5БК 22.16¾¾
Г70
УДК .^17.98 (07)
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук Ю. Л. Далецкий
(Киевский политехнический институт), д-р физ.-мат наук М. Л. Гор-
бачук, канд физ.-мат. наук В. А. Кутовой (Институт
математики АН УССР)
Редакция литературы по математике и физике
Редактор Г. Г, Рубан
Городецкий В. В. и др.
Г70 Методы решения задач по функциональному
анализу : Учеб. пособие / В. В. Городецкий, Н. И. Нагни-'
бида, П. П. Настасиев.—К.; Выща шк., 1990. — 479
с. :ил
ISBN 5-1 М)02126-0
Даны основные топологические понятия, изложена теория
линейных операторов в нормированных пространствах.
Описаны основные классы абстрактных пространств (метрические,
топологические, нормированные и гильбертовы). Приведены
решения задач разной степени трудности. Особое внимание уделено
самостоятельной работе студентов.
Для студентов университетов, обучающихся по
специальностям «Матеуатика», «Прикладная математика».
f 1602080000—007 .„ ^ ккк. „„ .„„„,,,
11 М 211 (04)-90 ^-9° ББК 22Л62Я?3
ISBN 5-11-002126-0
© В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида,
П. П. Настасиев, 1990

■■БДЕНИЕ
Каждая решенная мною задача
становилась образцом, который
служил впоследствии
для решения других задач.
Рене Декарт
Курс функционального анализа, изучаемый студентами
специальностей «Математика» и «Прикладная математика» в университетах, а
также в некоторых технических вузах, относится к одному из
наиболее абстрактных и поэтому довольно трудному курсу. Абстрактность
позволяет исследовать далекие, на первый взгляд, друг от друга
вопросы. Сегодня концепции функционального анализа и его аппарат
пронизывают почти все области математики (а также ряд смежных
дисциплин, например: гидромеханику, статистическую физику,
квантовую механику, квантовую теорию поля), объединяя их в единое целое.
Поэтому необходимо научить студентов активно применять методы и
принципы функционального анализа, а также освоить методику
решения соответствующих задач. -
На практические занятия по этому курсу выделяется очень мало
времени. Студенты не успевают выработать и закрепить необходимые
навыки при решении стандартных (и, тем более, нестандартных)
задач. Поэтому желающий овладеть ими должен много заниматься
самостоятельно (особенно это касается студентов-заочников). В математике
одним из лучших способов глубокого усвоения предмета является
решение задач, где используются изучаемые теоретические сведения. К
сожалению, достаточно полных сборников задач по функциональному
анализу, отвечающих программе этого курса, в настоящее время нет.
Еще более остро ощущается нехватка пособий, способных помочь
студенту в его самостоятельной работе. Предлагаемая книга ставит своей
целью восполнить эти пробелы.
Структура пособия такова. Каждый параграф начинается с
изложения основных понятий и теоретических сведений. Это связано с тем,
что в литературе имеются некоторые различия в терминологии, в
системе основных понятий, а также в схемах построения разделов
функционального анализа. Мы считаем, что предлагаемое изложение будет
полезным и удобным для читателя. В каждом параграфе решается
достаточное число примеров и задач, иллюстрирующих основные методы
функционального анализа. В конце параграфа приведены задачи для
самостоятельной работы.
В гл. 1 дано построение меры и интеграла Лебега. На конкретном
материале рассматриваются основные топологические понятия,
изучаемые более абстрактно в остальных главах. Речь идет о свойствах и
структуре открытых и замкнутых множеств в IR", различных'тлпа?
сходимостей функциональных последовательностей, полноте лебеговых
пространств, преобразовании Фурье в пространствах интегрируемых
5

функций и др. Рассматриваются операции интегрирования и
дифференцирования на отрезке числовой оси.
В гл. 2 изучаются основные классы абстрактных пространств)
метрические, линейные топологические, нормированные и гильбертови.
В гл. 3 приведена теория линейных операторов в нормированных
пространствах, которая составляет основу функционального анализа.

ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
К концу XIX ст. естественное развитие математического анализа и других
смежных дисциплин привело к необходимости расширения понятия интеграла.
Определение интеграла Римана, как предела римановых сумм, рассчитано, в первую очередь,
на то, чтобы интегрируемыми оказались все непрерывные или кусочно-непрерывные
в замкнутой ограниченной области функции. Хотя некоторые типы разрывных
функций также интегрируемы по Риману, однако класс их весьма узок. При построении
интеграла Римаиа область интегрирования разбивается на множества сравнительно
несложной формы (например, в одномерном случае промежуток интегрирования
разбивается только на промежутки и используется лишь понятие длины промежутка).
Поэтому возникает необходимость распространить понятие длины промежутка, площади
фигуры и объема тела на множества более сложной природа. Это было осуществлено
Лебегом в его теории меры. На базе этой теории удалось дать новое совершенное и
гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом, При этом класс интегрируемых по
Лебегу функций значительно шире, чем интегрируемых по Риману, Кроме того,
интеграл Лебега имеет ряд других замечательных свойств, отличных от интеграла
Римаиа. Это связано с тем, что он более гибко приспособлен к операциям предельного
перехода. Поэтому в современных математических исследованиях лебегова
конструкция интеграла вытеснила римаиову.
§ 1. МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Мера параллелепипедов и ее свойства. Введем понятие m-мерного евклидова
пространства. Пусть т — любое натуральное число.
Точкой m-мерного пространства называется kn вещественных чисел |х, .,., Im,
расположенных в определенном порядке. Обозначим эту точку через х = (¾. .., bJJ,
где |j |щ — координаты точки х. Множество всех точек х = (|1( ..., %т) (при
заданном значении т) называется т-мерным евклидовым пространством Rm. При
т = 1 будем писать R1 = R, поскольку одномерное пространство R можно
отождествить с совокупностью вещественных чисел или точек на прямой. При т = 2 и т =
= 3 рассматриваем плоскость R' и пространство R3,
Пусть Alt А2 Ат — произвольные множества пространства R. Тогда их
декартовым произведением Аг X Л2 X ... X Ат называется множество
пространства Rm
АххАгх — хАт=1х=Ц1 gm) 6 Rm:|t6^lf ... , Ьп^Ат),
Например, пространство Rm является декартовым произведением множеств А1 =
= R Ат = R, т. е. Rm = R X R X ... X R.
Промежутком А числовой оси R называется отрезок [а; Ь] = {х £ R : а ^ х ^
^ Ь], или интервал (а; Ь) = {х (Е R : а < х < Ь), или одни из полуинтервалов [а; b) =
= [х 6 R : а < х < Ь), (а; Ь] = {х 6 R : а < х < Ь], где а < Ь.
Промежуток, в котором хотя бы одно из чисел является бесконечно большим
(а = —со, Ь = +оо), называется неограниченным промежутком. Будем
рассматривать лишь те промежутки на R, для которых а и Ъ конечны. Мерой (или длиной)
такого промежутка А называется число цх (А) = Ъ — а.
Параллелепипедом Р пространства Rm называется декартово произведение Р =
«* А± X At X „. X Ат промежутков Аи А2, ..., Ат числовой прямой R, При т =
I

=» 1 параллелепипед совпадает с промежутком, при т = 2 — с прямоугольником,
а при т = 3 — с обычным параллелепипедом. Если Р = (%; Ьг) X ... X (а^, Ьт) •=
■» {* = (gj Im): а/< |/ <#>/, /= 1, 2, ..., т), то Р называется открытым
параллелепипедом, а Р = [а^ йа] X ... Х[ат; Ьт] = {х = (gx, ..,, Sm) : а/ < I/ < fy.
/= 1, 2 т} —замкнутым параллелепипедом в Rm.
Рассмотрим параллелепипед Р = А1 X Л, X ... X Лт, в котором каждый
промежуток Aj совпадает либо с отрезком [ад bj\, либо с интервалом (a,-; bj), либо с одним
из полуинтервалов [af, bj), (а/; 6/]. Тогда мерой (объемом) такого параллелепипеда
m
называется число цт (Р) = П (6/ — aj).
При т = 1 мера параллелепипеда совпадает с длиной промежутка, при т = 2 —
с площадью прямоугольника, а при m = 3 — с объемом обычного параллелепипеда.
Отметим, что пустое множество 0 также является параллелепипедом.
Например, 0 = [aj^bj ) X [aji bj) X ... X [am; й,„). Вполне естественно считать цт (0) =
■= 0.
Теорема %. Совокупность З'щ всех параллелепипедов пространства Rm обладает
следующими свойствами:
1) пустое множество 0 является параллелепипедом, т. е. 0 g &>т;
2) пересечение конечного числа параллелепипедов из &т является параллелепипе-
п
дом, т. е. если Pk £ &т (k= 1, 2 п), то ft Pkt&m:
. ft==i
3) если Р uQ — два параллелепипеда в Rm, причем QcP, тов0>т существует
конечное число непересекающихся параллелепипедов Ри Рг Р„ таких, что Р \ Q =
-Pi U -UPa.
Теорема 2. Каждому параллелепипеду Р £ &т можно поставить в соответствие
действительное число (меру) (½ (Р). При этом выполняются такие условия:
1) Ста (Р) > 0 для каждого Р 6 &„;
п
2) лера цт (Р) аддитивна, т. е. если Р = U Р* " Pft ft Р/ = 0 прикф /, то
Рт (Р) - £ Мтп (Pft).
ft=l
Из теорем 1 и 2 следует, что если параллелепипеды Р и Q в Rm такие, что Q cz
С Р, то fim (Q) ^ fim (Р). Это свойство называется свойством монотонности меры.
Распространим меру цт (Р), определенную для параллелепипедов, на более
широкий класс множеств, сохранив при этом свойства 1) и 2).
2. Мера элементарных множеств и ее свойства. Множество Е с: Rm называется
элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение
конечного числа попарно непересекающихся параллелепипедов Рг Р„, т. е. Е =
= U Pft и Pft ft Р/= 0 при кф\.
ft=l
Теорема 3. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух
элементарных множеств является элементарным множеством.
Симметрической разностью ЛДЕ множеств А ■ Е называют множество ЛДЕ =
= {А \ Е) U (Е \ A) = (A U Е) \ (A ft Е).
Объединение и пересечение конечного числа элементарных множеств является
элементарным множеством.
Класс всех элементарных множеств пространства Rm обозначим символом ?Гт. На
классе Ът введем меру множеств следующим образом. Пусть множество Е g "gm пред-
га
ставимо в виде Е = (J Pft. где параллелепипеды Ръ .... Р„ попарно не пересекаются,
ft=t
г. е. Pft ft Р/ = 0 при k Ф /. Тогда меру элементарного множества определим с
л
помощью равенства цт (Е) = J] ц« (Pft).
ft=i
Мера ц,т (Е) не зависит от способа разложения Е вхумму конечного числа попар-
що непересекающихся параллелепипедов,
f

Основные свойства меры элементарных множеств отражены в следующей
теореме.
Теорема 4. Мера \im, определенная на классе Чт, обладает такими свойствами:
1) для каждого Е £ Ът мера множества fim (Е) является действительным
неотрицательным числом;
п
2) мера ат (Е) аддитивна, т. е. если Е = (J Е» и Е* П Е/ = 0 при k Ф /,
k=i
п
то (½. (Е) = V цт (Eft);
*=i
3J если Ef?fflii {Ед} — конечная или счетная система элементарных множеств
такая, что Е с= U Eft, то цт (Е) < У цт (Eft).
* *
Свойство 3) меры ц,т называется счетной полуаддитивностью меры \1/цш Из него
и аддитивности меры \im получаем свойство счетной аддитивности (или о-аддитнв-
иости), состоящее в том, что если элементарное множество Е представлено в виде
объединения счетного числа непересекающихся элементарных множеств Eft (k £ Ы),
«■ «•
т. е. Е = и ЕА и Eft П Е, = 0 при k Ф /, то цт (Е) = Jj Mm (Eft).
*=1 ft=i
_ ' 3. Внешняя мера множеств пространства Rm. В этом пункте рассмотрим
специальную функцию, определенную на классе ограниченных множеств пространства
{Rm и имеющую важное значение в теории меры. Напомним, что множество А с R"1
называется ограниченным, если существует параллелепипед (или шар), содержащий
множество А. Будем также говорить, что множестю Л с: Rm покрывается системой
множеств {В/}, где / пробегает некоторое множество индексов I, если Леи В/.
Определение 1. Внешней мерой ограниченного множества А с R"1 называет-
ся неотрицательное число ц,^, (Л) = inf V fim (Pft), где нижняя грань берется
по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами
параллелепипедов {Pft} пространства (Rm.
Из определения следует, что внешняя мера fim (Л) элементарного множества Е £
€ Ъщ совпадает с мерой цл (Е), т. е. (С (Е) = цт (Е). Кроме того, произвольное
ограниченное счетное множество Л имеет внешнюю меру ц^, (Л) = 0.
Теорема 5. Если А — ограниченное множество в Rm, а {Аь} — конечная или
счетная система ограниченных множеств в Rm такая, что Леи Аь, то и* (А) ^
ft
< Б l£ <л*>-
ь. *
Если для ограниченных множеств Л, В пространства Rm справедливо включение
Л с В, то fiJJ, (Л) ^ fi^ (В), т. е. внешняя мера fijj, является монотонной.
Таким образом, согласно теореме 5, внешняя мера ц,^ ограниченных множеств
обладает свойством счетной полуаддитивности. Однако она не является счетно
-аддитивной (см. замечание 2 к примеру 6).
4. Мера Лебега ограниченных множеств пространства Rm.
Определение 2. Ограниченное множество А с: Rm называется измеримым в
смысле Лебега, если для каждого е > 0 найдется такое элементарное множество Е £ ?rm<
что fiJJ, (ЛДЕ) <3 е. При этом мерой Лебега измеримого множества А называется число
М™ (А) = Цт (А).
Следовательно, ограниченное множество Л измеримо, если его можно «сколь
угодно точно приблизить» элементарными множествами. Произвольное элементарное
множество Е £ 41 т измеримо по Лебегу и его мера (см. п. 2) совпадает с мерой
Лебега. Аналогично, исходя из определения, получаем, что ограниченное множестю Л с:
7

с: Rm, у которого р.^ (А) = О, измеримо по Лебегу и цт (А) = 0 (это следует из
равенства (iJJ, (ЛД0) = (i^, (А) = 0). В частности, каждое ограниченное счетное
множество А с Rm измеримо и рт (А) = 0. Отметим, что в силу монотонности
внешней меры ц^,, если В с А н р*, (Л) = 0, то ц*т (В) = 0. Тогда каждое
подмножество ограниченного множества меры нуль является также множестюм меры нуль
(свойство полноты меры Лебега).
Теорема 6. Пусть 5Im — совокупность всех ограниченных измеримых по Лебегу
множеств пространства Rm. Тогда, если объединение А = (J Аь конечного или счет-'
k
кого числа ограниченных измеримых множеств Аь является ограниченным
множеством, то А £ Чт. Пересечение A = (]Ак конечного или счетного числа ограни-
k
ченных измеримых множеств Лд также является ограниченным измеримым
множеством пространства Rm-
Отсюда следует, что разность и симметрическая разность двух ограниченных
измеримых множеств пространства Rm — измеримое множество.
Теорема 7. Каждому ограниченному измеримому по Лебегу множеству А с Rm
(т. е, A g W'm) можно поставить в соответствие действительное число рт (А),
причем выполняются такие условия;
Пы М)>о(Vлея;,),-
2) если А$Чти Л= U Ak, где Ак£Шт и Ак П Л/= 0 при кф], то
ft=l
во
МИ)-2 Ы(Ак).
Таким образом, мера Лебега ограниченных измеримых множеств в Rm
является 0-аддитивной.
Из теоремы 7 следует, что если Л, В £ 5Im и Л с В, то рт (В \ Л) = рт (В) —
— Рта (-4). Кроме того, рт (Л) < 1½ (В).
Счетная аддитивность меры Лебега позволяет получить такие теоремы.
Теорема 8. Пусть ограниченные множества А1гАг,..., Л*, ... пространства Rm
ОО
измеримы и Аг с Atc ... с: Л* с: ,., . Если объединение A = (J Ак — ограничен-
ttoe множество, то рт (Л) = Нт рт (Ak).
ft-ЮО
Теорема 9т Пусть Alt А2, ..., Ак, ... — измеримые ограниченные множества
ОО
пространства Rm и Лх :э Л, :э ... эЛр ... . £лш Л = (\ Ак, то цт (Л) =
= Нт (½ (Лл).
£-»оо
5. Мера Лебега неограниченных множеств пространства Rm. Рассмотрим в
Rm фиксированную неубывающую последовательность параллелепипедов Р* = [—п;
00
п] X |—л; д] X ... X I—л; л], исчерпывающую все пространство Rm : (J Р* = Rm.
n=i
Пусть А — иекоторое множество в Rm, не обязательно ограниченное. Построим по
этому множеству монотонную последовательность Л (п) = А П Р\ (л g N) и
введем понятие измеримости множества Л.
Определение 3. Множество А с Rm называется измеримым в смысле Лебегу
если для каждого натурального л £ N измеримы множества А (л). Мерой Лебега
такого множества А называется предел рт (А) = Нт рт (А (п)).
п-юо
Поскольку последовательность (р.т (А (л)))^, является монотонно неубывающей,
8

то предел lim \ат (А (п)) всегда существует. Однако не исключено, что этот предел
п-юо
равен +с>о, т. е. цт (А) = -±<х>. Например, если A = Rm, то А (и) = Р* для
каждого п 6 N и поэтому Rm измеримо и ]im (Rm) ^= +00. Если А — произвольное
счетное множество в Rm, то оно измеримо и \im (А) = 0.
Если А — ограниченное множество, то А(п)= Л (Vn> п0). Поэтому
измеримость такого множества А в смысле определения 3 равносильна его измеримости в
смысле определения 2 и в обоих случаях меры совпадают.
Таким образом, определение меры Лебега параллелепипедов, элементарных,
ограниченных и неограниченных множеств обладает свойством перманентности, т. е.,
классы этих множеств расширяются и при этом мера множества, принадлежащего
разным классам, одна и та же.
Замечание. Можно показать, что неограниченное множество A cr R"1 измеримо
тогда и только тогда, когда измеримо пересечение A ft В данного множества А с
любым измеримым ограниченным множеством В. Кроме того, fim (А) — sup fim (А),
аса
где точная верхняя грань берется по всем измеримым ограниченным множествам А,
содержащимся в А.
Пусть 5Im — класс всех измеримых по Лебегу множеств пространства Rm
(иногда эти измеримые множества называют ^-измеримыми). Справедливы такие теоремы.
Теорема 10. Объединение и пересечение конечного или счетного числа измеримых
множеств пространства Rm является измеримым множеством.
Следовательно, разность и симметрическая разность двух измеримых множеств
также измеримые множества.
Теорема 11. Мера Лебега, определенная на классе 5Im, имеет такие
свойства:
1) \im (А) > 0 для каждого А £ 5Im;
2) если измеримые множества Ах, Л2, ..., А/с, .., такие, что Ak ft А/ = 0 при
кф\иА= U Ak,moy.m (А) = _£ цт (Ak).
Отметим, что каждая из частей последнего равенства может быть равна+оо.
Из теоремы 11 следует, что если А =э В и оба эти множества измеримы, то
f*m(A) = (im (В) + Цт (А \ В). Если дополнительно предположить конечность меры
fim (В), то цт (А \ В) = цт (А) — цт (В). Мера Лебега на Ят также является полной,
т. е. если А £ Ят и цт (А) = 0, то каждое подмножество В с А измеримо и
цт (В) = 0.
Теорема 8 справедлива и для последовательности неограниченных измеримых
множеств. А именно: если Л1 с Аг с ...с4с ... — последовательность измери-
оо
мых множеств пространства Rm и А = (J Ak, то цт (А) = Нт цт (Аь).
, ft=l ft-»oo
Теорема 9 переносится на неограниченные множества в следующем виде.
Теорема 12. Пусть Ах гэ Л2 ;э ... зЛ*з ... — измеримые множества
просо
странства Rm и A = ft Ak- Если цт {Аг) < + оо, то рт (Л) = 11т цт (Л^.
Теорема 12 не всегда верна, если не учитывать условие цт (Аг) < + оо. Напри*
мер, если (Л$ = [к; +оо) X [к; +оо) X ... X [fe; +oo)£Li — последовательность
00
измеримых множеств пространства Rm, то Л1 =э Л2 г> ... =э ... =э Л* гэ ... и ft Л^ =»
= 0. Но поскольку для каждого k £ N цт (Ли) = +оо, то равенство fim (0) =
= lim цт (Л/^ нарушается.
ft-»oo
Непустая совокупность 9J множеств пространства Rm называется кольцом, если
вместе с двумя своими элементами она содержит нх объединение, пересечение н
разность, т. е. если Л е ЭД н В е 91, то Л U В е ЭД, А П В £ ЭД н Л\ В е ЭД. Например,
совокупности ЗГ„,, 51^, н 5Im являются кольцами, а ^т не будет кольцом потому, что
й

разность двух параллелепипедов не является параллелепипедом. Класс множеств Ш
пространства Rm называется а-кольцом, если ЯП является кольцом н объединение
счетного числа элементов множества ЗЛ также принадлежит 2R, т. е. если А/, £ 2R (k = 1,
оо
2, ...), то А = [} А/с € ЗК. Если о-кольцо 2R такое, что само пространство Rm
привадив
лежит ЯП, то 2R называется а-алгеброй. Таким образом, смысл теоремы 10 состоит в
том, что совокупность 3Im всех измеримых множеств пространства Rm образует
а-алгебру, а мера Лебега \im является на 2lm а-адднтнвной.
Движением в пространстве R"1 называется всякое взаимно однозначное
соответствие Rm на себя, прн котором расстояние между любыми двумя точками равно
расстоянию между нх образами. Напомним, что расстояние р (*; у) между точками х =■
= (5i. ••». 1т) н У = Oil Лт) пространства Rm определяется по формуле
Р (*; У) = у £ (Е/ - Л/)*.
Например, движением в Rm является параллельный перенос. Можно доказать, что
всякое движение <р есть афннное преобразование с определителем, равным единице,
т
т. е. если ** = <р (*), *eRm,To V, = £ «м& + Р/ н det (а^)™ =1 = 1, где Рг
и a.j { — действительные числа, а х* = (Ц £^), х = Ц1г .... &„). Однако не всякое
афннное преобразование с определителем, равным единице, является движением.
Например, преобразование £* = 2£lF ££ = -д- Ёа плоскости R2 не является движением.
Множества /4j и Л2 из Rm называются конгруэнтными, если одно нз ннх — образ
другого прн некотором движении.
4 Теорема 13. Мера Лебега \im инвариантна относительно движения, т. е. если
множества Аг и А2 пространства Rm конгруэнтны и одно из них измеримо, то
другое также измеримо и \im (At) = \im (А2).
6. Класс измеримых множеств. Охарактеризуем совокупность всех измеримых
множеств в Rm. Для этого напомним вначале ряд важных фактов, относящихся к
понятиям открытого н замкнутого множеств пространства Rm.
Пусть а (Е Rm и г — положительное число. Тогда множество {х £ Rm : р (х, a) <i
< г) называется открытым шаром (шаром) пространства Rm с центром в точке а
радиуса г и обозначается В (а, г). Замкнутым шаром с центром в точке а (Е Rm
радиуса г называется множество В [а; г]= [х (Е Rm : р {х, а) ^ г). Всякий открытый
шар пространства R"1 с центром в точке а € Rm называется окрестностью точки а.
Окрестность радиуса е называется в-окрестяостью.
Замечание. В пространстве Rm можно ввести и пояятне параллелепнпедальных
окрестностей точки а £ Rm (в отлнчне от вышерассмотренных, которые называются
сферическими). Если а = {alt ..., ат) £ Rm, то ее параллелепнпедальной е-окрест-
иостью называется открытый параллелепипед (аг — в; ах + е) X ... X (ат — е;
в/п+ е). Легко показать, что каждая сферическая окрестность точки а содержит
некоторую ее параллелепипедальную окрестность н наоборот.
Пусть А — некоторое множество пространства Rm. Тогда точка а € Rm
называется внутренней точкой множества А, если существует ее окрестность В (а, е) (или
же параллапепнпедальная окрестность), что В (а, е) сг А. Множество G с: Rm
называется открытым, если каждая его точка является внутренней для G. Например,
шар В {а, г) н открытый параллелепипед — открытые множества. Удобно считать,
что пустое множество 0 также является открытым. Тогда совокупность всех открыты*
множеств пространства Rm обладает такими свойствами:
1) 0 и О?"1 — открытые множества;
i м

2) пересечение конечного числа открытых множеств является открытым
множеством;
3) объединение произвольного числа открытых множеств является открытым
множеством.
Теорема 14. Всякое непустое открытое множество GczJRm является объединением
не более чем счетного числа открытых (или замкнутых) параллелепипедов, которые
попарно не имеют общих (в случае замкнутых параллелепипедов) внутренних точек.
Из этой теоремы, а также теоремы 10 следует, что каждое открытое множество
OcR™ является измеримым в Rm, т. е. G £ 3Im.
Отметим, что представление открытого множества пространства Rm в форме,
указанной в теореме 14, возможно не единственным образом. В одномерном
пространстве теореме 14 можно придать более четкий характер. А именно: если интервал (а;
Ъ) содержится в открытом множестве GcR, но a $f G я b $ G, то этот интервал на»
зывается составляющим интервалом множества G. Два составляющих интервала
открытого множества нлн полностью совпадают, нлн не пересекаются.
Теорема 14'. Каждое непустое открытое множество G числовой прямой К пред-
ставимо единственным образом в виде объединения конечного, или счетного множества
его составляющих интервалов: G = [} (a*, ft*), где ak$ G и Ьь$ G для каждого k,
k
Очевидно, Ц! (G) = £ Фк — а*)-
k
Отметим, что множества вида (—оо; +оо), (а; +оо) н (—оо; Ь) также
включаем в число составляющих интервалов.
Множество F cz D?m называется замкнутым (в D?m), если его дополнение Rm \ Р
является открытым множеством. Например, замкнутый шар В [а; г] нлн замкнутый
параллелепипед — замкнутые множества в Rm Из свойств 1) — 3) открытых множеств
следует, что:
1) 0 и Rm — замкнутые множества;
2) пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством;
3) объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым
множеством.
Поскольку пространство Rm измеримо, то каждое замкнутое множество F с R™
является измеримым в Rm, т. е. F £ 3Im.
Замечание. В случае F cz R нз теоремы 14' следует, что открытое множество G =
»= R \ F представляется в виде объединения его составляющих интервалов, т. е. G =
*= U (в*! bk), где а* $ G и Ьь g G при каждом k. Следовательно, замкнутое множество
h
F представнмо в виде F = R \ (J (а*, &*), и поэтому составляющие интервалы (ад
k
bk) множества G назовем дополнительными интервалами множества F.
Замкнутые множества пространства D?m можно охарактеризовать н с помощью
понятия предельных точек. Точка х £ Rm называется предельной точкой множества
А cz Rm, если произвольная окрестность В (х, е) точки х содержит бесконечное число
элементов множества А (нлн хотя бы одну точку из А, отличную от х). Совокупность
всех предельных точек множества А обозначается через А' н называется его
производным множеством. Объединение A (J А' называется замыканием множества А н
обозначается А.
Пусть (*ft)™=1 — последовательность точек пространства Rm и а £ R"1
Последовательность (л%) сходится к точке а (или имеет своим пределом точку а), если
lim р (хь, а) = 0. Запишем это так: хь -*■ о. при k -*■ оо нлн lim хь = а.
Д-»оо ft-юо
Теорема 15. Точка а £ Rm является предельной точкой множества A cz Rm
тогда и только тогда, когда существует последовательноеть (*ft)JLi различных точек
множества А такая, что Xk -*• а при k -*■ оо.
Теорема 16. Множество F пространства Rm замкнуто тогда и только тогда,
когда оно содержит все свои предельные точки, т. е. F zz> F', Иными словами, F
замкнуто в том и только том случае, когда F = F,
11

е.
„ Частным случаем замкнутых множеств являются совершенные множества.
Множество А с Rm называется совершенным, если А = А', т. е. если каждая его точка
является предельной точкой А. Например, замкнутый шар нлн замкнутый
параллелепипед являются совершенными множествами.
Поучительным примером совершенного множества является канторово множество
на числовой прямой. Пусть F0 является отрезком [0; 1] числовой прямой R. Удалим
из него интервал (-=■! -0-)13 оставшееся замкнутое множество обозначим через Fx (т.
fx= [0; 1] \(—; — ))• Из Fj удалим интервалы I—; —-) н I—; —I, а оставшееся
замкнутое множество, состоящее из четырех отрезков, обозначим через F2. В каждом
изэтнх четырех отрезков удалим средний интервал длиной (—] и т.д. Продолжая
этот процесс, получим убывающую последовательность F0 гэ Fг =э ... =э fft =э ... замкну
00
тых множеств. Пусть F = Л Z7*.
ft=l
Полученное замкнутое множество F называется канторовым. Оно является
множеством мощности континуума (т. е. можно построить взаимно однозначное
соответствие между F и отрезком [0; 1]). Кроме того, если искать меру Лебега множества
G = [0; 1] \ F с нспользованнем длин выбрасываемых интервалов, то получим, что
jj.j (F) = 0, т. е. канторово множество F является множеством меры нуль.
С помощью открытых и замкнутых множеств пространства Rm можно
конструировать и более сложные измеримые множества. Говорят, что множество А с Rm
является множеством типа Ge, если его можно представить в виде пересечения счетного
оо
множества открытых множеств {Gft}~=1, т. е. А =« Г) Gft. Аналогично, множество
А с Rm называется множеством типа Fa, если его можно представить в виде объ-
оо
единения счетного множества замкнутых множеств {fftJ^Lj, т. е. A = U fft.
Теорема 17. Всякое множество пространства Rm типа G. или Fa измеримо.
Рассмотрим более широкий класс множеств пространства Rm. Если множество
А с Rm можно получить, исходя нз замкнутых и открытых множеств, с помощью
применения конечного числа нлн счетного множества операций объединения,
пересечения и разности, то оно называется борелевым множеством пространства Rm-
Класс gg (Rm) борелевых множеств является о-алгеброй.
Теорема 18. Каждое борелево множество пространства Rm является измеримым.
Обратная теорема не верна: существуют примеры измеримых множеств, не
являющихся борелевымн. Первый пример такого множества был построен М. Я. Сус-
лнным, который открыл важный и обширный класс Л-множеств, каждое из которых
является измеримым. Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств,
но существенно шире его. *
Множества типа <?в и F являются не только важными примерами измеримых
множеств. С их помощью можно аппроксимировать любое измеримое множество.
Теорема 19. Внешняя мера любого множества А с Rm равна точной нижней
грани мер всевозможных открытых множеств G, содержащих А, т. е. \х*т (А) =
= inf рт (А).
GZiA
Кроме того, мера произвольного измеримого множества А с= Rm равна точной
верхней грани мер всевозможных замкнутых множеств F, содержащихся в А, т. е.
цт(Л)= sup fim (F).
P<ZA
Отсюда получаем, что для каждого измеримого множества А с Rm и любого
е £> 0 тгщеетвует открытое множество G с Rm н замкнутое F <=. Rm, что F с А с О,
Ы {С%А)<г и p.m (A\F)<6.

Теорема 20. Для каждого измеримого множества А пространства Rm существуют
такие множества Н типа Fa и К типа G6, что Н с А с= К, р-m (Н) = р./п(л) =
= Ы (К) в (хт (К Ч Н) = 0.
Таким образом, множество А представляется в виде объединения
непересекающихся множеств Н типа Fa и Л0 = А \ Н меры нуль, т. е. A = Н (J Л0.
Аналогично Л = К \ AQ, где К — множество типа <?в н (im (Л0') = р,т (К \ А) = 0 *.
Однако не каждое множество пространства Rm измеримо. Справедлива следующая
теорема.
Теорема 21. Каждое измеримое множество А с= Rm, мера\хт (А) которого
положительна ((½ (А) > 0), содержит неизмеримое подмножество.
Сравним класс измеримых по Жордану множеств пространства Rm с классом Щя
измеримых множеств по Лебегу. Напомним, что если А — ограниченное множестве
в R"1, то его верхняя р,т (А) и нижняя Цт (А) меры Жордана вводятся с помощь»
соотношений
Ы(А) =sup (im(E) и |1т(Л) = inf цт(Е),
— ЕсА ЕЗЛ
где в первом случае точная верхняя грань берется по всем элементарным множествам
Е сгЛ.аво втором —точная нижняя грань рассматривается по всем элементарном
множествам Е => А. Тогда ограниченное множество А с Rm называется измеримым
по Жордану, если цт (А) = ц,т (Л). Это число назовем мерой Жордана множества Л
и обозначим его цт (А), т. е. (½ (Л) = ftm (А) = ^л (Л). Если Л — неограниченнее
множество пространства R"1, то его называют измеримым по Жордану, если каждое
множество Л (л) = Л П PJJ (я С N) измеримо по Жордану, и полагают \im (Л)"»
*= I'm Цт (А (п)).
Отметим, что совокупность измеримых по Жордану множеств образует кольце,
но не о-кольцо (см. замечание 2 к примеру 6).
Теорема 22. Каждое множество А пространства R"1, измеримое по Жордану,
является измеримым по Лебегу и справедливо равенство jim (Л) = \im (Л).
Отметим, что обратное утверждение неверно (см. пример 6).
Рассмотрим неотрицательную функцию у = / (xlt ..., хт), определенную на иэ-
меримом по Жордану множестве Л пространства Rm. Тогда множество Г (/) = {(¾.
—, хщ\ у) е Rm+I : 0 < у < f (.¾. ..., хт), (хх, ..-, хт) £ Л} называется подграфиам
функции f (при т = 1 подграфнк функции / называют криволинейной трапецией,
построенной по функции f). Если функция f интегрируема по Рнману на ияв-
жестве Л, то ее подграфнк Г (j) является измеримым множеством по Жордану н
Рт (Г (/)) = J • • • j f(Xi, ... , хт) dxt. . .dxm
(теорема о геометрическом смысле интеграла Рнмана). Поэтому, согласно теореме 22*
множество Г (/) измеримо по Лебегу и справедлива формула
Ы (Г (fl) = j • • • j f (*i. • • • . *m) dxt. . .dxm.
Если речь идет о фиксированном пространстве Rm, то вместо обозначения мера
Лебега \im в этом пространстве пишут \i.
Более детально о мере Лебега в евклидовом пространстве см. в [12; 20].
* Здесь (и в дальнейшем) обозначение А' не связано с понятием производного
множества для Л.
м

Примеры решения задач
1. Доказать, что множество A cz IR борелево и вычислить его
меру |*1 (-4). если: а) А= \^{п 1- ; я +-L-] ;
Решение, а) Покажем, что полуинтервал (а; ft] или [а; ft) числовой
оси IR является борелевым множеством (более того, множеством ти-"
na Ga)- Действительно, (a; ft] = |~| fl; Ь +-г-)- Поэтому множество А
является объединением счетного числа борелевых множеств А„ =(я —
.; п Н (n £ f^). В этом случае говорят, что оно имеет тип G^,.
Тогда, учитывая, что класс борелевых множеств образует а-алгебру,
находим, что А борелево и потому Hi-измеримо. Для вычисления меры
Hi (Л) отметим, что множества Ап (п £ Щ) попарно не пересекаются.
Тогда в силу а-аддитивности меры Лебега имеем
■М4-£*((.--£■: » + -£])-£(•£- + -£-)--!-.
б) Пусть A' = U
п=1
Пп +
Отсюда получаем, что
in(n+i)_
А' является множеством типа Fa, и поэтому оно борелево. Множество
(Q — счетное и, следовательно, имеет тип Fa, поскольку его можно
представить как объединение счетного числа одноточечных множеств
{/■„}, где все гп £ (Q. Тогда и множество А = А' \ (Q является борелевым
(как разность борелевых). Из равенства A' = A (J Q, где (Q = А' П
fl (Q, и аддитивности меры Hi имеем Hi (A) = Pi(A') (напомним, что
мера Hi {©) счетного множества (Q равна нулю). Поскольку множества
Ап **\пп', пп +Л / I i\ (п € W) — непересекающиеся, то согласно
свойству счетной аддитивности меры Hi
Hi М) = £ Hi
я=1
л"; л" +
1
in (п +1)
2
п=1
1
In (п + 1) '
Из известного неравенства In (1 + *) < * (V х > 0) имеем 1пП , >
1 °° 1
~>-jr (VnGN). Следовательно, ряд V .,,^ является
расходнщимся, и поэтому Hi(^)= -f оо.
2. Пусть A cz IR2. Доказать, что А — борелево множество, и
найти Иг (А), если : a) A = (R \ Q) х К; б) А = ((0; 3]x[l; 2))\ «Q х Q);
в) Л = {* б R ' cos * £ (Q} х (0, +оо).

Решение, а) Значале рассмотрим множество Л' = © х IR.
Поскольку множество (Q — счетное, то Л' можно представить в виде
объединения счетного числа прямых вида Ап = [(х; у) £ \R2 : х = гп, у £ Щ,
где г„ — некоторое рациональное число, и ф= [rlt г2 гп, ...}.
Множества Л„ замкнуты и потому ц2-измеримы. Следовательно, мно-
оо ,
жество Л' = U Ап является множеством типами потому борелевым.
Найдем меру (½ (Л'). Согласно свойству счетной аддитивности меры
оо
ц», имеем ц2 (Л') = £ (½ (А'п). Определим меру ц2 (Л'„) (V п £ ЭД).Для
л—1
•того найдем ц2-меру отрезка В = {(х; у) £ \R2 : х = а, с <! у <! <2},
где а,сн d — некоторые действительные числа. Этот отрезок можно
считать параллелепипедом [а; а] х [с; d] и поэтому, согласно определению,
\it (В) = 0. Рассмотрим прямую В' = {(х; у) £ \R3 : х = а, у £ R}.
Тогда В' = и {(*; у) € IR2 '• х = а, —п <; у <; п\ и поэтому В' явля-
ется (х2-измеримым, a (½ (В') = lim ц2 {(*'. #) G R2 : х = а, —п ^
п-»оо
^ У ^ "} =0- Следовательно, ц2 (Л„) = 0 для каждого n G RJ- Таким
образом, fi2 (Л') =0
Наконец, заданное множество А представим в виде Л = (IR х IR) \
\ ((Q X IR) = 1Я2\Л', откуда следует, что Л борелево и ц2 (Л) =
- Pi (IR2) = + оо.
б) Пусть Л' = (0; 3] х [1; 2). Тогда из равенства А' =
«= U I — ; 3 х 1; 2 I следует, что Л' является множеством
типа Fa, т. е. оно борелево. Кроме того, Л' — прямоугольник и
(¾ (Л') = 3. Поскольку множество (Q X (Q — счетное, то, как было
отмечено выше, оно имеет тип Fa и ц2 (Q х (Q) = 0. Поэтому Л = Л' \
\ (Q X © - борелево множество и ц2 (Л) = ц2 (Л') = 3.
в) Множество А' = {* £ IR : cos х £ Q} является счетным, поскольку
таковым является Q. Следовательно, Л' представимо в виде А' =*
оо
— {*i, * хп, .. } и А = U {(*; г/) 6 IR2: х = *„, у > 0}. Кро-
ме того, множество {(*; у) £ JR2 : х = хп, у > 0} можно представить •
виде
{(г, у) G1R2: х = *„. у>о>=д{(лс; г/)ек8^ = ^. у>~г)>
■т. е. оно имеет тип Fa. Поэтому Л борелево и
Мл) = £ {(*; у)€ R*: * - ж», у >0} - 0.
4=1
3. Доказать, что множество Л cr IR2 является ц2-измеримым и
найти fi2 (Л), если:

а) Л=|(х; y)£n*:x£1R, 0<y< a,^2}, где a>0 —
фиксированное число;
б) Л = {(х; у)€К»:-1<дс<1, 0<у<у===};
в) Л = {(*; г/) £ IR2: х > 0, 0 < у < е-* | sin х |};
г) Л = U {(*; y)GIR2:xG[n, я+ 1), 0<у< (*~д)" 1.
П=1 * " '
Решение, а) Множество А является неограниченным, и поэтому
рассмотрим последовательность А (л) = Ux; у) £ IR2: х £ [— п; я],
а2 )
О^у < ■ а 2 [, n£N. Каждое из множеств Л (л) измеримо в
" "Г х )
смысле Жордана, поскольку его граница состоит из четырех непрерыв-
выхлиний. Следовательно, все А (я) являются ц2-измеримыми, а
тогда и Л — ц2-измеримо. Кроме того, ц2 (Л) = lim щ (Л (п)) =
п-»оо
= Ига ц2 (Л (я)).
Напомним, что мера Жордана подграфика функции вычисляется
с понощью интеграла Римана, т. е.
—П —оо
вамечание. Измеримость множества А можно получить и другим путем. А
именно: Д—{(x;*)6R,:x6R.O<»<-^qrp}u{(«;*)6R,:x6R.*-0} и поэ-
яму А измеримо как объединение открытого множества и прямой линии у = 0.
б) Множество Л — также неограниченное. Поэтому согласно
•пределению 3 нужно рассмотреть последовательность множеств:
Л (я) = Л П ([— «; п] х [— я; я]) =
«*{(*; #KIR2:-1<*<1, 0<y<minj/rL— , nU-
u{(*; y)£\R*:-l<x^V"^=ri . У = "} U
U {(ж; f/)€lR2: У7^ГХ <*<1, </ = я|, Vn£N.
Каждое из множеств Л (я) измеримо в смысле Жордана и, следователь-
1«

но, ц2-измеримо. Поэтому А — ц2-измеримо и
Л/"Щг \
= 2 Г Ldx , = 2 arcsin д:
о
i
= я.
о
Замечание. Множество А имеет тип йв, поскольку справедливо равенство
A=^y)zR*:-l<x<l,-±<y<y=L=r + ±.}.
в) Представим исследуемое множество в виде объединения
неубывающей последовательности множеств
оо
-4=1) {(*; г/)бЖ2:0<д;<пя, 0< г/< e~* |sinде|}.
Каждое из множеств {(*; г/) g IR2: 0 <: л; ^ пя, 0< г/< e-*|slnx|}
измеримо в смысле Жордана и поэтому ц2-измеримо. Значит, А
является ц2-измеримым, а
H,(-4) = limji2{(jic; г/)6 R2: 0< *<яя, 0< у< e-*|sin *|}
+о» те (П+1)Я
= f e-*|sin*|d*= ^ f е-* 1 sin л: |
6 "=° IUI
\dx ■■
e~n + 1 ~ , _Ячп 1+g-
= £ e-* J r- sin Ш = ^-^ £ (О 2 _е_Я)
ra=0 £ n=0 ^11 e J
г) Каждое из множеств An = |(лс; #)£ IR2:лг€ [n, л + 1), 0<y<
(x n)n )
^ -1 — I измеримо в смысле Жордана и, следовательно, в смысле
Лебега. Его мера
/л* V (* —л)" , (ж — л)"+1 «+1
П-Г1
/1(/1 + 1) •
п
Поэтому множество А ц2-измеримо и, согласно свойству а-аддитив-
ности меры Лебега,
-лО-тр-)-1-
IT

У8
4. Показать, что тела, ограниченные поверхностями —* —
1, являются щ-измеримыми, и найти
~ = 1 и
■ + — ■
^ 9
9 _ * " 6 '
их меры Лебега.
Решение. Изобразим заданные тела геометрически. Графиком
первой поверхности является двуполостный гиперболоид, ось симметрии
которого совпадает с осью ОХ, а второй — эллипсоид. Поэтому
имеем три тела 7\, Г2 и Ts (рис. 1), ограниченные этими двумя
поверхностями. Эти три тела ограничены непрерывными поверхностями и,
следовательно, они измеримы в смысла Жордана, а также в смысле
Лебега. Кроме того, (½ (7\) = ц3 (7^).
Поэтому найдем ц3 (7\) —объем тела
7\. Поверхности -^ -^- — ~ = 1 и
пересекаются по
эллипсам , if ,» + , ^, = 1, лежа-
+ 4 + 9 _ !
ш
(/з)2
щим в плоскостях х = 2 и х = —2.
Объем тела 7\ можно вычислить с
помощью интеграла Римана, двойного
или тройного интеграла. Если
использовать интеграл Римана, то для
этого нужно рассмотреть сечения
тела плоскостями х = const. Для х £ 1У~3, 2] в сечении получаем
эллипсы
Рис.
У2
+
К4^)' (з/¥^)'
■ = 1,
для х £ [2, У~Е) — эллипсы
(2]А
Следовательно,
+
(• v^T)"
= 1.
Из
2 Ve 2
(ГО = J 6я (4- - l) d* + J 6я (l - -i-
Уз
dx
M^i)
С помощью двойного интеграла вычислим меру ца (7\):
W-'(
1 —
.)_ ^3(1+ -f+4-)) «ад.
18

где А—эллипс -г\—\Т + • I- 2 = 1 • Тогда замена переменных
(тт)
#«=2rcos(p, .z = 3rsin<p, где O^r^l, 0^<р^2я, приведет к
указанному результату. Аналогично fi3 (Т^ = J J J dxdydz.> Далее,
этот тройной интеграл приведем к кратному. Таким образом,
И» (7\) = (½ (^) = 4я (Кб + КЗ - 4).
Для определения (13(^2) введем множество Г = \(х; у; г)б
£IR3:-^—1--¾—l"-|-^l}. являющееся эллипсоидом. Оно ц3-из-
меримо, как замкнутое множество (оно даже измеримо в смысле
Жордана). Напомним, что объем эллипсоида Т, т. е. его мера Жордана
Из (Г), вычисляется по известным формулам и |i, (Г) = 8 ]/б я.
Тогда Т3 = Т\ (Т\ U Т2) и _поэтому (i3 (Г3) = Цз (Т) — щ (7\) —
— Из (7"») = 8 Кб я — 8я (Кб + КЗ — 4) = 8я (4 — КЗ)-
5. Построим на плоскости Ща множество А следующим образом:
12 1
разделим квадрат [0; 1] х [0; 1] прямыми *= —, *=_ у = — t
2
у — -г на 9 одинаковых квадратов и выбросим центральный открытый
квадрат (т. е. квадрат (-.-; -д-) X [-д-; -д-Yj. Затем каждый из
оставшихся восьми замкнутых квадратов аналогично делим на 9 одинаковых
квадратиков и выбрасываем все центральные открытые квадратики;
продолжаем этот процесс неограниченно. Множество, оставшееся
после счетного числа шагов, обозначим через А (оно называется «ковром
Серпиньского»). Доказать, что А является ц2-измеримым множеством,
и найти fi2 (А).
Решение. Множество А получается из квадрата [0; 1] х [0; 1]
удалением счетного числа открытых множеств; поэтому А — замкнутое
множество и, следовательно, оно ц2-измеримо. Найдем ц2 (А). Пусть
Аг — открытый квадрат f-o-J-r) X [-^>-о)у Л2— объединение
открытых центральных квадратиков, которые удаляются на втором шагу.
Аналогично вводим множества Л3,..., Ak, .... Все они открыты, непере-
g*—1
секающиеся и ц2 (АЛ = —г— . Поэтому
~ ~ gft—1
(½(А) = Ц2 ([0; 1] X [0; 1]) - £ (х2 (Ak) = 1 -,£ дА - „.
Замечание. Можно показать, что множество А является совершенным и нигде
ие плотным. Оно аналогично множеству Кантора, которое рассматривается на
отрезке [0; 1] числовой оси R.
6. Доказать, исходя лишь из определений, что множество А с: Ш}
иррациональных чисел сегмента [0; 1] неизмеримо по Жордану, но ия-
меримо по Лебегу. Найти его меру Лебега (½ (А).
19

Решение. Вначале найдем верхнюю меру Жордана (½ (Л). Для
определения (½ (Л) достаточно ограничиться элементарными
множествами Е отрезка [0; 1], содержащими Л. Если Е £ 8 и Л с: Е с: [0; 1],
то мера (Жордана или Лебега) множества Е удовлетворяет
неравенству (½ (Е) ^ 1. Действительно, пусть (½ (Е)< 1. Тогда множество
В = [0; 1] \ Е имеет положительную лебегову меру и поэтому не
является счетным, что, конечно, невозможно из-за включения Е :=> Л.
Таким образом, если элементарное множество Е отрезка [0; I]
покрывает заданное множество Л, то (½ (Е) ^ 1. Поэтому (½ (Л) ^ 1. Но,
поскольку [0; 1] :=> Л и [i! ([0; I]) = I, то (½ (Л) = 1.
Если элементарное множество Е содержится в Л, то покажем, что
fij (Е) = 0. Действительно, в противном случае Е = [| Pft, где все Рк
являются промежутками числовой оси IR и Pk (\ Р/ = 0 при k ^ /.
При этом имеется хотя бы один промежуток, скажем Рг, не
являющийся пустым. Но поскольку непустой промежуток Р/ вместе с
иррациональными точками содержит и рациональные, то в Е имеются и
рациональные числа, что невозможно согласно выбору Е.
Следовательно, (½ (Л) = 0 и, таким образом, (½ (Л) <ф\>.1 (Л), а
множество Л неизмеримо по Жордану.
Покажем, что множество Л измеримо по Лебегу. Поскольку Л
ограничено, то используем определение 2 измеримости по Лебегу
ограниченного множества. Пусть е — произвольное положительное число.
В качестве элементарного множества Е, фигурирующего в
определении 2, возьмем отрезок [0; П. Тогда множество Л Д [0; I] = [0; I]\ А
является множеством всех рациональных чисел сегмента [0; 1], и
поэтому оно счетно. Следовательно, ц* (Л Д [0; 1 ]) =ц* ([0; 1 ] \ Л) = 0 •<
<8и множество А измеримо по Лебегу. Осталось найти его меру
Лебега Hi (Л). Пусть {Pk} — конечное или счетное число промежутков
числовой оси, покрывающих множество Л, т, е. U Р* => Л. Для вычис-
k
ления внешней меры ц! (Л) множества Л можно считать, [) Pkcz [0; 1].
k
Покажем, что $] (½ (Р^) ^ 1. Действительно, если £ (½ (Pk) <: 1, то,
k k
введя в рассмотрение измеримое по Лебегу множество Р = U Pk, име-
k
ем (½ (Р) s^Jj fii (Pk) < 1. Поэтому множество С = [0; 1] \Р являет-
k
ся множеством положительной лебеговой меры fii (С) = 1 — (½ (Р) >.
>■ 0. Следовательно, С не может быть счетным, а тогда оно содержит
и иррациональные точки отрезка [0; 1]. Поэтому множество Р не
содержит всех иррациональных точек из [0; 1 ], что противоречит
включению Р zz> А. Таким образом, S (½ (Р*) ^ 1. а тогда fij (Л) ^ 1. По-
k
скольку Л сг [0; 1], щ (Л) <! ц*([0; И) = I. Поэтому в
действительности Ц1 (Л) = 1, и поскольку Л измеримо по Лебегу, то (½ (Л) = 1.
Замечание 1. Измеримость по Лебегу множества А и его меру цх (А) можно
получить и другим путем. Так, если обозначить через Qe множестю всех рациональны»
20

чисел отрезка [0; 1], to<Q0 измеримо по Лебегу как счетное множество и цх (<Q0) = 0.
Поэтому А = [0; 1] \ Q0 является измеримым множеством по Лебегу как разность
таковых и ц, И)= МЮ; 1)1 —Hi(Qo)= 1-
Замечание 2. Поскольку измеримые по Жордану множества пространства К
образуют кольцо, то из рассмотренного примера видно, что множество Q0 (см.
замечание 1) также является неизмеримым по Жордану. Отметим, что этот факт можно
доказать и непосредственно (как н в примере 6). Но поскольку <Q0 является счетным
множеством, то его можно представить в виде Q0 = {ги г2, ... }, где rlt гг, ... — все
рациональные числа сегмента [0; 1]. Очевидно, каждое одноточечное множество {/•„}
измеримо по Жордану и ^ ({/•„}) = 0. Но <Q0 как их объединение не является
измеримым по Жордану. Следовательно, совокупность измеримых по Жордану множеств
не образует а-кольцо и мера Жордана не является счетно-адднтивной. Именно в этих
свойствах скрыт глубокий недостаток мероопределения по Жордану и вндны
значительные преимущества определения меры Лебега,
7. Найти меру множества Л тех точек отрезка [0; 1], которые
допускают разложение в бесконечную десятичную дробь без
использования цифры 5.
Решение. Напомним, что каждое действительное число из отрезка
[0; 1] допускает представление в виде бесконечной десятичной дробм
0, Оу а2...ап..., где все ап являются цифрами. По определению, Л =»
= {0, at а2...ап...\ апфЪ, Vn£RJ}. Изучим структуру
множества Л. Для этого рассмотрим множество, являющееся дополнением А ко
всему отрезку, т. е. [0; 11 \ А. Пусть Аг — множество чисел отрезка [0;
1], допускающих разложение в бесконечную десятичную дробь вида
0,5а2а3...ап..., гдеа„(л^>2) — любые цифры, т. е. Л = {0,5а2а3...ап...}.
Тогда Аг совпадает с интервалом (0,5; 0,6) и поэтому Лх
измеримо, a (¼ (/4].) =-jjT-. Аналогично рассмотрим множество А2 =
= {0,^503...0,,...), где все цифры а„ (л =^> 2) любые, hoa^ ф 5.
Множество А2 измеримо, поскольку представляется в виде объединения интер-
9 g
валов: А2 = [} (0,s5; 0,s6) и (½ (Л2) = -Гпг • Продолжим этот процесс
до бесконечности. Для каждого натурального числа k рассмотрим
множество Ak = {0, Oi...ak-\5ak+i...}, где все цифры ап (п Ф k)
любые, но ах ф 5 ак-\ ф 5. Тогда
9 9
Ak = U • • • U (0, Si ... s*_i5; 0, $! ... s*_i6).
9k-l
Поэтому Ak измеримо и i*,i{Ak) = . Отметим, что, в силу
nolo*
строения, Ak П А)= 0, если кФ\.
Если возвратиться к множеству А, то А = [0; 1]\ U Ak. Значит,
k=\
множество А измеримо и согласно свойству счетной аддитивности ме»
ры Лебега получаем
щ (Л)=1-£мЛА)=1-£-^-=0.
Следовательно, Л является множеством меры нуль.
И

Замечание. Из представления А = [0; 1] Ч (J Аь и того, что Аъ являются объ*-
k=\
динениями непересекающихся интервалов, следует, что А является замкнутым
множеством (даже совершенным) и нигде не плотным, т. е. любой интервал сегмента
[0;1] содержит другой интервал, свободный от точек множества А (согласно
построению).}
8. Показать, что если А — измеримое множество отрезка [а; Ь]
числовой оси IR и (½ (Л) = X > 0, то функция f (х) = (½ ([а; х) П А)
непрерывна на [а; Ь] и принимает все значения от 0 до %.
Решение. Поскольку множества А и [а; х) (а <! х ^ Ь) измеримы и
ограничены, то функция / действительно определена на отрезке [а; Ъ\.
Покажем, что она непрерывна. Если х — произвольная,
нефиксированная точка сегмента [а; Ь] и Ах такое, что х + Ах £ [а; Ь], то
Af (х) = ffr+Ax) — f (х) = (½ ([а; х + Ах) f| А) — ц,х ([а; х) П А).
Для оценки разности этих мер используем неравенство
llCHO-lC^KiiJ^Ad,), (1)
где At и Л2 — произвольные ограниченные множества
пространства ПГ.
Неравенство (1) получаем следующим образом. Очевидно, ЧТО Л j с
с: Л2 U (Аг А А2) и Л2 с: At [) (Лх Д Л2). Отсюда, согласно
теореме 5, для внешней меры имеем неравенства ц,т (л\) ^ (½ (Л2) +
+ (С (Ai А Л2) и [С (Л2) ^ р'т (Лх) + [С (Аг А Л2), которые
равносильны (1).
Чтобы воспользоваться неравенством (1), покажем, что
([а; х+ Ах) Г\ А) А (la; х) П Л) а [х; х + Ах] П А, если Дх>0,
(2)
и
([а; х+ Ах) П Л) Д ([а; х) Г\ А)<=[х+ Ах; х] П Л, если Ах<0.
(3)
Действительно, если Ах > 0 и / £ ([а, д: + Дд:) П Л) д ([а, д) П Л),
то /£ (1а, х + Д*} П ^) \ (to. х) П Л). Следовательно, /£ [а, х + Ах) П
П А и / (£ la, х) П Л. Поэтому / £ [х, д: + Дд:) f| Л и неравенство (2)
доказано. Аналогично доказывается неравенство (3).
Таким образом, используя неравенства (1) — (3), получаем для
Дд:>0
| Af (х) | < щ ([*; х + Ах) (\ А) < щ ([х; х + Ах)) = Ах,
а для Дд: < 0
I А/(х)|<цх([* + Дд:; х) П Л)<щ([х + Ах; х)) = —Ах.
Из этих двух неравенств имеем | Af (х) | ^| Дд:| (V Д*).
Следовательно, lim Af (х) = 0 функция f непрерывна в точке х £ la; Ь]. В силу
произвольности точки х £ [а; Ь]заключаем, что/ непрерывна навеем
отрезке [а; Ь].
«2

Далее используя монотонность меры Лебега (½. получаем, что
(Xi ([а; х + Д*) П А) > (½ ([а; *) П А), если Дх > 0. Поэтому
функция / является монотонно неубывающей. Кроме того, f (а) = fxx ([а;
а) П Л) = 0, a / (ft) = (i! ([а; b) (] А) = ^ ([а; ft] f| Л) = |ii (А) = Х.
Тогда непрерывная функция / на сегменте [a; ft] принимает все
промежуточные значения между 0 и Я.
9. Можно ли построить в замкнутом параллелепипеде Р с: IRm
вамкнутое множество F ф Р так, чтобы fim (F) = fim (Р)?
Решение. Докажем, что множество F построить нельзя. В самом
деле, пусть, наоборот, такое замкнутое множество F, что F с: Р, F ф
Ф Р и fim (F) = (im (Р), существует. Тогда множество G = Р \ F
является непустым и открытым. Иначе, если х £G и нет окрестности
В (х; е) с: 6, то в каждой окрестности точки л: есть точки не из
множества G, т. е. из F. Тогда точка х является предельной для F и поэтому
х £ F, что невозможно, поскольку л; £ G. Следовательно, G
действительно является непустым открытым множеством. Поэтому G измеримо и
цт (G) = цт (Р \ F) = рт (Р) — (i (F) = 0. Кроме того, если х0 g G,
то существует окрестность В (х0; е) с: G, где е > 0. Тогда fim (G) >
^ fim (В (*0; е)) >. 0. Полученное противоречие и доказывает наше
утверждение.
10. Показать, что в каждом ограниченном измеримом множестве
А с: IR положительной меры имеется пара точек с рациональным
расстоянием.
Решение. Предположим, что имеется ограниченное измеримое
множество A cz IR положительной меры, т. е. (½ (А) >. 0, не содержащее
точек, расстояние между которыми является рациональным.
Множество (Q0 всех рациональных точек отрезка [0; 1] является счетным, и
поэтому его можно занумеровать, т. е. Q0 = {^i. r2, ...}. Рассмотрим
последовательность множеств A + гк = {х + гк : х £ А) (V к £ Щ).
Поскольку множества А + тк и А конгруэнтны, то А + гк измеримо и
fi, (Л + rk) = (½ (А). Следовательно, измеримо и множество В »
= U (А +гк). Кроме того, множество В является ограниченным.
Действительно, поскольку А ограничено, то существует такое число М,
что \х\ <! М для всех х £ А. Поскольку произвольное у из В можно
представить в виде у = х + гк с некоторыми х £ А и тк £ (Q0, то | у \ ^
^s 1*1 +1Г*1^*М + 1 для каждого у £ В, т. е. В — ограниченное
множество. Значит, мера (½ (В) конечна. Кроме того, множества А +
+ гк и А + г/ при k Ф I не пересекаются. Иначе существовали бы
такие точки Хх и х2 в А, что Хх + гк = х3 + г/, jr. е. \хх — х2\ = IО —
— гк \. Поэтому в А нашлись бы точки (например, xt и х2), расстояние
между которыми рационально, что противоречит допущению. Таким
образом, в действительности (А + гк) f| (A + rj) = 0 для k Ф /.
Согласно свойству счетной аддитивности меры Лебега (½. имеем
l*i(Я) = f МЛ + гк) = £ МЛ) - +°°-
Последнее противоречит конечности (½ (В). Следовательно,
сформулированное утверждение является истинным.
23

11. Доказать, что если А — произвольное множество
пространства ПТ"1. то множество A = {(£lf .... U € IRm : (lu .... g„_i) € A,
l'm = 1} ^-измеримо и (im (A) = 0.
Решение. Пусть А является ограниченным множеством
пространства Rm_1. Тогда существует такой параллелепипед Р £ ^т_ь что
A cz Р. Не нарушая общности, можем считать, что a = Hm-i (Р) >
> 0. Для произвольного е > 0 построим параллелепипед
Pe = {(£i, .... U€lRm.-(£i im-i)€P, 1—£-<
<im<l+-£-},
содержащий множество Л. Кроме того, согласно определению меры
параллелепипеда, имеем
МРв) = Ит-1 (Р) • |il((l - -^- . 1 + -£")) = Ит-1 (Р) • "5-= в.
Поэтому для внешней меры цт (А) множества А справедлива
оценка (С (Л) <; (С (Ре) = ит (Pe) = е, из которой следует, что А
является измеримым в ]Rm множеством меры нуль (поскольку Цт (А) = 0).
Пусть А — неограниченное множество пространства IRm_1
Рассмотрим последовательность параллелепипедов (Р* (п))т=\
пространства Rm, а именно: Р* (л) = (—п; п\ х ... X [—я; п]. Аналогично,
пусть (Р (n))~=i — последовательность параллелепипедов
пространства Rm_1, где Р (я) = [—п; п] х ... х [—п; я]. Тогда легко
проверить, что А П Р*(«) = {(£„ .... U 6 ПГ : (6, £m_i) € Л П Р (л),
|т = 1}. Поскольку для каждого п g ЭД множество Л f] Р(п)
ограничено, то, согласно предыдущим рассуждениям, получаем, что
множество Л П Р*(я) ^-измеримо в IRm и \im (Л) = lim ит (Л П р* («)) = 0-
П-*-оо
Замечание. Аналогично можно доказать, что если А — любое множество в Rm—1,
то А = {(ii, .... %т) € R"1 : (|х, ... Ът_\) € Л, %т = с], где с — некоторое число,
„змеримо в Кт и цт (А) = 0.
12. Построить на плоскости 1R2 такое неизмеримое множество,
проекции которого на дбе координатные оси неизмеримы по Лебегу.
Решение. Рассмотрим на координатных осях ОХ и OY неизмеримые
множества Вх и В% соответственно (см. теорему 21) и построим
множества
At = {(*; у) € IR2: х £ В1г у = 0} и Л2 = {(*, у) g IRa i х = 0, у g В2},
которые, согласно примеру II, являются ^измеримыми. Поэтому
неизмеримым будет множество Лх (J Л2. Но проекция Лх (J Л2 на ось
ОХ совпадает с ^-неизмеримым множеством Bt (J {0}, а на ось OY —
14

с ^-неизмеримым множеством В2 (J {0}. Следовательно, Лх U Аа
является искомым множеством.
13. Доказать, что множество Л с: IRm измеримо тогда и только
тогда, когда для каждого е > 0 существует такое открытое в IRm
множество G Z3 А, что fim (G\ А) < е.
Решение. Необходимость. Пусть Л является ^„-измеримым
множеством в IRm. Тогда, согласно замечанию, приведенному после теоремы
19, для каждого е > 0 имеется такое открытое в IRm множество Q id А,
что \i'm(G\A)<e.
Достаточность. Пусть п— произвольное натуральное число. Из
условия задачи для е = — находим такое открытое множество Gn гэ
• 1 °°
:э А, что fim (Gn \ А) < — . рассмотрим множество А = f| Gn, являю-
п п=1
щееся измеримым. Покажем, что Л \ Л является множеством меры
нуль. Действительно, для каждого п £ Rj имеем включение Л\^с
сОД/1. Поэтому О<|С(Л\Л)<|С(0,,\Л)<7г. Отсюда
следует, что (½ (Л \ Л) = 0. Таким образом, Л \ Л является
множеством меры нуль, а множество Л = Л \ (Л \ Л) измеримо. i
14. Доказать, что множество точек сходимости произвольной
последовательности непрерывных на замкнутом множестве F с: IRm
функций является ^„-измеримым; более того, оно имеет тип Fa6 (т. е.
представляется в виде пересечения счетного числа множества типа Fa).
Решение. Пусть (fn (я))Г=1 — последовательность непрерывных
функций, заданных на F, и Л — множество всех точек из F, в каждой
из которых эта последовательность сходится. Если х„ £ Л, то числовая
последоватечьность (fn (*„))£!=! является сходящейся, т. е., согласно
критерию Коши, она фундаментальна. Таким образом, для х0 £ А и
произвольного е > 0 найдется такой номер п0, что если п ^ п„ и к ^
> п0, то | /„ (*0) — fk (*о) | < е- Если е = -1, где v £ И, то для х„ £ А
имеем
Vv£N 3n0€RJ Vn, £>я0 |М*о)-М*о)К-5г- (4>
Поскольку (4) равносильно сходимости числовой
последовательности (/„ (*о))£=1, то
Л=П U П П {x£F-\Ux)-h(x)\<^r). (б)
V=l п,=1 ra=n0 ft=n„ * J
Изучим множество Fvn,k = \x£F:\fa(x) — fk(х)| < —1. Оно
является замкнутым. Действительно, если х* является предельной
точкой множества F^*, то найдется такая последовательность (JtjJJJLi
точек из F%tk, что Хц -»- х*. Отсюда следует, что (*ц)£=1 с: F и, в силу
25

замкнутости F, х* £ F. Поскольку х^ £ Fn,k для произвольного (* € И,
то выполняется неравенство | fjjc») — fk (Хц) | <1 — (V ц £ И)-
Переходя в последнем неравенстве к пределу при ц -»- с» и
учитывая непрерывность на F функций fn и fk, получаем | fn (х*) — fk (х*) | ^
^- , т. е. х* £ Fn.k- Таким образом, Fn,k является замкнутым
множеством. Поэтому замкнутым будет и множество
п=п„ к—пс
оо
а тогда множество U FZa = Fv имеет тип Fa.
По=1
оо
Наконец, множество А представимо в виде А = fl F", т. е. оно яв-
v=l
ляется множеством типа Fa^, и поэтому оно измеримо. Впрочем,
измеримость А следует уже из представления (5), если обратить внимание
на то, что все замкнутые множества F^tk измеримы.
15. Показать, что совокупность борелевых множеств 3Sm = 33 (IRm)
пространства IRm образует наименьшую ст-алгебру, содержащую все
открытые параллелепипеды.
Решение. Отметим, что 3$т образует а-алгебру. Поэтому надо
доказать, что если Qm г- некоторая ст-алгебра множеств пространства
Rm, содержащая все открытые параллелепипеды, то Qm id 2Вт. Пусть
G — открытое множество в IRm. Тогда G является объединением не
более чем счетного числа открытых параллелепипедов и поэтому G £ Qm.
Каждое замкнутое множество F, являющееся разностьюF = \Яп\Ь,
где G= IRm\ F — открытое множество, также принадлежит Qm.
Поэтому ст-алгебра Qm содержит все открытые и замкнутые множества
пространства IRm. Тогда согласно свойств ст-алгебры классу Qm будут
принадлежать и все множества из IRm, получающиеся из открытых
замкнутых множеств с помощью применения конечного или счетного
числа операций объединения, пересечения и разности. Следовательно,
все элементы ст-алгебры 3$т являются элементами ст-алгебры Qm, т. е.
16. Доказать, что если множества Ах Ап, ... пространства IRm
оо
являются цт-измеримыми и J] Цт(/4П)< + с», то множество Б,
СОСТОЯВ
ящее из всех точек пространства IRm, которые принадлежат
бесконечному числу множеств последовательности (Ап)? ь измеримо и
И„ (В) = 0.
Решение. Изучим структуру множества В. Пусть х £ В. Тогда для
каждого номера п найдется номер k ~^ п такой, что х £ Ак. Очевидно,
что верно и обратное. Поэтому
96

Отсюда следует, что В — (] [) Ак. Значит, множество В измеримо, как
пересечение и объединение бесконечного числа измеримых множеств.
Найдем меру множества В. Из включения Вс [) Ак, справедливо-
fc=n
оо
го для каждого п, получаем \к,т (В) ^ £ fim (Л^) (V п). Но поскольку
к=п
остаток Yi Рт (^*) сходящегося ряда £ fim (Ак) стремится к нулю при
я -> оо, то [im (В) = 0.
Замечание. Введенное в примере 16 множество В называется верхним пределом
оо оо
последовательности (Лт)~=1 и обозначается Игл Ат, т. е. lim Ат = ft (J /4¾.
m-t-oo m-voo m=l ft=m
Нижним пределом последовательности множеств (/4П)~=1 называется множество
оо оа
lim /4„ = (J ft /4ft. Оно также измеримо, если измеримыми являются все Ап. Если
„■^о "=' *="
верний и нижний пределы равны, то их общее значение называется пределом
последовательности множеств (Ап)™=1 и обозначается lim Ап.
п-*-оо
17. Доказать, что для каждого ограниченного множества А с: IRm
можно построить такое множество А типа G6, что А ;э Л и ц„ (Л) =
в Н™ (Л).
Решение. Исходя из теоремы 19, для каждого натурального п,
положив е = — , найдем такое открытое множество Gn cr IRm, что Gn :э
з/1и|1и (Ga) < iC (A) + JL .
-. ОО /
Покажем, что множество A = (] Gn является искомым множеством
п=\
типа^/д. Действительно, A zd А. Кроме того, для каждого п £ f^j
справедливы неравенства
|С И) < (С (А) = ця (Л) < цт (G„) < ^(Л) + -L ,
из которых при я -> оо получаем искомое равенство ц™ (А) = цт (А).
18. Пусть (Л„)~=1 — произвольная монотонно возрастающая по-
оо
следовательность множеств пространства IRm и Л = [} Ап — OrpaHH-
ченное множество. Доказать, что lim \х„ (Л„) = ц^ (Л).
п-*-оо
Решение. Отметим, что если множества Л„ (я £ Щ) измеримы, то
доказываемое равенство выполняется согласно теореме 8.
Поэтому заменим внешние меры множеств Л„ мерами, используя пример 14,
Пусть для каждого п £ Щ Л„ — множество типа Ga такое, что Л„ с Л„
Я7

и \im (Л„) = Цт (Л„). Позаботимся еще и о том, чтобы
последовательность (Л„) также была неубывающей, т. е. чтобы Лх с: Л2 с: ... с
с: Л„ с: ... . Если это не так, то рассмотрим последовательность мно-
жеств Л„ = П Ak (n£ W)- Тогда Л„ являются также множествами типа
Ga и, кроме того, Ап :э Л„, поскольку для каждого k > п имеем Лй з
:э Ak zd Ап. Найдем меру множества А'п : р*т (Л„) < цт (Л^) ^С
< [i,; (Л„) = (С (Л„), т. е. цт (/¾ = (С (Л„). Из построения
последовательности (Ап)п=,1 непосредственно следует, что А\ а А'2 с: ... с:
с: Л^ с: ... . Таким образом, можно считать, что для заданной
последовательности множеств Аи А2 Л„, ... построена такая
последовательность Лх с: Л2 сг ... с: Ancz. ... множеств типа G^, для которой
ИЙ (Лп) = (С (Л„) (V n G №)• Тогда, согласно теореме 8,
lim (С(Л„) = lim цт (Л„) = цт (Л),
_ СО ~ ,-
где Л = U Л„. Осталось доказать, что[хт (Л) = [С (Л).
Из очевидных включений Ап с: Л с: Л (V я £ И) следует, что
цт (Л„) = [С (Л„) < fC (Л)< цт (Л) (Vn ^ И). Переходя в
последнем неравенстве к пределу при п ->• с», получаем искомое равенство
|£ (Л) = Цт (Л).
19. Доказать, что совокупность ЭДт всех измеримых множеств
пространства IRm равномощна с совокупностью всех подмножеств
множества IRm.
Решение. Напомним, что IRm является множеством мощности
континуума, а совокупность всех его подмножеств имеет мощность
гиперконтинуума 2е (согласно определению). Поэтому необходимо доказать,
что множество 2lm также имеет мощность 2е. Для решения этой задачи
удобно различать случаи т = 1 и т > 1.
Рассмотрим пространство IR и совокупность Щ1# Мощность 9^ не
превосходит 2е, поскольку ЗЦ является частью множества всех •
подмножеств IR. Кроме того, канторово множество F является
множеством цх-меры нуль и вместе с тем имеет мощность с. Поэтому, согласно
полноте меры ць каждое из подмножеств множества F ^-измеримо.
Следовательно, совокупность всех подмножеств множества F
является частью 9li и имеет мощность 2е. Поэтому мощность 9^ не меньше,
чем 2е. Таким образом, класс 9li имеет мощность гиперконтинуума 2е.
Рассмотрим пространство IRm и класс 9lm измеримых множеств в
IRm (т > 1). Совокупность 9lm имеет мощность, не превосходящую 2е.
Если рассмотреть множество Л = {(к1г ..., хт) £ IRm : х2 = ... = х'т =»
28

= 0}, то оно имеет мощность континуума и цт (А) — 0 (см. пример 11).
Согласно свойству полноты меры \хт, каждое из подмножеств
множества А является цт-измеримым. Поэтому мощность ЭДт не превосходит
2е. Следовательно, класс §tm является множеством мощности
гиперконтинуума 2е.
Замечание. Именно то обстоятельство, что совокупность всех измеримых
множеств 2lm равномощна множеству всех подмножеств пространства В?т,не позюляет
эффективно построить пример неизмеримого множества в Rm. Полезно в этой связи
также отметить, что совокупность 5gm = gg (Rm) имеет мощность континуума с (это
утверждение рекомендуем доказать самостоятельно).
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что множество Л с R является борелевым, и найти его меру (¾ (Л),
•ели:
а) Л = (К \Q) П [0; 1]; б) А = {*<Е R : *46 Q};
в) А = [а; + оо); г) А — (—ос; — Ь).
2. Доказать, что множество Л с R2 является борелевым, и найти его меру
р, (А), если:
а) А = \х 6 R : е* 6 R4<Q} X [0; 2];
б) Л = {*G R : sin «G Q} x R;
в) Л = ({(*; 4)<ER2:|sin*|<-i-, (* + у) <E R\q}) U ([0; 1] X [0; 1]).
3. Доказать, что множество A с R3 является борелевым, и найти его меру у^ (А),
если:
а) А = (Q X R X R; б) Л = (R \ ¢) X (0; 1] X (0; + оо);
в) А = {(х; у; г) £ R3 : (х + у + z) <Е Z);
г) Л = {(*; у; г) £ R3 : *2 + у2 = 1, г > 0}.
4. Доказать, что множество A с R является борелевым, и вычислить его меру
цх (Л), если:
а) Л= у (п 1-; п + ^г); б) ^= U J"-*-"; и+ 4-"];
п=\ V 2" 1п ) п=0
в) Л= U
п=1
. ' п1 ; —)■• г) Л =' U [п3- 5-"; /г3 + 5-"] П (КЧ<Р);
(я + I)2 /г2 / «=о
д) Л= U (Inn; 1п(я+ 1)]Ч^.
п=1
б. Построить последовательность (Ап)'п°=1 борелевых множеств (а) — е) — на
■рямой; ж) — л) — на плоскости) такую, что:
а) МЛ„) = 1. «>1. U Aa=R;
n=l
б) Hi (Ап) = +оо, Л„ => Лп+1, я > 1, цх ( П А Л = 0;
в) ^1(^) = +00, Лп=Лп+1, я> 1, (ix/ П Лп| = 1;
ОО
r) Hi (Ап) = + оо, /г > 1, П 4n=N;
n=l
1 ее
Д) Hi(^n) = — . ">1, fl ЛВ = Р, где Р — множество простых чисел;
п п=\
•)* HiHn) = +°o. А« П -4/= 0, л?6'/, п, /= 1, 2, . . . ;
к) И»(Л») «= + оо, Аа => Ля+1, я> 1, и,/ П Ля) =-0;
29

з) |12(ЛП)=1, и>1, и ап=№;
и) (½(Лп) = +оо, п>1, n \=ZxZ;
к) уа (Ля) = — , и > 1, П 4=RX {0};
* п=1
Л) (½ И«) =-^-, я > 1, П 4=ZXZ.
•* n=l
6. Доказать, что множество ДсК1 является щ-иэмеримым, я найти р2 (А),
если:
а) Л = {(х; у) 6 О?2: х <Е R, 0 < у < Л-*'};
б) А = {(х; y)g R2 :0<<< 1, 1п л: < у < 1п2 х};
в) *-{(*; ,)eK2:o<,<2a> _|^_£_r<lf<:|/"_^IJl
г) A-*B\U Зп, где Я={(*; *)€«»:(*-l), + |f1< 1},
B»-{(x;*)€R':(x—Ly + ^^-pjp}.
7. Доказать, что множество ЛсКа является (^-измеримым, если:
а) А = {(*; у, г) 6 R3 : z = / (*; у) (*, у) 6 [ах; /¾] X [а2;Ь2 ]}, где / — иепрв-
рывная на прямоугольнике [ах; их] X (а2; fta] функция; найти р,3 (Л);
^ = {(^:г)бКЗ:0<г<оТТ^оТТ7РГ,(дс:у)бК1:
при каких а и ft мера р,3 (/4) конечна?
в) /! = /(*; у; 2)glR3:0<2< * , *« + у»<11 ;
{ (x2+!/Y )
вайти (д, (Л);
г) Л = {(*; у; г)еК3:0<г< \ь , *>1, *у> l| ;
при каких а и ft мера р,3 (А) -конечна?
д) А={(х; у; г) g R3 : 0 < z <ехр (- (*2 + у2)а), (а;; у)6[0; +оо) X
X [0;+оо)}, где а>0; найти \l3(A).
8. Доказать, исходя из определений, что множество А = {(х; у) (Е В?2 : * £ <Q,
У € ¢) П (Ю; 1] X [0; 1]) щ-неизмеримо в смысле Жордана, но щ-измеримо п»
Лебегу.
9. Доказать, что множество А = ([0; 1] X [0; 1] X Q„) U (Г—1; 0] X [—1; 0] X
X (К \ Qo)), где Q0 — множество рациональных чисел отрезка [0; I], является
(ig-иеизмеримым в смысле Жордана, ио р,3-измеримым по Лебегу. Пусть 5 (а) — се-
чеиие множества А плоскостью z= а (Е [0; 1]. Доказать, что \ (½ (S (г))йг= 1.
о-
10. Доказать, что множество Кантора F отрезка [0; 1] неизмеримо по Жордаиу.
11. Пусть а — произвольное число такое, что 0 < а < 1. Построим множество
А с памащью счетного числа шагов следующим образом. На первом шаге удалим из
сегмента [0; 1] интервал А1 длины -^-, расположенный симметрично относительно
середины отрезка [0; 1] (назовем такой интервал средним интервалом). На втором
шаге из оставшихся двух сегментов удалим средине интервалы длины -х- каждый.
Обозначим вбъедннеиие этих интервалов Л2. На третьем шаге из оставшихся четырех
сегментов удалим средние интервалы длины »~ каждый. Обозначим объединение этих
четырех интервалов через А%. Продолжим этот процесс неограниченно. Пусть А ««
80

™ 10; 1] \ U Ak- Доказать, что множество А является [ii-нзмеримым, \it (A) = 1 — a
I оно не содержит целиком ни одного отрезка. Показать также, что А несчетно.
12. Построим на плоскости Ra множество А следующим образом: разделим квадрат
12 12
{0; 1] X [0; 1] прямыми х = -^-, х = -=-, у = —, у = -^- иа 9 одинаковых квадратов.
Четыре замкнутых квадрата, примыкающих к вершинам основного квадрата, назовем
квадратами первого ранга, а их объединение обозначим Аг. Затем каждый из
квадратов первого ранга разделим на 9 одинаковых замкнутых квадратиков, и те из иих,
которые примыкают к вершинам соответствующего квадрата первого ранга, назовем
квадратами второго ранга; объединение всех 16 замкнутых квадратов второго ранга
обозначим Л2 и т. д. Ясно, что Аг гэ А2 гэ ... . Общую часть А = П Ап назовем
п=1
чсладбищем Серпиньского». Доказать, что А — нигде не плотное замкнутое множество
и р,8 {А) = 0.
13. «Канторовой гребенкой» называется множество А на плоскости R2, состоящее
из всех тех точек (х, у), координаты которых удовлетворяют следующим условиям:
х (Е [0; 1], у (Е F, где F — канторово множество отрезка [0; 1]. Доказать, что А —
нигде не плотное замкнутое множество и (i2 {А) = 0.
14. Пусть множество A с \Rm имеет р,т-меру нуль. Должно ли его замыкание
А быть множеством р.т-меры нуль?
15. Доказать, что если А — неограниченное множество положительной меры
иа прямой R, то в нем найдется хотя бы одна пара точек, расстояние между
которыми рационально.
16. Доказать, что в каждом множестве А с [0; 1] положительной меры
существует такая пара точек, расстояние между которыми иррационально.
17. Доказать, что множество тех точек отрезка [0; 1], десятичное разложение
которых невозможно без цифры 5, (½-измеримо. Найти его меру.
18. Доказать, что множество всех точек прямой R, которые допускают
разложение в десятичную дробь без использования цифры 5 после запятой, является
множеством (ix-меры нуль.
19. Доказать, что множество А всех точек отрезка [0; 1], в разложении которых
в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры от 1 до 9, является цх-
измеримым; найти его меру.
20*. Найти меру Лебега подмножества отрезка [0; 1), состоящего из чисел,
у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.
21. Доказать, что для любой конечной или счетной совокупности (Ап)п (хт-измв-
римых множеств пространства Rm справедливо неравенство
£ Ы (Ап) < Ы ( U А„) + V р,т (At п А,),
п \п J Ki
22. В замкнутом параллелепипеде Р с ребрами единичной длины заданы п
измеримых множеств Ai, ..., Ап, причем
п
2 Vm(Ak)>n— 1.
*=1
во
Доказать, что A = (~| Ak имеет положительную меру, т. е. (im (А) > 0.
k=l
23. Внутренней мерой множества А с [0; 1] называется число р,1# (А) = 1 —
— Ц* ([0; 1] Ч А). Доказать, что p,f (А) > р.1# (А).
24. В обозначениях задачи 23 доказать, что множество А с [0; 1] измеримо по
Лебегу тогда и только тогда, когда ц1# (А) = р.* (А).
25. Доказать, что объединение счетного множества множеств типа Fg имеет
тип Fa.
31

26. Доказать, что пересечение счетного множества множеств типа Ge имеет
тип Ge.
27. Доказать, что дополнение множеств типа Fa до Rm имеет тип G6, а допол»
неиие множеств типа G6 — тип Fa.
28. Доказать, что множество всех рациональных точек пространства R является
множеством типа Fa и не является множеством типа <Зв.
29. Доказать, что никакое счетное всюду плотное в Rm множество не может иметь
тип Ga.
30. Привести пример множества, ие являющегося ни множеством типа Fg, ни
множеством типа Ge.
31. Доказать, что множество А = {х 6 Rm : lim | /„ (х) | = + оо), где (/„ (x)))JLi —
п-юо
поеледовательность непрерывных на Кт функций, имеет тип <За.
32. Пусть у — f (х) — непрерывная действительнозначная функция, заданная
иа измеримом множестве А с Rm. Доказать, что для каждого действительного числа
с множества {х 6 A : f (х) > с}, [х 6 А : / (х) > с), {* 6 Л / (х) < с} и {ж 6 Л :
:/(*)< с} являются (^измеримыми.
33. Доказать, что совокупность всех измеримых множеств меры нуль
пространства Rm образует о-кольцо.
34. Пусть множество А С Rm. Доказать равносильность следующих
утверждений:
а) А — Цт-измеримо;
б) для каждого е > 0 существует открытое множество G такое, что G ^ А ш
\1'т (G\A)<: е;
в) для каждого е > 0 существует замкнутое множество F такое, что F С А в
1»;И\Л< е;
г) существует множество К типа <?в такое, что KD/t и f*m (K\j4) = 0;
д) существует множество Н типа F такое, что Н с Л и iij, (Л\Н) =» 0.
35. Доказать, что для измеримости множества Л с ff?m необходимо и достаточно
выполнения любого из следующих условий:
а) для каждого в > 0 существуют замкнутое множество F и открытое G такие,
что F <= A cr G и fim (G \ F) < е;
б) существуют множества К типа <?в и Н типа Fg такие, что НсИсКа
Ни (К Ч Н) = 0.
л
Ответы. I. а) 1; 6)0; в), г) +оо. 2. а) +оо; б) 0; в) — , 3. а), в), г) 0j
6
б) +со. 4. а) 2; б) -1- + —i-j- j в) 1; г) -—; д) +оо. в. a) -^- ; б) 3}
14я
в) Зла"; г) ——- 7. а) 0; б) а > 1 и Ь > 1; в) если а < 1, то ц, (Л) —
15
= 2^¾ и Мл)= + <>° при я>1; г) а>6>1;д) -^-rf—-J. 17. 1.
19. 1. 20. —.
2
{ 2. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ МЕРЫ. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
С ПОЛУКОЛЬЦА НА КОЛЬЦО
В предыдущем параграфе была построена теория меры Лебега в евклидовом
пространстве Rm. При этом мы исходили из понятия меры параллелепипедов и
распространили ее иа более широкий класс множеств — а-алгебру %т измеримых множеств.
82

Но в ряде задач теории вероятностей, в математической физике и функциональном
анализе возникает необходимость рассмотрения меры множеств в пространствах,
отличных от Rm, или меры в Rm, отличной от меры Лебега. В этом случае мера
также распространяется с некоторой совокупности множеств (образующих
полукольцо) на более широкий класс множеств, являющихся о-алгеброй.
1. Системы множеств. Путь X — некоторое непустое фиксированное множество.
Далее в этом параграфе будем рассматривать системы множеств, каждое из которнх
является подмножеством множества X.
Непустая система множеств й называется кольцом, если оиа обладает свойством:
изЛбйиВ£й следует, что Л П В ¢9¾ и ЛДВ £ й. Поскольку для произвольных
множеств Л и В А [} В = (ЛДВ) Д (А (] В) и А \ В = ЛД (А (] В), то из А 6 И
и В £ й следует также принадлежность к кольцу й множеств A [J В и А \ В.
Таким образом, кольцо множеств й есть система множеств, замкнутая по отиошешпо
к операции объединения и пересечения, вычитания и образования симметрической
разности. Методом математической индукции легко получить, что если множества
п п
Аи ..., Аа принадлежат кольцу й, то множества U Л* и fi А), также являются'але-
ментами й. Отметим, что пустое множество 0 принадлежит кольцу й, поскольку
0 = А \ А, где А £ й. Система множеств, состоящая только из пустого множества,
представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.
Пусть в кольце множеств й имеется элемент, содержащий все другие множества
нз й. Тогда этот элемент называется единицей кольца й, а само кольцо й
—алгеброй множеств. Например, совокупность 2 всех подмножеств множества X образует
алгебру множеств с единицей X. Аналогично класс 5Im измеримых по Лебегу множеств
пространства \Rm является алгеброй множеств с единицей \Rm. Вместе с тем
совокупность 5lm всех ограниченных измеримых по Лебегу множеств в Rm образует кольцо,
не являющееся алгеброй множеств.
Непосредственно из определения следует, что пересечение произвольного числа
колец является кольцом. Поэтому для любой системы множеств S пересечение всех
колец, содержащих эту систему, образует кольцо й (S). Оно содержит S и, вместе
с тем, само содержится в любом кольце Й :з S. Кольцо й (S)называется минимальным
кольцом, порожденным S.
В теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее
понятие — понятие полукольца множеств.
Система множеств % называется полукольцом, если она содержит пустое
множество 0, замкнута по отношению к образованию пересечения (т. е. если А £ 31
и В £ 91, то Л (1 8 £ ") и обладает свойством: из принадлежности к 91 множеств
А и Л1сг Л вытекает возможность представления Л в виде Л = (J \Аь, где Л* — по-
k=i
парно непересекающиеся множества из 92, Кольцо множеств всегда является
полукольцом. Примером полукольца, не являющегося кольцом, есть совокупность 9т
всех параллелепипедов пространства Rm.
Методом математической индукции можно доказать, что если множества Аи ...
..., Ап, А принадлежат полукольцу 91, причем множества Л* попарно не
пересекаются, и Л» с: Л (k= 1,2, ..., п), то Л можно представить в виде объединения непере-
секающихся множеств полукольца 92, т. е. Л = (J Аь, где / > " и Л* П Л/ = 0
для кф).
Кроме того, полезно утверждение: если Ау, ..., Ап — произвольная совокупность
множеств полукольца 92, то в 92 найдется такая конечная система попарно
непересекающихся множеств В], ..., В/, что каждое Ak можно представить в виде
объединения Ak = US/ некоторых множеств из {Вх, В3, ..., В/}.
Если S — произвольная система множеств, то фактическое описание кольца й (S),
исходя из элементов системы S, довольно сложно. Оно вполне обозримо в том
важном случае, когда S является полукольцом.
2 П-74

Теорема 1. Если 92 — полукольцо, то К (92) совпадает с системой всех множеств
А, допускающих представление в виде объединения конечного числа (своего для каждого
п
множества А) попарно непересекающихся множеств из 92, т. е. А = н Ak.
Введем следующие понятия. Кольцо множеств называется а-кольцом, если оно
вместе с каждой последовательностью множеств Аи А2, ... Ak, ... содержит нх объ-
едннеиие A = (J Ak- а-алгеброй называют а-кольцо с единицей.
Кольцо множеств называется Ь-кольцом, если оно вместе с каждой последователь-
востью множеств Ах, Аг Аь, ... содержит их пересечение f) Ak- Аналогично б-
, а—1
алгеброй называют а-кольцо с единицей. Используя формулы двойственности,
находим, что каждая б-алгебра является б-алгеброй н наоборот. Примером а-алгебры
есть совокупность 2х всех подмножеств множества X. Как следует из § 1, класс Чй.т
измеримых по Лебегу множеств пространства Rm образует а-алгебру.
Пусть S — непустая система множеств. Тогда а-алгебра 5§ называется
неприводимой (по отношению к S), если 5§ => S, и единицей алгебры 5§ будет множество (J А.
A6S
Теорема 2. Для произвольной непустой системы множеств S существует
неприводимая а-алгебра 5§ (S), содержащая S и содержащаяся в любой а-алгебре, содержащей S.
Эта а-алгебра ^ (S) называется минимальной а-алгеброй над системой S.
Например, а-алгебра gg (Rm) борелевых множеств пространства \Rm является минимальной
а-алгеброй над совокупностью всех замкнутых параллелепипедов в \Rm.
2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо.
Определение 1. Функция множеств р (А) называется мерой, если:
1) ее область определения 92 с 2х является полукольцом множеств;
, 2) значения функции р (А) (V А £ 92 ) действительны и неотрицательны;
3) мера р (А) аддитивна, т. е. если множество А £ 92 представляется в виде
п
объединения А = U Ak попарно непересекающихся множеств Ak полукольца 92 то
k—i ц
л
I* (A) = J р (Ak).
k=\
Отметим, что из представления 0 = 0 U 0 вытекает, что для любой меры р
справедливо равенство р (0) = 0.
Определение 2. Мера р, определенная на полукольце^-, называется
продолжением меры р, если 92 ^ с 92 - и для каждого множества А £ 91 справедливо равенство
р (А)^=р(Л).
Пусть мера р определена на полукольце 92 . Тогда каждое множество А € й (92 \
допускает представление в виде объединения попарно непересекающихся множеств
п
Alt ••>» Аа полукольца 92 : A = U Ak. Поэтому естественно положить
k=i
р(Л) = £ р(Д*) (v а е и (Ир». (1)
Справедлива такая теорема.
Теорема 3. Для каждой меры р, заданной на некотором полукольце 91
существует оДно и только одно продолжение р, имеющее своей областью определения кольцо
Я'(91 ). Это продолжение определяется формулой (1).
Если мера у. задан» на кольце 9?„, го она обладает свойством монотонности,
т, е. когда А £ йд, В £ й^ и Л с В, то р (Д) < р (В). Кроме того, если множест-
34

ва Alt At A„ являются элементами кольца Й и А с. U ^*. тор. (А) ^ V (i (Л/у
(свойство полуаддитивности меры р). — *=1
В различных вопросах математического анализа возникает необходимость
рассмотрения не только конечного, но и счетного числа множеств. Поэтому условие
аддитивности меры заменяется более сильным требованием счетной аддитивности.
Определение 3. Мера р называется счетно-аддитивной, или а-аддитивной, если
для любых множеств A, Av Аг, .... Ak, ■ -., принадлежащих ее области определения
оо
91 и удовлетворяющих условиям A = \J Ak, Ak П А/ = 0 при k Ф /, справедливо
оо *=1
равенство р (А) = £ р (Ak).
k=i
Например, мера Лебега \ит, определенная на полукольце 5l'm всех ограниченных
измеримых по Лебегу множеств пространства Rm, является а-аддитивной.
Теорема 3 для а-аддитивных мер р, определенных на полукольце 92 получает
свое дальнейшее развитие.
Теорема 4. Для каждой а-аддитивной меры р, заданной на полукольце множеагк
й ее продолжение р, определенное с помощью формулы (1), на кольцо й (92 ) такои
является счетно-аддитивной мерой.
Продолжение у. меры р также обозначим символом р. "
Для а-аддитивных мер, областью определения которых является кольцо мне
жеств, справедливы такие основные свойства.
Теорема 5. Пусть мера р^, определенная на кольце множеств й, а-аддитивна, 4
множества А, Ах, А2 Ak, ... принадлежат й. Тогда
оо оо
1) если U Ak а А и Ak П А/ = 0 при кф}, то £] р (Ak) < р (Л);
k=i
*=1
2) если Ac (J Ak, то р(Л)<; S\\i(Ak) (счетная полуаддитивность мерыуь).
Отметим, что свойсгво счетной полуаддитивности меры р (свойство 2))
равносильно ее а-аддитивности, но иногда легче проверить свойство счетной полу аддитивности.
3. Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей. Из
предыдущего пункта следует, что а-адди^чвную меру р, определенную на полукольце
множеств 92, можно продолжить с сохранением свойства а-аддитивности на кольцо
И (92). Оказывается, а-аддитивная мера р допускает продолжение на более широкий
класс множеств, чем кольцо й (92). Это осуществляется с помощью лебегова
продолжения.
Пусть на некотором полукольце множеств 92 с единицей Е (т. е. Е £ 92 и Е
содержит все элементы полукольца 91) задана счетно-аддитивная мера р. Определим
иа системе 2Е всех подмножеств множества Е функцию р* (А)' — внешнюю меру
множества А £ 2е.
Определение 4. Внешней мерой множества А с Е называется число р* (А) =
= inf V p(S^), где нижняя грань берется по всем покрытиям U flft => А
у BfpA - k
k
множества А конечными или счетными системами множеств Bk € 92.
Нетрудно проверить, что внешняя мера элементов полукольца 92 и кольца
И (92) совпадает с мерой р.
Внешняя мера обладает важным свойством счетной полуаддитивности: если
A (=. U Ak, где (Ak) — конечная , или счетная система множеств, то р* (А) ^
k
< £ Р* (Ak).
k
Определение о. Множество А с Е называется измеримым по Лебегу или р-иаме
римым, если для произвольного г > 0 найдется такое множество В £ й (92), что
ц* (ЛДВ)<8.
2* SS

Прн этом мерой Лебега множества А, которая обозначается р (А), считаем его
внешнюю меру р.* (А), т. е. полагаем р (А) = р* (А).
Из определения следует, что все множества кольца й (92) являются измеримыми в
смысле Лебега и их мера Лебега совпадает с исходной мерой р (поэтому для меры
Лебега употребляется то же обозначение р, что и для исходной).
Обозначим через Я = Яц совокупность всех измеримых по Лебегу
(относительно меры р) множеств, содержащихся в Е. Тогда, как отмечалось выше, 92 с й (92) с
с Я .
— ц
Теорема 6. Система Я всех измеримых множеств образует а-алгебру множеств
с единицей Е. Мера Лебега р, определенная на Яд, обладает всеми свойствами меры
и является счетно-аддитивной на Я .
Из этой теоремы следует непрерывность меры р на Я , т. е. если А± :з А2 Z3 ...
э Ак Z3 ... — убывающая последовательность измеримых множеств (Ak £ Я , V k £
оо
g N) и А = П Ak, то р (A) = lim р (Ak), а если ^c4,c ... с Ak с ... — во».
k=i ft—оо
оо
растающая последовательность измеримых множеств и A = U ^*. то также р (А) »
= lim р {Ak).
А-»оо
Определение 6. Лебеговым продолжением а-аддитивной меры р, заданной на
полукольце 92 с единицей Е, называется мера Лебега р (Л), определенная на системе
всех измеримых множеств ЗД и совпадающая на Яд с внешней мерой р* (Л).
Мера Лебега р обладает еще одним важным свойством — свойством полноты.
Мера р, рассматриваемая на полукольце Я , называется полной, если из равенства
р (А) = 0 (для некоторого множества А £ 91) следует, что каждое подмножество А' с
с Д также принадлежит 92 и р (А') = 0. Но не каждая мера р является полной.
Примером неполной меры служит мера Лебега рт, определенная на полукольце ^,,,
всех параллелепипедов пространства Rm (т > 2). Дело в том, что не любое
подмножество параллелепипеда нулевой меры является параллелепипедом.
Теорема 7. Лебегово продолжение любой а-аддитивной меры, заданной на
полукольце 92, полно.
Отметим, что любую а-адднтивную меру, определенную на а-алгебре, можно
продолжить до полной, положив ее равной нулю на любом подмножестве каждого
множества исходной нулевой меры.
Кроме того, если р — а-аддитивная мера на кольце К, то существует
единственная счетно-адднтивная мера, определенная на наименьшей а-алгебре ^ (К),
содержащей К, и являющаяся продолжением меры р.
4. Лебегово продолжение меры, заданной на полукольце без единицы. Если <т-
аддитивиая мера р. определена на полукольце 92 без единицы, то ее лебегово
продолжение строится аналогично (с некоторыми незначительными изменениями). Пусть
X — рассматриваемое нами фиксированное множество и р — а-аддитивная мера,
определенная на полукольце 92 без единицы подмножеств X. Для определения внешней
меры множества А <=. X ограничимся такими покрытиями \J Bk => А элементами ко-
k
льца К (92), для которых сумма ^ р (Bk) является конечной.
k
Пусть S » — система всех множеств А <= X, для каждого из которых
существует конечное нли счетное покрытие \J Bk Z3 А множествами Bk £ К (92), для которых
k
V р (Bk) < + оо. Тогда для произвольного множества А £ S , положим
Т *
р* (A) = inf V М> (Bk)-
Определение множества, измеримого по Лебегу, аналогично: множество А £ S„«
называется измеримым по Лебегу или р-измеримым, если для каждого в ;> 0
существует множество В £ К (92) такое, что р* (АА.В) < е. При этом мерой Лебега р (А)
36 ■

множества А считают число р (А) = р* (А). Пусть Я — система всех измеримых
множеств. Тогда й (¾) с 1 и исходная мера любого множества А £ й (Щ
совпадает с мерой Лебега этого множества.
Теорема 8. Совокупность Я' измеримых по Лебегу множеств образует кольцо
множеств и мера Лебега р на ней обладает всеми свойствами а-аддитивной
меры. Более того. Я' является Ь-кольцом. Если множества Аь (k £ N) измеримы,
л / п \
то A = (J Ak будет измеримым тогда и только тогда, когда р (J Ak\ ограничены
k=i \*=1 /
некоторой постоянной, не зависящей от п £ N.
R. Теорема 9. Система всех ^-измеримых подмножеств измеримого множества А €
ё Я образует а-алгебру.
5. Расширение понятия измеримости множеств в случае а-конечной меры. Если
исходная а-аддитивная мера р. задана на полукольце множеств % без единицы, то
ее лебегово продолжение не всегда оказывается определенным на достаточно широком
классе множеств. Например, если X = \Rm и р = pCT — мера Лебега, заданная
иа полукольце &т всех параллелепипедов, то ее лебегово продолжение не содержит
в качестве измеримых множеств всего пространства О?"1, внешностей шаров и т. д.,
т. е. множеств, имеющих бесконечную лебегову меру. Естественно Желание
расширить понятие измеримости множеств, допуская для меры и бесконечные значения
с тем, чтобы класс измеримых множеств был о>алгеброй (а не только б-кольцом, как
в случае, рассмотренном в п. 4). При этом ограничимся практически наиболее важным
случаем а-конечной меры.
Определение 7. а-аддитивная мера р, заданная на некотором полукольце %
подмножеств множества X, называется а-конечной, если все X можно представить
как объединение счетного числа множеств из 5R (но не объединением конечного числа
оо
множеств из Щ: X = U Х„, р (Х„) < + оо (V п £ N).
п=1
Пусть а-аддитивиая мера р, определенная иа полукольце Э1 подмножеств мно-
оо , ,
жества X, является а-конечной. Тогда X = I) Вь, где ВЬ£Ч1 (V k g N). Переходя
*=1
от полукольца % к кольцу множеств 94 (92), можно считать, что У = (J В^, где
й=1
Bk П В j = 0 при k Ф j и все Bk € К (¾). Применяя к мере р лебегово
продолжение, получим меру р, определенную иа кольце Я'
Рассмотрим совокупность Я = Я всех таких подмножеств Л С X, что A(\Bk$.
g Я (V k £ N). При этом A = \J (А С] Вь) и поэтому считаем мерой р (А) сумму ряда
оо
Л р (A C\Bk), если он сходится, или считаем ее равной +оо, если ряд расходится.
/4=1
Каждое множество из Я называется измеримым по Лебегу или р-иэмеримым,
а мера р, определенная на 21^,— мерой Лебега.
Теорема 10. Пусть счетно-аддитивная мера р является а-конечной и
определенной на полукольце Я подмножеств множества X. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) построенная система множеств Я образует а-алгебру измеримых множеств,
независящую от выбора непересекающихся множеств Bk шй (9J) и удовлетворяющих
оо
условию (J Bk = X;
fc=i
2) мера р а-аддитивна на Я ;
3) совокупность множеств Лё Я , для которых р (/4)<+оо, совпадает с
Ь-кольцом Я , и на этом кольце исходная мера и новая совпадают.
К

Множество X, счетно-аддитивная а-коиечная мера ц (рассматриваемая иа а-ал-
ге<5ре Я подмножеств множества X и являющаяся лебеговым продолжением ц с
полукольца 9t иа Я ) и а-алгебра Я образуют ммеримое пространство (X, Я ,
ц). Если X £ Я и ц (X) = 1, то измеримое пространство (X, Я^, ц) называется
вероятностным пространством, а мера ц — вероятностной мерой.
6. Примеры наиболее употребляемых измеримых пространств.
1) Мера Лебега в пространстве Rm. Пусть &т — полукольцо всех
параллелепипедов пространства Rm, а цт — мера Лебега, определенная иа 5"т. Тогда
лебегово, продолжение меры fim с &т иа а-алгебру Ят измеримых по Лебегу множеств
пространства Rm образует измеримое пространство (Rm, Я„„ \im).
2) Мера Лебега — Стилтьеса. Пусть на отрезке [а; Ь] числовой оси R задана
монотонно неубывающая функция У, которую для определенности считаем
непрерывной слева. Определим иа полукольце 9с всех полуинтервалов вида [а; f$),
принадлежащих основному сегменту [а; Ь], меру ц^. с помощью равенства
(Via: p) = ^(p)-^(a). (2)
Тогда можно доказать, что эта мера fig,- является счетио-аддитивной на
полукольце 9J (см. пример 8), Поэтому ее можно распространить с помощью лебегова
продолжения до меры Цл-, определенной иа некоторой в-алгебре Я^. :з К (К) ц^-изме-
римых множеств отрезка [а; Ь]. Отметим, что совокупность Я^. содержит все борелевы
множества отрезка [а; Ь]. Меру ц_, полученную таким построением, называют мерой
Лебега — Стилтьеса, отвечающей функции У, а еаму функцию & — производящей
функцией этой меры. Тогда ([a; b], ^0.^, ц,^-) образует измеримое пространство.
Эту конструкцию можно несколько обобщить. Пусть G — некоторое открытое
множество числовой оси R и иа ием задана монотонно неубывающая функция У,
являющаяся непрерывной слева. Для полукольца всех полуинтервалов вида [а; Ь),
содержащихся в G, определим меру у.~г [а; Ъ)= & (Ь) — &" (а). Тогда можно доказать,
что эта мера р,— является a-аддитивной иа этом полукольце и поэтому она допускает
распространение до счетно-аддитивной меры, заданной на некоторой a-алгебре Я^
подмножеств множества G. Таким образом, получаем измеримое пространство (О, Я^,
fi^f). Мера р,— также называется мерой Лебега — Стилтьеса иа G, отвечающей
функции &, а сама & — производящей функцией этой меры. В частности, можно
рассматривать измеримое пространство (R, Я^., р^-). В этом случае, если^— ограниченная
монотонно неубывающая непрерывная слева иа R функция, то получим а-аддитив-
иую конечную меру на всей прямой R. Мера р.^- (R) всей прямой R при этом равна
& (+оо) — & (—со), где 5*" (+оо) = lim F (х) иУ (—со) = lim & (х). Иногда счи-
JC-++oo х-ь—оа
тают, что & (— со) = 0 (это всегда можно получить, рассматривая новую функцию
У (х) — У (—оо)). Если существует интегрируемая на R неотрицательная функция
х
у=р(х), х £ ff? такая, что У (х) = ( р (t)dt (У х £ R), то функцию р называют
—оо
плотностью меры Лебега — Стилтьеса р^г.
Построим меру Лебега — Стилтьеса в пространстве Rm (m >2)ч Пусть G,—
некоторое открытое множество в Rm, а функция &", определенная на G, считается
непрерывной на G. Для открытого параллелепипеда Р пространства D?m
P={*=(ii. .... £m)€Rm:ay< £/<&/. /=1, 2, т)
введем обозначение (а; Ь), где а = (а1г ..., ат), Ь = (blt ..., Ьт) иау< b/, j = 1,
2, .... т. Аналогично для этих же а н Ь запишем [а; Ь\= {х = (|х, ..., £m) £ Rm :
S8

: a; < I, < */, /=1, .... m), [a; 6) = {* = fo gj € R"> : a, < g, < 6,, / =
= 1, .... m}, (a; 6] = {x = (£lf .... |m) € Rm : a, < &, < 6,, / = 1, .... m). Тогда
для каждого параллелепипеда Р <=. G вида (а; 6), (а; 6], [а; 6) или [а; 6] введем
функцию множеств
^(P) = S(-l)v<"^(Cll .... ст),
где суммирование проводим по всем точкам с = (сг, ..., ст), у которых каждое Cft
принимает значение а/ или 6,, a v (с) — число тех координат, для которых с* = aft.
Рассмотрим функции ^", где для любого Р <=. G имеем ц^. (Р) > 0 (эти функции
называются монотонно неубывающими функциями многих переменных). Например, если
функция у = & (|1? .... !„), х = (|j, .... |m) g G, имеет непрерывную смешанную
производную &% , (*), неотрицательную в каждой точке х £ G, то ^" — моиотон-
но неубывающая на G.
Можно показать, что рассматриваемая мера р,— является a-аддитивной на
полукольце 92 всех параллелепипедов вида (а; 6), (а; 6], [а; 6) или [а; 6]. Поэтому с
помощью лебегова продолжения ее можно распространить до счетно-аддитивной меры
на некоторой а-алгебре Я— подмножеств множества G. Элементы a-алгебры 81 ^-
называются измеримыми в смысле Лебега — Стилтьеса (или (^-измеримыми)
множествами. Построенная мера fig,- называется мерой Лебега — Стилтьеса на 21 ~.,
отвечающая функции ^", а сама У — производящей функцией этой меры. Отметим, что а-ал-
гебра 21 ^- содержит все борелевы множества, содержащиеся в G. Таким образом,
(G, 31^, р,—} образует измеримое пространство. В частности, таковым является (0?т,
31«., М'вгЬ Есля положить^" (|It .... |т) = glt ..., |т, то соответствующая мера
Лебега — Стилтьеса р.^. совпадает с мерой Лебега рт и классы 51^ н 2lm также
совпадают.
3) Меры, построенные по весовым функциям. Пусть на некотором фиксированном
измеримом по Жордаиу множестве В <= Кт определена неотрицательная
интегрируемая по Риману или интегрируемая в несобственном смысле функция у = g (х),
х € В. Тогда на кольце К всех измеримых по Жордаиу множеств А с В с помощью
функции g определим меру
р (A) = j ... j g (&, ... , £m) dg,, .. « rf£«.
Эта мера распространяется стандартным лебеговым продолжением до меры р,
определенной на некоторой а-алгебре 31 подмножеств множества В. Система 31 содержит
все борелевы множества, являющиеся подмножествами В. Функция g, определяющая
эту меру, называется весом нли весовой функцией. Таким образом, нами построено
измеримое пространство (В, 31д, р). В частности, можно рассматривать измеримое
пространство (Rm, 31^, р), а если т = 1 и В = [а; Ь], то речь идет о пространстве ([а;
ь), «V ц).
4) Каноническая гауссова мера в пространстве всех последовательностей. Пусть
s—множество всех вещественных последовательностей х= (glf ..., \т, ,..).
Определим в s полукольцо 92 всех множеств А вида
Л={*€з:|,еД,, /=1, 2, .... я), (3)
где Ai, ..., Ап — ограниченные или неограниченные промежутки числовой оси R.
Такие множества А называются цилиндрическими множествами или брусами в s.
Сопоставим каждому брусу А, заданному с помощью равенства (3), меру
(4)
89

Нетрудно проверить, что так введенная мера а> корректно определена. Дело в том,
что одно и то же множество А, заданное в виде (3), допускает и другое
представление. Например,
A = {x<Ls:%labl |П€Д„, 1п+^Щ-
Тогда из формулы (4) следует, что ш (А) ие зависит от представления А в том или
ином виде. Примем без доказательства, что мера а> является а-аддитивной мерой иа
полукольце % (доказательство см. [84, с. 26—30]). Поэтому с помощью лебегова
продолжения она распространяется до счетно-аддитивной меры а>, определенной на
некоторой а-алгебре 31й подмножеств множества s. Таким образом, построено
измеримое пространство (s, 31„, ш). Мера а> называется канонической гауссовой
мерой иа s.
5) Мера Винера. Рассмотрим множество Со [0; я] всех непрерывных веществен-
нозначных функций х = х (/), определенных на отрезке [0; я] числовой оси R, и
таких, что х (0) = 0. Множество A a Q, [0; я] называется цилиндрическим, если
существует такое конечное число точек \ < t2< ... <С /„ из (0; я] и промежутки
Ах, ..., Д„ пространства R, что
А = {х (/)'€ С0[0; я] : х (/,) € А/, / = 1, 2, ..., п). (5)
Тогда совокупность 31ш всех цилиндрических множеств в Со [0; я] образует
полукольцо с единицей Е = Со [0; я]. Сопоставим множеству А, заданному в виде (5), число
(½ (А) = ' f . . .
... J еч,f_!__"£ jbbdzWl) . ^ (6)
in \ ti & tk+l~tk J
Можно проверить, что функция множеств \iw определена на fflw корректно н является
мерой на полукольце %ш. Н. Вннер доказал, что мера (½ является а-адднтнвной
мерой на %ш (более простое, чем у Вннера, доказательство см. в [84, с. 82—84]).
Поэтому ее можно распространить до счетно-адднтнвной меры цш, определенной на
некоторой а-алгебре 91ш Z3 И (9?ш) подмножеств множества Со [0; я]. Эта мера (%
называется мерой Вннера в Q [0; я]. Следовательно, тройка (Со [0; я], 21ш, \iw)
образует измеримое вннеровское пространство.
Мера Вннера Цц, имеет глубокий физический смысл. Так, формула (6) определяет
вероятность тога, что частица, совершающая броуновское движение, в моменты
времени tlt ...,, /„ находится в промежутках Ai, ..., Д„ соответственно. Эта мера
обладает рядом интересных свойств. Например, как и подсказывает ее физическая
интерпретация, множество функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке отрезка
[0; я], образует множество меры нуль. Следовательно, совокупность нигде не
дифференцируемых функций образует множество полной меры, т. е. ее мера равна
единице.
Более подробно об изложенном здесь материале см. в [20; 27; 38].
Примеры решения задач
1. Пусть Л — фиксированное подмножество множества X. Описать
наименьшую а-алгебру Ш с единицей X, содержащую Л.
Решение. Из условия задачи получаем, что искомая а-алгебра
содержит в качестве своих элементов множества X и Л. Поэтому она
содержит и их разность Х\Л. Кроме того, как отмечалось выше, пустое
множество 0 также является элементом искомой а-алгебры. Таким
образом, каждая а-алгебра с единицей X, содержащая множество Л,
должна иметь в качестве своих элементов множества 0, Л, Х\Л и X.
Система .множеств {0, Л, X \ Л, X} образует кольцо, а поскольку она
40

конечна, то она является и а-кольцом. Элемент X — единица этого
кольца. Поэтому искомой а-алгеброй является алгебра 3$ = {0, А,
Х\Л, X}. Отметим, что система множеств {0, Л} также образует а-ал-
гебру, содержащую А, но ее единицей будет множество Л. Эта последняя
а-алгебра является неприводимой по отношению к Л, а а-алгебра $
такой не является.
2. Пусть X = 1R, а 31 — совокупность всех конечных объединений
непересекающихся полуинтервалов вида (а; Ь] числовой оси 1R.
Доказать, что 31 является кольцом, но не а-кольцом.
Решение. Пусть 3¾ — совокупность всех полуинтервалов вида
(а; Ь] числовой оси IR. Тогда система 91 содержит пустое множество 0
(например, 0 = (1; 1]) и является замкнутой относительно
пересечения двух множеств. Кроме того, если для полуинтервалов (с; d] и (а; Ь]
справедливо включение (с; d] cz (a; b), то (а; Ь] представим в виде
объединения непересекающихся полуинтервалов: (а; Ь] = (а; с] (J (с; d] (J
U (d; b]. Следовательно, система множеств 91 является полукольцом.
Отметим, что 91 не образует кольцо. Тогда, согласно теореме 1,
заданная совокупность 3¾ является наименьшим кольцом, содержащим 91.
Следовательно, 3¾ = 3¾ (9?). Покажем, что 31 не является а-кольцом.
Действительно, все множества Л„ = (О; 1 \ (п £ ЭД) принадлежат
кольцу 31, а их объединение U (0; 1 = (0; 1) ¢8¾.
3. Пусть/ — отображение множества X в множество Y. Для любой
непустой системы S подмножеств Y рассмотрим совокупность /-1 (S)
всех полных прообразов множеств В £ S, т. е. f-1 (S) = {f~~l (В) : В £
£ S}. Доказать, что справедливы следующие утверждения:
а) если S — кольцо, то f~l (S) также кольцо;
б) если S — а-алгебра, то f~l (S) также а-алгебра.
Решение, а) Отметим, что совокупность множеств /-1 (S) является
не пустой, поскольку S Ф- 0. Рассмотрим множества Ах и Л2,
принадлежащие /-1 (S). Тогда существуют такие элементы Вх и В2 кольца S,
что A/ = /_1 (В/) (/' = 1, 2). Поэтому, на основании соответствующих
свойств полных прообразов, заключаем, что Лх (J Л2 = Г~п (Bt (J В2)>
Аг Л Л2 = ГХ (Bi Л В2) иЛ!\Л2 = Г~1 (В,\В2), которые легко
проверяются. Следовательно, множества Ai (J Л2, At |~) Л2 и Лх\Л2
также принадлежат/-1 (S). Отсюда получаем, что симметрическая разность
ЛхДЛз = (Лх\Л2) (J (ЛзХЛх) также является элементом системы
множеств f~l (S). Значит, класс множеств f~l (S) образует кольцо,
б) Пусть Е — единица алгебры S. Тогда, согласно определению,
множество Е содержит все элементы В £ S. Поэтому A cz f~l (Е) для
каждого Л £ /-1 (S). Тогда j~l (Е) является единицей кольца f~x (S),
а совокупность f~l (S) образует алгебру. Осталось показать, что f~ (S)
является а-алгеброй. С этой целью рассмотрим бесконечную
последовательность множеств Ak = fl (Вк) алгебры f-1 (S), где Bk £S (VAC
£ ^J). Используя свойство полного прообраза объединения бесконеч-
41

ного числа множеств, получаем
М* = jj.r'^-r'fu вк)=г1(В),
где B= (J Вк gS. Таким образом, (J /4ft£/ (S), и поэтому
совокуплю *=i
ность f~l (S) образует а-алгебру.
4. Привести пример кольца, которое было бы замкнутым
относительно счетных пересечений (т. е. было бы 6-кольцом), но не было бы
а- кольцом.
Решение. Покажем, что совокупность Шт всех ограниченных,
измеримых по Лебегу множеств пространства IRm является одним из
примеров искомого кольца. Действительно, как отмечалось в § 1,
система множеств ЭДт образует кольцо. Известно, что если (Ak)f=i —
произвольная последовательность ограниченных, измеримых по Лебе-
гу множеств в Щт, то их пересечение f) Ak является измеримым мно-
жеством и к тому же ограниченным. Поэтому совокупность %'т
образует б-кольцо. Теперь рассмотрим последовательность замкнутых
параллелепипедов Р (я) = [—п; п] х ... X [—п; п] (п £ ЭД)
пространства JR!". Для каждого п £ ЭД параллелепипед Р (п) £ 2d, но тем не ме-
нее (J Р (п) = IRm £ 2lm. Следовательно, б-кольцо 2lm не является
а-кольцом.
Другими примерами искомого кольца могут бмть совокупность
всех конечных подмножеств некоторого бесконечного множества X, а
также класс всех ограниченных множеств пространства IRm.
5. Пусть X — множество всех рациональных чисел отрезка [0; 1],
а система множеств 9¾ состоит из пересечений X с произвольными
интервалами (а; Ь), отрезками [а; Ь] или полуинтервалами [a; b), (а; Ь]
сегмента [0; 1], где а ^ Ь. Если множество Аа<ь £ 9? совпадает с
одним из множеств (а; Ь) Г) X, [a; b) f) X, (а; Ь] П X и [а; Ь] |") X, то
Ц (Аа,ь) = Ь — i. Доказать, что функция множеств ц,
определенная на 9J, является мерой, но не а-аддитивной мерой.
Решение. Покажем, что система 9J образует полукольцо. Пусть
Aa,ii и Ac<d — произвольные множества совокупности 9¾. Например,
Аа,ь = (а; Ъ) П X и ACid = [с; d) f) X. Найдем их пересечение
Аа,ь П &c,d- Еслиd ^.а или с~^Ъ, то Аа,ь П Ac,<t = 0 (Е 9¾. В
других случаях Аа>ь П Ас4 = /4а,р, где а = max (а, с), a р" = min (Ь,
d), т. е. пересечение /4а,б f) ^crf также является элементом кольца
9J. Если множества Ла,& и Ac,d имеют иной вид, то аналогичные
рассуждения также приводят к тому, что Аа,ь Г) Ac,d £ 9?. Таким
образом, пересечение двух произвольных элементов системы 9J является
элементом этой совокупности. Пусть множества Аа,ь и Ас,а из 9¾
таковы, что Аа<ь с= Ас<а. Например, для определенности считаем Аа,ь =
= [а; Ь] П X, a ACtd = (с; d] f) X. Тогда множество /4c>d можно
представить в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств!
42

Ac* = Аа.ь U ((с'> а) П X) [J ((6; d] f) X), принадлежащих
совокупности 9¾. Аналогичное представление множества ACt<t в виде
непересекающихся элементов системы 9¾. одним из которых является Аа,ы
справедливо во всех остальных случаях выбора Аа%ь и Ac<d. Таким
образом, рассматриваемая совокупность 9с является полукольцом.
Докажем, что функция множеств fx обладает всеми свойствами
меры, определенной на полукольце 92. Поскольку, согласно определению,
все значения функции и вещественны и неотрицательны, то
остановимся на проверке ее аддитивности. Пусть Аа,ь, =* А/ П X (/= 1, ..., п),
где Ду с= [0; 1] суть промежутки, концами которых являются
числа ah Ь/,— попарно непересекающиеся множества полукольца 92,
п
причем (J Аа ь. = Ааь также принадлежит 9с. Отсюда следует, что
промежутки Ду попарно не пересекаются и (возможно после новой
нумерации промежутков ДЛ а = щ_ ^ Ьх — (ц <! Ьг = а3 ^ ... = ая <J
< Ьп = Ь.
Поэтому справедливо равенство
л
Р(Аа,ь)= Ъ — ^=^-^ + ^-^+ ••• + b^— ап «- V ц (Ла/1Й/),
доказывающее,'что функция fx конечно аддитивна. Следовательно,
функция множеств fx обладает всеми свойствами меры.
Отметим, что если множество А состоит из одной рациональной
точки г отрезка [0; 1], т. е. Л = {г}, то А = [г; г] f) X £ 92, и поэтому
fx (Л) = 0. Множество X является счетным: X = {ги г2, ..., г„, ..,}.
со
Тогда X = (J {/•„}, и если мера ц была бы сх-аддитивной, то fx (X) =»
л=1
= Ц Ц {М = 0. Однако X = [0; 1] Г) X, и поэтому [х (X) = 1. Полу-
ченное противоречие показывает, что мера fx не является
счетно-аддитивной на 92.
6. Пусть X = ЭД — множество натуральных чисел, а 92 —
совокупность всех конечных подмножеств (включая и пустое 0)
множества X. Для каждого Л £ 92 определим число fx (Л), равное количеству
элементов множества Л. Построить лебегово продолжение меры fx.
Решение Совокупность множеств 92 является кольцом, а поэтому и
полукольцом. Функция множеств fx, определенная на 92, удовлетворяет
всем условиям меры. Поскольку объединение счетного числа попарно
непересекающихся множеств кольца 92 никогда не принадлежит 92,
то можно считать, что мера fx является а-аддитивной. Отметим, что ме-
ра fxcx-конечна. Действительно, множество X = (J {п) и каждое мно-
n=i
жество \п) принадлежит 92. Поэтому, согласно теореме 10, эта мера ц
имеет лебегово продолжение на некоторое сг-кольцо подмножеств
множества X. Опишем это продолжение.
Кольцо 92 не имеет единицы. Поэтому лебегово продолжение меры
убудем осуществлять согласно п. 4. Рассмотрим произвольное подмно.
43

жество В множества X. Вначале опишем все те покрытия [)AkzD В
к
множества В элементами Ак кольца 9i = 9ft (9¾), для которых
£ fi (Ak) < + оо. Поскольку для произвольного непустого множества
k
Ak его мера fi (Ak) ^ 1, то такие покрытия осуществляются только
конечными наборами.Но объединение конечного числа элементов
кольца 9J снова принадлежит 9J. Таким образом, fi* (В) = inf fi (А), где
inf берем по всем элементам А кольца 9J, содержащим В. Отсюда
следует, что множество В является конечным и fi* (В) = fi (В). Докажем
что fi-измеримыми в смысле Лебега будут только множества кольца 9J.
Действительно, произвольное множество В £ 9J является fi-измери-
мым, поскольку для каждого е > 0 имеем fi* (ВДВ) = 0<е.
Однако, если множество В бесконечно, то для произвольного конечного
множества А £ 9J симметрическая разность ВДЛ есть бесконечное
множество, и поэтому fi* (ВДЛ) не может быть меньше любого е >. 0.
Следовательно, система 91^ всех fi-измеримых множеств совпадает с 92,
а мера Лебега — с исходной мерой fi.
Поскольку мера fi на 92 является сг-конечной, то можно расширить
понятие измеримости, допуская для меры fi бесконечные значения (см.
п. 5). А именно, представим множество X в виде объединения попар-
оо
ио непересекающихся множеств кольца 9?, например X = [J \k].
Тогда пересечения произвольного множества Л с X с одноточечными
множествами (£}, k £ ЭД, являются конечными множествами, т. е.
элементами а-кольца 91^. Поэтому, согласно определению, множество А
оо
ц-измеримо и fi (Л) = Yi Ц (А П {*})• Отсюда, если Л — конечное
fc=i
множество, то его мера fi (Л) равна числу его элементов. Если же Л —
бесконечно, то fi (Л) = + оо.
Следовательно, класс 91ц, всех fi-измеримых по Лебегу множеств
совпадает с совокупностью всех подмножеств множества X, а а-адди-
тивная мера ц на нем определяется тем, что fi (А) равна числу
элементов Л, если Л — конечно, и fi (Л) = + оо, если Л — бесконечно.
7. Пусть на отрезке X = [0; 1] задана неотрицательная функция
/ (х). Для каждого конечного множества Л = {х1у ..., хп) точек отрез-
п
ка [0; 1] положим ц (Л) =- ]£ / (¾). Доказать, что функция множеств fi
4=1
является счетно-аддитивной, но не а-конечной мерой.
Решение. Рассмотрим систему 92 всех конечных подмножеств
множества X. Тогда 91 является кольцом. Функция множеств fi вещест-
веннозначна и неотрицательна на 91. Очевидно, функция является
аддитивной на кольце 91. Следовательно, fi обладает всеми свойствами
меры. Более того, функция множеств fi а-аддитивна. Действительно,
оо
если A = U Ak, где Л и все Ак являются элементами кольца 92, Ак f]
П Л/ = 0, если к Ф /, то начиная с некоторого номера N множества,
44

i4ft= 0. Поэтому A = (J Ak и, согласно свойству конечной аддитивности
N оо
меры ц, ц (Л) = £ ц (i4ft) = Ц ft М^).
Покажем, что мера ц не является а-конечной. В противном случае
отрезок [0; 1] можно было бы представить в виде объединения
счетного числа множеств из кольца 9? (т. е. конечных множеств). Но
объединение счетного числа конечных множеств является счетным
множеством, а отрезок fO; 1] — несчетное множество. Полученное противоречие
доказывает правильность сформулированного утверждения.
8. Пусть множество X является отрезком [а; Ь] числовой оси IR,
a 92 — совокупность всех полуинтервалов вида [а; В),
принадлежащих основному сегменту la; Ь]. Определим на 92 функцию множеств
fi^rta; В) = 3 (В) — 3 (а), где у = 3 (х) — монотонно
неубывающая непрерывная слева функция, заданная на [а; Ь]. Доказать,
что fi^r является a-аддитивной мерой на полукольце 92. Найти
(V (а'> Р)> (V (а'< Р] и (V [а; Р]-
Решение. Как и в примере 2, можно показать, что совокупность 92
является полукольцом множеств отрезка [a; Ь]. Поскольку функция
3 монотонная, то ц^г — неотрицательная. Покажем, что функция
п
множеств ц^г аддитивна. Пусть [a; р) = (J [ak; (3ft), где все полуинтер-
k=\
валы [ak; рА) cz [а; Ь] попарно не пересекаются. Тогда (возможно,
после некоторого изменения нумерации этих полуинтервалов) a = ax <
< Pi = «а < Ра = «а < .. < Р„ = Р, и поэтому
(V [а; р) = 5Г (р) - 5Г (а) = ЗЮ~3 Ы + 3 (Р-0 -
- & (a„_i) + • • • + fir (рх) - gr (aj = £ (i^r [a,; p*).
Таким образом, функция множеств ц^г действительно является
мерой, определенной на полукольце 92. Нетрудно проверить, что эта
мера монотонна.
Установим а-аддитивность меры ц^-. Вначале докажем, что ц^г об-
оо
ладает свойством счетной полуаддитивности. Пусть [а; (3) с (J 1аА;
6*) с= [а; ft], где промежутки [ak\ 6А) попарно не пересекаются.
Поскольку Цдг [а; Р) = 3 (Р) — #" (а) и функция #" непрерывна слева,
то для каждого е > 0 найдется такое б > 0, что 3 (Р) — ^ (Р — б) <
< е. Аналогично для каждого к £ ЭД найдем такие бА > 0, чтоЗ (а^) —
— ^ (ak — 8k)<i—^-. Для новых промежутков имеем очевидное
включение: [а; р — б] с= (J (ak — 8k; фк). Поэтому, согласно теореме
Гейне — Бореля, из этого бесконечного покрытия можно извлечь
конечное подпокрытие, т. е. существует п £ ЭД такое, что [а; Э — Ь] сг
45

<= U (ak — бь; Р*)- Отсюда следует включение [а; р — б) с= U [ak —
- б*; Р*>-
Если подобрать Ьк столь малыми, что полуинтервалы [ак — bk\ PJ
{к = 1,2 п) попарно не пересекаются, то на основании свойств
аддитивности и монотонности ц^- получим
Я (Р -б) - 3- («X X [*" (Р*) - У («* - б*)] <
<£ [*" (?*)-#■ («*-б*)].
Воспользовавшись выбором б и Ьк, имеем
li^la; р) = #"(р)-#>)<£ [#"(р,)-#"К)]+2е =
= f (V [«*: Р*] + 2е.
Из последнего неравенства, устремляя е к нулю, находим ц^г [а; Р) ^
о*
^ 1! M'^ff0'*; Рь). т- е- мера Лебега — Стилтьеса и«- на [а; Ь] действитель-
но является а-полуаддитивной.
Для доказательства ее счетной аддитивности допустим, что
оо
[а; Р) = (J 1а*; Р*)> гДе \-аь Р*) попарно не пересекаются. Тогда
для произвольного натурального п£ЭД справедливо включение
п
U [«*; Р*) а [а; Р), из которого в силу монотонности и аддитив-
п
ности меры fi.gr имеем ц^г [а; Р) ^ £ f^r [аА; рА).
Если в последнем неравенстве устремить п к + оо, то (%г [а; Р) ^
о*
> X ^ 'а*; Р*)* Однако> согласно свойству а-полуаддитивности,
имеем (i^rla; Р) ^ ^ (½^¾ рА). Эти два последних неравенства
приводят к равенству
(V 1«; Р) = V (V [о»; Ра),
*=i
показывающему, что ц^- является a-аддитивной мерой на 9¾. Поэтому
на основании теоремы 6 она допускает продолжение на систему 91^
всех fi^r-измеримых множеств отрезка [a; Ь].
Прежде чем найти меры множеств (а; р), (а; р] и [а; р], докажем,
что они fijr-измеримы. Для этого представим их с помощью операций
46

объединения и пересечения посредством множеств вида la, р), а именно:
(«; Р)==£1[а+-г: Р)'
[а; Р^Д^-х5 Р + х)- (а; Р] = Д,
а + Т-5 PJU{P>-
Согласно свойству непрерывности меры ц^г на %^, имеем:
(V К Р) ^Нт (V [а + -у; р) = Нт [#" (р) - У (а + -j-)] -
= ^(р)-^(а + 0),
1
(V [а; Pj = Ит |ijr Г а — -j-; р +
6
lim
^(р + х)-^(а-х)] = г(Р + °)-^(а)'
^(а; р] =Цт|1 [« + -L; р) + (V {0} = £" (р) -Г (а +0) +
+ (^{р}.
Осталось найти меру ц^г(Р} точки р. Из представления (р
#-(р+_!_)_ «Г (Р)
— П Р; Р +-т- следует, что fi^-{P} =Нт
к=\ L * / ft-«о
-^(Р + о)-Г(р).
Следовательно,
W(«; p]=^(p)-^(a + 0) + ^(p+0)-^"(p) =
= F(P+0)-#*(a + 0).
Замечание 1. Отметим, что, в отличне от меры Лебега fx2 на [а; Ь], мера
Лебега — Стилтьеса fi~- отдельной точки не обязана равняться нулю. Например, если и*
отрезке f—1; 1] задана неубывающая непрерывная слева функция
Г—1, — 1<*<0,
^=( 1,0<,<1,
то (i^f. {0} = Т (0 + 0) — Т (0) = 1 — (—1) = 2. Тем более, не всякое счетное
множество сегмента [а; Ь] имеет ц^.меру нуль.
Замечание 2. Аналогично доказывается счетная аддитивность меры Лебега —
Стилтьеса ц^., определенной на полукольце 9J всех конечных промежутков вида
fa; f$) числовой оси R.
Замечание 3. Если бы рассматривалась совокупность 92 всех полуинтервалов
вида (а; 0] (отрезка [а; Ь] или всей числовой оси R), а функция Т, порождающая
меру Лебега — Стилтьеса ц^, была непрерывной справа, то аналогично мера ц^-
также была бы a-аддитивной на %. В этом случае полагают (1^,. (a; f$] = & (Р) —
— У (а). В некоторых учебниках рассматриваются именно такие функции &,
порождающие меру ц^г-.
9. Пусть 31 — совокупность всех конечных полуинтервалов вида
[а, р) числовой оси IR, a W — неубывающая непрерывная слева на 1R
47

функция. Определим на 9? меру Лебега — Стилтьеса ц^ равенством
ц^г la; р) = 3" (Р) —#~ (а). Доказать, что класс %$г всех ц^-измеримых
множеств, полученных с помощью лебегова продолжения меры ц^,
совпадает с совокупностью 2R всех подмножеств числовой оси IR, если»
,0, —с»<л;<0)
а) ^ (*) =
6)3(х) =
1, 0<х< + оо;
0, — oo<*s^0,
— [— х], 0<х<2,
5, 2<х<-|-оо.
Найти меру Лебега — Стилтьеса ^ (А) для каждого A £ 2".
Решение, а) Из определения меры ц^ на полукольце 9i следует, что
ц^г [a; Р) = 0, если полуинтервал la; р) не содержит точку х = 0, и
(*5г la; Р) = 1. если 0 £ |а; р). Распространим меру ц^г на кольцо 9¾ (9¾).
л
Если Л £ 9¾ (91), то, согласно теореме 1, имеем А = (J [a^; pfe), причем
полуинтервалы lafe; pfe) попарно не пересекаются. Поэтому, если 0 £ А,
roOg; lafe;Pfe) (£ = 1 п)и\1дг(А)= £ ц^ laft; pft) = 0. Если 0g Л, то
имеем только одно из множеств [afe; (ЗД содержащее х = 0, а тогда
ц^г- (Л) = 1. Следовательно, мера ц^- каждого множества Л кольца
9¾ (Ж) либо равна единице (если 0 £ Л), либо равна нулю (если 0 g Л).
Поскольку мера ц^г является a-аддитивной на 92 (см. пример 8), то для
нее можно построить ее лебегово продолжение.
С этой целью найдем вначале внешнюю меру множеств А £ 2R.
Напомним, что н.^г(Л) = inf ][] fijr (Ak), где нижняя грань берется повеем
k
конечным или счетным покрытиям (J Ак множества Л элементами Ak
к
полукольца Ш. Если Л = (0; + оо), то, рассматривая покрытие (0;
+ °°>= U
-j-; k\, имеем ц^-(0; + оо)< £ ц^. _-, k) = 0.
Следовательно, (^(0; + с») = 0. Аналогично, ц^-(—оо; 0) = 0. Если же
рассматривать множество Л ={0}, то для каждого его покрытия (J Ak
k
множествами Ak £ 9¾ имеется хотя бы одно из них, содержащее точку
х = 0. Поэтому £ (^(Л^)^ I, т. е. ).1^-(Л )!>1. Далее пользуясь покры-
тием Л = {0} с: [— 1; 1], получаем, что ц^- (Л) ^ 1. Таким образом,
в действительности ц^- ({0}) = 1. Рассмотрим теперь произвольные
множества Л £ 2R. Из свойства монотонности внешней меры ц^- (состоящем
в том, что если Лх с: Л2, то ц^- (Л^ <; ц^- (Л2)) следует, что ц^- (Л) = О,
если Л cz (0; + с») или А а (—оо; 0). Если же {0} с: Л, то ц^- (Л);>
4«

^ 1. Кроме того, для такого Л, рассматривая, например, покрытие
Л с: (J \k; k + 1), имеем fijr (Л) <; 1. Следовательно, если 0 6 Л, то
ц>(лГ= 1.
Покажем, что произвольное множество Л £ 2R является
(^-измеримым. Действительно, если Л с: (0; + оо) или Л с: (— с»; 0), то
(½7- И) = 0, а поэтому Л fx^-измеримо и (1^г(Л) = 0. Если же 0£ Л,
то из неравенства [х^-(ЛД[—1; 1)) = (х^г((Л \ [— 1; l))(jl—1; 1)\
\Л))=0<Ге, справедливого для каждого е ;> 0, заключаем, что
множество Л является ц^-измеримым и р^ (А) = ц^- (Л) = 1.
Замечание. Этот пример также показывает, что мера Лебега — Стнлтьеса у.^?
существенно отличается от меры Лебега fij на R. В самом деле, как отмечалось в
§ 1, всегда существует fij-неизмеримое подмножество (^-измеримого множества
положительной меры. В примере 9 все подмножества числовой оси R являются (t~-
нзмернмымн. Кроме того, (ij-мера точки (и даже произвольного счетного множества)
пространства R равна нулю. А в рассматриваемом примере (i~- ((0}) = 1.
б) Из определения меры ц^г на полукольце 92 следует, что fx^. [а;
В) = 0, если полуинтервал [а; В) не содержит точек 0, 1 и 2. Если 0 €
€ [а; В), но точки х = 1 и х = 2 ему не принадлежат, то (х^г [а; В) = 1.
Аналогично, если 1 £ [а; В), но 0 £ [а; В), 2 g [а; В), то (х^г [а; 6) = 1.
Наконец, если 2£ [а; В), но 0 £ [а; В) и 1 g: [а; Р), то (х^г [а; В) = 3.
Далее, мера (х^г являеся а-аддитивной на полукольце 92 (см. пример 8)
и поэтому можно построить ее лебегово продолжение. Для этого
вначале она стандартным образом продолжается на наименьшее кольцо
91 (92), содержащее 92.
Рассмотрим теперь внешнюю меру (х^-. Если вначале взять
множество Л = (— с»; 0), то из равенства Л = (J
*=i
— k; —J.) имеем (х|г(Л):
k
\ f^r — k\ —r-| = 0, т. е. (х^г (Л) = 0. Аналогично, внешние меры
гервалов (0; 1), (1; 2) и
Поскольку полуинтервал
интервалов (0; 1), (1; 2) и (2; + оо) также равны нулю. Найдем fx^-({2}).
Y', -g-j содержит точку х =2, то (х^-({2})^
^ 3. Однако, каждое покрытие {2) с: (J Ak, где все Ак £ 92, обладает
k
тем свойством, что V (х^г (Л*,)>3. Поэтому согласно определению внеш-
к
ней меры (х^г ({2}) > 3 и, таким образом, в действительности (х^-({2}) =
= 3. Аналогично приходим к выводу, что fx^- ({0}) = fx^- ({1}) = 1.
Как и в случае а), нетрудно получить, что если Л не содержит ни
одной из точек х = 0, х = 1 и х = 2, то (х^- (Л) = 0. Если множеству А
49

принадлежит хотя бы одна из точек х = 0, х = 1 или х = 2, то
2
Н'ХЛ) = £ Л. гДе Ро = Pi = 1. а /?2 = 3.
Поскольку каждое множество внешней ц|г-меры нуль fi^r-измеримо,
то произвольное множество А £ 2", не содержащее точек х = 0, х =
= 1 и х = 2, является ц^-измеримым и ц^г (/4) = ц^- (Л) = 0. Если А П
2
П {0, 1, 2} =^= ф, то оно также ц^-измеримо и ^(Л) = £ /?А. Покажем
последнее, рассмотрев для примера случай, когда 1 £ А и 2£ Л, но
0 g Л. Тогда, поскольку (i^-l Л A -^-; -у)) = 0, множество Л
является fi^r-измеримым и (1^г(Л) = ц|г (Л) = /?х + /?2 = 4. Аналогично
рассматриваются остальные случаи.
Ю.*ТТусть 9¾ — совокупность всех конечных промежутков
числовой оси IR. Определим на 9¾ функцию множеств
ц (Л) = —Х— f e~x'dx (V Л б 91)
(если Л = ^ или Л состоит только из одной точки, то считаем ц (Л) =»
= 0). Доказать, что функция ц является а-аддитивной мерой на 9¾.
Найти fi(IR) и (i ([0; + с»)).
Решение. Совокупность 9t образует полукольцо, а функция ц
принимает только действительные и неотрицательные значения. Покажем,
что fi — аддитивная функция множеств. Если промежуток Л представ-
п
лен в виде объединения A = [) Ak конечного числа непересекающихся
k=i
промежутков Ак числовой оси IR, то по свойству аддитивности
интеграла имеем
С п С п
|i (Л) = -Ы tr*dx = £ -^ e-^-dx = S |i (Л,).
Следовательно, функция множеств ц является мерой, определенной
на полукольце 9t. Докажем, что она а-аддитивна. Пусть промежуток
оо
Л представлен в виде объединения Л = (J Ak счетного числа попарно
непересекающихся промежутков Ak. Из свойства а-аддитивности меры
о*
Лебега fxx следует, что (½ (Л) = £ M-i (^*)- Поэтому для каждого е> 0
fe=i
найдется п0 £ ЭД, что при N>n0 i! (½ (Л J <е. Рассмотрим представ-
I N \ _ N
ление промежутка Л в виде Л = I (J Л J (J Лм, где Лм = Л \ (J Лй —
\fe=l / ha=\
измеримое поЖордану множество (как разность таковых). Тогда мера
Б0

Жордана Hi (А) оценивается следующим образом;
(½ (Ак) = (½ (Лк) = (½ ( И Л J = £ Hi (Ak) < е.
Поэтому, согласно свойству аддитивности интеграла, имеем
N N
И^) = Е т4=- f *-*"<** + "IT- f *-*'dx = £ И^*) +
1
=- f er*ldx.
я J
AN
Оценим соответствующий интеграл
AN
Таким образом, для каждого е>0 найден номер п0 такой, что
как только N>rt0, то
ИЛ)-2 И (Ак)
<
оо
Поэтому И-<4) = 2 И^ь)» и> следовательно, мера ц,
порождение 1
ная весовой функцией, является а-аддитивной на полукольце 9¾. Эту
меру можно распространить, используя лебегово продолжение меры,
до некоторой счетно-аддитивной меры ц, заданной на а-кольце йд
р.-измеримых множеств. Поскольку каждое открытое множество G
числовой оси можно представить в виде объединения не более чем
счетного числа интервалов, то G £ ЭДц,. Тогда и каждое замкнутое
множество F с 1R является ц-измеримым. Поэтому произвольное борелево
множество числовой оси IR (х-измеримо, и поскольку IR = (J [—k; к],
то
k +оо
ИК) = 11т И— k; k] = lim-4=- ( e-xtdx=>-4=- С e~x'dx == 1.
*-°о *-ос V" ij V" _«,
Поскольку бесконечный промежуток [0; + оо) является боре-
левым множеством, то он также ц-измерим. Из представления
[0; + оо) = {о} и (0; +оо) = {0} и и, [4-; k
следует, что
к +аа
И№; + °°)) = П{0}) + Пт-^ С er-*'dx=-}= Г er*dx~\-.
*-юо У n •( fn } *
T
81

11. Пусть у = g(x), х£ IR, —фиксированная положительная функ-
ция, обладающая свойством ] g (х) dx = 1. Рассмотрим на множест-
ве s числовых последовательностей полукольцо 91 всех
цилиндрических множеств А вида A = {х = (ii, .... In, • ••) (Е s: lt £ A,, / — 1, ...
..., n), где Aj — промежутки числовой оси IR. Для каждого такого мно-
п р
жества А положим ц (Л) = П ) 8 (•*) ^*- Доказать, что функция
/=i Д/
множеств (х является мерой, определенной на полукольце 9¾.
Решение. Отметим, что функция множеств ц определена на 91
корректно. Действительно, если рассмотреть такие два представления
цилиндрического множества А, что
Л = {*€*:£/€Д/,/=1, .... л} =■{*€*: £i€Ai Ь,€ Д„, £«+i€R}.
то, с одной стороны, fi(/4) = П J g-(*)d*, а с другой —
п
п
/=1
f
д/
/=
g (*) dx ■
-•д,
+оо
ь
—оо
(jc) dx =
п
: П
/=1
f
д/
Функция множеств fi принимает только действительные и
неотрицательные значения. Покажем, что она аддитивна на 9t. Пусть цилинд-
т
рическое множество А £ 9t представлено объединением А = [} Ak ко-
нечного числа попарно непересекающихся множеств Ak £ 9t.
Поскольку множеств Ak{k = 1, .... т) конечное число, то существует такой
номер п0, что каждое Ак можно представить в виде: Ak = {х £ s: £/ £
£ Д(/°, / = 1, ..., п0}, где Д/*' — некоторые промежутки числовой оси.
Множество А также представим в виде А = {х £ s: I, £ Д/, / = 1, ...
..., я0}, где Д,-— промежутки в IR. Тогда
Дх X • • • X Д„0 = О (Aife) X • • • X Д£>),
причем промежутки Д^' X ... X Дп] пространства IR"0 попарно не
пересекаются. Поэтому, используя свойство аддитивности интеграла
в пространстве IR"0, имеем
(х (Л) = J ... j g (Xl) ...g (хПа) dx! ... dxnt =
д,х-.хд„0
= E J • • • J g (*i) ...g (*„„) dXi ... dxno = Ц (i (Ak).
Следовательно, функция множеств ц, определенная на полукольце
92, действительно является мерой.
52

Замечание. Можно показать, что мера fi является а-аддитивной на 9t. В
частности, каноническая гауссова мера а> является счетно-аддитивной на 92. Поэтому ее
можно продолжить до а-аддитивной меры <а, определенной на некоторой ст-алгебре 21^
подмножеств множества s.
12. Доказать, что множество Acs является ю-измеримым, и
найти и (Л), если:
а) A = {x£s:\ln\^V\n(n + 2), п£ы)\
б) A = {x£s:\ln\^V\n(n+2) + 1, п£ы}-
Решение, а) Если рассмотреть последовательность ю-измеримых
цилиндрических множеств /4N = {x£s: \ g„] <lKln (п + 2), l^n^N},
то А = f) /4N, и поэтому А является также ю-измеримым.
N=1
Кроме того, согласно свойству непрерывности меры ш, имеем
a (A) = lim ш (An). Следовательно,
N-*oo •
V'ln (n+2)
со (Л) = lim fl I -4=- f e-*'dJt
0
Поэтому надо исследовать на сходимость бесконечное произведение
2
Для этого вначале докажем, что при t> ,=- справедливы
неравенства
-н»
ТГ«-''< J «-*'<**<-^-е-". (7)
из которых как следствие получаем
t
1 -L-e-'^-H^f e-*Vf*<l U-«-". (8)
>Лп* "Кя # 2/я/
-}-со -|-оо
Действительно, \ e-"'dx<. \ -£- e~x'dx = -^- е-'2-
Кроме того, касательная к кривой у = е-** в точке х = t имеет
угловой коэффициент —2ter~i' и, когда t> ,.■ , она проходит ни-
же графика функции. Эта касательная пересекает ось абсцисс в
точке х = *~^--ог- Поэтому площадь треугольника, ограниченного
Касательной, линиями х — t и у— 0, равна -ц- е~р. Следовательно,
e~'x'dx > -Т7- йг*'. Поэтому неравенства (7) доказаны.
63
/

Используя неравенства (8), оценим общий член рассматриваемого
бесконечного произведения. Имеем
V in (п+2)
1 р= ' <-|=^ [ e-*'dx<l —
/я (/г+ 2)/In (/г+ 2) ^ /я I
1
2 /я (п + 2) /in (л + 2)
Поскольку ряд У -Тг=-—, лч .——-==- расходящийся, то иссле-
^1 Кя (л + 2) у 1п (л + 2)
дуемое произведение
является расходящимся к нулю. Поэтому множество А имеет <о-меру
нуль, т. е. to (Л) = 0.
б) Как и выше, множество А является «-измеримым и
Vln (rt+2)-f-l
П / 2
«Ч .
Поэтому исследуем на сходимость бесконечное произведение
Vln (л+2)+1
|(Л) = Нт П (-^=- [ ег*'йх
П. тг I -*'•
Воспользовавшись неравенствами (8), оценим общий член этого
произведения
e-2VlM^+2)-l 2 Vmopj+l
/я (л +2) (/in (л +2)+1) /я 0J
e-2Vln (n+2)-l
2 /л (л + 2) (Vln (/г + 2) + 1)
S°° --2Vln (rt+2)
,_, , является сходящимся, поскольку
„=1 (/г+ 2) (/In (/г+2)+1) '
«S
справедливо неравенство
g-2Vln (п+2)
(/1 + 2)(/^(/1 + 2)+17^ 4 (In (/г + 2)) (/г+ 2) (/In (n+ 2)+1) *
Поэтому исследуемое бесконечное произведение сходится и г
«, / Vln(«+2)+l
й(Л) = П у=- j e-*Vfc|.
Следовательно, to (А) > 0.
¢4

13. Вычислить меру Винера множества A = {jt(0GCo[0; я]: л; (-^-) <;
<0, *(я)>0}.
Решение. Множество А является цилиндрическим, и поэтому оно
цш-измеримо. Его мера вычисляется по формуле (6), в которой следует
положить п = 2, ti = -g- . tt = л, а Дх = (— оо; 0) и Д2 = (0; + с»).
Следовательно, мера Винера множества А определяется соотношением
... 2 f Т ( i? + (§2 — Si)2 I .t .,
Vw (Л) = -jr j^ j exp ' -^ dt&r
В последнем интеграле перейдем к полярным координатам |2 =
<, л
= г cos ф, Si = г sin ф; при этом угол ф изменяется от „— до
0 (IV четверть), аг^О. Поэтому
о +~
2 Г Г I 2 ^ sina(p + cos2<p — 2 sin ф cos ф
1*»И) =-^5- J d(P J expj —г -я"
e
rdr
= "2T J
d<p
2 sin2 ф + cos2 ф — 2 sin ф cos ф
и
dy
cos2 ф (2 tg2 (p + 1 — 2 tg ф)
= ~2lT J '
dt
2t3 + 2/+1
14. Доказать, что множество A = {x = x (t) £ C0 [0; я] : * (t) ^
^ 0, V t £ [0; я]} является (хш-измеримым множеством винеровского
Пространства и оно принадлежит наименьшей а-алгебре, содержащей
все цилиндрические множества.
Решение. Пусть {tlt ..., tn, ...} — последовательность всех
рациональных чисел отрезка [0; я]. Поскольку все функции пространства
Q, [0; я] непрерывные, а рациональные точки всюду плотны на
сегменте [0; я],то исследуемое множество можно представить в виде
Л-{* = *(*)€С0[0; n]:x(ta)^0,Vn£n}-
оо
Поэтому справедливо равенство А = f) {* = *(0 G О, [0; я]:х (/„) > 0}.
Но каждое из множеств {х =* х (t) £ С0 [0; я]: х (ta) > 0} является
объединением счетного числа цилиндрических множеств
{* = дс(0€С[0;я]:дс(У>0}= U {*-*Ю€С,[0; я] :()<*(*„)<*}.
55

