлению схемы между соответству-
ющими ее вершинами. Например, сопротивление к. з.
Z*13 обмоток 1 и 3 четырехобмоточного трансформатора
приблизительно равно Zi + Z3+Z5 (рис. 4-5,а), а шести-
обмоточного —Z1+Z3-I-Z7 + Z8 (рис. 4-5,в) или Zi +
* Здесь и далее в обозначении сопротивления к. з. индекс «к»
опущен,
109
Рис. 4-5. Древовидные схемы замещения четырех- (а), пяти- (б) и
шестиобмоточного (в, г) трансформаторов.
+ Z3 + Z7 (рис. 4-5,г), где Z,— сопротивление z-й ветви
схемы замещения.
На рис. 4-7 изображена содержащая п вершин и
2n—3 ветвей древовидная схема, которая может пред-
ставлять собой приближенную схему ц-обмоточного
трансформатора. На схеме цифрами /, . . ., т, . . ., п
обозначены ее вершины, Zi, .. ., Zw, . . ., Z??, . . Z2n_3—
сопротивления ее ветвей, которые должны быть опреде-
лены по заданным сопротивлениям Zi2, Zi3, ..., Z(n_i)n
к. з. трансформатора.
Обозначим через AZi2, AZi3, ..., AZ(7i_i)n разности
между заданными сопротивлениями к. з. и соответству-
ющими сопротивлениями, получаемыми из схемы заме-
щения, и составим по схеме рис. 4-7 следующую систему
уравнений:
Zj —Z2 —- Z12 — AZ12;
2П-3~{~£'П -- Zin
110
Zn-1 I ” Zn —' Z(n_,)n AZ(n_1jrl.
Система содержит n(n—1)/2 уравнений. Так как чис-
ло сопротивлений к. з. /г-обмоточного трансформатора
тоже равно п(п—1)/2, а искомых сопротивлений Zi,
Рис. 4-6. Древовидные схемы замещения семи- (а, б) и восьмиобмо-
точного (в—е) трансформаторов.
Z2, . .Z2n-3 схемы замещения всего 2п—3, то уравнений
больше, чем неизвестных. Система уравнений с большим
числом уравнений, чем неизвестных, вообще говоря, не-
совместна. Наиболее просто можно найти такие значе-
ния неизвестных, при которых система удовлетворялась
бы с наименьшей квадратичной погрешностью1.
1 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.
М., «Наука», 1967
111
Известны и другие критерии, кроме критерия наи-
меньших квадратов, например критерий наименьших
модулей, минимума максимального отклонения.
Критерий наименьших квадратов используется глав-
ным образом в тех случаях, когда надо определить ко-
эффициенты, входящие линейно, что имеет место в рас-
сматриваемой задаче.
Итак, для упрощения вычислений избираем метод
минимизации средней квадратичной ошибки.
Приняв, что сумма квадратов погрешностей
[AZ12P+ ... +[AZm(rn.]_i)]2+ ... + [AZ(n—i)n]2 = S
имеет наименьшее значение, возьмем частные производ-
ные по сопротивлениям всех ветвей:
дЯ ___q . dS’ '________g. . dS
o*Zi dZm с^2п-з
После дифференцирования получим систему с 2п—3
«нормальными» линейными уравнениями, из которой оп-
ределяются сопротивления ветвей древовидной схемы.
Таким путем для четырех-, пяти- и шестиобмоточных
трансформаторов были получены формулы для древо-
видных схем.
112
Четырехобмоточпый трансформатор (рис. 4-5,а) ха-
рактеризуется следующей системой исходных уравнений:
AZi2 = Zi2 — (Z1 + Z2);
AZi3 = Zi3 —(Z1+Z3 + Z5);
AZ14 = Z14— (Z1 + Z4 + Z5);
AZ23 = Z23— (Z2 + Z3 + Z5);
AZ24 —Z24— (Z2 + Z4 + Z5);
AZ34 = Z34 — (Z3 + Z4).
Введенные обозначения ясны из предыдущего и не
требуют пояснений.
Приняв, что сумма квадратов погрешностей (AZ12)2j4-.--
(AZ34)2 = S имеет наименьшее значение и продиффе-
ренцировав по Zi, Z2, ..., Z5, получим систему из пяти
уравнений:
3Zi + Z2+Z3+Z4 + 2Z5 —Z12 + Z13 + Z14;
Zj + 3Z2+Z3 + Z4 + 2Z5 — Z12+Z23+Z24’,
2i+Z2 + 3Z3 + Z4 + 2Z5 — Z13+Z23+Z34;
Zi + Z2 + Z3 + 3Z4 + 2Z5 = Z14+Z24+Z34;
Zi+Z2 + Z3 + Z4 + 2Z5= (Z13+Z14 + Z23+Z24) /2.
Из этой системы уравнений для четырехобмоточного
трансформатора получаем:
Zi=Z,8/2 + (ZI8 + Zm-Z2,-Zm)/4; Z2 =
= Z12 Z,;
Z, = Z,a/2 + (ZlJ-Zl4 + Z2s-Z24)/4; Z4 =
= Z34 —Z3;
Z5 = (Z„ + Z14 -f- Z2S + Z24 - 2Z12 - 2ZM)/4.
(4-12)
При этом приближенная схема замещения дает слв'
дующие значения погрешностей сопротивлений к. з.:
AZ,2 = AZJ4 = 0;
AZ„ = - AZ14 = — 4Z2, = AZ24 =
-(Z13-Z14-Z23 + Z24)/2.
(4-13)
8—685
113
Сопротивления к. з. Zi2, .. Z45 пятиобмоточного
трансформатора (рис. 4-5,6) связаны следующими урав-
нениями с сопротивлениями ветвей Zb Z2, . . Z7 схемы
замещения:
AZi2 = Zi2— (Zi + Za+Ze);
AZi3 = Zi3— (Zi + Z3 + Z6);
AZi4 = Zi4— (Z1 + Z4 + Z7);
AZ15 = Z15-(Z1+Z5 + Z7);
AZ23 = Z23— (Z2 + Z3);
az24 = z24 — (Z2 + Z4 + ZJ;
AZ25 = Z25-(Z2 + Z5 + ZJ;
AZ34-Z34^(Z3 + Z4 + ZJ;
AZ35-Z35-(Z3 + Z5 + Zl);
AZ45 = Z45-(Z4 + Z5),
где
Zs-Z6 + Z7.
Воспользовавшись методом наименьших квадратич-
ных погрешностей, находим для пятиобмоточного транс-
форматора:
Z2 — у Z23-{“(Z12—Z13+Z24 -ф- Z25 — Z34—Z35)/6;
z\ = z”/2 + (Z14 - Z15 + Z24 - Z25 + Z34- Z35)/6;
5= Z45 Z4;
= (Zu+Z13-Z, -Z15- 2Z23 + 4 ’A/ 4-Z23/2
(4-14)
2 Z23
2,
где Oi — Z24 Z25-|-Z34-p Z35.
114
Приближенная схема замещения дает следующие
значения погрешностей сопротивлений к. з.:
AZ23-AZ45 = 0;
AZ13^(Z12-Z13)/3+(Z344-Z3 -Z24-Z25)/6;
дг14=- az15 - (z14 - z 15)/з + (z25 + z35 -
— Z24 — Z34)/6;
AZ24 = Z24 — (Z2Z4-p Zv);
(4-15)
AZ25^Z25-(Z2 + Z5 + Zl);
az34 = Z34 — (Z3 + Z4 4- Zy);
AZ35-Z35^(Z3 + Z5 + Zl).
Аналогично тому, как это делалось выше, можно для
шестиобмоточного трансформатора получить парамет-
ры ветвей схем замещения по известным 15 сопротивле-
ниям к. з. Формулы для определения сопротивлений вет-
вей схемы замещения приведем как для схемы, изобра-
женной на рис. 4-5,в, так и для схемы на рис. 4-5,г.
Обозначив через Zb Z2, . .., Z9 сопротивления ветвей
схемы замещения, через Zi2, Z43, . . ., Z56 — сопротивления
к. з. и через AZi2, AZi3, ..., AZ56 — наименьшие квадра-
тичные погрешности сопротивлений к. з., получим 15 ис-
ходных уравнений.
Для схемы рис. 4-5,в введем следующие обозначения:
Z7 + Z8—Z£1; Z7 + Z9 = Z,2; Z84-Z9 = ZL3.
Тогда имеем:
+ + + + 7 N < N N N N* N» "Ь “Г 4 1 F —F + + "F JS n” is n" n" ill i । 7 i 7 i i N N N N N n 1! li il II II II II II II II C'lW'S*U5'C)CO^lrt>t0 N N N N N N N" N N" <I<<I<1<1<1<1<1<1 < । (4 16)
8*
115
az35=z35-(z3+z3 + zs3);
AZ36 — 2зв — (Zs —|— Ze —[— ZI3);
AZ45 = Z45-(Z4 + Z5 + Zx3);
AZ4e = Z4e — (Z4-{-Ze-]-Zj.3).
Воспользовавшись методом получения наименьшей
квадратичной ошибки, для шестиобмоточного трансфор-
матора (рис. 4-5,в) находим:
— zI2/2 -j- (z13 -f- ZH4" z15 + zl6 z23
z24 Z25 Z2e)/8;
Z, = Z12 —Z,;
23 = Z34/2-|-(Zi3 — Zi4 + Z23 — Z24 + ZS5 -1-
+ Z36-Z45-Z4.)/8;
^4 ^34 A!
Z5 = 2se/2 + (Z15 - Z„ + Z25 - Z2e +•
+ Z35-Z3e + Z4s-Z4e)/8;
Ze = ZSg — Z5;
ZL1= (ZI3 + ZI4 + Z23 + Z24)/4 - (Z,2+Z34)/2;
zE2= + z>e+ z25+ zs»)/4 - (zI2+z6«)/2;
(4-17)
ZL3= (Z35 + Z3g + Z45 + Z4g)/4- 4- (Z34 + ZSg)/2.'
Погрешности сопротивлений к. з. Z12, Z34 и Z56 тожде-
ственно равны нулю:
AZ12=AZ34= AZ56 = 0.
(Погрешности остальных сопротивлений к. з., получа-
емых из схемы замещения на рис. 4-5,в, определяются
формулами (4-16).
Аналогично для варианта древовидной схемы заме-
щения шестиобмоточного трансформатора согласно рис.
116
|-5,г находим:
Г, = ZI2/2 + (Z13 + Z,4 4- Z15 + ZIe - Z23 - Z.4 -
— Z25 —Z,e)/8;
K2 — Z12 Z,;
|3 = (Z13 + Z23)/4 + (Z34 + Z35 + Z3e)/6 - (Z14 +
+ Z24+32)/12;
r4 = (Z45 + Z4e)/4 + (Z)4 + Z24 + Z34)/6 - (Z35 +
+ Z3e + з2)/12;
l^e = ^se/2 4- (z)6 + z25 + z35 + Z45 — Zle — Z2e —
— Z30 — Z4e)/8;
~ 2se — Z5;
= (ZI3 + Z23)/4+ (Z14 + Z24 + a2)/12 - ZI2/2 -
-(Z34+Z35+Z3e)/6;
& = 2Z34/9 -W18 + 5 (Z14 4- Z21 4- Z35+Z3e)/36-
- (Z13 + z23 + Z45 4- z43)/4;
Z9 = (Z45 + Z4e)/4 + (Z3S + Z36 + O2)/12 - ZJ2 -
-(Z14 + Z24 + Z34)/6,
(4-18)
Где a2 — Z15 + Zle -|“ Z25 -p ^26-
j В схеме рис. 4-5,г погрешности AZi2 = AZ56=0. По-
грешности остальных сопротивлений к. з. определяются,
как указано выше для других схем.
• При выборе варианта приближенной схемы замеще-
ния следует рекомендовать основываться прежде всего
ha данных о симметрии и относительном положении
Ьбмоток (близкие по расположению обмотки должны
быть рядом и на схеме замещения), на данных о наи-
более достоверно определяемых сопротивлениях пар
обмоток и на сведениях о более важных из предполагае-
мых режимов работы трансформатора.
При определении параметров ветвей упрощенной схе-
мы можно задать условие точного соблюдения ряда зна-
чений сопротивлений к. з., число которых зависит от ва-
рианта схемы замещения. Например, схема рис. 4-5,в со-
держит три точных сопротивления к. з., а схема
рис. 4-5,г — только два. С другой стороны, последняя
схема удобна при концентрическом расположении обмо-
ток.
В древовидной схеме вершины различных пар со-
единяются между собой разными числами ветвей* На-
117
пример (рис. 4-5,а), вершины 1 и 3 соединены через три
сопротивления, а вершины 1 и 2 — только через два.
Номера вершин приближенной схемы, соответствующие
ранее установленным номерам обмоток, следует присваи-
вать не произвольно, а в каждом конкретном случае
с учетом следующих факторов: расположение обмоток на
стержнях трансформатора; соединение обмоток межд\
собой; соотношения между сопротивлениями к. з.; необ
ходимость иметь нулевые погрешности некоторых сопро-
тивлений к. з. в схеме замещения и др.
Рассматривая трехобмоточный трансформатор с дву-
мя нерасщепленными и одной расщепленной на две ча
сти обмотками (см. рис. 4-11,6) как четырехобмоточный,
номера нерасщепленных обмоток 1 и 2 наиболее удобно
присвоить соседним вершинам 1 и 2 схемы замещения
(рис. 4-5,а), номера частей 3 и 4 расщепленной обмот-
ки— вершинам 3 и 4 (в схемах замещения обычно опу-
скают обратный провод; подразумевается, что вершиш
схемы замещения соответствует один из концов обмотки,
как правило высокого напряжения).
Полагая, что трехобмоточный трансформатор с одной
нерасщепленной и двумя расщепленными (каждая на
две части) обмотками (см. рис. 4-11,в) является пяти-
обмоточным трансформатором, можно конец его нерас-
щепленной обмотки считать соответствующим вершине 1
схемы замещения (рис. 4-5,6), а концы расщепленных
обмоток 2, 3 и 4, 5 — вершинам 2, 3 и 4, 5.
Аналогично концам двух нерасщепленных / и II и
двух расщепленных (каждая на две части) обмоток 2.
4 и 5, 6 четырехобмоточного трансформатора (см.
рис. 4-11,г) соответствуют вершины /, 2, 2, 4, 5, 6 схемы
замещения (рис. 4-5,в).
Для каждого конкретного случая основным критери-
ем возможности применения приближенной схемы заме-
щения является проверка значения ее погрешностей. Во
многих трансформаторах из-за симметричного располо-
жения части обмоток приближенная схема становится
точной.
При наличии на подстанции нескольких трансформа-
торов во многих практических случаях ее можно рас-
сматривать как один многообмоточный трансформатор и
эквивалентировать его такой схемой замещения, у кото-
рой число вершин будет равно числу шин различного на-
пряжения.
118
Ё подавляющем большинстве случаев при расчетах
^становившихся режимов можно пренебречь добавочны-
ми и даже основными потерями в трансформаторе и счи-
тать схемы замещения состоящими только из индуктив-
ностей (индуктивных сопротивлений). Однако при расче-
тах потерь, циркулирующих токов и переходных
режимов и при всех расчетах для малых и очень малых
Трансформаторов необходимо учитывать активные со-
противления.
4-3. Параллельное соединение обмоток
На основании системы уравнений (4-8) электромаг-
нитные процессы приведенного четырехобмоточного
трансформатора с обмотками 1, 2, 3 и п описываются
следующими уравнениями (здесь штрих у приведенных
токов и напряжений и индекс «к» у сопротивлений к. з.
опущены):
Л + 4 + Л + /п = 0; (4-19)
Ц-{72=г12Л + 2213/з + 221п/„; (4-20)
t7t—173 = г13Л4-г312/24-231„/„; (4-21)
Ц - (7n = Zin/, + Zni2/2 + ZnJ3. (4-22)
Соединим параллельно обмотки 1 и п (рис. 4-8,а).
Четырехобмоточный трансформатор с двумя параллель-
Рис. 4-8. Четырехобмоточный трансформатор с двумя параллельно
соединенными обмотками.
а — принципиальная схема; б — схема замещения.
но соединенными обмотками можно рассматривать как
трехобмоточный с обмотками 1 (J 2 и 3. Здесь (J —
знак объединения.
Сопротивление к. з. двух обмоток определяется из
опыта к. з. К одной из этих обмоток нужно подвести на-
119
Пряжение, а другую замкнуть накоротко при разомкпх
тых остальных обмотках. В трехобмоточном трансформа
торе производится три опыта к. з.» так как нужно опреде-
лить три сопротивления к. з.
Для определения сопротивления к. з, обмоток 1 (J п
и 2 замкнем накоротко обмотку 2, а напряжение подве-
дем к обмотке /U
Так как напряжения обмоток 1 и п одинаковые, т. е
(71 = ип, искомое сопротивление к. з. будет:
4и2 = z(lu„)2= ^./(Л + in)- (4-23)
При этом (72 = 0 и /3 = 0. Тогда уравнения (4-19),
(4-20) и (4-22) упрощаются:
Л ё in = 0; 1
U^ZJ^Z.Jn, (4-24)
0 = ZI2/,Zni2/2. I
Из уравнения (4-23) и системы уравнений (4-24) на
ходим:
ZOI2 = ZI2-Zf2„/Zin. (4-25)
Учитывая, что обмотки 2 и 3 отличаются только но
мерами, сопротивление Zai3 получим из формулы (4-25).
заменив в ней индекс 2 на индекс 3:
Zai9 = Z^Z23JZin. (4-26)
Для определения сопротивлениями, з. обмоток 2 и 3
при параллельном соединении обмоток 1 и п надо при-
нять, что в обмотке 1 (J п тока нет, т. е. /1-{-/п = 0.
Замыкая накоротко обмотку 5, т. е. полагая U3 =
= 0, и подведя напряжение к обмотке 2, сопротивление
Za23 можно определит^ как входное сопротивление обмот-
ки 2, т. е.
^023 =
Из этого уравнения и из (4-20)'— (4-22), приняв во вни-
мание, что /\ = — 1п и /2 = — /3, получим:
Za23=Z23—(Zi2n—Zl3n)2/Zln. (4-27)
Схемой замещения этого трансформатора является
трехлучевая звезда (рис. 4-8,6), сопротивления ветвей
120
которой определяются следующими формулами:
2'6112 3 ' “2~~ ^Д13 Za23) Z123 Z12nZ13n tZ 1п\
(4-28а)
Za213 ~2~ (^d!2 “h ^Ct23 ^13) =:^213 12п(^ 13П ^12п)' \П
(4-286)
2*аз 12 ~~~ ~2~ (2^1з ""р Z(i23 ^а12) ’ ^312 ’^1зп (Z12n 2j3n)/Zin.
(4-28в)
Если у двух двухобмоточных трансформаторов I и II
с обмотками соответственно /, 2 и 3, 4 обмотки 1 и 4 со-
единены параллельно (рис. 4-9), блок из обоих транс-
форматоров можно рассматривать как трехобмоточный
трансформатор с сопротивлениями к. з.
(1J4)2 ’ ^(1 |J4)3 И ^2з-
Учитывая, что сопротивления рассеяния между обмот-
ками разных трансформаторов равны бесконечности, т. е.
Zi3=Zin=Z23=Z2n = oo, из формул (4-25) — (4-27), поло-
жи® в них п=4, находим:
7 Z • 7 -7. • 7 =7 4-Z
^(1^4)2 ‘ (1|J4)3 341 ^23 ^12~^34*
Рассмотрим трансформатор (рис. 4-10) с обмотками
(/ (J п), 2У 3, т, который характеризуется сопротивле-
ниями К. 3. Zal2, ^а!3, ^a23, ^a2m^ ^аЗт- Формулы ДЛЯ
расчета сопротивлений Zai2, %а\з и Za23 получены ранее.
Путем замены индексов можно записать выражения и
для остальных сопротивлений к. з.
Из формулы (4-25) путем замены индекса 2 на
индекст получаем:
z=Jz- <4-29>
Из формулы (4-27), заменяя индекс 3 на индекс т,
находим:
^а2т== ^2т (Z12n Zlmn) (4-30)
После замены в последней формуле индекса 2 на
индекс 3 имеем:
Za3m== (Zi3n 2/Z\n. (4-31)
К обмотке 1 (J п(рис. 4-10) присоединим обмотку пг.
