Проточные элементы пневматических приборов контроля и управления - Залманзон Л.А.

Author: Залманзон Л.А.

Tags: автоматика механика приборостроение пневматика пневматические приборы

Year: 1961

Similar

Приборы автоматического контроля и регулирования (устройство и ремонт)

Гидравлические и пневматические элементы и приводы промышленных роботов

Элементы систем автоматического управления и контроля

Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управления. Техническая кибернетика. Кн.3. Исполнительные устройства и сервомеханизмы

Text

ЭААИАН1ОМ
ПРОТОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ
ПРИБОРОВ
КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ
АКАДЕМИЯ Н А У К С С С Р
ИНСТИТУТ АВТОМ AT IIКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ
Л. А. ЗАЛМАНЗОН
ПРОТОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ
ПРИБОРОВ
КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
Москва 1961
2
ВВЕДЕНИЕ
Пневматические приборы широко применяются при автоматизации
производственных процессов и при управлении различными энергетиче-
скими объектами. В СССР освоено производство пневматической агрегат-
ной унифицированной системы автоматического управления, пневмати-
ческие приборы управления изготовляются в массовом порядке во всех
крупных индустриальных странах мира. Пневматические регуляторы
находят применение в авиации и в других- специальных отраслях техники.
Широко используются пневматические методы измерений1.
Все выпускаемые сейчас промышленностью пневматические приборы
состоят из элементов двух типов: проточных элементов, действие которых
основано на использовании различных свойств течений воздуха, и упругих
элементов—мембран, сильфонов и др. По мере развития пневмоавтоматики
все больше возрастает роль проточных элементов. Различные свойства те-
чений воздуха используются ирп выполнении не только простейших опе-
раций, ио и таких, например, как автоматическое поддержание заданных
отношений давлений, дифференцирование и интегрирование сигналов
изменения давлений, и других операций, необходимость в выполнении
которых возникает при автоматизации различных процессов.
Основными проточными элементами, встречающимися практически
во всех приборах пневмоавтоматики, являются дроссели пли пневматиче-
ские сопротивления п камеры, выполняющие функции пневматических
емкостей.
При разработке, доводке и эксплуатации пневматических приборов
часто возникают вопросы, связанные с выяснением характеристик дрос-
селей и пневматических камер. В некоторых случаях характеристики узлов
пневматических приборов, а иногда и приборов в целом, полностью опре-
деляются свойствами течения воздуха через дроссели и в пневматических
камерах. Можно привести множество примеров, иллюстрирующих это
положение. Ограничимся тем, что укажем лишь в порядке перечисления
некоторые пз вопросов, требующих детального рассмотрения характери-
стик дросселей и камер.
Режимы работы дросселей (различаемые по сочетанию ламинарного-
или турбулентного, докритического пли надкритического п других усло-
1 В работах [1—22] приведены данные, показывающие, насколько широка об-
ласть применения пневматических приборов и насколько расширились за последние
годы функцпп, выполняемые ими при автоматизащш промышленных процессов.
3
впй течения}, мрх догерых оказывнегся возможным кклплнснш» однил
функций, iieiipjwvxs w * других случаях. Например, и нетто» пневма-
тических врибири» <«бщеп ромы тле иною назначения а вбегают созданля
надкритических ?>-ч»ппй, в то же время на основе пенччкьэовани.ч сз^чтст^
этих течений стрздгэеа пне вмат пчссг по регуляторы и измерительные ир«Чу-
ры, получившие sear рокое применение и авиационной технике. Условиях?
течения воздуха л ->»г селях полностью определяются х i яяктеристккн роде
с элементами — заслонка», встречающимися вс многих пневмати-
ческих прибора а ’ дней ил возможных причин нопс^горяемости ха раж
терне тик рогули т?*мых щелевых дросселей пневматике них регуляторов
является то, что агрж ламинарном течении расход воздух! через такие дрос-
сели может меляия в широких пределах при пеизде злк>й площади при-
ходного сечения * жизненной разности давлений (зезмн некие расхода
происходит при с- н из-за различной степени некоицегтричностм распо-
ложения деталей* и? которых состоят эти дроссели; практически важна
уметь оценить кгхяяие данного фактора). При выборе оптимальных на-
строек пневматике, хи х регуляторов нужно учитывать, что иногда истин-
ные карактерветжкя процессов дифференцирования ав интегрирования
давлений, выпоххя-чых на пневматических камерах, отличаются от
исходных расчетных характеристик; в свяш с этим важво знать законы
заполнения и охтустошения камор, определяемые не идуализированными.
а истинными харлхтеристпками дросселей, получаемыми из опыта f виде
семейств кривых, каждая из которых снимается при фиксированных зна-
чениях давление на «ходе или на выходе. Возникают вопросы, связанные
с тем, что при хлеененни давления питания пневматических приборе®
время переходных процессов в них значительно меняется при дросселях
одних типов и остается практически постоянным при иссользованнг дрос-
селей других ткпел. Специальные вопросы возникают тогда, когда течение
воздуха через дросссли и пневматические камеры происходит в условиях
высоких температур (например, в регуляторах воздушно-реактивных дви-
гателей, в цриблах для измерения пневматическими методами темпера-
туры и др.). В ^которых случаях рабочим телом является не воздух,
а каком-либо другой газ, и бывает важным суметь распространить на эти
случаи выводы которые делаются для воздуха.
Множество других вопросов, аналогичных указанным выше, таких,
для решения которых также нужно знание особенностей процессоь тече-
ния воздуха меры дроссели различных типов и характеристик пневмати-
ческих камер, аодапкает постоянно в инженерной практике и при научных
изысканиях, пр.зодииых в области пневмоавтоматики.
При расчете ж изучении характеристик течения воздуха через дрос-
сели и в пвгзмдтнческнх камерах должны использоваться основ-
ные положения теоретической и экспериментальной аэродинамике. Одна-
ко возникающие при этом вопросы специфичны, так как они подчинена
задачам, которые ставятся при разработке и исследовании пневматических
приборов. К их тделу, например, относятся вопросы, связанные с необ-
ходимостью получения определенной формы характеристик дросселей.
4
с выяснением условий, при которых допустима линеаризация дифферен-
циальных уравнений, описывающих процессы в пневматических каме-
рах, и др.
До сих пор лишь некоторые из вопросов теории й расчета дросселей и
пневматических камер рассматривались в литературе, причем им были
посвящены лишь отдельные статьи, выходившие в свет в разное время и
публиковавшиеся различными издательствами. В связи с быстрым разви-
тием пневмоавтоматики и пневматических методов измерений возникает
необходимость в более полном их освещении. Попытка систематически
и по возможности более детально изложить указанные выше вопросы была
предпринята автором при написании настоящей монографии.
Особым круг вопросов возникает при исследовании длинных пневма-
тических линий, по которым передаются сигналы изменений давлений
в приборах пневмоавтоматики. В некоторых случаях уравнениями, вы-
водимыми для длинных пневматических линий, также описываются и про-
цессы изменения давления и расхода в относительно коротких трубопро-
водах и в собственных каналах пневматических приборов. Для расчета
пневматических трубопроводов чаще всего могут использоваться хоро-
шо разработанные методы теории длинных электрических линий и
теории гидравлических систем с распределенными параметрами. Од-
нако, как показывает опыт, в вопросах расчета пневматических
лижнй нет достаточной ясности, что обычно вызывает затрудне-
ния при решении практических задач/Поэтому считалось целесообразным
включение соответствующего раздела в настоящую монографию, хотя в
части самой теории длинных линий в этом разделе и не указываются
какие-либо новые результаты.
Монография построена следующим образом.
Глава 1 посвящена вопросам теории и расчета дросселей. В этой главе
рассматриваются основные характеристики процессов дросселирования,
причем отмечаются особенности дросселей, используемых в различных
пневматических приборах контроля и управления. Исследуются спе-
циальные вопросы теории и расчета дросселей, возникающие при разра-
ботке, доводке и эксплуатации пневматических приборов (например, ука-
занные выше вопросы влияния неконцептричности расположения деталей
щелевых дросселей на их характеристики, влияния температуры я др-)-
Наряду с упрощенными способами расчета дросселей при некоторых ха-
рактерных для приборов пневмоавтоматики сочетаниях условий течения
воздуха указываются также более общпе методы расчета, основанные на
использовании выводов газодинамической теории течения в трубах.
В главе II исследуются статические характеристики пневматических
камер с дросселями различных типов. Приводится графики хтя определе-
ния параметрон установившегося течения воздуха в камерах. Отмечаются
особенности пневматических камер, используемых для выполнения опре-
деленных операции в приборах управления и контроля (рассматриваются
условия, при которых с помощью пневматической камеры можно сумми-
ровать, делить сигналы изменения давлений и т. д.). Описываются опыты.
5
проведенные с ме-дроссельными камерами малых размеров, в которых
воздух не может ^гсматриваться как однородная среда, л при расчете
которых должно учитываться изменение давлений от одного участка ка-
меры к другому.
В главе III р^ттмдтриваются вопросы дпнаммкн пневматических ка-
мер. Выводятся дифференциальные уравнения, которым»!' описывается
закон изменения золений в камерах различных типов. Приводятся гра-
фики, позволяющею без расчетов определять в каждом конкретном слу-
чае численные значения коэффициентов указанных выше дифференциаль-
ных уравнений. Игследуются погрешности, определяемые упрощающи-
ми допущениями, обычно принимаем!ига при исследовании динамики пнев-
матические камер. Наряду с общими вопросами динамики пневматических
камер рассматриваются специальные задачи расчета и исследования ка-
мер, используемых з качестве элементов определенного функционального
назначения. К их хзелу относятся задачи теории и расчета камер пневма-
тических регул я тс г ^>в, камер, используемых в качестве реле времени
(таймеров), устроьгтз для отфильтровывания из негармонических колеба-
ний давления воздуха, колебаний, близких по форме к синусоидальным,
и др.
у В главе IV рассматриваются характеристики длинных пневматических
линий как систем е распределенными параметрами. Кратко изложены
методы расчета длинных линии, представляющиеся наиболее рациональ-
ными для пне! матзшеских слезем. При этом все уравнения записываются
в форме, удобней для инженерных расчетов пневматических трубопро-
водов. Дается оценка расчетных характеристик длинных пневматических
линий на осноье их сопоставления с опытными данными. С помощью
приближенных формул анализируется влияние основных параметров (дли-
ны и диаметра трубопровода, объема присоединенной к нему камеры,
средней величины давления) на скорость и время передачи сигналов упра-
вления по длинные пневматических! линия»!.
Краткие спращщые сведения из аэродинамики и пояснения к выводам
некоторых аэродгззмических формул, встречающихся в основном тексте
монографии, призддены в приложении.
Излагаемые г монографии вопросы теории и расчета элементов пнев-
матических прибс;«:в контроля и управления в значительной своей части
актуальны та! же ас хтя других смежных с пневмоавтоматикой отраслей
техники (гидроавздматика и др.).
6
Глава I
ТЕОРИЯ ДРОССЕЛЕЙ
$ 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДРОССЕЛЯХ КАК ЭЛЕМЕНТАХ УСТРОЙСТВ
ПНЕВМОАВТОМАТИКИ И ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОССЕЛЕЙ. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
И РАСЧЕТА ДРОССЕЛЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
Одничи из основных первичных элементов устройств пневмоавтоматики
и пневматических измерительных приборов являются дроссели, предназна-
ченные для создания сопротивления течению воздуха. Простейшим дрос-
селем служит отверстие малого проходного сечения в стейке, разделяю-
щей две камеры, или в перегородке, установленной в канале, по которому
течет воздух (рис. 1, а).
Рве. 1. Дроссели пневматических приборов:
в — простейшей цилиндрический дроссель; б — регулируй itt
«елевой цилиндрический дроссель; в — регулируемый щелевой
копческвй дроссель; • — дроссель типа «сопло — заслонка»;
в — дроссель с Шараповым клапаном
В пневматических приборах используются не только дроссели с
цилиндрическим каналом, по также и дроссели другой формы. Наряду с
дросселями постоянного проходного сечения встречаются дроссели, про-
ходное сечение которых изменяется при перенастройках пневматических
приборов пли же непрерывно меняется в процессе их работы. На рис. 1, б
показан щелевой дроссель, проходное сечение в котором образовано
неболыпи < зазором между цилиндрической втулкой и цилиндрическим
7
стержнем; дроссель, изображенный на рис. !, в отличается от него тем,
что втулка и стержень имеют коническую форму. На рис. 1, г представлен
дроссель, проходное сечение в котором образуется зазором между торцем
сопла и заслонкой; это так называемый дроссель типа сопло — заслонка.
На рис. 1, д показан дроссель, выполненный в виде шарикового клапана.
Процесс дросселирования характеризуется необратимой потерей
механической энергии потока воздуха — необратимым переходом механи-
ческой энергии воздуха в тепло. В связи с этим следует подчеркнуть отли-
чие дросселей (рис. 2, а) от сопел (рис. 2, б), диффузоров и других

Рис. 2. Форма каналов в дросселях
и соплах:
в — дроссель; б — сопло
аналогичных им элементов, также используемых в устройствах пневмоавто-
матики. Назначение этих последних элементов — преобразование меха-
нической энергии воздуха из одной формы (потенциальная или кинетиче-
ская энергия) в другую, которое должно осуществляться по возможности
без потерь. Четкое представление этого различия важно для правильного
понимания работы устройств пневмоавтоматики.
В следующих главах показывается, как при помощи дросселей раз-
личных типов строятся элементы устройств пневмоавтоматики, выпол-
няющие разные операции (суммирование давлений, изменение одного
из давлений в пропорциональной зависимости от другого и др.). Боль-
шие возможности варьирования характеристиками дросселей опреде-
ляются тем, что процессы течения воздуха в них существенно различны
в зависимости от формы дросселей и от условий их работы. О том, на-
сколько могут быть различными даже для простейшего дросселя (рис. 1, а)
условия, при которых происходит процесс дросселирования, можно судить
на основании следующего.
Для дросселей с различными геометрическими данными в зависимости
от величин давлений до и после дросселя могут превалировать или ме-
стные потери на входе и выходе, или же потери на трение при течении
воздуха по каналу дросселя. Течение может быть ламинарным или тур-
булентным, в зависимости от этого также существенно меняются основ-
ные характеристики дросселя. Кроме того, при турбулентном течении
на характеристики дросселя в некоторых случаях оказывает влияние со-
стояние поверхности (степень шероховатости) стенок канала; при лами-
нарном течении влияние этого фактора не проявляется. При большой
длине канала дросселя дополнительные потери возникают на так назы-
ваемом начальном участке учения, на котором происходит формирование
потока. По-различному протекает процесс дросселирования в зависимости
от того, происходит ли теплообмен с внешней средой или он отсутствует.
В некоторых случаях, при малых скоростях истечения воздуха, явления,
которыми характеризуется процесс дросселирования, не отличаются от
явлений, которые имели бы место при течении через дроссель несжимае-
мой жидкости. В других случаях влияние сжимаемости оказывается весь-
ма существенным. При больших скоростях течения воздуха необходимо
учитывать изменения его плотности по длине канала дросселя. Иногда
может быть значительным влияние па характеристики дросселя сил
8
инерции, вызываемых изменением скорости течения по длине канала. Каче-
ственно новые явления возникают при достижении в канале дросселя
скорости течения воздуха, равной скорости звука (критическое и надкри-
тические условия истечения). Хотя при этом расход воздуха через дрос-
сель и зависит от температуры и давления воздуха перед дросселем, однако
он сохраняется постоянным с изменением давления за дросселем. При
надкритическом истечении в некоторых случаях в потоке воздуха на вы-
ходе из дросселя или в его канале образуется система скачков уплотнения,
в которой так же, как и от действия сил трения при обычном течении, про-
исходит необратимый переход механической энергии потока в тепло. Воз-
никающие при этом потери складываются с другими потерями, которыми
определяется процесс дросселирования.
Дроссели могут работать при рахтичных сочетаниях указанных выше
условий. С изменением этих условий меняется физическая картина про-
цесса течения воздуха через дроссель; поэтому в разных случаях для рас-
чета процесса должны использоваться различные уравнения.
Целесообразно выделять некоторые наиболее характерные для пневма-
тических приборов случаи работы дросселей и рассмотреть их более под-
робно.
В дальнейшем дроссели подразделяются по условиям их работы на
три типа.
1. Дроссели, имеющие канал цилиндрической формы е малым от ноше-
ниеМ-,Длцны к диаметру, в которых эффект дросселирования вызывается
местными сопротивлениями на входе и потерями на вых оде^ще сказывает-
ся сколь^либо существенно действие сил трения при течении воздуха по
каналу дросселя, Процессы течения воздуха в дросселях этого типа близки
к процессам, которые наблюдаются при истечении из сопел (рис. 2, б).
Обычно течение в дросселях такого типа может быть принято адиауатиче--
ским, то есть происходящим без теплообмена с внешней средой. Как пра-
вило, оно бывает турбулентным, В устройствах пневмоавтоматики исполь-
зуются дроссели первого типа, работающие как при докритических,
так и при надкритических режимах истечения.
2. Дроссели цилиндрической формы-с большим отношением длины
к диаметру, при которой обеспечивается ламинарное течение воздуха и
основное значение пг ..(бретдют потери на трение при протекании воздуха
по каналу дросселя. При этом местные сопротивления на входе в дрос-
сель и потери полного давления при выходе зоздуха из него принимаются
пренебрежимо малыми. В качестве дросселей второго типа рассматривают-
ся дроссели, работающие в_услэвиях докритического истечения. К дрос-
селям второго типа относятся также и дроссели другой формы, в частности
’ щелевые дроссели, при условии, что процесс течения воздуха в них удовле-
творяез указанным выше признакам.
3. Дроссели, работающие при любых других сочетаниях условии те-
чения воздуха. В пределах данной группы представляется целесообраз-
ным дополнительно выделить отдельные наиболее характерные случаи,
что будет сделано в дальнейшем при более конкретном рассмотрении ха-
рактеристик этих дросселей.
Дроссели первого из указанные выше типов назовем турбулентными,
дроссели второго типа — ламинарными и остальные дроссели — дрос-
селями смешанного типа. Эти названия являются условными, так как
согласно вышеизложенному принадлежность дросселей к тому или
другому типу определяется не только ламннарностыо или турбулентно-
стью течения, но также и рядом других признаков.
Основной характеристикой дросселя является характеристика изме-
нения весового секундного расхода воздуха в зависимости от давленш до
и после дросселя. В дальнейшем будем называть ее просто характери-
9
стикой расхода. В некоторых случаях оказывается удобным определять
расход в функции от разности давлении до и после дросселя, в других
случаях — в функции от отношения этих давлений и от давления в потоке
воздуха перед дросселем; выражением характеристики расхода также
учитывается зависимость расхода от температуры воздуха.
Главной задачей теории дросселей как элементов пневматических
приборов является выяснение формы характеристики расхода н разра-
ботка методики расчета этой характеристики для дросселей различных
типов. При этом специфические вопросы возникают в отношении дроссе-
лей, характеристика расхода для которых должна быть строго линейной
и которые по условиям их эксплуатации должны работать при очень
малых расходах воздуха и др.
Рис. 3. Дроссели:
в — сотовый дроссель (группа параллельно включенных цп шадрическнх дросселей); Jff — гетгние
щел( аого дросселя при концентрическом расположении стержня во втулке; в — сечение щелеь го
дросселя при неконцентрическом расположении стержня во втулке, г — регулируемый дросоегь г
каналом, s разе ванным спиральной канавкой на поверхности стержни
Практически важны вопросы, связанные с преодолением технических
затруднений, возникающих при изготовлении ламинарных дросселей;
эти затруднения обусловлены тем, что течение воздуха в канале дроиседя
оказывается ламинарным только при очень малых перепадах давлений до
ujiucne дросселя ипри очень малых проходных сечениях и малых отно-
пениях диаметра канала дросселя к его длине- Если при этом необходимо
получать достаточно большие расходы воздуха, то приходится исполь-
зовать элементы, состоящие из большого числа параллельно соединенных
дросселей (рис. 3, а).
Особый круг вопросов поднимается в связи с требованиями, которые
предъявляются к регулируемым дросселям. Например, в некоторых слу-
чаях регулируемый дроссель снабжается шкалой и ставится условие,
чтобы после перенастройки дросселя, при повторных установках его
в одни и то же положение, характеристика расхода для него оставалась
бы строго неизменной. Опыт показывает, что при одних и тех же давле-
ниях до и после дросселя расход через щелевой дроссель при повторных
установках стержня может меняться в широких пределах, если нарушается
концентрическое расположение стержня относительно втулки (рис. 3, б
и в). Из-за затруднений, возникающих в этой части, делаются попытки
изыскания регулируемых дросселей других типов. На рис. 3, г показан
регулируемый дроссель, в котором канал образован спиральной канав-
кой с малым проходным сечением, выполненной на поверхности стержня,
притертого к втулке; регулировка производится изменением относитель-
ного положения стержня и втулки. В отношении щелевых дросселей воз-
никает целый ряд практически важных задач; к их числу относятся иссле-
дования влияния фирмы щелевого зазора на величину расхода через
щелевой дроссель, сравнительная оценка характеристик щелевых и цилин-
дрических дросселей с равной площадью проходного сечения в свету,
сравнительная оценка условий, при которых в цилиндрических и щелевых
дросселях происходит переход от ламинарного течения к турбулентному,
и др. Специальный интерес представляют настроечные характеристики
10
регулируемых щелевых дросселей, которыми определяется изменение при
заданном перепаде давлений расхода в зависимости от длины I рабочей
части дросселя (рис. 1, б) пли в зависимости от номинальной величины
радиального зазора д (рис. 1, в).
Ниже, в § 2, приводятся общие указания к расчету процессов дроссе-
лирования и рассматриваются характеристики турбулентных дросселей.
§ 3 посвящен вопросам теории и расчета ламинарных дросселей. В § 4
рассматриваются более общие случаи течения воздуха в дросселях, не
подходящих под принятое выше определение турбулентных и ламинарных
дросселей.
$ 2. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТУ ПРОЦЕССОВ ДРОССЕЛИРОВАНИЯ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ДРОССЕЛЕЙ
1. Замечания о процессах дросселирования
Говоря о процессах дросселирования, первоначально ограничимся
рассмотрением дросселей с каналом цилиндрической формы.
При течении воздуха через дроссель потери механической энергии,
характеризуемые уменьшением полного давления, складываются из ме-
стных потерь при входе воздуха в канал дросселя и из потерь полного
давления при выходе воздуха из капала, а также из потерь па трепне
в самом канале.
Для некоторого дросселя, геометрические данные которого заданы,
зависимость между весовым секундным расходом воздуха и давлениями
до и после дросселя выражается соотношением
G == <р (ре, pi). (1.1)
Характеристика, определяемая этим соотношением, ранее была назва-
на характеристикой расхода. Как уже указывалось в § 1, условия, при
которых происходит дросселирование воздуха, могут быть весьма различ-
ными; соответственно с этим получаются разные по форме уравнения, опи-
сывающие характеристику расхода дросселя. Для дросселей определен-
ного типа уравнение (1.1) может быть получено в развернуто»; лиде на
основе использования принципов подобия. Характеристики процесса
дросселирования одинаковы, если наряду с пропорциональностью соот-
ветственных размеров сравниваемых дросселем течения в них определяют-
ся соответственно одинаковыми значениями чисел Не и Л/1.
Для дросселя с цилиндрическим каналом круглого сечения число Re
(число Рейнольдса) определяется как
, (1.2)
число М равно
М = ± . (1.3)
В этих выражениях w — средняя по сечению канала скорость течения,
d — диаметр капала дросселя, р — плотность воздуха, р — динамиче-
ский коэффициент вязкости, а — скорость звука.
Важное значение для исследования характеристик дросселей имеет
выделение влияний, оказываемых на процесс дросселирования измене-
нием чисел Не и М, Опытами Фресселя, изучавшего течение воздуха в тру-
бах при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях, установлено, .что при
1 Об условиях, при которых соблюдаются критерии подобия течении см. в | 3
приложения.
11
оценке гидравлических сопротивлений в потоке воздуха могут использо-
ваться независимо от значений числа М те же данные, которыми опреде-
ляется изменение гидравлических потерь в функции от числа Re для по-
тока несжимаемой жидкости (23]. На этом выводе основаны современные
методы расчета течения газов в трубах 124]’.
Потери полного давления, определяемые трением, при течении несжи-
маемой жидкости вычисляются по формуле
о-»
где £Тр— коэффициент сопротивления, / и d — длина и диаметр канала,
w — средняя по сечению канала скорость течения, р — плотность. При
ламинарном течении £тропределяется в соответствии с законом Пуазейля
ж • <15>
при турбулентном течении жидкости в канале с гладкими стенками при
Re < 104 величина £тр определяется по формуле Блазиуса
Рже. 4. Характеристика изменения ко-
эффициента потерь на трение функ-
ции от числа Be
- 0,3164
бтр----4---
\ В* *
(1.6>
и при Re = 10s -г-10* — по формуле
Никурадзе
£тр=0,0032 +
0,221
Дво.»7 •
(1-7>
Формулы (1.5) и (1.6), (1.7) отно-
сятся соответственно к сформировав-
шемуся ламинарному или турбулент-
ному течению. На начальном участке
канала потери-трения могут быть не-
сколько большими, так как затрачи-
вается дополнительная энергия на
переформирование потока (распреде-
ление скоростей по сечению канала
на начальном участке меняется от од-
ного сечения к другому)’.
На рис. 4 показана полученная
Никурадзе экспериментальным путем
зависимость £тр от Re для трубы с
гладкими стенками. Здесь прямая I
соответствует формуле (1.5), а пря-
мая 2 уравнению (1.6). Переходному
режиму отвечает точка, для которой Re — 2320. Обычно значение
Re = 2300 принимается как I раничное, при котором происходит переход
от ламинарного течения к турбулентному3.

1 Более подробно по данному вопросу см. в 1 4 настоящей главы.
’ Об учете этих дополнительных потерь и о их влиянии на протекание характе-
ристики расхода для ламинарных дросселей см. в $ 3 данной главы.
• Принятие данного значения Не за граничное представляется в какой-то мере
условным. В зависимости от конфигурации входа в канал и от степени турбулизации
потока на участке перед входом,могут меняться значения Не, соответствующие переходу
от одного вида течения я другому. Однако при дальнейших выводах будем считать, что
Ве^ «=» 2300, имея в виду, что данное значение Ве^ справедливо лишь для цилин-
дрических дросселей с каналом круглого сечения.
12
Потерн полного давления па входе в дроссель определяются по формуле
л» - t рн*
«А
где £вх — коэффициент сопротивлении. По аналогичной формуле опре-
деляютсл и потерн на выходе на дроссели. (Детальному исследованию вели-
чин £вж при различных формах входа,а также исследованию других гидрав-
лических сопротивлений посвящена монография 1251.)
Полнаязютертмпоопогр давления п дросселе равна сумме падения дав-
ления на отдельных участках течении. Поэтому можно вести расчет ре-
зультирующей величины потери давлении по формуле,
6г •- 5 (1.8)
имея в ви ху под £ величину
Ъ ж 4“ ътр 4* VWJX» (1’9)
где tux, £вых, £тр — соответственно коэффициенты сопротивления, харак-
теризующие потери на входе и выходе и потери на трение при течении
жидкости по каналу.
Если бы в каждом случае заранее были известны скорости течения, то
нетрудно было бы он ре делить по заданным значениям коэффициентов
сопротивления потерю полного давления. Однако при течении воздуха
с большими скоростями скорость течения, в отличие от того, что наблю-
дается для несжимаемой жидкости, зависит от термодинамических харак-
теристик процесса п не остается постоянной но длине канала дросселя.
Только лишь при малых значениях числа Л/ и при условии, что невелик
перепад давлений до н после дросселя, можно вести расчет процесса дрос-
селирования для воздуха, пользуясь уравнениями, выведенными для
несжимаемой жидкости.
При высоких значениях Л/ качественно меняются характеристики те-
чения и для описания процесса дросселирования приходится прибегать
к другим уравнениям, отражающим физическую сущность данного про-
цесса при этих новых условиях. При больших значениях Л/ на характе-
ристики процесса дросселирования влияет изменение плотности в потоке
воздуха. В некоторых случаях может проявляться действие сил инерции,
обусловленных изменением скорости течения по длине канала дросселя.
При переходе от сверхзвуковой скорости течения к дозвуковой возникают
скачки уплотнения, необратимые потерн давления в которых входят
наряду с указанными выше гидравлическими потерями в общее падение
полного давления, и т. д.
Наиболее сложными процессы дросселирования воздуха оказываются
в тех случаях, когда имеется теплообмен между потоком воздуха и внеш-
ней средой. Однако и при отсутствии теплообмена, т. е, при адиабатиче-
ских процессах, исследуя протекание характеристики расхода, приходит-
ся учитывать изменение температуры воздуха—на—атдочьных участках
канала дросселя. Важной особенностью процесса дросселирования при
отсутствии теплообмена с внешней средой является то. что меняется
лишь полное давление ра, а температура торможения Гп остается неиз-
менной. Поэтому, хотя цстпнная температура Г меняется по длине мяяла
дросселя, в камере за дросселем восстанавливается та же температура,
которой ^характеризовалось состояние воздуха в камере перед дросселем.
Иначе говоря, при адиабатическом течении воззуха в дрпссрдр мршугс.
дросселирования в целом, т. е. процесс изменения состояния пт одной ка-
~йеры к другой, является изотермическим. Восстановление исходной
температуры после прохождения воздуха через дроссель имеет -место при
адиабатическом течении не только при условии, что скорость течения в ка-
мерах до и после дросселя пренебрежимо мала по сравнению со скоростью
13
воздуха в канале дроссели, но п тогда, когда она соизмерима с этой по-
следней, в этом случ-w лишь должны быть одинаковыми скорости течении
как в одной, так и а другой камере1.
В общем случае пра учете различных факторов, влияющих на дроссе-
лирование воздуха, расчет процесса оказывается крайне сложным. Но-
терн полного давления зависят от общих термодинамических характе-
ристик течения, последние же в свою очередь связаны с необратимым
переходом механической энергии в тепло, которым определяется эффект
дросселирования. Однако в ряде случаев допустима идеализация этого
Рис. 5. Иллюстрации к анализу процессов дросселирования:
а — расч1 .ньз тения др< «селя, б — картина течения воздуха через сопло, « — карткн? течения
воздуха через отверстие в тонкой стенке, г — струя воздуха на выходе вз канала дросселя
процесса, существенно упрощающая решение задач, связанных с иссле-
дованием протекания характеристики расхода и с построением других
характеристик дросселей. Ниже в этом параграфе рассматриваются ха-
рактеристики дросселей, названных ранее турбулентными.
При исследовании характеристик дросселей разных типов будем вво-
дить для давлений, температур, скоростей течения и других величин
обозначения дополнительным индексом, указывающим, к какому из се-
чений эти величины относятся. Обозначения различных сечений приве-
дены на рис. 5, а.
v
2. Формулы для расчета, характеристик
турбулентных дросселей
Для коротких дросселей при адиабатическом турбулентном течении
расход воздуха обычно подсчитывается для докритических режимов по
формуле
* Заключение об изотермичности процесса дросселирования в целом при адиаба-
тическом течении воздуха по каналу дросселя имеет важное значение для рассматри-
ваемых далее приложений теории дросселей. Оно следует из уравнения сохранения
энергии (см. приложение, $ 3, п. 4).
14
(1.10)
и для! надкритических режимов (при отношении давлений
г
Pi / 2 \*—1
или для воздуха при /с => 1,4 при Pi/po<0»53) по формуле
(Ill)
В этих формулах G — весомой секундный расход нолдухл, s коэф-
фициент, называемый коэффициентом расхода, / — площадь проходного
сечения канала дросселя (площадь в свету), />о и рг — абсолютные давле-
ния воздуха перед дросселем и за ним, То—удельный вес воздуха перед
дросселем g — ускорение земного притяжения, к — показатель изэнтропы.
При малых перепадах давлений до и после дросселя, когда влияние
изменения плотности воздуха мало, практически те же значения расхода,
что и по формуле (1.10), получаются по формуле
С = tfV2^ 0-12)
которой пользуются при расчете дросселирования несжимаемой жидко-
сти. С уменьшением величины PijpQ растет расхождение между теми и дру-
гими значениями.
Данные, получаемые при расчете характеристик дросселей рассма-
триваемого типа по указанным выше Формулам, хорошо согласуются
с опытными данными.
В тех случаях, когда приходится проводить большое количество вы-
числений, пользоваться формулой (1.10) неудобно, так как отношения
давлений входят в эту формулу в степенной зависимости.
2_ *+1
функция * — ( / * табулирована Г. М. Боровским (261:
пользование составленными им таблицами упрощает вычисления, прово-
димые при помощи формулы (1.10).
В работе Г. Т. Березовец, В. Н. Дмитриева и Э. М. Наджафова [27J
отмечено, что данные, близкие к данным, получаемым при расчете расхода
воздуха по формуле (1.10), получаются для всего диапазона некритических
режимов истечения при пользовании формулой (1.12), если только л пить
определять в последней удельный вес воздуха по давлению pi за дроссе-
лем, Возможность приближенной апроксимации зависимости, выражаемой
формулой (1.10), зависимостью, выражаемой при указанном выше усло-
вии формулой (1.12), может быть пояснена следующим образом. Так как
То = 77^-, то, согласно (1.10), G = е/ 1/ 2g к г2|7рЛ* /РА * ]
' RT к — l^LW pJ J
2_ к- 1
Функция —S) * ] Д°статочпо точно зпрокепми-
ругтся дли к ез 1,4 про 0,53 < ~ < 1 функцией <р* ) — 1 — ~ .
Так как р’(Ч— -0 & р4 (рв — р4) м — уг, т<» приближенно получим»
G = е/ р 2gyi (ро — pi).
15
Во многих случаях удобно пользоваться при расчетах последней фор-
мулой. Однако иногда бывает нужно оценить влияние факторов, отражае-
мых формулой (1.10) и не учитываемых при замене ее указанной выше
приближенной формулой. При этом такая замена недопустима. В качестве
примера можно указать на одну из рассматриваемых в главе II задач,
связанных с приложением теории дросселей и пневматических камер
к оценке точности пневматических устройств, действие которых основано
ла использовании рассматриваемого в дальнейшем принципа пропор-
ционального редуцирования давлений; как выясняется, иногда должно
учитываться влияние температуры ла величину показателя изэнтропы к1 2.
В работе [28] указываются приближенные формулы более простые,
чем формула (1.10), которыми апроксимируется зависимость, выражаемая
ур.
формулой (1.10), и в которые входит величина к.
Удобно определять расход как при докри-
тических, так и при надкритических перепадах
давления до формуле
G = (1.13)
или при температуре 15° С (7=-- 288е абс) по
формуле
С — uptj,
(1.13')
выше характеристике, равна
Рис. 6 Характеристика _ , „
, где G— расход воздуха в кг!сек, р0— абсолютное
х ~ давление в камере перед дросселем в кг!см *, f —
площадь сечения дросселя в см 3, s — коэффи-
циент расхода, х — коэффициент, заданный при к = 1,4 в функции от рк'р0
характеристикой, доказанной на рнс. 6. Формула (1.13) не отличается от
формулы (1.10); в этой формуле величина х, определяемая по указанной
288 Я А —1
3. Пояснения к формулам (1*10) и (1.12).
Определение коэффициента расхода дросселя
Отметим некоторые особенности структуры формул (1.10) и (1.12).
Заметим прежде всего, что эти формулы при исключении из них коэф-
фициента б (при принятии s = 1) превращаются в формулы, по своему
виду схожие с формулами, по которым определяют соответственно расход
идеального газа или идеальной несжимаемой жидкости через сопло с пло-
щадью проходного сечения, равной площади проходного сечения рассма-
триваемого дросселя3. Однако между теми и другими формулами имеется
существенное различие. Последние из указанных выше формул относятся
к изэнтропическому процессу, в котором по. самому его определению
отсутствуют необратимые потери, характерные для процесса дроссели-
рования. Следует в связи с этим подчеркнуть, что при отсутствии потерь
по останов пенни исходной скорости течения восстанавливается также
и исходная вели чина дав. гения, т. е. р = ре (рис. 5, б). Подстановка этого
1 Если температура меняется пе в очень широких пределах, не возникает необ-
ходимости в учете этого фактора и величина к принимается постоянной.
2 См. приложение. ] 5, п. 1.
16
значения pt в указанные выше формулы привела бы к результату, ли-
шенному смысла: оказалось бы, что расход тождественно равен нулю.
Дело в том, что в формулы для расчета течения идеального газа или идеаль-
ной жидкости входит не давление /ч за соплом, а давление р" в выходном
сечении сопла, в когором скорость течения достигает максимального
значения.
Выясним, на чем основана отмеченная связь между структурой ука-
занных выше формул; при этом разберемся и в вопросе о значениях дав-
лений, которые входят в те и в другие формулы. Проследим первоначэ тьно
за выводом более простой формулы (1.12). Все замечания, которые при
этом будут сделаны, в равной мерю относятся, как это будет показано,
и к случаю течения газа, определяемого формулой (1.10).
Рассмотрим течение вязкой жидкости через сопло пли через дроссель,
характеристики которого близки к характеристикам сопла. Напишем
уравнение Бернулли для сечений 0—0 и 1" —Г', считая, что скорость wo
пренебрежимо мала по сравнению со скоростью ид":
Т 1 ‘ 2g +s 2g Ц'
Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.14) отражает не-
обратимые потери механической энергии на участке между сечениями
0—0 и J" — 2". Из данного уравнения следует, что
“V = V ' Кро —Рг- (т-15)
Весовой секундный расход G = Wy ft и, следовательно,
g=Vх rh / г ?«-/>.- (Мб)
Вводя обозначение
' = (117)
ПОЛУ чпм
G = «/^2r?Vp0-p1.. (1.18)
Если на участке между сечениями Г'—Г* и 1—1 не сказывается влия-
ние стенок канала и условия течения отвечают условиям распространения
свободной струп, то статическое давление на этом участке не меняется
и вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость в сечении 1”—1”,
переходит в тепло1. При этом и только при этом условии можно принять,
что рХ" = pi и тогда из выражения (1.18) получим формулу (1.12).
Рассматривая жидкость как идеальную, опустим последнее слагае-
мое в уравнении (1.14). Тогда, учитывая, что по-прежнему
получим G = /) 2°у Ур« — рг. Однако в это выражение входит
1 Профиль продольного сечения свободной осесимметричной турбулентной струн
показан на рис. 5, г. На начальник участке протяженностью Ли имеется ядро постоян-
ных* скоростей, в котором осевая скорость частиц воздуха равна их скорости на выходе
из канала. Остальную часть сечения на этом участке занимает пограничный слой.
На основном участке струн при h>hH пограничный слой занимает все сечение струн, и
скорость на оси струи уменьшается с увеличением Л. Уменьшение скорости частиц
обусловлено увеличением массы струи вследствие вовлечения в нее воздуха из окружа-
ющей среды.Статическое давление во всех точках свободной струи принимается постоян-
ным, равным давлению среды, в которой распространяется лруя. Более подробно о
характеристиках свободных турбулентных струи см. в |29[ и [30 J. Вопросы, связанные
с использованием свойств струйных течений в ныевмоавтомагаке, рассмотрены в
работе [8], а также в работах [31 [ и [321
?.*• *• Залмонэов 17
давление ft-п данное вы^жеяие не подлежит дальнейшим преобразованиям»
связанным с заменой ягото давления на какое-либо другое. Давление рс
здесь существенно отягчается от давления pi, которое. как ужо указы-
валось, при условний£ равно
Вывод формулы (ЛЛО) аналогичен выводу форм* * пы (1.12), только
лишь за исходное пра^лгмается уравнение Бернулли ьия газа
•Ф
участке между сечениями 0 — О н 1*— 1".
в котором последним слагаемым в правой части уравнения учитываются
потери полного давления на
Кроме этого, принимается, что течение воздуха на ь> ином участке яв-
ляется адиабатическим и условно считается, что плогяости и давления
воздуха в указанных выгпе сечениях связаны между ск»“»ой тем же соот-
ношением
. которое имело бы место при изэнтропическом
Л« г\*
течении ’. При атом учитывая, что -
'j* /р.л
из
приведенного выше уравнения получим
At -I
«Г
Р*
•' •> *__Р» ~и
***-» Р» ?
к
Соответственно весовой секундный расход воздуха радон
При условии, что воздух из дросселя выходит в виде свободной турбулент-
ной струи п что, следовательно, p^r = pi, из последнего выражения полу-
чаем формулу (1.10). Коэффициент £. как следует из приведенного вывода,
имеет в (1.10) то же значение, что и в формуле (1.12). т. е. определяется
по формуле (1.17).
На основании проведенных рассуждений заключаем, что коэффициент
расхода з для турбулентных дросселем с малым отношением длины к диа-
метру2 может быть рассчитан по формуле (1.17). в которой с следует рас-
сматривать как коэффициент местных потерь на входе в дроссель, т. е. при-
нять, что с. = Свх-
Для дросселя с остроконечной входной кромкой — 0.5. Величи-
на £вх уменьшается при закруглении входной кромки, а также при вы-
полнении фаски на входе в дроссель. На рис. 7. а — * показаны соответ
ствующие характеристики, полученные И. Е. Идельчиком [251. Харак-
теристика, приведенная на рис. 7, б снята при (/ф d) ~ v.t>. а характери-
стика, представленная на рис. 7. <?.— при <р — 60 . Величина ;вх полу-
чается большей в тех случаях, когда входной участок дросселя выполнен
,1 См. приложение. § 2. и. 4.
* Здесь имеются в виду дроссели, у которых отношение длины к диаметру хотя и
мало, однако достаточно для того, чтобы струя заполняла все сечение на выходе из
дросселя. Замечания об условиях течения в еще более коротких др «елях. приближа-
ющихся по своем форме к отверстию в тонкой стенке, см. ниже яа стр. 20.
18
в виде трубки, расположенной в подводящем канале. При этом, как сле-
дует нз рис. 7, г. в области малых значений d/d и b d величина свх увели-
чивается по мере уменьшения б J и при возрастании b d. Если входное
сечение дроссели находится на небольшом расстоянии от стенки, то ве-
личина £вх тоже увеличивается. Характеристика изменения свх в зави-
симости члг этого фактора представлена па рис. 7, д.
Рас. 7. Значения к «эффицаента £ при различных формах входной кромки дросселя:
* — характгркстяка f (; для канала со скругленное входной кромкой, б — харагтерисги-
______________________ 1ф ’ / 1ф
на ?вх« /(*) прв наипт фаска на гходе канал (для у »0.€). а—характервстята «вх*Д
при наличии фаскв ri входе в канал (для ф «= 60). а — кривые Евх « / (~) для раз ллчяых -j
Л —1В«вая *вх ("J") Ддя канала с крлвврованным входом
Указанные выше значения £вх относятся к случаю, когда площадь
сечения подвод»ацего канала /о достаточно велика по сравнениу* с пло-
щадью сечения канала дросселя /. Если же эти величины соизмеримы,
то влияние ~ на jBI может быть учтено тем, что за £вх принимаются ранее
/в
указанные значения этого коэффициента (рис. 7), умноженные на (1—j )-
Ограничимся приведением указанных выше данных о численных зна-
чениях ?вх. В работе |25] детально рассмотрена также и физическая кар-
тина процессов входа жидкости в канал, в связи с которой происходит
изменение |вх * функции от указанных ранее факторов.
По формуле (1.17) может быть подсчитан коэффициент расхода и для
дросселей других типов, если перепады давлений до и после дросселя
настолько малы,что воздух можно рассматривать как несжимаемую жид-
кость; при этом величиной & учитывается также и трение в канале, т. е.
£ = £вх -р . оегбо подчеркнуть, что во всех указанных выше
случаях ве.шчкльх) $ учитываются потери механической энергии только
* И
на участке между сечениями 0—О и 1" —Г. Было бы неправильна учиты-
вать при определении коэффициента расхода также и потери на участке
между сечениями Г —1* * и 1—1, так как эти потери были уже один раз
учтены при переходе от выражения (1.18) к формуле (112) подстановкой
в это выражение давления pY вместо давленая pi-1.
Дня дросселей с очень мазым отношением длины I к диаметру d, для
которых условия течения приближаются к условиям истечения через отвер-
стие в тонкой стенке, сечения струи Г — в котором достигается макси-
мальная скорость течения trr оказывается смещенным относительно вы-
ходного сечения дросселя так, как показано на рис. 5 в. Площадь этого
сечения меньше, чем площадь проходного сучения дросселя. При опре-
делении расхода по площади проходного сечения дросселя это учитывается
введением поправки в величину коэффициента расхода s. Последним
в .этом случае представляет собой произведение коэффициента, учитываю-
щего гидравлические потерн, на коэффициент сужения V, равный отно-
шению площади сечения наиболее узкой части струи к площади проход-
ного сечения дросселя2. Следует иметь в виду, что в последнем случае
величина £вх отличается от соответствующей величины, характеризующей
потери на вход в канал относительно большой длины, в котором на не-
котором расстоянии от входа устанавливается нормальное течение.
Резюмируем приведенные выше соображения о коэффициенте расхода.
Можно определить коэффициент расхода е для турбулентных дросселей
с небольшим отношением длины к диаметру как отношение расхода, дей-
ствительно получаемого для данного дросселя, к расходу, который был бы
для него получен при данных значениях р, и ри если бы отсутствовали
потери и если бы давление />г было равно давлению pi. Эта формулиров-
ка является условной в той части, что вводится оговорка о равенстве
давлений рг и pi при рассмотрении течения идеальной жидкости или
идеального газа. Для ламинарных дросселей, характеристики которых
рассматриваются в следующем параграфе, понятия коэффициента расхо-
да в указанном выше смысле вообще не существует. Это объясняется тем,
что для ла><инарных дросселей, для которых учитываются лишь потери
на трение при течении по каналу, нельзя определить величину расхода,
соответствующую случаю течения идеальной жидкости: при сколь угодно
малой разности давлений между сечениями Г — Г и Г — Г расход будет
бесконечно большим, так как при течении идеальной жидкости отсутствуют
потери. Для расчета характеристик этих дросселей нельзя пользоваться
формулами (1.10) или (1.12).
1 Легко убедиться в том. что учитываемые такой заменой д теле ним потери отвечают
коэффициенту 5ВЫХ=1- Действительно написав уравнение Бернулли для участка между
сечениями Г'1*— м 1—*1 —L _l _*---L = О
2g т 2g т
находим при условии
что 6.ыж=1- Этот вывод справедлив только в том случае, если истечение воздуха
из дросселя отвечает условиям распространения свободной струи, т. е если проис-
ходит практически полная потеря скорости в камере за дросселем. Если же ско-
рость в канале за дросселем относительно великч, то формула (I 12) уже непри-
менима, так как нельзя заменить при ее выводе давление р f Давлением р». Течение
воздуха через дроссель при этих условиях рассматривается в главе II в связи с
анали юм характеристик междроссельпых камер малых размеров. »
• При истечении воздуха через отверстие с острой кромкой указацдое выше суже-
ние струг происходи.* только при докритических режимах. Пр л надкритическом исте
ченги наблюдаются оолее сложные изменения профиля струн (см. замечании по это^у
вопросу 1 конце настоящего параграфа на стр. 24), которые тоже прав.дят к уменьшению
расхода. В последнем случае коэффициент, учитывающий это уменьшение расхода,
условно будем также называть коэффициентом суженая
20
4. Дополнительные замечания иб углониит*
ПрН КОТОРЫХ ДрОССеЛП ПОДХОДИТ ПОД ОПред<МГ1П№
турбулентных дросселей» н об условиях иг|к*чода
при дросселях этого типа от докритических
к надкритическим режимам истечения
Рассмотрим сначала условия, при которых течение и дросселе с малым
отношением длины к диаметру является турбулентным. На рнс. 8 приве-
ден график изменения Нс в зависимости от разности давлений до и после
дросселя ftp = р0 — pi для дросселей с различными диаметрами капала d.
Принимая за условие перехода от ламинарного к турбулентному течению
Рис. 8 Характеристики Не (ftp) для турбулентных
дросселей при различных диаметрах капала дросселя
достижение значения Не — 2300 (рис. 4), проведем па графике, представ-
ленном на рис. 8, линию, разделяющую области ламинарного и турбулент-
ного течений: для всех значений d п ftp, которыми определяются точки
на рис. 8, расположенные выше пунктирной горизонтальной прямой,
течение является турбулентным. Как следует из данного графика, течение
в дросселе может быть ламинарным только при очень малых диаметрах
сечения канала и при малых значениях ftp.
Характеристики, приведенные на указанном выше графике, построены
на основании расчетов, проведенных по формуле Re ==-— .причем было
принято, что w = |/^ —было также принято е == 1. Подстав-
ляя это значение w в выражение для Яс, получаем Це —л ^2р
Н
। 1^2о i
или If Re — 1g ftp + lg d + 1g —- . При расчете взяты значения
- р
21
р «= 0,125кг сек*[м* ль - 1,82* 10м кг-сек м~ Слч'г^гетпмшыцпе нормальным
атмосферным условиям При средних значения к плчпност’в р, ГмЪлыипх, чем
плотность, указанная выше, при данных величинах Дф и d значения Не
возрастают пропорционально корню квадра гному на о. чти» адоннч* быть легко
учтено соответствуют™ смещением характеристик, пока ни нныч ня рнс. 8.
Следует оговорить., что приведенные па рис. 8 характеристики могут
использоваться лишь вля ориентировочной оценки уелччвий, при которых
происходит переход от ламинарного течения к турбулентному, так как
в известной мере яи.гглтся условным ирпнятне Не ~ X3iK) ла граничное
значение Не, при котором меняется характер течешь»3.
Вместе с тем следует особо подчеркнуть, что данном1 характеристики
относятся только к 1ечхселям рассматриваемого здесь гл па. Это связано
с тем, что значения ра зности давлений, прн которой нрежеходит при дан-
ной площади прохотз’лго сечения дросселя переход от ..кммннарпых к тур
булентным режимам течения, различны для дросселей., у которых общей
потеря полного давления практически определяется толл.ко местными со-
противлениями на вхлде в дроссель п потерями на выходе из него, и для
дросселей, у которых «шовное значение имеет трение прш течении воздуха
по каналу дросселя. Б последнем случае величина потерь существенно
зависит от длины кл&ала. Вопрос о значениях разности давлений до и
после дросселя, при кторых происходит переход от лам инарного течения
к турбулентному в тагах дросселях, рассматривается w следующем пара-
графе этой главы.
При классификации дросселей (см. стр. 9) к турбулентным дрос-
селям были условно отнесены лишь дроссели с малым отаошепнем длины /
к диаметру d, а к ламинарным —- дроссели, у которых ?то отношение до-
стигает относительно большой величины. Для первых вкв них при расчете
коэффициента £ по формуле (1.9) основное значение нтееыт величины £вх
и £Шх,а для последних является превалирующей величина £Tp(Z/d). На
рис. 9 сопоставлены характеристики изменения величины £TP(//cf) в за-
висимости от//d, постр сонные для различных Нс, с характерными значе-
ниями 5Вх И £вых*
Например, как следует из рис. 9, при i i ~ 1 и при турбулентном
течении (Не > 2300) для дросселя с прямоугольной входной кромкой,
.для которого £вх — 0«5. потерн на трение в десять с лишком раз меньше,
чем потери, обусловленные сопротивлением на входе. По данному при-
знаку этот дроссель может быть отнесен к рассматриваемым здесь турбу-
лентным дросселям. Наоборот, прп I d ~ 50 и Не — 20 потерн в канале
дросселя примерно в сто раз превышают потерн, обусловленные местными
сопротивлениями на входе и выходе. Поэтому, исследуя характеристики
процесса дросселирования, можно пренебречь этими последними потеря-
ми; данный дроссель должен быть отнесен по рассматриваемому признаку
к дросселям, названным ламинарными.
Заметим, что для дросселей с малым отношением I d. которые по ука-
занным выше признакам были отнесены к турбулентным дросселям, те-
чение вместе с тем практически является и адиабатическим.
Сделаем далее несколько замечании об условиях перехода от докрн-
т я чески х режимов истечения воздуха в рассматриваемых здесь дросселях
к надкритическим. Для дросселей указанного выше типа условия исте-
чения близки к условиям истечения воздуха из сопел. Соответственно
с этим можно считать для них, чго переход от докрптнческпх режимов
к надкритическим совершается при (^)кр — 0.53. При значениях < 0,53
1 См. замечания по поводу принятия 7terp= 2^00 па стр. 12.
22
формула (1.10) не отражает физической сущности процесса и не дает пра-
вильных результатов. Расчет характеристики расхода дросселя должен
производиться при этом по формуле (1.11),
При условиях, отличных от условий истечения из сопла, критическое
отношение давлений (—J уже не равно для воздуха 0,53. В частности,
ХРо'кр
отклонения от этого значения наблюдаются в тех случаях, когда дроссель
близок по своей форме к отверстию в тонкой стенке, а также в тех случаях,
когда отношение длины канала дросселя к его диаметру, наоборот,
настолько велико, что ощутимо сказывается влияние сил трения при те-
чении воздуха по каналу. Последний случай рассматривается в § 4 этой
I
Рис. 9. К анализу относительного илиннин на харак-
теристики дросселя местных сопротивлений на входе,
потерь на выходе и потерь на трение в канале дрос-
селя
главы. Ниже приводятся краткие замечания об изменении величины
по сравнению с указанным ранее ее значением и сопутствующем ему изме-
нении коэффициента сужения струи1 при истечении воздуха из дросселя,
приближающегося по своей форме к отверстию в тонкой стенке.
Качественно картина течения на участке струм вблизи отверстия до-
статочно полно отражается теоретическими исследованиями, проведен-
ными для идеальной жидкости и в предположении, что течение плоское.
Теоретическое исследование струп воздуха, вытекающей с дозвуковыми
скоростями из отверстия сострой кромкой, было проведено С. Л. Чаплы-
гиным; Ф, И. франкль развил далее метод Чаплыгина и провел исследо-
вание истечения при скорости, равной скорости звука, и при сверхзву-
ковых скоростях |33, 34].
1 <‘м. замечание об определении коэффициента сужения на стр. 20.
23
Обозначим указанное ранее критическое отношение давлений при
l стечении из сопла как (— } . При { — )>( — ) струн, вытекающая из от-
. ХРо/кр, г \ро/ Хро/кр»
верстия в тонкой стенке, в случае идеального газа должна была бы по мере
удаления от отверстия непрерывно сужаться (рис. 10, а); при = (^)Кр
струя также должна была бы сужаться до некоторого сечения, в котором
происходит переход от дозвуковой скорости течения к скорости, равной
скорости звука, а дальше площадь ее сечения не должна была бы меняться
(рис. 10, б). В действительности вследствие действия сил вязкого трения,
из-за которого в струю вовлекаются частицы из внешней среды1, начиная
Ряс. 16. £труи различной формы на выходе из отверстия в тонкой стенке
при докритическом и надкритическом истечении
с некоторого сечения, струя расширяется (рис. 10, в). При — < (—) струя
Р» Хро/кр,
является сверхзвуковой (рис. 10, г и д). Переход от дозвуковой скорости
к сверхзвуковой происходит на линии abc; сверхзвуковая скорость сна-
чала достигается на внешней границе струи, а затем во внутренней ее
части. Это объясняется тем, что при истечении воздуха из отверстия
в тонкой стенке, в отличие от случая истечения из сопла, линии тока
в выходном сечении сопла искривлены и скорость вблизи от кромки боль-
ше, чем скорость в центре струи. Граница струи, как показано на рис. 10, г
и 0, для идеального газа представляется в виде волнистой линии. При
~ < ^)кр по мере уменьшения PijpQ линия обе, ла которой совершается пе-
реход от дозвуковой к сверхзвуковым скоростям, деформируется (ср.
рис. 10, г и д), и в связи с этим меняется расход воздуха. При pdpQ =0,037
(это отношение давлений названо Ф. И. Франклсм вторым критическим
отношением давлений) форма струи стабилизируется и при уменьшении
давления на выходе, вызывающем дальнейшее уменьшение величины
расход не меняется. <
Ниже для случая истечения воздуха из отверстия в тонкой стенке для
разных значений р\!р^ указаны соответствующие им величины коэффи-
циента сужения струи учитывающего уменьшение расхода в связи
с изменением профиля скоростей на выходе из отверстия. Значения Т,
отвечающие значениям pi/p0 = 0,676 ч- 0,529, получены С. А. Чаплыги-
ным, значение ¥ при pi/p0 — 0,037 найдено Ф. И. Франклем:
pi/p9 0,676 0,641 0,606 0,559 0,529 0,037
Ф 0,680 0,700 0,710 0,730 0,740 0,850
1 См. замечания по этому вопросу на стр. 17.
21
§ 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАМИНАРНЫХ ДРОССЕЛЕЙ
По введенному ранее определению, к ламинарным дросселям относятся
цилиндрические дроссели круглого сечения с большим отношением длины
к диаметру канала и щелевые дроссели, для которых течение воздуха
является ламинарным и происходит при скоростях, значительно меньших,
чем скорость звука, а потери, обусловленные местными сопротивлениями,
пренебрежимо малы по сравнению с потерями на трение в канале.
1 .^Исследование формы характеристики расхода
Если разность давлений до и после дросселя мала по сравнению с абсо-
лютными величинами этих давлений, соответственно с этим невелика ско-
рость воздуха в канале и эта скорость мало меняется по длине канала и,
если не учитывать дополнительные потери при формировании ламинарного
потока на начальном участке канала дросселя, можно считать, что расход
воздуха и указанная выше разность давлений связаны между собой ли-
нейной зависимостью. Эта зависимость определяется для цилиндриче-
ского канала круглого сечения формулой Пуазейля, которая выводится
для несжимаемой жидкости:
С = 1ЩГв* (,л9>
где G — весовой секундный расход воздуха, др — разность давлений,
Т — удельный вес воздуха, принимаемый в данном случае постоянным,
р — динамический коэффициент вязкости, d и I — диаметр и длина ка-
нала дросселя1.
Линейность характеристики расхода нарушается с переходом от ла-
минарного течения к турбулентному. Однако и при ламинарном течении
характеристика расхода может быть для дросселей рассматриваемого
типа нелинейной, что определяется действием следующих факторов. При
течении воздуха так же, как и для несжимаемой жидкости, нелинейность
характеристики расхода может вызываться увеличенными потерями на
начальном участке канала дросселя, на котором происходит формирование
ламинарного течения; величина этого участка не остается постоянной,
а меняется с изменением разности давлений до и после дросселя. При
относительно больших перепадах давления на протекании характеристики
расхода может сказываться изменение плотности воздуха по длине канала
дросселя. Это влияние может проявляться как при сравнительно малых,
так и при больших скоростях течения. При больших изменениях скорости
воздуха по длине канала дросселя на характеристики процесса течения
и в связи с этим па величину потерь, возникающих при дросселировании,
может влиять действие сил инерции, обусловленных ускорением потока
воздуха в канале дросселя.
Одновременный учет влияния всех этих факторов при теоретическом
исследовании процесса течения воздуха по каналу дросселя представляет-
ся затруднительным; однако возможна раздельная оценка влияния каж-
дого из них в отдельности, проводимая в предположении независимости
их действия. Такой подход является оправданным, если отклонения от
исходной линейной характеристики, вызываемые каждым из этих факто-
ров, малы, а также в случаях, когда заранее известно, что влияние какого-
либо из факторов превалирует над влиянием других.
Первоначально рассмотрим граничные условия, при которых происхо-
дит переход от ламинарного течения к турбулентному, в связи с которым
1 См. приложение, | 4, п. 2
.25
изменяется форма характеристики расхода1. Затеи произведем прибли-
женную оценку влияния на протекание характеристики расхода при ла-
минарном течении других указанных выше факторов.
Разность давлении до и после дросселя бргр, при которой происходит
переход от ламинарного течения к турбулентному, определяется для
цилиндрического канала круглого сечения по формуле
ЬРгр - 327?<>1РД (1.20)
Здесь 7?сгг — значение числа Рейнольдса, при котором ламинарное те-
чение переходит в турбулентное, а все остальные величины имеют ранее
Р0
а,**
Р»
мм/м!