Следовательно, множество А представляется в виде
/1=0 U {* = *(*)€С0[0; я] :0<* (*„)<*},
откуда следует цш-измеримость А и то, что оно принадлежит
наименьшей а-алгебре, содержащей все цилиндрические множества.
Предположение о том, что исходная мера fi задана на полукольце,
а не на некоторой произвольной системе, существенно для
однозначности ее продолжения. Следующий пример подтверждает это.
15. Рассмотрим в единичном квадрате X = [0; 1] х [0; 1]
плоскости IR2 систему S вертикальных и горизонтальных прямоугольников,
у которых длина или ширина равна единице, и припишем каждому
такому прямоугольнику меру fi, равную его площади. Указать хотя бы
два разных продолжения этой меры на алгебру, порожденную S.
Решение. Проверим, что система S не является полукольцом.
Действительно, пересечение двух прямоугольников [а; Я х [0; 11 и [0;
1] X [с; d] системы есть прямоугольник fa; b] х [с; d] & S, если [а;
Ь]]Ф [0; 1] и 1с; d] ф [0, 1].
Пусть 9¾ (S) — наименьшая алгебра, порожденная системой S, а
9¾ (9¾) — наименьшая алгебра, порожденная полукольцом 9¾ всех
прямоугольников квадрата X. Очевидно, что 9¾ (S) с: 9? (9?).
Нетрудно показать, что рассматриваемая на S функция множеств
fi является мерой. Проверим, для примера, свойство аддитивности
(конечной или счетной) функции ц. Если прямоугольник А системы S
представлен в виде объединения конечного или счетного числа
попарно непересекающихся прямоугольников Ak системы S, то эти
прямоугольники Ак должны быть одного вида: либо вертикальные, либо все
горизонтальные. Допустим, что все Ak — [ak; bk] X [0; 1]. Тогда А =»
= (J (\ак; bk] х [0; 1]), и поэтому множество А имеет такой же вид!
А = [а; Ь] х [0; 1]. Отсюда [a; b] = (J [ak: bk], и поскольку Ak f)
k
П Aj = 0 при k Ф j, то [ak\ bk] П [a,; b,] = 0 для этих же k и j.
Согласно свойству счетной аддитивности меры Лебега \ilt имеем b — а =
>= 2 Ha [ak> ^*1- Поэтому переходя к множествам А и Ak, получаем
k
S I* (Л*) = £ И (la*: Ьк\ X [0; 1]) = £ Hi [ak; bk] = b - a = p (A).
k k R
Следовательно, функция множеств fi является a-аддитивной.
Чтобы указать хотя бы два разных продолжения этой меры на
кольцо 9¾ (S), зафиксируем в единичном квадрате X одну из его
диагоналей dt. Нетрудно проверить, что мера Лебега fxx пересечения
прямоугольника Р = [а; Ь) х [0; 1] (или Q = [0; 1] X [а; Ь]) с этой
диагональю равна |^2 (Ь — а). Поэтому для таких прямоугольников
системы S имеем fx (la; b] х [0; 1]) = -у=- цй (Р (] dj =* b — а и ц, ([0; 1] х
X Ы; Ь]) = -L и (Q П <У = Ь - а.
66

Перейдем теперь к функции множеств, заданной на кольце 31 (91),
которая множеству A£ffi (¾) сопоставляет число v1 (А) = —^ ^ х
X (А П di). Проверим, что функция Vj является а-аддитивной мерой
на 9¾ (Щ. Докажем, например, ее счетную аддитивность.
Действительно, пусть А — (J Ak, где А и все Ак принадлежат 9? (Щ, Ak [} А, =
= 0 при й Ф \.
Тогда, используя ст-аддитивность меры Лебега ц1? имеем
Vl (^)=-^=-^(^4 П<У=-р|-ЕМЛ*П di) = S vi^j),
т. е. функция множеств v1 счетно-аддитивна на 3¾ (9?). Эта мера vx
совпадает с исходной мерой ц на системе S.
Аналогично, если рассмотреть на 9¾ (W) ст-аддитивную меру v2 =
= —— Ц! (Л П djj), где d2 — другая диагональ квадрата X, то также
va (Р) = (i (Р) для каждого Р £ S. Таким образом, ст-аддитивные меры
v1 и v2 являются продолжениями меры ц на кольцо Ш (9¾) zd ffi (S).
Покажем, что это различные меры на 9¾ (S). Действительно,
прямоугольник А =
0;1
X
V
принадлежит 9¾ (S), поскольку он
является пересечением двух элементов
°4
X [0; 1]и[0; 1] X Г4;1
[±
системы S. Одна из мер, например, v1 (A) = -j-, а другая v2 (А) =
= 1*1 (А П 4) = 1¾ (0) = 0.
Таким образом, указано два различных продолжения меры ц на
кольцо 9¾ (S). Если S является полукольцом, то такого быть не может.
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что совокупность всех ограниченных прямоугольников вида {(ij;
|2) £ R2 . ах ^ |х < blt а2 =¾ £3 < Ь2) является полукольцом, не имеющим единицы.
2. Доказать, что совокупность всех ограниченных Подмножеств пространства
Ikm образует кольцо, но не является ни а-кольцом, ни а-алгеброй.
3. Доказать, что пересечение произвольной совокупности а-алгебр является
а-алгеброй, а объединение двух а-алгебр не является, вообще говоря, а-алгеброй.
4. Пусть К — кольцо множеств, А £ К и 9{д — совокупность всех множеств
вида А П В, где В £ К. Доказать, что У1Д — алгебра, единицей которой является А,
если К — а-кольцо, то 9{д — а-алгебра.
5. Доказать, что для произвольного множества X множество всех его конечных
подмножеств образует кольцо. Прн каком условии на множество X это кольцо будет
а) алгеброй, б) а-кольцом'
6. Доказать, что для произвольного бесконечного множества X множество всех
его не более чем счетных подмножеств образует а-кольцо. Прн каком условии на X
это кольцо будет алгеброй?
7. Доказать, что для произвольного несчетного множества X а-алгебру образует
множество всех таких подмножеств X, что либо само это подмножество, либо его
дополнение до X не более чем счетно
8. Доказать, что полукольцо множеств 92 будет кольцом, если объединение
любых двух множеств нз 92 принадлежит 92.
9. Доказать, что если алгебра множеств 21 такова, что пересечение каждой
последовательности ее элементов принадлежит этой алгебре, то 91 есть а-алгебра,
57

10. Класс множеств М называется монотонным классом, если:
1) для любой последовательности множеств (An)^j такой, что Лц а А% G ,.>
а Ап с .... иа Ап £ J( следует
оо
lim Ап = (J Ап £Л;
2) для любой последовательности множеств (Л„)^, такой, что At гэ Л2 :г> ...
=> Ап =э ..., из Л„ £ ^f следует
оо
lim Ап = Г) Л„ £^.
/г-»оо л=1
Доказать, что алгебра ^Э является а-алгеброй тогда и только тогда, когда она
является монотонным классом.
11. Монотонный класс (см. задачу 10) Л (S) называется наименьшим
монотонным классом, содержащим совокупность S, если:
llScJ1 (S);
2) для любого монотонного класса 2R, содержащего S, Ж (S) с 9К.
Доказать, что для любой совокупности S существует наименьший монотонный
класс, содержащий S.
12. Пусть И — алгебра. Тогда наименьшая а-алгебра ^ (И), содержащая И,
совпадает с наименьшим монотонным классом Л (К), содержащим К. Доказать это
утверждение.
13. Пусть X — фиксированное, множество иД,сХ. Через 21 обозначим систему
всех таких подмножеств Л с X, что либо Л0 cz А, либо А П Аа = 0- Доказать,
что 21 является а-алгеброй.
14. Пусть й — совокупность всех замкнутых множеств в Rm, а И — класс всех
открытых множеств пространства R"1. Доказать, что наименьшая а-алгебра,
порожденная системой И, совпадает с наименьшей а-алгеброй, порожденной системой К,
и является а-алгеброй Jg (Rm) всех борелевых множеств в Rm.
15. Характеристической функцией множества А называется функция
если х £ Л,
если х $ А.
^Пусть S — некоторая система подмножеств множества X, a S— совокупность
всех характеристических функций множеств из S. Доказать, что S — кольцо
множеств тогда и только тогда, когда S — алгебраическое кольцо относительно
умножения и сложения по модулю 2.
16. Доказать, что декартово произведение полуколец является полукольцом,
а декартово произведение колец не является, вообще говоря, кольцом.
17. Пусть 21 — а-алгебра подмножеств X и (Ап\™=1 — последовательность
элементов этой алгебры. Доказать, что lim Ап £ 21 и lim Ап £ 21 (определение lim Ап
и Нш Ап см. в § 1).
П-*00
18. Является ли следующая система множеств полукольцом, кольцом, алгеброй:
а) {[а; й] cR:a6Q, й £ Q и а<6} (J 0;
*,(*)={0;
б) {(а; ujcR: a£Z, b£Z и a<b] п 0;
в) {[а; й)< - - ------
R:aeR\Q, ueR\<Q и a<b) [} 0:
г) Па; u]cR:ag(Q, Ь£Ы "KM (J 0;
д) {[а; J]cE:a^J);
е) (К; &i) X (а,; й2) с R2: а{ < Ь., £ = 1, 2} U 0?
19. Пусть ц — мера, заданная на кольце й. Доказать, что:
а) ц (Л (J В) = ц (Л) + Ц (В) — Ц (Л П В) для произвольных Л £ И и В £ Л(
л "
б) если (J Акс=А, n£N, то V ц(Л^Хц(Л), где Л и все Ah— элементы
кольца й, причем Л* П ^/ = 0 при й =?= /;
68

в) если U ЛА cz Л, то ^ ц (Л*) < ц (Л), где Л и все Ak — элементы кольца
Я, причем Ak (] А, = 0 при k Ф \\
г) ц (ЛАВ) ^ ц (ЛАС) + Ц (CAB) для произвольных Л, В, С из кольца й;
д) ц, (Л) — ц (В) | < ц (ЛАВ) для множеств Л и В из й;
е) ц (ЛАВ) = ц (Л) + Ц (В) — 2ц (Л П В), если Л, В g И.
20. Пусть fi, и fi, — а-аддитивные меры на кольце И. Доказать, что для
произвольных неотрицательных чисел а и Р функция множеств ц = ацх + Рц2 также
является а-аддитивной мерой на И.
21. Пусть И — кольцо и ц — мера, заданная на й. Доказать, что ц является
а-аддитивной мерой на И тогда и только тогда, когда ц непрерывна снизу, т. е.
когда для произвольной монотонно возрастающей последовательности Ах cz Л2 с: ...
с Л„ с ... элементов И, (J Л„ £ й, имеем ц ( (J А„ = lira ц (Л„).
п=1 \л=] / /г-»оо
22. Пусть х0 £ X и для произвольного подмножества А множества X
определена функция множеств ц следующим образом: ц (Л) = 0, если х„ @ Л, ц (Л) = 1, ес-
ли х0 £ А. Доказать, что ц — счетно-аддитнвная мера на а-алгебре 2х.
23. Пусть X = {*!, х2, ..., хп, ...} — произвольное счетное множество, а
{A>i> Р%, ■■■• Рп< •■■} — последовательность неотрицательных действительных чисел.
Определим для каждого подмножества A cz X величину ц (Л) = V рп. Дока-
п:хп€А
зать, что ц — а-аддитивная мера на а-алгебре 2 .
24. Пусть (X, 21 , ц) — измеримое пространство. Доказать, что совокупность
всех множеств меры нуль образует а-алгебру.
25. Пусть 21х — а-алгебра подмножеств множества X, 512 —•■ а-алгебра
подмножеств множества Y, а Т : X ->- Y — такое отображение, что Т~1 (2I2) cz 21х.
Если ц — а-аддитивная мера на 21ь то для каждого В £ 212, положим v (В) =
= ц (Т-1 (В)). Доказать, что v — а-аддитивная мера на 212 (мера v называется
образом меры ц при отображении Т).
26. На алгебре всех подмножеств рациональных чисел Q определить а-аддитив-
ную меру Ц так, чтобы мера каждого рационального числа была положительна, а
мера ц (Q)= 1.
27. Пусть множество X = [a; ft] cz R, а % — совокупность всех
полуинтервалов вида (а; {$], принадлежащих основному сегменту [a; ft]. Определим на % функцию
множеств ц^ (а; Р] = ^" (Р) — ^" (а), где у = & (х) — монотонно неубывающая
непрерывная справа функция, заданная на [a; ft]. Доказать, что ц~- является а-адди
тивной мерой на полукольце 91. Найти ц^- (а; Р), ц~. [а; (3) и ц^. [а; (3].
28. Пусть на R задана неубывающая функция &~. Определим на совокупности
% всех ограниченных промежутков числовой оси К функцию множеств ц^. (а; Р) =
= 5Г(р_0)-5Г(а+0), цу[а; Р) = У ф - 0) - 5Г (а - 0), ц^ (а; р] =
= Т ф + 0) — Т (а + 0) и ц^г- [а; Р] = ^ (Р + 0) — ^ (а — 0). Доказать, что
функция ц~. является а-аддитивной мерой на полукольце У1.
29*. Соотношением ц^ [a, ft] = & (ft) — S' (а) устанавливается взиимно
однозначное соответствие между мерами Лебега — Стилтьеса ц^. на полукольце Й всех
конечных промежутков вида [a; ft) на числовой оси R и производящими функциями
^", определяемое с точностью до эквивалентности. Доказать это утверждение. При
этом две производящие функции, разность которых постоянна, называются
эквивалентными.
30. Пусть % — совокупность всех ограниченных промежутков вида [a; ft),
где а ^ ft, числовой осн R. Если функция у = & (х), х £ К, — неубывающая и
непрерывная слева, то определим иа % функцию множеств ц^. [a; ft) = Т (ft) — 51" (а).
Доказать, что произвольное множество Л с R является ц^-измеримым, и иайти
59

PgrlA), если:
f _2, -co<*^e, \°- -°°<х*
■>*■<*) = ' ,^ ^^ 6) *■(*)- 2, 1<*<3,
I 3, e<*< + oo; 5 3<*< +
1, — oo<x<0,
и) F(x) = { — [— ex], 0<*<1,
5, 1<*<+оо.
31. Пусть У (x) = — [—x], x £ R. Определить ц^,- (Л), если:
а) X = Q П 1-я; я], я б N;
б) Л = [—я; я], я £ N;
в) Л = {х > 0 : In х < 2};
г) Л = (—я; я) \Q, я£ N.
32. Пусть в Rm задана функция ^" (дгх хт) такая, что смешанная произ-
водная — - непрерывна и неотрицательна. Определим для любого из парал-
ох1 ... охт
лелепипедов Р вида (а; ft), [а; ft), (а; ft] или [а; ft], где a = (¾ ат) £ Rm и 6 =
= (uj bm) £ Rm, функцию этих множеств
(V(P) = 2(-l)vW^(ClJ .... ст),
где суммирование производится по всем точкам с= (си .... ст), у которых каждое
Сй принимает значение а, или ft,, a v (с) — число тех координат, для которых с* =
= а/1. Доказать а-аддитивность меры ц^. на полукольце !?т.
33. Доказать, что если ^ (|х) ^"m (|т)—конечные монотонно неубываю-
т
щие непрерывные слева функции на R, то функция ^"(£i, ... , im) = П ^"ь (Ы
й=1
является производящей функцией меры Лебега-Стилтьеса в Rm.
34. Пусть 92 — совокупность всех полуинтервалов вида (a, ft], где 0 ^ а ^
< ft <С + оо, числовой оси R. Определим на 92 функцию множеств, считая ц (a; ft] =
= 0, если а > 0, и ц (a; ft] = 1, если а = 0. Показать, что ц является мерой на R,
но не счетно-аддитивной.
35. Внутренней мерой множества А а [0; 1] называется число ц,. (Л) = 1 —
— ц, ([0; 1] \ А), где щ — внешняя мера Лебега. Доказать, что ц, (Л) ^ \ilt(A).
36. В обозначениях задачи 35 доказать, что множество Л с [0; 1] измеримо
по Лебегу тогда и только тогда, когда ц1# (Л) = ц, (Л).
37*. Пусть а-аддитивная мера ц задана на полукольце 3? с единицей, а ц* —
отвечающая ей внешняя мера. Множество A cz X называется измеримым по Каратео-
дори, если для любого подмножества В с X справедливо равенство
ц* (В) = Ц* (В П Л)-г-ц*(5\Л).
Доказать, что множество Л измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда оно
измеримо по Каратеодори.
38. Пусть Х= {1, 2, 3, 4}, 92 = {0, {1), (2), {3, 4}}. Положим ц (0) = 0,
Ц ({1}) = I1 ({2}) = 1, Ц ({3, 4}) = 2. Доказать, что ц — а-аддитивная мера на
полукольце 9J. Продолжить эту меру на полукольцо К (92). Построить внешнюю меру
ц* на совокупности 2 . Описать лебегово продолжение меры ц на а-кольцо ц-изме-
римых по Лебегу множеств.
39. Пусть К — кольцо, а (К) — минимальное а-кольцо, содержащее кольцо
И; На> (½ — а-конечные меры на а (К), и для произвольного Л £ И имеем цх (Л) <
<; щ (Л). Доказать, что для любого А £ а (Й) также справедливо неравенство
Нч (Л) < Ц2 0)- ~
40. Пусть ц — а-конечная мера на кольце И. Доказать, что внешняя мера ц*,
построенная по мере ц, является а-коиечной.
60

41. Пусть ц — а-аддитивная мера на алгебре Я подмножеств множества X. Рае-
смотрим внешнюю меру ц* на системе 2х и 5§ (И) — наименьшую а-алгебру, содер-
жащую К. Доказать, что для произвольного A cz X
Ц* (Л) = inf {ц(В): Лей, в€ЗВ(Я)Ь
где ц (В) — значение лебегова продолжения меры ц с алгебры й на алгебру Я„
всех ц-измеримых множеств. '
42. Пусть А с X и выполнены предположения задачи 41. Доказать, что А
является (I-измеримым тогда и только тогда, когда А = В U С, где В £ g§ (И) и
Ц* (С) = 0.
43. Пусть множество Л с X и выполнены предположения задачи 41. Если для
произвольного 8 > 0 существуют такие два множества В и С из а-алгебры g§ (И),
что С с Л с S и |i* (S \ С) < «, то/4 является ц-измеримым. Доказать это
утверждение.
44. Пусть X = [0; 1] X [0; 1] — единичный квадрат плоскости R2 и % —
полукольцо всех прямоугольников, принадлежащих X, вида Ра ь = {(|х, i2) £ X : а <:
<j li < b, 0 ^ i2 ^ 1(. Определим на % функцию множеств ц (Ра,(,) = Ь — а.
Описать вид лебегова продолжения меры ц.
45. В условиях и обозначениях задачи 44 доказать, что множество А «•
"= | (lit ia) € X • 0 ^ £j ^ 1, £2 = —I не является ц-измеримым, и найти ц* (А).
46. Пусть (X, Я, ц) — вероятностное пространство. Доказать, что если
последовательность (Л„) ц-измеримых множеств такова, что ц (Ап) = I для каждого
«€ N, то Ц П Л„|=1.
47. Пусть ц — счетно-аддитивная мера иа а-кольце Я, /4 £ Я и ц (Л) < + оо.
Рассмотрим некоторый класс S попарно непересекающихся множеств, S с Я.
Доказать, что множество {В £ S : ц (А (] В) ф 0} не более чем счетно.
48. Доказать, что «ограниченный параллелепипед» в бесконечномерном
пространстве s (т. е. множество A = {(ii g„, ...) £ s: а„ < £„ < £>„, V л £ N }, где
числовые последовательности (an)^Li и (^^Li ограничены), является ш-измеримым.
Найти ев (А).
49. Доказать, что множество A = (i1? ... , £n, ...)6s. £ £21<-|-оо| (час-
сто обозначаемое символом /2) является ш-измеримым множеством ш-меры нуль.
50. Пусть Лр = {(Sx, -. , im ...) €s :16^10^1^ +Р. и>и5}, где р € R
и По— такой номер, начиная с которого l^in л + Р > 0. Доказать, что для
каждого Р множество /4g является ш-измеримым и а> (Ло) = 0 при Р ^ 0, а для Р > О
<о (Ар) > 0. Показать, что lim а> (Ар) = 1.
V 0-+°° ^
51*. Пусть A = U\lt ... , \п, ...)£s: lim —L===-=ll. Доказать, что мно-
\ л-.» У Inn J
жество Л является ш-измеримым и а> (Л) = 1.
52. Доказать, что если В — (^-измеримое множество пространства Rm, то
множество Л = {(ilf .... |л, ...) £ s : (Ij, .... im) £ В}, называемое цилиндрическим с
основанием В, является ш-измеримым. Показать, что если В является цт-измеримым
в смысле Жордана, то
т
-У Е2
1 С ( <- *
<й(Л) = —±=- \ ... \ е *-> dgt . . . <f|m.
53. Пусть 0 < *! < tt ^ я и а, й — произвольные действительные числа.
Доказать, что множество Л *=• [х (t) £ С0 [0; я] : а <| х (t2) — х (t{) ^ Ь] является (!„-
иэмеримым, и найти его меру (½.
61

Б4. Пусть В — цт-измеримое множество пространства Rm и 0 < /j < /2 < ...
< tm ^ я. Определим цилиндрическое множество А = {х (/) £ С0 [0; я]: (х (/J,
.... х (^)) £ В}. Доказать, что Л является цш-измеримым и если В — ^„,-измерм-
мо в смысле Жордана, то
Иш (А) =*
-jL-У (^+'~|<г)'
"[/^Я^^-/!) ... (/„
55. Пусть ЗДц, — совокупность всех цилиндрических множеств пространства
Со f0; я]. Доказать, что множество A = {х (/) £ С0 [0; я]: max f х (/) f ^ 1} принад-
лежит наименьшей а-алгебре % №w)> содержащей %ш.
Ответы. 5. а), б) X — конечное. 6. X — счетное. 18. В случаях б) и в)
указанные системы множеств являются полукольцами. 27. ц^. (a; f$) = !F (f$ — 0) — & (а),
V-r [«; Р) = ^ (Р - 0) - JT (а-0), ц^ [а; 0] = 5г (0) _5Г(а _0). 30. а) ц^ (А) =
—= S, если е £ Л, и ц^- (Л) = 0, если е g А; б) ц^. (Л) = 5, если 1 £ Л и 3 £ Л;
Rsr (Л) = 2, если 1 g Л, но 3 (? Л; ц^. (Л) = 3, если 3 £ Л, но 1 g А. В остальных
случаях ц^. (Л) = 0; в) ц^ (Л) = 4, если 0 £ Л, 1п 2 £ Л и 1 £ Л; ц^. (Л) = 2, если
1 € Л, во 0 £ Л и 1п 2£Л; ц^ (Л) = 1, если 1п 2 £ Л, но 0 £ Л и 1 £ Л; ц^ (Л) =
— 1, если 0 £ Л, но 1п 2 % А и 1 £ Л; ц^ (Л) = 2; если 0 £ Л, 1п 2 е Л, но 1 tf А;
ц«- (Л) = 3, если 1п 2 £ Л, 1 £ Л, но 0 ^ Л; ц^- (Л) = 3, если 0 £ Л и 1 £ Л, но
п 2 g А. В остальных случаях ц^. (Л) = 0. 31. а) ц^ (Л) = 2л + 1; б) ц„. (Л) =
■=2п+1; в) ц™ (Л) = 7; г) ц^. (Л) = 2л — 1. 44. ц-измеримы только множеств!
вида А X [0; 1], где множество А является и^-измеримым на отрезке [0; \\.
Ь - —
45. а* (А) = 1. 48. ш (Л) = 0. 53. цш (Л) = —, [ е и~и d\.
У я (/, — t{) J
§ 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Пусть X — некоторое непустое множество, 81 — а-алгебра подмножеств
множества X, а ц — счетно-аддитивная мера, определенная на 21.
1. Измеримые функции и их свойства. Рассмотрим измеримое пространство
(X, Я, р) и напомним, что множества, принадлежащие а-алгебре 21, называются р,-
иамерямыми (или просто измеримыми, если известно, о какой мере идет речь). Пусть
на множестве Л £ 21 определена числовая функция у = / (х), х £ Л, т. е. f
отображает Л в R. Функция / называется измеримой по Лебегу или [i-измеримой, если для
произвольного числа с £ R ее лебеговы множества {х £ Л : / (х) < с], \х £ Л : / (х) ^
<с), {х £ Л : / (х) > с} и {х £ Л : / (х) ^ с) являются ц-измеримыми, т. е.
принадлежат а-алгебре 21. Можно показать, что измеримость одного из лебеговых
множеств для каждого числа с £ R влечет измеримость остальных лебеговых множеств
(см. пример 1). Таким образом, для измеримости функции у = f (х), х £ Л,
необходимо и достаточно, чтобы одно из лебеговых множеств этой функции при каждом
с £ R было (i-измеримым. В частности, если рассматривается измеримое
пространство (Rm, ffim, цт) где <ffim ~ % (Rm) — совокупность борелевых множеств в Rm, а
fim —мера Лебега в Rm, то цт-измеримые функции у = / (х), определенные на
борелевых множествах Л £ 5§т, называются борелевыми (или ^„-измеримыми).
Следовательно, функция у = / (х), х £ Л, где Л £ ggm, называется борелевой функцией, если
для каждого с £ R, например, множество {х £ Л : / (х) < с} борелево в R"1.
Можно показать (см. пример 5), что если у = g (х), х £ Л, является ц-измеримой
функцией, а г « / (у) — борелевая функция, определенная на числовой оси К, то
62

функция 2 = / (g (х)), х € /4, ц-измерима. В частности, если / — непрерывная на R
функция, то z = / (g (х)), х £ А, ц-измерима.
Теорема 1. Если fug — две ^-измеримые функции, определенные на измеримом
множестве А, то функции у = / (х) + 8 (*)> У = f (х) — g (х), у = / (х) g (х) и
f (х)
у «= i-j-i (в последнем случае при условии, что g (х) Ф 0 для каждого х £ А), заданные
s \Х)
на А, также ^-измеримы.
Следующее свойство класса измеримых функций выгодно отличает их от
совокупности непрерывных функций, являющихся основным объектом изучения в
классическом математическом анализе.
Теорема'. Пусть последовательность (/„ (х))^_, ^-измеримых функций,
определенных на множестве А £ 21, сходится в каждой точке х £ А к функции у = / (х),
х g А. Тогда предельная функция у = f (х), х £ А. является ^-измеримой.
Наличие меры ц на а-алгебре 21 позволяет ввести ряд новых (полезных в теории
интеграла Лебега) понятий. Две функции / и g, заданные на ц-измеримом множестве
А с X, называются эквивалентными (или ц-эквивалентными), если множество {х £
€ A : f (х) Ф g (х)} является подмножеством множества ц-меры нуль. В частности
если мера ц — полная на а-алгебре 21, то / н g эквивалентны, если ц {х £ А :
: / (х) Ф g (х)} = 0. Эквивалентные функции называются еще почти всюду равными
(или почти всюду равными относительно меры ц). Эквивалентность функций
обозначается так- / ~ g на А или / (х) == g (х) на А. Если две функции / и g, заданные
на измеримом множестве А, эквивалентны, то они одновременно измеримы. Введем
еще одно важное понятие — понятие сходимости почти всюду. Пусть (/„ (х))^, —
последовательность функций, заданных на ц-измеримом множестве А. Тогда говорят,
что эта последовательность сходится почти всюду на множестве А к функции у =
= / (х), х £ А, если последовательность (/„ М)^=! сходится к функции / (х) в
каждой точке х множества Л, кроме, быть может, некоторого подмножества множества
меры нуль, содержащегося в А, Иными словами, последовательность (/„ (х)^,, х £
6 А, сходится почтя всюду на множестве А к функция у — f (х), х£ Л, есля
существует такое измеримое множество В с А меры нуль и множество /tj с В, что
для каждого* £ А \ А0 справедливо равенство lim fn (х) = f (х). Сходимость почти
всюду обозначается так: lim /„ (х) £=1/ (х) на Л, илн /„ (х) —-► f (х) на А, или
11т /„ (х) = f (х) (п. в. на А).
Л-*ео
Вообще, в этой связи полезно дать следующее определение. Если некоторое
высказывание справедливо в одних точках множества Л с X и, может быть, оно не
справедливо в других точках, образующих подмножество некоторого множества
меры нуль, то говорят, что данное высказывание справедливо почти всюду на
множестве Л (или для почти всех х из Л). Например, если множество точек разрыва
Гункции у = f (х), х £ Л, является измеримым множеством меры нуль, то функцию
назовем непрерывной почти всюду на множестве Л. Аналогично, среди функций,
допускающих бесконечные значения, выделяются функции, которые могут
принимать * значения -(- оо или — оо только на множестве меры нуль (или на его
подмножестве). О таких функциях говорят, что они почти всюду конечны.
Важность понятия сходимости почти всюду характеризуется такой теоремой.
Теорема 3. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и а-аддитивная мера
fi полная. Если последовательность ^-измеримых функций (/„ (*))^Li и функция f (х)
заданы на ^-измеримом множестве A cz X и fn (х) -*■ f (х) почти всюду на А, то
функция f также измерима на А.
Отметим, что если функции /„ (п £ N) и / являются только почти всюду
конечными на Л, то в этом случае теорема 3 остается правильной.
В 1911 г. Д. Ф. Егоровым была доказана следующая важная теорема,
устанавливающая связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной
сходимости.
Теорема 4 (Д. Ф. Е г о р о в а). Если последовательность ^-измеримых и почти
всюду конечных функций (/„ (х))^, и почти всюду конечная функция f (х) заданы
63

на ^-измеримом множестве А а X с \i (А) <. + со и f„ (х) -»- / (х) почти всюду на
А, то для любого б > 0 существует такое измеримое множество Ай cz А, что:
1) ., (А6) > |* (Л) — б;
2) на множестве Ай последовательность (/„ (*))£Li сходится к f(x) равномерно,
т. е. lim sup \f„ (х) — f (х) \ =■ 0.
л-*оо x£Aq
В теории измеримых функций (а также и в теории вероятностей) существенную
роль играет еще одно понятие сходимости функциональной последовательности —
сходимость по мере. Для простоты изложения вначале рассмотрим функции с
конечными значениями. Пусть на [^-измеримом множестве А с X заданы
последовательность (/л (*))„t=i Неизмеримых функций и функция / (х). Говорят, что
последовательность dnY^i сходится по мере \i на множестве А к функции /, если для любого
а>0
lim Ц {х £ А : | /„ (ж) — / (ж) | > а) = 0.
Если и (Л) < + со, то предыдущее условие означает, что множество {х £ А :
fn (*) — / (*) I <■ ст) имеет меру, которая при п -»- со становится сколь угодно
близкой к мере всего А. Для сходимости по мере используем обозначения: }„ —► / на А,
или lim /„ (х) А / (х) на Л.
Замечание. Определение сходимости по мере имеет аналогичный смысл и для
функций, почти всюду конечных. Однако в этом случае нужно помнить, что множество
{х <J A : \fn(x) — f (х) | < а) может не быть дополнением к {х (Е A : \fn (х) — / (х) | ;>
^ а). Ведь, кроме этих двух множеств, в А может содержаться еще непустое
подмножество меры 0, состоящее из тех точек, где разность f„ (х) — / (х) не имеет смысла.
Теорема 5 (А. Л е б е г а). Если последовательность \х,-измеримых функций
(fn (*))nt=i сходимости почти всюду к ^-измеримой функции I (х) на ^-измеримом
множестве А с и (А) < + со, то эта лоследовательность сходится по мере к
функции f (х) на А.
В теореме Лебега нельзя отбросить условие конечности меры |г (А) < + со, т. е.
на множестве А с \i (А) = -\- со из сходимости почти всюду не всегда вытекает
сходимость по мере.
Отметим также, что теорема 5 остается правильной и для последовательности
почти всюду конечных функций.
Можно показать, что из сходимости последовательности функций по мере,
вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду. Действительно, определим для
каждого натурального п на полусегменте (0; 1] = А с R функции /{"', /|л), „,
,.., /(д* следующим образом:
1 При < х s£ — ,
п п
п /-ilk — 1 &
0 при х & ; .
^ \ п п \
Занумеровав эти функции в виде функциональной последовательности, получим
последовательность, которая сходится по ftepe Лебега ^] к нулевой функции, но в
то же время она не сходится в каждой точке х (Е (0; 1].
Таким образом, теорема Лебега ие может быть обращена в полной мере. Тем не
менее справедлива следующая теорема.
Теорема 6 (Ф. Рисса). Если последовательность ^.-измеримых функций
(fn (х))п°=1 сходится по мере к ^-измеримой функции f (х) на измеримом множестве
А, то существует такая подпоследовательность (fn (ж))^=1, которая сходится к f (х}
почти всюду на А.
Измеримые функции могут быть аппроксимированы «простыми» измеримыми
функциями. Функция у = h (х), определенная на X, называется простой, если ои»
/Г м =
64

р-измерима и принимает не более чем счетное множество значений. Нетрудно
проверить, что функция ft (х), принимающая не более чем счетное число различных
значений ylt у2, ..., yk, ..., (.1-измерима тогда и только тогда, когда все можества А^ =
= \х £ X : ft (х) = уь) [^-измеримы.
Теорема 7. Для ^-измеримости функции у = f (х), х £ А, необходимо и
достаточно, чтобы существовала последовательность простых функций (ft„ (x))^j, *€
(Е X, которая равномерно сходится к функции f (х) на множестве А.
Это определение [^-измеримой функции относится к функциям, заданным на
произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной
функции. Однако если речь идет о функциях, определенных на ^„-измеримых
подмножествах евклидова пространства Rm, то справедлива следующая теорема.
Теорема 8 (Н. Н. Лузин а). Если функция f — \ат-измерима и почти всюду
конечна на \1т-измеримом множестве A cz IRm, то для каждого е > 0 существует
такая непрерывная во всем \Rm функция tp&, что \х.т {х (Е A : f (х) Ф фе (х)} < е.
Отметим, что если в теореме Лузина функция / ограничена на А (т. е.
I/ (*) I ^ М, V х £ А), то функцию фр (х) также можно выбрать так, что | <р (х) | ^
<; М для любого х £ Rm.
Из теоремы Лузина следует, что каждую измеримую функцию можно приблизить
непрерывными функциями.
Теорема 9 (М. Ф р е ш е). Если функция f \х.т-измерима и почти всюду конечна
на \лт-измеримом множестве A cz Rm, то существует такая последовательность
(ф„ (*))J£=i непрерывных на Rm функций, что <р„ (х) -+■ f (х) почти всюду на А при
п -»- со.
2. Интеграл Лебега и его свойства. В этом пункте рассматривается измеримое
пространство (X, 51, ^), где счетно-аддитивная мера ц предполагается а-конечной
и полной. Определим интеграл Лебега от вещественнозначных функций, заданных
на [^-измеримых множествах, являющихся подмножествами X. Удобно различать
два случая в зависимости от того, является ли мера \i (X) конечной или
бесконечной.
1. Пусть измеримое пространство (X, 21, ^) таково, что ^ (X) конечна, т. е.
fi (X) < + со. Вначале введем понятие интеграла Лебега для простых функций.
Пусть ft — некоторая простая функция, принимающая значения ylt у2, ..., ук, ...,
причем уь ф У/ при k Ф /', к А — некоторое [^-измеримое подмножество X. Тогда
простая функция ft называется интегрируемой или суммируемой по мере \i на
множестве А, если ряд
£ VkV- (Ak), где Ak = {хе A : t (х) = yk) (1)
if
абсолютно сходится. Если ft — интегрируемая функция, то сумма ряда (1)
называется интегралом Лебега от ft по множеству А и обозначается так:
A k
Требование абсолютной сходимости ряда (1) обусловлено тем, что интеграл
Лебега f ft (x)d\x. от простой функции ft не должен зависеть от порядка нумерации
л
значений этой функции, т. е. сумма ряда (1) не должна зависеть от перестановки
слагаемых этого ряда, что возможно лишь тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно.
В определении интеграла Лебега от простой функции ft предполагается, что все
ее значения yk различны. Однако если измеримое множество А представлено в виде
объединения A = U В^ попарно непересекающихся измеримых множеств Ък и на
k
каждом Bk функция ft постоянна, т. е. ft (х) = hk, V х (Е В^, то j- ft (х) d\i ■=
А
8 8-74 65

= V Н/,р (Bk), причем простая функция А интегрируема на А тогда и только тогда,
*
когда ря." V /iiii (Вь) сходится абсолютно.
ч
Определенна 1. Назовем измеримую функцию у — f (х), х (Е А, интегрируемой
или суммируемой по Лебегу на р-измеримом множестве А, если существует
последовательность (kn (.r))^L,, х 6 X, простых интегрируемых на А функций, равномерно
сходящаяся на А к функции f (х). Предел
Hm \ А„ (х) dp (2)
А
обозначим [ f (х) dp и назовем интегралом Лебега функции f по множеству А.
'а
Отметим, что интегрируемую функцию / на множестве А называют еще ц-интег-
рируемой па А, если надо подчеркнуть, что речь идет о мере р. Это определени
корректно, т. е. для любой интегрируемой на А функции / предел (2) существует и не
зависит от последовательности простых функций, равномерно сходящейся на А к /.
Нетрудно проверить, что для просты* функций определение 1 совпадает с ранее
зведенным определением интегрируемости. Кроме того, каждая ограниченная
измеримая на измеримом множестве А функция является интегрируемой по Лебегу
на А. В частности, постоянная функция / (х) = с, х £ А, интегрируема на Л и
| / (х) dp = \ cdp = с • р (А).
Напомним основные свойства интеграла Лебега:
1) если функции у = / (х), х £ А, и y=g (х), х £ А, интегрируемы на fi-из-
меримом множестве А, то для произвольных действительных чисел а и fi функция
у = а/ (х) + pg (х), х £ А, также интегрируема на Л и
f [а/ (х) + fe> (*)] dp, = a J / (х) dp. + р J g (х) dp
А А А
(свойство линейности интеграла Лебега);
2) если функции / и g измеримы на измеримом множестве А и / (х) = g (х)
почти всюду на А, то они интегрируемы на А лишь одновременно и £ / (х) dp =
А
= \g[x)dp (т.е. изменение значений интегрируемой функции на множестве меры
А
пуль не нарушает интегрируемость функции и при этом сохраняется величина
интеграла);
3) если интегрируемые на измеримом множестве А функции fag
удовлетворяют почти всюду на А неравенству / (х) ^ g (х), то \ f (х) dp <; [ g (х) dp; в част-
А "а
ности, если интегрируемая на А функция / ограничена, т. е. т <; / (х) <; М для
всех (или почти для всех) х £ А, то
т ■ р (A) sg; f f (х) dp sg; M • p (A\;
'a
4) если измеримое множество А такое, что р (А) = 0, то каждая функция /,
определенная на А, является р-интегрируемой и £ f (х) dp = 0;
А
5) измеримая функция у = f (х), х £ А, интегрируема на А тогда и только тогда,
когда у = \ I (х) \} х (Е А, интегрируема на А; при этом I J / (х) dp I <: J | / (х) \ dp;
\а \ А
6) если неотрицательная функция ф интегрируема на А и измеримая функция
у = } (х), х £ А, удовлетворяет почти всюду на А неравенству |/ (х) \ <; <р (х), то
/ также интегрируема на А;
6Ь

7) если f—интегрируемая функция на измеримом множестве А, а множество
А представлено в виде объединения А = U Ak попарно непересекающихся измери-
k
мых множеств, то функция / интегрируема на каждом Ак, ряд ^] \ / (х) <2ц абсолют-
* Ч
но сходится и справедливо равенство
J / (X) d|l = £ J f (x) dp
(свойство а-аддитивности интеграла Лебега);
8) если измеримое множество А представляется в виде объединения А =[} Ak
k
попарно непересекающихся измеримых множеств А^, измеримая функция i/ = / (х),
х £ А, интегрируема на каждом Ак и ряд £ \ \ I (х) \dp сходится, то функция /
k Ak
интегрируема на А и
J / (*) dp = Е J f (х) dp;
k \
9) если функция y—f (x), x£A, интегрируема на измеримом множестве At
то для каждого 8 > 0 существует такое б > 0, что I f / (х) dp I < в для всякого из-
меримого множества а а А такого, что р (а) < о (свойство абсолютной
непрерывности интеграла Лебега);
10) если неотрицательная функция у = f (х), х (Е А, интегрируема на Л и
f / (х) dp = 0, то f (х) = 0 почти всюду на А.
А
Из этих свойств интеграла Лебега получаем такое утверждение: пусть у = / (х),
х (Е X,— неотрицательная функция, интегрируемая на множестве X. Тогда
функция множеств & (А)= § f {х) dp, определенная для всех измеримых множеств
А
А (Е Я, неотрицательна и ,а-аддитивна, т. е. & является счетно-аддитивной мерой
на а-алгебре Я. Кроме т(#о, эта функция множеств / (А), А £ Я, связана
исходной мерой условием: если р (А) = 0, то и У (А) = 0.
Напомним также неравенство Чебышева: если / — неотрицательная и
интегрируемая на А функция, а число с > 0, то
р {х £ А : / (х) > с) ^ — \ f (х) dp.
'а
2. Рассмотрим теперь случай, когда измеримое пространство (X, Я, р) такое,
что р (X) = +оо. Поскольку мы предпола! аем, что мера р о-конечна, то X может
быть представлено как объединение монотонно возрастающей последовательности
00
[^-измеримых множеств Х„, л £ N, конечной меры: Х= U Х„, Х„ cz Xn,lf и
р (Х„) < + со для каждого п (Е N. Такую последовательность множеств (Х„)~=1
назовем исчерпывающей.
Определение 2. Пусть неотрицательная измеримая функция / определена на
измеримом множестве А, имеющем, возможно, бесконечную меру. Тогда она
называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу на А, если для некоторой
исчерпывающей последовательности множеств (Х„)^_| функция f интегрируема на каждом
множестве Ап= А (] Хп конечной меры и существует конечный предел
lim [f(x)dp. (3)
3* 67

Этот предел называется интегралом Лебега от / по множеству А н обозначается
символом f / (х) dp.
А
Нетрудно убедиться в том, что при любом выборе исчерпывающей
последовательности (Х,,)^] предел (3) будет одним и тем же. Кроме того, из свойства
абсолютной непрерывности интеграла Лебега следует, что если р (А) < + со, то
определения 1 и 2 равносильны.
Замечание. Отметим, что какова бы ни была исчерпывающая
последовательность множеств (Х„)^=1, предел (3) всегда существует, поскольку числовая
последовательность § f (x)dp, я £ N. является неубывающей. Но этот предел может рав-
Ап
ияться + со. Иногда полагают в этом случае, что и §f (x)dp— + со. Но, тем не
А
менее, функция / называется суммируемой (или интегрируемой) лишь тогда,
когда предел (3) конечен для некоторой исчерпывающей последовательности.
Пусть на измеримом множестве А (возможно, что[* (А) = -\- со) задана
измеримая функция /, которая может принимать значения обоих знаков. Введем
положительную и отрицательную части функции /:
'+ W I 0, если f (х) < 0, '- (Х) \ О, если f (х) > 0.
где х£А. Иными словами,
/+(*) = — [ I / (*) I + f (*)]. f_(x) = ~[\f(x)\-t (*)1
«яи /+ (x) = max (/ (x), 0), /__ (x) = max (—/ (x), 0) для x e A.
Тогда функцию f можно представить в виде разности двух неотрицательныя
функций: f (х) = /+ (х) — /_ (х), х £ А. Очевидно, что функции / , и /_ также
являются измеримыми на А.
Определение 3. Измеримая функция f называется интегрируемой или
суммируемой по Лебегу на измеримом множестве А, если интегрируемы на А функции f, и
f_. При этом величина интеграла Лебега ^ I (х) dp определяется формулой
А
\ f (х) dp = j /+ (х) dp - j /_ (x) dp.
Отметим, что если р (А) <+ со, то определение 3 равносильно определению 1.
Для интегралов на измеримом множестве бесконечной меры справедливы все
свойства 1) —3) и 5) — 10) интегралов Лебега по множествам конечной меры.
Следует только отметить, что неравенства
т- ц(Л)< ^t(x)dp^M. р(А),
фигурирующие в свойстве 3), теперь не являются правильными, поскольку
постоянная функция неинтегрируема на множестве А, если р (А) = -{-со. Таким образом,
в этом случае не каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на А.
Совокупность всех интегрируемых по Лебегу функций на измеримом множестве
А обозначается ^символом L (А, р) или L (А).
Замечание". Предложенная схема построения интеграла Лебега не единственно
возможна. Остановимся коротко и на некоторых других (но эквивалентных
приведенной выше) схемах.
А) Построение интеграла Лебега, восходящее к Лебегу. Пусть вначале
измеримая и ограниченная функция у = / (х), х £ А, задана иа измеримом множестве А
конечной меры (т. е. р (А) <+ со). Если выполняется неравенство т <; / (х) ^
<; М для всех х £ А, где т и М — некоторые числа, то рассмотрим некоторое раз-

биение П сегмента [т\ М] точками т = у0 < у1 < уг < ...< уп = М. Соотнесем,
далее, каждому полуинтервалу [у^, Уьл.]) измеримое множество А^ = {л: £ А : Ук ^
</(х) < (/(,, 1} и положим X = X (П) = max ((/.,,1—У*). Введем нижнюю и
«ерхнюю суммы Лебега & и S функции /, отвечающие разбиению П,
л—1 и—1
«= *п 0) = £ **i* м*). s = sn (/) = S »*+^ м*)-
Нетрудно показать, что множество всех нижних сумм Лебега {sn (/)}
ограничено сверху (например, любой верхней суммой Лебега Sn (/)), а множество всех верх-
них сумм Лебега {Sn (/)} ограничено снизу (например, произвольной нижней сум«
мой Лебега sn (/)). Поэтому существуют и являются конечными величины 3* (/) в
■= sup sn (/), с7* (Л = inf Sn (/), которые берутся по всем разбиениям П отрезка
п п
Jm;M]. Число д* (/) называется нижним интегралом функции / по множеству А, а
3* (Л— верхним интегралом функции f по А. Вполне естественно ограниченную
измеримую функцию / назвать интегрируемой по Лебегу на множестве А, если
3* (/) = 3* (/)■ Это общее число называется интегралом Лебега функции / по
множеству А и обозначается символом f / Or) dfi = 3*(f) = 3* (/)• Из очевидного нера-
А
венства 0 < Sn (/) — sn (f) ^ X • ц (Л) следует, что каждая ограниченная
измеримая функция / является интегрируемой на измеримом множестве А, если fi (А) ■<
< + оо.
Интеграл Лебега для неограниченной измеримой функции у = / (х),
определенной иа измеримом множестве А, мера которого конечна, определяется так. Пусть
вначале функция у = f (х), х £ А, неотрицательна иа А. Рассмотрим
последовательность (/N (#))^=1 срезок функции / (х), определяемых равенствами
О t (*), если / (*) < N,
'N 1 N, если /(*)>N.
Тогда каждая из функций /N (х) является ограниченной измеримой на А и
поэтому интегрируемой на А. Поскольку эта последовательность неубывающая:
/n (*) </n+i М (V* £ А и VN £ N), то существует предел lim f /N (x)d\i. Если
N-n» д
этот предел конечен, то неотрицательная функция у = f (х), х £ А, называется u/t-
тегрируемой или суммируемой по Лебегу на множестве А. В этом случае
интегралом Лебега функции / по множеству А называется предел
lim \ /N (х) dfi = \ f (х) dfi.
Пусть теперь неограниченная измеримая функция у = f (х), определенная на
измеримом множестве А, мера которого конечна, принимает значения обоих знаков.
Тогда для определения интегрируемости / на А воспользуемся разложением
/ (*) = /+ (*) — f— (*). х € А. Поэтому функцию/ называют^интегрнруемой или
суммируемой по Лебегу на множестве А, если интегрируемыми на А являются функции
/, и /_. При этом полагаем
h (х) dfi = | /+ (х) dfi — j /_ (*) dfi.
A A A
Интегрируемость измеримой функции, заданной на множестве бесконечной
меры, определяется, как и раньше, с помощью систем исчерпывающих множеств.
Б) В этой конструкции определение интеграла Лебега также начинаем со
случая ограниченной измеримой функции у = f (х), заданной на измеримом множестве
А, мера которого конечна. Для этого рассмотрим произвольное разбиение П
множества А на конечное число попарно непересекающихся измеримых множеств
69

n
Аь, k — 1. 2 n, т. е. пусть A = U /4¾. Имея такое разбиение П, полагаем М^ =»
*=1
= sup / (х), т/г = inf / (х) (k = 1, 2, .... л). Для данного разбиения П множества
х€Ак *€лк
А ограниченной измеримой функции у = f (х), х £ А, составим суммы
п п
. sn (/) = 2 Щ ■ ч (Дк). «п (/) = £ т* • f* ^
н назовем их верхней и нижней суммами Лебега — Дарбу. Можно показать
(аналогично римановской теории интегрирования), что множество {Sn (/)}п верхних сумм
Лебега — Дарбу ограничено снизу (например, любой нижней суммой
Лебега—Дарбу), а множество {sn (f))u нижних сумм Лебега—Дарбу ограничено сверху
(например, произвольной верхней суммой Лебега — Дарбу). Далее вводим
верхний д* (/) и нижний д„ (/) интегралы функции / по множеству А с помощью
равенств: д* (/) = inf Sn (/), д„ (/) = sup sn (/). Тогда естественно назвать
ограниченную измеримую на множестве Ас ц (А) <+ оо функцию / интегрируемой или
суммируемой по Лебегу, если д* (/) = д„ (/). Это общее число называют интегралом
Лебега функции / на множестве А и обозначают | f(x) d\i. Каждая ограниченная
А
измеримая функция у = f (х), определенная на измеримом множестве А, мера
которого конечна, является интегрируемой по Лебегу на А.
Пусть теперь неотрицательная измеримая и почти всюду конечная функция
/ определена на измеримом множестве А, мера которого может равняться и -j-°°-
Рассмотрим всевозможные измеримые подмножества ас Л, имеющие конечную
меру, на которых функция / ограничена, и положим
^ / (х) dp, = sup j" f (x) dp.. J
A a
При этом, если [ I (x) d\i < + оо, то функцию / называют интегрируемой или сумми-
"а
руемой по Лебегу на множестве А, а величину f / (x)d\x. — ее интегралом по множе-
А
ству А.
Если измеримая функция /, определенная на измеримом множестве А, мера
которого может равняться + оо, принимает значения разных знаков, то снова
исходим из представления f (х) = / , (х) — /_ (х), х £ А Тогда функция / называется
интегрируемой или суммируемой по Лебегу на множестве А, если такими на А
являются неотрицательные функции /, и /_. Для интегрируемой функции / на А
полагаем
J / (х) dy, = f /+ (х) dp.-[f_ (х) d».
A A A
В) Теперь рассмотрим иной интересный подход к построению интеграла
Лебега — так называемую схему Даниэля. В этой схеме для построения интеграла Лебега
не требуется изначального введения счетно-аддитивной меры, определенной на а-
алгебре 21 подмножеств множества X. Наоборот, о-алгебра 21 и о-аддитивная
мера fi на ней будут построены как следствия развития понятия интеграла Лебега,
Таким образом, в этой схеме считаем заданным лишь непустое множество X, на
котором не выделена ни о-алгебра 21, ни мера р.
Пусть на этом множестве X задано семейство Н = Н (X) вещественных функций
h(x). х f X, которые называем элементарными.
Ппвйполагаем, что семейство Н содержит функцию h (х) = 1, х £ X, и:
а"1 вместе с любыми функциями Лх (х), Л2 (х) (х £ X) содержит также функции
ohi (х) -f- №2 (*). х € X, при любых вещественных а и (5;
б) вместе с каждой функцией Л (х), х £ X, содержит ее одуль \h (х) |, х £ X.
70

В силу свойства а) совокупность Н представляет собой линейное пространство.
Следствием из свойства б) является то, что вместе с функцией Л в 'пространство
Н входит ее положительная часть Л+ (х) = —- [ | Л (х) | + Л (*)], х £ X, и
отрицательная часть Л_ (л:) =-—[ | Л (jc) |— Л (*)], х£Х, а вместе с функциями ftx (х)
н ft2 (х) — также max (ftx (х), ft2 (х)) и min (ftj (х), ft2 (х)), х £ X.
Далее предполагаем, что каждой элементарной функции ft (х), х £ X,
сопоставлено число j ft (х) d\i, называемое элементарным интегралом функции ft по множеству
х
X, удовлетворяющее условиям:
1) \ [aftt (х) + fJft, (х)\ d\x. = a j ftj (х) d\i + р" I ft2 (х) d^i для любых ftx (х) £ H.
x XX
Л2 (x) £ H и любых вещественных аир,
2) i ft (х) d\n > 0, если ft £ Н и ft (х) > 0 для каждого х £ X;
х
3) если последовательность функций (/2„ (х))^! семейства Н стремится убывал
к нулю (в каждой точке х £ X), то
lim i ft„ (х) dfi = 0.
л-t-oo J
Оказывается, что при выполнении условий 1) — 3) совокупность элементарных
функций может быть расширена до некоторой совокупности L (X, \i) = L (X)
функций, определенных на X, и элементарный интеграл при этом распространяется из
Н на L (X), т. е. определяется интеграл j / (х) d\i для каждой функции / g L (X).
х
Класс L (X) называется совокупностью интегрируемых или суммируемых по
Лебегу на множестве X функций, а интеграл [ / (х) dfi — интегралом Лебега функции
х
f по X. Отметим в общих чертах это расширение.
Вначале введем важное для этой конструкции интеграла Лебега понятие
множества меры нуль. Множество A cz X называется множеством меры нуль, если
для каждого е > 0 существует монотонно возрастающая последовательность
элементарных функций 0 ^ ftj (х) <: ft2 (х) ^ ... таких, что для каждого х £ A sup hn (х) >
п
^ 1, но [ h„ (x)d\i <. е. Имея понятие множества меры нуль, общепринятым об-
х
разом вводят понятия «сходимости почти всюду» и «функция почти всюду конечна».
Вещественная функция у =■ f (х), х £ X, называется измеримой по Лебегу, если она
почти всюду конечна и может быть представлена как предел почти всюду сходящейся
лоследовательности элементарных функций.
Введем класс функций, который обозначается £+: функция у =«= <р (х), х £ X,
принадлежит по определению классу L+, если она может быть представлена как
предел (в смысле сходимости почти всюду) монотонно возрастающей на X
последовательности элементарных функций ft„, причем интегралы от этих функций ограничены
в совокупности:
3ceR: ("ft„(x)4i<c (VngN).
х
В этом случае для <р £ L+ естественно положить
\ (р (х) dfi = lim \ ft„ (х) djx.
71

Наконец, функция у = f (х), х £ X, называется интегрируемой или
суммируемой по Лебегу, если она может быть представлена в виде разности / (х) = <р (х) —
— tp (х), х £ X, двух функций <р и »е из класса L+. Ее интегралом Лебега
называют число
^ f (х) dfi =: ^ <f (х) ац — j" ^ (*) dp.
XXX
Совокупность всех интегрируемых по Лебегу на X функций, как отмечалось выше,
обозначается L (X).
Измеримые множества и мера Лебега вводятся так. Множество A с X
называется измеримым по Лебегу, если измерима wo характеристическая функция 1Д (х),
х £ X, т. е. функция, равная единице на Л и нулю вне А. Для измеримого
множества A с X его мерой Лебега естественно считать число \л (А) = ^у.л М ^М" В част-
х
ности, все множество X измеримо, поскольку хх (х) = 1 является элементарной
функцией и ц (X) = f 1 ■ d\i. Тогда класс 21 всех измеримых множеств образует а-
х
алгебру и мера ц на ней о-адднтивна. Таким образом, мы рассмотрели схему
Даниэля для случая, когда ц (X) конечна (это обусловлено тем, что функция h (х) = 1,
х£Х, принадлежит Н (X)). Аналогично, но с некоторыми изменениями, эта
конструкция используется и в более общей ситуации, когда, возможно, р, (X) = +оэ,
т. е. функция h (х) г 1, х £ X, не обязательно является элементарной.
Приведем некоторые примеры использования схемы Даниэля.
а) Пусть X = [а; Ь\ — ограниченный отрезок числовой оси R. Вещественная
функция h, заданная на сегменте [a; ft], называется ступенчатой, если отрезок [а;
Ь\ можно разбить на части с помощью точек деления а = х0 <. хх <С ...<*„= Ь
так, что функция h постоянна на каждом интервале (х^; *t+i) разбиения, т. е.
к(х) = у к, х £ (хь; *£_|_i). где у^ — постоянные (k = 0, 1, .... п — 1). В точках
разбиения можно не интересоваться значениями ступенчатой функции, поскольку этих
точек конечное число (и, тем самым, эти точки образуют множество меры нуль).
Для такой ступенчатой функции h определим интеграл, полагая
] h(x)dp= £ й, (*<■+!— **)•
Тогда в качестве совокупности Н ([а; Ь]) элементарных функций берем класс
всех ступенчатых функций, определенных на отрезке [а; Ь], а введенный выше
интеграл от этих функций — в качестве элементарного интеграла. Можно проверить,
что все условия а), б) и 1) — 3) выполняются. Далее по схеме Даниэля строим класв
L ([а; Ь]) интегрируемых по Лебегу на [а; Ь] функций, а-алгебру 21 измеримы*
по Лебегу подмножеств отрезка [а; Ь) и счетно-аддитивную меру Лебега ц на 91.
Аналогичные построения можно осуществить и на конечном интервале (а; Ь) числовой
оси R.
б) Пусть X = [а; Ь\ — ограниченный отрезок числовой оси R. В качестве
класса Н ({а; Ь]) элементарных функций рассмотрим совокупность всех вещественных
непрерывных функций, определенных на fa; Ь) (или даже класс интегрируемых по
Риману на [а; к\ функций). Элементарным интегралом £ h (х) d\i непрерывной
функции у — h (х), х £ [а: Ь], назовем ее интеграл Римана, т. е. положим
Ь
[ h(x)d\i = [h (х) dx.
a
Можно показать, что указанные ранее условия, налагаемые на класс
элементарных функций и элементарный интеграл, выполняются. Поэтому по
схеме Даниэля построим совокупность L ([а; Ь]) (совпадающую с аналогичным
классом в примере а)) интегрируемых по Лебегу на [а; Ь] функций, a-алгебру 21 измеримых
по Лебегу подмножеств отрезка [а; Ь] н счетно-аддитивную меру Лебега (i на 51,
74

Аналогичные построения можно осуществить также на конечном интервале (а; Ь)
числовой оси R.
в) Если X = (а; Ь) — бесконечный интервал, то в качестве совокупности
элементарных функций можно взять класс ступенчатых функций, или класс неирерыв-
ны.х функций, или класс интегрируемых по Риману функций, причем каждая
функция должна быть равна нулю вне некоторого конечного интервала, своего для каждой
функции (такие функции называются финитными). Элементарным интегралом
элементарной функции называют ее интеграл Римана по интервалу (а; Ь). Класс
L (а; Ь) интегрируемых по Лебегу функций, а-алгебра измеримых подножеств
интервала (а; Ь) и счетно-аддитивная мера Лебега ц. на 21 строятся в этом случае по
схеме Даниэля так же, как и раньше.
г) Пусть Х= Р — ограниченный параллелепипед пространства R"1. Если
параллелепипед Р разбит на конечное число непересекающихся параллелепипедов
Pi. ■ ■. Pni то функция, постоянная иа каждом Р;, называется ступенчатой функцией.
Интеграл от ступенчатой функции п, принимающей в параллелепипеде Р, значение у/,
определяется формулой
- ч
U(*)d|im = £ урт<Р,).
р /-1
Тогда класс всех ступенчатых функций, определенных на Р, образует
совокупность Н (Р) элементарных функций, а интеграл Римана f h (х) d\in от ступенчатой
Р
функции является элементарным.
В качестве класса Н (Р) элементарных функций можно было бы также взять
совокупность всех непрерывных функций на параллелепипеде Р или интегрируемых
по Риману функций на параллелепипеде Р. Элементарным интегралом таких
функций будет интеграл Римана от них по параллелепипеду Р.
Таким образом, в этом случае также можно использовать схему Данизля н
построить измеримое пространство (Р, 2tm, цт).
Если параллелепипед Р пространства Rm неограничен, то класс L (Р)
интегрируемых на Р функций, а-алгебра 2Im измеримых подмножеств множества Р и а-ад-
дитивная мера цт на 21ш строятся так же, как и в примере в).
д) Пусть X совпадает с пространством s всех вещественных последовательностей
* == (Si, ■■■> S/jf -•)■ Вещественная функция у = / (х), определенная на множестве
s, называется цилиндрической, если существуют т £ N и непрерывная на
(^функция fim^ (|ь ..., |m) такие, что
f(x) = ^(^. ... , U) <Vx€s).
Совокупность всех цилиндрических функций образует класс Н (s)
элементарных функций. Для цилиндрической функции / (х) = /tml (£,, ..., £„,), х = (£1( ...
—■, 5п> ---) € s> определим элементарный интеграл с помощью равенства _
Г/(*)Ао = —-~ 1 ... | /f"](5i, .-., lm)-e *=' dlt ...dU-
Можно доказать, что все условия а), б) и 1) — 3), которым подчинены класс
элементарных функций и элементарный интеграл, в этом случае выполняются.
Следовательно, по схеме Даниэля можно построить совокупность L (s, а>) — L (s)
интегрируемых по Лебегу функций, а-алгебру 2Im измеримых подмножеств пространства
s и счетно-аддитивную каноническую гауссову меру <и на 2Im.
е) Пусть X = Q, [0; я] — совокупность всех непрерывных функций х — х (t),
0 ^ t ^ я, удовлетворяющих условию х (0) = 0. Вещественная функция у =
= / (*), определенная на С0 [0; я], называется цилиндрической, если существуют
разбиение отрезка [0; я! точками 0 <С tt <. t2 <. ... <. tm = я и непрерывная на С?
74

функция ftml (lu .... lm) такие, что
f (x) = /I»! (* </4) x (U) (V л: e Q, [0; 'я]).
Для цилиндрической функции f определим интеграл, полагая:
4-ое +°°
\ /(*)Фш = ,- ' =- f ■•■ f /""](gi. ...,1т) Я
С40;я]
|/"я%(4-У ... (/„-/„_,)
6? £ «*H5a_i>«
■I
X« fc~2 • «*li - • • rf?m.
Тогда совокупность всех цилиндрических функций образует класс Н (С0 [0; it])
элементарных функций, а введенный для них интеграл является элементарным
интегралом Следовательно, по схеме Даннэля можно построить совокупность
L (С0 10; я], цш) = L (Q, [0; я]) интегрируемых по Винеру функций, о-алгебру
21ю-измеримых по Винеру подмножеств пространства С,, [0; я] и а-аддитивную меру
Винера nw на 21ш.
3. Предельный переход под знаком интеграла. Связь интегралов Лебега и Рима-
на. В этом пункте рассматривается вопрос о том. когда из сходимости (в том или
ином смысле) на измеримом множестве А последовательности интегрируемых
функций (/„ (x))%Li, х (j А, к функции / (х), х £ А, следует интегрируемость/ на А и
справедливость равенства lim (" /„ (х) ф = f f (х) du..
»-°° А А
Если ответ на этот вопрос положительный, то говорят, что возможен предельный
переход под знаком интеграла. Рассмотрим в этой связи интеграл Лебега по
лебеговой мере \it на отрезке [0; я] числовой оси R. Пусть дана функциональная
последовательность непрерывных на [0; я] функций
я
п sin пх, если 0 < х < —
я
0, если — ^ х ^ я.
п
Тогда каждая функция этой последовательности интегрируема по Лебегу,
поскольку она ограничена и измерима на [0; я]. Кроме того, для каждой точки
же[0, я] lim /„(*) = 0 = /(х). Однако, \ /„ (х) йц, = 2, V п g N. Следователь-
. l0:*J
но, равенство lim \ fn(x)d\i1 = \ f (х) dnt не является правильным. Поэтому
[0;л1 [0;я]
ожидать утверждений типа «из f„ (х) -*■ f (х) следует \ /„ (х) d\i-+ \ f (х) ф> без
А А
дополнительных предположений о характере сходимости /„ к своему пределу
нельзя.
Теорема 10 (А. Л е б е г а). Пусть на измеримом множестве А а X задана
последовательность (/„ (ж))^_1 интегрируемых на А функций, которая сходится по
и
мере к некоторой функции f (х) (т. е. fn-+f на А). Если существует
неотрицательная интегрируемая на А функция <р (х), что |/„ (х) | < <р (х) при каждом п для
почти всех.х £ А, то f также интегрируема на А и
lim \ fn(x)d\i= [ f(x)d\i.
А А
Замечание. 1) Теорема Лебега остается в силе, если в ее формулировке сходи»
мость по мере заменить на сходимость почти всюду к измеримой функции /.

2) Неотрицательная интегрируемая функция <р, фигурирующая в теореме
Лебега, называется интегрируемой мажорантой функциональной последовательности
Для монотонных последовательностей справедлива несколько более сильная
Теорема.
Теорема 11 (Б. Л е а и). Пусть на измеримом множестве А а X задана
неубывающая последовательность /j (х) ^ /2 (х) ^ ... <; /„ (х) ^ ..., х £ А,
интегрируемых функций, интегралы от которых ограничены в совокупности
Э L6 R :]"/«(*) <*Ц<£ (V«6N).
А
Тогда почти всюду на А существует конечный предел I {х) ~ lfm /„ (х), функция
Л-*оо
f интегрируема на А и
Jim [f„(x)d\i= [f(x)dp.
"-"Я А
Условие монотонного неубывания функций }п (х) можно заменить в теореме
Б. Леви условием их монотонного невозрастания.
Следствие. Если (g„ (дс))~ j — последовательность неотрицательных инте-
грируемых на измеримом множестве А с X функций и ^ I gn (х) d\i ■< -J- оо,
"=| А
оо
то почти всюду на А функциональный ряд ^ g„ (х) сходится и
Теорема 12 (П. Фату). Пусть на измеримом множестве A ez X задана
последовательность (/„ (Jt))^_t неотрицательных интегрируемых функций, которая
сходится почти всюду на А к некоторой функции f (х), х £ А, и интегралы от
функций этой функциональной последовательности ограничены в совокупности
3L$R:\fn(x)d\i^L (V/iGN).
"а
Тогда функция f интегрируема на А и { f (х) d\i <; L.
А
Замечание. Теорема Фату остается в силе, если в ее формулировке сходимость
цочти всюду заменить на сходимость по мере.
Теорема 13. Пусть на некотором измеримом по Жордану множестве А
пространства Rm задана интегрируемая по Роману функция у = / (х), х = (%и Л., \т) € А.
Тогда эта функция интегрируема по Лебегу на А относительно меры Лебега
р.т и справедливо равенство
[ ■■■ [t (6„ • . • , Im) dh . . . d\m = J f (X) d\lm.
A A
Таким образом, класс L (А) интегрируемых по Лебегу функций в пространстве
R"1 содержит всю совокупность интегрируемых по Риману функций и интеграл
Лебега является продолжением интеграла Римана на L (А). Поэтому для интеграла
Лебега по мере Лебега употребляется то же обозначение, что и для интеграла Римана.
ь
Например, часто используют обозначение '. f (x)dx для интеграла^ / (х) d\ilt
а 1«*]
75

» b
интеграл 1 \ f (x, y) dxdy обозначает интеграл Лебега f f f(x, y) d|i2 от функции
1 с la;b]Xlcld]
двух переменных (x, у) или употребляют обозначение f ... f f (£ц ..., %т) й\г...
A
... dim вместо интеграла Лебега С ... J/ (li Im) tym = [ F (x) d\im функции f no
A A
^-измеримому множеству A cz Rm.
В терминах меры Лебега можно сформулировать удобный для применения
критерий интегрируемости функции по Риману.
Теорема 14. Для того чтобы ограниченная на параллелепипеде Р a Rm функция
у = / (х) была интегрируемой по Риману, необходимоt и достаточно, чтобы она
была непрерывной почти всюду, т. е. множество ее точек разрыва являлось множеством
11т-меры нуль.
4. Прямое произведение мер. Теорема Фубиин. В математическом анализе
важную роль играет теорема о сведении двойного (или вообще многократного) интеграла
к повторному. В теории кратных интегралов Лебега в этом плане основным
результатом является теорема Фубини. Прежде чем ее сформулировать, приведем ряд
понятий и утверждений.
Если Хи ..., Хт — некоторые непустые множества!, то упорядоченный набор
(*!, ..., хт), где хь £ Xk, называется прямым произведением множеств Хь ..., Хт и
обозначается символом X, X Х2 X ... X Хт. В частйости, если X! = Х2 = ... =
Хт = X, то это множество является m-й степенью множества X : Хт = X X
X X X ... X X. Например, координатное m-мерное пространство Rm есть m-я
степень числовой прямой R1 = R.
Если Sj, S2, ..., Sm — системы подмножеств множеств X|f Х2, ..., Хт, то S = S] X
X S2 X ... X Sm обозначает совокупность подмножеств множества X = X] X Х2 X
X ... X Хт, представимых в виде А = АЛ X А2 х ... X Ат, где Ak g Sk, k = 1,
2, ..., т. Если Sj = S2 = ... = Sm, то S есть m-я степень множества Sj, т. е. S = S^.
Например, система &т параллелепипедов пространства Rm является m-й степенью
системы промежутков числовой оси R.
Нетрудно доказать, что если системы %lt 9t2, .... %m являются полукольцами
подмножеств соответственно множеств Х]? Х2, ..., Хт, то их прямое произведение
St, X 9?2 X ... X У1т также является полукольцом. Однако из предположения, что
системы %£ (k = 1, ..., m) суть кольца (или о-алгебры), еще не вытекает, вообще
говоря, что произведение Ч1-, X %2 X ... X %„, является кольцом (соответственно а-
алгеброй).
Пусть на полукольцах %ь %2, ..., %m подмножеств множеств XJ; Х2, ..., Хп
соответственно заданы MepHvlt v2, ..., \т. Определим на полукольце % = %jX 9L X
X ... X%m меру (А = V, X v, х ... X vm формулой ц (A) = Vj (AJ v2 (АЛ) \т (Ат),
где А = Аг X А% X ... X Ат £ %. Мера ц называется произведением мер v1( v2, ...
.... \т. Например, мера Лебега |хт в Rm является m-й степенью линейной меры
Лебега |Х].
Теорема 15. Если меры\Л, v2, ..., vm о-аддитивны соответственно на
полукольцах %,, %2, .... % т, то их произведение |х = Vi X v2 X ... X vm также является
а-аддитивной мерой на полукольце 9J = 9(, X %2 X ... X %т.
Если меры V], v2, ..., \т а-аддитивны, заданы соответственно на а-алгебрах ^1?...
..., 58т подмножеств множеств Х1( Х2, ..., Хт, то их произведением назовем лебегово
продолжение меры v, X v2 X ... X vm, определенной иа полукольце ffi} X ^2 X
X ... X ^т- Это продолжение обозначим символом vx ® v2 <8 ... <8 vm.
Далее для простоты обозначений и формулировок утверждений будем
рассматривать произведение только двух мер. Пусть имеем два измеримых пространств.) (X,
2I*i №х) и (Y, 2Ij,, М^), причем меры |iA и (ху предполагаются полными и а-конечными.
Тогда на некоторой а-алгебре 21 (i-измеримых множеств, являющихся
подмножествами множества X X Y, определена а-аддитивная мера ц = цх ® \\.у. Пусть А —
некоторое множество из X X Y. Для каждого фиксированного х (Е X введем множество
4* = {У € ^ : (х, у) £ /4). Аналогично для каждого фиксированного у £ Y рассмот-
Тв

рим множество Ау = {х (Е X : (х, у) £ А}. Например, если X и Y — числовые прямые,
а, следовательно, X X Y — плоскость, то Ах есть проекция на ось Y сечения мно!
жества А прямой х = ха.
Теорема 16. Пусть А — ^.-измеримое множество произведения X X Y. Тогда
для почти всех х £ X (в смысле меры цх) множества^А х являются неизмеримыми,
функция цу (А х) : X -*■ R цх -интегрируема на X и справедливо равенство
(г (A) = j \iy (Ах) d\ix
Аналогичное утверждение справедливо также для множества Ад и поэтому
верно равенство
И (A) = j Их (Ау) d\iy.
Y
Пусть Y = R, а цу = 1½ — линейная мера Лебега на Y. Рассмотрим
неотрицательную функцию у = / (х), определенную на множестве А cz X. Тогда подграфи-
ком функции f называется множество
Цх; y)axRuM,0^*</W) = r(/).
Теорема 17. Если неотрицательная функция у = f (х), х £ А, ^^интегрируема
на A cz X, то ее подграфик Г (/) является цх <Э Hi = ^-измеримым и ц (Г (/)) =
Теорема 17 имеет определенный геометрический смысл: интеграл Лебега от
неотрицательной функции представляет собой меру подграфика этой функции.
Если X = R, множество А — отрезок [a; b] cz R, а функция / (х)
интегрируема по Риману, то теорема 17 сводится к известному выражению интеграла через
площадь криволинейной трапеции Г (/).
Теорма IS (Г. Ф у б и н и). Рассмотрим два измеримых пространства (X, 21х,
Их) и (Y, Цу, \iy), причем предполагаем, что меры цх и цу счетно-аддитивны, а-конечны
и полны. Тогда можно рассмотреть измеримое пространство (XX Y, 21, ц), где ц =
= цх ® цу, а 21 — а-алгебра ^-измеримых подмножеств множества X X Y. Пусть
функция г = / (х. У) ^-интегрируема на неизмеримом множестве A cz X X Y. Тогда
для почти всех х (в смысле меры цх) функция / (х, у) цу-интегрируема на Ах
(аналогично для почти всех у в смысле меры цу функция /(х, у) цх-интегрируема на А у) и
справедливо равенство
[ f (х, ц) d\i = \ ( \ f (х, у) d\iy\ d\ix=\(\ f (х, у) dpx\ d!V
A X M„ ' Y M„ '
(4)
A .. ..K . ..y
Сведение двойного интеграла к повторному по формуле (4) возможно и без
условия ^-интегрируемости /. Например, справедлива такая теорема.
Теорема 19 (Л. Т о н е л л и). Пусть функция г = f (х, у) fi-измерима на
множестве A cz X X Y. Тогда функция г = / (х, у) цу-измерима на Ах при почти всех х £
£ X (относительно меры цх) и аналогично f (х, у) — цх-измерима на Ау при почти
всех у £ Y (относительно меры у.у), причем если существует хотя бы один из
повторных интегралов
[([ \f(*, У)\ dpy\ dp.x или U\ If (х, У) | йцх\ d\L4,
х \д, / Y М„ I
* у
то z = f (х, у) является ^-интегрируемой на А и справедливы равенства (4).
Как показывают примеры, из существования повторных интегралов
\(\ f(x, У) dPy) d\ix и f ( f f(x, у) d\ix \ dpv
x4 ' y4
не следует, вообще говоря, ни их равенство, ни ^-интегрируемость функции f на А.
77

5. V сграл Лебега как функция множеств. Теорема Радона — Никодима.
Пуст* л, 31, р.) — измеримое пространство, причем ц (X) < +оо. Рассмотрим
интегрируемую на X функцию у = f (х), х £ X. Тогда / является интегрируемой на
каждом измеримом множестве А с X к, следовательно, интеграл
Ф (А) = [ Г (х) dp (5)
А
(с фиксированной /) представляет собой функцию множеств, определенную на а-ал-
гебре Я всех измеримых множеств пространства X. " I
Из свойства а-аддитивности интеграла Лебега следует, что функция множеств
Ф (А), А £ Я, является счетно-аддитивиой на'Л, г е. если измеримое множестио А
представлено в виде объединения A = U А^ конечного или счетного числа попарно
k
непересекающихся измеримых множеств, то Ф (А) = 2 ф (Аь).
к
Таким образом, функция Ф, определенная равенством (5), обладает всеми
свойствами а-аддитивной меры, за исключением, может бьиь, неотрицательности.
Отметим, что если / (х) ;> 0 для почти всех х £ X, то Ф (А) ^ 0 для каждого А £ Я.
Исходя из этого дадим такое определение.
Определение 4. Пусть X — непустое множество и Я — некоторая а-алгебра
лодмножеств множества X, на которой определена конечная а-аддитивная функция
множеств Ф. Тогда эта функция множеств Ф называется знакопеременной мерой или
зарядом.
Рассмотрим заряд ф, определенный на а-алгебре Я подмножеств множества X.
Множество А~ £ Я называется отрицательным относительноФ, если Ф (А~ (] A) ^,
<| 0 для каждого A £ Я; аналогично A' £ Я называется положительным
относительно Ф, если Ф (/4+ П А) :> 0 для любого А £ Я.
Теорема 20. Если Ф —заряд, определенный на а-алгебре Я подмножеств
множества X, то существует такое множество А~ £ Я, что А~ отрицательно и А^~ =
= X \ А~ положительно относительно Ф.
Разбиение множества X = А~ {] Л+, А~ П А+ = 0, на отрицательную А~ и
положительную /4 + части относительно заряда Ф взывается разложением Хана.
Разложение Хана, вообще говоря, не единственно. нако если имеются два таких
разложения X = А~ U Af' и X = AJ~ U А^, то для произвольного А £ Я
Ф (А Л А-) = Ф (А П А-), Ф(АС]А+)=Ф(А f) At).
Следовательно, на а-алгебре Я заряд Ф однозначно определяет две
неотрицательные функции множеств
Ф+(А) = Ф (А (] А+), Ф-(А) Ф(А(]А-),
называемые соответственно верхней и нижней вариациями заряда Ф. Кроме того,
эти вариации обладают такими свойствами.
1) Ф (А) = Ф+ (А) — Ф~ (А) для каждого А £ Я;
2) Ф+ н Ф~ представляют собой неотрицательные а-аддитивные функции
множества на а-алгебре Я, т. е. они являются счетно-аддитивными мерами на Я.
Представление функции Ф = Ф+ — Ф~ в виде разности верхней и нижней
вариаций заряда Ф называется разложением Жордана заряда Ф. Отметим, что функция
множеств | Ф| (А) = Ф+ (А) + Ф~ (А), А £ Я, также является а-аддитивной мерой
на Я, которая называется полной вариацией заряда Ф.
Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство. Тогда с помощью а-аддитивной
меры fi, определенной на а-алгебре Я, можно указать основные типы зарядов Ф,
заданных на Я. Заряд Ф, определенный на множествах А £ Я, сосредоточен на ц-измери-
мом множестве А0 £ Я, если Ф (А) = О для каждого A ez X \ А„, А £ Я. Множество
А0 при этом называется носителем заряди Ф. Заряд Ф называется непрерывным, если
Ф (А) = 0 для любого одноточечного множества А £ Я. Заряд Ф называется
дискретным, если он сосредоточен на некотором конечном или счетном множестве. Иными сло-
78

вами, заряд Ф дискретен, если существует конечное или счетное множество точек сл>
ct, .... что для каждого А (Е 21 Ф (А) = 2 Ф (сА). Заряд Ф называется абсолютно не-
прерывным (относительно заданной меры ц), если Ф (А) = 0 для каждого
^-измеримого множества А, для которого ц (А) = 0. Заряд Ф называется сингулярным
(относительно меры ц), если он сосредоточен на некотором множестве нулевой |х-меры.
Очевидно, только нулевой заряд является одновременно абсолютно непрерывным и
сингулярным. /
Примером абсолютно непрерывного заряда может служить заряд Ф,
определенный с помощью интеграла Лебега по формуле (5). Оказывается, что этим
исчерпываются все абсолютно непрерывные относительные меры ц заряды.
Теорема 21 (Радона — Никодима). Пусть \i — некоторая а-аддитш-
нал мера, определенная на а-алгебре 21 подмножеств множества X, а Ф — заряд,
заданный «а 21 и абсолютно непрерывный относительно ц. Тогда существует такая |i-
интегрируемая функция f на X, что Ф (А) = J/ (х) rffx Ы А € 21). Функция f, назы-
А
ваемая производной заряда Ф по мере ц, определяется однозначно (с точностью до |х-
аквивалентности).
Отметим, что в некоторых литературных источниках для производной заряда Ф
по мере ц используется обозначение ~j— (х) = f (х).
Относительно теории интеграла Лебега см. также в [1; 20; 23; 33; 38].
Примеры решения задач
1. Пусть (X, Ж, ц) — измеримое пространство. Доказать, что
измеримость одного из лебеговых множеств функции у = / (х), х £ А
(А £ 91) для каждого числа с£ Повлечет измеримость всех остальных
лебеговых множеств функции /. Доказать также, что функция у =
= f (х), х £ А, измерима тогда и только тогда, когда для
произвольного борелевого множества В a \R множество f~l (В) = [х £ А :
: f (х) £ В) измеримо.
Решение. Допустим, что для каждого с £ R лебегово множество,
например, вида {х £ A : f (х) < с} измеримо. Покажем измеримость
остальных лебеговых множеств функции /. Рассмотрим вначале
множество вида {х £ А : / (х) !> с]. Очевидно, что {х £ А : / (х) !> с) =
= А \ {х £ А : f (х) < с). Поэтому исследуемое лебегово множество
измеримо как разность двух измеримых. Теперь рассмотрим лебегово
множество {х £ A : f (х) ^ с). Очевидно, неравенство / (х) ^ с,
рассматриваемое для х £ А, равносильно совокупности неравенств / (х) •<
<L с -\ , п £ И, также рассматриваемых на множестве А. Тогда,
используя теоретико-множественную операцию пересечения, получим
[x£A:f(x)^c} = £ {*£ Л ••/(*)< с+—}.
Отсюда следует, что множество [х £ A : f (х) ^ с) измерим^ как
пересечение счетного числа измеримых множеств. Наконец, поскольку
{х £ A : f (х) > с] = А \ [х £ A : f (х) <: с), лебегово множество
вида [х £ A : f (х) > с) также измеримо.
Рекомендуем читателю аналогично убедиться в том, что
измеримость одного из других четырех видов лебеговых множеств влечет
измеримость всех остальных лебеговых множеств. Таким образом,
79

функция f измерима, если измеримо при каждом с £ R одно из
лебеговых множеств.
Докажем, что измеримость функции у = f (х), х £ А, на
множестве А равносильна измеримости множеств вида {х £ A : f (х) £ В] =
= f~x (В) для каждого борелевого множества В числовой оси IR.
Поскольку множества (—с»; с), (—оо; с], (с, +оо) и [с; +оо), где с £ IR,
борелевы, то из измеримости всех множеств вида f~ (В), В £ 5$ (IR),
следует измеримость лебеговых множеств функции f. Поэтому
функция / измерима на А.
Допустим далее, что функция f измерима на А. Докажем
измеримость всех множеств вида f~l (В), где В £ ЗЬ (IR). Если В = G —
открытое множество числовой оси 1R, то его можно представить в виде
объединения G = {] (ak; fik) не более чем счетного числа его составля-
ющих интервалов. Поэтому
Г' (G) = U Г' («*: Р*) = U {*€ А : ak < / (*) < pft}.
Поскольку множества {х£ А : а^< f {х)< р\) представляются в
виде разностей лебеговых множеств {х£А :/(%)< р\} \ {х£А :
: f (х) ^ а*} функции /, то f~ (G) измеримо как объединение не
более чем счетного числа измеримых множеств. Пусть теперь борелево
множество В = F является замкнутым множеством числовой оси IR.
Тогда F = IR \ G, где G = R \ F — открытое множество. Поэтому
множество f~* (F) = f~ (IR \ G) = А \ /""' (G) измеримо как разность
измеримых множеств Ли/-1 (G). Если борелево множество В является
объединением В = U Вк счетного числа открытых или замкнутых мно-
жеств Вк, то из равенства f~ (В) = {] f~ (5^,) следует измеримость
_1 оо
/ (В). Аналогично, если В = |~) Вк, где каждое Bk открыто или замк-
нуто, то множество f~ (В) = |~| Г" (Bk) измеримо. Следовательно, со-
гласно определению класса борелевых множеств 3$ (IR), для
произвольного В £ 35 (IR) множество /~1 (В) является измеримым.
Замечание. В определении измеримости на множестве A cz X функции у = / (х),
х £ /4, требуется измеримость множества /1. Однако если мера |х полная и / почти
всюду конечна на А, то измеримость А следует из измеримости лебеговых множеств
одного из видов дли каждого с (Е R. Действительно, с точностью до множества меры нуль
оо
справедливо равенство A = U {* € А : / (*) < л} и поэтому /4 измеримо, если для
каждого п (Е N измеримыми являются множества {* £ /4:/ (*) <п}..
2. Пусть (X, §1, \i) — измеримое пространство. Доказать, что
функция у = f (х), х £ А а X, измерима на А тогда и только тогда,
когда для произвольного рационального числа г множество {х £ А ;
J / М <. г) измеримо.
80

Решение. Согласно примеру 1 достаточно показать, что для
каждого действительного числа с лебегово множество {х £ А : f (х) < с]
измеримо. Для этого рассмотрим произвольную монотонно
возрастающую последовательность рациональных чисел (rn)ZLit стремящуюся
при п -*■ оо к числу с. Тогда, если для х £ А выполняется неравенство
/ (х) < с, то, поскольку последовательность (rn)%L\, возрастая,
стремится к с, существует номер п такой, что / (х) < гп. Обратно, если для
х £ А найдется такой номер п, что / (х) < гп, то и подавно / (х) < с.
Следовательно, используя операцию объединения множеств, имеем
\x£A:f{x)<.c)= U [x£A:f{x)<rn).
Из измеримости множеств [х £ A : f (х) < гп) следует, что
множество {х £ A : f (х) < с} измеримо. Поэтому функция f измерима на А.
3. Пусть А — неизмеримое (в смысле лебеговой меры \it)
подмножество отрезка [0; 1] a \R и на IR определена функция
Исследовать на щ-измеримость функцию / на множестве IR.
Показать, используя этот пример, что если для каждого действительного
числа с множество {х £ IR : g (х) = с) ^-измеримо, то функция g не
обязательно измерима на IR.
Решение. Докажем, что функция f неизмерима на IR.
Действительно, рассмотрим ее лебегово множество [х £ R : / (х) < 0}. Поскольку
точка х <0 не принадлежит множеству А {А с [0; 1]), то f (х) =
= ~х > 0. Однако, если х > 0 и х g А, то / (х) = —х < 0. Если же
х > 0 и х £ А, то / (х) = х ;> 0. Следовательно, лебегово множество
{х £ IR : / (х) < 0} равно объединению множеств (0; 1] \ А и (1; +оо)
{*eR:f(*)<0}=((0; 1]\Л)и(1; + оо).
Поскольку А—неизмеримое подмножество отрезка [0; 1], то (0;
1]\Л также неизмеримо (иначе А было бы измеримо как
дополнение к (0; 1] измеримого множества (0; 1] \ А). Поэтому и
объединение ((0; 1]\Л)и(1; +оо) не является ц,-измеримым множеством.
Таким образом, лебегово множество -{х £ IR : / (х) < 0} щ-неизмеримо.
Следовательно, функция / неизмерима на IR.
Для рассматриваемой функции f при каждом действительном с
множество [х £ IR : / (х) = с) является или пустым, или одноточечным,
или двухточечным. Следовательно, для любого с £ IR множество {х £
£ IR : / (х) = с) ^-измеримо (имеет щ-меру нуль), но функция /
неизмерима на IR.
Замечание. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и Л с Х- некоторое
измеримое множество. Тогда, если функция y = f(x), х£А, измерима на А, то
для каждого числа с £ К множество {х £ A : f (х) = с] является пересечением
лебеговых множеств {х 6 А : f (х) 5^ с} и {х £ A : f (х) ^ с) и поэтому множество {х £
€ A : f (х) = с] измеримо. Рассмотренный пример показывает, что обратное
утверждение правильно не всегда.
81

4. Рассмотрим измеримое пространство (IRm, 3lm, цт). Доказать,
что непрерывная на измеримом множестве A a \Rm функция является
измеримой на А.
Решение. Пусть вначале A = F является замкнутым множеством
пространства IRm. Для доказательства измеримости функции / на F
рассмотрим ее множество Лебега вида ¥с = (x^F:/(x)^c), где
с £ IR. Покажем, что оно замкнуто в IRm. Для этого пусть точка х*
является предельной для Fc, т. е. х* £ ¥с. Тогда существует
последовательность OO^Li точек множества ¥с, сходящаяся при п -»- с» к л-*.
Поэтому хп £ F и / (хп) ^ с для каждого п £ Щ. Отсюда, используя
замкнутость множества F и непрерывность /, получаем, что х* £ F и / (х*) ^
<! с. Следовательно, х* £ Fc и множество Fc замкнуто, а поэтому
неизмеримо. Таким образом, непрерывная функция на замкнутом
множестве F измерима в смысле Лебега на F.
Пусть теперь А — произвольное цт-измеримое множество.
Согласно теореме 20 из § 1 его можно представить в виде A = ([J ¥k) (j А0,
k
где все ¥k — замкнутые множества в \Rm, а А0 — множество ц^-меры
нуль. Покажем, что непрерывная (впрочем, даже любая) функция /
измерима на множестве А0 меры нуль. Действительно, каждое ее
лебегово множество {х £ А0 : f (х) < с] является подмножеством
множества А0. Поэтому на основании свойства полноты меры цт
множества {х £ А0 : / (х) < с) измеримы и все они имеют меру нуль. Таким
образом, непрерывная функция / измерима на всех подмножествах Ffe
и А0, составляющих множество Л. Докажем, что / измерима на А. Для
каждого с £ IR имеем
{x£A:f(x)<c\ = U \x£Fk:f(x)<c} U {%€ А0: f {х)<с). •
к
Поскольку по ранее доказанному все множества {х£ ¥к: / (х) < с}
и [х £ А0 : f (х) < с) |.1т-измеримы, то таким является и множество
[х £ A : f (х) < с]. Следовательно, функция / измерима на А.
Замечание. Таким образом, если рассматривать измеримое пространство (\Rm,
5Im, цт), то класс измеримых относительно меры Лебега цт функций содержит класс
непрерывных функций. Причем он существенно шире класса непрерывных функций.
Например, для т= 1 всюду разрывная функция Дирихле является ^-измеримой.
) 5. Пусть (X, 21, и) — измеримое пространство и функция у = f (%),,
х £ А, измерима. Доказать, что если функция г = <р (у) непрерывна на
IR, то функция г = ф (/ (х)), х £ А, измерима на А.
Решение. Рассмотрим произвольное действительное число с.
Покажем, что прообраз ф-1 ((—с»; с)) является открытым множеством
числовой оси IR. Действительно, пусть у0 £ ф-1 ((—с»; с)), т. е. ф (#<>) <
•< с. Поскольку функция ф непрерывна в точке г/0, то для
положительного числа е < с — ф (у0) найдется такое б > 0, что если \ у — у01 <
•< б, то | ф (у) — ф (г/о) | < е Таким образом, для каждого у из б-окре-
стности точки у0 имеем ф {у) < ф (у0) + е < ф (у0) +С—(р(у0) =
= с. Поэтому все у нз этой б-окрестности точки у0 принадлежат мно-
82

жеству qH ((—со; с)). Следовательно, прообраз ф-1 ((—со; с))
является открытым множеством числовой оси и его можно представить в
виде объединения не более чем счетного числа составляющих
интервалов ф~' ((—со; с)) = U (о^; р\). Тогда лебегово множество сложной
функции ф (/) имеет вид
{%еЛ:ф(/М)<с} = U Г1 ((«*: Р*))= U {x£A:ak<f(x)<$k} =
к k
- U (1*е Л :/(«)<Р*}\{*€ Л :/(*)>«*})•
к
Отсюда, учитывая измеримость лебеговых множеств {х £ A: f (х) <
•< Pfe| и {х £ A: f (х) ^ ак\ измеримой на А функции /, получаем,
что множество [х £ А: ф (/ (х)) < с] измеримо для каждого с £ IR.
Следовательно, функция ф (/) измерима на А.
Отметим, что из приведенного решения следует, что если функция
/ — борелева на Л, а ф — непрерывна на IR, то ф (/) — также боре-
лева на А.
Замечание. Аналогично доказывается, что если имеется т измеримых функций
у,= f, (х), х (Е А/, где для каждого / — 1,2 m множества А1 fi-измеримы, а
функция 2= ф (уи ...,ут) непрерывна на Rm, то сложная функция 2 = ф (f1 (х), ...,fm (*))«
х £ Л, измерима иа Кт. Однако можно доказать, что из непрерывности функции ф и
измеримости функции / не вытекает измеримость функции / (ф (х)).
6. Пусть (X, 21, \i) — измеримое пространство и на измеримом
множестве "Л задана последовательность (/„ (х))~=1 измеримых
функций Доказать, что на А измеримы функции lim /„ (х) и lim fn(x).
Решение. Введем обозначения: h(x) = Y\mfn(x) и g(x) = lim fn(x),
где x £ А. Для доказательства измеримости функции h исследуем
ее множество Лебега {х £ A: h (х) ^. с), где с £ IR. Из свойств
верхнего предела следует, что если х £ А и к (х) ^ с, то для каждого
натурального числа k найдется номер N такой, что /„ (х) < с + -г, как
только п ^ N. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение. Таким
образом, для х £ А получаем равносильность рассматриваемых
утверждений
Отсюда, переходя к множествам, имеем-
{x£A:h(x)^c}= П О П (*еЛ:Ы*)<с+4-|-
Поскольку функции fn, и£й, измеримы, то их лебеговы
множества \х£ А : fn(x) < с -+- -т-1 также измеримы. Но совокупности
измеримых множеств 91 образует a-алгебру и, следовательно, лсиегопо

множество {х £ A: h (х) ^ с) функции h измеримо. Поэтому функция
h (х) = lim /„ (х), х £ А, измерима на А.
п-ьоа
Доказательство измеримости функции g проводится аналогично.
А именно, для ее лебегова множества \х £ A: g (х) ^ с}, с £ IR, имеем
представление
{x£A:g(x)^c} = П U П !*еЛ:/п(*)>с —-у-}.
k=\ N=1 nJsN ( я J
из которого следует его измеримость.
Отметим также, что из примера б вытекает теорема 2 об
измеримости предельной функции.
7. Доказать, что функция у = } (х), х£Ж, ^-измерима на Ц,
если:
а) f{x) = sm[x]; б) f(x)=y^p-;
п=\ п \Гп
оо оо
в) / (*) = 2 arctg * ; г) / (х) = J
оо
я[*]
1 + я5 [*]2
л=2
-}- COS X
Решение, а) Функция / принимает счетное число значений sin k,
k £ Z- А именно, f (x) = sin k, если л; принадлежит промежутку Ak =
= [fe; fe + 1) и U [fe; fe + 1) = IR Так как промежутки Ль являются
Hi-измеримыми, то исследуемая функция / также щ-измерима на IR.
б) Рассматриваемый ряд непрерывных функций сходится
равномерно на 1R, поскольку Ji£ii2llL ^—— (\/х£Щ, а числовой ряд
я/я ~з
У_ п 3 сходится. Поэтому сумма этого ряда, т. е. функция /,
является непрерывной на 1R и, следовательно, щ-измеримой.
При решении этого примера можно было бы не пользоваться
теоремой о непрерывности суммы равномерно сходящеюся ряда.
Действительно, поскольку члены ряда являются щ-измеримыми функциями и
ряд сходится поточечно (так как он сходится равномерно), то, согласно
геореме 2, функция / ^-измерима.
в) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными на IR
функциями и поэтому Hi-измеримыми. Если х ^ 0, то эквивалентность
arctg 4 1** ~ —г ПРИ п "*" °° позволяет сделать вывод о
сходимости этого функционального ряда для х !> 0. Аналогично, если х < 0,
то —arctg , , , ~ \ при п -*■ оо, и поэтому для рассматрива-
емыххряд у arctg 4 сходится. Таким образом, заданный ряд
n=i п + *^
84

(^-измеримых функций сходится на множестве IR. Тогда его сумма Д.
согласно теореме 2, также является щ-измеримой функцией.
г) Функция у = [х], х £ IR, является простой, принимающей целые
значения k £ % на щ-измеримых множествах Ak = [k; k + 1) и
поэтому ^-измеримой. Тогда и все функции уп = " *( п, х £ !R, так-
же Hi-измеримы, как частное (^-измеримых функций. Кроме того,
воспользовавшись при [х] Ф О эквивалентностью -г- ," *. ,„ ~ . при
1 I —(— я° \х\* п
п-> оо, получаем, что рассматриваемый функциональный ряд
сходится на множестве IR и, следовательно, функция / является щ-измеримой.
д) Члены функционального ряда являются непрерывными
функциями и, согласно принципу Лейбница, этот ряд сходится при каждом
фиксированном х £ IR Поэтому его сумма / является щ-измеримой на
IR функцией.
8. Доказать, что функция г = f (х, у), (х, у) £ IR2. является ц2-из-
меримой на IR2, если1
а) f(x, у) = sign sin я {х2 + у2); б) f(x, у) = cos sh ([х] + [у]);
в) fix, y)=i е-*™™-, г) Цх, У) = Ъ -f^r;
Д) fix, У)= J
п [ху]
^ I + пз [х» + (Л •
Решение, а) Исследуемая функция f является простой, прини~
оо
мающей значение 1 на множестве Аг •= и {(я, г/) £ IR2: 2й < %2+
fe=0
оо
+ г/2 < 2й + 1}, значение—1 на множестве Л_1= (J {ix, г/) £ IR2: 2& +
fe=0
оо
+ 1 <%2 + у2 < 26 + 2} и значение 0 на множестве А0 = {] {(%, i/)$
€«2:х3 + г/2 = й}-
Поскольку множества Лх и Л_1 являются открытыми, как
объединение открытых колец, то они ц2-измеримы. Для каждого k = О, 1, ...
множество {{х, у) £ IR2 ■ х2 + г/2 = й} замкнуто и поэтому А0 также-
ц2-измеримо, как объединение счетного числа ц2-измеримых множеств.
Следовательно, простая функция / принимает значения 1, —1 и 0 на
(^измеримых множествах Alt Л_1 и А0 соответственно Поэтому
функция / ^-измерима на IR2
б) Функция г = [х], ix, у) £ 1R2, является простой, принимающей
целые значения k £ % на ц2-измеримых множествах Ak = {ix, у) £
£IR2i&SC%<;& + 1} Поэтому она ц2-измерима. Аналогично ц2-
измеримой является простая функция г ~ [у], ix, у) £ IR2, а следова-
тельчо, и их сумма г = [х] + [у], ix, у) £ IR2.
На основании примера 5 получаем, что исследуемая функция / ixy
у) = cos sh (Ы + [у]), \х, у) £ JR3, ц2-измерима, как суперпозиция
непрерывной и измеримой функций.
в) Каждый член рассматриваемого функционального ряда
является ц2-измеркмой на IR2 функцией. Действительно, как и а
8&

случае б), получаем, что г = [х2 + у2]—простая измеримая
функция, a f„(x, у) = ^"(1+л[д:,+8'!1) — измерима на IR2, как непрерывная
функция от измеримой (см. пример 5). Поскольку ряд ^ е—"*1+"1х*+йЧ
п=\
сходится в каждой точке (х, у) £ IR2, то из теоремы 2 следует, что'функ-
ция / (х, у) ^-измерима на R2.
г) Все члены заданного функционального ряда являются
непрерывными функциями и поэтому ^-измеримыми на IR2. Тогда на основании
признака Лейбница сходимости знакопеременного ряда и теоремы 2
получаем, что функция / (х, у) ^.-измерима на IR2.
д) Поскольку функции г = [ху] и г = [х2 + У2] являются
простыми ^-измеримыми на IR2, то для каждого номера п ^-измеримой
на IR2 является функция /„ (х, у) = . "%\ 21 ■ Из сходимости
на IR2 заданного функционального ряда (что устанавливается с
помощью признака сравнения) следует ^-измеримость на 1R2 функции
/ (*, У)-
9. Для функции / построить последовательность простых
измеримых функций, равномерно сходящихся к /, если:
а) их) = *, ,<^б) fix) = | J;gy IJ0°;
• в) fix, у) =Vx2 + y\ ix, y)£RK
Решение. Пусть некоторая функция f является измеримой и
конечной на множестве А. Построим для этой функции
последовательность (/i„)~=i простых функций, полагая для каждого целого
числа kh„ix)=— на множестве (х^Л: — <:/(%)<—-*—[• Так
как функция / измерима на А, то множества |л;£Л:— ^/(*)<С
•<———| для k£Z и п£И являются измеримыми, и поэтому все
функции hn измеримы на А. Кроме того, для каждого х £ А
справедливо неравенство \f (х) — hn (х) \ < —, из которого следует
равномерная сходимость на А последовательности ihn)n=\ к функции /.
Поскольку все рассматриваемые в этом примере функции
измеримы (даже непрерывны), то к ним применим указанный процесс
построения последовательности (/i„)£Li простых измеримых функций,
равномерно сходящихся к заданной измеримой функции /. А
именно, в примере а) для целого k полагаем hn(x) =— на множестве
мере б) считаем, что hnix)=0 для х^.0, а на множествах \х>
>0:^<arctg,<-^IliL}={,>0:tg^<,<tgi4^l},
86

где k = О, 1, .... п — 1, полагаем hn(x) = -^-. В примере в) опре-
и [ k -■
делим hn(x, у) =— на множестве их, у)£ IR2: — ^ У х2 -f У2<
<4i} = {(x>y)tW:{±J<x>+y><(*±±)2},rjlek = 0,l
10. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство, а
последовательность функций (/„ (х))™=\, х£А, сходится почти всюду относительно
меры [I на множестве А £ 91 к функции /. Доказать, что если <р —
непрерывная на IR функция, то <р (/„ (х)) ->- ф (/ (х)) почти всюду (в смысле
меры \i) на Л.
Решение. Пусть А0 — такое ц-измеримое подмножество множества
A, \i (А0) = 0, на котором последовательность (/„ (x))^L\ не сходится
к функции /. Тогда для каждой точки х £ А \ А 0 fn (х) -*■ / (х) при п -+-
-*- оо. Поэтому в силу непрерывности на IR функции <р получаем
lim Ф (/„ (х)) = Ф (/ (*)) (V х g А \ А0).
п-юо
Таким образом, имеем такое множество А0 меры нуль, что во
всех точках множества Л\Л0 функциональная последовательность
(ф (fn M))£=i стремится при п -»- с» к функции ф (/ (х)). Следовательно,
Ф (fn (х)) -*■ Ф (/ М) ПРИ п -*■ оо почти всюду относительно меры \i на
множестве А.
11. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство, а (/„ (x))%L\, х£
g X, такая последовательность функций, что
Ve>0 Э-4ее«, ц(Х\Ле)<е, V%£ Лг=^ /„ (*) -^- f (х).
Доказать, что /„ (х) -*■ / (х) при я ->- оо почти всюду относительно
меры \i на множестве Л.
Решение. Пусть k — произвольное натуральное число. Тогда,
согласно условию задачи, для е = -г- найдем соответствующее ц-изме-
оо
римое множество А \ и положим А* = П (X \ А \). Множество А*
Т *=1 Т
является ^-измеримым, как пересечение счетного числа ц-измеримых
множеств, и [I (A*) sC ц (X \Л \) < ~г (V k g Щ). Из последнего нера-
Т
венства следует, что ц (А*) = 0. Теперь покажем, что в каждой точке
х £ X \ А * справедливо равенство lim fn (х) = / (%). Действительно, если
п-+оа
ОО ОО
л;бХ\Л* = Х\П(Х\Л1)= U^i.to существует такой но-
*=i — k=x Т
мер 6,что л; £ Л i . А поэтому, согласно условию, в этой точке л; имеем
Т~
lim fn (х)= f (х). Таким образом, /„ (х) -*- / (х) почти всюду относительно
П-юо
меры ц на X.
12. Доказать, что при п -*- оо:
а) fn (х) = х + sin" я% + cos" nx-*-f{x) = х почти всюду на IR
относительно меры Лебега fix;
87

6) fn(x) = п2Хг . i (х) -> / (х) = О почти всюду на IR относитель-
но меры Лебега и,, где Хг . > (х) — характеристическая функция
множества 0; — .
Решение, а) Вначале отметим, что в тех точках х £ IR, для которых
| sin пх | < 1 и | cos пх | < 1, имеем lim sin" я% = 0 и lim cos" пх =
—- 0. Если же х £ IR таково, что sin пх = ±1 (или cos пх = ±1), то
яредел функций sin" пх (соответственно cos" пх) равен единице или
не существует. Таким образом, рассмотрим множество Л0 = {х £ IR
: sin пх = ±1 или cos пх = ±1} = {k : k £ Z) U {— + k '• k £ Z
Множество A0 — счетное (как объединение двух счетных множеств) и
поэтому \i1 (А0) = 0. Тогда для каждой точки х £ Щ\Л0
lim (х + sin" пх -f- cos" пх) = х
П-+О0
и, следовательно, почти всюду на 1R (относительно меры Лебега р^)
последовательность (/„ (л;))^=1 сходится к f (х).
б) Покажем, что заданная функциональная последовательность
ifn (*))n=i сходится к функции/ (х) = 0 в каждой точке множества 1R,
кроме х = 0. Если л; < 0, то все /„ (х) = 0 и поэтому lim /„ (х) = 0.
Если л; > 0, то найдется такой номер п0, что при п ^ п0 имеем — < х,
а для этих номеров п /„ (%) = 0. Следовательно, и в этом случав
lim fn (х) = 0. Таким образом, для всех х ф 0 имеем lim /„ (х) = 0.
Поскольку мера Лебега одноточечного множества {0} равна нулю, то
рассматриваемое утверждение доказано.
Отметим, что в точке х = 0 п-я функция последовательности
(fn(x))n=\ равна п2 и поэтому Нт/„(0)=л2, т. е. lim /„ (0) ^4
л-*оо n-voo
¥=/(0).
13. Доказать, что при п -> оо:
а) /n (*> У) — sin" х + cos" у -*• f (х, у) = 0 почти всюду на Л «
= [0; я] х [0; я] относительно меры Лебега ц2;
б) /„ (*, г/) = в** + e-nW~yy -> / (%, z/) = /у почти вс'юду на 1R»
относительно меры Лебега ц2;
в) fn(x, У) — cos" пху -> / (%, z/) = 0 почти всюду на IRS
относительно меры Лебега ц2.
Решение, а) На отрезках {(х, у):0^.х^.п, г/=0}, {(%, у): 0 ^
^ х^.п, у = я} и j(%, г/) :% =-?- , Ог^г/ <Гя> функции cos у или
sin л; равны ±1 и поэтому sin" х + cos" уЧ* 0.
Пусть множество Л0 равно объединению этих отрезков. Тогда
множество Л0 является ца-измеримым (оно даже элементарное) и |л2 (Л0) =
48

= 0. Теперь отметим, что если (х, у) £ А \ А0, то |sin х\ < 1 в
| cos у | < 1. Тогда для этих точек (%, у) Игл /„ (%, i/) = () и заданное
п-*оо
утверждение доказано.
б) Если точка (х, у)£Ц2 и х2Фу, то е~п]х'~т -> 0 при л->оо.
Поэтому рассмотрим множество А0 = {(х, у)£ IR2: у = х2} плоскости
IR2. Это множество является графиком непрерывной линии у = х2.
Следовательно, оно щ-измеримо и ц2 (А0) = 0. Тогда для каждой
точки (х, у) G IR2 \ А0 lim {еху + е-"1*2-*") = еку, и поэтому /„ {х, у) -+
->/(%, г/) почти всюду относительно меры Лебега на множестве IR2.
в) Рассмотрим множество А0 = \(х, у) £ IR2: | cos пху | = 1} =
= {(*> У)€ R2:ХУ = £> k£%), состоящее из счетного числа
гипербол хг/ = k, где k £ Z- Поскольку каждая из этих гипербол образует
ц2-измеримое множество меры нуль, то А0 ц2-измеримо и \i2 (А0) =
= 0. Если (х, у) £ \R2\ А0, то lim cos" пху = 0, и поэтому заданное
Л->оо
утверждение полностью доказано.
14. Пусть <Г (х) = —[—х], х£ IR,— неубывающая и
непрерывная слева на IR функция, а ц^г — соответствующая ей мера Лебега —
Стилтьеса на а-алгебре 2IR всех подмножеств числовой оси IR.
Доказать, что;
а) функции у = f (х) и у = g (х), х £ IR, почти всюду
относительно меры \i$r равны на IR тогда и только тогда, когда f (k) = g (k) дл»
каждого k £ Z; показать, что почти всюду в смысле меры ц^г на IR
выполняются равенства cos2 пх = 1 и х = [х];
б) функциональная последовательность (/„ (x))£Lp х £ IR, сходится
почти всюду на IR относительно меры ц^г к функции / (х) тогда и только-
тогда, когда для каждого k £ % lim /„ (k) = f (k).
Для функциональной последовательности /„ (x) = cos2" пх, x £
£ IR, показать, что /„ (x) -*■ 0 почти всюду на IR относительно меры
Лебега \it и /„ (х) ->- 1 почти всюду на IR относительно меры Лебега —
Стилтьеса ц^г. *
Решение, а) Нетрудно проверить (см. § 2, пример 9), что все
подмножества числовой оси IR являются (^-измеримыми множествами.
Кроме того, для каждого множества А £ 2IR \i$r (A) = ^ Kgr {Щ, где
суммирование производим по всем целым k £ А и ц^- \k) = 1. В
частности, если множество А не содержит ни одной целой точки, то
1*У (А) = 0.
Пусть / {х) == g (х) на IR относительно меры ц^. Если бы в некоторой
точке k £ Z f (k) ф g (k), то, поскольку ц^г {k} = 1, мы имели бы
противоречие с равенством f (х) ™ g (х) на 1R (в смысле меры ц^г).
Если же f (k) = g (k) для каждого k £ %< то равенство / (х) =
= g (х) несправедливо, возможно лишь на множестве IR \ %. Но
89

ц$г (Ц \ Z) = °. и> следовательно, / (х) = g (х) почти всюду
относительно меры ii$r на IR. Таким образом, / (х) = g (х) на 1R
относительно меры \i$r тогда и только тогда, когда f (k) = g (k) для каждого k £
£ 7L- В частности, поскольку cos2 nk = \ и [k] = k для
произвольного k £ Z, то cos2 пх = 1 и к] = л почти всюду на IR в смысле меры
\igr. Отметим, что относительно меры Лебега щ функция cos2 пх Ф 1
почт л всюду на 1R и [х] ф х в смысле меры \хх почти всюду.
б) Если для каждого k £ % выполняется равенство lim /„ (k) —
= / (k), то, поскольку ^(IRX Ж) = 0, lim /„ (х) = f (х) почти всюду
на IR относительно меры Лебега — Стилтьеса \i^-. Обратно, пусть
lim /„ (х) = / (х) почти всюду на IR в смысле меры [i^-. Если в некоторой
Л-»оо
точке k £ Z имеем lim /„ (k) Ф f (k), то, поскольку ц^г {А} = 1, отсю-
л-*оо
да следует, что последовательность (/„ (%))"=i не стремится почти
всюду на IR к функции / (х).
Согласно доказанному утверждению, из равенства cos2icA=l,
справедливого для каждого k £ %, получаем, что при п -*- оо
cos2" пх -*■ 1 почти всюду на IR относительно меры ц^-. Если же
рассмотреть меру Лебега \ilt то для х g Z 1™ cos2" пх = 0. Но мера Ле-
Л-»оо
бега щ (2) равна нулю, и поэтому в смысле этой меры cos2" пх -*■ 0
почти всюду на IR при п -*- оо.
15. Проиллюстрировать теорему Егорова на примере
функциональной последовательности (/„ (%) = х")п=\, я € К); 11 = Л.
Доказать, что не существует множества цгмеры нуль отрезка [0; 1], на
котором последовательность (x")£Li равномерно сходится к функции
f (*) = о.
Решение. Рассмотрим произвольное положительное число б > 0.
Если 6^1, то в качестве множества Лб возьмем, например,
отрезок 0;— . Тогда щ 0; —I = _> цх(Л) — б = 1 — б и
\_
2
последователь-
lim sup | х Г = lim I ~\ =0, т, е. на 0;
ность (x")~=i равномерно сходится к функции / (х) = 0. Если же б < 1,
Лб = [о; 1 £-]. Тогда М^в) = 1 §-> М^) —
то положим
— 6 = 1 —б и
lim sup \х\п =\im(\ — ~)" =0.
*€
Докажем, что не существует такого щ-измеримого множества
Аа с [0; 1] меры нуль, для которого на А1\ А0 последовательность
so

(л^)^=1 равномерно сходи гея к функции / (л:) = 0. Пусть, наоборот,
такое множество Л0 существует. Тогда для каждого достаточно
малого 6 > 0 пересечение (А \ Л0) (] [1 — 6; 1] не пусто, ибо иначе
fxx (А \ Аа) Ф- 1. Поэтому существует такая последовательность {х$£=.\
точек множества А \ А0, что lim хк = 1
Поскольку на множестве А \ А 0 последовательность (х")™=\
сходится к функции / (х) = 0 равномерно, то для каждого е > 0 найдется
номер п0, что х" < е для всех номеров п ;> п0 и всех* £ Л \ А0.
Отсюда, считая е <С 1, для последовательности (xk)k°=i имеем х% < е (V k g
€Ии Vn>rr0).
Если в последнем неравенстве устремить й к бесконечности, то
получаем противоречие: 1 ^ е. Таким образом, не существует такого
щ-измеримого множества А0 меры нуль, что на А \ А0
последовательность (-On=i равномерно сходится к функции / (х) = 0.
16. Пусть (X, 31, ц) — измеримое пространство и Л — ц-измери-
мое подмножество множества X. Доказать, что если
последовательность (/„ (x)n=i ^-измеримых конечных функций сходится по мере |д
и
на Л к ц-измеримой конечной функции / (х), то lim \fn (х) \ = |/ (х)\
п-*оо
на А.
Решение. Рассмотрим произвольное положительное число а и \i-
измеримое множество {х £ А : 11 /„ (х) \ — \ / (х) \ \ ^ о}.
Из неравенства 11 /„ (х)\ — | / (х) || <Г | /„ (х) — / (х) | получаем
включение
{x£A:\\fa(x)\-\f(x)\\^o}<={x£A:\fn(x)-f(x)\>o},
из которого следует, что
ц {*€ Л :||/„(*) | Н/<*)(1>°}<Н*€ Л :|М*)-/(*)!>*}•
Если в последнем неравенстве устремить п к бесконечности,
то получим, что lim \ijx £ A : ||/„ (х) | — |/ (х) || ;> сг} = 0, т. е.
lim|/„(*)| = |/M| на Л.
n — oot
17. Исследовать на сходимость по указанной мере к функции / на
измеримом множестве Л следующие последовательности функций:
а) (//Л*)--0/^-=1. O^jc^I, относительно меры Лебега \i1 на
множестве Л = [0; 1];
б) (/л (х) = cosn х)п=\, x£IR, относительно меры Лебега щ на
множестве Л = JR;
в) (/„ (х, у) = e~y'nlx'+y'))X=\, (х, z/)£R2, относительно меры
Лебега ц2 на множестве Л = IR2.
Решение, а) Рассмотрим для произвольного <т > 0 щ-измеримое
множество {х £ [0; 1] : х" > о} = [\/~о; 1]. Отметим, что когда <т > 1,
91

то это множество пусто. Тогда
lim m{%£[0; 1]:x">(t} = lim(l — Уо) = О,
11-vOO 11-vOO
и поэтому lim / = 0 на [0; 1].
Сходимость по мере щ заданной последовательности можно
установить и другим путем. Действительно, поскольку последовательность
(хГ)п=\ сходится почти всюду относительно меры щ на отрезке [0; 1]
к функции / (х) = 0, то по теореме 5 lim хп ~= 0 на [0; 1].
б) Рассмотрим для произвольного положительного <т <[ 1 щ-изме-
римое множество {х £ IR : | cos х \" ;> а) = [) [— arccos уЛо + fere,
•arccos Va + fere]. Тогда для этого <т и произвольного
натурального п
+°° *„
\i1{x£\R:\cosx\n'^a) = ^j 2 8^008^0 = +00.
Поэтому равенство lim цх {х £ IR : | cos х \" ;> а) = О не выполняет-
ся. Следовательно, заданная последовательность не сходится по мере
щ к функции / (х) = 0 на множестве IR. Отметим вместе с тем, что
последовательность (cos" х) п=\ сходится почти всюду на IR в смысле
меры щ к функции / (х) = 0. Поэтому в теореме 5 (Лебега) условие
конечности меры \i (А) является существенным.
в) Рассмотрим для произвольного <т > 0 ц2-измеримое множество
{(х, у) £ IR2 : е~уГ"^х'+^ ^ а). Если а > 1, то это множество является
пустым и поэтому его ц2-мера равна нулю. Для а <; 1 имеем
{(х, у) £ IR2: е~ ^+^ > а} = {(*, г/) £ R2: *2 + у* <~^} ■
Поэтому
Нш ц2 {(х, г/) G R2: е- ^™> > <т} = lim -^- = 0.
Таким образом, lim ё~ * ^+^ йа о на множестве IR2.
п-*оо
18. Пусть (X, 91, ц) — измеримое пространство конечной меры
fr. е. ц (X) < +оо)Т Рассмотрим монотонно невозрастающую (почти
всюду относительно меры ц) последовательность неотрицательных ц-
измеримых функций (/„ (я))л=1, заданных на ц-измеримом множестве
А, сходящуюся на А по мере ц к функции / (х) = 0. Доказать, что
lim /„ (х) = 0 почти всюду (в смысле меры ц) на А.
Решение. По теореме 6 Рисса существует последовательность
(fn (x))*Li, сходящаяся почти всюду на Л к функции / (х) = 0.
82

Пусть А' — множество меры нуль, на котором последовательность
(fn (%))£Li не является монотонно невозрастающей, а Л" — также
множество ц-меры нуль, на котором последовательность (/„ (x))kL\
не сходится к / (х) = 0. Тогда множество А0 = A' (J Л" ц-измеримо и
|х (Л0) ^ \х (Л') + \ь (А"), т. е. \i (Ло) = 0. Поскольку на множестве
А \ Л 0 справедливо равенство lim /„ (х) = 0, то для каждых х £ А \А0
и е > 0 найдется такой номер k0, что fnk (х) <С е, как только k ;> k0.
Тогда для произвольного номера п ;> nkt в силу монотонности
последовательности (/„ (х))п=\ на множестве Л\Л0имеем 0 <Г /„ (х) ^
</я,М<е(*еЛ\Л0).
Поэтому для каждого л; £ Л \ Л 0 получаем, что Mm /„ (х) = 0 и, сле-
довательно, lim /„ (ж) = 0 почти всюду в смысле меры ц на множест-
л-*оо
ве Л.
19. Пусть #* (х) = — [—х], х £ IR.— неубывающая непрерывная
втева на IR функция, a \i$r — соответствующая ей мера Лебега — Стил-
тьеса на а-алгебре 2IR всех подмножеств числовой оси IR Рассмотрим
на IR последовательность функций (/„ (*))£=i и функцию / (лг),
которые принимают только конечные значения. Доказать, что
lim /„ (х) = / (х) на IR тогда и только тогда, когда последовательность
(fn W)n=i сходится равномерно к / (х) на множестве %.
Решение. Пусть вначале lim /„ (х) = f (х) на IR. Тогда для произ-
л-юо
вольного о > 0 имеем
lim ^ {х 6 R : | /„ (*) - / (*) | > о} = 0. (6)
Надо доказать, что последовательность (/„ (А)Г=1 равномерно сходится
к функции / (k) на множестве 2. т. е. что
V е> 0 3 п0 V п > «0 и V k£ Ж ■ | /„ (Щ — f (k) | < е. (7)
Доказательство проведем методом от противного. Тогда
Эе>0 Vn0 3«>n0 и 3*€Z:|/»(*)-/(*)|>e.
Поэтому для произвольного номера п0 найдется такой номер п ^
> п0, что ц^г {* £ IR : | /„ (х) — / (х) | > е} > ц^г {А} = 1. Отсюда
lim \l$t {х £ \R : \ fn (х) — / (х) | ;> е} ф 0, что противоречит нашему
R-VCO
допущению.
Положим в (7) е = <т. Тогда для л 1> л0 имеем включение
{*€ R:|/„(*)-/(*)|><*}<=К\2.
из которого следует, что ц^г {%£IR: | /„ (х) — f (х) | > <т} < ц^г (IR \ ^) =
= 0. Поэтому lim (V {% £ IR ; J /„ (%) — / (х) | ;> а) = 0, т. е. выпол-
няется (6).
»3

20. Пусть (X, 91, \i) — измеримое пространство и (/„ (х))п=\ —>
последовательность ц-измеримых функций, сходящихся по мере \i
на ц-измернмом множестве А к ц-измеримой функции / (х). Доказать,
что если функция g измерима и почти всюду конечна на А, то
Urn /„ (*) g (х) ILf(x)g (х) на А.
Решение. Пусть А0 с: А — ц-измеримое множество, на котором
функция g принимает бесконечные значения. Тогда по условию
Ц (А о) = 0 ". кроме того, справедливо представление
А0= П lx£A:\g(x)\2»N},
N=1
из которого в силу непрерывности меры \i получаем
МЛ0) =\im\i{x£A:\g(x)\>N} = 0.
N-*oo
Следовательно, для произвольного е > 0 существует такой номер
N0, что ц {х G A : \g(x)\^ N0} < -g-.
Рассмотрим теперь для каждого а > 0 ц-измеримое множество,
фигурирующее в определении сходимости по мере
{x€A:\fn(x)g(x)-f(x)g(x)\2*o} = {x£A:\g(x)\>
>N0, \fa(x)g(x)-f(x)g(x)\^o) U {*€i4:|£(*)|<N„,
\fa(x)-f(x)\-\g(x)\>°h
Поэтому
ц{л:6 Л :|/„(х)я(^) —/W^Wl^a} = и {х€ Л : (^ (х) j > Nor
\fn(x)g(x)-f(x)g(x)\^a} + ii{x£A:\g(x)\<N0,
l/« (*)-/(*) НяМ I >*)<И*€ Л: |£(*)|>N,}+
+ ^{*€i4:|/n(*)-/(*)|>-j5--}<-!- +
+ ц{*€-4:|/„(*)-/(*)|>-^-}.
По условию существует такой номер п0, что
< + ■
как только и 1> л0. Таким образом, для каждого е > 0 найден номер
«0 такой, что \l {х£А : \fn (х) g (х) — f (х) g (х) | > о} < е при
п > п0. т. е. lim ц {* g Л : | /„ (ж) я (*) — / (*) Я (%) | > сх} = 0.
Q4

21. Пусть щ — мера Лебега на числовой прямой IR, а и» — мера
Лебега на плоскости IR2. Вычислить интегралы Лебега:
1) \ sign cos nxd\ii, 2) \ sign sin—ф^;
[-3:3] (0;1]
3) (J [x + y]d\L9i 4) j"[ Vly-x2]dii2.
[0;2]X[0;2] x'^y^i
Решение. 1) Функция f (x) = sign cos nx, x£[—3; 3], является
простой, принимающей три значения: 1, —1 и 0. А именно, эта
функция равна 1 на ^-измеримом множестве At = I „-; -^-) U
U [-J- ; -j-J U ( q-; 5~ . равна — I на ^-измеримом множест-
ве Л_,=(-3;-4)и(-4-;-4-)и(4-; 4)и(4^3) ■
г, л S 5 3 113 5)
равна 0 на множестве Л0 = | ^-, ^ > Г' !Г' ~2~ ' ~2] '
Поэтому / Hi-измерима и, очевидно, ограничена.
Следовательно, эта функция интегрируема и по определению
\ sign cos nxd^ = 1 • Hi (Л) + (— !) ^i (^-0 + 0 ■ Hi (^o) =-
[-3.3]
= 3 — 3 = 0.
2) Рассматриваемая функция f (x) = sign sin — , x£(0; 1],
также является простой, принимающей три значения: 1, —1 и 0. А
00 / 1 i \
именно, f(x) = 1 на множестве Аг= [) 2, . ; -^- , / (х) = — 1
00 / 1 1 \
на множестве Л_1 = U -^т- ; 2. _ , I и / (х) = 0 на множестве
j40 = {1, -о- > ■■•> "г-> ■■-.[• Множества А1 и Л_1 открыты, а
потому Н1"измеРимы. Кроме того, Hi (^i) = 2j (-¾ 2fe 4-1 ) =
= 1 — In 2 и Hi (A-\) = 2j ( 2fe — l 2k) = ^n ^ ( ПРИ вычислении
ею \
этих сумм мы воспользовались равенством In 2 = 2j —г ) ■
Счетное множество А0 также Hi-измеримо и Hi (^о) = 0. Поэтому
I sign sin ~ dHt = 1 • Hi Mi) + (-1)- ^i (-4-0 + 0 • Hi (^o) =
- <Dil]
= 1 — In 4.
95

3) Функция f (х, у) = [х + у], (х, у) £А = [0; 2] X [0; 2],
является простой, принимающей значения 0, 1, 2, 3 и 4. Положим А0 =
— {(*> У) G А : х + у <: 1}. Тогда в каждой точке (х, у) этого
соизмеримого множества / (х, у) = 0. В точках (^-измеримого множества
^1 = {(*> У) £ А ■ 1 ^х + у <:2}, очевидно, / (х, у) = 1, а в каждой
точке (х, у) (^-измеримого множества А2 = {(х, у) £ А : 2 ^ л; + у <z
<Г 3} f (х, у) = 2. Если рассмотреть ц,2-измеримое множество А3 =
"= К*. У) € А- '■ 3 ^ х + у <: 4}, то / (х, у) = 3 в произвольной точке
(.*, г/) £Аа. Наконец, / (2, 2) = 4. Поэтому функция/ является простой
и интегрируемой, а
( f [* + y]d\i2 = 0- \i2 (А0) + 1 ■ \l2 (АО + 2-(1, (Л2) + 3 ■ (*2 (А3) +
+ 4.(1,(((2, 2)}) = 4 + 2 --Г + 3' "Г = 6"
4) В этом случае функция /(х, у) = V [у — х2], (%, г/)£Л =
= {(*> #)£ R2 :*2 ^^/=^4), также является простой. А именно, в
каждой точке (х, у) ц>2-измеримого множества А0 = {(х, у)£ А:х*^1
^ у <С хг + 1} / (%, у) = 0. На ц2-измеримом множестве Лх = {(*, г/) £
£ Л :%2 + 1 <!z/<:*2 + 2} функция / постоянна и равна 1, на
множестве Л2 = {(х, у) £ А : х2 + 2 < г/ < х2 + 3} — / (х, у) = У"2, в
каждой точке (%, у) множества Аа = {(х, у) £ А : х2 + 3 ^ у <С хг + 4} —
— f(x, y) = yr3, a /(4, 0) = 2. Поэтому функция / щ-интегрируема
на Л и
И'
на полуинтервале Ak = I , . ; -г
К[г/-*2]^2= 0 • ц2 (Л0) +1-(1, (А) + 1/2 • щ (Л,) +
+ 1/3-(1, И,)+ 4-(i,({(4, 0)}) =
= (1,(^ + /2-(1,(^ + 1^.(1,(-4,) = -1-(4-31^ + 4^3).
22. Рассмотрим на множестве А = (0; 1] функцию /, которая
1 1 (— 1)*
принимает значение -5—-^- ,
где k = 1, 2, ... . При каких а она будет интегрируемой по Лебегу
на (0; 1] относительно меры ц,х?
Решение. Функция / является простой на множестве Л, посколь-
ку она принимает счетное, число значений -—-—, k £ ЭД, и (J А =*
= (0; 1]. Так как все множества Ак щ-измеримы, то / так, е щ-
измерима. Согласно определению, функция,/ будет щ-инте^ и /уе-
со со
мой на А, если сходится ряд ^ — щ (Ak) = 2j а+1 • А этот
ряд сходится тогда и только тогда, когда а > — 1. Таким образом,
заданная функция / интегрируема по Лебегу лишь при а> — 1 и
(0;1] *=1 й (« "Г U
96

Отметим, что ряд (8) сходится (условно) и при а = —1, но (по
определению) в этом случае функция / не является интегрируемой по
Лебегу.
23. Пусть функция #* (х) = О, если х ^ —1, #* (х) = 1, если —1 <
< х ^ 1, #* (х) = 3, если х >> 1 и ц^г— соответствующая ей мера
Лебега — Стилтьеса на IR. Доказать, что произвольная функция у =
= / (х), х £ IR, интегрируема на IR относительно \l#- и что § f (х) ф^г =
IR
= / (-1) + 2/ (1).
Решение. Отметим, что все подмножества числовой оси IR являются
^-измеримыми (см. § 2) и поэтому каждая функция у = f (х), х £ IR,
^-измерима. Для доказательства ^-интегрируемости на IR функции
/ представим IR в виде объединения непересекающихся измеримых
множеств
ir = (-oo; -1) и {-1} U (-1; 1) U {1} U (1; + «>).
Известно, что множества (—с»; —1), (—1; 1) и(1, +оо) имеют р^г
меру нуль, а тогда каждая функция / ^-интегрируема на них и
интеграл по каждому этому множеству равен нулю. На множествах {—1}
и {1} функция / постоянна. Поэтому она ^-интегрируема на них и
J fWdpr = /(-1) ^({-1)) = /(-1),
{-и
J f(x)d^ = f (1)(1,-(( 1)) = 2/(1).
{i}
Следовательно, произвольная функция у = / (х), %£IR, fi^r-ин-
тегрируема на IR и ] f(x)d\igr = /(— 1) + 2/(1). ^
IR
24. Исходя из определения интеграла Лебега, вычислить
\ jcX|r\(q (х) dpi, где X|r_q — характеристическая функция множест-
10;1]
ва R \ (Q.
Решение. Построим для ^-измеримой функции / (х) = %X|r\iq (х\,
х£[0; 1], последовательность простых интегрируемых функций,
равномерно сходящуюся на [0; 1] к /. А именно, для натурально-
k ( k
го номера п положим hn(x) = — на множестве Ак = \х£ [0,1]» — ^
k -4- 1 \
^/(х) <С ———| где к = 0, 1, ..., п — 1. Тогда последовательность
(hn(x))£=i> *£[0'> 11> является искомой последовательностью прос-
п— 1
тых интегрируемых функций. Кроме того, поскольку U Ak = [0; 11,
то | / (х) — hn (х) | < — для каждого х £ [0; 11. Следовательно,
последовательность (ftn (*))nLi, x£[Q; 1], равномерно сходится к /(дс)
на [0; 1]. Поэтому по определению 1 функция / ^-интегрируема
4 0-74 97

на [0; 1] и
л—1
J / (х) dp, = lim J hn (x) d^ = lim 2 т V-i Ш-
fO;I Ч"*00 [0;1J n-*-°°fc=0
■Поскольку множество (Q рациональных чисел имеет ^-меру
нуль, то \1г(Ак) = ^^10- 1]:А<Х<_Ш_} = _1..
Тогда
J /W% = Hm-i- V Л = Ит (" 2 2° " =4-.
|0;1] " «-«о П £0 П-х> М Z
Замечание 1. Укажем другой способ вычисления этого интеграла Лебега, Во-
первых, поскольку функция / ограничена на [0, 1] и ^-измерима, то она Мч-иитегриру-
ема. Во-вторых, функция / почти всюду в смысле меры fij совпадает на [0, 1] с
функцией g (х) = х. Тогда, согласно соответствующему свойству интеграла Лебега, имеем
I х ' XIR\<Q (*> ^i = i" xd^'
{0:П [0;i]
Но функция g непрерывна на отрезке [0, 1]. Поэтому ее интеграл Лебега по мере (½
совпадает с интегралом Римана иа [0; 1]
{0:1] о
о
Замечание Z. Заданная функция f (х) = х • X|R\q (*). * £ [0; 1], разрывна в каж-
дой_точке полуинтервала (0; 1] и поскольку ц.] ((0; 1]) = 1 ф 0, то на основании
теоремы 14 заключаем, что/ не является интегрируемой по Римаиу иа [0; 1].
25. Пусть (X, 91, \l) — измеримое пространство конечной меры,
т. е. \i (X) <. + оо. Доказать, что ^-измеримая функция у = f (х),
х € X, ц-интегрируема на X тогда и только тогда, когда сходится ряд
2 k . \i {х£ х >л<|/(*) |< л + М-
Решение. Введем в рассмотрение ji-измеримые множества Ak =
= {х £ X : k ^. \ f (х) \ <: k + \} и простую измеримую функцию h,
принимающую на множестве Ак значение k, k £ ЭД.
Пусть функция / интегрируема относительно меры \i на X.
Поскольку для каждого х £Х 0 ^ h (х) ^ | / (х) |, то на основании свойства
6) интеграла Лебега функция h ^-интегрируема. Поэтому сходится
ряд 2 k . [i \х£ X ! А<|/(ж)|<* + 1}.
Обратно, если сходится этот ряд, то функция h ji-интегрируема
на X* и поэтому из неравенства | / (х) | ^ к (х) + 1 (V х £ X) следует
^-интегрируемость ца X функции /.
26. Пусть (X, 91, \i) — измеримое пространство конечной меры
и у = / (%), х£ X,— ^-интегрируемая функция на X. Доказать, что

Решение. Пусть Ak = {%£ X: ~ < f (х)< fe"^"1 } ,k£Z,—
^-измеримые множества, a (hn(x))^=u х£Х,— последовательность
простых ^.-измеримых функций, принимающих на множестве Ak
значения —, где п£Ц. Тогда для каждого xgX и каждого п£Щ
справедливы неравенства hn (х) ^ / (х) <I hn (х) -\ , позволяющие
заключить, что все hn — jA-интегрируемые функции на X. Кроме того,
из этих неравенств следует равномерная сходимость
последовательности (hn (х))п=\ к функции / (х) на X. Поэтому на основании
определения 1
\f(x)dli=lim\hn(x)dli=\im J] ±р\Х£Х:-±^Г(х)<±±±\.
27. Интегрируема ли по Риману функция
х£®,
П\-{ ' х£®'
Пх)-\х\ x£R\Q,
на отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу на [0; 1]
относительно меры Лебега щ? Если / интегрируема по Лебегу, то найти ее
интеграл.
Решение. Докажем, что функция / не является интегрируемой
по Риману на [0; 1]. Для этого рассмотрим произвольное разбиение
0 = х0< %i <. ••' <.xk<. Xk+\ < • • • <. хп = 1 отрезка [0; 1] и
пусть Axk = Xk+\—xk, X = max Axk. В качестве отмеченных точек
Zk£[xk> Xk+\] (# = 0, 1, ..., п—1) вначале рассмотрим
рациональные точки. Тогда соответствующая интегральная сумма функции /
л—I >
равна а = £] ^Ахк. Эту интегральную сумму можно считать инте-
тральной суммой для непрерывной функции у = Xs, х£ [0; 1], и
2
поэтому lim о = J £dx = -j- .
Если же в качестве отмеченных точек £,k£[xk, хь+\] (k = 0, 1,...
..., п—1) взять иррациональные точки, то соответствующая "интег-
л-1
. ральная сумма функции / равна а' = £ %kAxk. Полученную интег-
ральную сумму также интерпретируем как интегральную сумму
непрерывной функции у = х2, х£ [0; 1], и поэтому lim о' = \ x2dx■=-*■.
Таким образом, предел интегральных сумм функции /зависит от
выбора отмеченных точек. Следовательно, / не является интегрируеиой
■по Риману
Замечание. То, что функция / иеинтегрируема по Риману, можно доказать и с
помощью теоремы 14. Для этого мы убеждаемся, что / непрерывна только в точ:кал
4* 90

x = 0 и х = 1, Поэтому множество точек разрыва этой функции имеет fij-меру,
равную единице. Следовательно, функция / не является интегрируемой по Римаиу.
Рассматриваемая функция / почти всюду (относительно меры
Лебега цх) совпадает на [0; 1] с непрерывной функцией у = х2, и поэтому
/ щ-измерима. Кроме того, функция / ограничена. Тогда /
интегрируема по Лебегу на [0; 1]. Кстати, интегрируемость функции / можно
получить также из того, что / эквивалентна интегрируемой по Риману (даже
непрерывной) функции у = х2.
Используя эквивалентность функций у — f (х) и у = х2 на отрезке
[0; 1] и то, что интегралы Римана и Лебега равны (для интегрируемой
по Риману функции), имеем
] / (х) dn>! = \ А*щ = ] x2dx = -g- .
[0;1] [0,1] 6
28. Пусть функция / интегрируема по Лебегу на отрезке la; Ь]
относительно меры Лебега щ. Тогда для каждого е > 0 существует
такая непрерывная на [а; Ь] функция g, что
] |/W— g(x)\d\i1<e.
[я-.б]
Доказать это утверждение.
Решение. 1) Рассмотрим вначале произвольную простую функцию
А, интегрируемую по Лебегу относительно меры щ на отрезке [а; Ь].
Мьцготим приблизить ее ограниченной простой функцией, т. е. для
каждого е >» 0 построить такую ограниченную щ-измеримую простую
функцию h на [а; Ь], что j" \ h (х) — h (х) \ d^ < е.
[а;6]
Если h принимает только конечное число значений, то в качестве А
возлмедо h. Поэтому пусть h имеет счетное число значений ylf ..., yk, ...
..., принимаемых соответственно на ц^-измеримых множествах А^ ...
оо
..., Ак, ..., причем (J Ak = [а; Ь]. Согласно определению интегри-
оо
руемости функции ft, ряд £ | yk \ щ {А^ сходится. Тогда для е>0
найдется номер N такой, что
оо
I ЫЫЛ*)<е.
Поэтому рассмотрим ц^-измеримую простую функцию h,
принимающую значения уъ ..., yN, 0 соответственно на множествах Аи ...
N
..., Ац, [a; b] \ (J Ak. Функция h является ограниченной, а следова-
тешю, и р^-интегрируемой на [а; Ь]. Тогда
оо
т. e. h является искомой.
100

2) Для каждого е > 0 найдем такую ограниченную у^-измеримую
функцию у = / (х), х ^ [а; Ь]> что
J I/(*)-/(*) !</!»!< е.
[а:*]
Действительно, по определению 1 для заданного е>0
существует простая ^-интегрируемая на [а; Ь] функция h такая, что
J \f(x)—h (х) | d\it -< -j- ■ Согласно предыдущему, для функции А
[0(6]
построим ограниченную (^-интегрируемую (простую) на [а; Ь]
функцию / такую, что ] \h(x) — / (х) | d^ <-4-.
Тогда
J |/(*)-/«I4»i< J //(*)-*(*) 144+ J|ft(x)-/W|rf(it<i,
р:Ч [а:*] [«:Ч
т. е. функция / является искомой.
3) После этих подготовительных рассуждений можно завершить
решение примера. Для заданного е > 0 найдем такую ограниченную
^-измеримую на [а; Ь] функцию /, что
J \f(x)-J(x)\dlL1<±..
Пусть К — такое положительное число, что | / (х) | <! К для всех
х £ [а; Ь]. По теореме Лузина существует такая непрерывная на [а\
Ь] функция g (даже ограниченная той же постоянной К, что и /), что
[jbj (А) == ^ {х £ la; b] : f (х) ф g (х)} < ^-. Покажем, что найденная
функция g является искомой. Действительно,
$ i/w-ewi*i< J i/(jk)-/wi4i*i+ $ \hx)-g(x)\dli1<
[a',b] [a;b] [a\b]
A
29. 1) Пусть на конечном полуинтервале la; Ь) задана непрерывная
функция у = / (х), причем lim / (х) = оо. Доказать, что функция |
x-t-b—O
интегрируема по Лебегу на [а; Ь] относительно меры Лебега щ тогда
ь
и только тогда, когда сходится несобственный интеграл \\f(x)\dx.
а
В случае интегрируемости f, по Лебегу на [а; Ь] справедливо
равенство
ь
[a;b] а
101

sin*a
2) При каких а<0 и р функция у = -—^— ^-интегрируема на
1
отрезке [0; 1] и когда сходится I sin х dx"?
J х&
о
Решение. 1) Пусть вначале функция / ^-интегрируема по Лебегу
на [а; Ь]. Тогда функция | / | также ^-интегрируема на [а; Ь].
Построим последовательность функций (gn (x))n=i, х £ [а; Ь], где
8п (?) =
\f(x)\, х£ а; Ь — — j ,
0> ,6(ft_-L;ft].
Эта последовательность сходится почти всюду на la; Ь]
(относительно меры щ) к функции | / |. Каждая функция gn (х) почти всюду
непрерывна и поэтому интегрируема на [а; Ь] по Риману и Лебегу. Кроме
того, справедливо равенство
-4
$ 8п(х)4\>ч = \gn{x)dx = $ \f(x)\dx.
[a;b] a a
Поскольку | gn (x) | <: | f (x) | для всех x £ [a; b], т. e. \f (x) |
является интегрируемой мажорантой для последовательности (gn (x))%L\,
то на основании теоремы Лебега о предельном переходе имеем
J \f(x)\dli1 = \im [ g„(*)^i=Hm \ \f(x)\dx = $\f(x)\dx.
Таким образом, функция f абсолютно интегрируема на [а; Ь] в
смысле несобственного интеграла второго рода.
Пусть / абсолютно интегрируема на [а; Ь], т. е. сходится интеграл
ь
\ \f(x)\dx. Рассмотрим ту же последовательность функций
а
(gn (х))п=\, х £ [а; Ь], каждая из которых интегрируема (и в смысле
Лебега и в смысле Римана) на [а; Ь]. Эта последовательность является
монотонно неубывающей в каждой точке отрезка [a; b], lim gn {х) =
Г2-ЮО
■= I Их) \, х 6 [а; Ь], и
п Ь
J £„(*)ФЧ= $ \nx)\dx<$\f(x)\dx (V«eW).
\а;Ь] а а
Поэтому на основании теоремы Леви функция | / | щ-интегрируема
на [а; Ь] Тогда и функция / является ^,-интегрируемой.
Пусть функция / интегрируема по Лебегу на [а; Ь]. Для каждого
109

л £ И рассмотрим функцию
f(x), х£ [а; Ь J-J,
/»(*) = / , 1
о, л?е(ь—i-, ь\.
Из неравенства | /„ (х) | ^ | / (х) |, справедливого для каждого
л £ [а; Ь], следует интегрируемость произвольной функции
последовательности (/„ (х))п=\. Наконец, поскольку lim /„ (х) = f (х), х £ Га;
п-*ао
Ь], то из теоремы 10 имеем
О п
\ f (х) dx = lim J f (x) dx = lim \ fn (x) d\t1 = \ f (x) d^.
a "-*-00 a "-"*• la:b] [a;b]
Замечание 1. Таким образом, из доказанного утверждения следует, что
интегрируемость по Лебегу иа [а; Ь\ функции / равносильна абсолютной сходимости иесоб-
ь Ъ
ствеииого интеграла I f(x)dx Но несобственный интеграл I / (х) dx может сходиться
а а
и условно. Поэтому класс несобственно интегрируемых иа [а; Ь\ функций содержит
класс L ([а; Ь], р.,).
Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для несобственного
+~
интеграла первого рода вида \ / (х) dx.
а
2) Для решения этого примера используем доказанное
утверждение. Исследуем на абсолютную и условную сходимости интеграл
dx. Сделаем в этом интеграле замену x°- = t, которая при-
X*
ведет к интегралу — I —£3 dt. Легко показать, что этот ин-
теграл сходится абсолютно при условии — (- 1 > 1, т. е. |3<; 1.
Если же речь идет об условной сходимости, то, используя признак
Дирихле, получаем, что данный интеграл сходится условно только
при Л=1 + 1 > 0, т. е. Р + а — 1 < 0.
Таким образом, функция у = sin* ^-интегрируема на [0; 1]
лишь для Р <. 1. Вместе с тем она интегрируема в несобственном
смысле, если р -т-'а — 1 < 0.
30. Пусть у = f (х), х ;> 0,— неотрицательная щ-измеримая
функция и существует такое положительное число К, что для дроизвольного
а>0
103

Доказать, что функция у = xf (х), х^О, ^-интегрируема на [0;
+оо).
Решение. Рассмотрим последовательность fvинтегрируемых (по
/ sins —
условию) на [0; + оо) функций I /„ (х) = —-^- f (х)
\ "Of J п=\
Тогда для каждой точки х £ [0; + с») lim /„ (х) ~ xf (х). Кроме
П-»оо
того, ] fn(x)d[i1^.K. Следовательно, на основании теоремы Фа-
[0.-+М)
ту функция у = xf (х), х > 0, ^-интегрируема и \ xf (х) d\Lx ^ К.
[0:+~)
81. Пусть и-х и М-2 — меры Лебега соответственно на числовой оси
IR и плоскости IR2. Найти пределы:
-sinilL^l+^r1^;
1) lim Г п
п-*оа J
П
IR
2) lim \ \ е-(*,+**> cos {xyt) • %,КчС> (х) d[iv
'-0 IR'
Решение. 1) Рассмотрим функциональную последовательность
fn(x) = nsm-*-£-*0- +х*) , ngRJ, на множестве .KglR. Для
каждого x£R
1*1
л sin .
п х
Jim /„(*) = Hm " = -¾ = /(*).
Кроме того, эта функциональная последовательность имеет
мажоранту | /„ (*) I <-г^г =8(х) (V х g IR).
Неотрицательная функция g интегрируема на IR в несобственном
смысле. Поэтому (см. пример 29) она ^-интегрируема на IR.
Следовательно, по теореме Лебега f также ^-интегрируема по Лебегу на IR
и справедливо равенство
lim $ п sin i£L • (1 + *V dn, = J-^p$- = arctg **|+°° = -f.
их К |
2) Вначале отметим, что %R\Q (х) = 1 почти всюду в смысле меры
Лебега у.в на IRa. Поэтому
lim J J е~(х,+уг) cos (xyt) • ХКчп (л;) d\i2 =
i-0R2
= lim J J 6-^+^ cos (*#) d^.
Рассмотрим произвольную последовательность (f„)£Li, сходящуюся
к нулю. Пусть для каждого натурального п
U (х, У) = е-"*" cos (xytJ, (х, у) £ R».
104

Тогда lim fn(x, у) = ¢-(^+^e= f (x, у) для каждой точки (x, y)£R2.
Л-юо
Для этой последовательности также имеется ^2"интегРиРУемая
мажоранта: | /„ (х, у) | < / (х, у) (V (х, у) £ IR2). Поэтому по теореме
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем
lim ' f e-^'+irt cos (xytn) d\i2 = J f e-^'+^'d ^2 = f J e~^'+^dxdy.
В последнем интеграле перейдем к полярным координатам х =
-= г cos ф, г/ = г sin ф, где г ^ О и ф £ [0; 2я]. Тогда
£-<*4-v> cos (*#/„) djij = Г dф f r-'Vdr = я.
Поскольку (i„)n=i — произвольная последовательность,
сходящаяся к нулю, то
lim J f в-<*Ч-л cos (луО • XR4C (jb) dfi2 = я.
32. Пусть функция f {х, у) задана на прямоугольнике Р =■ {(лс.
у)£1Яа:-1<л:<1,-1<*/<1} формулой f (х, у) = (^|V)8 '
если х2 + г/а > 0, и / (0, 0) = 0. Доказать, что существуют оба
повторных интеграла
Ц J / (*, у) d* J dy, J I J/ (*, y) dy J d*
и величины их совпадают, но двойной интеграл J J f (х, у) dxdy не
р
существует.
Решение. При каждом фиксированном у £ [—1; 1] функция / {х, у)
является непрерывной функцией относительно переменной л; на
отрезке [—1; 1]. Поэтому существует интеграл
1
Чу) = 1
ФТ?Г (У € Е— 1; I©-
Кроме того, этот интеграл равен нулю, поскольку
подынтегральная функция нечетна. Таким образом, 7 (у) = 0 для каждого у,
принадлежащего отрезку [—1; 1], функция 7 интегрируема на [—1; 1} и
1 1,1 .
^(y)dy = ^jj^}dy = 0.
-1 —1 \—1
Аналогично убеждаемся в том, что
1 / 1
xydy
!(ь
dx = 0,
К»

и, следовательно, повторные интегралы от функции / существуют и их
величины совпадают.
Покажем, что / не является интегрируемой по Лебегу на
прямоугольнике Р, как функция двух переменных. Действительно, если
допустить, что / интегрируема на Р, то согласно свойствам интеграла
Лебега она интегрируема также на квадрате [0; 1] х [0; 1], т. е. имеет
смысл двойной интеграл ( ( *у f .
о о
Тогда на основании теоремы Фубини существует повторный
интеграл] П (лД^2)а \dy.
Однако
«P(tf) = J-
xydx _ 1 у_
*У"х — 1 У л ^- и <* 1
а функция ф (у) = 2 .. , t. , 0 < у <; 1, не является
интегрируемой на отрезке [0; 1]. Полученное противоречие доказывает, что / не-
ннтегрируема на Р.
Замечание. Можно доказать, что функция / иеиитегрируема иа Р и другим
путем. Допустим, что / интегрируема иа Р. Тогда иа основании свойств интеграла
Лебега существует также двойной интеграл
-JJ (х-
xydxdy
S v- +^)2
где £) — четверть некоторого круга х2 + у* ^ е2, содержащегося в Р. Как
отмечалось выше, этот нятеграл от неотрицательной функции / совпадает с несобственным
интегралом
xydxdy
Я
х.уцО
В последнем интеграле перейдем к полярным координатам х = г cos <р, у «= г si а <р,
0<г<8, 0<q><-£-. Тогда
л
'--гйч-«Ч--1-Н-
0 0 о
Jdr
— расходящийся, то это противоречит допущению о конеч-
о
вости величины &. Следовательно, функция / иеиитегрируема иа Р.
106

33. Пусть f (х, у) — измеримая неотрицательная функция,
заданная на прямоугольнике Р = [а; Ь] X [с; d] плоскости IR2. Доказать,
что если конечен один, из повторных интегралов
\i\f(x,y)dy\dx, j lj f (x, у) dx 1 dy,
то / интегрируема на P и поэтому существует другой повторный
интеграл, причем
j [ / (х, у) dxdy = П J / (х, у) dy j dx = П j / (*, у) d* J dy.
P a \c } с \a J
Решение. Допустим, что существует первый из указанных выше
повторных интегралов. Рассмотрим последовательность (/n (х, #))n-i
срезок функции f
(f(x,y), если f(x, #)<N,
fN (X, у) =
[ N, если / (x, у) > N.
Функции /n (-«, у) являются, очевидно, ограниченными и измеримыми
на прямоугольнике Р. Поэтому они интегрируемы на Р.
Доказательство сформулированного утверждения проведем от
противного, т. е. будем считать, что функция f неинтегрируема на Р.
Тогда lim J J /N (x, у) dxdy = + oo (иначе по теореме Беппо — Леви /
была бы интегрируемой на Р). Поэтому для достаточно больших N
ь / d \
J J Ы (х> У) dxdy > J I J / (*• У) dy) dx-
р
Но, согласно теореме Фубини, для функции fn (х, у)
^ Ы (х, у) dxdy = П | /N (х, у) dy \ dx.
Р а \с )
Следовательно,
Ь / d \ Ь [ d
П \Ы (х> У) dy )dx > \\ [f (х, У) dy dx.
Последнее неравенство не является истинным, поскольку /n (*»
у) <! / (X, у) в каждой точке (х, у) £ Р, а полученное противоречие
Позволяет заключить, что функция f интегрируема на Р
34. Пусть s — множество всех вещественных последовательностей
х = (|х |ft, ...) и ой — каноническая гауссова мера на s. Вычислить
интеграл J f (х) da>, если:
i
1) / (*) = ехр (- Д А) . х € « 2) / W = ехр (- £ -|-), *<Е s.
107

Решение. 1) Отметим, что функция / определена на всем мно-
жестве s (если точка x£s такая, чтв ряд У. —г- расходится, то по-
лагаем / (х) = 0). Рассмотрим последовательность цилиндрических
из
функций (/»(«))"„,, где /„(*) = expf—S ~-\, x£s. Каждая
функций /„ (х) является непрерывной функцией п переменных
£х, . .. , |„ и поэтому й-измерима. Кроме того, поскольку lim /„ (х) =
я-юо
= f (х) в каждой точке х £ s, то / также «-измерима. Для
последовательности (/„ (*))^_i й-интегрируемой мажорантой может
служить, например, функция <р(.к)=1, x£s. Поэтому по теореме
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем
J / (х) d® = lim J /„ (х) dv>.
s n-*oo s
Вычислим интеграл
По теореме Фубини
ft=l
/«(■+т)'
и поэтому
Hm f /„ (ж) d<o =
се j п I ] \
Поскольку ряд у -г- расходится, то lim П U + -г = + °°> и»
следовательно, f / (ж) d® = 0.
Замечание. Поскольку функция / положительна на множестве А в
( °° Е2 ) "" I2
= ж = (Si lk, • ..) € *: 2j -J" < + °°| и / (*) = 0, если ряд ]>] —jf"
I *=i J fe=i
00 Е2
расходится, то ш (Л) — 0, т. в. для почти всех х 6 s ряд V —L расходится.
*-1 *
108

2) Как и в случае 1), если положить для n£f$ f„(x)
exp(— Yi ~~&~)> x£s< T0' согласно теореме Лебега,
f f (x) da = lim f /„ (x) da.
J n-*oo J
i S
Далее,
+oo
' - КД(,+т)
и поэтому
поскольку бесконечное произведение П (' + -г»-) сходится.
35. Пусть С0 [0; л] — совокупность всех непрерывных функций я-»
= х (f), 0 <! t <; л, удовлетворяющих условию х (0) = 0, a \iw—ст-эд-
дитивная мера Винера на С0 [0; л]. Доказать, что
f x(r)x(s)diiw=-j-m\n(r, s),
С„[0,я\
где т и s — фиксированные точки отрезка [0; л].
Решение. Рассмотрим функцию / (х) = х (т) х (s), заданную на
множестве С0 [0; л]. Она является цилиндрической и поэтому
^-измеримой. Согласно определению, считая, например, т < s, имеем
С„[0;я]
■Щ=&)<Ъ<ц
=2-
Приведем двойной интеграл к повторному:
J x(x)x(s)diiw= J l,e * U ~ dUd^.
Во внутреннем интеграле сделаем замену переменной, полагая
-Ц=М=- = у. Тогда
V* — т
+- _ й_ /+°° \
J JK(T)jB(s)d|i1,= —i=- J £,в 4 J (vVs-T + Z1)e-*dv\dl1.
<У0;л] Я ^T -е. \-°о /
109

+°°
Поскольку функция ve~v* является нечетной на IR, то J ve "*dv — 0.
—оо
Поэтому
j х (т) х (s) dy.w =
С0[0;л|
V
Для вычисления последнего интеграла применим метод
интегрирования по частям, полагая и = £х и gx ехр I :j-)^£i = ^у-
Тогда du = dglf и = ^ ехр I ^- ), и, следовательно:
J j5(T)x(^d|i. = --7=r51 .-1- ехр ( i- f~-f
с„[0:я]
Е] \ I+-
+оо
/i
+°°
й
Замена переменной г = 4= приводит к окончательному результату
] x(x)x(s) d\iw = — т.
С0[0;я]
Если т = s, то непосредственно из определения получаем
, f х2 (т) ^ш = -у=- \ |?ехр(— -^-) dcx,
i
Со[0;я]
и поэтому
J х2 (т) d\iw = -2~ т.
С0[0;я]
Таким образом, для произвольных фиксированных точек т и s из
отрезка [0; зх] получаем
j *(T)A;(s)d(iMl = -2-min(T, s).
Со[0;л]
36. Пусть С„ [0; я] — совокупность всех непрерывных функций
х = х (С), 0 <! / <! я, удовлетворяющих условию х ф) — Q, а ц» — ,
счетно-аддитивная мера Винера на С0[0; л]. Вычислить интегралы:
Г я "Г Г я
1) J \x(t)dt dixw; 2) $ [x*(t)dt dixw.
C0[0;n] Lo J C0[0;ji] Lo
Решение. Первый способ. Прежде чем вычислять заданные
интегралы, напомним некоторые свойства интеграла от непрерывных
функций. Рассмотрим для произвольного натурального числа п
разно

биение П„ отрезка [0; я] на 2" равных частей
0 = /0</1 = ^-</2=-|-< ... <4 = -^-< ... <*2„ = *.
Положим для непрерывной функции х = x(t), 0<!/^ я, mk,n —
= min x(t). Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, на отрезке
[fk; tk+i] имеется такая точка т*,л, что тк.п = х(%k%n) (£ = 0, 1, ...
... , 2" — 1). Поэтому из свойств интеграла Римана вытекает, что
\x(t)dt = lim -£г2% x(rk.n).
Аналогично для непрерывной функции х = x(t), 0^/<; я, и
рассмотренного выше разбиения П„ существуют такие точки Qk,n£
€ 1¾ 4+i], что min х2 (0 = х2 (в*.„), где Л = 0, 1 2" — 1. По-
этому
J jk«(0 Л = 1^-^-^^(8^-
А=0
1) Введем функцию / и последовательность функций (/„)~=i,
заданные на множестве С0 [0; я! со значениями в IR, полагая
2п—1
f(x)=\x (t) dt, fa(x) = JL £ x (Tft,„) (x = * (t) € C0 [0; u]).
0 ^ £=0 V
(Функции, определенные на абстрактных множествах со значениями
в IR, называются функционалами, т. е. / и fn — функционалы,
заданные на С0 [0; я].) Тогда, как мы только что отметили, для произвольной
функции х £ С0 [0; я] lim /„ (х) = f (х). Кроме того, по свойствам сумм
п-юо
Дарбу последовательность (/„)^=i, не убывая, стремится к / в каждой
точке множества С0 [0; л]. Из определения меры Винера следует, что
каждая функция /„ является цш-измеримой на Q [0; я], и поэтому
таковой является и функция /.
Покажем, что каждая из функций fn цш-интегрируема, и найдем
ее интеграл Винера. Для этого докажем, что цилиндрическая функция
Ф (х) = х (т), х = х (t) £ С0 [0; я], где х — некоторое фиксированное
число из отрезка [0; я], (хш-интегрируема и \ ф (х) d\iw = 0. Действй-
С0[0.л]
тельно, согласно определению интеграла Винера для т > 0,
н-°°
I Ф(*Mft. =9½ Js«p—£-)«*£ = 0,
поскольку функция £ехр( )> ££К>— нечетная. Если т = 0,

то ф(х) = х (0) = 0 для произвольной функции х = х(f) ¢0,, [0; я],
и поэтому f vf{x)d\i.w= 0. Но каждая функция fn является
:о[о-,л|
цилиндрической, ,ида-интегрируемой и
J /»(*) dft. =■-^рг S J * (т*.*) dft. = 0.
C0(D;nJ *=0 С0[0;л1
Поэтому no теореме Беппо Леви функция / также
(^-интегрируема и
[ f (■*) dy,w = lim Г /„ (х) d\iw = 0.
с„[0:я) с0[0:я)
Отметим, что функция / не является цилиндрической.
2) Вычисление этого интеграла проведем аналогично
предыдущему. А именно, рассмотрим функционалы
*(*)=( *2 (0 dt, gn (х) = ■£- 2f' x2 (0ft,n)
о г *=o
(*=*#)6C0[0; я]; п€И).
заданные на множестве С0 [0; я].
Как следует из примера 35, каждая из цилиндрических функций
является (Хщ -интегрируемой на Q 10; я] и
2"—' 2
J gn(*)d|.im = -^- S -5-0ft.«<-^- (пбИ)-
c„rcU] 2 *-o 2 2
Последовательность (gn)%L\, очевидно, монотонно не убывая, сходится
к функции g, и поэтому на основании теоремы Беппо Леви
получаем, что g (^-интегрируема и
2"-1
\ g (х) dpw = lim ) gn (х) dpw = lim —*_, £ 0*,„ =
1 " a
= —ITdT = -r--
о
Второй способ. Рассмотрим произведение (½ (¾ \х.ш счетно-
аддитивных мер Лебега \i1 на отрезке [0; я] и меры Винера ц^ на
множестве С0 [0; я]. Далее, вычисление заданных интегралов проводим
на основании теоремы Тоннелли (проверку выполнимости ее условий
предоставляем читателю).
В случае 1) получаем, что
J nx(t)dt\d\iw=U ^ x(t)d\Lw)dt=0t
С,[0-.я] \0 / 0 \С0[0;л] /
поскольку при фиксированном t£ [0; я] f x\P)d^w =*0.
CrfOjrt]
112

В случае 2), согласно примеру 35, имеем
J (]x*(t)dt)dlxw=U J x*(t)dlxw)dt= 4-J^/= -£-.
С.[0;я] \0 ) 0 \Со[0;л] / 0
Задачи для самостоятельной работы
1. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство. Доказать, что
характеристическая функция у = %А (х) множества А cz X Ц-измерима тогда и только тогда,
когда А £ Я.
2. Доказать, что каждая монотонная функция у = / (х), х £ R, является
неизмеримой (даже борелевой).
3. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство, а у = f (х) — функция,
определенная на X. Обозначим / ■_ (*) = max (/ (ж), 0) и /_ (х) = max (—/ (х), 0). Доказать,
что функция / является ц-измеримой на X тогда и только тогда, когда функции /, и
/_ Ц-измеримы на X.
4. Пусть функция у = f (х), х £ [а; Ь], дифференцируема на отрезке [a; b] cz R.
Доказать, что функция / является (^-измеримой (даже борелевой).
5. Пусть 21] и 2lj — ст-алгебры подмножеств множества X иЯ] с 2L. Каково
соотношение между классами 21-,-измеримых и Я2-измеримых функций? (Функция
назынаеася 21-измеримой, если все ее лебеговы множества принадлежат алгебре 21.)
6. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, а Ж — некоторое подмножество
ц-измеримых на X функций. Показать, что функции /* (х) = sup / (х), f„ (х) = inf f(x),
&Ж КЖ
х £ X, не являются, вообще говоря, ц-измеримыми. Пусть X = R, ц = цх — мера
Лебега, а Ж cz С (R). Показать, что в этом случае функции /*, /» являются
(^-измеримыми (даже борелевыми).
7. Доказать, что функция f : R -»- R является цх-измеримой на R, если:
£?! Iх I +п ", п У п
аЖ,)=у _™Н_, ^r.
8. Доказать, что функция / : R2-»- R является ^-измеримой на К2, есЛИ{
l\ S, N V Sin (Я (*2 +У2)) , 4,-102
1) /(*, у) = \ / .Т 21-. (*. у)е к2;
£ Уп*[х2+у*]
оо
2) / (*, У) = £ е_" arct8 (« (М + у)). (*. у) е К2!
9. Доказать, что функция / : R2 -*■ R является ц2-измеримой на R2, если:
1) f (*. У) = sign cos я (х" + у2); 2) / (х, у) = (*» + ^) [ж],
3) /(*.*) = ( I * I +1 * I) в1"1: 4) / (х, у) = arctg sin [х* + у2];
Б) / (г, у) = arctg ([ж] cos (*2 + у2));
в) / (*, y) = -L\n(l+ [ж2 + у2]); 7) / (х, у) = [*]2 + [у]';
в) / (*, У) = ch sin ([*] + \у])\ 9) f (х, у) = cos sh ([ж2 + у2]).
118

10. Пусть (X, 51, ц) — измеримое пространство и (/„ (x))£Li —
последовательность функций, заданных иа множестве X, причем все функции /„ (х) = 0 почти всю-
оо
ду на X относительно меры ц. Положим для каждого х £ X gx (х) = V /„ (х), если
ряд сходится, и gj (х) =■■ + оо, если ряд расходится; g2 (х) = sup /„ (х). Доказать,
чем
что gx (х) = 0 и g, (х) = 0 почти всюду относительно меры ц.
11. Пусть функции fug заданы и непрерывны на ц; -измеримом множестве А <=. R.
Доказать, что если f (х) = g (х) почти всюду относительно меры цх на Л, то для
каждого х € /1 имеем f (х) = g (х).
12. Определить та"кую непрерывную на R функцию #, что g (х) = / (х) почти
всюду относительно меры Лебега Ц^ если:
(sin*. xgQ, Jarctg*. *£Z,
3>/W = {o, **eR\Q; 4)/W
ln(l+|*|), «*€R\Q.
sin x2, e* £ Q;
farcsin2-lj:|, *€R\N. ..... ((ch*)5"*, e*eR\Z,
aJ /(*)=< ... b) /(*) = ■
1 2W. ^N; i 0, **e
13. Определить непрерывную на R2 функцию g такую, что g (х, у) = f (х, у)
почти всюду относительно меры Лебега ц2, если:
)пх,т \ х\ (*.j/)eR24(QxQ);
2) fix )= fin * + S'n *■ {Х' У) € ^ Х R*
' (*' W I cos x, (x, у) $ Q X Rj
4) / (x, y) = {'
fM + M. (*. y)eRx<
ch *, (x, y) gf R X
14. Пусть (X, 31, Ц) — измеримое пространство, fk : X -»■ R — ц-измерииы»
функции, fe = 1,2, ..., п. Доказать ц-измеримость на X следующих функций:
1)in(2 + l/lWn: Ч«п«<М*>./. <*>.-■./.<*>>;
3) min (/х (*). /2 (х) /„ (х)); 4) fl{X^ ■
5) sin (| /х (*) / + |/2 (*) | + •• • +| /„ (х) | )•, 6) (1 + | h (х) 1 )ЫАХ
7) /iW:./j(4 8) Ы*)+/«(*)+ •••' + /,,(*)
1+|тах (/,(*), М*))1 ' 10 + aretg/iM
9) Sh/l(X) ; 10) mtg'lW
1+l/iMI 1 + I max (/, (*), /; (*)) |
15. Пусть (X, SI, Ц) — измеримое пространство, /„, gn : X -»- R — ^.-измеримые
функции, л £ Щ, f : X ->■ \R — ц-измеримая функция. Доказать, что следующие
множества ц- из меримы:
О {*€Х:/„(*)>0, л>1}-, 2) (^X:/aW>/W, л>1};
U4

3) (хеХ: supM*)^M*)}; 4) [x£X: inf /„(*)</(*)}'.
5) {x £ X : ШЙ /„ (*) > / (*)}; 6) \x £ X : Jim/„ (*) < / (*)}-,
«-►CO „-*«,
7) lx£X:fn(x)<gn(x). /i>l); 8) (^X; in/ /„(*)# sup gn (*));
9) {*£ X : inf /„ (x) < inf g„ (*)}; 10) {JC e x :Thr7 /я (*) < lim gn (x));
11) {x £ X; существует lim fn (x) £ R).
16. Пусть (/„ (x))™=l — последовательность функций, заданных на R. Опреде-
такую непрерывную на R
но меры Лебега цх на R, если:
лить такую непрерывную на R функцию g, что /„ (х) -»- g (х) почти всюду относитель
[Цхйак,
1) fn (х) = cos" х, x£R-, 2) //J(jc)=*2sin'1JC2, *£R;
3) /„ (*) = (— arctg xY + sin" 2x, x £ R;
4) U*)° ,^ f1."* , *eR; 5) /„(*)=—^1^—, xeR.
l+/i2sin2* //nv / 2+slnnx
€) /„(*)= cos" -^-. *#0, /n(0) = 0; 7) /„(*)=<?-"'*'-", x<:R;
—«sin2" —
8) /«(*) = « * , *=7*=0, J„ (0)=0.
17. Пусть (/„ (x, y))^-! — последовательность функций, заданных на R2.
Определить одну из функций g : R2 -*■ R, для которой fn (х, у) -*■ g (х. у) почти всюду
относительно меры Лебега ц^ на R2, если:
О fn (*, У) = cos" (*2 + у\ 2) /„ (х, у) = £-«(**+**);
3) /„ (х,у) = e-«l*«+i^-i|; 4) /„ (х, у) = 2sln"<"+"*>;
5) fn (*, У) = У\х\п + \У\" ; 6) fn (х, у) = п In (l + ilLtllly
7) /„ (х. у) = 2^ " I • 8) /„ (*, у) = ^"""-Н""*.
18. Пусть ^" (х) = 0, если л: < 0, и Т (х) = х, если * > 0, а ц~ —
соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на а-алгебре ц^-измеримых подмножеств числовой
оси R. Доказать, что две непрерывные на R функции / и g почти всюду относительно
меры (1^-равны на R тогда и только тогда, когда для произвольного х ^ 0 / (х) =
11S

19. Для последовательности функций /„ : R -*■ R, л £ N > доказать сходимость
почти всюду относительно меры цх на R и для произвольного а > 0 указать
(^-измеримое множество Аг, ц3 (iR \ Аг) <. е, на котором последовательность (fn)™=l
сходится равномерно, если:
. , „ -, „ , я21 sin rue I _
1) /„ (х) = cos" jm, x £ R; 2) /„(*)= , ' , , ' *€Rj
1 + я2 I sin ях I
,л(дг-2)
6) /„ (*) =
7) /„ (*)
6) / te)-le ' *e[0; 2],
6>'«W-| 0, ^[0;2j;
*£[0; 1].
20. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, а последовательности (/„ (x))JJLi
и (g„ (*))£Li Ц-измеримых функций сходятся по мере ц на ц-измеримом множестве
А соответственно к ц-измеримым функциям / (х) и g (х). Доказать, что:
1) если Urn fn (х) -^=0 иа А, то lim р (х) —0 иа А;
2) Нт (/„ (х) + gn (х)) = /(*)+£ (х) на А;
3) Jim cos /„ (х) — cos f (x) иа A.
21. Пусть (ij — мера Лебега на R, /„ (х) = Xf„.-(n+1)>] (х) —
характеристические функции отрезков [л', (л -(- I)2], л£ N- Доказать, что для каждого х £ R
lim /„(*) =0. Верно ли, что lim /л(х)=^0 на R)
«-VCO П + ОС
22. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и последовательность (/„ (х))™^,
х £ А. сходится по мере Ц на ц-измеримом множестве А к функции / (х). Доказать, что
если для каждого я £ N | /„ (х) | ^ g (*) ц-почти всюду на А, то | / (х) | ^ g (х) Ц-
почти всюду на Л,
23. Пусть (X, Я, ц)— измеримое пространство конечной меры, (/n(*))~=i,
*£Х, —последовательность ц-измеримых функций. Доказать, что 11т/„(х)
л-*оо
* / (*) на X тогда и только тогда, когда из произвольной
подпоследовательности (Jп (x))^=l, х£Х, можно выделить подпоследовательность (/л (*))/Li»
>;£ X, сходящуюся к / (х) ц-почти всюду на X.
24. Пусть (X, Я, ц) —измеримое пространство конечной меры, (/„ (*))™=1.
х£Х, и (g„ (x))£Lj, х^Х, —последовательности ц-измеримых функций,
сходящиеся по мере ц на X соответственно к функциям / (х) и g (х). Доказать, что если
Ф (х, у) — непрерывная функция на плоскости R2, то
lim ф (/„ (х), ga (х)) ~Ф (/(*), £ (*))
ваХ.
116

25. Пусть X совпадает с множеством N натуральных чисел, а-алгебра 51 =
•=2^ и для ЛсХ Ц(А)= V Описать сходимость по мере ц на
измерили 2*
мом пространстве (N, 2^, ц).
26. Доказать, что последовательность ^-измеримых функций (/„ (x))£L,, х £ R,
сходится на R по мере Лебега Ц], и найти предел, если для х £ R:
D /«W = х(^: v^+i) М: 2> '«W = 2 - x[inn:in(n+i)] М;
3) /„ (х) = sin» х ■ Х[2яп;2яп+Я] (*)! 4) /„ (х) = cos х + | * | Х[3^_ ^_5] (*);
О*
5) /» М = Б ХГ.. 11 м-
27. Пусть у =1 У (х), х £ R, — монотонно неубывающая, непрерывная слева
функция, ц-f — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса на R, (/„ (x))^_v х g
£ R,— последовательность ц^-измеримых функций, / — ц^-измеримая функция.
Описать сходимость lim fn (х) = / (х) на R, если:
П-ЬОО
(I, — оо<х<0,
^W = {2,0<,<+oo; 2)^00 = -1-^
3) $г(х) = —[arctgx].
28. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство конечной меры и яа X
lim /„ (х) £- f (х), lim gn (х) ^-g(x). Доказать, что:
1) если для каждого п £ N 2f„ (х) = gn (ж) почти всюду на X относительно меры
ц, то 2/ (х) = g (х) почти всюду на X;
2) для каждого ц-измеримого множества А и произвольного е > О
lim ц{*€ Л: |/n(*)— f(x)\<e)=\L(A);
п-ьоа
3) если для каждого п € N почти всюду на X /„ (х) < 0, то / (х) ^ 0 почти всюду
на X;
4) если дл я каждого и £ N почти всюду на X /„ (х) < gn (х), то / (х) ^ g (#) почти
всюду на X.
29. Пусть цх — мера Лебега на R, ца — мера Лебега на R2. Вычислить:
1) fxQM^i: 2) j XR4qW^; 3) ) (_i)[**+*4 dp2. где Л =
R [0;20] A
-={(*, y):x* + y*< 5).
Пусть /4=1) I n; л -| — — множество числовой оси R. При каких а £ В?
и=1 \ пг \
карактеристическая функция у = %А (х), х £ А, множества А является интегрируемой
по Лебегу на R относительно меры Лебега Ц]?
31. Доказать, что если / (х) =0 в точках канторова множества Fc [0; 1] и
/ (х) = п на его смежных интервалах, длина которых равна , то \ f(x)d\i1^
-, 3" I'M]
= 3, где цх — мера Лебега на R.
32. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство конечной меры и /€ L (X, ц).
Доказать, что
J/(jt)d|i-Hm £ 6*И*€Х :^</(*)<^,,),
117
30.