В результате получим трансформатор, который можно
J2J
Рис. 4-9. Принципиальная схема блока из двух транс-
форматоров с параллельно соединенными обмотками
1 и 4.
рассматривать как трехобмоточный с обмотками
1 U п U т, 2, 3. Этот трансформатор характеризуется
следующими параметрами: Z^i2, Д13 и Z^s-
Так как к обмотке (/ (J^) присоединена обмотка /щ
т. е. произведена операция, аналогичная выполненной ра
Рис. 4-10. Принципиальная
схема трансформатора с тремя
параллельно соединенными
обмотками.
нее, то на основании формул
(4-25) — (4-27) можем за-
писать:
Z&12 • Zai2 ^al2/n
7 __7 ___ 72
zb23 = z,
/ Zaim\
ai3
Q23 (^ai2m Zai3m) jZaim.
(4-32)
Аналогичным методом можно получить сопротивле-
ния к. з. для трансформаторов с четырьмя, пятью и т. д.
параллельно соединенными обмотками.
4-4. Трансформатор с одной нерасщепленной
и другой расщепленной на две части обмотками
Одним из способов ограничения токов к. з. является
увеличение сопротивлений трансформаторов путем рас-
щепления их обмоток.
122
Такие трансформаторы получили широкое распрост-
ранение. На передачах постоянного тока трансформато-
ры с расщепленной обмоткой дают возможность подклю-
чить к'одной трансформаторной группе два мостовых
преобразователя, благодаря чему обеспечивается двенад-
цатифазный режим преобразования и уменьшаются токи
при обратных зажиганиях.
Под трансформаторами с расщепленными обмотками
понимают такие трансформаторы, у которых некоторые
обмотки разделены на электрически независимые цепи
? (части) с равными мощностями и сопротивлениями к. з.
^относительно нерасщепленных обмоток. К каждой такой
части присоединяется независимый источник или отдель-
ная нагрузка. Одним из возможных способов получения
^расщепленных обмоток в однофазных стержневых транс-
форматорах является выполнение независимых зажимов
^обмоток стержней в одной или нескольких обмотках при
^условии параллельного соединения обмоток стержней
гхотя бы в одной обмотке (чаще всего в обмотке ВН).
С точки зрения расчета режимов работы и схем замеще-
ния каждая цепь имеет отдельный комплект зажимов,
:т. е. является как бы самостоятельной обмоткой.
Из двухстержневого двухобмоточного трансформато-
ра таким путем получается трансформатор с одной не-
расщепленной и другой расщепленной на две независи-
мые части обмотками (рис. 4-11,а); из двухстержневого
трехобмоточного трансформатора — трансформатор
Рис. 4-11. Принципиальные схемы двухстержневых двухобмоточно-
го (а), трехобмоточных (б, в) и чстырехобмоточного (г) трансформа-
торов с одной (а, б) или двумя (я, г) расщепленными обмотками.
123
с двумя нерасщепленными и одной расщепленной на две
независимые части обмотками (рис. 4-11,6) или транс
форматор с одной нерасщепленной и двумя расщеплен
ными обмотками на две части каждая (рис. 4-11,в)
У трехстержневого однофазного двухобмоточного транс-
форматора одну из обмоток можно расщепить на три
части (см. рис. 4-12,а).
В трехфазных трансформаторах части расщепленной
обмотки располагаются не на разных стержнях, а ни
одном стержне, одна над другой 4.
Двухстержневой трансформатор с одной нерасщеплен
ной обмоткой, состоящей из двух параллельных ветвей
1 и /г, и одной расщепленной на две части 2 и 3 можно
рассматривать как четырехобмоточный, у которого две
обмотки соединены параллельно (рис. 4-11,а). Он имеы
шесть сопротивлений к. з., из которых две пары равны
друг другу:
Z{2== = Z2n, Zin, ^23-
Таким образом, трансформатор имеет четыре разных
сопротивления к. з. Приняв во внимание условия симме-
трии, из уравнений (4-25) — (4-27) находим:
Zai2 - Zai3 = (Zl2 + Z13)/2 - Zin/4 - (Z12 - 1
-Z13)1 2/4Zin; (4-33)
^023 = ^23 (^12 Zi3) /Zin. J
Схемой замещения трансформатора является трехлх
чевая звезда (по типу рис. 4-1,6) с сопротивлениями вы-
вей
Zai23 — 12з — Zjn/4 -|- (Zi2 — Z13)2/4Zin;
^О21з — ^аз12 ^а2з/2.
(4-34i
Если обмотки 2 и 3 соединить параллельно, получим
трансформатор с двумя нерасщепленными обмотками,
сопротивление к. з. которого
Zbi2 —Zai23 + Za2i3/2= (Z12 + Z13)/2—(Zin + Z23)/4. (4-3o)
Обычно для двухстержневых трансформаторов с коь
центрическими обмотками принимают, что сопротивление
к. з. при параллельном соединении двух пар обмотох
1 Крайз А. Г. Трехфазные силовые трансформаторы с расти
ленными обмотками. — «Электричество», 1965, № 7.
124
Стержней равно половине сопротивления между обмотка-
ми 1 и 2, т. е.
Zm2 = Z12/2. (4-36)
Последнее равенство справедливо, если соблюдается
следующее условие:
2Z13—Zin—Z23 — 0.
Отсюда следует, что сопротивление Z13 между обмот-
ками 1 и 3 равно полусумме сопротивлений между сим-
метрично расположенными обмотками 1 и п и соответ-
ственно 2 и 3, т. е.
Z13-(Z1n + Z23)/2. (4-37)
Формула (4-36) справедлива и в том случае, если
у двух одинаковых трансформаторов параллельно соеди-
нены соответствующие обмотки..
4-5. Трансформатор с одной нерасщепленной
и другой расщепленной на три части обмотками
Трансформатор (рис. 4-12) с одной нерасщепленной
обмоткой, состоящей из трех параллельных ветвей /, т
и п, и одной расщепленной на три части 2, 3 и 4 можно
рассматривать как шестиобмоточный трансформатор
с тремя параллельно соединенными обмотками.
Рис. 4-12. Трехстержне-
вой трансформатор с
одной нерасщепленной и
другой расщепленной на
три части обмотками (а)
и его схема замеще-
ния (б).
При симметричном расположении обмоток между 15
сопротивлениями трансформатора существуют следую-
щие зависимости:
(4-38)
125
Для рассматриваемого трансформатора с одной рас-
щепленной на три части обмоткой (рис. 4-12) в силу
симметрии, приняв во внимание уравнения (4-32), имеем:
Zbi2 —“ ^Ъ1з —' ^Ь14 ’ Zai2 aVlrn !
^Ъ2з ’ ^b24 — Zb34 Za23 ’ (Акт Zai37n) /Zaxm.
(4-39)
Сопротивления Zai2 и Za2.3 определены формулами
(4-33). Сопротивление Zabn тоже известно по формуле
(4-29). Учитывая, что Zim = Zin = Z?Hn, получаем:
Za\m—:Zim Z^пп! Z in—'3Zim/4.
(4-40)
Сопротивление Zai2/H на основании первого уравнения
системы (4-28) после замены в нем индекса 3 на индекс
т определяется уравнением
Zai2rn = Z\2m Z\2nZ\mrJ Z\n. (4-41)
Учитывая зависимости (4-38), имеем:
Zai2m = (Z12 + Zim—Zi3)/4. (4-42)
Из формулы (4-11), заменив в ней индекс 2 на
индекс 3, получаем:
Za 13??? == Z 1з?г Z tmn/Z171.
Приняв во внимание условия симметрии (4-38),
имеем:
Zai3m = Za\2m> (4-43)
Подставив значения сопротивлений из уравнений
(4-33), (4-40), (4-42) и (4-43) в формулы (4-39), окон-
чательно находим:
Zbi2 ’ Zbi3 — zbl4 [Z12 + 2Z13 L im
— (Z12 — Z13)2/Zlw]/3;
Zb23 ^b24 ^Ьз4 ’ ^Q23 ' ^23 (^12
- A3)7'Z
(4-44)
Для получения схемы замещения трансформатора
с одной нерасщепленпой и другой расщепленной па три
части обмотками рассмотрим его как четырехобмоточный
трансформатор с обмотками 1 U т U 2, 3 м. 4. Исполь-
зуем приближенную схему замещения на рис. 4-5,а, со-
противления ветвей которой приведены в § 4-2. Совмес-
126
тим конец нерасщепленной обмотки с вершиной /, концы
2, 3 и 4 (рис. 4-12,а) с вершинами 2, 3 и 4 схемы заме-
щения рис. 4-5,а соответственно.
Принимаем, что сопротивления Zi2, Z13, Z14, Z23, Z34
равны сопротивлениям Z/>i2, Z^i3, Zh^, Z^34 соответ-
ственно. Тогда из системы уравнений (4-12) при усло-
вии, что Z^i2 = = Z/h4 и Z^23 —Zb24 = 2^34, находим:
Zi = Z^i2—Z&23/2;
Z2=Z3 = Z4=Z^2s/2; Zs = 0.
Подставив в эти уравнения значения Z^i2
формул (4-44), имеем:
Z1 - (Z12 + 2Z13 - Zim)/3 - Z23/2+
+ (Z12-Z13)2/6Zim;
Z2 = Z3 = Z4^Z23/2-(Z12-
— Z13)2/2Zim.
и Zb23 ИЗ
(4-45)
Полученная схема замещения трансформатора изо-
бражена на рис. 4-12,6. Все погрешности сопротивлений
к. з. тождественно равны нулю. Следовательно, схема
замещения является точной.
Соединим обмотки 2, 3 и 4 параллельно. В результате
такого объединения имеем трансформатор с двумя не-
расщепленными обмотками, сопротивление к. з. кото-
рого
%Ь\ II = (2J3 IJ4) ~ Z2/3.
После подстановки из формул (4-45) находим:
Z^i п= (Z12 + 2Zi3—Zlm—Z23)/3.
Обычно принимают, что сопротивление Zbin=Zi2/3.
Как видно из последней формулы, такое допущение спра-
ведливо, если соблюдается следующее условие:
Zi3~ (Zim + Z23) /2.
Аналогичное условие было получено выше при рас-
смотрении двухобмоточного трансформатора с одной не-
расщепленной и другой расщепленной на две части
обмотками.
Сопротивление рассеяния обмоток, расположенных
на разных стержнях, намного (на порядки) больше со-
127
противления рассеяния, концентрических обмоток. По-
этому сопротивления к. з. обмоток разных стержней
обычно принимают равными бесконечности (такое допу
щение связано также и с тем, что сопротивления рассея
ния обмоток разных стержней вычисляются с очени
большими погрешностями). При таком допущении каж
дый стержень со своими обмотками принимается за от-
дельный трансформатор.
Примем, что Zi3=Ziw = Z23—>оо. Тогда из уравнений
(4-44) имеем:
Zm2=Z12/3; Z&23 — 2Z12. (4-46)
Из уравнений (4-45) в этом случае находим:
Zi = 0; Z2 —Z12.
Одной из основных характеристик трансформатора
является коэффициент расщепления &р, равный отноше-
нию сопротивления к. з. Z23 между частями расщеплен-
ной обмотки к «сквозному» сопротивлению, т. е. сопро
тивлению к. з. трансформатора, когда обмотки 2, 3 и 1
соединены параллельно (т. е. в обычном двухобмоточном
режиме).
В случае пренебрежения связями между обмотками
разных стержней из формул (4-46) получаем:
^р = 2ь2з/2512= (2Zi2)/ (Z12/3) =6.
В действительности ^р^6. Для более точного его
определения необходимо знать сопротивления к. з. обмо
ток, расположенных на разных стержнях трансформа-
тора.
Отметим, что у двухобмоточного трансформатора
с одной нерасщепленной и другой расщепленной на две1
части обмотками коэффиицент расщепления £р^4.
4-6. Трансформатор с одной нерасщепленной
и двумя расщепленными, каждая на две части,
обмотками
Двухстержневой трансформатор с тремя обмотками
на каждом стержне (рис. 4-11,в) при их симметричном
расположении характеризуется следующими 15 сопротив-
128
лениями к. з. между любыми парами частей обмоток:
Zi2 = Z5n;
Z13:=г Z4n;
Z 14 Z 3™’
Z15 = Z2nJ
^23 = 245,
7 — 7 •
^24 ^35’
^1П> ^25’
^34’
(4-47)
J
Так как части 1 и п соединены параллельно, то транс-
форматор будем рассматривать как пятиобмоточный
с обмотками 1 U/г, 2, 3, 4, 5. Из формул (4-33), заменив
в них индекс 3 на индекс 5, имеем:
Zai2—' 2а15 — (Z12 Ц-Z15)/2 Zlrt/4
-(Z12-Z15)2/4Zin;
^025 = ^25 (^12 ^15) fZin,
(4-48)
(4-49)
2аз4—234 (Z13 Z
Из этих уравнений заменой индексов 2 и 5 на 3 н 4
соответственно получаем:
2ai3 — 2ai4 = (ZJ3 -р Zxn
— (Z13 — Z14)2/4Zm;
и)72 ш.
Сопротивления к. з. Za23=Za^ определяются по фор-
муле (4-27). Учитывая условия (4-47), находим:
Za23=2a45 = Z23— (Z12 + Z14—Z13—Z15) 2/4Zin; (4-50)
Za24 = 2a35 = Z24— (Z12 + Z13-Z14—Z15) 2/4Zin. (4-51)
Для получения сопротивлений ветвей схемы замеще-
ния трансформатора (рис. 4-5,6) воспользуемся форму-
лами (4-14), из которых получаем (приняв сопротивле-
ния Zip равными сопротивлениям ZaiP):
Zi — (ZO12 -J- Zai3)/2— ^1/8;
22 = 25 = Za23/2 (Zai2 Zai3 Za25 Za34)/6; ..
Z =Z —Z —Z '
z^3 a4 ^a23 ^2,
Ze = Z7 = <3j/8 ZO23/2,
где Oi = 2Za24 4-Za25 + Za34.
9—685 129
Отметим, что Z2A-Z^Z^-\-Zb=Za2^ Погрешности при-
ближенной схемы замещения (рис. 4-5,6) находим из
формул:
AZ23 = AZ45 = 0;
AZ12 AZ14 = AZ13 = AZ15-Zai2
— (Zj Z2-j-Z6);
6 (4-53)
AZ24 - AZ35 = Za24 - (Z2 + Z3 + 2Z6);
AZ25 = Za25-2(Z2 + Ze);
AZ34=Za34-2(Z3 + Ze).
Пример. На однофазном трансформаторе типа ОДТГ-40000/110
с одной нерасщепленной и двумя расщепленными, каждая на две
части, обмотками (НО кВ, 2X33 кВ, 2X10,5 кВ)—рис. 4-11,в —
были измерены следующие сопротивления к. з.: Zai2=24,85%; Zai3 =
= 42,2%; Za23= 15,15%; Za24 = 64,7%; Za25 = 47,7%; Za34 = 81,9%.
По этим данным вычислим сопротивления ветвей приближенной
схемы замещения (рис. 4-5,6). По формулам (4-52) имеем:
g2 = 2 • 64,7 + 47,74-81,9 = 259,0%;
Z, = -*-(24,85 + 42,2) — -*—259,0 =1,15 »/„;
Z2 = Z5 = —. 15,15 + -|- (24,85 — 42,2 +
+ 47,7 —81,9) = — 1,02 о/»; |
Z3 = Z4=15,15— (—1,02) = 16,17%;
Z6 =Z7 =+-259,0 —+ -15,15 = 24,8 »/о.
По формулам (4-53) определяем погрешность схемы замещения:
AZ12=—AZ13=-AZI4=AZi5=24,85— (1,15—1,02+24,8)=—0,08%;
Д Z24=Д = 64,7—(—1,02 +16,17+2 • 24,8) = —0,05 %;
AZ25=47,7—2(—1,02+24,8) = +0,14%;
AZ34=81,9—2 (16,17+24,8) = —0,04 %.
В рассмотренном примере погрешности схемы замещения пренеб-
режимо малы.
Если пренебречь магнитными связями между обмот-
ками разных стержней, т. е. принять, что Zin, Z14, Z15, Z25,
Z24 и Z34 равны бесконечности, то из формул (4-48)
130
(4-51) получаем:
^ai2 —’ Zai5 — Z12;
7 = 7 — 7 •
^ai3 — " ^13»
^a23 ^045 ^23» (4-54)
Z«25 = 2Z12;
Za34 = 2Z13;
Za24 Z=L ^d35 = Z12 ”1“ Z13.
Из уравнений (4-52), подставив в них значения со-
противлений из формул (4-54), находим:
Zi = O; Z2 = Z213;
2з=£з12; Ze = Zi23.
|На том же трансформаторе ОДТГ-40000/110 были измерены со-
противления к. з. при отсутствии расщепления, т. е. когда части
обмоток /, 5 и соответственно 2, 4 были соединены параллельно.
Опытные данные: Zi2/2 = 1’2,8%, Zi3/2 = 21,9% и Z23/2 = 7,8%. По
этим данным находим: Zi23 = 26,9%; Z213 =—1,3%; Z312=16,9%.
Если, как это обычно принято, подсчитать по этим сопротивле-
ниям параметры трансформатора с расщепленными обмотками, то
по формулам (4-54) получим:
Zal2=25,6%;
Zal3 = 43,8%;
Za23— 15,6%;
Za24 = 25,6 + 43,8 = 69,4%;
Za25 = 2 • 25,6=51,2%;
Za34 = 2 • 43,8 = 87,6%.
Сравнивая эти данные с экспериментальными, замечаем, что по-
лучается заметная погрешность при расчете сопротивлений к. з., если
прнебрегать магнитными связями между обмотками разных
стержней.
Трансформатор ОДТГ-40000/110 имеет концентрические обмотки,
расщепленные части которых разнесены по разным стержням. При
такой конструкции расщепления расчет сопротивлений к. з. без учета
магнитных связей между частями обмоток разных стержней да>т
наименьшую погрешность. При других конструкциях (например,
трехфазные трансформаторы с расщепленными обмотками) погреш-
ность будет значительно больше.
Формулы для сопротивлений ветвей схемы замеще-
ния, приведенные в [Л. 18], отличаются от формул (4-52),
так как были получены непосредственно для трансфор-
матора с расщепленными обмотками, т. е. условия сим-
9* 131
метрии (447) были заложены в исходных уравнениях.
В настоящей работе расчетные формулы для сопротивле-
ний ветвей приближенной схемы замещения получены из
рассмотрения общего случая пятиобмоточного трансфор-
матора. Различие в формулах объясняется здесь тем, что
операции «среднеквадратичных приближений» осущест-
влялись на разных стадиях вычислительного процесса,
что, как известно, приводит формально к разным резуль-
татам (разные формулы).
«Нормальные» уравнения получаются из основных
уравнений дифференцированием. Так как операции диф-
ференцирования и замены одних Z другими некоммута-
тивны (неперестановочны), то замена Z5 на Z2(Z5 = Z2) и
Z4 на Z3(Z4 = Z3) до и после дифференцирования приво-
дит к разным результатам.
Значения сопротивлений ветвей схемы замещения и
значения погрешностей по формулам статьи [Л. 18] и по
формулам (4-52) практически совпадают. В реальных
вычислениях можно применять любые из этих формул.
Глава пятая
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ
СО СЛОЖНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ОБМОТОК
5-1. Многообмоточный трансформатор с двумя
и тремя группами параллельно соединенных обмоток
В предыдущей главе были выведены формулы для со-
противлений к. з. трансформатора, у которого в одной
группе обмотки соединены параллельно. Рассмотрим
трансформатор с несколькими парами или группами па-
раллельно соединенных обмоток (рис. 5-1).