Рис. 11. К анализу характеристик ламинарных цилиндрических
дросселей:
а — характеристика Яргр =* Ф (d), для дросселя с I ** 15 .км; 1 — j»cp «» 1 ата,
( Id \
2 — рСр j» Г ата; б — характеристики А == ф I I ; « — к выведу выраже-
нии расхода воздуха через ламинарный дроссель
указывавшиеся значения. Формула (1.20) получается из общего выраже-
ния закона Пуазенля
(1.21)
* 64 I hw*
Неи
если подставить в это выражение значение w — » следующее из опре-
деления числа Рейнольдса. Принимая Не. = /?егр, получим формулу (I.2U).
Исходя из указанной ранее najuic. 4, характеристики fcTp = /(/?е), следует
принять в этой формуле Ясгр = 2300.
Согласно формуле (1.20), значение бргР1 зависит от величины плот-
ности р. При данной температуре воздуха его плотность меняется про-
1 Как отмечено, значения разности давлений dpr| f мри которой происходит пере-
ход от ламинарного течения к турбулентному, определяются по-разному для рассмо-
тренных в прошлом параграфе дросселей с малыми значениями l]d и для рассматри-
ваемых здесь дросселей, для которых значение I d относительно велико. Определенно
бргр для дросселей первого из указанных выше типов было проведено ранее па стр 21.
26
порцпоналыю абсолютной величине среднего давления, определяемой
как р,г — р, 4 » W /»| — абсолютное давление за дросселем. При
этом значение др =* д/»и,, соответствующее переходу от лахкзлрного
течении к ту рбулентмому, меняется обра гт» пропорционально вслЕ<гяе ргр.
На рис. 11, а приведены две характеристики дргр = / (d), ра«члтан-
ные по формуле (1.20) дли дросселя с каналом длиной I = 15.м.ч г;г плот-
ности воздуха, соответствующей рср I ата и ргр — 2 ата. Качествен-
ное изменение в протекаиип характеристики расхода при переход** от ла-
минарного течения к турбулентному показано на рис. 12, а.
Рве 12 Отклонение от линейной Характеристики расхода
в ламинарных дросселях.
а - визы* »емие переходом к турбулентному течению (при Ир ; Ь ргр „
б — определяемое условиями изменения потерь П'смюго давленая на
начальном участка ламин ipuoro потока. « — вследствие жаияпин изме-
нения ivioTHoCTM шмодха по длине канала дросселя (при неучеге уско-
petitih, определяемых изменением скорости течения но длине канала
дросселя», а — зызытаемое изменением скорости «"(гнин по длине ка-
нгла дросселя
Рассмотрим далее, как влияет каждый из указанных ранее факторов
на протекание характеристики расхода при ламинарном течении: выяс-
ним, какие вызываются ими отклонения от характеристики расхода,
представленной на рис. 12 прямой оа.
Первоначально оценим влияние условии формирования потока на на-
чальном участке ламинарного течения. Длина этого участка может быть
принята равной 1351
/н - 0,029.d-Ke.
(1.22)
Она изменяется в функции от разности давлений др, так как с изме-
нением др меняется скорость течения w и изменяется величина Не —
Можно также определить 1и как функцию весового секундного расхода
.. 4С
воздуха через дроссель, а читывая, что i = и, следовательно,
= = преобразуем формулу (1.22) к виду
<л = 0,029^-.
(1.22)
27
(1.23)
Зависимость др от «г для начального участка может быть представлена
выражением, аналогч'<;яым по форме выражению (1.21) для сформиро-
вавшегося ламинарного течения
др^
’ * /?< г v
Здесь, только зтшь, коэффициент Л является перехнпгной величи-
ной, изменяющейся а функции от величины Зависимость Л /Аг У
\ lit'.
полученная И. 3. Ффинкелом [351, показана кривой * на рис. И, 6.
Для дросселей с отпчептслыю большими I J при их рабокге в условиях
I d
малы» Re во многих случаях величина — ИЯ > 20 (шьатрпмер, значе-
нию ~^103 = 20 отвечает при Р* — Ret~. = 2300 велэтнгяа l/d — 4G).
При этом, как покатывает характеристика 1, приведешь».® на рис. 11, б,
,:Д‘
величина Л мало меняется с изменением Если пришить значение .1
постоянным* равным 70. то гыргженке (1.23) принимает следующий вид
. 70 I рил - _
&Р Л* Яс d *2 ’
Заменяя в (1.24) & и Re их выражениями через расход G, получим
C=W«P 0-25)
Сравнивая формулы (1.19) и (1.25) и учитывая, что гельвина /и меняет-
ся вместе с др, моигео следующим образом охарактеризовать влияние
условии формирования течения в канале дросселя на протекание харак-
теристики расхода (рхс. 12, б). При значениях др* близких к нулю, ве-
личина начального учлетка также близка к нулюи заьи.вмость б»=<р(др)
практически на всей длине канала дросселя описывается формулой (1.19).
Касательной к характеристике расхода в точке др ~ 0» до = 0 является
прямая, определяемая уравнением (1.19), т. е. исходная прямая оа, ранее
показанная на рис. 12. а. С увеличением др начальным участком форми-
рования ламинарного течения захватывается все большая часть длины
канала. При некотором значении др = дрн (рис. 12. б) длина начального
участка /н становится* равной длине канала дросселя L Соответствующая
точка характеристики расхода, определяемая при помощи формулы (1.22),
находится на прямой 6 — /(бр), проходящей с уклоном к оси др, примерно
иа 99 меньшим, чем указанная выше исходная прямая, определявшаяся
уравнением (1.19). При дальнейшем увеличении др характеристика рас-
хода следует прямой 6 == отвечающей формуле (1.25).
Точки характеристики расхода на участке др < дрн определяются сле-
дующим образом. Задаемся рядом значений расхода 6 и находим для каж-
дого из них отвечающую ему величину разности давлении до и после
дросселя. Для этого подставляем в формулу (1.25) вместо I величину 1Н>
подсчитанную для данного G по (1.22), и подставляем в формулу (1.19)
вместо I соответствующую величину I — 1К. Складывая значения др,
подсчитанные по одной я другой формуле, получим абсциссу точки, орди-
натой которой является заданное значение расхода 6.
Если окажется, что “103 < 20. что возможно для дросселей с отно-
сительно малыми значениями Z/rf, то уже нельзя принпм ать, как это было
сделано выше, Л = const. При этом характеристика Л = /(^) «ожет
28
(кривая 3 на
быть алроксимирована гиперболой А — 70 4“ 0,15 -.
рис. 11,6). Подставим это значение А в формулу (1.23). Учитывая при
4G ry 4G
этом, что <г = ^^5 и R? — , получим следующее выоажение для ха-
рактеристики расхода
dp — ciG 4* ctG\
а — 45 г - - т
d gfxf*
о = 0,122
В данном случае характеристика расхода еще в большей степени от-
клоняется от исходной прямой оа, соответствующей закону Пуазейля,
чем это было при Л = const.
Выясним, как сказывается на протекании характеристики расхода
изменение плотности воздуха. Сначала не будем учитывать действие
в процессе дросселирования сил инерции, вызываемых изменением ско-
рости течения' но длине канала дросселя; влияние последнего фактора
будет исследовано ниже особо. При этом можно применить формулу
Пуазейля для участка канала дросселя длиной dx, отстоящего на
расстоянии х от выхода (рис. И, в), так как для участка бесконечно малой
длины плотность р может быть принята постоянной. Падение давления на
участке dx равно
, 64 рю’ ,
d? ~~ 7(~e'2ddx'
Имея в виду, что р = ^г, Re — * G — получим [из [по-
следнего выражения
, 128СЯТц ,
Р dP = "dx-
Интегрируя данное уравнение по х в пределах от 0 до I и принимая
во внимание, что р меняется от pt при х = 0 до р0 при х = /, получим
A Г/ЯСКТр!
2 “ nd*
Так как
- у"1- = (Р* ~ Р0 == Ър -pct> = 6р 4-у),
то уравнение характеристики расхода может быть представлено в форме
г_ д„_я</<рср<
~ 128<и/ГГ &Р 128р/ Ър
или же в форме
nd*6p ?
Vх
откуда после раскрытия скобок получим
Г —
428р/ЛТ
<126’
Отношение второго слагаемого к первому слагаемому в правой части
последней формулы, характеризующее влияние изменения плотности вов-
духа, будучи выраженным в процентах, равно 50^
ния изменения плотности воздуха вид характеристики расхода меняется
так, как показано на рис. 12, в.
Перейдем к анализу последнего из указанных выше факторов —
к оценке влияния на форму характеристики расхода инерционных воздей-
ствий, обусловленных изменением скорости течения воздуха по длине
канала дросселя. На основании выводов, следующих из теории течения
газа в трубах *, уравнение характеристики расхода при учете изменения
плотности и действия сил инерции можно представить в следующей форме:
%. Вследствие влия-
g(Po-Pi)
(«4+211
(1.27)
В этом уравнении влияние сил инерции отражено вторым слагаемым в
скобках в знаменателе подкоренного выражения. При пренебрежении
членом21н^ из уравнения (1.27) получается формула (1.26), выведенная
ранее на основе использования для элементарного участка канала дрос-
селя закона Пуазейля. Прп этом для получения формулы (1.26) следует
64
подставить в (1.27) £ = , заменив в последнем выражении величину Яе
ее значением Не — .
Как следует из уравнения (1.27), действие сил инерции приводит к тому
же результату, который мог бы быть вызван увеличением коэффициента
сопротивления С увеличением разности давлений др увеличивается
слагаемое 2 In — и вследствие этого относительно меньшей, чем при ие-
Pi
учете действия сил инерции, оказывается величина расхода G. Поэтому
за счет действия сил инерции при отсутствии влияния других рассмотрен-
ных выше факторов должно происходить такое отклонение характери-
стики расхода от исходной прямой, как это показано на рис. 12, г.
Проведем количественную оценку этого отклонения. Как следует из
теории течения газов в трубах [24], выражение ^^- + 21п~-
быть представлено в виде
может
* rf Pi к\Ц
(128)
где — число М для входного сечения дросселя. Из (1.28) следует
d к Ml
f-2ln —.
Р'
(1.29)
Пусть G — весовой расход воздуха, подсчитанный при пренебрежении
указанным выше влиянием сил инерции, а С„ — весовой расход воздуха,
подсчитанный с учетом этого влияния. Тогда
1 Более подробно об использовании положении теории течения газов в трубах
при расчете характеристики расхода дросселей см в следующем параграфе Указа*
ния к выводу приводимых ниже уравнений (1.27) и (I 28) даются в § 5. п. 2.
приложения. Так как здесь рассмн»риваются только потери трения, для сокращения
записей вводим обозначение £ «место ранее принятого
30
G
t —
* d
Г $7 + 2,п5Г
*« Г i
Заменяя под корнем выражения в числителе и в знаменателе дроби
их значениями, следующими из (1.28) и (1.29). получим
1
кМ*
Pi
А>
(1-30)
кМ*
G
На рис. 13. л приведены характеристики изменения _1‘L —\ при
G ' \ po J
различных величинах Л/г, подсчитанные по формуле (1.30) при А == 1,4.
Рис 13. Графики к анализу влпянпя сил инерции па характе-
ристику расхода ламинарного дросселя:
С
а — характеристики 7?”’(pi) при различных значениях М*,. б —
хармпсрпстпки — « » (»Р) п₽и Различных значениях .Wji « - харак-
тераггпка .Vrmax = » (i L)
На рис. 13. б представлены характеристики __JL _ j (fy,) при />!— 1 ата.
На основании этих характеристик можно сделать заключение о том, что
при малых значениях Л/г влияние сил инерции, возникающих в связи
с изменением скорости течения по длине канала дросселя, мало сказы-
вается на протекании характеристики расхода. Это влияние становится
все более значительным но мерс приближения величины Л/р к ее макси-
мальному значению. Величина Л/rmax при изотермическом течении возду-
ха по каналу дросселя изменяется в зависимости от£-^ так, как показано
на рис. 13, е 1. Абсолютным максимумом данном величины, достигаемым
1 См. [24 J. О построении кривой Л/* приведенной яа
ютах х “ /
рпс. 13. в, см. в § 5. п. 2 приложения.
31
Put. 14. Эксперимент ьтьная
характеристика расхода для
дросселя с /=730 мм и d —
0,2 -мл
при 0 является .Wrm4X=0,7; для рассматриваемых здесь дросселей
значения с относительно велики и заведомо -Vrteax < 0,7.
fl
Заметим что при больших скоростях течения во входном сечении дрос-
селя необходимо также учитывать и падение давления при входе воздуха
в канал дросселя, т. е. и в этой части нарушается идеализация процесса,
принятая в связи с определением ламинарных дросселей. Вопросы, отно-
сящиеся к расчету характеристики расхода в условиях изотермического
течения при больших значениях А/r, а также и в других более общих
случаях, будут рассмотрены в § 4 этой главы.
На основании проведенного анализа может быть раздельно оценено
влияние каждого из указанных факторов, и при необходимости получе-
ния характеристики расхода, близкой к ли-
нейной, пли характеристики другой формы
могут быть заданы соответствующие размеры
дросселя и соответствующим образом определен
рабочий диапазон изменения давлений до и
после дросселя. Указанные выше соображения
позволяют правильно подойти к выбору спосо-
бов изменения в нужном направлении формы
характеристики расхода также и в тех случаях,
когда доводка этой характеристики проводится
з? на основании расчетов, а опытным путем.
Сделанные выводы относятся не только к дрос-
селям с цилиндрическим каналом круглого
сечения, но в’качественном отношении полно-
стью распространяются п на щелевые дроссели.
Следует особо отметить, что, согласно про-
веденным выше рассуждениям, изменение плот-
ности воздуха является единственным фактором,
вызывающим отклонение характеристики рас-
хода у дросселей рассматриваемого типа кверху от касательной, про-
веденной к данной характеристике в точке Ьр — О, G — 0 (рис. 12);
при этом, как было показано, такое влияние изменения плотности воз-
духа проявляется в полной мере тогда, когда скорость течения незна-
чительно меняется по длине канала дросселя. Для проверки вывода о
возможности получения характеристики расхода такого вида, как пока-
зано на рис. 12. в, был проведен опыт, при котором на протекании ха-
рактеристики расхода практически не должно было сказываться влияние
начального участка формирования течения и влияние сил инерции, вы-
зываемых изменением скорости по длинё канала дросселя. Был взят
дроссель с диаметром сечения канала около 0,2 мм и с длиной канала
73Э мм. Экспериментально полученная для него характеристика расхода
представлена на рис, 14. 4
• В тех случаях, когда истечение через дроссель происходит под боль-
шим перепадом давлении и изменение плотности воздуха при течении его
по каналу дросселя неблагоприятно сказывается па форме характеристики
расхода, для компенсации изменения плотности воздуха иногда может
оказаться целесообразным построение процесса дросселирования таким
образом, чтобы дроссель работал при малых значениях др в условиях
ламинарного течения и при больших значениях др в условиях турбулент-
ного течения.
Путем компенсации может быть получена однозначная характеристика
G =s /(pG — рх) той или мной формы тогда, когда р0 или pt сохраняет по-
. стоя иное значение или рв н р> меняются так, что среднее значение плотности
32
воздуха на участке канала дросселя однозначно зависит от — р10 Если
же эти условия не соблюдаются, то характеристика расхода становится
неоднозначной и представляется в виде семейства кривых» каждой из ко-
торых соответствует определенное значение средней плотности.
Заметим также, что в случае работы пневматических приборов с ма-
лыми избыточными давлениями питания (например с давлениями пита-
ния порядка сотых долей атмосферы *)» воздух при его течении по каналу
дросселя ведет себя как несжимаемая жидкость и плотность воздуха в ка-
нале дросселя практически не меняется. При этом отсутствует влияние
на форму характеристики расхода изменения плотности воздуха и исклю-
чается указанная выше неоднозначность этой характеристики.
2. Сравнительные данные о характеристиках расхода
для цилиндрических дросселей с каналом круглого сечения
и щелевых дросселей. Настроечные характеристики
регулируемых щелевых дросселей
Сравнивая характеристики цилиндрического и щелевого дросселей
будем исходить из того, что для дросселя с цилиндрическим каналом
расход определяется по формуле
а для щелевого дросселя по формуле
G* = 12р/ЛТ~ *Р' (1-31)
Сравним сначала цилиндрический и щелевой дроссели по величине ве-
сового секундного расхода воздуха, получаемого при заданном перепаде
давлении, при условии, что равны геометрические площади проходного
сеченпя обоих дросселей н что одинакова в них длина рабочего участка
канала.
Площадь проходного сечения цилиндрического дросселя равна,
площадь проходного сечения щелевого дросселя равна л/)б (рис. 15, а и б);
приравнивая эти выражения, получим
d = 2yrD6. (1.32)
Подставляя это значение d в уравнение (1.19'), получим из (1.19') и (1.31)
искомое соотношение расходов
сщ _ 2 д
“ 3 D *
Например при 6 = 0.63 мм и D — 2 мм расход воздуха через щелевой
дроссель в 100 раз меньше, чем расход воздуха через равным ему но гео-
метрической площади проходного сечения дроссель с цилиндрическим
каналом. Диаметр последнего, согласно (1.32), равен в этом случае
d = 2 У Г-0,03 = 0,49 мм.
Сопоставим далее граничные значения разности давлений бргр, прп
которых происходит переход от ламинарного течения к турбулентному
в цилиндрическом и щелевом дросселях. Примем для этого следующие
условия. Пусть в цилиндрическом дросселе с диаметром d и длиной ка-
нала I (рис. 15, а) Ве^ достигается при некотором значении бр = бргРв
н при этом расход воздуха G = 6ГР1. Пусть в щелевом дросселе (рис. 15, 6)
(1.33)
1 См. [9, 10].
3 л. А. Залманзов
<3
средний диаметр ще.г.в равен D н длина канала, так та гижк и в цилпндрп-
четком дросселе, ранка I. Величину радиальной» зазоре» 6 возьмем в ще-
левом дросселе такому чтобы при указанной выше р&хностн давлений
др е- дргр, достигался тот же, что и для цилиндрического дросселя, рас-
ход С « Grp,. Злаченом» Я<гр для данного щелевого просителя д*Ч'тпгается
при некотором друг’нм значении др. которое сбозначнле 6/>rj4. Чире делим
величину дрГр, к сравним ее с дрггч. а
Выразим сначала указанное выше значение др,р, че^з основные пара-
метры цилиндрического дросселя. Объемный секундкмй расход воздуха
г в соответствии с (I S9') равен Q -=»
Рис. 15. К сравнительной оценке ха-
рактеристик рахтпчных дросселей с
неизменяемой площадью проходного
сечения:
а— цилиндрический дроссель с каналом
с ДРУГОЙ стороны, Q =а
П<Л лсГ* Pell . .
— - - и'~ -р Приравнивая правые ча-
сти обоих этих выражений, получим
др = 32Ле^44> ’ (I.34)
Г р d Ck ' 1
пли При Яегр ~ 230»
»ГгГ, = 7,37-10* --j -jy. (1.35)
Соответствующее значение объемного
л л<Р 2300 и
расхода воздуха Q-- ~ ----.
Для щелевого дросселя, согласно
(1.31), объемный расход воздуха равен
~ лМ5 .
Q ~ T4iT^ и* слеловательно»
«Р = ^г<?- 0-36)
круглого сечения, б — щелевой цилинд
рвческай дроссель
Подставляя в это выражение указанные
выше значения дрГГчи (?rpv определим
величину д, при которой, согласно условию задачи, при др — дргр,
равны между собой расходы через один и другой из сравниваемых между
обой дросселей:
д = ] 0.094-',-.
(1.37)
Для щелевого дросселя @гр, = игР1лРб пли, в соответствии с определением
числа Re для дросселей данного типа (см. стр. 49 и 234\ (?ГР1 — л/>д,
где ЯегР1 = 1100. Подставляя это значение расхода в (1.36) и заменяя д
по формуле (1.37), найдем
6ргр. = 7,О1-1О‘^-^-4. (1.38)
д^г
Остается определить величину отношения -т—- - Используя выраже-
°”гр,
ния (1.38) и (1.35), получаем
^=,о>96^=7- (,-39)
34
Беря величину D в щелевом дросселе в несколько раз большей, чем диа-
метр d цилиндрического дросселя, можно при равенстве расходов черед
оба дросселя при др == др^ получить, согласно (1.39), nD/d раз более вы-
сокое по сравнении с дргр, значение дргр,. В этом заключается одно из
преимуществ щелевых дросселей по сравнению с цилиндрическими дрос-
селями, когда требуется, чтобы дроссель работал в условиях ламинарного
течения при относительно высоких значениях др.
Рассмотрим далее вопросы, связанные с определением настроечных
характеристик щелевых дросселей. Для дросселя, показанного на рис. 16.а,
в — шел^во! пж-жмдрнческмй дроссель с переменной хшииЗ канала,
б — кошгчгс нй целено! i дроссель с переменной площадью радиального
ниора, • — 1 с ылескнй пи левой дроссель с переменными площадью ра-
звального ваэора н длиной кайма
расход, как следует из формулы (1.31), меняется обратно пропорциональ-
но длине рабочего участка. Настроечная характеристика этого дросселя
представляется гиперболой
G = |, (1.40)
где
(!•«)
При малых отклонениях от исходного положения стержня, определяемого
значением I = 19,
ЬС=—~Ы а.42)
Рассматривая далее конические щелевые дроссели, ограничимся лишь
дросселями с малым значением угла а при вершине конуса. При этом
будем считать, что расход определяется формулой (1.31). При больших
значениях а щелевой зазор представляет собой диффузор, площадь которо-
го для различных сечений существенно различна и течение в нем подчи-
нено закону, отличному от закона, определяемого формулой ,(1.31).
возможны два различных случая, которые соответственно представ-
лены на рис. 16, бис. Для дросселя, показанного на рис. 16, б, пре
изменении положения стержня расход при данной разности давлений до и
после дросселя меняется только вследствие изменения величины зазора б.
Для дросселя, показанного на рис. 16, в, при изменении положения стерж-
ня меняются и величина радиального зазора б и длина рабочей части I.
Пусть $ — величина осевого перемещения стержня дросселя от поло-
жения, при котором дроссель закрыт (при котором радиальный зазор
б = 0), и пусть для дросселя, показанного на рис. 16, в, длина рабочего
участка при $-*0 равна /0. Учитывая, что для малых а имеет
место sin а а или при переходе от измерения угла в радианах к граду-
сам sin а , получим, что б = s. Вместе с тем для дросселя, по-
казанного на рис. 16, в, I » /• — s. С учетом этих соотношений получим
следующие выражения, которыми определяются настроечные характери-
стики рассматриваемых дросселей.
Для дросселя, показанного на рис. 16, б, •
G = (1.43)
и для дросселя, показанного на рис. 16, в
(1.44)
«•— •
где
<L45>
Здесь D, как и ранее,— среднее значение среднего диаметра щели.
3. Влияние неконцентричности расположения стержня
в отверстии втулки на расход воздуха через щелевой
дроссель
Обратимся к формуле (1.31). Как следует из этой формулы, при течении
воздуха по зазору в щелевом дросселе с концентрическим расположением
стержня во втулке (рис. 17, а) весовой секундный расход G пропорцио-
нален третьей степени от величины радиального зазора б. Сравнивая
в дальнейшем течение воздуха через данный дроссель при концентрическом
и неконцентрическом расположении стержня и отверстия во втулке, будем
считать, что в обоих случаях сохраняются одни и те же давления до и
после дросселя и остаются неизменными остальные величины, учитывае-
мые формулой (1.31).
При неконцентрическом расположении стержня во втулке дросселя
каждому бесконечно малому участку сечения щели, определяемому углом
tZ<p (рис. 17, б), отвечает своя величина радиального зазора бФ. Будем счи-
тать, что на данном участке расход такой же, каким он был бы для него,
если бы расположение стержня во втулке было концентрическим и вели-
чина радиального зазора равнялась бы данному значению Такое пред-
положение является оправданным для щелевых дросселей, у которых ве-
личина радиального зазора мала по сравнению со средним диаметром
щели, так как при этом можно пренебречь изменением бФ па участке d<p.
Исходя из указанного выше условия, можно представить отношение
расхода через дроссель при неконцентрическом расположении стержня
и втулки Сж к расходу при концентрическом их расположении G в следую-
щем виде:
(1.48)
М
Выведем выражение изменения величины \ в функции от угла <р, считая,
что заданы радиус стержня г. радиус отверстия во втулке /1 и задана ве-
личина эксцентриситета е.
Обратимся к рис. 17, •. Птхмем за ось абсцисс горизонтальную ось,
проходящую через центр сечезхя стержня и за ось ординат прямую,
проходящую через эту точку и через центр отверстия во втулке. Введем
обозначение р для расстояния ст начала координат до точки окружности
радиуса Л. Тогда
\ = Р — Г
х " р cos q-
у = о sin <р.
Рже. 17. К анализу неконцентричност расположе-
ния стержня во втулге жх характеристики щелевого лаык-
швгжхч» дросселя:
и — концентрическое раеж-эпжгжие стержня и втулки х^ооеля, б, « —
иеконцентрическое распел жеяяс стержня отиосительг.- втулки дрос-
селя,*—случав.когДа •е№жжтрачносгъ лостигаетндибалыхк* величины
Уравнением окружности радиуса Л в выбранной системе координат яв-
ляется
/Г = Л* - (у - в)®.
Подставляя в это уравнение пт введенные выше выражения х и у, полу-
чим
Я® = с® cos® <? 4- (р sin q — Н:.
откуда следует
Р® — (2в q) р - (е® - Л®) = 0.
(1.47)
Решая это последнее уравнение в учитывая, что 8s — е® sin®<r = е® cos®q>,
находим
р = е sia с — /fl1 — е® cos®q. (1.48)
Перед корнем в полученном редпении (1.48) квадратного уравнения (1.47)
берем знак плюс и отбрасызлгм второе решение со знаком минус, как
лишнее, так как по геометрическому смыслу для значения <р = ~, при
37
котором sin<f « 1 it iuop <( r-* 0, имеем p = /? -i- e. Подставим далее зна-
чение p из (1.18) n ныражснпс 6t = p — г. Учитывав, что г « Я — б,
найдем
б, * a hid <j> -f- J Я* — e*cos’(f — Я -г б, (1.49)
Л л
Введем относительные координаты п . При этом исходное соотно-
шение (1.46) будет пре*дета влено В виде
(J.50)
а выражение (1.49) П4»»«»бразустся к виду
2
/ К
" Vя;
Я
(1.51)
Подставляя
(1.51) л (1.50), окончательно получим
J- г-------ч -13
---7“>\ I 1 “ (тг) cosS<F + R sin ф -г — 1 dq. (1.52)
2л Ь)4 '
Рве. 18. График функции Ф (ф) =
= [У 1 — «и.*»25 cos*<p а-
4-0,05 (1 — sin ф) — I]3
Уравнение (1.52) решается графиче-
ским путем; построив график подын-
тегральной функции для значений ар-
гумента <р в пределах от 0 до 2л п пла-
ниметрнруя площадь, заключенную
между кривой подынтегральной функ-
ции и осью абсцисс, находим величину
интеграла в правой части уравнения
(1.52). Поделив эту величину на
А / б \з
2п( д-) , определим искомое отношение
расхода GH прп неконцентрическом
расположении стержня во втулке дрос-
селя к расходу G при концентрическом
их расположении.
Максимальное значение GB/G полу-
чается при е — б. При этом бФ1П х = 26
(рис. 17, г) и
^-=—v-г’, []/"1 — (4y>cos*<F+-gT1 +sia?) -1] <153)
23 \к) 5
Из формулы (1.53) следует, что величина Ga/G зависит от б/Я. В ка-
честве примера найдем GB/G при е = б для дросселя, у которого
б/Я = 0,05. Подставляя это значение б/Я в выражение (1.53), строим
по точкам график подынтегральной функции. Этот график приведен на
рис. 18. По осн ординат на этом графике отложены величины Ф (<р) =
** [У 1 —0,0025 cos8<p 4- 0,05 (1 4- sin ф) — 1 ]•. Планиметрируя площадь,
заключенную между’ показанной на рис. 18 кривой и осью абсцисс, нахо-
38
дим [1^1 — 0,0025 coss<f — J.J5 (1 -j- sin if) — 11* dq> = 0,00189. Так
как для рассматриваемого примера 2л(-д) =2-3,14-0,05* =0,785-10"*,
то находим по формуле (1.5г G&G = 2,4. Таким образом, в рассматри-
ваемом случае изменение г-сложения стержня относительно втулки
приводит при постоянной г?*: метрической площади проходного сечения
к изменению весового расхода воздуха в 2,4 раза.
$ 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДРОССЕЛЕЙ СМЕШАННОГО ТИПА
Дроссели, относимые, согласно введенной классификации, к смешан-
ному типу (т. е. не подхоляглзве под указанное на стр. 9 определение тур-
булентных и ламинарных дросселей), могут быть подразделены в свою
очередь на несколько групп. Например, для дросселей с цилиндрическим
каналом круглого сечения хэогда нужно одновременно учитывать ме-
стные сопротивления на входе. потери на выходе и потери на трение в ка-
нале; в некоторый случаях z-еобходимо учитывать условия теплообмена
с внешней средой, отличные от условий теплообмена при изотермическом
течении. Каждый из этих случаев требует особого рассмотрения. Кроме
дросселей с цилиндрическим каналом круглого сечения, в устройствах
пневмоавтоматики используются дроссели с каналом нецилиндрической
формы (дроссели, у которых канал образуется зазором между торцем сопла
и заслонкой, дроссели в виде шариковых клапанов и др.). В каждом нз
указанных выше случаев дроссели по своим геометрическим данным и по
условиям течения в них воздуха могут быть отнесены к некоторой группе,
для которой характерны свои специфические методы расчета расхода и
других величин, определяющих процесс дросселирования.
1. Общий случай течения воздуха
через цилиндрический дроссель круглого сечеимя-
Использованме для расчета характеристик
дросселя выводов газодинамической теории течения в трубах
Выше были раздельно рассмотрены характеристики турбулентных
дросселей с малым отношением I d и ламинарных дросселей с большим
отношением l/d. Для первых из них (рис. 19, а) уменьшение полного давле-
ния определялось только местными сопротивлениями на входе и потерями
на выходе и течение было принято адиабатическим, для вторых (рис. 19, б)
учитывались лишь потерн, обусловленные трением в канале дросселя,
и считалось, что процесс течения является изотермическим. Возможны
также и другие сочетания режимов истечения. Например для дросселя,
изображенного на рис. 19. <, занимающего промежуточное место между
дросселями, показанными на рис. 19, а и б, существенны как местные
сопротивления, так и потерн на трение в канале. При этом иногда мож-
но пренебречь влиянием теплообмена и считать процесс адиабати-
ческим.
Однако в наиболее общем случае должны быть учтены как потери одного
и другого вида, так и наличие теплообмена; течение при этом может быть
ламинарным или турбулентным.
Учет влияния как местных сопротивлений, так и потерь на трение в ка-
нале дросселя может быть произведен при расчете характеристики дрос-
селя по следующей методике.
39
Исходными для расчета являются полное давление воздуха до дрос-
селя давление за дросселем рп, и температура торможения воздуха Тщ.
Если течение происходят при теплообмене с внешней средой то должен
быть дополнительно определен закон изменения температуры тормо-
жения Та по длине канала дросселя1.
рп,'
Рис. 19 К расчету течения воздуха через
цилиндрические дроссели смешанного типа:
а — турбуа* 1лый дроссель, б—ламннапяыЯ дрчс-
сель, е — дроссель смешанного типа, г —харак-
терней" нуо — ф <рц1») я Wj't = ф •Д>пГ>
Задавшись некоторым значением скорости на входе в канал дросселя
tpj. = цу*, подсчитаем полное давление при входе воздуха в канал дрос-
селя
Рщ» == Phq — In • (1-54)
Определив таким образом полное давление во входном сечении канала
дросселя, рассчитываем по нему величину используя для этого рас-
сматриваемые ниже методы газодинамической теорий течения в трубах.
Полученное при этом расчете значение может не совпасть с пер-
воначально заданным значением wi'a- Тогда, задавшись несколькими
другими величинами и?1'а, определив для каждого из них по формуле (1.54)
соответ ст утмцее ему рП1„ а затем и значение можно по точкам пост-
роить характеристики и\'а = / (р01») и = / (Лу)- Эти характеристики
прк соответствующем выборе величин пуд, а следовательно, и pOj. должны
иметь точку пересечения, так как с увеличением рЯ1, величина и\»а умень-
шается, a растет (рис. 19, г). Точке пересечения указанных выше
характеристик соответствуют истинные значения и рВ},. При нахожде-
нии велт" тзы Wy одновременно определяется и расход воздуха через дрос-
сель.
Рассмотрим метод определения скорости течения воздуха в дросселе
по задан^_ш значениям pOl» и ТП1. = TOt, основанный иа использовании
выводов газодинамической теории течения в трубах, разработанной
С. А. Христиановичем и другими учеными-аэродинамикамн [241.
При этом первоначально ограничимся случаем течения без теплообмена,
1 Придерживаемся принятого ранее обо шаченля различных величин,*относя-
щихся к тс агу или другому сечениьо, дополнительным индексом я оютветствии с рис. 5,а.
При расе», трении в $ 3 характеристик ламинарных дросселей, для которых не учиты-
вались потери, обусловленные местными сопротивлениями нм входе, и потери на вы-
ходе, и была принято, что скорость течения воздуха в дросселе невелика, считалось
что статгч" 1 юе давление перед дросселем pv равно давления/ pi во входном сечении
канала м что давление р.» в выходном сечении равно давлению pi за дросселем. При
исследовании общего случая течения воздуха через дроссель это допущение не может
(Инн прилито и необходимо учитывать, что Pi" 7 fi*
40
затем отметим основные положения, относящиеся к течению воздуха по
каналу дросселя при теплообмене с внешней средой.
При исследовании адиабатического течения воздуха в канале прини-
мается, что остаются справедливыми закономерности, которым подчинено
течение элементарной струйки воздуха. В связи с этим все расчеты ведутся
по средней для каждого данного сечения какала дросселя скорости тече-
ния. Влияние неравномерности распределения скоростей по сечению ка-
нала может быть учтено введением в расчетные формулы поправочного
коэффициента, однако этот коэффициент чаще всего близок к единице.
Удобно представлять все характеристики в безразмерных координатах.
Для исновных величин, которыми характеризуется течение воздуха, обыч-
но принимают следующие обозначения.
Статическое давление и полное давление, которые меняются по длине
канала дросселя, представляются следующими относительными вели-
чинами;
3 = /-. (1.55)
v = ^-. (J.56)
4 = l-v = ^Z^. (1.57)
P°l'
Величиной 3 характеризуется отношение статического давления в неко-
тором сечении канала к полному давлению во входном сечении. Величи
на v, называемая коэффициентом восстановления, представляет собой
отношение полного давления в данном сечении канала к полному давлению
во входном сечении. Величина д, называемая коэффициентом потерь, ха-
рактеризует потерю полного давления.
В свяои с указываемыми далее обозначениями других величин отме-
тим, что при отсутствии теплообмена с внешней средой температура воз-
духа 7 меняется соответственно изм< нению его плотности по длине канала
дросселя, однако температура торможения Та при этом не меняется к
сохраняет то же значение Тп/= ТПг, что и в потоке воздуха перед дрос-
селем1.
Скорость течения w в некотором данном сечении иногда относят к ско-
рости звука а, определяемой по т мп«ратуре 7 в этом сечении, которая для
воздуха равна
а * ykgRT == 20,1 УТ м/сек; (1.58)
при этом вводится в рассмотрение число А/, равное
м = у. (1.59)
*
В других случаях бывает более удобным относить скорость течения w
к критической скорости пИр» которая определяется следующим образом.
Так как величины w и а меняются по длине канала, может оказаться, что
в некотором сечении w — а; эта скорость и называется критической ско-
ростью. В отличие от местных значений скорости звука а, различных
соответственно изменению температуры для разных сечений канала,
значение критической скорости аир является единым для всего данного
потока. Оно однозначно определяется величиной температуры торможе-
1 Это следует цз уравнения сохранения энергии (см. приложение, $ 3, п. 4).
41
ния, которая, как было указано выше, при отсутствии теплообмена с внеш»
вей средой остается неизменной для любого сечения канала
о-60»
или для воздуха при к = 1,4 и Л — 29,3
= 18, (161)
Отношение
X = — (1.62)
вкр
называют приведенной скоростью.
В качестве относительной величины расхода при исследовании тече-
ния в канале дросселя берется приведенный расход q, который равен:
Так как 1
1 1
Р«р *= (г+1) рп = ( Г+1) gftTa
и так как ри меняется по длине канала дроссели, значения q различ-
ны в зависимости от того, по какому из значений ра определяется ркр.
«• Введем в рассмотрение приведенный расход определяемый по
значениям рьр и окр во входном сечении канала, которые равны ркр/ =
* 1
*+,) ₽*-=(*in) “а” “ V *+)«лг- • п₽“ зтом
/4 Л~2*~ f*r
V k+t жЛ (L64)
4 —— —
Величина qt> п приведенная скорость во входном сечении Хг связаны меж-
ду собой как координаты, определяющие положение некоторой точки
характеристики д = <р(Х), представленной на рис. 20.
Введем также в рассмотрение условный критический расход—критиче-
ский расход воздуха через сопло с площадью проходного сечения, равной
площади проходного сечения данного канала при условии, что истечение
через сопло происходят без потерь и что полное давление и температура
Торможения те же, что для входного сечения канала у рассматриваемого
дросселя. Условный критический расход определяется по формуле
" 2 Р »
G— ~|/ 4 <1.65)
При этом
« С-------, (1.66)
кР. уел.
где G— весовой секундный расход воздуха через дроссель.
Расстояние от входа в дроссель до рассматриваемого сечения его будем
выражать в относительных величинах x/d, где х — абсолютная величина
указанного выше расстояния, d — диаметр канала дросселя.
1 См. ормложемже и. 5, J 3.
42
Поело сделанных предварительных замечаний перейдем к изложению
вопросов, непосредственно свяла иных с приложением газодинамической
теории течения в трубах к расчету характеристики расхода дросселя и
к исследованию изменения основных параметров течения воздуха вдоль
оси дросселя.
При отсутствии теплообмена с внешней средой расчет расхода воздуха
производится при заданных значениях рИ|-, Г|1Л pi при помощи следую-
щего уравнения, получаемого из уравнения
изменения количества движения, уравнения
постоянства энергии и уравнении постоянства
расхода вдоль осн канала:
В этом уравнении /(7,-) — функции от 7Г,
ределяемая графиком,
on-* *
. . приведенным на рис.
21» а <1471-, 3)—функция от 7с, 3, график которой
показан на рпс. 22 *. Эти графики построены
для воздуха при к — 1,4.
Уравнение (1.67)получено в предположении,
что коэффициент сопротивления £ при данном
значении расхода q^ не меняется по длине ка-
нала. Допущение о постоянстве величины £ по
длине канала является оправданным при от-
носительно небольших изменениях температу-
ры, так' как £ == /(Лс). Изменение же числа
Re при данном значении 7г может происходить только из-за непостоянст-
ва величины коэффициента абсолютной вязкости р, который зависит от тем-
пературы воздуха и не зависит от других факторов *.
Зависимость между величинами Re и 7^, из которой следует указанное
выше заключение, определяется следующим уравнением:
„ f 2 d Pai' n CQ4
+ V V <L68)
или для воздуха при к — 1,4, R ~ 29,3 кг-м/кг0 и g = 9,81 м/сек*
Яе = 0,04 —(1.68')
»* УЛ.,.
Это уравнение получается при подстановке в выражение Re — зна-
чения pic из (1.64) п при учете того, что для приведенного расхода q в дрос-
селе выше было принято обозначение q^.
Уравнение (1.68) вместе с уравнением (1.67) используется при расчете
расхода воздуха через дроссель. Определение расхода воздуха через дрос-
1 Данные графики, а также графики, приведенные иа рис. 23 И 24, заимствованы
з работы [24]. См. пояснения к уравнению (1.67) в п. 3, ] 5 приложения.
* При необходимости может быть учтено также и изменение £ по длине канала
дросселя. В этом случае правая часть уравнения (1.67) заменяется интегралом
. Задача на рассматриваемом здесь ее этапе решается при этом путем по-
следовательных приближений.
43
сель при помощи уравнений (1Лм) и (1.68) н указанных выше графиков
проводится по следующей методике.
Для х — I известил величина 3 : 3* • Подставляем эти значения
Г«,.
х и Р в уравнение (L67). Задаемся несколькими значениями q^. Для каж-
дого из них при помощи графиков, приведенных па рис» 21 и 22, опреде-
) и гтропм но точкам кривую, представляю-
щую зависимость -тей величины от </t>. Затем для каждого из заданных
Рис. 21 Гра{ к функции
значении q^ по уравнению (I.G8) находим соответствующее ему Леи по
графику рис. 4 определяем отвечающее этому Re значение |. Определив
таким образом величину £, строим по точкам на том же графике, на ко-
тором была ранее построена кривая / (qv-)
кривую завпенмо-
/ / Q • \ I
ста от qv величины i d Так как / (qv) — Ф i -у | п с представляют
собой соответственно левую и правую части уравнения (1.67), то точкой
пересечения этих двух кривых определяется искомое значение q^. Умно-
жив найденную величину q? на G\p угл [см. (1.65)] находим в соответствии
с выражением (1.66) весовой секундный расход воздуха G. Таким образом
проводится расчет точки характеристики расхода.
Используя выводы газодинамической теории течения в трубах, можно
также получить представление о характере распределения скоростей тече-
ния и давлений по длине канала дросселя и произвести количественную
оценку изменения этих величин.
Можно указать, например, на вывод о том, что при отсутствии тепло-
обмена по длине цилиндрического канала не меняется величина произ-
ведения коэффициента восстановления на приведенный расход воздуха1
vq = const.
(1.69)
Так как величина г при наличии потерь па трение заведомо уменьшается
по мере удаления от входного сечения канала, то, согласно (1.69), при-
веденный расход воздуха при этом растет. Если к тому* же учесть показан-
ную на рис. 20 зависимость q от приведенной скорости X, то придем к важ-
ному заключению, согласно которому при дозвуковых скоростях исте-
чения (X < 1) скорость течения непрерывно- уволичпвается по длине
1 Величина q определяется по формуле (1.63), причем для каждого сечения при
определении ркр берется свое значение />п
44
канала дросселя постоянного сечения. Поэтому, если при дозвуковом те-
чении по мере увеличения перепада давлений до и после дросселя в каком-
либо сечении^ достигается скорость, равная скорости звука, таким сече-
нием может быть только лишь выходное сечение канала дросселя. '
Если бы во входном сечепии11 д ро<У£еля ’Vк6~росТь течения оыла Сверх-
звуковой, то, согласно указанному выше, наоборот, скорость должна
была бы непрерывно уменьшаться по длине канала. Однако обычно
в этом случае в каком-либо сечении канала располагается скачок уплот-
нения, в котором сверхзвуковая
Рис. 23 Графики для определения измене-
ния давлений по длине канала дросселя:
в — характеристики Р »= ф (?, при раххпных
для| дозвуковых скоростей течения, б — характери-
стики 0,*-ф (l при различных для сверхзву-
ковых скоростей течения
скорость течения переходит в то-
звук овую, и в дальнейшем ско-
рость снова увеличивается но
мере приближения к выходному
сечению капала.
После того как указанным
выше способом определен при-
веденный расход во входном се-
чении можно исследовать
изменение давлений по длине
канала дросселя. Величина 3,
характеризующая давление в
каждом данном сечении, нахо-
дится из уравнения (1.67). Для
этого предварительно но данно-
му значению q^ из уравнения
(1.68) определяется величина
Re и по графику на рис. 4 на-
ходится При подстановке
значения qi и соответствующего
ему значения £ в уравнение
(1.67) получается зависимость,
определяющая изменение 3 в
функции от^^.
На рис. 23, а и б приведе-
ны характеристики изменения
JJ — -2— в зависимости от £
при различных значениях qt-\
характеристики на рис. 23, а
относятся к случаю дозвуковых
скоростей течения, а характе-
ристики на рис. 23, б отвечают сверхзвуковым скоростям течения- Точки
на рис. 23, а соответствуют опытным данным, полученным Фрессехем [23,
24]1. Кривой, показанной пунктирной линией в нижней части рис. 23, а,
определяются величины критического максимально возможного расхода
через дроссель. При уменьшении давления на выходе из канала дросселя
до величин, отвечающих меньшим значениям 3, чем значения, соответ-
ствующие ординатам указанной выше кривой, расход не меняется, тик как
скорость истечения на выходе из канала дросселя становится равной
скорости звука. Характеристика изменения значений qv в зависимости
от , определяемая этой кривой, показана на рис. 24, а; эта характер»
1 Опытные данные об изменении давлений при течении воздуха по ддаянь» кана-
лам прямоугольного сечения приведены в работе [36).
45
стика продолжена в область более высоких значении ; у, чем значения
I —> указанные на рис. 23, а.
Определив приведенный расход qv и определив, как было указано
рыше, изменение по длине канала дросселя величины 3 (а следовательно,
и давления р), можно найти скорость течения в каждом сечении канала.
Приведенная скорость X определяется в функции от величины кривой,
показанной на рис. 24, б.
Рис. 24 Графики некоторых других функций, рассматриваемых в
газодинамической теории течения в трубах и используемых при
расчете дросселей:

а.— Функция
• та ф ( f лри критической скорости в выходи »« сочении
/’Г1
канала дросселя, б — функция Л =* <р( -г-1
• Характеристики, приведенные на рис. 23, а и б, построены, как уже
было указано ранее, соответственно для случаев, когда вдоль всего канала
дросселя течение воздуха происходит с дозвуковой скоростью или же со
скоростью, превышающей скорость звука. Газодинамической теорией те-
чения в трубах даются также методы расчета течения в случаях, когда на
некотором участке канала течение является сверхзвуковым и затем пере»
ходит в дозвуковое; пользуясь зтими методами, можно определить поло-
жение скачка уплотнения.
При известном законе изменения приведенной скорости по длине ка-
нала дросселя легко определить и температуру воздуха в каждом сече-
нии канала
Т Т в j.,
(1.70)
Все указанные выше заключения относятся к случаю, когда отсутствует
теплообмен с внешней средой. Пользуясь методами газодинамической тео-
рии течения в трубах, можно рассчитать расход воздуха через дроссель
определить изменение давлений и других указанных выше величин по
длине канала дросселя также и с учетом теплообмена.
При наличии теплообмена через стенки дросселя температура тормо-
жейшГуже не остается, как этоГуназывалось ранее, постоянной, а меняется
по длине канала. Учитывая зависимость критической скорости от темпе-
ратуры Торможения (см. (LOO)J, можно условно говорить об изменении
критической скорости акр по длине канала дросселя. Это нужно понимать
таким образом, что если бы течение после каждого данного сечения в даль-
46
псйшом происходило без теплообмена, то критическая скорость соответ-
ствовала бы температуре торможения, заданной для данного сечения.
Изменение температуры торможения и соответствующей ей критиче-
ской скорости характеризуется коэффициентом
• ” 5Г. “ И ТГ lL7,)
Соотношение между температурой торможения в начальном сечении ка-
нала 7’м/ и температурой внешней среды Гн учитывается коэффициентом
Наряду с коэффициентами Он 6/< вводится Также в рассмотрение величина
« - £ . (1.73)
Расчет течения воздуха по каналу дроссели производится методом
последовательных приближений. При небольшом теплообмене с внешней
средой расчет первого приближения проводится без учета теплообмена,
т. е. так, как это было указано выше, и выясняется распределение скоро-
стей течения по длине канала дросселя. При расчете следующих прибли-
жений используются дифференциальные уравнении *
Найденное для первого приближения выражение зависимости X от x,d под-
ставляется в уравнение (1.74) и находится и как функция x/d, т. е. опре-
деляется распределение температуры торможения по длине канала дрос-
селя. Эта функция подставляется в уравнение (1.75), последнее интегри-
руется и находится второе приближение для закона распределения
скоростей.Таким образом, путем последовательных приближений находится
истинный закон распределения скорости течения по длине канала дрос-
селя. По графику, показанному на рис. 20. по значению X = Хр находится
приведенный расход воздуха qt> и, следовательно, определяется искомая
точка характеристики расхода дросселя.
Газодинамической теорией течения в трубах даются также и более
общие методы расчета, которые могут быть использованы для расчета
дросселей при интенсивном теплообмене.
Положения, развиваемые в газодинамической теории течения в трубах,
приводят также к ряду других выводов, представляющих интерес при ка-
чественной оценке характеристик процесса дросселирования.
При теплообмене с внешней средой соотношение (1.69) заменяется
соотношением
v
q =const,
и
Из последнего выражения следует, что подвод тепла сказывается на ве-
1 Указания к выводу уравнений (1.74) и (1.75) приведены в п. 4, § 5 приложения.
Заметим, что численное значение коэффициента в правой части уравнения (1.74) может
быть отлично от 0.5; об ограничительных условиях, при которых этот коэффициент
может быть принят равным 0,5. см. в (24].
47
личине приведенного расхода q так же, как и потерн на трение (увеличе-
ние S также сказывается на величине qt как и уменьшенное v). Прп нали-
чии теплообмена с вжеятней средой меняются условия, пря_’которых в слу-
чае дозвукового течедгия на входе в дроссель достигается критическая
скорость на выход» иг дросселя. В качестве примера на рятс. 25 приведены
характеристики изменения 3 в зависимости от «Л при различных значе-
ниях для одного » того же дросселя, в котором ведлгчипа Хд» во всех
случаях равна 0,2 верхняя кривая отвечает течению без теплообмена
с внешней ере кой.Су велнчением при прочих ранных угловпях давление
более резко надает ц?л длине канала дросселя и сократится критическая
при различных значениях Ufl
длина дросселя, при которой для данного значения м (и соответственно
для данного значения приведенного расхода достиглется критическая
скорость в выходыэм сечении. Величина критической длины ка-
нала дросселя при каждом данном значении определяется на этом гра-
фике пересечением соответствующей кривой с пунктирной линией, пока-
занной в нижней части графика.
Частным случаем течения воздуха по каналу* дросселя при тепло-
обмене с внешней средой является случай изотермического течения. При
изотермическом течении приток тепла в поток воздуха ы канале дросселя
происходит извне. Газодинамической теорией течения к грубах для рас-
чета изотермического течения дается формула (1-27), которая была исполь-
зована выше при анализе характеристик расхода ламинарных дросселей.
Является существенным вывод о том, что изотермическое течение возмож-
но лишь при значениях J/v<0,7. Как следует из выводов газодинами-
ческой теории течения в трубах, процесс течения воздуха по каналу
дросселя может быть изотермическим лишь при достаточно больших
значениях Ifd. Величина I,'dt при которой устанавливается изотермическое
течение, является при этом функцией температуры внетпней среды Ти
2. Характеристики дросселей с цилиндрическим каналом
некруглого сечения н дросселей с проточным участком
нецплнндричсскон формы (типа «сопло — заслонка» п др.)
Выше были рассмотрены только лишь цилиндрические дроссели круг-
лого сечения и ранее, в § 3, щелевые дроссели. Данные, приводившиеся
для цилиндрических дросселей круглого сечения, при некоторых огра-
ничениях могут быть использованы и для цилиндрических дросселей
с другой формой сечения. Так, для этих последних при определении потерь,
вызываемых трением при турбулентном течении воздуха по каналу дрос-
селя, также можно пользоваться формулами (1.4) и (1-0 или (1.7) при за-
мене в них и в выражении числа Re (1.2) диаметра d учетверенным гидрав-
48
личе» k»im радиусом, т. с. величиной 4КГ. Гндрамли'нч кип радиус он ре-
дел >ir ген как
= 1J- »
i.v / площадь сечении, а II— периметр сечении.
Дли цилиндрического канала круглого сечения /1Г --d/4, так как
/ л<р/4 и II = nd. Для щелевого дросселя Нг 6/2 (где 6 — радиаль-
ный зазор), так как / ~ ndb и II -- 2 (nd -f- 6) »>, 2nd. Последнее выра-
жение для II соответствует проходному сечению в виде прямоугольной
щели длиной nd и шириной о и может быть прпнжо при условии, что 6 <^nd.
Если форма границы сечения дросселя не очень сильно отличается от
окружности, то таким же образом но формулам (1.4) и (1.5) могут быть
определены потери на трение в канале дросселя и при ламинарном те-
чении. Однако при значительном отличии формы сечения от круга в слу-
чае ламинарного течения указанная выше замена диаметра гидравличе-
ским радиусом сама ио себе уже не дает достаточно удовлетворительных
результатов. Поэтому для определения £tp в выражение (1.5) приходится
дополнительно вводить так называемый коэффициент формы, учитываю-
щий влияние формы отверстия. Например для дросселя с каналом квад-
ратного сечения величина этого коэффициента равна около 0,9. При вы-
воде на основании закона Пуазейля выражения характеристики расхода
для концентрического щелевого дросселя, с введением определяемого
указанным выше путем гидравлического радиуса, в этом выражении по-
является численный коэффициент */8; при дополнительном учете влияния
формы отверстия для этого коэффициента принимается значение Via1-
Как было показало в § 3, вследствие радиального смещения стержня щеле-
вого дросселя относительно его втулки расход при ламинарном течении
может меняться более чем в два раза: при этом не меняются геометриче- '
ская площадь проходного сечения дросселя и периметр сечения, т. е. остает-
ся неизменной величина гидравлического радиуса. Эти изменения учиты-
ваются при ламинарном течении указанным выше коэффициентом формы.
Граничное значение числа при котором происходит переход от ла-
минарного течения к турбулентному, неодинаково для дросселей с раз-
личной формой сечения. Для концентрических щелевых дросселей с глад-
кими стенками обычно за граничное значение числа Рейнольдса прини-
мается Не = 1100. Следует отметить, что указанное ранее значение
Не — 2300 характерно только для дросселей с прямолинейным цилиндри-
ческим каналом круглого сечения. При свертывании трубки, из которой
изготовлен дроссель, в спираль характеристики процесса дросселирова-
ния меняются, так как появляются дополнительные потери в связи с по-
воротом потока. Важной особенностью дросселей такого типа является
то, что ламинарное движение может удерживаться в них при более высо-
ких значениях числа Рейнольдса. В работе [37] приводятся, например,
данные о сохранении в таких дросселях ламинарного течения при значе-
ниях Не до 15 000.
Указанные выше замечания относятся к определению потерь на трение
в канале цилиндрических дросселей некруглого сечения. Данные о по-
терях, обусловленных местными сопротивлениями, для входа и выхода
различной конфигурации приведены в монографии [25]. Однако в ряде
случаев справочные данные, указываемые в литературе, недостаточны и
приходится ставить дополнительные опыты. Располагая эксперименталь-
ными характеристиками расхода, полученными для дросселей определен-
ного типа, можно определить значения £вх и £тр, по которым могут
рассчитываться и характеристики других однотипных дросселей. Если
1 См. приложение, § 4. п. 2.
4 Л. А. Залманаон гл
имеются опытные харл.ктерпстпкп рпсходд, снятые при мщлых перепадах
давлений (в условиях,, когда воадух рассматривается \<аь щччкпмасмая
среда) для нескольких дросселей неизменного проход,и »г<> сечения, но
различном длины, то величины и можно он ре. целить раздельно
следующим путем* Пкч-ть, например, нэ onwia получен.^ характеристики
расхода <* = <р (dp)up»i различных длинах канала дросселя I, показанные
на рис. 26, я* 1. Проверь ординату при некотором значени и Лр (на рис. 26, а
1*НС. 26 |рафииллюстрирующие методику определения ко >4
фнциенгов £ах * гТр по экспериментальным характеристика.,
расхода дросселей:
а — хараьтгрш’тяк< О — ф (S₽) при различных 1,6 — хараьтсс«гтик* Q = ф (h
при фпК''нр>'веч'н .'М значении 8рх=3рр « — характери,тик1к ~ф(():
1 — исходная и J - линеяризоваппаа
. при др,), строим так. как показано на рис. 26. характеристику
Q = <р(/) приданном значении Ър. Линеаризуя эту характеристику и про-
должая линеаризующую прямую до пересечения с оса.то ординат, опре-
деляем значение (рис. 26, е)2. По этому значению и по данной
величине др = др» находим условный коэффициент исхода
«— “--------------. (1.76)
fy -fVW.
которым характеризовалось бы течение мри отсутствия потерь на трение
в канале дросселя. Учитывая, что при этом g ~ Звт получим из форму-
лы (1.17)
откуда следует
1 Чаще всею из опыта непосредственно определится значения объемного рас-
хода Q, а не весового расхода G. При расчетах, проводимых для лбяастп малых перепа-
дов давлении, плотность воздуха принимается постоянной; прдс этом переход от ха-
рактеристик Q = ЧЦЙр) к соот ветствующим характеристикам G — q (др) производится
простым изменением масштаба по осн ординат. Заметим также, что при расчете характе-
ристики Q = q (Ьр) вместо формулы (1.12) пользуются формулой Q Jy/*Ьр.
1 При обработке экспериментальных характеристик гджцует ограничиваться
значеннямл I, достаточно большими, для того чтобы условия течения в дросселе не
приблизились бы к условиям течения через отверстие в тонкой - .чгке (см. на стр. 2»)—
замечание о необходимей-!» ос«>бого учигга в этом последнем случае влияния на расход
сужения струи).
50
Действительный коэффициент расхода для дросселя с длиной канала I,
который обозначим определяется соответствующей данному I точкой
характеристики Q — (j (Z), полученной при рассматриваемом значении
dp — 6pi (рис. 26, с):
Qi
Но с другой стороны, согласно ранее проведенным выводам.
где f — площадь поперечного сечения канала и П — его периметр.
Приравняем правые части указанных выше выражений и сравним
получаемое при этом уравнение с аналогичным уравнением, получаемым
при приравнивании правых частей приведенных ранее выражений е/=0.
При этом получим
t
яр —
(‘ + 5.x) * -If
(J.77')

По формулам (1.76), (1.77) и (1.77х) из опытных данных определяются
величины £вх и £тр.
Из дросселей нецнлиндричесьой формы наибольшее распространение
в пневмоавтоматике получили так называемые дроссели типа сопло-за-
слонка, в которых эффект дросселирования в основном определяется по-
. терями на трение при течении воздуха по плоскому щелевому зазору
между торцем сопла и заслонкой (рис. 27, а). При малых перепадах
давления и малых скоростях течения воздуха расчет дросселей данного
типа также может производиться по формулам, выведенным для несжи-
маемой жидкости. Ламинарное течение жидкости по зазору между тор-
цевой поверхностью сопла и заслонкой исследовано Е. А. Андреево**
(38J 1. Расчет течения несжимаемой жидкости по зазору между торцем
сопла'и заслонкой провидится ею на основе использования уравнения
неразрывности и уравнений Навье — Стокса2, преобразуемых в соот-
ветствии с условиями данной задачи к виду
СЛГ, 1 Лв l&U' d2Wr 1 i)t£, \
V, — — - — у --------------- =_____________/С _1_ v I------------L_______— -L______________ ____ —— *
дг ‘ д’. р дг ' \ дг* • д;* * г дг г* *
(178)
где z л г — текущие значения координат, указанные на рис. 27, а;
wz ц irr — соответствующие составляющие скорости в данной т«чке те-
чения; р — плотность; v — кинематический коэффициент вязкости.
При этом используются граничные условиям*, =» 0 и — О при z — О
и z = Л, р — pi при г — г-g и р = р0 при г-~ гс (гс—радиус слила) и приня-
ло вопросу расчета потерь и« трение при течении жидкости в др^^гезях данного
типа см. также |3»J.
2 См. приложение, $ 3, в 1.
51
Рис. 27, К расчету дросселей типа «сопло — заслонка»:
а — дроссель -типа «сопло — ьаслонк; ►. б — графт зля раст-ть ха-
иактергстйк распределении давления при течении □эесасвмаемой жидко-
сти через дроссель типа «сопло — заслоню» _3S]-
52
мается, что давление р0 во входном сечении щелевого зазора связаио
с давлением р„ на подводе к каналу цюссгля уравнением Бернулли.
Выражение дли радиальной состаалнн»щей скорости и>г пишется в фор-
ме бесконечного ряда ’. Точность приближения к истинному значению и>
определяется количеством членов атого ряда, которое принимается во
внимание при расчете: при учете лишь первого члена ряда получается
первое приближение, при учете первых трех членов ряда — третье при-
ближение, и т. д.
После определении иг как функции от координат г и г., объемный се-
кундный расход находится как
О = 2л г j пг(/2, (1.79)
1- о
а весовой секундный расход 6 получается умножением величины объем-
ного расхода (J на удельный г*?е жидкости. Затем получаются указы-
ваемые ниже выражения, которыми определяется распределение дав-
лений по зазору в функции от радиуса и которые могут быть использованы
для расчета характеристики расхода дросселей тина сопло — заслонка;
при этом введены обозначения
3 = 7"» з > л = ’ в ~Т'~• (Е80)
Получено для первого приближения
, отвечающие первому, третьему и пятому приближениям (на рис. 27, б
В « 64 hi а — 12,54* (а* - 1), (1.81)
для третьего приближения
В = 64 In а — 16,784* («’ — 1), (1.81*)
для пятого приближения
В= 64 In а — 16,784*(а*— 1) — 14.24*3* (а*— 1)- 3.674я (а4— 1). (1.8Г
На рис. 27, б расчетные характеристики изменения давления ^параметра
В — ——{ -j-?- I I по радпссу |в зависимости от отношения величин
pv’ \ turT F J 1 ’
Г
гт
соответственно кривые 7, 2 и о). сопоставлены с опытными данными Мак-
Гннна 1401. Полученным им опытным значениям В — <р (г/гт) соответ-
ствуют точки, показанные на рис. 27, б. На этом рисунке представлены
также характеристики 7, подсчитанные по полуэмпнрической формуле
Мак-Гинна
В = 64 In а — 19,34* (а* — 1).
Эта формула представляет собой линейное сочетание решений системы
уравнений (1.78). получаемых порознь при пренебрежении действием сил
вязкого трения (при этом остается член 64 In а) и при пренебрежении
действием сил инерции (при этом остается* член с множителем 4* (а*—1)).
1 Более подробно о данном методе решения уравнений Новье—Стокса см.
в п. 3. | 4 приложения.
» При учете инерционных членов ж уравнениях (1.78) и пренебрежении действием
сид вязкого трепня решение получается в виде В = —12,5.42 (а4— 1). Вместо коэф-
фициента 12,5 в формуле Мак-Гинна из условия обеспечения параболического распре-
деления радиальных составляющих скорости по высоте зазора между торцем сопла п
заслонкой берется коэффициент 1'?.3 см. |40, 38j). Формула Мак-Пшна приводится
. здесь в форме, в которой опа представлена в работе [38].
53
Сплошными линиями на рис. 27.6 показаны ха|»«и<^‘р»‘\тики дли случая
течения жидкости »>т центра к периферии, пунктыри ылгп — характери-
стики для случая, когда течение происходит п иротии'яилложноч напраа-
ленпи.
Аналитическое исследование течения воздуха чери^ дроссели типа
сопло — заслонка при больших перепадах давлении 0«’»я ряжено с боль-
шими трудностями При этом для дросселей данного •чепа, а также и для
других дросселей нецнлппдрнческой формы, для конлрых трудно полу-
чить теоретические зависимости, необходимые для рас'<».* *’!’й характеристики
Г. г/гег
О Q.Z & СО 0.8 1
Рис. 28 Характеристики
Расхода дросселя типа
«сопло -- заслонка»
Рис. 29. Характеристи-
ки расхода д^юсселя с
шариковым гиг пианом

расхода, для определения последнем приходится прилегать к опытны*!
данным. В качестве примера на рис. 28 и 29 представлены полученные
опытным путем характеристики расхода для дросселя сопло — заслонка
и для дросселя, выполненного в виде шарикового клаявва (характеристи-
ки взяты из статьи 127 J)2.
•Характеристики рассматриваемых дросселей отлпчлдотся от разобран-
ных ранее характеристик турбулентных и ламинарных дросселей.
Следует иметь в виду, что для дросселя, показанного на рис. 28, поте-
ря давления происходит не только при течении воздуха do плоскому коль-
цевому зазору, по и прп его течении по подводящему каналу дросселя.
Последнее необходимо учитывать тогда, когда площадд. сечения подводя-
щего канала мало отличается от площади проходного «печения в кольцевом
1 Такое исследование может быть проведено, как печпьзано в работе [-*11
при некоторых упрощающих допущениях. Упрощения в э.ктановке задачи за-
ключаются в том, что принимаются во внимание лишь составляющие ускорений, об-
условленные геометрией канала, которые были бы и для несжиждемои жидкости и не
учитываются составляющие ускорений, обусловленные дополнительным изменением
скорости течения воздуха в связи с изменением его плотности Следует заметить, что
при установившемся течении воздуха по каналу цилиндрической формы проявляется
действие только лишь этих последних ускорений. Их влияние нл характеристики дрос-
селем с каналом цилиндрической формы было рассмотрено в j о этом главы (см. стр. 30.
• Данные исследования характеристик течения газа через щелевые зазоры различ-
ной формы приведены также в работах [42, 43J. Характеристики дросселей различ-
ной формы рассматриваются и в работах [99, 100J.
54
зазоре. Например, при h — 0,07 мм и диаметре подводящего канала
(сопла) 0,5 .«.и площадь сечения канала равна 0,196 мм\ минимальная
площадь проходного сечения кольцевого зазора равна 0,110 .к.к-, а в пе-
риферийной части зазора она может значительно превышать площадь
сечения канала. На величину расхода при этом существенно влияет не
только наружный радиус кольцевого зазора (размер гт, согласно обозна-
чениям, указанным на рис. 27, а), но и длина подводящего канала, и кон-
фигурация входа в канал, конфигурация переходного участка от это-
го канала к кольцевому зазору, например наличие в этой части фаски
и т. д.1
Каждая из показанных на рис. 28 и 29 характеристик расхода получе-
на при одном и том же давлении на выходе из дросселя, равном атмосфер-
ному давлению. В устройствах пневмоавтоматики дроссели часто работают
в условиях, когда изменяются давления как на входе в дроссель, так и
на выходе из него. Так как меняется плотность воздуха, величина весо-
вого секундного расхода при данной разности давлений др до и после
дросселя меняется с изменением абсолютной величины давлений. По-
этому при расчете устройств пневмоавтоматики, работающих при относи-
тельно больших перепадах давлений, важно располагать для дросселя
данной формы не одной отдельно взятой характеристикой расхода, а се-
мейством характеристик 6 = <р(др), каждая из которых относится к опре-
деленному значению давления на выходе из дросселя. В качестве парамет-
ра, определяющего каждую из кривых семейства характеристик расхода,
может быть также взято давление перед дросселем. Имея одно из указан-
ных выше семейств характеристик, легко построить по нему другое из
них. Методика этого построения излагается в гл. II, § 3, п. 3 в связи с рас-
четом и исследованием характеристик пневматических камер с дросселя-
ми, для которых характеристики расхода заданы в виде семейств кривых
С = ф(др). В тех случаях, когда имеются расчетные формулы (рассмо-
тренные ранее турбулентные и ламинарные дроссели, некоторые нз дрос-
селей смешанного типа), эти семейства характеристик расхода могут быть
построены на основании расчетов, в иных случаях они должны опреде-
ляться опытным путем.
3. Влияние температуры воздухя
на характеристики дросселей.
Распространение ранее проведенных выводов
на случаи, когда рабочим телом является не воздух,
а какой-либо другой газ
Изменение температуры воздуха проявляется по двум линиям. Вслед-
ствие температурных деформаций изменяются размеры проходных сече-
ний дросселей; кроме того, изменение температуры воздуха оказывает
влияние на газодинамические параметры, от которых зависят характери-
стики расхода дросселей.
Температурные деформации могут быть сведены к минимуму или же
могут, наоборот, вызываться искусственно (с целью компенсации влия-
ния газодинамических факторов) за счет соответствующего выбора ма-
териалов деталей, в которых находятся каналы дросселей. В дальнейшем
будем считать, что геометрические размеры дросселей не меняются с изме-
нением температуры.
1 В данном случае лишь условно можно говорить о сопле в соответственно с этим
условным является для данного элемента название сопло-«глонка. См. о различиях
между соплами и дросселями в 1 1 (стр. 8, рис. 2).
55
Для дросселей, названных турбулентными, можно написать урав-
нение (ЫО) в форме
С==е^® ~(л0 1* (I-10')
где р9 и pi — соответственно давление перед дросселем и давление на
выходе из дросселя1 * Ill. Для заданных значений р0, plt f при течении воздуха
расход его, как следует из уравнения (1.10'), непосредственно зависит
от температуры Т. Кроме этого, с изменением температуры Т меняются
величины коэффициента расхода е и коэффициента изэнтропы к.
Однако зависимость этих последних величин от температуры относи-
тельно невелика и в большинстве случаев можно считать, что для турбу-
лентных дросселей весовой секундный расход меняется обратно пропор-
ционально корню квадратному из абсолютной температуры воздуха
С = (1-82)
где для каждого данного дросселя с = const.
Заключение о малой зависимости величин е и к от Т основано па сле-
дующих соображениях. Коэффициент расхода е, как было отмечено в § 2,
зависит в основном лишь от Не. Для турбулентных дросселей, для которых
эффект дросселирования практически создается только благодаря местным
сопротивлениям на входе и потерям напора на выходе из дросселя, коэф-
фициент расхода е может быть принят постоянным для широкого диапа-
зона значений Re. Поэтому, хотя средняя величина Не и меняется с изме-
нением Т, так как3
, Po + fi
du>p_ ® 2
(,2')
можно считать е не зависящим от Т.
Зависимость коэффициента к от температуры представлена для воздуха
характеристикой 1 на рис. 30. Расчеты показывают, что с изменением
температуры в широких пределах расход меняется из-за изменения ве-
личины к очень незначительно. Только лишь в некоторых специальных
случаях нужно учитывать влияние изменения величины к в функции от
температуры на расход воздуха через дроссели и на характеристики
пневматических камер. Один из примеров того, когда это представляется
необходимым, приведен в гл. II, § 2, п. 3.
Установив, что для турбулентных дросселей зависимость весового
секундного расхода от температуры определяется соотношением (1.82),
рассмотрим далее как меняется расход воздуха с изменением температуры
для ламинарных дросселей.
1 Уравнением (1.10') выражается весовой секундный расход воздуха через дрос-
сель при докритическом истечении. Все приводимые ниже для турбулентных дросселей
соображения о зависимости G = <р (Т) в равной мере относятся к случаю надкрити-
ческого истечения воздуха из дросселей данного типа; в последнем случае весовой се-
кундный расход воздуха G = e/pe }/ .
Ill К -f- 1 “Г 1 /
1 С изменением Т меняется также и величина коэффициента динамическом вяз-
кости, входящего в выражение Re. Вопрос о зависимости р от Т рассматривается ниже
особо в связ с авали юм влияния температуры на расход воздуха через ламинарии*
дроссели.
56
Согласно (1.1У), для ламинарных дросселей с каналом круглого сече-
ния
Зависимость динамического коэффициента вязкости |х от абсолютной
температуры Т при выражении р в кг-сек!м2 приближенно определяется
так
и = (374 4- 5,03Т)1О-\
Если температура Т берется не в
=абс, а в гС, то
р=(1,745-10"*4-5»03-10"®Г) кг-сек/м2
С учетом указанной выше зависи-
мости р = <f (Г) получим для лами-
нарных дросселей
(1.83)
(1.83')
“ Г (374-^5 ,ОЗТ) •
(1.84)
где для каждого данного дросселя
Рис. 30. Характеристики изменения
коэффициента мзэнтропы в функции от
температуры для различных газов: **
t —. воздух и Другие двухатомные газы, г—
частые продукты сгорания углеводородных
топлив среднего состава, з — перегретый во-
дяной пар (как газ), а — двуокись углерода
с — const.
Методами, указанными ранее в п. 1 этого параграфа, может быть опре-
делен Ери различных температурах расход воздуха при заданном пере-
паде давлений для дросселей промежуточного типа. Заметим, что характе-
ристики /(?!') и Ф | —* - ],
при помощи которых
производится расчет адиа-
батического течения газа по каналу дросселя, мало меняются, как это
показано в [24L с изменением величины показателя изэнтропы к (рис.
31, а и 4). 1!з характеристик, используемых при исследовании распреде-
ления скоростей течения и давлений по длине канала дросселя, также
мало изменяется в функции от к характеристика q = <р (X), и лишь не-
сколько в большей степени сказывается влияние этого фактора на про-
( Я** \
текании характеристики к = ~-)(рис 31, ей г).
По указанным ранее формулам для турбулентных и ламинарных дрос-
селей, а также и для дросселей смешанного типа может быть рассчитан
расход воздуха при заданном перепаде давлений и в случаях, когда ра-
бочим телом являются другие газы, а не воздух. В этих случаях указан-
ным выше образом может быть также учтена и зависимость расхода от
температуры. Нужно только лишь при расчетах подставлять в указанные
ранее формулы отвечающую данному газу величину газовой постоян-
ной R в брать соответствующее данному газу при заданных температур-
1 Аналогичные зависимости расхода воздуха от температуры получаются для
дросселя с каналом круглого сечения и для щелевого дросселя. Это следует и*
сравнения выражения (1.19') с выражением расхода через щелевой рос сель,
С \21ЛцТ <Р* ~
О Ц5 1 1,5 2 А О 2 Ч 6 8 Ю qf /p
Рис. 31. Влияние величины коэффициента изэнтропы к:
а — на характеристику -/ (Qj»), б — на характеристику Ф <4j//3).
с — на характеристику с«=ф(Х). а —на характеристику
Хггж ф (flj'/P)
♦
ных условиях значение к. Характеристики изменения для различных
газов величины к в функции от температуры Т представлены на
рпс.ЗО1.
4. Дополнительные замечания о характеристиках .дросселей
Заканчивая изложение вопросов, связанных с определением харак-
теристик дросселей, отметим некоторые особенности, присущие отдельным
типам дросселей, п соответственно с этим — особенности формул которы-
ми описывается для них процесс дросселирования. Эти особенности,
будучи свойственны дросселям какого-либо одного типа, относятся в мень-
шей степени или не относятся совсем к дросселям других типов.
Формула (1.19) дает вполне надежные результаты в тех случаях, ког-
да, например, задана какая-либо точка характеристики расхода и тре-
буется произвести пересчет для ряда других точек данной характеристики.
Она также, как это было показано, с успехом используется при анализе
характеристик дросселей соответствующего типа. Однако нужно иметь
в виду, что на практике даже небольшие отклонения диаметра дросселя
от расчетной его величины могут вызывать большие изменения расхода.
Это определяется тем, что, согласно (1.19), расход зависит от четвертой
1 Газовая ностовжиая А, выраженная в размерности кг * имеет для различных
газов следующие значи-впя: воздух — 29,3; кислород — 26,5; водород — 420; азот —
30.3; водяной пар (тв^»егретым) — 47,1; окись углерода — 30,3; углекислота — 19,3;
гелий — 21.2.
58
степени диаметрз. Например, для дросселя г номинальным диаметром
0j2 лив практически возможны отклонении и пределах 4-0.03 .ч.ч; на та-
кую величину может отличаться диаметр одного дросселя от диаметра
другого, такое расхождение возможно и для различных сечений одного
и того же дросселя при достаточно большой длине его канала. Расход
воздуха меняется, как это следует из формулы (1.19), в случаях, когда
диаметр берется но нижнему пределу указанного выше допуска и по верх-
нему его пределу Лолее чс.м в три раза. Для дросселей, течение в которых
является турбулентным, расход зависит от второй степени диаметра. и
указанное выше клинике значительно меньше.
Чувствительность расхода к малым изменениям диаметра дросселя
имеет значение ио только в связи с оценкой тех или иных расчетных
формул. Изменение проходного сечении дросселя на величину порядка
нескольких микрон пли сотых долей миллиметра может происходить
при работе пненматических приборов из-за отложений пыли или нагара,
из-за температурных пли химических воздействий и т. д. Изменение рас-
хода в процессе эксплуатации, ограниченное определенными пределами,
не имеет большого значения для дросселей, используемых в пневматиче-
ских регуляторах и других устройствах, в которых необходимые величины
давлении автоматически устанавливаются за счет работы обратной связи.
Однако к тех случаях, когда от стабильности характеристики расхода
дросселя зависит точность прибора, как это например имеет место в не-
которых пневматических измерительных и с четно-решающих приборах
(сумматоры — пневматические каморы и др.), представляется недопу-
стимым даже малейшее изменение расхода при заданном перепаде дав-
лений.
Большое практическое значение имеет также вопрос о содержании
влаги в воздухе. При относительно большом содержании влаги суще-
ственно изменяются характеристики дросселей, особенно опасной являет-
ся конденсация воды; с наличием влаги в воздухе может быть также свя-
зана коррозия каналов дросселей. Наличие большого процента содержа-
ния влаги в воздухе может приводить к серьезным нарушениям в работе
пневматических измерительных приборов и регуляторов. Поэтому при
. эксплуатации пневматических приборов обычно принимаются специаль-
ные меры к удалению влаги (осушение воздуха селнкагелем и др.).
В качестве следующего из не рассматривавшихся ранее факторов,
существенно влияющих в некоторых случаях на расход воздуха через
дроссель, отметим шероховатость стенок канала. Влияние этого фактора
не проявляется при ламинарном течении и незначительно в тех случаях,
когда длина канала мала по сравнению с его диаметром. Однако для дрос-
селей с каналом относительно большой длины, работающих в режиме тур-
булентного течения (дроссели смешанного типа), влияние шероховатости
может оказывать большое влияние на протекание характеристики рас-
хода. Средняя высота выступов h (рис. 32), которой характеризуется
шероховатость стенок канала, зависит от качества обработки поверх-
ности. Показателем, характеризующим шероховатость, является отно-
шение радиуса поперечного сечения канала г к средней высоте выступов Л.
На рис. 32 приведены характеристики изменения коэффициента сопро-
тивления стг в зависимости от Hr. полученные Никурадзе для труб с раз-
личной шероховатостью стенок. Кривые 1—6 получены при значениях г /Л,
соответственно равных 15; 30,6; 60; 126; 252; 507. Если использовать эти
данные для дросселя с диаметром канала 0,2 мм. то указанным выше зна-
чениях г h должны отвечать величины Л, равные 7; 3; 2? 0,8; 0,4 и 0,2 р.
Характеристики, представленные на рис. *32 двумя наклонными прямыми,
отвечают течению в гладких трубах (они были ранее приведены на рис. 4).
Как следует из рис. 32 и как это уже отмечалось раньше, при ламинарном
59
течении шероховатости стенок не оказывает влияния на величину коэф-
фициента сопротивления.
Отметим далее» что при выполнении дросселей ж виде игольчатых кла-
панов пекоицеитричичх-ть расположении иглы еттн’ити.кьно отверстия
в корпусе маю влияет на характеристику дросселя пр» турбулентном
Рис. 32. Характеристики, иллюстрирующие влияя е шероховато-
сти стенок на възячину потерь от трения в канале дросселя
докритнческом истечении, однако она может существенно влиять на
величину расхода при надкритическом истечении, так как при смещении
иглы меняется положение скачков уплотнения в потоке воздуха.
Учет всех этих факторов имеет большое практическое значение. Они
должны приниматься во внимание при анализе работы уже существующих
пневматических приборов и при разработке новых элементов и устройств
пневмоавтоматики.
60
r.iaea //
ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КАМЕРЫ. ИХ СТАТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
$ I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕРАХ
КАК ЭЛЕМЕНТАХ УСТРОЙСТВ ПНЕВМОАВТОМАТИКИ
II ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ.
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР
При анализе работы существующих и при разработке новых приборов
пневмоавтоматики и пневматических измерительных приборов нужно
располагать не только характеристиками отдельно взятых дросселей, но
также необходимо знать статические и динамические характеристики эле-
ментов, состоящих из камер, сообщенных между собой через дроссели.
Рис. 33. Пневматические камеры:
а — простейяия проточная (м’тгтр'мзоельяая) камера.
б — глухая камера. •— проточжзж камера е регулируе-
мыми дросселями. в — проточна камера переменного
объема
•
В пневматических приборах встречаются камеры со сквозным протоком
(рис. 33, а) которые назовем проточным» или междроссельными f и каме-
ры, в которых происходит проток воздуха только через один дроссель
(рис. 33, б), которые будем я дальнейин-м называть глухими.
Основными характеристиками пневматических камер являются харак-
теристики изменения давления в камере и функции от внешних давлений,
а если являются переменными площади проходного сечения дросселей
(рис. 33, в) или меняется объем камеры (ряс. 33, г), то также в функции
п от этих величин.
G1
В зависимости от того, какими взяты характеристики дросселей и от
соотношения между проходными сечениями дросселей и объемом камер,
оказываются существенно различными статические и динамические ха-
рактеристики камер. Это обстоятельство широко используется при
построении пневматических приборов. Ниже приводится несколько при-
меров, показывающих, насколько многообразными могут быть характе-
ристики пневматических камер, я иллюстрирующих возможности исполь-
зования этих характеристик при выполнении различных операций в устрой-
ствах пневмоавтоматики.
В пневматических регуляторах обычного типа1 камера, на входе ко-
торой установлен цилиндрический дроссель, а на выходе дроссель типа
сопло — заслонка, используется для получения релейных характеристик
изменения давления в камере в зависимости от перемещения заслонки
В таких регуляторах проточные и глухие камеры имеются в устрой-
ствах обратной связи; с изменением характеристик камер, осуществляе-
мым за счет изменения проходного сечения дросселей, связана перена-
стройка регуляторов. При помощи пневматических камер выполняются
операции дифференцирования сигналов изменения давления в регулято-
рах с воздействием по производной и их интегрирования в регуляторах
с изодромной обратной связью.
Широкое применение в авиационной технике получили регуляторы
отношения абсолютных давлений, работающие по принципу пропорцио-
нального редуцирования давлений. Пропорциональное редуцирование
давлений основано на том, что при надкритическом истечении воздуха
в выходном дросселе проточной камеры независимо от того, как меняется
давление на входе, и от того, ^ляется ли истечение во входном дросселе
докритическим или надкритическим, автоматически поддерживается по-
стоянное отношение абсолют ного давления в камере к абсолютному давле-
нию на входе*. Схема такою регулятора отношения давлений показана
на рис. 34, а; величина поддерживаемого им отношения давлений Pi,7>„ за-
висит от соотношения площадей проходного сечения дросселей 1 и 2.
На принципе пропорционального' редуцирования давлений строятся
некоторые авиационные пневматические приборы, на выходе которых
получаются лпнейпые перемещения, пропорциональные измеряемой ве-
личине отношения давлений (рис. 34, б), к числу таких приборов отно-
сятся некоторые типы махметров, корректоры, производящие перена-
стройку регуляторов в зависимости от отношения давлений до и после
компрессора или турбины, и др.
При работе с малыми общими перепадами давлений п при определен-
ным образом подобранных характеристиках дросселей проточная камера
может выполнять функции делителя избыточных давлений, и соответ-
ственно с этим показанный на рис. 34, а регулятор может работать как
регулятор отношения избыточных давлений. Можно указать также и
другие возможные применения пневматический проточной камеры как
делителя давлений; например, представляется возможным вести измере-
ние давлений манометрами, рассчитанными на меньший или больший
.диапазон изменения дав тений, чем истинный: при пропб щцональном изме-
нении давлений в камерах Л и Б (рис. 34, в) можно для измерения давле-
ния в камере Л подключать манометр к камере Б или, наоборот, измерять
»"c£7~U—4)?
’ Обоснование этиг^ иолоийшия приводится ниже в J 2, в. 3 настоящей главы.
Принцип пропорциональог» ргдуиировавня абсолютных давлений газов был сформу-
лирован работе (44). сх*ма ре» у «агора о г ношении ьбсавютных давлений газов была
рассмотрена в докладе аятш» на втором всесоюзном совещании ио теории автомати-
гского регулирования ji'jf Ио вояроевм использования приборов- работа которых
основана на данном гм. (46—48) Разработке регуляторов отношения избы-
точных давлений поевямеаы работы )49, 50).
62
давление в камере /», подсоединяя манометр с переградуированной шка-
лой к камере Л.
При линейной зависимости весового расхода воздуха через дроссель
от разност» давлений до и после дросселя ж при равенстве проходного
сечении дросселей пневматическая камора выполняет функции суммирую-
щего устройства. Давление в камере при этом равно сумме внешних дав-
лений, поделенной на число дросселей (рис. 35. л). Точност»» работы та-
кого сумматора зависит от того, в какой мере характеристики расхода
дросселей остаются неизменными при изменении плотности воздуха»
а
Рас. 3k Приборы дейстнпе{ког? основано на
принципе пропорционального редуцирования дав-
лений в междроссельлой камере:
а — регулятор от».аэ*ния давлений. £— датчик отв»-
inetuut дпп.тепий, « — редуктор -дзж№.гЛ — приставка
к млвочетру
а также и от некоторых других факторов1. Прп выполнении пневматиче-
ской камеры сумматора е протоком воздуха рис. 35, б) сигнал величины,
пропорциональной сумме подводимых давлений (давлений в каме-
рах I-r-IV), несет в себе поток воздуха, выходящего из камеры сумматора
через дроссель о.
Как уже было отмечено ранее, глухие пневматические камер# широко
применяются в пневматических регуляторах для получения воздействий
по производным или интегралов от сигналов изменения давления воздуха.
С этой же целью они могут использоваться в качестве элементов пнев-
матических моделей, служащих для восп реп введения различных физи-
ческих процессов или для решения дифференциальных уравнении
[9, 53|.
Глухне пневматические камеры используются в пневматических тай-
мерах (рис. 35, е> и г); в этих приборах изменение давления в камере по
времени используется для выдачи сигнала управления с задержкой на
заданную пелнчину времени пли для построения в заданной функции от
времени команды управлении (см. 154, 551k При периодическом изменении
внешнего давления глухая пневматическая камера при определенных усло-
виях выполняет функции фильтра, не пропускающего высшие гармоники,
получаемые при разложении первичных колебаний в ряд Фурье, и от-
фильтровывает из первичных негармонических колебаний колебания си-
пу соидал ыюй формы.
> 1 Вопросы использования пневматических ка.дор в качестве сумматоров рассма-
тривались в работах [32, 51. -2, 97].
«Я
В сняли с указанным выше использованием пневматических камер
как элементов уетр-лйств пневмоамтоматики, иоаииклзлт задачи изучения
их характеристик. Нриатом наряду с общими поиросамэд методики расчета
имеют су шественное значение специальные вопросы,, связанные с исполь-
зованном камер, ичч'ющих дроссели того или иного тпг,х для выполнения
различных 'операций.
Например, специфические вопросы возникают пра изучении возмож-
ности уветиченпн крутизны рабочего участка характеристики изменения
даплеиин в камере в завис имостн от перемещения заел-емки для камер роле
с дросселем типа сопло — заслонла, используемым в пневматических
регуляторах обычного типа.
Рис. 35. Схемы пневматических камер, при-
меняемых при выполнении различных опе-
раций:
»
S4
i*3-!
а — сумматор давлений ---К б— суммах 'р
давлений с доп хтн"тельним протечным лроссе гм.
6 — пн“вчтгич-?скии-таймер. ? — пневматическая
тпамер е двумя камерами
Является важным выяснение влияния условий течения воздуха в дрос-
селях на характеристики камер, используемых в качестве основных эле-
ментов регуляторов отношения давлении. Если, например, прп определен-
ных условиях регулятор данного типа работает как регулятор отношения
абсолютных давлении, то с изменением давлений заведомо не остается
постоянным отношение их избыточных величин, и, наоборот, если поддер-
живается постоянным отношение избыточных давлении, то при этом ме-
няется отношение соответствующих абсолютных давлений.
Лишь при выполнении строго определенных требований, предъявляе-
мых к характеристикам дросселей, пневматическая камера может выпол-
нять функции сумматора. Является, важным выяснение характеристик
изменения давления по времени в камерах, выполняющих функции тай-
меров. Важно знать, с какой степенью точности могут отфильтровываться'
пневматической камерой синусоидальные колебания из колебаний другой
формы и т. д.
Некоторые специальные вопросы, относящиеся к исследованию харак-
теристик пневматических камер, не рассматриваемые в общей литературе
по теории автоматического регулирования, ставятся в связи с изучением
динамики систем управления, имеющих в качестве составных элементов
пневматические камеры.
Особый круг задач возникает в отношении междроссольных камер
малых размеров, встречающихся в некоторых устройствах пневмоавто-
матики. Вопрос об изучении характеристик малых междроссельных ка-
мер становится все более актуальным в связи с имеющейся тенденцией
к уменьшению размеров пневматических приборов. Последняя опреде-
ляется тем, что малогабаритные приборы в некоторых случаях более удоб-
ны, так как могут монтироваться при комплексной автоматизации про-
изводственных процессов наподобие радиоламп при помощи штекерных
разъемов непосредственно на щитах, на которых вычерчивается схема
автоматизация процесса (на так называемых графических панелях
(см. 161)).
В других случаях уменьшение размеров камер и других элементов
определяется необходимостью уменьшения веса приборов. Необходимость
в уменьшении размеров приборов и в сокращении коммуникаций возни-
кает также в связи с постановкой задачи увеличения скор< >сти передачи
сигналов пневматическими приборами1.
Ниже > этой главе и в главе III рассматриваются общие методы рас чета
соответственно статических и динамических характеристик пневматиче-
ских камер, а также исследуются вопросы, связанные с решением ука-
занных выше специальных задач, возникающих при разработке пневма-
тических приборов. При этом раздельно исследуются характеристики
камер, получаемые при турбулентных дросселях, при ламинарных дрос-
селях н при дросселях смешанного типа.
i 2. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР
ПРИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ДРОССЕЛЯХ
1. Основные уравнения
Считая, что теплообмен с внешней средой отсутствует, будем рассма-
тривать процесс течения в каждом из дросселей как адиабатический н
будем учитывать, что состояние воздуха от одной междроссельной камеры
к другой изменяется изотермически*. Для сокращения записей введем
обозначен!5 г, = , где р= абсолютное давление за i-м из дросселей,
a p,_i — абсолютное давление перед ним. Здесь i — индекс, указывающий
помер дросселя. Введем также для дросселей рассматриваемого типа
понято эффективной площади дросселя. Будем в дальнейшем называть
эффективной площадью дросселя величину / — f-e, где / — площадь про-
ходного сечения дросселя нс — коэффициент расхода. Для эффективной
пл*щади х'-го дросселя введем обозначение Для удельного веса воздуха
до посла х-го дросселя примем соответственно обозначения т<-г и Ть
Весовой секундный расход воздуха через дроссель, согласно формулам
(1.10) и (1-11), равен при докритическом истечении
v v * -J-
G = /, I 'TYi-iPt—i fZTt(r‘ — ч» J (11.1)
__ n 0
1 On етвм, что иногда при уменьшении р змеров приборов оказывается затруд-
иитотьиым обеспеченно требуемой точности в их работе; специальное рассмотрение
генного вопроса вс входит в план настоящей монографии.
* Осио“мп я. имеющиеся для такого пред* тавления процессов теч^иид воздуха
* камерах с турбулентными Дросселями, были ранее указаны в главе'I. Напомним еще
раз, что рас згатриваются турбулентные дроссели с малым отношением длины к диамет-
ру (ем. определения дросселе* различных типов на стр. 8).
ж прп надкритическом истечении
Установлению критического режи а истечения (переходу нз докрятиче-,
ско£> в цадкрлтилескую область) отвечает
(U.3)
Для неперы, показанной на рис. 36, а, учитывая, тго Yi = ¥•?? — Y«r»»
ж используя формулы (ПЛ) н (П.2), из равенства при установившемся
истечении весовых секундных расходов воздуха через оба дросселя по-
лучим следующие уравнения:
прж докритическом истечении в обоих дросселях