где {yfte R : fe£ Z)— разбиение числовой оси R, X = sup {yk ,,—yft), £¢€[^,
33. Пусть у = .?" (x), x £ R,— неубывающая непрерывная слева на R функция,
ц^г — соответствующая мера Лебега — Стилтьеса на R, / : R -*■ R. Вычислить
J / (x)d\igr если / (х) = «*, х £ R, а
IR
I 0, — <хэ<х<0,
У(х)ш,)— [— х], 0<х<100,
I 100, 100<х<-|-оо.
34. Функция / (х) равна cos х в точках канторова множества F cz [0; 1] и равна
1 1 Г
— на тех смежных интервалах, длина которых равна — . Вычислить J / (х) d\ilt
2" 3" [0;1]
где Ц] — мера Лебега на R.
35. Интегрируема ли по Риману функция
Uinx, x£(Q,
иа отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу относительно меры Лебега Ц] иа
R? Если функция интегрируема по Лебегу, то найти j / (х) d\ij.
[0;i]
36. Вычислить интеграл Лебега J / (х) d\Lt относительно меры \ilt если
[0,-11
/(*)
tax, xe(R\(Q) л(-^-;+оо|,
1
х\ *е(Кч<Р)Л
о, *e<Q.
°4)-
37.
Вычислить интеграл Лебега 1 ^ ^1 , где ца — мера Лебега на П?.
<1;2) /*^
3». Интегрируемы лн по Лебегу относительно меры Лебега ц3 на интервале (0; 1)
функции У=7иу = 1??
39. Вычислить интеграл Лебега J / (х) d\ilt где Цц — мера Лебега на К н
№1]
/<*) =
4-. *eR4Q.
у* /
1
Х — 1
, же'
40. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство, у = f (х), х £ А,—
ограниченная и ц-интегрируемая на А функция. Будут ли ц-интегрируемыми на А функции:
1) У = /10 М; 2) у = |/ (х) |; 3) у = ^-?
41. Пусть /(*) = (sin *)Х|рч(г)(*). *€ R- Вычислить \ f (х) d\ilt где Щ —
in t^"1
мера Лебега на К. Будет ли / интегрируемой по Риману на отрезке [0; л]?
118

42. Доказать неравенства:
1) -i-< J ex'+xxR^JQ(x)diil^2e^
\ А 'У
где Цх — мера Лебега на R, ц2 — мера Лебега на R2, а А = {(ж, у) £ R1 : 1 < ** +
+ У2<4}.
43. Пусть У (х) = —[—х], х £ R, ц~- — соответствующая мера Лебега — Стил-
тьеса на R, / : R -*■ R. Доказать, что / £ L (R, ц^.) тогда и только тогда, когда
+°°
£ I / (&) I < + °°- При этом для каждого <4 с= R
ft о*
( / (х) d^ = £ / <*>•
44. Пусть (X, 31, ц) — измеримое пространство конечной меры, (/„ (*))Ц£»р * €
€ X,— последовательность ц-измеримых функций. Доказать, что lim/„ (х) ""■,/(ж)
П-VOO
на X тогда и только тогда, когда
шп Г i/»w-/wi
a^ooj 1+|/»W—/Wl ^
45. Сходится лн несобственный интеграл \ f (х) dxf Принадлежит ли
функция / классу L ([I; +оо), щ), где (¾ — мера Лебега иа R, если:
1) / (4= 2 -Ц^- xtft,ft+1) (*). * б Ri
ft<=
э
sin k
ft=l
Я)/М=2-^х(*,*+1)(*). ^R:
fe=i
3) / (x) = £ -i=^- ^4+1)4 <*>• x € Ri
4) f (*) - £ (COS fe) Xj^ yj-y (x), x£ Ш
46. Найти пределы:
**
2) lira f e n &w\
4) lim I
5) lim ( п{Г~Г -1)-пЙг
1)
D
lim «-"*'
Um
К
sin"*
1+XS
'dhi
-dfijt
[0:1]
,—cos"*,
[0;^
dpi
[0;H
119

47. Пусть (X, 51, ц) — измеримое пространство, g : X ->■ 0? — и.-измерима«
функция. Для каждого п £ N определим
(g(x), если |g(x)|<n,
gn(x) = l п, еслнй(х)>п,
I —п, если g (x) < —n.
Доказать, что g £ L (X, ц) тогда и только тогда, когда
«UP [\gn{x)\d\L<+<x>.
n€N J
При этом
11m С gn(x)dVi= f g(x)dp..
48. Пу«г ^- (x) = — [—x], x g R, \.\.дг. — соответствующая мера Лебега —
Стилтьеса и последовательность функций (fn(x))%_lt *£R, такая, что для
каждого k ё Z lim fn (k) = f (¾). Доказать, что если существует такая числовая
последовательность (ak))^z, что |fn(fe)|<afe(Vne N) и 2j
КХ
о-ь < + °=>.
11m f^Wdji-p- £ '<*>■
49. Пусть функция / : R ->- R ц3-измерима по Лебегу и ограничена на R.
Доказать, что функция
(' cos ibc2 _
R 1+J^
непрерывно дифференцируема на R, и найти g'.
50. Доказать, что для двойного интеграла
I I е~~ку sin jc sin ydxdy
6 о
существуют оба повторных интеграла и величины этих интегралов совпадают.
Существует ли двойной интеграл?
51. Доказать, что для двойного интеграла
1 1
Их2— о2
■w+wdxdy
о о
существуют оба повторных интеграла, но их величины не совпадают.
52. Положим для п £ N
t (*, У) =
2" 2"-'
0 в остальных случаях.
22п.
_ 22л+!
2" 2"-1
2"+' 2"
120

Доказать, что
П f Цх, фйАйхФ Jl J f(x, y)dx\dy.
о \о } о \0 /
53. Пусть s—множество всех вещественных последовательностей х = (|,, ...
... ё*. ■■ ■) и ш — каноническая гауссова мера на s. Для А, > 0 н положительной
последовательности чисел (flft)|t=i вычислить интеграл \ f (х) da>, где
f(x)=e *— , *£s.
e *='
{oo ) ее
xgs:^ aft||< + ool = l, если ряд ^ aft сходится, и
!so \ oo
xgs: V ^¾ < +oo| =0, если ряд J] aft расходится (признак Колмогорова —
Хитина).
54. Пусть С0 [0; я] — совокупность всех непрерывных функций х = х (t), 0 <
^ t ^ я, удовлетворяющих условию* (0) = 0, а ц^, — мера Винера наСо [0; зг]. Для
фиксированной непрерывной функции х = <р (t), 0^ /^ я, вычислить интегралы:
■ л . \
1) f И ф (0 * (О Л I djie
Со[0;я] \о У
2) J ( (V(0*2W#J<W
С„[0;я] \6 /
Ответы. 5. Класс 51]-измеримых функций содержится в классе 51а-нзмеримых
функций. 12. l)g (х) = 0; 2)g (х) = я; 3)g (х) = 0; 4) g (х) = ]п (1 + | х |); 5) g (х) =
= arcsin 2- I * '; 6) g (х) = (ch x)shx. 13. 1) g (x, у) = x3; 2) g (x, y) = .cos x; 3) g (x,
y) = xgr, 4) g (x, y) = ch x. 16. 1) - 3), 5) - 7) g (x) = 0; 4) g (x) = 1; 8) g (x) = 1.
17. 1)-3) g (x, y) = 0, 4) g (x, y) = 1; 5) g(x,y) = \y |, если I у | > | * I, и g (ж,
S) - I * /. если | ж | 3s I у |; 6) g (x, y) = | x | + | у |; 7) g (ж, у) = 2*; 8) g (x, у) =
= 1. 21. He верно. 25. lim /„ (ft) = 0на fj тогда и только тогда, когда lim /„ (ft) = О
равномерно на N. 26. 1) / (х) = 0 п. в. на R; 2) / (х) = 2 п. в. на R; 3) f (х) = О
Ц.а-
п. в. на R; 4) / (х) = cos х п. в. на R; 5) / (х) = 0 п. в. на R. 27. 1) /„ (х) ► / (х)
иа R тогда и только тогда, когда /„ (0) -»■/ (0); 2) /„ (х) ► f (х) на R тогда и только
г- *&
тогда, когда/„ (х) rj / (х) на множестве {± у ft : ft £ N }; 3) /л (х) ► / (х) на R тог-
да н только тогда, когда /„ (х) -»- / (х) для х = 0, х = -j- и х = — . 29. 1) 0; 2) 20;
3)-я.30.а>1. 33. е_х -34. -£L. 35. Нет. Да. -^.36. -±- — £-J£l.
3
37. у. 38. Не интегрируемы. 39. 2. 40. 1),2)Да;3) Не всегда. 41. 2. Нет. 45. 1)—
4) Да, нет. 46. 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) я; 5) —-J-. 49. g' (f) = — J" ут^Г*3 / (*) Фх.
(OO i !_ . Л
П (1 + Алй) 2 . 54. 1) 0; 2) -i f (Ф (0 Л.
181

fi 4. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. Пространства L» интегрируемых функций. Пусть X — некоторое непусто*
множество, 51 — а-алгебра подмножеств множества X, ц — счетно-аддитивная
мера, определенная на 21. Считаем, что мера ц является о-конечной и полной.
Рассмотрим фиксированное ц-измеримое множество Л с X и некоторое действительное
число р, р > 1. Тогда через Lp (точнее, Lp (А) нли даже Lp (Л, ц) обозначим совокупность
всех функций /, измеримых и почти всюду конечных (относительно меры ц) на
множестве А, для которых конечен интеграл
(|/(*)1"<*ц.
А
В множестве Lp ц-почти всюду равные на А функции отождествляются, т. е. Lp
состоит из классов ц-эквивалентных на А функций. Поэтому в дальнейшем можно
считать, что представители этих классов являются функциями с конечными
значениями на А. Отметим также, что множество L± (А, ц) совпадает с множеством L (А, ц)
ц-интегрируемых на А функций (см. § 3).
Можно показать (см. пример 1), что множество Lp—линейное. При этом
операции сложения и умножения на действительные числа элементов из Lp (т. е. классов
ц-эквивалентных на А функций) проводятся над их представителями.
Изучение пространства Lp для р > 1 тесно связано с рассмотрением другого
пространства того же типа — Lq (А, ц), у которого индекс q выражается через р из
соотношения 1 = 1. Числа р н q называются сопряженными. Отметим, что
Р Я
если р = 2, то и q = 2.
Напомним некоторые классические неравенства, часто употребляемые при
изучении пространств Lp.
Теорема 1'. Пусть р > 1 и q — ему сопряокенное число. Тогда для любых двух
функций f £ Lp и g £ Lq произведение fg является интегрируемой на А функцией и
справедливо неравенство
[f(x)g(x) dp ^([ ]f(x) Га-Лт ({ \g (x) f а-Л-т ,
называемое неравенством Гельдера.
Отметим, что при р = 2 неравенство Гельдера превращается в неравенство
Каши — Буняковского
J/M«(*)4i|<i/$!/(*) |»ф- i/ ( leWPd|i.
A I V А V А
Теорема 2. Для двух произвольных функций f,g£ L0, р > 1, справедливо не ра-
[\f(*)+g (*) I" йЛт <($lt W f а-Лг + [J 1 g М \" dAJr ,
называемое неравенством Минковского.
В пространстве Lp, р ^ 1, можно ввести понятие расстояния между его
элементами. Если функции / и g принадлежат пространству Lp, то расстоянием между ними
называется число
венство
P(f, g)=(\ \f W-g(x)\p dv\jr .
Оно обладает всеми характерными свойствами расстояния:
1) Р (/. Ю > 0; Р (/. S) = 0 тогда и только тогда, когда классы / и g совпадают
(именно поэтому пространство Lp состоит не из отдельных, функций, а из классов
вквивалентных функций);
122

2) p (/, g) = p (g, f);
3) если /, g и ft — элементы пространства Lp, то p (/, g) ^ p (/, ft) + p (ft, g).
Последнее неравенство называется неравенством треугольника (оно следует нз
неравенства Минковского). Первые два свойства расстояния р (/, g) в Lp вытекают из
соответствующих свойств интеграла Лебега.
Отметим, что если на непустом множестве можно ввести расстояние между
произвольными его элементами, обладающее указанными тремя свойствами, то такое
множество называют метрическим пространством (такие пространства более детально
изучаются в гл. 2, § 1). Следовательно, пространство Lp является метрическим. Оно
называется пространством функций, интегрируемых с р-й степенью.
В пространстве Lp, р ^ 1, вводится также понятие нормы элемента / £ Lp:
\f\=(\ I/ (*)|"<l|iH" = P tf.°>.
Норма ll/H в пространстве Lp обозначается еще символами | / \L и Ц f \р.
Она обладает рядом свойств, аналогичных свойствам модуля числа и длины вектора в
R3 и R3:
1) 1/1^0; ||/||=0 тогда и только тогда, ко гда / является нулевым
классом (т. е. / Ц-эквивалентна тождественно нулевой функции);
2) для произвольного числа а £ R имеем || а / || = | а | || / ||;
3)'если /и g — элементы пространства Lp, то ||/ + g\\ =¾ || / || + | g J
(неравенство треугольника для нормы). Отметим, что неравенство треугольника
совпадает с неравенством Минковского.
Если на линейном пространстве можно ввести норму, обладающую свойствами
1) — 3), то оно называется нормированным пространством. Такой класс пространств
будет изучен также в гл. 2. Следовательно, пространство Lp нормировано.
Наличие в Lp расстояния (или нормы) позволяет ввести в нем понятие сходимости.
Именно, пусть (/„ (x))^Li, * € А,— последовательность функций пространства Lp я
функция у = f (х), х £ А, также принадлежит Lp. Эту последовательность называют
сходящейся к / в пространстве Lp, если
11т р (/„,/) = ЦШ I /„-/»= Нт(^ |/„(*)-/(*) |'<гДт=0.
Обозначается эта сходимость так: /„->-/ в пространстве Lp или lim /„ (х) = f (х) в Lp.
rt-voo
Такая сходимость называется сходимостью в среднем р-го порядка. В частности, для
р = 1 эта сходимость называется сходимостью в среднем, а для р = 2 — сходимостью
в среднем квадратичном.
Множество М пространства Lp называется всюду плотным, если для каждого
элемента / £ Lp и любого е > 0 найдется такой элемент ft £ М, что || / — ft || <С 8.
Можно проверить, что множество М cz Lp является всюду плотным тогда и только
тогда, когда для каждого элемента / £ Lp существует последовательность (йл)л=1 эле"
ментов из М, что lim ft„ = f в Lp. Например, в пространстве Lp (Л, цт), где ц = цт —
мера Лебега на Rm, & А — ^„-измеримое множество из Rm, всюду плотным является
множество М всех непрерывных на А функций.
Те пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество,
называются сепарабельными.
Теорема 3. Пусть X = R"1, ц = цт — мера Лебега на пространстве Rm и
А — измеримое в смысле Лебега множество из Rm. Тогда пространство LB = Lp (А,
\hn)> Р > 1. сепарабельно.
Как и в классическом математическом анализе, в пространстве Lp важным
является понятие фундаментальной последовательности. Именно, последовательность
(/n)^Li Функций пространства Lp называется фундаментальной (или последователь-
123

иостью Коши), если
Нш lfn-fkl =
я.й-к»
М= 11m f(|/nW-/*M/p^T-0.
Нетрудно проверить, что любая сходящаяся в Lp последовательность функций
является фундаментальной. Если каждая фундаментальная последовательность
функций из пространства Lp является сходящейся в нем, то такое пространство Lp
называется полным.
Теорема 4. Для каждого р ^ 1 пространство Lp является полным.
Замечание. Решающим преимуществом лебеговой конструкции интеграла по
сравнению с римановой является именно то обстоятельство, что пространство Lp —
полное. Если, например, рассмотреть в качестве множества А отрезок [а; Ь\ числовой
оси R, то пространство St ([а; Ь\) всех интегрируемых по Риману функций на [а; Ь] с
расстоянием
ь
P(f,g) = [\f(x)-g(x)\dx (4f,g$3l([a; *]))
а
не является полным. Обратим внимание и на то обстоятельство, что интеграл
Лебега строится на произвольных абстрактных множествах, на которых
определена счетно-аддитивная мера. В то же время интеграл Римана определяется только на
измеримых по Жордану множествах пространства Rm.
2. Условия сходимости ряда Фурье функции из пространства Lx [—я; л].
Рассмотрим пространство Lt [—я; я] функций, интегрируемых по Лебегу на отрезке
[—я; п\ (относительно меры Лебега ц = ц^. Для каждой функции f £ Lx [—я; я]
введем последовательность ее коэффициентов Фурье, полагая:
л
ап=— \ f (х) cos nxdx, л = О, 1, . .. ;
—л
1 *
Ьп = — \ f (х) sin nxdx; п = 1, 2, ....
—л
Тогда рядом Фурье функции f называют такой ряд:
оо
-у-+£ ап cos пх + Ьп sinn*. (1)
Изучим вопрос о сходимости ряда Фурье в данной точке х к значению функции f
в этой точке, т. е. вопрос о поточечной сходимости ряда (1) к функции f,
порождающей этот ряд. С этой целью для последовательности частичных сумм (Sn (x))^i ряда
(1), т. е.
п
sn (*) = -у- + S ak cos kx + bk sin kx<
k=\
рассмотрим представление
s««=-H
л .2n4-l,. .
sin £—(t — x)
fit) t_x dt.
-я 2 sin —g—
называемое интегралом Дирихле. Функция
. 2n + l
1 Sln 2 *
*•«—5Г —г
называется ядром Дирихле.
124
sin.j-

Теорема 5 (Римана — Лебега). Если функция <р интегрируема по
Лебегу на отрезке [а; Ь], то справедливы равенства
ь ь
lim
\ <р(х) cos nxdx = lim i <p (x) sin nxdx = 0.
J П-VOO J
Из этой теоремы следует, что lim ап = lim bn = 0, т. е. последовательность коэф-
фициеитов Фурье интегрирумой по Лебегу на отрезке [—я; я] функции f является
бесконечно малой.
Рассмотрим достаточный признак сходимости ряда Фурье.
Теорема 6 (Д и и н). Пусть функция f принадлежит пространству Lx [ я;
я] и при фиксированном х £ [—я; я] интеграл
6 "<* + ?,-"'"* (2)
а
сходится для некоторого б > 0. Тогда ряд Фурье (1) функции f сходится в точке х к
значению f (х), т. е.
оо
f (х) = -— + ^] а„ cos их + £>„ sin их.
Отметим, что сходимость интеграла (2) называется условием Дннн функции f в
точке х. Оно, в частности, выполнено, если в данной точке х функция f имеет конечную
производную. Более того, пусть функция / ограничена на [—я; я], нм«ет разрывы
только первого рода и в каждой точке х 6 (—я; it) существуют конечные пределы
/1(,)= Нш f<«-*)-f<«-0)t f )= Ит f(x + ^-fQL^L
д*-»+о Д* "^ д*-+о А*
называемые соответственно левой и правой производными функции в точке х. Тогда
ряд Фурье такой функции f сходится всюду на (—я; я), а' его сумма равна / (х) в
точках х непрерывности f н равна -д- [/ (х + 0) + f (х — 0)], если х является точкой
разрыва для f. Условие Дннн выполняется также, например, если функция f
удовлетворяет в точке х условию Липшица порядка а: \ f (х-\- t) — f (х) | <| С | / |а (0 < а ^
<1).
Описанные результаты справедливы и для произвольных 2я-псрНоднческнх
функций (рассмотрение которых является естественным, поскольку сумма ряда (1) —
2я-перноднческая функция), интегрируемых по Лебегу на отрезке [—я, я].
Выше мы сформулировали некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
■функции / в точке х. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, достаточно
широк. Однако приведенные условия далеки от необходимых. Например, даже
непрерывность функции не является необходимой для представления ее в виде суммы
ряда Фурье. Правда, ситуация несколько изменится, если интересоваться условиями
равномерной сходимости ряда Фурье. Ведь, согласно общим свойствам равномерно
сходящихся рядов непрерывных функций, если функция f имеет хотя бы один разрыв,
то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно. Поэтому непрерывность
функции является необходимым условием равномерной сходимости ее ряда Фурье (но,
не достаточным).
Теорема 7. Если 2п-периодическая функция f дифференцируема на числовой
CjCu R и ее производная f принадлежит L2 [—я; я], то ряд Фурье функции f
сходится к ней равномерно на R.
В частности, ряд Фурье непрерывно-днфференцнруемой функции / равномерно
сходится на R к этой функции.
Приведем еще одно условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогнчюе
условию Дини.
Теорема 8. Пусть на некотором множестве А с: I—я; я] функции f £ 1^ [—п;
я] ограничена, а условие Дини выполняется на А равномерно, т. е. для каждого 8 ?>
125

>. 0 существует такое б > 0, что
й
\f(x + t)- f(x)\
[
'"
dt <е
одновременно для всех х £ А. Тогда ряд Фурье (1) функции f сходится к f равномерно
на А.
Можно показать, что существуют непрерывные функции, ряды Фурье которых
сходятся не во всех^точках. Вместе с тем, если сумму ряда Фурье (1) понимать не как
предел частичных сумм 5„ (х), а как предел нх средних арифметических, то каждая
непрерывная функция однозначно восстанавливается своим рядом Фурье. Для этого
рассмотрим ряд Фурье (1) 2я-перноднческой интегрируемой по Лебегу на [—я; я]
функции / н положим
ч S0 (х) + S1(x) + • • • + 5Л_! (х)
оп(х) = - — (*<ER,n<EN), (3)
аа
где Sa (х) = -п ■ Выражения ап (х) — средние арифметические сумм 5^ (х) —
называются суммами Фейера функции f.
Теорема 9 (Фейера). Если 2п-периодическая функция f непрерывна на R, то
последовательность (ал)л=1 ее сумм Фейера сходится к f равномерно на всей числовой
оси R.
Из теоремы Фейера следует теорема Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывной функции / тригонометрическими многочленами. Напомним, что
тригонометрическим полиномом называется выражение
п
а0 + ^ ak cos kx -f- f$A sin kx,
где «o> ai> •••• an H Pi> •••• Pn — действительные числа. Таким многочленом является,
очевидно, каждая сумма Фейера а„ функции /.
Теорема 10 (В е й е р ш т р-а с с а). Если непрерывная на отрезке [—я; я]
функция f такая, что f (—я) = / (я), то существует последовательность
тригонометрических многочленов, равномерно сходящаяся на [—я; я] к f.
Теорему Фейера можно рассматривать как усиление теоремы Вейерштрасса.
Ведь в теореме Вейерштрасса говорится о существовании какой-то последовательности
Тригонометрических многочленов, а теорема Фейера указывает конкретную
последовательность тригонометрических многочленов, равномерно сходящуюся к /,—
последовательность ее сумм Фейера (3).
Теорема Фейера справедлива н для функций из пространства Lt [—я; я].
Теорема 11. Если функция f интегрируема по Лебегу на отрезке [—я; я], то
последовательность (ап)™=\ се сумм Фейера (3) сходится к / в среднем, т, е,
л
Нш I оп -fh = Hm Г | a„ (x) -f(x)\dx = 0.
n-*oo n-*co v
—я
Из этой теоремы следует такой важный факт: каждая интегрируемая по Лебегу на
[—я, я] функция однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется
своими коэффициентами Фурье, т. е. если две интегрируемые функции имеют одинаковые
ковффнвденты Фурье, то они почти всюду равны на отрезке [—я; я].
Иа теоремы 11 получаем также, что тригонометрические многочлены всюду
плотны1 в пространстве Li [—я; я]
3. Преобразование Фурье функций пространства Li (R) и его свойства. Пусть
функция у = ф (х), х 6 R, интегрируема по Лебегу на R, т. е. ф 6 Lt (0?). Тогда ее
преобразованием Фурье называется функция F [ф] (а) (иногда обозначаемая <р (aj),
126

определенная на fi? с помощью равенства
F|<p](o) = J ¢^).1¾ (a€R). (4)
Отметим, что интеграл в правой части формулы (4) от комплекснозначной
функции существует, поскольку, согласно формуле Ейлера elxa = cos ха + i sin ха, он
выражается через два интеграла от действительнозначных функций пространства
MR) .
+00 +00 +»
\ Ф (х) вСха dx = I ф (х) cos xadx -)- 1 \ ф (x) sin xadx.
—00 —00 —00
Из формулы (4) следует, что преобразование Фурье F [ф] функции <р £ Lt (R)
является непрерывной н ограниченной на R функцией, причем lim F [ф] (о) = 0.
|a|-v+~
Исследуем теперь вопрос (как это делалось для рядов Фурье) о представлении
функции Ф 6 L] (R) с помощью ее преобразования Фурье Ф (о) = F [ф] (о), о € R.
Теорема 12. Пусть функция ф принадлежит пространству Lj (R), ф (о) =
ч= F [ф! (а), о 6 R,— ее преобразование Фурье и в точке х £ R удовлетворяет
условию Дини
36>0:| 1^ + (^1 *< + 0о,
ТааЗа справедлива формула обращения
а
1 (* - —(ох
ф (JC) = "2JT J ф (а) в d°' (5)
-в
которая называется формулой обратного преобразования Фурье.
Поскольку преобразование Фурье ф, вообще говоря, не принадлежит пространств
ву Lx (R), то интеграл в формуле (5) понимается в смысле главного значения, т. е,
N
Ф (х) = -х- lim \ ф (о) в~ axda.
—N
Отметим, что каждая функция пространства Lt (R) однозначно (с точностью до
вквнвалентностн) определяется своим преобразованием Фурье, т. е. если F [ф^ (о) =
*= F [ф2] (о) для всех о (Е R, то ф! (х) = (¾ (х) почти всюду на R.
Перейдем к основным свойствам преобразования Фурье.
1) Преобразование Фурье и операция дифференцирования. Предположим, что
функция ф 6 Lj (R) дифференцируема на R н ее производная ф' также принадлежит
L, (R). Тогда F [ф'] (о) = (—io) F [ф] (о) для каждого о 6 R. Если у функции <р
существуют интегрируемые на R производные до порядка т, то, повторяя процесс,
для любого о (Е R получаем
F [Ф<*>] (о) = (- и»* F [ф] (о) (А = 1, 2, . . . , т).
Допустим теперь, что не только ф (х), но и дар (х), х £ R,— интегрируемая на R
функция. Тогда функция ф (a) = F [ф] (о), о 6 R, является дифференцируемой на
(F [ф])' (о) = F [uapj (a).
Если вместе сф(*) интегрируемыми на R являются также функции xq> (х),
Ж* Ф (ж), .,., х"1 ф (х), то функция ф (о) = F [ф] (о), о g К, имеет производные до по-
127

рядка m. Эти производные непрерывны, ограничены на R н стремятся к нулю при
| о | -*■ +со. Кроме того, справедливы равенства
(F [ф1)*(о) = /Ч(!х)*ф] (a), VaeR (£=1,2 т).
Если все произведения х* ф (х). fe = 0, 1, ..., интегрируемы на R, то функция
ф (о) = F [ф] (о), о 6 R, бесконечно дифференцируема, каждая ее производная
непрерывна н стремится к нулю при | а | -*■ +со. ,
Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы
накладываем на функцию ф, тем более гладкой является функция ф — ее преобразование
Фурье.
В связи с изложенным укажем класс функций, который при преобразовании
Фурье переходит в себя самого Этим свойством обладает совокупность 5 (В?)
бесконечно дифференцируемых функций ц = ф (х), х £ R, которые для всех k, п = 0, 1, ...
удовлетворяют неравенствам | 1*ф("' (а:) | < cfe/1 (Vx(ER), где скп — постоянные,
зависящие от функции ф. Очевидно, что функция у =зз 1 не принадлежит 5 (R|.
Однако можно показать, что ехр (—х2) £ 5 (R). Так что класс 5 (R) не является пустым.
2) Преобразование Фурье класса S (R). Если функция ф принадлежит множеству
S (R), ее преобразование Фурье ф = F [ф1 также принадлежит S (R). Кроме того
каждая функция ф множества 5 (R) является преобразованием Фурье некоторой
функции ф £ 5 (R). Таким образом, прн преобразовании Фурье класс 5 (R)
отображается на весь класс 5 (R). Символически это можно записать с помощью равенства
F IS (R)] = 5 (R).
3) Преобразование Фурье и свертка. Пусть фа н ф2 — функции, интегрируемые по
Лебегу на числовой оси R. Тогда справедливо равенство
+оо +О0 +00 -j-oo
\ £ «Pi (I) Фг (* — I) dxdl = J ф! (Э d% ■ \ ф2 (л) dr\.
—оо —оо —оо 00
Поэтому, согласно теореме Фубини (см, § 3), функция
-|-оо
ф(*)= \ Ф1(1)Ф1(*-Э* (в)
-~оо
существует для почти всех х £ R и интегрируема на R. Функцию ф, определенную
равенством (6), называют свергхой функций ф, и ф, н обозначают символом фх * фа.
Операция свертки двух функций из пространства Lj (R) коммутативна и
ассоциативна.
Часто при решении дифференциальных уравнений с помощью преобразования
Фурье используют такое свойство если функции фх и ф2 принадлежат пространству
Lj (R), то преобразование Фурье их свертки равно произведению преобразований
Фурье функций ф2 и ф!, т. е. F [^ * ф2] (о) = F [ф^ (о) • F [ф2] (о) (wag R).
Замечание. Чтобы придать формулам прямого и обратного преобразования
Фурье большую симметричность, часто определяют преобразование Фурье формулой
1 +°°
ф(0) = Уй ] <H*)elxadx.
—оо
Тогда формула обращения принимает вид
Мы будем придерживаться определения (4) с формулой обращения (5).
Преобразование Фурье, рассмотренное для функций одной переменной, легко
переносится на функции многих переменных.
128

Пусть функция у = ф (х), где х = (£1( ..., ?т) £ Rm, принадлежит простраиству
Ei (Rm) = L, (Rm, \im). Ее преобразованием Фурье называется функция
+ оо + оо
Ф (О) - Ф <°1 °m) = ) ■ ■ ■ J ф (Ь 6т) «,(Ьв,+ "' ^¾ • • • 4»
—оо —оо
ялн в символической записи —
ф (о) = f ф (х) ei(x-a)dx.
Rm
Этот т-кратный интеграл заведомо существует, поскольку функция Ф 6 Lj (Rm).
Согласно теореме Фубннн, его можно представить, например, в виде повторного ннте-
■грала
Ф (olf 0m) = J . . . j J ф (Ь £m) в'Ь»^! в'Ь".^, . . . x
X e%^mdlm. (7)
Другими словами, для вычисления преобразования Фурье интегрируемой
функции ф от т переменных надо последовательно выполнить преобразование Фурье
функции ф по каждой из переменных в отдельности (в любом порядке). Обращая каж-
.дую из этих т операций в правой части равенства (7), формально получаем
Ф (ii Ьп) =
' —оо \ —оо \ —оо
От) e~i°xbdo1 e-la&da2 . .. ^"'"«Чй!,,
(2rm ,,- ,, ,,-.-. ..- -* ,- -, m
млн же (в форме m-кратного интеграла)
Ф (li Ьп) =
= -V Т • ■ ■ Т Ф № *■> ^-^^-^1^ ... Д,т. (8)
х ' —оо —оо
Но поскольку функция ф (о), вообще говоря, может ие принадлежать
простраиству Lx (Rm), то нужно указать, в каком смысле следует понимать кратный нитеграл
в формуле (8) и те условия на ф, при которых оиа представляется интегралом (8).
Один ич возможных ответов на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема 13. Пусть функция ф (£lt ..., &„) принадлежит пространству LL (R"*,
jim) и удовлетворяет цсювиям.:
I Ф (5i + <i. Ь. • ■ ■ . Ьп) - <? (Ь, 12 1т) I < С | h Г,
I Ф <?!.* £*+ <*. Ьп) — Ф (Ei. 5а 5m) I < С (&) | <2 |а,
. |ф(Ь. h Ьп + и-ФЙ!. Е«. ■•• . bn)i<C(£1 lm_l)\tm\*t
*tde 0<а< 1,
] C(E1)d61<+ee,
+00 +«
J ... J С(Ь Еи.!)^ ...4^.1 < + ооь
—оо —оо
|| 0-Т4 1М

Тогда формула обращения (8) справедлива, если интеграл в ней понимать как
выражение
lim
— lim \ I... Hm I \ lim \ ¢(0,,
. . .1 e-'e'bd0l.
Om) X
— «J S
—<om_ilm_i
Условия этой теоремы выполняются, например, если у интегрируемой функции (р
дер Зф
существуют частные производные -~~, ..., -тг—, первая из которых ограничена стосто-
0¾ ос,т
янной, вторая — интегрируемой функцией от £i и т. д. Свойства 1) — 3) преобразований
Фурье для функций многих переменных сохраняются. Например, как н в случае
одной переменной, рассмотрим совокупность 5 (Rm) бесконечно дифференцируемых на
Rm функций у = ф (х), где х = (£, &я) 6 R"1, которые для всех ku .... km, nlt...
■ •-. пт = О, 1, ... удовлетворяют неравенствам
е
<•
at"»
<с
*> km'ni
(v*eRm),
где Сь ь .„ „ — постоянные, зависящие от функции ф. Тогда преобразование
*'■■■ •sm•'1, т
Фурье отображает класс 5(Rm) на себя, т. е. F [5 (Rm)] = 5 (0?m).
Свертка двух функций /, geL^R"1, Цт) определяется равенством
(/•в) (El 6m) =
= } ■ ■ • j / (t, tm) g (£д — тх !„ — xm) dx1 : .. dxm,
•—oo —oo
Как и для функций одной переменной в случае многих переменных F [f * g] =
= F[f] • F [g], если / и g принадлежат пространству Lj (R, цт).
4. Преобразование Фурье функций пространства L2 (R). Функция ф,
принадлежащая пространству L2 (R, \i{), вообще говоря, не принадлежит Lt (R, ц^.
Например, ф М = -гх"Т—Г ^ ^ ("• f*i)» н0 Ф (*) б' Li (К, Hi). Поэтому для нее неопреде-
i J ^* I
лено преобразование Фурье, о котором шла речь в п. 3. Однако для всякой функции
Ф 6 Lj (R) можно определить преобразование Фурье в несколько ином смысле. При
этом получаем следующую теорему.
Теорема 14 (Планшереля). Для каждой функции Ф С L2 (R) интеграл
N
1охА
*«(<»)- J ф(«) «""<!* (о eR)
при любом натуральном N представляет собой функцию от о, принадлежащую
Ц (R). Яри W -»■ +со последовательность функций (ifyy (o))yv=i сходится по норме
пространства L2 (R) к некоторому пределу if (о) (т. е. J ifN — ty Hl.ur) ""*" 0 "P"
iV -»- -f-co), причем
||ф(о-)|аА7=2я) |ф(*)|»Жг. (9)
Функцию ty называют преобразованием Фурье функции ф £ Lj (R) и обозначают,
доя и раньше, черев F[y\ или ф.
130

Если ф принадлежит также пространству Lx (R), то соответствующая функция if>
совпадает с преобразованием Фурье функции ф в обычном смысле. Равенство (9)
называют равенством Парсеваля.
Отметим, что если ф! и ф5 — любые функции из L2 (R) и \fi. Ч>2 — их
преобразования Фурье, то
] ^1 (о) Ыо) do = 2я ] <р! (х) ф7(Г) dx
(черта над функцией означает переход к комплексно-сопряженной функции).
Рассмотренные здесь вопросы более детально освещены в [20; 23; 27; 33].
Примеры решения задач
1. Доказать, что множество Lp = Lp (А, fi), р > 1,—линейное.
Решение Напомним, что элементами множества Lp являются
классы ^-эквивалентных на А функций, причем если / — представитель
этого класса, то / ц-измерима, почти всюду конечна на Л и
J|/(*)|"d|i<+oo.
А
Действие сложения в Lp вводится следующим образом. Для любых
двух классов из Lp, представителей которых обозначим через / и g
их суммой называется класс всех ^-эквивалентных / + g функций ра
А. Отметим, что данное определение корректно. А именно, если / и g —
другие представители рассматриваемых классов, Tof~fag~giia
А относительно меры ц Поэтому по свойствам ^-эквивалентных
функций классы fi-почти всюду равных на А функций с / + g и ц-почти
всюду равных на А функций с / + g совпадают. Покажем, что сумма
двух классов из Lp также принадлежит Lp. Пусть fug —
представители этих классов Тогда функция / + g является представителем
суммы этих классов Функция / + g ц-измерима и почти всюду конечн?
на А, как сумма fi-измеримых и почти всюду конечных на А функций
fug. Нужно еще доказать, что интеграл \ \ f (х) + g (х) \" dp конечен,
А
зная, что функций | / f и | g \р fi-интегрируемы на А. Для этого
оценим \f(x)+g (х) \".
Если в некоторой точке х £ А \ f (х) \^.\ g (х) \, то
l/(*)H-g(*)lp<(l/(*)l + lar (*)!)"<
<2P\g(x)\P<2P(\f(x)\p + ]g(x)\p).
Если же | g (х) | <; | / (х) |, то аналогично получаем
\f(x) + g(x)\P<2P\f(x)\P<2P(\f(x)\p + \g(x)\p).
Таким образом, почти всюду на А справедливо неравенство
\f(x)+g(x)\p<2p(\f(x)\p + \g(x)\").
Поскольку функции | / f и ] g |р ц-интегрируемы на Л, то их сумма
7 Г + \ё \" также ц-интегрируема на Л. Поэтому функция
'6* 131

2P (| f f + | g f) ц-интегрируема на А и, следовательно, согласно
свойству 6 интеграла Лебега (см. § 3), функция | / + g f также ц-
интегрируема, т. е. конечен интеграл | \f (х) + g (х) г d\i.
X
Отметим чго если / и g — другие представители рассматриваемых
классов, то / (х) + g (х) fi-почти всюду на А равна f (х) + g (х). Тогда
интеграл ) \f (х) -\- g (х) f dp. также конечен, поскольку
А
J \f(x) + g(x)\Pd\x =r f I /(x) + g(x)\pdix.
A A
Таким образом, действие сложения элементов множества L„
определено корректно и сумма двух классов из Lp также принадлежит Lp.
Свойства действия сложения в Lp (коммутативность,
ассоциативность, существование нулевого класса и класса, противоположного
заданному) легко проверяются (путем сведения к рассмотрению
представителей классов). В частности, нулевой класс в Lp определяется
как класс, для которого тождественно нулевая на Л функция является
его представителем. Если в Lp рассматривается класс с
представителем/, то ему противоположный класс имеет представителя —/.
Теперь определим действие умножения элемента множества Lp
на действительное число. Рассмотрим в Lp класс с представителем /.
Пусть а — действительное число. Тогда произведением
рассматриваемого класса на число а называется класс всех ^-эквивалентных с а/
функций на А. Отметим, что если / — другой представитель этого
класса, то а/ -~ а/ на А и поэтому
j | а][х) Г d|i = J / «/(*)/" 4* = I«I" J I / (х) О < + «..
А А А
Следовательно, действие умножения элементов из Lp на число
определено корректно и произведение элемента из Lp на число снова
принадлежит Lp.
Нетрудно проверяются и все свойства действия умножения
элементов Lp на числа, которые присутствуют в определении линейного
пространства.
Таким образом, множество Lp, р ^ \, действительно является
линейным пространством.
Отметим также, что расстояние между элементами пространства L„
и норма элементов из Lp определены корректно, т е. эти величины не
зависят от функций, представляющих эти элементы.
2. Показать, что функция у = (х In2 —) принадлежит простран-
щ], но не принадлежит ни одному из пространств
ству Lx у 0;
Lp ( 0; ~2 \, На), если р > 1. Здесь (½ — мера Лебега на IR.
132

Решение. Рассматриваемая функция на полуинтервале (0; -у
непрерывна и конечна. Поэтому она fi^-измерима и почти всюду на
0; т
по Лебегу на отрезке
интегрируема
Для этого, согласно примеру 29 из § 3,
конечна. Докажем, что функция у = [х In2 х
гу на отрезке 0; -у . Для этс
докажем, что несобственный интеграл
j_
2
С dx _ С _d>
dx
X
от заданной положительной функции сходится. Этот интеграл легко
вычисляется с помощью формулы Ньютона — Лейбница
1
Т
Г dx _ Г d\nx _
\ х\п2х ~ ] 1п!х —
In X
1
In 2 '
Таким образом, заданная функция принадлежит пространству Ц ( 0;
Докажем, что функция у = lx In2 —) не принадлежит ни одно-
0; -у-J • f*i) •
му из пространств Lp
жем, что несобственный интеграл
dx
еоли р> 1. Для этого пока-
i
т
*" 1п2рх
является расходящимся для р>1. С этой целью подберем такое
е > 0, что р — е>1 Кроме того, применяя правило Лопиталя,
убеждаемся, что lim хе ln2p х = 0. Поэтому для достаточно малых
Ж-++0
ж (% £ (0; 6)) справедлива оценка
1
* 1п2р *
уР—е
Поскольку интеграл I р_г является расходящимся, то
расходится и интеграл
Г dx
) «"In2":
133

Таким образом, функция у = fxln2—) gf LJ 0; — , цП ,
если р>\.
3. 1) Определить, для каких значений a, P6IR функция /(х) =»
~ ^- , *€1R, принадлежит пространству LP(IR, (½). p^l, где
(1 + *2У
(½ — мера Лебега на числовой оси IR.
2) Определить, для каких значений a£IR функция /(%, «/) =»
= ,,, 2', 2,а ■ U. (/) € IRa. принадлежит пространству L„ (IR2, ц,),
р > 1, где fi2 — мера Лебега на плоскости IR2.
Решение. 1) Рассматриваемая функция /, очевидно, ^-измерима
и конечна на IR Выясним, для каких аир функция f является \it-
интегрируемой на IR Для этого (см. пример 2) исследуем на сходимость
несобственный интеграл
Т 1а"^'1рР dx = 2+[ (arctga:)PP dx (10)
-оо ' ' 0 '
Особыми точками для этого интеграла являются точки х = 0, х *
(arctgx)Pp
= + оо. Поакольку при х-»-0 для р<0 имеем —— g ар ~ ^д
= _ , то рассматриваемый несобственный интеграл сходится в
х lw
окрестности точки х = 0 только тогда, когда Р > . При Р ^ 0
в окрестности дг = 0 он также сходится, поскольку подынтегральная
функция в этом случае непрерывна. Следовательно, для всехр >
и произвольных а в окрестности точки х = 0 интеграл (10) сходится.
Поскольку, далее, при х -*■ +оо
(arctg xf"
nf 1
2 j ^«P '
(1 + ^2)00
то интеграл (10) сходится в окрестности точки х = -f-oo только при
а > -х-. Следовательно, / б Lp (IR, щ) лишь тогда, когда а> -г-
и Р>—J-.
2; Измеримость в смысле меры Лебега ца и конечность на IR2
функции / очевидна. Тогда / £ L„ (IR2, fij, если сходится несобственный
двойной интеграл
-|-оо -j-oo
J J (1 + ^ + уГр (11>
—оо —оо
В данном интеграле переидем к полярным координатам: х = г cos <р,
«/ — г sin ф, где г > 0 и ф £ [0; 2я]. Тогда интеграл (11) приводится
134

к однократному интегралу
2я
о
Поскольку при Г -*■ + 00
г
то интеграл (12) (а следовательно, и (11)) сходится при а>—.
Таким образом, / £ Ц (R2. (½) только тогда, когда а > —
4. Пусть / б Lp ((0; -f-oo), ц^, 1 < р < 2. Доказать, что интеграл
+ является абсолютно сходящимся
Решение. Для заданного числа р рассмотрим его сопряженное q.
Поскольку q = —S-— _ а 1 < р < 2, то <7 >■ 2
sin лгу
При каждом фиксированном у £ IR функция <р (х) =
V
х
;>0, принадлежит пространству L„((0; + оо), ^.j), ибо |ф(%)|"<:
^—— (х>0; q>2). Тогда из неравенства Гельдера для функций
/ и ф следует, что произведение / (х) • s" ХУ , х>0, является
интегрируемой по Лебегу функцией на [0; -f-oo), т. е. заданный
интеграл абсолютно сходится.
5. Рассмотрим для р^ 1 множество 1Р всех таких числовых
поело
ледовательностей % = (£„)£=i, что сходится ряд 2 ||„|р. Снабдим
это множество структурой линейного пространства: если х = (£,JZ=\ б
£ 1р< У = (4/0-^=1 С ^ и а € IR. то положим х + «/ = Цп + цп)Т*=и а ах =
= (a|„)~=i. Доказать, что множество 1Р является линейным
пространством.
Для элементов х = (|„)£=ь у = (r)„)£=i пространства 1Р введем
расстояние между ними по формуле
j_
р (*. у) = (£1 / ь, — ri»ip)P.
а для элемента х £ 1Р — норму || х ||, полагая

Доказать, что тогда пространство 1Р является метрическим и
нормированным.
Решение. Внешнее сходство пространств 1Р и Lp (А, fi) наводит
на мысль о возможности реализации 1„ как одного из пространств
L, (A, fi). Осуществим эту идею.
Пусть множество X совпадает с множеством ftj натуральных чисел.
На полукольце 92 всех конечных подмножеств множества ftj определим
счетно-аддитивную меру ц, полагая, что мера каждого одноточечного
множества [п] равна единице. Таким образом, мера любого конечного
подмножества из ftj равна количеству его элементов. Эта мера имеет
лебегово продолжение на а-алгебру 21 = 2N всех подмножеств
множества ftj, причем она является полной и а-конечной. Поэтому
рассмотрим измеримое пространство (ftj, 91, \i).
Наличие а-аддитивной меры |i на ^ позволяет ввести понятие
интеграла Лебега по этой мере fi. Произвольная функция,
определенная на множестве ftj, т. е. последовательность % = (£„)£=i.
является простой и fi-измеримой. Она ц-интегрируема на ftj тогда и|
оо
только тогда, когда абсолютно сходится ряд J] £„. В этом случае
J
л=1
xd\x = У, |„. Поэтому пространство Lp(ftj.fi), p^l, состоит толь-
Si n=l
ко из тех последовательностей х = (£,n)T=i. для которых J \xfd\i =
оо
= £ \Ъп\"< + °°- Таким образом, Lp(ftj, ц) = lp, р~^\. Отметим,
л=1
что расстояние между элементами (а также норма элемента) в 1Р
совпадает с расстоянием (нормой) в Lp (ftj, ц). Поэтому пространство 1Р
является линейным, метрическим и нормированным.
Замечание. Из предложенной выше реализации 1р как Lp (N, Ц) получаем
неравенства Гельдера и Мннковского для сумм. Пусть р > 1, q — сопряженное ему
оо
число, последовательность х = (£n)~=i € 'р, а у = (Лп)~=1 € lq- ТогДа Ря& 2 Sale
абсолютов сходится и справедливо неравенство Гельдера для сумм
<
/ °°
\п=\
\1п
\
г)
1
Р
/оо
\л=1
1¾
\
г)
1
Я
л=1
Это неравенство, соответствующее р = 2 и q = 2, называется неравенством Ко-
ши — Буняковского для сумм. Если р> 1 и последовательности х = (Sn)^Li и у =
= (Ла)^! принадлежат пространству /р, то справедливо неравенство Минковского доя
сумы
— — -L
(во \р /оо \ Р /оо "\р
136

в. Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство, Л £ 91 и мера р. (А)
■онечна. Доказать, что если г > р ^ 1, то Lr (А, р,) с: L„ (А, р).
Доказать также, что если /„ -»- / в Lr, то /„ -»- / в L„.
Решение. Пусть/ £ Lr (Л, р). Тогда | / \р принадлежит пространству
Lr (A, р), поскольку, согласно условию, сходится интеграл
U\f(x)\P)^dix=UHx)\rdii.
А А
Кроме того, функция g (х) = 1, х £ Л, принадлежит пространству
L, (Л, fi) для произвольного <7 ^ 1» так как р (Л) < + со. В качестве
щ выберем число, сопряженное с —, т. е. положим q = _ . Теперь
к паре функций | /1" и g применим неравенство Гельдера
|;7(*)Г4*<(||7(*)Г4*У (1*И))~.
Отсюда следует, что /£ Lp (Л, р). Кроме того, для нормы |/|l
вправедливо неравенство
11Л|ьр<«7|1ьг((х(Л)К. (12)'
Пусть задана функциональная последовательность (/„ (x))^v
к £ Л, элементов пространства L, (Л, р), сходящаяся в этом
пространстве к функции / (х) £ Lr (Л, (х), т. е. lim | /„ (х) — / (х) ||l = 0.
л-voo r
Тогда из неравенства (12) имеем
| /„ (х) - / (х) \\Lp < || /„ (*) - / (х) \\Lf (fi (А))~£ (V п g 1¾)).
Поэтому lim ||/„(х) — /(*)||l = 0 и, следовательно, последователь-
ность (/„(x))^Li, х£А, сходится к функции /ив пространстве LP(A, р)
Замечание. Если |х (Л) = +оо, то вложение Lr (А, ц) с: Lp (Л, |х) не всегда
справедливо. Например, пространство L2 (R, (хх) интегрируемых с квадратом
функций на R не является подмножеством пространства L, (R, щ) (см. п. 4)
7. Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство и множество А <^ X
является fi-измеримым. Доказать, что если f£(L„(A, р) П ЬГ(Л,
fi)), где 1 ^ р < г, то функция / принадлежит пространствам Ls (А,
fi) при всех s £ (р\ г).
Решение. Поскольку функция / р-измерима, то множества В =
« {х £ Л : | / (х) | <: 1} и С = {х £ А : \f (х)\> 1} также р-измери-
мы и В П С = 0. Покажем, что функция / принадлежит
пространствам Ls (В, fi) и Ls (С, fi), если р < s <С г. Действительно, на
множествах В и С справедливы неравенства:
1/(*)Г^1/(*)Г (Vx£B); (13)
l/Wf<f/(*)!' (V*eC). (14)
137

Из (13) и того очевидного факта, что если / £ Lp (Л, \х), то / б
£ Lp (В, fi), следует, что / £ Ls (В, ц). Аналогично из неравенства (14)
следует, что / £ Ls (С ц). Тогда /£LS04, ц), поскольку
$|/tofdfi=$|/(x)|sdfi + j|/(%)/sdfi.
две
8. Пусть (X, 91, (х) — измеримое пространство, а множество Л
принадлежит а-алгебре 21. Рассмотрим 'последовательность функций
(fn(x))n=i, х£А, принадлежащих пространству Lp (А, fi), р ^ 1,
и функцию ф £ Lp (Л, ц), для которых выполнены условия:
1) I fn (х) I ^ Ф (х) для почти всех л; £ Л и всех л 6 Ц;
2) lim /л (х) = }{х) почти всюду на А.
Доказать, что функция / принадлежит Lp^,fi) и lim /„(*)=*
= /(%) в ЦДЛ, fi).
Решение. Из неравенства | /„ (х) | <! ф (л), справедливого для
почти всех х £ Л и всех п б ЭД, при п -»- с» получаем, что | / (х) | <J
^ Ф (х) для почти всех х £ Л. Отсюда, поскольку ф £ Lp (Л, fi),./
также принадлежит пространству hp(A, fi).
Рассмотрим теперь последовательность ц-интегрируемых на Л
функций gn (х) = | /„ (х) — / (х) f, х £ Л. Тогда, согласно условию
2), limg„ (х) = 0 почти всюду на Л. Чтобы воспользоваться теоремой
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (см. § 3), найдем
для последовательности {gn(x))n=i, х£А, fi-интегрируемую
мажоранту. Так как (см. пример 1), для функций /, g£ Lp (Л, fi)
справедливо неравенство
I/ (*) + g(x)\" <2Р (|/(*)|' + \g(x)\p),
то отсюда и из условия 1) вытекает
gn(x)^2p(lf(x)\p + \<р(х)\р).
Следовательно, с учетом ^-интегрируемости функций | / \" и | ф |"
функция 2" (| / \" + | ф |") может быть принята в качестве
интегрируемой мажоранты для последовательности (gn (x))t=\, х£А.
Поэтому, на основании упомянутой выше теоремы Лебега, возможен
предельный переход под знаком интеграла, т. е. -
lim f gn (x)dii = lim f | /„ (x) - f(x)\pdn = 0.
П-ЮЭ ^ л-voo ^
Таким образом, limfn(x) = f(x) и в пространстве LP(A, fi).
9. Определим для каждого натурального числа п на полусегменте
[0; 1) = A cz IR функции ff\ /2" fnn) следующим образом:
1 при <%<—,
о при *g[^—; —J.
138

Занумеруем все эти функции в виде функциональной
последовательности (gn (x))Z=i, х g А, т. е. положим gt (х) = f\h (х), gt (х) =
= /Г (х). gs (х) = ff (х), gt (х) = /f (х) Доказать, что
функциональная последовательность (gn (x))%=i сходится к функции g (х) = О,
х g Л, в каждом пространстве Lp ([0; 1), щ), где р !> 1 и цх —мера
Лебега на IR. Показать также, что последовательность (gn (x))%Li не
является сходящейся (поточечно) в каждой точке х g А.
Решение. Все функции gn, принимающие только два значения,
являются (^-интегрируемыми на Л с любой степенью р !> 1, т. е. ga g
€ Lp (Л, fii) для каждого л g ftj. Кроме того,
f I ёп (x)fdn1 = h{x^A:ga(x)=l) (V л g 1¾)).
Найдем теперь меру множества, на котором функция £„(*)
равна единице. Если ga (х) == fm (х), то (½ {х g Л i g„ (х) = 1} =
= ^(^4:/^(^)=1)=^(-^-=-^,-^-))=-^-. Поскольку при
л->-оо и А -> оо, то
lim [ | g„ (%) [р dfii = lim -т- = 0.
Таким образом, lim g„ (х) = 0 в Lp(/4, ц).
Вместе с тем соотношение gn (х) -*■ 0 не выполняется ни в одной
точке промежутка [0; 1). Действительно, если х0 g [0; 1), то для
каждого номера k имеется такой номер т, что fm~(x0) = 1, и такой
номер s, что /<*' (х0) = 0. Построим для точки х0 две
подпоследовательности (gn (х))?=1 и {g. (х))~ , такие, что lim gn (%„) = lim 1 = 1,
/ /-*-оо /-*.оо
a Hm g <(%„) = lim 0 = 0. Значит, последовательность (gn (х0))%=\ не яв-
ляется сходящейся. Поскольку х0 — произвольная точка промежутка
{0; 1), то действительно последовательность (gn (x))%L\ не является
сходящейся в каждой точке х g [0; 1).
10. 1) Пусть (X, 91, fi) — измеримое пространство, А с: X — ц-
измеримое множество и число р > 1. Доказать, что если
последовательность (/„ (%))£Li функций из пространства LP(A, fi) сходится в
этом пространстве к функции / g Lp (А, ц), то lim /„ (х) =^= f (х) на А.
2) Определить, при каких значениях р ^ 1 последовательность
</„ (x))^Li функций из пространства Lp (IR, \ij) сходится в L„ (IR, (½).
если:
а) /„ (*) = V'n Хг и W, где л g |^j, % g IR, X, ,^ (%) —
характеристическая функция промежутка 0; — J;
б) /„ (x) = nV*1, где л g 1¾). х g IR.

Решение. 1) Напомним (см. § 3), что последовательность ц-измери-
мых функций (/„ (x))ZL\, х £ А, сходится по мере ц на множестве At
если для каждого о > О
lim |i {х g А : | /„ (*) — / (*) | > <т} = 0.
л-*-оо
Поэтому рассмотрим произвольное <т>0и пусть Ап (a) = {% £ A i
: | /„ (х) — / (%) \~^ а). Тогда, согласно свойству аддитивности
интеграла Лебега, имеем
$|/»(*)-/(*)Г<*1*= J IM*)-/M/'<i|i +
>а'МЛя(*)) (Vn£N).
Отсюда получаем неравенство
^{x^A:\fn{x)-f(x)\>a)^~\\fn{x)-f{x)\pdVi. (15)
(При /7 = 1 оно называется неравенством Чебышева).
Поскольку lim /„ (х) = f(x) в LP{A, ц), то, устремляя в неравеа»
л-юо
стве (15) п к +оо, получаем
lim ix{x£A:\fn(x)-f{x)\>o) = 0,
л-юо
т. е. последовательность {fn (х))Т=\> х£А, сходится к функции f(x)
по мере fi на множестве А.
Замечание. При решении конкретных примеров следует помнить следующее.
Если последовательность функции {fa)%Li сходится к функции / в Lp (А, ц.), то, кая
мы только что показали, lim /„ (х) i / (х) на А. Тогда по теореме Рнсса (см. § 3, те-
л-юо
орема 6) существует подпоследовательность Qn (*))fcLi, сходящаяся почти всюду
(относительно меры ц.) на А к функции / (х). Таким образом, если последовательность
функций (/„ (*))JJLi, х £ Л, пространства L„ (Л, ц.) сходится в этом же пространстве к
функции f (х) £ LP(A, ц.), то существует подпоследовательность (/„ (*))JLii * £ /4,
, сходящаяся почти всюду на Л к f {х).
2'). Заданная последовательность (/п(*))п=ь *€R> сходится
почти всюду (относительно меры Лебега ц^ на 1R к функции f (х) =
= 0. В самом деле, если x<L 0, то все /n(*) = 0, и поэтому
lim fn{x) = 0. Если х>0, то существует такой номер п0, что <
Л-t-oo ПЬ
<*. Тогда для п^п0 %t , ч (я) = 0 и поэтому lim/„(х) = 0. Толь-
ко в точке х = 0 имеем lim /„(0) = lim Yn = + со. Таким образом,
tt-ЮО Л-ЮО
почти всюду на IR последовательность (/„ (j:))^Li сходится к функция
/W = 0.
140

Согласно замечанию к первой части примера 10, если
последовательность (/„ (x))^=i сходится в L„ (IR, ц) к какой-то функции, то эта
предельная функция может быть только почти всюду равной нулю на
JR. Поэтому надо проверить, для каких р ^ 1 /„ (х) -> 0 в Lp (IR, ц^).
Но
р
JlV^Xr .j_\(J«)fd|*i = nT ' (VngN),
И поэтому lim \ [VnXr , \ (л:)]" dfijt = 0 только при условии р<.2.
Следовательно, заданная последовательность (/„ (х)%=\ сходится
только в тех пространствах L„ (IR, fij), для которых 1 ^ р < 2.
2") С помощью правила Лопиталя получаем, что
последовательность (/„ (*))5SLi, х g IR, сходится почти всюду на IR к функции / (х) =
*= 0. Поэтому (согласно замечанию, приведенному в этом примере)
вта последовательность может сходиться в среднем только к функции,
почти всюду равной нулю.
Исследуем, при каких р~^ 1 lim /„ (х) = 0 в пространстве L„ (IR, ^).
Для этого вычислим соответствующие интегралы Лебега
*"*-"*.--& J •-'«-^гг <*»«»
-f-oo
(здесь использован интеграл Ейлера — Пуассона ] е ''dt = У~п).
Таким образом, lim ] п "е pxdii,1 = 0, если только р<-г- , что
«-►00 |}
противоречит условию /7 > 1. Следовательно, заданная
последовательность не является сходящейся хотя бы в одном из пространств Lp (R,
Hi) С/)>1.
11. Проверить выполнимость в точке ж = 0 условия Дини для
следующих функций:
1) / (*) = . если 0 < * <; я, и / (я) = 0 для — я <; х ^ 0;
1п —
2) /(я) = д^sin — , если 0 < * <: я, и / (я) = 0 для — я^х^0
где а>0.
Решение. 1) Очевидно, что функция /gl^I—я; я]. Докажем,
что для произвольного б (0 < б < 1) интеграл (2) функции /для х =
= 0 является расходящимся. Действительно, для заданной функции
/ и точки х = 0 интеграл (2) имеет вид
& о
С dt __ С dt
] J ,|,n _L " J tlnt '
/lln-
141

Последний интеграл легко вычисляется с помощью формулы
Ньютона — Лейбница
J tint
о
* — In | In * |
Таким образом, условие Дини для заданной функции / в точке
х = 0 не выполняется.
Отметим, что можно доказать (используя иные достаточные
условия), что функция / тем не менее разлагается в ряд Фурье в точке х =
= 0.
2) Поскольку заданная функция / непрерывна на отрезке
[—я; я], то она на нем интегрируема по Лебегу, т. е. f £1^1—я; я].
в л| . 1 I
/. /"sin —
Интеграл (2) для функции / в точке х — 0 имеет вид I —'—- dt.
о
Сходимость этого интеграла для а>0 следует из такого
очевидного неравенства:
sinT~ 1
L<7==" ('е(0; 6])-
/,->
Таким образом, функция / в точке х = 0 удовлетворяет условию
Дини. Тогда, согласно теореме 6, ее можно разложить в этой точке в ряд
Фурье. Отметим, что если 0 < а ^ 1, то функция / в точке х = 0 не
имеет конечной правой производной.
Выполнимость условия Дини для функции / в точке х = 0 можно
получить и из того, что она удовлетворяет в этой точке условию
Липшица порядка а, если 0 < а ^ 1. Для а > 1 функция /
дифференцируема в точке х = 0 и поэтому для нее также выполняется условие
Дини.
12. Найти преобразование Фурье функций:
1) ф(д:) = 1, если |*|<; 1, и (р(х) = 0, если \х\>1;
2) (р(х) = е~а'х', *£1R (а — фиксированное число);
3) ф (х) = —р— , х £ IR (а — фиксированное число).
Решение. 1) Очевидно, что функция ф интегрируема по Лебегу на
Ц. Поэтому она имеет преобразование Фурье. Согласно формуле (4),
для о Ф 0 получаем
1 1 1
F [ф] (а) == ] e'*adx = ] cos х odx -f i j sin xadx =
-l -l -l
_ sin xo J*"1 _ 2 sin о
о |*=_i о
Если a = 0, то из формулы (4) имеем
1
F [ф] (0) = J dx = 2.
—i
М2

Таким образом, если доопределить в точке а = 0 функцию ■■?nq
по непрерывности, то F [<р] (о) = —-— , а £ 1R-
Замечание. Полученная функция F [<р] не является интегрируемой по Лебегу на
числовой оси R. Следовательно, преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу на
R функции не обязательно является интегрируемой по Лебегу функцией на R.
Функция <р непрерывна в каждой точке х £ R, кроме х = 1 и х = —1.
Поскольку она имеет конечные односторонние производные в каждой точке числовой оси R, то
она удовлетворяет условию Диии иа R. Поэтому справедлива формула обращения (5)
+оо
1 f sin о _to.
Верно в этом случае и равенство Парсеваля (9), поскольку <р £ L2 (R). Оно приводит
к формуле
+оо
do = п.
Г S1'n*
J °2
2) Функция (р(х) = е а2*', *£IR, принадлежит пространству Lx (IR),
а также L8(1R). Поэтому она имеет преобразование Фурье <р(а),
aglR, и
+оо
Ф(а)= J <r-a'x* e'axdx, agR.
—оо
Этот интеграл можно дифференцировать по параметру ст, по-
скольку интеграл j ixe~~a'x*eiaxdx сходится равномерно на 1R относи-
тельно переменной о (функция | х \ ега'х%, х £ 1R, является
интегрируемой мажорантой для подынтегральной функции этого интеграла).
Поэтому функция ф дифференцируема на 1R и
+00
Ф' (a) = I \ xe-a'x'eaxdx, aglR. " (16)
—оо
Заметим, что дифференцируемость преобразования Фурье функции
;«р и последнее равенство можно получить также из того, что ф g Lx (IR)
и х(р g Lx (IR).
Интеграл (16) вычислим с помощью интегрирования по частям
+оо
ф' И = - -щг J л (^ = - -яг * И» ff е R-
—оо
Таким образом, искомое преобразование Фурье ф (а) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Ф»+-2^фИ=0, org*.
143

q»
Интегрируя это уравнение, получаем <р(а) = Се ***, а£Ц. Для
определения постоянной С отметим, что
—оо
Следовательно, преобразование Фурье <р заданной функции <р
найдено и ф (ст) = -jA- е ** , a £ IR.
Отметим, что если a* = -g- , то функции ф(*)=е 2 , *£1R, и
а'
(р(а) ==уг2ке 2 , стбК, отличаются лишь постоянным множителем.
3) Заданная функция ф принадлежит, очевидно, пространству
Lx (1R). Поэтому для нее существует преобразование Фурье
" i„\ f sin2 аде (ах.„ „Гт
4^) = J —J5—е «*» "сК-
—оо
Поскольку функция ф четная, то, учитывая формулу Ейлера е'°* =»
«= cos ст* + i sin ст*, получаем
+~
Ф (а) = \ —^— cos oxdx, а б IR.
—оо
Для вычисления этого интеграла воспользуемся теоремой о
дифференцировании по параметру о несобственного интеграла. С этой целью
исследуем вопрос о равномерной сходимости (хотя бы в локальном
смысле) интеграла от производной:
+-
Г sin2 ах , ,. т
—оо
Представим его в виде суммы интегралов Дирихле:
+оо +оо +O0
С 1 — cos 2ах . . f sin ах , , f
- J й sin axdx = - j —s—dx+ J
cos2ox • sin ex .
— a*:
2x
—00
j J*^-dx+± j sin(2a + a), ^+_^ j sin (a-2.), ^
—O© OS —oo
Нетрудно проверить (например, на основании определения), что
+т
интеграл Дирихле I — dx = я sign а равномерно сходится в
—оо
144

окрестности каждой точки а £ 1R, кроме а = 0. Поэтому интеграл
sin'2 ах
-I
sin oxdx, ffglR,
равномерно сходится в окрестности каждой точки а £ 1R, кроме а = 0,
а = 2а и а = —2а.
Таким образом, для каждого а £ Ц \ {0, 2а, —2а} функция ф
дифференцируема и справедливо равенство
", . . С sin ох . , ' 1 С sin (2а + о) х
Ф(а)=- J it-^ + tJ х
■dx +
+
I С sin
(o — 2a) x
OJC.
^ Для определенности считаем, что а ^ О, поскольку ф зависит от а
четным образом. Тогда, учитывая значения интегралов Дирихле, имеем
f 0, а< — 2а,
Ф' (а) = ■[
-i-, —2а<а<0,
— 4-. 0<а<2а,
О, а > 2а.
Отсюда, интегрируя по о, получаем
Clt а< — 2а,
Ф(а) =
-j- а + С2, — 2а < о < О,
а + С3, 0 < а < 2а,
I
2
С4, а > 2а.
Определим постоянные Clt Сг, Са, С4. Постоянные Ct и С4 най-
дем, используя соотношения lim ф (a) = lim ф (а) = 0. Следовательно,
<т-»—|-оо а-*-—оо
С1 = С1= 0. Преобразование Фурье ф непрерывно в точках a =
—: — 2а и а = 2а. Поэтому Mm ф(а)= lim ф (а), т. е. ■%-(— 2a) -f
+ С2 = 0. Тогда С2 = яа. Аналогично С3 = яа. Тогда окончательно
преобразование Фурье ф заданной функции ф запишем в виде
( 0, | а | > 2а,
ф(Ия(а-^1), ,а,<2а.
145

Поскольку функция ф дифференцируема, то она удовлетворяет
условию Дини и, следовательно, справедлива формула обращения
sin2 ах
I2 ах 1 С " , . —tax.
- = ^-3^6 da-
+°°
I sin* ox
Равенство Парсеваля (9) позволяет вычислить интеграл I —-5—dx,
—оо
2л I а \3
который оказывается равным ^ .
13. Пусть функция у = ф (х), х £ IR. такова, что для некоторого
положительного числа b функция у = ф (х) ebW, jc ^ IR, принадлежит
пространству Lx (IR). Показать, что тогда ее преобразование Фурье
Ф (ст) является ограниченной аналитической функцией ф (a + ix)
комплексного переменного в полосе | т | < Ь.
Решение. Очевидно, функция ф интегрируема по Лебегу на
числовой оси 1R. Поэтому для нее существует преобразование Фурье
+»
Ф (a) = j ф (х) e'axdx, а 6 IR.
Покажем, что это преобразование Фурье можно рассматривать и
для некоторых значений комплексного переменного. Пусть г £ ¢,
т. е. г = a + ix, где о и т вещественны. Положим
+00 +00
Ф(а+/т)= J ф(*)е'<а+'т,д:^= j ф(*)е-хУад:^.
—оо —00
Согласно условию, функция (р(х)е~хх, х £ IR, интегрируема по
Лебегу для | т | ^ ft, и поэтому для нее существует интеграл Фурье.
Следовательно, в указанной горизонтальной полосе для комплексного
2 имеет смысл функция
ф(2)= \ (p(x)ellxdx, \x\^.b.
—оо
Покажем, что функция ф дифференцируема по 2 в открытой полосе
| х | <; Ь. Для доказательства этого отметим, что интеграл
+О0
\ ixq>(x)e'zxdx (17)
сходится равномерно по г во всякой внутренней полосе | т | ^ с, с < ft.
Действительно, для произвольного е > 0 найдется такая постоянная
Се, что | * | <! CeeeW для всех х £ IR (ибо lim | х \ е~еЫ = 0). Тогда
*->±оо
возьмем такое е, что 0<е<6 — с, к проведем оценку
подынтегральна

ной функции интеграла (17)
I;*ф(*)<>'"! = и-|ф(*)е-тх|<
< С. | ф (jc) | ее| V" < Се | Ф (х) / еад, * g R.
Следовательно, функция Се | ф (*)| в6!*', х £ IR, является
интегрируемой мажорантой для подынтегральной функции интеграла (17),
и поэтому этот интеграл сходится равномерно в окрестности каждой
точки z полосы | т | < Ъ. Тогда, согласно свойствам несобственных
интегралов, зависящих от параметра, функция ф дифференцируема
в полосе | т | < Ь, т. е. является аналитической в этой полосе.
Докажем ограниченность функции ф в полосе | т | ^ Ь.
Действительно, для точек z этой полосы имеем
+оо -}-оо
|Ф(2)|< j /ф(*)|е_тд:^< ] \<p(x)\ebix,dx = const.
—оо —оо
Замечание. Из втого примера следует, что для функции у = <р (х), jc £ R, у
которой <р (х) е*|х| € Lj (R) для произвольного Ь > 0, преобразование Фурье <р
является целой функцией комплексного переменного z= o-f- re, ограниченной в каждой
горизонтальной полосе | т | ^ Ь.
14. 1) Пусть функции / и g интегрируемы по Лебегу на числовой
оси IR. Доказать, что их свертка f * g также является интегрируемой
по Лебегу функцией на Ц.
2) Пусть функции fug интегрируемы с квадратом на IR, т. е. /,
g G L-2 (IR). Доказать, что их свертка / * gявляется ограниченной
функцией на числовой оси IR.
Решение. 1) Рассмотрим двойной интеграл Лебега
+оо +00
J J )f(m\g(x-l)\dldx,
—оо —оо
который существует, поскольку он приводится заменой переменной
х — | = tj к виду
-(-во -Ь°о
—оо —оо
Таким образом, функция z = f (g) g (х — |), (х, 1) £ IR2,
интегрируема по Лебегу на плоскости IR2. Следовательно, по теореме Фубини
(см. § 3), для почти всех z £ Ц функция г — f (|) g (х — £)
интегрируема по переменной £ на IR, т. е. существует интеграл
+«•
(f* 8)(*)= J f(t)g(x-l)dl (п. в. на Ц).
—оо
147

Этот интеграл (на основании теоремы Фубини) является интегрируй»
мой по Лебегу функцией на 1R и, кроме того,
+оо +00 /+00 \ +О0 +О0
j (f*g)(x)dx = j j f(t)g(x-t)dt)dx= j f(l)dl. j ff(ti)dri.
—oo —oo \—oo / —oo —oo
2) Пусть функции f, g принадлежат пространству L2 (IR). Для
каждого xflR функция у = g (х — £), | £ IR, интегрируема с квадратом
на IR. Поэтому, согласно теореме 1 (при р = 2 и q = 2), для всех * £ 1¾
функция у = f (I) g (х — £), | £ IR, интегрируема по Лебегу на 1R,
т. е. существует свертка
+00
—oo
Кроме того, справедливо неравенство Коши — Буняковского
+оо
I (/'•*)(*)!
<
J fa)g(x-i)di
—oo
/+00 \ 2 /+oo \ 2
Таким образом, для всех х £ IR
i(f*g)(*)KimiL,(R, -let,».
что и доказывает ограниченность свертки функций /, £ £ L2 (IR).
15. Используя преобразование Фурье функций двух переменных,
найти решение уравнения теплопроводности
описывающее процесс распространения тепла в плоскости IRS. В
момент t = 0 температура задана: и (О, *, у) = ы0 (*, г/).
Решение. Допустим, что функция и0 (х, у) принадлежит
пространству Lj (IR2). Решение поставленной задачи будем искать в классе
функций и (t, х, у), удовлетворяющих условиям:
1) функции u(t, х, у), — {t, х, у), -j£-(t, х, у), -^-(t, х, у) и
(t, х, у) интегрируемы по Лебегу на плоскости IRa при любом
ду-
фиксированном t ^ О,
2) функция -тт- (t, х, у) имеет в каждом конечном промежутке
O^t^T интегрируемую мажоранту f(x,y)
1+00 +О0
с с
<f(x,y), ) ) f(x, у)dxdy<+ oo.
—•О —OO
148

Тогда, согласно 1), рассмотрим преобразование Фурье функции
и (t, х, у) по переменным х, у, т. е. положим
+00 +О0
и (t, о, X) = j j ы (t, х, у) el(xa+yX)dxdy ((о, I) £ R).
—оо —оо
На основании 1) и свойств преобразования Фурье имеем
д2и
дх*
(t, о, К) = — о2и (t, а, I), F
Кроме того, в силу условия 2),
-{-ОО -}-О0
д2и
I ду3
(t, о, I)
■ У?и (t, а, X).
-!-]<*.*.*)- J" [^-e'^dxdy
-)-00 -|-оо
—оо —оо
Таким образом, преобразование Фурье переводит уравнение
теплопроводности в обыкновенное дифференциальное уравнение
щ (t, оД) = — (<т2 + Ь2) и (t, о, I).
Его решение с учетом начального условия и (О, а, X) = F [и0] (о,
^) = "о (ff> ^) имеет вид
и (t, а, X) = ё
-(o'+W
"о (о> Ц-
Для того чтобы получить решение u(t,x,y) уравнения
теплопроводности, надо найти такую функцию и (t, х, у), преобразованием
Фурье которой служит функция e~ia'+x,)tu0 (а, X).
Используя пример 12. 2), находим
и*
—аЧ
т=-е
■и
—хч
Ч2У15 в *]
2\fnt~ J' ~ u[2VlTt
Здесь в первом равенстве Fx означает операцию преобразования
Фурье по переменной х, а во втором Fu — операцию преобразования
Фурье по у. Найдем преобразование Фурье F по обеим переменным
, _ *■_+»•
X и у от функции
ш
1 е 4t , t>0, (х,у)£К\
На основании теоремы Фубини имеем
**+!/* , +« +оо
4я* е J J J 4nt
—ОО —ОО
х* у*
Fx \-4= е~ "«"1 FB Г-4=- е- ~1
x[2Vni \ "[2 Vnt J
e H .et(xa+^dxdy
-(-+^ (t>0. (a,x)€RV
14»

Следовательно, функция е (°,+х,)< представима в виде преобразо
яания Фурье функции -т-г е 4< и поэтому
и (t, a,%)=F
Г 1 х'+и> 1 f
т. е.
и (t, х, у)
-(-00 +00
—оо —оо
£'+л"
Интеграл, с помощью которого выражается решение уравнения
теплопроводности, называется интегралом Пуассона.
Задачи для самостоятельной работы
1. Определить, для каких р > 1 функция f принадлежит пространству Lp ([0; 1],
■ц,), если:
sinjc, *е[0; 1] П ©; Icosjc, *e[0; l]flQ;
8) f(*)= {l_!_x)2 , *€[0; 1]; 4)f(*) = /(^ ^*)4 , *€[0;l];
IR4(D (*)
5) f (x) = —г—^, — , x€ [0; 1], где "f.A (x) — характеристическая функ-
дня множества A;
6)f(x)= SlnX *<E[0; 1].
уху 1 — X
2. Пусть /4={(x, (/) £ R2 : x2-\-tp < 1} Определить, для каких p > 1
#€Lp(/4, ц2), если:
1) / (*,</) = |(*2 + </2Г T. *J + S2¥=0,
1, r*+y2=0;
2)^(^^) = 1(1^1 + 1^1)-^ ^ + ^0,
О, *2 + 1/а = 0.
3. Определить, для каких значений a, figR f £ Lp (R, ^j), p ^ 1, если для
(1+*8)P (1+x4)*5
3)/W«|l-*|«|l+*r*; 4)^(x) = J±^ii±llll.
1*Г(1 + **)
4. Определить, для каких значений а £ R функция / принадлежит пространству
Ц (К5, ц^. р > I, если для (*, у) е R2
/te гл-Л1-*2-^!-0', *2 + </2^1.
'*' Ю I 0. *2 + у2=1.
36с

5. Определить, для каких значений р ^ 1 последовательность (/„ (х))00., х 6 В?»
функций пространства Lp (R, ц) сходится в этом пространстве, если:
1) !п (х) = }ГпУ.г . , (*); 2) U (х) = п~2е "' ■
3) in (х) = п-2Г "* Х[0 +00) (*); 4) /„ (х) = /|rt-/Ar| X , . (x);
5) Л.(x) = -ppjr X[n;+oo) (x); 6) U (x) = /r-|+i X[n;2n] (x);
Шдесь XA (x) — характеристическая функция множества А.
6. Пусть fn(x) = VnX{ -,(*), *eR, пеЫ, a f(*) = 0, *eR. Доказать,
что limfn (х) = f (х) в Lx (R, щ), но эта же последовательность не сходится в
П-*оо
}Ц (R. №,).
7. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и А с= X — ^-измеримое
множество. Доказать, что если функции f и g принадлежат пространству Lp (Л, ц), р ^ 2, то-
|? принадлежат Lp (А, ц).
! Т
; 8. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и множество А принадлежит а-
(алгебре Я. Доказать, что если последовательность (/n(*))^Li, *£ Л, сходится *
Lp И, ц), р > 1, к функции f (х) £ Lp (А, Ц), то НшЦ^ = [ f $L .
n-юо Р р
'' 9. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство н множество А с X —
ц,-измеримое. Доказать, что если последовательность (/„ (х))^, х £ А, сходится в простран-
Seree Lp (Л, ц), р > 1, к функции f (х) £ Lp (Л, ц) и g £ L р (Л, ц), то
Hm f /„ (*) г (*) ф = f f (х) g (х) йц.
П-*°°А A
10. Пусть последовательность (fn (x))%Llt x g [a; 6], сходится в пространств*
ftp ([a; b], (j-i), p > 1, к функции / (x) g Lp ([a; 6], (¾). то
If * *
' lim f МОЯ- (fW<«N^k 6]).
a a
Доказать это соотношение.
j 11. Пусть (X, Я, ц) — измеримое пространство и множество Л с= X — ц-из-
Ьеримое. Если последовательность (/„ (х))~=1, *€ Л, сходится в пространстве Lp (Л,
*), р>1 к функции/ (х) £LP(A, \и), а последовательность (gn (х))~=1,*е А, сходится»
ространстве L р (Л, ^) к функции g (х) £ L р (Л, ц), то
р=Т "р^
11m f /„ (х) gn (х) ф. = (" / (*) g (х) dp.
n~°°A A
Доказать это соотношение.
15Г

С sin хи
18. Доказать, что если f £ Lp [0; + оо), (¾), р> 1, то интеграл 1 f (л:) - dx
о
равномерно сходится относительно у на произвольном конечном интервале а <.у <4
<6.
13. Доказать, что если f g Lp ((a; f$), цх) и [а; 6] с (а; ($), то
Ь
\lm[\f(x + h)-f (х) |" d* = 0.
а
Указание. Вначале доказать это утверждение для непрерывной на (а; f$)
функции /.
14. Доказать, что если f g Lp (R, ^), то
+»
Hm f If (* + ft) — f (*) |p d* = 0.
—oo
15. Доказать, что если f£Lp (R, ^), p > 1, a gg L p (R, ^), то функция
*"W- j f(x+f)g(x)dx, /6R,
—во
««прерывна на R.
+О0
16. Доказать, что если f£Lp (R, 1½). р>1, то функция & (t) = I , [*•*} —
J l + (t — х)*
—°°
«прерывна на R и также принадлежит пространству Lp (R, цх).
17. Пусть (X, 21, ц) — измеримое пространство и А — ^-измеримое
подмножество множества X. Доказать, что если последовательность (/„ (*))£Li. х g А, сходится
« пространстве Lp (А, р.) к функциям f, g из Lp (Л, ц), то f Kg ц-эквивалентны на А.
18. Доказать, что если интеграл \ f (х) g (х) d^ существует для произвольной
а
функции ^6Ц([а; Ь], (н), то g£L2([a; Ь], p.x).
19. Пусть (<п)^_1 — числовая последовательность
1 _1_ _3_ J_ _3_ 5 7 1
2 ' 4' 4" 8' 8' 8 ,' ~8"' "Тб"
Показать, что последовательность функций
U*)
1 — -\ I«' — (пI. если |*_<„|<-_ ,
4
О, если | х — tn | > — ,
л
сходится к функции / (х) = 0 в пространстве L2 ((0; 1), цх), но не сходится в каждой
точке х £ (0; 1).
20. Показать, что функции ft (х) = e~xtsla'x и fа (х) = x*e~x'sla'x
принадлежат пространству Lj (R, Ц1), но Hm ft. (х) ¥= О, k=\, 2.
Jt-»±oo
21*. Пусть дифференцируемая на R функция f и ее производная f принадлежат
пространству Ц (К, (¾). Доказать, что lim f (х) = 0.
л:-*±оо
22. Пусть функции flt f3, ..., fn, ... принадлежат пространству Lp (А, ц). Дока-
вать, что если существует такая функция g из LB (А, ц), что для всех k | /¾ (х) | ^
162

(J^ 8 (*) почти всюду на А, то последовательность (/„ (х))£_,, х £ Л, сходится к
функции f в пространстве Lp (А, ц) тогда и только тогда, когда она сходится к f иа Л л»
Мере ц.
, 23. Доказать, что в неравенстве Гельдера знак равенства достигается тогда и-
;10Лько тогда, когда почти всюду на А:
" l)f(x)g(x)>0 или f(x)g(x)^0;
2) для некоторых чисел а и (J, не равных нулю одновременно, а | / (*) |* »•
- Р I 8 (*) I"-
,' 24. Доказать, что в неравенстве Минковского знак равенства достигается в том »
только том случае, когда для некоторых неотрицательных чисел а и f$, не равных
нулю одновременно, af (х) = fig (х) почти всюду на А.
25. Точка х0 называется обобщенной точкой Дини для интегрируемой по Лебегу
fca отрезке [—я; я] функции f, если при некотором с £ R сходится интеграл
I
/fa + 0-cl ^
m
-а
Показать, что ряд Фурье функции f сходится в обобщенной точке Дини к
значению с.
26. Найти преобразование Фурье функций:
1) <р(х) = — , где т£Ы, Х£С и ImA^O;
2) ф (х) = е~аЫ (а > 0); 3) ф (х) = хе_а|*' (а > 0);
4) ф (х) = е 2 cos ах; 5) ф (х) = — при 0 < х < 2а,
ф(х) = i- при — 2а < х < 0, ф (х) = 0 при | х | > 2а.
27. Пусть Ха (х) — характеристическая функция интервала (0; а). Найти сверт-
Г \+н(х)-га(х) -
28. Доказать, что для любой функции <р € Lt (R, щ)
= Ф(х— а)
lim
/ Ха4А (х) - Хд (х)
ф (дс) , ГП _
Предел в пространстве Lx (R, р.х)). Здесь Ха (х) — характеристическая функция
интервала (0; а).
Указание. Проверить это равенство для функции ф (х) = %ь (х).
29. Пусть /€Li([—я; я]; |Л) и (aJ^Lj. (*„)~=l — ее коэффициенты Фурье.
Доказать, что если lim (ancosnx + bns\n пх) = 0 на множестве положительной
Л-voo
феры, то lim а„ = lim Ьп = 0.
30. Пусть функция / непрерывна на отрезке [—я; я], а (Од)^] —
последовательность ее сумм Фейера. Доказать, что т ^ о„ (х) ^ М для всех it^H " ncex х С R,.
?ёсли m = min f (xl, а М = max / (х).
: t—л;л] [—л;л]
31. Доказать свойства ассоциативности и коммутативности свертки двух
интегрируемых на R функций.
л 32. Доказать, что преобразование Фурье функции из пространства Lx (R, (ij).
является равномерно непрерывной на R функцией.
33. Пусть f, g £ LB (R, Ц!). Доказать, что тогда f • £ = F"1 [F [f] f {$]] и / . * —
» 2nF [P-1 [f] F~x lg]].
1Л

•84. Найти преобразование Фурье следующих функций из Lj (R):
, v sin ах • sin Ьх . , -,
3)ф(*) = , a, 6€R;
4) fW = 7TZ' aeR:
б) Ф« = ^, a<ER.
Ответы. 1. 1), 3), 4) Ни для каких р; 2) для 1^р<2; 5) для 1^р<3;
«) для 1 < р < 5. 2. 1) Для К р < 3; 2) для 1 < р < 4. 3. I) Для а >
р
и 2(1 > а -\ ; 2) для а > и (J > ; 3) для а> , 0 > и
Р Р 4р р р
1 1 „ '1 1
« + Р< ; 4) для' а< 1-1, f!> и 4 + а — 0> — . 4. Ни для
Р „ Р /> Р
каких р. 5. 1) 1<р<4; 2), 5) дляр> 1; 3) дляр> 1; 4) 1<р<2; 6), 7) для
р> 2. 26. 1) Прн ImX> 0 функция <р (о) = 0 для о < 0 и <р (о) = 2nielaX , ...
(т — 1)1
при а > 0; при Im А, < 0 функция ф (о) = 0 для о > 0 и ф (о) = — 2nielaK f—-—ггт
r (т — 1)1
пр. а < 0; 2) $ (о) = ^^ ; 3) $ (о) = (g!!4^a)a ; 4) Ф (о) -
л*-1-.-у*
а'+а
— У5яе 2 chao; 5) ф (а) =
2я sin2 ао
. 27. 0, если х<.а и х ;> a -j- 6 +
4- к; 1, если a -j- h < * < а + 6; на остальных участках — лииейиая. 34. 1) ф (а)
' Jinlcuj
—к—:— sign (Im а), если sign о = sign (Im а),
0.
если sign о = — sign (Im а);
2) ф(о)
3) Ф (а) =
\n\a\, |o|<^-,
0. М>^г
л
~2Г'
я
~2Г '
2зт '
6 —а
2я
а + 6
<о<
<о<
Ь+'а
2я
а — Ъ
2я ^ "- 2зт '
0, в остальных точках при 0 ^ а ^ Ь;
4) Ф (о) = —- е-2я1<""а sign о;
^ я'о
б) 9(o)=21nctg-IS-.
154

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ
1. Введение. Постановка задачи. Как известно, основная формула интегрального
исчисления функций одной переменной состоит в том, что операции
дифференцирования и интегрирования являются в некотором смысле взаимно обратными. Точный»
смысл этого принципа характеризуется с помощью таких двух утверждений.
A. Для данной непрерывной функции у = <р (х), х £ [а; Ь], ее неопределенный
интеграл
X
gr(x) = ^<p(t)dt + C (v*C[a;*]) (1>
а
с любой постоянной С) есть дифференцируемая на отрезке [а; Ь] функция н при
каждом х£ [а; Ь]
ЗГ1 (х) = ф (*). , (2>
Б. Если заданная функция у = Т (х), х£ [а; Ь], имеет на [а; Ь] непрерывную
производную &' {х) = ф (х), то справедливо равенство
х
^4{t)dt = Sr{x)—ST{a) (Vx£[a;b]). (3>
а
Теперь, располагая значительно более общим понятием интеграла, чем интеграл
Рнмана (который фигурирует в (1) и (3)), поставим такие проблемы.
Проблема 1. Пусть функция у = <р (х), х £ [а; Ь], интегрируема по Лебегу на
отрезке fa, Ь], а функция & определяется равенством (1) (при этом интеграл в правой
части понилгается в смысле Лебега). Верно ли равенство (2)?
Поскольку интегрируемая функция ф может быть произвольно изменена на
множестве меры нуль без изменения функции ^", то требовать выполнения равенства (2)
естественно не всюду на [а; Ь], а лишь почти всюду.
Обсуждая проблему 1, сделаем такое замечание. Пусть интегрируемая на [а; Ь\
функция у = ф (х) представлена в виде разности двух неотрицательных
интегрируемых функций, т. е. ф (х) = ф+ {х) — ф_ (х), где ф+ (х) = niax {ф (х), 0}, ф_ (х) =»
= max {—ф (х), 0}. Поскольку ее неопределенный интеграл & является разностью
двух монотонно неубывающих функций
5Г(*) = { j<p+(fl# + Cj—£<р_«)Л. Х£[а; Ь\,
то для решения проблемы 1 вначале надо исследовать класс таких функций (см. п. 2).
Проблема 2. При каких условиях данная функция у = !F (х), а ^ х <: Ь,
имеет интегрируемую по Лебегу производную у = ф (х), к £ [а, Ь] (определенную яотя
бы почти всюду) и справедливо равенство (3)?
Отметим, что если у функции & отсутствует интегрируемая производная ф, то
левая часть равенства (3) смысла не имеет. Но и наличие у функции^" интегрируемой
производной не гарантирует справедливость равенства (3). В самом деле, пусть
& (х) = sign х, —1 ^ х ^ 1. Тогда почти всюду на [—1; 1] &' (х) = 0, т. е. ф (х) =
= 0 почти всюду на [—1; 1]. Поэтому левая часть равенства (3) для всех х g [—1; 1J
равна нулю, а правая часть для х £ (0; 1] равна 2. Проблема 2 рассмотрена в п. 3.
B. п. 4 приведена конструкция интеграла Рнмана — Стилтьеса.
Согласно поставленным проблемам интегрирование на отрезке [а; Ь] числовой оси
R будем рассматривать по Лебегу, а соответствующая мера является классической
мерой Лебега на [а; b].
2. Монотонные функции. Функции с ограниченным изменением.
Дифференцирование неопределенного интеграла. Напомним, что функция у = & (х), заданная
,на отрезке [a; b] cz R, называется монотонно неубывающий (невозрастающей), если
/для произвольных точек х1 и х2 из [&'< ^Ь xi < *2> <*лед}ет, что & (х-^^Ф (х8)
;(^" (xt) ;> !F (xt)). Очевидно, что всякая монотонно неубывающая (или невозраста-
ющая) функция у = !F (х), х £ [а; Ь\, является ограниченной и измеримой на fa; Ь\.
Поэтому она интегрируема на [а; Ь\. ч
155

Рассмотрим произвольную функцию у — f (х), заданную на отрезке [а; Ь] (либо на
конечном или бесконечном промежутке числовой оси R). Если существует конечный
предел lim f (х0+ а), то он называется пределом справа функции /в точке *<, £ [а; Ь)
а-»+0
и обозначается f (х0 + 0). Аналоглчно определяется величина / (х0 — 0) — предел
слева функции f в точке х0. Если f (ха) = / (*о — 0), то функция f называется
непрерывной в точке ха слева, а если f (ха) = f (ха + 0), то f называется непрерывной
справа в точке ха. Функция /, которая одновременно непрерывна справа и слева в точке %,
называется непрерывной в точке хй. Таким образом, f непрерывна в точке ха, если
f (хй — 0) = / (х0 + 0) = f (х0). Точка х0 £ [а; 6], в которой существуют конечные
пределы f (х0 — 0) и f (ха + 0), не равные между собой, называется точкой разрыва
первого рода, а разность f (хц + 0) — f (х0 — 0) называется скачком функции f в
точке ха.
Всякая монотонно неубывающая (невозрастающая) функция у = f (х), х £ [а; Ь\,
может иметь разрывы только первого рода. Поэтому можно считать, что монотонная
функция / непрерывка, например, слева в каждой точке дга g [а; Ь\. Действительно,
если f ие является непрерывной слева в некоторой точке х* £ [а; Ь\, то изменим прежнее
значение функции f в этой точке, положив его равным f (х* — 0). Для
определенности будем говорить о монотонно неубывающих и непрерывных слева функциях на
отрезке [а, Ь].
Монотонная функция не обязательно непрерывна. Но тем не менее, множество
ее точек разрыва ие более чем счетно (т. е. оно конечно или счетно). Приведем пример
монотонной функции h на отрезке [а; Ь], имеющей счетное число точек разрыва лишь
в наперед заданной последовательности хх, х3 хп, ... точек из [а; Ь\, скачки
которой в этих точках соответственно равны положительным числам А], Нг пп прн-
00
чем V kn < -)-оо. Искомая функция h определяется с помощью равенства
И—"1
h(x)= £ hn (V х£[а, Ь]),
хп<х
где суммирование осуществляется по всем тем номерам п, для которых хп < х (если
а ^ х ^ Xk для всех k £/N , то h (х) = 0). Она удовлетворяет сформулированным
условиям и является непрерывной слева на [а, Ь]. В дальнейшем под функцией скачков
будем понимать любую функцию, представимую с помощью только что описанной
конструкции. Например, неубывающие ступенчатые функции (см. § 3) являются
функциями скачков. Для таких функций точки разрыва можно расположить в виде
монотонной последовательности: х1 < х2 < ... < хп <. ... .
В общем случае аналогичные «функции скачков» могут иметь более сложную
структуру. Например, если последовательность {xn)^Lr совпадает с множеством
рациональных чисел отрезка [а; 6], где а < Ь, а последовательность положительных чи-
оо
сел (/in)^Li такова, что ряд V h„ сходится, то соответствующая функция скачков h
п=\
разрывна в каждой рациональной точке из [а; Ь\ и непрерывна в иррациональных
точках.
Теорема 1. Всякая монотонно неубывающая непрерывная слева на отрезке [а; Ь]
функция IF представляется единственным образом в виде суммы непрерывной и
монотонно неубывающей, на [а; 6] функции G и функции скачков Н (непрерывной слева).
По заданной монотонной функции & ее непрерывная составляющая часть G и
функция скачков Я строятся так. Пусть хи х2, ..., хп, ...— точки разрыва функции
&, a ftj, й2> ••-. Лл, ...— ее скачки в этих точках. Для каждой точки х отрезка [а; Ь]
положим Я (х) = S\ hn. Тогда функция G (х) = IF (х) — Я (х) является монотонной
хп<х
и непрерывной на [а; Ь\.
Перейдем к изучению класса функций, являющихся разностями монотонно
неубывающих функций.
Определение 1. Функция IF, заданная на отрезке [а; Ь], называется функцией
с ограниченным изменением, если существует такая постоянная С, что для любого
разбиения П отрезка [а; Ъ\ точками а = ха <. xt < ... < Xk < xft_|_, < ... < ха = b
156

выполняется неравенство
S | *"(**+!>-*"<**> к с- <4>
ft=0
Всякая монотонная функция &" является функцией с ограниченным изменением,
Поскольку для нее сумма, стоящая в (4) слева, не зависит от выбора разбиения и
всегда равна | Т (6) — Т (а) \.
Если функция у = IF (х), а ^ х^ Ь, является функцией с ограниченным
изменением, то ее полным изменением (или полной вариацией) называется число
у [У] = sup J I *" (**+i) - *" (¾) I.
а п ft=0
>де точная верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям П отрез-
М [а; Ь].
Замечание. Функция &, заданная на прямой R, называется функцией с
ограниченным изменением, если она является функцией с ограниченным изменением на
кюкдом отрезке [а; Ь\ числовой осн К и величины у [$f] ограничены в совокупности,
а
Ь
щ, е. если существует число L такое, что у (&) ^ L (V а, b С R).
а
ь
Величина lim у [#"] называется при этом полным изменением функции !F не
а-*—оо а
Ь-*-\-оо
ирямой R и обозначается через у {1F\. Аналогично определяются полные изменения
—оо
а —оо
Напомним основные свойства функций с ограниченным изменением.
1) Если функция у = IF (х), х £ [а; Ь\, является функцией с ограниченным
изменением и а £ R, то функция а& также имеет ограниченное изменение и
справедливо равенство
У [oir] = |a| у \!F\.
а а
2) Если & и G — функции с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь\, то их
еумма & + G также является функцией с ограниченным изменением на [а; Ь\ и
у [y+cj< ут+ y[G].
а а а
Свойства 1) и 2) позволяют заключить, что функции с ограниченным изменением
иа отрезке [а; Ъ\ образуют линейное пространство (в отличие от множества
монотонных функций, которые линейного пространства не образуют). Кроме того, из этих
свойств следует, что разность двух монотонных функций является функцией с
ограниченным изменением.
3) Пусть функция !F имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь], а точка с (
С (а; Ь). Тогда &~ является функцией с ограниченным изменением на каждом нз
отрезков [а; с], [с; Ь\ и справедливо равенство
V т = у [*■] + у w\.
а а с
4) Если функция IF имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь\, то функция
v (х) = у [Г], х £ [а; Ь\, (5)
а
157

является монотонно неубывающей. Причем если функция & непрерывна слева
(справа) в точке х* £ [а; Ь], то и v непрерывна в этой же точке слева (справа). В частности,
если & непрерывна в некоторой точке (или на всем отрезке [а; Ь\), то непрерывна в
этой точке (или на всем отрезке) и функция v.
Пусть !F — произвольная функция с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь\.
Тогда функция и (х) = v (х) — & (х), где v (х) — полное изменение & на [а; х],
является монотонно неубывающей на [а; Ь]. Таким образом, & представляется как
разность двух монотонно неубывающих функций:
Sr(x) = v(x) — u(x), х£[а\Ь\.
Теорема 2. Для того чтобы функция у = &~ (х), х £ [а; Ь], была функцией с
ограниченным изменением, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде
разности двух монотонно неубывающих функций.
Например, если функция ф интегрируема на отрезке [а; Ь\, то ее неопределен-
У.
ный интеграл 5*" (х) = \ <р (/) dt, х£ [а; Ь], является функцией с ограниченным
а
изменением.
Перейдем к вопросу о днфференцируемости функции с ограниченным
изменением.
Теорема 3 (Лебега). Монотонная функция, определенная на отрезке [а; Ь\,
имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.
Из теоремы Лебега следует, что каждая функция с ограниченным изменением на
{а; Ь] также имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.
Напомним некоторые важные понятия, с помощью которых доказывается
теорема 3. Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [а; Ь] (или на любом другом
конечном или бесконечном промежутке числовой оси R) и точка ха принадлежит
интервалу (а; Ь). Тогда производной функции f в точке х0 называется предел отношения
f (Х) / (*0) 1Л 17
■i-^ при х -*■ х0. Конечно, этот предел может не существовать. Но всегда
X— *о
имеют смысл следующие четыре величины (которые возможно принимают и
бесконечные значения), называемые производными числами функции / в точке х^:
Л = Ш М*)-/(*.) ; i = 1!га /(*)-/(*.) .
*-vX„+0 х — хй р л^Зсй-о *— *о
ллев = Ш П*)-/(*.) ; ялев= ищ n*Lzl!*L.
Х-* х„—0 X — Х0 *-► х0—О X — Ха
Величина Лпр (%пр) называется верхним (нижним) правым производным числом
функции / в точке х0. Аналогично величина Ллев (клев) называется верхним (нижним)
левым производным числом функции / в точке х0. Отметим, что если х0 = 6, то для
функции / имеем смысл рассматривать лишь Ллев и А.лев, а если х0 = а, то лишь Лп_
и А,пр. Ясно, что всегда \1р < Лпр и А,лев <; Ллев. Если Япр = Лпр и они конечны, то это
общее число есть производная функция / в точке ха справа. Аналогично если %лев =
= Ллев, то их общее значение есть производная слева. Существование для функции /
конечной производной в точке ха равносильно тому, что в этой точке все
производные числа функции / конечнц и равны между собой.
Доказательство теоремы Лебега основывается еще на одном важном факте.
Прежде чем его сформулировать, введем следующее определение. Пусть функция g
непрерывна на отрезке [а; Ь]. Точку х0 этого отрезка назовем точкой, невидимой справа для
функции g, если существует точка \ (х0 < \ <: 6), что я (*о) < i (!)•
Лемма (Р и с с а). Для любой непрерывной на [а; Ь] функции g множество ее
точек, невидимых справа, открыто на отрезке [а; Ь] и, следовательно, представляется
в виде объединения конечного или счетного числа попарно непересекающихся
интервалов (a/i', bit) (и, возможно, полуинтервалов, включающих концы отрезка). В концевых
точках этих интервалов выполняются неравенства g (¾) < g (6*).
Иногда бывает полезной следующая теорема о почленном дифференцировании
ряда из монотонных функций.
lei

Теорема 4 («малая теорема Фубин и»). Всюду сходящийся ЩШ
"* 1ж
V &л (х) = &" (х); х £ [а; Ь\, где Тп — монотонно неубывающие функции на [а; Мж
л—1
почти всюду допускает почленное дифференцирование
f <(!) = Г(х) (*€[<*; 6]).
гх=1
Как следствие из этой теоремы получаем, что функция скачков имеет почти всю-
ду производную, равную нулю.
Таким образом, согласно теореме 3 Лебега, неопределенный интеграл У (х) =
х
= I <р (/) dt, х£[а; Ь\, интегрируемой на [а; Ь\ функции <р имеет почти всюду
а
иа [а; Ъ\ конечную производную. Но будет ли эта производная почти всюду равна
функции <р?
Теорема 5. Для всякой интегрируемой на отрезке [a; 6JcR функции ф почти
всюду справедливо равенство
JL И Ф (/) <tt j - <р (х) (*6[а; Ь\).
Теоремы 3 и 5 дают положительное решение проблемы 1.
3. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные
функции. Рассмотрим обобщение на случай интеграла Лебега известной формулы
Ньютона — Лейбница:
X
5Г(х)=Г(а) + J^W*. -(6)
а
Правая часть этого равенства является функцией с ограниченным изменением (при
условии интегрируемости производной Ф'). Поэтому равенство (6) ие может быть
правильным для более широкого класса функций, чем функции с ограниченным
изменением. Кроме того, формула Ньютона — Лейбница заведомо не верна для всех
функций с ограниченным изменением (см. пример функции Т (х) = sign х, —1 ^
Справедлива такая теорема.
Теорема 6. Производная &"' каждой монотонно неубывающей на отрезке \а; Ь\
функции Т интегрируема на [а; Ь\ и
ь
f 5T'(xU*< ЗГ(Ь)—Зг(а).
а
Следовательно, производная каждой функции с ограниченным изменением
интегрируема. Поэтому для таких функций правая часть формулы (6) всегда
определена.
Отметим, что существуют непрерывные монотонные функции, для которых
выполняется строгое неравенство
х
{&' (iSdt<T (х) — & (а)
а '
для всех х > а (см. пример 10).
Таким образом, формула Ньютона — Лейбница (6) выполняется ляшь на
некотором подклассе множества функций с ограниченным изменением. Перейдем к описа-
аню этого подкласса.
Определение 2. Функция &, определенная на некотором отрезке [а; *],
называется абсолютно непрерывной, если для каждого е > 0 найдется такое б > 0, что для

произвольной конечной системы попарно непересекающихся интервалов (а*; 6д), k ™ 1,
п
2,..., п, сумма длин которых меньше б, т.е. V (6¾ — а*) < б, выполняется неравен-
*=1
апво
S \F(bk)-Sr(ak)\<i.
k=\
Из этого определения следует, что каждая абсолютно непрерывная функция ив
[а; Ъ\ равномерно непрерывна. Однако существуют равномерно непрерывные функции,
не являющиеся абсолютно непрерывными.
Совокупность абсолютно непрерывных функций на отрезке [а; Ъ\ образует
линейное пространство, т. е. сумма двух абсолютно непрерывных функций и
произведение абсолютно непрерывной функции на число являются абсолютно непрерывными
функциями.
Можно доказать, что каждая абсолютно непрерывная на отрезке [а; Ъ\ функция
& имеет ограниченное изменение. Поэтому IF представляется в виде разности двух
монотонно неубывающих на [а, Ь\ функций & (х) — v (х) — и (х), х £ [а; Ь\, где v
определяется формулой (5), а и = v — IF. Более того, из абсолютной
непрерывности функции ^"следует, что ее составляющие они также абсолютно непрерывны.
Таким образом, каждая абсолютно непрерывная функция представляется в виде
разности двух абсолютно непрерывных монотонно неубывающих функций.
Из свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега (см. § 3) вытекает, что
неопределенный интеграл
X
Р(х) = [ф(/)Л. *€ [a; Ь\,
о
интегрируемой на отрезке [а, 6] функции ф является абсолютно непрерывной на [а; Ь|
функцией. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 7 (Лебега). Производная IF' абсолютно непрерывной функции
у = IF (х), а <: х <: Ь, интегрируема на этом отрезке и для каждого х € [а; Ь]
справедлива формула Ньютона — Лейбница
х X,
ф (/) Л == (' 5Г' (t) dt = Sr(x)—ST(a).
а а
Таким образом, формула Ньютона — Лейбница верна лишь для абсолютно
непрерывных функций.
Из теоремы 1 следует, что каждая непрерывная слева фуикцич !F, имеющая на
отрезке [а; Ь] ограниченное изменение, представляется в виде суммы непрерывной иа
[а; Ь] функции G с ограниченным изменением и функции скачков Н. Введем функцию
X
у (х) = f G' (t)di, а < х < Ь,
а
являющуюся по теореме 7 абсолютно непрерывной на отрезке [a; b], а также
непрерывную с ограниченным изменением функцию % (х) = G (х) — ф (х), а ^ х ^ Ь.
Тогда х' (*) =° 0 почти всюду на отрезке [а; Ь].
Назовем непрерывную иа отрезке [а; Ь] функцию с ограниченным изменением
сингулярной, если ее производная почти всюду равна нулю на [а; Ь]. Поэтому имеем
такой результат.
Теорема 8. Всякую функцию у = !F (х), а ^ х <; Ь, имеющую на [а; о]
ограниченное изменение, можно представить в виде суммы
5Г(х) = Н(х) + Ц>(х)+Х(х), х£[а; b], (j]
где И — функция скачков, г|э — абсолютно непрерывная функция и X —
сингулярная функция. Каждое слагаемое этого разложения определяется функцией У одна
аначно с точностью до постоянной.
160

Если потребовать, например, чтобы все функции, входящие в равенство (7), об-
ращались в нуль при х = а, то разложение (7) единственно.
Продифференцировав равенство (7), получаем, что почти всюду на [а; ft] &' (х) =
.™ \f' (*)• Следовательно, при интегрировании производной от функции & с ограни-
Ученным изменением восстанавливается не сама функция IF, а только ее абсолютно
.Непрерывная составляющая.
Разложение (7) полезно сравнить с результатами ^ 3, п. 5.
■'.' 4. Интеграл Стилтьеса. Пусть у = §? (х), а < х ^ ft,— монотонно
неубывающая функция. Для определенности считаем ее непрерывной слева. Тогда, как fewio
отмечено в § 2, п. 6, с помощью этой функции SF на полукольце ЭД всех
полуинтервалов вида [а; Р), принадлежащих основному сегменту [а; Ь], можно построить
счетно-аддитивную меру ц^г, полагая ц™. [а; р") = &~ф) — Т (а). Эта мера допускает ле-
['бегово продолжение на некоторую о-алгебру 21 ~. всех ц^г-измеримых множеств
отрезка [a; ft]. Отметим, что совокупность Я_ содержит все борелевы множества «трез-
"ка [a; ft]. Мера \i~t рассматриваемая на о-алгебре 21™., называется мерой Лебега —
(Стилтьеса, отвечающей функции &.
Для меры Лебега — Стилтьеса ц,™ обычным образом (см. <) 3} определяется класс
интегрируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега
Ь
^ t (х) dfip. ■■ ^ f («) dV-p-
[a;b] а
Этот интеграл, построенный по мере ц™., отвечающей функции Т, называется ин-
ъ
тегралом Лебега — Стилтьеса и обозначается символом \ / (х) аУ (х).
а
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
1) Пусть Т (х) = Н (х) — функция скачков на отрезке [а; Ь]. А именно, пусть
функция Н имеет конечное или бесконечное число точек разрыва xt, х2, ..., хп, ... на
; сегменте [a; ft], скачки в которых соответственно равны положительным числам Aj,
оо
А, А„, .... причем если их бесконечное число, то ряд V h„ сходится. Тогда соот-
п=л
«етствующая мера рн является дискретной (более того, сосредоточенной в точках
!jtj,x хп,...). Нетрудно проверить, что в этом случае функция / цн-интегрируема
оо
«тогда и только тогда, когда ряд V f (хп) h„ абсолютно сходится. При этом
ь
\[{*)dliH='£if(xn)hn.
В частности, если Н имеет только конечное число точек разрыва, то каждая
функция, заданная на [a; ft], ^^-интегрируема.
2) Пусть функция & абсолютно непрерывна на [a; ft]. Тогда можно проверить,
;Vro интеграл Лебега — Стилтьеса выражается через интеграл Лебега по обычной ле-
беговой мере с помощью формулы
ь ь
^f (х) д? (х) = ^ f (х) Г' {х) dx.
Кроме того, функция / является ц_-интегрируемой тогда и только тогда, когда
Произведение f&~' интегрируемо по обычной лебеговой мере.
Таким образом, если монотонно неубывающая непрерывная слева функция У
представляется в виде суммы функции скачков и абсолютно непрерывной функция,
,6 0-74 161

то интеграл Лебега — Стилтьеса I / (х) d& (х) сводится к ряду (илн конечной сумме)
а
и интегралу по обычной мере Лебега на [a; ft]. Если IF содержит и сингулярную
составляющую, то такое сведение уже невозможно (см. пример 15).
Ясно, что интеграл Лебега — Стилтьеса обладает всеми свойствами интеграла
Лебега (см. § 3).
Перейдем к определению интеграла Лебега — Стилтьеса по функции & с огра-
нияевным изменением. Итак, пусть функция & имеет ограниченное изменение на
отрезке [a; ft). Тогда на основании теоремы 2 представим Ф в виде разности двух
монотонно неубывающих функций & (х) = v (х) — и (х), а < х < ft, где v (х) — Полная
вариация функдии IF на [а; х], а и (х) = v (х) — & {х). Введем интеграл Лебега —
Стилтьеса по функции !Fy положив
ft ь ь
J / (х) dST (х) тш J J (х) dv (x) - J f (x) du (x).
a a o.
Отметим, что если функцию & представить в виде разности других монотонно не-
ь
убывающих функций, то величина интеграла \ f (х) d& (х) от этого не изменится.
а
Наряду с интегралом Лебега —Стилтьеса рассмотрим и так называемый
интеграл Римана — Стилтьеса. Пусть функция & непрерывна слева и имеет
ограниченное изменение на полуинтервале [a; ft), a f— произвольная функция на этом же
полуинтервале. Имея разбиение П: а = х0 <*]<...< х/, < ... < хп = ft
полусегмента [a; ft) на полуинтервалы [*£, xk ,,), выберем в каждом промежутке [хк, *£_<_[) от-
я—1
меченную точку |^ и составим соответствующую интегральную сумму J] f (1¾) X
ft=o
X t*" (Хц+0 — & (**)) (здесь Sr (ft) = 5Г (ft — 0)).
Если при X = max (хь ,, — х.) -»- 0 эти суммы имеют конечный предел, ие
О^А^п—1 K^~L *
зависящий от разбиения П и выбора отмеченных точек ck, то функция / называется
интегрируемой по функции IF на [а; о). При этом указанный предел называется инг
ь
аиералом Римана — Стилтьеса функции f по IF и обозначается I f (х) d&~ (х).
а
Таким образом, для интеграла Римана — Стилтьеса интегрируемой функции /
справедливо равенство
Я—1
I
f (х) dP {х) = Mm £ f (lk) W (*ft+1) - 9- (x)].
Теорема 9. Если функция f непрерывна на отрезке [a; ft], то она интегрируема
относительно каждой непрерывной слева функции IF, имеющей на [a; ft) ограниченное
изменение. Кроме того, интеграл Римана — Стилтьеса функции f по IF на [a: ft) сов-
падшвп с соответствующим интегралом Лебега — Стилтьеса.
Укажем основные свойства интеграла Римана — Стилтьеса.
1) Если функция f непрерывна на [a; ft], a IF имеет ограниченное изменение, то
справедлива оценка
ь
^f(x)d&- (х)
в
ь
< max |f(*)|- V [*Ъ
162

2) Если функйия f непрерывна иа отрезке [а; Ь], а функции ^ и &г имеют
ограниченное изменение на 1°: °1, то
b ь ь
(f(x)df (х) = J f (х) лгл (х) + j f (х) <&* (at),
a a a
где #• (x) = 5Г, (x) + ^2 (*). * € [a: *]•
3) Если 51", и ^2 — функции с ограниченным изменением на [a; Ь], совпадающие
всюду, кроме конейН0Г0 или счетного числа внутренних точек этого промежутка,'то
,1ля каждой непрерывной на 1а'< &1 Функции f справедливо равенство
ь • fc
\jf(x)d^(*)'-\f(*)drt(x)
а а
4) Если функ<*ия f непрерывна на [a; ft], то интеграл Римана—Стилтьеса
»
f f (х) d!F (х) не за0исит от значений, принимаемых функцией Т в ее точках разрыва,
лежащих в интерв^ле (fl! ")•
Теорема 10 (первая теорема Хелли). Пусть функции Тп с
ограниченным изменение*1 на отрезке [а, Ь] сходятся в каждой точке этого отрезка к
некоторой функции &"> пРичем полные изменения функции У„ ограничены в совокупное-
ь
'ти: V [51" ] ^ С (t*-~ *» 2. •••)• Тогда предельная функция IF также имеет огрони-
ценное изменение и ^ЛЯ любой непрерывной на [а; Ь] функции f справедливо равенство
ь ь
Iim [ f (х) d&n (x)=[f (x) && (x).
n-¥Oa v v
a a
Теорема 11 (^ торая теорема Хелли). Из всякого бесконечного мно-
Шества М функции ^• имеющих ограниченное изменение на отрезке [а; Ь\ и ддввле-
*%воряющих условиям maxj^ М I < С V 1*1 <К,гдеСиК- постоянные (одни
I» те же для всех &~ € Mh можно выбрать последовательность, сходящуюся в каждой
ШМ)ЧК£ CS2M6H/TICL \(1' **
i Теооема 12 '(dS>° Р м У л а интегрирования по частям). Пусть
Шинкиии и= I (х) и У=й(х) интегрируемы по Лебегу на отрезке [а; ft], а& (х) и
Щ (х) — их■ неопреде^еннш интегралы на [а; ft]. Тогда справедлива формула
ь ь
[&{*)& <*) ** = * (*) G <*> ?а ~ J ' (*) G М dx-
J • a
а
Замечание Ш^* определили интеграл Римана — Стилтьеса на полуинтервале
Id- Ь) Диалогично ие*°ЖИ0 определить этот интеграл на (а; ft], а также интегралы на
Йтрезке [а- 6] и на н**"6?83"6 (а; 6)- °Днак°. в отличие от интеграла Римана, интегра-
Ш по всем этим пр» омежуткам могут быть различными. Например,
f М*)^(*) = I f(x)d3r(x) + f(a)[Sr(a + Q»-Sr(a)\.
О дифференцировании и интегрировании функций см. в [20; 23; 27; 33; 38].
Примеры решения задач
1. Пусть функ>чии & и G имеют ограниченное изменение на отрезке
Ьг, Ь\.
>* 109

1) Доказать, что произведение &G также имеет на [а; Ь\
ограниченное изменение и
V \SG\ < sup \G(x)\ • V #"] + «up \F (x)\ • V fG].
о a^x^b a a^x^b a
2) Доказать, что если существует такое положительное число а,
что | в (х) | 1> а для всех х £ [а; Ь\, то частное -^- является функцией
с ограниченным изменением на отрезке [а; Ь] и
V
<-Л- sup |G(jc)| - V(^]+ sup \?{x)\.\/[G\
a \a^x^b а а^хф a
G
Решение. Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка [а; Ь]
а = х0<х1< ■•■ <хк< • • • <хп = Ь.
1) Поскольку каждая функция с ограниченным изменением на [а;
Ь] является ограниченной, то для разбиения П получаем следующие
оценки:
£ | ? (xk+l) G (**+,) - ST (jg G (¾) | = f I tf" (*н-0 -
¢=0 ¢=0
- Г ixj) G (Xk+i) + F (¾) [G (*ft+i) - G (xk)) | <
Л—1
< sup |G(*)|-S |*"(**+0-*"(**)! + sup |Г(*)|х
n—I ^
xS I G Ufc+i) — G (xj |< sup | G (x) | • V19*] +
+ sup \?{x)\- V[G].
Отсюда следует, что функция &G имеет ограниченное изменение на
[ее, Ъ] и
V[^G]<sup \G(x)\-\J[?] + sup |0"(*)|. VfG).
2) Аналогично предыдущему, для рассматриваемого разбиения
имеем
п—1
га-1
G(x,+1)G(xft)
<
<~r(sup |0(jc)|-S f^"(«H-i)-^(**)l +
+ sup /#"(*)(. £ |С(ДГ*+1>-С(лГ^|)<
<4-(sup |0(дс)|. VI^]+ sup \? (x)\- VIOj).
I«4

Следовательно, функция^-ж- является функцией с ограниченным
изменением на la; Ь] и
V\-7r]<-Zr(™PjG(x)\-V&}+ «up I^Wl-VIGj).
a L J \a^*<u a a^x^b a ]
2. Пусть для функции у=&(х), a^Lx^Lb, существует такое
разбиение П* : а = Хо < х* < • • • < х* < • • • < xj = & отрезка
[а; Ь], что на каждом отрезке [xl; Хь+\], k = О, 1 л — 1, она
является монотонной. Доказать, что функция & имеет
ограниченное изменение на [а; Ь]и
V [#■] = SV (*7+i) -#" (*J)I + ]*" (*)-*" (**)|,
a /=0
еели x € [Xfe-. **+i].
Решение. Очевидно, что любая монотонная функция G на отрезке
ъ
via; fc] имеет ограниченное изменение и ее полная вариация \J [G] рав-
а
на числу | G ф) — G (а) |. Поэтому заданная функция &" имеет
ограниченное изменение на каждом отрезке, DeJ; **+il разбиения П* и
Отметим также, что если к точкам xt, I = 0, 1, ...( т, разбиения
П отрезка [а; Ь] присоединить некоторые новые точки xt, k = 0, 1, ...
..., л, то сумма
/—о
при этом не уменьшится. Значит,
т—1 я—1 '/-f-i I»—t
(=0 1=0 . /=0
■*/
Следовательно, функция У аи««т ограниченное изменение на [а;
*1и
VI^Kl I**(*/+i)-*"(*7)|.
a /=0
Кроме того, если в качестве П взять П*, то
Таким образом,
ь «-1
a /—0
v I*'] - Si*" (*;+i)-^ («и».
в /—о
1«

Пусть теперь х — некоторая точка отрезка la; b], a Ixl; xt+i] —
отрезок, ее содержащий. Применяя предыдущие рассуждения к
отрезку [а; х], имеем
/=0
8. Определить полную вариацмю функции & на указанном отрезке,
если:
1) ^* (дс) = sin дг, 0<*<2я;
О, * = О,
2) & {х)= 1-х, *€(0; 1),
.4, х=1.
Решение. 1) Функция 3" является монотонной на отрезках
[0; -£-j, I-2-; -^-1 и 1-^-; 2я|. Поэтому, согласно предыдущему
примеру, функция $Г(х) = &тх, 0<ж<2п, имеет ограниченное
изменение на [0; 2л] и
Vl^l-liin-f —sinO| +
— +
0 ~
tin
Зя
2
Зя
2
= 4.
я
-Sin 2
+ f sin 2л — sin -g-
2) Рассмотрим произвольное разбиение П отрезка [0; 111
0 = JCe<Xi< .<• <xk< ••• <дс„=1.
Для этого разбиения
+11 — *n-2— 1 + *я_1 | + |4— 1 + *„_1 | = 4 + (*а — *х) +
+ (*„_J — JCn_2) + (*«-1 — *l)-
Отсюда следует, что
+
п~1
S |^(Хн.1)-У(хЛ<4+1 + 1 = 6.
fe=0
Кроме того, для каждого а>0 рассмотрим такое разбиение
П : а = *„<*!< ... <.хк<. *•• <*„ = Ь отрезка [а; 6], что *х<
<-|- и 1—хп-1<.-т-- В этом случае, очевидно,
»i-i
£ !*"(*+«) — *" (*»)! = 4 + C*i — *») + -.. + (ха-1—хп-з) +
+ (x„_i — *i) > 6 — «.
1вв

л—Г
Поэтому sup £ 15* (Xk+i) — & (**) | = 6. Следовательно, заданная
функция ff имеет ограниченное изменение на отрезке [0; Пи ее полное
1
изменение V W\ равно 6.
о
4. Представить в виде разности монотонно неубывающих функций1
1) УС*) = **, *€[-1; 1];
2) 5" (*) = I cos х |, х £ [0; 2я].
Решение. 1) Заданная функция У является монотонной на отрев-
ках [—1; 0J и [0; 1]. Поэтому (см. пример 2) она имеет на [—1; 1] ор»
раниченное изменение и
Положим ы (х) = v (х) — ^" (х), — 1 <1 X ^ 1, т. е.
«w =
1 — 2**, — 1<*<0,
I 1, 0<*<1.
Как отмечалось в п. 2, функции и и и являются монотонно неубы
вающими на [—1; П. Кроме того, ff (х) = v (х) — и (х), — 1 ^ х ^1
2) Функция #" (х) = J cos х
отрезках
°;-г]' [-*-; »]•
, 0'<Г х ^ 2я, является монотонной на
и -£-; 2я . Поэтому она
я;
имеет ограниченное изменение на сегменте [0; 2я] и ее полная вариация
v (х) — V 1#"1 на отрезке [0; х] сг [0; 2я] определяете^, как показано
о
в примере 2, соотношением
о(х)
1 1 — cos*, 0<х<-£-,
1 + |cosдг|, -£-<*<я,
3 — |eosx|, я<|х<;
Зя
Зя
3 + cos х,
<х<2я.
Рассмотрим монотонно неубывающую функцию и (х) = v (х) —
— | cos х J, 0 ^ х ^ 2я, которую можно представить в виде
1 — 2 cos х, 0 < х < -£-,
"(*) =
1, -?р^х^л,
3 — 2|cqsx|, я<х<-^,
8, 4р-<х<2я.
1«7

Поэтому разложение $ (х) = v (х) — и (х), 0<^*<:2я, является
искомым.
5. 1) Доказать, что каждая функция, имеющая на отрезке [а; Ь]
ограниченную производную, является функцией с ограниченным
изменением.
2) Доказать, что функция
(О, х = О,
w \ *8sin — , хфО,
имеет ограниченное изменение на отреаке [0; 1].
Решение. 1) Пусть П : а = х0 < ^ < ... < .^ < ... < хп = Ь —
произвольное разбиение отрезка [a; В], а у = ff^ (х), а^.х^.Ь,—
заданная функция. Тогда, согласно условию, существует такое число
К, что | сГ' (х) | ^ К для всех х £ [а; Ь]. Далее с помощью теоремы
Лагранжа о конечных приращениях получаем такую оценку.
£ |Г (дь+i)-**(**) 1 = 2 |^'(*»)11**+1-**1<*<&-а).
ft=0 ft=0
где чгй 1— некоторая точка из сегмента [хк; хц+\]. Таким образом,
для произвольного разбиения П отрешка [а; Ь] сумма £ \& (*н-0—
— & (xk)\ является ограниченной (например, числом Кф — а)).
Следовательно, функция &~ имеет ограниченное изменение на la; b].
2) Покажем, что заданная функция $ имеет ограниченную
производную-на [0; 1]. Действительно, если х Ф 0, то производная #" (х)
существует и &"' (х) = 2х sin cos—.
Если же х = 0, то по определению
(Д*)а sin -J-
£"' (0) = lim Ar ** = Нщ A* sin-J- = 0.
Таким образом,
[0, x = Q,
* ' ~ X
2*sin— cos — , jc^O,
I **'(*) К
2xsin4- — cos4-|<S (V*G(0; 1]).
Поэтому, согласно утверждению 1) этого примера, заданная функция
имеет ограниченное изменение на отрезке (0; 1].
6. Доказать, что функция
[ 0, х = 0,
не имеет ограниченного изменения на отревке 10; —] .
168

Решение. Отметим вначале (в чем можно убедиться непосредствен
що), что заданная функция не удовлетворяет условиям предыдущей»
Примера. ?,
Рассмотрим для произвольного натурального числа п разбиение
|П„ отрезка ГО; —1 - А !-
|редно —1 и 1, т. е.
О = х0 < хг =
Ш вычислим сумму Sn модулей приращений функции & на отрезках
[разбиения
«—1 / о \
s.-vjg-frm)-*W)l-( (2п+21)я -о) +
+ ( (2n+i)n + (fti-l)ft )+ "• +("5Г + 1г)"'
точками,
2
(2/t + 1) я
=
в которь
-<*2 =
Зя ^ Л"
[X (
(In
=
РУИ
2
—
2
я
кци
1)я
»
Я S1I
<
1 —
1 • •
- равна
< **....
пооче-
Поскольку ряд ^,-ят-хт" расходящийся, то последовательность
»го частичных сумм не ограничена сверху, т. е. sup Sn = + оо. Отсюда
г п
следует, что функция Я- не является функцией с ограниченным
изменением на отрезке
i
■■±]
7. Пусть непрерывная на отрезке [а; Ь] функция #" имеет
производную 3" на [а; Ь], исключая конечное число точек, и &"' интегрируема по
9?иману на la; Ь]. Доказать, что &" имеет ограниченное изменение на
Ьтрезке [а; Ь] и
\1&\ = 1\*'{х)\<Ь.
Решение. Отметим, чтц «сдн П i д. = *0<:*i< ... < *ft <
<<! •■• <. ха =* Ъ — произвольное рав0ивн1!5~отрезка la; b], то сумма
А—О
'Может только увеличиться, еел» н имеющимся точкам разбиения
придавить точки, в которых промводная #*' не существует. Поэтому,
«е умаляя общности, можно считать, что все указанные точки в состав
*№чек разбиения П уже входят. Запишем для каждого отрезка [хк\
169

**+iJ и Функции & формулу Ньютона — Лейбница
Г(хь&) -&(хк) = $ Г' <*)d*
**
Тогда
ft=0 *=o ,,_
откуда следует, что & является функцией с ограниченным изменением
откуда еле,
на [а; Ь] и
» г
Осталось доказать, что на самом деле в последнем неравенстве
стоит знак равенства. Поэтому пусть П — рассмотренное выше
разбиение. Тогда, согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях,
получаем
S' | gr (Xk+i) - $ (Хк) i =- £ | v (тй) | (Хк+1 - xj,
М) k=0
где хк — некоторая точка интервала (хк; хк+\). Отсюда следует,
что если X = max (*ft+i — х^, то
O^ft^rt—1
Hm S | Г' (¾) | (x*+i - *j) = J | Г' (х) | d*.
Х,->0 ft=0 £
Таким образом,
11ш£ \?(xk+i)-&(xk)\ = l\?'(x))dx
Х-*0 ft=0 ^
и для каждого е > 0 имеется такое разбиение П8, что для него
п—1
ь
£ |Г (**+i) -*" (¾) |> J | ^' (*) | dx-z.
*=л
Поэтому
п—1
V(^]=sup£ \& (хщ*) — $ (хй\>\\?' (x)\dx — %
а П fc=0 | la
или (поскольку е — произвольное положительное число)
ь »
V [^]> J |S" (*)!<&•
e a
Следовательно, о учетом ранее доказанного неравенства, им*
ь *
V 1^1-J1*"'(*)!<**•
a
170

8. Рассмотрим функции
ах $ina f- фх cosa —, х < О,
О, х — О,
/(*) =
ах »in*—-+ fc*cosa—, *>0,
Лпр
=
lim
А*->+0
аД* sin2
1
Д*
■ +
Д*
ЬАх
cos2
1
Д*
рдеа < р\ а < Ь. Найти производные числа Лпр, ЯпР, ЛЯ4В, Л.лев
функции / в точке х = 0.
Решение. По определению
= fim (asina-r--f-
Дх-»+0 \ ах
11 1
Поскольку a sina -г 1- b cosa -jj- -= а + (6 — а) cos8 -д— и
lim cos2-^- = 1, то
д*->+о Д*
Лпр = а + (Ь — а) lim cos2-г— = а + ф— а)=Ь.
Таким образом, Лпр = Ь.
Найдем ХПр- Так как lim cos2-t—= 0, то
д*^+о л*
А,пр = Mm (a sin2-г-+ ft cos2-^--] == а + (6—a) lim cos2-j— =- а.
Дх^)-0 * ' Д^Н-0
Аналогично получаем, что Лл'ев = Р, а Хлев = а.
Значит, производные числа функции могут быть любыми.
9. Рассмотрим функцию
0, х = 0,
У I ^sin-JL-, 0<*<1.
Доказать, что эта функция Дифференцируема на [0; 1], но ее
производная не является интегрируемой по Лебегу на этом отрезке.
1 2 1
Решение. Если хфО, то у' ==2xsin—j cos—5-. Если * =
— 0, то, согласно определению производной, имеем
у' (0) = lim ( } = Пт Д* . sin -^ = 0.
f Таким образом, заданная функция дифференцируема на отрезке
[0; 1].
Докажем, что производная у' не является интегрируемой по Лебегу
иа[0; 1], для чего, согласно примеру 29.1 из§ 3, исследуем наабсолют-
171