Трансформатор с обмотками 1 (J п, 2, 3, k и т имеет
следующие сопротивления к. з.: Zai2, Zai3, Zaife, Zaim, Za23,
Za2k, Zazm, Za3k, Za3m и Zakm> Соединим обмотки 2 и m па-
раллельно (рис. 5-1,я); получим трансформатор с двумя
парами параллельно соединенных обмоток
2 U сопротивления к. з. которого обозначим Zm2,
Zbt3, Zblk/ Zb23, Zb2k, Zb3k. Эти сопротивления можно опре-
делить аналогично тому, как это делалось выше.
132
Рис. 5-1. Трансформаторы с двумя (а), тремя (б) и четырьмя (в)
парами параллельно соединенных частей обмоток.
Если в формулах (4-25) — (4-27) сопротивления Z за-
менить на сопротивления Za, индексы 1, п, 2 и 3 — на
Индексы 2, m, 1 и 3 соответственно, то получим:
2ы2— ^ai(2|Jm) “ ^ai2 lZ<wn> (5'1)
Zb13 '4x13 (Za21m Za23m) %/Za2m\ (5-2)
Zb23 ~ ^a(2|J/n)3~ ^«23 ^a23m (5"3)
Остальные три сопротивления также легко находим
Путем замены индексов.
Из формул (5-2) и (5-3), заменив в них индекс 3 на
Индекс k, имеем:
Zblk Zalk (Za21??i Za2km) %/Za2m\ (5'4)
Zb2U — Za{2^m)k — Za2h — Z2a2km f^a2m'
133
Из формулы (5-2) после замены в ней индекса 1 па
индекс k получаем:
Zb 3k ~ Za3k (Za2km Za23m) 2/Za2m- (5-6)
При преобразованиях с заменой индексов справедли-
во следующее соотношение:
Zakmn Zahmp — Zamkp Zamjin.
Точно таким же методом можно найти сопротивлении
к. з. для трансформатора с тремя парами параллельно
объединенных обмоток. Соединим параллельно обмотки J
и k (рис. 5-1,6). Получим пятиобмоточный трансформа-
тор с тремя парами параллельно соединенных обмоток,
сопротивления к. з. которого обозначим Zci2, Zci3, ..
..., Zc23, ..2с45 (всего 10 сопротивлений, так как такой
трансформатор после объединения обмоток имеет пя!ь
пар выходных зажимов).
Из равенств (5-1), ..., (5-6), заменяя в них сопро-
тивления вида- Za и Zb на сопротивления вида Zb и Zc со-
ответственно, индексы 2, т, 3 и k на индексы 3, k, 2 и 4,
находим (индекс 1 не изменяется):
из формулы (5-2)
Zci2 = 'Zbl2-(Z531/1-Zb32h) 2/Zb3k\ (5-7)
из формулы (5-1)
Zci3 ~ ^b\(3\Jk) ~ ^Ь13 Z2bJZb^ (5-^)
из формулы (5-4)
Zci4 = 'Zbi4 (Zb3ik—Zb3^h)2/Zb3k\ (5-9)
из формулы (5-3)
ZC23 = ^b2(3\Jk) = Z&23 (5-10)
из формулы (5-6)
ZC24 = Z^24 (ZbMk—Zb32k)2/Zb3h', (5-11)
из формулы (5-5)
Zc34=Zfc(3^jfe)4 = Zb34 Z^/Zb3fc. (5-12)
Заменив индекс 4 на индекс 5, получаем:
из формулы (5-9)
Zcl5= Zbl5— (Zb31k—Zb35k) 2/Zb3h\ (5-13)
из формулы (5-11)
134
ZC25 = Zd25— ( Zb35li—Z )2/Zb3k\ (5’14)
из формулы (5-12)
^c35 = Zb(3 j£)5— Zb^ Zb3bkIZb3k- (5-15)
Наконец, из формулы (5-14), если заменить в ней
Индекс 2 на индекс 4, находим:
z с45 = Z ыз— ( Z ъзьи—z b3hh ) 2/ Д 3/i. (5-16)
Приведенным методом преобразования схемы транс-
форматора можно без труда определить параметры
£коль угодно сложного трансформатора. Если для этой
Йели непосредственно воспользоваться уравнениями мно-
гообмоточного трансформатора, то решение задачи по-
требовало бы исключительно сложных и громоздких
преобразований.
Однако если использовать уже полученные формулы
для сопротивлений к. з. трансформатора со сложными
обмотками, например для сопротивлений Zbik, то можно
применить уравнения трансформатора, с помощью кото-
рых задача решается не столь громоздко.
Рассмотрим восьмиобмоточный трансформатор
>(рис. 5-1,6), причем будем считать, что пары обмоток
(J (J п) и (2 и пг) у него соединены параллельно. Тако
Трансформатор можно рассматривать «как шестиобмоточ-
ный со следующими сопротивлениями к. з.:
Z&12,' Zblh, Zb23, . . Z[)3]ly . . ., Zbbk-
Для трансформатора справедлива следующая система
уравнений:
/, + /г + /'3 + /4 + /5 + А = 0; (5-17)
^1—^2 = ZbvJ 1 4~ Zb2\j' 3 "4“ Zb2lJ
4“ 2ь215/5 + Zb2iklk\ (5-18)
= ZbxJг + Zb3i2i2 + 2b3U/4-f“ ZbzXj5 + k',
. . . . . . <5-19)
ZbiJ 1 4“ 2b4i2/2-|- Zb413/'3--|- Zb J b-\-Zbixki k, (5-20)
U5" ZbiJ 1 + Zb512/2 + Zbiij'3 + Zb5i4/4-[-- Zb5ifc/fc;
(5:2i)
ZbykI 1 4" ZbkvJb Zbkl3ir 3 4" ZbkxJ
(5-22)
135
Соединяем параллельно обмотки 3 и k. Обозначим
/'3Ц-/\ = /3. Напряжения обмоток 3 и k равны между
собой, т. е. Uk = U3. Из уравнений (5-17), (5-19) и (5-22)
находим токи Г3 и 1к через /n 12, /3, /4 и /5. Исключив
из системы (5-17) — (5-22) токи Г3 и /&, имеем систему
уравнений для трансформатора с тремя парами пара.ъ
лельно соединенных обмоток:
Л + 4+Л + Л+4-0;
-- ^2 “ Zci2A + ZC2i3/3 + 4 + ^С215Ар
Zcdi 4~ 2С312/3 + ^0314(4 + 2С315/5;
ZciJ \ 4- Zc4i24 “F 2C4i3/3 4" Zc4i54;
^1 — = 2С15Л 4~ Zc5i2/2 + 2C5l3/3 4*
(5-23)
В этой системе уравнений сопротивления Zcih тожде-
ственны сопротивлениям, полученным выше методом пре
образования схемы трансформатора [формулы (5-7)-
(5-16)].
Рассмотренный пример показывает, что для получе-
ния сопротивлений к. з. при объединении обмоток способ
преобразования схемы многообмоточного трансформато-
ра существенно проще, чем решение его уравнений. Кроме
того, мы строго доказали правомерность метода преоб-
разования схемы трансформатора.
Соединим, наконец, обмотки 4 и 5. Получим транс
форматор с четырьмя парами параллельно соединенных
обмоток (рис. 5-1,в). Его сопротивления к. з. Zjik можп '
определить, если в системе уравнений (5-23) положит^
^4“^5 и Av = ^4"4:
Z/12 = ZC12 (ZC425 ^415) /2('45’
2/l3 = 2ci3 (2c435 ZC415) /ZC^
2ci4 2<c415/Zc4S;
Z/23 = ZC23 (Zc425 ZC435) /ZC45,
Zy24 = Zc24 2 c425/Z C45;
2/34== 2c34 2c435/ZC45.
Иногда для сопротивлений с тремя индексами удобно
пользоваться формулами (4-28), которые получены для
четырехобмоточного трансформатора при параллельном
136
Соединении двух его обмоток 1 и п. Например, если при
параллельно соединенных обмотках 1 и п (рис. 5-1,а),
Кроме того, параллельно соединить обмотки 2 и т, по-
лучим:
из формулы (4-28а)
Z6213 = ^а213 -2a21m-2a23?7i/^a2m,’
из формулы (4-286)
^6123 = 2’al23"H ^а21т (Za23m Za2im) /Za2m>
При этом в формулах (4-28а) и (4-286) индексы 1,
п, 2, т заменены индексами 2, т, 1,3 соответственно.
Если объединены обмотки 1 и k, 2 и т, то, соединяя,
кроме того, параллельно обмотки 3 и k (рис. 5-1,6), из
уравнений (4-28а) и (4-286) находим (в данном случае
индексы 1, п, 2, т заменяем индексами 3, &, 1, 2 соот-
ветственно) :
2С312 —^6312—Zb3\kZb32klZb3k',
2С132==Д132 +Дз1ь(^Ь32Ь—Zb3ik)/Zb3k-
В заключение отметим, что при параллельном соеди-
нении обмоток должно соблюдаться определенное пра-
вило замены индексов. Так, при выполнении операции
объединения обмоток 2 и т при уже соединенных обмот-
ках 1 и п производится замена индексов / и п на индек-
сы 2 и т; при объединении обмоток 3 и k последними
индексами заменяются индексы 2 и т.
5-2. Трансформатор с двумя нерасщепленными
и одной расщепленной на две части обмотками
Параметры трансформатора с двумя парами парал-
лельно соединенных обмоток получены в § 5-1. Транс-
форматор с расщепленными обмотками (рис. 4-11,6) ха-
рактеризуется следующими условиями симметрии:
Zbi3~Zbib и /&2з=£&24. (5-24)
Кроме того, если объединены только ветви обмоток
1 и п, то
Zai2~ Zaim\ 2ai3 = 2ai4j Za23~ Za^m}
Za2^t~ Za2m> (5-25)
137
Если все обмотки разделены на отдельные ветви, 'ш
справедливы следующие условия симметрии:
7 — 7 7 — 7 • 7 ^=z7 •)
^12 ^14 ^зП> ^23 I /г
7 —7 • 7 —7 • 7 —7 I '
£-43- £>4П? --^2Пч £>24 '^з^‘ )
Воспользовавшись условиями (5-25), из форму ।
(5-1) — (5-3) и (5-6) находим:
^>Ь12 - 2^012 a.2rrJ
^Ь13 “ 2^ai3 (Za23 ^024) /42О2т;
Z&23 = (Za23 "Ь ^24) /2 — Zanm/4 (ZO23—Za24)2/4 ^агтч
^a23 I
(5-27)
Для получения последней формулы в уравнении (5-6)
индекс k заменен индексом 4.
Сопротивления Zaik для трансформатора с одной не-
расщепленной и двумя расщепленными, каждая на две
части, обмотками уже известны (§ 4-6). Подставив зна-
чения этих сопротивлений из формул (4-48) — (4-51)
в уравнения (5-27), получаем (при этом индекс 5 заме-
няем индексом т):
Z&12 — (^i22\т)/2— (Zin + Z2W)/4; )
Z613 = Z614 = (Z13 + Z14) /2 - (Zin + Z34) /4 + Z634/4;
/623 — ^624 = (Z23 + Z24) /2 — (Z2W + Z34) /4 Ц- Zd34/4;
7 __ 7 । 2 (7j2 71w) (Z13 Z;4) (Z23' ^24) 4~ J
d34“ Z34-t" (Z12-Zlm)2- [
? + Z2zn (Z13 - Z14)2 +Zln(Z23-Z21)2 I
7lnZ2m j
(5-28)
Параметры схемы замещения (рис. 4-5,а) с учетом
условий (5-24) определим по формуле (4-12) из § 4-2:
. — (^612 Д- Z6i3 — Zb23)/2; Z2 — (Zbi2~|-Z^23 — Z613)/2;
Z3 — Z4 — Zb34/2;
^5 — (Zbi3 + Z^23 — Zbi2 — Zb34)/2.
(5-29)
Все погрешности схемы замещения тождественно
равны нулю, т. е. схема замещения точная. После пол-
138
ьт^новки первичных параметров из уравнений (5-28)
Ь ^равнения (5-29) имеем:
Z,= Z12s/2 + (Z14 + Ztm-Zin-Z:4)/4; Z2^Z213/2+ '
(Z1W -|- Z24 Z14 Z2W)/4;
z3 = Z4 = Zd34/2; Z5 = Z312/2 Д- (Z14 Д- Z24 - Zin -
Z34 ^34)/4.
(5-30)
Значение сопротивления Z^34 приведено в системе
уравнений (5-28).
Соединив параллельно ветви 3 и 4 (рис. 4-5,а), полу-
чим трехлучевую звезду — схему замещения трехобмо-
точного трансформатора. Сопротивления двух ее лучей
Zi и Z2 определяются формулами (5-30). Для третьего
луча имеем:
Z5 + Z4/2 = Z3i2/2 + (Zi4-j-Z24—Zm—Z34) /4.
На практике с достаточной точностью принимают, что
сопротивления к. з. трехобмоточного трансформатора при
параллельном соединении симметрично расположенных
сатушек разных стержней равны Zi2/2, Zi3/2 и Z23/2.
3 этом случае из формул для сопротивлений лучей схе-
мы замещения следует, что
Z14-|-Zim—Zin—Z24 = 0; Zi?n+Z24—Z14—Z2m =
= 0 И Z14 + Z24—Zin—Z34 = 0.
Из этой системы уравнений находим следующие зави-
симости:
Zim= (Zin + Z2m)/2; Zi4= (Zm+ Z34)/2;
Z24=(Z2m+^34)/2. (5-31)
Воспользовавшись этими выражениями, из уравнений
|5-28) и (5-30) получаем:
Z&12 Z12/2; Zbl3 = Zb^ ~ Z13/2 Д- Z&34/2;
Z&23 = Z&24 — Z23/2 + Zb3j 4;
Zi = Z123/2; Z2 = Z213/2;
Z3 = Z4 = Z&34/2; Z5 — Z312/2 Zb3J4.
В этих уравнениях сопротивление к. з. вычисляется
Ео формуле, приведенной в системе (5-28), с учетом за-
исимостей (5-31).
(5-32)
139
Таким образом, чтобы с хорошей точностью подсчи-
тать параметры трансформатора с расщепленными
обмотками, необходимо уметь определить сопротивления
рассеяния идентичных цилиндрических обмоток разных
стержней (Zin, Z2m и Z34). Рассчитывать сопротивления
рассеяния пар катушек разных размеров не нужно.
Если принять, что сопротивления к. з. частей обмок,,<
разных стержней равны бесконечности, т. е. что Zi„ _
= Z2m = Z34—>оо, то для последнего уравнения системы
(5-28) находим:
Z&34 = 2 (Zsi2-]-Zi23Z213/Zi2) .
Для ветвей схемы замещения (рис. 3-2,6) имеем:
Zi — Zi23/2; Z2 = Z213/2;|
Z3 ^312 “Ь ^123^213/^12? / (5-33)
Z5 = —ZJ23Z213/2Z12.
Последние формулы для трехобмоточного трансфор-
матора с одной расщепленной обмоткой были получены
в работе В. А. Полевого1. Следовательно, принятое им
рассмотрение равносильно допущению, что двухстержне-
вой трансформатор с одной магнитной системой заменя-
ется двумя отдельными трансформаторами (каждый па
половинную мощность) с независимыми магнитными с i-
стемами, т. е. каждый стержень заменяется отдельным
трансформатором.
5-3. Трансформатор с двумя нерасщепленными
и одной расщепленной на три части обмотками
Рассмотрим однофазный трансформатор с двумя пе-
расщепленными и одной расщепленной на три час in
обмотками (рис. 5-2,я), в котором каждая нерасщеплсмы
ная обмотка состоит из трех симметричных параллель-
ных частей. В силу симметрии для этих сопротивлении
справедливы следующие зависимости:
Z&12 Z516= Zf,17, Z613=Zbi4 = Zdl5; Z^23 ’ “^46 ='='
Z&24 -- ' ^Ьз1 ' Z&56,
^b26 :~=~ ^&27 ' ^Ьб7> ^Ь34 ' ^Ь35 ““ ^'b45‘
(5-34)
1 Полевой В. А. Схемы замещения трансформаторов с расщеп-
ленными обмотками. — «Электричество», '1949, № 10.
140
Рис. 5-2. Трехобмоточный трансформатор с двумя нерасщепленными
и одной расщепленной на три части обмотками (а) и его схема за-
мещения (б).
Приняв во внимание эти зависимости, перепишем
формулы (4-32), справедливые для трансформатора
с тремя параллельно соединенными обмотками:
^Ь12 ===
^Ь13 =
у _____ у ^а1з)2
^&23 -- 7
^а] т
. (5-35)
(5-36)
(5-37)
Заменив в последнем уравнении индекс 3 сначала на
индекс 4, а затем на индекс 6, находим:
^624— ^a24 (Zal2m (5-38)
^626 ~ ^a26 (Zai2m ^al6?n) (5-39)
Заменив в формуле (5-38) индекс 2 на индекс 3,
имеем:
^634= ^a34 (Zai3m ^al4rr()2/^alm- (5-40)
Соединяем параллельно катушки 2 и 7 и получаем
трансформатор, сопротивления к. з. которого будем обо-
значать как ZCih. При этом обмотке, полученной из соеди-
ненных параллельно ветвей 2 и 7, присвоим номер 2.
Трансформатор с учетом условий симметрии имеет сле-
дующие сопротивления к. з.:
ZC12’ ^С1з“^с15’ ZC14; Zcl6,
Z С2 3 ^C2S’ С24’ ^С26’ ^С34 ’^С45’ " (5-41)
7 7 1— 7*7
^С35’ ^С3в1 ^056’ ^С4в*
141
Из формул (5-35) и (5-37) путем замены в них сопро-
тивлений типа Za и Zb и индексов 1, 2 и т на сопротив-
ления типа Zb и Zc и индексы 2, 1 и 7 соответственно
(индекс 3 не меняется) находим:
ZCI2 = Zbl2-Z2&217/Zb„; (5-42)
2с,з = 2Ь13 - (Zb2I, - Zb237)2 /Zb2,- (5-43)
Из уравнения (5-42) заменой индекса 1 на индекс 3
получаем:
^С23 ’ ^b23 Ь23?1^Ь2Т
Заменив в этой формуле индекс 3 сначала на индекс
4, а затем на индекс 6, имеем:
^С24 ’ ^Ь24 №47 / ^&27»
^С26 ~ ^Ь26 ^267/2ь27-
Из формулы (5-43) заменой индекса 3 на инкедс 6
находим:
ZclG = Zbi6-(Zb%17—Zb261) 2/Zb27-
Заменив в уравнении (5-43) индекс 1 на индекс 4,
получаем:
ZC3k = Zb3i--(^6247-Zb237)2IZb27-
Из этого равенства после замены индекса 4 на ин-
декс 6 имеем:
Zc^ — Zb3Q---(Zb267-Zb237) 2/Zb27-
Из этого уравнения заменой индекса 3 на индекс 4
находим:
Zc46 = Z biQ-( Z 5267-Z 5247) 2/Z Ъ27'
Подставив в полученные формулы условия симмет-
рии, указанные в формулах (5-34), находим:
Z С12 Zbi2 ^Ь2б »
ZC13 ^bl3 (^b23 Zb2$) ^CIB
Z С23 = (Zb23 “}“ Zb24) /2 Zb26/4 (^b23 Zb2l) /^b26»
ZC24 ^524 ~ ZC26 = 3Zb2e/^»
ZC34 ’ Zb34 {Zb23 Zb24) I Zb2V
Zc36 Zb24 (-^Ьгз ’ Zb2,) /Zb2^ ZC46 Zb23'
)
(5-44)
142
'Присоединив, наконец, к ветвям 2 и 7 параллельно
ветвь 6, получаем трансформатор с двумя нерасщеплен-
ньщи обмотками I и II (рис. 5-2,а) и одной расщеплен-
ной\на три ветви 3, 4 и 5, сопротивления к. з. которого
обозначим как Zdik. Этот трансформатор с учетом сим-
метрий обмоток характеризуется следующими сопротив-
лениями к. з.:
^di2> = Zj15, ) (5-45)
^^23 ^^24 :=== ^^25» Zfal Zd3b Zrf^' )
Из уравнений (5-42) и (5-43), заменив в них сопро-
тивления типа Zb и Zc на сопротивления типа Zc и Zd
соответственно и индекс 7 на индекс 6 (остальные ин-
дексы не меняются), имеем:
^</12=^С12 ^с216^с26’ (5-46)
Zdi3 = Zci3--(ZC21G--ZC236)2/ZC26. (5-47)
После замены индекса 1 на индекс 3 из формулы
(5-46) находим:
Zd23 ZC23 Z c23qI Z С2в*
Заменив в уравнении (5-47) индекс 1 на индекс 4,
получаем:
= ZC34----(ZC246----ZC236) 2!Zc2^
Воспользовавшись формулами (5-44) и приняв во
внимание соотношения (5-34), после простейших преоб-
разований эти уравнения можно записать в следующем
виде:
Zbi2 Zb26/3, Zdl3 = Zbl3 (Zb23 Zb24) /3Zb26,
^23 “"з-|^Ь2 3 4“ 2Z&24 ^b26 (Zb2 3 ^24) /^b26 ’
^^34 ^Ьз4 (Zb23 Zb24) /^b26*
(5-48)
Сопротивления Zaik через сопротивления к. з. между
катушками i и k можно получить по формулам (4-25) и
(4-27) соответствующей заменой индексов. Напомним,
что Zaik—это сопротивление трансформатора при парал-
лельном соединении катушек 1 и п. Выпишем эти сопро-
143
тивления:
Zai2 Z12 % 12/г /^ini Zai3 = Z13 Z 13л /ZinJ
2^014 “ Z14 • ZjZxn\
Zai6 = Z16 z /Zin) Zai7n = Zim ZXmJZinJ
^a-23 =" ^23 (Zi2n Z13n) /Zm>
Za24=Z24 (Zj2rL Z 14n) /ZinJ ^02e^2e 12П ^ign)2/Z lnJ
ZcL2m Z2m (Z12n Zmn ) /Zm» Za34—Z34 {214n Zj 3n)2Z ini
Zasm^^Ztfn (Zimn Z13n) /Zin,
Za4m=-~Z^m (Z14n Zimn) /Zin]
(Z13n Z^mn) /Zin.