*
(11.4)
при надкритическом истечении в дросселе 1 и докрнтичгском истечении
и дросселе 2
(Н.5)
при надкритическом истечении в дросселе 2 и докритичгоком
в дросселе 1
*±Л «
г*-*V * — 1/ 2 1
1 \h)
истечении
(И 6)
при надкритическом истечении в обоих дросселях
(11.7)
2. Графики для определенья давлений
в проточной каморе
По уравнениям (П.4) ч-(П.7) был проведен расчет соответствующих
характеристик и были построены графики этих характеристик. График
для определения давлений воздуха в камере, показанной на рис. 36, о,
представлен на рис. 36, 6. На этом рисунке указаны области, соответствую-
щие различным сочетаниям режимов истечения: областью / охватываются
режимы докритического истечения в дросселях 1 и 2 (сокращенно обозна-
чаем это сочетание режимов истечения д — д), областью II — режимы
надкритического истечения в дросселе 1 при докрит.. веском истечении
в дросселе 2 (н — 5), областью III — режимы докритического истечения
в дросселе 1 и надкритического истечения в дросселе 2 (д — я),
областью IV — режимы надкритического истечения в обоих дросселях
(н — н) На рис. 37 указанные выше области показаны в плоскости коор-
динат />//». pi/p0.
«г>
При помощи приведенного на рис. 36, 6 графика можно сразу, не про-
водя предварительных расчетов, определять по заданным значениям pt,
ре, /1 и /а величину pi пли, же пи заданным рг, ро, pi найти значение Л//*.
Рис. 36 Обобщенные егдтЕчгскне характеристики про-
стгйпи-а гроточяоа камеры при турбулентных дрос-
селях:
« —ехемз ’утччяэ* кмгтры. С — характеристики О’“1-" •
««» I ара ра^льч-ых значениях
С тем, чтобы сделать этот график более удобным для практического поль-
зования, на рис. 3^ показана в увеличенном масштабе более частой
сеткой характеристик часть графика, относящаяся к области I (д— д).
Значения п, соответствующие левой границе области /, сохраняют при
изменении ра/р0 неизменные значс ния для каждой данной величины/L//a во
всей области Ш (д— к) или IV («— х).
Покажем па примерах, как пользоваться указанным выше графиком.
Зусть заданы р« — 2,17 ома. р* — 1,03 ата, fx/ft — 0,96 и требуется опре-
делить величину pi. Откладывая по оси абсцисс в» личину ~ == ’j! —
= 0,475 и следуя по кривой для =0,56 до пересечения е* с вертикалью.
соответствующей указанному выше значению = 0,475 (см. стрел-
ки А и Я), находим, что ординатс-й точки пересечения является п =
— = 0,8» откуда следует, что = 0,8 р0 = 0,8-2,17 = 1,73 ата.
В качестве второго примера рассмотрим следующий: задано ~ = 0,63.-
Нужно определить значение /1//*, при котором получается и == — = 0,89.
Л
Рис. 37. Области различных сочетаний режимов
истечения во входном * выходном дросселях для
проточной камеры с турбулентными дросселями
Откладывая заданные значения н п на координатных осях и про-
водя через них прямые, параллельные осям (см. стрелки С и Я), в пересе-
чении их находим точку, через которую проходит кривая для j- = 1,3.
Это и есть искомое значение
X Принцип пропорционального редуцирования
абсолютных давлений воздуха
Как следует из уравнений (П.б| и (П.7), при надкритическом истече-
нии в выходном дросселе величина п = —, т. е. отношение давления в ка-
Л
мере к давлению перед входным дросселем, является постоянной, если
остается неизменной величина Д’ft- Этот вывод был сформулирован как
принцип пропорционального редуцирования давленпй, который послу-
жил, как уже упоминалось ранее, «новой для создания регуляторов отно-
шения давлений газов и других пневматических приборов, широко при-
меняемых в частности в авиацпоакой технике.
При надкритическом нстеченнв как на входе, так и на выходе (режимы,
относящиеся к области IV на рис. 36, б) величина п = равна, согласно
уравнению (II.7), /1//3. Если же течение на входе в камеру докритическое.
68
значениях Z’ для области / (докриТич^ское истечение
h
в обоих дросселях)
а в выходном дросселе надкритическое (режимы относящиеся к обла-
сти III на рис. 36, б), то зависимость лот/^/j определяется характеристи-
кой, представленном на рис. 39. Эта характеристика соответствует урав-
нению (II.6).
Указанные выше выводы хорошо подтверждаются опытами. На рис. 40
приведена характерце гака изменения ПРИ
На графике нанесены точки, полученные опытным путем при
<9
различных значениях f* и pi. Jljn каждом из уьачхчяых на рис. 40
эпачсшей р» опыты лроводялись для рз = 200, ИХ\ 335, 460, 600
к 740.май рт. ст.
Заметим далее, что» * некоторых случаях отношение л‘»солк>тных дав-
лений может подле г »к.г чаться с практически достать w 5 степенью точ-
ности и тогда, когда режим нстечеяия хитя и являек-я докритичсским,
по близок к критИчеччкому, По мер*? удаления от крн w.^ocKoro значения
Fhc. 39. Характерясзхха п ®= — «s<pfZ*\ для
„ i 'Л'
оолаетж III (надкрз тз еское истечение в выезд-
ном дросселе ж докржтеское истечение во вход-
ном трпсселе)
Ji ==» I —} отклонения величины л от постоянного значения могут стать
xpi «г
относительно большими. Величина погрешности Ди в значениях и,
которая возникает при г* >• nFr , иллюстрируется графиком, приведенным
на рис. 41. Здесь Ап ------? 100. п и гз— истинные значения отноше-
но
ний давлении ~ и г* = —г _ —значение п, которое поддержива-
лось бы при данном отношении эффективных площадей дросселей /»//=
в случае надкритическою истечения в выходном дросселе.
При построении характррпстик. представленных на рис. 41, был ис-
пользован график, изображенный на рпс. 36, б, причем учитывалось,
что— = гщ.
А
Приведем пример определения величины Ди. Пусть задано Tj0 = 0,8
и известно, что в условиях эксплуатации соответствующего пневмати-
ческого устройства величин а г» = £? может повыситься до значения
А =» 0,7. Находим для заданных г»а н rs по графику на рис. 41 значение
Ап « 3%.
Если при естественных условиях работы не обеспечивается надкрити-
ческое истечение в выходном дрссселе, то для создания надкритических
перепадов давлений применяют специальные эжекторы, искусственно по-
нижающие давление р* за выходным дросселем (см. [48]).
70 .
При исследовании точности выполнения операции пропорционального
редуцирования абсолютных давлений, кроме указанной выше, возникают
также и другие специфические задачи. В связи с особо высокими требо-
ваниями, предъявляемыми к точности некоторых приборов, действие ко-
торых основано на использовании принципа пропорционального реду-
цирования давлений, прп анализе их погрешностей приходится у читы-
вать пе только основные, но и привходящие факторы, которые прп обычном
исследовании характеристик приборов не принимаются во внимание.
Данный вопрос подробно рассмотрен в работе 148]. Ограничимся пока
Рис. 40, Экспериментальная и расчетная характеристики £1 = <р
Q — р, 840 мм рт. ст г
Л — к, 950 мм ГТ. СТ-.
О ~ Л М50 мм рт- ст..
Z “*Л с*’* Экспериментальные точка при каждом р« для Л “ 2^. 270. 333. 460. 600 а
w — Р» 1ио0 мм рт. СТ». мм г' ст
А —Л Г* мм р. СТ.. ММ ₽
ш — Р» 105С мм f Г. СТ.
Расчетная Хирактерист^ка
следующим примером: рассмотрим зависимость точности поддержания за-
данного отношение давлений от величины показателя изэнтроны к1.
Обычно считают, что к есть величина постоянная, к может ощутимо
изменяться, как следует из данных, приведенных на рис. 30, лишь в связи
о изменением в достаточно широких пределах температуры или же в связи
с изменением молекулярного веса газа. В некоторых случаях, как пока-
зывается далее, изменение отношения давлений под влиянием только лишь
изменения к может быть относительно большим. Ошибка в работе измери-
тельного устройства приборов, действие которых основано на рассматри-
ваемом принципе, может, например, появиться в случае, когда настройка
их производится при нормальной температуре на воздухе, а рабочими
условиями являются условия, определяемые высокой температурой, или
же если рабочим телом является пе воздух или какой-либо из двухатомных
газов, а одноатомный или многоатомный газ.
Обратимся к схеме междроссельной камеры, показанной на рис. 36, а.
Пусть при исходных условиях отношение эффективных площадей про-
ходного сечения входного и внходног^дросселей камеры равно
* Представляется целесообразным детально-. рассмотрение данного примера,
так как аналогичные задачи, связанные с исследованием влияния отклонений пара-
метров, определяющих xi фактеристнки протс* зих элементов, на точность пневмати-
ческих приборов, часто возникают при разработке и доводке последних. Рассматрива-
емым примером иллюстрируется общин подход к решению задач такого типа. Другим
примером, иллюстрирующим решение таких зддач, является проводимое в следующем
параграфе нссяедоьание влияния изменения /тности воздуха на характеристики про-
точно! камеры как сумматора.
7t
значение отношения давлений и = -- при'этом равно *4 — (—) и ве-
ft» ’ 'Ро'О
личина показателя изэнтропы газа к равна ко. Имея в виду зависимость г»
от Л, можно написать, что
<и8>
Рис. 41. Характеристики погрешностей Ли =
=tf(rz) для различных значений rt при Пропорции-
нальнэм j купировании абсолютных давлений
где 6п — изменение п, определяемое изменением к на дЛ, — част-
ная производная от и по к, вычисленная при значениях всех параметров,
соответствующих указанным выше исходным условиям. В выражение
(II.8) входит частная производная от и по к, так как и зависит также от
величин /1 и /1, возможное изменение которых здесь не рассматривается.
Можно перейти в выражении |И.8) к относительным отклонениям ве-
личин л и к от их значений при исходных условиях. Разделив обе части
равенства на г и умножив и разделив правую его часть на ко, получим
6^1 64 йр 64
~ ' № к9 ~~ W/er>o *•
или, вводя обозначения Ап = — ж ЛА = ~ ,
г*» *j
An - Ф) л А*. (Н-9)
72
В выражении (11.9) величины ДА и Ди могут быть выражены как в долях
единицы, так и в процентах.
Обозначим коэффициент пропорциональности между величинами
ДА и Ап как С*:
* ~ \дк)0 ri0 *
(НЛО)
Ск представляет собой относительное изменение величины и в про-
центах, вызываемое изменением коэффициента к на 1% по сравнению
с его значением к0 при исходных условиях.
Определим С* как функцию величин 0^ или г1о и Ао. Величины л,
и к связаны между собой зависимостью
ф (л, к\ = 0.
\ /> j
(ILII)
При надкритическом истечении в выходном дросселе и при докритпче-
ском истечении во входном дросселе эта зависимость, как было показано
выше (см. уравнение (II.6)), имеет следующий вид:
(11.12)
При надкритическом истечении в обоих дросселях из зависимости
у,А^ = 0, как следует из (П.7), исключается А, и она сводится
к условию
(11.13)
Поэтому при надкритическом истечении как во входном, так и в вы-
ходном дросселе ? ) — 0 и Ск = 0.
Определим выражение зависимости Ск от
чая докритического истечения во входном дросселе и надкритического
истечения в выходном дросселе, к которому относится указанная выше
зависимость (ПЛ2).
Так как величина л задана уравнением (П.12), как неявная функция
от А, то
или rlt и от Аодля слу-
(ИЛ4>
Для определения Дифференцируем выражение (ПЛ2) по к.
Так как
1 *4-1'
£ ~~п*
дк \TJ г»
*4-1
(/1/ АР in rt( tc
fl И 'r«
i
' * *
Ht-If 2 \*“l] 2/2 \*~l. 2
+ V J fc1— 1U + V lDk-M
73-
получаем
Далее находим :
Подставляя найденные выражения ~ и ~ в (П.14) и имея в виду,
•что знак • при скобке означает, что все заключенные в нее величины от-
носятся к исходным условиям, получим
и следовательно при докритическом истечении во входном дросселе вели-
чина С* равна [см. (11.10)]
При надкритическом истечении во входном дросселе, как указывалось,
€» = 0.
В выражение (П.15) входят значения /г//> и И при исходных условиях.
Для каждого заданного исходного значения /i//t можно по графику на
рис. 39 определить соответствующее ему значение и, или же, наоборот,
для заданного и найти отвечающее ему значение /»//». Тогда при построе-
нии графика функции (11.15) можно представить С* только лишь в зави-
'Снмости от(~) или от . На рис. 42 приведен график изменения С*
Мд/° °
в зависимости от г,0 = » причем под шкалой указана шкала
величин । f . Как следует из рис. 42, влияние на п изменений величи-
ны к проявляется только при 0,53 < ( < 1, причем оно является
максимальным при = 0,75 и уменьшается до нуля при прибли-
жении к границам указанной выше области значений (&) .
’ /О
Рассмотрим примеры оценки погрешностей п величине л, получаемой
для проточной каморы, обусловленных изменением показателя пзэитро-
пы к. Пусть, например, доводочные испытании регулятора отношения
давлений 1азов, работа тощего 110 при 11411115’ пропорционального редуци-
рования абсолютным давлений, проводятся на воздухе при темпера-
тур© 15ЭС. Определим» какой будет ошибка в значении и, под-
А>
держиваемом регулятором, определяемая изменением А*, если в эксплуата-
ционных условиях рабочим телом является а) воздух, нагретый до 1000** С;
б) чистые продукты сгорания углеводородных топлив среднего состава
при1000 Q'n) двуокись углерода при 15еСи1000"С. Исследуем при этом ляп
Рже. 42. Характеристика Ck~<f (j^)0 или
, используемая для оценки погреш*
Vf'O
ногтей при пропорциональном редуцировании
абсолютных давлений
случая: 1)| когда соотношение эффективных площадей дросселей подо-
брано из условия поддержания величины rJo — (^)0 ~ 0»* 5 и
2)/когда оно подобрано из условия поддержания значения Г|о =
= (М = 0,3.
'А»'о
Рассмотрим сначала первый из этих случаев. По рис. 42 для
=0,75 находим Сл = —0,08. Согласно рис. 30, для воздуха при
Ра'о
1000° С/величина А’ = 1.35 и ДА = - / — ЮО — — 3,57%. При этом
pi/p« меняется на Дп = Сккк = (— 0,08)(— 3,57) = 0,3%. Аналогич-
но находим для продуктов сгорания при 1000° С Ди —0,63% и для
двуокиси углерода прн 15° и 1000° С соответственно Дн = 0,57% и
Ди = 1,23 zi , Для второго из рассматриваемых случаев, т. е. при
(~) = 0,3, как следует из рис. 42, С* = 0, и, следовательно, в этом слу-
'РО'
чае изменение температуры и использование в качестве рабочего тела дру-
гого газа не приводят к изменению отношения давлений до и после входно-
го дросселя и к возникновению из-за этого погрешности при регулирова-
нии заданного значения pi/p«.
75
4. Харагпюрмстики изменения избыточных длнлоннй
При проведеннгг .расчетов переход от абсолютных длктений к избыточ-
ным не составляет труда. Действительно
Pi _ Pi — Рн р‘ pt — rrt
““"'Jjl ' 1 " Л,”||'™1Ж™ J.I. **jT -»*-‘Ч*Д^|.и1а.
pe Л“‘₽Н Pt Pi —Fit
(НЛО)
где рп — давление атмосферного воздуха или давление другой среды,
с которым сравнивается давления ;ц, р0 п ре. Определив абсолютное дав-
ление по указанный! выше графикам, легко перевести его в избыточные
единицы. Этот вопрос не требует специальных пояснений. Обратим вни-
мание па другое обстоятельство, которое не является столь очевидным
и вместе с тем представляется существенным в связи с замечаниями о про-
порциональном редуцировании давлений, сделанными в предыдущем
пункте этого параграфа.
Если выполняется условие пропорционального редуцирования абсо-
лютных давлений, т. е. при различных р0 и pi поддерживается постоян-
ное и— —, то заведомо будет изменяться с изменением ре и pi -при
Ро ,
И =* const отношение . Это следует из того, что:
А>
• Р» , Ра
Pi _ г>~ Ри Р* Р« или ~ = —___г* .
А — Рн 1—Ре
Ре Pi Fl
Вместе с тем, как показывают исследования пневматических камер,
не только при дросселях с линейными характеристиками расхода (см.
следующий параграф), но и при дросселях рассматриваемого типа при
помощи проточной пневматической камеры может поддерживаться по-
стоянство отношения избыточных давлений. Рассмотрим как это увязы-
вается со сделанным выше выводом о невозможности одновременного под-
держания постоянства отношения абсолютных давлений и постоянства
отношения избыточных давлений в условиях, когда изменяются давления
на входе в камеру и в самом камере.
Для пропорционального редуцирования абсолютных п избыточных
давлений используются различные участки характеристик междроссель-
ной камеры. Необходимым условием для пропорционального редуцирова-
ния абсолютных давлений, как указывалось выше, является надкритиче-
ское истечение в выходном дросселе. При этом используются горизонталь-
ные участки характеристик ~ = / ''(Для характеристик 1 и 2 на рис. 43, а
это участки АВ и JiBi). Для регулирования же постоянного отношения
избыточных давлений должны использоваться участки характеристик
~ , соответствующие работе с малыми перепадами давлений на дрос-
селях, т. е. участки, близкие к точке* = 1, ~ = 1 , которые могут
быть ап роксимп рованы прямыми линиями (см. участки CD и CiD
характеристик 1 и 2 на рис. 43, а)1.
. 1 Заметим, что при квадратичной зависимости расхода от разности давлении
до к после дросселя и при принятии удельного веса неизменным (что возможно
76
*ти ..-члстки характеристик остаются линейными и прп переходе к ко-
• •
„ - Pi /’
• р^гвгЕэтхм. связанным с отношениями изоыточных давлении , -=.
Pq Ро
Рлссмотг.жм этот вопрос более подробно. Уравнением прямом линии в ко-

Рве. 4; К анализу условий, при которых воз-
«вжю тропорциональиое редуцирование абсо-
лютных и избыточных давлений газов:
Pi /I
® — ы'.кктерястини при различных — ,
р.
С — чагмевты характеристики — = »
Р»
(Г*)
'р.'
, — является уравнение - = »1та-, где а — угловой
J*u Ро Ро Ро
к^эффягБьгнт прямой, ат — отсекаемый ею на оси ординат отрезок,
-вменяя временные, получим —Р- — m + а Р~, - Р-Ы . Умножая обе
Ро + РИ Я> + Рн
чмггя этого равенства на р04- рц и собирая подобные члены, найдем,
что 1 Р* — а ро + ар]. Если рг — рн . т. е. р] = 0, то
(П17)
Тагам образом, приходим к заключению, что для каждого данного зна-
чеетя /ь/х [каждому /1//а отвечает свое значение m (рис. 43, а и 6)1 ппи-
уклтанжых выше условиях поддерживается при изменении величин р] и р]
Pi т , —
постеяижэе отношение —>. Если рч=г=рн или же режимы работы камеры
Ро
таховы, что характеристики выходят за пределы указанных выше линей-
ыъх участков, то при пропорциональном редупировапии избыточных дав-
леям могут возникать погрешности. Они могут быть учтены следующим
Р> Pi
в^« велпииг —, близких к единице), характеристика —
злыи-вжх линейна. Действительно, на ьырлжений G — h F — pi я С =
для данного
- *е V -Г" I Р— Р? следует —
Р->
Pi
Ро-
образом. Как следует из рис. 43, б, + Ь» Перейдем
в этом уравнении от абсолютных к избыточным давлениям. Тогда, учи-
тывая, что, согласно рис. 43, б, т + а — 1 =0, после некоторых преоб-
разовании найдем, что
А = т + Д + 4 (1 + -Д-). (П.18)
Ро Р0 X Р^Рц’
Рис. 45. Характеристики для определения погрешностей, возникающих
при пропорциональном редуцировании избыточных давлений:
о — характеристика = ф (^-) • б — характеристики -) ирв различных
значениях п
Гн
Принимая за исходную величину т значение т = —, можно определить
Ро
относительную погрешность в поддержании этого отношения избыточных
давлений, возникающую при pt =f= рн, и относительную погрешность,
определяемую нелинейностью используемого участка характеристики
2Х =х /(.£1^, Первая из этих погрешностей, выраженная в процентах,
согласно уравнению (11.18), определяется как
д, = «. 4-100, (Н.Ю>
т ₽;
а вторая как
Д, = JL (1 + _Д_\ 100. (П.20>
78
При помощи графика, приведенного на рис. 36, б, можно определить
входящие в выражения (11.17) и (11.19) величины т и а/т в функции от
отношения эффективных площадей проходного сечение дросселей
•
При помощи этого же графика можно получить значения Да = / (-, — - L
V /» Р&
Графики функций m = / | , = /(^)» Д« =* /(-£• > представ-
лены на рис. 44 и 45. При построении графика, представленного на
jpu
рис. 45, б, принят! ► -2- 1.
ТВ
5. Теория пж..5вматймского дроссельного пакета
• ♦
Рассмотри! систему из л последовательно расположенных проточных
камер, соединенных дросселями равного проходного сечення (рис. 46).
Пусть эффективная площадь проходного сечения каждого из дросселей
равна /. Первоначально рассмотрим режимы работы, при которых истече-

Рас. 46. Пневматический дроссельный пакет
ние во всех дросселях докрит ическое; затем выясним условия, при которых
в данной системе может наступить надкритическое истечение, и исследуем
режимы надкритического истечения.
При докритическом истечении во всех дросселях можно написать для
всей рассматриваемой совокупности камер следующую систему урав-
нений':
(П-21)
Это следует из уравнения (II.4).
На рис. 47 приведены графики, по которым могут быть определены
давления в междроссельных камерах при докритическом исте чении во всех
дрссселях. Графики построены для систем с числом дросселей л от 2 до 7;
на каждом из графиков кривые отвечают системе уравнений (II.21) ерв
давним л. По оси абсцисс на каждом из графиков отложено отношение
давления рп на выходе из системы к давлению ро на входе, а по оси орди-
нат — отношение давления за каждым из дросселей к давлению перед
ним. При значениях Рп/р^ больших значения, соответствующего i раничьой
прямой слева (показана на каждом из графиков рис. 47 пунктирной хи-
1 Применял На'Зор. I последовательно установленных дросселей, разделеязЕкх
камерами, или как их называют дроссельные пакете*, получах/r ермг-мтелъно мпхил
расходы 1 оадуха при относительно больших проходных сечениях каждого из др<жхе-
лей. Дроссельный пакет менее подвержен засорениям, чем пквивалеятный ему do рас-
ходу при згцанной разнести давлений один дроссель малого прохохяого сечами
няей), шггечение для всех дросселей докритическое; при значении рп!р^
соответствующем указанной прямой, достигается критический режим
истеченшн в выходном (л-м) дросселе системы.
Покажем, почему в системе, содержащей любое количество последо-
вательна» соединенных дросселей с равными эффективными площадями
проходншго сечения, критический режим истечения наступает с умень-
шением прежде всего в выходном дросселе системы. Докажем, вместе
с тем, чтт в любом другом из дросселей рассматриваемой системы истечение
будет оставаться докритическим, какой бы малой ни была величина Рп/Рь-
1 *4-1 3 *4-1
Так как <1, то из (П.21) следует, что г * — г<* > — пД,
чему соответствует условие Поэтому при последовательном
уменьшении Pn/ро значение г = гкр прежде всего достигается для выход-
ного дроюселя. Так как, как установлено, для любой пары последовательно
расположенных друг за другом дросселей всегда rt < г,_ь то при умень-
шении p^Jp9 критический режим истечения вслед за выходным дросселем
должен шел бы наступить в дросселе, непосредственно ему предшествующем.
Однако, согласно данным рис. 37 при ~~ = 1 (что имеет место в дан-
ном случае), надкритическое истечение в двух последовательно распо-
ложеншых друг за другом дросселях невозможно. Поэтому при одина-
ковых эффективных площадях проходного сечения дросселей ни в каком
другож дросселе, кроме выходного, не может быть получен критический
режим истечения.
Рассмотрим далее вопрос об определении давлений в камерах дрос-
селынпго пакета при надкритическом истечении в выходном дросселе.
Предварительно введем понятие эквивалентной площади дроссельного
пакета. Под эквивалентной площадью /8 дроссельного пакета, состоящего
из л дросселей, каждый из которых имеет эффективную площадь /, имеется
ввиду эффективная площадь одного дросселя, который при данном весо-
вом счжундном расходе воздуха создает ту же разность давлений, что и
весь дроссельный пакет. Тогда, когда каждый из дросселей рассматривае-
мого дроссельного пакета работает в условиях докритических перепадов
давлеший, истечение в эквивалентном дросселе может быть докритическим
или надкритическим. При докритическом истечении в соответствии с урав-
нению (ПЛ) получим
При надкритическом истечении в эквивалентном дросселе указанное выше
услявваю приводит, согласно уравнениям (П.1) и (П.2), к следующему
соотжяоению между и /:
(П.23)
80

Гис. 47 Графики для определения давлений в камерах пневматического дроссельного
макета в функции от давлений на входе и выходе (турбулентные дросселя; докритв-
ческие режимы течения воздуха)
6 Л. Л. За шанэон
81
На рис. 48 приведены характеристики изменения jdj в функции от рп ре>,
построенные по указанным выше уравнениям для п -2, 3 и 41. По этим ха-
рактеристикам определяется при заданных п и рп/р0 величина /Р//.
Укажем, как при помощи приведенного па рис. 48 графика можно
определить давления в камерах дроссельного пакета при надкритическом
истечении в выходном дросселе. Для этого изменим принятые ранее
обозначения. Примем обозначение индексом п для предпоследнего из
дросселей, а выходной дроссель будем считать за (п — 1)-ый; соответствен-
но с этим рп будет уже не давлением на выходе из системы, а давлением
за л-ым дросселем, т. е. в последней по потоку междроссельной камере
Рис. 48 График для расчета характеристик
пневматического дроссельного пакета с турбу-
лентными дросселями при надкритическом исте-
чении в выходном дросселе
(ср. с рис. 4G). В качестве дроссельного пакета будем при этом рассматри-
вать систему, состоящую из первых п дросселей; будем считать, что при-
веденный на рис. 48 график относится к этой системе. Заменяя данную
систему эквивалентным ей дросселем, придем к двухдросселыюй схеме.
Для этой схемы при надкритическом истечении в выходном дросселе отно-
шение давлений рп/Ро связано с/у// характеристикой, ранее приведенной
на рис. 39. Если перенести последнюю характеристику на график, пред-
ставленный на рис. 48 (линия rd), то в пересечении этой характеристики
с каждой из основных кривых, представляющих зависимость /»// от рп/ро,
найдем для заданного п значение Рп/р^ Так как //0 задано, то тем самым опре-
деляется и рп. Давления во всех остальных междроссельных камерах си-
стемы определяются по найденному значению рп.'Ро при помощи того из
графиков на рис. 47, который соответствует данному п. Возможность
использования этих последних графиков определяется тем, что, как было
доказано выше, истечение для всех дросселей рассматриваемого дроссель-
ного пакета, кроме выходного, всегда докритическое.
С тем, чтобы проиллюстрировать пользование указанными выше гра-
фиками, рассмотрим следующий численный пример.
Дана система, состоящая из четырех последовательно включенных
дросселей с равными площадями проходного сечения. Следует опреде-
лить распределение давлений по отдельным междроссельным камерам
при следующих значениях отношения давления воздуха на выходе к дав-
лению воздуха на входе в систему: а) при — = 0,46, б) прп = 0,2и.
Р» Р®
1 Подробнее о построений этих характеристик см. в (44).
82
а) Находим по графику для п — 4 на рис. 47 при — — 0,46 значения:
Р»
— = 0,90; == 0,88; = 0,83; - 0,70. J
Ра Pi Pt Pi
б) Значение ~ = 0,20 находится за пределами поля характеристик
Ра
для п — 4 на рис. 47. Это свидетельствует о том, что режим истечения
в выходной дросселе надкритический. Обращаемся к графику на рис. 48.
В пересечении характеристики cd с характеристикой — ф
л = 3 (т. е. для п на единицу меньшего, чем число дросселей) находим
~~ — 0,63. Соответственно — — — 0,32. Распределение дав-
лений в остальных междроссельных камерах_дшределяем по графику для
л = Зна рис. 47: при — = 0,63имеем — 0,90; —- = 0,87; — = 0,81.
Ра Ра Pi Pi
Рп
ДЛЯ
в. Рмчет давлений в междроссельных камерах
при боже сложных соединениях дамер
Пользуясь графиками, полученными выше для простейших последо-
вательных соединений междроссельных камер, можно существенно упро-
стить рас чет некоторых более сложных систем, которые рассматриваются
члже. Как 1 ранее, считаем заданными давление на входе в систему, дав-
ление ни выходе и эффективные площади всех дросселей, а искомым —
распределение давлений в камерах [или расходы воздуха, которые при
известных величинах давлений определяются для каждого дросселя по
формуле (1.13)1. Рассмотрим дроссельные пакеты, выполненные по типу
показанного па рис. 46, но такие, в которых имеются дроссели различного
протодного сечения. Ограничимся сначала случаями, когда: 1) всего
лмеется tjh или четыре дросселя различного проходного сечения и нет
других дросселей; 2) имеется л дросселей равного между собой проходного
сечения, соединенных с т дросселями также равного между собой, но от-
личного от первых п дросселей проходного сечения; 3) дроссельный па-
кет содержит л дросселей равного проходного сечения, соединенных с дву-
мя дросселями, отличающимся по площади проходного сечения как между
собой, так от каждого из первых л дросселей.
В каждом из таких дроссельных пакетов можно выделить два узла,
для которых методика расчета давлений и расходов воздуха была указана
ранее, Обозначим давление в междроссельной камере, разделяющей оба
эти узла, как р,. Задаемся несколькими значениями р,. Для каждого из
этих значений по ранее приведенным графикам находим распределение
давлений в междроссельных камерах каждого из узлов и, пользуясь гра-
фиком длк определения х на рис. 6, рассчитываем по формуле (1.13) расход
газа G через каждый из узлов. Откладываем на графике значения G в за
впснмости от р, для одного из узлов и соединяем полученные точки кри-
вой, откладываем на том же графике G в зависимости от р- для другого
па узлов также соединяем точки кривой. В пересечении обеих кривых
получаем гстинные значения G и р*. (Обе кривые обязательно пересе-
каются при некотором значении р<, так как с увеличением задаваемых
качений р, величина G для первого по потоку узла уменьшается или
остается постоянной, и для второго расзет.)
Методика указанного выше» построения иллюстрируется для дроссель-
ного пакета, содержащего четыре дросселя с различными площадями про-
ходного сечения, схемами и графиком, приведенными на-рис. 49, а и б.
Разделяем систему, включающую дроссели /—/У, на двъ узла так, как
83
показано на рис. 49, а и, рассматривая каждый из узлов порознь, вводим
для него обозначения, принятые ранее при рассмотрении простейшей меж-
дроссельной камеры. Задаемся несколькими значениями давления ри
(для первого узла ри = pi, для второго />ц — ро). По графику, показан-
ному на рис. 36, б (или 38), определяем давления в промежуточных каме-
рах п подсчитываем расходы воздуха. Из графика,показанного на рис. 49,6,
находим истинные значения рц и G. При аналогичных построениях для
указанных выше случаев 2 и 3 используются также графики, показанные
на рис. 47 и 48.
Рже. 49. К расчету давлений в системе пневматически камер с
турбулентными дросселями ори неодинаковых площадях проходного
сечения дроссал й н при раа ютвлеяных системах пневматических
камер
Указанным выше методом можно определить распределение давлений
н при более сложных соединениях камер. Например, при наличии не двух
а трех узлов типа «два дросселя различного проходного сечения» или типа
«л дросселей равного проходного сечения» обозначаем давление в камере
между вторым и третьим по потоку узлами р, и задаемся несколькими зна-
мен я.чч р,. Для каждого из заданных pj рассчпты заем отдельно G для
третьего узла и указанным выше способом для двухузловой системы, пред-
шестьующей данной камере. Затем тем же графическим построением, ко-
торое 1 «пользовалось для двухузловой системы, определяем истинные
значения pj и G.
Выводы, сделанные для системы последовательно расположенных дрос-
селей, распространяются на последовательно—параллельные ссстемы,
Представляющие собой последовательное соединение узлов, состоящих
из параллельно включенных дросселей. Простым сложением площадей
нескольких параллельно включенных дросселей любой из таких узлов
заменяется одним эквивалентным ему дросселем. Рассмотрим, например.
систему, пикл.тнпую на рис. 49, ». Методика решении остается здесь той
же, что и указыватпаяся ранее. Задаемся несколькими значениями рц.
Для каждого и» заданных рц расачнгываем расход воздуха через дрос-
сель I. Затем для каждого из заданных рц рассчитываем расход воздуха
через дроссели 77,77 7, IV (рассматриваем дроссели II и 111 как один дроссель
с площадью / /и 4- /щ) и через цчптель V. Так же, как это указыва-
лось panel* (pur, 49, а и б), графическим построением находим истинное
значение рц только лишь «место Gд nt нладыпаем теперь на графике расход
воздуха через дроссель 7, а вместо <«’„ суммарный расход воздуха через
дроссели II, 711, 71 и V’.
Этот же метод применим и к расчету некоторых еще более сложных си-
стем, которые могут быть приведены к последовательно—параллельным
после замены эквивалентными дросселями отдельных их часл'п, в спою
очередь представляющих последовательное соединенно узлов параллель-
но включенных дросселей. Рассмотрим, например, схему соединения ка-
мер, представленную на рис. 49, г, причем будем считать, что площади
проходного сечения всех дросселей различны. Задаемся несколькими зна-
чениями р^ Для каждого из них подсчитываем расход воздуха через дрос-
сель 7, расход воздуха через систему дросселей 11,11 I, IV и I [эта система
рассмотрена ранее (рис. 49, л)1 11 через систему дросселей! 7, I II,VIll.
IX, X [эта система также была рассмотрена раньте (рис. 49, е)|. Постро-
ив на общем графике но расчетным точкам характеристику изменения в
зависимости от /ч расхода воздуха через дроссель 1 и характеристику из-
менения в зависимости от р, ра» хода впаду ха через все остальные дрос-
сели данной системы, находим в пересечении обеих характеристик истин-
ное значение pi. Остальные искомые величины определяются так, как это
указывалось при рассмотрении схем, показанных на рис. 49, лив.
7. Течение войду ха через систему междроссельпык камер
при малых перепадах давлений
•
Расчет распределения давлений в системе междроссольпых камор зна-
чительно упрощается, если перепад давлений, под которым происходит
истечение воздуха через всю систему, настолько мал, что не только для
отдельных дросселей, но и для всей системы в целом можно пренебречь
изменением плотности воздуха. В этом случае можно вести расчет по фор-
мулам, относящимся к течению несжимаемой жидкости.
Рассмотрим систему последовательно расположенных междроссель-
чых камер; для большей общности будем считать, что площади всех дрос-
селей различны. Для i-ro дросселя, учитывая, что Д — его эффективная
площадь проходного сечения, напишем в соответствии с (1.12), что
2gyprp1_l — Для всех п дросселей получим систему урав-
нений
Ji = ».2.......п). (П.24)
Складывая соответственно правые и левые части все\ уравнении (11.24),
получим
л-*- £2 7- («.25)
i= I
Введем в рассмотрение эквивалентную площадь /8, определяя ее из усло-
вия
' (П.26)
85
Flic. 50 Пример нодрч «делении сложной системы про-
точных камер с турбулентными дросселями на группы
Из (11.25) п (11.26) следует
(И.27)
Напишем уравнение, аналогичное уравнению (11.25), для участка,
содержащего несколько дросселей, например дроссе.-.п от с-го до й-го и
примем для этого участка за выражение эквивалентной площади /Зс+/ ==
— — J -----н введем это выражение в указанное вы^эе уравнение. Срав-
/ * t
нива я полученное при этсм уравнение с (11.25). придем к уравнению
V 1
А) — Рп Л
(П.28)
8G
Из выражения (11.28) следует, что при последовательном соединении
междроссельных камер падения давления на отдельных участках обратно
пропорциональны квадратам эквивалентных площадей этих участков.
В частном случае при с = 1 уравнение (11.28) прпноится к виду
Р* — Р*3 О>о~~т— ,
Л Hr
откуда следует
р, = _ (р. _ р„) . (11.29)
'Н*
Если между какими-либо двумя камерами имеется несколько, напри-
мер л?{, параллельно установленных дросселей, то соответствующая во-
лн
личина /4 равна 2 Л.у- Для системы, включающей п последовательно
j—i
расположенных узлов, состоящих из параллельно установленных дрос-
селей, формула (П.27) может быть записана в виде
fa---------?________ (11.30)
1/ s--—-
Г ‘",(S
В некоторых случаях приходится встречаться со сложными схемами
соединения междроссельных камер, которые заменой отдельных узлов
эквивалентными дросселями могут быть приведены к схеме простейшего
дроссельного пакета (рис. 46), причем с узлами, заменяемыми эквивалент-
ными дросселями, может быть проведена аналогичная операция. Расчет
давления в любой камере для таких сложных систем может быть прове-
ден по единой для различных схем формуле, указываемой в работе (561;
в эту формулу входят эквивалентные площади отдельных групп дросселей,
получаемых при указанных выше преобразованиях исходной схемы. На
рис. 50 показан пример подразделения сложной системы дросселей и
меж дроссельных камер на группы.
S 3. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОТОЧНЫХ
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР ПРИ ЛАМИНАРНЫХ ДРОССЕЛЯХ
И ПРИ СОЧЕТАНИЯХ ДРОССЕЛЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
1. Характеристики междроссельных камер
при ламинарных дросселях
Пропорциональное редуцирование избыточных давлений
в еямерг1 г ламинарными дросселями
Пневматичссмая камера как сумматор давлений
Наиболее важные свойства проточных камер с ламинарными дросселя-
ми проявляются при работе их с малыми перепадами давлений, когда во
многих случаях можно принимать воздух за несжимаемую*, жидкость.
Поэтому сначала рассмотрим характеристики камер, пренебрегая влия-
нием изменения плотности воздуха. Методику определения давлении в меж-
87
дроссельной камере при учете этого фактора, а также других факторов,
от которых зависит протекание характеристик дросселей, рассмотрим
в дальнейшем особо.
Обратимся к схеме простейшей проточной камеры с ламинарными дрос-
селями: по определению дроссели данного типа могут быть цилиндриче-
скими с круглым сечением (рис. 51, а) или щелевыми (рис. 51, <5). Для
Рис. 51. К расчету статических характеристик проточных пне-
вматических камер с ламинарными дросселями:
а — схема проточно* камеры с цнлгндрнческими ламииарнымв дросселями
круглого сечения, б —схем проточной камеры с цилиндра некими ламина р-
ымп щелевыми дросселями, «—характеристика* у )»•—«схема
р0
проточно* камеры с ламинарными дросселями — сумматора давлений

описания характеристики расхода этих дросселей воспользуемся соот-
ветственно формулами (1.19) и (1.31), причем пока будем считать, что в по-
в
следней формуле = т = const. Введем следующие обозначения: для
цилиндрического дросселя
/- ^*1
7 “ 128р/
и для щелевого дросселя
4 _ л7?^*Т
' ~ 12р/ '
Тогда для цилиндрических и щелевых дросселей
G ~ /др.
(11.31)
(11.321
(11.33)
где др — разность давлений до и после дросселя.
Следует сделать оговорку о том, что величина / в указанных выше
выражениях не является ни геометрической площадью сечения дросселя,
ни эффективной площадью в том смысле, в каком говорилось ранее об
эффективной площади турбулентных дросселей, рассматривавшихся
прошлом параграфе.
88
Из равенства весовых секундных расходов воздуха через входной н
выходной дроссели находим
’1 (р0 — Pl) = — pt), (11.34 >
откуда следует
Pt । /1
PL = -£°—J* , (11.35)-
Так как в исходные формулы (1.19) и (1.31) входит разность давлений,
то выражение (11.34), а соответственно с ним и выражение (11.35) не из-
меняются, если заменить абсолютные давления р0» Ръ Pt соответствую-
щими избыточными да тлениями р0, р2;
Л+А
Д = . (П.зб>
Р<> 4
h
Если давление р, на выходе есть атмосферное давлена или другое давле-
ние, от которого везется отсчет избыточных давлений р* и р*, то р* = О
и тогда
(П.37>
Характеристика
Р г f \
-4- =/ определяемая выражением (11.37) показана
на рис. 51, в. Прп цилиндрических дросселях круглого сечения
'1. 4'j
/• <ф,
(11.38>
и пои щелевых дросселях
А = Ад?/,
А “ IMj/i *
(П.39>
Из выражении (11.37) и (П.35) следует, что при ламинарных дросселях
при помощи междроссыьной камеры можно только поддерживать постоян-
ное отношение избыточных давлений и невозможно поддержание отноше-
ния абсолютных давлений воздуха.
Рассмотрим далее свойства проточной камеры с ламинарными дроссе-
лями, благодаря которым оказывается возможным использование ее в ка-
честве сумматор а Рассмотрим камеру, которая сообщена п дросселями
с п другими камерами, причем в общем случае давления во всех камерах
различные (рис. 51, е). Пусть на некотором режиме работы воздух подво-
дится к камере через т входных дросселей и вытекает из нее через I вы-
ходных дросселей. В зависимости от соотношения между величинами внеш-
них давлений и величиной давления в камере с изменением внешних дав-
лений значения т. и / могут меняться, однако прп этом т 1 = п — const,
так как общее число всех дросселей п остается неизменным. Пусть при
заданном установившемся режиме работы весовой секундный расход
воздуха через f-ый из входных дросселей Gt — ft (pi — P*) и весовой се-
» См. |32, 51, 52. 96. 97J.
8»
к1 ндныи расход воздуха через , -ый из выходных дросселей Gj =
— JP.-)» где/-*, и pi — внешние давления, а рв — давление в камере.
Из условия равенства суммарных расходов воздуха, протекающего соот-
ветственно через все входные и все выходные дроссели, имеем
m I
, fi (Р‘ Рк) = S fi (Рк Л')»
i=l J=1
откуда ваппнм
S Лл + S !?>
--------------• (««»
2 Л + 2 h
i=*l 7=1
Величине знаменателя в (11.40) не зависит от т и 1, взятых порознь, и оп-
ределяется лишь значением т -f- I = const и величинами / для отдель-
ных дросселей. Поэтому даже при неравенство отдельных значений /, и
между собой, согласно (11.40), имеется линейная зависимость рк от pt и рг
Тогда же, когда все /, и // равны между собой, выражение (11.40) приво-
дится к виду
m I
2 л+2 р>
____ i l J 1
Рк - т f
или, если ввести общее обозначение для внешнего давления у некоторою
будь то входного или выходного дросселя, получим
Р« = V 2 Pi-
1=1
(11.41)
Из приведенною вывода следует, что проточная камера в принципе может
выполнять функции сумматора.
Однако точность выполнения операции суммирования зависит от того,
в какой мере иста алые характеристики расхода дросселей отвечают ли-
нейной характеристике расхода, описываемой уравнением (11.33) при*
/ — const. В п. 1 § 3 гл. I были указаны различные факторы, из-за влияния
которых характеристика расхода ламинарного дросселя может быть не-
линейной. В качестве примера рассмотрим влияние изменения плотности
воздуха нь характеристики пневматической камеры как сумматора дав-
лений 1.
При учете влияния изменения плотности воздуха на характеристики
входных в выходных дросселей будем пренебрегать ускорениями, воз-
никающими в связи с изменением скорости течения по длине канала дрос-
селя; влиянас этого последнего фактора, а также других факторов при
необходимое!а мо кет быть учтено, как это было указано в § 4 гл. I.
Сначала рассмотрим случай, когда эффективные площади проходного
сечрмня всех дросселей одинаковы. Как следует из выводов, проведенных
вп. 1. § 3 гл. 1. в рассматриваемом случае секундный весовой расход воз-
духа через дроссель определяется выражением G = \—I ~ ’
* Данный вопрос равее был рассмотрен в работе 152), в которой также нриь**дены
дач чме эксперимент ал итого исследования пневматических камер как сумматоров дай-
ленам.
ГД<‘ l*o — избыточное давание перед дросселем, р*— избыточное дав-
ление за ним*, и pt "—соответствующие абсолютные давления. Вводя
обозначение / - * получим С, ~ j (// — р‘) Обратимся
снова к схеме, показанной на рис. 51, <». Из условия равенства (при уста-
новившемся режиме истечения) между носовыми количествами воздуха,
протекающий) н камеру через т входных дросселей и выходящего из нее
через / выходных Дросселей, получим а
m • • ., I * «
3 /О —-. ’—- 2 <к - р’) .
• 1 * j«l
Здесь значения tn ц I могу г быть различными в зависимости от того, •
каковы давления перед отдельными дросселями, но величина т Ч~ I ~ п
во всех случаях сохраняет постоянное значение. Из написанного выше
уравнения находим величину />’:
р'„ - - |.газ - 1/ «до» । ь2,обоР;).
При неучете сжимаемости воздуха давление в камере, которое будем
в дальнейшем для этого случаи обозначать как р‘, равно [см. (11.41)1
Величина погрешности, определяемой влиянием сжимаемости воздуха,
• -*•
р _ р
выраженная в процентах, равна б — к—100* Подставляя в последнее
_в
выражение приведенные выше значения р* и />*, получим
/« Л i п \
1да«-4 ~ X <Р? + 2,°66р*) — f t ,033н + 2 л)
о ==___________'----------------------100%. (11.42)
2 я
»=1
Проведем оценку численных значений погрешности б. Рассмотрим
следующий частный случай. Пусть перед половиной всех дросселей (перед
всеми входными дрччччляни) давление равно //, а давление на выходе
из всеу остальных дросселей равно р‘. Соответствующий этому случаю
схема сумматора может быть заменена эквивалентной ей пневматической
камерой, имеющей лишь один входной и один выходной дроссель. При
этом и — 2 и формула (П.42) принимает следующий вид:
21 Г * да* - 4 р>^4- />’’) + 2,066 (Р* 4- Га)1 — (2.066 4- р‘ 4- р*,)
а = l----------- J:—:—_—т--------------------------юо%.
р»+
(П.43)
1 В данном н в иоследу*>щих выражениях избыточные давления могут быть заме-
нены соответствующими a»V- лютными давлениями.
s Принимается, что р - р* 4-1,033 (при размерности давления кг с.ма).
91
На рее. о2, а сплошными линиями показаны характеристики
подсчитанные но формуле (11.43) при р‘ = О н
р
$ С? Z4 £6 W
%
п О
По формуле (11.43) относительная погреш-
ность д определяется как ведцвчина р* — />*,
поделенная на гдс Рк завжежт от давлений
перед всеми входными и за
дросселями (от всех pi).
Можно определять
здесь погрешность такж'
му, так как это прпичхч>
класса точности приборов, т.
лютную погрешность к максимальному значее
пню шкалы (в нашем случае к р* — р* ).
и кшах
Тогда вместо д нужно брать величину д', свя-
занную с д соотношением
5КТМП ВЫХОДНЫМИ
;чл ссматрн наем у ю-
и по друго-
прп ОЦРНК-
е. отпоен абсо-
а
Рис. 52. Характеристики
погрешностей. получаемы!
прж лспольз'ьлштя пневма-
тической камине ламинар-
ными дросселями в каче-
стве сумматора давлений:
•
а — тарактррв-пгж S “ » (Ге —
— при р . = « • р 2 “
• •
11 рактериетЕгл 5'=: .Го— Р-)
иг«р. “ С7~Д'~Я *»= «> 6 —
ирактервстска S»s
д'«д-Д-. (11.44)
^*ктах
Возвратясь к приведенному выше численно-
му примеру, будем считать, как и ранее, что
при всех условиях р* — 0. а р* =1 ати. При
max
этом получим в соответствии с формулами
(11.43) и (11.44) характеристику д'=/ (р« — Pi)-
показанную на рис. 52, а пунктирной линией.
Заметим, что д’ . = д
’ max щах
Проанализируем далее случай, когда зна-
чения коэффициента / у дросселей неодина-
ковы.
Рассмотрим камеру, для которой значение
этого коэффициента у одного на дросселей отлич-
но от равных между собой его значений у осталь-
ных дросселей и примем, что перед этими
последними дросселями давления одинаковые.
Прп этом схема сумматора может быть заме-
нена эквивалентной ей схемой междроссельной
камеры с одним дросселем на входе и одним
дросселем на выходе. Пусть для выходного и
входного дросселей при этой последней схеме
значения/равны соответственно /2п/^введем для
их отношения обозначение ф = 1. Обозначим
давление перед первым из указанных выше
дросселей pjj, давление за вторым из них р:,
давление в камере р*. При учете сжимаемости
воздуха, из равенства весовых секундных
расходов воздуха через входные и выходные
1 Напомькм erne раз, что величины /а или /4 при неучете сжимаемости воз-
духа являются козф^всвентами пропорциональности между весовым секундным
расходом воздуха ж разностью давлений до и после дросселя. При учете сжимае-
мости воздух» зваченжт ft или Д представляют собой коэффициенты пропорцпо-
92
дроссели, записываемого в виде
/1 (р9 — p'J
р;+р;+2.ом = А (р. _ рр
+р\ + 2«066
2
получим следующее выражение для р*:
= - 1,033 + 1,033« + _^|р*;+фр-з + 2,066 (pj +фр- )1.
Если не учитывать сжимаемость воздуха, то из уравнения равенства
весовых секундных расходов /1 (р* — р^) = /« И — Рр» откуда следует
j>* = • Подставляя указанные выше значения р* и р* в выраже-
• Т —*
яие б = .** 100%, получим
Л
б ==
(1 +Ф)1Л1.033«+ *(p^+^+2.C66i{p;+tpPl-(1.033 (1+?)+р;+фрр
=---------------1+*----------------_----------------------100%.
(11.45)
Принимая значения ф различными, можно оценить влияние изменения
значения / у одного из дросселей на величину б.
Задаваясь конкретными значениями р’ и р*, получим для них зави-
симость б == / (ф). Например, при р* = 1 ати и р’ = 0 1
в = {(1 + *) }/1,07 + | - (1,033 (1 +М>) +11} 100%. (11.46)
Характеристика б = /(ф), рассчитанная по формуле (11.46), представ-
лена на рис. 52, б. При увеличении ф по сравнению с ф — 1 (случай, когда
ф = 1, был рассмотрен выше), величина б резко возрастает, а при ф, стре-
мящемся к нулю, величина б также стремится к нулю.
На основании анализа влияния сжимаемости воздуха на погрешности
работы пневматической камеры — сумматора при ламинарных дроссе-
лях можно сделать заключение о целесообразности перехода с целью
повышения точности к меньшим величинам р’ — р*. Например, для
случая, представленного на рис. 52, а, характеристикой б = <р (р’ — р*)
для р’==0при / 0,05 ати погрешность, обусловленная указанным выше
влиянием, не превышает 1%. В случае, если не представляется возмож-
ным переход на малые давления, то тот же эффект может быть получен
вследствие повышения величины р* при сохранении данного диапазо-
нальвости между весовым секундным расходом воздуха и разностью' давлений до я
после дросселя, умноженной на среднее по длине канала дросселя абсолютное дав-
ление. Для любой области давлений остается неизменным, независимо от того,
учитывается или нет сжимаемость воздуха, отношение ф .
/1 ф
• + фр* р_ — р_ ф
1 Заметим, что из выражения — - следует ф ” или при pt==0
на i>’ — />*; согласно характеристикам, приведенным на рис. 52.. а
при р* = 0,5 ати величины Ь уменьшаются более, чем в 3 раза, пос в не-
нию со значениями д при тех же р* — р* для р“ — 0 ати. Выше было
учтено влияние только лишь одпого из факторос — сжимаемости воздуха;
следует учитывать также рассмотренное в §3 гл. I влияние на характери-
стики дросселей других факторов (увеличенное сопротивление на началь-
ном участке и др.). В некоторых случаях для получения большей точности
работы пневматической камеры как сумматора следует стараться в.гытмно
компенсировать различные по знаку отклонения в характеристиках дрос-
селей, обусловленные, с одной стороны, сжимаемостью воздуха и,, с дру-
гой,— влиянием условий течения на начальном участке формирования
лам] и ирного потока или же, при выходе из об ласти чисто ламин i риого
течения, влиянием турбулизации потока. В этом отношении могут дать
лучшие результаты дроссели, работающие на режимах, промежуточных
гежду режичьмг чисто ламинарного и режимами турбулентного течения.
Относительно малая погрешность может быть получена при работе с
дросселями промежуточных типов при наличии в камере дополнитель-
ного проточного дросселя, через который воздух перепускается к атмо-
сферу (см. рис. 35, б, см. также [97]).
2. Роле с дроск <м «сопло — заслонка* как пример
пвевчатм* 1 jev-i ofi кагюры с разнотипным! i дросселями.
Характеристики некоторых других
пневматических камер с разнотипными дросселями
К числу проточных камер с разнотипными дросселями, часто 'встре-
чающихся в приборах пневмоавтоматики, относятся камеры реле, на
иходе у которых установлен цилиндрическим дроссель, а на выходе-
дроссель типа сопло — заслонка (рис. 53, а). Такне реле имеются во всех
пневматических регуляторах промышленного назначения, а также ью мно-
гих других пневматических приборах. Расчет характеристик камер данного
типа должен проводиться на осно зании приводившихся ранее со-обра-
жений, с учетом указанных в главе I особенностей характеристик дроссе-
лей одного и другого типа1. Особый круг вопросов возникает в спязи
с постановкой для рассматриваемых реле задач?• увеличения крутизны
основного рабочего участка характеристики / = ф(Л)1 и смещения итого
участка в сторону более значительных Л (последнее позволяет ставить
менее жесткие требовании к качеству притирки поверхностей заслонки
и торца сопла). В работах [58, 59] рассмотрено изменение характеры стики
р* = f (Л) при помощи специальных регулирующих устройств, поддер-
жи» ющп< постоянство перепада давлений до и после входного и выход-
1 >го дросселей камеры; расчеты при этом проведены на основе определения
расхода для обоих дросселей по одной и той же формуле (1.12'), причем
приняты одинаковыми коэффициенты расхода обоих дросселей. Неемитря
на то, что данные, получаемые при такой методике расчета, могут в коли-
чественном отношении значительно отличаться от истинных (в работе
158] отмечается, что ставится задача выявления главным образам ка-
чественного влияния параметров), сделанные в работах [58, 591 каче-
ственные вмподы хорошо согласуются с экспериментом.
1 Вопросам рас~ета реле с дросселями типа сопло—заслиака вослящвма ра&ггл] 57 ].
1 При разработке многих пновматячпеких приборов оказывается необз з*жмым
нспольаоваиие реле с возможны более крутым рабочим участком характеристик
Р,’ ’=’ Ф (*).
«И
Опытные характеристики р* = <f (Л), полученные при постоянной
разности давлений на дросселях и при работе реле без до-
полнительных устройств для поддержания постоянной разности давлений,
показаны на рис. 53,6, •; и г. Эти характеристики получены при di —
= 0,18 /с — 18 мм. di — 0,5 мм, р* — 1 ати. Характеристики,
изображенные на рис. 53, б, сняты при р* ~ 0, причем кривые 1—4
Рис. 53. Характеристики р*- ф(Л)для пневматической
камеры с выходным дросселем тина «сопло—заслонка»
при различных условиях по перепадам давлений на
входном и выходном дросселях
отвечают значениям р'п — р\, соответственно равным 0,033; 0,1; 0,2.
и 0,3 кг [см3. Характеристики, показанные на рис. 53, в, получены при
р* — р’ = 0,033 кг [см3 и при следующих значениях р — р’: кривая Г
при переменных р* — р*, кривая 2 при р‘ — р* — 0,35 кг [см* и кривая 3'
при р; — р* = 0,14 хг/сл*. Характеристики, представленные на рис. 53, г,
отвечают случаю работы при постоянном значении р — р* =0,1 кг см8,
причем для кривых J, 2, Зи 4 значения р* — р’ в каждом случае являются
постоянными и равны соответственно 0,033; 0,1; 0,2 и 0,3 кг [см3', кривая 5-
получена при переменных р*—р*. Для сравнения на последнем графике
нанесена характеристика 6, полученная при переменных значениях
Р\ ~ Р\ м Р\ ~ Р\-
95.
Насколько при анализе работы реле рассматриваемого типа иногда
бывает важным учет истинного характера течения воздуха в дросселях
показали исследования,проведенные при изучении влияния величины давле-
ния питания р’на вид кривой р* = ф(Л) [10]. Если принять при малых
давлениях питания (р* <^0,1 ати) течение воздуха в обоих дроссе-
лях ламинарным, считать их характеристики расхода линейными и при-
нять р — 0, то из уравнения равенства расходов A'i(p* — р[) — kjip\
-следует1
а=кЬ4^-11' <ц-47>
-то есть в данном случае величина h зависит от отношения давлении
р*/р* и не зависит от величины давления питания р“. При более высоких
давлениях питания (0,1 ати < р* < 2 ати) характеристика входного
дросселя незначительно отличается от прямой,а характеристика выходного
дросселя (дросселя типа сопло — заслонка) становится близкой к квадра-
тичной параболе. Из уравнения равенства расходов Ад (р‘ — р‘) = kih ) р'
«получается
1-4
Л = £—ДК₽;, (П.48)
' Ро
ш, следовательно, в данном случае величина h зависит как от р*/р’,
так и от р*, причем при данном значении р’/р’ с уменьшением р‘
величина h уменьшается (последнее связано с увеличением крутизны ра-
бочего участка характеристики реле). Указанные выше выводы полно-
стью подтверждены опытами, также описанными в работе [10]; полу-
ченные при, различных р* экспериментальные характеристики
) = ф (Л) показаны на рис. 54.
Ро/
В связи с приведенными выше данными о протекании характеристик реле
•с дросселями типа сопло — заслонка укажем на отмеченную в работе [81
возможность улучшения этих характеристик путем применения дроссе-
лей с эжекторным соплом. На рис. 55, а и б сопоставлены характеристики
реле с дросселем ‘сопло — заслонка обычного типа и реле, имеющего
дроссель с эжекторным соплом; схемы обоих реле показаны соответствен-
но на рис. 55, виг1.
Практический интерес представляет исследование характеристик
пневматических камер с разнотипными дросселями не только тогда, когда
•одним из дросселей является дроссель сопло — заслонка, но и при поста-
новке на входе в камеру и на выходе из нее цилиндрических дросселей
различных типов. В частности, следует отметить случай, когда один из
дросселей, входной или выходной, имеет линейную характеристику рас-
хода, а характеристика расхода второго дросселя следует закону квадра-
тичной параболы. Это имеет место при сочетании дросселей ламинарного
и турбулентного при условии, что не сказывается влияние изменения плот-
ности воздуха и других вторичных факторов, вызывающих отклонение
характеристик расхода от указанной выше формы.
1 Здесь к\ vl kt — постоянные коэффициенты.
’ Камера реле, показанного на рис. 55, е, подходит под определение междроссель-
еых камер малых размеров, характеристики которых рассматриваются ниже, 1 | 4.
-96
Пусть, например, входной дроссель ламинарный и г» о характеристика
расхода определяется уравнением (1.19), а выходной дроссель
турбулентны * п для него уравнением, описывающим характеристику
расход», является уравнение (1.12). Тогда из равенства весомых секунд-
ных расходов воздуха через оба дросселя следует
а
где
г Ро — Р1 == С lrPl —
(П.*<9)
(Н.:чп
Рис. 54 Характеристики пневма-
тпческой камеры с выходным лек-
селем типа «сопло— заслонка* при
различных давлениях питания
Рис. 55 Сравнительные характеристики
пневматических камер при дросселе
«сопло — заслонка* обычного тина и
прн дросселе эжекторного действия
Здесь е2 —- коэффициент расхода выходного дросселя, а все другие величи-
ны имеют те же значения, что и в уравнениях (1.18) и (1.19). Переходя
в выражении (11.49) от абсолютных давлений к избыточным и принимая
f\ — 0, получим
rt — = с> Р? (U.51)
Если при ЭТОМ С — I, то
Р*о — р[ = Гр1> (П.52)
откуда следует
<ц.53)
Аналогичным путем получим для случая, когда па входе в камеру нахо-
дится турбулентным дроссель, а на выходе из нее ламинарный дроссель,
УРо — Pi = схРг (11.54)
7 Л А Залма взон
97
где л t * •
32| Z?* pe,i,
.• V I .. W
при Cl « f л -
Pi~'Pe~- Pr (11.55)
Как следует из выражений (11.53) и (11.55), при изменении разкостп давле-
ний до и после входного дроссели ио некоторому закону давление в ка-
мере в первом случае равно квадрату указанной выше разности давле-
ний, а во втором случае равно корню квадратному от этей разности
давлений1.
Рис, 56. Характеристики
Ро Pi *= * 0»1> ПРИ ламм*
нарком дросселе на входе
в камеру ж турбулентном
дросселе иа выходе из нее
Рис. 57. Характеристики
Ро ~ А « Ф <Х) ИРИ ПГР-
булентном дросселе на вхо-
де в камеру и ламинарном
дросселе на выходе из нее
Можно по разному сочетать размеры указанных выше дросселей,
чтобы коэффициенты c«q в уравнениях (11.51) или (11.54) принимали бы
различные значения. Семейства характеристик проточной камеры, отве-
чающие выражениям (11.51) и (11.54), показаны соответственно иа рис. 56
и 57. Каждой из представленных на этих рисунках кривых отвечает ука-
занное при ней значение коэффициента с или Cj.
Отметим, что при указанных выше сочетаниях дросселей с изменением
давлений па входе или на выходе не остается постоянным ни отношение
абсолютного давления в камере к абсолютному давлению на входе, ни
отношение соответствующих избыточных давлений. Например, если в
(11.53) раскрыть выражение в правой части равенства и разделить обе
. X Р'а — 2Р*1 п
части равенства на р0, то получим — — —----—. Данный вывод представ-
ляется существенным для решения вопросов, возникающих при доводке
характеристик дросселей проточной камеры регуляторов отношения
избыточных давлений общепромышленного типа, для которых не удает-
ся получить строго линейные характеристики расхода, так как одним
из дросселей является дроссель типа сопло—заслонка. В этой связи пред-
ставляется также существенным сделанное в прошлом параграфе заме-
чание о возможности пропорционального редуцирования избыточных дав-
лений с помощью междроссельной камеры не только при линейных харак-
теристиках дросселей, но и тогда, когда характеристики расхода обоих
дросселей, входного и выходного, следуют закону квадратичной параболы.
1 Схемы приборов пневмоавтоматики, в которых указание выше сочетаняя ха-
рактеристик дросселей используются для выполнения операций возведения в квад-
рат и извлечения квадратного корня, указаны в работах [8.9|.
98
3. Определение давлений в каме|>е
при задании характеристик дросселей в виде графиков
В главе I было отмечено^ что характеристики турбулентных дросселей
следуют закону квадратичной параболы лишь при работе с малыми пере-
падами давлений: при больших перепадах давлений на форму характери-
стики расхода у дросселей этого типа оказывает влияние изменение плот-
ности воздуха: в тех же случаях, когда достигается критическая скорость
истечения в выходном сечении дросселя, указанная выше зависимость
между расходом и разностью давлений вообще нарушается, так как
расход не изменяется при изменении давления за дросселем. В главе I
было также выяснено, что имеется ряд факторов, из-за действия которых
Рис. 59. График —
—Pi)= раь исполь-
зуемый для определения
давления в Камере
при данном значении
рч — pi при графическом
задании характеристик
дросселей
Рис. 58. К расчету статических характеристик
проточной камеры при задании характеристик
дросселей в виде графиков:
а — характеристика С;— «• (|« — i ,) для входного др«>с-
селя. б-— характеристика Г») алн выходного
дросселя
характеристики ламинарных дросселей становятся нелинейными. Ха-
рактеристики дросселей смешанного типа отличны от характеристик дрос-
селей первого и второго типов. Применяя дроссели с различной конфи-
гурацией проходного сечения и с различными соотношениями геометри-
ческих размеров и работая при различных диапазонах изменения перепада
давлений, можно получать характеристики расхода разной формы. Соот-
ветственно с изменением характеристик расхода дросселей, установлен-
ных на входе в камеру и на выходе из нее, меняются и характеристики
меж дроссельных камер - “ ~ .
В наиболее общих случаях, для которых представляется затруд-
нительным получение характеристик дросселей в аналитическом форме,
эти характеристики задаются в виде графиков, которые строятся по дан-
ным экспериментального исследования дросселей. Укажем, как можно
по заданным таким образом характеристикам дросселей построить харак-
теристики междроссельных камер.
При работе в области малых перепадов давлений,когда можно пре-
небречь влиянием изменения плотности воздуха, является достаточным
задание характеристик дросселей в такой форме, как это показано на
рис. 58,о и 6. Пусть, например, на входе в камеру, показанную на рис. 36, о,
установлен дроссель, характеристика которого приведена на рис. 58, о,
и на выходе из этой камеры — дроссель, характеристика которого пред-
ставлена на рис. 58, 6. Проводи на обоих рисунках горизонтали, отвечаю-
щие одним и тем же значениям G, и фиксируя получаемые при этом парные
значения р0 — рх и pf — строим по ним характеристику рп — рх ==
= — р2) (см. характеристику 1 на рис. 59). Если заданы величины
давлений р^ н рх и нужно определить давление в камере pi, то проводим
7* 99
на этом же графике, на котором была построена кривая 1, прямую, отсе-
кающую на оси ординат отрезок р0 — р2 и имеющую угловой коэффициент,
равным —1. На рис. 59 — это прямая 2. Точкой пересечения кривой 1
и прямой 2 определяются истинные значения р0 — рх и рх — р2, н. так
как р9 и рл заданы, определяется величина р\. Указанное выше ностр-иение
основано на том. что каким бы ни был режим работы камеры должно
выполняться тождество
Ро — Pi = (Л — Рз) “ “ Ра)-
'Однако последнее выражение является уравнением^нрямой] 2. Вместе
с тем, по условию равенства весовых секундных расходов точка на графи-
ке рис. 59, отвечающая некоторому режиму течения, должна находиться
и нц кривой I. Поэтому истинный режим работы камеры определяется
точкой пересечения крпьой 1 и прямой 2.
Рис. 60. График (ро —
—pi) — Ф (pi — Р»)» ис
пользуемый для опреде-
ления величины pi для
ряда значений р*
при графичс сном задании
х-раккгристнк дросселей
р,р,
Рис. 6!. Семейство
кривых
G ==Ф <Р» — Pi)'
Рис. 62. К построению
семейства характеристик
с= Ф (Ро — Pi) при Фикси-
рованных значениях гм по
сетке аналогичных харакъе
ркспик. каждая из которых
относится к пост, янном у
значению р,
Задаваясь различными значениями ро — pi и проводя на рассматри-
ваемом графике соответствующие нм прямые (рис. 60), найдем величины
р>0 — pt и Pi — рг, отвечающие заданным р9 — pz. По полученным данным
~ Pi x/PsA
ве трудно построить для данной камеры характеристику , анало'
гичную тем, которые рассматривались раньше при аналитическом иссле-
довании характеристик междроссельных камер.
При больших перепадах давления расход воздуха зависит не только
от разности давлений до и после дросселя, но и от их абсолютных значе-
ний. При этом экспериментальные характеристики дросселя должны за-
даваться в виде семейства кривых, каждой из которых соответствует опре-
деленная величина давления на входе (рис. 61). Заметим, что из такого
семейства не трудно получить и семейство кривых, каждая из которых
соответствует определенному значению давления на выходе из дросселя.
Если имеется, например, семейство характеристик, показанных на рис. 61,
то для построения характеристики G = / (ро — pi) при заданном постоянном
значении давления pt за дросселем нужно сделать следующее. Фиксируя
значение Ръ= Р,^ к которому относится верхняя кривая на рве. 61,
и вычитая из него заданную величину Р\, находим значение Г,- ~ Рп
которое отмечаем на оси абсцисс. Восстановив при этой абсциссе керти-
п»
каяь, находим п гс порессчоппп с исходно* характеристикой, соответствую-
щем р , * const, одну из точек искомой кривой (рис. 62). Фиксируя зна-
чение /’о,, отвечнющоо следующей нз исходных характеристик, при помощи
такого же построения находим btoj ую точку искомой кривой (рис. 62)
и т. д. Аналогичным путем могут быть построены кривые G = f(pQ — />1)
при других .шачониях давления за дросселем.
Давление pt п меж дроссельной каморе определяется в рассматриваемом
случае по заданным характеристикам дросселей и заданным давлению
рона входе в междроссельную камеру и давлению ра на выходе ил нее.
При этом удобно для входного дросселя построить семейство характе-
ристик С /(/>„ — pi), беря и качестве параметра давление prtt т. о. дав-
ление перед дросселем, а для выходного дросселя —семейство характе-
ристик G /(pi — р2), беря в качестве параметра давление за дросселем
ри. Тогда, при заданных значениях рй и р2 из указанных выше двух
семейств кривых выделяются соответственно по одной кривой, и дав-
ление pi в междроссельиой камере определяется так. как было указано
выше дли случаи малых перепадов давлений, когда характеристика
расхода дросселя задавалась одной кривой.
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕЖ ДРОССЕЛЬНЫХ КАМЕР
МАЛЫХ РАЗМЕРОВ
При расчете характеристик междроссельных камер обычно считают,
что давление воздух» равномерно распределено по всему о» ьему камеры.
При условии, что давление является единым для всей камеры, были про-
ведены и все выводы в § 2 и 3 этой главы. Предположение о равенстве
давлений для всех точек междросселыюи камеры, будучи практически
оправданным для камер с относительно большими размерами (рис. 63, а),
неприемлемо для малых междроссольпых камер (рис 63, б), в которых
статические давления, измеренные в различных точках ио длине канала
камеры, могут значительно отличаться одно от другого. Это объясняется
тем, что в таких камерах вследствие стеснения потока воздуха стенками
могут образовываться застойные области, области противотока, на не-
которых участках может происходить интенсивное вихреобразоваине
н т. д. О том, в какой мере эти особенности процесса течения воздуха могут
сказываться на характеристиках малых камер, можно, например, судить
по тому, что в некоторых случаях, как показывают опыты, давление в ка-
мере (измеряемое, как указано на рис. 63. б) оказывается в отдельных точ-
ках меньшим, чем давление среды за выходным дросселем; иногда проис-
ходит увеличение давления, измеряемого в некоторой точке камеры,
когда .при прочих равных условиях увеличивается, а не уменьшается пло-
щадь проходного сечения выходного дросселя, и т. д. Такие отклонения
от обычных характеристик междроссельных камер наблюдаются тогда,
когда линейные размеры камеры лишь в несколько раз превышают диаметр
дросселей1.
Для малых междроссельных камер возникают задачи, связанные с вы-
яснением физической картины процессов течения воздуха в них, с иссле-
дованием статических характеристик распределения давлений в камере и
1 Соображения, по которым размеры меж дроссельных камер иногда берутся столь
малыми, были указаны в § 1 этой главы. В некоторых устройствах пневмоавтоматики
приходится иметь дело с малыми междроссельньшп камерами в силу других причин;
например, в случаях, когда рабочем средой являются газы, нагретые до высокой темпе-
ратуры, оказывается целесообразным оставлять в приборах лишь глухие камеры,
а проточные камеры j ыполинть а соединительных i рубках (рис .64).
101
с определением минимальных разшцюв, при которых камера еще может
рассматриваться как междроссельная. Процессы течения воздуха суще-
ственно различны для камер различной [формы: для цилиндрических
Рис. 63. К исследованию междроссельных камер
малых размеров:
а— пропаяла кач.ч'л тина, б — про точная н-.кмера
с канхюм малого днамегра п «ччч'но расположенными igw-
еслями
удлиненной формы с соосным (рис.65) или несоосным (juc.66./i) располо-
жением дросселей, для цилиндрических камер по типу камеры, показанной
на рис. 66, б. для камер, стенки которых образуются плоскостями
Рис. 64. Междроссельная камера малых
размеров, выполненная в соединительно»
трубке
«
(рис. 66, 6’), и т. д. Возможно бесчисленное множество вариантов по т*»-
четаиням линейных размеров камеры и размеров дросселей, формы ка-
меры. расположения дросселей в камере. Поэтому указанные выше задачи
не могут рассматриваться в наиболее общем виде. Можзо говорить лишь
Рис. 65. Картина течения воздуха в
междроссельной камере с каналом ма-
лого диаметра при соосном расп.хтэже-
ннп дросселей
об обобщении экспериментальных данных и о разработке методики рас-
чета для определенных классов камер, наиболее часто встречающихся е&л
практике. Ниже рассматриваются характеристики цслнндрических кх-
мер, имеющих удлиненную форму, т. е. с относительно большими значе-
ниями Itjdt, и у которых входном и выходной дроссели, являющиеся
102
турбулентными, расположены по одной осн (рис. 65). Особенностью
камер данного типа является то, что при достаточно большой величине ц
имеются два участка: участок /, вдоль которого статическое давление
Рис. 66. Некоторые другие типы малых меж дроссельных камер:
а — чаяод и счльи ня камер, с в <хи?ным расположением др<х. гелей, б — циллилричеспая «еждрос»
сальная камера малой длины, < — парная межлроссельная камера '
Рис. 67. Канал со свобод*
ным выходом в атмосферу
как предельный случай меж-
дроссельной камеры малых
размеров
у стоики «камеры меняется, и участок II, па котором это давление остается
практически неизменным. Как частный случай камер данного типа, может
рассматриваться камера, канал которой па выходе не за дроссели ровен
(рис. 67) ’.
1. Данные экспериментального исследования
междроссельных камер малых размеров
Для камер указанного выше типа были проведены опыты, в ходе ко-
торых производилось измерение давлений р i на различных участках но
длине канала камеры прп разных соотношениях между диаметром каме-
ры du и диаметром входного дросселя di, между величиной di и диаметром
выходного дросселя </г, а также при пезадросселироваином выходе, при
разных значениях /к| d^, ц»и различны* перепадах давления. Давление и®-
ред входным дросселем менялось ь пределах pZ = 0,14-2,5 «тя,дав теййе
за выходным дросселем было равно pZ = 0 ати. В качестве иллюстрации
на рис. 68 приведены некоторые из характеристик, полученных для ка-
меры с <4 — 6.И.Ц при /к = 55 .и* и <6 = 1,5мм. Давления р\ измерялись
по радиальным каналам на различных расстояниях от входного дроссе-
ля /; диаметр каждого из этих каналов был равен 2,8'лен; измерения про-
изводились поочередно по каждому из радиальных каналов,
при этом заглушались. На рис. 68, а показана характеристика />*
остальные
полученная прн d-z = 3,5 мм и р’о = 2 ати] на рис. 68, б приведены ха-
рактеристики р* = q (4-) для различных da; на рис. 68, в подставлены
1 \®н ’
• / / \
характеристики р. = ф I -s~ ) » полученные при различных значениях
1 В п. 7 данного параграфа рассматриваются также характеристики меж дроссель-
ных кам«р малых размеров <• несьосным расположением дросселей (выполненных по
схеме, покапанной на рис. 66, а).
для камеры с незадросселированиым выходом. Эскиз и схема одного из
приспособлении, с которым проводились опыты, и ряд полученных при
этих опытах характеристик приведены на рис. 69—79. Следует отметить,
что в некоторых случаях изменение давления по длине канала камеры
оказывается весьма значительным. Например, для камеры с dy — 6 мм.
di = 3,5 мм при значениях d*, близких к dk, при />о — 1,5 ати на на-
чальном участке казала камеры создается разряжение порядка 0,5 кг! см*
(см. кривую 2 на рис. 84, а).
На основании анализа большого числа экспериментальных характе-
ристик сделаны следующие выводы. Замечено, что при любых сочетаниях
величин указанных выше геометрических параметров и при различных
условиях работы камеры по перепадам давлений, характерных для пнев-
матических приборов, абсолютное давление на участке I камеры
Ряс. 68. Экспериментальные характеристики малой междроссгльной ка-
меры С d^ —6 мм, = 55 мм и di = i,5 jmlm:
3,5 мм, р0 =“ 2 emu; б — жарлгтгристипч
для раалнчных d, при р0 «= 2 amu: 1 — dt •“ 2 мм, S
а — харантеристпна ₽j —ф
* ! 1
4, * 3 мм, 4 — d, з,5 х«; в — характеристики р~ — ф
при ражлнишх вначе-
киях Рд для камеры со свободным выходом в атмосферу: Г— ®Л emu:
> ~ °’5 en,u. i — р*-> Гати, 4 — р * «- 1,5 ати. 4 — р0 —2 ати. •— — * Л «ти
КМ
увеличивается по мере удаления от входного дросселя. Установлено, чтосуще-
ствует однозначная зависимость ® (4-), где — разность между
\°к/
Ряс. 69. Приспособление для исследования характеристик междроссельных камер
малых размеров
давлением р] на участке II и давлением на участке I при данном рас-
стоянии I от места измерения до входного дросселя, д/Ьмакс — разница
между первым из указанных выше давлений и давлением, измеряемым
Ряс. 70. Схема расположены каналов в Рис. 71. Схема расположения боковых
приспособлении, показанном на рнс. 69 каналов относительно входного дрос-
селя в приспособлении, показанном на
рис. 69
У стенки камеры непосредственно за входным дросселем1. Иа рис. 80
на всех четырех графиках показана одна и та же характеристика —
^РЦпжх
“ Ф (J точки на этях графиках соответствуют опытным данным,
1 Об особых условиях, при которых характеристика р]
форма характеристики
ф(0 имеет экстремум и
изменяется с изменением р* см. на стр. 118,