ную сходимость интеграл
1
J \2х sin-jr L cos -^-) dx.
0
1
Рассмотрим вначале интеграл \2xs'm—$-dx. Здесь подынтег-
ральная функция, очевидно, непрерывна на [0; 1], и поэтому этот
интеграл является римановым, т. е. функция 2хsin —3-
интегрируема по Лебегу. Покажем, однако, что несобственный интеграл
1
2 I 1 |
— cos—j-\dx расходится. Для этого сделаем замену переменной:
1 +О0
dt
J-
1 Г 2 I 1 I С
-^- = /. Тогда j —| cos-^1^= ] /
0 1
Но последний интеграл, как известно, расходится. Значит,
производная у' заданной функции действительно не интегрируема по Лебегу
на [0; 1].
Как следствие из полученного результата отметим, что
рассматриваемая функция не имеет (см. теорему 6) ограниченного изменения на
[0; 1] и она не является абсолютно непрерывной на этом отрезке.
Однако она равномерно непрерывна на [0; 1].
10. Построим на отрезке [0; 1] канторово совершенное множество F
(см. § 1) и назовем интервалами А-го ранга те его смежные интервалы,
длина которых равна —%■. Зададим функцию X (х) следующим образом:
на смежном интервале первого ранга положим X (х) = -^; на смежных
интервалах второго ранга — Х(х) = ^- на левом /т. е. (-„- ; — J) из
них и X (х) = 2J- на правом (т. е. (— ; -g-)); вообще, на смежных
интервалах k-ro ранга полагаем X (х) = —^ на первом из них (если дви-
гаться слева направо), X (х) = -j- на втором и т. д., т. е. считаем, что на
2* j
последнем интервале А-го ранга X (х) = —^— . Таким образом,
функция Х(х) определена на множестве CF = [0; 1]\/\ Теперь
доопределим ее и на F, положив для х £ F Х(х)~ sup %(£), а X (0) = 0. По-
строенная на отрезке [0; 1] функция % называется функцией Кантора.
Доказать, что она является сингулярной.
Решение- Согласно построению функция Кантора является
монотонно неубывающей на множестве CF = [0; 1] \ F и на этом
множестве принимает в качестве своих значений все двоично рациональные
172

числа, расположенные между 0 и 1, т. е. числа вида -\ , где k и р—
неотрицательные целые числа, причем 1 ^ р ^ 2* — 1. Очевидно,
что множество всех двоично рациональных чисел является всюду
плотным на отрезке [0; 1].
Докажем, что функция Кантора является монотонно неубывающей
и на сегменте [0; 11. Для этого пусть х± и х2 — произвольные точки
отрезка [0; 1], причем хг <z х2. Если хх £ CF, х2 £ CF, то, как мы
только что отметили, X (хг) <; % (х2). Если же хг £ CF, а х2 £ F, то,
согласно определению, X (х2) = sup X (£), т. е. также X (х2) ;> X (xj. Ес-
l<x.teCF
ли хх £ F, а х2 £ CF, для каждого g <с хх и \ £ CF имеем неравенство
X (6) ^ X (*а). и поэтому X (хг) s^X (х2). Наконец, пусть хх £ F и *8£
£ Р. Поскольку множество CF всюду плотно, то существует татая
точка £ £ CF, что хг<;%<:х2. Тогда, исходя из предыдущего,
имеем X(*i)<X(£) и Х(£)<Х(*2), т. е. X (*!><%(*2). Таким образом,
функция % действительно является монотонно неубывающей на
сегменте [0; 1], и поэтому она имеет ограниченное изменение на [0; 1].
Далее, на основании теоремы Лебега функция X почти всюду на
[0; 1] имеет конечную производную. Найдем вначале производную
X' на множестве CF. Поскольку на каждом смежном интервале функция
X постоянна, то X' (х) = 0 для произвольного х £ CF. Но мера Лебега
множества CF равна единице и, таким образом, X' (х) = 0 почти всюду
на [0; 1].
Осталось доказать, что функция X непрерывна на [0; 1]. Пусть его
нетак.т. е., например, существует такая точка х0 £ (0; 1), что X (ха —
— 0) < X (х0 +0). Тогда (на основании монотонности X) значения из
интервала (X (х0 — 0); X (х0 4~ 0)) а (0; 1) функция X не принимает.
Но, как отмечалось выше, функция X имеет в качестве своих значений
всюду плотное на (0; 1) множество двоично рациональных чисел.
Полученное противоречие доказывает непрерывность X на интервале (0;
1). Аналогично доказывается непрерывность функции X в точках х «= 0
и х = 1.
Следовательно, функция Кантора X является непрерывной
функцией с ограниченным изменением, производная которой почти всюду
на отрезке [0; 1] равна нулю. Поэтому функция X сингулярна.
П. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а; Ь], а функция #"
имеет на la; Ь] всюду, кроме конечного числа точек Cj ck,
интегрируемую по Риману производную #". Доказать, что существует интег-
ь
рал Римана — Стилтьеса ] / (х) &$(х) и выражается формулой
а
Ь Ь
J / (х) d& (х) = J / (х) $' (x)dx + f (а) [& (а + 0) - Г (а)] +
а а
+ S / (с/) $" (с/ + 0) - V (с/ - 0)] + / (Ь) [? (Ь) -?ф~ 0)]. (8)
т

Решение. Как следует из примера 7, функция & имеет ограниченно§
измененде на [а; Ь]. Далее, изменим (если понадобится) значения
функции,^ в точках разрыва так, чтобы полученная функция &t была
непрерывной" слева. Тогда на основании теоремы 9 существует интеграл
ь
Римана — Стилтьеса и, следовательно, согласно свойству
а
3) интеграла Римана — Стилтьеса (см. п. 4), существует также интег-
ь
рал" \ f (х) dS" (х) (равный предыдущему).
а
Построим теперь на [а; Ь] функцию скачков Н, для которой а, с1( ...
.... ск, Ъ являются точками разрыва, причем ее скачки в этих точках
соответственно равны & (а + 0) — ZF (а), & (сх + 0) — & (с, — 0), ...
.... $ (ck + 0) — $ (ck — 0). Я (Ь)—& (Ь — 0). Тогда функция
G.(x) = 3~ {х) — Н (х), а^.х^.Ь, является непрерывной на [а; Ь],
производная которой интегрируема по Риману на [а; Ь]. Поэтому для
интеграла Римана — Стилтьеса справедливо соотношение
ь ь ь
\f{x)d& (х) = \f(x)dH(x) + lf(x)dG(x).
а а а
Но, как отмечалось выше,
ь
J /(*) dH(x) = f(a)[$- (а +0) -Я (а)] +
а -
+ £ f(ci)№ (ci +0)-^(^/-0)] + /(fc) [#»_#>-0)]
(впрочем, это равенство можно получить и непосредственно, исходя
лишь из определения интеграла Римана — Стилтьеса).
ь ь
Докажем, что ] / (х) dG(x) = ] / (х) fr' (x)dx. Для этого отметим,
а а
что правая часть этого равенства существует как интеграл Римана,
елевая часть имеет смысл как интеграл Римана — Стилтьеса. Поэтому
надо доказать только их совпадение. С этой целью рассмотрим такое
разбиение П : a = х0 <z xt <z ... <zxm<z ... <z xn = b отрезка [a; b],
в состав которого входят точки сг ck, и для нахождения разности
(2 (jfm+i) —G (*m) воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных
приращениях
G (xm+i) — G(xm) = ^' (xj (xm+i — xm) (xm G (xm; xm+i)).
Следовательно, если для данного разбиения П отрезка [а; Ь] в
качестве отмеченных точек взять хт (т = 0, 1 п— 1), то интеграль»
ь
ная сумма а интеграла | / (х) dG (х) имеет вид
а
* = £ / (Xj $' (Xj (Xm+i — *J.
t74

V
Но она является интегральной суммой интеграла j / (х) <Г' (х) dx.
а
ь
Поэтому если X = max (хт+\ —х„) -*■ О, то lim о = \ / (x)ZF' (x)dx
Ь
и 11т о = \ / (х) dG (х), т. е.
t> ь
jf(x)dG(x) = $f(x)F'(x)dx.
а а
Таким образом, формула (8) доказана.
ь
12. Вычислить ] / (х) d^F (х), если:
а
1) / (д) = х, & (х) = cos х, д:£ |0; -^-1;
2) /(*) = sin*, &"(х)=\х\, х£[— 1; 1];
( х + 2, х£[— 2; —1],
3) / (д:) = (Xя + 1), #" (д:) = 2, д:£ (- 1; 0);
[х* + 3,х£[0; 2];
( 1, JC = 1,
4) / (х) = X, <F (Х) = _ . . , , , хт /- сн
,,v/ w I я, *€(я—1; n]; a=l, fc = N£Rj.
Решение- Вычисления этих интегралов проведем по формуле (8),
полученной в предыдущем примере (все они существуют на
основании того же примера 11).
1) В этом случае интеграл Римана — Стилтьеса приводится к
интегралу Римана
я л л я
2 2 2 2
\ xdcosx=— ] xsin xdx = Jtcos* — ] cos*d* =— 1.
0 0 0 0
2) Функция ^непрерывна, a 3"' (x) = —1, если x < 0, и fr' (x) —
* 1 для x > 0. В точке x = 0 функция #" производной не имеет. По-
атому
1 о 1
] sin xd (| х |) = —] sin xdx + J sin xdx = 2 — 2cosl.
-1 -1 о
8) Вычислим данный интеграл, используя формулу (8)
2 ^-1
J (*8 + \)d? {х) =[ (х3+ \)dx+ (^ + 1) |^—i -(2-1) +
-1 -2
2
+ (*» + 1)|,=о • (3-2) + J (x» + 1) 2*d* --§}-.
о
176

4) Функция & в этом случае является функцией скачков. Поэтому
N
f xd$ (х) = 1 • 1 + 2 • 1 + ... + (N - 1) • 1 = N (N2~ 1} .
13. Пусть $ — монотонно неубывающая на 10; 11 функция.
Вычислить пределы:
1) lim \ tr**d& (х)',
,1-юо о
Л
2
2) lim I (cos" х + sin" х) dW (х).
I
Решение. 1) Интеграл Римана — Стилтьеса \e-™xd$ (х) интерпре-
о
тируем как интеграл Лебега — Стилтьеса по мере ц^г. Тогда к нему
можно применить теорему Лебега (см. теорему 9 из § 3) о предельном
переходе под знаком интеграла. Для этого найдем предел lim егпх' =
= f (х), 0 < х < 1. Очевидно, f (0) = 1 и / (х) = 0, если 0*< х < 1.
Креме того, для последовательности (e~n*2)£Ui имеется интегрируемая
мажоранта (например, функция ф (х) = 1, х£ [0; 11). Следовательно,
по теореме Лебега
1 1
lim J er*"d& (х) = J f (x) d& (x) = & (0 + 0) — Г (0).
n-we о 0
2) Этот предел вычисляется аналогично. Только теперь
я
"2
1, х = 0 и х =-я- ,
/ (х) s lim (cos" х + sin" х)
0, 0<х<~,
а интегрируемой мажорантой является, например, функция <р (дс) = 2,
0 ^ х ^ -J- . Поэтому
л я
2 2
lim С (cos"A; + sin',A;)d5'(x) = f f(x)d^(x) =
»-►•» о о
= ^(0+0)-^(0) + ^(-^)-^(-^-0).
14. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а; Ь], а функция & —
монотонно неубывающая на [а; Ь\. Доказать, что если функция х =■
= ф (0, а ^ / ^ р\ является непрерывной и строго монотонно воз-
Ив

растающей, причем ф (а) = а, ф (р) = Ь, то справедливо равенство
ь р
$/(*)<#» = $/M0)d#>(Q). (9)
а а
Решение. Поскольку сложная функция / (ф) является непрерывной,
а композиция &~ (ф) — монотонно возрастающей функцией на [а; р],
то интеграл Римана — Стилтьеса J / (ф (0) d&"q> (f)) существует по
теореме 9. Левая часть формулы (9) также существует на основании
этой же теоремы. Поэтому надо доказать лишь равенство интегралов.
Для этого рассмотрим произвольное разбиение П : а = х0 <с хг <
<... <.xk<z.... <. хп = b отрезка [а; Ь\ и пусть \k — отмеченные
точки, взятые на полуинтервалах lxk; Xk+\). Тогда
» -1
J f (х) d? (х) = lim Б f (У \$ (хм-i) - *" (¾)]> (10)
где Я, = max (xk+i — xk).
Теперь по разбиению П отрезка la; b] построим соответствующее
разбиение П' отрезка [а; р]. Учтем при этом, что функция ф имеет
непрерывную и также строго монотонно возрастающую обратную
функцию ф—', определенную на [а; Ь] со значениями на [а; р]. Положим
tk = ф-1 (xk), k = 0, 1 п. Тогда разбиение П' определяется
точками t0, tlt .:., ta:
a = t0 < к < ••• <tk< •'• < *п = Р-
Точки r\k = ф-1 <Лк) из [tk; tk+i), где k = 0, 1, ..., п — 1, можно
принять в качестве отмеченных точек для разбиения П'. Наконец,
пусть X' = max (4+i — t^. Тогда в силу непрерывности функций
Ф и ф-1 соотношение А, -*■ 0 равносильно утверждению А/ -»- 0.
В результате этих рассуждений получаем
WO fe=0
- lim £ / (Ф (¾)) (^ (Ф (4+0) - *" (Ф (4))1 = J / (Ф (0) d*" (Ф (0).
V-*0 4=0 а
Искомое равенство (9) вытекает из этого соотношения и формулы (10).
15. Пусть у = X (х), 0 <! х <; 1,— функция Кантора (см.
пример 10). Вычислить интегралы:
1 1
1) J*dX(x); 2) Je*dX(jt).
0 2
Решение. К заданным интегралам формулу (8), очевидно, применить
нельзя. Поэтому будем искать другие пути вычисления указанных
интегралов. С этой целью вначале отметим, что если CF = 10; 1] \ F,
177

то X (-|Л = -у X (х), х € CF. Тогда X Ш = у X (х) и для всех х£[0;
J j. Аналогично, согласно построению функции Кантора, XJ-^- + -4-) =■
4" + -у % W> если 0 < * < 1.
1) Поскольку функция X постоянна на интервале (-я-; -т-J н
непрерывна на [0; 1], то
J xdX (*) = J xdX (х) + J xdX (*).
В первом интеграле Римана — Стилтьеса из правой части послед-
2 /
него равенства сделаем замену Зх = t, а во втором — х = -^- +-у-
Тогда (см. пример 14)
fxdxw-.-j-f*» -г +4-f(2+o«4- +
3/ ' ' о*' \о/о^-" \ о 3
О 0 ' 0
1 1 1
-4-Ww + 4-f(2 + 0<a(Q = 4-f'dX(*)+4-.
,о о о
Отсюда
1
|ш(0=4-
Замечание. Этот пример показывает, что если неубывающая функция & явля-
ь
ется сингулярной иа отрезке [а; Ь\, то интеграл Стилтьеса I / (х) d& (х) ие сводится к
а
интегралу Лебега по обычной лебеговой мере (ix иа [а; Ь] и соответствующей
сумме ряда.
2) Рассмотрим для произвольного числа а функцию
1
JT (a) = J e°xdX (х)
о
(по теореме 9 этот интеграл существует для каждого а). Для его
вычисления & (а) представим в виде
j_
з I
' (a) = J e°xdX (х) + J е^йХ\х).
2
т
178

Теперь, как и в случае 1), получаем
S (a) = \ e^dl (4-) + $ Д Ах (х + 4"):
о
1а
а
т. е <^(а) = е3сп-|-. W-|-). Отсюда в силу произвольности а
имеем
а а
^(a) = e3e»ch-5-.ch-g-. W-y-)=- ... -
e3eT...e3»chJLch_|_...ch_£L. W-iL) (VngN)
а
и (при л -> со) «f (а) = е 2 П ch -^- ■ lim of (а).
n=l 3 а-»-0
Далее, из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла следует, что
lim of (a) = f lim eaxd% (x) = f dX (*) = 1.
Отсюда, в частности, имеем
1
f*Mx(*) = Vl rich-1-.
Задачи для самостоятельной работы
ь
1. Доказать, что полное изменение \/ [У] функции & равно нулю тогда и только
а
тогда, когда & (х) = & (а) для всех х g [а, Ь]
Ь
2. Доказать, что \/ [^"] = У (й) — У (а) тогда и только тогда, когда У монотонно
a
ие убывает на отрезке [а, Ь\.
3. Показать, что функция У (х) = cos х имеет на отрезке [0, 2я] ограниченное
(вменение, и найти ее разложение в виде разности двух монотонно неубывающих
функций
4. Доказать, что функция
( х— 1, 0<*<1,
*"(*)= 1, *-1,
[ -х\ 1<*<2,
является функцией с ограниченным изменением на отрезке [0; 2], и найти ее
разложение в виде разности двух монотонно неубывающих функций.
5. Доказать, что функция & (х) = cos2 х имеет ограниченное изменение на
отрезке [0; я], и представить ее в виде разности двух монотонно неубывающих
функций.
178

в. Доказать, что функция ^" (х) = sin х имеет ограниченное изменение иа
отрезке [0, 2я], и представить ее в виде разности двух монотонно неубывающих
функций.
7. Доказать, что функция
( — х2, 0<*<1,
5Г(*)= О, х=\,
\ 1, 1<*<2,
Имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2], и представить ее в виде разности двун
монотонно неубывающих функций.
S. Найти полное изменение функции
( х\ 0<*<1,
ST (*) = { 5, х=1,
2 1 2
иа отрезке [0; 2]. Проверить, что \J \&\ = \j \&\ + \/ [Sf\. Представить & в вн-
о о 1
дв разности двух монотонно неубывающих функций.
9. Чему равно полное изменение функции
г —1, х = 0,
#•(*)= 1— х, 0<*<1,
I 6, х=1,
на отрезке [0; 1]?
10. Чему равно полное изменение функции
I х—\, х<1,
&(х) = \ 10, х= 1,
на отрезке [0; 2]? Как изменить значения этой функции в точке х = 1, чтобы ее
полное изменение было наименьшим?
11. Доказать, что функция у = & (х), 0 ^ х ^ 1, не имеет ограниченного я»-
менения на отрезке [0; 1J:
0, * = 0,
из от-
3) &(0) = о, &(-21(-1 )= 0> *(~w)= ~2~k~ и ^ линейна на кажД°м
резкое
1
2k + 1 ' 2k .
1 1
, fee м.
_ 26 ' 2¾ — 1
^."Доказать, что функция, удовлетворяющая на отрезке [а; Ь] условию
Липшица первого порядка, имеет ограниченное изменение на [а; Ь]<.
13. Пусть 0 <С а <С 1. Построить функцию, удовлетворяющую на отрезке [а; Ь\
условию Липшица порядка а, которая не имеет ограниченного изменения на [а; Ь].
Построить пример функции, имеющей ограниченное изменение на [а; 6], но не
удовлетворяющей условию Липшица ни при каком а.
14. Пусть функция & имеет ограниченное изменение на отрезке [а; Ь] и ее пол-
ь
ное изменение равно \J [&"]. Найти полное изменение на [а; Ь\ функции <хУ + (J, где
а
«и(5 — некоторые вещественные числа.
180

15. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на [а; Ь], а ф —
строго монотонно возрастающая непрерывная функция на отрезке [а; 0] такая, что
<р (а) = а, ф ф) = Ь, то функция G (х) = У (ф (х)) имеет ограниченное изменение на
[а; р] и V [*1 = V [G1-
а а
16. Доказать, что характеристическая функция Ха М некоторого множества
Л с [а; Ь] имеет ограниченное изменение на [а; Ь] тогда и только тогда, когда граница
дА множества А состоит лишь из конечного числа точек.
17. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [а;
Ъ], то ее абсолютная величина | У \ также имеет ограниченное изменение на [а; Ь].
18. Пусть функция У непрерывна на отрезке [a; b], а | У | имеет ограниченное
изменение на [а; Ь]. Доказать, что тогда и функция У имеет ограниченное изменение
иа [а; Ь]. Привести пример, показывающий, что условие непрерывности У нельзя
опустить.
19. Пусть а и Р — положительные числа. Доказать, что непрерывная функция
У (х) = ха sin—£- на отрезке [0; 1] имеет ограниченное изменение при а > (J и не
имеет ограниченного изменения при а <: р\
20. Существует ли непрерывная функция, не имеющая ограниченного
изменения ни в каком промежутке?
21. Кривая у = У (х), а^. х^. Ь, называется спрямляемой, если длины ломаных
с последовательными вершинами в точках (х0. У (х0)), (х,. У (xj) (хп, У (хп)), где
а = х0 <*]<...< хп= Ь, ограничены фиксированной постоянной, не зависящей
от числа п и выбора точек *,, ..., *„_р Доказать, что кривая у = У (х), а ^ х ^ Ь,
спрямляема тогда и только тогда, когда У имеет ограниченное изменение на [а; Ь\.
22. Пусть функция у = ф (х), а<; х ^6, интегрируема по Лебегу на отрезке
[в; Ь] и
■(*) = J<p(0*. х6 [а; Ь).
Доказать, что У имеет ограниченное изменение на [а; 6] и
6 Ь
V[*l= f |Ф(0|Л.
а J
23. Пусть функции ^" и G имеют ограниченное изменение на отрезке [а; Ь] и
Ф (х) = max [У (*), G (*)}, х g [а; 6].
Доказать, что функция Ф также имеет ограниченное изменение на [а; Ь].
24. Показать, что сложная функция У (G), где ^" и G — функции с ограниченным
Изменением, не обязательно есть функция с ограниченным изменением. '
25. Доказать, что если функция У имеет ограниченное изменение на отрезке
[0; 1], то
i'«*-4-£'(4-)
1 1
26. По функции у = У (х), имеющей ограниченное изменение на отрезке [а; Ь],
построим функцию G, полагая G (а) = 0 и
G (х) = ^4т j *■ М Я, * € (а; 6].
Доказать, что G является функцией с ограниченным изменением на [а; Ь].
27. Доказать, что функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [а, Ь]
тогда и только тогда, когда существует неубывающая на [а; Ь\ функция Ф такая, что
181

если а^.х< у ^Ь, то
!*■(») —#■(*)! <Ф 00—Ф (*).
28. Пусть функция & имеет на отрезке [а; Ъ\ ограниченное изменение, а
функция ф удовлетворяет на всей числовой оси условию Липшица первого порядка.
Доказать, что функция ф (&" (х)) имеет на [а, Ь] ограниченное изменение.
29*. Пусть функция & непрерывна и имеет ограниченное изменение на отрезке
[а; Ь]. Для каждого разбиения П: а = х0 < хх < ... < хп = Ь отрезка определим
суммы
п~\ п—\
Vji = Е I *■ <**+i) -*" (VI и Qn = S («* ~ «*)■
fc=0 k=0
где Ж =» sup & (х), tnk= Inf ^"(ж). Доказать, что если i«-
жА<ж<ж*+1 xk^x<*k+l
= max (¾. , —ж ), то
11m у = 11m Q =, \/ \r\.
x-o \-.o *
x
30*. Положим и (ж) = у [У], где у = #" (ж) — функция с ограниченным измене-
а
иием на отрезке [а; 6]. Доказать, что почти всюду на [а; Ь] о' (х) = | У (ж) |.
31. Доказать, что функция
*■(*)= V '*~'п| , ж6[0; 1],
n=l d
ВДе ('n)JJLi — последовательность всех рациональных чисел отрезка [0; 1],
непрерывна на [0; 1], но не является дифференцируемой ни в какой рациональной точке из
[0; 1]. ^
32*. Рассмотрим для 0 < 6 < 1 и нечетного натурального числа а функцию f (х) =»
00
= S] b" cos (аппх). Доказать, что функция / непрерывна на всей числовой оси R,
3
но если ab >• 1 -J л, то / не имеет конечной производной ни при каком
значении ж.
33. Доказать, что если у непрерывной функции у = & (ж), а <; ж < Ь, одно иа
правых производных чисел неотрицательно иа [а; 6], то ^" (а) ^ ^" (Ь).
34. Доказать, что если одно из правых производных чисел на отрезке [а; Ь]
функции & принадлежит отрезку [а; f$], то для любых ху и ж2 из [а; Ь] имеем
^ ?■ (х2) - & (Xl)
а ^ <: р.
ж2 —*!
Указание. Применить результат задачи 33 к функции 9" (х) — ах.
35. Доказать, что если одно из производных чисел функции у = & (х), а ^ х ^
г^ Ь, непрерывно в точке ж„ £ [а; 6], то существует Т' (ж0).
36. Доказать, что если производная / (х) некоторой функции / (х) всюду
конечна на отрезке [а; Ь] И почти всюду [равна некоторой непрерывной функции, то она
равна ей всюду на [а; Ь].
37. Привести пример функции !F с ограниченным изменением на отрезке [0; 1J,
для которой из существования У (ж) в некоторой точке не следует существование
в» (*), где v (ж) - V М-
о
№

38. Пусть функция у = / (х) ие убывает на интервале (а; f$) н Л (х) — ее верхние
Правые производные числа. Доказать, что множество {х £ (а; f$) :|Лпр(х) > с), где
с — положительное число, можно покрыть открытым множеством Ас таким, что
M4)</(p-0)-/(a + 0)-
39. Пусть функция у = f (х) не убывает на отрезке [а; Ь] и Л,, (х) — ее- верхние
правые производные числа. Доказать, что Л,, (х) < + оо почти всюду на [а; Ь].
40. Пусть функция у = f (х) не убывает на отрезке [а; Ь], Л и %лев — ее верхние
правые н нижние левые производные числа соответственно. Доказать, что если 0 <
< с < С, то множество тех точек х £ [а; Ь], в которых Лпр (х) > С и Хлев (х) < с, имеет
меру нуль.
41. Доказать, что если функция удовлетворяет условию Липшица первого
порядка на отрезке [а; Ь], то она абсолютно непрерывна на [а; Ь].
42. Пусть функция ^" задана на отрезке [а; Ь] и для каждого е > 0 можно ука-
•ать такое б > 0, что для произвольного набора попарно непересекающихся отреа-
п
ков [ар, bk\ с [a; b], k = 1, 2, .... л, для которых J] (bk — ak) < б, справедлива
/6=1
оценка
£ [5г (¾)-S*-(а*)]
<в.
Доказать, что функция ^" абсолютно непрерывна.
43. Доказать, что если на отрезке [а; (6] функции ?"hG абсолютно непрерывны,
то абсолютно непрерывны функции У ± G, У ■ би -^-, если G не обращается в
нуль на [а; Ъ].
44. Доказать, что если на отрезке [а; Ь] функция & абсолютно непрерывна, то
функция I ^" | также абсолютно непрерывна на [а; Ь].
45. Доказать, что если на отрезке [а; Ь] функция ^" непрерывна, а | &\
абсолютно непрерывна, то ^" абсолютно непрерывна на [а; Ь].
46. Пусть на отрезке [а; Ь] заданы неубывающие абсолютно непрерывные фуик-
оо
ции &!, &г,.... Доказать, что если ряд J] ^-¾ (х) сходится для всех х £ [а; 6] и & (х) —
й=1
его сумма, то функция & абсолютно непрерывна на [а; Ь].
47. Пусть функция ^" задана на отрезке [а; Ь] и для каждого е > 0 можно
указать такое б > 0, что для произвольного набора отрезков [<%; Ь^] с [а; Ь\,
й= 1, 2, ..., п (а не только для попарно непересекающм отрезков, как в определе-
' А
нии абсолютной непрерывности), для которых' V (¾ — а*) < б, справедлива оценка
п
V | ^ (¾) — & (¾) | < е. Доказать, что функция & удовлетворяет на [а; Ь]
условию Липшица первого порядка.
48. Пусть функция &" задана на отрезке [а; Ь] и для произвольного набора
00
отрезков [<%; b/,] ffi [а; й], fe £ N, такого, что J] (** — я*) < + «». ряд
fc=i
«о
V (^" (6fc) — У ((¾)) сходится. Доказать, что & удовлетворяет на [а; Ь\ условию
Липшица первого порядка.
49. Пусть функция У абсолютно непрерывна на [а; Ь] и множество А с [а; й]
имеет меру нуль. Доказать, что У (А) — образ этого множества — имеет меру нуль.
183

50. Пусть функция & абсолютно непрерывна на [а;-и]. Доказать, что если
множество А с [а; Ь] измеримо, то и множество & (А) измеримо.
51. Пусть функция ^" непрерывна на отрезке [а; ft], имеет на [а; ft] ограниченное
изменение и для каждого множества А с [а; ft] меры нуль мера множества & (А)
равна нулю. Доказать, что & абсолютно непрерывна на [а; ft].
52. Доказать, что если функция & абсолютно непрерывна на отрезке [а; ft], то
| & \р при р :> 1 также абсолютно непрерывна на [а; ft].
53. Пусть функции / и g интегрируемы в смысле Римана — Стилтьеса на
отрезке [а; ft] относительно функции & с ограниченным изменением. Доказать, что каждая
из функций с/ (с £ R)_, / + g, /g, | / | также интегрируема в смысле Римана —
Стилтьеса на [а; Ь\ относительно ^".
54. Пусть функция ^ монотонно не убывает на отрезке [а; ft]. Доказать, что
ь
1 / (х) && (х) = 0 для произвольной непрерывной на [а; ft) функции / тогда и только
а
тогда, когда & (а) = & (ft).
55. Пусть функция / непрерывна на отрезке [a; ft], a & — монотонно не убывает
на [а; ft]. Доказать существование такой точки 9 £ [a; ft], что
ь
j / (*) dP (х) = f (9) [Sr (Ь) _ gr (а)].
а
Л
5в. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; я] и \ sin xiSf (дг) =
6
= & (я) — ^"(0). Доказать, что
'(*)
*"«>), 0<*< —,
г\п).
■ < х а£ Я.
_„, 57. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; 2] и такова, что для
каждой непрерывной на [0; 2] функции
j f (х) dF <*)=/(!).
(*)
-{;
Доказать, что
'^(0), 0<*<1,
,5^(2), 1<*<2,
причем 5^(2)-5^(0)= 1.
58. Пусть функция & монотонно не убывает на отрезке [0; 1] и такова, что для
каждой непрерывной на [0; 1] функции f
1
[f(x)df(x) = /(0) + 2/(1).
Доказать, что
Р(х).
F (0),
■о.
^-(0)+1, 0<*<1,
5r (0)+2, *-!.
184

59. Пусть функция^" монотонно не убывает на отрезке [0; 1] и такова, что для
некоторого л £ N и любой непрерывной на [0; 1] функции /
1
п *=1
Определить вид функции ^".
60. Непрерывная на отрезке [а; Ь] функция / такова, что для любой монотонно
неубывающей на [а; Ь] функции & справедливо равенствэ
j / (х) dSr (х) = *• (ft) _ у (а).
Найти функцию /.
61. Найти значения интегралов Римана — Стилтьеса:
a) ^1= I xd$r(x), где &(х) = \ 1, — 1<х<2,
-' 1—1, 2<*<3;
2
б) ?л=^х*<&-{х), где
о
Р(х) =
— 1, 0<*<
1 3
2, х--.
— 2, —-<х<2.
62. Вычислить интеграл \ / (х) й& (х), если:
а
\)f(x)=x, *-(*) = |aln*|, *€ -1, Al,
2)/(*) = *2, ^(*) = (—1)", если лс6[Я; п + 1) /г =0,1 ЛГ— »,
где N — некоторое натуральное число;
3) / (х) = х,
(х+2, — 2sjx< — 1,
*"M = I 2. _1<JC<0,
U2 + 3, 0<х^2; *€[-2; 2];
(х + 2, — 2^x^ — 1,
4) / (*) = х*. Г(х) = \ 2, — 1 < х < 0,
U2 + 3, 0<*<2; *£[-2; 2].
63. Пусть & — монотонно неубывающая на [0; 1] функция. Вычислить пределы:
1 1
1) Hm f \x\ndsr(x)\ 2) Hm f (*" + г-") UP (х).
л-too J л-voo J
185

84. Доказать, что если последовательность (1п)%=\ непрерывных на [а; Ь]
функций сходится иа [а; Ь] равномерно к функции f, то
ь ь
Um f /„ (х) d&(x)=,[f (х) dST (x),
a a
где ^" — функция с ограниченным изменением на [а; Ь].
65. Пусть на отрезке [а; Ь] задана последовательность (^"n)£Li функций с
ограниченным изменением, сходящаяся в каждой точке отрезка [a; b] к некоторой
функции ^", причем полные изменения всех функций ^"„ ограничены в совокупности:
ь
V \&Л <1 С (V п £ N). Доказать, что если последовательность (fn)%L\ непрерывных
а
на [а; Ь] функций равномерно сходится на [а; Ь] к функции /, то
Hm ( /„ (*) d^n (*)=(/ W «»" (*)■
вв. Пусть функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2я].
2л
Доказать, для что произвольного п £ N справедлива оценка
1 2я
JrW
cos /ш1*
<
— V f 1 и чт0 эта оц-енка неулучшаема.
67. Пусть функция У имеет ограниченное изменение на отрезке [0; 2л].
Доказать, что для всех п £ N справедливы оценки
2я
f ^(xjsin
raxdx
о 2я
<4 vpi
и что эти оценки неулучшаемы. Доказать, что если функция & удовлетворяет
условию & (0) = У (2я), то справедлива неулучшаемая оценка
2л
sin /mfx
I 2л
68. Пусть на отрезке [а; 6] функция/ непрерывна, а ^" имеет ограниченное
изменение. Доказать, что функция
G(*)= J/Mdr(fl, а<*^6,
а
имеет ограниченное изменение на [а; Ь] и непрерывна в точках непрерывности
функции &.
69. Пусть ц™ — мера Лебега — Стилтьеса на [а; Ь], порожденная монотонной
непрерывной на [а; Ь] функцией ^". Доказать, что интеграл Лебега — Стилтьеса
ь Ъ
\ xd\Lcjr равен интегралу Римана — Стилтьеса \ xd!F (х). Вычислить его.
а а
70. Вычислить интегралы:
л я
1) f (х+2) design sin х); 2) f (x — 1) d (cos x ■ sign x).
186

71*. Пусть y=x(40^Jt< 1,— монотонно неубывающая сингулярная
функция Кантора. Вычислить интегралы:
1) |**ЛС(ж), где fee N;
о
1 1
2) I cos nxdl (х); 3) \ sin nxdX (ж).
:2я.
о о
f 1 — cos х, 0 <; х ^ я,
Ответы. 3. # (ж) = и (х) — и (х), где »(»)=., _ ^, „
(. 3 + cos ж, я ^ х <; 2i
х, 0<*<1,
2, ж=1, 5. # (ж) = v (х) — и (ж),
[4 + х*. 1<ж^2.
4. Т (ж) = v (х) — и (х), где v (х) =
где и (х) =
1 — cos2 х, 0 < х ^ — ,
1 4- cos2 х, —- sg; * <; я.
6. # (ж) = v (ж) — и (ж), где v (*)
i я
sin*, о <;*<; —,
я Зя I
2 — sin х, — < х < —- , 7. #" (ж) = v (х) — и {х), где v (х) = { 2, ж = 1,
Зя
4 +sin ж, —— <ж<2я.
ж2. 0<х<1,
2, ж=1, .
3, 1<ж<2.
8. 7; # (ж) = v (ж) — и (ж), где и (ж) =
ж2, 0<ж<1,
5, ж=1, 9. 9. 10. V [^1=23.
.ж+ 5, 1<х<2.
Положить У (1) = а,' где а — любое число из отрезка [0; 1]; тогда полнде
изменение функции равно 5. 13. Ту (ж) = ха sin —, 0 < ж < 1, а Ту (0) = 0; #а (ж) =
_1_
In ж
, 0<ж<1, a #-,(0)=0. 14. \a\\J[Sr]. 18. Пример: #(*) = !,
если ж — рациональное число, и У (ж} =—1, если ж—иррациональное, а [а; й] =
= [0; 1]. 20. Да, например, непрерывная функция, нигде не имеющая
производной (см. пример 32). 24. Например: # (ж) =* У~х, 0<ж<1, a G (ж) =
( 0, * = 0,
Ж* Sin'
1 п^.гП 3?- ДЛЯ 1<«<2 ?(ж) = Ж2С05—, 0<*<1,
a / (0) = 0. 59. Г (ж) =
#(0), 0<ж<—,
п
ft ft ft + 1
? (°) Н . — < ж < ! ; 1 < ft < я — 1,
п п п
#-(0) + 1, ж=1.
17
«0. /(ж) = 1, *€[а; Ь]. 61. ^ = -6; ^2 = —г. 62. 1) я-2; 2) £ (-1)**»;
*=1
187

3) -^-; 4) -у.. 63. 1) *" (-1+0)-^(-1): 2)5-(0 + 0)-5-(0) + 5-(1)-
ь
-^(1-0). 69. ЪЗГ (Ь) — аз? (а) — f & (х) dx. 70. 1) 2 — ея — е~п; 2) 1 —я.
а
' ! *
71. 1) Если ?k = ] xkdX (х), то ^ = ^ £ с12%-.. причем ^0 = lj
0 2 (3 — 1) s=l
2) Э; -3) П cos-4-.
4-1 3*

ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВ
$ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Как известно, одним нз важнейших понятий в математическом анализе
является понятие предельного перехода, лежащее в основе таких фундаментальных
операций, как дифференцирование и интегрирование. Более того, в зависимости от
рассматриваемых задач в анализе часто вводятся разные (но эквивалентные между собой)
понятия предела для последовательности одних и тех же математических объектов
(вещественные числа, комплексные числа1, /1-мерные векторы, функции и т. п.). Однако
все они связаны в основном лишь тем, что между исследуемыми объектами можно
измерять «расстояние». Это позволяет ввести и изучить свойства предельного перехода
независимо от природы элементов, участвующих в этом построении.
Обобщая известное понятие расстояния между двумя вещественными числами, мы
естественно приходим к одному из основных понятий современной математики —
понятию метрического пространства (оно было введено впервые французским
математиком М. Фреше в 1906 г.). Отметим также фундаментальную важность-метрических
идей в прикладном отношении: всякий вычислительный процесс должен сходиться к
искомому результату.
1. Понятие метрического пространства. Пусть X — произвольное множество,
a р : X X X -»- R — отображение декартова произведения XXX в множество
R вещественных чисел. Отображение р называется метрикой на X, если оно
удовлетворяет следующим условиям (аксиомам метрики):
•) Р (*. У) > О'. Р (*» у)<?>х= у (аксиома тождества);
2) р (х, у) = р (у, х), V х, у £ X (аксиома симметрии);
3) р (х, у) ^ р (х, г) + р (г, у), V х, у, z £ X (аксиома треугольника).
При этом множество X, рассматриваемое вместе с заданной на нем метрикой р,
называется метрическим пространством, элементы х, у, г, ... множества X— точками
«того пространства, а число р (х, у) — расстоянием между точками х и у.
Поскольку в однрм и том же множестве X часто можно задавать разные метрики
р, то, чтобы различать получающиеся при этом пространства, иногда вводят
обозначение (X, р).
Отметим, что всякое множество Y из метрического пространства X,
рассматриваемое с тем же расстоянием между элементами, что и в X, также является
метрическим пространством. Оно называется Подпространством пространства X.
Расстоянием между двумя множествами М и N метрического пространства X
называется число
р(М, N)= Inf р(х,у).
Если одно нз этих множеств, например N, состоит нз одной точки а, то получаем
расстояние р (а, М) от точки а до множества М, определяемое формулой
р(а, М) = inf р(а, х).
Пусть на множестве X определены метрики Pi (х, у) и р2 (х, у). Они называются
шкаивалентными, если для произвольной последовательности (х„) с X нз того, что
Pi (*л. х)-*-0 (х £ X), следует р2 (хп, х\'-+0 и наоборот. Для эквивалентности метрик
Pi н Рг достаточно существование таких положительных постоянных Clt С2, что
ciPi (*. У) <. Ра (*. У) <. csPi (*. У)> V х, у £ X
(такие метрики называются топологически эквивалентными).
169

2. Предельные точки. Замыкание. Пусть х0 — фиксированная точка
метрического пространства X, а г > 0. Совокупность В (х0, г) тех точек х пространства X,
которые удовлетворяют условию р (х, х0) < г, называется открытым шаром. Точка х0
называется прн этом центром, а число г — радиусом шара. Открытый шар радиуса в с
центром х0 будем называть также г-окрестностью точки ха.
Замкнутым шаром В [х0, г] в метрическом пространстве X называется
совокупность точек х £ X, для которых р (х, ха) <; г.
Точка х £ X называется точкой прикосновения множества МсХ, если любая
ее седмпость содержит хотя бы одну точку из М, а совокупность М всех точек
прикосновения множества М называется замыканием этого множества. Переход от
множества М к его замыканию М будем называть иногда операцией замыкания.
Теорема 1. Операция замыкания обладает следующими свойствами:
_1) МсМ; 2) М = М; 3) Mj с М2 => Mj с М2; 4) МГ0~М8 =■ М, U Я,;
5) 0 = 0 (0 — пустое множество) и X = X.
Течка х £ X называется предельной точкой множества МсХ, если в любой ее
окрестности содержится бесконечно много точек из М. Каждая предельная точка
множества М является его точкой прикосновения. Она может либо принадлежать
множеству М, либо нет. Если точка х принадлежит множеству М, и в некоторой ее
окрестности нет точек нз М, отличных от х, то ее называют изолированной точкой этого
множества.
Твтрема 2. Всякая точка прикосновения множества М является либо предельной
для Н4М, либо изолированной точкой этого множества.
ОтМда следует, что замыкание М множества М состоит нз точек трех типов:
^ изолированные точки М;
предельные точки множества М, принадлежащие М;
3) предельные точки множества М, не принадлежащие М.
А это, в свою очередь, означает, что замыкание М множества М получается
присоединением к М всех его предельных точек.
3. Открытые н замкнутые множества. Множество М, лежащее в метрическом
пространстве X, называется замкнутым, если М = М (т. е. оно содержит все свои
предельные точки).
Из теоремы 1 вытекает, что замыкание любого множества есть замкнутое
множество и что М — наименьшее замкнутое множество, содержащее М.
Теорема 3. Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа
замкнутых множеств являются замкнутыми множествами.
Точка х £ М называется внутренней точкой этого множества, если она
принадлежит М вместе с некоторой своей окрестностью. Их совокупность обозначается
через М*.
Множество М, все точки которого внутренние (т. е. М = М°), называется
открытым.
Теорема 4. Для того чтобы множество М было открытым в X, необходимо и
достаточно, чтобы его дополнение X \ МНыло замкнутым.
Следствие 1. Множества 0 и X — открыты.
Теорема 3'. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа
открытых множеств являются открытыми множествами.
Приведем утверждение, характеризующее все открытые множества на числовой
прямой.
Теорема 5. Всякое открытое множество на числовой прямой является
объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Точка ха £ X называется граничной точкой множества МсХ, если в
произвольной ее окрестности содержатся как точки нз М, так н точки, множеству М не
принадлежащие. Совокупность граничных точек множества М обозначается через дМ н
навивается границей этого множества. Справедливо соотношение: М = М° (J дМ.
Жножество М называется ограниченным в метрическом пространстве X, если оно
содержится в некотором шаре.
4. Сходимость в метрическом пространстве. Пусть хх, х2, ...— последовательность
точек метрического пространства X. Будем говорить, что она сходится к точке х, если
11т р (ж„, х) «=» 0,'н обозначим это так: хп -*■ х прн п -*-оо или lim хп = х.
л-»м n-»ee
199

Это равносильно, очевидно, тому, что
V^>0 3% € N : хп £ В (х, е) прнл>п0.
Никакая последовательность не может иметь двух различных пределов, и если
х„ -*■ х, то н хп -*-х, где (хп ) —произвольная подпоследовательность
последовательности (хп). Кроме того, если хп^-х, а х0 — произвольный фиксированный элемент
из X, то числа р (хп, х0) образуют ограниченное множество.
Теорема 6. Для того чтобы точка х0 была предельной для М, необходимо и
достаточно, чтобы в М существовала последовательность попарно различных точек,
сходящаяся к х0.
5. Плотные множества. Сепарабельные пространства. Пусть М н N — два
множества в метрическом пространстве X. Множество М называется плотным в N, если
N с М. Множество М называется всюду плотным (в пространстве X), если М = X.
Если множество М не плотно ни в одном шаре, оно называется нигде не плотным.
Пространства, в которых имеются счетные всюду плотные множества,
называются сепарабельными.
6. Примеры метрических пространств. В этом пункте приводятся примеры
наиболее часто встречающихся ^в приложениях) метрических пространств. На проверке
соответствующих аксиом метрики для некоторых из них мы остановимся при
рассмотрении конкретных примеров.
1) Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое
пространство) — это произвольное множество, для которого
( 0, если х = у,
Р (х, У) = { , ^
(. 1, если хфу.
Заметим, что в этом пространстве сходящимися являются только стационарные
последовательности. Оно сепарабельно тогда и только тогда, когда само состоит лишь
из счетного числа точек, ибо замыкание М любого множества М в этом пространстве
совпадает с М.
2) Евклидово пространство R" — это множество упорядоченных наборов из я
действительных чисел х = (£1г |2, ..., |„) с расстоянием
р (х, у)=\/ 2j (Tift — Ы2 to = foi. ч», .... %))•
Замечание 1. Аксиома треугольника является здесь следствием известного из
курса математического анализа неравенства Коши — Буняковского
Замечание 2. Иногда вместо (Rn, p) рассматривают пространство (Rn, pj, где
ели (R", pe), где
Pi (х. У) = £ I г\ь — U I.
Po (*. У) = max | T|fc — E* I-
В этих пространствах счетным всюду плотным множеством является, например,
совокупность «векторов» с рациональными компонентами. Сходимость в
пространстве R" является сходимостью по координатам.
3) Пространство т всех ограниченных последовательностей состоит из тел
точек х = (tit 6я, .... ?„, ...), что
V* 3Kx = const:|SJ<Kx (/-.1,2,...).
191

Здесь р (х, у) = sup | 1( — T\t |, если х = (%{), у = (т\(), а сходимость в m — его
схвдимость по координатам, равномерная относительно номеррв координат. Можно
показать, что пространство m не является сепарабельным.
4) Пространство с сходящихся числовых последовательностей состоит из
элементов х = (£,), для которых существует hm |, = |. Если положить р (х, у) = sup | £, —
— т), |, то с — подпространство пространства т с той же сходимостью (т. е.
сходимостью по координатам, равномерной относительно номеров координат). Отметим, что
подпространство с несепарабельного пространства т уже является сепарабельным.
Совокупность тех х = (|.) £ с, для которых hm \ = О, обрааует метрическое.
f-i-00
подпространство с0 этого пространства.
5) Пространство 1р(р^ 1) состоит из всех последовательностей х= (|,) веще-
, «
етвенных чисел, для которых V | £, |р<; + о°. а расстояние в нем определяется по
*=1
формуле
_1_
Р <*.*) = (f I 6,-4,1") "•
Прн рассмотрении различных вопросов в этом пространстве часто используются
классические неравенства Гельдера и Минковского (см. гл. 1, § 4, пример 5).
Можно показать, что последовательность (ад = ((ij"')) с /р сходится к
элементу х = (5 ) тогда и только тогда, когда:
а) 6*"' -*■ 6, при п -*■ со для всех /;
со
6) для любого е > 0 существует такое число /в, что V | ££*> |р <с ер при
/ ^ /0 и всех п.
Счетное множество элементов вида (г1г г,, ..., /•„, 0, 0, ...), где г, — произвольные
рациональные числа, an — произвольное натуральное число, образует в 1Р всюду
плотное множество. Следовательно, 1р — сепарабельное пространство.
б) Пространство s всех числовых последовательностей. Метрику в нем
определяет функция
f 16,-4,1
Р (*, у) = \ — ,
,±j 2'<1+|Ь,-Ч,|)
а сходимость в s — покоординатная (но, вообще говоря, неравномерная
относительно номеров координат).
Это пространство сепарабельно, в качестве счетного всюду плотного в нем
множества можно также взять множество элементов вида (/j, г2, ..., /■„, 0, 0, .„), где г, —
произвольные рациональные числа, ал — любые натуральные числа.
7) Пространство С [а; Ь] всех непрерывных действительных функций,
определенных на сегменте [а; Ь], с расстоянием
р(х, у)= max \x(f) — y(t)\.
t€la;b]
Пространство С [а; Ь] сепарабельно, так как всюду плотное множество в нем
образует счетная совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами.
Сходимость в этом пространстве есть равномерная сходимость на отрезке [а; Ь\.
Иногда рассматривают и пространство С (—оо; +оо), элементами которого
являются непрерывные и ограниченные на всей числовой прямой функции. Расстояние
в нем епределяется аналогичной формулой
р (х, у) = sup | х (0 — у (/) |.
102

8) Пространство Lp[a; b]. Рассмотрим множество всех измеримых по ^рбету
на {а; Ь] функций х (/), для которых
Ь
С|*(0|р*< + ~.
и положим
Р(*. *) = ($ |xW-*Wr"dt
(здесь р ;> 1 — некоторое положительное число).
В этом пространстве функции, совпадающие друг с другом почти всюду,
отождествляются.
Аксиома треугольника следует здесь из известного неравенства Минковского для
интегралов
— J. —
Ь \р/Ь \р/Ь \р
l\x(t) + y(f)\pdt\ <П|*(0|рИ +ПЫ0ГЛ) i
а последовательность (хп) с Lp [а; Ь] сходится к х £ Lp [а; Ь] тогда н только тогда,
когда
ь
§\xn(f)-x(t)\>'dt-+0
а
прн п -гоо. Эта сходимость называется сходимостью в среднем с показателем р.
Как и в пространстве С [а\ о], множество многочленов с рациональными
коэффициентами всюду плотно в Lp[a; b], т. е. это пространство сепарабельно.
Замечание. Мы ограничились рассмотрением только пространства Lp [а; Ь].
Более общие пространства LP(A, ц) детально изучены в гл. 1, § 4.
9) Пространств» М [а; Ь] всех ограниченных измеримых на [а; Ь] функций. Пусть
a (/) — измеримая по Лебегу на [а; Ь] функция. Через 'ё обозначим класс всех
множеств Е меры нуль, лежащих в [а; Ь], и рассмотрим на ^ следующую функцию:
0(E) = sup а (/).
1<аЬ]\Е ,
Пусть р0 = mf а (Е). Число р0 называется существенным максимумом функции
ЕеЪ
a (t) на [а; Ь] и обозначается
vrai maxa (О = min {sup a (0}.
Ia;b1 Eeg la;b)\E
Пусть M [a; 6] — множество всех измеримых на [a; b] функций, существенные
максимумы которых конечны, причем две функции из этого множества считаются
тождественными, если онн почти всюду равны. Положим р (х, у) = vrai max \х (t) —
— у (t) |. Сходимость в М [а; Ь] есть равномерная сходимость почти всюду.
10) Пространство S [а; Ь] сходимости по мере. Это — совокупность всех
измеримых по Лебегу на [а; Ь] функций. Две функции, совпадающие почти всюду,
также считаются тождественными. Метрика вводится равенством
/ » f 1*(о-у(01 J;
РЕ'»»-] 1 + |,(0-,И| *'
а
а сходимость в нем есть сходимость по мера,
7 0-74

11) Пространство Ац состоит нз всех однозначных и аналитических в круге
I г | < R (0 < R ^ +оэ) функций, а метрика определяется функцией
м max | х (г) — у (г) |
у _1_ W<rk -
Г1, 2* ' 1+ max \х(г)—у(г)\ '
где /> — некоторая монотонно возрастающая к R последовательность
неотрицательных чисел. Последовательность (хп) сходится в этом пространстве к х, если хп (г)
сходится к х (г) равномерно на каждом компактном (т. е. ограниченном и замкнутом)
множестве точек круга | z | < R.
7. Полные пространства. Последовательность (хп) элементов метрического
пространства X называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если для любого
числа 8 >■ 0 найдется номер па такой, что р (хп, хт) < 8 при всех п, m ^ гц.
Ясно, что каждая сходящаяся последовательность является в то же время
фундаментальной.
Если в метрическом пространстве X любая фундаментальная последовательность
сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства, то
пространство X называется полным. Полные метрические пространства называют
иногда еще пространствами Фреше.
Если метрики pt и ра топологически эквивалентны, то пространства (X, рх) и (X,
р2) одновременно либо полны, либо нет.
Возвращаясь к приведенным в п. 6 примерам метрических пространств, отметим,
что пространства О?", С [а; Ь], т, с, М [a; b\, Lp [а; Ь\ {р ;> 1), /р (р > 1), AR
являются полными.
Пусть Х0 — некоторое метрическое пространство, не являющееся полным, т. е.
в этом пространстве имеется фундаментальная последовательность, не имеющая в Х0
предела. Рассмотрим всевозможные последовательности (хп), (уп), (г„), ...,
составленные из элементов пространства Х„ и сходящиеся в себе. Отнесем к одному
классу любые две такие последовательности (хп) и (хп), что р0 (хп, х^-^О при п -><х>.
Эти классы х примем за элементы нового пространства X и положим р (х, у) =
•= Игл р„ (хп, уп). Нетрудно проверить, что указанный предел всегда существует и не
л-+оо
8ависит от выбора последовательностей (*„) и (у„) в соответствующих классах.
Поскольку введенное в X расстояние удовлетворяет аксиомам метрики, то X —
метрическое пространство. Кроме того, оно полно и всюду в дальнейшем будет
называться пополнением пространства Х0.
Нетрудно видеть, что Х0 — всюду плотное подмножество X. Иными словами,
пополнение метрического пространства Х0 — это полное метрическое пространство,
содержащее Х0 в качестве всюду плотного подмножества.
Всякое метрическое пространство имеет пополнение. Все пополнения одного й"
того же метрического пространства изометричны (см. п. 9) между собой.
Отметим, что процесс пополнения метрических пространств напоминает
известный из курса математического анализа процесс пополнения множества рациональных
чисел к множеству всех вещественных чисел. Кроме того, справедлив и аналог
леммы о вложенных промежутках.
Теорема 7. Пусть в полном метрическом пространстве X дана
последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю.
Тогда существует и притом только одна точка, принадлежащая этим шарам.
Эта теорема допускает известное обобщение и на тот случай, когда замкнутые
шары заменить произвольными замкнутыми множествами, диаметры которых
стремятся к нулю. При этом под диаметром ограниченного множества F метрического
пространства X понимаем число diam F = sup р (х, у).
Оказывается, что теорема о вложенных шарах является естественной
характеристикой полных метрических пространств.
Теорема 8. Если в метрическом пространстве X любая последовательность
вложенных друг в друга замкнутых шаров, диаметры которых стремятся к нулю, имеет
непустое пересечение, то пространство X полное.
194

Приведем еще одну характеристику полных метрических пространств.
Напомним, что множеством называется множеством первой категории, если оно может быть
представлено в виде объединения не более чем счетного числа нигде не плотных
множеств. Множество, не являющееся множеством первой категории, называется
множеством второй категории.
Теорема 9 (Бэр а). Полное метрическое пространство есть множество второй
категории.
8. Компактные множества. К сожалению, в современной математической
литературе имеется некоторый «разнобой» в определениях компактных множеств и
соответствующей терминологии. Имея в виду (для наглядности) примеры интервала (а; Ь)
и отрезка [а; Ь] числовой оси, мы будем всюду в дальнейшем придерживаться
следующих интуитивно понятных определений.
Множество К метрического пространства X называется компактным, если
всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся
подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат К, то
множество К называется компактным в себе (как отрезок [а; Ь]); если же эти
пределы принадлежат X, не принадлежа, возможно, множеству К, то К называется
компактным в пространстве X или относительно пространства X (как интервал (а; Ь) на
прямой 0?). Таким образом, здесь происходит перенесение в общие условия
существа леммы Больцано — Вейерштрасса — одного из самых известных предложений
теории действительных чисел.
Ясно, что множество К компактно в себе тогда и только тогда, когда оно
компактно в X и замкнуто.
Если, в частности, каждое бесконечное подмножество пространства X содержит
сходящуюся к некоторому элементу из X последовательность, то пространство X
называется компактным. Компактное метрическое пространство называют также кoм^
пактом. Компакт есть полное метрическое пространство.
Приведем критерии компактности множеств в общем случае и в случае
некоторых специальных метрических пространств, важных в приложениях. Однако сперва
договоримся называть некоторое множество N метрического пространства X 8-сетью
для множества М того же пространства (возможно, что М = X), если для любой
точки х g М найдется такая точка хЕ £ N, что р (х, хг) < г. Те множества, для которых
существует конечная е-сеть, называются вполне ограниченными.
Теорема 10 (критерий компактности Хаусдорфа). Для
компактности множества М метрического пространства X необходимо, а в случае
полноты X и достаточно, чтобы для любого г > 0 существовала конечная е-сеть для
множества М.
Следствие 2. Компактное пространство сепарабельно. >
Следствие 3. Компактное множество метрического пространства ограничено.
Систему (Gj открытых множеств пространства X назовем покрытием множества
М а X, если каждая точка х £ М принадлежит хотя бы одному из множеств Ga этой
системы.
■ Теорема 11. Для того чтобы замкнутое множество F метрического
пространства X было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия
этого множества можно было выделить конечное покрытие.
Теорема 1Z (А р ц е л а). Для компактности множества К с С [а; 6]
необходимо и достаточно, чтобы функции х (t) £ К были равномерно ограничены и
равностепенно непрерывны.
Равномерная ограниченность означает существование такой константы Ц > О,
что | х (t) | < р, (t £ [а; Ь]) для всех х (t) £ К (т е. ограниченность множества К в
пространстве С [а; Ь]), а равностепенная непрерывность означает, что для всякого в >
> 0 существует б > 0 такое, что | х (tx) — х (t2) | < fe для любых tlt /2 £ [а; Ь] при
I 'i — h I < б и Для любой функции х (t) £ К.
Теорема 13. Для компактности множества К в С (—со; +сс) необходимо и
достаточно, чтобы функции х (t) (Е К были равномерно ограничены и для каждого е > О
существовало покрытие оси (—со; +со) конечным числом открытых множеств, в
каждом из которых колебание любой функции х (t) £ К меньше г.
Теорема 14 (критерий А. Н. Колмогорова). Для компактности
множества К с: Lp [а; Ь] (р ^ 1) необходимо и достаточно, чтобы это множество
было ограничено в Lp [а; о) и для любого г >. О существовало б > 0 такое, что при h < б
195

для любой функции х (0 £ К расстЬяние р (х, х^), где
t+h
4i(0=-57- \ *оо*.
было меньшим г (вне отрезка [а; Ь] функция х (/) считается равной нулю).
Теорема 15 (критерий Р и с с а). Множество KcLf [а; Ь) {р ^ 1)
компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в Lp [а; Ь] и для любого г > О
существует такое б > О, что
ь
j|x(< + A)—х(0|рЛ<е
а
при | А | < 6.
Теорема 16. Для компактности множества К сг /р необходимо и достаточно,
чтобы К было ограниченным и для произвольного е > О существовал номер пй такой,
что для всех к = (£„) £ К выполнялось неравенство V | | |р < 8,
!=пс
Теорема 17 (М о н т е л я). Для того чтобы множество КсД„ было
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным внутри кру-
га\г \ <. R, т.е. для любого замкнутого множества F точек этого круга существовала
такая положительная постоянная ц, что каждая функция / £ К удовлетворяет во всех
точках множества F неравенству \ f (г) | ^ ц,
9. Непрерывные отображения метрических пространств. Пусть (X, Pj) и (Y, р2) —
два метрических пространства и / — некоторое отображение X в Y, т. е. каждому
элементу х£ X ставится в соответствие некоторый элемент у — f (х) из Y (в дальнейшем
такие отображения называются операторами). Это отображение называется
непрерывным в точке х0 £ X, если
Ve>0 36>0 V*£X:Pl(*, *0)< 6^ р2 (/(*), /(*„))< е.
Если отображение / непрерывно во всех точках пространства X, то его называют
непрерывным на X,
Понятие непрерывности отображения / метрического пространства X в
метрическое пространство Y равносильно следующему: отображение / непрерывно в точке
«о С X тогда и только тогда, когда для любой последовательности (хп) с X,
сходящейся к хй, последовательность (/ (*„)) сходится к / (х0).
Нетрудно видеть также, что непрерывный образ компакта есть компакт.
Заметим, что если X и Y — числовые множества, то приведенное определение
совпадает с известным из курса математического анализа определением
непрерывности функции.
В том случае, когда отображение / пространства X на пространство Y взаимно
однозначно, существует обратное отображение х = f (у) пространства Y на X.
Если / —взаимно непрерывно (т. е. непрерывны / и f ), то оно называется гомеоморф-
ным отображением или гомеоморфизмом, а соответствующие пространства X и Y —
гомеоморфными.
Взаимно однозначное отображение / метрического пространства (X, pt) на
пространство (Y, р2) является изометрическим, если р2 (/ (д^), / (х2)) = рг (xlt х2) для
любых хг, xt £ X. Пространства X и Y, между которыми можно установить
изометрическое отображение, называются изометрическими между собой.
Многие из известных теорем о непрерывных функциях, заданных на R, можно
распространить и на функции / : X -*■ О?, где X — метрическое пространство (такие
отображения f будут называться в дальнейшем функционалами). Например,
справедливо следующее утверждение, которое является обобщением теорем Вейерштрасса.
Теорема 18. Пусть К — компактное в себе множество метрического
пространства X uf — непрерывное отображение X в R. Тогда:
1) функция f ограничена на К;
2) функция f достигает на К своих точных верхней и нижней границ.
106

Теорема 19 (Кантора). Всякая непрерывная функция f, определенная на
компакте К, равномерно непрерывна на нем, т. е. для любого е > 0 можно найти
такое б > 0, что из р (х, у) < б (х, у £ К) следует \ f (х) — f (у) \ < &.
10. Принцип сжимающих отображений. Пусть X — метрическое пространство,
й А — некоторое отображение пространства X в себя. Оно называется сжимающим,
если существует такое число а <. 1. что для любых двух точек х, у £ X выполняется
неравенство р (Ах, Ay) ^ ар (х, у).
Теорема 20 (принцип сжимающих отображений). Всякое
сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве X, имеет
одну и только одну неподвижную точку х* (т. е. уравнение Ах = х имеет одно и
только одно решение х*).
Неподвижная точка х* может быть найдена как предел последовательности (хя),
определяемой рекуррентным соотношением хп =Апхй, где ха — произвольная
фиксированная точка на X, причем для л-го приближения хп справедлива оценка
Р (хп, **) < ——— р (ха, Ах0) (п = 1. 2. ...).
Принцип сжимающих отображений, доказанный впервые С. Банахом, имеет
многочисленные приложения. Рассмотрим некоторые из них.
л
Теорема 21. Если матрица (at/)",=l такова, что ^] | aJ;. | < У для всех i,
то система уравнений
п
if — 52 alfel = bO ' = 1. 2, ... , я,
имеет единственное решение.
Это утверждение является простым следствием теоремы 20, примененной к
отображению А пространства R" в себя (р0 (х, у) = max | %, —т]£ |; см. п, 6), опреде-
[
п
ляемому с помощью равенств А (££) = (r\t), где r\t = V а,-у|, + bt, i = 1, 2, ..., я.
/=i
Теорема 22. Пусть k (t, s) — действительная функция, определенная и ив-
меримая в квадрате a^t, s ^b и такая, что
Ь ь
£ \&(U s) dtds< + оо.
а а
и пусть f (/) € L» [а; ft). Тогда интегральное уравнение
ь
* W = /(/) + A. j fttf. s)x(s) ds
a
имеет при каждом достаточно малом знамении параметра к единственное решение
х (t) 6 L2 [a; b]. Это решение можнр найти с помощью метода последовательных
приближений.
Теорема 23 (П и к а р а). Пусть1 дано дифференциальное уравнение у' = f (х, у)
с начальным условием у (хй) = ув, причем функция f определена и непрерывна в
некоторой плоской области G, содержащей точку (ха, уй), и удовлетворяет условию Липшица
по у
I / (х. Уд — f(x,yi)\*£C\y1 — y2\ (С = const).
Тогда на некотором сегменте \х — х„ | ^ d существует, и притом только одно,
решение у = ф (х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Эта теорема обобщается и на случай системы дифференциальных уравнений.
Общая теория нирнчмкм пространств изложена в [16; 20; 26].
Iff

Примеры решения задач
1. Пусть X — произвольное множество, а отображение pt! X х
X X -»- IR удовлетворяет условиям:
1) pt (х, у) = 0 о х = у (аксиома тождества);
2) Pi (х. у) <; Pi (х, г) + р! (у, г), V х, у, z g X (неравенство
треугольника).
Доказать, что функция pt определяет метрику в X.
Решение. Пусть в условии 2) у = х. Тогда
2р! (х, г) > р! (х, х) = 0 (V х, z € X),
». е. функция рх неотрицательна.
Из неравенства треугольника при г — х следует (с учетом аксиомы
тождества), что
Pi (х, у) >Pi(y, х).
Поскольку последнее неравенство верно для любой пары элементов
х, у € X, то справедливо и неравенство
Pi (#>*)> Pi (*>!/)>
». с. Pi (*, у) = Pi (#, *). Утверждение доказано.
2. Проверить, что пространство Ац всех однозначных и
аналитических в круге | г | < /? (О < # ^ оо) функций с расстоянием
о» max | х (г) — у (г) \
Р (X, у) - 2j 2ft • i+ „их \Х(г)-у(г)\ '
где rk — монотонно возрастающая к R последовательность
положительных чисел, является метрическим.
Решение. Аксиома тождества в этом случае равносильна тому, что
max \ х (z) — у (z) | = О (V k ;> 0). Следовательно, из совпадения
функций х (z) и у (г) на каждом замкнутом круге | г | jgC rk по теореме
единственности для аналитических функций следует, что х (z) s= у (г)
(Vz; \z\<R).
Поскольку, далее, аксиома симметрии очевидна, то остановимся
ва проверке аксиомы треугольника. Пусть х, у, и — произвольные
элементы пространства А «. Так как в произвольной точке z; | z | < R
\х(г)- у (z)|<|*(*)- и(2)| + |и(г)- у (г)\,
то, очевидно, и
max | х (г) — у (г) | ^ max | х (г) — и (г) | + max | и (z) — у (г) |
И«'* \z\^rk [t\^rk
при любом k ~^> 0.
1S8

Поскольку функция <p(f) = . монотонно возрастает для *>0
(ибо ф' (f) = (1 . „4 > 0), то при любом k^ 0
max | х (г) — у (г) | max | х (г) — и (г) | + max | и (г) — у (г) \
1 + max \х(г) — у (г) | ^- 1 + max | х (г) — и (г) | + max | и (г) — у (г) \
max |х (г) — и (г) | max \и(г) —у (г) |
** 1 + max | * (г) — и (*) | "*" 1 + max | и (г) — у (г) | "
Поэтому р (х, у) < р (д:, и) + р (и, «/).
3. Пусть / — непрерывно дифференцируемая на IR+ = {х g Ц i
I д: > 0} функция, удовлетворяющая условиям: а) / (0) = 0 и / (д:) ;> 0
для х > 0; б) / (л:) не убывает при д: ^ 0; в) '-^ не возрастает при х >■
>■ 0. Доказать, что функция р (д:, у) = / (| х — у \) определяет
метрику в ]R.
Решение. Выполнение двух первых аксиом метрики очевидно. Для
проверки аксиомы треугольника в силу условия б) достаточно
показать, что для произвольных а ;> Ъ > 0 (случай Ь = 0 тривиален)
выполняется неравенство / {а + Ь) ^ / (а) + / (Ь). С этой целью
положим
<р(а, &) = /(а) +/(&)- f(a+ b)= f(b)-[f (a + b)-f(a)]
и покажем, что <р (a, b) ^ 0. Воспользуемся для этого теоремой Лаг-
ранжа о конечных приращениях для функции / (д:) на отрезке [а; а +
+ Ы:
f(a + b)-f(a)=bf'(l), a<l<a + b.
Поэтому
Ф(a, b) = f(b)-bf'(l).
Поскольку по условию в) дифференцируемая при х > 0 функция
'( не возрастает, то ( 1 ^0, т. е.
xf(x)-f(x) <Q
f ix\
Отсюда следует неравенство /' (х) ^ ' (д:>0), и поэтому
Ф(а, b)>f(b)-b-Lf-.
Поскольку в<|, то, в силу условия в), } ^ ■ Значит,
199

Используя еще раз условие в), приходим к неравенству
af (Ь) — bf (а) > О
(так как а ^ Ь) и тем самым к тому, что <р (a, b) ^ 0.
Замечание. Условия а) — в) выполняются, например, для функции / (х) ■
•■ arctg х и поэтому формулой
Р (*> У) = arctg | х — у |
определяется метрика в R.
4. Пусть X — множество всех алгебраических многочленов степе
ни п на отрезке [0; 1], и если
P(t)=t a/, a Q(f) = t P/i
*=о *=о
та
p1(^,Q) = max|/'(0-Q(0|,
<€[0;11
Доказать, что эти две метрики топологически эквивалентны.
Решение. Пусть
Тогда
Pl(/>, Q) = max |g(0|<S |T*| = р,(Л Q).
<e[o;i] *=ю
Возьмем теперь на отрезке [0; 1] точки *0 •< tt <; ... < tf„ и
рассмотрим систему п -f 1 уравнений с п -f- 1 неизвестными
Е Vkt$ = g(td (i = o, 1 п>.
fc=0
Определитель этой системы (определитель Вандермонда) отличен
п
•т нуля и поэтому Y*=S Ckig(ti) (k = 0, 1 п), где числа с*<
зависят от выбранных точек t{, но не зависят от полинома g (t). Поэтому
Р,(Л0)=1!Ы<Х1 t\cu\-Pi(P,Q)
и утверждение доказано.
5. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве
В (х0, г) cz В [хв, г]. Привести примеры метрических пространств,
в которых В (х0, г) =Ф В [х0, г].
200

Решение. Пусть х £ В (x0t г). Тогда х = lim xnt где хп £ В (х0, г),
п-*оо
и Р (х, х0) < р (х, хп) + р (.*„, х0) < р (х, хп) + г. Переходя здесь к
пределу при п -»- во, получаем, что р (х, х0) <! г, т. е. что х £ В [х0, г].
Приведем пример метрического пространства, в котором
В (х0, г) Ф В [х0, г]. Пусть X — произвольное множество, содержащее
более одной точки, и (X, р) — метрическое пространство (см. п. 6)
с метрикой
ГО, х=у,
Тогда для произвольной точки *0 g X имеем В (х0, 1) = В (х0, 1) =
«= {х0), а В [х0, I] = X. Следовательно, В (х0, 1) Ф В [х„, 1].
Для многих классических пространств, рассмотренных в п. 6,
равенство В (х0, г) = В [х0, г] справедливо. Проверим его для
пространства С [а; Ь].
Пусть х$В[х9, г] и хпЩ =(l y)x(fj + -^x0(f). Так как
9 (*». JO = max | xQ (Q — хп (f) | < г 11 — —) < г
при каждом фиксированном n € (¾). то последовательность (х„ (ф
принадлежит В (х0, г). Кроме того, она, очевидно, равномерно на
fa; b) стремится к х (/). Значит, х £ В (х0, г) и В [х0, г] с: В (х0, г).
Учитывая доказанное ранее включение В (х0, г) с. В [х0, г],
приходим к выводу, что в пространстве С [а; Ь] искомое соотношение
действительно справедливо.
6. Построить метрическое пространство (X, р) и в нем замкнутые
шары Вх lxlt гг] и В2 [х2, г2] так, что Вх с: В2, а тх > г2.
Решение. Пусть (X, р) — метрическое пространство, состоящее
из всех точек (х, у) круга х* + у2 < 9, с обычной евклидовой
метрикой. Положим В2 s X, а
fli = S2n {(*, у): (х - 2)2 + У% < 16).
Тогда Bi cz В2, /"i = 4, г2 = 3 и тх > г2.
7. Доказать, что множество £ всех непрерывных на отрезке [0; 1]
функций, удовлетворяющих неравенствам А < х (t) < В (А, В —
фиксированные числа), является открытым множеством.
Решение. Пусть х (t) £ Е. Положим a = inf х (f), f> = sup x (t).
'e[0;il i€[o:i]
Ясно, что a > А, ибо в противном случае (т. е. при a = А) нашлась
бы по теореме Вейерштрасса такая точШ /0 £ [0; 1], для которой
х (t0) = a = А, что невозможно (по определению множества Е).
Аналогично доказывается неравенство Р < В.
Пусть е = min (a — А, В — 0). Тогда каждая функция Y (0.
удовлетворяющая неравенствам х (0 — е < у (0 < х (0 + е (V < £
% [0; П), принадлежит множеству £. Совокупность таких функций
f (i) образует е-окрестность функции х (i): р (х, у) < е. Значит, каж-
201

дая функция х (f) принадлежит множеству Е вместе с некоторой своей
окрестностью и, тем самым, Е — открытое множество.
8. 1) Доказать, что для произвольных множеств М и N в
метрическом пространстве X
р (М, N) = inf р (х, N) = inf р (М, у).
*€М yeN
2) Построить пример непустых и непересекающихся замкнутых
множеств, расстояние между которыми равно нулю.
Решение. 1) Покажем сперва, что для произвольной ограниченной
снизу функции /, определенной на произведении М х N = {(х, у):
: х £ ?А, у £ N} произвольных множеств М и N, справедливо
соотношение
inf / (дс, У) = inf (inf f(x, у)) = inf (inf f(x, у)).
*ем хе1л j/£N yeN *ем
yeN
Действительно, поскольку inf f (х, у) <; inf f(x, у) для произволь-
*ем yeN
yeN
ного х£ М, то inf f(x, у) <; inf (inf f(x, у)).
yeN
» Далее, для каждого е>0 существует пара (хг, уе) такая, что
/ (*е. Уе) < inf / (х, у) + б. Так как
y€N
inf (inf f (x, у)) ^ inf f (xt, y) < f (xe, yB),
*ем yeN yeN
те inf (inf f(x, y)) <! inf f(x, у) +e. Отсюда, ввиду произвольности з,
х£1Л i/eN х€М
yeN
получаем, что
ini(inif(x,y))^\nif(x,y)
*€М y€N ж€М
уеы
н (с учетом предыдущего)
inf (inf / (jt, (/)) = rnif(x,y).
*ем yeN *£M
yeN
Аналогично доказывается и соотношение
inf (inf f(x, у)) = inif(x,y).
y£N x£M. *ем
yeN
Для получения утверждения рассматриваемого примера достаточна
положить / (х, у) = р (х, у).
2) На плоскости IR8 рассмотрим замкнутые множества М =
= {(х, Jf):j/ = 0)HN = {(х, у) : ху = 1}. Для них М fl N = 0,
но в то же время р (М, N) = 0.
£02

9. Через Сг [0; 2] обозначим пространство всех непрерывных на lOi
2] функций с метрикой, определяемой функцией
2
P{x,y) = l\x{fi-y®\dt.
о
Доказать, что Сх [0; 2] не является полным пространством.
Решение. Пусть
Ф„(0 =
1.
0</<1-^-,
я(1 —0, 1 £-<*<!,
0,
l<t<2.
Покажем, что последовательность (ф„ (0) фундаментальна в Ct [0;
2] (очевидно, что ф„ (f) £ Ct (0; 2] при каждом п £ ЭД), но она не
сходится в этом пространстве.
Действительно, если, например, п~> т, то
I —.
Р(ф»>Фш)- \ [i-m{i-t)]dt + (n-m) J (1-0Л.
m
/t — т ^. 1
2д/и ^* Ьп
Поэтому вообще р(ф„, Ф,пХ 2тЫ(п, т) ' 0ТКУда следует
фундаментальность рассматриваемой последовательности.
Пусть теперь/ — произвольная функция из Ci Ю; 2], л —
*W =
1, 0<*<1,
Воспользуемся очевидными неравенствами
2 12
0 0 0
(левое неравенство — следствие непрерывности функции / на [0; 2]).
2
Так как ] | ф„ (*) — i|) (*) | df =-* *" ° ПРИ п "*" ов> то величина
о
2
J 1/(0 — Фп(01^> совпадающая с р(ф„,/), стремиться к нулю прн
п ->- оо не может ни для одной функции / £ Ci Ю; 2]. Утверждение
доказано.
90s

10. Является ли сходящейся в метрическом пространстве X после
довательность точек х„ = (l\n>, gf lkn\ ...), если!
а) Х=/1) хп =[± 4"' °' °> -)'•
б) х=/4, *„=(4- 4-- °> °> •••)»
п*
в) х=/8> *„=(1,4-.«., 4-' °> °> •••)'
Решение, а) То, что хп £ /х при каждом п g j^, очевидно. Однако
последовательность (хп) не является сходящейся в пространстве llt
ибо она не является фундаментальной.
Действительно, при всех п g Щ
п 7а
Р(Х„, Х2п) = Ц 4" W + S 4" ™ L
А=1
*=я+1
б) Последовательность (хп) также не фундаментальна (в /2), так
как нетрудно проверить, что р2 (хп, х2п) = 1 (V п £ Rj).
в) В этом случае
п+р м
р*(х„, xn+f)= £ -4-< 2 -i--*"0
при и -»- оо и для всех р £ j^. Значит, последовательность (хп)
фундаментальна и, в силу полнеты пространства /3. она сходится в этом
пространстве.
11. Пусть па — множество всех таких числовых
последовательностей x=(lv £,, ...), что sup (ая(£„|)<+ оо (здесь а = (а„) - фик-
п
сированная последовательность положительных чисел), а р = (ft,) —
такая последовательность положительных чисел, что величина
L = sup |—2s_) конечна.
Определим метрику в па соотношением
р(х, #) = sup(p\,||„ — Т)„|).
п
Доказать, что пространство па является полным.
Решение. Пусть хк = (££') — некоторая фундаментальная в пл
последовательность, т. е. для любого е > 0 существует номер п0 такой,
что
" р(хк, хт) = sup (ft,11? - ST I) = L sup (a„| £<,*>- |Г |)<8
n n
при всех k, /л > /¾. Отсюда следует, что a„ | gj,ft) — $,"" | < -£-
(k, /п^л„) при каждом фиксированном п£№> т. «. последователь-
204

ность (|(„m))~=i фундаментальна в К. Значит (на основании критерия
Коши), существует уп = lim £„"".
Покажем, что последовательность у = (уп) принадлежит па. С этой
целью в неравенствах а,,/!*1' — £лт)|<-г- перейдем к пределу при
т -»- оо (при фиксированных п^и*> л0):
Тогда
«я I Y» I «£ «„ I En J~ Уп I + ап| £*Ч| < -г + SUP «« I ЕЙ"' !-*».< + «•,
т. е.y € па. Кроме того, лри£ ;> п0
р(*ь Y) - sup р„| Й*> - т„| = sup (-&- • а„| Е?»- Y«|) <i ■ -J- - «.
т. е. р (xk, у) ->- 0 при * -»- оо.
12. Показать, что пространство С0" (0; 1] всех непрерывно
дифференцируемых на [0; 1] функций с метрикой
р(х,у)= max \x(f)~ у (f)\
<€[0;l]
не является полным.
Решение- Первый способ. Рассмотрим функцию Вейершт-
расса
/(0= f akcos(b"nf),
3
где 0 <а< 1, a ft — целое нечетное число, причем ab > 1 + -к- я.
Из курса математического анализа известно, что / непрерывна на (0;
1 ] (как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций),
но ни в одной точке отрезка [0; 1] она не имеет производной. Это
означает, что последовательность частных сумм этого ряда (непрерывных
функций с непрерывными производными) сходится равномерно и
поэтому является фундаментальной в пространстве Со" Ю' И, но не
имеет в нем предела.
Второй способ. Пространство Со' [0; 1 ] не полно, ибо в против-
ном случае оно было бы замкнутым в С [0; 1]. Но поскольку
Со" [0; 1] = С (0; 1] (см. п. 6, пример 7), а С0" [0; 1] ф С [0; 1], то
сделанное предполбжение неправильно.
13. Доказать полноту пространства А^.
Решение. Пусть (хп (г)) — некоторая фундаментальная в AR
последовательность функций, т. е. для всякого е > 0существует п0 такое,
Что при всех п, т~^ п0
оо max | хп (г) — хт (г) |
Кхп> XJ — 2_. ок • , , тах i х ,г) _ х (z) | <. «•
о* 1 + та* | хп (г) — хт (г) \
MS

Отсюда следует, что последовательность (х„ (г)) равномерно
сходится на каждом круге | z | ^ rk (так как она удовлетворяет условиям
критерия Коши). То, что предельная функция х (z) аналитична в каждом
круге | z | ^ rk и не зависит от k, следует соответственно из теоремы
Вейерштрасса и теоремы единственности для аналитических функций,
а соотношение lim р (хп, х) = 0 получается путем почленного перехода
«-»00
к пределу под знаком суммы ряда
оо max | хп (г) — д: (z) |
9Кхя,х)- ^j • , max \Xn(2)_x(z)]
(ввиду его равномерной сходимости по п). Утверждение доказано.
14. Показать, что пространство С[—1; 1] является пополнением
пространства Р заданных на [—1; 1] алгебраических многочленов
п
Р (0 = X ак* с метрикой
p(p,q)= max | р (t) — q (t) \.
<e[-i:i]
Решение. Рассмотрим последовательность полиномов
Ее предел, функция е', не принадлежит Р, т. е. Р не является
полным пространством. Однако из аппроксимационной теоремы
Вейерштрасса следует, что пространство Р всюду плотно в полном
пространстве С [—1; 1]. Значит, С [—1; 1] можно рассматривать как пополнение
пространства Р.
15. Рассмотрим пространство 1°р, состоящее из всех финитных
последовательностей, т. е. из последовательностей •
х = (Si, Ъ2 Ь„ 0, 0, ...),
гдеА^ — некоторое натуральное число, и положим
р(*> */) = (£ №c-r\t\p+ £' КГ)".
если у = (т|х, Л» л*,> О, 0, ...) и k2 I> kx. Найти пополнение t°.
Решение. То, что 1% cz lp, очевидно. Однако это подпространство не
является полным, так как, например, последовательность хх = (1,
0,0, ...), ^ = (1,^-,0,0, ...) *л = (1,-5- ^г.о, 0,0,...), ...
фундаментальна
_i_
при т. п -v оо (т < л), но предела в пространстве f„ не имеет.
«06

Действительно, если%0 = (£х, |2 £*„ 0, 0, ...) ^ /° и р (хп, х0)
О при п -*■ оо, то из соотношения
1
р (*«. *о) = (2 ^ —А-| + 2 ^,
(записанного для больших п) мы пришли бы к абсурдному
заключению
IZ 2 is—о-
Обозначим пополнение пространства 1% через X. Поскольку,
очевидно, 1р лежит плотно в полном пространстве 1Р, то X изометрич-
но 1Р.
16. а) Введем в пространстве IR ограниченную метрику р (х, у) =
~ 1 ?\~_ и положим Fn = In; + оо), п = 1, 2 Тогда каж-
оо
дое множество Fn ограничено и замкнуто, a f) ?п = Ф-
л=1
Подобный пример невозможен в конечномерном евклидовом
пространстве с обычной евклидовой метрикой, поскольку там всякая
убывающая последовательность непустых компактных множеств имеет
непустое пересечение.
б) Рассмотрим пространство (ЭД, р) натуральных чисел с метрикой
( 1 + —
р(т,п)=\ т + п
[О, т = п,
и пусть Вп = \т : р(т, п) < 1 -f -gj-}33 {п, п+1, ...} для п =
= 1,2 Тогда (Вп) — последовательность непустых замкнутых
шаров с пустым пересечением в полном метрическом пространстве Щ,
р). Полнота пространства (|^, р) следует из того, что в нем каждая
фундаментальная последовательность (хп) является «почти
постоянной», т. е. хп = хт для всех достаточно больших пит.
Этот пример представляет интерес в связи с теоремой Бэра,
эквивалентной тому, что пересечение счетного множества открытых всюду
плотных множеств в полном метрическом пространстве всюду плотно.
При доказательстве этой теоремы строится убывающая
последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, а
потому она имеет непустое пересечение. Таким образом, если шары
уменьшаются, то они должны иметь общую точку. В противном случае
такая точка может и не существовать.
17. 1) Пусть М — множество непрерывных на [0; 1] функций
таких, что | х (t) J ^ 1 (t £ [0; 1]). Доказать, что М не является
относительно компактным множеством в С [0; 1]. 2) Доказать, что множество
М' непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций, для которых
| х' (О I <! 1 У € 10; И) и х (0) = а, относительно компактно в СЮ;
207

1]. 3) Пусть М0 — множество всех непрерывных на (0; 1] функций,
удовлетворяющих условиям: \ х (t) |<; 1 (t £ [0; \]),х (0) = 0и% (1) =
= 1. Является ли оно компактным?
Решение. 1) Очевидно, функции x„(t) = sin 2nnt (п = 1, 2, ...)
принадлежат множеству М, а последовательность (хя (/)) не сходится
в С [0; 1], ибо при k > п
р (*„, %,) = tsup | %„ (/) - xk (t) I > |*„ (-~-) - *t (-JL-) I = 1.
2) Представим произвольную функцию x (t) £ M'в виде
t
x (t) = a + j %' (x) dx.
о
Отсюда следует, что | x (/) | <! | a | + 1. Кроме тпго,
l*ft)-*WI =
<K-/ll-
J *' (т) dx
(,
Полученные неравенства убеждают нас в том, что функцни множества
М' равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Далее
остается воспользоваться теоремой Арцела.
3) Рассмотрим функцию / : С [0; 1] -»- IR, полагав
1
f(x) = $x*(f)dt (Ух£С[0; 1]).
о
Заметим, что / (х) ^ 0 при всех х £ С [0; 1]. Предположим, далее,
что М0 — компактное множество. Тогда по теореме Вейерштрасса
существует такой элемент хй, х0 £ М0, что f (х0) — минимальное значение
f на Mo. Положим хп (t) = f (t £ [0; 1], n £ Щ). Поскольку x„ £ M0 (n £
€ Ш, f (**) = 2n+'i ""*" ° (при n ~+ °°*' T0' очевиДно. f (*o) = 0> т. e.
I
f x\ (0 dt = 0, а, значит, x0 (t) s 0. Но эта функция множеству Me
не принадлежит. Следовательно, данное .множество М0 не является
компактным.
18. Доказать, что параллелепипед П = !х = (£„) £ lt: ||„ | ^——1
является относительно компактным множеством в 1г.
Решение- Покажем, что П — вполне ограниченное множество,
т. е. для любого е > 0 для П существует конечная е-сеть.
Пусть е > 0 задано. Выбрав и зафиксировав п так, чтобы выполня-
1 8
лось неравенство —— < -у, каждой точке х = (£„) £ П сопоставим
точку х° = (li £„, 0, 0, ...) £ П. Тогда
'**-(xaF*(l*F-w<-±-<+.
toe

Поскольку множество П0 всех точек х° из П вполне ограничено (как
ограниченное множество в л-мерном пространстве), то для П0
существует конечная -^--аеть. Она будет и конечной е-сетьюдля П. *
19. Доказать.что множество R всех многочленов всюду плотно
в пространстве С(*} [а; Ь\ всех k раз непрерывно дифференцируемых
функций с метрикой
р (%,#) = £ шм|*<'>Ю-0«>(<)|.
Решение. Доказательство проведем индукцией по k. Пусть k = 0.
Покажем всюду плотность R в С*0* [а; Ь\ ж С [а; Ь\. Для этого
достаточно проверить, что произвольный открытый шар В (%0, в) содержит
элемент из R. Но это утверждение является следствием из аппроксима-
ционной теоремы Вейерштрасса.
Пусть R всюду плотно в С**-1* [а; Ь]. Вожьмем произвольную
функцию х0 из С* [а; ft]. Тогда *е £ С**-0 [а; Я и, согласно допущению,
существует мвогочлен р (f) такой, что
Р<*-1Ч«*] <*• Р) = °J" I ** W — Р (01 +
+ max |д£ (*)-/>'(01 + •■• + max |xf (Q-/-'>(01< 6_}.щ •
t
Пусть />! (*) = х0 (а) + ) Р (т) dx. Тогда
а '
t '
*о (0 — *о (а) — f Р (t) dx
PcWteM (*о. Pi) = max
J <е[а;4]
+
„(*> /л „<*-•> ,
+ max ]x0(f) -p (t)\+ ... +тах|л;^(0-р( 'ЙИ
^ max
j (*o (т) — p (t)) dx
+
6 —a+ 1
(b — a) e
<(6-а)ти1*о(т)-р(т)|+ fr__°+1 < b_aal\ +r^+TBt
Следовательно, # =*= С**' [а; ft].
20. Пусть n0 — фиксированное натуральное число и L„, = [х =
-= (In) € 4 : In = 0 при п > п0}- Доказать, что множество L„„ нигде
не плотно в /8.
Решение. Покажем, что произвольный шар В (%<0>, г) в /2 содержит
в себе другой шар, в котором нет точек множества L„t.
Действительно, если в шаре В (xf°>, г) нет точек из Ln>, то
доказательство на этом завершается. Если хР> = (£,\\ ..., |„0\ 0, ...) £ L„0 и
*<'> £ В (дДО, г), то число тх = р (д^0), *<'>) такое, что гх < г. Возьмем
0 < е < г — ГхИ рассмотрим шар В (х^К е). Ясно, что В (xV\ е) с
209

<= В (х°, г), так как для всех х £ В (%<'), е) р (х, %<°>) < р (х, x<'>) +
+ р (*<'>, %<°>) < е + гг = г.
Рассмотрим теперь точку х<2) —ш^ —• ^o'-j- .0,0,...). Очевидно,
что х<2) £ L„0 и В (х<2\ ~) cz В (*<'>, е) с: В (%<0>, г), так как для
произвольного х6В(х<2>, -|) имеем р(*, %<») <р(*, %<2>) + р(х<2>, %<'>)<-J- + -| =
-= -т-е< е (следует учесть, чтор (*<2), *(I)) = -g" )■ Кроме того, в шаре
^(*<2>>~|~) нет точек из множества L„0, поскольку для
произвольного х=(11, |2, ..., £„,, 0, ...)££п0
p(^^)=(xi^-^i2+4)2>^->t--
Значит, множество L„e действительно нигде не плотно в 12.
21. Доказать, что: 1) пространство s всех числовых
последовательностей с метрикой р(*, у) = sup . I ? Г~ , не является сепа-
рабельным метрическим пространством; 2) пространство s с метрикой
оо
Р (*>{/)= X ^Г • li^T-li сепарабельно.
л=1
1 + |Ь.-л«1
Решение. 1) Рассмотрим множество £0,i последовательностей л; =
= (li> I2. -■•). элементы которых равны 0 или 1. Это множество
мощности континуум, так как между точками множества Е01 и точками
отрезка [0; 1] существует, как известно, взаимно однозначное
соответствие. Поскольку при х Ф у р (х, у) = -£- (х, у £ Е0,\), то отсюда
следует, что приблизить каждый элемент из £0,i элементами счетного
множества нельзя: множество шаров с центрами в точках множества
г? 1
c0,i и радиусов -5- является множеством мощности континуума,
причем эти шары не пересекаются. Если же некоторое множество В
плотно в s, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы
одну точку из этого множества. Значит, В не может быть счетным. Из
включения £0ji с: s следует, что s — несепарабельное пространство.
2) Пусть М — множество элементов (rv г2, ••., гп, 0, 0, ...),
где /у—произвольные рациональные числа, а п — произвольное
натуральное число. М — счетное множество. Покажем, что оно
всюду плотно в s. Для этого возьмем произвольный элемент х =
=* (in 5л ••'> £п> ■••)€$ и произвольное е>0. Пусть п такое,
У —г ! ! 11 | < -j- • Возьмем элемент *° = (rlt rv ...
что
..., /•„, 0, ...) таким, что £ ) %k — гк | < -у- (в силу плотности мно-
»1«
4-1

жества рациональных точек в R). Тогда
Значит, М = s.
22. Доказать, что если отображение А : X -»- X полного
метрического пространства X в себя такое, что при некотором п £Щ его
степень (п-я итерация) Ап является сжимающим отображением, то А
имеет и притом единственную неподвижную точку.
Решение, Пусть существует а : 0 < а < 1 такое, что р (Апх, Апу) ^
<[ ар (х, у). Тогда отображение Ап имеет единственную неподвижную
точку х*: Апх* = х*. Покажем, что** является также единственным
решением уравнения Ах = х.
Действительно,
р (**, Ах*) = р (А V, Ап (Ах*)) < ар (**, Ах*),
откуда следует, что р (х*, Ах*) = 0, т. е. Ах* = х*.
Если *! — другая неподвижная точка для А, то эта же точка
неподвижна и для Ап. Поэтому
р (х*, х{) = р (Апх*, Аак1) < ар (х*, хг).
Значит, *i = х*.
Пользуясь доказанным утверждением, проверяем, что уравнения
о
при каждом п g f^ имеют в пространствах С [0; а] лишь тривиальные
решения. Действительно, определим отображение (оператор) А : С [0|
а] ->- С [0; а] по формуле (Лф) (х) =« Г ф (f) d/. Для него
о
(ЛтФ) (х) = j (\~ТХ)Х Ф(0Л («€ И),
о
и поэтому при _2— <; 1 (р G И) оператор /4"* является сжимающим
(рл)|
отображением.
Пусть ф0 (х) — неподвижная точка отображения А", т. е. решение
данного уравнения. Из доказанного следует, что ф0 (х) является реше-
нием и уравнения f ф (t) dt = ф (X). Отсюда ф g С0' [0; а], <р (0) =- 6
о
и ф' (х) = ф (х). Значит, ф (х) ззз 0.
211

23. Пусть в полном метрическом пространстве X заданы два ежи-
мающих отображения А и В, причем
р (Ах, Ау) < а а? (х, у), р (Вх, By) < ав р (х, у).
Доказать, что если при всех х £ X р (Ах, Вх) < е (такие
отображения А и В называются е-близкими), то их неподвижные точки
находятся на расстоянии, не превосходящем т-^;—>гдеа = max (аА, ав) <
<1.
Решение. Пусть х* — неподвижная точка отображения А.
Неподвижную точку у* сжимающего отображения В построим как предел
последовательности yk = Вкх* (k — 0, 1, ...). Тогда
Р(**> Ук)<р(х*, Уд + р(У1> У2) + ••• +Р(Уь-1>УкХ
<р(**, Вх*)(1 + ав + ••• +ав Х~Ч—~—-.
откуда при k ->- се следует, что >
n/v* ,,«)< Р(**. Д**) _.. р(Ах*,Вх*) 8
Замечание. Из доказанного утверждения вытекает известная теорема •
непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальны»
условий: если уравнение у' = f (х, у) рассматривать на отрезке длиной меньш»
-j- , где К— постоянная из условия Липшица для функции / (х, у) (т. е. |/ (х, yL) —
К
— / (*. Уь) I < К | У\ — Уг\ ). то Для всякого 8 > 0 из неравенства \уа — уг | < «
следует
S] ' У° (Х) ~ У1 (Х) ' ^ 1-К(*-«)
(здесь через у.- (х) обозначено решение, удовлетворяющее начальному услови»
У, (*о) = #/■/ = 0,1)-
24. Доказать, что последовательность (*„) цепных дробей
2, 2+—, 2 -| j—, ...
2+т
является сходящейся, и найти ее предел.
Решение. Поскольку последовательность (хп) определяется и ре-
куррентно: xt = 2, хп — 2 + — (п ^ 2), то из соотношения
*я—1
*„=2 + Ц (л>3)
2 + —i_
*л—2
5 5 5
и оценок JCi^-g-, *2 ^s~2" слеДУет> что хп ^.-^- (Vn^l). Кроме
того, *„]>2 (п!> 1). Рассмотрим отображение f(x) =- 2 +— отрез-
•12

ка 2; -я- в себя. Оно является сжимающим, так как
1
Р (/(*). fU/))=\f(v)-f(x)\
х
< — \х—У\ =—Р(х,У)г
и поэтому имеет единственную неподвижную точку х*, причем х* ■=
= lim хп, где хп — f (хп-\) = 2 + — (п > 2), хх = 2. Решая урав-
Л-»ао Л—1
нение дс* = 2 Н j- . находим, что jc* = 1 + ]^2. Это число и
является пределом данной последовательности цепных дробей.
25. Пусть функция <р (s, и) двух вещественных переменных
определена в полосе П = {(s, и) £ JR2 : a ^. s ^. b, — оо < и < +оо},
непрерывна в П и имеет непрерывную производную по и,
удовлетворяющую условию: 0 < т <! у'и (s, ы) <!М < + °о ((а, ы) £ П).
Доказать, что существует единственная непрерывная на la; Ь] функция
и = х* (s), для которой ф (s, х* (s)) es 0 (s £ [а; Ы).
Решение. В пространстве С [а; Ь] рассмотрим оператор А : Л* =
2
-«г/, y(s)=*x(s) м . m ф (s, * (s)) (s £ [а; 6]). Это оператор сжатия,
ибо если у = Ах, у = .Л*, то, на основании теоремы Лагранжа о
конечных приращениях, для любого s £ [a; Ь]
*(<) — X(S)— M^.m [ф(Д, *(s)) — ф(8, x(s))] =»
2
М-
-m
\y(s)-y(s)\
= \x(s) — x(s)\ -|l — M + m <М*'8(Д))|< M + 'm ™*l*(s)—*(»)|>
"» тЙ-< '■
Следовательно, оператор Л имеет в пространстве С [а; Ь]
единственную неподвижную точку х*. Остается отметить, что соотношение х* ™
= Ах* равносильно соотношению ф (s, х* (s)) "ss 0 (s £ [fl"> ^1)-
26. Рассмотрим бесконечную систему линейных алгебраических
уравнений
m=l
Проверить, что".
оо оо
а) при выполнении условий a = sup £ | efm | < 1 и £ | а, | < + oa
она имеет единственное решежие х* = (*i, *j, . . .) такое, что-
б) если р = sup V | Gfm | < 1 и sup | а, | < +oo, то указанная сис-
' m=l '
тема имеет единственное решение ж* = (дс*( ^*,...) такое, что sup | я* | <С.
11»

Решение, а) В пространстве 1г с метрикой р(х, у) = ^ 1¾ — yt\
*—1
(здесь * =(**)> у—(уд) рассмотрим оператор Ах =у =*(уд, где
*/< = £ aimXm + at (i = 1, 2, .. .)•
ffK=l
Тогда для любого г = (zf) £ lt
р(Ах, Лг) = J]
i=i
j a,-m*m + Oi — 2 flfmZ,, — Of
m=l
m=l
2 Ofm (*m — Zm)
m—1
< S S l°"»11** — zmI<«P(*. 2)>
m=l i=l
т. e. A — сжимающее отображение пространства lt в себя. Далее
используем принцип сжимающих отображений в этом пространстве,
б) В этом случае аналогичное указанному выше отображение
следует рассмотреть в пространстве т всех ограниченных
последовательностей с метрикой р (х, у) = sup | хс — yt |. Тогда
р (Ах, Аг) = sup £ atmxm — £ а1ягп
I т=\
т=ж!
<Рр(Х, У).
27. Показать, что отображение
A:f(x)-^-^\jxtf(t)dt + \x
является сжимающим в пространстве С [0; 1], и иайти его
неподвижную точку/* (х).
Решение. То, что данное отображение является сжимающим,
вытекает из оценок
1
М/1-Л/*1 = Т
z /е[0;1]
о
Положим /0 (*) = 0. Тогда
M*)=^/o(*)=-Jr*!
о к '
fa(x)~Aft(x)*=(-§r+-lr+V)x' ••••
114

Поэтому /* (дс) = lim /„ (д:) = д:, т. е. эта функция является един-
етвенным в С [0; 1] решением интегрального уравнения
f(x) = ±-\xtf(t)dt +-§-*■
о
Замечание. Этот пример можно решить другим способом, учитывая что-
каждое решение данного уравнения необходимо имеет внд / (х) — сх (х £ К). Но
поскольку такие методы решения интегральных уравнений детально изучаются в
гл. 3, § 4, то мы на этом здесь не останавливаемся.
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве (X, р):
а) | р (х, г) — р (у, г) | <! р (х, у), V*. У, z € X (второе неравенство
треугольника);
б) | р (х, г) — р (у, и) К р (х, у) + р (z, и), V*, у, z, и 6 X (неравенство
четырехугольника).
2. Проверить выполнение аксиом метрики для пространств, приведенных в и. в.
3. Пусть на прямой R расстояние определяется формулой
р(х, у) =-=^==, (V,, у$Щ.
У 1 + х2 У 1 + у2
Проверить, что р действительно является метрикой.
4. Является лн метрическим пространством множество двумерных векторов,
если положить
р«*1, *i), fa, v*)) = (V\ *i - vi I + V\ x* - уг |)2?
6. Показать, что на множестве W натуральных чисел функции:
0, т — п,
1
1 Н , тфп,
т. + п
впределяют метрику.
в. Пусть X — множество всех точек окружности радиуса R с центром в начале
Координат. Примем за расстояние между двумя его точками длину кратчайшей дуги
окружности, их соединяющей. Является лн X метрическим пространством?
7. Является лн метрическим пространством множество X: а) всех прямых на
плоскости, если расстояние между двумя прямыми Ьг : х cos аг + у sin 0¾ — р1 = й
и Lj." х coaflCj + у sin а2 — ра = 0 определить формулой
р (Llt Ц) = | pt — рг | + | sin ах — sin а2 |;
б) тех прямых х cos а + у sin а — р = 0, для которых 0 ^ а < —- (с тем же
расстоянием)?
8. Пусть / (х) — дважды непрерывно дифференцируемая на R+ функция,
удовлетворяющая условиям: а) / (0) = 0 н / (х) > 0 при х > 0; б) / (х) не убывает;
в) Г Iх) =¾ 0 при х > 0. Доказать, что формулой р (х, у) = / (| х — у \) определяется
метрика в IR.
9. Пусть на множестве X определено расстояние р (х, у), причем (X, р) не
является метрическим пространством, а X» cz X. Может лн быть метрическим
пространством множество (Х0, р)?
10. Пусть х = ( —— ; -^-) , рх(*, у) = \х — у\ н р2(х, у) » | tgх — tgyU
Доказать, что метрики pj и ра эквивалентны.
815
а) р (т, п)
■п\
тп
б) р (т, п) =

11. Пусть С"1' [0; 1] — пространство всех функций, определенных на отрезке
|0; П И имеющих непрерывную п-ю производную (л е М). Доказать, что формулы
Pi(*. </) = £ max | *<*> (0-^(01,
*=о'€[0;1|
Pa (*, *) = £ max J W., l" ,
p, (*, y) = max max | *<*> (t) - j/*> (t) |
определяют в С(л) [0; I] топологически эквивалентные метрики.
12. Пусть Q [0; I] — метрическое пространство, состоящее нз всех
непрерывных на [0; I] функций, а
Р(*. У)= [\x(t)-y(t)\dt.
-I
Доказать, что метрики пространств С [0; 1] и С] [0; 1] не являются
эквивалентными.
Указание. Рассмотреть в этих пространствах последовательность функций
в/, 0</<-~,
<Pn W = \ 1
1, —<*<1.
я
13. Доказать, что: a) diam В [хв, /■] ^ 2г; б) diam М = diam М.
14. Доказать, что точка хв является точкой прикосновения (соответственно
-предельной точкой) множества М в метрическом пространстве X тогда и только
тогда, когда р (*„, М) = 0 (соответственно -р (х„, М \ {*„}) = 0).
15. Доказать, что замыкание всякого нигде не плотного множества также нигде
*е плотно.
16. Конечное множество М открыто в метрическом пространстве X тогда и
только тогда, когда каждая его точка является изолированной в X. Доказать это
утверждение.
17. Доказать, что: а) (М f] N)e = М° П №; б) если М <= N, то М» с N».
18. Пусть М — произвольное, а N — замкнутое множество метрического
пространства X. Проверить, что (М |J N)* = М° U №.
19. Доказать, что для произвольного множества М метрического пространства
справедливы включения: а) (М)° с М; б) М° с (М°)°, но равенства справедливы не
всегда.
, 20. Доказать, что замыкание М множества М совпадает с*пересечением всех
ламкнутых множеств, содержащих М.
21. Проверить, что для произвольных множеств М и N в метрическом
пространстве _
р (М, N) = р (М, N) = р (М, N) = р (Ж, N).
22. Показать, что если 0 Ф М а X, то для любых х, у £ (X, р)
| р (х, М) - р (у, М) | < р (х, у).
23. Пусть х0 (t) — фиксированная функция из С [а; 6]. Доказать, что
множестве {х (0 6 С [а; Ь] ■ х (t) < х0 (t)\ открыто в С [а; Ь].
24. Пусть k — фиксированная постоянная. Найти замыкание множества
(*W6C[a; 6] :|*W|<ft}.
25. Через М* обозначим множество всех функций х (<) нз С [а; Ь\,
удовлетворяющих условию Липшица с постоянной k.
\x{t)-x(tx)\<*k\t-tx\ <yt, tl£[a; b\).
Ш

Доказать, что М& совпадает с замыканием множества всех таких дифференцируемы*
на fa; Ь] функций, что \х' (t) | < k (t f fa," b]).
26. Доказать, что множество М = U М& всех функций, каждая из которых
удовлетворяет условию Липшица при«каком-лнбо k (см. задачу 25), не является
замкнутым, и найти его замыкание.
27. Найти замыкание множества всех многочленов в пространстве С [а; Ь\.
28. Доказать, что множество М с lt, состоящее из тех элементов х = (\t) g ltr.
для которых 0 < 5„ < —, замкнуто.
29. Доказать, что любое открытое множество метрического пространства может
быть представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств н что любое
замкнутое множество может быть представлено в виде счетного пересечения
открытых множеств.
30. Доказать полноту пространства са, элементами которого являются все те
последовательности х = (£„), для которых существует конечный предел lim ап\„.
п-ьоа
(здесь a = (a„) — фиксированная последовательность положительных чисел), с
метрикой
р(х, у) =sup(a„|£„ — т)„|).
п
31. Доказать полноту пространства та, элементами которого являются
всевозможные последовательности х = (£„), для которых sup а„ \ \п \ < оо (а = (а„) —
л
фиксированная последовательность положительных чисел), с метрикой
р (х, у) = sup (a„ 11„ — т)„ I )•
n
32. Доказать, что последовательность функций хп (<) = г" — г2" не является!
еходящейся в С [0; 1].
33. Проверить, что пространство С2 [а; Ь] всех непрерывных на [а; Ь\ функ-
(с V
ции с метрикой р(х, у) = ( I | х (t) — y(t)\3dt I не является полным.
Указание. В случае Cg [—1; 1J рассмотреть последовательность функций
-1, -1<*< ,
п
*п (0 =
1 1
nt, < t < ,
п п
1, -L<f<l.
п
34. Доказать, что пространство Q, (— оо, + со) определенных н непрерывных
на К функций, для которых lim х (t) = 0, с метрикой р (х, у) = sup \х (t) —у (t) |,
|<|-+<» *eiR
яиляется полным.
35. Введем на прямой R метрику по формуле р (х, у) = arctg | х—у \.
Является ли это пространство полным?
36. Пусть на К задана метрика р (х, у) = | arctg х — arctg у |. Докажите,
что полученное метрическое пространство не является полным, и найдите его
пополнение.
37. Доказать, что пространство всех многочленов, определенных на [0; 1], с че-
бышевской метрикой """
р{Р, Q) = m*x |/>(0-Q«)|
<€[в!1]
не полно, н найти его пополнение. ;
ИГ

38. Найти пополнение пространства Ср [0; 1], состоящего из непрерывных на
{0; 1] функций, с метрикой
р(*. y) = n\*(t)-y(t)\"
dt '
39. Пусть / — изометрическое отображение метрического пространства X в
полное метрическое пространство Y (т. е. pY (f (яД f (½)) = рх (xlt х2), V xlt хг 6 X).
Покажите, что множество / (X) с метрикой pY является пополнением пространства X.
40. Пусть Q — метрическое пространство всех рациональных чисел с метрикой
Р (Р, Q) = \ Р — ?|- Доказать, что^множество М = {р € (Q : 2 < р2 < 3} замкнуто
и ограничено, но не компактно в ~
4). Доказать, что параллелепипед \х = (£„) 6 /» : | |n I ^ —\
относительно
компактен в /2.
42. Пусть М — компактное множество в метрическом пространстве X и х g X.
Тогда существует такая точка а £ М, что р (х, М) = р (х, а). Доказать это
утверждение.
43. Доказать, что совокупность функций вида."
оо оо
■) / (*) - У^ -^г е~пх; б) / (ж) = ^ х ?"п2 ■ , где (an)„€N — пронзволь-
ная последовательность такая, что | а„ | < 1 (л = 1, 2, ...), образует компактное
множество в пространстве С [0; 1].
44. Доказать компактность в С [а; ft] множества всех тех функций, для которых
W МР + /»М<1 (v*e[a; Ы).
45. Пусть у (t, s) — непрерывная функция, определенная на квадрате [а; ft] X
X [a; ft]. Для каждого sg [а; 6] положим xs (t) = у (t, s). Доказать, что множество
функций (*s)s€fa ;,] компактно в С [a; ft].
46. Пусть (ха) — некоторое компактное семейство функций из С [a; ft], ах, (t) =
= max ха (t). Доказать, что xt (t) — непрерывная на [a; ft] функция,
а
47. Доказать, что каждое ограниченное множество функций, удовлетворяющих
условию Липшица, компактно в С [a; ft].
48. Доказать, что множество функций, имеющих на [a; ft] я-ю производную,
ограниченную числом k, компактно в С [a; ft].
Указание. Воспользоваться формулой Тейлора.
49. Проверить, что шар [х 6 С [0; 2я] : | х (t) \ < 1) не является вполне
ограниченным множеством в С [0; 2я].
Указание. Рассмотреть последовательность функций хп (t) = sin nt и
показать, что р (хп, хт) > 1 при пфт.
50. Пусть функция / (х, у) непрерывна н ограничена в полосе П= [(х,
у) :0-^. х ^ I, — оо<С у <С + со}. Доказать, что множество М решений
уравнения у' = f (х, у) относительно компактно в С [0; 1] тогда н только тогда, когда
множество значений у (0) (когда у (х) пробегает М) ограничено.
51. Пусть компактная последовательность (/„ (z)„eN функций из пространства
AR сходится на некотором множестве Е точек круга | г \ < R, имеющем в этом круге,
по крайней мере, одну предельную точку. Доказать, что эта же последовательность
равномерно сходится внутри круга (теорема Витали).
52. Пусть KR = [г : \ г \ < R) — круг в плоскости г, а Г — некоторая
спрямляемая кривая в плоскости ш. Предположим, что функция F (г, w) аиалитична по г
в KR для каждого ш € Г, непрерывна по а> на,Г при любом z 6 К^ н ограничена по
модулю внутри области К^ равномерно относительно w 6 Г. Доказать, что при
сделанных предположениях функция / (г) = \ F (г, w) dm является аналитической в К^,
» Г
£18

причем любая последовательность интегральных сумм
f (а) = £ F(z, <>) (<|, - <>),
сходящаяся к интегралу для каждого г 6 KR) сходится к/ (г) равномерно внутри Ко.
53. Пусть М — некоторое компактное в себе множество в пространстве kR, а
отображение L : М -»- С непрерывно. Доказать существование такой функции /0 £ М,.
что для всех / 6 М | L (/„) | ;> | L (f) | ( т. е. функционал Z. достигает на М своей
верхней грани).
54. Доказать, что множество Е тех последовательностей, в которых лишь ко
•нечное число отличных от нуля элементов, плотно в /2.
55. Доказать, что пространство Св (— °°; + °о) тех непрерывных на R
функций, для которых lim х (t) = 0, с метрикой р (х, у) = sup \х (t) — у (t) | сепара-
бельно.
56. Доказать сепарабельность пространства с„ всех сходящихся к нулю
последовательностей х = (£„) с метрикой р (х, у) = max | £* — т]* |.
57. Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие р (Ах, ку) ^
^ ар (х, у) (а < 1) нельзя заменить более слабым условием р (Ах, ку) < р (х, у).
58. Покажите, что непрерывная функция f, определенная на отрезке [0; И
н удовлетворяющая неравенствам 0 </(*)< 1 и | f (х) — f (у) | < | х — у \,
имеет единственную неподвижную точку.
х2 + 2
59. Проверить, что отображение / (х) =— является сжимающим на
отрезке [1; 2].
60. Отображение / переводит каждую точку* полупрямой (1; +оо) в х -\ .
Является ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку?
61. Пусть / — дифференцируемая на отрезке [0; 1] функция, причем 0 ^ / (х) «£
< 1, 0 5¾ /' (х) ^ -^-. Будет ли уравнение f (х) — х = 0 иметь решение?
62. Пусть F (х, у) — функция, непрерывная вместе со своими частными
производными первого порядка в окрестности точки (0, 0) и такая, что F (0, 0) = 0,
F'u (0. 0) Ф 0. С помощью принципа неподвижной точки доказать, что при всех
достаточно малых | х | уравнение F (х, у) = 0 имеет единственное решение у =
= у (х), тождественно удовлетворяющее этому уравнению и обращающееся в нуль
при х = 0.
63. Доказать, что если / : R -»- R — непрерывно дифференцируемая функция
и 0 < с < /' (х) < d < +оэ, то уравнение f (х) = 0 имеет единственное решение.
Указание. Рассмотреть отображение А : х -»- х — / (х).
а
64. Пусть f € С [а; й]. Показать, что уравнение х + -=- sin х + f (t) = 0
имеет в пространстве С [а; Ь] единственное решение х = х (t).
65. а) Рассмотрим систему уравнений
1<=*-Б aiktk + b, (/=1, 2, ...),
оо
где (/>!, Ъ2, ...)£т. Если sup J] | й^ | = с <+се>, то при |Х|с<1 система
' *=1
имеет единственное решение в пространстве т;
оо
б) если (by, b2, ...)£/2 и d = ^ | aik |2 < + со, то при |A,|d<l указан-
ная система имеет единственное решение в 1г. Доказать эти утверждения.
21 &

66. Пусть k (х, t, г) — непрерывная функция своих аргументов при а < *^ Ь,
■а < t ^ 6 и | г | < с, причем в этой области | k (х, t, гх) — k (х, t, га) |< ц | гг —
— г2 | ([I = const) и | k (х, I, г) I <: d (d = const). Доказать, что при выполнении
условий | X | d (ft — а) <. с и | X | ц (6 — а) <. 1 нелинейное интегральное
уравнение
ь
<f(x) = x\k (х, t, ф (0) at
имеет единственное решение <р (t) 6 С [а; 6] такое, что | ф (<) | «^ с.
67. Начиная с какого приближения хп точность приближения решения
уравнения 3* — cos х Ц- sin х + arctg х = 0 не превосходит 0,01?
ап
Указание. Оценить величину —. р (х0, Ах0) для соответственно
выбранного отображения А и найденного а, взяв х0 = 0.
68. Пусть Л :*=(£,, £4, ...)->-у = (1, а^, а2£2, ...) —отображение
пространства т, где а = (а1? а2, ...) — фиксированная последовательность, для
которой (о = sup | а* | <С -f-oo. Доказать, что А является сжимающим отображением
k
тогда и только тогда, когда ш ■< 1.
69. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве С [0; 1]
решения интегральных уравнений;
1
а) *(/) = -!-j <««*(«) ds+1;
о
1
в) *(/) = -!-j •'-'*(«) ds+i.
о
Ответы. 6. Да. 7. а) Нет, ибо не выполняется аксиома тождества; б) Да.
■в. Да, см. пример 7.24. [х (/) £ С [а; 6] : | х (t) |<fe}. 26. М = С [а; Ь].
Г п
37. С [а; Ь). 35. Нет. 36. Пополнение иэометрично пространству Х= — j
т]
в обычной евклидовой метрикой и получается прибавлением к R точек —оо
я
и + 9°- При этом нужно положить р (-f- оо, х) = — arctg х, р (— оо, х) «*
= arctg Х+-— и р(—оо, _|_оо) = л;. 37. С [0; 1]. 38. Lp [0; 1]. 60. Нет; нет.
61. Да. 67. Начиная с х где п0 ■■
б) x(t) = e' — e'-' + l.
! ige-ige ] + !- «•■мю-агн-ц
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Анализируя многие фундаментальные понятия теории метрических пространств
(например, понятия точки прикосновения и предельной точки, сходимости,
непрерывности и др.), можно заметить, что хотя они и исходят из понятия метрики, но
могут быть описаны лишь в терминах открытых множеств (так, не всякая сходимость
функциональных последовательностей (например, поточечная) может быть
охарактеризована с помощью метрики (см. пример 10)). Это обстоятельство послужило
основой идеи считать исходным не метрику, а само семейство открытых множеств, что
привело в конечном итоге к общему понятию топологического проетрадства
(введенному впервые в 1914 г. немецким математиком Ф. Хаусдорфом).
1. Определение топологии и топологического пространства. Пусть X —
некоторое множество, а т = {l)(, i 6 /} — семейство его подмножеств (множество /
индексов может иметь произвольную мощность). Говорят, что семействе т определяет
.220

,В множестве X топологию или топологическую структуру, если оно обладает
следующими свойствами:
1) все множество X и пустое множество 0 принадлежат семейству т;
2) объединение любого семейства множеств из т также принадлежит т;
3) пересечение конечного числа множеств и» т принадлежит этему же множеству.
Эти три условия принято называть аксиомами топологии.
Множество X, рассматриваемое вместе с заданной в нем топологией т,
называется топологическим пространством и обозначается иногда в виде пары (Х,т) (с той
целью, чтобы указать, что в X задана именно топология т) При этом элементы
множества X называются точками, а подмножества U( из семейства т — открытыми
множествами топологического пространства X (или (X, т)). Само множество X
называется носителем топологии т.
Множества, дополнительные в X к открытым, называются замкнутыми. Ясно,
что X и 0 замкнуты. Кроме того, пересечение любого числа и объединение
конечного числа замкнутых множеств также являются замкнутыми.
Окрестностью точки х топологического пространства X называется всякое
открытое множество G, ее содержащее. Точка х £ X называется точкой прикосновения
(соответственно предельной точкой) множества М с X, если каждая окрестность
точки х содержит хотя бы одну (соответственно бесконечно много) точку из М.
Совокупность М всех точек прикосновения множества М называется его замыканием.
Оно является наименьшим замкнутым множеством, содержащим М. Кроме того,
подмножество топологического пространства открыто тогда и только тогда, когда оно
служит окрестностью каждой своей точки.
Точка х g М называется изолированной точкой этого множества, если
существует такая ее окрестность G, что С fl М= {х}.
2. Простейшие примеры топологических пространств.
A. Каждое метрическое пространство является и топологическим пространством,
ибо его открытые множества (см. гл. 2, § 1) удовлетворяют аксиоьфм топологии.
Б. Пусть X — произвольное множество. Будем считать открытыми в нем все
его подмножества. Поскольку аксиомы 1) — 3) очевидно выполняются, то X —
топологическое пространство, в котором все множества одновременно открыты и
замкнуты. Такой тривиальной топологией обладает, например, метрическое пространство
(О, х = у,
X с метрикой р (х, у) — \
U , х Ф у.
B. Пусть в произвольном множестве топологию задает семейство т, состоящее
только из X и 0. Это — пространство слипшихся точек, так как замыкание каждого
непустого множества совпадает со всем X.
Заметим, что та топология, в которой открыты все множества (см. пример Б),
называется иногда максимальной, а та, в которой открыты только 0 и X (см.
пример В),— минимальной.
Г. Пусть X = [а, Ь) — некоторое двухэлементное множество, а т состоит из
0, X и fa}. Получающееся топологическое пространство называется связным
двоеточием.
3. Сравнение топологий. Пусть X — некоторое множество, а тх ит, — две
различные топологии, заданные в X (тем самым определены два топологических
пространства: (X, тх) и (X, т2)). Говорят, что топология тг сильнее топологии тх (или
топология та мажорирует xj, если тх с т2, т. е. если всякое подмножество множества
X, открытое в топологии тх, является открытым и в топологии т2. При этом пишут
Ti ^= т2> а ПР° топологию тх говорят, что она слабее топологии т2.
Топология, о которой шла речь в примере Б, является наиболее сильной из
всех возможных (ее называют дискретной), а топология, о которой говорится в
примере В, слабее любой другой задаваемой в X топологии (ее называют
тривиальной).
Пересечение произвольного множества топологий т = (] тав X есть топология
в X. Она слабее любой из топологий тв. Отсюда следует, что для произвольной
системы подмножеств множества X существует минимальная топология в X, ее
содержащая.
4. Определение енстемы окрестностей. База. Итак, задать в пространстве X
топологию означает задать систему открытых множеств. Однако оказывается, что
достаточно указать лишь некоторую совокупность открытых множеств.
121

Семейство р открытых множеств пространства (X, т) называется базой топологии
х (или базой топологического пространства X), если каждое открытое множество в
X является объединением множеств из f$.
Теорема 1. Для того чтобы совокупность (J открытых множеств топологии т
была базой этой топологии, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки
х £ X и любого содержащего х открытого множества U существовало такое
множество V € р\ что х £ V <= U.
Пусть #о—фиксированная точка топологического пространства X. Система
$х открытых окрестностей точки х0 называется определяющей (фундаментальной)
системой окрестностей в точке ха (локальной базой), если каждая окрестность этой
точки содержит некоторую ее окрестность из системы $х .
5. Аксиомы счетиости. Одним из важнейших классов топологических
пространств является класс пространств со счетной базой, т. е. пространства, в которых
существует хотя бы одна база, состоящая не более чем из счетного числа множеств.
Пространства со счетной базой называют также пространствами со второй аксиомой
счетности. В таких пространствах X всегда имеется счетное всюду плотное
множество М (т. е. М = X). Однако существуют топологические пространства со
счетным всюду плотным множеством, но без счетной базы.
Если точка х топологического пространства имеет счетную определяющую
систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполнена первая аксиома счетности.
Пространство X называется пространством с первой аксиомой счетности, если
каждая его точка имеет счетную определяющую систему окрестностей. Например, вее
метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности.
Если X удовлетворяет второй аксиоме счетности, то оно удовлетворяет и первой.
Обратное утверждение справедливо не всегда.
Система S = {М;, / £ /} множеств М, с X называется покрытием пространства
X, если (J М; = X. Покрытие S называется открытым (замкнутым), если оно со-
*€/
етоит только из открытых (замкнутых) множеств.
Теорема 2. Если пространство X обладает счетной базой (т. е. X —
пространство со второй аксиомой счетности), то из любого его открытого покрытия можно
выделить не более чем счетное подпокрытие.
Напомним, что те топологические пространства, для которых из любого его
открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, называются
бикомпактными.
6. Сходимость последовательности точек в топологическом пространстве.
Понятие сходящейся последовательности точек метрического пространства переносится
и на топологические4 пространства; последовательность (хп) cz X называется
сходящейся к точке ха £ X, если каждая окрестность U точки х0 содержит все точки этой
последовательности, начиная с некоторой.
Однако здесь по сравнению с метрическими пространствами имеются и некоторые
существенные различия: так, из того, что х есть точка прикосновения для множества М
в топологическом пространстве, не вытекает существование в М последовательности
точек, сходящейся к х. В общих топологических пространствах одна и та же
последовательность может иметь сколько угодно различных пределов. Заметим, однако,
что в пространствах с первой аксиомой счетности каждая точка прикосновения
произвольного множества может быть представлена как предел некоторой
последовательности точек этого множества (см. пример 4).
Точка ха топологического пространства X называется внутренней точкой
множества М с X, если ха обладает окрестностью, целиком содержащейся в М.
Совокупность всех внутренних точек множества М называется его внутренностью и
обозначается через Int М или М°.
Множество М открыто тогда и только тогда, когда Int М = М.
Точка ха пространства X называется граничной точкой множества М с X, если
любая ее окрестность содержит точки как нз М, так и из его дополнения.
Совокупность всех граничных точек множества М образует его границу дМ.
Теорема 3. Множество М из X открыто тогда и только тогда, когда оно не
пересекается со своей границей, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит
в себе всю свою границу.
7. Аксиомы отделимости. Хотя, как уже указывалось, метрические
пространства являются топологическими (и поэтому многие основные понятия теории метри-
822

ческих пространств переносятся на любые топологические пространства), все же в
топологических пространствах иногда наблюдаются ситуации, существенно
отличающие их от метрических пространств.
Однако если к аксиомам 1) — 3) добавить еще некоторые, то эти два типа
пространства можно сделать более близкими по своим свойствам. К таким требованиям
относятся упомянутые аксиомы счетности, а также аксиомы отделимости.
Первая аксиома отделимости: для любых двух различных точек х и у
пространства X существует окрестность Uх точки х, не содержащая у, и окрестность
Uy точки у, не содержащая х.
Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются
^-пространствами.
Вторая (хаусдорфова) аксиома отделимости: любые две различные точки
х и у топологического пространства имеют непересекающиеся окрестности 0Х
и Uy.
Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Г2-пространствамн
или хаусдорфовыми пространствами.
Ясно, что если выполнена аксиома Г2, то аксиома Гх выполнена, т. е. класс
топологических пространств, удовлетворяющих аксиоме Г2, более узкий, чем класс
топологических пространств, удовлетворяющих аксиоме Т1. Примером
пространства, удовлетворяющего акеиоме Т1 и не удовлетворяющего аксиоме Г2, является
следующее топологическое пространство: множество X состоит из точек отрезка [0; 1],
а открытыми считаются следующие множества: X, 0, U„ = [0; 1] \ {ап}, где
п
[ап] — произвольное, но не более чем счетное множество точек отрезка [0; 1].
Тг пространство называется нормальным, если в нем всякие два
непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Под окрестностью
множества М в топологическом пространстве понимают всякое открытое множество,
содержащее М. Все метрические пространства нормальны.
8. Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемость.
Имеется несколько способов задания топологии в том или ином множестве.
1) Самый естественный способ задания топологии состоит в указании тех
множеств, которые считаются открытыми. Равносильный ему способ — указание набора
замкнутых множеств.
2) Наиболее часто встречающийся способ задания топологии в пространстве
состоит в указании в нем некоторой базы (например, в метрических пространствах
указывается база из открытых шаров).
Теорема 4 (о задании топологии с помощью баз ы).
Пусть в произвольном множестве X задана некоторая система Р подмножеств из X,
обладающая следующими свойствами:
а) объединение всех множеств, входящих в (J, дает все множество X;
б) для любых двух множеств U, V из $ и для каждой точки х £ U (\ V
существует W из Р такое, что х g W с U f| V. Тогда в множестве X существует
единственная топология х, одной из баз которой служит система f$.
3) Еще один из способов задания топологии — введение понятия сходимости
(в случае пространств с первой аксиомой счетиости).
Теорема 5 (о задании 'топологии с помощью
окрестностей). Пусть X — произвольное множество и каждому элементу х 6 X каким-
нибудь образом сопоставлена система подмножеств Sx из X так. что выполняются
следующие свойства:
а) точка х принадлежит любому подмножеству из Sx;
б) если U£Sxu U <=V, то V£ Sx;
в) пересечение конечного числа подмножеств из Sx принадлежит Sx;
г) для каждого U € Sx существует V из S* такое, что V с 0 и V £Se для всех
У 6 V.
Тогда в множестве X существует единственная топология т такая, что система
Sx всех окрестностей в этой топологии совпадает с системой/подмножеств Sx при
всех х g X.
4) Один из важнейших способов задания топологии — задание метрики.
Топологическое пространство X называется метризуемым, если его топология
может быть задана с помощью какой-нибудь метрики. Необходимым условием
метризуемости являются первая аксиома счетности н нормальность пространства.
22»

Теорема в (П. С. У р ы с о н а). Для того чтобы топологическое
пространство со счетной бавой было метризуемьгм, необходимо и достаточно, чтобы оно было
нормальным.
Отметим, что топологию можно задавать также и другими способами (см.
пример 2).
9. Линейные топологические пространства. Пусть X — вещественное (или
комплексное) линейное пространство и т — топология в нем. Говорим, что топология т
согласуется с линейной структурой в X, если в этой топологии операции сложения
влементов и произведения элементов на скаляры являются непрерывными по
совокупности аргументов, т. е. выполняются условия:
а) для произвольной окрестности Vx,yэлементах + у существуют такие
окрестности Ux и Uу (соответственно векторов х и у), что
Ux + Ul/={2£X:z = ii1 + u2, ut£Ux, и^ Uy) <=Vx+y;
б) для любой окрестности Vax элемента ах существуют число е > 0 и
окрестность Ux вектора х такие, что для всех X: | а — X | <; е
М/* = {г€ X : г = Хи, u£Ux}<= V^.
Линейное пространство с топологией, согласованной с его линейной структурой,
называется линейным топологическим пространством (или топологическим
векторным пространством).
Однако (см. п. 8) топология в X может быть задана разными способами. Очень
часто встречаются пространства, топология в которых определяется с помощью
полунорм (преднорм).
Вещественная функция р (х), заданная на X, называется полунормой (или пред-
нормой), если для всех векторов х, у £ X и всех скаляров а £ К выполняются
условия:
1) Р (* + ?)< р (х) + р (у) (полуаддитивность);
2) р (ах) = | а | р (х).
Если вместе с условием 1) для функции р (х) выполняется условие 2'): р (ах) =
■е ар (х) (Vo^ 0), то такая функция называется калибровочной.
Полунорма, для которой р (х) = 0 о х = 0, называется нормой пространства X.
Множество М точек линейного пространства X называется- симметричным,
если — М = М; уравновешенным, если Хх £ М для всех х £ М и тех X, для которых
| X | ^ 1; поглощающим, если для произвольной точки х £ X существует такое а >■ 0,
что х £ ХМ при | X | > а; выпуклым, если Хх + (1 — X) у £ М для любых х, у £ М
и произвольного X £ [0; 1]; абсолютно выпуклым, если для любой пары х, у £ М н
любых X, ц таких, что j X | + | ц | ^ 1, имеем Хх + \iy £ М.
Всякое уравновешенное множество- содержит нуль н является симметричным.
Кроме того, если р (х) — некоторая полунорма в X, а с — положительное число, то
множество М = {х £ X : р (х) ^ с} — выпуклое, уравновешенное и поглощающее.
Пусть / — некоторое множество индексов и {pw (*)}ve; — семейство полунорм.
Если pv (х), р (х) рч (х) — произвольный конечный набор полунорм из этого
12 п
семейства, а ех, е2 е„— произвольные положительные числа, то множество U =
= {х £ X : рч (х) ^ в,, / = 1 2 п) также является выпуклым, уравновешенным
н поглощающим. Эти множества образуют базис окрестностей нуля однозначно
определяемой в X топологии т, согласованной с его линейной структурой. Тем самым,
X становится линейным топологическим пространством. В этой топологии т
множество G открыто тогда и только тогда, когда для каждой точки х0 £ G существует
такое множество U указанного вида, что х0 + U с G.
Линейное топологическое пространство X называется локально выпуклым, если
каждая окрестность нуля в нем содержит в себе некоторую выпуклую окрестность
нуля. Известно, что всякое линейное топологическое пространство А, в котором
топология вводится с помощью семейства полунорм pv (х), локально выпукло, причем
каждая из полунорм рч (х) непрерывна в нем. И наоборот, топология произвольного
локально выпуклого пространства может быть определена некоторым семейством
полунорм. Это семейство можно образовать с помощью функционалов Минковского
/»м (х) для выпуклых уравновешенных открытых множеств М пространства X, опре-
824

деляемых соотношениями:
/>м (х) = inf {а : а>0, а~'^М) (*€Х).
То, что функционал рм (х) является полунормой, проверяется непосредственно.
Локально выпуклое пространство X, топология которого задается с помощью
счетной совокупности согласованных между собой полунорму (х), р2 (х) рп (х),...
(т. е. таких, что если последовательность (хп) с X фундаментальная по полунормам
ps (х) и pq (х), по одной из них сходится к нулю, то по второй она также сходится
к нулю), называется счетно-нормированным. Заметим, что систему (рп (х)) всегда
можно заменить неубывающей системой (qa (х)) полунорм, порождающей ту же
топологию с базой окрестностей нуля Une= \х (Е X : qn (х) < е}. Каждое счетно-
нормироваиное пространство метризуемо, а метрика в нем может быть задана
соотношением
р (X и) - V — • р"(*~у)
п=1
Классическим примером таких пространств является пространство А^ всех
однозначных и аналитических в круге |z|<./?{0<;./?^ + со) функций с топологией
равномерной сходимости на любом замкнутом ограниченном подмножестве точек
этого круга н совокупностью полунорм рп (х) = max | х (г) I, где х (г) (Е AR, а (/■„) —
некоторая монотонно возрастающая к /? последовательность положительных чисел
(см. пример 25 гл. 2, § 3).
Топологическое векторное пространство X называется нормируемым, если его
топология может быть задана одной нормой.
Теорема 7 (А.Н.Колмогорова). Для того чтобы линейное
топологическое пространство над полем R (или С) было нормируемым, необходимо и
достаточно, чтобы оно было хаусдорфовым и обладало выпуклой ограниченной
окрестностью нуля.
Напомним, что множество М называется ограниченным в линейном
топологическом пространстве X, если для любой окрестности нуля V в X существует такое Я.,
что М с XV.
Из теоремы 7 следует, что если линейное топологическое пространство X
метризуемо, но не нормируемо, то шары В [0, е] = {х £ X : р (0, х) ^ е} не ограничены
в X.
Более полно теория топологических пространств изложена в [1; 2; 4; 16; 20; 21J
29; 37].
Примеры решения задач
1. Доказать, что множество М топологического пространства X
замкнуто-тогда и только тогда, когда М = М.
Решение. Пусть М замкнуто, ти е. G = Х\ М открыто. Докажем,
что МсМ. Действительно, пос/Кольку множество G открыто, то оно
служит окрестностью каждой своей точки. Кроме того, G П М = 0.
Отсюда следует, что никакая точка х £ G не может быть точкой
прикосновения для М и, стало быть, MciM. Ясно также, что МсМи
поэтому М = М. Необходимость условий утверждения доказана.
Чтобы убедиться в их достаточности, предположим, что М = М,
и докажем открытость G = X \ М (т. е. замкнутость М). Пусть х0 £ G
и, следовательно, х0 £ М. Тогда, по определению точки прикосновения,
найдется открытая окрестность U точки х0 такая, что U П М = 0.
Значит, U с: X \ М = G, т. е. G служит окрестностью каждой своей
точки. Достаточность условий утверждения установлена.
8 о-74 225

2. Пусть А — семейство всех подмножеств множества X и / : А -*•
-*■ А— отображение А в А, которое имеет свойства:
1) / (A U В) - / (Л) U / (В); 2) / (Л) гэ А;
3) / (/ (Л)) = / (Л); 4) / (0) = 0.
Доказать, что множество, состоящее из дополнений элементов
множества & = {Л £ t/Z : / (Л) = Л|, образует в X топологию т, причем
в этой топологии множество / (Л) является замыканием А.
Решение. Отметим вначале, что множества 0 и X принадлежат &
в силу свойств 4) и 2). Покажем, что & содержит и объединение конен-
ного числа своих элементов. Действительно, если Л, В £ &, то (см.
условие 1))
f(A[jB)=f(A)[j f(B) = A[jB.
Из условия 1) вытекает также, что если А с: В, то / (Л) s / (В),
ибо
/(5) =/(5 U Л) = /(5) U /И) =2/И).
Поэтому для любого набора {Ла} множеств из &
f (П Л*) с / (Ла) = Ла
и, согласно свойству 2,
П Ла<=/(П Ла\с=Ла<= П Аа,
а \ а / а
т. е. f)Aa = f (f)Aa). Следовательно, семейство & обладает теми
а а
свойствами, что и семейство всех замкнутых множеств в произвольном
топологическом пространстве, а совокупность дополнений элементов
семейства W порождает в X некоторую топологию т.
Остается доказать, что в этой топологии A = f (Л) (V Л с: X). Если
А £ &, то искомое равенство следует из определения семейства & и
топологии т. Если же Л (?#", то рассмотрим произвольное замкнутое
множество В (т. е. В = В = f (В), содержащее А. Тогда А <= f (А) а
с f (В) = В (ибо А с: В), где / (А) £ #" (ибо согласно свойству 3)
^ (^ (Л)) = / (Л)). Значит, / (Л) является наименьшим замкнутым
множеством в (X, т), содержащим Л, т. е. Л = / (Л).
3. Доказать, что метрическое пространство X имеет счетную базу
тогда и только тогда, когда в нем существует счетное всюду плотное
множество.
Решение. Действительно, пусти {G„} — счетная база в X. Выберем
в каждом из Gn по одной точке хп и рассмотрим счетное множеством =
= (xn)n^N. Оно всюду плотно в_Х, ибо в противном случае непустое
открытое множество G = X \ М не содержало бы ни одной точки из
М, что невозможно, так как G есть сумма некоторых множеств из
системы {G„}, а х„ £ Gn-
Однако, если М = (хп) — счетное всюду плотное множество в X,
то открытые шары В (хп, —] (л, m £ f^j) образуют в X счетную базу.
Теорема доказана.
226

4. Доказать, что в топологическом пространстве X с первой
аксиомой счетности х является точкой прикосновения множества МсХ
тогда и только тогда, когда имеется последовательность точек (х„)
множества М, сходящаяся к х.
Решение. В множестве М нужно найти такую последовательность
(хп), которая сходится к точке прикосновения х. Рассмотрим с этой
целью некоторую определяющую систему {Uk) окрестностей точки х.
Заменяя, если нужно, Uk на Ux (] ^г П ••• П Uk, считаем (без
ограничения общности), что Ui :э Ui zd ... zd иц zd ... . Поскольку х —
точка прикосновения множества М, то для каждого k можно найти
точку хк £ М П Uk. Докажем, что так построенная последовательность
(хп) сходится к х.
Пусть U — произвольная окрестность точки х. Тогда существует
k0 такое, что Uk0 с: U, и поэтому Uk a U (k ^ k0). Следовательно,
точки хк при k ^ k0 принадлежат окрестности U.
5. Множество М топологического пространства X называется 0в-
множеством, если оно является пересечением счетного числа открытых
множеств пространства X, а множество, дополнительное к нему,—
Fo-множеством. Доказать, что в метрическом пространстве каждое
замкнутое множество является бб-множеством, а каждое открытое —
/•"„-множеством.
Решение. Покажем, что всякое замкнутое множество F является
пересечением множеств Ua = U\F, —]> п = \, 2, ..., где U (F,
—) = jjf ^Х : р (х, F) < —\ (такие множества называются
сферическими окрестностями множества F).
оо
Поскольку F cz Un (V п), то F а П Un, поэтому остается получить
оо
обратное включение. Итак, пусть х £ (] Un. Тогда при любом пр(х,
F) < — и, следовательно, р (х, F) = 0. Значит, х является точкой
прикосновения F и, в силу замкнутости F, х £ F. Утверждение
доказано.
6. Пусть X = IR2, а топология х в нем задается множествами X, 0,
открытыми (в евклидовой метрике) кругами В (О, г) с центром в точке
fy = (0, 0), а также всеми множествами, которые могут быть
получены из них путем конечного пересечения и любого объединения. Будет
ли (X, т) Ti-пространством?
Решение. Сперва заметим, что конечное пересечение и любое
объединение открытых кругов В (0, г) — это снова некоторый круг В (О,
R) или же все множество X. Поэтому топология полностью
определяется лишь множествами X, 0 и В (0, г) (г £ R+).
Поскольку каждая окрестность точки (х, у) в (X, т) содержит и
точки (—х, у), (х, —у) и (—х, —у), то это пространство не является Тх-
пространством.
7. Доказать, что всякое метрическое пространство R нормально.
Решение. Пусть X и Y — два непересекающихся замкнутых мно-
V 227

жества в R. Тогда каждая точка х £ X имеет окрестность Ux,
непересекающуюся с Y, и, следовательно, она находится на положительном
расстоянии р, от Y. Аналогично расстояние каждой точки у £ Y от X
есть некоторая положительная величина р„.
Рассмотрим открытые множества U = \JB х, Щ-\к V = (J В (у,
«а I £ 1 у£У
, содержащие X и Y соответственно, и покажем, что U П V = 0-
Пусть это не так и г £ U П V. Тогда в X существует такая точка xtt,
что р (х0, z) < -£*-, а в Y — такая точка у0, что р (у0, г) < —-.
Считая для определенности, что р*0 ^ pj,0, получаем
Р (*с У о) < Р (х0, г) + р (г, у0) < -^- + —!£- < Рй.
Отсюда х0 £ В (у0, рУс), что противоречит определению величины pUt.
8. Пусть X — произвольное бесконечное множество, а т состоит
из 0 и всевозможных подмножеств U таких, что X \ U — конечно.
Доказать, что в пространстве (X, т) каждая последовательность,
содержащая бесконечное число различных точек, сходится к любой
точке пространства X.
Решение. Пусть (хп) — одна из указанных последовательностей,
ах — произвольная точка из X. Возьмем произвольную ее
окрестность U. Так как множество U получается из X выбрасыванием не
более конечного множества его точек, то ясно, что все элементы х„,
начиная с некоторого номера, обязательно попадают в U и, тем самым,
последовательность (х„) сходится к х. Рассмотренная топология носит
название топологии Зарисского.
9. Пусть X = (0; 1], а,топология тв нем определяется множествами
X, 0, всевозможными интервалами (а; р), где а, Р £ (0; 1), и любыми
их объединениями. Найти предел последовательности х„ = — (п £ Щ).
Решение. Нетрудно видеть, что ни одна точка х0,х0 £ (0; 1), не может
быть пределом указанной последовательности, ибо любая ее
окрестность вида (а; р), а, р" £ (0; 1) содержит конечное число элементов хп.
Рассмотрим точку х0 = 1. Поскольку любое объединение интервалов
(а; р) эту точку не содержит, то в пространстве (X, т) единственной ее
окрестностью является само множество X (содержащее все точки
последовательности). Следовательно, единственным пределом
последовательности хп = — (л £ (¾) в пространстве (X, т) является точка х0 =
= 1.
10. Пусть F [0; 11 — множество всех функций, определенных на
отрезке [0; 1] с топологией поточечной сходимости. Показать, что оно
не метризуемо.
Решение. Предположим противное, т. е. что в F [0; 1] можно ввести
метрику так, что сходимость последовательности функций,
определяемая этой метрикой, есть поточечная. Пусть М — множество всех
непрерывных функций полученного метрического пространства. Тогда,
с одной стороны, по свойствам замыкания множеств в метрическом
«88
*

пространстве, М = М. С другой стороны, М ф М, так как М есть
множество всех непрерывных на [0; 1] функций и их пределов в смысле
поточечной сходимости, а М — множество функций из М и их пределов
(в том же смысле). Иными словами, если исходить из известной
классификации Бэра (см., например, гл. 15 из [23]), то М есть множество
функций первого класса Бэра, а М — множество функций второго
класса Бэра. Искомое утверждение получаем из того, что упомянутые клав-
сы Бэра не совпадают (например, функция Дирихле
, ( 1, t — рациональное,
[О, t—иррациональное
принадлежит второму классу и не принадлежит первому).
11. Доказать, что множество М является абсолютно выпуклым
тогда и только тогда, когда оно одновременно выпукло и
уравновешенно.
Решение. Поскольку необходимость условий сформулированного
утверждения очевидна, то остановимся на доказательстве их
достаточности. Пусть М выпукло и уравновешенно, х, г/ £ Ми | А. | + | ц | <! 1.
Если А, = 0 (аналогично рассматривается случай ц = 0), то | ц | ^ 1
и \iy £ М, так как М уравновешенно. Если же X Ф 0 и ц Ф 0, то иа
уравновешенности М следует, что» гп х £ М и -^- у £ М. Далее, из
соотношения п Л—г + ,, f —г = 1 и выпуклости М имеем
Гм + UM 1М + Ы J
i»l I * r\.i /1*1 ( У- ,Л_ ** + 1*У
€М.
Поскольку | X | -\- | ji | ^ 1 и М уравновешенно, то Кх -Ь j*y ^ М,
что и требовалось доказать.
12. Пусть X — линейное топологическое пространство, р0 — базис
окрестностей точки х = 0 и U ^ pV Доказать, что:
1) U — поглощающее множество;
2) 3 V 6 Р„ : V + V с V;
3) существует такая уравновешенная окрестность W, что W с: U.
Решение. 1) Пусть х0 — произвольный фиксированный элемент
пространства X. Так как функция g (X, xj = Хх0 непрерывна по А при
% = 0, то для окрестности нуля 0 £ р0 существует тйкое е у> 0, что
Хх0 £ U при всех X : | А | < е.
Следовательно, при X = —, где | ц I > —, А*0 = — хь £ £/ или
ж0 £ |i£/ и £/ — поглощающее множество.
2) Поскольку ф (х, у) = х + у — непрерывная функция в точке
ф, 0), то и для U £ р0 существую? такие Vlt V2 £ р0, что х + у £ U
(Ух£Уи\/у£ V2), т. е. V1 + V3 cz U. Ho Vx П V, — также
окрестность и поэтому BV £$0 1 V <= Vi 0 V2. Следовательно, V + V с: U.
3) Воспользуемся непрерывностью в точке (0,0) функции h (X, х) =
— кх. Тогда для U £ р0 существуют К £ р0 и е > 0 такие, что Хх £ U
Я»

(V x £ V, V Я, : | Я, I < е). Поэтому — х £ U (V х £ V и V \и. : \ \1\-£» I),
ибо — < е, и eV с: |il/ (V |i : | Ц | > О-
Пусть теперь W = П Н^- Поскольку V — окрестность и еКс: й?,
то W7 — также окрестность. Докажем ее уравновешенность. Ьсли я £
б Г, то V Я, : 0 < | Я, | < 1 hVh.;|M>1 имеем | у | < 1 и в
силу того что W = П Y^. яб^г^или-^-яб^/иЯссб П V-U = W7.
Утверждение доказано.
Заметим, что из доказанного утверждения следует, что в каждом
линейном топологическом пространстве существует базис из
уравновешенных окрестностей.
13. Проверить, что в топологическом векторном пространстве
замыкание абсолютно выпуклого множества также абсолютно выпукло.
Решение. Пусть М — абсолютно выпуклое множество, а £ М, Ь £ М,
|Я| + |ц|^1и1/ — некоторая окрестность нуля. Найдем сперва
(см. пример 12) уравновешенную окрестность Атакую, что W + W cz
с: U. Поскольку а £ М, то (a + W) П М ф 0. Пусть х £ (а + W) [\
П М. Аналогично найдем такой элемент у, что у £ (b + W) П М. Тогда
lx+\iy£l({a+W) Л М) +p((b + W) П М) =
= (Ял + Ш) П (ЯМ) + (\nb + \iW) П (М>М) с (ЯМ +- цМ) Л
П (Ял ■+ \ib+ XW+ p,W) cz М П (Яа + lib + W + W) <з
cMfl (Ka + \ib + U).
Следовательно, множество M Л (^1 + Y& + U) не пусто и Ял +
+ lib £ М, что и требовалось доказать.
14. Доказать, что всякая полунорма в линейном пространстве
удовлетворяет условиям: 1) р (0) = 0; 2) р (xt — *aJ > I Р (*i) — Р (xt)\
(Vxk x2£X).
Решение. 1) Так как р (0) = /> (0 • *) = 0 • р {х) = 0, то первое
утверждение очевидно.
2) В силу свойства полуаддитивности полунормы имеем р (хг —
— хй) + р (*2) ^ р (х-,) и, тем самым, р (хг — хг) > р (хг) — р (xt).
Кроме того,
P(x1—xi)^p((—\)(x2—x1)) = \— 1| -p(xt — x1)>
>р(х2)—р(х1)-
Значит, р (х1—х2) > | р (Xi) — р (х2) |.
Из этих свойств полунормы, в частности, следует (при хг = хл
х2 = 0), что р (х) > | р (х) | > 0 (V* £ X).
15. Пусть рв — базис окрестностей нуля в линейном
топологическом пространстве X. Доказать, что X хаусдорфово тогда и только тег-
да, когда Л U = {0}.
зм
"с*.
/

Решение. Если X хаусдорфово, то для любого х £ X, х Ф 0,
существует такая окрестность 00 £ р0, что х £ U0. Следовательно, хф () U
„ ,, гл. иеР«
и поэтому П U = {0}.
fee.
Обратно, пусть [~1 ^ = {0} и х Ф у. Тогда х — у Ф0 и 3 £Л £
f€Po
£ Р„: х — г/£ 1/х. Пользуясь утверждениями 2), 3) примера 12,
найдем такую уравновешенную окрестность V, что V + V a U1. Тогда,
очевидно, х + V я у + V — окрестности точек хну соответственно
и (х + V) П (#+Ю = 0. ибо в противном случае существовало бы
такое z0, что 2¾ £ х + V и z0 £ у -f V, т. е. z0 — х £ К, z0 — у £ К и
* — У = (¾ — У) — (z0 — *) £ V — У = V + V cz Ux. Последнее
включение приводит к противоречию.
16. Пусть топология в некотором линейном топологическом
пространстве X задается системой полунорм Q = {р (х)}. Доказать, что
X хаусдорфово тогда и только тогда, когда
V*£X, хфОг Зр£<1:р(х)Ф0.
Решение. Как показано в примере 12, X отделимо тогда и только
тогда, когда |~1 ^ = {0}> где |$ft—базис окрестностей нуля вида
{х £ X : sup pt (х) ^С е} (см. п. 9). Если теперь х Ф 0 и р (х) =■
= 0(7/5¾¾. то ^П иф{0}.
fee.
Обратно, если V х £ X, х Ф О, ip £ Q : р (х) = а > 0, то
окрестность [у £ X ; р {у) < -S-1 не содержит точку х, т. е. П I/ = {0}, что
( 11 i/eft,
и требовалось доказать.
17. Доказать, что пространство • Lp [0; 1] (0 < р < I) с
топологией, определяемой метрикой р (х, ф = { \ х (f) — у (f) \" dt, не явля-
о
ется локально выпуклым.
Решение. Отметим, что если X/ — локально выпуклое пространство,
а М — некоторое ограниченное множество в нем, то выпуклая
оболочка N этого множества (т. е. наименьшее выпуклое множество,
содержащее М) также ограничена в X. Действительно, для произвольной
выпуклой окрестности U существует- такое Оо, что при всех а > а0 М с
с aU. Значит, при всех а ^ щ имеем тайнее включение N с: all
(в силу выпуклости [/), т. е. N -р ограниченное множество.
Учитывая это замечание, для доказательства сформулированного
утверждения достаточно построить такое ограниченное множество М
'в Lp [0; 1] (0 </> < 1), выпуклая оболочка N которого не является
ограниченной. С этой целью для произвольного п € RJ рассмотрим
функции
*?»
0, <*[-Ц±;4]. *=!.«.
п.
231