Вследствие симметричного расположения частей об-
моток (катушек) имеют место следующие соотношения:
Z^^Zem^^ZjTx/ Z^=Z^m=Z5n;
Z14 — Zi^== Zsm== Z^n^==Z^n==: Z^mj
Ziq = Zyj = Z^m == Z2n Z6n Z
Zim=1 ^>ln==: Z^mn\ Z23== Z^q = Z57}
Z^i^ — Z2^ = Z^ = Z2n = Zi^ — Z^
Z2q=Z2i=-Zq'i; Z^—Z^—Zi^.
Воспользовавшись этими зависимостями, находим:
Zai2 = (Z12 + Z16) /2 - (Zim + Zi) /4;
2a13 - (Z13 + Z14) /2 - (Z1W + Z9) /4;
Zai4=Z14 Zim/4; Zai6 = Zle Zlm/4; Zaim —Zirn/4;
Za23 ^23 (^12 ^ie “h ^14 Zi8) /4Zim;
^a24 = ^24 Z//4;
Za26=^e" ^//^» Zagm^Zjg Zy/4;
^a34=<^34
Za3m=“Z14 Zqf4, Za^m'=^Zi3i Za^m —“ Z12,
где
Zy= (Z12—Z16)2/Zim; Zq = (Z13—Z14)2/Ziw.
Подставляя значения этих сопротивлений в равен-
ства (5-35) — (5-40), получаем:
Zbi2= (Zi2 + 2Zie)/3— (Zim+Z/9/3;
Z&13= (Z13 + 2Z149/3—(Zim~\- Zq)/3',
Z b23=Z23— (Z12—Z16+Z14—Z13) 213Z im;
У [Zf + Zg + (Z12~Zle) (ZI3- Z14)/Zimj;
Zb26 = Z26--Z/; Z&34=Z34-Zq*
‘ ^24
144
С помощью этих выражений из формул (5-48) на-
ходим:
= (Z12 4~ 2Z16 — Z17n — Z2e) /3; )
= ^13 + 2Z14- Zim - Z34 + Zd34) /3; |
Zd23 = (Z23 + 2Z24 - Z2e - Z34 +Zd34)/3; }
^^34“ ^34 (213 214) /Zim [Z17n (Z23--Z24)-ф- I
+ (212 - Z16) (Zr3 - Z14)]2 /Zim [ZimZ2. - (Z12 - Zle)2]. J
(5-49)
Рассматривая этот трансформатор как пятиобмоточ-
ный, параметры его схемы замещения определяем
формулами (4-14). Так как каждая обмотка I и II
(рис. 5-2,а) получена параллельным соединением трех
ветвей, т. е. обе обмотки образованы одинаковым спосо-
бом, то логично совместить их зажимы с со-
седними (равноправными) вершинами схемы замещения
(рис. 4-5,6). Совместим зажимы обмоток I и II
(рис. 5-2,а) с вершинами 3 и 2 схемы замещения
(рис. 4-5,6); зажимы обмоток 3, 4 и 5 — с вершинами 1,
4 и 5 соответственно. Учитывая зависимости (5-45), из
формул (4-14), сохраняя обозначения рис. 4-5,6, имеем:
Zj — Z4=Z5 = Z^34/2;
^•2 — (2^i2 4" Zd23 —ZJ13) /2 = Z^213,
= (2rfi2 + 2ji3 -2j23) /2 = Zj123;
2e=(Zj134~ zd23 Z,12 Z,34) /2 = Z^312 Z^34/2; Z7=0.
(5-50)
Все погрешности в сопротивлениях к. з. равны нулю,
т. е. схема точная. Так как сопротивление Z7 тожде-
ственно равно нулю, то схема замещения рис. 4-5,6
вырождается в схему замещения, изображенную на
рис. 5-2,6.
Если соединить параллельно ветви расщепленной об*
мотки, то получим следующие «сквозные» сопротивле-
ния к. з.:
j5) = 2j34/2; Z^2(3|j 4(J5) — Zd23 — Z^34/2.
С помощью формул (5-49) находим:
di(3^j4 u5) = (^3 + 2Z14 Z1?n Z34) /3;
(5-51)
^rf2(3|J 4|J5) (^23 2Z24 Z2e Z34) /3.
10—685
145
Примем, что имеют -место следующие условия (кйк
отмечалось выше, такое допущение подтверждается
практикой, см. § 4-4, 4-5 и 5-2):
2ie — (2m “Ь 226)/2;
214 = (21П1-р234)/2; *
Z24 = (Z2e + Z34)/2.
(5-52)
Тогда из первого уравнения (5-49) и уравнений
(5-51) находим:
2di2 = Zj2/3; Zdl (3(j4j5) = 213/3; 2rf2 (3j4j5) = Z23/3.
Рассмотрим трехстержневой трансформатор с боко-
выми ярмами, у которого части обмоток 1, 2 и 3 распо-
ложены на одном стержне, части т, 6 и 4 — на другом
и п, 7 и 5 — на третьем (рис. 5-2,а). ’Полагая сопротивле-
ния к. з. обмоток разных стержней равными бесконечно-
сти (Ziw=Z26=Z34—^00), из уравнений (5-49) получаем:
2d12 — Z12/3; Zdi3 — (Z13 4-Z,34)/3;
2d23 — (^23 + ^34)/^;
2d34 — 2 (Z13 ZJZ12) =
= 2 (Z3j2ZJ23Z213/Z12). J
(5-53)
Иногда сопротивление Zd34 называют «сопротивлени-
ем расщепления».
Пример. Определим сопротивления к. з. и сопротивления ветвей
схемы замещения трехстержневого трехобмоточного трансформатора
с двумя нерасщепленными и одной расщепленной на три части
обмотками. Даны сопротивления к. з. в относительных величинах
трансформатора без учета расщепления:
^(112 = 0,12; (3 J4 IJ5) = °’20; Zd2(3|J4 и5) =
Так как сопротивления к. з. между ветвями обмоток разных
стержней не заданы, будем считать их равными бесконечности.
Имеем:
Z12 = 3- 0,12=0,36;
213 = 3-0,20 = 0,60;
Z23 = 3.0,06 = 0,18;
Zi23= (0,36+0,60—0,18)/2=0,39.
146
По формулам (5-52) находим:
ZdI2=0,3:6/2=0,12, Zd34 = 2(0,60—0,392/0,36) =0,355;
Zdl3= (0,60+0,355)73=0,32; Zd23 = (0,18 + 0,355)73=0,18.
Сопротивления ветвей схемы замещения (рис. 5-1,6) определяем
по формулам (5-50):
Zdi23= (0,12+0,32—0,18>/2=0,13;
Zd213=((0,12+0,18—0,32)/2 = — 0,01;
Zd3i2—ZdvJ2= (0,32+0,18—0,12)/2—0,18=0,01;
2<ш/2=0,18.
5-4. Общие особенности трансформаторов
с расщепленными обмотками
Изучив ряд конкретных трансформаторов с расщеп-
ленными обмотками, мы получили возможность рассмот-
реть некоторые общие' характерные особенности таких
тр а н сф о р/м а тор ов.
Выше уже отмечалось, что в последние годы с целью
уменьшения токов к. з. все чаще применяют расщеплен-
ные обмотки НН (иногда СН). Выполняют обмотку НН
(или СН) из нескольких практически одинаковых галь-
ванически не связанных частей, имеющих независимые
вводы и допускающих раздельную нагрузку [Л.З]. Сум-
марная номинальная мощность частей, как правило,
равна номинальной мощности трансформатора. С точки
зрения расчета режимов работы и схем замещения каж-
дая часть имеет отдельный комплект зажимов, т. е. яв-
ляется самостоятельной обмоткой. Напряжения к. з. ча-
стей расщепленной обмотки относительно других обмо-
ток должны быть практически равны между собой
(ГОСТ 16110-70, п. 93).
Благодаря симметрии схемы замещения трансфор-
маторов с расщепленными обмотками удается резко уп-
ростить, представив схему в удобном виде «дерева» или
даже многолучевой звезды. Пренебрежем несимметрией
сопротивления к. з. любой обмотки или части обмотки
с каждой из частей расщепленной обмотки. Тогда для
обмотки N, расщепленной на q симметричных частей
с номерами п, п +1,..., n + q—1, имеем следующие сопро-
тивления к. з. с обмоткой т:
— ^m(n+l)— . . . =2771(774.^—1).
|0*
147
Сопротивления к. з. между частями расщепленной
обмотки:
Zn(n-\-i) = . . . — ^(n+l)(n+g—1) — Z(n+q~2)(n+q—1) — Zp,
где Zp — сопротивление к. з. пары частей расщепленной
обмотки, называемое «сопротивлением расщепления».
Как видно, независимо от числа частей расщеплен
ной обмотки q число параметров, описывающих трап
сформатор, лишь на один больше, чем при нерасщеплеп
ной обмотке, т. е. при параллельном соединении всех
частей расщепленной обмотки. Следовательно, число не
зависимых опытов, к. з. и минимальное число разных со-
противлений ветвей в схеме замещения также лишь на
одно больше, чем в n-обмоточном трансформаторе. В ка-
честве такого дополнительного параметра и опыта к. з
будем рассматривать сопротивление расщепления и опыт
к. з. пары частей расщепленной обмотки. Вместо сопро-
тивлений к. з. одной части расщепленной обмотки и од-
ной из остальных обмоток можно использовать сопро-
тивления -к. з. между всей расщепленной обмоткой (все
ее части соединены параллельно) и одной из остальных
обмоток, называемые «сквозными сопротивлениями»
Zckb. Сквозные сопротивления часто поддаются более
точному расчету (особенно в трехфазных трансформато-
рах). Именно они являются одним из основных норми-
руемых параметров трансформаторов, их легче измерять
при контрольных испытаниях.
Для построения схемы замещения трансформатора
с расщепленной обмоткой возьмем за основу его же схе
му замещения при параллельном соединении всех ча-
стей расщепленной обмотки (в случае нескольких рас-
щепленных обмоток — при параллельном соединении
всех частей в каждой из них), соответствующую сквоз-
ным сопротивлениям (рис. 5-3,а). Теперь нужно так из-
менить схему рис. 5-3,а, чтобы вместо одного комплекта
зажимов обмотки N стало q комплектов, причем сопро-
тивление к. з. между двумя любыми из них должно быть
равно сопротивлению расщепления Zp- Кроме того, при
параллельном соединении всех q комплектов зажимов
частей расщепленной обмотки ее сопротивления к. з.
с любой из остальных обмоток должны остаться равны-
ми прежним сквозным сопротивлениям. Этим требовани-
ям соответствует схема рис. 5-3,6, в которой основная
148
часть совпадает с рис. 5-3,а, но к зажиму N присоедине-
но q комплектов зажимов через сопротивления Zp/2-
Подобный подход может оказаться плодотворным и
в некоторых других случаях. Например, если части рас-
щепленной обмотки расположены попарно симметрично
Рис. 5-3. Построение схемы замещения трансформатора с одной рас-
щепленной обмоткой.
а — все части расщепленной обмотки соединены параллельно; б — части рас-
щепленной обмотки не соединены между собой.
на равных стержнях магнитопровода, то сопротивление
к. з. пары частей, находящихся на одном стержне, мень-
ше, чем на разных. Связь всех частей с нерасщепленны-
ми обмотками одинакова. Тогда, если частям расщеплен-
Рис. 5-4. Построение схемы замещения трансформатора с попарно
симметричным расположением частей расщепленной обмотки.
ных обмоток присвоить номера п' и п", (п+1)' и
(п + 1)",.. .,(n + q—1)' и (n + q—1)", то тако-му трансфор-
матору удовлетворяет схема рис- 5-4. Части пг и п" рас-
положены на одном стержне.
149
По заданным сквозным сопротивлениям и сопротив-
лениям расщепления получаем:
Zpn/2 = ... = Zp (п+ч- о/2 = ZKn,llf,/2;
Zn + q ~ ••• ~ Zn + 2g_ ! ZKrl (n+1)/2 ZK/zZ/i,,/4,
Zn-[-2q == ZKn(n_|.i)/2^,
где n = nr U я"; 1 = (^ + 1)ZU (n+\yf...
В общем случае трансформатор может иметь несколь-
ко расщепленных обмоток, каждая из которых содержит
несколько частей (рис. 5-5). Сопротивления ветвей схемы
замещения определяются по данным выше формулам,
в которые подставляются tii и qi или /12 и т. д.
Рис. 5-5. Построение схемы замещения трансформатора с нескольки-
ми обмотками, расщепленными каждая на несколько частей.
а — все части каждой обмотки соединены параллельно; б — части расщеплен-
ных обмоток нс соединены между собой.
вместо п и q. При двух или нескольких расщепленных
обмотках напряжения к. з. любой части одной обмотки
относительно любой части другой обмотки должны быть
одинаковыми.
Рассмотрим однофазный трансформатор с бронестер-
жневым магнитопроводо1м, на всех стержнях которого
расположены одинаковые комплекты из трех равновысо-
ких концентрических обмоток Г, 2' и 3'; Г', 2" и У' и
т. д. Если параллельно 'соединены средние по располо-
жению части 2', 2"> У"-,, обмотки 2, внутренние и на-
150
ручные обмотки стержней можно рассматривать как па-
сти расщепленных обмоток, так как ZKi'a' = ZKi'3" и т. д.
Если же параллельно соединены внутренние или наруж-
ные обмотки стержней, то равенства сопротивлений к. з.
разных частей нет и, строго говоря, обмотки не являют-
ся расщепленными. Следовательно, в таком случае при-
веденные ниже схемы можно применять лишь с большой
осторожностью после проверки равенства соответствую-
щих друг другу сопротивлений к. з.
а — трехобмоточный трансформатор с двумя обмотками, расщепленными на
две части каждая; б — трехобмоточный трансформатор с одной обмоткой, рас-
щепленной на две части; в — трехобмоточный трансформатор с одной обмот-
кой, расщепленной на три части; г — двухобмоточный трансформатор с рас-
щепленной на две части одной обмоткой и состоящей из двух симметричных
частей другой обмоткой.
Приведенные соображения можно пояснить на при-
мерах. Трехобмоточный трансформатор с одной нерас-
щепленной (первой) и двумя (второй и третьей) рас-
щепленными, каждая на две части, обмотками имеет
следующие сопротивления ветвей схемы замещения
(|рис. 5-6,а):
2i = Zi23— fZCKBi2+ZCKBi3—ZCKB23}/2;
Z2=Z2i3—Zp2/4 = fZCKBi2+ZCKB23 Zckb139/2—Zp2/4:
Zj = Z3i2 Zp3/4= (ZckbisH" ZCKB23 Zckb12) /2 Zps/4.
151
Если
Zp2—4ZCKBi2 и ZP3=4ZCKBi3,
то
Zi = Zi23; ZP2/2 = 2ZCkb12; Zp3/2 = 2ZCKBi3; Z2 = Z3 =—Zi23-
Здесь Zk2,3, = Zk2,3„ и t. д. Если Zk2,3, =^= Zk2,3„ , при
менение данной схемы приведет к ошибкам.
Трехобмоточный трансформатор с двумя нерасщеп-
ленными и одной расщепленной на две части обмотками
характеризуется следующими сопротивлениями ветвей
схемы замещения (рис. 5-6,6):
Zi=Zi23‘, Z^=Z2i3,’ Z3 = z312—Zp/4.
У трехобмоточного трансформатора с двумя нерас-
щепленными и одной расщепленной на три части обмот-
ками сопротивления ветвей схемы замещения на
рис. 5-6,в отличаются от сопротивлений ветвей схемы
замещения на рис- 5-6,6 только величиной Z3=Z3i2—Zp/6.
Рассмотрим трансформатор с бронестержневым маг-
нитопроводом, на каждом стержне которого одинаковые
части обмоток 1, 2 и 3 расположены концентрически
в произвольном порядке. Все части обмотки 1, а также
обмотки 2 соединены 'параллельно. Тогда -при q стержнях
Zp = Qq(Zsi2 + Z123Z231/ZCKB12) •
Если при этом обе нерасщепленные обмотки располо-
жены с одной стороны от расщепленной, то Zp~2gZCKB23,
где 2 — нерасщепленная обмотка, ближайшая к расщеп-
ленной; если — с разных сторон, то
Zp — 2^Zckb13Zckb23/Zckb12
27Zckb1sZckb23/ (ZCkb13 + ZCKb23) •
Увеличение числа нерасщепленных обмоток сверх
двух практически не влияет на сопротивление расщепле-
ния, которое, как видно из двух последних формул, зави-
сит только от обмоток, ближайших к расщепленной.
Электромагнитная связь частей расщепленной обмот-
ки наиболее сильна, если эти части вмотаны друг в дру-
га. Тогда индуктивность рассеяния между ними очень
152
мала. С точки зрения внешних характеристик (кроме по-
терь) такой трансформатор почти не отличается от тран-
сформатора с нерасщепленными обмотками. При необхо-
димости учета потерь в ветвь каждой части обмотки сле-
дует включить ее сопротивление постоянному току, при-
веденное -к базисному числу витков.
Наименьшая электромагнитная связь имеет место при
наиболее удаленных друг от друга частях расщепленной
обмотки — например, если части расположены на разных
стержнях магнитной системы или в разных частях окна
по высоте. Однако практически всегда рядом с каждой
частью расщепленной о'бмотки находится часть (или ча-
сти) нерасщепленной обмотки (или .обмоток), причем ча-
сти каждой нерасщепленной обмотки (или хотя бы од-
ной из нерасщепленных обмоток) 'соединены между со-
бой параллельно. В случае отсутствия таких параллель-
но соединенных пастей при нагрузке одной из частей
расщепленной обмотки имели бы место сильное поле рас-
сеяния и вызванные им добавочные потери и местные
нагревы.
•В однофазных трансформаторах на каждом стержне
обычно расположена одна такая группа. Очевидно, что
магнитная связь обмоток разных стержней намного сла-
бее, чем 'связь обмоток одного стержня- При наличии не-
насыщенных боковых ярм потокосцепления обмоток
разных стержней практически независимы. Ничтожно
мало взаимное влияние друг на друга частей расщеп-
ленных обмоток на разных стержнях, когда снаружи их
находятся соединенные параллельно части нерасщеплен-
ных обмоток. В таких случаях можно пренебречь маг-
нитной связью обмоток разных стержней и рассматри-
вать группы обмоток каждого 'стержня как отдельные
трансформаторы, соединенные параллельно со стороны
нерасщепленной обмотки. На схеме замещения такого
трансформатора, предназначенной для определения со-
противления расщепления, можно даже не показывать
обмотки, не имеющие параллельно соединенных частей.