<05
106
107
p’ -Затц
ro
Z000
1900
1800
1600
1500
' 900
800
700
too
100
о
-100
-too
-300
-wo
1600
500
1300
700
600
500
zoo
100
100
zoo
300
p*W.5amu
л/л* pm cm.
1700
о
-ООО
. 2 9 6 8 10 12и
’ ' A.L113 N
.... - i
r6 0^
p* 'lama
p* мм pm cm
1900
рЦ5ати
р*ммрт cm.
9
00'3
900
500
W0
300
zoo
100
о
100
300
zoo

2
~3 1

NJ > 6 h 1012
J
wo

(Хи 5TT*

*- -e-
900

И ^аИ-г-

X>-00*

/>
4

Na i 6 ь 1011
100
zoo
6W
500
WO
300
zoo
100
о
700
6 r
i i tV O^jZ 11
2>

300
200
100
100
Pur,73 Характер»-Turn намерения данле
ц||Я/»| ио длине канала кам< ры (*аи|неиме.
пи от номера H.iMt’pinir.w m ju.lie.ia) при
paaAM'iiiux лан п ииях и । iixo, e ;n и при
различных диаметрах м годно)о >роп'еля:
/ — С оГлдпыи выход на ratta.ia камгры, ? — */»“•
3,5 Л» И, 3 — <!t « 2Л мм, # — J, «• 2 мм, $ —
rfjaa ДИЯМПр ВХОДИ' Г'‘ Л Я rf,a« 2 М *4
palama
о
р'лшрп cm
о
SS6
WO
300
-wo
500
ICO
2 4 6 8 101ZU
'14? Ill"
О 10 20 301,мм О Ю 20 301,мм If 10 20 301,мм 10 20 J fit.мм и 10 20 jOI.mm у у ZZZ 301^м
L , I 4 L— ) tun к ' L. л- V n т
о* мм pm. cm
i________i____-------------i----------------i________i
6 t I 3 ♦ 5 S
Гис. 74. Харьктеристики измене-
ния давления рх по длит канала
камеры (в закиси мости от номера
измерительного канала пли от
отношения Id*) Орм различных
значениях р*
di « 1,5 ds »а 3,5 хи
Рве. 75. Характеристики измене-
ния давления pt по длит капа-
ла камеры (в зависимости от но-
мера измерительного канала пли
от отношения Z/dK) прп различ-
ных значениях р’
(A e t,5 мм, dt = 2,6 леи)
a 5
Рве. 76. Характеристика изменения давления р’ пп ялжше канала камеры (в зависи-
мости от иомера измерительного канала) при различных р* в случаях, когда di » da:
• — вря d, —> Л» «• 2.6 мм, в — при 4 * <» ж 1.5 мм; .
Л —Р*»1атли, f — р*ш»2аягы, Л — р’»1.5anw,4 — р*— 1 вям», Л — у*»6.5 amu, В —р**0.1атм
• • • 9 9 >
109
a
и*
р* mm pm cm
Рис. 77. Характеристики! />* =<?(/) при
ртллиих длинах капшла камеры I
К
в — О — 1К “ t7oj<M. X —- £ж З.эмм;
/ — P* г» з emu t— p* 2 ew*K * — J>* -» 1.5 omu,
О • О
4 — 1 =»• | ам«,5—t* ыьДмш. 4 —p ». 0Д amt.
О Й О
/к » 5$ мм, • — мм, a—17о мм
r to 20 30 kULMM
и- , ’--i---u___j *
til M 1,5 J*M. 4, Я» ЗД MM.. > - 2 amu.
110
Рис. 78, Характеристики р* <f (О для различных р0
при свободном выходе из канала камеры:
ГУ—р «2<тн, д — р*» л — г •» 1 а»пм. 2” — Т' в.5 «•««,
о 0 0 о
V— р* « 0,1 а»пы, в — J, — 2.0 им. б — <£» «• 5-J. мм
Рис. 79. Характеристики р{ = ф (/>*) для камер с -зтэ х-ителыю оольгппмл
диаметрами входных дросселей: а — <ft = 2.6 жж, б — th = 3.5 леи
О— канал М ti. < — кли^л № 1. / — dt« 1,5 мм. Т — Д. =»± мм. 3 —• dt “ *J»-
4 — da — 3.5 мм
111
полученным при разлшчпых условиях (данные, представлиш^шг* па рис. 80,
получены для камор»*' с 4 = 6 .н.ч при f/t = 1,5 ,<*). *Мчсты показали,
что при достаточно ошпыиих значениях/ъ »/к дальнейшее ?п-.‘ еченпе /к мало и
сказывается на ве.тнчшнах давлении, и (мернсмых при сх»жзгн« данном /
в пределах участка Г ({подробнее см. и ц. (> данного По ука-
занной на рис. 80 характеристике г~-~ ф ( Л)мо;кст бы.-’’v Подсчитана ве-
°"11ПМ \”и ’
личина б/h, соотвстстгующая любому / при условии, что » **ястно значение
d, -= еэстГ. жыход; P0=-t amu
б/ишах- Для определения зависимости 6pimax в *ункш1л ат г] , Ре » </>. <4
необходимо более детальное исследование ха ра.кте рястах малых камер.
Для того чтобы подойти к рассмотрению вопросов. связа-квых с методи-
кой расчета малых междроссельных камер исследуемого гзспа, нужно пер-
воначально вспомнить, какова физическая картин* теченлся воздуха при
входе его в камеру с практически неограниченно большзлш размерами.
При этом следует напомнить приведенные в § 2 гл. I соображения, отно-
сящиеся к определению коэффициента расход* Для жалых междрос-
сельных камер распространение струи при истечении ле из входного
дросселя происходит при иных условиях, чем для камер с большим объе-
112
mom. n для них нельзя считать р*._ == р* (ср. схемы спибодиого нстечснз.'й
воздуха из дроссели it истечения его из входного дроссели и камере voav-
пшх размером и и малой камере,показанные соответственно на рис.81,а—Л.
Говори в дальнейшем о коэффициенте расхода s, будем иметь в воду
истечение воздуха в камере с практически неограниченно большим oevo-
мом, причем, как это отмечалось в главе I, учитываются лишь потери
О б 6
Рис. 81. К пналнзу течения воздуха в межАроссольных камерах:
с— CBoOoin.tti турбулентплч струя мй выходе па дросселя при истечении воздуха
в neorpaini'n иное стенками пр«чтртнство. б —струя воздуха пл выходе на входного
дросселя камеры с практически неограниченно большими размерами. • — карти-
на течения воздуха в малой междгоссслыюй камере
полного давлении при входе воздуха в дроссель и при течении его по кэ-
па л у дроссели и ио учитываются потери на выходе. Последние учтены
тем, что для камеры этого типа принимается р*, = р’1. Заметим при
этом еще раз, что рассматриваются режимы турбулентного течения возду*
ха в дросселе.
2. Основные расчетные соотношения
для малых междроссельных камер
Считаем, как это было оговорено ранее, что канал имеет два участка
(рис, 65): участок Z, вдоль которого статическое давление меняется, и
участок 77, на котором давление остается неизменным. Принимаем равны-
ми статические давления воздуха в выходном сечении входного дросселя
и в любых других точках соответствующего сечения камеры2. Рассматри-
ваем воздух как несжимаемую среду. Принимаем для различных сечений
воздушного тракта обозначения, указанные па рис. 81, в. Вводим прп
обозначениях скорости ш и статического давления р дополнительные отмет-
ки в индексах, указывающие к какому сечению относятся данные вели-
чины: для площадей проходного сечения входного и выходного дросселей
и площади сечения канала каморы принимаем соответственно обозначения
/1. /а, /к.
Из уравнения истечения воздуха 3 * * * * 8 через входной дроссель следует
1 Р’ф
Ге Pi' — е» 2 »
(11.56)
1 Для выходного сечения входного дросселя камеры принимаем здесь обозначе-
ние индексом Г (вместо обозначения Р, принятого в гл. I для соответствующего
сечения отдельно взятого дросселя).
* По данному вопросу см. 129].
* На экспериментальных характеристиках малых междроссельных камер ука-
заны значения избыточных давлений и р0, а не абсолютных давлений pi и рд. По-
скольку в исходные уравнения <11. 56) и (II. 57) входят разности давлений, равно
возможно во все выражения, приводимые в этом разделе, ввести или избыточные илп
абсолютные давления. Для последующих выводов удобнее вести здесь запись всех выра-
жений в абсолютных давлениях.
8 Л. Л. Залмаплан ««Т
где е — коэффициент расхода и р — плотность *. Проводим контрольные
поверхности через сечения 1* и 1. Из уравнений количества движения и
из равенства весовых расходов воздуха следует
/>! — />>= Р«1 («У — wi), (П.57)
(11.58)
Вводя обозначение 5pimax= Pi — Pv и приписывая к левой части урав-
нения (П.56) pi — pi = 0, преобразуем данное уравнение к виду
Ро — Pi 4- 5рхтах « ?гф-- 1,3 уравнения (П.57) следует бр1тах «
» pii'j (и\‘ — wi). Подставляя в преобразованные таким образом урав-
нения (П.56) п (П.57) значение ну из (II.58) и исключая затем из них
u'l» получим
i t*_\_ I i ... ГЛ.
Pl ’Ц/к) Л/А ’ (11.59)
где
лТ~ a\~l <1,лю>
Wk/ ^«0,(1—
/к' Ле
Из уравнения равенства весовых расходов воздуха через входной и вы-
ходной дроссели следует 1
ЛКро — Рг « hVPi — Pi-
Учитывая, что /у «= pi — 5/Лтах и исключая dpimax или pi из последнего
уравнения и из (П.59), получим соответственно
Выражения (П.61) получены без учета влияния скорости воздуха в камере
на расход его через выходной дроссель. Если учесть это влияние и считать
коэффициенты расхода обоих дросселей (при камере с практически неогра-
ниченно большим объемом) одинаковыми, равными е, то вместо указан-
ного ранее уравнения /1} р0 — pv~ рj — р» получим fi Ур0 — pv =
= Pi Pit гДе v - V |/ 1 — е1 . Величины рх п 5pimax при этом
определяются по формулам, отличающимся от (11.61) лишь тем, что вместо
fi/ft в них вводится v yi- . При < 0,5 v мало отличается от единицы. При
е = 0,9 для j- = 0,4; 0,5; 0,7 значения v соответственно равны
“к
1,01; 1,025; 1,11. Заметим также, что если О, то, как следует
__________ *к
1 Принимаем и-0 — 0 и считаем, что поток воздуха заполняет все выходное сече-
ние дросселя.
• Принимаем коэффициенты расхода для обоих дросселей одинаковыми.
114
из (П.60), <р (7Л)—* ое и формула (11.61) для определения pi преобразуется
' / к'
в обычное соотношение pi +Р* I • [0^) ’ используемое
для расчета давления в камере с практически неограниченно большим
объемом. Аналогичным путем может быть учтена при необходимости и ско-
рость течения воздуха в сечениях 0 и 2.
3. Экспериментальная проверка формулы (II. 59).
Обобщенные характеристики изменения величины $2>1тах
в зависимости от /п /ж, рх, р0
Приведенные выводы относились к случаю, когда воздух рассматри-
вался как несжимаемая среда. Следуя указанной выше методике, можно
Гис. 82. Обобщенные характеристики шах/р»
а — характеристика при 0.25. б — характеристики
“и
d.
при различных —.
®к
• — свободный выход. Q — d, = 3.5 мм. £ — d, «= 3 мм.
А —• dt •» 2,6 мм, О — <*•=“= 2 мм. X — d, ж, 1,5 мм
вывести расчетные уравнения также и с учетом изменения плотности воз-
духа. Можно упростить в этом случае выводы, если использовать для рас-
чета изменения давлений в самой камере обобщенные характеристики,
получаемые при обработке опытных данных в критериях подобия, следую-
щих из формулы (II.59).Как показывается ниже, получаемые таким образом
обобщенные характеристики справедливы не только тогда, когда измене-
ние плотности невелико, ио также и при относительно больших перепадах
8»
115
„ ,г ..... ^РЬпах
давлении на дросселях. Из (11.59) следует, что величина —
при -у~ — const определяется как однозначная
'к
функция от pi/po, а для камер с различными/х//к
как функция /1//к и pi/; . Характеристики из-
менения --в зависимости от pifp^ остаются для
Pi
камер рассматриваемого типа одними и теми же,
независимо от величины ре, во всем диапазоне зна-
чении pi/p •, соответствующем обычным режимам
работы камер пневматических приборов. На рис.82,а
, б/^паах /
на графике с координатами - — и Pi/po на*
несены точки, соответствующие 30 различным ха-
рактеристикам Pi =ф (0. снятым для камеры с
di = 1,5 мм, dK =6 мм, 1К = 55 мм при различ-
ных диаметрах выходного дросселя (величина dz
изменялась от 1Г5 до Gmm\ dz = 6 мм соответст-
вует случаю свободного выхода воздуха из канала
камеры) и при различных р0 (р0 изменялось от
0,5 до 2,5 ати). Все эти точки ложатся на одну
f Pi \
=<p(~k На рис. 82, б приведены
до
Рис. 83. График измене-
ния величн и х
Pt
^Лтах
кривую—
аналогичные экспериментальные характеристики
^гоп
Pi
X ф I -г 1 —— — 1 8
\/ц/ Л/Р»
фу 1КЦИИ ОТ р1//о.ТиЧКИ с
б^* .V
координатами —
Pi
X ф - и — рассчита-
\/к I Р*
. пы по экспсриментиль-
ным характеристикам
-яря различных зяачеяи-
ных
= <р , пол ученные для четырех различ-
значений -^-.На рис. 83 построена в Функ-
‘г
Pi ’’ 1 л
от — кривая — 1, представляющая пра-
ции
вую часть уравнения (11.59). Точками на данном
графике представлены в функции от pi/po опытные
бР1щах л'гл
значения—г—-для разных Д/Д, умноженные на
- , в выраженпикоторой во всех ~
Pi
величину <р
случаях принято е — 0,75 1. Данным построением
подтверждается возможность получения па основе
ранее сделанных выводов единой обобщенной ха-
рактеристики для камер рассматриваемого типа
при различных /t//f< и при различных значе-
ниях ре.
величины р} при учете влияния изменения
*
=*0.25, • -£- =
“It “К
-0.», А —^-0.43
“к
X — - ° 0,5а
«к
4. Расчет
плотности воздуха на характеристики дросселей
Из сопоставления зависимости (II. 59) с опытными данными следует,
что соотношением (II. 59) можно пользоваться не только при малых пере-
1 При проведении опытов измерялось давление ре, явля>•ще*<я средним для
некоторого участка по длине основного канала камеры. Поэтому опытные значения
Ре выше, чем истинные значения /у, по которым должна была бы рассчитываться ве
личина 6pinidX. Последнее компенсировано тем, что при расчетах значение е взятс
относительно малым.
416
ладах давлений на дросселях, т. е. не только при условиях, для которых
оно получено, но и тогда, когда перепады давлений на дросселях дости-
гают относительно большой величины. Это позволяет, как уже было
сказано ранее, упростить расчет характеристик камер рассматриваемого
типа при учете изменения плотности воздуха и при небольшой скорости
течения воздуха в камере можно ограничиться лишь учетом влияния
плотности воздуха на характеристики дросселей. Принимая, как и ранее,
коэффициенты расхода для входного и выходного дросселей одинако-
выми, получим для докритических режимов истечения из уравнения ра-
венства весовых расходов воздуха через оба дросселя Д У (р0 —Pi*)pr —
= — Рз) Рз Из последнего выражения и из (II. 59) по исклю-
Приведем следующий пример: при р» = 2,5 ата, рз — 2 ата, ~ — 1,
з — 0,75 при расчете по формуле (II. 61) pi — 2,29 ата; уточненный
расчет по формуле (II. 62) дает значение pi = 2,32 ата, (для камеры
с практически неограниченно большими размерами при данных усло-
виях было бы pi — 2,25 ата).
При докритическом истечении во входном дросселе и надкритическом
в выходном дросселе указанные выше выражения для тип заменяются
следующими выражениями:
т
=[(*•+ 4)’+°-^
если истечение надкритическое для обоих дрос-
При надкритическом истечении во входном дросселе весовой расход
воздуха через этот дроссель не зависит от величины давления р?.
Если при этом истечение в выходном дросселе докритическое, то
0,067s2
селей, то — — з.
_________ Ро

1 В формуле G = efi
*
НТ к — 1
для расчета
расхода через t-ый дроссель (i — 1,2) функция
ГгГ]
к
—г X
Pi
Pi-i
\ Pi 1 '
1 Учитываем, что
== К(я-1 — Pi) Pi (см. (27], а также $ 2 гл. I).
max =* Pi ~ Л*.
• Исходными ура мнениями в данном случае являются уравнение
____ ___________________________ * 1
др У (Po —Pt > Pi ** hPi ] ят К * + j U + U
(11.59) и
«7
5. Исследование формы хчасткг характеристики
^ГОа»
Pl \pj
Ьр,
и характеристики, <
6^>мпах
в области малых
значений Pi/Pq
При уменьшении pt/p0 в соответственно при уменьшении pjpo относи-
тельная величина изменения давления по длине канала камеры - —'
А
возрастает лишь до известного предела и затем начинает уменьшаться.
Положение точки экстремума характеристики — ~ - = <p зависит
от значения /х//к. В качестве иллюстрации на рис. 84, а а б приведены
Рис. 84. К диализу характеристик малых мяждроесельных камер при малых значе-
ниях £?
А
• • •
•— хараатержстика рх «ж t (р*); 1 — щ>я ьамереяяи давления о* по накалу № 12. f — при измерении
жавжнияр* по каналу М I; б -характеристика —LJESS. », 5 (Е*\ ; л _ характеристики р* » (О
• • • • •
при разлжч.ulx р ; х — р^ = 1 вяш. • — Рр— 2,5 amu, Q — р 2 ати, А — р# “ 1,5 ати
характеристики, полученные при незадросселировапнои выходе из каме-
ры, при du = 6 мм, di 3,5 Л1М — 0,58) и при изменении р‘ в пре-
делах от 0 до 3,5 ати. На рис. 84, а характеристикой 1 представлены
значения р , измеренные на расстоянии 30 *м от входного дросселя,
характеристикой 2 — значения р‘, измеренные на участке, расположен-
ном непосредственно за входным дросселем. Правая ветвь соответствую-
щей характеристики ——ф —), приведенной на рис. 84, б, сов-
падает с характеристикой для данного значения dJdKt показанной на
рис. 82. Замечено, что переходу через точку экстремума данной Харак-
теристики соответствует изменение картины течения воздуха в камере,
что проявляется в изменении формы характеристики —— = <р (-4-Л
ш О^ИМХ ' ®Ж '
(см. кривые р =• (0 для различных р* на рис. 84, в). При этом основ-
ное значение имеет не столько переход от докритических к надкритиче-
ским режимам истечения во входном дросселе, сколько увеличение
скорости течении воздуха в самой камере. Указанное выше отклонение
<18
I \
-г- | на-
от приведенной ранее на рис. 80 характеристики -г--—— ~ ф
блюдается лишь при относительно малых значениях и при значе-
ниях Д. приближающихся к d,.. Ниже, при отсутствии особых оговорок,
будем считать, что исследуемые режимы работы камер определяются
некоторыми точками правой ветви характеристики
и что соответ* гиенно с этим величина — изменяется в функции от
*^шах
l/dK «©’характеристике, показанной на рис. 80.
6. Ограничительные условия, прп которых камера
с малыми размерами еще может рассматриваться
как междросеельная
С увеличением длины и диаметра междросселыюн камеры ее харак-
теристики приближаются к характеристикам камеры с практически
Рис. 85.Х арактеристнки ф I —)
для различных Ро при I --const (при из-
мерении давления р*по каналу.VI).
dg « 6мм. d, =» i.5 3.5 мм
Рис. 86. Характеристика
— f (ь) при ф — 2 и
Лб
25 = 0.7
Р9
неограниченным объемом; при приближении же диаметра камеры к диа-
метрам дросселей уменьшается потеря полного давления в камере1
и в пределе камера вместе с ее входным и выходным дросселями обра-
щается в единый дроссель. На основании приведенных ранее данных мож-
но конкретизировать определение междроссельной камеры малых раз-
меров (имеются в виду камеры рассматриваемого типа). Будем считать
междроссел ыюй камерой малых размеров такую камеру, в которой давление
в начале участка I (рис. 65) заметно отличается от давления, устанав-
ливающегося на участке //, а это последнее давление лишь на неболь-
шую величину отлично от давления, которое наблюдалось бы при данных
дросселях и при данных внешних давлениях, если бы размеры камеры
1 Рассматриваются дроссели, для которых основное значение имеют местные
сопротивления на входе и потери на выходе и сравнительно * невелики потери
на трение при течении воздух и по каналу дросселя.
1J9
были неограниченно большими. Вопрос об изменив и величипы 5р1ш>ж
был рассмотрен вын^е. Дополнительно отметим» ntv* давление, измсряс-
моо в данной топке vo длине канала камеры (на участке Z), начинает су-
щественно изменяться лишь при приближении I* к указанной ранее гра-
нице I и II участков. Можно считать, что намеряемое таким образом
давление не меняется при увеличении /«/<?«. если -Л > 7. В качестве ил-
люстрации на рис. 85 приведены характеристики изменения в зави-
симости от /КА?К давленияизмерявшегося на участке непосредственно
за входным дросселем; опыты были проведены нрм рахтичпых при
с/к = 6 .ч.м, d\ » 1.5-м.м, di — 3,5.м.и. Оставляя обочхпаченпя />, для дав-
ления, устанавливающегося на участке II в камере с малыми размерами,
введем обозначение для давления в камере с неограниченно больши-
ми размерами, имеющей те же дроссели, что н данная камера малых раз-
меров. Выясним, как зависит —с от s — ~, <Г . “ » -—.Если вели-
1 А А 4 'т / А
чина р2/р0 не очень мала и можно пользоваться уравнениями, выведенными
для несжимаемой жидкости, то из (11.61) --- ~ ( —- ф- •
if— . Вместе с тем и находим
\ ф « / /Ч * 4 *
(11.63)
На рис. 86 для иллюстрации приведена подсчитанная по формуле (11.63)
характеристика изменения pj/рю в зависимости от s — при <р = 2
—=0,7.Следует отметить, что при выводе формулы (11.61), а соответственно
А»
и формулы (П.63) не учтено влияние скорости воздуха на участке II канала
камеры на величину pi. При учете скорости течения воздуха в камере в зави-
симости от того, каково соотношение между величинами $, <р и рг/ро, воз-
можны значения ~> 1 и ~ <1; приравнивая при этом выражение для
Pi/pi6 единице, можно получить уравнение связи между s, <р, pi/po, отве-
чающее условию Pi=Pi6- Аналогичным путем на основании выводов, прове-
денных в п. 4 данного параграфа, могут быть получены соответствующие
соотношения для случаев, когда учитывается влияние изменения плот-
ности воздуха на характеристики дросселей и рассматриваются как до-
критические, так и надкритические режимы истечения в дросселях.
7. Исследование характеристик камер
с несоосным расположением дросселей
Как было показано в п. 1—5 данного параграфа, оказывается возмож-
ным построить обобщенные характеристики малых меж'дроссельных ка-
мер с соосным расположением дросселей несмотря на то, что для рассма-
триваемых камер не соблюдается условие геометрического подобия и ре-
жимы истечения характеризуются различными Re и М, Более сложными.
» Это следует из равенства р1б = /г КР1б — П-
120
чем для рассмотренных раню ЬЛМер, являются процессы течения воздуха
в малых междроссельиых камерах с иосоосиым расположением дросселей.
Для камер, выполненных но схеме, показанной на рис. 66, а, характери-
стика распределения давлений вдоль стенки камеры завис ит, кроме ука-
зывавшихся рапсе параметрон, также и от расстояния It между осью вы-
ходного дросселя и входным дросселем; кроме тою, давления, измеряемые
у стенки каморы, но всегда могут рассматриваться как статические. При
экспериментальном псследопаниц характеристик камер данного типа сде-
лан ряд наблюдений, на основании которых оказалось возможным создать
некоторое предстанленпе о процессах течения воздуха в этих камерах.
Несмотря па то, что для камер данного тина в еще меныпеи степени соблю-
даются условия геометрического и динамического подобия, чем для камер
с соосным расположением дросселей, оказалось возможным обобщить
полученные для них экспериментальные данные.
Замочено, что при достаточно близком расположении оси выходного
дросселя от входного, давлении, измеряемые у стенки камеры, меняются
не только на участке мел ту дросселями, ио также и на участке за выход-
ным дросселем, что укалывает на наличие движения воздуха также и на
этом участке; при этом во всех случаях точки характеристики изменения
давлений по длине канала камеры, относящиеся как к участку до выход-
ного дросселя, так ч к участку, расположенному за ним, ложатся на
единую плавную кривую (рис. 87, а). Исследования, проведенные при
постоянном соотношении размеров дросселей и неизменных размерах ка-
меры (di = 1,5 .w.m, dt «- 3,5 мм, dlt » О .w.w, lK — 55 леи), показали,,
что при приближении выходного дросселя к входному увеличиваются дав-
ления />* , измеряемые на различных участках капала камеры, и сужается
участок, на котором происходит изменение давлений (ча рис. 87, б ха-
рактеристика 1 отвечает меньшему значению Z>/dK чем характеристика 2;
тоже относится соответственно к характеристикам 2и Зи к характеристи-
кам 3 и 4). В результате обработки опытных данных установлено, что се-
мейства характеристик />> — <p(Z), полученные для различных h и прч
разных />0, могут быть представлены при соответствующем выборе коорди-
нат обобщенными кривыми. Точки кривых 1—4 на рис. 87, б, отвечающие
I—Ji, находятся на прямой 0.1; абсциссе точки О отвечает значение ~ = 5,5,
«
а ордината этой точки определяется расстоянием б/’1О — 0,04 fipiraix^
отсчитываемым от пунктирной кривой, являющейся кривой j, — «{(Z),
получаемой при данном р*о для камеры тех же размеров с теми же дрос-
селями, но при соосном расположении дросселей (величина ^'ZJ*rtiAX берется
по этой последней характеристике (см. и. 1 данного параграфа)!. Тмчка .4
в
определяется величиной 6/>1А=0,25др1тахКрЗ. Линия ОВ, определяющая
переход от горизонтального участка к наклонному каждой данной харак-
теристики, является квадратичной параболой с началом кос.рдииат в точ-
ке О и осью абсцисс 0.4. Абсциссой точки В этой параболы в соответствую-
щей системе координат является точка D. Отрезок OD равен =5,5; отре-
а ______________________ *
зок/ЭВ равен 26plmax 1 Ордината горизонтального участка каждой дан-
в__
нои характеристики бр1с = ^Pima]J РофГтЧ (на рис. 87, буказана ддяха-
Vfti.1
рактерпстикн 2). График функции <р Гпредставлен на рпс. 87, в. Пред-
\“и /
ставляется удобным построение всех характеристик рассматриваемого се-
124
Выходная правка
Входного dpatzzsJi
Рис. 87. К анализу характеристик изменения давления по
длине канала камеры с несоосным расположением дросселей:
а — примерный вид характеристики изменения давления но длине
какала камеры с весоосным расположением дросселей, б — характе-
ристики изменения давления по длине канала камеры прв различных
значениях 1„ • — график функции ф • в~ обобщенная характе-
ристика семейства междроссельных камер малых размерив е несоос-
ным расположением дросселей
мейства в координатах--------; l/d^ (рис. 87, г). Исходные эксперимен-
др1п»ах Ур,
тальные характеристики, полученные при различных значениях ро и
для разных <4 представлены на рис. 881. На соответствующих графиках
1 На рис. 88 обозначения радиальных каналов, в которых устанавливался выход-
ной дроссель, и каналов, по которым проводилось измерение давлений, соответствуют
•схеме, показанной их рис. 71. Цифра 13 обозначает канал для измерения давления в
торцевой стенке, на месте которого при соосном расположении дросселей находился
выходной дроссель.
122
р" *1,6ати
8
рГммртап.
L—I-----1___Ц__1
в 10 го К НОЦлш
Ь-... 1. . ..1., I I , I
о г ч о о па,
I__।__».1 Li
о ю го зо\чп,лш
I , » Л 1 I I
о г о о ощ,
Рис. 88. Характеристик изменения давлений по длине канала к 1*керы с вес ххим
раеполон екнем дросселей при различных значениях hJdK и -
I 3-lL-f,55; 4 ~ Ь- - 3.05; 4 - Ь- - 4,05: « - Ь.« S.Qb; 7 - •>«««-
«Ж ЛК dK «к <*н <*н
ном раешмюжеяаи дросселе!. • — точки построения и условные точки, couiw uiBiimw месту
расположения, осн выходного дросселя
123
пунктирными линиями показаны Характеристики, относящиеся к камере
с соосным расположением дросселем, а также показаны линии ОА и ОВ~
Точчи, отвечающие этим опытным характеристикам, показаны на рис. 87,в.
Приведенные выше данные относятся к случаям, когда остаются не-
изменными соотношения между размерами входного и выходного дрос-
селей н между диаметром входного дросселя и диаметром канала камеры.
р ММрП’ТТП
p^lSamu
* *
д.ммрт cm
р* мм pm cm
W -
ЛЮ -
П00
Р IP 20 10 I.mm
О V :е 30 401мм p^iamu
300 •
290 -
100
2 4 6 о ЮН
опг.
О W Z0 30 40 1.мм
ЧОО
1 3 5 7 9 П 13
. Multi U
г ♦ s 9 о iz
р** 0.5 ати
о
р'мм pm ст
100 oXMX>°004X>0«
2 4 6 8 10 12
13 5 19П1.
. , . I t I L > 1 И I I, fl
I ч 6 8 10 1?
О Ю 10 30 U01.MM 0 10 20 30 401. мм
Рис. 89. ХаI актсрестпки р* =ф(0 для камер с несооспым расположением дросселей:
в—характсристжжж при различных и р0
(d, — 1,5 мм; du » в мм; l-Ji 2 хм; f — d, = 2.в ж.м.
9 — d, « 3 хм; < — d, ж. 3,5 мм); б — характеристики при различных рв для камеры с dt=*dtv
• • • • *
•" 3.5 мм и dp. « К мм (1 —= 2 ати, 3 — ₽0 f .5 emu, 3 — j»0 «• I ими, d — Po в 0.5 ати)
Дальнейшие опыты, проведенные для камер рассматриваемого типа с не-
соосным расположением дросселей, показали, что при неизменном отно-
сительном расположении входного и выходного дросселей при изменении
указанных выше соотношений геометрических размеров и изменении дав-
ления р* не меняется положение границы между J частном, на котором
по длине канала камеры давление pt меняется, и участком, на котором оно
124
остается практически постоянным1. В качестве иллюстрации па рис. 89, а
приведены для различных значений р* графики с характеристиками
Pi = ф(0 ПРИ различных db/d2 и при неизменном значении dx{d^\ эти харак-
теристики получены прп расположении выходного дросселя в канале № 1
(см. обозначения радиальных каналов на рис. 71) при — 1,5 мм и
dK — 6 мм. На рис. 89, б показаны характеристики р\ — <р(1) для различ-
ных pl , полученные прп том же относительном расположении входного
<6.
и выходного дросселей, но при другом значении^-. В данном случае
= dt = 3,5 мм и, как и ранее, dK — 6 мм.
8. Дополнительные замечания
о характеристиках междроссельных камер
малых размеров
При разработке устройств пневмоавтоматики часто возникает необ-
ходимость в обеспечении изменения одного давления в функции от другого
по характеристикам различной формы. Использование для этой цели
в обычных камерах (с неограниченно большими размерами) дросселей
различных типов (см. § 3 гл. II) иногда представляется затруднительным,
так как оказывается нужным применять наряду с дросселями, в которых
истечение турбулентное, дроссели, работающие в ламинарном режиме
истечения, а такими дросселями обычно являются лишь дроссели с очень
большой длиной и малым диаметром. При постановке же только дросселей,
работающих в турбулентном режиме истечения, с изменением /1//» меняется
величина давления в камере с практически неограниченно большими раз-
мерами, форма же кривом р\ =ф(ро ), получаемом при данном значении
, меняется мало (рис. 90, а); если представить для каждой из таких
кривых величины р{ при различных pl в процентном отношении от
величины pi при фиксированном значении pl , то построенные таким
образом характеристики для разных /t//a будут мало отличаться одна от
другой. Для получения характеристик р*\ = <р(ро) различной формы
можно использовать указанные выше свойства междроссельпых камер
малых размеров. Для каждой из рассмотренных выше малых междрос-
сельных камер при измерении давления pt на достаточно большом рас-
стоянии от входного дросселя с увеличением ро величина /. растет
(также, как это наблюдается при камерах с практически неограниченно
большим объемом); если же вести измерение давления р{ па начальном
участке канала камеры малых размеров, то, как было показано, при уве-
личении pl в определенных пределах величина р\ уменьшается. Благо-
даря этому создается возможность для получения характеристик р{ =
— <р(р*о) различной формы. Изменяя только лишь участок, на котором
производится измерение давления р\ , можно на одной и той же меж-
дроссельной камере получать монотонно возрастающие или убывающие
характеристики р\ = ф(р*о), а также характеристики, при которых в не-
котором интервале изменения p*Q величина рх сохраняет постоянное
значение. В качестве примера на рис. 90, б показаны характеристики,
полученные для одной и той же камеры при различных значениях / dK;
на рис. 90, в эти характеристики перестроены таким образом, что по оси
1 Данный вывод согласуется с выводом об универсальности характеристик у-я»
/ I \
— I d" /’ аделанкымвп. 1 данного параграфа для малых камер с соосным расположе-
нием дросселей. На основе данного замечания возможно дальнейшее обобщение харак-
теристик камер с несоосным расположением дросселей.
125
ординат отложены отношения значений р\ к значению р\ по каждой
данной кривой при pZ — 2,5ати. При помощи малых междроссельных
камер можно также получать характеристики р\ = ^Ipl), имеющие
экстремумы (см., например, кривую.? на рис. 84, а). Все указанные выше
характеристики получены для камер, имеющих цилиндрическим канал
Рис. 90. Графики, иллюстрирующие возможность получения различных по форме
характеристик р^ = ф (р0) в “еждроссельных камерах малых размеров:
• •
• — характеристики Pj — в (р0) при различных для проточно* шкры обычного тина.
— 0.3, Г ^0.28. У — Ь. — 0,25. —0,2. 4 — - - 0,15. «— — 4Х 1 — — 0.05). б —
характер ICTH1 I Р* = и (р’) для налоя междросселыюй камеры с сиосиым расположением дросселей
орд * coni 1 и при измерении давления р* на равличных участках вне кннала камеры '
(l--->-»в. й — —3.5, й— - — 2,5. 4—2, Д — ~ — 1.5, ; • —характерно
\ “к “к «и “к 4к ®и /
Р1 . I
тики —»--- ----— ч (р ) при рааличных — для камеры с соосным ра-«сложением дросселей.
X-*» •<
<1— — в. »---S.5;J------L- —2.5. 4— - 7- — 2. 4-I——1.5,.---3 - — 0.2): « —.«раите-
4К в ®К •’к dK <*и **
PHCtjkh j — «(lK) для камеры с несооскым расположением дросселе* — 1.5 мм, —3.5а*м.
*и—бжм. р* —2.5amu): < —при выходном дросселе а к ч на ле М 2. и намерении давления р*
По каналу № 1, й — при выходном дросселе в канале Ji 1 и намерении дан, жтмм р^ по киналу № 2,
О — малая 1:еждрогсельная камера с изм< н кмо* дляио* /к, J — намай измерения р^
удлиненной формы. Еще более широкие возможности лля получения раз-
личных по виду характеристик р\ — ^{pZ ) дает использование камер
также и других типов. Например, как показано на pH'.. 85, на участке
малых lKfdK давление, измеряемое в данной точке камеры при данном значе-
нии pl, резко изменяется и соответственно с этим меняйся в функции от
126
характеристика p\ = <f(/m)« ^me в больше А море сказывается пзме-
ноние ZHj<?K для камер с несоосным расположением дросселей. В качестве
иллюстрации па рис. 90, г приведены характеристики изменения в зави-
симое™ от /м давлений р\ , измеряемых на одном и том же участке камеры.
Характеристика / получена при rfi =* 1,5 л.и, rf* ~ 3,5 .н.и, dH = 6 ,w.w,
ро = 2,5 ати при расположении выходного дросселя в канале As 2 н рас-
положении штуцера для измерения давления р* и канале № 1 (см. обозна-
чения радиальных каналов на рис. 70 и 71); характеристика 2 получена
при тех же значениях di, di, dK и />’> , но при расположении выходного
дросселя в канале .V 1, а штуцера для измерении давления в канале As 2.
Корректировка характеристик указанных выше камер может произво-
диться изменением величины (см. рис. 90, <)).
127
Гл а во III
ДИНАМИКА ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР
$ 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДНН \MIIKII
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КАЧЕСТВЕ ЭЛЕМЕНТОВ
УСТРОЙСТВ П Н ЕВМОА ВТОМЛТП К П
В данной главе все выводы проводятся при двух счлщпх допущениях.
Неустановпвишеся процессы течения воздуха через дроссели рас-
сматриваются как квлзЕГгатнческпе, то есть принимается, что в переход-
ном процессе в ка;кдыз данный момент времени мгновенное значение рас-
хода воздуха через дроссель такое же, каким оно было бы при данной раз-
ности давлений в условиях установившегося течения. Действие сил инер-
ции, не учитываемое при введении этого допущения 1. приводит к запазды-
ваниям, характеризуемым постоянными времени обычно несоизмеримо
малыми по сравнению с постоянными времени, обусловленными емкостью
камер. Только для камер очень малых размеров, когда ставится задача
оценки наибольшего быстродействия, достижимого в пневмосистеме, этот
фактор должен приниматься во внимание.
Вторым допущением, принимаемым ниже прп исследовании динамики
пневматических камер в случаях, когда не делается особых оговорок,
является предположение о том, что изменение состояния воздуха в каме-
рах подчинено изотермическому закону. В действительности при переход-
ных процессах чаще всего изменение состояния некоторой массы воздуха
в камере не следует закону изотермы, и обычно для камер рассматривае-
мых типов процессы изменения состояния являются промежуточными
между адиабатическими и изотермическими процессами. Однако при не-
больших диапазонах изменения давлений разница между временами за-
полнения или опустошения камер при изотермическом и адиабатическом
изменении состояния воздуха в камере невелика. Вопросы, связан-
ные с оценкой погрешностей, обусловленных указанными выше допу-
щениями, рассматриваются более подробно в конце настоящей главы
(§ 3, п. 6).
При изучении динамики пневматических камер, так же как и прп ука-
занном ранее исследовании их статических характеристик, необходимо
различать камеры с дросселями того или пного типа.
Из проточных камер с турбулентными дросселями наиболее часто
встречаются камеры, схема которых представлена на рис. 91, частным
1 Не учитываются силы инерции, обусловленные изменением скорости течения
в каждой данной точке повремени; однако при рассмотрении установившегося течения
учитываются силы инерции, возникающие из-за изменения скорости течения при
переходе от одной точки к другом (подробнее по данному вопросу см. п. 1, § 3 прило-
жения).
128
случаем которых является камера, схема котором Пока лапа на рнс. 92.
На основании проводимого в п. I § 2 настоящей главы вывода и последую’
того исследования дпфференциального урн в нс ни я, описывающего пере-
ходные процессы в таких камерах, построены укалываемые в и. 2 § 2 гра-
фики, но которым в каждом конкретном случае (прц любых сочетаниях
докритическпх или надкритических режимов мсгечепня на входе и на вы-
ходе) сразу, бе » каких либо предварительных выводов или расчетов, опре-
деляются чис те иные значения всех ко;*ффнцнентов указанного выше диф-
ференинал ьнего у равне пня.
Рнс .9I Межлросгез иная камера
с дросселями всремониого про
ходвогосечения в с переменным
объемом
•'во 92. Простейшая
меж цчксельная камера
При пос^нмчиш лги , графиков для описания характеристик расхода
дросселем используются точные- а не приближенные формулы (гл. 1,
§ 2, и. 2); хотя предварительные выводы при атом и оказываются несколько
сложнее, однако последнее в конечном
счете не имеет значения, так как числен-
ные величины коэффициентов определя-
ются но графикам. Изложение в этой ча-
сти § 2 гл. Ill построено таким образом,
что читатели,интересующпеся только прак-
тическим приложением результатов про-
веденного исследования, могут опустить
п. I и сразу перейти к чтению п. 2.
Боле^ сложным, чем для камеры, пока-
занной на рпс. 91, является составление
дифференциального уравнения п опреде-
ление численных значений входящих в
него коэффициентов для камеры, сообщен-
ной на входе и на выходе с несколькими
Рис. 93. Х!е.кдроссельная камера,
сообщающаяся на вы <оде с двумя
другими камерами, давления и
которых различны
другими камерами. Простейшим примером
такой камеры служит камера, показанная на рнс. 93. сообщающаяся
на выходе с двумя камерами, давления в которых различны. Однако,
как показывается, для камер данного типа коэффициенты дифферен-
циального уравнения переходного процесса также могут быть в каждом
случае определены при помощи единого раз и навсегда построенного
графика.
В сеяли с тем, что указанные выше уравнения получаются на основе
линеаризации исходных статических характеристик, возникает необхо-
димость в оценке погрешностей, обусловленных линеаризацией.
В отношении проточных камер с турбулентными дросселями возникает
также ряд других специфических задач, рассматриваемых в следующих
пунктах § 2.
Для глухих камер с турбулентными дросселями наряду* с вопросами
оценки времени их заполнения п опустошения также существенны вопро-
сы, связанные с линеаризацией исходной статической характеристики
9 Л. А. Залмэязок
129
расхода дросселя. Затруднения в этой части возникают в связи с тем, что
характеристика расхода на участке вблизи точки, отвечающей положению-
равновесия, существенно нелинейная. Это значит, что для нее невозможна
линеаризация путем разложения соответствующей функции в окрестности
указанной выше точки в ряд Тейлора. Однако, как выясняется, это обстоя-
тельство пе служит препятствием для исследования малых отклонений от
положения равновесия в пневмосистемах, содержащих глухи»’ камеры.
Специфические вопросы возникают в связи с использованием камер
с ламинарными дросселями в качестве элементов изодромных регулято-
ров, регуляторов с предварением, пневматических таймеров н других
пневматических приборов. Рассмотрение этих вопросов проводится в § 3.
При работе проточной камеры с разнотипными дросселями или с дрос-
селями смешанного типа, а также при работе с этими последними дроссе
лями глухих камер, при исследовании динамики камер представляется
возможным использование статических характеристик расхода дроссе
леи, получаемых из опыта, представленных в виде графиков. В и. 5 § Я
указывается методика определения но статическим характеристикам
расхода дросселей, заданным графиками, коэффициентов дифференциаль
лого уравнения, которым описывается изменение давлений в проточной
камере при малых отклонениях от исходного установившегося режима.
Указывается также методика расчета времени опустошения и заполнения
непроточной камеры, для дросселя которой характеристика расхода
задана в виде графика.
$ 2. ДИНАМИКА ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР
ПРИ ТУРБУЛЕНТНЫХ -ДРОССЕЛЯХ *
1. Вывод дифференциального уравнения процесса
изменения давлений в проточной камере
Принятые обозначения. Рассмотрим камеру, показанную на рис. 91.
Все величины, относящиеся к исходному статическому режиму, откло-
нения от которого в переходном процессе в дальнейшем рассматрива-
ются, не будем отмечать какими-либо дополнительными знаками. Для
статических условий: р0, рх, р2 — абсолютные давления соответствен-
но на входе, в камере и на выходе; гх — —, га ; ft н ft — эффектив-
но Pi-
ные площади проходного сечения на входе и на выходе; х — координа-
та, определяющая положение поршня: Г — объем камеры; @ — и у —
соответственно вес и удельный вес газа в камере; @i и @2 — весовые
количества газа, поступающего в камеру и расходуемого из камеры.
Gi = —1 и Gt = — соответствующие значения весового секундного
расхода; в = Gi — Gt.
Для всех указанных выше величин в переходном процессе сохра-
няем те же обозначения, вводя при них дополнительную отметку знаком~,
например: /ц, ft, Г, 6 = Gt — Gt — и т- Д- Заметим, что
для динамических условий под Gi и Gt имеются в виду мгновенные значе-
ния весового секундного расхода. При этом в = Gt — Gt 0, тогда
как при статических условиях в = Gi — Gt — 0.
Абсолютные приращения величин, отсчитываемые от их значений
при указанных выше статических условиях, обозначаем злаком б, на-
пример: bpt ~pt — pi, bft~7t — ft* 66 = 6 — 6 = 6 и т. д.
1 Вопросам, излагаемым в этом параграфе, ранее была посвящена работа [62)
130
Относительные приращения, представляющие собой отношение абсо-
лютных приращений к значениям соответствующих величин в статиче-
ских условиях, обозначаем знаком А, например: Арх = Aft — ,
Aar = и т. д. (Величина х может быть взята произвольно, однако ее
выбором определяется масштаб Ах.)
Вводим сокращенную запись для частных производных: вместо
-^2) будем писать — , вместо будем писать Зб/d/i и т. д.
Pi=Pl Л
Сохраняем те же сокращенные обозначения для возможных сочетаний
режимов истечения на входе и на выходе, которые были введены в главе II:
д — д — докритическое истечение в обоих дросселях (область Л), и — д —
надкритическое истечение па входе, докритическое на выходе (область II),
д — н — докритическое истечение на входе, надкритическое на выходе
(область III), н—н— надкритическое истечение в обоих дросселях
(область IV).
Границы областей /—IV для статических режимов были указаны на
рис. 37. Применительно к условиям переходного процесса такое раз-
граничение областей не имеет смысла, и здесь, говоря о той или иной
области, будем лишь иметь в виду, что к области с тем же обозначением
относится исходный статический режим, а также то, что сочетание режимов
истечения, характерное для данной области, сохраняется и в переход-
ном процессе.
Кроме указанных выше, в дальнейшем встретятся следующие обозна-
чения: F — площадь поршневого действия элемента, изменяющего объем
камеры, g — ускорение земного притяжения, к = - — отношение
теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоян-
ном объеме, R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.
Под площадью поршневого действия F имеется в виду отношение при-
ращения объема камеры при смещении данного элемента (сильфона, мем-
браны и т. д.) на величину б х от положения равновесия к величине б х.
Для некоторых Элементов, например, для сильфонов, можно считать F
постоянной, для других элементов, например для некоторых мембран,
величина F существенно зависит от х, что должно учитываться при рас-
четах. В проводимых далее выводах первоначально F принимается неиз-
менной, а затем учитывается и случай, когда F меняется в функции от х.
Вывод дифференциального уравнения проточной камеры. За время dt
количество газа в камере изменяется в переходном процессе на вели-
чину d& — dGi — d®r, чему соответствует уравнение
являющееся исходным для вывода указываемого ниже уравнения
(III.1). Представим это уравнение в развернутой форме.
Учитывая, что
Й = Vy; de » Vdy + ydV; dV = — Fdx\ у = ; T =
dpi dbpi dx _ rf&t
7Г “ ~dF ’ ~ 7Г •
f 131
приводим левую его часть к виду *
d(S V dbpi ptF dbz
dt RT dt RT dt '
Учитывая далее, что О — 6 -f- 60 = 60 (так как 0=0) и что 0
является функцией от р0, plt р2, fu представим в линейном прибли-
жении правую его часть в следующем виде:
2 > ex дО в । • । э • , дО • , сЯ , ,
в = вв =ЭЙ6^+айвР, + Эйврг~Э7;в/1+дЯ*Л-
Тогда уравнение = 0 можно переписать в такой форме:
г ddpi piFdb* де. , де. , де. , де.. . ае..
пт dt RT dt ~ др» + dpi °Pl др. + dfi °'1 dfi °^2‘
pi , умножив и поделив
член с б/i на /1, член с 6/г на /2, член
получим
Поделив все члены последнего уравнения на —
член с Ьр0 на р0, член с 6ра на р2
dbx
с -gj- на х, и перейдя затем к относительным приращениям,
уравнение переходного
процесса в форме
л/4г+ ЛР* ~ Tl~^T + М₽.+ *«*/>« +*/.*/« + khSf2, (Ш.1)
где
ае ае эе
. _ _ а/, л . , __ а/, /,
к* ~ ае r* А/* ае pi * hf* de' pi *
dpi dpi dpi
(IH.2)
При выводе уравнения (III.l) принято, что отклонения от исходного
статического режима настолько малы, что линеаризацией не вносится
существенных погрешностей. Граничные условия, прп которых еще
оправдывается это предположение, указаны в п. 5 данного параграфа.
Заметим также, что уравнение (II 1.1), выведенное в предположении
постоянства F, т. е. в предположении Т' = F, остается в силе п в том слу-
чае, когда F = / (х). При этом остаются в силе и все выражения (III.2),
только в выражении для Тх величина F заменяется на F 4- х . Здесь
— производная от F по х при х «= х. Если, например, для мембраны
ЫЛ
dF
опытным путем получена характеристика F = /(х), то величина -^опре-
деляется уклоном касательной к характеристике F = / (х) в точке, соот-
ветствующей исходному статическому режиму. Заключение о том, что
df,\
V ^'x~dx)x
Тх прц F = /(х) равняется Тх =>• — -----, основано на следующем.
ягг?>
132
В случае переменности F [см. приведенный выше вывод уравнения (II 1.1)]
dV = —F dx — х dF, а так как
dbF dbF dte
dt “ ddx dt *
TO
V Pl I F I - ___1 d^Pi__ Pl / F T—} T d^x
dt ~ FT dt FT \ dt ' dt ) ~ FT dt FT \ ' dx I dt *
(ff „ dF
причем значение оерется при x == x и, следовательно, равно .
dx
Раскрытие выражений коэффициентов уравнения (II 1.1). Раскроем
значения частных производных в выражениях (III.2). Все частные про-
изводные здесь берутся от функции Н = G\ — Gt, Для сокращения за-
писей введем общее обозначение весового секундного расхода Git где
i = 1 для входного дросселя и i—2 для выходного. В статических усло-
виях при докритическом истечении через <-ып дроссель
я прп надкритическом истечении
’ _ / д/2 k
‘ ~ ' Ч FT\k-\-\) V k + 1
Pi—V
Те же по форме выражения 6{ имеют место и для условий переходного
процесса, только лишь в последнем случае должна быть произведена
отметка всех переменных величин знаком . (Эту оговорку здесь делаем
еще раз во избежание недоразумений, в связи с принятой сокращен-
ной записью частных производных). Введем в рассмотрение вспомо-
F a *+i
V г* -г/ .
гательные функции <р (г,) — ----------------------
, /"~Т &+i~l
AD, \ , * . К I
dirt— 1 F Г, —fi J
=------------—2----------, которые после выполнения
dPi
ференцирования приобретают следующий вид:
И ф2 (Г<> =3
операций диф-
(I1I.3)
Учитывая, что в = 64 — 64, и пользуясь функциями фИп), ф2(г1).
фДг^, Ч4(г«)» легко составить развернутые выражения всех частных
производных от 0, входящих в коэффициенты (II 1.2) уравнения (III.1).
Эти выражения частных производных -приведены для всех четырех воз-
можных сочетаний режимов истечения (области I—IV) в графах 1—5
табл. I.*
Подставляя полученные значения частных производных в выражения
(Ш.2) для Tv, Тх, k0, kt, kh, k/t, раскрываем последние. Прп этом
* - Таблица I представлена на стр. 248.
удобно представить Ту и Тх в следующем виде.
к 1 .
Г 7лtv;
77^ tv.
(И! 2,о)
Развернутые выражении фу, Ло, кг, kfi, k!t приведены для всех четы-
рех областей в графах С—10 табл. I* Коэффициенты ко, кг, kt, kfi и вхо-
дящий в выражения Tv и Тх коэффициент фу [см. (III.2,о) 1 однозначно
определяются заданием следующих величин, относящихся к статическим
условиям: для области I—двух независимых величин /у//2 11 pJPw> для обла-
сти II— отношения этих же величин, для области III — только лишь
Рз/Ро
отношения /1//2. Для всей области IV коэффициенты ко, кг, kfk, kf, явля-
ется едиными и равны: ко — 1, кг — О. ktl — 1, kft — —1, фу- == 0,6556.
Однозначная зависимость ко, кг, к/,, к!г, фу- от указанных здесь вели-
чин вытекает из следующего. Как следует из данных табл. 1, для области/
ко, кг, k/t, kft, фу являются функциями лишь от /1//2, и и г-г; в § L же
гл. II показано, что для области I ri и г* однозначно определяются зада-
нием /1//2 и р«!ро. Приведенные в табл. I * выражения ко, кг, kft, к г фу-
для области II могут бытьпредставлены лишь в зависимости от г г и —- —,
гг Pt
так как ^А-.—= Z1/Z1 г- в § 2 же гл. II установлена для области// одно-
значная зависимость величины г» ог . Для области /// в выраже-
ния ко, кг, kft, kft, фу входят и и /1//2, причем, согласно выводам, сделан-
ным в § 2 гл. II для этой области, и однозначно определяется заданием
Выводы, сделанные для области IV, также следуют из данных табл. I.
если учесть, что, согласно $ 2 гл. II для этой области, и = ~~.
Согласно (III.2, а), в выражения Ту и Тх, кроме фу, входит величина
1, J/Tи отношение V/fo для Ту и отношение Рх/]г для Тх. Однако, так как
эти величины входят в выражения Ту и Тх в виде простых сомножителем,
затруднения при нахождении Ту и Тх могут быть связаны лишь с опре-
делением фу.
Установление ссязи между отдельными ко.-ффициентами. Выбором
базисных величин для подсчета относительных приращений, сделанным
при выводе уравнения (III.1), предопределяется простая связь между
отдельными коэффициентами этого уравнения. При любых сочетания:'
режимов истечения на входе и на выходе А'оф- кг = 1 и kit -f- kft = 0;
кроме того, при надкритическом истечении на входе, независимо от усло-
7’У у
вий на выходе, ко — kfl ~ 0. При любых условиях . Поэтому,
если из шести коэффициентов ко, кг, k/t, k/t, Ту,\ТХ уравнения (III.1)
известны три коэффициента ко, kt,, Ту (а для областей // и IV — лишь
два коэффициента kjt, Ту), то остальные могут быть определены из соот-
ношений
Fx
V
(Ш.4)
кроме того, для областей /Л и /F
Ао =» Лу,. (III.4,и}
Благодаря такой связи между отдельными коэффициентами уравне-
ния (III.1), существенно упрощается их определение. 3 справедливости
* - Таблица I представлена на стр. 248.
соотношений (Hl.4) и (Ill.4,а) легко убедиться путем следующих рас-
суждений. Если при отклонении от исходного статического режима нлме»
бгяютгя только давления на входе и на выходе и если берется состояние,
прп котором rfAj’ls=s 0, то уравнение (III.1) сводится к виду \‘Ч »
= А»Др« *Ь Аз Ар» или, что то же, к виду Ач Ь Аз ~. Пусть при
отклонении or исходного статического режима р« про и р* я »г:;
при этом, как это следует из линеаризированного уравнения процесса,
и pi ~= пр,. Последним условиям соответствуют бро — (п — В рс.
гр, = (п — 1)р4 и dpi - = (п — l)pv Подставляя эти значения dp„, бгг,
4**pj в уравнение, после сокращения на (п — I) получаем Ao + Аг — I.
Полагай далее переменными лишь площади проходного сечения на
d\pt п
входе и па выходе и по-прежнему считая “ и» приводим уравнение
(III.1) к виду д-Ч-А/.^р —-Д1. При пропорциональном изменении
обеих площадей проходного сече,мня Давление в камере но меняется и,
следовательно, dpi О. Предполагая, что обе площади проходного се-
чения увеличились в п раз, чему соответствует d/i ~= (л — t)/i и С/г -
— (п — 1) /», находим после подстановки этих значений в уравнение
по сокращении на (п — 1), что A/t -f- ktt — 0. Если, наконец, истечение
во входном сечении надкритическое, то расход на входе не изменяется,
если остается неизменным произведение po/i или, что то же, если робД 4-
4- /idpe — 0. При неизменности остальных величин, входящих в урав-
нение (П1.1), этому условию соответствует dpi = 0, и уравнение (IIIЛ)
в рассматриваемом случае сводится к А#~ + ~ отсюДа> учи-
тывая, что -— =-------—, получаем ко — к/.
/1
Указанные выше соотношения могут быть получены и путем срав-
нения развернутых выражений отдельных коэффициентов, приведенных
в табл. I; прп этом последнее из приведенных соотношении непосред-
ственно вытекает из равенства приведенных в табл. I выражении Ао
и kft (для областей II и ZV).
Соотношение прямо следует из выражений (III.2,а).
1 г 'X
В следующем пункте данного параграфа приводятся графики для
определения значений фу, Ао, А/,. При построении графиков численные
величины фу, Ао, А/, получались путем подстановки в указанные в таол. I
выражения фу, Ао, Ад значений гх и г8, ранее определенных в § 2 гл. 11.
2 . Графики для определения коэффициентов -
дифференциального уравнения процесса
изменения давлений в проточной камере
Ниже приводятся графики*для определения коэффициентов диффе
ренинального уравнения
fv + Ар, = Тх + Мр« + *. Др. + */. ДА + (1Н. 1)
которым описывается переходный процесс в камере, показанной на
рис. 91. Напомним еще раз, что в этом уравнении Др0, Др<, Арз, Д/ь
Д/8, Дт представляют собой отношения отклонений отдельных парамет-
ров к значениям этих параметров на исходном статическом режиме, при-
чем отклонения отсчитываются от этих последних значений. На исходном
135