Множество М таких функций ограничено в Lp [0; 1], так как р (х(п,
О) » 1. Построим теперь функции
уп ft) = т-<*«" W + *«' <0 + ■ ■ ■ + *2" (0) - п^~\
При каждом л £ И функции г/„ (£) принадлежат выпуклой оболочке
N множества М, но р (у„, 0) = п1—р -*■ оо при п -»- оо.
Значит, множество N не является ограниченным в Lp [0; 1], а само
пространство Lp 10; 1] при 0 < р < 1 не может быть локально
выпуклым.
Задачи лля самостоятельной работы
1. Пусть (X, т) — произвольное топологическое пространство, & А — некоторое
его непустое подмножество. Рассмотрим семейство Тд = {£/д : £/д = ,4 Л U,
£/£т}. Доказать, что оно определяет в А топологию (называемую индуцированной
из пространства (X, т)).
2. Пусть С [а; ft] — множество всех функций, непрерывных на отрезке [а; ft],
Pi(*. У)= max \x(t)—y(t)\
t€[a.b]
Л
\_
Pi tat. у) = ( ^\x(t)-y(t)fdt\ (р>\).
Сравните топологии тх и та в С la; ftL определяемые соответственно этими двумя
метриками.
3. Пусть Pi и р2 — две метрики на одном и том же множестве X и существует
постоянная с > 0 такая, что для любых х1г х2 из X выполняется соотношение
Pi (*i> х2> ^ сРа4*1» *»)• Докажите, что топология тх, порожденная метрикой pj,
слабее топологии т2, порожденной метрикой р2.
4. Пусть X — некоторое множество, а тх и т2 — две топологии в нем. Доказать,
что xt <. т2 тогда и только тогда^ когда для всякого G1 6 тх и любого х 6 Ох
существует такое G2 6 т2, что х 6 G2 с Ох.
5. Пусть X — произвольное непустое множество. Назовем отображение р :Х X
XX-*- R~*~ псевдометрикой, если оно удовлетворяет аксиомам метрики с заменой
аксиомы тождества на условие р (х, х) = О (V х 6 X). Доказать, что дискретная
топология может быть порождена' некоторой метрикой, а тривиальная топология —
некоторой псевдометрикой.
Указание. Рассмотреть отображения
Pi = Pi (*i. *»), = 0 (V *i, *2 € X)
и
, . П» Х!фХ2,
р4 :р2(*х, *»)f={
6*. Если X — топологическое пространство со счетной базой S0, то и во всякой
другой его базе S содержится счетная база Sx. Доказать это утверждение.
7. Доказать, что в любом топологическом пространстве со счетной базой
множество изолированных точек не более чем счетно.
8. Доказать, что система S открытых множеств пространства является базой
в X тогда и только тогда, когда для каждого *„ £ X система Sx , состоящая нз всех
множеств системы S, содержащих х0, образует определяющую систему окрестностей
точки х0.
9. Доказать, что любое дискретное топологическое пространство, состоящее на
несчетного множества точек, удовлетворяет первой аксиоме счетностн, но ие
удовлетворяет второй.
232

10. Доказать, что в любом метрическом пространстве совокупность открыты*
шаров с центром в точке х„ и радиусами гп — — (я 6 N) образует определяющу»
систему окрестностей в точке *„.
11. Проверить, что в дискретном топологическом пространстве определяющую
систему окрестностей в каждой его точке хл образует сама эта точка.
12. Доказать, что замыкание любого множества М топологического
пространства X совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, его содержащих.
13. Пусть А и В — некоторые подмножества топологического пространства X
причем А с: В. Можно лн утверждать, что всегда A cz В">
14. Пусть X = [0; l]cR, а открытыми в нем являются те его подмножеств»
(наряду с X и 0), которые получаются выбрасыванием нз него любого конечного
нли счетного числа точек. Доказать, что:
а) X — топологическое пространство;
б) сходящимися в X являются только те последовательности, элементы которых,
начиная с некоторого номера, совпадают;
в) точка 0 является точкой прикосновения для множества М = (0; 1], но
никакая последовательность точек нз М не сходится к 0 в X.
15. Доказать, что в топологическом пространстве с тривиальной топологией
каждая последовательность сходится к любой точке этого пространства.
16. Пусть X — произвольное несчетное множество, тх — дискретная топология.
а топология т2 определяется множествами X, 0 и множествами, состоящими нз
дополнений к не более чем счетным множествам. Доказать, что пространства (X, тх) и
(X, т2) имеют одни и те же сходящиеся последовательности.
17. Пусть X =» (0; 1], а топология т определяется множествами X, 0,
интервалами (0; а), где а 6(0; 1), и множествами вида (0; a) U {1}. Доказать, что в про-
странстве (X, т) последовательность хп= не имеет предела.
18. Пусть X=N, ат={Х;0;Дв,я=1, 2, ...}, где Fn = {п,п+ 1, ...}.
а) Будет лн пространство (X, т) компактным? б) Найтн предел последовательности
Iхп = 2п — 1. в) Что можно сказать о сходимости этой же последовательности
в пространстве (X, т,), если ^ = {X; 0; Еп, п— \, 2, ...}, где £„= {1, 2, ...
...,п}\
19. Назовем топологическое пространство Т0-пространством, если для любых
неравных точек х, у существует либо окрестность х, не содержащая у, либо
окрестность точки у, не содержащая х. Пусть X = К2, а топология т. в нем задается
множествами X, 0, всеми открытыми кругами с центрами на вещественной оси, а также
нх любыми объединениями и конечными пересечениями. Доказать, что (X, т) не
является Т„-пространством.
Указание. Рассмотреть точки вида (х, у) и (х,—у).
20. Пусть X = В?2, а т. задается открытыми (в евклидовой метрике) кругами
радиуса -я- с центрами в точках с целочисленными координатами, а также их
конечными пересечениями и любыми объединениями. Является лн (X, т) : а) 7>про-
странством; б) 7\-пространством?
21. Пусть X = R2. Под окрестностью точки х 6 X будем понимать любой
открытый круг с центром в точке х, нз которого удалены все отличные от л: точки, лежащие
на вертикальном диаметре этого круга- Доказать, что полученное топологическое
пространство является хаусдорфовым.
22. Пусть Gx н G2 — открытые подмножества нормального пространства и? —
замкнутое множество, причем F cz Gt U G2. Показать, что F есть объединение
замкнутых множеств Fx cz G, н F2 cz G2.
23. Пусть X = [0; 1], в котором окрестности всех точек, кроме 0, определены
обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы
{0; а) с выброшенными нз ннх точками вида — (п £ N). Доказать, что X является
каусдорфовым, но не нормальным пространством.
Указание. Рассмотреть множества Mi = {0} и М2 = I — ] ,
\ п JniH
233

24. Пусть X — множество всех непрерывных на [0; 1| функций и топология
* порождается системой окрестностей
где *€Х, е > 0, a F — конечное непустое подмножество точек отрезка [0; 1J.
Доказать, что X не является метрнзуемым пространством.
Указание. Рассмотреть множество М функций х нз X, удовлетворяющих
условиям: a) 16 [0; 1] => 0 <; х (*) <; 1; б) \itl {t: х (t) = \}^~ (здесь цх — мера
Лебега на R). Доказать, что 0 — точка прикосновения для М, и использовать теорему
Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
25. Пусть X — линейное пространство, М с X — выпуклое поглощающее
множество и /?м (х) — функционал Минковского. Доказать, что:
1) />мМ>0'- 2) />мМ < + <*>;
3) pM(Xx) = XpK(x) (VX>0);
4) Рм (х + уХ Рм (*) + Рм (УУ>
5) {*£ X : />м (*) < 1} с М с {*€ X : />м (*) s£ 1}.
26. Пусть М и N — абсолютно выпуклые поглощающие множества в линейном
топологическом пространстве X, а рм и pN — их функционалы Минковского
соответственно. Тогда:
а) функционал Минковского множества еиМ (а ф 0) совпадает с рм;
[а|
6) функционал Минковского для пересечения М (] N совпадает с max {рк (х),
PN (*))'■
в) если М <= N, то />м (х) > pN (х) (Vx g X).
Доказать эти утверждения.
27. Доказать, что если 0Х и р2 — открытые множества в линейном
топологическом пространстве X, то множества Gx + G2 и aGj (а ф 0) также открыты.
28. Доказать, что пересечение конечного числа поглощающих множеств
является поглощающим.
29. Проверить, что любое нормированное пространство является линейным
топологическим пространством. •
30. Пусть С*00' [а; Ь] — пространство бесконечно дифференцируемых На [а; Ь)
функций с топологией, определяемой следующей системой окрестностей нуля:
итв=(<РесИ(а; Ь\: sup |ф(*»(01<е, * = 0, 1 «}.
Доказать, что С*00' [а; Ь] — линейное топологическое пространство.
31. Пусть С (— со; + со) — пространство всех непрерывных на R функций
(вещественных или комплексных), а топология в нем определяется полунормами
Рп (*) = SUP \ х (f) \ , п — \, 2 Доказать, что оно хаусдорфово и метрнзуе-
мо, но не нормируемо.
32*. Пусть s — пространство всех последовательностей х = (|fc)£Lo. где
5*€©i а Н — некоторое векторное подпространство в s. Векторное подпрос^ран-
00
ство Н™ = {у = (т|й) g s : J] ||*Л*1< + °°» Vx£H} называется дуальный по
Кете к Н, Введем в Н топологно (она называется нормальной) с помощью преднорм
оо
Ру (х) = £ I lMk I, У = Ы € На.
Доказать, что в пространстве 1г нормальная топология совпадает с топологией,
оо
определяемой нормой || х || = V | bt |.
234

М*. Если 0</?< 1, то пространство 1Р с топологией, определяемой метри-
кой р (дс, у) = 2 II*-Л*!'' (*=(!*)• y=0lft))i является топологическим «ек-
*=о
торным пространством, но не локально выпуклым. Доказать это.
34. Пусть (Xj, Tj) и (Х2, т2) — топологические пространства, a g — некоторое
отображение Xj в Х2. Тогда g называется открытым (соответственно замкнутым),
если оно переводит открытые (замкнутые) множества в открытые (замкнутые).
Существуют лн непрерывные отображения нз (Хх, тх) в (Х2, т2), не являющиеся нн
открытыми, нн замкнутыми?
Указание. Рассмотреть отображение g (х) = ех cos х : R ->- R и найтн об
разы множеств А1 = (— со; 0) и А2 = {— ля, п 6 N }. (Здесь множество R снабжено
обычной топологией евклидова пространства.)
35. Пусть R и R2 — обычные евклидовы пространства, а М — множество тех
точек нз W, у которых, по крайней мере, одна из координат рациональна. Доказать,
что непрерывными образами множества М на прямой могут быть только множества
вида (а; р), (а; р], [а; ($) или [а; р"], где — со< а < р < + со.
Ответы. 2. т2 <; т1р 13. Нет. 18. а) Да; б) пределом последовательности
является" любое натуральное число; в) последовательность предела не имеет. 20. а) Нет;
6) нет.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Некоторые сведения из теории линейных пространств. Многие конкретные
пространства, рассматриваемые в функциональном анализе, характеризуются
общими свойствами линейности: элементы этих пространств (функции, числовые
последовательности и др.) можно складывать друг с другом н умножать на числа, получая
элементы того же пространства. Следуя принятому в математике аксиоматическому
подходу, основные нз этих свойств выделяют в систему аксном, определяющих общее
понятие линейного пространства, которое является одним из важнейших понятий
современной математики.
Мы здесь считаем, что все соответствующие определения, свойства и аксиомы
читателю известны (например, нз курса линейной алгебры). Напомним только, что
если в качестве скаляров в линейном пространстве Е берутся вещественные
(соответственно комплексные) числа, то оно называется вещественным нли действительным
(соответственно комплексным) линейным пространством.
Примеры линейных пространств. 1. Множество всевозможных векторов (в
трехмерном пространстве, на плоскости иди прямой) с обычными операциями сложения
векторов н умножения нх на числа представляет собой линейное пространство.
2. Совокупность упорядоченных наборов нз п действительных (комплексных)
чисел х = (Ij, ..., £„), где сложение н умножение на число определяются формулами
(li, - - - - In) + Oli Лп) = (ii + Л1 In + Пп).
a (li> • • - . In) = («li- • • • , «In),
вбразует линейное n-мерное арифметическое пространство R™ (соответственно С).
3. Непрерывные (действительные илн комплекснозначные) функции на
некотором отрезке [а; Ь\ с обычными операциями сложения функций н умножения нх на
числа образуют линейное пространство С [а; 6].
4. С<*> [а; Ь] (k 6 N) — пространство k раз непрерывно дифференцируемых
функций также представляет собой линейное пространство, ибо [х (г) + у (г)] €
€ С<*> [а; Ь), если х (t), у (г) € С<*> [a; Ь), н Хх (г) е С<*> [а; 6], если х (г) е С<*> [а; Ы
а Я. —> произвольный скаляр.
5. Множество всех измеримых по Лебегу на [а; Ь\ функций х (г), для которых
»
I | х (г) \р dt< + со, р ;> 1, с обычными операциями сложения измеримых функ-
1 а
цнй и умножения нх на числа образует линейное пространство Lp [a; 6]. Линейным
пространством является также множество Lp (X, ц.), где р > 1, а (X, 51, ц.) —
измеримое пространство (см. гл. 1, § 4, пример 1).
235

6. Пространство lp (р > 1), элементами которого являются последовательности
х = (£,) чисел (действительных или комплексных), удовлетворяющие условию
«
SI \t\p < + со, с операциями
1
(ii> la. ...) + (*ii. is. ...) = (51 + 11. 6я + 1». .-.).
a(5i.. la. • • •) = («Si- «la. • • •).
является линейным пространством.
7. Сходящиеся последовательности х = (|.) с покоординатными операциями
сложения и умножения на числа образуют линейное пространство с.
8. Множество последовательностей, сходящихся к нулю, множество
ограниченных числовых последовательностей, а также множество всех числовых
последовательностей с теми же операциями, что в примере 6, образуют линейные пространства,
обозначаемые соответственно с0, т, s.
Линейная зависимость. Элементы х, у г линейного пространства Е
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа a, f$ v. не все
равные нулю, что
а* + Р«/+ ••• +Yz = 0. (1)
В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иначе
говоря, элементы х, у, ..., г линейно независимы, если из равенства (1) вытекает, что
a = Р = ... = V = 0.
Бесконечная система элементов х, у, ... пространства Е называется линейно
независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.
Линейное пространство Называется n-мерным, если в нем существует л линейно
.независимых элементов, а любые л+ 1 элементов этого пространства линейно
зависимы.
Набор любых л линейно независимых элементов в л-мерном линейном
пространстве Е навивается базисом в Е.
Зафиксируем в л-мерном линейном пространстве Е базис ег, ..., еп, который
обозначим сокращенно (e*)jj_j.
Пусть х g Е\ вследствие л-мерности Е векторы еь ..., еп, х линейно зависимы.
Но тогда найдутся скаляры аъ ..., ап, an_j_, такие, чтоа^ + ... + а„е„ + ап ,,« = 0;
при этом «„.о ф 0, иначе векторы еъ ..., еп были бы линейно зависимы,
следовательно, х= Ijfij + ... + £„£„, где bi = — , k= 1, 2 л. Такое представление
ап+1
произвольного вектора л-мерного пространства называется разложением вектора х
по базису («£)]£_,. Числа |lt ..., |„ называются координатами вектора х в
базисе (e*)£=i-
Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если для каждого
натурального л в £ существует л линейно независимых элементов. Например,
пространство С [а; Ь] —бесконечномерно, ибо система функций 1, t, t2, ..., tn, ... в этом
пространстве линейно независима.
Линейной оболочкой конечной или бесконечной системы элементов (хп)
линейного пространства Е называется множество всевозможных линейных комбинаций
п '
вида ^ oikXk при разных л, где а^ (1 < k ^ л) — некоторые числа. Например, ли-
*=1
нейной оболочкой элементов 1, t, t2 f1 нз пространства С [a; b] есть множество
{/?„ (/)} всех алгебраических многочленов степени не выше л.
Линейные многообразия. Множество L в линейном пространстве Е называется
линейные многообразием (линейным множеством, линеалом), если для любых
элементов х, у, С L и любых скаляров а, р* линейная комбинация ах + $у 6 L.
Заметим, что поскольку L является частью линейного пространства Е, то нз
определения линейного многообразия следует, что L также является линейным
пространством.
Приведем некоторые примеры линейных многообразий.
23R

A. Множество всех многочленов степени не выше л является (л ■+■ 1)-мерным
линейным многообразием в С [a; ft].
Б. Пространство С**1 [а; Ь] (к > 1) является линейным многообразием в
пространстве С [а; Ь\.
B. Пространство с0 всех сходящихся к нулю последовательностей образует
линейное уногообразне в пространстве с всех сходящихся последовательностей.
Изоморфизм линейных пространств. Линейные пространства £ и £' называются
изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное
соответствие (х <-» х', х g £, х' g £'), сохраняющее алгебраические операции. Это
означает, что из х <-» х', у <-> у' (х, у 6 £; х', у' 6 £') следует х + у <-* х' + у'?
clx <-» ах' (а — произвольное число).
Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации
одного и того же пространства. Примерами изоморфных линейных пространств могут
служить арифметическое (л + 1).мерное пространство (действительное или
комплексное) и пространство всех многочленов степени не выше л (соответственно с
действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения
многочленов и умножения их на числа. При этом в вещественном случае
п
/>(') = £ <V* ~ * = (в„. вх с„) б Rn+1.
fe=0
Вообще, можно показать, что всякое л-мерное вещественное пространство Е
изоморфно R".
Фактор-пространства. Пусть Е—линейнре пространство, L с Е — некоторое
линейное многообразие. Скажем, что два элемента х и у из Е эквивалентны, если их
разность х — у принадлежит L. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзи-
тивно, т. е. определяет разбиение всех х £ Е на классы. Класс эквивалентных
элементов называется классом смежности (по, многообразию L). Совокупность всех таких
классов называется фактор-пртстранством Е по L и обозначается ElL. Если х —
произвольный элемент из класса смежности £, то всякий другой элемент у из £
представим в виде j/ = х + х0, где х0 6 L.
В любом фактор-пространстве вводятся операции сложения н умножения на
числа. Именно, пусть I и т| — два класса, представляющих собой элементы из ElL.
Выберем в каждом из этих классов по представителю, например х и у соответственно,
и назовем суммой классов £ и т) тот класс £, который содержит элемент х + у, а
произведением класса g на число а тот класс, который содержит элемент ок. Нетрудно
проверить, что результат не изменится от замены представителей х и у какими-нибудь
другими представителями х' и у' тех же классов £ и т|. Введенные операции
удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства,
т. е. каждое фактор-пространство представляет собой линейное пространство. При
этом роль нуля в пространстве ElL играет L. Заметим, что если класс смежности \ £
6 ElL содержит 0 — нулевой элемент пространства £,— то £ совпадает с£, ибо в
этом случае любой элемент х 6 £ имеет вид х = 0 + х0 = х0 £ L. Верно и обратное
утверждение.
Прямые суммы. Пусть £ — линейное пространство, Lx, L2 L„ —
принадлежащие ему линейные многообразия. Если каждый элемент х £ Е однозначно
представим в виде
х = *! + х2 + • • • + х„, х, 6 Lc, i = 1, 2, . . . , л, (2)
то говорят, что пространство £ есть прямая сумма линейных многообразий Llt Z.2, ...
..., L„, а выражение (2) называется разложением элемента х по элементам из Llt L2, ...
..,, Ln. При этом пишут
£ = ^ + ^+ ••• + *■« (3)
(т. е. соотношения (2) при всех х £ £ и (3) равносильны).
Если £=-=£.!-(- L2, то Z.J и Z-2 имеют общим лишь нулевой элемент пространства
Е. Обратно, если любой элемент х 6 £' может быть представлен в виде х = хЛ + х%,
*1 € Llt х2 6 Z.J, и Z.J n z,2 = 0, то Е = Z.J 4- L2-
Выпуклые множества и выпуклые тела. Пусть £ — некоторое линейное
действительное ьространство, х и у — две его точки. Отрезком, соединяющим точки х и у,
237

называется совокупность всех точек вида tx + (1 — t) у, t g [0; 1]. Отрезок без
конечных точек х и у называется открытым отрезком.
Множество М с Е называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя
точками х и у содержит н соединяющий их отрезок. Ядром J (М) произвольного
множества М с Е называется совокупность таких его точек х, что для каждого у 6 Е
существует такое число в = в (у) > 0, что х + \iy g М при | ц | < в.
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.
Примеры, а) В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр,
полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в
■ том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
б) В пространстве С [а; Ь] множество функций, удовлетворяющих условию
| х (t) | <| 1, выпукло.
в) Единичный шар в lt, т. е. совокупность таких точек х=(^г, £2, ...), что
ее
V ||д |*^1, есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек х, удовлетворяю-
00
щих условию ^_ I 5* I2 < 1-
4=1
Для произвольного множества М в линейном пространстве Е существует
наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых
множеств, содержащих М (по крайней мере, одно выпуклое множество, содержащее
М, существует — это все пространство Е). Минимальное выпуклое множество,
содержащее М, называется выпуклой оболочкой множества М.
2. Нормированные пространства. В анализе часто приходится иметь дело с
пространствами, в которых введены как операции сложения элементов н умножения
нх на числа, так н некоторая топология, т. е. рассматривать так называемые
топологические: линейные пространства. Среди последних важнейший класс образуют
нормированные пространства. Теория этих пространств была развита в работах С. Ба-/
паха.
Определение (нормированного пространства). Линейное
пространство Е над полем действительных или комплексных чисел называется
нормированным, если каждому элементу х g Е поставлено в соответствие неотрицательное
число |] х ||, называемое нормой х, так, что выполнены следующие три аксиомы:
1Йж|=-0ож=0; 1
2) l| \х ]] »» | Я. | || х || для любого х 6 Е и любого вещественного или комплексного
числа X;
3) II х + у ||< |] х I! + р у ] для любых х, у£Е.
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством,
если ввести в нем расстояние по формуле р (х, у) = \\х — у ||. Справедливость аксиом
метрического пространства вытекает из свойств 1) — 3) нормы. На нормированные
пространства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, которые были
изложены в гл. 2, § 1 для метрических пространств. В частности, нормированные
пространства являются топологическими пространствами.
Нормированное пространство, полное относительно сходимости по метрике
Р (х,у) — 1\х — у |], определяемой его нормой, называется банаховым** пространством.
Очевидно, что R1 — банахово пространство (|| х \\ — \ х |, V* 6 R1); при этом
справедливо неравенство: ||*| — I J/ 11 ^1 I * — У \- Аналогичное неравенство
справедливо и для нормы в произвольном нормированном пространстве с, а именно:
Ifl*l|-I|j/Ill<ll*-J/1, V*. ydE.
Примерами других банаховых пространств могут служить метрические
пространства R", С [а; о], М [a; b\, Lp [а; о] (р ;> 1), 1Р (р > 1), сд, с, т, в которых
норма элемента х определяется как его расстояние до нуля, т. е. || х |] = р (х, 0)
(см. гл. 2, § 1).
Линейными нормированными, но не банаховыми, пространствами являются
пространства С^ [а; о]. Cj [а; Ь\ всех непрерывных на отрезке [а; Ь] функций, нормы
в которых определяются соответственно формулами:
1
Ь i Ь \Т
I*h-P<*.0)- [ \x(t)ldt, UrU-p(x,0) = n|x(fl|««) .
988

Важно подчеркнуть, что не каждое метрическое пространство может быть
нормированным с нормой, согласованной с метрикой. Например, можно показать, что в
метрических пространствах s, AR (опр. этих пространств см. в гл. 2, § 1) нельзя ввести
норму так, чтобы (|де || = р (х, 0).
Простейшие свойства сходимости в нормированных пространствах выражаются
такими утверждениями:
1. Если хп -* х (в смысле сходимости по норме || х — у || = р (х, у), то ||хп \\-*-
-> || х || (*„, х е £).
2. Если хп -* х, уп -*' у, то х„ + уп -+■ х + у (х,у, хп, уп 6 £).
3. Если хп -4-х, а„->- а, то а.пхп -*• ах (а„, а g (С; х„, * 6 £).
4. Если хп -+■ 0 (х„ 6 £), а последовательность (ап) с С ограничена, тоа.„хп~+0.
5. Если а„ -* 0 (а„ £ С), а последовательность (хп) с £ ограничена, то апхп ->- 0.
Всякое нормированное пространство Е можно рассматривать как линейное
многообразие, плотное в некотором банаховом пространстве Elt которое называется
пополнением пространства £. Иными словами, каждое нормированное пространство
имеет пополнение.
Если в нормированном пространстве £ с нормой \\х\\г задана еще одна норма
|| х \\2, то для сходимости по норме || ■ ||2 любой последовательности, сходящейся по
норме || ■ Hi,-необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная
постоянная Cj такая, что || х ||2 ^ с11| х ||j (Vx £ £). При этом говорят, что норма || ■ ||2
подчинена норме || ■ Hj.
Две нормы || ■ Jj и || ■ ||а называются эквивалентными, если существуют
положительные постоянные clt с2 такие, что с1 Цх Id =¾ || х ||2 ^ с21| х ||( (V х (Е Е).
Справедлива следующая теорема Об эквивалентных нормах.
Теорема 1. Пусть на некотором линейном пространстве Е заданы две нормы
II " Hi и II ■ Иг. по отношению к каждой us которых Е — банахово пространство. Если
хотя бы одна из норм подчинена другой, то эти нормы эквивалентны.
Если нормы J ■ Hj и || ■ ||2 эквивалентны, то сходимость по одной из норм влечет
сходимость по другой и наоборот.
Отметим, что в каждом конечномерном линейном пространстве все нормы
эквивалентны.
Ряды в нормированных пространствах, Пусть £ — нормированное пространство
и *k€ Е, k= 1, 2, ... . Формальная сумма V Xk называется рядом в £.
00
Ряд V xk называется сходящимся а Е, если в £ сходится последовательность его
й=1
п оо
частичных сумм s„= V Xk. Элемент х£Ё называется суммой ряда ^ хь, если х ™
k=\ , k=i
= Hm s„. »
л-voo
Теорема 2 (критерий Кош и). Пусть Е — нормированное пространство.
оо
Для того чтобы ряд V х^ сходился, необходимо, а если Е банахово, то и достаточно,
k=\
чтобы для любого е > 0 нашелся номер /ц такой, что при всех п> щи при всех на*
(п+р |
V xk < е.
оо
Ряд V xk называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд
\ 1**1-
*-1
Теорема 3. Пусть Е — банахово пространство. Тогда всякий абсолютно
сходящийся в Е ряд сходится.
Подпространства нормированного пространства. Так как линейное
нормированное пространство £ есть частный случай линейного пространства, то для £ имеют
239

смысл все понятия, введенные для линейных пространств (например, линейная
зависимость и независимость элементов, линейное многообразие, разложение Е в прямую
сумму и т. д.). Однако в нормированных пространствах вводится новое понятие —
понятие подпространства, которое не могло быть определено в линейном пространстве,
ибо линейное пространство не снабжено топологией (сходимостью).
Замкнутое линейное многообразие L в нормированном пространстве Е называется
подпространством. Так, например, R1, R2 являются подпространствами пространства
R™ при л 5» 3, а линейное многообразие Р [а; Ь] всех многочленов на отрезке [а; Ь]
не является подпространством нормированного пространства С [а; Ь], ибо оно не
замкнуто (например, в пространстве С [0; 1] последовательность
п k \
*(х) = 2 Ж ~*е* $ р 1°: Ч ■
Jfe=0 ' /
Напомним, что расстояние р (х, L) от точки х до подпространства L определяется
равенством р (х, L) = inf || х — у ||. Число р (х, L) характеризует наилучшее прибли-
жение элемента х с помощью элементов подпространства L. Если существует элемент
у* 6 L такой, что р (х, L) = \\х — у* ||, то у* называется элементом наилучшего
приближения х элементами подпространства L. Элемент наилучшего приближения
может оказаться не единственным или может не существовать вообще. Однако
справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть L — конечномерное подпространство нормированного
пространства Е. Тогда для любого %£Е существует (возможно, не единственный) элемент
у* 6 L такой, что р (х, L)=^ || х — у* |.
Конечномерность и компактность. Как известно (см. гл. 2, § 1), каждое
компактное множество в метрическом (нормированном) пространстве ограничено. Обратное
утверждение в произвольном нормированном пространстве неверно. Например, из
ограниченного в пространстве 13 множества векторовМ = (¾ : е^— (0, ■•■, 0, 1, 0, ...),
k g N) нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, ибо р (ед, ет) = 11¾ —
— £т\\= V% если только k Ф т. Однако если Е — конечномерное нормированное
пространство, то каждое ограниченное в Е множество уже будет компактным. Иными
словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Для того чтобы каждое ограниченное множество в нормированном
пространстве Е было компактным, необходимо и достаточно, чтобы Е было
конечномерным.
Неограниченное множество L элементов нормированного пространства Е
называется локально компактным, если пересечение L с любым замкнутым шаром в Е
компактно. В приложениях наиболее интересным случаем является тот, когда L —
линейное многообразие или подпространство в Е.
Теорема Ь (Ф. Р и с с а). Для того чтобы линейное многообразие L
нормированного пространства Е было локально компактным, необходимо и достаточно, чтобы
L было конечномерным.
Следствие. В бесконечномерном нормированном пространстве любое
компактное множество нигде не плотно.
Теорема 7. В бесконечномерном линейном нормированном пространстве
единичный шар не является компактным множеством.
3. Пространство линейных ограниченных операторов. Определение
(линейного оператора). Пусть ЕЛ и Е2 — линейные нормированные пространства и
множество ЙсЕ^ Если каждому х 6 Q ставится в соответствие определенный элемент
у = Ах € Е2, то говорят, что на О, определен оператор А, отображающий О, в Е2.
Множество Q называется областью определения оператора А и обозначается & (А).
Вообще говоря, не предполагается, что Ш (А) — Еи однако мы всегда будем считать,
то,® (А) есть линейное многообразие, т. е. если х,у£Ш (А), то ах + рЧ/ 6 Ш (А) для
любых числовых множителей а, р\ Множество R (А) с £2 всех элементов вида
у = Ах, где х 6 й) (А), называется областью значений оператора А.
Оператор А : Ег -у Е3 с областью определения Ш (А) с Ег называется линейным,
если
А (ах + р» = аАх + pVlj/ (V а, 0 £ С; V х, у £ 0 (А)).
МО

Оператор А называется непрерывным в точке хь 6 В (А), если Ахп -*■ Axt при
хп ->- ха (хп 6 В (А), п 6 N) или (что равносильно) если для произвольного е > О
существует такое о > 0, что неравенство || х — ха \\ < б влечет неравенство || Ах —
— Аха || < е. Если оператор А непрерывен в каждой точке области определения
& (А) с £], то говорят, что А непрерывен на Ш (А).
Множество тех х £ Ш (А), для которых Ах = О, называется ядром линейного
оператора А и обозначается кег А. Как ядро кег А, так и область значений R (А)
оператора А являются линейными многообразиями. Если оператор А непрерывен
и В (А) = Ег, то кег А является подпространством, т. е. замкнуто. Что же касается
области значений оператора А, то R (А) не обязательно будет подпространством в £2,
даже если & (А) = £,.
Если линейный оператор A : Et -»- £2 задан на всем пространстве Еи то о
непрерывности оператора А в различных точках пространства Ег можно судить по
непрерывности его в нуле.
Теорема 8. Линейный оператор A : £t -*■ £2, заданный на всем Ег и
непрерывный в точке 0 6 Elt непрерывен в любой точке х0 6 £х.
Линейный оператор А : Е1->- Е2 с & (А) = £j называется ограниченным, если
существует постоянная с> 0 такая, что для всех х i Ег \\ Ах ||£j =¾ с \\ х ||£i.
Наименьшее из чисел с, удовлетворяющих этому неравенству, называется
нормой оператора А и обозначается \\ А ||. При этом
ИII = sup , ' = sup || Ах |е = sup | Л* Ь,. (4)
Понятия линейного непрерывного оператора и линейного ограниченного
оператора эквивалентны.
Теорема 9. Для того чтобы линейный оператор А : Е1 -»- £2 с В (А) — Ег был
непрерывным, необходимо и достаточна, чтобы он был ограниченным.
Если область определения @> (А) линейного оператора А: £\ -*■ Е2 не совпадает
с Elt то на такой оператор переносится понятие ограниченности (на & (А)) и нормы,
если только требовать, чтобы соответствующие соотношения выполнялись для всех
элементов х из В (А) (а не £х). Отметим, что если область определения линейного
ограниченного оператора А всюду плотна в линейном нормированном пространстве
Еи а £2 — полное линейное нормированное пространстве, то А может быть
продолжен на все пространство Ел без увеличения его нормы.
Пространство^ (Ел, Е2). Пусть А, В, С, ...— линейные ограниченные
операторы, определенные всюду в нормированном пространстве £] и со значениями в
нормированном пространстве Е2. Множество всех таких линейных ограниченных
операторов обозначается через <£ (Е1, Е2). Это множество само является линейным
нормированным пространством с нормой (4) и естественным определением сложения
операторов и умножения их на число: если Л, В £ 3 [Ех, Е2), то
(А + В) х = Ах + Вх, (аА) х = А (ах) = оАх (V<* € С);
при этом || А + В ||< || А || + || В ||, (1 аА (| = | а \ \\ А Ц (т. е. норма (4) удовлетворяет
всем аксиомам нормы).
Если£2 = R (или£2= С), то произвольный оператор/6 3 (Elt R) (f £ 2 (Elt С))
называется линейным непрерывным функционалом над пространством £j.
Пространства 2 (Е, R), которые обозначаются Далее через Е* и называются сопряокенными
пространствами, будут изучены в гл. 3, § 1.
Теорема 10. Если Ех — нормированное пространство, а Е2 — банахово
пространство, то -2* (Ei, Е2) — банахово пространство.
Если в пространстве 2 (Elt Ех) »== 2 (Ех) положить, по определению, (А В) х =
= А (Вх), то 2 (Ei) становится алгеброй с единицей, где единицей является
тождественный оператор I: Е1 -*- Еъ lx = х.
В общем случае произведение операторов определяется следующим образом:
пусть В : Ех -*■ Е2, А : Е2-* £,, причем R (В) с ® (А); тогда (АВ) х = А (Вх),
причем Й) (АВ) — в (В). Операция умножения операторов свойством
коммутативности не обладает: АВ Ф ВА. <
В пространстве 2 (Еи Et) можно определить различные виды сходимости. i
241

Последовательность (Ап) с £? (Elt Е2) называется разномерно сходящейся к
оператору А 6 £? (Ei, Ea) (обозначается: Ап rj А при п -»- оо), если \\ Ап — А \\ -»- 0 при
л-*-оо. Такую сходимость называют еще сходимостью по норме пространства
2 (EltE^. В этом же пространстве можно ввести и другую сходимость, называемую
поточечной.
Последовательность (Ап) а З' (Elt Ег) называется поточечно сходящейся к
оператору А £ 3? (Ei, Е2) (Ап -»- А при п -»- оо), если для любого х (Е Ег |) Апх — Ах\-*-
-*■ 0 при п -*■ оо.
Из равномерной сходимости последовательности (Ап) следует поточечная схеди-
мость этой последовательности, однако обратное утверждение неверно.
О нормированных пространствах см. [16; 20; 33; 40).
Примеры решения задач
1. Показать, что эллипсоид
М
* = &. £,. ■■■)€'«■■ f «2^<l)
n=l J
есть выпуклое в /2 множество, но не выпуклое тело. —
Решение. Пусть х = (|ь 12, ...) 6 М, # = (т)ь т]2, ...) £ М.
Рассмотрим совокупность элементов
1-^ + (1-0^=(^ + (1-0%. <5, + 0-Н. ■■■) С€Ю; И)
и покажем, что z £ М. Действительно, при любом т £ ЭД
m m
£ л* (¾. +(1-0 Ля)2 = P S л"й +
я=1 я=1
m m
+ 2*0-0 £ ^6-1-+(1-01 S n^»-
n=l n=l
Далее вовпользуемся неравенством Коши — Буняковского
т I т \2 / т \ 2
£1*АК £ \ая\Л £ IM2 •
n—l \я=1 / \я=1 /
Тогда
— 2-
m m I m \ 2 / m Л 2
я=1 я=1 \n=l / \/t=*l / *
Следовательно,
m mm
I л2№, + (1-*Ип)2<'2Е nS|n + (l — 0aH n2nl +
П—1 №=1 . /I—1
1_ 1_
(m \ 2 / m \ 2
hn4v [!Lin2riv - m
242

Поскольку, по предположению, 2 «г£л^1 и $] п2т1л^С1, то, пере-
л— 1 п»1
ходя в (5) к пределу при т -*■ оо, получим
f "2(^ + (1-9ъ)2<'2+(1-*)2+2*(1-0= 1.
т. е. z £ М.
Покажем, что ядро эллипсоида J (М) пусто. Действительно, пусть
в противном случае *£ У (М)сг М, у0 = Л —— , —^-, ...
\ 2~ з"5"
...,——, ... | € /2 и для некоторого ц>0 вектор х + уьу0£М,
п~
00
т. е. £ л2
п=1
Ь. + ^г
<
L +
<! 1. Тогда
1п + -
^ п
+ 16.1<^ + 4--Х (у«е
ибо если *£М, то |5„К —, «€n- Таким образом, для любогв
2
я£м имеем \i^-^=-, откуда (д. = 0. Полученное равенство про-
тиворечит допущению, что ц > 0. Значит, ядро множества М пусто.
2. а) Является ли нормой функция R1 Э х -у | arctg х | ?
б) Определяет ли в IR2 норму функция
0^ = (^, У-4*1 =4Ы +16,1?
Если да, то что представляет собой единичный шар в R*
относительно введенной нормы?
в) Показать, что функция
Ш?Эх = аг, ...,U-4*l.- I llftl
A=l
не является нормой на IR" при 0<р<1 ип>2.
Решение, а) Нет, не является, ибо не выполняется вторая
аксиома нормы. Действительно, если взять х = ]/3, X =-j- , то (f Яд:J -«
«= arctg-^- = -5., a |X||*fl = -Larctg 1/3 = -1---^ = -^:
поэтому ||Хх|*4%|И-
б) Да, определяет. Выполнение первых двух аксиом нормы
очевидно. Нетрудно видеть, что выполняется также и третья аксиома: если
* = (Ь, Ы, У = (»li, *Ъ), то
l* + y|-|Si + ibl+l6i+»i.KI6il + l5.l + hil +
«48

Единичный шар
в [о, 11 ={* = (£„ уекмы + ц.кп
в IR2 относительно введенной нормы представляет собой единичный
квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, —1), (—1, 0), (0, 1), лежащих
на осях координат ОХ и OY.
в) В данном случае не выполняется третья аксиома нормы (т. е.
неравенство треугольника). Действительно, возьмем вектор х = (-я-,
б о) 6 R" и вектор у = (о, ~, 0, .... о) £ R". Ясно, что дс ^= «/,
не Ц * 1р = || у |]р = -j- Для любого 0 < р < 1 и jxjp + jyl= I.
Однако,
1 4--i
Поскольку /О £ (0; 1), то 1>0и 2" > 1. Следовательно,
1х + у\\р>\\х\\р + \\у\\р.
3. Являются ли нормами на множествах определения следующие
функции:
а) С [а; Ь] Э х -> max | х (f) |;
1 , 1 \> _2±-im
a=S«-2±S.
б) С" [а; 6] Э ж -> | ж (а) | + max | л;' (i) |;
в)С(1)[а; 6j ->|*(Ь) —*(а)|+тах|*'(0|?
Решение, а) Нет, ибо не еы юлняется первая аксиома нормы!
а+Ь
а; —к—
еели Ц лс || = 0, то max |*(/)| = о, т.е. х(/)=>0 на
но, вообще говоря, х (f) Ф 0 т отрезке [а; Ь].
б) Да, является. Проверим выполнение первой аксиомы. Если
х (f) за 0 на [а; Ы, то | х (а) | + max | *' (*) | = 0. Обратно, если
, х (а) | + max | х' (0 | = 0, то х (а) = 0 и дс' (/) = 0 на [а; Ь]. Сле-
довательно, х (f) = с (с = const). Так как а; (а) = 0, то с = 0, т. е.
х (t) sa 0 на [а; Ы.
Выполнение остальных аксиом нормы очевидно.
в) В данном случае указанная функция нормой не является, ибо
не выи ■'няется первая аксиома нормы. Действительно, если \хф) —
— х(а)\ + max | х' (f) | = 0, то х (Ь) = х (а) и х' (0 »0 на [а; Ь].
Следовательно, х (f) зя с (с = const). Взяв t = а, найдем, что с = х (а),
т. е. х (0 =* ж (а) = л (ft) на [а; Ь]. Если л (а) Ф 0, то a; (f) ^ 0 на [а; ft].
»44

4. а) Проверить, что нормы
|*|i = max|x(0|, M2 = M*W
не эквивалентны в С [0; 1].
б) Будут ли эквивалентными в пространстве С(1) [а; Ь] нормы
11*11! = max I* (01 + max |л:'(*)|
1*1.= 1 |*МИ*+ max|*'W|?
Решение, а) Напомним, что две нормы, введенные на одном
линейном простраастве, эквивалентны тогда и только тогда, когда из
сходимости последовательности по одной из этих норм вытекает ее сходимость
пэ другой норме и наоборот. В данном случае, например,
последовательность хя (0 = f сходится к нулю по норме \ • |2, ибо
мл-(;л«)'—ягп—о
при п -*■ оо, но не сходится по норме [ - |i, так как сходимость по норме
5 • |i эквивалентна равномерной сходимости, а последовательность х„ (/)
поточечно сходится к функции
(0, 0<*<1,
которая разрывна и не принадлежит пространству С [0; 1].
Следовательно, нормы J • Ji и | - (я не эквивалентны.
б) Нормы ) • j|i и || - ||9 эквивалентны. Норма Ц • [\2 подчинена норме
J ■ ||i. Действительно,
Mi<max|*(flf-T-max|x'(*)|=J*li-
Следовательно, для того чтобы установить эквивалентность ука-
яанных норм, достаточно (в силу теоремы 1 об эквивалентных нормах)
установить полноту пространства С(} [0; 1] относительно каждой из'
норм || • |t и || • ||2
Покажем, что пространство С(1) [0; 1] полно относительно нормы
|| • ||i. Пусть (х^)— фундаментальная по норме J • ||i последовательность
в С(1) [0; 1], т. е. для любого е > 0 существует k0 £ ^ такое, что для
всех k > k0, т > ka
\\xk — *m|li = max | xk (t) — xm (t) \ + max | x'k (f)—xm(f)\< e.
Используя критерий равномерной сходимости функциональной
последовательности, иэ данного неравенства получаем, что существует
24»

-функция х0 (i) £ C(I) [0; 1] такая, что хк (i) z£ х0 (t), х'ь (t) z%. Хо (/) при
k -*■ оо на 10; 1]. Это и означает, что последовательность (х^ с: С(1) 10;
1] сходится по норме [ • ^ к *0 (t) £ С(1) [0; 1].
Если последовательность \х^ фундаментальна по норме || • Ц2, то
для любого е > 0 и всех k >• k0, т > кй
i
max |x'k(t) — хт (t) | < e и Uxk (t) — xm (t) \dt<*.
Тогда последовательность (Xkify) равномерно на [0; 1] сходится
* некоторой функции ф0 (f) из С [0; 1], а последовательность (хк (i))
сходится в Lx [0; 1] (в силу полноты этого пространства) к функции
х0 (i). Следовательно (см. гл. 1, § 4), существует подпоследовательность
(xk (t)), сходящаяся к х0 (f) почти всюду на [0; 1].
Пусть t0 — такая точка из [0; 1], что хка (t0) ->■ х0 (t0) (при п -*■ оо).
Интегрируя подпоследовательность (хьп (0) почленно, получим
xka (f) - xkn (te) -* j Фо (т) dx (Vt£ [0; 1 ]).
Отсюда
t
**„ W -**o (to) + J Фо W dx (V t g [0; 1]),
и
t
*». е. х0Щ*~ c+ j ф0(т)^т (почти всюду на [0; 1]).
h
Поскольку элементы пространства Lx [0; 1] определяются с точ-
иостью до эквивалентности, а функция c+\q>0(x)dx абсолютно
непрерывна на [0; 1], то >;0 {f) £ С(1) [0; 1] и х'й (i) = Фо (О (V / £ [0; 1]).
Кроме того, очевидно, || хп — ха ||2 -> 0 при п -*■ оо.
Этим установлено, что пространство С(1) [0; 1] полно и
относительно нормы J • ||2. Таким образом, нормы | • Hi, || • ||2 эквивалентны.
Отметим, что эквивалентность норм | • Jx и | • ||2 можно установить
и непосредственно, проверив, что из сходимости последовательности
(*„) с С(1) [0; 1 ] по норме 1 • ||t вытекает ее сходимость по норме || • ||2
и наоборот.
б. Будет ли полным пространство lt относительно нормы ||*||i=*
-iupIS» |(* = (£4)6/1)?
Решение. Как известно, пространство /х полно относительно нормы
11 х |2 = Е I Ъ* I- Кроме того, очевидно, норма JJ • Jx подчинена норме
I • J2, т. е. |) х ^ <! Ц х |а. Если бы пространство /х было полным
и относительно нормы | • |ь то. согласно теореме 1 об эквивалентных
54G

нормах, рассматриваемые нормы | • ji, || • |к должны быть эквивалент
ными. Однако это не так. Действительно, Последовательность л* =*
=(iiiizj'0>""0>'")сходится па норме' '1 к нулевЛ°му
п
влементу (| хп I = 1 -* о), но эта же последовательность не
является сходящейся в ^ по норме || • |а, ибо она н^ фундаментальна
I Хп — *2п ||2 = 2j
k=l
1
2n
2n
+.£^r=
**»п+1
Следовательно, пространство /х не полно По норме J • 1
6. Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве
последовательность (*„), если:
.)^-/^-^0.....0.-^.-^.
п-1
ст> 1;
б) Е - /,
.. ^=(-1, 0, .... 0, 1, 0, 0, ...);
-d)
,п+1
tn+2
в)£-С?"[0;1]. ^n(0=i+r-^+2-;
г) £ = Ц [0; 1], хл (0 = е ". если ' -иррационально,
10, если ^ — рационально;
\yj — nVnt, t£\o; J_
д) £=La[0; 1], *„(*)=" / ! ] L «J*
Решение, а) Последовательность (x„) сходится в lly ибо она фунда-
[тальна в lt:
ментальна
n+it^i
Р (Хп, Хп+Р) = \хп —Xn+pl = £ --5- < Ц
*=ге
А=п
4я
при л -»- оо равномерно относительно р £ RJ.
б) В данном случае
Р»&,, «н-0 =1*» -*»+»Р = (-J jnjrr)" + Я> 2,
т. е. последовательность (*,,) не является сходящейся в /
в) Последовательность (хп (<)) сходится к функции** (йвО нбо-
к„ (f) =fc 0 при Я-+-О0 и '
Hmsupj«,(0|-limiupl<"(l-/)|-lim ?" , д о
J4T

f. е. и Хп (f) r£ 0 при п -*■ оо Этим установлено, что
II хп || = max | хп (01 + max | х'п (Ol =
/€[0,1] /£[0,1]
= max , . д
/<S[0;i]| "+1 " + 2
+ тах|'"(1 —01-^0
/€[0,1]
при П -*- <Х>.
г) Отметим, что каждая функция х„ (t) интегрируема по Лебегу
(ибо она измерима и ограничена), но не интегрируема по Риману (она
разрывна на множестве положительной меры). Последовательность
(хп (f)) сходится в Lx [0; 1] к функции х (0 == 1. Действительно,
1 1 1
\ха- 11 = J |хп (0 - 1 \dt = J (*„ (0- 1)Л = - 1 -+ j *„ (0 Л =
0 0 о
1
1 t
— 1 + $ * " d* = — 1 +
1_ "
п
при /г -»- с» (здесь мы воспользовались тем, что интегралы Лебега от
эквивалентных функций совпадают, а функция хп (i) эквивалентна
_t_
функции е ").
д) Последовательность (х„) не сходится в L2 [0; 1], так как она не
фундаментальна. Действительно, для произвольных п, р £ ft| имеем
р2(*„, хп+р) =\хя— хп+рf =
1
п+р
(У7Г+~р — (п + р) Vn+~pt — Vk + nVntf dt +
i
2 Yn , 1 n\rn
+ [ (yn-nVntfdt = ~—_L^-+i .
__[_ 3 Vn + p ^ 3 (n + /») V"n + p
n+p
Если взять p = n, то, как нетрудно подсчитать,
P*(xn,x2n)= 4^~5 >0.
7. Пусть L-* = (W6£: f j gA = 0, £» 6 r) • Образует ли L
подпространство в пространстве £, если:
а) Е = /1; б) £ = /р (р > 1)?
Решение, а) Очевидно, L — линейное многообразие в lv Пусть
последовательность хп = (g{n), £^, ... , g^, .. .) £ L и *„ -> *„ =
= (?i°\ £^. .... £*°\ • ..) при л-^-оо в /,, т. е. для любого е>0
S4 а

существует n0GRJ такое, что для всех п>л0 справедливо нера-
00
венство || хп — х0\\ = £ | lin) — ^ I < е. Тогда
Е й"
*=1
S (й°-Ю +
А=1
S Ef
*=i
<е.
Поскольку е>0 произвольно, то
£.*
= 0, т. е. £ |
(0)
0.
*=i
Следовательно, L — подпространство в lv
б) L — линейное многообразие в 1р(р > 1), но не подпространство»
Действительно, последовательность
хп= 1. — —-
--£-, 0,0,
.)„
и *„ ->*0 = (1, 0, 0, . . .), так как
Хп Хп
я+1
Х-
fe=2
1—-
при п -*■ оо, но х„ gf L.
8. Обозначим через С™ [а; &] множество всех функций,
удовлетворяющих на [а; Ь] условию Гельдера 6 показателем а £ (0; 1]:
#«(*)= sup ' ; ,„ < + °°-
Доказать, что С* [а; Ь] является банаховым пространством
относительно нормы
II*It = max f х(t) | + На (х), x(SC* [a; b]. (6)
Решение. To, что формула (6) определяет норму в С* [а; Ь\,
проверяется непосредственно. Докажем полноту этого пространства.
Пусть (хп (f)) — фундаментальная последовательность в С* [а; Ь],
т. е. | хп — *т||а-»-0, если я, m-*■ оо. Поскольку каждая функция
из С* [а; Ь] является непрерывной, т. е. С" [а; Ь] а С [а; Ь], то из
(6) следует, что последовательность (хп (£)) будет фундаментальной и в
С [а; Ь]. Но так как С [а; Ь] — банахово пространство, то (хп (t))
сходится в С [а; Ь], т. е. существует функция х (f) £ С [а; Ь] такая, что
\\хп — х ||С[а:й] -*■ 0 при п -*■ оо. Покажем, что х (f) £ С™ [a; Ь].
Действительно, из фундаментальности последовательности (хп (/))
вытекает ее ограниченность (по норме), т. е. (| хп (^ ^ К для всех п £ ЭД.
В частности, и На (хп) ^ К для всех п, т. е. для любых точек t
и т из [a; b](t^r) имеем I*"<*>-Мт>1 ^к. ,
64»

Переходя в последнем неравенстве к пределу при п-*-оо
(учитывая при этом, что хп (/)-»- x(t), хп (т) ~*"х (т) ПРИ п~*-оо), находим
l*W~*jT>l <^к, т. е. HaW<K, откуда и вытекает, что x(t)$
\t — т г
€Ca[a; ft].
Покажем, что последовательность (*„ (0) сходится к х (i) ив
пространстве С01 [а; Ь], т. е |) *„ — * fla -»- 0 при п -*■ с». Для этого
достаточно установить, что На (хп — х) -*■ 0 при п -*■ оо. Из
фундаментальности <хл (i)) следует, что для любого е > 0 существует п0 = п0 (е) такое,
что Но (хп — х^) < е, если п, т> пв. Тогда для любых двух точек t
и -г из [a; b] (t Ф т) имеем
I *п (t) — xm(f) — (*„ (т) — хт (т)) | , .
Отсюда при /и -»■ оо с помощью соотношений xm(f)->- х ((), х'т (%) -*•
-*■ х (т) получаем
\Xn(t)-X(t)-X„(T) + X(T)\ ^ , -
Поскольку последнее неравенство справедливо для всех t и т из
[a; b] (t ф т), то и На (хп — х) <! е. Таким образом, для любого е > 0
существует п0 = л0 (е) такое, что для всех п > л0 выполняется
неравенство На (*„ — *) ^ е. Это и означает, что На (хп — х) -*■ 0 при
п -*■ оо. Тогда и fl *„ — дс ||а ->- 0 при п -»- оо. Утверждение доказано.
9. Пусть Г — произвольное множество, К — числовое поле.
Обозначим через К множество, элементами которого являются функции
х : Т -*■ К, а через /р (7) (р~^\) — линейное многообразие в Кг,
образованное теми функциями х (f), которые отличны от нуля не более
чем на счетном множестве t £Т и для которых $j | х (/) f <С +<». До-
<ег
казать, что формула
i
Мр = (|г1*ОГ)'
определяет норму в 1Р{Т), относительно которой lp (Т) является
банаховым пространством.
Решение. Аксиомы нормы (1), (2) выполняются очевидно. Проверим
выполнение третьей аксиомы.
Пусть х {ft, y(i) € /„ (Л и М = {* £ Г : х (f) Ф 0}, Ма = {t €
^ Т: у (/)=#= 0}. Функция 2 (0 = *(/) + у (i) может принимать отличные
от нуля значения на множестве М = Mt U М2, которое также
является не более чем счетным множеством. На основании неравенства Мин-
ковского заключаем, что
1
±.
H.-(Jki«w + ,»r)'<(jii,»r)» +
J60

+(1! ыогГ = (£ шаг)" + (£ \утрУ -
= ИР + |Ы|-
т. *. аксиома (3) нормы также выполняется.
Покажем, что пространство 1Р (Г) полно относительно введенной
нормы Пусть (.¾) — фундаментальная последовательность в lp (Т),
Mt = {t £ Т : xk (f) ф. 0} (k £ И) Рассмотрим множество М = [} Mft,
которое (как объединение счетного числа не более чем счетных
множеств) также счетно. Из определения фундаментальности вытекает,
что для любого е > 0 существует я0 € И такое, что для всех k, m^ п0
II *ы-*Л = (S I Ч (0- хт (0 Г) " < е. (7>
Пусть fb t%, ...— точки множества М, т. е. М = \t\, t%, ...}.
Возьмем ^£М Тогда, в силу (7), для k% т^ п0 имеем [ xk (^) — хт (/х) | <
■< е, т. е числовая последовательность (¾. (t^) фундаментальна, а
значит, и сходящаяся: хк (ti) ->- Хг при А ->- оо, где ^ — некоторое число.
Аналогично хк (Q -+ х2, ., xk (tm) -*• хт, ... .
Определим теперь на Т функцию х (f) соотношением
xm, t = tm£M, «=-1,2,...,
0, t£T\M,
Ясно, что числа хт также могут равняться нулю.
Поскольку неравенство (7) справедливо для всех t £ М, то оно
будет выполняться и для /£ Мз == {*!, ^, ..., t,} с: М (s ^ И —
произвольное фиксированное число), т. е.
/2 \xk(i)-xm(i)fY <е (А, «>л„).
Переходя в последнем неравенстве к пределу при т-> оо,
находим, что
*(0 =
< е (А > лв).
Поскольку это неравенство выполняется на любом множестве М&,
то и
1
В силу произвольности е > 0 следует, что xk (i) -*■ х (t) при k -*- оо
в /р (7), а также х (f) £ 1Р(Т). Действительно, поскольку
последовательность (хк) сходится, то существует постоянная с > 0 такая, что-
161

|| xk I ^ с для всех k £ (¾]. Взяв k > п0 (например, k =- я„ + 1), най-
дем || х\\р < | * — *А Цр + 1 хк I < с + е, т. е. х £ lp (Т).
10. Пусть Lp [0; 1], 0<р<1.— множество всех измеримых
по Лебегу на [0; 1] функций, для которых ] | x(i) fdt<i -\- во.
о
а) Показать, что соотношение р(*, У) = ) \x(f) — y(t)\pdt опре-
о
деляет метрику в Lp [0; 1].
б) Доказать, что в пространстве Lp [0; 1] нет выпуклых открытых
множеств, отличных от Lp [0; 1].
Решение, а) Аксиомы 1), 2) метрики легко проверяются.
Так как 0 <; р < 1, то при а ^ 0, Ъ ^ 0 справедливо неравенство
(a + b)" <! ар + Ь". Отсюда следует, что
1 1 1
0 0 о
т. е. выполняется н неравенство треугольника. Заметим при этом,
1
что величина ] \x(t)\" dt нормой в Lp[0; 1] не является.
о
б) Предположим, что М — некоторое непустое выпуклое
открытое множество в Lp [0; 1]. Поскольку Lp [0; 1] — линейное
пространство, то, не ограничивая общности, можно считать, что 0 £ М. Тогда
существует открытый шар В (0, г) = {х £ Lp [0; 1] : р (х, 0) <; г},
г > 0, полностью содержащийся в М. Зафиксируем произвольную
функцию х0 (f) £ Lp [0; 1]. Так как 0 < р < 1, то существует п £ ЭД
такое, что
р^'^„ = 1_(|*в(0|'Л<г.
(n+1)1-" («+1)1-" J ' ° ■
Известно (см. гл. 1, § 5),, что функция f(t) = \|дс0(т)|р dx, ко-
о
торая представляет собой неопределенный интеграл от интегрируемой
функции | х0 (f) \", абсолютно непрерывна. Следовательно, по
заданному е = X i наиДется такое &> 0, что если отрезок [0; 1]
произвольно разбить на частичные промежутки с длинами, меньшими б,
то в каждом из них колебание функции / (i) будет меньше е. Таким
образом, существуют точки 0 = t0 <. tx < ... < tn = 1 такие, что
U
\f(tt)-f(ti-i)\- J \x0W\'dt<££ffi (f-1, 2, .... ¢.
Образуем теперь функции
f(n+l)*,(Q, * = *„
"^"l 0, **.*„
Ш

I(n+l)x0(f), *,_,<*<*„
y<{f) ~ I 0, *€ [0; l}\(tt-i\ til f« 1, 2, ... , я,
которые принадлежат шару В (0, /■), ибо р (у0, 0) = 0 < г и
р&*. о) = (п+1)" J к(ог^< /1*°;Д <'. t = i, 2,...,«.
Но так как В (0, г) с: М, то у, (0 G М (i = 1, 2, ..., л). Поскольку
М — выпуклое множество и
*о (0 = х+-Г (?• (О + »1 (0 + : ■ • + У» (0).
то *„ (/) £ М, т. е. Lp [0; lie М. Следовательно, М = Lp [0; 1].
Замечание. В пространстве Lp [0; 1], где р> 11 с нормой ||*|| = I I I x!(ff<tt I I,
этого свойства нет: любой открытый шар
; Ц:П\х(1)-ха,
в(х0, r) = {x£Lp[0; 1] : \ х (f) - хй (t) \° dl \ <г
р
представляет собой выпуклое множество, не совпадающее с Lp [0; 1]. В этом состоит
одно нз отлнчнй случая 0 <С р < 1 от Случая р ;> 1.
11. Доказать, что С() [а; Ь] является множеством первой
категории в С [а; Ь].
Решение. Пусть В [0; п] — шар радиуса п с центром в точке х (i) es
еОв пространстве С(1) [а; Ь], т. е.
5[0; л] = {*£С(1)[а; bp||*li=. max |*(Q| + max \x'(t)\^n, п£Щ).
t€[a.b\ te[a;b]
Тогда, как легко видеть, С(1) [а; Ь] = [) В [0; л]. Рассмотрим В [0;п]
п
как множество в С [а; Ь]. Если мы покажем, что при каждрм л £ ЭД
В [0, л] нигде не плотно в С [а; Ь], то это и будет означать, что С(1) [а;
Ь] — множество первой категории в С [а; Ь]. Поскольку в
бесконечномерном нормированном пространстве любое компактное множество
нигде не плотно (см. следствие теоремы 6), то достаточно установить
компактность каждого шара В [0; п] в С [а; Ь].
С этой целью заметим, что норма 1*1 = max \ х (f) \ подчинена
норме || х II т. е. J х I ^ 1 х ^. Поэтому множество В [0; п] равномерно
ограничено в С [а; 6] (для любого х £ В [0; л] имеем (| х Ц ^ j х Ц, <; л),
а из соотношения
|*(W-*(yi-l*'(e)H'i-'il<»l'i-'.|. к, tti[a;b],
253

вытекает, что В [0; п] — равностепенно непрерывное в С [а; Ь]
множество. Значит, на основании теоремы Арцела, множество В [0; п]
компактно в С [а; Ь]. Утверждение доказано.
12. Пусть Е — линейное нормированное пространство, L —
подпространство. Доказать, что-
а) в фактор-пространстве EIL можно ввести норму соотношением
J g It = inf J x l где | £ EIL (g — класс смежности);
б) если E — сепарабельное банахово пространство, то во
введенной норме EIL — сепарабельное банахово пространство;
в) EIL изоморфно IR, если Е = С [0; 1 ], L = [х (i) £ С [0,
1 ] : дг (0) = 0}
Решение, а) Очевидно, что | 5 ^ ]> 0. Покажем, что 1£ d = 0
тогда и только тогда, когда" l=L (напомним, что L — нулевой элемент
в ElL) Сначала заметим, что каждый класс смежности | есть замкнутое
множество. Действительно, пусть (хп) — последовательность элементов
из |, сходящаяся к некоторому элементу х £ Е. Согласно определению
фактор-пространства, для любых п и т (хп — х^ £ L. При т -> оо
имеем хп — хт -> хп — х. Так как L замкнуто-, то хп — х £ L. Но тогда
х принадлежит классу смежности | вместе с хп.
Пусть [| | d = inf || х || = 0. Из определения inf следует, что для
любого п £ ЭД в i существует последовательность (хп) такая, что 0 ^
^|*nll<—. т- е- хп -*■ 0 ПРИ п -*- °°- Вследствие замкнутости
класс смежности £ должен содержать и 0, но тогда £ = L и || L ^ = 0.
Таким образом, первая аксиома нормы выполняется. Остальные ак-
еиомы нормы легко проверяются.
б) Прежде всего покажем, что сходимость по введенной в фактор-
пространстве EIL норме последовательности классов (£„) к классу £
эквивалентна тому, что существует последовательность элементов хп £
g £„ такая, что хп -*■ х при п -*- <х>, где х — некоторый элемент из £.
Действительно, пусть j £„ — £ ^ -*■ 0 при п -*■ оо, т. е. Q £„ —
— £ 111 = е„, е„ -> 0 при п -+ оо. Поскольку { £„ — £ |t = inf Ц z §,
то в классе £„ — £ содержится элемент гп = г/„ — * такой, что г/„ £ £„,
* £ | и е„ ^ | уп — х | < 2е„ (здесь элемент *, вообще говоря,
зависит от и). Пусть х0 — любой фиксированный (не зависящий от п)
элемент из класса £. >
Тогда fl (г/„ — х + *0) — х0 Ц < 2е„. Но так как х0 £ £, * £ £, то
(*0 — x)£L и *„ = г/„ — х + х0£ Ъп; при этом хп-+х0 при я->-оо.
Итак, для элемента я0££ построена последовательность (jtjcrln
такая, что 'хп-*-х0.
Обратно, пусть существует последовательность хп £ £„ такая, что
хп -*■ *, где х £ £. Так как
16»—еь= ^f 1у»-укк-дг|,
те |(„ — | |i -*• 0 при п ->- оо и тем самым утверждение доказано»
864

Пусть М = {х1, х2, ...( — счетное всюду плотное в Е множество
Сопоставим каждому элементу х,£М класс смежности |„ = хп + L,
содержащий этот элемент. 1Множество t£ = {li, |2> •■■} всех таких
классов смежности будет счетным всюду плотным множеством в
фактор-пространстве EIL. Действительно, пусть | £ E/L — произвольный
класс смежности. Возьмем в £ произвольный элемент х. Тогда
существует последовательность элементов (Xn^kLi с: М такая, что | хПк —
— х || -г>- О при k -> с» Так как xnjt £ |„ft £ {£, то из доказанного выше
следует, что || |„ft — 5 jli -> 0 при k -*■ с». Таким образом, для любого
элемента £ £ EIL существует последовательность (lnk)T=i с: ^
такая, что | = lim 1П)г, откуда и вытекает, что & = E/L, т. е. EIL —
£-*оо
сепарабельное нормированное пространство
Покажем, что E/L — банахово пространство, если Е банахово.
Пусть (5„)n=i <= E/L — фундаментальная последовательность, т. е.
tin — 5mli = e„.m-^0, если n, m-+oo. Поскольку |||„ —£^ =
= inf ||z||, то существуют элементы xn£ln, *m££m такие, что
tn.m^lxn — xmI<:2e„,m. Таким образом, последовательность
элементов (jt„) фундаментальна в Е. Так как £ — полное пространство,
то существует х £ Е такое, что хп -*- х при п -*• оо. Но тогда, р силу
доказанного, £„ -*■ £, где £ — кла'сс смежности, содержащий х.
Следовательно, £7L — банахово пространство.
в) Пусть функции х (t) и у (t) принадлежат одному классу
смежности £ G ElL, т. е. х (0) — у (0) = 0 или х (0) = у (0). Таким образом,
в класс смежности £ объединяются функции, имеющие в точке t — 0
одинаковое значение Взяв в каждом классе смежности по
представителю х (f) = const, получим взаимно однозначное соответствие между
IR и множеством всех классов смежности, т е фактор-пространствоад
EIL Нетрудно видеть, что данное соответствие <— изоморфизм
13. Какие из следующих функционалов / являются линейными,
непрерывными:
а) С[0; \]3x-!~+lx2(f)dt;
о
б) LJ0; 1]Э*—- §x(t)sin4dt;
о
в) 1Э* = (У-^£ iftSinft
(где L—линейное пространство элементов х£ 12, для которых схо-
i
м / оо \ 2 Ч
дится ряд5] lk sin k, с нормой ||*1 = (£ |£AN j?
Решение, а) Функционал f в данном случае непрерывен, но не
линеен. Действительно, если последовательность хп -*- х0 в С [0; 1] (ха,
255

x$C[0; l],n£ ftj), то и x2n-+xl в С [0; 1], ибо
max |*2(0 — *o(01 <max | лс„ (/)| • max |*„(0 —*»(0I +
+ max | x0 (01 • max \xn (t) — x0 (t) I ^
< (c + max | xt (01) • max | xn (t) — *0 (0 | -> 0
при n -*• <x> (здесь мы воспользовались тем, что последовательность
норм || хп || ограничена: существует константа с > 0 такая, что
1 *п I *С с для всех п £ Щ). Таким образом, последовательность (xl (0)
сходится равномерно к функции Хо (0. Следовательно, на основании
соответствующей теоремы об интегрировании равномерно сходящейся
функциональной последовательности заключаем, что \ х\ (0 dt -*■
о
-*-\ xl(t)dt, т. е. f(хп)-+f (х0) при я->оо. Значит,/— непрерывный
о
функционал. Однако если хъ ха £ С [0; 1] и J ^(0^(0 dt=£0, то
о
f (*1 + х2) = J fjcf (0 + 2*х (0 *2 (0 + *2 (0] Л =•
о
= 2 5^(0^(0^+/(^) + /(^.
о
t. е. /(^+^)^=/(^)+/(^.
б) Функционал / линеен и непрерывен: для любых аъ а2 £ R.
*,, *a€ La [0; 1] имеем
/ (а^! + a^jj) = J (a^ (0 + 0½ (0) sin2 tdt =
о
= at J *x (0 sin2 fdf + a2 J x2 (t) sin2 fc# = aj fa) + a2/ (*,)
о о
В
_L '
|/(*)|<j|*(0|sin»ftf<nsln»uttj • П|*(012л) <|jc|,
т. e. |/K1.
в) Функционал / в этом случае линеен, так как для любых
оо
/ (a!*! + а^ = £ (а^^ + a2|f) sin й =
ОО оо
— ax У |^sin й + а2 ^L Й sin й = ах/(*j) + о,/(¾).
186

Однако функционал / не ограничен. В самом деле, рассмотрим при
каждом п £ Щ элемент
V'e \ 1 ' 2«
sin 2 bin п _ _
• • • » а > U, U,
где а = — + а, 0<а<^-, с= 5]-р^-. Ясно, что *„£! при
каждом п 6 И и
1*.|--^£^-<4-£т1г-ь
Однако
i г / \ 1 1 V sin2 А
1/(^)1=-^1,--+0°
V sin2 fe
при п-»-оо, так как ряд У, ——-, как известно из курса матема-
*=i k
тического анализа, является расходящимся.
Следовательно, ||/||= sup |/(лс)| = + оо, т. е. функционал / не
xeL
является ограниченным (непрерывным).
14. Пусть IRp — линейное пространство л-мерных вещественных
векторов х = (1и ..., £„) с нормой
м.- (£,|ЬГГ при '<'<+-
max||ft| при р = +оо.
Найти общий вид линейного непрерывного функционала в IR" и
вычислить его норму.
Решение, а) Пусть 1 < р < + оо. Покажем, что всякий линейный
непрерывный функционал / £ (ИО * имеет вид
f(x) = t £»Л*, х = (1г In) € С (8)
где элемент # = (%, .... т1п)£ИС однозначно определяется
функционалом /, II/H = ||г/||в, а число q удовлетворяет соотношению \-
-| = 1. Действительно, пусть (¢^)2=1 ■—базис в 1R£. Тогда любой
п
вектор *£1RI! однозначно представим в виде х = ]£ ^¾. где ^, ..
... , |„— координаты вектора х : х = (|х |„). Следовательно.
для любого линейного функционала /£(IRo)*
/(*) = / (l! Sa) = S IJЫ = S i*%.
9 1-7* r*7

гДе Л* = /(¾). k = 1, ... +п. Вектор у = (tIj, .... г\„) определяется
функционалом / однозначно: если х = ек, то /(х) = /(ек) = г\ь т.е.
■% совпадает с / (ек) Найдем теперь норму /. Положим &, = sgn r\k х
X 1%Г—' (число q выбрано из соотношения ( = 1] и
рассмотрим вектор
х = (sgn % • | Л1 Г-1 sgn Пп • I Пп Г-1)-
Тогда
_ п п
f (х) = S sgn % . Tfc • | ^ I'-1 = S 1¾ Г.
Поскольку f — непрерывный функционал, то
I/Ml =2 КГ<И/Н1*1 =
-l/l^liur-0)' -l/ld.ln.r)
Следовательно,
2 КГ -2 ftuN <IH.
т. е. || у ||, < Ц/1-
Кроме того, для любого у — (r\lr ..., r\n) £ IR" соотношение
п
/»№ = 2 £*% * = (ii in) € R3.
определяет линейный непрерывный функционал в пространстве RJJ.
Действительно, линейность функционала fu очевидна, а его
ограниченность следует из соотношения, устанавливаемого с помощью
неравенства Гельдера
л
\fy(x)\
2 l
**1*
<2 UJ-KK
1
<
(tllkl0)" •Цкг)' =ИН-И*Ь
т. е. Ц/^КЦг/Ц,,. Таким образом, формула (8), где r\M= f(ek) (k=*
= 1, ..., п), дает общий вид линейного непрерывного
функционала в пространстве Цр (1 < р<. + с»). При этом, принимая во
внимание
неравенства ||/|<||у {,, \ / |>\у\,, находим |/1 = ^ IЛ*П -

б) Если р = 1, то аналогично предыдущему устанавливаем, что
любой функционал / £ (JR.1) * имеет вид
/ (х) = .£ £*%, * = (1г U £ Rf,
где г/= (% Лп)€1К«, %. = /(е*)> £=1.2 п.
При этом
п п
l/MKl Uft^Kmax |t|»|- 2 ||*|=тах |tj*| - Ijcfc,
т. e. Il/U^ max 11¾ 11= I J/L>- Установим неравенство
ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ
ного знака. Пусть max | r\k \ = | г]*, \. Возьмем элемент х = (0, ...
... , 0, sgn rift,, 0 0). Ясно, что l*Ji < 1 и / (х) = \ щ, |. Тогда
1/||= sup |/(*)|>/(*)=|Я*.1 = max |%|.
Следовательно, ||/|| = max |%|.
в) Если p = с», то всякий линейный функционал / £ (IR»)* имеет
вид (проверьте это)
/(*) = £ 5*%. *=(& ые&С
где у = (%, .... t]J £ IR". Из неравенства
I/WKS 1£*Л*|<£ h*l-max|g»| = 2 h*|.|*«-
n - __
еледует, что Ц/||<! £ 1%! =lf/|li- Взяв теперь элементx = (sgn^,...
n
... , sgn r\n), НлгЦоо = 1. найдем, что /(*) = £ 11¾ |.
Тогда
in=^\fm>f(x) = t ш*
т. е. |/|= S |п*1-
Другие примеры на вычисление норм функционалов
рассматриваются в гл. 3, § 1.
15. 1) Отображение А n-мерного пространства в себя, которое
определяется системой линейных уравнений
п
t\i= S ачЬ> » = 1. 2, .... п,
Ь* 259

рассматривается как оператор, действующий в пространстве ПС
(определение IR» см. в примере 14). Показать, что
п
||Л|и = max £ \ац\.
2) Пусть А рассматривается как оператор, действующий в
пространстве Щ" (определение JR.? см. в примере 14). Показать, что
п
ИЬ.= шах £ \ац\.
Решены-. 1) Если Д s Я& -> R«, то
Ы = М*| = maxh,|<
п п
< max 2 I at/ Г 11/ К max S I я*/1 • |*|>
п '
т. е. (| Л К max 2] j а*/1 = а.
п
Возьмем номер г0 таким, что S 1 аА>/ I = а> и построим вектор
х0= (sgnay, sgna,„2 sgna«>). Ясно, что ||*0||<1. Тогда
||Л|„ = sup||/4*||>},4*0||= max
МК1 i«f*/i
£ af,-sgnaw
> S flirf sgn a,t/ = Г I a«./1 = a-
>
2) Пусть Л рассматривается как оператор, действующий из 1R"
п
в К?. Неравенство ЦЛЦх^тах £ |ai/| = «i очевидно. Найдем те-
п
перь такое /0> что £ I a*/» I = ai> и возьмем вектор *0 = (О,
1=1
. .. , 0, 1,0, .... 0) (единица стоит на /0-м месте). Тогда
\At1 = sup\\Ax\\^tAxJ='£
i «I/ST
;=i
S I аИ. I = 0¾.
так что |) Л jji = 0¾.
16. Пусть к £ С ([а; &] X [а; &]), 0 < а < 1. Доказать, что
оператор А : С [а; Ь] -> С [а; Ь\, действие которого задается формулой
* | ь
№ (i) = f *(',т> х (т) dr, t € [a; ft],
J I / — x |
a
ограничен.
260

С ёл
Решение. Прежде всего установим, что функция 3 (t) =\ '——
непрерывна на [а; Ь], и найдем ее максимум. Для этого представим
7 (0 в виде
Очевидно,
откуда следует непрерывность 8 (t). Нетрудно подсчитать, что
|„,Л| у * а+b 1°-(Ь—а)1-а
max\3(t)\, который достигается в точке t = —k—, равен —' _ .
a^t^b а
Тогда из неравенства \
|Ллс||<М max \3(t)\ • \\х\\,
a^t^b
где М= max \k(t, т) |, следует ограниченность оператора А, причем
a^t.i^b
А <—i—i м-
17. Найти норму оператора А : К" -> 12, если
A (¢1 ъп) = I j > • • • t j > • •. , —^ i • • • > ^ > • • • J»
% = (Si и е к".
Решение. Из соотношения
' "'' = V£i ^
j_ j_ _i_
/ оо \ 2 /п \ 2 / оо \ 2
находим
18. Пусть а ^ 0 фиксировано, Са — банахово (проверьте это)
пространство непрерывных на [0; + оо) функций х (f),
удовлетворяющих условию sup eai\x (f) \ <Z + оо, с нормой
«[о;+»)
<€[в:-н»)
ям

Доказать, что интегральный оператор
(Ах) (0 = $ «-«*-«* (s) ds
является при Р >■ а > у ^ 0 линейным ограниченным операторон,
действующим из пространства Са в пространство Cv. Найти норму
оператора А.
Решение. Очевидно, оператор А является линейным.
Для произвольной функции х (i) б Са имеем
|/4%|)v = sup
<€[0;
ip I еУ* [ e-W-Ox (s) ds
+-) \ о
t
J gi^-a^gasx (S) ^
0
< sup f e<v-P>< f e<P~a>sds) | * |a =
*€[0;+°c) \ о У
/ e<V-aX_e<V-P>< \
- sup ^=^—/1*1*
= sup e<v-P)'
^€[0-.+00)
P-o
Исследуем на экстремум функцию <р(0 = g_a (e<v~a,/ — e<v-P)<).
Имеем ф (0) = 0, а из неравенств р" > a > у следует, что lim ф (f) =
= 0. С помощью известных методов дифференциального исчисления
находим, что максимум функции ф достигается в точке /0 = -=—— х
Xln-tzl. (±ZLl_>i\, причем
у—а
■у—Р
I—-а Л а— у / L \ «—V / J
(P-v)*—
(a_v)<*-v\
(P-v)"-7/
p—a
^a,p,V>
т. e. sup ф(0 = ^а,р,7- Следовательно, ||/4|<:Lapv. Возьмем теперь
<€fB;+co)
функцию x0 (0 = е-0"-
Ясно, что |%0
|a = 1. Тогда
M|= ьЩ>\Ах1>\Ах0\,=
= sup lev'
<€Г0;+°о) \
0
)= sup ф (f) =
/ <€[0;+oo)
^.ftf
Это и означает, что 1 А | = La,p,v и оператор А £ £6 (Са, С¥).
262

Заметим, что если у = а, то А g ^ (Са, Са), и, как можно
подсчитать, \А I = -р-^Г-
19. Пусть £ = С [0; +оо) — пространство всех тех функций х (f),
непрерывных на полуоси [0; +оо), для которых
\\х\\ = sup \x(t)\< + оо.
<€[0;+оо)
Будет ли ограниченным оператор А : Е -> Е, действующий по формуле
(Ах)(() = tx{t) (fg[0; +оо))?
Решение. Оператор А линеен, его область определения состоит из
функций х (0, для которых sup I tx (i) | < + оо. Однако для функций
<€[0;+<»)
л; (/) из Е имеем sup | tx (f) | <С + оо (в чем нетрудно убедиться) тогда
<€[0;+оо)
и только тогда, когда sup | (t + 1) х {{) \ < +оо. Значит, 55 (Л) совпа-
дает с множеством функций, удовлетворяющих неравенству | х (t) | ^
^ с. , где постоянная с — своя для каждой функции из 55 (А).
Ясно, что 55 (А) Ф Е (например, функция х (f) = -^= g £, но в то же
время % (/) ^ 55 (Л)).
Оператор Л неограничен. Действительно, рассмотрим
последовательность функций %„ (i) = " , ng^. Заметим, что %„(0€
655(Л), так как \xn(t) | = ft^f < " f . Кроме того, ||%„| = 1 и
|Л%П| = sup -^- = п.
'€[0;+») " + Г
Следовательно,
iMf = supM%i>iH*j = n (Vne^),
N1=1
*6<§>(Л)
откуда вытекает, что || Л | = -f оо.
20. Рассмотрим оператор Л з /2 -*■ /а, переводящий элемент л; =
= (£i, Si, •••) € 4 в элемент Л* = (^¾. *,£,, ...), где Х„ g Ц (/г g И).
При каком условии на последовательность (Хп) область определения
J3 (Л) оператора Л совпадает со всем пространством /2? При каком
условии на последовательность^) оператор Л ограничен и какова при
этом его норма?
Решение. Так как Л : 12 -*■ lir то необходимо
|Л*Г = £ |Х^р<+оо (Vx=(yg/2). (9)
Возможны два случая: а) последовательность (кп) ограничена,
*. е. sup | Х„ | = с < + оо. Тогда для любого х g /а
п
M*P<caf |iJ2 = c2I*f.
fc=l
263

Значит, I А | <! с, откуда следует, что оператор Л ограничен и Sb (А) =»
, = /а, ибо Ах £ /а для любого х € /а.
б) Последовательность (Х„) неограничена: sup | Х„ | = + оо. Тог-
га
да область определения 55 (А) оператора Л состоит из элементов х £ /w
удовлетворяющих неравенству (9), т. е. JZ5 (Л) =?*= /2 (например, если
Я,. = п, то несчетное множество
гжит 55 (Л)). Оператор Л в данном случае :
>но,
еп = (0, "... , 0, 1, 0,...)$ф(А) (VngM),
не принадлежит 55 (Л)). Оператор Л в данном случае неограничен.
Действительно,
ибо ||Леп|| = |Х„!<+ с» при каждом л£№, и |е„||=1 (V п € И)-
Однако sup||у4е„]| = sup|X„| = + с». Следовательно,
л п
|Л|| = sup || Лх || = -foo.
Покажем теперь, что если оператор Л ограничен (т. е. || Л J ^ с =»
= sup | Ха | < + с», 0 (Л) = 12), то его норма равна с. Для этого
п
установим неравенство противоположного знака (т. е. | Л | ^ с). Итак,
",»-3JmL>J!fef-M^s=i>-i-
Таким образом, | Л | ^ | Х„ | для любого п £ И- Но тогда
|| Л1 > sup | Хп | = с, т. е. | Л || = с = sup | Х„ |.
п п
21. Привести пример линейного нормированного пространства Я
и таких операторов Л, В £& {Е, Е), что || Л В | < || Л | • || В |.
Решение. Пусть £ = С [0; 1], а операторы Л, В, действующие в
С 10; 1], определим соотношениями:
(Ах) (0 = J * (т) dx, (fix) (0 = fc (0-
о
Очевидно, что операторы Л, В линейны. Непрерывность оператора А
следует из неравенства
1 t
\ х(т)dx <;max\x(f)\ • max \ dx = |Ы,
| АкЦ = max
t
т. е. |Л|<1. Возьмем функцию *„(/)= 1. Тогда (АхJ(i) = \ dx■■
= t и, очевидно, fli4xj = l. Отсюда следует, что
1Л1=8ир||лх1>||лх0а=1,
264

т. е. | А | = 1. Аналогично устанавливаем, что | В || = 1. Таким
образом, А, В ¢£6 (С [0; 1], С [0; 11).
Рассмотрим теперь оператор АВ, действие которого задается
формулой ч
Из оценки
(АВ) (х (f)) = A(tx(f) = [ хх (т) dr.
t
\ хх (т) dx
\(AB)xl-
■- max
<I max | x (t) | • max
j xdx
<
~-H*l
1,
получаем, что ||ЛВ J ^-^-, причем J (АВ) x0 J =-^- , если x0(f)
т. e. IЛВ|| =-^-. Следовательно, \AB\ = -^-< 1 = | A|| • ||B|.
22. 1) Пусть E — банахово пространство, L и M—подпространства
Е, Е = L 4- М. Доказать, что операторы Р1 -. Е -*■ L, Р2: Е -*• М,
определяемые равенствами
РгХ = xlt Р2х = х2 (х = ХХ + х2, х£Е, Xt^L, х2£М),
являются линейными ограниченными операторами со свойствами:
Р? = Р, (f = 1, 2), Pt + Р2 = /, Pi Р2 = P2Pi = 0 (такие операторы
называются операторами проектирования)
2) Банахово пространство Е = С [—1; 1] разложить в прямую
сумму двух подпространств L и М так, чтобы | PJ| = 1, i = 1, 2 (Р^
Р2 — операторы проектирования на подпространства L и М
соответственно).
Решение. 1) Введем в Е новую норму | х \г = || хх \ + | х2 ||.
Поскольку х = xt + х2, то И х |f ^ J Хх | + || х2 \\ — || х fi, т. е. норма
Ц • || подчинена норме || • \х. Покажем, что пространство Е полно и по
норме || • fj. Если последовательность элементов хп = хп + хп (п 6
€ Ш фундаментальна по норме || • |, то последовательности (xty и
(х(п) фундаментальны по норме || • |. Но поскольку пространство Е —
банахово относительно нормы | • |, то х(„ -*■ хи х® -*• хъ, причем xt <t
£ L, х2£М (в силу замкнутости L и М). Тогда хп -*■ х = xt + ха G В
как по норме | • ||, так и по норме | • \\г. Поэтому Е полно и по норме
1 • |i- Следовательно, на основании теоремы 1 об эквивалентных
нормах заключаем, что существует постоянная с > 0 такая, что | х |t ^
^ с | х ||. Отсюда
|P|*ll = ll*i|<l*li<c|*|. *= 1. 2,
т. е. операторы Р< ограничены. Выполнение остальных свойств
очевидно.
2) Пусть L (соответственно М) — множество всех четных
(нечетных) непрерывных на отрезке [—1; 1] функций. Очевидно, L и М —

линейные многообразия в С [—1; 1]. Пусть, далее, последовательность
(хп (t)) cz L и || хп — х || -*■ 0 при п -*■ оо, т. е. хп (i) сходится к х (/)
равномерно на отрезке [—1; 1]. Тогда
x{—f) = Jim хп (— 0 = Hm хп (t) = х (i),
П-ьао П-юо
откуда следует, что х (f) £ L, т. е. L — замкнутое линейное
многообразие (подпространство) в С[—1; 1]. Аналогично устанавливаем, что и
М — подпространство в С[—1; 1]. Так как каждая функция х (f) g
£ С [—1; 1] однозначно представима в виде
X{f)=±-[x{f) +x(—t)] + -L[X(f)-x(-t)],
где
■^-[x(i)+x(— t)]£L, -L[x(f)-x(-f)]£M,
то CI—1; 1] = L + M.
Рассмотрим теперь операторы
(Pi*) (0 =^lx(f)+x(-t)], (P2x) (i) =±[x(f)-x(-01-
Ясно, что ЦР^КМ. ||Р2*КИ, т. e. fPiKl, |P,|<1.
Если взять функцию x0(t)= 1, то ||PiJC0||= 1. Тогда
I Px |1 = sup jj Pxx || > || PlJCo |1 = 1,
т. e. || Pi || = 1. Аналогично для функции x (f) = t имеем fl Ptx J =
= 1, откуда получае\ что Л Ps |f = 1. Нетрудно видеть также, что
Р? = Р, (/ = 1, 2), Рх + Р2 = /, РХР2 = Р2РХ = 0.
23. Доказать, что пространство {£ (Е, Е), где Е = L2 [0; 1], не се-
парабельно.
Решение. Рассмотрим оператор Ах : L% [0; 1] -> L2 [О, 1],
определяемый соотношением
lx(f), 0</<Х,
(Axx)(f) ' ^ ""
0, Я</<1,
где X 6 (0; 1). При каждом X 6 (0; 1) Ак £ <£ (Е, Е).
Действительно, линейность оператора Ах очевидна, а ограниченность следует из
оценки
1 1
Мхж1 = К*«(0л) <K**tf)^j =1*1-
Множество М = [Ах, X £ (0; 1)} а & (Е, Е) несчетно, ибо оно
находится во взаимно однозначном соответствии с несчетным
множеством точек интервала (0; 1). Возьмем теперь произвольные две точки
К, ^2 £ (О'. 1). ^1 Ф К- Тогда
(Ах,х) (t) - (Аь,х) (0 - (Ах, - ЛО х (i) - j 0> ^ [0; п х [а. рь
266

рде в =* min (Xlt XJ, p = max (Xls A-a); ПРИ этом
j_ _r_
UAK-AXl)xl = ^x*(f)dt] ^(jx>(t)dtj =\\хЦ,
т. е. \Ax,— /4x.J< 1. Покажем, что \Ax, — Axj = 1.
Для этого возьмем функцию
° 0, /£[0; 1]\[о; И.
Ясно, что %„(*)£ La[0; 1], |U0| = М уЁ^-) = 1 и
1 , а<г<р,
(Ax,-Ax1)x0(t) = \ V\~a
О, ^[0; 1]\[а; Р],
т. е. (Ах, — Акг) х0 (t) =x0(f). Следовательно, I (Ах, — Л,,) *0Ц = 1.
• Тогда
1 Ах, — Ах J = sup J (Ах, — Ахг) х | > || (А, - А,) х0 [| = 1 -
мм
Учитывая противоположное неравенство || А%, — А%, | <! 1,
получим, что| Ах, — Ах, || = 1, если Xt =^= Х2- Таким образом,
расстояние между элементами несчетного множества М с ^ (£, £) равно
единице. Отсюда следует, что пространство ££ (Е, Е) несепарабельно.
Действительно, опишем около каждого элемента Ах из множества М
открытый шар радиуса -д-
в[Ах, ±-) = {а£<£(Е, Е):\\А-Ах\\<-^} ■
Эти шары не пересекаются, ибо расстояние между центрами
таких шаров, по доказанному, равно единице. Если некоторое множество
всюду плотно в И (Е, Е), то каждый из построенных шаров должен
содержать хотя бы один элемент из этого множества, и,
следовательно, это множество не может быть счетно.
24. Пусть Е — банахово пространство, А £ {£ (£), <р (t) =
оо
= £ К*к(К£1К) — сходящийся на всем 1R степенной ряд. Доказать,
4=0
п
что последовательность 5,,(/4) = 1С ХкА имеет при п->-оо предел
ft=0
Ф (А) £ £ (Е). При каком условии на числовую последовательность
(Xft) выполняется оценка || ф (А) \\ <: ф | А ||)?
Решение. Прежде всего отметим., что наличие в пространстве ^ (Е)
< операции умножения элементов позволяет определить А" для любого
267

п С f^; при этом \\А || ^ || Л ||п. Оператор ф (Л) зададим (пока что
формально) соотношением
оо
Ф(Л)х = £ lkAkx, х£Е, (10)
fc=0
оо
И напомним, что ряд S ^-/И * называется сходящимся в Е, если
fe=0
сходится последовательность его частичных сумм. В банаховом
пространстве Е всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Кор-
оо
ректность формулы (10) вытекает из оценки ^ 1^*11^1* = с < °°«
fe=0
оо
которая справедлива в силу условия задачи, т. е. ряд S ^-jH х
является абсолютно сходящимся, а значит, и сходящимся в Е, ибо Е —
банахово пространство. С помощью этого же неравенства получаем
ограниченность оператора
|Ф(Л)%||;
J^M** <£о|А*|М|*И==сИ, V*££,
т. е. | ф (Л) || ^ с. Линейность оператора ф (Л) легко проверяется.
Следовательно, ф (Л) £ it (Е). Покажем, что Sn (Л) ZZ- ф (Л) при п -*-
-> оо в ^ (£).
Действительно, для любого х £ Е
|(ф(Л)-5п(Л))х||= V М**
II k=n+\
т. е.
1ф(Л)-5п(Л)||< £ |М||Л||*->0
при п ->- оо как остаток сходящегося ряда.
Если Xk ^ 0 для всех А £ И. то из приведенных оценок получаем
\\ч>(А)\\< £ |х,ц| л|*=ф(|л|а.
fe=0
25. Пусть Л# (0 < ./? <! оо) — пространство всех однозначных и
аналитических в круге J г | <." R функций с топологией компактной
сходимости. Найти общий вид линейных непрерывных отображений
Т : Ar, -> AR„ где 0 < Rt <1 оо и 0 < #2 <: оо — произвольные
фиксированные числа.
Решение. Рассматриваемое пространство Ar впервые изучалось
в гл. 2, § 1 (пример 2). В гл. 3, § 1 (пример 8) будет отмечен факт его
ненормируемости (оно принадлежит к классу счетно-нормируемых
пространств, а топология в нем определяется системой норм | /1|, =
= max | / (z) |, где f£AR и 0 < г < R). Однако, как мы сейчас
1*1*-
покажем, все линейные непрерывные отображения Т: Ацх-^-Ацл
sea

описываются довольно несложно. Отметим, что понятие
непрерывности оператора Т полностью аналогично определению непрерывности
оператора, отображающего одно нормированное пространство в
другое, а именно: Т непрерывен в точке f £ А Rt, если для любой
последовательности функций fn (г) из Ar„ сходящейся (по топологии
этого пространства) к f (г), соответствующая последовательность
функций (7у„) (z) сходится по топологии пространства ARt к функции
(Tf) (г).
Это определение непрерывности оператора Т равносильно
следующему:
Vr2<R2 3r1<R1 3C^0:Vf£ARl \Tf^,<CUk- (")
Условие (11) является аналогом условия ограниченности
линейного оператора, отображающего одно нормированное пространство в
другое.
Пусть Т £ <£ (ARl, ARl). Тогда из (11) следует, что
Vr2<R2 3r1<R1 3C>0:Vn = 0, 1, ... || Ф„ |k < Of. (12)
где <р„ (z) = Tzn. При этом для произвольной функции / (г) б/4«,
(H)(z)-S^-4>n(2), (13)
а ряд в правой части'(13) сходится к (Tf) (z) по топологии пространства
Справедливо и обратное утверждение: если последовательность
(<р„ (г)) функций из ARt удовлетворяет условию (12), то формула (13)
определяет линейный непрерывный оператор Т: ARl-*ARt.
Действительно, его линейность очевидна, а непрерывность вытекает из
известных оценок Коши для тейлоровских коэффициентов функции f (z)
(Т. е. iflMl ^ Ик. у г < R, и V п = 0, 1, ...) и оценок (Vra < RJ
сю сю п
1т,<1-ЦМф«к<с]£(-Я ifi=Ci\\f\\r>
где гх взято из условия (12), а г : г1 < г < Ri-
Следовательно, каждый оператор T£££(ARt, ARt) полностью
характеризуется (с помощью формулы (13)) некоторой
последовательностью (ф„ (г)) функций из ARt, удовлетворяющих условию (12). При
этом ф„ (z) = Tzn, n = 0, 1
Нетрудно проверить также, что каждый оператор Т £ !£ (Л^„ Ац^
представим и в интегральной форме
(тП(г)=-ъп- I t(*,t)f®dt,
2ni ICI=P jf
где f£ARt, \z\^r2<Rv t(z, 0 = £ -¾^ , a p удовлетворяет
n—0
269

условию тх < р < Rx. Функцию t (z,0 называют при этом
характеристической для оператора Т.
На практике, однако, полезно описание операторов Т из
£6(/4r,, Л/?,) в матричной форме. Оно получается следующим обра-
зом. Пусть ф„ (г) = S hnzk (п = 0, 1, ...). Тогда, используя оцен-
ки Коши для тейлоровских коэффициентов этих функций,
нетрудно проверить, что условие (12) равносильно условию
Vr,<J?,3r1</?13C>0:|^>B|<C-^r(*t л = 0, 1,...). (14)
Таким образом, каждому линейному непрерывному оператору Т\
Ar^-^-Ar, можно сопоставить некоторую бесконечную матрицу
Uft.JCn=o> элементы которой удовлетворяют условию (14), и наоборот.
Приведенное матричное описание класса $£ (Ля,, Л«г) получено (в
несколько иной форме) в 60-х годах М. Г. Хаплановым.
26. Исследовать последовательность операторов (Л„) с= & (Е, Е)
на равномерную и поточечную сходимость в следующих случаях;
а) E = lv Апх = [\- -£*-,...) (* = (6*) е /а);
б) Е = lv Апх = & ь,, 0, 0, ...) (х = (У е 1$
в) Е = С [0; 1], (Аах) (0 = *" (1 - 0 х (f) (t g [0; 1]);
r)E=C{0;l],(Anx)(t) = n J x(r)dx (fg[0; 1]);
д) £ = С [0; 1], (Л„%) (0 = t"x if) (/g fO; 1]).
Решение, а) Последовательность (Л„) сходится к нулевому
оператору равномерно, для любого х g /2
Следовательно, |j Л,, | = ——>- 0 при п -*- <х>.
б) Последовательность (Л„) сходится к единичному оператору /
поточечно, но не равномерно. Действительно, для любого х = (|lt
Е» -) е /а
\Anx-xf= £ 1 е* 1- -*- о
fe=n-(-l
при п->-оо как остаток сходящегося ряда. Это и означает, что
Л„->/ поточечно. Возьмем теперь при каждом п£ЭД элемент х =»
= en+i = (0, ... , 0, 1, 0, ..$g/t, |en+i|] = 1. Тогда
п
\ Anen+i — eri+\ I = I вп+\ | = 1.
$70

Значит,
J Л„ — /1| = sup J Л„% — х|| > \Anen+\ —en+i 8=1^0
при n-> oo, т. е. равномерной сходимости последовательности
операторов Л„ к / нет.
в) Последовательность (Л„) сходится равномерно к нулевому
оператору. Действительно, для любой функции х (f) £ С [0; 1]ч
| Апх\\ = max| f (1 -t)x(t) | <тах| Г -Г+11 • \\х\\ = "
<€to;i] *€[0.i] (n + l)"+
* >
->0 (п->- оо).
и поэтому || Лп||< , ," „+i
(п +1) +
г) Последовательность (Л„) сходится к единичному оператору
поточечно, но не равномерно. Действительно, пусть F (0 —
первообразная функция для х (t). Тогда
<+-
с F\t+ —
п ] % (т) <fx = р
F(t)
■F'(t) = x(t).
Отсюда и следует поточечная сходимость (Л„) к единичному оператору
Возьмем теперь функцию хп (f) = tn~l (п ^ 2), || хп || = max | tn~l I =
/€to:i]
1= 1. Тогда
Апхп — хп\ = max
*£[0:1]
п £ xn-ldr — tn~l
t
= max It" 1^ " — tn^
<£[0,11
= max If/ + -L\a — tn — tn-* = max I ^+^-1 + "(" — ») /"-2 +
/e[0;l]|\ " ,/ *€[0;1]| 2/12
+ • • • -1
,и—1
> "^-^ max/-2 =
2n2
'€[0.1J
= JLfi£^L>-T (»>2).
Итак,
2rt2
| An — 11 = sup |Л„л; — ж I > |Л„*„ — x„ | > -j- -*► 0
при n -*■ ОО.
д) Последовательность (Л„) не сходится, ибо для произвольно
фиксированной функции х (i) £ С [0; 1] такой, что х (1) ф 0,
последовательность (/" х (i)) сходится поточечно (в смысле поточечной
сходимости последовательности функций) к функции
0, 0</<1.
.х(1), f=l,
*«) = ■
871

которая разрывна и не принадлежит пространству С [0; 1].
Следовательно, поточечной (а значит, и равномерной) сходимости
последовательности операторов (Л„) нет.
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти а, при котором векторы (1, 2, 3), (1, 1, 0) и (а, 1, 1) линейно зависимы.
2. Показать, что в пространстве С [0; я] функции 1, cos /, cos2 /линейно
независимы, а функции 1, cos 2/, cos* t линейно зависимы.
3. Доказать, что два конечномерных линейных пространства (оба вещественные
или оба комплексные) изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности
совпадают.
4. Пусть Е и Ег — изоморфные конечномерные линейные пространства и
отображение Е Э х -»- <р (х) £ Ех осуществляет их изоморфизм. Доказать, что (<р (£*))£_[ —
базис в Е1у если (е*)£=1 — базис в Е.
5. Доказать, что если М — выпуклое множество, то его ядро J (М) также
выпукло.
6. Доказать, что параллелепипед
n = {*=(£i. b,...)€/,:|E«K-jr.V«J
ь /2 есть выпуклое в /2 множество, но ие выпуклое тело.
7. Будет ли выпуклым в пространстве С [0; 1} множество:
а) многочленов степени k;
1
б) непрерывных функдий, удовлетворяющих условию ( | х (/) | <tt<: 1;
о
в) непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию
max | х (t) | + max | x' (t) | < 1 ?
K[0;1] /€[0;1]
8. Доказать, что пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое
множество.
9. Доказать утверждения:
а) если множества М и N линейного пространства Е выпуклы, то множества
А.М = {Ал : х € М} и M±N= {г g Е : z = х ± у, х g М, у 6 N} также выпуклы;
б) множество М выпукло тогда и только тогда, когда (К + ц) М = ЯМ + цМ
для всех положительных скаляров к и р,.
10. Выпуклой оболочкой множества М в линейном пространстве Е называется
множество N всех выпуклых комбинаций элементов из М, т. е. множество всех сумм
л
/j*! + ... + tnxn, где х £ М, t ^ 0, V /, = 1, а п — произвольно. Доказать, что
1=1 ■
выпуклая оболочка N является выпуклым множеством.
11. Можно ли в К4 определить норму формулой
|И= max {1^+2^1, 1Ь-Ы} (*=(|г, ^HGIRV
12. Являются ли нормами на множествах определения функции:
а) С[0; 1]Э*- ( j/> (/) | * (/)|2 Л) , Р6С[0; 1]. />>0иа[0;11{
б) С(1) [0; 1 ] Э х -»- f | х {t)\dt + max | х' (Q |;
J ti\a;b]
а
в) ^"[О; 1]Э*-«-тах|*'(0|?
«72

13. Можно ли в линейном пространстве С™ [а; Ь] дважды непрерывно
дифференцируемых на [а; Ь] функций принять за норму элемента х (t):
а) | ж (о) |+|*'(а) | +max |д*(/)|;
<€[а;Ь]
б) \x(a)\+\x(b)\+max\x"(t)\;
НЦа;Ъ]
Ь \"2"
?
в) max] *■(/)! +
(I
х (t) |2 di
14. В множестве всех многочленов, степени которых не превышают п (п £ N),
определим норму соотношением II х Л = max | х' (t) — х 'J) [. Ьровер 1ть аксио-
'€[0:1]
мы нормы.
15. В пространстве С(*> [а; Ь] k раз непрерывно дифференцируемых на [а; Ь\
функций определим норму элемента х (/) формулой:
а) ||*||= max {sup р, (/) | *<" (t) [};
0^/^А Ща;Ь]
Г Ь k \q
Ф 1*1= JS'/MI^WI'*" . ?>W
\а /=0 /
/=0
А
в) ||л:| = sup J] MOI^WI.
<€[а;Ь] /=0
где р. £ С [а; Ь] (/=0, 1, ..., k)—положительные функции. Показать, что все
аксиомы нормы выполняются и что С**' [а, Ь] в случаях а) и в) является банаховым.
16. Пусть Т — произвольное множество. Обозначим через 1^ (Т) линейное мно-
г образие в КТ (определение Кт см. в примере9), состоящее из всех ограниченных на
Т функций * с нормой || * ||м = sup { \ х (f) ] : t £ Т).
а) Доказать, что lx (Т) есть банахово пространство.
б) Обозначим через С (Т) линейное многообразие в lM (Т), состоящее из функций
* (/), имеющих конечный предел на бесконечности, т. е. для которых существует
такое число s (Е К, что для любого е > 0 множество {t £Т :\ х (t) — s | > е} конечно,
Доказать, что С (Т) — банахово пространство.
в) Обозначим через С0 (Т) линейное многообразие в С (Г), состоящее из тех
функций, для которых s = 0. Доказать, что С0 (Т) — банахово пространство.
17. Пусть Е — пространство всех непрерывных 2я-периодических комплексно-
зиачных функций, определенных на К, с нормой |] * || = sup \ х (t) \ . Показать, что
*€«
Е — банахово пространство.
18. Рассмотрим множество последовательностей ж=(£А), для которых
sup
> sup
n
19;
<C + oo. Определим норму в этом пространстве формулой || * || =
Доказать полноту пространства.
Проверить, что множество 1р (1 ^ р <; + оо) всех последовательностей
* = (Sft)i удовлетворяющих условию £ | && |р <С + оо при 1 ^ р <_ + оо и ограни-
«иных при р = + оо, есть банахово пространство относительно нормы
I \lk\p\" , 1</><+оо.
1*1
sup | Ik |,
*2sl
p = +oo (* = (£ft)e/ff).
¢73

Найти условия, при которых функция
'2Э*-Н£ а*11*12] . «А>0. feeN.
является нормой на /2-
20. Доказать, что нормированное пространство £ является банаховым тогда в
00 00
только тогда, когда всякий ряд J] л%, для которого £ II л* II < + оо, сходится в Е.
4=1 4=1
21. Выяснить, сходится ли в нормированном пространстве последовательность
(*„), если:
а) £ = С[0; 1], х„ (t) = t" - f-1;
б) Е = С [0: 1 J, хп (i) = sin t — sin — }
в) E=llt xn = (0 0. — , 0. . . . j;
П
r)E=lt, *„= l,__ -7^. °>
Д) £=i,[0; 1], хя(0 = лв-";
)'•
e) £ = L2[0; I}. *,(/) =
I — nt, t e
К
o, /e(—; i
ь
22. Проверить, что нормы || л: 1^ = max / х (t) | и || х ||2 = I | л: (/) ( Л не эквива-
а
лентны в С [а; Ь].
23. Доказать что в линейном пространстве непрерывных на [а; Ь] функций
(с У (с V'1
норма \х\г = I \ \х {t) l2di I эквивалентна норме |/х]|2 = I \ v (t) \ х (t) |2 dt I ,
где о(0 непрерывна на [а; й] и о (/) > а > 0 на [а; Ь].
24. Эквивалентны ли в пространстве С(1) [а; Ь] нормы
|1 х Hi = max | х (t) | + max | х' (t) \
В
l*b=l*<fl)/ + max |*'(*)|?
25. Доказать, что если в нормированном пространстве даны два шара В [а; г] ж
В [b; R], причем В [а; г] а В [Ь; /?], то т < # и || а — Ь || < # — г. Верно ли
такое заключение в случае метрического пространства?
26. Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых
замкнутых вложенных шаров имеет общую точку.
27. Привести пример последовательности непустых ограниченных замкнутых
выпуклых подмножеств М, некоторого банахова пространства таких, что
М!=>М2=> ... =>М„= ПМ, = 0.
28. Доказать, что всякое линейное многообразие в конечномерном линейном
нормированном пространстве есть подпространство,
274

29. Пусть Е — линейное нормированное пространство. Доказать, что если L —
подпространство, а N — конечномерное подпространство в Е, то их сумма
L + N={z£E:z = x + y, x£L, у£Щ
— также подпространство в Е. Привести пример двух подпространств в /,, сумма
которых не является подпространством в 12.
30. Образуют ли в пространстве С [— 1; 1] подпространство следующие
множества функции:
а) монотонные функции;
б) непрерывно дифференцируемые функции;
в) функции x(t), удовлетворяющие условию I х (t) it = 0;
-l
г) функции, удовлетворяющие условию Липшица с какой-нибудь постоянной,
зависящей от функции?
31. Доказать, что если рассматривать пространство /] как множество в
пространстве т, то его замыкание есть с0.
32. Доказать, что пространства с0 и с являются подпространствами
нормированного пространства т.
33. В пространстве С [0; 1] рассмотрим множество L таких функций х (0. что
х (1) = 0. Доказать, что:
а) L — подпространство в С [0; 1];
б) существует такое одномерное подпространство М, что С [0; 1] = L -f- М.
34. Вещественное линейное нормированное пространство Е называется строго
нормированным, если при х Ф Q,y Ф 0 равенство || х + у || = || х || + || у || возможно
лишь при у = ах, где а > 0. Доказать, что в строго нормированном пространстве Е
для каждого х 6 Е и каждого подпространства L cz Е может существовать не более
одного элемента наилучшего приближения х элементами L.
35. Банахово пространство Е называется равномерно выпуклым, если для любого
е > 0 существует б > 0 такое, что если — |) х + у Ц > 1 — б, \х\=\у\= \,
то Ц х — у || <С е. Доказать, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве Е
для каждого х (Е Е и каждого подпространства L может существовать не более одного
влемента наилучшего приближения х элементами L.
36. В пространстве С [0; 1] рассмотрим подпространство L ='{х (t) £ С [0; 1] :
: х (0) = 0}. Пусть х0 (/) = 1. Описать множество элементов наилучшего
приближения х0 элементами L.
37. В пространстве С [0; 1] найти расстояние:
а) от элемента щ (t) = / до подпространства многочленов нулевой степени;
б) от элемента xt (t) = t1 до подпространства многочленов степени <: 1.
38. При каком условии на последовательность (kk) а К, Я* > 0 (ft 6 N)
компактным множеством в пространстве 12 является:
а) параллелепипед [х = (¾) е 12 : | £4 | < Xk, Vft};
¢2
{оо -2 \
39. Компактны ли следующие множества функций в пространстве С [0; 1]:
а) ха (t) = sin a t, а. е [1; 2]; б) ха (/) = sin at, а е IR; в) ха (t) = arctg at, а £ IR?
40. Доказать, что L2 [0; 1] является множеством первой категории в Lx [0; 1J.
Указание. Доказать, что множества
]
М„
Л„= 1*еМ0; 1] : ("**(0<й<л, п£Ы\
].
и линейными, непрерывными функцио
а) С[0; 1]Э*-»- §t\x(t)\dt; б) С[0; 1]Э*-Н*|;
компактны в Lx [0; 1].
41. Являются ли линейными, непрерывными функционалы:
27*

в) L2[0; 1]Э*-*С*2(0<И; 1-)/^=(^. Is. • ••)-* ^-f~:
о *-i
д) L Ъх-*х' (0), где L — линейное пространство С*1' [0; 1] с нормой ||х|.
. пих \x(t)\, х£ С<» [0; 1];
е) 1,Э*= (6.. 6*. ...)-*£ (-О -Г"?
4=1 В
42. Найти нормы следующих функционалов:
,)С[-иЦЭх-.Х{е)+Х^~2Х{0) ■ -6(0:1,,
-1 ^ А=-и ч '
* 5 N фиксировано;
в) L2[0; 1]Э*-* ( Vtx(t2)dt;
о
г) L2[0; 1]Э*-* j x(t)sgn It- —)dt;
Д) /i9*=(b. Ei» ..•)-£ П-<-!)*] —Г- ?*5
e) k Э* = (b, b, • • •) -* У r £*
43. Пусть Ei, E2 — линейные пространства, A : £x -*• E2 — линейный оператор
■ система элементов хг, хг, ..., хп £ Ш (А) линейно независима. Верно ли, что система
элементов Ахг, Ах%, ..., Ахп линейно независима?
44. Пусть Е1г Е2 — линейные пространства, А : Я, ->- Е2 — линейный оператор,
В cz R (А) — выпуклое множество, М = {х £ Ш (А): Ах 6 В}. Будет ли множество
М выпуклым?
45. Доказать, что оператор я, отображающий линейное нормированное
пространство Е в фактор-пространство E/L и ставящий в соответствие элементу х £ Е
содержащий его класс смежности %, является линейным ограниченным.
оо оо
46. Пусть ((x.jk)fk=l — числовая матрица, для которой V ^ | a ,k |2 < + со.
Доказать, что оператор А : /2 Э х -*- у £ /2, где х = (|х, £2, . . .), у = (tj1( ti2, ...),
оо
T)j = \ a/ft?ft, /€ ^i является линейным и непрерывным.
47. Доказать линейность и непрерывность оператора А : С [а; Ь\ -*■ С [а; Ь\,
заданного формулой *
(Ах) (t) «- j k (t, т) x (т) dx, t e [a; ft],
где ft б С (la; b] X [a; ft]).
48. Доказать линейность и непрерывность оператора A : L2 [a; ft] -*■ L2 [a; ft],
«ели (Ax) (t) определяется формулой из задачи 47, в которой k £ L2 ([a; ft] X [a; ft]).
876

Доказать, что
/ b b \ 2
49. Пусть a — фиксированная функция из С [0; 1] и (Ак) (/) = a (t) х (fl, *€
6 [0; 1]. Доказать, что Л —линейный непрерывный оператор в Lp [0; 1], р> U
и найти его норму.
50. Найти норму тождественного оператора, действующего:
а) из С(1) [а; Ь] в С [а; Ь];
б) из Lp[a; b] в LQ[a- b], p^sq.
51. Для каких a > 0 оператор (Ах) (t) = х (*") линеен и непрерывен в С [0; 1]>
Найти его норму.
52. Для каких a > 0 оператор (Ах) (t) = х (/") линеен и непрерывен в L2 [0; 1]?
Найти его норму.
53. Для каких a, fl оператор (Ах) (t) = Ac (/а) линеен и непрерывен в L2 [0; 1]?
Найти его норму.
54. Пусть р, q 6 L2 [a; 6]. Доказать, что оператор A : L2 [а; Ь] -*■ L2 [a; 6]„
действие которого задается формулой
ь
(Ах) (t) = ^ р (t) q (х) х (т) dx, t G [a; b],
a
является линейным и непрерывным. Найти норму оператора А.
55. а) Доказать, что оператор A : L ->- С [а; Ь], где (Ах) (t) = х' (t), а L —
пространство непрерывно дифференцируемых на [а; Ь] функций с нормой || х ] «■
«= max | х (t) |, не является ограниченным.
|б) Доказать, что оператор А : С(1) [а; 6] -»- С [а; Ь], где (Ах) (t) = х' (г), яв-^
ляется линейным и ограниченным. Найти его норму.
56. Найти общий вид и вычислить норму линейного оператора А : £х ->- £2 в сле~
дующих случаях:
а) Ех = КГ. Е2 = Rf; б) Е, = В?£, £2 = R£;
в) Я, = Rf, £2 = R^; г) £х = R£, £2 = R?
(определение Rj" и R^ см. в примере 14).
57. Пусть Е — нормированное пространство. Показать, что оператор А : Б -*-Ш
является линейным непрерывным в Е, и найти его норму, если:
а) Е = f2, Ах= (0, |lt Ь, . . .), х = (|А) е /2;
б) £ = /2, д* = (ь, е„ ...) * = (|ft) е ц
в)£=С[0;1], (At) (/) = J" taTpx (х) dx, а>0, р> — U
6
1
г) £ = С [0; 1], (Ac) (/) = j" е3^2т х (т) dx;
о
2л
д) Е = L2 [0; 2я], (Ac) (/) = j sin (t+x)x (х) dij
б
2л
е) Е = L2 [0; 2я], (Ас) (<) = ^ cos (2/ + Зт) х (х) dx.
о
58. Для каких функций a (t) оператор (Ах) (t) = a (/) х (t) непрерывен в С [0; 1|*
Найти норму оператора А.
27Т

вв. Проверить, что операторы А и В, где
t
(Ax)(t) = tx(t), (Вх) (t) = J х (т) dx. td[Q: \\,
о
линейны и непрерывны в Ц [0; 1], но не являются перестановочными, т. е. А В Ф В А.
60. Доказать, что линейный оператор с конечномерной областью определения
всегда непрерывен.
61. Пусть А — линейный оператор в нормированном пространстве Е. Доказать,
-что А ограничен тогда и только тогда, когда множество М = {х £ Е : || Ах } < 1) имеет
■внутренние точки.
62. Доказать, что ядро кег А линейного непрерывного оператора А замкнуто.
Всегда ли замкнута область его значений?
63. Доказать, что ядро кег А ограниченного оператора А : Е$ -*■ £2 является
подпространством пространства Ег.
64. Пусть Ei, £2 — линейные нормированные пространства, А: Ех ->- Е2 —
такой линейный оператор, что кег А является подпространством в £,. Следует лн отсюда,
что А — ограниченный оператор?
65. Пусть А : £, -*■ Е3 — линейный оператор с В (A) = Elt причем R (А)
конечномерно, а кег А замкнуто. Доказать, что А — ограниченный оператор.
66. Пусть Е — линейное нормированное пространство, А : Е -*- Е —
ограниченный линейный оператор с В (А) = Е. Верно ли, что Е = R (A) -f- кег А?
67. Пусть (а„) — фиксированная последовательность комплексных чисел. Опе-
ратоэ Т, для которого 7У = a„z" (п = 0, 1, ...), назовем диагональным. Доказать,
что диагональный оператор Т принадлежит множеству 2 (AR , AR ) тогда и только
тогда, когда
D
а) lim -\f\a-n\ < —~ , если Ял < -j-оо и #г < + оо;
Г2->оо ^2
б) Йт j/|a„|< + oo, если Цг = + ос, i?2< + oo;
П->во
в) lim у/ | ап | = 0, если i?t = -|- оо, а Ri < + °°-
Л->оо
68. Найти я-ю степень оператора А, задаваемого формулой
i
(Ах) (0 = J х (т) dx, /g[p; 11.
о
« действующего в пространстве С [0; I].
69. Доказать, что в банаховом пространстве Е для любого А 6 2 (Е) определены
операторы
~ ,2k+l оо .2*
s!nA= У (-1)*-=г . C«i4=Y(-l)* — .
j&) (2A + DI *tV (2А)1
о»
70. Пусть £ — банахово пространство, Л gS* (£). Доказать, что ряд V Л*схо-
Jfe=0
дится в 5" (Е) тогда и только тогда, когда для некоторого натурального k
выполняется неравенство ||Л*||<;1.
71. Пусть Е — банахово пространство, (Ап) cz 2 (Е), (Вп) cz 2 (£) (п £ Ы),
AnzX А, Вп^ В, А, В £2 (Е). Доказать, что АпВп ^ АВ.
72. Пусть Elt Ег — банаховы пространства, (Ап) cz 2 (Elt Е3), А„ -*- А (А £
< 2 (Ех, £2)). Доказать, что если хп ->■ х (хп, х g £ь п 6 N), то Апхп -*■ Ах.
73. Пусть £,, £2 — банаховы пространства, (Лп) с: 2 (£х, £2), Ап-* А (А £
CS* (El £2)) и (К — компакт в £,. Доказать, что последовательность (Л„) сходится к
А равномерно на К.
74. Доказать, что для последовательности линейных операторов в банаховом
пространстве R" равномерная н поточечная сходимости совпадают.
27)3

75. В пространстве С [0; 1] рассмотри^ последовательность операторов (Апх) (f) =*
1+—
*=x(t п) (n€N). Доказать, что: а) Ап £2 (С [0; 1]); б) Л„->. / при я-»-оо. Будет
ли сходимость Ап к / равномерной?
76. Пусть (рп)^, — фиксированная последовательность функций из
пространства С [а\ Ь]. Для каждого п g N определим оператор Ап соотношением
(Апх) (t) = рп (t) х (t), tt[a;b], х$С\а; b\.
При каких условиях на функции рл последовательность операторов (Ап) сходится:
а) равномерно; б) поточечно?
77. Исследовать последовательность операторов (Ап) а 2 (Е) на равномерную
и поточечную сходимости в следующих случаях;
а) Е = /2, Anx=(Q, ...,0, |„, |„+1, . . .), х= (%k) £ /8;
п-1
б) Е = /2, Апх= (6я+1, 6я+2, ...,), х = (|ft)e г2;
в) £ = С [0; 1], (4,*) (0 = J |/((-,)' + {» (х) Л;
о
1
г) Е = 12 [0; 1], (Л„ж) (0 = f /"т"* (т) 0х.
6
2
Ответы. 1. а = — . 7. а) Нет; б), в) да. 11. Да. 12. а), б) Да; в) нет.
О
13. а)—в) Да. 19. При всехай>0 (&=0, 1,'...). 21. а)—в), е) Да; г),
д) нет. 24. Да. 25. Нет. 27. В С [0; 1] рассмотреть М„ = В [0; 2] f) {* €
gC[0;l]:*(0) = 0, *(0>1)при*£
[v
29. Z. = \х £ /. : х = (Ij, 0. 5,.
0,
Б..0, ...)).**={*€*, :^=(¾. Ci. 6..-J-. 5..—■..■•)}• 30. а), б) г) Нот;
в) да. 36, Множество элементов вида {y(t)£C[Q; 1] :^(0) = 0, 0<y(Q<2»
V*€[0; 1]}. 37. а) у* = — , р (*„. Z) = — ; б) »• = /- — , р (¾ £.)-
1 °°
= — . 38. а) Тогда и только тогда, когда V X2k <С + оо; б) тогда и только тог-
8 *=1
да, когда ^-*-0 при £->-оо. 39. а) Да; б), в) нет. 41. а)—в) Не линеен,
непрерывен; г), е) линеен и непрерывен; д) линеен, но не непрерывен. 42. а) 4е ;.
6)3; в) —;г),е)1;д)2. 43. Вообще говоря, нет. 44. Да. 49. || Л|| = max | a (i) |.
2 o^^i
50. а), б) 1.51. а>0, ||Л||= 1. 52. 0<а<1, ||Л|| =—£=-• 53. а>0, р>0,
У OL
а-2р<1,|Л|= -i=- . 54. \А\=\р1.\<,1. 55. б)|Л||=1. 56. A : R» $
У а
IМ \ti п т
5 (5*)2Li - S aiklk € Rn, Н) = £ max | o/4 |; 6) || A|| = max £ | a/ft |;
n m
В) |Л| = max |а/4|;г)МЦ=£ £ I «,*![■ 57. a), б) |Л|»1; в) ||Л(|=(Ц-
J«iSn /=1 fc=i
+ РГ1; г) ||Л| = —ез(1_е-2); д)> г) ||Лц=я 58. a (/)-непрерывна, || Л I —
"" 1а11с[0;1]- 62- Нет. 64. Нет. 66. Нет. Рассмотреть оператор A:R2-»-IR».
27»

A(xlt хг) = (хг, Q). 68. (Anx)(t) = —- f(< — i)n~l x (x) dx. 7S. Нет.
(rt — 1) ! J
76. а), б) Последовательность (pn) сходится в С [a; ft]. 77. а), б) Поточечно; в),
г) равномерно.
§ 4. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
В аналитической геометрии и линейной алгебре вводятся важные понятия
скалярного произведения векторов н соответственно элементов линейного пространства;
лри этом центральное место занимают понятия ортогональности и ортонормирован-
«ого базиса, отсутствующие в нормированных пространствах. Гильбертово
пространство (введенное впервые в виде /2 немецким математиком Д. Гильбертом) является
непосредственным обобщением я-мерного евклидова пространства К", поэтому его
«геометрия» ближе, чем в случае любого другого банахова пространства, подходит к
евклидовой геометрии. Кроме того, оно обладает многими такими свойствами евклидова
пространства, которыми банаховы пространства общего вида не обладают. Это
обстоятельство позволило развить функциональный анализ на основе гильбертова
пространства гораздо шире и полнее, чем на основе общих нормированных пространств,
благодаря чему теория гильбертова пространства выделилась в большую самостоятельную
ветвь функционального анализа со своими результатами и методами.
1. Понятие гильбертова пространства. Скалярным произведением в
действительном линейном пространстве Й называется вещественная функция (х, у),
определенная для каждой пары элементов х, у £ Н и удовлетворяющая следующим условиям:
1) (х, х) > 0 и (х, х) = 0 равносильно х = 0;
2) (*, У) = (У. х);
3) (Хх, у) = А ( х, у) для любого А £ К;
4) (x-fy, 2)= (х,г) + (у, г).
Таким образом, понятие скалярного произведения является естественным
обобщением понятия скалярного произведения векторов.
Линейное действительное пространство Н с фиксированным в нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством.
Комплексное линейное пространство Н называется унитарным, если каждой
паре его элементов х и у поставлено в соответствие комплексное число (х, у) —
скалярное произведение х на у — и если при этом выполняются следующие условия:
1) (х, х) ;> 0 и (х, х) = 0 равносильно х = 0;
2) (*, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопряжение);
3) (Хх, у) = А (х, у), А 6 С;
4) (х + у,г)= (Х,2)+ (1/,2).
Из аксиом 1) —4) следует, что в каждом унитарном пространстве справедливы
также соотношения;
а) (х, Ху) = X (х, у), б) (х, у + г)= и. и) + (х, г).
В каждом евклидовом или унитарном пространстве можно ввести норму,
полагая // х || = У(х,х). Аксиомы 1) и 2) нормы очевидно выполняются, а аксиома 3)
следует из неравенства Коши — Буняковского | (х, у) | ^ || х || || у ||, справедливого
для любых элементов х, у £ Н.
Заметим, что | (х, у)\ = \\хЦу || (соответственно || х + у || = ц х || + \\ у ||)
тогда и только тогда, когда либо || х || J у || = 0, либо у = Хх, X £ © (соответственно
А,>0).
Пространства со скалярным произведением в классе всех нормированных
пространств характеризуются следующим свойством: для того чтобы в нормированном
пространстве можно было ввести скалярное произведение (порождающее имеющуюся
норму), необходимо и достаточно, чтобы для любых его элементов х и у выполнялось
равенство параллелограмма:
l* + »|, + l*-»P = 2(JJt|«+|»p);
лри этом
280

в вещественном случае и
1Х ,л _ ll* + V|l2-|f*-yf , , U + iyf-\\x-iyf
(X, у) - 1- i -
в комплексном случае.
Отметим, что в евклидовом (унитарном) пространстве сумма, произведение н»
число и скалярное произведение непрерывны, т. е. если при я-»-оо имеем хп -*• х,
Уп-> У (в смысле сходимости по норме), %п -*- Я (как числовая последовательность), то
и *„ + Уп-*■ х + у, >.**„ -*■ Ьс, (хп, уп) -*- (х, у).
Пространство Я со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно
является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением
(т. е. полным относительно расстояния р (х, у) = || х — у ||).
Если в гильбертовом пространстве Н существует счетное всюду плотное
множество, то Н называется сепарабельным гильбертовым пространством.
Примеры гильбертовых пространств. 1) я-мерное арифметическое пространств»
К"> элементами которого являются наборы действительных чисел х= (£, £„), с
обычными операциями сложения, умножения и скалярным произведением
(*. у)= S In** » = (4i—- iJeK",
есть гильбертово пространство.
2) Пространство С гильбертово, если скалярное произведение двух наборов»
комплексны* чисел г = (z, гп) и до= (w1 wn) ввести по формуле
я
(г, w) = £ гкщ.
3) Пространство /2, элементами которого являются такие последовательност»
оо
комплексных чисел (£&), что V | I* I2 < + оо, есть гильбертово пространство, если
скалярное произведение в нем ввести соотношением
(*. у) = Ц twit. х = (lk) е '2. !/ = (¾) е k-
k=i
Пространство /2 сепарабельно. В качестве плотного в /2 счетного множества
можно взять совокупность всех векторов с конечным (своим для каждого вектора) числом-
отличных от нуля компонент при условии, что этими компонентами являются числа
вида I + it), где £ и т) — рациональные числа.
4) Пространство С2 [а; Ь] всех непрерывных на [а; Ь] действительных функция*
является евклидовым относительно скалярного произведения
*
(*, ») = J * (0 » (0 dt.
а
(с V
Поскольку (см. гл. 2, § 1) пространство С2 [а; Ь] с нормой ||х|| = \ х2 (f) dt I
неполно, то Сг [а; Ь] представляет пример евклидова, но не гильбертова пространства.
5) Пространство L2 [а; Ь], состоящее из классов эквивалентных между собой-
комплекснозначных функций, интегрируемых с квадратом модуля, со скалярный*
произведением
Ь
(х, у) - J х (/J TJfidt, х, у б Ц [а; Ь],
а
291

есть сепарабельное гильбертово пространство. Счетным всюду плотным множеством
в нем является, например, множество многочленов с коэффициентами вида £ + ir\,
где \ и т) — рациональные числа.
6) Примером несепарабельного евклидова пространства есть совокупность Нк
вещественных функций, определенных на всей числовой прямой и имеющих не более
чем счетное множество значений, отличных от нуля. При этом предполагаем, что
У\х* (t) < оо (поскольку лишь для не более чем счетного множества значений / функ-
t
ция х (t) отлична от нуля, то указанную сумму можно рассматривать как обычные
рад). Скалярное произведение в Ни определяется по формуле (х, у) = V х (I)у ((}.
t
Данное пространство полно, однако не сепарабельио. Действительно, если
то нетрудно проверить, что | хх — х%, || = У~2 (если т Ф т'), т. е. при т ф %' элемен.
ты хх и хх, различны. Множество таких элементов естественным образом находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством К и поэтому имеет мощность
континуума, откуда и вытекает несепарабельность пространства //R-
3. Ортогональность. Ортонормироваииые системы. Наличие в Н скалярного
произведения позволяет ввести в этом пространстве не только норму (т. е. длину)
вектора, но и угол между векторами. Углом между ненулевыми элементами хну
евклидова пространства называется угол ф, заключенный между 0 и я, такой, что
(*. У)
COS ф =
1*11-ИИ
• ППН
Я
Если (х, у) = 0, то ф = —-; при этом векторы х и у называются
ортогональными (х J_y).
В унитарном пространстве понятие угла между векторами не вводят (посколь-
(*. У)
ку величина -—-—-—- , вообще говоря, комплексна и не может быть косинусом ка-
11*11 чы
кого-нибудь действительного угла), однако понятие ортогональности сохраняется.
Если элемент х £ Н ортогонален каждому элементу некоторого множества L cz Н
(т. е. (х, у) = 0, Vj € L), то говорят, чтох ортогонален L, и пишут х J_ L. Множество
всех элементов х £ Н, ортогональных данному множеству L, обозначается Ll.
Отметим, что L1 является подпространством в Н (т. е. замкнутым линейным
многообразием), хотя L подпространством может и не быть. Если же в качестве множества L cz Н
мять подпространство, то справедлива следующая основополагающая в теории
гильбертова пространства теорема.
Теорема 1. Пусть Н — гильбертово пространство, L а Н —
подпространство. Тогда Н = L q L1, т. е. любой элемент х £ Н допускает единственное
представление в виде х = и + v, где и £ L, v £ L1. При этом р (х, L) = || х — и || = || v ||.
Элемент и называется проекцией элемента х на подпространство L.
В гильбертовом пространстве, вследствие его полноты и наличия понятия
ортогональности элементов, удается полностью решить задачу о наилучшем приближении
{наилучшей аппроксимации) элемента х £ Н с помощью элементов подпространства
L (если существует элемент и* £ L такой, что р (х, L) = || х — и* ||, то и* называется
элементом наилучшего приближения х элементами подпространства L).
Теорема 2. Пусть М — замкнутое множество в гильбертовом пространстве Н
Л х @ М. Тогда существует такой единственный элемент у £ М, что р (х, М) =
*?1* — у1
Поскольку всякое подпространство гильбертова пространства является
замкнутым выпуклым множеством, то и в этом случае справедливо утверждение, аналогич-
яое теореме 2.
Напомним, что система элементов хъ х2, ... в Н называется линейно
независимой, если при любом натуральном п система хъ х2, ..., хп линейно независима.

Определителем Грома элементов x-^j #2» *•*» %fi нззывзется он рм делитель
(«1. *l) («1. *») • • • («1. *я)
(*2, -*i) («a. xt) . . . (Jffa, *„)
Г(«1. *2, ... . ДС„):
Для линейной независимости векторов лсх> х2, ..., хп необходимо и достаточно,
чтобы нх определитель Грама был отличен от нуля. Определитель Грама линейно
независимых векторов всегда положителен. Этот факт можно рассматривать как
обобщение неравенства Коши — Буняковского, которое утверждает, что для линейно
независимых векторов хи х% справедливо неравенство
г (¾ , *2) = I J*1* *| !*' Xi! I = 1¾ В2 • II ч f -1 (*i. *> I8 > о.
1(½. *i) (*2, *а)1
Система элементов elt е2, ... в евклидовом (унитарном) пространстве Н
называется ортогональной, если (е(, е) = 0 при i ф \, и ортонормированной, если
(¾
• *'> = б<./= {0. ,*/.
Всякую систему хи х2, . . . , хп, ... линейно независимых элементов можно
превратить в ортонормированную систему с помощью следующего процесса орто-
гонализации Шмидта, известного из курса линейной алгебры. Полагаем ех = -—-.
t*il
Пусть у2 = х2— с21е1. Подберем число с21 так, чгобы у2 было ортогональное е^.
Очевидно, что для этого следует взять с21 = (х2, ej). Полагаем е2 = -—— ; при это*
II Уг II
|| у2 || Ф0, так как в противном случае ja = 0 н элементы хг и х2 линейно
зависимы, что противоречит условию.
k—1
Пусть еи е2, . . . , ek__x уже построены. Возьмем ук = хк — J] cklei н подбе-
4=1
рем числа ск[ так, чтобы ук было ортогонально ег, е2, . . . , ек_1; для этого
следует взять ckl = (xk, е,).
Ук
Полагаем еь — г-> причем снова \уАФ& и т. д. Таким образом, спра-
II У к II
ведлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть х,, х2, ... — линейно независимая система элементов в
евклидовом (унитарном) пространстве Н. Тогда в Н существует такая ортонормирован-
ная система элементов ег, е2, ..., что
tk = aklx1 + ak2x2 ^ \- akkxk, aki € К (akl € С), akk ф 0;
*/ = Vi+V»+"" + V/« u*/€R(*«eC)! й//^°- /. *=»• 2
Между векторами ортонормированной системы не может быть линейных
зависимостей. Поэтому в евклидовом пространстве п измерений всякая ортонормированна»
система векторов содержит не более п векторов. В бесконечномерном евклидовом
(унитарном) пространстве ортонормированные системы содержат бесконечное число
элементов, и поэтому возникает вопрос о мощности этих систем. Это решается прост»
для сепарабельных пространств.
Теорема 4. Если евклидово (унитарное) пространство Н сепарабельно, т>
всякая ортонормированная система векторов в нем является конечным, или счетным,
мноокеством.
4. Замкнутые ортогональные системы. Выбрав в л-мерном евклидовом
(унитарном) пространстве ортонормированный базис ех, е2, . . . , еп, каждый вектор-
п
ж£ 0?" (х £ С") можно представить в виде х = J] сАей, где С/е = (х, е^); пр»
283

этом справедливо равенство || х ||2 = V | с^ |2. Выясним, как можно обобщить эти
k=\
факты на случай бесконечномерного евклидова (унитарного) пространства И.
Пусть в], е2, ... — ортонормированная система в Н и х — произвольный элемент
в* Н. Сопоставим элементу х последовательность чисел <?;>.= (х, ek), k= 1,2, ...,
оо
которые называются ковффициентами Фурье элемента х по системе (¾). а ряд У_ c^k
п
называется рядом Фурье элемента х по системе (¾). Многочлен У_ с^ — частичная
k=\
сумма ряда Фурье — называется многочленом Фурье элемента х.
оо
Естественно возникает вопрос: сходится ли ряд У_ с^ в Я к какому-либо
fc=i
яределу и если он сходится, то совпадает ли его сумма с исходным элементом х?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим предварительно следующую задачу:
при заданном п подобрать коэффициенты щ (ft = 1, 2, ..., п) так, чтобы расстояние
п
между х и суммой Sa— У_ 0¾¾ было наименьшим. Справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть (¾) — ортонормированная система в И, Ln — подпростран-
етво, натянутое на векторы ех, ..., е„. Тогда величина dn = р (х, Ln), х 6 Н,
определяется следующими формулами:
dn-
*-£с***|. 4 = U*ll2-£ KI2, **=(*. ek). (1)
Итак, среди всех сумм Sn = У_ <*-kek ПРИ Данном /г наименее уклоняется
«т * частичная сумма ряда Фурье элемента х, т. е. многочлен Фурье элемента х,
оо
Тек как d\ ^ 0 для произвольного п £ N, то из (1) следует, что У_ | с* I2 =¾ | * Р.
Лто неравенство называется неравенством Бесселя.
Ортонормированная система (¾) называется замкнутой, если любого ж € Я
оо
•справедливо равенство ^ |cfel2 = l*f, называемое равенством Парсеваля.
Если система (¾) ортонормирована и замкнута, то для произвольных х,у£Н
оо
выполняется также обобщенное уравнение замкнутости (х, у) = У_ (¾.^. где at и ($* —
коэффициенты Фурье элементов хну соответственно.
Из соотношений (1) следует, что замкнутость системы (¾) равносильна тому, что
оо
для каждого х 6 Н частичные суммы ряда Фурье V c^k сходятся к х. Таким образом,
решение задачи о разложении элемента х в ряд Фурье по системе (¾) сводится к
исследованию системы (ek) на замкнутость.
Из неравенства Бесселя следует, что для того чтобы числа с1( с2 с„, ...
служили коэффициентами Фурье какого-нибудь элемента х 6 Н, необходимо, чтобы ряд
оо
У | с^|2 сходился. Оказывается, что в полном пространстве это условие не только
*— 1
необходимо; но и достаточно. Справедлива следующая теорема.
Теорема 6 (Р и с с а — Фишера). Пусть (¾) — произвольная
ортонормированная система в полном евклидовом (унитарном) пространстве Н и числа С\, ся, ...
S84

00
„., cn, ... такие, что ряд V | cfe \2 сходимся. Тогда существует единственный алемешп
оо
к б Н такой, что Ck = (х, ek) и ^ | ck\2 = || х f.
Понятие замкнутости ортонормированиой системы тесно связано с понятием
полноты, которое означает следующее: ортонормированная система (е^) называется
полной, если замыкание ее линейной оболочки L (т. е. замыкание множества всевоз-
п
ножных конечных линейных комбинаций J] оц^к ПРИ различных п) совпадает с И.
Теорема 7. В сепарабельном евклидовом (унитарном) пространстве Н всякая
'полная ортонормированная система является замкнутой и наоборот.
Приведем еще одну важную теорему.
Теорема 8. Для того чтобы ортонормированная система (ek) в полном
сепарабельном евклидовом (унитарном) пространстве Н была полной, необходимо и
достаточно, чтобы в Н не существовало ненулевого элемента, ортогонального ко всем вле-
ментам системы (ek).
Теорема 9. Евклидово (унитарное) пространство Н имеет полную ортонорми-
рованную систему тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
5. Базисы гильбертова пространства. Важным вопросом при изучении полных
систем (ek) является вопрос о том, образует ли данная система базис сепарабельного
пространства, т. е. можно ли любой элемент* из пространства Н представить в виде
ж= У а^,ей и притом однозначно (здесь 0¾ — числа, а ряд сходится по норме прост-
ранства). Заметим, что данное выше определение базиса пространства сохраняется в
точности и для сепарабельных банаховых пространств. Интересно отметить, что, хотя
для всех основных сепарабельных банаховых пространств базисы построены, вопрос
О том, существует ли базис в произвольном сепарабельном банаховом пространстве,
оказался сложным и был отрицательно решен совсем недавно (в 1972 г. М. Энфло
построил пример рефлексивного сепарабельного банахова пространства, в котором
базис не существует).
Отметим, что если система (¢¢) с Е, где Е — банахово пространство, полная и
не содержит линейно зависимых элементов, то отсюда еще не следует, что она
является базисом/ Действительно, возьмем, например, банахово пространство С [0; 1].
Последовательность (/*), k = 0, 1, .... по теореме Вейерштрассй полная в этом
простое
ранстве, но базисом не является. В самом деле, если функция х (t) = V Ck?
предстало
щнма равномерно сходящимся на [0; 1] рядом, то его радиус сходимости не меньше
единицы. Поэтому на [0; 1)*(^) является бесконечно раз дифференцируемой
функцией. Ясно, что такими функциями все пространство С [0; 1] не исчерпывается, и потому
система (fi) не является базисом в С [0; ]]. \
Если же пространство гильбертово и сепарабельно, то оказывается, что полная
ортонормированная система является базисом. Справедлива следующая теорема.
Теорема 10. В сепарабельном гильбертовом пространстве Н всякая полная
ортонормированная система (е^ является базисом, т. е. для любого х£Н справедливо
оо оо
разложение х = ^ ^¾¾. ck = (х, ek), причем || х f = £ \ck |2.
В дальнейшем полную ортонормирова*шую систему элементов в сепарабельном
гильбертовом пространстве И будем называть ортоиормнроваииым базисом.
Подытожив приведенные результаты, придем к следующему утверждению.
> Утверждение. Для того чтобы последовательность элементов (ей)в сепарабельном
1щильбертовом пространстве Н образовывала ортонормированный базис, необходимо
Ы достаточно, чтобы любой элемент х £ Н допускал представление в виде ряда Фурье
оо оо
*.— Y Ck?k. Ck = (х, ek) (т. е. ряд 2_, Ctfik сходится по норме Н и его сумма равна х),
j£l ft—1
Ш

в. Примеры ортонормнрованных базисов. 1) В пространстве /а
ортонормировании й базис образует система векторов
ек = (0, 0 О, 1,0,.. .), k = 1, 2, ...
k-\
2) В пространстве L2 [а; Ь] (— оо < а < Ь < + оо) ортонормированный базис
образует множество
1 Ь—а
е
Vb — a
а разложение по этому базису совпадает с тригонометрическим рядом Фурье.
Другим примером ортонормированной системы в L2 [а; Ь] является система Ра-
демахера, состоящая из функций
*„« = (-!)*. tzla+-!Li(b-a), а+ ±±±ф-а)\ , fe=0,l 2" - 1;
/г = 0, 1, . ..
(на концах этих интервалов х„ (t) -= 0). Однако эта система неполная (т. е. неортонов-
(6 — а)2
мированный базис), поскольку функция к (t) = (t — a) (t — b) -\ ортого-
6
нальна ко всем функциям системы.
3) В пространстве L2 (— оо; + оо) функций, интегрируемых с квадратом на всей
числовой прямой по мере ф= e~~f2dt, имеющей плотность е~1 относительно меры
Лебега на R, скалярное произведение определяется соотношением
(х, у) = \ ху)у(1)е-1'й1.
—оо
Это пространство гильбертово, а ортонормированный базис в нем образуют пе«~
линомы Чебышева — Эрмнта
_-L —L dn
hn(t) = (-l)npnn\) 2я V —-е-*', /1 = 0,1,....
! at
которые получаются в результате ортогонализации последовательности функций
<"(/!= 0, 1, ...).
4) Рассмотрим гильбертово пространство L2 (0; + оо) функций, интегрируемых
на полупрямой (0; + оо) по мере ф = e"tdt (ее плотность относительно меры Лебега
на R равна ё~*), со скалярным произведением
+«
(х, у) = j х (t) у (t) e-'dt.
о
Взяв в нем систему функций f {п = 0, 1, ...) и применив к иим процесс
ортогонализации, получим систему многочленов Чебышева — Лагерра
л! dtn
которые образуют ортонормированный базис в L2 (0; + оо).
5) В пространстве Н~ ортонормированной системой (но не ортонормированный
базисом) является совокупность хх, где х% — элементы, определенные в п. 2.
7. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. Если |1( Е2, ...—
оо оо
любая последовательность чисел такая, что ^ | \к |2 < -\- оо, то ряд ^ \№k «хо«
2S6

дится в Н. Если обозначить его сумму через х, то, умножая х на ек, будем иметь 6а «■
■•» (х, вк). Итак, между всевозможными последовательностями чисел со сходящимся
рядом из квадратов их модулей, т. е. элементами пространства /2, и векторами
гильбертова пространства Н существует взаимно однозначное соответствие: вектору х £ Н
ставится в соответствие вектор \ = (|ft) g /2, координаты которого суть коэффициенты
оо
Фурье вектора х по ортонормированной системе (ek) :х= £ \&к. Такое взаимно.
однозначное соответствие между векторами произвольного сепарабельного
гильбертова пространства Н и векторами гильбертова пространства /2 сохраняет линейные
операции, а также скалярное произведение, т. е.
оо
(*. у)н = (I, Л)/, = £ 1*тГь 5* = (*. е*). Пк = (J/, е*)-
Таким образом, любые два сепарабельных гильбертовых пространства
изоморфны (т. е. между ними можно установить взаимно однозначное соответствие с
сохранением линейных операций и скалярного произведения) между собой, ибо каждое из
них изоморфно пространству 1г. В частности, пространство L2 [а; Ь] изоморфно 12.
В заключение приведем еще одну важную теорему, устанавливающую общий вид
линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве.
Теорема 11 (Ф. Р и с с а). Всякий линейный непрерывный функционал f в
гильбертовом пространстве Н имеет вид
f (х) = (х, а),
шде а — некоторый элемент из Н, однозначно определяемый функционалом f; при этом
Теорема Рисса означает, что сопряженное пространство Н* с точностью до
изоморфизма можно отождествить с самим Н.
Более детально о гильбертовых пространствах см. в [20; 26; 29; 33].
Примеры решения задач
1. Пусть a = (ai.'aj, . ..) — фиксированная последовательность,
а„>0, п£ ^; /г.а— множество всех последовательностей х = (|х |а,...),
оо
удовлетворяющих условию £ °0 1л|2< + °°- Проверить, что /j,«
я=1
со скалярным произведением
оо
(х, у) = £ ап1пЦп (у = (т),,) б /2,а)
является сепарабельным гильбертовым пространством.
Решение. Ряд £ Ып^пЧп сходится абсолютно, поскольку а„ \\nr\a \ ^
я=1
^-?г-(|5я18 + I Ял Р)- Аксиомы скалярного произведения
проверяются непосредственно. Покажем, что /2>а — полное пространство.
Пусть (jc<*') = ((5лй)))/Г-=1 — фундаментальная последовательность в
12>06. Это означает, что для произвольного е > 0 существует номер k^
такой, что при г > kQ, s>K
оо
S a„|5JT-5(„s,|2<e».
п=1
287

Следовательно, при любом тбИи подавно
т
X ал|£Г-|(Л2<е2. (2)
Отсюда следует, что последовательность (i(„fe))*l=i при каждом п£
£ И сходится к некоторому пределу |„: |„ = lim £(„fe). Устремляя в не-
равенстве (2) s к бесконечности, получаем
т
S алиГ-|л|2<е2 (г>А0).
Поскольку это неравенство справедливо для любого т, то
S «„ИГ-i„|2<*>>&„). (3)
я=1
те те
Из сходимости рядов £ ал | |Я"' |2 и £ ап I 5«' — in Is вытекает
л=1 л=Г
сходимость ряда ^ ссл 11„ |2 (в силу неравенства (а + Ь)2 ^ 2 (а2 + Ь')).
ч=1
Таким образом, установлено, что последовательность * = (£„) 6/з.а-
Поскольку е>0 произвольно, то неравенство (3) означает, что
I'm \\ *№ - х§2 а = lim £ ап | &*> -1„|2 = 0.
Этим доказано, что /2>а — полное пространство, т. е. гильбертово.
Пространство k,a сепарабельно. В качестве плотного в h,a
счетного множества можно взять совокупность всех векторов с конечным
(своим для каждого вектора) числом отличных от нуля компонент
при условии, что этими компонентами являются рациональные числа.
2. Показать, что замкнутый единичный шар в гильбертовом
пространстве — строго выпуклое множество.
Решение. Напомним, что отрезком,'соединяющим точки х и у
гильбертова пространства Я, называется совокупность векторов вида
tx + (1 — t) у, где 0 < / < 1. Если г 6 Я, г = tx + (1 — t) у и
0 < / < 1, то точка г называется внутренней для рассматриваемого
отрезка. Если точка выпуклого множества не служит внутренней для
какого-нибудь отрезка, принадлежащего этому множеству, то она
называется крайней точкой этого множества. Замкнутое выпуклое
множество в Н называется строго выпуклым, если все его граничные точки
крайние.
Граничные точки замкнутого единичного шара есть векторы х, для
которых |je|= 1. Поэтому следует показать, что если х = ty +
+ (1 — f) z, где 0</<1, |*|=1, Ы1<1. lz|<l, то
х = у = г. Заметим, что
1 = (*, *) = (*, ty + (1 — f) г) = /(*, у) + (1 — t) (*, г).
288

Поскольку | (X, У) | <1*J \y\<. 1, I (*, 2) К I* I ||z|<l,
то, в силу строгой выпуклости единичного замкнутого круга на плов-
кости (проверьте это), (х, у) = (х, г) = 1. Но тогда неравенство Коши —
Буняковского превращается в точное равенство как для пары векторов
х, у, так и для пары х, г. Следовательно, векторы у и х и векторы z и я
коллинеарны, т. е. у = ах, г = $х, где а, Р — числовые коэффициенты.
Тогда 1 = (х, у) = (х, а х) = а (х, х) = а и аналогично 1 = (х, г) «■
«= (х, р\к) = р (х, х) = р\ т. е. а => р" = 1. Отсюда х = у = г.
3. Доказать, что единичный шар в бесконечномерном
гильбертовом пространстве Я содержит бесконечно много непересекающихся
шаров радиуса -j-.
Решение. Пусть В = \х £ Н : J *|] ^ 1} единичный шар в Я, (eJfeLi —
ортонормированнаясистемавЯ, Bk = {*£# : \х ^- ek <!—1, т. t.
£л — шары с центрами в точках -у eft и радиусами -^-. Если х £ В,,,
<1*-4-е4+-Ие*||<-!-< ^-^
х 2" е* + — eft
то ||*1
х£В, так что Вкс В для произвольного &£№• Покажем, что шары
Вк и Вт не пересекаются, если 1гфт. Пусть x£Bk, у£В'т. Тогда
еь r«J< 4-eft — * +|* — </ll + |y — -J-em <
_l
2 c* 2
<i- + «*-y||.
l/"o I
Отсюда следует, что || x — у Ц ^ -^ ^- > 0 (здесь мы учли,
что \ek — етЦ = ]/l2, если А^«)• Это и означает, что бА П Вт = gf,
если кфт. Следовательно, в шаре В содержится бесконечно мно-
1
re непересекающихся шаров радиуса -j- •
4. Доказать, что в нормированных пространствах 1р(р > \, р Ф 2)
ж С [0; 1] норма не порождается скалярным произведением.
Решение. Рассмотрим в /„ (р ^ 1, р Ф 2) два вектора: * =
-(1,1,0,0...), у = (1,-1,0,0,...). Тогда * + у = (2, 0, 0, ...),
j_
я — у = (0, 2, 0, 0, ...). При этом \\х\\ = \\у\\ = 2р, || * + */1 =
= \ х — у \ = 2 и тождество параллелограмма || * + у f + || * —
— У V = ^ (| * ||2 + \ у Iя) при р Ф 2 не выполняется.
Следовательно, нормированные пространства 1Р при р Ф 2 не являются
евклидовыми.
Рассмотрим пространство С[0; 1] непрерывных на отрезке [0; 1]
функций. Положим x(f) =-^-, у if) = -j-t. Тогда ||х|| =*\yl = — '
[х — yj^-j-i \х + </(= 1- Отсюда видно, что тождество
параллелограмма для указанных элементов х, у не выполняется, %, «. норму
М 0-Т4
180

в пространстве С [0; 1] нельзя задать с помощью какого бы то ни
было скалярного произведения.
Аналогично устанавливается, что пространство С la; Ь]
непрерывных на любом отрезке [а; Ъ\ функций не есть евклидово пространство.
5. Пусть L — линейное многообразие в Н. Доказать, что L = Н
тогда и только тогда, когда L1 = {0}.
Решение. Пусть L1 = {0}, т. е. если (х, у) = 0 для произвольного
§ 6 L, то х = 0. Допустим, что L не является всюду плотным в Н
множеством, т. е. L Ф Н. Это означает, что существует х0 g: L. Так
как L — подпространство n х0 g L, то имеет место ортогональное
разложение; х0 = у0 + z0, где у0 6 L, z0 6 L1', при этом z0 Ф 0, поскольку
х0 £ L. Однако, (z0, у) = 0 для произвольного элемента у 6 L и, в
частности, для у 6 L. Тогда, согласно условию, г0 = 0. Полученное
противоречие и доказывает, что L = Н.
Обратно, пусть L = Н. Допустим, что существует z0 6 Н, z0 _L L.
Поскольку L = //, то существует последовательность элементов (уп) а
d L такая, что уп -> z0. Тогда 0 = («/„, г0) -*■ (z0, z0) вследствие
непрерывности скалярного произведения. Следовательно, (z0, z0) = 0, т. е.
г, = 0.
в. Доказать, что замкнутая линейная оболочка L множества
всех векторов вида хп = (1, -^- , -^-, -^- , .. .) всюду плотна в /„.
Решение. Согласно предыдущей задаче достаточно показать, что
L J- = (0). Пусть вектор х = (¾. £1; |а, .. .)£ /2 ортогонален L, т. е.
°° 1
0 = (х, хп) = Е |А (zj*. где z„ = —- , n = 1, 2, .... Рассмотрим в
круге К => {2 ^(С : \г |< 1} функцию /(z) = У E*z*. Из неравенств
II»2* I ^-5" (I 5* 12> + Iz |2*) следует равномерная сходимость
рассматриваемого ряда внутри К (т. е. на произвольном компакте из К).
Следовательно, / (г) аналитична в К. При этом / (z„) = 0 (п =
= 1,2, ...), т. е. / (z) совпадает с нулевой функцией на множестве
М = jz„ s z„ = —^-, n = 1,2, ...I, которое имеет предельную точку
z* = 0, причем z* 6 К. Тогда на основании теоремы единственности
для аналитических функций заключаем, что / (г) == 0 на К, т. е. все
коэффициенты |» = 0. Значит, х = 0, что и требовалось установить.
7. Пусть L — подпространство гильбертова пространства Н, а
х — точка, отстоящая от L на расстоянии d, т. е. d = р (*, L) =*
= inf || jc — и \\. Доказать, что для любых двух векторов ylt г/2 € L
справедливо неравенство Беппо Леви:
I Ух - у, II < Vtx -уА2-^ + V\\x-y2f-d*.
Исходя из этого неравенства, доказать теорему о существовании
ЮС

элемента у £ L, реализующего расстояние от точки х до
подпространства L : р (х, L) = \\х — у ||.
Решение. Рассмотрим векторы х~1-1 , —~^2 и запишем для
них равенство параллелограмма
\\x-yir + \\x-y2f = -Lf2x-(y1 + y2)\\2 + \\yi-y2f.
Поскольку L — подпространство в Н, то ух + г/2 £ L и поэтому
У1 + У2
>4d2
Тогда
II Ух - Уа II2 < I * - Ух t + \\x-yjf-2d* < Qf\\x-=y^f=d2 +
+ V\\x-y,f-d*)\
т. е.
lyi-yJ^VWx-y.f-d' + Vlx-y.f-d*.
Докажем вторую часть утверждения. Для этого используем
определение infs для любого п 6 И существует уп 6 L такое, что
d<\\x-yn\\<:d + ±-- (4
Тогда на основании неравенства Беппо Леви
lvn-ym$<V\\x-ynt-d* + Vix-ym\f-d*^
< Vid+4-)1 - *+i/(d+4-)2 - *=
откуда получаем фундаментальность последовательности (г/„).
Вследствие пол-ноты Н последовательность (уп) сходится к
некоторому элементу у € L, ибо L замкнуто. Переходя теперь к пределу в
неравенстве (4) при п -*■ оо, получаем \\х — у | = d. Утверждение
доказано.
8. Пусть L — л-мерное подпространство с базисом Нъ h2, ..., hn
в вещественном гильбертовом пространстве Н, х£Н — произвольный
элемент. Доказать, что
р (X, L)- r(/ii> ^ Ля)
Решение. Обозначим через г/-проекцию элемента х на
подпространство L. Поскольку элементы hlt /ц, ..., Л„ образуют базис в L, то у =
= V*i + W** + ... + Я,яА„, где А1? к2, ..., А.„ — некоторые числа.
Согласно свойствам ортогональной проекции, разность х — у = 2
ортогональна подпространству L, т. е. каждому из векторов /¾.
/Ц, ..., /la-
в —(2, Aj)m(*, A») — Xx(Ax, Aj) — ... —ln(hn, h£, к - 1,,.. ,п. (б)
10« 29i

Но р (х, L) = [ z \ = J х — у I. Отсюда следует, что
р2(х, L) = (z, 2) = (2, х — у) = (г,х) = (* — {/, х)
Тогда
р2 (х, L) = (х, х) — Ях (Л1( х) Хп (А„, х).
Исключая Хк из уравнений (5) и (6), находим, что
(х, х) — р2(х, L) (hlt х) (Л2, х) . . . (/in, *)
(х, hj (hlt ht) (h2, hj . . . (Лп, ht)
(6)
(*, Л„)
(Л1( hn) (h2, /!„)... (/!„, /IJ
= 0.
Отсюпа о2 te L\ - Г (x, /»!,/»,,.., hn)
итсюда p (a:, /.) _ Fi (/li> /,2 , hn)
8. Пусть L — одномерное подпространство в гильбертовом прос^
рвнстве Н, а 6 L, а*£0. Доказать, что для любого х 6 Я
Решение. Пусть у 6 L1. В силу неравенства Коши — Буняков-
«юго | (а, х — у) | < || а \ \ х — у |. Поскольку (а, х — г/) = (а, *), те
|(а, х)К||а||||л: — у\, т. е. |х — у\> ц'ад • Следовательно,
р(*, Li) = inf|*-y|> '<°- f>' .
«€Ll IMI
Покажем теперь, что существует элемент y*gL1 такой,что \х —
— у*Д = ,,,. ; это и будет означать, что р(х, L ) =» ми' •
II а II IIв II
Возьмем элемент г/* = л: - —'
(а, *•)
д;*, где х*
видно, что y*£Ll и
"R
, fl**| = l. Очв-
I (а, х) |
(а> тц)\
Утверждение доказано.
10. Пусть К — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом
«ространстве Н. Доказать, что в К существует и единствен элемент
t наименьшей нормой.
Решение. Покажем вначале, что такой элемент существует. Пусть
I = inf | х ||. Возьмем последовательность положительных чисел
хек
fa»), убывающую к нулю. Тогда, по определению нижней грани, в К
существует последовательность векторов (х^ такая, что 6^Цл;а||<
<б + е„, т. е. lim|*J = б.
Я-ь-оо
292

Поскольку К — выпуклое множество, то * 2 *т € К при любых
n, m€Rj. Но|| *" + *m <J^L+±SalLи поэтому 6<|-^Ц-^-|<
<б +
«п + <
Следовательно, lim
n,m-«o||
*п "г хт
2
'-в.
Используя далее тождество параллелограмма
2^x'f + \\x'f)=\x,+x''f + \\x,-Xrr
и полагая в нем х' = х„, х* = хт, находим, что
\xa-xmf = 2\хяТ + 2«*J2-4j-^±^t- [ •
Таким образом, lim ||лг„ — хт|| = 0. Это означает, что последова-
n.m-юо
тельность (х„) является фундаментальной, а значит, и
сходящейся, т. е. существует элемент х* £ К. (в силу замкнутости К) такой»
что lim |хп — х* || = 0. Поскольку limЦхп\ = б и б <: || х* || ^ || х* — хп ||+
п-»оо п-»оо
+ fljt„|, то, переходя в последнем неравенстве к пределу при п->-оо,
получаем б <; || ** ||<! б, т. е. ||х*|| = inf||х\\ = б.
Для завершения доказательства покажем, что такой элемент
единствен. Допустим, что в К существует две точки х*, х** такие,
что б = || X* || = |
Однако,
к** \\. Так как
х*+х**
х* +х*
£К, то
X* + X**
5
>&
Следовательно,
2
X* + X**
2
х* + х**
<:■
fl**fl+ '|*«|-а,
= д и поэтому
—5-Я-яс*|Ц--2-|лс**в.
т. е. имеем случай, когда неравенство треугольника обращается в
равенство. Если 6 = 0, то, очевидно, х* = х** =0. Если же х* ф 0
(т. е. б > 0), то х** = ах*, где а > 0. Тогда
х* + х** \ + а , *.. 1 + а
■ —= —S—П-яс*| J—
б =
б,
откуда а = 1, т. е. х* = х**, что и требовалось доказать.
11. Доказать, что в гильбертовом пространстве Н любая
последовательность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных
множеств имеет непустое пересечение.
Решение. Пусть M^zd М2 :э М3 гэ ... — указанная
последовательность множеств. Согласно предыдущей задаче в каждом множестве
Мп существует единственный элемент ап с наименьшей нормой, т. е.
6Я = inf || х || = | ап (). Из условия задачи следует, что числовая по-
х€Ма
следовательность (б„) монотонно убывает и ограничена снизу нулем.
2М

Таким образом, существует конечный предел этой последовательности;
б = lim б„ = lim J ап\\.
Пусть, например, п < m (случай п> т рассматривается аналог
рично). В силу выпуклости множеств Мп элемент °" £т принадлежит
Мп, ибо при п < т Мт с= Мп. Тогда
б„<
Дп + ап
<~lanl + 4-laJ = ^-dn + -L8m<d,
(здесь мы учли, чтобт< б„ при п<.т). Следовательно, lim
fljn-* оо
л
an + aff
2
б. Используя далее тождество параллелограмма, находим, что
11^-^ = 21^ + 21^-4(^^12.
Отсюда Iim||an — am|| = 0, т. е. последовательность (ап) является
пшт -юо
фундаментальной, а значит, и сходящейся (в силу полноты
пространства Н). Следовательно, существует элемент а£Н такой, что
оо оо
lim || а„ — а || = 0. Очевидно, что а £ П Мп, т. е. f] МпФ0.
12. Для функции е' найти многочлен второй степени р (i) такой»
что норма Je* — р (/) || минимальна в L2[—1; 1].
Решение. Поскольку при заданном п в пространстве со скалярным
произведением от элемента х наименее уклоняется его я-я частичная
сумма ряда Фурье, то искомый многочлен совпадает с многочленом
Фурье второй степени функции е*, т. е.
р (t) = с0е0 (0 + с1е1 (0 + с2е2 (t),
где е0 (t), ех (f), е2 (О — элементы' ортонормированной системы в
L2[— 1; 1], ck = (е', ek) (k = 0, 1, 2) — коэффициенты Фурье
функции е*.
Для того чтобы найти е0 ((), ег (f), е2 (t), применим процесс ортого-
нализации к линейно независимым функциям 1, t, t2.
Учитывая, что J11| = I ]dt\ = V% найдем е0 (*); е0 (0 = -щ =
= —7^ ■ Далее, ех (t) = -+^-, где ht (t) = t — (t, e0) e0. Так кан
i
{t, ej = yj j tdt = 0, то ht (i) = t. Кроме того, fl/^ f = (hls hx) -
i ~
»= j fdt = -5- . Следовательно, ex (i) = ]/ — t. Перейдем теперь л
—i
построению функции e2 (t): et (f) = Д !■■, где
h, (t) = fi — (?, e0) e0 - (ft e2) в1.
294

Нетрудно видеть, что (Р, е0) = —~- ] fdt = -*-J-, (Р, л£ ■■
У2 -I
Поэтому h2 (f) = Р g-. Поскольку
1^ = 04,/4)= i{t2—r(dt=-k>
—i
TO
*»-f£(,-i-
Итак, чтобы построить искомый многочлен, осталось подсчитал
коэффициенты Фурье с0, си с2 функции ё:
Cl={/, ei)=у\ \ tiu-i±-t
Тогда
pit) = c0e0(t) + ciei(t)+c2e2(f) =-^--^=-+ ^-Щ-t^
, УЪ{?-1) (л 1 \ 3 11 —g2 , 3 ., 15 e*-7 л
"*" e /2 \ 3 /~~ 4 ' ~ ~* i '
13. Показать, что последовательность функций (Л£=о полна >
La [0; 1], но не является базисом в L2 [0; 1].
Решение. Покажем, что система (/*) полна в L2 [0; 1].
Первый способ. Очевидно, что линейная оболочка L сн-
«темы(Л совпадает с множеством Р заданных на [0; 1] алгебраиче-
оо
«ких полиномов р (f) = Yiai$ • И3 аппроксимационной теоремы Вейер-
*=о_
штрасса следует, что L = Р = С[0; 1], т. е. система (tk) полна в
пространстве С [0; 1], а значит, и в пространстве L2 [0; 1], поскольку
непрерывные функции плотны в L2 [0; 1].
Второй способ. Желая доказать полноту системы (**),
допускаем, что существует функция х (t) 6 L2 [0; 1], для которой
(*, t") = $*(*) Л« = 0, к = 0, 1, ....
о
291

Отсюда, интегрируя по частям, получаем равенства
{^/(0^ = 0, л = о, 1, ..., (D
о
1
где /(f) = J х(т) dr. Поскольку /" — непрерывная функция, то в еи-
t
лу теоремы Вейерштрасса для любого е>0 существует многочлен
п
Pn(t)= Е с/ такой, что |/(0— М0|<е (V*G[0; 1]). Поэтому,
используя соотношения (7), будем иметь
1 1 1 / I \ 2
Unt)\2dt = $Ht)[f(t)-pn(f)]dt^e$\f(t)\dt<s($\f(t)\*dt
во о \0
I
откуда ] }f(t) |2г#<;е2. Поскольку е>0 произвольно, то f(t) =э0
о
и, следовательно, * (0 = 0 почти всюду, ибо f (t) = — х (t) почти
всюду.
Перейдем к доказательству того, что система (tk) не является
базисом в пространстве La [0; 1]. Допустим противное, т. е. что любая
функция х (t) 6 La [0; 1] допускает разложение в ряд по системе (^*):
оо
* (0 = Е С<А гДе РЯД сходится кх(/) в метрике L2 [0; П. Умножим
«калярно обе части этого равенства на функцию
'>s, s£[0; 1].
Тогда для любого s £ [0; 1] получим (учтите при этом
непрерывность скалярного произведения) равенство
0 А—0 0 fe=0 '
оо
В силу произвольности s, s£[0; 1], ряд У b?.-s*+' сходится
на [0; 1]. Значит, сумма / (s) этого степенного ряда является на [0; 1)
бесконечно раз дифференцируемой функцией. Тогда и х (t) = f (t) £
6 C°° [0; 1). Поскольку такими функциями пространство L2 [0; 1] не
исчерпывается, то система (t) базисом в L2 [0; 1] не является.
Замечание 1. Можно показать, что система (^) полна, но не является
базисом в произвольном пространстве Z.a [а; Ь], где — оо < а < й < + оо.
Замечание 2. Из полноты последовательности функций (tk) в пространстве
Lf la; b) следует полнота в L2 [а; Ь) любой последовательности (рь (t)), где рь (/) —
Многочлен fe-й степени. В частности, полной будет последовательность многочленов,
2S6
( 1, t:

Которая получается из последовательности (^) с помощью ортогонализации.Этр
ортогональные многочлены называются многочленами Лежандра. Обычно их
рассматривают при а = — 1, Ъ ~ 1 н записывают в виде
^(/)=-^1/-^^--^-(^-1)^, * = 0, 1
k\2k у '
2 dtk
Таким образом, последовательность многочленов Лежандра (Pk (t)) является полной
ортонормированной системой и в силу теоремы 10^ образует ортонормированный ба4
■ис в Ц[— 1; 1].
14. В пространстве /2.а (определение t^a, см- в примере 1) построить
ортонормированный базис, если:
а) а„ = п; б) а„ = п2; в) а„ = е~п (Vn 6 W)-
Решение. Пусть а„ = п (V п£Щ. Покажем, что система (е„),
где е„ = (0 0, —j=-, 0, ...), образует ортонормированный базис
в h,a,- Очевидно, что система (е„) является ортонормированной
относительно введенного в /2.а скалярного произведения. Осталось
установить полноту системы (еп), т. е. показать, что каждый элемент
x£h,a. можно представить в виде ряда Фурье: x=Yi сп^ где
■ к
ва =» (х, еп) *=*Vn\a, если х= (llt £а, ...)• Действительно, £ спеа =
n=i
"'(ii-ia- —» 1к> °. ••■) и поэтому
I* — Е <vU = к (о, .... о, ь+1, i*+2,...)| —
п=1
А
1
\n=k+l J
как остаток сходящегося ряда. Таким образом,
к оо
х =-- lim £ с„е„ *= X c„e„,
fe-»oo п=1 л=1
где с„ = ]/~й £„ — коэффициенты* Фурье элемента х. Этим доказано,
что (е„) — полная ортонормированная система (ортонормированный
базис) в 1%а.
Аналогично доказывается, что в случае ап = п2 (Vng^)
ортонормированный базис в h.a образуют векторы еп= (0, ..., 0, — , 0, ...] ,
л—1
п
а в случае а„ =,е~л (V я6 И) — векторы е„=(0 0, е2 , 0, ...).
я—1
15. Пусть i3=»{z6(C"|zl^4 — замкнутый единичный круг
комплексной плоскости, A2 (j3) — совокупность всех аналитических-
внутри 0 и интегрируемых в # с квадратом модуля функций. Дока-
297

•ать, что множество А2 ($) превращается в гильбертово пространство,
«ели скалярное произведение в нем ввести по формуле
(х, у) = \\ х(г) у (г) dtds, г = t + is. (8)
0
Проверить, что функции <р„(г) = у 2-Х- zn (л = О, 1, ...) обра-
ауют ортонормированный базис в /42(jS).
Решение. То, что соотношение (8) определяет скалярное
произведение в A2 (jZ5), проверяется непосредственно. Покажем, что множество
Ай (iZ5) с введенным скалярным произведением образует гильбертово
пространство. С этой целью докажем вначале вспомогательное
равенство
/(*<>) *=—-\\f(z)dtds, z = t + is, г0 = г0(г0), 0<r0< 1,
где z0€iS, 12<ь\Ф\, f (г)£ A2(jS), /•„— расстояние от точки г0 до
границы единичного круга, jSr, = {zgjS:\г — z0|<r0}.
Поскольку функция / (z) аналитична внутри jS, то она аналитична
н в <Qrt (<jbro a jS). Разложим функцию f (z) в круге ЮГ, в ряд Тейлора»
fW-S ^(г-Zo)". an^J^M-, |z-z0|<z0.
(1=0 ni
В каждом круге iZ5-= {z.'|z —z0|<r0} (0<r0</•„) этот ряд
''в
входится равномерно, и его можно интегрировать почленно:
J J f(z)dtds= J о, J J (г -z0)ndtds.
Нетрудно видеть, что
П(г-гв)^^=2П^р»+1^Ф=( ?; я,ш1,2> -'
Л- оо I яго, Л = 0.
'о
Тогда
] ] /" (z) d/ds = а0 - nr\ = /1 (гв) • art
Устремив здесь гв к /■„, получим
JJ/(2)dufa-/(2i).w8,
«г.
что и требовалось доказать. Далее имеем
•W 0ro я/о *,, I
«^o2|/(z,)|».