Для двухобмоточных трансформаторов с одной рас-
щепленной обмоткой часто используют понятие «коэф-
фициент расщепления» &p = Zp/ZCKB. Этот коэффициент
может принимать значения от 0 (при вмотанных друг
в друга частях обмотки) до 2/г (при расположении ча-
стей обмотки на разных стержнях), где п — число частей
расщепленной обмотки.
153
В трехфазных трансформаторах с расположением ча-
стей расщепленной на две части обмотки НН в верхней
и нижней половинах окна магнитная связь частей замет-
на. По опытным данным для ряда трансформаторов &р =
= (3,34—3,64) вместо &р = 4при отсутствии такой связи1.
К трансформаторам с расщепленными обмотками
близки трансформаторы с обмотками, разделенными на
симметричные части, не допускающие .независимую на-
грузку. Например, для расчета токов в параллельно сое-
диняемых двух симметричных частях нерасщепленной
обмот-ки (с номерами 1 и 2) двухобмоточного трансфор-
матора с расщепленной на две части другой обмоткой
(с номерами 3 и 4) в практически реальном случае Zu=
=Z23 ~ (Zi2 + Z34)/2 удобна схема замещения рис. 5-6,г,
где
Zj = Z2 = Z ([ |J2) (3 J4) 4“ (^>2 Z34)/4,
Z3 = Z4 = Z^) (3JJ4) 4“ (^3i Zi2)/4,
^5 ~ (^12 4“ Z34)/2 -f- 2Z (i |J2) (3|J4) •
В общем случае при неполной симметрии следует ис-
пользовать полные схемы замещения, но изображая вет-
ви и зажимы с учетом имеющихся условий симметрии.
5-5. Последовательное соединение обмоток
Пусть у /г-обмоточного трансформатора п—1 обмоток
соединено последовательно (рис. 5-7). Тогда для токов
и напряжений последовательно соединенных обмоток
имеют место следующие соотношения:
/2 1 з z==z • • • — Iк - • • • ===• Iпч
&п ~ ^2+^з 4" ••• 4" 4“ ••• 4~
Обозначив, как и ранее, через т]/£ отношение витков
k-и и первой обмоток, имеем:
i'k~T\ktk И U\ = Uk^k.
1 Крайз А. Г. Трехфазные силовые трансформаторы с расщеп-
ленными обмотками. — «Электричество», 1965, № 1,
154
Уравнения (4-8) для многообмоточного трансформа-
тора примут следующий вид:
Л,+ Oh + ^3 + ••• + + ••• + ^4 4 — 0;
— ^12^1 4"
... 4~ VkZ 21k + ... Ц- TgnZ2in) / 2;
— &к/Цк = Z1к/, -f"
+ (^ &12 4~ ••• Я- ^nZkm) i 2;
(5-54)
^4 - UnlUn- ZinI 14" (^2^n\2 4- •••.
•••4“+ ••• 4- ^nZm (n-о) 4-
Складывая последние уравнения, находим:
Съ 4~ ••• 4- ^к 4” ••• 4~ Чп) — ^4~ (^2^12 4“ •••
... 4“ VkZiii 4“ ••• 4- IlnZyn) 11 4“ [^2 (^з^з 4- •••
••• 4“ 7)/г221^4“---4'71п22т)4“--- 4- (^z ь124- ••• 4~ VnZkin) 4“---
... +7inh22 П12 +... 4“ nik 4- •*• 4“ \Zni (n- 1)] 4*
Для определения сопротивления к. з. ZK полученного
двухобмоточного трансформатора замкнем накоротко об-
Рис. 5-7. Последова-
тельное соединение
обмоток трансформа-
тора.
мотку II, состоящую из последовательно соединенных
обмоток 2, ..п.
Сопротивление ZK равно входному сопротивлению
трансформатора со стороны зажимов 1—1, т. е.
гк=о,//х.
155
Приняв во внимание, что un = 0, и учитывая урав
нение (5-54), получаем:
у .____. ^2^12 4~ ♦ • rih^ik ~Ь »• ♦ 4~ __
К г12 + • •. + т|к + • • • + rln
(т}2 ^п)2 [^2 (^3^213 4~ ••• 4"7ifc221fc-[-...-[-7]nz2in)-|-...
••• Ч~ ••• 4~ lAm)-]- •••
•• 4" 'Пи (^2^п12 4" ••• + 4" ••• 4~ ( п - 1 ))] • (5-55)
Из равенства (5-55) для некоторых частных случаев
находим следующие формулы.
Трехобмоточный трансформатор с двумя последова-
тельно соединенными обмотками:
у ___ ^2^12 4~ ^3^13 _ ^2^3^213 ~4~ ^3^2^312
к “ + Уз (Vz + Чз)2
Так как Z2i3 + Z3i^ = Z23, то получаем:
у ________ ^2^12 ~f* ^3^13 Т(2^1з^23
К — ^2 + ^3 (^2 + 'Пз
(5-56)
Четырехобмоточный трансформатор с тремя последо-
вательно соединенными обмотками:
z = У^ +^з±У^----------- » [ ( Z д_
Чг+^з + Ъ (V2 + 'Из + Yii) 1 - V 3 3 ‘
+ Vi^sn) Vs (Vaults ~l~ V4Z314) V4 (.V2Z412 T" 1)з^41з)1"
Так как Zkim + Zmik = Zhm, находим:
___ VzZli 4~ VjZ13 7]4^14 _ УзУз^зз ^le7! 1^24 ~F
— +^3 + ^4 (^2 + ^3'+ ^4)2 ’
На рис. 5-8 приведены схемы замещения трансформа-
торов с двумя (рис. 5-8,а) и тремя (рис. 5-8,6) последо-
вательно соединенными обмотками. Так как обмотка II
/ 0—i 1—^-|-----0 JL / 0 *—CZ2J----0 л
Лп_ г, ___________4 _
; 0------------Л 10-----------------0
CL)
Рис. 5-8. Схемы замещения трансформаторов с двумя (а) и тре-
мя (б) последовательно соединенными обмотками.
156
в первом случае имеет ш2 + ау3 витков, а во втором —
^2 + ^3+^4 витков, к трансформаторам со стороны зажи-
мов II—II приложено напряжение ^/(лг + 'Пз) и
^п/1(т)2 + т]з + л4) соответственно.
В частном случае, когда число витков обмоток 1 и 2
одинаково, т. е. = или т]2= 1, из формулы (5-55)
имеем:
/ 7 \ ___ ^12 Т~ ^3^1 3 ^3^23
1+7]з (1 + ^3)2 •
После несложных преобразований формула принима-
ет следующий вид:
(ZK).-t = zi23 + 4 (Z213 + T);Z312)/( 1 + V- (5-58)
Эта формула позволяет определить сопротивление
к. з. трансформатора с регулировочной обмоткой.
Напряжения UJ(т)2 т)3) и £7п/(т)г + ?), + ъ) (рис. 5-8)
представляют собой приведенные напряжения обмоток,
состоящих из двух и соответственно трех последователь-
но соединенных частей.
5-6. Трансформаторы с обмотками,
соединенными в звезду
Как будет видно из дальнейшего, рассмотрение тран-
сформаторов с обмотками, соединенными в звезду, пона-
добится, например, для получения параметров схем за-
мещения автотрансформаторов с РПН. Если мысленно
разобщить обмотки на две отдельные части и присоеди-
нить к общему зажиму, например, регулировочную
обмотку, все три обмотки оказываются соединенными
в звезду.
Токи и напряжения в обмотках трансформатора, сое-
диненных в звезду (рис. 5-9), связаны следующими урав-
нениями:
11 + 2 +
42
!-----и 3 •==. j z312^9/2’
(5-59)
где т]2=wz/wc, t]3=Wz/wt.
157
Используя обозначения, приведенные на рис. 5-9, .мо-
жем записать:
и^и^й,- йи=й1+й2-,
Л+Л=/,.
Из этих равенств и уравнений (5-58) находим:
/8 =----; ----L-^2!?— /\;
2 + 3 ^2 + ^3
Ц Hn + JLz^Hs = Z1,71-Z2IS-!^^^-/J;
1 У]2 11 42 3 3 Уг + Чз
fj 1 + 77 - 7 / 7 ^гО+^з) /
1 Ъ 3'1П1 z’12 7]2 + Ъ Л-
Исключив из двух последних уравнений напряженно
l/з, получаем:
_£г_______
1 +^з~~ Ъ + ^з 111
(5-60)
где
Z
^123 | ^213 . (1 — ^312 , - „
+ ^)2"Г012+Яз)2'Г О +Дз)2Ь2 + <Оз)2 ‘ 1 '
Рассматривая трансформатор с тремя обмотками, сое-
диненными в звезду, как двухобмоточный, замечаем, что
уравнению (5-60) соответствует схема замещения, изо-
браженная на рис. 5-9,6. Сопротивление к. з. трансфор-
матора определяется формулой (5-61) •
Теперь имеется возможность получить параметры и
схему замещения трансформатора с четырьмя обмотка-
Рис. 5-9. Трансформатор с тремя обмотками, соединенными в звез-
ду (а), и его схема замещения (б).
158
Рис. 5-10. Трансформатор с тремя обмотками, соединенными в звез-
ду, и не соединенной с ними четвертой обмоткой (а) и его схема за-
мещения (б).
0-------0--------0
I
I
ми, три из которых соединены в звезду (рис. 5-10). Этот
трансформатор можно характеризовать тремя сопротив-
лениями к. з.: Zin, Z14, Zh4.
Сопротивление Zin уже получено [формула (5-61)];
сопротивления Zi4 и Zn4 найдем из формул (5-58) и
(5-56) соответствующей перестановкой индексов. Заме-
нив в формуле (5-58) индексы 1 и 2 на индексы 4 и 1
соответственно, получим:
7. 4 - Z4.3 + (2,« + ^314). (5-62)
Заменив в формуле (5-56) индекс 1 на индекс 4, имеем;
7 __ ^2^24 Ч~ г_____^г^з^гз
11 4 — + СПг + 'Чз)2’
Здесь все сопротивления приведены <к числу витков
= W К схеме замещения должны быть приложены
приведенные напряжения, а в ветвях схемы протекать
приведенные токи. Значения приведенных токов и напря-
жений указаны на рис. 5-10,6.
Сопротивления ветвей схемы замещения определяют-
ся обычными равенствами:
Zi П4= (Z'i h4~Zi4—Zn4) /2;
Zni4= (Zin + Zii4—Zu) /2;
Zu ji = (Zj4 4- zn4—Zi n) /2.
159
5-7. Автотрансформаторы, регулируемые под нагрузкой
Силовые масляные автотрансформаторы, регулируе-
мые под нагрузкой (РПН), в основном предназначены
для связи систем и электрических сетей с различными
классами напряжений.
Рассмотрим автотрансформатор, регулировочная об-
мотка РО которого расположена на одном магнитопро-
воде с основными обмотками (рис. 5-11,а). Обмотка РО
включена последовательно с общей обмоткой. Компенса-
Рис. 5-11. Автотрансформатор, регулируемый под нагрузкой.
а — реальная схема; б —условная схема.
ционная обмотка (КО) присоединена параллельно -к об-
мотке НН. Таким образом, одновременно регулируется
напряжение на сторонах ВН и СН.
Мысленно разделим общую обмотку на две отдельные
ветви (рис. 5-11,6), (К общей точке которых присоединена
обмотка РО. Присвоим обмоткам следующие номера:
обмотке ВН — номер 1, обмотке СН — номер 2, обмотке
НН — номер 3, обмотке КО — номер 4 и обмотке РО —
номер р. Тогда имеем трансформатор, у которого три
обмотки (/, 2, р) соединены в звезду и который имеет
три пары выходных зажимов.
В соответствии с принятыми в предыдущем параграфе
обозначениями, если сначала принять, что обмотки 3 и
4 разъединены, такой трансформатор можно характери-
зовать следующими сопротивлениями к. з. (рис. 5-11,6):
^111, Zl3, Ипз, ^14> ^114, ^34,
160
где Zin — сопротивление к. з. обмоток, соединенных
в звезду; Zi3 и Zj4— сопротивления к. з. между обмоткой
I (последовательное соединение обмоток 1 и р) и обмот-
ками 3 и 4 соответственно; Zn3 и ZiI4 — то же для обмот-
ки II и обмоток 3 и 4 соответственно.
Заменив в формулах (5-61) — (5-63) индекс 3 на ин-
декс «р», имеем:
7 ^12Р I *12^21Р | 'Пр U 7 * * *12)2^Р12
Zi 11 (1 + ^р)2 “+"(^2 + "Пр)2 'О + ^р)2 (Ъ + 'ПрГ
4 = Z4IP + (Z14P + 7)Jzp14); | (5-64)
7 ___^2^24 + ’iQpZip 'Пг'Пр^гр I
П4~ 'Пг + 'Пр ('Пг+'Пр)2* j
Из последних двух равенств заменой индекса 4 на
индекс 3 находим:
^13 —Z3ip— (1 +7)р)2 (2,зр + Vp»); 1 (5.б5)
у _____'Пг-^гз ~Н ^зР_'Пг'Пр^гр I
11 3— ^2 + 'Пр ('Пг+'Пр)2’ J
Соединим теперь обмотки НН и КО (3 и 4) парал-
лельно. Полученный трехобмоточный трансформатор
имеет три сопротивления к. з.:
Zai2 = Zi ц—(Z13 + Z114—Z14—Zii3)2/4Z34;
7 — 7 7 ____72 \7 .
^ai3 I (3JJ4) ^3 14 ^34’
Za23 “ (3 J4) = ZII 3 Z3 II 4/^34-
После подстановки в последние равенства значений
первичных сопротивлений из формул (5-64) и (5-65) по-
лучаем:
7 __ 7 1 Г-^14 ^з I Уг (^23 Z24) 1
012 “ Zm 4Z34[1 + t1p • 'П2 + т)р
I ^pU —^г) (^зР — ^4р) ~|2.
(1 + ’Пр) ("Пг + 'Пр) J
z“- = [£.. + Z.. + ъ (£,„+Z„) - -
4~ ^34 4 (1 _|_ 7]p)2Z34 Z)s 1)р (Z4p Z,p)l ;
11-685 |61
^023 --- 2 (T]2 | "Пр) ^23 ^3P
2-^p
^2 + ^P
^2P 4 ^34
4 (7]2 + 7]p)2 Z34 [(^23 Z24)-J-T)p(Z,p Z4p)]2.
Пусть о&мотки КО и РО расположены на отдельном
магнитопроводе. В этом случае равны бесконечности
следующие сопротивления:
214 = Zip = Z24 ==: Zgp = Z34 — Z3P = СЮ.
Учитывая эти условия, из предыдущих формул на-
ходим:
_^г^р О "Пг) 7 li ___ у . /г
'ъ + ’пр 23J ^о + ^т + 'Чр)2 4₽’ 1 '
^. = 77^-12,,+ч>.р]; (5-67)
z~ = Srkp^z" + ^z»1' <М8)
В автотрансформаторах применяют не только рас-
смотренное регулирование в нейтрали, но и регулирова-
ние в линии на стороне СН. Если РО включена между
точкой соединения последовательной и общей обмоток
и зажимом стороны СН, то такой случай следует рас-
сматривать как соединение обмоток в звезду (§ 5-6).
Если РО включена между общей и последовательной
обмотками, ее следует рассматривать как две раздель-
ные обмотки, одна из которых включена последователь-
но с общей, а другая — с последовательной о&моткой
автотрансформатора. Случай последовательного соеди-
нения обмоток рассмотрен в § 5-5,
162
Глава шестая
ПРИМЕРЫ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ СЛОЖНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ
6-1. Трансформатор с разнесенной по стержням
магнитопровода обмоткой высокого класса напряжения
В мощном однофазном трансформаторе расположить концентри-
чески на одном стержне две обмотки очень высокого класса напря-
жения не представляется возможным. Однако можно 'выполнить
одну из таких обмоток из последовательно соединенных частей, раз-
несенных по разным стержням. На этом принципе возможно создать
мощный трансформатор с двумя обмотками очень высокого класса
напряжения.
Рассмотрим трансформатор (рис. 6-1,а), схема которого была
предложена Э. А. МапькинымУ трансформатора имеются три
обмотки — одна низкого класса и две высокого класса напряжения.
а) . б)
Рис. 6-1. Трансформатор с разнесенной по стержням магнитопровода
обмоткой высокого класса напряжения (а) и его схема замеще-
ния (б).
Обмотка НН расположена на трех стержнях и состоит из трех па-
раллельно соединенных частей 3, 4 и 5. Первая обмотка ВН состоит
из двух параллельно соединенных частей 1 и п, имеющих понижен-
ный уровень изоляции, и соединенной последовательно с ними
третьей части 6, расположенной на третьем стержне и имеющей бо-
лее высокий уровень изоляции. Вторая обмотка ВН состоит из двух
параллельно соединенных частей 2 и т.
Благодаря этому части обмоток, рассчитанных на высокий класс
напряжения, расположены на разных стержнях. При этом обмотка
1 Манькин Э. А. Перспективы построения трансформаторов пре-
дельных мощностей и напряжений для передач постоянного тока. —
«Известия НИИ постоянного тока», 1960, сб. 6.
11* 163
НН является обмоткой связи между обмотками высокого уровня
изоляции. Примем, что Wi = We.
С учетом условий симметрии при разобщенных обмотках транс-
форматор (рис. 6-1,а) характеризуется следующими первичными со-
противлениями к. з. между частями всех обмоток:
Z12 = Zmn\ ^13 — ^4П> ^14 ~ Zi5 — ^5П>
^16 = ^бп; Zlm — ^2п» ^23 — ^4т> ^24 == Zzm\
7 ____ 7 . 7 ____7 .7 ______ 7*7 _____7 • (6’1)
^25 — ^26 — Лбт> а35 — ^45, А36 — ^46 >
Z2Jn' ^34> ^56*
Соединяем параллельно ветви /или, принимая во внимание, что
Z2n = Zim и Z3n=Zi4, из формулы (4-27) находим:
Za.23 “ ^23 Л/ (^12 ^14 ^13 ^1т)2« (6’2)
Поменяв в этом равенстве индексы 3 на 4 и 4 на 3, получим:
Za24 = Z^24-(£12 + ^13—Z14-Zim)2/4Zin. (6-3)
Заменив индекс 3 на индекс 5, из формул (4-26) и (4-27) имеем:
^а1б = ^15
Za25~^25—(^i2n—Zi5n)2/Zln-
Из последнего уравнения, заменив в нем индекс 2 на индекс 3,
находим:
Za3' — Z35—(Zisn—Zi5n)2/Zin.
Обозначим:
z^ — (Z12 z^ = (Z13 Z14)2/Zln.
Учитывая, что Zi ?n — Z2 П и Zi2=Zwn, из формулы (4-30) по-
лучаем:
Za2m — Z2m — Z^ (6-4)
Заменив индексы 2 и m на индексы 3 и 4 соответственно, из
этого уравнения имеем:
^034 — ^34 -(6-5)
Принимая во внимание, что Z15=Z5n) Zim=Z2n и Zi4 = Z3n, на-
ходим:
Zali — ^15 ^1Л/4;
2a25=225-Za/4; (66)
^a35 — ^35
Заменив в этих уравнениях индекс 5 на индекс 6, получаем:
Zals~Z16 Zln/4\
Za26 = Z26 Za/4; , (6-7)
Ztt36 — /36
164
Сопротивление между ветвями 5 и 6 при условии, что части 1
и п соединены параллельно, будет:
^а56 = ^56—(Zi6n—^15n)2/^ln.