статическом режиме prt, и ра — абсолютные давления на входе в ка
меру,в самой камере и на выходе из камеры; Д и /а эффективные площади
проходного сечения на входе и на выходе; .г координата, определяющая
положение элемента, по1ннненым действием которого изменяется объем
камеры. Величины Др,„ Ар». Лра, Д/> и Л;4 считаются положительными,
есид в переходном процессе значении соответствующих параметрон
больше, чем на исходном статическом режиме; Лх считаем положитель-
ным, если отклонение or исходного режима связано с уменьшением объема
камеры.
Предполагается, что для исходного статического режима известно со-
четание режимов истечения на входе и на выходе. Если это пе так, то об-
ласть, к которой относится сочетание режимов истечения на входе и на
выходе, следует определить но графику, приведенному на рис. 37. Все
коэффициенты уравнения (II 1.1) определяются согласно указаниям, со-
держащимся в табл. II.
Таблица И
Область I Область II , «» — и) j — <>' I Область III (3 - M) Область IV V» — «)
rv Рис. 9» I Рис. 97 Рис. 98 i Cv = O,O85f>
а7, ( Рис. 9G Рис. 97 I Рис. 98
А„ Гис. 95 А-й = kit , Ад = 1 Ао = 1 1 1 » Г 1 Гг Для всех областей Tv — TJTS rv- Tr = Г.-— tiV T I A7^“A7a: A-^1-Ao.
В приведенных в табл. II выражениях для Ту и Тх:
Т — абсолютная температура, Г — объем камеры, F — площадь пор-
шневого действия элемента, с перемещением которого связано изменение
объема камеры. Все размерные величины берутся по системе кг—м—сек.
137
Как указано в чаьл. II, в случаях, когда исходный статический режим
относится к обласлгн 1 (докрнтическое истечение на выходе и на входе),
или к области /Г Надкритическое „стечение на входе, докрнтическое на
выходе), или же к области III (докрнтическое истечение на входе, надкри-
тическое на выхоли), для определения коэффициентов уравнения (III.1)
следует использожвть графики, приведенные на рис. 9»—98. Если же ис-
ходный статнческжй режим относится к области IV (надкритическое „сте-
чение на входе и кв выходе), то все коэффициенты уравнения (И 1.1) пря-
мо определяются го данным табл. II.
На рис. 91—';»5 представлены графики для определения фу, Ао, kh
области /. По осп ординат на рис. 94 отложены значения фу, на рис. 95 —
значения Ао, на ршг. 96— значения Ау,. По оси абсцисс на всех графиках
отложены значеи.1 п Ji /з. На всех трех графиках приведены характери-
стики для 0.4: 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9.
/*»
На рис. 97 приведены для области II характеристики
" Ф и фу = ф ( —.
h Ч\Г>ро/ 4 n\PjPo
На рис. 98 приведены для области ///характеристики
= ч>(^-) "
Уравнение (ЕГ2.1) остается в силе для камеры рассматриваемого типа
(рис. 91) и тогда,, тогда она сообщается с камерой „а входе „ли с камерой
на выходе несколькими отверстиями. Коэффициенты уравнения (II 1.1)
•определяются прит этом так же, как это указывалось выше, только лишь
под /> и /, следует иметь в виду суммарные эффективные площади проход-
ного сечения соответственно всех входных и всех выходных отверстий па
исходном статическом режиме, а под ДД и Д/2 — относительные прираще-
ния этих суммарных площадей проходного сечения в переходном про-
цессе.
Структура уравнения (II 1.1) остается неизменной и в том случае, ес-
ли вместо одного элемента, перемещением которого вызывается изменение
объема камеры, имеется несколько, например /, таких элементов; при
этом лишь вместо члена Тх~£Х в уравнение (III.1) входит
TXj ——. Методика определения всех коэффициентов, в том числе
j-»i
и каждого из Тх . в этом случае не отличается от указанной выше.
При последовательном соединенны нескольких камер рассматриваемо-
го типа переходный процесс в каждой из них описывается уравнением
вида (111.1); путем согласования координат, уравнения, написанные для
отдельных камер, могут быть сведены в единую систему уравнений.
Отметим также, что при помощи указанных выше графиков могут
быть определены численные значения коэффициентов дифференциаль-
ного уравнения (III.1) не только тогда, когда рабочим телом является
воздух, но и в тех случаях, когда рабочим телом служит любой двухатом-
ный газ. Графики, приведенные на рис. 94—98, построены для воздуха
(к — 1,4; к = 29,3). Однако коэффициенты А'о, А-, A';,, kft для любого
двухатомного газа сохраняют те же значения, что и для воздуха. Зна-
чения же Tv и Г* для любого двухатомного газа могут быть получены
соответственно из значений Ту и Гх, определенных для воздуха, умноже-
нием последних на корень квадратный из отношения газовой постоянной
138
воздуха к газовой постоянной данного газа. Эти выводы связаны с тем,
что свойстпа газа сказываются на значениях Tv и Тх как вследствие из-
менения А, так и вследствие изменения величины газовой постоянно». R.
Они следуют из выражении (III.2,а) для Tv и Тх и из выражений фу, к0,
А2, Ад, kft, приведенных в табл. I. В соответствии с указанным выше,
нужно при прочих равных условиях брать значения фу» Ту, Тх Для водо-
рода, равными 0,26, для кислорода — 1,05 и для азота — 0,98 от
соответствующих значений для воздуха и т. д.
Рассмотрим несколько примеров определения численных значений
коэффициентов уравнения (III.1).
Пример 1. Определить численные значения всех коэффициентов урав-
нения (III.1) для камеры, изображенной на рис. 91, если известно, что
на исходном статическом режиме '^- = 0,2; —- = 0,67; V = 500 см3;
fi = 1 jw.k3, и чго F = 100 Т = 288° обе.
Задаемся величиной х = 1 см. (Величина х может быть выбрана про-
извольно; ее выбором определяется лишь относительная величина Дх,
и при переходе от относительных значений Дл к абсолютным значениям
бх ~ х&х получим для бх одни и те же значения, независимо от того,
какой была взята величина х. В следующих примерах также принимает-
ся х = 1 с.м.) Имеем ~ ~ 500, 4г = 0,2 и —— — 0,059*. При заданных
' /г * F VT
значениях pdpo и /1//2 сочетание режимов истечения относится к области /.
(Если сочетание режимов истечения на входе и на выходе для исход-
ных статических условий не задано, определяем его по рис. 37). Согласно
указаниям, приведенным в табл. II. определяем фу. А/,, Ао по графикам
на рис. 94—96: фу — 0,0125; kf, — 0,04; Ао — 0,06. По формулам, при-
V 1
веденным в табл. II, находим А-, Гх, А/,, А2: Ту = -р=-~
= 500«0,059-0,0125 = 0,37; Тх = Tv =- 0,2-0,37 = 0,07; А/, = - АЛ =
= — 0,04; Аз = 1 — Ао •= 1 — 0,06 = 0,94. Уравнение (III.1) при най-
денных численных значениях всех коэффициентов имеет следующий
вид: 0,37-~р-+ Др! =0,07-^-4- 0,06 Др® + 0,94 Др4 + 0,04 А/i —
-0.04Д/1. ~ '
Пример 2. Исходные данные те же. что в примере 1, кроме рг/ро, рав-
ного 0,3. При заданных значениях у- — 0,2 и ~ = 0,3 сочетание режи-
мов истечения относится к области 11. Согласно указаниям, приведенным
в табл. II, определяем фу и А/, по графику на рис. 97: фу = 0,0277;
Ад = 0,19. Как указано в табл. II, в этом случае Ао = А^ = 0,19;
по формулам, приведенным в табл. П, находим Ту — 0,82; Тх — 0,16;
А/, = —0,19; А* — 0,81. Уравнение (111.1) при этом имеет следующий
вид: 0,82 + Др, = 0,10 - 0,19Др„ + 0,81 Лр, + 0,19 Д/i —
- 0,19 Д/,.
Пример 3. Исходные данные те же, что в примере 2, кроме /*//*.
равного 2. При заданных значениях у = 2 и = 0,3 сочетание
ti
режимов истечения относится к области III. Согласно указаниям, при-
веденным ь табл. II, определяем ф«/ и А/, по графику на рис. 98:
фу =0,0098; А/, = 0,11. Как указано в табл. II, в этом случае А® = 1-
не * ж1 * л*, а соответственно в см* я мм*, отче-
1 Все размерные величины берем, каж это было ужо указано выше, в системе
«г— ,м -.сек; V /з,однако уд<>бвее брать не в ж1 ж а**, а соответственно в см и мм*, отче-
го отношение И//а не меняемся, ^5 —Величина бе фьючерная.
133
Находим далее Tv = 0.29; Тх — 0,06; kft = —0,11; кг = 0. При этом
уравнение (Ш.1) имеет следующий вид: 0,29 Api =0,06—~ 4-
4- Дро 4- 0,11 Д/i — 0,11 Д/2.
Пример 4. Исходные данные те же, что в примере 1, кроме pi/po, рав-
ного 0,05. При заданных значениях ~ — 0,2 и — = 0,05 сочетание
/2 Р0
режимов истечения относится к области IV. Не обращаясь к графи-
кам, прямо из данных табл. II находим фу = 0,0856; klt = 1; ко = 1 и
далее определяем по приведенным в табл. II формулам Tv = 2,52;
Тх = 0,50, kft = — 1; кг = 0. При этом уравнение (III. 1) имеет следую-
щий вид: 2,52 == 0,50 4- &р0 4- Д/i — Д/s-
Пример 5. Задана пневматическая система, состоящая из четырех по-
следовательно соединенных камер А, Б, В, Г, параметры которых те же,
что и для камер, рассмотренных соответственно в примерах l,2t 3,4, с той
лишь разницей, что объем камер J, В и Г не изменяется в переходном
процессе и что во всей системе имеется только один элемент, изменяющий
площадь сечения, установленный между камерами В и В. Требуется со-
ставить дифференциальное уравнение, описывающее изменение в переход-
ном процессе давления в камере В.
Придавая всем величинам индексы, обозначающие камеру, к которой
они относятся, вводя для сокращения записей операторные обозначения
(знак дифференцирования обозначаем буквой s) и учитывая, что при по-
стоянстве каких-либо из величин, ранее рассматривавшихся в уравнении
(III. 1) как переменные, соответствующие члены уравнений обращаются
в нуль, получим для заданного процесса следующую систему уравнений:
(0,37 «4-1) Дрм = 0,06 ДроА 4- 0,94 Др2А;
(0,82 «4-1) Ьр1Е = 0,16 «Дть 4- 0,19 Дрон 4- 0,81 Ар2Б - 0,19 Д/2Ь;
(0,29 «4-1) ApiB = Дров 4- 0,11 Д/вв;
(2,52 « 4- 1) Др1Г = Арог.
Здесь Дрол ~ Арв, где Др« — заданное относительное приращение дав-
лений на входе в систему. Имеем ДДв = Д/2к =* А/; Дрм = Дрон»
Лргд = Ары; = Дров: Ар*в = ApiB = АроГ; Арзв = Ар1Г.
Исключая при помощи этих соотношений из приведенных выше урав-
нений все относительные приращения давлений в камерах, кроме Др1Б,
получим искомое дифференциальное уравнение процесса
[0,22 s4 - 1,716 s3 4- 3,49 s’ 4- 0,116 « 4- 0,01151 Др1Б =
= [0,0432 -г 0,2825 «» -X- 0,509 s’ 4- 0,16 «1 ДхБ -г [0,0083 s2 4-
4- 0,032 s 4- 0,01141 Apo - [0,0513 s3 4- 0,253 s’ 4- 0,346 s 4- 0,101J Д/.
3. Вывод дифференциального уравнении И|и>точном камеры,
сообщающейся с несколькими камерами ни «ходе и на выходе.
Раскрытие выражений коэффициентом этого уравнения
Рассмотренная в предыдущих параграфах методика определения ко-
эффициентов дифференциальных уравнений процесса не может быть рас-
пространена на камеры, сообщающиеся более чем с одной камерой на
входе и на выходе. В общем же случае может встретиться камера, сооб-
щающаяся через л входных отверстий с п камерами, давления в которых
140
на исходном статическом режиме различны, и сообщающаяся через т
выходных отверстий с т камерами, давления в которых на этом режиме
также различны. Предполагается, что л> 1 а т>1, причем возмож-
ны п^т1 * * *. Вывод линеаризованного дифференциального уравнения
изменения давления в таков камере аналогичен приведенному в п. 1
выводу уравнения для камеры, показанной на рис. 91. Подставляя в ис-
ходное уравненпе — 8 (то же, что и для камеры, показанной на
рис. 91)1 выражение и представляя 8 в функции от приращений
всех переменных величин, от которых зависит в рассматриваемом слу-
чае 8, получим
V dbpx pi v г d!*j V л« । *
Hf-dT ~ ~нт A Ъ— = 2j 4- */>! 4-
J=l 7=1 Q1
m n m
+2^*-2<v.^ 2^-
7=1 J=1 n 7=1 2J
После тех же преобразований, которые были указаны при выводе урав-
нения (III.1), приводим последнее уравненпе к следующему виду:
4" Api = 2 “ 2 koj&Poj — 2 kti&Psi 4~
j-i j=> 7=1 П]
п т '
+ 2 ЧА'*. - 2
7—1 7=1
где
Т V * * * * Т FiXi к д^др<>) 1
v RT(de/dpi)' X1 RTidb/opi)’ OJ~~ d0,d/>i * r,j *
W>Ptj _ <*/<>/„ /u- ащ f2i
t dtydpi 2;’ Z17 дЫдрх ' Л ’ 'w* db dpy Pl ’
Для большей общности при выводе уравнения (III.5) принято, что имеется
I элементов, при перемещении которых изменяется объем камеры, хотя
это и не связано со специфическими особенностями расчета камер рас-
сматриваемого здесь типа. Обозначения всех величин в уравнении (III.5)
соответствуют указывавшимся ранее обозначениям одноименных вели-
чин для уравнения (III.1). Однако выражения частных производных
здесь отличны от тех, которые были указаны при выводе уравнения (III.1).
n m
Находим их, выписав в развернутой форме Н = У G\j — У G-ц (где Сц
7=1 i=i
и Gtj — весовые секундные расходы воздуха соответственно через /-ое
из входных и через /-ое из выходных отверстий) и продифференцировав Н
по соответствующей из переменных величин. Подставляя найденные
1 Прв п — m = 1 рассматриваемое ниже уравнение (II 1.5) сводится к уравне-
нию (1П.1). Указываемая далее методика определения коэффициентов уравнения про-
цесса при п > 1, m > 1 равно применима и для случая, когда л =» m = 1. Однако
в этом случае, подробно исследованном ранее, проще пользоваться графиками, при-
веденными в п. 2. Преимуществом последних, как указывалось, является также и то,
что они дают общую картину изменения коэффициентов уравнения переходного
процесса ж зависимости от данных системы ж от параметров, определяющих условия
истечения на исходном статическом режиме.
* См. стр. 131.
141
Рнс. 99. График функциональной зависимости величин Фь Фг, Ф>, Ф«, <fi.
Ф> от отношения давлений г. Слева на графике указана шкала для ха-
рактеристик, показанных сплошными линиями, справа — для характе-
ристик, показанных пунктирными линиями.
таким образом выражения частных производных в приведенные выше вы-
ражения коэффициентов уравнения (III.5), получим:
где
Содержащиеся в (III.G) и (II 1.7) величины <рп-, Фн. ФтЬ Фз/» Ф<; явля-
ются сложными функциями от отношения давлений rj у каждого /-го
из дроссельных отверстий камеры. Функции <pj н определяются выра-
жениями (III.3), приводившимися для них в п. 1. При докритическом
142
истечении и Ф» «шределявпся для каждого /-го из входных дроссе-
лей значением г> для него, а Фз и Ф< определяются для каждого /-го из
выходных дросселей .шичеиием ft для него. При надкритическом истече-
нии
/ 2 v-i. V‘-f fl V —I *
“(г+т) I *|.f ’Г* ~ n- " ф* - (ги) 1 *+1^’
Ф» « o.
Величина Ф зависит от значений ft и и для всех входных дросселей и от
значений /з и г» для всех выходных дросселей. На рис. 99 приведены ха-
рактеристики зависимости <[г;-. Фо-, Ф2;, Фэ/, Ф<;- от г,-, соответствую-
щие выражениям (111.7) н (111.3) при к == 1,4.
4. Методика определения численных значении коэффнцмснток
дифференциального > равнения процесса для проточной камеры..
сообщающейся с несколькими другими камерами
Коэффициенты дифференциального уравнения (III-5), описывающего
изменение давления в каморе, сообщенной через несколько входных н
выходных дросселей с другими камерами, могут быть легко определены
при помощи графика приведенного на рис. 99. Представленные здесь
в функции от г (отношения давления за дросселем к давлению перед
ним) величины <р, Фз, Фз, Ф«, как было указано выше, входят
в развернутые выражения (111.6) коэффициентов уравнения (II 1.5) (см.
также формулы (111.7)1.
Шкалой г на рнс. 99 охватываются значения г от 0 до 1, т. е. все ре-
жимы, относящиеся как к докрнтической, так п к надкритической обла-
сти. Слева па графике приведена шкала для значений <р,<р2, Ф1, Фз, Фз,
Фа, меньших 1. Участки характеристик Ф1 и Фз при малых г и характе-
ристик фьфз, Ф1, Фа при больших г, для которых значения указанных
выше функций превышают 1, показаны пунктирными линиями и для
них в правой части графика приведена своя шкала.
При определении коэффициентов уравнения (III.5) считаем, что для
рассматриваемой камеры заданы па исходном статическом режиме /^
и Poj для всех входных и /2; и р1} для всех выходных отверстий, а также
задано давление pi в камере. Прп этом известны и значения г для всех
отверстии: для /-го из входных отверстий г = гь — - , а для /-го из вы-
р,
ходиых отверстий г -- г.,; =- - . Вместе с тем считаем заданными Т, I .
Pi
а также все Fj и г}.
Определение коэффициентов уравнения (II 1.5) прп помощп приве-
денного на рис. 99 графика проводим в следующем порядке.
1. Находим величину Ф, входящую в выражения всех коэффициентов.
Определяем Ф как арифметическую сумму произведений площади каж-
дого из входных отверстий на от г, соответствующего данному вход-
ному отверстию, и площади каждого из выходных отверстий на <pi от г,
соответствующего данному выходному отверстию:
н тп
ф = 2 Ал* (nj)+2Mi(r2J).
143
Простели f,. хл® кв/еж* р,, кг/см* **-*«* >' Ч. «Ki -lUA** ♦*
а Л» 3 •ь 6
Входные 1 О 3 4 6,007 10 3 8 5 — 0.2 О.ЬКк i 0,25 0Л »«» 0 0,357 0 0
3 t 3 i 0 хе ! ““ — 0,5 1,9 г 0.S 0.25 ; 0.№ t 0.26 0.26 1,17 —
Значении Ч «м Чз Ллп ладанных г берем но соответствующим характеристи-
кам на рис. 99.
2. Определяем Ту для камеры н Тх) для каждого из элементов,
с перемещением которых связано изменение объема камеры: Ту —
V 1 i
-------==------лг и ™ Л' ~т“- При атом для воздуха
Z* к-----------’ V е
гда]/ t=iVr
ГГ ’ ПР" ТеМ"е₽аТУРС Г = 2880 а6с Г‘ ’ ;-^ф -
3. Определяем все kOj, ktxi, k3j, kfij. По графику на рис. 99 находим
для каждого /-го из входных отверстии при соответствующем ему г ==
Ф * Ф, •
=* r,j значения Фр* и Ф^- и вычисляем Ао; и Af|i: А,»/ =« «Л?, kfl- — fa
По графику на рис. 99 находим для каждого /-го из выходных отверстий
при соответствующем ему г = г2; значения Ф^ и Ф^; и вычисляем k*j и
Ф Ф4> „
Л/2>: А.У = A/2j ——/2j~. Проиллюстрируем указанную выше
методику определения значений коэффициентов уравнения (III.5) числен-
ными примерами.
Пример 1. Определить коэффициенты уравнения (Ш.5) для камеры,
показанной на рис. 93 при следующих условиях. Дтн исходного стати-
ческого режима заданы в долях от /3, величины /,, u I : ~~~ = 1.24;
/2*
“ = 2: — 1000 “ . На этом режиме ро - 5 кэ г.м-: />., — 1,26 кг. см2;
/2, и-
р3, ==1,052 кг/см2; = 2,1 кг/елг. Задано ~ = 0,2. Г = 288э абс.
Определив п = 0.42. г», ~ 0,5, r2j — 0,6, находим для этих г по графи-
ку на рис. 99 ф,€ = 0, Фь = Ф3, — 0,615 для входного отверстия п =
= 0,26, Ф31 = 0, Ф4| 0,26 и <ръ = 0,308, Ф., = 0,053, Фъ = 0,258
соответственно для первого и второго из выходных отверстий. Тогда,
согласно (Ш.7), Ф = /3.0,26 + А.0.308 = 2/310,26 -г /2l0.308 - 0,828/2х.
По формулам (Ш.6), подставляя в них указанные выше значения Ф,
Ф1, Фг, Фз, Ф*, [находим Ту — 1,58 сек, Тх -у- — 0,2 Ту ~ 0,32 сек;
к^ = 0,923; А-^ = 0: А31 = 0,64; АЛ= 0,923; kh = — 0,628: уравненпе (Ш.5)
144
Т « 5;i яцa HI
♦1 ♦j ф* is Ч ч
8 9 10 ! 11 12 13 ti
1.» 0.6^57 Lus 1,30 0,274 1.03 0,648 — 0,121 0,239 0,131 0,072 £ 0,121 0,102 0,134 0,072 II 1 1
— 0 0 1.07 0,26 0,26 0,117 —Г- 0 0 0.400 —0,389 —0,039 —0.(44
при этих коэффициентах имеет следующая вид:
1, 58.''? ~ = 0,32 ~ + 0,923 Др. -г ОхЧ Ар. + 0,923 ДА - 0,628 ДА,.
Пр'лмер 2. Определить коэффициенты уравнения (III.5) для камеры,
для которой заданы объем камеры К = 3 -tz -свело камер, с которыми дан-
ная камера сообщается на входе, п — 4; тггло камер, с которыми данная
камера сообщается на выходе, т — 3; абгс.'пятные давления во всех смеж-
ных камерах и площади проходного сечеяял всех дросселей на исходном
статичском режиме имеют значения, укасанные в первых трех столб-
цах табл. III; абсолютное давление в рассматриваемой камере на исход-
ном статическом режиме pi = 2 кг!см*г эбъем камеры в переходном
процессе остается неизменным, а все п_х:»щади проходного сечения и
давления во всех камерах изменяются; 1 — 288е абс.
Определяем по заданным величинам давлений значения г для каждого
из дросселей: для i-го дросселя на входе г = £!- = —= 0,2 и т. д.;
значения г указаны в столбце 4. Определяй м по графику на рис. 99 при
полученных значениях г величины ф*. фц, ф, для входных дросселей
и Фз, Ф* для выходных дросселей; эта. величины <pi, фа, Ф1, Ф», Фъ
Ф« указаны в столбцах 5—10 таблицы. Находим, согласно (II1.7),
Ф = V /1Ла(го) 4- = (0,02-1 Т--0,357] + [0,08-10'<0,26 +
4-0.оЙ-10 <0,26 + 0,02 10-«-1,17] « 0л£35• ЮЛ По формулам (Ш-6)
Т V _______ i „0 1 ПЧО4
нахо. •. ~~ • £ 7Ч5 {,д|535.{б~4 =0,731 сек, kOl —
V2g/>V » Г
Ф, 1 3
— /ц ф5 0.005 •10’4^-()>л^ |^ — 0,121 х аначения всех остальных
А*,. которые указаны в столбцах И—14 табл. Ш.
Уравнение (Ш.5) для рассматриваемой лашеры имеет следующий вид.
0,731 + Др, - 0,121 Лрч + 0,239 Ар ч, * °.134Лрч + 0,072 Др,, +
-г 0,400Др^ + 0,121 ДА, + 0,102 ДА, - 0,134 Д/,, 4 0,072 ДА, —
- 0,389 ЛА. - 0,039 ДА, — 0,044 АЛ.
• Jr- •
-10 Л. А. Заяманзов
14.V
5. Замечания об условиях, при которых в переходном процессе
сохраняется исходное сочетание режимов истечения,
н о погрешностях, вносимых при линеаризации уравнении.
Учет изменения коэффициентов расхода дросселей
Максимальные отклонения, при которых сохраняется те же условия
истечения для каждого из дросселей, что и на исходном статическом режи-
ме. Рассмотрим камеру, показанную на рис. 92. В зависимости от того,
каков Исходный статический режим, и от тиго, в каком направлении про-
исходит отклонение, достижение Дрх~ Aptmax (после которого нарушаются
исходные статические условия) связано или с изменением характера исте-
чения (докритического, надкритического) на входе или на выходе, или же
с тем, что в одном из дросселей расход воздуха становится равным нулю,
т. е. Gi — 0 или&г = О, после чего в данном дросселе меняется направле-
ние потока.
Примем следующую методику определения Дрипах- Для различных ис-
ходных статических режимов, относящихся в зависимости от значений
/г//а и р^/Ро к той или другой области (рис. 37), выясним возможные изме-
нения условий. Затем расчетом определим, какое из ограничений ио мере
увеличения отклонения наступает в первую очередь, т. е. с каким из огра-
ничений связана величина Арцп,.х. Расчеты проводим по следующим фор-
мулам:
а) при pi > pi: | Api | = —- — 1, если на входе н —> д;
|Api| = — 1, если на выходе д—> н:
1 Р
|Api| — ----1, если на входе достигается Gi — О.
б) при pi < pi: | Api | = 1--’ если иа входе «'•
| Api | = 1--— , если на выходе н —> д;
| Ар> | = 1 — г», если на выходе G'a — О.
Во всех этих формулах JAp,|— абсолютная (в алгебраическом смысле слова)
величина изменения давления, отнесенная к абсолютному давлению в ка-
мере на исходном статическом режиме, обусловленная достижением того
или иного ограничительного условия. В приведенной записи надкритиче-
ский режим обозначен буквой н, докритическпй режим — буквой д, а пе-
реход от одного режима к другому обозначен стрелкой.
По данным проводимых таким образом расчетов можно выделить в поле
рис. 37 подобласти, для каждой из которых при отклонении от равновес-
ного режима имеет место определенное изменение исходных условии.
Расположение этих подобластей па ноле рис. 37 и качественные характе-
ристики ограничительных условий для каждой подобласти показаны для
случаев pi > pi и pi < pt соответственно па рис. 100, а и б.
На графиках, показанных на рис. 101, а — г, приведены характеристи-
ки численных значений | Apfmaxl. Пользуясь этими графиками, легко опре-
делить, пе проводя никаких расчетов, значения, Д/>|ПЫХ' при отклонениях от
любого исходного режима.
Представленные на рис. 101, а — г характеристики рассчитаны по при-
веденным выше формулам при подстановке в них значений определи
емых из графика на рис. 3G, б, и значений г2, равных ~~ ~
Погрешности* которые вносятся при линеаризации уравнений. Огра-
ничимся рассмотрением камеры, показанной на рнс. 92. Отметим два
IV.
крайних случая. К первому из них относятся все процессы в области IV.
Они точно описываются линейными дифференциальными уравнениями, и,
следовательно, не возникает вопроса о каких бы то ни было погрешностях,
связанных с линеаризацией. Второй крайний случай составляют все про-
цессы, для которых фу, а следовательно, и Tv близки к нулю (согласно
рис.94,фу—*0при /х-»0, ft—>Оили — —>1). При /1->0или /2—» 0 приходим к
Ро
глухой камере; качественно та же характеристика процесса имеет место
Ряс. 100. Графики к анализу условий, при которых в переход-
ном процессе не изменяются режимы (докритнческие и над-
критические) н направления течения воздуха в дросселях:
а) при pi > р,. б) при pi < р«
и при *1,иири этих условиях линеаризация исходных статических
характеристик (производимая путем замены кривой касательной, прове-
денной к ней в точке, соответствующей исходному статическому режиму)
вообще невозможна. Однако для проточных камер этот крайний случай
не характерен. Существенно лишь то, что но мере приближения к указан-
ным выше режимам одновременно с уменьшением Гу диапазон допустимых
по условиям линеаризации отклонений все более сокращается, стремясь
к нулю1.
Во всех промежуточных случаях погрешности, вызываемые линеари-
зацией, зависят от характера процессов. В качестве примера исследуем
процессы самовыравнивания. Погрешность будем оценивать сравнивая
уклоны касательных, проведенных к истинной характеристике процесса
и к характеристике, определяемой линейным приближением, в точках,
соответствующих одним и тем же значением Др,. На рис. 102, в, отражаю-
щем все режимы области ///, приведены характеристики изменения в за-
висимости от /2//1 значений Др,, соответствующих определенны^ величи-
нам погрешности, вызываемой линеаризацией (погрешность! указана
в процентах). На рис. 102, б приведены в зависимости от аиа-
Pti Ро
1 Приведенные выше соображения о невозможности линеаризации расходник
характеристики турбулентною дросселя при стремлении к нулю разности давлений
до п после дросселя (или, что то же, при стремлении к единице отношения соответствую-
щих давлений) весьма существенны для глухих камер. Для последний на исходном ста-
тическом режиме разность давлений до и после дросселя всегда равна нулю. Этот вопрос
более подробно рассматривании в и. 6 § 2.
’ 10*
157
Рис 101. Хариктеригтикп максимальных отклонений от исходного статического режима, при которых в переход,
ном процессе не меняются режимы течения в дросселях:
а — для ооласти I, б — Для области П, « — Для области 111, в — дли области 1 V.
Шгала Зля
логичные характеристики для области II. Для области / величина по-
грешности является функцией /1//з и ps/po, причем так же, как и для обла-
стей II и III, здесь существенно направление отклонения. В качестве иллю-
стрирующего примера на рис. 102, в показана характеристика Api = / (—}
/11
для различных процентов погрешности прп у- — 1, когда /ц < pt.
Прп построении приведенных па рис. 102 характеристик процент
погрешности для каждого данного определялся как je — 1| -100,
(ЯД/Ъ </0ист .. .
где е = -гп—гтт; - — отношение уклонов касательных при данной Лрх
(dSpi.dl)^
к характеристикам истинного процесса и его линейного приближения.
Для
области I
АД1
f 2_ __ 2 п * И _ fcl1
O + Api)| F/d-bAn) d+ApO <
-Ь-------------Гд------------т-----------------
ITT + Т1 (r^J Л;‘
для области II
1
1/^1/ 2
Е * А-4-i\ А-4-М Р*'А>Га .
TiWApi
/ « 2 Нт
(I +4Л)|/ -?(1 + ДЛ)~Т_ ,2-Г(1 + д?1)- Т-
‘ Ф1(г») Д/>1 ’
для области III
1
Здесь <pi и фа определяются по формулам (III.3). ЗначенияУг! при расче-
тах брались из графика на рис. 36, б, значения г8 подсчитывались как
_ Рг/Ро
2 Г1
На всех трех графиках, показанных на рис. 102, пунктирными линия-
ми показаны граничные характеристики, определяемые ранее рассмот-
ренным требованием сохранения исходных условий истечения (рис. 101,
а — в). По приведенным данным можно судить о порядке величин откло-
нений, при которых погрешность, обусловленная линеаризацией, не пре-
вышает тех или иных значений.
149
Hi Hf it । *j,'/ и<111 / ииегуо ni l' — в *// ЛХ»>«<ЧН МИГ — 9 'ill HWHIV» nt:)' — v
'«tli.UHtaJHvdwi 1ИН lOhHtt'l » ХГНП'ОХЛИ iH’U.H'HlbiHlUAHI Xl*lttilltui*lt МИ *XrMIfMHU И И)1Иф11<1,| ,“|)| .»И(|
150
•»
Важно OfМетить, что приведенные ранее графики для oiqw'деления коэф-
фициентов линеаризованных дифференциальных уравнений проточных
камер могу г быть использованы при всследоинпнп динамики нненмоснстем
также и в тех случаях, когда отклонении настолько велики, что линеари-
зация, как это показывает проведепнын анализ, приводит к недопустимо
большим hoi решпостям. В этих случаях весь процесс может быть разбит
на малые участки. Параметры, соответствующие началу каждого из них
(известные из ра чета, проведенного для предыдущего участка), могут
быть приняты ла исходные при определении коэффициентов дифферен-
циальных уравнении по построенным графикам. При этом, разумеется,
каждому из участков отвечают свой значения коэффициентов линеари-
зованного дифференциального уравнения. Увеличивая число участков,
можно таким образом сколь угодно бли «ко апрокснмцровать процесс
в пел и не и ной системе линейными дифференциальными уравнениями.
Аналопушим нулем проводится расчет динамических характеристик си-
стемы с нелинейным элементом, анрокспмируемым линейным звеном,
графоаналитическим методом Башкирова |6.*1: рассматривается линей-
ное звено, коэффициенты в дифференциальном у равнении которого, одна-
ко, различны для разных интервалов времени или же меняются в функции
от параметра. В одном из случаев при ступенчатом изменении давления
на вход»? оказывается возможным непосредственное интегрирование при-
ближенных уравнений проточной камеры; этот вопрос рассмотрен в рабо-
те |64|.
Дополни тельные замечания об учете изменения кол<р<бициента расхода
дросселей. В уравнения (III.!) и (III.5) вошли члены вида kfi &ft (вида
kf A/i или kft bfs), в которых Д/, — относительное приращение -эффек-
тивной площади дросселя, а не геометрической площади его проходного
сечения. Значения к^ определяются по ранее приведенным графикам, и
следует лишь сделать оговорку о введении в рассмотренные ранее урав-
нения величины А/,. Ранее при классификации дросселей разных типов
в главе I были введены в рассмотрение лишь турбулентные дроссели с неиз-
меняемой площадью проходного сечения. В данном параграфе главы III
были рассмотрены дроссели с изменяемой площадью проходного сечения,
которые, однако, при каждом данном фиксированном значении площади
проходного сечения удовлетворяют по условиям течения в них воздуха
ранее принятому определению турбулентных дросселей. Для таких дрос-
селей коэффициент расхода з обычно мало меняется с измененном величины
Ле, определяющей режим истечения, и практически зависит лишь от гео-
метрических данных дросселя. Пренебрегая зависимостью коэффициента
расхода s от числа Не и считая, что ♦ == ф(/), где / — геометрическая пло-
щадь проходного сечения, получим для приращения эффективной площа-
ди дросселя / — s/ следующее выражение:
e/ = fd/ + /6f = t»7+7**7- (e-t-7^’’®/
rf/ \ df ’
где значения s и / относятся к исходному статическому режиму. Для отно-
сительных приращении имеем
А/ = (1 А/.
V « df)
Заменяя в уравнениях (III.1) и (III.3) значения А/ их выражениями
указанного выше вида, можно перейти от приращений эффективных пло-
щадей к приращениям геометрических площадей проходного сечения
дросселей. В указанном выше выражении Д/ величина ds'df может быть
определена по опытной характеристике дросселя з — <р(/1
151
6. Динамика »глухмх камер при турбулентных дргсглнх
Ниже рассматришпетсп линеаризация характеристик ниенмосистемы.
состоящей из глухой камеры, сообщенной с проточной камерой, прп ма-
лых отклонениях даз.лоний в камерах от значения давления, отвечающе-
го уста нови вше чур режиму работы. Затем указывается методика
расчета времени запо.кнеинн и опустошения глухих камер, которой можно
пользоваться также ж при более значительных изменениях давления
в глухой камере; в соответствии с замечаниями, сделанными в начале
этой главы (см. § t)i рассматривается только изотермическое плеенение
состояния воздуха в камере.
Рис. 103. К анализу влияния нелинейности характеристик
гурбулеитилг-Х дросселей на динамические свойства пяевматн-
ческхх систем, содержащих глухне камеры;
а — глухая й ьигра, б — сметена, состоящая /.и проточил глухой
наме&и» • — проточная камера увеличенного объема
Вопросы линеаризации характеристик глухих камер. Для каморы, по-
казанной на рис. ЮЗ, а, прп малых отклонениях положения равнове-
сия разность давлений бр = pi — рк мала и протекание характеристики
расходов определяется формулой (1.12). Если учесть прп этом, что вели-
чина др может быть различной по знаку, то уравнение характеристики
расходов для дросселя следовало бы записать в виде
й=охад/FM
где G (др) — знак др. В дальнейшем в этом разделе ограничимся для
упрощения лишь рас* чотрением правой ветвп характеристики расходов,
т. е. ветвп ее, соответствующей области положительных др, и будем поль-
зоваться формуле! (1.12).
Линеаризация функции G путем проведения касательной к расход-
ной характеристик*’ в точке, соответствующей равновесному режиму, не-
возможна, так как в этой точке получаем
_jS_ _
d&p °С*
Покажем, что несмотря на это, наличие глухой камеры не препятству-
ет исследованию малых отклонений от положения равновесия в пневмо-
системе, выполненной, например, по схеме, показанной на рис. 103, б.
Здесь имеются две камеры: проточная камера, объем которой равен F, и
глухая камера с объемом FK. Сравним динамические характеристики этой
системы с характеристиками одной лишь проточной камеры (рис. 103,в)
имеющей па входе и на выходе такие жр дроссели, что и проточная камера
в указанной выше системе (рис. 103,6), но отличающейся от нее своим
объемом, которым примем равным Г — FK.
152
Для показанной на ряс. 103, б системы приравняем выражение прира-
щения весового заряда в глухой камере за время dt выражению весового
расхода воздуха «крез дроссель за то же время» При этом получим уравне-
ние глухой камеры в форме
ЛТ ~ЗГ ~fV-KY ^Fi^" Fk-
(III.8)
Приравняем далее выражение приращения весового заряда в проточной
камере. с которой соединена данная глухая камера, выражению
Й- /| 2гу1 Pi —где б — разница между секундными весовыми
расходами воздуха чор-т входной и выходной дроссели проточной камеры,
а /1 2r, I jpt — рп G секундный весовой расход воздуха через
дроссель глухой камеры. Таким образом получим следующее уравнение
для проточной камеры, показанной па рис. 103, б:
= Г"
Для уравнении (III Я) и (111.9) приняты те же обозначения отдельных
величии, которые были введены ранее при песледовашш динамики про-
точных камер. Здесь также при обозначениях теку тих значений давления
в проточной камере давления в глухой камере рк, а также текущих
значений других величин введен дополнительно знак—с тем, чтобы от личить
эти обозначения от обозначения тех ж> величин для исходного стати-
ческою режима. Соответственно с этим dpt = Р\ — Pi, брк ™ рк— рк,
бр = р; — рк. В уравнениях (III.8) и (1II.9): / — эффективная площадь
проходного сечения дросг ели глухой камеры, Т — удельный вес воздуха,
Т — абсолютная температура. Н—газовая постоянная, g — ускорение
земного притяжения.
Если бы в рассматриваемой схеме отсутствовал дроссель, разделяю-
щий глухую и проточную камеры, и имелась лишь одна проточная
камера с объемом, равным Г -j-1 к (рис. ЮЗ. в), то уравнение такой
проточной камеры вмело бы следующий вид:
rv “fl£- -! бр, 0. (Ill 10)
где
. > +1К I
Л -•
. tipi -
ЬЧ- Fi
Покажем, что к такому же виду' приводится и уравнение, нолучаю-
ше»ч’Я при линеаризации уравнений (III.8) и (111.9) и исключения из них
брк. если только лишь произвести эти действия в следующем порядке:
оперировать сначала при линеаризации уравнений с производной
Г i *
। 7,- - I как с конечным числом и лишь после исключения орк перейти
к пределу при
| _f^L) ->ое
V 5р—о
153
Линеаризуя уртииенмя (III.8) и (1I L9) и имея * *илу, что
. . dPx rfpi dbpi
in - Рьг ty> - /?-I ~ Рк = bpt - d^. V/ - Х= -^Г ,
/ K2gT I Pi — Рк = <ъ
найдем
VH <^в i'dg\ ' ( <£ \ . .......
fif ' ** ( «Й>‘ \рвИЛ* ( dd/> )ъ, / ?к' (ШЛI)
V <ify>i
НТ dt
(11112)
По исключения подучим
F (4Ц
I еРб/»! ____ * \ dj?\ Р^лэр, dbpi 1 '. У к rfftpi
Г- - . Ц| ;,! -ruTiTni^V"*.— ' 11 1 ,дил IJ|^"' « М, г - . , , ,, _- ... ч-|ц<-> >, I —II I > I Ш ^ ।
/ <яТ dt* , \ dt кг dt
(ЯГ)’ ( г.- I НТ I -r_—
' \ d*P V Sp^o
-($-)_ ®л=0- <1,1I3>
Ь~лр1
коэффициенты при двух первых членах уравнения
(I i 1.13) обращаются в нуль, и оно сводится к уравнению (ШЛО). Таким
образом, получается, что при малых отклонениях от положения равнове-
dS
сия (когда Ьр —*0 н^^~*ос) система, включающая в себя глухую и »
проточную камеры, должна вести себя так же, как она вела бы себя, если
бы вместо этих двух камер имелась лишь одна проточная камера увели-
ченного объема.
Полученный результат легко объяснить, исходя из физической сущно-
сти процессов, протекающих в глухой н проточной камерах. Время само-
выравнивания давлении между глухой и проточной камерами зависит от
вида функции G. На исходном статическом режиме Ър =0 и 6=G=0'; поэто-
му в окрестности точки, соответствующей равновесно г у режиму, dbp —
— bp и dG — G. Но так как при др—>0 имеем * «> »т0 каждому из
значений др, близких к точке др — 0. соответствует бесконечно большое
значение весового секундного расхода воздуха G. Благодаря этому время
выравнивания давлений между глухой и проточной камерами стремится
с уменьшением др к нулю.
С проведением указанных выше выводов полностью выясняются осо-
бенности отмеченных в прошлом разделе этого параграфа режимов работы
проточных камер, при которых они приближаются по своим динамическим
характеристикам к глухим камерам (это имеет место при /1>/а или /1</аи
——*1). В этих условиях резко уменьшается постоянная времени про-
точной камеры (см., например, характеристики
= /(т* • —) иа рис.94);
V/i Ро j
однако вместе с тем суживается п область отклонений, для которой допу-
стима линеаризация характеристик. При переходе от проточной камеры
к глухой в пределе стремятся к нулю как постоянная времени камеры.
154
так и диапазон отклонений, для которого может быть проведена линеа-
ризация характеристики расходов* *.
Заполнение и опустошение глухой камеры. Исследуем характеристики
заполнения и опустошения глухой камеры, показанной па рис. 10», я1.
Будем считать, что давление pi остается постоянным как в процессе запол-
нения, так и при опустошении камеры. Если в действительных условиях
это давление непостоянно п меняется во времени, то можно апроксимиро-
Рис. 10-4. К исследованию характеристик изменения давлений при
за пат не ня и и опустошении глухой камеры с турбулентным дрос-
селем при изотермических условиях:
а — глухая камера» б'— график, иллюстрирующий методику замени исходной
характеристики р, *=--я? <0 ломаной, в — график для определения времени за-
полнения глухой камеры (нуль шкалы I совмещается с точкой яа оси абсцисс,
соответствующей заданному начальному значению рк при данной величину
*
рр, a — график _ для определения времени опустошения глухой камеры при
р^ = 0 (пуль шкалы t совмещается с точкой на оси "абсцисс, оютветствуюшей
заданному начальному значению
вать истинную характеристику pi — f(t) ступенчатой ломаной и провести
расчет для отдельных участков времени (на рис. 104. и это участки од, аЬ,
Ьс), в пределах каждого из которых величина pi может быть принята по-
стоянной. В этом случае значение рк, получаемое расчетом для конца каж-
дого из предыдущих участков, принимается за начальное для следую
щего участка. Заполнение камеры воздухом (рис. 104, я) определяется
1 Кроме указанной выше задачи для глухих камер с турбулентными дросселями.
возникают ж другие специфические задачи, актуальные для области пневмоавтоматики.
Некоторые из ннх исследованы в работе [651.
• По вопросам, связанным с характеристиками заполнения и опустошения пнев-
матических камер, см. более подробно [661 и [671.
155
следующей зависимостью между изменением отпотеем.* абсолютных давле-
ний г — — и временем Z:
I
dr
Зд^'ъ г« — значение г при Z “ О, I — объем камеры. / — площадь про-
ходного сечения дросселя, с — коэффициент расхода, Т — абсолютная
температура. Функция S. (г) в формуле (111Л1)
ния: при докритическом иг течении
имеет следующие зпаче-
2 *+-»
к
с
F=Zf
г к
г)га | 2<R_±_(_|.)‘ , w
при нос теяпном давлении к его
и при надкритическом истечении
к — отношение теплоемкости воздух»
теплоемкости при постоянном объеме .• Н — гиговая постоянная, g — уско-
рение гем кого притяжения. Кроме указанных выше обозначений, введем
обозначение 6 ДЛЯ весового заряда воздуха в каморе.
Укажем ход вывода формулы (111.1 »). Считан, что заполнение каморы
происходит при д* = const, и учитывая, что Т const, получим из ха-
рактеристического уравнения />к1 ~ С'К7' выражение а’о = dpK —
I р. . Л*' V/». dr ,
~ JZcr. из которого следует, что . с другой стороны,
ZIX * л I X <• »
в соответствии с формулой (1.10) ~ ~ г//дс (г), где при докриги-
ческом и надкритическом истечении £ (г) имеет указанные выше значе-
ния. Приравняем правые части обоих выражений для разделим пе-
ременные г и f и проинтегрируем полученное дифференциальное уравне-
нпе в предела от Z — 0 до t. Таким образом получим выражение (III. 14).
Выполняя в (III. 14) графическим путем интегрирование. можно по-
строить характеристику г = / (Z). На рис. 104, в показана пунктирной
рк
линией характеристика г = — = / (Z), построенная для камеры с
I = 100 см5 при f — 1 x.us, е — 1 и Т — 288° абс. Этой же характеристи-
кой можно пользоваться л при других V, е, /, Г. подсчитывая время Za
заполнения камеры до состояния, определяемого каждым данным отно-
шением pjpi по формуле Z. — 0,17 ууу где величина /, соответствую-
щая данному значению рК/ри берется по указанной выше характеристике,
приведенной на рис. 104, в, V —
.war, Т — температура в ' абс.
В формуле (111.14) торг— есть отношение абсолютных давлении.
Выясним далее, как меняются избыточные давления в камере при ее за-
т
полпенни. Так как — —
Г»
объем в ан8, / — площадь дросселя в
, то
pv = 4- 1,033) - 1,033. (III. 15)
Из последнего выражения следует, что единой для данной камеры
* р
характеристике — = / (Z) соответствует семейство характеристик
156
изменения избыточного давления в камере р*=/(0, каждая из которых от-
носится к определенному значению р*. На рис. 104, в приведены для ука-
занной выше камеры (камера с I — 100 см3, f — 1 мм\ е — 1. Г— 288° абс)
характеристики р* = / (/) при нескольких значениях pt, взятых в преде-
лах от р* = 0,2 amv до р‘ — 1,0 ати. При пользовании этими характери-
стиками для камер с другими данными, следует производить указанным
ранее способом пересчет значений t.
Процесс опустошения камеры определяется следующей зависимостью
' = / (О’-
где г — —, а все остальные величины имеют те же значения, лто и для
Рц
формулы (Ш.14), и теми же, что и для последней, являются выражения
функции | (г) при докритическом и надкритическом истечения.
Вывод формулы (ШЛО) аналогичен указанному выше выводу фор-
мулы (III.14). Однако в этом случае г = — ; поэтому, предполагая, как
Рк
Подставляя dpK —
~ dpK или dpK= — dr.
* к
и ранее, pt — const, находим dr ~ —^dp.t~
Р\
Рц I
— dr в следующее из характеристического уравне-
V Vp 1
ния выражение — f.^dpK, найдем, что d® —— dr и, следова-
г
d® VPK 1 dr d®
тельно, y- . Вместе с тем уравнение истечения дает =
= t/pK^—~ £ (г). Приравнивая правые части последних уравнений, по-
лучим выражение, из которого следует (II 1.16).
На рпе. 104, г показана пунктирной линией характеристика — = / (0
_Рк
яри опустошении камеры, построенная для F ~ 100 ом3. / = 1 мм9,
-е — 1, Т = 288° абс. Эта же характеристика может быть использована
и для расчета времени опустошения камеры при других значениях V,
J, е, Т', пересчет масштаба времени производится прп этом так, как было
указано выше при рассмотрении процесса заполнения. Переход от ве-
личин р\/рг к избыточным дав тениям в камере р* производится по формуле
. р +1.03
(Ш.17)
- 1,03,
Л Рц
•следующей из равенства
Как следует из (III.17) и из проведенных ранее выводов (согласно ко-
торым pdpr является функцией времени 0, каждому значению р отвечает
своя характеристика! р' / (0.
На рис. 104, г сплошной линией показана характеристика .р’ — / (0
И я случая опустошения камеры при указанных выше исходных значе-
ниях F, /, с, Т и при р‘ ** О (т. е. при pi == 1,033 ата).
157
В заключение проиллюстрируем пользование описанными выше гра-
фиками на численных примерах.
Пример 1. Начальные значения р* — pi — 1 ата. Определить время
заполнения камеры до рк = 2 ата после скачкообразного изменения дав-
ления pi от значения pi ~ 1 ата до р\ = 2 ата. Объем камеры
Г = 100 аи3; эффективная площадь проходного сечения / = е/ = 1 .юс;
Т - 288° абс.
По характеристике ~ — / (/), приведенной
для изменения отношения давлений pjpi от
на рис. 104, в, находим
Рк 1 Л г Рк f
—— — — 0,5 до —- 1
Pi - Pi
значение t = 0,4 сек. Это и есть искомое время заполнения камеры.
Пример 2. Определить время заполнения камеры, для которой
F = 40 си’; / = в/ = 0,25 мм-\ Т = Э005 абс. Условия изменения давле-
ний те же. что и в примере 1.
Время /. определяемое по графику на рис.
104, в, то же. что и в примере 1: t — 0,4 сек.
Пересчет этого времени с учетом новых зна-
чении Г, / я Т дает истинное значение времени
1,сек
Рис. 105. К численному при-
меру расчета характеристи-
ки изменения по времени
давления в глухой камере
с турбулентным дросселем
заполнения Г = 0,17------0,4 = 0,63 сек.
• 0,25 ^300
Пример 3. Рассчитать время опустошения
камеры после скачкообразного изменения дав-
ления pi от 2 до 1 ата. Начальное значение
давления р* — 2 ата. Остальные данные те же,
что и в примере 1.
По графику на рис. 104, г находим / —
— 0.47 сек.
Пример 4. Изменение внешнего давления
pi— I (/) задано кривой 1 на рис. 105. Началь-
ное значение рк = 2 ата. Остальные данные
те же, что и в примере 1. Требуется получить
приближенное значение функции рк — f (/).
Аирокснмнруем заданную кривую pi = / (t)
ломаной (характеристика 2 на рис. 105) и вы-
деляем три расчетных участка так, как показа-
но па рис. 105. Для первого участка началь-
ное значение pifpK равно — = 0,5. За вре-
Рк 4
мя 0,2 сек, согласно рис. 104, a, pifpK меняется от
этого значения до-значения pi/pv. — 0,76. Поэтому в конце первого или,
что то же, в начале второго участка ; --J () = 1,32 ата и для
второго участка начальное значение pjpi равно — 0,44. Отношение
р
давлений — — 1 достигается, согласно рис. 104, в, за 0,43 сек, на осталь-
ной части второго участка в камере сохраняется рц = 3 ата. В начале
третьего участка — — ~ ss 0,67. В конце этого участка — ~ 0,91,
Рк Рк
чему соответствует рк — 2,2 ата. Полученная таким образом характери-
стика pti j (/) показана в нижней части рис. 105.
158
§ 3. ДИНАМИКА ПРОТОЧНЫХ И ГЛУХИХ КАМЕР
ПРП ЛАМИНАРНЫХ ДРОГ СЕЛЯХ И ДРОССЕЛЯХ СМЕШАННОГО ТИНА
1. Дифференциальные уравнения йроточной камеры
прп ламинарных дросселях
При выводе уравнений (III.1) и (III.5), проведенном в § 2 этой главы,
не делалось каких-либо предположении о характеристиках дросселей.
Поэтому эти уравнения в равной мере относятся н к случаю использова-
ния ламинарных дросселей. Рассмотрим дифференциальное уравнение
камеры, показанной на рис. 91. Во многих практически важных случаях
при исследовании динамики камер с ламинарными дросселями можно пре-
небрегать влиянием на характеристику расхода дросселя изменения плот-
ности воздуха и других привходящих факторов.Соответственно с этим при-
мем, что характеристики расхода входного и выходного дросселей опре-
деляются следующими уравнениями:
=/» (Po—Pi)
и t Г ~ \
Соответственно с этим
dF~~l dt" = (PQ “ “ pj-
Раскроем выражения коэффициентов дифференциального уравнения
Л + Ар< =ТХ^- + А'.Дро + *2А/>2 + А/, + Д/2, (ИМ)
которым описывается процесс изменения давлений в камере рассматри-
ваемого типа при малых отклонениях от установившегося режима течения.
Найде с для этого частные производные от функции 0, содержащиеся в вы-
ражениях (1П.2) коэффициентов Ту, /г®, А/, уравнения (II 1.1):
----(/1 4- А), - /1, - ро — Р1 <1П.18)
Подставляя эти значения частных производных" в выражения '(111:2),“'
получим следующие формулы для определения коэффициентов Tv, A®, kft
в уравнении (III. 1):
т ___ _ I. _____hili к _______, 1 / А 1 — Г|
,v - «ту. + м + п • (111.19)
/а /а
Значения и зависят от Д//» и ра'р» и определяются по формуле
(111.20)
или по графикам, показанным на рис 10G.
Остальные коэффициенты уравнения (III.1) определяются ио форму-
лам (1114):
kt = I - */, - - к,„ Tx--=f'p Tv.
1 Напомним, что для частных крон нюдных приняты упрощенней. обмана чевяя:
V и т. д. Напомним также, что /> и/j здесь не являются пл-интдями
dpi \upi/p. р,
проходного сечения, см. стр 88,
159
Как было указано в § 3 гл. II, при ламинарных цилиндрических дрос-
селях » где di и d* и h и h — соответственно диаметры и
fi \di/ h
длины входного п выходного дросселей. Если же ела дросселя щелевые,
то ~ • (тЦ3 • ~ , где Di и Ut, di и 62, h и А ^.^ответственно сред-
h L** \ Оз/ <ц
ние диаметры, радиальные зазоры и длины дросселей.
а б
Рис. 106. Статические характеристики междроссельнг-us камеры при
ламинарных дросселях:
л — характеристики г» = ф f-тМ при различных —. б ~
' /1 / Pi-
при различных значениях ~-
ха рактерястякн
• Проведенные* выше выводы можно повторить и для более общего слу-
чая, когда проточная камера сообщается с несколькохи камерами на вхо-
де и па выходе. При этом только лишь следует про^авести подстановку
-соответствующих выражений частных производных д исходные формулы,
.приводившиеся для этого случая в § 2 данной глаяьг.
Следуя методу расчета, указанному в главе I, при необходимости мож-
-но также учесть и влияние сжимаемости воздуха на характеристики рас-
хода отдельных дросселей. Для этого нужно учесть гири определении вы-
ражений указанных выше частных производных ъивисимость величин
.Ди /> от давления до и после каждого из дросселей (ем. гл. I, § 3, п. 1).
2. Характеристики опустошения и закате имя глухих
камер при ламинарных дросселях
Более специфическими, чем рассмотренные выше являются вопросы
динамики глухих камер при ламинарных дросселях, возникающие при
анализе работы устройств изодромнои обратной свжки пневматических
регуляторов, устройств, в которых осуществляется воздействие по про-
изводным^ а также при анализе работы пневматичссазгх таймеров и неко-
•торых других пневматических приборов.
Характеристики глухой камеры при постоянном^ давлении внешней
„среды. Выведем дифференциальное уравнение опустошения камеры, по-
казанной на рис. 107, а. Так же, как и при выводах, проведенных в прош-
лом разделе, будем считать, что
- />„), (Ш.21)
где / = canst.
-460
Залма нз'Ш
Рис. 107. Характеристики изменения ио времени давления в глухой камере с ламинарным дросселем:
а — глухая камер* с ламинарным дросселем, б —теоретическая характеристика р* --<?(<) для глухой камеры с ламинарным
дросселоа, • — експернмеитальная характеристика р* « ф (t) для глухой камеры с ламинарным дросселем, т «» 0.55 jhuh, а — »кспе-
римеяталчная характеристика р*шф(1) для глухой камеры с ламинарным дросселем, t~ 100 час.
Если рн — const и величина рц принята за уровень для отсчета избыточ-
ных давлений, то последнее уравнение можно записать в виде
= (111.22^
Если далее принять процесс изменения давления в камере изотермиче-
ским, то, имея в виду уравнение состояния и следующую из него завпеи-
ХГ mnr I dp Т
мость pv &л7, получим соотношение . 1 ак как при
рн = const имеем dp — dp*, то из последнего соотношения и из уравне-
ния (III.22) следует
А ЛА = -/₽• <Ш-23>
Разделяя в уравнении (III.23) переменные, производя интегрирование
его и представляя постоянную интегрирования в форме С, — 1пС, полу-
чим
. . /яг , , г
1пр =------у~ ! 4- Int ,
откуда
_ (НГ t
р* — Се ' .
Обозначая величину давления р при / — О, как ра, находим С — р*а.
Окончательно получаем для рассматриваемого процесса
t
Р* = Р*ае \ (111.24)
где
г = (1П.25)
Согласно формуле (111.24), давление в камере прп данном процессе ме
няется по экспоненциальному закону (рис. 107, б). Время 1аЬ, в течение
которого давление в камере падает от значения // до значения р , равно
tQb = -Tln-t. (Ш.26)
Ра
Экспоненциальный закон опустошения камер рассматриваемого типа хо-
рошо подтверждается опытами. На рис. 107, в приведены характеристики
опустошения камеры объемом V — 300 си3 при т — 0,55 мин. При неод-
нократном повторении опытов эта характеристика подтверждалась раз
за разом. На рис. 107, с характеристика построена по уравнению (111.24),
а точки на графике нанесены на основании опытных данных, полученных
в разное время (интервалы между проведением отдельных опытов состав-
ляли от нескольких часов до нескольких дней). На рис. 107, г приведена
характеристика истечения из камеры того же объема при т = 100 час.
Эта характеристика, снимавшаяся на протяжении целой недели, была
получена одпн раз, повторная ее проверка не производилась. На рис. 107, г
кривая соответствует уравнению (III.24), а точки, показанные на рисунке,
получены из опыта.
Процесс заполнения камеры при ламинарных дросселях также подчи-
нен экспоненциальному закону. Постоянная времени в этом случае сохра-
няет то же значение, определяемое выражением (III.25), что и для процес-
са опустошения камеры.
162
Значения постоянной времени глухой камеры т, с которыми приходится
встречаться на практике, могут быть весьма различными. Например, при
использовании глухих камер в пневматических регуляторах общепро-
мышленного назначения в качестве элементов изодромнон обратном связи
требуется, чтобы постоянная времени камеры могла изменяться в преде-
лах от нескольких секунд или долей секунды до десятков минут. Изме-
нение величины постоянной времени обычно производится при помощи
регулируемого дросселя, реже с этой целью меняется объем камеры.
С тем, чтобы оценить порядок величин диаметра ламинарного цилинд-
рического дросселя круглого сечения, при которых для камеры заданного
объема V при данной длине дросселя I получаются те или иные значения
постоянной времени т, преобразуем формулу (III.25), подставляя в нее
значение / из формулы (II.31):
Например, для воздуха R — 29,27 и при нормальных атмосферных усло-
виях у — 1,22 хгЛи3,р = 1,82 • 10~* кг-сек[м3, Т — 288 абс. При этом
указанная выше формула, если выразить в ней d и I в мм, V в сж3,т в сек,
принимает следующий вид:
d = 0,053p^S (111.27')
Ниже приведены значения d, подсчитанные по последней формуле при
I — 20 мм, V — 100 см3 и 1 см3 и т = 3 сек, 1 мин и 30 мин:
т 3 сек 1 мин 30 мин
V, см9 100 1 100 1 100 1
d, мм 0,270 0,085 0,127 0,040 0,054 0,017
Для щелевых дросселей зависимость радиального зазора б от среднего
диаметра щели Ь, от величин V, I, т, а также от р, у, R, Т имеет, как это
следует из формул (III.25) и (11.32), следующий вид:
Если принять те же, что и ранее, численные значения р, у, R, Т и выразить
6,I, D в мм, V в см3 итв сек, то получим
6 = 8,8 • . (HI.28')
Ниже указаны значения д, подсчитанные по формуле (II 1.28') для V — 100
и 1 см3, т = 3 сек, 3 мин и 30 мин при — 20: .
т 3 сек 1 мин 30 мин
F, см9 100 1 100 1 100 л 1
Ъ, мм 0,077 0,017 0,028 0,006 0,000 0,002
«• 163
В некоторых случаях удобнее а- раскрывать выражение / в формуле
(III.25) так, как это было сделано выше, а определять величину / в функ-
ции от т, V, Я, Т или прп заданных R и Т в функция от т и Упрямо из фор-
V
мулы (III.25). При этом /= • Пользуясь последней формулой, легко
определять / для дросселей опытным путем. Для определения величины
/ следует установить исследуемый дроссель на входе в глухую камеру
заданного объема и, создав (скачком) перед дросселем некоторое избыточ-
ное давление, поддерживаемое в дальнейшем постоянным, измерить вели-
чину т; последняя представляет собой время, в течение которого избыточ-
ное давление в камере достигает 63% от избыточного давления, установ-
ленного перед дросселем.
Следует напомнить еде раз, что величина /, входящая в указанные
выше выражения, не является пл ощадью проходного сечения дросселя,
а представляет собой, согласно формуле (II.33), коэффициент пропорцио-
нальности между весовым секундным расходом воздуха через дроссель
Q
и разностью давлений до и после дросселя: / = &-. При расчетах по си-
стеме кг—м—сек f имеет размерность мЧсек. При малых значениях др (на-
пример, в случаях, когда разность давлений до и после дросселя меняется
на величину порядка десятков или сотен мн вод. стд удельный вес воз-
духа может быть принят постоянным и весовой расход 7 может быть заме-
нен объемным расходом Q. Как следует из изложенного выше, величина /
является параметром, определяющим уклон характеристики расхода дрос-
селя; этот параметр удобно вводить в рассмотрение во всех случаях, когда
характеристика дросселя линейна, или же когда она нелинейна, но тре-
буется оценивать характеристику расхода в среднем и не ставится задача
исследования формы отдельные ее участков. При нелинейной характери-
стике расхода дросселя величиной / задается угловой коэффициент усред-
няющей прямой, заменяющей истинную характеристику (таким образом
ври заданном диапазоне изменения Ър может быть оценена п осредценная,
линеаризованная характеристика расхода для турбулентных дросселей).
С другой стироны, исключив величину /, можно выразить г непосред-
ствевно через б? и бр: подставляя значение-/ из -(И- 33) >-фор-
мулу (III. 25), получим т = -к^. Имея *в виду эту последнюю зависи-
мость, можно указать простой способ экспериментального определения зна-
чения расхода воздуха через дроссель1, в особенности целесообразный при
исследовании характеристик дросселей очень малого проходного сечения,
расход воздуха через которые не может быть измерен расходомерами обыч-
ного типа. Измерив так, как было указано выше, постоянную времени т
для камеры объема V, на входе в которую установлен исследуемый дрос-
сель, и подставляя это значение, т в выражение] G •= Ър9 найдем
расход (7, который соответствует но статической характеристике заданной
разности давлений др. Пусть разность давлений до и после дросселя ме-
няется в относительпо узких пределах, так что можно пренебречь изме-
нением удельного веса воздуха, пусть, кроме того, условия близки
1 Ими гея в виду статическая характеристика изменение расхода воздуха в функ-
ции от разности давлении до и после дросселя. Вместе с тем рассматривается истечение
воздух через дроссель и изменоине давления в камере в переходном процессе. Это
представляется возможным, так кан переходный процесс считается квазистагиче
сжим (см. п. 6, | 3, гл. Ill) -
104
к нормальным атмосферным; щ мнимая значения /? «= 29,27, р 1,22 кг/х’,
Т = 2Ь8е «бс п выражая расход Q в л, w, объем камеры F в гл3, разность
давлений <\> в л.м вод. ст, п т в сек, получим;
<> • 0,35 It0-« v вр. (111.29)
ь*
Характеристики scmki ^.тсд системы, ссслголн/ей нз дсух глухих ка~
мер, сообтснных мем: fly сс&й ламинарным дрссселе.и. Выше при выводе
уравнения (IH.24) было иол ежено. что внешнее давление рц при опусто-
шении каме| ыд’.е меняется. Если условно рц-~ const принято при расчете,
а в денет вито л внести оно не наполняется, то это может принести к значн
тельному расхождению между расчетным и истинным в| именем онусто
тения камеры, в особенности для участка процесса, на котором давление
в камере близко к
Влияние вшитого давления полностью исключаете»! в том случае,
если имеется замкнутая система, состоящая из двух сообщенных между со-
бой глухих камор, пл одной из которых воздух перетекает в другую
(рис. 35, г).
Выведем дрфферснииплъпые уравнения изменении давлений в этой
системе. Примем следу ь шве обозначения: Ег и Г* — объемы соответствен-
но камер 1 и 2, pi в р» — текущие значения давлений и них, piu и pan—
начальные (при / — 0) згачсквя давлений в этих камерах, / — коэффи-
циент пропорцпопалввести хежду величинами G в б/» п выражении ха-
рактеристики расходов дросселя, записываемой в форме (1. 19).
Используя уравнение расходов и уравнение состояния, написанное
один раз для воздуха к кагоре 1 и второй раз для воздуха в камере 2,
получим систему дв^ферсг.пиальпых уравнений:
tijn - р,) .
Введем по аналогии с (III.25) следующие обозначения для постоянных
времени обеих камер: ч
гг1\ ₽
Т1 /ПТ и т2 — f/{f ’
при атом указанная выше спстема’урагневий приводится к виду
** dpi ।
Х’-5Г + Р*= Р'-
Решая эту систему дифференциальных* уравнений, получим следующие
выражения, которыми определяется изменение давлений р\ и pi в функ-
ции от времени:
. JL
pi = Ре + (Р1а— Ре) « ’’ >
I
Р* ~ Рс 4“ (РгаРс) »
(Ш.ЗО)
165
где
и
Ре ~
(IIL3I)
выражений следует, что цр® рассматриваемой
изменение хвалений в каждой из них происходит
закону. При атом определяемая соотношением
еджнля для обеих как-р. является функ-
которыми характеризовались бы и po-
ts оиустошс каждой из камер 'лорознь в случае их
г. ос то я ни*' г-с гл к юаня.
ст" к «р/.т* -<чм.г м глухих псаанматических камер
•«г. Ира кхдом отношении эффективной площади
чного пл ^«сс.'.ей проточной клкч-ры к эффективной
сечении др> w.-o ее дросселя хара ктерпстпки ироточ-
•>гкп но ог.гкхнтся от характерне-як глухой камеры,
олъзовано у тех случаях, когда нужно иметь характе-
рно к гем, которые ^случаются в глухой
из камеры для ка-
рлжтенпя другими элементами приборов,
характеристиками проточной и глухой
обоих камер одинаковые и что на входе
Из приведенных васше
схеме соединения камер
по экспоненциальнсму
(III.31) постоянна* г^оменн г*
цпей постоянных вг* меня Ti и
цессы заполнения ии-.
сообщения со с ре гг
/ 'равнение ха /». г .< сх
при ламинарных dp-
и роходного сече пи я
пл ощади н рох одно г*
ной камеры пракнг
Это может быть ней
ристнки изменения давлении. ол
камере, и вместе с том необ ход л ve отбирать воздух
ких-лнбо целей, например для у
Оцепим расхождение между
камер при условна, что объем*
в каждую из них установлены одинаковые дроссели. Примем, что избыточ-
ное давление перед входным дросселем меняется идя t = О скачком от
пуля до некоторой заданной величины и в дальнейшем остается постоян-
ным. Сравним величины постоянных времени нрог-лчноп камеры при
различных выходных дросселях с постоянной времени глухой камеры;
сравним также давление, устанавливающееся в проточной камере но окон-
чании переходного процесса, с соответствующим явлением в глухой
камере (с входным давлением).
Постоянная времени проточной камеры1 опре кляется ио формуле
Г
(111.19): т — ~7ГГ(/> '» постоянная времени глухое камеры опреде-
ляется по формуле (II 1.25): тгл = ^ут~* Если оба др
меры имеют цилиндрический канал круглого сечени
у
ветственно равными di и d*. то, согласие (11.31):
Г, \У. 3
дросселях, согласно (П.32), ' — . где di и
'i -1
зоры между стержнями дросселей и их втулками,
них выражений считаем, что входной и выходной
новую длину канала I и что в случае щелевых
равны для них средние диаметры
них соответственно равными сред
коэффициента вязкости воздуха.
При указанных выше условиях -
П
и
ДР-
'.целевого зазора, f
ыне значения плоТнссти
селя проточной ка-
c.. диаметрами, соот-
4
у ) ; при щелевых
5 г — радиальные за-
’ написании послед-
•сселп имеют однпа-
с селен, кроме того,
*хже принимаем для
и динамического
и для цнлпндри-
чески х дросселей круглого сечения
т 1
(Ш.32)
’а нее для постоянной временя е .чтгочноп камеры было стенято обозначение Гг,
а для щелевых дросселей
(111.33)
При р* = О, как следует из выражения
т. е. отношение избыточного давления
вившемся режиме при давлении р*
ляется в функции от /«//х (а следова-
тельно, и от di/di или от дг/61) тем же
выражением, что и величина т/тгд.
Характеристики зависимости =
<"-3Чг7^=гй’
fl
р‘ в проточной камере на устано-
перед входным дросселем представ-