Вдеоь мы воспользовались неравенством Коши — Буняковского
| (/, 1) Р = J{ f (г) dtds 2 < J J | f (z) |2 dtds . nr'i
Sir, Sr,
Итак,
\f(20)\<~^-\\f\\, z0eiS, r6^r0(z0), \г0\ф1.
Перейдем к доказательству основного утверждения (т. е. к
доказательству полноты пространства A2 (jS)). Пусть (/n(z))
—фундаментальная последовательность в A* (J3). Из последнего неравенства
следует, что
\fn(z)-fm(z) |< -T7±-r ifn(z)-fm (г) ||; п, т£®,
У Я Г (г)
для любого г 6 jS, \z ( Ф I (г (г) — радиус наибольшего открытого
круга с центром в точке г, содержащегося в jS). Следовательно, если
К — компактное множество в jD, то г (г) > а > 0 для всех z 6 /С,
где а — расстояние от границы компакта К Д° границы круга jS.
Тогда
IMz)-Uz)|<-r74r-|A.-U. z €fK-
у па
Используя фундаментальность последовательности (/„) в Ла ($)
я эту оценку, заключаем, что для любого е >• О существует п0 6 И
такое, что для всех z 6 К выполняется неравенство
\fa(2)-fm(z)\ *£-%-,
у по,
если только п, т 1> п0. Тогда согласно критерию Коши на компакте
К последовательность функций (/„ (z)) сходится равномерно к
некоторой функции, аналитической (в силу теоремы Вейерштрасса) на этом
компакте. Используя далее теорему единственности для
аналитических функций, получаем, что -существует аналитическая внутри 55
функция f (z), к которой сходится последовательность (/„ (г)). В то же
время из полноты пространства L2 {&>) вытекает существование ком-
плекснозначной суммируемой с квадратом модуля (не обязательно
аналитической) функции g (z) на 55 такой, что /„ ->- g по норме пространства
Lt (j3). Отсюда следует, что некоторая подпоследовательность после'
довательности функций (/„ (z)) сходится к g (z) почти всюду. Значит,
/ (z) = g (z) почти всюду. Таким образом, функция f (z) также
интегрируема с квадратом модуля, т. е. f 6 Аг (55).
Покажем теперь, что функции <p„(z) = у ~—zn образуют орто-
нормированную систему в Л2 (53). Для каждого г <! 1 имеем
. 2я г
$ J Ф„ (z) Ш dtds = ^C+lH«+l) J j e'<»-^p«+m+.dpd(p ^
р|ф 0 0
2/(/i + l)(m+l) гП+т+2л
п + от + 2 r 0',•'в,
!99

ад»
f 1, если л = m,
n,m = (o, если пфт.
Положив г = 1, получим (ф„, фда) = б„,т (я, т б RJ (J Щ, т. «.
система (ф„ (z)) является ортонормированной.
Покажем ее полноту в A2 С0). Пусть функция х (г) изЛ2(,0)
ортогональна к функциям ф„ (г), п = 0, 1, ... . Поскольку х (г) аналитична
внутри $, то
t
od оо
*(z) = £Cnz"~2Ui!_)2 Cn<pn(t), |г|<1.
Отсюда для каждого г <С 1 (ввиду равномерной сходимости соответот-
вующего ряда в круге ) г | ^ г) имеем
= /^Г^<т+1)^ (« = 0,1,...).
Устремив здесь г к единице, получим
У тЯ+х ст = (ж, Фт) = 0 (т - 0, 1, ...).
т. е. х (г) зэ 0. Следовательно, система (ф„ (г)) полна в Аг {0), и
поэтому по теореме 7 она образует ортонормированный базис этого
пространства.
ее
Замечание. Если х (г) = ^ a^" (|z| < 1), то из тождества
в=0
l«l=Sr n=0
(V/•: и < r <; l)
oo
<W8
«ледует, что x (г) принадлежит Л2 (®) тогда и только тогда, когда > , .
^J я+ 1
»-0
< + оо.
Иными словами, соответствие
является изоморфизмом между /42 (31) и ^а, где a = I у ——г-) (см.
пример 1). Поэтому все сформулированные утверждения можно получить из
соответствующих утверждений примера 1. Рекомендуем читателю убедиться в справедливости
этого замечания самостоятельно.
16. Пусть Н — гильбертово пространство, L а Н —
подпространство, f — ограниченный линейный функционал, заданный на L.
300

Доказать, что существует единственное продолжение f на все
пространство Я с сохранением нормы.
Решение. Так как L является подпространством в Я, то в силу
теоремы Рисса существует однозначно определяемый функционалом
/ элемент а£ L такой, что f (х) = (х, а) (V х 6 L) и \ f | = || а |.
Определим функционал g на Н равенством g (х) = (х, а), х £ Н.
Функционал g является продолжением / на все пространство Н,
причем \gl = \f ||. Действительно, g (х) = (х, a) = f (х), если хбЦт.е.
f = g т L). Кроме того, | g (х) |< | х \\ ■ \\ а ||, т. е. ||g||<|a|.
Однако, взяв х = а, получим g (a) = (a, a) = | a f, откуда следует,
41,0 181 = IIа II = (/ I- Покажем, что всякое другое расширение <р
линейного функционала / на все пространство Н имеет норму, большую
) f J. Действительно, если ф есть расширение / на все пространство,
то в силу теоремы Рисса существует элемент at 6 Н такой, что <р (х) =
»= (х, аг) (V х 6 Н) и | ф I = | Oi |. Если х £ L, то справедливо
равенство
(*, ах) = ф (*) = f (х) = (*, а),
т. е. (х, аг — а) = 0, откуда видно, что ах — а G L1. Так как а € L,
то
|в,||» - ||а'+ %- af = (а + а2- а, а + ai -а) = NP + 1¾ -ар-
Отсюда || ф J > | /1|, причем знак равенства не имеет места, еслв
йх ф а. Этим доказано, что функционал g является единственным
продолжением функционала / на все пространство Н с сохранением нормы.
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением справедлива
п п
теорема Пифагора: если (^,^) = 0, )гф1, и *=$j xk, то ||*|p = ]£ ||**р.
*=i ft—1
2. Доказать, что в пространстве «у скалярным произведением:
а) для любых элементов х, у, г справедливо тождество Аполлония
б) для любых элементов х, у, г, t справедливо неравенство Птолемея
1х-жПу~»Ц<1х — уПг-Ц + 1у-гЦх—Ц.
1. Определяет ли в R" скалярное произведение функция (р: RnX R" -*-R, tejiBt
п
*) 9(*.*)-S (£* + Лк)\
n
б) Ф (x, y) = Y kbr\k.
fc=l
аде * = (8i In), y=(ni, .... ть)?
4. Доказать, что функция
(*, у) = £ ^¾^. 0<at<l (V*fN),
где * = (Ex, E2, ...), у = (т^, т]2, ...), определяет скалярное произведение в f,. Будет
дв полученное евклидово пространство гильбертовым?
301

5. Доказать, что функция
Ь ь
(х, y)=\jx(t)y(f)dt+§ х' (0 у' (/) dt
а а
•пределяет скалярное произведение в пространстве С1 [а; Ь] непрерывно дифф*рм>
Кируемых на отрезке [а; Ь] функций. Является ли пространство С1 fa; b] гильберт»
вым?
6. В линейном пространстве определенных на (— со; -)- со) функций х (Q
таких, что интеграл I | х (t)\2 ё~~* dt сходится, введем скалярное произведение
—оо
(х, у)= \ x(t)y (t) е-<*<к.
Доказать полноту этого пространства
7. В линейном пространстве определ:
+ 00
ч?о интеграл I | х (/) |аё~'at сходится, введем скалярное произведение
о
+оо
(*, у) = ■ j х (0 у (0 e-Ut.
7. В линейном пространстве определенных на [0; +со) функций х (f) таких,
+ 00
Доказать полноту этого пространства.
8. Доказать, что в гильбертовом пространстве над числовым полем К элементя
жну ортогональны тогда и только тогда, когда:
а)!и + у||2 = 1ИР+Ь|Р при /C = R,
б) \{\х + y.y\f = \\Хх$ -i-Wpyf для любых X, ц £ С при К = С.
9. Доказать, что в пространстве Н со скалярным произведением соотношение
I* J+I!У II = II* + У II (*> У € Н) выполняется тогда и только тогда, когда или
я = О, или у = he при некотором \ J> 0.
10. Пусть в ноомированном пространстве Е справедливо равенство ромба: при
любых х, у 6 Е таких, что || х || = J у || = 1, выполняется равенство || х + у f +
+ \х — у ||2 = 4. Доказать, что в Е можно ввести скалярное произведение,
порождающее имеющуюся норму.
П. Доказать справедливость в гильбертовом пространстве поляризационного
тождества
4(*, y) = lx + yf-\x-yf-\-l\\x + iyf-l\x-iyf.
12. Доказать, что в нормированных пространствах с0 и т норма не порождается
скалярным произведением.
13. Пусть Н — гильбертово пространство, (»„) с Н, (j/„)cH, ИлВ=1,
|Уд Ц = 1, я € N. Доказать справедливость утверждений:
а) (*„, Уп)-* '=> II *п —*п II-* °;
б)К + <U "*2 ^ || х„ - уп||-0.
14. Пусть (е„) — ортонормнрованная система в гильбертовом пространстве Hf
(Ка) — последовательность вещественных или комплексных чисел. Доказать, что
00 оо
ряд £ \пеп сходится в Н тогда н только тогда, когда J] | А,„ |2 < + оо.
п=1 га=1
15. Пусть М с Н. Доказать утверждения! а\ М cz М11; б) ^ = ^11 тогда
я только тогда, когда М — подпространство; ъ)М1 = М111.
16. В L2 [0; 1] найти ортогональное дополнение к множеству!
а) Р [0; 1] всех многочленов, рассматриваемых на [0; 11;
б) {* (0 = У (*а), * е [0; 1] : у € Я [0; 1]};
•) {х£Р10; 1] :х (0)=0).
•02

17. В пространстве L2 [— я; я] найтн М1, если:
а) М = L ({ё~ш, п 6 Z)); б) М = L ({е-"*, п > 0}); в) М = I ({sin nt, я >
> 11); г) JW = L ({cos я/, я > 0}), где L (Л/) обозначает линейную оболочку
множестве N.
,18. В евклидовом пространстве Н введем угол между векторами х н у по формуле
И». 0)1
Ф (*> У) = arccos - ,—— .
Показать, что если х принадлежит подпространству L с Н, у' — проекция у
на L, то ф (*, у') ^ ф (х, у). Исследовать случай равенства.
19. Доказать, что при фиксированном натуральном я множество
М.
■{*€(,, *-(Ь, £•> -..) : S ^ = 0}
является подпространством пространства /2. Описать такое подпространство N, что
f2 = М © /V.
20. Пусть М — замкнутое выпуклое множество в вещественном гильбертовой
пространстве Н. Доказать, что элемент ц 6 М удовлетворяет условию р (х, М) =
= J* — у || (х 6 Н) тогда и только тогда, когда для любого г £ Л4 выполняется
неравенство (х — у, у — г) ;> 0.
21. В пространстве /2 построить замкнутое множество, в котором нет элемента
с наименьшей нормой.
22. В пространстве L2 [0; 11 найтн расстояние от элемента х0 (t) = t% до
подпространства
1
L = \x(()tLa[0; 11: J*(0<tt-o|.
23. В пространстве 12 найти расстояние р„ (*e> L) от элемента *о = (1, 0, 0, ..,) ДО
подпространства
I = {* € U, х - (It, Ь. .•■):£ Е* - о|.
Чему равен Нтр„(д;в, L)?
24. Пусть ® — замкнутый единичный круг комплексной плоскости, А2 (в!) —
множество тех функций из L2 (Si), которые аналитичны внутри @. Доказать, что
/4а (3)) есть пополнение по норме Ц (0) множества Р (С) всех многочленов в С.
25. К последовательности 1, г, г* г= t + is, применить процесс ортогона-
лнзации относительно следующего скалярного произведения на множестве всех
многочленов Р (С):
(*, У)"\\ x(z)yTz)e-w'dtds, х, у£Р(С).
(С
Описать пополнение множества Р ((D). Входит ли в это пополнение функция
*-« г€<С?
26. Пусть L — линейная оболочка множества {«'**, А, £ R), в которой введена
«кадирио* произведение
Т
(х, у)= Нт -я^г ( x(t)JJj)dt, *. ViU
Доказан., что:
■)
6) пополнение множества L не сепарабельно,
503

J7. Проверить ортогональность в Н следующих систем}
а) Н = /„ хп = (0, .... О, 1,0, .. .), п £ Ы;
п— 1
в) н =» г„ *„ = (?!, |2, ..., е „, о, о, ...)
ti<
: i2n-i
1 • ^n-'+i
■) Н «= L2 |0; 2я], {1, cos nt, sin nt, n g N }:
'—a
1 2л fn
г) H = L2 [а; 6], *„ (0 =
- -Ц» = -». »€N»
(>—а
, ngZ;
/6 —а
д) H = L2[«; Ь], *„(0=—- \(t-a)(t-b)}n, n = 0, 1, ...|
dtn
* dn
е) H = M0; +oe), *n(/) = *2 -JprVe-'), я-O, 1,...;
ж) H = L8 [0; 1], *„ (/)
^2
sin ц„
sin ц„/, где (ц„) — положительные корн
вменения tg p = ^.
28. Проверить, что функции 1/ •—sin nt (л £ N) образуют ортонормнрован-
■ый базис в L8 [0; я], но в то же время это только ортогональная система в Lt [— М
■I, не являющаяся базисом.
29. Доказать, что система функций Хаара {xkn, 1 < k ^ 2" , п 6 N},
**„ Ю =
л
22
если t£
I
— 2 2 , если / £
0, если *
fe —
2"
fe —
1
—™ »
1
т
'--г
2"
«Пч[^-,^).
является ортонормированным базисом в L2 ГО; 1].
30. Многочлены, получающиеся при ортогонализацни функций 1, t, <*, ... В
■ространстве 1¾ [— 1; 1|, называются многочленами Лежандра. Показать, что я-и
многочлен Лежандра имеет вид
где
с --L- V2JL±1
Рп«) = сп[(Р-\)п]«\
31. Во множестве функций, удовлетворяющих условию
dt < 4- оо,
определим скалярное произведение по формуле
J I 1 -t*
-1
Ю4

Показать, что ортогонализация системы функций хп (t) = /" (л=0, 1, ..,)
ягаоеительио этого скалярного произведения приводит к многочленам Чебышвва
l/"5" I
Тш W — у — cos (п arccos /), п > 1, Т0 (0 = —— .
J/it
' 88. В L2 I— I! U построить проекции любой функции на подпространства
четных и нечетных функций.
38. Пусть х 6 Н. Построить его проекцию на л-мериое подпространство LcH,
84. Для функции *3 найти многочлены рп (t) степени п = О, 1, 2 такие, что норма
|<* — рп (О (I минимальна в L» [— 1; П. '
85. Доказать, что L + М является подпространством гильбертова пространств*
В, если L и М — подпространства, удовлетворяющие соотношению
«ир{|(*, У) \, ||*|| = Ы1=1, x£L, у £М)< 1-е, 0 <е<1.
' 86. Пусть (ек) — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н,
Положим
1 . . 1
xk = cos — . e2k + sin — • e2ft+1.
Обозначим через L подпространство с ортонормированным базисом (e2ft)i а черве
И — подпространство с ортонормированным базисом (*&). Тогда векторное
подпространство L + М ие замкнуто. Доказать это утверждение.
37. Показать, что многочлены Лежандра Р2„ (0, п ^ 0 (соответственно P2n+i W»
я > 0) образуют ортонормированный базис в пространстве четных (нечетных)
суммируемых с квадратом функции на отрезке [— 1; 1] (определение этих многочленов см. а
•адаче 30).
88. Пусть (хп (0) — ортонормирования система в пространстве L2 [а; Ь\,
(Pn W) — ортонормированная система в пространстве L2 lb; с]. Положим
W„(0. b<t^c,
где V + ц4 = 1, Я., р. — положительные числа. Показать, что (zn(t)) —
ортонормирования система в Lt [а; с].
39. Пусть (хп (t)) — любая счетная система функций из 1¾ [а; Ь\. Показать, что)
функции х„ (t) можно так продолжить иа отрезок [Ь; с] (с > Ь), чтобы получилась
•ртогональиая система в L2 [а; с].
40. Показать, что функции
Vbblnnnt, p—\^t^p.
t
*<"> (0 ,
[0 при остальных t,
где я ■= 1, 2, ...; р = 1,2, ..., образуют полную систему в пространстве 1^ [0; + оо).
Показать, что те же функции при п = 1,2, ...; р = 0, ± 1, ± 2, .... образуют
ортонормированный базис в Ц (— оо; + оо).
41. Найти коэффициенты разложения по базису en(t)=t?ntat пространства
L, [0; Ц для следующих функций:
а) х (0 = sign (2t — 1); б) х (t) = ext.
42. Доказать, что:
а) унитарное пространство Н0 можно пополнить до гильбертова пространства Н
■ притом единственным (с точностью до изометрии) способом. При этом пространство
Но плотно в Н (точнее, изометрично пространству, плотному в Н);
б) в неполном евклидовом пространстве теорема Рисса о представлении
линейных непрерывных функционалов ие верна.
Указание, а) Воспользоваться методом пополнения метрических пространств;
ё) рассмотреть элемент а 6 Н \ Н0, функционал fa (х) = (х, а) и его сужение на Н„.
43. Пусть Н — гильбертово пространство над полем С, а / — некоторый
непрерывный функционал в Н, причем / (хг + х2) = f (Xj) + f (xt) (V xlt xt 6 H) и f (a x) =■
■« о f (ж) (V x 6 H, V a 6 С). Тогда существует такой элемент h в Н, что f (х) = (h, х).
Доказать это утверждение.
80S

44. Пусть Н — гильбертово пространство и (хп) — последовательность i
Н, «дабо сходящаяся к точке а. Для каждого у ( Н положим d (у) = 11т ] хя — Ц \
ж D (Jf) = Tim В ха — у |. Показать, что [d (у)]2 = Ы (а)]3 + И у — a f T[D (у)|* —
П-»ов
-[£>(а)]в +Цу-аЦ».
Ответы. S. а) Нет; б) да. 4. Вообще говоря, нет; рассмотреть
последовательность *п=(1, ..., 1, 0, ..., О, ...). 5. Нет, не является. 16. а) — в) М1 — {0}.
п
17. а) М1 ш. {0}; б) М1 = L ({е-"", л<0}); в) Л*-1 = L ({cos nt, п > 0})}
г) М1 = L ({sin я/, л>1}). 19. N = Л11—одномерное подпространство с
базисом е„=(1, ..., 1, 0, 0, ...). 21. Рассмотреть последовательность элементов ха ™
п
™(0, .... 0, 1 -\ ,0, ...)е;2. 22. р (х0, L) = — . 23. Использовать вадачу
п— 1
1 г*
19; р„ (ха, £) = —— • 25. я* (г) = ——— ; пополнение состоит из всех аналити-
V^n У nk\
ческих функций, суммируемых по мере e~^dtds на плоскости С; функция е~~'*'
в это пополнение не входит. 26. Пополнение б множества L не сепарабельно,
так как в В имеется континуум попарно ортогональных и нормированных
векторов еш (—оо < А, <-)-оо). 29. Полнота вытекает из того, что линейными
комбинациями функций xkn равномерно приближается любая непрерывная функция
х (t) + х (— t) х (t) — х (— Л
на [0; 1]. 32. 2 —. 2 -. 83. Если ь, .... «„-ортояор-
" 3
мнрованный базис в L, то pLx -= V (х, e£ ek. 33. pt (Q =- 0, pt (/)=. — /, ръ if) —
3 2 «*• 1
t. 41. a) ea = 0 при нечетном л, с» = —:— при четном я; 6) в, =

ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
| 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
_ Пусть Е — линейное нормированное пространство. Если каждому элементу х С В
■Оставлено в соответствие некоторое (вещественное илн комплексное) число / (х),
to говорят, что на Е определен функционал /.
Функционал / называется линейным, если
/ (ах + fc/) = а/ (х) + р7 (у) (х, у£Е; а, PgR или а, 0gC).
Функционал / называется непрерывным в точке ха € £, если / (хп) -»- / (*п) при
Щп -*■ хо или (что равносильно) если для произвольного 8 > 0 существует такое о > О,
что неравенство flx — х0 || <. б влечет за собой неравенство | / (х) — / (*0) | < е.
В силу линейности нз непрерывности функционала / в одной точке следует его
непрерывность всюду (т. е. в произвольной точке пространства Е).
Линейный функционал / ограничен на Е, если существует такое неотрицательное
чноло с, что для всех х £ Е
1/(*)|<сМ.
Наименьшее из чисел с, удовлетворяющих этому неравенству, называется
нормой ограниченного функционала / и обозначается |J / J. Справедлива формула
II/1 = SUP U}*ll = , SUP I / (*> I -«"PI f М I-
*€£ 1хЦ IWI^l Ml=l
Понятия линейного непрерывного и ограниченного линейного функционала
оказываются эквивалентными: для того чтобы линейный функционал / был непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
1. Сопряженное пространство. Пусть Е* — множество всех линейных
непрерывных функционалов, определенных на Е. Введем в Е* операции сложения элементов
/, и /) и умножения элемента /х на число X следующим образом:
1) / = /i + ft есть функционал на Е такой, что
/(*)-Л (*) + /•(*> (V*€£);
2)/ = kfi означает, что
/(x)-ViM (V*€£).
Эти операции над элементами из Е* не выводят за пределы Е* и удовлетворяют
всем аксиомам линейного пространства. Примем за норму элемента f £ Е* норму Ц f J
соответствующего функционала. Поскольку она также удовлетворяет всем
требованиям, содержащимся в определении нормированного пространства, то Е* становится
линейным нормированным пространством. Оно называется сопряженным
пространством к Е.
2. Сильная и слабая сходимости в Е*. Пространство £*, сопряженное к
нормированному, может быть наделено естественной структурой нормированного
пространства. Топология в Е*, соответствующая введенной норме, называется сильной топало-
щией в Е*. Значит, последовательность (fn) с Е* сходится к элементу / £ Е* сильно,
«ели J fa — f I ""•" ° ПРИ n -*■ °°-
Теорема 1. Сопряженное пространство E* полно (в сильной топологии).
- Заметим, что это утверждение ие зависит от того, является ли само пространство
Ж" полным или нет.
307

шЛ, Последовательность (f„) с= Е* называется слабо сходящейся к алементу /1 Ж\
если для каждого фиксированного х 6 Е
Urn fn (*) = f (х).
п-юо
Таким образом, для линейных функционалов понятие слабой сходимости
совпадает с понятием поточечной сходимости операторов.
Сильная сходимость элементов из Е* всегда влечет за собой слабую, однако об-
ратное утверждение для бесконечномерных пространств верно не всегда.
Аналогично предыдущему, последовательность элементов (хп) нормированного
пространства Е называется слабо сходящейся к х £ Е, если для любого f £ Е*
числовая последовательность {] (*„)) сходится к / (х). Сходимость в £ по норме называется
сильной.
Всякая слабо сходящаяся, в Е последовательность (х„) является ограниченной,
т. «. для некоторой постоянной С > О
fl*,|<C(Vn).
Теорема 2. Последовательность (хп) элементов нормированного пространства
Е слабо сходится к х £ Е тогда и только тогда, когда:
1) она ограничена;
2) f (хп) -*■ f (х) для всякого / 6 Д, где Д — некоторое множество, линейная
оболочка которого всюду плотна в Е*.
Аналогичное утверждение справедливо и относительно слабой сходимости
последовательности элементов (fn) с Е*.
3. Слабая компактность сферы сопряженного пространства. Множество М о
с Е* называется слабо компактным, если из каждой последовательности элементов
•того множества можно выделить слабо сходящуюся в Е* подпоследовательность.
Теорема 3. Всякое ограниченное множество линейных непрерывных
функционалов, определенных в сепарабельном нормированном пространстве, является слабо
компактным.
4. Рефлексивные пространства. Пусть Е — линейное нормированное
пространство и Е* — ему сопряженное. Поскольку Е* — также линейное
нормированное пространство, то можно построить Е** = (Е*)* и т. д. Нетрудно проверить,
что всегда Е с= Е**.
Те пространства Е, для которых Е** = Е, называется рефлексивными. В атом
случае для любых х е Е = Е** и /6 Е* f (х)= х (J).
Теорема 4. Для того чтобы полное нормированное пространство Е было рефлек-
еиеным, необходимо и достаточно, чтобы для всякого f £ Е* сущестеовал такой »ле-
мент xf £ Е, что \\ xf || = 1 и f (xf) = || / J.
5. Общий вид лииейиых функционалов в некоторых конкретных пространствах,
1) Пусть Е = R" с евклидовой нормой ,
_1_
1*1-П£|Ы') C*-(5i. Е U).
Тогда каждый функционал f £ Е* представим в вида
fw-У fib.
■£'
причем I
[ит, (Rn)* = Rn и
ели Е совпадает с
во
■остей * = (£«) с нормой |*Ц = sup| U. а /€£*, то /(*) = £ /„Ь, и |/|
Значит, (Rn)* = Rn и, следовательно, В?" — рефлексивное пространство.
2) Если Е совпадает с пространством с0 Сходящихся к нулю последователь»
со
808

• Zj I fn !• Следовательно, сопряженное к c„ пространство c0 изоморфно про-
•траиству 1г всех абсолютно суммируемых последовательностей / = (/„) с норме*
1/11= V |/„|.
3) Пространство 1Х изоморфно пространству т всех ограниченных
последовательностей х = (£„) с нормой || х || = sup | %п |, причем если /££[*, то / (х) ■»
оо
- £ /■bl"l/l=SUp|/.|.
4) Пусть р> 1 и1р— пространство всех последовательностей х = (£„), для
которых
1
1*1=(5 1Ь.1Р)Р<+°°-
1 1
Тогда 1р изоморфно пространству lq, где 1 = 1, причем f (х) *ш
-£ fnU'Uf = £ i/«i'-
5) В пространстве Lp[a; b], р > 1, каждый_линейный непрерывный функционал
/ представим в виде
ft
/Cx)-J*W<x(0<e,
где a (t) 6 L7 [a; b], q = — . При этом
Р— 1
I/I-I {|«МГ*я) .
t, е. пространство L [а; Ь] изоморфно Lq [а; Ь\.
Если же р = 1, то / g Z.] тогда и только тогда, когда
ь
f (х) = j * (/) а (0 dt,
а
где я(<) — почти всюду иа отрезке [а; Ь\ ограниченная функция н |/| —
■= vrai max | а (/) I.
Иными словами, сопряженное к пространству Lf [а; Ь] пространство изоморфн»
пространству М [а; Ь\.
6) Всякий линейный непрерывный функционал / в С [а; Ь\ может быть
представлен в виде интеграла Стилтьеса
*
/<*)- J«(i)4e(0.
а

Meg (t) — некоторая функция ограниченной вариации (иногда нормированная
условиями: g (а) = 0 и g (t) — непрерывна справа в каждой точке интервала (а; Ь)). При
•ии 1/1= Vte)-
а
Напомним для дальнейшего, что если g (t) — абсолютно непрерывная на [а; Ы
функция, то ее полная вариация равна интегралу от модуля производной.
Рассмотренные здесь вопросы более детально освещены в [16; 20; 29; 33; 40J.
Примеры решения задач
1. Проверить, что формула
п
/(*) = £ с*«('*).
k=l
где tlt .... tn— некоторая система точек промежутка [a; b], a ck 6 IR,
определяет линейный непрерывный в пространстве С [а; Ь]
функционал, и найти его норму.
Решение. Поскольку
л
№i + f**a) - £ ck &Xi (4) + V-x* C*)J =
■ n n
- % £ ел (¾) + |A £ ca (¾ = X/ (xj + |l/(*J,
-TO | — линейный функционал. Его непрерывность следует из оценон
|/(41<£Ы1*(«1<тах|*(0|. '£|с*|-£к*|-|*|.
п
Отсюда |/|<£ k*l-
Рассмотрим теперь в промежутке [а; Ь] кусочно-линейную
функцию х (*), принимающую в точках tlt .... tn значения х (¾) = sign ch
{к » 1, 2, .... и), линейную в промежутках [tk; tk+\] и постоянную в
промежутках la; tt] и [tn; b]. Тогда Ц х | <! 1, и поэтому
|/|-iUp|/W!>|/H|:
£,<**&)
п п
= £ |c*signcj = £ |с4|.
Значит, |/|-£ \вк\.
Отметим, что норму данного функционала можно также вычислить
ь
« помощью формулы | /| ■■ V (#)• Однако для этого вначале нужно
а
найти такую функцию g (f) ограниченной вариации, что / (*) »
ь
=■ f х (f) dg (i), V * 6 С la; b] (см. п. Б и пример 5).
а
310

2. Проверить линейность, непрерывность и найти норму функцив-
нала <
/м-Е-Чг^' (*-(бьб,....))
в пространстве /2.
Решение. Найдем норму функционала /, предварительно записав^
его в виде
/(^) = + + 1(^+^-)^,=4-+1^^+.
(в силу того что последовательность (¾¾) принадлежит 12 и, значит,
является ограниченной, рассматриваемые здесь ряды сходятся
абсолютно и обладают сочетательным свойством). Тогда
!/г-4-+£(4--^Н
«1/1-1
Заметим, что / = Д + /2. Где
M*) = S-|ba m*)=S
Sft+1
oft ' " I 2 W — Zj oft
A=l z ft— 1 z
Кроме того, функционалы /x и /2 линейны и непрерывны, причем
(поскольку la = /2)
Отметим при этом, что | /1Ф | Д | + | /2 J.
3. Пусть Q=£f£E* и Af =*{*€£!/(*)« 1}. Доказать, чт»
ТЛГ = infll*ll-
Решение. Поскольку для всех х£Е \f{x)]^\f\\x\, то отсюда»
в частности, для элементов х£М следует, что -■ ^Д^Д и,
тем самым, ттт~^ m^ 1*1-
Далее, в силу определения нормы / для любого е >. О найдется
такой элемент уе 6 Е, что
1/Ы1ХШ-е)Ы (М>«)-
Положим д;в = у^у . Тогда *8£М и | *е|| < TTirr^ •
Значит, выполняется также неравенство inf \xt<i ~- . О».
хе.м «/И — е
сюда, в силу произвольности с, оолучаем неравенство Inf Ц^^тП"•
xtM ■/■
311

вместе с ранее доказанным неравенством inf («Ц^ттт
ПРИВОЕМ II / II
дит к искомому утверждению.
4« Пусть р > 1 фиксировано. При каких а 6 R функционал
1
о
принадлежит LP [0; 1]?
Решение. Поскольку Lp [0; 1] = Lq [0; 1], причем 1 =1,
•о /oG^ptO; !] тогда и только тогда, когда -~£Lq[Q\ 1], т. е.
1
когда сходится интеграл \ ——. Это будет, как известно, лишь в
о
ТОМ случае, если qa<.\, т. е. сс<—. При этом
Х° J <1-*х)«
^ б« Записать в виде интеграла Стилтьеса линейный непрерывный
■а С1— 1; И функционал /, определяемый формулой
1
/(*)= \tx{t)dt — 2*(0).
.—1
Решение. Рассмотрим на [—1; 1] функцию g0 (t) = -у-. Тогда
I 1
С х (t) dg0 (t) = \tx (t) dt. Поскольку в представлении функционала
| фигурирует еще слагаемое —2ж (0), то функцию g0 (i) нужно
изменить так, чтобы интеграл Стилтьеса j х (t) dg (t) претерпевал в точке
—1
4 = 0 скачок — 2х (0), совпадающий^ как известно (см.
нижеследующее замечание) из теории таких интегралов, с х (0) lg (+0) — g (—0)].
Поэтому ясно, что если
'-£-• —1<*<0,
/(л)- [x(f)dg{t).
.-5--2, 0<*<1,
fis

Замечание. Прн решении такого типа задач следует помнить, что если фуга»
ция х (t) непрерывна на [a; b], a g (t) имеет на [а; Ь] всюду, кроме конечного ЧИСЛЯ
точек clt ,.., ст, интегрируемую по Риману производную g' (t), то
ь ь
j х (t) dg (t) = J x (t) g' (f)dt + x (a) [g(a + Q)-g (a)] +
a a
m
+ £ x(ck)[g(ck + Q)-g(ck-Q)]+x(b)lg(b)-g(b-0)].
k=\
6. Доказать, что с* = lx.
Решение. Напомним, что пространство с состоит из всех сходящихся
последовательностей, и если х = (|„) 6 с то Ц х || = sup 11„ |. Соглас-
л
ио введенной так норме, сходимость в с — это сходимость по коорди-,
иатам, равномерная относительно номеров координат.
Определим в пространстве с векторы
<?0 = (1, 1, .... 1, ...)•
ек = {0, 0, .,. , 0, 1, 0, ...), k = 1, 2, ... ,
и заметим, что всякий элемент х = (|„) 6 с представим (проверьте этф.
в виде
k
х = Ъ»ей + Мш Y> &п — Eg) en,
где i0 = lim|n.
n-*oo
Пусть f £c*. Тогда
f (x) = У (во) + Hm £ (S. - Ш («») =
= |0Tio + lim V (|„— go) H«.
ft-"» n=1
где т)о = f (во) и т)п = / (e„) (n = 1, 2, ...).
Покажем, что величины / (я) (V х 6 с) можно представить и в
несколько другом виде. Для этого определим числа е„, полагая е„ =
= sign т)„. Зафиксировав произвольное п„ 6 ЭД, выберем точку ;£<"•> =
= (у 6 С так, что sn = е„ при п < л0 и 1„ = 0 при п > щ. Тогда
| ^Пв) || ^ 1, Ео = 0, и поэтому
л»
1/(*<По,)1= "'
£ Еп»
п—1
= S 1Л.К1
п=1
Отсюда, ввиду производительности и0£^|, следует, что £1^1^
<;-f-°°» т- е- (Ля)€^1- Значит, для произвольного элемента *™
Ш

(S«) € с ряд J] £пт)„ сходится абсолютно и
л«*1
\ л=1 У л=1 да«1
Итак, если f £ с*, то для всякого х = (£„) £ с справедливо пред-
■ставление (1), где £0 = lim £„, т]0= const и (т)п)£Л- Как и раньше,
Л-»оо
для произвольного фиксированного /п £ И возьмем *m = (|„) £ с, где
|„ = еп при ns^m и £„ = в0 = sign ti0 при п>т (определение чисел
s„ приведено выше). Тогда f *mf< 1, i0 = lim &,= е0 и
л-*оо
m оо
f(*m) = KI + £ 1лп1 + «о 2 л»-
л=1 /i=m-f-1
оо
Отсюда |/|«=sup|/(*)|>|/(*„0| и при /n-*-oo |t|0|+ У/4.«
Однако, каждый элемент у = (т)„)о° 6 h определяет, с помощью
соотношения (1) некоторый линейный непрерывный в с функционал /,
причем 11ИКК1 + 2 hnl-
Итак, с* = /х.
Отметим, что аналогично проверяется также, что с'й = 1г (в этом
случае во всех предыдущих рассуждениях нужно иметь в виду, что
£о = 0 для всех х £ с0).
7. Пусть LPK); 1], 0 < р <. 1,— множество всех таких измеримых
на [0; 1] функций х (f), что ( х (0 Г интегрируема по Лебегу на этом же
отрезке. Положим
1
р(х, у) = \\x(t)-y(t)\"dt.
о
Доказать, что в наделенном соответствующей этой метрике
топологии пространстве не существует ни одного ненулевого непрерывного
функционала.
Решение. Доказательство проведем от противного. Пусть f —
некоторый ненулевой линейный непрерывный на Lp [0; 1] функционал.
Рассмотрим такую функцию х0 (f) £ Lp [0; 1], что | f (х0) \ = 1, и
доложим для каждого s 6 [0; 1 ]:
мо = (1. '€Ю; -1.
10, f€(s; 1].
1 а
Пусть, далее, gl (s) = f | х0 (t) Xs (f) \>> dt = J | x0 (t) fdt, a g2 (s) -
о 0
1 1
— f I *o (0 (1 — x» (0) Г d* = f I *o (0 I" Л. Поскольку эти функции непре-
e «
314

рывны на, [0; 1], первая из них монотонно возрастает, а вторая
монотонно убывает и gt (s) -f- g2 (s) = \\ xo (0 \" & (V s £ [0; I]), то су-
о
ществует такое s0 £ [0; 1], что gt (s0) = gz (s0) = -у j j x0 (t) \" dt.
о
Иными словами, при некотором s0 6 [0; И
j I х0 (t) Xs, (0 \pdt = j | x0 (f) (1 - %So (0) Г dt = 4- (I x0 (t) \pdt,
oo d
т. е. расстояние каждой из функций 2х0 (t) XSl> (t) и 2x„ (f) (1 — XSo (())
от нуля равно 2""^ (x0, 0). Кроме того, 2х0 (t) XSo (t) + 2х0 (}) х
X (1 — %S(1 (0) = 2x0 (/), и поэтому модуль значения функционала
I хотя бы на одном из этих слагаемых не меньше единицы. Обозначим
это слагаемое через хг (t).
Итак, исходя из такой функции х0 (t) 6 Lp [0; 1], что f / (*0) | = 1,
приходим к функции хг {() 6 L,p [0; 1], для которой | f (х-^ | ^ 1 и
р (хъ 0) = 2р_1р (х0, 0) Продолжар этот процесс, находим такую
последовательность функций хп (t) 6 Lp [0; 1], чтб | / (хп) | > 1 и р (хп, 0) =
_ 211^-1^ (я0) о). Следовательно, лг„ -»- 0 (при п -*■ с») и в то же время
I / (хп) 1^1, что противоречит непрерывности функционала /.
8. а) Доказать, что пространство Ar всех однозначных и
аналитических в круге \z\<zR(Q <.#<. +оо) функций с топологией
компактной сходимости не является нормированным.
б) Найти общий вид линейных непрерывных в Ar функционалов.
Решение, а) Предположим противное, т. е. что Ar —
нормированное пространство, причем последовательность (хп (г)) с: Ar сходится
к х (г) по норме тогда и только тогда, когда она сходится к х (г)
равномерно на каждом замкнутом ограниченном множестве (компакте)
точек круга | г \ < R. Рассмотрим линейный оператор D
дифференцирования и проверим его непрерывность в Ar. Для этого восполь-
вуемся известной интегральной теоремой Коши для производной
функции х (г) из Ar:
(Dx)(г) = x'(z) = -±f j -J^L (V2:|z|<p, p<r<tf).
Отсюда max | x' (z) I <; -r—^r*- max I x (z) I, и если последователь-
ность (xn (г)) сходится к x (z) равномерно на каждом круге \z \s^.r,
то последовательность (хп (г)) сходится к х' (г) равномерно на каждом,
круге | 2| :¾ р.
Поскольку, по предположению, Ar — нормированное пространство,
то D — ограниченный оператор: J Dx || ^ J D | | х ||. Взяв число
а 6 R+ так, что а > || D ||, и положив х (2) = ехр (аг), из последнего
неравенства приходим к противоречию.
»1*

Отметим, что факт ненормируемости пространства Ar был доказан
П. С. Урысоном в 1924 г.
б) Пусть / — линейный непрерывный в А # функционал, т. е. / 6 А\.
Тогда для произвольной функции
*=о " ft=0
(в смысле сходимости в пространстве AR) получим
ft=0
где/, = /(2») (А» 0, 1, ...)■
Покажем, что последовательность (/й)Г«=о удовлетворяет условию
/«=TimV !/*]<#• Действительно, если / = Timj/]7j> /?, то
Д-»вО fe-»OC
Поэтому начиная с некоторого п0 fk =Ф0, а функция *0(z) =
** у -г— принадлежит AR. Но тогда (в силу линейности и Нв-
Л^П,, "
прерывности f) f (x0) = V ' v , причем получаемый ряд должен
п=п0 п
сходиться, что невозможно.
Итак, если / — линейный непрерывный в Ar функционал, то
/W-S^nJr1/* (У*ел«), (2)
где последовательность (/д,)" удовлетворяет условию
/ = Ш\/Щ </?. (3)
ft-» 00
Обратно, если некоторая последовательность (/ft)" удовлетворяет
условию (3), то формула (2) определяет линейный непрерывный в Ar
функционал. Его линейность очевидна, а непрерывность получается
из известных оценок Коши для тейлоровских коэффициентов функций
из Л д и оценок
i/wi<^j--14r^<2JJtLgs,xW1,
C(p)max|*(z)|,
«Я

I f I
где число p < R выбрано так, что ряд V \ сходится (например,
f<p<£).
Шамечание. Положим ш (г) = V -*£г\ • ^та ФУНКИИЯ аналитична при |г|> / ■
ц* f<r<R.
Приведенные здесь описания сопряженного к Л# пространства
получены А. И. Маркушевичем в 1945 г.
9. Доказать, что в пространстве IR" сильная и слабая сходимости
совпадают.
Решение. Пусть хт = (|гт,)?=,1 и последовательность (хт) слабо
«годится к некоторому элементу хв = (i*4) € R"- <
Рассмотрим линейные непрерывные (почему?) функционалы
ft ■ ft (х) = h (i = 1, 2 п; * = (£,)?_i € IRn).
Тогда при каждом I (1 < I < л) ft (xm) = if" -*- if (tn -»- во) н,
вяедовательно, jxm — *0f = £ (1?" — gf)2->0прит->м, т.е. (*J
«ильно сходится к x0.
Поскольку из сильной сходимости всегда вытекает слабая, равно-
енльность этих сходимостей в IR" доказана.
10. Проверить, что в пространстве 12 сильная и слабая сходимости
не совпадают.
Решение. Рассмотрим в 12 последовательность элементов е{ ■■
- {0 0, 1, 0, ...), t= 1, 2 и пусть fell Тогда / (х) «=
i—\
оо
— £ ^"' где tfnK*»> и поэтому f(et) = f{-*-0 при i-»-oo. Значит,
/1=0
*га последовательность слабо сходится в 12.
В то же время последовательность (et) не сходится в полном
пространстве /2 сильно, так как она в нем даже не является фундаменталь-
Действительно, при п Ф т
К — emi = V2 ф- 0 (п, т -*■ оо).
11. Равносильны ли сильная и слабая сходимости в пространстве
С* [0; 2я]?
Решение. Рассмотрим в пространстве С [0; 2я] последовательность
линейных и, очевидно, непрерывных функционалов, определяемую
317

соотношениями
2я
ап (х) = — [ л (Л соз nfctf (п *= 1, 2, ...)»
о
Как известно из курса математического анализа, для каждой
непрерывной на [0; 2я] функции х (t) последовательность (ап (х)) ее
коэффициентов Фурье сходится к нулю (Ит ап (х) = 0), т. е. последов»»
л-* ее
тельность функционалов (ап) слабо сходится к нулевому функционалу.
В то же время функционалы ап представимы в виде
ап (х) = — J х (t) d I J cos nudu I,
о \o )
(t \ 7
причем Var \ cos nudu = \ (cos nu\ du (см. замечание, приведен-
<€[0;2я] \g J о
иое в конце п. б), и поэтому
** . п-\
Т 2Я
|a»l--^J|cosn<|d/=-l-S J lcos"<ld
О *"° 2k я
п
1 "~12ГЯ 4
--Erjjo) |cos2|d2 = — (л=1, 2, ...>.
Значит, рассматриваемая последовательность линейных Henpepi
ных в пространстве С [0; 2я] функционалов (а„) сходится слабо, но н«
сильно.
12. Пусть 0 € (а; 6) и 8 — функционал на пространстве С [а; Й1|
определяемый соотношением б (х) = х (0), а последовательноатк
(ф„ (OWn с С ^а'> ^ удовлетворяет условияш
а) Ф„(0 = 0 при |*J>-j-: ф»(0>0,
ь
б) 5Ф|,(ол-1.
Тогда последовательность функционалов
ь
М*)-!ф.(0*(0Л (V*6C[a;61)
елабо сходится к функционалу 6. Доказать это утверждение.
Решение. Действительно, с помощью известной из курса
математического анализа теоремы о среднем (для интегралов) для любой
непрерывной на [а; Ь] функции х (/) имеем
— -L
п Я
^n(t)x(t)dt- J ф»(0*(0Я-*(1) J ф.(44-х№
-J- -1
»18

*** i€( j-l -j-)- Поэтому при л->-оо
h
$<?n(t)x(f)dt-+x(Q).
а
Значит, й-функционал представим в виде предела (в смысле слабой
«ходимости) последовательности функционалов /„.
Заметим при этом, что Ц б | = Ц/„ | = 1 (V л 6 №)•
.3. Для того чтобы последовательность (хп (f)) функций из Lp [0; И
(р > 1) слабо сходилась к элементу х0 (f) 6 Lp [0; 1], необходимо н
достаточно, чтобы:
а) последовательность (|*„|) была ограниченной;
б) J хп (0 dt -*■ § х0 (i) dt для любого т£ [0; 1].
Доказать это утверждение.
Решение. Первое условие совпадает с первым условием общего
критерия слабой сходимости (см. теорему 2).
Рассмотрим второе условие. Положим
( 1, 0<*<т,
МИо, т<,<1.
Известно (см. [23], с. 187), что линейные комбинации функций
п
%x(t), а именно суммы £ с{ [%т, (0 — XX[_i (0]. где 0 = т0<т1<...
»•• <т„_1<т„=1, лежат всюду плотно в Lfl[0; 1] = L*p [0; 1].
Следовательно, последовательность (хп (f)) сходится слабо к х0 (t)
#оеда и только тогда, когда выполняется первое условие, и прип -*■ ол
§xn(f)Xx(t)dt-+\x0(f)Xx(t)dt,
о о
V. •.
t t
j xn(f)dt-+ [x0(f)dt
0 . 0
для любого «с б [0; 1].
14. Пусть Е — такое полное нормированное пространство, что
Е* = Е и f (f) = Iff (\//€£)-- Если последовательность (/„) слабо
сходится к /, то из нее можно выбрать подпоследовательность (/„^
такую, что средние арифметические
xtf». + /«.+. ••• +/»*)
еходятся к f сильно (вариация теоремы Банаха — Сакса).
Решение. Предположим, что f =: 0 (в противном случае можно взять
На — / вместо /J. Положим, далее (для определенности), /1,=^1,
319

Поскольку fn (fnt) -> 0, то существует такой Номер п2 (яа > nj, что
I /п. (/п.) I < ! • Затем выбираем п3 (п9 > nj так, что | /„, (/„J | < -j-
и | /п, (АО | < -g- и т. д. Иными словами, если fni, fn„ .... f„k
зафиксированы, то номер tik+i > пк выберем так, чтобы выполнялись
неравенства
1
1
Учитывая теперь (см. теорему 2), что нормы lfn | слабо
сходящейся последовательности (/„) ограничены, т. е. || /„ || < С (С == const;
я = 1, 2, ...), получаем
l
*2
k k k 1
i=l
k
kC + 2% £
1
kC2 + 2 2 .
s=2
1
£C2 + 2
* s-l 1
s=2 i=l J
1
F(/«. + U,+ ••- + fn,)J = 0, что и требовало»
Значит, lim
fc-юо
доказать.
15. Доказать, что пространство С [а; Ь] не является рефлексивным.
Решение. Предположим противное. Тогда каждый линейный
непрерывный функционал Р (/), определенный на пространстве V
функций ограниченной вариации (именно оно, как известно, совпадает •
С* [а; Ь]), должен определяться некоторой функцией х (/) из С [a, ДО,
т. е. F (/) = Fx (/) = f (х). Значит,
ь
F*® = [x(f)df(f)t
а
аде f (f) — функция ограниченной вариации, соответствующая фувя*
«ионалу / (х) из С* la; b].
Рассмотрим функционал
Р*> (/) = / ('о + 0) - / (*0 - 0) (*„ € W, Ь]).
, Efo линейность очевидна, а непрерывность следует из оценом
1^. (/)1<1 f(t0 + o)-f(t0- о)| <v(/) = l/l-
а
Кроме того, /^,(/)^=0, и поэтому существует такая непрерыв»
ь
на [а; Ь] функция x0(f)^k0, что /ч (/) = J *o(0#(Q.
а
Рассмотрим теперь функцию /# (/) =- j хв (т) dr. Поскольку ова м-
по

прерывна на' la; b\, то, с одной стороны, Fx, (f0) = 0. Однако, с друга!
стороны,
* ь
Р* (/о) = J х0 (f) df0 (f) = $xl(t)dt>0.
а а
Полученное противоречие и убеждает нас в нерефлексивности
пространства С la; b].
16. Пусть Е—линейное нормированное пространство, а поел»'
довательность функционалов (fn) cz Е* такова, что для некоторой
фиксированной последовательности точек (xn)<z\E, причем ||*„||<jlj
llm | /„ (ха) | = + оо. Доказать, что множество
п-»оо
Мг = {х£ Е :Ш | /„ (х) | < + оо}
«-►OS
является множеством первой категории.
Решение. Пусть т 6 Щ, а Ет,а = {х £ Е i | /„ (х) |< т). Пона-
жем, что множества Ет,„ замкнуты. Действительно, пусть (у£ в
с: Ет,п и yk -*■ у при k -> с». Тогда
\fn(y)\^\fn(yk)\ + \fn(yk-y)\<m+\\U-\\yk-yb
откуда при k -*■ оо получаем \fa(y)\^,m.
оо
Положим Ет = Л Етп. Тогда множества £„, также замкнуты 1
представляют собой совокупность всех тех х £ Е, для которых
/а (х)\^т при всех п 6 И. Очевидно, Мх = U £~. Поэтому
достать
точно показать, что каждое из множеств Ет нигде не плотно.
Доказательство этого утверждения проведем от противногол Пусть
при некотором s 6 И множество Е3 не является нигде не плотным.
Значит, Е, плотно в некотором шаре В (х0, р) радиуса р с центром в
точке хй, т. е., поскольку Еа замкнуто, В (х0, р) cz Еа. Поэтому для
всех элементов х £ В (х0, р) выполняются неравенства | /„ (х) | ^ s (я -»
= 1, 2, ...).
Однако, каждую точку у & Е, для которой || t/„ J < р (т. е. у €
^ В (0, р)), можно представить в виде у = у — х0(у = у + х0), где
У € В (х0, р), н поэтому при всех я € Rj
IMy)l<l/»&)l + |M*o)l<2s.
В частности, поскольку |*„||<1, рхп£ В (0, р) и |/„(*„) К-г-
р
^= 1, 2, ...). Полученные неравенства противоречат тому, чте
|М*л)1 = + °°-
Л-км
Итак, исследуемое множество ^действительно является
множеством первой категории.
II •-« 82!

Замечание. Если Е — полное нормированное пространство, a
М2={х£Е: Urn | /„ (х) | = +<»},
Я-ЮО
тоЛ1а = Е \ Alj и, так как (по теореме Бэра) £ — множество второй категории, Я% —
также множество второй категории.
Задачи для самостоятельной работы
1. Пусть Е — линейное пространство, / — линейный функционал на ием н
к« / = {х £ Е : f (х) = 0). Доказать, что если для линейных функционалов f\ н ft
справедливо равенство ker f, = ker ft, то ft = Xft при некотором к.
Указание. Выбрать такой элемент х0, что fl (дс0) = 1 (если, конечно, ft Ф 0), и
рассмотреть множество элементов у вида у = х — ft (х) х0, где х 6 Е.
2. Являются ли линейными, непрерывными в С [0; 1] следующие функционалы!
1 1
a) f(x) =» j fix (/) dt; 6) f (x) = j /2 | x (/) | dt;
в) /(x) = max | x* (/) |;
'€[0;H
r) f (x) = lim У" <xft* (a*) (0 < a < 1)?
S. Проверить линейность, непрерывность и найти нормы следующих функциона»
•) * = (£х, | , 1а, ...)-»- £ П — —j & в ^;
ОО
в) * = *(/) -*]"*(/) sign// — — \dt в С[0; 1]}
е) х = х (/) -* f х (/) sign U --) dt в L2 [0; 1].
4. Найти нормы следующих функционалов:
а) х = (Ь, |2, ...)-* f [1 -(-1)*] -^-5* в /,j
б) х = (?!, \л, ...) -*-?* (fe — фиксировано) в /2;
») х = (£i. 1а. ... )-*■£* — ift_i (fe — фиксировано) в /^
г) х — х (/) -»- С х (/) cos ntdt в С [0; 1];
о
д) *-х(/)-**(0) — х(— 1) — х(1) в С £— 1; 1];
Т
в) х — ж (/) .*■ f х (t) dt в L2 [0; 1].
о
l
5. Найти норму функционала f (х) = I tx (t) dt в пространствах:
ii
а) е t- ii lb «> At I-i; К; в) Ц [- и \\,
3»

в. Вычислить норму функционала / в пространстве С [а; ft], если
ь
t(x)= ^x(t)y(i)dt,
а
где у — фиксированный элемент из С [a; ft]. —«
7. Пусть р> 1 фиксировано. При каких а£ IR функционал х=» (|ь |2, ... ).
N -^- в 'р принадлежит соответствующему сопряженному пространству?
8. Пусть в множестве R":
a) |jc|-supjg,| (*=&, 12 !„));
6)11*11= f ii»i.
Доказать, что в сопряженном пространстве норма определяется соответственно
формулами:
в) if i = % i/4|.
9. Определим в пространстве С [— 1; 1] линейный непрерывный функционал 6
формулой б (х) = х (0).
а) Существует лн такая функция g 6 С [— Г, 1], что
1
6(*) = £ x(f)g(t)№
—1
б) Найти такую функцию g ограниченной вариации, что
в (*)-J x{t)dg(t).
10. Для всех х 6 С [— 1; 1] положим
f(x)= '<-i>+*fi)+jftq)a.
—1
Найти такую функцию g ограниченной вариации, что
f(*)= J** (/)<£(/).
__^ 11. Пусть Е— линейное нормированное пространство, f 6 £*. а^б!?№ш
Ч" 1, 2, ...) и /ft (х) «= f (o^jc) (Vx 6 Е). Показать, что последовательность (/*):
а) сходится по норме пространства £*, если последовательность (0¾) имеет ко-
вечный предел;
б) сходится к нулю, если ak ->■ 0 при k -*■ оо;
в) не сходится, если ak -*■ оо.
12. Доказать, что если Е — линейное иормироваиное пространство, то для
любого 0 Ф х0 € Е существует А, € Е* такой, что f0 (х0) = J /0 || || *0 Ц = 1.
Указание. На множестве Е = {Ял„} положить fa (Ajtc) = X и воспользоваться
теоремой Хана — Банаха (см, !) 2).
13. Убедиться, что ие для всякого/ 6 С* [—151] найдется такое* (<) 6 С [— 1; 11,
x(t)mQ, что |/(х)|-|/| ||*||.
11* 323

Указание. Рассмотреть функционал
о 1
/(*) = С *(/)*- [x(t)dt (11/11 = 2),
14. Определим линейный функционал f на пространстве С [0; П формулой
f (х) = \ х (f) dt — х (0). Доказать, что || / || = 2 и не существует такого элемента
о
«fC [0; 1), что Ц х || = 1 и | / (дс) | = 2.
15. Доказать, что последовательность (хп (t)) с С [а; Ь\ слабо сходится тогда
■ только тогда, когда:
1) она равномерно ограничена, т. е. | хп (t) | ^ С при всех п = 1, 2, ... ка<
2) (*п (0) сходится в каждой точке t 6 [а; ft].
Совпадают ли в С [а; Ь] слабая и сильная сходимости?
16. Для того чтобы последовательность (хп) элементов хп = (I'"') из /„ слабо схв-
далась к х0= (£J.0)) £ lp, необходимо и достаточно, чтобы:
а) последовательность (| хп ||) была ограниченной;
б) ё|л) -»■ §'0) при п -*■ оо для всех < (вообще говоря, неравномерно). Доказать
по утверждение.
17. Доказать, что в пространстве 1г сильная и слабая сходимости совпадают,
18. Какие из последовательностей (хп)п^:
а)*«= /l,— —. 0, 0, ... );
6) хп = /р. 0, .... 0. 1, _ , — , ... \ i
п—1
у!' •;' ЧТ• n+i ' —)
») *|
П—1
«годятся в пространстве /а сильно, слабо?
19. Какие из последовательностей (*n)ngN
а) х„ (t) = f- f+{; б) *„ (/) = е« V*;
в) *0 (0 =
2п
(1— nt), t^\Q;-L],
о, ;е
шодятся в пространстве £2 [0; 1] сильно, слабо?
20. Доказать, что замкнутое подпроаранство рефлексивного пространства реф«
мкеивно.
21. Доказать нерефлексивность пространства с0 всех сходящихся к нулю число-
авх последовательностей к = (£х, £2, ..., |„, ...) с нормой || х J = max | \п |.
п
22. Доказать, что полное линейное нормированное пространство Е рефлексивно
•огдэ и только тогда, когда рефлексивно сопряженное к нему пространство Е*.
23. Пусть Е — рефлексивное нормированное пространство, М — подпространств
ю в Е, а М1 = {f £ Е* : / (х) = 0 для любого х g М). Доказать, что (М1)1 = М,
24. Пусть £ — рефлексивное нормированное пространство н / £ £*, Доказать
существование такого элемента х £ £, ж ^fc 0, что f (*) = | / | II х ||.
Ответы. 2. а) Линеен, непрерывен, ||/||=—: б) не линеен, непрерывен,
1 а
#1= -д-: ») не линеен, ив непрерывен; г) линеен, непрерывен, |/й= —• .
о 1 —а
«4

*. а), в), г) 1; б) -~-. 4. а) 2; в) 1, в) У 2; г) JL: Д) 3; е) -±—. 5. а), б) 1{
V 6 п у 2
6
|) Y^T' 6- l'l-Jl*WI*. 7. a>-i-(-i- + —=l). 9. а) Нет;
a
l o,
случае положить * (t) — fig (t); 6) g (i) == j
в
противном
О, —1<*<0,
0<*<1.
1
10. g (t) = { — , — 1 <* < 1, 15. Нет. 18. а) Сильно; б) слабо; в) не сходап-
i
3
ся. 19. а) Сильно, б) слабо; в) не сходите*.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1. Принцип равномерной ограниченности. Многие конкретные задачи (напри-
мер, исследование сходимости рядов Фурье и интерполяционных полиномов,
исследование формул механических квадратур, получение приближенных решений
различных интегральных и дифференциальных уравнений и т. п.) могут быть включены ж
абстрактную схему, описываемую с помощью последовательности линейных
операторов (функционалов). При этом в абстрактной форме изучение вопроса обычно сводите*
либо к установлению сходимости последовательности линейных операторов, либо к
доказательству ограниченности норм операторов этой последовательности. Решение
задач такого рода в значительной степени основывается на использовании одного из
основных принципов функционального анализа — принципа равномерной
ограниченности, имеющего основополагающее значение в теории операторов.
Теорема 1 (принцип равномерной ограниченности). Если
последовательность линейных ограниченных иператоров (Ап), отображающих банахова
пространство Е в нормированное пространство Е-,, поточечно сходится к линейному
оператору А, то последовательность норм (|| Anlyjamux операторов ограничена.
Заметим, что теорема остается справедливой, если вместо поточечной сходимости
последовательности (Ап) потребовать, ч-робы последовательность (Апх) либо являлась
фундаментальной в каждой точке х~ £ Е, либо была ограниченной в каждой точке.
Теорему 1 можно сформулировать еще и так (принцип фиксации особенности):
если sup Ц Ап || = + оо, то существует такой элемент х0 £ Е, что sup || A„xt || = + о*
п ' п
(т. е. последовательность (||Л„.Хо 1Q не имеет конечного предела).
Ограниченность последовательности норм является в известном смысле и
достаточным условием сходимости последовательности линейных ограниченных
операторов. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (Банана — Штейнгауза). Для того чтобы
последовательность линейных ограниченных операторов (А „), отображающих банахово пространств»
Е в нормированное пространство Elt поточечно сходилась к линейному ограниченному
оператору А, необходимо и достаточно, чтобы:
1) последовательность норм (| Ап |) была ограничена;
2) Апх -*■ Ах для любого х из некоторого множества в Е, линейные комбинации
П-+оо
влементов которого лежат всюду плотно в Е (т. е. замыкание множества этих
линейных комбинаций совпадает с Е).
2. Принцип продолжения Хана •*- Банаха. Если в линейном пространстве Е
задан оператор или функционал, определенный не на всем пространстве, а лишь на
некотором многообразии L с Е, то естественно возникает вопрос о его продолжении
иа все пространство с сохранением тех или иных свойств. Иными словами, требуете*
ДО

построить новый оператор или функционал, определенный уже иа всем пространстве,
обладающий определенными свойствами и совпадающий на L с ранее заданным.
Для линейных ограниченных операторов данный вопрос решается легко, если
исходный оператор задан на линейном многообразии, всюду плотном во всем прост-
ранстве. А именно, если область определения h (А„) = L линейного ограниченного
оператора А0 всюду плотна в линейном нормированном пространстве Е, то оператор
А0 может быть продолжен иа все пространство без увеличения нормы, т. е.
существует оператор А, заданный на всем пространстве Е и такой, что Ах = Л0д: для всех
х € & (Аа) и || А ||Е = || А„ \\L. Действительно, так как & (Аа) = Е, то для любого
элемента х £ Е существует последовательность элементов хп £ & (А0) такая, что хп-*- х
при п -*■ ©о. Тогда полагаем Ах = Пт А0хп (если х £ §) (А0), то хп = х для всех л).
П-юо
Построенный оператор является линейным и непрерывным. Указанный процесс
продолжения называется продолжением по непрерывности. Если оператор не является
ограниченным, то его продолжение обычно называется расширением. Теория
расширений операторов составляет самостоятельную и важную область функционального
анализа.
Если задан линейный непрерывный функционал, то его можно продолжать с
сохранением нормы, даже если первоначально он задан на линейном многообразии, не
обязательно всюду плотном а пространстве Е. Соответствующая теорема играет важ«
ную роль в анализе и носит название принципа продолжения Хана — Банаха.
Напомним, однако, сперва некоторые определения. Пусть Е — действительно*
линейное пространство. Определенный на Е функционал р называется однородно-
выпуклым, если:
Р(х + у)<р(х) + р(у), Vx,y£E, (1)
р(ах) = а.р(х), Vx£E, «2*0. (2)
Для таких функционалов р (0) = 0 и р (х) + р (— х) > 0 (V х £ Е). Последнее
неравенство означает, в частности, что если р (х) <с 0, то обязательно р (— х) >■ 0. Таким
образом, ненулевой однородно-выпуклый функционал может быть всюду
неотрицательным (т. е. р (х) > 0 для всех х £ Е), но если всюду р (х) ^ 0, то р (х) аз 0. Кроме
того, при любом a £ В? р (ах) >> а р(х).
Примеры, а) Всякий линейный функционал является однородно-выпуклым.
Однородно-выпуклым будет и функционал р (х) = | / (х) |, если / линеен.
б) Длина вектора в я-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый
функционал. Здесь условие (1) означает, что длина суммы двух векторов не
превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (2) непосредственно следует из
определения длины вектора в R".
в) Пусть т — пространство йсех ограниченных последовательностей х =*
"= (£ц 1г> •••)- Функционал р (х) = sup | |„ | — однородно-выпуклый.
п
Теорема3 (Хана — Банах'а). Пусть р — однородно-выпуклый
функционал, определенный на действительном линейном пространстве Е, L — линейное
многообразие в Е. Если } — вещественный линейный функционал, определенный на L и
удовлетворяющий условию f (х) < р (х) (V х £ L), то существует вещественный линей'
ный функционал F, определенный на всем пространстве Е и такой, что:
Г) F(x) = f(x), VxtL;
2) F (*)</> (*), Vx£E. t
Следствие 1. Если p (x) — однор'одно-выпуклый на действительном линейном
яространстве Е функционал, то существует линейный функционил f, заданный на В
Я такой, что
-р(— *)</(*)< р(х), Vx£E.
Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха.
Неотрицательный функционал р на комплексном линейном пространстве Е ва-
швается однородно-выпуклым, если для всех х, у £ Е и всех комплексных чисел А
Mx + vXPW + PW. P(U)=*\k\p(x).
Теорема 4. Пусть р — однородно-выпуклый функционал на комплексном
линейном пространстве Е, af — линейный функционал, определенный на некотором
линейном многообразии L <= Е и удовлетворяющий на нем условию \ f (х) | < р (я).
«26

к С L. Тогда существует линейный функционал F, определенный на всем Е и
удовлетворяющий условиям:
1) FW = /W, Vx£L;
2) IfWKpW, Vx£E.
В случае нормированного пространства Е в качестве однородно-выпуклого
функционала р (х) можно взять р (х) = || f \\L • || х || (L — линейное многообразие в £),
и поэтому применительно к нормированным пространствам общая теорема Хана —
Банаха (теорема 3) может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 5. Пусть Е — действительное нормированное пространство, L —
линейное многообразие в Е, f — ограниченный линейный функционал на L. Тогда этот
функционал может быть продолжен до некоторого линейного ограниченного
функционала F на всем пространстве Е без увеличения нормы, т. е.
N171, I ^ («) I 1/(*)/ „,«
HF ||£ = sup —-^—1- = sup =||Л|й.
Хфй 11*||£ ХфО \\Х ||L
х£Е xkb
Укажем еще на некоторые важные факты, вытекающие нз теоремы Хана —
Банаха для нормированных пространств.
Следствие 2. Пусть Е — действительное нормированное пространство^ х0 € В,
хфО. Тогда существует линейный функционал f, определенный на Е и такой,
что lfl=l.f (*•)-= |*ol|.
Следствие 3. Пусть Е — действительное нормированное пространство, L —
линейное многообразие в Е, х0 £ Е, х0 # L, р (х0, L) = d > 0. Тогда существует
такой линейный функционал f, определенный на Е, что ) (х) = 0 для всех х\Ь,
К%> = 1. ЯП = 4"-
Комплексный вариант теоремы Хана — Банаха (теорема 4) дает нам комплексный
аналог предыдущей теоремы.
Теорема 5'. Пусть Е — комплексное линейное нормированное пространство,
f — линейный ограниченный функционал, определенный на линейном многообразии
L с Е. Тогда существует линейный ограниченный функционал F, определенный на
всем Е и удовлетворяющий условиям
F(x) = f(x) (Yx£L), IFlE~ifh-
3. Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе. Как известно,
решение систем линейных алгебраических уравнений, линейных интегральных
уравнений, а также некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений н
уравнений с частными производными сводится к вопросу о существовании и
единственности решения линейных операторных уравнений вида Ах = у. Если существует
обратный оператор Л-1, то решение записывается в явном виде: х = А у.
Следовательно, важное значение приобретает выявление условий, при выполнении которых
обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан линейный оператор А : Е± -»■ Е2, где Ег, Е2 — линейные
пространства, причем его область определения & (А) с= Elt а область значений R (А) с Ег,
Обратное отображение, обозначаемое <4—', называется обратным оператором.
Предположим, что оператор А отображает & (А) на R (А) взаимно однозначно. Тогда
существует обратный оператор А~1, отображающий R (А) взаимно однозначно на & (А),
В этом случае оператор <4-1 также является линейным оператором.
Вопрос о том, когда оператор А осуществляет взаимно однозначное соответствие
между 0 (А) к R (А), решается следующей теоремой.
Теорема 6. Оператор А переводит @1 (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и
только тогда,, когда кег А = {0} (т. е. множество нулей (ядро) оператора А состоит
только из нулевого элемента).
Пусть теперь Elt Е2 — нормированные пространства. Исследуем вопрос об
ограниченности оператора А , если он существует. Из ограниченности оператора А,
вообще говоря, не следует ограниченность обратного оператора, т. е. оператор,
обратный к линейному ограниченному, может (являясь линейным) не быть ограничен»
ДО

ным. Сформулированная ниже теорема дает необходимое и достаточное условие
существования обратного линейного ограниченного оператора.
Теорема 7. Оператор А~х существует и одновременно ограничен на R (А) тогдй
и томно тогда, когда для некоторой постоянной т > 0 и любого х £ В (А) выполняет'
ся неравенство
\Лх\->т\х\. (3)
Введем теперь следующее важное понятие. Будем говорить, что линейный
оператор А : £i -»- Е2 непрерывно обратим, если R (А) = £2, оператор А обратим и
А~1 (Е 2 (Е2, £i) (т. е. <4—' линеен и ограничен). Обращаясь к теореме 7, можно
сформулировать следующее утверждение.
Теорема 8. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда
R (А) — Ег и для некоторой постоянной т > 0 и для всех х € & (А) выполняется
неравенство (3).
В случае всюду определенного и ограниченного оператора А 6 2 (Еъ Е2) имеется
теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 9 (Банаха). Если А — ограниченный линейный оператор,
отображающий взаимно однозначно банахово пространство Еу на банахово пространство Е2,
то обратный оператор А~' ограничен.
Рассмотрим понятие обратного оператора с точки зрения разрешимости
уравнения Ах = у. Пусть А £ 2 (Еи £2). Оператор U 6 2 (£2, £х) называется правым
обратным к А, если AU = /2. Оператор V £ 2 (£2, £х) называется левым обратным
к А, если VA = 1г. Здесь через /2 обозначен тождественный оператор в пространстве
Ег, а через /х — тождественный оператор в пространстве Et. В дальнейшем правый
обратный оператор к А будем обозначать символом А~, левый обратный —AJ~ .
В общем случае нельзя говорить об единственности правого и левого обратных
операторов. Тем не менее, справедлива следующая теорема.
Теорема 10. Пусть для оператора А £ 2 (Et, £j) существуют A~l и AJ"'t
Тогда существует оператор А , обратный к А, и;
1) а-х = атл = V;
2) & (A-1) = £2, R (А-1) ** Et\
3) правый обратный к А и левый обратный к А единственны.
Отсюда получаем следующее утверждение.
Теорема 11. Пусть А £ 2 (Ef, Ea) и пусть существует оператор U £ 2 (В2, В£
такой, что НА = Ily AU = /„, Тогда оператор А непрерывно обратим и A~l = U.
Наличие левого или правого обратного оператора позволяет сделать некоторые
заключения о разрешимости уравнения
Ах = у. (4)
Теорема 12. Если существуем правый обратный оператор к А, то уравнение
(4) имеет решение х = А~ху.
Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (4) может иметь
те более одного решения.
Замечание. В первом случае говорят, что для уравнения (4) справедлива
теорема существования, а во втором — теореи*а единственности.
Подытожив сформулированные результаты, придем к следующему утверждению:
оператор А £ 2 (Elt £2) непрерывно обратим, если уравнение Ах = у однозначно раа-
решимо при любом у £ £2.
Замечание. Если £х, Ег — банаховы пространства, то непрерывная
обратимость оператора А £ 2 (Elt £а) в данном случае следует также из теоремы Банаха об
обратном операторе. Действительно, если каждому у € Е2 соответствует
единственный элемент х £ Ег, то, по определению обратного отображения, на всем
пространстве £а определен оператор А , осуществляющий взаимно однозначное соответствие
между £2 и Ег. По теореме Банаха оператор А ограничен, что и требовалось
установить.
Пусть Е = Ef= Е2. Этот случай интересен тем, что если существует
непрерывный обратный оператор по отношению к данному оператору А £ 2 (Е, Е), то он
является элементом этого же пространства 2 (Б, £).
828

Теорема 13. Пусть Е — банахово пространство, А £ 2 (£, £), | А\ ^ 1*
Ткда оператор I — А непрерывно обратим:
</-ЛГ'= £ Л*
а
Об основополагающих принципах функционального анализа см. в [16; 19; 30|
«8; 40].
Примеры решения задач
1. Доказать, что если последовательность р = (PJ такая, Что
(апР„) £ 1Х для всех а = (а„) £ /в (/7 > I), то Р 6 *,. где число </ удов-
1,1 1
летворяет соотношению —- -\ == 1.
Решение. Пусть а = (а1; аа, ...) — произвольный вектор из 1^.
При каждом фиксированном й£М рассмотрим линейный в простран-
п
«тве 1Р функционал /„: /„ (а) =* У «xftpft. Для него
!/-(«)!
Ё <*Р*
*-
i 1
<&l*rf-(£lfcrf«
-I -i
< 2J IP*P X КГ -«.I*b
где c„ = (S |Р*П • Следовательно, |fnКc„. Покажем, что\U\-
= cn. Для этого, предполагая, что сп Ф 0, возьмем элемент
Т. - 0 Pi Г1 58п Рх. • • • . I Р-Г* sgn р„, 0, 0, ...).
Очевидно, 7п € 1Р при каждом п 6. ЭД'> ПРИ этом
/адесь мы воспользовались тем, что </ = р^ . | Кроме того,
/п(т„) = Е sgnp*.ps.|pftr -SjfiJ
в»1 4=1
329

Тогда
л
S ip*i
1М = «ф Щ^1>1ЫШ __i=i_
оде ll«ll/e II Yn
I—L
Следовательно, || /„ || = с„. Далее,
sup | /„ (а) | = sup
п
4=1
<sup£ |a*pft| = S l«*P*l< + ».
л *=1 *=1
т. е. последовательность (/„(а)) ограничена в каждой точке а=»
■=» (¾) £ /р (/> > I). Тогда на основании принципа равномерной
ограниченности заключаем, что последовательность норм |/„|
ограничена, т. е. существует постоянная с>0 такая, что для всех п£й
И/яЦ^с- Но поскольку |/„//= I S IP*!") . это и означает, что
2. Пусть £1э Ег — банаховы пространства, В (•, •) — билинейное
отображение из Et х Егъ IR, непрерывное по каждой переменной в
отдельности, т. е. В (х, ') для любого фиксированного х £ £t и В (•, г/)
для любого фиксированного у £ Е3 есть линейные ограниченные
преобразования. Доказать непрерывность В по совокупности переменных,
т. е. если хп ->■ 0 и уп -*■ 0, то В (xnt уп) -*■ 0 при п -> оо.
Решение. Пусть (*„) с: £ь *„ -> О при я -»- оо, т. е. || *„ || -*■ О
при п -*■ с». Зафиксируем п 6 ftj и рассмотрим функционал /„ (г/) =
= В (хп, у), определенный на £2. Ясно, что fn — линейный
функционал. Кроме того, согласно условию задачи, для любого
фиксированного х„ 6 Ег функционал /„ является непрерывным, ибо
\Ш\=\В{хя.у)\<,ия\\уЪь (5)
Однако, при каждом фиксированном у 6 Et В (•, у) — также
линейный непрерывный функционал, т. е. | В (х„, у) | ^ су || х |я,.
Поскольку хп -*■ 0 в Elt то существует константа М > 0 такая»
что 1 х„ Це, <; М для любого п 6 №• Таким образом,
/ L (У) I = I В (хп, у) | < cj*„||£, <cy.M=d,
т. е. sup |/„ (^)|^ Су< +оо. Тогда, согласно принципу равномер-
ft
ной ограниченности, supj/„|[ = К <. -f- оо. Отсюда и из неравенства
(5) следует, что
1Ы</)К»М№.<*№, (Упей). (6)
tao

На основании (6) заключаем, что
\В(Хп, уп)\ = \иш\<\ШУп1в.<к\ул1Б,->о
при п -*■ оо, если | уп || -» 0 при п->- оо. Утверждение доказано.
Замечание. Если отказаться от условия линейности, то сформулированное ут-
{ерждение перестает быть верным даже в пространстве R2 = R1 х К1. Например,
ункция
\ о, *2 + (г1 = о,
'ТГь..
Непрерывна по каждой переменной, но не является непрерывной (по совокупности
еременных) в точке (0, 0).
оо п
3. Пусть задан числовой ряд £] #*• $п — £ о* — его п-я час-
тичная сумма, (p„)nt=i — некоторая неубывающая последовательность
п
положительных чисел и Р. = У ^д. Показать, что формулой <вя =
п
Yi Pn-k+iSk определится регулярный метод суммирования тог-
да и только тогда, когда
lira -fs- = 0. (7)
Решение. Напомним, что регулярность метода суммирования
означает, что ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме а, должен иметь
«обобщенную сумму», также равную а.
Рассмотрим в пространстве с всех сходящихся последовательностей
функционалы
1 "
/я (х) = -в- S Pn-k+ilk, х — (¾. {,,...)€<>. я =- 1, 2
/W - Ига !„.
а-» оо
Функционалы /„ линейны и непрерывны. Линейность /„ очевидна,
а непрерывность вытекает из оценки
1 "ч
I/»WK—- Р»-к+1' SUP Iз*I = I*!■•
•» е J/nS^ 1 (здесь мы воспользовались тем, что Y Pn-k+i =* Рп) •
Следовательно, последовательность норм [/„J ограничена. Если взять
вектор *0 = (1, 1, ..., 1, ...)€с 1ха1= 1, то /„(*„) = 1,т. е. I/„| =-
■» 1 для любого ngft].
Рассмотрим векторы »к =■ (0, .... О, 1, 0, ...)£ с. Так как /„(**) "■
33!

д "7*"**' при &<!п, то условие (7) (которое эквивалентно тому,
Рп-
что lim —р ~г = О для любого k £Щ может быть записано в виде
(1-ое ^П /
1я(хк)-*-0 при п-»-оо. Однако, с другой стороны, /(#*) = 0, т. «.
/«(**)-»-/(**) ПРИ «-*-<» (А=1. 2, ...) и
fn W =- "В- S Pn-*+l = 1 -* 1 = f (*»)■
Поскольку линейные комбинации элементов х0, хи х2, ... образуют
плотное в с множество, то выполнены условия 1), 2) теоремы Банаха —
Штейнгауза. Таким образом, условие (7) является необходимым и
достаточным для того, чтобы
л.(*)^5-/м. v* = (yec. (8)
А соотношение (8) и означает регулярность рассматриваемого метода
суммирования. Действительно, пусть
л
limS„slim Ц aft = o<+oo, J
oo
т. е. ряд Yi ^k сходится в обычном смысле к сумме а. Рассмотрим
ft=i
вектор х = (Slt S2, ..., Sn, ...) £ с. В силу (8) имеем
1 "
«г, = L(х) = -р- И Pn-fe+isfc-*- f (*) lim sn = fl-
гя 4=1 П-tDO
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Рассмотренный метод суммирования принадлежит к методам
Г. Ф. Вороного обобщенного суммирования рядов. Отметим, что частным случаем
метода Вороного является метод суммирования Чезаро (метод средних
арифметических), ибо для него
ш»=4- ss*.
п *-1
т. е. />„ = 1 (Vn<E N). _
Замечание 2. Вместо того чтобы говорить об обобщенном суммировании рядов,
можно рассматривать вопрос об определении обобщенного предела последователь;
кости, соотнося последовательности частичйых сумм S„ последовательность
«feta Е anfts* (n-i, а. ...)
и исследуя ее поведение при п -*■ со (здесь tt^ — весконечная матрица, характери-
аующая метод суммирования). Например, метод суммирования Чезаро характеря-
232

ауется матрицей
1
1
2
п
0
1
2
1
п
0 ...
0 ...
1
п
0 ...
0 .. .
1
я
4. Доказать теорему Теплица — Сильяермена; для того чтобы
матрица (ank)h.k=\ определяла регулярный метод суммирования,
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия!
1) limanft = 0 (k= 1, 2, ...);
оо
2) lim £ ank = 1;
га-»оо fc=l
оо
3) sup £ \aak\ =M<+ оо.
1^(1<оо A=l
Решение. Как и в предыдущем примере, в пространстве с
сходящихся последовательностей рассмотрим функционалы
со
/п (*) = £ «nftSft. * = (У е с л = 1,2, ...,
/(*) = Hm £*.
fe-*oo
Функционалы /„ линейны и непрерывны, причем (проверьте этф
оо
I/nil = 1! |an*l- Следовательно, условие 3) означает, что последо-
вательность норм ||/„ || ограничена: J/„J^A1 (Vng^). Далее,
рассмотрим последовательности
*,=(!, 1 )6с **-fl>, .... 0, 1,0, ...)6с (* = 1, 2, ...).
ft-i
Поскольку
/п (*о) = И «л*. h (**) = «п* (Л, А = 1, 2, . . .),
то условия 1) и 2) могут быть записаны в виде
U (¾) s^r 0 = / (xk), fn (*0) --1=/ (х0).
Поскольку линейные комбинации элементов х0, хи х2, ... образуют
плотное в с множество, то, в силу теоремы 2, условия 1) — 3)
необходимы и достаточны для того, чтобы /„ (х) -^j-» f (х) (V х £ с), что и
означает регулярность метода суммирования.
331

5. а) Пусть a„^0 (л = 1, 2, ...) и 51 ап = + °°- Показать, чтв
вуществует последовательность (en)"=i, для которой выполнены ув*
ловия:
оо
1) lim е„ = 0; 2) ряд 51 arfin расходится;
Л-.00 ге=1
б) Показать, что если ап -> оо при п -*■ оо, то существует такая
оо оо
последовательность (e„)"=i, что 51 |е„|<: + оо, а ряд 51 е„а„ расхо-
ДИТСЯ.
Решение, а) В пространстве с0 сходящихся к нулю последователь-
■остей рассмотрим функционалы
п
/я(*) = Еа*6». * = (!к)€Со' л=1. 2, ...,
являющиеся линейными и ограниченными. Действительно,
линейность каждого функционала /„ очевидна, а ограниченность вытекает
из оценки:
)Ш\ =
<51 a*- sup \lk\=ca- sup I^KcJ*^,
где c„ = S ak. Если при каждом фиксированном п £ И взять
элемент *0 = (Т, .... 1, 0, 0, ...)6с0, fi*0L=1. т<> I М*о) I = с«. т. е.
п
\1Л\ = с„. Следовательно,
П 00
sup | Ц = sup £ aft ** % ak = + oo.
n n k=\ k=\
На основании принципа фиксации особенности заключаем, что
•уществует элемент х = (ех, е8 е„, ...)Gc0 (т. е. lime„ = 0) та-
И-.00
кой, что последовательность (2 а^вь не является сходящейся,
\ft=l /n=I
оо
1. е. ряд Yt акЧ расходится.
б) Аналогично предыдущему случаю, в пространстве lt рассмотрим
функционалы
п
М*)=Ея*1*. * = (У G /i, я=1. 2, ...
Из оценки
п оо
(U*)I<S llkl* sup |aftKS \lJ . sup KJ= sup |tf*| >|x|ra
•34

еледует ограниченность /„:||/„|)<| sup \ak\. Нетрудно видеть, что
в действительности !/„[(= SUP \ak\- Следовательно, sup 1/,,1 =
— sup sup I ак | = + оо. В силу принципа фиксации особенности, су-
га 1<£<п
ществует элемент х=(гг, еа, ..., е„ )£/i такой, что последовав
тельность (| /„ (х) |) == I £ |a*etl) не имеет конечного предела, т. е.
00
ряд S akek расходится. Утверждение доказано.
6. Доказать, что существует непрерывная и 2я-периодическа*
функция х (/), ряд Фурье которой не сходится к х (/) по норме
пространства С [—я; я].
Решение. Из теории рядов Фурье известно, что частичные еу*г-
оо
мы ряда Фурье —- + £ (ак cos kt + bk sin kf) произвольной иепре-
ft=i
рывной функции x(t) записываются в виде
я
Sn(f)= J D„(t-T)x(T)dT,
—я
где ■
am J—< , ч
^«(0 =~ЙГ f = -i-(-±-+cos/ + cos2/ + ...+cosrt2j —
sin4
ядро Дирихле
Рассмотрим в пространстве С I— я; я] последовательность
операторов Ап:
я
(Апх) (/) - J Ц, (/ - т) х (т) dt = Sn (/).
—я
Операторы Л„ линейны, а их непрерывность следует из неравенств-
я
М**К max \ |D„</-T)|dT.fl*i (л€од,
—яз£*^я _1я
т. е. при каждом и £ ft]
я
ЦЛВ«< max f \Dn(t — t)|dt = Af„.
—яз£*<я _„
Установим неравенство противоположного знака. Так как интег-
я
рал J \Dn(t — T)|dt представляет собой непрерывную функцию от <,
—я
33S

to существует t0 £ [ — я; я] такое, что
М„= max (* |Д,(*-т)|Л = ? | Dn(ta-x)]dt.
Зададим теперь в пространстве С I— я; я] при фиксированном п 6 Щ
функционал / соотношением
я
f (х) = f Dn (t0 — т) * (т) dt, x (i) G С [— я; я].
—n
Функционал f — линейный ограниченный и, как несложно проверить,
я
1/1^ J I А» (*о — т) I ^т- Возьмем произвольное е > 0 и разобьем отре-
—я
юк [— я; я] на части точками — я = т0 < т2 < ... < т„ = я так,
чпобы колебание функции <р (т) = Dn (t0 — т) в каждом из
промежутке» [xk; t*+i] было меньше е. Все частичные промежутки распределим
и две группы. В первую группу отнесем промежутки Д1, .... Др такие,
что все значения функции <р (т) в любом из этих промежутков одного
эвака (который может меняться от промежутка к промежутку).
Остальные промежутки Д[, ..., А"т отнесем ко второй группе. Отметим, что >
■ромежутке Д« (s = 1, 2, .... т) функция ср необходимо обращается
• нуль. Поэтому
|ф(т)| = |Оп('о — т)/<е (Ут£Д"*. s= 1, 2, ... , m).
Определим функцию х (т) £ С [— я; я], полагая для промежутков
яервой группы
х(т) = sgnф(т) = sgn Dn(t0 — r) (т£ Д*. k = 1, .. . , />),
а ■ остальных точках отрезка [— я; я] считаем ее линейной. При этом,
«ели точка — я (или я) является концом промежутка второй группы,
считаем х (— я) = 0 (соответственно х (я) = 0). Тогда
f(x) = J Dn(t0-x)x(x)dT = £ f Dn(t0-x)x(r)dr +
-я *=t ■
+ £ $Dn(t0-T)x'(T)dT>£ J \Dn(t0-x)\d%-
m я
-S { \Dn(t0-r)\dx*= J |Dn «,-*)!*-
m "
-2S J \Dn(t0-x)\dr> j/D„(*0-T)|rfc-4ne.

Так как |*| *= 1, то
я
|/|«sup|/(*)|>|/W|> {|Ц,(*,-т)|А-4«.
M<1
Помюльку е >■ 0 — произвольно, то J / J = J \Dn(t0 — <t) | dx. Возь-
—л
м*м теперь у (t) = (Апх) (i). Тогда
| Аа || = sup \\Апх|| > || Апх\ = I "у (01 =
11*11« 1
х max |i/(0|>l</~(QI =
J Dn(t0-x)x(x)d%
= \f(x)\> $ |Dn(fe-T)|dr-4ne.
—л
Отсюда находим, что
л я
[Аа\> $ 1А.И,—*)|dr= max 1 |Dn(f-t)|dT = yW„.
Значит, | Ап \ = Мп. Но в силу периодичности ядра Дирихле епра*
Йедливо также равенство
л Я
J \Dn(t-x)\dx= J |Ц,(0|Л (л€М)-
—я —я
Следовательно, в силу четности функции | Dn (0 |>
л я
\АН\- J |Drt(0|^ = 2J|Dn(0l^-
—я в
П
Покажем, что J | Dn(i)\ dt-*- -f-oo при я-*- + оо. Действительна,
числитель дроби | Д, (*) | =
[sin
-И
2я I sin
равен единице в тех точках
<, где -?y—t =ш {k +-%-} я (k — 0, 1, .... л), т. е. при t —
» > |:-я (А ■= 0, 1, ..., п). Окружим каждую из этих точек ин-
I , 2ft + 1 I ^, 2я
тервалом г ^ ! t <С з(2п4-1> ' длина каждого из которых рав-
4я г, I . Чл 4-1 л I
аа 2 . ■. В каждом из этих интервалов sin —^— t не
меньше чем -g-. Оценим величину sin -*- иа &-м интервале (Л ==0, 1, ...
337

..., л). Имеем
81пТ-<-Г<^-1-^Г+Гл+ з(2п i)j<lJ+r"-
Поэтому интеграл от | D„ (/) |, взятый только по пересечению
выделенных промежутков с [0; я], больше, чем сумма
я— 1 п—1
1 у _1_ 1 4я 1 у 1
2я £> 2 ' fe+1 я ' 3 <2rt + » = Зя £0 fe+' '
2я+1
^ Эта сумма стремится к бесконечности при п -*■ оо. Следовательно»
f Ап J -»- +оо при п -*■ оо, т. е. нормы операторов Л„ не ограничены
в совокупности. Тогда, в силу принципа фиксации особенности,
существует непрерывная на [—я; я] и 2я-периодическая функция х0 (f)
такая, что предел последовательности ((Апх0) (f)) = (S„ (i)) по норме
пространства С [—я; я] не существует. Значит, не является
сходящимся по указанной норме и ряд Фурье функции х0 (f).
Пример непрерывной функции, ряд Фурье которой не всюду
сходится, впервые указан Дюбуа-Реймоном.
7. Пусть х1У ..., хп — линейно независимые элементы линейного
нормированного пространства Е,си ..., сп — некоторые
действительные числа.| Доказать существование функционала / 6 Е* такого, что
f(xk) = ck (k= 1,2, ..., п).
Решение. Покажем, что существуют такие линейные ограниченные
функционалы flt ..., /„, определенные всюду на Е, что
| 1, k = т,
M*J = 6*m=|0) кфт
Действительно, возьмем х^ и обозначим через Lx линейную
оболочку векторов х2, хь, ..., хп. Из линейной независимости векторов xlt х2, ...
..., хп следует, что р (xlt Lt) > 0. В самом деле, если это не тан,
т. е. р (xlt Lt) = 0, то, как известно (см. гл. 2, § 3), для хх
существует (возможно, не единственный) элемент у = ах2 + Р*3 + ■■■ + ухп$
€ Lx такой, что р (xlt Lt) = \xt — у | = 0. Это означает, что хг —
— ахъ — $х3 — ... — ухп = 0, т. е. линейная комбинация элементов
л»!, х2, ..., хп равна нулю, но при этом не все коэффициенты равны
нулю (ибо коэффициент при хг равен единице). Следовательно, по
определению, элементы хъ ..., хп линейно зависимы, что невозмож*
но. Итак, р (xlt Lt) > 0.
В силу следствия 3 из теоремы Хана — Банаха для нормированных
пространств, существует линейный ограниченный функционал fv
определенный всюду на Е, такой, что Д (.¾) = 1, ft (х) = 0 на Lx и,
в частности, \х (xk) = 0, k = 2, 3, ..., п. Аналогично возьмем элемент
xt и найдем функционал ft такой, что /г (х^) = 1, /2 (xk) = 0, k —
-= 1, 3, 4, ..., п и т. д.
Рассмотрим функционал / = cjx + ... + c„fn, определенный всюду
■а Е. Этот функционал линеен и ограничен (как линейная комбнна-
8М

вдя линейных ограниченных функционалов fk, k =* 1, 2, ..., п) ш
п п
f (*«) = £ с*Л (*J = £ с*°*« = cm (m = 1, 2, ... , n).
*-l fc=l
Значит, / — искомый функционал.
8. Пусть (хп) — последовательность элементов линейного
нормированного пространства Е, (с„)—последовательность действительных
чисел, М — положительное число. Доказать, что для существования
функционала / б £*, удовлетворяющего условиям f(xn) = с„ (п £ И) и
|/|<СМ, необходимо и достаточно, чтобы для всякого n б И н
любых действительных чисел Х1У Х2, ..., Х„ выполнялось неравенство
(8)
Решение. Достаточность. Предположим, что условие (9) выпол-
п
ияется. Пусть L—множество линейных комбинаций вида £ ХьДЬ
п
(n, %k—произвольны). Для любого элемента х = S Vi^ положим
л
£ \ck
fc=l
<м
1 л и
£ ****
!*=.! 1)
/о (*) = £ V*-
*=i
№
Формула (10) определяет на L линейный ограниченный
функционал. Действительно, линейность /0 проверяется без труда, а его
ограниченность вытекает из (9), ибо
I/«(*)! =
fe=i I |U=.i |
Т. е. |/,|<Af.
Отметим также, что значение функционала /0 определяется
элементом х однозначно. В самом деле, если имеются два представления
Вида
л m
одного и того же элемента х 6 L, то, в силу (9),
I»—i *=-i I II «ei *-i n
г е. Ц£ M*) -ЦЕ/**
Теперь остается лишь воспользоваться теоремой Хана — Банаха
для нормированных пространств и продолжить /0 до линейного
ограниченного функционала / на Е так, чтобы \f \ = J /0 |) <! М.
Необходимость. Пусть функционал /, имеющий указанные
свойства, существует. Поскольку (в силу линейности пространства Е)
аза

элементы х = £ ^А принадлежат Е при каждом п £ ftj и произволь-
ных действительных ^, Ха> ■■■> ^п. то
7(*)1
*—1
=
я
51 Ксь
£=1
<МЦ*А=-Л*|£ Хьъ
4-1
** •
Т. е.
k^k
<М
Утверждение доказано.
9. Доказать, что линейное многообразие L плотно в
нормированном пространстве Е тогда и только тогда, когда всякий линейный
функционал f£E*, равный нулю на L, обращается в нуль тождественно.
Решение. Пусть всякий линейный функционал / 6 Е*, равный нулю
на L, обращается в нуль тождественно, однако L не плотно в Е, т. е.
L Ф Е. Тогда для любого элемента х 6 Е (х g L) имеем р (х, L) —
= inf Цл: — u| = d>0. Действительно, предположим, что для ие-
иеГ _ _
которого х0 6 Е (ха £ L) выполняется соотношение р (*0, L) = 0. По
определению inf, для любого п 6 М существует элемент и„ € £ такой,
что \ип — х01 < —. Отсюда следует, что ип -*■ х0 при п -*■ оо,
причем х0 6 L вследствие замкнутости L. Однако, по условию, х^ g[ С.
Полученное противоречие доказывает, что р (*0, X) > 0.
Зафиксируем х0£ Е (х0 % L) На основании следствия 3 из теоремы
Хана — Банаха для нормированных пространств заключаем, что
существует всюду определенный на Е линейный ограниченный
функционал / такой, что / (х) = 0 для любого д;б!и/ (х0) = 1, т. е. / щЬ 0.
Следовательно, / (х) = 0 для любого* х 6 L и в то же время / не равен
тождественно нулевому функционалу на Е. Полученное противоречие
показывает, что L = Е.
Обратно, пусть L = Е. Тогда для любого х £ Е, вследствие
плотности L в Е, найдется последовательность (*„) с: L такая, что хп -*■ я
при п -*■ со. Возьмем произвольный линейный функционал / 6 Е*,
обращающийся в нуль на L В силу непрерывности / имеем / (х) —
= lim / (х„) = 0. Отсюда, учитывая произвольность х, находим, что
л-юо
/ = 0 на Е, что и требовалось доказать.
Замечание. Доказанное утверждение можно сформулировать и так (принцип
аппроксимации): точка хв£ Ё является пределом в Е линейных комбинаций вида
л
V о% {a.i € IR, х{ £ £) элементов из L тогда и только тогда, когда всякий линейны*
1=1
функционал / 6 £*, удовлетворяющий условию / {х) = 0 для х g Z-, удовлетворяв*
также условию / (xj) =» 0»
340

10. Пусть Е — лиейное нормированное пространство. Доказать,
что если пространство Е* сепарабельно, то и £ сепарабельно. Верно
ли обратное утверждение'
Решение. Пусть M = {f1, /2, ...}—счетное всюду плотное *
пространстве Е* множество. Как известно, |/J|= sup\fk(x)\. И*
мы
определения sup вытекает, что для гк = £ существует элемент
xk£E такой, что \\хк\\ = 1 и Ц/J — Rk<\fk(**) |<|/*|, т. е. |Млд|>
^-2 ■ Множество всех линейных комбинаций элементов хк с
рациональными коэффициентами обозначим через L. Поскольку L счетно,
то достаточно показать, что L всюду плотно в Е, т. е. L = Е. Пусть
L Ф Е. Тогда, согласно следствию 3 из теоремы Хана — Банаха для
нормированных пространств, существует функционал / 6 Е* такой,
что / ф. 0 и / (х) = 0 для произвольного х £ L. Следовательно,
/ (xk) = 0 для любого k £ 1¾). Поскольку М — всюду плотное в Е*
множество, то для любого е > 0 существует k0 £ (¾) такое, что | / —
— /*. || < е. Тогда
if г, I
l(/-/0(*JI H/(*O-M*OIHM*/0l>JlTiJL.
Отсюда
|/-M = sup|(/-WWI>l(/-/d(*JI>-*V-«
*е. »/*.|<2|/-/*.||<2«.
Значит,
1/1 = |/*. + /-/*.1<|/*.| + 1/-/*.1<2е + е = Зл
Поскольку е > 0 произвольно, то | / || =» 0. Таким образом, f ет &
на Е. Полученное противоречие и доказывает, что L = Е.
Обратное утверждение неверно. Действительно, как показано »
§ 1, l\ = т. Пространство 1г сепарабельно, но сопряженное к нему
пространство т, как известно, не сепарабельно.
И. Пусть линейное пространство Е наделено частичным порядком,
«вписываемым «лг^г/» (или, что то же, <ty~^sxi). Если структуры
линейного пространства и частичного порядка согласованы так, что:
1) * <1 У влечет за собой х + z <; у + г (х, у, г £ Е); 2) соотношения
% ^ 0 и х ~^> 0 влекут за собой Ъ: ^ 0 (Я 6 IR, х 6 Е), то пространство»
Е называется упорядоченным линейным пространством.
Пусть Е — упорядоченное линейное пространство и L — линейное
многообразие в Е, обладающее тем свойством, что каждому элементу
х 6 Е соответствует по крайней мере один такой элемент у £ L, что
х :¾ у. Доказать, что если /0 — положительный линейный функционал'
на L (т е. /„ (у) ^ 0 Для всех у >. 0, у 6 Ц, то /0 можно продолжить-
до положительного линейного функционала /, определенного на всем
пространстве Б.
341

"Решение. Определим на Е функционал р (х) равенством
p(x)=ini {/0 (у):у £ L, у>х)
и покажем, что р (х) является однородно-выпуклым функционалом.
Пусть а > 0, а б IR. Тогда
/>(«*) = inf {f0(y) :y£L,y>ах} = ainf {/„ (-|-) :-£->*} =
= a inf {/0 (у): у > х, у = -L. g LJ = ар (х).
Из определения р (х) следует, что для любого е>0и произвольных
элементов хг, хя £ Е существуют элементы ylt t/2 6 L такие, что ух ^ хх%
Уг>х* и
P(x1)<fo(yi)<p(x1) + -Y,
Р (х3) < f0 (у J <p(X2) + -j-.
Отсюда
/о (У\) -h /о <</я) = /о (У1 + yJ = fo (У) < Р (xi) + Р (*2) + е,
причем у =* ух + yt ^ хг + х2, у £ L. Следовательно,
Р (*i + *а) = 5nf {fo(y)'-y£L, y>xt + хг) <f0(y) =
= /о (#i + УгХР (*i) + p(xj+ е.
В силу произвольности е > О заключаем, что р (xt + х^ ^ р (х^) -f*
+ Р <*Л-
Покажем, что /„ (я) ^ р (д:) (V х £ L). Действительно, пусть х, у £ L
и «/> д:. Тогда «/—д:>0 и /0 (# — х) = /0(#) — /„ (*)>0, т. е -f0(y)>
>fo(x).
Следовательно,
/>(д:) = inf {f0(jy):y£L, y>x}>f0(х).
Согласно теореме Хана — Банаха, существует линейный функцио-
яал /, определенный на £ и совпадающий с Д, на L, такой, что/ (*) ^
< р (х) для всех х 6 Е. Таким образом, осталось установить, чтв
/ (х) ;> 0, если х ;> 0. Действительно,
/(— *)</>(—*) = inf \f0(y) :y£L, «/>—*} =
= ini{f0(y):y£L, y + x>0}^f0(0) = 0,
так как «/ = 06Ьи0+д:^0(по условию). Следовательно, f (— д:) «^
^ 0, что равносильно (в силу линейности /) неравенству / (я) ^ 0.
Значит, / — положительный линейный функционал на Е.
В качестве примера рассмотрим пространство Е = С [а; ft], кото-
■рое является упорядоченным. Пусть L с С [а; ft] — множество всех
неотрицательных на отрезке [а; ft] функций. Ясно, что L — линейное
многообразие в С la; ft]. Для каждой функции х (f) £ С [a; ft]
справедливо неравенство х (f) <[ | х (t) | (| х (i) | 6 Q- Следовательно,
каждый положительный на L функционал /в можно продолжить до
ПОЛОЖИ

жительного линейного функционала f, заданного на всем пространстве
С [а; Ы
12. Рассмотрим линейное пространство т всех ограниченных
вещественных последовательностей х = (£„)п=г. Доказать, что
существует линейный функционал LIM 6 т* (его действие на элемент х *
л—оо
■= (In) будем записывать в виде LIM £„), имеющий свойства1
л—оо
1) LIM|n>0, если £л>0 (п= 1, 2, ...)i
2) LIM ln+1 = LIM |л;
3) lim £„ < LIM £„ < ЙпГ Ъп;
п—оо л—оо л—оо
4) если существует lim £„ = а, то LIM £„ = а.
л—оо л—оо
Решение. Пусть ^ = (^, £2, ...)£m. Положим
я (х; nlt nt nk) = lim -r- £ ^n+»i
л—о» я /=1
/> (*) = inf я (x; nv n2 /ij,
где точная нижняя грань берется по всевозможным совокупностям
натуральных чисел иь п2 nk. Покажем, что функционал р (х)
является однородно-выпуклым. Очевидно, в доказательстве нуждается
только полуаддитивность р, т. е. что для любых элементов х1 = (£п) §
б т, х2 = (£«) € т выполняется неравенство
р (xt + jfg) < р (х^ + р (д:2).
Возьмем произвольное е >• 0. Из свойств inf следует, что
существуют совокупности натуральных чисел п\, пч, ..., пк и п\, гъ, ..., я*
такие, что
р (х^ < я (хг; п{, п2, .,. , n'kXp (Xj) + е, ^=- (|'„) <Е т,
и
р^иХя(х2; ri'i, rut, ..,, n"s)<p(xj + в, хг =»(1¾gт.
Обозначим ntti = п.] + tit, j = 1, 2, ..., &, I = 1, 2, ... s.
Тогда, с одной стороны,
Р (Хх + Хъ) <; Я (Хг + Х2[ «1,1, rtl,2, ... , «2,1, Я2,2, •••• «А^)»
е другой стороны,
в (*, -+- *«J rtU> л1.2> • ' • > "2,1' «2.2. • • • , «*,«) = Tim-г— £ (bi+пц г
n-оо да /./ "
^ '■' п-в. ** /7 »+"/+"/ а-во fe« /¾1 VHj+b,"4*
<-f
J ft » * 1
lim -г- £ g' - • + • • • + lim" -r- £ С-Лц' +
„-оо * /=.1 "+"i+4| „^o, A /eI n+tj+e/J

+ ^^/4-,4^^+ ••• +UL-r£Cn^J-
— "J" [Я (^) Пи ... , n'k) + • •• + " fa', nj, ..., «ft)] +
s
+ -j- [я fa; nl', ..., ns) + • • • + я fa, "i "«)] =
— я fa; nj n*) + я fa; m nj) < p fa) + /> fa) + 2e.
В силу произвольности ь > О
/> (.«1 + *ц) < J° (¾) + Р fa).
Торда, на основании следствия 1 из теоремы 3, заключаем, что на т
существует линейный функционал /, удовлетворяющий условию
-/>(-*)</(*)< pfa, V* = (Uem-
Положим LIM |„ = f (x) и покажем, что так определенный функ-
n-t-oo
ционал f обладает свойствами 1) — 4).
Установим свойство 1). Если |„ ^ О (V п G ЭД), то р fa ^ 0 (х =
= (In) 6 /и). Тогда из определения р (х) и свойств однородно-выпуклыя
функционалов вытекает, что р (—х) ^ 0, —р (—х) ^ 0.
Следовательно,
LIM £„ = /(*)> — pi— х)>0.
rt-юо
Свойство 2) выполняется очевидным образом.
Покажем, что LIM \а ^ lim \л. Действительно,
п-*-оо п-*-оо
, *
LIM 1„ = / fa < р fa = inf lim -г- £ |л+„ < lim £„+„, = Hm 5„.
я-юо п-юо " /=1 ' я-юо п-юо
Аналогично ус-»«аР тиваем, что LIM|„>lim |„ Тем самым прс=
«ерено свойство 3).
Если существует lim &, =* а, то Tim £„ = Hm |„ = а.
n-t-oo
Тогда из. свойства 3) следует, что
а - lira 1„<ЫМ|„ <ПН |n = а,
ЯП
П-*-0О
■». е. LI *'-»а. Утверждение доказано.
га-
ЧиСЛв ' 1М^„ называется обобщенным пределом Банаха любой
-+00
ограниченной последовательности (£„).
18. Пусть Л —измеримое по Лебегу множество на [0; 1], ц(Л)>
>0, р>\, L = {x(t)£Lp[0; 1]:'х(0 = 0 для почти всех t g [0;
lj\^}, a (/) ¢/,,,(/4), -4-- = 1. Описать линейные непрерывные
444

продолжения } на LD[0; 11 функционала f(x) = ] a(t)x(t)dt, x(f)£
A
gL. Для каких из этих продолжений 1/11 = 11/1^
Решение. Функционал f является линейным и ограниченным; при
этом || / || = || а Ц/, (А) Действительно (см. § 1), из интегрального
неравенства Гельдера следует, что
l/^KjlaWx^ld^fjla^r^FfjkWI"^)"7-
= \\a\\Lg(A) • || х \\Lp(Ay
Далее, для х (f) 6 L имеем
Mv°--o = ($l*(0r^p = ($|*(0|p<tf+ J \x(f)\»dtY~
\0 J \А №1]\Д /
= tt\x(t)\pdty = UhpiA)
(здесь, мы воспользовались тем, что ] | x(f) \" dt = 0, ибо | х (t) \р =-
[0;1]\Д
= 0 для почти всех t£[0; 1]\А, если x(f) = 0 для почти всех /g
6Ю; 1]\Л). Таким образом,
I f {x)\^\\a\Lq{A) ■ 1^1lp[o;ij. х£ L,
Установим неравенство противоположного знака. Для этого рас-
емотрим функцию
| sgna(f).\a(i)\"-\ t£A,
°^' 1 0 для почти всех t£[0; 1]\А.
Функция х0 (t) £ L cz Lp [0; 1]. Действительно, принимая во вниь-
мание соотношения q — 1 =-^-, (q — 1) р = q, находим, что
|| *о Ц^ц = ($ | в (0 Г 1)Р#)Т = (J | а (0 Г *)7 - i a j^.
Кроме того,
|Д*о)1 = ^ a (f) sgn a (f) \ a (V^dt = J | а (/) 11 а (0 Г-1 ^^ —
Л А
= $И0Г^=|Иул).
Однако, из ограниченности функционала / на L вытекает, что
1аГул) = |/(д:о)1<||/||1^^о:1]=|/11а^М).
345

Следовательно,
ибо ¢(1 ] =» q •—=я 1. На основании установленных нера^
венств заключаем, что \f\ = \a\L (д).
Для того чтобы получить некоторое продолжение функционала I
на все пространство Ц, [0; 1], продолжим функцию a (f) на [0; 1] так,
чтобы продолжение — функция а0 (f) — принадлежала пространству
L„ Ю; 1]. При этом положим
U (*) = $ "о (0 х (0 dt, x(f)£Lp [0; 1].
о
Такое продолжение функционала f является линейным и
ограниченным. Ограниченность /в вытекает из интегрального неравенства Гель-
дера
l/e(«)l<fKW*»H<m^wrd/JT.lj|;cwr*JT-
= IKIy0;l]- \\Х |kp[0;l],
т- е- D/оII^IIаоIk [o-.i]. Аналогочно предыдущему можно показать, что
I 7a|aIOok.9№i] (см-§ О- Таким образом, Ш<||/0||, ибо Иул)<
<К1у<>;1]-
Далее Кйпользуемся тем, что каждый линейный непрерывный функ-
дионал /, заданный на Lp [0; I], представим в виде (см. § 1)
1
/(*) = Ja(O*0)df, x(f)£Lp[0; 1],
о
тде а(0€^Л°: 1]> — +"7Г = *• ПРИ этом Ш = IIа lk„[o;i]- Отсюда
«ледует, что если / — произвольное продолжение f на Lp[0; 1], то
«(f) —продолжение функции a(i) (из Lq(A) на L,[0; 1]), ибо (/ —
— Ъ (*) = ° (V х £ L* (л)> и IIa — ао 1ул> = | a — a Ц.?(Д) = 0.
Следовательно, множество всех линейных непрерывных продолжений /
функционала f, заданного на L, на все пространство Lp[0; 1]
определяется множеством всех продолжений a(f) функции a(f) из
пространства L„(A) на все пространство L„[0; 1]. Из равенства [/J —
ил

"■1а1к[о;Ч видно, что ||/||=|/1 тогда и только тогда, когда
akflo-M =\акд(Л), т. е.
($ | а (О Г dty = ( J | в W |*Л j~ = (^\a(i)\"dt + J^ , - (0 f dt\?
(ID
Поскольку a (f) = a (0 на множестве A cz [0; 1], то
J | a (01" dt = J | a (0 f d*.
Л A
Поэтому из соотношения (11) вытекает, что равенство | a J/. ^ —
*= 1 а ||l [o;i] выполняется тогда и только тогда, когда
J \a(t)\gdt = 0.
Sto значит, что функция 1 a (f) f должна быть эквивалентна функции,
тождественно равной нулю на [0; 1] \ А, т. е. a (f) = 0 для почти всех
/6Ю; \\\А.
Итак, всевозможные линейные непрерывные продолжения
функционала / из L на Lp [0; 1] имеют вид
1
/(*) = \a(t)x(t)dt, x(t)£Lp[0; 1],
о
где a (i) — функция из Lq [0; 1] такая, что a (t) = a (f) для t £ А
(или же a (t) — a (t) для почти всех t 6 А, ибо интегралы Лебега от
эквивалентных функций равны между собой); при этом || / Ц = || /1
тогда и только тогда, когда а (/) = 0 для почти всех t 6 Ю; 1] \ А.
14. Пусть оператор А : С [0^ 1J -»- С [О; 1] определяется формулой
(Ax)(t) =x(t) — XJ'ft(*,T)A!(T)dT, t£[0; 1], >.£ R\{0},
о
где ft (Л т) = ij)(0 v(t), функции ty(f), y(f) непрерывны на [0; 1] и
не равны тождественно нулю, \ ib (i) у (t)dt*£ -^-. Доказать, что
о А
оператор А непрерывно обратим. Найти А~\
Решение. Оператор А определен на всем пространстве, причем,
как нетрудно проверить, | Л[<1 + | М [ ф || J у \, т. е. А б
£ ^ (С [0; 1], С (0; 1]). Кроме того, пространство С (0; 1] банахово.
Следовательно, для того чтобы установить непрерывную обратимость,
оператора А, достаточно (в силу теоремы Банаха об обратном опера-
34Т

торе) показать, что при каждом у £ С [0; 1] уравнение
(Ах) (0 ■ * (Q — Я { ф (0 Y («) *(т) dx = y(t) (15)
о
имеет единственное решение. Из (12) следует, что если л: (*) — решение
этого уравнения, то необходимо
x(i) = y(i)+Xc^(t), (18)
1
где с = ) у (т) х (т) d%.
о
Умножим соотношение (13) на у (f) и проинтегрируем на Ю; 11,
а результате получим
1 1
у (т) х (т) d-r = Ясс0 + $ V (т) у (т) dt, (14)
I
где
«•«=■$ V (*) Ф (т) dT (с0^ 4")-
1
Но поскольку ] у(-%)х(х)ах = с, то из (14) находим
о
i
$ У (т) у (т) dt.
i
1
С = — -;
о
Следовательно,
1
* W = 1 _\Со J * С т> У (*) dt + у (f) - (А'1 у) (f), (15)
откуда вытекает единственность решения уравнения (12) Тот факт,
что формула (15) определяет решение исходного уравнения (при
любой правой части у (t) £ С [0; 1]), проверяется очевидным образом.
Значит, оператор А является непрерывно обратимым, а действие
обратного оператора А~ определяется формулой (15).
Например, если X = —1, ф (£) = у (f) = ё, т е. рассматривается
оператор
1
(Ах) (1) = * (0 + $ е'+^х (т) dt,
то, как несложно подсчитать, с0 =^ (е2 — 1). Следовательно,
о
2
1
(A-ly)(f) = y(t)--^rr[e'+*y(T)dx, Vy(t)£C[0; И.
!+" о

15. Пусть оператор А : С [0; 1J -*■ С [0; 1] определяется формулой
t
(Ах) (f) = x(t) — K$ ку,т)х(х) dx, /£[0; I], Я.€Н\{0},
о
где k (t, т)«» ij) (f) у (т), функции t|)(rf), у (0 непрерывны на [0; 1] и
■е равны тождественно нулю. Доказать, что оператор А непрерывно
обратим. Найти Л-1.
Решение. Как и в предыдущем примере, А 6 £6 (С [0; 1], С [0; 1¾.
Рассмотрим уравнение
*
(Ax)(f)BSX(f) —%^(t)y(f)x(r)dr = y(t),
о
i
W У (0 € с [0; П- Обозначим J у (т) л (т) d<t = z (0-
о
Тогда
*0-*л|>Юг0) + У0). (16)
Ясно, что г (0 6 С0' [0; 1], причем z' (f) = y(i) x(i). Поэтому,
учитывая (16),
z' (t) = у (t) [Д.* (i) г (i) + у (i)] = Ал0 (0 z (t) + у ® у (t),
где а0 (0 = у (0 i|>(0- Таким образом, относительно функции z (f)
получаем следующее линейное неоднородное дифференциальное
уравнение:
z'(t)-Xa0(f)2(f) = y(f)y(f).
Используя метод вариации произвольной постоянной (метод Лаг-
ранжа), находим, что
t X
*,§a,(x)dx Г ' -i,Jn„(s)ds 1
г(t) = е ° \с + ) у(т)у(т)е ° dt .
Поскольку z (0) = 0, то с «* 0. Следовательно,
t т
0
Формула (17) определяет единственное решение исходного
уравнения, а это означает (в силу теоремы Банаха об обратном операторе),
что оператор А непрерывно обратим Действие оператора А~* задается
формулой (17).
Например, если Я, = —1, t|> (f) = у (f) s== 1, т. е. рассматривается
оператор А
t
(Лх) (0 = *(*)+J *(<c)dt,
t
3#

to, как следует из соотношения (17),
t
(А^х) (*) = *(*)—{ е*~*х(*)<кп.
о
16. Пусть L с С [0; 1] — линейное многообразие трижды
непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций, удовлетворяющих
условиям: х (0) = х' (0) = х" (0) = 0. Доказать, что оператор А : С [0; 1]->
-»• С [0; 1] с областью определения $ (A) = L, действие которого
задается формулой (Ах) (0 = х"' (f) + х" (0, является' непрерывно
обратимым.
Решение. Для доказательства непрерывной обратимости оператору
А воспользуемся теоремой 8. Возьмем произвольную функцию у (0 €
€ С [0; 1] и рассмотрим уравнение Ах = г/, т. е.
x"'(t) + x"(f) = y(f), (18)
с начальными условиями
х(0)=х' (0) = *" (0) =. 0. (19)
Иными словами, рассматривается задача Коши (18), (19). Найдем
фундаментальную систему решений однородного уравнения
х"'(9+ *"(*) = 0, (20)
соответствующего уравнению (18)..
Понизив порядок уравнения (20) с помощью замены х" (i) = и (f)t
где и (f) — новая неизвестная функция, получим линейное однородное
уравнение первого порядка и' (f) + и (t) = 0, общим решением
которого является и (f) =* Cje-', где сх — произвольная постоянная.
Поэтому общее решение уравнения (20) имеет вид х (ij = cte-' + cj, + c8l
где q, с2, с3 — произвольные постоянные, а функции xl (f) — e~ii
х2 (f) = t, xs (t) = 1 образуют фундаментальную систему решений
уравнения (20).
Общее решение неоднородного уравнения (18) ищем методом
вариации произвольных постоянных в виде
*(0 = ciWe-* + c,W4-c,(0, (21)
где функции ct (0, c2(f), c3(f) определяются из системы уравнений
(к (0 «"' + C2(t)t+c3 (t) = 0,
-ci'(0e-* + ci(0 = 0, (22)
МО в~* = y(i).
Из (22) находим, что ci (t) = е*у($, c'2(f) = y(t), а (0 — — (* +
•f 1) у (0, откуда
< t
«1 (0 = 1 **# (т) dT + al> с« (0 ="= JI/ (*) d* + «ц
о в
саФ $(*+1)0 («)<*» + «•• (23)
в
850

где 0¾. оса, а8 — произвольные постоянные, t £ [0; 1]. Подставив (23)
в (21), получим общее решение уравнения (18):
t
x(i) = ацг* + att + as+l(<F-t + t — x—\)y (т) dx. (24)
6
Выделим из общего решения (24) искомое частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям (19). Из (24) последовательно находим:
t
х' (0 оцг* +а2 + J (— **-' + 1)у (т) dt + («'-* + /—
о
t
— t—\)y(t) = — *хс~* +а2 + J (—**-« + 1) у (т) d«,
о
дГ (0 - «1«-' + J **-'# (т) Л + (1 - е'-') у © -
о
*= с^е-' + { eT~'j/ (т) dx.
о
С учетом начальных условий-(19), для определения <xlt а2, а3
получаем систему
«1 + as — °.
— OCi + ос2 = 0,
0^ = 0,
откуда at = 0¾ = a3 = Q. Следовательно, искомое решение задачи
Коши (18), (19) имеет вид
t
х (i) = | (**-'-+ * - т - 1) у (т) dx. (25)
о
Это решение единственно, что следует из общей теоремы существования
и единственности решения задачи Коши.
Из формулы (25) следует непрерывная обратимость оператора А.
Действительно,
т. е. для любого х б 0 (А) выполняется неравенство
Тогда, согласно теореме 8,- оператор Л непрерывно обратим, причем
действие оператора А~ задается формулой
1
(А-1 у) (i) = l(e*-< + t-%-l)y (х) d*, V у (Q £ С [0; 11,
о
881

Замечание. В данном случае для доказательства непрерывной обратимости
оператора А теоремой Банаха воспользоваться нельзя, ибо & (А) Ф С [0; 1] и, как лег*
ко видеть, оператор А неограничен. Однако, как было установлено, оператор А
существует, определен на всем пространстве С [0; 1] и ограничен. Таким обрааом,
оператор, обратный к неограниченному линейному оператору, определенному и*
некотором многообразии, не совпадающем со всем пространством, может оказаться
ограниченным лииейиым оператором, определенным на всем пространстве.
17. Пусть А — оператор в С [0; 1], действующий по формуле
t
(Ax)(f)=<jlx(x)dx, t€[0; 1].
о
Показать, что оператор А не имеет ограниченного обратного.
, Решение. Область оределения оператора А совпадает со всем про»
странством С [0: 1], и оператор А является, очевидно, ограниченным»
| А || = 1. Ядро кег А оператора А состоит из нулевой функции, ибо
из равенства Г х (т) dx = 0 (V t £ [0; 1]) следует, что j(/)s0. Об-
о
ласть значений R (А) представляет собой линейное многообразие не*
t
прерывно дифференцируемых в СЮ; 1] функций у (/) = f х (и) d*M
о
удовлетворяющих условию у (0) = 0. Так как кег Л = {0}, т. е. А
Отображает С [0; 1] на R (А) взаимно однозначно, то существует
обратный оператор А~ , определенный на R (А) и отображающий R (А)
на С [0; 1] взаимно однозначно. Нетрудно видеть, что
(А-'х) (0 = ±Ж. 11 £ [0; 1], х (О € R (А).
at
Действительно, если х (f) £ R (А), то
t
£ х' (т) dx = x(f)—x(Q) =» *(/)■
о
t
ибо *(0) = 0, и ( ) *(т) dx J = x(f).
<° _i
Однако оператор А не является ограниченным. Действительно!
возьмем последовательность хп (f) = sin nt (я 6 №• Очевидно, что
нри каждом пбИ хп (i) 6 0 (Л-1) = R (А) и | х„ | < 1.
Поскольку \ А~ хп J = л, то
sup |/4-1x| = + °°>
т. е. Л-1 неограничен, что и требовалось установить.
Этот пример показывает, что у ограниченного оператора может
существовать неограниченный обратный операторt заданный на
некотором линейном многообразии, не совпадающем со всем пространством*
№2

1«. Проверив, суи.ес нует ли непрерывный обратный оператор ■
оператору А : 12 ->- /2, ^ли:
а) Ах = (13, Ъи £„ £4, 6„ .. .);
б) Ах = (£х + 2|а, |х - £,, £,, g,, ...);
в) Л* = (£, - \ъ 12 + £,, 2|2 - 2£lf £,. £„ ■...).
где х = (У € /,.
Решение, а) Область определения оператора Л совпадает с 1»
| Л | = 1, т. е. Л £ ££ (/а, 4). Покажем, что оператор Л непрерывен
обратим. Поскольку /2 — банахово пространство, то для этого доста-
. точно (в силу теоремы Банаха об обратном операторе) показать, что
уравнение Ах = у однозначно разрешимо для любого у = (r\k) ^Д.
Уравнение Ах = у в данном случае имеет вид
(S» Ei> i2> 54. is> • • •) = (%• "Па. "Из. Л*. "Пб. • • •)• (2в)
Отсюда ?! = т]2, £я = т]з, |8 = %, i* = Пк Для й > 4- Следовательно,
* = (ii. i2. is. S«> is- • • •) = ft* Лз. %> *U> Лб» • • •).
т. е. уравнение (26) имеет решение
х = Л~'г/ = (т}2, т}3, r\lt тц, г\ъ, ...).
Это решение, очевидно, является единственным. Таким образов,
А~ 6 & (l2, 4)- Отметим, что в данном случае ограниченность
оператора Л-1 устанавливается и непосредственно: | Л-1 Ц = 1.
^ б) Область определения оператора Л совпадает с 12. Для любою
* = (i*) € к имеем
H*|l2<3i? + 6i22 + i! + i?+ ... <б£ Й = 6|хр,
т. е. || Л | ^ ]/1). Таким образом, А£&(12, IJ. Покажем, что дм
любого у = (г\/д £ 12 уравнение
Ах.= (ii + 2i2, it — i2, i8, 54, ...) = (tilt i\v r\3, т]4, ...) = у (27)
однозначно разрешимо. Действительно, из (27) следует, что |j -f-
+ 2i2 = rj!, ^ — £2 = r\2, lk = т\к для k > 3. Отсюда находим, что
* _ Л1 + 2т1а t _ Л1 — ^2
61 — з ' s2 — з
Таким образом,
л — I з • з ' '3' '*' * *"/ — у*
причем х = А~ у определяется однозначно. Следовательно, Л-1 6
в) Оператор Л определен на всем пространстве 12 и является
ограниченным на 12. Однако, как несложно подсчитать, ядро кег Л =
= [х 6 4 ' Ах = 0} оператора Л состоит из тех элементов * 6 4»
у которых первые три координаты связаны между собой соотношениями
*i — 5«. is = —^2> а остальные координаты равны нулю. Иными
словами, кег Л Ф {0}, т. е. оператор Л отображает 1г на ./? (Л) не взаимно
однозначно. Отсюда следует, что оператор А не имеет ограниченного
is о-и за

обратного. Действительно, пусть это не так, т. е. оператор А~
ограничен на R (А). Тогда, согласно теореме 7, для любого х 6 1а и некоторой
постоянной m > 0 справедливо неравенство || Ах || ^ т || х |. Из
этого неравенства иолунаем, что А отображает 12 на R (Л) взаимно
однозначно: если х 6 кег А, т. е. Л% = 0, то | х \\ = 0, т. е. х = 0.
Это значит, что ядро кег А = (0).
Полученное противоречие доказывает, что оператор А не имеет
ограниченного обратного.
19. Доказать, что если линейный непрерывный оператор Л,
отображающий банахово пространство Е^ в нормированное пространство
Е2 (ф (А) с= Elt R (А) с= Е2, $ (А) — подпространство в Ег) имеет
ограниченный обратный оператор, то R (А) — банахово пространство.
Решение. Необходимо доказать, что R (А) — полное пространство.
Пусть (уп) — фундаментальная последовательность в R (Л) с= £2.
Тогда уп = Ахп, где хп = А~ уп 6 0(A) с= Et. Согласно теореме 7,
существует постоянная О 0 такая, что ,
IIУ п. — Ут \к = | А (ха — хт) (в, > с | хп — хт \\е,.
Отсюда следует, что последовательность (хп) с: 3) (Л) также
является фундаментальной, а значит, и сходящейся в Ех, ибо £, —
банахово пространство Следовательно, существует элемент х0 такой,
что х0 = lim хп. На основании замкнутости области определения <jb (Л)
оператора Л заключаем, что х0£ф (Л).
Тогда, в силу непрерывности оператора А,
Уп = 'Ахп —- Л%0 = у0 £ Я (Л).
Этим доказано, что # (Л) — банахово пространство.
20. Пусть Еъ Е2 — банаховы пространства, б (Elt Е2) —
совокупность всех непрерывно обратимых операторов в пространстве & (Е1г Е2).
Доказать, что множество б (Еи Е2) открыто ^ (Еъ Е2)
Решение Первый способ. Возьмем произвольный^опера-
тор А0 6 б (Elt Е2) и покажем, что открытый шар
В (Л0, r) = \At<£. (Elt Е2): | Л - А01< г, г = || ЛГ1 Ц-'}
содержится в б (Еъ Е2). Иными словами, необходимо показать, что
любой оператор Л £ В (Л0, г) является непрерывно обратимым, т. е.
А~{ £ ££ (Е2, EJ. Для этого представим оператор Л в виде А =
= А0 + В, где В = А — Л0, | S | <| ЛЗ"1 |Г'. и рассмотрим
оператор С = АоХ (А0 + В) = /Е, + Ло В. Так как || ЛГ'В | <
^ Ло-1 II 5 | < li то по теореме 13 оператор С имеет непрерывный
.-ратный; при этом
'■•• ||С_1||< i-nV1sfl< i-llVllllsr (28)
Из равенства AJ1 (А0 + В)С~ => СС-1 = У£> следует, что (Лв +
-f В) С-1 = Л,. Следовательно, (Л0 + Я) С-^1 = /в,. Однако,
ЗМ

C~XC = C~XA^X (A0 + B) = /f?,. Таким образом, оператор U = С-1 Л if*
удовлетворяет всем условиям теоремы 11 (т. е. U (А0 + В) =
= /е„ (/4о + В) U = /¾). поэтому
(Л0 + В) "'=£/ = С"1 Л^1.
Это и означает, что оператор А = Л0 + В непрерывно обратим,
причем, в силу (28), *
II л-'II < llV"
i-ИГ 1-11*1
Второй способ. Пусть оператор А принадлежит открытому
шару В (Л0, г) а£(Ех, Е2), где А0 б б (Ev Е2), r=\\ Ао1 f1.
Зафиксируем произвольный элемент у 6 Е2 и рассмотрим оператор В,
отображающий £\ в Ei.
Вх = Айху— А^Ах + х, Vx£Ev
Поскольку || А — А01| < | А Г1 |-1, то В является отображением
сжатия. Действительно,
р (Д*!, Вх2) = | АоХА (х2 — Xi) — (х2 — Xi) I = | V А (х2 — Xj) —
— АоХА0 (х2 — Xi) | = | Ао] (А — А0) (х2 — xt) \\<q\\x2 — xj
(V^, x2£Ej),
где (? < 1. Так как пространство £Y полно, то существует единственная
неподвижная точка отображения В, т. е. существует х* 6 £\ такое,
что х* = 5%* = ЛГ г/ — Ао~хАх* + х*. Отсюда следует, что Ах* = у,
т. е. для каждого у 6 Е2 уравнение Ах = г/ имеет единственное решение.
Следовательно, по теореме Банаха об обратном операторе, оператор А
непрерывно обратим, что й требовалось доказать.
21. Используя теорему Банаха об обратном операторе, доказать
теорему об эквивалентных нормах: пусть на некотором линейном
пространстве Е заданы две нормы || • ^ и || • ||2, по отношению к каждой
из которых Е — банахово пространство; доказать, что если хотя бы
одна из норм подчинена другой, то эти нормы эквивалентны.
Решение. Обозначим через Ег пространство Е с нормой | • ||г, т. е.
£i = (Е,
Е2 = (£,
у, а через Е2 — пространство Е с нормой || • |2, т. е.
|2). Предположим, что норма || • ||t подчинена J • J,,
т. е. существует постоянная сх < О такая, что для всех х 6 Е
l*'i<ci!*t (29)
Рассмотрим оператор Л, отображающий Е2 на Et по формуле Ах —
= х (слева х 6 Е как элемент из Е2, справа х £ Е как элемент из EJ.
Очевидно, 0 (Л) = Е2, А линеен и отображает Е2 на Et = R (А)
взаимно однозначно. Неравенство (29) означает, что || Ах ^ <! ct \\ х Ц2,
т. е. || Л || =¾ cv Следовательно, Л — ограниченный оператор. Тогда,
по теореме Банаха об обратном операторе, существует линейный огра-
12*
355

ничейный оператор А ' : А 1х = х, отображающий Ег = $ (А ') на
£2 = R (А~ ) взаимно однозначно, т. е.
11^4 = 1^2^-1 И* Hi. Vx£E.
Итак, с,, || х \2 < || х ||, sc; с, || я ||2, где с2 — || Л-1 f-1. Это и означает
эквивалентность рассматриваемы х норм. Утверждение доказано.
Задачи для самостоятельной работы
1. Пусть Е — пространство непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций
с нормой || х || = max I к (t) I. Рассмотрим операторы Ап : Е -»- С [0; 1], п ^ 1, за-
даваемые формулой
(Апх) (I) = п
*'' + Vl_*W
'€[0; 1Г
[если t-\ > 1, то полагаем x\t-\ )=х(1)). Доказать, что:
а) последовательность (А)п сходится поточечно, и найти ее предел;
б) последовательность (]| Ап ||) не ограничена.
. Как согласуются эти утверждения с принципом равномерной ограниченности?
I
2. Доказать, что для того чтобы \ х (t) у (t) dt существовал для всех х (t) i
о
£LP[Q; 1] (р> 1), необходимо и достаточно, чтобы у (0 € Lq [0; 1J, где числа р 1
с связаны соотношением 1 = 1
Р <7
3. Пусть
п
fe=i
Доказать, что утверждение
.ь
Vx£C\a; b]:f„(x) ^ f х (t) dt
Л-»оо J
справедливо тогда и только тогда, когда:
п
1) sup £ |ЛпЛ|<+оо;
" 4=1
2) fn (Р) ► \ P(t)dt для всякого многочлена р.
l-*oo J
Проверить также, что условие 1) следует из условия 2), если для всех л ;> 1 ■
00 оо
4. Доказать, что отображение ]у] а„ ->- ^ >.„а„, определяемое
последовательна п=0
ностью (>.„), тогда и только тогда переводит сходящиеся ряды в сходящиеся, если
' оо
X I ^ — Vh I< + °°-
оо
5. Доказать, что если li'm ап=а< со, то (1 — г) Y a„zn (z G (D) стремится
356

к а при стремлении г к единице вдоль любого пути, лежащего внутри круга {z : Цл | ^
^ 1} и не касающегося окружности | г | = 1.
6. Для того чтобы ряд У апЬп сходился для любой последовательности (fln)5H,i,
п
< с (V я € N , с— некоторая положительнаж
удовлетворяющей условию:
постоянная), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
a) lim 6„ = 0; б) V \Ь _6„|<+со.
n-°° /Si
Доказать это утверждение.
7. Доказать, что для того чтобы последовательность
к„(0= £*„('. т)*(т)А (/1=1,2,.,.)
Л-»00
сходилась к х (t) в пространстве Lj [а; Ь], какова бы нн была суммируемая функция
х (t), необходимо и достаточно,' чтобы:
ь ь
1) j £ kn (t, т) * (т) dt — x (t)
а а
для всякого х из плотного в пространстве Lj [а; 6] множества Д;
b
2) £|МЛ т)|Л<М (/€[а; ft], /1=1, 2, ...).
а
8. Пусть £ — линейное нормированное пространство, х, у £ £, * # у. Доказать,
что существует функционал / £ Е* такой, что / (х) Ф f (у).
9. Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве Е для любого
X £ R н любого ненулевого / £ Е* гиперплоскость х £ (£:/(*) = &} есть непустое
множество.
10. Пусть £—линейное нормнровянное пространство, х £ Е,
Доказать, что
||дг||= sup |/(х)|.
f€B*,Wt~l
11. Пусть £ — линейное нормированное, пространство, х0 £ £ и для любого
f £ Е* такого, что ||/|| = 1, выполняется неравенство | / (х0) | < 1. Доказать, что
|1*о II < 1-
12: Пусть Е — линейное нормированное пространство, / £ Е*, A £ S (Е, Е).
Доказать, что || А || = sup.| / (Ах) |, где верхняя грань берется по множеству {*€
€£=11*11 = 1; /е^*:|/11= !}•
13. Пусть Е — линейное нормированное пространство, М с Е —
произвольное множество. Положим М1 = If £ Е* : f £р) = 0 для любого х £ М).
а) Доказать, что /И1 — подпространство в пространстве Е*.
б) Пусть М <=. Е — подпространство. Доказать, что /И<= {х £ Е : f (х) = О
для любого / £ М ^}.
14. Пусть дана линейно независимая система линейных и всюду определенных на
нормированном пространстве Е ограниченных функционалов (/n)^=1. Доказать, что
в Е существует система элементов [хь)™__х такая, что
М**)-йя*-|0. пфк. n,k=l, 2.
15. Пусть А — измеримое по Лебегу множество на [0; 1] и L = {х £ L2 [0; 11'.
: х (t) = 0 почти всюду на А). Построить линейный непрерывный функционал /
на L2 [0; 1], равный нулю на L, и такой, что / (х) = 1, где х (t) = t, t£ [0; 1].
357