Учитывая, что Zi6 = Z6n и Zi5=Z5n, имеем:
Za56 = ^56. (6-8)
В дальнейшем примем во внимание, что
412" (^12 +^im)/2 (Zin + Za)/4; |
2el, = (ZJ, + ZI4)/2-(Zln + Z?)/4. j (6‘9)
Присоединяем к ветвям I и n последовательно ветвь 6, в резуль-
тате чего образуем обмотку I (рис. 6-1,а). Из формулы '(5-58), заме-
нив в ней индексы 1, 2 и 3 на индексы 2, 1 и 6 соответственно,
а сопротивление (Zk)^^! —на сопротивление Zai2 и полагая, что
Т12—1, имеем:
Zai2 = Za216+ (Zai26 + Za621)/4.
Так как Zai26+Za62i = Zai6, то из предыдущего равенства на-
ходим:
Za 12 = (Za 12 +Za26)(/2-—"7Zeie/4.
Заменой индексов получаем:
Zal3= (Zai3 + Za36)/2—Zai6/4;
Zal5= (Zai5 + Za5e)/2—Zaie/4.
Сопротивления Za23, Za24, Za25, Za2m, Za3i и Za35 от присоеди-
нения ветви 6 к параллельно объединенным ветвям 1 и и не изме-
няются. Это можно объяснить тем, что в опыте к. з., например,
частей 2 и 3 или 3 и 4 и т. д. ток в ветви 6 равен нулю.
Благодаря симметричному расположению ветвей 2 и т, а также
ветвей 3 и 4 имеют место следующие связи между сопротивления-
ми Z a i fi:
= % alm* %а13 ~
Za23 = ^a4mj Za24 = Za3m; , (6-10)
^a25 ~ 4smj Za35 == Za45.
Соединяя параллельно части 2 и m, получаем обмотку II. Транс-
форматор с обмотками I и II и ветвями 3, 4 и 5 можно рассматри-
вать как пятиобмоточный со следующими сопротивлениями к. з.:
Z&12; Zbi3 = Zbi4; Zbi5; Zb23 — Zb2i'> Zb25’,
Zb35 —Z^45; Zb34.
Из формул (5-1)—(5-6), заменив в последних трех индекс k па
индекс 5 и приняв во внимание зависимости (6-10), получим:
^Ы2 = ^ai2 —Za2m/4; Zbl3 — zal3 —Za^/4; Zbl5 ~ ZaI5;
Zfc23 — (Za23 + ^о24)/2— (Za2m +
^Ь25 — 4125 ^a2m/4; Zb35 — Za35 Z^/4.
165
Из формулы (5-5), заменив в пей индекс k на индекс 4, На-
ходим::
2&34 — ^а34 ^аЗ’
где
“ (2а23 2a24)2/Za2m.
Соединяем параллельно ветви 3 и 5 и, учитывая, что /ыз = ^Ы4,
Zb23 = Zb24 и 2^35 = 2^45, имеем:
Zci2 — 412 — (2bu — 2Ь15 — 2Ь2з + 2Ь25) 2/42Ьз5;
2С 1 3 ~ ^Ь13 (^Ь13 2Ь15 + 2b35)2/4Zb35;
2С 1 4 — ^Ыз (2Ь1 3 ‘ ^Ь15 ^Ь21 ~Г 2b35) 2/4Zb3 5 J
2c23 = zb23-(Zb23-zi)25 + z()35)V4Z()35; (6'11)
2С21 — %Ъ23 ’— (%Ь23 - ^Ь25 - ^Ъ31 + 2b35) 2/4Zb35;
2с 34 — ^Ь34 ^34/4^35’
И, наконец, присоединяем к частям 3 и 5 ветвь 4\ получаем
обмотку ///. Сопротивления к. з. обмоток /, // и 111 имеют следую-
щий вид:
Z/12 = ZC12— (Zc 13—Zc 14—-Zc23 + Zc24) 2/4ZC34;
Z/13 = ZC13-(Zc 13—Zc14 + ZC34) 2/4ZC34',
Z/23 = Zc23-(2c23--ZC24 + Zc34)2/4ZC34.
После подстановки сопротивлений к. з. между частями обмоток
и приняв во внимание равенства (6-2) — (6-9), получим:
2/12 — (^12 216 ~Ь ^1т '^2т “Ь 2Z2(J)/4 Zln/16
— (213 + 214 — 2Z15 — 2Z23 — 2Z24 + 4Z25 + 2Z36 —
— 2Z56)2/16(4Z35 — Z34);
2/,3 = (2Z15 -Z16 + 2Z56)/4 -Zln/16- (Z13+
+ Z14 - 2Z15 - 4Z35 -t 2Z36 - 2Z56) VI6 (4Z35-Z31);
2/23 ~ 2г5 “ 22m/4 — (Z23 Z2l 2Z25
-2Z35)2/4 (4Z35-Z31).
(6-12)
Если, как это обычно делают, принять, что сопротивления рас-
сеяния частей, расположенных на разных стержнях, очень велики и
в пределе стремятся к бесконечности, т. е. 2щ = 2im = Z14 = Z15 = Zi6 =
= Z2m = Z24 = Z25 = Z26 = Z34 = Z35 = Z36-^ОО, ТО ИЗ формул (6-12) НН-
ходим:
2/i2 — (Z12 Z23 -|- 256)/4 — 213/8; j
2/1з — 213/8 -j- Z56/4; I (6-13)
2/23 — 223/2.
Трансформатор можно рассматривать как трехобмоточный с об-
мотками АХ, АтХт и ах /рис. 6-1,а). Его схемой замещения являет-
ся трехлучевая звезда (рис.'6-1,6).
166
Обозначим токи ветвей t\, f'2, ... , t'n. Тогда (рис. 6-1, а),
i 1 — i'i + 1Гп /2 = lr2 + irт> /з = 1Гз + lr4 + ir5- Так как
сумма н. с. равна нулю, то имеем:
2/> + Л + Л - 0.
К схеме замещения должны быть приложены приведенные на-
пряжения, а в ветвях схемы протекать приведенные токи. Из послед-
него уравнения следует, что приведенный ток обмотки АХ равен 2/\.
Поэтому се приведенное напряжение будет (Z7i4-C/6)/2 (рис. 6-1,6).
Сопротивления ветвей схемы замещения определяются обычными
формулами:
Z/i — = (Z^12 + Z/13 Z/23), 2;
Z/2 -- (Z/i2 ~h ^/23 *“ ^/13) ->
Z/3 — (^/13 4" ^/23 2fl2)/2.
(6-14)
6-2. Трансформатор с расщепленными обмотками
и регулирующим устройством
Рассмотрим трансформатор с расщепленными обмотками СН и
НН и с регулирующим устройством. Пусть последовательно с обмот-
кой ВН включена регулировочная обмотка РО (рис. 6-2,а). Компен-
сационная обмотка 5, расположенная на одном стержне с обмоткой
РО, соединена параллельно с ветвью т расщепленной обмотки НН.
Рис. 6-2. Трехобмоточный трансформатор с одной нерасщепленной
и двумя расщепленными обмотками и с регулирующим устрой-
ством (а) и его схема замещения (б).
С учетом условий симметрии трансформатор характеризуется
следующими первичными сопротивлениями к. з. между частями (вет-
вями) всех обмоток:
Zi2 = Zmn; Z]3 = Z/(7?; Zvt = Z3n; Zi5 = Zsn;
Zim = Z2n’, Zip = Znp; Z23 — Zz, m 5 Z24 — Z3 щ',
^25 = Z5m; Z2p = Zwp; Z35 = Z45; Z3p = Zz1P;
Zin', Z,2m\ Z,2il\ ^5p.
167
Соединяем параллельно ветви 1 и п и, изменив индекс 6 па
индекс «р», получаем формулы, аналогичные формулам (6-2)—(6-9):
Zol2 = (Z12 + Zlm)/2 - (Z,n + Za)/4; Zol3 = (Z„ + Z14)/2-
- (2,„ + Z₽)/4;
^ai5=z=^i5—^m/4; Zaip = Zip Zln/4; Za23 =
= Z23 + ZaZ^/2 — (Za 4- Zg)/4;
ZO24 = Z21 - /2^/2 - (Za + Zp)/4; Za23=Z25-Za/4;
Za2m — ^25—^a, Za2p = Z2p Z^/4; Za34 ~ Z34 Z^;
Za35 — ^35 ^азР ~ ^3p ^fi/4 > ^o5P ^5p’
J
(6-15)
де
(6-16)
— (^12—(^13
Соединим последовательно обмотку ВН (/(Jn) и регулировоч-
ную обмотку РО (рис. 6-2,а). Из формулы (5-58), заменив в ней
индексы 1, 2, 3 на индексы 2, <1, «р» соответственно, а сопротивление
на сопротивление Zai2. имеем:
“ ^<»21р + (^а12Р + Тф^»Р21)/(1 + ^р)2-
Заменой индексов получаем;
^aI3 ~ ^a31p + (^ai3P + 7)p^aP31)/(l + ^р)2’»
^a!5 ~ ^«51Р + (^ai5P + Ylp^aP51)/(^ + ^р)2-
Сопротивления Za23, Za2i, Za25, Za2m> Za3i и Za35, определенные
формулами 1(6-15), не меняются от присоединения обмотки РО к па-
раллельно объединенным ветвям /ин.
Благодаря симметричному расположению ветвей 2 и ш, а также
ветвей 3 и 4
МИ Zaih'
(6-17)
(6-18)
имеют место следующие связи между сопротивления-
^al2 ^alnv ^aI4\
7 _ 7 .7 _ 7
^a23 — ^aim» ^a24 — ^азт>
^a25 “ ^а5т» ^a35 ~ ^a45 •
параллельно обмотку 5 с ветвью т. Будем рассматри-
(6-19)
Соединим
вать трансформатор как пятиобмоточный со следующими сопротив-
лениями к. з.:
Zbl2’, Zbl3', Zbii’, Z515; Z523; Z524; Z525; Zb3ii Z635; Z&45.
Заменив индексы 2 и k на 5 и 4 соответственно, из формул
(5-1) — (5-6) находим:
Zb 13 ^Zais (Za5im Z a53m)^ IZ a5m\
Zbik — Zai4— (Za5Im—Za54m) 2/Za5m;
^bi5 -^oI5 “ ^fl5Im^«5rn;
Z&34 = Za34—(Za54m—Za53m)2IZa5mi
^b35 “ ^a35 ^53/n^°5m>
Z^5 — Zo45 Za54zzi/Zo5rn.
168
Заменив индекс 4 па индекс 2, из последних трех уравнений по-
лучаем:
“^612 — ^aI2 (^a5Im ^а52т)2/Za$m, ^b23 ” ^a23
(^ао2т ^аззт)2/Zа5т> ^Ъ25 “ ^а25 ^о52т^ а^т'
Из последней формулы при замене индекса 3 на индекс 4 имеем:
Z&24 ~ Zq24—\(^а52т—Za5bm)2/Za5m.
Используя условия симметрии (6-19), находим:
^Ы2 — 4“ ^а15 + Za2m)/2 Za25/4
— (^aI5 — + ^C2m)2/4^a25’>
Zbi3 ~ ^aI3 (^aI2 — ^aI5 — ^a24 4" ^a35)2/4^a2s‘,
^bl4 ~ ^al3 (^aI2 ^al5 ^a23 4“ Za35)2/4Za25t
Zbi5 = (Zai2 4- Zai5)/2—Za2bl4— (Zal2 — ZaI5)2/4Za25;
Zb23 ~ ^a.23 4“ (Za2tn Za3$ Za2^)/2 Za25/4
(Za2m + Za35 Za2^2l4Za2^\
^b2i — Za24 + (Za2m + Za35 — Za23)/2 Za25/4
(Za2m 4~ Za3$ Za23)2/4Za25;
Zb25 ~ ^a2tn Z,Q^mta25»
Zb3t — ^^34 (Za23 Za„y/4Za2^
^b35 — (^a24 4“ Z,a3^)/2 Za2j4 (Za24 Za3^2/4Za2b J
Zbis^ (Za23 -|- Za35)/2 Za25/4 (Za23 Za35)2/4Za25.
Таким образом, получены расчетные формулы для сопротивле-
ний к. з. трансформатора с нерасщепленной обмоткой ВН и двумя
расщепленными ((каждая на две части) обмотками с несимметричным
присоединением устройства РПН.
Для регулирования напряжения многообмоточного силового
трансформатора часто применяют регулировочный трансформатор,
первичная обмотка которого получает питание от одной из вторич-
ных обмоток силового трансформатора, а регулировочная включается
последовательно с его первичной обмоткой.
Так как мы имеем дело с двумя трансформаторами, то сопротив-
ления к. з. между всеми обмотками силового и обмотками 5 и РО
регулировочного трансформатора (рис. 6-2,а) следует принять равны-
ми бесконечности. Итак, имеем:
Z15 = Zip = Z25 = Z2p = Z35=Z3p=.CxD.
Из уравнений '(6-15) — (6-21) находим:
Zbi2 “ (ZO12 + T]pZgp)/(l + 7)Р)2 + *>QpZa2m/(l + 7]р);
Zbl3 — (^al3 4~ 7)р-^а24)/(1 + 'Чр) 4" (^р^бр^р^а^ )/0 4’7lp)2J
Zbl4 — (^а13 ~1~ rlpZa23)/(l +^p)+(T)pZ5p — ^р^а12)/(1 4“ Ylp)2^
Zbi5 — (^ai2 4~ 71р^бр)/(1 4" ^p)2; zb23 = Zb24 = Za23;
Zb24 ^Ъ35 = ^a24*> %Ь26 ~ Za2mt Zb34 ~ ^a34‘
(6-21)
(6-22)
.169
Если, кроме того, принять, что у силового трансформатора со-
противления рассеяния всех пар обмоток, расположенных на разных
стержнях, равны бесконечности, т. е.
Zi4 = Zim=Zin = Z24 = Z2 m == Z34 = °о,
то из уравнений (6-22) получим:
= ^12 + (^12 + ^зр)/(1 + "Пр)2*»
Z&13 = Z]3 + т)р (Z12 + Z5P)/(1 + vjp)2;
^Ы4 — ^ыз— 2vjpZ123/(l + “Пр)’, Zbl5 — Zbl2—2v)pZ12 Z(1+^р); - S)
^b23 ~ ^b45 ~ ^23> ^b24 ^b35 “ ^12 4“ ^13>
^b25 “ 2Z12; Zb34 — 2Z13. j
Пример 1. Однофазный трехобмоточный трансформатор типа
ОДЦТР-90000/400 с одной нерасщепленной и двумя расщепленными
(каждая на две части) обмотками имеет следующие напряжения
к. з.: ВН—(CHilJCH2) —17%, ВН—'(HHi(JHH2)—28%, (CHjIJCHs)--
(HHiUHH2)-10%.
Напряжение обмотки ВН регулируется регулировочным транс-
форматором, первичная, обмотка которого подключена к одной из
ветвей обмотки НН (рис. 6-2,а). Сопротивление к. з. Zp регулировоч-
ного трансформатора, приведенное к мощности силового трансформа-
тора, равно 100%. Отношение чисел витков его регулировочной и
первичной обмоток обозначим через т].
Так как система из силового и регулировочного трансформаторов
имеет пять пар выходных зажимов 1(ВН, СНЬ СН2, HHi, НН2), то
такой блок можно рассматривать как пятиобмоточный трансформа
тор со следующими сопротивлениями к. з.:
^Ь12 -= ^вн-нн + (1 4- 42 (2^вн-НН + 2р)>
Zbi3 = 2ZBH_CH 4- ц 4-т))2 732 (2Zbh-hh + 2р) >
Zbi4 — ц 4. у|)2 12^вн-сн + 471^ш + (2^сн-нн + ^р)1 ’
где
— (^вн-СН + ^СН-НН ~~ ^ВН-НН )'/2’
^Ы5 = (2^вн—нн “Ь ^р)^1 7))2» ^ьгз = ^Ь45 — 2ZCH_HH‘
^Ь24 = ^Ьз5 -= 2 (ZBH _СН + ^ВН-нн)’’ ^Ь25 = 4^ВН—НН ’
2^ьз4 = 42вн-нн»
Таблица 6-1
Zbl2 Zbl3 Zbl5 7 —7 Zb23~Zb45 z ~z ЛЬ21~ЛЬ35 Zb25 Zb34
0 0,1 0,2 —2,1 —0,2 56,0 57,3 60,3 57,9 65,8 34,0 35,3 38,3 35,9 43,8 34,0 29,0 26,9 43,5 60,6 56,0 47,1 41,7 70,5 93,8 20,0 90,0 112,0 68,0
170
Таблица 6-2
z2 23 д Z, Z*
0 0,0 21,0 — 1,0 — 1,0 21,0 35,0 35,.O
о,1 —2,8 21,0 — 1,0 —0,3 20,3 39,0 35,0
0,2 —3,2 21,0 — 1,0 +0,2 19,8 42,6 27,5
—0,1 6,9 21,0 —1,0 - —1;9 21,9 30,5 39,5
—0,2 20,9 21,0 — 1,0 —2,9 22,9 23,8 46,2
Таблица 6-3
Погрешности схемы замещения
Д212=—Д713 | az„=— azls | az2l ^^25 | *Z3i | Л235
0 0 0 0 0 0 0 0
0,1 . +0,1 + 1,1 +2,4 +0,7 +0,7 —0,7 +0,7 0
0,2 0,0 — 1,2 + 1,2 — 1,2 + 1,2 0
—0,1 —0,5 + 1,1 +0,9 —0,9 +0,9 —0,9 0
—0,2 0,0 —3,7 + 1,9 — 1,9 + 1,9 — 1,9 0
В табл. 6-1 приведены вычисленные по этим формулам значения
сопротивлений при т]=0; +0,1; +0,2; —0,1; —0,2.
Сопротивления ветвей приближенной схемы замещения (рис. ‘
6-2,6) приведены в табл. 6-2, а погрешности схемы — в табл. 6-3.
Из табл. 6-2 и 6-3 видно, что приближенная схема дает неболь-
шие погрешности и ее можно использовать в практических расчетах.
Так как схема замещения получена для приведенного трансформато- '
ра, к ее вершинам должны быть приложены приведенные напряже-
Рис. 6-3. Трехобмоточный трансформатор с двумя нерасщепленными
и одной расщепленной обмотками и регулирующим устройством (а)
и его схема замещения (б).
171 -
ния, а в ее ветвях должны протекать приведенные токи. Поэтому
к верши-не 1 схемы замещения (рис. 6-2,6) приложено напряжение
£Л/('1+л)> а ток ветви 1 равен '(1+т|)Л.
Если ветви 2 и т обмотки НН подключены параллельно к гене-
раторным шинам, то блок из силового и регулировочного трансфор-
маторов можно рассматривать как четырехобмоточный трансфор-
матор (рис. 6-3,а) со следующими сопротивлениями к. з.:
Zc\z, Zcl3 = Zcl4’, -Z'c23 = 2'c24; Zc34-
Приняв во внимание формулы (6-23), находим:
9 /1 \
ZC12 = Zbi2 ~ ^215/^25= ( “ ^12 + ]/( 1 + ^)2J
ZC13 — ^13 --- (^Ь215 ^b23s)2/^b25 ~ ^13 4"
। f 1 7 . I Zi23 V .
"Г (1 +7))2 2 Z12 + Z₽J 2Z12 ) Z123’
ZC23 — ^Ь23 --^Зб/^Ь25 — ^23 ^21з/^121
ZC34 — Zb34--- (^6245 -^'ь235)2/^Ь25 == 2 (Z13
(6-24)
Использовав эти формулы и уравнения (4-12), получим сопро-
тивления ветвей схемы замещения 1 (рис. 6-3,5):
Zi = Zci23’> Z3 = Zc2i3’> Z3 = Z4 = ZC34/2; Z5 = ZC3i2—ZC34/2.
Так как сопротивления ветвей 3 и 5 одинаковы (Z3=Z4), то все
погрешности схемы замещения равны нулю, т. е. в данном случае
получаем точную схему замещения.
Пример 2. Вычислить напряжения к. з. и сопротивления ветвей
схемы замещения трансформатора типа ОДЦТРН-90000/400 для слу-
чая, когда расщеплена обмотка СН (рис. 6-3). Сопротивление к. з.
регулировочного трансформатора, приведенное к мощности силового
трансформатора, равно 100%.