заны на рис. 108.
Рассмотрим следующий пример
Определим для проточной камеры
значения djdx для цилиндрических
дросселей и d»/di для щелевых дрос-
селей, прп которых постоянная вре-
мени данной проточной камеры отли-
чается не более, чем на 3% от посто-
янной времени глухой камеры, имею-
щей соответственно цилиндрический
дроссель с диаметром di или щеле-
вой дроссель с радиальным зазором
di. По графику на рис. 108 находим
для ~ — 0,97 значения ~ = 0,41 и
Тгл «1
~ — 0,31. При этих значениях dt/di
Рис. 108. К сравнению характеристик
проточных и глухих камер при лами-
нарных дросселях:
I — характеристика < (~ ) илн
9
, / \
— I -4- I для камере цилиндрическими
d* V р, /
дросселями круглого сечения, ? — характери-
и 62/61 также ( —) — 0,97.
Нлияние температуры воздуха на камер с шелевыми дросселями
характеристики глухих камер при
ламинарных дросселях. Как отмеча-
лось уже ранее, глухие пневматические камеры используются в качестве
элементов, служащих для задания изменения давления по времени.
Для таймеров, выпускаемых в промышленном порядке, обычно огова-
ривается небольшая точность даже в тех случаях, когда задается изме-
нение давления только лишь на границах одного интервала времени,
указывается для них возможная погрешность порядка 5—10% [54—
551. Возможными источниками погрешностей являются изменение
давления внешней среды, изменение температуры воздуха, а также из-
менение в процессе работы геометрических размеров дросселя или
камеры. Влияние давления внешней среды исключается при выполнении
таймера в виде двух сообщенных между собой дросселем, замкнутых ка-
мер (рис. 35,г),атакже и при использовании одиночной камеры (рис.35,в),
если для всей области рабочих режимов истечение в дросселе надкритиче-
1В7
ское. Если исключить возможность изменения проходного сечения дросселя
из-за засорений, коррозии и т. и., то единственным фактором, от которого
может зависеть изменение проходного сечения дросселя и объема камеры,
является температура воздуха в камере (пли температура окружающей
среды). Эго последнее влияние также может (быть исключено, если выпол-
нить корпус, в котором находится камера, и дроссель из материала, обла-
дающего малым коэффициентом температурного расширения. При этом
возможны только лишь погрешности, обусловленные зависимостью со-
стояния воздуха в камере и характеристик его истечения через дроссель
от температуры воздуха.
Проведем оценку этих погрешностей для камеры таймера, выполненной
по схеме, показанной па рис. 35, в (аналогично могут быть проведены рас-
четы п при камере, показанной на рнс. 35, е). Прп этом ограничимся рас-
смотреннем’следующих двух частных случаев., Сначала сравним времен-
ные характеристики камеры прп уменьшении давления в ней в заданных
пределах после ее зарядки до заданного давления, когда эти процессы
происходят прп некоторой исходной температуре воздух », и при изменен-
ном ее значении. Затем рассмотрим погрешности, получаемые в случае
заполнения камеры до заданного давления прп исходной температуре и
при истечении воздуха из нее после того, как произошло нагревание или
охлаждение воздуха до некоторой другой температуры. Во всех этих слу-
чаях будем считать, что в процессе истечения воздуха из камеры, темпера-
тура воздуха в камере равна температуре окружающей среды, и что в те-
чение всего данного процесса эта температура не меняется.
Рассматривая первую из названных выше задач, сравним получаемую
при указанных для нее условиях характеристику /<* — / (<), отвечаю-
щую температуре Г, с исходной характеристикой р* ~ fо (t), получаемой
при температуре То. Ординатой начальной точки характеристики
р* = / (/), так же как и для характеристики р‘ — fo(t)t является р*а и при
заданных условиях отклонения в величине от исходного значения tab,
(рис. 107, б) определяется только лишь изменением постоянной времени
процесса т. Последняя, согласно (III.25), равна
Т — fRT ’
или по раскрытии выражения /
V 1Жц1ЯТ V 128р/
(III. 34i
Считаем, что значение т определяется средней для всего процесса опу-
стошения камеры величиной рс₽ и что эта величина одна и та же для обоих
сравниваемых процессов (в том и в другом случае рассматривается изме-
нение давления в камере от ра до рь и учитывается, что рср входит в выра-
жение (III.34) как константа). Вместе с этим считаем, что размеры камеры
и дросселя не зависит от температуры. Тогда на основании (III.34) при-
ходим к заключению, что величина т зависит только от коэффициента ди-
намической вязкости р:
t = ср, (III.35)
где с — постоянный коэффициент.
Согласно (III.26), время изменения давления от значения р*а до зна-
чения р“ пропорционально величине т:
tab =” — Т In ~ .
168
Поэтому
1аЪ labt,, »
Mo
(III 36)
где po— значение динамического коэффициента вязкости при температу-
ре То.
Определяя зависимость динамического коэффициента вязкости воздуха
от температуры по формуле (П.4'), получим
1,745-10~* 4- 5,63-10~9 Т° С
1,745-10-* + 5.03-Ю-’Т* С ’
Относительное изменение 1,л в процентах равно
* . 1Q0 _ 5,03-И) ‘ (Т — Т _______
“ 1,745-!•;-« -р 5,03- 10-’Т* С '
(III 37)
(Ш.37')
При исходной температуре То — 15 Си при отклонении температуры
Т от То на 10° Л// = 2,78%. Таким образом оказывается, что в рассмат-
риваемом случае даже при сравнительно небольших изменениях темпе-
ратуры могут получаться относительно большие отклонения от исход-
ной величины tab,, обусловленные влиянием изменения вязкости воздуха
на характеристику расхода дросселя. Если же, например, Т = 1000'' С,
то, согласно (II 1.37), величина 1„ь прп рассматриваемых условиях почти
в 3 раза больше, чем величина /af„, соответствующая Т = 15 'С.
Во втором из указанных выше случаев сохраняется температурная
погрешность, определявшаяся ранее величиной Д/f, и, кроме того, допол-
нительно меняется /Qh вследствие изменения величины />*. Обозначим по-
являющуюся прп этом результирующую относительную погрешность
величины tab в процентах как Д/ и введем для т при Тп обозначение т0.
Рь
В рассматриваемом случае 1аъ,— — т0 In-V . При температуре Т сохра-
р<ь
няет исходное значение лишь величина р‘, а р*а отлично от р и tab —
' - Рь Т 1
— —т In —г . Так как по"‘уравнению состояния ра — ра,^ или
Ра *
(Ра + Рв) = (Ра, + рв) , то р'а = (р^+ Ра) ~ — ри. В последнем
выражении рц — абсолютное давление среды, в которую вытекает воз-
дух из дросселя. Заметим также, что на основании проведенных ранее
выводов
Ра 4“ Ръ
____Р рсР._____р 2 + РВ р р'а, 4- pj. 4- 2РН
+’н«(4+ )'_+р; + Рв
z * о
а так как из (III.36) и (111.37х) следует -ф1, то
_ _ „ ( Azi , 4 Ра. 4- Рь. 4- 2рн
1 ’ \ 1L0 1} ~~1 Т ". ’
(Ра. 4- Рв) + ри
t-K-tab
Подставляя в указанное выше выражение для и для Д/ = —;-----* 100
__________ аь.
* Здесь вжже Т и — абсолютные значения температуры.
169
значения т и р*, получим
tab— TQgln
____________Ръ.____________
. т
<Ра, + Рн> То ~ PH
где
-1 100%,
_ - / Д<» Д Л Ра.+ р'ь. + 2Рн
\ 100 1. т
Ра, + Рн) Тл + Pt.,+ PH
—W Л Q
(1П.38)
(111.38')
Расчеты по формуле (III.38) показывают, что, например, при Рн — 1 ата,
p*Qt = 1 ати, pl, = 0,5 ати, То = 288s абс, Д/i = 2,78% (см. численный
пример на стр. 169) при повышении температуры на 1000° за счет совмест-
ного влияния повышения р* и изменения характеристик дросселя вели-
чина tab увеличивается примерно в 4 раза.
Из приведенного анализа следует, что точная работа пневматических
таймеров в условиях переменных температур возможна лишь при вве-
дении специальных корректирующих компенсационных устройств.
3. Замечания о влиянии средней величины давления
и диапазона изменения давлении на время протекания
переходного процесса в пневматических камерах
с дросселями различных типов
В связи с изучением возможности работы приборов пневмоавтоматики
при низких давлениях питания представляет интерес исследование влия-
ния величины давления на входе и диапазона изменения давлении в пере-
ходном процессе па динамические характеристики пневматических камер.
В работах, посвященных изучению характеристик пневматических при-
боров при низких давлениях питания, но этому вопросу высказываются
различные суждения.
В работе (9], в которой рассматриваются характеристики пневмати-
ческих приборов, получаемые при уменьшении давления питания от нор-
мального давления 1 ати до 100 мм вод. ст., отмечается, что аккуму-
лирующая способность емкостей при низких давлениях питания в 100 раз
меньше, чем при нормальных условиях, и что это способствует улучше-
нию динамических свойств систем, содержащих емкости. Вместе с тем под-
черкивается, что при разности давлений, не превышающей 100 мм вод. ст.,
вследствие малого сжатия воздуха для получения значительного аккуму-
лирующего эффекта нужны достаточно большие сосуды1.
Опытная проверка влияния уменьшения давления питания, дан-
ные которой приведены в работе 1101, показала, что влияние давлении
1 В работе 168) вопрос об объеме камер, при которых получаются защит-
ные величины постоянных времени, связывается с возможностью увеличения при
переходе к низким давлениям питания проходных сечений дросселей (при сохра
нении ламинарности течений). С изменением проходных сечений дросселей яри не-
изменных объемах камер постоянные времени гпоследнпх могут меняться в широких
пределах.
170
питания сказывается на времени протекания переходного процесса
значительно меньше, чем пто следует из изложенного выше. В работе
110] приведены экспериментальные кривые изменения давления по вре-
мени в глухой (рис. 100,4|) м и проточной (рис. 100, б) камерах, полученные
при скачкообразном изменении для глухой камеры внешнего давления,
и для проточной—давлении питания. Характеристики, показанные па
Рис. Ю9. Характеристики изменения давлений в переходном процессе
в 'глухой и проточной камерах при различных диапазонах изменения
давления на входе:
Г к
<1,—характервстиких —-л <₽'(() при различных *т« тля глухой камеры (р 0 ати при
Вр, к
I =0). б— характеристики—=—= «₽ (Г) при различных Вр для проточит! камеры (р
Чует * *
=х0 при 1=0). е—’график, пеленлкший влияние $«>рмы .характеристики расхода
дросселей па вавпсимость характеристик нарастания давлений в камерах по
времени от диапазона изменения давления на входе
рис. 109, сняты прп различных первоначальных значениях указанного
выше давления и соответственно с этим при различных величинах диапа-
зона изменения давления в переходном процессе (в конце переходного
процесса в глухой камере устанавливалось входное давление, а в про-
точной — давление, отвечающее заданному установившемуся режиму
171
течения воздуха). Длж выяснения указанного выше пми п«ч а на гсмким
что npft линейной зачгсимостн между расходом и разшхтчло давлений до
и после каждого из дросселей, согласно формулам (И 1-2 - в (1П. 19). вели-
чина постоянной времени переходного процесса при ла » пом неизменном
объеме камеры V и данной температуре воздуха 7' завис» : для глухой ка-
меры только ст величины /, а для проточной камеры *ге гуммы величии
У1 я /а. Эти величины при линейных характеристиках рди-лода дросселей
являются коэффициентами пропорциональности в соогпй’Х'гнующих выра-
жениях зависимости расхода от разности давлений до т ттлсло дросселя.
Поэтому можно сделать заключение о независимости дл > камер с дроссе-
лями, имеющими линейные характеристики расхода, вре-мг.ни переходного
процесса от давления питания и от величины рабочего дл.:.вазона И’мене-
пия давлений. Если же характеристики расхода дроссел i нелинейны. то
при и\ условной линеаризации в пределах заданного i ь&нжэдиа в сопе-
ния давлений с изменением последнего (рпс. 109, <г) меп.ч-ттся величина /,
характеризующая уклон усредняющей прямой, и соег-иетстг.овно с этим
при работе в области малых давлений время переходно п: процесса сказы-
вается меньшим, чем при работе с высокими давлениям» питания.
Указанным выше объясняется наблюдаемое в некоторых случаях на
опыте и по проявляющееся в других случаях влияние паям нения давления
питания и диапазона изменения давлений па динамические свойства пнев-
матических камер.
О том, в какой мере с увеличением диапазона взменеття давлений ис-
тинные характеристики заполнения и опустошения глухлт камеры откло-
няются от соответствующих расчетных характеристик (получаемых в пред-
положени и,что дроссель является л амина рным, в при рэеги отренпп веэдуха
как несжимаемой среды), можно судить на основании едедующих данных*
указываемых Тёпфером (69]. На рис. 110, а — г приведены расчетные
и экспериментальные характеристики заполнения 7 и опустошения 2 ка-
меры объемом 3,5 л при дросселе диаметром 0,34 мм и длхиой 100 л>: ха-
рактеристики, показанные па рис. 110.а — г, отвечают полным диапазо-
нах! изменения давлений, соответственно равным 100. 1000 и 2700 jkjc
вод. ст. и 900 мм. рт. ст. f
Как следует из приведенных выше трафиков, при с-т? оси те ль но боль-
ших диапазонах изменения давлений постоянная времена процесса запол-
нения глухой камеры меньше, чем постоянная времени щр«:-песса ее опусто-
шения. Это объясняется тем. что при данном полном диапазоне измерения
давлений среднее эначекпе плотности воздуха, протекающего через дрос-
сель при заполнении камеры, больше, чем при ее опустсптнип.
Влияние диапазона изменения давлении на различи- между временем
заполнения и опустошения камеры иллюстрируется тахже показанными
на рис. 111,о—в характеристиками изменения для прспессов заполнения
и опустошения постоянной времени камеры т в функции ?т длины дросселя
/.Данные характеристики получены для той же камеры объемом 3,5 л
в также при диаметре дросселя 0,34 мм\ характеристики, показанные
на рис. 111,а — в, отвечают соответственно значениям полного диапазона
изменения давлений 100, 1000 и 2700 мм. вод. ст., причем характеристики
1 получены для процессов заполнения камеры, а характеристики - — для
процессов ее опустошения.
При большой длине канала дросселя п при работе с малыми перепадами
давлений дроссель подходит под принятое ранее определение ламинарного
дросселя. Для дросселей с малыми отношениями длины к диаметру, при
их работе с большими перепадами давлении течение воздуха в канале дрос-
селя является турбулентным. Возможны такие условия заполнения и
опустошения камеры, при которых течение воздуха в дросселе, размеры
которого заданы, является ламинарным на некотором интервале времени.
172
р'мм всЗ cm
100 V
1 ИЧЫ
Ряс. 110, Характеристики р*'=»ф(0 при рахтпчных дийпа.юнах изменения ’давлений
для глухой камеры с V =» 3.5 л прп дроссаяв с d =а 0 34 мм,
/ —ээпллнгвиа камеры, t — ппустопк ми* камеры.
—— мсспераментальныс «а а<тер лстики. — - рисмтные характеристик».
яря »р —00 7-MJJ |В. ст., б — вря ер» toco мм в. ст.. • при вр«2700 мм а. с*., а —при
9f » 900 мм рт. СТ.
173
а для остальной части процесса турбулентное. В этой связи интересно
отметить линейность представленных на рис. 111, а — в характеристик
т = <р(0; следует также обратить внимание на сделанные на осях ординат
отметки значений т = т0, к которым стремится величина т при /—>0.
Рис. 111.* Характеристики т = /(0 дл> глухой камеры с V = 3,5 л
при дросселе d =0,34 мм:
1 — заполнение камеры, t — <пустошени^ камеры; в — при %г •= 100 мм в. ст..
б —при Вр =» 100и мм в. ст., «—при 8р = 27* 0 мм в. ГТ.
4. Глухая камера как фильтр гармоник
При возникновении колебаний давления воздуха в пневмосистеме но
только амплитуда, но и форма характеристики изменения давлений по
времени меняются от одной из соединенных между собой пневматических
камер к другой. При построении некоторых пневма гических приборов
(спнус — датчики, используемые при экспериментальном исследовании
регуляторов и регулируемых объектов, а также некоторые другие прибо-
ры) бывает важным получение колебаний давления воздуха, близких по
своей форме к синусоидальным. Если первичные колебания пе являются
174
синусоидальными и происходит в некоторой камере негармоническое
периодически повторяющееся изменение давления р (рис. 112, о), то пред-
ставляется ВОЗМ2КНЫМ отфильтровать колебания почти сипу» опдальной
формы, погасив г.'сшпе гармоники, получаемые при разложении функции
р* = /(/) в ряд Фурье. Роль такого фильтра может выполнять при оп-
ределенных услозах присоединенная к данной камере другая глухая
камера, давление в которой изменяется в этом случае по закону р*~ f(t\
близкому к синусоидальному.
W • —
Рис. 112. К аналпту характеристик глухой пневма гической камеры с ламинарный
дросселем как фильтра гармоник:
а — ка.чгра, выгс-тля» гцая пункции 4 ильтра^ гармоник, б.-?-. «сходные к дгбання
Рк =ф(<) пилообразен* формы. в — амплитуды гармоник, получаемых при разложении исходноП
функции Рк = «(I/ j «гд Фурм г — график, пгт льзуемый для выбора разм«-ров <ро<е*ля и ка-
меры. при которых аз>.лучаются на «выгоднейшие условия для отфильтр вывания колебаний,
близких по форме к ежнусоидальнык. 0 — график, показывающий степень возможного прибли-
жения колебаний в гладей камере к синусоидальным (1 — пе[вая гармоника функции р* — 5«).
Г — тхт*я гармоника данной функции. 3—предельная синусоид;»)
Необходимым условием для того, чтобы глухая камера выполняла
функции фильтра, является линейность характеристики ее дросселя.
В противном случае глухая камера вместе с дросселем представляет собой
нелинейны, i элемент, которым должен порождать функцию
в виде спектра гармоник даже в тек случаях, когда давление // меняется
по синусоидальному закону. Кроме этого, представляется необходимым,
чтобы первичные колебания Рк~! (/) не зависели от давления р* в глухой
камере. Для выполнения этого последнего условия нужно, чтобы объем
рассматриваемо! глухой камеры был достаточно малым по сравнению
с объемом камеры, в которой происходят первичные колебания. В даль-
нейшем будем считать, что оба указанные выше условия выполняются.
В качестве примера рассмотрим случай, когда первичные колебания
М = /(0 имеют правильную пилообразную форму (рис. 112гб).
175
Выясним, с какой степенью точности могут быть получены из этих колеба-
ний синусоидальные колебания. Согласно обозначениям, приведенным на
рис. 112, б, полный размах (удвоенная амплитуда) первичных колебаний
равняется 2А, период их^ равен т, а I = * . При этих обозначениях
изменение давления р* в первичной камере в функции от времени t оп-
ределяется уравнением
р* - 4Av 1I1, (Ш.39)
где iv — частота колебании в герцах (I — — — - -, а 111 — абсолют-
ная величина /.
Разложим функцию (III.39) в ряд Фурье. Данная функция является
четной» Поэтому ее разложение в ряд Фурье представляется в виде
оо I
р* = 4- V ап cos—у* /, где а» = \ 44 v/ dl = 2А или — А
* К Л » I _> ..
п—1 5
и
।
2 Г , . . ял - 8Avl (cos лп — cos 0)
ап = -у-pAv/COS-y-ГА = —-t----------.
о
j дд / f jn i
Учитывая, что v = , получим an = —y------j----, откуда следует,
л»* oS Л
что an =-— при нечетных п и ап — Опрп четных п. Подставляя найден-
ные значения ао/2 и ап в приведенное выше выражение для р*, получим
р*к =[А 11 — ~, cos 2л vf -f- —-cos 6nv£ 4- ~cos 10nv( 4-• . • (II1-40)
Амплитуды 1, 3, 5 и 7-ой гармоник, представленные в долях от ампли-
туды А исходных пилообразных колебаний, показаны на диаграмме, изо-
браженной на рис. 112, в.
Рассматривая систему, представ лепную на рис. 112, а, как лпнейную
и учитывая, что для нее в силу этого справедлив принцип суперпозиции,
исследуем порознь составляющие давления р* в камере, определяемые
отдельными, гармониками, получаемыми при разложении р* = / (0 в ряд
Фурье. Пусть Ащ и Авх» — амплитуды соответственно 1 и 3-ей гармоник
для функции рн — / (0. определяемые, согласно (111.40), а Апых, и Авых, —
амплитуды соответствующих гармоник для функции р" = /(0. Введем
следующие обозначения: :
• ЦВМ!)
^МХ,
• __^«Х,
» *
(III.42)
(П1.43)
Учитывая, что амплитуда 5-ой и других более высоких гармоник мала по
сравнению с амплитудой 3-ей гармоники, примем малость величины д за
критерий для оценки точности приближения вторичных колебаний по
своей форме к синусоидальным.
По мере уменьшения площади проходного сечения дросселя, установ-
ленного между первичной и вторичной камерами, уменьшается значение
176
Л/i и вместе с тем уменьшается и величина д. Поэтому важно, чтобы
достаточно малые значения й получались ужо при относительно больших
Л/t. Задача исследования процесса отфильтровывания синусоидальных
колебаний заключается и выборе таких параметров системы (в частности
такой площади проходного сечения дросселя), при которых выполняется
это условие. Для пынснеинн этого вопроса рассмотрим, как зависят 6 и
Л/t от конструктивных параметров системы и от частоты колебаний.
Для этого выведем дифференциальное уравнение изменения давлений
во вторичной (глухой) камере и развернем выражения амплитудных час-
тотных характеристик A/t и А/3.
Расходная характеристика дросселя определяется уравнением
Из характеристического уравнения следует, что =//f ~rf7“ » W
V — объем камеры 2. Приравнивая правые части последних двух выра-
жений, получим уравнение
Т«^~ + Р‘ = Р»> (ШЛА)
в котором
Тк ” ' (Ш.45)
Соответствующими этому уравнению выражениями амплитудных частот-
ных характеристик являются
и
А-ыт, ______1_____________1_ ___
Лх. “ ~ |T+(2n<V
3/ — ~4|>ыч» _ 1 в
л»х. УТ-Ь (Ьлутк)м ’
(III.46)
(Ш.47)
Подставляя эти выражения Mi и А/з в (1П.43) и учитывая, что, согласно
(111.40), = 4* ’ ПОЛУЧИМ
I ж /1 + <2лутк)"
9 I' 1 4- (6avTK)3 ‘
(Ш.48)
График функции Mi -- / (vtk) и Л - /(vxF), определяемых формулами
(III.46) и (III.48), представлен на рис. 112, г. Степень приближения по-
лучаемых колебаний к синусоидальным при д = 0,04 иллюстрируется
графиком, показанным на рис. 112, д.
5. Методика исследования динамики проточных
н глухих камер в случаях, когда характеристики
расхода дросселей заданы графиками
Для проточной камеры прп малых отклонениях от установившегося
режима задача сводится к нахождению значении коэффициентов диффе-
ренциального уравнения (III.1), общие выражения которых определяются
формулами (II 1.2). Пусть характеристики дросселей заданы графически
так, как показано на рис. 61. Для исходного статического режима нахо-
дим, как было указано в п. 3 § 3 гл. II, значение р\. Далее поступаем сле-
12 Л. А. Залманзон 477
дующим образом. Считаем, что и все другие характерные параметры,
кроме давления р», имеют величины, отвечающие исходному статическо-
му режиму, а для р\ задаемся несколькими значениями, отличными от
указанного выше значения, соответствующего исходному статическому
режиму. Для каждого из них но графикам расходных характеристик дрос-
селей находим величины (71 и G’s и строим в функции от~р\ характеристику
0 — / (р«), где Н --s G't — Фиксируя затем значение pi, соответствую-
щее исходному статическому режиму, и задавшись несколькими вгличи
нами р0, также определяем но графикам расходных характеристик соот-
ветствующие G’i и (7з и строим характеристику О = / (р0). Аналогичным
путем, изменяя лишь величину /в и считая, что все остальные из рассмэтрп
ваемых величии те же, что и на исходном статическом режиме, строим
характеристику Н /(/i)’- Проводим касательную к первой из указан-
ных выше характеристик в точке, соответствующей значению pi на исход-
ном статическом режиме, ко второй из них в точке, отвечающей значению
р0 па исходном статическом режиме, к третьей ил указанных выше харак-
теристик в точке со значением /\, соответствующим исходному статичес-
кому режиму (рис. ИЗ, я— в). Уклонами касательных, проведенных
<*н ае ан
к этим кривым, определяются величины—^ , —t -^-.Подстановка
этих величин в выражения (1П.2) дает искомые значения 7\ , А*о. А,,.
Определив величины Ту, Ао, Л\, находим далее численные значения осталь-
ных коэффициентов уравнения (III. 1).
Рассмотрим далее методику7 определении времени опустошения или
заполнения глухой камеры, характеристика расхода для дросселя которой
задана в виде графика. Пусть происходит заполнение глухой камеры при
постоянном внешнем давлении pi п при постоянной температуре воздуха 7
в камере. Пз уравнения состояния следует, что изменение весового заряда
воздуха в камере и изменение давления рь в камере связаны между собой
2 1т 1 J тг z’ <«*' Г dP* ~
зависимостью- =- Tt.,dpK. Поэтому G —. й^-тг-. Заданному зиа-
ftl ‘ • at KI di J
ченпю /и соответствует определенная характеристика расхода G
— <р (pi — рг) (см. и. 3 § 3, гл. II). Можно написать тогда, что
V dpK
— ф (/ч — Pt)- Сместив начало координат па величину pi вправо
п изменив направление отсчета положительных значений, откладываемых
по осп абсцисс, на противоположное, перестроим характеристику рас-
хода дросселя, первоначально показанную на рис. 114. а, так, как это
показано на рис. 114, б. При этом расход представляется только в функ-
ции от давления рк и указанное выше уравнение приводится к виду
F dp
иг,—г ' — ф (PiK откуда следует
1И at ’
1'к .
Г Г
Построив показанный на рис. 114, в график функции 1/<р (/>, ) и плани-
метрируя площадь под кривой на участке от р,ч до некоторого текущего
значения рк, находим время G в течение которого давление в камере
меняется от значения рк, до данного значения рк.
1 Если величина Д переменная, то должны быть заданы характеристики расхода
входного дросселя при различных А,
2 Для проточной камеры были введены обозначения р1 и pi и др. со знаком —-
или без него, с тем, чтобы отличить значения тех или других величин в переход
ном процессе п па установившемся режиме. Для глухой камеры обозначение зна-
ком — величин, относящихся к переходному процессу, не обязательно, так как при
установившемся режиме рк =- pi и G — 0.
178
Рис. 114. К методике исследования процессов заполнения
и опустошения глухой камеры в случаях, когда характери-
стика расхода дросселя задана в виде графика:
Рис. 113. Характери-
стики, используемые
для определения ко-
эффициентов диффе-
ренциального уравне-
ния изменения давле-
ний в проточной ка-
мере в случаях, когда
характеристики рас-
хода дросселей зада-
ны в виде графиков:
а — характеристика
“ ф (рЛ б — характери-
стика <Г« ф (рГ). • — ха-
рактеристика «=• ф (fi)
а — хартктеристнка G=®(Pi —ри)
б — характеристика. G = ф (рк)
• — характеристика -
Ф(РК)
г — характеристика G = <₽ (рк —*р,)
д —характеристика
• — характеристика ~t|~-
заполнение камеры
опустошение камеры
Аналогичным путем определяется и время опустошения камеры. Толь-
ко лишь в этом случае при заданном значении pi == const для перехода
на графике характеристики расхода от координаты — Pi к Рк начало
координат смещается на величину pi влево (рис. 114, г и д). Так же как
и ранее, строится график функции 1/<р (рк). Величина времени изменения
давления в камере от значения до значения ри определяется по дан-
ным планиметрирования площади, заключенной между кривой 1/<р (ри)
и осью абсцисс, аналогично тому, как это было указано выше для*
случая заполнения камеры.
12*
179
6. Дополнительные замечания
о гемодинамических. условиях изменения состояния воздух»
~;»п заполнении и «и устошеиии пневматических камер.
Оценка norjieiiiHOCTCi!. обус ювленных принятием
нечстановившихся процессов течения воздуха
через дроссели и в камерах квазпстатпческими
Ранее для упрощения было принято, что процессы изменения состоя-
ния во ]туха в камерах пневматических приборов являются изотермичес-
кими. Е действительности же они являются часто очень сложными и с из-
менениедавленья температура воздуха в камере не остается строго по-
стоянноф Например, при изменении режима работы проточной камеры
проиехггит энергетический обмен между массой воздуха, находящейся
в каждый данный момент времени в камере, и массами воздуха, поступаю-
щими и камеру и вытекающими из нее; кроме того, может происходить
теплооГ.tt’H с внешней средой чер«<з стенки камеры. Прп заполнении глу-
хой кз.«сры воздух, поступающий в камеру, обладает более высокой энер-
гией, ч д> воздух, первоначально находившиеся в i«>ii: и .пыточная энергия
поступ и, шего воздуха частично расходуется на сжатие воздуха, ранее
находил дзегося в камере, частично же расходуется на изменение внутрен-
ней энергии воздуха, связанное с изменением температуры
Одна ко обычно процессы изменения состояния воздуха в камерах ннев-
матпчесылх приборов занимают промежуточное место между изотермичес-
кими и адиабатическими процессами и эти последние процессы могут рас-
сматриваться как граничные. В тех случаях, koi да при этом абсолютные
давлеп.т* изменяются в относительно небольших пределах, временные
характеристики камер лишь в малой степени зависят от термодинамичес-
ких уел овин1.
В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 115, а и в представ-
лены хьра ктеристики опустошения и заполнения глухой камеры, взятые
из монографии Е. М. Цейрова [66]. На рис. 115, а приведены харак-
теристики опустошения после сообщения ее с атмосферным воздухом
камеры, первоначальное давление в которой равнялось р0 = 16 ата, для
котореш отношение объема V к эффективной площади проходного сечения
цроссжиь 4 равно. 271. На эток рисунке J —расчетная характеристика,
соответствующая адиабатическому процессу,' 2 — расчетная характери-
стика. соответствующая изотермическому процессу, 3 — эксперименталь-
ная краевая. На рис. 115, б совмещены точки всех трех указанных выше ха-
рактеристик при р0 = 6 ати. При этом расхождение между всеми тремя
кривызел на участке изменения давления от 6 до 2 ата невелико. Оно
должен» быть еще меньшим прп изменении давления в диапазоне 2ч-1 ата
и нипт ’жно малым, если давление в камере меняется в пределах десятой
или сотых долей атмосферы. На рис. 115, в приведены построенные
в относительных величинах (для давления) характеристики запол-
нения глухой камеры, подсчитанные также при определенных
фиксированных значениях объема камеры и эффективном площади дрос-
селя.. Здесь характеристика 1 отвечает адиабатическому процессу запол-
нения. характеристика 2 — изотермическому процессу заполнения каме-
ры. Hi рис. 115, г обе характеристики совмешены в точке с = 0.6,
1- Следует отметить принципиальное различие Между законами, которыми опреде-
ляется Zipлтеканле термодинамических процессов для постоянной массы газа и для
переменных количеств газа (этот вопрос специально исследован в работе [70]). Однако
пр отвечаемых здесь условиях, при которых характер термодинамических процессов
мяле .оказывается па характеристиках изменения давления в камерах в переходном
прощыил, это различие также становится мало существенным.
180
принимаемой за начальную, а на рис. 115, д они совмещены в начальной
точке с « 0,8 *.
Л»
Как следует на приведенных выше графиков, расхождение между гра-
ничными кривыми, отвечающими адиабатическому и изотермическому
процессам, между которыми располагается истиинан характеристика из-
менения давлении по времени при заполнении непроточной камеры,
существенно уменьшается по мере уменьшения диапазона изменения аб-
солютных давлений.
Рис. 115. К анализу погрешностей, вносимых допущением об изо-
термпчностп процессов изменения давлений в камерах пневмати-
ческих приборов
Укажем далее, что но мере уменьшения диапазона изменения абсолют-
ных давлении уменьшается расхождение между характеристиками, отве-
чающими адиабатическому и изотермическому процессу, также и в тех слу-
чаях, когда увеличение п уменьшение давления вызывается изменением
объема камеры, обусловленным перемещением присоединенного к камере
элемента поршневого действия (поршня, мембраны, сильфона). Так, прп
изменении объема глухой камеры в 2 раза разница между величинами
давлений, получаемых прп адиабатическом и изотермическом сжатии,
1 Здесь сравниваются характеристики прп разных для исходной точки в одном и
другом случае температурах воздуха. Если принять исходные температуры равными,
то это должно привести к еще большему сближению характеристик для изотермического
и адиабатического процессов на рис. 115, г и д и к несколько большему пх расхождению
на рис. 115, б. Отметим попутно также и следующее: если в действительности измене-
ние состояния воздуха в переходном процессе является адиабатическим, то принятие
его изотермическим приводит к некоторому завышению величин постоянных време-
ни, характеризующих протекание переходных процессов.
181
состхкляет около 30 а при изменении объема камеры на 5% величина
этой розницы не пре₽ьппает2% от величины абсолютного давления в ка-
мере.
Укапанные выше соображения относятся и к проточным пневматичес-
ким химерам. Как было отмечено в прошлых главах, процесс изменения
состлкття воздуха от одной ме*.кдроссельной камеры к другой при свобод-
ном уттяновнвиюмеч течении воздуха является изотермическим (при ус-
лоиат, что скорость воздуха в камерах пренебрежимо мала но сравнению
со еа-г-ростью течения его в каналах дросселей, или же при условии, что
скосогть течения в камерах хотя и не мала, но не меняется от одной ме;к-
лроеик'льной камеры к другой). При малых отклонениях от устанонив-
пюгсеж режима течения характеристики изменения по времени давлений
я м*ьщ дроссельных камерах мала отличаются от характеристик, которые
были Г-ы получены f переходном процессе при изотермическом с.катни
или 7»&стпроици кол духа.
Иг изложен ноге ркдр следует, что в большинстве практически важных
для ллдястн пнекмеазтоматпка случаев можно считать, что изменение
да8Л?мл:н в пиевцлгпчоскнх камерах происходит при изотермических усло-
виях даже в том случае, если температура воздуха в камере не остается
строга постоянной. Благодаря принятию этой предпосылки выше было
существенно упрошено исследование динамики пневматических камер.
Лхть в редких случаях процессы изменения состояния воздуха в ка-
мерал пневматических приборов существенно отличаются от указанных
выше процессов и тогда необходим более точный учет термодинамических
факт’.’<ров. В качестве примера можно указать на рассмотренный пп. 2 § 3
этом главы изохорический процесс изменения состояния в замкнутой каме-
ре, обусловленный подводом значительных количеств тепла к воздуху
в камо ре через стенки камеры. Вопросы расчета заполнения и опустоше-
ния хйевматпчеекнх камер при различных термодинамических условиях
рассмотрены в более общем виде в уже упоминавшихся ранее работах
[661 т [67(.
Б «включение укажем порядок величин постоянных времени, которыми
опреднлгкютея инерционные свойства массы воздуха, движущегося но
кандлжм дросселей и в пневматических камерах. Сопоставляя эти величи-
ны г величинами постоянных времени пневматических камер как емко-
стей х'ожно оценить погрешности, связанные с представлением неуста-
нооиз.шпхея процессов в пневматических камерах как квазистатических
(см. кьмечапия но этому вопросу в начале настоящей главы)1.
П.рядок величины времени установления скорости течения воздуха
в калжлах можно оценить на основании следующих соображении. Пусть
на у'чьгтке канала с длиной I, диаметром d (площадью сечения /) до момен-
та □ '»- .пени * — 0 воздух находится в состоянии покоя и при t О создает-
ся да границах данного участка разность давлении бро, которая в даль-
нейших не изменяется. Будем рассматривать воздух как несжимаемую
жидл »:*ть. Первоначально рассмотрим случай, когда по установлении
режл са средняя скорость течения и\> связана с величиной бро соотпо-
гаенп»-л: ь'о — сбро, где. согласи*» закону Пуазейля, с — .-Д—Примем, что
тот хч закон сопротивления сохраняется п в переходном процессе
Приводимые здесь выводы являются грубо приближенными, так как не учиты-
ваются упругие свойства воздуха, а также ввиду других, оговариваемых ниже упро-
щаю»шк^ □апушенпй. Расчет процессов п гмененпя давлений в каналах пневматических
прнйо.а. с учетом упругих свойств воздуха (волновых процессов) может быть проведен
мето.ы.*1г.. рассматриваемыми в гл. IV.
д г действительности п переходном процессе профиль распределения скоростей
ио еечсчЕЕю канала отличен от профиля распределения скоростей при установившемся
течении соответственно с этим рамичпымп оказываются при установившихся и пе-
182
Разность давлений Op, используемая в каждый данный момент времени t
dw
?lfT
для преодоления сил трения, равна о/> = Оро — Opj, где Од, = —у— =
= р! » w — средняя скорость течения в момент времени tr р — плот-
ность воздуха. В переходном процессе w — с (Ъро — bpj) = с др*— >
откуда следует Tj^~ ~г w — сдр*, где Т, = р/с.
Например, при I — 10 леи, d — 1 леи, р = 1,86 -10"* кг • сек/м ,
р = 0,125 кг -сен*/м* находим Т} = 2 • 10"8 сек.
Рис. 116. К приближенной
оценке влияния инерционных
свойств массы воздуха на время
выравнивания давлении в ка-
налах дросселей и пневмати-
ческих камер
Рис. 117. Примерные значенн.
постоянных времени проточной
пневматическо! камеры с мншг-
мальными размерами при кото-
рых еще практически полно про-
является аффект дросселирования
Квадратичная зависимость между падением давлений и скоростью
течения характерна для дросселей, основные потери давления в которых
определяются местными сопротивлениями. Считая, что в этом случае
при установившемся течении и\> == е д/ , примем условно для не-
установившегося процесса w = el/ — (дре— ^йтегРиРУем дан-
₽ А Р“2
ное дифференциальное уравнение, учитывая, что ор. —_2-ичтэири
JM__4 др 1 et!A— 1 \2
t = 0 имеем w — 0. Находим — = , у и соответственно ^~ = (- I ,
гдеЛ = |^. График функций <F< (л ) = "Ч18 •
построенный Бахметевым, рассматривавшим решение аналогичной зада-
чи, приведен на рис. 116 [711. При qa (t/A) — 0,63 находим ^ = 1,6. На-
пример при др« =0,1 ати, р — 0,125 кг -секЧм1, I = Юяи, е = 0,8
установлению w — 0,63 гго соответствует время t = 1 • 10"* сек.
установившихся режимах величины коэффициента сопротивления [30]. Имея в виду
опнт .-такн лишь приближенную оценку временных характеристик, это различие
нс учити. аем.
183
Следует заметить^ что пилю приняты во внимание только .тишь ускоре-
ния, возникающие яри поступательном движении воздуха в кана-ххх.
Величины рассматриваемых постоянных времени или времен устане axe-
ния могут оказаться: большими, если учесть также действие сил нперехг.
возникающих при ги*у становившемся вращательном движении частхд
воздуха.
Полученные значения постоянных времени на несколько порядз .-•»
меньше, чем значения постоянных времени, обусловленных емкостью в>-
мер, с которыми обычно приходится встречаться в приборах пневмоавто-
матики (см. § 2 этой главы). Сравним указанные выше значения посто-
янных времени, определяемых инерцией массы воздуха в каналах, с хзг-
нимальным временем прохождения сигнала изменения давления но каналу .
обусловленным скоростью звука, и со значениями постоянных времена»
междроссельных камер с предельно малыми размерами, обусловленный. »
их емкостью.
Время прохождения звуковом волной расстояния в 10 .члг при нор-
мальной температуре воздуха составляет около 3 • 10-i сек. Для того
чтобы сравнить с этой величиной значения постоянных времени 7'у
камер с предельно малыми размерами, при которых камера еще мо;к т
рассматриваться как меи.дроссельная, воспользуемся приведенным к
А - А - * имеем j- = ~f~ d и Tv »
§ 2 гл. III выражением (Ш.2, а): Гу = где —'объем каме-
ры, /г— площадь выходного дросселя1, Т — температура в ° абс. Напри мег».
, , , F
при .....
нимая на основании приведенных в п. 6 § 4 гл. II данных за мшшмаль-
Чк
ное з-
°к
ляя тЬрДЛя -г = 1 по графику, приведенному иа рис. 94, получим хардь-
/4
тернстики Ту — ф (pi/ро), показанные на рис. 117.
„ d
= 7, рассматривая случаи, когда
“к
Т — 288° абс и опреде-
1 В данном выражении /: — эффективная площадь проходного сечения дросселя,
однако, имея в виду лишь определение порядка Ту, не учитываем здесь коэффициент
расхода и приравниваем /а геометрической площади сечения дросселя.
184
Глава IV
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИННЫХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИИ.
ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ ТРУБОПРОВОДЫ КАК СИСТЕМЫ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
$ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДЛИННЫХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ
ЗАДАЧИ РАСЧЕТА И ИССЛЕДОВАНИЯ ДЛИННЫХ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ
ЛИНИН
Особое место среди элементов пневмоавтоматики занимают длинные
линии ппев.чопередачн — длинные трубопроводы, по которым передается
сигнал изменения давления от одного из пневматических приборов к дру-
гому, расположенному на большом ит него расстоянии. Длинные линии,
собственно говоря, даже нельзя отнести к элементам пневмоавтоматикиt
если иметь в виду мод последними только лишь первичные элементы са-
мих пневматических приборов. Однако прп автоматизации производствен-
ных процессов часто возникает необходимость в передаче сигналов изме-
нения давления на большие расстояния, иногда на расстояния порядка нет
скольких сотен метров. Необходимость в использовании длинных линий
пневмопередачп увеличивается в связи с объединением прп комплексной
автоматизации производственных процессов всех пневматических прибо-
ров па щитах или графических панелях, расположенных на одном общем
пульте, часто отстоящем на большом расстоянии от точек, в которых про-
изводятся измерения, пли же от исполнительных органов системы пневмо-
автоматики.
Время передачи сигнала изменения давления по длинным трубопроводам
иногда намного, в десятки раз, превышает времена, которыми опре-
деляется быстродействие пневматических приборов *. Поэтому в тех слу-
чаях, когда оказывается необходимым соединение пневматических прибо-
ров длинными трубопроводами, длинная линия обычно оказывается эле-
ментом, ограничивающим скорость передачи сигналов во всей системе
пневмоавтоматики. В связи с указанным выше практически важны оценка
времени передачи сигналов изменения давления в длинных пневматичес-
ких линиях и выяснение условий, прп которых это время может быть сведе-
но к минимуму. При включении длинной линии в систему измерительных
устройств важное значение приобретает вопрос о возможном искажении
1 В связи с упоминанием о быстродействии пневматических приборов отметим сле-
дующее. Изучение процессов в длинных линиях представляет интерес также'и потому,
что в некоторых случаях необходимо рассматривать как системы с распределенными
параметрами относительно короткие трубопроводы, соединяющие отдельные приборы
или даже каналы в самих приборах. При этом процессы, протекающие в них, описы-
ваются теми же уравнениями, что и процессы в длинных линиях. Это соображение учи-
тывается нижо прп изложении вопросов расчета длинных пневматических линий.
185
показаний приборов при передаче этих показаний по длинной пневмати-
ческой линии.
В длинной линии сложным образом сочетаются свойства обычного
дросселя и пневматической камеры (емкости); процессы передачи по длин-
ной линии сигналов изменения давлений зависят от скорости звука. Если
рассматривать каждый из этих факторов порознь, то окажется, например,
что трубопровод длиной I — 300 м1 и с диаметром D = б мм эквивален-
тен по своему гидравлическому сопротивлению (при ламинарном течении)
дросселю с диаметром 0,5 мм и длиной 6 .«.я; объем внутренней полости
Рнс. 118. Характеристики длинных пневматюздсжих
линий:
а —схема принятых обозначений, б — характеристика
при изменении •= <₽ (t) по ззгожу т-
аенчатой функции. • — характеристика » - * *?'*>
гармонических колебаниях р =<₽(<)
такого трубопровода равен 8,5 л; время прохождения звуковой волной
расстояния 300 м в свободной среде воздуха составляет около 1 сек. Одна-
ко при оценке влияния сил трения и емкости на характеристики длинной
пневматической линии нельзя рассматривать каждый из этих факторов
порознь и нужно учитывать, что в отличие от того, имеет место для
дросселей и пневматических камер, сопротивление и емхость распределены
здесь по всей длине линии. Поэтому и говорится о пневматической длинной
линии как о системе с распределенными параметрам а.
Характеристики длинных пневматических линий обычно рассматри-
ваются в связи с определенным видом изменения давления на входе в тру-
бопровод.
При единичном ступенчатом изменении входного» давления дав-
ление, на конце трубопровода px„i (рис. 118, а) обычно изменяется по
1 Величина I = 300 м характерна в том отношении, что :<лгчяо это практически
наибольшее расстояние, на которое производится передача схгзииоа изменения дав-
ления по пневматическим трубопроводам в условиях промышляемых предприятий
В литературе по пневмоавтоматике описаны также пневмос^-ло/ды большей длины
(например, в (72) рассматриваются характеристики пневмоаро®.‘Д* данной свыше 1 жм).
186
характеристике такого вида, как это представлено на рпс. 118, С. Здесь име-
ется участок чистого запаздывания, па котором =s 0 и протяженность
которого равна Гр, и следующий участок, на котором происходит посте-
пенное изменение давления Так как в некоторых случаях характе-
ристика / (0 на этом участке близка к экспоненте, в качестве
характерной величины указывают время 7\. в течение которого давле-
ние />ХТЕ| изменяется на величину, равную 63% от всего диапазона из-
менения давления d/>x=,iinax »ЛрЛ л1. Характерным для длинной линии
является также общее, время, за которое при указанном выше измене-
нии давления на входе достигается 63% от па выходе, т. е. время
Г«з% ~ Гр 4- Г/. При отличии характеристики = / (/) на участ-
ке изменения давлении or экспоненты, а также прп недостаточно четко
определенной границе обоих участков указанны выше величины не ха-
рактеризуют достаточно полно переходный процесс и обычно дополни-
тельно указывают значении и 7’^»,, по нс течении которых достига-
ются значения 6рд соответственно равные 0,05 и 0,95 от ^/*л-л1|1ЯХ- Гь«,
дает практическую величину участии чистою запаздывании, 7\,6% —
практическую величину общего времени протекания переходного про-
цесса. Показанная на рис. 118,6 характеристика относится к слу-
чаю, когда рх-1 изменяется но времени моиоюнио; прп трубопроводах
относительно небольшой длины возможно также немонотонное проте-
кание характеристики рл«1 =• f(l).
Если давление на входе в трубопровод изменяется по синусоидальному
закону, то но мере удаления от входного сечении трубопровода колебания
давления будут все более и более гаситься вследствие действия сил трения
н из-за влияния емкости трубопровода (рпс. 118, в). При большой длине
трубопровода и достаточно большой частоте колебаний давления па входе
может оказаться, что уже начиная с некоторого значения х воздух остается
практически невозмущепным; в этом случае трубопровод совсем не будет
передавать сигнала изменения давления. При периодическом изменении
/,х-е= /(О характеристиками длинной линии являются амплитудная и
фазовая частотные характеристики, представляющие собой характери-
стики изменения в зависимости от частоты колебаний отношения амплитуд-
ных значении рх „ / и рх , ,» и сдвига ио фазе между кривыми рх «i == / (/) и
/(0-
Характеристики длинной пневматической липин существенно зависят
от объема камеры, присоединенной к трубопроводу. В некоторых случаях,
например тогда, когда к концу трубопровода присоединен сильфон неболь-
шого объема (20 30 с.и:‘), влияние этой дополнительной емкости малом
им можно пренебрегать. Однако в некоторых случаях па конце трубопрово-
да может находиться камера большого объема (например, у некоторых мем-
бранных исполнительных механизмов объем камеры превышает 10 л),
при этом влияние дополнительной емкости является значительным.
При решении практических задач, возникающих прп разработке и
внедрении новых систем пневмоавтоматики, важно знать указанные выше
параметры, характеризующие запаздывания при передаче сигналов изме-
нения давлений в длинных пневматических линиях и знать зависимость
этих параметров от длины и диаметра трубопровода, объема присоеди-
ненной камеры, среднего значения давления в трубопроводе.
1 Если бы па рассматриваемом участке характеристика 7>д—f= / (0 являлась экспо-
нентой, то процессы в длинной линии могли бы быть представлены так, как если бы
опа была заменена последовательно соединеннымизвеномчистогозапаздыванияиодно-
емкостным звеном; 7’l в этом случае являлась бы постоянной времени этого последнего
звена.
187
При течении воздуха «длинном трубопроводе под больлш ми перепадами
давлений на характеристиках течения сказывается илмашенно плотности
воздуха. Однако если исследуются малые отклонения от исходного равно-
весного состояния, то можно рассматривать движение аелдуха в трубопро-
воде так же, как рассматривается движение в нем калильной жидкости.
Волновые процессы, происходящие при движении каджтьрой жидкости
в трубопроводах, исследовались в связи с различными выдачами техники:
большое число работ в данной области связано с илп-чснисм процессов
нагнетания топлива в двигателях дизеля (см. работы '73—76)). Вместе
с тем за последние годы опубликован ряд указываемые ниже работ, спе-
циально посвященных исследованию характеристик паем магических тру-
бопроводов.
Для понимания физической сущности пропессов, происходящих в длин-
ных линиях, полезно рассмотреть вывод диф4* репьякг.ьных уравнении,
которыми описываются эти процессы. Это сделано в $ _ настоящей главы.
Следует заметить, что уравнения пневматической длажной линии могут
быть получены из уравнений Павье-Стокса (77) пли же могут быть выведе-
ны из общих уравнении акустики (7SL Более наглядным является описи
ваемый в §2 вывод уравнений длинной линии для случая движения капель
нон жидкости, при котором раскрывается физика процесса передачи
давления по трубопроводу1.
В связи с рассматриваемым далее методом решение у равнений длин-
ных пневматических линий особое значение приобретает вопрос об анало-
гиях, имеющихся между процессами передачи сигнале» в длинных пнев-
матических и электрических линиях. Как показывается и дальнейшем,
на основе этих аналогий прп решении задач, связанных с исследованием
волновых процессов в пневматических трубопроводах. могут быть исполь-
зованы выводы, относящиеся к электрическим длинным линиям. Основания
для таких аналогий указаны в § 2.
Характеристики длинных липни определяются не только величинами
коэффициентов дифференциальных уравнений линии, но также зависят от
характеристики присоединенных пневматических камер (от граничных
условий на конце длинной липни); в § 3 приводятся уравнения этих камер
в форме, прп которой они могут быть использованы для анализа времен-
ных характеристик длинных линий.
В§4 рассматривается общий метод решения дифференциальных урав-
нений длинных пневматических линии при помощи преобразования
Лапласа. Изложение ведется в этом параграфе таким образом, чтобы
оно было доступным для читателей, не изучавших ранее операционного
исчислеппя. Наряду с операционным .методом также рассматривается гра-
фический способ построения характеристик переходных процессов в пнев-
матических трубопроводах. При написании данного параграфа наряду
с задачами исследования характеристик длинных пневматических линий
учитывались задачи расчета как систем с распределенными параметрами
относительно коротких трубопроводов и собственных каналов пневмати-
ческих приборов. Необходимость в рассмотрении соединительных трубо-
проводов и каналов приборов как систем с распределенными параметрами
возникает в связи с исследованием условий достижения максимальной
скорости передачи сигналов изменения давлений в пневматических уст-
ройствах. При этом существенны, например, вопросы определения ско-
рости нарастания давлений и расходов (мощности) на выходном конце
канала и изучения формы получаемых прп этом импульсов. Последняя
обычно зависит не только от характера изменения давлений и расходов
1 См. главу III отдела VI книги Ф. Засс <Бескомпрессоркке двигатели дизеля*
(74], переработанную Г. Г. Калиш.
188
ид входе в трубопровод, но также и от условий отражения волн у выходно-
го конца трубопровода. Особый интерес представляют условия, прп кото-
рых не возникают отраженные волны и не происходит вследствие их появ-
ления искажения передаваемых сигналов изменения давления.
В § 5 приведен обзор некоторых работ, в которых указываются методы
приближенной оценки характеристик длинных пневматических линий
и приводятся материалы их экспериментального исследования
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССА
ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ВОЗДУХА В ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДАХ
При выводе дифференциальных уравнений, которыми описывается
изменение давления и скорости (или расхода) воздуха прп распростране-
нии волны давления по трубопроводу, примем за исходные следующие
предпосылки.
а
Р р •/fy/fa) ат
U) ID '(dlv/дт) йТ
Рис.’ИЭ. К выводу дифференциальных уравнений длинной
-пневматической линии и к определению -граничных -условий:
а — длинная пневматическая линия, б — длинная линия с глухой ка-
мерой на конце. « —* длинная линия, заканчивающаяся камерой пере-
менного объема
Для длинных линий передачи, используемых в системах пневмоавто-
матики, основное значение имеет случай, когда трубопровод закапчивается
глухой камерой; при установившемся режиме работы скорость воздуха
в таком трубопроводе равна пулю. Сначала рассмотрим этот
случай. Будем далее считать, что величина изменения давления мала по
сравнению с абсолютным давлением на исходном статическом режиме и
что в силу этого можно вести расчет так, как если бы происходило распро-
странение волн давления в среде капельной жидкости3. Примем, что поте-
ри на трение определяются теми же соотношениями, которые имеют место
1 Читатели, интересующиеся лишь данными, необходимыми для приближенной
оценки времени запаздывания в длинной линии, могут, не знакомясь с выводами рас-
четных формул, указываемыми ватой главе, прямо обратиться к выражениям (IV. 65)
и (IV.66), коэффициенты в которых определяются по формулам (IV.6), (IV.8) (см.
также таблицу IV, § 2), (IV.15) и (IV.18).
9 См. дополнительные разъяснения по данному вопросу на стр. 191.
189
при ламинарном установившемся движении жидкости пли воздуха по тру-
бопроводу.
Рассмотрим показанный на рнс. 119, а трубопровод, длина которого
равна I, а площадь проходного сечения равна /. Пусть давление на ле-
вом конце трубопровода меняется по времени, вследствие чего создается
разность давлений по длине трубопровода и возникает движение возду-
ха по трубопроводу. Выясним, под действием каких сил происходит
движение массы воздуха, расположенной на участке с длиной dx, отстоя-
щем на расстоянии х от левого конца трубопровода. Обозначим гранич-
ные сечения этого участка цифрами 1 и 2 (рпс. 119, а). Для значений
давления и скорости в момент времени t в сечении 1 примем обозначе-
ния р и w. Тогда в тот же момент времени I для сечения 2 давление и ско-
рость соответственно равны р -J- ^dx и w dr. На выделенный эле-
мент действуют следующие силы: сила давления, определяемая разно-
стью давлений на гранях 1 и 2, сила инерции и сила трения. Первая из
этих сил равна fp — / (р +dx! =
из веден ию массы рассматриваемого элемента pfdx на ускорение ~ ,
т. е. равна р/|р dx. Сила трения, согласно уравнению Пуазейля, равна
» г^е & — диаметр сечения трубопровода. Учитывая, что Re =
Dwp . jiD*
= - а — и / = —, можно представить последнее выражение в виде
8xpwdx. Используя условие равенства силы давления с одной стороны
и сил инерции и трения с другой, находим:
— dr. Сила инерции равна про-
сит 1