16. Пусть L = {х (f) £ С [0; 1] : х (0) = 0}. Построить линейный непрерывный
функционал на С [0; 1], равный нулю на L и принимающий на функции х (t) = t + 1,
t£ [0; 1], значение 2.
17. Пусть *0 (t) £ С [0; 1] фиксировано. Рассмотрим в пространстве С [0; 1]
одномерное подпространство L = {Ъх0 (/)}, где X £ R. Определим на L линейный
функционал / равенством / {х) = X, если х (/) = Хл0 (/). По теореме Хана — Банаха
функционал / может быть продолжен на все пространство С [0, 1] с сохранением
нормы. Однозначно ли такое продолжение, если.
а) х0 (0 = /, б) х„ (0=1- 2Р
18. Пусть В (R) — совокупность ограниченных вещественных функций на К
с нормой || х [| = sup | х (t) |. Доказать, что существует линейный функционал
LIM £ В* (R), обладающий свойствами:
а) inf х (t) < LIM х (t) < sup x (t);
<€IR tOR
б) если существует lim x {i) = а, то LIM x (t) = a;
UI-H-oo
в) для любого т £ R LIM х (/ + т) = LIM х (t).
Указание. Показать, что функционал
1 "
р {х) = inf sup — V x{t + a ),
'€IR п k=\
где точная нижняя грань берется по всевозможным конечным наборам чисел а,, а2, ...
..., а„, является однородно-выпуклым.
19. Пусть А—линейный оператор в пространстве R", задаваемый матрицей
(a/fc)?fe=i- Доказать эквивалентность следующих утверждений:
а) существует непрерывный обратный оператор А~ ;
б) кег А = {0}, где кег А — ядро оператора А,
в) det (*,k)nuk=l Ф 0,
г) уравнение Ах = у имеет решение при любом у £ R".
20. Пусть А, В — линейные операторы в линейном пространстве Е.
Доказать, что:
а) если операторы А и В имеют обратные, то оператор АВ также имеет обратный,
равный В~~1 А~'■ ,
б) если операторы А и В А имеют обратные, то существует В-1.
21. Пусть Е — линейное пространство, А, В : Е -*- Е — линейные операторы с
@ (А) = 0 (В) = Е и существуют операторы (АВ)~', (ВЛ)—'. Следует ли отсюда, что
существуют операторы А~ , В~ ?
22. Пусть Е — линейное пространство, А, В : Е -*■ Е — линейные операторы
с Ш (А) = Ш (В) = Е, удовлетворяющие соотношениям АВ + А + / = 0, ВА +
+ А + / = 0. Доказать, что оператор А~х существует.
23. Пусть Е — линейное пространство, А, В : Е -*■ Е — линейные операторы с
Si (А) = ш (В) = Е и оператор (/ — АВ)~' существует. Доказать, что оператор
(/ — ВА) также существует.
24. Пусть Е — линейное нормированное пространство, А : Е -*- Е — линейный
оператор и в Е существует такая последовательность х„ £ S) (А) (п £ N), что || хп || =
= 1 и Ахп -*■ 0 при п -*■ оо. Доказать, что у оператора А не существует ограниченного
обратного.
25. Пусть А — оператор в С [0; 1], действующий по формуле (Ах) (t) = р (t) х (/),
t£ [0; 1],гдер—заданная функция из С [0; 1]. Доказать, что Л имеет непрерывный
обратный оператор тогда и только тогда, когда р (t) Ф 0 для всех t£ [0; 1].
26. В пространстве С"* [0; 1] рассмотрим подпространство L = [х (t) £ С^1' [0; 1] ;
•■ х (0) = 0) и оператор A : L ->- С [0; 1], действующий по формуле
(АО (0 = *' (/) + а (0 х (0, а(0£С [0; 1], / £ [0; Ц.
Доказать, что оператор А непрерывно обратим.
358

27. Показать, что оператор А : С(1) [0; 1] -*■ С [0, 1], действующий по формуле
(Ax)(t) = x'(t), t£[Q; 1],
имеет правый обратный, но не имеет левого обратного оператора.
28. Пусть А и В — операторы в С [— 1; ^«определяемые формулами
(Ax)(t) = x(t*), (Bx)(t)=x(t*), <<EI-1; 1].
Доказать, что оператор А не имеет обратного, а оператор В имеет обратный.
Найти В-1.
29. Рассмотрим оператор
А ■ h э (6i. Si. •••)-* («ib. «а, • • •) е г».
где sup | a.k | < + °о. Доказать, что оператор Л имеет непрерывный обратный тогда
& .
и трлько тогда, когда inf | ak | > 0.
k
30. Рассмотрим оператор А : С [0; 1] -*- С® [0; 1], действующий по формуле
(Ах) (/)= f е-|в_+''ж (s)ds.
Существует ли, оператор Л-1?
31. Пусть £ — пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [0; 1]
функций х (t), удовлетворяющих условиям х (0) = 0, х (1)=0, с нормой ||х||™
2
= Y max \xik) (t)\. Найти обратный оператор к оператору А : Е -»■ С [0; 1], за-
даваемому формулой
(Лж) (*)=**(*)-*(<), /6[0; 1].
32. Проверить, существует ли непрерывный обратный оператор к оператору
' а) Ах= (0, |ь lt, ...); б) Ах = (£„ &,. •••);
в) Л* = & + 6„ 6,, Ь, ...),
где * = (¾) е /2-
33. Пусть £ — пространство непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций
х (t) таких, что х (0) = 0, с нормой || х |[ = max | х (t) | + max | х' (t) |. Доказать,
что существует непрерывный обратный оператор к оператору А : Е -*- С [0, 11:
а) (Ах) (t) = х' (t) + 4х (0, б) (Ах) (t) = х' (f) - 2tx (t);
в) (Ах) (t) = х' (f) — 2>t4 (t);
г) (Ax) (t) = (t + 1) x' (t) - x (t);
д) (Ax) (t) = (t* + 1) x' (t) - 2tx (t),
где t£ [0; 1]. Найти A~l.
34. В пространстве С [0, 1] рассмотрим операторы Л и В, определяемые форму
лами
(Ах) (t) = (t + 1) х (t), (Вх) (t) = х (О, t е [0; 1].
Чему равны (АВ)~1 и (ВА)~1?
35. Пусть £ — банахово пространство, А £ 3 (Е) и || / — А || < 1. Доказать,
что оператор Л непрерывно обратим.
Ответы. 1. а) Последовательность (Ап) поточечно сходится к оператору А,
действие которого задается формулой (Ах) (t) — х' (t). Принцип равномерной
ограниченности не применим, ибо Е не является банаховым пространством, 2.
Воспользоваться принципом равномерной ограниченности, 3—7, Воспользоваться
теоремой Банаха—Штейнгауза, 8—12. Воспользоваться следствием 2 теоремы 5. 13.
Воспользоваться следствием 3 теоремы 5, 16. f (х) =l\ х (t) dt\l 1 tdt \ (ji (А) >.
859

>0). 16. f(x) = 2x (0). 17. а) Однозначно, f (x) = x (1); б) неоднозначно,
продолжения ft (x) = x (0) и /2 (x) = — x (*) совпадают с / на L. 21. Да. Доказать,
что ker A = kerB = {0}. 22. Доказать, что Л-1 = — /— В. 23. Пусть (/—.
— ЛВ)—1 = С. Доказать, что (/ — ВА)~1 = / + ВС4. 24. Воспользоваться теоре-
й 7. 28. (Вт'*) (/) = х ("j^?). 30. Да. Из равенства Ах = у получить, что у" —
мои
— у = — 2х. 31. (А~хх) (/) = f sh (/ — x) x (x) dx. 32. а), б) He существует|
о
t t
в) существует. 33. a) (A~lx) (/) = [ e_4('_T)x (x) dx; 6) (A~lx) (/) = f e''-T x (x) di»
о о
г t
в) (Л-1*) (/) = Г е'а-тВ* (т) dr, г) (A~xx) (t) = f .^ + ^ * (x) dx; д) (A"'*) (/) =.
о о
= Г ;+' * (x) л. 34. ((лвг1 *> (о=-4=3^-. ((B^r'*> w=43rf- •
J (т2+1)2 Vt + \ '+1
0
35. Положить В = / — Л и воспользоваться теоремой 13.
§ 3. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ
1. Вполне непрерывные (компактные) операторы в нормированном прост»
ранстве. Линейный оператор А, определенный на линейном нормированном
пространстве Еъ с областью значений, расположенной в линейном нормированном
пространстве Ег, называется вполне непрерывным (или компактным), если он отобрайсает
всякое ограниченное множество пространства Ej_ в компактное множество
пространства £2. В связи с этим определением полезно отметить, что линейный оператор А :
: Е^ -*- Е2 является ограниченным (т. е. непрерывным) тогда и только тогда, когда
он отображает любое ограниченное множество из Ej_ в ограниченное множество в
Е2. Поэтому каждый вполне непрерывный оператор A : Ej_ -*■ Е2 является
непрерывным, т. е. А ё 2 (Б,, Е2). В случае, когда Е2 суть конечномерное пространство,
справедливо и обратное утверждение о том, что каждый оператор А из 2 (Elt £J
является вполне непрерывным. Это следует из того, что каждое ограниченное
множество в Е2 является компактным.
Можно показать, что вполне непрерывный оператор A : Ej_ -*■ Ea отображаот
слабо сходящуюся последовательность (*n)~_i пространства Б^ в сильно сходящуюся
последовательность (Ах^)^=х пространства £2.
Если операторы А, В : Е^ -»■ Е2 вполне непрерывны, то их линейная комбинация
olA + р"В также является вполне непрерывны v оператором. Отметим, что оператор /
тождественного преобразования (единичный оператор) бесконечномерного
нормированного пространства Е не является вполне непрерывным. Это следует из того, что
нормированное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда каждое его
ограниченное множество компактно.
Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий нормированное
пространство Е в себя, и В £ 2 (Е). Тогда операторы АВ и ВА также вполне непрерывны.
Отсюда, в частности, следует, что если пространство Е бесконечномерно, то вполне
«прерывный оператор А : Е -*■ Е не может иметь ограниченного обратного опера-
гора А"1 : Е-*- Е.
Теорема 1. Если последовательность (А^)™^ вполне непрерывных операторов,
отображающих нормированное пространство Ег в банахово пространство Е2,
равномерно сходится к оператору А: Ег-*- Ег, т. е. 11т [| Ап — А | = 0, то А — токаи
п-кп
вполне непрерывный оператор.
360

Приведем некоторые примеры вполне непрерывных операторов. Пусть £х= Е2 =
™ С [а; Ь] и оператор А : С [а; Ь] -»- С [а; Ь] определяется с помощью равенства
Ь
(Ах) (f)=^k (t, s) х (s) d& (tf * = * (t) £ С [a; b]), (1)
a
Где k (t, s) — непрерывная на множестве [a; b] X [a; b] с (R2 функция. Тогда,
согласно критерию компактности Арцела в С [а; Ь] (см. гл. 2, § 1), рассматриваемый
оператор А является вполне непрерывным. Если ^=^2= L2 [а; Ь] и оператор А:
1¾ [а; Ь] -»- L2 [а; Ь] определяется тем же равенством (1), где ядро k (t, s)
принадлежит пространству L% ([а; Ь] X [а; b\, |i'2) (|х2 — мера Лебега на плоскости R2), то он
также вполне непрерывен.
Можно показать, что область значений вполне непрерывного оператора А,
отображающего нормированное пространство E-i в нормированное пространство £2, се-
парабельна.
В случае отображения гильбертова пространства Н в себя вполне непрерывный
оператор может быть аппроксимирован так называемыми конечномерными
операторами. При этом линейный непрерывный оператор В : Н -*■ Н называется
конечномерным (или оператором конечного ранга), если его область значений R (В)
принадлежит конечномерному подпространству и, следовательно, сама является
конечномерным пространством: dim R (В) <с + со. Как отмечалось выше, конечномерный
оператор В : Н -*- Н является вполне непрерывным.
Теорема 2. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда
линейный оператор А : Н -*■ Н является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда
существует последовательность (Ап)^=1 конечномерных операторов, определенных на
Н, равномерно сходящаяся к А.
Введем еще одно важное в функциональном анализе понятие сопряженного
оператора. Пусть A:Ei^rE2'—линейный непрерывный оператор, отображающий
нормированное пространство Ej в нормированное пространство Ег. Тогда
сопряженным оператором оператору А называется такое отображение А* : £2 ~*" Е^
сопряженных пространств, которое действует согласно правилу:
(A*f) (х) = f (Ах) (VftE^ v*e£i). (2)
Равенству (2) можно придать более выразительную форму, если значение ф (х)
функционала ф £ Е* на элементе х £ Е записывать в виде {х, ф). Тогда
сопряженный оператор А* определяется равенством
{х, A*f)=(Ax,'f) (Vf£El,Vx£Ex). (2')
Известно, что если оператор A : £i -»- Ег является линейным непрерывным, то
его сопряженный оператор А* : Е2 -*■ Ех также линейный непрерывный и || А || =
= || А* §. Более того, справедлива такая теорема.
Теорема 3 (Ш а у д е р а). Пусть А £ 2 (Ei, Е2), где Е2 — банахово
пространство. Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда вполне непрерывным
является его сопряженный А*.
Отметим, что, согласно теореме Рисса (см. гл. 2, $ 4, теорему 11) об общем виде
линейного непрерывного функционала, заданного на гильбертовом пространстве Н,
оператор А* : Н -*■ Н, сопряженный к линейному непрерывному оператору А : Н -»-
-*- Н, определяется с помощью равенства
(х, А*у) = (Ах, у) (Vx,y£H),
совпадающего в этом случае с равенством (2'). Отсюда получаем, что оператор А** =
■= (А*)* (второй сопряженный к А) совпадает с А. Нетрудно проверить, что для
фиксированных операторов А, В из пространства 3" (Н) и любых а, р £ (С справедливы
соотношения: (аА + 0£)* = аА* + (5В*, (АВ)* = В*А*.
В гильбертовом пространстве особенно интересными являются те операторы,
которые равны своим сопряженным: А = А*, т. е. так называемые самосопряженные
еператоры. Таким образом, оператор А £ & (Н) называется самосопряженным, если
161

(Ах, у) = (x, Ay) для произвольных элементов х и у гильбертова пространства Н.
Для самосопряженного оператора А : Н -»- Н справедливо равенство || А || =«
= sup | {Ах, х) \.
2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами.
Пусть Е — банахово пространство и оператор А ; Е -*■ Е вполне непрерывен. Тогда
уравнение Ах = у, в котором оператор А и элемент у £ Е считаются заданными,
а элемент х£Е — неизвестным, называется уравнением первого рода. Аналогично
уравнение
х — Ах = и (3)
с заданным оператором Л и элементом # £ Е и неизвестным элементом х £ Е называется
уравнением второго рода. Наряду с уравнением (3) полезно рассмотреть
соответствующее однородное уравнение
г — Аг = 0 (4)
с неизвестным элементом г £ Е, сопряженное уравнение
f — A*f = e. (5)
в котором функционал g £ Е* является заданным, а функционал / £ Е* — искомым,
а также сопряженное однородное уравнение
ф —Л*ф=о (6)
с неизвестным функционалом ф £ Е*.
Теорема 4 (первая теорема Фредгольма). Пусть А — вполне
непрерывный оператор в банаховом пространстве Е, А ; Е-* Е. Следующие
утверждения эквивалентны:
а) уравнение (3) имеет решение при любой правой части у;
б) уравнение (4) имеет только тривиальное решение:
в) уравнение (б) имеет решение при любой правой части g;
г) уравнение (б) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно из условий а) — г), то операторы / — А и / — А* имеют
непрерывные обратные, т. е. (/ — А)~х £ 2 (Е) и (/ — А*)"1 £ S {Е*).
Теорема 5 (вторая теорема Фредгольма). Пусть А — вполне
непрерывный оператор в банаховом пространстве Е, А : Е -*■ Е. Тогда уравнения
(4) и (6) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.
Теорема 6 (третья теорема Фредгольма). Пусть А — вполне
непрерывный оператор в банаховом пространстве Е, А : Е -»■ Е. Для того чтобы
уравнение (3) имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы для
любого решения ф уравнения (6) выполнялось условие (у, ф) = 0.
Таким образом, либо уравнения (3) и (5) разрешимы при любых правых частях
У € Е и g £ Е*, и в этом случае однородные уравнения (4) и (6) имеют лишь нулевые
решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых
решений г5, .... гп; фь ..., ф„, и в этом случае, чтобы уравнение (3) (соответственно (5))
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы {у, ф/) = 0, / = 1, 2, .... п
(соответственно (г/, g) = 0, ; = 1,2, ..., п). Следовательно, для уравнения (3) с вполне
непрерывным оператором А : Е -*• Е возможны только три следующие ситуации:
1) множество ker (/ — А), состоящее из тех х £ Е, что (/ — А) х = 0, содержит
только х = 0; тогда оператор / — А непрерывно обратим и уравнение (3) имеет при
любой правой части у единственное решение х = (/ — А)~' у;
2) множество ker (/ — А) Ф {0}; если (у, ф) ф о хотя бы для одного решения
Ф сопряженного однородного уравнения (6), то (3) решений не имеет;
3) множество ker (/— А) ф {0}; если {у, ф) = 0 для всех решений ф урав-
п
нения (6), то общее решение уравнения (3) имеет вид х = х0 + £] a zft, где
*=1
х0 — частное решение (3), {zft}£=i ~ базнс подпространства решений уравнения
(4), an — размерность этого подпространства.
Уравнения типа (3) — (6) в том случае, когда А — интегральный- оператор (1)
с непрерывным ядром, изучались в начале XX ст. И. Фредгольмом в связи с
краевыми задачами для уравнения Лапласа, и они называются интегральными уравнениями
362

Фредгольма второго рода (более детально о них см. в § 4). Теоремы 4—б являются
обобщением теорем Фредгольма (так называемых альтернатив Фредгольма) из
теории интегральных уравнений. Они получены Ф. Риссом и Ю. Шаудером.
Пусть X, Y — банаховы пространства (оба вещественные или оба комплексные),
А : X -»- Y — линейный оператор и A* : Y* ->- X* — сопряженный к А оператор.
Пусть ker А = {х £ X : Ах = 0} — ядро оператора A, a R (А) — область значений Л.
Оператор А называется нормально разрешимым, если для разрешимости
уравнения Ах = у необходимо и достаточно, чтобы (у, ф) = 0 для любого решения ф
уравнения А*<$ = 0.
Нормально разрешимый оператор А называется нетеровым, если многообразия
ker А и ker А* конечномерны. При этом число п= dim ker А называется числом
нулей оператора А, число т= dim ker А* —дефектным числом оператора А, а
число X = п — т — индексом оператора А.
Нетеров оператор А нулевого индекса называется фредгольмовым оператором.
Из теорем 4—6 следует, что оператор Т = 1 ■■— А, где А — компактный оператор,
является фредгольмовым.
3. Собственные значения и собственные векторы вполн; непрерывных
операторов. Пусть вначале X — линейное пространство к А — линейный оператор,
действующий в X, с областью определения Ш (А). Число X называется собственным значением
оператора А, если существует вектор х Ф 0, х £ Ш (А) такой, что Ах = Хх При этом
вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному
значениюX. Линейная оболочка всех собственных'векторов оператора Л, отвечающих
собственному значению X, называется собственным подпространством оператора А,
отвечающим X. Отметим, что если X = Е является нормированным пространством и
А : Е -*■ Е — линейный непрерывный оператор, то собственное подпространство
оператора А, отвечающее собственному значению X, замкнуто в Е.
Теорема 7. Пусть Е — банахово пространство и А : Е -*■ Е — вполне
непрерывный оператор. Тогда собственное подпространство оператора А, отвечающее
нулевому собственному значению X, конечномерно.
Отметим, что в бесконечномерном пространстве Е собственное подпространство,
соответствующее нулевому собственному значению, может быть бесконечномерным.
Теорема 8. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово
пространство Е в себя. Тогда для каждого г > 0 вне круга j X | ^ е комплексной
плоскости, если Е — комплексное пространство, или вне отрезка j X | ^ ? вещественной
ecu, если Е — действительное пространство, может содержаться лишь конечное
число собственных значений оператора А.
Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного
самосопряженного оператора А, отображающего гильбертово пространство Н в себя, обладают
рядом дополнительных и важных свойств. В частности, все собственные значения
вещественны, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,
ортогональны. Кроме того, если А Ф 0, то оператор А имеет по крайней мере одно
собственное значение, отличное от нуля.
Теорема 9. Все собственные значения самосопряженного вполне непрерывного
оператора А, А : Н -»- Н, расположены на отрезке [т, М] числовой оси, где т =
= inf (Ах, х) и М = sup (Ах, х) Если М ф 0, то М является наибольшим собствен-
11*11=1 , 11*11=1
ным значением А, а если т Ф 0, то т — наименьшее собственное значение А.
Из теоремы 9 следует, что для данного оператора А его норма || А \\ совпадает с
числом | ХЛ |, где X-j — наибольшее по модулю собственное значение А.
[ " Теорема 10 (Гильберта — Шмидта). Пусть А — самосопряженный
вполне непрерывный оператор, отображающий сепарабельное гильбертово
пространство Н в себя. Тогда в Н существует полная ортонормированная система собственных
векторов оператора А.
Рассмотрим разложения в ряд Фурье элементов х £ Н по собственным векторам
самосопряженного вполне непрерывного оператора А £ 2 (Н). Для этого пусть
(e*}fcLi — собственные векторы оператора А, отвечающие ненулевым
собственным значениям {a*}£Li , т. е. /4¾ = Xtfk, й € N • Нумерацию собственных значений
проведем в порядке убывания их модулей. Условимся при этом снабжать каждое
собственное значение столькими последовательными номерами, какова размерность
соответствующего собственного подпространства. Можно считать, что векторы elt et, ...
36»

~,„ «й, ... взаимно ортогональны и нормированы. Рассмотрим также собственное
подпространство ker А оператора А, отвечающее нулевому собственному значению, т. е.
ядро оператора А. Поскольку ker А также сепарабельно, то в нем можно построить
ортонормированный базис {ек}^=1. Тогда каждый вектор х £ Н допускает следующее
разложение по базису {ek}^i U {e*}*Li :
оо оо
* -» Е (*. e'k) ek + Е (*. et) ек,
й=1 *=i
где одна или обе суммы могут быть и конечными. Из этого разложения следует, чтв
оо
4=1
Отметим, что lim X. = 0.
А-оо *
4. Резольвентное множество и спектр линейного оператора. Пусть Е —
комплексное банахово пространство. Рассмотрим линейный оператор А $ областью
определения & (А), плотной в Е, и множеством значений R (А) с Е.
Определение 1. Комплексное число\(точка комплексной плоскости) называется
регулярной точкой оператора А, если оператор А — XI имеет обратный оператор
(А —Х1)~', являющийся линейным непрерывным оператором, заданным на Е.
Совокупность всех регулярных точек оператора А называется резольвентным множеством
оператора А и обозначается р (А). Если X (Е р (А), то оператор R^ (А) = (А — XI)
из 2 (Е) называется резольвентой оператора А.
Можно доказать, что резольвентное множество р (А) в комплексной плоскости
всегда открыто. Кроме того, если А (Е 2 (Е), то {X (Е С ; | X | > || А Ц} ср (А).
Поэтому у каждого ограниченного оператора А резольвентное множество неограничено.
Определение 2. Дополнение к р (А) (в комплексной плоскости) называется
спектром линейного оператора А : Я (А) -> Е и обозначается через а (А), т. е. а (А) —
= С \ Р (А).
Via приведенных выше свойств резольвентного множества следует, что спектр
а (А) любого линейного оператора А является замкнутым множеством. Если А £
€ 2 (Е), то его спектр а (А) лежит в круге | X | <; \\ А || и, следовательно, является
ограниченным множеством.
Для точек X спектра линейного оператора А возможны следующие три случая:
1) оператор А — XI не обратим, т. е. не инъективен;
2) оператор А — XI обратим, но его область значений R (А — XI) не совпадает
с Е;
- 3) оператор А — XI обратим, R (А — XI) = Е, но оператор А — XI неограничен.
Oi'MeinM, что если оператор А является линейным непрерывным и Я (А) = ЕУ
то, согласно теореме Банаха об обратном операторе (см. § 2), случай 3) невозможен.
Ёслн X — собственное значение оператора А, то справедлив первый случай: операто>
А — XI не обратим. Следовательно, если оператор А : Е -*■ Е — линейный и
непрерывный, то его точки спектра (т. е. X £ а (А)) таковы, что:
1) или оператор А — XI не обратим, т. е. X является собственным значением
оператора А;
2) нли оператор А — XI обратим, но R, (А — XI) Ф Е.
Во втором случае для точки X (Е а (А) имеются две возможности:
2а) оператор А — XI обратим, замыкание R (А — XI) = Е, но R (А — XI) ф Я.
Тогда эта точка X называется точкой непрерывного спектра оператора А. Множество
веек точек непрерывного спектра оператора А обозначается через ос (А);
26) оператор А — XI обратим, но R (А — XI) Ф Е. Тогда точка X называется
точкой остаточного спектра оператора А. Множество всех точек остаточного спектр»
оператора А обозначается через ог (А).
Точечным спектром ор (А) оператора А называется совокупность всех его
собственных значений.
Таким образом, спектр о (А) линейного непрерывного оператора А : Е -*■ Е
состоит из тпел взаимно исключающих частей: точечного спектра ар (А), непрерывного
264

спектра ас (А) и остаточного спектра о> (А), т. е. a (A) = ар (A) (J ое (А) Ц
U °V (А).
Теорема 11. Пусть А £ 2(E), где Е— комплексное банахово пространства.
Тогда существует конечный предел ra(A) = lim V \\Ап\\ и справедливо соотношенш
п-ьоа
Ш VW\\ = ra(A) < \\А ||.
Число га (А) для Ad 2 (Е) называется спектральным радиусом оператора А.
Если воспользоваться признаком Коши сходимости числового ряда, то из
теоремы 11 следует, что если га (А) < 1, то оператор / — А имеет непрерывный обратный
оо оо
оператор (/ — A)~l = J] Ак, принадлежащий 2 (Е), и ряд ^ Ак сходится по
оо
норме пространства 2 (Е). Если же га (А)> 1, то ряд J] Л* расходится.
Теорема 12. Пусть А £ 2 (Е), где Е — комплексное банахово пространство.
Тогда, если | X | > га (А), то X 6 р (А), т. е. спектр а (А) оператора А содержится
в круге |M<f„ (А).
Рассмотрим случай самосопряженного оператора А, отображающего
гильбертово пространство Н в себя.
Теорема 13. Для того чтобы точка X была регулярной точкой самосопряженного
оператора А : Н -»■ Н, необходимо и достаточно существования такой
положительной постоянной с, что для любого х 6 Н |] Ах — Хх || ^ с || х Ц.
Отсюда следует, что X £ а (А) тогда и только тогда, когда существует такая
последовательность (хп)^=={ точек из Н,
|| А*„ — Ajf„ || ^ с„|| *„ К, limc„ = 0. (7)
rt-*oo
В (7) можно считать, что ] хп || = 1 для всех л 6 N • Поэтому X g а (Л) тогда н только
тогда, когда существует последовательность (*n)£Li точек из Н, нормы которых
равны единице, что
Hm|Aell-Xatn| = 0, (8)
л-*оо
I. е. элементы хп при больших п являются «приближенными собственными
векторами», соответствующими значению X.
Теорема 14. Спектр самосопряженного оператора А лежит целиком на отрезки
frn; М] вещественной оси, где т = inf (Ах, х), М = sup (Ах, х). Кроме того, числа
МЫ 11*11=1
т и М всегда являются точками спектра оператора А.
Следовательно, каждый самосопряженный оператор имеет непустой спектр •.
Из условия (8) следует, что каждая отличная от нуля точка спектра
самосопряженного вполне непрерывного оператора есть его собственное значение.
Можно доказать, что для самосопряженного оператора А : Н -*■ Н теорема 1'1
уточняется, а именно: спектральный радиус га (А) равен || А ||, т. е. справедливо
равенство
ra(A) = \lm V\\An || = || А ||.
Г1-ЮО
5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. В^этом пункте
Рассматриваются линейные непрерывные операторы, заданные на комплексном гиль-
8ртовсм пространстве Н. Линейный оператор U : Н -> Н называется унитарным,
если он отображает Н на все Н с сохранением нормы, т. е. || Ux Ц = || х || для
каждого х 6 Н. Из определения следует, что U является непрерывным оператором с
* В теории нормированных колец доказывается непустота спектра любого
непрерывного оператора, определенного в произвольном банаховом пространстве
46»

нормой || (/ (I = 1 и он взаимно однозначно отображает Н на Н. Поэтому существует
вбратный оператор U~\ который также унитарен. Унитарные операторы
характеризуются тем условием, что U* ~ U~x. Два линейных оператора А и В, отображающие
Н в Н, называются унитарно эквивалентными (или подобными), если существует
такой унитарный оператор U : Н -»■ Н, что BU= UA. Ясно, что нормы унитарно
эквивалентных операторов равны.
Пусть L — подпространство гильбертова пространства Н, т. е. L — замкнутое
линейное многообразие. Тогда (см. гл. 2, § 4) каждый вектор х g Н однозначно
представим в виде х = у -I; z, где у (■ L, а г j_ L. Полагая Рх = у, получим некоторый
оператор, определенный на Н, область значений которого есть подпространство L.
Этот оператор называется проекционным оператором или оператором
ортогонального проектирования на подпространство L и обозначается также через PL. Нетрудно
доказать, что оператор Р есть самосопряженный оператор с нормой, равной единице,
и удовлетворяет условию Я2 = Я. Верно и обратное утверждение, а именно: всякий
самосопряженный оператор Я, удовлетворяющий условию Я2 = Я, есть оператор
ортогонального проектирования на подпространство L, состоящее из тех и только
тех точек х£ Н, для которых Рх ~ к.
Два проекционных оператора Рг и Я2 называются ортогональными, если Р\Рг =
= 0, или, что равносильно, если P%Pi = 0 Для того чтобы проекционные операторы
были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы были ортогональными
соответствующие подпространства Сц и Lg. Сумма двух проекционных операторов PL и
PL является проекционным оператором тогда и только тогда, когда PL и PL
ортогональны, если это условие выполнено, то РL + РL '= ЯL ,L , где Ц + L^ —
врямая (ортогональная) сумма подпространств Lt и L2.
Для того чтобы произведение двух проекционных операторов ЯL и ЯL было
проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они были
перестановочными, т. е чтобы РL PL — Pj РL ; если это условие выполнено, то РL РL =
Проекционный оператор Р2 называется частью проекционного оператора Plt если
РХЯ2 = Я2 Иными словами, оператор РL является частью оператора РL тогда и
только тогда, когда подпространство L2 есть часть подпространства L,. Можно
доказать, что проекционный оператор РL является частью проекционного оператора
PL тогда и только тогда, когда для всех х£ Н выполняется неравенство |/ PL х || <:
Разность Я'L — PL двух проекционных операторов есть проекционный опера-
юр тогда и только тогда, когда PL есть часть ЯL . Если это условие выполнено, то
PL — PL есть оператор ортогонального проектирования на подпространство,
являющееся ортогональным дополнением К Lt в Lx,
Самосопряженный оператор А : Н -*■ Н называется положительным, если он
егличен от нулевого и (Ах, х) > 0 для любого х£ Н. Говорят, что самосопряженный
оператор /4i:H->H больше самосопряженного оператора В (обозначают А > В),
если их разность А — В является положительным оператором, т. е. если А Ф В и
(Ах, х) > (Вх, х) для любого *6 Н. Неравенство А ^ В означает, что или А > В,
или /4 = S. Таким образом, /1 > В, если А и В — самосопряженные операторы,
заданные на Н, и (Ах, х) ;> (#*, х) для каждого х 6 Н.
Очевидно, операторы АА* и ЛМ положительны для любого линейного
непрерывного оператора А : Н -»■ Н, отличного от нулевого. В частности, для
самосопряженного оператора А, А =?= О, его квадрат А% всегда положителен.
Самосопряженный оператор В : Н -»■ Н называется квадратным корнем из
положительного оператора А : Н -> Н, если Вг = А.
Теорема 13. Существует единственный положительный квадратный корень
В из любого положительного оператора А, перестановочный со всяким оператором,
коммутирующим с А.
Теорема 16. Каждый самосопряженный оператор А : Н ->■ Н порождает
семейство {£jj проекционных операторов, зависящих от вещественного переменного к
{т. » У g R) и удовлетворяющих условиям:
К £, < £д, если %<\i;
(66

2) семейство {£)J сильно непрерывно слева, т. е. в каждой точке X € R имеем
lim || Е^_гх — Е%х || = 0 для х в Н;
е->+0
3) Е^ = О для каждого Х^.т и Е^ = I для каждого X >• М, где т = inf (Ах
х), 7И == sup (Ах, х);
114=1
4) из /IS = ВЛ следует {Е\В = В£л) для любого Xf R.
Семейство {£^}, Xf R, называется разложением единицы, порожденным самое»
пряженным оператором А или спектральной функцией оператора А
С помощью спектральной функции (£\), XgR, самосопряженного оператора
А можно построить интеграл. Пусть е—любое полржительнос число, т = Ха <
< Xi < ••• <Хп = М -\- е— произвольное разбиение полуинтервала [т, М -\- г) и
б= max (Xk,,-^X.). На каждом полуинтервале Д = [X • Xk,,) выберем от-
O^fe^rt—1 ' "■ s '
меченную точку v и положим £ (Д ) = £} — £^ , 6 = 0, 1, . , п — 1. Рас-
смотрим интегральную сумму а, построенную для функции / (X) = X, Х£ [т; Ai-J-
+ е), данного разбиения и о*меченных точек:
fe=0
Если существует предел lim а (в смысле равномерной сходимости в пространстве
операторов 2! (Н)), не зависящий от разбиения промежутка [т; М + 8) и выбора
отмеченных точек, то его называют интегралом от функции f /го семейству {EjJ,
М+Ё М+Е
X g R, и обозначают I Хй£^. Таким образом, 1 Xd£x есть такой самосоиряжен-
т т.
ный оператор в Н, что
м+« п-\ II
МЕХ-Е vfe£(Afe) =0.
lim
6-*o
£=0
Теорема 17 (спектральное разложение самосопряжен
ного оператора). Пусть А — самосопряженный оператор, определенный на
гильбертовом пространстве Н, и {£^}> XgR,— его спектральная функция. Тогда
справедливо равенство
- М+г
А= \ ЫЕ%, (9)
т
где е — любое положительное число. Кроме того, перечисленные в теореме 16 свойства
1) — 4) и представление (9) оператора А однозначно определяют спектральное
семейство {£д}, Xg R, по оператору А.
Из спектрального разложения (9) оператора А следует, что для каждою х £ Н
справедливы равенства:
М+е „_!
1) Ах= \ M£,* = liniV v.£(A.)*;
2) (Ax, *)= f Xd (£,*,*) = lim V v. (£(Д.)*, ж)
°й=0
m
Спектральное разложение оператора позволяет ввести функцию от оператора.
Пусть А £ 2 (Н) — самосопряженный оператор и {£^}, XfR,— его разложение
единицы. Рассмотрим вначале комплекснозначную ступенчатую на отрезке [т; Ml
функцию у= &" (X). Напомним, что W называется ступенчатой, если отрезок \т\
М] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция'
367

Ж постоянна. Если Х0 — точка разрыва функции £", то условимся считать, что Ж (Х,)™
в Ж (Х0 + 0). Продолжим Ж на [т; М + е), считая Ж (X) = £" (Af) для X £ (Af; Л1 +
+ «у. Рассмотрим разбиение промежутка (m; Af + в) с помощью непересекающихся
■влуинтервалов А^ = [\к\ цк), k = 0, 1, ..., л — 1, на каждом из которых функция
9 постоянна, причем Ж (%k) = v*. Тогда положим
м+е п-1
\ Ж(Х)с1Ех = ^ v£(A4),
ОН £ (Дй) = £^ —£^ k= 0, 1, ..., я— 1. Легко видеть, 4¾) справедливо р*>
вство
5г (X) <*£„ = £ v £ (Дй).
*=0
m
■Я* Д* — любые частичные полуинтервалы, на которых Ж (X) постояниа и которые ■
•вьединении дают [т; М + г). Оператор \ Ж (X) d£x обозначим через Ж (А) и назо-
т
•ем функцией от оператора А, соответствующей ступенчатой функции Ж (X)
вещественной переменной X.
Таким образом, построено соответствие между ступен'ы'-,'ми функциями
вещественной переменной и функциями оператора А. Напри , характеристической
функции Хд (X) полуинтервала Д с [т; Af] соответствует оператор Е (Д).
Это соответствие обладает следующими свойствами:
1) если Ж (X) = аЖг (X) -г1 §Жг (X). X £ [т; М), тоЖ (А) = аЖ1 (А) + $Ж% (А)
4«виейность соответствия);
2) если Ж (X) = Ж1 (X) 5^2 (X), X £ [m; Af], то Ж (А) = ^ (/1) ^ (/1) (мулыги-
мвкативность соответствия);
3) ^" (/4) = [Ж (А)]*, где черта над функцией означает переход к комплексно-со-
«ряженной функции;
4) IIЖ {А) || < max \Ж(Х)\;
5) если В — произвольный линейный непрерывный оператор и АВ ■= ВА, то
#-(Л)В= ВЖ (А).
Распространим соответствие между ступенчатыми функциями Ж и операторами
Ж (4) на более широкий класс функций. Пусть Ж (X) — произвольная комплексио-
яачная непрерывная на [т; Af] функция. Продолжим ее на полуинтервал [т; Af -f-
-|- е), полагая Ж (X) = Ж (Af) для Xf iM; Af + в). Тогда существует
последовательность (^"n (^))"=i ступенчатых функций, равномерно сходящаяся на [т; 7И + е) К
функции Ж (X). Из свойства 4) имеем
\\Жп(А)-Жк(А)\\< max | Жа (X) —У* (X) | -*0
■ри /t, fe-»-oo. Следовательно, последовательность (Жп (А))™=1 операторов
нормированного пространства & (Н) фундаментальна. В силу полноты & (Н) существует га-
xoi оператор С, что С= lim ^"„ (/4). Положим (по определению)
П-»ой
iW+8
J ^(X)d£^ = C,
m
M+e M+e
\ Г (X) dE% = lim f #■„ (X) <*£,.
J " n-»oo J ™
m /n
188

M+e
Интеграл \ & (X) dE^ называется функцией от оператора А, соответствую-
т
щей непрерывной функции^" (X), X 6 [т; М], и обозначается через &" (А). Можно
проверить, что определение & (А) не зависит от выбора последовательности (^"„ (Х))™1
«тупенчатых функций, равномерно сходящейся к &" (X) на [т; М], и что свойства 1)—
5) сохраняются и для случая непрерывных функций. В частности,
М+г
Ап = [ XndE% (п = 0, 1, .. .).
т
Теорема 18. Пусть А : Н -*- Н — самосопряженный оператор. Для того чтобы
для данного Х0 £ С существовала резольвента R^ = (/4 — \>1)~ , достаточно
выполнения одного из следующих условий:
1) Х0 не вещественно;
2) Х0 лежит вне отрезка [т; М];
3) еслиХ0 g [т; М], то существует полуинтервал [а; f$), а < Х0 < f$, внутри
которого Е% постоянно.
м+е
Во всех этих случаях i?^ = \ — — .
0 J X — Ло
т
Верно также, что если для вещественного Х0 существует R* , то Х0 лежит внутри
■екоторого полуинтервала [a; f$), Х0 Ф а, в котором £^ постоянно.
В терминах спектрального семейства {Ех), XgR, самосопряженного
оператора А можно охарактеризовать и собственные значения А.
Теорема 19. Для того чтобы число Х„ было собственным значением
самосопряженного оператора А : Н ->■ Н, необходимо и достаточно, чтобы Хл было точкой
разрыва для Ех.
6. Неограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве. Выше мы
рассматривали ограниченные линейные операторы, определенные на всем
пространстве Н. Однако многие важные в приложениях задачи приводят к изучению операторов,
не удовлетворяющих этим условиям. Таковым является, например, оператор
дифференцирования A = -J—, определенный лишь на всюду плотном множестве в
L2 [—it; it] абсолютно непрерывных на [—it; it] функций, имеющих производную,
интегрируемую с квадратом на этом отрезке. Он неограничен, поскольку для
последовательности функций хп (t) — sin nt, t £ [—it; it], имеем Ц Ax„ | = n || xn || для
каждого n 6 N .
Если линейный оператор А определен на всюду плотном множестве S (Л) с Н
■и непрерывен на нем, то его можно однозначно продолжить по непрерывности на все
пространство Н, т. е. А будет линейным и непрерывным оператором на Н. Поэтому
в втом пункте будем рассматривать линейные операторы, определенные на всюду
плотном множестве и не являющиеся ограниченными.
Пусть А — линейный оператор, определенный на линейном многообразии £8 (А),
всюду плотном в комплексном гильбертовом пространстве Н, со значениями в Н.
Множество i& (А) называется областью определения оператора А, а множество
R (А) = А (@) (А)) — множеством значений А. Два оператора А и В считаются
равными, если В (А) = й) (В) и Ах = £ж-для каждого х £ & (А). Если @ (А) а В (В) и
Ах = Вх для любого х g & (/4), то говорят, что оператор А является сужением
оператора В, я В — расширением А. В этом случае будем писать А с В.
Суммой двух операторов А и В называется такой оператор A + В, определенный
ва линейном многообразии L = S (А) f) SS (В), что (А + В) х = Ах + Вх (V х £ L).
Не исключено, что многообразие L может состоять только из нулевого элемента, и
тогда сумма А + В будет тривиальной.
Пусть в i& (/4) существует такое подмножество &, что Ах 6 й) (В) для каждого
х£®. Тогда на @) определено произведение (ВА) х — В (Ах). Аналогично
определяется н произведение АВ.
369

£сли оператор А взаимно однозначно отображает @ (А) на R (А), то существует
обратный оператор А с областью определения R (А) и областью значений @) (А).
Может случиться, что R (А) = Н и что обратный оператор Л-1 будет ограниченным,
даже если А — неограниченный линейный оператор. Может быть и наоборот:
ограниченный линейный оператор А имеет неограниченный обратный (см. § 2).
Пусть А — линейный оператор, определенный на линейном многообразии @> (А),
всюду плотном в гильбертовом пространстве Н. Рассмотрим для данного у £ Н
функционал (Ах, у), х£й> (А). Возможно, что 'для этого функционала существует такой
элемент у* £ Н, что
(Ах, у) = (х, у*) (VxZ&{A)). (10)
Например, для у = 0 соотношение (10) выполняется при у* — 0. Отметим, что если
для у £ Н найдется у* £ Н, что справедливо равенство (10), то такой элемент у*
единственный. Это следует из того, что Й> (А) = Н. Таким образом, имеем соответствие,
которое некоторым элементам у £ Н сопоставляет элементы у* так, что выполняется
(10). Это соответствие называется сопряженным оператором к /4 и обозначается через
А*. Следовательно, область определения & (А*) оператора А* состоит из тех и только
тех у 6 Н, для которых существует у* £ Н такое, что выполняется равенство (10).
При этом полагаем А*у = у*, у£@)(А*). Очевидно, что множество й> (А*)
является линейным многообразием и А* — линейный оператор. Заметим, что область
определения @) (А*) оператора А* всегда не пуста — она заведомо содержит нулевой
элемент. Таким образом, равенство (10) можно записать с помощью оператора А* в
следующем виде:
(Ах, у) = (х, А*у) (Vx£0(A),Vyt &(А*)).
Линейный оператор А называется самосопряженным, если А = А*.
Нетрудно проверить, что если A cz В, то В* cz А*. Можно доказать, что (кА)* =
= ХА*, (А + В)* zz, А* + В*, (АВ)* zz, В*А*.
Линейный оператор А, определенный на @> (А), называется симметрическим,
если для любых х, у £ Й> (А) выполняется равенство (Ах, у) = (х, Лу). Для случая
ограниченных операторов понятие симметричности оператора совпадает с понятием
самосопряженности. Для неограниченных операторов это разные понятия. Из
определения сопряженных и симметрических операторов следует, что A* zz> А, т. е.
для симметрического оператора сопряженный с ним оператор является
расширением А. '
Можно доказать, что если оператор А существует и имеет, так же как и опера-
юр А, всюду плотную область определения, то (А*) существует и равен (A~i)*.
Для неограниченного линейного оператора А из того, что litn хп = x0 и все хп g
П-+оо
£ Й> (А), соотношение lim Ахп = Ах„ вытекает не всегда. Однако некоторые ие-
ограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти
заменяющим свойство непрерывности.
Пусть А — линейный оператор с областью определения @) (А), всюду плотной
в Н. Если из того, что последовательность (хп)^_^ точек области @> (А) сходится к
точке Хд £ Н, а последовательность (Axn)^=zi сходится к точке ул £ Н, следует, что
*о £ @ М и Уо = Axq, то оператор А называется замкнутым. Примером замкнутого
оператора может служить оператор, сопряженный с произвольным линейным
оператором. Очевидно, что всякий непрерывный и, в частности, всякий линейный
ограниченный операторы являются замкнутыми.
Теорема 20 (о замкнутом графике). Всякий замкнутый линейный
оператор, определенный на всем пространстве Н, является ограниченным.
Говорят, что оператор А допускает замыкание, если существует замкнутый
оператор В, являющийся расширением А (т. е. В zd А). Предположим, что оператор
А допускает замыкание. Тогда можно доказать, что среди всех его замкнутых
расширений имеется минимальное замкнутое расширение А (т. е. такое, которое содержится
во всяком другом замкнутом расширении А). Минимальное замкнутое расширение А
называется замыканием А и обозначается А. Минимальное замкнутое расширение
370

единственно. Отметим также, что всякий симметрический оператор А допускает
замыкание, поскольку А а А* и поэтому существует его замыкание А.
j Теорема 21. Оператор А** существует (т. е. @) (А*) всюду плотня в Н) тогда
и только тогда, когда определенный на всюду плотном множестве оператор А
допускает замыкание. В этом случае А** = А.
Пусть А — неограниченный самосопряженный оператор, определенный на
линейном многообразии @) (А), всюду плотном в Н. Тогда оператор А порождает
семейство {Ех), X £ R, проекционных операторов, удовлетворяющих условиям:
1) £^ < £^, если Л< |х;
2) семейство {£jj сильно непрерывно слева в каждой точке X £ R,
3) litn £^ = 0, litn Е^ = I (пределы здесь понимаются в смысле сильной
>,->—оо А.-».-}-оо
сходимости);
4) для любого оператора В 6 5? (Н) такого, что В (@) {А)) а @ (А) и В А ■? АВ,
имеем ВЕхх = ЕхВх (V х £ @ (А)),
5) для всех х £ @) (А) и всех у £ Н
(Ах, у) = j %d (Ехх, у),
где справа стоит несобственный интеграл Стилтьеса.
Свойствами 1)—5) семейство {£jj, ^6 К, определяется однозначно.
Семейство {£jj, ^€К, называется разложением единицы, порожденным
оператором А, или спектральной функцией оператора А. Вектор х принадлежит й> (А)
+°°
тогда и только тогда, когда сходится интеграл I X2d (Е^х, х). В этом случав
—оо
+во Ь
Ах = 1 XdEjX, причем интеграл понимается как предел в Н интеграла \ \dE^x
—оо а
при а-*-—оо и u-»--f-оо. Если х£@(А), то
iAxf= j Wd(EKx, х).
—оо
В приложениях встречаются также полуограниченные снизу самосопряженные
операторы Так называется самосопряженный оператор А, для которого
существует постоянная т такая, что для всех х £ @) (А) выполняется неравенство (Ах, х) :>
^ т (х, х.) Спектр такого оператора расположен на полуоси [т; +оо)> а формула
спектрального разложения имеет вид
+оо
Ах = \ ЫЕкх (Чх£&(А)).
т
Аналогичные определения и формула справедливы также для
полуограниченного сверху самосопряженного оператора. А именно, самосопряженный оператор
А, Д1Я которого существует постоянная М такая, что для всех х £ Й> (А) выполняется
неравенство (Ах, х) ^ М (х, х), называется полуограниченным сверху. Формула
спектрального разложения имеет вид
М+е
Ах= ^ ЫЕхх (Vx£&(A)),
—00
где е — положительное число.
Более детально рассмотренный здесь материал изложен в [16; 20; 26; 27; 30; 40].
371

Примеры решения задач
1. Пусть k (t, s) — непрерывная функция на квадрате Р -* [а; Ь] X
X [а; Ь], функции фх (f), ..., фт(0 непрерывны на отрезке la; Ь], Л
точки tx ^принадлежат отрезку [а; Ь]. Доказать, что «нагружен*
ный» интегральный оператор
J? т
(Ах) (0 - J A (t, s) х (s) ds + Е ф4 (f) х (4)
является вполне непрерывным, отображающим пространство С [а; Ы
в С [а; Ь].
Решение. Очевидно, что оператор А линеен, и согласно условиям
непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, он
отображает С [а; Ь] в С [а; Ь] непрерывно. Поскольку сумма вполне
непрерывных операторов является вполне непрерывным оператором,
то достаточно доказать компактность следующих операторов,
отображающих С [а; Ь] в С [а\ Ь\:
ь
(Вх) (i) <= J k (t, s) x (s) ds, (Cx) (f) = Ф (t) x (t0),
a
где Ф — некоторая непрерывная функция на отрезке [a; b], a ta —
фиксированная точка промежутка [а; Ь\.
Компактность интегрального оператора докажем так. Пусть мно-
жество М с С [а; Ь] является ограниченным, т. е. существует такое
положительное число /?, что || л || = max | х (f) | ^ R для всех функ-
ций X = х (t) из М. Тогда множество В (М) — образ множества М при
отображении В — также ограничено. Действительно, непрерывная на
Р функция k (t, s) ограничена, т. е. существует такое число L ^ О,
что max | k (t, s) | ^. L. Поэтому для произвольной функции х =»
= х (t) 6 М справедлива оценка
ь
|| Вх К max \lk(t,s)\lx (s) \ds^RL(b — a),
из которой следует ограниченность множества В(М). Покажем, что
множество В (М) равностепенно непрерывно. Для этого рассмотрим
произвольное положительное число е. Непрерывная на Р функция
k(t,s) по теореме Кантора является равномерно непрерывной.
Поэтому для рассматриваемого е>0 существует такое 6>0, что если
(Г,*)£Р, (Г,*)£Р и |f-**|<6, |s'-s"|<6, то \k(t',s') —
— k (f, 8") | < fl ,b _ a) • Отсюда следует, что как только \t'— f |<t
<в, то \k(t',s)—k(f, s)\< R{bB_a) для всех s£[a; b]. Тогда дл»
произвольной функции х = х (t) 6 М
ь
| (Вх) (f) - (Вх) (f) | < J | k (t\ s) - k (f, s)\\x(s)\ds<
a
< Цф-а) -fl(fc-e) = " (V/'.ГеГа; b]:\f-f\<fc
«72

Таким образом, для каждого е > 0 мы нашли такое б > 0, что
•ели Г, t" б [а; Ь] и \Г — f | < б, то
| (Вх) (f) - (Вх) (О | < е (V х € М),
т. е. множество В (М) равностепенно непрерывно, и, следовательно»
по теореме Арцела оно компактно. Поэтому оператор В вполне
непрерывен.
Докажем компактность оператора С, Поскольку для введенного»
выше ограниченного множества М cz СИа; Ь] очевидно, что
ЦС*Ц = max | q> (Q * (¾ К Я max |q>(f)| .(V*€Af),
то множество С (M) ограничено. Семейство функций С (М) также
равностепенно непрерывно. Действительно, для произвольного е > О,
поскольку функция ф непрерывна на 1а; Ъ\, найдется такое б > О,,
что лишь только | f — Г | < б (f, f б \а\ Ь\), то | ф (Г) — ф (Г) J<
•< -к- • Тогда для этих f и f имеем
|(С*)(П-(С*)(01 = |Ф(П-Ф(01 - I * Со) / <-J" - /? = е (V*€Af),
что и требовалось доказать. Поэтому С (М) компактно и,
следовательно, оператор С также вполне непрерывен.
Отметим, что поскольку множество значений оператора С
одномерно, то С является конечномерным оператором, а поэтому и вполне
непрерывным.
2. Является ли вполне непрерывным оператор А : С [0; 1] -*■ С [Of-
1], если:
а)(Л*)(Нт#^:
о
б) (Ax)(t)=x(V~t)\
в) (Ах) (i) = J х (s2) ds?
о
Будет ли этот оператор вполне непрерывным, если его
рассматривать как отображение пространства L2 [0; 1] в себя?
Решение, а) Оператор А : С [0; 1]-> С [0; 1], определейныи *
помощью равенства
0
не является заданным на всем пространстве СЮ; 1]. Действительно».
Г ds
если рассмотреть функцию х(t),= 1, *£[0; 1], то \ [/_si~ расхо-
о
дится. Поэтому оператор А не является ограниченным и,
следовательно, он не компактен. По той же причине А не является
компактным оператором и как отображение из La [0; 1] в La [0; 1].
37»

б) Заданный оператор А : С [0; 1]->С[0; 1] линеен и
непрерывен, а || А || = 1. Покажем, однако, что он не является вполне
непрерывным оцератором. Для этого рассмотрим ограниченное множество
М = (sin nt)%=i непрерывных на [0; 1] функций. Покажем, что
множество А (М) = (sin п Vf)%=i, O^t^. 1, не компактно Пусть,
наоборот, совокупность А (М) является компактным множеством.
Тогда по теореме Арцела она равностепенно непрерывна, т. е для каждого
е > 0 существует такое б > 0, что если только \ t' — t" |< б (f,
t"el0; 11), то
\ sin nVt7 — sinnj/?|<e (Vn£W)-
В частности, это утверждение верно для e = sinl<;0. Тогда,
■если положить f =, 0, a f = —j для таких номеров п, что -»-< б,
tl ft
получаем противоречие
sin 1 = | sin пУТ — sin nVt" \ <sin 1.
Следовательно, множество А (М) не является компактным и
поэтому оператор А не вполне непрерывен.
Рассмотрим оператор А как отображение пространства L2 [0; 1]
в себя. Тогда для произвольной функции х = х (t) из L2 [0; 1] имеем
1 ' 1
\\Axf= [\x(Vl)\2dt= l\x(t)\22tdx^2\\x\\2.
о о
Из этого неравенства следует, что А действительно отображает L2 [0;" 1]
в себя, причем он непрерывен и линеен. Докажем, что оператор
A : L2 [0; 1] -*- L2 [0; 1] не является вполне непрерывным. Для этого
рассмотрим ограниченное в L2 [0; 1] множество М функций xn (t) =
= sin nnt2, teiO; U2, ле№-
Покажем, что множество {(Axn) (t) = sin tint, 0 <[ t ^ 1; n 6 Щ
не компактно, т. е. для него не выполняется критерий Рисса
компактности множества в L2 [0; 1] (см. гл. 2, § 1) Доказательство проведем
от противного. Допустим, что для каждого е > 0 существует такое
Ь > 0, что
^\(Axn)(t+h)—(Axn)(t)\2dt<E
при | h |< б (вне отрезка [0; 1] функции (Axn) (t) считаются
равными нулю). Но при h = —
J (Axn)(t +-^)-(Axn)(t)
Отсюда следует, что если взять е = -к и найти соответствующее
ему б > 0, то имеем противоречие
1
J | (Axn) (t + h)- (Axn) (t) I»Л = 2 --JL <_1-.
6

в) Рассматриваемый оператор Л": С [0; 1] -*- С [0; 1] является
линейным ограниченным оператором, норма которого равна единице.
Поскольку он конечномерен (его множество значений состоит и*
постоянных функций), то А — компактный оператор.
Исследуем оператор А как отображение пространства La[0; lj
i
в L2[0; 1]. Для этого в интеграле ^x(s2)ds проведем замену sa =
о
г х (т)
= т. Тогда получим {Ах) (f) = J 2 у- dr.
Покажем, что рассматриваемый оператор А не является
ограничением в пространстве L2 [0; 1] и, следовательно, он не может
быть компактным. Действительно, для последовательности функций
i_ 1 i_
xn(t) = п 212" 2 , 0:¾f^ 1, из пространства L2[0; 1] имеем | *„ || =
= 1 для каждого номера п £ Щ. Однако
1 -— -1-1
(Ахп) (0 = J « 2т" dx = Vn (V t£ [0; 1]),
о
и поэтому || Ахп || = У~п для каждого п 6 Щ. Следовательно,
оператор А действительно не ограничен. Поэтому оператор A : L2 [0; 1] -*-
-*■ L2 [0; 1] не является компактным.
3. Какой должна быть функция ф £ С [а; Ь], чтобы оператор
А: С [a; b -*-С [а; Ь], определенный с помощью равенства (Ах) (t) =
= ф (t) х (t), был вполне непрерывным? (Этот оператор называется.
оператором умножения на функцию ф.)
Решение. Покажем, что если функция ф хотя бы в одной
точке t0£[a; b] отлична от нуля, то соответствующий оператор А не
является вполне непрерывным. Действительно, для достаточно
больших номеров п (п~^п0) рассмотрим ограниченную последовательность
непрерывных функций (хп(t))n=m„, t£[a\ b], построенную следующим-
образом: считаем, что хп (f) — 0 для a^t^t0 и t0-h~^
^ t ^ b, хп (t0) = —ттг > а на отрезках
ф ('о)
t L. t
'0 я ' 'О
1
функция хп({) линейна Докажем, что последовательность функции:
((Ахп) (t))%=n0 не является компактным множеством. Доказательство
приведем от противного. Допустим, что множество ((Ахп) (0)«^=«»
равностепенно непрерывно, т. е. для каждого е>0 существует такое
6>0, что лишь только \t' — f\<6 (t',t'£[a; b]), то \{Axn){t') —
— (Ax„)(t")\<.£ для произвольного номера п^п0. Отсюда для е =
= 1 и соответствующего ему 6>0 при t'=t0, ? = t0 + -jf, где;
— <б, получаем
(Лхп) (t0) - (Ахп) {t0 + -L) | = И - 01 =- 1.
Следовательно, оператор А не является вполне непрерывным.
37S-

Таким образом, оператор (Ах) (0 = Ф (0 х (f), х (t) 6 С [а; Ь],
•является вполне непрерывным лишь тогда, когда ф (/) = О для всех
t € ia: Ь].
Замечание. Детально рассмотрен случай, когда /0 6 (а'< Ь). Если ta= а или ^0 «
= ft, то соответствующие рассуждения претерпевают лишь незначительные изменения.
Впрочем, можно поступить и по-другому. Если Л — вполне непрерывное
отображение С [а; ft] в себя, то, по доказанному, ф (t0) = О (V ta 6 (a; ft)). То, что ф (а) = ф (й)=
■» 0, следует нз непрерывности функции ф на [a, ft].
4. Будет ли вполне непрерывным оператор (Ах) (t) — -^-, если он
рассматривается как действующий:
а) из С(1) [0; 1] в С [0; 1];
б) из С(2) [0; 1] в С"' [0; 1];
в) из С(2) [0; 1] в С [0; И?
Решение. Прежде всего сделаем следующее замечание. Рассмотрим
ограниченную последовательность (f)n=i, ^ € [0; 1], функций
пространства С [0; 1]. Покажем, что множество этих функций не является
компактным, т. е. оно не равностепенно непрерывно. Пусть это не так.
Тогда по теореме Арцела для каждого е > 0 существует такое б > 0,
что лишь только | tx — t21< б (tlt t2 6 Ю; И), то | tl — й |< е
для произвольного номера п. Отсюда если взять е< 1 , tt = 1
и t2 = 1 , то начиная с некоторого номера должно выполняться
неравенство 1 — (1 —] < е (Vn> п0).
Теперь, устремив в последнем неравенстве п к +°°. получаем
противоречие с выбором е. Поэтому, действительно,
последовательность функций (f)n=u * € [0; 1], не образует компактное множество
в пространстве С [0; 1].
а) Рассмотрим в С(1)[0; 1] множеством = \xn(f) = ,l :0^^1,
л^Ш-Оно ограничено вС(1)[0; 1], поскольку для каждого п£Щ имеем
\\xj = тах\ xn(t) f + maxl xn(t) ( = 1 + -Агг<2-
Множество А (М) (образам при отображении А) совпадает с
множеством функций {tn : 0 ^ t ^ 1, п 6 Щ Поэтому, как отмечалось
выше, оно не компактно в С [0; 1]. Следовательно, оператор А:
С(1) [0; 1] -*- С [0; 1] не является вполне непрерывным.
б) Рассмотрим в С<2) [0; 1] множество функций М = \хп (t) =
**> + 2)(я+1) :0^*^ *' П€И}- 0но ограничено в С<2)-[0; 1],
поскольку для каждого п 6 Щ имеем
|*ж[ = max | *„(*)/ + max | %„ (*) | -f max | хп (t) \ < 3.
0«<1 0«<1 0<<^1
жп

Множество А (М) совпадает с множеством функций \— Г
0<!£:SC1, л 6 ш- Докажем, что А (М) не является компактным в
С(1) [0; 1]. Действительно, для нормы элемента х 6 С(1) [0; 1]
справедливо неравенство || х ||c<i)[(H1 ^ [| х' ||c[o;i]- Поэтому если множество
А (М) было бы компактным в С(1) [0; 1], то множество {f : 0 ^
;SCi<;i, п 6 Щ, состоящее из производных функций из А (М),
было бы компактным в С [0; 1]. Последнее, как отмечалось выше,,
невозможно. Следовательно, оператор А : С01 [0; 1]->С(1)[0; 1] не
является компактным.
в) Покажем, что в этом случае оператор А вполне непрерывен.
Пусть М cz С<2) [0; 1] — произвольное ограниченное множество этого
пространства, т. е. существует такое положительное число Rt что
max | х (t) | + max I x' (t) \ + max | x" (f) |< R
0^<<l 0<f<l 0^^1
для каждой функции x = x (t) 6 M. Отсюда следует, что
тах|х'(0|<Я, тахК(0|<Я (Vx = x(t)£M). (й>
Рассмотрим множество А (М) = {х' (t) г х (/) £ М). Тогда каждая
функция из А (М) непрерывно дифференцируема и, как следует и*
(11), множество А (М) равномерно ограничено. Докажем, что
множество А (М) равностепенно непрерывно. Действительно, пусть числа
е > 0 задано. Выберем такое положительное число б, что б ^ -|-.
Тогда для каждой функции х = х (t) 6 М и произвольных точек tu tt.
отрезка [0; 1], удовлетворяющих неравенству | tt — /2 |< б, имеем
\х' (к)~х' (У | = \х" (x)\\t1 -t2\ <£б<е
(здесь х — некоторая точка интервала (^; t2)). Следовательно, по
теореме Арцела, множество А (М) компактно. Поэтому оператор
А : С<2) [0; 1] -*- С [0; 1] вполне непрерывен.
5. Пусть ядро k(t,s), определенное на множестве jS х i5, где
$) — замкнутая ограниченная область пространства Rm,
представляется в виде k (t, s) = д , где kx (t, s) — непрерывная на мно-
Р (t, s)
жестве i5 х jS функция, а р (t, s) — расстояние между точками t и s-
пространства IRm.
Доказать, что если а<С т, то интегральный оператор
(Ах) (0 = [ k (t, s) х (s) ds,
h
отображающий пространство С (jS) непрерывных функций в себя,
является компактным.
Решение. Поскольку функция kt (t, s) непрерывна на замкнутом
ограниченном множестве ф х 0 cz IR2"1, то существует такое положи»
37Т

тельное число v, что | kt (t, s) | =¾ v для всех точек (/, s) 6 i3 X <Э.
Очевидна, на основании того, что а < /л, оператор А определен на
всех непрерывных в области ЗЬ функциях.
Рассмотрим ограниченное множество М а С (i5). Тогда найдется
такое положительное число L, что || х || = max | х (t) | =¾ L для
всех функций х = х (t) из М. Докажем прежде всего, что образ А (М)
множества М при отображении А является ограниченным (по норме
пространства С ($)) множеством. Действительно, для произвольной
функции х = х (t) £ М имеем
\(Ax)(t)\ = \[ У S) x(S)ds <vL{ J" , <vL f a^ , ■ '€#■
J p« (/, S) J pa (/, s) J pa (/, S)
где Sr — шар радиуса R с центром в начале координат,
содержащий Si. Вычислим интеграл I — , переходя к сферическим
J Pa (/, s)
SR
координатам: ds = ds^-ds,',, = rm-ldrdam, где г = p (t, s),
da^ = sinm-201sin'"-302...sin 0m_2d0! ... d0m_2d(p,
\<*m\ — площадь поверхности единичной сферы ат пространстваIRm.
Тогда ,
2R
f -^- < f r-^dr \ dam = Wm~a | am |. (12)
■' pa (/, s) J J m ffl — a ' »' V /
(Следовательно,
|| Axi = max) (Ax) (f) | < vL -^^- I am |,
/6^ m a
т. е. множество Л (M) ограничено в смысле нормы пространства С (.0).
Докажем, что это множество равностепенно непрерывно. Отсюда,
в частности, будет следовать, что если х = х (t) 6 С ($), to и Ах ^
g С (i5). Пусть Ti > 0 — достаточно малое число и Sn (t) = {s £
€ $ : Р (s, t)<L r\]. Для точек t и i + Д£, принадлежащих J2, имеем
®\Sti(0 ' L ^ ^ '' к v . / j
J pa (' + Д', s) "^ _J pa (/, s) ^1
ds +
<L f | M< + A/, s) ft, (/, g)
.4¾. 0-^ + ^ p"(''s)
T _J pa(* + A/,s) ^ _J pa(/, s) *
(13)
878

где р (t + Atf, 0^-5-- Вычисляя и оценивая два последних
интеграла так же, как и при оценке (12), получаем
U pa(t + At, s) +_J р«(/, s)
\snw Sn(t) )
<-^г£-1(Зч)т-а + (2чГ~°].
Поэтому для произвольного е > 0 можно подобрать такое у\0 > О,
что
Lvj f * + f __^i_W
< ~Г?Г [(Зло)"1"" + <2т10Г-а] < -f • (14)
Поскольку непрерывная функция ^ ' равномерно
непрерывна на замкнутом множестве S^ (f) х (.25 \ S,,, (£)), то имеется такое
б' > 0, что из неравенства р (t + Д£, 0 < 8/ следует
fei (/ + Лг, s) ^ (г, s)
pa(t + M,>) i^(t,s)
<-щЬ*) (ve^xs^w). (15)
гДе M<m ($) — мера Лебега области ,£5 с: IRm. Тогда если в качестве
положительного б взять б ^ min (ti0, б'), то из неравенств (13),. (14) и
(15) при р (t + Д£, t)<. Ь следует, что
|И*) (* + А!) — (Ае) (*)|<-j-+-J-= е (Vx£M, V^iZ5).
Таким образом, множество А (М) равностепенно непрерывно и
поэтому оно компактно
Следовательно, заданный оператор А : С (iZ5) -*- С ($) является
вполне непрерывным. Например, оператор А : С [0; 1 ] —>- С [0; 11,
определенный с помощью равенства
1
(Л%)(0=|-
х (s) ds
з , »
1/ | cos^ — cos si
i
компактен. В этом случае т = 1, р (f, s) = | f — s|, At (^, s) =
^[7—i] i
3 — • w 5- •
l/| cos^ — cos s|
Замечание. Компактность заданного оператора А можно получить, используя
теорему 1. Для этого рассмотрим последовательность операторов
(АпХ) (t) = j" fel(''s)*1л) ds, * =.*(оест.
m pa (л s) + —
Поскольку ядра операторов Лп являются непрерывными функциями на
множестве В X <£}, то, как и в примере 1, каждый нз них вполне непрерывен. Далее,
•379

проводя рассуждения, аналогичные тем, которыми мы пользовались для получения
«еравенств (13)— (15), приходим к выводу, что lim \\ А — Ап || = 0.
Рекомендуем читателю доказать компактность оператора А этим путем
самостоятельно.
6.kПусть число р > 1 и q — ему сопряженное, т. е Ь — = 1.
Рассмотрим оператор А : 1Р -*- lq, который определяется формулой
оо
(Ax)t = £ flf/g/, х = (llt g2, ... ) € lp,
где числовая матрица (aj/)~/=i такая, что двойной ряд £ |д</1*
£,/=.1
сходится. Доказать, что оператор А вполне непрерывен.
Решение. Докажем, что оператор А, действительно, отображает
пространство 1Р в lq. Согласно неравенству Гельдера, для произвольной
точки х 6 1Р имеем
М* ^ = £1 И*), Г =2
/=i
<(Е1^|в*/Г]1*в;.
■т. е.
M*|,<(f f I«г/Г) \хья (V*eg.
(16)
Неравенство (16) позволяет заключить также, что линейный оператор
А ограничен.
Пусть теперь М — произвольное ограниченное множество в
пространстве 1Р. Тогда существует такое положительное число R, что
\ х \i ^ IR для всех х 6 М, а из (16) получаем неравенство
из которого следует, что множество А (М) ограничено в /,.
Согласно теореме 16 из гл. 2, § 1, чтобы проверить компактность
множества А (М), надо для произвольного е>0 найти такой номер п0, что
N Г
У | (Ах)£ \" < е (Ух£М). Поэтому рассмотрим любое е>0. Тогда
оо оо
us сходимости двойного ряда £ У \ацI" следует существование
<=i ;=i
оо оо
такого номера п0, что £ £ 1а£/Г<-^г-
Докажем, что найденный номер п0 является искомым. Действитель-
яо,
i«=no
S fl*/£/
380

Поэтому множество А (М) компактно и, следовательно, оператор А
вполне непрерывен.
7. Рассмотрим оператор А : 1Р -*• 1Р (р > 1), определенный с
помощью формулы >
Ах = (oxli, а2|2, .. .), х = (|lt |2, ...)6 lp,
где (a/)/Li — заданная последовательность чисел. Какой должна быть
последовательность (a/)/Li. чтобы оператор А был:
а) ограниченным; б) вполне непрерывным?
Решение, а) Покажем, что оператор А является ограниченным
тогда и только тогда, когда последовательность (a/)JLi ограничена.
Действительно, пусть вначале (a/)7w ограничена, т. е. существует
такое положительное число L, что | щ | ^ L, для всех номеров /.
Тогда
H*ir = f |а,|,|р </Л|*|Г (V*e/,), (17)
т. е. оператор А является ограниченным и || А || ^ L.
Пусть теперь оператор А ограничен, а последовательность (a/)JLi
неограничена. Тогда для произвольного натурального числа п
найдется номер /„ такой, что \af | > п. Рассмотрим вектор е/ из
единичного шара пространства 1Р, все координаты которого равны нулю,
кроме /'„-й, которая равна единице. Тогда | Ае\ \ = у/~\ a/ | >-/"я
(V и 6 №■ Следовательно, sup | Ах | = + °о, что противоречит
WW
ограниченности оператора Л. v
б) Докажем, что оператор А является вполне непрерывным тогда
и только тогда, когда lim a„ = 0. Пусть lim a„ = 0. Покажем, что
Я-юо rt-voo
оператор А компактен. Пусть множество М с: 1Р ограничено, т. е.
существует такое положительное число R, что || х | =¾ R для всех
X 6 М. Поскольку в этом случае оператор А ограничен (см п. а)),
то он отображает ограниченное множество М в ограниченное
множество А (М). Рассмотрим произвольное число е > 0. Тогда из
условия lim a„ = 0 следует существование такого номера п0, начиная с кото-
П-*оо
рого |a„|< i^-. Поэтому для каждой точки х = (£lt £2, ...) £ М
имеем
/=«„ /=по Л: ;=п0 К )=\
т. е., согласно теореме 16 из гл. 2 § 1, множество А (М) компактно.
Следовательно, оператор А вполне непрерывен.
Пусть теперь А'— компактный оператор. Тогда он ограничен и,
согласно пункту а), последовательность (a/)/Li также ограничена.
Рассмотрим для каждого натурального номера п вектор еп 6 1Р, у
которого все координаты, кроме и-й, равны нулю, а и-я координата
381

равна единице. Тогда е„^0и Аеп = <^пеп- Следовательно, все числа
а„ являются собственными значениями компактного оператора А.
Поэтому, согласно теореме 8, их предел равен нулю, т. е. lim а„ = 0.
8. Пусть Н — гильбертово пространство, А £ ^ (Н) 'и А*А —
вполне непрерывный оператор. Доказать, что оператор А также вполне
непрерывен.
Решение. Пусть М — произвольное ограниченное множество
гильбертова пространства Н. Тогда существует такое положительное
число R, что [I х || <; R для каждого х£М. Рассмотрим множество
(А*А) (М) — образ множества М при отображении А*А : Н -> Н.
Согласно условию, оно является компактным. Поэтому для каждой
последовательности (хп)п=\ точек из М существует сходящаяся
подпоследовательность (A* (Axnk))kLi. Значит, эта подпоследовательность
фундаментальна, т. е. lim || A*A (x„k — хП1) || = 0. Покажем, что
подпоследовательность (Ax„k)T=\ последовательности (Ахп)™=\ также
фундаментальна, а поэтому вследствие полноты пространства Н она
является сходящейся в Н. Действительно, для произвольных
номеров k и / имеем
\ А (хПк — хп) Y = (Л (хПк — хп), А (хПк — хп)) =
= (Л А (хПк — xnj), хПк XnJ.
Отсюда, применяя к последнему скалярному произведению
неравенство Коши — Буняковского, получаем
IIА (хПк - xni) f < 2R | Л * Л (хПк - хп) || (V k, I g № -
т. е. lim || Л (хп.—дсп,)|| = 0. Таким образом, оператор Л отображает
k,l-*oo " '
каждое ограниченное множество в компактное и, следовательно,
является вполне непрерывным.
Как указывалось ранее, если оператор Л компактный, то оператор
А*А также компактный. Следовательно, учитывая рассмотренный
пример, можно утверждать, что компактность оператора Л : Н -> Н
равносильна компактности оператора А*А.
9. Пусть {ek)kL\ — ортонормированный базис гильбертова
пространства Н, a Y — банахово пространство. Доказать, что если Л : Н ->■
-*• Y — такой линейный непрерывный оператор, что ряд £ || Ае^ f
сходится, а Л — компактный оператор.
Решение. По заданному оператору Л построим последовательность
операторов А„ : Н ->■ Y, п 6 Щ, следующим образом. Вначале
зададим Л„ на элементах базиса (ек)Т=\ с помощью равенства: Апек =■
— Лед,, если k <; п, и Аяек = 0, если k>n.
882

Тогда распространим по линейности оператор Ап на все простран-
оо
ство Н, полагая для произвольного вектора х = ][] (я, eft) eft из Н
k=\
А„х = £ (*, е*) Ле*.
Отсюда следует, что каждый оператор Л„ является оператором
конечного ранга. Поэтому все эти операторы Л„, п 6 (^, компактны.
Докажем, что последовательность операторов (Ап)п=\ сходится к
оператору Л равномерно, т. е. Нт|Л—Л„|| = 0. Действительно, в
Л-+00
00
силу непрерывности Л для каждого х£ Н Ах =- Ц (х, ek) Aek, и поэтому
И (*> вк) Aek
< £ \(x,ek)l\\Aek\\ (VneW).
j| Лл; — Лплг[|^
Тогда, применяя к последней сумме неравенство Коши — Буня*
/со оо \
ковского ведь £ I (х, ek) |2<|х f и £ | ЛеА|2 < + °° . получаем
\ ft=n+l k=n+l J
- ] .- /
1КЛ-лл)*к( f 1(^.^)18)2 •( S |ле,ц2)2 <( S М«*Р) И
, \*=л+1 / \*=л+1 / \*-п+1 /
\_
Отсюда следует, что ||Л—Лп|<( £ II МП (VngN).
оо
Поскольку по условию ряд S II Aek f сходится, то имеем
оо ^
lim 5j ll^e*ll2 = 0, и поэтому ИтЦЛ—Л„|| = 0. Тогда, согласно
теореме 1, оператор Л компактен, как и все Л„, л 6 ЭД.
Отметим, что Л„ = ЛЯЛ, где fn — проекционный оператор на
подпространство Ln, натянутое на векторы ех, ..., еп (при каждом п £ Щ).
10. Пусть Е — бесконечномерное банахово пространство и Л:
£■->£" — вполне непрерывный оператор. Доказать, что существует
такое у £ Е, что уравнение первого рода Ах = у не имеет решения.
Решение. Если множество значений R (Л) оператора Л
конечномерно, т. е. оператор Л имеет конечный ранг, то R (Л) ф Е, и поэтому
для каждого у £ Е \ R (Л) уравнение Л* = z/ не имеет решения.
Более интересен случай, когда R (А) бесконечномерно. Докажем,
что тогда R (Л) не является замкнутым множеством. Предположим
противное, т. е. что R (A) = R (Л) Поскольку Е — полное
нормированное пространство, то замкнутое линейное многообразие R (Л) с: Е
само является банаховым пространством. Далее, представим
пространство Е в виде объединения шаров S„ (0), п 6 W. радиуса п с
383

центром в точке х = 0 • Е = U S„(0) Тогда R {A) = (J /4S„(0).
Но каждое множество /4S„ (0) компактно, поскольку оператор А вполне
непрерывный, а шар S„ (0) — ограниченное множество. Кроме того,
известно (см. следствие из теоремы 6, гл. 2, § 3), что в
бесконечномерном пространстве каждое компактное множество нигде не плотно.
Таким образом, полное нормированное пространство R (А)
представлено в виде объединения, счетного числа нигде не плотных множеств.
Это приводит к противоречию с теоремой Бэра о категориях (см.
теорему 9, гл. 2, § 1). Поэтому, действительно, множество R (А) не является
замкнутым.
Но поскольку множество Е замкнуто, то Е =r= R (А) и,
следовательно, существует такое у 6 Е \ R (А), что уравнение Ах = у не
имеет решения
11. Пусть А —линейный непрерывный оператор, отображающий
нормированное пространство Ег в линейное нормированное
пространство Е2, и существует непрерывный обратный оператор А~ : Е2 -*•
->■ Ev Доказать, что оператор Л* : Е% -> Е\ имеет непрерывный
обратный (Л*)-1 : Е*\ -► Е\ и (Л*)"1 = (Л-1)*.
Решение. Известно, что каждый линейный непрерывный оператор
имеет сопряженный оператор, который также линейный и
непрерывный. Поэтому существуют операторы Л* и (Л-)*, являющиеся
линейными и непрерывными в соответствующих пространствах. Надо
только доказать, что существует непрерывный обратный (Л*)- и что
справедливо равенство (Л*)-1 = (Л-1)*-
Согласно определению сопряженного оператора, для произвольных
х 6 Ег и / 6 Еч имеем {Ах, f) = {х, A*f). Отсюда, положив я =
= А~ у, где у 6 Е2, получим следующее тождество:
(у, f) = (А'1 у, Л*/) = (У .\Л-]Г A*f> (Vye£2, V/££2*).
Тогда, как следует из теоремы Хана — Банаха, (А~ )*A*f = f для
произвольного функционала / из Е?. Следовательно, оператор Л*
имеет левый обратный, совпадающий с (Л-)*.
Аналогично, исходя из равенства (A~ly, g) = {у, (A~l)*g)t
верного для произвольных у £ Е2 и g £ Е*, приходим к тождеству
(Л*) (Л- )*g = g. Следовательно, оператор Л* имеет правый
обратный, также совпадающий с (Л- )*. Поэтому оператор Л* : El -> Е*
обратим и его обратный (Л*)- равен оператору (Л- )*. Кроме того,
оператор (Л*)- является линейным и непрерывным.
12. Пусть Н — гильбертово пространство и Л : Н -*■ Н —
линейный непрерывный оператор. Доказать справедливость равенств:
а) (# (Л))1 = кег А*; б) (Я (Л*))1 =кегЛ;
в) (кег A)1 = Я (Л*); г) (кег A*)1 = R (Л),
где R (Л) — множество значений оператора А, кег А — ядро опера»
884

тора А, т. е. кег А = [х £ Н : Ах = 0}, L — ортогональное
дополнение к многообразию L
Решение. Отметим, что многообразия кег А и кег Л* нулей
операторов А и А* являются^ замкнутыми множествами, поскольку
А (а поэтому и Л*) — непрерывный оператор. Вместе с тем, как
следует из примера 10, многообразия R (Л) и R (Л*) не всегда замкнуты.
а) Докажем вначале, что (R (Л))1 с кег Л*. Пусть элемент гЕ
£(R (А))1, т. е. (г, Ах) = 0 для каждого х£Н. Тогда, используя
определение сопряженного оператора, имеем
(A*z,x) = 0 (V*6H). (18)
Поскольку лишь нулевой элемент ортогонален всем векторам
пространства Н, то А*г = 0 и z £ кег Л*.
Если, наоборот, г £ кег Л*, то справедливо также равенство (18),
из которого следует, что г £(R (Л))1. Таким образом, действительно,
(# (Л))1 =кег Л*.
б) Доказательство приведенного соотношения следует из а), если
в роли Л взять Л* и воспользоваться тем, что А** = А
в) Отметим, что ортогональность вектора г многообразию L
равносильна его ортогональности многообразию L, т. е. замыканию L. Это
свойство следует из непрерывности скалярного произведения.
Поэтому, согласно теореме о разложении гильбертова пространства Н
в прямую сумму его подпространств, имеем равенства-
Н = кегЛ в (кег Л)1, Н =ЩА*) ® (R(A*))1.
Отсюда, учитывая доказанное в б) свойство (R (Л*))1 = кег Л,
получаем R (Л*) = (кег Л)1.
г) Доказывается аналогично равенству в).
Замечание. Пусть Е — линейное нормированное пространство, L —
произвольное его подмножество, a L = {/ g Е* : {х, f) = 0, V х £ L). Как и при
доказательстве пункта а), можно проверить, что если А 6-2" (Е), где Е — банахово пространство,
ire (R (А))1 = кег А*.
13. Найти сопряженный оператор Л* к оператору Л, если:
t
а) A:L2[0; 1]-► L2 [0; 1] и (Ax)(i) = ^ x(r)dx;
о
б) Л :/„->/„, р>\, и Ах = (Oiij, а2|2, ...),
где х = (ix, |2> •••) € ^» а (ai)7-i — ограниченная последовательность;
в) A : L% (IR) -> L2 (IR) и (Ах) (f) = a (f) х (t + h), где a(t) —
ограниченная на IR и измеримая по Лебегу функция, а h £ IR.
Решение, а) Оператор Л является линейным и непрерывным,
отображающим комплексное гильбертово пространство L2 [0; 1] в
себя. Поэтому для определения сопряженного оператора А* :
: L2 [0; 1] -»» La [0; 1] рассмотрим произвольную функцию у = у (0 6
13 0-74 3R5

6 Lt (0; 1]. Тогда
i
(Ax,y)=[(Ax){t).J®dt~
о
= f ( J *(т) dx\y~{t)dt = $ ( J х{х)у~Щ dx )dt
о \o / о \o /
или, если поменять порядок интегрирования,
{Ах, y)=\x{t)[\y (т) dx)dt=\x (0 • (Л**/) (0 dt = (х, А*у)
6 \i /О
(V *,*/£/,,[(); 1J).
Следовательно, сопряженный оператор А* определяется
соотношением
(A*y)(t)=\y(x)dx, y^La[0; 1].
, t
Из сравнения операторов А а А* видно, что, А не является
самосопряженным оператором.
б) Пусть р > 1 Тогда, как было показано в примере 7, оператор
А является линейным и непрерывным. Напомним, что lp = lq, где q —
число, сопряженное с р. Иными словами, результат (х, /) действия
функционала / £ 1Р на элемент х = (¾. |2, ...) 6 /р записывается с по-
DO
мощью формулы (х, /> = £ Ijff, где / = (^, /2, •••)€'„ (считаем,
что пространство 1р комплексное).
Теперь, согласно определению сопряженного оператора, имеем
ОО DO
{Ах, /} = £ 0,6,7, = I ?/«/// = (х, а*п (v *е /„, v/е д.
Отсюда /47 = (^1/1.0,/2- ...). если / = (/х, /2, ...KV
При р = 1 оператор Л непрерывен также лишь тогда, когда
последовательность (a/)^=i ограничена.
Напомним, что h = tn, т. е. сопряженным к lt является
пространство всех ограниченных последовательностей. Рассуждая
аналогично, получаем Л*/ = (ajlt aj2t ...), если / = (/1( /2, •••) £ т.
Таким образом, оператор Л является самосопряженным только тогда,
когда все а/ — действительные числа.
в) При сделанных предположениях относительно функции a (t)
оператор Л является линейным и непрерывным и || Л J ^ sup | a (i) |.
'6IR
Тогда, проведя в интеграле
iAx,y) = \a{f)x{t + h)~ylt)dt (х,у£Ь2(Щ
ш
886

замену t + h = т, получаем
(Ах, у) = [х (т) а(т — h) y(r — h)dr = (х, А*у) ^(V х, у £ L2 (Щ)>,
Отсюда следует, что (A*y)(t) = a(t— h)y(t — h) (Vy£L2(\R)).
14. Пусть H — комплексное гильбертово пространство и А : Н -*■
-*- Н — самосопряженный оператор. Доказать, что существует
обратный оператор к оператору / + iA, определенный на многообразии
R (/ + iA).
Решение. Линейный непрерывный оператор / + iA отображает
гильбертово пространство Н на многообразие R (I + iA) —
множество значений оператора / -+■ iA Чтобы доказать существование
обратного оператора к / + iA, надо проверить, что ядро ker (/ + iA)
оператора / -f- iA состоит только из нуля. Поэтому пусть х £ Н и
(/ + iA) х = 0. Тогда Ах = ix и i (х, х) = (Ах, х) = (х, ix) =
= —i (х, х).
Отсюда следует, что ||*||= У (х, х) = 0, т. е. х = 0. Таким образом,
ker (/ + iA) = {0} и оператор / + iA имеет обратный (/ + iA)~l:/?(/ +
+ iA)-+H.
15. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н ->■ Н — вполне
непрерывный оператор. Доказать, что тогда существуют (не
обязательно полные) ортонормированные системы {/«}n=i и {<p„}n=i, ш
также положительные вещественные числа (A,„)n=i такие, что
N
Ах = Ц К (х, fn) ф„.
Отметим, что N может быть как конечным числом, так и символом
+ °°- Числа кп называются сингулярными числами оператора А.
Решение. Поскольку А — компактный оператор, то оператор А*А
также является компактным. Кроме того, он самосопряженный,
поскольку (А*А)* = А* (А*)* = А*А. Поэтому по теореме Гильберта —
Шмидта существует полная ортонормирозанная система (базис
собственных векторов оператора А*А) {fa}n=\ U {/n}!Li такая, что для
п = 1, 2 N имеем A*Afn = \x„fn, где \in Ф 0, и А*А/'п = 0 для
каждого п = 1, 2, ..., М.
Отметим, что N и М могут быть как конечными, так и
бесконечными. Неравенство (Ах, Ах) = (А*Ах, *) > 0 для всех х позволяет
утверждать, что оператор А*А положителен. Тогда ц„ > 0 для всех
п = 1,2 N.
Пусть Ха = ]^Ц„, а <р„= ~^-< где я = 1, 2 N. Проверим,
что система {tyn},£Li является ортонормированной. Действительно,
(фл. фJ = l^"(/4*/4^• Л") = 1^Г ^"' ^ = 8п-т для произвольных
я, /и = 1, 2 N. Тогда для каждого *£Н имеем
S (*. /»)/- н-л Е (*. /») fn= Е (*. /яМ/*= £ **(*. ло%
я—1 / \я=»1 / n«J я—1
13* 337

(ибо || Afn f = (A*Af'n, f'n) = 0; см. также пример 49 б)), что и
требовалось доказать.
16. В пространстве 12 рассмотрим последовательность операторов
А„ : 12 -+ 12, /г£И, где
Апх = (1л+Ь 5л+2. ■ ■ • ). X = (|1( £2, . . . ) 6 12.
Доказать, что Л„6^(У (Vn6N) и ПтЛлл:=0 (Ух£12). Найти
п-*оо
последовательность (An)Z=\- Верно ли, что \imAnX = 0 (Уяб^
п-юо
Решение. Все операторы Ап отображают 12 в 12 и являются
линейными. Их непрерывность (т. е. ограниченность) получается из оценки:
i—-— /
\апх\\=\/ £ ii/i2<i/ £ ii/ia = wi («ew. x&i2),
т. е. || Ап ||^1 для каждого пбЭД- Докажем, что \imAn = 0 в смыс-
п-юо
ле сильной сходимости операторов. Поскольку для каждого х =
ОО ею
= '(£i> £2> -)€*2 РЯД £ 15/ Is сходится, то lim £ |1/|я = 0.
/=1 rt-юо /=л+1
Поэтому
11т| Апх\ = 11т ( f ||/ ja) = 0 (V х е у,
т. е. Нт Апх = 0.
Пусть х= (|1( |2, ...) и у = (т]1( т]8, ...) — произвольные элементы
пространства 12. Тогда из равенства (Л„;е, у) = (*, Л^г/) следуег, что
А*пу = (0> 0 0, r\lt r\r ...). Поэтому
-.-
П
\ш\\а:у\\= limff hj*)2 .|^| (Vyeg.
Следовательно, последовательность (A„)%=i не является сильно
входящейся к нулевому оператору.
17. Рассмотрим оператор А : С [0; 1]->-С[0; 1], определенный в
иомощью равенства
t
(Ax)(f) = \x{x)dx (x = x(f)£C[0; 1J).
о
а) Доказать, что уравнение х — Ах = у имеет решение при любом
Г€С[0; П.
б) Найти оператор (/ — А) '.
Решение. Проверим, что А—компактный оператор. Пусть М с
сгС[0; 1]—ограниченное множество, т. е. существует такое
положительное число R, что ||*| = max | * (*) | ^./? для каждой функции
888

x = x(t)£M. Тогда fl Ax [J = max \ x (x) dx ^ max \ | x (т) | dx <; R
для произвольной функции x = x (t) 6 M. Поэтому множество А (М)
(образ М при отображении с помощью А) является ограниченным.
Покажем еще, что А (М) — равностепенно непрерывное множество.
Пусть х = х (0 € М, а и (f) = (Ах) (f). Тогда функция и = и (t)
дифференцируема на отрезке [0; 1] и и' (t) = х (t) в каждой точке t £ [0; 1].
Поэтому, если tlt /2 £ [0; 1] и | ^ — t2 \ <. 4-, то для произвольной
функции х = х (i) 6 М имеем
| (Ах) ft) - (Ах) (t3) | = | и &) - и (У | =
= I«' (т) ft - УI = I * (т) & - У К -J- • Я = «•
Таким образом, множество А (М) компактно и, следовательно,
оператор А вполне непрерывный.
а) Согласно первой теореме Фредгольма покажем, что однородное
уравнение z — Az = 0 имеет только нулевое решение. Действительно,
из тождества
t
z(t) = \z(x)dx (0<*<1)
о
получаем (после дифференцирования) дифференциальное уравнение
г' (0 = г (t) а условие г (0) = 0. Следовательно, z (f) s 0. Поэтому
существует обратный оператор {/ — А)~ : СЮ; IJ —»- С [0; 1J,
являющийся линейным и непрерывным.
б) Найдем оператор (/ — Л)-1- Пусть у = у (t) — произвольная
функция пространства С [0; 1]; Найдем такую функцию х = х (i)
из С [0; 1], что
t
x(t) — \x(x)dx=y(t) (0<*<1). (19)
о
Для решения этого уравнения хотелось бы его продифференцировать,
но у (t) — произвольная непрерывная функция, и поэтому она не
обязана быть дифференцируемой. Тогда ищем решение х = х (t)
уравнения (19) ввиде х (f) = у (0 + z (0, 0 < /< 1, где z = г (t) — новая
неизвестная функция. Отметим, что необходимо х (0) = у(0) (см. (19))
и поэтому г (0) = 0, а уравнение (19) приводится к виду
t t
z(t) = ly(x)dx+$z(x)dx (0<f<l).
о о
Из последнего равенства получаем, что функция г (0
дифференцируема и удовлетворяет уравнению г' (f) = у (t) + г (t), 0^ t ^. 1.
Решая это линейное уравнение методом вариации постоянной, имеем
г® = \С + \у(%)ё-Чх\е*, 0<*<1.
ДО

Если учесть еще начальное условие z (0) = 0, то окончательно
получаем z (i) = е' \ у (т) e~*dx, 0 <;/ < 1. Значит,
о
t '
x(t) = y(f) + e< Jy(T)e-*dT, 0</<1.'
о
Следовательно, обратный оператор (/ — А)~ найден и
[(I — Л)"' у) (Q = у (0 + е I у (т) е~Чх, 0< *< I.
о
Отметим, что при решении п. а) этого примера можно было не сси-
латься на теорему Фредгольма, а воспользоваться существованием
оператора (/ — А)~1 (см. п. б)).
18. Является ли оператор A : L2 [0; 1] -»- L2 [0; 1], определяемый
формулой (Ах) (f) = \ х (т) dx, нормально разрешимым?
о
Решение. Оператор А является линейным и непрерывным, а в
яримере 13 а) найден его сопряженный: (А*х) (t) = J х (т) dv,
t
х= х (t) £ L2 [0; 1]. Значит, ядрокег А* оператора А* состоит из тех
функций ф (0 6 L2 [Q; 1], для которых
J<p(T)dT = 0 (0<^1).
t
Отсюда, дифференцируя по t, находим, что <р (/) = 0 почти всюду
За [0; 1]. Поэтому ядро кег А* состоит только из нулевого элемента
пространства L2 [0; 1]. Следовательно, если бы оператор А был
нормально разрешимым, то для каждой функции у (f) £ L2 [0; 1] уравне-
t
■не ] х {%) dx = у (£) (0 <Г /' <; 1) имело бы решение х = х (f) 6
о
t
| La (0; 1]. Но интеграл J х (т) dx, как известно, является абсолютнр
о
непрерывной функцией, и поэтому он не может определять все функции
пространства L2 [0; 1]. Таким образом, оператор А не является
нормально разрешимым.
19. Рассмотрим оператор А : 12 -»- 12, определяемый равенством
Ах = (£,, Б„ ...) (V х = (£lt £,, ...) € 4).
а) Доказать, что операторы А к А* нетеровы, и найти их индексы.
б) Доказать, что при любом k £ f%| операторы Л* и (Л*)* также
нетеровы, и найти их индексы.
Решение. Оператор Л является линейным и непрерывным, и
поэтому он имеет сопряженный А* : 1г -*- /,. На основании тождества
39в

(Ах, у) = (x, A*y), верного для всех х, у 6 /2, получаем А*у =
= (0. %. Ча. ■■•) Для у = (%, Т]2, ...) 6 /2.
а) Вначале покажем, что операторы А к А* нормально разрешимы.
Для этого найдем кег А и кег 4*. Ядро кег А состоит из всех векторов
вида (с, 0, 0, ...), где с — произвольное число, а кег А* = {0}.
Далее, уравнение Ах = г разрешимо для каждого элемента z £ lt.
А именно, если х = (|1( £2, ..) £ /2 и z = (£1( £2, ...) 6 4. то решение
х уравнения Ах = z имеет вид х = (а, £1( £2, ...), где а —
произвольное число. Таким образом, оператор А нормально разрешим. Что
касается уравнения А*у = и, где у, и 6 /2, то оно разрешимо лишь для
тех элементов и, у которых первая координата равна нулю. Но такие
элементы ортогональны ядру кег А. Поэтому А* также нормально
разрешим.
Из описания ядер кег Л и кег Л* следует, что dim кег Л = 1,
a dim кег Л* = 0. Поэтому число п нулей оператора Л равно единице,
а дефектное число т — нулю Следовательно, индекс X (Л) оператора
Л равен единице. Для оператора А* имеем t (Л*) = 0 — 1 = — 1.
б) Оператор Л действует на элемент х = (£ь £2, ...) 6 1г по
формуле Akx = (5a+i, lk+2, •••), а сопряженный оператор (Л*)*
определяется с помощью равенства
(Л*)*у=(0, ... , 0, Th.ri,, ...) (V# = (%, ц2, ...К/,).
Поэтому ядро ker Л* состоит из множества всех элементов вида
х = (осц ... afe, 0, 0, ...), где числа ax, ..., ak произвольные Тогда
dim ker Л* = k. Ядро ker (Л*)* состоит только из нулевого элемента,
т. е. dim ker (Л*) = 0. Для доказательства нормальной разрешимости
оператора Л* рассмотрим уравнение Akx = z, где * = (|1( |2, ...) —
неизвестный элемент пространства 12, а г = (£х, £2, •••) — заданный
элемент из /2. Это уравнение имеет решение х для каждого г £ /2,
причем я = ((¾. сц 0¾. £i» £г> —) € /»• Поэтому Л* — нормально
разрешимый оператор. Кроме того, он является нетеровым, и его индек?
% (Ак) равен k.
Аналогично уравнение (Л *)ку = и, где у — неизвестный элемент
пространства 12, а и — известный вектор из 12, разрешимо тогда и
только тогда, когда первые k координаты вектора равны нулю, т. е.
когда и J_ ker Ак. Следовательно, оператор (Л*)* также является
нетеровым, и его индекс ОС ((Л*)*) равен —k.
20. Пусть Е — комплексное нормированное пространство и Л g
£ & (Е). Доказать, что если оператор Л2 имеет собственный вектор, то
А также имеет собственный вектор.
Решение. Пусть А, 6 (С —■ собственное значение оператора Ла, а
х 6 Е — соответствующий собственный вектор. Тогда справедливо
равенство А2х = Хх, которое можно представить в виде (Л — у XI) х
X (Л + ]/!/) х = 0. Если (Л + Vll) х = 0, т. е. Ах = — УЪс,
то х — собственный вектор оператора Л, отвечающий собственному
391

значению — УХ Если же у = (А + УХГ) х ф 0, то (А — уТ/) г/ =•
= 0, т. е. вектор у является собственным вектором оператора 4> от"
вечающим собственному значению уХ.
21. В вещественом пространстве СI—я; я] найти собственны»
векторы и собственные значения оператора:
а) (Ах) (t) = х (—0;
б) (Ах) (t) = I sin (t + s)x (s) ds.
—я
Решение, а) Надо описать все те вещественные числа А, для
которых уравнение Ах = Хх, т. е. х (— f) = Хх (i), имеет нетривиальное
решение в пространстве С[—я; я]. Очевидно, если Я, = 1, то каждая
четная функция, а если А = —1, то каждая нечетная функция
удовлетворяют рассматриваемому уравнению. Докажем, что оператор А
других собственных значений не имеет. Пусть А0 Ф ± 1 —
собственное значение оператора А и х0 = х0 (f) — соответствующая ему
собственная функция. Тогда х0 (—t) = Х0хй (t) для всех t 6 [— я; я]
и х0ф 0. Отсюда, заменяя t на —t, имеем: х0 (0 = Х^ (—0, где
t € [—я; я]. Поэтому х0 (t) = Xqx0 (f) для каждого / 6 [—я; я]. Но
последнее невозможно, поскольку Х20 Ф 1 а х0 Ф 0. Следовательно,
оператор А имеет только два собственных значения: X = + 1 и X =
= —1. Соответствующие им собственные векторы описаны выше.
б) Надо охарактеризовать все те вещественные числа X, для
которых уравнение
я
] sin(/ + s)x(s)ds — Xx(f), — п</<|я,
—я
имеет нетривиальные решения в пространстве С [—я; л]. Для этого
ядро sin (t + s) представим в виде sin t cos s + cos t sin s. Поэтому
надо исследовать уравнение
Л Л
kx (t) ■-= sin t ] cos s • x (s) ds -{- cos t J sin s • x (s) ds, — я <; ^ п.
—n —я
(20)
Из (20) следует, что функцию х (0 (решение этого уравнения при
данном X) нужно искать в виде х (0 = a sin t + р cos t. Подставляя это
выражение для х (0 в равенство (20) получаем
аХ sin t + PA cos t — ря sin t + ая cos t, — я<; /^ я.
Поскольку функции sin t и cos t линейно независимы на [—я; я]»
то необходимо
аХ — p\nc = 0,
ая- 0А = О. (21)
Поскольку собственная функция х (0 должна быть отличной от нуля,
то (согласно линейной независимости функций sin t и cos 0 это
возможно лишь тогда, кйгда хотя бы одно из чисел аир отлично от нуля.
392

Поэтому определитель системы (21) равен нулю, т. е. ^ = я ч 3lj ч«
*= —я. Для А,! = я из (21) находим, что а = р\ Таким образом,
число А^ = я является собственным значением оператора Л, а х (f) =
■= a (sin t + cos t), а Ф 0,— соответствующие ему собственные
функции. Аналогично Ха = —я также является собственным значением
оператора А и соответствующие функции имеют вид: х {() = a (sin t —
— cos t), а Ф 0.
Докажем, что оператор А имеет также собственное значений
я
&з = 0, т. е. покажем, что уравнение ] sin (t + s) x(s) ds = 0 имеет
—я
нетривиальное решение в пространстве С [—я; я]. Иными словами,
найдем такую функцию х = х (t) ф 0, что
л л
iln/j cos s • x(s)ds + cos t j sins • x(s)ds= 0 (—я <;/<:я). (22)
—л —я
В силу линейной независимости функций sin t и cos t на отрезке
I—я; я] соотношение (22) равносильно тому, что
л я
\ cos s • х (s) ds — 0 и ] sin s • х (s) ds = 0,
—я —я
т. е. собственными функциями будут все те непрерывные функции
х = х (0> — я ^ t ^ я, которые ортогональны (в смысле
пространства L2 [—я; я]) к функциям cos t и sin t, например: х (t) = cos nt,
n = 0, 2, 3 x (t) = sin nt, n = 2, 3 Следовательно, A,3 = 0
является собственным значением оператора А, а соответствующее ему
собственное подпространство бесконечномерно и состоит из всех
непрерывных на [—я; я] функций ортогональных в смысле L2 I—я; я]
к функциям cos t и sin t.
22. Пусть оператор А : С [0; 1] -*- С [0; 1] определяется формулой
(Ах) (t) = х (0) + tx (1). Найти его спектр а (А), спектральный
радиус га (А) и резольвенту R\ (А)
Решение. Очевидно, что А — линейный оператор. Кроме того,
из неравенства
|Лх|«= max |х(0)+**(!) К 2Ш (V х = x(t)£C[Q; 1])
«ледует, что А ограничен, т. е. непрерывен. Нетрудно проверить,
что | А | = 2.
Для определения спектра а (Л) и резольвентного множества р (Л)
райдем вначале собственные значения оператора Л, т. е. найдем такие
к, что уравнение
x(Q) + tx(l) = lx(t), 0<f<l, (23)
имеет нетривиальное решение в пространстве С [0; 1]. Из (23) следует,
что (при А. ф 0) функция х (I) имеет вид: х (t) = a + fM Подставляя
это выражение для х (t) в (23), получаем а-М(а + [3)=Аа+ k$t,
0 <! t ^ 1. Поскольку функции 1 и t линейно независимы на отрезке
393

[0; 1], то последнее равенство приводит к линейной системе
(1 — А,) а = 0,
а + (1_А,)Р = 0.
Отсюда, так как аир одновременно не равны нулю, следует, что
А, = 1. Тогда а = 0. Таким образом, число А, = 1 является
собственным значением оператора А, а соответствующие собственные функции
х (t) имеют вид: х (f) = fit, где fi Ф 0.
Покажем, что к = 0 также является собственным значением
оператора А. Действительно, в этом случае имеем уравнение х (0) +
+ tx (1) = 0, 0 :¾ / ^ 1. Отсюда следует, что х (1) = 0 и х (0) = 0.
Поэтому нетривиальным его решением будут все непрерывные функции,
обращающиеся в нуль при г = 0 и / = I.
Таким образом, оператор А имеет только два собственных
значения: А. = 0 и А. = 1. Покажем, что все другие точки являются
регулярными точками оператора А. Пусть A. «j£ 0 и A. =^ I, а у = у (f) —
произвольная функция пространства С [0, 1]. Решим уравнение (Ах) (t) —
— Xx(t) = у {t), 0</< 1, т. е.
x(0) + tx(l) — Xx(f)=y(f), 0<*<1, (24)
в пространстве С [0; I]. Подставляя в уравнение (24) вначале t = О»
а потом t — \, получаем
хуу> 1-Х ' Х(1> 1— X (1-Х)2 •
Из (24) для А, Ф 0 и А, Ф 1 имеем
Следовательно, множеством значений оператора А — А.У для
1Ф 0 и А. Ф 1 является все пространство и этот оператор имеет обр ат-
нвй, определенный формулой (25), т. е.
+-i0w-r0w «'-имел и».
Непосредственно видно, что этот оператор непрерывен (это
следует и из теоремы Банаха об обратном операторе), и поэтому он
является резольвентой оператора А. Таким образом, для каждого
ХфО и А.Ф 1 существует резольвента, причем
+т№г-т№г ы-imcn id.
Поэтому спектр а (А) состоит только из чисел А, = 0 и А, = 1, которые
являются собственными значениями оператора А, а, следовательно,
непрерывный спектр ав (А) и остаточный спектр аг (А) отсутствуют.
394

Согласно теореме 12, спектральный радиус оператора А не может
5ыть меньшим чем 1 (расстояние от начала координат до ближайшей
особой точки X = 1 резольвенты) и, кроме того, /■„ (А) является
радиусом наименьшего круга, с центром в точке X = 0, содержащего
спектр оператора. Поэтому /■<, (А) = 1.
23. Пусть Е — комплексное банахово пространство и А : Е -*- Е —
линейный непрерывный оператор. Доказать, что если для
комплексного числа X существует такая нормированная последовательность
(*„)Г=1 точек из Е (|| хп || = 1, V я 6 И), что lim (Ахп — Ххп) = 0, то
к е о (А).
Решение. Действительно, если Х£о(А), то Х£р(А) и оператор
А — XI имеет непрерывный обратный (А — А,/)-1'. Е -+■ Е. Поэтому
lim*,, = lim (Л—Х1)~' (Ах„ — Ххп) = 0, что противоречит равенству
II хп II = 1 Для всех п £ ЭД.
24. Найти точечный ор (А), непрерывный ас (А) и остаточный
аг (А) спектры оператора А: СЮ; 11 —*- С [0; 1], если А
определяется равенством
(Ах) (0 = j х (s) ds, х = х (0 6 С [0; 1 ].
о
.у Найти эти части спектра для оператора Л, действующего из Lt [0; 1]
в Li [0; 1] или из С0 [0; 1] в С0 [0; 1], где С0 [0; 1] — пространство
всех непрерывных функций на [0; 1], обращающихся в нуль в точке
t — 0 с нормой J jc 1 = max / х (t) \.
Решение. Рассмотрим вначале оператор -А : С [0; 1]-*■ С 10; 1].
Его точечный спектр ар (А) состоит из собственных значений этого
оператора. Поэтому надо найти такие X, что уравнение
t
\x(s)ds = Xx(i), 0^г<1, (26)
о
имеет ненулевые решения в пространстве С [0; 1]. Если X Ф 0, то
поскольку левая часть этого уравнения является дифференцируемой
функцией, то таковой будет и х (t). Следовательно, дифференцируя
(26) по sf, находим, что (26) равносильно такой задаче Коши для
I 6 [0; 1] : х (/) = Хх' (/), х (0) = 0. Отсюда следует, что х (f) = 0
для каждого t £ [0; 1]. Поэтому оператор А не имеет собственных
значений, отличных от нулевого
Исследуем точку X = 0 Для этого надо найти ненулевую функцию
х = х (t) из С [0; 1], удовлетворяющую уравнению
t
\x(s)ds = 0, 0<*<1.
о
Дифференцируя последнее равенство, получаем х (f) = 0 для всех i
из отрезка [0; 1]. Таким образом, оператор А не имеет ни одного
собственного значения. Но поскольку он вполне непрерывен (см. пример 17)»
395

Следовательно, все точки А,, для которых | А | = 1, составляют нв-
рерывную часть спектра ас (А). Остаточная часть спектра о, (А) по-
■ому отсутствует.
27. Пусть А : Н -*- Н — самосопряженный оператор в комплекв-
)м гильбертовом пространстве Н. Доказать, что для такого оператора
таточная часть спектра отсутствует/
Решение. Пусть А — точка спектра оператора А, не являющаяся
бственным значением А. Тогда, по теореме 14, число А— действи-
льное, и поэтому оператор А — А/ — также самосопряженный»
эскольку А не является собственным значением оператора А, то ядро
г (Л — А/) состоит только из точки нуль. Но тогда из примера 12
едует, что множество значений R (Л — XI) оператора Л — А/ всюд^
отно. Поэтому R (А — л/) = Н и, следовательно, точка А принад-
ншт непрерывной части спектра ас (А) оператора Л.
28. Пусть Л — самосопряженный оператор, отображающий комп-
ксное гильбертово пространство Н в себя, и множество значений
(Л — А/) оператора Л — XI совпадает с Н, т. е. R (Л — XI) = Н.
(Казать, что А £ р (Л).
Решение. Если число А не является действительным, то, как из-
:тно, А £ р (Л). Поэтому можно считать, что А — действительное,
кажем вначале, что рассматриваемое число не может быть co6ctj
шым значением оператора Л. Пусть, наоборот, существует вектор
Ф 0 в пространстве Н, являющийся собственным вектором опера-
ia Л, отвечающим собственному значению А, т. е. Ах0 = Хх0. Тогда
i произвольного вектора у £ Н найдем (согласно условию) х£Н,
у = Ах — Хх. Поэтому
(*о> У) = (*о> Ах — Хх) = (Л*0 —Хх0, х) = 0 (Vy 6 Н)
0 = 0. Полученное противоречие доказывает, что данное А не hjb-
тся собственным значением оператора Л. Значит, непрерывный
ратор А — XI отображает гильбертово пространство Н на себя
имно однозначно. По теореме Банаха об обратном операторе су-
твует обратный оператор (Л — А/)-1 : Н -> Н, также являющийся
ейным и непрерывным. Следовательно, X £ р (Л).
29. Пусть Н — гильбертово пространство, линейный оператор
Н —>■ Н определен на всем пространстве Н и является симметрич-
, т. е. (Ах, у) = (х, Ау) для произвольных элементов х, у £ Н.
азать, что оператор Л ограничен. (Это утверждение называется
«мой Хеллингера — Теплица.)
°ешение. Первый способ. Доказательство проведем от
-ивного. Пусть существует такая последовательность (%„)£=i то-
пространства Н, нормы которых равны единице \хп\ = \,
£ И), что lim || Ахп Л = + оо Рассмотрим на пространстве Н
едовательность линейных функционалов #*„(*) = (Ах, хп),х£ Н.
сольку оператор Л симметричный, то &"п(х) =(х,Ахп), х£Н,
этому по теореме Рисса об общем виде функционала на Н каждый
сционал 3"п является линейным и непрерывным, причем j &к | =»

— \Ах„\. Поскольку lim|| Axn\ = + °°> то'последовательность flJ^f^JLi
n-*oo
неограничена.
Однако, для каждого фиксированного #£ Н имеем неравенства
I #"п (х) | <| Ах\\ • || ха || = || Ах || (V п £ ЭД), означающие, что для
любого х£Н последовательность {& п (х))%=\ ограничена. Тогда по
теореме Банаха — Штейнгауза нормы | &п || функционалов &п
ограничены. Полученное противоречие завершает доказательство
утверждения.
Второй способ. Утверждение этой задачи может быть
получено и с помощью теоремы 20 (гл. 3, § 3) о замкнутом графике В
самом деле, из симметричности А следует, что если хп ->% и Ахп ->дс',
то для каждого у 6 Н (х', у) = lim (Ахп, у) = lim (хп, Ay) =
П-*-О0 П-ЬОО
= (х, Ау) = {Ах, у). Поэтому х' = Ах и А — замкнутый оператор.
Значит, А ограничен в Н.
30. Рассмотрим оператор А : С [0; 1] ->■ С [0; 1], полагая (Ах) (*) =
= -тг, с областью определения 0 (А) — линейным многообразием
непрерывно дифференцируемых на [0; 1] функций х (t),
удовлетворяющих условиям х(0) = х (1) =0. Доказать, что А —замкнутый
оператор.
Решение. Определение замкнутого оператора А для отображений
банаховых пространств аналогично соответствующему определению
для гильбертовых пространств. А именно, пусть Е1 и Е2 — банаховы
пространства и Л — линейный оператор с областью определения
j3 (А) с Е1 и множеством значений R (А) а Е2. Тогда оператор А
называется замкнутым, если из хп £ 0 (А) (п 6 И). lim хп — х, и
lim Ахп = у следует, что х £ 0 (А) и у = Ах.
п—оо
Заданный оператор А является линейным. Для доказательства
его замкнутости допустим, что последовательность (хп = хп (t))ZLi,
0 ^ f^ 1, из области определения 0 (А) сходится в С [0; 1] к
функции х = х (/) £ С [0; 1], а последовательность функций уп = (Ахп (i) =
= хп (j), 0^.t^\, сходится в С [0; 1] к некоторой функции у =■
= у (t) £ С [0; 1]. Поскольку сходимость в пространстве С [0; 1J
равномерная, то хп (t) ^Х- х (t) на [0; 1] и уп (f) = хп (f) ^5 у (f) на [0; 1].
Тогда, согласно известной из математического анализа теореме о
почленном дифференцировании функциональной последовательности,
функция х = х (t), 0 ^ t ^ 1, непрерывно дифференцируема и х' (f) =
= у (f) для произвольного t £ [0; 1]. Кроме того, поскольку все хп (/)
удовлетворяют условию х„ (0) = хп (1) = 0, то таковой является и
функция x(t). Следовательно, функция х = х (t) принадлежит
множеству j3 (А) и у (f) = (Ах) (t), 0^/^ 1. Поэтому оператор А
замкнутый.
31. Рассмотрим оператор А : Lt [0; ll->-L2|0; 1], полагая
(Ах) (f) = tx (0), с областью определения 55 (А) — линейным
многообразием непрерывных на [0; 1] функций. Найти область определения
J99

Si (А*) сопряженного оператора А* и оператор А*. Показать, что
оператор А не замкнут и, более того, он не допускает замыкания.
Решение. Поскольку область определения 55 (А) всюду плотна
в La [0; 1], то сопряженный оператор А* существует. Для его
определения надо .описать все пары функций у = у (f) и у* = у* (f) из
пространства L2[0; 1], для которых выполняется равенство
(Ах, у) = (х, А*у) (У*6.0(Л)).
т. е.
\tx(Q)ylf)dt = \x{t)y^{t)dt (Vx£$(A)). (27)
6 о
: Если в (27) взять x(t) = f, 0^^1, для п£ ЭД, то f fy*!f) dt -
о
= 0 (Vn6RJ). т. е. функция у* (t) ортогональна всем функциям
Покажем, что у* (f) ортогональна также функции х (t) — 1. Для
этого рассмотрим последовательность функций
принадлежащих области 0 (А). Тогда, положив в (27) х (t) = xn(t)t
получаем
j nty* (0 dt + J у* (Q dt = 0 (V«6 И).
о _1_
Устремив в последнем равенстве л к бесконечности, имеем
1
\ у* (t) dt = 0. Таким образом, функция y*(f) ортогональна всем
•
функциям полной в L2[0; 1] системы (О^=о- Поэтому y*(t)=0
почти всюду на [0; 1], т. е. у* = 0. Но тогда из (27) следует, что
1
[ ty (t) dt = 0.
i
Следовательно, область определения ф (А*) сопряженного опера-
гора А* состоит из тех функций у = у (t) £ L2 [0; 1], для которых
j ty(t)dt = 0. Оператор А* таким функциям у£0(А*) сопоставляет
I* = 0.
Докажем, что оператор А не допускает замыкания. Пусть, наобо-
)от, А допускает замыкание и В — такой замкнутый оператор, что
,00

А а В. Рассмотрим последовательность функций
[l—nt, 0</^— ,
Хп (0 = ,
I о, —<f<l,
принадлежащих области 0 (А) с 0 (В). Тогда нетрудно проверить,
что хп -*■ 0 в пространстве L2[0; 1] и (Вхп) (t) = (Ахп) (t) = t -*~t
в смысле L2 [0; 1]. На основании того, что В замкнут, имеем (ВО) (t) =
■= t, 0 <! t <! 1. Это противоречит линейности оператора В, поскольку
для линейного оператора SO = 0. Следовательно, оператор А не
допускает замыкания в пространстве L2 [0; 1].-
32. Пусть Н — комплексное гильбертово пространство,
реализованное в виде Lt [0; И, а Л = i -т.— линейный оператор,
определенный на совокупности 0(A) с L2 [0; 1] всех абсолютно непрерывных
на [0; 1] функций х = х (i), у которых производная х' принадлежит
Lt [0; 1] и для которых х (0) = х (1) = 0. Доказать, что оператор А
является замкнутым и симметричным. Найти сопряженный
оператор A*. i
Решение. Для доказательства замкнутости оператора А допустим,
что имеется такая последовательность (хп (0)~=i функций из 0 (А),
для которой в смысле сходимости в L2[0; 1] существуют пределы
lim xn(t) = х (t) и lim (Ахп) (f) = lim ixn (t) = iy (t). Рассмотрим для
л-»оо п-юа П-юо
каждого t £ [0; 1] характеристическую функцию К^-д (т), 0 ^ т ^ 1.
Тогда ввиду непрерывности скалярного произведения
t t
Y\mixn(f) = lim г j x'n(x)dx = i:] y(x)dx (Vt£[0; 1]),
«-»■00 fl~*-O0 Q Q
и поскольку для произвольного л 6 ЭД выполняется равенство хп(\) =
= 0, то \ у (х) dx = 0. В силу единственности предела получаем (воз-
6
можно изменяя значения функции х (t) на множестве лебеговой меры
t
•нуль) х (t) = С у (х) dx (\ft 6 [0; 1]). Отсюда следует, что функция
о
х = х (f), 0 <| / -^ 1, абсолютно непрерывна, х (0) =0, jc (1) = 0
и х' (f) = у (t) для каждого t £ [0; 1]. Таким образом, функция х =
= х (t) £ 0 (А) и (Ах) (f) = ix' (t). Поэтому оператор А замкнут.
Покажем, что оператор А является симметричным Рассмотрим
произвольные функции х = х (t) и у = у (t) из области 0 (А). Тогда,
интегрируя по частям, имеем
1 1
(Ах, у) = \ ix' (t) ylt)dt = ix (t) уф\о — § ix (t) yHt) dt = (x, Ay).
о 0
Поэтому оператор А симметричен.
401

Поскольку область определения $ (А) всюду плотна в Н, то
существует сопряженный оператор А*. Найдем его. Для этого
охарактеризуем все те пары функций у = у (i) и у* = y*(t) пространства
La[0; 1], для которых выполняется тождество (Ах, у) = (х, у*) длЛ
всех х = х ф £ 55 (А), т. е.
1 1
^ix'(t)JJf)dt = ^x(t)yUt)dt (\/%е#(Л)). (28)
о о
Поскольку L2 [0; 1] с Lt [0; 1], то рассмотрим первообразную
t
y*(t) = ] у* (т) d%, 0 ^.t ^.1. Интегрируя правую часть формулы (28)
о
по частям, имеем
* 1 1
j х (0 y*Jt) dt=\x (i) dYUt) =
о 0
1 1
= x(f) Y^tfJlJ — J x' (t) YUt) dt = — \x' (0 Y*lQd*.
о 0
Поэтому тождество (28) запишем в виде
1
\x'(f)[Y*(t)-iy(t)]dt = Q (У*е#(Л)). (29)
о
Очевидно, если Y* (f) — iy (t) = С = const, то (29) выполняется.
Наоборот, покажем, что если функция ф = ф (t) £ Lt [0; 1] такая, что
1
$%'(0ф(Г)* = 0 (Vx£0(A)), (30)
о
то ф постоянна на [0; 1]. В . амом деле, рассмотрим такую
функцию x(t) = J ф(тЫт — ct, где постоянную с подберем так, чтобы
о
1
х(1) = 0, т. е. положим c = J «p(x)dx. Тогда х (t)£0 (А). Поэтому,
о
подставляя вместо х это значение в равенство (30), имеем
1 1
0 = $ [Ф (0— с] V(i) dt = j [Ф (t) — с] [Ф(0 — с] dt.
п о
Значит, ф (0 — почти всюду постоянная функция или, изменяя ее
вначения на множестве меры нуль, ф (f) з= const (V t £ [0; 1]).
Тогда из (29) имеем, что Y* (0 = iy (t) для всех t £ [0; 1], т. *.
\y*{x)dx = iy(t) (V^[0; 1]).
в
402

Отсюда следует, что функция у = у (t), 0 ^.t ^.1, абсолютно
непрерывна на [0; 1] и у* (i) = iy' (t), 0^ t^. I. Следовательно,
пара у и у*, удовлетворяющая тождество (28), характеризуется тем,
что функция у абсолютно непрерывна на [0; 1], производная которой
принадлежит L2 [0; 1], ay* (t) s= (А *у) (t) = iy' (t). Тогда
совокупность всех таких у составляет линейное многообразие0 (А*), которое
является областью определения оператора А*, и (А*у) (i) = iy (f) для
каждой функции у = у (t) £ 3) (А*).
Этот пример показывает, что для неограниченных операторов
понятия симметричного и самосопряженного оператора различны.
33. Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор,
отображающий комплексное гильбертово пространство' Н в себя.
Построить спектральное семейство {£*,}, X£[tn; М +г), этого оператора
А и проверить справедливость формулы спектрального разложения
М+г
A = f ЫЕ% оператора А.
т
Решение. По теореме Гильберта — Шмидта для оператора А
имеются последовательность (A.„)~=i собственных значений и полная орто-
иормированная в Н система (en)n=i соответствующих собственных
векторов, причем lim Я„ = 0. Таким образом, для каждого х 6 Н спра-
ведливо равенство
Ах= V Хп(х,еп)еп. (31)
п=1
Кроме того, все собственные значения этого оператора и число
нуль, если оно не является собственым значением А, составляют
спектр о (А) оператора А. Поэтому все остальные точки отрезка [т,
М + е), где е > 0 и т = inf {Ах, х), М = sup (Ах, х), принадле-
жат множеству р (А). Тогда, согласно свойствам спектрального
семейства {£*,}, Я £ [т; М + е), только в точках спектра а (А)
функция Е% имеет точки разрыва, причем в точке Я = ЯА оператор Е%
является проектором на соответствующее собственное подпространство.
Исходя из этого, искомое семейство строится следующим образом:
V (х, ek)ek. Я<0,
Екх= Г*<Х
х— £ (x,ek)ek, Я>0.
Нетрудно проверит*, что для каждого Я £ [т; М + е) оператор
Вх — проекционный и выполняются все условия разложения единицы.
Кроме того, согласно свойствам интегралов Стилтьеса,
f MEьх = S Ял (х, еп) еп (V *€ Н).
403

Поэтому на основании формулы (31) этот интеграл совпадает с /4я>
М+г
т. е. Л% = \ XdExx (V х£Н).
т
Следовательно, построенное семейство {Е%.}, А, £ [т; М + г),
является спектральным семейством оператора Л.
34. Пусть Н = L2 [0; 1] — комплексное гильбертово
пространство, (Ах) (t) = ix (t)— оператор, определенный на линейном
многообразии 0 (A) cz L2 [0; 1] абсолютно непрерывных на [0; 1] функций
х = х (t), производная которых х' (f) принадлежит L2 [0; 1], и
удовлетворяющих граничному условию х (0) = х (1). Доказать, что
оператор А является самосопряженным, и найти его спектральное
разложение.
Решение. Многообразие 0 (А) всюду плотно в L2 [0; 1], и поэтому
существует сопряженный оператор А*. Найдем его. Для этого
охарактеризуем все те пары у = у (f) и у* = у* (t) функций пространства
L2 [0; 1], для которых выполняется тождество (Ах, у) = (х, у*)
относительно х = х (t) 6 0 (А), т. е.
1 1
\ix'(f)ylt)dt = \x(t)y^ir)dt (V х£ 0(A)). (32)
о о
t
Для у* = у* (t) введем функцию Y* (t) = f у* (т) dx. Из этого
о
определения следует, что Y*(0)= 0 и если в (32) взять x(t)= 1,
0^/^1, то Y*(l)= f y*(x)dx = 0. Поэтому для преобразования
о
правой части формулы (32) используем метод интегрирования по
частям. В результате
1
J х' (t) [Y* (0 - iy (t)] dt=0 (V % G 0 (A)).
о
Как и в примере 32, из последнего равенства следует, что функция
Y* (t) — iy (t) являете постоянной на отрезке [0; 1]. Поэтому
функция у = у (t), 0 ^ t s^ 1, абсолютно непрерывна и iy' (t) = у* (t) 6
£ L2 [0; 1]. Равенства Y* (0 — iy (t) = const, 0 < f < 1, и Y* (0) =
= Y* (1) = 0 позволяют заключить, что у (0) = у (1). Таким
образом, функция у = у (0> 0^/=^1, является абсолютно
непрерывной, ее производная у' (t) принадлежит L2 [0; 1] и выполняется
граничное условие у (0) = у (1), т. е. область определения 0 (А*)
оператора Л* является подмножеством $ (А). К тому жег/* (t) = (А*у) (t) =*
= iy' (t). Поскольку, очевидно, верно и обратное утверждение, то
оператор А является самосопряженным. ^
Как известно, неограниченный самосопряженный оператор А до-
-J-oo
пускает спектральное разложение Ах = f hiE^x. Чтобы его охарак-
404

теризовать, опишем спектральное семейство {£»,}, А £ IR, оператора
А. Для этого исследуем спектр а (А) оператора А. Вначале найдем
его собственные значения, т. е. найдем такие действительные числа
А, что уравнение Ах = Хх, т. е. i х (t) = Хх (t), 0 <! £ :gC 1, имеет
нетривиальное решение х = х (t) £ 0 (А). Решая это уравнение,
получаем х (t) = Ce~lU, 0 :¾ / :¾ 1, где С— некоторая постоянная.
Отсюда, учитывая граничное условие х (0) = х (1), приходим к
равенству ега = 1, т. е. X = — 2ял, где п £%. Поэтому собственным»
значениями оператора А являются действительные числа Хп = — 2лп,
п 6 2L, а соответствующими собственными функциями — еп (f) = е2пп",
0^/^1. Найденная система собственных функций (е„ (0)Й°-<»
является ортонормированной и, как указывалось в гл. 2, § 4, она полная
в МО; U.
Покажем, что все действительные числа X, отличные от найденных
собственных значений Хп, являются регулярными точками оператора
А. Действительно, общее решение уравнения Ах — Хх = у имеет вид
хф = е-'"| С — i f у{х)еаЧх\, 0<f<l. (33)
Надо только подобрать постоянную С (если это возможно) так,,
чтобы х (0) = х (1). Нетрудно проверить, что если А, ф Хп (V п £ %)>
то такое С существует и оно единственно. Таким образом, оператор
(А — А/)-1, если А Ф Хп (V п £ %), отображает все пространство
£2 [0; И в себя. Кроме того, из вида общего решения (33) следует,
что (Л — А/)-1 непрерывен. Действительно, если последовательность
{уп (t))n=i функций из L2 [0; 1] сходится в этом пространстве к
функции у (t), то, согласно непрерывности скалярного произведения,
lim хп (t) = lim е-'« (С —i \уп(х) e^dA = trtu\C—i (у (т) ешйх
П-оо л-кх. \ 0 ) \ §
' =x(t)
в каждой точке t £ [0; 1]. Из оценки
j yn(x)e^dr < i[\yn(r)\2dx U <Bt/„fl (VnfERJ)
следует, что последовательность (xn (fflZLi ограничена некоторой
постоянной на [0; 1]. Поэтому последовательность функций хп ({) =
= ((А — А/)-1 уп) (t), и 6 И» сходится в среднем квадратичном к,
функции х {{)'= ((А — A/)~'z/) (t). Следовательно, оператор (А — А/)-1
является непрерывным для каждого ХфХп, п £ %.
Таким образом, спектр оператора о (А) состоит из одних только
собственных значений Хп = —2яя, п£Ж- Поэтому спектральная
функция Ех, X 6 IR, является кусочно-постоянной .и имеет разрывы только
в точках Хп, причем скачок Е% +о — Е% является проекционным
оператором на собственное подпространство оператора А, отвечающее
40S

«обственному значению Хп. Но это подпространство одномерно и
функция еа (f) = е211"'1 образует его базис. Следовательно,
((£^+0 - £\п) х) (t) = (х, е„ (i))en(t) (п£Ж)-
Тогда спектральное семейство {£*,}, А. 6 К, имеет вид
(Etx)(i) = £ (x,en(t))en(t) (x£L2[0, 1]).
Нетрудно проверить, что построенное семейство {Е%), X £ IR,
удовлетворяет всем условиям разложения единицы оператора А.
Кроме того, каждый элемент х = х (t) из L2 [0; 1] разлагается в
ряд Фурье по базису (е„ (i))t~-oo, т. е.
*(*) = +£ (x,ea(f))en(f).
Исходя из этого, проверим справедливость спектрального разложения
Ах= \ ЫЕ%х (Vx£$(A)).
—ОО
Для этого функцию (Ах) (t) = ix' (t), где х (t) £$ (А), разложим в
ряд Фурье
ix'(t)= J" (ix'({),en(t))en(t).
I n—ОО
Коэффициенты Фурье функции ix' (t) по этой системе легко выра-
аить через коэффициенты Фурье функции х (t)
(Ix' (t), еп (i)) = i $ x' (0 e-2nnlidt = ix (f) e~2nnti f0 —
в
l
- 2ял J * (t) e-2nnildt = Xn (x (i), en (0) (V n € Z).
о
Поэтому
(Ax) (t) = J" К (x (0, en (t)) en(f) (V x <E <S (Л)).
n=—eo
Однако, поскольку функция E%., X £ IR, постоянная всюду, кроме
точек Хп = — 2пп, п 6 Z, то
[ Ш^= £ М^я+о-£„„)* = +f М*(0>М0)еп(0-
_^„ п=—оо л=— оо
Таким образом, для каждого х £ jS (Л) действительно имеется
равенство
+оо
Ах= \ МЕкх.
—оо
406

Согласно свойству единственности спектрального семейства,
построенная оператор-функция Е%, X £ IR, является искомой.
35. Пусть Н = L2 (IR) — гильбертово пространство и (Ах) (t) »
«■= tx (t) — оператор, определенный на множестве $ (А) «= {х (i) —■
6 L2 (IR) : tx (f) 6 L2 (IR)}. Доказать, что Л является
самосопряженным оператором, и найти его спектральное разложение.
Решение. Поскольку область определения 0 (А) содержит,
например, финитные непрерывные на IR функции, то SO (A) = Lt (1R).
Поэтому существует сопряженный оператор А*. Найдем его. Для
»того охарактеризуем все те пары функций у = у (f) и у* = у* (ф
пространства L2 (IR), которые удовлетворяют равенству (Ах, у) =■»
= (х, у*) для каждого х £ $ (А), т. е.
[tx(f)JJi)dt=: \x(t)y^f)dt (Vx=x(t)£0(A)y.
R R
Из последнего тождества имеем
\x(f)[ty(t)-y*(f)]dt = 0 (V *=*(*)€# (Л)),
R
и так как множество i5 (А) всюду плотно в Lt (IR), то почти всюду
у* (f) = ty (i), /6 IR Таким образом, функция у такая, что ty (t) £
6 L2 (IR) и справедливо равенство у* (f) = ty (t). Тогда 0 (A*) <zz
с <jb (А) и (А*у) (f) = ty (t), t 6 IR Поскольку, очевидно,
справедливо и обратное утверждение, то А* = А, т. е. А —самосопряженные
оператор.
Как и всякий самосопряженный оператор, рассматриваемый
оператор А имеет спектральное семейство {£V}, а, б IR, и справедлива
спектральное разложение Ах = \ ЫЕхх.
IR
Найдем спектральное семейство {Е^}, Л, 6 1R Для этого вначале
охарактеризуем спектр а (А) оператора А. Известно, что если 1т Х^
*£ 0, то X является регулярным значением самосопряженного
оператора А, т. е. X 6 р (А). В нашем случае это очевидно. Кроме того,
каждое действительное число X есть точка спектра оператора А.
Действительно, если X 6 IR, то из уравнения tx(t)—Xx(f) =y(t) следует,
что X не является собственным значением и
((A-Xr)-'y)(f) = JLVL-.
Покажем, что линейный оператор (А — А,/)-1 неограничен. Для-
этого рассмотрим последовательность (хп (0)!u.i функций из 0 (Ау
таких, что
*»(0
Уп, Х</<Я.+ 4"»
я
О, /gk; А+х]'
40?