Л=0; +0,1; +0,2; —0,1; —0,2.
Z12 = 56%; Zi3 = 34%; Z23 = 20%.
Сопротивления ветвей трехлучевой схемы замещения силового
трансформатора:
Z123= (56+34—20)/2 = 35%; Z213 =^(56+20—34)/2=21 %.
Результаты расчета (в процентах) сведены в табл. 6-4.
Таблица 6-4
2С12 2C13“ZC14 7 —7 с23 с24 2с34 z5 д
0 0,1 0,2 -0,1 —0,2 28,0 24,0 22,2 35,8 50,0 23,4 20,4 21,3 28,5 39,9 16,1 24,2 17,7 14,2 13,7 24,1 36,9 10,4 9,9 8,5 11,7 13,1 12,1 5,7 6,2 7,6 4,4 3,0 0
172
6-3. Автотрансформатор с расщепленной обмоткой
и регулирующим устройством
Развитие электрических сетей ВН и потребность соединения их
между собой привели к созданию многообмоточных трансформаторов
и автотрансформаторов. Связи между сетями относительно близких
напряжений (например, 220 и НО кВ, 500 и 220 кВ) наиболее
экономично выполняются с помощью автотрансформаторов,
основные обмотки которых соединены в звезду с заземленной ней-
тралью.
Автотрансформаторы на высокие напряжения содержат третич-
ные обмотки НН, которые соединяются в треугольник для компенса-
ции токов нулевой последовательности. Эти обмотки используют-
ся для подключения генераторов, синхронных компенсаторов, потре-
бителей, питания регулировочного трансформатора и т. д. Регули-
рование напряжения под нагрузкой осуществляется путем включения
регулировочной обмотки последовательно с основными обмотками
автотрансформатора.
В мощных трансформах для эффективного ограничения токов
к. з. часто применяют расщепление обмотки НН. К одной из ее
частей подключается первичная обмотка регулировочного трансфор-
матора.
Получение зависимости между токами всех обмоток и напряже-
ниями на их зажимах в регулируемых многообмоточных автотранс-
форматорах представляет большой практический интерес.
Для этой цели, а также при исследовании режимов сетей, свя-
занных трансформаторами и автотрансформаторами, удобно исполь-
зовать рациональные схемы их замещения, которые позволяют суще-
ственно упростить расчеты, а также просто и наглядно производить
анализ режимов.
Метод получения параметров и схем замещения сложных много-
обмоточных блоков можно проиллюстрировать на примере автотранс-
форматора с третичной обмоткой, расщепленной на две части, к од-
ной из которых присоединена первичная обмотка регулировочного
трансформатора (рис. 6-4,а). Этот блок можно рассматривать как
четырехобмоточный трансформатор с обмотками ВН, СН, HHi, НН2
с зажимами соответственно АХ, АтХ, aiX[, а2х2 (рис. 6-4,6).
Пусть обмотки ВН и НН силового и первичная обмотка регули-
ровочного трансформаторов имеют одинаковое число витков w;
обмотки СН и регулировочная — соответственно w2 и витков.
Обозначим:
w2/w=t]; wp/w=T]p.
Пренебрегаем намагничивающими токами силового и регулиро-
вочного трансформатора. Полагаем, что отсутствует магнитная
связь между обмотками разных стержней силового трансформато-
ра, т. е. сопротивления к. з. обмоток разных стержней равны беско-
нечности.
Приведенные токи в обмотках СН стержней равны т]/'2 и Т[1Г'2.
Напряжение обмотки ВН равно — Up, а приведенное напряжение
обмотки СН ((72 — £/р)/т).
173
ii
h
'of-
-0—>Г
йз
-0—
Zz
In3
-0-
ii+iz
6)
A
----------0
>4/77-----| //
0X
Uz Am Щ A
Mi ? . ¥
Z2 . [>
T (fop) A ।
z3
из
/А I
az^
U3
6)
•ях
'Рис.
матор
обмоткой
щим устройством.
а —реальная схема; б —
условная схема; в — схема
замещения.
6-4.
с
Автотрансфор-
расщепленной
и регулирую-
Л
А
•0
Воспользовавшись уравнениями многообмоточного трансформа-
тора (гл. 4), можно написать:
+ ^'2 + 1'з — 0; + ^iff2 + i" 3
ZA — tfp — (р2 - ^р)/т] - Z12/\ + Z2/'3;
U.-Up- (U2 - Up)/ri = Z^/" + Z2/"3-
U.-Up-U^^Z^'.+^Zj'^
и, - йр - (7"з - А3/" 1’+ чУ"г.
где
Z2 — (Z12 -|- Z23 Z13)/2; Z3 == (Z13 -{- Z23 Z12)/2;
Z12 — 2ZBH_CH; Z13=J2ZBH_HH; Z23 = 2ZCH_HH,
a ^BH-CH’ ^вн—НН’ ^ch—hh—сопротивления к. з. соответственно
между обмотками ВН, СН, НН. Остальные обозначения ясны из
рис. 6-4,б.
Приведенные ток и напряжение регулировочной обмотки регули-
ровочного трансформатора равны т)р (Д + /2) и Up/^p. Для него спра-
ведливы соответственно следующие уравнения:
/р + ’’Ip (Л + Л) =0» С/р/'Пр Urf з — ^pZp (/1 -|- А) >
где /р — ток первичной обмотки регулировочного трансформатора;
Zp — его приведенное сопротивление к. з.
Введем обозначения:
в = и. - т\рй"з\
А = В — (й2 —
{N= ^ZV (Л + Л).
174
Исключим из напйсанных выше уравнений силового трансформа-
тора напряжение (7Р. Получаем следующую систему уравнений, спра-
ведливую для блока, состоящего из силового и регулировочного
трансформаторов:
Л + ^/'2 + Л = О4, (6-25)
Z'\ + -п/"2 + 7"з = 0; (6-26)
/р = -^р(Л + /2); (6-27)
л== + +г2/'3; (6-28)
Л = (1Af + Z12/",+Z2/"3; (6-29)
B-a'3 = Ar+Z13/'1+TjZ3/'2; (6-30)
+ (6-31)
Блок из обоих трансформаторов можно рассматривать как че-
тырехобмоточный трансформатор с зажимами (обмотками) АХ, АтХ,
a^Xi, а2х2 (рис. 6-4,5). Такой трансформатор характеризуется шестью
сопротивлениями к. з.:
%ААт ’ % Adi' %Ата^ ’
которые необходимо определить по заданным параметрам силового
и регулировочного трансформаторов. Искомые сопротивления полу-
чаются из системы уравнений (6-25)—(6-31), если записать их для
шести опытов к. з.:
1. Для определения ZAA источник напряжения Ui подключим
к зажимам АХ, замкнем накоротко обмотку АтХ. При этом соблю-
даются следующие условия: U2 =0; 7'3 = /"3 + 7р — 6.
Учитывая, что искомое сопротивление ZAA должно быть приве-
дено к виткам w, получаем:
^лп, = ^/Л(1 + 71р)2-
2. Питание подается к обмотке a^Xi, и замыкаются накоротко
зажимы АХ. Искомое сопротивление будет:
^Aat = ^'з/7'з
при условии, что Ux — 0, /2 — 7"3 + /р -- 0. Если источники подклю-
чить к обмотке АХ и замкнуть накоротко обмотку то
будет равно Ui/i1 (1 + ?})2. При этом Ur3 — 0, /2 — 1"3+ — 0.
3. Источник напряжения подключается к зажимам АХ, замы-
каются накоротко зажимы а2х2. В этом случае U"z — 0, /'2 ==
— /'3 _ 0. Искомое сопротивление получается:
175
4. Питание подается к обмотке diAj, замыкаются накоротко за-
жимы АтХ. Тогда
ZA а з/1'з- ПРИ ЭТОМ /1 =/'% + 4 = О-
т 1
5. Источник подключается к зажимам а2Х2, обмотка ЛтХ замы-
кается накоротко:
ZAma2 = Й"з/(/"з + 4)-. При ЭТОМ й2 = 0, Л = Р3 = 0.
6. Напряжение подается к обмотке а2*2, замыкаются накоротко
зажимы £Z]Xi:
- й"з/(1"з + Л>) • При этом иъ = 0, Л = Л = 0.
Воспользовавшись указанными дополнительными условиями, из
системы уравнений (6-25)—1(6-31) получаем:
ЧрО— Ъ)2 / z,z2
(1 +’i₽)’h + T₽r V’ + 2Z,2 +4
ZAa,— 2(14-7)p)2 [Zi3 + <* + 2lfo)2 (%* + НЙ) + 2>)pZpj J
ZAa, = 2 (1 + 7]p)2 k + Z3 + + 2т)р/р 1J
ZAma^ 2(7)+7)p)2 b2Z23 + C') +
+ 2/Jp)2 (za + ^7-) + 2-q2pZpJ;
ZAma* = 2 (1) + T)p)2 [ 712 (Za’ + z3 + + 2v)pZpj ;
(*з + >
где Zi= (Z12+Z13—2гз)/2.
Остальные обозначения даны выше.
По полученным сопротивлениям к. з. блока из силового и регу-
лировочного трансформаторов можно получить параметры его схемы
замещения как четырехобмоточного трансформатора. Однако точная
схема замещения неудобна для практических расчетов. Более удобна
приближенная схема замещения (рис. 6-4,в), сопротивления ветвей
которой приведены в § 4-2 — формулы (4-12).
Погрешности приближенной схемы замещения:
^Лт = ^й,= 0;
^ZAOi — ^ZAmax — ^ZAma* =
~ ^Атй1
В схеме замещения должны быть приложены приведенные на-
пряжения, а в ветвях схемы — протекать приведенные токи. Как
176
отмечалось, приведенные напряжения обмоток трансформаторов
и. - tfp = (й2 - Up)/ri = uP/7] = U'3 - U"3
или после некоторых преобразований
й2 . .
Приведенные токи в обмотках ВН и СН соответственно равны
О+^р) Л 11 С7) + ^р) Л* Полный ток обмотки СН автотрансформатора
равен Д + /2 (рис, 6-4,а).
Для определения токов в ветвях обмоток АХ и АтХ восполь-
зуемся следующими зависимостями. Из уравнений (6-28) и .(6-29)
получаем:
Принимая во внимание, что —/\, из последнего урав-
нения находим:
Л Д/2 + Z2 (Z"3 - Z'3)/2Z12. (6-32)
Складывая уравнения (6-25) и (6-26), имеем:
Л+^2 + /'з + /"з = 0-
Учитывая, что — z\ = т]/'2 + Z'3, из уравнения (6-32) получаем:
Л = Л/2 + Z. (Z"3 - Z'3)/2t)Z12. (6-33)
Пример 3. Автотрансформатор характеризуется следующими па-
раметрами.
4. Напряжения к. з.: ВН—СН—8Д%; ВН—(НН4 (J НН2)— 28,2%,
СН— (HHi (J НН2)—19,3%.
2. Номинальные напряжения:
525 / 242 /
•77= / “77= / 13,8 кВ.
Из / Из /
Регулировочный трансформатор получает питание от обмотки НН
(рис. 6-4,а). Его сопротивление к. з., приведенное к мощности авто-
Таблица 6-5
Сопроти J- ления ’’р Сопротив- ления Чр
0 + 0,086 -0,086 0 1 +0,086 | —0,086
ZAAm 8,1 7,5 И,2 Zi 8,5 8,1 6,5
^Аах 47,5 46,5 50,2 Z2 —0,4 —0,6 4,7
Ааг 47,5 40,5 57,3 ^3 38,6 43,1 32,5
^Атах 38,6 40,8 43,3 ^4 38,6 34,1 44,7
% А ал т л 38,6 28,7 60,8 ^5 0,4 —3,3 8,7
7 ata2 77,2 77,2 77,2
12—685 177
трансформатора, принимаем равным 50%. Пределы регулировании
±26 кВ.
По этим данным находим:
Z12 = 2-8,l = 16,2%; Z13 = 2-28,2 = 56,4%; Z232-19,3 = 38,6%;
Zi='17%; Z2=—0,8%; Z3 = 39,4%;
v) = 242/525 = 0,462; 7]p = + 26 /3/525 = + 0,086.
Все сопротивления к. з. регулируемого автотрансформатора (бло-
ка из автотрансформатора и регулировочного трансформаторов) и
сопротивления ветвей схемы замещения при трех положениях регу-
лируемой обмотки регулировочного трансформатора даны в табл. 6-5.
Погрешности схемы замещения для сопротивлений ZAA и Z^
равны нулю, для остальных ± 1»5% при т)р = + 0,086, +2,6% при
= — 0,086 и нулю при — 0. Полный ток обмотки СП равен
Л + / 2 •
6-4. Трехобмоточный трансформатор с обмоткой,
состоящей из трех последовательно соединенных
частей
Рассмотрим однофазный трехобмоточный трансформатор с дву-
мя стержнями и двумя боковыми ярмами. На одном стержне нахо-
дятся ветви 1, 2 и 3, на другом — 4 и 5'(рис. 6-5,а).
Рис. 6-5. Трехобмоточный трансформатор с обмоткой АтХт, состоя-
щей из трех последовательно соединенных частей (а), и его схема
замещения (б).
Регулирование напряжения под нагрузкой (РПН) осуществляет-
ся с помощью регулировочного устройства. Компенсационная (КО)
и регулировочная (РО) обмотки расположены на боковом ярме.
1'78
Обмотка АтХт состоит из трех -последовательно соединенных
ветвей (2, 5 и р); обмотки АХ и ах — каждая из двух параллельно
соединенных ветвей /, 4 и 3, k соответственно (рис. 6-5,а). Всего
имеется семь ветвей или частей обмоток. Поэтому трансформатор
можно характеризовать 7(7—1)/2 = 21 сопротивлениями к. з.
Поскольку магнитная связь между частями обмоток разных
стержней слабая, велики их сопротивления к. з., которые обычно
принимаются равными бесконечности и в расчетах не учитываются.
Такое допущение, принимаемое в дальнейшем, равносильно тому,
что трансформатор с одним магнитопроводом заменяется тремя
отдельными трансформаторами с независимыми магнитными систе-
мами.
Так как трансформатор имеет три пары выходных зажимов (ЛХ,
АтХт и ах), его схемой замещения будет трехлучевая звезда.
Для упрощения дальнейшей! записи ветви обмоток будем назы-
вать обмотками.
Примем, что все обмотки имеют одинаковое число витков w,
за исключением РО, число витков которой равно wp.
Учитывая, что обмотки /, 5 и р соединены последовательно,
а обмотки 2, 4 и 3 и k — параллельно, для трансформатора, приве-
денного к одному числу витков, имеем следующие зависимости меж-
ду приведенными напряжениями и токами:
йА X = й3 = йк-, \
. ” ?..................................} (6-34)
Л = Л = /р/1. 1А = Л 4- Л; /а -= /, + /,./
где
т| = Wp/w;
w — базисное число витков.
Для трансформатора справедлива следующая система урав-
Л + Л + /з = 0;
ф-[/2 = 712Л+72/3;
Ц- Z3f2;
Л +^*5 — 0; ^4--^5 = ^45^4^
Лс + Л) — 0; й*— u^-z^i*,
(6-35)
где Zp = ZKO-po — сопротивление к. з. обмоток КО и РО;
Z2= (Z12 + Z23—Z13)/2; Zs= (Z13 + Z23—Z12)/2.
Обозначим пределы регулирования обмотки АтХт через т]Р. Так
как эта обмотка образована последовательным соединением ветвей 2
и 5 и имеет 2ш витков, то
T]n = ayp/2tiy = T]/2. (6-36)
Из уравнений (6-34) — (6-36), исключив в них токи /2, t3, 1Ъ,
fR, напряжения 1/ь 1/5 и 1/р и коэффициент трансформации т), полу-
чим:
2 (1 + ^р) Л + /д + Л = 0;
иЛ X —2(1 +7)p)£/3 = (Z12+Z45 + 4Z3 + 4712Zp)/I +
mm ( (0-0/)
+ (Z23 + Z3) fA;
U3 — (Z2 + 27)pZ23) /1 + Z23/2.
12'
179
Для определения сопротивления к. з. 7ЛЛ обмоток АХ и АтХт
замкнем накоротко обмотку АтХт, источник напряжения подключим
к обмотке АХ, а обмотку ах оставим разомкнутой.
Тогда ZAA = 02/1 а ПРИ Условии> что Од х — 0 и /а = 0.
т т т
Из системы уравнений (6-37) находим:
ZAAm = (1 +\p)2 [(Z12 + Z«)/4 + + 1 • (6'38)
Подключив источник напряжения к обмотке ах, замкнув нако-
ротко обмотку АтХт и оставив ненагруженной обмотку АХ, опреде-
лим ZAa. Тогда ZAa = U3/ia при условии, что йАХ — 0 и 1А = 0.
Из системы уравнений (6-37) имеем:
ZAa ~ (1 Т]р)2 [(^12 + ^4б)/4 + Z3 + 7)р Zp]. (6-39)
Аналогично из последнего уравнения системы (6-37), приняв, что
Д — 0 и U2 — 0, находим:
%Ата == ^2з- (6-40)
В полученных формулах учтен способ соединения обмоток и
отношения чисел витков всех трех частей обмотки АтХт трансфор-
матора. Его схемой замещения является трехлучевая звезда
(рис. 6-5,6), сопротивления ветвей которой вычисляются по извест-
ным формулам для трехобмоточного трансформатора.
Приведенные ток и напряжение обмотки АтХт определяются
следующими выражениями: 2(1 -|-7)р) Д; UA х /2(1+^)-
™тлт
Пример 4. Определить сопротивления к. з. однофазного силового
трансформатора (рис. 6-5,а). Сопротивления к. з. между частями
обмоток в процентах имеют следующие значения:
Z12 = 34,9; Zi3=16,2; Z23 = 59,7; Z45 = 44,7; Zp = 25,8.
По формулам (6-38) — (6-40) для разных значений т]р вычисляем
сопротивления к. з. трансформаторов. Результаты расчета сведены
в табл. 6-6.
Таблица 6-6
Сопротивления к. з. V 0/ /0
0 10 —5 — 10
2ла 19,9 20,4 20,1 20,8
%Аа 40,4 33,6 44,8 50,2
%А а т 59,7 59,7 59,7 59,7
180
6-5. Схемы замещения для оценки токораспределения
в параллельных частях обмоток
Обмотки мощных трансформаторов и реакторов, как правило,
содержат параллельно соединенные ветви (части обмоток, группы
катушек, катушки, провода). Неравномерное распределение тока по
ним может представить серьезную опасность из-за чрезмерного мест-
ного нагрева. Для оценки распределения тока часто применяют схе-
мы замещения, рассматривая ветви как отдельные обмотки, соеди-
няемые параллельно.
В случае параллельного соединения больших частей, например
половин обмотки, сопротивления к. з. пар которых нетрудно опре-
делить, затруднения не возникают. Сложнее расчет при большом
числе параллельно соединяемых катушек и групп катушек, например
в мощных преобразовательных трансформаторахi. Хотя эта задача
решена с помощью ЦВМ путем прямого расчета всех парных сопро-
тивлений к. з. и численного решения большой системы уравнений,
метод быстрой и наглядной оценки токов вручную с помощью упро-
щенных схем замещения представляет интерес в первую очередь для
разработки способов выравнивания токов.
Рассмотрим пример. Пусть наружная обмотка трансформатора
расщеплена на две одинаковые независимые части, каждая из кото-
рых состоит из нескольких (т) параллельно соединенных двойных
дисковых катушек (рис. 6-6,а). Примерно равная ей по высоте вну-
тренняя обмотка содержит две параллельно соединенные половины.
Необходимо быстро оценить распределение тока по катушкам в ряде
режимов работы, в частности в опытах к. з. I—II, II—III и
I—(II и III).