dx ~r
Поделим в этом уравнении все члены на fdx и подставим в него вместо
скорости w ее выражение через объемный секундный расход воздуха Q
„ Q п
в данном сеченип трубопровода: sr = При этом получим уравнение-
др 8лц
/ di
(1V.1)
Для вывода следующего из дифференциальных уравнений процесса рас-
пространения волны давления в трубопроводе рассмотрим условия, ко-
торыми определяется деформация выделенного элемента массы воздуха.
Первоначально напомним принятые в физике понятие коэффициента
сжимаемости н понятие модуля упру гости первого рода. При изменении
давления на величину dp масса жидкости (воздуха), сосредоточенная
В объеме I”, деформируется па величину dV и изменение объема характе-
1 При одномерном псустано вившемся движении ускорение представляется в вид**
_ 4- w (подробнее см. п. 1 5 3 приложения). При скорости течения w, иа-
at dt дх
много меньшей скорости звука, вторым слагаемым в правой части выражения
rfu? dw . дю ,
4-|с— можно пренебречь, что ж сделано выше. Однако при скорости течн-
al oi дх
ния, близкой к скорости звука, величина данного члена становится достаточно
большой и должна приниматься во внимание. При этом рассматриваемые далее линей-
ные дифференциальные уравнения трт б:аровода заменяются нелинейными дифферен-
циальными уравнениями, для которых в? могут быть получены аналитические выра-
жения интегралов.
190
риауется относительной величиной . Коэффициентом сжимаемости на-
зыпается коэффициент пропорциональности между относительным изме-
нением объема и приращением данлопня г ------или ПРП малых
AV/V .» Р ,
конечных величинах приращении г — . Величина,обратная
му коэффициенту, налыпаетгн модулем упругости первого рода: Е ~=
это-
Известно, что скорость звука в дайной среде равна3 а у -- и, сле-
11.»
дователыю, с - & с ^.Приравнивая ооа указанных выше выражения
е, получим
i dV I
* ~ * - ж-!--------—» *
дЯ* I dp
(IV.2)
„(ли рассматриваемого' момента (рис. 119,я) объем равен V = jdx. При-
ращение этого объема да время dt определяется тем, что скорость в се-
чениях 1 п 2 различил. Приращение скорости равно — »г,
соответственно с этим разница в пути, проходимом за время dt части-
цами, находящимися в сечениях 2 и 1, равна (^dx]dt и, следователь-
но, сП’ — /*— dxdt. Изменение давления за время dt равно dp — dt.
Подставляя указанные выше выражения V, с/Г и dp в (IV.2), проводя
после этого сокращение в числителе и в знаменателе дроби в правой
части (IV.2) на fdxdt. получим
dll'
1 дх
рв2 dp
dt
н после замены скорости ц- ее выражением w ~ р придем к уравнению
<<r * р<2 di
(1V.3)
1 Вопрос о том, в какой мере единообразны или, наоборот, различны процессы
в гидравлических и пневматических длинных линиях, п основном определяется сле-
дующим. Для капельных жидкостей изменение давления р и относительное измене-
6V
нпе объема I связаны между собой соотношением Ар -- — Е - причем ооычно при-
нимают величину постоянной, не зависящей от давления п температуры. Попутно
отметим, что последнее допущение является условным и, как показано в работе (80|.
не всегда может быть принято. Заметим также, что при изотермических условиях для
капельных' жидкостей можно рассматривать не объем V, а удельный объем г. т. е.
объем, занимаемый I кг жидкости; при этом Ар -- —Е—. Для газа из уравнения со-
v
стояния рг НТ при постоянной температуре Т получаем pAr-f- гйр =•= О, причем
в случае Ар <; р, А г ;• можно принять р = рср == const, v -- гср = const, где
Рср и г,р — соответственно средние значения давления р и удельного объема г.
Ат
и тогда Ар -- — рср __ . Таким образом, если только величины абсолютного дав-
ления р и удельного объема г меняются мало, то указанные выше выражения
Ар-- — Е~ для капельной жидкости и Ар === — реп-- для газа оказываются.nea-
t’ 1 v
ностъю идентичными. Расхождение между процессами в гидравлических и пнев-
матических длинных линиях может наблюдаться лишь в случаях, когда величина
Ар относительно велика по сравнению с р ; в остальном принципиальной разницы
между процессами в тех и других линиях не имеется.
2 См., например, г. [79], стр. 312.
19!
Диаметр D, мм Я. ~ к?-сек» к* ’ ж
При р*. вггм
o.et 1 0,1 » to
4 6 8 10 29,1-10* - 5,8-1С« 1,8-40* 0,74-10* О.Ю-Ю* 0,045-10* 0,025-10* ' 0,016-10* 0,11-10* 0,019-10* 0,028-10* 0.018 10* 0,1 ¥-10* 0.GS7-K* Олч?-!(У 0дШ-1О* 1,07-10* 0,475-10* 0,267-10* 0,151-10*
Системой уравнений (IV. 1) и (IV.3) описывается процесс распростране-
ния воли давления в длинной линии пневмоперодачи. Эти уравнения мож-
но записать в виде
& + = (IV.4)
дх + -t
(1V.5)
Коэффициенты в этих уравнениях, согласно (IV. О и ^IV.3), имеют сле-
дующие значения:
Я =
(IV.6)
(IV.7)
(IV.8)
Рассмотрим аналогии между процессами в длинных пневматических
трубопроводах и в длинных электрических линиях. Уравнениями длин-
ной электрической линии являются
й + л,-5-ля = °- <IV-9>
*+с£ = °. (IV.10)
где и — напряжение, i — сила тока, R,L и С — соответственно оми-
ческое сопротивление, индуктивность и емкость, отнесенные к единице
длины линии *. Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями
(IV.4) и (lV.5),ec.in в последних заменить р на u,Q па in иметь в виду под
Я, LmC указанные выше электрические величины. Отметим, что для пнев-
матической длинной линии коэффициенты RtL и С, как это следует из их
выражений (IV.6), (IV.7) и (IV.8), имеют соответственно следующие размер-
ности (при выражении всех величин по системе кг — м —сек): | кг • сскЛи® {,
| кг• сек2/ж*| и|^ . Эти [коэффициенты в отличие от коэффициентов урав-
нений (IV.9) и (IV.10) не относятся к единице длины трубопровода. Од-
нако с тем, чтобы имелась аналогия и в этой части, можно считать, что
1 См., например, [81].'Обычно* при выводе уравнений ' длинной электрической
линии также учитываются у течки тока по длине линии. Так как для пневматической
длинной линии такие утечки не характерны в уравнениях (IV.9) и (IV. 10) соответ-
ствующие члены опущены.
192
Таблица IV
С | v;'*
при
0.01 ел 1 • w
0.86 10“’ 1,93-10' ’ 3,45-10 • 5.38-10 • 0,78-10 • 1.77-!«-• 3,14-10’ 4.9-10-’ 0,44-10'’ 0,99-№“• 1,76-10-’ 2,74-10~’ 0.081-10* 0.182-10 • 0,323-10-’ 0,506-10 •
зелпчппы Л, L п (- для ти'пматпчкйкой линии также отнесены к единице
»е длины: для этого следует лишь рассматривать указанные выше раг-
мерносгп для /?, L и Г как
(кг-сск .ws) (кг-сек’ .и5) (.и5 кг)
««» -1 ill । в .1'-- -1-1 I- - J-
л» * .н ле
В табл. 1\ приведены подсчитанные по формулам (Г .6), (1\ .7), (IV.8)
численные значения коэффициентов /{, L и С для трубопроводов с раз-
личным диаметром /> и при различных средних величинах давления воз-
духа />*:
При подсчете величин И, С. и L величины р, р,н определялись в предполо-
жении, что температура сохраняет постоянное значение, равное 15° С1.
Процессы изменения давления в длинных пневматических трубопроводах,
так же как и процессы в длинных электрических линиях, могут быть при
данных значениях /?, (’ и L различными в зависимости от того, каковы
граничные условия. Поэтому в каждом конкретном случае наряду с зада-
нием численных значений коэффициентов дифференциальных уравнений
длинной линии должны быть также заданы и граничные условия2.
§ 3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. УРАВНЕНИЕ КАМЕРЫ,
ПРИСОЕДИНЕННОЙ К ДЛИННОПОЛ ИНИН J
Характеристики длинной пневматической липни, как было отмечено
выше, существенно зависят от граничных условий — от закона изменения
давления в функции от расхода воздуха на границах трубопровода. При
достаточно большой мощности источника, от которого воздух поступает
к трубопроводу (таким источником обычно является вторичное реле пнев-
матического регулятора или пневматического датчика, позиционер и т. п.),
представляется возможным на входе в трубопровод точно поддерживать
1 В работе |78), конечные результаты которой указываются ниже в § 5 данной
главы коэффициенты дифференциальных уравнений длинной пневматической линии
приводятся несколько в другой форме, чем это делается здесь; это связано с различной
в том и другом случае степенью идеализации процесса. Разница между определенными
таким образом значениями коэффициентов дифференциальных уравнений длинной пнев-
матической линии и их значениями, вычисленными по формулам (IV’.6) (IV.8), не-
велика. Эта разница представляется тем менее существенной, что прп расчете харак-
теристик длинных линий приходится, как показывается в J 5, вводить некоторые по-
правки. основанные на экспериментальных данных. В дальнейшем при проведении
расчетов будем пользоваться формулами (П 6)-:-(IV_8) и соответственно будем брать
численные значения указанных выше коэффициентов из табл. IV.
а При решении дифференциальных уравнений длинных линий также учитываются
начальные условия, т. е. давления и расходы воздуха во всех сечениях трубопровода
при t = О, от которых также зависит интеграл системы уравнений :(IV.i) и (IV.5).
13 Я. А. Залманзон
заданный закон изменения давления, будь это постоянное давление, уста-
навливающееся после скачкообразного его изменения, синусоидальные
колебания или какая-либо другая зависимость изменения давления по
времени. В дальнейшем будем считать, что в течение всего процесса на
входе в трубопровод вне зависимости от того, каким является в каждый
данный момент времени расход воздуха, точно выдерживается заданный
закон изменения давления по времени.
На выходе из Пневматической длинной линии чаще всего находится
глухая камера, объем которой в разных случаях может быть различным.
В некоторых случаях этот объем значительно меняется в процессе работы
(мембранные исполнительные механизмы), в других он практически оста-
ется постоянным (камера сильфона или мембраны в измерительном устрой-
стве пневматического регулятора или пневматического преобразователя,
действующих по принципу силовой обратной связи).
При исследовании характеристик изменения давлении в длинных ли-
ниях, кроме уравнений (IV.4) и (IV.5), должен быть задан для камеры,
присоединенной на конце линии, закон изменения давления по времени
в функции от секундного расхода воздуха. Соответствующим уравнением
определяются граничные условия, с учетом которых проводится инте-
грирование системы уравнений (IV.4) и (IV.5) *.
Выведем для камеры, подключенной к трубопроводу, уравнение, свя-
зывающее скорость изменения давления в камере р с объемным секундным
расходом воздуха на конце трубопровода Q. Как и ранее, будем рассмат-
ривать малые отклонения от положения равновесия. ,
Сначала рассмотрим случай, когда объем камеры V не меняется с из-
менением давления. Пусть в момент времени t абсолютное давление,
удельный вес воздуха и весовое количество воздуха в камере соответствен-
но равны р0, т0 и (30, а для момента времени t + dt давление и удельный
вес воздуха в камере равны />0+ dp и То + dy. Пусть далее dq есть объем-
ный расход воздуха через выходное сечение трубопровода за время dt и
Q — ~ — соответствующий объемный секундный расход воздуха. Будем
считать процесс изменения состояния в камере из термическим, проис-
ходящим при абсолютной температуре Т*.
Напишем уравнение состояния воздуха в камере в момент времени
t + dt
Т. + dr - (IV.11)
С другой стороны,
©о + СГо-МтМ?
Г® + «Т =--------у-------»
откуда следует
Т» + <*Г - • (IV.12)
Приравнивая правые части выражении (IV.11) и (IV.12) после простей-
ших преобразований, при которых пренебрегаем величиной dqdp как
бесконечно малой более высокого порядка, найдем, что dq — —~dp. Учи-
тывая, что Q — получим
__________ <,vl3>
1 Для коротких соединительных трубопроводов и каналов самих приборов, рас-
сматриваемых как системы с распределенными параметрами, характерны, как указанные
выше, так и болен сложные граничные условия. Эти условия рассматриваются в даль-
нейшем при изложении в § 4 методики расчета волновых процессов в трубопроводах.
1 См. замечания по данному вопросу на стр. 180.
194
Коэффициент пропорциональности между величинами Q и dpldt назовем
емкостью камеры, обозначим его как Ск. Тогда
где
Ск - £ • (IV.15) »
Если объем камеры V не остается постоянным, то выражение для коэф-
фициента пропорциональности между величинами Q и dp/dt отличается
от выражения (FV.15). Рассмотрим этот случай. Пусть исходное значение
объема камеры равно Vo. Так как в рассматриваемом случае q — f(p, V),
то dq — (-—A dp -|- dV. Как следует из ранее приведенных
выводов, (—) — Ск — —- Вместе с тем по физическому смыслу
\»Р/у==у, ро
= 1. Пусть dV = Fdx, где F —- площадь поршневого действия
w* 7р=р,
мембраны или другого подвижного элемента, присоединенного к данной
камере, a dx — величина перемещения этого элемента за время dt.
Подставляя указанные выше выражения в Q = получим
<? = c«4r+F^- <IV16>
Если В — жесткость пружины, которой нагружена мембрана, то Bdx —
р
~ Fdp, откуда следует, что dx — dp. С подстановкой последнего вы-
ражения в уравненпе (IV. 16) получим
= (IV.17)
где
= + + (IV.18)
Уравнением (IV.14) или (IV.17) определяются граничные условия на
конце трубопровода, к которому присоединена камера.
f 4. РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ТРУБОПРОВОДОВ, РАССМАТРИВАЕМЫХ
КАК СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1. Решение системы дифференциальных уравнений (IV.4)
и (IV.5) методами операционного исчисления* 1
Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений (IV.4),
(IV.5) методами операционного исчисления.
Давление р и расход Q в некотором фиксированном сечении трубопро-
вода, определяемом координатой л, являются функциями времени I.
• За величину ро следует принимать среднее для рассматриваемого процесса
абсолютное давление в трубопроводе. Далее наряду с обозначением^ вводится также
обозначение рср.
1 Ниже используется метод решения дифференциальных уравнений длинных линий,
изложенный в книге М.И. Конторовича «Операционное исчисление и нестационарные яв-
ления в электрических цепях» (81(. Возможность использования при исследования ха-
рактеристик (.тинных пневматических линий выводов, относящихся к электрическим
ta*
196
Для функций р (/) и Q (/) вводят в рассмотрение соответствующие
им преобразованные по Лапласу функции комплексной переменной s
(s = а 4- bi, где i ~ У—1). Для p(t) преобразованная по Лапласу функ-
ция Л [р (7)1 переменной s
Alp (/)! = р (0 aldt. (IV. 19)
о
Аналогично определяется и Л [@(7)1:
со
А [@(7)) = \ Q (7) e—* ldt. (IV. 19')
о
Свойствами преобразования Лапласа, прямо следующими из вира-
п п
жения (IV.19), являются: Л £2 р, {t) | = £ А [р; (7)1 и Л [Ср (7)1 =
= 6'Л(р(01, где С — постоянная величина. Благодаря этим свойствам
можно производить преобразования Лапласа не только для отдельно
взятых функций вида р(/) или Q (7), но и для-уравнений, содержащих
такие функции.
Для производной
Л [-^] = «Л Ip (I) I - р (О), (IV.20)
где р(0) значение р(7) при 7 = О1.
При нулевых начальных условиях, т. е. когда в момент времени I — О,
начиная с которого рассматривается процесс в трубопроводе, для всех
значений зс р(0) = 0 и Q(0) — 0
Лр7йг]= ’Л I₽W1. (IV.21)
-* X -1 . „Г' • • * г >,-• ' *ич»= — '• • - ——- —
Ниже ограничимся рассмотрением процессов в трубопроводе при ну-
левых начальных условиях, хотя в общих формулах преобразованных
функций Л 1р (7)1 и Л [@(7)1 легко учесть и ненулевые начальные усло-
вия; для этого лишь нужно было бы пользоваться для Лапласовых изоб-
ражений производных выражениями вида (IV.20), а не (IV.21).
длинным линиям, основана на указанной ранее;» налоги и между процессами в тех к дру-
гих линиях. При переходе от электрической к пневматической системе вместо напряже-
ния и вводится в рассмотрение давление р и вместо силы тока i расход Q. При этом, од-
нако,как был** показано в §2, величины K.L, С, являвши» ся для электрической линии
отнесенными к единице длины сопротивлением, индуктивностью и емкостью, представ-
ляются для пневматической линии в виде сочетаний различных параметров. Для пнев-
матической длинной линии, как уже отмечалось ранее, не имеется величины, эквива
леитной распределенным утечкам тока, которые характерны для длинных электри-
ческих линии.
СО
1 Выражение (IV.20) получается интегрированием по частям:^ е~в,Л—
о
-О 00 OL
= р(i) | + Р (0 или так как с""*1 — О при 7 == <*, то e~udi —
• о •
□о
=г р(7)е- ,,Л — р (0).
о
В действительности р и Q для длинной линии являются функциями
двух независимых переменных х и /. Однако при вычислении частных
производных по I от функций р — р (х, t) и Q — Q (х, t) величина х
рассматривается как постоянная и поэтому остается в силе выражение
(IV.21) и для
Л [ «“] = <IV.22>
Аналогично
(IV.23)
оо
Так как (4-е Hdt
j Ох
о
d Г rfAfpJ
— \ ре e'df =& —,
dx J * 1 dx
о
и также
dpi _dAfpJ.
dx J dx *
dA[Qj
(IV.24)
(IV.25)
Умножая обе части уравнений (IV.4) и (IV.5) на е~*\ проводя интегри-
рование в пределах от 0 до оо и учитывая выражения (IV.22) (IV.25),
получим следующие Лапласовы изображения уравнений (IV.4) и (IV.5)
длинной пневматической линии:
4- ЯЛ[QJ + sIA[Q] = О,
(1V.26)
I А<’Л(р1 - О,
(IV.27)
Тогда как исходные дифференциальные уравнения (IV.4) и (IV..*) были
уравнениями в частных производных, уравнения (IV.26) и (IV.27) явля-
ются простыми дифференциальными уравнениями и их решение относи-
тельно Л1р1.и Л { 0 не вызывает затруднений. Система уравнений (IV'.26),
(IV.27) интегрируется с учетом i раничных условий на концах трубо-
провода и определяются Л1/4 и Л|0. Затем при помощи обратного
преобразования Лапласа, о котором будет сказано ниже, находятся
искомые функции р(а, /) и Q(x, I).
Рассматривая эти последние два этапа решения системы исходных
дифференциальных уравнений более подробно, остановимся на опреде-
лении р(х, <); функция Q(x,t) определяется совершенно аналогично.
Исключая из уравнений (IV.26) и (IV.27) Л[0, для чего предвари-
тельно следует продифференцировать уравнение (IV.26) по х, получим
уравнение
е2А (/>] = О, (IV.28)
где
е = У (sL + Я). (IV.29)
Общим решением дифференциального уравнения (IV.28) является 1
Л[р] = Ci ch er Cssher. (IV.30)
1 1
1 Напомним, что ch ex — -у (e,x 4" е еж): sh ex =(е<х—е <х), где е=2,718 . ..—
основание натуральных логарифмов; ch 0 = 1 и ah 0 — 0.
197
Таким же образом получим
Л[@1 = —ICi shex -pCtch ex),
где
е „ sL + 11 _ I/+ /{
С — е — у sC .
(IV.31)
(1V.32)
Постоянные Ci и Ct определяются из граничных условий. Рассмотрим
следующие граничные условия для пневматического трубопровода: дав-
ление на входе в трубопровод изменяется во времени по произволь-
ному закону рЯдж0 = <р (0» а изменение давления px~i и расхода Qx^i
па выходе из трубопровода связаны между собой уравнением (IV.14)
камеры, присоединенной к трубопроводу (если объем камеры переменный,
то уравнением (IV.17)). Подставляя х = 0 в уравнение (1V.30), находим
Cl = A(px.J. (IV.33)
Величина Ct определяется так. Проводя преобразование Лапласа для
уравнения (IV.14) с учетом выражений (IV.19') и (IV.21), получим сле-
дующее соотношение:
ЛI<?,-/) = sC*A[px_J l. (IV.34)
Значения A[<?X=>=J и Afpx-il находятся из уравнений (IV.30) и (IV.31),
если принять в них х — I:
A(px-d ®= Ci ch el 4- Ct sh el и A[<7XJe=d — — — [Ci eh el -f- Cache/J.
Подставляя последние выражения в (IV.34) и учитывая, что, согласно
(IV.33), Ci — Л[рх«0), получим
, . sh е/4-ch е/ ....
= ““ Л(рх=с<)1 о/ 4_»С Т- ah ol ' (IV.35)
‘ w сп е< + вп е/
Из (IV.30), (IV.33) и (IV.35) следует
/ sh el 4- \
Л)р) = Л[рх_01 (^ch ex — che/ + t she/ sh eXJ •
или с учетом того, что ch e.r ch e.l — Mi ex «h el ₽= ch e (I — x) и
feh el ch ex — ch el eh ex =» *h e (I — x),
a f 1 A Г . ch e (2 ~ X) 4- sh e(l - x)
A IP J ~ Л sh el * (IV.36)
Аналогичным путем получается выражение
ЛГН1 sbe(/-x)4-eCKgche(2--x)
л г<21 - —!------------гГеГас-^71---------• <IV-36)
Обратном преобразование, в результате которого но нрообранонапной
функции (IV.36) (или по преобразованной функции (IV.30')) находится
истинный закон изменения давления (расхода) в трубопроводе, основано
на следующем. В теории операционного исчисления рассматривается слу-
чай, когда
<1V’37>
1 При камере с переменным объемом в (IV.34) вместо величины Ск, определяе-
мом по формуле (IV.15), должна быть взята величина С*, определяемая из форму
лы (IV.18).
198
причем р— искомая функция от времени t, W (s)—полином от s степени
п, не имеющий корня s = 0 или кратных корней, и U (s) — полином сте-
пени не выше п. Для этого случая доказывается (теорема разложения
Хевисайда), что
„ _ v (0) у .41
Р~ W (0) + £ е ’
J—X
причем U (0) и TF(O) — значения U(s) и VF(s) при s — 0, а W'(s) — произ-
водная от W ($) по 8.
Вместе с тем доказывается, что данное выражение может быть при-
менено и для случая, когда преобразованная по Лапласу функция от р,
т. е. А[р], является не указанной выше рациональной дробью, а транс-
цендентной функцией вида (IV.36), которую также можно представить
в форме (1V.37), если после раскрытия Л [/>х=01 выделить в знаменателе
множитель •$, для остальной части знаменателя ввести обозначение W($)
и выражение, которое при этом остается в числителе обозначить как
Г(5).
Однако в этом последнем случае 1 (s) имеет бесчисленное множество
корней Sjt причем возможно и sj = 0, и в
£7(0) у ,it
W(0) ^(»j)
(IV.38)
суммирование должно проводиться по всем различным между собой зна-
чениям Sj, При КОТОРЫХ W(Sj) — 0.
При решении практических задач оказывается достаточным ограни-
читься
обычно
суммой нескольких первых
членов ряда,
е 3
" (*Р
достаточно точно апроксимирующей истинный процесс измене-
ния давлений в трубопроводе.
Резюмируя изложенное выше, укажем порядок расчета функции
р(х, i) для пневматической линии (аналогично определяется и Q (xt £)).
Нужно получить для заданного рх^о~ <р (£) при помощи уравнения
(IV.19) выражение Л [дХи0|. Определив затем из выражений (IV.6)-i- (IV.8)
величины RtL,Cn подставляя их в (IV.29) и (IV.32), следует получить
выражения е и £ как функции от 8. Далее нужно подставить Afpx=o],
в и £ в (IV. 36) и получить развернутые выражения U(s) и IF(s), а также
найти W"(s), U (0), И (0). После этого для вычисления p(x,t) по формуле
(IV.38) нужно определить корни ж; уравнении IV(s) ~ 0. Для получения
истинного значения />(т,£) следовало бы провести суммирование по всем
Sj корням этого уравнения; практически же для получения приближенного
решения достаточно, как уже было указано, ограничиться несколькими
первыми корнями. О точности получаемого при этом решения обычно мож-
но судить на основании анализа влияния нар(х,£) первых членов отбра-
сываемой части ряда (см. п. 3). |
2. Дна частных случая
Ниже рассматривается вопрос об определении корней И'($) и выраже-
ние (IV.38) приводится в более развернутой форме для двух практически
важных частных случаев: а) для длинной линии, на конце которой при-
соединена настолько малая камера, что можно принять ~ 0 (например
при присоединении к длинной линии камеры сильфона, имеющего
небольшой объем); б) для сообщенного с камерой трубопровода с
199
относительно неоольшим отношением длины к диаметру, для которого
можно пренебречь влиянием вязкого трения, учитываемого коэффициен-
том Я, п принять R — 0 В обоих случаях будем считать, что до началь-
ного момента времени t = 0 воздух в трубопроводе находится в покое
и при / = О давление на входе меняется скачком от исходного значения,
условно принимаемого за р — 0, до значения рж==0, которое сохраняется
постоянным на протяжении всего переходного процесса.
а. Длинная линия при Си = 0. Лапласово изображение постоянной
величины рг=я0 = const. согласно (IV. 19), равно 4 А[рх =..1 — —у’ - . Под-
ставляя это значение А .рх.=<> ] в (IV.36) и учитывая, что Ск — 0, полу-
чим
л ch е (/ — xi
lei = - • (>v.39)
В данном случае
£'(s) — рх^осЬе(/ — z), (IV.40)
IV(s) — che/, (IV.41)
где, согласно (IV.29),
е = У sC (sL -г Я).
Находим
Г(0) = Рх=о и IF(0) = 1. (IV.42)
Рассмотрим далее, как определяются корни уравнения IP(A‘) =
= ch el — 0. Так как ch el — cos iel, где i V — 1. а корнями урав-
нения cos iel — 0 являются iel — ~ у 1 л (где / — -t- 0, I, 2, . . .), то
значения s, при которых ch el =0, находятся из условия el — i л
или у sC(sL~ Я) / —Д -у- - Д- Решая, последнее у.равшм<«еч^«ос1ггелъ-"
но s и обозначая а, отвечающее данному /, как s)t получим
Ч = (IV.43)
где __
’ = S: & = Vк) ’• <IV44>
Каждому значению /, согласно (IV.43), соответствуют два корня
(Sj — —а 4- 3, и S) — —а — 3,), поэтому в дальнейшем при суммиро-
вании по различным / в (IV.38) для каждого / должны быть взяты два
члена, отвечающие указанным выше двум корням. Так как для всей
совокупности значений /-<0 не получается новых Sj, по сравнению с
теми, которые образуются при / > 0, а в (IV.38) должны быть учтены
лишь все различные sj, то суммирование в (IV.38) должно производиться
в пределах от ; = 0 до / = 4- оо.
В заключение определим 1Г'($). Дифференцируя И ($) в (IV.41) с уче-
том (IV.29), получим IV'(s) = I crt s|t е/ Каждому данному /
отвечает значение s, — —a к значение равное, как это было
1 См. п. 4 этого параграфа.
200
.2/ - t п
показано выше, е,— i л. Подставил! эти значения sj и е; в полученное-
выражение для TV'(5); учтем, что sh 1г > — sh i л = i sin — у * 1 л —
— i (—!)* *, а также, что (R — ILCa (так как а = . При этом выра-
жение W' (s) преобразуется к виду
23,-
»»”(**> = - (-1)' (1V-45>
Подставим в (IV.38) С(0) = рх_ц, П’(0) — 1 и выражения U(sj), Sj
W'(sj), следующие из (IV.40). (IV. 43), (IV.45). Заметим, что г} ~ i — л
и, следовательно,
ch ej(Z — э) — ch i":~—-t(Z — x) = cos—t-^л (Z — x) x,
а также то, что для каждого / должны быть взяты два члена ряда в со-
ответствии с двумя знаками перед 3, в выражении (IV.43). После под-
становки указанных выше выражений получим
Р (-С 0 = Рх=о х
(IV.46}
При исследовании характеристик конкретной линии следует определить
по формулам (1V.44) а и 3, при численных значениях R, С, L, подсчиты-
ваемых по формулам (IV.6) -4- (IV.8), вычислить для различных х и t
- члены -ряда ^1¥.46)щгп 7 О, 4", 2, . . . И решить вопрос о количестве
членов, которым можно ограничиться для приближенной апроксимацпн
функции р(я, t).
б. Пневматическая линия с присоединенной емкостью при Я = 0 2.
Как и ранее, полагаем, что давление на входе меняется скачком при
t — 0 на величину рА==0 и затем остается в переходном процессе по-
стоянным; при этом Л(/>А==01 — Р~~п-. В рассматриваемом случае, как сле-
дует из (IV.29) и (IV.32),
е = 5 = j/J (IV.47)
и выражение (IV.36) имеет следующий вид:
Рх^ ch в (/ — х) + sh е (I — х)
“ j chef + sCH£shei
Учитывая, что fcsC = е, и вводи в качестве характерного параметра
Ct
т “ с- • (IV.48)
1*
1 Напомним, что sh ix = i sin x\ ch ix = cos r.
1 Можно принимать R — 0 лишь ыя коротких трубопроводов, при которых
диссипация механической энергии полдуха на концах трубопровода превалирует
над потерями механической энергии »г<> в самом трубопроводе. См. замечания по
этому вопросу в п. 4 данного параграфа.
201
вс. 120. Графики к численным примерам исследования ха-
т ястик пневматических трубопроводов как систем с
распределенными параметрами:
• — график для определения корней уравнения ct< — (t< . ксполь-
вуемый ри расчете относительно коротких трубопрово.т/ж в случаях,
вогд. к трубопроводу*присоединена глухая камера; б — характера-
₽х-1
стика ~ «я ф (<) для ааглушеяиого иа конце трубопровода при D *
Хм>0 «
* *. /*300 м; «—характеристика, вллхх-трврукжцая сходимость членов
Ряда в выражении | J ;*трубиаромод с D •» б мм я С “ 300 м
* ^х*=0 ‘ /«"О
205
можно привести последнее выражение к виду
/>у^0 fel sh е (* — аг) 4- т ch д (I — ж)]
t (е/ sh el -+ т ch в/)
(ГУ.49)
Здесь VV(s) = el sh el + у ch el. Корни tj уравнения el sh el +
4- у ch el ~ 0 являются чисто мнимыми. Если принять ejl ® где
i = j/’ZZl, и учесть, что sh i{3j = i sin р/, a ch iffy ==» cos то можно
преобразовать данное уравнение к виду
Г cos pj — В; sinР, == О,
пли
3,-
(TV.5O)
рис. 120, а, по
начала координат
Значения определяются из графика, показанного
пересечению кривых ctg Pj с прямой, проведенной из
под углом 0, где 6 = arc tg у. Для определения первых четырех корней
уравнения ctg р, = pj tg 0 в [81J рекомендуется пользоваться следую-
Ha
щей таблицей:
Таблица V
•• Р, 3« Р. 3.
0 1,5708 4.7124 7,8540 10,9956
5 1,4451 4,3488 7,2865 10.2639
10 1,3390 4,0879 6,9665 9,9432
15 1,2481 3,9044 6.7Я6П 9,7890
20 1,1686 3,7712 6,6737 9,7008
25 1,0977 3,6704 6,5975 9,6436
30 1,0330 3,5910 6.5420 9,6033
35 0,9728 3,5264 6,4995 9,5729
40 0,9157 3,4722 6,4655 9.549G
45 0,8603 3.4256 6,4373 9,5294
50 0,8057 3,3846 6,4133 9,5127
55 0,7506 3,3478 6,3923 9,4983
60 0,6939 3,3141 6,3735 9,4856
65 0,6341 3,2827 6.3564 9,4740
70 0,5690 3,2530 6,3405 9,4633
75 0,4956 3,2245 6,3255 9,4532
80 0,4079 3,1968 6,3111 9,4435
Wi 0.2915 3,1992 6,2970 9,4341
Во 0tLMM)0 мми 6 .’МЗ 9,4248
Для больших значений / выведена формула
0,- =. (/ — I) п + yji) n ,
(IV.51)
причем отмечается возможность проведения расчетми по данной формуле
с достаточной степенью точности и при небел ошид /, если у » С'• 1.
''к
203
Кроме этого, для вычисления ej, а по ним р; при любых г, но при усло-
вии, что / > 2, рекомендуется формула
*в •> = оЛ- • <lV 52>
Не указывая здесь выкладок, связанных с определением в (IV.49) U (я),
>¥'(*)» U (0), W (0), с подстановкой соответствующих величин в (IV.38),
а также с последующими преобразованиями1, приведем окончательное
выражение для определения р(х, t):
Bin -у
1~\?1^ + ^^С08гЙё<
(IV.53)
Аналогичным путем определяется и Q(x, t).
3. Численные примеры
С тем чтобы проиллюстрировать методику расчета и показать, как
в каждом конкретном случае решается вопрос о числе первых членов
ряда, которое нужно взять для достаточно точной апроксимации истин-
ной величины р(х, 0, рассмотрим следующие примеры.
Пусть задан трубопровод с D = 6 мм и I = 300 м, причем Си = 0.
Избыточное давление на входе в трубопровод меняется скачком от 0 до
0,1 ати. Определим давление в конце трубопровода (при х = I) для
1 = 2 сек и t — 10 сек. Обратимся к формуле (IV.46).
Из табл. IV (см. § 2) находим R =* 5,8 • 10* '** L ,
A#
L «»0,049-10*-—™, С ** 1,77* 10 * •'*>**’- . Подставляй эти значения
Я, £ и £ в выражения (1V.44), находим а — 5,92 и р;- —
= У 35 —3,15 (2/ 4- I)1. Внесем для удобства вычислений в выражении
(IV.46) е~л1 под знак суммы. Учитывая, что в рассматриваемом случае
। 2j i j I_х
•ряс™ 1,28, а также, что при х = I величина cos -----j— л — 1, за>-
пишем выражение (IV.46) в форме:
= 1 + S I 1а + р. - ‘-а-р.) (IV.46')
Сначала проведем расчеты для 1 = 10 сек. Рассмотрим пока только пер-
вые два члена ряда в правой части (IV.46), соответственно с этим опре-
делим по формуле р, = 1^35 — 3,15 (2/4-I)1 значения pj для / = 0
j = 1 : р0 == 5,65 и pi = 2,59. Подставляя эти значения ро и Pi
и а = 5,92 в (IV.46'), получим
1 См. я (81) раздел, посвященный решению аналогичной задачи для электри-
ческой линии без потерь, нагруженной на емкость.
204
Выражения, заключенные в квадратных скобках, соответствуют 1-му
и 2-му членам рассматриваемого бесконечного ряда. При этом
е—115,7
- 0.27
0,000004. Несоизмеримо малы по сравнению с вели-
— 0,25, а
е-2.7
—0,27
—11,57
чиной 0,356
это нетрудно показать, и следующие члены ряда. Таким образом, при
расчете точки t — 10 сек допустимо ограничиться лишь первым членом
ряда в (IV.46'). Вычисления дают для t — 10 сек значение* -4— ~ 0,912.
по абсолютному значению второй член, а также, как
/’.V О , t
Вывод о допустимости ограничения первым членом ряда в (IV.46')
остается справедливым и для точки t — 2 сек, для которой по формуле
(IV.46') находим -г-1 0,231. Во всем интервале от Z -2 сек до / -
Рх=0
Рл I
= 10 сек изменение =(р(1) практически абсолютно точно описы-
вается характеристикой
*
^ = 1 — 1,32 е~~° (IV.46")
Z*x=o
Характеристика, описываемая уравнением (IV.46"), показана сплош-
ной линией на рис. 120, б.
На участке малых t сходимость ряда в (IV.46') ухудшается и выра-
жение (IV.46*) становится неприменимым. На участке малых I харак-
теристика = <р (/) должна идти так, как показано на рис. 120, б
Рх=0
пунктирными линиями. Это следует из физической сущности рассматри-
ваемого процесса. Однако и при этом для каждого значения I нетрудно
проследить за .сходимостью.ряда и решить вопрос о том, на каком при-
ближении следует остановиться.
В качестве иллюстрации укажем, как меняется в функции от числа
членов ряда / приближенное значение величины для 1—0. Зара-
* Рх^о
ip , .
нее известно, что искомое значение I -4— I О; это следует из фИЗИ-
^х- О
ческой сущности рассматриваемого волнового процесса. При t — 0 вы-
ражение (IV.46') преобразуется в
• оо
= 1 + S (- 1)>2,01
(2/ + 1) /_£____1 \
3; ( —з + З; -з-З;/
(IV.54)
Для первых 11 членов ряда, определяемых величинами / от 0 до И, зна-
чения 3j — 1^35 — 3,15 (2/ -h i)3 соотвстстгснео 1аквы 5,65; 2,59
6,62ц 10,9i; 14,82t; 18,6ц 22,3ц 25,2ц 29,6/; 33,22ц 36,8/.
р I
Соответствующие этим значениям / величины -4- указаны на рис. 120, в.
Например для того, чтобы ири I - 0 отклонение от истинного значения
Р ет!
= 0 не превышало 0,1, достаточно ограничиться первыми четырьмя
членами ряда; для того же, чтобы приблизиться к истинному значению
с точностью до 0,04, нужно уже взять 11 членов ряда. Аналогично
Рх=о
может быть исследовано решение и для других точек в области 0—2 сек.
Сделанные выводы относятся к частной задаче, к исследованию характе-
ристик трубопровода с I = 300м и Z) = 6 мм. Указанным выше путем мо-
жет быть проведена практическая оценка сходимости ряда в (IV. 46) и при
других исходных данных.
4. Относительно короткие трубопроводы
как системы с распределенными параметрами.
‘ ' ' «Методика решения дифференциальных \равнений
[трубопровода при наиболее общих граничных условиях.
Случай, когда на выходе из трубопровода имеется
перепускной дроссель
Как уже упоминалось ранее, возникает необходимость в исследовании
волновых процессов, протекакплх не только в длинных пневматических
линиях, но н в относительно коротких трубопроводах или даже в каналах
самих пневматических приборов. Постановка задач такого рода связана
с исследованием максимально достижимой скорости передачи сигналов,
управления элементами пневматической системы. В некоторых случаях
для передачи сигналов управления от одного элемента к другому доста-
точно получение на выходном конце трубопровода пли канала энергии,
значительно меньшем той, которая накапливается в конце переходного
процесса; при этом соответственно уменьшается время передачи сигнала.
При относительно больших скоростях передачи сигналов также возникает,
как уже это отмечалось, вопрос об искажении волновыми процессами в тру-
бопроводах или каналах передаваемых по ним показаний измерительных
приборов. Указанные выше задачи актуальны и для случаев включения
пневматических элементов в устройства, работающие в режиме высоко-
частотных колебаний. Процессы в коротких трубопроводах и в каналах
пневматических приборов, рассматриваемых как системы с распределенны-
ми параметрами, описываются теми же дифференциальными уравнениями,
что и волновые процессы в длинных пневматических линиях.
Однако при этом нужно иметь в виду следующее. Ранее при выводе
уравнений длинных пневматических линий было принято, что гидравли-
ческие сопротивления в переходном процессе определяются законом
Пуазейля. Для пневматических линий, длина которых составляет не-
сколько сотен метров, как показывают опыты, проведенные различными
экспериментаторами, истинное время прохождения сигналов изменения
давления больше расчетного, что можно в частности объяснить ббльшими,
чем указанные выше, гидравлическими потерями. Вместе с тем волновые
процессы в коротких трубопроводах характеризуются существенно мень-
шими потерями на трение, что. по-видимому, определяется тем, что не
успевает сформироваться профиль скоростей, соотз^тствующийданному
типу течения. Так, Г. Б. Синярев, исследовавший волновые процессы
в трубопроводе длиной 11 ж и диаметром 3,8 мм, заполненном капельной
жидкостью, установил хорошее соответствие между экспериментальными
характеристиками и расчетными данными, получаемыми при пренебреже-
нии действием сил трения (76]. Полученные им данные могут быть перене-
сены и на пневматические трубопроводы, при условии, что одинаковыми
являются числа Не и
Следует также отметить, что рассмотренные ран** граничные условия
(заглушенный на конце или сообщающийся с глухой камерой трубопровод}
206
характерны зля длинных пневматических линпш систем автоматизации
производстве иных процессов. Процессы же в тгрубопроводах, соединяю-
щих расположенные па небольшом расстоянии д;руг от друга приборы, или
в каналах пузборов, могут протекать как при указанных выше, так п прп
других гранитных условиях. Например, в кошта трубопровода перед вхо-
дом в камеру может быть установлен дроссель, может иметься разветвле-
ние каналов, причем, например, один из них может сообщаться через дрос-
сель с внешней средой, а другой может быть пощсоедпнен к глухой каме-
ре и т. д. г
Pie. 121. Графики, используемые прп ржгчете характери-
стгк пневматического трубопровода как ешстемы с распреде-
лгаяыми параметрами при наличии на яшцце трубопровода
перепускного дросселя:.
в — график функции а ~ <р
б — графин функции
ДЛЯ /1/ —г>1 и функции —1 ~~ — ф (с: У ДЛЯ
~ V a J
г
л (Рх-J
В связи с указанным выше заметим, что у^Швненпя (IV.36) и! (IV.36')
для преобразованных выражений давления и расхода, а также формула
(IV.38), по которой производится обратное огреобразовацие для давле-
ний, и анатогичная ей формула обратного преобразования для расхо-
дов могут Сыть использованы при любых условиях на выходе из трубо-
провода, если только лишь вместо множителей! sCK в числителе и знаме-
нателе дроби в выражениях (IV.36) и (IV.36') подставить величину
Для нахождения этой величины нужно составить уравнение, определяю-
щее в соответствующем случае соотношение между давлением и расхо-
дом на выходе из трубопровода и произвести .для этого уравнения преоб-
разование Лапласа. Величину, ооратную - ——~,т. в. д-р?—।
назвать, если воспользоваться терминологией, принятой в теории элек-
трических длинных линий, импедансом нагрузки, включенной в конце ли-
нии (для этой величины принято обозначения* z (s)). Пусть, например,
в конце трубопровода установлен дроссель, через который воздух пере-
ть п t ‘ А«?х=Л
пускается s атмосферу. Если для этого дроссел я = /ра=3/,то -----=
, можно
= / (соответственно z (з) == —). В рассматриваемом случае при нулевых
2ь7
начальных условил® я при ступенчатом изменении дззлгония на входе при
4=0 от 0 до рхвй ве.гдг’Еина p(x,t) определяется тогда, хпмда / J^c > и
1, соответственно следующими вы ра жени i.vu;
где 0 == i ; О, — а определяется при /| А >1 в функции
от по графику, приведенному на рис. 121, а. При / Л/'~~ < 1
/ г LC w С
используется для определения а этот же график, по по оси абсцисс от-
кладываются значения jyT^C. Коэффициент с,;- определяется в функции
от ^Цпри >1) или в функции от^Щ ~ (при / ^£/£<1) по
графику, представленному на рис. 121, б; а = —L=?.
5. Решение дифференциальных уравнений пневматических
трубопроводов как систем с распределенными параметрами
в форме блуждающих волн. Решения в этой форме
для частных случаев, получаемые операционным методом.
Решение в форме блуждающих волн для более общих случаев,
когда граничные условия заданы графически
(использование графического метода Пншингера)
Иногда, в особенности это характерно для коротких соединительных
трубопроводов и собственных каналов приборов, процесс изменения дав-
ления и расхода определяется распространением и наложением друг на
друга ряда волн, движущихся в основном направлении, т. е. от входного
к выходному концу трубопровода или канала (называемых в дальнейшем
основными), и волн, отраженных от выходного конца и движущихся в про-
тивоположном направлении (называемых в дальнейшем отраженными). Те
и другие волны распространяются со скоростью звука а — • Вслед-
ствие наложения основных и отраженных волн могут возникать высоко-
частотные колебания давления, ощутимые на слух, часто наблюдаемые прп
проведении опытов с элементами пневматических приборов. В указанных
выше случаях наиболее удобно вести расчет процесса методом блуждаю-
щих волн, при котором раздельно определяются основные и отраженные
волны, которые затем складываются. Сначала в работе [73}, а затем и
в других работах, посвященных исследованию волновых процессов, были
208
указаны различные способы расчета, прп которых по заданным граничным
условиям сразу опре.щлнюгси результирующие значения основных и от-
раженных волн.
Приведем окончательные выражения дли р (г, I), получаемые для не-
которых частных случаев при расчете операционным методом процесса
в форме блуждающих волн. В обоих рассматриваемых ниже случаях
начальные условия принимаются нулевыми, считается, что давление на
входе меняется прп / О скачком от 0 до pt-n и в дальнейшем сохраняет
значениеpjr-o = const и не учитываются поп ри на трение в канале (при-
нимается И ~ 0) *.
Рассмотрим сначала случай, когда на конце трубопровода пли канала
имеется перепускной дроссель, через который воздух выходит в шмосфе-
ру. Для отдельных интервалов времени получаются следующие значения
где п = 1,2...; р *= 1 / — коэффициент пропорциональности в ука-
занном ранее на стр. 207 выражении характеристики расхода дросселя.
Для случая, когда в концу канала присоединена глухая камера, ем-
кость которой характеризуется величиной Си (см. §3), введем дополни-
тельно обозначение р = , где, как и рапсе, р = УL]C. Для этого случая
Р'-'к
Каждое из приведенных выше решений справедливо лишь для соответ-
ствующих граничных условий на конце трубопровода; кроме того, было
оговорено, что давление на входе в трубопровод претерпевает скачкооб-
разное изменение при t = 0 и в дальнейшем не меняется. Прп исследо-
вании коротких трубопроводов и каналов пневматических приборов как
систем с распределенными параметрами, представляет интерес изучение
волновых процессов также и при более общих условиях. Прп аналитичес-
ком задании граничных условии система уравнений (IV.4) и (IV.5), как
1 См. вывод аналогичных выражений для электрических линий в п. 6. 2 гл. VI
работы [811. Решение системы дифференциальных уравнений -f- £ -aV_ = 0;
~ S' ~д£ ~ 0 в форме блуждающих волн отвечает классическому методу Д'Алам-
бера, тогда как указанная в предыдущем параграфе форма решения соответствует
классическому методу Фурье (см. [87]).
14 Л. А. Залмавзов
209
ужо было отмечено {ранее, может быть ретена и наиболее общем случае
операционным методе.^, однако по мере усложнении задать решение ста-
новится все более и более громоздким. Кроме того» граничные условия на
концах трубопровода могут быть заданы в виде полученных на опыта ха-
рактеристик, представленных графиками, и тог (Л чисто аналитические
методы решения окалываются непригодными. Расчет пр*^*'«’он в трубо-
проводах в этих случаях может быть проведен графически* методом, раз-
работанным Пшпи111*|*;*ом [751 применительно к задачам исследования си-
стем впрыска топ л и а <»* в дизельмоторах, который, однако, как показывает-
ся ниже, может быть- иснользовай и при расчете волновых процессов в
пневматических трубопроводах п каналах пневматических приборов. При
расчете процесса зтла методом легко учитывается наличие емкостен нс
только на выходе, но я при входе воздуха в трубопровод, и возможно зада-
ние граничных условий в графической форме; при прое»: денин расчета
данным методом хорош»» раскрывается физическая сущность процес-
сов распространения основных волн и образования отраженных волн у
выходного конца трубопровода. Опишем коротко данный метод ре-
шения.
Пренебрегая действием сил вязкого трения (принимая R -- О), что.
как указывалось выше, допустимо при исследовании волновых процес-
сов в коротких соединительных трубопроводах и внутренних каналах
приборов, представим исходные дифференциальные уравнения (IV.4)
и (IV.5) в виде 4 /'~ур — 0; +С™-== 0. Интегралом этой системы
уравнений являются выражения р(.г, /) = ро -{- р* 4- р± и (?(.г, /) =
= <?•+<?.+ <?*. в которых: р, = <f^ — £), р. = V
= 4рР». <?Ф =-М причем <Г ('-7) пф(«+4) - функции,
определяемые из граничных условии. В приведенных выше выражени-
ях: ро п Qq — давление и расход при t = 0; р9 и QV1 р^ и — соответ-
ствепно основные и отраженные волны давления и расхода; /т = —
площадь сечения трубопровода; р — плотность, а — скорость звука.
Если далее ввести обозначение
Л' - •
(IV. 57)
и учесть указанную выше зависимость между величинами р9 и Q9, р±
и Q^, то выражения для р(.г, /) и Q (г, I) смогут быть представлены в
следующем виде:
Р (X, /) = />. + 4- <?» - V (IV.53)
Q (х, I) = е» + <?» -г (IV.59)
Идея рассматриваемого метода основана на том, что прп расчете про-
цесса по точкам, смещенным одна относительно другой па малые интер-
валы времени 6/ ^ирн б/ , можно раздельно определять Q? по гра-
ничным условиям на входе в трубопровод (для всех величин, относящих-
ся к входному сечению трубопровода, ниже вводится дополнитель-
ное обозначение а в индексе) и по граничным условиям на выходе из
1 В том. что данные выражения являются интегралами рассматриваемом систе-
мы уравнений, убеждаемся, подставив их в эти уравнения: оба исходные уравне-
ния обращаются прп такой подстановке в тождества.
210
Рис. 122. Графически! способ определения основных волн по граничным
условием иа входном конце трубопровода:
а — пневматический трубопровод, ко входному концу которого подключена камера, б — графт
фук» цик •• 9 (О. • — График функций QBX — «(О. Офя — 9 (О и Qax — Офа “ * <О> • " сном©'
4<г<а Л Л
гател*.лый Г| афгк для определена —jy--. б — вспомогптелькый график для определенна • Мрв!»
• — киомогательнмй график для онреде мини «?вх — 4фа). ж — всаомогателъшй графен дня
V
мвределенвя -~5Г
14*
211
трубопровода (для величин, относящихся к выходному сечению
трубопровода, ниже вводится обозначение ьв индексе). Возможность раз-
дельного определения величин Q- и (^обусловлена тем, что для прохожде-
ния волны от одного конца трубопровода к другому требуется время, равное
l/а. Поэтому при нахождении для некоторого момента времени t вели-
чины Q^a значение известно (оно равно значению Q^b в момент вре-
мени, предшествующий данному и смещенный относительно него на 1!а)\
точно так же известны и значения при определении Q.^b.
Выясним,, как определяются по граничным условиям значения
и Q&.
Рассмотрим сначала определение по граничным условиям на вхо-
де в трубопровод. Пусть, например, перед входом в трубопровод имеет-
ся камера объемом V (рис. 122, а) и задан закон изменения расхода воз-
духа на входе в эту камеру QeK = / (Z) х. Пусть, кроме того, задано, что
Q = Q (х, 0) — 0. Будем считать, что давления на входе в камеру и
на выходе из нее одинаковы и равны ра, однако учтем, что воздух в ка-
мере является сжимаемой средой. Коэффициент сжимаемости воздуха
в камере зависит от номинального значения давления рср (см.
стр. 191), которое обычно, не внося большой погрешности, можно
считать постоянным для всего процесса. В дальнейшем будем считать
рср — const; погрешность, которая появляется из-за этого допущения,
может быть оценена, если принимать прп расчете на каждом данном рас-
четном участке за рср значение ра для предшествующего расчетного участка.
Уравнение баланса расходов для камеры напишем в виде1:
(?вх — Qa ~Г
V dPa
Р<Х dt ‘
Исключая величины Qa и раиз этого уравнения и из уравнений (IV.58)
и (IV.59), которые для входного сечения трубопровода при Qo == 0
записываются в виде ра = p« + -g- Q*a — 11 =
получим
Л I V п П'Г V-------------------/тишь
(lv-60)
Принимая далее приближенно в соответствии с рис. 122, б
--1 -
и * вводя последние выражения в уравнение (IV.60)
и решая уравнение (IV.СО) относительно Q^*, находим
е«.=4^.+4<^-^)+в^^г- 0V.61)
V 1 VI
В этом уравнении А =э „--и В = р-------h , где, напомним еще
**
раз, К — ~. Графическое решение уравнения (IV.C1) проводится так.
ар
>;i; .,. -,
• > При расчетах нс принимаем но внимание изменение давлений при входе воз-
духа из камеры а трубопровод, а го допустимо при малых скорэстях течения в трубо-
проводе.
* Здесь, как и везде в этой глав*, рассматриваем газ так, как это обычно делает-
*ж для. капельных жидкостей, сжатых до относительно больших давлений. Допусти-
мо при написании уравнении баланса расходов указывать не весовые, а объемные
расходы QBX и постольку, иосиольку давления на входе в камеру и на выходе из
нее считаются равными. Заметим также, что при больших относительных измене-
ниях давлений в трубопроводе следовало бы во все ранее написанные уравнения ввести
вместо объемных носовые расходы. Однако вместе с тем при больших относительных
изменениях давлений пришлось бы рассматривать вместо линейных дифференциаль-
икоС уравнений трубопровода нелинейные уравнения.
212
Под заданными характеристиками*/(О и Си. « /(О строим хлрлк-
тернстикуСвх—Сса~/(П (рис. 122. к). Для каждого расчетного участка
на вспомогательном графике, показанном на рис. 122, г, проводим пз
начала координат луч, параллельный прямой, заменяющей соответствую-
щий участок кривой = / (/) На рис. 122. в. Ординаты этого графика
dQ,
пр» t =; 1 дают значения . Используем на протяжении всего рас*
д
чета графики, показанные на рис. 122.d—>’, для которых tgu-a ; tg 5
у
1
~ 7Г
Откладывая при рас-
чете каждого и 1 участков по осн аб
сцисс на первом, втором п последнем
из этих графиков соответственно ве-
личины Q^u — Си» п , полу-
чим прп соответствующих абсциссах ор-
динаты, равные слагаемым в правой части
уравнения (IV.61). Складывая алгеб-
раически полученные таким образом от-
резки, определим, согласно (IV.61), ис-
комую величину которая вместе с
тем принимается за значение (??а1 для
следующего расчетного участка. Разумеет-
ся, что все построения должны прово-
диться при соблюдении соответствующих
масштабов.
Выясним далее, как определяется фун-
кция Ссг> по граничным условиям, задан-
ным для конца трубопровода.
В качестве примера рассмотрим слу-
чай, когда на конце трубопровода имеется
перепускной дроссель, во отсутствует ем-
кость (рис. 123, а). В данном случае ()вых=
— Qb- Пусть характеристика дросселя
задана графиком, представленным па рис.
123, б. Учитывая указанное выше соот-
ношение (?вых — Qb п исключая величины
Qb п Qu> «з уравнений (IV.58) п (1V.59).
которые для конца трубопровода запи-
сываются в виде
Ръ — ро ~Г -д- ---Cib 11 <?Ь = Q& ’Ь
-г Си» получим
Свых — В — (1^ .62)
где
В = Кри 4- п К — -.
Рис. 123. Графический способ
определения отраженных волн по
граничным условиям на выходном
конце трубопровода:
а— пневматический трубопровод с пере-
пускным дросселем на конце. б~хагак-
теристинаОВЬ1Х«фГгь> длядроеееля. *—
графическое решение уравнения (IV.62).
в — вспомогательный график для опре-
деления величины В. используемый прп
графическом решении уравнения (IV.&3
Истинные значения Q^un ~ Qb и Ръ находятся по графику, показанно-
му на рис. 123, в, как координаты, отвечающие точке пересечения харак-
теристики расхода дросселя (>жых = / (рь) с прямой Свих = В — Кръ.
Для нахождения значении В используется вспомогательный график, по-
213
КАэанный па рис. Определив таким образом Qtu% и зная Q9^ на-
ходим — <?гЪ‘
Заметим, что ук.Л'лк прямой па рис. 123, $ не зависит от и с изме-
нением при переходе от одного расчетного участка к другому меня-
ется лишь величина: li. Если в рассматриваемом процессе величина дав-
ления на выходе р& изменяется по времени, но это изменение не влияет
пн форму характеристики ^вых — / (^ — рц), то при расчете прп пе-
реходе от одного расчетного участка к другому соответ г твои но измене-
нию ры должно -хдаться начало координат па риг. 123. <? (положение
кривой на этом рисунке при этом н* меняется).
Заметим также, что протяженность расчетных интервалов б/ удобно
брать такой, чтобы величина I i была кратной выбранным значениям б/.
Таким образом, раздельно определяются по граничным условиям на
входе в трубопровод значения #Е.: и по граничным условиям, ладанным
для выходного конца трубопровода, значения Q>. Определив и Ц$ь
как функции времени и учитывая, что Ц9 и представляют собой вол-
ны. распространяющиеся вдоль трубопровода со скоростью звука а соот-
ветственно в двух взаимно претивоголожных направлениях, не трудно
подсчитать по формулам (IV.58) и jIV.59) величины р (г, 0 и V (а О
для каждого данного сечения трубопровода, определяемого координатой г,
и каждого данного момента временя Z.
В работе (75) показано, что ара о* нощи относительно простого графи-
ческого построения определяется отраженная волна (в принятых здесь
обозначениях Q^) также п при значительно более сложных граничных ус-
ловпях, чем указанные выше. Если яметь в виду рассматриваемые здесь
трубопроводы и пневматические устройства, то случаем, эквивалентным
разобранному в работе [75]. является такой, когда граничные условия
на конце трубопровода определяются наличием промежуточной камеры
между выходным сечением трубопровода и перепускным дросселем, вы-
полненным в виде игольчатого клапата. связанного с мембраной и нагру-
женного пружиной. При этом характеристики расхода дросселя задаются
графически в виде семейства кривых. каждая из которых отвечает опре-
деленному положению иглы относительно гнезда клапана. В этом случае
прп описании процессов в системе к уравнениям трубопровода и камеры
добавляется уравнение движения клапана.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК ДЛИННЫХ
ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ. ОБЗОР ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
ПО ДЛИННЫМ ПНЕВМАТИЧЕСКИМ линиям.
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
П ДИАПАЗОНА РАБОЧИХ ДАВЛЕНИИ
НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛИННОЙ ЛИНИН
Большое практическое значение имеют приближенные методы оценки
характеристик длинных линии. которых параметры, определяющие
динамические свойства трубопровода, находятся без проведения деталь-
ных расчетов. Правда, пользование данными, получаемыми таким обра-
зом, требует известной осторожн >:ти. и эти методы не заменяют методов
решения, рассмотренных в предыдущем параграфе, прп которых решение
может быть получено с любой степенью точности и могут быть проанали-
зированы погрешности, связанные с заменой бесконечных рядов рядами,
содержащими конечное число члев з. В форме, удобной для практического
пользования, приближенные рещедзя уравнений (IV.4) и (IV.5) указаны
в работе [78]. Ниже приводятся некоторые из рассматриваемых в этой ра-
боте характеристик длинных пневматических линий.
214
Предварительно заметим, что сопоставление расчетных характери-
стик пневматических трубопроводов большой длины с характеристлкаыи,
получаемыми на опыте, приводит к заключению о необходимости принятия
временных констант, определяющих переходные процессы в длинных пне-
вматические линиях, несколько большими, чем это получается по расчету,
основанному на изложенных ранее предпосылках. Это связано с влиянием
сопротивлении в месте стыковки отдельных участков трубопровода, с воз-
можным влиянием теплообмена с внешней средой и с влиянием других
факторов, не учитываемых при расчетах. При введении поправочного коэф-
фициента расчетные формулы, указываемые в работе [78], дают для линий
достаточно большой длины данные, хорошо подтверждаемые, как это пока-
зывается ниже, экспериментом. Имея в виду расхождение м вжду истинны-
ми величинами Tv и TL (рис. 118, б) и величинами Т& и 7\, определяемыми
по приведенны'1 в [78] формулам без указанной выше поправки, введем
при обозначениях последних величин дополнительную отметку знаком*.
Характеристики длинном пневматической линии исследуются в работ*
[78] методом комплексных амплитуд, во многом аналыняным рассмот-
ренному в § 4 операционному методу1. Попутно заметим, что заменяя
в выражении передаточной функции (представляющей собой отношение
Лапласовых изображений давлений соответственно на выходе и на входе
линии) комплексную переменную s чисто мнимой величиной гш, можно по-
лучить выражение частотной характеристики линии. Частотной харак-
теристикой определяется при установившихся колебаниях давления на
входе с частотой ш отношение аплптуды колебаний на выходе к амплитуде
колебаний на входе и сдвиг по фазе между теми и другими колебаниями.
При неограниченной мощности источника питания и при других ого-
воренных ранее мри выводе дифференциальных уравнений (IV.4) и (IV.5)
условиях этим уравнениям соответствует, как указывается в работе
[78], следующее выражение частотной характеристики:
<?('“) =-------------------з (IV.63)
Оо + хе) е + (if + хс) е
1 / ("л । R \ 1 ’
где Zc = у - 1 + z0 — м -;<о — угловая частота колебаний давле-
ния в трубопроводе; X = ав 4- а и р, — константы, которые при
высоких частотах (R ©L и R оС) представляются в виде <хв «=
= ’2^г Еи^,= <0 а при и®311111 частотах (<о£ —* 0) в вид° ае = Р. =
^]/-TuCR; 4=У=Г
Выражение (IV.63) в работе [781с приближенно апрокепмируетгн
функцией
1 Эквивалентен операционному методу также метод контурного ннтегриров * ил
в плоскости комплексной частоты, используемый в работе [83[, освященной исследо-
ванию волновых процессов в гидравлических трубопроводах.
’ Ло ьопросач исследования характеристик длинных пневматических л"ннй,
кроме работ, ня которые делаются здесь ссылки, см. также [84, 10, 82, 85, 86].
215
При скачкообразном изменении в некоторый момент времени давле-
ния на входе в трубопровод (в котором воздух ранее находился в состоя-
нии покоя) и при поддержании в дальнейшем данного давления постоян-
ным, на выходном конце трубопровода достигается 63% от величины диа-
пазона изменения давления через время 4- 7ь (рис. 118, б). Это время
для пневматической линии большой длины принимается в работе (78J
приближенно равным TD + T*L ~ to, т. е. TD 4- Т*._ « Т г 4- ~) / при-
чем, как было указано выше, Т = RCP и г -»
Рнс. 124. Графики дли определения значений 7^ е для длинных пневматически»
линий:
« — при > « мм, 1
Г — при D — 7.75 мм I
1 — V..83 сж’, 2 — Уо.1,7 л, 3 —У — 5Д>л. 4 —V -ПЛ л; рср—1,« ата
Определение численных значений Т\ 4” 1 можно проиллюстриро-
вать следующими примерами. Пусть, например, имеется трубопровод
длиной 300 ж с внутренним диаметром 6 л&к, к которому не присоединена
емкость, среднее избыточное давление в котором равно 1 шпи. Согласно
данным таблицы IV, §2, Т = RCP - 5,8 • 10* . 1,77 <10"* • 300* _
— 9,2 сек. Так как в рассматриваемом случае г — 0, то T”D 4- T*L *=
Т 9 2
= у = - - = 4,6 сек. Если бы к трубопроводу была присоединена ка-
мера емкостью 10 л, то при среднем абсолютном давлении pw — 2 ата.
согласно формуле (IV.15), было бы получено Ск — =
= 5-10-’ж»/(|к/ж’),г= ^ = j-^b^56 н jrL + rL = T(r+4-) =
= 9,2 (0,94 4- 0,5) » 13,3 сек. На рис. 124, а и б приведены для
214
трубопроводов с внутренним диаметром 4,76 и 7,75 мм раздельно характе-
ригтаки изменения в зависимости от длины трубопровода 1 величин Td *
Эти характеристики построены для случаев, когда к трубопроводу
npi’oeдинены камеры различных объемов. При расчхте данных харак-
терам тик, как указывается в работе 1781, учитывались в (IV.64) члены
с ъхэффициентами bi, bt u btl.
Если давление на входе в трубопровод изменяется do синусоидаль-
ному закону, то изменение давлений на конце трубопровода характери-
зуется величинами ] G | и ф, где | G | = -т , Ап и -4»»- -соответственно
X
амтдпту’ды колебаний давления воздуха па входе в трубопровод л на
кокае его, ф — величина сдвига по фазе между теми в другими колеба-
нипги. В качестве величины, характеризующей длинную пневматиче-
скую линию при синусоидальных колебаниях давления на входе, в ра-
боте [78] предлагается принимать частоту ю, при которой происходит сдвиг
по фазе между колебаниями давления в выходном и входном сечениях
лтьлеп на угол 18'. Приближенно эта величина определяется как
= 4-, где 61, как уже указывалось, подсчитывается до формуле
6. - Т(г + -1)“=ЯСР(г + 4-)-
Сопоставление приведенных выше расчетных данных с эксперимен-
тальными характеристиками показывает, что хотя расчетом я учитывается
naw-ггвенно правильно за1 исимость указанных выше временных констант
от инны, диаметра трубопровода и величины присоединенной емкости,
одвьео в количественном отношении расчетные данные несколько отли-
чал тся от опытных. Это отличие отмечено и в работе [78], однако автором
работы |78] оно относится целиком за счет влияния ограниченной мощно-
стг источника питания. На основании анализа данных опытов, описывае-
мых в работах [84] и [10], при которых влияние этого фактора был»
дсыючено, можно сделать заключение о том, что источником указанных
выпн расхождений является влияние других факторов, не учитываемых
иль неполно учитываемых при упрощенном расчете процессов передачи
дашяний в длинных пневматических линиях1.
Хорошее соответствие между расчетными характеристиками и дан-
ныкл эксперимента получается при введении в указанные ранее форму*
лы для определения и ю1Ь» поправочного коэффициента 2 при
вестчине Г. С учетом этой поправки получим следующие формулы для
ориентировочной оценки величин, которыми характеризуется работе
длттаон пневматической линии1:
= тв + Tl - 2Т (г 4- Д-) (IV.65>
Я
«W= (IV.66>
Н'4-Т)
г» I = ЯСР ж г — .
Б П рд водг и лишь те из д льнх работы [78], которые относятся к с нучаям, когда
велгшна изменяв ггы после скачкообразного ьз ген^г^я Pg^ монотонно. При
отвпгттельно коротких трубопроводах возможны колебаьня рх. в переходном др>
цесда.
2 Соображения, относящиеся к данному вопросу, были выскаглны ранее; см.
стр 215.
3 При пользовании графиком, приз -денным на рис. 124, а и б, следует брат
= 2 (Г» + 7[).
217
Pur. 125. Х фактерг^кЦр^—ф (Q для трубопро вода c D=4,7&»u»
в 1 = 305 м, полученная ^Писле ступенчатого (скачкообразного)
жзменения «= ф 0)
Рве. 126. Влияние длины шт -змагичеекях трубопроводов ва жх характернее i t
1 — 7*%
а — чависимост» постоянных вр-менм ст длины трубопг >вода, D -= 4.76 мм. t— Т«з%
б — зависимости постоянны’- времени от длины грубо* р .деда. D » 7.75 мм. а — То.а%
• жарлктер! гтякс иим*-нения угла 'хвиги по ф-?е в функции от частоты, е — харсктернстики
иаменения и функции от частоты егиошенмя амплитуды колебания давлен тй на выходе^вз трубо-
провода к амплитуде нолеСани* на входе
218
На рис. 125 n 126 показаны опытные характеристики длинных лнев-
мвтических линий, полученные М. Брандером (841. На учс. 125 пред-
ставлена характеристика = <p (/) для трубопровода с внутренним
диаметром D ~ 4,' 6 мм и длинной I — 305 м при изменении / скач-
ком в пределах от 0?21 до 1,05 ати. На рис. 126, а п б показаны харак-
теристики изменения в функции ог длины трубопровода I величин
Гм%, Га.3% и времени Тав прохождения по трубопроводу звуковой волны,
Рис. 127 К приближенной оценке влияния диаметра трубопровода и объема присо-
единенной к нему камеры на характеристики длинной пневматической линии:
л — характеристики —jp пре различных вначениях V для линии с I «= ?00 б — харак*
терпстики Твзва — f (Л’> при ра ппчных значениях Р для липни г ! — 300 _м
построенные па основании данных 75 испытании, прп которых рх 0 ме-
нялось скачком в пределах от 0,21 до 1,05 ати; характеристики, приве-
денные на рис. 126, а и б, получены соответственно для трубопроводов
с I) ~ 4.76 .«.я п D = 7.75 мм. На рис. 126, виг приведены для трубо
проводов с различными I и с D — 4,76 леи характеристики изменения' в
зависимости от частоты (в циклах в час) сдвига по фазе ф и отношения ам-
плитуд [ 6 | ~~ -A’il t полученные при частотных испытаниях.
zlcx
Сравним расчетное значения Гбз% и iolb°, получаемые по формулам
(IV.65' и (IV.66), с опытными значениями этих велпчиг Для длинной ли-
нии. характеристика которой показана на рис. 12&f, Гй3% = 17,5 сек,
по расчету для данного случая получается Т^в — 16 сек. Соответствен-
но опытное к расчетное значения со18 равны в данном случае 15 и
11,5 циклов в час. Для длинной липин, характеристики которой пред-
ставлены ниже на рис. 129, а и б, опытное значение равно около
30 сек; но расчету получается 24 сек.
Пользуясь выведенными в § 2 этой главы формулами (IV.6),
(IV.8) для определения коэффициентов уравнений (IV.4) и (IV.5) м при-
ближенным выражением (IV .65) для оценки величины = Тd ~г 7Y,
219
проанализируем харпиперистикп .тя!*нсимости этой последней велнчннь*
при заданной длин» пинии / от диаметра трубопровода /\ объема при-
соединенной к трубопроводу камеры V' и от величины среднего абсолют*
него давления в трубопроводе (Влияние длины трубопровода I на
изменение величины Г иллюигрирустся графиками, приведенными ранее
на рис. 126, а и 126. оС На рис. 127, а и б приведены для трубопровода
с I = 300 л* сооттспгтвгпио графин с характеристиками 7*з% /(£>)
при различных эшеч’чшях 1 и график с характеристиками 7^% - /0)
при различных Z); на рис, 128 показана характеристика 'Г^„ /(Дер)
при /1 « 6 .«»•< и I О.
Рис t-*- К приближенной оценке алия пи я сред-
него лл переходный процесс абсолютного да вл ^епя
РФ я.» »личину Т^,, для динам с | = ЗСчЭ ж
(3Р) в — раодыадые диапазоны ?wwb.ih Гк-р- ха*
рактерчыл для првборсв промыгаден» Ж внсмыидвт’ жттзкя).
Как следует из п следнеи характеристики при р,.? = 1 ата и при из-
менении давлений в преддлах 100 мм вод. ст. или 20 лл вод. ст., вели-
чина Тм% меняется мало; любые отклонения, пе вых.дящие за эти пре-
делы, могут рассматриваться в указанном ранее смысле как малке. При
изменении же рср от 1 Д° ата величина rw.4 уменьшается примерно в
2 раза *.
Из приведенных выше данных следует, что может быть получена отно-
сительно высокая скорость передачи сигналов изменения давления по
длинным пневматическим линиям при условии, что взят достаточно боль-
шим диаметр трубопровода, невелика емкость присоединенной к трубо-
проводу камеры и взято в случае необходимости достаточно высоким сред-
нее давление. Например для линии с I — 300 м при D — 6 .«.я, Г = 0
и рср == 5 ати находим 7 йз% = 2 сск.
Однако следует иметь в виду, что указанные выше расчетные данные
достаточно хорошо подтверждаются экспериментом лишь прп условии,
что скорость течении в трубопроводе не приближается к скорости распро-
странения звука (на рис. 127 и 128 значения Лз%» отвечающие скорости
1 Указанное выпи* влияние отдельных факторов на характес-встмки длинных пнев-
матических линий качественно распространяется и на характеристики относительно
коротких трубопроводов. Тогда как для трубопроводов, исе глгьзуемых в системах
промышленной пневмоавтоматики, изменение среднего абсолютного давления />ср
сравнительно невелико, для трубопроводов, применяемых в алнациопных пневмати-
ческих системах управления, в процессе эксплуатации данное- давление может изме-
няться в десятки раз В связи с этим может в широких пределам меняться время переда-
чи сигналов управления.
22в
звука, отмечены пунктирными линиями). Ни при каких условиях время
передачи сигнала изменения давления по длинной линии не может быть
меньпшм, чем время прохождения звуковой волны.
Особый интерес представляет исследование передачи по длинным
линиям сигналов очень малых изменений давления. Этот вопрос, имеющий
1М
30
/L--__________«-------‘ —1
0 30 tO 991, cek
Рис. 129. Экспериментальные характеристики ~
== ф (I) при смчкзобразном изменения в момент
времени t = •?. полученные при различных пределах
изменения р^: 1 — р*_0 = ф (I), 2-
a — при вамевежхж момент времени t «О от 0,95 amu ио 0.
в — при ивмеиеяаа ? в момент времени t « о от too мм в. ст. до и.
в — при изменении в момент времени от 100 мм в. ст. до СО мм в. ст.
важное значение при анализе возможности работы приборов пневмоав-
томатики при низки* давлениях питания, был экспериментально исследо-
ван в ПАТ АН <ХСР И. В. Вайсер. Полученные ею характеристики
переходных процессов в длинных линиях показаны на рис. 12Э, i — в-
На рис. 129, а показана характеристика р^г = полученная для
трубопровода с/>=4л(ж 2—ЛН>з< при изменении рХяя0 скачком от значения
0,95 amu до 0 amu. Ни рис. 129, бив приведены аналогичные характерясти-
221
ки, полученные для того же трубопровода при изменении избыточного
давления /?х=о в пределах от 100 мм вод. ст. до 0 и от 100 до 60 мм вод. ст.
Согласно приведенным данным, значение 7«з% практически не меня-
ется при изменении средней величины давления рср от значения поряд-
ка 1,5 ата (рис. 129, а) до 1 ата (рис. 129, 6 и в). Это, казалось бы, про-
тиворечит сделанному ранее выводу о том, что величина должна
уменьшаться с увеличением рср. Однако следует иметь в виду, что все
проведенные ранее теоретические выводы относятся к малым возмуще-
ниям; при относительно же больших изменениях давлений сказывается
Рис. 130. Характеристики, иллюстрирующие влияние дрх==0 и
®Рср на ^«з% •
а — характеристика Тю</ = » (8рх=о)пРи в О-63 ати>
7*,./ *=* <₽*-> “₽ различных постоянных значениях 8р (/_ 8Р^_„
t - 8рх==0 =- 0.42 -**).
б — характеристика
Л кг
=0.21 —р
нелинейность исходных статических характеристик и, вообще говоря,
становятся неправомочными уравнения (IV.4) и (IV.5). Соображения
о противоположном влиянии на величину Гвз% увеличения величины
скачка дрх=о и величины рср подтверждаются опытными характеристи-
ками, представленными па рис. 130, а и б [84]. На рис. 130, а показана
характеристика Твз% = <р (дрх=о) ДЛЯ трубопровода с D = 4,76 .к.и, I =
= 305 ж при среднем значении давления р*р = 0.63 ати; на рис. 130, б
показана для того же трубопровода характеристика 7’w% = <р (р*₽) при
брх=о — 0,21 и djt>x=o = 0,42 кг/см9.
222
Л ри.юже w к e
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЭРОДИНАМИКИ
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИИ ГАЗОВ
1. Процессы движения во.нуха и других газов, если рассматривать их в общем
виде, очень сложны. Однако па практике при различных аэродинамических исследо-
ваниях, в том числе и при исследовании характеристик элементов пневмоавтоматики
п пневматических измерительных приборов обычно возникает необходимость в изу-
чении некоторых конкретных форм течения газов; при этом чаще всего оказывается
возможной та или иная идеализация процессов движения, что упрощает ход расчетов.
2. Важнейшими факторами, от которых зависят характеристики течений газа,
является то, что газ представляет собой сжимаемую среду, а также то, что в процессе
его движения проявляется действие спл вязкого трения. Одновременный учет прп тео-
5>етнчоских исследованиях течений влияния сжимаемости и вязкости затруднителен.
Jo многих практически важных случаях можно рассматривать газ как несжимаемую
жидкость (прп скоростях течения значительно меньших .чем скорость звука). Вместе
с тем в некоторой области течений влияние сил вязкого трения невелико и нм можно
пренебрегать (на участках свободного течения прп малых градиентах изменения ско-
рости); в этих последних случаях можно рассматривать газ при больших скоростях те-
чения как сжимаемую, но невидную (идеальную) жидкость, а при малых по сравне-
нию со скоростью звука скоростях течения, как несжимаемую идеальную жидкость.
Например при обтекании потоком газа твердой стенки действие спл трения в основном
проявляется лишь на небольшом участке вблизи стенки (область, называемая погра-
ничным, слоем); при расчете этого участка необходимо рассматривать воздух как
вязкую жидкость. Для остальной части течения можно пренебрегать влиянием
сил трения, но при больших скоростях течения должно учитываться влияние сжима-
емости воздуха. Однако и при этом расчеты обычно основаны на введении некоторых
поправок в данные, получаемые для более простого случая, когда жидкость является
идеальной и несжимаемой. В связи с условиями течения, а также в зависимости от до-
пускаемой пх идеализации различают среди течений газа такие, при которых оп рас-
сматривается как сжимаемая вязкая жидкость, несжпмаемая вязкая жидкость, сжима-
емая идеальная жидкость пли же как несжимаемая идеальная жидкость1.
3. Движение газа может быть установившимся или неустановившимся. В нервом
случае скорость и другие величины, определяющие состояние газа, в каждой данной
точке пространства не меняются по времени; во втором случае они меняются с течением
времени. Важно отметить, что и прн установившемся движении может проявляться
действие сил инерции: ускорения прп этом создаются в связи с тем, что скорость частицы
меняется прп перемещении ее по своей траектории, то есть в зависимости от координат,
являющихся функциями времени. При неустановившемся движении, кроме этих
ускорений и порождаемых ими сил инерции, возникают дополнительные ускорения
н силы инерции, обусловленные тем, что скорость меняется с течением времени в каждой
данной точке пространства. (Дополнительно по этому вопросу см. на стр. 228).
4. Различают вихревые и безвихревые (потенциальные) движения газа. В реальных
условиях пз-за действия спл вязкого трения постоянно образуются вихревые движе-
ния. характерные тем. что элементарные частицы вращаются вокруг своих осей. Во
многих случаях близкая к истинной картина течения получается при рассмотрении
движения как безвихревого. В общем случае для определения скорости w каждой
частицы по величине и направлению нужно знать три величины — проекции tcx> wy
wz вектора скорости w на оси координат х, у, z, являющиеся функциями времени. 11с-
1 Раздел аэродинамики, в котором изучается движение несжимаемой жидкости
(идеальной и вязкой), иногда называют гндроаэродннамикой, а раздел этой науки,
посвященный изучению движения газа с большими скоростями — газовой динамикой.
223
следование течений ж предположении. что движение является бгтпхре-
вым унрощается в сняли < т»ш, что д»п определения скорости но величине и направ-
лению достаточно лиашп* * лишь одной функции — потенциала скорости. частные про-
изводило от которой ио «горзлиатам г. », g дают значения соответствующих проекций
скорости мЛ, «су и wz (см. ь, ; $ 2). Номягпн вихревого н потенциального движений от-
носятся как к вязкой, -гах и к ждевлмтой жидкости, сжимаемой и несжимаемой.
О. Для вязкой зкидкег.ттп возможны два типа течений: ла.ыз. мирнее — слоистое,
при котором частипы жадзкпгтя но смешиваются ме;кду собой, и г»у;»бу битное течение,
характерное наличием б*-», порядочного движения частиц, при котором происходит их
перемешивание.
6. Различают течешттг тхвь со скср« .меньшей и больше» гтсрасти мусл; харак-
теристика этих течений -’?*г-*чтвонно различны. Значения параметров, при которых
происходит переход от дьортповых ксш р\ туковымтечениям.на здвают критическими1.
7. Течения газа мог— быть классифицированы по признаку сообщения или несо-
общения рассматриваемом-^ потоку извне тепловой или механдч.ч'кой анергии. Раз-
личают аЛ.-дЛ:тичссл:ил *кге, прн которых не происходит теплообмена или передачи
механической энергии ш**акду потоком газа и внешней средой и нмйпабощические
течения, при которых петпн-т газа сообщается или отнимается от него энергии. Понятия
адиабатического и иелдпас*;тгческого процессов равно относятся к течению идеального
и непдеального газа’, илшпеесы изменения состояния идеального газа при адиабати-
ческом его течеяии налытаг-тся изэнтропическими.
8. Можно также кллехшфгцпровать течения жидкости в зава-, «мости от того, вдоль
скольких из координатах^ асея изменяются величины скорости v. давления р, а для
сжимаемой жидкости ггллт тькже платности р п температуры Г. Если эти величины
меняются по всем трем хи»птспнатным осям, то движение называют трехмерны,».
Если эти величины измешЕштся только лить по каким-либо двум х«м>рдинатам, напри-
мер при изменении коопдлжгт х и у, и не меняются вдоль третьей координаты г, то
движение называют ллаезл-ь Если изменение указанных выше величии происходит
только лишь в иаправл^шгг какой-либо одной оси, то движение называется одномер-
ным. Крч>ме этого, выдел:гхт осесимметричные течения, при которых распределение
указанных выше величии гынется симметричным относительно какой-либо из осей.
f 2. ОСНСВЗЫЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ ГАЗОВ;
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
прн газодинамических расчетах
1. Давление
Различают статические давление — истинное давление в данной точке потока •
ж полнее давление или даемгчие торможения, которое было бы получено в данной точке
в случае. если бы поток был жззнтропическн полностью затормелкен (прп расчете пол-
ного давления учитывается скорость течения в данной точке). Статическое и полное
1 Не следует путать кз^тические условия, прн которых в ©стоке газа достигается
скорость, равная скорости зжука, с условиями, также иногда г взываемыми критиче-
скими. при которых осуществляется переход от ламинарного к турбулентному движению.
Между пын и другими условиями в общем случае не имеется сзх.чи. Во избежание не-
доразумений условия, при которых ламинарное течение переходит в турбулентное,
называются в данной монографии граничными.
1 Б данной монография под течением идеального газа в-? всех случаях имеется
в виду течение, для котор;со можно не учитывать действие сад» вязкого трения (см.
п. 2). Данное замечание сахззно с тем, что иногда идеальными газами называют газы,
состояние которых точно г счиняется уравнению Клапейрона pr = RT, отличая их
от газов, близких} к состсягкю конденсации, для которых это уравнение заменяется
другими уравнениями (например уравнением Ван-дер-Ваальса к Во избежание не-
доразумений. имея в виду последнее отличие, лучше называть газы соответственно
совершенными и реальными. Б связи с определением течения нецдаального газа заметим,
что наряду с действием сил вязкого трения могут наблюдатыгл я другие необратимые
потерн механической энергии, связанные с ее переходом в тестовую энергию; такие
потерн имеют место, например, в скачках уплотнения, понял язе сдихся при торможении
сверхзвуковых потоков.
* Когда говорится о потоке газа, при отсутствии спецкалэзгых оговорок, имеется
в виду или элементарная струйка или такая струя конечных ра змеров, которая может
рассматриваться как элементарная струйка. При этом под параметрами состояния газа
в данном сечении потока имеются в виду соответственно иля параметры для данной
точки элементарной струйки или осредненные по сечению значения параметров для
струи конечных размеров.
давление может измеряться в различных единицах, будучи представленным как аб-
солютное давление, отсчитываемое от абсолютного нуля давления, или как соление
избыточное над некоторым другим давлением (над давлением атмосферного воздуха
или другим давлением окружающей среды).
Для этих давлений вводим следующие обозначения:
р — статическое абсолютное давление,
ра — полное абсолютное давление,
р* — статическое избыточное давление,
р* — полное избыточное давление.
При газодинамических расчетах также встречаются следующие величины. При
исследовании обтекания аэродинамических профилей вводится в рассмотрение коэф-
фициент давления р — туг j ,, где р — плотность, w — скорость течения. При иссле-
довании неизэитропических течений в диффузорах, трубах и других в качестве харак-
терных величин рассматриваются коэффициент восстановления у = — и коэффициент
рп.
потерь Ъ = 1 — v; индекс • в выражении рп указывает на то, что данная величина
относится к начальному сечению.
Иногда в расчетные формулы вводится относительное давление Р — —
2. Температура
Наряду с истинной температурой Т*(Т° абс, Т С) при газодинамических расчетах
используется температура торможения 70, которая была бы получена при полном
торможении потока. При наличии теплообмена с внешней средой величина 7*а меня-
ется от одного сечения потока к другому; при адиабатическом течении (изэнтропиче-
ском или неизэнтропическом) для всего потока То — const *. По истинной температуре
в данной точке подсчитывается теплосодержание i = срТ (ср и с, — удельные тепло-
емкости соответственно при постоянном давлении и при постоянном объеме).
3. Удельный вес и плотность
Соответственно значениям р, Т или ра, Та определяются удельный вес и плот-
Р Р Ра Ра
вость: , Р = gRT и ув - лт* и ро •= gfiT*.
зовая постоянная, g — ускорение силы тяжести.
В этих выражениях R — га-
4. Связь между изменением величин р, Т, р
при изэнтропических течениях
При изэнтропическом течении для двух различных сечений струи, состояние газа
в которых определяется соответственно величинами р^, Tt, р® и р, Т, р
в
Рв \Ра/ \Тв}
(ПЛ)
В
р / р V f Т 1
В частности —— == [ ~— I =» ( . В выражениях (П. 1) к — показа-
тель изэнтропы, равный cp/cv. Соотношениями (ПЛ) иногда пользуются также и при
расчете неизэнтропических течений газа.
5. Скорость
Наряду с выражением скорости w в данной точке в абсолютных единицах всполь-
W
эуются выражения ее в относительных единицах: число Л/, равное М ~~ , где
1 См. | 3, п. 4.
16 л. А. Залмавеов
i
225
. w
в— скорость звгка в диак-к точке потока, ж чтносителоная скорость /. » , где
ьр
— критическая ск::»:»г?ь. пре; гтавляюжы сооси щаченпе и- для точки (или
течения) потока, в кот.;»: а -котором) она становится разной скорости звука а. Ско-
рость звука
(П.2)
—У |₽-=>'‘<*г
Критическая скорость при ахзабатичесв:к течении ыражается следующим об-
разом чорез величины Г,, ра* *а:
I «
k — L
2k — lsAeP «
21 Ра
*-7-1 РП *
(П.3)
Ьеличины М и л свя14зъ^ между <обой ссх"тяошеппем:
» 2
=1 tTl
При газодинамических расчетах
ТХ7
занятие потенциала
<?ф
ле х* оу и
потенциал.чаых течения (см. п. 4 $ I) используется
т.кой функции от координат ф (х» У» •). 470
где ux, wf — проекции вектора скорости на
соответствующие оси к »:-х»нат . Вместе с тем иногда молятся в рассмотрение функ-
ция тока ф (х. у, х). ф — const для каждой линии тока* линии, в к«ж (ой точке
которой с направленном хлеателплой совш> напраалеяие вектора скорости. Для
кхоскнх течений wx = - — к . Массовый расход жи [кс ci г (газа) через
«которую кривую, пересказ ющу>> линии тока, который отвечают значения ф =«ф1
мф — Ф»> равен =- yi —фт и « зависит от формы данной кривой 1.
6. Расход
Обычно вммк 'яют расход газа за едаг-цу времени, при этом берется весовой
j icxod G или объемный ~^:год Ср иногда же tcro иесивсгэ секундного расхода С ука-
тывается объемней расход,, приел зеины? i карл - ни.к лпукос^рным условиям
(йрв опытах часто .&зlbxti ^посредственно прочитыжле. ‘я По шкале прйб »рс _
са (их для камер к. - восхода). Иногда ;iосматривают лил й расход Gm, выра-
аег.емый в единицах хксы в едтлмпу врем мп.
При гаэодняамп. 1 расчетах расход иногда «сражается в птнеептельных
□•г
•да мицах; вводится в f i оемттрение величина j == -—• называемая приведенным
рьр «Т t
/ 2 ХГЧ
расходом. Величина определяется врн этом как Ржр — ?и\Л4-1/ 'СМ*
*- 5 J 3).
7. Вязвогть
Вязкое [< характеризу пся динамическим *а»$рициг *том вявкос ж р или кинема-
- хческим котффициенгпгм вяыкоеггм т, моторыэ сьязагаг м**жду собой соотношением
т ~а ~ . Вяы юсть кхггдыеых ь тд?.остей умельшаетсл с увеличением температуры,
я и кость оздуха и других газов, наоборот, с увеличением температуры рас *т. Для
вв.®духа динамический кмффипиь-гт вязкости р в зависимости от абсолютной темпе-
t яту]Ш Т меняется елгдухщим образом:
р » (374 4 5,03 7) 10-»ж?-аж ж». (П.4)
1 Под расходом ч“рь’ тдятплД отрезок жривой пом азот жом течении имеется 1 аду
рвеход через иормальчут к из я йоги теч» тал азлщжгзу, >брa-ующей для которой
-3?-ИИ г рассматриваемый отрезом hjhuok ж i a ora которой равна едчнице.
При определении температуры в ”С
р = (1,745-lCh* 4- 5,03-10-»Т'С) (ПЛ')
8. Численные значения некоторых параметров для воздуха
Газовая постоянная Н = 29,27 кг-м[кг°. При нормальных условиях (Г# = 15° С,
р = 760 мм рт. ст. = 10333 кг/м* 1 = 1,0333 кгд.н2):
к 1,4,
р =0,125 ка-ссв’/’л**,
Y в 1,22 жа/л®.
При Т. = 15° С:
р = 1,82-10~* жз-сек/л**,
v = 1,45-10~* мР/сек.
При к = 1,4; R — 29,27 кгм/кг°; g = 9,81 м/сек* указанные выше выражения для
определения а в вК1 приводятся к следующему виду:
а = 20,1 VT | л/ сек |; акр = 18,35 = 1,08 ~ | м/сек [.
При к = 1,4
0,9151
М =* " 7?г »
у 1—0,1671*
f 3. СИСТЕМА ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИИ АЭРОДИНАМИКИ.
КРИТЕРИИ ПОДОБИИ ТЕЧЕНИИ ГАЗА
Наиболее общей задачей аэродинамики является определение в любой вэ точек
потока газа для любого момента времени t значений скорости w, давления р, плотно-
сти р, температуры Т при условии, что заданы некоторые граничные и начальные зна-
чения этих величин. В общем случае скорость w определяется по абсолютной величине
в направлению значениями ее проекций wx, wy, wz на оси координат. Для определения
величин wx, wy, и>г, р,р, Г используются следующие шесть уравнений: трн уравнения
движения, уравнение неразрывности, уравнение состояния, уравнение сохранения
энергии*. При решении конкретных аэродинамических задач, в частности к задач,
связанных с расчетом и исследованием элементов устройств пневмоавтоматики и пнев-
матических измерительных приборов, в зависимости от условий течения я от допуска-
емой их идеализации оказывается достаточным использование лишь некоторых из
этих уравнений. Например, при одномерном течении и в случае, когда можно рассма-
тривать воздух как несжимаемую жидкость, исходными являются лишь два уравне-
ния (одно уравнение движения и уравнение неразрывности) и т. д. При решении разных
задач оказывается возможным и удобным представление указанных выше уравнений
в различных формах, рассматриваемых ниже.
•1
1 Уравнение сохранения энергии отнесено к числу основных исходных уравне-
ний газодинамики так же, как это обычно делается при ихтоженик основ газовой ди-
намики. Более правильно, однако, было бы не вводить данное уравнение в рассмотре-
ние в качестве самостоятельного исходного уравнения, а ограничиться тем, что ого-
ворить характер процесса, точнее условия энергетического обмена с внешней средой
(указать, является ли течение адиабатическим или нет, в последнем случае указать за-
кон, которому следует обмен энергией между потоком и внешней средой). Данное
замечание связано с тем, что, например, для адиабатического течения газа уравнение
сохранения энергии, рассматриваемое ниже в п. 4, может быть получен» в результате
интегрирования уравнений движения и не может рассматриваться кая независимое.
227
1. Уравнения дажкевш.
Длг ьяакой сиси юмой жидкости уравнения движения имеют следуюндЛ вид:
Лрх 1 др v 3Q