Тогда I хп I = 1 для каждого п 6 И. а для соответствующей
последовательности функций у„ (f) *= (t — X) хп (f), n 6 W. имеем
%.
Следовательно, у„-+0, но х„ ■= (А — А,/)-1 упЧ* 0. Поэтому
оператор (А — Х1)~ не является непрерывным. Таким образом, спектр
а (А) оператора А состоит из всех действительных чисел IR, т. е.
о (А) = Ц. Ясно, что ас(А) = Ц и а, (А) = 0.
Исходя из этого, заключаем, что интегрирование в спектральном
разложении оператора А осуществляется по всей числовой оси, а
спектральная функция Е%, X 6 R, не имеет интервалов постоянства и
является непрерывной на 1R.
Если точка X £ £ не является действительным числом, то
(¾ (Л) х) (t) - -¾ (V х = х (t) <Е L2 (IR)).
Отсюда
—оо —во
t
где ф (0 — f |л: (т) /а d-r— непрерывная на IR функция. Кроме того,
из спектрального разложения оператора А следует, что
+оо
(Rx(A)x,x)= j d(/y , *<ELg(lR).
Приравнивая оба выражения для (R), (А) х, х), для
невещественных % имеем
f d<p(Q р* d (£,*, x)
3 '-* J '-* •
—оо —оо
Отсюда в силу формулы обращения Стилтьеса и непрерывности на IR
функций ф (0 и (Etx, х) следует, что (Etx, х) = ф (*) для каждого
* <Е R. Таким образом, для каждого х 6 Ьг (1R)
(£,*,*) = J |*(т)|«Л, fglR,
—оо
и поэтому (£*,*) (i) = X<-°°;*J (0 *(0> гДе Х(-ооЯ] — характеристическая
функция полуинтервала (— оо; X]. Вычисляя интеграл \ XdE%x, на-
R
ходим
(\ ЫЕхх)({) = ( М (%<-.;« W *(0) = te(0-
\R / О?
408

При этом мы воспользовались тем, что при каждом фиксированно»
16 IR функция g (X) = Х(_оо;ц (0 * У) постоянна на промежутка*
(— оо; X] (она равна здесь х (г)) и (X; + оо) (где^ (X) = 0).
' Задачи для самостоятельной работы
1. Какие из следующих операторов А : С [0; 1]-»- С 10; 1] являются вполне
непрерывными:
а) (Ax)(t) = tx(t);
б) (At) (/) = С тх (т) dt;
о
В) (At) (/) = X (0) + & /-1Л + /¾ (1);
1
г) (Ах) (t)=t[ etsx (s) ds;
д) (Ax) (t) = x (*a)?
2. Будет ли влолне непрерывным оператор А : С[— 1; \]-*-С[— 1; 1J,
определенный равенством (Ах) (t) = -— [х (t) + х (— t)]?
t
3. Доказать, что оператор A : L2 [0; l]-*-L2 [0; 1], (Ах) (i) = \xx(x)dx впол-
'У
не непрерывен.
4. Может ли оператор А, (Ах) (f) = a (t) х (/), умножения на функцию a (t) быть
вполне непрерывным в пространстве L2 [0; 1]? А в пространстве La (X, fi), где р, —
некоторая счетно-аддитивная мера на множестве X?
5. Пусть Ш — ограниченная замкнутая область в Rm и функция k (t, s),
определенная на Ш X &, удовлетворяет условиям:
1) существует постоянная С, что
^\k(t, s)|ds<C (V<€®);
2) для произвольного 8 >• 0 существует такое б >. 0, что из неравенства | ij —-
— *а I < S Ci, к € ®) следует
£/*(***) — k{ta, s)]ds<&.
&
Доказать, что интегральный оператор А : С (&) -»- С (0),
(Ах) (t) = ^k (t, s) х (s) ds,
в)
вполне непрерывен.
6. Пусть 0 — ограниченная область в Rm и ядро k (t, я), определенное в*
Я X ®, представимо в виде
k{t,s> = ±JL<L,
Pa(t,s)
где fei ((, s) — ограниченная измеримая по Лебегу на т X 0 функция, а р (t, я) —
расстояние между точками t в s пространства Е"\ Доказать, что если a < -g—, те
40*

интегральный оператор A: Lj (Я) -*- L2 (SS),
(Ax)(f)=[-^£^-x(B)ds,
«полне непрерывен.
7. Доказать, что если ядро k (t, s) представимо в виде
|/-«| '
тда непрерывная функция k± (t, s) отлична от нуля хотя бы в одной точке диагонали
t «■ а, то интегральный оператор А : С [0; 1] -»- С [0; 1], определяемый соотношением
1
(Ах) (/) = j* -j7=lf * (*> *.
о
ле является вполне непрерывным.
Являются ли вполне непрерывными следующие операторы А : С [0; 1] -*■ С [0; 1]?
А «ели рассматривать А как отображение пространства L2 [0; 1] в себя? (см.
задачи 8—14):
1 1
8. (Ах) (t) = [х (s) ds. ». (Ах) (0 = С [s sin / + ss cos *] x (s) ds.
о о
10. (Ax) MJf .'«>* ■. 11. (Л,) И = f -i^-Л.
JKIsm^ —sins .) . L
0 o*2
1 l
о
l
14. (At)(0 = j *(^S) ds.
15. Пусть оператор /4 определен на многообразии ^ (/4) дважды непрерывна
дифференцируемых на [а; ft] функций л: = х (t) формулой
*
<i4*)(0 = j *</,«)** (s)<fc,
а
где ft (<, s) 6 С® ([а; ft] X [а; ft]). Доказать, что А продолжается до вполне
непрерывного оператора А : С [а; Ь)-*- С [а; ft].
16. Доказать, что оператор вложения А : С*1' [о; ft] -*■ С [о; ft], действующий по
формуле Ах — х, где х = х (t) £ С*1' [a; ft], является вполне непрерывным.
17. Пусть j4 : /х —*- /х —линейный оператор, определенный с помощью формулн
(оо се \
£ «1/1/. £ «2/1/' •.•).*= (6i, £а. ---)6 'l-
f-1 /=.1 /
Доказать, что если V \ati |<С«= const (i = 1, 2, . . .) и эти ряды сходят-
/»1
«'

ся равномерно по (', т. е. для любого е >■ О существует номер п0 такой, что-
00
X \ац\<-в для всех '"€ Ni т0 оператор А вполне непрерывен.
18. При каких а, р и v> 0 оператор А : С [0; 1]->- С [0; 1], определяемый
формулой
1
(Ах) (t) = ( tas&x (sv) ds,
о
является вполне непрерывным?
19. При каких а, р и v>° оператор A : L2 [0; 1] -»- L2 [0; 1], определяемы*
формулой
I
(Ах) (t) = \ tas^x (sv) ds,
о
является вполне непрерывным?
20. Рассмотрим оператор A : L2 [0; 11 -*■ L2 [0; 1], определенный с помощью
формулы
, 1
(Ах) (t) = ^k (t, s) х (sa) ds, x = x (t) 6 L2 [0; 1],
о
где k (t, s)ZC ([0; 1] X [0; 1]). Доказать, что при 0 < a < 2 оператор А вполне
непрерывен.
21. Рассмотрим оператор А : С [0; 1] ->- С [0; 1], определенный формулой
1
(Ах) (t) = f k (t, s) x (sa) ds, x = x (t) б С [0; 1],
о
где k (t, s) 6 С ([0; 1] X [0; 1]). При каких а он является вполне непрерывным?
22. Доказать, что любой ограниченный линейный оператор А : 12-+ 1х является
вполне непрерывным.
23*. Доказать, что если банахово пространство £ рефлексивно, то любой
оператор А £ & (£, lt) вполне непрерывен.
24. Доказать, что любой вполне непрерывный оператор A : l2 ->- 12 представим
в виде А= А1-\- А2, где At — оператор конечного ранга и || А2 |Г< 1.
25. Доказать, что вполне непрерывный оператор А : Ех -»- £2, где Е1 и £8 —.
банаховы пространства, переводит слабо сходящуюся последовательность
пространства £, в последовательность пространства £2, сходящуюся по норме.
26. Доказать, что если Е1 —. рефлексивное банахово пространство, а Е2 —
банахово, то линейный оператор A : £i-»- £2, который переводит слабо сходящуюся
последовательность в сильно сходящуюся, является вполне непрерывным.
27. Доказать, что область значений R (А) вполне непрерывного оператора Л,
отображающего нормированное пространство £t в нормированное пространство Е3,
является сепарабельным множеством.
28. Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гильбертовом
пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда его область значений
конечномерна.
29. Будет ли вполне непрерывным оператор вложения А : 1^-*-12, т. е. Ах = ж
для х £ lj?
30. Пусть £ — одно из пространств 1Р (р > 1), т, с, сй. Рассмотрим такой
оператор А :£-»-£, что для х = (¾. £2, ...) £ £ Ах = (т)ь т]2, ...), где т|/ = 0, если / —
нечетное, и г|/ = 5,-_i, если / — четное. Доказать, что А не является вполне
непрерывным оператором, хотя А2 — вполне непрерывен.
81. Пусть Е1 и £2 — банаховы пространства, А : £4 ->- Е2 — вполне
непрерывный оператор, В 6 & (Ег, £2) и множество значений R (В) оператора В содержится
в множестве значений R (А) оператора А. Доказать, что В также вполне непрерывен^
411

82. Пусть fij и £2 — линейные нормированные пространства, а последователь-
«ость (Ап)^1 вполне непрерывных операторов, отображающих £t в £2, сильно
сходится к оператору А : £t -»- £2. Следует ли отсюда, что А вполне непрерывен?
33. Доказать, что любой оператор А 6 £? (Н), где Н — гильбертово пространство,
■является сильным пределом последовательности вполне непрерывных операторов.
34. Пусть (еп)1?=1 — ортонормированный базис гильбертова пространства Н, а
последовательность действительных чисел (Х„)^_[ ограничена. Для х £ Н положим
оо
Ах= ^ Х„ (х, еп) еа. Доказать, что оператор А является ограниченным на Н. При
л=1
каких Х„ он вполне непрерывен?
35. Пусть (en)£Li — ортонормированный базис гильбертова пространства Н к
А : Н -»- Н — вполне непрерывный оператор. Доказать, что lim Аеп = 0.
гс->оо
36. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -»- Н — линейный
непрерывный оператор. Доказать эквивалентность следующих утверждений:
а) если хп, х, уп, у £,Н (л (Е N) и хп ->- х (я -+■ оо) слабо, уп ->- у (п -»- оо) слабо, то
lim (Ахп, уп) = (Ах, у);
n-t-oo
б) если хп, х 6 Н (л £ N), Нш1л = 1 слабо, то lim <4х„ = Ах;
л-юо n-t-oo
в) А — вполне непрерывен.
37. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — вполне непрерывный
■оператор, М а Н — замкнутое ограниченное выпуклое множество. Доказать, что:
а) образ множества М замкнут в Н;
б) для любого у 6 Н существует такое хй £ М, что
inf $Ах-у1 = \\Ахй-у\\.
38. Пусть Н — гильбертово пространство и оператор А : Н -*■ Н вполне
непрерывен. Доказать, что образ замкнутого единичного шара суть компактное в себе
множество.
39. Верно ли утверждение предыдущей задачи для вполне непрерывного
оператора А : Е -*■ Е, рассматриваемого:
а) в произвольном банаховом пространстве £;
б) в рефлексивном банаховом пространстве £?
40. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -»- Н — вполне непрерывный
оператор. Доказать, что существует такое х £ Н, х Ф 0, что || Ах J = Ц А | • Ц х Ц.
41. Может ли оператор А : С [0; 1] -»- С [0; 1], определяемый формулой
1
{Ax)(t)=(^jLx{s)ds,
где k (t, s) — непрерывная функция при 0^^^1, O^s^l, иметь ограниченный
обратный?
42. Пусть £ — банахово пространство, А € 2? (£) и существует такое
положительное число т, что для любого х £ £ выполняется неравенство || Ах Ц ^ т |] х J.
Может л оператор А быть вполне непрерывным?
43. Пусть (еп)^'_1 — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н.
Оператор А £ £? (Н) называется оператором Гильберта — Шмидта, если величина
оо
|Л||= у ||/4e„|P конечна. Доказать, что:
а) величина II А ^ не зависит от выбора ортонормированного базиса в Н;
б) Mb=-|i4"|,; «ОИКМЬ;
г) величина Ц A ^,, определенная иа классе операторов Гильберта — Шмидта,
является нормой;
д) в пространстве & (Н) операторы Гильберта — Шмидта образуют линейное
многообразие;
412

е) равенство (А, В) = J] (Ле„, Be„) задает на классе операторов Гильберта —
Шмидта скалярное произведение;
ж) операторы Гильберта — Шмидта образуют банахово пространство
относительно || А ||2;
з) всякий оператор Гильберта — Шмидта вполне непрерывен;
н) оператор А : L2 [0; 1] -»- L2 [0; 1], определяемый формулой
1
(Ах) (t) = ^ k (t, s) х (s) ds, где k (t, s) <E L2 ([0; 1] x [0; 1]),
о
есть оператор Гильберта — Шмидта;
к) если А — оператор Гильберта — Шмидта и В б & (Н), то АВ и ВА —
операторы Гильберта — Шмидта,; при этом || АВ ||2 < \\ А ^ • ]] В ||, || ВА ||2 < || А ||2 • Ц В Ц;
л) при каком условии на последовательность (Xn)%Li с: К оператор А : 12 -»- /,,
где Ах = (Л,х£х, Xjij, ...) для* = (|х, £2, ...) (Е 12, является оператором Гильберта —
Шмидта?;
м) в пространстве 1^ построить вполне непрерывный оператор, не являющийся
оператором Гильберта — Шмидта.
44. Пусть Н — гильбертово пространство. Оператор A £ 2? (Н) называется
ядерным, если он представим в виде А = ВС, где В, С — операторы Гильберта —
Шмидта. Доказать, что если А — ядерный оператор, то:
а) А—оператор Гильберта—Шмидта и, следовательно, вполне непрерывный
оператор;
б) АА0 и АВА, где Л0 £ & (Н),— ядерные операторы;
в) А* — ядерный оператор;
г) для любого ортонормированного базиса (en)^JLi в Н ряд ^] (Ле„, е„) аб-
л=1
солютно сходится.
45. В пространстве Н = 12 привести пример оператора Гильберта — Шмндта, не
являющегося ядерным.
46. Пусть £,, £2 — линейные нормированные пространства, a, (J £ С, а А, В £
€ & (£х, £2). Доказать, что (аА + ($£)* = аА* + (ТВ*, где черта означает
комплексное сопряжение.
47. Пусть £ — линейное нормированное пространство, А, В £ & (£). Доказать,
что (АВ)* = В*А*.
48. Пусть £х, £2 — линейные нормированные пространства и A^Sf(E1, £2).
Доказать, что если существует Л-1 6 & (£2, £,), то сопряженный оператор А* также
имеет обратный, причем (Л*)-1 £ 5? (£}, £!|) и (Л*)-1 = (Л-1)*.
49. Пусть Н — гильбертово пространство, A Z g (Н), ker Л — ядро оператора
A, a R (А) — область значений оператора Л. Доказать, что;
а) ker (АА*) = ker Л*; б) кет (А*А) = кег Л;
в) # (ЛЛ*) = R (А); г) || ЛЛ» || = || Л f.
80. Найтн сопряженный к оператору Л : Ц [0; 1] -*■ L2 [0; 1], если:
а) (Ас) (0 = tx (t); б) (Ах) (<) = f cos t ■ х (s) ds; в) (Ax) (t) = [x (s) ds.
о о
81. Найти оператор, сопряженный к оператору Л : I -*■ 1Ъ если:
а) Ах = & £„, 0, 0, ...), где х = (gx. I,, ...) 6 ix;
б) Ах = (ЯХБХ, Xj^, ...), где последовательность (^n)^=i <= R ограничена, х = (|х,
Ъ ) € /ж:
в) Ае = (0, 0. &. Ь, ...), *=&, Ь, ...)6/х;
г) Л*=(£2, £з ). *=(li. £i. ...)6ii.
62. Найти сопряженные к операторам задачи 51, если онн рассматриваются как
действующие:
а) иа се в с0; б) ив /, в /3; в) не /х в св.
41S

63. Найтн оператор, сопряженный к оператору вложения А :/2-»-с0, Ах = х.
64. Найти оператор, сопряженный к оператору A : Lt [0; 11-+-1¾ [0; 1| еслкх
a) (Ax)(t)=x(ta), а>0;
^Н 0, *</<!.
55. Найти оператор, сопряженный к оператору A : Lt (К)->- Lj (R), если:
а) (Ах) (t) = х (/+ й), где /i — некоторое фиксированное число;
б) (А*) (/) = а (0* (<+A)i где a (t) — некоторая ограниченная измеримая
функция и h — фиксированное число;
в) (А*)(/) = \\x(t) + x (-()).
66. Пусть Н — гильбертово пространство. Доказать, что оператор A £ 2 (Н)
является самосопряженным тогда и только тогда, когда квадратичная форма / (х) =
= (Ах, х)у х 6 Н, вещественна.
57. Пусть Н — гильбертово пространство. Доказать, что любой оператор А €
£ £? (Н) однозначно представим в виде А = В + /С, где В и С — самосопряженные
операторы.
58. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н -+■ Н — самосопряженный
оператор. Доказать, что оператор (/ + v£A)~ (v Ф 0, v 6 R) — обратим, т. е.
существует линейный оператор (I + viA)~' : # (/ +-vM) -+■ Н, где R (I + vM) —
множество значений /+ xiA. v
59. Пусть А—вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное
банахово пространство Е в себя, и для каждого элемента у из множества значений
R (А) решение уравнения Ах = у единственно. Доказать, что непрерывной
зависимости решения х от правой части у для у £ R (А) нет.
60. Пусть Е1 к Е2 — банаховы пространства, А — линейный ограниченный
оператор из Et в £2. Для того чтобы при данном у существовало решение уравнения
Ах = у, необходимо, чтобы (у, /) = 0 для любого функционала / £ Е'2,
удовлетворяющего уравнению A*f = 0. Доказать это утверждение.
t
* 61. На примере оператора (Ах) (/) = f х (s) ds, х = х (i) £ L2 [0; 1], показать,
о
Что условие задачи 60 не является достаточным для разрешимости уравнения
Ах= у.
62. Пусть оператор А : 1г-*- 12 действует по формуле
Ах = (XiEi, Х2£2, ...),* = (Еь ?2, . . .) 6 I,,
где числовая последовательность (^n)^Li ограничена. При каких Хд для уравнения
Ах = у справедлива первая теорема Фредгольма? вторая теорема Фредгольма?
63. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово
пространство Е в себя, 7/=/ — А. Доказать, что в цепочке вложенных подпространств
ker Т cz кег Т2 а ..., начиная с некоторого п £ N, выполняются равенства кет Т" =
= кег 7^+1 = ... .
64. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово
пространство Е в себя, Т = I — Акт — наименьшее нз целых неотрицательных чисел
п, для которых кег Тп = кег Тп+1 = ... . Доказать, что Е = ker Tm + R (Тт) и
сужение оператора Г на R (Тт) взаимно однозначно отображает R (Тт) на R (Тт).
65. Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово
пространство Е в себя. Доказать, что уравнение х — Ах = у разрешимо для любого
у 6 Е тогда и только тогда, когда уравнение х — Ах = 0 имеет только нулевое
решение.
66. Доказать вторую теорему Фредгольма, используя результат задачи 65.
68. Доказать теоремы Фредгольма для уравнений вида Вх — Ах = у, где А —
вполне непрерывный оператор, отображающий банахово пространство Е в себя, а
оператор В £ 5? (Е) имеет непрерывный обратный В-1 € & (Е).
69. Доказать теоремы Фредгольма для уравнений вида х — Ах = у, где А -<-
линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство В в себя,
414

в случае, когда Л не вполне непрерывен, но некоторая его степень Ап есть вполне
непрерывный оператор.
70. Пусть А — оператор сдвига в пространстве 1г, действующий по формуле
Ах = (0, |t, £2, ...), х = (6,, £2, ...) 6 /2. Доказать, что для уравнения Ах = у
первая теорема Фредгольма справедлива, а вторая — нет.
71. Доказать, что если оператор AZ& (£ь £г), где £, и £2— банаховы
пространства, имеет непрерывный обратный А~1 £ 9" (£2, Ех), то А фредгольмов.
72. Пусть £j и Е2 — банаховы пространства, А : Ех-*- Ег — линейный
ограниченный оператор. Доказать, что для нормальной разрешимости уравнения Ах = у
необходимо и достаточно, чтобы область значений R (А) оператора А была
замкнутым множеством.
73. Пусть оператор А 6 & (Elt Ег), где £, и £2 — банаховы пространства, таков,
что для некоторого положительного числа т выполняется неравенство || Ах || ^
> т || х || (V х 6 Ег). Доказать, что А нормально разрешим.
74. Доказать, что А : Ц /0; 1] -*■ Ц /0; 1], (Ах) (t) = tx (/), есть неотрицатель-
аый самосопряженный оператор.
76. Доказать, что оператор А : L2 [0; 1] -*■ L2 [0; 1],
(Ах) 0) - j" е'+*х (s) ds,
является самосопряженным и неотрицательным.
76. Пусть /i 6 R, h ф0, фиксировано. Доказать, что разностный оператор
A :L3(R)->L2(IR),
(Ах) (t) - 4-
'+4-)-*('-г)]-
является самосопряженным.
77. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор. Доказать, что ||^a(f = \\А II2.
78. Пусть Н — гильбертово пространство, (А„)™=1 — последовательность
самосопряженных операторов, отображающих Н в Н. Доказать, что если эта
последовательность сильно сходится к оператору А, то А —также самосопряженный оператор.
Доказать также, что если все Лч положительны, то и Л — положительный оператор.
79. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор. Доказать, что если для некоторого х 6 Н вектор Ах отличен от нуля,
то А" х Ф 0 для любого натурального п.
80. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н ->- Н — самосопряженный
оператор, причем А ;> 0. Доказать чквивалентность следующих утверждений:
а) множество значений R (А) всюду плотно в Н;
б) ker А = {0};
в) (Ах, х) > 0 для каждого х g Н, х Ф 0.
81. Пусть Н — гильбертово пространство и А, В : Н -*■ Н — самосопряженные
операторы, причем А > 0. Доказать, что BAB ^ 0.
82. Пусть Н — гильбертово пространство, А, В : Н -*■ Н — самосопряженные
операторы, причем А ^ В и В ;> А. Доказать, что А = В.
83. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор и А > 0. Доказать, что для любого х £ Н выполняется неравенство || Ах f ^
< И || (Ах, х).
84. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — самосопряженный^опе-
ратор, 0 <; А < XI, где X > 0. Доказать, что || А || = X.
85 Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — самосопряженный
-вператор, А > 0. Доказать, что если существует А~х £ 2 (Н), то А~1 > 0.
86. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор, Я. € С, Im X ф 0. Доказать, что существует (А —ХГ)~'.
87. Пусть Н — гильбертово пространство, А £ 2 (Н). Доказать, что оператор
(] + А А*)"' существует.
415

88. Пусть Н — гильбертово пространство, А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор, А ;> 0. Доказать, что для любого X £> 0 оператор А + X/ непрерывно
обратим, т. е. существует оператор (Л + Xl)~l и (Л + Х/)—' £ ^ (Н).
89. Рассмотрим оператор А : /2 -»- /а, где Л* = (0, 0, |g, |4, ...), если х = (|t,
5j, ...) £ 'г. Доказать, что Л — самосопряженный оператор и Л > 0. Найти ]^"Я —
квадратный корень из оператора Л.
90. Пусть (еп)~=1 — ортонормнрованный базис в гильбертовом пространстве Н,
Определим оператор Л : Н -*■ Н равенствами Лех = 0, Аеп = — ея_, при п. > 1.
Доказать, что:
а) Л — вполне непрерывен;
б) не существует оператора В £ 2 (Н) такого, что Вг = Л.
91. Пусть Н — гильбертово пространство, Л : Н -*■ Н — самосопряженный
вполне непрерывный оператор, Л ;> 0. Доказать, что У~Л вполне непрерывен.
92. Пусть Н — гильбертово пространство, Л £ 2 (Н), существует Л—' £ 2 (Н) и
fi= /Л*Л.
а) Доказать, что В — самосопряженный оператор, В>0 и существует В~1 $
€ * (Н).
б) Положим U = Л5 ', так что справедливо представление Л = £/Л, которое
■азывается полярным разложением. Доказать, что U — унитарный оператор.
93. Пусть Е — комплексное банахово пространство, А : Е -*■ Е — линейный
оператор и оператор А~ существует. Доказать, что Л и А~' имеют один и те же
собственные векторы.
94. В вещественном линейном пространстве С [0; я] найтн собственные значение
d*x
В собственные векторы оператора (Ах) (t) = -^-, если;
at
а) & (Л) = {х (t) £ С(2) [0; я] : х (0) = х (я) = 0};
б) «g> (Л) = {* (t) £ С(2) [0; я]: х' (0) = х' (я) = 0};
в) Ш (Л) = [х (t) £ С(2) [0; я] : х (0) = х (я), х' (0) = х' (я)}.
95. Доказать, что оператор н его резольвента перестановочны.
96. Доказать, что если X, ц £ р (Л), то
#х И) - R» (А) = (X - Ц) /¾ (Л) R^ (А) = (X - ц) Я№ (Л) Rx (Л).
97. Пусть £ — банахово пространство н Л £ S* (£). Может ли оператор /?^ (Л)
выть вполне непрерывным?
98. В пространстве С [а; 6] рассмотрим оператор (Ах) (i) = ф (t) х (t), где ф (i) —
некоторая строго монотонно возрастающая н непрерывная на отрезке Га; Ь] функция.
Доказать, что а (А) = [ф (а); ф (Ь)], причем ни одна точка спектра не является
собственным значением.
99. В комплексном пространстве С [0; 2я] рассмотрим оператор (Ах) (f) =
— A (t). Доказать, что а (А) ^ {X £ С : | X ] = 1}.
100. Доказать, что любое компактное в себе множество комплексной плоскости
является спектром некоторого оператора А £ 2 (/£).
101. В пространстве С [0; 1] рассмотрим оператор (Ах) (() = —гг. Доказать, что:
а) а (Л) пусто, если Й> (А) = {* (() £ С(|) [0; 1] : * (0) = 0};
б) а (Л) состоит из одних собственных значений, заполняющих всю комплексную
■лоскость, если Й> (А) = С(1) [0; 11;
в) а (А) состоит из собственных значений 2яш, п £ X, если @ (A) = [х (t) 6
€С(1>[0; 1] :*(0) = *(1)}.
102. Пусть £ — банахово пространство, Л £ 2 (£) и X £ 0 (Л). Доказать, чт»
Л" £ а (Лп) при любом натуральном п.
103. Пусть £ — банахово пространство, А £ 2 (Б) и существует Л-1 £ ^ (Я).
Доказать, что если X £ о (Л—|), то Я.-1 £ о (Л), и обратно, если р € о (Л), то ц—f (
С в (л-1).
416

104. Рассмотрим оператор A : Lj \а; • Ь] -»- L2 ]а; Ь], определяемый формулой
(Ах) (0 =■ \ А (.', s) х (s) rfs, где й (f, s) — непрерывная в треугольнике a^s^t,
а
«</</», функция. Доказать, что гд (А) = 0. Является ли X = 0 собственным
значением оператора Л?
105. Доказать, что для самосопряженного оператора А £ 2 (Н), где Н —
гильбертово пространство, т (А) = II А ||.
106. Пусть Е — банахово пространство, А £ 3'(E). Доказать, что на окружности
IX | = га (А) имеется хотя бы одна точка из а (А).
107. Пусть Н — гильбертово пространство, А £ 2 (Н). Доказать, что а (А*) =
= а (А).
108*. Пусть А, В 6 2 (£), где Е — банахово пространство, АВ = ВА.
Доказать, что
га (А + В) < г0 (Л) + га (В), г„ (ДВ) < га (А) га (В).
109. Найти спектр и спектральный радиус оператора A : m-*- т, определяемого
для х = (£1( |2, ...) £ т соотношением:
а) Ах = (Ij + |2, £2, £3. • • •);
б) Ax = (ls, gx.gjs, £«, Ё>. •••)'■
в) Л* = (_ £ь |2, - |з. .... (- 1)" 1в, • • .)•
110. По формуле га (A) = lim у |И"|| вычислить спектральный раднув опе-
п-+оо
ратора А : С [0; J —»- С [0; 1] н найти спектр а (А), если:
a) (At) (t) = te (/); б) (Ах) (/) = (/+ 1) * (t);
в) (Лх) (t) = a(f)x (0, где a = a (/) £ С [0; 1].
111. Показать, что спектральный раднус оператора А : С [0; 1] -»- С [0; 1], где
И,,И-(-г|*«л' °<'<!'
I *(0), / = о,
равен 1.
112. Показать, что спектральный радиус оператора А : С г0; -^- -»- С 10; -=-1
где (Ах) (t) = tx (*»), равен 0.
113. Показать, что спектр оператора А : С [0; l]-»-Cf0; 1J, где (Ах) (f) =
= х (/2). лежит на единичном круге.
114. Пусть Н — гильбертово пространство и Р : Н -*■ Н — проекционный
оператор. Выразить резольвенту Rx (Р) явно через Р н А.. Найтн спектр а„ (Р), о> (Р) и
ае (Р).
115. Пусть Н — гильбертово пространство и А : Н -*■ Н — самосопряженный
оператор. Доказать, что Л > 0 тогда н только тогда, когда для любого X £ a (А)
выполняется неравенство X > 0.
116. Пусть Н — гильбертово пространство, А £ 2 (Н) — самосопряженный
оператор и X £ р (А) — вещественное число. Доказать, что резольвента Rx (А) —
Самосопряженный оператор.
117. Пусть вполне непрерывный самосопряженный оператор А, отображающий
бесконечномерное гильбертово пространство Н в себя, имеет лишь конечное число
собственных значений. Доказать, что X = 0 — собственное значение оператора А.
118. Рассмотрим оператор А : 12 [0; 1] -*■ 12 [0; 1], определяемый соотношением
(Ах) (f) = \ k (t, s) x (s) ds, где
к (г, s) = <
U(l — t) прн 0<s</<l.
14 e-M 4J7

Доказать, что А — вполне непрерывный самосопряженный оператор, и найти ere
собственные значения и собственные векторы. \
119. Пусть Л—вполне непрерывный самосопряженный оператор в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве Н, (e*)£li — ортонормированный базис, составленный
из собственных векторов оператора А с собственными значениями (А.*)£^. Доказать,
что решение уравнения (А — XI) х = у.
а) имеет вид
S X — X (*' вп) е"~у
\_п=\
если X ф Хп для каждого п £ N ;
б) при X = %! = X , [ = ,,. = X , /1_1 существует тогда и только тогда, когда
(У- ei+k) = 0 Ддя k= 0, 1,...,/1 — 1; в этом случае оно представимо в виде
л-1
л
- * (*> е.) ек—у
Xk-X *"'*'к
cke,+k,
k=a
причем в V пропущены слагаемые с номерами /, / + 1, ..., / + я — 1, а с0, с^, ...
к
..,, c„_i — произвольные постоянные.
120*. Рассмотрим оператор А : т->- т, действующий по формуле
Ах = (0, llt lt, ...),х = &lt g2, . . .) € т.
i
Найти а (А), ар (А), ае (Л) и о> (Л).
121. В пространстве 12 рассмотрим оператор А:1г-*-1г, полагая Ах =
= (Ii.2^. 3£э, . . .), с областью определения & (Л) = \х £ /8 : х = (£1( |8, . ..) и
У na|?n/2<+ool . Доказать, что: а) а (Л)= /2;
n=l J
б) Л — неограниченный на @ (А) линейный оператор; *
в) Найти ®(А*) и Л*.
122. Рассмотрим оператор Л : /г -»■ /1( Ах = х, с областью определения Ш (Л),
00 *
состоящий из элементов х =-(1, £г, ...) £ /2, для которых ^ | £„ | < + оо.
п=1
Доказать, что: а) 3 (А) = /2;
б) Л — линейный оператор, но неограниченный на & (А);
в) найти й> (А*) и Л*.
123. Рассмотрим оператор Л : Lj {0; 1] -*■ Lz fO; 1], (Ах) (() = х (t*) с областью
определения
1
(Л) = \х (t) £ L8 [0; 1J; \**(/»)«tf< + oo}.
Доказать, что: а) & (А) =■= L2 ГО; 1];
б) Л—линейный оператор, но неограниченный на В (А),
в) Найти й>(А*) н Л*.
124. В пространстве L8 [0; 1] рассмотрим оператор (Л*) (Л = —г °б-
dt
яастью определения ® (А), состоящей из функций х (0 таких, что * (/) £ С*2' {0; 11 ш
удовлетворяющих граничным условиям х (0) =» * (!) = 0. Доказать, что Л — сим»
ыетричный оператор и А > 0.
418

125. Доказать, что если область определения'оператора А плотна в гильбертовом
пространстве Н, то выполняется соотношение (Я (A))L = кег А*. Справедливо ли
в этом случае соотношение (кег A)1 = R (А*)}
126. Пусть А — симметричный оператор с областью значений R (А) = Н.
Доказать, что А — самосопряженный оператор.
127. Пусть А — симметричный оператор, для которого §) (А) = Н и R (А) =
= Н. Доказать, что оператор А~' : R (А) -*■ & (А) существует и также является
симметричным.
128. Доказать, что собственные значения симметричного оператора в
гильбертовом пространстве вещественны, а собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям, ортогональны.
129. Рассмотрим гильбертово пространство Н = L2 [0; + оо). Пусть оператор
(Ах) (t) = / -тт определен иа множестве & (А) функций х (/) g L2 [0; + оо), имеющих
на [0; + ое) интегрируемую с квадратом производную х' (f) и удовлетворяющих
граничному условию х (0) = 0. Доказать, что А является симметричным, но не
самосопряженным оператором. Найти А*. Доказать также, что оператор А замкнут.
130. Рассмотрим гильбертово пространство Н = L, (R). Пусть оператор (Ах) (f) =
= i —г- определен на множестве @) (А) функций, интегрируемых с квадратом на R и
at
имеющих на R производную х' (() £ L2 (R). Доказать, что А — самосопряженный
оператор.
131. Рассмотрим гильбертово пространство Н = Ьг [0; 1]. Пусть оператор
(АдХ) (0 = i —л- определен на множестве &а (А) функций, интегрируемых с
квадратом на [0; 1), имеющих на [0; 1] производную х' (t) £ L2 [0; 1] и удовлетворяющих
граничному условию х (0) = е1а х (1), где а — некоторое действительное число.
Доказать, что Аа — самосопряженный оператор. Найти спектральное семейство
оператора Аа.
132. Пусть А —оператор, рассмотренный в примере 121. Найти спектральное
семейство и спектральное разложение оператора А.
133. Рассмотрим оператор А из примера 130. а) Доказать, что оператор А
унитарно эквивалентен оператору (Вх) (t) = tx (t), где &(В) = {х (t) £ L2 (R) : tx (t) £
£ La (R)}, причем эту эквивалентность осуществляет унитарный оператор U,
являющийся оператором преобразования Фурье в пространстве Ьг (R), т. е.
<Ux) (0 = TIT j *(а) e'atda (v * = * w е l2 (R)>.
б) Исходя из спектрального разложения оператора В, описать спектральное
семейство {Ех}, А. € R, оператора А.
Ответы: 1. а), д) Нет: б—г) да. 2. Нет. 4. В пространстве L2 [0; 1] оператор А
вполне непрерывен тогда и только тогда, когда функция a (t) почти всюду
равна нулю. Если на множестве X .есть точки, имеющие ненулевую меру ц, то в
La (X, ц) оператор умножения мс(жет быть вполне непрерывным (при этом А ф0).
8. Да. 9. Да. 10. В С [0; 1]; — да, ,в L2 [0: 1] — нет. 11. Нет. 12. Нет. 13. Да
в С[0; 1], если а<1. Да в L2 [0; 1], если <*< —. 14. Нет. 18. При у>0,
1 У
а>0 и Р>— 1. 19. При v>0, а> —-г-, Р>-^ 1. 21. При а > 0.
29. Нет. 32. Не всегда. 34. А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
limA,„ = 0. 39. а) Нет. Рассмотреть оператор А : С [— 1; 1] -*- С [— 1; 1],
Я-*оо
(Ax)(t)= [x(x)dx. Тогда х0 (0 = \Щ А (В[0; 1]), но ха (t) = l/ Р + -L £
14* 419

t A(B\Q; 11) и lim *„(/) = *„(/); б) да. 41. Нет. 42. Нет. 43. л) V \\ < + со;
оо
м) Оператор предыдущей задачи, если Хп-*-0, но V я£ = +оо. 45. Например,
^ ™ (s,r т5а 4" ^ ■ ■ ■)для *=(5ь ^ ■ ■-) е /j' ^- а) (А*у) (t) ~
= ty (/); б) (Л*у) (/) = j cos / • у (s) ds; в) (А*у) (/) = § ty (s) ds. 51. a) A* : m -+ m,
о о
4*У = (ть %, 0, 0, . . .), если у = (t]„ т],, .. .); б) А*:т-*т, А*у =-
■= (Mi. Ma. • • •). где у = (t]lF т)2, .. .); в) А* : т ->■ т, Л*у = (т)3, т)4, . . .),
где у= (г\1г т]2, т]3, . . .); г) A* : m-*m, A*y = (Q, i\u т)2, . . .), если у = (rh, т)2,
т|,, . . .). 52. Формулы те же, что и в задаче 51, но операторы действуют: в
случае а) нз 1г в /х; б) из /2 в /2; в) из /х в т. 53. А*: /х —*- /2, Л*ж=*.
54. а) (Л*у)(/) =— i* ~y(t~*); б) Л* = А 55. а) (А'у) (f) = у Ц — К);
а
б) (Л*у) (/) = a (/ — h) у (/ — Л); в) А* = А. 62. Первая теорема Фредгольмд
справедлива, если число 0 не является предельной точкой последовательности
W*)|Li" Вторая теорема справедлива, если среди чисел %k есть лишь конечное
число равных нулю. 89. VA = А. 94. а) \а = — л2, хп (/) = sin nt, п 6 N; б) Х„ =
= чг. хп (/) = cosп/, я = 0, 1,2, . .; в)А<,=0. i,(/)al, Х„ = —4ns, х„ (/) = cos 2n/,
ж (/) = sin 2n/, n 6 N. 97. Тогда н только, когда £ конечномерно. 104. Точка А,
принадлежит а (А), но если ft (/, s) ^ 0, то X не является собственным значением.
109. а) а (А) состоит лишь из собственного значения Х= 1, га (А) = 1; б) а (/4)
-состоит лишь из собственного значения % = 1, га (А) = 1; в) а (/4) состоит лишь
из собственных значений Хг = 1, Х2 = — 1, га (А) = 1. ПО. а) га (А) = 1, a (/4) =
= [0; 1], ОР(А) = 0, ае(Л) = 0 и аг(Л) = [0; 1]; б) г„ (Л) = 2, а (Л) = [1; 2).
°р(А) = 0, ос(А) = 0 и 0,(-4) = (1:2), в) га (A) =JaJ= max | а (/) |, а (А)
совпадаете множеством значений функции a = a(t), точечная и непрерывная
части спектра отсутствуют. 114. R^ (Р) = . Р /, ор (Р) = (0, 1},
л (1 — л) л
в, (Р) = 0, Ог (Р) = 0. 118. а (А) состоит из собственных значений Хп = ——-
С соответствующими собственными функциями sin tint (п £ N). 120. a(/4) = {Xg
€С :|Х|<1}, ор (-4) = 0, ае(Л) = 0, аг (Л) = {X G С : I Я | ^ 1}. 121. в) Л* =
-Д. 122. в) Л*:т —/„ *(Л»)=|*€т. * = (|1( |2, .. .) : f liJ^+Ц,
A*x=z. 123. в) ^ (/!*)= j* (/)6 МО; 1] : f -^р- Л<+°о, (Л **)(/) =
х (VI)
= — . 125. Не всегда. См., например, оператор А из упражнения 31.
IV*
129. &(А*) состоит из всех функций, интегрируемых с квадратом иа [0; +оо) и
имеющих иа [0; +°°) интегрируемую с квадратом производную; (А*у) (/) =
du ш
= i—2-, у£&(А*). 131. Спектральное семейство [Е^), Я6К, оператора Ав
dt
определяется соотношением
[Ekx)v) = eiat V (х, en(t))ea(t),
кп<х
420

где Я„= а — 2ял, е„ (fl = е~ '"V""", п^х. 132. Спектральное семейство {£,J,
A,£lR, оператора /1 определяется формулой Ехх= J] (*, е„) е„, где Х„ = я,
«в = (0 О, 1, 0, . . .), п £N, спектральное разложение — соотношением
га—1
А«= ] Ы£А. 133. (Ехх) (t) = -jij- j j лг (т) e'aTdTU-"ada.
1 —oo I—os j
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Интегральными уравнениями принято называть такие уравнения, которые
содержат неизвестную функцию под знаком интеграла. Например, интегральным
уравнением относительно функции ф (/) является уравнение
ь
a(/)<PM + /W = *-j ft (/, s) ф (s) ds, (1)
a
где a (/), / (/), ft (i, s) — известные функции (переменные / и s пробегают здесь
некоторый фиксированный отрезок fa; b], а фигурирующие здесь функции и параметр X
могут принимать как вещественные, так и комплексные значения).
Отметим, что искомая функция ф входит в уравнение (1) линейно, хотя многие
задачи приводят к необходимости рассмотрения и уравнений другого типа.
Выделим те основные классы линейных уравнений, изучением которых займемся
в дальнейшем.
1. Типы интегральных уравнений. Уравнения вида
ь
<р(0-Я JM/. *)ф «& = /(/) (ЯСС) Й
а
нмываются уравнениями Фредгольма второго рода, а уравнения
Ь
. J ft (/. s) ф (s) ds = / (/) (3)
а
— уравнениями Фредгольма первого рода.
При этом, как правило, предполагается, что их ядро ft (/, s) и свободный член
/ (/) являются квадратично суммируемыми функциями (ядро — в квадрате fa; b\ X
X [a; b], свободный член — на отрезке fa; bJ).
Еели ft (/, s) = 0 при s > /, то уравнения (2), (3) обращаются соответственно в
уравнения
t
<p(/)-XJft{/, s) ф (s) ds = / (/) (4)
j ft (/, s)?(S)ds = /(/). (в)
a
называемые уравнениями Вольтер pa: (4) — второго рода; (б) — первого рода.
Заметим, что уравнения вольтерровского типа можно рассматривать и как
уравнения Фредгольма. Однако их целесообразно выделять в отдельные классы, ибо оии
обладают рядом таких свойств, которых уравнения Фредгольма в общем случае не
имеют.
2. Интегральные уравнения как уравнения с вполне непрерывными
операторами. Рассмотрим в пространстве L2 fa; b] оператор К, определяемый соотношением
421

(Kq>)(/)= J ft (/, s)<p(s)A (в)
или Кф = ф, где ф (t) -» \ fe (Л *) ф (s) <fs.
Этот оператор называется оператором Фредгольма с ядром k (t, j).
Теорема 1. Если k (t, s) — функция с интегрируемым квадратом, то формула
(6) определяет в пространстве L2 [а; Ь] вполне непрерывный оператор, причем
ь \ 1
2
|К|< J J 1МЛ s)\*dtds
Наполним, что оператор называется вполне непрерывным в банаховом
пространстве, если он переводит всякое ограниченное множество в относительно
компактное (см. § 3).
Исходя из этого определения, можно несложно доказать (используя теорему
Арцела), что если k (t, s) — непрерывная функция в квадрате fa; b) X fa; b], то
оператор Фредгольма является вполне непрерывным и в пространстве С fa; b], причем
ь
ЦК||< max [ \k(t, s)\ds.
Если К — оператор Фредгольма, определяемый ядром k (t, s), то сопряженный
ему оператор К* также является оператором Фредгольма и определяется ядром
kt (i, s) = MiTTj.
8 частности, оператор К самосопряжен в L2 [а; Ь) тогда и только тогда, когда
k (/, s) = k (s, t). В случае действительных пространств и ядер условием
самосопряженности оператора служит симметричность его ядра; k (t, s) = k ($, t).
Напомним, что каждое собственное подпространство, отвечающее ненулевому
собственному значению вполне непрерывного самосопряженного оператора,
конечномерно. Кроме того, в полном гильбертовом сепарабельном пространстве
самосопряженный вполне непрерывный оператор обладает полной ортонормированием
системой собственных векторов.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (Гильберта — Шмндта). Для любого вполне непрерывного
самосопряженного линейного оператора А в гильбертовом пространстве Н
существует ортонормирован-ная система (фд) собственных векторов, отвечающих собственным
значениям (КП), такая, что каждый алемент | € Н представим единственным
образом в виде Е = 5j Ck<$k "г" £'» ^е i' 6 ker /4. При этом Ah, =* J] ^кШ и 1™ \i =
k ' k п^°а
= 0.
Поскольку L2 \a;b] — банахово пространство (даже гильбертово), то на
рассматриваемые интегральные уравнения переносится вся теория Ф. Рисса, известная для
соответствующих уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховом
пространстве. Напомним эту теорию.
3. Уравнения с вполне непрерывными операторами в банаховых
пространствах *. Рассмотрим следующие уравнения в банаховом пространстве счвполне
непрерывным оператором А:
Ах = У (7)
(уравнение первого рода);
х — Ах = у (в)
* Основные сведения, помещенные в этом пункте, содержатся в § 3. Однако
поместили мы их з-десь с целью полноты изложения теории интегральных
уравнений.
422

(уравнение второго рода);
г — Аг = 0 0)
(соответствующее ему однородное уравнение):
f-A*f=g (Ю)
(сопряженное к (8) уравнение) и
г)) — Л*л]э = 0 (U)
(соответствующее однородное сопряженное уравньние).
Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны:
а) уравнение (8) имеет решение (и притом единственное) при любой правой
части;
б) уравнение (9) имеет только тривиальное решение;
в) уравнение (10) имеет решение при любой правой части;
г) уравнение (И) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно из условий а) — г), то оперлторы / — А и / — А*
непрерывно обратимы.
Заметим также, что утверждение об эквивалентности условий а) и б) в
литературе фигурирует как альтернатива Фредгольма.
Теорема 4. Уравнения (9) и (11) имеют одинаковое конечное число линейно неаа»
висимых решений.
Теорема 5. Для того чтобы уравнение (8) имело хотя бы одно решение,
необходимо и достаточно, чтобы для любого решения г|э уравнения (11) выполнялось уела-
вие ф (у) за {у, ¢) = 0.
Отметим, что абстрактное уравнение Фредгольма первого рода вида (7), где А —
некоторый вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н, в общем
случае (т. е. для произвольного у (Е Н), как показано в примере 10 из § 3, не
разрешимо.
Перейдем к рассмотрению некоторых методов решения интегральных уравнений.
4. Метод резольвент. При решении уравнений Фредгольма второго рода часто
используется следующее утверждение.
Теорема 6. Если ядро k (t, s) и свободный член f (t) уравнения (2) квадреашш
суммируемы и | X | •< В~ , гд*
ь ь
*s т J j | * (/, s) |2 dtds,
a a
tno ряд
S ^mK"7 (If)
(ряд Неймана) сходится в среднем к квадратично суммируемому решеним этого
уравнения. Это решение единственно.
Если k (t, s) и f (t) — непрерывные функции, то утверждение, аналогичное
теореме 6, при условии | % | (b — a) max | k (t, s) | < 1 справедливо и для про-
странства С \а; Ь].
Отметим, что все операторы К"1 также являются операторами Фредгольма с
ядрами km (t, s) (они называются итерированными), определяемыми с помощью
рекуррентной формулы
ь
km (t, s) = | k (t, т) km_{ (x, s) 4x, m = 2, 3, ... (ftt (t, s)eak (t, ф.
a
Решеняе <p (t) уравнения (2) можно представить а виде
ь
ф (о . ко + х J r (i,,, м f (j) as.
m

где функция R (t, s, Я.), называемая реаольв0^той Фредгольма etofo уравнения,
определяется нлн по формуле
R (t, s, X.) = £ >^+1<'• s)«
v=0
иди
равенством R (t, s, X) = - (*' *' %) <прн условии D (X) ф 0), гд.
и (л)
D(t, s,X) = k(t, s)+£ ~ Ba(t,s)bm,
Л—1
л!
D(X)=1 +j
-t^-сл-.
n !
n=l
Коэффициенты рядов, определяющих функции D (/, s, X.) н D (X.), вычисляются 4
no формулам
* * ft (f, s) ft (*„ si) • • • * С sn)
8-(^) = 1"-1
ft(Sj, S) ft (Si» «l) • •• *(*i- «я)
ft (s„, s) ft (*#.• *l) • • • ft (sn. «n)
<&i ... ds„,
Причем J„ {t, s) = ft (<, s);
* * k (¾. sj) ft (¾. *a) • • • k (¾. s<t)
C. = \ . . . I ft (s,, s,) ft (s„ s8) • . • ^ (¾. s„)
dsi . . . ds„.
ft (s,, sx) ft (sa, st)
ft(«n. si) М«в. *»)••• *(s»> s")
Функиня D (t, s, X) называется миноР0М Фредгольма, a D (К) — определите-
b b
пем Фредгольма. Если f f | ft (t, s) |» <tfds ^C + оо, то этн функции являются
целыми аналитическими функциями отХ, а резо^ьвента может иметь полюсы в тех точках,
в которых D (X) обращается в нуль.
К сожалению, практическое использование приведенных формул возможно лишь
в редких случаях.
Для уравнений Вольтерра второго типа справедливо более сильное утверждение.
Теорема 7. Если ядро и свободный члеН уравнения (4) квадратично суммируемы,
то это уравнение при любом X имеет единственное суммируемое решение <р (f). Оно
может быть получено как сумма ряда Неймана
/«+£ >."(K"/)W.
№=1
t
В этом случае km {t, s) = f ft (f, т) ft^-i ft, ") Л (да = 2, 3, ...).
Если ядро и свободный член непрерывны, то уравнение Вольтерра (4) имеет
единственное решение, представляющее со<5°й непрерывную на fa; Ь\ функкню.
Следует, однако, помнить, что это уравнение может иметь также разрывные решения.
Иллюстрацией сказанного служит классическое уравнение
(
и (0 = ]' <*-*" («) ds,
о
имеющее (помимо тривиального непрерывного решения и (0 = 0) бесконечное коли-
чество разрывных решений вида и (t) = Cr , где С — произвольная постоянная.
424

С помощью резольвенты решение интегрального уравнения (4) запишем в виде
t
y(t) = f(t) + b$R(t, s, X)/(«)di.
a
Замечание. Пусть дано интегральное уравнение Вольтерра первого рода
t
J k (/, s)<f(s)ds = f (t) (f (a) = 0). (13)
a
„ °b (/, s)
Предположим, что k (/, s), — , f (/) и f (/) — непрерывные функшш. Тогда,
at
дифференцируя (13) один раз по /, получаем
*
ММ)ф(0+|-^§-^-ф(*)* = П0
а
или (если k (t, t) не обращается в нуль на отрезке fa; b])
а
т. е. интегральное уравнение Вольтерра второго рода.
Если k (t, t) ss 6, то иногда бывает полезно еще раз продифференцировать (13)
по /и т. д. Иными словами, при сделанных предположениях решение уравнений
Вольтерра первого рода сводится к решению соответствующих уравнений второго рода.
5. Метод последовательных приближений. Он близок к ранее рассмотренному
методу резольвент. Пусть свободный член и ядро уравнения Фредгольма являются
непрерывными функциями (первая — на fa; b], вторая — в квадрате \а; Ь] X \а; Ь\).
Выберем какую-нибудь непрерывную функцию <р0 (0 и подставим ее в правую часть
9того уравнения. Получим
ь
<Pi (0 - f (0 + * j k (t, s) ф0 (s) ds.
причем ф! (/) также непрерывна На (а; b]. Поступим с ней так же, как и с ф0 (0-
Продолжая этот процесс, получим последовательность функций ф0 (/), <fi (0. •••■ Фл (0. •«••
удовлетворяющих уравнениям
<P*(t)*±f(t) + k JA(/, s)Vl(s)ds,
a
b
Ф* (0 - HO + * J * ft *) Ф„_1 (*) ds.
Ив этой системы следует, что
b
<P„ № - f (t) + * I h (Л «) / (J) Л + *■ J k„ (t, s) f(s)ds +
a a
b
... + V-1 \ *^_, (/, *)/(*)Л + Яв<0.
6
где Rn M = *" \4, (/, «) «to (*) Л.
4»

Учитывая оценки
max | Rn(t) | < | X \n (b — of ( max \k (t, s) | )n ,* I Фо (01.
заключаем, что при | X | (Ъ — a) max | fe (/, s) |< 1 lim /?„ (/]) = 0 и Нт фп (0 »
/.s£[a;6] rt-юо п-»оо
= ф($. где ф (0 — Решение уравнения Фредгольма.
Заметим, что в процессе последовательного приближения каждая функция
Ф„ (0 завнснт от выбора начальной функции q>c (t). Однако предельная функция
ф (i) от выборе ф0 (t) не завнснт.
Этот метод любопытно сравнить с рассмотренным в гл. 2, § 1 методом решения
интегральных уравнений, для которых применим принцип неподвижной точки.
Наиболее часто метод последовательных приближений используется для
решения интегральных уравнений Вольтерра, так как в этом случае он применим уже
при всех значениях X. Здесь важно лишь удачно выбрать «нулевое» приближение
Фо (0. хотя часто полагают фо (/) = / (/) (и тогда метод последовательных
приближений фактически совпадает с методом резольвент).
6. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Ядро k (I, s)
интегрального уравнения Фредгольма второго рода называется вырожденным, если оно
является суммой конечного числа произведений функций только от t на функции только
от s, т. е. если оно имеет вид
п
k a, s)=% % w bk (J);
функции аь (f) и bk (s) считаем непрерывными на [ a; b] и линейно независимыми между
собой.
Тогда уравнение (2) принимает вид
Ф W = / W + X Е ak (t) \ bk (s) ф (s) ds
или
n
Ф М = fW + X £ c*fl* W, (14)
где c%= \ bk (s) ф (s) ds,— неизвестные постоянные (так как функция ф (s) не из-
а
вестна).
Следовательно, решение уравнения (2) сводится к нахождению постоянных
Ск (k = 1, 2, ..., я). Подставляя (14) в (2) н учитывая линейную независимость
функций ат (t), приходим к выводу, что постоянные с* должны определяться нз системы
алгебраических уравнений
л
от — X £ akmc =fm (m == 1, 2 /»),
где
ь ь
akm = \ak W b» W *• /m= J MO f №.
а я
Если определитель
Ь(Х) = ЫПкт-Хакт\ГКтт.1
»той системы отличен от нуля, то соответствующее уравнение (2) имеет единственное
решение, определяемое формулой (14).
7 Использование преобразования Лапласа. Пусть комплексиозиачиая функция
Ф U) действительного переменного локально суммируема, равна нулю при t < 0
и удовлетворяет условию | ф (/) | < Ме*° для всех t (М > 0, s0 > 0). Такие фуик-
426

ции ф (t) будем называть функциями-оригиналами. Число s0 называется показателем
роста функции ф (f).
Преобразованием Лапласа функции ф (/) называется функция Ф (р) комплексного
переменного р =• s + Л, определяемая равенством
Ф (р) = | е-"'Ф (/) Л. (16)
о
Для всякого оригинала ф (t) функция Ф (р) определена в полуплоскости Re р >
i> s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Тот факт, что Ф (р)
«сть преобразование Лапласа функции ф (/). будем записывать так:
Ф (/) = Ф (Р).
Теорема 8 (о б р а щ е и и я). Если функция ф (/) является оригиналом, а
функция Ф (р) служит ее изображением, то
ф(') = "Ж" J ^О»)*». Т>«». (16)
■у—foo
«де интеграл берется вдоль прямой Re р = v. параллельной мнимой оси, и
понимается в смысле главного значения
С ер1Ф (р) dp = Hm I ept<b(p)dp.
J 0)-»oo ^,
Формула (16) называется формулой обращения преобразования Лапласа.
Если Ф (р) = =■, где Ф| (р) и Ф3 (р) — многочлены от р, причем сте-
Фа(Р)
пень многочлена Ф, (р) меньше степени многочлена Ф^ (р), то оригиналом для Ф (р)
является функция
* » = Е1^Л)Г Д™ ^^ (0» - */* ° W «*>. (17)
где а* — полюсы Ф (р), л* — их порядки и сумма берется по всем полюсам функции
Ф(р).
Если все полюсы Ok (k = 1, 2, ..., О функции Ф (р) простые, то
^1 ф1<а*) a„t
Теорема 9 (умножения). Пусть функции f (f) и<р (t) являются
функциями-оригиналами и пусть
/(0 = /7 (Р). «Р (0 = Ф (Р).
Тогда
t
Р(р)Ф{р)^^<р(х)<ра-х)<1х. (18)
о
Интеграл в правой части (18) называется сверткой функций f (i) и ф (/) и
обозначается символом / (t) * <р (/)•
Благодаря теореме умножения, преобразование Лапласа наиболее часто
используется (см. примеры 13 и 14) при решении интегральных уравнений с ядрами,
зависящими от разности аргументов.
8. Уравнения с симметричными ядрами. Однородное интегральное уравнение
Фредгольма второго рода
ь
<f(t)— X, \k(t, s)<p(s)ds=-0 (19)
a
427

всегда имеет (тривиальное) решение <р (О s 0. Те значения X (У ф 0), при которых
это уравнение имеет ненулевые решения, называются характеристическими
числами уравнения (19) или ядра k (/, s), а каждое ненулевое решение этого уравнения
называется собственной функцией, соответствующей характеристическому числу X.
Число линейно независимых собственных функций, соответствующих значению X,
всегда конечно и оно называется рангом характеристического значения X. Заметим,
что X является характеристическим числом ядра k (t, s) тогда и только тогда, когда
р. = -т собственное значение оператора Фредгольма К.
Например, для уравнения с вырожденным ядром характеристические числа,
являются корнями определителя Д (X).
В случае произвольного ядра характеристические числа являются нулями
определителя Фредгольма D (X), т. е. полюсами резольвенты R (t, s, X). Отсюда, в
частности, можно получить, что уравнение Вольтерра характеристических чисел не
имеет.
Если ядро k (t, s) симметрично, то оио имеет, по крайней мере, одно
характеристическое число.
Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода
Ь
<p(t)-X^k(t,s)(p(s)ds = f(t), (20)
И'
«дро которого удовлетворяет условиям
ь Ь
| k (t, s) |2 dtds < + со н k (t,> s) = k (s, t).
a a
Тогда соответствующий оператор К Фредгольма вполне непрерывен и самосопряжен
в пространстве Z.a [а; Ь] и, следовательно, для него справедлива теорема Гильберта —
Шмидта.
Сформулируем некоторые утверждения для случая непрерывных ядер и
свободных членов уравнения Фредгольма второго рода.
Теорема 10. Если X не совпадает с характеристическими числами Ха(п= 1,
2, ...) соответствующего однородного уравнения, то уравнение (20) имеет для любой
правой части f (f) единственное непрерывное решение, определяемое формулой
Ф(0=/Р)-*% °" ¢,(/).
*k q>„ (0 — ортонормированные собственные функции, соответствующие числам
К. а.
ь
an = J f W <p„ (0 dt.
a
Теорема 11. Пусть X £ <0 совпадает со значением Х^ ранга q, т.е.Х= Xk —
= ^e+i = ••• = ^-k+q—x- Тогда решение уравнения (20) существует тогда и только
тогда, когда свободный член f ортогонален всем собственным функциям,
соответствующим числу А*. При этом (20) имеет бесконечное множество решений, которые
содержат а произвольных постоянных и даются формулой
л=1 " n=k+q я
+ ЗД>*(0+ ••• +Св_,фА+„_, (0,
где са, .... c-_j — произвольные постоянные.
Если функция / (f) ортогональна всем собственным функциям ф„ (t) ядра k (t,
•), то решением уравнения является сама эта функция: <р (t) s= f (f).
428

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Ь
^k(t,s)<p(s)ds = f(t) 01)
а
с симметричным ядром. Пусть (щ О) — его п°лная ортонормированная система
собственных функций в Z.2 [а; Ь], к/е — характеристические значения, a /¾ — коэф-
ь
фициенты Фурье функции /, т. е. /*= \ / (s) <р* (s) ds (k = I, 2, ...). Тогда для
a
разрешимости уравнения (21) необходимо и достаточно, чтобы ряд V Х\ | /¾ |2
сходился. При этом функция <р (t) = V Х«/*<р& (0 является единственным решением
данного уравнения. *=1
В заключение напомним, что теория интегральных операторов с
симметричными ядрами часто используется в математической физике. Например, с ее помощью
решается известная задача Штурма — Лиувилля: доказать, что собственные функции
оператора
5 [и] = (/>(*) а' (*))'-</ W«W
(р (х) £ С<'> [а; Ь], q (х) £ С [а; Ь], и (х) £ С<2> [а; 6]),
подчиненные граничным условиям и (а) — и (b) = 0, образуют полную систему
в пространстве L^ [а, Ь].
Известно также, например, что решение произвольного линейного
дифференциального уравнения
УМ w + ai {t) y(n-i) {l) . + ап (/) y{t) = f (/)
с непрерывными коэффициентами a/ (f) (j = 1,2 п) при начальных условиях
</*>(0)=с* (А = 0, 1 /г-1)
всегда >»ожет быть сведено к решению некоторого интегрального уравнения Вольтер-
ра вт р ) рода.
О г _зличиых методах решения интегральных уравнений см. в [16].
Примеры решения задач
1. Составить интегральное уравнение, соответствующее
дифференциальному уравнению
y"/+ty"+(t'-t)y = te'+l
с начальными условиями
У (0)-= У' (0)=1, /(0) = 0.
d3u
Решение. Положим -g-f- = ф(/). Тогда (после интегрирования
от 0 до f) <
t
-^- /(0)= I <рф&
6
t
н (так как у" (0) = 0) —— = j Ф (s) ds. Далее,
о
t х I
JjL - / (0) + \ d* J ф (s) ds = 1 + f (< - *) Ф (s) Л
в « e
429

я
y(t)=l + t + $-£^-<f(s)da.
0
Подставляя полученные выражения для у, —тг, —га- и —JL в
походное дифференциальное уравнение, получаем
ф(0 + / *+*-*«-# Ф0ф-* + *-<■+ь
о
Это интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет, кан
известно, единственное решение ф (f), а функция
t
y(t)= i + t + ^«^-cp(s)ds
о
является единственным решением исходного дифференциального
уравнения с заданными начальными условиями.
Различные методы решения подобных уравнений Вольтерра будут
рассмотрены нами несколько позже.
2. Воспользовавшись связью между дифференциальными и
интегральными уравнениями, найти решение уравнения у' (f) — у {() = О
при условии у (0) = 1.
Решение. Данное уравнение равносильно такому:
t
y(t)=l+[y(s)ds.
Для нахождения у (t) используем метод последовательных
приближений, полагая у0 (t) s= 0. Тогда
y1(f) = l, J/e(9 = l + TT-.
Поэтому y{t) = Hm ya (f) == eK
n-t-oe
3. Пусть
t (1 —S) ПрИ /<5(
k{i's)-{s(l-t) при *>s
(*> s 6 [0; 1)). Найти характеристические значения и собственные
функции этого ядра.
430

Решение. Исходя из соответствующих определений, нам нужно
выделить те значения kk, при которых уравнение
1
<р(0 —a,jife(f, s)«p(s)ds=0 #2)
о
имеет нетривиальные решения фА (t), и найти функции фЛ (f). Для
этого перейдем от уравнения (22) к соответствующему ему дифферен
циальному уравнению (сравните с примерами 1 и 2) Поскольку (с уче
том вида ядра k (t, s))
t l
ф(/) = Я, \s{\ — t)(p(s)ds+ Я ^(1 — s)q>(s)ds,
0 t
то после двукратного дифференцирования обеих частей этого
соотношения по t приходим к уравнению
Ф'(0 + ЯФ(0 = 0.
Кроме того, так как Л (0, t) — k(\, t) = 0, то функция q>(f) должна
удовлетворять условиям ф(0) = ф (1) = 0. Значит,
Ф (0 = de« V" + с2е~1 V*,
где через )/Я обозначено одно из значений квадратного корня из Я.,
а числа с1 и с2 определяются из системы
ct + с2 = 0,
Cle< Yl + Cg-i VI = о.
Нетрудно подсчитать, что эта система имеет нетривиальные
решения тогда и только тогда, когда Я, = и2я2 (л 6 И); ПРИ этом Фл (0 =
=^sin яя/.
Непосредственной подстановкой в уравнение (22) убеждаемся,
что упомянутые числа И функции действительно являются
характеристическими значениями и собственными функциями данного ядра
k (t, s).
4. Найти собственные значения и собственные функции оператора
Фредгольма с ядром k (t, s) = cos (t -f- s) в промежутках: a) [0; я];
б) [о;-5.\
Решение. Заметим, что k (t, s) = cos t cos s — sin t sin s, и
поэтому ядро оператора К вырождено. Значит, область значений этого
оператора конечномерна и если Я — некоторое собственное значение, а
Ф (f) — соответствующая ему собственная функция, то
ь
] [cos /cos s— sin t sin s] ф (s)ds = Яф (t),
a
x. е. ф (i) =» ct cos / + c2 sin Л Поэтому
Я^соз t+ c2s'mi) =
-= ] [cos / cos s — sin t sin s] (ct cos s + c2 sin s) ds. (23)
a
4J1

а) Пусть [a; b] в 10; nl. Тогда
Я ЛИ
J cos s • cos sds = -S-, J sin s • cos sds = 0, ] sin s • sin sds = -y-
0 0 0
и, значит,
Я (ct cos t+c2 sin Q = Ci-^- cos t— ct-y- sin t
или (если учесть линейную независимость функции cos /, sin t на
произвольном отрезке) Ясг = -я- clt Яс2 = <г сг-
л
Из полученных соотношений следует, что или Я = -=-, сх — про-
извольное, a ct = 0, или Я = g-, ct = 0, а с2 — произвольное.
Значит, в рассматриваемом случае оператор К имеет собственные
значения: Ях = -"- , Я2 = ^-. Соответствующие им собственные
функции таковы: фх (t) = cos I, ф2 (2) = sin t.
б) Теперь
я я л
2 2 2
] cos2 sds = J sin* sds = -2-, a ] sin s cos sds = -^-.
0 0 0
Поэтому из (23) получаем
Я^ (сх cos t + cs sin t) = ct -2- cos t Ц- sin t + -^- cos / — c2 -— sin *
или
2~ 1 T" ^a = ЯС^.
Но однородная система
|4-ci+(t- + x)cs=°
имеет нетривиальное решение лишь при условии, что Я — нуль ее
определителя, т. е. К = )/-¾ -J- • *■■ = ~ V ^ Г ■
В качестве соответствующих собственных функций можно взять
<Pi (0-=-(-5-+ }/-£--l) cos * + sin*,
^«--(-Тг-У-^— l)cos*+sln<.
4St

Б. Определить функцию ф из класса C(I) (IR) так, чтобы
Ф (t) = sin t + Я, ] е~аф (t — s) ds.
о
Решение. Сперва заметим, что если решение ф данного уравнения
существует, то (после замены в интеграле переменной t — s = и)
t
Ф (f) = sin t + "Кет*) е"ф (и) du
о
или
е'ф (f) = е< sin t + I J евф (u) du.
о
Отсюда (после дифференцирования по t и умножения на ё~1) получаем,
что функция ф должна удовлетворять также дифференциальному
уравнению
ф' (0 + (1 — Я,) ф (t) = sin f+ cos t
и (как видно из исходного уравнения) начальному условию ф (0) = 0.
Поскольку однородное уравнение ф' (f) = (Я — 1) ф (t) имеет
решение ф0 (f) = ceP*-1*, то с помощью метода вариации постоянной
приходим к выводу, что
Ф (f) = е(*-1>' J е"-М« (sin s + cos s) ds.
о
Полученный интеграл просто вычисляется интегрированием по частям,
но мы на этом не останавливаемся.
6. Построить резольвенту интегрального уравнения
t
Ф (t) — IJ k (t, s) ф (s) ds = f(f)
0
и с ее помощью найти решение при k (t, s) = е-('-*>, Я, = 1, f (f) =
= fe~.
Решение. Найдем итерированные ядра этого уравнения. Замечая,
что
t t
k2 (t, s) = J k (t, t) ft (t, s) dt = J e-«-*>e-tt-»>dT = e-<'-»> (t — s).
ka (t, s) = J k (t, т) £г (т, s) <*r = J «-«-V-<*-'> (т — s) dt =
433

методам математической индукции доказывается следующая формула:
ММ-*-«-" (\~S)! ("€W).
Поэтому
R (/, s, X) - £ Гв-('-" Jt^l = e-"-s,e"'-s» - ^-^-4
и при Я, — l
*• s'
<p(f) = tef + I se * ds = te * + e 2 £ = (/ + 1) е1" — 1.
о
7« С помощью повторных ядер построить резольвенту
интегрального уравнения
rp (/) — X J /scp (s) ds = /(0, / £ [0; 1],
6
и найти его решение при X = 2, / (/) = /.
Решение. Найдем повторные ядра данного уравнения. Так как
k (t, s) =* ts п kx (/, s) es k (/, s), то
l l
kt (/, s) = J k (/, t) £j (t, s) dt = ] ft2sdT = -|-.
Далее,
i l
k„ (/, S) = j /5 (/. t) £2 (t, s) it = -±- J /т2я/т = -£-,
о 0
а методом математической индукции нетрудно проверить, что
А, «.я)» -1[ (л=1, 2, ...}. Поэтому
Я (/, s, Я) - 2 Xvkv+1 (/, s) = V V *
3/s
3-Х,
v=0 v—0 °
(при I X I -< 3; в этом случае В = -j-).
При А,=»2и/(/) = / решение соответствующего уравнения имеет
вид
Ф (0 = / (0 + X [ R (/, 5, X) f (s) ds = t + 6 J fcWs = 3/.
о 0
8. Вычислить D (X) и D (/, s, X) для уравнения Фредгольма
b
*(/) — A, J ft (/, s)<p(s)ds=*= f (/), если £(/, s) = sin/, a = 0, 6 = я.
a
Ртиент. Воспользуемся известными (см. п. 4) формулами для
онраделенм йвкомых функций и найдем вначале коэффициенты Вп (/, s)

и C.i
Bn(t,s)= j ... J
«in t sin tf ... sin t
sin st sin Si ... sin Si
sin s„ sin s„
я л
О О
n
sinsn
dSx ... ds„ в 0 (n > 1);
sin sx sinst ... sins!
sin s3 sin Sj .. . sin s,
sins„ sin^ ... sins„
dSl ... dsa = О (л > 2)
Cx = \ sin SidSi = 2.
о
Поэтому D (f, s,l) = k (t, s) + 2 -^T~Sn (*' *)*-" = * V- s) - 8lnf.
n=l
a D(X)- 1 + 2-Ц^СЛГ =1-27.. Значит, R(t,s,X)- ™±
и при А,«^-к- решение соответствующего уравнения
л
Ф (f) — X J sin Лр (s) ds == / (t)
имеет вид
ф(0 = /(0
X sin Г
1 — 2А,
]f(s)ds.
9. Решить интегральное уравнение Вольтерра первого рода
] *'-»Ф (s) ds = sin t.
о
Решение. Приведем это уравнение к интегральному уравнению
Вольтерра второго рода. С этой целью продифференцируем его по й
t
Ф (t) + ] е'_аф (s) ds = cos /.
о
Здесь k (t, s) = e*-*, X = — 1, f (t) = cos t. Как и в предыдущих
примерах, нетрудно подсчитать, что
R (t, s, X) = е^+'К'-*»,
и поэтому ф (f) = cos t — sin t.
135

Это же выражение для ср (f) можно получить и без использования
резольвенты. Достаточно лишь продифференцировать соотношение
] е_*Ф (s) ds = е~' sin t.
о
Непосредственной проверкой убеждаемся, что найденная функция
является решением и исходного уравнения первого рода (которое
можно было бы решить просто и с использованием преобразования
Лапласа).
10. Методом последовательных приближений решить следующие
интегральные уравнения:
а) ф (f) — ] (s — О Ф (s) ds = 1;
о
2
б) ф (*) = t + J ф (s) ds.
о
Решение. В обоих случаях возьмем за нулевое приближение
функцию фо (0 *в 0.
а) Исходя из данного уравнения, последовательно получаем
<М*)=1, ф2(0 = 1-А, ф8(0 = 1_^_+^_
¢,(0=1-^ + -^----+ (2,,-2)1 •
Поэтому ф (0 = Нт Фп 00 = cost-
п-юо
б) Из вида данного уравнения следует, что п-е последовательное
приближение ф„ (t) представимо в виде ф„ (f) = t + ап, причем
2
t + аа = t + ] (s + a„_i) ds=*t + -g-+-y a„_i,
e
т. e. a„ = -g- + -g- otn-i (п>1)- Поскольку, далее A,= l, a B = -j-
и A,<-g-, то последовательность функций Ф„(0. а с ней и числовая
последовательность (а„)о°, имеют пределы. Из рекуррентного соотноше-
1.1 ,.1
ния ап = -g- + -g- a„_i следует, что lim a„ = -7- , поэтому решением
fl-VOO
данного интегрального уравнения является функция ф (f) =* t + -т-.
Отметим, что это уравнение очень просто решается и с
использованием известного метода решения уравнений с вырожденными
ядрами.
436

11. Решить интегральное уравнение
ф (f) — A, j (t cos s + sa sin t + cos t sin s) ф (s) ds = *,
—л
где A 6 IR.
Решение. Поскольку ядро данного уравнения вырожденно, то
ясно, что решение ф (f) следует искать в виде
Ф (f) = Сх* + С2 sin / + Са cos /.
Подставляя это выражение в исходное уравнение и учитывая
линейную независимость функций t, sin t и cos t, получаем
л
Сх = 1 + Я, j cos s (Схв + С2 sin s + Ca cos s) d$,
—л
n
C2 = A, J s2 (Cts + Cg sin s + Ca cos s) d*.
—л
л
Cj = A j sin s (CjS + C2 sin s+ Ca cos s) ds.
—л
Вычисляя входящие в эти уравнения интегралы, для нахождения
неизвестных Сг, Ct, Са получим следующую систему алгебраических
уравнений:
Сх — лкСа = 1,
С2 + 4яАС3 = О,
2яХС1 + яАС2 — Са = 0.
Определитель этой системы:
1 0 —яА
0 I 4яА
2яА яА — 1
Поскольку Д (А) Ф 0, то
А (Я)
— 2я2А2 — 1.
Сг
4я2Я2 + 1
8я»У
2яХ,
2яЧ2 + 1 ' Са ■*" 2я2Х2 + 1 ' С» = 2я*У + Г
в данное интегральное уравнение имеет единственное решени*
m... 4я2Х2 -4- 1 , 8яв*,2 . . . 2яХ, .
*Ю = 2я«Я2 + 1 f ~ 2я2Я2 + 1 5Ш * + 2я2Я2 + 1 C0S L
12. Решить уравнение
«р(0 — А 1 (2fa* + 5fV) ф (s) ds = 7г* + 3.
—1
Решение. Будем искать функцию ф в виде
497

Тогда
i
С0 =. 3, Ct = X J 2s3 (C0 + ClS + C^ + C.S4) ds,
—i
i
C2 = X J 5s2 (C0 + CiS + Q;2 + Qs4) ds, C4 = 7,
—i
«откуда для нахождения Ct и C3 получаем систему уравнений
Ct(l—*-*)-<>.
. С, (1 — 2Я.) = 20А,.
Значит, если Хф — и Хф-^-, то С0 = 3, Сх = О, С2 = } _2^ ,
€t = 7 и исходное уравнение имеет единственное решение
в ел
Если А. = -?-, то С0 = 3, Сх — произвольное, С2 = ^-, С4 = 7
50 1
и ф (f) = 3 + Cxf з" ^2 + ^f4; при Я, — -я- данное уравнение решений
не имеет.
13. С помощью преобразования Лапласа найти резольвенту
интегрального уравнения
t
«р(0 —jsin(/ —s)cp(s)ds = /(0- (24)
о
Решение. Исходя из формул, определяющих повторные ядра и
резольвенту уравнения с ядром, зависящим лишь от разности
аргументов, нетрудно проверить, что они также зависят только от t — s. Пусть
<р (0 = Ф (р), / (0 = F (р) и k (0 = К (р).
Тогда Ф (р) — К (р) Ф (р) = /7 (р) и
Ф(Р)- i^k^) (К(Р)#1). (25)
Записав решение уравнения (24) в виде
t
4(f)-f(f) + \R(t-s)f(s)ds,
о
аналогично получаем соотношение
0(p) = F(p) + R(p)F(p), (26)
тде #(0р=Я(р). Отсюда Я(д) = °{p)F~^{p) или (с учетом (25))
j?/nW КО»)
-43 S

С помощью формулы (15) получаем sin/==—t = К(р), и
поэтому R(p) = -^-, а (см. (17)) R (f) = t.
Значит, резольвентой данного интегрального уравнения являете»
функция R (t, s, 1) = t — s.
14. Решить уравнение
г
ф (f) = е* — ) е*-^ (s) ds.
6
Решение. Имеем Ф (р) = Е (р) — Е (р) Ф (р), где
во
e<=iE(p)= f tP-rtdt i-p.
6 р
Поэтому Ф (р) = ^g^ =*= -i- и (см. (17)) ф (0 - 1.
15. Решить уравнение
1
Ф (0 — A- J * (^, s) ф (s) ds = i
о
с симметричным ядром
lt(s—1), если 0^/<!s, '
kV's)=*\s(t — 1), если s<f<l.
Решение. Как показано в примере 3, характеристические числа tr
соответствующие им ортонормированные функции имеют вид
Хп = — п*пг, ф„ (0 = V~2 sin nnt, п = 1, 2
Поэтому при X =Ф Хп решением данного уравнения являются
функции
<P(0 = '-^1W«in /urf.
где а„ — коэффициенты Фурье функции f (i) tm ti
- аа =V^<\t sin nntdt = (-!)"+ V^
о
Значит,
При А, = —п2п2 (п 6 (¾)) исходное уравнение решений не имеет,.
так как его правая часть не ортогональна (а„ Ф 0) всем решениям
соответствующего однородного уравнения.
16. Найти характеристические числа, соответствующие
собственные функции и решения (при каждом А. 6 (С. ПРИ котором они сущест-
43»

вуют) интегрального уравнения
я
Ф (0 — X, | coss (t — s) ф (s) ds = sin 2*.
- я
Решение. Рассмотрим однородное уравнение
я
/л , f 1 + cos 2 (/ — j) ... Л
Ф (0 — X. J —-—2~^ '- Ф (s) ds = О,
или
tp(t) я- ) г 1 + cos 2t cos 2s + sin 2* sin 2s] ф (s) ds = 0.
—я
Значит, ф (f) = Ct + Ca cos 2t + CB sin 2t, и для определения
постоянных Сь С2, С3 получаем соотношение
Сг + С„ cos 2t + С3 sin 2/ =
я
= -J- j [ 1 + cos 2* cos 2s + sin 2t sin 2s] [Сг + С» cos 2s + Ca sin 2s] ds.
Отсюда
d + Ca cos 2t + C3 sin 2t ■■
[2nCl + nCt cos 2i + nC3 sin 2t]
Cx{\ — А,я) = 0,
C,(l-^-)-0.
Ca(l --7-)-0.
Поэтому характеристическими значениями данного уравнения
1 2
являются числа Хх = — , А^ = А,3 = —. а соответствующими им соб-
я ' ■ ° я
ственными функциями — функции фх (f)
.. sin 2/
1 ... cos 2*
. Фг(0 :
V^St
VH '
Если А. 6 С \ {К, А,»}, то по теореме 10
Л^ — Л Aig — Л А»2 — Л
Я я
где ai^-TTsa- \ sin2/d* = 0, а. = —7=- \ sin 2* cos 2tdt = 0 и а.
II
= —=- I sin 2/ sin 2/d/ = "|^я, т. е.
Уя -„
Ф(0=81п2/ + -Г^_85пй= *«**
2—Ал
2 —Хя
440

Пусть X =* Хх. ПбСкбльку правая часть sin 22 бртогональна <pt (Q,
го исходное неоднородное уравнение имеет (см. теорему 11) решение
Ф (0 = sin 2* + С + -^- ф4 (0 + —Ц- Ф3 (О,
где а. = —=- sin2*cos2fd/ =0ид. = -^=- \ sin22fc# = V^, т. е,
V я _я Уя —я
Ф (0 = 2 sin 2* + с-
При X = Х2 = Х3 исходное уравнение решений не имеет, так как
функция sin 2t не ортогональна к функциям фа (f) и ф8 (/).
17. Найти решения уравнения ф(0 — A,] q>(s)ds= I, XФО.
о
Решение. Первый способ. Это — уравнение Фредгольма
второго рода, причем k (t, s) *з 1, а В = 1. Поэтому по теореме 6 при
\к | <С 1 решение ф (f) можно искать в виде суммы ряда Неймана
<>(*)= £ г*(кт/)(о.
m—О
где f(f) = l. Но, очевидно, при всех т(т ^ 0)
1
(Km/)(0 = J/(s)ds=l
о
и <р(f) = t _. . Ряд Неймана при |А.|^1 естественно расходится.
Второй способ. Из теории интегральных уравнений с
вырожденными ядрами следует, что решение ф (t) данного уравнения
следует искать в виде ф (i) = СХ -+- 1, где С — некоторая постоянная.
Подставляя это выражение в уравнение, получаем С (1 —X) = 1.
Отсюда вытекает, что при X = 1 уравнение решения не имеет
(и, значит, ряд Неймана действительно не может сходиться при |А,| >
> 1), а при XФ \ С = -jzrr и Ф(0 = Т'—\ *
Заметим, что хотя при | X | > 1 ряд Неймана и не сходится,
решение интегрального уравнения все же существует.
18. Рассмотрим однородное уравнение Фредгольма
>(0— x\(s2-j-sf)<p(s)ds = G
и соответствующее ему однородное сопряженное уравнение
1
\
1|> 0) — Я, J (Р + sf) ч> (s) ds = 0.
Проверить, что при каждом X Ф 0 эти уравнения имеют одинаковое
количество линейно независимых решений.
441

Решение. Функции <р (f) и у\> (f), удовлетворяющие этим
уравнениям, следует искать соответственно в виде
<р (0 »«! + «,* и ф (0 = № + №"■
Поэтому для определения постоянных а1( ait pt и ра получаем такие
■системы уравнений:
("Г- 1)я1 + ^а8 = 0,
4^ + (4-1)^^
X,2 2
У этих систем один и тот же определитель А (X) = — ™- —т- А,+
-{- 1, и для тех Х,0, что А (А,0)=7^0, оба интегральных уравнения имеют
только тривиальные решения. Если же К совпадает с одним из
корней определителя А (к), то каждое из интегральных уравнений имеет
лишь по одному нетривиальному решению (например, <р($ = 1 +
Этот пример иллюстрирует теорему 4.
19. Пусть f(zL% [0; 1]. Решить уравнение
1
б
Решение. Поскольку искомая функция ф (/) представима в виде
Ф (f) =■ СХ + f (i), то после подстановки этого выражения в
уравнение получаем
1
(1-Я.)С-{/(•)<& (27)
о
Значит, если К Ф 1, то
С =
1 1
L_f/(s)ds и v(o=/(0 + __irJ/(s)d«.
1 " о
Пусть X = 1. Тогда (27) принимает вид
1
J/(a)ds=0. (28)
о
Следовательно, есри условие (28) не выполняется, то исходное
уравнение не имеет решения; если оно выполнено, то соотношению
(27) удовлетворяет произвольная постоянная С, а соответствующее
интегральное уравнение ичеег бесконечное множество решений вида
/ W + С.
442

Отметим, что в этом случае операторФредгольма К является
самосопряженным, а сопряженное однородное уравнение при X = 1
имеет вид
ijj (0 — J *|г (s) ds = 0.
о
Его решениями являются только функции у (() = С1 (Сх —
произвольная постоянная). Поэтому условие (28) — это условие
ортогональности / (0 к решениям сопряженного однородного уравнения.
Таким образом, рассмотренный пример является простой
иллюстрацией теоремы 5.
20. При каких функциях у (f) из L2 [0; 2я] интегральное
уравнение
я
Ф(f) — \ sin(t—s)y(s)ds= у(f)
6
имеет решение в пространстве Lt 10; я]?
Решение. По теореме 5 данное уравнение имеет решение только
для тех функций у £ L, [0; я], которые ортогональны всем решения**
сопряженного однородного уравнения, т. е. (если учесть, что к (t, s) »-
= sin (t — s)) решениям уравнения
я
ф (0 + j sin (t — s) if (s) ds = 0.
0
Это — уравнение с вырожденным ядром kt (t, s) = sin t cos s —
— cos t sin s и поэтому ty (0 = Ct sin / + C2 cos t. Значит,
я
Ct sin t + C2 cos * + J (sin / cos s — cos t sin s) (Cx sin s + C2 cos s) ds = 0
0
или
Ct sin / + C2cos t + -2- C2sin t —y- Ct cos / = 0.
Отсюда Ct +-y-C2 = 0 и C2 — -J-Q = 0, т. e. C1 = C2 = 0 »
¢(0 = 0.
Таким образом, исходное неоднородное интегральное уравнение
Фредгольма второго рода имеет (и притом единственное) решение при
любой правой части у (f) из L2 [0; я]. Оно также может быть найдено
с помощью известного метода решения уравнений с вырожденными
ядрами.
21. Найти все вещественные значения параметров а, Ь и с, при
которых интегральное уравнение
Ф (0 — Я, j (ts + f »s«) ф (s) ds =at3+bt + a
i -i
имеет решение в пространстве Lt [— 1; 1] при любых А. 6 ¢.
44»

Решение. Воспользуемся теоремой 5 и найдем сперва решения
<при всех А. 6 ¢) сопряженного однородного уравнения
1
ф (0 — Я, J (ts -f ^s*) if (s) ds = 0.
Тогда t|> (0 = CJ + Cf и
l
Cxt + Cj* = X J (ts + t2^) (ds + Cts*) ds
—l
■иля
jc,(i-A)»».
.<?.(>—r)-0-
Если Х^ЗиХ=^5, toC1 = C2 = 0hiJ)(0!=:0- Это означает, чт»
«сходное уравнение имеет решение при любих й, Ь, с.
Пусть X = 3. Тогда сопряженное однородное уравнение имеет
нетривиальное решение t|> (t) = ct, где с — произвольная постоянная,
а исходное уравнение разрешимо в L2 [—1; 1] при условии
J (at2 +bt+c) tdt = 0,
т. е. при условии Ъ = 0.
Аналогично при X =* 5 имеем ty (f) = ct2 и условие
1
J (at* + bt + c) t*dt = 0,
Итак, данное интегральное уравнение разрешимо в La [—1; 1] при
всех X 6 (С тогда и только тогда, когда Ъ — 0 и За + «5с = 0.
Задачи для самостоятельной работы
1. Составьте интегральные уравнения, соответствующие следующим
дифференциальным уравнениям с заданными начальными условиями:
а) у" (0 + У М = 0, у (0) = 0, у' (О) « 1;
б) <Г (0 - 3/(0 - 6у' (0 + by (/) = 0, у (0) = у' (0) = / (0) = 1;
в) У" (0 + У (0 = cast, у (0) = 0, у' (0) = 1.
2. Найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции
ядра k (/, s)= st+ sh* (/, s £ [— 1; 1]).
3. Доказать, что ядра:
а) ft (/,s)= /-s(/,s6 |0; 1]),
б) 6 (/, s) = sin / sin 2$ (/, s € [0; л]) не имеют вещественных харангариатичмкш
лначений.

4. Пусть «о (/) — непрерывная четная функция, имеющая период 2я, а
я
Ck = — I и> (s) cos ksds ФО (k = 0, 1, . . .).
я J
—я
Доказать, что характеристическими зничениями ядра k (/, s) = ш (/ — s)
являются числа Xk = (¾ = 0, 1, ..,).
KCk
6, Найти резольвенту интегрального уравнения
Ф(/)-А, f k(t, s)9(s)ds = /(0
и с ее помощью решить уравнение в следующих случаях!
a) k (/, s) = «**-■*, X, = 2, f (/) = в"+и;
<ц мл *) = -!Фт« Х=,1« /W=1 + '2i
1 -)- s
2 + cos t .
b)*(U)=-t7 • *=1. /(0 = «'sin/.
2 -(- cos s
в. Найти резольвенту интегрального уравнения
Ф (/) - X j * (/, s) ф (s) ds = / (0
и найти его решение в следующих случаях!
л
а) k (t, s) = sin t cos s, a = 0, 6 = — , X, = — 1, / (/) = cot /j
б) k(t, s) = tes, a =-1, 6=1, ^.= 4-. / (0 = (3/2 + 1) «~'|
в) ft(<. s) -'s +/V, a = -1, 6=1, X,= 1, /(/)=3(/+1).
7. Вычислить L> (X.) для уравнения Фредгольма
Ф (/) - к j ft (/, 5) ф (s) ds = / (/)
со следующими ядрами и пределами интегрирования;
а) k (/, s)= 1, a= 0, 6= 1;
б) ft (/, s) = s, a = 4, 6 = 10;
в) k (/, s) = g (t\, a = a, ft = 6;
r) ft (/, s)= 2^+8. a= 0, ft = 1;
д) ft (/, s) = / — s, a = 0, ft = 1.
8. Пусть
>«..)-{£
1, «<<.
s>/.
Показать, что D (X) = exp {— (ft — a) X].
9. Методом последовательных приближении решить следующие интегральные
уравнения:
t
а) ф (о = / + j (s — #ф (s) ds (Фд (/) =. 0);
445

* » w " б '+1" $ "ф (s) ds (фв (<)"0);
0
t
в) «p(<) = 2* + 2- j<p(s)<fs (ф0(0-1);
о
r) *ro-i+/ + J(/-j)<p(*)* (фо(0-1)1
о
д) 9(/)-arctg< + j-j^pp-ds (Ф,(0«0).
о
10. Решить следующие уравнения Вольтерра первого рода(
t Л t
а) f sin (t — s) ф (s) ds = e 2 — 1; 6) j (1 — f2 + s*) ф (s) ds - *L.
11. Решить уравнения:
2 l
б) ф (t) — 3 [ tstp (s) ds + & — 2; б) ф (f) = 3 f /*ф (s) ds + & — 2;
о о
1 л
■) фЮ-|('+*)<Р(«)<*«+ Ш2 — 9/ — 4; r) <р(0 = _[«и(<+«)Ф(«)Л+1.
0 6
12. Решить интегральные уравнения с вырожденными ядрами;
я
Т
а) ф W — 4 f sin2 Лр (s) ds = It — л;,
о
l
в) ф W — *• f cos (9 In s) ф (s) ds = 1 (q б R)t
0
I
в) ф (0 - X, f (/2 - «0 Ф (*) ds = /2 + *;
-1
л
r) ф (0 — k f (sins+ scos09(s)ds= 1 -.
0
13. С помощью преобразования Лапласа найти резольвенты следующих ядер
(при X = 1):
a) k (t, а) « e-^~s); б) k (t, s) = 2 cos (* — 5).
14. Решить уравнения:
а) ф(/)-<-1'е'-'ф
(s)ds;
6) <p(0—coil — [{t — s)cos(< — 8)ф($)4*,

16. Решить уравнение
<р (/) — X \ k {t, s) ф (s) ds = cos я/,
о
где
kit ) = /('+1)s' кш °^'<4'
\(s+ 1)/, если s<<<1.
16. Решить уравнение
Ф (0 — X. С fe (/, s) ф (s) ds «=«» — /«,
о
где
Is — /, s</<;i.
17. Решить уравнение
Ф (О — к J A (/, s) ф (s) ds = / (О,
о
где
k (t, s) = <
a / (0 = sin я/.
18. Доказать, что характеристические функции и собственные функции
нения
Ф (<) — X \ min (t, s) ф (s) ds = sin nt
определяются формулами
Xa = n,{n + — I , ф„М =81пя(п+— j, n>0.
Найти решения этого уравнения при каждом X 6 С, при котором они существуют.
19. Пусть *(', s) = j'(*—!!' '^? а /W=5] CfcSinfe^ (1<п<оо).
U (/ — 1), « < t, £,
При каждом X, £ С найти условия на с^ (ft = 1, ..., л), при которых уравнение
<р (/) — *, j ft (/, s) ф (s) ds = / (0
имеет решения. Найти эти решения.
Указание. Использовать пример 3.
20. Найти все вещественные значения параметра а, при которых интегральное
уравнение
ф (') — X [ (<й — s) ф (s) ds = у (0
имеет решение при всех X £ R и всех j/1 Z-B [0; 1].
21. Для каких # £ С [0; 1] интегральное уравнена»
имеет решение?
44Т

22. Доказать что Для интегрального уравнения ,
Ф (/) — к [ sin (/s) <р (s) ds — О
о
утверждение теоремы Фредгольма о конечности числа линейно независимых
собственных функций, соответствующих каждому характеристическому числу, не верна.
Указание. Рассмотреть к = ± 1/ — и <р (/) = |/ -=- ё~at ± . а
(/>0, а>0).
23. Найти все значения Я, при которых интегральное уравнение
Ф (/) — Ь f cos (/ + «) Ф («) ds = y (/)
имеет единственное решение при любом у £ С |а; 6], если:
а) а = О, Ъ = я; б) а = 0, 6 = -^- .
Ответы. 1. а) ф (0 = — / + f (s — <) ф (s) ds; б) ф «) = 1 — 2/ — 4/2 +
ds.
+ [ [3+ 6 (/ — s) — 4 (/ — s)1] ф (s) ds; в) ф (/) = cos/ — / + j (s — О Ф (s)
о о
2. X, = -|-, ** = -£- : Ф1 (Ю = *. ftM = <2- "■ a) « (/, *, Я,) = ^-»'+W-s)f
Ф (/) = **ч-« (1 + ад; 6) Я{<, s, X) = 4^7- eM'_s)' Ф (0 = *' (i + «*);
в) « (/, s, Ц = „ + C^f eM'-s), Ф (/) = «* sin / + (2 + cos /) e' In — _ .
2 + cos s 2 -(- cos t
2 sin / cos s я
в. a) fl (/, s, X) = 2 __ (|X,|<2), ф(<) = со8/——sin/; 6) /? (*, s, X) =
= T~2T (l^l<-5-)' <pW = 4rf + (3/,+ 1)e~': в) *('"s> k) = T=W +
5/V / 3 \ 10
+ 5_2X (lM< —). Ф(/) = 3 + 9/ + —/«. 7. a) 1-Х; б) 1-42X;
в) 1— k\g(s)ds; r) 1 — (*» — 1) А,; д) ^-jg"- fl- a) s'n': 6) '; в) 2; г) «';
a
t' t'
x)<arctg<_K ,0 a) eT0. + 2)—1; 6)/e2. 11. a) -L/ —2; 6) rt— 2,
2 sin f я2
e— произвольная постоянная; в) 18/2 +12/ + 9; г) 1 . 12. а) х
я я — 1
_ 2
Xsin2/ + 2Z— nt б) , , , . (X.-^^ + l); в) при Я,уь±—- ф (/) =
1 -J- д — А. л
3<» 3/ 3 л f м
= Т=ГЗГ+-з + 2Г: ПР»*=±Т" Р*ше™* «ет; г) ПР« Я€Сч(±т
2/ я2*, cos/ 1 4 2/'
tW-»-T- g(1 + 2X) : приХ = — Ф(0-Т—-+в(8 + я»сов0.
44*

в—произвольная постоянная; при А,= — решений нет. 13. а) 1; б) 2«'—s(l +
/2 1
+ t—s). 14. a) t ; б) —(2cosJ^3/ + 1). 15. Если Хф\ и Хф — я"яв
Z. о
Г \ А-е
(я £ N), то ф (/) = cos Ы + X . , ,
1 -f- я"
При X, = 1 и X = — яа решений нет;
1+« к*
я
cos nt -\- X
X - 1 2 (X + я2)
при X, = — пЧг (п = 2, 3
я
■ я cos л/) I ;
1+яг X— 1 2(Х, + я2)
-{-пясовя/), где С—произвольная постоянная.
(sin nt + я cos я/)
(slnjt* -f-:
) Ф(0"
+ С (sin я/ +
1в. Ф (0 =
17. Хп = — п2я2.
М- / 1 \
2ц cos — cos ц 1/ — — sin fit
p, (p. sin p.— lj
прн x e с ч {xn: n;
где ц. = J^2X; p. (p. sin p, — 1) ф 0.
n"
1} ф (0 = i i sin nt; при X » Яя
(n>2) Ф (/)=.
J
■ sin nt -\- С sin пя/; прн X, = X, решений нет. 18. При А, б
СС\|(п + —1 я»:п>о| ф (/) = sin я/+
+
42
(— 1)" sin
л+—]я/
- («--г)(«+т)
при Х=(п + —I я* (п>0) решений нет. 2
>. — < а < 3. 21. j Ру (/) Л - 0,
$ 5. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Этот параграф посвящен рассмотрению некоторых понятий, связанных с
дифференцированием в линейных нормированных пространствах.
1. Сильный дифференциал (Фреше). Пусть Ех н Е2 — банаховы пространств* и
А — отображение (не обязательно линейное), действующее из Et в £2 и
определенное на некотором открытом подмнозкестве & (А) пространства Ег. Значение
оператора А на элементе х нэ Ш (А) будем записывать иногда в виде А (х).
Оператор А называется дифференцируемым в точке х0 € @ (А), если существует
такой линейный непрерывный оператор А' (х0) (т. е. А' (х„) £ Sf {Ег, £2)), что
где е (*о, h) б Et и
A(xa + h)-A (лгв) = Л' (*0) (ft) + е (*0, ft),
1И*0. я)|
(1)
II ft 111
-*>0 прн || ft ||t -*0.
Оператор А' (*о) называется производной Фреше (нлн сильной производной) i
ратора А в точке xQ, а выражение Л' (х0) (ft) (представляющее собой при
дом ft € Я] элемент пространства £2) — дифференциалом Фреше (снлышы
дифференциалом) отображения А в точке хй.
В случае Е2= К, т. е. А = f, сильный дифференциал функционала / буд*
называть (см. гл. 3, § 6) вариацией этого функционала.
Если оператор Л дифференцируем в точке х0> то его производная Фреше
определяется единственным образом.
15 0-74
449

2. Слабый дифференциал (Гато). Линейный непрерывный оператор Ас (х0) назы-
вается производной Гато (слабой производной) оператора A : Et -*■ Ег в точке xt (
€ Я (А), если при всех h £ Ш (А)
А (*о + th) — А (х0) d ,
К (*о) (А) = Нш ^ ; К— = — А(хй + th)
<-v0 t at
¢=0
где сходимость понимается как сходимость по норме пространства Et. Выражение
Ас (х0) (ft) называется при этом дифференциалом Гато (слабым дифференциалом)
оператора А в точке Jt„.
Оказывается, что если оператор А имеет в точ_ке производную Фреше, то она
Является и производной Гато. А если в окрестности точки ха существует производная
Гато, причем непрерывная в точке х„ (как оператор от х), то она является
производной Фреше
3. Производные высцшх порядков. Напомним, что оператор В = В {•, ■) :
: Ei X £j ->- Ег называется билинейным, если он является линейным непрерывным
по каждому переменному (при фиксированном другом) Билинейный оператор
называется симметричным, если
Р (*i> *») = В (Xi, хх) (V хи хг £ Et).
Каждый симметричный билинейный оператор В порождает по формуле В2 (х) =■
■= В (х, х) (v х £ Е,) оператор В2, называемый квадратичный.
Оператор А, действующий из банахова пространства Ег в банахово
пространство £2, называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке хв, если
А (*„ + й) — А (*0) = Si (h) + — Вг (h) + в (*„, К),
Где В, = В, (хп) — линейный относительно h н непрерывный оператор, В, = В, (х0) —
Це(*0п)||,
квадратичный относительно h) оператор, а е (х«, ft) £ Ег и Нт = 0.
№*о || „|f
Квадратичный оператор Вг (х0) называется прн »том второй производной Фреше
оператора А в точке хй: В2 (ха) = А" (х0), а выражение В2 (х0) (ft) — вторым
дифференциалам Фреше оператора А в точке ха.
Очень часто (см пп. 4 и 5) рассматривают н вторую последовательную
производную Фреше оператора — производную Фреше от первой производной Фреше.
Она является билинейным оператором относительно приращений h и 7ц. Аналогично
можно определить также я-ю последовательную производную Фреше оператора А,
как производную от (« — 1)-й производной. Она будет полилинейным оператором
относительно приращений ft, ht hn_l (т. е, линейным непрерывным оператором
по каждому переменному прн фиксированных остальных).
Квадратичный оператор В^ (х0) называется второй производной Гато оператр»
ра А в точке х0> если лая любого h £ ® (А)
_ /1 (¾ + th)
- fif Со) (")•
¢=0
Выражение Bf* (х» (ft) — это второй дифференциал Гато оператора А в точке х9.
Можно говорить и о второй последовательной производной Гато, как о
производной Гато от первой производной Гато. Она является билинейным оператором.
Рассмотрением последовательных производных высших порядков мы в дальнейшем
(см. п. 4) и ограничимся,
4. Формула Тейлора. Обобщением формулы (1) для сильного дифференциала
оператора А является соотношение, содержащееся в нижеследующем утверждении.
Теорема. Если А — отображение, действующее изЕгвЕги определенное в
области & (А) с E-i, " для него существует п-я последовательная сильная производная
450

A (*o)> представляющая собой равномерно непрерывную функцию от х в в {А), та
1
A(x + h)-A(x) =A'(x)(h) + — A»(x)(h, h)+ ... -f
+ _-Л<»)(*)(Л, .... Л)+ш(х, й), /и
где |«»(*, й)Ь = о(|Л|?).
5. Дифференцирование абстрактных функций. Пусть £ — линейное
нормированное пространство, a R— числовая прямая. Оператор х = х (t) : R -»- Е (вообще
говоря, нелинейный) называется абстрактной функцией числового аргумента L
Очевидно, что абстрактные функции можно складывать н умножать на числа, т. е.
они образуют линейное пространство.
Производная х' (t) функции х (/) определяется как обычно:
х (t + М) — х (t)
х- (0 = Нт ^ . — ,
д(-кО А/
где указанный предел рассматривается по норме пространства Е.
Заметим, что для абстрактной функции слабая днфференцнруемость совпадает
с сильной (это утверждение проверяется очевидным образом), а все сказанное в
пп. 1—4 в общем случае справедливо и для абстрактных'функций.
Если абстрактная функция зависит от нескольких переменных, то обычным
способом вводятся также понятия ее частных производных.
Отметим, что важный частный случай абстрактных функций представляют собой
оператор-функцнн, т. е. элементы А (К) пространства 2 (Еъ Et), зависящие от
числовой переменной к. Напомним, что если Ел и Ег — банаховы пространства, то
банаховым является и 2 (Ех, Е2).
6. Интегрирование абстрактных функций. Как и обычно в анализе, можно ввести
понятие рнманова интеграла от абстрактной функции. Пусть х = х (t) (а ^ t ^ 6) —
некоторая абстрактная функция в банаховом пространстве Е. Будем рассматривать
разбиения отрезка [а, Ъ\ на п частей точками tk, где
a = *0<'i< •■• <tk<tk+l< ■•• <tn = b.
Если для произвольного е > 0 существует б > 0 такое, что для всех тех
разбиений отрезка на части, для которых | tk+l — tk I < б,
n—1 II
S x(tk)(tk+x—tk)-y <e,
ft=o II
где у £ E, то элемент у называется интегралом Римана от функции х (t) по отрм-
ь
ку [а; Ь\ и обозначается I х (f) dt.
а
Можно показать, что если функция х (t) непрерывна на отрезке [а, Ь], т*
ь
интеграл \ х (/) dt существует.
а
Пусть дано дифференциальное уравнение
-%- = Ф (*. *), (3)
где х = х (f) — искомый, а <р (t, х) — заданный элементы банахова пространства,
причем функция ф непрерывна по t и как функция от х удовлетворяет условию
Липшица
1ф (t, *i> — ф (t, *s) К L | хх — xs | (L = const).
16« 451

Тогда, рассмотрев наряду с (3) уравнение '
t
*М*=*о+ ]"ф(*. x(i))dx (4)
U
(asg*0sS'<'o+6<6; б>0; *<. = *(*„)),
можно проверить, что при L6 < 1 уравнение (4), а с ним и (3), имеет единственно»
решение * (f) на отрезке [tt; *0 + °1 такое, что х (*„) = *0.
О теории дифференцирования в банаховых пространствах см. в [5; 20; 33; 391.
Примеры решения задач
1. Пусть функция k (t, s, х) непрерывна по совокупности
переменных в области 0 — {(t, s, х) : 0 <; t, s :¾ 1; \ х \ ^ г) и имеет
в 0 непрерывную производную kx (t, s, х). Доказать, что оператор
Урысона
1
(Ax)(f)= [k(t, s, x(s))ds
о
определен в шаре В [0, г] с С [0; 1] и его значения принадлежат
пространству С [0; 1]. Найти производную Фреше этого оператора
в каждой точке *0 открытого шара В (0, г).
Решение. Первое утверждение сформулированной задачи является
очевидным следствием известных свойств интегралов, зависящих от
параметра.
Найдем производную Фреше оператора А в точке х0Е В (0, г).
Рассмотрим
А (х0 + h)(f)- (Ах,,) (*) = $№ (t, s, х0 (s) + h (s)) - k (t, s, x0 (s))] ds.
0
Поскольку выражение k (t, s, x0 (s) + h (s)) — k (t, $, xe (s)) по
теореме Лагранжа о конечных приращениях равно
k'x(t, s, x0(s) +m(s))h(s),
где 0 = 6 (t, s, h, x0) и 0 < 8 < 1, или (учитывая существование н%-
прерывной производной kx)
k (t, s, x0 (s) + h (s)) — k (t, s, x0 (s)) = kx (t, s, x0 (s)) h (s) +
+ e(t, s, h, x0)h(s),
где max | e (t, s, h, x0) | -*■ 0 при max | h (s) | -*■ 0, то
i,se[0;l] «€[0:1]
l
Л' (jg (/i (0) = $ fti 0, s, x0 (s)) A (s) ds.
0
2. Пусть оператор Л : Ex -*■ £2 имеет в точке *0 слабую
производную Гато Ас (х0), причем равенство
t-*o '
482

выполняется равномерно по /ti||A|li = 1. Доказать, что тогда
существует производная Фреще А' (х0) и А' (х0) = А'а (х0).
Решение. В силу условия сформулированного утверждения для
каждого е > О существует такое б > 0, что при | t | <; о равномерно
при ||Н = 1
~ [А (х0 + th) — A (*„)] — Ac (х0) h | < а.
Отсюда, полагая
-f [А (х0 +th)-A (*„)] - А'с (х0) (А) = \ со (*0, Л),
приходим к равенству
Л (х0 + ft) — Л (*„) "" ^ (*о) (*),+ «о (*b. ft),
где ^уИ|г < е, ибо IЛ ^ = 1. Следовательно, Л' (*„) = Л! (*„),
т. е. производная Фреше существует и совпадает с производной Гато.
3. Пусть <p:R2->-IRi и
j 1, если у = х1, хФ О,
Ф\ > У) — | q в остальных точках (х, «/) £ IR*.
Найти производную Гато функции ф в точке (0, 0).
Решение. Исходя из определения производной Гато, рассмотрим
lim Ф(° + ^. о + ^)-Ф(0. 0)
t-o (
где (Л, g) — произвольная точка из 1R2. Но ф(//г' *г)~ф (0, 0) = 0 при
всех (Л, g) 6 IR2, ибо ф (0, 0) = 0 (по определению ф) и ф (ft, tg) = 0,
так как при фиксированном (Л, g) н малых значениях / точки (ft, tg)
не могут лежать на параболе у = х%. Значит, данная функция ф
дифференцируема в-точке (0, 0) в смысле Гато и ее дифференциал Гато
в этой точке равен нулю.
Нетрудно видеть, что эта же функция не дифференцируема в точке
(0, 0) в смысле Фреше, ибо она даже не непрерывна в этой точке.
4. Пусть х (f) : 1R ->- Е — абстрактная функция, а ф (i) i IR -*- TR —
обычная скалярная функция вещественного переменного 1ив
некоторой точке t0 существуют производные х' (Q и ф' (/0). Найти
производную в точке t0 абстрактной функции у (t) = ф (f) х (f).
Решение. Имеем
/ft)-Hm '<* + %-'<V,
=zlim [х (к + AQ — х (/„)] Ф (t0 + AQ+ [ф Uo + AQ — Ф Va)} * (/t) _,.
так как ф (t0 + At) -*■ ф (t0) при Д* -*■ 0 в силу непрерывности
дифференцируемой в точке t0 скалярной функции ф (f).
453

5. Пусть оператор-функцня А (X) дифференцируема в точке А,
и непрерывно обратима в некоторой окрестности этой точки.
Доказать, что А~] (А) также дифференцируемая при А = А0
оператор-функция, и найти ее яроизводную.
Решение. Будем исходить из соотношений Л-1 (X) А (X) = / (X),
справедливых для всех X из указанной окрестности точки точки А0
(здесь / (X) — единичная оператор-функция). Тогда при достаточно
малых ДА,
А"[ (Х0 + АХ) А (А0 + А%) — Л"' (А0) А (А0) = О
н
А~х (Х0 + АХ) [А (Х0 + ДА) - Л (А,)] +
+ [А^ (Х0 + АХ) - Л"1 (AJ] А (Х0) = 0.
Отсюда
Л"' (А0 + АХ) - Л"' (Х0) = - Л"' (А0 + АХ) [Л (А0 + АХ) -
-A(XJ]A-](%0)
и {А~х)' (Х0) — — Л-1 (XJ Л' (А0) Л-1 (Х0), так как, по условию,
оператор-функция Л-1 (А) непрерывна в точке А = А0!
lim Л-1 (А0 + ДА) = A'1 (XJ.
AX-fO
Задачи для самостоятельной работы
1. Пусть А и В — два непрерывных отображения, действующих из банахова
пространства Е1 в банахово пространство Е2. Доказать, что если А н В
дифференцируемы (в смысле Фреше) в точке х0 (Е Еи то А + В и а.А (a = const) также
дифференцируемы в х0 и
(А + В)' (*0) = А' (*0) + S' (*0), (аАу (хй) = ссД' (*0).
2. Пусть £,, £а, £8 — трн банаховых пространства, U (ха) — окрестность
точки х0 в Elt А — непрерывное отображение этой окрестности в Е2, уй = Axq,
V (Уь) — окрестность точки у0 6 Е2 и В — непрерывное отображение этой
окрестности в Еъ. Тогда, если отображение А дифференцируемо (в смысле Фреше) в точке
Хо, а В дифференцируемо в точке у\, то отображение С = ВА (определенное и
непрерывное в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке *о и
С (х„) = В' (ув) . А' (у0).
Доказать это утверждение (теорема о производной сложной функции).
3. Пусть функция ф (х, \, и) непрерывна по совокупности своих переменных
яри а < *, £ 5¾ Ь, —оо < и <3 + оо вместе с частной производной q>u (х, %, и) и
ь
F (и) = и (х) - j Ф (х, |, и (6)) dl.
а
Доказать, что оператор F дифференцируем в каждой точке щ £ С [а; Ь] н
6
F' (uD) (ft) = ft (х) - J фц (х, 5, ц, (¾) Л (|) dS.
а
454

4. На примере функции
*1 + *1 + 4 ' 2 2 ' *? + *2^=0.
*« + *|
О, xf + 4 = Q,
проверить, что из елабой днфференцнруемостн оператора в точке еще не вытекает
его сильная дифференцнруемость.
5. На примере скалярной функции / (t) = .3 cos -ту проверить, что из
существования второй производной Фреше оператора в точке (в частном случае при 1= 0)
не вытекает существование второй производной Гато.
6. Пусть х (.) — дифференцируемая абстрактная функция в банаховом
пространстве £j и А — некоторое непрерывное отображение E-i в банахово пространство
Е3 (т. е. А £ & (£-, Е2)). Доказать, что:
а) (Ах)' (t) = (Ах') (.);
ь / ь
Ь I ь
б) f (Ах) (t) dt = А I f * (t) dt
а \а
§ 6. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Рассмотрим некоторый класс функций (или кривых) н пусть на нем определен
функционал /. Во многих разделах математического анализа, геометрии, механики
и т. д. часто возникают задачи, в которых требуется найтн наибольшее нлн
наименьшее значение этого функционала. Раздел «исчисления функционалов», в котором
научают методы решения подобных экстремальных задач, называется вариационным
исчислением. ,
Поскольку, по определению, функционал — это функция, в которой роль
независимой переменной играет функция (или кривая), то ясно, что вариационное
исчисление имеет своей целью такое обобщение построений классического анализа,
которое позволяет решать экстремальные задачи для функционалов.
Это исчисление начало развиваться с 1696 г. и после фундаментальных работ
Л. Эйлера оформилось впоследствии в самостоятельную дисциплину со своими
методами исследований. Поэтому Л. Эйлера с полным основанием считают
основоположником этой математической дисциплины.
Отметим, что развитие вариационного исчисления в огромной мере
стимулировали следующие три классические задачи:
а) Задача о брахистохроне: требуется определить такую пространственную
линию (называемую брахистохроной), соединяющую две точки Afj и М^ (не лежащие
на одной вертикальной прямой), что материальная точка скатится по ней из М1
в Mt под действие^ силы тяжести в кратчайшее время. Задача поставлена в 1696 г.
И. Бернуллн, а решена И. Бернуллн, Я. Бернуллн, И. Ньютоном н Ф. Лопнталем.
Оказалось, что брахистохрона — это циклоида, лежащая в вертикальной плоскости
и проходящая через данные точки Mt н М3.
б) Изопериметрическая задача: среди замкнутых плоских линий данной длины
?>ебуется найтн ту, которая ограничивает максимальную площадь. Еще в древней
рецни было известно, что такой линией является окружность. Однако общие
методы решения подобного типа задач впервые были разработаны Л. Эйлером.
в) Задача о геодезических линиях: требуется определить линию наименьшей
длины, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности. Такие лннни
называются геодезическими, а задача о их нахождении решена в 1697 г. И. Бернуллн.
Общий метод решения подобных условных задач дан в работах Л. Эйлера и Ж. Ла-
рранжа.
Несложно проверить, что во всех трех случаях речь идет об экстремальных
задачах для функционалов вида
ь
f(y)=^F(x,y,y')dx, (1)
466

где F — заданная функция своих аргументов, а у — у (х) — искомая функций.
Именно такого типа функционалы мы н будем в дальнейшем рассматривать.
Как известно, функционал / {у) называется непрерывным, если малому
изменению у (х) соответствует малое изменение функционала / (у). Однако ясно, что такое
определение нуждается в уточнении понятия «малости». Как правило, будем
рассматривать в качестве исходных только классы тех функций у (х), которые принадлежат
пространству С [а; Ь\ нлн С**' [а; Ь\ (см. гл. 2, §'1). Поэтому за меру близости
функций у (х) и ^] (х) естественно брать норму их разности в указанных пространствах.
В связи с этим иногда говорят, что у (х) и ух (х) близки в смысле близости нулевого
порядка, если мал модуль разности у (х) — ух (х) (т. е. функции близки по норме
пространства С [а, Ь]), н близки в смысле близости k-го порядка, если малы модули
разностей у (х) — уЛ (х), у' (х) — yL (х), .... tf® (х) — y^k) (х) (т. е. мала норма
функции у (х) — У] (х) в пространстве С* ' [а; Ь]).
1. Вариация функционала. Введем понятие дифференциала (вариации)
функционала (см. также § 5), аналогичное известному из курса математического анализа
понятию дифференциала функции. -
Пусть Е — некоторое линейное нормированное пространство, / — некоторый
функционал (вообще говоря, нелинейный) над Е н уй — фиксированный элемент из
Е. Рассмотрим приращение функционала
(А/) (И.) =■/&>+А)-/(*•).
соответствующее приращению A (А £ Е) «независимой переменной» у. Прн
фиксированном у0 это приращение также является некоторым функционалом над Е (от А).
Если (Д/) (у0) можно представить в виде
(Д/) Ы = б/(Уо. h) + r(y„ А), (2)
где б/ (уа. А) — линейный непрерывный функционал (по отношению к А), а г (yt,
А) = о (|| A |D при |] А || ->■ 0, то функционал б/ (у0, А) будем называть
дифференциалом или вариацией функционала f в точке у0. В этом случае говорят, что функционал
/ дифференцируем в точке у0.
Иными словами, б/ (у0, А) — это главная, линейная по отношению к А, часть
приращения функционала /.
Нетрудно видеть, что дифференциал функционала (если он существует)
определяется однозначно. Кроме того, если исходный функционал / линеен, то б/ (уЛ, А) =
=-/W(V УЛ£Е).
Справедлива следующая теорема (см. § 5, п. 2).
Теорема 1. Если функционал f дифференцируем в точке у0, то при любом Л g Я
функция f (у0 + th), как функция от t, дифференцируема в обычном смысле от t при
t = 0 и ее производная в этой точке равна б/ (у0. А), т. е.
б/о/», л) = -^- u(y»+т i<-0.
Исходя из лрнведенного выше определения, несложно проверить, что если ядро
F (*i У, у') функционала (1) является непрерывной функцией, обладающей
непрерывными производными до второго порядка включительно в области а ^ х ^ Ь, —оо-<
< У< У' < + оо, то в пространстве С* ' [а; Ь] вариация функционала (1) имеет вид
б/ (у, *) - f [ dF <*' yg' у'(Х)) h (*) + dF <*' yff' y'{x)) *' w] *. (3)
a
2. Экстремум функционала. Пусть / — некоторый дифференцируемый функцно-
яал над линейным нормированным пространством Е. Говорят, что он достигает в
точке уа минимума (соответственно максимума), если для всех у нз некоторой
окрестности точки у0 выполняется неравенство /(«/)>/ (у0) (соответственно / (#) ^
< / Ы).
Как правило, будем рассматривать функционалы, определенные на конкретных
множествах дифференцируемых (в обычном смысле) функций. Это будут множества
либо нз пространства С [а; Ь], либо нз С(|) [а; Ь]. В связи с этим, различают два вида
456

экстремума: сильный и слабый. А именно, значение / (уа) называется сильным
(соответственно слабым) экстремумом функционала /, если оно является экстремальным
по отношению к тем у, которые удовлетворяют условию || у — уа || < е
(соответственно J у — Уо ||i < е), где | • | (соответственно || • ||,) — норма в С \а, Ь]
(соответственно О ' [а; Ь]).
Иными словами, сильный экстремум достигается по отношению к кривым,
близким к уа (х) в смысле близости нулевого порядка, а слабый — на кривых, близких
в смысле близости первого порядка.
Ясно, что всякий сильный экстремум является в то же время и л)1ым
экстремумом.
Материал, рассматриваемый в этом параграфе, относится в основном к
исследованиям функционалов на слабый экстремум.
3. Необходимое условие экстремума. В классическом анализе, как известно,
дифференцируемая функция может достигать экстремума только в тех точках, в
которых ее производная равна нулю. Аналогичное утверждение справедливо и для
функционалов.
Теорема 2. Для того чтобы функционал \ достигал экстремума в точке у„,
необходимо, чтобы его дифференциал (если он существует) обращался в $той
точке в нуль.
Всякая точка у0, в которой первая вариация б/ (у0, А) функционала f обращается
в нуль при любом А, называется стационарной точкой этого функционала.
ь
4.Функционалы вида /(«)■= \ F (х, у, у') dx, Напомним, что вариация час-
а "
ематрнваемого функционала (1) представнма в виде (3).
Найдем необходимые условия, при выполнении которых функционал (1) имев*
слабый экстремум в классе тех функций нз С(1) [а, Ь], которые удовлетворяют
условиям
у(а) = А, уф)=кВ. (4)
Заметим, что для применения теоремы 2 необходимо требовать, чтобы функции А (х),
фигурирующие в определении вариации функционала /, удовлетворяли граничным
условиям А (а) = А (о) = 0 (только в этом случае для функций у (х) + h (х)
справедливы соотношения (4)).
При сделанных предположениях необходимым условием экстремума является
ь
б/ (уо. А) в J (Fyh + Fy,h') dx=0,
a
где через Fg н F , обозначены частные производные функции F по переменным у ш
у' еоответственно.
Воспользуемся теперь следующим утверждением.
Лемма. Esau
ь
^ [а (х) h (*) + Ь (х) h! (*)] ах = в
а
для каждой функции h (х) из С*1' [о; Ь\ такой, что A (a) = h (Ь) =* 0, то Ь (х)
дифференцируема и а(х)~ b' (х) = 0.
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы функционал { вида (1) при у = у0 достигал слабого
t/сстремума на множестве функций, удовлетворяющих условиям (4), необходимо,
чтобы функция у0 (х) удовлетворяла уравнению Эйлера
Fg (х, Уо (х), Уо (х)) — — /> (х, У0 (х), у'0 (х)) =»0. (в)
Уравнение Эйлера — это дифференциальное уравнение второго порядка. Его
решения зависят поэтому от двух произвольных постоянных, которые определяются
из краевых условий (4).
457

Интегральные кривые уравнения Эйлера (5) в дальнейшем будут называться
экстремалями.
Итак, для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (1),
нужно проинтегрировать уравнение Эйлера и определить входящие в общее решение
постоянные из условий (4). Экстремум может достигаться только на таких кривых.
Далее следует воспользоваться достаточными условиями, рассматриваемыми ниже.
Сделаем, однако, сперва несколько замечаний относительно интегрирования
уравнения Эйлера. Более точно, укажем некоторые частные случаи, в которых это
уравнение можно привести к дифференциальному уравнению первого порядка или
полностью проинтегрировать в квадратурах.
а) Пусть функция F не зависит от у'. Тогда уравнение Эйлера (5) принимает вид
F„ (х, у (*)) яа 0, т. е. представляет собой не дифференциальное уравнение, а
обычное уравнение, определяющее одну или несколько кривых.
б) Если подынтегральная функция F не зависит от у, то соответствующее урав
о
ненне (5): ~т~ ?у (*. у' (*)) — 0 имеет первый интеграл Fy, = С. Это уравнение
первого порядка, не содержащее у. Решив его относительно у', получим у' = ф (х, С).
Значит, у отсюда находится квадратурой.
в) Если F не зависит от х, то
Fy-4x-Fy^Fe~Fyy"ir~Fyy'y'"0-
Отсюда, после умножения на у', следует, что
т. е. F — у'Ру> — С. Это соотношение определяет первый интеграл соответствующего
уравнения Эйлера.
5. Вторая вариация функционала. Для нахождения достаточных условий
экстремума, как и в классическом анализе, йеобходнма дальнейшая расшифровка
остатка т (yui ft) в формуле (2). Для этого напомним еще несколько определений
(см. § 5).
Пусть Е — некоторое линейное нормированное пространство, a f (х, у) — функ,- i
цнонал над Е, зависящий от двух элементов. Этот функционал называется
билинейным, если он представляет собой линейный непрерывный функционал от у при
каждом фиксированном х, а при каждом фиксированном у — линейный непрерывный
функционал от х. Полагая в билинейном функционале у = х, получаем функционал
над Е, который называется квадратичным. ,
Введем понятие второй вариации (второго дифференциала) функционала. Пусть
/ — дифференцируемый функционал над Е, причем остаток г (у0, ft) в формуле (2)
можно разложить на квадратичный функционал /х (уй, ft) от ft и -новый остаток
г2 (У0, h) = о (|| ft Р), т. е.
(Д/) (j/„) = bf (уй, h) + ft (уа, ft) + о (|| ft f). (6>
Квадратичный функционал ft (y0, ft) в представлении (6) называется второй
вариацией (вторым дифференциалом) функционала f и обозначается б2/ (у0, ft). Вторая
вариация (как и первая) также определяется однозначно.
Если, например, функция F, определяющая функционал / вида (1), имеет
непрерывные производные до третьего порядка включительно, то
ь
&f (j/o. Щ = J IFyyh* + 2FyyM' + Fy,y. (ft')2] dx. (7)
a
Теорема 4. Для того чтобы функционал} имел при у = у0 минимум
(соответственно максимум), необходимо, чтобы б/ (j/0, ft) = 0 и выполнялось условие о2/ (у0, ft) ;>
;> 0 (соответственно б2/ (у0, ft) <; 0) для всех допустимых значений ft.
Нетрудно проверить, что если существует такая постоянная k > 0, что б2/ (у0,
ft) > А И ft IIs для всех ft (при этом квадратичный функционал б2/ (у0, ft) называется
сильно положительным), то функционал / имеет в стационарной точке у0 минимум.
458

Если существует постоянная k < 0 такая, что б2/ («/„, А) ^ k || ft ||>, то точка j/о
является точкой максимума функционала /.
Учитывая граничные условия ft (a) = ft (ft) = 0, формулу (7) можно представить
в виде
ь
SV (у«, Л) = J (Qft2 + Р (Л')2) <**. (8)
где Q = F _— F ,, а /> = f^.y, (здесь у = ув (x) — некоторая экстремаль
функционала (1)).
Из этого представления и теоремы 4 получаем следующую теорему.
Теорема 5 (Л е ж а н д р а). Для того чтобы функционал (1) достигал на
экстремали у = уЙ (х) минимума (соответственно максимума), необходимо, чтобы
вдоль этой кривой
Fy.y.^Q (соответственно Fy.y,^0), (9)
Условие (9) называется условием Лежандра. Если F , , > 0 (или F^, , <С 0), то
это условие называют обычно' усиленным условием Лежандра.
6. Уравнение Якоби. Сопряженные точки. Рассмотрим квадратичный
функционал (8) на множестве функций ft, удовлетворяющих условиям ft (а) = h (b) = 0.
Запишем для него условие Эйлера
Qh — -^—(Ph')=Q. (10)
ах
Оно называется уравнением Якоби для исходного функционала (1).
Определение, Точка х называется сопряженной с точкой х = а, если уравнение
(10) имеет решение, не равное нулю тождественно, обращающееся в нуль при х = а
и при х = х. ч
Если ft (х) — некоторое ненулевое решение уравнения (10), удовлетворяющее
условиям ft (а) = ft (6) = 0, то и функция ch (х) (с = const Ф 0) является таким же
решением. Поэтому для определенности на ft (х) налагают следующее условие
нормировки: ft' (а) = 1.
Пусть h (х) — некоторое решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным
условиям ft (а) = 0, ft' (a) = 1. Если h (х) Ф 0 при х £ (а; 6), то говорят, что
экстремаль у0 (х) удовлетворяет условию Якоби, а если ft (х) Ф 0 при д; £ (a; ft], то говорят,
что экстремаль у0 (х) удовлетворяет усиленному условию Якоби.
Условие Якоби — необходимое для экстремума функционала (1).
7. Достаточный условия слабого экстремума. Сформулируем систему условий,
достаточных для того, чтобы экстремаль у = у0 (х) реализовала слабый экстремум
функционала (1) с условиями у (а) = А, у (6) = В.
Теорема 6. Если допустимая кривая у = у0 (х) (т. е. у0 (а) — А, у0 (ft) = В)
является экстремалью, вдоль этой кривой выполняется усиленное условие Лежандра
Fyy (х, Уа (*)> Уо (*)) > °
# на (а: Ь\ нет точек, сопряженных с а (усиленное условие Якоби), то эта кривая
реализует слабый минимум функционала (1).
Если при сделанных предположениях выполняется условие
Руу (х, У»(х), у'0(х)) <0,
то на кривой у = Уо (х) функционал (1) достигает слабого максимума.
Иными словами, усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны для того,
чтобы экстремаль давала слабый экстремум функционала (1).
Отметим также один частный случай вариационной задачи для функционала
вида (1), часто встречающийся в приложениях.
456

Теорема! . Пусть функция р (х), р' (х), q (х) и <f (х) непрерывны на отрезке \аг,
Ь] и, кроме того, р (х) > 0, q (х) !> О. Если у0 (х) есть экстремаль для функционала
i ь
f (в) = j \Р (*) (У'Г + Q W У + 2«/ф (*)] dx
а
и удовлетворяет граничным условиям у (а) = А, у (Ь) =« В, то на ней реализуете»
минимум этого функционала.
Замечание. То обстоятельство, что легко проверяемых критериев существования
экстремума в случае Вариационных задач нет, подчеркивает различие между
функциями и функционалами (в вопросе о достаточных условиях существования
экстремумов). Однако если заранее известно, что функция или функционал имеют
экстремум, и если показать, что некоторому необходимому условию существования
экстремума удовлетворяет только один элемент, то этот элемент обязательно будет
экстремалью и необходимость в дальнейших исследованиях отпадает. Если о
существовании экстремума заранее ничего не известно, то в экстремальности элемента можно
убедиться лишь после проверки выполнения какого-нибудь достаточного условия.
8. Условный экстремум. По аналогии с понятием относительного экстремума
для функций нескольких переменных d вариационном исчислении ставятся задачи
об экстремуме некоторого функционала при условии, что искомая функция
удовлетворяет некоторым дополнительным соотношениям («уравнениям связи»). На
практике наиболее часто встречается следующая задача: среди кривых, проходящих через
Ь
точки (а, А) и (6, В) и на которых функционал g (у) = \ G (х, у, у') dx принимает
а
Ь
заданное значение /, найти ту, на которой функционал / (у) = I F (х, у, у') dx до-
а
стигает экстремума.
Рассмотрением этой простейшей задачи на условный экстремум мы и
ограничимся. При ее решении предполагаем, что функции F и G имеют непрерывные
частные производные до второго порядка включительно и что искомая кривая не
является экстремалью функционала g.
Теорема 8. Если кривая у — у0 (х) дает экстремум функционала f,
удовлетворяет условиям g (у0) = /, у0 (а) = А, у0 (Ь) = В и не является экстремалью
функционала g, то существует такая постоянная Л, что эта кривая является экстремалью
функционала f — Xg.
Практически эта теорема используется следующим образом. Составляем
уравнение Эйлера для функционала / — %g / т. е. Fy Fy, — Л I Gy — -r-r G„, J = 0 и
находим его общее решение, содержащее А и две произвольные постоянные.
Указанные три величины находятся в дальнейшем из.условий Я, (у) = I, у (а) = А к у (Ь) »
= В.
Ясно, что здесь мы имеем полную аналогию с известным из анализа методом
множителей Лагранжа отыскания условного экстремума функций нескольких
переменных .
В качестве классического примера такого типа вариационных задач укажем на
известную задачу Дидоны: найти линию у = у (х), у (а) = у (b) = 0, которая при
заданной длине / (/ > Ь — а) ограничивает вместе с отрезком [а; Ь] наибольшую
площадь. Искомая кривая в чтом случае — дуга окружности, проходящая через конца
отрезка [а; Ь].
Поэтому рассмотренный круг задач на условный экстремум носнт название изо-
периметрических задач.
В заключение отметим, что мы рассмотрели лишь некоторые простейшие
вариационные задачи. Интересные задачи для функционалов, либо зависящих от нескольких
переменных, либо содержащих производные высших порядков или частные
производные, вариационные задачи с подвижными концами, задачи на сильный экстремум
и т. п. могут составить уже большой специальный курс.
О задачах вариационного исчисления и методах их решений см, в [ 17; 21],
460

Примеры решения задач
1. Найти вариацию функционала f (у) = У 1 + [у' (а)]2 в
пространстве С0)[а\ Ь].
Решение. Рассмотрим такие приращения аргумента h £ С(1) [a; ft],
что | h ||= max I h (х) | + max | h' (х) |->0. Тогда на основании известного
разложения функции V^l +-¾ при х-*-0 имеем
fiy +h)-f(y) = Kl + [у' (а) + А' (a)]a-KT + ¥W
К 1 + [г/' (а)]2
Поскольку °^.(д)) ^0 при ЦЛ|-»-0, то
(У, Щ =
У'(а)
V 1 + \У' (а)]2
К (а).
2. Пусть / — дважды дифференцируемый функционал. Найти
вторую вариацию функционала f1 (у) = е/(й.
Решение. Так как (см. соотношения (2) и (6)) (А/) (у) = б/ (у, h) -+■
+ гг (у, h) и (А/) (г/) = б/(г/, h) + б2/ (г/, Л) + г2 (у, h), то
JW)
(А^) (г/) = е^+Л> - е™ = е™ [е(АЛа" - 1] =
1 + {б/(г/, Л) f б2/(г/, Л) + г2(#, Л)} + 4- !6^' Л> +
= ё
jut>
б/(г/. h) + Vfty, h) +
+ Гг(у, Л)}2+ ••• -1,
+ -^W(</. h))* + ra{y,h)]t
где л,(#> Л) =«o(J|Af). Следовательно,
«7i G/. Л) = е™ [б8/ (у. Л) + 4 {«/ (У. А))"].
8. Найти экстремали функционала
i
f(y)-$ VWT(yT]dx, у (-1) = у (1)= Ь>0.
Решение. Поскольку F (х, у, у') = V~y(\ -Ь^/')2) и F не зависит
от л, то (см. п. 4) из уравнения Эйлера следует, что F — y'Fy = С,
461

Отсюда у' — ±у -jk 1 и (после интегрирования)
Следовательно, у =» ( х^;* ) + Са. Воспользуемся теперь крав-
= У О) =
систему
выми условиями у (— 1) = у (1) = b > 0. Тогда для нахождения
постоянных С и Сх имеем систему
2С
откуда необходимо Сх = 0, у =-^- +С* и (-^- CJ =Ь —1.
Поэтому при Ь<1 эта система решений не имеет, при Ь= 1 полу-
чаем С,=тиу1Й = —f— , а при й> 1 — С2 = —i-L_
или С1 = —
2
Итак, если b < 1, то данная вариационная задача экстремалей не
имеет, при b = 1 имеется одна экстремаль, а при Ь > 1 — две (в
последних случаях экстремалями являются параболы).
4. Проанализировать экстремальные задачи для следующих
функционалов:
1
■ a) \y'dx, у (0)= 0, у(1) = 1;
о
1
б) \ yy'dx, у (0) = 0, у (1) = 1;
6
1
в) Ixyy'dx, 4/(0)=0, £(1) = 1.
о
Решение. Поскольку
a) F (х, у, у') =у'; б) F (х, у, у') = уу'; в) F (х, д, у') = хуу',
то соответствующие уравнения Эйлера имеют вид:
а) 0 = 0; б) у'-у' = 0; в) ху' - (ху)' = 0.
Поэтому в первых двух случаях значения функционалов не зависят о»
выбора функций у (удовлетворяющих условиям у (0) = 0, у (1) = 1).
В случае в) имеем j(x)e0 и,значит, у (1) Ф 1 (Vf/). Следовательно,
•кстремума нет.
462

Примечание. То, что в первых двух случаях значения функционалов не за*
1
•ноят от выбора функций у(х), ясно н непосредственно, ибо ( y'dx = у (х)\$=* I,
о
JW'd* = -i-y-(*)|' = -i- (Vy€C(I)[0; 1]:у(0)-0, v(l)-l).
О
5. Найти семейство экстремалей функционала
ь
bVj_±iyr_dx (_jL<a<6<iL
Решение. Первый интеграл уравнения Эйлера -^- F„< = 0 имеет
вид у г- = С,. Чтобы проинтегрировать полученное vpaa-
х У 1 -J- (уУ
нение, положим у' = tg t. Тогда х= -я—sint, a dy = tgtdx=*
= -^- sin tdt и у = тг-cos t + С,. Исключая t, получаем
*» + <*-^=4-.
Это — семейство окружностей с центрами на оси координат.
Примечание. Если считать, что некоторая точка перемещается по кривой у »»
ь
ds . ds С Vl + («/')* ..
= у (х) со скоростью а = х, то —- = х, at =* н / = I !——— ах.
Следовательно, значение рассматриваемого функционала — это время, затраченное
на перемещение по кривой из точки (а, у (а)) в точку (6, у (£>)).
6. Найти экстремаль и исследовать на экстремум функционал
-1
/ (у) = J 12УУ' ~ х* (у'Г] dx, у (- 2) = 4 , у (- 1) = 2,
—2
определив знак его приращения.
Решение. В этом случае F (х, у, у') = 2уу' — х2 (г/')2, а
соответствующее уравнение Эйлера имеет вид 2у"х2 + 4у'х = 0, откуда
(после интегрирования) получаем у (х) = — + С8- Так как
3
у(— 2) =-у и г/(-1)=2, то единственной экстремалью данного
функционала является кривая у0(х) = + '•
Определим знак приращения функционала / в классе функций из
С*" [—2,-1], удовлетворяющих указанным краевым условиям:
—1
f(y)-f (Уо) - J Vyy' - ЪУоУо + *2 Ы* - х2 (уУ\ dx =
—2
463

-I -1
{
- if - У% 1=2 + J x* [(y'o)* - (*/')*] d* = - J *2 [(у')* - (y0)2] dx =»
-г —2
-l l
- - J ** Ky' - Уо)г - 2 Ы2 + Wye] dx = - J хг [(у' - у0)г) dx +
—г -2
-i -1 -1
-f 2 j л:»(y0)2d* — 2 j *УW& = _ J x2(y' — ytfdx — \
-a —j —г
—l
-2ypi = -J ^(У'-4'о)2^<0
—2
здесь учтено, что ya(x) = — + 1].
Значит, рассматриваемый функционал достигает на кривой у0 (х) —
<■ Ь 1 слабого максимума.
7. Исследовать на экстремум функционал
f{y)= \{y'?dx, у (0) = 0, у(1)-В (В>0).
о
Решение. Поскольку F {х, у, у') = {у')*, то уравнение Эйлера для
этого функционала принимает вид -у- [3 {у')2] = 0, т. е. у'у" = 0,
откуда у = Ctx + Ct. Учитывая еще начальные условия, приходим к
выводу, что единственной экстремалью данной вариационной задачи
является прямая у = Вх.
Рассмотрим теперь условия Лежандра и Якоби. Имеем Fy-y> =■
•= 62/ = 65 > 0 (усиленное условие Лежандра выполняется) и,
очевидно, Q = 0, а Р = 6S. Поэтому уравнение Якоби имеет вид
— 6Bh" (х) = 0. Значит, h (х) = ах + р — общее решение этого
уравнения, а с учетом условий h (0) = 0 и h' (0) = 1 имеем h (х) = х.
Так как h (х) ф 0 при * 6 (0; 1], то выполняется также усиленное
условие Якоби.
Следовательно, на кривой у = Вх данный функционал достигает
слабого минимума.
8. Исследовать на экстремум функционал
/(i,)==ll7T^' ^0) = 1' уМ = ь (о<&<1)-
о
Решение. Так как функция F (х, у, у') = утгг не зависит от х,
то (см. п. 4, случай в)) из уравнения Эйлера следует, что F —
— y'ff « С, т. е. -ф^- + у' -jjryr = С или (у')г = -^- . Отсюда еле-
дует (после извлечения корня, разделения переменных и
интегрирования), что у = (Сгх + Cg)4. Учитывая начальные условия для на-
Ш

хождения постоянных Сг и Са, имеем систему уравнений
fcs-i,
1 (Сг + с^ =. ь.
Следовательно, если Са = 1, то Сг = — 1 ± J/TJ, а при С2 = — 1
имеем Сх = 1 ± У"Ь. Подставляя найденные значения Сх и Са в
уравнение # = (Сгх + С,)', убеждаемся, что экстремалями
являются только параболы уг (х) = [(— 1 + Vb) х + 1]* и #s (*) = [(— 1 —
-V~b)x+ I]2.
Изучим теперь решения соответствующих уравнений Якоби. Так
как
О _ в- <*р_п d ( _J_) - W
а Р = /7^ = .Jl , то уравнения Якоби принимают вид
-»"*-т(-Йг*')-«
или (после упрощений)
W'A' + ((г/')* - *У!П h' + y'y'h - 0.
Поэтому при у = [(— 1 ± Vb) х + 1]а
[(-l±Vr5)Jt+ l]8/t"W -2(- 1 ± Vb)\(-\±Vb)x+ 1JA'W +
+ 2(— 1± 1^Ь)*Л(*)=0.
Это — уравнения типа уравнения Эйлера. Поэтому его решения ищем
в виде функций \{— 1 ± \/~Ь) х + 1]\ Тогда
X (Х- 1) [(- 1 ± УЪх + 1)]х(- 1 ± Vb? -2 (- 1 ± Vbf х
X Я- [(— 1 ± Кб) х + 1]^ + 2 (— 1 ± Т^б)2 [(— 1 ±Vb)x+\? = 0
и для определения А, имеем уравнение X (А, — 1) — 2Х + 2 = 0.
Значит, А,х = 1, Х2 = 2 и общее решение исходного уравнения таково:
h(x)-C1[(-l±Vb)x+ l]» + Ct[(-l±Vb)x+ 1].
Учитывая еще начальные условия h (0) = 0, Л'(0)=1, получаем
h^x) = х[(— l+V~b)x + l]nhs(x)=x[(—l—Vlj)x+ 1].Заметим, что
функция ht(x) обращается в нуль в точке ^-£(0; 1). Следо-
1 -f- V ь
вательно, экстремаль у = уг (х) не удовлетворяет одному из
необходимых условий экстремума — условию Якоби. Поэтому дальнейшим
исследованиям подлежит только экстремаль ух (х) -> [(— 1 + Yb) х +
+ 1]8.
465

Для нее имеем:
я\ F , ,1 . — 6yi — - -^ О
а) teyly~y - (y[)i -8(_1 + у5)4[(_1 + /5)х + 1],>°
(V*G[0; 1]);
б) hl{x) = x[{—\+Vb)x+\\^0, V*G(0; 1],
т. е. выполняется усиленное условие Якоби.
Значит, на экстремали у = [(— 1 + У~Ь) х + I]2 функционал f(y)
■I
t-t^j- dx, у (0) = 1, у (1) = b (0 < fc< 1) достигает слабого ми-
о
нимума.
9. Исследовать на экстремум функционал
ь
Ш = J ((УТ + У* + 2У<*) dx, у(а)=А, у (Ь) = В.
а
Решение. Рассмотрим сперва соответствующее уравнение Эйлера
Чу + 2ex--^ (2у') - 0
или у" — у = в*. Оно решается известными методами теории
дифференциальных уравнений и формула
у (х) = Cie* + С2е~х + 4" ***
определяет все решения этого уравнения. Поэтому экстремалью
данной вариационной задачи является кривая
y0(x) = Ciex + C2e-x + ~xex,
где постоянные С1 и Cs определены из условий у0 (a) = А, у0 (b) = В.
Далее воспользуемся теоремой 7. Так как р {х) z= 1 > 0, q (х) г
е= 1 > 0, а ф (х) = е*, то на основании упомянутого утверждения
рассматриваемый функционал имеет в точке у0 минимум
10. В пространстве С(1) [— 1; 1] исследовать на экстремум
функционал
f(y)=\ x^y'Ydx, y(—l) = A, y(l)=B.
Li
Решение. Найдем экстремали данной вариационной задачи.
Поскольку функция F в этом случае не зависит от у, то уравнение Эйлера
А С
имеет вид — -^ /у = 0, т. е. х2у' = — Clt и у = —+■ + С2. Однако
функция у (х) должна принадлежать пространству С(1) [— 1; 1] и
поэтому необходимо Ct = 0.
Теперь возможны два случая.
466

а) Если A = В, то искомой экстремалью является функция
у0 (х) зэ А. Очевидно, что в этой точке функционал / достигает
минимума, так как /(«/)> О (V у 6 С(1) [— 1; 11) и / (у0) = 0.
б) Если А Ф В, то экстремалей нет. Значит, данный функционал
/ не имеет -в С(1) [—1; 1] и экстремума. Однако любопытно отметить
, следующее.
Рассмотрим последовательность функций
/ ч А + В , В — A arctg пх , - Г|ч
удовлетворяющих краевым условиям и принадлежащих пространству
С(1) [- 1; 1], ибо у'п (х) = -£=£- • т^с-г (V п) Тогда для произ-
вольного п £ Щ имеем
f , . С ( 1 , »\ / ч» w (5 — /4)' f dx (5 — А)*
IWnX) ^-^2- +*jUW ax «= 4 (ardg n)k j 1 + nix* " 2narctgn •
Следовательно, lim/(yn) = 0. Это означает, что хотя f{y)>Q
(Vt/e^'f-l; 11,"у"-1) = Л. У (1) = В), но inf/(0)=0.
11. Исследовать вариационную задачу для функционала
ь
/(</)= j[M(*, y) + N(x, y)y']dx, у(а) = А, y(b)=B,
а
при условии, что —т т— = 0. Предполагается, что функции М,
N, —Z— и -т- определены и непрерывны в области [а; Ь]х(— оо; -{- оо).
Решение. Не вдаваясь в подробности проверки различных
необходимых или достаточных условий существования экстремума, отметим,
что при сделанных предположедиях выражение М (х, у) dx + N (х, у) х
X dy является (как известно из курса математического анализа)
полным дифференциалом. Следовательно, интеграл
ь ,
\[М(х, y) + N(x, y)y']dx
а
не зависит от пути интегрирования, а^вариационная задача для рао-
сматриваемого функционала не имеет смысла.
12. Проверить, что функционал f(y) = ] у2 (1 — у')2 dx, у(— 1) =
—1
■= 0, у (1) =» 2, достигает 'своего минимума ьа кривой
0, — lsS*<0,
Уо{х)~\х+1, 0<*<1,
4
не принадлежащей пространству С(1) [— 1; 1].
467

Решение. Сформулированное утверждение очевидно, так как /({/)>
>0 (Vy) и /Ы = 0.
Здесь, однако, любопытно следующее. Нетрудно видеть, что Fy-y =»
= 2yl ^ 0 (выполняется, условие Лежандра) и F (х, у0, у0) —
-т- Fy- {х, у0, Уй) = 0, т. е. разрывная экстремаль удовлетворяет
уравнению Эйлера.
Если же искать экстремум данного функционала в классе функций
из С(1) [—1; 11, которые удовлетворяют условиям у (—1) = 0,
у (1) = 2, то из уравнения Эйлера следует (см. п. 4, случай в)), что
у* (1 — (у')г) = Сг или (после разделения переменных,
интегрирования и учета начальных данных) у1 {х) = х + 1. Поскольку / (уг) = 0,
то на кривой у = yi (х) рассматриваемый функционал имеет слабый
минимум.
13. Найти экстремали изопериметрической задачи /(«/) = ] ((у')2 +
о
+ х2) dx при условиях ] уъ&х = 2, у (0) = 0, у (1) — 0.
о
Решение. Рассмотрим уравнение Эйлера для вспомогательной
функции Н = F — XG = (у')3 + ха — ку*:
2ХУ ~ ~к <2*'> - - 2 (ty + у") - 0.
Отсюда у (лг) ■= Cl cos Vkx + Са sin Vkx, а дополнительные условия
приводят к системе уравнений
С2 sin VI = 0,
г2\ 1 sin 2/X 1 0
Следовательно, £^ = 0, Vk = nn(n^Z< п^0), С2 = ±2 и
У (х) — ± 2 sin яд: (п б 2. л ¥= 0).
14. Среди всех линий, соединяющих точки (—1, ch 1) и (1, ch 1),
найти ту, которая при вращении вокруг оси х образует поверхность
с наименьшей площадью.
Решение. Поскольку ивкомая площадь поверхности вращения
выражается интегралом S » 2я j) у |/l + (y')*dx, то
сформулированная здесь классическая задача — это задача о минимуме функционала
fit/)' [ yVTTWfdx, 0<-l)-y(l)-thl.
—1
488

Запишем (ем. п. 4) первый интеграл уравнения Эйлера
у уттт* —/(уГ , = сх.
у *' V\ + {у'?
Отсюда —, -1 у = dx или после интегрирования
у + V>-С? = С^.
Следовательно,
у=-%-(е Cl + е с' )=ClCh^^~.
Если учесть еще начальные данные (т. е. условие прохождения-
кривых через заданные точки), то приходим к выводу, что
рассматриваемая вариационная задача имеет лишь одну экстремаль — цепную
линию у0 (х) = ch х. Из геометрических соображений ясно, что на
этой линии данный функционал действительно достигает минимума
15. Найти тело вращения наименьшего объема сданной площадью
осевого сечения.
Решение. Сформулированная задача — это задача о минимуме
ь
функционала / (у) = j y2dx при условиях
a
Ь
[y{x)dx = 2S, y{a) = A, уф)-В.
a
Записав уравнение Эйлера для функции H — F-JrXG = yi+ куг
X
получим 2у -\- X =0, т. е. у (х) = я- . Следовательно, данная за-
X X
дача имеет решение лишь тогда, когда А = В =—*- и а- (Ь — а) =
■= 25, искомым телом является цилиндр.
Задачи для самостоятельной работы
ь
1. nyttb /(#)«= \ F (х, y(x))dx, где функция F (х, у) непрерывна и имеет
а
непрерывные частные производные до второго порядка в области а ^ х ^ Ь, — оо.
ооу < + оо. Доказать, что в пространстве С [а; Ь]
«to.«-J^£j!L*WA.
а
2. Пусть ft € С (fr, 6] X [а; Ь]) н k (/, т) = k (т, f). Найти дифференциал
функционала
ь ь
/ W = J J * С т) У W У W ЛЛ
а д
в пространстве С [а; Ь\.
469

S. Пусть x„€ [a; b], к £ N и f (у) = [y(*e)l • Найти вариацию / в
пространстве С [а; Ь].
4. Доказать, что функционал / (у) =■ \ у (а) | не является дифференцируемым в
С\а; Ь).
5. Пусть Н — действительное гильбертово пространство. Найти
дифференциалы следующих функционалов:
л)Ну) = 1уг, б) Ш = ш.
в. Доказать, что линейный функционал, отличный от тождественного нуля,
не имеет экстремумов.
7. На каких кривых может достигаться экстремум следующих функционалов:
я_
2
а) / (У) = J №Т - У2] At, У (0) = 0, у [ * ) = 1;
1
«) t (У) - С [(*')* + 12*1/1 ах, у (0) = 0, у (1) = It
о
2
в) Ш= fj£EES2-dx, (/(1)-0, (/(2) = 1?
1
b
8. Найтивкстремали функционала / (у) = I —ГГ% . dx, и (а) = Л. н(&) = В.
J О/)2
а
9. Доказать, что единственной экстремалью функционала f (у) = \ ^' tg y'dx,
а
у (0) = 0, у (1) = 1, является линия у = ж.
10. Найтн экстремали следующих функционалов:
ь
*)■ f (У) - j y2rfx. У (а) = Л, У (6) = S;
а
1
б) Ш= $0/г + *У)<**, </(0)=0, «/(l)-**;
о
ft
*) Ш - §U/ + xy')dx, у(а) = А, у(Ъ) = В\
а
ft
г) f (У) = J [V2 + (У')8 - 2у sin х] dx.
а
11. Исследовать на экстремум функционал
а
f(y)=^W)*-y*]dx, у (0)=-1/(0)=0,
о
вели: а) 0 < а < я; б) я < а < 2я.
12. Исследовать иа экстремум следующие функционалы:
(" Аг
а> /а,) j ~7~' ^-°1 *(а, = * (а-&>0):
о
«с

б) / (у) «= Г _^_ , 1/(0)=0, j/(a)=-6 (а, *>0]й
о
2
в) / (V) = j" -^г dx, 1/(1) = 1, у (2) = 4;
1
-Г i+У2
J (У')2
iO/(j/)- _LiL»d«, *(fl)-^. *(«
13. Исследовать на экстремум следующие функционадж
2
а) / (У) - J (*2 О/')2 + IV) в"*, у (1) = 1, </ (2) = 8;
1
1
б) Ш = j(U/')2+V + 2y«**)<te, у(0)=--j-, (/(1)=-^-.
о
14. Проверить, что: а) теория экстремума функционала / (у) =■ f (у (*)) 1,,^ »
транстве С fa, 6] совпадает с обычной теорией экстремума для функции F (£);
б) теория экстремума функционала/ (у) =• г (# (а), у (6)) в пространстве С [а; о\
адает с теорией экстремума для функции двух переменных F (5, т)).
15. Найтн экстремали изопериметрической задачи
ь
f(V)= [(уУйх
при условиях \ ydx = a (a >= const), у (а) = А, у (b) = В.
а
16. Записать дифференциальное уравнение для экстремалей изопериметрической
аадачи об экстремуме функционала
/ (У) = J \Р (*) (V')2 + f (х) у%]
dx
ври условиях I г (к) y2dx = 1, у (0), у (а) =0.
о
17. Найти тело вращения наибольшего объема с данной боковой поверхностью.
b b
Ответы. 2. 2 f Г ft (/, т) j/ (/) /i (т) Adx. 3. ft \y (ж0)]*-1 /i (*„). 5. a) 2 (j/, A);
a a
б) ^' ' при у =£ 0, а при i/ = 0 не существует. 7. а) у = sin х; б) у = ха; в) (i/ —2)2 -f-
+ х2 = 5. 8. j/ = sh (С^х + C2), y(a)=A,y(b) = B. 10. а) у = 0 только при /4 = в —
= 0; б) у = х при о=1, прн а Ф 1 экстремалей нет; в) интеграл не зависит от пути
интегрирования и вариационная задача не имеет смысла; г) у (х) = С^е* + С^-*1, -f-
+ -=- sin х. 11. а) Минимум прн у =■ 0; б) минимума нет. 12. а) Слабый минимум ен
471

b b
шрямой у » — x\ б) слабый минимум при # = — х; в) минимум при у =■ х2; г)
минимум на экстремалях у = sh (С\х + С8), где d н Св определяются из уравнений А =
*• sh (Сга ■+■ Ct), В = sh (Сх6 + Сг). 13. а) Минимум при у = х*; б) минимум прн
V "= -о- е2ж- 15. у »■ Хд* + Схх + Ct, где X,, Сх и Сг определяются из граничных н нзо-
пернметрического условий. 1в. -т- (р (х) у')~ \Xr (х) + q (х)] у = 0, у (0) = у (а) =
= 0. Тривиальное решение у (х) э== 0 не удовлетворяет изопериметрнческому условию,
а нетривиальные решения существуют лишь тогда, когда X — собственное значение
оператора L (у) = —г^- ■ j-(р (х) у') — "\ [ у. 17. Тело вращения кругового сег-
г до ах г (х)
мента вокруг корды,

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров П. С. Введение в теорию множеств н общую топологию.— М. :
Наука, 1977.—367 с.
2. Александрии Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология,— М. : Высш. шк.,
1979.— 336 с. °"
3. Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. В. Задачи и упражнения по
функциональному анализу.— Минск : Вышэйш. шк., 1978.— 205 с.
4. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и
упражнениях.— М. : Наука, 1974.— 423 с.
5. Вайнберг М. М. Функциональный анализ.— М. : Просвещение, 1979.— 128 с.
в. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М. : Наука, 1976.—
527 с.
7. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для
дифференциально-операторных уравнений.— К. : Наук, думка, 1984.— 283 с.
в. Грибанов Ю. И. Функциональный анализ в упражнениях и задачах.
Метрические пространства.— Казань : Изд-во Казан, ун-та, 1970.— 53 с.
9. Грищенко А. Е., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. Теория функций
комплексного переменного. Решение задач.— К. '. Внща шк. Головное нзд-во, 1986.—
336 с.
10. Гуревич А. П., Зеленка Л. Б. Сборник задач по функциональному анализу.—
Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975.— 27 с.
11. Дороговцев А. Я- Математический анализ : Сборник задач.— К. : Внща шк.
; Головное нзд-во, 1987.— 408 с.
12. Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла.— К. : Внща шк.
Головное нзд-во, 1989.— 152 с.
13. Задания к лабораторным работам по,курсу «Теория меры и интеграла» для
студентов специальности «математика».— К. : Внща шк. Изд-во при Киев, ун-те,
1986.— 60 с.
14. Задания к лабораторным работам по курсу «Функциональный анализ и
интегральные уравнения» для студентов специальности «математика».— К- : Внща шк.
Изд-во при Киев, ун-те, 1986.— 104 с.
15. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 ч.— М. : Наука, 1984.— Ч. 2.— 640 с.
16. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М. : Наука, 1977.—
741 с.
17. Карташев А. П., Рождественски Б. Л. Обыкновенные дифференциальные
уравнения и основы вариационного, нсчнслення.— М. : Наука, 1976.— 255 с.
18. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями
в технике.— М. : Мир, 1978.-^518 с.
19. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы н задачи функционального анализа.—
М. : Наука, 1979 — 381 с.
20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теорнн функций н функционального'
анализа.— М. : Наука, 1977.— 496 с.
21. Коша А. Вариационное исчисление.— М. : Высш. шк., 1983.— 279 с.
22. Маркушевич А. И. Избранные главы теорнн аналитических функций.— М. :
Наука, 1976.— 191 с.
23. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.— М. : Наука,
. 1974.— 480 с.
24. Окстоби Дж. Мера н категория.— М. : Мнр, 1974.— 158 с.
25. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.— М. : Просвещение,
1981—272 с.
47*

26. Рид М„ Саймон Б. Методы современной математической физики : В 2 т.— М. :
Мир.— 1977—1978. Т. 1.: Функциональный анализ.— 1977.— 358 с; Т. 8:
Гармонический анализ. Самосопряженность.— 1978.— 398 с.
27. РиссФ., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.— М. : Изд-вв
иностр. лнт., 1979.— 588 с.
28. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства.— М. I
Мнр, 1967.— 258 с.
29. Рудин У. Функциональный анализ.— М. : Мнр, 1975.— 443 с.
30. Садовничий В. А. Теория операторов.— М. : Изд-во Моск. ун-та, 1986.— 368 с.
31. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространвт»
вах.— М. : Мнр, 1974.— 334 с.
32. Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного.—М. : Наука, 1980.— ПО с.
38. Треногий В. А. Функциональный анализ.— М. : Наука, 1980.— 495 с.
34. Треногцн В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по
функциональному анализу.— М. : Наука, 1984.— 256 с.
36. Титчмарш В. Теория функций.— М. : Наука, 1980.— 464 с.
36. Фаге М. К. Теория линейных операторов.— Новосибирск : Изд-во Новоснб.
ун-та, 1972.— 184 с.
37. Щефер X. Топологические векторные пространства.— М. : Мир, 1971.— 360 е.
38. Шилов Г. Е., Фан Дык Тинь. Интеграл, мера и производная на лниейных прост-
ранствах.— М. : Наука, 1967.— 192 с.
39. Шварц Л. Анализ.—М. : Мнр, 1972.— Ч. 1.—824 с.
40. Эдварде Р. Функциональный анализ, Теория и приложения»-— М,; Мир, 1969.--

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивность счетная 7
Аксиома отделимости вторая 223
первая 223
— симметрии 189
— тождества 189
— треугольника 189
Аксиомы метрики 189
— топологии 221
Алгебра множеств 33 "'
Альтернатива Фредгольма 423
База локальная 222
— топологии 222
Базнс гильбертова пространства 285
— линейного пространства 236
Брус 39
Вариация заряда верхняя 78
нижняя 78
— функции 157
— функционала 449, 456
вторая 458
Внутренность множества 222
Гомеоморфизм 196
Граница множества 190, 222
Движение 10
Двоеточие связное 221
Дефектное число оператора 363
Дифференциал Гато 450
— Фреше 449
Единица кольца 33
Замыкание множества 11, 190, 221*
— оператора 370
Заряд 78
— абсолютно непрерывный 78
— дискретный 78
— непрерывный 78
Изменение функции полное 157
Измеримость по Жор дану 13
Изометрические пространства 196
Изоморфные пространства 237
Индекс оператора 363
Интеграл верхний 69
— Днрнхле 124
— Лебега 65, 66, 67, 68, 69, 7в
— Лебега-Стнлтьеса 161
— ннжннй 69
— элементарный 71
Интервал дополнительный 11
— составляющий'1 11
Кладбище Серпнньского 31
Класс смежности 237 '<
Ковер Серпнньского 19
Кольцо 9, 33
— минимальное 33
285 Конгруэнтные множества 10~
Корень нз оператора квадратный 364
Коэффициенты Фурье 124, 284 .
Мажоранта интегрируемая 75
Максимум функции существенный 192
— функционала 456
Мера 34
— Винера 40
— внутренняя 60
— гауссова 40
— знакопеременная 78
— Лебега в евклидовом пространстве 7, в^
ограниченного множества 7
-Стнлтьеса 38, 161
— множества внешняя 7, 12, 35
— параллелепипеда 6
— полная 36
— а-конечная 37
— счетно-аддитивная 35
— элементарного множества 6
Минимум функционала 456
Мннор Фредгольма 424
Многообразие линейное 236
Множество абсолютно выпуклое 324
— борелево 12
— всюду плотно* 1£3, 191
— выпуклое 424, 238
— замкнутое 11, 190, 221
— измеримое по Лебегу 7, 8, 72
— Кантора 12
— компактное 195
в себе 195
— локально компактное 240
— нигде не плотное 191
47S

— ограниченное 7, 190, 226
— открытое 10, 190, 221
— поглощающее 224
— производное 11
— резольвентное 364
— симметричное 224
— совершенное 12
— строго выпуклое 288
— типа Fa 12
— - Gb 12
— уравновешенное 224
— элементарное 6
Монотонность меры 6
Наилучшее приближение элемента 240
Непрерывность равностепенная 195
Неравенство Бесселя 284
— Гельдера 122, 136
— Кошн-Буняковского 122, 136, 191, 280
— Мннковского 122, 136
— Птоломея 301
— треугольника 123
— Чебышева 67, 140
Норма оператора 241
— функционала 307
— элемента 123, 224, 238
Носитель заряда 78
—г топология 221
Область значений оператора 240
-г определения оператора 240
Оболочка линейная 236
— множества выпуклая 238, 272
Ограниченность равномерная 195
Окрестность множества 223
— точки 10, 190, 221
Оператор 196, 240
— билинейный 450
— вполне непрерывный 360
— дифференцируемый 449
— замкнутый 370
— квадратичный 450
— компактный 360
— конечномерный 361
— линейный 240
— непрерывно обратимый 328
— непрерывный 241
— нетеров 363
— нормально разрешимый 363
— обратный 327
левый 328
правый 328
— ограниченный 241
»- положительный 366
— полуограниченный 371
— проекционный 366
— самосопряженный 361, 370
— симметрический 370
— сопряженный 361
— умножения 375
— унитарный 365
— Фредгольма 422
Определитель Грама 283
— Фредгольма 424
Ортогональные векторы 282
Отображение непрерывнее 196
— сжимающее 19/
Отрезок 237
— открытый 238
Параллелепипед 5
— замкнутый 6
— открытый б
Подграфнк функции 13, 77
Подпространство 189, 240
Показатель роста функции 427
Покрытие множества 7, 195
— пространства 222
замкнутое 222
открытое 222
Полином тригонометрический 126
Полнота меры Лебега 8
Полуадднтнвность меры счетная 7, 38
Полукольцо 33
Полунорма 224
Полярное разложение оператора 41в
Пополнение пространства 194, 239
Последовательность сходящаяся 222
— фундаментальная 123, 194
Почти всюду равные функции 63
Предел последовательности 11
Преднорма 224
Преобразование Лапласа 427
Принцип аппроксимации 340
— продолжения 325, 326
— равномерной ограниченности 325
— сжимающих отображений 197
Продолжение меры 34
Проекция элемента 282
Произведение декартово 5
— мер прямое 76
— множеств прямое 78
— скалярное 280
Производная Гато 450
— заряда 79
— Фреше 449
— функции 158
левая 125
правая 125
Производные числа 158
Промежуток 5
— неограниченный 5
Пространство аналитических функций
194
— банахово 238
— бесконечномерное 236
— бикомпактное 222
— всех последовательностей 192
— гильбертово 281
— дискретное метрическое 191
— дуальное по Кете 234
— евклидово 5, 191, 280
478

— изолированных точек 191
— компактное 195
— линейное топологическое 224
— локально выпуклое 224
— метризуемое 223
— метрическое 123, 189
— непрерывных функций 192
— нормальное 223
— нормированное 123, 238
— нормируемое 225
— ограниченных измеримых функций
193
— ограниченных последовательностей
191„
— полное 124, 194
— рефлексивное 308
— сепарабельное 123, 191
— слипшихся точек 221
— со второй аксиомой счетности 222
— сопряженное 241, 307
— с первой аксиомой счетности 222
— сходящихся последовательностей 192
— счетно-нормированное 225
— топологическое векторное 224
— унитарное 280
— Фреше 194
— хаусдорфово 223
— 1р 192
— Lp 122, 193
— n-мерное 236
Процесс ортогонализации Шмидта 283
Равенство Парсеваля 131, 284
Радиус шара 190
Разложение вектора 236
— единицы 367
— самосопряженного оператора
спектральное 367
— Хана 78
Разность симметрическая 6
Ранг характеристического числа 428
Расстояние 122
— между множествами 189
точками метрического
пространства 189
Регулярная точка оператора 364
Резольвента оператора 364
— Фредгольма 424
Ряд абсолютно сходящийся 239
— Неймана 423
— сходящийся 239
— Фурье 124, 284
Свертка функций 128, 427
о-алгебра 10, 34
а-кольцо 10, 34
Сингулярное число оператора 387
Система линейно независимая 286
— окрестностей определяющая 222
фундаментальная 222
— полная ортонормированная 288
— элементов замкнутая
ортонормированная 284
ортогональная 283
ортонормированная 283
Собственное значение оператора 363
— подпространство оператора 363
Собственный вектор оператора 363
Спектральная функция оператора 367
Спектральный радиус оператора 365
Спектр оператора 364
непрерывный 364
остаточный 364
точечный 364
Стационарная точка функционала 467
Сумма Лебега верхняя 69
— Лебега-Дарбу верхняя 70
нижняя 70
нижняя 69
— многообразий прямая 237
— ряда 239
Суммы Фейера 126
Схема Даниэля 70
Сходимость в нормированном
пространстве сильная 308
слабая 308
— в сопряженном пространств*
сальная 307
слабая 308
— в среднем 123, 193
— покоординатная 192
— по мере 64
— последовательности операторов
равномерная 242
по норме 242
поточечная 242
— почти всюду 63
— равномерная 192
Тело выпуклое 238
Теорема Арцела 195
— Вейерштрасса 126
— Гильберта-Шмидта 363, 422
— Дини 125
— Егорова 63
— Лебега 64, 74, 158, 160
—-Леви 75
— Лузина 65
— Монтеля 196
— о замкнутом графике 370
— Пикара 197
— Пифагора 301
— Планшереля 130
— Радона-Никодима 79
— Римана-Лебега 125
— Рисса 64, 240, 287
— Теплица-Сильвермана 333
— Тонелли 77
— Фату 75
— Фейера 126
— Фреше 65
— Фубини 77
477

— Шаудера 361
Теоремы Фредгольма 362
— А ел ли 163
Тождество Аполлония 301
— поляризационное 302
Топология 221
— дискретная 221
— Зарисского 228
— максимальная 221
— минимальная 221
— тривиальная 221
Точка внутренняя 10, 190, 222
— граничная 190, 222
— евклидова постранства 5
— изолированная 190, 221
— множества крайняя 288
— предельная 11, 190, 221
— прикосновения 190, 221
— сопряженная 459
Уравнение второго рода 362
— интегральное 421
— замкнутости обобщенное 284
— первого рода 362
— Якоби 459
Уравнения Вольтерра 421
— Фредгольма 421
Условие Лежандра 459
усиленное 459
— Якоби 459
усиленное 459
Фактор-пространство 237
Формула Ньютона-Лейбница 159
— обращения 427
Функционал 111, 196, 241, 307
— билинейный 458
— квадратичный 458
— линейный 307
— Минковского 224
— непрерывный 307
— ограниченный 307
— однородно выпуклый 326
— сильно положительный 458
Функция абсолютно непрерывная 169
— абстрактная 451
— борелева 62
— измеримая 62
— интегрируемая по Лебегу 65, 66,
67, 68, 69, 70
— калибровочная 224
— меры производящая 38
— монотонная 155
— непрерыьиая 156
— -оригинал 427
— от оператора 368
— сингулярная 160
— скачков 156
— с ограниченным изменением 156
— ступенчатая 72, 73
— суммируемая по Лебегу ©5, 66, 67,
68, 69, 70 —
— финитная 73
— Хаара 304
— характеристическая 58, 72
— цилиндрическая 73
Центр шара 190
Часть проекционного оператора 366
Числа сопряженные 122
Число характеристическое 428
Шар 10, 190
— замкнутый 10, 190
— открытый 10, 190
Эквивалентные метрики 189
— нормы 239
— функции 63
Экстремаль 458
Экстремум функционала 457
сильный 457
слабый 457
Элемент наилучшего приближения 24в,
282
Элементы линейно зависимые 236
независимые 236
— эквивалентные 237
Ядра итерированные 423
Ядро вырожденное 426
— Дирихле 124
— множества 238
— оператора 241

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава 1. Теория меры и интеграла Лебега ■. 5
§ 1. Мера Лебега в евклидовом пространстве 5
§ 2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо 32
§ 3. Интеграл Лебега 62
§ 4. Пространства интегрируемых функций. Преобразование Фурье 122
§ 5. Дифференцирование и интегрирование функций 155
Глава 2. Основные классы пространств 189
§ 1. Метрические пространства. Принцип сжимающих отображений 189
§ 2. Топологические пространства 220
§ 3. Линейные нормированные пространства 235
§ 4. Гильбертовы пространства 280
Глава 3. Элементы теории линейных операторов 307
§ 1. Сопряженные пространства 307
§ 2, Основные принципы функционального анализа 325
§ 3. Вполне непрерывные операторы в нормированном пространстве.
Спектральная теория самосопряженных операторов 360
§ 4. Интегральные уравнения 421
§ 5. Элементы дифференциального исчисления в банаховых пространствах 449
§ 6. Основы вариационного исчисления 455
Список рекомендуемой литературы 473
Предметный указатель 475

Учебное пособив
Городецкий Василий Васильевич
Нагнибида Николай Иванович
Настасиев Павел Павлович
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Переплет художника В. Г. Самсонова
Художественный редактор С. В. Анненков
Технический редактор Л. И. Швец
Корректор О. С. Дзюба
ИБ № 13714
Сдано в набор 07.09.S9. Подписано в печать 01.08.90. Формат 60X9OVi«. Вуш.
Tin. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 30. Усл.
кр.-отт. 30. Уч.-нзд. л. 36,89. Тираж 4600 экз. Изд. № 8733. Заказ № 0-74.
Цена 2 р. 10 к.
Издательство «Выща школа» 252054, Квев-54, ул. Гоголевская, 7.
Отпечатано с матриц Головвого предприятия республиканского
производственного объедивеявя «Полнграфкнига». 252057, Кнев-57, ул. Довженко, 3,
в Киевской кивжиой твпографвв научной квигн. 252004, Квев-4, уи. Репина, 4.
Зак. 1-587.