Представим ориентировочный вид картины магнитного поля
в этих трех режимах. 'Видимо, магнитные линии будут проходить
главным образом в каналах между обмотками, а роль магнитного
сопротивления пространства вне обмоток будет относительно неве-
лика. Пренебрежем ролью конечных размеров сечения каждой из
катушек, приняв, что условная ширина каждого канала рассеяния
больше фактической на треть соответствующего размера сечения ка-
тушек (размера, перпендикулярного рассматриваемым магнитным
линиям). Предположим, что магнитные линии направлены только
вдоль оси в канале между внутренней и наружной обмотками и
только радиально в каналах между соседними катушками одной
обмотки. Кроме того, введем магнитные эквипотенциали для осевого
поля в серединах каналов между соседними катушками. Пренебре-
жем вихревыми токами.
Для такого упрощенного трансформатора можно изобразить схе-
му магнитной цепи с сосредоточенными параметрами, причем н. с.
всех обмоток можно охватить одним наружным контуром. Тогда
дуальное преобразование этой схемы (см. § 3-2) дает электрическую
схему замещения с одним общим узлом для всех обмоток. Следова-
тельно, этот узел можно не изображать на схеме. Полученная схема
с учетом электрических сопротивлений обмоток постоянному току
показана на рис. 6-6Д Если пренебречь активными сопротивлениями,
1 Рогацкин М. А., Амромин А. Л. Расчет тока в обмотках и на-
пряжения короткого замыкания мощных преобразовательных транс-
форматоров.— «Электротехника», 1971, № 11, с. 20—23.
181
Рис. 6-6. Сечение и схема соединения обмоток (а) и упрощенная схема замещения с учетом (б) и без учета (в)
активных сопротивлений трансформатора с расщепленной наружной обмоткой из параллельно соединенных двой-
ных дисковых катушек. Пунктиром показаны эквипотенциали осевого поля.
То индуктивные сопротивления рассеяния между соседними парал-
лельно соединенными дисковыми катушками хс и сопротивление Х12
между частями 1 и 2 обмотки / окажутся зашунтированными элек-
трическим соединением соседних зажимов и все эти сопротивления
можно опустить — см. рис. 6-6,в.
На этой схеме каждое из сопротивлений x4 = *5= ... =xm + i =
= xm+4= ... =x2m + i и Xm+2 = Xm+3 представляет собой сопротивле-
ние рассеяния двойной дисковой катушки наружной обмотки с со-
ответствующим ей по высоте участком внутренней обмотки при ука-
занных выше магнитных зквипотенциалях:
’ Х5 — ... —= Xm + i — Хт^-4 — ... — - Х2т +1 —
9 f а\ а2 \ 1
= ( — + «12 4--3-
2 { 1 7
Хт + 2 — ^m+з “ W»ao WtftD I “у + 6Г12 + "уIX
1
Х/г + 0,5 (е — с) '
(6-41)
где wo — базисное число витков; a, h, с, е — размеры, указанные на
рис. 6-6,a; D — средний диаметр канала между обмотками.
Сопротивление хГр представляет собой сопротивление рассеяния
пары катушек с номерами т + 2 и т + 3, расположенных у границы
чаете?! // и III наружной обмотки (при отсутствии всех остальных
соединений):
Хгр = Х-к (т + 2) (т + з) --= «Н.И’б" (D + Л12 + <Z2) X
/2 5 \ 1
х(—+ Ррог- (6‘42)
где рРог — коэффициент Роговского; в данном случае рРог ^=1—
Сопротивления х3 — х2т+2 определяются по „сквозному" сопро-
тивлению рассеяния обмотки / со всей обмоткой (//(J///)—хскв
исходя из соотношения х~^ — 2х^-1 + 2 (т — 2) х^~1 + 2х~^2 ♦ Ис-
пользуя упрощенное выражение коэффициента Роговского в виде
Ррог.скв 1 + (« + «12 + «2)/” (2/ий — 2с + е),
получаем:
2 / #1 ^2 \
Яскв — ЯК1 I — + Я12 + “у ) X
О £. О I . л1 + #12 “F #2
2тh — 2с -4- е 4----------------
1 1 л
(6-43)
183
00
Таблица 6-7
Искомый ток Режим
I-(II (JIII) I-II II-III
Значения в долях полного тока
I. 0,5 #гР 4~ 2хСкв *гР + 4хскв ^гР ^гр ~h 4хСКв
I 2 0,5 2#СКВ ^гр
•^гр + 4хскв хгр ~Ь 4хскв
4 •Х'скв х3 ^гР ~4~ 2%СКВ ^скв Я гр “Ь 4хскв Х3 ^гР 2%СКВ •^гр “Ь 4хекв х3
^4~Л= •••— Лп+1 X х * S а •^гР 4~ 2%скв 2%СКВ Хгр + 4хскв Х4 ^гР ^скв Хгр 4" 4хскв х4
1 т+2 •Х'скв %т+2 2#скв Г Д'гР ~Н 2хСкв j 1 ^гр 4~4ХСКВ ^т + 2 J । •Х'гр Г 2хСкв 1 #гр 4~ 4Хскв L Х'т+2 J
I т+3 ^скв Хт + 2 2-#скв Г j 2хСкв 1 ^гР 4" 4%скв ^т + 2 J । •Х'гР f j 2хСкв | •Я'гР 4“ 4ХСкв |_ ^т + 2 J
откуда
2 I ^2 \ у
*3 = *2m + 2 = <OJX0W6^D ( ~3" + ^12 + — ) X
___________1____________
, ПК I + ^12 + ^2
А-0,5с +----------------
(6-44)
Если известно сопротивление рассеяния между обмотками II и
III при параллельном соединении частей 1 и 2 обмотки I (сопротив-
ление «расщепления») хр, то вместо (6-42) для определения хгР
можно использовать выражение
______4#СКВ#Р
г₽'“ 4Хскв~Хр
(6-45)
Расчет токов в ветвях по схеме рис. 6-6,в чрезвычайно прост —
см. табл. 6-7. Расчет для трансформатора, опытные данные которого
приведены в упомянутой выше статье М. А. Рогацкина и А. Л.Амро-
мина, показал, что этот метод дает близкие к опытным значения
токов (в том числе токов в катушках у торцов и у границы разных
частей наружной обмотки) при всех режимах работы, не связанных
с последовательным соединением частей обмоток.
Схему замещения по типу приведенной на рис. 6-6 можно
использовать и для оценки распределения токов по катушкам обмо-
ток НН электропечных трансформаторов.
Схема замещения, основанная на принципах, подобных указан-
ным, успешно была применена для оценки токораспределения, обу-
словленного конструктивными (систематическими) отклонениями по-
ложения отдельных катушек в тороидальном токоограничивающем
реакторе.
В случае параллельного соединения соседних проводов, когда
можно пренебречь индуктивными сопротивлениями контуров цирку-
лирующих токов, схема замещения имеет простейший вид многолу-
чевой звезды из одинаковых активных сопротивлений.
П риложение 1
Учет добавочных потерь в схемах замещения
Система с постоянными магнитной проницаемостью и электри-
ческой проводимостью всех материалов описывается системой ли-
нейных дифференциальных уравнений электромагнитного ноля с по-
стоянными коэффициентами. Переход от дифференциальных урав-
нений к уравнениям в конечных разностях не может изменить это
утверждение, так как число элементов может быть выбрано сколь
угодно большим (но конечным). Из этих элементов может быть со-
ставлено конечное число контуров, также характеризующихся по-
стоянными коэффициентами. Рассматривая эти контуры как замкну-
тые накоротко обмотки п+1, ..., $, при синусоидальных токах и
напряжениях можно записать систему из s уравнений:
при р= 1, 2, ..., п
s
2 iqZ"РЧ = Up*
<7=1
при р = п+1 п+2, ..s
s
2 рч = о,
<7=1
где — взаимное .(при p — q—собственное) сопротивление кон-
туров (обмоток) р и q при отсутствии токов во всех
остальных контурах, т. е. при отсутствии вихревых
токов.
Из s-ro уравнения (p = s), не имеющего правой части, можно
выразить Is через сопротивления и остальные токи и подставить его
в остальные уравнения,’затем из s—1 -го уравнения (p = s—1) —ток
/s-i и т. д. вплоть до /п+1- Тогда останется только система из
п уравнений, содержащая п токов. Коэффициенты при токах пред-
ставляют собой комбинации из постоянных сопротивлений Z"pq,
т. е. они тоже постоянны. Если обозначить эти сложные коэффи-
циенты Zpq и учесть, что из условия Z"pq = Z"qp следует Zpq =
— Zqp, можно получить систему уравнений (3-4). Так как сопротив-
ления ветвей схемы замещения однозначно выражаются через со-
противления Z"pq, не зависящие от токов, то параметры ветвей
схемы замещения, в том числе активные сопротивления, постоянны и
не зависят от токов в обмотках трансформатора.
Следовательно, схемы замещения можно использовать для рас-
чета добавочных потерь в сложных режимах во всех элементах
трансформатора, где можно пренебречь изменением магнитной про-
ницаемости. При этом погрешность будет примерно такой же, как
при пересчете потерь в двухобмоточном трансформаторе пропор-
ционально квадрату тока.
С помощью схем замещения можно рассчитывать не только
суммарные потери, но и потери в отдельных элементах или местные
удельные потери, если известны соответствующие потери в парных
режимах работы. Имея такие данные, можно найти режимы, соот-
ветствующие наибольшим местным нагревам или полным потерям.
Например, пусть нужно определить режимы работы трехобмоточного
186
Трансформатора (обмотки ВН, СН и НН), в которых максимальны
суммарные нагрузочные потери Ру и потери в прессующих коль-
цах Рп.к. Номинальные мощности всех обмоток одинаковы. Значе-
ния коэффициента мощности не ограничены. Известны значения по-
терь в парных режимах:
Опыт к. з. обмоток кВт кВт
ВН —СН 160 8
ВН-НН 200 16
СН-НН 140 4
Приняв приведенные номинальные токи /н за единицу, можно
выразить активные составляющие сопротивлений лучей эквивалент-
ной схемы в киловаттах. По формуле (2-22) получаем значения
сопротивлений, соответствующие потерям указанных видов:
Луч эквивалентной схемы Гу, кВт гп.к, кВт
ВН НО 10
СН 50 —2
НН 90 6
Из выражения Р==гвп/2вн+/'сн/2сн+гнн/2нп (индексы S и
п. к. опущены) и условий /вн, сн, ни^/н следует, что если актив-
ные сопротивления всех лучей положительны, то потери максималь-
ны при /вп=/сп = /нн=/н (токи сдвинуты по фазе на 120°). Для
трехобмоточного трансформатора этот вывод верен практически
всегда. Если же одно из сопротивлений отрицательно (в данном
примере Гп.к.сн), то самые большие потери наблюдаются в парном
режиме, когда сторона, для которой г<0, не нагружена (в данном
примере режим ВН—НН для потерь в прессующих кольцах).
Для указанных расчетов нет необходимости в определении па-
раметров ветвей схемы замещения и токов в ее ветвях — можно
использовать формулы (2-20) или (2-21). Если для рассматриваемо-
го трансформатора применима древовидная схема замещения (см.
§ 4-2), то расчет потерь по такой схеме проще, чем по указанным
формулам.
Приложение 2
Основные обозначения:
В — магнитная индукция;
Н — напряженность магнитного поля;
J — плотность тока;
/=
L — индуктивность;
- — длина;
т — число однотипных или одинаковых частей;
п — число обмоток или их частей;
Р— потери (активная мощность);
Q — реактивная мощность;
— магнитное сопротивление;
г — активное сопротивление; электрическое сопротивление;
187
S — полная мощность;
S, s — площадь сечения;
Y — комплексная проводимость;
И7М — энергия магнитного поля;
w—число витков;
х — реактивное (индуктивное) сопротивление;
d .
z — оператор [Л. 1], г = г +
Z — комплексное сопротивление;
Zgpn “ = 0,5 (ZKgp ZKqn ZKPn);
у — плотность материала;
р — удельное электрическое сопротивление;
т] — коэффициент приведения; коэффициент трансформации;
отношение чисел витков;
Ца — абсолютная магнитная проницаемость;
Цо — магнитная постоянная; цо = 4л-1О-7 Г/м;
Ф — магнитный поток;
V — потокосцепление;
со — угловая частота.
Индексы:
11, 2, .g, /, j, К т, п, р, q, г, s — номера обмоток сторон;
ветвей, частей, контуров;
S — сумма;
0 — намагничивание (например, /о — намагничивающий ток);
а —активная составляющая;
б — базисная величина (значение);
к—короткое замыкание, к. з.;
м — магнитный параметр;
н — номинальная величина (параметр);
о—ветвь схемы замещения, связанная с общим зажимом;
р—реактивная составляющая;
х — холостой ход, х. х.; параметр х. х.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.„ «Мир», 1964.
2. Вопросы траноформаторостроения. Под ред. Э. А. Манькина.
Тр. ВЭИ, вып. 79. М., «Энерия», 1969.
3. Лейтес Л. В. Эквивалентные схемы многообмоточных тран-
сформаторов и их применение. М., «Информстандартэлектро» (отде-
ление ВНИИЭМ), 1968.
4. Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов. М., «Энергия»,
1968.
5. Garin A. N., Paluev К. К. Transformer circuit impedance cal-
culations.— «Transactions А1БЕ» («Electrical Engineering»), 1936,
v. 55, № 6.
6. Васютинский С. Б. Вопросы теории и расчета трансформато-
ров. Л,, «Энергия», -1970.
7. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.,
«Энергия», 1970.
8. Петров Г. Н. Трансформаторы. М.— Л., Энергоиздат, 1934.
9. Пинцов А. М. К расчету индуктивностей параллельных шин
прямоугольного сечения и рассеяния обмоток трансформатора.—
«Электричество», 1972, № 8.
10. Горев А. А., Костенко М. В. Приведение сложных сетей
к простейшим эквивалентным схемам.— «Электричество», ,1948, № 3.
Л. Cherry Е. С. The duality between interlinked electric and mag-
netic circuits and the formation of transformer equivalent circuits.—
«The Proceedings of the Physical Society», 1949, v. 62, pt 2, № 3’5OB.
12. Лейтес Л. В. Учет намагничивающего тока в схеме замещения
трансформатора.—«Электричество», 1971, № 11.
13. Марквардт Е. Г. Об электромагнитном рассеянии.— «Элек-
тричество», 1935, № 1; Дискуссия (Петров Г. Н., Мееро-
вич Э. А., Марквардт Е. Г.)—«Электричество», 1935, № 9 и
15; 1936, № 23j 1937, № 11. Марквардт Е. Г. Электромагнит-
ные расчеты трансформаторов, М.„ ОНТИ, 1938.
14. Вольдек А. И. Схемы замещения индуктивно связанных це-
пей и их параметры.— «Труды Таллинского политехнического инсти-
тута», серия А, 1952, № 40. Таллин, Эстонское госуд. изд-во, 1952.
15. Пенчев П. Р. Върху разсейването в трансформаторите. Со-
фия, «Техника», 1969.
16. Зихерман М. X. Характеристики намагничивания мощных
трансформаторов. «Электричество», 1972, № 3. Беляков Н. Н., Зи-
херман М. X. П-образная схема замещения трансформатора с уче-
том насыщения.— «Труды ВНИИЭ», вып. 34. М., «Энергия», ,1969.
Зихерман М. X., Камнева Н. П. Об остаточной индукции в транс-
форматорах 330—750 кВ.—«Электричество», 1972, № 5.
17. Boyajian A. Theory of three-circuit transformers.— «Transac-
tions of ALEE», 1924, v. 43.
18. Пинцов A. M. Схемы, эквивалентные трансформаторам
с расщепленными обмотками.— «Известия НИИ постоянного тока»,
1957, сб. 2. Пинцов А. М. Приближенные схемы замещения много-
обмоточных трансформаторов.— «Труды НИИ постоянного тока»,
1971, сб. 17.
19. Амромин А. Л. Определение индуктивных сопротивлений рас-
сеяния трансформаторов.— «Электротехническая промышленность.
Серия Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые
конденсаторы», 1972, вып. 10 (19)—11 (20), библ. 104 найм.
189
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 3
Глава первая. Исходные положения для построения схем
замещения.............................................. 6
1-1. Назначение схем замещения. Основные допущения 6
1-2. Приведение параметров к одной стороне ... 14
1-3. Схема замещения двухполюсника...............18
1-4. Параметры трансформатора. Ток холостого хода и
напряжение короткого замыкания...................24
Глава вторая. Расчет тока холостого хода и напряжения
короткого замыкания................................... 28
2-1. Расчет характеристики холостого хода .... 28
2-2. Расчет напряжения короткого замыкания ... 32
2-3. Расчет индуктивности рассеяния....................37
2-4. Расчет индуктивности рассеяния по плотности энер-
гии магнитного поля..............................41
2-5. Расчет индуктивности рассеяния методом средних
геометрических расстояний .......................46
2-6. Расчет потерь короткого замыкания.................55
Глава третья. Схемы замещения трансформаторов с уче-
том намагничивающего тока.............................57
3-1. Основные уравнения и общая схема замещения
трансформатора...................................57
3-2. Построение электрической схемы замещения транс-
форматора по схеме его магнитной цепи ... 64
3-3. Схема замещения двухобмоточного трансформатора 69
3-4. Схема замещения многообмоточного трансформа-
тора с концентрическими обмотками................80
3-5. Схема замещения при сильном насыщении стали 90
3-6. Особенности автотрансформатора .... 96
3-7. Схема замещения для токов нулевой последова-
тельности .......................................99
3-8. Упрощенный учет намагничивающего тока ... 101
Глава четвертая. Схемы замещения трансформаторов
без учета намагничивающего тока.......................102
4-1. Уравнения и схемы замещения многообмоточных
трансформаторов.................................102
4-2. Древовидные приближенные схемы замещения . . 109
4-3. Параллельное соединение обмоток..............119
4-4. Трансформатор с одной нерасщепленной и другой
расщепленной на две части обмотками .... 122
190
4-5. Трансформатор с одной нерасщепленной и другой
расщепленной на три части обмотками .... 125
4-6. Трансформатор с одной нерасщепленной и двумя
расщепленными, каждая на две части, обмотками 128
Глава пятая. Схемы замещения трансформаторов со
сложным соединением обмоток.........................132
5-1. Многообмоточный трансформатор с двумя и тремя
группами параллельно соединенных обмоток . . 132
5-2. Трансформатор с двумя нерасщсплснными и одной
расщепленной на две части обмотками .... 137
5-3. Трансформатор с двумя нерасщспленными и одной
расщепленной на три части обмотками . . . 140
5-4. Общие особенности трансформаторов с расщеплен-
ными обмотками ............................... 147
5-5, Последовательное соединение обмоток . . . . 154
5-6. Трансформаторы с обмотками, соединенными
в звезду.......................................157
5-7. Автотрансформаторы, регулируемые под. нагрузкой 160
Глава шестая. Примеры схем замещения сложных транс-
форматоров .........................................163
6-1. Трансформатор с разнесенной по стержням магни-
топровода обмоткой высокого класса напряжения 163
6-2. Трансформатор с расщепленными обмотками и регу-
лирующим устройством...........................167
6-3. Автотрансформатор с расщепленной обмоткой и
регулирующим устройством.......................173
6-4. Трсхобмоточный трансформатор с обмоткой, со-
стоящей из трех последовательно соединенных ча-
стей ................................................178
6-5. Схемы замещения для оценки токораспределения
в параллельных частях обмоток..................181
Приложение 1. Учет добавочных потерь в схемах замещения 186
Приложение 2. Основные обозначения........................187
Список литературы ....................................... 189
ЛЕОНИД ВЕНИАМИНОВИЧ ЛЕЙТЕС
АРОН МОИСЕЕВИЧ ПИНЦОВ
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ МНОГООБМОТОЧНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ
Редактор А. Г. К р а й з
Редактор издательства И. В. Антик
Обложка художника В. И. Карпова
Технический редактор Л. В. Иванова
Корректор А. Д. X а л а н ск а я
Сдано в набор!/III 1974 г.
Формат 84хЮ8’/з2
Усл. печ. л. 10,8
.Тираж 10 000 экз.
Подписано к печати 10/IX 1974 г. Т-13916
Бумага типографская № 2
Уч.-изд. л. 10,61
Зак. 685 Цена 53 коп.
Издательство «Энергия». 1113'1'1'4, 'Москва, М-ФИ, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Москва, М-114, Шлюзовая наб., IQ.