v ад
а
v ад
(П.5)
dt • ~ р дх f 3 дх *
Ь этих цовденкях X, У, Z — ус: горек ня, определяемые действием сил, пропорцио-
нальных массе частиц (арг расчете геченп t газов чаща «сего . лжчинам • X, У, 2
можно пренебрегать).
а»
Асу t dwx
ду да *
1 др
В уравнениях (П.5) член? « —— -,'
. v дб , . v ’de _ V дб
on и сил давления, ч^эвами vVwx-f--j-—- , vView4--g--^-, vVic, +~з"
dw- dwy dwt
веняш в тзкостл, членами , -g* учятпыпая дейся e сид инерции.
Можно развернуть выражения этих последних членов, гмея в вцду% что
й ’dt +“&’л+^Гл+ дх dt~~b +^7м,«+75у-**+'ЭГ””
и аналогичным образом представля ^!t я ^1.
Йрк установившемся диж чщ в (П. 6) - =^0, однако npi i этом в общем случае
dt
^Е.jp ауЬО. То же относится и я соотдатствующдм образом
л»
кредспвленгым выраженням -JK и zZl *
at at
Д*ы. Kt ntou несжимаемой гага гостя уравнения дпгг кеняя >ют тот »те вид, что
и уравнения (П.5) с той лгшь разницей, что в них отсутствуют соответа эня? члены
<’б Vd6 „
Я"’ "S’ ду ж 3* дх ' ^ти УР •ян Haf визывают уралнишлма Налы—Стокса. Ecti газ
рассматриваете;, к* : невлзкая жидкость, то из уравнений (П.5) также исключаютш.
члены 4Vwx, vVm , vVw . Получ етае прг этом уравнения данжен-щ называю-
—-jr учитывается дей-
v v д®
уринениями Эйл!/>а.
При плоском или одномерном движения п» трех уравнений (П.5) оставлен
емпа “гсп нно два пзп i одно уравнение, причем соответственно hci лючаптсь одно
или два слагаемых из выражений V и 0.
В некоторых слуш*х уыгет удобным рассматривать движение в цилиндриче-
ских координатах. Беля d ур.внениях Нав^е—Стокса пренебречь членами X, У, 2
и перейти от декартовых 1 гооддннат х, у, х к цилиндрическим координатам г, ф, а, то
вместо системы уравнений (П.5) полу аетея следующая систем» уравнений:
уравнений:
t
И28

(П.7)
г
в
При газодинамических расчетах часто встречается следующее уравнение движе-
ния, подучаемое из (П.5) для случая одномерного установившегося движения
газа, рассматриваемого кал иевязкая сжимаемая жидкость:
v Л₽ « — ~"р"” * (П.8)
Все указанные выше уравнения получаются в результате непосредственного
рассмотрения условий динамического равновесия сил, действующих на элементарную
частицу жидкости; когда рассматривается движение газа как вязкой жидкости, эти
уравнения обычно относятся к случаю ламинарного движения. На основе примене-
ния теоремы об изменено количества движения получается уравнение движения с
у четом сил вязкое гренки к при прочих условиях тех же, для которых было полу-
чено уравнение (П. 8)), кот у рое в равной мере относится к случаям ламинарного и
турбулентного течения. Нащример, для течения вязкой сжимаемой жидкости в цилин-
дрической труба диаметра 1 получают, представляя силу сопротивления, отнесенную
к единице объема, в форме 6 97 следующую запись уравнения движения:
(П.9)
2L Уравнение неразрывности
Для сжимаемой жидкости уравнение неразрывности или сплошности движения
имеет следующий вид:
др 3(Р»Я) ^(рю) д(рюж)
+ д, + =«0. (П.10)
При установившемся движении в уравнении (П. 10) а Для в‘Еяа
жидкости р * conet ж уравнение (П.10) заменяется уравнением и =« ~ -г +
При представлении джгженля в цилиндрических координатах уравнение нераз-
рывности записывается в форме
(П.И)
X Уравнение состояния газа
Для cot « ршенных газом
или
НТ,
т
р м» pg НТ,
JI1.I2)
4» Уравнение сохранения анергии
При наличии притока явила извне и сообщении газу механической работы урав-
нение сохранения энергии хая 1 ка газа имеет следующий вяд
' < -г‘
(ЛЧ- if — 4 » -g-(17 4“ 4JV)» (П-13)
где w», it и i^i, й соответственно скорости к теплосодержания при конечном и начальном
ив рассматриваемых состоявши газа, U и N — количество тепла - и механическая
1 В данном выраженкх | — коэффициент трения. Об определении величины
|грпрк ламинарном и турбулентном течениях газов в трубах см. в гл. I, стр. 12.
22»
работа, сообщаемые газу извне за 1 сек, А = кал!кг — талловой эквивалент
I
работы.
При адиабатическом течении газа уравнение сохранения энергии записывается
в форма
i = const
(П.14>
св Ж — Ж 1 Р
или с учетом того, что Л = ~ —т— , Т — , a*=kgRT, а также с учетом того, что
же Ж
во определению есть скорость течения w — а, может быть приведено к следующим
формам записи:
м* , к р ю1 . в* * + 1 з
Т + * —1 р =“ 2 + * —1 ~2 (к—!)*«₽ “ С°
(П.15>
Уравнение (П.14) или (П.15) называют уравнением Бернулли-Сен-Венана. Важно
отметить, что уравнение (П.14) относится не только к случаю изэнтропического те-
чения газа, но остается справедливым и для неидеального газа, тэ есть тогда, когда
при адиабатическом течении происходит необратимый переход механической энер-
гии в тепловую энергию. Уравнение (П.14) может быть также проедено к виду
т к_________ 1
(ПЛ6>
или к виду
-у! - 1+ (П. 17>
Уравнение (П.14) выводится для элементарной струйки газа; однако оно часто ис-
пользуется при расчете характеристик потоков конечных размеров (например при
исследовании истечения газа пз сопел, течения в трубах и в других случаях); при
этом w рассматривается как средняя по сечению потока скорость течения. Для несжи-
маемой жидкости уравнением сохранения энергии является уравнение Бернулли,
записываемое при пренебрежении действием сил тяжести в ферме
+ ^-“ const. (П.18>
При небольших по сравнению со скоростью звука скоростях течения воздуха, дав-
ления, получаемые при расчете их по формуле (П.18), незначительно отличаются
от давлений, которые находятся при помощи формулы (П.15). Например, расхожде-
ние в величинах давления торможения,определяемых с помощью формул (П.18) и (П.15),
при скорости течения, соответствующей М — 0,3, составляет всего около 2%; однако
прн М « 1 это расхождение оказывается уже равным 27,5%.
5. Некоторые дополнительные соотношения
для случая адиабатического течения газа,
следующие из уравнения сохранения энергии
Из уравнения (П.16) и нз соотношений (П.1) следует
Согласно (П.19),
(П20>
1
/ k —1 \*~х
Расход газа G =» fwy — /акпХум (1 — г-т-т • Расход достигается при
1 Это следует из известного из термодинамики соотношения AR и из
того, что по определению к — Су/с*.
230
л == 1 (при w — акр). Подстановка X = 1 в (П.16) и (П.19) дает значения ^крД'п.
/»кр/рОт Ркр^Рп’ отвечающие сечению струи, в котором w — анр;
к 1
кр_ 2 Ркр__/ 2 Ркр_( 2 V 1
Vh7* *’ ’Pn-U + V
(П.21)
Приведенный расход <? =——=-^Н- —X равен, согласно (П.21) и (П.19),
Ркрвнр Ркр Рп
(П.22)
6. Критерии подобия течений газа
Потоки газов называют подобными, если для соответствующих точек течений и
соответственных моментов времени сохраняются неизменными соотношения (масштабы)
одноименных величин (скоростей, давлений и др.). Для того чтобы течения были подоб-
ными, необходимо соблюдение геометрического подобия; кроме этого, должны удов-
летворяться гидроаэродпиамические критерии подобия, получаемые в результате
рассмотрения общих уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости (П. 5). Чис-
ленные значения коэффициентов в этих уравнениях при подобии течений не должны ме-
няться в связи с переходом от одного из течений к другому,так как в противном случае
изменились бы решения данных уравнений и соответственно с этим были бы различными
характеристики сравниваемых течений *. Для выполнения этого условия должны быть
постоянными соотношения
/1 м>1 Pi V1 Ч
G ’ ’ А ’ V, » Г, ’
где/, w, р, v, t—характерные значения линейных размеров, скорости, давления,
кинематической вязкости, времени, а индексы 1 и 2 указывают, к какому из двух срав-
ниваемых потоков относятся эти величины ’, и должны быть равны между собой сочета-
ния указанных выше величин, определяемые размерностью отдельных членов урав-
аений (П.5).
Рассмотрим для примера первое из уравнений (П.5) (равно можно было бы гово-
рить-» о каждом из сяедующпх двух ура-впентг^П.'б)).г-Ограничиваясь случаем уста-
/л „.rfu’»- dw-
повившегося движения и представляя при этом в соответствии с (П.6) как w~-f-
al OX *
dwx dwx
ны быть соответственно равны следующие сочетания величин /, w, р, у, определяе-
мые размерностями отдельных членов рассматриваемого уравнения:
заключаем на основании указанных выше соображений, что долж-
А/(Р»/1)И
vtyi PiKpih) «’’Да (vawj)//J
Из первого из этих равенств следует ——=- — ——— и, так как, согласно (П.2),
Pi/pi Pf/Р»
1 График функции (П.22) был приведен для к = 1,4 на рис. 20 и для i — 1,25
на рис. 31, «.
8 Говоря о подобии течений, нужно одновременно с указанными выше уравнени-
ями рассматривать начальные и граничные значения каждой данной задачи, от ко-
торых также зависят] получаемые решения.
• В качестве характерных значений I берут, например, для каналов круглого
сечения диаметр канала, для аэродинамических профилей — длину хорды профиля;
в качестве характерного значения скорости w = w при обтекании твердом стенки рав-
номерным вдали от стенки потоком газа берется скорость газа вдали от стенки и т. п.
Выбор этих значений произволен и постоянство масштаба /i//>, йц'иг и др., при усло-
вии подобия течений, сохраняется для отношений любых других соответственных
значений данных величин.
231
с точностью до постоянного множителя к соблюдается равенство — *=а2, получаем в
качестве одного из критериев подобия течений газов М — — — const. Второе из
указанных выше равенств приводит к условию —=—=»—=— ж соответственно с опре-
делением числа Re = — получаем в качестве следующего критерия подобия
Re *== const *.
Для одновременного удовлетворения условий М — const и Re — const должно
дополнительно соблюдаться соотношение e -7— I так как при М = const и
wi fli ZaVi
Re «= const — *= =- = =—
wt al liVi,
влияние вязкого трения, то для возможно более полного подобия течений нужно
обеспечить Re — const; если же скорость течения близка к скорости звука, а влия-
ние сил вязкого трения относительно невелико, то основным критерием подобия
является М — const.
, чего в общем случае может не быть. Если превалирует
Многие из величин, определяемых из опыта и имеющих важное значение при га-
зодинамических исследованиях, представляются в функции от чисел Re и Л/. Вместе
с тем иногда получаются единообразные характеристики для различных течений в
случаях, когда заведомо не выполняются указанные выше критерии подобия. Напри-
мер, при течении свободной турбулентной CTjjyn одно и то же распределение скоростей
в струе получается при изменении значении Re и М в широких пределах; при тече-
нии воздуха в междроссельных камерах малых размеров 4 гл. II) изменение дав-
лений по длине канала камеры описывается одними и теми же уравнениями тогда,
когда значения чисел Re и М меняются и даже иногда при несоблюдении геометриче-
ского подобия. В этих случаях говорят об автомодельности течений.
Уравнениями движения (П.5), с анализом которых связывалось получение выра-
жений Rem М, как критериев подобия,не учитываются условия обмена энергией меж-
ду потоком газа и внешней средой. При наличии теплообмена для подобия течений
должно дополнительно соблюдаться условие Ли =» const. Число Нусселъта Nu при
течении газа по трубам представляется в виде
Kd
(П.23)
где К — коэффициент теплоотдачи, — коэффициент теплопроводности газа, d —
диаметр канала. Коэффициент теплоотдачи К определяется как коэффициент про-
порциональности в выражении
dU -> К (Гш - Г) (nd} dx.
(П.24)
где dU — количество тепла, поступающее за 1 сек извне на участке канала длиной
dx, Т — температура ва данном участке, Тя — температура внешней среды. Указа-
ния к определению величины К приведены в (24]. Величина Nu обычно представ-
ляется в функции от чисел Re я Рг. Число Рг *= *г~, где р — динамический коэффи-
чт
циент вязкости, ср — теплоемкость при постоянном давлении.
f 4. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ СИСТЕМЫ
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИИ АЭРОДИНАМИКИ
1. Общие замечания
В наиболее общем случае не представляется возможным проинтегрировать анали-
тическими методами указанную в 5 3 систему исходных дифференциальных уравнений
аэродинамики. Строгое решение сформулированной в начале § 3 задачи получается
лишь для некоторых частных случаев. При небольших скоростях течения, как уже
указывалось, можно рассматривать воздух как несжимаемую жидкость. Однако даже
1 См. замечания ва стр. 228 о факторах, учитываемых отдельными членами урав-
нений (П.5>
232
прк больших скоростях течения чаще всего за основу берется решение, получаемое
npz рассмотрении воздуха как несжимаемой жидкости, и затем специальными метода-
ми .«снованными на введении поправок или на проведении пересчетов, получают дай-
ны- близкие к данным, которые дает опыт.
Если не учитывать вязкое трение и рассматривать газ как идеальную сжимаемую
жзьхк »сть (при этом уравнениями движения являются уравнения Эйлера, см. стр. 22*8 .
то интегрирование исходной системы дифференциальных уравнений может быть выпол-
нено только в двух случаях: если движение потенциальное (при этомоно может быть
а* установившимся) или если движение установившееся (при этом не обязательно,
чт Хы оно было потенциальным). В первом случае в выражение интеграла системы ис-
ходных дифференциальных уравнений, называемого интегралом Лагранжа, входит
произвольная постоянная, являющаяся при неустановившемся движении функцией
времени Г; при установившемся течении несжимаемой жидкости (при этом данный пн-
тегр ал носит название интеграла Лагранжа — Бернулли) произвольная постоянная
интегрирования сохраняет неизменное значение для всего потока жидкости. Во втором
ит указанных выше случаев в выражение интеграла исходной системы дифференциаль-
ных уравнений, называемом интегралом Бернулли, входит произвольная постоянная,
«. храняющая неизменное значение лишь для точек некоторой линии тока (т. е. линии,
картельная к которой в каждой ее точке совпадает по направлению с вектором скорос-
ти в данной точке). Произвольные постоянные интегрирования определяются при уста-
s' аквшемся движении из граничных условий; при неустановившемся потенциальном
дз-гжении дополнительно учитываются начальные условия.
При рассмотрении газа как вязкой несжимаемой жидкости интегрирование системы
уравнений движения и уравнения неразрывности может быть проведено лишь для
в*ы>торых частных случаев. В качестве примеров ниже указывается методика интегри-
рования указанной выше системы уравнений для несжимаемой вязкой жидкости в
двух случаях: при установившемся пространственном ламинарном течении жидкости
таииндрическому каналу круглого сечения или по зазору между стержнем и вту.т-
гож ж при аналогичном течении жидкости по зазору между торцем сопла и заслонкой
(«гм. рже. 27а). В связи с особенностями рассматриваемых течений при выводах перво-
каяильно приходится учитывать изменение скорости вдоль каждой данной линии тока
ж нельзя сразу же приближенно считать, что течение подчиняется уравнению элемен-
тарной струи газа, как это иногда делалось ранее для одномерных потоков газа. В пер-
вом из рассматриваемых случаев решение доводится до квадратур (формула Пуазейля),
втором случае решение представляется в виде бесконечного ряда. Рассмотрим
каждый из этих случаев1.
2. Одномерное установившееся течение вязком
несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале
— кругл ого. сечения л па кольцевому зазору. „
Формула Пуазейля
При течении жидкости на участке цилиндрического канала с диаметром d и длиной
I система уравнений (П.5) преобразуется к виду-
1 др
р дг
1 Рассматриваются аналитические методы решения дифференциальных уравне-
ний. описывающих движение жидкости. Решение более широкого круга задач гидро-
кмродинамики может быть проведено путем интегрирования системы указанных выше
дифференциальных уравнений методом конечных разностей или графическими мето-
дами. Однако при этом выкладки оказываются настолько громоздкими, а вычисления
ии построения настолько трудоемкими, что до сих пор эти методы часто являлись
рактически неприемлемыми. Поныв, необычайно широкие перспективы в исследования
«дач гидроаз роди на инки и газовой динамики появляются в связи с развитием техники
электронных вычислительных машин. При помощи электронных вычислительных ма-
шин могут решаться уравнения, описывающие различные процессы в гидравличе-
ских и аэродинамических системах, в том числе нелинейные уравнения в частных про-
изводных и уравнения с частными производными, содержащие более чем две незави-
симые переменные (см., например, [88], [98]).
16 Л. А. Залма азов
Из последних двух уравнений следует независимость давления р от коордпвт у и г.
"Г-
Так жав в рассматриваемом случае уравнение неразрывности (П.10) дае* -jj- =0,
то нз первого из унизанных выше уравнении но раскрытии анражения Vrz получа-
ется VO I
уравжигя' зависят только от у и г,а в правой только от х, данное равеястк» возмож-
ет» , „ dp Ър
но TO.-1KO при "7“—— -
ний на рассматриваемой участке канала, то получится vp
пнем данного уравнгвмя npi граничном условии их ==
ся выражение icx -
рассм ггреипе среднюю скорост ь течения w, равную при п»лученнол паразитическом
_ wx max <1-*пр
законе распределения скоростей —— ♦ использовать выражение Я* = * Т<>
формула Пуаэ?йля преобразуется к виду
^^№•4 Р
~&i* /*dx' ^ак кок «личины, стоящие в левой частя пследнего
rows!. Если прииягь, что jr = — у , где 6р — разшхтъ давле-
/d’tr- бл
Ьй +~а?)°~7 р<-тс-
0 для г «= Уу1 г1 являет-
— г* I, называемое формулой Пуиейля. Ес jr ввести в
64 I рг*
°р~ Re d 2 ’
(П.25)
Подставляя указанное выше значение irx в выражение объемного секунда змо расхо-
<f*8
да Q — ux2nrdr, получим
• nd*
Q ~ I2fyil Лр‘ (П.26)
Соответственно весовой секундный расход равен
td*v
c = -l2efl3f- <"•»>
Аналогичным путем проводится интегрирование системы уравнений движенья и урав-
нения неразрывности для случая течения жидкости по узкому зазору ме*аду двумя
плоскостями. Считая, что течение по кольцевому зазору между стержнех зв втулкой
происходит так же. как и по щели между двумя плоскостями (так можяь считать,
еоли радиальный зазор б намного меньше среднего диаметра D), получим для данного
случая соответственно
<2 =
лДО.
-ца*р и
nD6»y
С = -щ^-вр.
1П.28)
При проведении расчетов обычно, учитывая опытные данные, вводят в выражения
(П.28) поправочный коэффициент 0,67 или, что то же. в знаменателе правой «~всти этих
выражений численный множитель 8 заменяют множителем 12. Для клнала круглого
от/
сечения, как уже указывалось ранее, Re — —— и /?егр = 2300, для щелевого зазора
2w6p
Д, = и Rerp = 1100.
3. Приближенное решение уравнений Навье — Стокса
при помощи рядов
В качестве примера решения уравнений Павы. — Стокса при помощи ; жлов ука-
жем на решение, полученное в работе (38] для случая течения несжимаемой
жидкости по зазору между торцем сопла и заслонкой (рис. 27, а). Так к п давление
по координате z практически не меняется, то третье из уравнений системы) (П.7) за-
др
меняется условием = 0 и уравнение неразрывности (П.11) вместо с уточнениями
Навье — Стокса приводится к системе, которая была уже указана ранее рассмо-
трении характеристик дросселей типа сопло — заслонка (см. уравнения (1-78) не
стр. 51, там же были указаны и граничные условия, при которых решалась данная
задача). Методика решения сводится к следующему. Вводятся в рассмотрена : функции
234
пока * if (г, s), тождественно X довл створяющие уравнению неразрывности, опреде-
ляемые из условия
Я «ty * пл
“г ** “г "аГ и «У ~ - 7 • (П.29)
С подстановкой этих выражений н исходную систему уравнений, последняя заменя-
ется одним нелинейным дифференциальным уравнением к частных производных с
одной неизвестной if Решение этого уравнения пишется в виде бесконечного ряда
(П.ЗО)
Делается это так. Данное выражение ф(г, i) песета в. им. к ц в указанное выше днфф.
ренциальное уравнение, которое после некоторых np>*i>r>t.n лапаний приводится к та
кому виду, что оказывается возможным сравнять ко н|'Ф«*цнрцты при равных степенях
г, содержащие функции /t (.-) и нх ирон «водные. Это да- г систему линейных диффе-
ренциальных уравнений, разрешаемую при заданных граничных условиях как отно-
сительно функций fk (г), так п относительно их иронэиощых.
Так как, как следует ил (П 20) и (П.ЗО),
(II ЗП
то после того, как найдены выражения функций /* (г) и их производных, определя-
ются и составляющие скорости wr и и*г. По составляющей irr определяется расход:
*« h
объемный расход Q = 2л г wrdz и соответственно с этим весовой расход жидкости
1«0
t=^h
G = 2л гу 1 wrdz. Точность получаемого решения зависит при дивном методе от числе
г«0
% членов ряда (П.31), которое берется при проведении расчетов.
dp
Подстановка выражений (11.31) для ir, и в оставшееся после принятия О
из уравнений Навье — Стокса (т. е. во второе из системы уравнений (1.78)) дает
уравнение для определении распределения давлений по радиусу в плоском щелевом
зазоре. Полученные в работе(38| выражения изменения давлений по радиусу в фун-
кции от расхода, отвечающие первому, третьему и пятому приближениям (соотв етству-
ющие к ~ 1; 3; 5) были приведены на стр. 53 (см. уравнения (1.81), (1.81'), (1.81 )
и рис. 27, о)._ Рассматриваются только нечетные значения к, так как распределе-
ние давлений при чегном значении к, как следует из хода выводов, не отлнчас гея от
распределения давлений при предшествующем ему нечетном к.
§ 5. ПОЯСНЕНИЯ К ВЫВОДУ НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛ АЭРОДИНАМИКИ,
НА КОТОРЫЕ ДЕЛАЮТСЯ ССЫЛКИ В ОСНОВНОМ ТЕКСТЕ
I. Формула Ссм-Венапа — Ванцеля
для адиабатического истечения идеального газа
через сопло (сужающийся насадок) п.з резервуара
неограниченно большой емкости
Если р0 — давление газа в резервуаре и /у, му —давление и скорость течения
газа в выходном сечении сопла, то из уравнения сохранения энергии (П.15', напи-
*'* г * Р . * о
санного в дорче — + i ~ const* следует । — —
. Так
как при адиабатическом течении газа, согласно (П.1).
IA
I , то из послед-
1 Об определения функций тока при представлении движения в декартовых ко-
ординатах см. в п. 5 § 2.
16* 235
пеги уравнении получается =
(|. Весовой секундный
рас ход гада
(П.32)
После того как с умен ».гпенцем величины pj- р» в выходном №и сопла достигает-
ся «г,- «= аи_, при да.г*.те Ьтом уменьшении —- весовой секундной расход газа С ме-
няется только лишь в кышсимости от ро и у0 п прп данном значении р0 ио зависит от
«качения р|Ж. Выражение для расчета С прп этом (прп надкратачоском истечении)
• _Jr_
„ ( р\~ > /2 \*~* t
получается подстаноашай в (П.32) аз (П.21) значения I —— ? e Н—t
(П.ЗЗ)
2. Уравнения изотермического течения газов в трубах.
Пояснения к выводу’ уравнений (1.27). (1.28) и к построению
кривой ЛГ/ =ф I приведенной на рис. 13, в
использовавшиеся при анализе характе-
Укажем, как получены уравнения (1.27). (1.28) в как построена приведенная
на рис. 13,« кривая М « = <р
*тах
ристик ламинарных дросселей. Подставляя в уравнение (П.9 значения w
х= —-— и о = —, получаем уравнение, которое может быть проинтегрировано,
даР р gRT
RT
так как вдоль канала трубы G = const и в рассматриваемом случае Т — const.
Интегрируя полученное уравнение в пределах от г = 0 до х — I. причем р меняется’
от ро ДО рь получаем выражение (1.27):
с жл / g(pl~p^
4 1 ЯГ^-L 4-21nf®V
f k d pi /
Из (1.27) следует
i tlpj-Pb P _ g 7\1Г. /ПУ]
«d+z,np1=B RT .CP RT(PP* [l * 3~ .А/ J’
r /• 1 <
В ’правой части последнего уравнения -5- С. рт —-Действительно, ——
RTGfn kM{. км*.
1 Так как к0 — О, то pQ— рПа.
1 Напомним, что при проводимых здесь выводах условно принимается Pi—p^K
Pi- = pi (см. обозначения сечений на рас 5.а) Неравенство этих давлении учитыва-
ется при рассмотрении более общих условий течения в п 15». гл. 1 (см. также п.
3 и 4, § 5 приложения)
= дГуч “ ЙТ gT & С y'WTOM этого Р««»С’М. « уитаия.
*' *т *?'7Г
что In (pjpi) — — In (pi.po), получаем из данного уравнения (1.28):
£ - = f£lVl + 2 In h .
* км\. L \pJ J Po
Приведенная на рис. 13, в характеристика Мутах
получается
следую-
щим образом. М = ‘— — — — -------------
<* ha / JP_
' RT
......, и так хак вдоль канала трубы
VkgRT
Л' г 1
С = const, то - = —— . Подставляя данное выражение в (1.28), получим £ — =
Ро Л/х- а
1 Г. (мг VI . МЛ-\
~ — --|1—I -гЛ- I + 2 In - — I . Величина Л/, достигается при каждом
кМ*. L \ )
данном значении $ при Л/,
— 1; при дальнейшем уменьшении давления pi расход
газа через трубу не меняется.
1' шах* На Рис- ,3* •
] при к — 1,4.
При Л/. = 1 имеем J Л- =-------- (I — ЛАm„]
d кМ ,а
1* шах
показана соответствующая характеристики Л/д. шах
3. Пояснения к уравнению (1.67),
используемому при расчете адиабатического течения
газов по каналу дросселя
Данное уравнение получается интегрированием уравнения движения (П.9),
Л»
в котором предварительно величины р ч р выражаются через X. Имеем р — _ _ =и
G StU)
- ----. Заменяя в (П.20) р указанным выше его выражением в />_/р_ следующим
из (П.З) выражением вар, получим
4__к — I уа
„ _ к + 1 к + 1 G
r ~k >. — “»р i7'
(П.34)
При подстановке этих выражений для
р и р в (П.9) получается
= £tf(4) • Интегрирование этого уравнения в пределах от значения — « 0, для ко-
торого X = Xj., до некоторого текущего значения xj <7 (при / = const, * = const по
длине трубы),* дает
X (Ч') ” X (М = 5 4 > (П.35)
а
где
Г±4- 21пХ|.
I Л
(П.Зб)
Далее в (П.35) в у tX,«) величина Xj. выражается через приведенный расход в началь-
ном сечении трубы причем вместо jy (Хг) получается некоторая'функция от
X (Xj.). Кроме того, в (П.35) % (X) лырпжается через , где 0 *« —
р Рпд«
^ ) = X (М-
Р /
If-1(9^)
в ,
при этом вместо у (X) получается некоторая функция от . К ; ф
*4-1/1 _.\ dX
* ) X
х (X) = —tJ
л \ / 2*
237
Функции j (?*.) и <1 определяются следующим образом. Величины д^ и
ку связаны между собой зависимостью (11.22), график которой приведен на рис. 20.
Задавшись рядом значений Х^, можно найти для каждого из них по данному графику
соответствующее ему значение д^ и вычислить по форму те (П.36) соответствующее
значение х (Хх.) — / (д^). По точкам, определяемым полученными таким образом пар-
ными значениями дг, и / (^.), строится график функции / (^.), приведенный на рис. 21.
р - 10 *
Величина д^. /Р выражается через 7. так. В выражении д^ —-----— имеем
Ркрвкр
1
G
= — и так как, согласно
gf
/ 2 \
(П.21). ₽кр = РО1.(*=л) "•
согласно (П.З), акр =
то
(П.37)
1— X’
Согласно (П.34), В = ? . = ___*-t—.. _ а, _ — —L . Поделив соответственно
PU1. 2Х X
левую и правую части выражения (П.37) на левую и правую части указанного
выше выражения для 3 и учитывая при этом, что, согласно
(П.3>:! + ‘^а’р =
= 1, получим
" ------ г VT) у—*
*4- 1
1П.38)
Исключая, так же, как эти было сделано выше при определении функции / (д^), из
(^1* \
-4-1 — х (to-
ll /
Этот график показан ни рис. 22.
4. Указания к выводу уравнении (1.74) и (1.75),
используемых при расчете течения воздуха
по каналу дросселя при наличии теплообмена
Уравнение (1.75) я вл hitch уравнением движения (П.9) преобразованным лишь
к другому виду. Подставляем в уравнение (П.9) выражения р = —— ,<//> = — ~Х
Klw £К
dw = скрЛ + Х^акр
Произведя в уравнении (И V) поело- указанных выше подстановок приведение подоб-
ных членов и учитывая, чго — d In e„„ — d 1в ewn .== d In^LL. = d In 6 (так
л Л fi
®xp Kp*
как nltpl»a?‘ const и, следовательно, d In aKpi» = 0), получаем уравнеиде (1.75).
1 Данное выражение получается дифференцированием (П.34), проводимым с
учетом того, что акр при наличии теплообмена есть величина переменная.
2.»
Уравненпе (1.74) выводится так. Г1«* определению коэффициента теплоотдачи
ем. (И.24)) Г = nd \ К (?'м — Г) с/х млн
о
„ Т Т
где О* = -JL. Qt«- JL , 7‘м . — температура торможения для начального сечения
1ПГ * 1нг
канала, Ти — температура торможения для сечения, находящегося на расстоянии х
от входа в канал, 7 н — температура внешней среды.
При наличии теплообмена с внешней средой можно условно считать, что каждому
сечению канала соответствует своя критическая скорость и вычисляемая по фор-
муле (П.З) прн подстановке в нее величины температуры торможения 7'п в данном
сечении. Прн этом уравнение (П-43) может быть приведено к виду5
s а 2 (fc - 1) t .
НС
Подставляя в (11.39) найденное из (11.40) выражение дли Г и учитывая, что == Рг\
Т)т
-4?Л1 = Яе.,; = «; «кР “ “кр., = 4Р1. Ф* - *)’ ПОЛУЧИМ
A-.Tdfl А2
х’Л
При X.» < 0,7 и /?с.. >10* имеем \Л--—-х, 0,5g, где g— коэффициент сопротивлс-
л ГfiCy*
ння канала. Подставляя в (11.41) вместо —— величину 0,5 g и дифференцируя (П.41)
но r d, получим уравнение
Т
1 При проведении преобразований учитывается, что согласно (П.16),___
(к — 1 \ Т Т
1—• —~~ Xs | и, следовательно, —— = -—-
*+U 1 л,г ти
ся, что число А« сохраняет неизменное значение
’ Уравнение (П 40} получается из уравнения
случая адиабатического течения уравненпе сохранения энергии приводится к форме
(П.15).
’ Если Xi и Rc'j. выходят за указанные пределы, то в уравнении (П.41) должен
- 0J 11
X’
Прпннмает-
для люоого из участков канала.
(П.13) аналогично тому как для
быть оставлен множитель ... ^У—.
Prtle,
239
Л II Т Е Р А Т У Р А
1. В. Л. Л о с с и е > с к н й. Основы автоматического регулирования технологи
четких процессе» Оборотил, 1950.
2. В. Р. Айдере a Н. Ф. 11 a u т а е в. Автоматическое регулирование процес-
сов переработки т»ефти. Гостей гс хи здат. 1954.
3. A. J. oung. Лц introduction to process control system i-ssign. London, 1955.
4. Г. T. Березове ц, И. Ф. К о з л о в. Приборы пнезмл'тической агрегатной
унифицированней системы. Информация о научно-ucc лед-артельских работах,
тема 29, № И-5в AXL Гостехника — АН СССР, 1956.
5. А. Я. Г о л о с о в с к и й, М. II. .Бутовский. Пневматическая агрегатная
унифицированная система (АУС). Приборостроение, .V 6. IJ57.
6. Г. Т. Б е р е з о в е ц. Новое в промышленной пневмоавтслдетмке. А и Т*. № 1.
1956.
7. S. A. Bergen. Pneumatic Force Balance Instrumentation. Instrument Practice.
-V 4, 1954.
8. V. Ferner. 5«xe pneumatische bxw. hydraulische Element* in dec Mefi — und
Regelungstechnik. Die Technik, Heft 6, Juni, 1954.
9. В. Фернер. Элементы пневматических регуляторов. В сб_: «Вопросы пневмо-
и гндроавтоматики». Изд-во АН СССР, 1960.
10. И. В. В а и с е р. Анализ возможности работы приборов пнеаэ^'завтоматики на низ-
ком давлении. В со.: «Вопросы пневмо- и гндроавтоматики>. Изд-во АН СССР.
1960.
И. Т. К. Берентс, А. А. Т а л ь. Пневматические релейные схемы, А и Т, ,\» И.
1959.
12. Ю. И. О с т р о в с к и й. Пневматический экстремальный регулятор. А и Т.
№ И, 1957.
13. Н. Д. Лапп я. Малогабаритная пневматическая вычислительная машина не-
прерывного действия и блок запаздывания. В со.: «Вопросы пэевмо- и гпдроапто-
матнкп». Изд-во АН СССР, I960.
14. А. А. Аб д у л л а е в, Э. М. Н а д ж а ф о в. Автоматическое регулирование в
компрессорной нефтедобыче. Баку, Азнефтпздат, 1956.
.Л. А. Залманзон, Б. А. Черкасов. Регулирование газотурбинных п
прямоточных воздушно-реактивных двигателей. Оборонгиз. 1956.
16. V. D. Sanders. Review of High — Temperature Immersion Thermal Sensing
Devices for, In — Flight Engine Control. The Review of scientific instruments,
vol. 29, As 11, 1958.
17. E. В. Герц. Некоторые вопросы структуры и классификации пневматических
устройств. Труды семинара ТММ, вып. 63, т. Х4 I, 1956.
18. И. И. А р т о б о л е в с к и й, Е. В. Г е р ц, Е. А. К о б р и н с к и й. Н. П. Ра-
евский. К динамике пневматических устройств. Труды семинара ТММ, А» 51,
1953. ” *
19. Ю. Г. Городецкий, П. М. Полянский. Применение пневматических
методов контроля в машиностроении. Машгиз, 1949.
20. Ю. Г. Городецкий. Автоматизация пневматических измерений размеров.
Машгиз, 1956.
21. R. Lehmann,A. Wiemer, Н. Voigt. Einige Beispiele fur die Anwendung
der pneumatischen Langenmessung. Feingeratetechnik, Heft 6, 1959.
12. R. M о 1 1 e. Recent tendencies in pneumatic metrology. Microtechnik, vol. Ю.
1956.
23. W. F r 6 s s e 1. Stromung in glatlen, geraden Rohren mit Cher- und Unterschall-
eschwindigkeit. Forschung autdem Gebiete des Ingenieurwesens, B. 7, .V 2, 1936.
i А и T — журнал «Автоматика и Телемеханика*. Пзд-во АН СССР.
24 0
24. С. А. X р н с т и а н о в ич„ В. Г. Г ял ь пер я н, М. Д. М и л л по п щя-
ков, Л. Л. Симон о в.. Прикладная газовая динамика, 1948.
25. И. Е. И д е л ь ч и к. IV цмилические сопротивления. Госэвергоиэдат, 1954.
26. Г. М. Боровский. ЦТо'кматичеснил расчеты тормозных приборов. Изд.
Мин-ва транспортного машиностроения СССР, 1949.
27. Г. Т. Б е р с э о в е ц. В. Н, Д м н т р к в в. Э. М. 11 а д ж а ф о в. О допустимых
упрощениях при расчете о.новматич<,ских регуляторов. Приборостроение, .V 4,
1957.
28. Ю. П. Е л о в с к и х. Докритическое истечение газа из резервуара. Вестник ма-
шиностроения, Лё 5, t’Jij’A.
29. Г. Н. Абрамович. Прикладная газовая динамика. ГИТТЛ, 1953.
30. Г. Ш л п х т н и г. Теории пограничного слоя. Иноиздат, 1956.
31. Л. А. 3 а л м а и з о н. А. Н.. С е м и к о в а. Исследование характеристик струй-
ных элементов пневмоавтоматики, А и Т, Лё 4, 1959.
32. Л. А. 3 а л м а и з о н и И. С е м и к о в а. О выполнении нелинейных пре-
образований в пневмосистемах с помощью элементов типа «сопло-трубка». В кн.:
«Системы, устройства и элементы пневмо-и гидроавтоматики». Изд-воДКСССР, 1959.
33. С. А. Чаплин и. О гадовых струях. Собр. соч... т. II, ГИТТЛ, 1948.
34. Ф. II. Франк л ь. Истечение сверхзвуковом струи ил сосуда с плоскими стен-
ками. ДАН, т. 58, Лё 3. 1947.
35. Н. 3. Френкель. Гидучявлика. Эяергонздат, 1936.
36. А. В. Б о г а ч е в а. Ламинарное течение воздуха в плоских капиллярных каналах
при больших скоростях. В кк. «Системы, устройства и элементы пневмо- и гидро-
автоматики». Изд-во АН ОХР, 1959,
37. И. W. Powell, W. G. В г о чг n е. 1мг of coiled capillaries in a convenient labora-
tory flowmeter. The review cf scientific instruments, vol. 28, Лё 2, febr. 1957
38. E.A. А ндреева.К расчешу статических характеристик элемента «сопло-заслон-
ка». В кн. «Системы, устройства и элементы пневмо- и гидроавтоматикп». 11зд-во>
АН СССР. 1959.
39. Н. П. Ш у м с к и й. Результаты экспериментальных и теоретических исследований
управляющих устройств типа «сопло-заслонка». В кн. «Системы, устройства в
элементы пневмо и гндредвтоматпки». Изд-во АН СССР, 1959.
40. J. II. McGinn. Observation on the radial flow of water between fixed parallel
plates. Appl Scient. Res.. A 5, Лё 4, 1955.
41. E.A. Андреева. К расчету статических характеристик пневматического эле-
мента «сопло-заслонка». В сб.: «Вопросы пневмо- и гидроавтоматики». Изд-во
АН СССР, I960."
42. С. Е. Захаренко. К вь просу о протечках газа через щели. В сб.: «Энерго-
машиностроение». Труды Ленинградского политехнического института им.
М. И. Калинина. Машгиз. 1953.
43. С. Е.Захаренко. Экспериментальное исследование протечек газа через щели.
В сб.: «Энергомашиностроение». Труды Ленинградского политехнического
института им. М. И. Калянина. Машгиз, 1953.
44. Л. А. 3 а л м а н з о н. Графики для определения параметров установившегося
истечения воздуха через системы калиброванных отверстий в пневматических
регуляторах. А и Т, Лё 2. 1952.
45. Л. А. 3 а л м а н з о н. Автоколебания в системах с пневматическими регулято-
рами. содержащими глухие камеры. Доклад на Втором Всесоюзном совещании
по теории и методам автоматического регулирования. Труды совещания, т. I.
Изд-во АН СССР. 1955.
46. W. Е. Reed. Pneumatic Control of a Turbojet Variable Nozzle. Control
Engineering, October, 1956,
47. W. E. Reed. A new approach to turbojet and ramjet*engine^control. SAE
Transactions, vol. 64. 195*5,
48. Л. A. 3 а л м а н з о и, Ю_ Л. M ач, Г. П. Степ а нов. Псследовапиэ характе-
. меток регуляторов отнесения давлений воздушно-реактивных двигателей.
В сб.: «Автоматика авиационных двигателей». Оборонгиз, 1959.
49. Г. Т. Б ер е з о ве ц. Пневматические регуляторы соотношения без механичес-
ких делителей. А и Т, .V 5. 1956.
50. Г. Т. Березове ц. Пневматические регуляторы соотношения без механических
делителей. В кн.: «Системы, устройства и элементы пневмо- и гидроавтоматики».
Изд-во АН СССР, 1959,
51. Л. А.З а л м а н з о и. Некоторые соображения о создании пневматических экстре-
мальных регуляторов. А и Т, Лё 1, 1957.
52. Л. А. 3 а л м а н з о н. А, И. С е м и к о в а. Исследование характеристик пнев-
матических камер,используемых в качестве сумматоров. Веб.: «Вопросы пневмо-
и гидроавтоматики». Изд-во АН СССР, 1960.
53. Описание пневматической модели цепи регулирования. Изд. фирмы Veb. Gerate —
und Regler Werke, Teltow. (ГДР).
2 41
54. Inst rum. and Automttjon. Ai 8. 1956 (сообщение о пневммиз'вчг'скях таймерах
d 1рмы General EFeci-ric. Co ).
55. Process timing relay1. Overseas Engr.. 197*6, 30, V 313 рчкимдочки? о пневматичес-
ких. таймерах фирмы Square D. I.Id.).
56. Л. A. 3 а л м а н э о а К расчету разветвленных гдлрапапчдеквж систем в автома-
тических устройствах А к Т. № 3, 19*7.
57. В. 11. Дмитриев Расчет статической характерце гики в^-тийтического реле.
А п Т, № 9, 1936.
58. В. И. Дмитриев» Улучшение статической характерветжм пневматического
реле применением дросселей постоянного перепада. А и Т. > 8, 1937.
59. В, II. Д митр и е а Статические характеристики иценматз.четкого реле с по*
сюлнпимп перепадами на дросселях В кн.: «Системы. устройства и элементы
пневмо- и гпдроаягелаАтмки». Н.цв<‘ АН СССР, 1969
60. Современное состояние аэродинамики больших скоростей, ш»т oCajeii род. Л. Хоуар-
та. 11 пони дат, 195о>.
61. И. Л. II о в х. Аэродинамический эксперимент в матикосгро»'мип. Машгнэ, 1939.
62. Л. А.* 3 а л м а и » о н. О дифференциальных уравнениях процессов изменения
давления в проточных камерах инеем этических контрольных и регулирующих
устройств. А и Т. .V 3, 1934.
63. Основы автомат»! чет хлго регулирования, под ред, В. Б. Сол д.>вникона. Машгнз,
1954.
6'1 . В. II. Д и и 1 р и е в, В. И. Ч е р н ы ш е в. Расчет временны'*, характеристик про-
точных пневматических камер. А и 1. А 1 , 1958.
65. Л. А 3 а л м а н а о я. Об учете влияния нелинейности характеристик глухих
камер пневморегуля? ров на процессы регулирования, А и Т, .V» 5. 1955.
66. Е. М. Ц е и р о в. Вопросы газовой динамики воздушных выключателей. Труды
ВЭН, вып. 60 Гос *нергонздат, 1956.
67. A. X. Ч еркасс ки й. Расчет опорожнении и наполнения емкостей газом или
паром. Вестник инженеров и техников, .V 4, 1953.
68. V. Ferner, I ib*r den gunstigen Arbeitsbereich pneumatiseber Rechensysteme
fOr Regelungs- und Sleuerungszwecke, Automatisierung, Hell 2, 1960
69. H. T 6 p f e r. Zeitk-mstanten vou pneumatischen Widerstands— Speicher —
Gliedern, MonaUsbar Disch. Akad. Wiss. Berlin, N. 7—10. 1959.
70. M. А. Мамонтов Некоторые случаи течения газа. Оборонгнз, 1951.
71. Б. А. Бахметов Введение в изучение неустановившег лея движения жидкос-
ти; 1915.
72. Б Н. Бежанов Пневматические механизмы. Цашгиз. 1957.
73. Г. Г. К а л и ш и М. М. Сельцовска я. Исследование процесса впрыска
в бескомпрессорных дятел ьмоторах с учетом упругих колебаний в трубопроводах.
Пзв. ИДТИ. Матти*. Ав 3, 1934.
74. Ф. Засс. Бескомпр-ссорные двигатели дизеля. ОПТИ. 1935
75. А. П и ш и в г е р. О механике впрыскивания топлива под давлением. В со.:
«Двигатели внутреннего сгорания», под ред. С. Н. Васильева, т. V, ГНТИ. 1939.
76. Г. Б. Си н я р е в. Волновой впрыск топлива в двигателях дизеля (исследование
системы впрыска тонтина с длинным топливопроводом). Канд диссертация. 1944.
77. Га и v ш. Передача • шпала давления пневматическим трубопроводом. А и Т.
№ 8,* 1956.
78. J. Е. Samson. Dynamic characteristics of pneumatic transmission», Traus. of
the Society of Instr. Technology, vol. 10. -V 3, 1958.
79. II. С. A p ж а и и кои и В. ‘Н. М а л ь ц < в Аэродинамика. Оборонгиз, 1956.
80. R. L. Р е е 1 е г, J. G г е е п. Measurement of Bulk Modulus of Hydraulic Fluids,
ASTM Bulletin, A6 215, 1959.
81. M. II. К о n т о p о в и ч. Операционное исчисление и нестационарные процессы
в электрических цепях. ГИТТЛ, 1953-
82. J. С. Moise. Pneumatic Transmission Lir.es, I. S. A. Journal, vol. 1, N. 4, 1954.
83. II. А. Ч a p н ы й. Нечстановившееся движение реальной жидкости в трубах.
ГИТТЛ, 1951.
84. М. В г a n d е г. Pneumatic Transmission Lac, Instruments. At 6, 1949.
85. С. P. Rohmann, E. C. Grogan. On the Dinaimc of Pneumatic Transmis-
sion Lines. Transactions of the ASME, May. 1957.
86. R. P. Sandell, N. II. C e a g 1 s k e. Frequency response of Pneumatic Trans-
mission Lines. ISA Journal, \ol. 3, 1956.
87. В. II. Смирнов. Курс высшей математики, т. II. ГИТТЛ, 1959.
88. F. В k е s е 1. Application de I’ordinateur I. В M. 650 dans le domaine de iTiydrauli-
3ue, Ingrs et technic tens. 1959, .V. 129.
. Г. Л о й ц я и с к и й. Механика жидкости и газа. ГИТТЛ, 1957.
90. М. Е. Дейч. Техническая газодинамика. Госэпергоиздат. 1953.
91. Л. А. 3 а л м а и з о н. Основы теории и расчета элементов пневмоавтоматики.
Доклад па Первом Международном конгрессе НФАК по автоматическому управле-
нию. Изд-во АН СССР. I960.
92. С. Хавераан. Исследование динамики изменения давления в системах, со-
держащих газ, и, в частности, исследования политропических процессов. Доклад
на Первом Международном конгрессе ИФАК по автоматическому управлению.
Изд-во АН СССР, I960.
93. К. Стоун. Исследование влияния длинных линий между управляющим клапа-
ном и приводом в гидравлических и пневматических системах управления. Доклад
на Первом Международном конгрессе ИФАК по автоматическому управлению.
Изд-во АН СССР. I960.
94. Р. Е. Норвуд. Исследование пневматического дросселя типа сопло—заслонка.
Доклад на Первом Международном конгрессе ИФАК по автоматическому управле-
нию. Изд-во АН СССР, 1960.
95. 3. Ч о р д а ш. Применение пневматических моделей. Доклад па Первом Между-
народном конгрессе ИФАК по автоматическому управлению. Изд-во АН СССР,
1960.
96. Ю. И. И в л я ч е в. Суммирование давлений на пневматической камере с ком-
пенсирующим дросселем. Приборостроение, 1960, № 6.
97. Ю. И. Ивлнчев и 3. М. Наджафов. Вопросы построения пневматических
счетно-решающих устройств. Вкн.: «Вопросы пневмо-и гидроавтоматики». Изд-во
АН СССР. 1960.
98. F. D. Ezekiel. Dinaniic Representation of Lossless Distributed Systems. Cont-
rol Engineering. May, 1958.
99. «Fluid Power Control», edit. J. F. Blackburn, G. Reethof, J. L. Shearer, New
York—London, 1960.
100. J. L. Shearer. Resistance Characteristics of Control—valve Orifices, The Institu-
tion of mechanical engineers. Paper 13, London, 1960.
243
О ГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................ ....... 3
Глава 1. Теория дросселей............................................ 7
§ 1. Основные сведения о дросселях, как элементах устройств пневмоавто-
матики и пневматических измерительных приборов. Классификация дрос-
селей. Задачи теории и расчета дросселей различных типов.......... 7
$ 2. Общие указания к расчету процессов дросселирования. Характерис-
тики турбулентных дросселей................................... И
1. Замечания о процессах дросселирования....................... 11
2. Формулы для расчета характеристик турбулентных дросселей ... 14
3. Пояснения к формулам (1.10) и (1.12). Определение коэффициента
расхода дросселя................................................. 16
4. Дополнительные замечания об условиях, при которых дроссели под-
ходят под определение турбулентных дросселей, и об условиях перехода при
дросселях этого типа от докритическнх к надкритическим режимам истечения 21
§ 3. Характеристики ламинарных дросселей........................ 25
1. Исследование формы характеристики расхода................... 25
2. Сравнительные данные о характеристиках расхода для цилиндричес-
ких дросселей с каналом круглого сечения и щелевых дросселей. Настроечные
характеристики регулируемых щелевых дросселей.................... 33
3. Влияние неконцентричности расположения стержня в отверстии втул-
ки на расход воздуха через щелевой дроссель...................... 36
§ 4. Характеристики дросселей смеша иного типа.................. 39
1. Общий случай течениявоздухачерезцилнндрическийдроссель круглого
сечения. Использование для расчета характеристик дросселя выводов газо-
динамической теории течения в трубах............................. 39
2. Характеристики дросселей с цилиндрическим каналом некруглого се-
чения и дросселей с проточным участком нецилиндрической формы (типа «соп-
ло — заслонка» и др.)............................................ 48
3. Влияннфемпературы воздуха на характеристики дросселей. Распростра-
нение ранее проведенных выводов на случаи, когда рабочим телом является
не воздух, а какой-либо другой газ............................... 55
4. Дополнительные замечания о характеристиках дросселей..... 58-
Глава II. Пневматические камеры, их статические характеристики.... 61
§ 1. Общие сведения о пневматических камерах как элементах устройств
пневмоавтоматики и измерительных приборов. Задачи теории пневматических
камер............................................................ 61
§ 2. Статические характеристики пневматических камер при турбулент-
ных дросселях................................................... 65
1. Основные уравнения.......................................... 65
2. Графики для определения давлений в проточной камере......... 66
3. Принцип пропорционального редуцирования абсолютных давлений
воздуха.......................................................... 68
244
<. Характеристики изменения избыточных давлений................... 76
У. Теспжя пневматического дроссельхого пакета..................... 79
6. Распет давлений в междроссельимх камерах при более сложных со-
ехжяения^ камер ................................................... 83
7. Течншие воздух* через систему мкгдроссельных камер при малых пе-
реалдах дивлений . , . . .............................................. 85
j 3. Сгх^гческне характеристики проточных пневматических камер при
л жми нарцьт дросселях и прп сочетаниях дросселей различных типов ... 87
1 Хздлктерпствки меж дроссельных'камер при лэмипнрпых дросселях.
Г1 ропордд!.шальное редуцирование избыточных давлений в камере с ламниар-
*ымж дросселями. Пневматическая камера как сумматор давлений .... 87
2. Гедч с дросселем «сопло — *а слегла» как пример пневматической ка-
меры с ра.аиатжпными дросселями. Ха; «дтеристнки некоторых других пнев-
матич(Х1тж1 камер с разнотипными дрхселямп............................. 94
3» Оирн деление давлений в камере вря задании характеристик дросселей
* виде графиков . . . . ............................................... 99
| 4. Характеристики междроссельных камер малых размеров............. 101
1» Ддхкые экспериментального исследования междроссельных камер ма-
лых разыграв ......................................................... 103
2. Осзвоакые расчетные соотношения для малых междроссельных камер 113
3. Лкзэержментальная проверка формулы (11.59). Обобщенные характе-
ристики г вменения величины 6р1таж ыяиспмости от /м, /к, ръ р0 .... 115
4. Расчет величины pi при учете влияния изменения плотности воздуха
па хараг-. гржстжки дросселей ........................................ 116
5. Исследование формы участка характеристики = ® i и ха-
Л >ч л \А>/
ср, , I \
рактерястхкн т—----- ^а<р(-—) в области малых значений pi,' р0 .... 118
°Р»тах \аа »
6. Отгржжжчжтельные условия, при которых камера с малыми размерами
еще мсжм? рассматриваться как междроссельная.......................... 119
7. Еблгледоваине характеристик камере несоосным расположением дрос-
селей ......................................................«... 120
8. Д .шолнжтельные замечания о характеристиках междроссельных камер
малых размеров............................,........................... 125
ыва III. Зкнамнка пневматических кам-»р............................... 128
§ 1. Бзсадные замечания к исследовавх» динамики пневматических камер,
используемых в качестве элементов устройств пневмоавтоматики .... 128
§ 2. 2йхввмнка пневматических каме; 2 ар и турбулентных дросселях . . . 130
1. Езсвэд дифференциального уракзения процесса изменения давлений
в прот’.'чааож камере................................................. 130
2- Графики для определения коэффощиентов дифференциального урав-
нения лр.шесса изменения давлений в проточной камере........... 135
3. Бьевод дифференциального уравнения дроточной камеры, сообщающейся
с несколькими камерами на входе и на вмхсде. Раскрытие выражений коэффи-
циенте » итого уравнения.......... ............ 140
4. Методика определения численных значений коэффициентов диффе-
ренциального уравнения процесса для проточной камеры, сообщающейся с
несколькими другими камерами................................ 143
5. Заомечання-об условиях, при кот-дых в переходном процессе сохраня-
ется исходное сочетание режимов истеч*йгия, и о погрешностях, вносимых при
линеаржаыши уравнений. Учет изменездя коэффициентов расхода дросселей |145
6. ZzsaMHKa глухих- камер при турбулентных дросселях..... 152
| 3. 22гвамнка проточных и глухих талер при ламинарных дросселях и
дросселях смешанного типа..................................... 159
1 ^дифференциальные уравнения г;сточной камеры при ламинарных дрос-
селях ....................................................... 159
245
2. Характеристики опустошения и здздлпенкя. глухих кам*чр прп лами-
нарных др^кселях - ..........„....................... . . . , . . |й(>
3. Замечания о втннния средней мгегчвны давления и дцаиызопа измене-
ния давлений на врем»» протекания переходного процесса в «пневматических
камерах с дросселями различных тияк» . ................ . .......... |7<>
4. Глухая камера «»* фильтр гаржодяк.......................... 17*
5. Методика нсслецювпння динами гх проточных и глух;п> камер в слу-
чаях, когда характеристики расхода дрхселей заданы графиками .... (77
б. Дополнительны*»' аамечання о термодинамических углотпих изменения
состояния воздуха щмп заполнении и зустошенни пневматических камер.
Оценка noi решностен обусловленных принятием неустано’пвппшхся про-
цессов точения воздуха через дроссели а в камерах ква шстдг.гчеекимп . . . t.**<>
Глава IV. Характеристики длинных пнегматических линий. U иевматкческие
трубопроводы как елпгтемы с распределенными параметра ми ............... 185
§ 1. Общие сведенгсв о длинных пневматических линиях. >нднчн расчета
н исследования длил нъ.х пневматических линий ...................... (85
5 2. Дифференциалдлтые уравнения процесса изменения дли! он и я воздуха
в длинных трубопроводах............................................. (84
§ 3. Граничные условия. ''равнение камеры. прнсоедпвенгппв к длинной
лнвим ..........-................................................... (*ЛЗ
$ 4. Решения дифференциальных ура г нений пневматичеелхх трубопрово-
дов, рассматриваемые как системы с распределенными папаше грани . . . (95
1. Решение системны дифференциальных уравнений (IV.-4) ж (TV .5) методам и
операционного исчисления........................................ (95-
2. Два частных вручая........................... _ . .......... 195
3. Численные примеры........................................ 204
4. Относительно ксфоткие тру сопроводи как системы с распределенными
параметрами. Метода*.» решения дифференциальных уравненхп трубопровода
при наиболее общих'гд^ичных.условиях.Случай, когда на вых : >ле из трубопро-
вода имеется препул *-ш>й дроссель................................. 206
5. Решение дяфб*4унциальных уравнений пневматиче-ехгх трубопро-
водов как систем с рае «ределевнымп параметрами вформебиуткдим>щих волн.
Решения в этой форм* А3* частных случаев, получаемые операгигсшныммеюдом.
Решение в форме бту*дающих волн для более общих случаен когда гранич-
ные условия заданы г^сфиче*’ки (использование графического дохода Пншин-
•’ера)........г....................................................... 208-
$5. Приближенная оценка характеристик длинных пневматических линий.
Обзор опытных даиямх по длинным пневматическим линию Анализ влияния
конструктивные параметров и диапазона рабочих давлений на характеристики
длинной линии.......................................................... 2(4
Приложение. Некоторые сведения из аэродинамики............................ 225
j 1.*Общие ^определения. Классификация течений газов . ............... 225
5 2. Основные параметры состояния газов; некоторые другие величины.
встречающиеся при газодинамических расчетах............................ 224
1. Давление....................................................... 224
2. Температура.................................................... 225
3. Удельный вес и плотность ............................. 225
4. Связь между изменением величин р. Т, р при изэнтропических тече-
ниях .............................................................. 225
5. Скорость..................................................... 225
6. Расход......................................................... 226
7. Вязкость....................................................... 226
8. Численные значения некоторых параметров для воздуха............ 227
5 3. Система исходных уравнений аэродинамики. Критерии подобия тече-
ний газа ... . ...................................................... 227
1. Уравнения движения........................................... 228
246
2- Уравнение неразрывности........................................ 22>
3- Уравнение состояния газ? ..................................... 22?
<. Уравнение сохранения энергии ................................. 229
S, Некоторые дополнительны* соотношения для случая адиабатического
тэчнмтгя газа, следующие из уравнения сохранения энергии ....... 230
•б- Критерии подобия течени. газа........................... . 231
J 4L Замечания об интегриров«и_и системы основных уравнений аэроди-
иажвжи............ •..................... .................... 232
5- Общие замечания.............................................. 232-
— Одномерное установившееся течение вязкой несжимаемой ишдкссти
джлиидрнческом канале круглого сечения и по кольцевому зазору. Фор-
мул!. Пуазейля................................................... 233-
3- Приближенное решение уравнений Навье — Стокса прн помощи рядов 234
f 5> Пояснения к выводу некоторых формул аэродинамики, на которые
делаются ссылки в основном тексте................................... 28л
• 3. Формул? Сен-Венана—Ванкеля для адиабатического истечения идеаль-
ного таза через сопло (сужающийся насадок) из резервуара неограниченно
большой емкости................................................... 235
X Уравнения изотермического течения газов в трубах. Пояснения к вы-
воду урспнений (I 27), (1 28) и к построению кривой приве-
ди к вой на рис. 13, в............................................ 236
X Пояснения к уравнению (1.67/. используемому прн расчете «диабатиче-
сквга течения газа по каналу дрхселя .............................. 237
4. Указания к выводу уравнемв (1.74) и (1.75), используемых при рас-
чет* течения воздуха по каналу дросселя при наличии теплообмена .... 238
Лвте/южура....................... .................................. 240
247
В оригинале книги данная таблица размещена между страницами 134 и 135.
Таблице I
248
Зан. «И»
Лев Абрамович Залманзон
Проточны? элементы ^пневматических приборов
контроля и управления
УтпвержОвно к печати
Н нститутам автоматики v теле-иехикыкт»
АкаОвмии наук СССР
•
Редактор’изд лгельотва Г. П. Степанов
Технический редактор В. В. Волкова
PI1CO АН СССР<№ 107—42 В. Сдано набор,- ХДХ I960 г.
Подписано «’печати 18/1 1961 т. Формат 70x108*/,,.
11?ч. л. I5.fr 4-1 икл. Усл. печ. л. 21,20 4-1 вкл. Уч.-изд. л. 19.5
Тир лк -7000 зка. Т-1 0S11. Изд. № 4757. Тип. зак. №. 1016
Цена I руб. М коп.
Иадатеиьстзо Академии наук СССР.
Москва. В-62, Подсосенский пер.. 21
2-я типография |Издательства. АН СССР
Москва. Г-99. Шубинскпй вер., 10
249
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Станиц । Строка Н апечатано Должно быт;
1 •
.720 Л* гп- р /1"
* 31 2 X сн. 'W1 шах пит
X г
V 45 2U сн. 6 d ~d
V Ь Ф-ла (1.81) = 12.5 Л1 (а1—1) -- 12,5 Л* (аь— 1)
' * V74 6 сн. ,Л\ '/а/о PI \ Zt/a
V Л 1 св А Pi
Р< Ро
у 117 3 сн Р1~ Pol Ро~ Pol
#10’ На рис. 65 1к — полная длина камеры (правильно показана на
рис. 69)
и Ф-ла (111. 9) е е
V162 21 сн. (111.25) (111.24)
v УЬз 1-я сн Т — 1 сек Т = 3 с^к
<-Г* перед табл.
V 175 7 сп Рк^ /И) Рк^ f(V
,fP
V 209 3 сн дх dt
/ 219 9 <;п. рис , 126, а рис. 125-
V 231 И 19 св. 1 /
V 231 _ 13 сн kjs - ** ' 1 а t
v> *• Д. Z»1 р2 Pi Vt
Л. А. За 1«взон г 5 ’
250
Книгу сделал Веселовский В.Н.
05.01.2012г.
251